diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.md b/Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7bc6d2b63889b0b92440aa9f07dda031bb5bc950 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.md @@ -0,0 +1,637 @@ +# 1 O número de quadrados + +Determine o número de quadrados na figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-01.jpg?height=339&width=333&top_left_y=1213&top_left_x=941) + +## 1 O número de quadrados-Solução + +Vamos ordenar a contagem dos quadrados de acordo com as dimensões de seus lados. + +I) Existe exatamente um quadrado $4 \times 4$. + +II) Existem $2^{2}=4$ quadrados $3 \times 3$. + +III) Existem $3^{2}=9$ quadrados $2 \times 2$. + +IV) Existem $4^{2}+2=18$ quadrados $1 \times 1$, dos quais dois formam ainda 4 quadrados cada. Portanto, ao todo temos $1+4+9+18+8=40$ quadrados. + +## 2 Cubo de arame + +Na figura a seguir, temos um cubo $2 \times 2 \times 2$ feito com pedaços de arame. A aresta de cada cubo é um pedaço de $1 \mathrm{~cm}$ de arame e ao todo foram usados 54 desses pedaços. Para fazer um cubo $10 \times 10 \times 10$, quantos pedaços de arame serão utilizados? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-02.jpg?height=352&width=365&top_left_y=638&top_left_x=719) + +## 2 Cubo de arame -Solução + +Cada vértice dos cubinhos está conectado com segmentos que podem ser classificados em três diferentes direções associadas às arestas do cubo maior. Assim, podemos dividir a tarefa de encontrar a quantidade de segmentos utilizados de acordo com essas direções. Vista de cima de uma face qualquer do cubo maior, a figura se assemelha a um quadrado $10 \times 10$ composto por 100 quadradinhos $1 \times 1$. Existem 121 vértices nesses quadradinhos e de cada um deles, na direção perpendicular a face, devem ser conectados 10 outros segmentos. Ou seja, em uma determinada direção, existem $121 \cdot 10=1210$ segmentos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-02.jpg?height=528&width=534&top_left_y=1716&top_left_x=634) + +Como temos 3 direções, o total de segmentos é $1210 \cdot 3=3630$. + +## 3 A média aritmética + +A média aritmética de uma lista de números é a soma deles dividida pela quantidade de elementos da lista. Por exemplo, a média aritmética da lista 3, 3, 4, 5 e 10 é + +$$ +\frac{3+3+4+5+10}{5}=5 +$$ + +A média aritmética de 5 inteiros positivos distintos é igual a 11. Qual é o maior valor possível de um número dessa lista? + +## 3 A média aritmética - Solução + +Como a média dos 5 inteiros é 11 , a soma deles é $5 \cdot 11=55$. Como todos são inteiros positivos distintos, a soma de quatro deles é pelo menos $1+2+3+4=10$. Portanto, o quinto elemento é no máximo $55-10=45$. Assim, o maior valor possível de um número dessa lista é 45 e um exemplo em que isso acontece é com a lista 1,2,3,4,45. + +## 4 Qual a área da figura? + +a) Na figura a seguir, cada segmento mede $3 \mathrm{~cm}$. Qual a área da figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-03.jpg?height=396&width=745&top_left_y=1417&top_left_x=735) + +b) Na figura abaixo, cada quadradinho do reticulado tem área de $1 \mathrm{~cm}^{2}$. Determine a área do polígono sombreado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-03.jpg?height=378&width=492&top_left_y=2074&top_left_x=862) + +## 4 Qual a área da figura? - Solução + +a) Podemos deslocar partes da figura, sem alterar a área do conjunto, e formar um quadrado de lado $3 \cdot 3=9 \mathrm{~cm}$. No desenho a seguir, figuras iguais estão indicadas com a mesma letra e possuem áreas iguais. Portanto, a área da figura é $9 \cdot 9=81 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-04.jpg?height=393&width=735&top_left_y=660&top_left_x=539) + +b) Como no item anterior, podemos decompor a figura original em pedaços e deslocá-los. No desenho a seguir, figuras iguais estão indicadas com a mesma letra e possuem áreas iguais. A figura resultante é um retângulo $5 \times 4$ e sua área é $20 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-04.jpg?height=378&width=492&top_left_y=1416&top_left_x=669) + +## 5 Os cachorros e os passarinhos + +Três cachorros precisam de 7 horas para cavarem 9 buracos. Cinco passarinhos gastam 40 minutos para construírem 2 ninhos. Mantendo-se essas taxas, quantos minutos a mais um cachorro leva para cavar um buraco do que um passarinho leva para construir um ninho? + +## 5 Os cachorros e os passarinhos - Solução + +Como 1/3 dos cachorros realiza 1/3 do trabalho durante o mesmo período, podemos concluir que $3 / 3=1$ cachorro precisa de 7 horas para construir $9 / 3=3$ buracos. Trabalhando $1 / 3$ do tempo, esse cachorro fará $1 / 3$ do trabalho e assim, podemos garantir que 1 cachorro gasta $(7 \cdot 60) / 3=140$ minutos para fazer um buraco. De modo semelhante, 1 passarinho precisa de 40 minutos para construir $2 / 5$ de um ninho e $5 / 2 \cdot 40=100$ minutos para construir $5 / 2 \cdot 2 / 5=1$ ninho. Portanto, para cavar um buraco, um cachorro gasta 40 minutos a mais que um passarinho para construir um ninho. + +## 6 Painel de luzes + +A figura a seguir é um painel de luzes que acendem ou apagam dependendo da tecla tocada (na figura todas as luzes estão acesas). Cada vez que uma tecla é tocada, todas as outras teclas que possuem um lado comum a ela apagam, se estiverem acesas (quando estão brancas), ou acendem, se estiverem apagadas (quando estão cinza). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-05.jpg?height=576&width=534&top_left_y=1541&top_left_x=843) + +a) Se todas as teclas estão acesas e apertarmos uma única vez as teclas 1, 4, 7 e 10, nesta ordem, quais teclas ficarão acesas? +b) Na configuração abaixo, quais teclas devem ser apertadas para que todas as luzes fiquem acesas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-06.jpg?height=576&width=537&top_left_y=489&top_left_x=667) + +c) Na configuração abaixo, existe uma sequência de teclas apertadas para que todas as teclas fiquem acesas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-06.jpg?height=564&width=528&top_left_y=1431&top_left_x=677) + +## 6 Painel de luzes - Solução + +a) Quando apertamos uma tecla, acionamos as suas vizinhas (com um lado comum), ou seja, vizinhas acesas, apagam-se, enquanto que vizinhas apagadas, acendem-se. As teclas acionadas um número par de vezes, permanecem como estavam e as teclas +acionadas um número ímpar de vezes, mudam de acesas para apagadas ou vice-versa. Apertando as teclas 1, 4, 7 e 10, acionaremos uma vez as teclas 2, 4, 5, 6, 7, 8, que ficarão apagadas, pois foram acionadas um número ímpar de vezes; as teclas 3 e 9 , que foram acionadas duas vezes, assim como as teclas 1 e 10, que não foram acionadas, ficarão acesas. Na figura, temos a configuração final do painel. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-07.jpg?height=676&width=639&top_left_y=500&top_left_x=820) + +b) 5 e 7. Apertando 5, acionamos 1, 2 e 8, que acendem, e 6 que apaga; apertando 7 , acendem 3, 4, 9 e 6 (que está apagada após apertarmos 5). Assim, todas ficam acesas. + +c) Não. As teclas 1, 4 e 10 têm dois vizinhos; as teclas 2, 3, 5, 7, 8 e 9 têm quatro vizinhos; e a tecla 6 tem seis vizinhos. Ou seja, todas as teclas possuem uma quantidade par de vizinhos. Sendo assim, quando apertamos qualquer tecla acionamos sempre uma quantidade par de teclas. Se o total de teclas que precisamos acender é cinco (ímpar), nunca conseguiremos deixar todas acesas. + +## 7 Mesa da família Naldo + +Em uma mesa circular estão sentadas 5 pessoas: Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo, cada um em uma cadeira. Analisando no sentido horário, temos: + +I. Entre Arnaldo e Bernaldo existe 1 cadeira vazia; + +II. Entre Bernaldo e Cernaldo são 5 cadeiras; + +III. Entre Dernaldo e Ernaldo são 4 cadeiras, quase todas vazias; + +IV. Entre Dernaldo e Cernaldo são 2 cadeiras; + +V. Entre Ernaldo e Bernaldo são 3 cadeiras, nem todas vazias. + +Quantas cadeiras possuem ao redor da mesa? + +## 7 Mesa da família Naldo - Solução + +Vamos posicionar Arnaldo na cadeira que chamaremos de 1 e, pela informação $I$, Bernaldo deverá sentar-se na cadeira 3 e, consequentemente, pela informação $I I$, Cernaldo deverá sentar-se na cadeira 9. Como entre Dernaldo e Ernaldo são 6 cadeiras e entre Dernaldo e Cernaldo são 2 cadeiras, Cernaldo está entre Dernaldo e Ernaldo, sendo que Dernaldo está sentado na cadeira 6 e Ernaldo na cadeira 11. Como entre Ernaldo e Bernaldo são 3 cadeiras, Arnaldo está entre eles, existindo uma cadeira vazia entre Ernaldo e Arnaldo, que é a cadeira 12, a última cadeira. Portanto, são 12 cadeiras ao todo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-08.jpg?height=590&width=595&top_left_y=789&top_left_x=612) + +## 8 Quebra-cabeça furado + +Joana ganhou um quebra cabeça com um tabuleiro, como o da figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-08.jpg?height=482&width=476&top_left_y=1887&top_left_x=671) + +Este tabuleiro deve ser completamente preenchido com peças como as da figura abaixo, de forma que não pode haver sobreposição de peças e cada peça preencha exatamente quatro quadradinhos do tabuleiro. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-09.jpg?height=360&width=770&top_left_y=543&top_left_x=714) + +a) Quantas peças são necessárias para preencher o tabuleiro? + +b) Preencha o tabuleiro utilizando as peças que julgar necessário (pode utilizar de um único tipo de peça até todos os tipos). + +c) É possível preenchê-lo utilizando, exatamente, uma peça como a da figura abaixo e as demais dos outros tipos de peça? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-09.jpg?height=175&width=243&top_left_y=1673&top_left_x=1010) + +## 8 Quebra-cabeça furado-Solução + +a) O total de quadradinhos do tabuleiro é 40 . Como cada peça cobre 4 quadradinhos do tabuleiro, o número de peças necessário para cobrir o tabuleiro é $\frac{40}{4}=10$. +b) Na figura a seguir, uma solução. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-10.jpg?height=489&width=489&top_left_y=734&top_left_x=691) + +c) O tabuleiro é composto por 40 quadradinhos, sendo 20 brancos e 20 cinzas. Todas as peças cobrem 4 quadradinhos, sendo 2 de cada cor, com exceção da peça sugerida no item que cobre 3 peças de uma cor e 1 da outra. Sendo assim, as outras 9 peças, quaisquer que sejam, cobrirão 18 quadradinhos brancos e 18 quadradinhos cinzas. Quando colocarmos a última peça (a peça sugerida no item), teríamos 21 quadradinhos brancos e 19 cinzas ou 19 brancos e 21 cinzas, o que é impossível. + +## 9 Fruteira de Angélica + +Na fruteira de Angélica existem 12 bananas, 1 abacaxi, 4 laranjas, 2 mangas e 3 mamões. O peso de 1 abacaxi é o mesmo que o peso de 1 laranja, 1 manga e 1 mamão, juntos; o peso de 1 banana é a metade do peso de 1 mamão; 4 bananas pesam o mesmo que 1 laranja e 1 manga, juntas; e 1 manga pesa $100 \mathrm{~g}$ a mais que 1 laranja. Se 1 abacaxi pesa $600 \mathrm{~g}$, então: + +a) Quanto pesam todas as frutas da fruteira de Angélica? + +b) De quantas maneiras Pedro, neto de Angélica, pode escolher 2 frutas diferentes para tomar seu café da manhã, utilizando as frutas da fruteira? + +c) Quantas vitaminas podem ser feitas com estas frutas, usando $600 \mathrm{~g}$ de frutas? (É permitido utilizar frutas repetidas, mas apenas quantidades inteiras de fruta). + +## 9 Fruteira de Angélica - Solução + +a) Vamos organizar as informações: +I) 1 laranja + 1 manga +1 mamão = 1 abacaxi $(600 \mathrm{~g})$; + +II) 2 bananas = 1 mamão; + +III) 1 laranja +1 manga $=4$ bananas; + +IV) 1 manga $=1$ laranja $+100 \mathrm{~g}$. + +Em (I), trocando laranja, manga e mamão, usando (II) e (III), chegamos que 6 bananas equivalem a um abacaxi, ou seja, cada banana pesa $100 \mathrm{~g}$ e, consequentemente, cada mamão pesa $200 \mathrm{~g}$ e uma laranja e uma manga juntas pesam $400 \mathrm{~g}$, que, por (IV), é possível concluir que cada manga pesa $250 \mathrm{~g}$ e cada laranja pesa $150 \mathrm{~g}$. Sendo assim, o peso de todas as frutas é $12 \cdot 100+600+4 \cdot 150+2 \cdot 250+3 \cdot 200=3.500 \mathrm{~g}$, que é o mesmo que $3,5 \mathrm{~kg}$. + +b) São 5 tipos de frutas para escolher duas, ou seja, banana e mamão; banana e manga; banana e abacaxi; banana e laranja; mamão e manga; mamão e abacaxi; mamão e laranja; manga e abacaxi; manga e laranja; e, por fim, abacaxi e laranja. Sendo assim, Pedro pode escolher duas frutas diferentes de 10 maneiras. Outra forma de encontrar este resultado, sem precisar listar todas as possibilidades é $\frac{5 \cdot 4}{2}=10$, que significa que temos 5 opções para a primeira fruta, 4 para a segunda e, como a ordem com a qual escolhemos primeira e segunda frutas não importa, dividimos o resultado por 2. +c) Vamos listar as possibilidades: + +| Abacaxi | Manga | Mamão | Laranja | Banana | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | +| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | +| 0 | 2 | 0 | 0 | 1 | +| 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | +| 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | +| 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | +| 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | +| 0 | 0 | 0 | 2 | 3 | +| 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | +| 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | + +Portanto, são 11 vitaminas diferentes. + +## 10 O quarto de Jack + +O quarto de Jack tem $27 \mathrm{~m}^{2}$ de área de parede e teto. Para pintá-lo, Jack pode usar 1 lata de tinta, mas sobraria 1 litro de tinta, ou 5 galões de tinta, mas que também sobraria 1 litro, ou ainda 4 galões mais 2, 8 litros de tinta. + +a) Qual a razão entre o volume de uma lata e o volume de um galão? + +b) Qual o volume de um galão? + +c) Qual a área de tinta que Jack consegue pintar com 1 litro de tinta, ou seja, qual o rendimento da tinta? + +## 10 O quarto de Jack - Solução + +a) Se usando 1 lata ou 5 galões sobra a mesma quantidade de tinta, então ambos possuem o mesmo volume, pois pintam a mesma área. Sendo assim, a razão entre seus volumes (1 lata por 5 galões) é $\frac{1}{5}$. + +b) Temos que 5 galões menos 1 litro é equivalente a 4 galões mais 2,8 litros, ou seja, 1 galão tem 3,8 litros. + +c) São necessários 5 3,8-1 = 18 litros para pintar os $27 m^{2}$ do quarto de Jack, ou seja, $\frac{27}{18}=1,5 \mathrm{~m}^{2} / \ell$. + +## 11 As Tintas do M. A. Luco + +O cientista M. A. Luco possui 3 substâncias líquidas, sendo uma verde, uma azul e uma rosa, todas com $100 \mathrm{ml}$ e cada uma em um recipiente (substância verde no recipiente $V$, substância azul no recipiente $A$ e substância $R$ no recipiente rosa). Em uma de suas experiências o famoso cientista passa $20 \mathrm{ml}$ do recipiente $V$ para o recipiente $A$; depois, $20 \mathrm{ml}$ de $A$ para $R$; e, por fim, $20 \mathrm{ml}$ de $R$ para $V$. Em cada passagem que é feita, os líquidos são misturados. Ao final do experimento, quanto de líquido verde haverá no recipiente $V$ ? + +## 11 As tintas de M. A. Luco-Solução + +Foram feitas 3 misturas. Vamos analisar cada uma delas: +I) $1 \underline{a}$ mistura: recipiente $A$ ficou com $100 \mathrm{ml}$ de líquido azul, que equivale a $\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$ do volume total, e $20 m l$ de líquido verde, $\frac{1}{6}$ do total; + +II) $2^{\underline{a}}$ mistura: tirando $20 m l$ do recipiente $A$, ou seja, $\frac{1}{6}$, sairá $\frac{1}{6} \cdot 20=\frac{10}{3} m l$ de líquido verde e $\frac{1}{6} \cdot 100=\frac{50}{3} m l$ de líquido azul, que são colocados no recipiente $R$, ficando com $120 \mathrm{ml}$ de líquido; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-13.jpg?height=90&width=1515&top_left_y=1417&top_left_x=353) +quido verde, que será passado para o recipiente $V$, que ficará, ao final da experiência, com $\frac{5}{9}+80 \cong 80,56 m l$ de líquido verde. + +## 12 A calculadora maluca + +A calculadora maluca possui, além dos botões com os 10 algarismos, quatro superbotões: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-13.jpg?height=64&width=309&top_left_y=1969&top_left_x=945) + +Quando a tecla é apertada, o número do visor é multiplicado por 2; a tecla $)^{*}$ soma todos os algarismos do visor; a tecla $\mathcal{S}$ divide o número do visor por 4 e mostra o resto desta divisão; e a tecla $\bowtie$ soma 3 ao número do visor. + +a) Com o número 1.234 no visor, Pedro apertou, na sequência, as teclas número apareceu? + +b) Pedro digitou o número 12.345 e as quatro teclas especiais uma única vez cada, aparecendo no visor o zero ao final. Determine uma possível sequência de teclas especiais. + +## 12 A calculadora maluca -Solução + +a) Temos: + +$$ +1.234 \rightarrow \rightarrow 2.468 \rightarrow(\cdot \rightarrow 20 \rightarrow \mathcal{B} \rightarrow 0 \rightarrow \bowtie \rightarrow 3 . +$$ + +b) Uma sequência possível é: + +$$ +12.345 \rightarrow \rightarrow 24.690 \rightarrow \odot \rightarrow 21 \rightarrow \bowtie \rightarrow 24 \rightarrow Љ \rightarrow 0 . +$$ + +## 13 Árvore de Natal + +$\mathrm{Na}$ árvore de natal da OBMEP devem ser penduradas letras em ambos os lados, além de uma no topo. As letras O e B pesam $300 \mathrm{~g}$ cada, as letras $M$ e $E$ pesam $200 \mathrm{~g}$ cada e a letra P pesa $100 \mathrm{~g}$. Já foram colocadas 5 letras, como mostra a figura, mas ainda faltam duas de cada. Coloque estas 10 letras faltantes de maneira que a soma dos pesos das letras do lado esquerdo seja igual à soma dos pesos do lado direito. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-14.jpg?height=735&width=515&top_left_y=1290&top_left_x=652) + +## 13 Árvore de Natal - Solução + +Cada conjunto das 5 letras da palavra OBMEP pesa $2 \cdot 300+2 \cdot 200+100=1.100 \mathrm{~g}$. Ainda faltam distribuir 10 letras, ou seja, $2.200 \mathrm{~g}$, sendo que já existem $500 \mathrm{~g}$ do lado esquerdo e $300 \mathrm{~g}$ do lado direito. Sendo assim, devem ser colocados $1.000 \mathrm{~g}$ do lado esquerdo e 1.200 gramas do lado direito, para que haja o equilíbrio. + +Uma distribuição é: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-15.jpg?height=713&width=508&top_left_y=381&top_left_x=846) + +### 141.000 Relógios? + +A figura abaixo é o início de uma sequência lógica composta por 1000 relógios. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-15.jpg?height=252&width=1080&top_left_y=1468&top_left_x=566) + +a) O ponteiro do Relógio 5 aponta para qual número? + +b) O ponteiro do Relógio 1.000 aponta para que número? + +c) Perceba que de um Relógio para o seguinte o ponteiro (dos minutos) avança 25 minutos, mas o ponteiro das horas não vemos, pois ele é invisível. Supondo que no Relógio 1 sejam 12 horas em ponto, que horas são no Relógio 997? + +## 14 1.000 Relógios? - Solução + +a) Como o ponteiro, de um relógio para o seguinte, percorre, no sentido horário, 5 casas (25 minutos), no Relógio 5 o ponteiro estará apontando para o 8. +b) Como "anda"de 5 em 5 e são 12 casas nos relógios, ele estará novamente no 12 depois de 60 casas, pois $m m c(5,12)=60$, ou seja, depois de 12 giros completos. Então, partindo do Relógio 1, de 12 em 12 relógios, o ponteiro volta para a posição inicial (Relógios 1, 13, 25, 37, 49, ..). Todos estes relógios são números que deixam resto 1 na divisão por 12. Se 1.000 dividido por 12 deixa resto 4, então no Relógio 997 o ponteiro está no 12 e, consequentemente, no Relógio 1.000 está no 3. + +c) A cada 12 giros do ponteiro dos minutos, que equivalem a 5 voltas completas, o ponteiro das horas (invisível) "anda" 5 casas. Usando o item anterior, 997 dividido por 12, resulta em 83 como quociente e resto 1 , ou seja, o ponteiro dos minutos para 83 vezes na posição inicial, sendo que em cada uma delas o ponteiro das horas "anda" 5 casas. Como $83 \cdot 5=415$ e 415 dividido por 12 deixa resto 7 , são $7 h$ no Relógio 997 . + +## 15 Divisibilidade por 7 + +Uma maneira de verificar se um número é divisível por 7 é subtrair, do número formado pelos algarismos restantes após a retirada do algarismo das unidades, o dobro do algarismo das unidades, verificando se este número é divisível por 7. Por exemplo, 336 é divisível por 7, pois $33-2 \cdot 6=21$ é divisível por 7, mas 418 não é pois $41-2 \cdot 8=25$ não é. + +a) Utilize este método para verificar se 4.578 é divisível por 7 . + +b) Se $A$ e $B$ são algarismos, quantos são os números de três algarismos do tipo $\overline{A B 5}$ que são divisíveis por 7 ? + +## 15 Divisibilidade por 7 - Solução + +a) $457-2 \cdot 8=441 \rightarrow 44-2 \cdot 1=42$, que é divisível por 7 , então 4.578 também é divisível por 7 . + +b) Como $\overline{A B 5}$ tem três algarismos, então $A \neq 0$. Além disso, $\overline{A B}-14$, pela regra de divisibilidade, é múltiplo de 7 e, consequentemente, $\overline{A B}$ deve ser múltiplo de 7 , pois 14 é, ou seja $A B$ pode ser qualquer elemento do conjunto + +$$ +\{14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98\} +$$ + +Portanto, são 13 números. + +## 16 Mário no mercado + +Mário comprou algumas guloseimas no mercado, sendo que 3 chocolates custavam o mesmo que 2 picolés e 2 pirulitos custavam o mesmo que 5 chocolates. + +a) Mário resolveu voltar ao mercado com dinheiro para comprar exatamente 3 pirulitos mas resolveu comprar picolés. Quantos picolés ele conseguiu comprar? + +b) Se ele tivesse usado o dinheiro de 3 chocolates, 2 picolés e 2 pirulitos para comprar o máximo possível de guloseimas, quantas teria comprado? + +## 16 Mário no mercado-Solução + +a) 15 chocolates custam o mesmo que 10 picolés e o mesmo que 6 pirulitos. Então, 10 picolés valem o mesmo que 6 pirulitos e, consequentemente, 5 picolés o mesmo que 3 pirulitos. Assim, com o dinheiro de 3 pirulitos, Mário consegue comprar 5 picolés. + +b) Pelo item anterior, vimos que a maior quantidade de guloseimas que Mário pode comprar com o mesmo valor é chocolate. Se 2 picolés equivalem a 3 chocolates e 2 pirulitos equivalem a 5 chocolates, então, a quantidade máxima de guloseimas são $3+3+5=11$ chocolates. + +## 17 Marta e os números + +Marta escolheu um número de 3 algarismos diferentes não nulos e o multiplicou por 3. O resultado encontrado foi um número de 3 algarismos iguais ao algarismo da dezena do número escolhido. Que número Marta escolheu? + +## 17 Marta e os números - Solução + +Seja o número escolhido $a b c$. Temos, então, que: + +| $a b c$ | +| ---: | +| $a b c$ | +| $+\quad b \quad c$ | +| $b b b$ | + +Vamos analisar caso a caso: Se $c=1$, então $b=3$, o que não é possível pois a dezena do resultado deveria ser 9; se $c=2$, então $b=6$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 8 ; se $c=3$, então $b=9$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 7; se $c=4$, então $b=2$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria +ser 7; se $c=5$, então $b=5$, o que não é possível, pois os algarismos devem ser diferentes; se $c=6$, então $b=8$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 5 ; se $c=7$, então $b=1$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 5; se $c=8$, então $b=4$ e, consequentemente, $a=1$; se $c=9$, então $b=7$, o que não é possível, pois a dezena do resultado deveria ser 3. Portanto, o número escolhido por Marta foi 148. + +## 18 A sequência de Jonas + +Jonas escreveu uma sequência com os múltiplos positivos de 13 em ordem crescente. + +## $1326395265 \ldots$ + +a) Qual o $2.019^{\circ}$ algarismo da sequência de Jonas? + +b) O número 2.019 aparecerá nesta sequência? + +## 18 A sequência de Jonas - Solução + +a) São 7 múltiplos de 13 com 2 algarismos (14 algarismos); com 3 algarismos, são 69 múltiplos de $13(3 \cdot 69=207$ algarismos). Já são $14+207=221$ algarismos, então faltam $2.019-221=1.798$. Dividindo 1.798 por 4 , obtemos 449 e resto 2 , ou seja, o primeiro múltiplo de 13 com 4 algarismos é $13 \cdot 77=1001$, então $13(449+76)=6.825$. Como o resto da divisão é 2 e o próximo múltiplo é 6.838 , então o $2.019^{\circ}$ algarismo é 8 . + +b) Sim. Dividindo 20.190 por 13, encontramos quociente 1.553 e resto 1 , então 20.189 e 20.202 são múltiplos de 13, que significa que não existe um múltiplo de 13 entre 20.190 e 20.199. Mas, dividindo 201.900 por 13 encontramos quociente 15.530 e resto 10, então 201.903 é múltiplo de 13 e, consequentemente, 2.019 aparece na sequência. + +## 19 Escola 2.019 + +Uma escola tem 2.019 alunos. No final do ano, cada aluno recebeu um cartão com um número de 1 a 2.019. Os alunos receberam estes números em ordem alfabética: Abiel recebeu o cartão com o número 1; Adriana recebeu o cartão com o número 2; e assim por diante até Ziraldo, que recebeu o número 2.019. + +a) Qual a soma dos números dos cartões dos alunos cuja inicial é F, se o primeiro deles, Fábio, tem o 219 e o último, Fuzano, tem o 271? + +b) Escolhendo-se aleatoriamente 3 alunos e somando os números dos seus cartões, quantas são as possíveis somas? +c) Quantos alunos pegaram um cartão com um número cuja quantidade de divisores positivos é ímpar? + +## 19 Escola 2019 - Solução + +a) Se o primeiro número da sequência é 219 e o último é 271 , então são $271-218=53$ números e sua soma é $\frac{(219+271) \cdot 53}{2}=12.985$. + +b) A menor soma é $1+2+3=6$ e a maior é $2.017+2.018+2.019=6.054$. Portanto, são $6.054-5=6.049$ somas ao todo. + +c) Os números com quantidade ímpar de divisores positivos são os quadrados perfeitos, sendo o maior deles $44^{2}=1.936$, ou seja, 44 alunos pegaram cartão contendo número com quantidade ímpar de divisores positivos. + +## 20 O tabuleiro do Chaves + +Chaves pegou um tabuleiro e começou a escrever os números naturais positivos em suas casas seguindo uma sequência lógica, conforme a figura. + +| 1 | 2 | 9 | 10 | 25 | $\cdots$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 3 | 8 | 11 | 24 | $\cdots$ | +| 5 | 6 | 7 | 12 | 23 | $\cdots$ | +| 16 | 15 | 14 | 13 | 22 | $\cdots$ | +| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | $\cdots$ | +| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | | + +a) Qual a linha do número 2.019? + +b) Se o tabuleiro for $10 \times 10$, ou seja, for até o número 100 apenas, qual a soma dos números da $1 \underline{a}$ linha? + +c) Se o tabuleiro for $n \times n$, qual o último número da diagonal $(1,3,7,13, \ldots)$ ? + +## 20 O tabuleiro do Chaves -Solução + +a) Na $1 \underline{a}$ linha (horizontal), temos os quadrados dos naturais ímpares $\left(1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, \ldots\right)$ na $1^{a}$, $3^{a}, 5^{a}$, ... , casas e na $2^{a}, 4^{a}, 6^{-a}, \ldots$, casas temos os sucessores dos refidos quadrados $\left(1^{2}+1,3^{2}+1,5^{2}+1, \ldots\right)$. Já na $1 \underline{a}$ coluna (vertical), temos na $2 \underline{a}, 4^{\underline{a}}, 6 \underline{a}, \ldots$, casas os quadrados dos naturais positivos pares e na $3 \stackrel{a}{a}, 5 \underline{a}, 7 \underline{a}, \ldots$, casas os sucessores destes quadrados. Como $45^{2}=2.025$ está na $1 \underline{a}$ linha, então 2.019 está na $7 \underline{a}$ linha ( $2.025-$ $2.018=7$ ). + +b) Temos: + +$$ +1+2+9+10+25+26+49+50+81+82=335 +$$ + +c) Como o tabuleiro é quadrado, o último número escrito, $n^{2}$, será o último número da $1 \underline{a}$ linha ou da $1 \underline{a}$ coluna, dependendo da paridade de $n$. Basta agora "voltarmos" pelo caminho da sequência, até chegarmos ao último número da diagonal, sendo que, para isto, precisamos apenas subtrair de $n^{2}$ o número $n-1$, ou seja, o último número da diagonal é $n^{2}-(n-1)$. + +## 21 Linhas no tabuleiro + +O tabuleiro com 15 quadradinhos a seguir é formado com 4 linhas horizontais e 6 linhas verticais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-20.jpg?height=209&width=309&top_left_y=1709&top_left_x=755) + +Qual o número máximo de quadradinhos que podemos obter em um tabuleiro usando 21 linhas? + +## 21 Linhas no tabuleiro-Solução + +Para cada maneira de escrever 21 como soma do número de linhas e colunas, podemos encontrar o número de quadradinhos formados subtraindo uma unidade de cada uma dessas quantidades e multiplicá-las. Por exemplo, se escrevermos $21=5+16$, o número de quadradinhos formados será $(5-1)(16-1)=60$. Podemos listar todas as decomposições +$21=l+c$, onde $l$ é a quantidade de linhas e $c$ a de colunas, e contar para cada uma a quantidade de quadradinhos $q$ : + +| $l$ | $c$ | $q$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2 | 19 | 18 | +| 3 | 18 | 34 | +| 4 | 17 | 48 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| 10 | 11 | 90 | +| 11 | 10 | 90 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| 19 | 2 | 18 | + +Portanto, maior quantidade de quadradinhos possível é 90 . + +## 22 Porcentagem da área + +Na figura a seguir, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual a porcentagem que a região pintada cobre do quadrado maior? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e67c0440f1fa8bc62cdcg-21.jpg?height=219&width=217&top_left_y=1482&top_left_x=994) + +## 22 Porcentagem da área - Solução + +A figura total possui 16 quadradinhos e a região pintada corresponde a área de 3 deles. Portanto, a porcentagem de área pintada é + +$$ +\frac{3}{16}=\frac{18,75}{100}=18,75 \% +$$ + +## 23 Quadrado mágico I + +Em um quadrado mágico, a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. No quadrado mágico abaixo, quanto vale $a+b+c$ ? + +| 16 | 2 | $a$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $c$ | 10 | $d$ | +| $b$ | $e$ | 4 | + +## 23 Quadrado mágico I - Solução + +A soma comum às linhas, colunas e diagonais é $16+10+4=30$. Analisando as somas das linhas e colunas, temos: + +I) De $2+10+e=30$, segue que $e=18$. + +II) De $b+e+4=30$, segue que $b=8$. + +III) De $16+c+b=30$, segue que $c=6$. + +IV) De $16+2+a=30$, segue que $a=12$. + +Portanto, $a+b+c=26$. + +## 24 O show de mágica + +Em um show de mágica, um mágico apresenta um baralho com 29 cartas, que estão numeradas de 1 a 29, e pede que um membro da plateia escolha duas delas. Em seguida, um assistente de palco do mágico escolhe duas cartas das 27 restantes e pede que um outro membro da plateia as leve para um segundo mágico que se encontra em outra sala. As duas cartas são apresentadas ao segundo mágico em uma ordem arbitrária. A partir de uma estratégia feita entre os mágicos e o assistente antes do show, o segundo mágico é sempre capaz de descobrir as duas cartas escolhidas pelo membro da plateia apenas olhando as cartas que ele recebe. Explique como eles podem fazer isso. + +## 24 O show de mágica - Solução + +Uma possível estratégia é combinar antes do show um código entre os mágicos e o assistente. Para iniciar a transmissão da informação das cartas em código, eles devem considerar os 29 números escritos em um círculo, como se fossem as horas de um relógio, de modo que 1 e 29 sejam vizinhos. Se um membro da plateia escolher dois números consecutivos, digamos 7 e 8, o assistente deve escolher os próximos dois números consecutivos nesse círculo imaginário, a saber, 9 e 10. Se o membro da plateia escolher dois números que não são consecutivos, digamos $4 \mathrm{e} 11$, o assistente deve escolher os sucessores deles no círculo, que são 5 e 12. Exemplifiquemos como funciona a descoberta das cartas por meio desse código. Se por um lado o segundo mágico receber dois números consecutivos, digamos 2 e 3, ele sabe que o membro da plateia escolheu 29 e 1 . Por outro lado, se ele receber dois números não consecutivos, como 6 e 19, ele sabe que o membro da plateia escolheu 5 e 18. + +## 25 Sopa da vovó + +Vovó fez uma sopa para que seus 5 netos a dividissem igualmente. Ângela e Daniela chegaram, dividiram a sopa igualmente em 5 pratos, tomaram cada uma a sua parte, devolveram o que sobrou na panela para não esfriar e foram brincar no parque. Laura, quando chegou, achou que era a primeira e dividiu a sopa em 5 pratos iguais, tomou um deles e devolveu o restante na panela. João, quando chegou, achou que apenas Laura havia tomado sua parte, dividiu-a em 4 pratos, tomou sua a parte e foi dormir. Quando Toni chegou, sabia que era o último e tomou todo o restante da sopa. + +a) Que fração da sopa Laura tomou? + +b) Quem foi que tomou mais sopa? + +c) Se a sopa fosse dividida em potes de $100 \mathrm{ml}$, todos teriam tomado uma quantidade inteira de potes. Qual a menor quantidade possível de sopa que havia na panela? + +## 25 Sopa da vovó-Solução + +a) Ângela e Daniela tomaram $\frac{1}{5}$ cada, deixando $\frac{3}{5}$ da sopa na panela. Laura dividiu os $\frac{3}{5}$ restantes em 5 partes, tomando 1 parte, ou seja, $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{25}$. + +b) Continuando o item anterior, restou, após a passagem de Laura, $\frac{3}{5}-\frac{3}{25}=\frac{15-3}{25}=\frac{12}{25}$ da sopa. João dividiu essa fração em 4 partes, ou seja, tomou $\frac{1}{4} \cdot \frac{12}{25}=\frac{3}{25}$, deixando $\frac{12}{25}-\frac{3}{25}=\frac{9}{25}$, que foi a fração que Toni tomou. Portanto, Toni foi o que tomou mais sopa. + +c) Seriam 25 potes, ou seja, 2,5 litros. + +## 26 Ingressos para o parque + +Para entrar em um parque, um grupo com dois homens, quatro mulheres e duas crianças pagou 226 reais, enquanto que um grupo com três homens, três mulheres e uma criança pagou 207 reais. + +a) Quanto pagaria um grupo com 8 homens, 10 mulheres e 4 crianças para entrar no parque? + +b) Se os valores dos ingressos são todos números naturais, quantos são os possíveis preços para os ingressos? + +## 26 Ingressos para o parque - Solução + +a) Seja $h$ o preço do ingresso para homens, $m$ o preço do ingresso para mulheres e $c$ o preço do ingresso para crianças. Organizando as informações, temos: + +$$ +\left\{\begin{aligned} +2 h+4 m+2 c & =226 \\ +3 h+3 m+c & =207 +\end{aligned}\right. +$$ + +Um grupo com 8 homens, 10 mulheres e 4 crianças é o mesmo que um grupo do tipo (I) mais dois grupos do tipo (II), ou seja, pagaria $226+2 \cdot 207=640$ reais. + +b) Fazendo 2(II) - (I), obtemos a equação $4 h+2 m=188$, donde $m=94-2 h$, que, substituindo em (II), chegamos a $c=3 h-75$. A solução para o sistema pode ser escrita como $\{(h, m, c)\}=\{h, 94-2 h, 3 h-75\}$. Como $m=94-2 h>0$, segue que $h<47$ e, analogamente, $c=3 h-75>0$, donde $h>25$. Sendo assim, $253$ não existe número TOP. + +Sendo assim, o total de números TOP que começam com 9 é $1+55+55+1=112$. + +## 3 Ofloco de neve + +Cada um dos números de 1 a 13 está escrito em um dos círculos do floco de neve da figura a seguir, de modo que as somas dos 5 números em cada linha e a soma dos 7 números no centro da figura sejam todas iguais. Encontre essa soma dado que ela é a menor possível dentre as que satisfazem essas condições. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-03.jpg?height=555&width=619&top_left_y=624&top_left_x=798) + +## 3 O floco de neve-Solução + +Sejam $s$ o valor da soma em cada linha e $a$ o valor escrito no círculo central. Então, + +$$ +3 s=(1+2+\ldots+13)+2 a=91+2 a +$$ + +consequentemente $s=\frac{91+2 a}{3} \geq \frac{93}{3}=31$. Para verificar que esse valor é possível, considere a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-03.jpg?height=555&width=622&top_left_y=1771&top_left_x=794) + +## 4 Quadrado de triângulos e triângulo + +Na figura a seguir, temos um quadrado dividido em dois triângulos congruentes e um triângulo retângulo cujo cateto maior tem a mesma medida do lado do quadrado e o cateto menor tem a metade da medida do lado do quadrado. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-04.jpg?height=310&width=596&top_left_y=590&top_left_x=612) + +Se a área do quadrado é $4 k$, determine: + +a) A área em cinza claro da figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-04.jpg?height=386&width=389&top_left_y=1264&top_left_x=736) + +b) A área em cinza escuro da figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-04.jpg?height=388&width=391&top_left_y=1979&top_left_x=738) + +## 4 Quadrado de triângulos e triângulo - Solução + +a) A área cinza claro é a metade da área do quadrado $(2 k)$ menos a área do triângulo, que é a quarta parte da área do quadrado, ou seja, $k$. Portanto, a área cinza claro é $2 k-k=k$. + +b) Prolongando um lado do quadrado e a hipotenusa do triângulo, conforme a figura, vamos marcar os pontos $A, B, C, D$ e $E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-05.jpg?height=748&width=441&top_left_y=800&top_left_x=911) + +Os triângulos $\triangle A B E$ e $\triangle C D E$ são semelhantes de razão 4 e, consequentemente, a razão das áreas é 16. Além disso, $\frac{E B}{E D}=4$ (razão), o que implica que a razão entre as áreas dos triângulos $\triangle B C E$ e $\triangle C D E$ é 4 . Se a área do $\triangle C D E$ é igual a $x$, a área do $\triangle B C E$ é igual a $4 x$. Como a área do $\triangle A B C$ é igual à área do quadrado ( $4 k$ ), temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A_{A B E}}{A_{C D E}} & =16 \\ +\frac{A_{A B C}-A_{B C E}}{A_{C D E}} & =16 \\ +\frac{4 k-4 x}{x} & =16 \\ +16 x & =4 k-4 x \\ +20 x & =4 k \\ +x & =\frac{k}{5} +\end{aligned} +$$ + +## 5 Inteiros no quadro + +Inicialmente, o número 1 e dois números positivos $x$ e $y$ estão escritos em um quadro negro. Em cada movimento, um jogador pode escolher dois números sobre o quadro, não necessariamente distintos, e escrever a sua soma ou a sua diferença no quadro. Também podemos escolher um número não nulo no quadro e escrever o seu inverso. Após um número finito de movimentos, descreva como podemos obter os seguintes números: + +a) $x^{2}$. + +b) $x y$. + +## 5 Inteiros no quadro-Solução + +a) Se $x=1$ não há o que fazer. Suponhamos então que $x \neq 1$. Primeiramente, escreva $x+1$ e $x-1$. Usando o movimento do inverso, podemos escrever $\frac{1}{x+1} \mathrm{e} \frac{1}{x-1}$. Em seguida, podemos escrever a diferença desses dois números: $\frac{2}{x^{2}-1}$. O inverso desse último número é $p=\frac{x^{2}-1}{2}$. Calculando $p+p$ encontramos $x^{2}-1$. Finalmente, basta adicionar 1 para obter $x^{2}-1+1=x^{2}$. + +b) Primeiramente, escreva $x+y$. Pelo item anterior, podemos escrever $(x+y)^{2}, x^{2}$ e $y^{2}$. Em seguida, com dois movimentos, podemos escrever $(x+y)^{2}-x^{2} \mathrm{e}(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}=$ $2 x y$. Também podemos escrever o inverso desse último número: $q=\frac{1}{2 x y}$. Finalmente, podemos escrever $q+q=\frac{1}{x y}$ e o seu inverso $x y$. + +## 6 Paralelepipedo de cubinhos + +Um paralelepípedo deve ser construído com a sobreposição de cubinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de medida de aresta, sendo seu comprimento composto por $n$ cubinhos, sua largura, por $p$ cubinhos e sua altura por $q$ cubinhos. + +a) Qual o volume do paralelepípedo? + +b) Pintando as faces do paralelepípedo de vermelho, quantos cubinhos terão apenas uma de suas faces pintada de vermelho? + +c) Tomando um paralelepípedo, como o do enunciado, de forma que $n=p=q$. Se aumentarmos cada uma de suas dimensões em $a$, sendo $a$ um número natural, o novo cubo passa a ter 98 cubinhos a mais que o cubo inicial. Quais os valores de $n$ e $a$ ? + +## 6 Paralelepípedo de cubinhos - Solução + +a) $V=n p q$. + +b) Nas faces $n \times p$, apenas os cubinhos que não estão nas laterais terão apenas uma face pintada de vermelho, ou seja, são $2 \cdot(n-2) \cdot(p-2)$ cubinhos. De forma análoga, nas faces $n \times q$, serão $2 \cdot(n-2) \cdot(q-2)$ e nas faces $p \times q$ são $2 \cdot(p-2) \cdot(q-2)$. Portanto, são $2[(p-2)(q-2)+(n-2)(p-2)+(n-2)(q-2)]$ cubinhos com apenas uma face vermelha. + +c) Temos um cubo de aresta $n$, ou seja, formado de $n^{3}$ cubinhos. O novo cubo terá $(n+a)^{3}$ cubinhos, que equivale a 98 cubinhos a mais. Assim: + +$$ +\begin{aligned} +(n+a)^{3}-n^{3} & =98 \\ +3 n^{2} a+3 n a^{2}+a^{3} & =98 \\ +a\left(3 n^{2}+3 n a+a^{2}\right) & =2 \cdot 7^{2} +\end{aligned} +$$ + +Como $a$ é um número natural, os possíveis valores de $a$ pertencem ao conjunto $\{1,2,7,14,49,98\}$. Vamos analisar cada caso: + +I) Se $a=1$, então $3 n^{2}+3 n=97$, mas não teríamos $n \in \mathbb{N}$. + +II) Se $a=2$, então $3 n^{2}+6 n=45$, donde $n=3$. + +III) Para $a=7$, $a=14$, $a=49$ ou $a=98$, não teríamos $n \in \mathbb{N}$. + +Portanto, $a=2$ e $n=3$. + +## 7 Acerte o alvo + +A figura abaixo indica um alvo em uma parede que está fixo e não pode ser rotacionado. Ele está dividido em 10 partes, divididas em um círculo central, um anel menor e um anel maior (externo). Devemos distribuir os números de 1 a 10, um em cada parte, que serão correspondentes às pontuações obtidas ao acertar cada parte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-07.jpg?height=497&width=510&top_left_y=1940&top_left_x=845) +a) De quantas maneiras podemos distribuir os números nas partes do alvo? + +b) De quantas maneiras podemos distribuir os números de forma que números mais próximos do centro não possam ser menores que números mais distantes do centro? + +c) De quantas maneiras podemos distribuir os números de maneira que a soma dos números no anel externo seja igual à soma dos números do anel menor? + +## 7 Acerte o alvo-Solução + +a) Como são 10 partes e 10 números, o total de possibilidades é + +$$ +10!=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 1=3.628 .800 +$$ + +b) No círculo central deve ser o 10 (apenas uma possibilidade); no anel menor, devem ser os números 7 , 8 e 9 para 3 partes $(3 \cdot 2 \cdot 1=6$ possibilidades); no anel externo são os 6 números restantes para 6 partes $(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720$ possibilidades). Portanto, o total de maneiras para esta distribuição é $1 \cdot 6 \cdot 720=4.320$. + +c) A soma de todos os números é $1+2+3+\ldots+10=55$ (ímpar). Como a soma dos anéis menor e externo deve ser a mesma, os dois juntos devem resultar em um número par e, consequentemente, no círculo central deve conter um número ímpar. Vamos analisar cada caso: +I) 1 no círculo central (soma de cada anel igual a 27): no anel menor devemos ter 10,9 e $8(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=4.320$ possibilidades $)$; + +II) 3 no círculo central (soma de cada anel igual a 26): no anel menor devemos ter 10,9 e $7(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=4.320$ possibilidades); + +III) 5 no círculo central (soma de cada anel igual a 25): no anel menor devemos ter 10,9 e 6 ou 10 , 8 e 7 ( $2 \cdot 4.320=8640$ possibilidades); + +IV) 7 no círculo central (soma de cada anel igual a 24): no anel menor devemos ter 10,9 e 5 ou 10 , 8 e $6(2 \cdot 4.320=8640$ possibilidades $)$; +V) 9 no círculo central (soma de cada anel igual a 23): no anel menor devemos ter 10,8 e 5 ou 10,7 e $6(2 \cdot 4.320=8640$ possibilidades $)$. + +Portanto, são $8 \cdot 4320=34560$ possibilidades ao todo. + +## 8 A reta secante + +O segmento $A B$ de comprimento $16 \mathrm{~cm}$ é diâmetro de um círculo de centro $O$. Uma reta secante corta o círculo em $C$ e $D$ e a reta $A B$ em $P$, como indica a figura a seguir. Se $O D=D P$ e $\angle A P C=18^{\circ}$, qualo valor do ângulo $\angle A O C$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-09.jpg?height=421&width=600&top_left_y=572&top_left_x=802) + +## 8 A reta secante - Solução + +Como $O D=D P$, segue que $\angle D O P=\angle O P D=18^{\circ}$. Pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que $\angle O D C=2 \cdot 18^{\circ}=36^{\circ}$. O triângulo $C O D$ é isósceles, pois $C O$ e $O D$ são raios do círculo. Assim, $\angle O C D=\angle C D O=36^{\circ}$. Novamente, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que $\angle C O A=\angle O C P+\angle C P O=54^{\circ}$. + +## 9 Jogo da prateleira + +A figura abaixo representa uma estante com duas prateleiras com cinco pilhas de livros, sendo três delas com dois livros e duas delas com apenas um livro. Alice e Luiz inventaram um jogo no qual cada um deles, alternadamente, retira um ou dois livros de uma das pilhas de livros. Vence aquele que tirar o último livro. Alice começa o desafio. Qual deles tem uma estratégia vencedora, quaisquer que sejam as jogadas do adversário? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-09.jpg?height=486&width=793&top_left_y=1962&top_left_x=711) + +## 9 Jogo da prateleira - Solução + +Aquele que deixar duas pilhas com 1 livro cada para o adversário jogar, vence o jogo. Para conseguir isso, basta Alice tirar, em seu primeiro lance, uma pilha com 2 livros. Após isso, Luiz terá 3 opções, que são: + +I) Tirar uma pilha com 2 livros: basta Alice tirar a outra pilha com 2 livros que chegará à posição vencedora citada no início da solução. + +II) Tirar uma pilha com apenas 1 livro: basta Alice tirar a outra pilha com 1 livro apenas, deixando duas pilhas com 2 livros cada, que ela vence no próximo lance ou chega à posição vencedora do início da solução. + +III) Tirar 1 livro de uma pilha com 2 livros: basta Alice tirar 1 livro da pilha com 2 que restarão 4 pilhas com 1 livro e Alice chegará à posição vencedora do início da solução no próximo lance. Portanto, Alice tem a estratégia vencedora. + +Outra maneira é passar as quantidades das pilhas para notação binária: 10, 10, 10, 1, 1. Quando Alice for jogar, basta ela tirar uma quantidade que, somando os valores restantes, obtenha-se um resultado apenas com números pares, por exemplo, em seu primeiro lance, se ela tirar uma pilha com 2 livros, a soma dos valores restantes será $10+10+1+1=22$. Fazendo isso, em todos os seus lances ela conseguirá chegar à posição vencedora. + +## 10 Supercortador de grama + +Uma máquina de cortar grama mais eficiente está sendo desenvolvida. Para isso, em um vértice de um quadrado de grama, de lado $m$, prende-se a ponta de uma haste metálica de comprimento $p$ e na outra ponta da haste prende-se um triângulo equilátero, por um de seus vértices, de lado $l$, sendo $p+l4021 d \\ +& \geq 12063 +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, o valor mínimo da soma é obtido com $d=2$ e nesse caso $x+y=8044$. + +## 28 O número de dígitos + +Seja $m=999 \ldots 99$ o número formado por 77 dígitos iguais a 9 e seja $n=777 \ldots 77$ o número formado por 99 dígitos iguais a 7. Qual o número de dígitos de $m \cdot n$ ? + +## 28 O número de dígitos - Solução + +Como $m+1=10^{77}$, perceba que: + +$$ +\begin{aligned} +m \cdot n & =(m+1) \cdot n-n \\ +& =\underbrace{777 \ldots 77}_{99} \underbrace{000 \ldots 00}_{77}-\underbrace{777 \ldots 77}_{99} . +\end{aligned} +$$ + +Como $\underbrace{777 \ldots 77}_{99} \underbrace{000 \ldots 00}_{77}$ possui $99+77$ dígitos e $\underbrace{777 \ldots 77}_{99}$ é menor que $\underbrace{777 \ldots 77}_{175}$, o resultado da subtração anterior ainda terá 176 dígitos. + +## 29 A folha de papel dobrada + +Uma folha de papel com lados de comprimentos $1 \mathrm{~cm}$ e $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$ foi dobrada, como mostrado na figura abaixo, de modo que um vértice fique sobre o lado oposto. Qual o valor do comprimento $d$ em centímetros? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-29.jpg?height=386&width=449&top_left_y=854&top_left_x=883) + +## 29 A folha de papel dobrada - Solução + +Desdobrando a folha de papel, obtemos o retângulo $B C D F$. Daí $B C=D F=D E$ e $A F=$ $A E=x \mathrm{~cm}$. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $C D E$, temos + +$$ +C E=\sqrt{D E^{2}-C D^{2}}=\sqrt{2-1}=1 +$$ + +Consequentemente, $B E=(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}$ e o triângulo $C E D$ é retângulo isósceles. Como $\angle A E D=90^{\circ}$, isso nos leva a $\angle B E A=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$. Daí, $A B E$ também é um triângulo retângulo isósceles e $d=B E=(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-29.jpg?height=380&width=452&top_left_y=1999&top_left_x=879) + +Observação: Como $C D=B F=1 \mathrm{~cm}$, podemos concluir que $x=(1-d) \mathrm{cm}$. Novamente usando o Teorema de Pitágoras, dessa vez no triângulo $A B E$, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +A B^{2}+B E^{2} & =A E^{2} \\ +d^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2} & =(1-d)^{2} \\ +d^{2}+2-2 \sqrt{2}+1 & =1-2 d+d^{2} \\ +d & =\sqrt{2}-1 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## 30 O triângulo dobrado + +Na figura a seguir, $A B C$ é um triângulo equilátero de papel com lado $1 \mathrm{~m}$ que foi dobrado ao longo do segmento $E F$ de modo que o vértice $A$ caísse sobre o lado $B C$, onde está o ponto $D$ na figura. Suponha que $D F$ é perpendicular a $B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-30.jpg?height=507&width=561&top_left_y=1100&top_left_x=629) + +a) Determine o ângulo $\angle A E D$. + +b) Determine o comprimento do segmento $C D$. + +c) Determine a razão entre as áreas dos triângulos $A E F$ e $A B C$. + +## 30 O triângulo dobrado - Solução + +a) Como $\angle F D C=90^{\circ}$, segue que $\angle D F C=30^{\circ}$ e $\angle A F D=180^{\circ}-\angle D F C=150^{\circ}$. A dobradura ao longo de $E F$ nos diz que os triângulos $A E F$ e $D E F$ são congruentes. Daí $\angle A F E=\angle E F D=\frac{150^{\circ}}{2}=75^{\circ}$ e $\angle A E F=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$. Consequentemente, $\angle A E D=2 \cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$. +b) Seja $x$ o comprimento de $C D$, então $\frac{C D}{C F}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=1 / 2 \mathrm{e}$ assim $C F=2 x$. Além disso, $\frac{D F}{C F}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Logo, $A F=D F=\sqrt{3} x$. Finalmente, $1=A F+F C=\sqrt{3} x+2 x$ implica $x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3}) \mathrm{m}$. + +c) Como $\angle E A F=\angle E D F=60^{\circ}$, segue que $\angle E D B=30^{\circ}$. Além disso, $\angle B E D=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ e $B D=1-C D=\sqrt{3}-1$. Portanto, de $\frac{B E}{B D}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, temos $B E=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ e $A E=1-B E=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$. Assim + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A_{A E F}}{A_{A B C}} & =\frac{\frac{A E \cdot A F \cdot \operatorname{sen} \angle E A F}{2}}{\frac{A B \cdot A C \cdot \operatorname{sen} \angle E A F}{2}} \\ +& =\frac{(3-\sqrt{3}) \cdot(2 \sqrt{3}-3)}{2} \\ +& =\frac{9 \sqrt{3}-15}{2} +\end{aligned} +$$ + +## 31 Ângulo no quadrado + +Na figura abaixo, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual o valor do ângulo $\angle A E F$ ? Justifique. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-31.jpg?height=391&width=343&top_left_y=1901&top_left_x=931) + +## 31 Ângulo no quadrado-Solução + +Marque os pontos $G$ e $H$ como indicados na figura. Os triângulos $E F G$ e $A E H$ correspondem a metade de um retângulo $1 \times 3$ e consequentemente $\angle F E G=\angle E A H$ e $\angle E F G=$ $\angle A E H$. Como esses triângulos são retângulos, temos $\angle E A H+\angle A E H=90^{\circ}$. Assim + +$$ +\begin{aligned} +\angle A E F & =180^{\circ}-(\angle A E H+\angle F E G) \\ +& =180^{\circ}-90^{\circ} \\ +& =90^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a50b5476db779c3986d5g-32.jpg?height=383&width=331&top_left_y=826&top_left_x=736) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.md b/Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..54b8a3683fd9acf3bc7935de82eda05053fdf6e4 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.md @@ -0,0 +1,1555 @@ +# 1 A fração da área + +Na figura a seguir, $A B C$ é um triângulo equilátero, $D, E$ e $F$ são seus pontos médios e $P$ é o seu centro. Qual a fração que a área sombreada representa do total do triângulo $A B C$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-01.jpg?height=397&width=407&top_left_y=1250&top_left_x=904) + +## 1 A fração da área-Solução + +Os pontos $I, G$ e $H$ são as interseções dos segmentos $D E, E F$ e $D F$ com os segmentos $A P$, $B P$ e $C P$. Pela simetria da figura, as áreas dos quadriláteros EIPG, DIPH e $F G P H$ medem o mesmo valor $x \mathrm{~cm}^{2}$. Além disso, pelo mesmo argumento, as áreas dos triângulos $A E I$ e $A D I$ também medem um mesmo valor $y \mathrm{~cm}^{2}$. Os triângulos $A D E, D E F, D B F$ e $C E F$ possuem a mesma área $S \mathrm{~cm}^{2}$ e assim $x=S / 3$ e $y=S / 2$. A fração procurada é + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A_{A E G P}}{A_{A B C}} & =\frac{y+x}{4 S} \\ +& =\frac{S / 2+S / 3}{4 S} \\ +& =\frac{5}{24} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-02.jpg?height=394&width=394&top_left_y=263&top_left_x=712) + +## 2 A soma de frações + +a) Encontre o valor da soma + +$$ +\frac{1}{1+1 / x}+\frac{1}{1+x} +$$ + +b) Encontre o valor da soma + +$$ +\frac{1}{2019^{-2019}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{-1}+1}+\frac{1}{2019^{0}+1}+\frac{1}{2019^{1}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{2019}+1} +$$ + +## 2 A soma de frações - Solução + +a) Temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{1+1 / x}+\frac{1}{1+x} & =\frac{1}{(x+1) / x}+\frac{1}{1+x} \\ +& =\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +b) Em virtude do item anterior, considerando $x=a^{b}$, podemos agrupar as frações $\frac{1}{a^{-b}+1}$ $\mathrm{e} \frac{1}{a^{b}+1}$ em pares que somam 1. Retirando o termo $\frac{1}{2019^{0}+1}=1 / 2$, podemos reescrever a soma dos termos restantes como + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\frac{1}{2019^{-2019}+1}+\frac{1}{2019^{2019}+1}\right)+\left(\frac{1}{2019^{-2018}+1}+\frac{1}{2019^{2018}+1}\right)+ \\ +& \left(\frac{1}{2019^{-2017}+1}+\frac{1}{2019^{2017}+1}\right)+\left(\frac{1}{2019^{-2016}+1}+\frac{1}{2019^{2016}+1}\right)+\ldots +\end{aligned} +$$ + +A soma desses 2019 pares é 2019. Assim, a soma pedida vale $2019+1 / 2=\frac{4039}{2}$. + +## 3 Razões de segmentos + +Na figura abaixo, $D$ é o ponto médio do lado $A B, C E: D E=5: 3 \mathrm{e} B F: E F=1: 3$. Se a área do triângulo $A B C$ é $192 \mathrm{~cm}^{2}$, determine a área do triângulo $B D F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-03.jpg?height=481&width=547&top_left_y=616&top_left_x=826) + +## 3 Razões de segmentos - Solução + +Denote os comprimentos de $B D, B F$ e $D E$ por $x, z$ e $3 y$, respectivamente. Em virtude das proporções dadas, segue que $E F=3 z, C E=5 y$ e $A D=x$. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{A_{B D F}}{A_{B D E}}=\frac{z}{3 z+z} \\ +& \frac{A_{B D E}}{A_{C D B}}=\frac{3 y}{3 y+5 y} \\ +& \frac{A_{C D B}}{A_{A B C}}=\frac{x}{x+x} +\end{aligned} +$$ + +Multiplicando essas equações, temos + +$$ +\frac{A_{B D F}}{A_{A B C}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} +$$ + +Daí, + +$$ +A_{B D F}=\frac{192 \cdot 3}{64}=9 +$$ + +Observação: Estamos denotando a área do triângulo $X Y Z$ por $A_{X Y Z}$. + +## 4 A área sombreada + +Na figura a seguir, os quadrados $A B C D$ e $C E F G$ possuem o mesmo comprimento de lado. Determine a razão entre a área sombreada e a área do quadrado $A B C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-04.jpg?height=577&width=497&top_left_y=502&top_left_x=632) + +## 4 A área sombreada - Solução + +Denote por $l$ o comprimento dos lados dos quadrados. Pelo Teorema de Pitágoras, $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{2} l$. Seja $H$ a interseção de $A D$ e $E F$. Como $C E=l$, segue que $A E=\sqrt{2} l-l=(\sqrt{2}-1) l$. De $\angle D A C=45^{\circ}$ e $\angle A E H=90^{\circ}$, podemos concluir que $A E H$ é um triângulo retângulo isósceles e daí $H E=A E=(\sqrt{2}-1) l$ e $A H=\sqrt{2} \cdot A E=(2-\sqrt{2}) l$. Logo, $D H=l-(2-\sqrt{2}) l=(\sqrt{2}-1) l$ e as áreas dos triângulos $H E C$ e $H D C$ valem: + +$$ +\begin{aligned} +{[C E H] } & =\frac{E H \cdot C E}{2} \\ +& =\frac{(\sqrt{2}-1) l^{2}}{2} \\ +{[C D H] } & =\frac{D H \cdot D C}{2} \\ +& =\frac{(\sqrt{2}-1) l^{2}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Assim, a área sombreada mede $[A B C D]-[C E H]-[C D H]=l^{2}-(\sqrt{2}-1) l^{2}=(2-\sqrt{2}) l^{2}$. Finalmente, o quociente procurado é + +$$ +\frac{[A B C E H]}{[A B C D]}=\frac{(2-\sqrt{2}) l^{2}}{l^{2}}=2-\sqrt{2} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-05.jpg?height=582&width=497&top_left_y=248&top_left_x=843) + +## 5 Uma fatoração diferente + +Os três inteiros positivos $a, b$ e $c$ satisfazem + +$$ +4^{a} \cdot 5^{b} \cdot 6^{c}=8^{8} \cdot 9^{9} \cdot 10^{10} +$$ + +Determine o valor de $a+b+c$. + +## 5 Uma fatoração diferente - Solução + +$$ +\begin{aligned} +4^{a} \cdot 5^{b} \cdot 6^{c} & =8^{8} \cdot 9^{9} \cdot 10^{10} \\ +2^{2 a+c} \cdot 5^{b} \cdot 3^{c} & =2^{24} \cdot 3^{18} \cdot 5^{10} \cdot 2^{10} \\ +2^{2 a+c-34} \cdot 3^{c-18} \cdot 5^{b-10} & =1 +\end{aligned} +$$ + +Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, todos os expoentes do membro esquerdo da última equação são nulos. Daí, $c=18,2 a+c=34 \mathrm{e} b=10$. Substituindo o valor de $c$ na segunda equação, encontramos $a=8$. Portanto, $a+b+c=18+8+10=36$. + +## 6 Ojogo das trocas + +Em um determinado jogo, o número 1 está escrito no quadro. Em qualquer momento, um movimento permitido consiste em trocar o número escrito no quadro pelo seu dobro ou por outro número que possui os mesmos dígitos que ele. Por exemplo, se estiver escrito no quadro o número 137, um movimento permitido consiste em trocá-lo por $137 \cdot 2=274$ ou por 173, 317, 371, 713 ou 731. Determine se após um número finito de operações é possível obtermos os seguintes números: + +a) $10^{3}$. +b) $10^{9}$. + +c) 9876543210 . + +## 6 O jogo das trocas - Solução + +a) Sim, é possível. Após realizar o movimento de multiplicação por 2 nove vezes, podemos trocar o 1 original por $2^{9}=512$. Em seguida, podemos trocá-lo por 125 . Multiplicando-o por 2 três vezes, podemos trocá-lo por $125 \cdot 2^{3}=1000$. + +b) Sim, também é possível. Note que $1000=1 \cdot 10^{3}$. Podemos repetir as operações do item anterior trocando o fator 1 por $10^{3}$ : + +$$ +1 \cdot 10^{3} \rightarrow 512000 \rightarrow 125000 \rightarrow 1000000 . +$$ + +Esse último número pode ser escrito como $1 \cdot 10^{6}$. Novamente, repetindo as operações do primeiro item, podemos obter as seguintes trocas: + +$$ +1 \cdot 10^{6} \rightarrow 512 \cdot 10^{6} \rightarrow 125 \cdot 10^{6} \rightarrow 1000 \cdot 10^{6} +$$ + +Esse último número é igual a $10^{9}$. + +c) Não é possível. Quando um número que não é múltiplo de 3 é multiplicado por 2, ele continua sendo um número que não é múltiplo de 3 . Em virtude do critério de divisibilidade por 3, o mesmo acontece quando permutamos os seus dígitos. Como o número inicial não é divisível por 3, não é possível após algumas das operações descritas trocá-lo por qualquer múltiplo de 3. Como a soma dos dígitos de 987654321 é um múltiplo de 3, é impossível obtê-lo. + +## 7 As áreas dos quadrados + +Na figura a seguir, o quadrado maior possui área de $1 \mathrm{~cm}^{2}$ e o quadrado do meio área $M$. A área do quadrado menor, que possui um vértice sobre um lado do quadrado do meio, é $N$. Qual o valor de $N$ em função de $M$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-07.jpg?height=428&width=426&top_left_y=584&top_left_x=887) + +## 7 As áreas dos quadrados - Solução + +Sejam $A Q=x \mathrm{~cm}, Q R=a \mathrm{~cm}$ e $A G=s \mathrm{~cm}$. Como a área do quadrado maior é $1 \mathrm{~cm}^{2}$, segue que $A D=1 \mathrm{~cm}$. Os triângulos retângulos $A R Q$ e $D Q P$ possuem os mesmos ângulos, pois + +$$ +\begin{aligned} +\angle A Q R & =180^{\circ}-\angle P Q R-\angle D Q P \\ +& =90^{\circ}-\angle D Q P \\ +& =\angle D P Q +\end{aligned} +$$ + +Como $Q R=Q P$, os triângulos $D P Q$ e $A Q R$ são congruentes. Assim, $A R=D Q=1-x$. De $Q F \| A R$, segue que os triângulos $Q G F$ e $Q A R$ são semelhantes e assim + +$$ +\begin{aligned} +\frac{s}{1-x} & =\frac{x-s}{x} \\ +s x & =x-x^{2}-s+s x \\ +s & =x-x^{2} +\end{aligned} +$$ + +Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $Q A R$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +(1-x)^{2}+x^{2} & =a^{2} \\ +1-a^{2} & =2 x-2 x^{2} \\ +1-M & =2 s +\end{aligned} +$$ + +Daí, + +$$ +N=s^{2}=\left(\frac{1-M}{2}\right)^{2} +$$ + +## 8 As somas dos elementos do conjunto + +Um conjunto contém 4 números. As seis somas de dois elementos desse conjunto são 189, 320, 287, 264, $x$ e $y$. Encontre o maior valor possível para $x+y$. + +## 8 As somas dos elementos do conjunto - Solução + +Sejam $a, b, c$ e $d$ os quatro números do conjunto. Temos dois casos a considerar: +I) $x=a+b$ e $y=c+d$ (somas sem parcelas em comum). Então $a+c, a+d, b+c$ e $b+d$ são, em alguma ordem, os números 189, 320, 287 e 264. Adicionando essas quatro somas, obtemos $a+b+c+d=530$. Assim, $x+y=530$. + +II) $x=a+b$ e $y=a+c$ (somas com uma parcela em comum). Nesse caso, $a+d, b+c$, $b+d$ e $c+d$ são, em alguma ordem, os números 189, 320, 287 e 264. Temos a seguinte estimativa: + +$$ +\begin{aligned} +x+y & =2(a+d)+2(b+c)-(b+d)-(c+d) \\ +& \leq 2(320+287)-(264+189) \\ +& =761 +\end{aligned} +$$ + +Esse valor pode ser obtido com o exemplo $(a, b, c, d)=(237,181,106,83)$. + +## 9 O quadrado dentro do triângulo + +No triângulo retângulo isósceles $A O B$, os pontos $P, Q$ e $S$ são escolhidos sobre os lados $O B, O A$ e $A B$, respectivamente, de modo que $P Q R S$ é um quadrado. Se os comprimentos de $O P$ e $O Q$ são $a$ e $b$, respectivamente, e a área do quadrado $P Q R S$ é $2 / 5$ da área do triângulo $A O B$, determine o valor de $a / b$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-09.jpg?height=439&width=429&top_left_y=592&top_left_x=901) + +## 9 O quadrado dentro do triângulo - Solução + +Seja $C$ o pé da perpendicular do ponto $S$ ao segmento $O B$. Os triângulos $S P C$ e $P Q O$ possuem os mesmos ângulos, pois + +$$ +\begin{aligned} +\angle C P S & =\angle 180^{\circ}-\angle S P Q-\angle O P Q \\ +& =90^{\circ}-\angle O P Q \\ +& =\angle P Q O +\end{aligned} +$$ + +Como $P S=P Q$, esses triângulos são congruentes pelo caso A.L.A. Assim $P C=b, C S=a$. Uma vez que $B S C$ é um triângulo retângulo isósceles, obtemos $O B=2 a+b$. Consequentemente, a área do triângulo $A O B$ é $(2 a+b)^{2} / 2$. Pelo Teorema de Pitágoras, a área do quadrado $P Q R S$ é $P Q^{2}=a^{2}+b^{2}$. Daí + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A_{P Q R S}}{A_{O A B}} & =\frac{2}{5} \\ +5\left(a^{2}+b^{2}\right) & =(2 a+b)^{2} \\ +a^{2}+4 b^{2} & =4 a b \\ +(a-2 b)^{2} & =0 +\end{aligned} +$$ + +Assim, $a=2 b$ e a razão procurada é $a / b=2$. + +## 10 As diagonais do trapézio + +Considere o trapézio $A B C D$ de bases $B C$ e $A D$ de modo que $A B=B C=C D=5$ e $A D=10$. Seja $E$ o ponto de interseção das diagonais $A C$ e $B D$. A reta perpendicular a $A C$ traçada por $E$ intersecta o prolongamento de $A B$ em $F$ e a base $A D$ em $H$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-10.jpg?height=553&width=870&top_left_y=289&top_left_x=485) + +a) Determine o comprimento de $A H$. + +b) Determine o comprimento de $A E$. + +c) Encontre a área do quadrilátero $A F C H$. + +## 10 As diagonais do trapézio - Solução + +a) Inicialmente, verificaremos que $A B C D$ é metade de um hexágono regular. Seja $M \mathrm{o}$ ponto médio de $A D$. Como $B C$ e $A M$ são iguais e paralelos, $A B C M$ é um paralelogramo. Além disso, como $A M=A B=B C$, segue que $C M=A B=C D=D M$. Assim, $C D M$ é um triângulo equilátero. De modo semelhante, podemos obter $B M=C M=$ $C D$. Daí os triângulos $A B M, B C M$ e $C D M$ são congruentes e a circunferência de centro $M$ e raio $C M$ passa por $A, B, C$ e $D$. Logo + +$$ +\angle B A D=60^{\circ} \text { e } \angle A B C=180^{\circ}-\angle B A M=120^{\circ} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-10.jpg?height=288&width=576&top_left_y=1791&top_left_x=627) + +De $A B=B C$ segue que $\angle B A C=\angle B C A=\angle C A D$. Assim, $\angle B A C=\angle C A D=30^{\circ}$. Como $F H \perp A E$, temos $\triangle A F H$ equilátero. Além disso, $\angle A C D=\angle D B A=90^{\circ}$. Portanto, $E H \| C D$. Como os triângulos $\triangle B E C$ e $\triangle A E D$ são semelhantes, temos + +$$ +\frac{A H}{H D}=\frac{A E}{E C}=\frac{10}{5}=2 +$$ + +Por conseguinte $H D=10 / 3$ e $A H=20 / 3$. +b) No triângulo retângulo $A E H$, temos + +$$ +A E=A H \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10 \sqrt{3}}{3} +$$ + +c) Como as diagonais de $A F C H$ são perpendiculares, temos $[A F C H]=\frac{A C \cdot F H}{2}$. Pelo Teorema de Pitágoras, segue que + +$$ +A C=\sqrt{A D^{2}-C D^{2}}=\sqrt{100-25}=5 \sqrt{3} +$$ + +Outra forma de obter o comprimento desse segmento é calcular + +$$ +A C=A D \cdot \cos 30^{\circ}=5 \sqrt{3} +$$ + +Daí, + +$$ +\begin{aligned} +A_{A F C H} & =\frac{A C \cdot F H}{2} \\ +& =\frac{A C \cdot A H}{2} \\ +& =\frac{5 \sqrt{3} \cdot 20 / 3}{2} \\ +& =\frac{50 \sqrt{3}}{3} +\end{aligned} +$$ + +## 11 O valor do ângulo $x$ + +No desenho a seguir, $\angle C B G=20^{\circ}, \angle G B E=40^{\circ}, \angle E B F=20^{\circ}, \angle B C F=50^{\circ}$ e $\angle F C E=30^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-11.jpg?height=603&width=703&top_left_y=1776&top_left_x=759) +a) Verifique que $B G=B F$. + +b) Verifique que $F G=E G$. + +c) Encontre o valor da medida do ângulo $x$. + +## 11 O valor do ângulo $x$-Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-12.jpg?height=613&width=727&top_left_y=738&top_left_x=543) + +a) Temos + +$$ +\angle C G B=180^{\circ}-\angle B C G-\angle C B G=80^{\circ}=\angle B C G +$$ + +Portanto, $B C=B G$. Por outro lado, + +$$ +\angle B F C=180^{\circ}-\angle C B F-\angle B C F=50^{\circ}=\angle B C F +$$ + +daí $B C=B F$. Assim, + +$$ +B G=B C=B F +$$ + +b) Como $B G=B F \mathrm{e} \angle G B F=60^{\circ}$, o triângulo $B F G$ é isósceles com ângulos da base dados por + +$$ +\frac{180^{\circ}-\angle G B F}{2}=60^{\circ} +$$ + +Ou seja, $B F G$ é um triângulo equilátero e daí $F G=B G$. Como + +$$ +\angle B G E=180^{\circ}-\angle B G C=100^{\circ} +$$ + +segue que + +$$ +\angle G E B=180^{\circ}-\angle B G E-\angle G B E=40^{\circ} +$$ + +e assim $\triangle B E G$ é isósceles com lado $E G=B G=F G$. +c) Como $\angle F G E=180^{\circ}-\angle B G F-\angle B G C=40^{\circ}$ e $F G=B G=E G$, segue que o triângulo $E F G$ é isósceles com ângulo da base dado por + +$$ +\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ} +$$ + +Assim, $x+40^{\circ}=70^{\circ}$, ou seja, $x=30^{\circ}$. + +## 12 O sistema com fraç̃̃es + +Se $x, y$ e $z$ são números reais positivos $\mathrm{e}$ + +$$ +\frac{x y}{x+y}=a, \frac{x z}{x+z}=b, \text { e } \frac{y z}{y+z}=c +$$ + +a) Verifique que + +$$ +x=\frac{a y}{y-a} +$$ + +b) Verifique que + +$$ +x=\frac{2 a b c}{a c+b c-a b} +$$ + +## 12 O sistema com frações - Solução + +a) Da primeira equação do enunciado, temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{x y}{x+y} & =a \\ +x y & =a x+a y \\ +x(y-a) & =a y \\ +x & =\frac{a y}{y-a} . +\end{aligned} +$$ + +Note que a última divisão por $y-a$ é possível, pois se $y-a=0$ segue que $a y=0$ e isso é ímpossível, dado que $a$ e $x$ são positivos. + +b) De forma semelhante ao item anterior, podemos concluir que + +$$ +x=\frac{z b}{z-b} \text { e } y=\frac{z c}{z-c} +$$ + +Isso nos permite eliminar $y$ na identidade daquele item: + +$$ +\begin{aligned} +x & =\frac{a\left(\frac{z c}{z-c}\right)}{\frac{z c}{z-c}-a} \\ +& =\frac{a z c}{z-c} \cdot \frac{z-c}{z c-a z+a c} \\ +& =\frac{a z c}{z c-a z+a c} +\end{aligned} +$$ + +Podemos escrever $z$ em função de $b$ e $x$ a partir de + +$$ +\begin{aligned} +x & =\frac{z b}{z-b} \\ +z x-b x & =z b \\ +z & =\frac{b x}{x-b} +\end{aligned} +$$ + +Finalmente, podemos escrever + +$$ +\begin{aligned} +x & =\frac{a z c}{z c-a z+a c} \\ +& =\frac{\frac{a b x c}{x-b}}{\frac{b c x}{x-b}-\frac{a b x}{x-b}+\frac{a c(x-b)}{x-b}} \\ +& =\frac{a b c x}{x-b} \cdot \frac{x-b}{b c x-a b x+a c(x-b)} \\ +& =\frac{a b c x}{b c x-a b x+a c(x-b)} +\end{aligned} +$$ + +Ou seja, + +$$ +\begin{aligned} +b c x-a b x+a c(x-b) & =a b c \\ +x(b c-a b+a c) & =2 a b c \\ +x & =\frac{2 a b c}{a c+b c-a b} +\end{aligned} +$$ + +## 13 Quadrado mágico III + +Um quadrado $3 \times 3$ está preenchido com os números $a, b, c, d, e, f, g, h$ e $i$ da seguinte forma: + +| $c$ | $f$ | $i$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $b$ | $e$ | $h$ | +| $a$ | $d$ | $g$ | + +Sabemos que ele é um quadrado mágico, isto é, existe um valor $S$ que é igual as somas dos números em cada linha, coluna e cada uma das duas diagonais. Verifique que: + +a) $2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4 e$. + +b) $S=3 e$. + +c) $a c+c i+a g+g i=e(b+d+f+h)$. + +d) $2\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)=b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}+4 e^{2}$. + +## 13 Quadrado mágico III - Solução + +a) Somando os números das linhas e colunas que não contém o quadradinho central, obtemos: + +$$ +(a+b+c)+(a+d+g)+(c+f+i)+(g+h+i)=4 S +$$ + +Por outro lado, somando a linha e a coluna que contém o quadrado central, temos: + +$$ +2 S=(b+e+h)+(d+e+f) +$$ + +Comparando as duas equações, podemos concluir que + +$$ +(a+b+c)+(a+d+g)+(c+f+i)+(g+h+i)=4 S=2(b+e+h)+2(d+e+f) +$$ + +Finalmente, subtraindo de cada membro o número $(b+d+f+h)$, ficamos com + +$$ +2(a+c+g+i)=b+d+f+h+4 e +$$ + +b) Considerando todas as linhas, colunas e diagonais que contém o quadrado central, temos: + +$$ +a+i=c+g=b+h=d+f=S-e +$$ + +Usando a equação anterior, podemos concluir que + +$$ +\begin{aligned} +2(a+c+g+i) & =b+d+f+h+4 e \\ +2((a+i)+(c+g)) & =(b+h)+(d+f)+4 e \\ +2(S-e+S-e) & =S-e+S-e+4 e +\end{aligned} +$$ + +De $4 S-4 e=2 S+2 e$, obtemos $S=3 e$. + +c) Pelo item anterior, $S-e=2 e$ e daí + +$$ +\begin{aligned} +a c+c i+a g+g i & =(a+i)(c+g) \\ +& =(S-e)(S-e) \\ +& =2 e(S-e) \\ +& =e(2 S-2 e) +\end{aligned} +$$ + +Como $S-e=b+h=d+f$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +b+d+f+h & =(b+h)+(d+f) \\ +& =(S-e)+(S-e) \\ +& =2 S-2 e +\end{aligned} +$$ + +Substituindo essa identidade na relação anterior, chegamos a + +$$ +a c+c i+a g+g i=e(2 S-2 e)=e(b+d+f+h) +$$ + +d) Note agora que $a+c=S-b=h+e, c+i=S-f=d+e, g+i=S-h=b+e$ e $a+g=$ $S-d=f+e$. Daí + +$$ +\begin{aligned} +(a+c)^{2}+(c+i)^{2}+(a+g)^{2}+(g+i)^{2} & =(h+e)^{2}+(d+e)^{2}+(f+e)^{2}+(b+e)^{2} \\ +2\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)+2(a c+c i+a g+g i) & =\left(b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}\right)+2 e(b+d+f+h)+4 e^{2} +\end{aligned} +$$ + +Pelo item anterior, podemos cancelar na última equação os termos $2(a c+c i+a g+g i)$ e $2 e(b+d+f+h)$, obtendo + +$$ +2\left(a^{2}+c^{2}+g^{2}+i^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}+f^{2}+h^{2}\right)+4 e^{2} +$$ + +## 14 A área do quadrilátero + +No quadrilátero $A B C D$, temos: + +$$ +\angle D A B=\angle A B C=\angle B C D=30^{\circ}, A B=4 \mathrm{~cm}, B C=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm} +$$ + +a) Determine o valor do ângulo $\angle D C A$. + +b) Determine o comprimento de $C D$. + +c) Encontre a área do quadrilátero $A B C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-17.jpg?height=363&width=716&top_left_y=860&top_left_x=742) + +## 14 A área do quadrilátero-Solução + +a) Como $\frac{B C}{A B}=\cos 30^{\circ}$ e $\angle A B C=30^{\circ}$ segue que $\angle A C B=90^{\circ}$. Daí, $\angle B A C=60^{\circ}$ e $\frac{A C}{A B}=$ $\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, logo, $A C=\frac{A B}{2}=2 \mathrm{~cm}$. Consequentemente, $\angle D A C=30^{\circ}$ e $\angle D C A=60^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-17.jpg?height=370&width=703&top_left_y=1753&top_left_x=759) + +b) Do item anterior e das relações trigonométricas no triângulo $A D C$, decorre que $\frac{A D}{A C}=$ $\operatorname{sen} 60^{\circ} \mathrm{e} \frac{C D}{A C}=\operatorname{sen} 30^{\circ}$. Portanto, + +$$ +A D=\sqrt{3} \mathrm{~cm} \text { e } C D=1 \mathrm{~cm} +$$ + +c) A área do quadrilátero $A B C D$ é + +$$ +\frac{A C \cdot B C}{2}-\frac{C D \cdot A D}{2}=\frac{2 \cdot 2 \sqrt{3}}{2}-\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} +$$ + +## 15 Os números ao redor do círculo + +Existem 100 números reais distintos arranjados ao redor de um círculo. Verifique que existem quatro números consecutivos ao redor do círculo de modo que a soma dos dois números do meio é estritamente menor que a soma dos outros dois números. + +## 15 Os números ao redor do círculo - Solução + +Seja $a$ o menor número escrito no círculo e sejam $b$ e $c$ seus dois vizinhos, com $bq$. Durante a apuração, é registrado apenas um voto de cada vez em um quadro. Seja $r$ a probabilidade de que o número associado ao candidato $A$ no quadro seja sempre maior que o número associado ao candidato $B$ durante toda a apuração. + +a) Determine o valor de $r$ se $p=3$ e $q=2$. + +b) Determine o valor de $r$ se $p=1010$ e $q=1009$. + +## 16 A eleição-Solução + +a) Podemos fazer listas com as letras $A$ e $B$ representando as possíveis ordens de votos apurados. Por exemplo, a lista $A A B A B$ indica que os dois primeiros e o quarto voto apurados foram para o candidato $A$, o terceiro e o quinto para o candidato $B$. Existem exatamente 10 listas com 3 letras $A$ e duas letras $B$ : + +| A | A | A | B | B | A | A | B | A | B | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| A | B | A | A | B | B | A | A | A | B | +| A | A | B | B | A | A | B | A | B | A . | +| B | A | A | B | A | A | B | B | A | A | +| B | A | B | A | A | B | B | A | A | A | + +Dessas 10 listas, em apenas duas a quantidade de letras $A$ quando contabilizadas da esquerda para a direita é sempre superior a quantidade de letras $B$, a saber, + +## $A A A B B$ e $A A B A B$ + +Portanto, + +$$ +r=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} +$$ + +b) Vamos chamar de empate um momento da apuração em que o número de votos de ambos os candidatos é o mesmo. Para que o candidato $A$ esteja sempre à frente, certamente não podemos ter empates. Qualquer apuração em que o primeiro voto foi para o candidato $B$ terá um empate, pois sabemos que no final o número de votos de $A$ é maior e se não tivermos empate em nenhum momento o candidato $B$ irá ganhar. Para qualquer sequência que começa em $A$ e atinja um empate, associe outra sequência trocando as letras $A$ 's por $B$ 's e vice-versa até a posição de primeiro empate. Por exemplo, na sequência + +$A A A B B A B B A B$. + +Temos empate nas apurações do oitavo e décimo votos. A posição de primeiro empate é a oitava e iremos trocar a sequência anterior por + +$$ +B B B A A B A A A B +$$ + +Com essa operação, perceba que as quantidades de letras $A$ 's e $B$ 's não se alteram e agora a sequência começa com a letra $B$. Com essa operação, para toda sequência que começa $\operatorname{com} B$, que já sabemos possuir empates, podemos associar de modo único outra sequência começada por $A$ com empates, e vice-versa. Assim o número de sequências com empates começando com $A$ é igual ao número de sequências começadas por $B$. Com mais razão, podemos concluir que a probabilidade de uma sequência começar com $A$ e possuir empates é igual à probabilidade de uma sequência começar com $B$. Como existem $q$ letras $B$ em um universo de $p+q$ letras, a probabilidade de uma sequência começar em $B$ é $\frac{q}{p+q}$. Assim, como toda sequência com empates começa com $A$ ou $B$, a probabilidade de escolhermos, dentre as sequências possíveis de $p$ letras $A$ e $q$ letras $B$ uma com empates é $\frac{q}{p+q}+\frac{q}{p+q}=\frac{2 q}{p+q}$. Finalmente, o valor de $r$ é o complementar dessa probabilidade: + +$$ +\begin{aligned} +r & =1-\frac{2 q}{p+q} \\ +& =\frac{p-q}{p+q} \\ +& =\frac{1}{2019} +\end{aligned} +$$ + +Observação: O resultado apresentado nesse problema é conhecido como o Teorema da Eleição de Bertrand, em alusão ao matemático Joseph Louis François Bertrand. + +## 17 As frações irredutiveis + +Os denominadores de duas frações irredutíveis são 600 e 700. Qual é o menor valor possível do denominador de sua soma quando escrita como uma fração irredutível? + +Observação: Dizemos que a fração $p / q$ é irredutível se os inteiros $p$ e $q$ não possuem fatores primos em comum em suas fatorações. Por exemplo, 5/7 é uma fração irredutível. + +## 17 As frações irredutiveis - Solução + +Sejam $a / 600$ e $b / 700$ as duas frações irredutíveis. Assim, $m d c(a, 600)=m d c(b, 700)=1$. A soma das duas frações pode ser escrita como + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a}{600}+\frac{b}{700} & =\frac{7 a+6 b}{6 \cdot 7 \cdot 100} \\ +& =\frac{7 a+6 b}{3 \cdot 7 \cdot 2^{3} \cdot 5^{2}} +\end{aligned} +$$ + +Como $a$ e $b$ são ímpares, $7 a+6 b$ é ímpar e assim não possui o fator primo 2 em sua fatoração. Como 7 não divide $b$, segue que a soma $7 a+6 b$ também não possui o fator primo 7 em sua fatoração. De modo semelhante, como 3 não divide $a$, podemos concluir que esse fator não está presente na fatoração de $7 a+6 b$. Assim, apenas o fator primo 5 pode ser comum ao numerador e ao denominador da soma e por conseguinte o denominador será pelo menos $3 \cdot 7 \cdot 2^{3}$. Para verificar que ele é admissível, basta encontrarmos $a$ e $b$ tais que 25 seja um divisor de $7 a+6 b$. Isso pode ser obtido $\operatorname{com} a=1 \mathrm{e} b=3$, por exemplo, + +$$ +\frac{1}{600}+\frac{3}{700}=\frac{1}{168} +$$ + +## 18 Tabuleiro com algarismos 0 e 1 + +De quantas maneiras podemos colocar 8 algarismos iguais a 1 e 8 algarismos iguais a $0 \mathrm{em}$ um tabuleiro $4 \times 4$ de modo que as somas dos números escritos em cada linha e coluna sejam as mesmas? + +| 1 | 0 | 1 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | 1 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | 1 | + +## 18 Tabuleiro com algarismos 0 e 1 - Solução + +Como a soma dos números de todas as casas do tabuleiro é 8, a soma dos números em cada linha e coluna é $8 / 4=2$. Ou seja, em cada linha e coluna temos exatamente dois algarismos iguais a 1 e dois algarismos iguais a 0 . Podemos escolher a posição do primeiro 1 da primeira linha de 4 maneiras. Em seguida, podemos escolher a posição do segundo 1 de 4-1 = 3 maneiras, pois não podemos colocá-lo em uma posição já escolhida. Entretanto, nessas $3 \cdot 4$ escolhas, estamos contando cada maneira de colocá-los na primeira linha duas vezes, pois como eles são algarismos iguais, a inversão de posição entre eles gera a mesma escolha. Portanto, temos $3 \cdot 4 / 2=6$ maneiras de dispormos os dois algarismos 1 na primeira fila. Após feita essa escolha, temos três casos a considerar para a segunda linha: (I) todos os seus algarismos são iguais aos das posições correspondentes na primeira linha, (II) todos os algarismos da segunda linha diferem dos seus correspondentes na primeira linha e (III) dois algarismos da segunda linha coincidem com os seus correspondentes na primeira linha. Não existem outros casos, porque se três algarismos da terceira linha coincidem com os correspondentes da primeira, como aparecem apenas dois algarismos de cada tipo nela, necessariamente o quarto algarismo também será igual. De modo semelhante, também podemos perceber que não é possível apenas um algarismo coincidir entre as duas primeiras linhas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=225&width=209&top_left_y=1209&top_left_x=636) + +Caso I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=225&width=196&top_left_y=1209&top_left_x=1031) + +Caso II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=225&width=199&top_left_y=1209&top_left_x=1418) + +Caso III + +O total de tabuleiros do caso ( $I$ ) é igual ao número de possíveis escolhas da primeira linha, que é 6. No caso (II), as duas primeiras linhas diferem em todas as posições. Para a escolha da terceira linha, podemos determinar as posições dos dois algarismos iguais a 1 de 6 formas e as demais posições serão preenchidas com 0 . Em seguida, a quarta linha só poderá ser escolhida de uma única forma, pois já terão sido definidos os três primeiros algarismos de cada coluna. Nesse caso, temos 6 escolhas possíveis para a primeira linha e outras 6 para a segunda linha. Isso dá um total de $6 \cdot 6=36$ possibilidades. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-21.jpg?height=219&width=490&top_left_y=1942&top_left_x=860) + +No caso (III), temos 6 escolhas possíveis para a primeira linha. Feita essa escolha, podemos escolher de 2 formas qual das posições da segunda linha repetirá o algarismo 1 da primeira linha e de outras 2 formas qual das posições da segunda linha repetirá o algarismo 0 . Isso nos dá $6 \cdot 2 \cdot 2=24$ preenchimentos das duas primeiras linhas. Nas casas dessas duas primeiras linhas, em precisamente duas colunas, já teremos escrito 2 algarismos iguais a 1 e dois algarismos iguais a 0 . Consequentemente, as demais casas dessas +colunas estarão determinadas. Ainda analisando as possíveis escolhas de terceira linha, temos 2 escolhas possíveis para o quadradinho mais à esquerda ainda não preenchido. Uma vez que ele tenha sido escolhido, toda a terceira linha estará determinada e, finalmente, os algarismos da quarta linha também. + +| 1 | 1 | 0 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | 1 | 1 | 0 | +| | | | | +| | | | |$\rightarrow$| 1 | 1 | 0 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | 1 | 1 | 0 | +| | 0 | | 1 | +| | 0 | | 1 | + +Portanto, nesse caso, temos $24 \cdot 2=48$ possíveis tabuleiros. Somando as configurações encontradas nas três situações, temos $6+36+48=90$ possibilidades de dispormos os algarismos no tabuleiro. + +## 19 As inversões na sequência + +Em uma sequência de inteiros positivos, uma inversão é um par de posições em que o elemento da posição mais à esquerda é maior que o elemento da posição mais à direita. Por exemplo, a sequência 2,5,3,1,3 tem 5 inversões: entre a primeira e a quarta posição, entre a segunda e todas as demais para a direita e, finalmente, entre a terceira e a quarta. Dentre todas as sequências de inteiros positivos cuja soma de seus elementos é $n$, qual é o maior número possível de inversões se + +a) $n=7$ ? + +b) $n=2019$ ? + +Observação: As sequências de inteiros positivos consideradas nesse problema podem ter mais de 5 elementos. + +## 19 As inversões na sequência - Solução + +a) Primeiramente vamos mostrar que qualquer sequência maximizante do número de inversões precisa ser não-crescente. De fato, se existe um par de números consecutivos $a$ e $b, \operatorname{com} a2$. Troque o último $k$ por um par de elementos: $k-1$ na posição original e 1 na posição final. Claramente essa operação não altera a soma. O 1 final é parte de uma inversão com todo o elemento que era membro de uma inversão com o $k$ original, exceto pelos números 1 à sua direita. $O$ novo $k-1$ é parte de uma inversão com todo elemento que era menor que o $k$ original, incluindo as parcelas 1 à sua direita. Assim, contabilizando a inversão criada entre o novo $k-1 \mathrm{e}$ o novo 1, essa troca criada aumenta o número de inversões em pelo menos uma unidade. Finalmente, considerando uma sequência qualquer que maximiza o número de inversões e que possui a soma de seus elementos igual a 2019, podemos supor que existem $a$ parcelas iguais a 2 e $2019-2 a$ parcelas iguais a 1 . O número de inversões é + +$$ +\begin{aligned} +a(2019-2 a) & =2019 a-2 a^{2} \\ +& =\frac{2019^{2}}{8}-2\left(a-\frac{2019}{4}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Para maximizar a expressão anterior, devemos minimizar $|a-2019 / 4|$ e isso ocorre para $a=505$. Portanto, o maior número de inversões é $505 \cdot 1009$. + +## 20 Ângulos no triângulo isósceles + +O triângulo $A B C$ é isósceles com $A B=B C$. A bissetriz do ângulo $\angle C A B$ encontra o lado $B C$ no ponto $D$. A diferença entre as medidas de dois ângulos internos do triângulo $A B D$ é $40^{\circ}$. Encontre os possíveis valores do ângulo $\angle A C B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-23.jpg?height=349&width=317&top_left_y=1745&top_left_x=949) + +## 20 Ângulos no triângulo isósceles -Solução + +Seja $x=\angle B A C=\angle A B C$. Assim, $\angle A C B=180^{\circ}-2 x$. Consequentemente, os ângulos internos do triângulo $A B D$ são $\angle B A D=x / 2, \angle D B A=x \mathrm{e} \angle A D B=180^{\circ}-3 x / 2$. Consideraremos todos os casos para os quais dois ângulos podem diferir por $40^{\circ}$ : +i) Se $x-x / 2=40^{\circ}$, então $x=80^{\circ}$ e assim $\angle A C B=20^{\circ}$. + +ii) Como $x>0$, não podemos ter $x / 2-x=40^{\circ}$. + +iii) Se $180^{\circ}-3 x / 2-x / 2=40^{\circ}$, então $x=70^{\circ} \mathrm{e} \angle A C B=40^{\circ}$. + +iv) Se $x / 2-\left(180^{\circ}-3 x / 2\right)=40^{\circ}$, temos $x=110^{\circ}$. Isso produz uma contradição, pois nesse caso $\angle A C B=180^{\circ}-2 x<0$. + +v) Se $\left(180^{\circ}-3 x / 2\right)-x=40^{\circ}$, então $x=56^{\circ} \mathrm{e} \angle A C B=68^{\circ}$. + +vi) Finalmente, se $x-\left(180^{\circ}-3 x / 2\right)=40^{\circ}$, segue que $x=88^{\circ} \mathrm{e} \angle A C B=4^{\circ}$. + +Portanto, os possíveis valores de $\angle A C B$ são $4^{\circ}, 20^{\circ}, 40^{\circ}$ e $68^{\circ}$. + +## 21 As soluções inteiras do sistema + +Considere as soluções do sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +2019=a+b-c \\ +2019=a^{2}+b^{2}-c^{2} +\end{array}\right. +$$ + +em que $a, b$ e $c$ são inteiros. + +a) Encontre pelo menos uma solução do sistema. + +b) Verifique que o número de soluções é finito. + +## 21 As soluções inteiras do sistema - Solução + +a) Da primeira equação, segue que $c=a+b-2019$. Substituindo na segunda equação, obtemos + +$$ +2019=a^{2}+b^{2}-(a+b-2019)^{2}=-2 a b+4038 a+4038 b-2019^{2} +$$ + +Daí, + +$$ +\begin{aligned} +2019-2019^{2} & =-2 a b+4038 a+4038 b-2 \cdot 2019^{2} \\ +-2019 \cdot 2018 & =-2(a-2019)(b-2019) \\ +2019 \cdot 1009 & =(a-2019)(b-2019) +\end{aligned} +$$ + +Para obtermos uma solução, é suficiente que $a-2019=1$ e $b-2019=2019 \cdot 1009$, ou seja, + +$$ +(a, b, c)=\left(2020, \frac{2019 \cdot 2020}{2}, \frac{2019 \cdot 2020}{2}+1\right) +$$ + +b) Em virtude do item anterior, $a-2019$ e $b-2019$ são divisores inteiros do número $2019 \cdot 1009$, que possui um número finito de divisores inteiros. + +Observação: Se $x$ é um divisor inteiro de $2019 \cdot 1009$ e $y=2019 \cdot 1009 / x$, então + +$$ +(a, b, c)=(x+2019, y+2019, x+y+2019) +$$ + +é solução do sistema com $a-2019=x$ e $b-2019=y$. + +## 22 O quadrado dobrado + +Na figura a seguir, $A B C D$ é um quadrado de papel que foi dobrado ao longo do segmento $F E$ de modo que o vértice $C$ coincida com o vértice $C^{\prime}$ e $D \operatorname{com} D^{\prime}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-25.jpg?height=648&width=703&top_left_y=1056&top_left_x=740) + +a) Verifique que $C^{\prime} D^{\prime}$ é tangente ao círculo com centro $C$ e raio $C B$. + +b) Verifique que o perímetro do triângulo $G A C^{\prime}$ é igual à metade do perímetro de $A B C D$. + +c) Verifique que $A G=C^{\prime} B+G D^{\prime}$ + +d) Verifique que a soma dos perímetros dos triângulos $C^{\prime} B E$ e $G D^{\prime} F$ é igual ao perímetro do triângulo $G A C^{\prime}$. + +e) Verifique que o perímetro do triângulo $G D^{\prime} F$ é igual ao comprimento do segmento $A C^{\prime}$. + +f) O incírculo de um triângulo é o círculo que é tangente aos seus três lados. Verifique que o raio do incírculo do triângulo $G A C^{\prime}$ é igual ao comprimento do segmento $G D^{\prime}$. + +## 22 O quadrado dobrado - Solução + +a) Considere o círculo $\Gamma$ de centro $C^{\prime}$ e com raio $R$ dado pelo lado do quadrado $A B C D$. Como a distância de $C^{\prime}$ ao segmento $C D$ é igual a $R$, segue que esse círculo é tangente a esse lado no ponto $H$. Ao desdobrarmos o quadrado de papel ao longo do segmento $E F$, o círculo $\Gamma$ é levado em um círculo $\Gamma^{\prime}$ de centro $C$. Como $C B=C D=R$, esse círculo passa por $B$ e $D$. Para concluir, perceba que se $\Gamma$ é tangente a $C D$ então $\Gamma^{\prime}$ é tangente a $C^{\prime} D^{\prime}$, cujo ponto de tangência é $H^{\prime}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-26.jpg?height=861&width=849&top_left_y=730&top_left_x=485) + +b) O semiperímetro do quadrado é dado pela soma dos comprimentos de $A B$ e $A D$. Para relacionar essa soma com o perímetro do triângulo $G A C^{\prime}$, usaremos o Teorema do Bico, que diz que as distâncias de um ponto exterior a uma circunferência aos pontos onde suas tangentes tocam a circunferência são iguais. Ou seja, na figura a seguir temos $A P=A Q$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-26.jpg?height=425&width=534&top_left_y=2008&top_left_x=634) + +Em virtude do Teorema do Bico, podemos escrever o semiperímetro do triângulo $G A C^{\prime}$ como: + +$$ +\begin{aligned} +A C^{\prime}+C^{\prime} G+G A & = \\ +A C^{\prime}+C^{\prime} H^{\prime}+H^{\prime} G+G A & = \\ +A C^{\prime}+C^{\prime} B+G F+G A & =A B+D A +\end{aligned} +$$ + +c) Em virtude do item anterior e do Teorema do Bico: + +$$ +\begin{aligned} +A B+C^{\prime} D^{\prime} & =A C^{\prime}+C^{\prime} G+A G \\ +A C^{\prime}+C^{\prime} B+C^{\prime} G+G D^{\prime} & =A C^{\prime}+C^{\prime} G+A G \\ +C^{\prime} B+G D^{\prime} & =A G +\end{aligned} +$$ + +d) Os triângulos retângulos $G A C^{\prime}, C^{\prime} B E$ e $G D^{\prime} F$ são semelhantes, pois + +$$ +\angle D^{\prime} G F=\angle A G C^{\prime}=\angle E C^{\prime} B +$$ + +Daí, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A G}{C^{\prime} B} & =\frac{A C^{\prime}}{B E} \\ +\frac{A G}{G D^{\prime}} & =\frac{A C^{\prime}}{D^{\prime} F} +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, de $A G=C^{\prime} B+G D^{\prime}$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +B E+D^{\prime} F & =\frac{A C^{\prime}}{A G} \cdot\left(C^{\prime} B+G D^{\prime}\right) \\ +& =\frac{A C^{\prime}}{A G} \cdot A G \\ +& =A C^{\prime} +\end{aligned} +$$ + +De forma semelhante, também segue que $C^{\prime} G=E C^{\prime}+F G$. Assim + +$$ +A G+A C^{\prime}+C^{\prime} G=\left(C^{\prime} B+B E+E C^{\prime}\right)+\left(G D^{\prime}+D^{\prime} F+F G\right) +$$ + +e) Como $A C^{\prime} H D$ é um retângulo, $A C^{\prime}=D H$. Em virtude da dobradura, $D H=D^{\prime} H^{\prime}$ e $F D=F D^{\prime}$. Pelo Teorema do Bico, temos: + +$$ +\begin{aligned} +A C^{\prime} & =D^{\prime} H^{\prime} \\ +& =D^{\prime} G+G H^{\prime} \\ +& =D^{\prime} G+G D \\ +& =D^{\prime} G+G F+F D \\ +& =D^{\prime} G+G F+F D^{\prime} +\end{aligned} +$$ + +A soma $D^{\prime} F+F G+G D^{\prime}$ é exatamente o perímetro do triângulo $G D^{\prime} F$. +f) Sejam $X, Y$ e $Z$ os pontos de tangência do incírculo do triângulo $A C^{\prime} G$ com os seus lados, como indicado na figura a seguir. Se $r$ denota o comprimento do raio do incírculo do triângulo $A C^{\prime} G$, temos $A X=A Z=r$, pois $A X O Z$ é um quadrado de lado $r$. Além disso, pelo Teorema do Bico, $C^{\prime} X=C^{\prime} Y=x, G Y=G Z=y$. Assim, novamente usando o segundo item, segue que + +$$ +\begin{aligned} +A C^{\prime}+C^{\prime} G+G A & =A B+D A \\ +(r+x)+(x+y)+(r+y) & =2 \cdot C^{\prime} D^{\prime} \\ +2 \cdot(r+x+y) & =2 \cdot\left(D^{\prime} G+x+y\right) \\ +r & =D^{\prime} G +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-28.jpg?height=650&width=703&top_left_y=891&top_left_x=547) + +Observação: Esse item foi extraído de um clássico Sangaku japonês. Os Sangakus são tábuas comemorativas de madeira com problemas matemáticos oferecidas em templos e santuários. + +## 23 As triplas bacanas + +Dizemos que uma tripla de inteiros $(x, y, z)$ é do tipo bacana se $x, y$ e $z$ são inteiros positivos, com $y \geq 2$, e $x^{2}-3 y^{2}=z^{2}-3$. + +a) Encontre uma tripla $(x, y, z)$ do tipo bacana com $x=5$ e $x=7$. + +b) Mostre que para todo $x \geq 5$ e ímpar existem pelo menos duas triplas distintas $\left(x, y_{1}, z_{1}\right)$ e $\left(x, y_{2}, z_{2}\right)$ do tipo bacana. + +c) Encontre alguma tripla do tipo bacana com $x$ par. + +## 23 As triplas bacanas - Solução + +a) Para $x=5$ e $x=7$, temos alguns exemplos de triplas do tipo bacana: $(x, y, z)=(5,2,4)$, $(5,3,1),(7,3,5)$ e $(7,4,2)$. + +b) Os casos particulares do item anterior permitem conjecturar as seguintes triplas para $x$ ímpar: + +$$ +(x, y, z)=(2 n+1, n, n+2) \text { e }(x, y, z)=(2 n+1, n+1, n-1) +$$ + +Para verificar que elas satisfazem a equação, perceba que + +$$ +\begin{aligned} +(2 n+1)^{2}-3 n^{2} & =n^{2}+4 n+1 \\ +& =(n+2)^{2}-3 +\end{aligned} +$$ + +e + +$$ +\begin{aligned} +(2 n+1)^{2}-3(n+1)^{2} & =n^{2}-2 n-2 \\ +& =(n-1)^{2}-3 +\end{aligned} +$$ + +c) Considerando a fatoração $(x-z)(x+z)=3(y-1)(y+1)$, podemos concluir que $x-z \mathrm{e}$ $x+z$ são divisores do membro direito da equação. Como $x$ é a média aritmética desses dois divisores, isso permite definir uma busca ordenada de possíveis soluções da equação com $x$ par. Escolhendo $y=4$, podemos analisar os possíveis pares de divisores positivos de $3 \cdot 3 \cdot 5$ : + +$$ +(3,3 \cdot 5),(3 \cdot 3,5) \text { e }(1,3 \cdot 3 \cdot 5) +$$ + +Como $x-z1$ e $10^{k}$ é par para $k>1$. Para que a soma dos algarismos seja 2 , devemos ter $3 n^{2}+n+1=10^{i}+10^{j}, \operatorname{com} i>j$ ou $3 n^{2}+n+1=2 \cdot 10^{k}$. A segunda opção é inválida, pois $2 \cdot 10^{k}$ é par. Na primeira opção, como $10^{i}+10^{j}$ precisa ser ímpar, devemos ter $j=0$, ou seja, + +$$ +\begin{aligned} +3 n^{2}+n+1 & =10^{i}+1 \\ +n(3 n+1) & =10^{i} \\ +n(3 n+1) & =2^{i} \cdot 5^{i} +\end{aligned} +$$ + +Se algum número primo $p$ divide $n$, então ele divide $3 n$ e, consequentemente, não pode dividir o seu sucessor $3 n+1$. Assim, $n$ e $3 n+1$ não possuem fatores primos em comum. Como $n<3 n+1$, devemos ter $n=2^{i}$ e $3 n+1=5^{i}$. Isso é um absurdo, porque, nesse caso, para $i \geq 2$, + +$$ +3 n+1=5^{i}>4^{i}>3 \cdot 2^{i}+1=3 n+1 +$$ + +Quando $i=1$, não há solução, pois $5 \neq 3 \cdot 2+1$. Isso termina nossa análise e mostra que a soma mínima dos algarismos é 3 . + +## 25 As distâncias no quadrado + +Seis pontos são distribuídos dentro de um quadrado de lado $10 \mathrm{~cm}$ de tal modo que a distância entre quaisquer dois deles é um número inteiro em centímetros. Verifique que pelo menos duas dessas distâncias são iguais. + +## 25 As distâncias no quadrado - Solução + +A maior distância possível entre dois pontos do quadrado é $10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$, que ocorre quando dois pontos estão dispostos em extremos opostos de uma diagonal. Como $14<10 \sqrt{2}<15$, a maior distância inteira possível entre eles é de $14 \mathrm{~cm}$. Assim, existem 14 distâncias inteiras possíveis entre os pontos: $1,2,3, \ldots, 14$ centímetros. Para determinar o número de pares de pontos, perceba que podemos escolher qualquer um deles de 6 formas possíveis e o outro de 5 outras formas. Como a mudança de ordem entre eles gera o mesmo par, nessa contagem estaremos contando cada par duas vezes. Portanto, existem $6 \cdot 5 / 2=15$ pares de distâncias possíveis entre os 6 pontos. Como o número de segmentos é maior que o número de distâncias possíveis, pelo menos dois segmentos terão o mesmo comprimento. + +## 26 Os números de 6 algarismos + +Os algarismos $a, b, c, d$, $e$ e $f$ são distintos e foram escolhidos no conjunto $\{1,2, \ldots, 9\}$. + +a) Verifique que pelo menos dois deles são consecutivos. + +b) Determine os possíveis valores do inteiro positivo $x$, que divide qualquer número de 6 algarismos formados por $a, b, c, d, e \mathrm{e} f$. + +## 26 Os números de 6 algarismos -Solução + +a) Suponha que $ab$, são os algarismos consecutivos. Se $x$ divide os números $\overline{c d e f a b}$ e $\overline{c d e f b a}$, então $x$ divide a diferença entre eles, que é + +$$ +\begin{aligned} +\overline{c d e f a b}-\overline{c d e f b a} & =\overline{a b}-\overline{b a} \\ +& =(10 a+b)-(10 b+a) \\ +& =9(a-b) \\ +& =9 . +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $x$ deve ser um divisor de 9. O critério de divisibilidade por 9 nos diz que um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Assim, se $a+b+c+d+e+f$ é um múltiplo de 9 , então os possíveis valores de $x$ são 1 ou 9. Se a soma dos 6 algarismos é um múltiplo de 3, mas não de 9 , então $x$ pode ser 1 ou 3. Finalmente, se a soma dos 6 algarismos não é um múltiplo de 3 , a única possibilidade para $x$ é 1 . + +Observação: Estamos usando uma barra para distinguir a representação decimal do número de três algarismos $\overline{A B C}$ do produto $A \cdot B \cdot C$. Por exemplo, se $\overline{A B C}=126$, então $A=1, B=2$ e $C=6$. + +## 27 As cordas perpendiculares + +No desenho a seguir, as cordas $D E$ e $B C$ são perpendiculares, sendo $B C$ um diâmetro do círculo com centro em $A$. Além disso, $\angle C G F=40^{\circ}$ e $G H=2 \mathrm{~cm}$. + +a) Determine o valor do ângulo $\angle C H F$. +b) Encontre o comprimento de $H J$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-32.jpg?height=753&width=663&top_left_y=575&top_left_x=583) + +## 27 As cordas perpendiculares - Solução + +a) Como $B C$ é um diâmetro, segue que $\angle B F C=90^{\circ}$. Assim, como também temos $\angle C H G=90^{\circ}$, a circunferência $\Gamma$ de diâmetro $C G$ passa por $F$ e $H$. Nessa circunferência, os ângulos $\angle C G F$ e $\angle C H F$ estão inscritos no mesmo $\operatorname{arco} C F$ e assim $\angle C H F=$ $\angle C G F=40^{\circ}$. + +b) Novamente observando o círculo $\Gamma$, podemos concluir que $\angle H C G=\angle H F G$, pois ambos estão inscritos no arco $G H$. Considerando agora o círculo de diâmetro $B C$, temos $\angle I C B=\angle I F B$, porque ambos estão inscritos no arco $I B$. Assim, $\angle I C H=\angle B F H=$ $\angle H F G=\angle H C G$. Daí como os triângulos retângulos $C H G$ e $C H J$ possuem os mesmos ângulos e um cateto em comum, eles são congruentes, resultando em $H J=G H=$ $2 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-33.jpg?height=746&width=667&top_left_y=259&top_left_x=782) + +## 28 O jogo de Berlekamp + +Um cadeado digital é constituído por um tabuleiro $4 \times 4$ formado por 16 interruptores. Cada interruptor pode estar ligado, simbolizado pelo símbolo 1 , ou desligado, simbolizado pelo símbolo 0 . Quando um interruptor é alterado de uma posição para outra, todos os outros interruptores na mesma linha e coluna precisam ser alterados também (veja o diagrama abaixo). O cadeado digital só é aberto quando todos os interruptores estão ligados. + +| 1 | 0 | 1 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | $\mathbf{1}$ | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | 1 |$\quad \Rightarrow \quad$| 1 | $\mathbf{1}$ | 1 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | +| 1 | $\mathbf{1}$ | 0 | 1 | +| 0 | $\mathbf{0}$ | 0 | 1 | + +a) Na figura abaixo, determine uma sequência de movimentos que permitam a abertura do cadeado. + +| 1 | 0 | 1 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 1 | 0 | +| 0 | 0 | 1 | 1 | +| 0 | 0 | 1 | 1 | + +b) Verifique que é possível usar uma sequência de movimentos que produza como resultado a alteração de apenas um interruptor. + +c) Verifique que não importam as posições iniciais dos interruptores, é sempre possível abrir o cadeado digital. + +## 28 O jogo de Berlekamp-Solução + +a) Basta realizar a seguinte sequência de movimentos: + +| 1 | 0 | $\mathbf{1}$ | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 1 | 0 | +| 0 | 0 | 1 | 1 | +| 0 | 0 | 1 | 1 |$\quad \Rightarrow \quad$| 0 | 1 | 0 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | $\mathbf{0}$ | 0 | 0 | +| 0 | 0 | 0 | 1 | +| 0 | 0 | 0 | 1 |$\quad \Rightarrow$| $\mathbf{0}$ | 0 | 0 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | 1 | 1 | 1 | +| 0 | 1 | 1 | 1 | +| 0 | 1 | 1 | 1 |$\Rightarrow$| 1 | 1 | 1 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 1 | 1 | 1 | +| 1 | 1 | 1 | 1 | +| 1 | 1 | 1 | 1 | + +b) Fixado um interruptor $X$ do tabuleiro, altere a posição de cada um dos outros 7 interruptores em sua mesma linha e coluna, um de cada vez, incluindo o próprio $X$. Com essas operações, a posição fixada será trocada um número ímpar de vezes e assim terá seu estado alterado de ligado para desligado ou o contrário. Os interruptores na mesma linha ou coluna de $X$ serão alterados, cada um, 4 vezes. Como essa quantidade é par, eles permanecerão no seu estado original. Cada um dos outros interruptores do quadradinho será alterado duas vezes, que também é par e assim manterá seu estado inalterado. Portanto, essas 7 alterações produzem apenas a alteração do interruptor $X$ + +c) Dada uma configuração qualquer do cadeado, podemos realizar as operações descritas no item anterior e ligar cada um dos interruptores desligados. + +Observação: Esse problema é baseado em um jogo de mesmo nome desenvolvido por Elwyn Berlekamp em meados da década de 1970. + +## 29 A cobertura com triminós + +Um triminó é um retângulo $3 \times 1$ e um monominó é um único quadrado $1 \times 1$. Quais são as possíveis posições de um monominó na cobertura de um tabuleiro $8 \times 8$ usando 21 triminós e 1 monominó? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-34.jpg?height=333&width=335&top_left_y=1972&top_left_x=742) + +## 29 A cobertura com triminós - Solução + +Pinte os quadradinhos do tabuleiro $8 \times 8$ com as cores 1,2 e 3 como indicado nos tabuleiros a seguir. + +| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | +| 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | +| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | +| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | +| 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | +| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | +| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | + + +| 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | +| 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | +| 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | +| 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | +| 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | +| 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | +| 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | + +Comecemos a nossa análise pelo tabuleiro da esquerda. Nele pintamos 22 quadradinhos da cor 1,21 da cor 2 e 21 da cor 3 . Como todo triminó cobre exatamente um quadradinho de cada cor, a união deles cobrirá exatamente 21 quadradinhos de cada cor e assim o monominó deve ter a cor 1. Repetindo a mesma análise na pintura feita no tabuleiro da direita, também podemos concluir que o monominó deve ter a cor 1 naquele tabuleiro. Daí os únicos possíveis locais para os monominós são os que foram marcados com a cor 1 nos dois tabuleiros, ou seja, os quadradinhos pintados no desenho a seguir. Para verificar que para todos eles existe uma cobertura admissível, basta rotacionar o desenho do enunciado por $90^{\circ}, 180^{\circ}$ e $270^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-35.jpg?height=333&width=330&top_left_y=1544&top_left_x=940) + +## 30 As diferenças no conjunto + +Seja $A$ um subconjunto de $\{1,2,3, \ldots, 2019\}$ possuindo a propriedade de que a diferença entre quaisquer dois de seus elementos não é um número primo. Qual é o maior número possível de elementos de $A$ ? + +## 30 As diferenças no conjunto - Solução + +Suponha que $a \in A$. Então, nenhum elemento do conjunto $\{a+2, a+3, a+5, a+7\}$ pode pertencer a $A$ e entre os elementos de $\{a+1, a+4, a+6\}$, no máximo um deles pode pertencer a $A$. Assim, a cada 8 inteiros consecutivos, digamos os elementos do conjunto $\{a, a+1, a+2, \ldots, a+7\}$, no máximo dois deles pertencem a $A$. Portanto, o número máximo de elementos de $A$ não é maior que o maior inteiro que não ultrapassa 2019/4 mais 1 , ou seja, 505. Essa quantidade pode ser obtida com o conjunto $\{3,7,11, \ldots, 2019\}$. Note que a diferença entre quaisquer dois deles é um múltiplo de $4 \mathrm{e}$, consequentemente, não pode ser um número primo. Portanto, o número máximo de elementos é 505. + +## 31 Frações ordenadas + +Qual é o maior inteiro positivo $n$ para o qual existe um único inteiro $k$, tal que + +$$ +\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13} ? +$$ + +## 31 Frações ordenadas - Solução + +Podemos escrever a desigualdade como + +$$ +\frac{13}{7}<\frac{n+k}{n}<\frac{15}{8} +$$ + +Assim, multiplicando os membros da desigualdade por $56 n$, obtemos a desigualdade equivalente + +$$ +\begin{aligned} +104 n & <56 n+56 k & <105 n \\ +48 n< & 56 k & <49 n +\end{aligned} +$$ + +Para que exista um único inteiro $k$ satisfazendo a desigualdade, o intervalo $(48 n, 49 n)$ deve possuir exatamente um múltiplo de 56. O comprimento de tal intervalo é $n$ e ele contém exatamente $n-1$ inteiros positivos. Se $n-1 \geq 2 \cdot 56=112$, o intervalo conterá pelo menos dois múltiplos de 56 e não servirá para a desigualdade. Portanto, $n \leq 112$. Para verificar que $n=112$, é a solução máxima, basta notar que + +$$ +\begin{aligned} +48 \cdot 112 & =56 \cdot 96 \\ +& <56 \cdot 97 \\ +& <56 \cdot 98 \\ +& =49 \cdot 112 +\end{aligned} +$$ + +Assim, $k=97$ é o único inteiro possível para satisfazer a desigualdade quando $n=112$. + +## 32 Algarismos das potências + +a) Dado que a representação decimal de $5^{2018}$ possui 1411 algarismos e começa com 3 (o dígito não nulo mais à esquerda é 3), para quantos inteiros $1 \leq n \leq 2017$ o número $5^{n}$ começa com 1 ? + +b) Os inteiros $4^{52}$ e $5^{52}$ ambos começam com o algarismo 2 . Se as representações decimais das potências $4^{n}$ e $5^{n}$, com $n>0$ e inteiro, começam com o mesmo algarismo $d$, quais os possíveis valores desse algarismo? + +## 32 Algarismos das potências - Solução + +a) Se $5^{k}$ começa com $a$ e possui $j$ algarismos, então + +$$ +10^{j}<5^{k}<\cdot 10^{j+1} +$$ + +e assim + +$$ +\begin{aligned} +10^{j} & <5 \cdot 10^{j} \\ +& <5 \cdot 5^{k} \\ +& =5^{k+1} \\ +& <10 \cdot 10^{j+1} +\end{aligned} +$$ + +Isso significa que a representação decimal de $5^{k+1}$ também possui $j$ algarismos. Por outro lado, se $5^{k+1}$ e $5^{k}$ possuem a mesma quantidade $j$ de algarismos, então o primeiro algarismo de $5^{k}$ é 1 , pois caso contrário + +$$ +5^{k+1}=5 \cdot 5^{k}>5 \cdot 2 \cdot 10^{j}=10^{j+1} +$$ + +possuiria pelo menos $j+1$ algarismos. Então, o problema se resume a encontrarmos os valores de $k \in\{1,2, \ldots, 2017\}$ tais que $5^{k}$ e $5^{k+1}$ possuem a mesma quantidade de algarismos. Entre duas potências de 5 consecutivas, a quantidade de algarismos cresce em no máximo uma unidade. Como $5^{2018}$ possui 1411 algarismos, dentre as potências $5^{1}$, $5^{2}, \ldots, 5^{2018}$, temos 1410 crescimentos nas quantidades de algarismos entre potências consecutivas e exatamente $2017-1410=607$ valores de $k$ em que $5^{k}$ e $5^{k+1}$ possuem a mesma quantidade de algarismos. Ou seja, o número procurado de potências que começam com 1 é 607. + +b) Como $4^{n}$ e $5^{n}$ começam com o mesmo algarismo $d$, existem inteiros não negativos $i \mathrm{e}$ $j$, tais que + +$$ +\begin{aligned} +& d \cdot 10^{i} \leq 4^{n}<(d+1) \cdot 10^{i} \\ +& d \cdot 10^{j} \leq 5^{n}<(d+1) \cdot 10^{j} +\end{aligned} +$$ + +Elevando ao quadrado a segunda dessas expressões e multiplicando o resultado pela primeira, obtemos + +$$ +d^{3} \cdot 10^{i+2 j} \leq 10^{2 n}<(d+1)^{3} \cdot 10^{i+2 j} . +$$ + +Daí, + +$$ +1 \leq d^{3} \leq 10^{2 n-i-2 j}<(d+1)^{3} \leq(9+1)^{3}=1000 +$$ + +Se $2 n-i-2 j=0$, o único algarismo que satisfaz a desigualdade é $d=1$. Entretanto, nesse caso, como ocorre igualdade na última expressão, devemos ter igualdade nas duas iniciais. Assim, $1 \cdot 10^{i}=4^{n}$. Em virtude do Teorema Fundamental da Aritmética, isso só é possível se $i=0$ e $n=0$. Como $n$ é um inteiro positivo, esse caso não é válido. Então, $2 n-i-2 j>0$. Analisando os cubos + +$$ +1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \ldots, 9^{3}, 10^{3} +$$ + +podemos concluir que os únicos algarismos $d$ para os quais o intervalo $\left(d^{3},(d+1)^{3}\right)$ contém uma potência de 10 são $d=2$ e $d=4$. De fato, além do exemplo dado no enunciado garantindo que $d=2$ é possível, $4^{11}$ e $5^{11}$ começam com o algarismo 4 . + +## 33 Os estudantes no torneio de xadrez + +Dois estudantes precoces do Nível 3 participaram de um torneio de xadrez universitário. Cada participante joga contra todos os outros exatamente uma vez. Uma vitória vale 1 ponto, um empate vale 0,5 ponto e uma derrota vale 0 ponto. A soma das pontuações dos dois estudantes do Nível 3 é 6,5 . Todos os estudantes universitários obtiveram a mesma pontuação. Quantos estudantes universitários participaram da competição? + +## 33 Os estudantes no torneio de xadrez - Solução + +Seja $x$ a quantidade de estudantes universitários e $p$ a pontuação comum a todos eles. Como em cada jogo é disputado exatamente 1 ponto, segue que o total de pontos do torneio, que é $6,5+p x$, coincide com o número de jogos, que é $\frac{(x+2)(x+1)}{2}$. Além disso, a pontuação de cada participante é um múltiplo inteiro de 0,5 e assim podemos escrever $p=k / 2$, para algum inteiro positivo $k$. Portanto: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{(x+2)(x+1))}{2} & =6,5+p x \\ +(x+2)(x+1) & =13+k x \\ +x^{2}+3 x+2 & =13+k x \\ +x(x+3-k) & =11 +\end{aligned} +$$ + +Como $x$ e $x+3-k$ são inteiros, podemos concluir que $x$ é um divisor positivo de 11 , ou seja, $x=1$ ou $x=11$. Não podemos ter $x=1$, pois nesse caso o torneio teria apenas $3 \mathrm{e}$ +não seria possível dois estudantes obterem 6,5 pontos. Para mostrar que $x=11$ é solução, considere o torneio formado pelos universitários $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{11}$ e pelos estudantes do Nível $3 E_{1}$ e $E_{2}$ com os seguintes resultados: + +I) Todos os jogos entre dois universitários terminaram em empate. + +II) $E_{1}$ perdeu para $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{11}$ e $E_{2}$. + +III) $E_{2}$ empatou com $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{11}$. + +O torneio com esses resultados satisfaz o enunciado. + +## 34 O número de soluções + +a) Verifique que para qualquer inteiro positivo $a, \operatorname{com} a>1$, a equação + +$$ +\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} +$$ + +possui pelo menos três soluções da forma $(x, y)$, com $x$ e $y$ inteiros positivos. Por exemplo, para $a=3$, os pares $(6,6),(4,12)$ e $(12,4)$ são soluções. + +b) Encontre o número de pares de inteiros positivos $(x, y)$ que são soluções dessa equação quando $a=2019$. + +Dica: Se a fatoração em primos do inteiro positivo $n$ é $p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}$, então ele possui $\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)$ divisores positivos. + +## 34 O número de soluções -Solução + +a) Podemos encontrar uma equação equivalente: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{1}{a} \Leftrightarrow \\ +(x-a)(y-a) & =a^{2} +\end{aligned} +$$ + +Como $1 / x$ e $1 / y$ são menores que $1 / a$, segue que $x-a$ e $y-a$ são positivos. Para encontrarmos soluções dessa última equação, considere os seguintes sistemas: + +$$ +\left\{\begin{array} { l } +{ x - a = 1 } \\ +{ y - a = a ^ { 2 } } +\end{array} \quad \left\{\begin{array} { l } +{ x - a = a } \\ +{ y - a = a } +\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} +x-a=a^{2} \\ +y-a=1 +\end{array}\right.\right.\right. +$$ + +As soluções $(x, y)$ deles são, respectivamente, $\left(a+1, a+a^{2}\right),(2 a, 2 a)$ e $\left(a+a^{2}, a+1\right)$. Se $a>1$, essas soluções são distintas e satisfazem a equação dada. +b) Em geral, se $d$ é um divisor qualquer de $a^{2}$, sempre existe uma solução em inteiros positivos para o sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x-a=d \\ +y-a=\frac{a^{2}}{d} +\end{array}\right. +$$ + +que é dada por $(x, y)=\left(a+d, a+\frac{a^{2}}{d}\right)$. Existe uma correspondência entre os pares $(x, y)$ que são soluções da equação original e os divisores positivos de $a^{2}$, pois para cada solução o inteiro $x-a$ corresponde a algum divisor positivo $d$ de $a^{2}$. Como $2019^{2}=3^{2} \cdot 673^{2}$, o seu número de divisores positivos é $(2+1) \cdot(2+1)=9$. Logo, o número de soluções é 9 . + +## 35 O trapézio e o círculo + +Seja $A B C D$ um trapézio, com $A D \| B C$, tal que o lado $C D$ é tangente ao círculo com diâmetro $A B$. Se $G$ é o ponto médio de $C D$ e $C D=8 \mathrm{~cm}$, determine a medida da altura GF. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-40.jpg?height=534&width=804&top_left_y=1179&top_left_x=486) + +## 35 O trapézio e o círculo - Solução + +Seja $O$ o centro do círculo de diâmetro $A B$. Como $O$ é ponto médio de $A B$ e $G$ é ponto médio de $C D$, segue que $G O$ é base média do trapézio $A B C D$. Daí, $G O$ é paralelo aos lados $A D$ e $B C$. Consequentemente, temos as seguintes igualdades de áreas: $A_{D G O}=A_{A G O} \mathrm{e}$ $A_{C O G}=A_{B G O}$. + +Daí, + +$$ +\begin{aligned} +A_{C D O} & =A_{D G O}+A_{C G O} \\ +& =A_{A G O}+A_{B G O} \\ +& =A_{A B G} \\ +& =\frac{A B \cdot h}{2} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_82072e76ed187b592b1cg-41.jpg?height=540&width=811&top_left_y=293&top_left_x=689) + +Por outro lado, como $E O=A O=B O=\frac{A B}{2}$, segue que + +$$ +A_{C D O}=\frac{C D \cdot E O}{2}=\frac{C D \cdot A B}{4} +$$ + +Finalmente, comparando as duas expressões para a área $A_{C D O}$, temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A B \cdot h}{2} & =\frac{C D \cdot A B}{4} \\ +h & =\frac{C D}{2} \\ +& =4 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## 36 O quadrado perfeito + +Os inteiros positivos $x$ e $y$ são tais que o número $x^{2019}+x+y^{2}$ é divisível por $x y$. + +a) Dê um exemplo de tais inteiros $x$ e $y, \operatorname{com} x>y$. + +b) Verifique que, necessariamente, $x$ é um quadrado perfeito. + +## 36 O quadrado perfeito - Solução + +a) Basta escolher $x=4$ e $y=2$, pois $4^{2019}+4+2^{2}=8 \cdot\left(2^{4035}+1\right)$ é divisível por $4 \cdot 2=8$. +b) Seja $d=m d c(x, y)$. Assim, $x=d m$ e $y=d n$, $\operatorname{com} m d c(m, n)=1$. Daí, + +$$ +\frac{x^{2019}+x+y^{2}}{x y}=\frac{d^{2018} m^{2019}+m+d n^{2}}{d m n} +$$ + +é um inteiro. Como $d$ divide $d^{2018} m^{2019}+m+d n^{2}$, podemos concluir que $d$ divide $m$. Além disso, de $m d c(m, n)=1$ e $\frac{d^{2018} m^{2019}+m+d n^{2}}{m} \in \mathbb{Z}$, podemos concluir que $m$ divide $d$. Como $m$ e $d$ são positivos, $m=d$ e $x=d m=d^{2}$. + +## 37 o produto que é um quadrado perfeito + +a) Verifique que se $a \in\{1,2,4\}$, então $n(a+n)$ não é um quadrado perfeito para qualquer inteiro positivo $n$. + +b) Verifique que se $a=2^{k}$, com $k \geq 3$, então existe um inteiro positivo $n$ tal que $n(a+n)$ é um quadrado perfeito. + +c) Verifique que se $a \notin\{1,2,4\}$, então sempre existe um inteiro positivo $n$ tal que $n(a+n)$ é um quadrado perfeito. + +## 37 o produto que é um quadrado perfeito - Solução + +a) Para $a \in\{1,2,4\}$ e $n$ inteiro positivo, em virtude das desigualdades + +$$ +n^{2} $\left(\mathbf{m}^{3}\right)$ | +| :---: | :---: | +| Janeiro | 12,5 | +| Fevereiro | 13,8 | +| Março | 13,7 | +| Abril | 11,4 | +| Maio | 12,1 | + +Qual é o consumo médio mensal dessa família de janeiro a maio? +A) $11,3 m^{3}$ +B) $11,7 \mathrm{~m}^{3}$ +C) $12,7 \mathrm{~m}^{3}$ +D) $63,5 \mathrm{~m}^{3}$ +E) $317,5 \mathrm{~m}^{3}$ + +7) Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em seguida, subtraia 1 dos números ímpares e some 1 aos números pares. Escolhendo três círculos consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter? +A) 19 +B) 21 +C) 23 +D) 24 +E) 25 +8) Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm o mesmo centro. Então, pode-se concluir que a área cinza é: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-02.jpg?height=345&width=348&top_left_y=1512&top_left_x=246) + +A) Dois quintos da área do círculo maior. + +B) Três sétimos da área do círculo maior. + +C) Metade da área do círculo maior. + +D) Quatro sétimos da área do círculo maior. + +E) Três quintos da área do círculo maior + +9) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo várias trocas? +A) 11 +B) 12 +C) 13 +D) 14 +E) 15 +10) Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nesta papelaria os cadernos custam $R \$ 6,00$ cada um. Se ela comprar 3 cadernos, sobram $R \$ 4,00$. Se o seu irmão lhe emprestar $R \$ 4,00$, com o total ela conseguirá comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais. + +a) Quanto custa cada caneta? + +b) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas das canetas acima Ester poderá comprar? + +1. (D) Solução 1 - Como $96 \div 8=12$, temos $8 \times 12=96$. + +Observe que a solução é equivalente a resolver a equação $8 x=96$, cuja raiz é $x=\frac{96}{8}=12$. + +Solução 2 - Devemos encontrar na lista de cinco opções qual é o número que multiplicado por 8 dá 96 . O algarismo das unidades deste número só pode ser 2 ou 7 . + +Logo, só pode ser o número 12 . + +2. (E) Como a espessura de cada folha é $0,1 \mathrm{~mm}$, a altura de um pacote com 500 folhas é $500 \times 0,1 \mathrm{~mm}=50 \mathrm{~mm}$. Logo, a altura de cada pilha será $60 \times 50 \mathrm{~mm}=3000 \mathrm{~mm}=3 \mathrm{~m}$. +3. (E) Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de 3 algarismos pares diferentes e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes. $\mathrm{O}$ maior número de 3 algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes é 135 . A diferença entre eles é $864-135=729$. +4. (B) Solução 1 - A pessoa irá pagar 120 reais menos o desconto que é de $30 \%$ sobre 120 . Ou seja: $120-0,3 \times 120=120-36=84$ reais. + +Solução 2- Podemos também resolver este problema notando que se o desconto é de $30 \%$ então o preço que a pessoa pagará é $70 \%$ de 120 , ou seja: $0,7 \times 120=84$ reais. + +5. (A) Solução 1 - Temos $C D=80-50=30$ e $A B=80-45=35$. Logo $B C=80-35-30=15$. + +## Solução 2 - + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-03.jpg?height=279&width=577&top_left_y=1848&top_left_x=180) + +Do enunciado temos: $A C=50, B D=45$ e $A D=80$. Da figura segue que $B C=A C-A B$, logo $B C=50-A B$. + +Logo, basta calcular $A B$. Para isso, note na figura que $A B=A D-B D$, e portanto, $A B=80-45=35$. + +Finalmente, $B C=50-35=15 \mathrm{~km}$. + +Solução 3 - Da figura temos que $45-B C=80-50$. Logo, $B C=15 \mathrm{~km}$. + +6. (C) Lembre que a média aritmética de $n$ números é a soma desses números dividido por $n$. Por exemplo: a média aritmética dos números $3,6,8$ e 26 é $\frac{3+6+8+26}{4}=\frac{43}{4}=10,75$. + +Analogamente, define-se o consumo mensal médio como a razão entre a soma dos consumos mensais e o número de meses. Logo, o consumo mensal médio é igual a $\frac{12,5+13,8+13,7+11,4+12,1}{5}=12,7 \mathrm{~m}^{3}$. + +7. (C) A partir de qualquer círculo, obtemos inicialmente a seqüência $0,1,2,3,4,5,6,7,8$, 9; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-04.jpg?height=334&width=349&top_left_y=318&top_left_x=228) + +Subtraindo 1 dos ímpares e somando 1 aos pares, a seqüência torna-se $1,0,3,2,5,4,7,6,9$, 8 . Agora é fácil verificar que a maior soma possível com 3 números consecutivos é $6+9+8=23$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-04.jpg?height=345&width=351&top_left_y=336&top_left_x=1481) + +8. (C) Observe que a figura é simétrica em relação à reta $r$ que passa pelo centro comum das circunferências. Para cada região cinza de um lado de $r$ existe uma região branca equivalente do outro lado de $r$, e vice-versa. Logo, a área cinza é igual à área branca. Além disso, a soma dessas duas áreas é igual à área do círculo maior. Portanto, a área cinza é metade da área do círculo maior. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-04.jpg?height=557&width=443&top_left_y=1166&top_left_x=178) + +9. (D) Como $43=10 \times 4+3$, numa primeira vez, as 43 garrafas vazias podem ser trocadas por 10 garrafas cheias, sobrando ainda 3 vazias. Agora, consumindo o leite dessas 10 garrafas, ficamos com 13 vazias, $13=4 \times 3+1$, que podem ser trocadas desta vez por 3 cheias, sobrando 1 vazia. Finalmente, consumindo o leite das 3 garrafas cheias, sobram 4 vazias, que podem ser trocadas por 1 cheia. Portanto, o total de garrafas cheias de leite que podem ser obtidas é $10+3+1=14$. +10. Comprando 3 cadernos por 6 reais cada um ainda sobram 4 reais para Ester, logo, a quantia que ela possui é: + +$3 \times 6+4=22$ reais. + +(a) Se o irmão lhe empresta 4 reais, ela fica então com $22+4=26$ reais. Conforme dados do problema, com 26 reais, Ester pode comprar 2 cadernos a 6 reais cada um e 7 canetas. Portanto, o preço das 7 canetas é $26-2 \times 6=26-12=14$ reais. Concluímos que o preço de cada caneta é $14 \div 7=2$ reais. + +(b) Como Ester tinha 22 reais, se ela comprar 2 cadernos, sobram-lhe ainda $22-2 \times 6=22-12=10$ reais. Como cada caneta custa 2 reais, ela poderá comprar $10 \div 2=5$ canetas. + +1) Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias? +A) 104 +B) 110 +C) 120 +D) 128 +E) 112 +2) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas? +A) 1 +B) 2 +C) 3 +D) 5 +E) 6 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-05.jpg?height=288&width=445&top_left_y=1298&top_left_x=200) + +3) Três frascos, todos com capacidade igual a um litro, contêm quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme ilustração ao lado. Qual das alternativas abaixo melhor expressa, aproximadamente, o volume de líquido contido nos frascos A, B e C, nesta ordem? +A) $\frac{3}{7} ; \frac{4}{9} ; \frac{2}{5}$ +B) $\frac{2}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{4}$ +C) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{6} ; \frac{2}{4}$ +D) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{7} ; \frac{3}{4}$ +Е) $\frac{3}{3} ; \frac{4}{5} ; \frac{2}{3}$ +4) Um litro de álcool custa $\mathrm{R} \$ 0,75$. O carro de Maria percorre $25 \mathrm{~km}$ com 3 litros de álcool.Quantos reais Maria gastará com álcool para percorrer $600 \mathrm{~km}$ ? +A) 54 +B) 72 +C) 50 +D) 52 +E) 45 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-05.jpg?height=514&width=366&top_left_y=2170&top_left_x=228) + +5) Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura. Se cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$ quanto pesa o monte com todas as caixas? +A) $300 \mathrm{~kg}$ +B) $325 \mathrm{~kg}$ +C) $350 \mathrm{~kg}$ +D) $375 \mathrm{~kg}$ +E) $400 \mathrm{~kg}$ +6) Um livro de 100 páginas tem suas páginas numeradas de 1 a 100 . Quantas folhas desse livro possuem o algarismo 5 em sua numeração? +A) 13 +B) 14 +C) 15 +D) 16 +E) 17 +7) A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=234&width=308&top_left_y=591&top_left_x=246) + +Qual das alternativas mostra o cubo assim formado? +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=97&width=108&top_left_y=868&top_left_x=400) +B) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=100&width=416&top_left_y=866&top_left_x=681) +C) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=109&width=115&top_left_y=868&top_left_x=1256) +E) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=97&width=111&top_left_y=868&top_left_x=1555) + +8) José colou uma bandeirinha em cada um dos dois discos dentados que formam uma engrenagem, como mostra a figura ao lado: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=254&width=502&top_left_y=1044&top_left_x=1391) + +Os dois discos são exatamente iguais. José girou a engrenagem, e é claro que as bandeirinhas mudaram de posição. Qual é a nova posição das duas bandeirinhas? +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=231&width=440&top_left_y=1455&top_left_x=334) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=234&width=434&top_left_y=1456&top_left_x=868) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=231&width=446&top_left_y=1735&top_left_x=591) +E) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=229&width=443&top_left_y=1733&top_left_x=1092) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=231&width=454&top_left_y=1461&top_left_x=1349) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-06.jpg?height=314&width=539&top_left_y=1990&top_left_x=196) + +9) O desenho ao lado é a planta de uma casa, cujo piso é retangular, e no qual estão desenhados 7 quadrados numerados de 1 a 7 na figura. Se a área do menor desses quadrados é $1 \mathrm{~m}^{2}$, a área total do piso, em metros quadrados, é igual a: +A) 42 +B) 44 +C) 45 +D) 48 +E) 49 +10) O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24 . Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das situações a seguir: + +a) Os três algarismos são iguais. + +b) Os algarismos são todos diferentes. + +c) Apenas dois algarismos são iguais. + +1.(C) Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará $15 \times 8=120$. + +2. (B) Retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balança continua equilibrada, e restam 3 saquinhos no prato à esquerda e 6 bolas no prato da direita. Logo: + +$$ +\text { peso de } 3 \text { saquinhos = peso de } 6 \text { bolas. } +$$ + +Daí, concluímos que o peso de 1 saquinho é igual ao peso de 2 bolas. + +Esta solução corresponde a explicitar $\mathrm{x}$ em função de y na equação $5 x+4 y=2 x+10 y$, onde $x$ representa o peso de um saquinho e $y$ o de uma bola. Desta equação segue que: + +$$ +5 x-2 x=10 y-4 y \Rightarrow 3 x=6 y \Rightarrow x=2 y +$$ + +3. (B) Solução 1 - As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos correspondem, aproximadamente a mais da metade no frasco A, a metade no frasco B e menos da metade no frasco C. + +O único grupo de frações que corresponde a essas estimativas é: $\frac{2}{3}$ (mais que a metade); $\frac{1}{2}$ (metade); $\frac{1}{4}$ (menos que a metade). + +Solução 2 - As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos são números decrescentes. As únicas opções possíveis são B e E. Como $\frac{3}{3}=1$ e nenhum frasco está cheio, a resposta é B. + +4. (A) Solução 1 - Se num percurso de $25 \mathrm{~km}$ ela gasta 3 litros, então para percorrer $100 \mathrm{~km}$, Maria gastará $4 \times 3=12$ litros. Portanto, para percorrer $600 \mathrm{~km}$ o carro gastará $6 \times 12=72$ litros. Como cada litro custa 0,75 reais, então 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais. + +Solução 2 - Observe que podemos usar a Regra de Três para calcular quantos litros são gastos em $600 \mathrm{~km}$ : + +| 3 litros | | $25 \mathrm{~km}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $x$ litros | | | +| | | $600 \mathrm{~km}$ | + +Como esta regra de três é direta temos: $25 x=3 \times 600 \Rightarrow x=3 \times \frac{600}{5}=72$ litros. + +Solução 3 - Como $600=25 \times 24$, temos que o carro gastará $24 \times 3=72$ litros. + +5. (C) Na figura, vemos: 1 coluna com 3 caixas, 4 colunas com 2 caixas e 3 colunas com uma caixa. Logo, o total de caixas é $1 \times 3+4 \times 2+3 \times 1=14$. Como cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, o peso do monte de caixas é $14 \times 25=350 \mathrm{~kg}$. +6. (C) O algarismo 5 aparece nos números 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85 e 95 . Agora, como o livro é numerado de 1 a 100 , a $1^{\text {a }}$ folha contém as páginas 1 e 2 , a $2^{a}$ folha as páginas 3 e 4, a 3a folha as páginas 5 e 6 , e assim sucessivamente. Ou seja, as duas páginas que compõem cada folha têm a seguinte numeração: um número ímpar e o número par consecutivo. + +$$ +1,2 ; \underbrace{3,4} ; \ldots ; \underbrace{47,48} ; \underbrace{99,50} ; \underbrace{51,52} ; \ldots ; \underbrace{59,60} ; \ldots ; \underbrace{95,96} ; \underbrace{97,98} ; \underbrace{99,100} . +$$ + +Assim, estão numa mesma folha as seguintes duplas de números: $\underbrace{49,50 ;} \underbrace{51,52 ;} \underbrace{53,54 ;} \underbrace{55,56}$; 57,58; $\underbrace{59,60}$. Logo, neste grupo temos 6 folhas. Por outro lado, de 1 a 48 temos 5 folhas com o algarismo 5, e de 61 a 100, 4 folhas. Portanto, o total de folhas contendo o algarismo 5 em sua numeração é: $6+5+4=15$. + +7. (B) As opções A e E; C e D são iguais entre si e distintas de (B). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-08.jpg?height=220&width=392&top_left_y=1346&top_left_x=181) + +8. (A) A engrenagem desta questão é formada por dois discos dentados. Quando um deles gira no sentido horário, o outro gira no sentido antihorário. + +As 5 opções de resposta mostram a bandeira do disco à esquerda numa posição, que corresponde a uma rotação deste disco no sentido horário de um certo ângulo. Nesse caso, a engrenagem direita girou desse mesmo ângulo no sentido anti-horário, levando a bandeirinha para a posição indicada na primeira alternativa. + +9. (C) Solução 1 - Como os quadrados menores têm $1 m^{2}$ de área, cada um deles tem lado igual a $1 \mathrm{~m}$. Da figura concluímos que $B C=2 m$ e $B H=3 m$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-08.jpg?height=459&width=725&top_left_y=1992&top_left_x=194) + +Como $A B C D$ é um quadrado segue que $B C=C D=A D=A B=2 m$. Sendo $C D E F$ também um quadrado, temos $C D=D E=2 m$. Novamente da figura temos: $A H=A B+B H=2+3=5, \quad J E=J A+A D+D E$ e $J A=A H$. Segue que $J E=5+2+2=9$. Como $E G=A H=5$, as dimensões do terreno são $9 m$ de comprimento por $5 m$ de largura. Portanto, a sua área é $9 m \times 5 m=45 m^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-09.jpg?height=422&width=745&top_left_y=283&top_left_x=130) + +Solução 2 - Quadriculando o retângulo maior com quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, obtemos um retângulo ( $B F G H$ ) formado por 12 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, dois quadrados ( $A B C D$ e $D C F E$ ) formados por 4 quadrados cada um de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, e um quadrado ( $A H I J$ ) formado por 25 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Portanto, a área pedida é $12+4+4+25=45 \mathrm{~m}^{2}$. + +10. Nesta questão, o número 24 deve ser escrito como uma soma de 3 algarismos. Inicialmente, note que os algarismos $0,1,2,3,4$ e 5 não podem ser usados. Se um deles fosse usado, por exemplo o algarismo 5, então teríamos que encontrar dois algarismos cuja soma é 19 , pois 24-5=19. Sabemos que isso não é possível. O mesmo ocorre com os algarismos 0,1,2,3e 4. Logo, o número da casa de Júlia só pode ser composto pelos algarismos $6,7,8$ e 9 . + +a) Se os três algarismos são iguais então o número da casa é 888 . + +b) Se os três algarismos são diferentes, temos apenas as seguintes alternativas: + +Iniciando com o algarismo 9: $\quad 987$ e 978 + +Iniciando com o algarismo 8: $\quad 897$ e 879 + +Iniciando com o algarismo 7: $\quad 798$ e 789 + +Note que neste item o número da casa não pode iniciar com o algarismo 6 , pois 24-6=18, e a única maneira de escrever 18 como soma de dois algarismos é $9+9$, o que daria um número com dois algarismos iguais. + +c) Com apenas dois algarismos iguais temos 3 números: 996, 699 e 969 . + +1) O famoso matemático grego Pitágoras chamou de números triangulares os números obtidos pela soma dos primeiros números inteiros maiores que 0 . Por exemplo, 1, 3 , 6 e 10 são números triangulares: + +$$ +\begin{aligned} +1 & =1 \\ +3 & =1+2 \\ +6 & =1+2+3 \\ +10 & =1+2+3+4 +\end{aligned} +$$ + +A figura ilustra a motivação para o nome números triangulares. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-10.jpg?height=260&width=862&top_left_y=972&top_left_x=603) + +A seqüência de números triangulares continua com $1+2+3+4+5=15, \quad 1+2+3+4+5+6=21$, etc. Quantos são os números triangulares menores do que 100? + +2) Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível? +3) A sexta parte dos alunos de uma classe usam óculos. Dentre os que usam óculos, $\frac{1}{3}$ são meninas; além disso, 4 meninos usam óculos. Quantos são os alunos dessa classe? + +| | | $3 / 5$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $1 / 2$ | | +| 0,4 | 0,5 | | + +4) Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações de modo que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre a mesma. +5) Sejam $A, B$ e $C$ algarismos diferentes de zero tais que $(A B)^{2}=C A B$, isto é, o número de dois algarismos $A B$ elevado ao quadrado dá o número de 3 algarismos $C A B$. Determine o valor de $A+B+C$. +6) Uma faixa quadriculada tem 5 quadradinhos na largura e 250 quadradinhos no comprimento. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-11.jpg?height=437&width=1579&top_left_y=410&top_left_x=250) + +## 250 quadradinhos + +Alguns quadradinhos serão pintados de cinza, começando da esquerda, conforme o modelo ilustrado na figura, e continuando com este padrão até chegar ao final da faixa à direita. Quantos quadradinhos não serão pintados? + +7) João tem, em seu jardim, uma cisterna na qual ele armazena água de chuva e tira água para regar suas flores. À meia-noite do dia 31 de dezembro de 2005 a cisterna continha 156 litros de água. João tem o hábito de anotar em um quadro, todo dia, o número de litros de água gasta para regar as flores e de água recolhida da chuva. Abaixo vemos parte do quadro referente aos primeiros dias de 2006: + +| Data | litros de água
gastos para
regar as flores | litros de água
recolhidos da chuva | +| :---: | :---: | :---: | +| $1^{\circ}$ de janeiro | 6 | 2,5 | +| 2 de janeiro | 9 | 0 | +| 3 de janeiro | 0 | 5 | +| 4 de janeiro | 4 | 0 | +| 5 de janeiro | 9 | 3 | +| 6 de janeiro | 0 | 0 | +| 7 de janeiro | 11 | 4,5 | +| 8 de janeiro | 0 | 0 | + +Quantos litros de água havia na cisterna do João à meia noite do dia 8 de janeiro de 2006 ? + +1. Notamos que o segundo número triangular é obtido a partir do primeiro acrescentando-se $2, o$ terceiro é obtido do segundo acrescentando-se $3 \mathrm{e}$ assim por diante. Essa observação nos mostra como calcular os próximos números triangulares sem fazer muitas contas; por exemplo, já sabemos que o quarto número triangular é 10 , donde o quinto será $10+5=15$, o sexto sendo então $15+6=21$. Podemos assim escrever os números triangulares até passar de 100: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-12.jpg?height=128&width=1442&top_left_y=864&top_left_x=247) + +Logo, os números triangulares menores que 100, são: $1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78$ e 91 . Assim, temos 13 números triangulares menores do que 100 . + +2. Chamemos de $n$ o número de livros que a bibliotecária vai colocar em cada estante. Então temos: $130 \div n=$ número de estantes para os livros de Matemática e $195 \div n=$ número de estantes para os livros de Português. + +Isso mostra que $n$ deve ser um divisor comum de 130 e 195 , pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemos que quando aumentamos o denominador de uma fração, esta fração diminui (por exemplo: $\frac{27}{10}$ é menor do que $\frac{27}{8}$ ). Logo, quanto maior for o denominador $n$, menores serão as frações $\frac{130}{n}$ e $\frac{195}{n}$, o que significa que menor será o número de estantes utilizadas. Vemos assim que $n$ deve ser o maior divisor comum (MDC) de 130 e 195. Como $130=2 \times 5 \times 13$ e $195=3 \times 5 \times 13$ segue que o MDC de 130 e 195 é $5 \times 13=65$. + +Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante. Portanto, o número de estantes para os livros de Matemática é $130 \div 65=2$ e o número de estantes para os de Português é $195 \div 65=3$, o que dá um total de $2+3=5$ estantes. + +3. Nosso problema aqui é achar o número de alunos da classe. O enunciado diz que $\frac{1}{6}$ dos alunos usam óculos, e destes $\frac{1}{3}$ são meninas, isto é $\frac{1}{3}$ de $\frac{1}{6}$ são meninas. Como + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-13.jpg?height=140&width=1234&top_left_y=461&top_left_x=411) + +Como $\frac{1}{6}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}-\frac{1}{18}=\frac{3}{18}-\frac{1}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$, concluímos que $\frac{1}{9}$ da classe consiste de meninos que usam óculos, que são em número de 4 . Temos + +$\frac{1}{9}$ da classe $\xrightarrow{\text { corresponde a }} 4$ alunos +$\frac{9}{9}$ da classe $\xrightarrow{\text { corresponde a }} 4 \times 9=36$ alunos + +Logo, o número de alunos na classe é 36 . + +4. Para facilitar nossas contas, é conveniente reduzir todas as frações que aparecem a um mesmo denominador. Como $0,4=\frac{4}{10}$ e $0,5=\frac{5}{10}$, podemos reescrever a tabela como ao lado, onde indicamos com letras, os números + +| $\mathrm{a}$ | $\mathrm{c}$ | $6 / 10$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{b}$ | $5 / 10$ | $\mathrm{~d}$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $\mathrm{e}$ | + +que devemos calcular. + +O problema pede que a soma dos números em qualquer linha ou coluna e nas duas diagonais seja sempre a mesma. Olhando para a diagonal destacada no quadrado ao lado + +| $\mathrm{a}$ | $\mathrm{c}$ | $6 / 10$ | +| ---: | ---: | ---: | +| $\mathrm{b}$ | $5 / 10$ | $\mathrm{~d}$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $\mathrm{e}$ | + +vemos que esta soma é $\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$. Da $3^{\text {a linha temos então }}$ $\frac{4}{10}+\frac{5}{10}+e=\frac{15}{10}$, donde $e=\frac{6}{10}$; e da $2^{\mathrm{a}}$ coluna temos $\frac{5}{10}+\frac{5}{10}+c=\frac{15}{10}$, donde $c=\frac{5}{10}$. Colocando estes valores de $c$ e $e$ no quadrado, obtemos + +A 1a linha nos dá então $a+\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$, donde $a=\frac{4}{10} ;$ e da $3^{\mathrm{a}}$ coluna temos $\frac{6}{10}+d+\frac{6}{10}=\frac{15}{10}$, donde $d=\frac{3}{10}$. O quadrado então fica: + +Do mesmo modo achamos $b=\frac{7}{10}$ e o quadrado está completo: + +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $7 / 10$ | $5 / 10$ | $3 / 10$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | + +5. De acordo com a igualdade $(A B)^{2}=C A B, B$ é o último algarismo (o algarismo das unidades) $\operatorname{de}(A B)^{2}$ e também o último algarismo de $B^{2}$. Logo $B$ é um número entre 1 e 9 cujo quadrado também tem $B$ como seu último algarismo. Logo, os valores possíveis para $B$ são 1,5 e 6 , pois esses são os únicos algarismos (diferentes de zero) tais que cada um deles e seu respectivo quadrado têm o mesmo algarismo das unidades: + +$$ +1^{2}=1,5^{2}=25 \text { e } 6^{2}=36 +$$ + +$C A B$ é um número de 3 algarismos, logo é menor que 1000 . Por isso, $A$ não pode ser maior que 3, porque qualquer número da forma $(4 B)^{2}$ já é maior do que 1000 . De fato, se $A$ fosse maior que 3então $A$ seria no mínimo 4 ; então $A B$ seria no mínimo 41 , o que não pode acontecer pois $41^{2}=1681$ já é maior que 1000 . Logo, os valores possíveis para $A$ são 1,2 e 3 . + +Vamos analisar cada caso separadamente. + +10 caso: $B=1$. + +- se $A=1$ temos $11^{2}=121$, o que implica $C A 1=121$, donde $A=2$; +- se $A=2$ temos $21^{2}=441$, o que implica $C A 1=441$, donde $A=4$, +- se $A=3$ temos $31^{2}=961$, o que implica $C A 1=961$, donde $A=6$. + +Em qualquer caso chegamos a uma contradição, logo o caso $B=1$ está excluído. + +2o caso: $B=5$ + +Nesse caso, $(\mathrm{AB})^{2}$ termina em 25; isto é $(A B)^{2}=(A 5)^{2}=C 25$. Temos então $C A 5=C 25$, donde $A=2$. Como $25^{2}=625$, concluímos que $C=6$. + +3o caso: $B=6$ + +Aqui, $(A B)^{2}$ acaba em 36, isto é $(A B)^{2}=(A 6)^{2}=C 36$. Logo,$C A 6=C 36$ donde $A=3$ e segue que $A B=36$. Como $36^{2}=1296$ é um número com quatro algarismos, chegamos a uma outra contradição. Logo excluímos a possibilidade $B=6$. + +Desse modo, a única possibilidade é $A=2, B=5$ e $C=6$, onde temos $A+B+C=13$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-15.jpg?height=394&width=325&top_left_y=408&top_left_x=200) + +6. Para pintar a faixa conforme o modelo, o retângulo padrão (aquele que se repete por toda a faixa) é o retângulo de 5 linhas e 4 colunas mostrado na figura ao lado; nele temos 7 quadradinhos pintados e 13 não pintados. Precisamos saber quantos retângulos padrão cabem na faixa. A faixa tem 250 colunas e cada retângulo padrão tem 4 colunas. Da divisão de 250 por 4 temos que $250=4 \times 62+2$, e concluímos que na faixa cabem 62 retângulos padrão, sobrando ainda duas colunas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-15.jpg?height=454&width=1173&top_left_y=921&top_left_x=447) + +Nos 62 retângulos padrão temos $62 \times 13=806$ quadradinhos não pintados. Falta agora verificar quais os quadradinhos não pintados nas duas colunas finais. A figura mostra como são as duas colunas de acordo com o modelo. Nessas colunas temos 6 quadradinhos não pintados. Finalmente, o número de quadradinhos não pintados em toda a faixa é $806+6=812$. + +7. O dia $1^{\circ}$ de janeiro começa com 156 litros de água na cisterna, e a partir daí a cisterna recebe água da chuva e perde água para a rega das flores. Como no dia 8 não houve alteração na quantidade de água na cisterna, então o número de litros de água na cisterna no dia 8 é + +$156+$ litros de água de chuva do dia 1 ao dia 7 -litros de água para regar do dia 1 ao dia 7 + +O enunciado diz que a segunda parcela da expressão acima é a soma dos números da 3a coluna, que é $2,5+0+5+0+3+0+4,5=15$, e a terceira parcela é a soma dos números da $2^{a}$ coluna da tabela, que é $6+9+0+4+9+0+11=39$. Logo, o número de litros na cisterna à meia noite do dia 8 é $156+15-39=132$. + +1) Da igualdade $9174532 \times 13=119268916$ pode-se concluir que um dos números abaixo é divisível por 13. Qual é este número? +A) 119268903 +B) 119268907 +C) 119268911 +D) 119268913 +E) 119268923 +2) Arnaldo disse que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. O Professor Piraldo o corrigiu e disse, corretamente, que um bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre o valor correto de um bilhão e a resposta de Arnaldo? +A) 1000 +B) 999000 +C) 1000000 +D) 999000000 +E) 999000000000 +3) Com a energia fornecida por um litro de mel, uma abelha consegue voar 7.000 quilômetros. Quantas abelhas conseguiriam voar 1 quilômetro, cada uma, com a energia fornecida por 10 litros de mel? +A) 7000 +B) 70000 +C) 700000 +D) 7000000 +E) 70000000 +4) Um agricultor esperava receber cerca de $R \$ 100.000,00$ pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre $\frac{1}{5} \mathrm{e} \frac{1}{4}$ do total previsto. Qual dos valores a seguir pode representar a perda do agricultor? +A) $\mathrm{R} \$ 21.987,53$ +B) $\mathrm{R} \$ 34.900,00$ +C) $\mathrm{R} \$ 44.999,99$ +D) $\mathrm{R} \$ 51.987,53$ +E) $\mathrm{R} \$ 60.000,00$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-16.jpg?height=405&width=434&top_left_y=2065&top_left_x=183) + +5) Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de 4 metros de lado, pintado de forma simétrica com, partes em cinza, conforme desenho ao lado. Qual é a fração da área da placa que foi pintada? +A) $\frac{1}{2}$ +B) $\frac{1}{3}$ +C) $\frac{3}{8}$ +D) $\frac{6}{13}$ +E) $\frac{7}{11}$ +6) Diamantino colocou em um recipiente três litros de água e um litro de refresco. $\mathrm{O}$ refresco é composto de $20 \%$ de suco de laranja e $80 \%$ de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja? +A) $5 \%$ +B) $7 \%$ +C) $8 \%$ +D) $20 \%$ +E) $60 \%$ +7) Nove amigos compraram 3 bolos, cada um deles cortado em oito fatias. Todos comeram bolo e não sobrou nenhum pedaço. Sabendo que cada um só comeu fatias inteiras do bolo, podemos ter certeza de que: + +A) Alguém comeu quatro fatias. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-17.jpg?height=257&width=489&top_left_y=700&top_left_x=1383) + +B) Um deles comeu somente uma fatia. + +C) Todos comeram duas fatias pelo menos. + +D) Uns comeram duas fatias e os demais comeram três fatias. + +E) Um deles comeu, no mínimo, três fatias. + +8) Uma seqüência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, como se segue: o primeiro é formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo de quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos; e assim sucessivamente, como indica a figura. Se numa seqüência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-17.jpg?height=484&width=1340&top_left_y=1773&top_left_x=358) +A) 55 +B) 65 +C) 75 +D) 85 +E) 100 +9) No último campeonato de futebol da escola do Marcelo participaram 6 equipes. Cada equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de classificação do campeonato, onde: + +| Equipe | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{G P}$ | $\mathbf{G C}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\boldsymbol{A}$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 | +| $\boldsymbol{B}$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 | +| $\boldsymbol{C}$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 | +| $\boldsymbol{D}$ | 1 | 1 | $\boldsymbol{y}$ | 3 | 6 | +| $\boldsymbol{E}$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 | +| $\boldsymbol{F}$ | $\boldsymbol{x}$ | 1 | 0 | $\boldsymbol{z}$ | 3 | + +- V é o número de vitórias de uma equipe +- E é o número de empates +- D é o número de derrotas +- GP é o número de gols feitos por um time +- GC é o número de gols sofridos + +a) Quantas partidas foram disputadas? + +b) Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols feitos pela equipe $F$, representados por $x, y$ e $z$ na tabela. + +10) Um bloco retangular de madeira tem $320 \mathrm{~cm}$ de comprimento, $60 \mathrm{~cm}$ de largura e $75 \mathrm{~cm}$ de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos também retangulares de $80 \mathrm{~cm}$ de comprimento por $30 \mathrm{~cm}$ de largura por $15 \mathrm{~cm}$ de altura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-18.jpg?height=620&width=711&top_left_y=1546&top_left_x=570) + +a) Quantas peças foram obtidas? + +b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 quilogramas. Qual é o peso de cada uma dessas peças? + +1. (A) Como 119268916 é divisível por 13, já que $9174532 \times 13=119268916$,podemos concluir que os números divisíveis por 13 são aqueles obtidos somando-se ou subtraindo-se múltiplos de 13 ao número 119 268916. Dentre os números apresentados, o número 119 268916-13=119268903 é o único divisível por 13 . +2. (E) Arnaldo disse que 1 bilhão $=1000000 \times 1000000=1000000000000=10^{12}$. O Professor Piraldo corrigiu-o, dizendo que 1 bilhão $=1000 \times 1000000=1000000000=10^{9}$. A diferença é: $10^{12}-10^{9}=10^{9}\left(10^{3}-1\right)=999 \times 10^{9}=999000000000$ +3. (B) A energia gasta por uma abelha para voar 7.000 quilômetros é a mesma que 7.000 abelhas gastam para voar 1 quilômetro cada. Como o número de litros de mel foi multiplicado por 10, temos energia suficiente para que 10 vezes este número de abelhas voem 1 quilômetro cada, ou seja, 70.000 abelhas. Note que poderíamos ter também 7.000 abelhas voando 10 quilômetros cada, entre outras alternativas. +4. (A) Como $\frac{1}{5}$ de $100000=\frac{100000}{5}=20000$ e $\frac{1}{4}$ de $100000=\frac{100000}{4}=25000$, concluímos que a perda da safra está avaliada entre $R \$ 20.000,00$ e $R \$ 25.000,00$. Logo, um possível valor para a perda é $R \$ 21.987,53$. +5. (C) Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou, equivalentemente, 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área pintada em relação à área da placa é $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. +6. (A) O refresco é composto de $20 \%$ de um litro $=0,2$ litros de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-19.jpg?height=426&width=440&top_left_y=1443&top_left_x=1345) +suco e $80 \%$ de um litro $=0,8$ litros de água. Logo, a mistura final tem 0,2 litros de suco e $3+0,8=3,8$ litros de água. A porcentagem de suco em relação ao volume da mistura é então $\frac{\text { volume de suco }}{\text { volume total }}=\frac{0,2}{4}=\frac{2}{40}=0,05=5 \%$. + +7. (E) Temos um total de $8 \times 3=24$ fatias de bolo que foram comidas. Como todos comeram bolo, inicialmente cada um dos 9 amigos comeu uma fatia. Sobraram ainda $24-9=15$ fatias para serem comidas por 9 pessoas. Nesta situação, obrigatoriamente uma certa pessoa $X$ deve ter comido pelo menos 2 dessas 15 fatias. Caso contrário, isto é, se todas as 9 pessoas tivessem comido menos do que 2 fatias significaria que poderíamos escrever o número 15 como uma soma de 9 parcelas cada uma delas sendo 0 (os que não comeram das 15 fatias) ou 1 (os que comeram 1 fatia das 15 ), o que claramente não é possível. Como esta pessoa $X$ já havia comido inicialmente 1 fatia, concluímos que ela comeu no mínimo 3 fatias. +8. (A) No primeiro mosaico, temos $3+3+1+1=8$ azulejos pretos; no segundo, temos $4+4+2+2=12$; no terceiro, temos $5+5+3+3=16$; não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como $8+12+16+20+24=80$, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Finalmente, o número total de azulejos brancos nesta seqüência de cinco mosaicos é: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-20.jpg?height=362&width=1442&top_left_y=500&top_left_x=316) +9. a) Podemos contar, por listagem, quantas foram as partidas: $A^{\prime} B, A^{\prime} C, A^{\prime} D, A^{\prime} E, A^{\prime} F, B^{\prime} C, B^{\prime} D$, $B^{\prime} E, A^{\prime} F, C^{\prime} D, C^{\prime} E, C^{\prime} F, D^{\prime} E, D^{\prime} F$ e $E^{\prime} F$, num total de 15 partidas. + +Por outro lado, podemos contar de um modo mais geral, como se segue. Como cada equipe jogou com todas as outras, segue que cada equipe jogou 5 partidas. Parece então que o número total de partidas foi de 5 partidas por equipe $\times 6$ equipes $=30$ partidas . No entanto, nesta contagem cada partida foi contada duas vezes; por exemplo, o jogo entre os times $A$ e $B$ foi contado como $A \times B$ e como $B \times A$. Logo, o número correto de partidas jogadas é $\frac{30}{2}=15$. + +b) Como vimos no item (a), cada time jogou 5 partidas. Desse modo, a soma do número de vitórias, empates e derrotas de um mesmo time deve ser igual a 5; por exemplo, para o time $A$, observamos na tabela 4 vitórias +1 empate +0 derrotas $=5$ partidas. Aplicando este raciocínio ao time $F$, temos $x+1+0=5$, donde $x=4$. Do mesmo modo, para a equipe $D$ temos $1+1+y=5$, donde $y=3$. Notamos agora que em um campeonato de futebol o número de gols feitos é igual ao número de gols sofridos. Logo $\underbrace{6+6+2+3+1+z}_{\text {Gols feitos }}=\underbrace{2+6+6+6+5+3}_{\text {Gols sofridos }}$, donde $18+z=28$, ou seja, $z=10$. + +10. a) As dimensões do bloco maior são $320 \times 60 \times 75$ e as dos blocos menores $80 \times 30 \times 15$. Logo, no bloco maior o comprimento foi dividido por $320 \div 80=4$, a largura foi dividida $60 \div 30=2$ e a altura foi dividida por $75 \div 15=5$. Portanto teremos um total de $4 \times 2 \times 5=40$ peças distribuídas em cinco camadas de oito peças cada, conforme ilustrado no desenho ao lado. + +b) O volume de um bloco retangular é dado por comprimento $\times$ largura $\times$ altura. Logo, o volume de cada um dos blocos menores é $80 \times 30 \times 15=36000 \mathrm{~cm}^{3}$. O enunciado do problema nos dá o peso de um metro cúbico de madeira; para saber o peso de um dos blocos pequenos devemos primeiro saber seu volume em metros cúbicos, ou seja, fazer a conversão de $36000 \mathrm{~cm}^{3}$ para $\mathrm{m}^{3}$.Como $1 \mathrm{~cm}^{3}=10^{-6} \mathrm{~m}^{3}=0,000001 \mathrm{~m}^{3}$, para fazer esta conversão basta deslocar a vírgula 6 casas para a esquerda; obtemos então $36000 \mathrm{~cm}^{3}=0,036 \mathrm{~m}^{3}$. Logo o peso de um bloco pequeno é $0,036 \times 900=32,4$ quilogramas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-20.jpg?height=580&width=651&top_left_y=2049&top_left_x=1202) + +1) Uma turma da escola fez uma eleição para eleger seu representante. Três candidatos concorreram à eleição: João, Rosa e Marcos. João teve $\frac{2}{7}$ dos votos, Rosa teve $\frac{3}{5}$ dos votos. Quem ganhou a eleição? +2) Qual é o valor de $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}$ ? +A) 0 +B) 2 +C) 4 +D) $4^{2}$ +E) $4^{4}$ +3) Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior com um dos lados medindo $21 \mathrm{~cm}$, como na figura. Qual é a área do retângulo maior? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=346&width=583&top_left_y=969&top_left_x=928) +A) $210 \mathrm{~cm}^{2}$ +B) $280 \mathrm{~cm}^{2}$ +C) $430 \mathrm{~cm}^{2}$ +D) $504 \mathrm{~cm}^{2}$ +E) $588 \mathrm{~cm}^{2}$ + +4) Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu $50 \%$. Hoje a soma das populações das duas cidades é de 9000 habitantes. Há três anos, qual era a soma destas duas populações? +A) 3600 +B) 4500 +C) 5000 +D) 7200 +E) 7500 +5) As balanças (1) e (2) da figura abaixo estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmo peso; todos os quadrados também têm o mesmo peso, assim como os círculos. Quantos quadrados devem ser colocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique em equilíbrio? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=194&width=439&top_left_y=2202&top_left_x=223) + +(1) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=217&width=443&top_left_y=2196&top_left_x=772) + +(2) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-21.jpg?height=225&width=483&top_left_y=2189&top_left_x=1346) + +(3) +A) 7 +B) 8 +C) 9 +D) 10 +E) 12 + +6) Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos? +A) 3 +B) 4 +C) 5 +D) 6 +E) 7 +7) Uma calculadora possui duas teclas especiais: + +- a tecla A que duplica o número que aparece no visor +- a tecla $B$ que acrescenta uma unidade ao número que aparece no visor. + +Por exemplo, se o número 45 estiver inicialmente no visor e a tecla $\mathrm{B}$ for apertada, o visor mostrará o número 46 . Se, em seguida, apertarmos a tecla $\mathrm{A}$, o visor mostrará $\mathrm{o}$ número 92 . Nesse exemplo, apertamos ao todo 2 vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B: uma vez a tecla B, e depois uma vez a tecla A, para, a partir de 45 , chegarmos ao 92 . + +Suponha que o número no visor seja 1. + +a) Indique uma maneira de obter o número 10 apertando um total de 4 vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B. + +b) Indique uma maneira de obter o número 15 apertando um total de 6 vezes as teclas A e B. + +c) Indique uma maneira de obter o número 100 apertando um total de 8 vezes as teclas A e B. + +1. João recebeu: $\frac{2}{7}$ do total de votos; Rosa recebeu: $\frac{3}{5}$ do total de votos e Marcos recebeu: $1-\left(\frac{2}{7}+\frac{3}{5}\right)=1-\frac{31}{35}=\frac{4}{35}$ do total de votos. O vencedor foi aquele que obteve a maior fração dos votos. Para comparar essas frações igualamos seus denominadores: $\frac{2}{7}=\frac{10}{35}$ e $\frac{3}{5}=\frac{21}{35}$. Daí segue que $\underbrace{\frac{4}{35}}_{\text {Marcos }}<\underbrace{\frac{2}{7}}_{\text {João }}<\underbrace{\frac{3}{5}}_{\text {Rosa }}$, e portanto, Rosa venceu a eleição. Comentário: É muito interessante notar que a resposta não depende do número de alunos da turma. +2. (A) Solução 1: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=4 \times\left(2^{2}\right)^{3}-4^{4}=4 \times 4^{3}-4^{4}=4^{4}-4^{4}=0$ + +Solução 2: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=4(2^{6}-\underbrace{4^{3}})=4\left[2^{6}-2^{6}\right]=0$ + +$$ +\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6} +$$ + +Solução 3: Temos: $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}=2^{2} \times 2^{6}-\left(2^{2}\right)^{4}=2^{8}-2^{8}=0$ + +3. (E) A partir da figura, vemos que o comprimento $a$ dos retângulos menores é o dobro da sua largura $b$, isto é, $a=2 b$. Temos então $a+b=2 b+b=3 b=21$, ou seja, $b=7 \mathrm{~cm}$ e $a=14 \mathrm{~cm}$. Portanto, o comprimento do retângulo maior é $4 b=28$ e sua área é $21 \times 28=588 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-23.jpg?height=408&width=460&top_left_y=1372&top_left_x=1432) + +4. (D) Solução 1: Seja $p$ a população de Tucupira há três anos. Como esta população cresceu de $50 \%$, atualmente Tucupira tem $p+50 \%$ de $p$ habitantes, ou seja $p+\frac{50}{100} p=p+0,5 p=1,5 p$ habitantes. Como a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e há 3 anos era igual à de Tucupira, podemos concluir que a população atual de Pirajussaraí é $p$. Hoje, a soma das populações das duas cidades é $9000 ; \log$, $p+1,5 p=9000$, donde $p=\frac{9000}{2,5}=3600$. Portanto, a soma das duas populações, há 3 anos, era de $3600 \times 2=7200$ habitantes. + +Solução 2: De 2003 a 2006 a população de Tucupira cresceu 50\%, logo em 2006 esta população corresponde a $150 \%$ da população em 2003. Já a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e em 2003 era igual à de Tucupira. Temos então: + +$$ +\underbrace{\text { Populacão de Tucupira em } 2006}_{\begin{array}{c} +\text { corresponde a 150\% da } \\ +\text { populaçao de Tucupira em } 2003 +\end{array}}+\underbrace{\text { População de Pirajussaraí em } 2006}_{\begin{array}{c} +\text { corresponde a 100\% da } \\ +\text { populaçao de Tucupira em } 2003 +\end{array}}=9000 +$$ + +Logo, podemos concluir que em 2006 a soma das populações das duas cidades corresponde a $250 \%$ da população de Tucupira em 2003, como essa soma é 9000 temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-24.jpg?height=210&width=874&top_left_y=475&top_left_x=592) + +Portanto, a soma das duas populações há 3 anos era de $3600 \times 2=7200$ habitantes. + +5. (D) Na primeira balança temos $3 \boldsymbol{\bullet}+1 \bullet=6 \square$; na segunda temos $2 \boldsymbol{\Delta}+4 \bullet=8 \square$, o que é equivalente a $1 \boldsymbol{\bullet}+2 \bullet=4 \boldsymbol{\bullet}$. Logo $(3 \boldsymbol{\bullet}+1 \bullet)+(1 \boldsymbol{\bullet}+2 \bullet)=6 \boldsymbol{\bullet}+4 \boldsymbol{\bullet}$, ou seja, $4 \boldsymbol{\bullet}+3 \bullet=10 \boldsymbol{\bullet}$. Logo será necessário colocar 10 quadrados no prato direito da balança (3) para que ela fique em equilíbrio. +6. (C) Um ano normal tem 365 dias e o ano bissexto 366 . Da divisão de 365 por 7 , obtemos $365=52 \times 7+1$ e da divisão de 366 por 7 obtemos $366=52 \times 7+2$. Logo: + +$$ +\begin{aligned} +\text { ano normal } & =52 \text { semanas }+1 \mathrm{dia} \\ +\text { ano bissexto } & =52 \text { semanas }+2 \mathrm{dias} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, um ano normal ou bissexto tem no mínimo 52 domingos e no máximo 53 domingos ( 1 domingo para cada uma das 52 semanas e talvez outro domingo para os 1 ou 2 dias que completam o ano). + +Cada um dos doze meses do ano tem no mínimo 4 domingos. Logo, cada ano tem no mínimo $12 \times 4=48$ domingos. + +(i) Num ano de 52 domingos, como cada mês tem no mínimo 4 domingos, sobram ainda $52-48=4$ domingos. Cada um desses ficará num mês diferente, porque nenhum mês tem 6 domingos. Temos então 4 meses com 5 domingos. + +(ii) Analogamente, num ano com 53 domingos restaram 5 domingos, que ficarão um em cada mês diferente. Portanto teremos 5 meses com 5 domingos + +7. Com o número 1 no visor devemos aplicar sucessivamente as operações das teclas A e B para obter o número desejado. + +$\begin{array}{llllllll}\text { A A B } & \text { B } & \text { B } & \text { A } & \text { B } & \text { A }\end{array}$ + +(a) $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 10$ ou $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 10$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-24.jpg?height=88&width=1168&top_left_y=2446&top_left_x=313) + +$\begin{array}{lllllllllllllll}\text { A } & \text { B A } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { B } & \text { A } & \text { A } & \text { A } & \text { B } & \text { A } & \text { A }\end{array}$ + +(c) $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 25 \rightarrow 50 \rightarrow 100$ ou $\quad 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 25 \rightarrow 50 \rightarrow 100$ + +1) A metade do número $2^{12}+3 \times 2^{10}$ é: +A) $2^{6}+3 \times 2^{5}$ +B) $2^{6}+3 \times 2^{10}$ +C) $2^{11}+3 \times 2^{5}$ +D) $2^{11} \times 7$ +E) $2^{9} \times 7$ +2) Neste momento são 6 horas e 27 minutos da tarde. Qual era o horário 2880717 minutos mais cedo? +A) $6 \mathrm{he} 22 \mathrm{~min}$ +B) $6 \mathrm{he} 24 \mathrm{~min}$ +C) $6 \mathrm{he} 27 \mathrm{~min}$ +D) $6 \mathrm{he} 30 \mathrm{~min}$ +E) $6 \mathrm{he} 32 \mathrm{~min}$ +3) Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31, no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus? +A) 8 +B) 13 +C) 16 +D) 26 +E) 31 +4) Em qual das alternativas abaixo aparecem dois pedaços de papelão com os quais podese construir um cubo, dobrando pelas linhas tracejadas e colando pelas linhas contínuas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=202&width=302&top_left_y=1675&top_left_x=640) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=197&width=286&top_left_y=1672&top_left_x=1159) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=201&width=256&top_left_y=1901&top_left_x=683) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=131&width=234&top_left_y=1945&top_left_x=1165) +E) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-25.jpg?height=189&width=214&top_left_y=2144&top_left_x=704) + +5) O algarismo das unidades do número $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$ é: +A) 1 +B) 3 +C) 5 +D) 7 +E) 9 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-26.jpg?height=248&width=963&top_left_y=233&top_left_x=227) + +6) A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. Qual fração da área do retângulo é sombreada? +A) $\frac{7}{18}$ +B) $\frac{4}{9}$ +C) $\frac{1}{3}$ +D) $\frac{5}{9}$ +E) $\frac{1}{2}$ +7) O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-26.jpg?height=335&width=471&top_left_y=889&top_left_x=1312) +A) 12 +B) 6 +C) 10 +D) 24 +E) 120 + +8) As nove casas de um tabuleiro $3 \times 3$ devem ser pintadas de forma que em cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não hajam duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso? +A) 3 +B) 4 +C) 5 +D) 6 +E) 7 +9) Considere um número escrito na forma $X, Y$, onde $X$ e $Y$ são algarismos diferentes de 0 . Determine esse número sabendo que ele é igual a $\frac{3}{10}(X+Y)$. +10) Em um mesmo lado de uma rua serão construídas 6 casas vizinhas. As casas podem ser de tijolo ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção dessas casas? +1. (E) Antes de dividir a expressão por 2, colocamos $2^{10} \mathrm{em}$ evidência: $2^{12}+3 \times 2^{10}=2^{10}\left(2^{2}+3 \times 1\right)=2^{10} \times 7$. Logo: $\frac{2^{12}+3 \times 2^{10}}{2}=\frac{2^{10} \times 7}{2}=2^{9} \times 7$. +2. (D) Dividindo 2880717 por 60 , obtemos $2880717=48011 \times 60+57$. Isso significa que $2880717 \mathrm{~min}=48011 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}$. Dividindo 48011 por 24 , obtemos $48011=2000 \times 24+11$. Podemos então escrever: + +$$ +2880717 \mathrm{~min}=\underbrace{48000 \mathrm{~h}}_{2000 \mathrm{dias}}+11 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min} +$$ + +Os 2000 dias não interferem no horário que estamos procurando. Como 6 horas e 27 minutos da tarde são exatamente 18 horas e 27 minutos, a resposta é $18 \mathrm{~h} 27 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=17 \mathrm{~h} 87 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=6 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$. + +3. (B) $\mathrm{O}$ número total de alunos nos dois ônibus é $57+31=88 \mathrm{e} \frac{88}{2}=44$. Para que cada ônibus tenha o mesmo número de alunos, devem então passar $57-44=13$ alunos do primeiro para o segundo ônibus. +4. (E) Com as peças abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-27.jpg?height=189&width=208&top_left_y=1590&top_left_x=867) + +5. (C) O último algarismo de um múltiplo de 5 é 0 ou 5 ; os que terminam em 0 são pares e os que terminam em 5 são ímpares. Como $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99$ é múltiplo de $5 \mathrm{e}$, sendo um produto de números ímpares, também é ímpar; segue que o seu algarismo das unidades é 5 . +6. (B) A parte sombreada consiste de 10 metades de quadrados mais 3 quadrados inteiros, o que equivale a $\frac{10}{2}+3=5+3=8$ quadrados inteiros. Logo, a fração que representa a parte sombreada é $\frac{\text { área sombreada }}{\text { área total }}=\frac{\text { área de } 8 \text { quadrados }}{\text { área de } 18 \text { quadrados }}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$ +7. (B) O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado $\mathrm{B}$, temos duas possibilidades e os demais estados têm suas cores determinadas ( 1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de $3 \times 2=6$ formas. Abaixo ilustramos duas destas maneiras de pintar o mapa; em ambas o estado A tem a mesma cor. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-28.jpg?height=298&width=992&top_left_y=573&top_left_x=538) +8. (C) Para satisfazer as condições do problema, as cinco casas marcadas com ${ }^{*}$ devem ter cores diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-28.jpg?height=243&width=266&top_left_y=1135&top_left_x=244) + +Por isso, precisaremos, no mínimo, de 5 cores distintas. Chamemos de $1,2,3,4$ e 5 as cinco cores distintas que usaremos para colorir essas 5 casas, e vamos determinar como podemos escolher as cores para as 4 casas restantes para satisfazer as condições pedidas. + +| 1 | | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 3 | | +| 2 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 2 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 3 | 1 | +| 2 | 4 | 5 | + +Logo, podemos colorir as 4 casas restantes sem utilizar mais cores. Assim, bastam 5 cores. Outros exemplos de colorações são: + +| 2 | | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 1 | | +| 5 | | 4 | + + +| 2 | 4 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 1 | 2 | +| 5 | 2 | 4 | + + +| 1 | | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 4 | | +| 3 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| 2 | 4 | 1 | +| 3 | 2 | 5 | + + +| 1 | | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 2 | | +| 4 | | 3 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 2 | 4 | +| 4 | 1 | 2 | + +9. Temos $X, Y=X+\frac{Y}{10}=\frac{10 X+Y}{10}$, o enunciado nos diz que $\frac{10 X+Y}{10}=\frac{3}{10}(X+Y)$. Logo $10 X+Y=3 X+3 Y$, ou seja, $7 X=2 Y$. Concluímos que $2 Y$ é múltiplo de 7 , e como $Y$ é um número inteiro entre 1 e 9 , só temos a possibilidade $Y=7$, donde $X=2$. Assim, $o$ número é 2,7 . +1) $9^{20}+9^{20}+9^{20}$ é igual a: +(A) $9^{20}$ +(B) $3^{66}$ +(C) $9^{23}$ +(D) $3^{41}$ +(E) $3^{23}$ +2) Miguel escolheu um número de 3 algarismos e outro de 2 algarismos. Qual é a soma desses números se a sua diferença é 989 ? +(A) 1000 +(B) 1001 +(C) 1009 +(D) 1010 +(E) 2005 +3) Qual é o menor número natural $n$ para o qual $10^{n}-1$ é múltiplo de 37 ? +(A) 6 +(B) 5 +(C) 4 +(D) 3 +(E) 2 +4) Num certo país com 14 milhões de habitantes, $0,15 \%$ da população contraiu uma certa gripe. Quantos habitantes não contraíram a gripe? +(A) 13979000 +(B) 1397900 +(C) 139790 +(D) 13979 +(E) 139790000 +5) O Código Secreto. O código secreto de um grupo de alunos é um número de 3 algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código com as seguintes informações: + +123 Nenhum algarismo correto + +$4 \quad 5 \quad 6$ Um só algarismo correto na posição certa + +612 Um só algarismo correto, mas na posição errada + +$\begin{array}{llll}5 & 4 & 7 & \text { Um só algarismo correto, mas na posição errada }\end{array}$ + +$8 \quad 4 \quad 3$ Um só algarismo correto na posição certa +(A) 137 +(B) 876 +(C) 768 +(D) 678 +(E) 576 + +1. (D) $9^{20}+9^{20}+9^{20}=3 \times 9^{20}=3 \times\left(3^{2}\right)^{20}=3 \times 3^{40}=3^{41}$. +2. (C) Como a diferença é 989 e o menor número tem 2 algarismos (logo, é maior do que 9), o número de 3 algarismos tem que ser maior do que $989+9=998$, logo a única opção é 999. + +Logo, o número de 2 algarismos é 10 , e a soma dos dois é $999+10=1009$. + +3. (D) Observe que $10^{n}-1$ é um número que tem todos os seus algarismos iguais a 9. Os menores múltiplos de 37 terminados em 9 são: + +$37 \times 7=259,37 \times 17=629,37 \times 27=999$. Como $999=10^{3}-1$, segue que $n=3$. + +4. (A) Os que não contraíram a gripe representam $100 \%-0,15 \%=99,85 \%$ da população. Temos: $99,85 \%$ de 14 milhões $=\frac{99,85}{100} \times 14000000=\frac{9985}{10000} \times 14000000=9985 \times 1400=13979000$ +5. (B) O código pode ser formado com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 . + +Da 1a informação temos que 1,2 e 3 não fazem parte do código. Da 3a informação, concluímos que 6 faz parte do código, e sua posição é _ 6 _ ou _- 6 . + +| 1 | 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 5 | 6 | +| 6 | 1 | 2 | +| 5 | 4 | 7 | +| 8 | 4 | 3 | + +Da $2^{\text {a }}$ informação segue que $4 \mathrm{e} 5$ não fazem parte do código e a posição do 6 no código é _- 6 . Da última informação tem só que o código é da forma $8 \_6$. Com a $4^{\text {a }}$ informação completamos o código:876. + +| 1 | 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 5 | 6 | +| 6 | 1 | 2 | +| 5 | 4 | 7 | +| 8 | 4 | 3 | + +1) $2-2\{2-2[2-2(4-2)]\}$ é igual a: +(A) 0 +(B) 2 +(C) -2 +(D) 4 +(E) -10 +2) Escrevendo as frações em ordem crescente $\frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{4}{6}, \frac{3}{5}, \frac{6}{5}$, $\frac{2}{5}$, encontramos: +(A) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ +(B) $\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$ +(C) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{3}<\frac{6}{5}$ +(D) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ +(E) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}$ +3) Quantos números maiores que 200 podem ser escritos, usando-se apenas os algarismos 1,3 e 5 ? +(A) 10 +(B) 12 +(C) 14 +(D) 15 +(E) 18 +4) Uma maratona de $52 \mathrm{~km}$ começou às $11: 30$ horas e o vencedor terminou às $12: 45$ horas do mesmo dia. Qual foi a velocidade média do vencedor em $\mathrm{km} / \mathrm{hora}$ ? +(A) 35 +(B) 38 +(C) 39,5 +(D) 41,6 +(E) 52 +5) Cinco alunas escreveram cada uma um número num papel, os números só podiam ser 1 ou 2 ou 4 . Qual pode ser o produto dos cinco números escritos? +(A) 100 +(B) 120 +(C) 256 +(D) 768 +(E) 2048 +1. (E) As ordens de prioridade para resolver uma expressão são: + +$\underbrace{\text { parênteses }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3^{\circ}}$ e $\underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2^{\circ}}$ + +Temos: + +$$ +\begin{aligned} +& 2-2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\}=2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}= \\ +& =2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\}=2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10 +\end{aligned} +$$ + +2. (A) Solução 1: Temos: $\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}$ (frações de mesmo numerador, a menor é a que tem o maior denominador) e $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$ (frações de mesmo denominador, a menor é a que tem o menor numerador). As duas maiores são $\frac{4}{3}$ e $\frac{6}{5}$ por serem as únicas maiores do que 1 (numerador maior do que denominador). Temos $\frac{4}{3}=\frac{20}{15}$ e $\frac{6}{5}=\frac{18}{15} \Rightarrow \frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ e logo: $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. Falta apenas "encaixar" $4 / 6=2 / 3$. Note que $\frac{2}{5}<\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ e $\frac{4}{6}<\frac{4}{5}$. Como, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ e $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, segue que $\frac{3}{5}<\frac{4}{6}$ Finalmente, temos: $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. + +Solução 2: Escrevendo as frações na forma decimal, obtemos: + +$$ +\frac{4}{3}=1,333 \ldots ; \frac{4}{5}=0,8 ; \frac{4}{6}=0,666 \ldots ; \frac{3}{5}=0,6 ; \frac{6}{5}=1,2 ; \frac{2}{5}=0,4 +$$ + +Logo: $\underbrace{0,4}_{\frac{2}{5}}<\underbrace{0,6}_{\frac{3}{5}}<\underbrace{0,666 \ldots}_{\frac{4}{6}}<\underbrace{0,8}_{\frac{4}{5}}<\underbrace{1,2}_{\frac{6}{5}}<\underbrace{1,333 \ldots}_{\frac{4}{3}}$ + +Solução 3: Escrevendo as frações com o mesmo denominador comum, temos: $\frac{4}{3}=\frac{40}{30} ; \frac{4}{5}=\frac{24}{30} ; \frac{4}{6}=\frac{20}{30} ; \frac{3}{5}=\frac{18}{30} ; \frac{6}{5}=\frac{36}{30} ; \frac{2}{5}=\frac{12}{30}$. Assim, $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$. (frações de mesmo denominador, a menor é a que tem o menor numerador). + +3. (E) Por serem maiores que 200 , o algarimo das centenas só pode ser 3 ou 5 . Os números são: + +- Começando com 3: $\left\{\begin{array}{l}\text { sem repetir algarismos: } 315 \text { e } 351 \\ \text { repetindo algarismos: 311, 313, 331, 335, 353, 333, } 355 .\end{array}\right.$ + +Nesse caso, temos 9 números. + +- Começando com 5: basta trocar o 3 com o 5 nos números acima. Logo, teremos 9 números. + +Assim, temos 18 números que satisfazem as condições do problema. + +4. (D) O tempo que o vencedor gastou foi: $12 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 30 \mathrm{mim}=1 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}=11 / 4 \mathrm{~h}=5 / 4 \mathrm{~h}$. Logo, a velocidade média em $\mathrm{km} /$ hora é: + +$$ +\frac{\text { espaço percorrido em } \mathrm{km}}{\text { tempo gasto em horas }}=\frac{52}{\frac{5}{4}}=52 \times \frac{4}{5}=41,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +5. (C) Se todos as alunas escreveram o número 1 , o produto seria 1 que não está entre as opções. Logo, 2 ou 4 são fatores do produto, por isso o produto tem que ser uma potência de 2 . O maior produto possível é obtido no caso em que todas as 5 alunas escreveram o número 4 , e o produto seria $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4=4^{5}=2^{10}=1024$. Logo, podemos eliminar 2048. Agora temos: + +$\cdot$100e 120 são divisíveis por 5 , logo não são potências de 2; + +- 768 é divisível por $3(7+6+8=21)$, logo não é potência de 2 . + +A única resposta possível é $256=2^{8}$. Seria, por exemplo o caso em que duas alunas escreveram o número 2 e três escreveram o número $4: 256=2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4$. + +1) O produto $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$ é : +(A) $\frac{119}{120}$ +(B) $\frac{5}{7}$ +(C) $2 \frac{43}{60}$ +(D) $\frac{1}{5}$ +(E) $\frac{1}{120}$ +2) A soma de dois números naturais é 11. Qual o maior produto possível que se pode obter com esses números? +(A) 30 +(B) 22 +(C) 66 +(D) 24 +(E) 28 +3) Se $m$ é um número natural, tal que $3^{m}=81$, então $m^{3}$ é igual a: +(A) $81^{3}$ +(B) $3^{81}$ +(C) 64 +(D) 24 +(E) 48 +4) Se $a-1=b+2=c-3=d+4$, então qual o maior dentre os números $a, b, c$ e $d$ ? +(A) $a$ +(B) $b$ +(C) $c$ +(D) $d$ +(E)todos são iguais. +5) Quatro formigas atravessam uma sala coberta de lajotas retangulares todas iguais. $\mathrm{O}$ trajeto de cada formiga é mostrado na figura em negrito. Qual o comprimento do trajeto percorrido por Biloca? + +(A) $30 \mathrm{dm}$ + +(B) $35 \mathrm{dm}$ + +(C) $43 \mathrm{dm}$ + +(D) $55 \mathrm{dm}$ + +(E) $48 d m$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-34.jpg?height=408&width=1128&top_left_y=1549&top_left_x=744) + +6) Célia quer trocar com Guilherme figurinhas de um álbum sobre animais brasileiros. Celina quer trocar 4 figurinhas de borboleta, 5 de tubarão, 3 de cobra, 6 de periquito e 6 de macaco. Todas as figurinhas de Guilherme são de aranha. Eles sabem que: + +(a) 1 figurinha de borboleta vale 3 figurinhas de tubarão + +(b) 1 figurinha de cobra vale 3 figurinhas de periquito + +(c) 1 figurinha de macaco vale 4 figurinhas de aranha + +(d) 1 figurinha de periquito vale 3 figurinhas de aranha + +(e) 1 figurinha de tubarão vale 2 figurinhas de periquito + +Quantas figurinhas Célia receberá se ela trocar todas que quiser? + +1. (D) $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$. +2. (A) Examinemos os produtos dos números naturais cuja soma é 11 : + +$$ +\begin{array}{lll} +11=1+10 & \text { e } & 1 \times 10=10 \\ +11=2+9 & \text { e } & 2 \times 9=18 \\ +11=3+8 & \text { e } & 3 \times 8=24 \\ +11=4+7 & \text { e } & 4 \times 7=28 \\ +11=5+6 & \text { e } & 5 \times 6=30 +\end{array} +$$ + +3. (C) Temos $3^{m}=81=3^{4}$; donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$. +4. (C) Somando 3 a todos os membros obtemos: $a-1+3=b+2+3=c-3+3=d+4+3 \Rightarrow a+2=b+5=c=d+7$, o que mostra que $c$ é o maior. +5. (B) O trajeto de Biloca é: 3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos. + +Pipoca percorre 5 diagonais, logo o comprimento de 1 diagonal é $25 \div 5=5 \mathrm{dm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=63&width=1688&top_left_y=1325&top_left_x=184) + +4 larguras $=37-25=12 \mathrm{dm}$. + +Cotinha percorre 5 comprimentos $+\underbrace{4 \text { larguras }}_{12}=32 \Rightarrow 1$ comprimento $=20 \div 5=4 \mathrm{dm}$. + +Finalmente, Biloca percorre: + +3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos $=15+12+8=35 \mathrm{dm}$. Observe que o comprimento de 1 $\underbrace{3 x_{12}}_{3 \times 5} \underbrace{4}_{2 \times 4}$ + +largura é $12 \div 4=3 \mathrm{dm}$. + +6. A "moeda de troca" de Guilherme são figurinhas de aranha, logo vamos calcular o "valor-aranha" de cada tipo de figurinha usando as informaç̃oes (a), (b), (c), (d) e (e). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=97&width=1005&top_left_y=2007&top_left_x=251) + +5 tubarão $\underset{(\mathrm{e})}{=} \underset{5 \times 2}{10}$ periquito $\underset{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{30}_{10 \times 3}$ aranha + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=92&width=659&top_left_y=2284&top_left_x=253) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-35.jpg?height=88&width=425&top_left_y=2423&top_left_x=253) + +6 macaco $\underset{(\mathrm{c})}{\underset{6 \times 4}{24}}$ aranha $\quad$ Logo, ela receberá $72+30+27+18+24=171$ figurinhas de aranha. + +1) O valor de $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}$ é: +(A) 1 +(B) 20 +(C) 30 +(D) 10,1 +(E) 1,01 +2) A figura ao lado é formada por um triângulo e um retângulo usando-se 60 palitos iguais. Para cada lado do triângulo são necessários 6 palitos. Se cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, qual é a área do retângulo da figura? +(A) $120 \mathrm{~cm}^{2}$ +(B) $540 \mathrm{~cm}^{2}$ +(C) $1350 \mathrm{~cm}^{2}$ +(D) $2700 \mathrm{~cm}^{2}$ +(E) $5400 \mathrm{~cm}^{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-36.jpg?height=334&width=328&top_left_y=730&top_left_x=1475) +3) $O$ incêndio e o bombeiro - Uma casa pega fogo. Um bombeiro se mantém no degrau do meio de uma escada jogando água sobre o incêndio. As chamas diminuem e ele sobe 5 degraus. O vento sopra e o bombeiro desce 7 degraus. Um pouco depois ele sobe 8 degraus e fica lá até que o incêndio acabe. Em seguida, ele sobe os últimos 7 degraus e entra na casa. Quantos degraus tem a escada do bombeiro? +(A) 25 +(B) 26 +(C) 27 +(D) 28 +(E) 29 + +4) A figura mostra a árvore geneológica de uma família. Cada flexa vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-36.jpg?height=878&width=1262&top_left_y=1715&top_left_x=160) +5) Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos retângulos isósceles. A parte em cinza representa que percentagem da colcha? +(A) $36 \%$ +(B) $40 \%$ +(C) $45 \%$ +(D) $50 \%$ +(E) $60 \%$ +1. (D) Solução: $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}=\frac{100}{10}+\frac{10}{100}=10+0,1=10,1$. +2. (D) Para o triângulo foram usados $6 \times 3=18$ palitos, sobrando então $60-18=42$ palitos para formar os 3 lados do retângulo. Da figura, temos que a largura do retângulo é formada por 6 palitos, logo o comprimento é formado por $\frac{42-6}{2}=18$ palitos. Como cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, a área do retângulo é dada por $\underbrace{6 \times 5}_{\text {largura }} \times \underbrace{18 \times 5}_{\text {comprimento }}=30 \times 90=2700 \mathrm{~cm}^{2}$ +3. (C) O sobe-desce do bombeiro a partir do degrau do meio até chegar ao último degrau é o seguinte: + +sobe sobe sobe + +$+5 \underset{\text { desce }}{-7}+8+7$, logo o bombeiro sobe $8+5=13$ degraus acima do degrau do meio, chegando assim, ao último degrau da escada. Logo, a escada tem 13 degraus acima do degrau do meio, e portanto, 13 degraus abaixo do degrau do meio. Portanto, a escada tem $13+1+13=27$ degraus. Veja um esquema da movimentação do bombeiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-37.jpg?height=659&width=1445&top_left_y=1818&top_left_x=311) + +(2) sobe 7 + +(4) sobe 7 + +4. (C) Na figura vemos que o pai de Evaristo é José. O irmão de José é Jean. O pai de Jean é Luís. O irmão de Luís é André. + +irmão do pai de Evaristo = irmão de José $=$ Jean + +José + +pai do irmão do pai de Evaristo = pai de Jean = Luís + +$\underbrace{\text { José }}_{\text {Jean }}$ + +irmão do pai do irmão do pai de Evaristo = irmão de Luís=André + +$\underbrace{\underbrace{\text { José }}_{\text {Jean }}}_{\text {Luís }}$ + +5. (B) A colcha é formada de $5 \times 5=25$ quadradinhos. Os quadradinhos são todos iguais. Já os triângulos, temos de dois tipos: tipo I que corresponde a meio quadrado e tipo II que corresponde a $1 / 4$ de um quadradinho. A parte em cinza é composta de 8 triângulos do tipo I, 8 triângulos do tipo II e 4 quadrados, ou seja: + +8 triângulos tipo I +8 triângulos tipo II +4 quadrados $=10$ quadrados. + +4 quadrados 2 quadrados + +Logo, a fração correspondente a parte cinza é $\frac{10}{25}=\frac{40}{100}=40 \%$. + +1) Qual das igualdades está correta? + +(i) $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=8 \times 10^{8}$ + +(ii) $2^{3}+2^{-3}=2^{0}$ + +(iii) $5 \times 8+7=75$ + +(iv) $5+5 \div 5=2$ +(A) (i) +(B)(ii) +(C) (iii) +(D)(iv) +(E) nenhuma + +2) Se $a, b$ e $c$ são números naturais tais que $3 a=4 b=7 c$, então o menor valor de $a+b+c$ é: +(A) 84 +(B) 36 +(C) 61 +(D) 56 +(E) 42 +3) Um número é um quadrado perfeito se é igual a um número inteiro elevado ao quadrado. Por exemplo, são quadrados perfeitos:. $25=5^{2}, 49=7^{2}$ e $125=25^{2}$. Qual o menor número que devemos multiplicar 120 para obter um quadrado perfeito? +(A) 10 +(B) 15 +(C) 20 +(D) 30 +(E) 35 +4) A máquina que registra o número de visitantes de um Museu marca 1879564. Note que esse número tem todos os algarismos distintos. Qual o menor número de visitantes que são necessários para que a máquina registre um número que também tenha todos os seus algarismos distintos? +(A) 35 +(B) 36 +(C) 38 +(D) 47 +(E) 52 +5) Os números de 0 a 2000 foram ligados por flexas como mostra a figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=202&width=1288&top_left_y=2012&top_left_x=224) + +e assim por diante. + +Qual é a sucessão de flexas que liga o número1997 ao número 2000? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=120&width=466&top_left_y=2467&top_left_x=201) + +(A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=137&width=286&top_left_y=2467&top_left_x=705) + +(C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=128&width=300&top_left_y=2466&top_left_x=1004) + +(D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-39.jpg?height=128&width=163&top_left_y=2466&top_left_x=1363) + +(E) + +(B) + +1. (E) Nenhuma igualdade está correta. + +(i) Errada: $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=3000000+500=30000500 \neq 8 \times 10^{8}$ + +(ii) Errada: $2^{3}+2^{-3}=2^{3}+\frac{1}{2^{3}}=8+\frac{1}{8} \neq 1=2^{0}$ (iii) Errada: $\underbrace{5 \times 8+7}_{\text {multiplicação }}=40+7=47 \neq 75$ + +soma + +(iv) Errada: $\underbrace{5+5 \div 5}_{\substack{\text { division } \\ \text { antes da } \\ \text { soma }}}=5+1=6 \neq 2$ + +2. (C) Como $a, b$ e $c$ são números naturais, segue que $3 a$ é múltiplo de $3,4 b$ múltiplo de 4 e $7 c$ múltiplo de 7 . Como 3,4 e 7 são primos entre si (pois possuem 1 como divisor comum), o menor múltiplo comum de 3,4 e 7 é $3 \times 4 \times 7=84$. Portanto: + +$3 a=84 \Rightarrow a=28 \quad ; \quad 4 b=84 \Rightarrow b=21 \quad ; \quad 7 c=84 \Rightarrow c=12$. Logo, o menor valor para $a+b+c$ é $28+21+12=61$. + +3. (D) Fatorando 120, obtemos: $120=2^{3} \times 3 \times 5$. Para obter um quadrado perfeito todos os expoentes dessa decomposição devem ser pares, $\operatorname{logo}$ basta multiplicar 120 por $2 \times 3 \times 5=30$. De fato, temos: + +$120 \times 30=2^{3} \times 3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5=2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2}=\left(2^{2} \times 3 \times 5\right)^{2}=60^{2}$ + +4. (C) Observe que os únicos algarismos que não aparecem no número 1879564 são 0,2 e 3 . O próximo número com todos os algarismos distintos ocorrerá quando mudar o algarismo das centenas, e tivermos 18796 _. . Logo, o menor número será 1879602 , e faltam ainda 1879602-1879564=38 visitantes. +5. (E) O caminho-padrão é aquele que se repete, no caso é: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-40.jpg?height=243&width=491&top_left_y=1806&top_left_x=1339) + +Esse caminho é formado de 6 flexas e começa sempre nos múltiplos de $6: 0,6,12$, etc. Vamos averiguar qual a posição de 1997 em relação ao múltiplo de 6 mais próximo. Dividindo 1997 por 6 , obtemos $1997=\underbrace{6 \times 332}_{\begin{array}{c}\text { corresponde a 332 } \\ \text { caminhos-padrão }\end{array}}+\underbrace{5}_{\text {resto }}$. Portanto, 1998 é o múltiplo de 6 mais próximo de 1997. + +Logo, 1998 ocupa a 1 1a posição no caminho-padrão, então, a situação é a seguinte: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ed653f4a7a838e105fd2g-40.jpg?height=342&width=425&top_left_y=2302&top_left_x=1324) + +10. Como as casas são vizinhas, podemos pensar nelas como uma fila de casas com 6 posições.Vamos dividir a contagem em casos, de acordo com o número de casas de madeira que podem ser construídas. + +a) Nenhuma casa de madeira: aqui há apenas uma maneira de construir as casas, ou seja, todas de tijolo. + +b) Uma casa de madeira: aqui temos 6 maneiras de construir as casas, pois a casa de madeira pode ser qualquer uma delas, sendo as outras de tijolo. + +c) Duas casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: $1^{\underline{a}}$ e $3^{\underline{a}}$, $1^{\underline{a}}$ e $4^{a}$, $1^{\underline{a}}$ e $5^{a}$, $1^{\underline{a}}$ e $6^{\underline{a}}$, $2^{\underline{a}}$ e $4^{a}$, $2^{\underline{a}}$ e $5^{a}$, $2^{\underline{a}}$ e $6^{\underline{a}}$, $3^{\underline{a}}$ e $5^{a}, 3^{a}$ e $6^{\underline{a}}$ ou $4^{a}$ e $6^{a}$. Temos aqui 10 maneiras. +d) 3 casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: $1^{a}$, $3^{a}$ e $5^{a} ; 1^{a}$, $3^{a}$ e $6^{a} ; 1^{a}, 4^{a}$ e $6^{a} ; 2^{a}, 4^{a}$ e $6^{a}$. Temos aqui 4 maneiras nototal. +e) 4 ou mais casas de madeira: impossível, pois é fácil ver neste caso que sempre teremos duas casas de madeira juntas. + +Dessa forma, há $1+6+10+4=21$ maneiras de se planejar a construção. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff15be99a6631e089924bd2be5942d195b2528c7 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N2.md @@ -0,0 +1,1632 @@ +1) Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998? +A) 30300000 +B) 303000000 +C) 30300 +D) 303000 +E) 30300000000 +2) Uma certa máquina é capaz de produzir 8 réguas em cada minuto. Quantas réguas esta máquina consegue produzir em 15 minutos? +A) 104 +B) 110 +C) 112 +D) 128 +E) 120 +3) Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que: + +- Luíza é maior que Antônio +- Maria é menor que Luíza +- Antônio é maior do que Júlio +- Júlio é menor do que Maria. + +Quais deles têm a mesma altura? +A) Maria e Júlio +B) Júlio e Luíza +C) Antônio e Luíza +D) Antônio e Júlio +E) Antônio e Maria + +4) O algarismo das unidades do número $1 \times 3 \times 5 \times 79 \times 97 \times 113$ é: +A) 1 +B) 3 +C) 5 +D) 7 +E) 9 + +| Seleção | Jogos | V | E | D | GM | GS | P | +| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Dinamarca | 3 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 7 | +| Senegal | 3 | 1 | 2 | 0 | 5 | 4 | $?$ | +| Uruguai | 3 | 0 | 2 | 1 | 4 | $\boldsymbol{?}$ | 2 | +| França | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 3 | 1 | + +Utilize as informações abaixo para resolver as duas próximas questões: + +A tabela ao lado mostra o desempenho das seleções do grupo A da Copa do Mundo de 2002: + +# Legenda: + +V - vitórias, E - empates, D - derrotas, GM - Gols Marcados, GS - Gols Sofridos, P - Pontos. + +Numa partida de futebol, a equipe vencedora ganha 3 pontos, em caso de empate as duas ganham 1 ponto e a perdedora não ganha nem perde pontos. + +5) Quantos pontos obteve a seleção do Senegal? +A) 3 +B) 4 +C) 5 +D) 6 +E) 7 +6) Quantos gols sofreu a seleção do Uruguai? +A) 2 +B) 3 +C) 4 +D) 5 +E) 6 +7) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado $a+b$ e o menor lado $a$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=363&width=506&top_left_y=792&top_left_x=775) + +Qual é a área da região em cinza? +A) $b$ +B) $a+b$ +C) $a^{2}+2 a b$ +D) $b^{2}$ +E) $2 a b+b^{2}$ + +8) Passa-se um barbante através dos seis furos de uma cartolina. A frente da cartolina, com o barbante, é mostrada na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=268&width=211&top_left_y=1542&top_left_x=931) + +Qual das figuras abaixo não pode ser o verso da cartolina? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=229&width=171&top_left_y=2030&top_left_x=380) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=237&width=186&top_left_y=2023&top_left_x=975) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=239&width=188&top_left_y=2025&top_left_x=1568) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=223&width=160&top_left_y=2307&top_left_x=391) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-02.jpg?height=226&width=162&top_left_y=2303&top_left_x=1581) + +9) Adriano, Bruno, César e Daniel são quatro bons amigos. Daniel não tinha dinheiro, mas os outros tinham. Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro, Bruno deu um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro. Cada um deu a Daniel a mesma quantia. A quantia que Daniel possui agora representa que fração da quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente? +A) $\frac{1}{10}$ +B) $\frac{1}{4}$ +C) $\frac{1}{3}$ +D) $\frac{2}{5}$ +E) $\frac{1}{2}$ +10) O quadrado abaixo é chamado quadrado mágico, porque a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma. Neste caso essa soma é 15 . + +| 4 | 9 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 5 | 7 | +| 8 | 1 | 6 | + +Complete os cinco números que faltam no quadrado abaixo para que ele seja um quadrado mágico. + +| -12 | | -4 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 0 | | +| 4 | | | + +1. (A) Temos que 1 milhão $=1000000$. Logo, 30,3 milhões $=30,3 \times 1000000=30300000$ +2. (E) Se a máquina produz 8 réguas em 1 minuto, em 8 minutos ela produzirá $8 \times 15=120$ réguas. +3. (E) Solução 1: Usaremos a notação $a sorvete QUENTE | Sorvete QUENTE - lata de 3
litros | +| $\mathrm{R} \$ 24,00$ | 4 latas - só $\mathrm{R} \$ 14,00$ | + +Joana quer comprar 12 latas de sorvete para a festa de seu aniversário. Em qual supermercado ela deve comprar? + +A) No A, pois economizará $R \$ 7,00$ em relação ao $B$. + +B) No A, pois economizará $R \$ 6,00$ em relação ao B. + +C) No B, pois economizará $R \$ 8,00$ em relação ao $A$. + +D) No B, pois economizará $R \$ 6,00$ em relação ao $A$. + +E) Tanto faz, porque o preço é o mesmo nos dois supermercados. + +6) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que dispõe de três sabores: açaí, baunilha e cajá. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra? +A) 6 +B) 9 +C) 12 +D) 15 +E) 18 +7) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo trocas sucessivas? +A) 11 +B) 12 +C) 13 +D) 14 +E) 15 +8) Pedro montou um quadrado com quatro das cinco peças abaixo. Qual é a peça que ele não usou? + +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=123&width=168&top_left_y=521&top_left_x=430) + +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=165&width=183&top_left_y=660&top_left_x=411) + +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=129&width=188&top_left_y=521&top_left_x=974) + +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=169&width=180&top_left_y=475&top_left_x=1532) + +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-08.jpg?height=177&width=231&top_left_y=660&top_left_x=1478) + +9) Uma linha de ônibus possui 12 paradas numa rua em linha reta. A distância entre duas paradas consecutivas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a sexta paradas é 3300 metros. Qual é a distância entre a primeira e a última parada? +A) $8,4 \mathrm{~km}$ +B) $12,1 \mathrm{~km}$ +C) $9,9 \mathrm{~km}$ +D) $13,2 \mathrm{~km}$ +E) $9,075 \mathrm{~km}$ +10) Sete equipes, divididas em dois grupos, participaram do torneio de futebol do meu bairro. + +O grupo 1 foi formado pelas equipes Avaqui, Botágua e Corinense. + +O grupo 2 foi formado pelas equipes Dinossauros, Esquisitos, Flurinthians e Guaraná. + +Na primeira rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do seu grupo exatamente uma vez. + +$\mathrm{Na}$ segunda rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do outro grupo exatamente uma vez. + +(a) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no grupo 1? + +(b) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no grupo 2? + +(c) Quantas partidas foram disputadas na segunda rodada? + +1. (D) Observe que são 8 fios de apoio que a aranha utiliza, numerados a partir do fio A iniciando com 0 . Logo: + +- sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8 +- sobre o fio $\mathrm{B}$ aparecem os (múltiplos de 8 ) +1 +- sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8 )+2 +- sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8 )+3 +- sobre o fio E aparecem os (múltiplos de 8 ) +4 +- sobre o fio $\mathrm{F}$ aparecem os (múltiplos de 8 ) +5 +- sobre o fio G aparecem os (múltiplos de 8 )+6 +- sobre o fio $\mathrm{H}$ aparecem os (múltiplos de 8 )+7 + +Na divisão de 118 por 8 encontramos resto 6 , o que significa que $118=($ múltiplo de 8$)+6$. Portanto, 118 está sobre o fio G. + +2. (C) Nesta questão, usaremos o seguinte importante teorema da Geometria Plana: Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. + +Do teorema acima temos $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}$, e como $\hat{B}=50^{\circ}$, segue que + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-09.jpg?height=506&width=371&top_left_y=1666&top_left_x=246) + +$$ +\hat{A}+50^{\circ}+\hat{C}=180^{\circ} \Rightarrow \hat{A}+\hat{C}=130^{\circ} +$$ + +Aplicando agora o teorema ao triângulo $\mathrm{ADC}$, obtemos: + +$\frac{A}{2}+\frac{C}{2}+A \hat{D} C=180^{\circ}$ + +Como $\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{C}}{2}=\frac{\hat{A}+\hat{C}}{2}=\frac{130^{\circ}}{2}=65^{\circ}$, concluímos da igualdade acima que $A \hat{D} C=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$. + +3. (A) Analisando o gráfico, verificamos que os jogadores marcaram as seguintes quantidades de pontos: Daniel 7, Ramon 8, Ian 2, Bernardo 11, Tiago 6, Pedro 12, Ed 1 e André 7. + +Total: 54 pontos. + +4. (A) Vejamos a despesa em janeiro. Como 10 horas são gratuitas e Geni usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos, ela deve pagar o custo de apenas 5 horas e 17 minutos mais a tarifa fixa mensal de 18 reais. Como o preço é dado em minutos, vamos reduzir a minutos o tempo a pagar. Sabemos que 1 hora $=60$ minutos, portanto 5 horas $=5 \times 60=300$ minutos . Logo, $5 \mathrm{~h} 17 \mathrm{~m}=300+17=317 \mathrm{~m}$. Portanto, a conta telefônica de Geni em janeiro foi: + +$$ +18+317 \times 0,03=18+9,51=27,51 \text { reais. } +$$ + +Em fevereiro, Geni usou seu telefone menos do que 10 horas, portanto neste mês ela só precisa pagar a tarifa fixa mensal de 18 reais. Logo, a despesa de Geni com telefone nesses dois meses foi: + +$$ +27,51+18=45,51 \text { reais. } +$$ + +5. (D) Se comprar no supermercado A, Joana gastará $2 \times R \$ 24,00=R \$ 48,00$. + +Se comprar no supermercado B, ela gastará $3 \times R \$ 14,00=R \$ 42,00$. + +6. (D) Vamos denotar cada sabor de sorvete pela sua letra inicial: + +$a \rightarrow$ açaí, $b \rightarrow$ baunilha, $c \rightarrow$ cajá + +Para enumerar todas as possibilidades de compra do $a a a a$ aaab $a a b b$ aabc sorvete com quatro bolas, devemos considerar os seguintes casos: + +- 4 bolas do mesmo sabor (1a coluna ao lado); +- 3 bolas do mesmo sabor e 1 de sabor diferente ( $2^{a}$ coluna ao lado); +- 2 bolas de um mesmo sabor e 2 de outro sabor $b b b b$ сcсc (3a coluna ao lado); +- 2 bolas de um mesmo sabor e as outras 2 dos outros dois sabores (4a coluna ao lado). + +Obtemos assim 15 modos de fazer a compra do sorvete. + +aaac aacc bbac + +bbba + +$b b b c$ + +ссса + +$c c c b$ + +7. (D) Ele separa 40 garrafas vazias e as troca por 10 garrafas de 1 litro cheias de leite. Esvaziadas as 10 garrafas, ele pode juntá-las com as 3 vazias que restaram e trocá-las por 3 garrafas cheias, sobrando ainda 1 garrafa vazia. Esvaziando as 3 cheias e juntando com a garrafa vazia, ele ainda pode obter em troca mais uma garrafa cheia. Ao todo, ele pode obter, por sucessivas trocas, $10+3+1=14$ garrafas cheias de leite, todas elas a partir das 43 vazias que ele possuía. +8. (B) + +Solução 1 - Contando o total de quadrados nas peças. + +Para que seja possível montar o quadrado, o número total de quadradinhos deve ser um quadrado perfeito (Um número é um quadrado perfeito se ele é igual ao quadrado de um número inteiro. Por exemplo, 1,9 e 16 são quadrados perfeitos pois $1=1^{2}, 9=3^{2}, 16=4^{2}$.). + +Contando o total de quadradinhos apresentados nas cinco opções de resposta, obtemos: $4+5+6+7+8=30$. + +Portanto, devemos eliminar uma peça de modo que o total de quadradinhos resultante seja um quadrado perfeito. A única possibilidade é a (b). De fato, eliminando (b), a soma fica sendo 25 que é um quadrado perfeito, pois $25=5^{2}$. + +Solução 2 - Tentando montar o quadrado com 4 das cinco peças. + +Neste caso, conseguimos montar um quadrado com as peças $a, c, d$ e $e$, como na figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-11.jpg?height=392&width=394&top_left_y=912&top_left_x=1302) + +9. (B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-11.jpg?height=137&width=1307&top_left_y=1508&top_left_x=383) + +Como a distância entre a 3a e a 6a paradas é $3300 \mathrm{~m}$, então a distância entre duas paradas consecutivas é $3300 \div 3=1100 \mathrm{~m}$. + +Portanto, a distância entre a primeira e a última paradas é $1100 m \times 11=12100 m$. Como as opções da resposta são dadas em quilômetro, devemos reduzir $12100 \mathrm{~m}$ a quilômetro. Como $1 \mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}$, temos $12100 \mathrm{~m}=12,1 \mathrm{~km}$. + +10. (a) Foram disputadas 3 partidas que são: $A \times B, B \times C, C \times A$. + +(b) Foram disputadas 6 partidas que são: $D \times E, D \times F, D \times G, E \times F, E \times G, F \times G$ + +(c) Na segunda rodada, cada equipe do grupo 1 joga 4 partidas; uma com cada equipe do grupo 2. Como o grupo 1 tem 3 equipes, o total de partidas será $3 \times 4=12$. + +1) Os quadrados brancos sem números da figura ao lado devem ser preenchidos com números de modo que cada número, a partir da segunda linha, seja igual à soma dos dois números vizinhos da linha imediatamente superior. Por exemplo, o número da primeira casa da segunda linha é 11, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-12.jpg?height=248&width=451&top_left_y=413&top_left_x=1396) +porque $11=5+6$. Qual o número que vai aparecer no quadrado indicado com $x$ ? +A) 4 +B) 6 +C) 9 +D) 15 +E) 10 + +2) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. Dessas peças 12 são pentágonos regulares idênticos e as outras 20 são hexágonos, também regulares e idênticos. Os lados dos pentágonos são iguais aos lados dos hexágonos. Para unir dois lados de duas dessas peças é necessária uma costura. Quantas são as costuras necessárias para fazer uma bola? +A) 60 +B) 64 +C) 90 +D) 120 +E) 180 +3) A figura ao lado mostra uma grade formada por quadrados de lado $1 \mathrm{~cm}$. Qual é a razão entre a área sombreada e a área não sombreada? +A) $1 / 4$ +B) $1 / 5$ +C) $1 / 6$ +D) $2 / 5$ +E) $2 / 7$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-12.jpg?height=306&width=309&top_left_y=1252&top_left_x=1479) + +4)Em um quente dia de verão, 64 crianças comeram, cada uma, um sorvete pela manhã e outro à tarde. Os sorvetes eram de 4 sabores: abacaxi, banana, chocolate e doce de leite. A tabela abaixo mostra quantas crianças consumiram um destes sabores pela manhã e outro à tarde; por exemplo, o número 7 na tabela indica que 7 crianças tomaram sorvete de banana pela manhã e de chocolate à tarde. + +| | TARDE | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | Abacaxi | Banana | Chocolate | Doce de
leite | +| $\mathbf{M}$
$\mathbf{A}$
$\mathbf{N}$
$\mathbf{H}$
$\tilde{A}$ | Abacaxi | 1 | 8 | 0 | 3 | +| | Banana | 6 | 2 | 7 | 5 | +| | Chocolate | 3 | 3 | 0 | 5 | +| | Doce de
Leite | 2 | 9 | 9 | 1 | + +Quantas crianças tomaram sorvetes de sabores diferentes neste dia? +A) 58 +B) 59 +C) 60 +D) 61 +E) 62 + +5) Camila e Lara têm, cada uma, um tabuleiro $4 \times 4$, inicialmente ambos em branco. Com estes tabuleiros elas fazem uma brincadeira do seguinte modo: + +- Camila, escondida de Lara, pinta algumas casas de seu tabuleiro, de preto; +- Ainda em seu tabuleiro, Camila escreve em cada casa o número de casas vizinhas que estão pintadas de preto (duas casas distintas são vizinhas se possuem um lado ou um vértice em comum); +- Camila copia os números escritos em seu tabuleiro no tabuleiro de Lara; +- Lara deve adivinhar, a partir dos números escritos em seu tabuleiro, quantas são as casas pretas do tabuleiro de Camila. + +Por exemplo, se Camila pintou seu tabuleiro assim + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-13.jpg?height=215&width=211&top_left_y=852&top_left_x=928) + +então ela vai colocar os números no tabuleiro de Lara do seguinte modo: + +| 1 | 1 | 3 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 2 | 3 | 2 | 2 | +| 1 | 3 | 1 | 1 | +| 1 | 2 | 0 | 0 | + +Se o tabuleiro de Lara tem os números + +| 1 | 2 | 1 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | 2 | 1 | 2 | +| 2 | 3 | 3 | 1 | +| 1 | 0 | 2 | 1 | + +quantas foram as casas que Camila pintou? +A) 3 +B) 4 +C) 5 +D) 6 +E) 7 + +6) Larissa e Jorge estão jogando com cartões numerados de 1 a 6 que devem ser colocados nas casas do tabuleiro abaixo de modo a formar um número de seis algarismos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-13.jpg?height=134&width=574&top_left_y=2172&top_left_x=747) + +Jorge coloca o primeiro cartão e a seguir as jogadas são alternadas entre os dois. O objetivo de Larissa é obter o maior número possível e o de Jorge é obter o menor número possível. Larissa tem os cartões com os algarismos 1,3 e 5 e Jorge tem os cartões com os algarismos $2,4 \mathrm{e} 6$. Se os dois jogadores forem espertos, qual o número que aparecerá ao final do jogo? +A) 254361 +B) 253416 +C) 251634 +D) 256134 +E) 251346 + +1. (E) Preenchendo o tabuleiro de acordo com as regras do problema: + +| 5 | | 6 | | $x$ | | 7 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 11 | | $x+6$ | | $x+7$ | | | +| | $x+17$ | | $2 x+13$ | | | | +| | | | | | | | + +segue que $60=(x+17)+(2 x+13)=3 x+30$, donde $x=10$. + +2. (C) Se somarmos os números de lados de todos os polígonos ( 20 hexágonos e 12 pentágonos) que compõem a superfície da bola, obteremos um valor que é duas vezes o número de costuras, pois cada costura é lado comum de exatamente dois polígonos. Assim, temos que $2 \times$ (número de costuras) $=12 \times 5+20 \times 6=180$, donde o número de costuras é 90 . +3. (A) A grade é um quadrado de lado igual a $5 \mathrm{~cm}$, logo sua área é igual a $25 \mathrm{~cm}^{2}$. A parte sombreada da grade é formada por quatro triângulos, sendo que dois deles têm base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $2 \mathrm{~cm}$ e os outros dois têm base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $3 \mathrm{~cm}$. Logo a área sombreada é igual a $2 \times \frac{1 \times 2}{2}+2 \times \frac{1 \times 3}{2}=5 \mathrm{~cm}^{2}$ e a área não sombreada é igual a $25-5=20 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a razão pedida é $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. +4. (C) Vamos primeiro analisar a informação contida na diagonal da tabela indicada pelos números dentro dos quadradinhos. + +| | TARDE | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | Abacaxi | Banana | Chocolate | Doce de leite | +| $M$
$\mathbf{A}$
$\mathbf{N}$
$\mathbf{H}$
$\tilde{A}$ | Abacaxi | $\sqrt{1}$ | 8 | 0 | 3 | +| | Banana | 6 | 2 | 7 | 5 | +| | Chocolate | 3 | 3 | 0 | 5 | +| | Doce de
Leite | 2 | 9 | 9 | $\mid 1$ | + +Esses números indicam quantos foram as crianças que tomaram sorvetes com o mesmo sabor pela manhã e pela tarde: 1 tomou sorvetes de abacaxi, 2 de banana, 0 de chocolate e 1 de doce de leite. Todos os outros estudantes comeram sorvetes de sabores diferentes pela manhã e à tarde; estes são em número de $64-(1+2+0+1)=60$. + +| | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | | | | +| | | | | +| | 0 | | |$\Rightarrow$| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | $\mathrm{X}$ | | | +| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | | +| $\mathrm{X}$ | | $\mathrm{X}$ | | + +5. (B) Notamos primeiro que se uma casa tem o algarismo 0 , então nenhuma das casas vizinhas pode estar pintada. Logo as casas marcadas com um $\mathrm{X}$ na figura ao lado não foram pintadas: + +Consideremos agora a casa do canto superior direito, na qual aparece o número 1. Ela tem 3 vizinhas, e já sabemos que duas delas não foram pintadas; logo, a vizinha que sobra (a casa imediatamente abaixo) foi pintada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=206&width=668&top_left_y=571&top_left_x=1228) + +| | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | +| | | | | +| 1 | | | 1 |$\Rightarrow$| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | $\mathrm{X}$ | | | +| $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | $\mathrm{X}$ | | +| $\mathrm{X}$ | | $\mathrm{X}$ | | + +Podemos aplicar o mesmo argumento às casas do canto inferior esquerdo e do canto inferior direito. + +Olhamos agora para o 2 na última linha. Como esta casa já tem duas vizinhas pintadas, todas suas outras vizinhas não foram pintadas: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=200&width=529&top_left_y=1116&top_left_x=1363) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=221&width=556&top_left_y=1443&top_left_x=156) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-15.jpg?height=215&width=552&top_left_y=1760&top_left_x=158) + +Argumento idêntico se aplica à casa da segunda linha e terceira coluna, pois nela aparece um 1e já temos uma de suas vizinhas pintadas. Logo, as suas outras 3 vizinhas não foram pintadas + +Finalmente, usamos o 3 que aparece na casa da terceira linha e terceira coluna; esta casa já tem 2 vizinhas pintadas, logo deve haver mais uma de suas vizinhas pintada. Esta vizinha só pode ser a casa em branco na figura acima, e podemos completar a tabela: + +Concluímos que o número de casas pintadas é 4 . + +6. (B) A formação de um número de 6 algarismos é ilustrada a seguir. + +| centena
de milhar | dezena de
milhar | unidade
de
milhar | centena | dezena | unidade | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Para se obter o menor número possível, os menores algarismos devem estar o mais à esquerda possível (na casa do milhar); e para se obter o maior número possível os maiores algarismos devem também estar o mais à esquerda possível (na casa do milhar). + +Iorge joga primeiro: Para obter o menor número possível, ele coloca o menor algarismo que ele possui, que é o 2, na casa das centenas de milhar. Se ele não fizesse isso, Larissa colocaria seu 5 nesta casa na próxima jogada, obtendo assim um número maior. + +| 2 | dezena de
milhar | unidade
de
milhar | centena | dezena | unidade | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Agora é a vez de Larissa: Para obter o maior número possível, ela coloca o maior algarismo que ela possui, que é o 5 , na casa das dezenas de milhar, pois a casa das centenas de milhar já está ocupada. + +| 2 | 5 | unidade
de
milhar | centena | dezena | unidade | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Jorge tem agora os algarismos 4 e 6, e Larissa 1e 3. Logo, os algarismos de Larissa são menores dos que os de Jorge, o que determina a estratégia de Jorge : ele deve tentar colocar seus algarismos o mais à direita possível, com o 6 à direita do 4 . Por sua vez, Larissa deve tentar colocar seus algarismos o mais à esquerda possível, com o 3 à esquerda do 1. Jorge então coloca o 6 na casa das unidades. + +Iorge joga: Ele coloca o algarismo 6 na casadas unidades. + +| 2 | 5 | unidade
de
milhar | centena | dezena | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Larissa joga: Ela coloca seu 1 na casa das dezenas. + +| 2 | 5 | unidade
de
milhar | centena | 1 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Agora Jorge tem apenas o algarismo $4 \mathrm{e}$ Larissa o 3. Ele então coloca o 4 na casa das centenas, $\mathrm{e}$ Larissa coloca o 3 na casa das unidades de milhar, acabando assim o jogo. + +| 2 | 5 | 3 | 4 | 1 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Logo, o número final obtido se os dois jogadores forem espertos é 253416. + +1) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma? +A) 11 +B) 20 +C) 21 +D) 31 +E) 41 +2) Um artesão começa a trabalhar às 8 h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às $12 \mathrm{~h}$, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar? +A) $12 \mathrm{~h}$ +B) $12 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +C) $13 \mathrm{~h}$ +D) $13 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +E) $14 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +3) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de $252^{\circ}$, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida? Observação: Sentido horário é o sentido em que giram os ponteiros do relógio; no caso ele está indicado pela seta no desenho. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=185&width=211&top_left_y=1318&top_left_x=1482) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=175&width=165&top_left_y=1643&top_left_x=246) +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=169&width=169&top_left_y=1646&top_left_x=521) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=172&width=166&top_left_y=1650&top_left_x=822) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=160&width=168&top_left_y=1662&top_left_x=1144) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-17.jpg?height=172&width=166&top_left_y=1650&top_left_x=1462) +E) + +4) O perímetro de um retângulo é $100 \mathrm{~cm}$ e a diagonal mede $x \mathrm{~cm}$. Qual é a área do retângulo em função de $x$ ? +A) $625-x^{2}$ +B) $625-\frac{x^{2}}{2}$ +C) $1250-\frac{x^{2}}{2}$ +D) $250-\frac{x^{2}}{2}$ +E) $2500-\frac{x^{2}}{2}$ +5) Se $x+y=8$ e $x y=15$, qual é o valor de $x^{2}+6 x y+y^{2}$ ? +A) 64 +B) 109 +C) 120 +D) 124 +E) 154 +6) Na figura estão indicadas em graus as medidas de alguns ângulos em função de x. Quanto vale $x$ ? +A) $6^{\circ}$ +B) $12^{\circ}$ +C) $18^{\circ}$ +D) $20^{\circ}$ +E) $24^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=397&width=688&top_left_y=293&top_left_x=1001) + +7) Qual dos seguintes desenhos não pode ser feito sem tirar o lápis do papel e passando apenas uma vez por cada linha? +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=240&width=214&top_left_y=942&top_left_x=367) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=239&width=228&top_left_y=957&top_left_x=914) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=254&width=238&top_left_y=952&top_left_x=1523) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=257&width=234&top_left_y=1214&top_left_x=563) +E) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=231&width=237&top_left_y=1272&top_left_x=1155) + +8)Cortamos um canto de um cubo, como mostrado na seguinte figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=285&width=283&top_left_y=1585&top_left_x=1543) + +Qual das representações abaixo corresponde ao que restou do cubo? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=283&width=371&top_left_y=1969&top_left_x=386) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=284&width=359&top_left_y=1968&top_left_x=880) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=272&width=365&top_left_y=1977&top_left_x=1351) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=265&width=351&top_left_y=2312&top_left_x=401) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-18.jpg?height=269&width=366&top_left_y=2307&top_left_x=868) + +9)Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um truque numérico: + +(I) Escolha um número qualquer. + +(II) Multiplique-o por 6. + +(III) Do resultado subtraia 21. + +(IV) Divida agora este novo resultado por 3. + +(V) Deste último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu. + +(a) Experimente fazer esses cinco passos três vezes, iniciando cada vez com um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento? + +(b) A seguir, usando a letra $x$ para representar o número que você pensou, mostre por que os resultados do item (a) não são apenas uma coincidência, mas sim um fato matemático. + +10)Na figura abaixo vemos uma mesa de sinuca quadriculada e parte da trajetória de uma bola, tacada a partir de um canto da mesa, de modo que, sempre, ao bater em uma das bordas da mesa, segue seu movimento formando ângulos de $45^{\circ} \mathrm{com}$ a borda. + +(a) Em qual das quatro caçapas a bola cairá? + +(b) Quantas vezes a bola baterá nas bordas da mesa antes de cair na caçapa? + +(c) A bola atravessará a diagonal de quantos desse quadrados durante sua trajetória? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-19.jpg?height=588&width=559&top_left_y=1399&top_left_x=1091) + +1. (A) O algoritmo de divisão de Euclides nos dá $237=7 \times 31+20$; logo 237 não é divisível por 31. Isso quer dizer que a professora realmente vai ter que comprar mais balas para que todos os alunos recebam o mesmo número de balas. De acordo com o enunciado, devemos então adicionar à expressão $7 \times 31+20$ o menor inteiro positivo $x$ tal que $7 \times 31+20+x$ seja múltiplo de 31. Como $x=31-20=11$, basta que a professora compre 11 balas. + +2.(D) $\mathrm{O}$ artesão produz 6 braceletes a cada 20 minutos. Como 1 hora $=60$ minutos $=3 \times 20$ minutos, o artesão produz $6 \times 3=18$ braceletes em 1 hora. Como ele trabalhou 12 horas -8 horas $=4$ horas, o número de braceletes feitos pelo artesão é $18 \times 4=72$. + +O auxiliar produz 8 braceletes a cada meia-hora, portanto em 1 hora ele produz 16 braceletes. Para produzir 72 braceletes ele precisará de $\frac{72}{16}=4,5$ horas $=4$ horas e 30 minutos. Como ele inicia seu trabalho às 9 horas, ele terminará seu trabalho às 9 horas +4 horas +30 minutos $=13$ horas e 30 minutos . + +3. (B) O pentágono tem 5 lados, logo seu ângulo central é $\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$. Como $252^{\circ}=72^{\circ}+180^{\circ}$, podemos pensar na rotação de $252^{\circ}$ como uma rotação de $72^{\circ}$ seguida de outra de $180^{\circ}$, conforme ilustrado na figura abaixo, onde $O$ é o centro do polígono. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-20.jpg?height=360&width=366&top_left_y=1533&top_left_x=434) + +$180^{\circ}$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-20.jpg?height=364&width=726&top_left_y=1568&top_left_x=859) + +rotação de $72^{\circ}$ + +rotação de $180^{\circ}$ + +4. (C) Solução 1: Como o perímetro do retângulo é 100, seu semiperímetro é 50 . Como o semi-perímetro de um retângulo é a soma do comprimento com a largura, concluímos que esses são da forma $a$ e $50-a$. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-20.jpg?height=200&width=346&top_left_y=2076&top_left_x=1506) +largura. No nosso caso, esta área é $(50-a) \cdot a=50 a-a^{2}$. Pelo teorema de Pitágoras, temos $x^{2}=(50-a)^{2}+a^{2}$, ou seja, $x^{2}=2500-100 a+2 a^{2}=2500-2\left(50 a-a^{2}\right)$. Logo $50 a-a^{2}=\frac{1}{2}\left(2500-x^{2}\right)$ e obtemos a expressão da área do retângulo em função de $x$. + +Solução 2: Área do retângulo de medidas $a$ e $b$ é $A=a b$. Como $a+b=50$, temos $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=50^{2}$. Pelo Teorema de Pitágoras, $x^{2}=a^{2}+b^{2}$, assim, $x^{2}+2 A=2500$ + +5. (D) Usando a identidade $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$, temos $x^{2}+6 x y+y^{2}=\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)+4 x y=(x+y)^{2}+4 x y=8^{2}+4 \times 15=124$ +6. (C) Completamos a figura marcando os ângulos $\alpha \mathrm{e} \beta$, lembrando que ângulos opostos pelo vértice são iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, podemos escrever as três igualdades abaixo, uma para cada um dos triângulos da figura: + +$$ +\begin{aligned} +& \alpha+7 x=180^{\circ} \\ +& \beta+8 x=180^{\circ} \\ +& \alpha+\beta+5 x=180^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Logo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=474&width=688&top_left_y=411&top_left_x=1138) + +$$ +(\alpha+7 x)+(\beta+8 x)-(\alpha+\beta+5 x)=180^{\circ}+180^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ} +$$ + +e como + +$$ +(\alpha+7 x)+(\beta+8 x)-(\alpha+\beta+5 x)=\alpha+7 x+\beta+8 x-\alpha-\beta-5 x=10 x +$$ + +segue que $10 x=180^{\circ}$, donde $x=18^{\circ}$ + +7. (E) +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=317&width=287&top_left_y=1475&top_left_x=673) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=305&width=269&top_left_y=1481&top_left_x=1176) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=300&width=277&top_left_y=1849&top_left_x=684) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-21.jpg?height=303&width=263&top_left_y=1839&top_left_x=1179) + +Observe nas ilustrações (a), (b), (c) e (d) que iniciando o desenho no ponto P e seguindo as setas de acordo com a ordem numérica, é possível completar cada desenho sem tirar o lápis do papel. + +Já o desenho da opção (e) não pode ser construído sem tirar o lápis do papel. De fato, excetuando-se o vértice de início do traçado e o vértice de finalização, os demais vértices do desenho devem possuir obrigatoriamente um número par de linhas chegando até eles, pois a cada vez que se chega a um desses vértices por uma linha, deixa-se esse mesmo vértice por outra linha. No caso da letra (e), os quatro vértices externos possuem três linhas chegando a cada um deles, logo é impossível fazer tal traçado. + +8. (E) Cortando um canto do cubo, eliminamos um de seus vértices. Como cada vértice se liga a três arestas do cubo, uma representação do cubo cortado deve mostrar três cortes ao redor de um mesmo vértice. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=414&width=1138&top_left_y=387&top_left_x=514) +9. (a) Vamos fazer o experimento com os números 0,5 e - 4 . + +$$ +\begin{aligned} +& 0 \longrightarrow{ }_{\mathrm{x} 6} 0 \xrightarrow[-21]{ } 0 \xrightarrow{-21}-7 \xrightarrow[-(0 \times 2)=0]{ }-7 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=82&width=1168&top_left_y=1164&top_left_x=450) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=74&width=1182&top_left_y=1319&top_left_x=437) + +O resultado final é sempre-7. + +(b) É razoável conjeturar então que para qualquer número escolhido o resultado final deste procedimento será sempre -7 . Seja $x$ o número inicial. Temos então as operações: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=106&width=1531&top_left_y=1677&top_left_x=211) + +Portanto, o resultado será -7 qualquer que seja o número inicialmente escolhido. + +10. A bola muda a direção de sua trajetória cada vez que bate na borda da mesa. Como a trajetória faz sempre um ângulo de $45^{\circ}$ com a borda, a bola seguirá sempre as diagonais dos quadrados que ela cruza. + +a) Traçando esta trajetória, concluímos que a bola cairá na caçapa $D$; + +b) A bola baterá 5 vezes na borda da mesa; + +c)Contando quantos são os quadradinhos atravessados, descobrimos que ela atravessará 23 quadradinhos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-22.jpg?height=628&width=642&top_left_y=1916&top_left_x=1255) + +1) Se $m$ e $n$ são inteiros maiores do que zero com $m0$, donde $a b5$, então qual dos números abaixo é o menor? +(A) $5 / x$ +(B) $5 /(x+1)$ +(C) $5 /(x-1)$ +(D) $x / 5$ +(E) $(x+1) / 5$ + +5)O quadrado $S T U V$ é formado de um quadrado limitado por 4 retângulos iguais. $\mathrm{O}$ perímetro de cada retângulo é $40 \mathrm{~cm}$. Qual é a área, em $\mathrm{cm}^{2}$, do quadrado $S T U V$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-34.jpg?height=349&width=329&top_left_y=1850&top_left_x=658) + +(A) 400 + +(B) 200 + +(C) 160 + +(D) 100 + +(E) 80 + +6) a) Calcule as diferenças: $1-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$; $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ + +b) Deduza de (a) o valor da soma: $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$ + +c) Calcule a soma: $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\cdots+\frac{1}{999000}$ + +1. (C) + +$\left\{\begin{array}{l}2 \text { barras } \xrightarrow{\text { corresponde }} 3 \text { horas } \\ 12 \text { bombons } \xrightarrow{\text { corresponde }} 2 \text { horas }\end{array} \operatorname{logo}\left\{\begin{array}{l}1 \text { barra } \xrightarrow{\text { corresponde }} 1,5 \text { horas } \\ 3 \text { bombons } \xrightarrow{\text { corresponde }} 0,5 \text { horas }\end{array}\right.\right.$ + +Logo, Tião me emprestará a bicicleta por $1,5+0,5=2$ horas + +2. (E) As ordens de prioridade para resolver uma expressão são: + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{\text { parêteses }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3^{\circ}} \text { e } \underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1^{\circ}} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2^{\circ}} \\ +& \quad 2-2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\}=2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}= +\end{aligned} +$$ + +Temos: + +$$ +=2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\}=2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10 +$$ + +3. No triângulo $B C E$, temos $B E \hat{C}=180^{\circ}-\left(42^{\circ}+48^{\circ}\right)=90^{\circ}$. No triângulo $\mathrm{AFD}$, temos: $\widehat{A F D}=180^{\circ}-\left(28^{\circ}+62^{\circ}\right)=90^{\circ}$. Logo, as retas FD e EC são perpendiculares a AB, portanto, são paralelas. +4. (B) Solução 1: Como a questão tem uma única resposta, ela é válida para qualquer valor de $x$. Podemos então escolher um valor para $\mathrm{x}$, por exemplo $x=10$. Temos: $\frac{5}{x}=\frac{5}{10} \quad, \frac{5}{x+1}=\frac{5}{11}, \frac{5}{x-1}=\frac{5}{9} \quad, \quad \frac{x}{5}=\frac{10}{5} \quad, \quad \frac{x+1}{5}=\frac{11}{5}$. Vemos que $x / 5 \mathrm{e}(x+1) / 5$ são maiores que 1, logo estão excluídos porque as outras três opções são menores que 1. Como 5/10,5/11 e $5 / 9$ têm o mesmo numerador, o menor é o que tiver maior denominador, que é $5 / 11$, ou seja, $\frac{5}{x+1}$. + +Solução 2 : Se $x>5$, então $\frac{5}{x}, \frac{5}{x+1} \mathrm{e} \frac{5}{x-1}$ são menores do $1 \mathrm{e} \frac{x}{5} \mathrm{e} \frac{x+1}{5}$ são maiores do que 1. Logo, as opções D e E estão excluídas. Como $\frac{5}{x}, \frac{5}{x+1} \mathrm{e} \frac{5}{x-1}$, têm o mesmo numerador, o menor é o que tem maior denominador, que é $\frac{5}{x+1}$. + +5. (A)Denotemos por $C e L$, o comprimento e a largura respectivamente de cada um dos quatro retângulos. O perímetro de cada retângulo é $2(C+L)$. Então, $2 \times(C+L)=40 \Rightarrow C+L=20$. Observe na figura que o lado do quadrado STUV é $C+\mathrm{L}$, e portanto sua área é $\mathrm{A}=(C+L)^{2}=20^{2}=400 \mathrm{~cm}^{2}$. +6. Solução: + +a) $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \quad ; \quad \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} \quad ; \quad \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12} \quad ; \quad \frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20} \quad ; \quad \frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$ + +b) $\left.\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{6}}+\underbrace{\frac{1}{12}}+\underbrace{\frac{1}{20}}+\underbrace{\frac{1}{30}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} / \frac{1}{3} \right\rvert\,-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ $\overbrace{1-\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \underbrace{20}_{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}} \underbrace{30}_{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}}$ + +c) Note que os denominadores são produtos de números consecutivos, iniciando no 1: + +$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=1-\frac{1}{6}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-36.jpg?height=63&width=468&top_left_y=851&top_left_x=197) + +Mas, geralmente, usando a decomposição de cada parcela como no item (a) podemos provar que: + +$\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5}+\frac{1}{5 \times 6}+\frac{1}{6 \times 7}+\cdots+\frac{1}{n \times(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$ + +Logo: + +$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\mathrm{L}+\frac{1}{999000}=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}=0,999$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-36.jpg?height=66&width=828&top_left_y=1532&top_left_x=197) + +1) Calcule os ângulos que não estão indicados e o perímetro da figura sabendo que $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$ e $\widehat{D B C}=\widehat{B C D}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-37.jpg?height=331&width=673&top_left_y=457&top_left_x=977) + +2) Quais os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-2}<4$ ? +(A) $x<\frac{9}{4}$ +(B) $x>2$ +(C) $2\frac{9}{4}$ + +3)Quantas soluções inteiras e positivas satisfazem a dupla inequação $2000<\sqrt{n(n+1)}<2005$ ? +(A) 1 +(B) 2 +(C) 3 +(D) 4 +(E) 5 + +4) $\mathrm{Na}$ figura, $\mathrm{O}$ é $\mathrm{o}$ centro do círculo e $\mathrm{AB}=5 \mathrm{~cm}$. Qual é o diâmetro desse círculo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-37.jpg?height=377&width=377&top_left_y=1405&top_left_x=1499) + +5) Se $a, b$ e $c$ são números naturais tais que $3 a=4 b=7 c$, então o menor valor de $a+b+c$ é: +(A) 84 +(B) 36 +(C) 61 +(D) 56 +(E) 42 +6) Na figura temos TU=SV. Quanto vale o ângulo $\widehat{S V U}$ ? +(A) $30^{\circ}$ +(B) $50^{\circ}$ +(C) $55^{\circ}$ +(D) $65^{\circ}$ +(E) $70^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-37.jpg?height=408&width=754&top_left_y=2166&top_left_x=1185) + +7) O café, o bolo e o gato - Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, eu coloquei meu gato do lado de fora da casa. O bolo deve cozinhar por 35 minutos, então eu coloquei o despertador para tocar 35 minutos, após colocar o bolo no forno. Imediatamente fiz um café para mim, o que me tomou 6 minutos. Três minutos antes de acabar de beber o café o gato entrou em casa. Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar. O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram 3h59min da tarde. + +(a) A que horas coloquei o gato fora de casa? + +(b) Quantos minutos depois de colocar o gato fora de casa, o despertador tocou? + +(c) Quanto tempo o gato estava fora de casa até o momento em que o telefone tocou? + +1. O triângulo $\mathrm{ABE}$ é isósceles porque tem dois ângulos iguais. Logo os lados $A E$ e $A B$ são iguais, portanto $A B=120 m$. $O$ triângulo $B C D$ também é isósceles porque tem dois lados iguais, $\mathrm{BC}=\mathrm{BD}$, logo $\widehat{B D C}=\widehat{B C D}$. Como, $\widehat{D B C}=\widehat{B C D}$ então os três ângulos do triângulo $\mathrm{BCD}$ são iguais, logo cada um vale $180^{\circ} \div 3=60^{\circ}$. Assim, ele é equilátero e temos $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=115 \mathrm{~m}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-39.jpg?height=331&width=640&top_left_y=460&top_left_x=1325) + +Assim, o perímetro da figura é: $120 \times 2+115 \times 2+226=696 \mathrm{~m}$. + +2. (E) $\frac{1}{x-2}<4 \Rightarrow \frac{1}{x-2}-4<0 \Rightarrow \frac{1-4(x-2)}{x-2}=\frac{9-4 x}{x-2}<0$ + +$1^{\circ}$ caso : $9-4 x>0$ e $x-2<0$ : + +$9-4 x>0 \Rightarrow x<\frac{9}{4} \quad$ e $\quad x-2<0 \Rightarrow x<2$. + +Como $2<\frac{9}{4}$ a solução são todos os números $x$ menores que 2, isto é $x<2$. + +$2^{\circ}$ caso : $9-4 x<0$ e $x-2>0$ : + +$9-4 x<0 \Rightarrow x>\frac{9}{4} \quad$ e $\quad x-2>0 \Rightarrow x>2$ + +Como $2<\frac{9}{4}$ a solução são todos os números $x$ maiores que 9/4, isto é $x>\frac{9}{4}$. + +Logo, a solução da inequação é $x<2$ ou $x>\frac{9}{4}$. + +3. (E) Como os números que aparecem são todos positivos, podemos elevá-los ao quadrado mantendo os sinais, isto é: $2000^{2} foi posto fora de casa | +| :--- | :--- | +| Gato fora de casa | 0 minutos | +| Bolo no forno | 10 minutos | +| Fazer o café | $10+6=16$ minutos | +| Despertador toca | $35+10=45$ minutos | +| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos | +| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos | +| Telefone toca | $16+(40-16): 2=28$ minutos | +| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos | + +Podemos agora dar as respostas. + +(a) Às 3:59horas desliguei o telefone, o que ocorreu 33 minutos depois de colocar o gato fora de casa. Logo a resposta é 3:59-0:33=3:26. + +(b) O despertador toca 45 minutos após colocar o gato for a de casa. + +(c) 28 minutos + +Podemos saber exatamente a hora de cada atividade; veja na tabela a seguir. + +| Atividade | Tempo depois que o gato
foi posto fora de casa | Hora atual | +| :--- | :--- | :--- | +| Gato fora de casa | 0 minutos | $3: 59-0: 33=3: 26$ | +| Bolo no forno | 10 minutos | $3: 26+0: 10=3: 36$ | +| Fazer o café | $10+6=16$ minutos | $3: 26+0: 16=3: 42$ | +| Despertador toca | $35+10=45$ minutos | $3: 26+0: 45=4: 11$ | +| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos | $3: 26+0: 40=4: 06$ | +| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos | $3: 26+0: 43=4: 09$ | +| Telefone toca | $16+(40-16): 2=28$ minutos | $3: 26+0: 28=3: 54$ | +| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos | $3: 59$ | + +1) Se $m$ é um número natural tal que $3^{m}=81$, então $m^{3}$ é igual a: +(A) 36 +(B) 40 +(C) 64 +(D) 99 +(E) 100 +2. Quais figuras estão corretas? + +FIGURA II + +FIGURA I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-41.jpg?height=260&width=509&top_left_y=741&top_left_x=228) + +FIGURA III +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-41.jpg?height=608&width=712&top_left_y=668&top_left_x=1050) + +3) Sinal de um produto e sinal de um quociente: $a, b, c$ e $d$ são quatro números não nulos tais que os quocientes $\frac{a}{5}, \frac{-b}{7 a}, \frac{11}{a b c}, \frac{-18}{a b c d}$ são positivos. Determine os sinais de $a$, $b, c$ e $d$. +4) Quais dos números abaixo são negativos? +$10-3 \sqrt{11}$; +$3 \sqrt{11}-10 ;$ +$18-5 \sqrt{13}$; +$51-10 \sqrt{26}$; +$10 \sqrt{26}-51$. +5) As retas re s são paralelas, encontre $x$ e y: + +| Dia | Temperatura
máxima
$\mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}$ | Temperatura
mínima em
$\mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $2^{\mathrm{a}}$-feira | 7 | -12 | +| 3a-feira | 0 | -11 | +| $4^{\mathrm{a}}$-feira | -2 | -15 | +| 5a-feira | 9 | -8 | +| $6^{\mathrm{a}}$-feira | 13 | -7 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-41.jpg?height=397&width=874&top_left_y=1837&top_left_x=1045) + +6) A tabela mostra as temperaturas máximas e mínimas durante 5 dias seguidos em certa cidade. Em qual dia ocorreu o maior variação de temperatura? +1. (C)Temos $3^{m}=81=3^{4}$; donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$. +2. Na figura I, temos $63^{\circ}+18^{\circ}+95^{\circ}=176^{\circ}$ que é menor do que $180^{\circ}$; logo a figura está errada. + +Na figura II, temos $112^{\circ}+72^{\circ}=184^{\circ}$ que é maior do que $180^{\circ}$; logo a figura está errada. + +Na figura III, temos $44^{\circ}+45^{\circ}+62^{\circ}+29^{\circ}=180^{\circ}$, e a figura está correta. + +3. Solução. + +- $\frac{a}{5}>0 \Rightarrow a>0$ +- Temos $a>0 \Rightarrow 7 a>0$, logo: $\underbrace{\frac{-b}{7 a}}_{+}>0 \Rightarrow-b>0 \Rightarrow b<0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-42.jpg?height=134&width=1190&top_left_y=1138&top_left_x=313) + +- $\frac{\overbrace{18}^{i 8}}{a b c d}>0 \Rightarrow a b c d<0$, como $a b c>0$ segue que $d<0$. + +4. Como $100>99$ então $\underbrace{\sqrt{100}}_{10}>\underbrace{\sqrt{99}}_{3 \sqrt{11}}$. Logo, $10-3 \sqrt{11}>0$ e $3 \sqrt{11}-10<0$. Analogamente: $2601>2600 \Rightarrow \underbrace{\sqrt{2601}}_{51}>\underbrace{\sqrt{2600}}_{10 \sqrt{26}}$. + +Assim, $51-10 \sqrt{26}>0$ e $10 \sqrt{26}-51<0$. + +Finalmente, $324<325 \Rightarrow \underbrace{\sqrt{324}}_{18}<\underbrace{\sqrt{325}}_{5 \sqrt{13}} \Rightarrow 18-5 \sqrt{13}<0$. Os números negativos são $3 \sqrt{11}-10$, $10 \sqrt{26}-51$ e $18-5 \sqrt{13}$. + +5. Temos $80^{\circ}+y=180^{\circ} \Rightarrow y=100^{\circ}$.Como as retas $r$ e $s$ são paralelas, segue que, $60^{\circ}+x+80^{\circ}=180^{\circ}$, donde $x=40^{\circ}$. + +| Dia | Temperatura
máxima
em $^{\circ} \mathrm{C}$ | Temperatura
mínima em
em $^{\circ} \mathrm{C}$ | Variação | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 2a-feira | 7 | -12 | $7-(-12)=7+12=19$ | +| 3a-feira | 0 | -11 | $0-(-11)=0+11=11$ | +| 4-feira | -2 | -15 | $-2-(-15)=-2+15=13$ | +| 5a-feira | 9 | -8 | $9-(-8)=9+8=17$ | +| 6a-feira | 13 | -7 | $13-(-7)=13+7=20$ | + +6. A variação de temperatura é a diferença entre a máxima e a mínima. Temos : + +Logo, a maior variação ocorreu na $6^{a}$ feira. + +1) O número que fica entre $2 / 5$ e $3 / 4$ é +(A) $1 / 6$ +(B) $4 / 3$ +(C) $5 / 2$ +(D) $4 / 7$ +(E) $1 / 4$ +2) A figura mostra o retângulo maior dividido em 18 retângulos menores, todos com a mesma largura. Que fração do retângulo maior representa a parte em cinza? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-43.jpg?height=260&width=716&top_left_y=590&top_left_x=1184) + +3) Na lista de frações, no quadro ao lado, temos: + +- 2 frações cuja soma é $\frac{5}{2}$ +- 2 frações cuja diferença é $\frac{5}{2}$ + +| $\frac{5}{4}$ | $\frac{17}{6}$ | $\frac{-5}{4}$ | $\frac{10}{7}$ | $\frac{2}{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +$\begin{array}{llll}\frac{14}{8} & \frac{-1}{3} & \frac{5}{3} & \frac{-3}{2}\end{array}$ + +- 2 frações cujo produto é $\frac{5}{2}$ +- 2 frações cujo quociente é $\frac{5}{2}$ + +Encontre a fração que está sobrando. + +4) No triângulo KLM temos KL=KM, KT=KS e $L K S=30^{\circ}$. O ângulo $x$ é: +(A) $10^{\circ}$ +(B) $15^{\circ}$ +(C) $20^{\circ}$ +(D) $25^{\circ}$ +(E) $30^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-43.jpg?height=486&width=1128&top_left_y=1519&top_left_x=795) + +5) Escreva dentro dos círculos os números inteiros que tornam correta a sucessão de operações. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-43.jpg?height=365&width=691&top_left_y=2139&top_left_x=571) + +6) Iara possui $R \$ 50,00$ para comprar copos que custam $R \$ 2,50$ e pratos que custam $R \$ 7,00$. Ela quer comprar no mínimo 4 pratos e 6 copos. O que ela pode comprar ? +1. (D) $2 / 5$ e $3 / 4$ são menores que 1 (numerador menor que denominador) ; por sua vez, 4/3 e $5 / 2$ são maiores que 1 (numerador maior que denominador), logo (B) e (C) estão excluídas. Temos $1 / 6$ menor do que $1 / 4$. Como $1 / 4=0,25$ e $2 / 5=0,4$ segue que: $\frac{1}{6}<\underbrace{\frac{1}{4}}_{0,25}<\underbrace{\frac{2}{5}}_{0,4}$. Logo o único número entre $2 / 5$ e $3 / 4$ é $4 / 7$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-44.jpg?height=154&width=920&top_left_y=728&top_left_x=448) + +Um número $x$ que "fica entre" $2 / 5$ e $3 / 4$ é um número maior do que $2 / 5$ e menor do que $3 / 4$ ou seja $\frac{2}{5} vizinhos | 3 | 7 | 1 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | +| | 8 | 14 | 6 | 12 | 11 | 10 | 9 | | | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | +| | 15 | | 13 | | | | | | | | | | | | | + +Os algarismos 8 e o 9 só têm cada um apenas um possível vizinho, logo eles devem ser colocados no início e no fim da fila, seguidos de seus únicos vizinhos: + +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 7 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Sobram os números 2, 3, 4, 5, 6, 10,11 12, 13, 14 e 15. Na "tabela de vizinhos" vemos que ao lado do 7 só podemos colocar o 2 e ao lado do 2 o 14. Temos então: + +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 14 | 2 | 7 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Consultando a "tabela de vizinhos" e os números que sobram, chegamos à resposta. Veja a seguir a solução passo a passo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-49.jpg?height=1036&width=1464&top_left_y=453&top_left_x=296) + +6. Lembre que a área de um triângulo é $\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}$, onde a altura é relativa à base escolhida. No triângulo $\mathrm{AEB}$ temos base $=\mathrm{AB}=$ comprimento do retângulo e a altura relativa a essa base é $\mathrm{BC}=$ largura do retângulo. Logo, $\frac{A B \times B C}{2}=24 \Rightarrow A B \times B C=48$. Logo a área do retângulo é $48 \mathrm{~cm}^{2}$. Portanto, a área pedida é $48-(24+13)=48-37=11 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Solução 2: $x z=12$ + +$$ +y z=27 +$$ + +$$ +x w=16 +$$ + +$x y z w=27 \times 16$ + +$y w=\frac{27 \times 16}{x z}=\frac{27 \times 16}{12}=91$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-50.jpg?height=339&width=582&top_left_y=236&top_left_x=1134) + +9. Solução 1: Sejam $x$ e $y$ o maior e o menor catetos, respectivamente, do triângulo retângulo. Como o lado do quadrado $A B C D$ mede $3 \mathrm{~cm}$, temos $x-y=3$. Por outro lado, como o lado de EFGH mede $9 \mathrm{~cm}$, temos $x+y=9$. Resolvendo o sistema, encontramos $x=6$ e $y=3$. Logo, o lado do quadrado IJKL, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede $\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-50.jpg?height=586&width=1396&top_left_y=1029&top_left_x=360) + +Solução 2: Os quadrados $I J K L$ e $M N O P$ têm como lados as hipotenusas dos triângulos retângulos dados, logo têm a mesma área. Superpondo-se as duas figuras e fazendo esses dois quadrados coincidirem, encontramos 8 triângulos e concluímos que + +$8 \times$ área do triângulo $=$ área de $E F G H$ - área de $A B C D=9^{2}-3^{2}=72 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo a área de cada triângulo é $9 \mathrm{~cm}^{2}$. Da figura temos + +$$ +\text { área de } I J K L=4 \times \text { área do triângulo }+ \text { área de } A B C D=4 \times 9+9=45 \text {. } +$$ + +Logo, o lado do quadrado IJKL é $\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8f3e432678bf01e6bca5g-50.jpg?height=657&width=648&top_left_y=2076&top_left_x=1184) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5ac7576fe8f8080d5759751fb0df626c5d9afda9 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_N3.md @@ -0,0 +1,1550 @@ +1) Juliano encaixou duas rodas dentadas iguais, cada uma com uma bandeirinha igual desenhada, como mostra a figura ao lado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-01.jpg?height=269&width=514&top_left_y=314&top_left_x=1382) + +Então ele girou a roda da esquerda um pouco. Qual das alternativas abaixo pode representar a posição final das rodas? +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-01.jpg?height=217&width=374&top_left_y=697&top_left_x=407) +B) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-01.jpg?height=224&width=392&top_left_y=696&top_left_x=819) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-01.jpg?height=211&width=403&top_left_y=700&top_left_x=1226) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-01.jpg?height=210&width=373&top_left_y=903&top_left_x=613) +E) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-01.jpg?height=214&width=411&top_left_y=898&top_left_x=1025) + +2) Quantas frações da forma $\frac{n}{n+1}$ são menores do que $\frac{7}{9}$, sabendo que $n$ é um número inteiro positivo? +A) 1 +B) 2 +C) 3 +D) 4 +E) 5 +3) Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres. Delas, $3 \%$ usam apenas um brinco; das restantes, metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual o número total de brincos usados por todas as mulheres? +A) 776 +B) 788 +C) 800 +D) 812 +E) 824 +4) Ana, Bento e Lucas participam de um concurso que consta de 20 perguntas com a seguinte regra: + +- cada resposta certa ganha 5 pontos, +- cada resposta errada perde 3 pontos, +- cada resposta em branco perde 2 pontos. + +Veja os resultados na tabela a seguir: + +| | Número
de
respostas
certas | Número
de
respostas
erradas | Número
de
respostas
em branco | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Ana | 12 | 4 | 4 | +| Bento | 13 | 7 | 0 | +| Lucas | 12 | 3 | 5 | + +Escrevendo os nomes dos três em ordem decrescente de classificação no concurso, encontramos: +A) Ana, Bento, Lucas +B) Lucas, Bento, Ana +C) Ana, Lucas, Bento + +D) Lucas, Ana, Bento E) Bento, Lucas, Ana + +5) Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre o terceiro e o sexto poste é de 3,3 m. Qual é a distância entre o primeiro e o último poste? +A) $8,4 \mathrm{~m}$ +B) $12,1 \mathrm{~m}$ +C) $9,9 m$ +D) $13,2 m$ +E) $9,075 \mathrm{~m}$ +6) Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais conforme ilustração ao lado, obtendo-se +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-02.jpg?height=154&width=732&top_left_y=200&top_left_x=974) +um triângulo. + +Foi feito um corte reto na folha dobrada, paralelo ao lado maior desse triângulo, passando pelos pontos médios dos outros lados, e desdobrou-se a folha. A área do buraco na folha corresponde a qual fração da área da folha original ? +A) $\frac{1}{2}$ +B) $\frac{1}{6}$ +C) $\frac{3}{8}$ +D) $\frac{3}{4}$ +E) $\frac{1}{4}$ + +7) Qual é o menor número inteiro positivo $N$ tal que $\frac{N}{3}, \frac{N}{4}, \frac{N}{5}, \frac{N}{6}$ e $\frac{N}{7}$ são números inteiros? +A) 420 +B) 350 +C) 210 +D) 300 +E) 280 +8) Uma formiguinha vai caminhar de $A$ até $C$ passando por B, podendo passar apenas uma vez por esses pontos e pelos caminhos indicados na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-02.jpg?height=143&width=557&top_left_y=1185&top_left_x=1229) +Qual o número de maneiras diferentes que ela pode escolher para ir de $\mathrm{A}$ até $\mathrm{C}$ ? +A) 3 +B) 5 +C) 7 +D) 8 +E) 9 + +9) Dados $a$ e $b$ números reais seja $a \diamond b=a^{2}-a b+b^{2}$. Quanto vale $1 \diamond 0$ ? +A) 1 +B) 0 +C) 2 +D) -2 +E) -1 +10) O diagrama de barras mostra a distribuição dos alunos de uma escola de acordo com o tempo que gastam no trajeto de casa para a escola. As frações de minuto não foram consideradas; assim, se um aluno gasta 40 minutos e 15 segundos neste trajeto, considerase que o tempo gasto é de 40 minutos. + +Responda as perguntas seguintes justificando sua resposta. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-02.jpg?height=522&width=594&top_left_y=1852&top_left_x=1279) + +(a) Quantos alunos gastam menos de 20 minutos para chegar à escola? + +(b) Quantos alunos têm esta escola? + +(c) Quantos alunos gastam mais do que 40 minutos para chegar à escola? + +(d) É verdade que a maioria dos alunos gasta mais de 20 minutos no trajeto à escola? + +1. (A) Os dois discos giram em sentidos opostos; quando um gira no sentido horário, o outro gira no sentido anti-horário. Considerando que a engrenagem da esquerda girou um ângulo $x$ em um sentido, a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo $x$ no sentido oposto, e portanto a bandeirinha ficou na posição mostrada na alternativa (A). +2. (C) Solução 1 - As frações da forma $\frac{n}{n+1}$, $\operatorname{com} n$ inteiro positivo são: + +$$ +\underbrace{\frac{1}{2}}_{n=1} ; \quad \underbrace{\frac{2}{3}}_{n=2} ; \quad \underbrace{\frac{3}{4}}_{n=3} ; \quad \underbrace{\frac{4}{5}}_{n=4} ; \quad \underbrace{\frac{5}{6}}_{n=5} \cdots +$$ + +Observe que esta seqüência de frações é crescente, isto é: $\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}<\ldots$ + +Para comparar cada uma dessas frações com $7 / 9$ precisamos igualar os denominadores. Temos: + +$$ +\frac{1}{2}=\frac{9}{18}<\frac{14}{18}=\frac{7}{9} \quad ; \quad \frac{2}{3}=\frac{6}{9}<\frac{7}{9} \quad ; \quad \frac{3}{4}=\frac{27}{36}<\frac{28}{36}=\frac{7}{9} \quad ; \quad \frac{4}{5}=\frac{36}{45}>\frac{35}{45}=\frac{7}{9} +$$ + +Logo, 4/5 é maior do que 7/9, e como a seqüência é crescente, a partir de $4 / 5$ todas as frações desta seqüência são maiores do que 7/9. Assim, as frações da forma $\frac{n}{n+1}$ menores do que $\frac{7}{9}$ são $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$. Portanto, a resposta é 3 . + +Solução 2 - Transformando em números decimais temos: $7 / 9=0,777 \ldots$ e $1 / 2=0,5$; $2 / 3=0,666 \ldots ; 3 / 4=0,75 ; 4 / 5=0,8 ; 5 / 6=0,8333 \ldots$ + +Logo, a seqüência é crescente e apenas $1 / 2=0,5 ; 2 / 3=0,666 \ldots ; 3 / 4=0,75$ são menores do que $7 / 9=0,777 \ldots$ + +Solução 3 - Se $\frac{n}{n+1}<\frac{7}{9}$, então $\frac{n}{n+1}-\frac{7}{9}<0 \Rightarrow \frac{9 n-7(n+1)}{9(n+1)}=\frac{2 n-7}{9(n+1)}<0$. Como $9(n+1)>0$, devemos ter $2 n-7<0$, isto é $n<\frac{7}{2}=3,5$. Logo, $n=1,2,3$ e portanto, as fraçoes são $\frac{1}{2}, \frac{2}{3} \mathrm{e} \frac{3}{4}$. + +3. (C) Solução 1 - Do enunciado temos que o número de mulheres que usam apenas um brinco é $0,03 \times 800=24$. Restam $800-24=776$, das quais 388 usam dois brincos e 388 não usam brincos. Logo, o número total de brincos usados por todas as mulheres é: $24+388 \times 2=800$. + +Solução 2 - Se cada mulher com dois brincos der um dos seus a uma das que não têm brincos, todas as 800 mulheres ficarão com um único brinco. Logo, o número de brincos é igual ao de mulheres, ou seja, 800 . + +4. (E) O número de pontos de cada um deles é: + +Ana: $\quad 5 \times 12+(-3) \times 4+(-2) \times 4=60-12-8=40$ + +Bento: $5 \times 13+(-3) \times 7+(-2) \times 0=65-21=44$ + +Lucas: $5 \times 12+(-3) \times 3+(-2) \times 5=60-9-10=41$ + +Logo, Bento foi o mais bem classificado, seguido de Lucas e depois de Ana. + +5. (B) A distância entre dois postes consecutivos é $\frac{3,3 m}{3}=1,1 m$, donde a distância entre o primeiro e o último poste é $11 \times 1,1 \mathrm{~m}=12,1 \mathrm{~m}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-04.jpg?height=117&width=1051&top_left_y=1004&top_left_x=411) + +6. (E) Denotemos por $a$ o lado do quadrado que é dobrado. + +Solução 1 - Na figura abaixo mostra o triângulo obtido após dobrar o quadrado ao longo das duas diagonais. Temos $B C=a$, o lado da folha quadrada original. Como o corte é feito pela base média $M N$ do triângulo, temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-04.jpg?height=357&width=671&top_left_y=1466&top_left_x=196) +$M N=\frac{B C}{2}=\frac{a}{2}$. Desdobrando-se a folha, vemos que o buraco é um quadrado de lado $M N$. A área do quadrado inicial é $a^{2}$ e a do quadrado retirado é $\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}$. Logo, o buraco tem um quarto da área do quadrado original. + +Solução 2 - O corte é realizado pela base média do triângulo, retirando um triângulo pequeno semelhante ao original com razão de semelhança $\frac{1}{2}$; deste modo, o triângulo retirado tem um quarto da área do triângulo original. Abrindo a folha, vemos essa situação reproduzida quatro vezes, donde o buraco tem um quarto da área do quadrado original. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-04.jpg?height=488&width=462&top_left_y=2069&top_left_x=1385) + +7. (A) Para que $\frac{N}{3}, \frac{N}{4}, \frac{N}{5}, \frac{N}{6}$ e $\frac{N}{7}$ sejam números inteiros, $N$ deve ser múltiplo comum de $3,4,5,6$ e 7. Como queremos o menor $N$ possível, ele deve ser o menor múltiplo comum de 3 , $4,5,6$ e 7. Sendo o MMC entre 3, 4, 5, 6 e 7 igual a 420 , temos $N=420$. +8. (E) Para cada um dos 3 caminhos para ir de A até B, existem 3 opções para ir de B a C. Logo, há um total de $3 \times 3=9$ possibilidades. Mas geralmente, se fossem $m$ os caminhos de $\mathrm{A}$ até $\mathrm{B}$ e $n$ os de $\mathrm{B}$ até $\mathrm{C}$, então o número de caminhos que nossa formiguinha poderia tomar de A até $C$ seria $m \times n$; esta afirmativa é um caso particular do Princípio multiplicativo. +9. (A) Fazendo $a=1$ e $b=0$ em $a \diamond b=a^{2}-a b+b^{2}$ obtemos: $1 \diamond 0=1^{2}-1 \times 0+0^{2}=1$. +10. Conforme o enunciado, os alunos foram divididos em 4 grupos distintos. Cada uma das quatro barras do diagrama representa apenas um desses grupos. + +(a) Os alunos que gastam menos de 20 minutos em seu trajeto de casa para a escola estão representados pela barra mais alta, que atinge a marca 90 . Logo, 90 alunos gastam menos de 20 minutos para chegar à escola. + +(b) Como já dito acima, cada barra representa um grupo diferente de alunos. Logo, o total de alunos na escola é a soma dos números representados pelas quatro barras; isto é: $90+60+10+20=180$ alunos. + +(c) Os alunos que gastam mais de 40 minutos são aqueles que estão em dois grupos: os que gastam de 41 a 60 minutos e os que gastam mais do que 60 minutos. No diagrama, esses grupos estão representados por duas barras; uma atinge a marca 10 e a outra, a marca 20 , respectivamente. Logo, o total de alunos que gastam mais do que 40 minutos para chegar à escola é de $10+20=30$. + +(d) Do item anterior, sabe-se que 30 alunos gastam mais do que 40 minutos para chegar à escola. Do diagrama, observa-se que 60 alunos gastam de 20 a 40 minutos. Portanto, temos no máximo $30+60=90$ alunos que gastam mais do que 20 minutos para chegar à escola. Como a escola tem 180 alunos, concluímos que a resposta para esta pergunta é não. + +1) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite. Na casa de João, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente. Com os tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas? +A) 43 +B) 53 +C) 56 +D) 57 +E) 60 +2) Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de $20 \mathrm{~cm}$ de lado. Estas caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de $80 \mathrm{~cm}$ de largura por $120 \mathrm{~cm}$ de comprimento por $60 \mathrm{~cm}$ de altura. Qual o número máximo de latas de palmito em cada caixote? +A) 576 +B) 4608 +C) 2304 +D) 720 +E) 144 +3) Um atleta corre $5000 \mathrm{~m}$ por semana em uma quadra de esportes, que tem uma pista curta e outra longa. Em uma semana ele treinou seis dias, sendo que a cada dia correu uma vez na pista longa e duas na pista curta. Na semana seguinte ele treinou sete dias, sendo que a cada dia correu uma vez em cada pista. Podemos então afirmar que: + +A) a pista longa é três vezes maior que a curta. + +B) a pista longa é quatro vezes maior que a curta. + +C) a pista longa é cinco vezes maior que a curta. + +D) a pista longa é $600 \mathrm{~m}$ mais longa que a curta. + +E) a pista longa é $500 \mathrm{~m}$ mais longa que a curta. + +4) O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar? +A) 132 +B) 144 +C) 146 +D) 148 +E) 152 +5) Sabendo-se que $0,333 \ldots=\frac{1}{3}$, qual é a fração irredutível equivalente a $0,1333 \ldots$ ? +A) $\frac{1}{13}$ +B) $\frac{1}{15}$ +C) $\frac{1}{30}$ +D) $\frac{2}{15}$ +E) $\frac{1333}{10000}$ +6) André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular de raio $100 \mathrm{~m}$. Para percorrer aproximadamente $42 \mathrm{~km}$, o número de voltas que André precisa dar está entre: +A) $1 \mathrm{e} 10$ +B) $10 \mathrm{e} 50$ +C) $50 \mathrm{e} 100$ +D) $100 \mathrm{e} 500$ +E) $500 \mathrm{e} 1000$ +7) Se 3 e $\frac{1}{3}$ são as raízes da equação $a x^{2}-6 x+c=0$, qual o valor de $a+c$ ? +A) 1 +B) 0 +C) $-\frac{9}{5}$ +D) $\frac{18}{5}$ +E) -5 +8) Os vértices de um cubo são numerados com os números de 1a 8, de tal modo que uma das faces tem os vértices $\{1,2,6,7\}$ e as outras cinco têm vértices $\{1,4,6,8\},\{1,2,5$, $8\},\{2,3,5,7\},\{3,4,6,7\}$ e $\{3,4,5,8\}$. Qual o número do vértice que está mais distante daquele de número 6 ? +A) 1 +B) 3 +C) 4 +D) 5 +E) 7 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-07.jpg?height=582&width=586&top_left_y=991&top_left_x=201) + +9) O gráfico ao lado mostra o número de pontos que os oito jogadores de basquete do time da escola marcaram no último jogo. + +Qual o número total de pontos marcados pelo time? +A) 54 +B) 48 +C) 12 +D) 58 +E) 46 + +10) No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram 6 equipes. Cada equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de classificação do campeonato, onde + +- V é o número de vitórias de uma equipe +- E o número de empates +- D o número de derrotas +- GP é o número de gols feitos por um time +- GC é o número de gols sofridos + +| Equipe | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{G P}$ | GC | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\boldsymbol{A}$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 | +| $\boldsymbol{B}$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 | +| $\boldsymbol{C}$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 | +| $\boldsymbol{D}$ | 1 | 1 | $y$ | 3 | 6 | +| $\boldsymbol{E}$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 | +| $\boldsymbol{F}$ | $x$ | 1 | 0 | $z$ | 3 | + +a) Quantas partidas foram disputadas? + +b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols feitos pela equipe $F$, representados por $x, y$ e $z$ na tabela. + +1. (D) De 43 velas obtém-se 43 tocos. Como $43=4 \times 10+3$, com esses 43 tocos se pode fazer 10 velas e guardar 3 tocos. Dessas 10 velas, obtemos 10 tocos que, com os 3 que sobraram, dão 13. Sendo $13=4 \times 3+1$, fazemos então 3 velas com 12 tocos, sobrando 1 toco. Depois de usar estas 3 velas, teremos um total de 4 tocos, que nos dá 1 vela extra. No total, obtemos $43+10+3+1=57$. +2. (A) Em cada caixote de madeira de dimensões $a \times b \times c$ cabem, empilhados regularmente, $\frac{a}{l} \times \frac{b}{l} \times \frac{c}{l}$ cubos de lado $l$. No nosso caso, $a=60, b=80, c=120$ e $l=20$. Como 60,80 e 120 são múltiplos de 20, podemos encher o caixote sem deixar espaços com $\frac{60}{20} \times \frac{80}{20} \times \frac{120}{20}=72$ caixas de papelão cúbicas de $20 \mathrm{~cm}$ de cada lado. Logo, em cada caixote cabem $72 \times 8=576$ latas de palmito. +3. (C) Solução 1 - Denotemos por $x$ e $y$ os comprimentos das pistas longa e curta, respectivamente. + +Numa semana, ele corre $6(x+2 y)$ e na outra $7(x+y)$. Como, em cada semana, ele corre os mesmos 5000 metros, temos: $6(x+2 y)=7(x+y)$. + +Segue que $6 x+12 y=7 x+7 y$, e portanto, $5 y=x$. Assim, o comprimento da pista longa é cinco vezes o da pista curta. + +Solução 2 - Na semana em que Joãozinho treinou sete dias, ele correu uma pista longa a mais e cinco pistas curtas a menos do que a semana em que ele treinou apenas seis dias. Como a distância corrida foi a mesma nas duas semanas, concluímos que o comprimento da pista longa é igual ao comprimento de cinco pistas curtas. + +4. (B) O enunciado mostra que o peso de 1 saco de areia é o mesmo que o de 8 tijolos. Se no caminhão já há 32 sacos de areia, ele pode carregar ainda 18 sacos, o que equivale $18 \times 8=144$ tijolos. +5. (D) Solução 1 - Usando o dado da questão temos: $0,1333 \ldots=\frac{1,333 \ldots}{10}=\frac{1+0,333 \ldots}{10}=\frac{1}{10}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{10} \times \frac{4}{3}=\frac{2}{15}$. + +Solução 2 - Usando a regra que fornece a geratriz de uma dízima periódica, temos: $0,1333 \ldots=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$. + +6. (C) O comprimento de uma circunferência de raio $r$ é $2 \pi r$. Assim, em cada volta, André percorre $2 \pi \times 100 \mathrm{~m}=200 \pi \mathrm{m}$. Logo, o número de voltas que André precisa dar é $\frac{42000}{200 \pi}=\frac{210}{\pi}$. Podemos agora finalizar o problema de duas maneiras: + +1a) A aproximação de $\pi$ té a segunda casa decimal é 3,14. Daí, $\frac{210}{\pi} \approx \frac{210}{3,14} \approx 66,878 \approx 66,88$. Como 66, 88 está entre 50 e 100 , a opção correta é C. +2a) Como $3<\pi<4$ segue que $\frac{1}{\pi}<\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{4}<\frac{1}{\pi}$. Multiplicando ambos os lados dessas desigualdades por 210 obtemos: + +$$ +\frac{210}{\pi}<\frac{210}{3}=70 \text { e } \frac{210}{4}<\frac{210}{\pi} +$$ + +Como $\frac{210}{4}=52,5$, concluímos que André deve dar entre 53 e 70 voltas na pista para percorrer $42000 \mathrm{~m}$. + +7. (D) Solução 1 - Como 3 e $1 / 3$ são raízes da equação $a x^{2}-6 x+c=0$ temos: + +$$ +9 a-18+c=0 \Rightarrow 9 a+c=18 \text { e } \frac{a}{9}-2+c=0 \Rightarrow \frac{a}{9}+c=2 +$$ + +Resolvendo o sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +9 a+c=18 \\ +\frac{a}{9}+c=2 +\end{array} \quad \text { obtemos } \quad a=c=\frac{9}{5} . \text { Logo, } a+c=\frac{18}{5}\right. +$$ + +Solução 2 - Numa equação do $2^{\circ}$ grau $a x^{2}+b x+c=0$, a soma das raízes é $-\frac{b}{a}$ e o produto $\frac{c}{a}$. Logo: $3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}=\frac{6}{a} \Rightarrow a=\frac{9}{5}$ e $3 \times \frac{1}{3}=1=\frac{c}{a} \Rightarrow a=c$. Assim, $a+c=2 \times \frac{9}{5}=\frac{18}{5}$. + +8. (D) Solução 1 - Desenhando o cubo e numerando seus vértices de acordo com o enunciado da questão, obtemos a figura abaixo, onde podemos ver que o vértice 5 é o mais distante do vértice 6 . + +Solução 2 - O vértice 6 está nas faces $\{1,2,6,7\},\{1,4,6,8\}$ e $\{3,4$, $6,7]$. Como nestas faces não aparece o 5 , segue que este é o vértice diagonalmente oposto ao 6 , ou seja, o 5 é o vértice mais distante do 6 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-09.jpg?height=360&width=374&top_left_y=1282&top_left_x=1475) + +9. (B) Basta ler no gráfico o número de pontos de cada aluno e somar para obter o total: $7+8+2+11+12+1+7=48$ +10. a) Cada uma das 6 equipes joga 5 partidas. Portanto, o número de partidas foi de $\frac{6 \times 5}{2}=15$. Outra maneira de contar: Podemos formar grupos de duas letras e contar o número de grupos: $A B, A C, A D, A E, A F, B C, B D, B E, B F, C D, C E, C F, D E, D F, E F$ - o número de partidas é 15 . + +b) Para cada time, a soma do número de vitórias, empates e derrotas é igual a 5. Assim, temos $1+1+y=5$, ou seja, $y=3$. Temos, também, $x+1+0=5$, isto é, $x=4$. O número total de gols feitos é igual ao número total de gols sofridos. Assim, $z+18=28$, ou seja, $z=10$. + +Resumindo: $\mathrm{O}$ número de derrotas do time $\mathrm{D}$ é 3 , o número de vitórias da equipe $\mathrm{F}$ é 4 e o número de gols sofridos pela equipe $\mathrm{F}$ é 10 . + +1) Na figura ao lado $A B C D$ é um retângulo e $A B E$ e $C D F$ são triângulos retângulos. A área do triângulo $A B E$ é $150 \mathrm{~cm}^{2}$ e os segmentos $A E$ e $D F$ medem, respectivamente, $15 \mathrm{~cm}$ e $24 \mathrm{~cm}$. Qual o comprimento do segmento $C F$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-10.jpg?height=332&width=457&top_left_y=385&top_left_x=1416) + +2) Usando apenas os dígitos $1,2,3,4 \mathrm{e} 5$, Peri construiu uma seqüência da seguinte forma: um 1 , dois 2 , três 3 , quatro 4 , cinco 5 , seis 1 , sete 2 e assim por diante; abaixo vemos os primeiros termos desta seqüência: + +## $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1,2,2,2, \ldots$ + +Qual é o $100^{\circ}$ termo dessa seqüência? + +3) A figura ao lado foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a $10 \mathrm{~cm}$. Qual é a área da região hachurada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-10.jpg?height=194&width=440&top_left_y=1171&top_left_x=1388) + +4) Capitu tem cem cartões numerados de 1 a 100 . Todos os cartões têm uma face amarela e a outra vermelha, e o número de cada cartão está escrito em ambas as faces. Os cartões foram colocados sobre uma mesa, todos com a face vermelha voltada para cima. Capitu virou todos os cartões de número par e depois todos os cartões de número múltiplo de 3 , colocando-os com a face amarela voltada para cima. Quantos cartões ficaram com a face vermelha para cima? +5) Para encher de água um tanque em forma de um bloco retangular de $300 \mathrm{~cm}$ de comprimento, $50 \mathrm{~cm}$ de largura e $36 \mathrm{~cm}$ de altura, um homem +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-10.jpg?height=742&width=1582&top_left_y=1802&top_left_x=228) +utiliza um balde cilíndrico, de $30 \mathrm{~cm}$ de diâmetro em sua base e $48 \mathrm{~cm}$ de altura, para pegar água numa fonte. Cada vez que ele vai à fonte, ele enche $\frac{4}{5}$ do balde e no caminho derrama $10 \%$ do seu conteúdo. Estando o tanque inicialmente vazio, quantas viagens à fonte o homem terá que fazer para que a água no tanque chegue a $\frac{3}{4}$ de sua altura? +1. O segmento $C F$, que queremos calcular, é um cateto do triângulo retângulo $C D F$. O teorema de Pitágoras, aplicado a este triângulo, diz que $C D^{2}=C F^{2}+F D^{2}=C F^{2}+24^{2}$ e daí tiramos $C F^{2}=C D^{2}-24^{2}$. Ou seja, para achar $C F$ basta conhecer $C D$. Como os lados opostos de um retângulo (e, mais geralmente, de um paralelogramo) são iguais, temos $C D=A B$, e nosso objetivo passa a ser o cálculo de $A B$. + +Para isso, olhemos para o triângulo $A B E$; sua área é $\frac{A E \times B E}{2}=\frac{15 \times B E}{2}=150$, donde tiramos $B E=20$. O teorema de Pitágoras aplicado a este triângulo nos dá $A B^{2}=A E^{2}+B E^{2}=15^{2}+20^{2}=625=25^{2}$, donde $A B=25$. + +Logo $C D=A B=25$ e, de acordo com nossa observação anterior, temos $C F^{2}=C D^{2}-24^{2}=25^{2}-24^{2}=(25+24)(25-24)=49$. Obtemos então $C F=7$. + +Notamos que a solução independe da medida dos lados $A D$ e $B E$. + +2. Agrupamos a seqüência em blocos numerados consecutivamente, cada bloco formado pelos termos iguais consecutivos, como mostrado a seguir. + +$$ +\underbrace{1}_{\text {bloco } 1}, \underbrace{2,2}_{\text {bloco } 2}, \underbrace{3,3,3}_{\text {bloco } 3}, \underbrace{4,4,4,4}_{\text {bloco } 4}, \underbrace{5,5,5,5,5}_{\text {bloco } 5}, \underbrace{1,1,1,1,1,1}_{\text {bloco } 6}, \underbrace{2,2,2,2,2,2,2}_{\text {bloco } 7}, \underbrace{3,3,3,3,3,3,3,3}_{\text {bloco } 8}, \ldots \ldots, \underbrace{k, k, k, k, k, \ldots, k}_{\substack{\text { bloco } n \\ k \in\{1,2,3,4,5\}}} +$$ + +Observe que a numeração de cada bloco coincide com o número de termos que ele contém: o bloco 1 tem 1 termo, o bloco 2 tem 2 termos, o bloco 3 tem 3 termos,..., o bloco $n$ tem $n$ termos. A posição na seqüência do último termo de cada bloco é obtida somando todos os números de 1 até o número atribuído ao bloco. Por exemplo: + +o último 3 do bloco 8 é o $36^{\circ}$ termo da seqüência porque $1+2+3+4+5+6+7+8=36$. + +o último 1 do bloco 11 é o $66^{\circ}$ termo da sequência porque $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66$. + +Em geral, o último elemento do bloco $n$ está na posição $1+2+3+\ldots+n$. Para calcular o valor desta soma, lembramos que $1,2,3, \ldots, n$ é uma progressão aritmética de razão 1 , termo inicial $a_{1}=1$ e $n$-ésimo termo $a_{n}=n$; a soma de seus $n$ primeiros termos é + +$$ +1+2+\cdots+n=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{n(n+1)}{2} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \begin{array}{c} +36^{\circ} \\ +\downarrow +\end{array} \\ +& \underbrace{1}_{\text {loco } 1 \text { bloco } 2}, \underbrace{2,2}_{\text {bloco } 3}, \underbrace{3,3,4,4,4}_{\text {bloco } 4}, \underbrace{5,5,5,5,5}_{\text {bloco } 5}, \underbrace{1,1,1,1,1,1}_{\text {bloco } 6}, \underbrace{2,2,2,2,2,2,2}_{\text {bloco } 7}, \underbrace{3,3,3,3,3,3,3,3}_{\text {bloco } 8}, \underbrace{4,4,4,4,4,4,4,4,4}_{\text {bloco } 9}, +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-11.jpg?height=214&width=1408&top_left_y=2303&top_left_x=284) + +Precisamos agora descobrir em qual bloco se encontra o $100^{\circ}$ termo da seqüência. Suponhamos que ele esteja no bloco $n$; então sua posição é no máximo a do último termo deste bloco. Como ele não está no bloco $n+1$, concluímos que $n$ é o menor inteiro tal que + +$$ +100 \leq \frac{n(n+1)}{2} +$$ + +ou seja + +$$ +200 \leq n(n+1) +$$ + +Para determinar o valor de $n$ devemos resolver essa inequação e escolher entre suas soluções o menor número inteiro. Como a expressão é bastante simples, é mais fácil resolvê-la por tentativas. Fazendo isso, vemos que $n=14$; de fato, $13 \times(13+1)=182<200$ e $14 \times(14+1)=210>200$. Logo o $100^{\circ}$ termo da seqüência está no bloco 14 . Os números que aparecem nos blocos se repetem de 5 em 5 blocos na ordem 1, 2,3,4, 5 . Como $14=5 \times 2+4$, o bloco 14 é formado pelo número 4. Assim, o $100^{\circ}$ termo da seqüência é 4 . + +Comentário: A resolução acima da inequação $200 \leq n(n+1)$ apesar de correta, não serviria se o problema pedisse, por exemplo, para determinar o $10.000^{\circ}$ termo da seqüência. Neste caso, teríamos que lidar com a inequação $20.000 \leq n(n+1)$, e é claro que achar sua menor solução inteira por tentativas não funciona (a não ser com muita, muita sorte!). Por isso vamos resolvêla como seria feito para um caso qualquer. + +Primeiro escrevemos $200 \leq n(n+1)$ como $n^{2}+n-200 \geq 0$, o que nos leva ao estudo de sinal da função quadrática $f(x)=x^{2}+x-200$. As raízes de $f(x)$ são $x_{1}=\frac{-1-\sqrt{1+800}}{2}$, que é negativa, e $x_{2}=\frac{-1+\sqrt{1+800}}{2}$, que é aproximadamente 13,6 . O gráfico de $f(x)$ está ilustrado na figura ao lado. Como $f(x) \geq 0$ para $x \leq x_{1}$ e $x \geq x_{2}$, segue que o $n$ que estamos procurando é o menor inteiro que é maior ou igual a $x_{2}$, ou seja, $n=14$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-12.jpg?height=451&width=606&top_left_y=1688&top_left_x=1202) + +Agora, se quiséssemos determinar o $10.000^{\circ}$ termo da seqüência repetindo procedimento acima, encontraríamos $x_{2}=\frac{-1+\sqrt{1+80000}}{2}$, que é aproximadamente 140,9 . Logo $n=141$ e o $10.000^{\circ}$ termo da seqüência está no $141^{\circ}$ bloco. Como $141=28 \times 5+1$ segue que o $10.000^{\circ}$ termo é 1 . + +3.A figura dada pode ser decomposta em quatro figuras iguais à figura ao lado. Para calcular a área do triângulo escolhemos como base o lado $B C$; a altura correspondente é então $A E$. Como os azulejos são quadrados de lado $10 \mathrm{~cm}$, segue que $A E=B C=10 \mathrm{~cm}$, e a área do triângulo $B C E$ é + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-13.jpg?height=249&width=539&top_left_y=218&top_left_x=1318) +$\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}=\frac{10 \times 10}{2}=50 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo, a área da região hachurada é $4 \times 50=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +4. Solução 1: Capitu virou, em primeiro lugar, os 50 cartões pares; após isto, ficaram então na mesa os 50 cartões pares com a face amarela para cima e os 50 cartões ímpares com a face vermelha para cima. Ao virar agora os múltiplos de 3, ela virou apenas os múltiplos de 3 ímpares, que são $3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93$ e 99 . Assim, temos 17 múltiplos de 3 que são ímpares. Logo, Capitu virou para cima a face amarela de $50+17=67$ cartões. Sobraram com a face vermelha para cima $100-67=33$ cartões. + +Comentário: Nesta solução, para determinar quantos são os múltiplos de 3 ímpares menores do que 100 é suficiente escrever esses múltiplos e contá-los. No entanto, se Capitu tivesse 1000 cartões (ou mais) esse procedimento seria bastante trabalhoso. Mas, nesse caso podemos proceder de modo mais geral. Notamos que os múltiplos ímpares de 3 de 1 a 1000 formam uma progressão aritmética com primeiro termo $a_{1}=3$, razão $r=6$ e o último termo $a_{n}=999$. Para determinar $n$ usamos a fórmula $a_{n}=a_{1}+(n-1) r$, que no nosso caso é $999=3+(n-1) \times 6$. Concluímos que $n=167$, ou seja, temos 167 múltiplos ímpares de 3 menores do que 1000 . + +Solução 2: Capitu virou, em primeiro lugar, os 50 cartões pares; após isto, ficaram então na mesa os 50 cartões pares com a face amarela para cima e os 50 cartões ímpares com a face vermelha para cima. Ao virar então os cartões múltiplos de 3, Capitu fez o seguinte: + +- Entre os cartôes pares: Ela virou os que eram também múltiplos de 3. Um número que é múltiplo de 2 e de 3 também é múltiplo de 6 . Como $100=16 \times 6+4$, concluímos que Capitu virou 16 cartões entre os cartões pares. Estes cartões voltaram a ficar com a face vermelha para cima, ficando os outros 34 com a face amarela para cima. +- Entre os cartões impares: Como $100=33 \times 3+1$, segue que o número total de cartões (pares e ímpares) múltiplos de 3 é 33 . Como vimos acima, entre estes cartões 16 são pares, logo 17 são ímpares. Assim, Capitu virou 17 cartões ímpares, e estes cartões passaram a ter a face amarela para cima, enquanto que os outros 33 continuaram com a face vermelha para cima. + +5. Nesta solução todas as medidas de volume são dadas $\mathrm{em}^{\mathrm{cm}}$. + +O volume $V$ do balde é dado pela fórmula habitual do volume de um cilindro, ou seja, $V=$ área da base $\times$ altura . A base do balde é um círculo de diâmetro $30 \mathrm{~cm}$; seu raio é então $r=15 \mathrm{~cm} \mathrm{~cm}$ e sua área é $\pi r^{2}=225 \pi \mathrm{cm}^{2}$. Logo $V=48 \times 225 \pi=10.800 \pi$. A cada viagem, o volume de água que o homem coloca no balde é $\frac{4}{5}$ de $V$, e deste volume ele perde $10 \%$. + +Logo, resta no balde $90 \%$ de $\frac{4}{5}$ de $V$, isto é, $\frac{9}{10} \times \frac{4}{5} V=\frac{18}{25} V=0,72 V=0,72 \times 10800 \pi=7776 \pi$; esta é quantidade de água que ele coloca no tanque em cada viagem, que denotaremos por $B$. + +O volume de $\frac{3}{4}$ do tanque é $T=\frac{3}{4} \times 300 \times 36 \times 50=405.000$. Logo, o número de baldes necessários para atingir esse volume é $\frac{405000}{B}=\frac{405000}{7776 \pi}=\frac{625}{12 \pi}$. Usando a aproximação 3,14 para o número $\pi$ temos $\frac{625}{12 \pi} \approx \frac{625}{12 \times 3,14} \approx 16,587$. Logo o homem necessitará 16 baldes mais 0,587 de um balde. Concluímos que o homem deverá fazer 17 viagens. + +Comentário: Usamos acima uma aproximação para o valor de $\pi$; é importante entender o que isto quer dizer. Como sabemos, $\pi$ é um número irracional, e sua expansão decimal é infinita e não periódica. $\mathrm{O}$ valor aproximado de $\pi$ com 31 casas decimais é $\pi \approx 3,1415926535897932384626433832795$ (o símbolo $\approx$ quer dizer "aproximadamente"). Por quê então não usar $\pi \approx 3,142$ ou $\pi \approx 3,1416$ para resolver nosso problema, em vez de $\pi \approx 3,14$ ? Para discutir isto, vamos a um exemplo. + +Suponhamos que você tem um balde cilíndrico com raio da base $1 \mathrm{~m}$ e altura $1 \mathrm{~m}$, e uma caixa de água de volume de exatamente $3,141 \mathrm{~m}^{3}$. O balde deve ser enchido em uma fonte. Quantas viagens à fonte serão necessárias para encher a caixa, supondo que o volume de água de cada balde é integralmente transferido para a caixa? + +Usando a aproximação $\pi \approx 3,14$ obtemos 3,14 $\mathrm{m}^{3}$ para o volume do balde. Como $\frac{\text { volume do tanque }}{\text { volume do balde }} \approx \frac{3,141}{3,14}$ é maior que 1 (e, é claro, menor que 2), concluímos que serão necessárias duas viagens à fonte para encher a caixa de água. + +Vamos agora usar a aproximação $\pi=3,1416$. Aqui calculamos o volume do balde e obtemos 3,1415 m³. Então $\frac{\text { volume do tanque }}{\text { volume do balde }} \approx \frac{3,141}{3,1416}$ é menor que 1, e concluímos agora que basta uma viagem à fonte para encher o balde, resultado diferente do anterior! + +Deve ficar claro com este exemplo que a escolha inicial de uma aproximação pode influenciar fortemente o resultado final. Nesse caso dizemos que as condições do problema são sensíveis à aproximação. No nosso problema original (problema 5), os dados iniciais não eram sensíveis à aproximação usada para $\pi$. Pode-se verificar isto imediatamente repetindo a solução com $\pi \approx 3,142$ ou $\pi \approx 3,1416$; em qualquer caso, obtem-se o resultado de 17 viagens. + +Em geral, os problemas deste tipo propostos em livros nos ensinos fundamental e médio são enunciados de modo pouco sensível à aproximação. Isto justifica parcialmente o uso de $“ \pi=3,14$ " e de, por exemplo, " $\sqrt{2}=1,41$ " (curiosidade: $\sqrt{2} \approx 1,4142135623730950488016887242097$ ). + +Notamos também que poucas casas decimais facilitam as contas, em particular quando não se usam máquinas de calcular. Seria impossível, na prática, trabalhar manualmente com aproximação de 31 casas que demos para $\pi$ no início desta conversa. + +O tratamento de problemas de aproximação é feito através de desigualdades; infelizmente, tempo e espaço não permitem que abordemos este tópico com mais detalhes no momento, mas esperamos ter despertado sua curiosidade para o assunto. + +1)Qual é o maior fator primo de 2006 ? + +2)Entre 1986 e 1989, a moeda do nosso país era o cruzado ( $\mathrm{Cz \$}$ ). De lá para cá, tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro novo e, hoje, temos o real. Para comparar valores do tempo do cruzado e de hoje, os economistas calcularam que 1 real equivale a 2.750 .000 .000 cruzados. + +Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas de 1 cruzado cada uma. Se uma pilha de 100 notas de 1 cruzado tem $1,5 \mathrm{~cm}$ de altura, qual seria a altura do salário do João? +A) $26,4 \mathrm{~km}$ +B) $264 \mathrm{~km}$ +C) $26400 \mathrm{~km}$ +D) $264000 \mathrm{~km}$ +E) $2640000 \mathrm{~km}$ + +3)Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Se $q$ é a probabilidade das duas balas serem de sabores diferentes e $p$ é a probabilidade das duas balas serem do mesmo sabor, qual o valor de $q-p$ ? +A) 0 +B) $1 / 2004$ +C) $1 / 2003$ +D) $2 / 2003$ +E) $1 / 1001$ + +4)Um ponto $P$ está no centro de um quadrado com $10 \mathrm{~cm}$ de lado. Quantos pontos da borda do quadrado estão a uma distância de $6 \mathrm{~cm}$ de P ? +A) 1 +B) 2 +C) 4 +D) 6 +E) 8 + +5) Se $2\left(2^{2 x}\right)=4^{x}+64$, então $x$ é igual a: +A) -2 +B) -1 +C) 1 +D) 2 +E) 3 + +6)Dois espelhos formam um ângulo de $30^{\circ}$ no ponto $V$. Um raio de luz parte de um ponto $S$ paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto $A$, como mostra a figura. Depois de uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a $S$. + +Se $A S$ e $A V$ têm ambos 1 metro, qual o comprimento em metros do trajeto percorrido pelo raio de luz? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-16.jpg?height=274&width=537&top_left_y=2073&top_left_x=1225) +A) 2 +B) $2+\sqrt{3}$ +C) $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ +D) $\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$ +E) $5 \sqrt{3}$ + +1. A decomposição de 2006 em fatores primos é $2006=2 \times 17 \times 59$. Logo, o maior fator primo de 2006 é 59 . +2. (D) $\mathrm{O}$ enunciado diz que 1 real $=275 \times 10^{7}$ cruzados. $\mathrm{O}$ salário de João é 640 reais, o que é equivalente a $640 \times 275 \times 10^{7}=176.000 \times 10^{7}=176 \times 10^{10}$ cruzados. O número de pilhas de 100 notas que se podem fazer com este número de notas de 1 cruzado é $\frac{176 \times 10^{10}}{10^{2}}=176 \times 10^{8}$. Como cada uma destas pilhas tem altura $1,5 \mathrm{~cm}$, a altura de todas elas é $1,5 \times 176 \times 10^{8}=264 \times 10^{8} \mathrm{~cm}$. + +Lembramos agora que $1 \mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}=10^{3} \mathrm{~m}$ e $1 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~cm}=10^{2} \mathrm{~cm}$, donde $1 \mathrm{~km}=10^{3} \times 10^{2}=10^{5} \mathrm{~cm}$. Logo uma pilha de $264 \times 10^{8} \mathrm{~cm}$ tem $\frac{264 \times 10^{8}}{10^{5}}=264 \times 10^{3}=264.000 \mathrm{~km}$ de altura. + +3. (C) A primeira bala pode ser de qualquer sabor; para fixar idéias suponhamos que seja de banana. Depois que esta bala é retirada sobram $1002+1001$ balas na caixa - no nosso caso 1002 de maçã e 1001 de banana. + +A probabilidade q de que a segunda bala seja diferente (no nosso exemplo, de maçã) é $q=\frac{1002}{2003}$ + +A probabilidade p de que a segunda bala seja igual (no nosso exemplo, de banana) é $p=\frac{1001}{2003}$ + +A diferença $q$ - $p$ é, portanto, $q-p=\frac{1002}{2003}-\frac{1001}{2003}=\frac{1}{2003}$. + +4. (E) Os pontos que estão a $6 \mathrm{~cm}$ de distância do ponto $P$ formam uma circunferência de centro $\mathrm{P}$ e raio $\mathrm{R}=6 \mathrm{~cm}$. Se $\mathrm{D}$ denota a diagonal do quadrado, do teorema de Pitágoras temos $D=\sqrt{10^{2}+10^{2}}=\sqrt{2 \times 10^{2}}=10 \sqrt{2}$ + +A circunferência de raio $\mathrm{L} / 2=5$ tangencia o quadrado em 4 pontos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-17.jpg?height=420&width=443&top_left_y=1526&top_left_x=1452) + +A circunferência de raio $\mathrm{D} / 2$ toca o quadrado em 4 pontos (os vértices do quadrado). + +Temos: $L=10 ; R=6 e D=10 \sqrt{2}$, logo $\underbrace{5}_{L / 2}<\underbrace{6}_{R}<\underbrace{5 \sqrt{2}}_{D / 2}$. (Observe que $1,2<\sqrt{2} \operatorname{logo}$, $5 \times 1,2<5 \times \sqrt{2}$ e portanto, $6<5 \sqrt{2}$ ) + +Assim, a circunferência de raio $\mathrm{R}=6$ está “entre" as duas circunferências de raios $5 \mathrm{e} 5 \sqrt{2}$. + +Logo, ela corta o quadrado em 8 pontos. + +5. (E) Solução 1: Notamos que os termos do lado direito da equação dada podem ser escritos como potências de 2 ; de fato, $4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2 x}$ e $64=2^{6}$. Desse modo, a equação se torna $2\left(2^{2 x}\right)=2^{2 x}+2^{3}$. Temos então $2\left(2^{2 x}\right)-2^{2 x}=2^{6}$, donde $2^{2 x}(2-1)=2^{6}$, ou seja $2^{2 x}=2^{6}$. Logo $2 x=6$ e segue que $x=3$. + +Solução 2: $2\left(4^{x}\right)=4^{x}+4^{3} \Rightarrow 4^{x}=4^{3} \Rightarrow x=3$ + +6. (B) Vamos acompanhar o trajeto do raio de luz a partir do ponto S. Para isso, lembramos a propriedade básica da reflexão de um raio de luz em um espelho: o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. Por exemplo, na figura ao lado, os ângulos a e b são iguais, bem como d e e. Notamos que temos na figura as paralelas $A S$ e $B V$ cortadas pela transversal $A B$, daí segue que: + +- $\mathrm{a}=30^{\circ}=\mathrm{b}$, +- $a+b+c=180^{\circ}$, donde $\mathrm{c}=120^{\circ}$. +- $\quad c+d=180^{\circ}$, donde $\mathrm{d}=60^{\circ}=\mathrm{e}$. + +Como a soma dos ângulos internos do triângulo $B C V$ é $180^{\circ}$, segue que $\mathrm{f}=90^{\circ}$. Isso quer dizer que o nosso raio de luz, ao atingir $C$, será refletido sobre si mesmo e fará então o caminho inverso. + +$C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow S$. Desse modo, o trajeto completo do raio será $S \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow S$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-18.jpg?height=466&width=1128&top_left_y=1212&top_left_x=407) + +Desse modo, o comprimento do trajeto do raio até retornar a $S$ é duas vezes a soma dos comprimentos dos segmentos $A S, A B$ e $B C$. O enunciado nos diz que $A S=1 \mathrm{~m}$. Falta calcular $A B$ e $B C$. Para isso, olhamos para o triângulo $A B C$. Ele é um triângulo retângulo com ângulos de $30^{\circ}$ e $60^{\circ}$. Sabemos que em um tal triângulo o cateto oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ tem comprimento igual à metade do comprimento da hipotenusa (exercício) no nosso caso, temos $B C=\frac{1}{2} A B$. + +Notamos agora que os triângulos $A B C$ e $V B C$ são congruentes, pois são triângulos retângulos $\left(\mathrm{f}=90^{\circ}\right)$ com ângulos iguais $\left(\mathrm{b}=30^{\circ}\right)$ e um cateto comum $(B C)$, o que nos mostra que $A C=\frac{1}{2} m$. Pondo $A B=x$ temos $B C=\frac{1}{2} x$, e o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $A B C$ nos dá $x^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} x\right)^{2} ;$ simplificando, obtemos $\frac{3}{4} x^{2}=\frac{1}{4}$, donde $x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Desse modo, temos o comprimento do trajeto do raio de luz: + +$$ +2(S A+A B+B C)=2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=(2+\sqrt{3}) \mathrm{cm} +$$ + +1) Determine o valor de $(666666666)^{2}-(333333333)^{2}$. +2) Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casa. Fazendo-se o mesmo para preencher as casas em branco, obtém-se o 42 na casa indicada. Qual é o valor de $x$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-19.jpg?height=288&width=288&top_left_y=724&top_left_x=861) +A) 7 +B) 3 +C) 5 +D) 4 +E) 6 + +3) Seja $n=9867$. Se você calculasse $n^{3}-n^{2}$, encontraria um número cujo algarismo das unidades é: +A) 0 +B) 2 +C) 4 +D) 6 +E) 8 +4) O gráfico da parábola $y=x^{2}-5 x+9$ é rodado de $180^{\circ} \mathrm{em}$ torno da origem. Qual é a equação da nova parábola? +A) $y=x^{2}+5 x+9$ +B) $y=x^{2}-5 x-9$ +C) $y=-x^{2}+5 x-9$ D) $y=-x^{2}-5 x+9$ +E) $y=-x^{2}-5 x-9$ +5) A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e outros quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois círculos concêntricos. O raio do círculo menor mede $1 \mathrm{~cm}$. Qual é, em centímetros, o raio do círculo maior? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-19.jpg?height=332&width=334&top_left_y=1730&top_left_x=1478) + +6) Um padeiro quer gastar toda sua farinha para fazer pães. Trabalhando sozinho, ele conseguiria acabar com a farinha em 6 horas; com um ajudante, o mesmo poderia ser feito em 2 horas. O padeiro começou a trabalhar sozinho; depois de algum tempo, cansado, ele chamou seu ajudante e assim, após 150 minutos a farinha acabou. Quanto tempo o padeiro trabalhou sozinho? +7) Manoel testou sua pontaria lançando cinco flechas no alvo reticulado de quadrados de comprimento $1 \mathrm{~cm}$, ilustrado na figura. Uma flecha que acerta dentro do círculo menor conta 300 pontos; na região sombreada conta 100 pontos, entre a região sombreada e o círculo maior conta 50 pontos e fora do círculo maior não conta nada. As flechas de Manoel acertaram + +os pontos + +$$ +A=(1,-1), B=\left(\frac{5}{2}, 1\right), C=(1,-4), D=(-4,-4) \quad e +$$ + +$\mathrm{E}=(6,5)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-20.jpg?height=563&width=557&top_left_y=221&top_left_x=1389) + +(a) Marque na figura os pontos onde Manoel acertou suas flechas. + +(b) Quantas flechas ele acertou no interior do menor círculo? + +(c) Quantos pontos Manoel fez no total? + +8) A festa de aniversário de André tem menos do que 120 convidados. Para o jantar, ele pode dividir os convidados em mesas completas de 6 pessoas ou em mesas completas de 7 pessoas. Nos dois casos são necessárias mais do que 10 mesas e todos os convidados ficam em alguma mesa. Quantos são os convidados? +9) (a) Calcule o número de diagonais do prisma hexagonal reto representado na figura 1. + +(b) Calcule o número de diagonais do prisma representado na figura 2. + +Este poliedro é muito utilizado na fabricação de dados, e é obtido realizando-se oito cortes em um cubo, cada corte próximo a um dos seus 8 vértices (isso "arredonda" o dado e facilita a sua rolagem). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-20.jpg?height=485&width=482&top_left_y=1825&top_left_x=296) + +Figura 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-20.jpg?height=546&width=505&top_left_y=1783&top_left_x=1158) + +Figura 2 + +1. Usando a fatoração $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$, obtemos : + +$$ +\begin{aligned} +666.666 .666^{2}-333.333 .333^{2} & =(666.666 .666-333.333 .333)(666.666 .666+333.333 .333) \\ +& =333.333 .333 \times 999.999 .999 \\ +& =333.333 .333 \times(1.000 .000000-1) \\ +& =333.333 .333 .000 .000 .000-333.333 .333 \\ +& =333.333 .332 .666 .666 .667 +\end{aligned} +$$ + +2. (E) Usando a regra dada no enunciado, preenchemos as casas vazias a partir da segunda linha a contar de baixo, obtemos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-21.jpg?height=234&width=417&top_left_y=840&top_left_x=797) + +Logo, $(13+x)+(11+2 x)=42$. Assim, $24+3 x=42$. Donde $x=6$. + +3. (C) Solução 1: O algarismo final de $9867^{3}$ é o mesmo que o de $7^{3}=343$, isto é, 3; o algarismo final de $9867^{2}$ é o mesmo que o de $7^{2}=49$, isto é, 9 . Se de um número terminado em 3 subtraímos outro terminado em 9 , o algarismo final do resultado é 4 . + +Comentário: Observe que: + +algarismo das unidades de $\left(9867^{3}-9867^{2}\right)=$ algarismo das unidades de $\left(7^{3}-7^{2}\right)$ + +Solução 2: $n^{3}-n^{2}=n^{2}(n-1)$. Assim, $n^{2}=(9867)^{2}$ termina em 9 e $n-1=9866$ em 6. Como, $9 \times 6=54$, o algarismo final do resultado é 4 . + +4. (E) Uma rotação de $180^{\circ}$ também é conhecida como meia-volta. Neste problema, temos uma meia-volta em torno da origem. O desenho ao lado ilustra o que esta meia-volta faz com as coordenadas dos pontos do plano. Por exemplo, o ponto $A^{\prime}$ é o resultado da meia-volta aplicada ao ponto $A$; em outras palavras, $A^{\prime}$ é onde o ponto $A$ vai parar após a meia-volta. Do mesmo modo, $B^{\prime}$ é onde $B$ vai parar após a meia volta. É fácil ver que na passagem de $A$ para $A^{\prime}$ as coordenadas trocam de sinal. Deste modo, vemos que uma meia-volta em torno da origem leva um ponto qualquer $(x, y)$ no ponto $(-x,-y)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-21.jpg?height=502&width=617&top_left_y=1842&top_left_x=1208) + +Temos: $(a, b)$ pertence à nova parábola $\Leftrightarrow(-\mathrm{a},-\mathrm{b})$ pertence à parábola $y=x^{2}-5 x+9 \Leftrightarrow-b=a^{2}+5 a+9 \Leftrightarrow b=-a^{2}-5 a-9$. Logo a equação da nova parábola é $y=-x^{2}-5 x-9$. + +5. Seja $r$ o raio das quatro circunferências iguais. Ligando os centros $A$ e $B$ de duas destas circunferências ao centro $O$ das circunferências concêntricas, obtemos o triângulo $O A B$ como na figura ao lado. Lembrando que a reta que une os centros de duas circunferências tangentes passa pelo ponto de tangência, vemos que $O A=O B=1+r$ e $A B=2 r$. Lembrando também, que o triângulo $O A B$ é retângulo em $O$, o teorema de Pitágoras nos diz então que $(2 r)^{2}=(1+r)^{2}+(1+r)^{2}$, ou seja, $4 r^{2}=2 r^{2}+4 r+2$. Logo $r^{2}-2 r-1=0$; daqui tiramos $r=\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}=1 \pm \sqrt{2}$. Como $1-\sqrt{2}$ é negativo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-22.jpg?height=474&width=477&top_left_y=246&top_left_x=1372) +descartamos esta raiz e obtemos $r=1+\sqrt{2}$. Segue que o raio da circunferência maior é $1+2 r=3+2 \sqrt{2}$. + +6. (D) Seja $x$ a quantidade de farinha, em quilos, de que o padeiro dispõe. Trabalhando sozinho, ele usaria $\frac{x}{6}$ quilos de farinha em 1 hora; trabalhando com seu ajudante, eles usariam $\frac{x}{2}$ quilos de farinha em 1 hora. Seja $t$ o tempo, em horas, que o padeiro trabalhou sozinho. Como a farinha acaba em 150 minutos ( 2 horas e 30 minutos $=2,5$ horas), o tempo que ele trabalhou com seu ajudante foi 2,5-t horas. Logo, a quantidade gasta de farinha durante o tempo que o padeiro trabalhou sozinho é $\frac{x}{6} \times t$, e a quantidade gasta durante o tempo que o padeiro trabalhou com seu ajudante é $\frac{x}{2} \times(2,5-t)$. Como + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-22.jpg?height=254&width=1331&top_left_y=1409&top_left_x=337) + +temos $x=\frac{x}{6} t+\frac{x}{2}(2,5-t)$. A quantidade de farinha que o padeiro tinha inicialmente era não nula, isto é $x \neq 0$. Logo, podemos dividir ambos os membros por $x$ e encontramos $1=\frac{t}{6}+\frac{2,5-t}{2}$, portanto, $t=0,75$ horas $=0,75 \times 60$ minutos $=45$ minutos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-22.jpg?height=517&width=577&top_left_y=2060&top_left_x=180) + +7. (a)Marcamos os pontos, conforme mostra a figura: + +(b) No círculo menor temos apenas o ponto $A$. Portanto, Manoel acertou apenas uma vez neste círculo, o que lhe dá 300 pontos. + +(c) Para calcular o total de pontos, observe que no ponto $B$ ele ganha 100 pontos, no $C$ ganha 50 pontos e no $\mathrm{D}$ ganha 50 pontos. Já no ponto no $E$, ele não ganha pontos, porque este está fora do alvo. Logo, o número total de pontos foi de $300+100+50+50=500$ pontos. + +8. Como podemos repartir o total de convidados em mesas de 6 ou 7 , o número de convidados é um múltiplo de 6 e de 7. Como o menor múltiplo comum de 6 e 7 é 42 , podemos ter $42,84,126, \ldots$ convidados. Como são menos do que 120 convidados, só podemos ter 42 ou 84 convidados. Por outro lado, como são necessárias mais do que 10 mesas, temos mais do que 60 convidados. Logo, descartamos o 42 , e o número de convidados só pode ser 84 . +9. Em um poliedro qualquer, dois vértices distintos determinam uma diagonal se eles estiverem em faces distintas. + +(a) No caso do prisma hexagonal, vemos na figura que o vértice $v$ não forma uma diagonal com os vértices marcados com *; levando o próprio $v$ em conta, vemos que $v$ não forma uma diagonal com exatamente 9 vértices. Como o prisma tem 12 vértices, segue que $v$ forma uma diagonal com exatamente $12-9=3$ vértices. $O$ mesmo raciocínio vale para qualquer vértice, e concluímos que de cada vértice do prisma partem exatamente 3 diagonais. Como a diagonal que parte de um vértice $v$ para o vértice $w$ é a mesma que parte de $w$ para $v$, segue que o número de diagonais é $\frac{12 \times 3}{2}=18$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-23.jpg?height=517&width=486&top_left_y=798&top_left_x=1342) + +(b) Seja $V$ um vértice do poliedro. Observando a figura vemos que $V$ não forma uma diagonal com exatamente 14 vértices: 13 marcados com $X$ e mais o próprio $V$. Como o poliedro tem 24 vértices no total, sobram $24-14=10$ vértices com os quais $V$ forma uma diagonal. Logo, o número de diagonais deste poliedro é $\frac{24 \times 10}{2}=120$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-23.jpg?height=560&width=497&top_left_y=1542&top_left_x=1359) + +1) Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço". Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é: +A) "Leve dois e pague um" +B) "Leve três e pague um" +C) "Leve três e pague dois" +D) "Leve quatro e pague três" +E) "Leve cinco e pague quatro" +2) Na figura, os dois triângulos ABC e FDE são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo $x$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-24.jpg?height=392&width=672&top_left_y=929&top_left_x=652) +A) $30^{\circ}$ +B) $40^{\circ}$ +C) $50^{\circ}$ +D) $60^{\circ}$ +E) $70^{\circ}$ + +3) O desenho mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa em $\mathrm{cm}^{3}$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-24.jpg?height=332&width=462&top_left_y=1670&top_left_x=777) +A) 1500 +B) 3000 +C) 4500 +D) 6000 +E) 12000 + +4) Numa seqüência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos imediatamente anteriores, o segundo termo é le o quinto termo é 2005. Qual é o sexto termo? +A) 3002 +B) 3008 +C) 3010 +D) 4002 +E) 5004 +5) Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por algarismos consecutivos e em ordem crescente? Por exemplo, 456 é um desses números, mas 7890 não é. +A) 10 +B) 13 +C) 18 +D) 22 +E) 25 +6) Num bloco de $1 \mathrm{~cm} \times 2 \mathrm{~cm} \times 3 \mathrm{~m}$, marcamos três faces com as letras $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ e $\mathrm{Z}$ como na figura. $O$ bloco é colocado sobre um tabuleiro de $8 \mathrm{~cm} \times 8 \mathrm{~cm}$ com a face $X$ virada para baixo (em contato com o tabuleiro) conforme mostra a figura. Giramos o bloco de $90^{\circ} \mathrm{em}$ torno de uma de suas arestas de modo que a face $Y$ fique virada para baixo (isto é, totalmente em contato com o tabuleiro). Em seguida, giramos novamente o + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-25.jpg?height=365&width=471&top_left_y=874&top_left_x=193) +A) 18 +B) 19 +C) 20 +D) 21 +E) 22 + +7) A função $f$ é dada pela tabela a seguir. + +| $\boldsymbol{x}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | +| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $f(x)$ | 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | + +Por exemplo, $f(2)=1$ e $f(4)=5$. Quanto vale $\underbrace{f(f(f(f(\ldots \ldots . . f}_{2004 \text { veces }}(4) \ldots .)))$.$) ?$ +A) 1 +B) 2 +C) 3 +D) 4 +E) 5 + +8) Esmeralda escreveu em ordem crescente todos os números de 1a 999, sem separálos, formando o número mostrado a seguir: 12345678910111213... 997998999. Nesse número, quantas vezes aparece o agrupamento " 21 ", nesta ordem? +1. (D) Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar 4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três. +2. (B) Como $A B C$ e DEF são triângulos eqüiláteros, cada um de seus ângulos internos mede $60^{\circ}$. No triângulo AGD temos + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{GÂD}=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ} \mathrm{e} \\ +& \mathrm{GDA}=180^{\circ}-65^{\circ}-60^{\circ}=55^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $A \hat{G} D=180^{\circ}-45^{\circ}-55^{\circ}=80^{\circ}$. Logo no triângulo CGH temos $x+80^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$, donde $x=40^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-26.jpg?height=394&width=671&top_left_y=974&top_left_x=681) + +3. (B) A figura mostra as dobras que serão feitas para montar a caixa. A caixa terá dimensões $20 \mathrm{~cm}$ de largura, $15 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $10 \mathrm{~cm}$ de altura. Logo, seu volume será igual a $20 \times 15 \times 10=3000 \mathrm{~cm}^{3}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-26.jpg?height=325&width=459&top_left_y=1688&top_left_x=707) + +4. (B) Seja $x$ o primeiro termo. Como o segundo termo é 1 e, a partir do terceiro, cada termo é a soma dos dois anteriores, temos: + +- terceiro termo: $1+x$; +- quarto termo: $1+(1+x)=2+x$; +- quinto termo: $(1+x)+(2+x)=3+2 x$; +- sexto termo: $(2+x)+(3+2 x)=5+3 x$. + +Como o quinto termo é 2005, temos $3+2 x=2005$, donde $x=1001$; logo o sexto termo é $5+3 \times 1001=3008$. + +5. (D) Os números em questão são: + +- com 2 algarismos: $12,23,34,45, \ldots, 89$ (8 números), +- com 3algarismos: $123,234,345, \ldots, 789$ ( 7 números), +- com 4 algarismos: 1234, 2345, ..., 6789 (6 números) + +e, por fim, + +- com 5 algarismos: 12345 , um total de $8+7+6+1=22$ números . + +6. (B) Note que giramos o bloco 5 vezes. Indicaremos os movimentos feitos pelo bloco e as faces que entram em contato com os quadradinhos em cada etapa. + +De acordo com a figura dada, podemos concluir que as dimensões das faces $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ e $\mathrm{Z}$ são: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=491&width=714&top_left_y=891&top_left_x=500) + +As figuras a seguir mostram os quadradinhos do tabuleiro que ficam em contato com cada um das 3 faces do bloco desde a posição inicial até a final, após a última rotação. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=411&width=462&top_left_y=1596&top_left_x=160) + +Posição inicial + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=410&width=610&top_left_y=1596&top_left_x=660) + +$1^{a}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=409&width=477&top_left_y=1600&top_left_x=1418) + +$2^{a}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=414&width=469&top_left_y=2192&top_left_x=171) + +3a Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=417&width=491&top_left_y=2190&top_left_x=777) + +$4^{a}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-27.jpg?height=411&width=480&top_left_y=2193&top_left_x=1413) + +5a Rotação + +Alguns quadradinhos entram em contato com as faces mais de uma vez, como mostra a figura a seguir, que mostra todos os quadradinhos que tiveram contato com as faces do bloco desde a posição inicial até a última rotação: + +| | | | | | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | | | | | +| | | | | | | | | +| | | | $\mathbf{X}$ | | | | | +| | $\mathbf{Y}$ | $\mathbf{Y}$ | $\mathbf{X} / \mathbf{Y}$ | $\mathbf{X}$ | $\mathbf{X}$ | | | +| | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Y} / \mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | | | +| | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Y} / \mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | | | +| | | | $\mathbf{Y}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | | | + +Contando nesta última figura, vemos que o bloco esteve em contato com 19 quadradinhos do tabuleiro. + +7. (D) Da tabela temos: Daí segue: + +$$ +\begin{gathered} +f(4)=5 \quad, \quad f(\underbrace{f(4)}_{5})=f(5)=2 \quad, \quad f(f(\underbrace{f(4)}_{5}))=f(\underbrace{f(5)}_{2})=f(2)=1 e \\ +f(f(f(\underbrace{f(4)}_{5})))=f(f(\underbrace{f(5)}_{2}))=f(\underbrace{f(2)}_{1})=f(1)=4 \text { Logo, } \underbrace{f(f(f(f(4)}_{\text {4vezes }}=4 . +\end{gathered} +$$ + +Como 2004 é múltiplo de 4, segue que $\underbrace{f(f(f(f(\ldots . . f(4) . \ldots . .))))=4}_{2004 \text { veces }}$. O diagrama a seguir ilustra esta afirmação. + +A seqüência a seguir ilustra esta composição. + +$$ +\underbrace{4 \stackrel{f}{\rightarrow} 5 \stackrel{f}{\rightarrow} 2 \stackrel{f}{\rightarrow} 1 \stackrel{f}{\rightarrow} 4}_{\text {4vezes }} \underbrace{\stackrel{f}{\rightarrow} 5 \stackrel{f}{\rightarrow} 2 \stackrel{f}{\rightarrow} 1 \stackrel{f}{\rightarrow} 4}_{\text {8vezes }} \rightarrow \underbrace{5 \stackrel{f}{\rightarrow} 2 \stackrel{f}{\rightarrow} 1 \stackrel{f}{\rightarrow} 4}_{12 \text { vezes }} \rightarrow \ldots \cdots \underbrace{\stackrel{f}{\rightarrow} 5 \stackrel{f}{\rightarrow} 2 \stackrel{f}{\rightarrow} 1 \stackrel{f}{\rightarrow} 4}_{\text {2004 vezes }} +$$ + +8. Vamos primeiro listar os números que têm o agrupamento 21 no meio de sua representação decimal: + +$21,121,221, \ldots, 921 \rightarrow 10$ números + +$210,211, \ldots, 219 \rightarrow 10$ números + +Temos também que contar os agrupamentos 21 obtidos a partir de um par de números consecutivos tal que o primeiro termina com 2 e o segundo começa com 1, que são os seguintes 11 casos: + +$12-13,102-103,112-113,122-123,132-133,142-143,152-153,162-163,172-173,182-183,192-193$ + +Temos então um total de $11+20=31$ números. + +1) Qual é o maior dos números? +(A) $1000+0,01$ +(B) $1000 \times 0,01$ +(C) $1000 / 0,01$ +(D) $0,01 / 1000$ +(E) $1000-0,01$ +2) Qual o maior número de 6 algarismos que se pode encontrar suprimindo-se 9 algarismos do número 778157260669103 sem mudar a ordem dos algarismos? +(A) 778152 +(B) 781569 +(C) 879103 +(D) 986103 +(E) 987776 +3) Se $n$ é um número natural e $\frac{n}{24}$ é um número entre $\frac{1}{6}$ e $\frac{1}{4}$, então $n$ é igual a: +(A) 5 +(B) 6 +(C) 7 +(D) 8 +(E) 9 +4) Correndo com velocidade de $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, João completa uma certa distância em 6 minutos. A qual velocidade ele pode completar a mesma distância em 8 minutos? +(A) $7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ +(B) $7,75 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ +(C) $8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ +(D) $8,25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ +(E) $8,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ +5) As vizinhas Elza, Sueli, Patrícia, Heloísa e Cláudia chegam juntas do trabalho e começam a subir as escadas do prédio de 5 andares onde moram. Cada uma mora num andar diferente. Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia. Quando Sueli chega ao seu andar, Heló́sa ainda tem 2 andares para subir, e o mesmo ocorre a Patrícia quando Elza chega ao seu andar. Sueli não mora no $1^{\circ}$ andar. Em qual andar mora cada uma delas? + +1.(C)Temos: $1000+0,01=1000,01 \quad ; \quad 1000 \times 0,01=1000 \times \frac{1}{100}=10$; + +$\frac{1000}{0,01}=\frac{1000}{\frac{1}{100}}=1000 \times 100=100000 ; \quad \frac{0,01}{1000}$ é o inverso de $\frac{1000}{0,01}$, logo, de (C) temos que $\frac{1000}{0,01}=\frac{1}{100000}=0,00001$. Agora, $1000-0,01$ é menor do que 1000 (não é preciso efetuar o cálculo para obter esta conclusão). Portanto, o maior número é $\frac{1000}{0,01}$. + +2. (C) Solução 1. Para que seja o maior possível, o número deve começar com o maior algarismo. Para termos 6 algarismos sem mudar a ordem, o maior é 8 depois 7 , faltam agora 4 algarismos para completar o número, escolhemos 9103. Logo, o número é 879103 (77-8793) + +Solução 2. As opções D e E não servem, pois a ordem foi alterada, já nas opções A, B e C, não. O maior número entre as opções $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ e C é C. + +3. (A) Como $\frac{1}{6}=\frac{4}{24}$ e $\frac{1}{4}=\frac{6}{24}$, então $n$ só pode ser igual a 5 . + +## 4. (A) Solução 1: + +6 minutos é $1 / 10$ da hora, logo a distância corrida em 6 minutos é $10: 10=1 \mathrm{~km}$. Como, espaço $=$ velocidade $\mathrm{x}$ tempo, temos $1 \mathrm{~km}=v \times 8 \mathrm{~min} \Rightarrow v=1 \mathrm{~km} / 8 \mathrm{~min}$ (onde $v$ é a velocidade). Logo, João corre $1 \mathrm{~km}$ em 8 minutos, precisamos determinar essa velocidade em horas. + +| $8 \mathrm{~min}$ | corresponde a | $1 \mathrm{~km}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $4 \mathrm{~min}$ | corresponde a | $0,5 \mathrm{~km}$ | +| $60 \mathrm{~min}$ | corresponde a | $0,5 \times 15 \mathrm{~km}=7,5 \mathrm{~km}$ | + +Logo, a velocidade é $7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. + +1) Encontre o produto: $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{225}\right)$. +(A) $\frac{10}{125}$ +(B) $\frac{5}{9}$ +(C) $\frac{3}{5}$ +(D) $\frac{8}{15}$ +(E) $\frac{1}{120}$ +2) Se dois lados de um triângulo medem $5 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$, então o terceiro lado não pode medir: +(A) $11 \mathrm{~cm}$ +(B) $10 \mathrm{~cm}$ +(C) $6 \mathrm{~cm}$ +(D) $3 \mathrm{~cm}$ +(E) $1 \mathrm{~cm}$ +3) Quais os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-2}<4$ ? +(A) $x>\frac{3}{4}$ +(B) $x>2$ +(C) $\frac{3}{4}0$ e $x-2<0$. + +$3-4 x>0 \Rightarrow x<\frac{3}{4}$ e $x-2>0 \Rightarrow x>2$, o que é impossível. + +$2^{\circ}$ caso: $3-4 x<0$ e $x-2>0$. + +$3-4 x<0 \Rightarrow x>\frac{3}{4}$ e $\quad x-2<0 \Rightarrow x<2$. Logo, a resposta é $\frac{3}{4}1, x>2 \mathrm{e} x<3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-38.jpg?height=208&width=760&top_left_y=684&top_left_x=1028) + +Nesse caso, a solução é $21, x<2 \mathrm{e} x>3$. + +Nesse caso temos é $13$, o que não é possível. Logo, esse caso não pode ocorrer. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-38.jpg?height=200&width=782&top_left_y=1125&top_left_x=1028) + +3) $\underbrace{(x-1)}_{-} \underbrace{x-2)}_{+} \underbrace{(x-3)}_{+} \Rightarrow x<1, x>2 \mathrm{e} x>3$. + +Nesse caso temos $x<1, x>2$ e $x>3$, o que não é possível. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-38.jpg?height=231&width=799&top_left_y=1492&top_left_x=1048) + +4) $\underbrace{(x-1)}_{-}(\underbrace{x-2}_{-})(\underbrace{x-3)}_{-} \Rightarrow x<1, x<2 \mathrm{e} x<3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-38.jpg?height=235&width=774&top_left_y=1810&top_left_x=1038) + +Nesse caso, a solução é $x<1$. Logo, a solução são todos os números reais $x$ tais que $x<1$ ou $2100$ +(B) $|5-13|=|5|-|13|$ +(C) $|2-9|=9-2$ +(D) $\left|a^{2}+5\right|=a^{2}+5$ +(E) $|-6 a|=6|a|$ +3) Se $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=5$ então $\frac{x+y}{2 y}$ é igual a: +(A) $5 / 2$ +(B) $3 \sqrt{2}$ +(C) $13 y$ +(D) $25 y / 2$ +(E) 13 +4) A figura mostra um retângulo KGST e um triângulo KGR. Os ângulos KRT e RGS são iguais. Se $T R=6$ e RS=2 qual é a área de KGR? +(A) 12 +(B)16 +(C) $8 \sqrt{2}$ +(D) $8 \sqrt{3}$ +(E)14 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-40.jpg?height=323&width=597&top_left_y=1552&top_left_x=1346) + +5) Sinal de um produto e sinal de um quociente: $a, b, c$ e $d$ são quatro números não nulos tais que os quocientes $\frac{a}{5}, \frac{-b}{7 a}, \frac{11}{a b c}, \frac{-18}{a b c d}$ são positivos. Determine os sinais de $a, b, c$ e $d$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-40.jpg?height=109&width=1619&top_left_y=2230&top_left_x=206) + +(A) $10^{\circ}$ + +(B) $15^{\circ}$ + +(C) $20^{\circ}$ + +(D) $25^{\circ}$ + +(E) $30^{\circ}$ + +1. Lembre que a área de um círculo é $\pi r^{2}$, onde $\mathrm{r}$ é o raio do círculo. Se r é o raio dos círculos da figura, então a área pedida é: $\underbrace{\text { área do quadrado }}_{10 \times 10=100} \underbrace{\text { área dos } 9 \text { círculos }}_{9 \times \pi \mathrm{r}^{2}}=100-9 \times \pi \times\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=100-25 \pi$ + +A área do círculo de raio + +$r$ é $\pi r^{2}$ + +Usando a aproximação $\pi \approx 3,14$, obtemos $100-25 \pi \approx 100-25 \times 3,14=21,5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +2. (A) $|-108|=108>100$, verdadeira + +(B) $|5-13|=|-8|=8$ e $|5|-|13|=1-13=-8$, falsa. + +(C) $|2-9|=-(2-9)=9-2$ porque $2-9<0$, verdadeira. + +(D) $\left|a^{2}+5\right|=a^{2}+5$ porque $a^{2}+5>0$ para qualquer valor de $a$, verdadeira. $|x|=\left\{\begin{array}{l}x \text { se } x \geq 0 \\ -x \text { se } x<0\end{array}\right.$ + +(E) $|-6 a|=|-6| \times|a|=6|a|$, verdadeira. + +3.(E) Elevando ao quadrado ambos os membros de $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=5$, obtemos $\frac{x}{y}=25$. Agora, $\frac{x+y}{2 y}=\frac{1}{2} \times \frac{x+y}{y}=\frac{1}{2} \times\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{y}\right)=\frac{1}{2} \times\left(\frac{x}{y}+1\right)=\frac{1}{2} \times(25+1)=13$. + +4.(D)Os triângulos TKR e GRS são proporcionais por serem triângulos retângulos com um ângulo agudo igual. Logo, temos: $\frac{R S}{T K}=\frac{G S}{T R}$. Como GS=TK segue que + +$T K^{2}=R S \times T R=2 \times 6=12 \Rightarrow T K=2 \sqrt{3}$. A área do triângulo KGR vale + +$\frac{\stackrel{\text { base }}{K G} \times \stackrel{\text { altura }}{T K}}{2}=\frac{(T R+R S) \times 2 \sqrt{3}}{2}=\frac{8 \times 2 \sqrt{3}}{2}=8 \sqrt{3}$ + +## 5. Solução: + +- $\frac{a}{5}>0 \Rightarrow a>0$ +- Temos $a>0 \Rightarrow 7 a>0$, logo: $\underbrace{\frac{-b}{7 a}}_{+}>0 \Rightarrow-b>0 \therefore b<0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-41.jpg?height=146&width=1217&top_left_y=2371&top_left_x=251) + +- $\frac{\overbrace{-18}^{a b c d}}{a b 0}>a b c d<0$, como $a b c>0$ segue que $d<0$. + +6. (B) Sejam $\widehat{T S M}=x, \widehat{S K T}=y, \widehat{K L S}=\alpha, \widehat{K T S}=\beta$. O triângulo KLM é isósceles porque tem dois lados iguais; consequentemente seus ângulos da base são iguais, isto é: $\widehat{K L S}=\widehat{K M S}=\alpha$. Analogamente, o triângulo KST também é isósceles e portanto $\widehat{K S T}=\widehat{K T S}=\beta$. Usaremos agora que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Acompanhe na figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-42.jpg?height=471&width=1242&top_left_y=518&top_left_x=333) + +- No triângulo STM temos: $x+\alpha+180^{\circ}-\beta=180^{\circ} \Rightarrow x=\beta-\alpha$ +- No triângulo KLM temos: $\alpha+\alpha+30^{\circ}+y=180^{\circ} \Rightarrow y=150^{\circ}-2 \alpha$. + +Logo, + +$$ +\beta+\beta+150^{\circ}-2 \alpha=180^{\circ} \Rightarrow \beta-\alpha=15^{\circ} . \text { Portanto, } x=15^{\circ} +$$ + +1) Quantos são os pares diferentes de inteiros positivos $(a, b)$ tais que $a+b \leq 100$ e $\frac{a+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+b}=13$ ? +(A) 1 +(B) 5 +(C) 7 +(D) 9 +(E) 13 +2) Se $x+|x|+y=5$ e $x+|y|-y=6$ então $x+y$ é: +(A) -1 +(B) 11 +(C) $9 / 5$ +(D) 1 +(E) -11 +3) Na figura, os três círculos são concêntricos, e as áreas do menor círculo e do maior anel (em cinza) são iguais. O raio do menor círculo é $5 \mathrm{~cm}$ e do maior $13 \mathrm{~cm}$. Qual o raio do círculo intermediário? + +(A) 12 + +(B) 11 + +(C) $10 \sqrt{65}$ + +(D) $5 \sqrt{3}$ + +(E) $12 \sqrt{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-43.jpg?height=466&width=483&top_left_y=1075&top_left_x=1226) + +4) Encontre os algarismos que estão faltando sobre cada um dos traços: +(a) $\frac{126}{8}=\frac{21}{}$; +(b) $\frac{-8}{33}=\frac{4}{5}$ +5) Uma a mais! Na lista de frações, no quadro ao lado, temos: + +- 2 frações cuja soma é $\frac{5}{2}$ +- 2 frações cuja diferença é $\frac{5}{2}$ +- 2 frações cujo produto é $\frac{5}{2}$ +- 2 frações cujo quociente é $\frac{5}{2}$ + +| $\frac{5}{4}$ | $\frac{17}{6}$ | $\frac{-5}{4}$ | $\frac{10}{7}$ | $\frac{2}{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\frac{14}{8}$ | $\frac{-1}{3}$ | $\frac{5}{3}$ | $\frac{-3}{2}$ | | + +Encontre a fração que está sobrando. + +6) O café, o bolo e o gato - Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, eu coloquei meu gato do lado de fora da casa. O bolo deve cozinhar por 35 minutos, então eu coloquei o despertador para tocar 35 minutos, após colocar o bolo no forno. Imediatamente fiz um café para mim, o que me tomou 6 minutos. Três minutos antes de acabar de beber o café o gato entrou em casa. Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar.O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram 3h59min da tarde. + +(a) A que horas coloquei o gato fora de casa? + +(b) Quantos minutos depois de colocar o gato fora de casa, o despertador tocou? + +Quanto tempo o gato estava fora de casa até o momento em que o telefone tocou? + +7) Quais figuras estão corretas? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-44.jpg?height=328&width=1522&top_left_y=1184&top_left_x=246) +1. (C) Temos: $13=\frac{a+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+b}=\frac{\frac{a b+1}{b}}{\frac{1+a b}{a}}=\frac{a}{b}$. Logo, $a=13 b$ e como $a+b \leq 100$ segue que $14 b \leq 100 \Rightarrow b \leq 7,14$. Como b é inteiro devemos ter $b \leq 7$. Logo os pares são em número de 7, a saber: + +$$ +(13,1),(26,2),(39,3),(52,4),(65,5),(78,6),(91,7) +$$ + +2. (C) Se $x<0$, então $|x|=-x$ e da $1^{a}$ equação temos $x+(-x)+y=5 \Rightarrow y=5$. Substituindo esse valor na $2^{a}$ equação obtemos $\mathrm{x}=6$ o que não é possível pois estamos supondo $x<0$. Logo, não há solução para $x<0$. + +- Se $y \geq 0$, então $|y|=y$ e da $2^{a}$ equação segue que $\mathrm{x}=6$. Substituindo esse valor na $1^{a}$ equação encontramos $\mathrm{y}=-7$, o que não é possível porque estamos supondo que y é positivo. +- Concluímos que não há solução para $y \geq 0$ e $x<0$. Logo, $y<0$ e $x \geq 0$, e as equações são: $2 x+y=5$ e $x-2 y=6$. Resolvendo obtemos $x=\frac{16}{5}$ e $y=-\frac{7}{5}$. Portanto, $x+y=\frac{9}{5}$. + +3. (A)A área do menor ć́rculo é $5^{2} \pi=25 \pi \mathrm{cm}^{2}$ e do maior é $13^{2} \pi=169 \pi \mathrm{cm}^{2}$. Seja $r$ o raio do círculo intermediário, então a área do maior anel é $169 \pi-\pi r^{2}$. Logo, $169 \pi-\pi r^{2}=25 \pi \Rightarrow r^{2}=169-25=144$, donde $r=12 \mathrm{~cm}$ + +4.(a) Observe que $126 \div 6=21$, logo, o numerador 126 foi dividido por 6 para obter o numerador 21 da outra fração. Logo, o denominador $8_{-}$também é divisível por 6 . O único número da forma 8 _ que é divisível por 6 é 84 , e $84 \div 6=18$. Podemos então completar as frações: + +$$ +\frac{126}{8 \underline{4}} \xrightarrow{\stackrel{\div 6}{\div 6}} \frac{21}{1 \underline{8}} +$$ + +(b) Note que 33_ deve ser múltiplo de 5 , logo só pode ser 330 ou 335 . Temos Como $\quad \frac{4}{5}=0,8, \quad$ segue que $\quad \frac{-8}{330}=0,8$ ou $\frac{-8}{335}=0,8$. Temos $330 \times 0,8=264$ e $335 \times 0,8=268$, segue que $--8=268$ e 33_=335. Podemos completar as frações: $\frac{268}{335}=\frac{4}{5}$. Note que $\frac{268}{335}=\frac{268 \div 67}{335 \div 67}=\frac{4}{5}$. + +5. (a) 2 frações cujo produto é $\frac{5}{2}: \frac{10}{7} \times \frac{14}{8}=\frac{10}{7} \times \frac{7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ + +| $\|5\|$ | 17 | -5 | 10 | 2 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 布 | 6 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-46.jpg?height=69&width=73&top_left_y=229&top_left_x=1622) | 7 | $\overline{3}$ | +| 14 | -1 | 5 | -3 | | +| 8 | 3 | 3 | 2 | | + +(b) 2 frações cuja diferença é $\frac{5}{2}: \frac{5}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-46.jpg?height=308&width=508&top_left_y=477&top_left_x=1388) + +(c) 2 frações cuja soma é $\frac{5}{2}: \frac{17}{6}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{17}{6}-\frac{1}{3}=\frac{17}{6}-\frac{2}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$ + +|
4 | $\frac{77}{6}$ | -5
4 | $\frac{10}{10}$ | $\frac{2}{3}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 74 | $\forall \sqrt{4}$ | 5 | -3 | | +| 8 | $\sqrt{3}$ | 3 | 2 | | + +(d) 2 frações cujo quociente é $\frac{5}{2}: \frac{5}{3} \div \frac{2}{3}=\frac{5}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{5}{2}$. + +Logo, a fração que está sobrando é $-3 / 2$. + +| 5
4 | 7
合 | 5
4 | $\frac{70}{A}$ | 2
告 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 18 | $\frac{5}{3}$ | $\frac{-3}{2}$ | | + +6. Vamos listar os eventos ocorridos e contar o tempo gasto em cada um. A primeira atividade foi colocar o gato for a da casa, logo nossa lista começa com essa atividade e o tempo é contado a partir dela. + +| Atividade | Tempo depois que o gato
foi posto fora de casa | +| :--- | :--- | +| Gato fora de casa | 0 minutos | +| Bolo no forno | 10 minutos | +| Fazer o café | $10+6=16$ minutos | +| Despertador toca | $35+10=45$ minutos | +| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos | +| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos | +| Telefone toca | $16+(40-16): 2=28$ minutos | +| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos | + +Podemos agora dar as respostas. + +(a) Às 3:59horas desliguei o telefone, o que ocorreu 33 minutos depois de colocar o gato fora de casa. Logo a resposta é 3:59-0:33=3:26. + +(b) O despertador toca 45 minutos após colocar o gato for a de casa. + +(c) 28 minutos + +Podemos saber exatamente a hora de cada atividade; veja na tabela a seguir. + +| Atividade | Tempo depois que o gato
foi posto fora de casa | Hora atual | +| :--- | :--- | :--- | +| Gato fora de casa | 0 minutos | $3: 59-0: 33=3: 26$ | +| Bolo no forno | 10 minutos | $3: 26+0: 10=3: 36$ | +| Fazer o café | $10+6=16$ minutos | $3: 26+0: 16=3: 42$ | +| Despertador toca | $35+10=45$ minutos | $3: 26+0: 45=4: 11$ | +| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos | $3: 26+0: 40=4: 06$ | +| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos | $3: 26+0: 43=4: 09$ | +| Telefone toca | $16+(40-16): 2=28$ minutos | $3: 26+0: 28=3: 54$ | +| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos | $3: 59$ | + +7. Figura 1: Não está correta porque a soma dos ângulos internos não dá $180^{\circ}$ + +Figura 2: Não está correta porque o comprimento dos lados não satisfaz o Teorema de Pitágoras, logo o triângulo não pode ser retângulo + +Figura 3: Não está correta porque um dos lados não é menor que a soma dos outro dois: $15>6+8$ + +1) Resolva a equação $\frac{|x-1|}{x^{2}}=6$. +2) Se um arco de $60^{\circ}$ num círculo I tem o mesmo comprimento que um arco de $45^{\circ}$ num círculo II, então a razão entre a área do círculo I com a do círculo II é: +(A)16/9 +(B) $9 / 16$ +(C) $4 / 3$ +(D) $3 / 4$ +(E) $6 / 9$ +3) Se $x>0, y>0, x>y$ e $z \neq 0$, então a única opção errada é: +(A) $x+z>y+z$ +(B) $x-z>y-z$ +(C) $x z>y z$ +(D) $\frac{x}{z^{2}}>\frac{y}{z^{2}}$ +(E) $x z^{2}>y z^{2}$ +4) Resolva geometricamente as equações: +(a) $|x-5|=2$ +(b) $|x+3|=1$ +(c) $|3 x-7|=9$ +(d) $|x+2|=|x-5|$ +5) A pista de um autódromo tem $20 \mathrm{~km}$ de comprimento e forma circular. Os pontos marcados na pista são: A, que é o ponto de partida, B que dista $5 \mathrm{~km}$ de A no sentido do percurso, $C$ que dista $3 \mathrm{~km}$ de $B$ no sentido do percurso, $D$ que dista $4 \mathrm{~km}$ de $C$ no sentido do percurso e E que dista $5 \mathrm{~km}$ de $\mathrm{D}$ no sentido do percurso. Um carro que parte de A e pára após percorrer $367 \mathrm{~km}$ estará mais próxima de qual dos 5 pontos? +(A) A +(B) B +(C) $\mathrm{C}$ +(D) $\mathrm{D}$ +(E) E +6) No diagrama ao lado, todos os quadradinhos têm $1 \mathrm{~cm}$ de lado. Qual é o maior comprimento? + +(A) $A E$ + +(B) $C D+C F$ + +(C) $A C+C F$ + +(D) $F D$ + +(E) $A C+C E$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-48.jpg?height=491&width=691&top_left_y=1890&top_left_x=1185) + +7) Quantos dentre os números $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$ satisfazem a desigualdade $-3 x^{2}<-14$ ? +(A) 1 +(B) 2 +(C) 3 +(D) 4 +(E) 5 + +## 1. $\underline{1{ }^{\circ} \text { caso: }} x \geq 1$ + +Nesse caso $\quad x-1 \geq 0$, donde $|x-1|=x-1$. A equação toma a forma $\frac{x-1}{x^{2}}=6$ ou $6 x^{2}-x+1=0$. Esta equação não tem raízes reais porque $\Delta=(-1)^{2}-4 \times 6 \times 1=1-24$ é negativo. Logo, não temos soluções maiores ou iguais a 1. + +2 caso: $x<1$ + +Nesse caso $x-1<0$, donde $|x-1|=-(x-1)=1-x$. A equação toma a forma $\frac{1-x}{x^{2}}=6$ ou $6 x^{2}+x-1=0$. Resolvendo esta equação temos: + +$x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \times 6 \times(-1)}}{2 \times 6}=\frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12}=\frac{-1 \pm 5}{12} \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ e $x=\frac{1}{3}$. Como essas duas raaízes são menores que 1 , elas são as raízes da equação do enunciado. + +2. (B) Como o arco de $60^{\circ}$ do círculo I tem o mesmo comprimento que o arco de $45^{\circ}$ no círculo II, concluímos que o raio do círculo I é menor que o do círculo II. Denotemos por $r$ e $R$ os raios dos círculos I e II respectivamente. + +No círculo I o comprimento do arco de $60^{\circ}$, é igual a $1 / 6$ de seu comprimento, ou seja $\frac{2 \pi r}{6}=\frac{\pi r}{3}$. + +Analogamente, no círculo II o comprimento do arco de $45^{\circ}$, é igual a $1 / 8$ de seu comprimento, ou seja $\frac{2 \pi R}{8}=\frac{\pi R}{4}$. Logo, $\frac{\pi r}{3}=\frac{\pi R}{4} \Rightarrow \frac{r}{R}=\frac{3}{4}$. Finalmente temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-49.jpg?height=463&width=486&top_left_y=1599&top_left_x=1279) + +$$ +\frac{\text { área do círculo I }}{\text { área do círculo II }}=\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}=\left(\frac{r}{R}\right)^{2}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16} +$$ + +3. Nessa questão usaremos as propriedades das desigualdades. + +Podemos somar o mesmo número a ambos os membros de uma desigualdade sem alterar o sinal, temos: $x>y \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+z>y+z \text { (somando } z \text { a ambos os membros) } \\ x-z>y-z \text { (somando }-z \text { a ambos os membros) }\end{array} \Rightarrow\right.$ (A) e (B) corretas + +A opção (C) é falsa porque $z$ pode ser negativo, por exemplo: $x=5, y=3$ e $z=-2$ temos: + +$5>3$, no entanto $\underbrace{5 \times(-2)}_{x z}=-10<-6=\underbrace{3 \times(-2)}_{y z}$. + +Como $z \neq 0$ então $z^{2}>0$ e $\frac{1}{z^{2}}>0, \quad \operatorname{logo}$ as opções (D) e (E) estão corretas porque foram obtidas multiplicando-se ambos os membros de $x>y$ por um número positivo; em (E) por $z^{2} \mathrm{e}$ em (D) por $\frac{1}{z^{2}}$. + +4. Solução: + +## Interpretação + + geométrica$|a-b|=$ distância entre $a$ e $b$ + +(a) $|x-5|=2 \Leftrightarrow$ números cuja distância ao 5 é 2 . + +Logo as rá́zes são 3 e 7 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-50.jpg?height=151&width=823&top_left_y=1324&top_left_x=728) + +(b) $|x+3|=1 \Leftrightarrow$ números cuja distância ao -3 é 1 . + +Logo as raízes são $-4 \mathrm{e}-2$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-50.jpg?height=187&width=829&top_left_y=1571&top_left_x=913) + +(c) Fazendo a mudança de variável $y=3 x$, a equação toma a forma $|y-7|=9 \Leftrightarrow$ números cuja distância ao 7 é 9 . + +Logo as raízes são $y=-2$ e $y=16$. + +Destrocando a variável temos $3 x=-2$ e $3 x=16$, e obtemos raízes da equação: $x=-\frac{2}{3}$ e $x=\frac{16}{3}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-50.jpg?height=155&width=831&top_left_y=1910&top_left_x=909) + +(d) As raízes da equação $|x+2|=|x-5|$ são os números equidistantes de -2 e de 5 . Esses números só podem estar entre -2 e 5 . + +Logo, a solução é $x=1,5$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-50.jpg?height=182&width=828&top_left_y=2302&top_left_x=914) + +5. (C)Vamos marcar os 4 pontos a partir de A. + +Como o comprimento é de $20 \mathrm{~km}$, o comprimento de cada um dos 4 quadrantes é $5 \mathrm{~km}$. Podemos então marcar os pontos. Como $367=18 \times 20+7$, o carro deu 18 voltas completas e percorreu mais $7 \mathrm{~km}$ a partir de A. Logo, ele passa $2 \mathrm{~km}$ após B, o que significa que ele pára $1 \mathrm{~km}$ de C. Portanto, C é o ponto mais próximo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_114594b977a92bae02f7g-51.jpg?height=665&width=688&top_left_y=524&top_left_x=661) + +6. Note que: + +- AE é a hipotenusa de um triângulo de catetos $5 \mathrm{~cm}$ e $9 \mathrm{~cm}$ +- CF é a hipotenusa de um triângulo de catetos $2 \mathrm{~cm} \mathrm{e} 3 \mathrm{~cm}$ +- $A C$ é a hipotenusa de um triângulo de catetos $3 \mathrm{~cm} \mathrm{e} 3 \mathrm{~cm}$ +- FD é a hipotenusa de um triângulo de catetos $2 \mathrm{~cm} \mathrm{e} 9 \mathrm{~cm}$ +- CE é a hipotenusa de um triângulo de catetos $2 \mathrm{~cm}$ e $6 \mathrm{~cm}$ + +Usando o Teorema de Pitágoras calculamos essas hipotenusas: + +$$ +\begin{aligned} +& A E=\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{106} \approx 10,3 \\ +& C F=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13} \approx 3,6 \Rightarrow C D+C F \approx 5+3,6=8,6 \\ +& A C=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18} \approx 4,2 \Rightarrow A C+C F \approx 4,2+3,6=7,8 \\ +& F D=\sqrt{2^{2}+9^{2}}=\sqrt{85} \approx 9,22 \\ +& C E=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{40} \approx 6,3 \Rightarrow A C+C E \approx 4,2+6,3=10,5 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o maior é $A C+C E$ + +7. (D) Se $-3 x^{2}<-14$ então $3 x^{2}>14$ ou $x^{2}>\frac{14}{3}=4 \frac{2}{3}$. Como estamos olhando apenas para valores inteiros de $x$, então $x^{2}$ também é inteiro. Sendo $x^{2}>4 \frac{2}{3}$, concluímos que $x^{2}$ é no mínimo 5. Os números acima que satisfazem essa condição são $-5,-4,-3$ e 3 . Logo a resposta é 4 . + +Solução 2 : Podemos usar diretamente a seguinte Regra de Três: + +| Velocidade
em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ | Tempo
em horas | | +| :---: | :---: | :---: | +| 10 | $\longrightarrow$ | $\frac{6}{60}$ | +| $x$ | $\longrightarrow \frac{8}{60}$ | | + +Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais (aumentando a velocidade diminui o tempo), $\log$ : + +$$ +\frac{x}{10}=\frac{\frac{6}{60}}{\frac{8}{60}}=\frac{6}{8} \Rightarrow x=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}=7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +5. Vejamos as informações dadas no enunciado: + +"Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia". + +$\Rightarrow$ Helósa mora acima de Elza e abaixo de Cláudia. + +"Quando Sueli chega ao seu andar, Heloísa ainda tem 2 andares para subir, e o mesmo ocorre a Patrícia quando Elza chega ao seu andar". + +$\Longrightarrow$ Heloísa mora dois andares acima de Sueli e Patrícia dois andares acima de Elza. + +| Sueli não mora no $1^{\circ}$ andar e Heloísa mora 2
andares acima de Sueli, logo temos as seguintes
possibilidades ao lado. | $1^{\circ}$ andar | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $2^{\circ}$ andar | Sueli | | +| | $3^{\circ}$ andar | | Sueli | +| | $4^{\circ}$ andar | Heloísa | | +| | $5^{\circ}$ andar | | Heloísa | +| Como Cláudia mora acima de Heloísa, então
Heloísa não pode morar no último andar que é o
$5^{\circ}$ andar. Logo, Sueli mora no $2^{\circ}$ andar, Heloísa
no $4^{\circ}$ e Cláudia só pode morar no $5^{\circ}$. | $1^{\circ}$ andar | | | +| | $2^{\circ}$ andar | Sueli | | +| | $3^{\circ}$ andar | | | +| | $4^{\circ}$ andar | Heloísa | | +| | $5^{\circ}$ andar | Cláudia | | +| Finalmente, Patrícia mora dois andares acima de
Elza, logo Elza mora no $1^{\circ}$ andar e Patrícia no $4^{\circ}$
andar. | $1^{\circ}$ andar | Elza | | +| | $2^{\circ}$ andar | Sueli | | +| | $3^{\circ}$ andar | Patrícia | | +| | $4^{\circ}$ andar | Heloísa | | +| | $5^{\circ}$ andar | Cláudia | | + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_desafios.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_desafios.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b2b5cfd6de42d2a973009716b0c4ac3d429f494 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2006_desafios.md @@ -0,0 +1,134 @@ +1. (N2/N3) Partindo do número 265863 e utilizando uma única vez cada uma das operações + ; - ; × ; : , e também uma única vez os números $51,221,6817,13259$, podemos obter vários números, por exemplo 54911 : + +$265863 \xrightarrow{+221} 1203 \xrightarrow{\times 51} 61353 \xrightarrow{-13259} 48094 \xrightarrow{+6817} 54911$ + +Encontre a cadeia que permite obter o menor número inteiro positivo. + +2. (N2/N3)Você sabe repartir a figura ao lado em duas partes idênticas (que possam ser superpostas)? $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=\mathrm{ED}=\mathrm{CD}=\mathrm{CA}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-1.jpg?height=369&width=508&top_left_y=992&top_left_x=1071) + +3.(N1/N2/N3) Cada um em seu Estado - Amélia, Bruno, Constância e Denise são 4 amigos que moram em Estados diferentes e se encontram sentados numa mesa quadrada, cada um ocupa um lado da mesa. + +- À direita de Amélia está quem mora no Amazonas; +- Em frente à Constância está a pessoa que mora em São Paulo; +- Bruno e Denise estão um ao lado do outro; +- Uma mulher está à esquerda da pessoa que mora no Ceará. +- Um dos quatro mora na Bahia. Quem? + +4. (N1/N2) Divisão- Numa divisão, aumentando o dividendo de 1989 e o divisor de 13, o quociente e o resto não se alteram. Qual é o quociente? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-1.jpg?height=269&width=534&top_left_y=2150&top_left_x=196) + +5. (N1/N2) Extra-terrestre - No planeta Staurus, os anos têm 228 dias (12 meses de 19 dias). Cada semana tem 8 dias: Zerum, Uni, Duodi, Trio, Quati, Quio, Seise e Sadi. Sybock nasceu num duodi que foi o primeiro dia do quarto mês. Que dia da semana ele festejará seu primeiro aniversário? +6. (N1/N2) Que família! Numa família cada menino tem o mesmo número de irmãos que de irmãs, e cada menina tem o dobro de irmãos que de irmãs. Qual é a composição dessa família? +7. (N1) Siga a pista - Na pista de corrida ao lado, os 7 pontos de referência são marcados a cada $50 \mathrm{~m}$. Os atletas devem fazer $2 \mathrm{~km}$ no sentido indicado pela flexa. Eles partem do ponto P. Marque o ponto de chegada C. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-2.jpg?height=368&width=756&top_left_y=798&top_left_x=570) + +8. Cara ou Coroa - Jerônimo joga no tabuleiro ao lado da seguinte maneira: Ele coloca uma peça na casa "PARTIDA" e ele move a peça da seguinte maneira: ele lança uma moeda, se der CARA ele avança duas casas, e se der COROA ele recua uma casa. Jerônimo lançou a moeda 20 vezes e conseguiu chegar na casa CHEGADA. Quantas vezes a moeda deu CARA? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-2.jpg?height=551&width=874&top_left_y=1341&top_left_x=1022) + +9. (N1) Os relógios - Um só dos quatro relógios indica a hora correta. Um está 20 minutos adiantado, outro está 20 minutos atrasado, e o quarto está parado. Qual é a hora certa? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-2.jpg?height=290&width=1462&top_left_y=2310&top_left_x=274) +10. (N1) Contas do papagaio - Rosa tem um papagaio que faz contas de um modo estranho. Cada vez que Rosa diz dois números ele faz a mesma conta, veja: + +- Se Rosa diz " 4 e 2" o papagaio responde " 9 " +- Se Rosa diz " 5 e 3 " o papagaio responde " 12 " +- Se Rosa diz "3 e 5" o papagaio responde " 14 " +- Se Rosa diz "9 e 7" o papagaio responde " 24 " +- Se Rosa diz " 0 e 0 " o papagaio responde " 1 " + +Se Rosa diz "1 e 8" o que responde o papagaio? + +11. (N1/N2) As férias de Tomás - Durante suas férias, Tomás teve 11 dias com chuva. Durante esses 11 dias, se chovia pela manhã havia sol sem chuva à tarde, e se chovia à tarde, havia sol sem chuva pela manhã. No total, Tomás teve 9 manhãs e 12 tardes sem chuva. Quantos dias duraram as férias de Tomás? +12. (N3) Maratona de Matemática - Numa Maratona de Matemática, o número de questões é muito grande. $\mathrm{O}$ valor de cada questão é igual à sua posição na prova: 1 ponto para a questão 1,2 pontos para a questão 2,3 pontos para a questão 3,4 pontos para a questão $4, \ldots, 10$ pontos para a questão $10, \ldots$ e assim por diante. Joana totalizou 1991 pontos na prova, errando apenas uma questão e acertando todas as outras. Qual questão ela errou?Quantas questões tinha a prova? +13. (N1) - Escolhi quatro frações entre $1 / 2,1 / 4,1 / 6,1 / 10$ e $1 / 12$ cuja soma é 1 . Quais foram as frações que eu não escolhi? +14. Um jogo- Regras; + +(i) Partindo da casa em cinza com o número 3 deve-se chegar à casa TOTAL deslocando-se somente por linhas ou colunas e calculando os pontos. + +(ii) Quando nos deslocamos por uma linha só podemos adicionar, por exemplo passando da 3 para a -6 ao lado, obtemos $3+(-6)=-3$ pontos + +(iii) Quando nos deslocamos por uma coluna só podemos subtrair, por exemplo passando da 3 para a 5 abaixo, obtemos $3-5=-2$ pontos. + +(iv) Só é permitido passar uma vez por cada casa. + +Qual o caminho que dá o maior total? + +| 3 | -6 | 9 | -9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 5 | 7 | 2 | -1 | +| -8 | -3 | -5 | 4 | +| -4 | 1 | 6 | 8 | +| 0 | -2 | -7 | TOTAL | + +15. (N1/N2/N3) Produtos em linha - Em cada uma das casas em branco do quadro abaixo escrevemos um algarismo dentre oito algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 de modo que os produtos efetuados em linha reta seguindo as flexas forneçam os valores indicados dentro dos casas em cinza. Em qual casa se encontra o número 2 ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-4.jpg?height=577&width=1099&top_left_y=474&top_left_x=453) + +16. (N2/N3) Código Postal - Para fazer a separação em regiões da correspondência que deve ser entregue, um serviço postal indica sobre os envelopes um código postal com uma série de 5 grupos de bastões, que podem ser lidos por um leitor ótico. Os algarismos são codificados como a seguir: + +| $0 \bullet\\|I\\|$ | $5 \% \cdot \\|$ | +| :---: | :---: | +| 1 $\cdot$॰\|l | $6\|\cdot\| \\| \mid$ | +| $2 \cdot\\|\\| \\|$ | $7\\|\bullet \bullet\\|$ | +| $3 \cdot \\| 1 \mid 10$ | $8 \mathrm{ll} \cdot \mathrm{Ol}$ | +| 4 \|०o|l| | 9\||$\|\bullet \circ\|$ | + +A leitura se faz da direita para a esquerda, por exemplo o código postal 91720 se escreve como ..IIIII.III.IIII..III.I.IIIII.I.I. Em detalhe: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-4.jpg?height=83&width=460&top_left_y=2129&top_left_x=1049) + +Note que a codificação de $94, \underbrace{\mid \circ \cdot \| I \text { III०| }}_{4}$, tem um eixo vertical de simetria. Encontre os códigos de 47000a 47999, aqueles que apresentam um eixo vertical de simetria. + +17. (N1/N2/N3) Anéis olímpicos - Os números de 1 a 9 foram colocados dentro de cinco anéis olímpicos de tal modo que dentro de cada anel a soma é 11 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-5.jpg?height=343&width=946&top_left_y=317&top_left_x=501) + +Disponha os 9 números de outra maneira para que a soma dentro de cada anel seja a maior possível. + +18. (N2/N3)Denise e Antônio jogam uma série de 8 jogos no qual o vencedor da primeira partida ganha 1 ponto, o da segunda 2 pontos, o da terceira 4 pontos, o da quarta 8 pontos e assim por diante, multiplicando por 2 o número de pontos de uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou? +19. (N1/N2)Você sabe repartir um quadrado em 7 quadrados menores? + +20.(N1/N2/N3) Ilha misteriosa -Numa misteriosa ilha havia 13 camaleões cinza, 15 camaleões marrons e 17 camaleões vermelhos. Quando dois camaleões de cores diferentes se encontram, os dois tomam a terceira cor. Por exemplo, se um cinza se encontra com um vermelho, então os dois ficam marrons. Por causa de uma tempestade, ocorreram 2 encontros cinza-vermelho, 3 encontros marrom-vermelho e 1 encontro cinza-vermelho, quantos camaleões de cada cor ficaram na ilha? + +21. (N3)Universo hostil - Num deserto há cobras, ratos e escorpiões. Cada manhã, cada cobra mata um rato. Cada meio-dia, cada escorpião mata uma cobra. Cada noite, cada rato mata um escorpião. Ao final de uma semana, à noite, só restava um rato. Quantos ratos havia na manhã no início da semana? +22. $265863 \xrightarrow{\div 6817} 39 \xrightarrow{+221} 260 \xrightarrow{\times 51} 13260 \xrightarrow{-13259} 1$ +23. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-6.jpg?height=408&width=562&top_left_y=550&top_left_x=427) + +3. Bruno ou Amélia (O desafio tem duas soluções). +4. 153 +5. Seise +6. 3 meninas e 4 meninos +7. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-6.jpg?height=277&width=662&top_left_y=1409&top_left_x=480) + +8. 12 +9. $17 \mathrm{~h} 05 \mathrm{~min}$ +10. 1 + +11.16 dias + +12. 25 e 63, respectivamente. +13. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-6.jpg?height=380&width=411&top_left_y=2294&top_left_x=457) +15.casa B +16. 47679 e 47779 + +17. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-7.jpg?height=311&width=893&top_left_y=410&top_left_x=433) +18. $1^{a}, 2^{a}, 3^{a}, 4^{a}$ e $8^{a}$ + +19. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d95073495d259770a7a7g-7.jpg?height=274&width=320&top_left_y=911&top_left_x=477) +20. 16 cinzas, 18 marrons e 11 vermelhos +21. 1873 + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eda044e16fef878f20760d1c92321d5f62ebec82 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N1.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# Nível 1 + +## Lista 1 + +## 1. Múltiplos de 9 + +(a) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 0 e 1 ? + +(b) Qual é o menor múltiplo (positivo) de 9 que é escrito apenas com os algarismos 1 e 2 ? + +2. A florista - Uma florista colheu $49 \mathrm{~kg}$ de flores do campo que podem ser vendidas imediatamente por $R \$ 1,25$ o quilo. A florista pode também vendêlas desidratadas por 2 reais a mais no quilo. O processo de desidratação faz as flores perderem $5 / 7$ de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista? +3. Divisores - Seja $N$ o menor número que tem 378 divisores e é da forma $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$. Quanto vale cada um desses expoentes? +4. O produto dos algarismos - Denotemos por $P(n)$ o produto dos algarismos do número $n$. Por exemplo: $P(58)=5 \times 8=40$ e $P(319)=3 \times 1 \times 9=27$. + +(a) Quais os números naturais menores que 1000 cujo produto de seus algarismos é 12 , ou seja: os números naturais $n<1000$ tais que $P(n)=12$ ? + +(b) Quantos números naturais menores que 199 satisfazem $P(n)=0$ ? Ou seja: têm o produto de seus algarismos igual a 0 ? +(c) Quais números naturais menores que 200 satisfazem a desigualdade $37<$ $P(n)<45$ ? + +(d) Dentre os números de 1 a 250, qual o número cujo produto de seus algarismos é o maior? + +5. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco de laranja por $R \$ 2,80$ e uma caixa com seis dessas garrafas por $R \$ 15,00$. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no mínimo? +6. A casa da Rosa - A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha? + +| | Sala
$24 m^{2}$ | +| :---: | :---: | +| Quintal
$4 m^{2}$ | Cozinha | + +7. O passeio do Matias - Matias passeia em volta de 4 quarteirões perto de sua casa. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possível de bicicleta, respeitando as seguintes condições: +ele pode passar várias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas ele não pode passar mais do que uma vez pela mesma quadra. Quando ele não pode mais respeitar essas condições, ele tem que saltar da bicicleta e voltar a pé. Ele parte de $P$ e deve voltar a $P$. Os quatro quarteirões são quadrados com 100 metros de lado em cada quadra. Qual o maior percurso que ele pode fazer? A largura das ruas é desprezível. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a0d391260739810f40cdg-3.jpg?height=477&width=426&top_left_y=561&top_left_x=1383) +8. $O$ adesivo dos carros oficiais - O prefeito de uma cidade decidiu colocar um adesivo em todos os carros oficiais. O adesivo terá a forma retangular com 6 quadrados dispostos em $2 \times 3$ e com 3 cores: 1 quadrado azul, 2 quadrados amarelos e 3 quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivo o prefeito terá que escolher? + +## Soluções da Lista 1 + +## 1. Múltiplos de 9 + +(a) Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Logo, o número deve ter 9 algarismos iguais a 1. Assim, o menor número é: 111111111. + +(b) Devemos usar o maior número possível de algarismos iguais a 2, que devem ficar nas casas mais à direita. Assim, o menor número é: 12222 . + +2. A florista - Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar $49 \times 1,25=61,25$ reais. + +O peso das flores após a desidratação é $\frac{2}{7} \times 49=14 \mathrm{~kg}$. Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura $14 \times 3,25=45,50$. Portanto, a florista ganha mais no processo sem a desidratação. + +3. Divisores - Como 2, 3, 5 e 7 são primos, para que $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$ tenha 378 divisores, devemos ter: + +$$ +(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=378 +$$ + +Decompondo 378 em fatores primos, encontramos $378=2 \times 3^{3} \times 7$. Logo, + +$$ +(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=2 \times 3^{3} \times 7 +$$ + +Por outro lado, como $N$ é mínimo então os expoentes estão ordenados do maior + +para o menor, isto é, $a \geq b \geq c \geq d$. + +Afirmamos que $d>0$, pois se $d=0$ então $a+1, b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores maiores do que 1 . Se $a+1=m n$ com $m \geq n>1$ temos que + +$$ +2^{a}=2^{m n-1}=2^{m-1} 2^{m n-m}=2^{m-1}\left(2^{m}\right)^{n-1} \geq 2^{m-1} 8^{n-1}>2^{m-1} 7^{n-1} +$$ + +onde na penúltima desigualdade usamos o fato que $m \geq 3$. Assim, temos que $2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d}>2^{m-1} 3^{b} 5^{c} 7^{n-1}$, logo encontramos um número com a mesma quantidade de divisores, mas menor. A prova é igual no caso em que $b+1$ tem dois fatores ou $c+1$ tem dois fatores. Assim, $d \geq 1$ e temos unicamente as seguintes possibilidades + +| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=378$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 20 | 2 | 2 | 1 | $21 \times 3 \times 3 \times 2$ | +| 13 | 2 | 2 | 2 | $14 \times 3 \times 3 \times 3$ | +| 8 | 6 | 2 | 1 | $9 \times 7 \times 3 \times 2$ | +| 6 | 5 | 2 | 2 | $7 \times 6 \times 3 \times 3$ | + +Por último, como + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{2^{20} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{7}}{7}>1 \\ +& \frac{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}}=\frac{2^{5} \cdot 7}{3^{4}}>1 +\end{aligned} +$$ + +e + +$$ +\frac{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{2} \cdot 3}{7}>1 +$$ + +temos que o valor de $N$ é $2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$. Portanto, $a=6, b=5, c=2$ e $d=2$. + +## 4. O produto dos algarismos + +(a) Como $12=2 \times 6=4 \times 3=2 \times 2 \times 3$, devemos utilizar os algarismos $1,2,3,4$ e 6 cujos produtos sejam 12. Assim temos: + +- números com 2 algarismos: 26, 62, 34, 43 +- números com 3 algarismos: +- com os algarismos 1, 2 e 6: 126, 162, 216, 261, 612, 621 +- com os algarismos 1, 3 e 4: 134, 143, 314, 341, 413, 431 +- com os algarismos 2, 2 e 3: 223, 232, 322 . + +(b) Se $P(n)=0$, então o produto de seus algarismos é igual a zero, logo pelo menos um dos algarismos do número $n$ é zero. Temos 19 números com zero só nas unidades, 9 números com zero só nas dezenas e ainda o número 100, totalizando 29 números: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a0d391260739810f40cdg-6.jpg?height=123&width=1162&top_left_y=1001&top_left_x=458) + +(c) Queremos encontrar os números menores do que 200, cujo produto de seus algarismos seja maior do que 37 e menor do que 45. Por exemplo, 58 é um desses números porque $5 \times 8=40$. + +Em primeiro lugar, note que não existem números cujo produto de seus algarismos sejam 38, 39, 41, 43 e 44 porque esses números não podem ser escritos como produto de dois ou três algarismos. Restam, então: 40 e 42 . Vejamos as possibilidades: + +- números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 40: 58, 85, 158 e 185 +- números menores do que 200 cujo produto dos algarismos é 42: 67,76 , 167 e 176 + +(d) O número é $249=2 \times 4 \times 9=72$. + +5. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele vai gastar $6 \times 2,80=16,80$ reais, que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto, ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Para ter pelo menos 22 garrafas, ele pode comprar 4 caixas e gastará 60 reais, ou +comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará $3 \times 15+$ $4 \times 2,80=56,20$ reais, que é o mínimo possível. +6. A casa da Rosa - Como o quarto é quadrado e tem $16 m^{2}$ de área, então suas dimensões são $4 m$ por $4 m$. Da mesma forma, as dimensões do quintal são $2 m$ por $2 m$. Agora, a sala tem $24 m^{2}$ e uma das dimensões é a mesma que a dimensão do quarto, isto é $4 m$, logo a outra dimensão da sala é $6 m$. Assim, as dimensões totais da casa são $10 \mathrm{~m}$ por $6 m$ e a área total da casa é 60 metros quadrados. Logo, a área da cozinha é + +| | | | +| :---: | :---: | :---: | +| Quintal | 2 | Cozinha | + +$60-16-24-4=16 m^{2}$. + +7. Passeio do Matias - Primeiro observamos que temos 12 quadras de 100 metros entre os 4 quarteirões. Além disso, entre os quatro quarteirões temos 4 esquinas nas quais chegam 3 quadras e que estão marcadas com $\star$ no desenho. Assim, no momento em que chegamos a uma das ditas esquinas temos que sair, logo usamos 2 das quadras em cada passada e, no momento que chegamos de novo, temos que parar. + +Portanto, dentre as ditas 4 esquinas, em todo caminho que tracemos tem pelo menos duas esquinas em que não usamos todas as quadras que chegam à esquina mencionada. Assim, o caminho de comprimento máximo usa no máximo 10 quadras. Na figura desenhamos um dos trajetos máximos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a0d391260739810f40cdg-7.jpg?height=420&width=397&top_left_y=2063&top_left_x=1383) + +8. O adesivo oficial - Como o quadrado pintado da cor azul pode estar em qualquer lugar, então temos 6 possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os 5 quadrados restantes precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos fazer de 10 formas, assim os três quadrados restantes são pintados de verde. Portanto, o prefeito tem $6 \times 10=60$ formas diferentes de escolher o adesivo. diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f190730bebe52a62fe703af5ff0ea9b909ba6987 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L1_N2.md @@ -0,0 +1,165 @@ +# Nível 2 + +## Lista 1 + +1. Potências de 10 - O valor de $\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001}$ é: +(a) $10^{-1}$ +(b) $10^{-2}$ +(c) $10^{-3}$ +(d) $10^{-4}$ +(e) 1 +2. Diferença de quadrados - Se $(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=20$, então $x y$ é igual a: +(a) 0 +(b) 1 +(c) 2 +(d) 5 +(e) 10 +3. Um quadrilátero - O quadrilátero $A B C D$ da figura é um paralelogramo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9ca8b777b16e5f5c5786g-1.jpg?height=451&width=414&top_left_y=1462&top_left_x=929) + +4. Sexta-feira 13 - Qual o número máximo de sexta-feiras 13 que podem ocorrer num ano não bissexto? Neste caso, qual é o $10^{\circ}$ dia do ano? +5. Triângulos com lados inteiros - Quantos triângulos existem cujos lados são números inteiros e o perímetro é 12 ? +(a) 1 +(b) 3 +(c) 5 +(d) 7 +(e) 9 +6. Festa de aniversário - Para comemorar seu aniversário, Ana vai preparar tortas de pera e tortas de maçã. No mercado, uma maçã pesa $300 \mathrm{~g}$ e uma pera $200 \mathrm{~g}$. A sacola de Ana aguenta um peso máximo de $7 k$. Qual é o numero máximo de frutas que ela pode comprar para poder fazer tortas das duas frutas? +7. Os dois quadrados - As medidas em centímetros dos lados de cada um dos dois quadrados são números inteiros. Se o menor quadrado tivesse $2001 \mathrm{~cm}^{2}$ a mais de área, os dois quadrados seriam iguais. Quanto pode medir o lado do maior quadrado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9ca8b777b16e5f5c5786g-2.jpg?height=394&width=377&top_left_y=974&top_left_x=1342) + +8. A multiplicação - Júlio faz multiplicações usando apenas os quadrados dos números. Ele tem que calcular o produto $85 \times 135$. Para isso, ele desenha um retângulo de $85 \mathrm{~mm}$ por $135 \mathrm{~mm}$ e traça nesse retângulo o maior quadrado possível; faz o mesmo no quadrado restante e assim sucessivamente. Dessa maneira ele obtém oito quadrados. Desenhe a figura feita por Júlio e escreva $85 \times 135$ como a soma de oito quadrados: $85 \times 135=85^{2}+\ldots$ + +## Soluções da Lista 1 + +1. Potências de 10 - Temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001} & =\frac{10^{-5} \times\left(10^{-2}\right)^{2} \times 10^{3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-5} \times 10^{-4} \times 10^{3}}{10^{-3}}= \\ +& =\frac{10^{-5+(-4)+3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-6}}{10^{-3}}=10^{-6-(-3)}=10^{-3} +\end{aligned} +$$ + +A opção correta é (c). + +2. Diferença de quadrados - Como $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ e $(x-y)^{2}=$ $x^{2}-2 x y+y^{2}$, temos: + +$$ +(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=4 x y=20 +$$ + +segue-se que $x y=5$. A opção correta é (d). + +3. Um quadrilátero - Para que $A B C D$ seja um paralelogramo, seus lados devem ser dois a dois paralelos, isto é: $A B / / C D$ e $A D / / B C$. + +Como + +$$ +\widehat{D A B}+\widehat{A B C}=180^{\circ} +$$ + +então as retas $A D$ e $B C$ são paralelas. Além disso, temos dois ângulos alternos internos de $45^{\circ}$ entre as retas $A B$ e $D C$, segue-se que elas são paralelas. Logo $A B C D$ é um paralelogramo. + +4. Sexta-feira 13 - Dado que os dias da semana se repetem a cada 7 dias, então a diferença entre os dias da semana é dada pelo resto ao dividir por 7 o número de dias transcorridos. + +$\mathrm{Na}$ tabela seguinte temos: + +- na primeira linha o número de dias entre o dia 13 de um mês e o dia 13 do mês seguinte; +- na segunda linha o resto quando dividimos esse numero por 7; +- na terceira linha o resto quando dividimos por 7 o número de dias entre o 13 de janeiro e o 13 do mês correspondente, ou seja, é obtida somando os resultados obtidos na linha anterior desde janeiro até o mês correspondente e depois calculando o resto ao dividir por 7 . + +| J-F | F-M | M-A | A-M | M-J | J-J | J-A | A-S | S-O | O-N | N-D | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 | +| 3 | 0 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | +| 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 | + +Os valores iguais na última linha, significam que nestes meses o dia 13 caiu no mesmo dia da semana. Em particular esta última linha nos diz que 13 de fevereiro, 13 de março e 13 de novembro correspondem ao mesmo dia da semana. Logo, temos no máximo três sexta-feiras treze. + +Nesse caso temos que 13 de janeiro ocorreu 3 dias antes de sexta-feira, isto é terça-feira e o dia 10 de janeiro aconteceu 3 dias antes, isto é, no sábado. + +Observação: Note que a $6^{a}$-feira 13 ocorre apenas quando o $1^{o}$ dia do mês é um domingo. Assim, uma outra maneira, talvez mais simples, de resolver o problema é determinar o número máximo de vezes em que o $1^{\circ}$ dia do mês é um domingo num ano não bissexto. + +5. Triângulos com lados inteiros - Para que três números $a, b, c$ sejam os comprimentos dos lados do triângulo, cada um deles deve ser maior que a diferença e menor que a soma dos outros dois. + +Sejam $a \leq b \leq c$ os comprimentos dos lados do triângulo. Assim, $c0$. + +(iii) Uma desigualdade inverte o seu sentido se multiplicarmos por um número negativo ambos os seus membros: $xy z, \quad z<0$. + +Assim temos: + +(a) $0V_{3}>V_{2}$. + +(b) Como os dois cilindros têm o mesmo raio, basta manter o raio do cilindro com $5 \mathrm{~cm}$ e a altura entre $10 \mathrm{~cm}$ e $20 \mathrm{~cm}$, por exemplo: $h=15 \mathrm{~cm}$. Neste caso, o volume $V_{4}$ é: $\pi \times 5^{2} \times 15=375 \pi \mathrm{cm}^{3}$. + +(c) Para construir um cilindro de volume $V_{5}$ entre $V_{1}$ e $V_{3}$, podemos diminuir o raio do cilindro de volume $V_{5}$ para $8 \mathrm{~cm}$ e tomar como altura $10 \mathrm{~cm}$, a menor das duas alturas, obtendo um cilindro de volume $\pi \times 8^{2} \times 10=640 \pi \mathrm{cm}^{3}$. + +6. Percentagem de mortalidade - A proporção de população que fica doente pela enfermidade é $\frac{15}{100}$ e dos que ficam doentes, a proporção que morre é $\frac{8}{100}$. Logo, a proporção de população que morre pela doença é $\frac{15}{100} \times \frac{8}{100}$, que corresponde a + +$$ +\frac{15 \times 8}{100^{2}}=\frac{120}{10000}=\frac{12}{1000}=\frac{1,2}{100}=1,2 \% +$$ + +A opção correta é (a). + +7. Agenda de aulas - Se a aula da manhã é segunda ou sexta (em qualquer dos três horários), então o dia da aula de tarde pode ser escolhida de 3 formas diferentes (em qualquer dos dois horários), assim temos $2 \times 3 \times 3 \times 2=36$ formas diferentes de escolher o horário. No caso em que a aula de manhã seja sábado então o dia da aula da tarde pode ser qualquer dia de segunda a quinta, assim temos $3 \times 4 \times 2=24$ possíveis formas. Por último, se a aula da manhã +é terça, quarta ou quinta, então a aula da tarde só pode ser escolhida de duas formas, assim temos $3 \times 3 \times 2 \times 2=36$ formas. Logo a Eliana pode escolher seu horário de $36+24+36=96$ formas distintas. +8. Jogo de Cartas - A estratégia abaixo permite realizar o jogo com 17 movimentos. + +O primeiro número indica a pilha sobre a qual a carta é tomada e o segundo a pilha onde a carta é colocada, por exemplo: Movimento $1=$ pegar a carta superior na Pilha 4 e colocar na Pilha 2. + +| $(1) 4$ sobre 2 | $(2) 4$ sobre 3 | $(3) 4$ sobre 2 | $(4) 3$ sobre 4 | $(5) 3$ sobre 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $(6) 1$ sobre 4 | $(7) 3$ sobre 4 | $(8) 1$ sobre 3 | $(9) 1$ sobre 4 | $(10) 2$ sobre 1 | +| $(11) 2$ sobre 4 | $(12) 2$ sobre 3 | $(13) 2$ sobre 1 | $(14) 2$ sobre 1 | $(15) 4$ sobre 2 | +| $(16) 4$ sobre 2 | $(17) 4$ sobre 2 | | | | + +O movimento 2 poderia ser também 4 sobre 1, o movimento 4 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 5 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 6 poderia ser 3 sobre 4. Os movimentos 4, 5 e 6 poderiam ser permutados em qualquer ordem. Teríamos assim, pelo menos, seis maneiras de se realizar o jogo com 17 movimentos. + +Esse jogo pode ser realizado com um número menor de movimentos? + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c66140e044e5c7425bc57a656369d543023c1970 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N1.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# Lista 3 + +1. Comparação de números - Escreva em ordem crescente os números: $\sqrt{121}$, $\sqrt[3]{729}$ e $\sqrt[4]{38416}$. +2. As moedas - Uma brincadeira começa com 7 moedas alinhadas em cima de uma mesa, todas com a face coroa virada para cima. Para ganhar a brincadeira é preciso virar algumas moedas de modo que no final duas moedas vizinhas estejam sempre com faces diferentes viradas para cima. A regra da brincadeira é: em cada jogada tem-se que virar duas moedas vizinhas. Quantas jogadas, no mínimo, são necessárias para ganhar a brincadeira? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-1.jpg?height=128&width=843&top_left_y=1318&top_left_x=618) + +3. O preço do frango - O preço do quilo de frango era $R \$ 1,00$ em janeiro de 2000 e começou a triplicar a cada 6 meses. Quando ele atingirá $R \$ 81,00$ ? +(a) 1 ano +(b) 2 anos +(c) $21 / 2$ anos +(d) 13 anos +(e) $131 / 2$ anos +4. Excursões a Foz do Iguaçu - Em 2005, uma agência de turismo programou uma excursão para a Foz do Iguaçu, distribuindo as pessoas em ônibus de 27 lugares, tendo sido necessário formar um ônibus incompleto com 19 lugares. Em 2006, aumentou em 53 o número de participantes e continuou a utilizar ônibus de 27 de lugares. Quantos ônibus a mais foram necessários e quantas pessoas ficaram no ônibus incompleto em 2006? +5. As frações de Laura - Laura desenhou 5 círculos dentro dos quais ela quer colocar números. Ela coloca os círculos afim de formar uma fração e seu valor inteiro. + +De quantas maneiras Laura colocou os números 2, 3,5,6 e 11 dentro dos círculos para que a igualdade seja verdadeira? + +6. Cálculo da unidade - Qual é o algarismo da unidade do produto + +$$ +(5+1)\left(5^{3}+1\right)\left(5^{6}+1\right)\left(5^{12}+1\right) ? +$$ + +(a) 0 +(b) 1 +(c) 2 +(d) 5 +(e) 6 + +7. Números cruzados - Francisco escreveu 28 algarismos numa tabela $6 \times 6$ e pintou de preto algumas casas, como nas palavras cruzadas. Ele fez uma lista de todos os números que podem ser lidos horizontalmente ou verticalmente, excluindo os números de um só algarismo. Veja a lista: + +| 28 | 45 | 51 | 57 | 72 | 88 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 175 | 289 | 632 | 746 | 752 | 805 | +| 885 | 5647 | 5873 | 7592 | 8764 | | + +Preencha a tabela escrevendo os números dados. Um algarismo já foi colocado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-2.jpg?height=329&width=331&top_left_y=2234&top_left_x=971) + +8. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $10 \%$ e o da maçã subiu $2 \%$. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs? +(a) $2 \%$ +(b) $4 \%$ +(c) $10 \%$ +(d) $12 \%$ +(e) $12,2 \%$ + +## Soluções da Lista 3 + +1. Comparação de números - Fatorando os números e extraindo as raízes temos: + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{121}=\sqrt{11^{2}}=11 \\ +& \sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{9^{3}}=9 \\ +& \sqrt[4]{38416}=\sqrt[4]{2^{4} \times 7^{4}}=2 \times 7=14 +\end{aligned} +$$ + +Logo, em ordem crescente temos: $\sqrt[3]{729}, \sqrt{121}, \sqrt[4]{38416}$. + +2. As moedas - Se damos o valor de 1 às coroas e -1 às caras e somamos os resultados depois de cada jogada, inicialmente a brincadeira começa com 7 como soma e temos que chegar a cara e coroa alternadas, logo a brincadeira termina em 1 ou -1. Observamos que em cada passo da brincadeira temos as seguintes possibilidades: trocamos duas coroas por duas caras e o valor da soma diminui em 4; trocamos uma cara e uma coroa por uma coroa e uma cara e o valor da soma fica inalterado ou trocamos duas caras por duas coroas e o valor da soma aumenta em 4. Portanto, é impossível de 7 como soma inicial chegar a 1, mas é possível chegar a -1 , isto é, 4 caras e 3 coroas. Como precisamos obter 4 caras não consecutivas, então precisamos de pelo menos 4 jogadas. As 4 jogadas se ilustram no seguinte desenho: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-4.jpg?height=622&width=808&top_left_y=1962&top_left_x=701) + +3. O preço do frango - Como $81=3^{4}$, então o valor do franco triplicou 4 vezes, o número de meses transcorridos foi $4 \times 6=24$ meses, isto é, 2 anos, ou seja, em janeiro de 2002 o frango atingirá o preço proposto. A opção correta é (b). +4. Excursões a Foz do Iguaçu - Temos um ônibus com $27-19=8$ lugares livres e ainda precisamos acomodar os $53-8=45$ participantes em ônibus de 27 lugares. É claro que um ônibus não é suficiente, logo precisamos de 2 ônibus e vamos ter $2 \times 27-45=9$ lugares livres no último ônibus. Ficaram 18 pessoas no ônibus incompleto. +5. As frações de Laura - Como a fração é igual a um número inteiro, o seu numerador tem que ser um múltiplo do seu denominador. Vamos testar todas as possibilidades e escolher as que satisfazem as condições do problema: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{3+5+6}{2}=7 ; \frac{3+11+6}{2}=10 ; \frac{5+11+6}{2}=11 \longrightarrow \text { não satisfazem } \\ +& \frac{2+5+11}{3}=6 \quad \longrightarrow \quad \text { satisfaz } \\ +& \frac{3+6+11}{5}=4 \quad \longrightarrow \quad \text { não satisfaz } \\ +& \frac{2+5+11}{6}=3 \quad \longrightarrow \quad \text { satisfaz } \\ +& \frac{2+3+6}{11}=1 \quad \longrightarrow \quad \text { não satisfaz. } +\end{aligned} +$$ + +Assim temos duas respostas: + +$$ +\frac{(2)+(5)+(11)}{(3}=6 \quad \frac{(2)+(5)+(11)}{6}=(3 +$$ + +6. Cálculo da unidade - O algarismo da unidade de qualquer potência de 5 é 5 , segue que o algarismo da unidade de cada fator do produto é $5+1=6$. Mas, $6 \times 6=36$, ou seja, o produto de dois números terminados em 6 é também um número que termina em 6. Logo, o algarismo da unidade desse produto é 6. A opção correta é (e). + +## 7. Números cruzados - + +| 5 | 2 | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 8 | 5 重 | | | +| 5 7 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-6.jpg?height=56&width=73&top_left_y=1223&top_left_x=1067) | 1 | | 5 | +| 6 3 | 2 | | | | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_04afcf84596e2b884570g-6.jpg?height=65&width=92&top_left_y=1328&top_left_x=985) | 8 | 7 | | 4 | +| 7 5 | 9 | | | | + +8. Ovos e maçãs - Suponhamos, inicialmente, que uma dúzia de ovos custava $R \$ 1,00$. Assim, 10 maçãs também custavam $R \$ 1,00$. Como o preço dos ovos subiu $10 \%$, o novo valor dos ovos é $R \$ 1,10$. O preço das maçãs diminuiu $2 \%$, logo o novo preço das maçãs é $R \$ 0,98$. + +Assim, antes gastava-se 2 reais na compra de 1 dúzia de ovos e 10 maçãs, agora gasta-se $1,10+0,98=2,08$. Daí temos que o aumento foi de $R \$ 0,08$, que corresponde ao percentual: + +$$ +\frac{0,08}{2}=0,04=\frac{4}{100}=4 \% +$$ + +A opção correta é (b). + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3187561ada593205a1fd6c7a483da0b2ef60d5f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N2.md @@ -0,0 +1,174 @@ +# Lista 3 + +1. Quatro números inteiros - Se quatro inteiros positivos distintos $m, n, p$ e $q$ satisfazem a equação + +$$ +(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4 +$$ + +então a soma $m+n+p+q$ é igual a: +(a) 10 +(b) 21 +(c) 24 +(d) 26 +(e) 28 + +2. As páginas do dicionário - Para numerar as páginas de um dicionário, imprimiu-se 1988 vezes o algarismo 1. Quantas páginas tem esse dicionário? +3. Soma de potências de 2 - Determine um valor de $n$ para o qual o numero $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ seja um quadrado perfeito. +4. Reverso de um número - O reverso de um número inteiro de dois algarismos é o número que se obtém invertendo a ordem de seus algarismos. Por exemplo, 34 é o reverso de 43. Quantos números existem que somados ao seu reverso dão um quadrado perfeito? +5. Ângulos externos de um triângulo - Dados os ângulos de $150^{\circ}$ e $160^{\circ}$, indicados na figura, calcule os valores dos ângulos $x, y$ e $z$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_295f60edfddf0933da33g-1.jpg?height=540&width=665&top_left_y=1829&top_left_x=1138) + +6. Uma brincadeira - É feita uma brincadeira com quatro números inteiros da seguinte maneira: some três desses números, divida essa soma por 3 e o +resultado some com o quarto número. Existem quatro formas de fazer esta brincadeira, obtendo os seguintes resultados: 17, 21, 23 e 29. Qual é o maior dos quatro números? +7. Ovos e maçãs - Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $2 \%$ e o da maçã subiu 10\%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maças? +(a) $2 \%$ +(b) $4 \%$ +(c) $10 \%$ +(d) $12 \%$ +(e) $12,2 \%$ +8. Dividir um cubo - Se dividirmos um cubo de $1 \mathrm{~m}$ de aresta em cubinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de aresta, que altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima do outro? +(a) $1 \mathrm{~m}$ +(b) $1 \mathrm{~km}$ +(c) $10 \mathrm{~km}$ +(d) $100 \mathrm{~km}$ +(e) $1000 \mathrm{~km}$ + +## Soluções da Lista 3 + +1. Quatro números inteiros - Como $m, n, p$ e $q$ são inteiros, então $7-m$, $7-n, 7-p$ e $7-q$ também são inteiros. Agora, + +$$ +4=(-1) \times(-2) \times 1 \times 2 +$$ + +é a única decomposição de 4 em um produto de números inteiros distintos. Segue que + +$$ +(7-m)+(7-n)+(7-p)+(7-q)=(-1)+(-2)+1+2 +$$ + +e daí obtemos $m+n+p+q=28$. A opção correta é (e). + +## 2. As páginas do dicionário - Observemos que: + +- a cada 10 números imprime-se 1 vez o 1 nas unidades, +- a cada 100 números imprime-se 10 vezes o 1 nas dezenas, +- a cada 1000 números imprime-se 100 vezes o 1 nas centenas. + +Assim, de 1 até 999 imprime-se o número 1: + +100 vezes nas unidades +100 nas dezenas +100 nas centenas $=300$. + +De 1000 até 1999, imprime-se o numero 1 outras 300 vezes entre as unidades, dezenas e centenas, e 1000 vezes na posição dos milhares, portanto entre 1 e 1999 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: $300+300+1000=1600$. + +Agora entre 2000 e 2999 imprime-se o 1 mais 300 vezes, completando $1600+$ $300=1900$. + +De 3000 a 3099 temos 20 algarismos 1, de 3100 a 3119, temos 40 algarismos 1 e de 3120 a 3139 temos 22 algarismos, portanto até 3139 o numero de vezes que imprime-se o 1 é: $1900+20+40+22=1982$ vezes. Como faltam 6 algarismos 1, o número de páginas do livro é 3144. + +3. Soma de potências de 2 - Observe que + +$$ +2^{8}+2^{11}+2^{n}=\left(2^{4}\right)^{2}+2 \times 2^{4} \times 2^{6}+\left(2^{\frac{n}{2}}\right)^{2} +$$ + +Logo, se $n=12$, temos + +$$ +2^{8}+2^{11}+2^{12}=\left(2^{4}+2^{6}\right)^{2} +$$ + +Logo $n=12$ é uma solução. + +Solução Geral: $\operatorname{Se} 2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}$, então: + +$$ +\begin{aligned} +2^{8}+2^{3} \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\ +9 \times 2^{8}+2^{n} & =k^{2} \\ +2^{n} & =k^{2}-\left(3 \times 2^{4}\right)^{2} \\ +2^{n} & =\left(k-3 \times 2^{4}\right)\left(k+3 \times 2^{4}\right) +\end{aligned} +$$ + +Logo, $\left(k-3 \times 2^{4}\right)$ e $\left(k+3 \times 2^{4}\right)$ são potências de 2 , ou seja: + +$$ +k+3 \times 2^{4}=2^{a}, k-3 \times 2^{4}=2^{b} \text { e } a+b=n +$$ + +Temos: + +$$ +2^{a}-2^{b}=\left(k+3 \times 2^{4}\right)-\left(k-3 \times 2^{4}\right)=3 \times 2^{5}=96 +$$ + +Examinemos a lista das potências de 2: + +$$ +1,4,8,16,32,64,128,256, \cdots +$$ + +Constatamos que $128-32=96$. Logo, $a=7, b=5$ e $n=12$. + +4. Reverso de um número - Denotemos por $a b \mathrm{e}$ ba o número e seu reverso. Temos que + +$$ +a b+b a=10 a+b+10 b+a=11(a+b) +$$ + +Por outro lado, $a \leq 9$ e $b \leq 9$, logo, $a+b \leq 18$. Como 11 é um número primo e $a+b \leq 18$, para que $11(a+b)$ seja um quadrado perfeito, só podemos ter $a+b=11$. + +Assim, temos 8 números satisfazendo a condição do + +Lembrete: números de dois algarismos onde $a$ é o algarismos das dezenas e $b$ o das unidades são da forma + +$10 \times a+b$. + +Ex: $47=4 \times 10+7$ + +problema: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92. + +5. Ângulos externos de um triângulo - Observemos que os ângulos $y, 150^{\circ}$ e $160^{\circ}$ são ângulos externos de um triângulo, logo + +$$ +y+150^{\circ}+160^{\circ}=360^{\circ} +$$ + +Assim $y=50^{\circ}$. Pela mesma razão concluímos que $z=50^{\circ}$. Como $x, y$ e $z$ são ângulos internos de um triângulo então $x+y+z=180^{\circ}$, portanto $x=80^{\circ}$. + +6. Uma brincadeira - Sejam $a, b, c$ e $d$ os números procurados. São dados os números + +$$ +\frac{a+b+c}{3}+d, \frac{a+b+d}{3}+c, \frac{a+c+d}{3}+b \mathrm{e} \frac{b+c+d}{3}+a +$$ + +mas não sabemos a ordem deles. Como + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a+b+c}{3}+d+\frac{a+b+d}{3}+c+\frac{a+c+d}{3}+b+\frac{b+c+d}{3}+a & =2(a+b+c+d) \\ +& =17+21+23+29 +\end{aligned} +$$ + +Logo, + +$$ +2(a+b+c+d)=90 \Longrightarrow a+b+c+d=45 +$$ + +Agora, seja $d$ o maior dentre os números $a . b, c$ e $d$. Assim, + +$$ +d=29-\frac{a+b+c}{3}=29-\frac{45-d}{3} \Longrightarrow d=21 +$$ + +7. Ovos e maçãs - Podemos supor que o preço inicial de uma dúzia de ovos é $R \$ 1,00$, assim 10 maças também custa $R \$ 1,00$. Como o preço do ovo caiu $2 \%$, então o novo valor de uma dúzia de ovos é $R \$ 0,98$. O preço das maças subiu $10 \%$, logo o novo preço das 10 maças é $R \$ 1,10$. Assim antes gastava-se $R \$ 2,00$ na compra dos ovos e das maças e agora gasta-se $0,98+1,10=2,08$ reais. Logo, o aumento foi de $R \$ 0,08$, que corresponde a $\frac{0,08}{2} \times 100 \%=4 \%$. A opção correta é (b). +8. Dividir um cubo - Convertendo metros em milímetros temos: $1 \mathrm{~m}=$ $1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o cubo ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ cubinhos de lado $1 \mathrm{~mm}$ cada um. Colocando-se lado a lado os $10^{6}$ cubinhos, teremos uma coluna de comprimento + +$$ +1000 \times 1000=10^{6} \mathrm{~mm}=10^{6} \times 10^{-3} \mathrm{~m}=10^{3} \mathrm{~m}=1 \mathrm{~km} +$$ + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99cc53c574997149683512587cb3d04c8cbf24fa --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L3_N3.md @@ -0,0 +1,158 @@ +# Lista 3 + +1. Frações inteiras - Quantos números inteiros positivos $n$ existem tais que $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ é um inteiro? +2. Quatro prefeitos e um círculo - Quatro prefeitos decidem construir uma rodovia circular que passe em suas cidades, entretanto, as quatro cidades não estão sobre um mesmo círculo. Eles contratam uma empresa para elaborar um projeto para a construção da rodovia circular eqüidistante das quatro cidades. Qual o maior número de projetos geograficamente distintos que a empresa elaborou? +3. Fatoriais - Se $n$ é um número natural, denotamos por $n$ ! o produto de todos os inteiros de 1 a $n$. Por exemplo: $5!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$ e 13 ! $=$ $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 12 \times 13$. Por convenção, $0!=1$. Encontre três números inteiros diferentes $a, b$ e $c$, entre 0 e 9 tais que o número de tr ês algarismos $a b c$ é igual a $a!+b!+c!$. +4. Para a escola de bicicleta - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo horário e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às $4: 30$ horas da tarde. Se ela pedalar a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às 5 : 15 horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em casa às $17: 00$ horas? +5. O Riquinho - Riquinho distribuiu $R \$ 1000,00$ reais entre os seus amigos: Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real +ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo, etc. Quanto que o Bernardo recebeu? +6. Retângulo com dimensões inteiras - As diagonais de um retângulo medem $\sqrt{1993} \mathrm{~cm}$. Quais são suas dimensões, sabendo que elas são números inteiros? +7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Escreve-se em ordem crescente cada múltiplo de 3 cuja soma com o número 1 é um quadrado perfeito: + +$$ +3 ; \quad 15 ; \quad 24 ; 48 ; \quad \ldots +$$ + +Qual é o múltiplo na posição $2006^{\circ}$ ? + +8. Cinco cartas - As cinco cartas abaixo estão sobre uma mesa, e cada uma tem um número numa face e uma letra na outra. Simone deve decidir se a seguinte frase é verdadeira: "Se uma carta tem uma vogal numa face, então ela tem um número par na outra." Qual o menor número de cartas que ela precisa virar para decidir corretamente? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-2.jpg?height=172&width=708&top_left_y=1987&top_left_x=794) + +## Soluções da Lista 3 + +1. Frações inteiras - Como + +$$ +\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}=\frac{2}{3} \frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)+8}{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 n+2+\frac{16}{n+1}\right) +$$ + +segue que $n+1$ tem que dividir 16. Assim, $n$ tem que pertencer ao conjunto $\{1,3,7,15\}$. Em cada um destes casos temos + +| $n$ | $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ | +| :---: | :---: | +| 1 | 4 | +| 3 | 4 | +| 7 | 6 | +| 15 | 11 | + +Portanto para os quatro valores de $n, 1,3,7$ e 11 , tem- se que $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ é um inteiro. + +2. Os prefeitos e o círculo - O número de rodovias é igual ao número de pontos que podem ser centros da circunferência formada pelas rodovias. + +Observemos por outra parte que podemos ter dois tipos de configuração. $\mathrm{Na}$ primeira configuração a circunferência divide o conjunto das 4 cidades em dois conjuntos: um conjunto com 3 cidades e outro com una cidade. Na segunda configuração a circunferência divide o conjunto das cidades, em dois conjuntos, cada um deles com 2 cidades. + +Nas figuras abaixo está ilustrado um exemplo de cada um destas configurações onde a circunferência contínua é a rodovia planejada. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-4.jpg?height=436&width=898&top_left_y=372&top_left_x=680) + +Na primeira configuração temos que o centro da circunferência está na mesma distância das três cidades que ficam do mesmo lado da rodovia e assim o centro desta rodovia é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas três cidades. Logo, o número de rodovias é igual ao número de triângulos que podemos formar com as 4 cidades, isto é, 4 possíveis rodovias. + +Na segunda configuração, temos que o centro da circunferência formada pela rodovia esta sobre a mediatriz das duas cidades que ficam na parte interna da rodovia e também sobre a mediatriz das duas cidades que ficam na parte externa da rodovia. Assim, o número de rodovias é igual ao número de formas de dividir o conjunto de 4 elementos em dois conjuntos com 2 elementos cada um, isto é 3 formas. + +Logo o número possível de projetos é $4+3=7$. + +3. Fatoriais - Primeiramente observe que como o n úmero tem 3 algarismos, então o maior dos algarismos tem que ser menor que ou igual a 6 , já que $7!>1000$. Como o número tem que ter 3 algarismos e $4!=1 \times 2 \times 3 \times 4=12$ então um dos algarismos tem que ser 5 ou 6 , mas $6!=720$ implicaria que a soma teria um algarismo maior ou igual a 7 , logo o maior dos algarismos é 5 . Por outra parte, $5!=120$ e $5!+4!+3!=120+24+6=150$, assim a soma dos fatoriais está entre 100 e 150, portanto o algarismo das centenas é 1 . Por último como $5!+1!+4!=145$, então 145 é solução. +4. Para a escola de bicicleta - Seja $t$ o tempo que ela gasta pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Pedalando a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela faz o percurso no dobro do tempo que pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, isto é $2 t$. No entanto, como ela demora 45 minutos a mais temos: + +$$ +2 t-t=45 \Longrightarrow t=45 \mathrm{~min} +$$ + +Logo, diariamente ela sai da escola às + +$$ +4: 30 h-45 \min =3: 45 h +$$ + +e o percurso até em casa é de + +$$ +45 \mathrm{~min} \times 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{3}{4} \times 20=15 \mathrm{~km} +$$ + +Para percorrer $15 k m$ em $5: 00 h-3: 45 h=1: 15 h=\frac{5}{4} h$, ela deve manter uma velocidade de + +$$ +\frac{15 k m}{\frac{5}{4} h}=12 k m / h +$$ + +5. O Riquinho - O dinheiro foi repartido em parcelas na forma + +$$ +1+2+3+\cdots+n \leq 1000 +$$ + +Como $1+2+3+\cdots+n$ é a soma $S_{n}$ dos $n$ primeiros números naturais a partir de $a_{1}=1$ temos: + +$$ +S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}=\frac{(1+n) n}{2} \leq 1000 \Longrightarrow n^{2}+n-2000 \leq 0 +$$ + +Temos que + +$$ +n^{2}+n-2000<0 \quad \text { para valores de } n \text { entre as raízes } +$$ + +Como a solução positiva de $n^{2}+n-2000=0$ é + +$$ +n=\frac{-1+\sqrt{1+8000}}{2} \simeq 44,22 +$$ + +então $n \leq 44$. Assim Bernardo recebeu + +$$ +2+5+8+11+\cdots+44=\frac{(44+2) \cdot 15}{2}=23 \cdot 15=345 +$$ + +6. Retângulo com dimensões inteiras - Se $a \geq b$ são os comprimentos dos lados do retângulo, então pelo teorema de Pitágoras temos + +$$ +a^{2}+b^{2}=1993 +$$ + +Como $a^{2} \geq b^{2}$, segue que + +$$ +2 a^{2} \geq a^{2}+b^{2}=1993>a^{2} +$$ + +Logo, + +$$ +\sqrt{1993}>a \geq \sqrt{996,5} +$$ + +Assim, $44 \geq a \geq 32$. Usando o fato que $a^{2}-(a-1)^{2}=2 a-1$ podemos completar a seguinte tabela, somando aos elementos da segunda coluna na linha $a-1$ o número $2 a-1$ para obter o elemento da segunda coluna na linha $a$. + +| $a$ | $b^{2}=1993-a^{2}$ | +| :---: | :---: | +| 44 | 57 | +| 43 | 144 | +| 42 | 229 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | + +Assim, temos que $a=43$ e $b=12$ é solução. + +7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Chamemos $a$ um número qualquer da lista, então sabemos que: + +- $a$ é múltiplo de 3 +- $a+1$ é um quadrado: $a+1=k^{2}$, sendo $k$ um número natural. + +Assim $a=k^{2}-1$, e logo + +$$ +a=(k-1)(k+1) +$$ + +Como $a$ é divisível por 3 , então ou $k+1$ ou $k-1$ é divisível por 3 . Logo, $k$ não é divisível por 3 , portanto, $k$ tem que ser da forma $3 n+1$ ou $3 n+2$, ou seja para cada valor de $n$ temos dois números que não são múltiplos de 3 . + +O número desta lista que está na posição 2006 é $2006 \times \frac{3}{2}-1=3008$, e neste caso $a=3008^{2}-1$. + +## 8. Cinco cartas - + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-7.jpg?height=169&width=690&top_left_y=1389&top_left_x=700) + +Ela não precisa virar a carta que tem o número 2 , porque sendo vogal ou consoante, ela cumpre a condição, de igual forma. Ela também não precisa virar a carta com a letra M. A carta que tem o número 3 tem que ser virada, para comprovar que na outra face tem uma consoante, e também as cartas com a letra $\mathbf{A}$ e a letra $\mathbf{E}$ têm que ser viradas para verificar que os números na outra face são pares. Assim, ela precisa virar somente 3 cartas. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8b0f8d13b823e2643d1b9ce496f80ed723b2416 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N1.md @@ -0,0 +1,150 @@ +# Lista 4 + +1. Divisão de números decimais - Sabendo que $144 \times 177=25488$ podemos concluir que $254,88 \div 0,177$ é igual a +(a) 1440 +(b) 14,4 +(c) 1,44 +(d) 0,144 +(e) 144 +2. Cálculo de porcentagem - Num teste com 84 questões se você acerta 58/84 das questões, então qual é o seu percentual de acertos? +3. Almoço dos amigos - Júlio e Denise almoçaram num restaurante que oferece três tipos de prato e três tipos de vitamina, cujos preços estão na tabela ao lado. Cada um escolheu um prato e uma vitamina. Júlio gastou 6 reais a mais do que Denise. Quanto Denise gastou? + +| | $R \$$ | +| :--- | :---: | +| prato simples | 7 | +| prato com carne | 11 | +| prato com peixe | 14 | +| vitamina de leite | 6 | +| vitamina de frutas | 7 | +| vitamina especial | 9 | + +4. Adição de inteiros positivos - Encontre quatro números inteiros distintos e maiores do que 0 tais que somados de três em três dão $6,7,8$ e 9 . +5. O passeio do Jorge - Jorge passeia por um caminho em forma de retângulo, onde estão dispostas doze árvores com $5 \mathrm{~m}$ de distância entre duas consecutivas. Jorge brinca de tocar cada árvore durante seu passeio. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-1.jpg?height=280&width=460&top_left_y=2027&top_left_x=1278) + +Primeiro ele toca a árvore do canto, assinalada com $\mathrm{P}$ na figura, e percorre 32 metros num mesmo sentido; aí ele volta 18 metros e depois torna a andar para frente mais 22 metros. Em quantas árvores ele tocou? + +6. A descoberta do algarismo - Os quadrados dos números naturais de 1 a 99 foram escritos um após o outro, formando o número 14916253649 ... Qual é o algarismo que ocupa a $100^{a}$ posição? (As posições são contadas da esquerda para a direita: a $1^{\underline{a}}$ posição é o 1 , a $2^{\underline{a}}$ é o 4 , etc.) +7. $\boldsymbol{O B M E P}$ - Cada um dos 7 discos $\mathrm{X}, \mathrm{Z}, \mathrm{O}, \mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{E}, \mathrm{P}$ tem um peso diferente, de $1 g$ a $7 g$. Nas interseções dos discos indicamos a soma dos pesos desses dois discos. Qual é a soma dos pesos dos cinco discos O, B, M, E, P ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-2.jpg?height=375&width=603&top_left_y=1206&top_left_x=858) + +8. Prédio misterioso - As figuras mostram as plantas do $1^{\varrho}$ e $2^{o}$ andares de um prédio que guarda segredos muito perigosos. Os 9 elevadores estão representados por letras e em cada letra podemos pegar o elevador ou continuar. Qual o caminho mais curto da entrada até a saída? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-2.jpg?height=382&width=1050&top_left_y=2104&top_left_x=593) + +## Soluções da Lista 4 + +1. Divisão de números decimais - Efetuando a divisão temos: + +$$ +\frac{254,88}{0,177}=\frac{254880}{177}=\frac{144 \times 177 \times 10}{177}=1440 +$$ + +2. Cálculo de porcentagem - A divisão de 58 por 84 é: $58 \div 84=0,69047 \ldots$ Multiplicando por 100 temos que o percentual de acertos é $0,69047 \times 100=$ $69,047 \%$, que é aproximadamente $69 \%$. +3. Almoço dos amigos - Os preços de um prato mais uma vitamina são: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-3.jpg?height=109&width=891&top_left_y=1393&top_left_x=591) + +Dentre esses, os que diferem de 6 são: 14 e 20 ou 17 e 23. Logo, temos duas soluções: Denise pode gastar $7+7=14$ e Júlio $14+6=11+9=20$ ou Denise gasta $11+6=17$ e Júlio $14+9=23$. + +## 4. Adição de inteiros positivos - + +Solução 1 - Inicialmente observe que se a maior soma de três desses números é 9 , então todos os números têm que ser menores do que 7 , ou seja: + +$$ +1,2,3,4,5,6 +$$ + +Por outro lado, se a menor soma é 6 , então eles têm que ser menores do que 5 , logo restam: + +$$ +1,2,3,4 +$$ + +Verificamos que esses são os números: + +$$ +1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8,2+3+4=9 +$$ + +Solução 2 - Somando de três em três quatro números $a, b, c$ e $d$ temos os números $a+b+c, a+b+d, a+c+d$ e $b+c+d$. Logo, + +$6+7+8+9=(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)=3(a+b+c+d)$. + +Donde, $a+b+c+d=\frac{30}{3}=10$. Portanto, os números procurados são + +$$ +10-6=4 \quad ; \quad 10-7=3 \quad ; \quad 10-8=2 \quad ; \quad 10-9=1 +$$ + +5. O passeio do Jorge - As figuras ilustram o percurso que Jorge fez: + +- caminhando $32 m$ no início, ele toca em 7 árvores e pára a $2 m$ da última que tocou; +- voltando $18 m$, ele toca em 4 árvores e pára a $1 m$ da última que tocou; +- ao retornar os $22 m$ ele toca em 5 árvores e pára a $1 m$ da última que tocou. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-4.jpg?height=224&width=1374&top_left_y=1712&top_left_x=454) + +Assim, ele tocou em $7+4+5=16$ árvores. + +6. A descoberta do algarismo - Separando os números cujos quadrados têm 1,2 e 3 algarismos temos: + +1 algarismo: $1,2,3$ + +2 algarismos: $4,5,6,7,8,9$ + +3 algarismos: $10,11,12, \ldots, 31$ + +Até $31^{2}$ a seqüência tem $3+12+66=81$ algarismos. + +$$ +\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }} +$$ + +Assim, faltam $100-81=19$ algarismos para o $100^{\varrho}$. Como $19=4 \times 4+3$, teremos mais 4 números de 4 algarismos cada um, que são $32^{2}, 33^{2}, 34^{2}$ e $35^{2}$, e mais os 3 algarismos (milhar, centena, dezena) do número: $36^{2}=1296$. + +$$ +\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }}, \underbrace{32^{2}, 33^{2}, 34^{2}, 35^{2}}_{4 \times 4=16 \text { algs }}, 12 \underbrace{9}_{100^{2} \text { alg }} 6 +$$ + +Logo, o número é 9 . + +## 7. $O B M E P$ - Como + +peso de $X+$ peso de $O=13$ e peso de $Z+$ peso de $O=9$, + +segue que + +$$ +\text { peso de } X=\text { peso de } Z+4 +$$ + +Logo, as opções para os pesos de $Z$ e de $X$ são: + +$$ +1 \text { e } 5, \quad 2 \text { e } 6, \quad 3 \text { e } 7 +$$ + +Por outro lado, temos: + +$$ +\text { peso de } M+\text { peso de } P=6 \quad \text { e peso de } B+\text { peso de } E=6 +$$ + +Logo, os pesos de $M, P, B$ e $E$ são todos menores do que 6 , ou seja: + +$$ +1,2,3,4,5 +$$ + +Além disso, nenhum deles pode ter peso $3 g$. + +Concluímos que os pesos de $Z$ e de $X$ são 3 e 7 , o que nos dá o peso de $O$ igual a 6. Assim, temos: + +peso de $O+$ peso de $B+$ peso de $E+$ peso de $M+$ peso de $P=6+6+6=18$. + +8. Prédio misterioso - Primeiro observamos que os elevadores $A, C, D, E$, $F$ e $H$ conduzem a quartos fechados em algum dos dois andares e, portanto, não levam à saída. Assim, desconsiderando os elevadores mencionados, nosso desenho de elevadores úteis é o seguinte +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_31838da74537f7019fc7g-6.jpg?height=392&width=1080&top_left_y=728&top_left_x=583) + +Assim, o caminho adequado fica evidente: primeiro pegar o elevador $B$, depois o $J$ e por último o $G$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82a48531a2688b18d2dba7ec76f0721c61e6ad70 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N2.md @@ -0,0 +1,200 @@ +# Lista 4 + +1. Uma expressão - A expressão $\frac{a^{-2}}{a^{5}} \times \frac{4 a}{\left(2^{-1} a\right)^{-3}}$ onde $a \neq 0$, é igual a: +(a) $\frac{a^{3}}{2}$ +(b) $\frac{2}{a^{3}}$ +(c) $\frac{1}{2 a^{3}}$ +(d) $\frac{a^{5}}{2}$ +(e) $\frac{2}{a^{5}}$ +2. Uma igualdade - Os números $a$ e $b$ são inteiros positivos e satisfazem $96 a^{2}=b^{3}$. Qual é o menor valor de $a$ ? +3. O retângulo do Luís - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$, e quer dividí-lo em quatro partes. Cada parte deve ter de área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}, 12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão. +4. Somas de 3 em 3 - Encontre quatro números inteiros que somados de três em três dão $6,7,8$ e 9 . +5. Uma fábrica de blusas - Uma fábrica produz blusas a um custo de $R \$ 2,00$ por unidade além de uma parte fixa de $R \$ 500,00$. Se cada unidade produzida é comercializada a $R \$ 2,50$, a partir de quantas unidades produzidas a fábrica obtém lucro? +(a) 250 +(b) 500 +(c) 1000 +(d) 1200 +(e) 1500 +6. Existência de triângulos - Qual dos seguintes triângulos não pode existir? + +(a) triângulo agudo isósceles + +(b) triângulo retângulo isósceles +(c) triângulo retângulo obtusângulo + +(d) triângulo retângulo escaleno + +(e) triângulo escaleno obtusângulo + +7. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a figura. Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-2.jpg?height=320&width=326&top_left_y=768&top_left_x=1393) + +8. O colar - Um colar é composto de pérolas grandes e pérolas pequenas, num total de menos do que 500 pérolas. + +i - Se substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes por pequenas, o peso do colar diminui de $60 \%$. + +ii - Se substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas por grandes, o peso do colar aumenta de $70 \%$. + +Quantas pérolas tem o colar? + +## Soluções da Lista 4 + +1. Uma expressão - Temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a^{-2}}{a^{5}} \times \frac{4 a}{\left(2^{-1} a\right)^{-3}} & =a^{-2-5} \times \frac{2^{2} a}{2^{3} a^{-3}} \\ +& =a^{-7} \times \frac{a^{1-(-3)}}{2} \\ +& =a^{-7} \times \frac{a^{4}}{2} \\ +& =\frac{a^{-7+4}}{2}=\frac{a^{-3}}{2}=\frac{1}{2 a^{3}} +\end{aligned} +$$ + +A opção correta é (c) + +2. Uma igualdade - Fatorando 96 temos: $2^{5} \times 3 \times a^{2}=b^{3}$. Para que $2^{5} \times 3 \times a^{2}$ seja um cubo, o numero $a$ deve ser da forma: $a=2^{n} \times 3^{m}$. Assim, + +$$ +2^{5} \times 3 \times a^{2}=2^{5} \times 3 \times\left(2^{n} \times 3^{m}\right)^{2}=2^{5+2 n} \times 3^{1+2 m}=b^{3} +$$ + +Logo, $5+2 n$ e $1+2 m$ são múltiplos de 3 . Os menores valores de $n$ e $m$ são: $n=2$ e $m=1$. Portanto, $a=2^{2} \times 3=12$. + +3. O retângulo do Luis - Como $24=4 \times 6$, então ele construiu o primeiro retângulo, tirando $4 \mathrm{~cm}$ do lado de $10 \mathrm{~cm}$, sobrando um quadrado de lado $6 \mathrm{~cm}$. Sendo $16=4 \times 4$, ele construiu um quadrado de lado $4 \mathrm{~cm}$ sobrando dois retângulos de áreas $(6-4) \times 4=8 \mathrm{~cm}^{2}$ e $(6-4) \times 6=12 \mathrm{~cm}^{2}$, como, por exemplo, a divisão mostrada na figura ao lado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-3.jpg?height=298&width=473&top_left_y=2121&top_left_x=1343) + +6 + +A seguinte configuração também é uma solução para o problema. + +| 4 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 24 | 12 | 16 | +| | | 8 | + +4. Somas de 3 em 3 - Sejam $a, b, c$ e $d$ os números procurados. São dados os números + +$$ +a+b+c, a+b+d, a+c+d \quad \text { e } \quad b+c+d +$$ + +$\log o$ + +$6+7+8+9=(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)=3(a+b+c+d)$. + +Assim, + +$$ +a+b+c+d=\frac{30}{3}=10 +$$ + +Note que cada numero é igual à diferença entre a soma dos quatro números e a soma dos outros três. Por exemplo: $c=(a+b+c+d)-(a+b+d)$. Logo, os números procurados são + +$$ +10-6=4 \quad, \quad 10-7=3 \quad, \quad 10-8=2 \quad \text { e } \quad 10-9=1 +$$ + +5. Uma fábrica de blusas - Denotemos por $x$ o número de unidades produzidas. Assim o custo de produção é $500+2 x$ reais. Pela venda o fabricante está recebendo $2,5 x$. Assim, ele terá lucro quando + +$$ +2,5 x>500+2 x +$$ + +isto é, $0,5 x>500$. Portanto $x>1000$. Logo, a opção correta é (c). + +6. Existência de triângulos - A soma dos três ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Logo, se um deles mede $90^{\circ}$, a soma dos outros dois é $90^{\circ}$, e por isso não podem ser maiores do que $90^{\circ}$. Portanto, não existem triângulos retângulos obtusângulos. Os seguintes exemplos de comprimentos de lados mostram que os outros casos podem ocorrer: +(a) $2,3,3 \quad$; +(b) $1,1, \sqrt{2}$; +(d) $3,4,5, \quad$; +(e) $3,4,6$. +7. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados como mostrado a seguir. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8935ac0233b397f8e8f1g-5.jpg?height=346&width=1398&top_left_y=1209&top_left_x=430) +8. $O$ colar - Sejam $n$ o número de pérolas grandes, $p$ o número de pérolas pequenas, $a$ o peso de uma pérola grande e $b$ o de uma pérola pequena. Com essa notação temos: + +- número total de pérolas no colar $=p+n$. Logo: $n+p<500$ +- peso das pérolas grandes $=n \times a$ +- peso das pérolas pequenas $=p \times b$ +- peso total do colar $=p b+n a$ + +Para equacionar o problema, vamos equacionar antes as duas hipóteses: + +i - Ao substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes pelas pequenas, o colar fica composto como + +$$ +\underbrace{30 \% \times n}_{\text {grandes }}+\underbrace{p+70 \% \times n}_{\text {pequenas }}=0,3 n+(p+0,7 n) +$$ + +e seu peso fica sendo + +$$ +\underbrace{0,3 n \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{(p+0,7 n) \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{0,4(n a+p b)}_{40 \% \text { do peso inicial }} +$$ + +ii - Analogamente, temos que ao substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas pelas grandes, o colar fica composto como + +$$ +\underbrace{n+60 \% \times p}_{\text {grandes }}+\underbrace{40 \% \times p}_{\text {pequenas }}=(n+0,6 p)+0,4 p +$$ + +e seu peso fica sendo + +$$ +\underbrace{(n+0,6 p) \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{0,4 p \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{1,7(n a+p b)}_{170 \% \text { do peso inicial }} +$$ + +Temos, então, o sistema: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +0,3 n a+0,7 n b+p b=0,4(n a+p b) \\ +n a+0,6 p a+0,4 p b=1,7(n a+p b) +\end{array}\right. +$$ + +Para resolvê-lo, começamos eliminando as incógnitas $a$ e $b$, escrevendo o sistema na seguinte forma: + +$$ +\left\{\begin{aligned} +\frac{7 n+6 p}{n} & =\frac{a}{b} \\ +\frac{-13 p}{7 n-6 p} & =\frac{a}{b} +\end{aligned}\right. +$$ + +Segue que + +$$ +\frac{7 n+6 p}{n}=\frac{-13 p}{7 n-6 p} \Longrightarrow 36 p^{2}-13 p n-49 n^{2}=0 +$$ + +Para fatorar essa expressão, escrevemos + +$$ +-13 p n=36 p n-49 p n +$$ + +e temos: + +$$ +\begin{aligned} +36 p^{2}-13 p n-49 n^{2} & =36 p^{2}+36 p n-49 p n-49 n^{2} \\ +& =p(36 p-49 n)+n(36 p-49 n) \\ +& =(36 p-49 n)(p+n) +\end{aligned} +$$ + +Finalmente: + +$$ +(36 p-49 n)(p+n)=0 +$$ + +Obtemos $36 p=49 n$, e como $p$ e $n$ são inteiros positivos, segue que $n$ é múltiplo de 36 e $p$ de 49. Assim temos: $n=36 k$ e $p=49 k^{\prime}$, onde $k$ e $k^{\prime}$ são inteiros maiores do que 1. Logo, + +$$ +36 \times 49 k^{\prime}=49 \times 36 k \Longrightarrow k=k^{\prime} +$$ + +Portanto, $n=36 k$ e $p=49 k$. Deduzimos que $n+p=85 k$. Como $n+p<500$, o colar só pode ter: $85,170,255,340$ ou 425 pérolas. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d70de456779ffe2212bd9555f1fa7f9716dbd52 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L4_N3.md @@ -0,0 +1,194 @@ +# Lista 4 + +1. Lucro de uma companhia - Uma companhia tem um lucro de $6 \%$ nos primeiros $R \$ 1000$, 00 reais de venda diária, e $5 \%$ em todas as vendas que excedem $R \$ 1000,00$ reais, nesse mesmo dia. Qual é o lucro dessa companhia num dia que as vendas alcançam $R \$ 6000,00$ reais? +(a) $R \$ 250$ +(b) $R \$ 300$ +(c) $\$ 310$ +(d) $R \$ 320$ +(e) $R \$ 360$ +2. Seqüência triangular - Qual é o $21^{\varrho}$ termo da seqüência + +$$ +1 ; 2+3 ; 4+5+6 ; 7+8+9+10 ; 11+12+13+14+15 ; \ldots ? +$$ + +3. O jardim octogonal - A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num papel quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados com uma roseira quadrada no centro, cercada de grama. A área total do jardim é de $700 \mathrm{~m}^{2}$. Para colocar uma cerca em volta do jardim e da roseira, o prefeito dispõe de no máximo + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-1.jpg?height=500&width=491&top_left_y=1383&top_left_x=1385) +$R \$ 650,00$. Qual o maior preço que ele poderá pagar pelo metro de cerca? + +4. Número de caracteres - Numa folha de papel cabem 100 caracteres na largura e 100 na altura. Nessa folha são escritos sucessivamente os números $1,2,3, \ldots$ com um espaço entre cada um. Quando no final de uma linha não há espaço para escrever um número este é escrito na linha seguinte. Qual é o ultimo número escrito na folha? +5. A árvore de Emilia - A árvore de Emília cresce de acordo com a seguinte regra: após 2 semanas do aparecimento de um galho, esse mesmo galho produz um novo galho a cada semana, e o galho original continua a crescer. A árvore tem 5 galhos depois de 5 semanas, como mostra a figura. Quantos galhos, incluindo o galho principal a árvore terá no final de 8 semanas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-2.jpg?height=468&width=394&top_left_y=474&top_left_x=1342) + +6. Um teste vocacional - Foi feito um teste vocacional em 1000 estudantes de uma escola. A tabela a seguir apresenta os resultados por área de estudo e sexo. + +| | Exatas | Humanas | Biológicas | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Masculino | 232 | 116 | 207 | +| Feminino | 112 | 153 | 180 | + +Se um aluno é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de: + +(a) Ser da área de exatas. + +(b) Ser da área de humanas, sendo do sexo masculino. + +(c) Ser do sexo feminino, dado que é da área biológica. + +7. Dois setores circular - A área do círculo da figura ao lado mede $20 \mathrm{~cm}^{2}$. Se $\widehat{A O B}=60^{\circ}$ e $\widehat{C O D}=30^{\circ}$, quanto mede a área da região do círculo que está tracejada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-2.jpg?height=372&width=409&top_left_y=2184&top_left_x=1326) + +8. Compra de televisores - Maria encomendou certo número de televisores a $R \$ 1994,00$ cada um. Ela reparou que no total a pagar, não tem nem 0 , nem 7 , nem 8 e nem 9. Qual foi o menor número de televisores que ela encomendou? + +## Soluções da Lista 4 + +1. Lucro de uma companhia - (c) Nos primeiros $R \$ 1000$ reais a companhia tem lucro de $R \$ 60$ reais, e para os $R \$ 5000$ reais restantes tem lucro de $5000 \times$ $5 \%=250$ reais. Logo o lucro da empresa nesse dia é $R \$ 310$ reais. +2. Seqüência triangular - Observe que o $21^{\circ}$ termo é a soma de 21 números consecutivos. Tomando a primeira parcela de cada termo, isto é, 1,2,4,7,11, $16, \ldots$, temos que + +$$ +\begin{aligned} +2 & =1+1 \\ +4 & =2+1+1 \\ +7 & =3+2+1+1 \\ +11 & =4+3+2+1+1 \\ +16 & =5+4+3+2+1+1 +\end{aligned} +$$ + +Assim, a primeira parcela do $21^{\circ}$ termo é + +$$ +20+19+\cdots+3+2+1+1=\frac{20 \times 21}{2}+1=211 +$$ + +e o $21^{\circ}$ termo é + +$$ +211+212+\cdots+230+231=\frac{(211+231) \times 21}{2}=221 \times 21=4641 +$$ + +3. O jardim octogonal - Observemos que a área do jardim pode ser medida contando o número de quadradinhos na folha. De fato, se contarmos o número de quadrados obtemos em total + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-4.jpg?height=416&width=422&top_left_y=2142&top_left_x=1294) + +24 quadradinhos +8 meios quadradinhos $=28$ quadradinhos + +Como a área total é $700 \mathrm{~m}^{2}$, a área de cada quadradinho corresponde a + +$$ +700 \div 28=25 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Assim, o lado de cada quadradinho corresponde a $5 \mathrm{~m}$. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal $d$ de cada quadradinho corresponde a $d=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=$ $5 \sqrt{2} m$. + +O contorno da roseira é formado por 4 diagonais e do jardim por 8 diagonais e 8 lados, logo temos: + +$$ +\text { perímetro da roseira }=4 \times d=4 \times 5 \sqrt{2}=20 \sqrt{2} \mathrm{~m} +$$ + +$$ +\text { perímetro do jardim }=8 \times 5+8 \times d=40+40 \sqrt{2} +$$ + +Logo, o comprimento total de cerca que será necessário é + +$$ +20 \sqrt{2}+40+40 \sqrt{2}=40+60 \sqrt{2} m +$$ + +Agora temos: + +$$ +\frac{650}{40+60 \sqrt{2}}=\frac{65}{4+6 \sqrt{2}} \approx \frac{65}{4+6 \times 1,414}=\frac{65}{12,484} \approx 5,21 +$$ + +Assim, o preço máximo que o prefeito poderá pagar é $R \$ 5,21$. + +4. Número de caracteres - Na $1^{\underline{a}}$ linha escrevemos os números de 1 a 9 , cada um seguido de um espaço, ocupando 18 espaços, e sobram 82 espaços. Cada número de 2 algarismos mais um espaço ocupa 3 lugares na linha. Como +$82=27 \times 3+1$, completamos a $1 \underline{\underline{a}}$ linha com 27 números de dois algarismos a partir do 10. Logo o último número da primeira linha é 36. Representando cada espaço por um traço, a $1 \underline{\underline{a}}$ linha fica como + +$$ +\underbrace{1-2-3-4-5-6-7-8-9}_{18} \underbrace{10-\cdots-36-}_{82} +$$ + +Como $100=33 \times 3+1$, em cada linha podemos colocar 33 números de 2 algarismos, cada um seguido de um espaço, e no final da linha ainda sobra um espaço: + +$$ +2^{\underline{a}} \operatorname{linha}: \underbrace{37-38-\cdots-69-}_{99}- +$$ + +Na $3^{\underline{a}}$ linha, colocamos de 70 a 99 , ocupando $30 \times 3=90$ espaços. Os 10 espaços restantes ocupamos com dois números de 3 algarismos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-6.jpg?height=114&width=799&top_left_y=1442&top_left_x=640) + +Agora, em cada linha podemos colocar $100 \div 4=25$ números de 3 algarismos com seus respectivos espaços. De 102 a 999 inclusive temos $999-102+1=198$ números. Como $198=25 \times 7+23$, ocupamos da $4^{\underline{a}}$ a $10^{\underline{a}}$ linha com os números de 3 algarismos e ainda sobram 23 espaços na 10 $\underline{\underline{a}}$ linha, que podemos ocupar com $23 \div 5=4$ números de 4 algarismos: + +$10^{a}$ linha : $\underbrace{--\cdots-999-}_{67} \underbrace{1000-1001-1002-}_{23}---$ + +Em cada linha podemos colocar $100 \div 5=20$ números de 4 algarismos e seus respectivos espaços. Portanto, nas 90 linhas restantes podemos colocar $90 \times 20=1800$ números de 4 algarismos. Começando com 1003 chegaremos até o número 2802. + +5. A árvore de Emília - Denotemos por $f_{n}$ o número de galhos da árvore depois de $n$ semanas. Como depois de duas semanas aparece um galho então $f_{2}=1$, $\mathrm{Na}$ seguinte semana este galho produz um novo galho, $\log f_{3}=2$. Pela regra, o número de galhos na $n+1$-ésima semana é igual ao número de galhos que existiam na $n$-ésima semana, mais os galhos novos. Mas, os galhos novos nascem dos galhos que têm pelo menos duas semanas, isto é, nasce um galho novo por + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-7.jpg?height=511&width=405&top_left_y=550&top_left_x=1431) +cada galho que existia na semana $n-1$. + +Assim, temos que $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$. Logo: + +$$ +\begin{aligned} +& f_{4}=2+1=3 \\ +& f_{5}=3+2=5 \\ +& f_{6}=5+3=8 \\ +& f_{7}=8+5=13 \\ +& f_{8}=13+8=21 +\end{aligned} +$$ + +## 6. Um teste vocacional - + +(a) De exatas temos $232+112=344$ estudantes, $\log$ o probabilidade de escolher ao acaso um aluno de exatas é $\frac{344}{1000}=0,344$. + +(b) Como o número de estudantes do sexo masculino é 555, temos que a probabilidade de ser da área de humanas é $\frac{116}{555}=0,209$. + +(c) O número de estudantes da área biológica é 387. Assim, a probabilidade de escolher um do sexo feminino é $\frac{180}{387}=0,465$. + +7. Dois setores circular - Como + +$$ +60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ} +$$ + +segue que área tracejada representa um quarto da área total del círculo. Como a área do circulo é $20 \mathrm{~cm}^{2}$ então a área tracejada é $5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_166d7b619133f9b517e0g-8.jpg?height=372&width=397&top_left_y=425&top_left_x=1338) + +8. Compra de televisores - Se Maria comprou $n$ televisores, então ela gastou 1994n, que é um múltiplo de 1994 onde não aparecem os algarismos $0,7,8$ e 9. Vamos tentar limitar o valor de $n$. Primeiro observe que + +$$ +1994 n=2000 n-6 n +$$ + +e também que se + +$$ +6 n<300 +$$ + +então o número $2000 n-6 n$ tem 7 ou 8 ou 9 no algarismos das centenas (faça alguns exemplos, lembre-se que $2000 n$ termina com 3 zeros e depois convençase). Assim devemos ter + +$$ +6 n \geq 300, \quad \text { isto é } n \geq 50 +$$ + +Observemos que 50 não pode ser porque o valor terminaria em 0 , $\log n \geq 51$. Dado que $1994 \times 51=101694$ temos que $n$ não pode ser 51 e portanto $n=$ $51+m$ com $m$ positivo. Agora como precisamos que o número não tenha 0 , assim $1994 m$ tem que eliminar o 0 de 101694, portanto $m \geq 4$, mas $m=4$ não é solução porque $1994 \times 55$ termina em 0 . Se testamos $n=56$ temos que + +$$ +1994 \times 56=111664 +$$ + +é o número procurado. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2158c7a84edfc540cc5ffbc9884951199f4e51b7 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N1.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# Lista 5 + +1. Soma de frações - Qual é o valor de $\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$ ? +2. Biblioteca - A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros, ficando com $\frac{27}{25}$ de livros. O número de livros antes da compra, é: +(a) 1750 +(b) 2500 +(c) 2780 +(d) 2140 +(e) 1140 +3. Comparação de frações - Quantas frações menores do que 1 existem, tais que o numerador e denominador são números naturais de um algarismo? +4. Divisão com resto - Quantos são os números que ao dividir 2007 deixam resto 5 ? +5. Panelas - Uma panela pesa $645 \mathrm{~g}$ e outra $237 \mathrm{~g}$. José divide $1 \mathrm{~kg}$ de carne entre as duas panelas, de modo que as duas com seus conteúdos ficam com o mesmo peso. Quanto ele colocou de carne em cada panela? +6. Dominós - Juliana representou uma multiplicação com 5 dominós. Seu irmão Bruno trocou dois dominós de posição e agora a multiplicação ficou errada. Troque a posição de dois dominós para que a multiplicação fique correta novamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=454&width=962&top_left_y=410&top_left_x=658) + +7. Código secreto - Antônio tem que descobrir um código de 3 algarismos diferentes $A B C$. Ele sabe que $B$ é maior que $A$, que $A$ é menor do que $C$ e ainda: + +$$ +\begin{aligned} +& \begin{array}{|l|l|} +\hline B & B \\ +\hline A & A \\ +\hline A +\end{array}+\begin{array}{|l|l|l|} +\hline C & C \\ +\hline +\end{array}=\begin{array}{|l|l|l|} +\hline 2 & 4 & 2 \\ +\hline +\end{array} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=48&width=479&top_left_y=1415&top_left_x=797) + +Qual é o código que Antônio procura? + +8. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculada, conforme mostra a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-2.jpg?height=254&width=271&top_left_y=1980&top_left_x=1007) + +Qual o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos? + +## Soluções da Lista 5 + +## 1. Soma de frações - + +Solução 1: Transformando as frações em números decimais temos: + +$$ +\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=0,1-0,01+0,001-0,00001=0,0909=\frac{909}{10000} +$$ + +Solução 2: Efetuando temos: + +$$ +\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=\frac{1000-100+10-1}{10000}=\frac{909}{10000} +$$ + +2. Biblioteca - Ao comprar 140 livros a biblioteca ficou com $\frac{27}{25}$ do número de livros, logo 140 corresponde a $\frac{2}{25}$ dos livros da biblioteca. Logo, temos: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{2}{25} \longrightarrow 140 \\ +& \frac{1}{25} \longrightarrow 140 \div 2=70 \\ +& \frac{25}{25} \longrightarrow 70 \times 25=1750 +\end{aligned} +$$ + +A opção correta é (a). + +3. Comparação de frações - Para que uma fração seja menor do que 1 , o numerador tem que ser menor do que o denominador. As frações são: + +- com denominador 2: $\frac{1}{2}$ +- com denominador 3: $\frac{1}{3}$ e $\frac{2}{3}$ +- com denominador 4: $\frac{1}{4}, \underbrace{\frac{2}{4}}_{1 / 2}$ e $\frac{3}{4}$ +- com denominador $5: \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$ +- com denominador 6: $\frac{1}{6}, \underbrace{\frac{2}{6}}_{1 / 3}, \underbrace{\frac{3}{6}}_{1 / 2}, \underbrace{\frac{4}{6}}_{2 / 3}, \frac{5}{6}$ +- com denominador 7 : $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ +- com denominador 8: $\frac{1}{8}, \underbrace{\frac{2}{8}}_{1 / 4}, \frac{3}{8}, \underbrace{\frac{4}{8}}_{1 / 2}, \frac{5}{8}, \underbrace{\frac{6}{8}}_{3 / 4}, \frac{7}{8}$ +- com denominador 9: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \underbrace{\frac{3}{9}}_{1 / 3}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \underbrace{\frac{6}{9}}_{2 / 3}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}$ + +Temos então 27 frações. + +4. Divisão com resto - Se um número ao dividir 2007 deixa resto 5, então esse número é um divisor de $2007-5=2002$. Logo, temos que calcular os divisores de 2002: + +$$ +\begin{array}{r|l|l} +2002 & 2 & 2 \\ +1001 & 7 & 7,14 \\ +143 & 11 & 11,22,77,154 \\ +13 & 13 & 13,26,91,182,143,286,1001,2002 \\ +1 & & +\end{array} +$$ + +Logo, os números que ao dividirem 2007 deixam resto 5 são: + +$$ +1,2,7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002 +$$ + +5. Panelas - Convertendo quilo para gramas temos que $1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$. As duas panelas mais a carne pesam juntas + +$$ +645+237+1000=1882 g +$$ + +Logo, cada panela mais o seu conteúdo de carne deve pesar $1882 \div 2=941 \mathrm{~g}$. Logo, José colocou em cada panela, respectivamente, + +$$ +941-645=296 g \text { e } 941-237=704 g +$$ + +6. Dominós - Dado que $2 \times 3=6$, suporemos por enquanto que os dominós $\cdot \cdot \cdot$ e $[\cdot \because \because$ estão na posição certa. Caso isso seja verdade, dado que $1 \times 3=3$ temos que o algarismo na dezena do resultado é três, logo temos que trocar o dominó $\quad . \cdot \bullet$ pelo dominó $\quad \because \because \because$, de tal forma que o 3 fique na dezena. Dado que temos um 2 na centena do resultado, então na centena do primeiro número tem que ter um 4. Assim, o produto certo fica da forma + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-5.jpg?height=514&width=1083&top_left_y=1373&top_left_x=498) + +7. Código secreto - A única maneira de obter 360 como produto de três números de um algarismos cada um é + +$$ +360=9 \times 8 \times 5 +$$ + +Logo, a soma $A A+B B+C C$ é igual a $55+88+99$. Como $A$ é menor do que $B$ e do que $C$, temos que $A=5$. Logo, temos duas possibilidades para o código: 589 ou 598. + +8. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados como mostrado a seguir. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-6.jpg?height=320&width=626&top_left_y=682&top_left_x=652) + +2 quadrados + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a3a17589e5750f8ed4c1g-6.jpg?height=266&width=271&top_left_y=735&top_left_x=1372) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53d7ab496e4b03f6350868c84a060ea070974a47 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N2.md @@ -0,0 +1,141 @@ +# Lista 5 + +1. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco de laranja por $R \$ 2,80$ e uma caixa com seis dessas garrafas por $R \$ 15,00$. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no mínimo? +2. Mulheres votantes - Numa cidade, $40 \%$ de todas as mulheres são votantes e $52 \%$ da população é de mulheres. Qual o percentual da população formado de mulheres votantes? +(a) $18,1 \%$ +(b) $20,8 \%$ +(c) $26,4 \%$ +(d) $40 \%$ +(d) $52 \%$ +3. Amigos do século $\boldsymbol{X X}$ - Dois amigos nasceram no século XX, com uma semana de intervalo e no mesmo mês e ano. Escrevendo da esquerda para a direita a data na forma o (ou os) algarismo(s) do dia, (ou os) algarismo(s) do mês, e os dois últimos algarismos do ano, obtemos dois números sendo um o sêxtuplo do outro. Não colocamos 0 na frente dos 9 primeiros meses. Qual é a data de nascimento do amigo mais velho? +4. Operação em uma fração - Que número se deve somar aos dois termos de uma fração para se obter o inverso dessa mesma fração? +5. O número 119 - O número 119 tem a seguinte propriedade: + +- a divisão por 2 deixa resto 1 ; +- a divisão por 3 deixa resto 2 ; +- a divisão por 4 deixa resto 3 ; +- a divisão por 5 deixa resto 4 ; +- a divisão por 6 deixa resto 5 . + +Quantos inteiros positivos menores que 2007 satisfazem essa propriedade? + +6. Fonte com 3 torneiras - Sílvia vai a uma fonte que tem três torneiras, encher os seus dez garrafões. Um dos garrafões demora um minuto para encher, outro dois minutos, outro três minutos e assim por diante. Como Ślvia deverá distribuir os garrafões pelas torneiras de modo a gastar o menor tempo possível? Qual é esse tempo? +7. A seqüência $x y z$ - Na seqüência $\frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, x, y, z, \ldots$ os valores de $x, y$ e $z$ são... +8. A mesa circular - Uma mesa circular tem 60 cadeiras em sua volta. Existem $N$ pessoas sentadas nessas cadeiras de tal modo que a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de alguém. Qual é o menor valor possível para $N$ ? + +## Soluções da Lista 5 + +1. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele gastará + +$$ +6 \times 2,80=16,80 \text { reais } +$$ + +que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Nesse caso, ele deve comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará + +$$ +3 \times 15+4 \times 2,80=56,20 \text { reais } +$$ + +que é o mínimo possível. + +2. Mulheres votantes - A fração de mulheres na população é $\frac{52}{100}$, e delas, a fração que é votante é $\frac{40}{100}$. Logo, a fração de mulheres volantes é: + +$$ +\frac{52}{100} \times \frac{40}{100}=\frac{104}{5 \times 100}=\frac{104}{5 \times 100} \times 100 \%=20,8 \% +$$ + +A opção correta é (b). + +3. Amigos do século $\boldsymbol{X X}$ - Os dois amigos nasceram no mesmo mês e no mesmo ano, com uma diferença de 7 dias, assim um nasceu no dia $d / m / a$ e o outro no dia $(d+7) / m / a$. Com esta datas formamos os números $(d)(m)(a)$ e $(d+7)(m)(a)$. Sabemos que: + +$$ +(d+7)(m)(a)=(d)(m)(a)+7 \times 10^{k} +$$ + +Assim, + +$$ +(d+7)(m)(a)=6 \times(d)(m)(a), \quad \Longrightarrow \quad 7 \times 10^{k}=5(d)(m)(a) +$$ + +Logo, $k=3$ se o mês tem 1 algarismo e $k=4$ se o mês tem 2 algarismos. No primeiro caso, quando $k=3$, temos que $\frac{7000}{5}=1400$, isto é, 1 de abril de 1900. Logo, seu amigo nasceu em 8 de abril de 1900. No segundo caso, quando $k=1, \frac{70000}{5}=14000$ não é uma data válida. + +4. Operação em uma fração - Seja $\frac{a}{b}$ a fração procurada e seja $c$ um número tal $\frac{a+c}{b+c}=\frac{b}{a}$. Esta igualdade é equivalente a $(a+c) a=(b+c) b$. Assim temos: + +$$ +(a+c) a=(b+c) b \Longrightarrow a^{2}+a c-b^{2}-b c=0 \Longrightarrow\left(a^{2}-b^{2}\right)+c(a-b)=0 +$$ + +Donde + +$$ +0=\left(a^{2}-b^{2}\right)+c(a-b)=(a-b)(a+b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c) +$$ + +Portanto $(a-b)(a+b+c)=0$. Temos dois casos: + +$\left.1^{o}\right) a-b=0 \Longrightarrow a=b$. Nesse caso a fração é igual a $1=\frac{a}{a}$ e podemos somar qualquer número. + +$\left.2^{o}\right) a+b+c=0 \Longrightarrow c=-(a+b)$. Nesse caso temos que somar $-a-b$. + +5. O número 119 - Inicialmente note que se $N$ dividido por $d$ deixa resto $r$, então somando a $N$ um múltiplo de $d$, o resto não se altera, isto é: + +$$ +\frac{(N+\text { múltiplo de } d)}{d} \text { também deixa resto } r +$$ + +Por exemplo: 38 dividido por 3 deixa resto 2 , logo o resto da divisão de $(38+5 \times 3)$ também é 2 . + +Assim, se somamos a 119 um número que seja múltiplo simultaneamente de 2, 3, 4, 5 e 6 , esse número deixa os mesmos restos que 119 quando dividido por +$2,3,4,5$ e 6 . O menor múltiplo comum de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , logo todo número da forma + +$$ +119+(\text { múltiplo de 60) } +$$ + +satisfaz as cinco condições do enunciado. + +Da divisão de 2007 por 60 temos: + +$$ +2007=33 \times 60+27=32 \times 60+87=31 \times 60+147 +$$ + +Como 119 está entre 87 e 147, temos que os números + +$$ +59,119,179, \ldots, 31 \times 60+119 +$$ + +cumprem a mesma propriedade que 119. Logo, temos 33 possíveis números. + +## 6. Fonte com 3 torneiras - + +Solução 1: Para simplificar, numeramos os garrafões de acordo com os respectivos tempos que gastam para ficar cheios. A idéia, é utilizar o "tempo que sobra" de um garrafão para encher outro garrafão, enchendo simultaneamente outros. As figuras ilustram a solução. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7edf59f8d27fef74e9deg-5.jpg?height=436&width=1390&top_left_y=1738&top_left_x=343) + +$\mathrm{Na}$ figura I as 3 torneiras gastam 10 minutos para encher os garrafões 10, 9, 8, 1 e 2. Na figura II as 3 torneiras gastam 9 minutos para encher os garrafões $7,6,5,2,3$ e 4. Logo, o tempo total gasto é de 19 minutos. + +Solução 2: Se tivéssemos uma torneira só, o tempo gasto para encher os 10 garrafões é $1+2+\cdots+9+10=55$ minutos. Como $55=18 \times 3+1$, se temos + +3 torneira devemos gastar pelo menos 19 minutos. A seguinte tabela mostra a forma de fazer o trabalho em 19 minutos. + +| Torneira 1 | 10 | 9 | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Torneira 2 | 8 | 7 | 3 | | +| Torneira 3 | 5 | 4 | 2 | 1 | + +7. A seqüência $x y z$ - Igualando os denominadores, verificamos que a seqüência dada é a mesma que a seqüência + +$$ +\frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, x, y, z, \ldots +$$ + +Assim, o denominador é 8 e os numeradores são números consecutivos. Logo $x=\frac{8}{8}=1, y=\frac{9}{8}$ e $z=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$. + +8. A mesa circular - Se a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de uma cadeira ocupada, isso significa que existem no máximo 2 cadeiras desocupadas consecutivas. Veja na figura: as cadeiras ocupadas estão representadas por quadradinhos brancos e as desocupadas por quadradinhos pretos. Podemos então pensar nas cadeiras + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7edf59f8d27fef74e9deg-6.jpg?height=474&width=439&top_left_y=1479&top_left_x=1391) +em grupos de 3 e a terceira está ocupada. Logo, o menor valor de $N$ é $60 \div 3=20$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0beb0ac2aa16fd6f1140aae43b35c19137f9c1ab --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L5_N3.md @@ -0,0 +1,199 @@ +# Lista 5 + +1. Distância entre números - Considere os números reais $a, b, c$ e $d$ representados em uma reta, conforme mostra a figura. Determine quais das afirmações são verdadeiras ou falsas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-1.jpg?height=100&width=988&top_left_y=772&top_left_x=640) +(a) $|a|<4$ +(b) $|b|<2$ +(c) $|c|<2$ +(d) $|a|>|b|$ +(e) $|c|<|d|$ +(f) $|a|<|d|$ +(g) $|a-b|<4$ +(h) $|a-b| \geq 3$ +(i) $|c-d|<1$ +(j) $|b-c|<2$ +(1) $|b-c|>3$ +(m) $|c-a|>1$ + +2. Cartões premiados - Uma loja distribui 9999 cartões entre os seus clientes. Cada um dos cartões possui um número de 4 algarismos, entre 0001 e 9999. Se a soma dos primeiros 2 algarismos for igual à soma dos 2 últimos, o cartão é premiado. Por exemplo, o cartão 0743 é premiado. Prove que a soma dos números de todos os cartões premiados é divisível por 101. +3. O preço da gasolina - Em 1972 encher o tanque de gasolina de um carro pequeno custava $R \$ 29,90$, e em 1992, custava $\$ 149,70$ para encher o mesmo tanque. Qual dos valores abaixo melhor aproxima o percentual de aumento no preço da gasolina nesse período de 20 anos? +(a) $20 \%$ +(b) $125 \%$ +(d) $300 \%$ +(d) $400 \%$ +(e) $500 \%$ +4. O triângulo de latas - Um menino tentou alinhar 480 latas em forma de um triângulo com uma lata na $1^{\underline{a}}$ linha, 2 latas na $2^{\underline{a}}$ e assim por diante. No fim sobraram 15 latas. Quantas linhas tem esse triângulo? +5. Circunferência e triângulo retângulo - Inscreve-se uma circunferência num triângulo retângulo. $\mathrm{O}$ ponto de tangência divide a hipotenusa em dois segmentos de comprimentos $6 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$. Calcule a área do triângulo. +6. Soma de razão $\frac{1}{2}-$ Se $S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$, qual é o menor número inteiro positivo $n$ tal que $S_{n}>0,99$ ? + +## 7. Soma de raizes quadradas - + +(a) Se $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, mostre que $\sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$. + +(b) Se $s=\sqrt{215}+\sqrt{300}$, mostre que $s^{2}>1015$. + +8. Duas rodas - A roda A gira com 1200 voltas por minuto, e a roda B com 1500 voltas por minuto. Calcule os raios das duas rodas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-2.jpg?height=365&width=500&top_left_y=1782&top_left_x=778) + +## Soluções da Lista 5 + +## 1. Distância entre números - + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-3.jpg?height=114&width=985&top_left_y=614&top_left_x=638) + +Como os números $a, b$ e $c$ são negativos e $c$ é positivo, temos que + +$$ +|a|=-a,|b|=-b,|c|=-c,|d|=d +$$ + +Assim, $|a|,|b|$ e $|c|$ são simétricos de $a, b$ e $c$ em relação ao zero. No seguinte gráfico se mostram os pontos $|a|,|b|,|c|$ e $|d|$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-3.jpg?height=114&width=988&top_left_y=1262&top_left_x=640) + +Note que não podemos afirmar qual entre os dois, $|b|$ e $|d|$, é o maior, as unicas comparações que podemos fazer são: + +$$ +0<|c|<1<|b|<2<|a|<4 \text { e } 0<|c|<1<|d|<2<|a|<4 +$$ + +Portanto, (a), (b), (c), (d) e (e) são verdadeiros e (f) é falso. + +Lembre que $|x-y|=$ distância de $x$ a $y$. + +Como $a$ e $b$ estão entre -4 e -1 , a distância entre eles é menor do que 3 , isto é: $|a-b|<3, \operatorname{logo}(\mathrm{g})$ é verdadeira e (h) é falso. Analogamente, temos: + +- $1<|c-d|<3 \Longrightarrow$ (i) é falso +- $0<|b-c|<2 \Longrightarrow$ (j) é verdadeiro e (l) é falso +- $2<|a-c| \Longrightarrow(\mathrm{m})$ é verdadeiro. + +2. Cartões premiados - Observe que se o cartão $a b c d$ é premiado então o cartão $c d a b$ também é premiado, por exemplo: 2341 e 4123 são ambos premiados. Assim sempre que $a b \neq c d$ temos dois cartões premiados cuja soma é + +$$ +a b c d+c d a b=(a b \times 100+c d)+(c d \times 100+a b)=101(a b+c d) +$$ + +assim a soma desse dois cartões é divisível por 101. + +No caso que o cartão ser da forma + +$$ +a b a b=a b \times 100+a b=101 \times a b +$$ + +o número do cartão é divisível por 101. Assim a soma de todos os cartões é divisível por 101 já que a soma pode ser feita agrupando cartões do tipo $a b c d$ com $c d a b$. + +3. O preço da gasolina - O aumento do valor foi + +$$ +149,70-29,90=119,80 \text { reais } +$$ + +que corresponde a: + +$$ +\frac{119,80}{29,90} \times 100 \%=400,66 \% +$$ + +A opção correta é (d). + +4. O triângulo de latas - Suponhamos que o triângulo está composto por $n$ linhas, logo foram usadas $1+2+3+\cdots+n$ latas, assim + +$$ +480-15=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \Longrightarrow n^{2}+n-930=0 +$$ + +Resolvendo a equação $n^{2}+n-930=0$, obtemos: + +$$ +n=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \times 930}}{2}=\frac{-1 \pm 61}{2} +$$ + +Assim, $n=30$ que é única solução positiva desta equação. Logo o triângulo tem 30 linhas. + +5. Circunferência e triângulo retângulo - Seja $r$ o raio da circunferência inscrita. Usando o teorema de Pitágoras temos que $(6+7)^{2}=(r+6)^{2}+(r+7)^{2}=r^{2}+12 r+36+r^{2}+14 r+49=2\left(r^{2}+13 r\right)+85$, assim temos que $r^{2}+13 r=\frac{169-85}{2}=42$. + +Por outro lado, a área do triângulo é + +$\frac{(r+6)(r+7)}{2}=\frac{r^{2}+13 r+42}{2}=\frac{42+42}{2}=42$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-5.jpg?height=323&width=440&top_left_y=1055&top_left_x=1393) + +6. Soma de razão $\frac{1}{2}$ - Como + +$$ +S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}} +$$ + +segue que + +$$ +\frac{1}{2} S_{n}=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}} +$$ + +Logo, + +$$ +\frac{1}{2} S_{n}=S_{n}-\frac{1}{2} S_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} +$$ + +Assim + +$$ +S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}} +$$ + +Como queremos $S_{n}>0,99$, isto é equivalente a encontrar o menor $n$ tal que + +$$ +1-\frac{1}{2^{n}}>0,99 +$$ + +e assim + +$$ +2^{n}>100 +$$ + +Logo, devemos ter $n \geq 7$ porque $128=2^{7}>100>2^{6}=64$. + +Observação: Outro modo de calcular $S_{n}$, é notar que é a soma de uma progressão geométrica com $a_{1}=1 / 2$ e razão $q=1 / 2$. Aplicando a fórmula, temos: + +$$ +S_{n}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}} +$$ + +## 7. Soma de raizes quadradas - + +(a) Como + +$$ +r^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2})(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^{2}=2+2 \sqrt{6}+3=5+2 \sqrt{6} +$$ + +portanto $r^{2}-5=2 \sqrt{6} \Longrightarrow \sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$. + +(b) Pelo mesmo argumento temos que + +$$ +\begin{aligned} +s^{2} & =(\sqrt{215}+\sqrt{300})^{2}=215+2 \sqrt{215 \cdot 300}+300 \\ +& =515+10 \sqrt{43 \cdot 60}=515+10 \sqrt{2580}> \\ +& >515+10 \sqrt{2500}=515+500=1015 +\end{aligned} +$$ + +8. Duas rodas - Dos dados do problema podemos dizer que quando a roda $A$ dá 12 voltas a roda $B$ dá 15 voltas, ou equivalentemente, quando a roda $A$ dá 4 voltas a roda $B$ dá 5 voltas. Denotemos por $R$ o raio da roda $A$ e por $r$ o raio da roda $B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_643a49fbff97dd33b0d6g-6.jpg?height=355&width=471&top_left_y=2084&top_left_x=1272) +O comprimento da roda $\mathrm{A}$ é $2 \pi R$ e o da roda $\mathrm{B}$ é $2 \pi r$. Logo, o comprimento de 4 voltas da roda $A$ é $4 \times(2 \pi R)$ e o comprimento de 5 voltas da roda $B$ é +$5 \times(2 \pi r)$. Como esses dois comprimentos são iguais então temos que $4 R=5 r$. Por outro lado, da figura temos que $2(r+R)=9$, assim + +$$ +2 r+2\left(\frac{5}{4} r\right)=\left(2+\frac{5}{2}\right) r=\frac{9}{2} r=9 +$$ + +portanto $r=2$ e $R=\frac{5}{2}$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..66b56d865b90ef9d260f0f39dec54e8835a08972 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N1.md @@ -0,0 +1,135 @@ +# Lista 6 + +1. Relógio - O grande relógio de parede da escola marca a data (dia, mês e ano) e as horas (horas e minutos) como na figura. Que dia, mês e ano esses mesmos 10 algarismos da figura voltarão a aparecer juntos no relógio pela primeira vez? + +## 280594 + +2. Lápis - Em 13 caixas foram embalados 74 lápis. Se a capacidade máxima de cada caixa é de 6 lápis, qual é o número mínimo de lápis que pode haver em uma caixa? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 3 +(d) 4 +(e) 6 +3. Contagem - Se o algarismo 1 aparece 171 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro? +4. Viagem a Recife - Em meu vôo para Recife, quando fui receber a medalha de ouro que conquistei na OBMEP, as seguintes informações apareceram na tela da cabine de passageiros: + +Velocidade média: $864 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ + +Distância do local de partida: $1222 \mathrm{~km}$ + +Tempo de chegada a Recife: 1 h $20 \mathrm{~min}$ + +Se o avião manteve a mesma velocidade, então qual é, aproximadamente, a distância de Recife à cidade onde tomei esse vôo? +(a) $2300 \mathrm{~km}$ +(b) $2400 \mathrm{~km}$ +(c) $2500 \mathrm{~km}$ +(d) $2600 \mathrm{~km}$ +(e) $2700 \mathrm{~km}$ + +5. Praça - Maria e João dão uma volta completa na praça juntos, contando as casas que ficam em volta da praça. Eles começaram a contar as casas em pontos diferentes. A quinta casa da Maria é a décima segunda do João e a quinta casa do João é a trigésima da Maria. Quantas casas tem em volta da praça? +6. Seqüência de figuras - As figuras $\triangle, \boldsymbol{\Lambda}, \diamond, \uparrow, \odot, \square$ são repetidas na sequiência + +$$ +\triangle, \boldsymbol{\phi}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \triangle, \boldsymbol{\phi}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \ldots +$$ + +(a) Que figura aparecerá na $1000^{\underline{a}}$ posição da sequiência? + +(b) Em qual posição aparece o milésimo $\diamond$ ? + +7. A brincadeira do quadrado - Um quadrado de $1 \mathrm{~m}$ de lado foi cortado, com cortes paralelos aos seus lados, em quadradinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocandose lado a lado os quadradinhos, sem superposição, formou-se um retângulo de $1 \mathrm{~mm}$ de largura. Qual o comprimento desse retângulo? +8. O código da Arca do Tesouro - Simão precisa descobrir um número que é o código da Arca do Tesouro que está escondido na tabela. + +| 5 | 9 | 4 | 9 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 6 | 3 | 7 | 3 | 4 | 8 | +| 8 | 2 | 4 | 2 | 5 | 5 | +| 7 | 4 | 5 | 7 | 5 | 2 | +| 2 | 7 | 6 | 1 | 2 | 8 | +| 5 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 | + +Para descobrir o código ele tem que formar grupos de 3 algarismos que estão em casas sucessivas, na horizontal ou na vertical, cuja soma é 14. Retirados esses grupos, o código é a soma dos números que não aparecem nesses grupos. Qual é esse código? + +## Soluções da Lista 6 + +1. Relógio - Vamos tentar uma data e um horário no mesmo ano de 94. Já que com os números dados não podemos alterar o dia nem para 29 nem para 30 sem alterar o ano, então a data procurada não está no mês 05 . O seguinte mês possível é o 08. Como precisamos da data mais próxima possível, observemos que podemos formar o dia 01 sobrando os números $0,2,4$ e 5 para formar a hora. A menor hora possível que podemos formar com esses algarismos é 02 : 45, logo a data procurada é 1 de agosto de 1994 às 2 horas e 45 minutos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-4.jpg?height=516&width=1194&top_left_y=1089&top_left_x=548) +2. Lápis - Vamos ver em quantas caixas podemos colocar o número máximo de lápis, que é 6 por caixa. Nas 13 caixas não é possível, pois $13 \times 6=78$, que é maior do que o número de lápis 74 . Em 12 caixas teríamos: $12 \times 6=72$. Assim, sobraria uma caixa com $74-72=2$ lápis. Logo, a opção correta é (b). +3. Contagem - A cada 10 páginas aparece 1 nas unidades e a cada 100 páginas aparece 10 vezes o número 1 nas dezenas. + +Contando o número de páginas que contém o algarismo 1 em cada faixa abaixo temos: + +- 20 páginas entre 1-99: + +1,11,21,31,41,51,61,71,81,91: 10 (1 na unidade) + +10,11,12,13,14,15,16,17, 18,19: 10 (1 na dezena) + +- 120 páginas entre 100 - 199: + +101,111,121,131,141,151,161,171,181,191: 10 (1 na unidade) + +110,111,112,113,114,115,116,117,118,119: 10 (1 na dezena) + +100,101, 102, . ., 199: 100 (1 na centena) + +- 20 páginas entre 200-299: + +201, 211,221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291: 10 (1 na unidade) + +210,211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219: 10 (1 na dezena) + +Até a página 299 temos $20+120+20$ vezes que aparece o número 1 , faltando assim apenas $171-160=11$ uns, que seriam os 2 primeiros que aparecem na unidade de 301, 311 e os 9 primeiros que aparecem nas dezenas de 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318. Logo, o livro tem 318 páginas. + +4. Viagem a Recife - No momento em que a informação foi dada, o tempo que faltava de vôo era de $1 h 20 \mathrm{~min}$, ou $4 / 3 h$. Logo, nesse momento, a distância a Recife era de $864 \times \frac{4}{3}=1152 \mathrm{~km}$. Desde que estávamos a $1222 \mathrm{~km}$ da cidade de partida, a distância entre essa cidade e Recife é de $1152+1222=2374 \mathrm{~km}$. Dentre as opções, a mais próxima é $2400 \mathrm{~km}$, ou seja, a opção (b). +5. Praça - Como a $5^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $12^{\underline{a}}$ casa do João, a diferença entre as contagens é de 7 casas. Assim, a $1^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $8^{\underline{a}}$ casa do João e a $5^{\underline{a}}$ casa do João corresponde a duas casas antes da casa que a Maria começou a contar. Mas, como a $5^{\underline{a}}$ casa do João é a $30^{\underline{a}}$ da Maria, então a praça tem 32 +casas: as 30 casas que Maria já contou mais as 2 casas que faltam para Maria chegar ao ponto onde começou a contar. +6. Seqüência de figuras - As figuras se repetem de 6 em 6. Dividindo 1000 por 6 temos: $1000=6 \times 166+4$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-6.jpg?height=186&width=1219&top_left_y=861&top_left_x=521) + +(a) A figura que fica em $1000^{\circ}$ lugar é + +(b) O primeiro $\diamond$ está na $3^{\underline{a}}$ posição, o segundo na posição de número $3+6$, o terceiro em $3+6+6$, e assim por adiante, como indicado a seguir: $\mathbf{1}^{\circ} \quad \longrightarrow \quad 3+\mathbf{0} \times 6$ $\mathbf{2}^{-} \quad \longrightarrow \quad 3+\mathbf{1} \times 6$ $\mathbf{3}^{\circ} \longrightarrow 3+\mathbf{2} \times 6$ $4^{\underline{o}} \longrightarrow 3+\mathbf{3} \times 6$ $1000^{\circ} \longrightarrow 3+\mathbf{9 9 9} \times 6$ + +Logo, o $1000^{\circ} \diamond$ aparece na posição: $3+999 \times 6=5997$. + +## 7. A brincadeira com o quadrado - + +Solução 1 - Convertendo metros em milímetros temos: $1 \mathrm{~m}=1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o quadrado ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ quadradinhos de lado $1 \mathrm{~mm}$ cada um. Colocando-se lado a lado os $10^{6}$ quadradinhos, teremos um retângulo de comprimento + +$$ +\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10^{6} \text { parcelas }}=10^{6} \times 1=10^{6} \mathrm{~mm} +$$ + +Solução 2 - O quadrado tem área igual $1 \mathrm{~m}^{2}=10^{6} \mathrm{~mm}^{2}$. A área $\Delta$ do retângulo é a mesma do quadrado. Como a largura do retângulo é $\ell=1 \mathrm{~mm}$ temos que o comprimento $c$ em milímitros é + +$$ +c=\frac{\Delta}{\ell}=\frac{10^{6}}{1}=10^{6} \mathrm{~mm} +$$ + +8. O código da Arca do Tesouro - Nas seguintes duas tabelas mostramos unicamente os números cuja soma é 14 , horizontalmente e verticalmente, respectivamente. + +| | | | 9 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | 7 | 3 | 4 | | +| 8 | 2 | 4 | | | | +| | | | 7 | 5 | 2 | +| | 7 | 6 | 1 | | | +| | | | 6 | 7 | 1 | + + +| | 9 | | | | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | 3 | | | 4 | 8 | +| | 2 | | | 5 | 5 | +| 7 | | 5 | 7 | 5 | | +| 2 | | 6 | 1 | 2 | | +| 5 | | 3 | 6 | 7 | | + +Assim, quando eliminamos esses números da tabela inicial, os números que sobrevivem são: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_7802a0a2c42db868808eg-7.jpg?height=474&width=394&top_left_y=1962&top_left_x=840) + +Portanto, a soma dos números que ficam é $5+4+6+4+8+2=29$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c89b934ed67891c2a8d3f5044505b7470e8684e9 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N2.md @@ -0,0 +1,152 @@ +# Lista 6 + +1. Números proporcionais - Se $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $9 y^{2}$ é igual a: +(a) $\frac{x^{2}}{9}$ +(b) $x^{3} z$ +(c) $3 x^{2}$ +(d) $x^{2} z^{2}$ +(e) $\frac{1}{9} x^{2} z^{2}$ +2. Esportistas de uma escola - Em um grupo de 40 estudantes, 20 jogam futebol, 19 jogam vôlei e 15 jogam exatamente uns destes dois esportes. Quantos estudantes não praticam futebol e vôlei? +(a) 7 +(b) 5 +(c) 13 +(d) 9 +(e) 10 +3. Vamos ao teatro - Na campanha "Vamos ao teatro", 5 ingressos podem ser adquiridos pelo preço usual de 3 ingressos. Mário comprou 5 ingressos nessa campanha. A economia que Mário fez representa que percentual sobre o preço usual dos ingressos? +(a) $20 \%$ +(b) $33 \frac{1}{3} \%$ +(c) $40 \%$ +(d) $60 \%$ +(e) $66 \frac{2}{3} \%$ +4. Uma desigualdade - Os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-1}>1$ são: +(a) $x<2$ +(b) $x>1$ +(c) $12$ +5. A sala do Newton- Professor Newton dividiu seus alunos em grupos de $4 \mathrm{e}$ sobraram 2. Ele dividiu seus alunos em grupos de 5 e um aluno ficou de fora. Se 15 alunos são mulheres e tem mais mulheres do que homens, o número de alunos homens é: +(a) 7 +(b) 8 +(c) 9 +(d) 10 +(e) 11 +6. Um jardim retangular - O retângulo $\mathrm{ABCD}$ representa um terreno retangular cuja largura é $3 / 5$ do comprimento. O retângulo ABEF representa um jardim retangular cuja largura é também $3 / 5$ do comprimento. Qual + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_24e0b8d008632224b4c1g-2.jpg?height=345&width=540&top_left_y=410&top_left_x=1269) +a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? +(a) $30 \%$ +(b) $36 \%$ +(c) $40 \%$ +(d) $45 \%$ +(e) $50 \%$ + +7. Os bombons misturados - Marta e Carmem ganharam, cada uma, muitos bombons. Elas misturarm os bombons e agora não sabem mais qual o número de bombons que cada uma ganhou. Vamos ajudá-las a descobrir os números sabendo que: + +- juntas ganharam 200 bombons; +- cada número é múltiplo de 8 ; +- Marta se lembra que ganhou menos de 100 bombons, mas mais do que $4 / 5$ do que ganhou Carmem. + + +## Soluções da Lista 6 + +1. Números proporcionais - Como $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $x z=3 y$. Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade obtemos $x^{2} z^{2}=9 y^{2}$. A opção correta é (d). +2. Esportistas de uma escola - Denotemos por $x$ o número de estudantes que praticam simultaneamente os dois esportes. Logo, temos que o número de estudantes que pratica somente futebol é $20-x$ e o que pratica somente vôlei é $19-x$. Portanto os estudantes que praticam exatamente um esporte são + +$$ +(20-x)+(19-x)=15 +$$ + +Segue-se que $x=12$ e teremos que os estudantes que praticam algum esporte são + +$$ +20+(19-x)=27 +$$ + +Portanto, os que não praticam esporte são 13. A opção correta é (c). + +3. Vamos ao teatro - Mário pagou 3 e levou 5, logo ele pagou apenas $\frac{3}{5}$ do preço usual e portanto, economizou $\frac{2}{5}$. Como $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}$, a economia foi de $40 \%$. A opção correta é (c). +4. Uma desigualdade - Note que o inverso de um número $b$ só é maior do que 1 quando $b$ for positivo e menor do que 1. Portanto, + +$$ +\frac{1}{x-1}>1 \Longleftrightarrow 0b>c +$$ + +então + +$$ +\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{c} +$$ + +Como $3^{3}>3^{2}>3^{2 / 3}$ temos então : + +$$ +\frac{1}{3^{3}}<\frac{1}{3^{2}}<\frac{1}{3^{2 / 3}}<1<\sqrt[5]{3}<3 +$$ + +Portanto, + +$$ +\left(\frac{1}{3}\right)^{3}<3^{-2}<3^{-2 / 3}<\sqrt[5]{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} +$$ + +8. Os bombons misturados - Sejam $x$ o número de bombons que Marta ganhou e $y$ o que Carmem ganhou. Temos $x+y=200$. Como $x<100$ então $y \geq 100$. Por outro lado, $x>\frac{4}{5} y$ e $y \geq 100$, concluímos que $x>\frac{4}{5} \times 100=80$. Logo, $x$ é um inteiro compreendido entre 80 e 100 e múltiplo de 8 , logo, só pode ser 88 ou 96 . Vamos decidir: + +- Se $x=88$, então $y=200-88=112$. Logo: $x>\frac{4}{5} \times 112=89,5$, o que não é possível. +- Se $x=96$, então $y=200-96=104$ e $x>\frac{4}{5} \times 104=83,2$, o que é possível. + +Logo Marta ganhou 96 bombons e Carmem 104. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6e158be3f57cef06c84b7fcff12e88ee8f9f1487 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L6_N3.md @@ -0,0 +1,161 @@ +# Lista 6 + +1. Dois divisores - O número $2^{48}$ - 1 é divisível por dois números compreendidos entre 60 e 70. Quais são esses números? +(a) 61 e 63 +(b) 61 e 65 +(c) 63 e 65 +(d) 63 e 67 +(e) 67 e 69 +2. Rede de estações - Um serviço de vigilância vai ser instalado num parque na forma de uma rede de estações. As estações devem ser conectadas por linhas de telefone, de modo que qualquer uma das estações possa se comunicar com todas as outras, seja por uma conexão direta seja através de no máximo uma outra estação. Cada estação pode ser conectada diretamente por um cabo a no máximo 3 outras estações. + +O diagrama mostra um exemplo de uma rede desse tipo conectando 7 estações. Qual é o maior número de estações que podem ser conectadas dessa maneira? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-1.jpg?height=317&width=323&top_left_y=1338&top_left_x=1409) + +3. Bolas brancas e pretas - Uma caixa tem exatamente 100 bolas pretas e 100 bolas brancas. Repetidamente, 3 bolas são retiradas da caixa e substituídas por outras bolas que estão em um saco da seguinte maneira: + +## BOLINHAS REMOVIDAS
SUBSTITUÍDAS POR + +3 pretas $\Longrightarrow 1$ preta + +2 pretas e 1 branca $\Longrightarrow 1$ preta e 1 branca + +1 preta e 2 brancas $\Longrightarrow 2$ brancas + +3 brancas $\Longrightarrow 1$ preta e 1 branca + +Qual pode ser o conteúdo da caixa depois de seguidas aplicações desse procedimento? +(a) 2 pretas +(b) 2 brancas +(c) 1 preta +(d) 1 preta e 1 branca +(e) 1 branca. +4. $O$ cubo - Alice tem uma folha de cartolina de $60 \mathrm{~cm}$ por $25 \mathrm{~cm}$. Ela quer cortar a folha para montar um cubo. Qual o cubo de maior volume que ela pode construir? + +## 5. Um quadrado e um triângulo + +- Na figura, $A B C D$ é um quadrado cuja área é $7 / 32$ da área do triângulo $X Y Z$. Qual é a razão entre $X A$ e $X Y$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-2.jpg?height=420&width=529&top_left_y=858&top_left_x=1089) + +6. A urna - Uma urna tem 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Se duas bolas são extraídas, qual é a probabilidade da diferença entre os números dessas 2 bolas ser 1 ? +7. Soma das raízes de um equação - Determine a soma das raízes distintas da equação $x^{2}+3 x+2=|x+1|$. +8. Produto de três números - No diagrama abaixo cada círculo representa um algarismo. Preencha o diagrama colocando em cada círculo um dos algarismos de 0 a 9 , utilizando cada algarismo uma única vez. + +$$ +\text { ○×○০×○○○=○○○○ } +$$ + +## Soluções da Lista 6 + +1. Dois divisores - Lembre que + +$$ +a^{4}-1=(a-1)\left(a^{3}+a^{2}+a+1\right) +$$ + +Logo, se $a=2^{12}$, temos: + +$$ +2^{48}-1=\left(2^{12}\right)^{4}-1=\left(2^{12}-1\right)\left(2^{36}+2^{24}+2^{12}+1\right) +$$ + +e $2^{12}-1=\left(2^{6}+1\right)\left(2^{6}-1\right)=65 \times 63$. A opção correta é (c). + +2. Rede de estações - O exemplo mostra que podemos conectar pelo menos 7 estações dentro das condições propostas. Começamos com uma estação particular, e vamos pensar nela como se fosse a base da rede. Ela pode ser conectada a 1, 2 ou 3 estações conforme mostra o diagrama. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-3.jpg?height=274&width=328&top_left_y=1439&top_left_x=864) + +Agora, as estações A, B e C têm ainda duas linhas não utilizadas, logo podem ser conectadas a duas outras estações como a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-3.jpg?height=469&width=525&top_left_y=2007&top_left_x=774) + +Agora, é impossível acrescentar mais estações porque qualquer outra a mais não poderia ser conectada à base satisfazendo as condições do problema. Isso mostra que não podemos ter mais do que 10 estações. Vamos agora verificar se podemos montar a rede com essas 10 estações. Observe no diagrama acima que apenas a Base é conectada a todas as outras estações (através de um cabo ou de uma conexão via uma estação). As estações que estão nos extremos ainda possuem duas linhas não utilizadas, e agora vamos usá-las para "fechar" a rede; veja o diagrama a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-4.jpg?height=628&width=711&top_left_y=1062&top_left_x=730) + +3. Bolas brancas e pretas - Inicialmente observe que depois de cada substituição o número de bolas brancas ou permance o mesmo ou decresce de 2 . Logo o número de bolas brancas permanece par. Por outro lado, cada grupo de bolas removidas que contém pelo menos 1 bola branca é substituído por outro que também contém 1 bola branca, o número de bolas brancas nunca é zero. Agora observe que a opção (b) é a única incluindo pelo menos 2 bolas brancas, logo ela é a opção correta. Um modo de obter esse resultado é remover 3 bolas brancas 49 vezes até obter 149 pretas e 2 brancas, e depois, remover 1 preta e 2 brancas 149 vezes. +4. $O$ cubo - Seja $a$ a aresta do cubo que queremos construir. Como a área lateral do cubo é $6 a^{2}$, devemos ter $6 a^{2} \leq 25 \times 60$, isto é $a^{2} \leq 250$ e assim $a<16$. Com $a=15$ temos $4=60 \div 15$ quadrados de lado $15 \mathrm{~cm}$ e sobra um retângulo de $60 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$. + +Podemos cortar um retângulo de $60 \mathrm{~cm}$ por $2,5 \mathrm{~cm}$ e os pedaços marcados com $\circledast$ de dimensões $15 \mathrm{~cm}$ por $7,5 \mathrm{~cm}$. Assim na figura a linha pontilhada indica dobradura e a linha continua indica corte e com os pedaços de cartolina marcados com $\circledast$ formamos a tampa. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-5.jpg?height=223&width=537&top_left_y=1162&top_left_x=768) + +5. Um quadrado e um triângulo - Sejam $l$ o comprimento do lado do quadrado, $h$ a altura do triângulo $\triangle X A B, H$ a altura do triângulo $\triangle X Y Z$ e $b$ o comprimento do lado $Y Z$. + +A área do quadrado é $l^{2}$ e a área do tri ângulo $\triangle X Y Z$ é $\frac{b H}{2}$. Como os triângulos $X Y Z$ e $A B C$ são semelhantes, temos + +$$ +\frac{b}{l}=\frac{H}{h}=\frac{X Y}{X A} +$$ + +Portanto $b=\frac{H l}{h}=\frac{(h+l) l}{h}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_2b4d243432ecfddb5212g-5.jpg?height=417&width=534&top_left_y=1867&top_left_x=1069) + +Assim a área do triângulo $\triangle X Y Z$ é: $\frac{b H}{2}=\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}$ e a razão $\frac{X A}{X Y}$ é + +$$ +\frac{X A}{X Y}=\frac{h}{H}=\frac{h}{h+l}=\frac{1}{1+\frac{l}{h}} +$$ + +Logo, basta calcular $\frac{l}{h}$. + +Como a razão entre as área do triângulo $\triangle X Y Z$ e a área do quadrado é $\frac{32}{7}$, então + +$$ +\frac{\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}}{l^{2}}=\frac{32}{7} \Longrightarrow(h+l)^{2}=\frac{64}{7} h l \Longrightarrow l^{2}-\frac{50}{7} h l+h^{2}=0 +$$ + +Dividindo por $h^{2}$ obtemos a equação quadrática $\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-\frac{50}{7}\left(\frac{l}{h}\right)+1=0$, que tem como soluções + +$$ +\frac{l}{h}=\frac{\frac{50}{7} \pm \sqrt{\left(\frac{50}{7}\right)^{2}-4}}{2}=\frac{25 \pm \sqrt{25^{2}-7^{2}}}{7}=\frac{25 \pm 24}{7} +$$ + +Assim $\frac{l}{h}$ tem dois possíveis valores $\frac{1}{7}$ e 7 , e em cada um destes casos $\frac{X A}{X Y}$ é $\frac{7}{8}$ e $\frac{1}{8}$, respectivamente. + +6. A urna - Observemos que se extraímos a primeira bola com um número entre 2 e 5 , então dentre as 5 bolas que ficam na urna temos duas possíveis bolas que cumprem a condição do problema, logo neste caso a probabilidade que a segunda bola cumpra a condição é $\frac{2}{5}$ e a probabilidade que a primeira bola tenha um número entre 2 e 5 é $\frac{4}{6}$. Por outro lado, se a primeira bola extraída é 1 ou 6 , só temos uma bola na urna que cumpre a condição, logo neste caso a probabilidade para a escolha da segunda bola é $\frac{1}{5}$ e a probabilidade da primeira bola ser 1 ou 6 é $\frac{2}{6}$. Portanto, a probabilidade das bolas serem consecutivas é + +$$ +\frac{4}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{3} +$$ + +7. Soma das raizes de um equação - Temos que considerar dois casos. + +Caso 1: $x \geq-1$. + +Nesse caso, $x^{2}+3 x+2=x+1$, e $\log x^{2}+2 x+1=0$ que só possui a solução $x=-1$. + +Caso 2: $x<-1$. + +Nesse caso, $x^{2}+3 x+2=-x-1$, $\operatorname{logo} x^{2}+4 x+3=0$ que tem, no intervalo, apenas a solução $x=-3$. + +Assim as únicas soluções distintas da equação são -1 e -3 , cuja soma é -4 . + +8. Produto de três números - Sejam $a, b, c, \ldots$ os números em cada círculo como indicado abaixo. + +## $(a) \times(b)(c) \times(d)(e) f=(g)(b)(j)$ + +Temos que $a, c$ e $f$ não podem ser zero, pois $0 \times x=0$. + +Mas, o produto dos três números é um número de 4 algarismos, assim, $a b d<10$ e portanto os números que aparecem em dito produto são $1,2,3$ ou $1,2,4$. Observemos que a segunda é impossível porque o mínimo produto que podemos obter neste caso é + +$$ +1 \times 23 \times 456=10488 +$$ + +assim $a b d=6$ e o produto é maior do que 6000. Por outra parte $a$ não pode ser 2 ou 3 porque nesse caso o mínimo valor que tem o produto é + +$$ +2 \times 14 \times 356=9968 +$$ + +e os outro produtos ficam maiores do que 10000. Portanto $a=1$. + +Continuando essa análise, obtemos a solução: + +$$ +(1) \times(2) \times(3)(4)=8(9)(7)(0) +$$ + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..32658e0bc5d171284130c475cc45696d2ccbbf44 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N1.md @@ -0,0 +1,39 @@ +# Lista 7 + +1. Operações com decimais - Efetue $\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}$ +2. Fatores inteiros - Decompor 96 em dois fatores inteiros cuja soma dos quadrados seja 208 . +3. Divisibilidade - No número $6 a 78 b$, a é o algarismo da unidade de milhar e $b$ é o algarismo da unidade. Se $6 a 78 b$ é divisível por 45 , então o valor de $a+b$ é: +(a) 5 +(b) 6 +(c) 7 +(d) 8 +(e) 9 +4. Número simples - Um número inteiro positivo é denominado simples se ele tem apenas os algarismos 1 ou 2 (ou ambos). Quantos números simples existem inferiores a um milhão? +5. O retângulo do Luis - Luís desenhou um retângulo de $6 \mathrm{~cm}$ por $10 \mathrm{~cm}$, e quer dividi-lo em quatro partes. Cada parte tem área, respectivamente, $8 \mathrm{~cm}^{2}$, $12 \mathrm{~cm}^{2}, 16 \mathrm{~cm}^{2}, 24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão. +6. Venda de $\boldsymbol{T V}$ - O gerente de uma loja foi verificar qual tinha sido o preço de venda em 2006 de uma televisão da marca VejoTudo. Encontrou uma fatura meio apagada, onde se lia: "lote de 72 TV's da VejoTudo vendido por $R \$ \ldots 679 \ldots$ reais", onde os algarismos da unidade e da dezena de milhar estavam ilegíveis. Qual foi o preço de venda em 2006 de cada uma dessas televisões? +7. Chocolate - Henrique comprou barras de chocolate por $R \$ 1,35$ cada uma. Ele pagou com uma nota de $R \$ 10,00$ reais e recebeu de troco menos do que $R \$ 1,00$. Quantas barras ele comprou? + +## Soluções da Lista 7 + +## 1. Operações com decimais - Temos: + +$$ +\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}=\frac{0,008+1}{1,2}=\frac{1,008}{1,2}=0,84 +$$ + +2. Fatores inteiros - No Exercício 7 da Lista 2, encontramos os fatores positivos 8 e 12. As duas possibilidades são: 8 e 12 ou -8 e -12 . +3. Divisibilidade - O número é divisível por 5 e 9. + +Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5 . Assim, $b=0$ ou $b=5$. + +Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número múltiplo de 9 . + +Logo, temos que $6+a+7+8+0=21+a$ ou $6+a+7+8+5=26+a$ são múltiplos de 9. Donde, $a=6$ ou $a=1$, respectivamente. Daí temos: $a+b=6+0=6 \quad$ ou $a+b=1+5=6$. + +4. Número simples - Se o número é menor do que um milhão, então ele tem 6 algarismos. Para cada posição deste número temos duas possibilidades: 1 ou 2. Como são 6 posições temos $2^{6}=64$ números simples. +5. O retângulo do Luís - Como $24=4 \times 6$, então ele construiu o primeiro retângulo, tirando $4 \mathrm{~cm}$ do lado de $10 \mathrm{~cm}$, sobrando um quadrado de lado $6 \mathrm{~cm}$. Sendo $16=4 \times 4$, ele construiu um quadrado de lado $4 \mathrm{~cm}$ sobrando dois retângulos de áreas $(6-4) \times 4=8 \mathrm{~cm}^{2}$ e $(6-4) \times 6=12 \mathrm{~cm}^{2}$, como, por exemplo, a divisão mostrada na figura ao lado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b5c341d562c6157835e4g-4.jpg?height=340&width=463&top_left_y=407&top_left_x=791) + +6. Venda de $\boldsymbol{T V}$ - Sejam $a$ o algarismo da dezena de milhar e $b$ o da unidade. Como o número é divisível por $72=8 \times 9$ temos que $79 b$ é um número par divisível por 8 . Testando os valores de $b=0,2,4,6$ e 8 , vemos que $b=2$. Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Então, $a+6+7+9+2=a+24$ é um múltiplo de 9. Logo, $a=3$. Assim, cada TV custou: $36792 \div 72=511$ reais. +7. Chocolate - Como $8 \times 1,35=10,8$ é maior do que 10, então ele comprou 7 barras de chocolate e recebeu de troco: $10-7 \times 1,35=0,55$ reais ou 55 centavos. diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d3b4b8277da9cd1ad469a37256c5da6ddb03b31 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N2.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# Lista 7 + +1. Jantar aos sábado - Três casais jantam todo sábado no mesmo restaurante, numa mesma mesa redonda. A política do restaurante é : + +(a) jamais colocar juntos à mesa como vizinhos marido e mulher; + +(b) a disposição dos seis à mesa é diferente a cada sábado. + +Durante quantos sábados os casais poderão ir ao restaurante sem repetir as disposições à mesa? + +2. Expressão com radicais - O valor de $(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}$ é: +(a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ +(b) $\frac{1}{2}(7+3 \sqrt{5})$ +(c) $1+2 \sqrt{3}$ +(d) 3 +(e) $3+2 \sqrt{2}$ +3. Uma diferença - O valor de $\frac{\sqrt[3]{-0,001} \times \sqrt{400}}{\sqrt{0,25}}-\frac{\sqrt{0,036}-\sqrt{0,4}}{\sqrt{0,4}}$ é: +(a) $-3,3$ +(b) $-4,7$ +(c) $-4,9$ +(d) $-3,8$ +(e) $-7,5$ +4. A Terra - A superfície do globo terrestre consiste de água (70\%) e de terra (30\%). Dois quintos da terra são desertos ou cobertos por gelo e, um terço é pastagem, floresta ou montanha; o resto é cultivado. Que percentual da superfície total do globo terrestre é cultivada? +5. Uma fração - Determine $\frac{A N}{A C}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dd76292562bf30692f44g-2.jpg?height=411&width=340&top_left_y=431&top_left_x=1121) + +6. Cáculo de ângulo - Na figura $P Q$ é paralelo a $R S$ e $T U=T V$. Se o ângulo $\widehat{T W S}=110^{\circ}$, o ângulo $\widehat{Q U V}$ mede: +(a) $135^{\circ}$ +(b) $130^{\circ}$ +(c) $125^{\circ}$ +(d) $115^{\circ}$ +(e) $110^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dd76292562bf30692f44g-2.jpg?height=509&width=479&top_left_y=1316&top_left_x=800) + +7. Uma loja de brinquedos - Uma loja estava vendendo um brinquedo por $R \$ 13,00$ a unidade. Para conseguir vender todo o seu estoque que não era superior a 100 unidades, resolveu abaixar o preço de um número inteiro de reais. Com isso, conseguiu vender todo o estoque por $R \$ 781,00$. Qual foi a redução do preço, por unidade? + +## Soluções da Lista 7 + +1. Jantar aos sábado - Para simplificar, vamos denotar cada casal por um par de números: $(1,2),(3,4),(5,6)$, onde em cada par, um número representa o marido e o outro a mulher. Três pares não podem ser vizinhos $(1,2),(3,4)$, $(5,6)$ + +Veja duas disposições possíveis; no sentido horário começando em 1: 1-3-2-5$4-6$ e $1-6-4-5-2-3$. + + + + +Fixando a posição do 1 na mesa e lendo os números formados no sentido horário, o problema se resume em encontrar todos os números de 6 algarismos distintos que podem ser escritos com os algarismos $1,2,3,4,5$ e 6 , onde: + +- os números todos começam com o algarismo 1; +- não podem aparecer juntos 1 e 2,3 e 4, 5 e 6 . + +Encontramos os 16 números que estão na tabela. + +| 132546 | 132645 | 135246 | 135264 | 135426 | 136245 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 136254 | 136425 | 142536 | 142635 | 145236 | 145326 | +| 146235 | 146325 | 153246 | 154236 | | | + +Logo, a resposta é 16 sábados. + +## 2. Expressão com radicais - + +$$ +(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}=(1+\sqrt{2})^{2}=1+2 \sqrt{2}+2=3+2 \sqrt{2} +$$ + +A opção correta é (e). + +3. Possiveis triângulos - Os lados de um triângulo têm comprimentos: $a, a+2$ e $a+5$, onde $a>0$. Determine os possíveis valores de $a$. + +Solução: Como a soma dos comprimentos dos lados menores deve ser maior que o comprimento do lado maior, então temos que $a+(a+2)>a+5$, assim $a>3$. + +4. Uma diferença - (a) Temos: + +$\frac{-0,1 \times 20}{0,5}-\frac{\sqrt{0,4}(\sqrt{0,09}-1)}{\sqrt{0,4}}=-\frac{20}{5}-(0,3-1)=-4-0,3+1=-3,3$. + +5. A Terra - A fração da terra que é cultivada é + +$$ +1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{15-6-5}{15}=\frac{4}{15} +$$ + +Como a terra é $\frac{3}{10}$ do globo, temos que área cultivada é $\frac{4}{15} \times \frac{3}{10}=\frac{2}{25}$ do globo, isto é o $\frac{2}{25} \times 100 \%=8 \%$ do globo terrestre. + +6. Uma fração - A figura mostra que $M N$ é paralelo a $B C$, logo os triângulos $A B C$ e $A M N$ são semelhantes, e por isso seus lados são proporcionais. Usando o lado dos quadradinhos da grade da figura, temos: $\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7}$. Logo, + +$$ +\frac{A N}{A C}=\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7} +$$ + +7. Cáculo de ângulo - Como as retas $P Q$ e $R S$ são paralelas, então os ângulos $\widehat{T W S}$ e $\widehat{Q T W}$ são complementares. Assim temos que + +$$ +\widehat{Q T W}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} +$$ + +Por outro lado, sabemos que o triângulo $\triangle U T V$ é isósceles, logo os ângulos em $U$ e em $V$ são iguais. Usando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ temos que + +$$ +2 \widehat{T U V}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} +$$ + +Portanto + +$$ +\widehat{T U V}=55^{\circ} \text { e } \widehat{Q U V}=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ} +$$ + +A opção correta é (c). + +8. Uma loja de brinquedos - Se $x$ é o desconto em reais e $y$ é o número de peças, então + +$$ +(13-x) \times y=781 \text { e } y<100 +$$ + +Assim, $(13-x)$ e $y$ são divisores de 781 . Como $781=11 \times 71$, a única solução é $y=71$ e $13-x=11$. Logo, a redução foi de $R \$ 2,00$. + +Observação: $x=12$ e $y=781$ é solução da equação $(13-x) \times y=781$, mas não do problema porque devemos ter $y<100$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37fe9e748ce4a2d7b018d485588c3872b6aeec0a --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L7_N3.md @@ -0,0 +1,208 @@ +# Lista 7 + +1. Área do triângulo - Determine a área do triângulo $A B C$ mostrado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-1.jpg?height=345&width=437&top_left_y=553&top_left_x=1272) + +2. Duas tabelas - As duas tabelas abaixo foram formadas de acordo com uma mesma regra, mas na segunda indicamos apenas três números. Qual o número que deve ser colocado na casa com $\star$ ? + +| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | +| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 | +| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | +| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-1.jpg?height=403&width=434&top_left_y=1215&top_left_x=1188) + +3. A seqüência $\boldsymbol{a b c}$ - A lei de formação da sequiência $10, a, 30, b, c, \ldots$ é: cada termo, começando com o 30, é o dobro da soma dos dois termos imediatamente anteriores. Qual o valor de $c$ ? +4. Perímetro e diagonal - O perímetro de um retângulo $A B C D$ á $20 \mathrm{~m}$. O menor comprimento, em metros, que a diagonal $A C$ pode ter é: +(a) 0 +(b) $\sqrt{50}$ +(c) 10 +(d) $\sqrt{200}$ +(e) $20 \sqrt{5}$ +5. As idades numa classe - Numa classe na escola, todos os alunos têm a mesma idade, exceto sete que têm 1 ano a menos e dois que têm 2 anos a mais. + +A soma das idades de todos os alunos dessa classe é 330. Quantos alunos tem essa classe? + +6. A mesa redonda - Uma mesa redonda tem $1,40 m$ de diâmetro. Para uma festa, a mesa é aumentada colocando-se três tábuas de $40 \mathrm{~cm}$ de largura cada uma, como mostra a figura. Se cada pessoa à mesa deve dispor de um espaço +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-2.jpg?height=506&width=724&top_left_y=618&top_left_x=996) +de $60 \mathrm{~cm}$, quantos convidados poderão se sentar na mesa? +7. Brincadeira com 7 números - Sete números inteiros positivos estão escritos em ordem crescente numa mesma linha. Coloque entre esses números cinco sinais de " + " e um só de " $=$ " para obter uma igualdade. +8. Um terreno compartilhado - Três amigas compraram um terreno quadrado e querem reparti-lo como indicado na figura, por que em $A$ se encontra uma fonte de água. Elas querem também que as áreas das três partes sejam iguais. Onde devem estar os pontos $M$ (sobre $B C)$ e $N$ (sobre $C D)$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-2.jpg?height=320&width=332&top_left_y=2147&top_left_x=859) + +## Soluções da Lista 7 + +1. Área do triângulo - Para determinar a á rea basta conhecer o comprimento de uma base e sua respectiva altura. Se $A C$ é uma base, então a altura corta $A C$ no ponto $H=(1,0)$. Assim, a base $A C=8$ e a altura $B H$ relativa a essa base é 7 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-3.jpg?height=348&width=439&top_left_y=551&top_left_x=1408) +Logo, a área do triângulo é $\frac{7 \times 8}{2}=28$. + +## 2. Duas tabelas - + +| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | +| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 | +| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | +| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-3.jpg?height=397&width=440&top_left_y=1138&top_left_x=1185) + +Observemos que na primeira tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão 3 e cada coluna é uma progressão aritmética de razão 7. Suponhamos que na segunda tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão $a$ e cada coluna é uma progressão aritmética de razão $b$. Assim temos que: + +| $39-2 a$ | $39-a$ | 39 | $39+a$ | $39+2 a$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $39-2 a+b$ | | | | $39+2 a+b$ | +| $39-2 a+2 b$ | | | | 87 | +| 56 | | | | | +| | | | $\star$ | | + +Logo: $\left\{\begin{array}{l}39+2 a+2 b=87 \\ 39-2 a+3 b=56 .\end{array}\right.$ Somando essas duas equações obtemos $78+$ $5 b=143$, donde $b=13$ e $a=\frac{48-2 b}{2}=11$. Portanto, o número na posição da é: $39+a+4 b=39+11+4 \times 13=102$. +3. $\boldsymbol{A}$ seqüência $\boldsymbol{a b c}$ - Sabemos que $30=2(10+a), \log o=5$. Assim + +$$ +b=2(30+a)=2(30+5)=70 +$$ + +e + +$$ +c=2(b+30)=2(70+30)=200 +$$ + +4. Perímetro e diagonal - Denotemos por $a$ e $b$ os comprimentos dos lados do retângulo, assim $2 a+2 b=20$, $\log a+b=10$. Por outro lado quadrado do comprimento da diagonal pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras, assim $d^{2}=a^{2}+b^{2}$. Como + +$$ +\begin{aligned} +2 d^{2} & =2 a^{2}+2 b^{2}=\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right) \\ +& =(a+b)^{2}+(a-b)^{2} \\ +& =100+(a-b)^{2} +\end{aligned} +$$ + +temos que o comprimento da diagonal é mínimo quando $a=b$, e neste caso $2 d^{2}=100$ e $d=\sqrt{50}$. A opção correta é (b). + +5. As idades numa classe - Denotemos por $a$ a idade comum dos alunos e $n$ o número de alunos, assim temos 7 alunos com $a-1$ anos, 2 com $a+2$ anos e o resto, isto é, $n-9$ com $a$ anos. Assim a soma das idades é + +$$ +7(a-1)+2(a+2)+(n-9) a=n a-3=330 +$$ + +$\log o$ + +$$ +n a=333=9 \times 37 +$$ + +Como a classe tem mais do que 9 alunos, então $a=9$ e $n=37$, portanto a classe tem 37 alunos. + +## 6. A mesa redonda - + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-5.jpg?height=510&width=750&top_left_y=470&top_left_x=752) + +O perímetro de mesa aumentada é + +$$ +140 \times \pi+40 \times 6 \simeq 140 \times 3,14+240=679,60 \mathrm{~cm} +$$ + +Se cada convidado precisa de $60 \mathrm{~cm}$ para colocar-se ao redor da mesa e + +$$ +\frac{679,60}{60} \simeq 11,3 +$$ + +Então, podem se acomodar 11 convidados. + +## 7. Brincadeira com 7 números - + +Solução 1 - Os 7 números podem ser escritos como + +$$ +\underbrace{n-3, n-2, n-1}_{3 n-6}, n, \underbrace{n+1, n+2, n+3}_{3 n+6} +$$ + +Observando que $3 n-6+12=3 n+6$, concluímos que $n=12$. Logo, os números são + +$$ +9+10+11+12=13+14+15 +$$ + +Solução 2 - Seja $n+1, n+2, \ldots, n+7$ os sete números consecutivos e suponhamos que + +$$ +(n+1)+\cdots+(n+k)=(n+k+1)+\cdots+(n+7) +$$ + +Como os números à esquerda são menores, então tem mais somandos à esquerda, assim $k \geq 4$. Supondo $k=4$, a igualdade anterior é + +$$ +4 n+1+2+3+4=3 n+5+6+7 +$$ + +$\log n=8$. No caso $k=5$ temos que + +$$ +5 n+1+2+3+4+5=2 n+6+7 +$$ + +que não gera solução inteira. De igual forma $k=6$ não gera solução inteira positiva. Portanto a única solução é + +$$ +9+10+11+12=13+14+15 +$$ + +8. Um terreno compartilhado - Como as áreas de $\triangle A B M$ e $\triangle A D N$ são iguais e $A B=A D$ temos então + +$$ +\frac{B M \times A B}{2}=\frac{N D \times A D}{2} \Longrightarrow B M=D N +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-6.jpg?height=320&width=343&top_left_y=1345&top_left_x=1325) + +Assim, a figura $A M C N$ é simétrica com respeito à diagonal $A C$. Portanto, a área do $\triangle A C N$ é a metade da área do $\triangle A D N$. Agora, como esses triângulos têm a mesma altura então $D N=2 N C$ e pela simetria temos que $B M=2 M C$. Concluímos que $B M$ é $2 / 3$ do lado do quadrado, o mesmo ocorrendo com $D N$. + +## Lista 8 + +1. As duas partículas - Duas partículas, $A$ e $B$, percorrem uma circunferência de $120 m$ de comprimento. A partícula $A$ gasta 3 segundos menos que $B$, por estar animada com uma velocidade maior de 2 metros por segundo. Qual é a velocidade de cada partícula? +2. Queda livre - Um corpo em queda livre demora 11 segundos para tocar o solo. No primeiro segundo ele percorre $4,5 \mathrm{me}$, em cada segundo que segue, a distância percorrida aumenta de $9,8 \mathrm{~m}$. Qual a altura da queda e quantos metros ele percorreu no último segundo? +3. Um caminho retangular - Janete passeia por um caminho de forma retangular $A B C D$ com largura $A B=1992 \mathrm{~m}$. Ela gasta 24 minutos para percorrer a largura $A B$. Depois, com a mesma velocidade, ela percorre o comprimento $B C$ e a diagonal $C A$ em 2 horas e 46 minutos. Qual é o comprimento $B C$ ? +4. O preço do feijão - A tabela e o gráfico, dados a seguir, mostram a evolução do preço médio de três tipos de feijão, A, B e C, na bolsa de alimentos durante os primeiros quatro meses de certo ano: Desses 3 tipos, os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no preço nesse período são: +(a) $A$ e $B$ +(b) $A$ e $C$ +(c) $B$ e $C$ +(d) $C$ e $A$ +(e) $C$ e $B$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-7.jpg?height=657&width=440&top_left_y=1919&top_left_x=1413) + +| | jan | fev | mar | abr | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| A | 65,67 | 83,33 | 96,67 | 103,33 | +| B | 73,30 | 80,50 | 99,55 | 109,50 | +| C | 64,50 | 71,57 | 89,55 | 100,00 | + +5. Interseç̧ão de triângulos - Os 3 triângulos da figura se cortam em 12 pontos diferentes. Qual é o número máximo de pontos de intersecção de 3 triângulos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-8.jpg?height=340&width=623&top_left_y=1155&top_left_x=748) + +6. Comparar triângulos - Na figura, estão indicados os comprimentos dos segmentos. Demonstre que $A C$ divide o ângulo $\widehat{D A B}$ ao meio. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_bd5219fde2a4a59a7005g-8.jpg?height=251&width=531&top_left_y=1682&top_left_x=1179) + +7. Queima de velas - Dois tipos de vela têm o mesmo comprimento mas são feitas de material diferente; uma queima completamente em 3 horas e a outra em 4 horas, ambas queimam com velocidade uniforme. A que horas as velas devem ser acesas de modo que às 16 horas o comprimento de uma seja o dobro do da outra? +(a) $1: 24$ +(b) $1: 28$ +(c) $1: 36$ +(d) $1: 40$ +(e) $1: 48$ +8. Uma distração - Em vez de multiplicar certo número por 6, Julia se distraiu e dividiu o número por 6. O erro cometido por Julia foi de aproximadamente +(a) $100 \%$ +(b) $97 \%$ +(c) $83 \%$ +(d) $17 \%$ +(e) $3 \%$ diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48051e771a3a6a740a20696bb52210a2944ec4f7 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N1.md @@ -0,0 +1,161 @@ +# Lista 8 + +1. $O$ quadradinho - Qual o valor de $\square$ em $\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square$ ? +2. Dois números - O produto de dois números de dois algarismos cada um é 1728. Se e o máximo divisor comum $(m d c)$ deles é 12, quais são esses números? +3. As idades dos irmãos - No dia de seu aniversário de 7 anos, 13 de março de 2007, uma $3^{a}$-feira, Carlos disse a seu irmão: "A contar de hoje, faltam 2000 dias para você completar 15 anos". Em que dia da semana vai cair o aniversário do irmão de Carlos?. Quantos anos terá Carlos nesse dia? +4. A mistura de concreto - Uma certa mistura de concreto é feita de cimento, areia e terra na razão $1: 3: 5$ por quilo. Quantos quilos dessa mistura pode ser feita com 5 quilos de cimento? +(a) $13 \frac{1}{3}$ +(b) 15 +(c) 25 +(d) 40 +(e) 45 +5. Ponto na escala - A que número corresponde o ponto $\mathrm{P}$ na escala abaixo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-1.jpg?height=100&width=894&top_left_y=2023&top_left_x=701) + +6. O pomar do Francisco - O pomar do Francisco tem macieiras, pereiras, laranjeiras, limoeiros e tangerineiras, dispostas em cinco filas paralelas, cada uma com uma única variedade de árvores, da seguinte maneira: + +- as laranjeiras estão do lado dos limoeiros; +- as pereiras não estão do lado das laranjeiras nem dos limoeiros; +- as macieiras estão do lado das pereiras, mas não dos limoeiros, nem das laranjeiras. + +Em que fila estão as tangerineiras? +(a) $1^{\underline{a}}$ +(b) $2^{\underline{a}}$ +(c) $3^{\underline{a}}$ +(d) $4^{\underline{a}}$ +(e) $5^{\underline{a}}$ + +7. Quatro quadrados - Quatro quadrados iguais, com $3 \mathrm{~cm}^{2}$ de área cada um, estão superpostos formando a figura abaixo. Qual é a área dessa figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-2.jpg?height=442&width=803&top_left_y=1304&top_left_x=638) + +8. O fio de arame - Com um fio de arame Ernesto formou a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-2.jpg?height=63&width=303&top_left_y=2073&top_left_x=885) + +Qual das figuras abaixo ele pode formar com o mesmo fio de arame, cortando ou não o fio? +(a) + + +(b) $\mathrm{a}$ +(c) + + +(d) $ิ$ +(e) 8 + +9. Quantos fósforos são necessários para formar o oitavo termo da seqüência, cujos três primeiros termos são mostrados abaixo? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-3.jpg?height=74&width=570&top_left_y=614&top_left_x=866) +(a) 21 +(b) 24 +(c) 27 +(d) 30 +(e) 34 + +## Soluções da Lista 8 + +1. $O$ quadradinho - Por simplificação $\frac{6400000}{400}=16000$, logo: + +$$ +\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square \quad \Longrightarrow \quad 16000=1,6 \times +$$ + +Segue que $\square=10000$. + +2. Dois números - Como 12 é o maior divisor comum dos dois números, ambos são múltiplos de 12 , logo estão dentre os números + +$$ +12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144, \ldots +$$ + +Da lista acima, temos três únicas possibilidades: + +$$ +\begin{aligned} +& 12 \times 144=1728 \text { e } m d c(12,144)=12 \\ +& 24 \times 72=1728 \quad \text { e } \quad m d c(24,72)=24 \\ +& 36 \times 48=1728 \quad \text { e } \quad m d c(36,48)=12 +\end{aligned} +$$ + +Logo, temos duas soluções: 12 e 144, ou 36 e 48 . + +$$ +\begin{aligned} +& 12=2^{2} \times 3,144=2^{4} \times 3^{2} \\ +& m d c(12,144)=2^{2} \times 3 +\end{aligned} +$$ + +72 é múltiplo de 24 , $\Rightarrow m d c(24,72)=24$ + +$36=2^{2} \times 3^{2}$ e $48=2^{4} \times 3$, $\Rightarrow m d c(36,48)=2^{2} \times 3$ + +3. As idades dos irmãos - Dividindo 2000 por 7 obtemos $2000=7 \times 285+5$. Logo, 2000 dias equivalem a 285 semanas mais 5 dias. Como o dia 13 de março de 2007 caiu em uma terça-feira, contando os 5 dias restantes, temos que o aniversário do seu irmão cairá em um domingo. + +Agora, dividindo 2000 por 365 obtemos $2000=365 \times 5+175$. Logo, 2000 é, aproximadamente, igual a cinco anos e meio, portanto Carlos terá 12 anos de idade. + +4. A mistura de concreto - De acordo com os dados do problema temos: + +$$ +\begin{array}{cccc} +\text { cimento } & \text { areia } & & \text { terra } \\ +1 \mathrm{~kg} & \longleftrightarrow 3 \mathrm{~kg} & \longleftrightarrow & 5 \mathrm{~kg} +\end{array} +$$ + +Logo, com $5 k g$ de cimento temos: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { cimento } \quad \text { areia } \quad \text { terra } \\ +& 1 \mathrm{~kg} \times 5 \longleftrightarrow 3 \mathrm{~kg} \times 5 \longleftrightarrow 5 \mathrm{~kg} \times 5 +\end{aligned} +$$ + +Assim, com 5 quilos de cimento essa mistura tem $5+15+25=45 \mathrm{~kg}$. + +5. Ponto na escala - A distância entre os pontos inicial e final é de: 12,62 $12,44=0,18$. Como estão marcados 18 intervalos, o comprimento de cada um deles é de $0,18 \div 18=0,01$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-5.jpg?height=109&width=891&top_left_y=1413&top_left_x=702) + +O número $P$ está na $6^{\underline{a}}$ posição à direita de 12,44 . Assim, o ponto $P$ vale: + +$$ +12,44+0,01 \times 6=12,50 +$$ + +6. O pomar de Francisco - Podemos observar que temos os dois pares de árvores: + +- laranjeiras e limoeiros, +- macieiras e pereiras, + +que não são vizinhos. Como $5=2+1+2$, temos que as tangerineiras estão na $3^{\underline{a}}$ fila. + +7. Quatro quadrados - Se a área de cada quadrado é $3 \mathrm{~cm}^{2}$ e cada um deles está dividido em 16 quadradinhos, então a área de cada quadradinho é $\frac{3}{16} \mathrm{~cm}^{2}$. Como os 4 quadrados se superpõem em 6 quadradinhos, temos que a área da figura é: + +$$ +4 \times 3-6 \times \frac{3}{16}=12-\frac{9}{8}=10,875 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-6.jpg?height=457&width=807&top_left_y=842&top_left_x=636) + +8. O fio de arame - A figura é composta de 3 semicírculos, o que exclui as opções (b), (c) e (e), e 4 segmentos de reta. A opção (a) só tem 3 segmentos, logo a opção correta é (d). + +Observação: Esse exercício usa uma certa "informalidade", pois para decidirmos entre as opções (a) e (d), estamos admitindo que cada segmento de reta na figura tem o comprimento do diâmetro dos círculos. + +9. Observe que o número de fósforos da sequiência é formado da seguinte maneira: + +$$ +\begin{aligned} +1^{o} \text { termo } & =3+3=\mathbf{2} \times 3 \\ +2^{\underline{o}} \text { termo } & =3+3+3=\mathbf{3} \times 3 \\ +3^{-} \text {termo } & =3+3+3+3=\mathbf{4} \times 3 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o $8^{o}$ termo da seqüência é: $(8+1) \times 3=27$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_372bf95320fb8596c1bdg-6.jpg?height=114&width=637&top_left_y=2427&top_left_x=755) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb8e0f69d53a51dc8b280024e92e0fadc8a44cb1 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2007_L8_N2.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# Lista 8 + +1. Fração de fração - Qual o valor de $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ ? +2. Potências de 3 - Se $3^{n}=2$ então quanto vale $27^{2 n}$ ? +3. Aumento de preço - Se o preço de um produto subiu de $R \$ 5,00$ para $R \$ 5,55$, qual foi a taxa percentual de aumento? +4. Roseiras em fila - Jorge ganhou 15 roseiras para seu jardim, com a condição de plantá-las em 6 filas de 5 roseiras cada uma. Isso é possível? Em caso afirmativo faça um desenho indicando para Jorge como plantar as roseiras. +5. Calculadora diferente - Uma fábrica produziu uma calculadora original que efetua duas operações: + +- a adição usual + +- a operação $\circledast$ + +Sabemos que para todo número natural $a$ tem-se: + +$$ +\text { (i) } a \circledast a=a \quad \text { e (ii) } a \circledast 0=2 a +$$ + +e, para quaisquer quatro naturais $a, b, c$ e $d$ + +$$ +\text { (iii) }(a \circledast b)+(c \circledast d)=(a+c) \circledast(b+d) \text {. } +$$ + +Quais são os resultados das operações $(2+3) \circledast(0+3)$ e $1024 \circledast 48$ ? + +6. Dois quadrados - Na figura ao lado, a área do quadrado maior é $10 \mathrm{~cm}^{2}$ e do menor é $4 \mathrm{~cm}^{2}$. As diagonais do quadrado maior contém as diagonais do quadrado menor. Quanto mede a área da região tracejada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=380&width=374&top_left_y=484&top_left_x=1406) + +7. Paralelismo- Sendo $I L$ paralela à $E U$ e $R E$ paralela à $N I$, determine $\frac{F N \times F U}{F R \times F L}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=219&width=454&top_left_y=1164&top_left_x=915) + +8. Um subconjunto - O conjunto $\{1,2,3, \ldots, 3000\}$ contém um subconjunto de 2000 elementos tal que nenhum elemento é o dobro do outro? +9. Triângulos retângulos - Dada a figura com as marcas, determine $v, w, x, y$ e $z$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_99964c9a90a7dfca8690g-2.jpg?height=282&width=446&top_left_y=1895&top_left_x=1339) + +10. Uma desigualdade especial- Quais valores de $x$ satisfazem $x^{2}<|x|+2$ ? +(a) $x<-1$ ou $x>1$ +(b) $x>1$ +(c) $-20$ é positivo se $2-x$ é positivo, portanto $x<2$. Como a solução é simétrica temos que $-2 fichas | (11 | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | 5 | 6 | +| 7 | 8 | 9 | + +2. Nas igualdades abaixo, cada letra representa um algarismo: + +$$ +A B+B C=C D \quad \text { e } \quad A B-B C=B A +$$ + +quanto vale $A+B+C+D$ ? + +3. Rosa, Margarida e Dália são três constelações em forma de buquês de flores. Sabemos que: + +(a) O número de estrelas de Dália, que é a menor das três, é o quadrado de um quadrado; + +(b) O número de estrelas de Rosa é também o quadrado de um quadrado; +(c) Margarida tem 28561 estrelas; + +(d) Dália e Rosa têm juntas o mesmo número de estrelas do que Margarida. + +Quantas estrelas possuem Dália e Rosa cada uma? + +4. Veja a seguir a página do calendário de abril de 2005: + +| $\mathrm{D}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{T}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{Q}$ | $\mathrm{S}$ | $\mathrm{S}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | | | | 1 | 2 | +| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | +| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | +| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | + +Qual mês de 2005 ou de 2006 terá uma página igual? + +5. A faixa e o quadrado - Uma faixa retangular de cartolina tem $5 \mathrm{~cm}$ por $1 \mathrm{~cm}$. Corte a faixa com 4 cortes retilíneos de modo a poder montar um quadrado com as peças obtidas (n vale superposição das peças). +6. Um número e o sêxtuplo - Um número de 3 algarismos e seu sêxtuplo são formados pelos mesmos algarismos. A soma dos algarismos desse número é 17 e a de seu sêxtuplo é 21. Qual é esse número? Existe mais do que um? +7. Oito dentro de um retângulo - Coloque dentro dos círculos do retângulo abaixo os números de 1 a 8 de modo que a diferença entre dois números ligados por um segmento seja sempre maior do que 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-3.jpg?height=294&width=488&top_left_y=378&top_left_x=887) + +8. Uma estratégia com um número muito grande - Carlos escreveu em seguida todos os números de 1 a 60 : + +$$ +1234567891011121314 \cdots 57585960 +$$ + +Depois ele riscou 100 algarismos de modo que o número formado com os algarismos que não foram riscados fôsse o maior possível, sem mudar a ordem inicial de como os algarismos foram escritos. Qual é esse número? + +9. Um número surpreendente - Um número surpreendente é um número divisível por 9 , de nove algarismos diferentes, nenhum deles igual a 0 tal que: + +(a) o número formado pelos 2 primeiros algarismos é divisível por 2; + +(b) o número formado pelos 3 primeiros algarismos é divisível por 3; + +(c) o número formado pelos 4 primeiros algarismos é divisível por 4; + +(d) o número formado pelos 5 primeiros algarismos é divisível por 5; + +(e) o número formado pelos 6 primeiros algarismos é divisível por 6; + +(f) o número formado pelos 7 primeiros algarismos é divisível por 7; + +(g) o número formado pelos 8 primeiros algarismos é divisível por 8; + +Qual é esse número? + +10. Qual é o erro? - Uma das afirmações abaixo é falsa: + +(a) André é mais velho do que Bruno; + +(b) Cláudia é mais nova do que Bruno + +(c) A soma das idades de Bruno e Cláudia é o dobro da idade de André; + +(d) Claúdia é mais velha do que André. + +Quem é o mais velho? E o mais novo? + +11. Soma - Nessa exercício, as letras representam algarismos. Determine cada uma das parcelas da soma abaixo. + +$$ +\begin{array}{r} +a b c d e f \\ +a b c d e f \\ ++\quad g h i j \\ +\hline d e f h j f +\end{array} +$$ + +12. Bolinhas - Rogério coloca seis bolinhas sobre a mesa de modo a formar dois quadrados, como na figura. Ele percebe que havia esquecido de colocar mais uma bolinha. Complete a figura formada pelas bolinhas com essa bolinha a mais, de modo a formar 3 quadrados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-4.jpg?height=148&width=263&top_left_y=2253&top_left_x=905) + +13. Um número não divisivel por 5 - Determine quais números naturais $n$ entre 2001 e 2007, tornam o número $1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}$ não divisível por 5 . +14. Quatro frações e um inteiro - Quantos números naturais $a, b, c$ e $d$, todos distintos, existem tais que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ seja um inteiro? +15. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - O Rei Arthur teve que lutar com o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas. Sua tarefa ficou facilitada quando conseguiu arranjar uma espada mágica que podia, de um só golpe, fazer uma e somente uma das seguintes coisas: + +- cortar uma cabeça; +- cortar duas cabeças; +- cortar uma cauda; +- cortar duas caudas. + +Além disso, a Fada Morgana lhe revelou o segredo do dragão: + +- se uma cabeça é cortada uma nova cresce; +- se duas cabeças são cortadas nada acontece; +- no lugar de uma cauda nascem duas caudas novas; +- se duas caudas são cortadas uma nova cabeça crece e +- o dragão morre se perder as três cabeças e as três caudas. + +Quantos golpes o Rei Artur vai precisar para matar o dragão? + +16. Num tabuleiro $5 \mathrm{x} 5$, um cavaleiro do jogo de xadrez está na casa marcada com A. Depois ele se move marcando as casa por onde passa: + +$\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{F} \rightarrow \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{H}$. + +| $\mathrm{A}$ | | | | $\mathrm{G}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | $\mathrm{H}$ | | | +| | $\mathrm{B}$ | | $\mathrm{F}$ | | +| | | $\mathrm{D}$ | | | +| $\mathrm{C}$ | | | | $\mathrm{E}$ | + +Partindo da casa $\mathrm{H}$, o cavaleiro se move pelo tabulaeiro até ter passado por todas as 25 casas. Descreva o trajeto que ele fez. + +17. Oito dados são agrupados formando um cubo. Quantas faces ficam visíveis? + +## Respostas dos desafios + +1. + +| 1 | 2 | 3 | +| ---: | :--- | :--- | +| 13 | 0 | 11 | +| 4 | 5 | 6 | +| 6 | 8 | 10 | +| 7 | 8 | 9 | +| 5 | 16 | 3 | + +2. 23 +3. $\mathrm{D}=4225=25 \times 169$ e $\mathrm{R}=144 \times 169=24336$ +4. Setembro de 2006 +5. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-7.jpg?height=140&width=615&top_left_y=1512&top_left_x=458) +6. 746 (solução única?) + +7. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-7.jpg?height=272&width=482&top_left_y=1917&top_left_x=433) +8. 9999785960 . +9. 381654729 + +10. Cláudia e Bruno. +11. 3 soluções: + +$$ +\begin{array}{r} +231468 \\ +231468 \\ ++\quad 5972 \\ +\hline 468908 +\end{array} +$$ + +| 264538 | +| ---: | +| 264538 | +| faa40c486-0c5b-40ec-b6aa-b6edefa7eba3}273548
273548
538178{f0e77e3de-7314-4231-af2b-bc51aefbe492 | +| 548698 | + +12. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9fafc06d2f66b4576bc5g-8.jpg?height=226&width=228&top_left_y=909&top_left_x=366) +13. 2004 +14. 1 +15. 5 + +16. + +| A | X | M | R | G | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| N | S | H | $Y$ | $L$ | +| I | B | $W$ | $F$ | $Q$ | +| T | O | $D$ | $K$ | $V$ | +| $C$ | $J$ | $U$ | $P$ | $E$ | + +17. 20 diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2008_L1_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2008_L1_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08a0e707cc88b63f627e20c4886b35d34d779e61 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2008_L1_N1.md @@ -0,0 +1,164 @@ +# Nível 1 + +## Lista 1 + +1. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é formado por lajotas retangulares de $4 \mathrm{~cm}$ de largura por $6 \mathrm{~cm}$ de comprimento. Maricota parte do ponto $M$ e Nandinha do $N$, andando ambas apenas pelos lados dos retângulos, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-1.jpg?height=317&width=500&top_left_y=1252&top_left_x=869) + +(a) As duas se encontram depois de andarem a mesma distância. Qual foi essa distância? + +(b) Aonde elas se encontraram? + +2. A soma é 100 - A soma de 3 números é 100, dois são primos e um é a soma dos outros dois. + +(a) Qual é o maior dos 3 números? + +(b) Dê um exemplo desses 3 números. + +(c) Quantas soluções existem para esse problema? + +3. Código de barras - Um serviço postal usa barras curtas e barras longas para representar o Código de Endereçamento Postal - CEP. A barra curta corresponde ao zero e a longa ao 1. A primeira e a última barra não fazem parte do código. A tabela de conversão do código é mostrada abaixo. + +$$ +\begin{array}{ll} +11000=0 & 01100=5 \\ +00011=1 & 10100=6 \\ +01010=2 & 00001=7 \\ +00101=3 & 10001=8 \\ +00110=4 & 10010=9 +\end{array} +$$ + +(a) Escreva os CEP 36470130 na forma de código de barras. + +(b) Identifique o CEP que representa o código de barras abaixo: + +## |||||||||||||||||||||||||||||||||||| + +4. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum deles. + +(a) Quantos alunos tem a escola? + +(b) Quantos alunos jogam somente futebol? + +(c) Quantos alunos jogam futebol? + +(d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes? + +5. Dizima periódica - Qual é o algarismo da $1997^{\mathrm{a}}$ casa decimal de: +(a) $\frac{1}{22}$ +(b) $\frac{1}{27}$ + +## Soluções do Nível 1 + +## Lista 1 + +## 1. O trajeto das formiguinhas - + +(a) O trajeto de $M$ a $N$ é composto de 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas, logo seu comprimento é: + +$$ +14 \times 6+12 \times 4=84+48=132 \mathrm{~cm} +$$ + +Como as formiguinhas percorrem a mesma distância, cada uma deve andar $132 \div 2=66 \mathrm{~cm}$. + +(b) Vamos acompanhar o percurso feito por Maricota desde o início, até completar $66 \mathrm{~cm}$ : + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 6=12}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+12=16}+\underbrace{3 \text { comprimentos }}_{18+16=34}+\underbrace{2 \text { larguras }}_{8+34=42}+ \\ +& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{12+42=54}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+54=58}+\underbrace{1 \text { comprimento }}_{6+58=64}+\underbrace{1 / 2 \text { largura }}_{2+64=66} +\end{aligned} +$$ + +O caminho de Maricota até o ponto de encontro está indicado na figura : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-3.jpg?height=471&width=1013&top_left_y=2055&top_left_x=687) + +## 2. A soma é 100 - + +(a) Inicialmente observe que: + +- o maior número é a soma dos outros dois; +- o maior número não pode exceder 50, senão a soma dos três seria maior do que 100 ; +- o maior número não pode ser menor que 50, senão a soma dos três seria menor do que 100 . + +Logo, o maior número só pode ser 50. + +(b) Os números 3, 47 e 50 formam uma solução do problema. + +(c) Existem tantas soluções quantos são os pares de primos que somam 50. A tabela mostra todas as soluções. Logo, esse problema tem 4 soluções. + +| 3 | 47 | 50 | +| :---: | :---: | :---: | +| 7 | 43 | 50 | +| 13 | 37 | 50 | +| 19 | 31 | 50 | + +## 3. Código de barras - + +(a) Primeiramente, escrevemos o CEP na forma de 0's e 1's: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-4.jpg?height=100&width=888&top_left_y=2274&top_left_x=641) + +Podemos, agora, escrever o código de barras desse CEP: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-4.jpg?height=91&width=694&top_left_y=2487&top_left_x=635) + +Lembre que a primeira e a última barra não fazem parte do código. +(b) Primeiramente, escrevemos o código de barras na forma de 0's e 1's: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-5.jpg?height=149&width=763&top_left_y=585&top_left_x=795) + +Podemos, agora, escrever o CEP: 20240020. + +## 4. Atletas da escola - + +(a) + +O número total de alunos na escola é dado pela fração 12/12, que graficamente podemos representar por um retângulo dividido em 12 partes iguais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-5.jpg?height=251&width=326&top_left_y=1208&top_left_x=1502) + +Denotaremos por V, F e NE o número de alunos que jogam somente vôlei, somente futebol e nenhum desses esportes, respectivamente. Agora temos: + +- os $1 / 4$ dos alunos que jogam somente vôlei correspondem a 3 quadrados; +- os $1 / 3$ dos alunos que jogam somente futebol correspondem a 4 quadrados; +- os 1/12 dos alunos que não jogam nenhum desses esportes correspondem a 1 quadrado. + +| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{F}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{NE}$ | +| | | | | + +Sobram, então, 4 retângulos para os alunos que não jogam vôlei futebol, ou seja esses 300 alunos correspondem a 4/12 = 1/3 do total dos alunos +da escola. Logo, o total de alunos na escola é + +$$ +300 \times 3=900 +$$ + +(b) Temos que $\frac{1}{3} \cdot 900=300$ é o total de alunos que jogam somente futebol. + +(c) Neste caso, os alunos que jogam futebol são os que jogam só futebol mais os que jogam futebol e vôlei, ou seja, $300+300=600$. + +(d) O total de alunos que praticam um dos esportes é $\frac{11}{12} \cdot 900=825$, pois $1 / 12$ dos alunos não praticam nenhum dos esportes. + +## 5. Dizima periódica - + +(a) Dividindo 1 por 22 temos: $\frac{1}{22}=0,0454545 \ldots$ Observemos que o algarismo 4 está nas posicões pares: $2,4,6, \ldots$ e o algarismo 5 nas posições ímpares: $3,5,7 \ldots$ Como 1997 é um número ímpar temos que o algarismo da $1997^{\text {a }}$ casa decimal é o 5 . + +(b) Dividindo 1 por 27 temos: $\frac{1}{27}=0,037037037 \ldots$ + +Observemos que os algarismos 0,3 e 7 se repetem, sucessivamente, a cada três casas decimais, sendo que o algarismo: + +- 0 está nas posições: $1,4,7, \ldots$, ou seja, se divididas por três deixam resto 1 ; +- 3 está nas posições: $2,5,8, \ldots$, ou seja, se divididas por três deixam resto 2 ; +- 7 está nas posições: $3,6,9, \ldots$, ou seja, são múltiplos de 3 . + +Como a divisão $1997 \div 3$ deixa resto 2 , o algarismo da $1997^{a}$ casa decimal é o 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_b9d1398cc05f7e479435g-6.jpg?height=119&width=209&top_left_y=2459&top_left_x=1506) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b925b563854a8e9d408aa9ec19af7f5df382e8b8 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N1.md @@ -0,0 +1,1234 @@ +# Nível 1 + +## Lista 1 + +1. Encontro de amigos - Embora eu esteja certo de que meu relógio está adiantado 5 minutos, ele está, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que está correto. Nós marcamos um encontro às 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegará em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegará o outro? +2. Trabalho comunitário - Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, $60 \%$ dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? +(A) 1 +(B) 2 +(C) 4 +(D) 6 +(E) 8 +3. Área de trapézios - Unindo quatro trapézios iguais de bases $30 \mathrm{~cm}$ e $50 \mathrm{~cm}$ e lados não paralelos iguais, como o da figura, podemos formar um quadrado de área $2500 \mathrm{~cm}^{2}$, com um "buraco" quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em $\mathrm{cm}^{2}$ ? +(A) 200 +(B) 250 +(C) 300 +(D) 350 +(E) 400 +4. Adivinhação - Pensei em 2 números de dois algarismos, que não possuem algarismos em comum, sendo um o dobro do outro. Além disso, os algarismos do menor número são a soma e a diferença dos algarismos do maior número. Quais são os números? +5. 18 números consecutivos - Escreva 18 números consecutivos de 3 algarismos e verifique que um deles é divisível pela soma de seus algarismos. + +Isso é sempre verdade. Ou seja: se você escrever 18 números consecutivos de 3 algarismos, então um deles é divisível pela soma de seus algarismos. Mostre este fato. + +## Lista 2 + +1. Completar uma tabela - Descubra a regra utilizada para as casas já preenchidas e complete a tabela. Qual é o valor de A? + +| $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathbf{1}$ | 2 | 5 | 10 | | +| $\mathbf{2}$ | | | | | +| $\mathbf{3}$ | | | | | +| $\mathbf{4}$ | | | | A | + +2. Procurando múltiplos de 9 - Consideremos um conjunto formado por 10 números naturais diferentes. Se calculamos todas as diferenças entre esses números, pelo menos uma dessas diferenças é um múltiplo de 9? +3. Correndo numa praça - Um atleta costuma correr $15,5 \mathrm{~km}$ ao redor de uma praça retangular de dimensões $900 \mathrm{~m} \times 600 \mathrm{~m}$. Ele inicia a corrida sempre do ponto $P$ situado a $550 \mathrm{~m}$ de um dos vértices correndo no sentido horário, como mostra a figura. Em que ponto da praça ele para? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-02.jpg?height=284&width=441&top_left_y=953&top_left_x=1281) + +4. Ovos para um bolo - Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que gasta menos de 9 ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de 2 ou de 3 ou de 4 ou de 5 ou de 6 ovos, sempre sobra 1 ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual o menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos? +5. Cálculos H e V - Você consegue colocar os números de 1 a 8 dentro dos círculos, sem repeti-los, de modo que os cálculos na horizontal e na vertical sejam corretos? + +DICA: Quais as possibilidades para a multiplicação? Quais os possíveis lugares para o número 1 ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-02.jpg?height=239&width=290&top_left_y=1515&top_left_x=1449) + +## Lista 3 + +1. Cortando uma cartolina - Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços obtidos, foram feitos 2 cortes paralelos aos 2 lados menores e pelos pontos médios desses lados. Ao final sobrou um retângulo de perímetro $129 \mathrm{~cm}$. O desenho abaixo indica a sequência de cortes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-03.jpg?height=176&width=870&top_left_y=622&top_left_x=586) + +Qual era o perímetro da folha antes do corte? + +2. A soma errada - A soma ao lado está incorreta. Para corrigi-la basta 742586 substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta $\quad+829430$ por um outro algarismo. Quais são esses dois algarismos? 1212016 +3. Número de 5 algarismos - Os algarismos $1,2,3,4$ e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um número de 5 algarismos $a b c d e$, tal que: $a b c$ é divisível por $4, b c d$ por 5 , e $c d e$ por 3 . Encontre esse número. +4. Tabela misteriosa - Complete a tabela $6 \times 6$ de modo que em cada linha e cada coluna apareçam apenas múltiplos de um dos números: + +$$ +2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 +$$ + +Você pode repetir apenas um número na tabela. + +| 32 | | | 40 | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | 49 | | +| | | 22 | | | | +| | 15 | | | | | +| | | 24 | | | | +| | | | | 42 | | + +5. Habitantes e esporte - Numa cidade com quase 30 mil habitantes, dois nonos dos homens e dois quinze avos das mulheres pratica esporte somente nos finais de semana, e o número de habitantes que não pratica esporte é o quíntuplo dos que praticam esporte regularmente. Com esses dados, complete a tabela. + +| Não praticam esporte | | Praticam esporte somente
nos finais de semana | | Praticam esporte
regularmente | | População | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total | +| 8563 | 8322 | | | | 1252 | | + +## Lista 4 + +1. Botões luminosos - No mecanismo luminoso da figura, cada um dos oito botões pode acender as cores verde ou azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser ligado, todos os botões acendem a luz azul, e se apertamos um botão, esse botão e seus vizinhos trocam de cor. Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os botões 1,3 e 5 , qual será o número de luzes verdes que estarão acesas no final? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-04.jpg?height=407&width=415&top_left_y=371&top_left_x=1321) +(A) 3 +(B) 4 +(C) 5 +(D) 6 +(E) 7 + +2. Qual é o número? - Um número de 6 algarismos começa por 1 . Se deslocamos esse algarismo 1 da primeira posição para a última à direita, obtemos um novo número de 6 algarismos que é o triplo do número de partida. Qual é esse número? +3. Jardim variado - Um jardim retangular de $120 \mathrm{~m}$ por $80 \mathrm{~m}$ foi dividido em 6 regiões como na figura, onde $N, M$ e $P$ são pontos médios dos lados, e $R$ divide o comprimento na razão $1 / 3$. Em cada região será plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa, margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e bromélia, cujos preços, por $\mathrm{m}^{2}$ estão indicados na tabela. Quais as possíveis escolhas das flores em cada região, de modo a gastar o mínimo possível? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-04.jpg?height=358&width=458&top_left_y=1350&top_left_x=389) + +| Tipo | Preço por $\mathrm{m}^{2}$ | +| :--- | :---: | +| rosa | 3,50 | +| margarida | 1,20 | +| cravo | 2,20 | +| bem-me-quer | 0,80 | +| violeta | 1,70 | +| bromélia | 3,00 | + +4. O algarismo 3 - Luis escreveu a sequência de números naturais a partir de 1: + +$$ +1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots +$$ + +Quando ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\text {a }}$ vez? + +5. Soma de potências - $\mathrm{O}$ número $3^{444}+4^{333}$ é divisível por 5 ? + +## Lista 5 + +1. Telefonemas - João mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade, ele telefona para seus pais a cada três dias. O primeiro telefonema foi feito no domingo, o segundo telefonema na $4^{a}$ feira, o terceiro telefonema no sábado, e assim por diante. Em qual dia da semana João telefonou para seus pais pela centésima vez? +2. O maior produto - Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal de multiplicação $\times$ Clara forma o produto de 2 números, com o sinal $\times$ entre eles. Como Clara deve colocar os cartões para obter o maior produto possível? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-05.jpg?height=186&width=198&top_left_y=568&top_left_x=1473) +3. O caminho da Joaninha - Dona Joaninha quer atravessar um pátio com azulejos quadrados numerados como mostra a figura. Ela vai partir do ponto $\mathrm{P}$ e quer chegar ao ponto $\mathrm{C}$ andando somente sobre os lados dos azulejos. Dona Joaninha não quer ter números primos à sua direita ao longo de todo o percurso. Qual é o menor percurso que ela pode fazer? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-05.jpg?height=347&width=499&top_left_y=781&top_left_x=1233) + +4. O lugar dos amigos - Sete amigos traçaram um triângulo, um quadrado e um círculo. Cada um marcou seu lugar com um número: + +Ana: "Eu não falarei nada." + +Bento: "Eu estou dentro de uma única figura." + +Celina: "Eu estou dentro das três figuras." + +Diana: "Eu estou dentro do triângulo mas não do quadrado." + +Elisa: "Eu estou dentro do triângulo e do círculo." + +Fábio: "Eu não estou dentro de um polígono." + +Guilherme: "Eu estou dentro do círculo." + +Encontre o lugar de cada um. + +5. Quadrado perfeito? - Cada um dos cinco números abaixo tem 100 algarismos, e é formado pela repetição de um ou dois algarismos: + +$$ +\begin{aligned} +& N_{1}=333333 \ldots 3 \\ +& N_{2}=666666 \ldots 6 \\ +& N_{3}=151515 \ldots 15 \\ +& N_{4}=212121 \ldots 21 \\ +& N_{5}=272727 \ldots 27 +\end{aligned} +$$ + +Algum destes números é um quadrado perfeito? + +## Lista 6 + +1. Preenchendo quadradinhos - Complete os quadradinhos com os números $1,2,3,5,6$. + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square \div \square=4 +$$ + +2. Os 3 números - Sofia brinca de escrever todos os números de 4 algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 1,2,4 e 7 . Ela soma 3 desses números - todos diferentes - e obtém 13983. Quais são esses 3 números? +3. Preencher uma tabela - Jandira deve preencher uma tabela $4 \times 4$ que já vem com duas casas preenchidas com os números 1 e 2 - veja ao lado. Duas casas são consideradas vizinhas se têm um vértice ou um lado em comum. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-06.jpg?height=192&width=260&top_left_y=782&top_left_x=1472) + +As regras que ela tem que obedecer são: + +- uma casa só pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas já contém um número; +- ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os números que já constam em suas casas vizinhas. + +Qual é o maior número que é possível escrever na tabela? + +4. Olimpíada de Pequim - Na Olimpíada de Pequim sentaram-se, em uma mesa quadrada, as mulheres, Maria e Tânia, e os homens, Juan e David, todos atletas. Cada um deles pratica um esporte diferente: natação, vôlei, ginástica e atletismo. Eles estavam sentados da seguinte maneira: + +(a) Quem pratica a natação estava à esquerda de Maria. + +(b) Quem pratica ginástica estava em frente a Juan. + +(c) Tânia e David sentaram-se lado a lado. + +(d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei. + +Qual dos atletas pratica atletismo? + +5. Culturas diferentes - Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglês Ralph que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas línguas, mas têm um problema com as datas: a data $08 / 10$ no Brasil significa 8 de outubro, e na Inglaterra 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram não se escrever nos dias em que a data for ambígua. Eles preferem datas como $25 / 03$ que só pode significar 25 de março. + +(a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph não podem se escrever? +(i) 3 de dezembro +(ii) 18 de agosto +(iii) 5 de maio + +(b) Quando ocorre o maior período em que os dois amigos não podem se escrever? + +## Lista 7 + +1. Uma liquidação - Na liquidação da loja SUPER-SUPER todos os produtos estão $50 \%$ mais baratos, e aos sábados existe ainda um desconto adicional de $20 \%$. Carla comprou uma calça antes da liquidação, e agora ela se lamenta: Nesse sábado eu teria economizado $R \$ 50,40$ na calça. Qual era o preço da calça antes da liquidação? +2. Número com muitos zeros - Se $a$ é o número $0, \underbrace{000 \ldots 000}_{2009 \text { zeros }} 1$, então qual das expressões a seguir representa o maior número? +(A) $3+a$ +(B) $3-a$ +(C) $3 a$ +(D) $3 / a$ +(E) $a / 3$ +3. Corrida das tartarugas - Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situação foi a seguinte: Sininha está $10 \mathrm{~m}$ atrás de Olguinha e $25 \mathrm{~m}$ à frente de Rosinha que está $5 \mathrm{~m}$ atrás de Elzinha que está $25 \mathrm{~m}$ atrás de Pulinha. Qual foi a ordem de chegada? +4. Que memória... - Esquecinaldo tem péssima memória para guardar números, mas ótima para lembrar sequências de operações. Por isso, para lembrar do seu código bancário de 5 algarismos, ele consegue se lembrar que nenhum dos algarismos é zero, os dois primeiros algarismos formam uma potência de 5 , os dois últimos formam uma potência de 2 , o do meio é um múltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos é um número ímpar. Agora ele não precisa mais decorar o número porque ele sabe que é o maior número que satisfaz essas condições e que não tem algarismos repetidos. Qual é esse código? +5. Uma fração irredutível - Encontre uma fração irredutível tal que o produto de seu numerador pelo denominador seja $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 10$. Quantas dessas frações irredutíveis existem? + +## Lista 8 + +1. Transformar em decimal - Escreva o resultado das seguintes expressões na forma decimal: +(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}$ +(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)$ +(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}$ +2. Uma sequência especial - Escrevendo sucessivamente os números naturais, obtemos a sequência: + +$$ +12345678910111213141516171819202122 \ldots +$$ + +Qual algarismo está na $2009^{a}$ posição dessa sequência? + +3. Cortar um retângulo - Como cortar um retângulo de $13 \mathrm{~cm}$ por $7 \mathrm{~cm}$ em 13 retângulos diferentes? +4. Medida de ângulo - Na figura, $A \widehat{O} D$ e $B \widehat{O} Y$ são ângulos retos e a medida de $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$. Além disso, os pontos $C$ e $Y$ estão sobre a reta $r$, enquanto $D$ e $E$ estão sobre a reta $s$. Os possíveis valores para a medida de $A \widehat{O} C$ variam de: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-08.jpg?height=409&width=531&top_left_y=1216&top_left_x=453) + +(A) $30^{\circ}$ a $40^{\circ}$ + +(B) $40^{\circ}$ a $50^{\circ}$ + +(C) $50^{\circ}$ a $60^{\circ}$ + +(D) $40^{\circ}$ a $60^{\circ}$ + +(E) não podem ser determinados + +5. Perímetros e áreas - Um quadrado tem $\sqrt{3}+3 \mathrm{~cm}$ de lado, e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são $\sqrt{72}+3 \sqrt{6}$ e $\sqrt{2}$. Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro? +6. Cálculo de ângulo - Encontre $B \widehat{A} D$, sabendo que $D \widehat{A C}=39^{\circ}, A B=A C$ e $A D=B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-08.jpg?height=368&width=545&top_left_y=1838&top_left_x=1126) + +## Lista 9 + +1. O caminho da formiga - Uma formiga sai de um ponto $A$, anda $7 \mathrm{~cm}$ para a esquerda, $5 \mathrm{~cm}$ para cima, $3 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $9 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $1 \mathrm{~cm}$ para a esquerda e $1 \mathrm{~cm}$ para baixo, chegando no ponto $B$. Qual é a distância d entre $A$ e $B$ ? +(A) $0 \mathrm{~cm}$ +(B) $1 \mathrm{~cm}$ +(C) $4 \mathrm{~cm}$ +(D) $5 \mathrm{~cm}$ +(E) $7 \mathrm{~cm}$ +2. Menino mentiroso - Joãozinho mente nas terças-feiras, quintas-feiras e sábados e o resto dos dias fala a verdade. Um dia Pedrinho encontra com Joãozinho e têm o seguinte diálogo: + +- Pedrinho pergunta: Que dia é hoje? +- Joãozinho responde: Sábado. +- Pedrinho pergunta: E que dia será amanhã? +- Joãozinho responde: Quarta-feira. + +Que dia da semana o Pedrinho encontrou com o Joãozinho? + +3. Encontre os 4 números - Encontre quatro números distintos de 3 algarismos, tais que a soma de três quaisquer deles é divisível pelo quarto número. +4. Colando 6 triângulos - Construa 6 triângulos equiláteros, o primeiro com lado de comprimento $1 \mathrm{~cm}$ e os triângulos seguintes com lado igual a metade do lado do triângulo anterior, como indicado na figura ao lado. Qual é o perímetro desta figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-09.jpg?height=287&width=417&top_left_y=1315&top_left_x=1236) + +5. Os livros da Elisa - Elisa tem 24 livros de ciências e outros de matemática e literatura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matemática, então $\frac{1}{9}$ de seus livros seria de matemática e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos que 100 livros, quantos livros de matemática ela possui? + +## Lista 10 + +1. Divisão por 9 - + +(a) Listemos os primeiros 20092009 números naturais. Em seguida, substituímos, sucessivamente, cada número pela soma dos seus algarismos, até obtermos uma lista de números com apenas um algarismo. A lista tem mais algarismos 4 ou 5 ? Quantos 9 tem a lista? + +(b) Aplicando o mesmo processo ao número $3^{2009}$, isto é, substituindo o número pela soma dos seus algarismos, qual é o número de apenas um algarismo obtido? + +(c) E para o número $17^{2009}$ ? + +2. Uma brincadeira na sala de aula - A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira: escreva um número no quadro, se ele for ímpar acrescente 3 unidades ao número, e se ele for par divida o número por 2. + +Esta operação pode ser feita diversas vezes. A professora está interessada em obter no final o número 1 e perguntou para a classe: Como obter o número 1 após 3 operações? E após 4 operações? E após 5 operações? + +3. Calcule a idade - Laura e sua avó Ana acabaram de descobrir que, no ano passado, suas idades eram divisíveis por 8 e, no próximo ano, serão divisíveis por 7 . Vovó Ana ainda não é centenária. Qual é a idade de Laura? +4. Divisões e restos - $O$ dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1 . Qual o resto da divisão desse número por 5 ? +5. Preenchendo o círculo - Cada um dos sinais $\square, \boxplus, \boxtimes, \boxminus \mathrm{e} \boxminus$ representa um número de 1 algarismo. Descubra quem são eles e complete o número que falta no círculo em branco. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-10.jpg?height=111&width=935&top_left_y=1647&top_left_x=557) + +## Soluções do Nível 1 + +## Lista 1 + +1. Encontro de amigos - Eu chegarei quando meu relógio marcar $10 \mathrm{~h} 5 \mathrm{~min}$, uma vez que penso que o relógio está adiantado $5 \mathrm{~min}$. Como ele está atrasado $10 \mathrm{~min}$, chegarei, na verdade, as $10 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$. + +Meu amigo chegará quando seu relógio marcar 10 horas, pois ele pensa que o relógio está correto, mas na realidade serão $9 \mathrm{~h} 55 \mathrm{~min}$. Logo meu amigo chegará 20 min antes de mim. + +2. Trabalho comunitário - A resposta correta é (B). + +Do número total de alunos dessa classe, $60 \%$ foram prestar trabalho comunitário, isto é, $0,6 \times 40=24$. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de 2 vagas para as alunas. + +3. Área de trapézios - A resposta correta é (E). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-11.jpg?height=328&width=304&top_left_y=1267&top_left_x=347) + +Unindo os quatro trapézios, formamos um quadrado de lado $50 \mathrm{~cm}$, e portanto de área $2500 \mathrm{~cm}^{2}$. Como o "buraco" quadrado tem lado $30 \mathrm{~cm}$, sua área é $30 \times 30=900 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo, a área de cada um dos 4 trapézios, em $\mathrm{cm}^{2}$, é + +$$ +(2500-900) \div 4=1600 \div 4=400 +$$ + +4. Adivinhação - Já de início sabemos sobre o maior número: + +- é par por ser o dobro do menor mas não termina em zero porque o maior e o menor número não possuem algarismos em comum; +- seu algarismo das dezenas é no mínimo 2 porque sua metade é um número com 2 algarismos; +- a soma de seus algarismos é no máximo 9 , porque essa soma é um dos algarismos do menor número; + +Logo, os candidatos ao maior e menor número são: + +| maior | 22 | 32 | 62 | 72 | 34 | 44 | 54 | 26 | 36 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| menor | 11 | 16 | 31 | 36 | 17 | 22 | 27 | 13 | 18 | + +Por verificação, temos que 17 e 34 são os números que satisfazem as condições do problema. +5. 18 números consecutivos - Uma sequência de 18 números consecutivos possui sempre 2 termos que são múltiplos de 9 . Logo, a soma dos algarismos de cada um desses 2 números é um múltiplo de 9 . Observe que como os números têm 3 algarismos, a maior das somas que pode ocorrer é 27 . Logo as possibilidades para as somas dos algarismos desses 2 números são: + +(i) 9 e 9 + +(ii) 9 e 18 + +(iii) 18 e 18 + +(iv) 18 e 27 + +Vamos examinar alguns exemplos de cada um dos 4 casos. + +(i) 9 e 9 + +Exemplo: um dos números é 144, e o outro 135 ou 153. Veja algumas possíveis sequências: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-12.jpg?height=409&width=992&top_left_y=1091&top_left_x=534) + +(ii) 9 e 18 + +Exemplo: um dos números é 900 e o outro 891 ou 909 . Veja algumas possíveis sequências: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-12.jpg?height=406&width=992&top_left_y=1727&top_left_x=534) + +(iii) 18 e 18 + +Exemplo: um dos números é 828 e o outro 819 ou 837 . Veja algumas possíveis sequências: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-13.jpg?height=95&width=978&top_left_y=413&top_left_x=541) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-13.jpg?height=187&width=986&top_left_y=516&top_left_x=537) + +$\underbrace{}_{10 \circ}, \underbrace{}_{11 \varrho}, \underbrace{}_{12 \varrho}, \underbrace{}_{130}, \underbrace{}_{14 \varrho}, \underbrace{837}_{150}, \underbrace{}_{160}, \underbrace{}_{170}, \underbrace{840}_{180}$. + +(iv) 18 e 27 . + +Nesse caso um dos números é 999 e temos uma única opção para a sequência: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-13.jpg?height=200&width=992&top_left_y=995&top_left_x=534) + +Vamos agora analisar cada caso. Nos casos (i) e (ii) um dos números é divisível por 9 que é a soma de seus algarismos. No caso (iv) um dos números é 999 que é divisível por 27 . Finalmente no caso (iii) um dos números tem de ser par, pois são 2 múltiplos consecutivos de 9 . Logo, esse número é múltiplo de 2 e 9 , portanto múltiplo de 18 . + +1. Completar uma tabela - Observe que em cada quadrado formado por 4 quadradinhos, o número que está na parte inferior direita é a soma dos outros 3 números. Assim, temos: + +| $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathbf{1}$ | 2 | 5 | 10 | $3+4+10=17$ | +| $\mathbf{2}$ | $1+2+2=5$ | $2+5+5=12$ | $5+10+12=27$ | $10+17+27=54$ | +| $\mathbf{3}$ | 10 | 27 | 66 | 147 | +| $\mathbf{4}$ | 17 | 54 | 147 | $\mathbf{A}$ | + +Logo: + +$$ +\mathbf{A}=66+147+147=360 +$$ + +2. Procurando múltiplos de 9 - Sempre existe uma diferença que é um múltiplo de 9 . De fato, quando dividimos um número por 9 , podemos encontrar nove restos diferentes: $0,1,2,3,4,5,6,7$ ou 8 . Logo, entre os 10 números do conjunto, pelo menos dois deles têm mesmo resto quando divididos por 9 , já que temos no máximo 9 restos diferentes. + +Quando fazemos a diferença desses dois números que têm o mesmo resto, obtemos um número com resto zero, ou seja, divisível por 9 . + +3. Correndo numa praça - A distância que ele percorre a cada volta completa é igual ao perímetro da praça: + +$$ +2 \times 900+2 \times 600=3000 \mathrm{~m} +$$ + +Como $15,5 \mathrm{~km}=15500 \mathrm{~m}$ e $15500=5 \times 3000+500$, o atleta dá 5 voltas completas (partindo de $P$ e retornando a $P$ ), e corre ainda mais $500 \mathrm{~m}$. Portanto, ele para no ponto $Q$, a $150 \mathrm{~m}$ do vértice $B$, como na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-14.jpg?height=279&width=458&top_left_y=1601&top_left_x=1273) + +4. Ovos para um bolo - Como os 43 bolos têm a mesma receita, o número de ovos que a doceira precisa é um múltiplo de 43. Por outro lado, esse número também é um múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 acrescido de 1 . O mmc de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , mas $60+1=61$ não é múltiplo de 43! Precisamos, então, encontrar um número com essas duas propriedades: + +- é múltiplo de 43 ; +- acrescido de 1 é múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 . + +Lembre também que como a receita gasta menos de 9 ovos, o número que estamos procurando é menor do que $43 \times 9=387$. Temos: + +$$ +\begin{array}{ll} +60 \times 2+1=121 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 3+1=181 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 4+1=241 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 5+1=301 & \text { é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 6+1=361 & \text { não é múltiplo de } 43 +\end{array} +$$ + +Podemos parar por aqui porque os próximos números serão maiores do que 387. Logo, a doceira comprou 301 ovos. + +5. Cálculos H e V - Inicialmente, veja que os possíveis lugares para o número 1 estão mostrados ao lado. Já as multiplicações só podem ser $2 \times 3=6$ e $2 \times 4=8$. Agora, repare que o 2 só pode ser o multiplicando e não o multiplicador (tente colocá-lo como multiplicador e veja que isso não é possível). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=244&width=290&top_left_y=691&top_left_x=1449) + +Temos agora duas opções para preencher. + +1-a opção: $2 \times 3=6$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=252&width=1057&top_left_y=1126&top_left_x=339) + +2a opção: $2 \times 4=8$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=238&width=664&top_left_y=1538&top_left_x=342) +(6) $\div(3)=(2)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=146&width=356&top_left_y=1629&top_left_x=337) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-15.jpg?height=54&width=65&top_left_y=1637&top_left_x=1128) +(4) +(1) +7 (7) 8 + +## Lista 3 + +1. Cortando uma cartolina - Os lados do retângulo final obtido após os cortes são, cada um, a metade dos lados da cartolina original. Assim, o perímetro do retângulo original é o dobro do perímetro do retângulo final. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte é $2 \times 129=258 \mathrm{~cm}$. + +Observação. Ao fazer um corte paralelo a um dos lados do triângulo e pelo ponto médio desse lado, o outro corte que formará o retângulo, só pode ocorrer no ponto médio do outro lado, em vista da semelhança que ocorre desses triângulos. Assim, o enunciado contém um dado a mais, desnecessário para os que conhecem semelhança de triângulos. + +2. A soma errada - À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita dos números estão corretos, isto é, estão corretos os algarismos $0,1,3,4,5,6$ e 8 . Portanto, dentre os algarismos 2, 7 e 9, um deles está errado. O algarismo 9 está certo, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Sendo assim, sobraram 2 e 7 . Se o 7 estiver errado, então 2 estará correto, mas isso não é possível pois $1+4+2=7$. Logo, o 2 é que deve ser substituído. Olhando novamente para a soma $1+4+2$, vemos que o resultado é um número com o algarismo da unidade igual a 1. Logo, o algarismo 2 deve ser substituído por 6 . Fazendo a substituição, verificamos que a soma fica correta. +3. Número de 5 algarismos - Para que $a b c$ seja divisível por 4 , seus dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4 . Como os algarismos são $1,2,3,4$ e 5, as únicas possibilidades são: $b c=12, b c=24, b c=32, b c=52$. Por outro lado, os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 . Como 0 não está incluído, segue que $d=5$ pois $b c d$ é divisível por 5 . Isso exclui a possibilidade $b c=52$ porque não podemos repetir o 5. Até agora temos 3 possibilidades: + +$$ +a 125 e, \quad a 245 e, \quad a 325 e +$$ + +Vamos agora examinar esses 3 casos, para escolher os algarismos $a$ e $e$, lembrando que não pode haver repetição. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-16.jpg?height=482&width=1410&top_left_y=1842&top_left_x=324) + +Logo, o número é 12453 . + +4. Tabela misteriosa - Observemos que: + +- na última coluna estarão os múltiplos de 9 porque essa coluna está em branco e nenhum dos números que aparecem na tabela é múltiplo de 9 ; +- na 5 a linha estarão os múltiplos de 12 , pois é nessa linha que aparece o único múltiplo de 12 da tabela (24); +- na 4a coluna estarão os múltiplos de 10 , pois 40 é o único múltiplo de 10 na tabela; +- na $5^{a}$ coluna teremos múltiplos de 7 , pois 42 e 49 são os únicos múltiplos de 7 na tabela; +- na $2^{\text {a }}$ linha estarão os múltiplos de 7 , porque 1 e 7 são os únicos divisores de 49 menores do que 12 ; +- na $3^{\text {a }}$ coluna aparecerão os múltiplos de 2 , pois 2 é o único divisor comum de 22 e 24 diferente de 1 ; +- na $3^{\mathbf{a}}$ linha aparecerão os múltiplos de 11 , pois $22=2 \times 11$ e os múltiplos de 2 já estão na 3 ạ coluna; +- na 6 a linha aparecerão os múltiplos de 6 , pois os divisores de $42=2 \times 3 \times 7$ menores do que 12 e diferentes de 1 são $2,3,6$ e 7 . Os múltiplos de 2 e 7 já estão em seus respectivos lugares. Faltam os múltiplos de 3 e 6 . Os únicos múltiplos de 6 na tabela são 24 e 42 , e 24 já aparece na $5^{a}$ linha. + +Como $15=3 \times 5$ e os divisores comuns de 32 e 40 , menores do que 12 e diferentes de 1 , são 2 (já colocado na tabela), 4 e 8 , até o momento temos a seguinte situação: + +| | 4 ou 8 | 3 ou 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 ou 8 | 32 | | | 40 | | | +| 7 | | | $\mathbf{1 4}$ | $\mathbf{7 0}$ | 49 | $\mathbf{6 3}$ | +| 11 | | | 22 | $\mathbf{1 1 0}$ | $\mathbf{7 7}$ | $\mathbf{9 9}$ | +| 3 ou 5 | | 15 | | | | | +| 12 | | | 24 | $\mathbf{1 2 0}$ | $\mathbf{8 4}$ | $\mathbf{1 0 8}$ | +| 6 | | | $\mathbf{1 2}$ | $\mathbf{6 0}$ | 42 | $\mathbf{5 4}$ | + +Examinemos agora as possibilidades: + +I - Repetição de 2 números: 30 e 60 + +| | 8 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 32 | 20 | 8 | 40 | 28 | 36 | +| 7 | 56 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 88 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 3 | 24 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 | +| 12 | 96 | $\mathbf{6 0}$ | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | 48 | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 | + +II - Repetição de 3 números: 24, 30 e 60 + +| | 4 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 32 | 40 | 16 | 80 | 56 | 72 | +| 7 | 28 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 44 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 3 | 12 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 | +| 12 | 48 | $\mathbf{6 0}$ | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 | +| 6 | $\mathbf{2 4}$ | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 | + +III - Repetição de 2 números: 12 e 40 + +| | 8 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 32 | $\mathbf{1 2}$ | 8 | $\mathbf{4 0}$ | 28 | 36 | +| 7 | 56 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 88 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 5 | $\mathbf{4 0}$ | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 | +| 12 | 96 | 36 | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | 48 | 18 | $\mathbf{1 2}$ | 60 | 42 | 54 | + +IV - Repetição de apenas um número: 24 + +| | 4 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 32 | $\mathbf{2 4}$ | 16 | 80 | 56 | 72 | +| 7 | 28 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 44 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 5 | 20 | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 | +| 12 | 48 | 36 | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 | +| 6 | $\mathbf{2 4}$ | 18 | 12 | 60 | 42 | 54 | + +Logo, a única solução é a tabela IV. + +5. Habitantes e esporte - Dos dados na tabela temos $8563+8322=16885$ pessoas que não praticam esporte. Logo, a cidade tem $16885 \div 5=3377$ pessoas que praticam esporte regularmente, e portanto $3377-1252=2125$ pessoas do sexo feminino praticam esporte regularmente. + +Note que o número de pessoas que praticam esporte somente no fim de semana é divisível por 15 e por 9. Logo, precisamos encontrar o maior número, não superior a 30000 , múltiplo de 15 e 9 . Este número deve terminar em 0 ou 5 e a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de 9 . Como 29970 é o número mais próximo de 30000 , menor do que 30000 e múltiplo de 5 e 9 , podemos assumir que ele é a população total da cidade. + +Logo, $\frac{2}{15} \times 29970=3996$ e $\frac{2}{9} \times 29970=6660$ são as mulheres e os homens, respectivamente, que praticam esporte somente nos finais de semana. + +## Lista 4 + +1. Botões luminosos - A resposta correta é (C). + +A tabela mostra a cor de cada botão em cada etapa. + +| | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{8}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| início | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | +| apertando botão 1 | verde | verde | azul | azul | azul | azul | azul | verde | +| apertando botão 3 | verde | azul | verde | verde | azul | azul | azul | verde | +| apertando botão 5 | verde | azul | verde | azul | verde | verde | azul | verde | + +Logo, os botões que ficaram com luzes verdes acesas no final são $1,3,5,6$ e 8 , o que nos dá um total de 5 botões. + +2. Qual é o número? - O problema é determinar os algarismos $a, b, c, d$ e $e$ tais que o número $a b c d e 1$ seja o triplo de $1 a b c d e$ 1abcde: + +$$ +\frac{\times 3}{a b c d e 1} +$$ + +De início vemos que $e=7$, e a partir daí podemos ir descobrindo cada um dos algarismos: + +| $1 a b c d 7$ | $1 a b c 57$ | $1 a b 857$ | $1 a 2857$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\times 3$ | $\times 3$ | $\times 3$ | $\times 3$ | +| $a b c d 71$ | $a b c 571$ | $a b 8571$ | $a 2857$ | + +Portanto, $a=4$ e o número de partida é 142857 . + +3. Jardim variado - Os triângulos $1,2,5$ e 6 são retângulos, logo para calcular suas áreas vamos "enxergar" cada um deles como metade de um retângulo. Para isso precisamos saber dividir o terreno retangular em retângulos menores, de modo que nossa estratégia funcione: subdividimos o terreno em 16 retângulos de $15 \mathrm{~m}$ por $40 \mathrm{~m}$, como mostra a figura. Cada um desses retângulos tem $15 \times 40=600 \mathrm{~m}^{2}$ de área. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-19.jpg?height=383&width=506&top_left_y=1424&top_left_x=1227) + +Temos então: + +- área do triângulo $1=$ área do triângulo $5=\frac{1}{2} \times 4 \times 600=1200 \mathrm{~m}^{2}$ +- área do triângulo $2=\frac{1}{2} \times 6 \times 600=1800 \mathrm{~m}^{2}$ +- área do triângulo $6=\frac{1}{2} \times 2 \times 600=600 \mathrm{~m}^{2}$. + +Observe que a área do triângulo 4 é a metade da área do terreno todo subtraída das áreas de 3 triângulos: triângulo 5 , triângulo 6 e um triângulo formado por metade de 4 desses retângulos menores, temos então: + +área do triângulo $4=\frac{120 \times 80}{2}-\left(1200+600+\frac{4 \times 600}{2}\right)=4800-3000=1800 \mathrm{~m}^{2}$. + +Finalmente, a área do triângulo 3 é a área total do terreno subtraída da soma das áreas já calculadas dos outros 5 triângulos + +$$ +120 \times 80-(2 \times 1200+2 \times 1800+600)=9600-6600=3000 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Para que o gasto seja o menor possível, as flores mais caras devem ser plantadas nas menores regiões. Assim, a menor região é a 6 , onde deve ser plantada a flor mais cara, rosa, gastando $3,50 \times 600=2100,00$. A maior região é a 3 onde deve ser plantada a flor mais barata, bem-me-quer, gastando $0,80 \times 3000=2400,00$. + +As regiões 1 e 5 com áreas iguais a $1200 \mathrm{~m}^{2}$ devem ser plantadas bromélias e cravos, tendo os gastos: $(3,00+2,20) \times 1200=6240$. + +As regiões 2 e 4 com áreas $1800 \mathrm{~m}^{2}$ devem ser plantadas margarida e violeta com gasto de $(1,20+1,70) \times 1800=5220$. Temos então 4 diferentes maneiras de formar o jardim mantendo o mesmo preço mínimo. + +O gasto mínimo é $2100+2400+6240+5220=\mathrm{R} \$ 15960,00$. Veja a seguir uma das 4 possibilidades de escolhas das flores com o menor orçamento. + +| Região | Área $\mathrm{m}^{2}$ | Flor | Preço $^{2}$ | Total por flor | +| :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | +| 1 | 1200 | bromélia | 3,00 | $3,00 \times 1200=3600$ | +| 2 | 1800 | margarida | 1,20 | $1,20 \times 1800=2160$ | +| 3 | 3000 | bem-me quer | 0,80 | $0,80 \times 3000=2400$ | +| 4 | 1800 | violeta | 1,70 | $1,70 \times 1800=3060$ | +| 5 | 1200 | cravo | 2,20 | $2,20 \times 1200=2640$ | +| 6 | 600 | rosa | 3,50 | $3,50 \times 6=2100$ | +| | | | TOTAL: 15960 | | + +4. O algarismo 3 - Vejamos cada vez que Luis escreveu o algarismo 3: + +- $3 \rightarrow 1$; +- $\underbrace{13,23}_{2}, \underbrace{30,31,32,33, \ldots, 39}_{11}, \underbrace{43, \ldots, 93}_{6} \rightarrow 2+6+11=19$; + +Até aqui ele escreveu 20 vezes o algarismo 3. Daí temos: + +$$ +\underbrace{103}_{21 \mathrm{a}}, \underbrace{113}_{22 \mathrm{a}}, \underbrace{123}_{23 \mathrm{a}}, \underbrace{130}_{24^{\mathrm{a}}}, \underbrace{131}_{25 \mathrm{a}} . +$$ + +Logo, ao escrever o número 131, ele escreveu o algarismo 3 pela 25 a vez. + +5. Soma de potências - Existe um padrão para o algarismo das unidades de uma potência de 3: ele tem período 4 , pois se repete de 4 em 4 vezes. + +$$ +\begin{aligned} +& 3 \\ +& 3^{2}=9 \\ +& 3^{3}=27 \\ +& 3^{4}=81 \\ +& 3^{5}=243 \\ +& 3^{6}=\ldots 9 \\ +& 3^{7}=\ldots 7 \\ +& 3^{8}=\ldots 1 +\end{aligned} +$$ + +Como 444 é múltiplo de 4 , o algarismo das unidades de $3^{444}$ é 1 . + +Analogamente, o algarismo das unidades de potências de 4 tem período 2. De fato temos: + +$$ +\begin{array}{ll} +4^{1}=4 & ; \quad 4^{3}=64 \\ +4^{2}=16 \quad & ; \quad 4^{4}=256 +\end{array} +$$ + +Como 333 é ímpar, o algarismo das unidades de $4^{333}$ é 4 . Portanto, o algarismo das unidades de $3^{444}+4^{333}$ é $1+4=5$, e logo ele é divisível por 5 . + +LEMBRE: Os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou em 5 + +## Lista 5 + +1. Telefonemas - Uma vez que João liga para seus pais a cada 3 dias, podemos montar uma tabela que indica os dias da semana em que ocorreram os 14 primeiros telefonemas do João: + +| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 | + +Analisando a primeira linha dessa tabela percebemos que são 7 telefonemas, 1 em cada dia da semana e que, a partir do 70 telefonema, os dias começam a se repetir. Isto implica que, os números que aparecem na segunda linha da tabela são obtidos dos números que aparecem na primeira linha somados de 7 . + +Por exemplo, João telefonará para seus pais aos domingos nos telefonemas de números: + +$$ +\begin{aligned} +& 1 \\ +& 1+7=8 \\ +& 8+7=15 \\ +& 15+7=22 \\ +& 22+7=29 \\ +& 29+7=36 +\end{aligned} +$$ + +ou seja, nos números que deixam resto 1 quando divididos por 7 . + +Com este raciocínio podemos determinar o dia da semana que cai uma ligação, analisando o resto da divisão do número do telefonema por 7 . + +| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 | +| 8 | 13 | 11 | 9 | 14 | 12 | 10 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | +| resto 1 | resto 6 | resto 4 | resto 2 | resto 0 | resto 5 | resto 3 | + +Dividindo 100 por 7 , obtemos $100=7 \times 14+2$. Logo, o resto da divisão de 100 por 7 é 2 , e segue que o 100 o telefonema será numa quarta-feira. + +2. O maior produto - Observe que obtemos o maior resultado possível se um dos números começar com o algarismo 5 e o outro com 4 . Vejamos as possibilidades que dão o maior produto: + +- um dos fatores tem 1 algarismo: + +$5321 \times 4=21284 ; 4321 \times 5=21605$ + +- um dos fatores tem 2 algarismos: + +$532 \times 41=21812 ； 531 \times 42=22302 ； 521 \times 43=22403$ + +É bom usar uma calculadora. + +$432 \times 51=22032 ； 431 \times 52=22412 ； 421 \times 53=22313$. + +Logo, o melhor resultado é $431 \times 52=22412$. + +3. O caminho da Joaninha - Os números primos que aparecem na tabela são: $23,73,37,17$, $79,19,37,53$ e 251 . Logo, o caminho a ser percorrido pela Joaninha é apresentado na figura a seguir: + +| | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 23 | 213 | 73 | 37 | 17 | +| 218 | 79 | 65 | 19 | 57 | +| 37 | 53 | 231 | 87 | 251 | + +4. O lugar dos amigos - + +Observe que 3 é o único número dentro das três figuras, e 1 é o único que não está dentro de um polígono, logo: + +Celina $\rightarrow 3 ; \quad$ Fábio $\rightarrow 1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-23.jpg?height=241&width=247&top_left_y=1522&top_left_x=1470) + +Agora, 4 é o único número dentro do triângulo e do círculo, logo: Elisa $\rightarrow 4$. Nessa situação, 5 é o único dentro do triângulo mas não do quadrado, assim Diana $\rightarrow 5$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-23.jpg?height=241&width=244&top_left_y=1766&top_left_x=1474) + +Finalmente, 7 é o único número dentro de uma única figura, logo: Bento $\rightarrow 7$. Resta então, 2 dentro do círculo, assim Guilherme $\rightarrow 2$, e 6 para Ana. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-23.jpg?height=235&width=247&top_left_y=2013&top_left_x=1470) + +5. Quadrado perfeito? - Lembre que um número é um quadrado perfeito se na sua decomposição em fatores primos os expoentes são todos pares. Por exemplo: + +- $5^{4} \times 7^{6} \times 13^{2}$ é quadrado perfeito, pois é igual a $\left(5^{2} \times 7^{3} \times 13\right)^{2}$. + +Como nenhum número elevado ao quadrado termina em 3 , segue que $N_{1}=333 \ldots 3$ não é um quadrado. + +Temos que $N_{2}=666 \ldots 6=2 \times 333 \ldots 3$. Como $333 \ldots 3$ é ímpar, então na decomposição de $N_{2}$ em fatores primos não aparece 2 com expoente par. Logo, $N_{2}$ não é quadrado. + +Vejamos a divisibilidade por 3. A soma dos algarismos de cada um dos números é: + +$$ +\begin{aligned} +& N_{3} \leadsto 50 \times 15=750 \\ +& N_{4} \leadsto 50 \times 21=1050 \\ +& N_{5} \leadsto 50 \times 27=1350 +\end{aligned} +$$ + +Como todas essas somas são divisíveis por 3 , todos os números também são divisíveis por 3. Logo, se algum deles fosse um quadrado perfeito teria que ser divisível por 9 . + +A soma dos algarismos de $N_{3}$ e $N_{4}$ não é divisível por 9 , logo esses números não são divisíveis por 9 e, consequentemente, não são quadrados perfeitos. + +Como 1350 é divisível por 9 , então $N_{5}$ é divisível por 9 . Temos: + +$$ +2727272727 \ldots 27 \div 9=303030 \ldots 03 +$$ + +e + +$$ +303030 \ldots 03 \div 3=101010 \ldots 01 +$$ + +logo: + +$$ +2727272727 \ldots 27=3^{2} \times 303030 \ldots 03=3^{3} \times 101010 \ldots 01 +$$ + +Note que $101010 \ldots 01$ tem 49 algarismos, dos quais 25 são iguais a 1 e os outros iguais a 0 . Logo a soma de seus algarismos é 25 e portanto não é divisível por 3 . Assim, 2727272727 . . 27 é divisível por $3^{2}$ mas não por $3^{4}$, e por isso concluímos que não é um quadrado perfeito. + +## Lista 6 + +1. Preenchendo quadradinhos - A operação é equivalente a + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square=4 \times +$$ + +Logo, o lado esquerdo da igualdade é um múltiplo de 4, portanto as únicas possibilidades são: + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +Daí, podemos concluir que: + +$$ +(\boxed{3}+5-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(6+5-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +2. Os 3 números - Como 13983 termina em 3, a soma dos algarismos das unidades dos 3 números deve ser 13 , e para isso só temos uma opção: $2+$ $4+7=13$. + +| | | | | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | 4 | +| | | | | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + +Agora, a soma dos algarismos das dezenas deve ser $8-1=7$, e logo tem de ser $1+2+4=7$. Completamos os algarismos das dezenas, tendo o cuidado de não repetir o mesmo algarismo num mesmo número. Temos três opções: + +| | | | 1 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | 2 | 4 | +| | | | 4 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-25.jpg?height=300&width=355&top_left_y=1910&top_left_x=793) + +| | | | | | | | | 1 | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | | 4 | 2 | | | | | | | | +| | | | 1 | 4 | | | | | | | | +| | | | 2 | 7 | | | | | | | | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | | | | | | | | + +Os algarismos das centenas devem somar 9 , aí temos duas opções: $4+4+1$ e $1+1+7$. Como nas três possibilidades anteriores o algarismo 4 ocorre em dois dos três números, escolhemos a segunda opção, para que não apareça o algarismo 4 repetido. Temos de tomar cuidado para que 1 e 7 também não apareçam repetidos. + +| | | 7 | 1 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | 1 | 2 | 4 | +| | | 1 | 4 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + + +| | | 1 | 4 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | 7 | 1 | 4 | +| | | 1 | 2 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + +Finalmente, os algarismos das unidades de milhar devem somar 13, agora é fácil escolhêlos: + +| | 4 | 7 | 1 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | 7 | 1 | 2 | 4 | +| | 2 | 1 | 4 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + + +| | 7 | 1 | 4 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | 2 | 7 | 1 | 4 | +| | 4 | 1 | 2 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + +3. Preencher uma tabela - Existem várias maneiras de preencher a tabela, dependendo de como selecionamos a casa a ser preenchida. A cada vez temos várias casas que podem ser preenchidas. + +Veja um exemplo de como preencher a tabela: inicialmente temos 4 casas que podem ser preenchidas - marcadas com $X$. Escolhemos uma delas e preenchemos de acordo com a segunda regra, e repetimos esse processo até a tabela estar completamente preenchida. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-26.jpg?height=398&width=1402&top_left_y=1296&top_left_x=328) + +Mas para colocar em cada casa o maior número possível, a ideia é a cada vez examinar todas as casas que podem ser preenchidas, e só preencher a casa onde podemos colocar o maior número. Se em duas dessas casas o número a ser colocado é o mesmo, preencheremos a que tem o menor número de vizinhos preenchidos. Vamos lá! + +| | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | +| 3 | | | | +| 1 | 2 | | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-26.jpg?height=184&width=954&top_left_y=1899&top_left_x=736) + +| | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 9 | 18 | | | +| 3 | 6 | | | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-26.jpg?height=190&width=954&top_left_y=2094&top_left_x=736) + +| 27 | 54 | 72 | | +| :---: | :---: | :---: | :--- | +| 9 | 18 | 144 | | +| 3 | 6 | | | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | |$\Rightarrow$| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | | +| 3 | 6 | | | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | |$\Rightarrow$| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | | | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | | + + +| 27 | 54 | 72 | 216 | $\Rightarrow$ | 27 | 54 | 72 | 216 | | 2 | 5 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | | 9 | 18 | 144 | 432 | | $\bar{g}$ | $\overline{1 \varepsilon}$ | $\overline{14}$ | 432 | +| 3 | 6 | | 576 | | 3 | 6 | 1178 | 576 | | 3 | 6 | $\overline{117}$ | 576 | +| 1 | 2 | | | | 1 | 2 | | | | 1 | $\overline{2}$ | | 1754 | + + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | 3516 | 1754 | + +Logo, o maior número é 3516 . + +4. Olimpíada de Pequim - Para iniciar, escolhemos um lugar para Maria. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=171&width=249&top_left_y=1031&top_left_x=903) + +(a) Quem pratica natação está à esquerda de Maria. Logo, só podemos ter a configuração abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=206&width=246&top_left_y=1567&top_left_x=945) + +(b) Quem pratica ginástica está na frente de Juan. Existem duas únicas possibilidades: Maria pratica ginástica ou Maria não pratica ginástica. + +Maria pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=230&width=415&top_left_y=2140&top_left_x=432) + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-27.jpg?height=287&width=290&top_left_y=2106&top_left_x=1400) +(c) Como Tânia e David sentaram-se juntos, então somente a segunda opção do item anterior - Maria não pratica ginástica - pode satisfazer essa condição. Ela gera as seguintes duas possibilidades: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-28.jpg?height=370&width=1264&top_left_y=444&top_left_x=431) + +(d) Como uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica vôlei, a segunda opção do item anterior é a correta, e temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-28.jpg?height=369&width=1350&top_left_y=970&top_left_x=385) + +Logo, David ou Maria pratica atletismo. + +## 5. Culturas diferentes - + +(a) (i) $03 / 12$ significa para Ralph 12 de março e para Jorge 3 de dezembro; logo é ambígua. + +(ii) 18/08 só pode ser mesmo 18 de agosto. + +(iii) $05 / 05$ só pode ser 5 de maio. + +Logo, (i) é uma data que eles não podem se escrever. + +(b) A data só é ambígua quando o número do dia pode representar também um número do mês, logo quando é um número de 1 a 12. Por outro lado, nesses números não há ambiguidade quando o número do mês é igual ao número do dia, por exemplo 05/05, que só pode ser 5 de maio. Por isso, em cada mês eles têm de evitar 11 dias. Logo, os períodos mais longos que eles não podem se escrever ocorrem em 11 dias consecutivos em janeiro de 02 a 12 de janeiro, e em dezembro, de 02 a 12 de dezembro. Observe que nos outros meses os períodos que eles não podem se escrever são menores, veja os exemplos: + +- em abril eles não podem se escrever de 01/04 a 03/04 e depois de 05/04 a $12 / 04$. +- em setembro eles não podem se escrever de 01/09 a 08/09 e depois de 10/09 a $12 / 09$. + + +## Lista 7 + +1. Uma liquidação - Na liquidação, exceto nos sábados, os preços estão valendo $50 \%$ dos preços originais. Nos sábados, com o desconto adicional de $20 \%$, os preços valem $80 \%$ dos preços fora dos sábados, ou seja + +$$ +80 \% \text { de } 50 \%=\frac{80}{100} \times \frac{50}{100}=\frac{40}{100}=40 \% \text { do preço fora de liquidação. } +$$ + +Logo, Roberta deixou de economizar $60 \%$ que corresponde a $\mathrm{R} \$ 50,40$. Temos: + +$$ +\begin{array}{ll} +60 \% & \Rightarrow 50,40 \\ +10 \% & \Rightarrow 50,40 \div 6=8,4 \\ +100 \% & \Rightarrow 8,4 \times 10=84 +\end{array} +$$ + +O preço da calça antes da liquidação era de $R \$ 84,00$. + +2. Número com muitos zeros - A resposta correta é (D). + +Vamos tentar comparar os 5 números sem efetuar cálculos. Temos: + +$$ +\begin{aligned} +3+a= & 3,000 \ldots 0001 \text { é menor do que } 4 \\ +3-a & \text { é menor do que } 3 \\ +3 a= & 0,000 \ldots 0003 \text { é menor do que } 1 \\ +\frac{3}{a}= & \frac{3}{0,000 \ldots 0001}=\frac{3}{\frac{1}{10^{2010}}}=3 \times 10^{2010} \text { é maior do que } 10 \\ +\frac{a}{3}= & \frac{0,000 \ldots 0001}{3} \text { é menor do que } 0,000 \ldots 0001 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o maior número é $\frac{3}{a}$. + +3. Corrida das tartarugas - Vamos representar cada tartaruga numa reta, utilizando a sua letra inicial. Temos então a seguinte situação: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-29.jpg?height=225&width=1200&top_left_y=1866&top_left_x=430) + +Logo, Sininha está $20 \mathrm{~m}$ à frente de Elzinha. Portanto, Pulinha está $5 \mathrm{~m}$ à frente de Sininha. A ordem de chegada forma a palavra: OPSER. + +4. Que memória... - O número começa com 25 porque $5^{2}$ é a única potência de 5 com 2 algarismos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-29.jpg?height=60&width=320&top_left_y=2407&top_left_x=848) + +Os candidatos aos 2 últimos algarismos são as potências de 2 com 2 algarismos: 16, 32 e 64 : + +$$ +25 \_16, \quad 25 \_32, \quad 25 \_64 \text {. } +$$ + +Já o algarismo do meio pode ser 3,6 ou 9 . Para escolher entre esse números, lembremos que a soma dos 5 algarismos é ímpar, e como $2+5$ é ímpar, a soma dos 3 últimos tem de ser par. Nessa situação temos os números + +$$ +25316,25916,25332,25932,25664 +$$ + +Dentre esses números os que não têm algarismos repetidos são + +$$ +25316,25916 \text {. } +$$ + +Logo, o código é 25916 . + +5. Uma fração irredutível - Para que a fração seja irredutível, o numerador e o denominador não podem ter fator comum. + +Inicialmente, vamos ver quais são os fatores primos de $N=2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 10$ : + +$$ +2 \times 3 \times \underbrace{4}_{2^{2}} \times 5 \times \underbrace{6}_{2 \times 3} \times 7 \times \underbrace{8}_{2^{3}} \times \underbrace{9}_{3^{2}} \times \underbrace{10}_{2 \times 5} +$$ + +Logo, a decomposição de $N$ em fatores primos é: + +$$ +N=2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7(*) +$$ + +Podemos escolher diversas frações que satisfazem o problema. Por exemplo: + +(i) O numerador tem apenas 1 fator de $(*)$ : + +$$ +\frac{2^{8}}{3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{3^{4}}{2^{8} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{5^{2}}{2^{8} \times 3^{4} \times 7} ; \frac{7}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}} . +$$ + +Nesse caso temos 4 frações mais as 4 frações inversas, com denominadores com apenas 1 fator de $(*)$. + +Não podemos esquecer do número 1 , obtendo as 2 frações: + +$$ +\frac{1}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}{1} . +$$ + +(ii) O numerador tem 2 fatores de $(*)$ : + +$$ +\frac{2^{8} \times 3^{4}}{5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 5^{2}}{3^{4} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 7}{3^{4} \times 5^{2}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2}}{2^{8} \times 7} ; \frac{3^{4} \times 7}{2^{8} \times 5^{2}} ; \frac{5^{2} \times 7}{2^{8} \times 3^{4}} +$$ + +Nesse caso temos 6 frações. + +(iii) O numerador tem 3 fatores de $(*)$ : + +$$ +\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}}{7} ; \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 7}{5^{2}} ; \frac{2^{8} \times 5^{2} \times 7}{3^{4}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2} \times 7}{2^{8}} . +$$ + +Ao todo temos 16 frações irredutíveis. + +## Lista 8 + +1. Transformar em decimal - Temos: + +(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}=\frac{14}{3}+\frac{20}{3}=\frac{34}{3}=11,3333 \ldots$ + +(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)=5-\left(2 \times \frac{3}{5}\right)=5-\frac{6}{5}=5-1,2=3,8$ + +(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}=1+\frac{2}{1+\frac{3}{5}}=1+\frac{2}{\frac{8}{5}}=1+2 \times \frac{5}{8}=1+\frac{10}{8}=1+1,25=2,25$. + +2. Uma sequência especial - + +- os números 1 a 9 ocupam 9 posições; +- os números 10 a 99 ocupam $2 \times 90=180$ posições; +- os números 100 a 199 ocupam $3 \times 100=300$ posições; os de 200 a 299 ocupam $3 \times 100=300$ posições; os números 300 a 399 ocupam $3 \times 100=300$ posições; etc. + +$$ +\underbrace{100, \ldots 199}_{3 \times 100=300}, \underbrace{200, \ldots, 299}_{3 \times 100=300}, \underbrace{300, \ldots, 399}_{3 \times 100=300}, \underbrace{400, \ldots, 499}_{3 \times 100=300}, \underbrace{500, \ldots, 599}_{3 \times 100=300}, \underbrace{600, \ldots, 699}_{3 \times 100=300} +$$ + +Assim, os algarismos usados para escrever de 1 a 699 ocupam $9+180+6 \times 300=1989$ posições, logo faltam $2009-1989=20$ posições. Como $20=3 \times 6+2$ precisamos ainda escrever de 700 a 706, obtendo 21 posições, com o algarismo 6 ocupando a posição 21. Logo o algarismo 0 é que ocupa a 2009 a posição. + +3. Cortar um retângulo - Dividimos o retângulo em $13 \times 7$ quadradinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado cada um. Agora, usamos que + +$$ +13=1+3+4+5=6+7=0+13 +$$ + +para obter a divisão em 13 retângulos diferentes. Você pode encontrar outras formas de fazer essa divisão? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-32.jpg?height=349&width=564&top_left_y=1907&top_left_x=756) + +4. Medida de ângulo - A resposta correta é (B). + +Temos que $A \widehat{O} C+C \widehat{O} E=90^{\circ}$ e $C \widehat{O} E=D \widehat{O} Y$. Logo, $A \widehat{O} C=90^{\circ}-D \widehat{O} Y$. Como $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$, segue que $A \widehat{O} C$ está entre $90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$ e $90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$. + +5. Perímetros e áreas - A área do quadrado é + +$$ +(\sqrt{3}+3)^{2}=\sqrt{3}^{2}+2 \times 3 \sqrt{3}+3^{2}=12+6 \sqrt{3} +$$ + +e a do retângulo: + +$$ +(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}) \times \sqrt{2}=\sqrt{144}+3 \sqrt{12}=12+6 \sqrt{3} . +$$ + +Logo eles têm a mesma área. Vamos agora comparar os perímetros. O do quadrado é + +$$ +4 \times(\sqrt{3}+3)=4 \sqrt{3}+12 +$$ + +e o do retângulo é + +$$ +2 \times(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=2 \times(6 \sqrt{2}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=14 \sqrt{2}+6 \sqrt{6} +$$ + +Como $4 \sqrt{3}<6 \sqrt{6}$ e $12<14 \sqrt{2}$, segue que $4 \sqrt{3}+12<6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Logo, o retângulo tem o maior perímetro. + +6. Cálculo de ângulo - Como $A B=A C$, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles, logo $A \widehat{B} C=A \widehat{C} B$. Sendo $A D=B D$ o triângulo $\triangle A B D$ também é isósceles, logo $A \widehat{B} D=B \widehat{A} D$. Temos então + +$$ +A \widehat{B} C=A \widehat{C} B=B \widehat{A} D +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-33.jpg?height=241&width=447&top_left_y=1099&top_left_x=1273) + +$\mathrm{Na}$ figura, esses 3 ângulos iguais estão representados pela letra $\alpha$. Os ângulos internos de $\triangle A B C$ são $\alpha+39^{\circ}, \alpha$ e $\alpha$; logo: + +$$ +\alpha+39^{\circ}+\alpha+\alpha=180^{\circ} \Rightarrow 3 \alpha=180^{\circ}-39^{\circ}=141^{\circ} +$$ + +Assim, $B \widehat{A} D=47^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-33.jpg?height=218&width=662&top_left_y=1723&top_left_x=344) + +LEMBRETE 2: Em um +triângulo isósceles os +ângulos da base são +iguais: +$\widehat{B}=\widehat{C}$ e $A B=A C$. + +## Lista 9 + +1. O caminho da formiga - + +A resposta correta é (C). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-34.jpg?height=393&width=808&top_left_y=427&top_left_x=821) + +2. Menino mentiroso - Claramente Pedrinho encontrou Joãozinho em um dia que ele mente. O sábado está descartado pois, caso contrário, ele estaria falando a verdade. Assim, o encontro entre eles foi numa terça-feira ou quinta-feira. Como o dia seguinte não pode ser quarta-feira, a única possibilidade é quinta-feira. +3. Encontre os 4 números - Observemos que os números 1,2,3 e 6 satisfazem a propriedade. Portanto, os múltiplos $a, 2 a, 3 a$ e $6 a$, para qualquer valor de $a$, também satisfazem a propriedade. Como estamos procurando números de 3 algarismos e $999 \div 6=166,5$ então basta considerar qualquer valor de $a$ entre 100 e 166 para obter os 4 números de 3 algarismos. + +## 4. Colando 6 triângulos - + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-34.jpg?height=610&width=875&top_left_y=1435&top_left_x=598) + +A figura é formada por 12 segmentos, na sequência de formação dos triângulos. + +- 2 segmentos de $1 \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ no triângulo I. +- 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ no triângulo II. +- 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ no triângulo III. +- 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ no triângulo IV. +- 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{32} \mathrm{~cm}$ no triângulo $V$. +- 2 segmentos de $\frac{1}{32} \mathrm{~cm}$ no triângulo VI. + +Logo o perímetro é: + +$$ +\begin{aligned} +2 \times 1+2 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{4}+2 \times \frac{1}{8}+2 \times \frac{1}{16}+3 \times \frac{1}{32} & =2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{32} \\ +& =3+\frac{16+8+4+3}{32} \\ +& =3+\frac{31}{32} +\end{aligned} +$$ + +5. Os livros da Elisa - Seja $N$ o número total de livros da Elisa. Como $N+1$ é múltiplo de 9 e 4 , temos que ele é múltiplo de 36 . Logo $N+1$ é 36 ou 72 , pois Elisa tem menos que 100 livros. Se $N=35$ então, o número de livros de matemática é $36 \div 9-1=3 \mathrm{e}$ o número de livros de literatura é $36 \div 4=9$. Logo, Elisa teria: $24+3+9=36$ livros, o que é impossível porque 36 é maior que 35. + +Portanto, $N=71$ e o número de livros de matemática é $72 \div 9-1=7$. + +## Lista 10 + +## 1. Divisão por 9 - + +(a) Sabemos que um número e a soma de seus algarismos sempre deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, o número inicial menos o número final é sempre divisível por 9 . + +Efetuando, sucessivamente os passos, obtemos os algarismos de 1 a 9. Daí, a lista final é: + +$$ +1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3, \ldots +$$ + +Como o resto da divisão do número 20092009 por 9 é 4 , então os 6 últimos algarismos da lista são: ..., $8,9,1,2,3,4$. Portanto, a lista tem mais 4 do que 5 . + +O número de vezes que aparece o 9 na lista, é o número de múltiplos de 9 , que são menores ou iguais a 20092 009. Como 20092005 é o maior múltiplo de 9 que é menor do que 20092009 , temos que $20092005 \div 9=2232445$ vezes aparece o algarismo 9 na lista. + +(b) Como $3^{2009}=3^{2008} \times 3=\left(3^{2}\right)^{1004} \times 3=9^{1004} \times 3$, então, o resto da divisão por 9 é 0 . Logo, o número final de apenas um algarismo é o 9 . + +(c) Observemos que $17^{2}=$ múltiplo de $9+1$. Logo, + +$$ +17^{2008}=\left(17^{2}\right)^{1004}=\text { múltiplo de } 9+1 +$$ + +assim $17^{2009}=$ múltiplo de $9+17=$ múltiplo de $9+8$. + +Daí, podemos concluir que, se fazemos o mesmo processo com o número $17^{2009}$ obtemos no final o algarismo 8 . + +## 2. Uma brincadeira na sala de aula - + +(a) O número 1 só pode ser obtido a partir do $2 \leadsto 1=2 \div 2$, e o 2 a partir do $4 \leadsto 2=4 \div 2$, mas o 4 pode ser obtido a partir do $1 \leadsto 1+3=4$ ou do $8 \sim 4=8 \div 2$. + +Logo, temos 2 maneiras de obter 1, a partir de 1 e 8 depois de 3 operações: + +$\left\{\begin{array}{l}1 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1 \\ 8 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1\end{array}\right.$. + +(b) Para uma operação a mais vemos que o número 8 pode ser obtido a partir do $5 \sim 8=5+3$ ou do $16 \sim 8=16 \div 2$. Logo, temos 3 maneiras de obter 1 a partir + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-36.jpg?height=176&width=873&top_left_y=2010&top_left_x=412) + +(c) De maneira similar vemos que para 5 operações temos os números: $4,10,13$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_dbce7bc2a200e234c3e2g-36.jpg?height=217&width=914&top_left_y=2231&top_left_x=413) + +3. Calcule a idade - No próximo ano Laura será 2 anos mais velha do que no ano passado. Logo sua idade no ano passado é um múltiplo de 8 que somado a 2 dá um múltiplo de 7. Vamos procurar esse número: + +$$ +\begin{array}{rlllllllllllll} +\text { múltiplos de } 7: & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 & \ldots & 98 & \ldots \\ +\text { (múltiplos de 7) - } 2: & 5 & 12 & 19 & 26 & 33 & 40 & 47 & 54 & 61 & 68 & \ldots & 96 & \ldots +\end{array} +$$ + +Note que 40 e 96 são os únicos múltiplos de 8 menores que 100 que aparecem na segunda linha. Como Vovó Ana tem menos do que 100 anos, podemos concluir que ano passado ela tinha 96 anos e Laura 40. Logo, a idade atual de Laura é 41 anos. + +4. Divisões e restos - De acordo com os dados do problema, o dobro do número é um múltiplo de 5 acrescido de 1 . Como os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5 , o dobro termina em 1 ou 6 . Mas o dobro é um número par, logo termina em 6. Assim, o número termina em 3 ou 8 , portanto dividido por 5 deixa resto 3 . +5. Preenchendo o círculo - Sabemos que $\square=423 \div 47=9$. Por outro lado, temos que + +$$ +1448=\underbrace{282 \times \boxminus}_{\text {múltiplo de } 282}+\underbrace{\square \boxtimes}_{\text {no com } 2 \text { algarismos }} +$$ + +Como 282 tem 3 algarismos, concluímos que $\square \boxtimes$ só pode ser o resto da divisão de 1448 por 282. Efetuando essa divisão, obtemos $1448=282 \times 5+38$. Logo, $\square=3$ e $\boxtimes=8$. Obtemos também que $\boxminus=5$. Finalmente, temos: + +$$ +423 \times \frac{\boxplus}{3}=282 \Rightarrow 141 \times \boxplus=282 \Rightarrow \boxplus=2 +$$ + +A sequência completa: + +$$ +\text { (47) } \xrightarrow{\times 9} \xrightarrow{\times 2 / 3}(282 \xrightarrow{\times 5} \xrightarrow{+}(1410 \xrightarrow{+38} +$$ + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36a97545c8840179ee5f78f84933428cbef48dc8 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N2.md @@ -0,0 +1,1296 @@ +# Nível 2 + +## Lista 1 + +1. Vista ruim - Numa classe, $40 \%$ dos alunos não enxergam bem. Desses, $70 \%$ usam óculos e os $30 \%$ restantes usam lentes de contato. Sabendo que 21 alunos usam óculos, quantos alunos tem essa classe? +2. Idade média da população de Campo Verde - $A$ razão entre o número de homens e o de mulheres na cidade de Campo Verde é $\frac{2}{3}$. A idade média dos homens é 37 anos e a das mulheres é 42 anos. Qual é a idade média dos habitantes de Campo Verde? +3. Área de triângulo - Se $A C=1,5 \mathrm{~cm}$ e $A D=4 \mathrm{~cm}$, qual é a relação entre as áreas dos triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle D B C$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-01.jpg?height=222&width=523&top_left_y=862&top_left_x=1213) + +4. Construindo quadrados perfeitos - Observe as seguintes igualdades: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-01.jpg?height=299&width=798&top_left_y=1200&top_left_x=623) + +Será que isso é sempre verdadeiro? Isto é: o produto de quatro números inteiros consecutivos, mais 1 , é sempre um quadrado perfeito? + +5. Feira de Ciências - Na Feira de Ciências de uma escola, observou-se que metade dos alunos do ensino fundamental e um quarto dos alunos do ensino médio presentes nesse evento compraram um adesivo cada. + +| FEIRA DE CIÊNCIAS | | +| :---: | :---: | +| Preço dos Adesivos (unidade) | | +| $\mathrm{R} \$ 0,30$ | alunos do ensino fundamental | +| $\mathrm{R} \$ 0,50$ | alunos do ensino médio | + +Notou-se também que o número de alunos do ensino médio presentes que não compraram adesivos foi o dobro do número de alunos do ensino fundamental que não compraram adesivos. Sabendo que arrecadou-se $\mathrm{R} \$ 38,00$ na venda de adesivos para os alunos desse dois níveis quantos alunos de cada nível participaram da feira? + +## Lista 2 + +1. Par perfeito - Dizemos que 2 números naturais formam um par perfeito quando a soma e o produto desses dois números são quadrados perfeitos. Por exemplo, 5 e 20 formam um par perfeito, pois $5+20=25=5^{2}$ e $5 \times 20=100=10^{2}$. Será que 122 forma um par perfeito com outro natural? +2. Um trapézio - No trapézio da figura abaixo $A B$ é paralelo a $C D, A D=A B=$ $B C=1 \mathrm{~cm}$ e $D C=2 \mathrm{~cm}$. Quanto mede o ângulo $C \hat{A} D$ ? + +(A) $30^{\circ}$ + +(B) $45^{\circ}$ + +(C) $60^{\circ}$ + +(D) $90^{\circ}$ + +(E) $120^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-02.jpg?height=241&width=398&top_left_y=720&top_left_x=950) + +3. Mistério das bolas - Henrique têm duas urnas. A primeira urna contém somente bolas pretas e a segunda somente bolas brancas. Henrique retirou um número de bolas da primeira urna e as colocou na segunda. Em seguida, retirou o mesmo número de bolas da segunda urna e as colocou na primeira. Depois disso o número de bolas brancas na primeira urna é maior, menor ou igual ao número de bolas pretas na segunda urna? +4. Contando a palavra BRASIL - Quantas vezes aparece a palavra BRASIL na figura ao lado? Só vale ler a palavra emendando letras que estão escritas em quadradinhos adjacentes. + +| | | | | $\bar{B}$ | R | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | | $\bar{B}$ | $\bar{R}$ | $\bar{A}$ | +| | | $B$ | $\bar{R}$ | $\bar{A}$ | $\bar{S}$ | +| | $\bar{B}$ | $\mathrm{R}$ | $\mathrm{A}$ | $\bar{S}$ | $T$ | +| $B$ | $\mathrm{R}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{S}$ | $T$ | $\mathrm{~L}$ | + +5. Quais são os números? - Descubra quais números inteiros positivos $x$ e $y$ satisfazem a equação $x^{4}=y^{2}+71$. + +## Lista 3 + +1. No jogo - Aldo, Bernardo e Carlos jogam baralho. No início, a quantia em dinheiro que eles tinham estava na proporção $7: 6: 5$. No final do jogo, a proporção era $6: 5: 4$. Um dos jogadores ganhou 1200 reais. Qual a quantidade de dinheiro com que ficou cada jogador, no final da partida? +2. Um número inteiro - Mostre que $M=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ é um número inteiro. +3. Área de triângulos - $\mathrm{A}$ área do quadrado $A B C D$ é $300 \mathrm{~cm}^{2}$. $\mathrm{Na}$ figura, $M$ é o ponto médio de $C D$ e o ponto $F$ pertence à reta que passa por $B$ e $C$. + +(a) Qual é a área do triângulo $\triangle A B F$ ? + +(b) Qual é área do triângulo $\triangle A D F$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-03.jpg?height=358&width=225&top_left_y=680&top_left_x=1489) + +4. Um quadriculado - O retângulo quadriculado na figura é feito de 31 segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$, e compreende 12 quadrados. Rosa desenhou numa folha retangular de $21 \mathrm{~cm}$ por $29,7 \mathrm{~cm}$ quadriculada com quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$, um grande retângulo quadriculado feito com 1997 segmentos. Quantos quadrados tem esse retângulo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-03.jpg?height=233&width=293&top_left_y=1071&top_left_x=1450) + +5. Inteiros de 4 algarismos - Sabendo que $a$ é um número natural, e que $4 a^{2}$ e $\frac{4}{3} \times a^{3}$ são números naturais de 4 algarismos, determine $a$. + +## Lista 4 + +1. Pares positivos - Quantos pares de inteiros positivos $(x, y)$ são soluções da equação $3 x+5 y=501 ?$ +2. Diferença de quadrados - Se a diferença dos quadrados de dois números inteiros consecutivos é 2000 , então os dois números são: + +(A) menores que 100 . + +(B) menores que 1000 , porém maiores que 99 . + +(C) menores que 10000 , porém maiores que 999 . + +(D) menores que 100000 , porém maiores que 9999 . + +(E) não existem estes dois números. + +3. Cálculo de ângulos - Em cada uma das figuras a seguir, calcule o valor do ângulo $x$, sabendo que os segmentos $A B$ e $D E$ são paralelos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-04.jpg?height=340&width=1122&top_left_y=1152&top_left_x=446) +4. Tabela - $\mathrm{Na}$ tabela ao lado, com 6 colunas e diversas linhas, estão escritos os números $1,2,3,4, \ldots$ Qual é a posição do número 1000 ? + +| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | +| 13 | 14 | $\cdots$ | | | | +| | | | | | | +| | | | | | | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | + +5. Entre 1 e $\mathbf{2}$ - Complete os numeradores com inteiros positivos para satisfazer as condições: $\frac{a}{5}$ e $\frac{b}{7}$ são menores do que 1 , e $1<\frac{a}{5}+\frac{b}{7}<2$. + +## Lista 5 + +1. Triatlon - Maria está planejando participar do Triatlon-Brasil que começa às 24 horas de domingo e consta de $800 \mathrm{~m}$ a nado, seguido de $20 \mathrm{~km}$ de bicicleta e finalmente $4 \mathrm{~km}$ de corrida. Maria corre a uma velocidade constante e que é o triplo da velocidade que nada, e pedala 2,5 vezes mais rápido do que corre. Para terminar a prova em no máximo 1 hora e 20 minutos, quanto tempo ela deve gastar em cada uma das 3 etapas? +2. Foto de formatura - $\mathrm{O}$ diretor da escola decidiu tirar uma foto dos formandos de 2008 . Ele colocou os alunos em filas paralelas, todas com o mesmo número de alunos, mas essa disposição era muito larga para o campo de visão de sua máquina fotográfica. Para resolver esse problema, o diretor reparou que bastava tirar um aluno por fila e colocá-los numa nova fila. Essa disposição não agradou o diretor porque a nova fila tinha 4 alunos a menos que as outras. Ele decide então tirar mais 1 aluno por fila colocando-os na nova fila que ele criou, e constata que assim todas as filas ficam com o mesmo número de alunos, e finalmente tira a foto. Quantos alunos apareceram na foto? +3. Circunferências tangentes - Desenhe duas circunferências de mesmo centro, uma de raio $1 \mathrm{~cm}$ e a outra de raio $3 \mathrm{~cm}$. Na região exterior a circunferência de raio $1 \mathrm{~cm}$ e interior a de raio $3 \mathrm{~cm}$, desenhe circunferências que sejam simultaneamente tangentes às duas circunferências, como mostrado na figura a seguir. + +(a) Qual deve ser o raio dessas circunferências? + +(b) Qual o número máximo dessas circunferências, caso elas não se sobreponham? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-05.jpg?height=250&width=252&top_left_y=1214&top_left_x=1424) + +4. Festa na escola - Para a festa de aniversário da escola, Ana, Pedro, Miriam e Fábio levaram juntos 90 docinhos. A professora deles observou que: + +- se Ana tivesse levado 2 docinhos a mais; +- se Pedro tivesse levado 2 docinhos a menos; +- se Miriam tivesse levado o dobro; +- se Fábio tivesse levado a metade; + +os 4 amigos teriam levado todos o mesmo número de docinhos. Quantos docinhos levou cada um dos amigos? + +5. Inflação - Márcia está numa loja comprando um gravador que ela queria há muito tempo. Quando o caixa registra o preço ela exclama: "Não é possível, você registrou o número ao contrário, trocou a ordem de dois algarismos, lembro que na semana passada custava menos que 50 reais!" Responde o caixa: Sinto muito, mas ontem todos os nossos artigos tiveram um aumento de $20 \%$. Qual é o novo preço do gravador? + +## Lista 6 + +1. Gatos no condomínio - Em um condomínio moram 29 famílias, cada uma delas possui ou 1 gato ou 3 gatos ou 5 gatos. O número de famílias que possuem apenas 1 gato é o mesmo que o de famílias que possuem 5 gatos. Quantos gatos tem esse condomínio? +2. Soma constante - Preencha as 5 casas em branco da tabela $3 \times 3$ com os números de 3 a 8 , sem repeti-los, de modo que as somas dos 4 números escritos nas subtabelas formadas por quadrados $2 \times 2$ seja a mesma nas 4 subtabelas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-06.jpg?height=154&width=195&top_left_y=541&top_left_x=1537) + +$A B C D E$ $B C D E$ $C D E$ $D E$ mesmo algarismo e letras diferentes algarismos diferentes. Encontre o número $A B C D E$. + +4. Proporção triangular - Num triângulo $\triangle A B C$, o ponto $F$ está sobre o lado $A C$ e $F C=2 A F$. Se $G$ é o ponto médio do segmento $B F$ e $E$ o ponto de interseção da reta passando por $A$ e $G$ com o segmento $B C$, calcule a razão $\frac{E C}{E B}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-06.jpg?height=430&width=575&top_left_y=1189&top_left_x=691) + +5. Números primos entre si - Encontre todos os pares de inteiros positivos $x, y$ tais que $x$ e $y$ são primos entre si, $xb$, tais que: + +$$ +\frac{2}{7}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +$$ + +5. Tabuleiro de xadrez - De quantas maneiras podemos colocar dois bispos num tabuleiro de xadrez em filas, colunas e casas de cores distintas? + +## Lista 9 + +1. Quem é menor? - Sem usar calculadora, decida qual dos números $33^{12}, 63^{10}$ e $127^{8}$ é o menor. +2. Brincando com números - $\mathrm{A}$ soma $1+1+4$ dos algarismos do número 114 , divide o próprio número. Qual é o maior número, menor do que 900 , que satisfaz esta propriedade? +3. Cortando papéis - No início de uma brincadeira, André tinha 7 pedaços de papel. Na primeira rodada, ele pegou alguns destes pedaços e cortou cada um deles em 7 pedaços, que são misturados aos pedaços de papel que não foram cortados nesta rodada. Na segunda rodada, ele novamente pegou alguns pedaços e cortou cada um deles em 7 pedaços que foram misturados aos demais papéis. Continuando desta maneira, ao final de alguma rodada, André poderá ter exatamente 2009 pedaços de papel? +4. Um trapézio especial - A base $A D$ de um trapézio $A B C D$ mede $30 \mathrm{~cm}$. Suponhamos que existe um ponto $E$ sobre $A D$ tal que os triângulos $\triangle A B E, \triangle B C E$ e $\triangle C D E$ tenham perímetros iguais. Determine o comprimento de $B C$. +5. Uma estrela - Na estrela $A B C D E$ na figura que se segue, sabemos que $\measuredangle G B F=20^{\circ}$ e $\measuredangle G H I=130^{\circ}$. Qual é o valor do ângulo $\measuredangle J E I$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-09.jpg?height=363&width=482&top_left_y=1293&top_left_x=797) + +## Lista 10 + +1. Número palindrome - Um número é dito palindrome se a leitura da direita para a esquerda é igual a da esquerda para a direita. Por exemplo, os números 23432 e 18781 são palindromes. Quantos números palindromes de 4 algarismos são divisíveis por 9 ? +2. Multiplicação com letras - Na operação abaixo, as letras $a, b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de 1 . + +$$ +\begin{array}{r} +a b b \\ +\times \quad c \\ +\hline b c b 1 +\end{array} +$$ + +Determine os valores de $a, b$ e $c$. + +3. Números sortudos - Um número sortudo é aquele cuja soma de seus algarismos é divisível por 7. Por exemplo, 7, 25 e 849 são números sortudos. O menor par de números sortudos é 7 e 16 . + +(a) Encontre oito números consecutivos, dos quais dois são números sortudos. + +(b) Encontre 12 números consecutivos, tal que nenhum seja sortudo. + +(c) Mostre que qualquer sequência de 13 números consecutivos contém pelo menos um número sortudo. + +4. Uma sequência especial - Na sequência $1,3,2, \ldots$ cada termo depois dos dois primeiros é igual ao termo precedente subtraído do termo que o precede, ou seja: se $n>2$ então $a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}$. Qual é a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência? +5. Triângulos e ângulos... - Determine os ângulos $\alpha$ e $\beta$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-10.jpg?height=504&width=569&top_left_y=1605&top_left_x=694) + +## Soluções do Nível 2 + +## Lista 1 + +1. Vista ruim - Seja $A$ o número total de alunos da sala. Logo, $\frac{40}{100} \times A$ não enchergam bem. Portanto, $\frac{70}{100} \times \frac{40}{100} \times A$ usam óculos. Consequentemente, temos que: + +$$ +\frac{70}{100} \times \frac{40}{100} \times A=21 \Rightarrow A=\frac{21 \times 100}{7 \times 4}=3 \times 25=75 +$$ + +2. Idade média da população de Campo Verde - Se $H$ indica o número de homens e $M$ o de mulheres, então: + +$$ +\frac{H}{M}=\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad M=\frac{3 H}{2} +$$ + +A idade média da população é: + +$$ +\frac{37 H+42 M}{H+M}=\frac{37 H+42 \frac{3 H}{2}}{H+\frac{3 H}{2}}=\frac{100 H}{\frac{5 H}{2}}=\frac{100 \times 2}{5}=40 \text { anos. } +$$ + +3. Área de triângulo - Os triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle D B C$ têm bases $A C$ e $C D$ respectivamente, e a mesma altura $h$ em relação a essas bases. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-11.jpg?height=285&width=680&top_left_y=1511&top_left_x=674) + +Assim temos: + +$$ +\text { área } \triangle A B C=\frac{A C \times h}{2} \quad \text { e área } \triangle D B C=\frac{C D \times h}{2} \text {. } +$$ + +Logo, a relação entre as áreas é dada por: + +$$ +\frac{\text { área }}{} \triangle A B C=\frac{\frac{A C \times h}{2}}{\text { área } \triangle D B C}=\frac{A C}{C D}=\frac{1,5}{4-1,5}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5} +$$ + +LEMBRE-SE: A área de um triângulo é a metade do produto de um dos seus lados pela altura $h$ relativa a este lado, como exemplificado nas duas figuras a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-12.jpg?height=290&width=439&top_left_y=310&top_left_x=407) + +Área do $\triangle B C D=\frac{C D \times h}{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-12.jpg?height=285&width=572&top_left_y=318&top_left_x=1140) + +Área do $\triangle A B C=\frac{A C \times h}{2}$ + +4. Construindo quadrados perfeitos - Sim, será sempre um quadrado perfeito. De fato, se $n-1, n, n+1$ e $n+2$, são quatro inteiros consecutivos, então seu produto mais 1 , é dado por: + +$$ +\begin{aligned} +(n-1) n(n+1)(n+2)+1 & =n\left(n^{2}-1\right)(n+2)+1 \\ +& =n\left(n^{3}+2 n^{2}-n-2\right)+1 \\ +& =n^{4}+2 n^{3}-n^{2}-2 n+1 \\ +& =n^{4}+2 n^{3}+\left(n^{2}-2 n^{2}\right)-2 n+1 \\ +& =\left(n^{4}+2 n^{3}+n^{2}\right)-2 n^{2}-2 n+1 \\ +& =\left(n^{2}+n\right)^{2}-2\left(n^{2}+n\right)+1 \\ +& =\left[\left(n^{2}+n\right)-1\right]^{2} +\end{aligned} +$$ + +5. Feira de Ciências - Sejam $x$ e $y$ o número de alunos do ensino fundamental e do médio respectivamente, presentes na feira. Logo, o número daqueles que compraram um adesivo é: + +$$ +\frac{x}{2} \text { do ensino fundamental e } \quad \frac{y}{4} \text { do ensino médio; } +$$ + +e os que não compraram foram + +$$ +\frac{x}{2} \text { do ensino fundamental e } \frac{3 y}{4} \text { do ensino médio. } +$$ + +Dentre os alunos que não compraram adesivos, os do ensino médio representam o dobro dos do ensino fundamental. Logo, + +$$ +\frac{3 y}{4}=2 \times \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3 y}{8} +$$ + +Sabendo que o total arrecadado foi de $R \$ 38,00$, concluímos que: + +$$ +\begin{aligned} +38=0,30 \frac{x}{2}+0,50 \frac{y}{4}=0,30 \frac{3 y}{8}+0,50 \frac{y}{4} & \Rightarrow 1,90 y=8 \times 38 \\ +& \Rightarrow y=160 +\end{aligned} +$$ + +Agora, de $x=\frac{3 y}{4}$, segue que $x=120$. + +## Lista 2 + +1. Par perfeito - Chamemos de $n$ o natural "candidato" a formar um par perfeito com 122. Então, devemos ter: $122+n=A^{2}$ e $122 \times n=B^{2}$ onde $A$ e $B$ são números naturais. + +Como $B^{2}=2 \times 61 \times n$, concluímos que $n$ tem também os fatores primos 2 e 61 . Logo, podemos escrever $n$ como $n=2 \times 61 \times m^{2}=122 \mathrm{~m}^{2}$. + +Obtemos então $A^{2}=122+122 m^{2}=122\left(1+m^{2}\right)$. O menor valor de $\left(1+m^{2}\right)$ que satisfaz esta igualdade é $1+m^{2}=122$, ou seja, $m^{2}=121$. Daí segue que $m=11$. Consequentemente, $n=122 \times 121$ e temos: + +$$ +A^{2}=122+122 \times 121=122^{2} \quad \text { e } \quad B^{2}=122 \times 122 \times 121=(122 \times 11)^{2} +$$ + +Logo, 122 e $122 \times 121$ formam um par perfeito. + +Observação. Na verdade, $122 \times 121$ é o menor natural que forma um par perfeito com 122. Será que existem outros? + +2. Um trapézio - A resposta correta é (D). + +Seja $P$ o ponto médio do segmento $C D$ e traçemos os segmentos $A P$ e $B P$. Os três triângulos formados $\triangle A D P$, $\triangle A B P$ e $\triangle B C P$ são equiláteros (porquê?). Então, os ângulos $D \widehat{A} P=60^{\circ}=P \widehat{A B}$. Como o segmento $A C$ é a bissetriz do ângulo $P \widehat{A} B$ (porquê?), concluímos que $P \widehat{A C}=30^{\circ}$. Portanto: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-13.jpg?height=244&width=401&top_left_y=1165&top_left_x=1339) + +$$ +C \widehat{A} D=D \widehat{A} P+P \widehat{A} C=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ} +$$ + +3. Mistério das bolas - Seja $m$ o número de bolas pretas na primeira urna e $n$ o de bolas brancas na segunda urna. Inicialmente, Henrique retirou $k$ bolas pretas da primeira urna e as colocou na segunda urna. Nesse ponto a situação é a seguinte: + +- na 1a urna temos: + +$$ +\underbrace{m-k}_{\text {pretas }} +$$ + +- na $2^{\mathrm{a}}$ urna temos: + +$$ +\underbrace{n}_{\text {brancas }}+\underbrace{k}_{\text {pretas }} +$$ + +Depois, ele retirou $k$ bolas da segunda urna e as colocou na primeira urna. Agora esse grupo de $k$ bolas pode ter bolas brancas e pretas. Assim chamemos de $p$ o número de bolas pretas e de $b$ o de bolas brancas retiradas da $2^{\mathrm{a}}$ urna, e logo $k=b+p$. Temos então: + +- na 1a urna temos: $\underbrace{m-k}_{\text {pretas }}+\underbrace{p}_{\text {pretas }}+\underbrace{b}_{\text {brancas }}=\underbrace{m-k+p}_{\text {pretas }}+\underbrace{b}_{\text {brancas }}$ +- na 2a urna temos: + +$$ +\underbrace{n}_{\text {brancas }}+\underbrace{k}_{\text {pretas }}-\underbrace{b}_{\text {brancas }}-\underbrace{p}_{\text {pretas }}=\underbrace{n-b}_{\text {brancas }}+\underbrace{k-p}_{\text {pretas }} +$$ + +Assim, ele ficou com $b$ bolas brancas na primeira urna e $k-p$ bolas pretas na segunda urna. Mas, $k=p+b$, ou seja, $b=k-p$. Logo, o número de bolas brancas na primeira urna é igual ao número de bolas pretas na segunda urna. + +4. Contando a palavra BRASIL - Para ler a palavra BRASIL, devemos percorrer um caminho que começa em uma letra B e termina em uma letra L. Observemos que o caminho a ser percorrido é composto sucessivamente de deslocamentos horizontais para a direita e verticais para baixo. Assim, vamos representar estes caminhos por sequências de letras $\mathrm{H}$ (significando deslocamento para a direita) e letras $\mathrm{V}$ (significando deslocamento para baixo). + +Vamos ver dois exemplos: + +(i) Começamos em B na segunda linha (de cima para baixo) e seguimos o caminho VHVVV. + +(ii) Começamos em B na terceira linha e seguimos o caminho HVVHH. + +Para resolver o problema devemos contar quantos caminhos começam com $B$ e terminam com L. Para isto, temos que listar esses caminhos. Seja $\mathcal{C}_{j}$ o número de tais caminhos começando na linha $j$, onde $j$ varia de 1 a 6 : + +Linha 1: $V V V V V \leadsto \mathcal{C}_{1}=1$; + +Linha 2: HVVVV, VHVVV, VVHVV, VVVHV, VVVVH $\leadsto \mathcal{C}_{2}=5$; + +Linha 3: HHVVV, HVHVV, HVVHV, HVVVH, VHHVV, VHVHV, VHVVH, VVHHV, VVHVH, VVVHH $\leadsto \mathcal{C}_{3}=10 ;$ + +Linha 4: HHHVV, HHVHV, HHVVH, HVHHV, HVHVH, HVVHH, VHHHV, VHHVH, VHVHH, VVHHH $\leadsto \mathcal{C}_{4}=10 ;$ + +Linha 5: HHHHV, HHHVH, HHVHH, HVHHH, VHHHH $\leadsto \mathcal{C}_{5}=5$; + +Linha 6: $\mathrm{HHHHH} \leadsto \mathcal{C}_{6}=1$. + +Portanto, a palavra BRASIL aparece + +$$ +\mathcal{C}_{1}+\mathcal{C}_{2}+\mathcal{C}_{3}+\mathcal{C}_{4}+\mathcal{C}_{5}+\mathcal{C}_{6}=1+5+10+10+5+1=32 +$$ + +vezes na figura (Procure entender a simetria: $\mathcal{C}_{1}=\mathcal{C}_{6} ; \mathcal{C}_{2}=\mathcal{C}_{5}$ e $\mathcal{C}_{3}=\mathcal{C}_{4}$ ). + +5. Quais são os números? - A equação pode ser escrita na forma $x^{4}-y^{2}=71$. Agora, fatorando $x^{4}-y^{2}$ temos: + +$$ +\left(x^{2}-y\right)\left(x^{2}+y\right)=71(*) +$$ + +Como $x$ e $y$ são inteiros, então cada um dos fatores $\left(x^{2}-y\right)$ e $\left(x^{2}+y\right)$ também é um número inteiro. Logo em $\left(^{*}\right)$ escrevemos 71 como o produto de 2 números inteiros. Como 71 é um número primo, ele só pode ser escrito como produto de inteiros na forma: $71=1 \times 71$. Temos então dois casos a considerar: $\left(x^{2}-y\right)=1$ e $\left(x^{2}+y\right)=71$, ou $\left(x^{2}-y\right)=71$ e $\left(x^{2}+y\right)=1$. + +Vamos estudar cada caso. +1o caso: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y=1 \\ x^{2}+y=71\end{array}\right.$. + +Somando as duas equações obtemos: $2 x^{2}=72$, o que implica $x= \pm 6$. Portanto, $y=( \pm 6)^{2}-1=35$. Como $x, y$ são inteiros positivos, concluímos que a solução nesse primeiro caso é: $x=6$ e $y=35$. + +2o caso: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y=71 \\ x^{2}+y=1\end{array}\right.$. + +Se $x^{2}+y=1$, então $x=0$ e $y=1$ ou $x=1$ e $y=0$ já que $x, y$ são inteiros positivos. Por outro lado, é fácil verificar que tais valores não satisfazem a equação $x^{4}=y^{2}+71$. + +Logo, a solução para o problema é: $x=6$ e $y=35$. + +## Lista 3 + +1. No jogo - Seja $T$ a quantidade total de dinheiro no jogo. Assim, no início, os jogadores possuíam: + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { Aldo: } & \frac{7}{18} T \\ +\text { Bernardo: } & \frac{6}{18} T \\ +\text { Carlos: } & \frac{5}{18} T +\end{array} +$$ + +No final eles possuíam: + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { Aldo: } & \frac{6}{15} T \\ +\text { Bernardo: } & \frac{5}{15} T \\ +\text { Carlos: } & \frac{4}{15} T +\end{array} +$$ + +Para melhor comparar essas frações, coloquemo-las com um denominador comum: + +No início: + +$$ +\begin{array}{llrl} +\text { Aldo: } & & \frac{7}{18} T & =\frac{35}{90} T \\ +& \text { Bernardo: } & \frac{6}{18} T & =\frac{30}{90} T \\ +\text { Carlos: } & & \frac{5}{18} T & =\frac{25}{90} T . +\end{array} +$$ + +No final: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Aldo: } \quad \frac{6}{15} T=\frac{36}{90} T \\ +& \text { Bernardo: } \quad \frac{5}{15} T=\frac{30}{90} T \\ +& \text { Carlos: } \quad \frac{4}{15} T=\frac{24}{90} T +\end{aligned} +$$ + +Logo, Carlos perdeu 1/90 do total e Aldo ganhou 1/90. Portanto, 1220 corresponde a $1 / 90$ do total de dinheiro. Portanto, o total $T$ de dinheiro no início o jogo é: + +$$ +\frac{1}{90} T=1200 \Rightarrow T=90 \times 1200=108000 +$$ + +Assim, no final da partida os jogadores possuiam: + +Aldo: $\quad \frac{35}{90}$ de $108000=42000$ + +Bernardo: $\quad \frac{30}{90}$ de $108000=36000$ + +Carlos: $\quad \frac{25}{90}$ de $108000=30000$. + +2. Um número inteiro - Sejam $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$ e $b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$. Assim, $M=a-b$ e temos: + +$$ +M^{3}=(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b) +$$ + +Sabemos que $a^{3}-b^{3}=4$ e $a b=1$. Assim, $M^{3}+3 M-4=0$, ou seja, o número $M$ é raiz do polinômio $x^{3}+3 x-4$. + +Por sua vez, o número 1 é uma raiz do polinômio $x^{3}+3 x-4$. Fatorando tal polinômio, obtemos $(x-1)\left(x^{2}+x+4\right)$. Mas o trinômio $x^{2}+x+4$ tem discriminante negativo. Consequentemente, 1 é a única raiz real de $x^{3}+3 x-4$. Portanto, $M=1$. + +## 3. Área de triângulos - + +(a) Note que $F \widehat{M} C$ e $A \widehat{M} D$ são ângulos opostos pelo vértice. Logo, $F \widehat{M C}=A \widehat{M} D$. Como $M C=M D$ e os triângulos $\triangle A M D$ e $\triangle F M C$ são retângulos, concluímos que eles são congruentes. Logo, possuem a mesma área, donde concluímos que a área do triângulo $\triangle A B F$ é igual a área do quadrado $A B C D$, ou seja $300 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-17.jpg?height=396&width=260&top_left_y=688&top_left_x=1366) + +(b) Como $A D=F C$ (do item anterior) e $D M=M C$, segue que os triângulos $\triangle A D M$, $\triangle D M F$ e $\triangle M C F$ têm a mesma área. Por outro lado, a área dos dois últimos é a metade da área do quadrado. Portanto, a área do triângulo $\triangle A D F$ é a metade da área do quadrado, ou seja $150 \mathrm{~cm}^{2}$. + +4. Um quadriculado - Sejam $m$ e $n$ respectivamente, o número de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ sobre dois lados consecutivos do retângulo. Sabemos que o número total de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ na divisão do retângulo em $m \times n$ quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$ é: $m(n+1)+n(m+1)$ (prove isso). Assim, + +$$ +m(n+1)+n(m+1)=1997 \Rightarrow n=\frac{1997-m}{2 m+1} +$$ + +Além disso, um dos lados considerados é menor ou igual ao outro, digamos: $m \leq n$. Nesse caso podemos concluir que $m \leq 31$, pois + +$$ +n \geq m \Rightarrow n(m+1)+m(n+1) \geq 2 m(m+1) +$$ + +Logo $1997 \geq 2 m(m+1)$ e como $1998>1997$ segue que + +$$ +1998>2 m(m+1) \Rightarrow 999>m(m+1) +$$ + +Daí concluímos que $m<32$. + +Por outro lado temos que: + +$$ +n=\frac{1997-m}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3994-2 m}{2 m+1}=\frac{3995-(2 m+1)}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3995}{2 m+1}-1 +$$ + +Assim, a questão se resume agora em pesquisar os divisores de $3995=5 \times 17 \times 47$. Os únicos valores de $m$ que atendem a condição $1 \leq m \leq 31$ são $m=2, m=8$ e $m=23$, que correspondem, respectivamente, aos divisores 5,17 e 47 . Para esses valores +de $m$ temos $n=399, n=117$ e $n=42$ respectivamente. Os outros divisores darão configurações equivalentes (trocando $m$ por $n$ ). + +Portanto, Rosa pode ter construído 3 configurações diferentes com os 1997 segmentos. A primeira com $2 \times 399$ quadrados, a segunda com $8 \times 117$ quadrados e a terceira com $23 \times 42$ quadrados. + +5. Inteiros de 4 algarismos - Temos que $1000 \leq 4 a^{2}<10000$ e também $1000 \leq \frac{4}{3} \times a^{3}<10000$. + +De $1000 \leq 4 a^{2}<10000$ segue que $250 \leq a^{2}<2500$. Sendo $a$ um número inteiro e $15^{2}=225,16^{2}=256$ e $50^{2}=2500$, temos que $15$B C D E$
$C D E$
$D E$ + +$E$ é ímpar pois se fosse par teríamos $A=0$. Observe que $E$ não pode ser 1 , pois senão $4 D=5$, o que é impossível. Logo, $E=3,5,7,9$. + +Analizemos cada possibilidade: + +$$ +\begin{aligned} +& E=3 \Rightarrow 4 D+1 \text { termina em } 5 \Rightarrow D=1 \text { ou } D=6 \\ +& E=5 \Rightarrow 4 D+2 \text { termina em } 5 \Rightarrow \text { impossível porque } 4 D+2 \text { é par; } \\ +& E=7 \Rightarrow 4 D+3 \text { termina em } 5 \Rightarrow D=3 \text { ou } D=5 . \text { Logo } D=3 \\ +& E=9 \Rightarrow 4 D+4 \text { termina em } 5 \Rightarrow \text { impossível porque } 4 D+4 \text { é par. } +\end{aligned} +$$ + +Restaram então os seguintes 3 casos: +$5 B C 13$ +$B C 13$ +C 13 +13 +5555 +$\begin{array}{r}5 B C 63 \\ B C 63 \\ C 63 \\ 63 \\ 3 \\ \hline 55555\end{array}$ +$5 B C 37$ +В $C 37$ +C 37 +37 + +7 +55555 + +Antes de analisar cada caso, observe que $B$ tem de ser menor do que 5 , ou seja $B=1,2,3,4$. Lembre que letras distintas representam algarismos distintos. + +1o caso: $3 C$ termina em 5 . + +Como 1, 3 e 5 já foram usados concluímos que esse caso não ocorre pois $C$ teria que valer 5 . + +2o caso: $3 C+2$ termina em 5 . + +Logo, $C=1$ e portanto $2 B=5$, o que não é possível. + +3o caso: $3 C+1$ termina em 5 . + +Logo, $C=8$ e portanto $2 B+2=5$, o que implica $B=2$. Finalmente, temos que $A B C D E=52837$. + +4. Proporção triangular - Temos que $\frac{F C}{A F}=2$. Agora, trace o segmento $F H$, paralelo ao segmento $A E$ onde $H$ está sobre o segmento $B C$, como na figura a seguir. + +Os triângulos $\triangle A E C$ e $\triangle F H C$ são semelhantes pois têm lados paralelos. Isto implica que $C H=2 E H$. + +Por outro lado, os triângulos $\triangle B F H$ e $\triangle B G E$ também são semelhantes, pois têm lados paralelos. Dessa semelhança e do fato que $G$ é ponto médio do segmento $B F$ concluímos que $E$ é ponto médio do segmento $B H$. + +Assim, $B E=E H$ e, portanto, $E C=E H+C H=E H+2 E H=3 E H=3 E B$. Consequentemente, $\frac{E C}{E B}=3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-26.jpg?height=431&width=561&top_left_y=283&top_left_x=706) + +## 5. Números primos entre si - + +Solução 1: Temos: + +$$ +2000\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=16 \times 125\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}\right) +$$ + +Como $x$ e $y$ são primos entre si, concluímos que $x y$ e $x^{2}+y^{2}$ não têm fatores em comum (prove isso). Logo, $x$ e $y$ são divisores de $2000=16 \times 125=2^{4} \times 5^{3}$. Além disso, 16 tem que dividir $x y$ porque a expressão tem que ser ímpar. Portanto, $16=2^{4}$ divide $x$ ou $y$. + +1o caso: 16 divide $x$. + +Se $x>16$ então, $x$ é no mínimo $16 \times 5=80$, já que $x$ divide 2000 . Nesse caso, $x>y$ pois $x y$ divide 2000. Logo, $x=16$. Assim, como $x$ e $y$ são primos entre si, $x16$ então as possibilidades seriam: $y=16 \times 5$ e $x=1 ; y=16 \times 25$ e $x=1$; $y=16 \times 125$ e $x=1$. + +Se $y=16$ então as possibilidades para $x$ seria: $x=1 ; x=5$. + +Logo, os pares $(x, y)$ satisfazendo as condições do problema são: + +$$ +(16,25) ;(16,125) ;(5,16) ;(1,16) ;(1,80) ;(1,400) ;(1,2000) +$$ + +Porém, como podemos trocar $x$ e $y$ em vista da simetria da expressão, temos ainda as soluções: + +$$ +(25,16) ;(125,16) ;(16,5) ;(16,1) ;(80,1) ;(400,1) ;(2000,1) +$$ + +## Solução 2: + +Temos $N=2000\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\frac{16 \times 125 \times\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x y}=\frac{2^{4} \times 5^{3}}{x y} \times\left(x^{2}+y^{2}\right)$. + +Como $N$ é ímpar segue que $\frac{2^{4} \times 5^{3}}{x y}$ e $x^{2}+y^{2}$ são ímpares. As opções para isso são: +$x y=2^{4}, 2^{4} \times 5,2^{4} \times 5^{2}, 2^{4} \times 5^{3}$ e, $x$ e $y$ têm paridades distintas. Vamos determinar $x$ e $y$ para cada uma dessas opções: + +| $x y$ | $x$ | $y$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $2^{4}$ | 1 | $2^{4}$ | +| $2^{4} .5$ | 1 | $2^{4} .5$ | +| | $2^{4}$ | 5 | +| $2^{4} .5^{2}$ | 1 | $2^{4} .5^{2}$ | +| | $2^{4}$ | $5^{2}$ | +| $2^{4} .5^{3}$ | 1 | $2^{4} .5^{3}$ | +| | $2^{4}$ | $5^{3}$ | + +Logo, os pares $(x, y)$ satisfazendo as condições do problema são: + +$$ +(1,16) ;(1,80) ;(16,5) ;(1,400) ;(16,25) ;(1,2000) ;(16,125) +$$ + +Porém, como podemos trocar $x$ e $y$ em vista da simetria da expressão, temos ainda as soluções: + +$$ +(16,1) ;(80,1) ;(5,16) ;(400,1) ;(25,16) ;(2000,1) ;(125,16) +$$ + +## Lista 7 + +1. Fique atento - Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos $x=x^{2}-4 x+4$, que é equivalente a $x^{2}-5 x+4=0$. As raízes dessa equação do segundo grau são $x=1$ e $x=4$. Entretanto, quando substituímos $x=1$ na equação original $\sqrt{x}=x-2$ obtemos $\sqrt{1}=-1$, que é falso. No entanto, quando substituímos $x=4$ obtemos $\sqrt{4}=2$, que é verdadeiro. Portanto, a equação dada possui $x=4$ como única solução. + +Atenção: O aparecimento da "solução estranha" $x=1$ deve-se ao fato que a implicação + +$$ +a^{2}=b^{2} \Rightarrow a=b +$$ + +não é verdadeira em geral. O correto é + +$$ +a^{2}=b^{2} \Rightarrow a= \pm b +$$ + +Deste modo, quando elevamos os dois membros de uma equação ao quadrado, obtemos uma nova equação que pode, eventualmente, conter mais soluç̃es que a equação original. Você também pode ver isso com clareza, por exemplo, nas equações: $x=1 \mathrm{e}$ $x^{2}=1^{2}$. + +2. Soluções inteiras - A equação é equivalente a $x y=19(x+y)$. Uma vez que estamos procurando soluções inteiras e 19 é um número primo, esta igualdade implica que $x$ ou $y$ devem ser divisíveis por 19. Como a equação é simétrica em relação as variáveis $x$ e $y$, podemos supor que $x$ é divisível por 19 . Isto é, $x=19 k$ para algum valor inteiro de $k$. Nessa condição, temos: + +$$ +x y=19(x+y) \quad \Leftrightarrow \quad k y=19 k+y +$$ + +Desta igualdade concluímos que $19 k+y$ é divisível por $k$. Uma vez que $19 k$ já é divisível por $k$ concluímos que $y$ é divisível por $k$ (prove isso). Isto é, $y=k m$ para algum valor inteiro de $m$. Assim, + +$$ +k y=19 k+y \Rightarrow k^{2} m=19 k+k m \Rightarrow k m-m=19 \Rightarrow m(k-1)=19 +$$ + +Visto que $m$ e $k$ são números inteiros e 19 é um número primo, existem somente 4 possibilidades para a igualdade $m(k-1)=19$ : + +- $m=19$ e $k-1=1$. Isto implica que $x=38$ e $y=38$; +- $m=-19$ e $k-1=-1$. Isto implica que $x=0$ e $y=0$, que não é possível, pois na equação original, $x \neq 0$ e $y \neq 0$; +- $m=1$ e $k-1=19$. Isto implica que $x=380$ e $y=20$; +- $m=-1$ e $k-1=-19$. Isto implica que $x=-342$ e $y=18$. + +Deste modo, obtemos as seguintes possibilidades para o par de números inteiros $(x, y)$ que são soluções da equação dada: + +$$ +(38,38) ;(380,20) ;(20,380) ;(-342,18) ;(18,-342) +$$ + +3. No ponto de ônibus - Vamos representar por $M$ o número de meninas e por $H \circ$ número de meninos que estavam no ponto antes da parada do primeiro ônibus. Depois do embarque das 15 meninas no primeiro ônibus, ficaram no ponto $M-15$ meninas e $H$ meninos. Uma vez que, neste momento, ficam no ponto 2 meninos para cada menina, temos: $H=2(M-15)$. No segundo ônibus embarcam 45 meninos, e ficaram no ponto $M-15$ meninas e $H-45$ meninos. Como, neste momento, ficaram no ponto 5 meninas para cada menino, temos: $M-15=5(H-45)$. + +Deste modo, obtemos o sistema linear + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +H=2(M-15) \\ +M-15=5(H-45) +\end{array}\right. +$$ + +Substituindo a primeira equação na segunda obtemos: $M-15=5(2 M-30-45)$. Logo: + +$$ +375-15=10 M-M \Rightarrow M=40 +$$ + +e $H=2(40-15)=50$. + +4. Contorno circular - Sejam $A, B, C$ e $D$ os centros dos círculos, e $M, N, P$ e $Q$ os pontos de tangência. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-29.jpg?height=384&width=509&top_left_y=1296&top_left_x=732) + +Observe que $A D=D C=B C=A B=A C=2 a$. Logo, os triângulos $A B C$ e $A C D$ são equiláteros e por isso seus ângulos internos são iguais a $60^{\circ}$. Assim, temos: + +$$ +A \widehat{B C}=60^{\circ} \Rightarrow \widehat{M N}=\frac{5}{6} \times 2 \pi a \text { e } B \widehat{A} D=120^{\circ} \Rightarrow \widehat{M Q}=\frac{2}{3} \times 2 \pi a +$$ + +Como $\widehat{M N}=\widehat{P Q}$ e $\widehat{M Q}=\widehat{N P}$ segue que o contorno externo da figura dada tem comprimento igual a: + +$$ +\left(2 \times \frac{5}{6}+2 \times \frac{2}{3}\right) 2 \pi a=6 \pi a +$$ + +5. Um quadrilátero especial - Se cada diagonal divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área temos: + +$$ +\text { Área }(\triangle A B D)=\text { Área }(\triangle B C D) \text { e Área }(\triangle A B C)=\text { Área }(\triangle A C D) \text {. } +$$ + +Mas, + +$$ +\begin{aligned} +\text { Área }(\triangle A B D) & =X+W \\ +\text { Área }(\triangle B C D) & =Y+Z \\ +\text { Área }(\triangle A B C) & =Z+W \\ +\text { Área }(\triangle C D A) & =X+Y +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-30.jpg?height=512&width=593&top_left_y=286&top_left_x=1010) + +Assim, + +$$ +Z-X=\text { Área }(\triangle A B C)-\text { Área }(\triangle A B D)=\text { Área }(\triangle C D A)-\text { Área }(\triangle B C D)=X-Z +$$ + +e portanto, $Z=X$. Consequentemente, também temos $Y=W$. + +Como as áreas opostas são iguais, resulta da semelhança de triângulos que: + +$$ +A E \times E D=B E \times E C \text { e } A E \times E B=C E \times E D +$$ + +Dividindo esta duas equações obtemos: + +$$ +\frac{E D}{E B}=\frac{E B}{E D} \quad \Rightarrow \quad E D=E B +$$ + +Analogamente podemos mostrar que $E A=E C$. Logo, as diagonais se cortam no ponto médio, e consequentemente o quadrilátero é um paralelogramo donde, o perímetro é igual a $2 \times 10+2 \times 15=50 \mathrm{~cm}$. + +## Lista 8 + +1. Número curioso - Seja $a b$ um tal número. Por hipótese $a b=10 a+b$ é divisível por $a+b$. Logo, a diferença $(10 a+b)-(a+b)=9 a$, também é divisível por $a+b$. Além disso, sabemos que $10 a+b$ é divisível por $a+b$ se, e somente se, $(10 a+b)-(a+b)=9 a$ é divisível por $a+b$ (prove isso). + +Antes de prosseguirmos na solução, note que como $a b$ é um número de dois algarismos então $a \neq 0$. Agora, basta atribuir valores para $a$ e calcular os valores de $b$ para os quais $a+b$ divide $9 a$. O resultado é mostrado na tabela a seguir. + +| $a$ | $9 a$ | $b$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | 9 | $0,2,8$ | +| 2 | 18 | $0,1,4,7$ | +| 3 | 27 | 0,6 | +| 4 | 36 | $0,2,5,8$ | +| 5 | 45 | 0,4 | +| 6 | 54 | 0,3 | +| 7 | 63 | 0,2 | +| 8 | 72 | $0,1,4$ | +| 9 | 81 | 0 | + +Logo os números que satisfazem a propriedade são: + +$10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90$ + +ou seja, existem 23 números nas condições exigidas. + +## 2. Número premiado - + +(a) O maior número premiado tem de começar com 98. Assim o número procurado é da forma: $98 a b c d$. Por hipótese temos: $9+8+a=b+c+d$. Para que $a$ seja máximo precisamos que $b+c+d$ seja máximo, e isto acontece quando $b=7, c=6$ e $d=5$. Neste caso, $a=1$ e consequentemente, o maior número premiado é 981765 . + +Vamos agora determinar o menor número premiado. Tentemos um número da forma $10 a b c d$. Agora, não é difícil verificar que 108234 é o menor número premiado. + +(b) Se o número $A B C D E F$ é premiado, então o número $D E F A B C$ também é premiado. A soma desses números é: + +$$ +\begin{aligned} +A B C D E F+D E F A B C & =(1000 A B C+D E F)+(1000 D E F+A B C) \\ +& =1001(A B C+D E F)=13 \times 11 \times 7 \times(A B C+D E F) +\end{aligned} +$$ + +Somando todos os números premiados com 6 algarismos diferentes aos pares, resulta que cada par é divisível por 13. Logo, a soma de todos eles é divisível por 13. + +Nota: De fato também é divisível por 11 e 7 . + +3. Altura versus lado - Sejam $h_{a}$ e $h_{c}$ as alturas relativas aos lados $B C=a$ e $A B=c$, respectivamente. Por hipótese temos que $h_{a} \geq a$ e $h_{c} \geq c$. Como $h_{a}$ e $h_{c}$ são os comprimentos das alturas, então $h_{a} \leq c$ e $h_{c} \leq a$. + +Um dos lados considerados é maior ou igual ao outro: digamos $a \geq c$. Das desigualdades acima temos: + +$$ +h_{a} \geq a \geq c \geq h_{a} \quad \Rightarrow \quad a=c=h_{a} +$$ + +Daí, segue que $A B$ é perpendicular a $B C$. Logo, o triângulo é retângulo isósceles e portanto, os ângulos medem $45^{\circ}, 45^{\circ}$ e $90^{\circ}$. + +4. Frações egípcias - A equação é equivalente a $2 a b=7(a+b)$. Como 2 e 7 são números primos entre si, segue que $a b$ é múltiplo de 7 e que $a+b$ é múltiplo de 2 . Mas, para $a b$ ser múltiplo de 7 , a única possibilidade é $a$ ser múltiplo de 7 ou $b$ ser múltiplo de 7 . Suponhamos primeiramente que $a$ é múltiplo positivo de 7 , ou seja, $a=7 k$ para algum inteiro positivo $k$. Daí obtemos: + +$$ +2 a b=7(a+b) \Rightarrow 2 k b=7 k+b \Rightarrow(2 k-1) b=7 k +$$ + +Esta última equação implica que $b$ ou $2 k-1$ são mútiplos de 7 . Se $b$ é múltiplo de 7 , $b=7 m$, e assim + +$$ +\frac{2}{7}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \Rightarrow \frac{2}{7}=\frac{1}{7 k}+\frac{1}{7 m} \Rightarrow \frac{1}{k}+\frac{1}{m}=2 +$$ + +Mas, $\frac{1}{k} \leq 1$ e $\frac{1}{m} \leq 1$. Assim $\frac{1}{k}+\frac{1}{m} \leq 2$. Portanto, a equação $\frac{1}{k}+\frac{1}{m}=2$ possui única solução inteira positiva, a saber, $k=1=m$. Entretanto, esta solução não nos interessa, pois neste caso $a=b$. + +Passemos então ao caso em que $2 k-1$ é múltiplo de 7 . + +Uma possibilidade para $2 k-1$ ser múltiplo de 7 ocorre quando $k=4$. Neste caso, temos que + +$$ +\begin{gathered} +k=4 \Rightarrow a=7 k=28 \\ +(2 k-1) b=7 k \Rightarrow 7 b=28 \Rightarrow b=4 +\end{gathered} +$$ + +Obtemos então + +$$ +\frac{2}{7}=\frac{1}{28}+\frac{1}{4} +$$ + +5. Tabuleiro de xadrez - Um tabuleiro de xadrez é um quadrado reticulado de 64 quadradinhos, sendo 32 claros e 32 escuros, posicionados alternadamente. Cada quadradinho recebe o nome de casa. As peças são denominadas: rei, dama, torre, bispo, cavalo e peão. São 16 peças claras e 16 escuras, sendo 2 peças de cada categoria. + +Inicialmente, é possível colocar um bispo em $8 \times 8=64$ casas. Suponhamos que o bispo está numa casa branca, então na fila e na coluna onde ele está temos 8 casas pretas. Assim, o segundo bispo pode ser colocado em qualquer uma das $32-8=24$ casas pretas restantes. Concluímos então que se um dos bispos ocupa uma das 32 casas brancas então o outro terá 24 casas pretas para se localizar. Portanto, o número de configurações distintas que podem ser obtidas é: + +Nota: Aqui estamos entendendo que alternando a posição desses dois bispos não mudamos a configuração no tabuleiro de xadrez. Mais precisamente, os bispos têm a mesma cor, isto é, pertencem a um mesmo competidor. $32 \times 24$. + +## Lista 9 + +1. Quem é menor? - Observemos que: + +$$ +\begin{aligned} +& 33^{12}>32^{12}=\left(2^{5}\right)^{12}=2^{60} \\ +& 63^{10}<64^{10}=\left(2^{6}\right)^{10}=2^{60} \\ +& 127^{8}<128^{8}=\left(2^{7}\right)^{8}=2^{56} +\end{aligned} +$$ + +Logo, o maior dos números é $33^{12}$. + +Por outro lado, $\frac{127}{63}=2+\frac{1}{63}<2,1$. Logo: + +$$ +\left(\frac{127}{63}\right)^{2}<2,1^{2}<7 \text { e }\left(\frac{127}{63}\right)^{4}<49<63 \Rightarrow 127^{4}<63^{5} \Rightarrow 127^{8}<63^{10} +$$ + +Logo, o menor dos três números dados é $127^{8}$. + +2. Brincando com números - Como queremos encontrar o maior número possível, menor do que 900, iniciaremos com o algarismo 8 na casa da centena. Observemos que $\circ$ número 800 satisfaz a propriedade. Logo, o número procurado é maior que ou igual a 800 . + +Devemos então encontrar $a$ e $b$ tais que $8+a+b$ divida $8 a b=800+10 a+b$. Lembramos que $8+a+b$ divide $8 a b=800+10 a+b$ se, e somente se, $8+a+b$ divide $800+10 a+b-(8+a+b)=792+9 a$. Agora, atribuindo valores para $a$ na ordem decrescente obtemos: + +- $a=9 \Rightarrow 792+9 \times 9=873=9 \times 97$ e este número não possui nenhum divisor entre $17(b=0)$ e $26(b=9)$. +- $a=8 \Rightarrow 792+9 \times 8=864=2^{5} \times 3^{3}$. O maior divisor deste número entre $16 \mathrm{e}$ 25 é 24 , isto é, $b=8$. Logo, o número procurado é 888 . + +3. Cortando papéis - Se na primeira rodada André pega $n_{1}$ pedaços de papel para cortar cada um deles em sete pedaços, ao final desta rodada ele ficará com $7-n_{1}$ pedaços sem cortar mais $7 n_{1}$ pedaços cortados, totalizando $\left(7-n_{1}\right)+7 n_{1}=7+6 n_{1}$ pedaços de papel. Analogamente, se na segunda rodada André pega $n_{2}$ pedaços de papel para cortar, ao final desta rodada ele ficará com $7+6 n_{1}-n_{2}$ pedaços que não foram cortados nesta rodada, mais $7 n_{2}$ pedaços de papel provenientes dos cortes que ele fez nesta rodada. Assim, ao final da segunda rodada André ficará com + +$$ +\left(7+6 n_{1}-n_{2}\right)+7 n_{2}=7+6\left(n_{1}+n_{2}\right) +$$ + +Continuando deste modo, conclui-se que ao final de $k$ rodadas André fica com $7+6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)$ pedaços de papel. Para ele ficar então com 2009 pedaços de papel ao final de alguma rodada, deve-se ter + +$$ +7+6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)=2009 +$$ + +ou equivalentemente + +$$ +6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)=2002 +$$ + +Uma vez que 2002 não é mútiplo de 6, esta equação não admite solução e, portanto, André nunca poderá ficar com 2009 pedaços ao final de alguma rodada do jogo. + +4. Um trapézio especial - Suponhamos que $A E$ seja maior do que $B C$, e seja $A^{\prime}$ um ponto sobre $A E$ tal que $A^{\prime} E=B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-35.jpg?height=216&width=542&top_left_y=388&top_left_x=1190) + +Como $A^{\prime} E$ e $B C$ são paralelos temos que $A^{\prime} B C E$ é um paralelogramo, em particular $B A^{\prime}=C E$. Mas, $A A^{\prime}+A B>B A^{\prime}$ pela desigualdade triangular. Assim: + +$A B+A E+B E=A B+A A^{\prime}+A^{\prime} E+B E>B A^{\prime}+A^{\prime} E+B E=B C+C E+E B$. + +Portanto, o perímetro do triângulo $\triangle A B E$ é maior que o perímetro do triângulo $\triangle B C E$. Desta forma, $A E$ não pode ser maior que $B C$. + +Por um processo similar podemos também concluir que $B C$ não pode ser maior que $A E$ e portanto $B C=A E$. + +Analogamente, temos que $E D=B C$. Consequentemente, + +$$ +B C=\frac{1}{2}(A E+E D)=15 \mathrm{~cm} +$$ + +5. Uma estrela - + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-35.jpg?height=374&width=485&top_left_y=1274&top_left_x=335) + +No triângulo $B H E$ temos: + +$$ +20^{\circ}+130^{\circ}+B \widehat{E} H=180^{\circ} \Rightarrow B \widehat{E} H=30^{\circ} +$$ + +Note que $J \widehat{E} I=B \widehat{E} H=30^{\circ}$. + +## Lista 10 + +1. Número palindrome - Um número palindrome de 4 algarismos é da forma: $a b b a$, onde $a$ é um algarismo entre 1 e 9 e $b$ é um algarismo entre 0 e 9 . Como o número é divisível por 9 , então a soma de seus algarismos: $2 a+2 b=2(a+b)$ é divisível por 9 , ou seja $a+b$ é divisível por 9 . Se $a+b=9$, temos as 9 soluções: + +$a=1$ e $b=8 \quad ; \quad a=2$ e $b=7 \quad ; \quad a=3$ e $b=6 \quad ; \quad a=4$ e $b=5$ + +$a=5$ e $b=4 \quad ; \quad a=6$ e $b=3 \quad ; \quad a=7$ e $b=2 \quad ; \quad a=8$ e $b=1$ + +$a=9$ e $b=0$. + +Se $a+b=18$ então a única solução é: $a=b=9$. + +Logo, o número de palindromes de 4 algarismos divisíveis por 9 é 10 , são eles: 1881 , $2772,3663,4554,8118,7227,6336,5445,9009$ e 9999. + +2. Multiplicação com letras - Se o produto de $b$ por $c$ termina em 1 , então $b \times c$ pode ser 21 ou 81 segue que $b \times c=3 \times 7$ ou $9 \times 9$. A única possibilidade de escrever o produto de dois números distintos menores que 10 é $21=3 \times 7$. Assim temos dois possíveis casos: + +1o caso: $b=3$ e $c=7$ : + +$$ +\begin{array}{r} +a 33 \\ +\times \quad 7 \\ +\hline 3731 +\end{array} +$$ + +Neste caso $\frac{3731}{7}=533$ e, consequentemente, $a=5$. + +2o caso: $b=7$ e $c=3$ : + +Nesta caso $\frac{7371}{3}=2457$. Logo, este caso não ocorre. + +## 3. Números sortudos - + +(a) A sequência de oito números consecutivos de 52 a 59 tem exatamente, dois números sortudos: 52 e 59 . Outro exemplo é qualquer sequência de 8 números que contenha 59 e 61 , por exemplo: $55,56,57,58,59,60,61,62$. + +(b) Dois exemplos: $994, \ldots, 1005$ e $7994, \ldots, 8005$. Existem mais exemplos, encontre alguns. + +(c) Chamemos de década qualquer sequência de 10 números consecutivos cujo primeiro termo é múltiplo de 10 : + +$$ +\begin{aligned} +& 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 \\ +& 140,141,142,143,144,145,146,147,148,149 +\end{aligned} +$$ + +Note que qualquer sequência de 7 números consecutivos numa década contém pelo menos um número sortudo porque a soma de seus algarismos é uma sequência de 7 números consecutivos, um dos quais tem de ser divisível por 7 . Finalmente, qualquer sequência de 13 números consecutivos contém pelo menos 7 números +consecutivos de uma década, que sempre contém um número sortudo. Examine alguns exemplos para melhor entender essa justificativa. + +4. Uma sequência especial - Vamos inicialmente escrever alguns termos: + +$$ +1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2, \ldots +$$ + +O 7 e e 80 termos são, respectivamente iguais ao 10 e 2 . Isso significa que a sequência se repete de 6 em 6 termos. A soma dos 6 primeiros termos é $1+3+2-1-3-2=0$, e portanto, a soma dos 96 primeiros termos também é 0 . Logo, a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência é igual a soma dos 4 últimos termos, ou seja, $1+3+2-1=5$. + +5. Triângulos e ângulos... - No triângulo menor, os ângulos medem $70^{\circ}, 180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$ enquanto que o terceiro medirá + +$$ +180^{\circ}-\left(50^{\circ}+70^{\circ}\right)=60^{\circ} +$$ + +Assim, + +$$ +\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} +$$ + +Agora, no triângulo maior temos: + +$45^{\circ}+\beta+50^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow \beta=180^{\circ}-95^{\circ}=85^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_eead07372ad548e635bag-37.jpg?height=504&width=569&top_left_y=794&top_left_x=1163) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea93a1b15624bc15ac87b8c73178b55e7d76ea4f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2009_N3.md @@ -0,0 +1,1476 @@ +# Nível 3 + +## Lista 1 + +1. Brincando com a calculadora - Digite numa calculadora um número qualquer de 3 algarismos. Em seguida, digite o mesmo número, obtendo assim um número de 6 algarismos da forma $a b c a b c$. Divida esse número por 7 , divida o resultado por $11 \mathrm{e}$, finalmente, divida o número obtido por 13. O que aconteceu? Por que você obteve este resultado? +2. No galinheiro - Um galinheiro com área igual a $240 \mathrm{~m}^{2}$ deve abrigar galinhas e pintinhos, sendo desejável que haja um espaço livre de $4 \mathrm{~m}^{2}$ para cada galinha e $2 \mathrm{~m}^{2}$ para cada pintinho. Além disso, cada pintinho come $40 \mathrm{~g}$ de ração por dia e cada galinha come $160 \mathrm{~g}$ por dia, sendo permitido um gasto diário máximo de $8 \mathrm{~kg}$ de ração. + +(a) Represente algebricamente as condições do problema. + +(b) Represente graficamente as condições acima no plano cartesiano $x O y$. + +(c) Esse galinheiro comporta 20 galinhas e 80 pintinhos? E 30 galinhas e 100 pintinhos? + +(d) Qual o número máximo de galinhas que podem ser colocadas no galinheiro, respeitando os espaços desejáveis e o gasto máximo de ração? E de pintinhos? + +3. Um número perfeito - Um número natural $n$ é dito perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios, isto é, diferentes de $n$, é igual a $n$. Por exemplo, 6 e 28 são perfeitos, pois: $6=1+2+3$ e $28=1+2+4+7+14$. Sabendo que $2^{31}-1$ é um número primo, mostre que $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ é um número perfeito. +4. Quinze minutos a mais - Dois carros partem ao mesmo tempo de uma cidade A em direção a uma cidade B. Um deles viaja com velocidade constante de $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e o outro com velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Se o carro mais rápido faz esta viagem em 15 minutos a menos que o outro carro, qual a distância entre as duas cidades? +5. Outros caminhos - Partindo de sua casa para chegar na escola, Júlia deve caminhar 8 quarteirões para a direita e 5 quarteirões para cima, como indicado na figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-01.jpg?height=361&width=528&top_left_y=1863&top_left_x=728) + +Ela sabe que existem muitas maneiras diferentes de fazer o percurso casa-escola, sempre seguindo o caminho mais curto. Como ela é uma menina muito curiosa, ela gostaria de sempre fazer caminhos diferentes. + +Quantos desses caminhos existem da casa de Júlia até a escola? + +## Lista 2 + +1. Escrevendo em um tabuleiro - Um tabuleiro quadrado de 3 linhas por 3 colunas contém nove casas. De quantos modos diferentes podemos escrever as três letras A, B e $\mathbf{C}$ em três casas diferentes, de modo que em cada linha esteja escrita exatamente uma letra? +2. Fração e porcentagem - Se na fração $\frac{x}{y}$ diminuirmos o numerador de $40 \%$ e o denominador $y$ de $60 \%$, então a fração $\frac{x}{y}$ : +(A) diminui $20 \%$ +(B) aumenta $20 \%$ +(C) diminui $50 \%$ +(D) aumenta $50 \%$ +3. Triângulos sobrepostos - Dois triângulos retângulos congruentes possuem catetos de medidas $4 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$. Na figura abaixo, à esquerda, os triângulos foram desenhados de modo a coincidirem os catetos de $7 \mathrm{~cm}$. Assim, $A B=7 \mathrm{~cm}$ e $A D=B C=4 \mathrm{~cm}$. Já na figura à direita, eles foram desenhados de modo a coincidirem as hipotenusas donde, $A D=B C=4 \mathrm{~cm}$ e $A C=B D=7 \mathrm{~cm}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-02.jpg?height=248&width=1076&top_left_y=1156&top_left_x=492) + +Calcule as áreas sombreadas nas duas figuras. + +4. Dois motoristas - Dois motoristas viajam da cidade A até a cidade B e, imediatamente, regressam à cidade $A$. O primeiro motorista viaja com velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, tanto na ida quanto na volta. O segundo motorista viaja até a cidade $B$ com velocidade constante de $90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e retorna com velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Qual desses motoristas gasta menos tempo no percurso de ida e volta? +5. Soma e inverte - Podemos formar sequências a partir de um número inicial, usando duas operações " $+1=$ somar 1 " e " $-i=$ menos o inverso". Por exemplo, iniciando com o número 3, podemos formar várias sequências, veja uma delas: + +$$ +3 \xrightarrow{+1} 4 \xrightarrow{+1} 5 \xrightarrow{-i}-\frac{1}{5} \xrightarrow{+1} \frac{4}{5} \xrightarrow{-i}-\frac{5}{4} \xrightarrow{+1}-\frac{1}{4} \xrightarrow{+1} \frac{3}{4} \xrightarrow{-i}-\frac{4}{3} . +$$ + +Iniciando com 0 , com qual sequência obteremos novamente o 0 , usando apenas as duas operações " +1 " e " $-i$ "? + +## Lista 3 + +1. Carro flex - Um carro é denominado flex se ele pode ser abastecido com gasolina ou com álcool. Considere que os preços do álcool e da gasolina sejam, respectivamente, $\mathrm{R} \$ 1,59$ e $\mathrm{R} \$ 2,49$ por litro. + +(a) Suponha que um carro flex rode $12,3 \mathrm{~km}$ por litro de gasolina, que indicamos $12,3 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$. Qual deve ser a relação $\mathrm{km} / \mathrm{I}$ desse carro, para o álcool, para que a utilização do álcool seja financeiramente mais vantajosa que a de gasolina? + +(b) Se o desempenho de um carro flex é de $x \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com gasolina e de $\left(\frac{x}{2}+1\right) \mathrm{km} / \mathrm{I}$ com álcool, escreva a expressão da função $g(x)$ que fornece o custo desse carro rodar $100 \mathrm{~km}$ utilizando gasolina e a expressão da função $a(x)$ que fornece o custo desse carro rodar $100 \mathrm{~km}$ utilizando álcool. + +(c) Para que o custo seja o mesmo, tanto com álcool como com gasolina, qual deve ser a relação $\mathrm{km} / \mathrm{I}$ para a gasolina e para o álcool? + +(d) Em que condição o uso do álcool é mais vantajoso, financeiramente, que o da gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça a condição. + +2. Contando triângulos - Na figura a seguir estão marcados 11 pontos sobre dois segmentos. Quantos triângulos podem ser formados com estes 11 pontos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-03.jpg?height=339&width=639&top_left_y=1332&top_left_x=667) + +3. Quadrado perfeito - Existe um número de 8 algarismos da forma + +$$ +9999 * * * * +$$ + +que é um quadrado perfeito? + +4. Diferença quase nula - Qual o menor número inteiro positivo $n$ tal que + +$$ +\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<0,01 ? +$$ + +5. Conjunto de Cantor - Desenhe um segmento de reta de comprimento 1, e denote-o por $C_{1}$. Remova o terço central (sem remover os extremos). Denote por $C_{2}$ o que sobrou. Agora, remova o terço central (sem os extremos) de cada segmento de reta de $C_{2}$. Denote por $C_{3}$ o que sobrou. Podemos continuar esse processo, em cada estágio removendo o terço central de cada segmento em $C_{n}$ para formar $C_{n+1}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-04.jpg?height=193&width=721&top_left_y=294&top_left_x=672) + +(a) Desenhe $C_{1}, C_{2}$ e $C_{3}$, indicando os números nos extremos dos segmentos. + +(b) Quais dos seguintes pontos pertencem ao conjunto de Cantor? $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{3}{81}, \frac{4}{81}$. + +(c) Quais são os comprimentos de $C_{3}, C_{4}$ e $C_{5}$ ? Você pode achar uma expressão para o comprimento de $C_{n}$ ? + +## Lista 4 + +1. Enchendo uma piscina - Uma piscina vazia foi abastecida de água por duas torneiras $A$ e $B$, ambas com vazão constante. Durante 4 horas, as duas torneiras ficaram abertas e encheram $50 \%$ da piscina. Em seguida, a torneira B foi fechada e durante 2 horas a torneira A encheu $15 \%$ do volume da piscina. Após este período a torneira A foi fechada e a torneira $\mathrm{B}$ aberta. Durante quanto tempo esta torneira teve de ficar aberta para que ela sozinha terminasse de encher a piscina? +2. Probabilidade de ser um número par - Uma urna tem 9 bolas, numeradas com os números de 1 a 9 . José e Maria retiram simultaneamente uma bola da urna. Com as bolas retiradas eles formam um número de 2 algarismos, sendo que o número que está escrito na bola de José é o algarismo das dezenas e o número que está escrito na bola de Maria é o algarismo das unidades. Qual a probabilidade deste número ser par? +3. Múltiplo de $\mathbf{7}$ - Mostre que se o produto $N=(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m)$ é múltiplo de 7 , com $m$ e $n$ números naturais, então $N$ é múltiplo de $7^{3}=343$. +4. Os ângulos $15^{\circ}$ e $75^{\circ}$ - Na figura, $A B C D$ é um quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$ e $\triangle B C E$ é um triângulo equilátero. O ponto $M$ é o ponto médio do segmento $C E, D N$ é perpendicular a $B M$ e $B M$ é perpendicular a $C E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-05.jpg?height=387&width=656&top_left_y=1254&top_left_x=363) + +(a) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo $\triangle D B N$. + +(b) Use o item (a) para calcular o cosseno, o seno e a tangente dos ângulos de $15^{\circ}$ e $75^{\circ}$. + +5. Circunfências tangentes - Na figura, estão desenhadas duas circunferências concêntricas de raios $r$ e $R$, com $ra$, estas três circunferências são duas a duas concorrentes nos pontos $X, Y$ e $Z$, exteriores ao triângulo $\triangle A B C$. Mostre que $\triangle X Y Z$ é um triângulo equilátero e calcule o comprimento do seu lado em termos de $a$ e $r$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-09.jpg?height=441&width=467&top_left_y=1319&top_left_x=1268) + +5. Valor máximo - Para qual número natural $k$ a expressão $\frac{k^{2}}{1,001^{k}}$ atinge seu maior valor? + +## Lista 9 + +1. Moedas falsas - Aladim tem 10 sacos de moedas, onde cada saco tem somente moedas verdadeiras ou moedas falsas. Cada moeda verdadeira pesa $10 \mathrm{~g}$ e cada moeda falsa pesa $9 \mathrm{~g}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-10.jpg?height=274&width=274&top_left_y=378&top_left_x=1381) + +(a) Suponhamos que em cada saco existam exatamente 10 moedas e somente um dos sacos é de moedas falsas. Utilizando uma balança e efetuando apenas uma pesagem, como Aladim deve proceder para descobrir qual é o saco das moedas falsas? + +(b) Suponhamos que os sacos estejam cheios de moedas e que Aladim não saiba quantos destes sacos são de moedas falsas. Como pode ele identificar os sacos que têm moedas falsas com apenas uma pesagem? + +2. Menor inteiro - Sejam $p$ e $q$ inteiros positivos tais que $\frac{5}{8}<\frac{p}{q}<\frac{7}{8}$. Qual é o menor valor de $p$ para que $p+q=2005$ ? +3. Mais áreas... - Um triângulo tem vértice $A=(3,0), B=(0,3)$ e $C$, onde $C$ está sobre a reta $x+y=7$. Qual é a área do triângulo? +4. Circunferências tangentes - Três circunferências de raios $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}$ e $3 \mathrm{~cm}$ são duas a duas tangentes exteriormente, como na figura ao lado. + +Determine o raio da circunferência tangente exteriormente às três circunferências. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-10.jpg?height=420&width=415&top_left_y=1302&top_left_x=1321) + +5. Soma finita - Cada um dos números $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2004}$ pode ser igual a $\sqrt{2}-1$ ou a $\sqrt{2}+1$. Quantos valores inteiros distintos a soma + +$$ +\sum_{k=1}^{2004} x_{2 k-1} x_{2 k}=x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}+x_{5} x_{6}+\cdots+x_{2003} x_{2004} +$$ + +pode assumir? + +## Lista 10 + +1. Múltiplos - Seja $a$ um número inteiro positivo tal que $a$ é múltiplo de $5, a+1$ é múltiplo de $7, a+2$ é múltiplo de 9 e $a+3$ é múltiplo de 11 . Determine o menor valor que $a$ pode assumir. +2. Equação de duas variáveis - Determine todos os pares de inteiros $(x, y)$ tais que $9 x y-x^{2}-8 y^{2}=2005$. +3. Trapézio retângulo - Seja $A B C D$ um trapézio retângulo de bases $A B$ e $C D$, com ângulos retos em $A$ e $D$. Dado que a diagonal menor $B D$ é perpendicular ao lado $B C$, determine o menor valor possível para a razão $\frac{C D}{A D}$. +4. Jogos de futebol - Os doze alunos de uma turma de olimpíada saíam para jogar futebol todos os dias após a aula de matemática, formando dois times de 6 jogadores cada e jogando entre si. A cada dia eles formavam dois times diferentes dos times formados em dias anteriores. Ao final do ano, eles verificaram que cada 5 alunos haviam jogado juntos num mesmo time exatamente uma vez. Quantos times diferentes foram formados ao longo do ano? +5. A soma dos algarismos de um número - Denotemos por $s(n)$ a soma dos algarismos do número $n$. Por exemplo $s(2345)=2+3+4+5=14$. Observemos que: + +$40-s(40)=36=9 \times 4 ; 500-s(500)=495=9 \times 55 ; 2345-s(2345)=2331=9 \times 259$. + +(a) O que podemos afirmar sobre o número $n-s(n)$ ? + +(b) Usando o item anterior calcule $s\left(s\left(s\left(2^{2009}\right)\right)\right.$ ). + +SugESTÃO: Mostre que o número procurado é menor do que 9. + +## Soluções do Nível 3 + +## Lista 1 + +1. Brincando com a calculadora - $\mathrm{O}$ resultado é o mesmo número inicial de 3 algarismos $a b c$. De fato, se $a b c$ é um número de 3 algarismos então o número $a b c a b c$ de 6 algarismos é da forma: + +$$ +a b c a b c=1000 a b c+a b c=1001 a b c +$$ + +Como $1001=7 \times 11 \times 13$, dividindo $a b c a b c$, sucessivamente, por 7 , 11 e por 13 , obtemos: + +$$ +\frac{a b c a b c}{7 \times 11 \times 13}=\frac{1001 a b c}{7 \times 11 \times 13}=a b c +$$ + +2. No galinheiro - Sejam $x$ e $y$, respectivamente, o número de galinhas e pintinhos no galinheiro. + +(a) Temos $4 x+2 y=240$, ou seja, $2 x+y=120$. + +Como, $8 \mathrm{~kg}=8000 \mathrm{~g}$ temos: $160 x+40 y \leq 8000$. Assim, $4 x+y \leq 200$. Em resumo, o número $x$ de galinhas e $y$ de pintinhos satisfazem: + +$$ +(*)\left\{\begin{array}{l} +2 x+y=120 \\ +4 x+y \leq 200 +\end{array}\right. +$$ + +(b) A reta $2 x+y=120$ corta o eixo $O x$ em $x=60$ e o eixo $O y$ em $y=120$. + +A reta $4 x+y=200$ corta o eixo $O x$ em $x=50$ e o eixo $O y$ em $y=200$. Os gráficos dessas retas estão abaixo, onde a desigualdade $4 x+y \leq 200$ é representada pela região sombreada. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-12.jpg?height=502&width=1352&top_left_y=1641&top_left_x=343) + +Observe que a condição $(*)$ é representada na figura pelo segmento que liga os pontos $P$ e $(0,120)$. As coordenadas do ponto $P$ são a solução do sistema: + +$$ +\begin{aligned} +& \qquad\left\{\begin{array}{l} +2 x+y=120 \\ +4 x+y=200 +\end{array}\right. \\ +& \text { ou seja, } x=40 \text { e } y=40, \text { e } \\ +& P=(40,40) +\end{aligned} +$$ + +(c) Temos que $2 \times 20+80=120$ e $4 \times 20+80 \leq 200$. Logo, $x=20$ e $y=80$ satisfazem a condição $\left({ }^{*}\right)$ e, por isso, a resposta é sim. + +Agora $2 \times 30+100 \neq 120$, logo, $x=30$ e $y=100$ não satisfazem a condição (*) e, por isso, a resposta é não. + +(d) O número máximo de galinhas é 40 , e nesse caso teremos também 40 pintinhos. $\mathrm{O}$ número máximo de pintinhos é 120 , e nesse caso teremos 0 galinhas. + +3. Um número perfeito - Se $2^{31}-1$ é um número primo, seu único divisor próprio é o número 1. Então os divisores próprios de $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ são: + +$$ +1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{29}, 2^{30},\left(2^{31}-1\right), 2\left(2^{31}-1\right), 2^{2}\left(2^{31}-1\right), \ldots, 2^{29}\left(2^{31}-1\right) +$$ + +A soma $S$ desses divisores é: + +$$ +S=\left[1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{29}+2^{30}\right]+\left(2^{31}-1\right)\left[1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{29}\right] +$$ + +Em cada um dos dois colchetes aparece a soma $S_{n}$ de uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1 e razão 2 . + +O primeiro colchete, $S_{31}$, contém 31 termos e o segundo, $S_{30}$, contém 30 termos. Usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, temos: + +$$ +S_{31}=\frac{2^{31}-1}{2-1}=2^{31}-1 \quad \text { e } \quad S_{30}=\frac{2^{30}-1}{2-1}=2^{30}-1 +$$ + +Então a soma dos divisores próprios de $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ é : + +$$ +S=\left(2^{31}-1\right)+\left(2^{31}-1\right)\left[2^{30}-1\right]=\left(2^{31}-1\right)\left(1+2^{30}-1\right)=2^{30}\left(2^{31}-1\right) +$$ + +Logo, essa soma é igual a $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$, como queríamos provar. + +## 4. Quinze minutos a mais - + +Solução 1: Sabemos que espaço $=$ velocidade $\times$ tempo. Denotemos por $t \circ$ tempo gasto pelo carro menos rápido (aquele que faz a viagem com velocidade de $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ). Logo, o tempo gasto pelo outro carro foi $t-15$. Como ambos percorrem a mesma distância, convertendo horas em minutos, segue que: + +$$ +\frac{60}{60} \times t=\frac{70}{60} \times(t-15) \Rightarrow t=105 \min =1 \frac{3}{4} \mathrm{~h} +$$ + +Logo, a distância entre as duas cidades é: + +$$ +60 \times 1 \frac{3}{4}=60 \times \frac{7}{4}=105 \mathrm{~km} +$$ + +Solução 2: Vamos representar por $d$ a distância entre as cidades $\mathrm{A}$ e B, e por $T$ o tempo gasto, em horas, pelo carro mais veloz. Como o outro carro gasta 15 minutos a mais para fazer o mesmo percurso, temos que o tempo gasto por ele é igual a $T+0,25$ horas, pois $15 \mathrm{~min}=0,25 \mathrm{~h}$. + +Como a velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo gasto, concluímos que $70=\frac{d}{T}$ e $60=\frac{d}{T+0,25}$. Daí segue que $d=70 T=60(T+0,25)$, ou seja, $T=1,5 \mathrm{~h}$. Logo, $d=70 \times 1,5=105 \mathrm{~km}$. + +5. Outros caminhos - Qualquer que seja a maneira que Júlia caminhe da sua casa até a escola, ela deve percorrer 8 quarteirões para a direita e 5 quarteirões para cima. Um caminho ligando a sua casa até a escola é então uma sequência de "travessias de +quarteirões", sendo 8 no sentido horizontal (para a direita) e 5 no sentido vertical (para cima). Assim, para definir um caminho ela precisa apenas decidir em que ordem fará essas travessias. + +Desse modo, imaginemos 8 cartelas impressas com a letra D e 5 cartelas impressas com a letra C. Uma permutação qualquer destas cartelas pode ser interpretada como um caminho a ser percorrido por Júlia. Por exemplo, a sequência de cartelas DDCDCCDDDDCDC define o seguinte caminho: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-14.jpg?height=466&width=721&top_left_y=683&top_left_x=672) + +Para determinar o número de maneiras que se pode ordenar essas cartelas, devemos contar de quantas maneiras diferentes se pode colocar 5 cartelas impressas com a letra C em uma fila com 13 lugares vagos e os demais 8 lugares na fila ocupados com as cartelas impressas com a letra D. + +Inicialmente, devemos escolher um dos 13 lugares vagos para colocar uma letra C. Colocada esta letra, sobram 12 lugares vagos para a segunda letra C. Colocada esta letra, sobram 11 lugares vagos para a terceira letra, 10 lugares para a quarta letra e, finalmente, 9 lugares para a quinta letra C. Agora, uma vez colocadas as cinco letras C, qualquer permutação dessas letras entre si não altera a distribuição das letras na fila. Como a quantidade de permutações de cinco objetos é $5!=120$, pelo princípio multiplicativo temos que o número de maneiras de ordenar as 13 cartelas é + +$$ +\frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120}=1287 +$$ + +## Lista 2 + +1. Escrevendo em um tabuleiro - Começando com a letra A, ela pode ser escrita em qualquer uma das 9 casas do tabuleiro. Uma vez escrita a letra $\mathbf{A}$, sobram 6 casas onde a letra B pode ser escrita. Uma vez escritas as letras $\mathbf{A}$ e B no tabuleiro, sobram 3 casas para a letra $\mathbf{C}$ ser escrita. + +Assim, pelo princípio multiplicativo, existem $9 \times 6 \times 3=162$ maneiras diferentes das letras $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ e $\mathbf{C}$ serem escritas no tabuleiro. + +| A | C | B | +| :--- | :--- | :--- | +| C | B | A | +| B | A | C | + +2. Fração e porcentagem - A opção correta é (D). + +Se um número $x$ é diminuído de $40 \%$, ele passa a valer $60 \%$ de $x$, ou seja: $0,6 x$. Do mesmo modo, quando um número $y$ é diminuído de $60 \%$, ele passa a valer $0,4 y$. Portanto, a fração $\frac{x}{y}$ passa a ter o valor $\frac{0,6 x}{0,4 y}=\frac{6}{4} \frac{x}{y}=1,5 \frac{x}{y}$. Isto significa que a fração $\frac{x}{y}$ aumentou $50 \%$ do seu valor. + +3. Triângulos sobrepostos - Os pontos $A, B, C$ e $D$ formam o retângulo $A B C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-15.jpg?height=282&width=504&top_left_y=1277&top_left_x=781) + +Como as diagonais de um retângulo o dividem em quatro triângulos de mesma área, a área sombreada é igual a três quartos da área do retângulo $A B C D$. Portanto, a área sombreada é igual a $\frac{3}{4}(7 \times 4)=21 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Vejamos agora o caso da outra figura. Sejam $E$ o ponto de interseção dos segmentos $A C$ e $B D, x=D E=C E$ e $y=A E=B E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-15.jpg?height=265&width=510&top_left_y=1911&top_left_x=775) + +A área sombreada é a soma das áreas dos triângulos $A D E$ e $A B C$, ou seja: + +$$ +\frac{4 \times x}{2}+\frac{4 \times 7}{2}=2 x+14 +$$ + +Logo, basta calcularmos $x$. Temos que $x+y=7$ e, pelo Teorema de Pitágoras aplicado +ao triângulo $A E D, y^{2}=x^{2}+4^{2}$. Substituindo $y=7-x$ nessa última equação obtemos: + +$$ +(7-x)^{2}=x^{2}+16 \Rightarrow 49-14 x+x^{2}=x^{2}+16 \Rightarrow x=\frac{49-16}{14}=\frac{33}{14} +$$ + +Finalmente, a área sombreada é: + +$$ +2 \times \frac{33}{14}+14=\frac{33}{7}+14=4 \frac{5}{7}+14=18 \frac{5}{7} . +$$ + +4. Dois motoristas - Seja $d$ a distância entre as cidades $\mathrm{A}$ e B, e lembre que tempo $=$ distância $/$ velocidade. + +- O primeiro motorista viaja a distância de $2 d$ com velocidade constante igual a $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Logo, o tempo total gasto por ele é: + +$$ +t=\frac{2 d}{80}=\frac{d}{40} +$$ + +- O segundo motorista percorre a distância $d$, na ida, com velocidade igual a $90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e, na volta, a mesma distância com velocidade de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Logo o tempo gasto na ida e volta é: + +$$ +t^{\prime}=\frac{d}{70}+\frac{d}{90}=\frac{16 d}{630}=\frac{8 d}{315} +$$ + +Como + +$$ +\frac{d}{40}=\frac{8 d}{320}<\frac{8 d}{315} +$$ + +conclui-se que o motorista que viaja com velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ é o que gasta menos tempo no percurso de ida e volta. + +5. Soma e inverte - Para obter 0 , a sequência tem de terminar como: + +$$ +-2 \xrightarrow{+1}-1 \xrightarrow{+1} 0 +$$ + +Uma sequência pedida é a seguinte: + +$$ +\begin{aligned} +& 0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{+1} 3 \xrightarrow{-i}-\frac{1}{3} \xrightarrow{+1} \frac{2}{3} \xrightarrow{+1} \frac{5}{3} \xrightarrow{+1} \frac{8}{3} \xrightarrow{-i}-\frac{3}{8} \xrightarrow{+1} \frac{5}{8} \xrightarrow{+1} \frac{13}{8} \xrightarrow{+1} \frac{21}{8} \\ +& \xrightarrow{-i}-\frac{8}{21} \xrightarrow{+1} \frac{13}{21} \xrightarrow{-i}-\frac{21}{13} \xrightarrow{+1}-\frac{8}{13} \xrightarrow{+1} \frac{5}{13} \xrightarrow{-i}-\frac{13}{5} \xrightarrow{+1}-\frac{8}{5} \xrightarrow{+1}-\frac{3}{5} \xrightarrow{+1} \frac{2}{5} \\ +& \xrightarrow{-i}-\frac{5}{2} \xrightarrow{+1}-\frac{3}{2} \xrightarrow{+1}-\frac{1}{2} \xrightarrow{+1} \frac{1}{2} \xrightarrow{-i}-2 \xrightarrow{+1}-1 \xrightarrow{+1} 0 . +\end{aligned} +$$ + +Temos outra solução bem mais rápida e simples: + +$$ +0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{-i}-1 \xrightarrow{+1} 0 . +$$ + +## Lista 3 + +## 1. Carro flex - + +(a) Com gasolina o carro faz $\frac{12,3}{2,49}=4,94 \mathrm{~km}$ por $\mathrm{R} \$ 1,00$. Para que o álcool seja mais vantajoso precisamos que o carro rode, com álcool, mais que $4,94 \mathrm{~km}$ com $\mathrm{R} \$ 1,00$. Logo, se o desempenho com álcool é $y \mathrm{~km} / \mathrm{I}$, precisamos que $\frac{y}{1,59}>4,94$, o que implica $y>7,85$. Ou seja, o desempenho com álcool deve ser maior que $7,85 \mathrm{~km} / \mathrm{I}$. + +(b) Observe que $g(x)=2,49 \frac{100}{x}=\frac{249}{x}$ e $a(x)=1,59 \frac{100}{\frac{x}{2}+1}=\frac{318}{x+2}$. + +(c) Precisamos ter $a(x)=g(x)$, ou seja, $\frac{249}{x}=\frac{318}{x+2}$, o que leva a $x=7,22 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$, que deve ser o desempenho com gasolina. Com álcool, o carro deve fazer + +$$ +\frac{7,22}{2}+1=3,61 \mathrm{~km} / \mathrm{l} +$$ + +(d) Supondo que o desempenho do carro seja $x \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com gasolina e $y \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com álcool e pensando em um percurso de $L \mathrm{~km}$, devemos ter o custo com gasolina maior que o custo com álcool: + +$$ +2,49 \frac{L}{x}>1,59 \frac{L}{y} \Rightarrow 2,49 y>1,59 x \Rightarrow y>0,64 x +$$ + +pois $x$ e $y$ são valores positivos. + +Um exemplo é um carro que faz $10 \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com gasolina, teria que fazer mais que $6,4 \mathrm{~km} / \mathrm{I}$ com álcool para que o uso do álcool seja mais vantajoso. + +Observação. Os valores determinados na solução foram aproximados na segunda casa decimal. + +2. Contando triângulos - Sejam $A, B, \ldots, K$ os 11 pontos nomeados como na seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-17.jpg?height=309&width=509&top_left_y=1819&top_left_x=732) + +Dividiremos a contagem em três casos: + +(i) Um vértice é $A$. Neste caso, um vértice do triângulo deve estar no conjunto $\{H, I, J, K\}$ e o outro vértice no conjunto $\{B, C, D, E, F, G\}$. Como existem 4 escolhas para um vértice e 6 escolhas para o outro vértice, a quantidade de triângulos com um vértice no ponto $A$ é: $6 \times 4=24$. +(ii) Dois vértices em $\{B, C, D, E, F, G\}$. O outro vértice está no conjunto $\{H, I, J, K\}$, pois já contamos os triângulos com vértice em $A$. Devemos escolher dois entre os 6 pontos $\{B, C, D, E, F, G\}$. Assim, temos a quantidade de escolhas: + +$$ +C_{6}^{2}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6 \times 5}{2}=15 +$$ + +O outro vértice do triângulo é qualquer um dos 4 pontos $\{H, I, J, K\}$. Daí a quantidade de triângulos é $4 \times 15=60$. + +(iii) Dois vértices em $\{H, I, J, K\}$. O outro vértice está no conjunto $\{B, C, D, E, F, G\}$. O número de maneira de escolher 2 entre os 4 pontos $\{H, I, J, K\}$ é + +$$ +C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 \times 3}{2}=6 +$$ + +Como o outro vértice pode ser escolhido de 6 maneira diferentes, temos que a quantidade de triâgulos é $6 \times 6=36$. + +Logo, a quantidade de triângulos cujos vértices são tomados dentre os 11 pontos da figura é $24+60+36=120$. + +3. Quadrado perfeito - Seja $x$ um número de oito algarismos da forma + +$$ +x=9999 * * * * +$$ + +Como o menor desses números é 99990000 e o maior é 99999 999, temos que: + +$$ +99990000 \leq x \leq 99999999 +$$ + +Observemos que $10^{8}=100000000=99999999+1$. Então $99990000 \leq x<10^{8}$. Como $10^{8}=\left(10^{4}\right)^{2}=10000^{2}$, temos que $99990000 \leq x<10000^{2}$. Agora, o maior quadrado perfeito menor que $10000^{2}$ é igual a + +$9999^{2}=(10000-1)^{2}=10000^{2}-20000+1=100000000-20000+1=99980001$. + +Como $99980001<99990000$ concluímos que $9999^{2}\frac{1-0,01^{2}}{0,02}=\frac{1-\frac{1}{100^{2}}}{\frac{2}{100}}=\frac{100^{2}-1}{200} +$$ + +Elevando novamente ao quadrado os dois lados (não negativos) desta inequação, obtemos: + +$$ +n-1>\frac{\left(100^{2}-1\right)^{2}}{200^{2}}=\frac{100^{4}-2 \times 100^{2}+1}{4 \times 100^{2}}=\frac{100^{2}}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4 \times 100^{2}} +$$ + +ou seja, + +$n-1>2500-\frac{1}{2}+\frac{1}{40000} \Leftrightarrow n>2500-\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}+1 \Leftrightarrow n>2500+\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}$. + +Uma vez que $\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}<1$, temos que o menor número inteiro maior que $2500+\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}$ é 2501 . + +Daí concluímos que o menor número inteiro positivo que satisfaz a desigualdade dada é o número 2501 . + +## 5. Conjunto de Cantor - + +(a) De acordo com a definição do Conjunto de Cantor temos os seguintes desenhos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-19.jpg?height=225&width=721&top_left_y=1161&top_left_x=672) + +(b) $1 / 3$ é um extremo de $C_{2}$, logo pertence ao conjunto de Cantor. + +$3 / 81=1 / 27$ e $1 / 27$ é um extremo de $C_{4}$, logo $3 / 81$ pertence ao conjunto de Cantor. + +$4 / 9$ está entre $1 / 3$ e $2 / 3$, logo está no terço central de $C_{1}$ e é removido de $C_{2}$, logo $4 / 9$ não pertence ao conjunto de Cantor. + +$4 / 81$ está entre $1 / 27$ e $2 / 27$, e portanto está no terço central de $C_{3}$ e é removido de $C_{4}$. Assim, $4 / 81$ não pertence ao conjunto de Cantor. + +(c) Vamos tentar achar um padrão para os comprimentos dos segmentos. Por exemplo, $C_{1}$ tem comprimento 1 e $C_{2}$ tem comprimento $2 / 3$. Será que isso já fornece um padrão, ou seja o numerador é obtido multiplicando por 2 e o denominador por 3 , ou seja por $2 / 3$ ? + +Agora $C_{3}$ tem comprimento $4 / 9, C_{4}$ comprimento $8 / 27$ e $C_{5}$ comprimento $16 / 81$. Logo, o comprimento de $C_{n}$ é $\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ + +Note que os comprimentos de $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots, C_{n}, \ldots$, formam uma progressão geométrica de razão $q=2 / 3$ e primeiro termo $a_{1}=1$. + +$$ +1, \frac{2}{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{2},\left(\frac{2}{3}\right)^{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{4}, \ldots,\left(\frac{2}{3}\right)^{n}, \ldots +$$ + +## Lista 4 + +1. Enchendo uma piscina - Como as torneiras A e B despejam água na piscina com vazão constante, o volume de água despejado na piscina por cada torneira é proporcional ao tempo em que ela fica aberta. Assim, se durante 2 horas a torneira A enche $15 \%$ do volume da piscina, então em 4 horas ela encherá $30 \%$ do volume da piscina. + +Mas, quando as torneiras $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$ ficam simultaneamente abertas durante 4 horas, elas conseguem encher $50 \%$ do volume da piscina. Daí temos que a torneira B enche $50 \%-30 \%=20 \%$ do volume da piscina em 4 horas. + +Para saber quanto tempo a torneira B deve ficar aberta para encher os $35 \%$ restantes do volume da piscina, basta utilizar a proporção: + +$$ +\begin{array}{ccc} +\text { horas } & \rightarrow & \text { percentual } \\ +4 & \rightarrow & 20 \% \\ +x & \rightarrow & 35 \% +\end{array} +$$ + +Logo, a torneira B gastará $x=\frac{35 \times 4}{20}=7$ horas para encher os $35 \%$ restantes. + +2. Probabilidade de ser um número par - Sejam $a$ e $b$ os números escritos nas bolas retiradas por José e Maria, respectivamente. Existem então 9 possibilidades para $a$ e 8 possibilidades para $b$. Deste modo, existem $9 \times 8=72$ possibilidades para o número $a b$. + +Por outro lado, para contar quantos destes números são pares, precisamos analisar separadamente dois casos: + +- os números $a$ e $b$ são pares; +- o número $a$ é ímpar e o número $b$ é par. + +No primeiro caso, em que $a$ e $b$ são pares, existem 4 possibilidades para $a$ e 3 possibilidades para $b$. Deste modo, existem $4 \times 3=12$ possibilidades. + +No segundo caso, em que $a$ é ímpar e $b$ é par, existem 5 possibilidades para $a$ e 4 possibilidades para $b$. Assim, existem $5 \times 4=20$ possibilidades. + +Portanto, a probabilidade do número $a b$ ser par é $\frac{12+20}{72}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$. + +3. Múltiplo de 7 - Inicialmente, observemos que: + +$$ +\begin{aligned} +N & =(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m) \\ +& =(n+7 m-m)(2 n+7 m-2 m)(3 n+7 m-3 m) \\ +& =(n-m+7 m)[2(n-m)+7 m][3(n-m)+7 m] \\ +& =(k+7 m)(2 k+7 m)(3 k+7 m) +\end{aligned} +$$ + +onde $k=n-m$. + +Afirmamos que se $N$ é múltiplo de 7 , então $k$ é múltiplo de 7 . De fato, como 7 é primo e divide $N$, então um dos fatores $k+7 m, 2 k+7 m$ ou $3 k+7 m$ é múltiplo de 7 . Temos: +(i) Se $k+7 m$ é múltiplo de 7 , então $\frac{k+7 m}{7}=\frac{k}{7}+m$ é inteiro, logo $k$ é múltiplo de 7 . Segue que $2 k$ e $3 k$ também são múltiplos de 7 e portanto os três fatores $k+7 m, 2 k+7 m$ e $3 k+7 m$ são múltiplos de 7 . Concluímos que $N$ é múltiplo de $7^{3}$. + +(ii) Se $2 k+7 m$ é múltiplo de 7 , então $\frac{2 k+7 m}{7}=\frac{2 k}{7}+m$ é inteiro, logo $2 k$ é múltiplo de 7 . Como 2 e 7 são primos entre si, segue que $k$ é múltiplo de 7 , o que leva ao caso anterior. + +(iii) Se $3 k+7 m$ é múltiplo de 7 , analogamente concluímos que $k$ é múltiplo de 7 . + +4. Os ângulos $15^{\circ}$ e $\mathbf{7 5 ^ { \circ }}$ - Uma vez que $D B$ é diagonal do quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$, pelo Teorema de Pitágoras, temos que $D B^{2}=1^{1}+1^{2}$ implica $D B=\sqrt{2}$. + +Recordemos que: + +$$ +\begin{array}{ll} +\cos 60^{\circ}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2} ; & \operatorname{sen} 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ +\tan 60^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=\sqrt{3} ; & \tan 30^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3} +\end{array} +$$ + +(a) O triângulo $B C E$ é equilátero, logo seus ângulos internos valem $60^{\circ}$. A partir dessa informação obtemos os ângulos assinalados na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-21.jpg?height=507&width=848&top_left_y=1389&top_left_x=606) + +No $\triangle C D F$ temos: $\operatorname{sen} 60^{\circ}=\frac{C D}{D F}=\frac{1}{D F}$. Como sen $60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, temos: + +$$ +\frac{1}{D F}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow D F=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} +$$ + +Ainda no $\triangle C D F$ temos: $\cos 60^{\circ}=\frac{C F}{D F}=\frac{C F}{2 \sqrt{3} / 3}$. Como $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, temos: + +$$ +\frac{1}{2}=\frac{C F}{2 \sqrt{3} / 3} \Rightarrow C F=\frac{\sqrt{3}}{3} +$$ + +Segue que $B F=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Temos agora: + +- $\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{F N}{B F} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{F N}{1-\sqrt{3} / 3} \Rightarrow F N=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$ +- $\cos 30^{\circ}=\frac{B N}{B F} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{B N}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} \Rightarrow B N=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. + +Assim, calculamos os três lados do triângulo $\triangle D B N$ : + +- $D B=\sqrt{2}$; +- $D N=D F+F N=\frac{2 \sqrt{3}}{3}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$; +- $B N=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. + +(b) No $\triangle D B N$ temos: $D \widehat{B} N=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$, donde concluímos que $B \widehat{D} N=15^{\circ}$. Assim temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-22.jpg?height=488&width=355&top_left_y=1412&top_left_x=359) + +$$ +\begin{aligned} +& \cos 75^{\circ}=\frac{B N}{D B}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ +& \cos 15^{\circ}=\frac{D N}{D B}=\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} +\end{aligned} +$$ + +Comosen $15^{\circ}=\cos 75^{\circ}$ e $\cos 15^{\circ}=\operatorname{sen} 75^{\circ}$, o exercício está completo. + +## 5. Circunfências tangentes - + +(a) Na figura estão desenhadas as duas circunferências concêntricas, de raios $r$ e $R$, e uma circunferência de raio $x$ simultaneamente tangente a essas duas. Logo, temos: + +$r+2 x=R$ donde, $x=\frac{R-r}{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-22.jpg?height=355&width=374&top_left_y=2094&top_left_x=1342) +(b) Na figura ao lado temos 2 circunferências tangentes de raio $x$, e também tangentes às 2 circunferências concêntricas de raio $r$ e $R$. Os pontos $A, B$ e $C$ são os centros destas circunferências. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-23.jpg?height=372&width=377&top_left_y=291&top_left_x=1340) + +Para traçar 12 circunferências de raio $x$ na região entre as 2 circunferências concêntricas, deve-se ter $A \widehat{C} B=\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$. + +Se $T$ é o ponto de tangência das circunferências de raio $x, T$ é ponto médio do segmento $A B$ e $A \widehat{C} T=15^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-23.jpg?height=228&width=441&top_left_y=862&top_left_x=1254) + +Nesse triângulo retângulo temos $\operatorname{sen} 15^{\circ}=\frac{A T}{A C}=\frac{x}{r+x}$. Mas $x=\frac{R-r}{2}$ e, do problema anterior, sen $15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Daí concluímos que + +$$ +\frac{R-r}{R+r}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} . +$$ + +Dividindo por $r$ o numerador e o denominador do membro esquerdo dessa igualdade encontramos + +$$ +\frac{\frac{R}{r}-1}{\frac{R}{r}+1}=\frac{q-1}{q+1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \text { onde } q=\frac{R}{r} +$$ + +Segue que + +$$ +q=\frac{R}{r}=\frac{4+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}} +$$ + +## Lista 5 + +1. Mudando a base - Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base coincide com a mediana. Traçando esta altura, obtemos dois triângulos retângulos com catetos medindo $h$ e 5 , e hipotenusa 13. Pelo Teorema de Pitágoras temos: + +$$ +h^{2}+5^{2}=13^{2} \Rightarrow h^{2}=13^{2}-5^{2}=144 \Rightarrow h=\sqrt{144}=12 +$$ + +Logo a área do triângulo é $A=\frac{b \times h}{2}=\frac{10 \times 12}{2}=60 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Vamos agora "colar" os 2 triângulos retângulos ao longo do lado medindo 5 , obtendo um triângulo isósceles com base $12+12=24 \mathrm{~m}$, os lados com $13 \mathrm{~cm}$ e a altura relativa a base igual a $5 \mathrm{~cm}$. Logo, este novo triângulo isósceles tem também área igual a $\frac{24 \times 5}{2}=60 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-24.jpg?height=464&width=200&top_left_y=722&top_left_x=1518) + +2. Clube de Matemática - Sejam $H$ e $M$ os números de homens e mulheres, respectivamente, no clube. Temos duas possibilidades: Se eu sou menino, temos $M=H-1$. Quando falta um menino, o número total de pessoas no clube é + +$$ +M+H-1=H-1+H-1=2 H-2 +$$ + +Logo: + +$$ +M=\frac{3}{4}(2 H-2) \Rightarrow H-1=\frac{3}{4}(2 H-2) \Rightarrow H=1 +$$ + +Logo, $M=1-1=0$, o que não é possível. Logo eu sou uma menina, então $M=H+1$ e temos + +$$ +H+1=\frac{3}{4}(2 H+1-1) \Rightarrow H=2 \text { e } M=3 +$$ + +3. Uma calculadora diferente - Para calcular $(2 * 3)+(0 * 3)$ utilizamos as propriedades (i), (ii) e (iii). Então + +$$ +\begin{aligned} +& (2 * 3)+(0 * 3) \quad \stackrel{(\mathrm{iii})}{=} \quad(2 * 0)+(3 * 3) \\ +& \text { (i) (ii) } 2 \times 2+3=7 \text {. } +\end{aligned} +$$ + +Para calcular $1024 * 48$, observe que $1024=976+48$. Temos: + +$$ +\begin{aligned} +1024 * 48 & =(976+48) *(0+48) \\ +& =(976 * 0)+(48 * 48) \\ +& =976 \times 2+48 \\ +& =1952+48=2000 +\end{aligned} +$$ + +4. Retângulo $\mathbf{m} \times \mathbf{n}-$ Sejam $m$ e $n$ respectivamente, o número de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ sobre dois lados consecutivos do retângulo. Sabemos que o número total de segmentos de $0,5 \mathrm{~cm}$ na divisão do retângulo em $m \times n$ quadrados de lado $0,5 \mathrm{~cm}$ é: $m(n+1)+n(m+1)$ (prove isso). Assim, + +$$ +m(n+1)+n(m+1)=1997 \Rightarrow n=\frac{1997-m}{2 m+1} +$$ + +Além disso, um dos lados considerados é menor ou igual ao outro, digamos: $m \leq n$. Nesse caso podemos concluir que $m \leq 31$, pois + +$$ +n \geq m \Rightarrow n(m+1)+m(n+1) \geq 2 m(m+1) +$$ + +Logo $1997 \geq 2 m(m+1)$ e como $1998>1997$ segue que + +$$ +1998>2 m(m+1) \Rightarrow 999>m(m+1) +$$ + +Daí concluímos que $m<32$. + +Por outro lado temos que + +$$ +n=\frac{1997-m}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3994-2 m}{2 m+1}=\frac{3995-(2 m+1)}{2 m+1} \Rightarrow 2 n=\frac{3995}{2 m+1}-1 +$$ + +Assim, a questão se resume agora em pesquisar os divisores de $3995=5 \times 17 \times 47$. Os únicos valores de $m$ que atendem a condição $1 \leq m \leq 31$ são $m=2, m=8$ e $m=23$, que correspondem, respectivamente, aos divisores 5,17 e 47 . Para esses valores de $m$ temos $n=399, n=117$ e $n=42$ respectivamente. Os outros divisores darão configurações equivalentes (trocando $m$ por $n$ ). + +Portanto, Rosa pode ter construído 3 configurações diferentes com os 1997 segmentos. A primeira com $2 \times 399$ quadrados, a segunda com $8 \times 117$ quadrados e a terceira com $23 \times 42$ quadrados. + +5. Cercando o Globo Terrestre - Como o raio da Terra é muito grande, e foi dado apenas um acréscimo de $1 \mathrm{~m}$ no comprimento do fio, parece que a folga entre o fio e o Equador é muito pequena. Mais ainda, se trocarmos o Globo Terrestre por Júpiter ou por uma bolinha de gude e realizarmos esta mesma experiência, parece que a altura da folga entre o fio aumentado e o equador da esfera também muda, sendo que quanto maior a esfera considerada, menor é a folga entre o fio e o equador da esfera. + +Vejamos que esta ideia intuitiva é falsa e que a altura da folga, entre o fio e o Equador, é de aproximadamente $16 \mathrm{~cm}$, independentemente do raio da esfera em que a experiência é realizada. + +Consideremos um círculo de raio $R$. Seu comprimento é igual a $2 \pi R$. Vamos considerar também um círculo de mesmo centro, mas que tenha comprimento igual a $2 \pi R+1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-25.jpg?height=329&width=331&top_left_y=2153&top_left_x=1407) + +Este círculo tem raio igual a $R+h$, sendo $h$ a altura da folga entre os dois círculos. Como um círculo de raio $R+h$ tem comprimento $2 \pi(R+h)$ obtemos a igualdade $2 \pi(R+h)=2 \pi R+1$. Simplificando esta expressão obtemos $h=\frac{1}{2 \pi} \approx \frac{1}{6.28} \approx 0,16$. Portanto, para qualquer valor de $R$, a altura da folga é de aproximadamente $16 \mathrm{~cm}$. + +Assim, somente a formiga é capaz de passar por debaixo do fio. + +## Lista 6 + +1. Comprimento de uma corda - Sendo $A B$ um diâmetro, o triângulo $\triangle A B C$ está inscrito numa semicircunferência. Isto implica que este triângulo é retângulo no vértice $C$. Pelo Teorema de Pitágoras, + +$$ +B C^{2}=A B^{2}-A C^{2} +$$ + +ou seja, + +$$ +B C^{2}=20^{2}-12^{2}=256=16^{2} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-27.jpg?height=352&width=415&top_left_y=526&top_left_x=1321) + +Assim, obtemos que $B C=16$. + +2. Dois irmãos - Sejam $x, y$ as idades atuais dos dois irmãos, $\mathrm{e} z$ a idade do pai. Temos: + +$$ +\left\{\begin{array} { l } +{ x - y = 3 } \\ +{ z - 1 = 2 [ ( x - 1 ) + ( y - 1 ) ] } \\ +{ z + 2 0 = ( x + 2 0 ) + ( y + 2 0 ) } +\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{rl} +x-y & =3 \\ +z-1 & =2 x+2 y-4 \\ +z+20 & =x+y+40 +\end{array}\right.\right. +$$ + +Uma maneira simples de obter $z$ é multiplicar a 3 a equação por 2 e do resultado subtrair a 2 a : $2 z+40-(z-1)=80-(-4)$, o que implica $z=43$. + +Vamos calcular agora a idade dos filhos usando as duas primeiras equações: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-27.jpg?height=140&width=731&top_left_y=1513&top_left_x=659) + +Obtemos $2 x=26$, donde $x=13$ e $y=10$. + +3. Canelonis de ricota - Colando os retângulos de massa ao longo do maior lado, Pedro obtém um cilindro de base circular com $10 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $16 \mathrm{~cm}$ de altura. $\mathrm{O}$ volume então que ele recheia com ricota é o volume desse cilindro: + +$$ +V=\text { área da base } \times \text { altura } +$$ + +A área da base é dada por $\pi \times r^{2}$, onde $r$ é o raio da base. Vamos então calcular o raio sabendo que o comprimento da base é $10 \mathrm{~cm}$; temos: + +$$ +2 \pi r=10 \Rightarrow r=\frac{5}{\pi} +$$ + +Logo, o volume de ricota para cada caneloni é + +$$ +V=\pi \times \frac{5^{2}}{\pi^{2}} \times 16=\frac{16 \times 25}{\pi}=\frac{400}{\pi} \mathrm{cm}^{3} +$$ + +Agora, colando os retângulos de massa ao longo do menor lado, Pedro obtém um cilindro de base circular com $14 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $12 \mathrm{~cm}$ de altura. O raio da base é $r^{\prime}=\frac{14}{2 \pi}=\frac{7}{\pi}$, logo o volume de ricota para cada caneloni será: + +$$ +V^{\prime}=\pi \times \frac{7^{2}}{\pi^{2}} \times 12=\frac{588}{\pi} \mathrm{cm}^{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-28.jpg?height=333&width=545&top_left_y=278&top_left_x=1186) + +Finalmente, para calcular o novo gasto com ricota, usamos a seguinte Regra de Três direta: + +$$ +\begin{array}{ccc} +\text { Volume }\left(\mathrm{cm}^{3}\right) & & \text { Ricota }(\mathrm{g}) \\ +\frac{400}{\pi} & \longrightarrow & 500 \\ +\frac{588}{\pi} & \longrightarrow & x +\end{array} +$$ + +Segue que + +$$ +x=\frac{500 \times 588}{400}=735 \mathrm{~g} . +$$ + +4. Cálculo de segmentos - $\mathrm{O}$ triângulo $\triangle A B P$ é retângulo com catetos $A B=1200$ e $B P=150+350=500$. Pelo Teorema de Pitágoras, temos: + +$$ +A P^{2}=1200^{2}+500^{2}=(144+25) \times 10^{4}=169 \times 10^{4}=\left(13 \times 10^{2}\right)^{2} +$$ + +Logo, $A P=13 \times 10^{2}=1300 \mathrm{~m}$. + +Analogamente, considerando o triângulo retângulo $\triangle P C D$, temos: + +$$ +D P^{2}=350^{2}+1200^{2}=\left(7^{2}+12^{2} \times 2^{2}\right)\left(5^{2} \times 10^{2}\right)=25^{2} \times 50^{2} \Longrightarrow D P=1250 \mathrm{~m} +$$ + +Os triângulos $\triangle P C Q$ e $\triangle P B A$ são retângulos com um ângulo em comum, logo são semelhantes; segue que: + +$$ +\frac{P Q}{P A}=\frac{P C}{P B}=\frac{C Q}{A B} +$$ + +Substituindo os valores conhecidos temos: + +$$ +\frac{P Q}{1300}=\frac{350}{500}=\frac{C Q}{1200} +$$ + +Logo, + +$$ +P Q=\frac{350 \times 1300}{500}=910 \mathrm{~m} +$$ + +e + +$$ +C Q=\frac{350 \times 1200}{500}=840 \mathrm{~m} +$$ + +5. Prá chegar junto! - Sabemos que espaço $=$ velocidade $\times$ tempo. + +Sejam $v$ e $v^{\prime}$ as velocidades de Ana e de Luíza, respectivamente, e $t$ o tempo que Luíza gasta para percorrer os $3000 \mathrm{~m}$. Logo, nesse mesmo tempo $t$, Ana percorre +$3000-120=2880 \mathrm{~m}$. Temos: + +$$ +3000=v \times t +$$ + +$$ +3000-120=v^{\prime} t \Rightarrow t=\frac{3000}{v}=\frac{2880}{v^{\prime}} +$$ + +Portanto, $\frac{v^{\prime}}{v}=\frac{24}{25}$. + +Se denotarmos por $x$ a distância que Luíza percorrerá a mais temos: + +$$ +3000+x=v \times t +$$ + +e + +$$ +3000=v^{\prime} \times t \Rightarrow \frac{3000+x}{v}=\frac{3000}{v^{\prime}} \Rightarrow \frac{3000}{3000+x}=\frac{v^{\prime}}{v} +$$ + +Segue que + +$$ +\frac{3000}{3000+x}=\frac{v^{\prime}}{v}=\frac{24}{25} \Rightarrow x=125 +$$ + +Logo, a resposta é $125 \mathrm{~m}$. + +## Lista 7 + +1. Um professor enfurecido - Quem teve $x$ como nota mensal vai ter um desconto de $x \%$ sobre essa nota, ou seja vai perder + +$$ +x \% \text { de } x=\frac{x}{100} \times x=\frac{x^{2}}{100} +$$ + +Logo, depois do castigo, a nota fica sendo $x-\frac{x^{2}}{100}$, onde $x$ era a nota inicial. + +Consideremos a função "nota depois do castigo" dada por $f(x)=x-\frac{x^{2}}{100}$. Como as notas máximas e mínimas são 0 e 100, vamos considerar essa função no domínio $[0,100]$, ou seja, para $0 \leq x \leq 100$. O gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para baixo, e seu valor máximo ocorre no vértice: $x=-\frac{b}{2 a}=\frac{-\frac{1}{\frac{-2}{100}}}{}=50$. Sendo assim, a maior nota depois do castigo é para os alunos que antes do castigo tiraram 50. Essa nota é + +$$ +f(50)=50-\frac{50^{2}}{100}=25 +$$ + +O valor mínimo dessa função é 0 ocorre em $x=0$ e $x=100$. Logo a menor nota ocorre para os alunos que tiraram 0 ou 100(!!!!!) antes do castigo. De fato, $f(0)=f(100)=0$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-30.jpg?height=380&width=807&top_left_y=1390&top_left_x=583) + +## 2. O percurso de um atleta - + +O Polo Norte da Terra é o ponto mais fácil de ser identificado como solução: Saindo o atleta do Polo Norte, correndo $5 \mathrm{~km}$ para o sul, depois $5 \mathrm{~km}$ para o leste e finalmente $5 \mathrm{~km}$ para o norte, ele volta novamente para o Polo Norte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-30.jpg?height=325&width=279&top_left_y=1954&top_left_x=1422) + +Vamos determinar um outro ponto sobre a Terra que satisfaz as hipóteses do problema. Consideremos um paralelo (linha paralela ao Equador) de comprimento $5 \mathrm{~km}$. Existem dois deles: um próximo ao Polo Norte e outro próximo ao Polo Sul. Vamos denotar +por $C_{1}$ o que está mais próximo do Polo Sul. Denotemos por $C_{2}$ o paralelo que está $5 \mathrm{~km}$ de distância de $C_{1}$, medida ao longo de um meridiano. Afirmamos que qualquer ponto $A$ sobre o paralelo $C_{2}$ satisfaz as hipóteses do problema. De fato, saindo de $A$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o sul, chega-se a um ponto $B$ do paralelo $C_{1}$. Como $C_{1}$ tem comprimento $5 \mathrm{~km}$, saindo de $B$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para leste retorna-se novamente para $B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-31.jpg?height=366&width=686&top_left_y=630&top_left_x=362) + +Finalmente, saindo de $B$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o norte, retorna-se novamente para o ponto de partida $A$. + +3. Áreas iguais - Sejam $T$ a área do triângulo $\triangle A B C, a$ e $c$ as áreas sombreadas na figura dada e $b$ e $d$ as áreas compreendidas entre os catetos do triângulo e o semicírculo de diâmetro $A B$. + +A área $a+b$ é a área do semicírculo de diâmetro $A B$ : + +$$ +a+b=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}=\frac{\pi A B^{2}}{8} +$$ + +A área $c+d$ é a área do semicírculo de diâmetro $B C$ : + +$$ +c+d=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}=\frac{\pi B C^{2}}{8} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-31.jpg?height=490&width=566&top_left_y=1327&top_left_x=1148) + +$\mathrm{A}$ área $b+d+T$ é a área do semicírculo de diâmetro $A C$ : + +$$ +b+d+T=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}=\frac{\pi A C^{2}}{8} +$$ + +Portanto, + +$$ +(a+b)+(c+d)=\frac{\pi A B^{2}}{8}+\frac{\pi B C^{2}}{8} +$$ + +Como $b+d=\frac{\pi A C^{2}}{8}-T$ temos + +$$ +(a+c)+\left(\frac{\pi A C^{2}}{8}-T\right)=\frac{\pi A B^{2}}{8}+\frac{\pi B C^{2}}{8} +$$ + +ou equivalentemente, + +$$ +(a+c)+\frac{\pi}{8} A C^{2}=\frac{\pi}{8}\left(A B^{2}+B C^{2}\right)+T +$$ + +Uma vez que $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$, pelo Teorema de Pitágoras, podemos simplificar a igualdade acima e obter $a+c=T$. Esta igualdade implica que a soma das áreas sombreadas é igual a área do triângulo retângulo $\triangle A B C$. + +## 4. Função definida por área - + +(a) A reta $r$ passa pelo ponto $(0,2)$, logo tem equação $y=m x+2$. Como ela passa pelo ponto $(-2,0)$, verifica-se que $0=-2 m+2$, que implica $m=1$. Assim, $r$ tem equação $y=x+2$. + +A reta $s$ passa pelo ponto $(0,6)$ logo, $y=m x+6$ e como passa também pelo ponto $(3,0)$, verifica-se que $0=3 m+6$, que implica $m=-2$. Logo, $s$ tem equação $y=-2 x+6$. + +(b) $f(0)$ é a área do triângulo $\triangle A B C$ mais a área do trapézio $B O C D$, sendo $A$ o ponto de encontro de $r$ e $s$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-32.jpg?height=618&width=613&top_left_y=1187&top_left_x=672) + +Para determinar $A$ fazemos: $x+2=-2 x+6$ de onde $x=4 / 3$. Substituindo esse valor na equação de $r$ ou $s$ obtemos $y=10 / 3$. Logo, $A=(4 / 3,10 / 3)$. A altura do triângulo $\triangle A B C$, em relação à base $B C$, é $h=10 / 3-2=4 / 3$. O ponto $C$ pertence à reta $s \mathrm{e}$ tem $y=2$, logo tem-se $2=-2 x+6$ ou seja $x=2$. Então $C=(2,2)$. Logo, a área do triângulo $\triangle A B C$ é igual a $2 \times \frac{4}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{4}{3}$ e a área do trapézio $B O C D$ é $2 \times \frac{3+2}{2}=5$. Logo, + +$$ +f(0)=5+\frac{4}{3}=\frac{19}{3} +$$ + +(c) $f(y)$ é igual a $f(0)$ menos a área do trapézio de altura $y$ e bases 3 e $x$, sendo $x$ a abscissa do ponto da reta $s$ que tem ordenada $y$, logo + +$$ +x=\frac{6-y}{2} \text {. } +$$ + +Daí temos + +$$ +f(y)=\frac{19}{3}-\frac{3+\frac{6-y}{2}}{2} y=\frac{19}{3}-\frac{12 y-y^{2}}{4}=\frac{y^{2}}{4}-3 y+\frac{19}{3} +$$ + +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-33.jpg?height=345&width=399&top_left_y=508&top_left_x=389) + +O gráfico de $f(y)=\frac{y^{2}}{4}-3 y+\frac{19}{3}$ é uma parábola côncava para cima. As coordenadas do vértice $V$ são: $x=\frac{3}{\frac{2}{4}}=6 \mathrm{e}$ $y=f(6)=\frac{6^{2}}{4}-3.6+\frac{19}{3}=-9+\frac{19}{3}=-\frac{8}{3}$. Logo $V=\left(6,-\frac{8}{3}\right)$. + +Como $f(2)=\frac{4}{3}$ o gráfico de $f$, com $0 \leq y \leq 2$ é a parte em linha grossa. + +5. PA e PG - Os 4 termos de uma progressão aritmética de razão $r$ podem ser escritos como: + +$$ +x-2 r, x-r, x, x+r +$$ + +Logo, os 3 termos da progressão geométrica de razão $q$ serão + +$$ +x-2 r, x, x+r +$$ + +onde + +$$ +x=(x-2 r) q \text { e } x+r=x q +$$ + +Daí segue que: + +$$ +x=x q-2 r q \Rightarrow x=x+r-2 r q \Rightarrow q=\frac{1}{2} +$$ + +Obtemos que $x+r=\frac{x}{2} \Rightarrow r=-\frac{x}{2}$. Logo a progressão aritmética é da forma: + +$$ +2 x, \frac{3 x}{2}, x, \frac{x}{2} \text {. } +$$ + +Escolhendo um valor para $x$, por exemplo $x=1$, obtemos 4 números formando uma progressão aritmética $2,3 / 2,1,1 / 2$ de razão $-1 / 2$ tais que $2,1,1 / 2$ formam uma progressão geométrica de razão $1 / 2$. Note que esse problema tem uma solução para cada escolha de $x$, portanto tem um infinidade de soluções. + +## Lista 8 + +1. Plano cartesiano - Comecemos examinando alguns casos. + +- $f(1)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(1,4)$. Logo, $f(1)=0$. +- $f(2)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(2,3)$. Logo, $f(2)=0$. +- $f(3)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(3,6)$. Como nesse segmento estão 2 pontos inteiros $(1,2)$ e $(2,4)$, segue que $f(3)=2$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_a444074f1f8ae50444d5g-34.jpg?height=440&width=1398&top_left_y=834&top_left_x=334) + +Vejamos, agora o caso geral. Note que se um ponto inteiro $(x, y)$ está sobre o segmento que une $(0,0)$ a $(n, n+3)$, sem ser um dos extremos, então $01$. Então $d$ divide $n$ e $n+3$, portanto $d$ divide $(n+3)-n=3$. Logo, como $d>1$, teremos $d=3$, o que não é possível porque partimos da hipótese que 3 não divide $n$. + +- Se 3 não divide $n$ então $f(n)=0$. + +Isso equivale a dizer que não há pontos inteiros sobre o segmento que une $(0,0)$ a $(n, n+3)$, excluídos os extremos. + +De fato, suponhamos que esse segmento contenha um ponto inteiro $(x, y)$, então + +$$ +\frac{x}{y}=\frac{n}{n+3} +$$ + +Pelo lema, a fração $\frac{n}{n+3}$ está na forma irredutível, logo, $x$ seria múltiplo de $n$, o que não pode acontecer porque $x1000 \Leftrightarrow k>2000 +$$ + +Assim, a sequência decresce estritamente para $k \geq 2001$ e cresce estritamente para $k \leq 2000$. Logo, o maior termo da sequência corresponde a $k=2001$. + +## Lista 9 + +## 1. Moedas falsas - + +(a) Aladim deve retirar de cada saco um número diferente de moedas, do seguinte modo: retira uma moeda do primeiro saco, duas do segundo, três do terceiro, e assim sucessivamente, até o último saco de onde retira as dez moedas. + +Ao todo foram retiradas $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$ moedas que são colocadas na balança. + +Se todas essas moedas fossem verdadeiras, pesariam $55 \times 10=550 \mathrm{~g}$. Mas, como algumas são falsas, o peso será menor. Se faltar um grama é porque há somente uma moeda falsa e, portanto, o primeiro saco é o procurado. Se faltarem dois gramas, significa que as duas moedas falsa são do segundo saco, e assim sucessivamente. + +(b) Vejamos que uma tentativa de solução como a anterior não permite a identificação dos sacos com moedas falsas. Suponhamos que Aladim retirou uma moeda do primeiro saco, duas moedas do segundo, e assim sucessivamente, até o último saco, de onde ele retirou dez moedas. Se existissem dois ou mais sacos com moedas falsas, esse procedimento de pesar estas 55 moedas pode ser inconclusivo. Por exemplo, suponhamos que na pesagem das 55 moedas faltassem $7 \mathrm{~g}$, ou seja, foram pesadas 7 moedas falsas. Neste caso poderiam existir moedas falsas nos sacos 1 e 6 ; moedas falsas nos sacos 2 e 5; moedas falsas nos sacos 1,2 e 4 etc. Ou seja, procedendo dessa maneira não é possível identificar quais sacos são de moedas falsas. + +Para resolver esse problema, ele pode proceder do seguinte modo: retira 1 moeda do primeiro saco, 2 moedas do segundo saco, 4 moedas do terceiro saco, 8 moedas do quarto saco, 16 moedas do quinto saco etc. Sempre dobrando o número de moedas retiradas do saco anterior. Ao todo são retiradas + +$$ +1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023 \text { moedas, } +$$ + +que pesariam juntas $10230 \mathrm{~g}$, se todas as moedas fossem verdadeiras. A diferença entre o peso real obtido na pesagem dessas moedas e o peso ideal (10230 gramas) indica a quantidade de moedas falsas pesadas e em quais os sacos elas estão. Vejamos isso através de um exemplo: imaginemos que na pesagem foram obtidos $10125 \mathrm{~g}$, ou seja, faltaram $10230-10125=105 \mathrm{~g}$, que corresponde ao número de moedas falsas. Retirando sucessivamente os números correspondentes às moedas retiradas de cada saco, começando sempre do maior número temos: $105-64=41 ; 41-32=9 ; 9-8=1$, ou seja, $105=1+8+32+64$. Desse resultado Aladim pode concluir que foram retiradas $1,8,32$ e 64 moedas falsas do 1 우, 4 , 6 으 e 70 saco. + +Vamos agora justificar, de um modo mais formal, o raciocínio desenvolvido no exemplo numérico. + +Seja $p$ o peso obtido com a pesagem das 1023 moedas. A diferença 10230 - pé o número de moedas falsas retiradas dos sacos. + +Efetuando divisões sucessivas por 2 pode-se provar que qualquer número inteiro positivo se escreve, de maneira única, como uma soma de potências de 2 . Isso implica que + +$$ +10230-p=1 \cdot a_{0}+2 \cdot a_{1}+2^{2} \cdot a_{2}+2^{3} \cdot a_{3}+2^{4} \cdot a_{4}+\cdots+2^{9} \cdot a_{9} +$$ + +em que cada um dos números $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}$ é zero ou um. + +De cada saco foram retiradas quantidades de moedas que são potências de 2 e cada saco ou contém moedas falsas ou contém moedas verdadeiras, isto é, em um saco não existem os dois tipos de moedas. Daí temos que se algum desses números, digamos $a_{j}$ é 1 , então do saco $j+1$ foram retiradas $2^{j}$ moedas falsas. Por outro lado, se o número $a_{j}$ é 0 , então do saco $j+1$ foram retiradas $2^{j}$ moedas verdadeiras. + +2. Menor inteiro - Como $q=2005-p$, temos + +$$ +\frac{5}{8}<\frac{p}{2005-p}<\frac{7}{8} +$$ + +do qual segue que + +$$ +5(2005-p)<8 p \quad \text { e } 8 p<7(2005-p) +$$ + +Logo, + +$$ +\frac{5 \times 2005}{13}3$. + +(D) Possível porque Sofia pode ter comido 1 docinho de amora e 1 de chocolate, restando para vovó: 6 de amora, 6 de côco e 2 de chocolate. + +(E) Impossível porque 7 não é maior do que $6+2-3$. + +Logo, a única situação possível é (D). + +4. Família Sétimo - Os nascimentos ocorreram em seis 1 ㅇ de abril, logo existem irmãos gêmeos. Como nesse ano temos 2 bolos a mais que há 2 anos atrás, então há 2 anos atrás o mais jovem ainda não tinha nascido, o penúltimo filho tinha acabado de nascer, e os gêmeos já tinham nascido. Atualmente o mais jovem tem 1 ano e os gêmeos têm $x$ anos com $x \geq 3$. Temos: + +$$ +\underbrace{1+2+3+4+5+6+x}_{\text {número de velas nesse ano }}=2 \times \underbrace{(1+2+3+4+x-2)}_{\text {número de velas } 2 \text { anos atrás }} \Rightarrow x=5 +$$ + +Logo serão acesas $1+2+3+4+2 \times 5+6=26$ velinhas. + +## 5. O Salta-Ficha - + +(a) ficha 7 salta sobre as fichas 8 e 9 formando uma pilha com a ficha 10; + +(b) ficha 4 salta sobre as fichas 5 e 6 formando uma pilha com a ficha 8; + +(c) ficha 6 salta sobre as fichas 3 e 5 formando uma pilha com a ficha 2; + +(d) ficha 5 salta sobre a pilha $(4,8)$ formando uma pilha com a ficha 9 ; + +(e) ficha 1 salta sobre a pilha $(6,2)$ formando uma pilha com a ficha 3. + +Veja o resultado: + +(6) (1) (4) (5) (7) + +(2) (3) 8 (9) (10) + +6. O menor - Como $5^{2}=3^{2}+4^{2}$, temos $5^{2002}=\left(3^{2}+4^{2}\right)^{1001}$. Sabemos que para $a>0$ e $b>0$, + +$$ +(a+b)^{1001}>a^{1001}+b^{1001} +$$ + +Logo, $5^{2002}>3^{2002}+4^{2002}$. + +7. O maior resultado - Estamos procurando o maior valor de $\frac{10 a+b}{a+b}$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, pelo menos um diferente de 0 . Temos + +$$ +\frac{10 a+b}{a+b}=\frac{10 a+10 b-9 b}{a+b}=\frac{10 a+10 b}{a+b}-\frac{9 b}{a+b}=10-\frac{9 b}{a+b} \leq 10 +$$ + +Logo, se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ tais que $\frac{10 a+b}{a+b}=10$, teremos o maior resultado. Note que isso ocorre quando $b=0$, ou seja: + +$$ +\frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{50}{5}=\frac{60}{6}=\frac{70}{7}=\frac{80}{8}=\frac{90}{9}=10 . +$$ + +Logo, a resposta é 10 . + +8. Dois mil - Observe que os números 189, 8307 e 99 têm todos peso 18 , e que 99 é o menor número que pesa 18. Note que: para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número seja composto do maior número possível de algarismos 9 . Por outro lado, podemos dizer que o 0 está eliminado dos algarismos a ser considerados porque ele aumenta o número sem aumentar o peso. + +Temos que $2000=9 \times 222+2$. Logo, o número procurado tem então 222 algarismos 9 , e um algarismo 2 ou dois algarismos 1 . Eliminamos o caso dos números com dois algarismos 1 porque eles têm 224 algarismos, e logo são maiores do que os números que possuem o algarismo 2 e têm 223 algarismos. Finalmente, o número procurado tem 222 algarismos 9 e um 2. Logo esse número é $299 \ldots 999$, com 222 algarismos 9 . + +9. No cabeleireiro - Seja $x$ o montante inicial no caixa. Esse montante mais o que os 3 clientes pagaram nos dará o caixa zerado. + +- O 1o cliente paga $x-10$. Depois do primeiro cliente, há $x+x-10=2 x-10$ reais no caixa. +- O 2 o cliente paga $(2 x-10)-10=2 x-20$. Depois do 20 cliente, há $(2 x-10)+(2 x-20)=4 x-30$ no caixa. +- O 3 o cliente paga $(4 x-30)-10=4 x-40$. Depois do 30 cliente, há $(4 x-30)+(4 x-40)=8 x-70$ no caixa, que sabemos ser igual a 0 . + +Logo, $8 x=70$ e obtemos $x=8,75$ reais. + +10. O macaco e a raposa - 2450 é o produto dos números primos $1,2,5,5,7,7$. As 3 idades correspondem a uma combinação particular desses números ou de seus produtos. + +A raposa não pode descobrir as idades no início porque pelo menos duas dessas combinações têm por soma o dobro de sua idade. De todas as combinações possíveis, somente $\{5,1049\}$ e $\{7,7,50\}$ têm a mesma soma 64 . + +Primeira conclusão: a raposa tem 32 anos. + +Depois da nova dica do macaco, a raposa descobriu as idades porque pode eliminar uma combinação: aquela que contém dois números iguais, uma vez que um deles é o mais jovem de todos. + +Segunda conclusão: as pessoas têm 5, 10 e 49 anos. + +11. Nova sequência - Cada termo é a soma do termo precedente com os quadrados de cada um de seus algarismos: + +$$ +470=425+4^{2}+2^{2}+5^{2}, 535=470+4^{2}+7^{2}+0^{2}, \ldots +$$ + +Assim, os próximos termos são: 870 e 983 . + +12. Retângulo quase quadrado - A área é um número da forma $a a b b$, onde $a$ e $b$ representam algarismos; agora lembre que + +$$ +a a b b=1100 a+11 b=11(100 a+b) +$$ + +Seja $x$ a largura do terreno, logo + +$$ +x(x+1)=11(100 a+b) \quad(\mathrm{I}) +$$ + +e deduzimos que $x$ ou $x+1$ é um múltiplo de 11. Procurar múltiplos de 11 que satisfaçam a condição (I) é bastante trabalhoso, por isso, para simplificar, vamos estabelecer quais os valores que $x$ pode ter. Vamos procurar os valores mínimo e máximo para $x$ : + +- Mínimo: a menor área possível é $1111, \operatorname{logo} x(x+1)=1111 \Rightarrow x>32$ (II). +- Máximo: a maior área possível é 9999 , logo $x(x+1)=9999 \Rightarrow x<100$ (III). + +Agora procuramos $x$ e $x+1$ satisfazendo (I), (II) e (III). + +$$ +\begin{aligned} +& 33 \times 34=1122 ; 43 \times 44=1892 ; 44 \times 45=1980 ; 54 \times 55=2970 ; 55 \times 56=2970 \\ +& 65 \times 66=4290 ; 66 \times 67=4422 ; 76 \times 77=5852 ; 77 \times 78=6006 \\ +& 87 \times 88=7656 ; 88 \times 89=7832 ; 99 \times 100=9900 +\end{aligned} +$$ + +Encontramos 3 possibilidades para $x: 33,66$ e 99 . + +13. Aonde está o erro? - Esse deixamos para os alunos! diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ac63624c5a3abdcf5c7f5a49eb40f68ca7946e1 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N1.md @@ -0,0 +1,4031 @@ +# Nível 1 + +1. Qual é o número? - Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra a figura. Qual é o número que foi apagado? +(a) 8 +(b) 9 +(c) 11 +(d) 12 +(e) 13 +2. Muro em 15 dias - Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias? +(a) 104 +(b) 110 +(c) 120 +(d) 128 +(e) 112 +3. Medindo pilhas de papel - Numa papelaria, são armazenados pacotes de papel em pilhas de 60 pacotes. Cada pacote tem 500 folhas de papel e cada folha de papel tem uma espessura de $0,1 \mathrm{~mm}$. Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar os pacotes, podemos afirmar que a altura de uma pilha de 60 pacotes é aproximadamente igual à altura de: +(a) uma pessoa adulta; +(d) um prédio de 10 andares; +(b) um bebê de um ano; +(e) uma sala de aula. +(c) uma mesa comum; +4. Quanto pesa? - A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas? + +(a) 1 + +(b) 2 + +(c) 3 + +(d) 5 + +(e) 6 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-001.jpg?height=291&width=700&top_left_y=1679&top_left_x=741) + +5. Calcule a diferença - Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença? +(a) 997 +(b) 777 +(c) 507 +(d) 531 +(e) 729 +6. Qual é o volume? - Três frascos, todos com capacidade igual a um litro, contêm quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme ilustração. Qual das alternativas abaixo melhor expressa, aproximadamente, o volume do líquido con- + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-001.jpg?height=195&width=417&top_left_y=2324&top_left_x=1462) +tido nos frascos A, B e C, nessa ordem? +(a) $\frac{3}{7} ; \frac{4}{9} ; \frac{2}{5}$ +(b) $\frac{2}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{4}$ +(c) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{6} ; \frac{2}{4}$ +(d) $\frac{2}{3} ; \frac{4}{7} ; \frac{3}{4}$ +(e) $\frac{3}{3} ; \frac{4}{5} ; \frac{2}{3}$ + +7. Descontos e descontos - Uma farmácia dá desconto de $30 \%$ sobre o preço de tabela de todos os medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio cujo preço de tabela é $\mathrm{R} \$ 120,00$, quanto reais uma pessoa irá pagar? +(a) 36 +(b) 84 +(c) 64 +(d) Mais do que 116 +(e) 94 +8. O carro de Maria - Um litro de álcool custa $\mathrm{R} \$ 0,75$. O carro de Maria percorre $25 \mathrm{~km}$ com 3 litros de álcool. Quantos reais Maria gastará com o álcool necessário para percorrer $600 \mathrm{~km}$ ? +(a) 54 +(b) 72 +(c) 50 +(d) 52 +(e) 45 +9. Calculando distâncias - As quatro cidades $A, B, C$ e $D$ foram construídas à beira de uma rodovia reta, conforme a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-002.jpg?height=72&width=397&top_left_y=889&top_left_x=1429) +ilustração. + +A distância entre $A$ e $C$ é de $50 \mathrm{~km}$ e a distância entre $B$ e $D$ é de $45 \mathrm{~km}$. Além disso, sabe-se que a distância entre a primeira e a última cidade é de $80 \mathrm{~km}$. Qual é a distância, em quilômetros, entre as cidades $B$ e $C$ ? +(a) 15 +(c) 20 +(c) 25 +(d) 5 +(e) 10 + +10. Pesando caixas - Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura. Se cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, quantos quilogramas pesa o monte com todas as caixas? +(a) 300 +(b) 325 +(c) 350 +(d) 375 +(e) 400 +11. Consumo de água - Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família, durante os cinco primeiros meses de 2004. + +Qual é o consumo mensal médio de janeiro a maio dessa família, em $\mathrm{m}^{3}$ ? +(a) 11,3 +(c) 12,7 +(e) 317,5 +(b) 11,7 +(d) 63,5 + +| Meses | Consumo $\left(\mathrm{m}^{3}\right)$ | +| :--- | :---: | +| Janeiro | 12,5 | +| Fevereiro | 13,8 | +| Março | 13,7 | +| Abril | 11,4 | +| Maio | 12,1 | + +12. Folheando um livro - Um livro de cem páginas tem suas páginas numeradas de 1 a 100. Quantas folhas desse livro possuem o algarismo 5 em sua numeração? (ATENção: uma folha tem duas páginas.) +(a) 13 +(b) 14 +(c) 15 +(d) 16 +(e) 17 +13. Calculando a soma - Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em seguida, subtraia uma unidade dos números ímpares e some uma unidade aos números pares. Escolhendo três círculos consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter? +(a) 19 +(b) 21 +(c) 23 +(d) 24 +(e) 25 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-002.jpg?height=317&width=308&top_left_y=2394&top_left_x=1522) + +14. Desenhando o cubo - A figura ao lado foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo. + +Qual das alternativas mostra o cubo assim formado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=269&width=346&top_left_y=294&top_left_x=1546) +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=111&width=108&top_left_y=647&top_left_x=460) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=123&width=117&top_left_y=641&top_left_x=775) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=114&width=117&top_left_y=654&top_left_x=1095) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=123&width=134&top_left_y=641&top_left_x=1418) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=117&width=140&top_left_y=667&top_left_x=1712) + +15. Círculos concêntricos - Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm o mesmo centro. Pode-se concluir que a área da região cinza destacada é igual a + +(a) dois quintos da área do círculo maior; + +(b) três sétimos da área do círculo maior; + +(c) metade da área do círculo maior; + +(d) quatro sétimos da área do círculo maior; + +(e) três quintos da área do círculo maior. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=328&width=325&top_left_y=1047&top_left_x=1551) + +16. Brincando com engrenagens - José colou uma bandeirinha em cada um dos dois discos dentados que formam uma engrenagem, como mostra a figura. + +Os dois discos são exatamente iguais, inclusive os dentes em cada um deles. José girou a engrenagem e é claro que as bandeirinhas mudaram de posição. Qual é a nova posição das duas bandeirinhas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=223&width=417&top_left_y=1590&top_left_x=1462) +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=223&width=403&top_left_y=1847&top_left_x=444) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=220&width=408&top_left_y=1849&top_left_x=961) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=223&width=414&top_left_y=1847&top_left_x=1478) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=217&width=414&top_left_y=2102&top_left_x=450) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-003.jpg?height=220&width=416&top_left_y=2100&top_left_x=954) + +17. Troca de garrafas - A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar quatro garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 garrafas vazias de 1 litro fazendo várias dessas trocas? +(a) 11 +(b) 12 +(c) 13 +(d) 14 +(e) 15 +18. Retângulo e quadrados - A figura dada representa um gramado retangular em que foram marcados sete quadrados numerados de 1 a 7 . Se a área do menor desses quadrados é $1 \mathrm{~m}^{2}$, a área total do gramado, em $\mathrm{m}^{2}$, é igual a + +| 1 | 2 | 5 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 3 | | | +| | 4 | | | +| | 0 | | 7 | + +(a) 42 +(b) 44 +(c) 45 +(d) 48 +(e) 49 + +19. Quantas fatias de bolo? - Nove amigos compraram três bolos, cada um deles cortado em oito fatias. Todos comeram bolo e não sobrou nenhum pedaço. Sabendo que cada um só comeu fatias inteiras do bolo, podemos ter certeza de que: + +(a) alguém comeu quatro fatias; + +(b) um deles comeu somente uma fatia; + +(c) todos comeram duas fatias, pelo menos; + +(d) uns comeram duas fatias e os demais comeram três fatias; + +(e) um deles comeu, no mínimo, três fatias. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-004.jpg?height=287&width=517&top_left_y=953&top_left_x=1318) + +20. Mosaicos quadrados - Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se numa sequência de mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados? +(a) 55 +(d) 85 +(b) 65 +(e) 100 +(c) 75 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-004.jpg?height=191&width=500&top_left_y=1646&top_left_x=1326) + +21. Quanto custa? - Ester vai a uma papelaria para comprar cadernos e canetas. Nessa papelaria, todos os cadernos custam $\mathrm{R} \$ 6,00$. Se ela comprar três cadernos, sobram R \$4,00. Se, em vez disso, seu irmão lhe emprestar $\mathrm{R} \$ 4,00$ adicionais, ela conseguirá comprar dois cadernos e sete canetas, todas iguais. + +(a) Quanto custa cada caneta? + +(b) Se ela comprar dois cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas canetas Ester poderá comprar? + +22. Encontre o número - O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24. Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das situações seguintes. + +(a) Os três algarismos são iguais. + +(b) Apenas dois algarismos são iguais. + +(c) Os algarismos são todos diferentes. + +23. Campeonato de futebol - No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram seis equipes, denominadas $A, B, C, D, E$ e $F$. Cada equipe disputou, com cada uma das outras, exatamente uma partida. + +$\mathrm{Na}$ tabela de classificação do campeonato, ao lado, V indica o número de vitórias, $\mathrm{E}$ o número de empates, $\mathrm{D}$ o número de derrotas, GP o número de gols marcados e GC o número de gols sofridos de cada equipe. + +(a) Quantas partidas foram disputadas? + +| | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | $\mathbf{G P}$ | $\mathbf{G C}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $A$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 | +| $B$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 | +| $C$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 | +| $D$ | 1 | 1 | $y$ | 3 | 6 | +| $E$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 | +| $F$ | $x$ | 1 | 0 | $z$ | 3 | + +(b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols marcados pela equipe $F$, representados por $x, y$ e $z$ na tabela. + +24. Dividindo o paralelepipedo - Um bloco de madeira na forma de um paralelepípedo retângulo tem $320 \mathrm{~cm}$ de comprimento, $60 \mathrm{~cm}$ de largura e $75 \mathrm{~cm}$ de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos menores, todos na forma de paralelepípedos retângulo de $80 \mathrm{~cm}$ de comprimento por $30 \mathrm{~cm}$ de largura por $15 \mathrm{~cm}$ de altura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-005.jpg?height=363&width=402&top_left_y=958&top_left_x=1475) + +(a) Quantas peças foram obtidas? + +(b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente $900 \mathrm{~kg}$. Qual é o peso de cada uma dessas peças? + +25. Uma calculadora - Uma calculadora possui duas teclas especiais: + +- a tecla A, que duplica o número que aparece no visor; e +- a tecla $\mathrm{B}$, que acrescenta uma unidade ao número que aparece no visor. + +Por exemplo, se o número 45 estiver no visor e for apertada a tecla B, o visor mostrará o número 46. Se, em seguida, apertarmos a tecla $\mathrm{A}$, o visor mostrará o número 92 . Nesse exemplo, apertamos ao todo duas vezes as teclas A e B: uma vez a tecla B e depois uma vez a tecla A, para, a partir de 45 , chegar ao 92 . Suponha que no visor esteja o número 1. Indique uma maneira de obter o número: + +(a) 10 apertando um total de quatro vezes as teclas $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$; + +(b) 15 apertando um total de seis vezes as teclas $\mathrm{A}$ e B; + +(c) 100 apertando um total de oito vezes as teclas A e B. + +26. Ano bissexto - Um ano comum tem 365 dias e um ano bissexto, 366 dias. O ano bissexto, quando o mês de fevereiro tem 29 dias, ocorre a cada quatro anos. + +(a) Com frequência dizemos "Um ano comum tem 52 semanas". Será correta essa afirmação? E para um ano bissexto? Justifique suas respostas. + +(b) Se um ano comum inicia numa terça-feira, então o ano seguinte iniciará em qual dia da semana? +(c) Responda a pergunta anterior para um ano bissexto. + +27. Números triangulares - O famoso matemático grego Pitágoras denominou os números obtidos pela soma dos primeiros números inteiros positivos de números triangulares. Por exemplo, 1, 3, 6 e 10 são números triangulares. + +$$ +\begin{aligned} +1 & =1 \\ +3 & =1+2 \\ +6 & =1+2+3 \\ +10 & =1+2+3+4 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-006.jpg?height=300&width=717&top_left_y=575&top_left_x=1069) + +A figura ilustra a motivação para o nome dos números triangulares. A sequência de números triangulares continua com $1+2+3+4+5=15,1+2+3+4+5+6=21$ etc. Quantos são os números triangulares menores do que 100 ? + +28. Livros separados - Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível? +29. Alunos com óculos - A sexta parte dos alunos de uma classe usam óculos. Dentre os que usam óculos, uma terça parte são meninas; além disso, quatro meninos usam óculos. Quantos são os alunos dessa classe? +30. Quadrado mágico - Complete as casas em branco da tabela ao lado com frações, de tal modo que a soma dos três números de qualquer linha, qualquer coluna e das duas diagonais seja sempre a mesma. + +| | | $3 / 5$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $1 / 2$ | | +| 0,4 | 0,5 | | + +31. Três algarismos - Sejam $A, B$ e $C$ algarismos diferentes de zero tais que $(A B)^{2}=$ $C A B$, isto é, o número de dois algarismos $A B$ elevado ao quadrado dá o número de três algarismos $C A B$. Determine o valor de $A+B+C$. +32. Pintando quadradinhos - Uma faixa quadriculada tem 5 quadradinhos na largura e 250 quadradinhos no comprimento. Alguns quadradinhos serão pintados de cinza, começando da esquerda, conforme o modelo ilustrado na figura, e continuando com este padrão até chegar ao final da faixa, à direita. + +Quantos quadradinhos não serão pintados? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-006.jpg?height=328&width=763&top_left_y=2366&top_left_x=678) + +33. A cisterna do João - João tem, em seu jardim, uma cisterna na qual ele armazena água de chuva e tira água para regar suas flores. À meia-noite do dia 31 de dezembro de 2005, a cisterna continha 156 litros de água. João tem o hábito de anotar em um quadro, todo dia, o número de litros de água que ele gasta para regar as flores e o de água recolhida da chuva. + +Ao lado vemos parte do quadro referente aos primeiros 8 dias de janeiro de 2006. Quantos litros de água havia na cisterna do João à meia noite do dia 8 de janeiro de 2006? + +| Jan | flores(l) | chuva(l) | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | 6 | 2,5 | +| 2 | 9 | 0 | +| 3 | 0 | 5 | +| 4 | 4 | 0 | +| 5 | 9 | 3 | +| 6 | 0 | 0 | +| 7 | 11 | 4,5 | +| 8 | 0 | 0 | + +34. O múltiplo de 13 - Da igualdade $9174532 \times 13=119268916$ pode-se concluir que um dos números a seguir é divisível por 13. Qual é esse número? +(a) 119268903 +(c) 119268911 +(e) 119268923 +(b) 119268907 +(d) 119268913 +35. Um bilhão - Arnaldo afirmou que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. O professor Piraldo o corrigiu e disse, corretamente, que um bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre o valor correto de um bilhão e a afirmação de Arnaldo? +(a) 1000 +(b) 999000 +(c) 1000000 +(d) 999000000 +(e) 999000000000 +36. Energia de abelha - Com a energia fornecida por um litro de mel, uma abelha consegue voar 7000 quilômetros. Quantas abelhas conseguiriam voar um quilômetro, cada uma, com a energia fornecida por 10 litros de mel? +(a) 7000 +(b) 70000 +(c) 700000 +(d) 7000000 +(e) 70000000 +37. Perda de safra - Um agricultor esperava receber cerca de $\mathrm{R} \$ 100000,00$ pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre uma quinta parte e uma quarta parte do total previsto. Qual dos valores a seguir pode representar a perda do agricultor, em reais? +(a) 21987,53 +(b) 34900,00 +(c) 44999,99 +(d) 51987,53 +(e) 60000,00 +38. Placa decorativa - Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de quatro metros de lado, pintado de forma simétrica com partes em cinza, conforme a figura. Qual é a fração da área da placa que foi pintada? +(a) $\frac{1}{2}$ +(b) $\frac{1}{3}$ +(c) $\frac{3}{8}$ +(d) $\frac{6}{13}$ +(e) $\frac{7}{11}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-007.jpg?height=360&width=394&top_left_y=2204&top_left_x=1502) + +39. O suco do Diamantino - Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco num recipiente. O refresco é composto de $20 \%$ de suco de laranja e $80 \%$ de +água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final representa o suco de laranja? +(a) $5 \%$ +(b) $7 \%$ +(c) $8 \%$ +(d) $20 \%$ +(e) $60 \%$ +40. Uma eleição - Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e Marcos. João obteve $2 / 7$ dos votos e Rosa $2 / 5$ dos votos. Quem ganhou a eleição? +41. Soma de potências - Qual é o valor de $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}$ ? +(a) 0 +(b) 2 +(c) 4 +(d) $4^{2}$ +(e) $4^{4}$ +42. Seis retângulos - Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior, com um dos lados medindo $21 \mathrm{~cm}$, como na figura. Qual é a área do retângulo maior, em $\mathrm{cm}^{2}$ ? +(a) 210 +(b) 280 +(c) 430 +(d) 504 +(e) 588 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=285&width=465&top_left_y=874&top_left_x=1341) + +43. Duas populações - Há três anos, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu $50 \%$. Hoje, a soma das populações das duas cidades é de 9000 habitantes. Qual era a soma dessas duas populações há três anos? +(a) 3600 +(b) 4500 +(c) 5000 +(d) 7200 +(e) 7500 +44. Três balanças - As balanças (1) e (2) da figura dada estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmo peso, bem como todos os quadrados e também todos os círculos. Quantos quadrados devem ser colocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique equilibrada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=148&width=323&top_left_y=1768&top_left_x=501) + +(1) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=148&width=323&top_left_y=1768&top_left_x=889) + +$(2)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-008.jpg?height=154&width=328&top_left_y=1765&top_left_x=1292) + +(3) +(a) 7 +(b) 8 +(c) 9 +(d) 10 +(e) 12 + +45. Poucos domingos - Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos? +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 +46. Metade de potência - Qual é a metade do número $2^{12}+3 \times 2^{10}$ ? +(a) $2^{6}+3 \times 2^{5}$ +(b) $2^{6}+3 \times 2^{10}$ +(c) $2^{1} 1+3 \times 2^{5}$ +(d) $2^{11} \times 7$ +(e) $2^{9} \times 7$ +47. Minutos demais - Neste momento, são 18 horas e 27 minutos. Qual era o horário 2880717 minutos mais cedo? +(a) $6 \mathrm{~h} 22 \mathrm{~min}$ +(b) $6 \mathrm{~h} 24 \mathrm{~min}$ +(c) $6 \mathrm{~h} 27 \mathrm{~min}$ +(d) $6 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +(e) $6 \mathrm{~h} 32 \mathrm{~min}$ +48. Dois ônibus - Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual foram contratados dois ônibus. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31 no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que seja transportada a mesma quantidade de alunos nos dois ônibus? +(a) 8 +(b) 13 +(c) 16 +(d) 26 +(e) 31 +49. Cubo de papelão - Em qual das alternativas abaixo aparecem dois pedaços de papelão com os quais pode-se construir um cubo, dobrando pelas linhas tracejadas e colando pelas linhas contínuas? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=214&width=320&top_left_y=830&top_left_x=454) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=228&width=346&top_left_y=817&top_left_x=912) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=228&width=306&top_left_y=817&top_left_x=1389) +(d) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=158&width=318&top_left_y=1166&top_left_x=436) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=262&width=283&top_left_y=1074&top_left_x=909) + +50. Algarismo das unidades - Qual é o algarismo das unidades do número + +$$ +1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times 97 \times 99 ? +$$ + +(a) 1 +(b) 3 +(c) 5 +(d) 7 +(e) 9 + +51. Região sombreada - A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=140&width=551&top_left_y=1695&top_left_x=1324) +Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada? +(a) $\frac{7}{18}$ +(b) $\frac{4}{9}$ +(c) $\frac{1}{3}$ +(d) $\frac{5}{9}$ +(e) $\frac{1}{2}$ + +52. Colorindo um mapa - A figura mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarelo, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-009.jpg?height=274&width=374&top_left_y=2053&top_left_x=1503) +(a) 12 +(b) 6 +(c) 10 +(d) 24 +(e) 120 + +53. Pintando um tabuleiro - As nove casas de um tabuleiro $3 \times 3$ devem ser pintadas de forma que em cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não haja duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso? +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 +54. Número $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ - Considere um número escrito na forma decimal $X, Y$, onde $X$ e $Y$ são algarismos diferentes de 0 . Determine esse número, sabendo que $X, Y$ é igual a $\frac{3}{10}(X+Y)$. +55. Construção de casas - Em um mesmo lado de uma rua serão construídas seis casas vizinhas. As casas podem ser de alvenaria ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção dessas casas? +56. Comparação de grandezas - Qual é o maior dos números dados? +(a) $1000+0,01$ +(c) $1000 / 0,01$ +(e) $1000-0,01$ +(b) $1000 \times 0,01$ +(d) $0,01 / 1000$ +57. Maior número de seis algarismos - Qual é o maior número de seis algarismos que se pode encontrar suprimindo-se nove algarismos do número 778157260669103 , sem mudar a ordem de seus algarismos? +(a) 778152 +(b) 781569 +(c) 879103 +(d) 986103 +(e) 987776 +58. Qual é o numerador? - Se $\frac{n}{24}$ é um número entre $\frac{1}{6}$ e $\frac{1}{4}$, quem é $n$ ? +(a) 5 +(b) 6 +(c) 7 +(d) 8 +(e) 9 +59. Correndo menos - Correndo a uma velocidade de $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, João completa um certo percurso em seis minutos. Com qual velocidade, em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$, ele pode completar o mesmo percurso em oito minutos? +(a) 7,5 +(b) 7,75 +(c) 8 +(d) 8,25 +(e) 8,5 +60. Cinco vizinhas - As vizinhas Elza, Sueli, Patrícia, Heloísa e Cláudia chegam juntas do trabalho e começam a subir as escadas do prédio de cinco andares onde moram. Cada uma mora num andar diferente. Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia. Quando Sueli chega ao seu andar, Heloísa ainda tem dois andares para subir e o mesmo ocorre com Patrícia quando Elza chega ao seu andar. Sueli não mora no primeiro andar. Em qual andar mora cada uma delas? +61. Potências de 9 - Qual é o valor da soma $9^{20}+9^{20}+9^{20}$ ? +(a) $9^{20}$ +(b) $3^{66}$ +(c) $9^{23}$ +(d) $3^{41}$ +(e) $3^{23}$ +62. Dois números - Miguel escolheu um número de três algarismos e outro de dois. Qual é a soma desses números se sua diferença é 989 ? +(a) 1000 +(b) 1001 +(c) 1009 +(d) 1010 +(e) 2005 +63. Menor natural - Qual é o menor número natural $n$ para o qual $10^{n}-1$ é um múltiplo de 37 ? +(a) 6 +(b) 5 +(c) 4 +(d) 3 +(e) 2 +64. Imunes à gripes - Num certo país com 14 milhões de habitantes, $0,15 \%$ da população contraiu uma certa gripe. Quantos habitantes não contraíram essa gripe? +(a) 13979000 +(b) 1397900 +(c) 139790 +(d) 13979 +(e) 139790000 +65. O código secreto - O código secreto de um grupo de alunos é um número de três algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código utilizando as informações a seguir. + +$\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & \text { Nenhum algarismo correto. }\end{array}$ + +$4 \quad 5 \quad 6 \quad$ Só um algarismo correto na posição certa. + +$\begin{array}{llll}6 & 1 & 2 & \text { Só um algarismo correto, mas na posição errada. }\end{array}$ + +$\begin{array}{llll}5 & 4 & 7 & \text { Só um algarismo correto, mas na posição errada. }\end{array}$ + +$8 \quad 4 \quad 3$ Só um algarismo correto na posição certa. +(a) 137 +(b) 876 +(c) 768 +(d) 678 +(e) 576 + +66. Parênteses, colchetes e chaves - Qual é o valor de $2-2\{2-2[2-2(4-2)]\}$ ? +(a) 0 +(b) 2 +(c) -2 +(d) 4 +(e) -10 +67. Ordenando frações - Qual é a ordem crescente correta das frações $\frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{4}{6}, \frac{3}{5}, \frac{6}{5}$ e $\frac{2}{5} ?$ +(a) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ +(d) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3}$ +(b) $\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}$ +(e) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{3}<\frac{4}{6}<\frac{6}{5}$ +(c) $\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{3}<\frac{6}{5}$ +68. Números de três algarismos - Quantos números de três algarismos maiores do que 200 podem ser escritos, usando-se apenas os algarismos 1,3 e 5 ? +(a) 10 +(b) 12 +(c) 14 +(d) 15 +(e) 18 +69. Velocidade de maratona - Uma maratona de $42 \mathrm{~km}$ começou às $11 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ e o vencedor terminou às 13h45min do mesmo dia. Qual foi a velocidade média do vencedor, $\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h}$ ? +(a) 18,6 +(b) 25,3 +(c) 29 +(d) 32,5 +(e) 38 +70. Bilhetinhos com números - Cinco alunas escreveram cada uma um número num papel. Os números só podiam ser 1 ou 2 ou 4. Qual pode ser o produto dos cinco números escritos? +(a) 100 +(b) 120 +(c) 256 +(d) 768 +(e) 2048 +71. Produto de frações - Qual é o valor do produto $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$ ? +(a) $\frac{119}{120}$ +(b) $\frac{5}{7}$ +(c) $2 \frac{43}{60}$ +(d) $\frac{1}{5}$ +(e) $\frac{1}{120}$ +72. Produto máximo - A soma de dois números naturais é 11. Qual é o maior produto possível que se pode obter com esses números? +(a) 30 +(b) 22 +(c) 66 +(d) 24 +(e) 28 +73. Quem é o cubo? - Se $m$ é um número natural tal que $3^{m}=81$, quanto vale $m^{3}$ ? +(a) $81^{3}$ +(b) $3^{81}$ +(c) 64 +(d) 24 +(e) 48 +74. Qual é o maior? - Se $a-1=b+2=c-3=d+4$, qual é o maior dentre os números $a, b, c$ e $d$ ? +(a) $a$ +(b) $b$ +(c) $c$ +(d) $d$ +(e) São todos iguais +75. Quatro formiguinhas - Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares, segundo os trajetos indicados na figura. Qual é o comprimento do trajeto percorrido por Biloca? + +(a) $30 \mathrm{dm}$ + +(b) $43 \mathrm{dm}$ + +(c) $55 \mathrm{dm}$ + +(d) $24 \mathrm{dm}$ + +(e) $48 \mathrm{dm}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-012.jpg?height=325&width=951&top_left_y=1411&top_left_x=698) + +76. Trocando figurinhas - Célia quer trocar com Guilherme figurinhas de um álbum sobre animais brasileiros. Célia quer trocar quatro figurinhas de borboleta, cinco de tubarão, três de cobra, seis de periquito e seis de macaco. Todas as figurinhas de Guilherme são de aranha. Eles sabem que + +(a) uma figurinha de borboleta vale três figurinhas de tubarão; + +(b) uma figurinha de cobra vale três figurinhas de periquito; + +(c) uma figurinha de macaco vale quatro figurinhas de aranha; + +(d) uma figurinha de periquito vale três figurinhas de aranha; + +(e) uma figurinha de tubarão vale duas figurinhas de periquito. + +Quantas figurinhas Célia poderá receber se ela trocar todas que quiser? + +77. Soma de frações - Qual é o valor da soma $\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}$ ? +(a) 1 +(b) 20 +(c) 30 +(d) 10,1 +(e) 1,01 +78. Geometria com palitos - A figura dada é formada por um triângulo e um retângulo, usando-se 60 palitos iguais. Para cada lado do triângulo são necessários seis palitos. Se cada palito mede $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, qual é a área $\left(\mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}\right)$ do retângulo da figura? +(a) 1200 +(c) 2700 +(e) 4500 +(b) 1800 +(d) 3600 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-013.jpg?height=328&width=309&top_left_y=293&top_left_x=1573) + +79. Um incêndio e o bombeiro - Uma casa pega fogo. Um bombeiro se mantém no degrau do meio de uma escada, jogando água sobre o incêndio. As chamas diminuem e ele sobe cinco degraus. O vento sopra e o bombeiro desce sete degraus. Um pouco depois, ele sobe oito degraus e fica lá até acabar o incêndio. Então, ele sobe os últimos sete degraus e entra na casa. Quantos degraus tem a escada do bombeiro? +(a) 25 +(b) 26 +(c) 27 +(d) 28 +(e) 29 +80. Árvore genealógica - A figura mostra a árvore genealógica de uma família. Cada flecha vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo? + +(a) Francisco + +(b) José + +(c) André + +(d) Felipe + +(e) Simão + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-013.jpg?height=354&width=711&top_left_y=1279&top_left_x=747) + +81. Colcha quadrada - Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos retângulos isósceles. A parte em cinza representa qual percentagem da colcha? +(a) $36 \%$ +(c) $45 \%$ +(e) $60 \%$ +(b) $40 \%$ +(d) $50 \%$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-013.jpg?height=297&width=311&top_left_y=1713&top_left_x=1569) + +82. Falsas igualdades - Considere as igualdades a seguir. + +(i) $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=8 \times 10^{8}$ + +(iii) $5 \times 8+7=75$ + +(ii) $2^{3}+2^{-3}=2^{0}$ + +(iv) $5+5 \div 5=2$ + +Qual delas está correta? +(a) (i) +(b) (ii) +(c) (iii) +(d) (iv) +(e) Nenhuma + +83. Menor valor da soma - Se $a, b$ e $c$ são números inteiros positivos tais que $3 a=4 b=7 c$, qual é o menor valor possível de $a+b+c$ ? +(a) 84 +(b) 36 +(c) 61 +(d) 56 +(e) 42 +84. Procurando um quadrado perfeito - Um número é um quadrado perfeito se é igual a um número inteiro elevado ao quadrado. Por exemplo, $25=5^{2}, 49=7^{2}$ e $125=25^{2}$ são quadrados perfeitos. Qual é o menor número pelo qual devemos multiplicar 120 para obter um quadrado perfeito? +(a) 10 +(b) 15 +(c) 20 +(d) 30 +(e) 35 +85. Visitas num museu - A máquina que registra o número de visitantes de um museu marca 1879564 . Note que esse número tem todos os algarismos distintos. Qual é o menor número de visitantes que são necessários para que a máquina registre um outro número que também tenha todos os seus algarismos distintos? +(a) 35 +(b) 36 +(c) 38 +(d) 47 +(e) 52 +86. Ligando números por flechas - Os números de 0 a 2000 foram ligados por flechas; a figura dada mostra o começo do processo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=168&width=951&top_left_y=1087&top_left_x=587) + +Qual é a sucessão de flechas que liga o número 1997 ao número 2000? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=114&width=205&top_left_y=1379&top_left_x=363) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=91&width=151&top_left_y=1405&top_left_x=701) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=123&width=220&top_left_y=1383&top_left_x=981) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-014.jpg?height=120&width=206&top_left_y=1379&top_left_x=1622) + +87. Múltiplos de 9 - Encontre o menor múltiplo positivo de 9 que pode ser escrito apenas com os algarismos: (a) 0 e 1 ; $\quad$ (b) 1 e 2 . +88. A florista - Uma florista colheu $49 \mathrm{~kg}$ de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido imediatamente a $\mathrm{R} \$ 1,25$ ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a $R \$ 3,25$. O processo de desidratação faz as flores perderem $5 / 7$ de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista? +89. Divisores - Seja $N$ o menor número que tem 378 divisores e é da forma $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$. Quanto vale cada um desses expoentes? +90. O produto dos algarismos - Denotemos por $P(n)$ o produto dos algarismos do número $n$. Por exemplo, $P(58)=5 \times 8=40$ e $P(319)=3 \times 1 \times 9=27$. + +(a) Dentre os números de 1 a 999, quais são os que têm produto dos algarismos igual a 12 , isto é, quais são os inteiros $n$ tais que $1 \leq n<1000$ e $P(n)=12$ ? + +(b) Quantos números inteiros existem entre 0 e 200 cujo produto dos algarismos seja igual a 0 , isto é, quantos inteiros $n$ existem tais que $1 \leq n<200$ e $P(n)=0$ ? + +(c) Quais são os números inteiros $1 \leq n<200$ tais que $37 $16 \mathrm{~m}^{2}$ | Sala
$24 \mathrm{~m}^{2}$ | +| :---: | :---: | +| Quintal
$4 \mathrm{~m}^{2}$ | inha | + +93. O passeio do Matias - Matias passeia de bicicleta nas ruas em volta de quatro quarteirões perto de sua casa, dispostos como na figura. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possível, mas ele inventou uma regra para se divertir mais, a saber: ele pode passar várias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas ele não pode passar mais do que uma vez pela mesma rua, devendo terminar seu passeio de bicicleta quando não puder mais respeitar essa condição. Os quatro quarteirões são quadrados, cada um com 100 metros de lado e a largura das ruas não é considerada relevante. Partindo do ponto indicado por $P$ na figura, qual é o maior desses percursos de bicicleta que Matias pode fazer? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-015.jpg?height=326&width=289&top_left_y=1202&top_left_x=1563) + +94. O adesivo dos carros oficiais - O prefeito de uma cidade decidiu colocar adesivo em cada carro oficial. O adesivo terá uma forma retangular, com seis quadrados dispostos em $2 \times 3$ e com três cores: um quadrado azul, dois quadrados amarelos e três quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivo o prefeito poderá escolher? +95. Adição de números - Qual é o algarismo $a$ em $a 000+a 998+a 999=22$ 997? +96. Cubo perfeito e divisibilidade - Quais são os cubos perfeitos que dividem $9^{4}$ ? +97. Localização de um ponto - Qual é o ponto indicado na figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-015.jpg?height=131&width=674&top_left_y=2162&top_left_x=771) + +98. Cálculo de porcentagem - Se você acerta 58/84 das 84 questões de um teste, qual é o seu percentual de acertos? +99. Comparação de algarismos - Dizemos que um número é ascendente se cada um de seus algarismos for maior do que o algarismo que está à sua esquerda. Por exemplo, 2568 é ascendente e 175 não é. Quantos números ascendentes existem entre 400 e 600? +100. Muro colorido - Um muro deve ser construído conforme a figura com 14 tijolos coloridos, disponíveis em amarelo, azul e vermelho, cujos preços estão dados na tabela. Se dois tijolos quaisquer que se toquem devem ser de cores diferentes, qual é o menor valor que se gastará na compra desses 14 tijolos? + +| tijolo | $\mathrm{R} \$$ | +| :--- | :---: | +| amarelo | 6 | +| azul | 7 | +| vermelho | 8 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-016.jpg?height=234&width=509&top_left_y=511&top_left_x=999) + +101. Divisores e fatoração - Decomponha 96 em dois fatores inteiros positivos cuja soma dos quadrados seja 208. +102. O retângulo do Luís - Luís desenhou um retângulo de $6 \times 10 \mathrm{~cm}$ e quer dividi-lo em quatro partes. As áreas das 4 partes devem medir 8, 12, 16 e $24 \mathrm{~cm}^{2}$. Desenhe como ele pode fazer essa divisão. +103. Comparação de números - Escreva em ordem crescente os números + +$$ +\sqrt{121}, \quad \sqrt[3]{729} \quad \text { e } \quad \sqrt[4]{38416} +$$ + +104. As moedas - Uma brincadeira começa com sete moedas alinhadas em cima de uma mesa, todas com a face coroa virada para cima. Para ganhar a brincadeira, é preciso virar algumas moedas, de tal modo que, no final, duas moedas vizinhas estejam sempre com faces diferentes viradas para cima. A regra da brincadeira é virar duas moedas vizinhas em cada jogada. Quantas jogadas são necessárias, no mínimo, para ganhar a brincadeira? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-016.jpg?height=143&width=842&top_left_y=1650&top_left_x=641) + +105. O preço do frango - O preço do quilograma de frango era $R \$ 1,00$ em janeiro de 2000, quando começou a triplicar a cada 6 meses. Em quanto tempo o preço atingirá $\mathrm{R} \$ 81,00$ ? +(a) 1 ano +(b) 2 anos +(c) $2 \frac{1}{2}$ anos +(d) 13 anos +(e) $13 \frac{1}{2}$ anos +106. Excursões a Foz do Iguaçu - Em 2005, uma agência de turismo programou uma excursão para Foz do Iguaçu, distribuindo as pessoas em ônibus de 27 lugares, tendo sido necessário formar um ônibus incompleto, com 19 lugares ocupados. Em 2006, aumentou em 53 o número de participantes e a agência continuou a utilizar ônibus de 27 lugares. Quantos ônibus a mais foram necessários e quantas pessoas ficaram no ônibus incompleto em 2006? +107. As frações de Laura - Laura desenhou cinco círculos, dentro dos quais ela quer colocar números inteiros positivos, de tal modo que formem uma igualdade entre uma fração e seu valor inteiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-016.jpg?height=131&width=328&top_left_y=2547&top_left_x=1498) + +De quantas maneiras pode Laura colocar os números 2, 3, 5, 6 e 11 dentro dos cinco círculos para que a igualdade seja verdadeira? + +108. Cálculo da unidade - Qual é o algarismo da unidade do produto + +$$ +(5+1)\left(5^{3}+1\right)\left(5^{6}+1\right)\left(5^{12}+1\right) ? +$$ + +(a) 0 +(b) 1 +(c) 2 +(d) 5 +(e) 6 + +109. Números cruzados - Francisco escreveu 28 algarismos numa tabela $6 \times 6$ e pintou de preto as demais casas, como nas palavras cruzadas. Ele fez a lista de todos os números, + +| 28 | 45 | 51 | 57 | 72 | 88 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 175 | 289 | 632 | 746 | 752 | 805 | +| 885 | 5647 | 5873 | 7592 | 8764 | | + +em ordem crescente, que podem ser lidos horizontal ou verticalmente, excluindo os números de um só algarismo. Preencha a tabela escrevendo de volta os números de Francisco. Um algarismo já foi colocado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-017.jpg?height=337&width=346&top_left_y=1008&top_left_x=1529) + +110. Ovos e maçãs - Num certo armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos caiu $10 \%$ e o da maçã subiu $2 \%$ Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs? +(a) $2 \%$ +(b) $4 \%$ +(c) $10 \%$ +(d) $12 \%$ +(e) $12,2 \%$ +111. Dividindo números decimais - Sabendo que $144 \times 177=25488$, podemos concluir que $254,88 \div 0,177$ é igual a: +(a) 1440 ; +(b) 14,4 ; +(c) 1,44 ; +(d) 0,144 ; +(e) 144 . +112. Almoço dos amigos - Júlio e Denise almoçaram num restaurante que oferece três tipos de prato e três tipos de vitamina, cujos preços estão na tabela ao lado. Cada um escolheu um prato e uma vitamina. Júlio gastou 6 reais a mais do que Denise. Quanto Denise gastou? + +| | $\mathrm{R} \$$ | +| :--- | :---: | +| prato simples | 7 | +| prato com carne | 11 | +| prato com peixe | 14 | +| vitamina de leite | 6 | +| vitamina de frutas | 7 | +| vitamina especial | 9 | + +113. Somas de três em três - Encontre quatro números inteiros positivos que, somados de três em três, dão somas $6,7,8$ e 9 . +114. O passeio do Jorge - Jorge passeia por um caminho em forma de retângulo, onde estão dispostas 12 árvores, brincando de tocar cada árvore durante seu passeio. Primeiro ele toca a árvore do canto, assinalada com $P$ na figura, e percorre 32 metros num + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-017.jpg?height=206&width=331&top_left_y=2421&top_left_x=1508) +mesmo sentido do percurso; aí ele volta 18 metros e depois retorna ao sentido inicial +por mais 22 metros. Entre duas árvores consecutivas, a distância é de $5 \mathrm{~m}$. Em quantas árvores ele tocou? + +115. A descoberta do algarismo - Os quadrados dos números naturais de 1 a 99 foram escritos um após o outro, formando o número 14916253649... Qual é o algarismo que ocupa a 100a posição? (As posições são contadas da esquerda para a direita, portanto, a $1^{\underline{a}}$ posição é a do 1 , a $2^{\underline{a}}$ é a do 4 , e assim por diante.) +116. OBMEP - Cada um dos sete discos $X, Z, O, B, M, E$ e $P$ da figura tem um peso diferente, que varia de 1 a $7 \mathrm{~g}$. Em algumas interseções de dois discos, indicamos a soma dos pesos desses dois discos. Qual é a soma dos pesos dos cinco discos $O, B, M, E$ e $P$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-018.jpg?height=388&width=616&top_left_y=917&top_left_x=777) + +117. Prédio misterioso - As figuras mostram as plantas de dois andares de um prédio que guarda segredos muito valiosos. Há nove elevadores que atendem esses dois andares, representados por letras. Qual o caminho mais curto entre a entrada indicada de um andar e a saída indicada do outro? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-018.jpg?height=394&width=1036&top_left_y=1636&top_left_x=523) +118. Soma de frações - Qual é o valor de $\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$ ? +119. Biblioteca - A biblioteca de uma escola comprou 140 novos livros, ficando com $\frac{27}{25}$ do número de livros que tinha antes da compra. O número de livros antes dessa compra era: +(a) 1750 ; +(b) 2500 ; +(c) 2780 ; +(d) 2140 ; +(e) 1140. +120. Comparação de frações - Existem quantas frações menores do que 1, nas quais o numerador e o denominador são números inteiros positivos de um só algarismo? +121. Divisão com resto - Quais são os números que deixam resto 5 ao dividir 2007 ? +122. Panelas - Uma panela pesa $645 \mathrm{~g}$ e uma outra $237 \mathrm{~g}$. José divide $1 \mathrm{~kg}$ de carne entre as duas panelas, de modo que as duas, com seus conteúdos, ficam com o mesmo peso. Quanto de carne ele colocou em cada panela? +123. Dominós - Juliana representou uma multiplicação com 5 dominós. Seu irmão Bruno trocou dois dominós de posição e agora a multiplicação ficou errada. Troque de volta a posição de dois dominós para que a multiplicação fique novamente correta. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-019.jpg?height=400&width=868&top_left_y=794&top_left_x=685) + +124. Código secreto - Antônio precisa descobrir um código de 3 algarismos diferentes $A, B$ e $C$. Ele sabe que $B$ é maior que $A$, que $A$ é menor do que $C$ e também que valem as igualdades seguintes. + +$$ +\begin{aligned} +& \begin{array}{|l|l|} +\hline B & B \\ +\hline A & A \\ +\hline +\end{array}+\begin{array}{|l|l|l|l|} +\hline C & C \\ +\hline +\end{array}=\begin{array}{|l|l|l|} +\hline 2 & 4 & 2 \\ +\hline +\end{array} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-019.jpg?height=60&width=483&top_left_y=1529&top_left_x=752) + +Qual é o código que Antônio procura? + +125. Os doze pontos - Doze pontos estão marcados numa folha de papel quadriculado, conforme mostra a figura. Qual é o número máximo de quadrados que podem ser formados unindo quatro desses pontos? +126. Relógio - O grande relógio de parede da escola marca a data (dia, mês e ano) e as horas (horas e minutos), como na figura. Em que dia, mês e ano voltarão a aparecer juntos no relógio esses mesmos 10 algarismos pela primeira vez? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-019.jpg?height=548&width=290&top_left_y=1730&top_left_x=1586) +127. Lápis - Setenta e quatro lápis foram embalados em 13 caixas. Se a capacidade máxima de cada caixa é de seis lápis, qual é o número mínimo de lápis que pode haver em uma caixa? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 3 +(d) 4 +(e) 6 +128. Contagem - Se o algarismo 1 aparece 171 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro? +129. Viagem a Recife - Quando fui receber a medalha de ouro que conquistei na OBMEP, apareceram as seguintes informações nas telas da cabine de passageiros do meu voo para Recife: + +$$ +\begin{aligned} +\text { Velocidade média: } & 864 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \\ +\text { Distância do local de partida: } & 1222 \mathrm{~km} \\ +\text { Tempo de chegada a Recife: } & 1 \mathrm{~h} 20 \mathrm{~min} +\end{aligned} +$$ + +Se o avião manteve a mesma velocidade, então qual é a distância, aproximadamente, em quilômetros, entre Recife e a cidade em que começou meu voo? +(a) 2300 +(b) 2400 +(c) 2500 +(d) 2600 +(e) 2700 + +130. Praça - Maria e João dão uma volta completa na praça, juntos, contando as casas que ficam em volta da praça. Eles começaram a contar as casas em pontos diferentes. A quinta casa da Maria é a décima segunda do João e a quinta casa do João é a trigésima da Maria. Quantas casas há em volta da praça? +131. Sequência de figuras - As figuras $\triangle, \boldsymbol{\Lambda}, \diamond, \boldsymbol{\uparrow}, \odot$ e $\square$ são repetidas indefinidamente na sequência + +$$ +\triangle, \boldsymbol{\leftrightarrow}, \diamond, \boldsymbol{\uparrow}, \odot, \square, \triangle, \boldsymbol{\leftrightarrow}, \diamond, \boldsymbol{\phi}, \odot, \square, \ldots +$$ + +(a) Que figura aparecerá na $1000^{a}$ posição da sequência? + +(b) Em qual posição aparece o milésimo $\diamond$ ? + +132. A brincadeira com o quadrado - Um quadrado de $1 \mathrm{~m}$ de lado foi cortado, com cortes paralelos aos seus lados, em quadradinhos de $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocando-se lado a lado os quadradinhos, sem superposição, formou-se um retângulo de $1 \mathrm{~mm}$ de largura. Qual é o comprimento desse retângulo? +133. O código da Arca do Tesouro - Simão precisa descobrir um número escondido na tabela fornecida, que é o código da Arca do Tesouro. + +Para descobrir o código, ele precisa formar todos os grupos de três algarismos que estejam em casas sucessivas, na horizontal ou na vertical, e cuja soma seja 14. Retirados da tabela todos os possíveis números desses grupos, o código é a soma dos + +| 5 | 9 | 4 | 9 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 6 | 3 | 7 | 3 | 4 | 8 | +| 8 | 2 | 4 | 2 | 5 | 5 | +| 7 | 4 | 5 | 7 | 5 | 2 | +| 2 | 7 | 6 | 1 | 2 | 8 | +| 5 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 | + +números que restam na tabela. Qual é esse código? + +134. Operações com decimais - Efetue a divisão $\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}$. +135. Fatores inteiros - Decompor 96 em dois fatores inteiros cuja soma dos quadrados seja 208 . +136. Divisibilidade - No número $6 a 78 b$, $a$ denota o algarismo da unidade de milhar e $b$ denota o algarismo da unidade. Se $6 a 78 b$ for divisível por 45, então o valor de $a+b$ é: +(a) 5 ; +(b) 6 ; +(c) 7 ; +(d) 8 ; +(e) 9 . +137. Número simples - Digamos que um número inteiro positivo seja simples se ele tiver apenas os algarismos 1 ou 2 (ou ambos). Quantos números menores do que 1 milhão são simples? +138. Venda de $\boldsymbol{T V}$ - O gerente de uma loja foi verificar qual tinha sido o preço de venda de uma televisão da marca VejoTudo em 2006. Ele encontrou uma fatura meio apagada, em que se podia ler "lote de $72 \mathrm{TVs}$ da VejoTudo vendido por $\mathrm{R} \${ }_{-} 6.79_{-}, 00$ ", mas o algarismo da dezena de milhar e o da unidade do preço pago pelo lote estavam ilegíveis. Qual foi o preço de venda de cada uma dessas televisões em 2006? +139. Chocolate - Henrique comprou barras de chocolate por $\mathrm{R} \$ 1,35$ cada uma. Ele pagou com uma nota de $\mathrm{R} \$ 10,00$ e recebeu um troco inferior a $\mathrm{R} \$ 1,00$. Quantas barras ele comprou? +140. $O$ quadradinho - Qual é o valor de $\square$ em $\frac{6400000}{400}=1,6 \times \square$ ? +141. Dois números - O produto de dois números de dois algarismos cada é 1728 . Se o máximo divisor comum (MDC) deles é 12, quais são esses números? +142. As idades dos irmãos - No dia de seu aniversário de 7 anos, em 13 de março de 2007, uma terça-feira, Carlos disse a seu irmão: "A contar de hoje, faltam 2000 dias para você completar 15 anos." Em que dia da semana vai cair o aniversário do irmão de Carlos? Quantos anos terá Carlos nesse dia? +143. A mistura de concreto - Uma certa mistura de concreto é feita de cimento, areia e terra, na razão de $1: 3: 5$ por quilo. Quantos quilos dessa mistura podem ser feitos com 5 quilos de cimento? +(a) $13 \frac{1}{3}$ +(b) 15 +(c) 25 +(d) 40 +(e) 45 +144. Ponto na escala - A que número corresponde o ponto $P$ indicado na escala dada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-021.jpg?height=115&width=711&top_left_y=1947&top_left_x=752) + +145. O pomar do Francisco - O pomar do Francisco tem macieiras, pereiras, laranjeiras, limoeiros e tangerineiras, dispostas em cinco filas paralelas, cada uma com uma única variedade de árvores, da seguinte maneira: + +(a) as laranjeiras estão do lado dos limoeiros; + +(b) as pereiras não estão do lado das laranjeiras nem dos limoeiros; + +(c) as macieiras estão do lado das pereiras, mas não das laranjeiras, nem dos limoeiros. + +Em que fila estão as tangerineiras? +(a) $1 \underline{a}$ +(b) $2^{\underline{a}}$ +(c) $3^{a}$ +(d) $4^{\mathrm{a}}$ +(e) $5^{\underline{a}}$ + +146. Quatro quadrados - Quatro quadrados iguais estão superpostos formando a figura dada. Se cada um dos quatro quadrados tem uma área de $3 \mathrm{~cm}^{2}$, qual é a área dessa figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=372&width=671&top_left_y=445&top_left_x=732) + +147. O fio de arame - Ernesto formou a figura abaixo com um fio de arame, em que cada segmento de reta tem o comprimento do diâmetro dos semicírculos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=80&width=385&top_left_y=1059&top_left_x=847) + +Qual das figuras abaixo ele pode formar com esse mesmo fio de arame, cortando-o ou não, mas sem dobrá-lo ou desdobrá-lo? +(a) +0 +(b) $\square$ +(c) + + +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=114&width=77&top_left_y=1302&top_left_x=1475) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=106&width=88&top_left_y=1306&top_left_x=1692) + +148. Sequência de fósforos - Quantos fósforos são necessários para formar o oitavo termo da sequência cujos três primeiros termos estão dados? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=98&width=774&top_left_y=1666&top_left_x=617) +(a) 21 +(b) 24 +(c) 27 +(d) 30 +(e) 34 +149. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é formado por lajotas retangulares de $4 \mathrm{~cm}$ de largura por $6 \mathrm{~cm}$ de comprimento, conforme indicado na figura. Maricota parte do ponto $M$, Nandinha parte do $N$ e, ambas, andam apenas pelos lados das lajotas, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-022.jpg?height=321&width=511&top_left_y=1878&top_left_x=1318) + +(a) As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi essa distância? + +(b) Em que ponto elas se encontraram? + +150. A soma é 100 - A soma de três números é 100 , dois são primos e um é a soma dos outros dois. + +(a) Qual é o maior dos três números? +(b) Dê um exemplo de tais três números. + +(c) Quantas soluções existem para esse problema? + +151. Código de barras - Um serviço postal usa barras curtas e barras longas para representar seu Código de Endereçamento Postal (CEP) composto por oito algarismos, em que a barra curta corresponde ao 0 (zero) e a longa ao 1 . A primeira e a última barras não fazem parte do código e a conversão do código é dada como segue. + +$$ +\begin{array}{ll} +11000=0 & 01100=5 \\ +00011=1 & 10100=6 \\ +01010=2 & 00001=7 \\ +00101=3 & 10001=8 \\ +00110=4 & 10010=9 +\end{array} +$$ + +(a) Escreva o CEP 36470130 na forma de código de barras. + +(b) Identifique o CEP que representa o código de barras seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-023.jpg?height=77&width=688&top_left_y=1115&top_left_x=770) + +152. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum desses dois esportes. + +(a) Quantos alunos tem a escola? + +(b) Quantos alunos jogam somente futebol? + +(c) Quantos alunos jogam futebol? + +(d) Quantos alunos praticam pelo menos um dos dois esportes? + +153. Dízima periódica - Obtenha o algarismo da 1997- casa decimal de cada uma das frações seguintes. (a) $\frac{1}{22}$ + +(b) $\frac{1}{27}$ + +154. Ana na corrida - Para ganhar uma corrida, Ana precisa completar os últimos cinco quilômetros em menos de 20 minutos. Qual deve ser sua velocidade mínima, em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ? +155. Quadradinhos e o buraco - Quantos quadradinhos foram retirados do tabuleiro de $10 \times 20$ quadradinhos da figura? Se o lado de cada quadradinho mede $1 \mathrm{~cm}$, qual é a área e qual é o perímetro do "buraco"? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-023.jpg?height=449&width=877&top_left_y=2237&top_left_x=675) + +156. Quadrados perfeitos no retângulo - Complete as seis casas da tabela dada, colocando um algarismo em cada uma, de modo que os dois números de três algarismos formados na horizontal e os três números de dois algarismos formados na vertical sejam quadrados perfeitos. + +(a) Quais são os números? + +(b) Quantas soluções existem? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=132&width=272&top_left_y=505&top_left_x=1189) + +157. Aula de divisão - Na aula sobre divisão, a professora pediu que seus alunos colocassem números no lugar das estrelas. Quais são esses números? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=114&width=146&top_left_y=811&top_left_x=378) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=117&width=151&top_left_y=810&top_left_x=650) +(c) $\star \frac{3}{7}$ +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=106&width=152&top_left_y=808&top_left_x=1196) + +158. Linhas de ônibus - No ponto de ônibus perto de sua casa, Quinzinho pode pegar os ônibus de duas linhas para ir à escola. Os ônibus de uma linha passam de 15 em 15 minutos e os da outra de 25 em 25 minutos, sendo que às $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~m}$ da manhã os ônibus das duas linhas passam juntos. + +(a) A que horas passarão juntos novamente? + +(b) Entre as 7h30min da manhã e a meia noite, quais são os horários em que os ônibus passam juntos nesse ponto perto da casa de Quinzinho? + +159. Quadrados dentro de um retângulo - O retângulo da figura está dividido em oito quadrados. $\mathrm{O}$ lado do menor quadrado mede $1 \mathrm{~cm}$. + +(a) Quanto mede os lados dos outros quadrados? + +(b) Qual é o perímetro desse retângulo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-024.jpg?height=280&width=214&top_left_y=1456&top_left_x=1589) + +160. Festa na escola - A professora Ana foi comprar pão de queijo para homenagear os alunos premiados na OBMEP, sendo que + +- cada 100 gramas de pão de queijo custam $R \$ 3,20$ e correspondem a 10 pães de queijo; e +- cada pessoa come, em média, 5 pães de queijo. + +Além da professora, estarão presentes à festa 16 alunos, um monitor e 5 pais de alunos. A precisão da balança da padaria é de 100 gramas. + +(a) Quantos gramas de pão de queijo ela deve comprar para que cada pessoa possa comer, pelo menos, cinco pães? + +(b) Nesse caso, quanto a professora gastará? + +(c) Se cada pessoa comer cinco pães de queijo, sobrará algum pão de queijo? + +161. Ai que fome - Maria está olhando a tabela seguinte. + +| Salgados | Bebidas | Doces | +| :--- | :--- | :--- | +| Empada: $\mathrm{R} \$ 3,90$ | Refrigerante: $\mathrm{R} \$ 1,90$ | Sorvete: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | +| Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | +| Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | + +Maria possui 5 moedas de 50 centavos, 7 moedas de 25 centavos, 4 moedas de 10 centavos e 5 moedas de 5 centavos. + +(a) Quantos reais Maria possui? + +(b) Se Maria precisa guardar 90 centavos para a passagem de ônibus, quais os possíveis lanches que incluam um salgado, uma bebida e um doce ela poderá pedir? + +162. Advinhe - Tenho alguns números naturais cujo único divisor comum é 1. Se eu somar 50 a cada um deles, encontro números de dois algarismos. Se eu subtrair 32 de cada um deles, também encontro números naturais de dois algarismos. Quais são os números que eu tenho? +163. Produto de consecutivos - Dentre os números 712, 1262 e 1680, qual é o único que pode ser escrito como um produto de quatro números naturais consecutivos? +164. Palíndromos - O ano de 2002 é um palíndromo porque não se altera quando for lido da direita para a esquerda. + +373 e 1221 + +foram anos palíndromos. + +(a) Qual será o próximo ano palíndromo depois de 2002? + +(b) O último ano palíndromo, 1991, foi ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo ímpar? + +(c) O último ano palíndromo primo ocorreu há mais de 1000 anos, em 929. Quando ocorrerá o próximo ano palíndromo primo? + +165. O maior $M D C$ - Quais são os seis números de dois algarismos cujo máximo divisor comum é o maior possível? +166. Quantidade de água na Terra - A Terra tem, aproximadamente, um volume de $1360000000 \mathrm{~km}^{3}$ de água, que se distribui entre os oceanos, os mares, as geleiras, as regiões subterrâneas (os aquíferos), os lagos, os rios e a atmosfera. Somente a água encontrada nesses três últimos itens oferece um acesso fácil ao consumo humano. Com estes dados, complete a tabela a seguir. + +| Especificações | Volume de água $\left(\mathrm{km}^{3}\right)$ | Percentual | Forma decimal do percentual | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Água salgada | | $97 \%$ | | +| Água doce | 40000000 | | | +| Gelo | | $1,8 \%$ | | +| Água subterrânea | | | 0,00960 | +| Lagos e rios | 250000 | | 0,00001 | +| Vapor de água | | | 0,001 | + +167. Balas - De quantas formas podemos repartir 14 balas idênticas entre três crianças de modo que cada criança receba, no mínimo, três balas? +168. Minutos - Uma prova de Matemática começa às 12 h 35 min e tem uma duração de $4 \frac{5}{6}$ horas. A que horas termina a prova? +169. Menor número - Qual é o menor número de cinco algarismos divisível por 4 que se pode formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 9 ? +170. Contas do papagaio - Antônio tem um papagaio que faz contas fantásticas com números inteiros. Quando Antônio sopra certos números em seu ouvido, o papagaio multiplica esse número por 5 , depois soma 14, daí divide o resultado por 6 e, finalmente, subtrai 1, gritando o resultado em seguida. Entretanto, o papagaio não sabe nada sobre decimais, de modo que, às vezes, fica sem poder gritar resposta alguma. + +(a) Se Antônio soprar o número 8, qual número o papagaio gritará? + +(b) Se o papagaio gritou 3, qual foi o número que Antônio soprou em seu ouvido? + +(c) Porque o papagaio nunca grita o número 7? + +(d) Quais são os números que, soprados por Antônio, provocam uma resposta do papagaio? + +171. Soma maior do que 34 - Quantos números de quatro algarismos existem cuja soma dos algarismos seja maior do que 34 ? +172. Nenhum 1 - Roberto quer escrever o número 111111 como um produto de dois números, nenhum dos quais terminado em 1. Isso é possível? Por quê? +173. Números equilibrados - Um número é dito equilibrado se um de seus algarismos é a média aritmética dos outros. Por exemplo, 132, 246 e 777 são equilibrados. Quantos números equilibrados de três algarismos existem? +174. Números primos - Quais são os números cujos triplos somados com 1 dão um número primo entre 70 e 110 ? +175. Quadro moderno - Para fazer um quadro bem moderno para sua escola, Roberto divide uma tela quadrada em oito partes com quatro faixas de mesma largura e uma diagonal, como na figura. Ele pinta o quadro de azul e verde, de modo que duas partes vizinhas sempre tenham cores diferentes. No final, ele repara que usou mais verde do que azul. Que fração do quadro foi pintada de azul? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-026.jpg?height=299&width=297&top_left_y=2072&top_left_x=1528) + +176. Encontro de amigos - Embora eu tenha certeza de que meu relógio está 5 minutos adiantado, na realidade ele está 10 minutos atrasado. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que seu relógio esteja certo. Nós marcamos um encontro para as 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegará em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegará o outro? +177. Trabalho comunitário - Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, $60 \%$ dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 4 +(d) 6 +(e) 8 +178. Área de trapézios - Unindo quatro trapézios idênticos, que têm lados não paralelos iguais e bases medindo 50 e $30 \mathrm{~cm}$, como o da figura dada, podemos formar um quadrado de $2500 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, que tem um "buraco" quadrado no meio. Qual é a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-027.jpg?height=189&width=594&top_left_y=585&top_left_x=1279) +área, em $\mathrm{cm}^{2}$, de cada um dos quatro trapézios? +(a) 200 +(b) 250 +(c) 300 +(d) 350 +(e) 400 + +179. Adivinhação - Pensei em dois números de dois algarismos, que não possuem algarismos em comum, sendo um o dobro do outro. Além disso, os algarismos do menor número são a soma e a diferença dos algarismos do maior número. Quais são os dois números? +180. Dezoito números consecutivos - Escreva dezoito números consecutivos de três algarismos e verifique que pelo menos um deles é divisível pela soma de seus algarismos. Isso é sempre verdade. Ou seja, se você escrever dezoito números consecutivos de três algarismos, então pelo menos um deles será divisível pela soma de seus algarismos. Mostre esse fato. +181. Completar uma tabela - Descubra a regra utilizada para as casas já preenchidas e complete a tabela. Qual é o valor de A? + +| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 2 | 5 | 10 | | +| 2 | | | | | +| 3 | | | | | +| 4 | | | | $\mathbf{A}$ | + +182. Procurando múltiplos de 9 - Consideremos um conjunto formado por dez números naturais diferentes. Se calcularmos todas as diferenças entre esses números, pelo menos uma dessas diferenças será um múltiplo de 9? +183. Correndo numa praça - Um atleta costuma correr $15,5 \mathrm{~km}$ ao redor de uma grande praça retangular de $900 \times 600 \mathrm{~m}$. Ele inicia a corrida sempre do ponto $\mathrm{P}$, situado a $550 \mathrm{~m}$ de um dos vértices, correndo no sentido horário, como mostra a figura. Em que ponto da praça ele para? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-027.jpg?height=272&width=402&top_left_y=2234&top_left_x=1478) + +184. Ovos para um bolo - Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que requer menos do que nove ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de dois, ou de três, +quatro, cinco, ou seis ovos, sempre sobra um ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual é o menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos? +185. Cortando uma cartolina - Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços obtidos, foram feitos dois cortes paralelos aos dois lados menores, pelos pontos médios desses lados. Ao final, sobrou um retângulo de $129 \mathrm{~cm}$ de perímetro. O desenho dado indica a sequência de cortes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-028.jpg?height=182&width=872&top_left_y=757&top_left_x=543) + +Qual era o perímetro da folha antes do corte? + +186. A soma errada - A soma ao lado está incorreta. Para corrigi-la, basta substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta por um outro algarismo. Qual é o algarismo errado e qual é seu substituto correto? +187. Número de cinco algarismos - Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 foram usados, cada um uma única vez, para escrever um certo número $a b c d e$ de cinco algarismos tal que $a b c$ é divisível por $4, b c d$ é divisível por 5 e $c$ de é divisível por 3. Encontre esse número. +188. Tabela misteriosa - Complete a tabela $6 \times 6$ de tal modo que, em cada linha e cada coluna, apareçam apenas múltiplos de um dos números + +$$ +2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \text { e } 12 +$$ + +Além disso, é permitido repetir apenas um número + +742586 $+829430$ 1212016 na tabela. + +189. Habitantes e esporte - Numa certa cidade com quase trinta mil habitantes, exatamente dois nonos dos habitantes são homens que praticam esporte somente nos finais de semana e dois quinze avos são mulheres que praticam esporte somente nos finais de semana. O número de habitantes que não pratica esporte é o quíntuplo dos que praticam esporte regularmente. Com esses dados, complete a tabela dada. + +| Não praticam esporte | | Praticam esporte
somente nos fins
de semana | | Praticam
esporte
regularmente | | População | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total | +| 8563 | 7582 | | | | 1252 | | + +190. Botões luminosos - No mecanismo luminoso da figura, cada um dos oito botões pode acender nas cores verde ou azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser ligado, todos os botões acendem a luz azul, e se apertamos um botão, esse botão e seus dois vizinhos trocam de cor. Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os botões 1,3 e 5 , qual será o número de luzes verdes que estarão acesas no final? + +1 8 2 + +7 3 6 4 5 +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 + +191. Qual é o número? - Um número de seis algarismos começa por 1. Se deslocamos esse algarismo 1 da primeira para a última posição à direita, obtemos um novo número de seis algarismos, que é o triplo do número de partida. Qual é esse número? +192. Jardim variado - Um jardim retangular de 120 por $80 \mathrm{~m}$ foi dividido em seis regiões, conforme indicado na figura, em que $N, M$ e $P$ são pontos médios dos lados e $R$ divide o comprimento do lado na razão $1 / 3$. Em cada região será plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa, margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e bromélia, cujos preços, por $\mathrm{m}^{2}$, estão indicados na tabela. Quais são as possíveis escolhas das flores em cada região, de modo a se gastar o mínimo possível? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-029.jpg?height=365&width=491&top_left_y=1345&top_left_x=403) + +| Tipo | Preço por $\mathrm{m}^{2}$ | +| :--- | :---: | +| rosa | 3,50 | +| margarida | 1,20 | +| cravo | 2,20 | +| bem-me-quer | 0,80 | +| violeta | 1,70 | +| bromélia | 3,00 | + +193. O algarismo 3 - Luis escreveu a sequência dos números naturais, ou seja, + +$$ +1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \ldots +$$ + +Quando ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\mathrm{a}}$ vez? + +194. Soma de potências - Será o número $3^{444}+4^{333}$ divisível por 5 ? +195. Telefonemas - João mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade, ele telefona para seus pais a cada três dias. O primeiro telefonema foi feito num domingo, o segundo telefonema na quarta feira seguinte, o terceiro telefonema no sábado, e assim por diante. Em qual dia da semana João telefonou para seus pais pela centésima vez? +196. O maior produto - Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal $\times$ de $\times 12$ multiplicação, Clara forma o produto de dois números, com o sinal $\times$ entre eles. Como Clara deve colocar os cartões para obter o maior produto possível? + +$\begin{array}{lll}3 & 4 & 5\end{array}$ + +197. O caminho da Joaninha - Dona Joaninha quer atravessar um pátio ladrilhado com azulejos quadrados numerados, como mostra a figura dada. Ela vai partir do ponto $\mathrm{P}$ e quer chegar ao ponto $\mathrm{C}$, andando somente ao longo dos lados dos azulejos. Dona Joaninha não quer ter números primos imediatamente à sua direita ao longo de todo o percurso. Qual é o menor percurso que + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-030.jpg?height=340&width=486&top_left_y=298&top_left_x=1342) +ela pode fazer? + +198. O lugar dos amigos - Sete amigos traçaram um triângulo, um quadrado e um círculo. Cada um marcou seu lugar com um número e pronunciou uma frase. + +Ana: "Eu não falo coisa alguma." + +Bento: "Eu estou dentro de uma única figura." + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-030.jpg?height=206&width=209&top_left_y=731&top_left_x=1620) + +Celina: "Eu estou dentro das três figuras." + +Diana: "Eu estou dentro do triângulo mas não do quadrado." + +Elisa: "Eu estou dentro do triângulo e do círculo." + +Fábio: "Eu não estou dentro de um polígono." + +Guilherme: "Eu estou dentro do círculo." + +Encontre o lugar de cada um. + +199. Quadrado perfeito? - Cada um dos cinco números abaixo tem cem algarismos e é formado pela repetição de um ou dois algarismos, como segue. + +$$ +\begin{aligned} +& N_{1}=333333 \ldots 3 \\ +& N_{2}=666666 \ldots 6 \\ +& N_{3}=151515 \ldots 15 \\ +& N_{4}=212121 \ldots 21 \\ +& N_{5}=272727 \ldots 27 +\end{aligned} +$$ + +Algum desses números é um quadrado perfeito? + +200. Preenchendo quadradinhos - Complete os quadradinhos com os números 1, 2, 3, 5 e 6 . + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square \div \square=4 +$$ + +201. Os três números - Sofia brinca de escrever todos os números de quatro algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 1, 2, 4 e 7 . Ela soma três desses números - todos diferentes - e obtém 13983. Quais são esses três números? +202. Preencher uma tabela - Jandira deve terminar de preencher uma tabela $4 \times 4$ que já tem duas casas preenchidas com os números 1 e 2 , conforme indicado na figura. Duas casas são consideradas vizinhas se têm um vértice ou um lado em comum. As regras que ela precisa respeitar são: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-030.jpg?height=206&width=275&top_left_y=2484&top_left_x=1553) + +- uma casa só pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas já contiver algum número; +- ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os números que já constam em suas casas vizinhas. + +Qual é o maior número que é possível escrever na tabela? + +203. Olimpiada de Pequim - Na Olimpíada de Pequim sentaram-se a uma mesa quadrada, conforme indicado a seguir, as mulheres Maria e Tânia e os homens Juan e David. Todos são atletas e cada um deles pratica um esporte diferente: natação, vôlei, ginástica e atletismo. + +(a) Quem pratica a natação estava à esquerda de Maria. + +(b) Quem pratica ginástica estava em frente a Juan. + +(c) Tânia e David sentaram-se lado a lado. + +(d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei. + +Qual dos atletas pratica atletismo? + +204. Culturas diferentes - Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglês Ralph, que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas línguas, mas têm um problema com as datas pois, no Brasil, a data 08/10 significa 08 de outubro e, na Inglaterra, 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram não se escrever nos dias em que a data for ambígua. Eles preferem datas como $25 / 03$, que só pode significar 25 de março. + +(a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph não podem se escrever? +(i) 3 de dezembro +(ii) 18 de agosto +(iii) 5 de maio + +(b) Quando ocorrem os maiores períodos em que os dois amigos não podem se escrever? + +205. Uma liquidação - Na liquidação da loja SUPER-SUPER todos os produtos estão $50 \%$ mais baratos e, aos sábados, existe ainda um desconto adicional de 20\%. Carla comprou uma calça antes da liquidação, e agora ela se lamenta: No sábado eu teria economizado $R \$ 50,40$ na calça. Qual era o preço da calça antes da liquidação? +206. Número com muitos zeros - Se a representa o número $0, \underbrace{000 \ldots 000}_{2009 \text { zeros }} 1$, então qual das expressões a seguir representa o maior número? +(a) $3+a$ +(b) $3-a$ +(c) $3 a$ +(d) $3 / a$ +(e) $a / 3$ +207. Corrida das tartarugas - Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situação foi a seguinte: Sininha estava $10 \mathrm{~m}$ atrás de Olguinha e $25 \mathrm{~m}$ à frente de Rosinha, que estava $5 \mathrm{~m}$ atrás de Elzinha, que estava $25 \mathrm{~m}$ atrás de Pulinha. Qual foi a ordem de chegada? +208. Que memória... - Esquecinaldo tem péssima memória para guardar números, mas ótima para lembrar sequências de operações. Por isso, para lembrar do seu código bancário de cinco algarismos, ele consegue se lembrar que o código não tem algarismos repetidos, nenhum dos algarismos é zero, os dois primeiros algarismos formam uma potência de 5 , os dois últimos formam uma potência de 2 , o do meio é um múltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos é um número ímpar. Agora ele não precisa mais decorar o número, porque ele sabe que seu código é o maior número que satisfaz essas condições. Qual é esse código? +209. Uma fração irredutivel - Encontre uma fração irredutível tal que o produto de seu numerador pelo denominador seja $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 10$. Quantas dessas frações irredutíveis existem? +210. Transformar em decimal - Escreva o resultado das seguintes expressões na forma decimal. +(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}$ +(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)$ +(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}$ +211. Uma sequência especial - Escrevendo sucessivamente os números naturais, obtemos a sequência + +$$ +12345678910111213141516171819202122 \ldots +$$ + +Qual é o algarismo que está na $2009^{a}$ posição dessa sequência? + +212. Cortar um retângulo - Como podemos cortar um retângulo de 13 por $7 \mathrm{~cm}$ em treze retângulos diferentes sem deixar sobras? +213. Medida de ângulo - Na figura dada, $A \widehat{O} D$ e $B \widehat{O} Y$ são ângulos retos e a medida de $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$. Além disso, os pontos $C$ e $Y$ estão sobre a reta $r$, enquanto $D$ e $E$ estão sobre a reta $s$. O possível valor para a medida de $A \widehat{O} C$ está entre + +(a) $30^{\circ}$ e $40^{\circ}$; + +(b) $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$; + +(c) $50^{\circ}$ e $60^{\circ}$; + +(d) $40^{\circ}$ e $60^{\circ}$ ou + +(e) não pode ser determinado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-032.jpg?height=323&width=403&top_left_y=1877&top_left_x=1432) + +214. Perímetros e áreas - Um quadrado tem $\sqrt{3}+3 \mathrm{~cm}$ de lado e as dimensões de um retângulo, em centímetros, são $\sqrt{2}$ e $\sqrt{72}+3 \sqrt{6}$. Qual dos dois tem maior área? E maior perímetro? +215. Cálculo de ângulo - Encontre a medida do ângulo $B \widehat{A} D$, sabendo que $D \widehat{A} C=39^{\circ}, A B=A C$ e $A D=B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-032.jpg?height=240&width=463&top_left_y=2441&top_left_x=1365) + +216. O caminho da formiga - Uma formiga sai de um ponto $A$, anda $7 \mathrm{~cm}$ para a esquerda, $5 \mathrm{~cm}$ para cima, $3 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $9 \mathrm{~cm}$ para a direita, $2 \mathrm{~cm}$ para baixo, $1 \mathrm{~cm}$ para a esquerda e $1 \mathrm{~cm}$ para baixo, chegando no ponto $B$. Qual é a distância, em cm, entre $A$ e $B$ ? +(a) 0 +(b) 1 +(c) 4 +(d) 5 +(e) 7 +217. Menino mentiroso - Joãozinho sempre mente nas terças-feiras, quintas-feiras e sábados e, no restante dos dias da semana, sempre fala a verdade. Um dia, Pedrinho encontra Joãozinho e ocorre o diálogo seguinte. + +- Pedrinho pergunta: Que dia é hoje? +- Joãozinho responde: Sábado. +- Pedrinho pergunta: E que dia será amanhã? +- Joãozinho responde: Quarta-feira. + +Em que dia da semana Pedrinho encontrou Joãozinho? + +218. Encontre quatro números - Observe que os números 1, 2, 3 e 6 têm uma propriedade notável: a soma de três quaisquer deles é divisível pelo quarto número. Encontre quatro números distintos de três algarismos com essa mesma propriedade notável. +219. Colando seis triângulos - Construa uma figura com seis triângulos equiláteros adjacentes, o primeiro com lado de comprimento $1 \mathrm{~cm}$ e os triângulos seguintes com lado igual à metade do lado do triângulo anterior, como indicado na figura dada. Qual é o perímetro dessa figura? +220. Os livros da Elisa - Elisa tem 24 livros de ciências e outros de matemática e literatura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matemática, então um nono de seus livros seria de matemática e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos do que 100 livros, quantos livros de matemática ela possui? +221. Substituindo pela soma - Começando com número natural, Márcio substitui esse número pela soma de seus algarismos, obtendo um novo número, com o qual ele repete o processo, até chegar, finalmente, num número de apenas um algarismo. Por exemplo, Márcio substitui 1784102 por 23 e, em seguida, por 8 . Ele também aplica esse processo a listas de $N$ números naturais, substituindo cada número da lista pela soma de seus algarismos, obtendo, assim, uma nova lista de $N$ números, com a qual ele repete o processo, até chegar numa lista final de $N$ números, cada um de apenas um algarismo. + +(a) Começando com $3^{2009}$, qual é o número final de apenas um algarismo? + +(b) Começando com $17^{2009}$, qual é o número final de apenas um algarismo? + +(c) Começando com a lista dos primeiros 20092009 números naturais, a lista final tem mais algarismos 4 ou 5 ? Quantos 9 tem a lista final? + +222. Uma brincadeira em sala de aula - A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira: escrevendo um número inteiro positivo no quadro, acrescente três unidades ao número se ele for ímpar e divida o número por dois se ele for par. Essa operação pode ser feita diversas vezes. A professora está interessada em obter, ao final, o número 1 e perguntou para a classe: Como obter o número 1 após três operações? E após quatro operações? E após cinco operações? +223. Calcule a idade - Laura e sua avó Ana acabaram de descobrir que, no ano passado, suas idades eram divisíveis por 8 e que, no próximo ano, serão divisíveis por 7 . Vovó Ana ainda não é centenária. Qual é a idade de Laura? +224. Divisões e restos - O dobro de um número dividido por 5 deixa resto 1. Qual é o resto da divisão desse número por 5 ? +225. Preenchendo o círculo - Cada um dos sinais $\square, \boxplus, \boxtimes, \boxminus \mathrm{e} \boxminus$ representa um número de um algarismo. Descubra quais são esses números e complete o número que falta no círculo em branco. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-034.jpg?height=122&width=948&top_left_y=1184&top_left_x=585) + +## Soluções do Nível 1 + +1. Qual é o número? - A opção correta é (d). + +Como $96 \div 8=12$, temos $8 \times 12=96$. Observe que a solução é equivalente a resolver a equação $8 x=96$, cuja raiz é $x=\frac{96}{8}=12$. + +2. Muro em 15 dias - A opção correta é (c). + +Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará $15 \times 8=120$ metros. + +3. Medindo pilhas de papel - A opção correta é (e). + +Como a espessura de cada folha é $0,1 \mathrm{~mm}$, a altura de um pacote com 500 folhas é $500 \times 0,1 \mathrm{~mm}=50 \mathrm{~mm}$. Logo, a altura de cada pilha será de $60 \times 50 \mathrm{~mm}=3000 \mathrm{~mm}$ $=3 \mathrm{~m}$, aproximadamente, a altura de uma sala de aula. + +4. Quanto pesa? - A opção correta é (b). + +Solução 1: Retirando-se dois saquinhos e quatro bolas de cada prato, a balança continua equilibrada e restam três saquinhos no prato à esquerda e seis bolas no prato da direita. Logo, o peso de três saquinhos é igual ao peso de seis bolas. Daí concluímos que o peso de um saquinho é igual ao peso de duas bolas. + +Solução 2: Denotando o peso de um saquinho por $x$ e o peso de uma bola por $y$, o equilíbrio da balança fornece a equação $5 x+4 y=2 x+10 y$, da qual decorre que $3 x=5 x-2 x=10 y-4 y=6 y$, ou seja, $x=2 y$. + +5. Calcule a diferença - A opção correta é (e). + +Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de três algarismos pares diferentes e o menor número de três algarismos ímpares diferentes. O maior número de três algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de três algarismos ímpares diferentes é 135. A diferença entre eles é $864-135=729$. + +6. Qual é o volume? - A opção correta é (b). + +As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos correspondem, aproximadamente, a mais do que da metade no frasco A, o que elimina as opções (a) e (e), à metade no frasco $\mathrm{B}$ e a menos da metade no frasco $\mathrm{C}$, o que elimina (c) e (d). O único grupo de frações que corresponde a essas estimativas é $2 / 3$ (mais do que a metade), $1 / 2$ (metade) e $1 / 4$ (menos do que a metade). + +7. Descontos e descontos - A opção correta é (b). + +Solução 1: A pessoa irá pagar 120 reais menos o desconto, que é de $30 \%$ sobre 120 , ou seja, de $0,3 \times 120=36$ reais. Assim, a pessoa paga $120-36=84$ reais. + +Solução 2: Como o desconto é de 30\%, a pessoa pagará é $70 \%$ de 120, ou seja, $0,7 \times 120=84$ reais. + +8. O carro de Maria - A opção correta é (a). + +Solução 1: Se num percurso de $25 \mathrm{~km}$ ela gasta 3 litros, então para percorrer 100 km Maria gastará $4 \times 3=12$ litros. Logo, para percorrer $600 \mathrm{~km}$, o carro gastará $6 \times 12=72$ litros. Como cada litro custa 0,75 reais, 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais. + +Solução 2: Podemos usar a regra de três para calcular quantos litros serão gastos em $600 \mathrm{~km}$. Temos: + +| 3 litros | | +| :--- | :--- | +| $x$ litros | $25 \mathrm{~km}$ | +| | $600 \mathrm{~km}$. | + +Como essa regra de três é direta, resulta $25 x=3 \times 600$ e, portanto, + +$$ +x=3 \times \frac{600}{25}=72 \text { litros. } +$$ + +Como cada litro custa 0,75 reais, 72 litros custarão $0,75 \times 72=54$ reais. + +9. Calculando distâncias - A opção correta é (a). + +Solução 1: Pelo enunciado, temos $A C=50, B D=45$ e $A D=80$. Da figura segue que + +$$ +C D=A D-A C=80-50=30 +$$ + +Logo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-036.jpg?height=262&width=503&top_left_y=1274&top_left_x=1379) + +$$ +B C=B D-C D=45-30=15 \mathrm{~km} +$$ + +Solução 2: Pela figura, temos que $45-B C=80-50$. $\log$, $B C=15 \mathrm{~km}$. + +10. Pesando caixas - A opção correta é (e). + +$\mathrm{Na}$ figura podemos ver uma coluna com três caixas, quatro colunas com duas caixas e três colunas com uma caixa. Logo, o total de caixas é + +$$ +1 \times 3+4 \times 2+3 \times 1=14 +$$ + +Como cada caixa pesa $25 \mathrm{~kg}$, o peso do monte de caixas é $14 \times 25=350 \mathrm{~kg}$. + +11. Consumo de água - A opção correta é (c). + +Lembre que a média aritmética de $n$ números é um enésimo da soma desses números. Por exemplo, a média aritmética dos números $3,6,8$ e 26 é + +$$ +\frac{3+6+8+26}{4}=\frac{43}{4}=10,75 +$$ + +Analogamente, o consumo mensal médio é a soma dos consumos mensais dividida pelo número de meses. Logo, o consumo mensal médio é igual a + +$$ +\frac{12,5+13,8+13,7+11,4+12,1}{5}=12,7 \mathrm{~m}^{3} +$$ + +12. Folheando um livro - A opção correta é (c). + +Entre 1 e 100, o algarismo 5 aparece nos números $5,15,25,35,45,50,51,52,53$, $54,55,56,57,58,59,65,75,85$ e 95 . A primeira folha contém as páginas 1 e 2 , a segunda folha as páginas 3 e 4 , a terceira folha as páginas 5 e 6 , e assim sucessivamente. Logo, as duas páginas que compõem cada folha têm a seguinte numeração: um número ímpar e o número par seguinte. Assim, estão numa mesma folha as duplas de números 49,$50 ; 51,52 ; 53,54 ; 55,56 ; 57,58 ; 59,60$ e nesse grupo temos seis folhas. Por outro lado, de 1 a 48, temos cinco folhas com as páginas $5,15,25,35$ e 45 e, de 61 a 100, temos quatro folhas com as páginas $65,75,85$ e 95 . Concluímos que o total de folhas com o algarismo 5 em sua numeração é $6+5+4=15$. + +13. Calculando a soma - A opção correta é (c). + +A partir de qualquer círculo, obtemos inicialmente a sequência $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Subtraindo uma unidade dos ímpares e somando uma unidade aos pares, a sequência torna-se $1,0,3,2,5,4,7,6,9,8$. Agora é fácil verificar que a maior soma possível com três números consecutivos é $8+9+6=23$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-037.jpg?height=398&width=1122&top_left_y=1154&top_left_x=500) + +14. Desenhando o cubo - A opção correta é (b). + +Vemos que o cubo (a) é igual ao cubo (e) e o cubo (c) é igual ao cubo (d). Como não podemos trocar a estrela com o círculo cheio mantendo o círculo oco no topo, vemos que a alternativa correta é (b). + +15. Círculos concêntricos - A opção correta é (c). + +Observe que a figura é simétrica em relação à reta $r$ que passa pelo centro comum das circunferências. Para cada região cinza de um lado de $r$ existe uma região branca equivalente do outro lado de $r$, e vice-versa. Logo, a área da região cinza é igual à área branca. Portanto, a área da região cinza é igual à metade da área do círculo maior. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-037.jpg?height=400&width=329&top_left_y=1959&top_left_x=1503) + +16. Brincando com engrenagens - A opção correta é (a). + +A engrenagem desta questão é formada por dois discos dentados. Quando um deles gira no sentido horário, o outro gira no sentido anti-horário. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-037.jpg?height=280&width=466&top_left_y=2447&top_left_x=1366) + +As cinco opções da resposta mostram a bandeira do disco à esquerda, numa posição que corresponde a uma rotação desse disco no sentido anti-horário por um certo ângulo. Nesse caso, a engrenagem direita girou por esse mesmo ângulo no sentido horário, levando a bandeirinha para a posição indicada na primeira alternativa. + +17. Troca de garrafas - A opção correta é (d). + +Como $43=10 \times 4+3$, numa primeira vez as 43 garrafas vazias podem ser trocadas por 10 garrafas cheias, sobrando ainda 3 vazias. Agora, consumindo o leite dessas 10 garrafas, ficamos com 13 vazias, que desta vez podem ser trocadas por 3 cheias, sobrando 1 vazia. Finalmente, consumindo o leite das 3 garrafas cheias, sobram 4 vazias, que podem ser trocadas por 1 cheia. Portanto, o total de garrafas cheias de leite que podem ser obtidas nesse processo é $10+3+1=14$. + +18. Retângulo e quadrados - A opção correta é (c). + +Solução 1: Como os quadrados menores têm $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, cada um deles tem lado igual a $1 \mathrm{~m}$. Pela figura, concluímos que $B C=2 \mathrm{~m}$. Como $A B C D$ é um quadrado, segue que $B C=C D=A D=2 \mathrm{~m}$. Sendo $C D E F$ também um quadrado, temos + +$D E=2 \mathrm{~m}$. Pela figura, temos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-038.jpg?height=369&width=554&top_left_y=992&top_left_x=1325) + +$$ +A H=A B+B H=2+3+5 +$$ + +$E J=A D+D E+A J$ e $A J=A H$. Segue que $E J=2+2+5=9$. Como $E G=A H=5$, as dimensões do terreno são $9 \mathrm{~m}$ de comprimento por $5 \mathrm{~m}$ de largura. Portanto, sua área é de $9 \times 5=45 \mathrm{~m}^{2}$. + +Solução 2: Quadriculando o retângulo maior com quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, obtemos o retângulo $B F G H$ formado por 12 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área, os dois quadrados $A B C D$ e $D C F E$ formados por quatro quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área e o quadrado $A H I J$ formado por 25 quadrados de $1 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Portanto, a área pedida + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-038.jpg?height=314&width=534&top_left_y=1759&top_left_x=1338) +é de $12+4+4+25=45 \mathrm{~m}^{2}$. + +19. Quantas fatias de bolo? - A opção correta é (e). + +Temos um total de $8 \times 3=24$ fatias de bolo que foram comidas. Como todos comeram bolo, inicialmente cada um dos nove amigos comeu uma fatia, sobrando, ainda, $24-9=$ 15 fatias para serem comidas por nove pessoas. Se todos os nove amigos tivessem comido menos do que duas dessas 15 fatias, poderíamos escrever o número 15 como uma soma de nove parcelas, cada uma delas sendo 0 (os que não comeram alguma das 15 fatias) ou 1 (os que comeram uma das 15 fatias), o que claramente não é possível. Logo, obrigatoriamente alguém comeu pelo menos duas dessas 15 fatias. Como todos já haviam comido, inicialmente, uma fatia, concluímos que alguém comeu 3 fatias, no mínimo. + +20. Mosaicos quadrados - A opção correta é (a). + +No primeiro mosaico, temos $3+3+1+1=8$ azulejos pretos, no segundo, temos $4+4+2+2=12$, no terceiro, temos $5+5+3+3=16$ e não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos, pois a cada novo mosaico são usados mais quatro azulejos pretos, um em cada lado. Como $8+12+16+20+24=80$, é possível construir exatamente cinco mosaicos. Finalmente, o número total de azulejos brancos nesta sequência de cinco mosaicos é + +$$ +1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-039.jpg?height=226&width=892&top_left_y=815&top_left_x=614) + +21. Quanto custa? - Comprando três cadernos por 6 reais cada um, ainda sobram 4 reais para Ester, de modo que a quantia que ela possui é $3 \times 6+4=22$ reais. + +(a) Se o irmão lhe empresta 4 reais, ela fica então com $22+4=26$ reais e pode comprar 2 cadernos a 6 reais cada um, sobrando $26-2 \times 6=26-12=14$ reais para 7 canetas. Concluímos que o preço de cada caneta é $14 \div 7=2$ reais. + +(b) Como Ester possui 22 reais, se ela comprar 2 cadernos, sobram-lhe $22-2 \times 6=22-12=10$ reais. Como cada caneta custa 2 reais, ela poderá comprar $10 \div 2=5$ canetas. + +22. Encontre o número - O número 24 deve ser escrito como uma soma de três algarismos. Inicialmente, note que os algarismos $0,1,2,3,4$ e 5 não podem ser usados. Realmente, se um deles fosse usado, por exemplo o algarismo 5, então teríamos que encontrar dois algarismos cuja soma fosse 19 , pois $24-5=19$; mas, sabemos que isso não é possível. O mesmo ocorre com os algarismos $0,1,2,3$ e 4 . Logo, o número da casa de Júlia só pode ser composto pelos algarismos $6,7,8$ e 9 . + +(a) Se os três algarismos são iguais, então o número da casa de Júlia é 888. + +(b) Se apenas dois desses algarismos são iguais, esses dois algarismos devem ser iguais a 9 e o terceiro deve ser 6 , obtendo os números 699, 969 e 996. De fato, com dois algarismos 8 , recaímos no caso anterior e, com dois 6 ou dois 7, a soma dá, no máximo 14, restando, no mínimo, 10 para o terceiro, o que não é possível. + +(c) Se os três algarismos são distintos, então esses algarismos são 7,8 e 9 . De fato, se ocorrer um 6 , a soma dos outros dois deve ser $24-6=18$, portanto precisamos de dois 9 e recaímos no caso anterior. Assim, restam apenas as alternativas seguintes: $789,798,879,897,978$ e 987. + +## 23. Campeonato de futebol + +(a) A equipe $A$ disputa com as cinco equipes $B, C, D, E$ e $F$; a equipe $B$, além da partida contra $A$, já computada, ainda disputa quatro partidas com as equipes +$C, D, E$ e $F$; a equipe $C$, ainda disputa com as equipes $D, E$ e $F$; a equipe $D$ ainda disputa com as equipes $E$ e $F$ e a equipe $E$ ainda disputa com a equipe $F$. No total, temos $5+4+3+2+1=15$ partidas disputadas. + +Outra maneira de contar: Podemos formar grupos de duas letras e contar, lembrando que $A B$ e $B A$, por exemplo, são a mesma partida: $A B, A C, A D, A E$, $A F, B C, B D, B E, B F, C D, C E, C F, D E, D F$ e $E F$ dá 15 partidas. + +Outra maneira de contar: Cada uma das seis equipes disputou, com cada uma das outras cinco, exatamente uma partida. Portanto, foram disputadas um total de $\frac{1}{2}(6 \times 5)=15$ partidas. + +(b) Cada equipe disputou cinco partidas, portanto, a soma do número de vitórias, empates e derrotas de cada equipe, é igual a cinco. Assim, temos $x+1+0=5$, portanto, $x=4$, e temos $1+1+y=5$, portanto, $y=3$. + +Outra maneira de calcular $x$ e $y$ : Sabemos o número total de empates (que sempre envolvem duas equipes), dado por $1+1+3+1+1+1=8$. Portanto, o número de vitórias (ou derrotas), é igual número de partidas, 15, menos a metade do número de empates, 4, ou seja, o número total de vitórias (ou de derrotas) é $15-4=11$. Assim, $4+2+1+x=11$, portanto, $x=4$, e $2+2+y+4=11$, portanto, $y=3$. Finalmente, o número total de gols marcados no campeonato é igual ao número total de gols sofridos, que é $2+6+6+6+5+3=28$. Assim, + +$$ +28=6+6+2+3+1+z +$$ + +ou seja, $z=10$. + +Resumindo, o número $x$ de vitórias da equipe $F$ é 4 , o número $y$ de derrotas da equipe $D$ é 3 e o número $z$ de gols marcados pela equipe $F$ é 10 . + +## 24. Dividindo o paralelepípedo + +(a) Em centímetros, as dimensões do bloco maior são $320 \times 60 \times 75$ e as dos blocos menores são $80 \times 30 \times 15$. Logo, o comprimento foi dividido por $4=320 \div 80$, a largura foi dividida por $2=60 \div 30$ e a altura foi dividida por $5=75 \div 15$. Portanto, teremos um total de $4 \times 2 \times 5$ peças, conforme a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-040.jpg?height=499&width=511&top_left_y=1875&top_left_x=904) + +(b) O volume de um bloco é dado por comprimento $\times$ largura $\times$ altura. Logo, o volume de cada um dos blocos menores é $80 \times 30 \times 15=36000 \mathrm{~cm}^{3}$. Como o peso é dado em metros cúbicos, devemos reduzir o volume de cada bloco para metros cúbicos. Para isso, deslocamos a vírgula seis casas para a esquerda, obtendo $36000 \mathrm{~cm}^{3}=0,036 \mathrm{~m}^{3}$. Como $1 \mathrm{~m}^{3}$ pesa $900 \mathrm{~kg}$, então cada bloco menor de 0,036 $\mathrm{m}^{3}$ pesará $0,036 \times 900=32,4 \mathrm{~kg}$. + +25. Uma calculadora - A partir do número 1 no visor devemos aplicar sucessivamente as operações das teclas A e B para obter o número desejado. Observe que, para obter o número 2 a partir do número 1, podemos apertar tanto a tecla $\mathrm{A}$ quanto a $\mathrm{B}$, portanto, em cada uma das respostas dadas, podemos trocar cada $1 \xrightarrow{\text { A }} 2$ por $1 \xrightarrow{\text { B }} 2$. + +(a) $1 \xrightarrow{\mathrm{A}} 2 \xrightarrow{\mathrm{A}} 4 \xrightarrow{\mathrm{B}} 5 \xrightarrow{\mathrm{A}} 10$. + +(b) $1 \xrightarrow{\mathrm{A}} 2 \xrightarrow{\mathrm{B}} 3 \xrightarrow{\mathrm{A}} 6 \xrightarrow{\mathrm{B}} 7 \xrightarrow{\mathrm{A}} 14 \xrightarrow{\mathrm{B}} 15$. + +(c) $1 \xrightarrow{\mathrm{A}} 2 \xrightarrow{\mathrm{B}} 3 \xrightarrow{\mathrm{A}} 6 \xrightarrow{\mathrm{A}} 12 \xrightarrow{\mathrm{A}} 24 \xrightarrow{\mathrm{B}} 25 \xrightarrow{\mathrm{A}} 50 \xrightarrow{\mathrm{A}} 100$. + +## 26. Ano bissexto + +(a) Uma semana tem sete dias. Na divisão de 365 por 7 encontramos quociente 52 e resto 1. Logo, o ano comum tem 52 semanas e 1 dia. Portanto, a frase correta é "O ano comum tem sete semanas e um dia." Como o ano bissexto tem 366 dias, ele possui 52 semanas e 2 dias. Portanto, o correto é dizer "O ano bissexto tem sete semanas e dois dias." + +(b) Se um ano comum inicia numa terça-feira, então a sua $52^{\underline{a}}$ semana inicia numa terça e termina numa segunda, ou seja, a $52^{\mathrm{a}}$ semana é dada por terça - quarta quinta - sexta - sábado - domingo - segunda. Como esse ano tem 52 semanas e mais 1 dia, o último dia deste ano será uma terça. Logo, o ano seguinte iniciará numa quarta. + +(c) No caso do ano bissexto, devemos considerar um dia a mais do que no item anterior. Logo, o seu último dia será uma quarta e, portanto, o ano seguinte iniciará numa quinta-feira. + +27. Números triangulares - Notamos que o segundo número triangular é obtido a partir do primeiro acrescentando-se 2, o terceiro é obtido do segundo acrescentando-se 3 e assim por diante. Essa observação nos mostra como calcular os próximos números triangulares sem fazer muitas contas. Por exemplo, já sabemos que o quarto número triangular é 10 , donde o quinto será $10+5=15$ e o sexto sendo, então, $15+6=21$. Assim, podemos escrever os números triangulares até passar de 100. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-041.jpg?height=240&width=1034&top_left_y=1950&top_left_x=545) + +Logo, os números triangulares menores do que 100, são $1,3,6,10,15,21,28,36,45$, 55, 66, 78 e 91. Assim, temos 13 números triangulares menores do que 100. + +28. Livros separados - Denotando por $n$ o número de livros que a bibliotecária vai colocar em cada estante, temos $130 \div n=$ número de estantes para os livros de Matemática e $195 \div n=$ número de estantes para os livros de Português. Isso mostra que $n$ deve ser um divisor comum de 130 e de 195, pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemos que, quando aumentamos o denominador de uma fração, esta fração diminui; por exemplo, 27/10 é menor do que 27/8. Logo, quanto maior for o denominador $n$, menores serão as frações $130 / n$ e 195/n, o que significa que menor será o número de +estantes utilizadas. Vemos, assim, que $n$ deve ser o maior divisor comum (MDC) de 130 e 195. Como as decomposições desses números em fatores primos são $130=2 \times 5 \times 13$ e $195=3 \times 5 \times 13$, segue que o MDC de 130 e 195 é $5 \times 13=65$. + +Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante, o número de estantes para os livros de Matemática é $130 \div 65=2$ e o número de estantes para os de Português é $195 \div 65=3$, o que dá um total de $2+3=5$ estantes. + +29. Alunos com óculos - Nosso problema aqui é encontrar o número de alunos da classe. Como $1 / 6$ dos alunos usam óculos e, desses, $1 / 3$ são meninas, temos que $\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{18}$ dos alunos são meninas que usam óculos. Como + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-042.jpg?height=117&width=1442&top_left_y=861&top_left_x=387) + +e $\frac{1}{6}-\frac{1}{18}=\frac{3}{18}-\frac{1}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$, concluímos que $\frac{1}{9}$ da classe consiste de meninos que usam óculos, que são em número de 4 . Portanto, $\frac{1}{9}$ da classe corresponde a 4 alunos $\frac{9}{9}$ da classe corresponde a $4 \times 9=36$ alunos + +Assim, o número de alunos na classe é 36 . + +30. Quadrado mágico - Para facilitar nossas contas, é conveniente reduzir todas as frações que aparecem na tabela a um mesmo denominador. Como $0,4=4 / 10$ e $0,5=5 / 10$, podemos reescrever a tabela como segue, em que indicamos com as letras $a, b, c, d$ e $e$ os números que devem ser calculados. + +| $a$ | $c$ | $6 / 10$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $b$ | $5 / 10$ | $d$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $e$ | + +Olhando para a diagonal ascendente, vemos que a soma dos elementos dessa diagonal é $4 / 10+5 / 10+6 / 10=15 / 10$. Como a soma dos elementos da terceira linha deve ser igual a essa soma dos elementos da diagonal, obtemos $4 / 10+5 / 10+e=15 / 10$, donde $e=6 / 10$. Também obtemos, na segunda coluna, $5 / 10+5 / 10+c=15 / 10$, donde $c=5 / 10$. Colocando esses valores de $c$ e $e$ na tabela, obtemos + +| $a$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $b$ | $5 / 10$ | $d$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | + +Agora, a primeira linha fornece $a+5 / 10+6 / 10=15 / 10$, donde $a=4 / 10$. Da terceira coluna, obtemos $6 / 10+d+6 / 10=15 / 10$, donde $d=3 / 10$; do mesmo modo, obtemos $b=7 / 10$ e a tabela está completa. + +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $7 / 10$ | $5 / 10$ | $3 / 10$ | +| $4 / 10$ | $5 / 10$ | $6 / 10$ | + +31. Três algarismos - A partir da igualdade $(A B)^{2}=C A B$ e denotando o número de dois algarismos $A B$ por $x$, temos $x^{2}=(A B)^{2}=C A B=C \cdot 100+x$, ou seja, $x^{2}-x=C \cdot 100$. Portanto, o produto $x(x-1)=x^{2}-x$ é divisível por 100. Levando em conta a fatoração $100=2^{2} \cdot 5^{2}$, dividimos a resolução em três casos, conforme a maior potência de 5 que divide $x$. + +1o Caso: $5^{2}$ divide $x$. + +Como $x$ é um número de dois algarismos, os possíveis valores de $x$ são 25,50 e 75 . Construímos uma tabela. + +| $x$ | $x-1$ | $x \cdot(x-1)$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 25 | 24 | 600 | +| 50 | 49 | 2450 | +| 75 | 74 | 5550 | + +Portanto, o número $x \cdot(x-1)$ é um múltiplo de 100 somente se $x=25$. Como $25^{2}=625$, nesse caso temos $C=6$. + +2 Caso: 5 divide $x$, mas $5^{2}$ não divide $x$. + +Então, necessariamente, 5 divide $x-1$, pois 5 divide $x \cdot(x-1)$. Mas isso é uma impossibilidade, porque 5 não pode dividir os dois números consecutivos $x-1$ e $x$ (lembre que os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 ). Logo, esse caso está excluído. + +3o Caso: 5 não divide $x$. + +Então $5^{2}$ divide $x-1$. Como no Caso 1 , temos $x-1=25,50$ ou 75 e os possíveis valores de $x$ são 26, 51 e 76. Construímos uma tabela. + +| $x$ | $x-1$ | $x \cdot(x-1)$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 26 | 25 | 650 | +| 51 | 50 | 2550 | +| 76 | 75 | 5700 | + +O produto $x \cdot(x-1)$ é um múltiplo de 100 somente se $x=76$, mas esse caso também está excluído, pois $76^{2}=5776$ tem mais do que três algarismos. + +Assim, a única possibilidade é $A=2, B=5$ e $C=6$, com soma $A+B+C=13$. + +32. Pintando quadradinhos - Para pintar a faixa conforme o modelo, o retângulo padrão (aquele que se repete por toda a faixa) é o retângulo de 5 linhas e 4 colunas mostrado na figura. Nele, temos 7 quadradinhos pintados e 13 não pintados. Precisamos saber quantos retângulos padrão cabem na faixa. A faixa tem 250 colunas e cada retângulo padrão tem 4 colunas. Da divisão de 250 por 4 temos que $250=4 \times 62+2$, e concluímos que na faixa cabem 62 retângulos padrão, sobrando ainda duas colunas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-043.jpg?height=272&width=214&top_left_y=2394&top_left_x=1618) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-044.jpg?height=371&width=825&top_left_y=257&top_left_x=701) + +Nos 62 retângulos padrão temos $62 \times 13=806$ quadradinhos não pintados. Agora falta verificar quais são os quadradinhos não pintados nas duas colunas finais. A figura mostra como são as duas colunas, de acordo com o modelo. Nessas colunas temos 6 quadradinhos não pintados. Assim, o número de quadradinhos não pintados em toda a faixa é $806+6=812$. + +33. A cisterna do João - O dia 1ํ de janeiro começa com 156 litros de água na cisterna e, a partir daí, a cisterna recebe água da chuva e perde água para regar as flores. Como no dia 8 não houve alteração na quantidade de água na cisterna, o número de litros de água na cisterna no dia 8 é + +$156+$ água de chuva do dia 1 ao dia 7 - água para regar do dia 1 ao dia 7 . + +O enunciado diz que a segunda parcela da expressão acima é a soma dos números da terceira coluna, que é $2,5+0+5+0+3+0+4,5=15$ e a terceira parcela é a soma dos números da segunda coluna da tabela, que é $6+9+0+4+9+0+11=39$. Assim, o número de litros na cisterna, à meia noite do dia 8 , é $156+15-39=132$. + +34. O múltiplo de 13 - A opção correta é (a). + +Como 119268916 é divisível por 13, já que $9174532 \times 13=119268916$, podemos concluir que os números divisíveis por 13 são aqueles obtidos somando ou subtraindo múltiplos de 13 ao número 119268916 . Dentre os números apresentados, o número + +$$ +119268916-13=119268903 +$$ + +é o único divisível por 13. + +35. Um bilhão - A opção correta é (e). + +Arnaldo disse que 1 bilhão $=1000000 \times 1000000=1000000000000=10^{12}$. $\mathrm{O}$ Professor Piraldo corrigiu-o, dizendo que 1 bilhão $=1000 \times 1000000=1000000000=$ $10^{9}$. A diferença é + +$$ +1000000000000-1000000000=999000000000 +$$ + +36. Energia de abelha - A opção correta é (b). + +A energia gasta por uma abelha para voar 7000 quilômetros é a mesma que 7000 abelhas gastam para voar 1 quilômetro cada. Como o número de litros de mel foi multiplicado por 10 , temos energia suficiente para que 10 vezes esse número de abelhas voem 1 quilômetro cada, ou seja, 70000 abelhas. + +37. Perda de safra - A opção correta é (a). + +Como um quinto de 100000 é $\frac{1}{5} 100000=20000$ e um quarto de 100000 é $\frac{1}{4} 100000=$ 25000 , concluímos que a perda da safra está avaliada entre 20000 e 25000 reais. Logo, um possível valor para a perda é de $\mathrm{R} \$ 21987,53$. + +38. Placa decorativa - A opção correta é (c). + +Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou, equivalentemente, 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área pintada em relação à área da placa é $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-045.jpg?height=339&width=193&top_left_y=680&top_left_x=1340) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-045.jpg?height=49&width=89&top_left_y=775&top_left_x=1349) + +39. O suco do Diamantino - A opção correta é (a). + +O refresco é composto por $20 \%$ de um litro, ou seja, 0,2 litros de suco e por $80 \%$ de um litro, ou seja, 0,8 litros de água. Logo, a mistura final tem 0,2 litros de suco e $3+0,8=3,8$ litros de água. A porcentagem de suco em relação ao volume da mistura é, então, + +$$ +\frac{\text { volume de suco }}{\text { volume total }}=\frac{0,2}{4}=\frac{2}{40}=\frac{5}{100}=5 \% +$$ + +40. Uma eleição - João recebeu $2 / 7$ do total de votos, Rosa recebeu $2 / 5$ do total de votos e Marcos recebeu $1-(2 / 7+2 / 5)=1-24 / 35=11 / 35$ do total de votos. O vencedor foi aquele que obteve a maior fração dos votos. Para comparar essas frações, igualamos seus denominadores, obtendo $2 / 7=10 / 35$ e $2 / 5=14 / 35$. Assim, temos + +$$ +\underbrace{\frac{2}{7}}_{\text {João }}<\underbrace{\frac{11}{35}}_{\text {Marcos }}<\underbrace{\frac{2}{5}}_{\text {Rosa }} +$$ + +e, portanto, Rosa venceu a eleição. (É interessante notar que a resposta não depende do número de alunos da turma.) + +41. Soma de potências - A opção correta é (a). + +Temos $2^{6}+2^{6}+2^{6}+2^{6}-4^{4}=4 \times 2^{6}-4^{4}$. Há várias maneiras de calcular isso. + +Solução 1: $4 \times 2^{6}-4^{4}=4 \times\left(2^{2}\right)^{3}-4^{4}=4 \times 4^{3}-4^{4}=4^{4}-4^{4}=0$. + +Solução 2: $4 \times 2^{6}-4^{4}=4\left(2^{6}-4^{3}\right)=4\left[2^{6}-\left(2^{2}\right)^{3}\right]=4\left[2^{6}-2^{6}\right]=0$. + +Solução 3: $4 \times 2^{6}-4^{4}=2^{2} \times 2^{6}-\left(2^{2}\right)^{4}=2^{8}-2^{8}=0$. + +42. Seis retângulos - A opção correta é (e). + +A partir da figura, vemos que o comprimento $a$ dos retângulos menores é o dobro da sua largura $b$, isto é, $a=2 b$. Temos, então, + +$$ +a+b=2 b+b=3 b=21 +$$ + +ou seja, $b=7 \mathrm{~cm}$ e $a=14 \mathrm{~cm}$. Portanto, o comprimento do retângulo maior é $4 b=28$ e sua área é $21 \times 28=588 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-046.jpg?height=440&width=491&top_left_y=257&top_left_x=1382) + +43. Duas populações - A opção correta é (e). + +Seja $p$ a população de Tucupira há três anos. Como essa população cresceu $50 \%$, atualmente Tucupira tem $p+50 \%$ de $p$ habitantes, ou seja, + +$$ +p+\frac{50}{100} p=p+0,5 p=1,5 p \quad \text { habitantes. } +$$ + +Como a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e há 3 anos era igual à de Tucupira, podemos concluir que a população atual de Pirajussaraí é $p$. Como a soma das populações das duas cidades, hoje, é de 9000 , obtemos $p+1,5 p=9000$, donde $p=9000 / 2,5=3600$. Assim, a soma das duas populações, há três anos, era de $3600 \times 2=7200$ habitantes. + +44. Três balanças - A opção correta é (d). + +Na primeira balança temos $3 \boldsymbol{\Lambda}+1 \bullet=6 \square$. Na segunda, temos $2 \boldsymbol{\Lambda}+4 \bullet=8 \square$, o que é equivalente a $1 \boldsymbol{\Delta}+2 \bullet=4 \boldsymbol{\bullet}$. $\operatorname{Logo},(3 \boldsymbol{\Lambda}+1 \bullet)+(1 \boldsymbol{\Delta}+2 \bullet)=6 \boldsymbol{\square}+4 \boldsymbol{\square}$, ou seja, $4 \mathbf{\Delta}+3 \bullet=10$. Assim, será necessário colocar 10 quadrados no prato direito da balança (3) para que ela fique equilibrada. + +45. Poucos domingos - A opção correta é (c). + +Um ano normal tem 365 dias e o ano bissexto 366. Da divisão de 365 por 7 , obtemos $365=52 \times 7+1$ e da divisão de 366 por 7 obtemos $366=52 \times 7+2$. Logo, + +$$ +\begin{aligned} +\text { ano normal } & =52 \text { semanas }+1 \text { dia } \\ +\text { ano bissexto } & =52 \text { semanas }+2 \text { dias } +\end{aligned} +$$ + +Portanto, um ano normal ou bissexto tem, no mínimo, 52 e, no máximo, 53 domingos (um domingo para cada uma das 52 semanas e, talvez, um outro domingo para o dia ou os dois dias que completam o ano). + +Cada um dos 12 meses do ano tem, no mínimo, 28 dias e, no máximo, 31 dias, portanto, tem, no mínimo, 4 domingos e, no máximo, 5 domingos. Levando em conta que $12 \times 4=48$, concluímos que + +i) Num ano de 52 domingos sobram ainda $52-48=4$ domingos. Cada um desses ficará num mês diferente, porque nenhum mês pode ter seis domingos; logo, temos quatro meses com 5 domingos. + +ii) Analogamente, num ano com 53 domingos restam 5 domingos, que ficarão um em cada mês diferente. Portanto, nesse caso, teremos cinco meses com 5 domingos. + +46. Metade de potência - A opção correta é (e). + +Antes de dividir a expressão por 2 , colocamos $2^{10}$ em evidência, obtendo $2^{12}+3 \times 2^{10}=2^{10}\left(2^{2}+3 \times 1\right)=2^{10} \times 7$. Assim, + +$$ +\frac{2^{12}+3 \times 2^{10}}{2}=\frac{2^{10} \times 7}{2}=2^{9} \times 7 +$$ + +47. Minutos demais - A opção correta é (d). + +Dividindo 2880717 por 60 , obtemos $2880717=48011 \times 60+57$. Isso significa que $2880717 \mathrm{~min}=48011 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min}$. Podemos, então, escrever: + +$$ +2880717 \mathrm{~min}=\underbrace{48000 \mathrm{~h}}_{2000 \text { dias }}+11 \mathrm{~h}+57 \mathrm{~min} +$$ + +Os 2000 dias não interferem no horário que estamos procurando, e como 18 horas e 27 minutos são exatamente 17 horas e 87 minutos, a resposta é $18 \mathrm{~h} 87 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 57 \mathrm{~min}=$ 6h30min. + +48. Dois ônibus - A opção correta é (b). + +O número total de alunos nos dois ônibus é $57+31=88$ e $\frac{1}{2} 88=44$. Para que cada ônibus tenha o mesmo número de alunos, $57-44=13$ alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus. + +49. Cubo de papelão - A opção correta é (e). + +Com as peças ilustradas ao lado podemos construir um cubo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-047.jpg?height=203&width=214&top_left_y=1435&top_left_x=1618) + +50. Algarismo das unidades - A opção correta é (c). + +O último algarismo de um múltiplo de 5 é 0 ou 5 ; os que terminam em 0 são pares e os que terminam em 5 são ímpares. Como $1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times 97 \times 99$ é ímpar, por ser um produto de números ímpares, e é um múltiplo de 5 , segue que seu algarismo das unidades é 5 . + +51. Região sombreada - A opção correta é (b). + +A parte sombreada consiste em 10 metades de quadrados mais 3 quadrados inteiros, o que equivale a $\frac{1}{2} 10+3=5+3=8$ quadrados inteiros. Logo, a fração que representa a parte sombreada é + +$$ +\frac{\text { área sombreada }}{\text { área total }}=\frac{\text { área de } 8 \text { quadrados }}{\text { área de } 18 \text { quadrados }}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9} +$$ + +52. Colorindo um mapa - A opção correta é (b). + +O estado A pode ser pintado de três formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado $\mathrm{B}$, temos duas possibilidades, e os demais estados têm suas cores determinadas. Logo, podemos colorir o mapa de $3 \times 2=6$ formas. + +Abaixo ilustramos duas dessas maneiras de pintar o mapa; em ambas, o estado A tem a mesma cor. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-048.jpg?height=266&width=856&top_left_y=412&top_left_x=679) + +53. Pintando um tabuleiro - A opção correta é (c). + +Para satisfazer as condições do problema, as cinco casas das diagonais, marcadas com *, devem ter cores diferentes. Por isso, precisaremos de, no mínimo, cinco cores distintas. Denotemos essas cinco cores distintas por 1, 2, 3, 4 e 5 e vamos determinar como podemos escolher as cores para as quatro casas restantes de modo a satisfazer as condições pedidas. Uma maneira é dada à direita, a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-048.jpg?height=166&width=200&top_left_y=1142&top_left_x=608) + +| 1 | | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 3 | | +| 2 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 2 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 3 | 1 | +| 2 | 4 | 5 | + +Logo, é possível pintar as quatro casas restantes sem utilizar mais cores. Assim, bastam cinco cores. A seguir, mostramos outras três maneiras de colorir as casas. + +| 2 | | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 1 | | +| 5 | | 4 |$\rightarrow$| 2 | 4 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 1 | 2 | +| 5 | 2 | 4 |$\quad$| 1 | | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 4 | | +| 3 | | 5 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| 2 | 4 | 1 | +| 3 | 2 | 5 | + + +| 1 | | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 2 | | +| 4 | | 3 |$\rightarrow$| 1 | 3 | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 2 | 4 | +| 4 | 1 | 2 | + +54. Número $X, Y-$ Temos $X, Y=X+\frac{Y}{10}=\frac{10 X+Y}{10}$ e sabemos que + +$$ +\frac{10 X+Y}{10}=X, Y=\frac{3}{10}(X+Y) +$$ + +Logo, $10 X+Y=3 X+3 Y$, ou seja, $7 X=2 Y$. Concluímos que $2 Y$ é múltiplo de 7 e, como $Y$ é um número inteiro entre 1 e 9 , só temos a possibilidade $Y=7$, donde $X=2$. Assim, o número é 2,7 . + +55. Construção de casas - Como as casas são vizinhas, podemos pensar nelas como uma fila de casas com seis posições. Vamos dividir a contagem em casos, de acordo com o número de casas de madeira que podem ser construídas. + +(a) Nenhuma casa de madeira: aqui há apenas uma maneira de construir as casas, ou seja, todas de alvenaria. +(b) Uma casa de madeira: aqui temos seis maneiras de construir as casas, pois a casa de madeira pode ser qualquer uma delas, sendo as outras de alvenaria. + +(c) Duas casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: 1 e 3,1 e 4,1 e 5,1 e 6,2 e 4,2 e 5,2 e 6,3 e 5,3 e 6 ou 4 e 6 . Aqui temos 10 maneiras. + +(d) Três casas de madeira: as casas de madeira podem ocupar as seguintes posições: 1,3 e $5 ; 1,3$ e $6 ; 1,4$ e $6 ; 2,4$ e 6 . Aqui temos quatro maneiras. + +(e) Quatro ou mais casas de madeira: impossível, pois é fácil ver que, nesse caso, sempre teremos duas casas de madeira contíguas. + +Dessa forma, há $1+6+10+4=21$ maneiras de planejar a construção. + +56. Comparação de grandezas - A opção correta é (c). + +Temos $1000+0,01=1000,01$ e $1000 \times 0,01=1000 \times \frac{1}{100}=10$, bem como + +$$ +\frac{1000}{0,01}=\frac{1000}{\frac{1}{100}}=1000 \times 100=100000 +$$ + +e $0,01 / 1000=0,00001$. Finalmente, $1000-0,01$ é menor do que 1000 (não sendo preciso efetuar o cálculo para obter esta conclusão), de modo que o maior desses números é $1000 / 0,01$. + +57. Maior número de seis algarismos - A opção correta é (c). + +Solução 1: Para que seja o maior possível, o número deve começar com o maior algarismo. Para termos seis algarismos sem mudar a ordem, o maior é 8 e, depois, 7 . Agora faltam quatro algarismos para completar o número, portanto, escolhemos 9103. Logo, o número é 879103. + +Solução 2: As opções $D$ e $E$ não servem, pois a ordem foi alterada. Como nas opções $A, B$ e $C$ não foi alterada, basta escolher o maior número dentre essas opções, que é $C$. + +58. Qual é o numerador? - A opção correta é (a). + +Como $\frac{1}{6}=\frac{4}{24}$ e $\frac{1}{4}=\frac{6}{24}$, então $n$ só pode ser igual a 5 . + +59. Correndo menos - A opção correta é (a). + +Solução 1: A distância percorrida é $d=10 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \times 6 \min =10 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \times 6 \times \frac{1}{60} \mathrm{~h}=1 \mathrm{~km}$. + +Percorrendo essa mesma distância de $1 \mathrm{~km}$ em 8 minutos, a velocidade será + +$$ +v=\frac{1 \mathrm{~km}}{8 \mathrm{~min}}=\frac{1 \mathrm{~km}}{8 \times \frac{1}{60} \mathrm{~h}}=\frac{60}{8} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{15}{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +Solução 2: Podemos usar diretamente a regra de três, como segue. + +Velocidade $\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h}$ + +10 + +$x$ +Tempo em horas + +$$ +\begin{aligned} +& \rightarrow \quad \frac{6}{60} \\ +& \rightarrow \quad \frac{8}{60} +\end{aligned} +$$ + +Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais (aumentando a velocidade, diminui o tempo), $\operatorname{logo} x / 10=\left(\frac{6}{60}\right) /\left(\frac{8}{60}\right)=6 / 8$, portanto, $x=60 / 8$, ou seja, a velocidade será + +$$ +x=\frac{60}{8} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{15}{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=7,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +60. Cinco vizinhas - "Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia" significa que Heloísa mora acima de Elza e abaixo de Cláudia e "Quando Sueli chega ao seu andar, Heloísa ainda tem 2 andares para subir, e o mesmo ocorre a Patrícia quando Elza chega ao seu andar" significa que Heloísa mora dois andares acima de Sueli e Patrícia dois andares acima de Elza. Entretanto, como Sueli não mora no primeiro andar e Heloísa mora dois andares acima de Sueli, ou Sueli mora no segundo e Heloísa no quarto ou Sueli mora no terceiro e Heló́sa no quinto. Mas Cláudia mora acima de Heloísa, portanto Heloísa não pode morar no último andar, o quinto. Assim, Sueli mora no segundo andar, Heloísa no quarto e Cláudia no quinto. Finalmente, Patrícia mora dois andares acima de Elza, logo Elza mora no primeiro andar e Patrícia no quarto andar. + +| $5^{\circ}$ andar | Cláudia | +| :---: | :---: | +| $4^{\circ}$ andar | Heloísa | +| $3^{\circ}$ andar | Patrícia | +| $2^{\circ}$ andar | Sueli | +| $1^{\circ}$ andar | Elza | + +61. Potências de 9 - A opção correta é (d). + +$$ +9^{20}+9^{20}+9^{20}=3 \times 9^{20}=3 \times\left(3^{2}\right)^{20}=3 \times 3^{40}=3^{41} +$$ + +62. Dois números - A opção correta é (c). + +Como a diferença é 989 e o menor número tem dois algarismos (sendo, portanto, maior do que 9), o número de três algarismos deve ser maior do que $989+9=998$, de modo que a única opção é 999. Assim, o número de dois algarismos é 10 e a soma dos dois é $999+10=1009$. + +63. Menor natural - A opção correta é (d). + +Observe que $10^{n}-1$ é um número que tem todos os seus algarismos iguais a 9. Note, também, que um múltiplo de 37 , da forma $37 \times n$, só termina em 9 se $n$ terminar em 7. Então, os menores múltiplos de 37 terminados em 9 são $37 \times 7=259,37 \times 17=629$ e $37 \times 27=999$. Como $999=10^{3}-1$, segue que $n=3$. + +64. Imunes à gripes - A opção correta é (a). + +Contraíram a gripe $0,15 \%$ de 14000000 , ou seja, + +$$ +\frac{0,15}{100} \times 140000000=0,0015 \times 14000000=21000 +$$ + +pessoas. Portanto, não contraíram a gripe $14000000-21000=13979000$ pessoas. + +65. O código secreto - A op̧̧ão correta é (b). + +O código só pode ser formado com os algarismos $1,2,3,4,5,6,7$, 8, e 9 . + +Da primeira informação temos que 1, 2 e 3 não fazem parte do código (números que não fazem parte estão sublinhados nas tabelas). Da terceira informação, concluímos que 6 faz parte do código, e sua posição é - 6 - ${ }_{---}$ou ou 6. + +Da segunda informação segue que 4 e 5 não fazem parte do código e a posição do 6 no código é $\qquad$ 6. Da última informação só temos que o código é da forma 8 6. Com a quarta informação completamos o código: 876 . $\qquad$ + +| $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | $\underline{3}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | 5 | $\mathbf{6}$ | +| $\mathbf{6}$ | $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | +| 5 | 4 | 7 | +| 8 | 4 | $\underline{3}$ | + + +| $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | $\underline{3}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $\underline{4}$ | $\underline{5}$ | 6 | +| 6 | $\underline{1}$ | $\underline{2}$ | +| $\underline{5}$ | $\underline{4}$ | 7 | +| 8 | $\underline{4}$ | $\underline{3}$ | + +66. Parênteses, colchetes e chaves - A opção correta é (e). + +As ordens de prioridade para resolver uma expressão são + +$$ +\underbrace{\text { parênteses }}_{1 \varrho} \rightarrow \underbrace{\text { colchete }}_{2 \varrho} \rightarrow \underbrace{\text { chaves }}_{3 \propto} +$$ + +e + +$$ +\underbrace{\text { multiplicações e divisões }}_{1 \varrho} \rightarrow \underbrace{\text { somas e subtrações }}_{2 \varrho} +$$ + +Assim, + +$$ +\begin{aligned} +2 & -2\{2-2[2-2(\underbrace{4-2}_{2})]\}=2-2\{2-2[2-\underbrace{2 \times 2}_{4}]\} \\ +& =2-2\{2-2[\underbrace{2-4}_{-2}]\}=2-2\{2-\underbrace{2 \times(-2)}_{-4}\} \\ +& =2-2\{2-(-4)\}=2-2\{\underbrace{2+4}_{6}\}=2-\underbrace{2 \times 6}_{12}=2-12=-10 +\end{aligned} +$$ + +67. Ordenando frações - A opção correta é (a). + +Solução 1: O mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores é 30. Reduzindo todas as frações a esse denominador comum, temos + +$$ +\frac{4}{3}=\frac{40}{30}, \quad \frac{4}{5}=\frac{24}{30}, \quad \frac{4}{6}=\frac{20}{30}, \quad \frac{3}{5}=\frac{18}{30}, \quad \frac{6}{5}=\frac{36}{30} \quad \text { e } \quad \frac{2}{5}=\frac{12}{30} +$$ + +Ordenando, + +$$ +\frac{12}{30}<\frac{18}{30}<\frac{20}{30}<\frac{24}{30}<\frac{36}{30}<\frac{40}{30} +$$ + +Concluímos que + +$$ +\frac{2}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{6}<\frac{4}{5}<\frac{6}{5}<\frac{4}{3} +$$ + +Solução 2: Escrevendo as frações na forma decimal, temos + +$$ +\frac{4}{3}=1,33 \ldots, \quad \frac{4}{5}=0,8, \quad \frac{4}{6}=0,66 \ldots, \quad \frac{3}{5}=0,6, \quad \frac{6}{5}=1,2 \quad \text { e } \quad \frac{2}{5}=0,4 +$$ + +Logo, + +$$ +\underbrace{\frac{2}{5}}_{0,4}<\underbrace{\frac{3}{5}}_{0,6}<\underbrace{\frac{4}{6}}_{0,66 \ldots}<\underbrace{\frac{4}{5}}_{0,8}<\underbrace{\frac{6}{5}}_{1,2}<\underbrace{\frac{4}{3}}_{1,33 \ldots} +$$ + +68. Números de três algarismos - A opção correta é (e). + +Por serem maiores do que 200, seus algarismos das centenas só podem ser 3 ou 5 . + +Começando com 3, temos 315 e 351 (que não repetem algarismos) e 311, 313, 331, 335, 353, 333 e 355 (repetindo algarismos), ou seja, nove números. + +Começando com 5, basta trocar o 3 com o 5 nos números acima. Logo, temos 9 desses números. Assim, temos um total de 18 números que podem ser escritos usando apenas os algarismos 1,3 e 5 . + +69. Velocidade de maratona - A opção correta é (d). + +O tempo que o vencedor gastou foi de + +$$ +13 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}-11 \mathrm{~h} 330 \mathrm{~min}=2 \mathrm{~h} 15 \min =2+\frac{1}{4} \mathrm{~h}=\frac{9}{4} \mathrm{~h} +$$ + +Logo, a velocidade média, em $\mathrm{km} / \mathrm{h}$, é + +$$ +\frac{\text { espaço percorrido em } \mathrm{km}}{\text { tempo gasto em horas }}=\frac{42}{\frac{9}{4}}=\frac{168}{9}=18,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +70. Bilhetinhos com números - A op̧̧ão correta é (c). + +Se todas as alunas escrevessem o número 1, o produto seria 1, que não está entre as opç̃es. Logo, 2 ou 4 são fatores do produto e, por isso, o produto deve ser uma potência de 2. O maior produto possível seria obtido no caso em que todas as 5 alunas escrevessem o número 4, e o produto seria + +$$ +4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4=4^{5}=2^{10}=1024 +$$ + +Logo, podemos eliminar 2048. Agora temos que: + +- 100 e 120 são divisíveis por 5, logo não são potências de 2; +- 768 é divisível por $3(7+6+8=21)$, logo não é potência de 2 . + +A única resposta possível é $256=2^{8}$. Seria, por exemplo, o caso em que duas alunas escrevessem o número 2 e três escrevessem o número 4 , com $256=2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4$. + +71. Produto de frações - A opção correta é (d). + +$$ +\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{1}{5} +$$ + +72. Produto máximo - A opção correta é (a). + +Basta examinar os produtos dos números naturais cuja soma é 11 . + +$$ +\begin{array}{llllll} +11=1+10 & \text { e } & 1 \times 10=10 & 11=2+9 & \text { e } & 2 \times 9=18 \\ +11=3+8 & \text { e } & 3 \times 8=24 & 11=4+7 & \text { e } & 4 \times 7=28 \\ +11=5+6 & \text { e } & 5 \times 6=\mathbf{3 0} & & & +\end{array} +$$ + +73. Quem é o cubo? - A opção correta é (c). + +Temos $3^{m}=81=3^{4}$, donde $m=4$. Logo, $m^{3}=4^{3}=4 \times 4 \times 4=64$. + +74. Qual é o maior? - A opção correta é (c). + +Somando 3 a todos os membros, obtemos $a-1+3=b+2+3=c-3+3=d+4+3$, de modo que $a+2=b+5=c=d+7$, mostrando que $c$ é o maior dos números. + +75. Quatro formiguinhas - A opção correta é (b). + +O trajeto de Biloca é 3 diagonais +4 larguras +2 comprimentos. O trajeto de Pipoca de $25 \mathrm{dm}$ compreende 5 diagonais, logo o comprimento de uma diagonal é $25 \div 5=$ $5 \mathrm{dm}$. O trajeto de Tonica de $37 \mathrm{dm}$ compreende 5 diagonais mais 4 larguras da lajota, ou seja, $25+4$ larguras $=37$, donde 4 larguras $=37-25=12 \mathrm{dm}$ e a largura de uma lajota é $3 \mathrm{dm}$. O trajeto de Cotinha de $32 \mathrm{dm}$ compreende 5 comprimentos +4 larguras, ou seja, 5 comprimentos $+12=32$, donde 5 comprimentos $=32-12=20$ e o comprimento de uma lajota é $4 \mathrm{dm}$. Assim, Biloca percorre + +$$ +\underbrace{3 \text { diagonais }}_{3 \times 5}+\underbrace{4 \text { larguras }}_{4 \times 3}+\underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 4}=15+12+8=35 \mathrm{dm} +$$ + +76. Trocando figurinhas - A moeda de troca de Guilherme são as figurinhas de aranha, portanto calculamos o valor-aranha das figurinhas que Célia quer trocar, usando as informações dadas. + +- 4 borboleta $\stackrel{(\mathrm{a})}{=} \underbrace{12 \text { tubarão }}_{4 \times 3} \stackrel{(\mathrm{e})}{=} \underbrace{24 \text { periquito }}_{12 \times 2} \stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{72 \text { aranha }}_{24 \times 3}$ +- 5 tubarão $\stackrel{(\mathrm{e})}{=} \underbrace{10 \text { periquito }}_{5 \times 2} \stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{30 \text { aranha }}_{10 \times 3}$ +- 6 macaco $\stackrel{(c)}{=} \underbrace{24 \text { aranha }}_{6 \times 4}$ +- 3 cobra $\stackrel{(\mathrm{b})}{=} \underbrace{9 \text { periquito }}_{3 \times 3} \stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{27 \text { aranha }}_{9 \times 3}$ +- 6 periquito $\stackrel{(\mathrm{d})}{=} \underbrace{18 \text { aranha }}_{6 \times 3}$ + +Logo, Célia receberá $72+30+24+27+18=171$ figurinhas de aranha. + +77. Soma de frações - A opção correta é (d). + +$$ +\frac{10+20+30+40}{10}+\frac{10}{10+20+30+40}=\frac{100}{10}+\frac{10}{100}=10+0,1=10,1 +$$ + +78. Geometria com palitos - A opção correta é (c). + +Para o triângulo foram usados $6 \times 3=18$ palitos, sobrando, então, $60-18=42$ palitos para formar os três lados do retângulo. Da figura, temos que a largura do retângulo é formada por seis palitos, logo o comprimento é formado por $\frac{1}{2}(42-6)=18$ palitos. Como cada palito tem $5 \mathrm{~cm}$ de comprimento, a área do retângulo é dada por $\underbrace{6 \times 5}_{\text {largura }} \times \underbrace{18 \times 5}_{\text {comprimento }}=30 \times 90=2700 \mathrm{~cm}^{3}$. + +79. Um incêndio e o bombeiro - A opção correta é (c). + +O sobe-desce do bombeiro a partir do degrau do meio até chegar ao último degrau é dado por + +$$ +\overbrace{+5}^{\text {sobe }} \underbrace{-7}_{\text {desce }} \overbrace{+8}^{\text {sobe }} \overbrace{+7}^{\text {sobe }} +$$ + +de modo que o bombeiro sobe $8+5=13$ degraus acima do degrau do meio, chegando ao último degrau da escada. Portanto, a escada tem 13 degraus acima do degrau do meio, e igualmente 13 degraus abaixo do degrau do meio. Portanto, a escada tem $13+1+13=27$ degraus. Veja um esquema da movimentação do bombeiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-054.jpg?height=442&width=923&top_left_y=1338&top_left_x=652) + +80. Árvore genealógica - A opção correta é (c). + +Na figura vemos que o pai de Evaristo é José. O irmão de José é Jean. O pai de Jean é Luís. O irmão de Luís é André. + +- irmão do $\underbrace{\text { pai de Evaristo }}_{\text {José }}=$ irmão de José $=$ Jean +- pai do irmão do $\underbrace{\text { pai de Evaristo }}_{\text {José }}=$ pai de Jean $=$ Luís Jean +- irmão do pai do irmão do pai de Evaristo = irmão de Luís = André + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-054.jpg?height=197&width=602&top_left_y=2500&top_left_x=607) + +81. Colcha quadrada - A opção correta é (b). + +A colcha é formada de $5 \times 5=25$ quadradinhos, todos iguais. Já os triângulos são de dois tipos, o tipo I, que corresponde a meio quadrado e o tipo II, que corresponde a $1 / 4$ de um quadradinho. A parte em cinza é composta de 8 triângulos do tipo I, 8 triângulos do tipo II e 4 quadrados, ou seja, + +$$ +\underbrace{8 \text { triângulos tipo I }}_{4 \text { quadrados }}+\underbrace{8 \text { triângulos tipo II }}_{2 \text { quadrados }}+4 \text { quadrados }=10 \text { quadrados. } +$$ + +Logo, a fração correspondente à parte cinza é $\frac{10}{25}=\frac{40}{100}=40 \%$. + +82. Falsas igualdades - A opção correta é (e). + +Nenhuma igualdade está correta. + +(i) Errada: $3 \times 10^{6}+5 \times 10^{2}=3000000+500=3000500 \neq 8 \times 10^{8}$. + +(ii) Errada: $2^{3}+2^{-3}=2^{3}+\frac{1}{2^{3}}=8+\frac{1}{8} \neq 1=2^{0}$. + +(iii) Errada, a multiplicação precede a soma: $5 \times 8+7=40+7=47 \neq 75$. + +(iv) Errada, a divisão precede a soma: $5+5 \div 5=5+1=6 \neq 2$. + +83. Menor valor da soma - A opção correta é (c). + +Seja $N$ o número dado por $N=3 a=4 b=7 c$. Então, o número $N$ é um múltiplo de 3, 4 e 7. Portanto, quando fatoramos o número $N$ em fatores primos, aparecem, pelo menos, os fatores 2,3 e 7 , o primeiro dos quais com expoente, no mínimo, igual a 2. Segue que $N$ é um múltiplo de $2^{2} \times 3 \times 7=84$. Por outro lado, os números $a=4 \times 7=28$, $b=3 \times 7=21$ e $c=4 \times 3=12$ satisfazem as igualdades $3 a=4 b=7 c$. Logo, $a=28$, $b=21$ e $c=12$ são os menores valores possíveis para $a, b$ e $c$ e $28+21+12=61$ é o menor valor possível para $a+b+c$. + +84. Procurando um quadrado perfeito - A opção correta é (d). + +Fatorando 120 obtemos $120=2^{3} \times 3 \times 5$. Para obter um quadrado perfeito, todos os expoentes dessa decomposição devem ser pares, logo basta multiplicar 120 por + +$$ +2 \times 3 \times 5=30 +$$ + +De fato, temos, $120 \times 30=2^{3} \times 3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5=2^{4} \times 3^{2} \times 5^{2}=\left(2^{2} \times 3 \times 5\right)^{2}=60^{2}$. + +85. Visitas num museu - A opção correta é (c). + +Observe que os únicos algarismos que não aparecem no número 1879564 são 0,2 e 3. O próximo número com todos os algarismos distintos ocorrerá quando mudar o algarismo das centenas e tivermos 18796 _ _. Logo, o menor número será 1879602 e ainda faltam $1879602-1879564=38$ visitantes. + +86. Ligando números por flechas - A opção correta é (e). + +O caminho-padrão é o que se repete, a saber, $\longrightarrow \downarrow \downarrow \uparrow$, formado por seis flechas, sempre começando nos múltiplos de 6 , ou seja, em $0,6,12$, etc. Vamos averiguar qual +é a posição de 1997 em relação ao múltiplo de 6 mais próximo. Dividindo 1997 por 6 , obtemos $1997=6 \times 332+5$, correspondendo a 336 caminhos-padrão mais o resto de 5 flechas. Portanto, 1998 é múltiplo de 6 mais próximo de 1997, ocupando a primeira posição no caminho-padrão. Assim, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-056.jpg?height=171&width=306&top_left_y=520&top_left_x=958) + +é o caminho que ocorre entre 1997 e 2000. + +87. Múltiplos de 9 - Um número só é um múltiplo de 9 se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9 . + +(a) O número deve ter 9 algarismos iguais a 1, ou seja, 111111111. + +(b) Devemos usar o maior número possível de algarismos iguais a 2, todos ficando nas casas mais à direita. Assim, o menor número é 12222 . + +88. A florista - Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar um total de $49 \times 1,25=61,25$ reais. O peso das flores depois da desidratação é + +$$ +\left(1-\frac{5}{7}\right) \times 49=\frac{2}{7} \times 49=14 \mathrm{~kg} +$$ + +Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura um total de $14 \times 3,25=45,50$ reais. Assim, a florista ganha mais no processo sem a desidratação. + +89. Divisores - Como 2, 3, 5 e 7 são primos, os divisores do número $N=2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d}$ são os números da forma $2^{m} \times 3^{n} \times 5^{p} \times 7^{q}$, com $0 \leq m \leq a, 0 \leq n \leq b, 0 \leq p \leq c$ e $0 \leq q \leq d$. Portanto, $N$ tem $(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)$ divisores. Decompondo $378 \mathrm{em}$ fatores primos, encontramos $378=2 \times 3^{3} \times 7$, portanto queremos $a, b, c$ e $d$ tais que + +$$ +(a+1) \times(b+1) \times(c+1) \times(d+1)=2 \times 3^{3} \times 7 +$$ + +Por outro lado, para $N$ ser mínimo, os expoentes devem ser ordenados do maior para o menor, isto é, $a \geq b \geq c \geq d$. + +Afirmamos que $d>0$, pois se $d=0$ então $a+1, b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores maiores do que 1 . Se $a+1=m n$, com $m \geq n>1$, temos que + +$$ +2^{a}=2^{m n-1}=2^{m-1} 2^{m n-m}=2^{m-1}\left(2^{m}\right)^{n-1} \geq 2^{m-1} 8^{n-1}>2^{m-1} 7^{n-1} +$$ + +onde na penúltima desigualdade usamos o fato que $m \geq 3$. Assim, temos que + +$$ +2^{a} 3^{b} 5^{c} 7^{d}>2^{m-1} 3^{b} 5^{c} 7^{n-1} +$$ + +e, portanto, encontramos um número com a mesma quantidade de divisores, mas menor. O argumento é igual no caso em que $b+1$ ou $c+1$ tem dois fatores. Assim, $d \geq 1$ e restam somente as possibilidades dadas na tabela seguinte. + +| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=378$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 20 | 2 | 2 | 1 | $21 \times 3 \times 3 \times 2$ | +| 13 | 2 | 2 | 2 | $14 \times 3 \times 3 \times 3$ | +| 8 | 6 | 2 | 1 | $9 \times 7 \times 3 \times 2$ | +| 6 | 5 | 2 | 2 | $7 \times 6 \times 3 \times 3$ | + +Por último, como + +$$ +\frac{2^{20} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{7}}{7}>1, \quad \frac{2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}=\frac{2^{5} \cdot 7}{3^{4}}>1 +$$ + +$$ +\frac{2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1}}{2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}=\frac{2^{2} \cdot 3}{7}>1 +$$ + +temos que o valor de $N$ é $2^{6} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}$. Portanto, $a=6, b=5, c=2$ e $d=2$. + +## 90. O produto dos algarismos + +(a) Como $12=2 \times 6=4 \times 3=2 \times 2 \times 3$, devemos utilizar os algarismos $1,2,3,4 \mathrm{e}$ 6 cujos produtos sejam 12. Assim, temos: + +- números com 2 algarismos: 26, 62, 34 e 43; +- números com 3 algarismos: +- com os algarismos 1, 2 e 6: 126, 162, 216, 261, 612 e 621; +- com os algarismos 1, 3 e 4: 134, 143, 314, 341, 413 e 431; +- com os algarismos 2, 2 e 3: 223, 232 e 322 . + +(b) Se $P(n)=0$, então o produto de seus algarismos é igual a zero e, portanto, pelo menos um dos algarismos do número $n$ é zero. De 1 a 199 temos 18 números com zero só nas unidades, 9 números com zero só nas dezenas e ainda o número 100, totalizando 28 números: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-057.jpg?height=118&width=902&top_left_y=1877&top_left_x=654) + +(c) Queremos encontrar os inteiros positivos menores do que 200, cujo produto dos algarismos seja maior do que 37 e menor do que 45. Por exemplo, 58 é um desses números, porque $5 \times 8=40$. Em primeiro lugar, note que não existem números cujo produto dos algarismos seja $38,39,41,43$ e 44, porque esses números possuem um fator primo maior do que $10 \mathrm{e}$, portanto, não podem ser escritos como produto de dois ou três algarismos. Logo, restam apenas 40 e 42. Assim, os números menores do que 200 cujo produto dos algarismos + +- é 40 são $58,85,158$ e 185 ; +- é 42 são $67,76,167$ e 176. + +(d) O valor de $P(n)$ é o maior possível quando $n=99$ ou $n=199$, quando + +$$ +P(99)=P(199)=81 +$$ + +91. Suco de laranja - Se Davi comprar seis garrafas individualmente, ele gastará $6 \times 2,80=16,80$ reais, que é um valor maior do que o preço de uma caixa com seis. Portanto, ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Nesse caso, como $22=3 \times 6+4$, ele deve comprar três caixas e quatro garrafas individualmente, caso em que gastará $3 \times 15+4 \times 2,80=56,20$ reais, que é o mínimo possível. +92. A casa da Rosa - Como o quarto é quadrado, com uma área de $16 \mathrm{~m}^{2}$, suas dimensões são $4 \times 4 \mathrm{~m}$. Da mesma forma, as dimensões do quintal quadrado são $2 \times 2 \mathrm{~m}$. A sala tem uma área de $24 \mathrm{~m}^{2}$ e uma dimensão igual à do quarto; portanto, as dimensões da sala são $6 \times 4 \mathrm{~m}$. Assim, as dimensões totais da casa são $10 \times 6$ $\mathrm{m}$ e a área total da casa é de $60 \mathrm{~m}^{2}$. Logo, a cozinha tem uma área de + +$$ +60-16-24-4=16 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +| 4 | 6 | +| :---: | :---: | +| Quarto | $4 \quad$ Sala | +| Quinta 2
2 | Cozinha | + +93. O passeio do Matias - Observe que há 12 ruas, ou seja, lados de 100 metros, entre os quatro quarteirões. Também há quatro esquinas, marcadas com $\star$ na figura, em que se encontram três ruas. Sempre que Matias passar por uma dessas quatro esquinas, usará duas dessas três ruas. Assim, pela regra que ele mesmo se impôs, quando voltar a passar numa dessas quatro esquinas, termina o passeio. Portanto, em todo caminho que percorrer, há, pelo menos, duas dentre essas quatro esquinas $\star$ em que não usou todas as ruas que chegam a essas esquinas. Assim, o caminho de comprimento máximo usa no máximo 10 ruas, ou seja, tem um total de $1000 \mathrm{~m}$. Na figura desenhamos um dos trajetos máximos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-058.jpg?height=368&width=342&top_left_y=1255&top_left_x=1531) + +94. O adesivo oficial - Como o quadrado pintado da cor azul pode estar em qualquer lugar, temos seis possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os cinco quadrados restantes, precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos fazer de 10 maneiras. Os três quadrados restantes são pintados de verde. Portanto, o prefeito tem $6 \times 10=60$ formas diferentes de escolher o adesivo. +95. Adição de números - Efetuando a adição + +| 111 | +| ---: | +| $a 000$ | +| $a 998$ | +| $+a 999$ | +| $\square 997$ | + +encontramos $\square 997=22997$, onde $\square=a+a+a+1$. Logo, $22=a+a+a+1 \mathrm{e}$, portanto, $a=7$. + +96. Cubo perfeito e divisibilidade - Um cubo perfeito é um número da forma $a^{3}$, onde $a$ é um natural. Como $9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8}$, os cubos perfeitos que dividem $3^{8}$ são $1,3^{3}$ e $\left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}$. +97. Localização de um ponto - O ponto indicado está quatro marcas à direita de 19. Entre 19 e 20 aparecem subdivisões em 10 partes iguais, portanto, cada marca equivale a 0,1 nessa escala. Assim, o ponto indicado é 19,4 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-059.jpg?height=134&width=677&top_left_y=481&top_left_x=724) + +98. Cálculo de porcentagem - Temos 58 acertos em 84 questões, portanto, a razão de acertos é $\frac{58}{84}$. Dividindo 58 por 84 , encontramos, aproximadamente, $0,69047 \mathrm{em} 1$, ou 69,047 em 100. Logo, o percentual é, aproximadamente, $69,047 \%$. +99. Comparação de algarismos - Os números que estamos procurando são maiores do que 400 e menores do que 600, portanto, o algarismo das centenas só pode ser 4 ou 5 . Como são números ascendentes, o algarismo das dezenas é menor do que o algarismo das unidades. Vejamos como escolher os algarismos das dezenas e das centenas. + +$$ +\begin{gathered} +4\left\{\begin{array}{l} +56 \\ +57 \\ +58 \\ +59 +\end{array} \quad ; 4\left\{\begin{array}{l} +67 \\ +68 \\ +69 +\end{array} \quad ; 4\left\{\begin{array}{l} +78 \\ +79 +\end{array} ; 4\{89\right.\right.\right. \\ +5\left\{\begin{array}{l} +67 \\ +68 \\ +69 +\end{array} \quad ; \quad 5\left\{\begin{array}{l} +78 \\ +79 +\end{array} ; 5\{89\right.\right. +\end{gathered} +$$ + +Logo, temos 10 números ascendentes com algarismo das centenas igual a 4 e seis números ascendentes com algarismo das centenas igual a 5. Assim, temos 16 números ascendentes entre 400 e 600 . + +100. Muro colorido - Observamos que no momento em que escolhermos a cor de dois + +| | | | $\bar{A}$ | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $A$ | | $\bar{C}$ | | 3 | | $A$ | +| | 3 | | $A$ | | $\bar{C}$ | | +| $A$ | | $\bar{C}$ | | 3 | | $A$ | + +tijolos vizinhos, a cor de todos os demais tijolos estará decidida. + +Assim, denotando os tijolos de acordo com uma de suas três cores $A, B$ ou $C$, e seguindo a exigência de não ter tijolos de mesma cor se tocando, obtemos uma distribuição como a da figura. Como a maior quantidade de tijolos está marcada com $A$, num total de seis, e os tijolos amarelos são os mais baratos, devemos escolher tais tijolos amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos $B$ e $C$, quatro de cada tipo, portanto, podemos escolher quatro tijolos azuis e quatro vermelhos. Assim, o menor valor a ser pago na compra dos tijolos desse muro é $6 \times 6+4 \times 7+4 \times 8=96$ reais. + +101. Divisores e fatoração - Como o produto dos dois fatores é 96, eles são divisores de 96. Decompondo 96 em fatores primos, encontramos $96=2^{5} \times 3$, portanto, seus divisores são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 e 96. + +Os divisores 96, 48, 32, 24 e 16 não servem, pois seus quadrados já são maiores do que 208, sobrando 1, 2, 3, 4, 6, 8 e 12, cujos quadrados são 1, 4, 9, 16, 36, 64 e 144. + +Agora é fácil ver que a única possibilidade é $64+144=208$. Como $8 \times 12=96$, os números são 8 e 12. + +102. O retângulo do Luís - Faremos a divisão com retângulos. Observamos que $24=6 \times 4$ e $12=6 \times 2$, portanto, Luís pode fazer um primeiro corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado de $10 \mathrm{~cm}$ e outro corte a $2 \mathrm{~cm}$ do corte anterior. Depois desses cortes, resta um retângulo de tamanho $6 \times 4$. Por último, como $16=4 \times 4$, basta fazer mais um corte a $4 \mathrm{~cm}$ no lado que mede $6 \mathrm{~cm}$. Os cortes estão ilustrados na figura seguinte, com indicação das dimensões dos lados e das áreas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-060.jpg?height=349&width=557&top_left_y=1042&top_left_x=835) + +103. Comparação de números - Fatorando os números e extraindo as raízes, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{121}=\sqrt{11^{2}}=11 \\ +& \sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{9^{3}} \quad=9 \mathrm{e} \\ +& \sqrt[4]{38416}=\sqrt[4]{2^{4} \times 7^{4}}=2 \times 7=14 +\end{aligned} +$$ + +Logo, em ordem crescente, temos $\sqrt[3]{729}, \sqrt{121}$ e $\sqrt[4]{38416}$. + +104. As moedas - Atribuindo o valor 1 às coroas e -1 às caras e somando os resultados depois de cada jogada, inicialmente a brincadeira começa com soma 7 e queremos chegar a cara e coroa alternadas, de modo que a brincadeira termina em 1 ou em -1 . Observamos que, em cada passo da brincadeira, temos as seguintes possibilidades: trocamos duas coroas por duas caras e o valor da soma diminui em 4; trocamos uma cara e uma coroa por uma coroa e uma cara e o valor da soma fica inalterado; ou trocamos duas caras por duas coroas e o valor da soma aumenta em 4. Portanto, é impossível partir de 7 como soma inicial e chegar a 1, mas vejamos que, efetivamente, é possível chegar a -1 , isto é, a quatro caras e três coroas. Como queremos obter quatro caras não consecutivas, precisamos de, pelo menos, quatro jogadas. + +As quatro jogadas, que fazem a soma passar de 7 para 3 , de 3 para -1 e então permanecer em -1 , estão ilustradas na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-061.jpg?height=629&width=823&top_left_y=385&top_left_x=545) + +105. O preço do frango - A opção correta é (b). + +Como $81=3^{4}$, o valor do frango triplicou quatro vezes. O número de meses transcorridos foi $4 \times 6=24$ meses, isto é, dois anos, ou seja, em janeiro de 2002 o frango atingirá o preço de $\mathrm{R} \$ 81,00$. + +106. Excursóes a Foz do Iguaçu - Temos um ônibus com $27-19=8$ lugares livres e ainda precisamos acomodar os $53-8=45$ participantes em ônibus de 27 lugares. É claro que um ônibus só não é suficiente, portanto, precisamos de dois ônibus e teremos $2 \times 27-45=9$ lugares livres no último ônibus. Ficaram $27-9=18$ pessoas no ônibus incompleto. +107. As frações de Laura - Como a fração é igual a um número inteiro, o seu numerador deve ser um múltiplo do seu denominador. Vamos testar todas essas possibilidades e escolher as que satisfazem as condições do problema. + +$$ +\begin{aligned} +\frac{3+5+6}{2}=7, \frac{3+6+11}{2} & =10 \quad \text { e } \quad \frac{5+6+11}{2}=11 \text { não satisfazem; } \\ +\frac{2+5+11}{3} & =6 \text { satisfaz; } \frac{3+6+11}{5}=4 \text { não satisfaz; } \\ +\frac{2+5+11}{6} & =3 \text { satisfaz e } \quad \frac{2+3+6}{11}=1 \text { não satisfaz. } +\end{aligned} +$$ + +Assim, temos somente as duas respostas seguintes. + +$$ +\frac{(2)+(5)+(11)}{(3}=6 \quad \frac{(2)+(5)+(11)}{6}=(3 +$$ + +108. Cálculo da unidade - A opção correta é (e). + +Como o algarismo da unidade de qualquer potência de 5 é 5 , segue que o algarismo da unidade de cada fator do produto é $5+1=6$. Mas, $6 \times 6=36$, ou seja, o produto de dois números terminados em 6 também é um número terminado em 6 . Logo, o algarismo da unidade desse produto é 6 . + +## 109. Números cruzados + +| 5 | 2 | | $\delta$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 8 | 5 | | +| 7 | | 1 | $\overline{7}$ | +| 63 | 2 | $\equiv$ | 4 | +| 4 霉 | 8 | 7 | 6 | +| 6 | 9 | | | + +110. Ovos e maçãs - A opção correta é (b). + +Como o enunciado e a resposta são percentuais podemos, nesse caso, estipular qualquer preço e qualquer unidade monetária, que a resposta será, sempre, a mesma. O mais simples, portanto, é supor que, inicialmente, uma dúzia de ovos custava 100 e, portanto, que dez maçãs também custavam 100. Como o preço dos ovos subiu $10 \%$, o novo valor dos ovos é 110. O preço das maçãs diminuiu $2 \%$, portanto, o novo preço de dez maçãs é 98. Assim, enquanto antes gastava-se 200 na compra de uma dúzia de ovos e dez maçãs, agora gasta-se $110+98=208$. Daí, temos que o aumento foi de 8 em 200 , o que corresponde ao percentual de + +$$ +\frac{8}{200}=\frac{4}{100}=4 \% +$$ + +111. Divisão de números decimais - A opção correta é (a). + +Efetuando a divisão, temos + +$$ +\frac{254,88}{0,177}=\frac{254880}{177}=\frac{144 \times 177 \times 10}{177}=1440 +$$ + +112. Almoço dos amigos - Os preços de um prato mais uma vitamina são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-062.jpg?height=108&width=908&top_left_y=2036&top_left_x=654) + +Dentre esses, os que diferem por 6 são 14 e 20, ou 17 e 23. Logo, temos duas soluções: ou Denise gasta $7+7=14$ e Júlio $14+6=11+9=20$, ou Denise gasta $11+6=17$ e Júlio $14+9=23$. + +113. Somas de três em três - Inicialmente, observe que se a maior soma de três desses números for 9 , então todos os números devem ser menores do que 7 , ou seja, $1,2,3$, 4,5 ou 6 . Por outro lado, se a menor soma de três desses números distintos for 6 , então eles não podem incluir 5 ou 6 , restando $1,2,3$ e 4 . Verificamos que esses são os números, pois + +$$ +1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8 \quad \text { e } \quad 2+3+4=9 +$$ + +114. O passeio do Jorge - Lembrando que a distância entre as árvores ao longo do caminho é de $5 \mathrm{~m}$, ilustramos o sentido do percurso de Jorge nas figuras. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-063.jpg?height=236&width=1532&top_left_y=367&top_left_x=296) + +(a) Caminhando inicialmente $32 \mathrm{~m}$, ele toca em sete árvores, parando $2 \mathrm{~m}$ depois da última árvore que tocou. + +(b) Voltando $18 \mathrm{~m}$, ele toca em quatro árvores, parando $1 \mathrm{~m}$ depois da última que tocou. + +(c) Ao retornar $22 \mathrm{~m}$, ele toca em cinco árvores, parando $1 \mathrm{~m}$ depois da última árvore que tocou. + +Assim, Jorge tocou em $7+4+5=16$ árvores. + +115. A descoberta do algarismo - Separando os números cujos quadrados têm 1, 2 e 3 algarismos, temos, + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { com } 1 \text { algarismo: } & 1,2,3 \\ +\text { com } 2 \text { algarismos: } & 4,5,6,7,8,9 \\ +\text { com } 3 \text { algarismos: } & 10,11,12, \ldots, 31 +\end{array} +$$ + +Até $31^{2}$, o número já tem $3+12+66=81$ algarismos. Abreviando algarismo por "algs", temos + +$$ +\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }} +$$ + +Assim, faltam $100-81=19$ algarismos para o 100 . Como só $100^{2}$ tem 5 algarismos, e como $19=4 \times 4+3$, teremos mais 4 números de 4 algarismos cada um, que são $32^{2}$, $33^{2}, 34^{2}$ e $35^{2}$, e mais os 3 algarismos (milhar, centena, dezena) do número $36^{2}=1296$, como segue. + +$$ +\underbrace{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}}_{1 \times 3 \text { algs }}, \underbrace{4^{2}, \ldots, 9^{2}}_{2 \times 6=12 \text { algs }}, \underbrace{10^{2}, \ldots, 31^{2}}_{3 \times 22=66 \text { algs }}, \underbrace{32^{2}, 33^{2}, 34^{2}, 35^{2}}_{4 \times 4=16 \text { algs }}, 12 \underbrace{9}_{100^{a} \text { alg }} 6 +$$ + +Assim, vemos que o algarismo 9 ocupa a 100a posição. + +116. $O B M E P$ - Como peso de $B+$ peso de $E=6$ e peso de $M+$ peso de $P=6$, segue que os pesos de $M, P, B$ e $E$ são todos menores do que 6. Como não há dois discos de mesmo peso, $M, P, B$ e $E$ não podem pesar $3 \mathrm{e}$, portanto, os pesos desses quatro discos só podem ser $1,2,4$ e 5 . Agora, peso de $X+$ peso de $O=13$ e peso de $Z+$ peso de $O=9$, portanto, peso de $X=$ peso de $Z+4$. Assim, a única opção para os pesos de $Z$ e de $X$ é 3 e 7. Por exclusão, o peso de $O$ é 6 . Assim, obtemos + +peso de $O+$ peso de $B+$ peso de $M+$ peso de $E+$ peso de $P=6+6+6=18$. + +117. Prédio misterioso - Primeiro observamos que os elevadores denotados por $A, C, D$, $E, F$ e $H$ conduzem a recintos fechados em algum dos dois andares e, portanto, não levam à saída. Desconsiderando esses elevadores, nosso desenho de elevadores úteis é o seguinte. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-064.jpg?height=380&width=1060&top_left_y=261&top_left_x=564) + +Assim, o caminho mais curto entre a entrada de um andar até a saída do outro consiste em primeiro pegar o elevador $B$, depois o $J$ e, por último, o $G$. + +## 118. Soma de frações + +Solução 1: Transformando as frações em números decimais, obtemos + +$$ +\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=0,1-0,01+0,001-0,00001=0,0909=\frac{909}{10000} +$$ + +Solução 2: Efetuando a soma das frações, obtemos + +$$ +\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}=\frac{1000-100+10-1}{10000}=\frac{909}{10000} +$$ + +119. Biblioteca - Ao comprar 140 livros, a biblioteca ficou com $\frac{27}{25}$ do número de livros, portanto, 140 corresponde a $\frac{2}{25}$ dos livros da biblioteca. Se $\frac{2}{25}$ corresponde a 140 livros, $\frac{1}{25}$ corresponde a $140 \div 2=70$ livros e $\frac{25}{25}$ a $70 \times 25=1750$ livros. A opção correta é (a). +120. Comparação de frações - Para que uma fração seja menor do que 1, o numerador deve ser menor do que o denominador. Eliminando as repetições, obtemos a lista seguinte. + +(a) 1 fração com denominador 2: $\frac{1}{2}$ + +(b) 2 frações com denominador $3: \frac{1}{3}$ e $\frac{2}{3}$ + +(c) 2 frações com denominador 4: $\frac{1}{4}, \underbrace{\frac{2}{4}}_{1 / 2}$ e $\frac{3}{4}$ + +(d) 4 frações com denominador 5: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}$ e $\frac{4}{5}$ + +(e) 2 frações com denominador 6: $\frac{1}{6}, \underbrace{\frac{2}{6}}_{1 / 3}, \underbrace{\frac{3}{6}}_{1 / 2}, \underbrace{\frac{4}{6}}_{2 / 3}$ e $\frac{5}{6}$ + +(f) 6 frações com denominador $7: \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}$ e $\frac{6}{7}$ +(g) 4 frações com denominador $8: \frac{1}{8}, \underbrace{\frac{2}{8}}_{1 / 4}, \frac{3}{8}, \underbrace{\frac{4}{8}}_{1 / 2}, \frac{5}{8}, \underbrace{\frac{6}{8}}_{3 / 4}$ e $\frac{7}{8}$ + +(h) 6 frações com denominador 9: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \underbrace{\frac{3}{9}}_{1 / 3}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \underbrace{\frac{6}{9}}_{2 / 3}, \frac{7}{9}$ e $\frac{8}{9}$. + +Assim, temos 27 dessas frações. + +121. Divisão com resto - Se a divisão de 2007 por algum número deixar resto 5 , então esse número divide $2007-5=2002$. Assim, calculamos todos os divisores de $2002=$ $2 \times 7 \times 11 \times 13$, listados na coluna da direita da tabela seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-065.jpg?height=340&width=854&top_left_y=895&top_left_x=632) + +Como o resto 5 deve ser menor do que o divisor, dividindo 2007 por qualquer um dos 14 números seguintes deixa resto 5 : + +$$ +7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001 \text { e } 2002 +$$ + +122. Panelas - Convertendo $1 \mathrm{~kg}$ em $1000 \mathrm{~g}$, temos que as duas panelas juntas, mais a carne, pesam $645+237+1000=1882 \mathrm{~g}$. Logo, cada panela, mais o seu conteúdo de carne, deve pesar $1882 \div 2=941 \mathrm{~g}$. Assim, José colocou: + +$$ +941-645=296 \mathrm{~g} \quad \text { e } \quad 941-237=704 \mathrm{~g} +$$ + +nessas duas panelas. + +123. Dominós - Como $2 \times 3=6$, podemos começar supondo que os dois dominós $\square$. e .'.... estejam na posição certa. Se isso for verdade, e como $1 \times 3=3$, resulta que o algarismo na dezena do resultado deve ser 3 , portanto precisamos trocar o dominó pelo dominó , de tal forma que o 3 fique na dezena. Como temos um 2 na centena do resultado, a centena do primeiro número precisa ser um 4. Com essa troca, a posição dos dominós fica correta, como pode ser visto na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-065.jpg?height=408&width=848&top_left_y=2280&top_left_x=638) + +124. Código secreto - A única maneira de obter $360=2^{3} \times 3^{2} \times 5$ como produto de três números de um algarismo cada um é $360=9 \times 8 \times 5$. Como $A$ é o menor dos três, $A=5$. Logo $B=8$ e $C=9$, ou $B=9$ e $C=8$, ambas op̧̧̃es com $A A+B B+C C=$ $55+88+99=242$. Logo, temos duas possibilidades para o código $A B C$, a saber, 589 ou 598 . +125. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados, mostrados nas figuras seguintes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-066.jpg?height=316&width=1006&top_left_y=736&top_left_x=616) +126. Relógio - Vamos tentar uma data e um horário no mesmo ano de 1994. Já que com os números dados não podemos alterar o dia nem para 29 nem para 30, sem alterar o ano, então a data procurada não está no mês 05 . O seguinte mês possível é o 08 . Como precisamos da data mais próxima possível, observemos que podemos formar o dia 01 , sobrando os algarismos $0,2,4$ e 5 para formar a hora. A menor hora possível que podemos formar com esses algarismos é $02 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~m}$, de modo que a data procurada é 1ํo de agosto de 1994, às 02 horas e 45 minutos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-066.jpg?height=354&width=808&top_left_y=1551&top_left_x=710) + +127. Lápis - A opção correta é (b). + +Vamos ver em quantas caixas podemos colocar o número máximo de lápis, que é 6 por caixa. Nas 13 caixas não é possível, pois $13 \times 6=78$ é maior do que o número 74 do total de lápis. Em 12 caixas podemos ter $12 \times 6=72$, sobrando uma caixa, com $74-72=2$ lápis. + +128. Contagem - A cada 10 páginas, o algarismo 1 aparece uma vez nas unidades e, a cada 100 páginas, aparece 10 vezes nas dezenas. Contando o número de páginas que contém o algarismo 1 em cada faixa abaixo, temos + +(a) 20 vezes entre 1 e 99: + +$1,11,21,31,41,51,61,71,81,91$, num total de 10 vezes na unidade; $10,11,12,13,14,15,16,17,18,19$, num total de 10 vezes na dezena. +(b) 120 vezes entre 100 e 199: + +101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191: 10 vezes na unidade; $110,111,112,113,114,115,116,117,118,119: 10$ vezes na dezena; $100,101,102, \ldots, 199$, num total de 100 vezes na centena. + +(c) 20 vezes entre 200 e 299 : + +201, 211, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291: 10 vezes na unidade; + +210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219: 10 vezes na dezena. + +Até a página 299, o número 1 aparece $20+120+20$ vezes, faltando, portanto, apenas $171-160=11$ vezes. Os dois primeiros que aparecem depois de 299 são dois na unidade, em 301 e 311, e os nove primeiros das dezenas, em 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317 e 318. Assim, o livro tem 318 páginas. + +129. Viagem a Recife - A opção correta é (b). + +No momento em que a informação foi dada, o tempo de vôo que faltava era de $1 \mathrm{~h} 20 \mathrm{~min}$, ou $4 / 3$ de hora. Logo, nesse momento, a distância até Recife era de $864 \times \frac{4}{3}=1152$ $\mathrm{km}$. Como estávamos a $1222 \mathrm{~km}$ da cidade de partida, a distância entre essa cidade e Recife deve ser $1152+1222=2374 \mathrm{~km}$. Dentre as opções dadas, a mais próxima é $2400 \mathrm{~km}$. + +130. Praça - Como a $5^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $12^{\underline{a}}$ casa do João, a diferença entre as contagens é de 7 casas e, portanto, a 1 $1^{\text {a }}$ casa da Maria é a $8^{\mathrm{a}}$ casa do João. Como a $30^{\underline{a}}$ casa da Maria é a $5 \underline{\underline{a}}$ casa do João, a 32a da Maria é a $7 \underline{\underline{a}}$ do João. A casa seguinte já é a $8^{\underline{a}}$ do João, ou seja, a 1â da Maria. Assim, a praça tem 32 casas. +131. Sequência de figuras - As figuras se repetem num grupo de seis, sempre terminando com $\square$, tanto o 1º quanto o $166^{\circ}$ grupo. Como $996=6 \times 166$, a última figura do $166^{-}$ grupo, ou seja, a 966 a figura, é $\square$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-067.jpg?height=166&width=1211&top_left_y=1776&top_left_x=457) + +(a) A $1000^{a}$ figura, portanto, é + +(b) O primeiro $\diamond$ está na $3^{\underline{a}}$ posição, o segundo na $1 \times 6+3=9^{\underline{a}}$ posição, o terceiro na $2 \times 6+3=15$ a , o quarto na $3 \times 6+3=21 \underline{a}$ posição, e assim por diante, até o milésimo $\diamond$, que aparece na $999 \times 6+3=5997 \underline{\text { a }}$ posição. + +## 132. A brincadeira com o quadrado + +Solução 1: Convertendo metros em milímetros, temos $1 \mathrm{~m}=1000 \mathrm{~mm}$. Assim, o quadrado ficou dividido em $1000 \times 1000=10^{6}$ quadradinhos, cada um com $1 \mathrm{~mm}$ de lado. Colocando lado a lado todos os $10^{6}$ quadradinhos, teremos um retângulo de comprimento + +$$ +\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10^{6} \text { parcelas }}=10^{6} \times 1=10^{6} \mathrm{~mm}=1 \mathrm{~km} +$$ + +Solução 2: O quadrado tem área igual a $1 \mathrm{~m}^{2}=10^{6} \mathrm{~mm}^{2}$. A área $\Delta$ do retângulo é a mesma do quadrado. Como a largura do retângulo mede $\ell=1 \mathrm{~mm}$, resulta que o comprimento $c$ do retângulo, em milímetros, mede + +$$ +c=\frac{\Delta}{\ell}=\frac{10^{6}}{1}=10^{6} \mathrm{~mm} +$$ + +133. O código da Arca do Tesouro - Nas duas tabelas seguintes mostramos unicamente os grupos de três números em casas sucessivas, horizontais ou verticais, cuja soma seja 14 . + +| | | | 9 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | 7 | 3 | 4 | | +| 8 | 2 | 4 | | | | +| | | | 7 | 5 | 2 | +| | 7 | 6 | 1 | | | +| | | | 6 | 7 | 1 | + + +| | 9 | | 9 | | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | 3 | | 3 | 4 | 8 | +| | 2 | | 2 | 5 | 5 | +| 7 | | 5 | 7 | 5 | | +| 2 | | 6 | 1 | 2 | | +| 5 | | 3 | 6 | 7 | | + +Assim, quando eliminamos esses números da tabela inicial, os números que sobrevivem são somente os indicados na tabela seguinte. + +| 5 | | 4 | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 6 | | | | | | +| | | | | | | +| | 4 | | | | | +| | | | | | 8 | +| | 2 | | | | | + +Portanto, a soma dos números que restam é $5+4+6+4+8+2=29$, que é o código da Arca do Tesouro. + +134. Operações com decimais - Temos $\frac{(0,2)^{3}+1}{0,2+1}=\frac{0,008+1}{1,2}=\frac{1,008}{1,2}=0,84$. +135. Fatores inteiros - Como o produto dos dois fatores é 96, eles são divisores de $96=$ $2^{5} \times 3$, ou seja, os possíveis fatores positivos são $1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48$ e 96 . Os únicos com quadrado menor do que 208 são $1,2,3,4,6,8$ e 12, cujos quadrados são 1, 4, 9, 16, 36, 64 e 144. + +A única maneira de obter 208 como soma de dois dos números listados acima, é $64+144=208$. Assim, os únicos fatores positivos são 8 e 12. Logo os únicos fatores inteiros cuja soma dos quadrados é 208 são 8 e 12 ou, então, -8 e -12 . + +136. Divisibilidade - A opção correta é (b). + +O número é divisível por $45=5 \times 9$, portanto é divisível por 5 e 9 . Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5 . Assim, $b=0$ ou $b=5$. Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número que é múltiplo de 9. Logo, $6+a+7+8+b=21+a+b$ é múltiplo de 9 . Como $a \leq 9$, e $b=0$ ou $b=5$, temos $21 \leq 21+a+b \leq 21+9+5=35$. Mas, o único múltiplo de 9 entre 21 e 35 é 27 . Logo, $21+a+b=27$. Concluímos que $a+b=6$ e o número procurado é 61785 ou 66780 . + +137. Número simples - Com 1 algarismo, temos os números simples 1 e 2; com 2 algarismos, temos os $2^{2}=4$ números simples 11, 12, 21 e 22; com 3 algarismos, temos os $2^{3}=8$ números simples 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 e 222. Com 4 algarismos, temos $2^{4}=16$ números simples, com 5 algarismos, temos $2^{5}=32$ números simples e com 6 algarismos, temos $2^{6}=64$ números simples. Como um número inferior a 1 milhão tem, no máximo, 6 algarismos, resulta que existem exatamente $2+4+8+16+32+64=126$ números simples menores do que 1 milhão. +138. Venda de TV - Sejam $a$ o algarismo da dezena de milhar e $b$ o da unidade. Como o número é divisível por $72=8 \times 9$, temos que $79 b$ é um número par divisível por 8. Testando os valores de $b=0,2,4,6$ e 8 , vemos que, necessariamente, $b=2$. Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9 . Então, $a+6+7+9+2=a+24$ é um múltiplo de 9 e, portanto, $a=3$. Assim, na fatura constava $\mathrm{R} \$ 36792,00$ e, portanto, cada TV custou $36792 \div 72=511$ reais. +139. Chocolate - Como $8 \times 1,35=10,8$ é maior do que 10 , Henrique comprou 7 barras de chocolate e recebeu $10-7 \times 1,35=0,55$ reais, ou 55 centavos, de troco. +140. O quadradinho - Simplificando, obtemos + +$$ +1,6 \times \square=\frac{6400000}{400}=16000=1,6 \times 10000 +$$ + +Assim, $\square=10000$. + +141. Dois números - Como 12 é o MDC dos dois números e cada um tem dois algarismos, os únicos candidatos são os múltiplos de 12 menores do que 100, ou seja, + +$$ +12,24,36,48,60,72,84 \text { е } 96 +$$ + +Como $1728=12 \times 12 \times 12=2^{6} \times 3^{3}$, os múltiplos 60 (com fator 5) e 84 (com fator 7) não são divisores de 1728 . Também $1728 \div 12=144$ e $1728 \div 96=18$, de modo que a lista reduz a 24, 36, 48 e 72, com $24 \times 72=36 \times 48=1728$. Como o MDC de 24 e 72 é 24 , temos uma única solução, a saber, 36 e 48, cujo produto é 1728 e o MDC é 12. + +142. As idades dos irmãos - Dividindo 2000 por 7 , obtemos $2000=7 \times 285+5$. Logo, 2000 dias equivalem a 285 semanas, mais 5 dias. Como o dia 13 de março de 2007 caiu em uma terça-feira, contando os 5 dias restantes, temos que o aniversário do irmão de Carlos cairá em um domingo. Agora, dividindo 2000 por 365, obtemos $2000=365 \times 5+175$. Assim, 2000 dias equivalem a, aproximadamente, cinco anos e meio, portanto Carlos estará com 12 anos de idade. +143. A mistura de concreto - A opção correta é (e). + +De acordo com os dados do problema, misturamos $1 \mathrm{~kg}$ de cimento com $3 \mathrm{~kg}$ de areia e $5 \mathrm{~kg}$ de terra. Isso equivale a misturar $5 \mathrm{~kg}$ de cimento com $15 \mathrm{~kg}$ de areia e $25 \mathrm{~kg}$ de terra, e essa mistura pesa $5+15+25=45 \mathrm{~kg}$. + +144. Ponto na escala - A distância entre os pontos inicial e final é de $12,62-12,44=$ 0,18 unidades. Como estão marcados 18 intervalos, o comprimento de cada um deles é de $0,18 \div 18=0,01$ unidades. O ponto $P$ está na $6^{\underline{a}}$ posição à direita de 12,44 , portanto corresponde a $12,44+0,01 \times 6=12,50$. +145. O pomar do Francisco - A opção correta é (c). + +De acordo com os dados do problema, podemos observar que temos dois pares de árvores vizinhas: as laranjeiras são vizinhas dos limoeiros e as macieiras são vizinhas das pereiras. Como são cinco fileiras e as macieiras e pereiras não estão do lado das laranjeiras e limoeiros, resulta que as tangerineiras estão na terceira fila, a do meio. + +146. Quatro quadrados - Se a área de cada quadrado é $3 \mathrm{~cm}^{2}$ e cada um deles está dividido em 16 quadradinhos, então a área de cada quadradinho é $\frac{3}{16} \mathrm{~cm}^{2}$. Como há um total de 6 quadradinhos superpostos nos 4 quadrados, temos que a área da figura é + +$$ +4 \times 3-6 \times \frac{3}{16}=12-\frac{9}{8}=\frac{87}{8}=10,875 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +147. O fio de arame - A opção correta é (d). + +A figura é composta de 3 semicírculos, o que exclui as opções (b), (c) e (e), e 4 segmentos de reta, o que exclui a opção (a), que só tem 3 segmentos. + +148. Sequência de fósforos - A opção correta é (c). + +Observe que o número de fósforos da sequência é formado da seguinte maneira: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { primeiro termo }=3+3=\mathbf{2} \times 3=(1+1) \times 3 \\ +& \text { segundo termo }=3+3+3=\mathbf{3} \times 3=(2+1) \times 3 \\ +& \text { terceiro termo }=3+3+3+3=\mathbf{4} \times 3=(3+1) \times 3 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o oitavo termo da sequência é $(8+1) \times 3=\mathbf{9} \times 3=27$. + +## 149. O trajeto das formiguinhas + +(a) O trajeto de $M$ a $N$ compreende 14 comprimentos e 12 larguras das lajotas. Logo, seu comprimento é $14 \times 6+12 \times 4=84+48=132 \mathrm{~cm}$. + +Como as duas formiguinhas percorrem a mesma distância, cada uma deve andar $132 \div 2=66 \mathrm{~cm}$. + +(b) Vamos acompanhar, desde o início, o percurso feito por Maricota até completar os $66 \mathrm{~cm}$ : + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{2 \times 6=12}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+12=16}+\underbrace{3 \text { comprimentos }}_{18+16=34}+\underbrace{2 \text { larguras }}_{8+34=42}+ \\ +& \underbrace{2 \text { comprimentos }}_{12+42=54}+\underbrace{1 \text { largura }}_{4+54=58}+\underbrace{1 \text { comprimento }}_{6+58=64}+\underbrace{1 / 2 \text { largura }}_{2+64=66} . +\end{aligned} +$$ + +O caminho de Maricota até o ponto de encontro está indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-071.jpg?height=474&width=1110&top_left_y=254&top_left_x=610) + +150. A soma é 100 + +(a) Inicialmente observe que, como a soma dos três números é 100 e o maior deles é igual à soma dos outros dois, então duas vezes o maior número é 100, ou seja, o maior número é 50 . + +(b) Como 50 não é primo, os outros dois números são primos e têm soma igual a 50. Por exemplo, 3 e 47 são primos e $3+47=50$. Portanto, os números 3 , 47 e 50 formam uma solução do problema. + +(c) Existem outras soluções para o problema. Para encontrá-las, escrevemos a lista de todos os primos entre 1 e 50 , ou seja, $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$ e 47 e, para cada um desses números, verificamos se a diferença para 50 também é primo. Encontramos um total de quatro soluções + +| Solução 1 | 3 | 47 | 50 | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Solução 2 | 7 | 43 | 50 | +| Solução 3 | 13 | 37 | 50 | +| Solução 4 | 19 | 31 | 50 | + +151. Código de barras - Lembre que a primeira e a última barra não fazem parte do código. + +(a) Primeiramente, escrevemos o CEP dado com os algarismos 0 e 1: + +$$ +\underbrace{00101}_{3} \underbrace{10100}_{6} \underbrace{00110}_{4} \underbrace{00001}_{7} \underbrace{11000}_{0} \underbrace{00011}_{1} \underbrace{00101}_{3} \underbrace{11000}_{0} . +$$ + +Em seguida, escrevemos o código de barras desse CEP: + +## |||||||||||||||||||||||||||||||||||| + +(b) Primeiramente, escrevemos o código de barras dado com os algarismos 0 e 1 em grupos de 5 algarismos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-071.jpg?height=154&width=760&top_left_y=2470&top_left_x=725) + +Em seguida, escrevemos o CEP, que é 20240020 . + +152. Atletas da escola - O número total de alunos na escola é dado pela fração $12 / 12$, que podemos representar graficamente por um retângulo dividido em 12 partes iguais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-072.jpg?height=145&width=328&top_left_y=270&top_left_x=1549) + +Denotemos por V, F e NE o número de alunos que jogam somente vôlei, somente futebol e nenhum desses dois esportes, respectivamente. A informação dada, em termos das partes desse retângulo, é a seguinte: + +- o $1 / 4$ dos alunos que jogam somente vôlei corresponde a três partes; +- o $1 / 3$ dos alunos que jogam somente futebol corresponde a quatro partes; +- o 1/12 dos alunos que não jogam nem vôlei nem futebol corresponde a uma parte. + +| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{F}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{F}$ | $\mathrm{NE}$ | +| | | | | + +(a) Sobram 4 partes do retângulo para os alunos que jogam vôlei e futebol, ou seja, esses 300 alunos correspondem a $4 / 12=1 / 3$ do total dos alunos da escola. Logo, o total de alunos na escola é $300 \times 3=900$. + +(b) O total de alunos que jogam somente futebol é $\frac{1}{3} \cdot 900=300$. + +(c) Os alunos que jogam futebol são os que jogam só futebol mais os que jogam futebol e vôlei, ou seja, $300+300=600$. + +(d) O total de alunos que praticam um dos esportes é $\frac{11}{12} \cdot 900=825$, pois $1 / 12$ dos alunos não jogam nem futebol, nem vôlei. + +## 153. Dizima periódica + +(a) Dividindo 1 por 22 , obtemos $\frac{1}{22}=0,0454545 \ldots$ Observe que o algarismo 4 está nas posições pares, ou seja, segunda, quarta, sexta, e assim por diante, enquanto que o algarismo 5 está nas posições ímpares, ou seja, a terceira, a quinta, a sétima, e assim por diante. Como 1997 é um número ímpar, temos que o algarismo da 1997 a casa decimal é 5 . + +(b) Dividindo 1 por 27 , obtemos $\frac{1}{27}=0,037037037 \ldots$ Observe que os algarismos 0 , 3 e 7 se repetem, sucessivamente, a cada três casas decimais, sendo que + +- o algarismo 0 está nas posições $1^{\mathrm{a}}, 4^{\text {a }}, 7$, por 3, deixam resto 1 ; +- o algarismo 3 está nas posições $2^{\underline{a}}, 5^{\text {a }}, 8$, por 3, deixam resto 2 e +- o algarismo 7 está nas posições $3^{\mathbf{a}}, 6^{\mathbf{a}}, 9^{\underline{a}}, \ldots$, ou seja, aquelas que são múltiplas de 3 . + +Como a divisão $1997 \div 3$ deixa resto 2 , o algarismo da 1997á casa decimal é 3 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-072.jpg?height=129&width=211&top_left_y=2511&top_left_x=1659) + +154. Ana na corrida - Transformando minutos em horas, temos que 20 minutos correspondem a 20/60 =1/3 de hora. Assim, a velocidade de Ana deve ser maior do que $v=5 / \frac{1}{3}=15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. +155. Quadradinhos e o buraco - Contando os quadradinhos retirados de cada linha, temos que o número desses quadradinhos é $1+3+5+15+10+2=36$. Como cada quadradinho tem $1 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, a área do buraco é $36 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Para obter o perímetro do buraco, podemos simplesmente contar quantos lados de quadradinhos têm o buraco, obtendo 42 lados, de modo que o perímetro mede $42 \mathrm{~cm}$. Entretanto, uma maneira alternativa de descobrir o perímetro do buraco é observar que ele se estende por 6 linhas e 15 colunas, sendo que cada linha e cada coluna ocupada pelo buraco contém exatamente dois lados de quadradinho que fazem parte do perímetro. Logo, o perímetro do buraco mede $2 \times(6+15)=42 \mathrm{~cm}$. + +156. Quadrados perfeitos no retângulo - Para resolver esse problema, convém listar os quadrados perfeitos de dois algarismos, que são + +$$ +4^{2}=16,5^{2}=25,6^{2}=36,7^{2}=49,8^{2}=64 \text { e } 9^{2}=81 +$$ + +bem como os quadrados perfeitos de três algarismos, que são + +$$ +\begin{gathered} +10^{2}=100,11^{2}=121,12^{2}=144,13^{2}=169,14^{2}=196,15^{2}=225 \\ +16^{2}=256,17^{2}=289,18^{2}=324,19^{2}=361,20^{2}=400,21^{2}=441 \\ +22^{2}=484,23^{2}=529,24^{2}=576,25^{2}=625,26^{2}=676,27^{2}=729 \\ +28^{2}=784,29^{2}=841,30^{2}=900 \text { e } 31^{2}=961 +\end{gathered} +$$ + +Em particular, vemos que todo quadrado perfeito de três algarismos é um número terminado em $0,1,4,5,6$ ou 9 . + +Assim, estabelecemos que, dos quadrados perfeitos de dois algarismos, 25, 36 e 81 não podem aparecer na terceira coluna, assinalada com $X$. Para essa coluna, restam apenas os quadrados perfeitos 16,49 e 64 , + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=126&width=222&top_left_y=1793&top_left_x=1611) +portanto, temos três opções, como segue. +(I) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=128&width=288&top_left_y=2015&top_left_x=473) +(II) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=131&width=303&top_left_y=2013&top_left_x=928) +(III) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=123&width=294&top_left_y=2017&top_left_x=1418) + +(a) Vamos examinar cada uma das três opções. + +Opção (I): Os quadrados perfeitos de três algarismos terminados em 6 são 196, 256, 576 e 676. Como nenhum quadrado perfeito de dois algarismos termina em 2 ou 7 , os quadrados perfeitos 256,576 e 676 não podem aparecer na segunda linha, restando, apenas, 196. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-073.jpg?height=115&width=203&top_left_y=2284&top_left_x=1623) +Agora, os únicos quadrados perfeitos de dois algarismos terminados em 1 e 9 são, respectivamente, 81 e 49. Obtemos a solução seguinte, que é a única dentro da Opção (I). + +| 8 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 9 | 6 | + +Opção (II): Os quadrados perfeitos de três algarismos terminados em 9 são 169, 289, 529 e 729, de modo que a segunda linha pode ser preenchida apenas com o quadrado perfeito 169. Na primeira coluna só pode aparecer o número 81 , por ser o único quadrado perfeito de dois algarismos terminado em 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-074.jpg?height=115&width=212&top_left_y=565&top_left_x=845) + +| 8 | | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 6 | 9 | + +Temos, agora, duas opções para preencher a última casa em branco: 1 ou 3. No entanto, nem 814 nem 834 são quadrados perfeitos. Assim, a opção (II) é impossível. + +Opção (III): Os quadrados perfeitos de três algarismos terminados em 4 são 144, 324, 484 e 784, de modo que a segunda linha pode ser preenchida apenas com o quadrado perfeito 144 e, na primeira coluna só pode aparecer o número 81 . Agora, a única escolha para a casa em branco é o número 6. + +| 8 | | 6 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 4 | 4 | + + +| 8 | 6 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 4 | 4 | + +No entanto, 866 não é quadrado perfeito. Logo a opção (III) também é impossível. + +(b) Pelo que vimos acima, existe apenas uma solução, encontrada no item precedente, a saber, | 8 | 4 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 9 | 6 | . + +## 157. Aula de divisão + +(a) Temos $38-4=34=2 \times 17=1 \times 34$, portanto, $\star=17 \mathrm{e} \star=2$, ou $\star=34 \mathrm{e}$ $\star=1$. + +(b) Temos $75=6 \times 12+3$, portanto, $\star=3 \mathrm{e} \star=6$. + +(c) Temos $3 \times 7=21$. Os possíveis restos da divisão por 3 são 0,1 e 2 , portanto, $\star=21$ e $\star=0$, ou $\star=22$ e $\star=1$ ou, ainda, $\star=23$ e $\star=2$. + +(d) Temos $42=5 \times 8+2$, portanto, podemos trocar o divisor pelo quociente para obter $\star=8$ e $\star=2$. + +## 158. Linhas de ônibus + +(a) Fatorando, temos $15=3 \cdot 5$ e $25=5^{2}$, portanto o menor múltiplo comum de $15 \mathrm{e}$ 25 é $75=3 \cdot 5^{2}$. Assim, os dois ônibus passarão juntos novamente no ponto a cada 75 minutos, ou seja, a cada 1h15min. Logo, os ônibus passarão juntos novamente no ponto perto da casa de Quinzinho, às $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}+1 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}=8 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min}$. + +(b) Para obter os horários em que os ônibus passarão juntos no ponto de ônibus perto da casa de Quinzinho, devemos ir somando 1h15min, obtendo 8h45min, 10h, 11h15min, 12h30min, 13h45min, 15h, 16h15min, 17h30min, 18h45min, 20h, $21 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$, 22h30min e 23h45min. O próximo ônibus só passa depois da meia noite. + +## 159. Quadrados dentro de um retângulo + +(a) Como o menor quadrado tem $1 \mathrm{~cm}$ de lado, o lado do quadrado $A$ mede $1 \times 4=4 \mathrm{~cm}$ e o lado do quadrado $B$ mede $4+1=5$ $\mathrm{cm}$. O quadrado $C$ tem um lado em comum com o quadrado $B$, portanto, o quadrado $C$ também tem $5 \mathrm{~cm}$ de lado. Assim, o lado do quadrado maior mede $5+5+4=14 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-075.jpg?height=328&width=240&top_left_y=287&top_left_x=1548) + +(b) Os lados do retângulo medem $14 \mathrm{~cm}$ e $14+5=19 \mathrm{~cm}$, portanto, o perímetro do retângulo é $14 \times 2+19 \times 2=66 \mathrm{~cm}$. + +## 160. Festa na escola + +(a) A professora +16 alunos +1 monitor +5 pais $=23$ pessoas comerão os pães de queijo. Para que cada pessoa possa comer pelo menos 5 pães de queijo, será necessário comprar, no mínimo, $5 \times 23=115$ pães de queijo. Cada pão de queijo pesa, em média, $\frac{100}{10}=10$ gramas, de modo que será necessário comprar + +$$ +10 \times 115=1150 \text { gramas de pães de queijo. } +$$ + +Como a precisão da balança é de $100 \mathrm{~g}$, arredondamos $1150 \mathrm{~g}$ para $1200 \mathrm{~g}$ e obtemos a quantidade de pão de queijo que a professora deve comprar, em gramas. + +(b) Como $\frac{1200}{100}=12$, temos que a professora gastará $12 \times 3,20=38,40$ reais. + +(c) A quantidade de pães de queijo comprada foi de $\frac{1200}{10}=120$ pães. Logo, sobrarão $120-115=5$ pães de queijo. + +## 161. Ai que fome + +(a) Maria possui $5 \times 0,50+7 \times 0,25+4 \times 0,10+5 \times 0,05=2,50+1,75+0,40+0,25=4,90$ reais. + +(b) Tirando a passagem, restam $\mathrm{R} \$ 4,00$ para Maria fazer seu lanche. Observe que Maria não pode escolher uma empada e, se escolher um sanduíche, não pode mais comprar um refrigerante. Assim, Maria só tem as nove seguintes opções de lanche. + +| Opção 1 | Opção 2 | Opção 3 | Opção 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | Sanduíche: $\mathrm{R} \$ 2,20$ | +| Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | +| Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | +| Total: $\mathrm{R} \$ 3,80$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,90$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,60$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,70$ | + + +| Opção 5 | Opção 6 | Opção 7 | Opção 8 | Opção 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | Pastel: $\mathrm{R} \$ 2,00$ | +| Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Suco: $\mathrm{R} \$ 1,20$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Refresco: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | +| Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | Sorvete: $\mathrm{R} \$ 1,00$ | Bombom: $\mathrm{R} \$ 0,50$ | Cocada: $\mathrm{R} \$ 0,40$ | +| Total: $\mathrm{R} \$ 3,60$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,70$ | Total : $\mathrm{R} \$ 4,00$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,50$ | Total: $\mathrm{R} \$ 3,40$ | + +162. Advinhe - Somando $50+50=100$ obtemos três dígitos e $41-32=9$ tem um, portanto, os números procurados não podem ser maiores do que 49 , nem menores do que 42. Como 43 é primo (bem como 47), meus números são quaisquer dentre 42,43 , $44,45,46,47,48$ e 49, que não têm divisor comum diferente de 1 . +163. Produto de consecutivos - Em primeiro lugar, note que se três números são consecutivos, então um deles é divisível por 3. Portanto, qualquer número que seja o produto de três ou mais números consecutivos, deve ser divisível por 3. Mas, dentre os números dados, apenas 1680 é divisível por 3 e, além disso, + +$$ +1680=2^{4} \times 3 \times 5 \times 7=5 \times 6 \times 7 \times 8 +$$ + +Logo, 1680 é o único dentre os três números dados que pode ser escrito como um produto de quatro números consecutivos. + +## 164. Palíndromos + +(a) O próximo é 2112 . + +(b) O próximo palíndromo ímpar é 3003. + +(c) Para ser primo, o palíndromo não pode ter quatro algarismos, pois todo número palíndromo de quatro algarismos é do tipo $a b b a$, que é divisível por 11, já que + +$$ +\begin{aligned} +a b b a & =a 00 a+b b 0=a \times 1001+b \times 110=a \times 11 \times 91+b \times 11 \times 10 \\ +& =(91 a+10 b) \times 11 +\end{aligned} +$$ + +O primeiro número palíndromo de cinco algarismos é $10001=73 \times 137$, que não é primo. Os próximos possíveis candidatos são + +$$ +10101=3367 \times 3 \text { e } 10201=101 \times 101 +$$ + +Assim, o primeiro número palíndromo primo depois de 929 é 10301. + +165. O maior MDC - Designemos por $d$ o máximo divisor comum dos seis números. Então, esses seis números de dois algarismos são múltiplos distintos de $d$ e podemos reformular a pergunta: queremos saber qual é o maior número $d$ que possui seis múltiplos distintos menores do que 100. + +Note que $d, 2 d, 3 d, 4 d, 5 d$ e $6 d$ são todos múltiplos de $d$. Logo, a melhor situação possível é quando esses seis números são os múltiplos considerados. Para isso, é preciso que $6 d \leq 99$. Dividindo 99 por 6 , obtemos o quociente 16 e o resto 3 , ou seja, $99=6 \cdot 16+3$. Logo, $d=16$. Portanto, os seis números de dois algarismos cujo MDC é o maior possível são 16, 32, 48, 64, 80 e 96. O MDC desses seis números é 16 . + +166. Quantidade de água na Terra - Denotemos $V=1360000000$. Lembre que $1 \%=$ $1 / 100$, portanto, $1 \%$ de $V$ é igual a $1360000000 / 100=13600000$. Segue que: + +- $97 \%=\frac{97}{100}=0,97$ e $97 \%$ de $V$ vale $97 \times 13600000=1319200000 ;$ +- $\frac{40000000}{1360000000}=0,0294=2,94 \times \frac{1}{100}=2,94 \% ;$ +- $1,8 \%=\frac{1,8}{100}=0,018$ e $1,8 \%$ de $V$ vale + +$$ +1,8 \times 13600000=24480000 +$$ + +- $0,0096=0,96 \times \frac{1}{100}=0,96 \%$ e $0,96 \%$ de $V$ vale + +$$ +0,96 \times 13600000=13056000 +$$ + +- $\frac{250000}{1360000000}=0,00018=0,018 \times \frac{1}{100}=0,018 \%$; +- $0,00001=0,001 \times \frac{1}{100}=0,001 \%$ e $0,001 \%$ de $V$ vale + +$$ +0,001 \times 13600000=13600 +$$ + +Assim, a tabela completa é a seguinte. + +| Especificações | Volume de água em $\mathrm{km}^{3}$ | Percentual | Forma decimal do percentual | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| Água salgada | 1319200000 | $97 \%$ | 0,97 | +| Água doce | 40000000 | $2,94 \%$ | 0,0294 | +| Gelo | 24480000 | $1,8 \%$ | 0,018 | +| Água subterrânea | 13056000 | $0,96 \%$ | 0,0096 | +| Lagos e rios | 250000 | $0,018 \%$ | 0,00018 | +| Vapor de água | 13600 | $0,001 \%$ | 0,00001 | + +167. Balas - Primeiramente, precisamos saber de quantas maneiras podemos obter 14 como soma de três parcelas inteiras, cada uma delas maior do que ou igual a 3, isto é, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-077.jpg?height=108&width=466&top_left_y=2056&top_left_x=818) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-077.jpg?height=274&width=962&top_left_y=2210&top_left_x=290) + +Agora, para cada uma dessas possibilidades, podemos fazer diferentes distribuições entre as três crianças, conforme a tabela seguinte. Observe que, quando as três parcelas são diferentes, temos seis possibilidades e, quando duas são iguais, temos apenas três possibilidades. + +| | $1^{\text {a }}$ criança | $2^{\text {a }}$ criança | $3^{\text {a }}$ criança | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $14=3+3+8$ | 3 | 3 | 8 | +| | 3 | 8 | 3 | +| | 8 | 3 | 3 | +| $14=3+4+7$ | 3 | 4 | 7 | +| | 3 | 7 | 4 | +| | 4 | 3 | 7 | +| | 4 | 7 | 3 | +| | 7 | 3 | 4 | +| | 7 | 4 | 3 | +| $14=3+5+6$ | 3 | 5 | 6 | +| | 3 | 6 | 5 | +| | 5 | 3 | 6 | +| | 5 | 6 | 3 | +| | 6 | 3 | 5 | +| | 6 | 5 | 3 | +| $14=4+4+6$ | 4 | 4 | 6 | +| | 4 | 6 | 4 | +| | 6 | 4 | 4 | +| $14=4+5+5$ | 4 | 5 | 5 | +| | 5 | 4 | 5 | +| | 5 | 5 | 4 | + +Assim, temos $3+6+6+3+3=21$ maneiras diferentes de distribuir as balas entre as três crianças. + +168. Minutos - Observemos primeiramente que + +$$ +\frac{5}{6} \mathrm{~h}=\frac{5}{6} \times 60 \mathrm{~min}=50 \mathrm{~min} +$$ + +de modo que a prova durou $4 \mathrm{~h} 50 \mathrm{~min}$. Somando as horas e os minutos, obtemos + +$$ +12 \mathrm{~h} 35 \mathrm{~min}+4 \mathrm{~h} 50 \mathrm{~min}=16 \mathrm{~h} 85 \mathrm{~min} +$$ + +Mas, $85 \mathrm{~min}=1 \mathrm{~h} 25 \mathrm{~min}$. Logo, a prova termina às $16 \mathrm{~h} 85 \mathrm{~min}=17 \mathrm{~h} 25 \mathrm{~min}$. + +169. Menor número - Um número só é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Assim, usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 9, as únicas possibilidades são 12, 24, 32 ou 92 . Como 9 é o maior algarismo, devemos colocá-lo "o mais à direita possível", de modo que 9 deve ser o algarismo da casa das dezenas, ou seja, nosso número termina com 92 . Os outros algarismos 1,3 e 4 , devem aparecer em ordem decrescente à esquerda de 92 , ou seja, os três primeiros algarismos do número devem ser 134. Portanto, o número procurado é 13492. + +## 170. Contas do papagaio + +(a) Temos $8 \xrightarrow{\times 5} 40 \xrightarrow{+14} 54 \xrightarrow{\dot{\circ} 6} 9 \xrightarrow{-1} 8$. Logo, o papagaio grita 8 . + +(b) Devemos fazer a operação inversa daquela que o papagaio fez, começando da última operação, ou seja, somar 1 ao número, multiplicar o número por 6 , depois subtrair 14 e dividir por 5 o resultado: + +$$ +3 \xrightarrow{+1} 4 \xrightarrow{\times 6} 24 \xrightarrow{-14} 10 \xrightarrow{\div 5} 2 . +$$ + +Logo, Antônio soprou 2 no ouvido do papagaio. +(c) Observe que $7 \xrightarrow{+1} 8 \xrightarrow{\times 6} 48 \xrightarrow{-14} 34 \xrightarrow{\dot{* 5}} 6,8$. Como 6,8 não é um número inteiro, Antônio não vai soprá-lo ao ouvido do papagaio e, mesmo que soprasse, o papagaio não saberia realizar a primeira operação, que seria multiplicar $6,8 \times 5$. + +(d) Quando Antônio sopra um número $n$, o papagaio faz as operações + +$$ +n \xrightarrow{\times 5} 5 n \xrightarrow{+14} 5 n+14 \xrightarrow{\dot{\circ}} \frac{5 n+14}{6} \xrightarrow{-1} \frac{5 n+14}{6}-1 . +$$ + +O papagaio só saberá calcular a resposta se $5 n+14$ for divisível por 6 , ou seja, se for da forma $6 k$, com $k$ inteiro não-negativo. Se $5 n+14=6 k$, então $5 n+2=6(k-2)$ e, multiplicando ambos os lados por 5 , resulta $25 n+10=6(5 k-10)$, donde $n+24 n=25 n=6(5 k-10)-12+2$, ou seja, $n=6(5 k-12)+2-24 n=6(5 k-12-4 n)+2$. Assim, se Antônio sopra um número $n$ da forma $6 m+2$, o papagaio faz as operações + +$$ +6 m+2 \xrightarrow{\times 5} 30 m+10 \xrightarrow{+14} 30 m+24 \xrightarrow{\dot{\circ} 6} 5 m+4 \xrightarrow{-1} 5 m+3 +$$ + +e grita o número $5 m+3$. Se $n$ não for dessa forma, o papagaio permanece mudo. Logo, Antônio só pode soprar os números + +$$ +2,8,14,20,26,32,38, \ldots +$$ + +e o papagaio só pode responder, respectivamente, + +$$ +3,8,13,18,23,28,33, \ldots +$$ + +171. Soma maior que 34 - O maior número de quatro algarismos é 9999 , cuja soma dos algarismos é $4 \times 9=36$. Os números de quatro algarismos cuja soma dos algarismos é 35 são 8999, 9899, 9989 e 9998. Logo, temos cinco números de quatro algarismos com soma dos seus algarismos maior do que 34, que são os números 8999, 9899, 9 989, 9998 e 9999. +172. Nenhum 1 - Fatorando 111111 , obtemos $111111=3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37$. Segue daí que é possível, sim, escrever o número 111111 como um produto de dois fatores, nenhum deles terminando em 1. Por exemplo, $111111=3 \times 37037$. Mas existem outras possibilidades, como, por exemplo, $111111=7 \times 15873$. + +$\mathrm{Na}$ verdade, é possível listar todas as possibilidades. São elas + +$$ +\begin{array}{lllll} +3 \times 37037, & 7 \times 15873, & 13 \times 8547, & 33 \times 3367, & 37 \times 3003 \\ +39 \times 2849, & 77 \times 1443, & 143 \times 777, & 259 \times 429 \quad \text { e } & 273 \times 407 +\end{array} +$$ + +Logo, Roberto tem 10 opções para escrever 111111 na forma desejada. + +173. Números equilibrados - Note que se um número equilibrado tem os três algarismos distintos, diferentes de zero, então, com os mesmos algarismos, obtemos seis números equilibrados. Para isso, basta trocar os algarismos de posição. Por exemplo, 123, 132, 213, 231, 312 e 321 . + +Se um dos três algarismos do número equilibrado for 0 , então com esses algarismos obtemos apenas quatro números equilibrados, pois o 0 não pode estar na casa da centena. Por exemplo, 102, 120, 201 e 210. + +Assim, vamos variar apenas os algarismos da centena e da dezena. Como o algarismo da unidade é a média desses dois algarismos, esses dois algarismos devem ser ambos pares ou ambos ímpares. Listamos os possíveis números equilibrados a partir do algarismo das centenas. + +| $1: \leadsto 111$ | 132 | 153 | 174 | 195 | $\leadsto$ | total de números equilibrados
$1+4 \times 6=25$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $2: \leadsto 201$ | 222 | 243 | 264 | 285 | $\leadsto$ | $4+1+3 \times 6=23$ | +| $3: \leadsto$ | 333 | 354 | 375 | ; 396 | $\leadsto$ | $1+3 \times 6=19$ | +| $4: \leadsto$ | 402 | 444 | ; 465 | ; 486 | $\leadsto$ | $4+1+2 \times 6=17$ | +| $\leadsto$ | | 555 | ; 576 | ; 597 | $\leadsto$ | $1+2 \times 6=13$ | +| $\leadsto$ | | 603 | ; 666 | ; 687 | $\leadsto$ | $4+1+6=11$ | +| | | | 777 | $; \quad 798$ | $\leadsto$ | $1+6=7$ | +| | | | 804 | $; \quad 888$ | $\leadsto$ | $4+1=5$ | +| | | | | 999 | $\rightarrow$ | | + +Somando, temos 121 números equilibrados de três algarismos. + +174. Números primos - Os números primos entre 70 e 110 são + +71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 e 109. + +Subtraindo 1 de todos esses números, obtemos a lista + +$$ +70, \quad 72, \quad 78, \quad 82, \quad 88, \quad 96, \quad 100, \quad 102, \quad 106 \text { e } 108 +$$ + +Dessa lista, os múltiplos de 3 são 72, 78, 96, 102 e 108. Logo, os números procurados são + +$$ +24=72 \div 3,26=78 \div 3,32=96 \div 3,34=102 \div 3 \text { e } 36=108 \div 3 +$$ + +De fato, temos $24 \times 3+1=73,26 \times 3+1=79,32 \times 3+1=97,34 \times 3+1=103 \mathrm{e}$ $36 \times 3+1=109$. + +## 175. Quadro moderno + +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-080.jpg?height=314&width=317&top_left_y=2010&top_left_x=755) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-080.jpg?height=317&width=308&top_left_y=2012&top_left_x=1231) + +A figura (a) mostra como foi pintado o quadrado nas duas cores, mas ainda não sabemos qual dessas partes é azul ou verde. Para isso, dividimos o quadrado em quatro faixas verticais, como na figura (b), com o que o quadrado ficou dividido em 16 quadradinhos iguais. A parte não hachurada compreende + +$$ +\underbrace{4 \text { meios quadrados }}_{2 \text { quadrados }}+8 \text { quadrados }=10 \text { quadrados. } +$$ + +Logo, a parte não hachurada corresponde a 10/16 do quadro, ou $5 / 8$ e, portanto, a parte hachurada corresponde a + +$$ +\frac{16}{16}-\frac{10}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} +$$ + +Assim, a parte hachurada da figura é a que foi pintada de azul e corresponde a $3 / 8$ do quadro. + +176. Encontro de amigos - Eu chegarei quando meu relógio marcar 10h05min, uma vez que penso que meu relógio está adiantado cinco minutos. Como ele está atrasado dez minutos, chegarei, na verdade, às $10 \mathrm{~h} 15 \mathrm{~min}$. Meu amigo chegará quando seu relógio marcar 10h, pois ele pensa que o relógio dele está correto, mas, na realidade, serão 09h55min. Logo, meu amigo chegará vinte minutos antes de mim. +177. Trabalho comunitário - A resposta correta é (b). + +O número total de alunos dessa classe é $22+18=40$, dos quais $60 \%$ foram prestar trabalho comunitário, isto é, $0,6 \times 40=24$. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando todos os 22 alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de duas vagas para as alunas. + +178. Área de trapézios - A resposta correta é (e). + +Unindo os quatro trapézios, formamos um quadrado de $50 \mathrm{~cm}$ de lado e, portanto, de $2500 \mathrm{~cm}^{2}$ de área. Como o "buraco" quadrado tem $30 \mathrm{~cm}$ de lado, sua área é de $30 \times 30=900 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a área de cada um dos quatro trapézios, em $\mathrm{cm}^{2}$, é dada por $(2500-900) \div 4=1600 \div 4=400$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-081.jpg?height=328&width=300&top_left_y=1452&top_left_x=1503) + +179. Adivinhação - Já de início sabemos que o maior dos dois números + +- é par, por ser o dobro do menor, mas não termina em zero, porque o maior e o menor número não possuem algarismos em comum; +- seu algarismo das dezenas é 2 , no mínimo, porque sua metade é um número com dois algarismos e +- a soma de seus algarismos é 9 , no máximo, porque essa soma é um dos algarismos do menor número. + +Logo, o menor candidato a maior dos dois números é 22 e o maior é 72 . Depois de 22 , o número par seguinte é 24 , que desconsideramos porque sua metade é 12 , que repete o algarismo 2. Já 26 é candidato nesse critério, mas 28 não é, por ter soma de algarismos igual a 10. Continuando até 72 , obtemos todos os candidatos, indicados na tabela seguinte. + +| maior | 22 | 26 | 32 | 34 | 36 | 44 | 54 | 62 | 72 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| menor | 11 | 13 | 16 | 17 | 18 | 22 | 27 | 31 | 36 | + +Por verificação, temos que 34 e 17 é a única solução, tendo sido os dois números em que pensei. + +180. Dezoito números consecutivos - Uma sequência de dezoito números consecutivos sempre possui dois termos que são múltiplos de 9. A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 sempre é um múltiplo de 9. Logo, toda sequência de dezoito números consecutivos sempre possui dois termos que são divisíveis por 9 e cuja soma de seus algarismos também é divisível por 9. Agora, cada um desses dois números têm três algarismos, portanto, os únicos múltiplos de 9 que podem ser a soma dos algarismos são 9,18 e 27. No entanto, 999 é o único número de três algarismos cuja soma dos algarismos é 27 e a única sequência de dezoito números consecutivos de três dígitos que o inclua é a sequência de 982 a 999, que não inclui número de três algarismos com soma de algarismos igual a 9 e um único com essa soma igual a 27. Assim, as únicas possibilidades para as somas dos algarismos dos dois múltiplos de 9 da sequência são +(i) 9 e 9 ; +(ii) 9 e 18 ; +(iii) 18 e 18 ; +(iv) 18 e 27 . + +Vejamos alguns exemplos de cada um desses quatro casos. + +(i) 9 e 9: um dos números é 144 e o outro é $135=144-9$ ou $153=144+9$. Duas possíveis sequências são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-082.jpg?height=405&width=1117&top_left_y=1551&top_left_x=595) + +(ii) 9 e 18: um dos números é 900 e o outro é 891 ou 909. Duas possíveis sequências são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-082.jpg?height=100&width=1074&top_left_y=2166&top_left_x=594) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-082.jpg?height=205&width=1105&top_left_y=2276&top_left_x=593) + +$\underbrace{}_{10 \varrho}, \underbrace{}_{11 \varrho}, \underbrace{909}_{12 \varrho}, \underbrace{}_{13 \varrho}, \underbrace{}_{14 \varrho}, \underbrace{}_{15 \varrho}, \underbrace{}_{160}, \underbrace{}_{17 \varrho}, \underbrace{915}_{189}$. + +(iii) 18 e 18: um dos números é 828 e o outro é 819 ou 837 . Duas possíveis sequências +são + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=103&width=1074&top_left_y=328&top_left_x=548) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=105&width=1116&top_left_y=433&top_left_x=550) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=97&width=1080&top_left_y=543&top_left_x=548) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=106&width=1074&top_left_y=635&top_left_x=548) + +(iv) 18 e 27: um dos números é 999 e temos uma única opção para a sequência, a saber, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-083.jpg?height=217&width=1080&top_left_y=942&top_left_x=565) + +Analisemos, agora, cada caso. Nos casos (i) e (ii), um dos números é divisível por 9, que é a soma de seus algarismos. No caso (iv), um dos números é 999 , que é divisível por 27. Finalmente, no caso (iii), um dos dois múltiplos de 9 necessariamente é par, pois são dois múltiplos consecutivos de 9. Logo, esse número é um múltiplo de 2 e de 9, portanto é um múltiplo da soma de seus algarismos, que é 18. + +181. Completar uma tabela - Observe que em cada quadrado formado por quatro quadradinhos, o número que está na parte inferior, à direita, é a soma dos outros três números. Assim, preenchemos a tabela. + +| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 2 | 5 | 10 | $3+4+10=17$ | +| 2 | $1+2+2=5$ | $2+5+5=12$ | $5+10+12=27$ | $10+17+27=54$ | +| 3 | 10 | 27 | 66 | 147 | +| 4 | 17 | 54 | 147 | $\mathbf{A}$ | + +Logo: + +$$ +\mathbf{A}=66+147+147=360 +$$ + +182. Procurando múltiplos de 9 - Sempre existe uma diferença que é um múltiplo de 9 . De fato, quando dividimos um número por 9 , podemos encontrar nove restos diferentes, a saber, $0,1,2,3,4,5,6,7$ ou 8 . Logo, entre os dez números do conjunto, pelo menos dois deles têm mesmo resto quando divididos por 9 , já que temos, no máximo, nove restos diferentes. Quando tomamos a diferença desses dois números que têm o mesmo resto, obtemos um número com resto zero, ou seja, divisível por 9 . +183. Correndo numa praça - A distância que o atleta percorre a cada volta completa é igual ao perímetro da praça, de $2 \times 900+2 \times 600=3000 \mathrm{~m}$. + +Como $15,5 \mathrm{~km}=15500 \mathrm{~m}$ e $5 \times 3000+500=15500$ $\mathrm{m}$, o atleta dá cinco voltas completas (partindo de $\mathrm{P}$ e retornando a P) e ainda corre mais $500 \mathrm{~m}$. Portanto, ele para no ponto $\mathrm{Q}, 150 \mathrm{~m}$ além do vértice $\mathrm{B}$, indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-084.jpg?height=276&width=460&top_left_y=336&top_left_x=1415) + +184. Ovos para um bolo - Como os 43 bolos têm a mesma receita, o número de ovos que a doceira precisa é um múltiplo de 43. Por outro lado, esse número também é um múltiplo de 2, 3, 4, 5 e 6 , acrescido de 1 . O MMC de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , mas $60+1=61$ não é múltiplo de 43. Precisamos, então, encontrar um número com essas duas propriedades: + +- é um múltiplo de 43 ; +- acrescido de 1 é múltiplo de $2,3,4,5$ e 6 . + +Lembre, também, que como a receita gasta menos do que nove ovos, o número que estamos procurando é menor do que $43 \times 9=387$. Temos: + +$$ +\begin{array}{ll} +60 \times 2+1=121 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 3+1=181 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 4+1=241 & \text { não é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 5+1=301 & \text { é múltiplo de } 43 \\ +60 \times 6+1=361 & \text { não é múltiplo de } 43 +\end{array} +$$ + +Podemos parar por aqui, porque os próximos números serão maiores do que 387. Logo, a doceira comprou exatamente 301 ovos. + +185. Cortando uma cartolina - Os lados do retângulo final obtido após os cortes são, cada um, a metade dos lados da cartolina original. Assim, o perímetro do retângulo original é o dobro do perímetro do retângulo final. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte media $2 \times 129=258 \mathrm{~cm}$. + +Observação: Ao fazer um corte paralelo a um dos lados do triângulo e pelo ponto médio desse lado, o outro corte que formará o retângulo só pode ocorrer no ponto médio do outro lado, em vista da semelhança desses triângulos. Assim, o enunciado contém um dado a mais, desnecessário para quem reconhece semelhança de triângulos e suas propriedades. + +186. A soma errada - À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita dos números estejam corretos, isto é, estão corretos os algarismos $0,1,3,4,5$, 6 e 8. Portanto, dentre os algarismos 2,7 e 9 , um deles está errado. O algarismo 9 está correto, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Assim, sobram 2 e 7. Se o 7 estivesse errado, então o 2 estaria correto, mas isso não é possível, pois $1+4+2=7$. Logo, é o 2 que está errado e deve ser substituído. Olhando novamente para a soma $1+4+2$, vemos que o resultado é um número com o algarismo da unidade igual a 1. Logo, o algarismo 2 deve ser substituído quatro vezes pelo 6 . Fazendo essa substituição, verificamos que a soma fica correta. +187. Número de cinco algarismos - Para que $a b c$ seja divisível por 4 , seus dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4. Como os algarismos são $1,2,3$, 4 e 5 , as únicas possibilidades são $b c=12, b c=24, b c=32$ e $b c=52$. Por outro lado, os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5 . Como 0 não está incluído, segue que $d=5$, pois $b c d$ é divisível por 5 . Isso exclui a possibilidade $b c=52$, porque não podemos repetir o 5 . Até agora temos três possibilidades, a saber, + +$$ +\text { a125e, } a 245 e \text { e a325e. } +$$ + +Examinemos esses três casos para escolher os algarismos $a$ e $e$, lembrando que não pode haver repetição. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=483&width=462&top_left_y=798&top_left_x=363) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=423&width=297&top_left_y=802&top_left_x=845) + +Ñ é múltiplo de 3 É múltiplo de 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=368&width=280&top_left_y=798&top_left_x=1342) + +$43251 \quad 13254$ + +Ñ é múltiplo de 3 Ñ é múltiplo de 3 + +Logo, o número é 12453 . + +188. Tabela misteriosa - Observemos que: + +- na última coluna estarão os múltiplos de 9 , porque essa coluna está em branco e nenhum dos números que aparecem na tabela é múltiplo de 9 ; +- na $5^{a}$ linha estarão os múltiplos de 12 , pois é nessa linha que aparece o único múltiplo de 12 da tabela (a saber, 24); +- na $4^{\text {a }}$ coluna estarão os múltiplos de 10, pois 40 é o único múltiplo de 10 na tabela; +- na 5a coluna teremos múltiplos de 7 , pois 42 e 49 são os únicos múltiplos de 7 na tabela; +- na 2a linha estarão os múltiplos de 7 , porque 1 e 7 são os únicos divisores de 49 menores do que 12 ; +- na $3^{\text {a }}$ coluna aparecerão os múltiplos de 2 , pois 2 é o único divisor comum de 22 e 24 diferente de 1 ; +- na $3^{\text {a }}$ linha aparecerão os múltiplos de 11 , pois $22=2 \times 11$ e os múltiplos de 2 já estão na $3^{\text {a }}$ coluna; +- na $6^{\text {a }}$ linha aparecerão os múltiplos de 6 , pois os divisores de $42=2 \times 3 \times 7$ menores do que 12 e diferentes de 1 são $2,3,6$ e 7 . Os múltiplos de 2 e 7 já estão em seus respectivos lugares. Faltam os múltiplos de 3 e 6 . Os únicos múltiplos de 6 na tabela são 24 e 42 , e 24 já aparece na $5^{a}$ linha; +- na $2^{\mathrm{a}}$ coluna e na $4^{\mathrm{a}}$ linha aparecerão os múltiplos de 3 ou 5 , pois $15=3 \times 5$; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-085.jpg?height=51&width=1485&top_left_y=2553&top_left_x=343) +comuns de 32 e 40 , menores do que 12 e diferentes de 1 , são 2,4 e 8 , mas os múltiplos de 2 já estão na 3 a coluna. + +Até aqui, a situação é a seguinte. + +| | 4 ou 8 | 3 ou 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 ou 8 | 32 | | | 40 | | | +| 7 | | | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | | | 22 | 10 | 77 | 99 | +| 3 ou 5 | | 15 | | | | | +| 12 | | | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | | | 12 | 60 | 42 | 54 | + +Examinemos agora as possibilidades que se apresentam. + +I - Repetição de ambos 30 e 60 + +| | 8 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 32 | 20 | 8 | 40 | 28 | 36 | +| 7 | 56 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 88 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 3 | 24 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 | +| 12 | 96 | $\mathbf{6 0}$ | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | 48 | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 | + +III - Repetição de ambos 12 e 40 + +| | 8 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 32 | $\mathbf{1 2}$ | 8 | $\mathbf{4 0}$ | 28 | 36 | +| 7 | 56 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 88 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 5 | $\mathbf{4 0}$ | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 | +| 12 | 96 | 36 | 24 | 120 | 84 | 108 | +| 6 | 48 | 18 | $\mathbf{1 2}$ | 60 | 42 | 54 | + +II - Três números repetidos + +| | 4 | 5 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 32 | 40 | 16 | 80 | 56 | 72 | +| 7 | 28 | 35 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 44 | 55 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 3 | 12 | 15 | 6 | $\mathbf{3 0}$ | 21 | 27 | +| 12 | 48 | $\mathbf{6 0}$ | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 | +| 6 | $\mathbf{2 4}$ | $\mathbf{3 0}$ | 12 | $\mathbf{6 0}$ | 42 | 54 | + +IV - Apenas um número repetido + +| | 4 | 3 | 2 | 10 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 32 | $\mathbf{2 4}$ | 16 | 80 | 56 | 72 | +| 7 | 28 | 21 | 14 | 70 | 49 | 63 | +| 11 | 44 | 33 | 22 | 110 | 77 | 99 | +| 5 | 20 | 15 | 10 | 50 | 35 | 45 | +| 12 | 48 | 36 | $\mathbf{2 4}$ | 120 | 84 | 108 | +| 6 | $\mathbf{2 4}$ | 18 | 12 | 60 | 42 | 54 | + +Logo, a única solução é a da tabela IV. + +189. Habitantes e esporte - O total de habitantes desta cidade é praticamente $30000 \mathrm{e}$ é divisível por 9 e 15. Logo, deve terminar em 0 ou 5 e a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de 9. Como 29970 é o maior número que é menor do que 30000 e tem fatores 9 e 15, podemos supor que essa seja a população total da cidade. Logo, + +$$ +\frac{2}{15} \times 29970=3996 \text { e } \frac{2}{9} \times 29970=6660 +$$ + +é o número de mulheres e de homens, respectivamente, que praticam esporte somente nos fins de semana. A tabela dada indica que $8563+7582=16145$ pessoas não praticam esporte. Logo, a cidade tem $16145 \div 5=3229$ pessoas que praticam esporte regularmente e, portanto, $3229-1252=1977$ pessoas do sexo feminino praticam esporte regularmente. A tabela completa é a seguinte. + +| | | Praticam esporte
Nomente nos fins
de semana | | Praticam
esporte
regularmente | | População | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| fem. | masc. | fem. | masc. | fem. | masc. | total | +| 8563 | 7582 | 3996 | 6600 | 1977 | 1252 | 29970 | + +190. Botões luminosos - A resposta correta é (c). + +A tabela mostra a cor de cada botão em cada etapa. + +| | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{6}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{8}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| início | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | azul | +| apertando botão 1 | verde | verde | azul | azul | azul | azul | azul | verde | +| apertando botão 3 | verde | azul | verde | verde | azul | azul | azul | verde | +| apertando botão 5 | verde | azul | verde | azul | verde | verde | azul | verde | + +Logo, os botões que ficaram com luzes verdes acesas no final são $1,3,5,6$ e 8 , o que nos dá um total de cinco botões. + +191. Qual é o número? - O problema é determinar os algarismos $b, c, d, e$ e $f$ tais que o número $b c d$ e $f 1$ seja o triplo de $1 b c d e f$. + +De início vemos que $f=7$ e, a partir daí, podemos ir descobrindo cada um dos algarismos, como segue. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-087.jpg?height=166&width=1256&top_left_y=1776&top_left_x=434) + +Portanto, $b=4$ e o número de partida é 142857 . + +192. Jardim variado - Os triângulos 1, 2, 5 e 6 são retângulos, de modo que, para calcular suas áreas, vamos "enxergar" cada um deles como metade de um retângulo. Para que a nossa estratégia funcione, precisamos saber dividir o terreno retangular em retângulos menores. + +Subdividimos o terreno em dezesseis retângulos de 15 por $40 \mathrm{~m}$, como mostra a figura, cada um com uma área de $15 \times 40$ $=600 \mathrm{~m}^{2}$. Então temos que + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-087.jpg?height=354&width=477&top_left_y=2096&top_left_x=1395) + +- a área do triângulo $1=$ área do triângulo $5=\frac{1}{2} \times 4 \times 600=1200 \mathrm{~m}^{2}$; +- a área do triângulo $2=\frac{1}{2} \times 6 \times 600=1800 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e}$ +- a área do triângulo $6=\frac{1}{2} \times 2 \times 600=600 \mathrm{~m}^{2}$. + +Observe que a área do triângulo 4 é igual à área do terreno todo, subtraída das áreas dos triângulo 5 e 6 e da área da região à esquerda de $M R$. Contando retângulos, vemos que essa área mede $10 \times 600=6000 \mathrm{~m}^{2}$. Logo, a área do triângulo 4 é dada por + +$$ +120 \times 80-(1200+600+6000)=9600-7800=1800 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Finalmente, a área do triângulo 3 é a área total do terreno subtraída da soma das áreas já calculadas dos outros cinco triângulos, ou seja, + +$$ +120 \times 80-(2 \times 1200+2 \times 1800+600)=9600-6600=3000 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Para que o gasto seja o menor possível, as flores mais caras devem ser plantadas nas regiões menores. Como a menor região é a 6 , nela deve ser plantada a flor mais cara, a rosa, gastando $3,50 \times 600=2100$ reais. A maior região é a 3, onde deve ser plantada a flor mais barata, o bem-me-quer, gastando $0,80 \times 3000=2400$ reais. + +Nas regiões 1 e 5, com áreas iguais a $1200 \mathrm{~m}^{2}$, devem ser plantadas bromélias e cravos, contribuindo com $(3,00+2,20) \times 1200=6240$ reais. Nas regiões 2 e 4 , com áreas iguais a $1800 \mathrm{~m}^{2}$, devem ser plantadas margarida e violeta, contribuindo com $(1,20+1,70) \times 1800=5220$ reais. + +Temos, então, quatro diferentes maneiras de formar o jardim, mantendo o mesmo gasto mínimo de $2100+2400+6240+5220=15960$ reais. Apresentamos a seguir uma das quatro possibilidades de escolhas das flores com esse orçamento mínimo. + +| Região | Área $^{2}$ | Flor | Preço $^{2}$ | Total por flor | +| :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | +| 1 | 1200 | bromélia | 3,00 | $3,00 \times 1200=3600$ | +| 2 | 1800 | margarida | 1,20 | $1,20 \times 1800=2160$ | +| 3 | 3000 | bem-me quer | 0,80 | $0,80 \times 3000=2400$ | +| 4 | 1800 | violeta | 1,70 | $1,70 \times 1800=3060$ | +| 5 | 1200 | cravo | 2,20 | $2,20 \times 1200=2640$ | +| 6 | 600 | rosa | 3,50 | $3,50 \times 600=2100$ | +| | TOTAL: 15960 | | | | + +193. O algarismo 3 - Vejamos todas as vezes que Luis escreveu o algarismo 3: + +- $3 \sim 1$; +- $\underbrace{13,23}_{2}, \underbrace{30,31,32,33, \ldots, 39}_{11}, \underbrace{43, \ldots, 93}_{6} \sim 2+11+6=19$. + +Até aqui, ele escreveu vinte vezes o algarismo 3. Daí temos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-088.jpg?height=103&width=599&top_left_y=2490&top_left_x=814) + +Logo, ao escrever o número 131, ele escreveu o algarismo 3 pela $25^{\text {a }}$ vez. + +194. Soma de potências - Existe um padrão para o algarismo das unidades de uma potência de 3: ele tem período 4, pois se repete de quatro em quatro vezes. De fato, temos + +$$ +\begin{array}{ll} +3 & 3^{5}=243 \\ +3^{2}=9 & 3^{6}=\ldots 9 \\ +3^{3}=27 & 3^{7}=\ldots 7 \\ +3^{4}=81 & 3^{8}=\ldots 1 +\end{array} +$$ + +Como 444 é múltiplo de 4 , o algarismo das unidades de $3^{444}$ é 1 . + +Analogamente, o algarismo das unidades de potências de 4 tem período 2. De fato, temos + +$$ +\begin{array}{ll} +4^{1}=4 & 4^{3}=64 \\ +4^{2}=16 & 4^{4}=256 +\end{array} +$$ + +Como 333 é ímpar, o algarismo das unidades de $4^{333}$ é 4. Portanto, o algarismo das unidades de $3^{444}+4^{333}$ é $1+4=5$, de modo que ele é divisível por 5 . + +LEMBRETE: Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5 . + +195. Telefonemas - Como João telefona para seus pais a cada três dias, podemos montar uma tabela indicando os dias da semana em que ocorreram os quatorze primeiros telefonemas de João. + +Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado + +| 10 | $6^{\circ}$ | $4^{\circ}$ | $2^{\circ}$ | $7^{\circ}$ | $5^{\circ}$ | $3^{\circ}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $8^{\circ}$ | $13^{\circ}$ | $11-$ | 9 | $14-$ | $12^{\circ}$ | $10^{\circ}$ | + +Analisando a primeira linha dessa tabela, percebemos que são sete telefonemas, um em cada dia da semana e que, a partir do sétimo telefonema, os dias começam a se repetir. Isso implica que os números que aparecem na segunda linha da tabela são obtidos dos números que aparecem na primeira linha somando 7. Por exemplo, João telefonará para seus pais aos domingos nos telefonemas de números + +$$ +\begin{array}{r} +1 \\ +1+7=8 \\ +8+7=15 \\ +15+7=22 \\ +22+7=29 \\ +29+7=36 +\end{array} +$$ + +ou seja, nos números que deixam resto 1 quando divididos por 7. Com esse raciocínio, podemos determinar o dia da semana em que cai uma ligação, analisando o resto da divisão do número do telefonema por 7. + +| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 6 | 4 | 2 | 7 | 5 | 3 | +| 8 | 13 | 11 | 9 | 14 | 12 | 10 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | +| resto 1 | resto 6 | resto 4 | resto 2 | resto 0 | resto 5 | resto 3 | + +Dividindo 100 por 7, obtemos $100=7 \times 14+2$. Logo, o resto da divisão de 100 por 7 é 2 e segue que o centésimo telefonema ocorre numa quarta-feira. + +196. O maior produto - Observe que obtemos o maior resultado possível se um dos números começar com o algarismo 5 e o outro com 4 . Além disso, como só temos cinco algarismos, um dos dois números deve ter somente um ou dois algarismos. Vejamos as possibilidades que dão o maior produto. + +- um dos fatores tem um algarismo: + +$5321 \times 4=21284 ; 4321 \times 5=21605$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-090.jpg?height=162&width=434&top_left_y=690&top_left_x=1439) + +- um dos fatores tem dois algarismos: + +$$ +\begin{aligned} +& 532 \times 41=21812 ; 531 \times 42=22302 ; 521 \times 43=22403 \\ +& 432 \times 51=22032 ; 431 \times 52=22412 ; 421 \times 53=22313 +\end{aligned} +$$ + +Logo, o melhor resultado é $431 \times 52=22412$. + +197. O caminho da Joaninha - Os números primos que aparecem na tabela são 23 , 73, 37, 17, 79, 19, 37, 53 e 251. Logo, só há dois caminhos que Dona Joaninha pode percorrer. Um é o apresentado na figura. O outro é idêntico, exceto que o azulejo 87 fica à esquerda, passando entre 87 e 231 e, depois, seguindo horizontalmente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-090.jpg?height=434&width=620&top_left_y=1513&top_left_x=798) + +198. O lugar dos amigos - Observe que 3 é o único número dentro das três figuras e 1 é o único que não está dentro de um polígono, logo Celina $\leadsto 3$ e Fábio $\leadsto 1$. Agora, 4 é o único número dentro do triângulo e do círculo, $\log$ Elisa $\sim 4$. Nessa situação, 5 é o único dentro do triângulo, mas não do quadrado, assim Diana $\sim 5$. Finalmente, 7 é o único número dentro de uma única figura, $\log$ Bento $\sim 7$. Resta, então, 2 dentro do círculo, portanto, Guilherme $\sim 2$ e Ana $\sim 6$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-090.jpg?height=236&width=1060&top_left_y=2394&top_left_x=570) +199. Quadrado perfeito? - Lembre que um número é um quadrado perfeito se na sua decomposição em fatores primos os expoentes são todos pares. Por exemplo, + +- $5^{4} \times 7^{6} \times 13^{2}$ é um quadrado perfeito, pois é igual a $\left(5^{2} \times 7^{3} \times 13\right)^{2}$. + +Como nenhum número elevado ao quadrado termina em 3 , segue que $N_{1}=333 \ldots 3$ não é um quadrado. + +Temos que $N_{2}=666 \ldots 6=2 \times 333 \ldots 3$. Como $333 \ldots 3$ é ímpar, então na decomposição de $N_{2}$ em fatores primos aparece só um fator 2. Logo, $N_{2}$ não é um quadrado. + +Vejamos a divisibilidade por 3. A soma dos algarismos desses números é + +$$ +\begin{aligned} +& N_{3} \leadsto 50 \times 15=750 \\ +& N_{4} \leadsto 50 \times 21=1050 \\ +& N_{5} \leadsto 50 \times 27=1350 +\end{aligned} +$$ + +Como todas essas somas são divisíveis por 3, essas três somas também são divisíveis por 3. Logo, se algum deles fosse um quadrado perfeito, teria que ser divisível por 9. + +A soma dos algarismos de $N_{3}$ e $N_{4}$ não é divisível por 9 , logo esses dois números não são divisíveis por 9 e, consequentemente, não são quadrados perfeitos. + +Como 1350 é divisível por 9, então $N_{5}$ é divisível por 9 . Temos + +$$ +2727272727 \ldots 27 \div 9=303030 \ldots 03 +$$ + +e + +$$ +303030 \ldots 03 \div 3=101010 \ldots 01 +$$ + +portanto, + +$$ +2727272727 \ldots 27=3^{2} \times 303030 \ldots 03=3^{3} \times 101010 \ldots 01 +$$ + +Note que $101010 \ldots 01$ tem 49 algarismos, dos quais 25 são iguais a 1 e os outros iguais a 0. Logo, a soma de seus algarismos é 25 e, portanto, não é divisível por 3. Assim, $2727272727 \ldots 27$ é divisível por $3^{3}$, mas não por $3^{4}$. Assim, concluímos que tampouco $N_{5}$ é um quadrado perfeito. + +200. Preenchendo quadradinhos - A operação é equivalente a + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +portanto, o lado esquerdo da igualdade é um múltiplo de 4. Usando apenas os números $1,2,3,5$ e 6 , é possível verificar que as únicas possibilidades são + +$$ +(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\square+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +Daí, podemos concluir que + +$$ +([5+\square-6) \times \square=4 \times \square \quad \text { ou } \quad(\boxed{6}+\square-\square) \times \square=4 \times \square +$$ + +são as únicas possibilidades de preenchimento. + +201. Os três números - Como 13983 termina em 3, a soma dos algarismos das unidades dos três números diferentes deve ser 13 ou 23. Como 23 não pode ser obtido na soma de 1, 2, 4 e 7 , só temos uma opção, a saber, $2+4+7=13$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-092.jpg?height=291&width=331&top_left_y=374&top_left_x=1522) + +Agora, a soma dos algarismos das dezenas deve ser $8-1=7$ e, portanto, só pode ser $1+2+4=7$. Completamos os algarismos das dezenas, tendo o cuidado de não repetir o mesmo algarismo num mesmo número. Temos somente as três opções seguintes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-092.jpg?height=290&width=1182&top_left_y=924&top_left_x=518) + +Os algarismos das centenas devem somar 9 , o que nos deixa duas possibilidades, $4+4+1$ ou $1+1+7$. Como nas três opções o algarismo 4 ocorre em dois dos três números, escolhemos a possibilidade $1+1+7$ para a centena, para que não apareça repetido $o$ algarismo 4. Também precisamos cuidar para que não apareçam repetidos o 1 e o 7, o que elimina a terceira opção acima e nos leva a duas opções para as centenas, como segue. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-092.jpg?height=304&width=936&top_left_y=1702&top_left_x=638) + +Finalmente, os algarismos das unidades de milhar devem somar 13 e é fácil escolhê-los. Assim, Sofia pode chegar a 13983 de duas maneiras, como segue. + +| | 4 | 7 | 1 | 2 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 7 | 1 | 2 | 4 | +| | 2 | 1 | 4 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + + +| | 7 | 1 | 4 | 2 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 2 | 7 | 1 | 4 | +| | 4 | 1 | 2 | 7 | +| 1 | 3 | 9 | 8 | 3 | + +202. Preencher uma tabela - Existem várias maneiras de preencher a tabela, dependendo da casa que escolhemos para ser preenchida, o que pode ser feito de várias maneiras. Vejamos um exemplo de como preencher a tabela. Inicialmente, temos quatro casas que podem ser preenchidas, todas marcadas com X. Escolhemos uma delas e preenchemos de acordo com a segunda regra. Repetimos esse processo até a tabela estar completamente preenchida. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=442&width=1536&top_left_y=405&top_left_x=292) +$\leadsto$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=208&width=1016&top_left_y=638&top_left_x=672) + +Mas, para colocar em cada casa o maior número possível, a idéia é, a cada vez, examinar todas as casas que podem ser preenchidas e só preencher a casa em que podemos colocar o maior número. Se em duas dessas casas o número a ser colocado for o mesmo, preencheremos a que tem o menor número de casas vizinhas já preenchidos. Vamos lá! +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=646&width=1498&top_left_y=1062&top_left_x=290) + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | | | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=208&width=471&top_left_y=1712&top_left_x=290) + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | | + + +| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | | 1754 | + + +$\leadsto$| 27 | 54 | 72 | 216 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 18 | 144 | 432 | +| 3 | 6 | 1178 | 576 | +| $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | 3516 | 1754 | + +Logo, o maior número que pode ser escrito na tabela é 3516 . + +203. Olimpiada de Pequim - Para iniciar, escolhemos um lugar para um dos atletas, digamos, para Maria. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-093.jpg?height=172&width=263&top_left_y=2344&top_left_x=928) +(a) Quem pratica natação está à esquerda de Maria. Logo, só podemos ter a configuração abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=208&width=263&top_left_y=433&top_left_x=1022) + +(b) Quem pratica ginástica está à frente de Juan. Existem duas únicas possibilidades: Maria pratica ginástica ou Maria não pratica ginástica. + +Maria pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=257&width=420&top_left_y=928&top_left_x=447) + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=285&width=289&top_left_y=914&top_left_x=1546) + +(c) Como Tânia e David sentaram-se juntos, então somente a segunda opção do item anterior - Maria não pratica ginástica - pode satisfazer essa condição. Ela gera as seguintes duas possibilidades. + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=320&width=394&top_left_y=1482&top_left_x=431) + +Maria não pratica ginástica + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=320&width=374&top_left_y=1479&top_left_x=1458) + +(d) Como uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica vôlei, é a segunda opção acima que é a correta, e temos duas possibilidades para o atleta que pratica atletismo: David ou Maria. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-094.jpg?height=320&width=1478&top_left_y=2076&top_left_x=401) + +## 204. Culturas diferentes + +(a) (i) 03/12 significa 12 de março para Ralph e 03 de dezembro para Jorge, portanto, é uma data ambígua. +(ii) 18/08 só pode ser mesmo 18 de agosto. + +(iii) 05/05 só pode ser 05 de maio. + +Logo, (i) é uma data em que eles não podem se escrever. + +(b) A data só é ambígua quando o número do dia também puder representar o número do mês, logo quando é um número de 1 a 12. Por outro lado, nesses números não há ambiguidade quando o número do mês for igual ao número do dia. Por exemplo, 05/05 só pode ser 05 de maio. Por isso, em cada mês, eles devem evitar 11 dias. Logo, os períodos mais longos em que eles não podem se escrever ocorrem em 11 dias consecutivos de janeiro - de 02 a 12 de janeiro - e em dezembro - de 02 a 12 de dezembro. Observe que nos outros meses os períodos em que eles não podem se escrever são menores. Por exemplo, + +- em abril eles não podem se escrever de 01/04 a 12/04, exceto em 04/04; +- em setembro eles não podem se escrever de 01/09 a 12/09, exceto em 09/09. + +205. Uma liquidação - Na liquidação, exceto aos sábados, os produtos estão $50 \%$ mais baratos. Nos sábados, com o desconto adicional de 20\%, os produtos estão custando $80 \%$ dos preços fora dos sábados, ou seja + +$$ +80 \% \text { de } 50 \%=\frac{80}{100} \times \frac{50}{100}=\frac{40}{100}=40 \% \text { do preço original. } +$$ + +Logo, Roberta deixou de economizar $60 \%$, que corresponde aos $\mathrm{R} \$ 50,40$. Como + +$$ +\begin{aligned} +& 60 \% \leadsto 50,40 \\ +& 10 \% \leadsto 50,40 \div 6=8,4 \mathrm{e} \\ +& 100 \% \leadsto 8,4 \times 10=84,00 +\end{aligned} +$$ + +o preço da calça antes da liquidação era de $\mathrm{R} \$ 84,00$. + +206. Número com muitos zeros - A resposta correta é (d). + +Vamos comparar os cinco números sem efetuar cálculos. Temos + +$$ +\begin{aligned} +3+a= & 3,000 \ldots 0001 \text { é menor do que } 4 \\ +3-a= & \text { é menor do que } 3 \\ +3 a= & 0,000 \ldots 0003 \text { é menor do que } 1 \\ +\frac{3}{a}= & \frac{3}{0,000 \ldots 0001}=\frac{3}{\frac{1}{10^{2010}}}=3 \times 10^{2010} \text { é maior do que } 10 \mathrm{e} \\ +\frac{a}{3}= & \frac{0,000 \ldots 0001}{3} \text { é menor do que } 0,000 \ldots 0001 +\end{aligned} +$$ + +Assim, 3/a representa o maior número. + +207. Corrida das tartarugas - Vamos representar cada tartaruga numa reta, utilizando sua letra inicial. Os dados finais da corrida estão representados na figura dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=234&width=1202&top_left_y=274&top_left_x=513) + +Logo, Sininha está $20 \mathrm{~m}$ à frente de Elzinha e, portanto, Pulinha está $5 \mathrm{~m}$ à frente de Sininha. A ordem de chegada é O, P, S, E e R. + +208. Que memória... - O número começa com 25 porque $5^{2}$ é a única potência de 5 com dois algarismos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=65&width=342&top_left_y=887&top_left_x=937) + +Os candidatos aos dois últimos algarismos são as potências de 2 com dois algarismos, a saber, 16, 32 e 64 . Como 32 não serve, por apresentar o 2 repetido, temos as opções + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=71&width=783&top_left_y=1141&top_left_x=722) + +O algarismo do meio é um múltiplo de 3 , portanto, só pode ser 3,6 ou 9 , mas o 6 não pode ser repetido. Para escolher entre as duas opções acima, basta lembrar que a soma dos cinco algarismos deve ser é ímpar e, como $2+5$ é ímpar, a soma dos três últimos deve ser par. Assim, a segunda opção acima fica descartada, pois não podemos completá-la com um múltiplo de 3 , restando, apenas os números + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-096.jpg?height=66&width=777&top_left_y=1566&top_left_x=725) + +O maior dos dois, | 2 | 5 | 9 | 1 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| , é o código bancário de Esquecinaldo. | | | | | + +209. Uma fração irredutivel - Para que a fração seja irredutível, o numerador e o denominador não podem ter fator comum. Começamos calculando os fatores primos de $N=2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 10$, que são + +$$ +2 \times 3 \times \underbrace{4}_{2^{2}} \times 5 \times \underbrace{6}_{2 \times 3} \times 7 \times \underbrace{8}_{2^{3}} \times \underbrace{9}_{3^{2}} \times \underbrace{10}_{2 \times 5} . +$$ + +Logo, a decomposição de $N$ em fatores primos é dada por + +$$ +N=2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7 +$$ + +Podemos escolher diversas frações que satisfazem o problema, como segue. + +(i) Se o numerador é 1 , temos a fração $\frac{1}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}$. + +(ii) Se o numerador tem apenas um fator de $N$, temos as quatro frações + +$$ +\frac{2^{8}}{3^{4} \times 5^{2} \times 7} ; \quad \frac{3^{4}}{2^{8} \times 5^{2} \times 7} ; \quad \frac{5^{2}}{2^{8} \times 3^{4} \times 7} \quad \text { e } \frac{7}{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}} +$$ + +(iii) Se o numerador tem dois fatores de $N$, temos as seis frações + +$$ +\frac{2^{8} \times 3^{4}}{5^{2} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 5^{2}}{3^{4} \times 7} ; \frac{2^{8} \times 7}{3^{4} \times 5^{2}} ; \frac{3^{4} \times 5^{2}}{2^{8} \times 7} ; \frac{3^{4} \times 7}{2^{8} \times 5^{2}} \quad \text { e } \quad \frac{5^{2} \times 7}{2^{8} \times 3^{4}} +$$ + +(iv) Se o numerador tem três fatores de $N$, temos as quatro frações + +$$ +\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2}}{7} ; \quad \frac{2^{8} \times 3^{4} \times 7}{5^{2}} ; \quad \frac{2^{8} \times 5^{2} \times 7}{3^{4}} \quad \text { e } \frac{3^{4} \times 5^{2} \times 7}{2^{8}} +$$ + +(v) Se o numerador é $N$, temos a fração $\frac{2^{8} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7}{1}$. + +Assim, ao todo, temos dezesseis dessas frações irredutíveis. + +## 210. Transformar em decimal - Temos: + +(a) $7 \times \frac{2}{3}+16 \times \frac{5}{12}=\frac{14}{3}+\frac{20}{3}=\frac{34}{3}=11+\frac{1}{3}=11,3333 \ldots$ + +(b) $5-\left(2 \div \frac{5}{3}\right)=5-\left(2 \times \frac{3}{5}\right)=5-\frac{6}{5}=4-\frac{1}{5}=3,8$ + +(c) $1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+4}}=1+\frac{2}{1+\frac{3}{5}}=1+\frac{2}{\frac{8}{5}}=1+2 \times \frac{5}{8}=1+\frac{10}{8}=2+\frac{1}{4}=2,25$ + +211. Uma sequência especial - Observe que: + +- os números de 1 a 9 ocupam nove posições; +- os números de 10 a 99 ocupam $2 \times 90=180$ posições; +- os números de 100 a 199 ocupam $3 \times 100=300$ posições; +- os de 200 a 299 ocupam $3 \times 100=300$ posições; +- os de 300 a 399 ocupam $3 \times 100=300$ posições; etc. + +$\underbrace{100, \ldots 199}_{3 \times 100=300}, \underbrace{200, \ldots, 299}_{3 \times 100=300}, \underbrace{300, \ldots, 399}_{3 \times 100=300}, \underbrace{400, \ldots, 499}_{3 \times 100=300}, \underbrace{500, \ldots, 599}_{3 \times 100=300}, \underbrace{600, \ldots, 699}_{3 \times 100=300}$ + +Assim, os algarismos usados para escrever de 1 a 699 ocupam $9+180+6 \times 300=1989$ posições, $\operatorname{logo}$ faltam $2009-1989=20$ posições. Como $20=3 \times 6+2$, precisamos ainda escrever de 700 a 706, obtendo 21 posições, com o algarismo 6 ocupando a posição 21. Logo, é o algarismo 0 que que ocupa a $2009^{a}$ posição. + +212. Cortar um retângulo - Dividimos o retângulo em $13 \times 7$ quadradinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado cada um. Agora, usamos que $13=1+3+4+5=$ $6+7=0+13$ para obter a divisão em 13 retângulos diferentes. Você consegue encontrar outras formas de fazer essa divisão? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-097.jpg?height=337&width=568&top_left_y=2350&top_left_x=1255) + +213. Medida de ângulo - A resposta correta é (b). + +Temos que $A \widehat{O} C+C \widehat{O} E=90^{\circ}$ e $C \widehat{O} E=D \widehat{O} Y$. Logo, $A \widehat{O} C=90^{\circ}-D \widehat{O} Y$. Como $D \widehat{O} Y$ está entre $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$, segue que $A \widehat{O} C$ está entre $90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$ e $90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$. + +214. Perimetros e áreas - A área do quadrado é $(\sqrt{3}+3)^{2}=\sqrt{3}^{2}+2 \times 3 \sqrt{3}+3^{2}=12+6 \sqrt{3}$ e a do retângulo é + +$$ +(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}) \times \sqrt{2}=\sqrt{144}+3 \sqrt{12}=12+6 \sqrt{3} +$$ + +Logo, eles têm a mesma área. Vamos agora comparar os perímetros. O do quadrado é + +$$ +4 \times(\sqrt{3}+3)=4 \sqrt{3}+12 +$$ + +e o do retângulo é $2 \times(\sqrt{72}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=2 \times(6 \sqrt{2}+3 \sqrt{6}+\sqrt{2})=6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Como $4 \sqrt{3}<6 \sqrt{6}$ e, também, $12<14 \sqrt{2}$, segue que $4 \sqrt{3}+12<6 \sqrt{6}+14 \sqrt{2}$. Assim, o retângulo tem o maior perímetro. + +215. Cálculo de ângulo - Como $A B=A C$, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles, $\operatorname{logo} A \widehat{B} C=A \widehat{C} B$. Sendo $A D=B D$, o triângulo $\triangle A B D$ também é isósceles, $\log$ o $A \widehat{B} D=B \widehat{A} D$. Temos, então, + +$$ +A \widehat{C} B=A \widehat{B} C=A \widehat{B} D=B \widehat{A} D +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-098.jpg?height=239&width=457&top_left_y=1174&top_left_x=1416) + +Na figura, esses três ângulos iguais estão representados pela letra $\alpha$. Os ângulos internos de $\triangle A B C$ são $\alpha+39^{\circ}, \alpha$ e $\alpha$. Logo, $\alpha+39^{\circ}+\alpha+\alpha=180^{\circ}$, ou seja, $3 \alpha=180^{\circ}-39^{\circ}=$ $141^{\circ}$. Assim, $B \widehat{A} D=\alpha=47^{\circ}$. + +LEMBRETE 1: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais: + +$\widehat{B}=\widehat{C} \quad$ e $A B=A C$. +LEMBRETE 2: A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-098.jpg?height=187&width=246&top_left_y=1734&top_left_x=1616) +$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$. + +216. O caminho da formiga - A resposta correta é (c). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-098.jpg?height=346&width=699&top_left_y=2277&top_left_x=764) + +217. Menino mentiroso - Claramente, Pedrinho encontrou Joãozinho num dia em que ele mente. O sábado está descartado pois, caso contrário, ele estaria falando a verdade. Assim, o encontro entre eles foi numa terça ou quinta-feira. Não pode ter sido numa terça-feira, porque então o dia seguinte não poderia ser uma quarta. Logo, a única possibilidade para o dia do encontro dos dois é quinta-feira. +218. Encontre os quatro números - Como os números 1, 2, 3 e 6 satisfazem a propriedade, é fácil verificar que, dado qualquer número inteiro $n$, os múltiplos $n, 2 n, 3 n$ e $6 n$ de $n$ também satisfazem a propriedade. Como estamos procurando números de três algarismos e $999 \div 6=166,5$, basta considerar qualquer valor de $n$ entre 100 e 166 para obter quatro números de três algarismos com a propriedade notável. + +## 219. Colando seis triângulos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-099.jpg?height=160&width=262&top_left_y=1042&top_left_x=1231) + +I + +O perímetro da figura é formada por treze segmentos, na sequência de formação dos triângulos, que podem ser descritos como segue. + +- 2 segmentos de $1 \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{2}$ cm no triângulo I, +- 1 segmento de $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{4}$ cm no triângulo II, +- 1 segmento de $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{8}$ cm no triângulo III, +- 1 segmento de $\frac{1}{8} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{16}$ cm no triângulo IV, +- 1 segmento de $\frac{1}{16} \mathrm{~cm}$ e 1 segmento de $\frac{1}{32}$ cm no triângulo V e +- 2 segmentos de $\frac{1}{32}$ cm no triângulo VI. + +Solução 1: Contando os comprimentos de segmentos, podemos ver que o perímetro mede + +$$ +\begin{aligned} +2 \times 1 & +2 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{4}+2 \times \frac{1}{8}+2 \times \frac{1}{16}+3 \times \frac{1}{32} \\ +& =2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{32}=3+\frac{16+8+4+3}{32} \\ +& =3+\frac{31}{32}=\frac{127}{32} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +Solução 2: O contorno da figura, começando no canto esquerdo e seguindo no sentido anti-horário, mede + +$$ +1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 +$$ + +centímetros. A soma da PG de primeiro termo 1 , razão $\frac{1}{2}$ e último termo $\frac{1}{32}$ é dada por + +$$ +1-\frac{1}{64} / 1-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{32} +$$ + +Logo, o perímetro da figura mede + +$$ +\left[2-\frac{1}{32}\right]+\frac{1}{32}+\left[2-\frac{1}{32}\right]=4-\frac{1}{32}=\frac{127}{32} \mathrm{~cm} +$$ + +Solução 3: Observe que cada vez que agregamos um triângulo de lado $a$, trocamos um segmento de comprimento $a$ do perímetro por dois segmentos de comprimento $a$, de modo que o perímetro aumenta em $a$. + +Como o primeiro triângulo tem perímetro de $3 \mathrm{~cm}$, agregando um triângulo de lado $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$, a nova figura tem um perímetro de $3+\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$; se agregamos mais um triângulo de lado $\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$, a nova figura tem perímetro $3+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \mathrm{~cm}$. Seguindo esse processo, depois do sexto triângulo, a figura tem perímetro de + +$$ +3+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=3+1-\frac{1}{32}=\frac{127}{32} \mathrm{~cm} +$$ + +onde usamos a soma da PG de primeiro termo $\frac{1}{2}$, razão $\frac{1}{2}$ e último termo $\frac{1}{32}$, dada por + +$$ +\frac{1}{2}-\frac{1}{64} / 1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{32} +$$ + +220. Os livros da Elisa - Seja $N$ o número total de livros da Elisa. Como $N+1$ é um múltiplo de 9 e 4 , temos que $N+1$ é um múltiplo de 36 . Logo, $N+1$ é 36 ou 72 , pois Elisa tem menos do que 100 livros. Se $N=35$, então o número de livros de matemática é $36 \div 9-1=3$ e o número de livros de literatura é $36 \div 4=9$. Mas, então, Elisa teria $24+3+9=36$ livros, o que é impossível, porque 36 é maior do que 35 . Assim, $N=71$ e Elisa tem $72 \div 9-1=7$ livros de matemática. +221. Substituindo pela soma - Sabemos que qualquer número e a soma de seus algarismos sempre deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, Márcio substitui o número inicial por outro, muito menor, com o mesmo resto na divisão por 9 , e continua assim, até chegar num número de um único algarismo que, evidentemente, é igual ao resto da divisão de todos os números obtidos anteriormente - inclusive do primeiro por 9. Assim, o que Márcio faz é, tão somente, um processo de um passo apenas, que consiste na substituição de números naturais por seus restos na divisão por 9. +(a) Como $3^{2009}=3^{2008} \times 3=\left(3^{2}\right)^{1004} \times 3=9^{1004} \times 3$, o resto da divisão de $3^{2009}$ por 9 é 0 . Logo, o número final do processo de Márcio é 9 . + +(b) Observe que $17^{2}=(18-1)^{2}=18^{2}-2 \cdot 9+1=$ múltiplo de $9+1$. Logo, + +$$ +17^{2008}=\left(17^{2}\right)^{1004}=\text { múltiplo de } 9+1 +$$ + +e, portanto, $17^{2009}=$ múltiplo de $9+17=$ múltiplo de $9+8$. Logo, o número final do processo de Márcio é 8. + +(c) Aplicando o processo aos números da lista dos números naturais 1, 2, 3, 4, 5, 6, $7,8,9,10,11,12, \ldots$, a lista final sempre é $1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3, \ldots$ Como o resto da divisão do número 20092009 por 9 é 4, então o último número da lista final é 4 e os seis últimos algarismos da lista final são ..., $8,9,1,2,3,4$. Portanto, essa lista tem os quatro algarismos 1, 2, 3 e 4 uma vez a mais do que os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. Em particular, há mais 4 do que 5 na lista. O número de vezes que aparece o 9 na lista é o número de múltiplos de 9 que são menores do que ou iguais a 20092009 . Como 20092005 é o maior múltiplo de 9 que é menor do que 20092009 , temos que o algarismo 9 aparece $20092005 \div 9=2232445$ vezes na lista. + +## 222. Uma brincadeira na sala de aula + +(a) O número 1 só pode ser obtido por divisão a partir do 2 , com $1=2 \div 2$ e o 2 só pode ser obtido por divisão a partir do 4 , com $2=4 \div 2$, mas o 4 pode ser obtido por soma a partir do 1 , com $4=1+3$ ou por divisão a partir do 4 , com $4=8 \div 2$. Logo, temos duas maneiras de obter o 1 depois de três operações, a partir de 1 e de $8:\left\{\begin{array}{l}1 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1 \\ 8 \leadsto 4 \leadsto 2 \leadsto 1\end{array}\right.$. + +(b) Com uma operação a mais, vemos que o número 8 pode ser obtido a partir do 5 por soma, com $8=5+3$, ou do 16 por divisão, com $8=16 \div 2$. Logo, temos três maneiras de obter o 1 depois de quatro operações, a partir de 2,5 e 16 : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-101.jpg?height=191&width=659&top_left_y=1818&top_left_x=390) + +(c) De maneira análoga, vemos que podemos obter o 1 depois de cinco operações, com + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_666a1aec7e447b0a6cbeg-101.jpg?height=272&width=1448&top_left_y=2057&top_left_x=384) + +223. Calcule a idade - No próximo ano, Laura e sua avó estarão dois anos mais velhas do que no ano passado. Logo, suas idades no ano passado são múltiplos de 8 que, somados com 2, dão múltiplos de 7 . Procuremos esses números. + +$$ +\begin{array}{rllllllllllll} +\text { múltiplos de } 7: & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & \ldots & 98 & \ldots \\ +\text { (múltiplos de } 7 \text { ) }-2: & 5 & 12 & 19 & 26 & 33 & 40 & 47 & 54 & 61 & \ldots & 96 & \ldots +\end{array} +$$ + +Note que 40 e 96 são os únicos múltiplos de 8 menores do que 100 que aparecem na segunda linha. Como Vovó Ana tem menos do que 100 anos, podemos concluir que ano passado ela tinha 96 anos e Laura 40. Logo, a idade atual de Laura é 41 anos. + +## 224. Divisões e restos + +Solução 1: O dobro do número procurado é um múltiplo de 5 acrescido de 1. Como os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5 , o dobro termina em 1 ou 6 . Mas o dobro é um número par, logo termina em 6 . Assim, o número termina em 3 ou 8 e, portanto, dividido por 5 , deixa resto 3 . + +Solução 2: Sabemos que o número inteiro $n$ procurado satisfaz $2 n=5 m+1$, para algum inteiro $m$. Então o produto $5 m=2 n-1$ de 5 por $m$ é ímpar, o que implica que $m$ é ímpar. Assim, $m=2 k+1$, para algum inteiro $k$ e, portanto, + +$$ +2 n=5 m+1=5(2 k+1)+1=10 k+6=2(5 k+3) +$$ + +ou seja, $n=5 k+3$ deixa resto 3 na divisão por 5 . + +225. Preenchendo o círculo - Sabemos que $\square=423 \div 47=9$. Por outro lado, temos que + +$$ +1448=\underbrace{282 \times \boxminus}_{\text {múltiplo de } 282}+\underbrace{\boxminus \boxtimes}_{\text {número de } 2 \text { algarismos }} +$$ + +Como 282 tem três algarismos, concluímos que $\square \boxtimes$ só pode ser o resto da divisão de 1448 por 282. Efetuando essa divisão, obtemos $1448=282 \times 5+38$. Logo, $\square=3$ e $\boxtimes=8$. Obtemos, também, que $\boxminus=5$. Finalmente, obtemos + +$$ +423 \times \frac{\boxplus}{3}=282 \text {, ou seja, } 141 \times \boxplus=282 \text {, portanto, } \boxplus=2 +$$ + +A sequência completa é a seguinte. + +$$ +\text { (47) } \xrightarrow{\times 9} \xrightarrow{\times 2 / 3} \xrightarrow{\times 5} \xrightarrow{+348} \xrightarrow{ } +$$ + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7de405a28034243727a29ac14bc233b92be9658f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N2.md @@ -0,0 +1,4464 @@ +# Nível 2 + +1. População - Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998? +(a) 30300000 +(b) 303000000 +(c) 30300 +(d) 303300 +(e) 30300000000 +2. Réguas em 15 minutos - Uma certa máquina é capaz de produzir oito réguas por minuto. Quantas réguas essa máquina consegue produzir em 15 minutos? +(a) 104 +(b) 110 +(c) 112 +(d) 128 +(e) 120 +3. Alturas iguais - Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que + +- Luíza é maior que Antônio; +- Antônio é maior do que Júlio; +- Maria é menor que Luíza; +- Júlio é menor do que Maria. + +Quais deles têm a mesma altura? +(a) Maria e Júlio +(c) Antônio e Luíza +(e) Antônio e Maria +(b) Júlio e Luíza +(d) Antônio e Júlio + +4. Unidade - O algarismo da unidade do número $1 \times 3 \times 5 \times 79 \times 97 \times 113$ é +(a) 1 +(b) 3 +(c) 5 +(d) 7 +(e) 9 +5. Em que fio? - A, B, C, D, E, F, G e $\mathrm{H}$ são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118 ? + +(a) B + +(b) $\mathrm{D}$ + +(c) $\mathrm{E}$ + +(d) G + +(e) $\mathrm{H}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-001.jpg?height=391&width=409&top_left_y=1726&top_left_x=755) + +Para resolver as duas próximas questões, utilize as informações da tabela dada, que mostra o desempenho das seleções do grupo A da Copa do Mundo de 2002. Nessas partidas de futebol, a equipe vencedora ganha três pontos e a perdedora não ganha nem perde pontos; em caso de empate, as duas ganham um ponto. + +| Seleção | J | V | E | D | GP | GC | P | +| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Dinamarca | 3 | 2 | 1 | 0 | 5 | 2 | 7 | +| Senegal | 3 | 1 | 2 | 0 | 5 | 4 | $?$ | +| Uruguai | 3 | 0 | 2 | 1 | 4 | $?$ | 2 | +| França | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 3 | 1 | + +Legenda: J - jogos, V - vitórias, $\mathbf{E}$ - empates, $\mathbf{D}$ - derrotas, $\mathbf{G P}$ - gols marcados, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-002.jpg?height=54&width=573&top_left_y=321&top_left_x=296) + +6. Pontos ganhos - Quantos pontos obteve a seleção do Senegal? +(a) 3 +(b) 4 +(c) 5 +(d) 6 +(e) 7 +7. Gols sofridos - Quantos gols sofreu a seleção do Uruguai? +(a) 2 +(b) 3 +(c) 4 +(d) 5 +(e) 6 +8. Qual é o ângulo? - Na figura, temos $\widehat{B}=50^{\circ}$, sendo $A D \mathrm{e}$ $C D$ as bissetrizes dos ângulos $\widehat{A}$ e $\widehat{C}$, respectivamente. Qual é a medida do ângulo $A \widehat{D} C$ ? + +(a) $90^{\circ}$ + +(b) $100^{\circ}$ + +(c) $115^{\circ}$ + +(d) $122,5^{\circ}$ + +(e) $125^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-002.jpg?height=502&width=371&top_left_y=800&top_left_x=1462) + +9. Basquete - O gráfico mostra o número de pontos que cada jogador da seleção de basquete da escola marcou no último jogo. O número total de pontos marcados pela equipe foi + +(a) 54 + +(b) 8 + +(c) 12 + +(d) 58 + +(e) 46 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-002.jpg?height=537&width=540&top_left_y=1419&top_left_x=1295) + +10. Telefone - Geni é cliente de uma companhia telefônica que oferece o seguinte plano: + +- tarifa mensal fixa de $\mathrm{R} \$ 18,00$; +- gratuidade em 10 horas de ligações por mês; +- $\mathrm{R} \$ 0,03$ por minuto que exceder as 10 horas gratuitas. + +Em janeiro, Geni usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos e, em fevereiro, por 9 horas e 55 minutos. Qual foi a despesa de Geni com telefone nesses dois meses, em reais? +(a) 45,51 +(b) 131,10 +(c) 455,10 +(d) 13,11 +(e) 4,55 + +11. Área - Na figura dada, temos dois quadrados. O lado do maior mede $a+b$ e o do menor $a$. Qual é a área da região cinza destacada? +(a) $b$ + +(b) $a+b$ + +(c) $a^{2}+2 a b$ + +(d) $b^{2}$ + +(e) $2 a b+b^{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-003.jpg?height=362&width=514&top_left_y=276&top_left_x=1368) + +12. Comprando sorvete - Veja as promoções de dois supermercados: + +| Supermercado A | Supermercado B | +| :---: | :---: | +| 6 latas de 3 litros do sorvete QUENTE | Sorvete QUENTE - lata de 3 litros | +| $\mathrm{R} \$ 24,00$ | 4 latas - só $\mathrm{R} \$ 14,00$ | + +Joana quer comprar 12 latas de sorvete para a festa de seu aniversário. Em qual supermercado ela deve comprar e por quê? + +(a) No A, pois economizará $R \$ 7,00$ em relação ao $B$. + +(b) No A, pois economizará $R \$ 6,00$ em relação ao $B$. + +(c) No B, pois economizará $\mathrm{R} \$ 8,00$ em relação ao $\mathrm{A}$. + +(d) No B, pois economizará $\mathrm{R} \$ 6,00$ em relação ao $\mathrm{A}$. + +(e) Tanto faz, porque o preço é o mesmo nos dois supermercados. + +13. Cartolina e barbante - Passa-se um barbante através dos seis furos de uma cartolina. A frente da cartolina, com o barbante, é mostrada na figura. Qual das figuras a seguir não pode ser o verso dessa cartolina? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-003.jpg?height=171&width=140&top_left_y=1628&top_left_x=433) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-003.jpg?height=169&width=126&top_left_y=1629&top_left_x=748) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-003.jpg?height=172&width=137&top_left_y=1630&top_left_x=1045) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-003.jpg?height=171&width=140&top_left_y=1628&top_left_x=1346) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-003.jpg?height=171&width=135&top_left_y=1628&top_left_x=1640) + +14. Amigos e frações - Adriano, Bruno, César e Daniel são quatro bons amigos. Daniel não tinha dinheiro, mas os outros tinham. Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro, Bruno deu um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro. Cada um deu a Daniel a mesma quantia. A quantia que Daniel possui agora representa que fração da quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente? +(a) $\frac{1}{10}$ +(b) $\frac{1}{4}$ +(c) $\frac{1}{3}$ +(d) $\frac{2}{5}$ +(e) $\frac{1}{2}$ +15. Escolhendo sorvetes - Paulo quer comprar um sorvete com quatro bolas em uma sorveteria que dispõe de três sabores: açaí, baunilha e cajá. De quantos modos diferentes ele pode fazer essa compra? +(a) 6 +(b) 9 +(c) 12 +(d) 15 +(e) 18 +16. Peças de um quadrado - Pedro montou um quadrado com quatro das cinco peças abaixo. Qual é a peça que ele não usou? + +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=157&width=194&top_left_y=453&top_left_x=403) + +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=208&width=191&top_left_y=650&top_left_x=407) + +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=152&width=194&top_left_y=455&top_left_x=771) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=203&width=200&top_left_y=401&top_left_x=1168) + +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=200&width=249&top_left_y=651&top_left_x=752) + +17. Paradas de ônibus - Uma linha de ônibus possui 12 paradas numa rua em linha reta. A distância entre duas paradas consecutivas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a sexta paradas é de 3300 metros. Qual é a distância, em quilômetros, entre a primeira e a última parada? +(a) 8,4 +(b) 12,1 +(c) 9,9 +(d) 13,2 +(e) 9,075 +18. Desenho - Qual dos seguintes desenhos não pode ser feito sem tirar o lápis do papel e passando apenas uma vez ao longo de cada linha? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=171&width=157&top_left_y=1371&top_left_x=387) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=148&width=146&top_left_y=1388&top_left_x=721) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=174&width=157&top_left_y=1369&top_left_x=1027) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=171&width=160&top_left_y=1371&top_left_x=1348) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=168&width=157&top_left_y=1378&top_left_x=1669) + +19. Qual é o cubo? - Cortamos um canto de um cubo, conforme mostra a figura. + +Qual das representações a seguir corresponde ao que restou do cubo? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=203&width=209&top_left_y=1595&top_left_x=1620) +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=243&width=288&top_left_y=1826&top_left_x=404) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=243&width=303&top_left_y=1820&top_left_x=862) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=245&width=300&top_left_y=1822&top_left_x=1318) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=245&width=317&top_left_y=2096&top_left_x=390) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-004.jpg?height=254&width=317&top_left_y=2089&top_left_x=847) + +20. Quadrado mágico - Dizemos que o quadrado abaixo é um quadrado mágico porque a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma. No caso do quadrado mágico da figura, essa soma é 15 . + +| 4 | 9 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 5 | 7 | +| 8 | 1 | 6 | + +Complete os cinco números que faltam no quadrado abaixo para que ele seja um quadrado mágico. + +| -12 | | -4 | +| :---: | :---: | :---: | +| | 0 | | +| 4 | | | + +21. Torneio - Sete equipes, divididas em dois grupos, participaram do torneio de futebol do meu bairro. O Grupo 1 foi formado pelas equipes Avaqui, Botágua e Corinense. O Grupo 2 foi formado pelas equipes Dinossauros, Esquisitos, Flurinthians e Guaraná. + +$\mathrm{Na}$ primeira rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do seu grupo exatamente uma vez. Na segunda rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do outro grupo exatamente uma vez. + +(a) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no Grupo 1? + +(b) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no Grupo 2? + +(c) Quantas partidas foram disputadas na segunda rodada? + +22. Truque numérico - Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um truque numérico: + +(i) Escolha um número qualquer. + +(ii) Multiplique-o por 6. + +(iii) Do resultado subtraia 21. + +(iv) Divida esse novo resultado por 3. + +(v) Desse último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu. + +(a) Experimente essa sequência de cinco passos três vezes, iniciando cada vez com um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento? + +(b) A seguir, usando a letra $x$ para representar o número que você escolheu no primeiro passo, mostre por que os resultados do item (a) não são apenas uma coincidência, mas sim um fato matemático. + +23. Jogando sinuca - Na figura abaixo vemos uma mesa de sinuca quadriculada e parte da trajetória de uma bola, tacada a partir de um canto da mesa, de modo que, sempre que a bola bater em uma das beiradas da mesa, ela segue seu movimento formando ângulos de $45^{\circ}$ com a beirada. + +(a) Em qual das quatro caçapas a bola cairá? + +(b) Quantas vezes a bola baterá nas beiradas da mesa antes de cair na caçapa? + +(c) A bola seguirá pela diagonal de quantos desses quadrados durante sua trajetória? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-005.jpg?height=323&width=399&top_left_y=2380&top_left_x=1431) + +24. Triângulo isósceles - Na figura, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles, com $B \widehat{A} C=20^{\circ}$. + +Sabendo que $B C=B D=B E$, determine a medida do ângulo $B \widehat{D} E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-006.jpg?height=463&width=211&top_left_y=254&top_left_x=1619) + +25. Pesando moedas - São dadas quatro moedas aparentemente iguais, das quais três são verdadeiras e uma é falsa. As três verdadeiras têm o mesmo peso e a falsa tem um peso diferente das verdadeiras, mas não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada do que as verdadeiras. + +Mostre que é possível determinar a moeda falsa empregando somente duas pesagens em uma balança de dois pratos. + +Observação: Numa balança de dois pratos só podemos comparar os pesos colocados nos dois pratos: a balança só pode ficar equilibrada ou, então, pender para o lado mais pesado. + +26. Números binomiais - Os quadrados em branco da figura devem ser preenchidos com números de tal modo que cada número, a partir da segunda linha, seja igual à soma dos dois números vizinhos da linha imediatamente superior. Por exemplo, o número da primeira casa da segunda linha é 11 , porque $11=5+6$. Qual é o número que vai aparecer no quadrado indicado com $\times$ ? + +(a) 4 + +(b) 6 + +(c) 9 + +(d) 15 + +(e) 10 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-006.jpg?height=323&width=554&top_left_y=1606&top_left_x=700) + +27. Costuras da bola - Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. Dessas peças 12 são pentágonos regulares idênticos e as outras 20 são hexágonos, também regulares e idênticos. Os lados dos pentágonos são iguais aos lados dos hexágonos. Para unir dois lados de duas dessas peças é necessária uma costura. Quantas são as costuras necessárias para fazer uma bola? +(a) 60 +(b) 64 +(c) 90 +(d) 120 +(e) 180 +28. Razão de áreas - A figura ao lado mostra uma grade formada por quadrados de $1 \mathrm{~cm}$ de lado. Qual é a razão entre a área sombreada e a não sombreada? +(a) $\frac{1}{4}$ +(b) $\frac{1}{5}$ +(c) $\frac{1}{6}$ +(d) $\frac{2}{5}$ +(e) $\frac{2}{7}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-006.jpg?height=262&width=271&top_left_y=2396&top_left_x=1555) + +29. Só sorvete - Em um quente dia de verão, 64 crianças comeram, cada uma, um sorvete pela manhã e outro à tarde. Os sorvetes eram de quatro sabores, abacaxi, banana, chocolate e doce de leite. A tabela dada mostra quantas crianças consumiram um desses sabores pela manhã e outro à tarde. Por exemplo, o único número 7 que aparece na tabela indica que sete crianças tomaram sorvete de banana pela manhã e de chocolate à tarde. + +| | TARDE | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | Abacaxi | Banana | Chocolate | Doce de leite | +| M | Abacaxi | 1 | 8 | 0 | 3 | +| A | Banana | 6 | 2 | 7 | 5 | +| $\mathrm{N}$
$\mathrm{H}$ | Chocolate | 3 | 3 | 0 | 5 | +| $\tilde{A}$ | Doce de Leite | 2 | 9 | 9 | 1 | + +Quantas crianças tomaram sorvetes de sabores diferentes nesse dia? +(a) 58 +(b) 59 +(c) 60 +(d) 61 +(e) 62 + +30. Brincando com tabuleiro - Camila e Lara têm, cada uma, um tabuleiro $4 \times 4$. Começando com ambos tabuleiros em branco, elas fazem uma brincadeira com o desdobramento seguinte. + +- Camila, escondida de Lara, pinta de preto algumas casas de seu tabuleiro. +- Ainda em seu tabuleiro, Camila escreve em cada casa o número de casas vizinhas que estão pintadas de preto (duas casas distintas são vizinhas se possuem um lado ou um vértice em comum). +- Camila copia os números escritos em seu tabuleiro no tabuleiro de Lara. +- Lara deve adivinhar, a partir dos números escritos em seu tabuleiro, quantas são as casas pretas do tabuleiro de Camila. + +Por exemplo, se Camila pintar seu tabuleiro como o da figura à esquerda, então ela coloca os números no tabuleiro de Lara como na figura à direita. + +| 1 | 1 | 3 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 2 | 3 | 2 | 2 | +| 1 | 3 | 1 | 1 | +| 1 | 2 | 0 | 0 | + +Quantas foram as casas que Camila pintou se o tabuleiro de Lara tiver os números do tabuleiro a seguir? +(a) 3 +(d) 6 +(b) 4 +(e) 7 +(c) 5 + +| 1 | 2 | 1 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 0 | 2 | 1 | 2 | +| 2 | 3 | 3 | 1 | +| 1 | 0 | 2 | 1 | + +31. Cartões numerados - Larissa e Jorge estão jogando com cartões numerados de 1 a 6 que devem ser colocados nas casas do tabuleiro a seguir de tal modo que formem um número de seis algarismos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-008.jpg?height=68&width=797&top_left_y=477&top_left_x=664) + +Jorge coloca o primeiro cartão e, a seguir, as jogadas são alternadas entre os dois. O objetivo de Larissa é obter o maior número possível e o de Jorge é obter o menor número possível. Larissa tem os cartões com os algarismos 1, 3 e 5 e Jorge tem os cartões com os algarismos 2, 4 e 6 . Se os dois jogadores forem espertos, qual é o número que aparecerá ao final do jogo? +(a) 254361 +(b) 253416 +(c) 251634 +(d) 256134 +(e) 251346 + +32. Faltam balas - Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos seus alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma? +(a) 11 +(b) 20 +(c) 21 +(d) 31 +(e) 41 +33. Artesãos de braceletes - Um artesão começa a trabalhar às $08 \mathrm{~h}$ e produz seis braceletes a cada 20 minutos; já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz oito braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. $\mathrm{O}$ artesão para de trabalhar às $12 \mathrm{~h}$, mas avisa ao seu auxiliar que deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo número de braceletes que ele. A que horas o auxiliar irá parar de trabalhar? +(a) $12 \mathrm{~h}$ +(b) $12 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +(c) $13 \mathrm{~h}$ +(d) $13 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +(e) $14 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ +34. Girando um pentágono - Qual figura será obtida se girarmos no sentido horário o pentágono regular por um ângulo de $252^{\circ} \mathrm{em}$ torno do seu centro? + +Observação: o sentido horário é o sentido em que giram os ponteiros de um relógio; no caso do pentágono, isso está indicado pela seta no desenho. +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-008.jpg?height=162&width=166&top_left_y=1912&top_left_x=388) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-008.jpg?height=160&width=163&top_left_y=1910&top_left_x=678) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-008.jpg?height=157&width=163&top_left_y=1912&top_left_x=955) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-008.jpg?height=160&width=168&top_left_y=1913&top_left_x=1235) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-008.jpg?height=157&width=163&top_left_y=1912&top_left_x=1523) + +35. Área em função da diagonal - O perímetro de um retângulo mede $100 \mathrm{~cm}$ e a diagonal mede $x \mathrm{~cm}$. Qual é a área desse retângulo em função de $x$ ? +(a) $625-x^{2}$ +(b) $625-\frac{x^{2}}{2}$ +(c) $1250-\frac{x^{2}}{2}$ +(d) $225-\frac{x^{2}}{2}$ +(e) $2500-\frac{x^{2}}{2}$ +36. Valor de uma quadrática - Se $x+y=8$ e $x y=15$, qual é o valor de $x^{2}+6 x y+y^{2}$ ? +(a) 64 +(b) 109 +(c) 120 +(d) 124 +(e) 154 +37. Ângulos em função de $x$ - Na figura estão indicadas, em graus, as medidas de alguns ângulos em função de $x$. Quanto vale $x$ ? +(a) $6^{\circ}$ + +(b) $12^{\circ}$ + +(c) $18^{\circ}$ + +(d) $20^{\circ}$ + +(e) $24^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-009.jpg?height=406&width=680&top_left_y=268&top_left_x=768) + +38. Operação diferente - Se $m$ e $n$ são inteiros maiores do que zero e se $m5$, então qual dos números dados é o menor? +(a) $5 / x$ +(b) $5 /(x+1)$ +(c) $5 /(x-1)$ +(d) $x / 5$ +(e) $(x+1) / 5$ +63. Área de quadrado - O quadrado $S T U V$ é formado de um quadrado limitado por 4 retângulos iguais. O perímetro de cada retângulo é $40 \mathrm{~cm}$. Qual é a área, $\mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}$, do quadrado STUV? +(a) 400 +(c) 160 +(e) 80 +(b) 200 +(d) 100 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-012.jpg?height=360&width=323&top_left_y=2247&top_left_x=1506) + +## 64. Operando frações + +(a) Calcule as diferenças $1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}-\frac{1}{5}$ e $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$. + +(b) Deduza de (a) o valor da soma $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$. + +(c) Calcule a soma $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\cdots+\frac{1}{999000}$. + +65. Ângulos e perimetro - Calcule os ângulos que não estão indicados e o perímetro da figura, sabendo que $B D=B C$ e $D \widehat{B} C=B \widehat{C} D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-013.jpg?height=303&width=651&top_left_y=691&top_left_x=1228) + +66. Desigualdade racional - Quais são os valores de $x$ que satisfazem a desigualdade $\frac{1}{x-2}<4$ ? +(a) $x>\frac{9}{4}$ +(c) $x<2$ ou $x>\frac{9}{4}$ +(e) $x<2$ +(b) $21$ são dados por: +(a) $x<2$; +(b) $x>1$; +(c) $12$. +130. A sala do Professor Newton - O professor Newton dividiu seus alunos em grupos de 4 e sobraram 2. Ele dividiu seus alunos em grupos de 5 e um aluno ficou de fora. Se 15 alunos são mulheres e tem mais mulheres do que homens, o número de alunos homens é: +(a) 7 ; +(b) 8 ; +(c) 9 ; +(d) 10 ; +(e) 11 . +131. Um jardim retangular - Na figura, o retângulo $A B C D$ representa um terreno retangular cuja largura mede $3 / 5$ do comprimento. O retângulo $A B E F$ representa um jardim retangular cuja largura também mede $3 / 5$ do comprimento. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-021.jpg?height=240&width=371&top_left_y=1408&top_left_x=1485) + +Qual é a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? +(a) $30 \%$ +(b) $36 \%$ +(c) $40 \%$ +(d) $45 \%$ +(e) $50 \%$ + +132. Números decrescentes - Escreva em ordem decrescente os números + +$$ +\sqrt[5]{3}, \quad 3^{-2 / 3}, \quad 3^{-2}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \text { e }\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} +$$ + +133. Os bombons misturados - Marta e Carmem ganharam, cada uma, muitos bombons. Elas misturaram todos os bombons e, agora, não sabem mais qual foi o número de bombons que cada uma ganhou. Vamos ajudá-las a descobrir esses números? Sabe-se que: + +(a) juntas, elas ganharam 200 bombons; + +(b) Marta se lembra que ganhou menos do que 100 bombons, mas mais do que $4 / 5$ do que ganhou Carmem; e + +(c) o número de bombons que cada uma ganhou é um múltiplo de 8 . + +134. Jantar aos sábado - Três casais jantam todo sábado num mesmo restaurante, sempre à mesma mesa. A mesa é redonda e os casais combinaram que +(a) jamais marido e mulher sentam à mesa como vizinhos; e + +(b) a disposição dos seis à mesa é diferente a cada sábado. + +Desconsiderando rotações nas disposições à mesa, durante quantos sábados esses três casais poderão ir a esse restaurante sem repetir sua disposição à mesa? + +135. Expressão com radicais - O valor de $(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}$ é: +(a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$; +(b) $\frac{1}{2}(7+3 \sqrt{5})$; +(c) $1+2 \sqrt{3}$; +(d) 3 ; +(e) $3+2 \sqrt{2}$. +136. Possiveis triângulos - Os lados de um triângulo têm comprimentos $a, a+2$ e $a+5$, sendo $a>0$. Determine todos os possíveis valores de $a$. +137. Uma diferença $-\mathrm{O}$ valor de $\frac{\sqrt[3]{-0,001} \times \sqrt{400}}{\sqrt{0,25}}-\frac{\sqrt{0,036}-\sqrt{0,4}}{\sqrt{0,4}}$ é: +(a) $-3,3$; +(b) $-4,7$; +(c) $-4,9$; +(d) $-3,8$; +(e) $-7,5$. +138. A Terra - A superfície do globo terrestre consiste em $70 \%$ de água e $30 \%$ de terra. Dois quintos da terra são desertos ou cobertos por gelo e um terço da terra é pastagem, floresta ou montanha; o resto da terra é cultivado. Qual é o percentual da superfície total do globo terrestre que é cultivada? +139. Uma fração - Na figura dada, determine o valor da fração $\frac{A N}{A C}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-022.jpg?height=360&width=303&top_left_y=1516&top_left_x=1479) + +140. Cáculo de ângulo - Na figura dada, a reta $P Q$ é paralela à reta $R S$ e $T U=T V$. Se o ângulo $T \widehat{W} S$ mede $110^{\circ}$, o ângulo $Q \widehat{U} V$ mede: +(a) $135^{\circ}$; +(b) $130^{\circ}$; +(c) $125^{\circ}$; +(d) $115^{\circ}$; +(e) $110^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-022.jpg?height=397&width=614&top_left_y=2229&top_left_x=755) + +141. Uma loja de brinquedos - Uma loja estava vendendo cada unidade de um brinquedo a $R \$ 13,00$. Para conseguir vender todo o seu estoque, que não era superior a 100 unidades, a gerência da loja resolveu baixar o preço por um número inteiro de reais, obtendo $\mathrm{R} \$ 781,00$ por todo o estoque. Qual foi a redução do preço, por unidade? +142. Fração de fração - Qual o valor de $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ ? +143. Potências de $3-$ Se $3^{a}=2$, quanto vale $27^{2 a}$ ? +144. Aumento de preço - Se o preço de um produto passou de 5,00 para 5,55 reais, qual foi o percentual do aumento? +145. Roseiras em fila - Jorge ganhou 15 roseiras para seu jardim e quer plantá-las em 6 filas de 5 roseiras cada uma. Isso é possível? Em caso afirmativo, faça um desenho indicando como Jorge pode plantar suas roseiras. +146. Calculadora diferente - Uma fábrica produziu uma calculadora original que efetua duas operações, + +(a) a adição usual, denotada por $+\mathrm{e}$ + +(b) uma operação denotada por $\circledast$. + +Sabemos que, para todo número natural $a$, valem + +$$ +\text { (i) } \quad a \circledast a=a \quad \text { e } \quad \text { (ii) } \quad a \circledast 0=2 a +$$ + +$\mathrm{e}$, para quaisquer quatro números naturais $a, b, c$ e $d$, vale + +$$ +\text { (iii) } \quad(a \circledast b)+(c \circledast d)=(a+c) \circledast(b+d) +$$ + +Quais são os resultados das operações $(2+3) \circledast(0+3)$ e $1024 \circledast 48$ ? + +147. Dois quadrados - Na figura dada, o lado do quadrado maior mede $10 \mathrm{~cm}$ e o lado do menor mede $4 \mathrm{~cm}$. As diagonais do quadrado maior contém as diagonais do quadrado menor. Quanto mede a área da região tracejada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-023.jpg?height=226&width=237&top_left_y=2074&top_left_x=1595) + +148. Paralelismo - Sendo o segmento $I L$ paralelo ao segmento $E U$ e o segmento $R E$ paralelo ao segmento $N I$, determine o valor da fração + +$$ +\frac{F N \times F U}{F R \times F L} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-023.jpg?height=211&width=437&top_left_y=2393&top_left_x=1409) + +149. Um subconjunto - O conjunto $\{1,2,3, \ldots, 3000\}$ contém um subconjunto de 2000 elementos em que nenhum elemento é o dobro do outro? +150. Triângulos retângulos - Determine os valores de $v, w, x, y$ e $z$ na figura dada, em que já estão marcados três ângulos retos e os comprimentos de três segmentos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-024.jpg?height=289&width=442&top_left_y=415&top_left_x=1361) + +151. Uma desigualdade especial - Que valores de $x$ satisfazem $x^{2}<|x|+2$ ? +(a) $x<-1$ ou $x>1$ +(b) $x>1$ +(c) $-22$, então $a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}$. Qual é a soma dos cem primeiros termos dessa sequência? +231. Triângulos e ângulos... - Determine os ângulos $\alpha$ e $\beta$ dados na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-034.jpg?height=471&width=541&top_left_y=1338&top_left_x=1291) + +## Soluções do Nível 2 + +1. População - A opção correta é (a). + +Como 1 milhão $=1000000$, temos 30,3 milhões $=30,3 \times 1000000=30300000$. + +2. Réguas em 15 minutos - A opção correta é (e). + +Se a máquina produz oito réguas em um minuto, em 15 minutos ela produzirá $8 \times 15=$ 120 réguas. + +3. Alturas iguais - A opção correta é (e). + +Usaremos a notação $a\mathrm{A}$ ou, equivalentemente, $\mathrm{A}<\mathrm{L}$ ); + +(ii) $\mathrm{M}$ é menor do que $\mathrm{L}(\mathrm{M}<\mathrm{L})$; + +(iii) A é maior do que $\mathrm{J}$ ( $\mathrm{A}>\mathrm{J}$ ou, equivalentemente, $\mathrm{J}<\mathrm{A}$ ); + +(iv) $\mathrm{J}$ é menor do que $\mathrm{M}(\mathrm{J}<\mathrm{M})$. + +De (i) e (iii) segue que $\mathrm{J}<\mathrm{A}<\mathrm{L}$. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Antônio e Luíza. De (ii) e (iv) segue que $\mathrm{J}<\mathrm{M}<\mathrm{L}$. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Maria e Luíza. Logo, a única opção é que Antônio e Maria tenham a mesma altura. + +4. Unidade - A opção correta é (c). + +O produto dado tem um de seus fatores igual a 5 , portanto, é um múltiplo de 5 , que sempre tem o algarismo da unidade igual a 0 ou 5 . Além disso, como todos os fatores são números ímpares, o produto é um número ímpar. Assim, seu algarismo da unidade é 5 . + +5. Em que fio? - A opção correta é (d). + +Observe que a aranha utiliza oito fios de apoio, numerados a partir do fio A, iniciando em 0 . Logo, + +- sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8; +- sobre o fio $\mathrm{B}$ aparecem os (múltiplos de 8)+1; +- sobre o fio $\mathrm{C}$ aparecem os (múltiplos de 8)+2; +- sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8)+3; +- sobre o fio $\mathrm{E}$ aparecem os (múltiplos de 8)+4; +- sobre o fio $\mathrm{F}$ aparecem os (múltiplos de 8)+5; +- sobre o fio $\mathrm{G}$ aparecem os (múltiplos de 8)+6; +- sobre o fio $\mathrm{H}$ aparecem os (múltiplos de 8)+7. + +Na divisão de 118 por 8 encontramos resto 6, o que significa que 118 é dado por (múltiplos de 8) +6. Assim, 118 está sobre o fio G. + +6. Pontos ganhos - A opção correta é (c). + +Segundo as regras da Copa do Mundo, uma vitória vale três pontos e um empate vale só um ponto. Como a seleção do Senegal tem uma vitória e dois empates, ela obteve $1 \times 3+2 \times 1=5$ pontos. + +7. Gols sofridos - A opção correta é (d). + +Numa tabela de jogos, o número total de gols marcados é sempre igual ao número total de gols sofridos. Denotando por $x$ o número de gols que sofreu a seleção do Uruguai, vemos que $5+5+4+0=2+4+x+3$, portanto, $14=9+x$, e temos que $x=5$, ou seja, a seleção do Uruguai sofreu 5 gols. + +8. Qual é o ângulo? - A opção correta é (c). + +Nesta questão usaremos um importante teorema da Geometria Plana, como segue. + +Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre $180^{\circ}$. + +Pelo teorema, temos $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ e, como $\widehat{B}=50^{\circ}$, segue que $\widehat{A}+50^{\circ}+\widehat{C}=180^{\circ}$, ou seja, $\widehat{A}+\widehat{C}=130^{\circ}$. Como $A D$ e $C D$ são as bissetrizes dos ângulos $\widehat{A}$ e $\widehat{C}$, respectivamente, o teorema aplicado ao triângulo $\triangle A D C$ dá a relação + +$$ +\frac{1}{2} \widehat{A}+\frac{1}{2} \widehat{C}+A \widehat{D} C=180^{\circ} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-036.jpg?height=557&width=406&top_left_y=1292&top_left_x=1476) + +Mas $\frac{1}{2} \widehat{A}+\frac{1}{2} \widehat{C}=\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})=\frac{1}{2} 130^{\circ}=65^{\circ}$, portanto, da igualdade acima decorre que $A \widehat{D} C=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$. + +9. Basquete - A opção correta é (a). + +Analisando o gráfico, verificamos que os jogadores marcaram as seguintes quantidades de pontos: Daniel -7 , Ramon -8 , Ian -2 , Bernardo - 11, Tiago -6 , Pedro - 12, Ed -1 e André -7 . O total é 54 pontos. + +10. Telefone - A opção correta é (a). + +Vejamos a despesa em janeiro. Como 10 horas são gratuitas e Geni utilizou o telefone por 15 horas e 17 minutos, ela deve pagar a tarifa fixa mensal de 18 reais mais o custo de apenas 5 horas e 17 minutos. Como o preço é dado em minutos, passamos o tempo a pagar para minutos. Sabemos que 1 hora $=60$ minutos, portanto, 5 horas $=5 \times 60=300$ minutos. Logo, $5 \mathrm{~h} 17 \mathrm{~min}=300+17=317$. Assim, a conta telefônica de Geni em janeiro foi de $18+317 \times 0,03=18+9,51=27,51$ reais. + +Em fevereiro, Geni usou seu telefone por menos do que 10 horas, portanto nesse mês ela só precisa pagar a tarifa fixa mensal de 18 reais. Logo, a despesa de Geni com telefone nesses dois meses foi de $27,51+18=45,51$ reais. + +11. Área - A opção correta é (e). + +Solução 1: A área de um quadrado de lado $l$ é $l^{2}$ e a área da região cinza é a diferença entre as áreas dos quadrados maior e menor. O lado do quadrado maior é $a+b$, portanto sua área é $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$. Já o lado do quadrado menor é $a$, portanto sua área é $a^{2}$. Assim, a área da região cinza é $(a+b)^{2}-a^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}-a^{2}=2 a b+b^{2}$. + +Solução 2: A área de um retângulo é o produto da largura pelo comprimento. Pelos dados do problema, a largura da região cinza é $(a+b)-a=b$. + +Dividindo a região cinza em dois retângulos, um de largura $b$ e comprimento $a$ e o outro de largura $b$ e comprimento $a+b$ (ver figura), vemos que a área da região cinza é a soma das áreas desses dois retângulos, ou seja, + +$$ +\begin{aligned} +a \times b+b \times(a+b) & =a b+a b+b^{2} \\ +& =2 a b+b^{2} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-037.jpg?height=492&width=609&top_left_y=899&top_left_x=1223) + +Portanto, a área da região cinza é $2 a b+b^{2}$. + +Solução 3: A região cinza é formada por dois retângulos de dimensões $a \times b$ e um quadrado de lado $b$. Logo, sua área é $2 a b+b^{2}$. + +12. Comprando sorvete - A opção correta é (d). + +Se comprar no supermercado A, Joana gastará $2 \times 24=48$ reais. Se comprar no supermercado B, ela gastará $3 \times 14=42$ reais. Portanto, no supermercado B ela economizará 6 reais em relação ao A. + +13. Cartolina e barbante - A opção correta é (e). + +Observando a frente da cartolina, verificamos que o barbante entra e sai pelos furos da primeira linha. A opção (e) não é possível, pois no verso esses dois furos aparecem como consecutivos ao percorrer o barbante, o que impede o barbante de continuar pelos demais furos. + +14. Amigos e frações - A opção correta é (b). + +Como cada amigo deu a Daniel a mesma quantia, digamos que Daniel tenha recebido $x$ reais de cada um de seus três amigos. Inicialmente, então, Adriano tinha $5 x$ reais, Bruno tinha $4 x$ reais e César tinha $3 x$ reais. Segue que o total de dinheiro inicial dos três amigos era de $5 x+4 x+3 x=12 x$ reais. Como cada um de seus três amigos lhe deu $x$ reais, Daniel tem agora $3 x$ reais, o que representa a quarta parte do total de $12 x$. Logo, ele agora possui $1 / 4$ da quantia que seus três amigos juntos possuíam inicialmente. + +15. Escolhendo sorvetes - A opção correta é (d). + +Vamos denotar cada sabor de sorvete pela sua letra inicial, ou seja, a - açaí, $b$ - baunilha, $c$ - cajá. Para enumerar todas as possibilidades de compra do sorvete com quatro bolas, devemos considerar os seguintes casos: + +- quatro bolas do mesmo sabor (1a coluna ao lado); +- três bolas do mesmo sabor e uma de sabor diferente ( $2^{\mathrm{a}}$ coluna ao lado); +- duas bolas de um mesmo sabor e duas de outro sabor (3a- coluna ao lado); +- duas bolas de um mesmo sabor e as outras duas dos outros dois sabores (4- coluna ao lado). + +| $a a a a$ | $a a a b$ | $a a b b$ | $a a b c$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $b b b b$ | $a a a c$ | $a a c c$ | $b b a c$ | +| $c c c c$ | | $b b c c$ | $c c a b$ | +| | $b b b a$ | | | +| | $b b b c$ | | | +| | | | | +| | $c c c a$ | | | +| | $c c c b$ | | | + +Assim, obtemos 15 modos de fazer essa compra de sorvete. + +16. Peças de um quadrado - A opção correta é (b). + +Para que seja possível montar o quadrado, o número total de quadradinhos deve ser um quadrado perfeito. Um número inteiro é um quadrado perfeito se ele é igual ao quadrado de algum número inteiro. Por exemplo, 1, 4, 9, 16 e 25 são quadrados perfeitos, pois $1=1^{2}, 4=2^{2}, 9=3^{2}, 16=4^{3}$ e $25=5^{2}$. Observe que esses cinco inteiros são os únicos quadrados perfeitos menores do que 30 . + +Contando o total de quadradinhos apresentados nas cinco opções de resposta obtemos $4+5+6+7+8=30$. Portanto, devemos eliminar uma peça com 5 quadradinhos, para restar 25, um quadrado perfeito, ou eliminar uma peça com 14 quadradinhos, para restar 16, outro quadrado perfeito, ou eliminar uma com 21 , para restar 9 , ou eliminar uma com 26, para restar 4, ou eliminar uma com 29 quadradinhos, para restar um único. Ocorre que não há peças com 14, 21, 26 ou 29 quadradinhos, restando a única opção de eliminar a peça (b), com 5 quadradinhos. + +O único quadrado que Pedro poderia ter montado com quatro peças é não usando a peça (b). Isto não significa que seja possível montar um quadrado com as quatro peças restantes. Mas, sabendo que devemos montar um quadrado de lado 5 com as cinco peças (a), (c), (d) e (e), o problema já fica bem mais fácil. A figura mostra como isso pode ser feito. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-038.jpg?height=365&width=371&top_left_y=1785&top_left_x=1505) + +17. Paradas de ônibus - A opção correta é (b). + +Como a distância entre a terceira e a sexta paradas é $3300 \mathrm{~m}$, a distância entre duas paradas consecutivas é $3300 \div 3=1100 \mathrm{~m}$. Portanto, a distância entre a primeira e a última paradas é de $1100 \times 11=12100$ metros, ou seja, 12,1 quilômetros. + +18. Desenho - A opção correta é (e). +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-039.jpg?height=278&width=241&top_left_y=341&top_left_x=382) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-039.jpg?height=277&width=254&top_left_y=341&top_left_x=747) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-039.jpg?height=269&width=260&top_left_y=348&top_left_x=1109) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-039.jpg?height=265&width=251&top_left_y=347&top_left_x=1508) + +Nas ilustrações (a), (b), (c) e (d) dadas, vemos que, iniciando o desenho no ponto $\mathrm{P}$ e seguindo as setas de acordo com a ordem numérica, é possível completar cada um desses desenhos sem tirar o lápis do papel. + +Observe que, excetuando-se o vértice de início do traçado e o vértice de finalização, os demais vértices do desenho devem possuir obrigatoriamente um número par de linhas chegando até eles, pois a cada vez que se chega a um desses vértices por uma linha, deixa-se esse mesmo vértice por outra linha. + +Assim, é impossível fazer o traçado da opção (e) do enunciado, que não pode ser construído sem tirar o lápis do papel, já que seus quatro vértices externos possuem três linhas chegando a cada um deles. + +19. Qual é o cubo? - A opção correta é (e). + +Ao cortar um canto do cubo, eliminamos um de seus vértices. Como cada vértice se liga a três arestas do cubo, uma representação do cubo cortado deve mostrar três cortes ao redor de um mesmo vértice. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-039.jpg?height=330&width=878&top_left_y=1499&top_left_x=615) + +20. Quadrado mágico - A soma dos números de uma diagonal é $4+0+(-4)=0$, portanto, o valor da soma dos números de cada linha, de cada coluna e da outra diagonal também deve ser 0 . Assim, obtemos de imediato os números que faltam nas casas cinza no primeiro tabuleiro, a saber, 16,8 e 12 , porque $(-12)+16+(-4)=0$ na primeira linha, $(-12)+8+4=0$ na primeira coluna e $(-12)+0+12=0$ na diagonal. + +| -12 | | -4 | +| :---: | :---: | :---: | +| | | | +| 4 | | |$\rightarrow$| -12 | 16 | -4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 8 | 0 | | +| 4 | | 12 |$\rightarrow$| -12 | 16 | -4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 0 | -8 | +| 4 | -16 | 12 | + +Agora, o número que falta na segunda linha do segundo tabuleiro é -8 , porque $8+0+(-8)=0$. Para a terceira linha, obtemos -16 , pois $-4+(-16)-12=0$. + +21. Torneio - Denotemos as sete equipes pela sua letra inicial. +(a) Na primeira rodada do Grupo 1 foram disputadas três partidas, $\mathrm{A} \times \mathrm{B}, \mathrm{B} \times \mathrm{C}$ e $\mathrm{C} \times \mathrm{A}$. + +(b) Na primeira rodada do Grupo 2 foram disputadas seis partidas, $\mathrm{D} \times \mathrm{E}, \mathrm{D} \times \mathrm{F}$, $\mathrm{D} \times \mathrm{G}, \mathrm{E} \times \mathrm{F}, \mathrm{E} \times \mathrm{G}$ e $\mathrm{F} \times \mathrm{G}$. + +(c) Na segunda rodada, cada equipe do Grupo 1 jogou quatro partidas, uma com cada uma das equipes do Grupo 2. Como o Grupo 1 tem três equipes, na segunda rodada foram disputadas $3 \times 4=12$ partidas. + +## 22. Truque numérico + +(a) Vamos fazer o experimento com os números 0,5 e -4. + +$$ +\begin{aligned} +& 0 \xrightarrow[\times 6]{ } 0 \xrightarrow[-21]{ }-21 \xrightarrow[\div 3]{ }-7 \xrightarrow[-(0 \times 2)=0]{ }-7 \\ +& 5 \xrightarrow[\times 6]{ } 30 \xrightarrow[-21]{ } 9 \xrightarrow[\div 3]{ } 3 \underset{-(5 \times 2)=-10}{\longrightarrow}-7 \\ +& -4 \xrightarrow[\times 6]{\longrightarrow}-24 \xrightarrow[-21]{ }-45 \xrightarrow[\div 3]{-15 \xrightarrow[-(-4 \times 2)=+8]{\longrightarrow}}-7 +\end{aligned} +$$ + +O resultado final é sempre -7 . + +(b) É razoável, então, conjecturar que, para qualquer número inicial escolhido, o resultado final desse procedimento será sempre -7 . Seja $x$ o número inicial. Temos, então, as operações seguintes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-040.jpg?height=88&width=1345&top_left_y=1658&top_left_x=390) + +Portanto, o resultado dessa "mágica" sempre será igual a -7 , qualquer que seja o número inicialmente escolhido. + +23. Jogando sinuca - A bola muda a direção de sua trajetória cada vez que bate numa das beiradas da mesa. Como a trajetória faz sempre um ângulo de $45^{\circ} \mathrm{com}$ a beirada, a trajetória dessa bola, tacada a partir de um canto, seguirá sempre as diagonais dos quadrados que ela cruzar. Traçando essa trajetória, concluímos que (b) a bola baterá cinco vezes nas beiradas da mesa antes de (a) cair na caçapa superior esquerda. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-040.jpg?height=380&width=479&top_left_y=1969&top_left_x=1371) + +Contando quadrados atravessados, vemos que (c) ela atravessará 23 quadrados pela diagonal. + +24. Triângulo isósceles - Por definição, um triângulo é isósceles se tiver dois lados iguais. O terceiro lado é chamado base do triângulo isósceles, e os ângulos formados entre a base e os dois lados iguais são os ângulos da base. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-041.jpg?height=448&width=443&top_left_y=267&top_left_x=818) + +A figura mostra um triângulo isósceles $\triangle A B C$, cujos lados iguais são $A B$ e $A C$ e a base é $B C$. Denotamos os ângulos $A \widehat{B} C$ e $A \widehat{C} B$ da base por $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$, respectivamente. Demonstra-se que num triângulo isósceles os ângulos da base são sempre iguais. No triângulo da figura temos, portanto, $\widehat{B}=\widehat{C}$. + +Passando à resolução desta questão, observe que $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$, já que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é $180^{\circ}$. Pelos dados do problema, $\widehat{A}=20^{\circ}$ e o triângulo é isósceles, de modo que $\widehat{B}=\widehat{C}$. Logo, $180^{\circ}=20^{\circ}+\widehat{B}+\widehat{C}=20^{\circ}+2 \widehat{B}$ e, portanto, $\widehat{B}=\widehat{C}=80^{\circ}$. + +O triângulo $\triangle C B D$ também é isósceles, pois é dado que $C B=D B$. Como a base desse triângulo é $C D$, seus ângulos de base são $C \widehat{D} B=\widehat{C}$, portanto, $C \widehat{D} B=80^{\circ}$. Considerando a soma dos ângulos internos desse triângulo $\triangle C B D$, obtemos $C \widehat{B} D+C \widehat{D} B+\widehat{C}=180^{\circ}$. Substituindo os valores já obtidos, vemos que $C \widehat{B} D+80^{\circ}+$ $80^{\circ}=180^{\circ}$, de modo que $C \widehat{B} D=20^{\circ}$. Assim, $D \widehat{B E}=\widehat{B}-20^{\circ}=80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$. + +O triângulo $\triangle D B E$ também é isósceles, porque também $D B=B E$. A base desse triângulo é $D E$ e os ângulos iguais da base $B E$ são $E \widehat{D} B=D \widehat{E} B$. Como + +$$ +180^{\circ}=B \widehat{D} E+D \widehat{E} B+D \widehat{B} E=2 \times B \widehat{D} E+60^{\circ} +$$ + +concluímos que $B \widehat{D} E=60^{\circ}$. + +25. Pesando moedas - Sejam $A, B, C$ e $D$ as quatro moedas aparentemente iguais. Comparamos as moedas $A$ e $B$ na balança, colocando uma em cada prato. Dois casos podem ocorrer: a balança fica em equilíbrio ou a balança não fica em equilíbrio. Vamos analisar separadamente cada caso. Observe que, em ambos casos, só utilizamos a balança duas vezes. + +1o Caso: A balança fica equilibrada. Podemos concluir que $A$ e $B$ têm o mesmo peso, portanto, são verdadeiras. Vamos então comparar $A$ com $C$. Para isso, mantemos $A$ na balança e colocamos $C$ no lugar de $B$. Se houver equilíbrio novamente, é porque $A$ e $C$ têm o mesmo peso e são, portanto, verdadeiras. Assim, $A, B$ e $C$ são verdadeiras e a única opção é que $D$ seja a moeda falsa. Se não houver equilíbrio, $C$ é a moeda falsa. + +2o Caso: A balança não fica equilibrada. Logo uma das duas moedas, $A$ ou $B$ é a falsa. Substituímos $A$ por $C$ na balança. Se houver equilíbrio, $A$ é a moeda falsa. Se não houver equilíbrio, a moeda falsa é $B$. + +26. Números binomiais - A opção correta é (e). + +Preenchendo o tabuleiro de acordo com as regras do problema, segue que $60=(x+17)+(2 x+13)=3 x+30$, donde $x=10$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-042.jpg?height=449&width=762&top_left_y=478&top_left_x=727) + +27. Costuras da bola - A opção correta é (c). + +Se somarmos os números de lados de todos os polígonos (20 hexágonos e 12 pentágonos) que compõem a superfície da bola, obteremos um valor que é duas vezes o número de costuras, pois cada costura é lado comum de exatamente dois polígonos. Assim, temos que $2 \times$ número de costuras $=12 \times 5+20 \times 6=180$, donde o número de costuras é 90 . + +28. Razão de áreas - A opção correta é (a). + +A grade é um quadrado de lado igual a $5 \mathrm{~cm}$, logo sua área é igual a $25 \mathrm{~cm}^{2}$. A parte sombreada da grade é formada por quatro triângulos, sendo que dois deles têm base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $2 \mathrm{~cm}$ e os outros dois têm base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $3 \mathrm{~cm}$. Logo a área sombreada é igual a $2 \times \frac{1}{2}(1 \times 2)+2 \times \frac{1}{2}(1 \times 3)=5 \mathrm{~cm}^{2}$ e a área não sombreada é igual a $25-5=$ $20 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a razão pedida é $5 / 20=1 / 4$. + +29. Só sorvete - A opção correta é (c). + +Vamos primeiro analisar a informação contida na diagonal da tabela indicada pelos números dentro dos quadradinhos. + +| | | TARDE | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | Abacaxi | Banana | Chocolate | Doce
de leite | | +| M | Abacaxi | 1 | 8 | 0 | 3 | +| A | Banana | 6 | 2 | 7 | 5 | +| N | Chocolate | 3 | 3 | $\boxed{0}$ | 5 | +| H | Doce de | 2 | 9 | 9 | $\boxed{1}$ | +| $\tilde{\text { A }}$ | Leite | | | | | + +Esses números indicam quantas foram as crianças que tomaram sorvetes com o mesmo sabor pela manhã e pela tarde: um tomou sorvetes de abacaxi, dois de banana, nenhum de chocolate e um de doce de leite. Todos os outros estudantes comeram sorvetes de sabores diferentes pela manhã e à tarde, num total de $64-(1+2+0+1)=60$. + +30. Brincando com tabuleiro - A opção correta é (b). + +Notamos primeiro que se uma casa tem o algarismo 0 , então nenhuma das casas vizinhas pode estar pintada. Logo, as casas marcadas com um $\times$ na figura à direita não foram pintadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-043.jpg?height=186&width=545&top_left_y=341&top_left_x=1258) + +Consideremos, agora, a casa do canto superior direito, na qual aparece o número 1. Ela tem três vizinhas, e já sabemos que duas delas não foram pintadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-043.jpg?height=180&width=523&top_left_y=567&top_left_x=1269) + +Logo, a vizinha que sobra (a casa imediatamente abaixo) foi pintada. Podemos aplicar o mesmo argumento às casas do canto inferior esquerdo e do canto inferior direito. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-043.jpg?height=171&width=545&top_left_y=788&top_left_x=1258) + +Olhamos agora para o 2 na última linha. Como esta casa já tem duas vizinhas pintadas, todas suas outras vizinhas não foram pintadas. + +Argumento idêntico se aplica à casa da segunda linha e terceira coluna, pois nela aparece um 1 e já temos uma de suas vizinhas pintadas. Logo, as suas outras três vizinhas não foram pintadas. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-043.jpg?height=176&width=548&top_left_y=1002&top_left_x=1254) + +Finalmente, usamos o 3 que aparece na casa da terceira linha e terceira coluna. Esta casa já tem duas vizinhas pintadas, logo deve haver mais uma de suas vizinhas pintada. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-043.jpg?height=390&width=548&top_left_y=1224&top_left_x=1256) + +Esta vizinha só pode ser a casa em branco na figura acima, e podemos completar a tabela. Concluímos que o número de casas pintadas é 4 . + +31. Cartões numerados - A opção correta é (b). + +A formação de um número de 6 algarismos é ilustrada a seguir. + +| centena
de milhar | dezena
de milhar | unidade
de milhar | centena | dezena | unidade | +| :---: | :---: | :---: | :--- | :--- | :--- | + +Para se obter o menor número possível, os menores algarismos devem estar o mais à esquerda possível (na casa do milhar) e para se obter o maior número possível os maiores algarismos devem também estar o mais à esquerda possível (na casa do milhar). + +Jorge joga primeiro: Para obter o menor número possível, ele coloca o menor algarismo que ele possui, que é o 2 , na casa da centena de milhar. Se ele não fizesse isso, Larissa colocaria seu 5 nesta casa na próxima jogada e obteria, assim, um número maior. + +| 2 | dezena
de milhar | unidade
de milhar | centena | dezena | unidade | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Agora é a vez de Larissa: Para obter o maior número possível, ela coloca o maior algarismo que ela possui, que é o 5 , na casa das dezenas de milhar, pois a casa das centenas de milhar já está ocupada. + +| 2 | 5 | unidade
de milhar | centena | dezena | unidade | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Agora, Jorge tem os algarismos 4 e 6, e Larissa 1 e 3. Logo, os algarismos de Larissa são menores do que os de Jorge, o que determina a estratégia de Jorge: ele deve tentar colocar seus algarismos o mais à direita possível, com o 6 à direita do 4 . Por sua vez, Larissa deve tentar colocar seus algarismos o mais à esquerda possível, com o 3 à esquerda do 1. + +Jorge joga: Ele coloca o algarismo 6 na casa das unidades. + +| 2 | 5 | unidade
de milhar | centena | dezena | 6 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Larissa joga: Ela coloca seu 1 na casa das dezenas. + +| 2 | 5 | unidade
de milhar | centena | 1 | 6 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | + +Agora, Jorge tem apenas o algarismo 4 e Larissa o 3. Ele então coloca o 4 na casa das centenas e Larissa coloca o 3 na casa das unidades de milhar, acabando o jogo. + +| 2 | 5 | 3 | 4 | 1 | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Assim, o número final, obtido se os dois jogadores forem espertos, é 253416. + +32. Faltam balas - A opção correta é (a). + +Dividindo 237 por 37 , obtemos $237=7 \times 31+20$. Logo, 237 não é divisível por 31 . Isso quer dizer que a professora realmente vai ter que comprar mais balas para que todos os alunos recebam o mesmo número de balas. Devemos adicionar à expressão $7 \times 31+20$ o menor inteiro positivo $x$ tal que $7 \times 31+20+x$ seja múltiplo de 31 . Como $20+11=31$, basta que a professora compre 11 balas adicionais. + +33. Artesãos de braceletes - A opção correta é (d). + +O artesão produz 6 braceletes a cada 20 minutos. Como 1 hora $=60$ minutos $=$ $3 \times 20$ minutos, o artesão produz $6 \times 3=18$ braceletes em uma hora. Como ele trabalhou 12 horas -8 horas $=4$ horas, o número de braceletes feitos pelo artesão é $18 \times 4=72$. $\mathrm{O}$ auxiliar produz 8 braceletes a cada meia hora, portanto em 1 hora ele produz 16 braceletes. Para produzir 72 braceletes ele precisará de $72 / 16=4,5$ horas $=4$ horas e 30 minutos. Como ele inicia seu trabalho às 9 horas, ele terminará seu trabalho às $9+4,5=13 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$. + +34. Girando um pentágono - A opção correta é (b). + +O pentágono tem 5 lados. Logo, seu ângulo central mede $\frac{1}{5} 360^{\circ}=72^{\circ}$. + +Solução 1: Dividindo 252 por 72, obtemos $252=3 \times 72+36$. Como $36=72 \div 2$, concluímos que uma rotação do pentágono de $252^{\circ}$ em torno do seu centro corresponde a uma rotação de um ângulo igual a três vezes e meia o ângulo central. + +Solução 2: Como $252^{\circ}=72^{\circ}+180^{\circ}$, podemos pensar na rotação de $252^{\circ}$ como uma rotação de $72^{\circ}$ seguida de outra de $180^{\circ}$, conforme ilustrado na figura dada, em que $O$ é o centro do polígono. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-045.jpg?height=326&width=822&top_left_y=448&top_left_x=651) + +35. Área em função da diagonal - A opção correta é (c). + +A área $A$ de um retângulo é o produto do comprimento pela largura. Sejam $a$ e $b$ o comprimento e a largura do retângulo. Assim, $A=a b$. O perímetro desse retângulo é dado por $2 a+2 b$. Como o perímetro é 100 , temos que $2 a+2 b=100$, portanto, $a+b=50$. Elevando ao quadrado ambos os lados dessa última igualdade, obte- + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-045.jpg?height=297&width=494&top_left_y=954&top_left_x=1341) +$\operatorname{mos} a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}=50^{2}=2500$. Se $x$ denota o comprimento da diagonal, o Teorema de Pitágoras afirma que $x^{2}=a^{2}+b^{2}$, portanto, $x^{2}+2 A=x^{2}+2 a b=2500$. Concluímos que $2 A=2500-x^{2}$, ou seja, $A=1250-\frac{1}{2} x^{2}$ é a expressão da área do retângulo em função da diagonal $x$. + +36. Valor de uma quadrática - A opção correta é (d). + +Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade $x+y=8$, obtemos $x^{2}+2 x y+y^{2}=(x+y)^{2}=8^{2}=64$. Como $x y=15$, concluímos que + +$$ +x^{2}+6 x y+y^{2}=\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)+4 x y=64+4 \times 15=124 +$$ + +37. Ângulos em função de $x$ - A opção correta é (c). + +Completamos a figura marcando os ângulos $\alpha$ e $\beta$, lembrando que ângulos opostos pelo vértice são iguais. Lembremos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Olhando para o triângulo mais à esquerda, vemos que + +$$ +3 x+4 x+\alpha=180^{\circ} \text {. } +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-045.jpg?height=459&width=762&top_left_y=1935&top_left_x=1047) + +Segue que $\alpha=180^{\circ}-7 x$. Considerando o triângulo do meio, temos + +$$ +\left(180^{\circ}-7 x\right)+5 x+\beta=180^{\circ} +$$ + +Concluímos que $\beta=2 x$. Finalmente, do triângulo da direita, temos que $\beta+2 x+6 x=180^{\circ}$, ou seja, $2 x+2 x+6 x=180^{\circ}$. Assim, $x=18^{\circ}$. + +38. Operação diferente - A opção correta é (c). + +Pela definição, obtemos $\frac{22 \nabla 26}{4 \nabla 6}=\frac{22+23+24+25+26}{4+5+6}=\frac{120}{15}=8$. + +39. Taxi caro - A opção correta é (c). + +Como a bandeirada é fixa, temos $10,00-2,50=7,50$ reais a serem gastos apenas com os metros rodados. Cada trecho de 100 metros rodado custa $R \$ 0,10$, então com $\mathrm{R} \$ 7,50$ posso fazer uma corrida de $(7,50) /(0,10)=750 / 10=75$ trechos de 100 metros cada um, ou seja, $75 \times 100=7500$ metros. Como 1 quilômetro tem 1000 metros, segue que, com $\mathrm{R} \$ 10,00$, posso pagar uma corrida de até 7500 metros, ou 7,5 quilômetros. + +40. Múltiplos de 3 ou 4 - A opção correta é (d). + +Para encontrar o número de múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e 601, basta usar o algoritmo da divisão e observar que $601=200 \times 3+1$. Isso mostra que $3 \times 1,3 \times 2$, .., $3 \times 200$ são os múltiplos de 3 entre 1 e 601 , ou seja, temos 200 desses múltiplos. Do mesmo modo, vemos que existem 150 múltiplos de 4 entre 1 e 601. Nesse total de $200+150=350$, alguns números aparecem contados duas vezes, pois são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo; por exemplo, foram incluídos 12, 36 e 60 nos 200 múltiplos de 3 e também nos 150 múltiplos de 4 . Lembre que os múltiplos de 3 e de 4 são, também, múltiplos de 12. O mesmo argumento usado acima mostra que temos 50 múltiplos de 12 entre 1 e 601. Logo, o número de múltiplos de 3 ou 4 entre 1 e 601 é $350-50=300$. + +41. Lados de um paralelepípedo - A opção correta é (b). + +Solução 1: De $x y z=240$, segue que $x y=\frac{240}{z}$. Substituindo em $x y+z=46$, obtemos $\frac{240}{z}+z=46$, ou seja, $z^{2}-46 z+240=0$. As raízes dessa equação são números cuja soma é 46 e cujo produto é 240 , e é fácil verificar que essas raízes são e 6 e 40. Logo, $z=6$ ou $z=40$. De maneira completamente análoga, a substituição de $y z=\frac{240}{x}$ em $x+y z=64$ nos leva a $x=4$ ou $x=60$. + +Agora, de $x y z=240$, segue que $y=\frac{240}{x z}$. Como $y$ é um número inteiro, então $x z$ é um divisor de 240 . De $x=4$ ou $x=60$ e $z=6$ ou $z=40$ segue que as possibilidades para $x z$ são + +$$ +\underbrace{4}_{x} \times \underbrace{6}_{z}=24, \underbrace{4}_{x} \times \underbrace{40}_{z}=160, \underbrace{60}_{x} \times \underbrace{6}_{z}=360, \underbrace{60}_{x} \times \underbrace{40}_{z}=2400 +$$ + +Vemos que só podemos ter $x=4 \mathrm{e} z=6$, pois em qualquer outro caso o produto $x z$ não é um divisor de 240. Segue que $y=\frac{240}{x z}=\frac{240}{4 \times 6}=10$, donde + +$$ +x+y+z=4+10+6=20 +$$ + +Solução 2: Somando $x y+z=46$ e $x+y z=64$, obtemos + +$$ +(x+z)(y+1)=(x+z) y+(x+z)=x y+z+x+y z=46+64=110 +$$ + +e vemos que $y+1$ é um divisor de 110. Logo, temos as possibilidades + +$$ +y+1=1,2,5,10,11,22,55 \text { e } 110 +$$ + +ou seja, $y=0,1,4,9,10,21,54$ e 109. Por outro lado, $y$ é um divisor de 240 , porque $x y z=240$ e, além disso, $y$ é positivo, que nos deixa com as únicas possibilidades $y=1,4$ e 10. Examinemos cada caso de $y$. + +- Se $y=1$, então $110=(x+z)(y+1)=(x+z) \times 2$, portanto, $x+z=55$. Como também $46=x y+z=x+z$, esse caso $y=1$ não é possível. +- Se $y=4$, então $110=(x+z)(y+1)=(x+z) \times 5$, portanto, $x+z=22$. Mas $240=x y z=4 x z$, portanto, $x z=60$. Podemos verificar (por exemplo, com uma lista de divisores de 60 ou, então, resolvendo a equação $w^{2}-22 w+60=0$ ) que não há valores inteiros positivos de $x$ e $z$ que verifiquem essas duas condições $x+z=22$ e $x z=60$. Logo, esse caso $y=4$ também não é possível. +- Se $y=10$, então $110=(x+z)(y+1)=(x+z) \times 10$, portanto, $x+z=11$. Mas $240=x y z=10 x z$, portanto, $x z=24$. Podemos verificar (por exemplo, com uma lista de divisores de 24 ou, então, resolvendo a equação $w^{2}-11 w+24=0$ ) que os únicos valores inteiros positivos de $x$ e $z$ que verifiquem essas duas condições $x+z=11$ e $x z=24$ são $x=4$ e $z=6$. + +Assim, a única possibilidade é $x=4, y=10$ e $z=6$, com o que $x+y+z=20$. + +42. Pontos da reta - A opção correta é (b). + +Notamos que $a$ e $b$ são números maiores do que $1 / 2$ e menores do que 1 . Portanto, $a+b$ é um número maior do que 1 e menor do que 2 . Logo, $a+b$ só pode ser representado por $m$. Como $a0$, donde $a b5$, temos $00$ e $x-2<0$. Devemos ter $x<(9 / 4)$ e $x<2$. Portanto, $x<2$, pois sendo menor do que 2 , automaticamente $x$ será menor do que $9 / 4$. Concluímos que todo $x<2$ satisfaz a desigualdade. + +2o Caso: $9-4 x<0$ e $x-2>0$. Devemos ter $x>(9 / 4)$ e $x>2$. Portanto, $x>(9 / 4)$, pois sendo maior do que $9 / 4$, automaticamente $x$ será maior do que 2 . Concluímos que todo $x>(9 / 4)$ satisfaz a desigualdade. + +Juntando os dois casos, concluímos que $x$ satisfaz a desigualdade se, e só se, $x<2$ ou $x>(9 / 4)$. + +67. Desigualdade dupla - A opção correta é (e). + +Como os números que aparecem são todos positivos, podemos elevá-los ao quadrado mantendo o sentido das desigualdades, obtendo + +$$ +2000 \times 2000=2000^{2} foi posto fora de casa | +| :---: | :---: | +| Gato fora de casa | 0 minutos | +| Bolo no forno | 10 minutos | +| Fazer o café | $10+6=16$ minutos | +| Despertador toca | $35+10=45$ minutos | +| Gato entra em casa | $45-5=40$ minutos | +| Acabar de tomar o café | $40+3=43$ minutos | +| Telefone toca | $16+(40-16) \div 2=28$ minutos | +| Desligar o telefone | $28+5=33$ minutos | + +Podemos, agora, dar as respostas. + +(a) Às 3h59min desliguei o telefone, o que ocorreu 33 minutos depois de colocar o gato fora de casa. Como $59-33=26$, coloquei o gato para fora às $3 \mathrm{~h} 26 \mathrm{~min}$. + +(b) O despertador toca 45 minutos após colocar o gato fora de casa. + +(c) O gato já estava fora de casa por 28 minutos quando o telefone tocou. + +Podemos saber exatamente a hora em que ocorreu cada atividade, conforme a tabela seguinte. + +| Atividade | Tempo depois que o gato
foi posto fora de casa | Horário | +| :---: | :---: | :---: | +| Gato fora de casa | $0 \mathrm{~min}$ | $59-33=3 \mathrm{~h} 26 \mathrm{~min}$ | +| Bolo no forno | $10 \mathrm{~min}$ | $26+10=3 \mathrm{~h} 36 \mathrm{~min}$ | +| Fazer o café | $10+6=16 \mathrm{~min}$ | $26+16=3 \mathrm{~h} 42 \mathrm{~min}$ | +| Despertador toca | $35+10=45 \mathrm{~min}$ | $26+45=4 \mathrm{~h} 11 \mathrm{~min}$ | +| Gato entra em casa | $45-5=40 \mathrm{~min}$ | $26+40=4 \mathrm{~h} 06 \mathrm{~min}$ | +| Acabar de tomar o café | $40+3=43 \mathrm{~min}$ | $26+43=4 \mathrm{~h} 09 \mathrm{~min}$ | +| Telefone toca | $16+(40-16) \div 2=28 \mathrm{~min}$ | $26+28=3 \mathrm{~h} 54 \mathrm{~min}$ | +| Desligar o telefone | $28+5=33 \mathrm{~min}$ | $26+33=3 \mathrm{~h} 59 \mathrm{~min}$ | + +71. Muitos angulos - Na figura I, temos $63^{\circ}+18^{\circ}+95^{\circ}=176^{\circ}$, que é menor do que $180^{\circ}$. Logo, esta figura está errada. + +Na figura II, temos $112^{\circ}+72^{\circ}=184^{\circ}$, que é maior do que $180^{\circ}$. Logo, esta figura está errada. + +Na figura III, temos $44^{\circ}+45^{\circ}+62^{\circ}+29^{\circ}=180^{\circ}$. Esta figura está correta. + +72. Sinal de produto e de quociente + +- Como $\frac{a}{5}>0$ e $5>0$, obtemos $a>0$. +- Como $a>0$, temos $7 a>0$. Como $\frac{-b}{7 a}>0$, segue que $-b>0$, portanto, $b<0$. +- Como $\frac{11}{a b c}>0$ e $11>0$, obtemos $a b c>0$. Como $b<00$ e $-18<0$, obtemos $a b c d<0$. Como $a b c>0$, segue que $d<0$. + +73. Sinais e radicais - Temos $3 \sqrt{11}=\sqrt{9 \times 11}=\sqrt{99}$. Como $100>99$, obtemos $10=\sqrt{100}>\sqrt{99}=3 \sqrt{11}$, portanto, $10-3 \sqrt{11}>0$ e $3 \sqrt{11}-10<0$. Analogamente, temos $10 \sqrt{26}=\sqrt{100 \times 26}=\sqrt{2600}$. Como $2601>2600$, obtemos + +$$ +51=\sqrt{2601}>\sqrt{2600}=10 \sqrt{26} +$$ + +portanto, $51-10 \sqrt{26}>0$ e $10 \sqrt{26}-51<0$. Finalmente, $18^{2}=324<325=25 \times 13$ garante que $18<5 \sqrt{13}$, de modo que $18-5 \sqrt{13}<0$. + +Os números negativos são (b) $3 \sqrt{11}-10$, (c) $10 \sqrt{26}-51$ e (e) $18-5 \sqrt{13}$. + +74. Ângulos entre retas $-\mathrm{Temos} 80^{\circ}+y=180^{\circ}$, portanto, $y=100^{\circ}$. Como as retas $r$ e $s$ são paralelas, segue que $60^{\circ}+x+80^{\circ}=180^{\circ}$, donde $x=40^{\circ}$. +75. Variação de temperatura - A variação de temperatura é a diferença entre a máxima e a mínima. Completamos a tabela dada com as variações, como segue. + +| Dia | Temperatura
máxima,
em ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ | Temperatura
mínima,
em ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ | Variação
da temperatura,
em ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $2^{\text {a-feira }}$ | 7 | -12 | $7-(-12)=7+12=19$ | +| 3-feira | 0 | -11 | $0-(-11)=0+11=11$ | +| $4^{\text {a }}$-feira | -2 | -15 | $-2-(-15)=15-2=13$ | +| 5-feira | 9 | -8 | $9-(-8)=9+8=17$ | +| 6a-feira | 13 | -7 | $13-(-7)=13+7=20$ | + +Logo, a maior variação da temperatura ocorreu na sexta-feira. + +76. Ordenando frações - A opção correta é (d). + +Lembre que a ordem entre frações constituídas de inteiros positivos é determinada pelo produto cruzado dos inteiros, ou seja, $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ equivale à afirmação $a \times d possíveis | 3 | 7 | 1 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | +| | 8 | 14 | 6 | 12 | 11 | 10 | 9 | | | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | +| | 15 | | 13 | | | | | | | | | | | | | + +Os números 8 e 9 só têm, cada um, apenas um possível vizinho, logo eles devem ser colocados no início e no fim da fila, seguidos de seus únicos vizinhos. + +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 7 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Sobram os números 2, 3, 4, 5, 6, 10,11 12, 13, 14 e 15. Na "tabela de vizinhos", vemos que, ao lado do 7 , só podemos colocar o 2 e, ao lado do 2 , só o 14 . Temos, então, + +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 14 | 2 | 7 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Consultando a "tabela de vizinhos" e os números que sobram, chegamos à resposta. + +| 8 | 1 | 15 | 10 | 6 | 3 | 13 | 12 | 4 | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | + +Veja, a seguir, a solução passo a passo. + +| Formação da linha em cada etapa | | | | | | | | | | | | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :--- | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 7 | 9 | $2,3,4,5,6,10,11,12$,
$13,14,15$ | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 2 | 7 | 9 | $3,4,5,6,10,11,12,13$,
14,15 | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 14 | 2 | 7 | 9 | $3,4,5,6,10,11,12,13$,
15 | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | $3,4,6,10,12,13,15$ | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 4 | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | $3,6,10,12,13,15$ | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 12 | 4 | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | $3,6,10,13,15$ | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | $?$ | 13 | 12 | 4 | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | $3,6,10,15$ | +| 8 | 1 | $?$ | $?$ | $?$ | 3 | 13 | 12 | 4 | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | $6,10,15$ | +| 8 | 1 | 15 | 10 | 6 | 3 | 13 | 12 | 4 | 5 | 11 | 14 | 2 | 7 | 9 | Resposta | + +86. Área de uma região - Lembre que a área de um triângulo é + +$$ +\frac{1}{2} \text { base } \times \text { altura } +$$ + +onde a altura é relativa à base escolhida. No triângulo $\triangle A E B$, temos base $=A B=$ comprimento do retângulo e a altura relativa a essa base é $B C=$ largura do retângulo. Logo, $\frac{1}{2} A B \times B C=24$ e $A B \times B C=48$. Logo, a área do retângulo é $48 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a área pedida é $48-(24+13)=48-37=11 \mathrm{~cm}^{2}$. + +87. Potências de 10 - A opção correta é (c). + +$$ +\begin{aligned} +\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001} & =\frac{10^{-5} \times\left(10^{-2}\right)^{2} \times 10^{3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-5} \times 10^{-4} \times 10^{3}}{10^{-3}} \\ +& =\frac{10^{-5+(-4)+3}}{10^{-3}}=\frac{10^{-6}}{10^{-3}}=10^{-6-(-3)}=10^{-3} +\end{aligned} +$$ + +88. Diferença de quadrados - A opção correta é (d). + +Como $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ e $(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$, temos + +$$ +20=(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=4 x y +$$ + +portanto $x y=5$. + +89. Um quadrilátero - Para que $A B C D$ seja um paralelogramo, seus lados devem ser dois a dois paralelos, isto é, $A B \| C D$ e $A D \| B C$. Como $D \widehat{A} B+A \widehat{B} C=180^{\circ}$, as retas $A D$ e $B C$ são paralelas. Também as retas $A B$ e $D C$ são paralelas, pois temos dois ângulos alternos internos de $45^{\circ}$ entre essas retas. Assim, $A B C D$ é um paralelogramo. +90. Sexta-feira treze - Como os dias da semana se repetem a cada 7 dias, a diferença entre os dias da semana é dada pelo resto ao dividir o número de dias transcorridos por 7. Na tabela abaixo, temos + +(a) na primeira linha, o número de dias entre o dia 13 de um mês e o dia 13 do mês seguinte; + +(b) na segunda linha, o resto obtido quando dividimos esse número por 7; + +(c) na terceira linha, o resto obtido quando dividimos por 7 o número de dias entre o 13 de janeiro e o 13 do mês correspondente; assim, esse número é obtido somando os resultados obtidos na primeira linha, desde janeiro até o mês correspondente, calculando, depois, o resto da divisão por 7. + +| J-F | F-M | M-A | A-M | M-J | J-J | J-A | A-S | S-O | O-N | N-D | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 | +| 3 | 0 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | +| 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 | + +Os valores iguais na última linha, significam que, nesses meses, o dia 13 caiu no mesmo dia da semana. Em particular, a última linha nos diz que 13 de fevereiro, 13 de março e 13 de novembro correspondem ao mesmo dia da semana. Assim, no máximo, temos três sextas-feiras treze. + +No caso de três sextas-feiras treze num mesmo ano, o 13 de janeiro ocorreu 3 dias antes de sexta-feira, isto é, numa terça-feira, e o dia 10 de janeiro aconteceu 3 dias antes, isto é, num sábado. + +Observação: Note que uma sexta-feira 13 ocorre apenas quando o primeiro dia do mês cair num domingo. Assim, uma outra maneira, talvez mais simples, de resolver o problema é determinar o número máximo de vezes em que o primeiro dia do mês caia num domingo num ano que não seja bissexto. + +91. Triângulos com lados inteiros - A opção correta é (b). + +Para que três números $a, b$ e $c$ sejam os comprimentos dos lados de um triângulo, cada um deles deve ser maior do que a diferença e menor do que a soma dos outros dois. Sejam $a \leq b \leq c$ os comprimentos dos lados do triângulo, de modo que $c500+2 x$, isto é, $0,5 x>500$, ou $x>1000$. + +116. Existência de triângulos - A opção correta é (c). + +A soma dos três ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$. Logo, se um deles mede $90^{\circ}$, a soma dos outros dois é $90^{\circ} \mathrm{e}$, por isso, não podem ser maiores do que $90^{\circ}$. Portanto, não existem triângulos retângulos obtusângulos. Os seguintes exemplos de comprimentos de lados mostram que cada um dos outros casos pode ocorrer: +(a) $2,3,3$; +(b) $1,1, \sqrt{2}$; +(d) $3,4,5$; +(e) $3,4,6$. + +117. Os doze pontos - No total, temos 11 possíveis quadrados, mostrados nas figuras seguintes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-069.jpg?height=314&width=1002&top_left_y=1074&top_left_x=570) +118. $O$ colar - Sejam $g$ o número de pérolas grandes, $p$ o de pequenas, $a$ o peso (em gramas) de uma pérola grande e $b$ o de uma pequena. Com essa notação, os dados são os seguintes. + +(a) O número total de pérolas no colar é $g+p$ e temos $g+p<500$. + +(b) O peso das pérolas grandes é $g a$ e o das pequenas é $p b$. + +(c) O peso total do colar é $g a+p b$. + +Antes de equacionar o problema, equacionamos as duas hipóteses do problema. + +(a) Ao substituirmos $70 \%$ das pérolas grandes pelas pequenas, o número total de pérolas no colar fica composto por + +$$ +\underbrace{30 \% \times g}_{\text {grandes }}+\underbrace{p+70 \% \times g}_{\text {pequenas }}=0,3 g+(p+0,7 g) +$$ + +pérolas e seu peso fica sendo + +$$ +\underbrace{0,3 g \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{(p+0,7 g) \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{0,4(g a+p b)}_{40 \% \text { do peso inicial }} +$$ + +(b) Analogamente, ao substituirmos $60 \%$ das pérolas pequenas pelas grandes, o número total de pérolas no colar fica composto por + +$$ +\underbrace{g+60 \% \times p}_{\text {grandes }}+\underbrace{40 \% \times p}_{\text {pequenas }}=(g+0,6 p)+0,4 p +$$ + +pérolas e seu peso fica sendo + +$$ +\underbrace{(g+0,6 p) \times a}_{\text {peso das grandes }}+\underbrace{0,4 p \times b}_{\text {peso das pequenas }}=\underbrace{1,7(g a+p b)}_{170 \% \text { do peso inicial }} \text {. } +$$ + +Assim, as duas hipóteses podem ser resumidas no sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +(0,3) g a+(0,7) g b+p b=0,4(g a+p b) \\ +g a+(0,6) p a+(0,4) p b=1,7(g a+p b) +\end{array}\right. +$$ + +Para resolvê-lo, começamos multiplicando ambas equações por 10 e simplificamos, obtendo + +$$ +\left\{\begin{aligned} +(7 g+6 p) b & =g a \\ +(7 g-6 p) a & =-13 p b +\end{aligned}\right. +$$ + +Eliminando as incógnitas $a$ e $b$, podemos escrever $\frac{7 g+6 p}{g}=\frac{a}{b}=\frac{-13 p}{7 g-6 p}$, resultando $49 g^{2}-36 p^{2}+13 p g=0$. Para fatorar essa expressão, desdobramos + +$$ +13 p g=49 p g-36 p g +$$ + +e obtemos + +$$ +\begin{aligned} +0=49 g^{2}+13 p g-36 p^{2} & =49 g^{2}+49 p g-36 p^{2}-36 p g \\ +& =g(49 g-36 p)+p(49 g-36 p) \\ +& =(g+p)(49 g-36 p) +\end{aligned} +$$ + +de modo que $(g+p)(49 g-36 p)=0$, ou seja, + +$$ +49 g=36 p +$$ + +Como 36 e 49 são primos entre si e $p$ e $g$ são inteiros positivos, segue que $g$ é um múltiplo de 36 e $p$ um de 49 , isto é, $g=36 k$ e $p=49 k^{\prime}$, para certos inteiros $k$ e $k^{\prime}$ maiores do que 1 . Decorre que $36 \times 49 k^{\prime}=36 p=49 g=49 \times 36 k$, ou seja, $k=k^{\prime}$, de modo que $g=36 k, p=49 k$ e $g+p=85 k$. Como $g+p<500$, o colar só pode ter 85 , 170, 255, 340 ou 425 pérolas. + +119. Mulheres votantes - A opção correta é (b). + +A fração de mulheres na população é $\frac{52}{100}$ e, delas, a fração que é votante é $\frac{40}{100}$. Logo, a fração de mulheres votantes é + +$$ +\frac{52}{100} \times \frac{40}{100} \times 100 \%=\frac{52}{250} \times 100 \%=0,208 \times 100 \%=20,8 \% +$$ + +120. Amigos do século $\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}$ - Os dois amigos nasceram no mesmo mês e no mesmo ano, com uma diferença de 7 dias, de modo que um nasceu no dia $d / m / a$ e o outro no dia $(d+7) / m / a$. Com essas datas formamos os números $(d)(m)(a)$ e $(d+7)(m)(a)$. Sabemos que + +$$ +(d+7)(m)(a)=(d)(m)(a)+7 \times 10^{k} +$$ + +onde $k$ é o número de algarismos de $(m)(a)$. Observe que só podemos ter $k=3$, se o mês $m$ tem um algarismo, ou $k=4$, se o mês $m$ tem dois algarismos. Como também $(d+7)(m)(a)=6 \times(d)(m)(a)$, resulta + +$$ +7 \times 10^{k}=5(d)(m)(a) +$$ + +No caso $k=3$, decorre que o amigo mais velho nasceu em + +$$ +(d)(m)(a)=\frac{7000}{5}=1400 +$$ + +isto é, 1 o de abril de 1900. No caso $k=4$, decorre $\frac{70000}{5}=14000$, que não é uma data válida. + +121. Operação em uma fração - Seja $a / b$ uma fração qualquer e seja $c$ um número qualquer tal que + +$$ +\frac{a+c}{b+c}=\frac{b}{a} +$$ + +Esta igualdade é equivalente a $(a+c) a=(b+c) b$, ou seja, $a^{2}+a c=b^{2}+b c$ ou, ainda a $c(a-b)=b^{2}-a^{2}=(b-a)(a+b)$. Evidenciando $a-b$, vemos que o que se quer é um número $c$ tal que + +$$ +(a-b)(a+b+c)=0 +$$ + +Essa igualdade pode ser satisfeita de duas maneiras. + +(a) Se $a=b$, temos simplesmente $1=\frac{a}{b}$ e podemos somar qualquer número $c$ aos dois termos da fração para obter 1 novamente. + +(b) Se $a \neq b$, precisamos ter $a+b+c=0$ e, nesse caso, só podemos somar $c=-(a+b)$ aos dois termos da fração $a / b$ para obter $b / a$. + +122. O número 119 - Dados inteiros positivos $d$ e $r$, dizemos que $N$ dividido por $d$ deixa resto $r$ se existir um inteiro $n$ tal que $N=n d+r$. Se $M$ dividido por $d$ deixar o mesmo resto $r$, então existe um inteiro $m$ tal que $M=m d+r$. Nesse caso, se $M>N$, resulta que $m=n+p$ para algum inteiro $n$ e, portanto, + +$$ +M=m d+r=(n+p) d+r=n d+r+p q=N+p d +$$ + +de modo que $M-N=p d$ é um múltiplo de $d$. O mesmo ocorre se $M2007$. + +Assim, os únicos números inteiros positivos e menores do que 2007 com as mesmas propriedades de divisão de 119 são + +$$ +59,119,179, \ldots, 1979(=119+60 \times 31) +$$ + +num total de 33 números. + +123. Fonte com três torneiras - Para simplificar, numeramos os 10 garrafões de acordo com os respectivos tempos que levam para ficar cheios, de 1 a 10. + +Solução 1: Uma ideia é utilizar o "tempo que sobra" de um garrafão para encher outro garrafão, enchendo simultaneamente outros dois. As figuras seguintes ilustram a solução. Na Figura I, as 3 torneiras gastam 10 minutos para encher os garrafões 10, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-072.jpg?height=437&width=460&top_left_y=547&top_left_x=341) + +Figura II: 9 min + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-072.jpg?height=322&width=366&top_left_y=650&top_left_x=1439) + +9, 8, 2 e 1 e, na Figura II, as 3 torneiras gastam mais 9 minutos para encher os garrafões $7,6,5,4$ e 3. Logo, o tempo total gasto é de 19 minutos. + +Solução 2: Se tivéssemos uma torneira só, o tempo gasto para encher os 10 garrafões seria de $1+2+\cdots+9+10=55$ minutos. Como temos três torneiras e $55=3 \times 18+1$, uma torneira, pelo menos, vai levar 19 minutos e as outras duas, 18 minutos cada. A tabela seguinte mostra uma forma de fazer o trabalho em 19 minutos. + +| Torneira 1 | 10 | 9 | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Torneira 2 | 8 | 5 | 3 | 2 | +| Torneira 3 | 7 | 6 | 4 | 1 | + +124. A sequência $x y z$ - Igualando os denominadores, verificamos que a sequência dada é igual a + +$$ +\frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, x, y, z +$$ + +Assim, o denominador é sempre 8 e os numeradores são consecutivos. Logo, $x=\frac{8}{8}=1, y=\frac{9}{8}$ e $z=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$. + +125. A mesa circular - Se a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de uma cadeira ocupada, isso significa que existem no máximo 2 cadeiras consecutivas desocupadas. (Na figura, as cadeiras ocupadas estão representadas por quadradinhos pretos e as desocupadas por quadradinhos brancos.) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-072.jpg?height=309&width=292&top_left_y=1950&top_left_x=1590) + +Podemos, então, pensar nas cadeiras em grupos ordenados de 3 cadeiras, em que a terceira já está ocupada. Logo, o menor valor de $N$ é $60 \div 3=20$. + +126. Números proporcionais - A opção correta é (d). + +Como $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $x z=3 y$. Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade, obtemos $x^{2} z^{2}=9 y^{2}$. + +127. Esportistas de uma escola - A opção correta é (c). + +Denotemos por $x$ o número de estudantes que praticam simultaneamente os dois esportes. Logo, o número de estudantes que pratica somente futebol é $20-x$ e o que pratica somente vôlei é $19-x$. Portanto, os 15 estudantes que praticam exatamente um esporte estão divididos em $15=(20-x)+(19-x)$. Segue que $x=12$ e resulta que $20+(19-x)=27$ estudantes praticam pelo menos um dos dois esportes. Assim, $13=47-27$ estudantes não praticam nem futebol nem vôlei. + +128. Vamos ao teatro - A opção correta é (c). + +Mário pagou 3 e levou 5, portanto, pagou apenas $\frac{3}{5}$ do preço usual, tendo economizado $\frac{2}{5}$. Como $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}$, a economia foi de $40 \%$. + +129. Uma desigualdade - A opção correta é (c). + +Note que o inverso de um número só é maior do que 1 quando o número for positivo e menor do que 1. Portanto, + +$$ +\frac{1}{x-1}>1 \Longleftrightarrow 0\frac{4}{5} y$. Então $y \geq 100$ e, portanto, $x>\frac{4}{5} \times 100=80$. Assim, $x$ é um inteiro compreendido entre 80 e 100 . Como deve ser um múltiplo de 8 , só pode ser 88 ou 96 . Vamos decidir qual é. + +(a) Se $x=88$, então $y=200-88=112$. Logo, $88=x>\frac{4}{5} \times 112=89,6$, o que não é possível. + +(b) Se $x=96$, então $y=200-96=104$ e $96=x>\frac{4}{5} \times 104=83,2$, o que é possível. Assim, Marta ganhou 96 bombons e Carmem 104. + +134. Jantar aos sábado - Para simplificar, vamos denotar cada casal por um par de números, um número representando o marido e o outro a mulher. Temos, então, os três pares $(1,2),(3,4),(5,6)$, que não podem ser vizinhos. Podemos considerar o lugar do marido 1 à mesa como sendo fixo, já que desconsideramos rotações na disposição à mesa. Duas disposições possíveis são dadas na figura seguinte. + + + +132546 + + + +164523 + +Essas disposições descrevemos por 132546 e 164523, sempre começando em 1, fixado numa posição à mesa, e prosseguindo no sentido horário. Assim, o problema se resume em encontrar todos os números de 6 algarismos distintos que podem ser escritos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 , onde: + +(a) todos os números começam com o algarismo 1; + +(b) nenhum número pode terminar com o algarismo 2; + +(c) não podem aparecer juntos 1 e 2, 3 e 4, 5 e 6 . + +Encontramos os 16 números da tabela seguinte. + +| 132546 | 132645 | 135246 | 135264 | 135426 | 136245 | 136254 | 136425 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 142536 | 142635 | 145236 | 145326 | 146235 | 146325 | 153246 | 154236 | + +Logo, a resposta é 16 sábados. + +135. Expressão com radicais - A opção correta é (e). + +$$ +(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}})^{4}=(1+\sqrt{2})^{2}=1+2 \sqrt{2}+2=3+2 \sqrt{2} +$$ + +136. Possiveis triângulos - Como a soma dos comprimentos dos lados menores de um triângulo deve ser maior que o comprimento do lado maior, devemos ter $a+(a+2)>a+5$, ou seja, $a>3$. +137. Uma diferença - A opção correta é (a). + +Efetuando as operações indicadas, obtemos + +$$ +\frac{-0,1 \times 20}{0,5}-\frac{\sqrt{0,4}(\sqrt{0,09}-1)}{\sqrt{0,4}}=-\frac{20}{5}-(0,3-1)=-4+0,7=-3,3 +$$ + +138. A Terra - A fração de terra que é cultivada é + +$$ +1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{15-6-5}{15}=\frac{4}{15} +$$ + +Como a terra ocupa 3/10 da superfície total do globo terrestre, resulta que a área cultivada é $\frac{4}{15} \times \frac{3}{10}=\frac{2}{25}$, isto é, $\frac{2}{25}=\frac{2}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{8}{100}=8 \%$ da superfície do globo terrestre. + +139. Uma fração - A figura mostra que $M N$ é paralelo a $B C$, portanto, os triângulos $A B C$ e $A M N$ são semelhantes e, por isso, seus lados são proporcionais. Usando o lado dos quadradinhos da grade da figura, obtemos $\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7}$. Assim, + +$$ +\frac{A N}{A C}=\frac{A M}{A B}=\frac{4}{7} +$$ + +140. Cálculo de ângulo - A opção correta é (c). + +Como as retas $P Q$ e $R S$ são paralelas, os ângulos $T \widehat{W} S$ e $Q \widehat{T} W$ são complementares. Assim, $Q \widehat{T} W=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$. Por outro lado, sabemos que o triângulo $\triangle U T V$ é isósceles, portanto, os ângulos em $U$ e em $V$ são iguais. Usando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, vemos que $2 T \widehat{U} V=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$ e, portanto, $T \widehat{U} V=55^{\circ}$. Como os ângulos $T \widehat{U} V$ e $Q \widehat{U} V$ são complementares, resulta que + +$$ +Q \widehat{U} V=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ} +$$ + +141. Uma loja de brinquedos - Se $x$ denota o desconto em reais e $y$ o número total de peças, então $(13-x) \times y=781$. Assim, $(13-x)$ e $y$ são divisores de 781 e, como $781=11 \times 71$, os únicos divisores de 781 são $1,11,71$ e 781 . O divisor $13-x$ de 781 não pode ser igual a 1 , pois sabemos que $y \leq 100$. A única opção, então, é $13-x=11$ e $y=71$, de modo que a redução foi de $x=\mathrm{R} \$ 2,00$ por unidade. +142. Fração de fração - Temos + +$$ +1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} +$$ + +143. Potências de 3 - Temos $27^{2 a}=\left(3^{3}\right)^{2 a}=3^{6 a}=\left(3^{a}\right)^{6}=2^{6}=64$. +144. Aumento de preço - Em reais, o aumento foi de 5,55 -5 $=0,55$ e, portanto, o percentual de aumento foi de + +$$ +\frac{0,55}{5}=\frac{0,55 \times 20}{5 \times 20}=\frac{11}{100}=11 \% +$$ + +145. Roseiras em fila - É possível plantar as roseiras em 6 filas de 5 roseiras cada uma, conforme mostra a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-076.jpg?height=437&width=626&top_left_y=1609&top_left_x=812) + +146. Calculadora diferente - Para calcular $(2+3) \circledast(0+3)$ utilizaremos a propriedade (iii), obtendo $(2+3) \circledast(0+3)=(2 \circledast 0)+(3 \circledast 3)$. Agora, por (ii), temos $2 \circledast 0=2 \times 2=4$ e, por (i), temos $3 \circledast 3=3$. Portanto, $(2+3) \circledast(0+3)=4+3=7$. + +Para calcular $1024 \circledast 48$ vamos usar a mesma estratégia, observando que $1024=976+48$ e $48=0+48$. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +1024 \circledast 48 & =(976+48) \circledast(0+48) \\ +& =(976 \circledast 0)+(48 \circledast 48) \\ +& =2 \times 976+48=1952+48=2000 . +\end{aligned} +$$ + +## 147. Dois quadrados + +Solução 1: A região tracejada é um trapézio de bases medindo 10 e $4 \mathrm{~cm}$. A altura do trapézio, que é a metade da diferença dos lados dos dois quadrados, mede $\frac{1}{2}(10-4)=3$ $\mathrm{cm}$. Assim, a área procurada mede + +$$ +3 \times \frac{1}{2}(10+4)=3 \times 7=21 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +Solução 2: A área do quadrado maior menos a área do quadrado menor é igual a 4 vezes a área procurada. Assim, a área procurada mede + +$$ +\frac{10^{2}-4^{2}}{4}=\frac{100-16}{4}=25-4=21 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +148. Paralelismo - Sendo $I L$ e $E U$ paralelos, temos $\frac{F U}{F L}=\frac{F E}{F I}$. Analogamente, sendo $R E$ e $N I$ paralelos, temos $\frac{F N}{F R}=\frac{F I}{F E}$. Assim, + +$$ +\frac{F N \times F U}{F R \times F L}=\frac{F I}{F E} \times \frac{F E}{F I}=1 +$$ + +149. Um subconjunto - Vamos construir um subconjunto de $\{1,2,3, \ldots, 3000\}$ em que nenhum elemento seja o dobro do outro. Começamos incluindo todos os números ímpares, 1,3,5,..,2999. Assim, já temos 1500 números e nenhum é o dobro de algum outro. Agora podemos acrescentar os números que são o quádruplo de algum número ímpar, isto é, acrescentar + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-077.jpg?height=109&width=660&top_left_y=1596&top_left_x=732) + +Essa lista tem 749 números e nenhum deles é o dobro do outro; além disso, nenhum deles é o dobro de um número ímpar. + +Logo, nosso conjunto já possui $1500+749=2249$ elementos. Basta tomar qualquer subconjunto com 2000 elementos para obter um subconjunto de $\{1,2,3, \ldots, 3000\}$ em que nenhum elemento é o dobro do outro. + +150. Triângulos retângulos - Observemos que os quatro triângulos que aparecem na figura são triângulos retângulos, dois a dois semelhantes, portanto, seus lados são proporcionais. Em particular, temos $9 / x=y / 20$, ou seja, $180=x y$. Além disso, pelo Teorema de Pitágoras, temos $y^{2}=x^{2}+9^{2}$, de modo que + +$$ +180^{2}=x^{2} y^{2}=x^{2}\left(x^{2}+9^{2}\right)=x^{4}+9^{2} x^{2} +$$ + +isto é, $x^{4}+9^{2} x^{2}-180^{2}=0$. Pela fórmula de Bhaskara, obtemos + +$$ +x^{2}=\frac{-81 \pm \sqrt{9^{4}+4 \times 180^{2}}}{2}=9 \frac{-9 \pm \sqrt{9^{2}+4 \times 20^{2}}}{2}=9 \frac{-9 \pm 41}{2} +$$ + +Mas $x^{2}>0$, portanto necessariamente $x^{2}=9 \times 16$ e, portanto, como $x>0$, a única opção é $x=12$. + +A partir de $x=12$, obtemos todas as outras medidas. Pelo visto, temos $y=\sqrt{x^{2}+9^{2}}=15$ e, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos + +$$ +z=\sqrt{20^{2}-x^{2}}=16 +$$ + +Usando a proporcionalidade $v / 8=9 / x$, resulta $v=72 / x=6$ e, finalmente, pelo Teorema de Pitágoras, concluímos que $w=\sqrt{8^{2}+v^{2}}=10$. + +151. Uma desigualdade especial - A opção correta é (c). + +Observemos que se $x$ satisfaz a desigualdade, então $-x$ também satisfaz a desigualdade. Assim, os valores que satisfazem a desigualdade formam um conjunto simétrico em relação à origem $\mathrm{e}$, portanto, basta verificar quais $x \geq 0$ satisfazem $x^{2}0$ para $x \geq 0$, devemos ter $x-2<0$, ou seja, $x<2$. Pela simetria observada, concluímos que $-20 +$$ + +Reduzindo ao mesmo denominador, temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{5^{3}}+\frac{1}{2^{3} \times 3^{3}}-\frac{1}{2^{2} \times 3} & =\frac{2^{4} \times 3^{2} \times 5^{3}-3^{3} \times 5^{3}-2^{6} \times 3^{3}-2^{3} \times 5^{3}}{2^{6} \times 3^{3} \times 5^{3}} \\ +& =\frac{18000-3375-1728-1000}{2^{6} \times 3^{3} \times 5^{3}} \\ +& =\frac{11897}{2^{6} \times 3^{3} \times 5^{3}} +\end{aligned} +$$ + +Nem é preciso efetuar o produto indicado no denominador. Como o numerador é positivo, concluímos que a desigualdade se verifica. + +## 156. Parte inteira + +(a) Os números 9 e 16 são quadrados perfeitos e $9<12<16$. Então, + +$$ +3=\sqrt{9}<\sqrt{12}<\sqrt{16}=4 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-080.jpg?height=97&width=432&top_left_y=588&top_left_x=1326) + +e, portanto, $[\sqrt{12}]=3$. + +(b) Como $12777 \times 2<28756<12777 \times 3$, temos + +$$ +2<\frac{28756}{12777}<3, \text { portanto, }\left[\frac{28756}{12777}\right]=2 +$$ + +(c) Como $2007<2008$, temos $0<\frac{2007}{2008}<1$, ou + +$$ +-1<-\frac{2007}{2008}<0, \text { portanto, }\left[-\frac{2007}{2008}\right]=-1 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-080.jpg?height=388&width=432&top_left_y=882&top_left_x=1326) + +(d) Como $4^{3}=64<111<125=5^{3}$, temos + +$$ +(-5)^{3}=-5^{3}=-125<-111<-4^{3}=(-4)^{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-080.jpg?height=94&width=432&top_left_y=1432&top_left_x=1326) + +de modo que $-5<\sqrt[3]{-111}<-4$ e, portanto, $[\sqrt[3]{-111}]=-5$. + +## 157. Soma nove + +Solução 1: Vamos dividir em dois casos: números de dois algarismos e números de três algarismos. No caso de números de dois algarismos, temos $18,27,36,45,54,63$, 72, 81 e 90, num total de 9 números. Da mesma maneira, listamos os números de três algarismos, como segue: + +$$ +\begin{aligned} +108,117,126,135,144,153,162,171,180 & \leadsto 9 \text { números; } \\ +207,216,225,234,243,252,261,270 & \leadsto 8 \text { números; } \\ +306,315,324,333,342,351,360 & \leadsto 7 \text { números; } \\ +405,414,423,432,441,450 & \leadsto 6 \text { números; } \\ +504,513,522,531,540 & \leadsto 5 \text { números; } \\ +603,612,621,630 & \leadsto 4 \text { números; } \\ +702,711,720 & \leadsto 3 \text { números; } \\ +801,810 & \leadsto 2 \text { números; } \\ +900 & \leadsto 1 \text { número. } +\end{aligned} +$$ + +Portanto, temos $9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$ números de três algarismos. Assim, existem $9+45=54$ números entre 10 e 999 cuja soma dos algarismos é igual a 9 . + +Solução 2: No caso de números de dois algarismos, uma vez escolhido o algarismo da dezena, o algarismo da unidade fica automaticamente definido. Como o algarismo da dezena pode ser $1,2,3,4,5,6,7,8$ ou 9 , temos nove números de dois algarismos tais que a soma de seus algarismos seja 9 . + +No caso de números de três algarismos, denotando por $n$ o algarismo da centena, a soma dos algarismos da dezena e da unidade é $9-n$, portanto, temos $9-n+1=10-n$ possibilidades de escolha para o algarismo da dezena, que pode ser inclusive 0 , e o algarismo da unidade fica automaticamente definido. Como o algarismo da centena pode ser $1,2,3,4,5,6,7,8$ ou 9 , temos + +$(10-1)+(10-2)+(10-3)+(10-4)+(10-5)+(10-6)+(10-7)+(10-8)+(10-9)=45$ + +números de três algarismos tais que a soma dos seus algarismos é 9 . Assim, existem $9+45=54$ números entre 10 e 999 cuja soma dos algarismos é igual a 9. + +158. Retângulos - Se $a$ e $b$ denotam o comprimento e a largura do retângulo, temos $a \times b=96$. Logo, $a$ e $b$ são divisores pares de 96 e, portanto, temos quatro retângulos satisfazendo as condições dadas, a saber, os retângulos de lados medindo 2 e 48; 4 e $24 ; 6$ e 16 e 8 e 12 . + +## 159. Número de retas + +Solução 1: Para contar o número de retas, dividiremos as retas de acordo com suas posições. + +- retas paralelas aos lados dos quadrados: três horizontais e três verticais; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-081.jpg?height=309&width=314&top_left_y=1496&top_left_x=948) + +- retas paralelas às diagonais dos quadrados: $3+3=6$; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-081.jpg?height=357&width=351&top_left_y=1897&top_left_x=927) + +- outras retas: temos $4 \times 2=8$ retas, formando uma estrela, como na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-081.jpg?height=346&width=348&top_left_y=2351&top_left_x=934) + +Assim, ao todo, temos $3+3+6+8=20$ retas. + +Solução 2: Note que o ponto central é supérfluo, pois toda reta que passa por ele e um outro ponto do reticulado, passa também por um terceiro ponto do reticulado. Logo, o ponto central pode ser eliminado de nossas considerações. Assim, o problema fica reduzido a calcular quantas retas são determinadas por dois pontos quaisquer dos oito pontos do reticulado dado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-082.jpg?height=240&width=252&top_left_y=671&top_left_x=982) + +Com esses oito pontos, podem ser formados $8 \times 7$ possíveis pares de pontos distintos ( 8 possibilidades para o primeiro elemento do par e 7 possibilidades para o segundo). Como a ordem em que o par é formado não influi na reta determinada por ele, esse número deve ser dividido por 2 , ou seja, + +$$ +\frac{8 \times 7}{2}=28 +$$ + +Finalmente, notamos que algumas retas estão sendo contadas três vezes e, portanto, devem ser subtraídas duas vezes desse número 28. São elas as quatro retas que contêm os lados do quadrado que delimita o reticulado. Logo, o número total de retas determinadas pelo reticulado é + +$$ +\frac{8 \times 7}{2}-2 \times 4=20 +$$ + +160. Cubo - Um cubo tem seis faces distintas, duas a duas opostas, sendo que as faces opostas não têm aresta em comum. Temos três pares de faces opostas, logo três cores são suficientes, bastando pintar as faces opostas de uma mesma cor. Por outro lado, é claro que duas cores somente não bastam. + +## 161. Área + +Solução 1: Observemos, primeiro, que a razão entre as áreas de dois retângulos que têm a mesma base é igual à razão entre suas alturas. De fato, na figura à esquerda, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-082.jpg?height=246&width=582&top_left_y=2210&top_left_x=340) + +| 27 | 18 | +| :--- | :--- | +| $S$ | 72 | + +estão representados dois retângulos que têm a mesma base $b$ e alturas $h_{1}$ e $h_{2}$. Suas áreas $S_{1}$ e $S_{2}$ são dadas por $S_{1}=b h_{1}$ e $S_{2}=b h_{2}$, portanto, + +$$ +\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{b h_{1}}{b h_{2}}=\frac{h_{1}}{h_{2}} +$$ + +Aplicando essa observação aos dois pares de retângulos dados (ver figura anterior, à direita) e denotando por $S$ a área do quarto retângulo, temos + +$$ +\frac{27}{S}=\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{18}{72}=\frac{1}{4} +$$ + +de modo que $S=27 \times 4=108$. Assim, a área do lote que foi dividido mede $27+18+$ $72+108=225 \mathrm{~km}^{2}$. + +Solução 2: Sejam $x, y, z$ e $w$ as medidas dos retângulos menores, conforme a figura. A área procurada é + +$$ +(x+w)(y+z)=x y+x z+w y+w z +$$ + +Basta determinar $w y$, pois é sabido que + +| $x$ | 18 | +| :--- | :---: | :---: | +| | 72 | + +$x y=27, x z=18$ e $w z=72$. Mas, + +$$ +\frac{w}{x}=\frac{w z}{x z}=\frac{72}{18}=4 +$$ + +e, portanto, $w=4 x$. Como $x y=27$, segue que $w y=4 x \times 27 / x=4 \times 27=108$. Assim, a área do lote que foi dividido mede + +$$ +27+18+72+108=225 \mathrm{~km}^{2} +$$ + +## 162. Inteiro mais próximo + +(a) Temos: + +$$ +\frac{19}{15}+\frac{19}{3}=1+\frac{4}{15}+6+\frac{1}{3}=7+\frac{9}{15}=7+\frac{3}{5} +$$ + +Logo, a soma dada está entre 7 e 8 . Como $\frac{3}{5}>\frac{1}{2}$, o número inteiro mais próximo é 8 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-083.jpg?height=251&width=668&top_left_y=1859&top_left_x=797) + +(b) Temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{85}{42}+\frac{43}{21} & +\frac{29}{14}+\frac{15}{7}=2+\frac{1}{42}+2+\frac{1}{21}+2+\frac{1}{14}+2+\frac{1}{7} \\ +& =8+\frac{1}{42}+\frac{1}{21}+\frac{1}{14}+\frac{1}{7}=8+\frac{1}{7}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1\right)=8+\frac{2}{7} +\end{aligned} +$$ + +Logo, a soma dada está entre 8 e 9 . Como $\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$, o número inteiro mais próximo é 8 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-083.jpg?height=248&width=668&top_left_y=2486&top_left_x=797) +(c) Temos: + +$$ +-\frac{11}{10}-\frac{1}{2}-\frac{7}{5}+\frac{2}{3}=-\frac{30}{10}+\frac{2}{3}=-3+\frac{2}{3} +$$ + +Logo, a soma dada está entre -3 e -2 . Como $\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$, o número inteiro mais próximo é -2 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-084.jpg?height=234&width=648&top_left_y=497&top_left_x=858) + +163. Brincando com números ímpares - Como cada algarismo é ímpar, temos: + +- cinco possibilidades de números com um algarismo: 1, 3, 5, 7 e 9; +- para números com dois algarismos, temos cinco possibilidades na casa das unidades e cinco na casa das dezenas, totalizando $5 \times 5=25$ possibilidades; +- para números com três algarismos, temos cinco possibilidades na casa das unidades, cinco na casa das dezenas e cinco na casa das centenas, totalizando $5 \times 5 \times 5=$ 125 possibilidades. + +Assim, Beatriz pode escrever $5+25+125=155$ números com todos algarismos sendo impares. + +164. Água no jarro - Inicialmente, o volume de água no jarro da Maria é $1 \mathrm{l}=$ $1000 \mathrm{ml}$. Depois de 200 dias, o volume é o mesmo, acrescido do que é colocado por João e diminuído do que ela tirou para colocar no do João, ou seja, + +$$ +\begin{aligned} +1000 & +1-2+3-4+\cdots+199-200 \\ +& =1000+(1-2)+(3-4)+\cdots+(199-200) \\ +& =1000-(\underbrace{1+\cdots+1}_{100})=900 +\end{aligned} +$$ + +Logo, depois de 200 dias, Maria terá $900 \mathrm{ml}$ em seu jarro. + +165. Formiga no cubo - Na figura temos um caminho percorrendo oito arestas que a formiga pode fazer partindo do vértice identificado como 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-084.jpg?height=314&width=309&top_left_y=1970&top_left_x=905) + +Será possível ela fazer um caminho passando por nove arestas? Para fazer esse caminho, ela teria que passar por nove vértices, pois o vértice de chegada é o mesmo que o de partida, já que a formiguinha volta ao vértice inicial. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-084.jpg?height=226&width=829&top_left_y=2491&top_left_x=702) + +Como o cubo só tem oito vértices, esse passeio não é possível. Logo, o passeio de maior comprimento percorre oito arestas. + +166. Promoção - Sejam $b$ e $c$ o número de blusas e calças compradas, respectivamente. Logo, temos $15 b+17 c=143$, sendo $b$ e $c$ números inteiros positivos. Observe que $b<10$ e $c<9$, pois tanto $15 \times 10$ quanto $17 \times 9$ são maiores do que 143 . A partir deste ponto, apresentamos duas possibilidades de solução. + +Solução 1: Temos que $15 b=143-17 c$, portanto $143-17 c$ é um múltiplo de 15 , de modo que $143-17 c$ termina em 0 ou 5 . Isso significa que $17 c$ termina em 3 ou 8 . Logo, $c=9$ ou $c=4$. Como $c<9$, a única solução é $c=4 \mathrm{e}$, portanto, + +$$ +b=\frac{143-17 \times 4}{15}=5 +$$ + +Assim, Joana comprou cinco blusas e quatro calças. + +Solução 2: Temos que + +$$ +b=\frac{143-17 c}{15}=9-c+\frac{8-2 c}{15} +$$ + +Note que $c$ é um número inteiro positivo, portanto, $8-2 c$ precisa ser um múltiplo de 15. Se $8-2 c \geq 15, c$ resulta negativo, portanto, $8-2 c=0$, ou seja, $c=4$. Daí obtemos que $b=5$. Assim, Joana comprou cinco blusas e quatro calças. + +167. Soma de cubos - Temos a identidade do binômio, $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$, e a do trinômio, $(x+y)^{3}=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}$. Substituindo os valores de $x+y$ e $x^{2}+y^{2}$ na identidade do binômio, obtemos $1=2+2 x y$ e, portanto, $x y=-\frac{1}{2}$. Assim, pela identidade do trinômio, + +$$ +x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3 x y(x+y)=1-3 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1=\frac{5}{2} +$$ + +168. O revezamento em uma corrida - Como velocidade $=\frac{\text { distância }}{\text { tempo }}$, ou seja, tempo $=$ $\frac{\text { distância }}{\text { velocidade }}$ o tempo gasto por João foi de + +$$ +t=\frac{21}{12} \mathrm{~h}=\left(1+\frac{9}{12}\right) \mathrm{h}=1 \mathrm{~h}+\frac{9}{12} \times 60 \mathrm{~min}=1 \mathrm{~h} 45 \min +$$ + +Logo, Carlos precisa completar a prova em um tempo inferior a + +$$ +(2 \mathrm{~h} 48 \mathrm{~min})-(1 \mathrm{~h} 45 \mathrm{~min})=1 \mathrm{~h} 3 \mathrm{~min}=63 \mathrm{~min} +$$ + +Para isso, sua velocidade $v$, em $\mathrm{km} / \mathrm{min}$, deve satisfazer $\frac{21}{v}=t<63$, ou seja, + +$$ +v>\frac{21}{63}=\frac{1}{3} \mathrm{~km} / \mathrm{min}=\frac{60}{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}=20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} +$$ + +Logo, Carlos deve correr com uma velocidade superior a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. + +## 169. Produtos consecutivos + +Solução 1: Como os produtos são números consecutivos, podemos denotá-los por $p \mathrm{e}$ $p+1$. Temos, então, + +$$ +p^{2}+p=p(p+1)=2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17=510510 +$$ + +Resolvendo a equação $p^{2}+p-510510=0$, encontramos uma única raiz positiva, $p=714$. Assim, $p+1=715$ e, fatorando, obtemos + +$$ +714=2 \times 3 \times 7 \times 17 \quad \text { e } \quad 715=5 \times 11 \times 13 +$$ + +Solução 2: Os números dados são 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17. Se 2 e 5 estiverem no mesmo grupo, então um dos produtos termina em 0 e o outro, por ser consecutivo, termina em 1 ou 9. Os possíveis produtos terminados em 1 são $3 \times 7=21,3 \times 17=51$, $7 \times 13=91,13 \times 17=221,3 \times 7 \times 11=231,3 \times 11 \times 17=561$ e $7 \times 11 \times 13=1001$. Verifica-se que esses grupos não constituem solução e, analogamente, os terminados em 9. Concluímos que 2 e 5 estão em grupos diferentes. Logo, um produto termina em 5 e o outro em 4 ou 6. Como não é possível formar com os números dados um produto terminado em 6 , necessariamente um dos produtos termina em 4 e o outro em 5. Por tentativas, obtemos a solução + +$$ +714=2 \times 3 \times 7 \times 17 \quad \text { e } \quad 715=5 \times 11 \times 13 +$$ + +170. Distraindo na fila - Observe que aquela que gritou os números 9 , 18, etc, sempre gritou múltiplos de 9. O primeiro múltiplo de 3 com quatro algarismos é 1002 e o primeiro múltiplo de 3 maior do que 2003 é 2004. Logo, Vivi gritou 2004 e Rosa 1002. Nenhum desses números é múltiplo de 9 , portanto, foi Tânia quem gritou 9 e seus múltiplos. + +Quem gritou 3, também gritou $12=3+9,21=3+2 \times 9,30=3+3 \times 9$ e assim por diante, até $3+9 k$. Da mesma forma, quem grita 6 , grita todos os números da forma $6+9 k$. Dividindo por 9 , obtemos $2004=6+9 \times 222$ e $1002=3+9 \times 111$, portanto, quem gritou 3 foi Rosa e Vivi gritou 6. + +| Rosa | Vivi | Tânia | +| :---: | :---: | :---: | +| 3 | 6 | 9 | +| 12 | 15 | 18 | +| 21 | 24 | 27 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| 1002 | 1005 | 1008 | +| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | +| 2001 | 2004 | 2007 | + +Da mesma forma, dividindo por 9, encontramos que 666 é múltiplo de 9 e $888=6+98 \times 9$, portanto Tânia gritou 666 e Vivi gritou 888 . + +171. Número e o dobro - Inicialmente note que o dobro de um número inteiro é par, logo ele termina em $0,2,4,6$ ou 8 . No entanto, o número procurado não pode terminar em 0 , pois nesse caso o seu dobro também terminaria em 0 , e ambos teriam o algarismo 0 em comum. Portanto, temos os casos a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-087.jpg?height=366&width=240&top_left_y=251&top_left_x=428) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-087.jpg?height=356&width=918&top_left_y=256&top_left_x=770) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-087.jpg?height=363&width=234&top_left_y=641&top_left_x=434) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-087.jpg?height=364&width=918&top_left_y=640&top_left_x=772) + +Vamos, agora, determinar todas as possibilidades para cada caso, lembrando sempre que o número e seu dobro não podem ter algarismos comuns. + +- Caso I - temos três possibilidades: + +$$ +152 \times 2=304, \quad 182 \times 2=364, \quad 192 \times 2=384 +$$ + +- Caso II - temos duas possibilidades: + +$$ +143 \times 2=286, \quad 153 \times 2=206 +$$ + +- Caso III - temos três possibilidades: + +$$ +134 \times 2=268, \quad 154 \times 2=308, \quad 164 \times 2=328 +$$ + +- Caso IV - temos três possibilidades: + +$$ +135 \times 2=270, \quad 145 \times 2=290, \quad 185 \times 2=370 +$$ + +- Caso V - temos duas possibilidades: + +$$ +176 \times 2=352, \quad 186 \times 2=372 +$$ + +- Caso VI - não há nenhuma possibilidade. +- Caso VII - temos três possibilidades: + +$$ +138 \times 2=276, \quad 148 \times 2=296, \quad 178 \times 2=356 +$$ + +- Caso VIII - temos duas possibilidades: + +$$ +139 \times 2=278, \quad 179 \times 2=358 +$$ + +Assim, temos $3+2+3+2+3+3+2=18$ soluções para esse problema, a saber: + +172. Invertendo os algarismos - Devemos contar os números $a b$ de dois algarismos que têm o algarismo $b$ da unidade maior do que o algarismo $a$ da dezena, ou seja, tais que $b>a$. Se $a=1$, o algarismo $b$ da unidade pode ser $2,3,4,5,6,7,8$ ou 9 , portanto, temos oito possibilidades. Se $a=2$, o algarismo $b$ da unidade pode ser $3,4,5,6,7,8$ ou 9 , portanto, temos sete possibilidades. Continuando dessa maneira, chegamos até $a=8$, quando o algarismo $b$ da unidade só pode ser 9 , portanto, temos só uma possibilidade. Claramente, $a$ não pode ser 0 nem 9. Logo, existem $8+7+6+5+4+3+2+1=36$ números entre 10 e 99 tais que, invertendo a ordem de seus algarismos, obtemos um número maior do que o número original. +173. Razão entre segmentos - Se o arco $\widehat{P R}$ é o dobro do arco $\overparen{R Q}$, vale a mesma relação entre os ângulos centrais, ou seja, $P \widehat{O} R=2 R \widehat{O} Q$. Como $P \widehat{O} R+R \widehat{O} Q=180^{\circ}$, segue que + +$$ +180^{\circ}=2 R \widehat{O} Q+R \widehat{O} Q=3 R \widehat{O} Q +$$ + +donde $R \widehat{O} Q=60^{\circ}$. Mas, $O R=O Q$ é o raio do círculo, de modo que o triângulo $\triangle O R Q$ é equilátero. Assim, sua altura $R M$ também é a mediana, ou seja, $O M=M Q$. Se $r$ é o raio do círculo, então $O M=M Q=\frac{1}{2} r \mathrm{e}$ + +$$ +\frac{P M}{M Q}=\frac{P O+O M}{M Q}=\frac{r+\frac{1}{2} r}{\frac{1}{2} r}=3 +$$ + +ou seja, a razão entre $P M$ e $M Q$ é 3 . + +174. Triângulos - Vamos supor que $a, b$ e $c$ sejam os comprimentos dos lados do triângulo. Não há perda de generalidade em supor que $a \leq b \leq c$, de modo que $a+b+c \leq 3 c$. Como cada lado de um triângulo é menor do que a soma dos outros dois, temos que $c16=2^{4}$, portanto, $x>2$. Em particular, $x^{2}+y=1$ é impossível, pois implicaria $1=x^{2}+y \geq 9+1=10$. + +Assim, resta considerar o caso $x^{2}-y=1$ e $x^{2}+y=71$. Somando essas duas equações, obtemos $2 x^{2}=72$, o que fornece $x= \pm 6$ e, portanto, $y=( \pm 6)^{2}-1=35$. Como $x, y$ são inteiros positivos, concluímos que a única solução é $x=6$ e $y=35$. + +192. No jogo - Seja $T$ a quantidade total de dinheiro no jogo. Assim, no início, os jogadores possuíam + +Aldo: $\quad \frac{7}{18} T$, + +Bernardo: $\frac{6}{18} T$, + +Carlos: $\quad \frac{5}{18} T$ + +e, no final, eles possuíam + +Aldo: $\quad \frac{6}{15} T$, + +Bernardo: $\frac{5}{15} T$, + +Carlos: $\quad \frac{4}{15} T$. + +Para comparar essas frações, usamos o denominador comum de 18 e 15, a saber, 90. Desse modo, no início, + +Aldo: $\quad \frac{7}{18} T=\frac{35}{90} T$, + +Bernardo: $\frac{6}{18} T=\frac{30}{90} T$, + +Carlos: $\quad \frac{5}{18} T=\frac{25}{90} T$ + +e, no final, + +Aldo: $\quad \frac{6}{15} T=\frac{36}{90} T$, + +Bernardo: $\frac{5}{15} T=\frac{30}{90} T$, + +Carlos: $\quad \frac{4}{15} T=\frac{24}{90} T$. + +Logo, foi Aldo quem ganhou um total de $\frac{1}{90} T$, que corresponde a 12 reais, de modo que $\frac{1}{90} T=12$, ou seja, o total $T$ de dinheiro no início o jogo foi + +$$ +T=90 \times 12=1080 \text { reais. } +$$ + +Assim, no final da partida, os jogadores possuiam, em reais, + +Aldo: $\quad \frac{36}{90}$ de $1080=432$, + +Bernardo: $\frac{30}{90}$ de $1080=360$, + +Carlos: $\quad \frac{24}{90}$ de $1080=288$. + +193. Um número inteiro - Denotemos $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$ e $b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$. Então + +$$ +a^{3}-b^{3}=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=4 +$$ + +e + +$$ +a b=\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt[3]{5-4}=\sqrt[3]{1}=1 +$$ + +de modo que $M=a-b$ satisfaz $M^{3}=(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b)=4-3 M$. + +Assim, $M^{3}+3 M-4=0$, ou seja, o número $M$ é raiz do polinômio $x^{3}+3 x-4$. Como o número 1 é uma raiz desse polinômio, podemos fatorá-lo e escrever $x^{3}+3 x-4$ como $(x-1)\left(x^{2}+x+4\right)$. O trinômio $x^{2}+x+4$ tem discriminante negativo, de modo que a única raiz real de $x^{3}+3 x-4$ é 1 e, portanto, $M=1$. Em particular, $M$ é um número inteiro. + +## 194. Área de triângulos + +(a) Note que $F \widehat{M} C$ e $A \widehat{M} D$ são ângulos opostos pelo vértice, de modo que $F \widehat{M} C=A \widehat{M} D$. Como $M C=M D$ e os triângulos $\triangle A M D$ e $\triangle F M C$ são retângulos, estabelecemos que eles são congruentes. Assim, possuem a mesma área, donde concluímos que a área do triângulo $\triangle A B F$ é igual à área do quadrado $A B C D$, que foi dada, medindo $300 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-096.jpg?height=319&width=214&top_left_y=1094&top_left_x=1635) + +(b) Como $A D=F C$ (do item anterior) e $M C=M D$, segue que os triângulos $\triangle A M D, \triangle D M F$ e $\triangle F M C$ têm a mesma área. Por outro lado, a soma das áreas dos dois últimos é a metade da área do quadrado. Portanto, a área do triângulo $\triangle A F D$ é a metade da área do quadrado $A B C D$. Essa área foi dada, medindo $300 \mathrm{~cm}^{2}, \log$, a área do triângulo $\triangle A F D$ mede $150 \mathrm{~cm}^{2}$. + +195. Um quadriculado - Sejam $m$ e $n$, respectivamente, o número de segmentos ao longo de dois lados consecutivos do retângulo desenhado por Rosa. Sabemos que o número total de segmentos que são lados de quadrados na divisão de um retângulo em $m \times n$ quadrados é $m(n+1)+n(m+1)$ (prove isso). Assim, como Rosa usou 1997 segmentos em seu desenho, temos $m(n+1)+n(m+1)=1997$. + +Além disso, um dos lados considerados é menor do que ou igual ao outro, digamos, $m \leq n$. Nesse caso, obtemos $1997=m(n+1)+n(m+1) \geq 2 m(n+1)$. + +Como $1998>1997$, segue que $1998>2 m(m+1)$, ou seja, $999>m(m+1)$, do que podemos deduzir que $1 \leq m \leq 31$. Por outro lado, multiplicando, obtemos $1997=m n+m+m n+n=m+n(2 m+1)$, de modo que $n=(1997-m) /(2 m+1)$ e, portanto, + +$$ +2 n=\frac{3994-2 m}{2 m+1}=\frac{3995-(2 m+1)}{2 m+1}=\frac{3995}{2 m+1}-1 +$$ + +No entanto, $n$ é um inteiro positivo, portanto, $2 m+1$ precisa ser um divisor de 3995 . Como $3995=5 \times 17 \times 47$ e $1 \leq m \leq 31$, as únicas três opções são $2 m+1=5,17$ ou 47, que fornecem $m=2, m=8$ e $m=23$ e os valores correspondentes de $n=399$, $n=117$ e $n=42$. + +Portanto, Rosa poderia ter desenhado três configurações diferentes com os 1997 segmentos, uma com $2 \times 399$ quadrados, outra com $8 \times 117$ quadrados e uma terceira, com $23 \times 42$ quadrados. Entretanto, a folha de papel utilizada mede 21 por $29,7 \mathrm{~cm}$ e os segmentos que formam os lados dos quadrados medem $0,5 \mathrm{~cm}$. Assim, as duas primeiras configurações não cabem no papel de Rosa e podemos afirmar que o retângulo que Rosa desenhou consiste em $23 \times 42$ quadrados e que, portanto, é constituído de 966 quadrados. + +196. Inteiros de quatro algarismos - Temos $1000 \leq 4 a^{2}<10000$, do que decorre $250 \leq a^{2}<2500$. Mas, $15^{2}=225,16^{2}=256$ e $50^{2}=2500$, portanto, como $a$ é um número natural, obtemos $1516$, então $x$ é, no mínimo, $16 \times 5=80$, pois $x$ divide 2000 ; como também $x y$ divide 2000 , resultaria que $y \leq 25<80=x$, o que não é permitido. Logo $x=16$ e, como $x$ e $y$ são primos entre si e $y$ divide 2000 , necessariamente $y=25$ ou 125 . + +$2^{2}$ Caso: Se 16 divide $y$, uma possibilidade é $y=16$, quando $x$ só pode ser 1 ou 5 , pois $x0, y>0 \text { e } x \neq y +$$ + +Como 2 e 7 são números primos, segue que 7 divide $x$ ou $y$. Como a equação é simétrica em $x$ e $y$, podemos supor que 7 divide $x$. Então, $x=7 k$, para algum $k>0$ inteiro e decorre que $2 \times 7 k y=7(7 k+y)$, ou seja, simplificando, $2 k y=7 k+y$ ou, ainda, + +$$ +(2 k-1) y=7 k=x +$$ + +Se 7 dividisse $y$, teríamos $y=7 m$, para algum $m>0$ inteiro. Nesse caso, teríamos $49 \times 2 k m=2 x y=7(x+y)=49(k+m)$, acarretando $2 k m=k+m$. Mas, então + +$$ +2=\frac{k+m}{k m}=\frac{1}{k}+\frac{1}{m} \leq 1+1=2 +$$ + +o que significa que $k=m=1$ e, portanto, $x=7=y$. Como queremos $x \neq y$, concluímos que 7 não divide $y$, de modo que 7 divide $2 k-1$. Tomando $k=4$, resulta $x=28 \mathrm{e}$ + +$$ +y=\frac{7 k}{2 k-1}=\frac{28}{7}=4 +$$ + +fornecendo a solução + +$$ +\frac{1}{28}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7} +$$ + +Observação: A solução obtida é única. De fato, como $2 k-1$ é, sempre, ímpar e 7 divide $2 k-1$, o múltiplo de 7 que é igual a $2 k-1$ deve ser ímpar. Assim, existe algum inteiro $n>0$ tal que + +$$ +7(2 n-1)=2 k-1 +$$ + +Isso acarreta que $k=7 n-3 \mathrm{e}$, portanto, + +$$ +y=\frac{7 k}{2 k-1}=\frac{7(7 n-3)}{7(2 n-1)}=\frac{7 n-3}{2 n-1}=\frac{3(2 n-1)+n}{2 n-1}=3+\frac{n}{2 n-1} +$$ + +Como $y$ deve ser inteiro, concluímos que $2 n-1$ divide $n$, de modo que $2 n-1 \leq n$. No entanto, $n \geq 1$ e, portanto, $2 n-1 \geq n$. A única possibilidade é $2 n-1=n$ e, portanto, $n=1$. Segue que $k=4=b$ e $a=28$ dão a única solução. + +221. Tabuleiro de xadrez - Um tabuleiro de xadrez é um quadrado reticulado de 64 quadradinhos, denominados casas, sendo 32 casas pretas e 32 brancas, posicionados alternadamente. Uma das peças do xadrez recebe o nome de bispo, havendo um par deles para cada jogador. Um dos dois bispos de um jogador só se movimenta pelas casas pretas e o outro só pelas brancas. + +Inicialmente, é possível colocar um dos dois bispos em qualquer uma das 64 casas. Se o bispo estiver numa casa branca, então na fila em que ele está, bem como na coluna, temos quatro casas pretas que não podem ser ocupadas pelo segundo bispo, num total de oito casas. Assim, o segundo bispo pode ser colocado em qualquer uma das $32-8=24$ casas pretas restantes. + +NOTA: Aqui estamos entendendo que alternando a posição desses dois bispos não muda a configuração no tabuleiro de xadrez. Mais precisamente, os bispos têm a mesma cor, isto é, pertencem a um mesmo jogador. + +Concluímos, então, que se um dos bispos ocupar uma das 32 casas brancas, então o outro terá 24 casas pretas à disposição. Portanto, o número dessas configurações distintas que podem ser obtidas é $32 \times 24=768$. + +222. Quem é menor? - Observemos que: + +$$ +\begin{aligned} +& 33^{12}>32^{12}=\left(2^{5}\right)^{12}=2^{60} \\ +& 63^{10}<64^{10}=\left(2^{6}\right)^{10}=2^{60} \\ +& 127^{8}<128^{8}=\left(2^{7}\right)^{8}=2^{56}<2^{60} +\end{aligned} +$$ + +Logo, o maior dos números é $33^{12}$. Por outro lado, $\frac{127}{63}=2+\frac{1}{63}$ garante que + +$$ +\left(\frac{127}{63}\right)^{2}=\left(2+\frac{1}{63}\right)^{2}=4+\frac{4}{63}+\frac{1}{63^{2}}<4+\frac{5}{63}<5 +$$ + +e, portanto, + +$$ +\left(\frac{127}{63}\right)^{4}<25<63 +$$ + +Assim, $127^{4}<63^{5}$, acarretando $127^{8}<63^{10}$. O menor dos três números dados é $127^{8}$. + +223. Brincando com números - Como queremos encontrar o maior número que seja divisível pela soma de seus algarismos e também menor do que 900 , podemos começar nossa busca dentre os números com o algarismo 8 na casa da centena, já que, no mínimo, 800 é divisível pela soma $8+0+0=8$ de seus algarismos e 899 não tem essa propriedade. Assim, vamos examinar os números entre 800 e 899. + +Queremos, então, encontrar algarismos $b$ e $c$ tais que $8+b+c$ divida $8 b c=800+10 b+c$. Lembrando que $8+b+c$ divide $8 b c=800+10 b+c$ se, e +somente se, $8+b+c$ divide $800+10 b+c-(8+b+c)=792+9 b$, basta procurar entre os divisores de $792+9 b$. Para isso, atribuímos valores para $b$ em ordem decrescente, a partir de 9 , até encontrar o maior número procurado. + +- Se $b=9$, então $792+9 \times 9=873=9 \times 97$ e esse número não possui divisor $8+9+c$ entre $17(c=0)$ e $26(c=9)$. +- Se $b=8$, então $792+9 \times 8=864=2^{5} \times 3^{3}$. O maior divisor $8+b+c$ desse número entre 16 e 25 é 24 , isto é, $c=8$. + +Logo, o número procurado é 888. + +224. Cortando papéis - Se na primeira rodada André pega $n_{1}$ pedaços de papel para cortar cada um deles em sete pedaços, ao final dessa rodada ele ficará com $7-n_{1}$ pedaços sem cortar, mais $7 n_{1}$ pedaços cortados, totalizando $\left(7-n_{1}\right)+7 n_{1}=7+6 n_{1}$ pedaços de papel. Analogamente, se na segunda rodada André pega $n_{2}$ pedaços de papel para cortar, ao final dessa rodada ele ficará com $7+6 n_{1}-n_{2}$ pedaços que não foram cortados nessa rodada, mais $7 n_{2}$ pedaços de papel provenientes dos cortes que ele fez nessa rodada. Assim, ao final da segunda rodada, André ficará com + +$$ +\left(7+6 n_{1}-n_{2}\right)+7 n_{2}=7+6\left(n_{1}+n_{2}\right) +$$ + +Continuando assim, conclui-se que, ao final de $k$ rodadas, André fica com + +$$ +7+6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right) +$$ + +pedaços de papel. Então, para ele ficar com 2009 pedaços de papel ao final de alguma rodada, deveríamos ter essa última expressão igual a 2009 ou, equivalentemente, subtraindo 7 de cada lado, $6\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)=2002$. + +No entanto, 2002 não é um mútiplo de 6 , de modo que essa equação não admite solução. Isso significa que André nunca poderá ficar com 2009 pedaços ao final de alguma rodada de sua brincadeira. + +225. Um trapézio especial - Queremos provar que $A E$ é igual a $B C$. Para isso, suponhamos que $A E$ seja maior do que $B C$ e escolhamos o ponto $A^{\prime}$ sobre $A E$ tal que $E A^{\prime}=B C$. Por construção, $E A^{\prime}$ e $B C$ são paralelos, de modo que $A^{\prime} B C E$ é um paralelogramo e, em particular, + +$$ +A^{\prime} B=C E +$$ + +Pela desigualdade triangular, temos + +$$ +A^{\prime} A+A B>A^{\prime} B +$$ + +Logo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-109.jpg?height=277&width=665&top_left_y=2100&top_left_x=1164) + +$$ +\begin{aligned} +E A+A B+B E & =E A^{\prime}+A^{\prime} A+A B+B E \\ +& >E A^{\prime}+A^{\prime} B+B E=B C+C E+E B +\end{aligned} +$$ + +Disso decorre que o perímetro do triângulo $\triangle A B E$ é maior do que o perímetro do triângulo $\triangle B C E$, contrário aos dados do problema. + +Por meio dessa contradição, estabelecemos que, diante das hipóteses do problema, $A E$ não pode ser maior do que $B C$. Por um processo totalmente análogo, também podemos estabelecer que, reciprocamente, $B C$ não pode ser maior do que $A E$, com o que concluímos que $B C=A E$. O mesmo raciocínio pode ser utilizado para mostrar que $B C=E D$. Assim, + +$$ +B C=\frac{1}{2}(A E+E D)=15 \mathrm{~cm} +$$ + +226. Uma estrela - Observe que $J \widehat{E} I=B \widehat{E} H$. + +No triângulo $\triangle B E H$ temos + +$$ +20^{\circ}+130^{\circ}+B \widehat{E} H=180^{\circ} +$$ + +portanto, + +$$ +J \widehat{E} I=B \widehat{E} H=30^{\circ} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-110.jpg?height=409&width=552&top_left_y=612&top_left_x=1226) + +227. Número palíndromo - Um número palíndromo de quatro algarismos é da forma $a b b a$, onde $a$ é um algarismo entre 1 e 9 e $b$ é um algarismo entre 0 e 9 . Como o número é divisível por 9 , então a soma $2 a+2 b=2(a+b)$ de seus algarismos é divisível por 9 , ou seja, $a+b$ é divisível por 9 . Como $1 \leq a+b \leq 18$, as únicas opções são $a+b=9$ ou 18 . Se $a+b=18$, necessariamente $a=b=9$. Se $a+b=9$, temos as nove soluções seguintes. + +$$ +\begin{array}{lll} +a=1 \text { e } b=8 & a=2 \text { e } b=7 & a=3 \text { e } b=6 \\ +a=4 \text { e } b=5 & a=5 \text { e } b=4 & a=6 \text { e } b=3 \\ +a=7 \text { e } b=2 & a=8 \text { e } b=1 & a=9 \text { e } b=0 +\end{array} +$$ + +Assim, existem dez números palíndromos de quatro algarismos divisíveis por 9 , a saber, 1881, $2772,3663,4554,5445,6336,7227,8118,9009$ e 9999. + +228. Multiplicação com letras - Como o produto de $b$ por $c$ termina em 1 , então $b \times c$ pode ser 21 ou 81 e, portanto, $3 \times 7$ ou $9 \times 9$. A única possibilidade de escrever o produto de dois números distintos menores do que 10 é $21=3 \times 7$. Assim, temos somente dois casos possíveis. + +1o Caso: Se $b=7$ e $c=3$, deveríamos ter + +$$ +\begin{array}{r} +a 77 \\ +\times \quad 3 \\ +\hline 7371 +\end{array} +$$ + +mas isso é impossível, pois, $\frac{7371}{3}=2457$ tem quatro algarismos. + +2으으 Caso: Se $b=3$ e $c=7$, temos +e, como $\frac{3731}{7}=533$, necessariamente $a=5$. + +Logo, a única possibilidade é $a=5, b=3$ e $c=7$. + +## 229. Números sortudos + +(a) A sequência de oito números consecutivos de 52 a 59 tem, exatamente, dois números sortudos: 52 e 59 . Outro exemplo é qualquer sequência de oito números que contenha 59 e 61, por exemplo, $55,56,57,58,59,60,61,62$. + +(b) Dois exemplos são $994, \ldots, 1005$ e $7994, \ldots, 8005$. Existem mais: encontre alguns. + +(c) Digamos que uma década é qualquer sequência de dez números consecutivos cujo primeiro termo é algum múltiplo de 10. Por exemplo, + +$$ +10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 +$$ + +e + +$$ +140,141,142,143,144,145,146,147,148,149 +$$ + +são décadas. Note que qualquer sequência de sete números consecutivos numa década contém, pelo menos, um número sortudo, porque a soma de seus algarismos é uma sequência de sete números consecutivos, um dos quais precisa ser divisível por 7. Finalmente, qualquer sequência de treze números consecutivos contém pelo menos sete números consecutivos de alguma década, que sempre contém um número sortudo. (Examine alguns exemplos para melhor entender essa justificativa.) + +230. Uma sequência especial - Inicialmente escrevemos os primeiros termos dessa sequência, como segue. + +$$ +1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2, \ldots +$$ + +O sétimo e o oitavo termos são, respectivamente, iguais ao primeiro e ao segundo. Isso significa que a sequência se repete de seis em seis termos. A soma dos seis primeiros termos é $1+3+2-1-3-2=0$ e, portanto, a soma dos 96 primeiros termos também é 0 . Assim, a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência é igual à soma dos quatro últimos termos, ou seja, $1+3+2-1=5$. + +231. Triângulos e ângulos... - No triângulo menor, dois ângulos medem $70^{\circ} \mathrm{e}$ $180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$ e o terceiro mede + +$$ +180^{\circ}-\left(50^{\circ}+70^{\circ}\right)=60^{\circ} +$$ + +Assim, + +$$ +\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} +$$ + +Agora, no triângulo maior, temos + +$$ +45^{\circ}+\beta+50^{\circ}=180^{\circ} +$$ + +portanto, + +$$ +\beta=180^{\circ}-95^{\circ}=85^{\circ} \text {. } +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_280b19a87fa67143351eg-111.jpg?height=502&width=563&top_left_y=2139&top_left_x=1272) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e5baa737611f65442f05f468ea212a980f0cb81f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2010_N3.md @@ -0,0 +1,4738 @@ +# Nível 3 + +1. Usando velas - Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica, portanto, nas casas usam-se velas à noite. Na casa de João, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente, e com quatro desses tocos de velas, João fabrica uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa dispondo de 43 velas? +(a) 43 +(b) 53 +(c) 56 +(d) 57 +(e) 60 +2. Rodas e bandeiras - Juliano encaixou duas rodas dentadas iguais, cada uma com uma bandeirinha igual desenhada, como mostra a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-001.jpg?height=208&width=417&top_left_y=730&top_left_x=1459) + +Então ele girou a roda da esquerda um pouco. Qual das alternativas abaixo pode representar a posição final das rodas? +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-001.jpg?height=220&width=400&top_left_y=1072&top_left_x=448) +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-001.jpg?height=217&width=408&top_left_y=1074&top_left_x=961) +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-001.jpg?height=220&width=414&top_left_y=1072&top_left_x=1478) +(d) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-001.jpg?height=217&width=400&top_left_y=1325&top_left_x=451) +(e) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-001.jpg?height=217&width=416&top_left_y=1322&top_left_x=954) + +3. Número de latas - Uma fábrica embala latas de palmito em caixas de papelão de formato cúbico de $20 \mathrm{~cm}$ de lado. Em cada caixa são colocadas 8 latas e as caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de $80 \mathrm{~cm}$ de largura por $120 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $60 \mathrm{~cm}$ de altura. Qual é o número máximo de latas de palmito em cada caixote? +(a) 576 +(b) 4608 +(c) 2304 +(d) 720 +(e) 144 +4. Qual é a menor fração? - Quantas frações da forma $\frac{n}{n+1}$ são menores do que $7 / 9$, sabendo que $n$ é um número inteiro positivo? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 3 +(d) 4 +(e) 5 +5. Pistas de corrida - Um atleta corre $5000 \mathrm{~m}$ por semana em uma quadra de esportes, que tem uma pista curta e outra longa. Em uma certa semana, ele treinou seis dias, sendo que a cada dia correu uma vez na pista longa e duas na pista curta. Na semana seguinte, ele treinou sete dias, sendo que a cada dia correu uma vez em cada pista. Podemos, então, afirmar que: + +(a) a pista longa é $500 \mathrm{~m}$ mais longa do que a curta; + +(b) a pista longa é quatro vezes maior do que a curta; + +(c) a pista longa é cinco vezes maior do que a curta; +(d) a pista longa é $600 \mathrm{~m}$ mais longa do que a curta; + +(e) a pista longa é três vezes maior do que a curta. + +6. Brincos e brincos - Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres, $3 \%$ das quais usam apenas um brinco. Das demais, a metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual é o número total de brincos usados por todas as mulheres dessa povoação? +(a) 776 +(b) 788 +(c) 800 +(d) 812 +(e) 824 +7. Perguntas e respostas - Ana, Bento e Lucas participam de um concurso que consta de 20 perguntas, com as regras seguintes. + +- Cada resposta certa vale 5 pontos. +- Cada resposta errada acarreta a perda de 3 pontos. +- Cada resposta em branco acarreta a perda de 2 pontos. + +| | certas | erradas | em branco | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Ana | 12 | 3 | 5 | +| Bento | 13 | 7 | 0 | +| Lucas | 12 | 4 | 4 | + +Usando os resultados do concurso da tabela e escrevendo os nomes dos três em ordem decrescente de classificação no concurso, obtemos: +(a) Ana, Bento, Lucas; +(c) Ana, Lucas, Bento; +(e) Bento, Ana, Lucas. +(b) Lucas, Bento, Ana; +(d) Lucas, Ana, Bento; + +8. Qual é a carga? - O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos de areia ou a 400 tijolos. Se esse caminhão já carrega 32 sacos de areia, quantos tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar? +(a) 132 +(b) 144 +(c) 146 +(d) 148 +(e) 152 +9. Quanto mede a cerca? - Uma cerca reta de arame tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre o terceiro e o sexto poste é de $3,3 \mathrm{~m}$. Qual é o comprimento da cerca, em metros? +(a) 8,4 +(b) 12,1 +(c) 9,9 +(d) 13,2 +(e) 9,075 +10. Dizima periódica - Sabendo que $0,333 \ldots=\frac{1}{3}$, qual é a fração irredutível equivalente a $0,1333 \ldots$. . +(a) $\frac{1}{13}$ +(b) $\frac{1}{15}$ +(c) $\frac{1}{30}$ +(d) $\frac{2}{15}$ +(e) $\frac{1333}{10000}$ +11. Valor absoluto - O valor absoluto $|a|$ de um número $a$ qualquer é definido por + +$$ +|a|=\left\{\begin{array}{cl} +a & \text { se } a>0 \\ +0 & \text { se } a=0 \\ +-a & \text { se } a<0 +\end{array}\right. +$$ + +Por exemplo, $|6|=6,|-4|=4$ e $|0|=0$. Quanto vale $N=|5|+|3-8|-|-4|$ ? +(a) 4 +(b) -4 +(c) 14 +(d) -14 +(e) 6 + +12. O peso das frutas - Marcos quer pesar, numa balança de dois pratos, uma banana, uma maçã e um mamão. Em cada uma das figuras dadas, a balança está em equilíbrio, isto é, os conteúdos que estão no prato da direita têm o mesmo peso que os que estão no prato da esquerda. Em duas das três pesagens foi utilizado um peso de 200 gramas. Podemos afirmar que as três frutas têm um peso total, em gramas, de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-003.jpg?height=223&width=1493&top_left_y=1079&top_left_x=316) +(a) 250 ; +(b) 300 ; +(c) 350 ; +(d) 400 ; +(e) 450 . + +13. Maratona - André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular com $100 \mathrm{~m}$ de raio. Para percorrer $42 \mathrm{~km}$, o número de voltas que André precisa dar está entre: +(a) 1 e 10 ; +(b) 10 e 50 ; +(c) 50 e 100 ; +(d) 100 e 500 ; +(e) 500 e 1000 . +14. Dobrando papel - Uma folha quadrada foi dobrada duas vezes ao longo de suas diagonais, obtendo-se um triângulo. Em seguida, foi feito um corte reto na folha dobrada, paralelo ao lado maior desse triângulo, passando pelos pontos médios dos outros lados, conforme a ilustração dada. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-003.jpg?height=158&width=798&top_left_y=1998&top_left_x=710) + +Desdobrando a folha, obteve-se um buraco quadrado no meio da folha. A área do buraco corresponde a qual fração da área de toda a folha quadrada original? +(a) $\frac{1}{2}$ +(b) $\frac{1}{6}$ +(c) $\frac{3}{8}$ +(d) $\frac{3}{4}$ +(e) $\frac{1}{4}$ + +15. Encontre o número - Qual é o menor número inteiro positivo $N$ tal que $N / 3, N / 4$, $N / 5, N / 6$ e $N / 7$ sejam todos números inteiros? +(a) 420 +(b) 350 +(c) 210 +(d) 300 +(e) 280 +16. Equação quadrática - Se 3 e $1 / 3$ são as raízes da equação $a x^{2}-6 x+c=0$, qual é o valor de $a+c$ ? +(a) 1 +(b) 0 +(c) $-\frac{9}{5}$ +(d) $\frac{18}{5}$ +(e) -5 +17. Cubo - Os vértices de um cubo são numerados de 1 a 8 , de tal modo que uma das faces tem os vértices $\{1,2,6,7\}$ e as outras cinco têm os vértices $\{1,4,6,8\},\{1,2,5,8\}$, $\{2,3,5,7\},\{3,4,6,7\}$ e $\{3,4,5,8\}$. Qual é o número do vértice que está mais distante do vértice de número 6 ? +(a) 1 +(b) 3 +(c) 4 +(d) 5 +(e) 7 +18. Time de basquete - O gráfico dado mostra o número de pontos que os oito jogadores de basquete do time da escola marcaram no último jogo. + +Qual é o número total de pontos marcados pelo time? +(a) 54 +(b) 8 +(c) 12 +(d) 58 +(e) 46 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-004.jpg?height=428&width=439&top_left_y=834&top_left_x=1274) + +19. O caminho da formiguinha - Uma formiguinha vai caminhar de $A$ até $C$, podendo passar apenas uma vez pelo ponto $B$ e usando somente os caminhos indicados na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-004.jpg?height=129&width=483&top_left_y=1466&top_left_x=821) + +Qual é o número de maneiras diferentes que ela pode escolher para caminhar de $A$ até $C$ ? +(a) 3 +(b) 5 +(c) 7 +(d) 8 +(e) 9 + +20. Operação-Dados dois números reais $a$ e $b$, considere $a b=a^{2}-a b+b^{2}$. Quanto vale 1 ? +(a) 1 +(b) 0 +(c) 2 +(d) -2 +(e) -1 +21. Indo para a escola - O diagrama de barras mostra a distribuição dos alunos de uma escola de acordo com o tempo que gastam no trajeto de casa para a escola. As frações de minuto foram desconsideradas; por exemplo, se um aluno gasta 40 minutos e 15 segundos neste trajeto, considera-se que o tempo gasto é de 40 minutos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-004.jpg?height=380&width=457&top_left_y=2097&top_left_x=1371) + +Responda às perguntas seguintes justificando sua resposta. + +(a) Quantos alunos gastam menos do que 20 minutos para chegar à escola? + +(b) Quantos alunos tem esta escola? +(c) Quantos alunos gastam mais do que 40 minutos para chegar à escola? + +(d) É verdade que a maioria dos alunos gasta mais do que 20 minutos para chegar à escola? + +22. Campeonato de futebol - No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram seis equipes, denominadas $A, B, C, D, E$ e $F$. Cada equipe disputou, com cada uma das outras, exatamente uma partida. A tabela de classificação do campeonato é fornecida a seguir, sendo $\mathrm{V}$ é o número de vitórias, $\mathrm{E}$ o número de empates, $\mathrm{D}$ o número de derrotas, GP o número de gols marcados e GC o número de gols sofridos para cada equipe. + +(a) Quantas partidas foram disputadas? + +(b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe $F$, a quantidade de derrotas da equipe $D$ e a quantidade de gols marcados pela equipe $F$, representados na tabela por $x, y$ e $z$. + +| Equipe | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{D}$ | GP | GC | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $A$ | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 | +| $B$ | 2 | 1 | 2 | 6 | 6 | +| $C$ | 0 | 3 | 2 | 2 | 6 | +| $D$ | 1 | 1 | $y$ | 3 | 6 | +| $E$ | 0 | 1 | 4 | 1 | 5 | +| $F$ | $x$ | 1 | 0 | $z$ | 3 | + +23. Poste elétrico - Uma companhia de eletricidade instalou um poste num terreno plano. Para fixar bem o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de 1,4 metros do solo e a 2 metros de distância do poste, sendo que um dos cabos mede 2,5 metros, conforme a figura. + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { g } & 2,5 \mathrm{~m} \\ +\rightarrow & 2 \mathrm{~m} +\end{array} +$$ + +Um professor de Matemática, após analisar estas medidas, afirmou que o poste não está perpendicular ao solo. Você acha que o professor está certo? Justifique sua resposta. + +24. Equações recíprocas - Briot (matemático inglês, que viveu de 1817 a 1882) e Ruffini (matemático italiano, que viveu de 1765 a 1822) desenvolveram métodos para encontrar soluções para as equações chamadas recíprocas. Nesta questão, você vai desenvolver, passo a passo, a essência desses métodos. O item (a) é uma preparação para os demais itens. + +(a) Se $y=x+\frac{1}{x}$, calcule as expressões $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ e $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ em termos de $y$. + +(b) Determine todas as raízes reais da equação $x^{2}-5 x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$. + +(c) Determine todas as raízes reais de $x^{4}-5 x^{3}+8 x^{2}-5 x+1=0$. + +(d) Determine todas as raízes reais de $x^{6}-2 x^{5}-5 x^{4}+12 x^{3}-5 x^{2}-2 x+1=0$. + +25. Atirando flechas - Manoel testa sua pontaria lançando cinco flechas que atingiram o alvo nos pontos $A, B, C, D$ e $E$, de coordenadas $A=(1,-1), B=(2,5 ; 1), C=(-1,4)$, $D=(-4,-4)$ e $E=(6,5)$. + +A tabela mostra quantos pontos se ganha quando a flecha acerta um ponto dentro de cada uma das três regiões, conforme mostra a figura. + +(a) Marque os pontos $A, B, C, D$ e $E$. + +(b) Quantas flechas ele acertou no interior do menor círculo? + +(c) Ao todo, quantos pontos Manoel fez? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-006.jpg?height=554&width=602&top_left_y=263&top_left_x=1224) + +26. Festa de aniversário - A festa de aniversário de André tem menos do que 120 convidados. Para o jantar, ele pode dividir os convidados em mesas completas de seis pessoas ou em mesas completas de sete pessoas. Em ambos os casos, são necessárias mais do que 10 mesas e todos os convidados ficam em alguma mesa. Quantos são os convidados? +27. Medida do cateto - Na figura dada, $A B C D$ é um retângulo e $\triangle A B E$ e $\triangle C D F$ são triângulos retângulos. A área do triângulo $\triangle A B E$ é $150 \mathrm{~cm}^{2}$ e os segmentos $A E$ e $D F$ medem, respectivamente, 15 e $24 \mathrm{~cm}$. Qual é o comprimento do segmento $C F$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-006.jpg?height=302&width=417&top_left_y=1134&top_left_x=1416) + +28. Sequência de Peri - Usando apenas os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, Peri construiu a sequência + +$$ +1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2, \ldots +$$ + +começando com um 1 , seguido de dois 2 , três 3 , quatro 4 , cinco 5 , seis 1 , sete 2 , e assim por diante. Qual é o centésimo termo dessa sequência? + +29. Área em azulejo - A figura dada foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a $10 \mathrm{~cm}$. Qual é a área da região destacada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-006.jpg?height=154&width=414&top_left_y=1882&top_left_x=1415) + +30. Os cartões de Capitu - Capitu tem cem cartões numerados de 1 a 100. Todos cartões têm uma face amarela e a outra vermelha e o número de cada cartão está escrito em ambas as faces. Os cartões foram colocados sobre uma mesa, todos com a face vermelha voltada para cima. Capitu virou todos os cartões de número par e depois todos os cartões de número múltiplo de 3 , colocando-os com a face amarela voltada para cima. Quantos cartões ficaram com a face vermelha para cima? +31. Enchendo o tanque - Para encher de água um tanque em forma de um bloco retangular de $3 \mathrm{~m}$ de comprimento, $50 \mathrm{~cm}$ de largura e $0,36 \mathrm{~m}$ de altura, um homem utiliza um balde cilíndrico, de $30 \mathrm{~cm}$ de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-006.jpg?height=297&width=540&top_left_y=2433&top_left_x=1289) +diâmetro em sua base e $48 \mathrm{~cm}$ de altura, para pegar água numa fonte. Cada vez que ele vai à fonte, ele enche $4 / 5$ do balde e no caminho derrama $10 \%$ do seu conteúdo. Estando o tanque inicialmente vazio, quantas viagens à fonte o homem terá de fazer para que a água no tanque chegue a $3 / 4$ de sua altura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-007.jpg?height=457&width=308&top_left_y=260&top_left_x=1571) + +32. Fator primo - Qual é o maior fator primo de 2006 ? +33. Altura de salário - Entre 1986 e 1989, a moeda do nosso país era o cruzado ( $\mathrm{Cz} \$$ ). De lá para cá, tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro novo e, hoje, temos o real. Para comparar valores do tempo do cruzado e de hoje, os economistas calcularam que 1 real equivale a 2750000000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas de 1 cruzado, somente. Se uma pilha de cem notas de 1 cruzado mede 1,5 cm de altura, qual seria a altura (em quilômetros) do salário do João? +(a) 26,4 +(b) 264 +(c) 26400 +(d) 264000 +(e) 2640000 +34. Só bala - Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Se $q$ é a probabilidade de as duas balas serem de sabores diferentes e $p$ é a probabilidade de as duas balas serem do mesmo sabor, qual é o valor de $q-p$ ? +(a) 0 +(b) $\frac{1}{2004}$ +(c) $\frac{1}{2003}$ +(d) $\frac{2}{2003}$ +(e) $\frac{1}{1001}$ +35. Distância ao centro - Um ponto $P$ está no centro de um quadrado de $10 \mathrm{~cm}$ de lado. Quantos pontos da borda do quadrado estão a uma distância de $6 \mathrm{~cm}$ de $P$ ? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 4 +(d) 6 +(e) 8 +36. Potências e potências - Se $2\left(2^{2 x}\right)=4^{x}+64$, qual é o valor de $x$ ? +(a) -2 +(b) -1 +(c) 1 +(d) 2 +(e) 3 +37. Um raio de $l u z$ - Dois espelhos formam um ângulo de $30^{\circ}$ no ponto $V$. Um raio de luz parte de um ponto $S$ paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto $A$, como mostra a figura. + +Depois de uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a $S$. Se $A S$ e $A V$ medem, ambos, 1 metro, qual é o comprimento (em metros) do trajeto percorrido pelo raio de luz? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-007.jpg?height=217&width=369&top_left_y=2376&top_left_x=1483) +(a) 2 +(b) $2+\sqrt{3}$ +(c) $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ +(d) $\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$ +(e) $5 \sqrt{3}$ + +38. Diferença de quadrados - Determine o valor de $(666666666)^{2}-(333333333)^{2}$. +39. Escada de número - Na figura, o número 8 foi obtido somandose os dois números diretamente abaixo de sua casa. Fazendo-se o mesmo para preencher as casas em branco, obtém-se o 42 na casa indicada. Qual é o valor de $x$ ? +(a) 7 +(b) 3 +(c) 5 +(d) 4 +(e) 6 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-008.jpg?height=331&width=311&top_left_y=366&top_left_x=1518) + +40. Diferença de potências - Seja $n=9867$. Se você calculasse $n^{3}-n^{2}$, qual seria o algarismo das unidades encontrado? +(a) 0 +(b) 2 +(c) 4 +(d) 6 +(e) 8 +41. Parábola girada - O gráfico da parábola $y=x^{2}-5 x+9$ é rodado de $180^{\circ}$ em torno da origem. Qual é a equação da nova parábola? +(a) $y=x^{2}+5 x+9$ +(c) $y=-x^{2}+5 x-9$ +(e) $y=-x^{2}-5 x-9$ +(b) $y=x^{2}-5 x-9$ +(d) $y=-x^{2}-5 x+9$ +42. Logotipo - A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e outros quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois círculos concêntricos. O raio do círculo menor mede $1 \mathrm{~cm}$. Qual é, em centímetros, o raio do círculo maior? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-008.jpg?height=260&width=257&top_left_y=1275&top_left_x=1576) + +43. Padeiro cansado - Um padeiro quer gastar toda sua farinha para fazer pães. Trabalhando sozinho, ele conseguiria acabar com a farinha em 6 horas. Com um ajudante, o mesmo poderia ser feito em 2 horas. O padeiro começou a trabalhar sozinho e, depois de algum tempo, cansado, ele chamou seu ajudante e assim, após 150 minutos a farinha acabou. Durante quantos minutos o padeiro trabalhou sozinho? +(a) 30 +(b) 35 +(c) 40 +(d) 45 +(e) 50 +44. Muitas diagonais - Calcule o número de diagonais de um prisma hexagonal reto, como o da figura à esquerda. Calcule o número de diagonais do poliedro obtido a partir de um cubo pelo corte de seus oito vértices, como o da figura à direita. (Esse poliedro é muito utilizado na fabricação de dados, pois o corte próximo a cada um de seus vértices "arredonda" o dado e facilita a sua rolagem.) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-008.jpg?height=344&width=812&top_left_y=2290&top_left_x=657) +45. Promoção de sabonete - Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço." Qual seria uma outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual? +(a) "Leve dois e pague um" +(d) "Leve três e pague um" +(b) "Leve três e pague dois" +(e) "Leve quatro e pague três" +(c) "Leve cinco e pague quatro" +46. Qual é o ângulo? - Na figura, os dois triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle D E F$ são equiláteros. Qual é o valor do ângulo $x$ ? + +(a) $30^{\circ}$ + +(b) $40^{\circ}$ + +(c) $50^{\circ}$ + +(d) $60^{\circ}$ + +(e) $70^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-009.jpg?height=394&width=637&top_left_y=780&top_left_x=732) + +47. Caixa de papelão - A figura mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume, $\mathrm{em}^{\mathrm{cm}}{ }^{3}$, da caixa? + +(a) 1500 + +(b) 3000 + +(c) 4500 + +(d) 6000 + +(e) 12000 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-009.jpg?height=386&width=539&top_left_y=1372&top_left_x=747) + +48. Soma de vizinhos - Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos imediatamente anteriores. Se o segundo termo é 1 e o quinto termo é 2005 , qual é o sexto termo? +(a) 3002 +(b) 3008 +(c) 3010 +(d) 4002 +(e) 5004 +49. Algarismos crescentes - Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por algarismos consecutivos e em ordem crescente? Por exemplo, 456 é um desses números, mas 7890 não é. +(a) 10 +(b) 13 +(c) 18 +(d) 22 +(e) 25 +50. Bloco girante - Num bloco de $1 \times 2 \times 3$ centímetros, marcamos três faces com as letras X, Y e Z, como na figura. O bloco é colocado sobre um tabuleiro de $8 \times 8$ $\mathrm{cm}$ com a face $\mathrm{X}$ virada para baixo, em contato com o tabuleiro, conforme mostra a figura. Giramos o bloco de $90^{\circ}$ em torno de uma de suas arestas de modo que a face $\mathrm{Y}$ fique virada para baixo (isto é, totalmente em contato com o tabuleiro). Em seguida, giramos novamente o bloco de $90^{\circ}$ em torno de uma de suas arestas, mas desta vez de modo que a face $\mathrm{Z}$ fique virada para baixo. + +Giramos o bloco mais três vezes de $90^{\circ}$ em torno de uma de suas arestas, fazendo com que as faces X, Y e Z fiquem viradas para baixo, nessa ordem. Quantos quadradinhos diferentes do tabuleiro estiveram em contato com o bloco? +(a) 18 +(b) 19 +(c) 20 +(d) 21 +(e) 22 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-010.jpg?height=394&width=494&top_left_y=257&top_left_x=1341) + +51. Iterando um ponto - A função $f$ é dada pela tabela + +| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | +| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $f(x)$ | 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | + +Por exemplo, $f(2)=1$ e $f(4)=5$. Quanto vale $\underbrace{f(f(f(f(\ldots f}_{2004 \text { vezes }}(4) \ldots)))$ ? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 3 +(d) 4 +(e) 5 + +52. Esmeralda e o $\mathbf{2 1}$ - Esmeralda escreveu em ordem crescente todos os números de 1 a 999 , sem separá-los, formando o número + +$$ +12345678910111213 \ldots 997998999 +$$ + +Quantas vezes aparece o agrupamento " 21 ", nessa ordem? + +53. Muitos fatores - Qual é o valor do produto $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{225}\right)$ ? +(a) $\frac{10}{125}$ +(b) $\frac{5}{9}$ +(c) $\frac{3}{5}$ +(d) $\frac{8}{15}$ +(e) $\frac{1}{120}$ +54. Falta um ângulo - Quanto mede, em graus, o ângulo $\alpha$ da figura? +(a) 20 +(b) 25 +(c) 30 +(d) 35 +(e) 40 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-010.jpg?height=258&width=462&top_left_y=1664&top_left_x=1365) + +55. Soma de distâncias - Da figura, concluímos que $|z-x|+|w-x|$ é igual a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-010.jpg?height=115&width=705&top_left_y=2067&top_left_x=710) +(a) 11 +(b) 12 +(c) 13 +(d) 14 +(e) 15 + +56. Espiral do Artur - Artur quer desenhar uma "espiral" de 4 metros de comprimento, formada de segmentos de reta. Ele já traçou sete segmentos, como mostra a figura. Quantos segmentos ainda faltam traçar? +(a) 28 +(b) 30 +(c) 24 +(d) 32 +(e) 36 +57. Quais são os ângulos? - A figura mostra um retângulo e suas duas diagonais. Qual é a afirmativa correta a respeito dos ângulos $x$ e $y$ indicados na figura? +(a) $x100$ +(c) $|-6 a|=6|a|$ +(e) $\left|a^{2}+5\right|=a^{2}+5$ +(b) $|2-9|=9-2$ +(d) $|5-13|=|5|-|13|$ +68. Fração radical - Se $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=5$, quanto é $\frac{x+y}{2 y}$ ? +(a) $\frac{5}{2}$ +(b) $3 \sqrt{2}$ +(c) $13 y$ +(d) $\frac{25 y}{2}$ +(e) 13 +69. Área de triângulo - A figura mostra um retângulo $K G S T$ e um triângulo $\triangle K G R$. Os ângulos $K \widehat{R} T$ e $R \widehat{G} S$ são iguais. Se $T R=6$ e $R S=2$, qual é a área do triângulo $\triangle K G R ?$ +(a) 12 +(b) 16 +(c) $8 \sqrt{2}$ +(d) $8 \sqrt{3}$ +(e) 14 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-012.jpg?height=257&width=457&top_left_y=1813&top_left_x=1371) + +70. Pares de inteiros - Quantos são os pares diferentes de inteiros positivos $(a, b)$ tais que $a+b \leq 100$ e $\frac{a+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+b}=13$ ? +(a) 1 +(b) 5 +(c) 7 +(d) 9 +(e) 13 +71. Qual é a soma? - Se $x+|x|+y=5$ e $x+|y|-y=6$, qual é o valor da soma $x+y$ ? +(a) -1 +(b) 11 +(c) $\frac{9}{5}$ +(d) 1 +(e) -11 +72. Círculo intermediário - Na figura, os três círculos são concêntricos, e a área do menor círculo coincide com a área do maior anel, destacado em cinza. O raio do menor círculo é $5 \mathrm{~cm}$ e do maior $13 \mathrm{~cm}$. Qual é o raio (em cm) do círculo intermediário? +(a) 12 +(c) $10 \sqrt{65}$ +(e) $12 \sqrt{2}$ +(b) 11 +(d) $5 \sqrt{3}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-013.jpg?height=402&width=403&top_left_y=250&top_left_x=1472) + +73. Frações incompletas - Encontre os algarismos que estão faltando em cada um dos espaços marcados com traços. +(a) $\frac{126}{8_{-}}=\frac{21}{--}$ +(b) $\frac{--8}{33 \_}=\frac{4}{5}$ +74. Triângulos impossiveis - Quais dessas figuras estão erradas? +75. Razão de áreas - Se um arco de $60^{\circ}$ num círculo I tem o mesmo comprimento que um arco de $45^{\circ}$ num círculo II, encontre a razão entre a área do círculo I e a área do círculo II. +(a) $\frac{16}{9}$ +(b) $\frac{9}{16}$ +(c) $\frac{4}{3}$ +(d) $\frac{3}{4}$ +(e) $\frac{6}{9}$ +76. Inequação errada - Sendo $x>0, y>0, x>y$ e $z \neq 0$, encontre a única desigualdade falsa. +(a) $x+z>y+z$ +(c) $x z>y z$ +(e) $x z^{2}>y z^{2}$ +(b) $x-z>y-z$ +(d) $\frac{x}{z^{2}}>\frac{y}{z^{2}}$ +77. Equações geométricas - Resolva as equações dadas geometricamente, ou seja, interpretando o valor absoluto $|a-b|$ como a distância entre $a$ e $b$. +(a) $|x-5|=2$ +(c) $|3 x-7|=9$ +(b) $|x+3|=1$ +(d) $|x+2|=|x-5|$ +78. Pista circular - A pista de um autódromo tem $20 \mathrm{~km}$ de comprimento e forma circular, conforme figura. + +Os pontos marcados na pista são $\mathrm{A}$, que é o ponto de partida; B, que dista $5 \mathrm{~km}$ de A no sentido do percurso; C, que dista $3 \mathrm{~km}$ de $\mathrm{B}$ no sentido do percurso; $\mathrm{D}$, que dista $4 \mathrm{~km}$ de $\mathrm{C}$ no sentido do percurso; e E, que dista $5 \mathrm{~km}$ de $\mathrm{D}$ no sentido do percurso. Um carro que parte de $\mathrm{A}$ e para após percorrer $367 \mathrm{~km}$ estará mais próximo de qual dos cinco pontos? +(a) $\mathrm{A}$ +(b) B +(c) $\mathrm{C}$ +(d) $\mathrm{D}$ +(e) E + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-014.jpg?height=434&width=443&top_left_y=271&top_left_x=1383) + +79. Maior comprimento - No diagrama dado, todos os quadradinhos têm $1 \mathrm{~cm}$ de lado. Qual dos segmentos dados é o de maior comprimento? + +(a) $A E$ + +(b) $C D+C F$ + +(c) $A C+C F$ + +(d) $F D$ + +(e) $A C+C E$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-014.jpg?height=503&width=326&top_left_y=748&top_left_x=1502) + +80. Desigualdade entre inteiros - Quantos dentre os números $-5,-4,-3,-2,-1,0$, $1,2,3$ satisfazem a desigualdade $-3 x^{2}<-14$ ? +(a) 1 +(b) 2 +(c) 3 +(d) 4 +(e) 5 +81. Equação cúbica - Sobre a equação $2007 x^{3}+2006 x^{2}+2005 x=0$, o certo é afirmar que: +(a) não possui raízes; +(d) tem apenas uma raiz real; +(b) tem três raízes reais distintas; +(e) tem três raízes positivas. +(c) tem duas raízes iguais; +82. O perfume de Rosa - Rosa ganhou um vidro de perfume com o formato de um cilindro com $7 \mathrm{~cm}$ de raio da base e $10 \mathrm{~cm}$ de altura. Depois de duas semanas usando o perfume, restaram 0,45 litros no vidro. Qual é a fração que representa o volume que Rosa já usou? +83. Igualdade com inteiros - Quais números naturais $m$ e $n$ satisfazem a equação $2^{n}+1=m^{2}$ ? +84. O caminho da pulga - Para percorrer um caminho reto de 10 metros de comprimento, uma pulga usa a seguinte estratégia: a cada dia, ela percorre a metade do caminho que falta. Assim, ela percorre 5 metros no primeiro dia, 2,5 metros no segundo, e assim por diante (o tamanho da pulga pode ser desconsiderado). + +(a) Quantos metros ela terá percorrido ao final do sétimo dia? E do décimo? + +(b) A partir de qual dia a pulga estará a menos de $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho? + +85. Uma soma alternada - Se $S_{n}=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n+1} n$ para cada inteiro positivo $n$, então $S_{1992}+S_{1993}$ é igual a +(a) -2 ; +(b) -1 ; +(c) 0 ; +(d) 1 ; +(e) 2 . +86. O raio da circunferência - Um arco de circunferência mede $300^{\circ}$ e o seu comprimento é de $2 \mathrm{~km}$. Qual é o número inteiro mais próximo da medida do raio do círculo, em metros? +(a) 157 +(b) 284 +(c) 382 +(d) 628 +(e) 764 +87. Quatro passageiros - Em um táxi, um passageiro pode se sentar na frente e três passageiros atrás. De quantas maneiras podem se sentar quatro passageiros de um taxi se um desses passageiros quiser ficar na janela? +88. Os cinco círculos - Cinco discos de mesmo raio estão dispostos como mostra a figura. Quatro centros são os vértices de um quadrado e três estão alinhados. Trace uma reta que divida a figura formada pelos cinco discos em duas partes de mesma área. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-015.jpg?height=200&width=280&top_left_y=1059&top_left_x=1573) + +89. O triângulo e o quadrado - Na figura dada, $A B C D$ é um quadrado cujo lado mede $1 \mathrm{~cm}, E$ é o ponto médio da diagonal $B D$ e $F$ é o ponto médio do segmento $B E$. Qual é a área do triângulo $\triangle C B F$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-015.jpg?height=223&width=240&top_left_y=1305&top_left_x=1588) + +90. Uma refeição - Um sanduíche e um prato de refeição custam $\mathrm{R} \$ 5,00$ e $\mathrm{R} \$ 7,00$, respectivamente. De quantas maneiras pode-se comprar só sanduiches, só pratos de refeição ou alguma combinação de sanduiches e pratos de refeição com $\mathrm{R} \$ 90,00$, sem deixar troco? +91. Plano cartesiano - O ponto $P=(a, b)$ está marcado na figura ao lado. Marque os pontos: + +(a) $A=(a+1, b / 2)$; + +(b) $B=(a / 2, b-1)$; + +(c) $C=(-a,-b)$; + +(d) $D=(1-a, b-2)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-015.jpg?height=494&width=545&top_left_y=1849&top_left_x=1372) + +92. Soma dos terminados em 9 - A soma $S_{n}=9+19+29+39+\cdots+a_{n}$ denota a soma dos primeiros $n$ números naturais terminados em 9 . Qual é o menor valor de $n$ para que $S_{n}$ seja maior do que $10^{5}$ ? +93. Três cilindros - Três cilindros de volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$ têm alturas e raios das bases iguais a 10 e $10 \mathrm{~cm}, 10$ e $5 \mathrm{~cm}$ e 20 e $5 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-016.jpg?height=345&width=400&top_left_y=256&top_left_x=862) + +(a) Escreva em ordem crescente os volumes $V_{1}, V_{2}$ e $V_{3}$ dos três cilindros. + +(b) Dê as dimensões de um cilindro cujo volume $V_{4}$ esteja entre $V_{2}$ e $V_{3}$. + +(c) Dê as dimensões de um cilindro cujo volume $V_{5}$ esteja entre $V_{1}$ e $V_{3}$. + +94. Porcentagem de mortalidade - Se $15 \%$ dos membros de uma população foram afetados por uma doença e $8 \%$ dos afetados morreram, a porcentagem da mortalidade em relação à população inteira foi de: +(a) $1,2 \%$; +(b) $1,8 \%$; +(c) $8 \%$; +(d) $12 \%$; +(e) $23 \%$. +95. Agenda de aulas - Eliane quer escolher o seu horário para a natação. Ela quer ir a duas aulas por semana, uma de manhã e outra de tarde, não sendo no mesmo dia, nem em dias seguidos. De manhã, há aulas de natação de segunda-feira a sábado, às $9 \mathrm{~h}$, às $10 \mathrm{~h}$ e às $11 \mathrm{~h}$ e de tarde, de segunda a sexta-feira, às $17 \mathrm{~h}$ e às $18 \mathrm{~h}$. De quantas maneiras distintas pode Eliane escolher o seu horário? +96. Jogo de cartas - Um grupo de amigos disputa um jogo no qual 16 cartas (sendo quatro ases, quatro reis, quatro damas e quatro valetes) estão inicialmente dispostas em quatro pilhas de quatro cartas. O jogo consiste em mover sucessivamente a carta superior de uma pilha e colocá-la sobre uma outra pilha, até obter quatro novas pilhas, em que na primeira pilha só tenha ases, na segunda, só valetes, na terceira só damas e na quarta pilha só reis. Ganha o jogo quem fizer o menor número de movimentos. Com quantos movimentos sempre é possível terminar o jogo? Na figura dada, aparece a disposição inicial das cartas nas pilhas. + +| pilha 1 | pilha 2 | pilha 3 | pilha 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| rei de $\odot$ | dama de $\odot$ | rei de $\square$ | valete de | +| dama de $\square$ | ás de $\square$ | valete de $\odot$ | rei de | +| valete de $\square$ | ás de $\odot$ | dama de | ás de | +| ás de | valete de | dama de $\uparrow$ | rei de $\uparrow$ | + +97. Frações inteiras - Quantos números inteiros positivos $n$ existem tais que o quociente $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ seja um inteiro? +98. Quatro prefeitos e um círculo - Quatro prefeitos decidem construir uma rodovia circular que passe dentro dos limites de suas cidades. Como as quatro cidades não estão sobre um mesmo círculo, os prefeitos contratam uma empresa para elaborar um projeto +para a construção de uma rodovia circular equidistante das quatro cidades. Qual é o maior número de projetos geograficamente distintos que a empresa pode elaborar? +99. Fatoriais - Se $n$ é um número inteiro positivo, denotamos por $n$ ! o produto de todos os inteiros de 1 a $n$. Por exemplo, 5 ! = $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$ e 13 ! $=$ $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 12 \times 13$. Por convenção, escrevemos $0!=1!=1$. Encontre três números inteiros $a, b$ e $c$ entre 0 e 9 , que sejam distintos e tais que o número de três algarismos $a b c$ seja igual a $a!+b!+c$ !. +100. O Riquinho - Riquinho distribuiu 1000,00 reais entre os seus amigos Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo etc. Qual foi a quantia recebida por Bernardo? +101. Retângulo com dimensões inteiras - As diagonais de um retângulo medem $\sqrt{1993} \mathrm{~cm}$. Quais são as dimensões do retângulo, sabendo que elas são números inteiros? +102. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Escreve-se em ordem crescente os múltiplos de 3 que, somados com 1, sejam quadrados perfeitos, ou seja, $3,15,24,48, \ldots$ Qual é o múltiplo de 3 na $2006^{\mathrm{a}}$ posição? +103. Cinco cartas - Cinco cartas estão sobre uma mesa, e cada uma tem um número numa face e uma letra na outra. Simone deve decidir se a seguinte frase é verdadeira: " $S e$ uma carta tem uma vogal numa face, então ela tem um número par na outra." Qual é o menor número de cartas que ela precisa virar para tomar uma decisão correta? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-017.jpg?height=125&width=503&top_left_y=1905&top_left_x=865) + +104. O lucro de uma companhia - Uma companhia tem um lucro de $6 \%$ nos primeiros $\mathrm{R} \$ 1000,00$ reais de venda diária e de $5 \%$ em todas as vendas que excedam $\mathrm{R} \$ 1000,00$ reais, nesse mesmo dia. Qual é o lucro dessa companhia, em reais, num dia em que as vendas alcançam $R \$ 6000,00$ reais? +(a) 250 +(b) 300 +(c) 310 +(d) 320 +(e) 360 +105. Sequência triangular - Encontre o 21 ㅇo termo da sequência que começa assim: + +$$ +1 ; 2+3 ; 4+5+6 ; 7+8+9+10 ; 11+12+13+14+15 ; \ldots +$$ + +106. O jardim octogonal - A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num papel quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados com uma roseira quadrada no centro, cercada de grama. A área total do jardim é de $700 \mathrm{~m}^{2}$. Para colocar uma cerca em volta do jardim e da roseira, o prefeito dispõe de, no máximo, $\mathrm{R} \$ 650,00$. + +Qual é o maior preço que o prefeito poderá pagar pelo metro dessa cerca? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-018.jpg?height=460&width=460&top_left_y=318&top_left_x=1346) + +107. Número de caracteres - Numa folha de papel cabem 100 caracteres na largura e 100 na altura. Nessa folha são escritos sucessivamente os números $1,2,3$, e assim por diante, com um espaço entre cada um e o seguinte. Se no final de uma linha não houver espaço para escrever o número seguinte, ele é escrito no começo da linha seguinte. Qual é o último número escrito na folha? +108. A árvore de Emília - A árvore de Emília cresce de acordo com a seguinte regra: após duas semanas do aparecimento de um galho, esse galho produz um novo galho a cada semana e o galho original continua crescendo. Depois de cinco semanas, a árvore tem cinco galhos, como mostra a figura. Quantos galhos, incluindo o galho principal, a árvore terá no final de oito semanas? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-018.jpg?height=320&width=275&top_left_y=1165&top_left_x=1553) + +109. Um teste vocacional - Foi aplicado um teste vocacional em 1000 alunos de uma escola. A tabela a seguir apresenta os resultados, por área de estudo e sexo. + +| | Exatas | Humanas | Biológicas | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Masculino | 232 | 116 | 207 | +| Feminino | 112 | 153 | 180 | + +Se um aluno for escolhido ao acaso, determine a probabilidade desse aluno ser: + +(a) da área de exatas; + +(b) da área de humanas, sendo do sexo masculino; + +(c) do sexo feminino, sendo da área de biológicas. + +110. Dois setores circulares - A área do círculo da figura mede $20 \mathrm{~cm}^{2}$. Se $A \widehat{O} B=60^{\circ}$ e $C \widehat{O} D=30^{\circ}$, quanto mede a área da região do círculo que está destacada? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-018.jpg?height=325&width=346&top_left_y=2356&top_left_x=1483) + +111. Compra de televisores - Maria encomendou um certo número de televisores para o estoque de uma grande loja, pagando $\mathrm{R} \$ 1994,00$ por televisor. Ela reparou que, no total a pagar, não aparece o algarismo 0 , nem o 7 , nem o 8 e nem o 9 . Qual foi o menor número de televisores que ela pode ter encomendado? +112. Distância entre números - Considere os números reais $a, b, c$ e $d$ representados em uma reta, conforme mostra a figura. Determine quais das afirmações são verdadeiras e quais são falsas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-019.jpg?height=117&width=708&top_left_y=730&top_left_x=754) +(a) $|a|<4$ +(d) $|a|>|b|$ +(g) $|a-b|<4$ +(j) $|b-c|<2$ +(b) $|b|<2$ +(e) $|c|<|d|$ +(h) $|a-b| \geq 3$ +(k) $|b-c|>3$ +(c) $|c|<2$ +(f) $|a|<|d|$ +(i) $|c-d|<1$ +(1) $|c-a|>1$ + +113. Cartóes premiados - Uma loja distribui 9999 cartões entre os seus clientes. Cada um dos cartões possui um número de quatro algarismos, entre 0001 e 9999. Um cartão é premiado se a soma dos primeiros dois algarismos for igual à soma dos dois últimos; por exemplo, o cartão 0743 é premiado. Prove que a soma dos números de todos os cartões premiados é divisível por 101. +114. O preço da gasolina - Encher o tanque de gasolina de um carro pequeno custava, em valores atualizados, $\mathrm{R} \$ 29,90$ em 1972 e $\mathrm{R} \$ 149,70$ em 1992. Qual dos valores abaixo melhor aproxima o percentual de aumento do preço da gasolina nesse período de 20 anos? +(a) $20 \%$ +(b) $125 \%$ +(c) $300 \%$ +(d) $400 \%$ +(e) $500 \%$ +115. O triângulo de moedas - Um menino tentou alinhar 480 moedas em forma de um triângulo, com uma moeda na primeira linha, duas moedas na segunda linha, e assim por diante. Ao final da tentativa, sobraram 15 moedas. Quantas linhas tem esse triângulo? +116. Circunferência e triângulo retângulo - Inscreve-se uma circunferência num triângulo retângulo. O ponto de tangência divide a hipotenusa em dois segmentos que medem 6 e $7 \mathrm{~cm}$. Calcule a área desse triângulo. +117. Soma de razão $\frac{1}{2}-$ Se $S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$, qual é o menor número inteiro positivo $n$ tal que $S_{n}>0,99$ ? + +## 118. Soma de raizes quadradas + +(a) Se $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, mostre que $\sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$. + +(b) Se $s=\sqrt{215}+\sqrt{300}$, mostre que $s^{2}>1015$. + +119. Duas rodas - Na figura dada, a roda $A$ gira a 1200 voltas por minuto e a roda $B$ a 1500 voltas por minuto. Calcule os raios dessas duas rodas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-020.jpg?height=206&width=254&top_left_y=294&top_left_x=1592) + +120. Dois divisores - O número $2^{48}-1$ é divisível por dois números compreendidos entre 60 e 70. Quais são esses números? +(a) 61 e 63 +(b) 61 e 65 +(c) 63 e 65 +(d) 63 e 67 +(e) 67 e 69 +121. Rede de estações - Um serviço de vigilância vai ser instalado num parque na forma de uma rede de estações. As estações devem ser conectadas por linhas de telefone, de modo que qualquer uma das estações possa se comunicar com todas as outras, seja por uma conexão direta, seja por meio de, no máximo, uma outra estação. + +Cada estação pode ser conectada diretamente por um cabo a, no máximo, três outras estações. O diagrama mostra um exemplo de uma rede desse tipo, conectando sete estações. Qual é o maior número de estações que podem ser conectadas dessa maneira? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-020.jpg?height=223&width=234&top_left_y=991&top_left_x=1599) + +122. Bolas brancas e pretas - Uma caixa tem exatamente cem bolas pretas e cem bolas brancas. Repetidamente, três bolas são retiradas da caixa e substituídas por outras bolas, que estão em um saco, da maneira seguinte. + +$$ +\begin{aligned} BOLINHAS REMOVIDAS & SUBSTITUÍDAS POR \\ 3 pretas & \(\Longrightarrow 1\) preta \\ 2 pretas e 1 branca & \(\Longrightarrow 1\) preta e 1 branca \\ 1 preta e 2 brancas & \(\Longrightarrow 2\) brancas \\ 3 brancas & \(\Longrightarrow 1\) preta e 1 branca \end{aligned} +$$ + +Qual pode ser o conteúdo da caixa depois de seguidas aplicações desse procedimento? +(a) 2 pretas +(b) 2 brancas +(c) 1 preta +(d) 1 preta e 1 branca +(e) 1 branca. + +123. $O$ cubo - Alice tem uma folha de cartolina de 60 por $25 \mathrm{~cm}$. Ela quer cortar a folha para montar um cubo, com arestas medindo um número inteiro de centímetros. Permitindo cortes mas não permitindo superposição, qual é o cubo de maior volume que ela pode construir? +124. Um quadrado e um triângulo - Na figura, $A B C D$ é um quadrado, cuja área mede $7 / 32$ da área do triângulo $X Y Z$. Qual é a razão entre $X A$ e $X Y$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-020.jpg?height=223&width=437&top_left_y=2290&top_left_x=1392) + +125. A urna - Uma urna tem seis bolas numeradas de 1 a 6 . Se duas bolas são extraídas, qual é a probabilidade de a diferença entre os números dessas duas bolas ser igual a 1 ? +126. Soma das raízes de uma equação - Determine a soma das raízes distintas da equação $x^{2}+3 x+2=|x+1|$. +127. Produto de três números - No diagrama dado, cada um dos 10 círculos representa um algarismo. Preencha o diagrama com uma igualdade válida, colocando, em cada círculo, um dos algarismos de 0 a 9 e utilizando cada algarismo uma única vez. + +## $0 \times O O \times O O O=0 O O$ + +128. Área do triângulo - Determine a área do triângulo $A B C$ mostrado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-021.jpg?height=343&width=457&top_left_y=885&top_left_x=1368) + +129. Duas tabelas - As linhas da primeira tabela dada são todas progressões aritméticas de uma mesma razão e as colunas dessa tabela são todas progressões aritméticas de uma mesma razão. Na segunda tabela dada foi utilizada a mesma lei de formação, mas alguém apagou alguns números deixando apenas três. Qual é o número que estava na posição indicada com + +| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | +| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 | +| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | +| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | + + +| | | 39 | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | | +| | | | | 87 | +| 56 | | | | | +| | | | $\star$ | | + +130. A sequência abc - A lei de formação da sequência $10, a, 30, b, c, \ldots$, a partir de seu terceiro termo, consiste em tomar o dobro da soma dos dois termos imediatamente anteriores. Qual é o valor de $c$ ? +131. Perímetro e diagonal - O perímetro de um retângulo $A B C D$ mede $20 \mathrm{~m}$. O menor comprimento que pode ter a diagonal $A C$, em metros, é: +(a) 0 ; +(b) $\sqrt{50}$; +(c) 10 ; +(d) $\sqrt{200}$; +(e) $20 \sqrt{5}$. +132. As idades numa classe - Numa classe na escola, todos os alunos têm a mesma idade, exceto sete deles que têm 1 ano a menos e dois deles que têm 2 anos a mais. A soma das idades de todos os alunos dessa classe é 330. Quantos alunos tem nessa classe? +133. A mesa redonda - Uma mesa redonda tem 1,40 metros de diâmetro. + +Para uma festa, a mesa é ampliada colocando-se três tábuas de $40 \mathrm{~cm}$ de largura cada uma, como mostra a figura. Se cada pessoa à mesa deve dispor de um espaço de $60 \mathrm{~cm}$, quantos convidados poderão se sentar à mesa? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-022.jpg?height=282&width=536&top_left_y=350&top_left_x=1296) + +134. Brincadeira com sete números - Sete números inteiros positivos e consecutivos estão escritos em ordem crescente numa mesma linha. Determine se é possível colocar entre esses números cinco sinais de "+" e só um de "=" de tal modo que resulte uma igualdade. +135. Um terreno compartilhado - Três amigas compraram um terreno quadrado e querem reparti-lo em três terrenos de mesma área, conforme indicado na figura, pois no canto do terreno indicado por $A$ se encontra uma boa fonte de água. A que distância do vértice $C$ do terreno devem ficar os pontos de divisa $M$ e $N$ indicados na figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-022.jpg?height=291&width=305&top_left_y=1037&top_left_x=1481) + +136. As duas particulas - Duas partículas percorrem um caminho circular de $120 \mathrm{~m}$ de comprimento. A velocidade de uma delas é $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ maior do que a da outra e ela completa cada volta num tempo que é 3 segundos inferior ao da outra. Qual é a velocidade de cada partícula? +137. Queda livre - Um corpo em queda livre demora onze segundos para tocar o solo. No primeiro segundo ele percorre $4,9 \mathrm{~m} \mathrm{e}$, em cada segundo seguinte, a distância percorrida aumenta em 9,8 m. Qual a altura da queda e quantos metros ele percorreu no último segundo? +138. Um caminho triangular - Janete passeia por um caminho de forma triangular $\triangle A B C$, com o lado $A B$ medindo $1992 \mathrm{~m}$. Ela gasta 24 minutos para percorrer esse lado $A B$ e, depois, com a mesma velocidade, ela percorre o outro lado $B C$ seguido da hipotenusa $C A$ em 2 horas e 46 minutos. Qual é o comprimento do lado $B C$ ? +139. O preço do feijão - A tabela e o gráfico dados mostram a evolução do preço médio de três tipos $A, B$ e $C$ de feijão na bolsa de alimentos durante os primeiros quatro meses de um certo ano. Desses três tipos, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor aumento percentual do preço nesse período são: +(a) $A$ e $B$; +(b) $A$ e $C$; +(c) $B$ e $C$; +(d) $C$ e $A$; +(e) $C$ e $B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-023.jpg?height=680&width=462&top_left_y=257&top_left_x=503) + +| | jan. | fev. | mar. | abr. | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $A$ | 65,67 | 83,33 | 96,67 | 103,33 | +| $B$ | 73,30 | 80,50 | 99,55 | 109,50 | +| $C$ | 64,50 | 71,57 | 89,55 | 100,00 | + +140. Interseção de triângulos - Os três triângulos da figura se cortam em 12 pontos diferentes. Qual é o número máximo de pontos de interseção de três triângulos quaisquer? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-023.jpg?height=334&width=609&top_left_y=1289&top_left_x=832) + +141. Comparar triângulos - Na figura estão indicados os comprimentos de todos os segmentos. Demonstre que $A C$ divide ao meio o ângulo $D \widehat{A} B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-023.jpg?height=257&width=531&top_left_y=1756&top_left_x=1342) + +142. Queima de velas - Dois tipos de vela têm o mesmo comprimento mas são feitas de material diferente. Uma delas queima completamente em três horas e a outra em quatro horas, ambas queimando com velocidade uniforme. Quantos minutos depois das 13 horas devem ser acesas simultaneamente as duas velas para que, às 16 horas, o comprimento de uma seja o dobro do da outra? +(a) 24 +(b) 28 +(c) 36 +(d) 40 +(e) 48 +143. Uma distração - Em vez de multiplicar certo número por 6, Júlia se distraiu e dividiu o número por 6. O erro cometido por Júlia foi de aproximadamente: +(a) $100 \%$; +(b) $97 \%$; +(c) $83 \%$; +(d) $17 \%$; +(e) $3 \%$. +144. Problema de nota - Um professor propõe 80 problemas a um aluno, informando que lhe atribuirá cinco pontos por problema resolvido corretamente e lhe descontará três pontos por problema não resolvido ou resolvido incorretamente. No final, o aluno fica com oito pontos. Quantos problemas ele resolveu corretamente? +145. Quadrados e triângulos - Na figura dada, temos 16 pontos formando um reticulado quadrado e duas retas, $r$ e $s$, perpendiculares entre si. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-024.jpg?height=443&width=446&top_left_y=652&top_left_x=842) + +(a) Quantos quadrados podemos construir, de tal maneira que seus vértices pertençam ao reticulado, porém nenhum de seus lados seja paralelo, nem à reta $r$, nem à reta $s$ ? + +(b) Quantos triângulos retângulos isósceles podemos construir de tal maneira que seus vértices pertençam ao reticulado, porém nenhum de seus lados seja paralelo, nem à reta $r$, nem à reta $s$ ? + +146. Cálculo de áreas - Em cada uma das figuras a seguir tem-se um quadrado de lado $r$. As regiões hachuradas em cada uma destas figuras são limitadas por lados desse quadrado ou por arcos de círculos de raio $r$ de centros nos vértices do quadrado. Calcule cada uma dessas áreas em função de $r$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-024.jpg?height=277&width=285&top_left_y=1758&top_left_x=657) + +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-024.jpg?height=282&width=286&top_left_y=1755&top_left_x=1179) + +(b) + +147. Sequência de algarismos - Todos os números naturais de 1 em diante foram escritos consecutivamente, formando uma sequência de algarismos, como segue. + +$$ +1234567891011121314151617181920212223 \ldots +$$ + +Qual é o algarismo que aparece na posição de número 206788 ? + +148. Soma constante - Coloque os números $663,664,665,666,667,668,669,670$ e 671 , sem repetir, numa tabela $3 \times 3$, de tal maneira que a soma em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal seja 2001. Caso isso não seja possível, justifique sua resposta. +149. Contando os zeros - Quantos zeros existem no final do número $9^{2007}+1$ ? +150. Círculos dentro do quadrado - Dentro de um quadrado são colocados círculos, dois a dois disjuntos ou, então, tangentes externamente. Se o lado do quadrado mede $1 \mathrm{~cm}$, será possível colocar tantos desses círculos de tal modo que a soma de seus raios, em centímetros, seja maior do que 2008 ? +151. Construindo um número - Encontre todos os números de oito algarismos formados somente com os algarismos 1, 2, 3 e 4, cada um deles duas vezes, tais que: + +(a) exista um único algarismo entre os dois algarismos 1 ; + +(b) existam dois algarismos entre os dois algarismos 2; + +(c) existam três algarismos entre os dois algarismos 3 e + +(d) existam quatro algarismos entre os dois algarismos 4 . + +152. Número na circunferência - Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 foram escritos (numa ordem desconhecida) ao redor de uma circunferência. Lendo esses algarismos de três em três no sentido horário, formam-se nove números de três algarismos. Determine a soma desses nove números. +153. Cada peça em seu lugar - Cinco peças de metal, confeccionadas, respectivamente, de ouro, prata, bronze, platina e níquel, foram colocadas em cinco cofres, numerados de 1 a 5 . Cada cofre contém uma peça e o problema consiste em descobrir qual peça está em qual cofre. Na porta de cada cofre está escrita uma informação. Das cinco informações, quatro são falsas e a única que é verdadeira é a que aparece na porta do cofre que contém a peça de ouro. As informações nas portas dos cofres são as seguintes. + +Cofre 1: O ouro está no cofre 2 ou 3. + +Cofre 2: A prata está no cofre 1. + +Cofre 3: O bronze não está aqui. + +Cofre 4: O níquel está no cofre cujo número é inferior, em uma unidade, ao que contém o ouro. + +Cofre 5: A platina está no cofre cujo número é superior, em uma unidade, ao que contém o bronze. + +154. Soma de quadrados - Encontre três números, numa progressão aritmética de razão 2 , tais que a soma de seus quadrados seja um número formado de quatro algarismos iguais. +155. Adivinhe o número - Certo número deixa resto 1 quando dividido por 3, deixa resto 2 quando dividido por 4 , deixa resto 3 quando dividido por 5 e deixa resto 4 quando dividido por 6. Qual é o menor número inteiro positivo que satisfaz essas propriedades? +156. Um código - Na expressão abaixo, cada letra corresponde a um algarismo, sendo que letras diferentes correspondem a algarismos diferentes. Determine esses algarismos. + +$$ +6 \times A O B M E P=7 \times M E P A O B +$$ + +157. Calculando distâncias - $\mathrm{O}$ triângulo $\triangle A B C$ é equilátero, com lados medindo $3 \mathrm{~cm}$, e o triângulo $\triangle C B D$ é retângulo, com lados medindo 3,4 e 5 $\mathrm{cm}$, conforme a figura dada. Calcule a distância entre os pontos $A$ e $D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-026.jpg?height=317&width=574&top_left_y=253&top_left_x=1255) + +158. Calculando lados de um triângulo - O triângulo $\triangle A B C$ é equilátero e o ponto $P$ é tal que $P A=3 \mathrm{~cm}$, $P B=4 \mathrm{~cm}$ e $P C=5 \mathrm{~cm}$. Calcule o comprimento dos lados do triângulo $\triangle A B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-026.jpg?height=448&width=528&top_left_y=593&top_left_x=1301) + +159. Amigo oculto - Um grupo de cinco amigos decide brincar de amigo oculto, cada um compra um presente para seu amigo oculto. Pelas regras do jogo, cada um dá exatamente um presente e recebe exatamente um presente. De quantas maneiras podem os presentes ser distribuídos, de modo que ninguém dê presente para si mesmo? +160. Contando soluções - Quantos são os pares de números inteiros positivos $(x, y)$ tais que + +$$ +\frac{x y}{x+y}=144 ? +$$ + +161. Determinando uma sequência - Numa certa sequência de 80 números, qualquer termo, salvo as duas extremidades, é igual ao produto de seus termos vizinhos. O produto dos 40 primeiros termos da sequência é 8 e o produto de todos os termos também é 8 . Determine os termos da sequência. +162. Construindo uma cerca - Carina está desenhando a planta de um jardim retangular que terá um de seus lados num muro reto de pedras. Ela comprou $140 \mathrm{~m}$ de cerca, em pedaços de $1 \mathrm{~m}$ cada um, para cercar os outros três lados. Ela não pode cortar esses pedaços e deve gastar todos eles. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-026.jpg?height=277&width=308&top_left_y=1872&top_left_x=1502) + +(a) Se os dois lados vizinhos ao muro de pedra têm $40 \mathrm{~m}$ cada um, qual será o comprimento do terceiro lado? + +(b) É possível que o maior dos lados a ser cercado tenha 85 m? E 65 m? Justifique. + +163. Um quadrilátero especial - Os ângulos $A \widehat{B} C$ e $C \widehat{D} A$ do quadrilátero $A B C D$ da figura são retos e os quatro lados do quadrilátero medem números inteiros que são todos distintos. Se $A D=7$ e $B C=11$, quanto medem os lados $A B$ e $C D$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-026.jpg?height=268&width=368&top_left_y=2413&top_left_x=1461) + +164. Três quadrados - Dois quadrados, $A B C D$ com uma área de $30 \mathrm{~cm}^{2}$ e $F H I J$ com uma área de $20 \mathrm{~cm}^{2}$, têm seus lados $A D$ e $H I$ sobre uma reta, conforme a figura. Se o ponto $E$ do segmento $A H$ for tal que $B E F G$ é um quadrado, calcule a área desse quadrado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-027.jpg?height=417&width=711&top_left_y=505&top_left_x=752) + +165. Bolinha de gude - Três amigos jogam uma partida de bolinha de gude, convencionando que o perdedor de cada rodada dobra as bolinhas dos outros jogadores, ou seja, ele dá aos outros dois um número tal de bolinhas que eles fiquem com o dobro do que tinham no início da rodada. O primeiro jogador perdeu a primeira rodada, o segundo jogador a segunda, o terceiro a terceira e todos terminaram com 64 bolinhas cada um. Com quantas bolinhas cada um dos três amigos começou essa partida? +166. Uma soma - Calcule o valor da soma + +$$ +S=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{2006 \cdot 2007}+\frac{1}{2007 \cdot 2008} +$$ + +167. Dobrando papel - Uma folha $A B C D$ retangular com $1000 \mathrm{~cm}^{2}$ de área foi dobrada ao meio e, em seguida, desdobrada segundo $M N$, conforme a figura. Em seguida, foi dobrada e desdobrada novamente, segundo $M C$ e, finalmente, dobrada e desdobrada segundo a diagonal $B D$. Calcule a área do pedaço de papel indicado na figura, que é limitado pelos três vincos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-027.jpg?height=314&width=662&top_left_y=1836&top_left_x=731) + +168. Uma área - No triângulo $\triangle A B C, M$ é o ponto médio do lado $A C, D$ é um ponto do lado $B C$, tal que $A D$ é a bissetriz do ângulo $B \widehat{A} C$, e $P$ é o ponto de interseção de $A D$ e $B M$. Sabendo que $A B=10 \mathrm{~cm}, A C=30 \mathrm{~cm}$ e a área do triângulo $\triangle A B C$ mede $100 \mathrm{~cm}^{2}$, calcule a área do triângulo $\triangle A B P$. +169. Últimos algarismos - Quais são os dois últimos algarismos do número + +$$ +8+88+888+\cdots+\overbrace{88 \cdots 88}^{2008} ? +$$ + +170. Idades múltiplas - Quando Isabel nasceu, sua mãe estava fazendo aniversário de 20 anos. Se Isabel e sua mãe viverem mais 100 anos, quantas vezes terão sido múltiplas as idades das duas? +171. Blocos diferentes - Ana tem um cubo de $10 \mathrm{~cm}$ de lado. Ela cortou o cubo em cubinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado e, com esses cubinhos, ela brinca de formar outros blocos retangulares, mas sem que sobrem cubinhos. Por exemplo, ela formou um bloco de $10 \times 20 \times 5$. No total, quantos blocos diferentes ela pode construir com esses cubinhos, sem que sobre nenhum? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-028.jpg?height=254&width=662&top_left_y=787&top_left_x=731) + +172. Quadro negro - Joana escreveu os números de 1 a 10000 no quadro negro e, depois, apagou todos os múltiplos de 7 e 11. Qual foi o número que ficou na posição 2008 ? +173. Conjunto sem múltiplos - Qual é o maior número possível de elementos de um subconjunto de $\{1,2, \ldots, 100\}$ tal que nenhum de seus elementos seja um múltiplo de algum outro? +174. Brincando com a calculadora - Digite numa calculadora um número qualquer de três algarismos. Em seguida, digite o mesmo número obtendo, assim, um número de seis algarismos, da forma $a b c a b c$. Divida esse número por 7, divida o resultado por 11 e, finalmente, divida o número obtido por 13. O que aconteceu? Por que você obteve esse resultado? +175. No galinheiro - Um galinheiro com $240 \mathrm{~m}^{2}$ de área deve abrigar galinhas e pintinhos, sendo desejável que haja um espaço livre de $4 \mathrm{~m}^{2}$ para cada galinha e $2 \mathrm{~m}^{2}$ para cada pintinho. Além disso, cada pintinho come $40 \mathrm{~g}$ de ração por dia e cada galinha come $160 \mathrm{~g}$ por dia, sendo permitido um gasto diário máximo de $8 \mathrm{~kg}$ de ração. + +(a) Represente algebricamente as condições do problema. + +(b) Represente graficamente, no plano cartesiano $x O y$, as condições do problema. + +(c) Esse galinheiro comporta 20 galinhas e 80 pintinhos? E 30 galinhas e 100 pintinhos? + +(d) Qual é o número máximo de galinhas que podem ser colocadas no galinheiro, respeitando os espaços desejáveis e o gasto máximo de ração? E de pintinhos? + +176. Um número perfeito - Um número natural $n$ é dito perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios, isto é, divisores diferentes de $n$, é igual a $n$. Por exemplo, 6 e 28 são perfeitos, pois $6=1+2+3$ e $28=1+2+4+7+14$. Sabendo que $2^{31}-1$ é um número primo, mostre que $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ é um número perfeito. +177. Quinze minutos a mais - Dois carros partem, ao mesmo tempo, de uma cidade A em direção a uma cidade $\mathrm{B}$. Um deles viaja à velocidade constante de $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e o outro à velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Se o carro mais rápido faz a viagem de A a B em 15 minutos a menos do que o outro carro, qual é a distância entre essas duas cidades? +178. Outros caminhos - Partindo de sua casa para chegar na escola, Júlia deve caminhar oito quarteirões para a direita e cinco quarteirões para cima, conforme indicado na figura dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-029.jpg?height=371&width=534&top_left_y=780&top_left_x=795) + +Ela sabe que existem muitas maneiras diferentes de fazer o percurso casa-escola, sempre seguindo o caminho mais curto. Como ela é uma menina muito curiosa, ela gostaria de sempre fazer caminhos diferentes. Quantos desses caminhos existem da casa de Júlia até a escola? + +179. Escrevendo no tabuleiro - Um tabuleiro quadrado de três linhas por três colunas contém nove casas. De quantos modos diferentes podemos escrever as três letras A, B e $\mathbf{C}$ em três casas diferentes, de tal modo que, em cada linha, esteja escrita exatamente uma dessas três letras? +180. Fração e percentagem - Se na fração $x / y$ diminuirmos o numerador $x$ de $40 \%$ e o denominador $y$ de $60 \%$, então a fração $x / y$ +(a)diminui $20 \%$; +(b)aumenta $20 \%$; +(c)diminui 50\%; +(d)aumenta $50 \%$. +181. Triângulos sobrepostos - Dois triângulos retângulos congruentes possuem catetos que medem $4 \mathrm{~cm}$ e $7 \mathrm{~cm}$. Na figura dada, à esquerda, os triângulos foram desenhados de modo a coincidirem os catetos de $7 \mathrm{~cm}$. Assim, $A B=7 \mathrm{~cm}$ e $A D=B C=4 \mathrm{~cm}$. Já na figura à direita, eles foram desenhados de modo a coincidirem as hipotenusas, donde $A D=B C=4 \mathrm{~cm}$ e $A C=B D=7 \mathrm{~cm}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-029.jpg?height=266&width=1146&top_left_y=2288&top_left_x=540) + +Calcule as áreas sombreadas nas duas figuras. + +182. Dois motoristas - Dois motoristas viajam da cidade A até a cidade B e, imediatamente, regressam à cidade A. O primeiro motorista viaja a uma velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, tanto na ida quanto na volta. O segundo motorista viaja até a cidade B a uma velocidade constante de $90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e retorna à velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Qual desses motoristas gasta menos tempo no percurso total de ida e volta? +183. Soma e inverte - Usando somente as duas operações " $+1=$ somar 1" e " $-i=$ menos o inverso", podemos formar várias sequências a partir de um número inicial. Por exemplo, iniciando com o número 3 , podemos formar a sequência + +$$ +3 \xrightarrow{+1} 4 \xrightarrow{+1} 5 \xrightarrow{-i}-\frac{1}{5} \xrightarrow{+1} \frac{4}{5} \xrightarrow{-i}-\frac{5}{4} \xrightarrow{+1}-\frac{1}{4} \xrightarrow{+1} \frac{3}{4} \xrightarrow{-i}-\frac{4}{3} . +$$ + +Iniciando com 0 , com qual sequência obteremos novamente o 0 , usando apenas essas duas operações " +1 " e " $-i$ "? + +184. Carro flex - Um carro é denominado flex se ele pode ser abastecido com gasolina ou com álcool. O consumo de um carro costuma ser dado (no Brasil) em quilômetros por litro, que indicamos por km/l. Já o custo desse consumo é dado pelo preço do quilômetro rodado, em reais por $\mathrm{km}$. Suponha que os preços do litro de álcool e de gasolina sejam, respectivamente, $\mathrm{R} \$ 1,59$ e $\mathrm{R} \$ 2,49$. + +(a) Digamos que um certo carro flex rode 12,3 km por litro de gasolina. Qual deve ser o consumo de álcool desse carro para que a utilização do álcool seja financeiramente mais vantajosa que a de gasolina? + +(b) Com os preços dados, em que condições é mais vantajoso, financeiramente, o uso do álcool em vez do de gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça as condições. + +Daqui em diante, suponha que o consumo de um certo carro flex seja de $x \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ com gasolina e de $\left(\frac{x}{2}+1\right) \mathrm{km} / \mathrm{l}$ com álcool. + +(c) Escreva a expressão da função $g(x)$ que fornece o custo de rodar 100 quilômetros com esse carro utilizando gasolina e a expressão da função $a(x)$ que fornece o custo de rodar 100 quilômetros utilizando álcool. + +(c) Para que o custo seja o mesmo, tanto com álcool como com gasolina, qual deve ser o consumo em km/l para a gasolina e para o álcool? + +(d) Com o consumo dado, em que condições é mais vantajoso, financeiramente, o uso do álcool em vez do de gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça as condições. + +185. Contando triângulos - Na figura dada estão marcados onze pontos sobre dois segmentos. Quantos triângulos podem ser formados com esses onze pontos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-030.jpg?height=240&width=463&top_left_y=2413&top_left_x=1345) + +186. Quadrado perfeito - Existe um número de oito algarismos da forma + +$$ +9999 * * * * +$$ + +que seja um quadrado perfeito? + +187. Diferença quase nula - Qual é o menor número inteiro positivo $n$ tal que + +$$ +\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<0,01 ? +$$ + +188. Conjunto de Cantor - Desenhe um segmento de reta com uma unidade de comprimento, denotando-o por $C_{1}$. Remova a terça parte central (sem remover as extremidades) e denote por $C_{2}$ o que sobrou. Agora, remova a terça parte central (sem as extremidades) de cada um dos dois segmento de reta que constituem $C_{2}$, denotando por $C_{3}$ o que sobrou. Esse processo pode ser continuado, sempre removendo, em cada estágio, a terça parte central de cada segmento em $C_{n}$ para formar $C_{n+1}$. O conjunto de Cantor é formado pelos elementos de $C_{1}$ que nunca são removidos, em etapa alguma. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-031.jpg?height=200&width=714&top_left_y=1171&top_left_x=685) + +(a) Na figura dada, indique os números nas extremidades dos segmentos $C_{1}, C_{2}$ e $C_{3}$. + +(b) Quais dentre os pontos $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{3}{81}$ e $\frac{4}{81}$ pertencem ao conjunto de Cantor? + +(c) Quais são os comprimentos de $C_{3}, C_{4}$ e $C_{5}$ ? Você consegue encontrar alguma expressão para o comprimento de $C_{n}$ ? + +189. Enchendo uma piscina - Uma piscina vazia foi abastecida de água por duas torneiras A e B, ambas de vazão constante. Durante quatro horas, as duas torneiras ficaram abertas e encheram $50 \%$ da piscina. Em seguida, a torneira B foi fechada e, durante duas horas, a torneira A encheu $15 \%$ do volume da piscina. Após este período, a torneira A foi fechada e a torneira B aberta. Durante quanto tempo essa torneira teve de ficar aberta para que ela, sozinha, terminasse de encher a piscina? +190. Probabilidade de ser um número par - Uma urna tem nove bolas, numeradas de 1 a 9. José e Maria retiram, cada um, simultaneamente, uma bola da urna. Com as bolas retiradas eles formam um número de dois algarismos, sendo que o número que está escrito na bola de José é o algarismo das dezenas e o número que está escrito na bola de Maria é o algarismo das unidades. Qual é a probabilidade desse número ser par? +191. Múltiplo de 7 - Mostre que se o produto $N=(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m)$, com $m$ e $n$ números inteiros positivos, for um múltiplo de 7 então esse produto $N$ também é múltiplo de $7^{3}=343$. +192. Os ângulos $15^{\circ}$ e $75^{\circ}-$ Na figura dada, $A B C D$ é um quadrado com uma unidade de lado e o triângulo $\triangle B C E$ é equilátero. O ponto $M$ é o ponto médio do segmento $C E$, o segmento $D N$ é perpendicular a $B M$ e o segmento $B M$ é perpendicular a $C E$. + +(a) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo $\triangle D B N$. + +(b) Use o item (a) para calcular o cosseno, o seno e a tangente dos ângulos de $15^{\circ}$ e $75^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-032.jpg?height=320&width=508&top_left_y=434&top_left_x=1322) + +193. Círculos tangentes - Na figura dada estão desenhados dois círculos concêntricos de raios $r$ e $R$, sendo $r\frac{35}{45}=\frac{7}{9}$. Logo, $\frac{4}{5}$ é maior do que $\frac{7}{9}$ e, como a sequência é crescente, a partir de $\frac{4}{5}$, todas as frações dessa sequência são maiores do que $\frac{7}{9}$. Assim, existem apenas três frações da forma $\frac{n}{n+1}$ que são menores do que $\frac{7}{9}$, a saber, $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$. + +Solução 2: Transformando tudo em números decimais, temos $7 / 9=0,777 \ldots$ e $1 / 2$ $=0,5,2 / 3=0,666 \ldots, 3 / 4=0,75,4 / 5=0,8,5 / 6=0,8333 \ldots$ Logo, a sequência é crescente e apenas $1 / 2=0,5,2 / 3=0,666 \ldots$ e $3 / 4=0,75$ são menores do que $7 / 9=$ $0,777 \ldots$ + +5. Pistas de corrida - A opção correta é (c). + +Solução 1: Denotemos por $x$ e $y$ os comprimentos das pistas longa e curta, respectivamente. Numa certa semana, o atleta corre $6(x+2 y)$ e, na outra, $7(x+y)$. Como nas duas semanas ele corre os mesmos 5000 metros, obtemos $6(x+2 y)=7(x+y)$. Logo, $6 x+12 y=7 x+7 y$ e, portanto, $5 y=x$. Assim, a pista longa é cinco vezes maior do que a pista curta. + +Solução 2: Na semana em que o atleta treinou durante sete dias, ele correu uma pista longa a mais e cinco pistas curtas a menos do que na semana em que ele treinou apenas seis dias. Como a distância corrida foi a mesma nas duas semanas, concluímos que o comprimento da pista longa é igual ao comprimento de cinco pistas curtas. + +6. Brincos e brincos - A opção correta é (c). + +Solução 1: Sabemos que o número de mulheres que usam apenas um brinco é $0,03 \times 800=24$. Restam $800-24=776$ mulheres, das quais 388 usam dois brincos e 388 não usam brincos. Logo, o número total de brincos usados por todas as mulheres é $24+388 \times 2=800$. + +Solução 2: Se cada mulher com dois brincos emprestar um de seus brincos a uma das mulheres que não usam brincos, todas as 800 mulheres estarão com um único brinco. Logo, o número de brincos é igual ao de mulheres, ou seja, 800. + +7. Perguntas e respostas - A opção correta é (e). + +A partir da tabela obtemos o número de pontos de cada um dos três participantes. + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Ana: } 5 \times 12+(-3) \times 3+(-2) \times 5=60-9-10=41 \\ +& \text { Bento: } 5 \times 13+(-3) \times 7+(-2) \times 0=65-21=44 \\ +& \text { Lucas: } 5 \times 12+(-3) \times 4+(-2) \times 4=60-12-8=40 +\end{aligned} +$$ + +Logo, Bento foi o mais bem classificado, seguido de Ana e, depois de Lucas. + +8. Qual é a carga? - A opção correta é (b). + +Como o peso de um saco de areia é igual ao de oito tijolos e no caminhão já há 32 sacos de areia, ele pode carregar ainda 18 sacos de areia, o que equivale a $18 \times 8=144$ tijolos. + +9. Quanto mede a cerca? - A opção correta é (b). + +Entre o terceiro e o sexto poste, temos três espaços entre postes consecutivos. Logo, a distância entre dois postes consecutivos é $\frac{1}{3} \times 3,3 \mathrm{~m}=1,1 \mathrm{~m}$ e a distância entre $o$ primeiro e o último poste é de $11 \times 1,1=12,1 \mathrm{~m}$. + +10. Dizima periódica - A opção correta é (d). + +Solução 1: Como $1 / 3=0,333 \ldots$, segue que + +$$ +0,1333 \ldots=0,333 \ldots-0,2=\frac{1}{3}-\frac{2}{10}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15} +$$ + +Solução 2: Usando simplesmente a regra que fornece a geratriz de uma dízima periódica, também podemos obter + +$$ +0,1333 \ldots=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15} +$$ + +11. Valor absoluto - A opção correta é (e). + +Temos: $|5|=5,|3-8|=|-5|=5$ e $|-4|=4$. Logo, $N=5+5-4=6$. + +12. O peso das frutas - A opção correta é (b). + +A partir das informações fornecidas pelas três figuras, podemos montar três equações em que, informalmente, denotamos o peso de cada fruta pelo seu próprio nome. + +$$ +\begin{aligned} +\text { mamão } & =\text { banana }+ \text { maçã } \\ +\text { banana }+ \text { mamão } & =200 \\ +\text { banana }+200 & =\text { mamão }+ \text { maçã } +\end{aligned} +$$ + +Somando a primeira com a terceira obtemos, após cancelamento, $2 \times$ maçã $=200$, donde maçã $=100$. Substituindo esse valor na primeira equação, obtemos mamão $=$ banana +100 e, substituindo na segunda equação, obtemos $2 \times$ banana $+100=200$, donde banana $=50$. Esses valores fornecem, pela primeira equação, o valor mamão $=$ 150. Assim, a soma dos pesos das frutas é $100+50+150=300$ gramas. + +13. Maratona - A opção correta é (c). + +O comprimento de uma circunferência de raio $r$ é $2 \pi r$. Assim, em cada volta André percorre $2 \pi \times 100 \mathrm{~m}=200 \pi \mathrm{m}$. Logo, o número de voltas que André precisa dar para completar $42 \mathrm{~km}=42.000 \mathrm{~m}$ é + +$$ +\frac{42000}{200 \pi}=\frac{210}{\pi} +$$ + +Agora podemos finalizar o problema de duas maneiras. + +1a) Como $3<\pi<4$, obtemos $\frac{1}{4}<\frac{1}{\pi}<\frac{1}{3}$, portanto, multiplicando tudo por 210, resulta + +$$ +52,5=\frac{210}{4}<\frac{210}{\pi}<\frac{210}{3}=70 +$$ + +e concluímos que André deve dar entre 52 e 70 voltas para percorrer os $42 \mathrm{~km}$. + +2å) A aproximação de $\pi$ até a segunda casa decimal é 3,14. Daí, + +$$ +\frac{210}{\pi} \approx \frac{210}{3,14} \approx 66,88 +$$ + +e concluímos que André deve dar entre 66 e 67 voltas para percorrer os $42 \mathrm{~km}$. + +14. Dobrando papel - A opção correta é (e). + +Solução 1: Denotemos por $\triangle A B C$ o triângulo obtido após dobrar o quadrado original ao longo das duas diagonais e seja $M N$ o corte pela base média nesse triângulo, paralelo ao lado $B C$, que é um dos lados do quadrado original. A área do quadrado original é +$(B C)^{2}$. Desdobrando-se a folha, vemos que o buraco é um quadrado de lado $M N$ e, como $M N=\frac{1}{2} B C$, sua área é + +$$ +(M N)^{2}=\left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}=\frac{1}{4}(B C)^{2} +$$ + +Logo, o buraco tem um quarto da área do quadrado original. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-040.jpg?height=408&width=1264&top_left_y=617&top_left_x=434) + +Solução 2: $O$ corte é realizado pela base média do triângulo, retirando um pequeno triângulo semelhante ao original, com razão de semelhança $1 / 2$. Assim, a área do triângulo retirado é um quarto da área do triângulo original. Abrindo a folha, vemos essa situação reproduzida quatro vezes, donde o buraco tem um quarto da área do quadrado original. + +15. Encontre o número - A opção correta é (a). + +Para que $\frac{N}{3}, \frac{N}{4}, \frac{N}{5}, \frac{N}{6}$ e $\frac{N}{7}$ sejam números inteiros, $N$ deve ser um múltiplo comum de $3,4,5,6$ e 7 . Como queremos o menor $N$ possível, ele deve ser o mínimo múltiplo comum (MMC) de 3, 4, 5, 6 e 7, ou seja, + +$$ +N=3 \times 4 \times 5 \times 7=420 +$$ + +16. Equação quadrática - A opção correta é (d). + +Solução 1: Como 3 e $\frac{1}{3}$ são raízes da equação $a x^{2}-6 x+c=0$, temos $9 a-18+c=0$ e $\frac{1}{9} a-2+c=0$, ou seja, $9 a+c=18$ e $a+9 c=18$. Somando essas duas equações, resulta $10(a+c)=10 a+10 c=36$, ou seja, $a+c=36 / 10=18 / 5$. + +Solução 2: Numa equação $a x^{2}+b x+c=0$ do segundo grau, a soma das raízes é $-b / a$ e o produto é $c / a$. Como $b=-6$, obtemos $10 / 3=3+\frac{1}{3}=6 / a$ e $1=3 \times \frac{1}{3}=c / a$, ou seja, $a=c=9 / 5$. Assim, $a+c=18 / 5$. + +17. Cubo - A opção correta é (d). + +Solução 1: Desenhando o cubo e numerando seus vértices de acordo com o enunciado da questão, obtemos uma figura em que podemos ver que o vértice 5, por ser diametralmente oposto, é o mais distante do vértice 6 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-040.jpg?height=377&width=371&top_left_y=2364&top_left_x=1462) + +Solução 2: O vértice 6 está nas faces $\{1,2,6,7\},\{1,4,6,8\}$ e $\{3,4,6,7\}$. Como nessas faces só não aparece o 5 , segue que este é o vértice diagonalmente oposto ao 6 , ou seja, o 5 é o vértice mais distante do 6 . + +18. Time de basquete - A opção correta é (a). + +Basta ler o gráfico para obter o número de pontos de cada aluno. A soma desses pontos dá um total de $7+8+2+11+6+12+1+7=54$ pontos marcados pelo time. + +19. O caminho da formiguinha - A opção correta é (e). + +Para cada um dos três caminhos para ir de $A$ até $B$, existem três opções para ir de $B$ a $C$. Logo, há um total de $3 \times 3=9$ possibilidades. Mais geralmente, se fossem $m$ os caminhos de $A$ até $B$ e $n$ os de $B$ até $C$, então o número de caminhos que nossa formiguinha poderia tomar de $A$ até $C$ seria $m \times n$; esta afirmativa é um caso particular do princípio multiplicativo. + +20. Operação - A opção correta é (a). + +Fazendo $a=1$ e $b=0$ em $a=a^{2}-a b+b^{2}$, obtemos $1 \times 1^{2}-1 \times 0+0^{2}=1$. + +21. Indo para a escola - Os alunos da escola foram divididos em quatro grupos distintos, de acordo com o tempo que gastam no trajeto de casa para a escola. Cada uma das quatro barras do diagrama representa exatamente um desses quatro grupos e cada um dos alunos dessa escola está em exatamente um desses quatro grupos. + +(a) Os alunos que gastam menos de 20 minutos em seu trajeto de casa para a escola estão representados pela primeira barra, a mais alta, que atinge a marca dos 90 . Logo, 90 alunos gastam menos do que 20 minutos para chegar à escola. + +(b) O total de alunos na escola é a soma dos números representados pelas quatro barras, portanto, a escola tem um total de $90+60+10+20=180$ alunos. + +(c) Os alunos que gastam mais do que 40 minutos estão repartidos em dois grupos: os que gastam de 41 a 60 minutos e os que gastam mais do que 60 minutos, representados pela terceira e quarta barras, as duas mais baixas, uma atingindo a marca dos 10 e a outra, a marca dos 20 . Logo, o total de alunos que gastam mais do que 40 minutos para chegar à escola é de $10+20=30$ alunos. + +(d) Os alunos que gastam entre 20 e 40 minutos em seu trajeto de casa para a escola estão representados pela segunda barra, que atinge a marca dos 60. Junto com os 30 alunos que gastam mais do que 40 minutos (item precedente), temos um total de $60+30=90$ alunos que gastam mais do que 20 minutos para chegar à escola. No primeiro item vimos que 90 alunos gastam menos do que 20 minutos para chegar à escola, que é o mesmo número dos que levam mais do que 20 minutos, ou seja, é a metade dos alunos da escola que leva mais do que 20 minutos. Concluímos que não é verdade que a maioria dos alunos gasta mais do que 20 minutos para chegar à escola. + +## 22. Campeonato de futebol + +(a) Cada uma das seis equipes disputou, com cada uma das outras cinco, exatamente uma partida. Portanto, foram disputadas um total de $\frac{1}{2}(6 \times 5)=15$ partidas. +(b) Cada equipe disputou exatamente 5 partidas. Logo, de $x+1+0=5$ decorre $x=4$. Da mesma forma, para a equipe $\mathrm{D}$ temos $1+1+y=5$, portanto $y=3$. O número total de gols feitos num campeonato é igual ao número total de gols sofridos, ou seja, $6+6+2+3+1+z=2+6+6+6+5+3$, ou $18+z=28$, portanto, $z=10$. + +23. Poste elétrico - Nesta questão utilizamos o Teorema de Pitágoras. Antes de rever o enunciado desse teorema, lembre que um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, ou seja, mede $90^{\circ}$. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa e os outros dois lados são os catetos do triângulo retângulo. Na figura, a hipotenusa é $a$ e os catetos são $b$ e $c$. + +Teorema de Pitágoras + +## C + +$b \quad a$ + +$$ +A \quad c \quad B +$$ + +Teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos $b$ e $c$, vale a relação $a^{2}=b^{2}+c^{2}$. + +Agora resolvemos a questão. + +Para que o poste fique perpendicular ao solo, o ângulo em $A$ deve ser reto e, portanto, o triângulo $\triangle A B C$ deve ser retângulo (ver figura). Nesse caso, os dados do problema dão que a hipotenusa mede $2,5 \mathrm{~m}$ e os catetos $1,4 \mathrm{~m}$ e $2 \mathrm{~m}$. Assim, pelo Teorema de Pitágoras teríamos $(2,5)^{2}=(1,4)^{2}+2^{2}$. + +$$ +\begin{array}{llll} +& C & & \\ +& 2,5 & \\ +\underset{-}{*} & & \\ +A & 2 & B +\end{array} +$$ + +Entretanto, $(1,4)^{2}+2^{2}=1,96+4=5,96$ e $(2,5)^{2}=6,25$. Logo, essas medidas não satisfazem o Teorema de Pitágoras e, portanto, o triângulo $\triangle A B C$ não é retângulo. Assim, o ângulo em $A$ não é reto e, consequentemente, o poste não está perpendicular ao solo. Concluímos que o professor está certo. + +## 24. Equações recíprocas + +(a) Temos $y=x+\frac{1}{x}$. Usando as expansões do binômio e do trinômio, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +& y^{2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2 x \frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 \\ +& y^{3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}+3 x^{2} \frac{1}{x}+3 x \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=x^{3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^{3}} +\end{aligned} +$$ + +portanto, + +$$ +x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}-2 \quad \text { e } \quad x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=y^{3}-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=y^{3}-3 y +$$ + +(b) A equação dada é equivalente a $\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0$. Substituindo o valor de $y$ e utilizando a identidade do item anterior, obtemos + +$$ +\left(y^{2}-2\right)-5 y+8=0 +$$ + +ou seja, a equação de segundo grau $y^{2}-5 y+6=0$, cujas raízes são $y=2$ e $y=3$. Voltando para $x$, multiplicamos $x+\frac{1}{x}=y=2$ e $y=3$ por $x$ para obter as equações quadráticas $(x-1)^{2}=x^{2}-2 x+1=0$ e $x^{2}-3 x+1=0$, cujas raízes são $x=1$ e $x=\frac{1}{2}(3 \pm \sqrt{5})$. Assim, obtivemos todas as três raízes da equação dada. + +(c) Como $x=0$ não é raiz da equação dada, podemos dividir tudo por $x^{2}$. Desse modo, encontramos exatamente a equação do item (b), cujas raízes já obtivemos. + +(d) Como $x=0$ não é raiz da equação dada, podemos dividir tudo por $x^{3}$. Desse modo, reordenando os termos, obtemos a equação equivalente + +$$ +\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)-2\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+12=0 +$$ + +Substituindo o valor de $y$ e utilizando as identidades do item (a), obtemos + +$$ +\left(y^{3}-3 y\right)-2\left(y^{2}-2\right)-5 y+12=0 +$$ + +equivalente à equação cúbica + +$$ +y^{3}-2 y^{2}-8 y+16=0 +$$ + +A forma mais rápida de resolver essa equação é ter um pouco de sorte e fatorar por agrupamento, obtendo, por exemplo, + +$$ +y^{3}-2 y^{2}-8 y+16=y^{2}(y-2)-8(y-2)=\left(y^{2}-8\right)(y-2) +$$ + +de modo que as três raízes da equação cúbica em $y$ são $y=2$ e $y= \pm 2 \sqrt{2}$. Voltando para $x$, multiplicamos $x+\frac{1}{x}=y=2$ e $y= \pm 2 \sqrt{2}$ por $x$ para obter as equações quadráticas $(x-1)^{2}=x^{2}-2 x+1=0, x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0 \mathrm{e}$ $x^{2}+2 \sqrt{2} x+1=0$, cujas raízes são $x=1, x=\sqrt{2} \pm 1$ e $x=-\sqrt{2} \pm 1$. Assim, obtivemos todas as cinco raízes da equação dada. + +## 25. Atirando flechas + +(a) Os cinco pontos dados estão marcados na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-043.jpg?height=619&width=700&top_left_y=2072&top_left_x=815) +(b) No círculo menor temos apenas o ponto $A$, portanto Manoel acertou apenas uma vez neste círculo, o que lhe dá 300 pontos. + +(c) Para calcular o total de pontos, observe que pelo ponto $B$ ele ganha 100 pontos, por $C$ ele ganha 50 pontos e, por $D, 50$ pontos. Entretanto, pelo ponto $E$, ele não ganha pontos, porque está fora da zona de pontuação. Logo, o número total de pontos que Manoel fez é $300+100+50+50=500$. + +26. Festa de aniversário - Como podemos repartir o total de convidados em mesas de 6 ou 7, o número de convidados é um múltiplo de 6 e de 7. Como o menor múltiplo comum de 6 e 7 é 42 , podemos ter $42,84,126, \ldots$ convidados. Como são menos do que 120 convidados, só podemos ter 42 ou 84 convidados. Por outro lado, como são necessárias mais do que 10 mesas, temos mais do que 60 convidados. Logo, descartamos o 42 , e o número de convidados só pode ser 84 . +27. Medida do cateto - O segmento $C F$, cujo comprimento queremos calcular, é um cateto do triângulo retângulo $\triangle C D F$. O Teorema de Pitágoras, aplicado a esse triângulo, diz que $(C D)^{2}=(C F)^{2}+(F D)^{2}=(C F)^{2}+24^{2}$ e, daí, tiramos $(C F)^{2}=(C D)^{2}-24^{2}$. Ou seja, para encontrar $C F$ basta conhecer $C D$. Como os lados opostos de um retângulo (e, mais geralmente, de um paralelogramo) são iguais, temos $C D=A B$. Nosso objetivo, então, passa a ser o cálculo de $A B$. Para isso, olhemos para o triângulo $\triangle A B E$. Sua área é + +$$ +\frac{1}{2}(A E \times B E)=\frac{1}{2}(15 \times B E)=150 +$$ + +donde tiramos $B E=20$. O Teorema de Pitágoras aplicado a esse triângulo nos dá $(A B)^{2}=(A E)^{2}+(B E)^{2}=15^{2}+20^{2}=625=25^{2}$, donde $A B=25$. Logo, $C D=$ $A B=25$ e, de acordo com nossa observação anterior, obtemos + +$$ +(C F)^{2}=(C D)^{2}-24^{2}=25^{2}-24^{2}=(25+24)(25-24)=49 +$$ + +Assim, $C F=7$. + +Observe que a solução independe da medida dos lados $A D$ e $B E$. + +28. Sequência de Peri - Agrupamos a sequência em blocos numerados consecutivamente, cada bloco formado pelos termos iguais consecutivos, como mostrado a seguir. + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{1}_{\text {bloco } 1}, \underbrace{2,2}_{\text {bloco } 2}, \underbrace{3,3,3}_{\text {bloco } 3}, \underbrace{4,4,4,4}_{\text {bloco } 4}, \underbrace{5,5,5,5,5}_{\text {bloco } 5}, \underbrace{1,1,1,1,1,1}_{\text {bloco } 6}, \underbrace{2,2,2,2,2,2,2}_{\text {bloco } 7} \\ +& \underbrace{3,3,3,3,3,3,3,3}_{\text {bloco } 8}, \underbrace{4,4,4,4,4,4,4,4,4}_{\text {bloco } 9}, \underbrace{5,5,5,5,5,5,5,5,5,5}_{\text {bloco } 10} \\ +& \underbrace{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}_{\text {bloco } 11}, \ldots, \underbrace{k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, k, \ldots, k}_{\text {bloco } n, \operatorname{com} k \in\{1,2,3,4,5\}}, \cdots +\end{aligned} +$$ + +Observe que a numeração de cada bloco coincide com o número de termos que ele contém: o bloco 1 tem um termo, o bloco 2 tem dois termos, o bloco 3 tem três termos e assim por diante, até o bloco $n$, que tem $n$ termos. A posição na sequência do último termo de cada bloco é obtida somando todos os números de 1 até o número atribuído ao bloco. Por exemplo, como pode ser contado na enumeração acima, + +- o último 3 do bloco 8 é o $36^{\circ}$ termo, pois $1+2+3+4+5+6+7+8=36$. +- o último 1 do bloco 11 é o $66^{\circ}$ termo, pois $1+2+3+\cdots+10+11=66$. + +Em geral, o último termo do enésimo bloco está na posição $1+2+3+\cdots+n$. Para calcular o valor desta soma, lembramos que $1,2,3, \ldots, n$ é uma progressão aritmética de razão 1 , termo inicial $a_{1}=1$ e enésimo termo $a_{n}=n$. A soma de seus $n$ primeiros termos é, então, + +$$ +1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{n(n+1)}{2} +$$ + +Agora precisamos descobrir em qual bloco se encontra o centésimo termo da sequência. Supondo que ele esteja no enésimo bloco, sua posição será, no máximo, a do último termo deste bloco. Como ele não estará no bloco $n+1$, concluímos que $n$ é o menor inteiro tal que $100 \leq \frac{1}{2} n(n+1)$, ou seja, $200 \leq n(n+1)$. + +Para determinar esse valor de $n$, devemos resolver essa inequação e escolher, dentre suas soluções, o menor número inteiro. Como a expressão é bastante simples, é mais fácil resolvê-la por tentativa. Fazendo isso, vemos que $n=14$. De fato, $13 \times(13+1)=182<200$ e $14 \times(14+1)=210>200$. Assim, o centésimo termo da sequência está no bloco 14. Os números que aparecem nos blocos se repetem de cinco em cinco, na ordem 1, 2, 3, 4 e 5 . Como $14=5 \times 2+4$, o bloco 14 é formado pelo número 4. Assim, o centésimo termo da sequência é 4. + +Observação: A resolução acima apresentada da inequação $200 \leq n(n+1)$, apesar de correta, não serviria se o problema pedisse, por exemplo, a determinação do 10000 응 termo da sequência. Nesse caso, teríamos que lidar com a inequação $20000 \leq n(n+1)$ e, é claro, achar sua menor solução inteira por tentativa não parece promissor (a não ser com muita, muita sorte!). Por isso, vamos resolver a inequação $200 \leq n(n+1)$ de uma maneira que serve em geral. + +Começamos escrevendo $200 \leq n(n+1)$ como $n^{2}+n-200 \geq 0$. + +Isso nos leva ao estudo do sinal da função quadrática $f(x)=x^{2}+x-200$, cujo gráfico está ilustrado na figura. As raízes de $f(x)$ são + +$$ +\begin{aligned} +& x_{1}=\frac{-1-\sqrt{1+800}}{2} \\ +& x_{2}=\frac{-1+\sqrt{1+800}}{2} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-045.jpg?height=466&width=623&top_left_y=1843&top_left_x=1256) + +Observe que $x_{1}$ é negativa e $x_{2}$ é, aproximadamente, igual a 13,6 . Como $f(x) \geq 0$ para $x \leq x_{1}$ e $x \geq x_{2}$, segue que o $n$ que estamos procurando é o menor inteiro que é maior do que ou igual a $x_{2}$, ou seja, $n=14$. + +Agora, se quiséssemos determinar o $10000^{\circ}$ termo da sequência, bastaria repetirmos o procedimento acima, encontrando $x_{2}=\frac{1}{2}[-1+\sqrt{1+80000}]$, que é, aproximadamente, igual a 140,9. Logo, $n=141$ e o $10000^{\circ}$ termo da sequência está no $141^{\circ}$ bloco. Como $141=28 \times 5+1$, segue que o $10000^{\circ}$ termo é 1 . + +29. Área em azulejo - A figura dada pode ser decomposta em quatro figuras congruentes à figura dada. Para calcular a área do triângulo sombreado nessa figura, escolhemos como base o lado $B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-046.jpg?height=225&width=466&top_left_y=276&top_left_x=1366) + +Então, a altura correspondente é $A E$ e, como os azulejos são quadrados com $10 \mathrm{~cm}$ de lado, segue que $A E=B C=10 \mathrm{~cm}$. Logo, a área do triângulo $\triangle B C E$ é $\frac{1}{2}$ base $\times$ altura $=\frac{1}{2} 10 \times 10=50 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, a área da região procurada é $4 \times 50=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 30. Os cartões de Capitu + +Solução 1: Capitu virou, em primeiro lugar, os 50 cartões pares. Depois disso, ficaram na mesa os 50 cartões pares com a face amarela para cima e os 50 cartões ímpares com a face vermelha para cima. Ao virar, em seguida, os múltiplos de 3 , ela virou apenas os múltiplos de 3 ímpares, que são 3 , 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93 e 99. Logo, temos 17 múltiplos de 3 que são ímpares e Capitu virou para cima a face amarela de $50+17=67$ cartões. Assim, sobraram com a face vermelha para cima $100-67=33$ cartões. + +Observação: Nessa solução, para determinar a quantidade de múltiplos ímpares de 3 menores do que 100 foi suficiente escrever esses múltiplos e contar quantos eram. No entanto, se Capitu tivesse 1000 cartões (ou mais) esse procedimento seria bastante trabalhoso, mas, nesse caso, podemos proceder de modo mais geral. Notamos que os múltiplos ímpares de 3 desde 1 até 1000 formam uma progressão aritmética, com primeiro termo $a_{1}=3$, razão $r=6$ e o último termo $a_{n}=999$. Para determinar $n$ usamos a fórmula $a_{n}=a_{1}+(n-1) r$ que, no caso presente, é $999=3+(n-1) \times 6$. Assim, $n=167$, ou seja, temos 167 múltiplos ímpares de 3 menores do que 1000 . + +Solução 2: Capitu virou, em primeiro lugar, os 50 cartões pares. Depois disso, ficaram na mesa os 50 cartões pares com a face amarela para cima e os 50 cartões ímpares com a face vermelha para cima. Ao virar, em seguida, os múltiplos de 3, Capitu procedeu como segue. + +- Entre os cartões pares ela virou os que eram também múltiplos de 3. Um número que é múltiplo de 2 e de 3 também é múltiplo de 6 . Como $100=16 \times 6+4$, concluímos que Capitu virou 16 cartões entre os cartões pares. Esses cartões voltaram a ficar com a face vermelha para cima, ficando os outros 34 com a face amarela para cima. +- Entre os cartóes ímpares, como $100=33 \times 3+1$, segue que o número total de cartões (pares e ímpares) múltiplos de 3 é 33. Como vimos acima, entre estes cartões, 16 são pares, logo 17 são ímpares. Assim, Capitu virou 17 cartões ímpares, e esses cartões passaram a ter a face amarela para cima, enquanto que os outros 33 continuaram com a face vermelha para cima. + +31. Enchendo o tanque - No que segue, todas as medidas de volume estão dadas em $\mathrm{cm}^{3}$. + +O volume $V$ do balde é dado pela fórmula habitual do volume de um cilindro, ou seja, $V=$ área da base $\times$ altura. A base do balde é um círculo de $30 \mathrm{~cm}$ de diâmetro; seu raio, +então, mede $r=15 \mathrm{~cm}$ e sua área é $\pi r^{2}=225 \pi \mathrm{cm}^{2}$. Logo, $V=48 \times 225 \pi=10800 \pi$. A cada viagem, o volume de água que o homem coloca no balde é $4 / 5$ de $V$ e, desse volume, ele perde $10 \%$. Portanto, resta no balde $90 \%$ de $4 / 5$ de $V$, ou seja, + +$$ +\frac{9}{10} \times \frac{4}{5} V=\frac{18}{25} V=0,72 V=0,72 \times 10800 \pi=7776 \pi +$$ + +Essa quantidade $B=7776 \pi$ de água é a que ele efetivamente coloca no tanque em cada viagem. O volume de $3 / 4$ do tanque é $T=\frac{3}{4} \times 300 \times 36 \times 50=405000$. Logo, o número de baldes necessários para atingir esse volume é + +$$ +\frac{405000}{B}=\frac{405000}{7776 \pi}=\frac{625}{12 \pi} +$$ + +Usando a aproximação 3,14 para o número $\pi$, obtemos $\frac{625}{12 \pi} \approx \frac{625}{12 \times 3,14} \approx 16,587$. + +Assim, o homem necessitará de 16 baldes, mais 0,587 de um balde, e concluímos que ele deverá fazer 17 viagens. + +Observação: Acima usamos uma aproximação para o valor de $\pi$. É importante entender o que isso significa. Como sabemos, $\pi$ é um número irracional e sua expansão decimal é infinita e não é periódica. $\mathrm{O}$ valor aproximado de $\pi$, com 31 casas decimais, é $\pi \approx 3,1415926535897932384626433832795$ (o símbolo $\approx$ quer dizer "aproximadamente"). Por que, então, não usar $\pi \approx 3,142$ ou $\pi \approx 3,1416$ para resolver nosso problema, em vez de $\pi \approx 3,14$ ? Para discutir isso, vamos a um exemplo. + +Suponhamos que você tenha um balde cilíndrico com raio da base medindo $1 \mathrm{~m}$ e altura $1 \mathrm{~m}$, e uma caixa de água de volume de, exatamente $3,141 \mathrm{~m}^{3}$. O balde deve ser enchido em uma fonte. Quantas viagens à fonte serão necessárias para encher a caixa, supondo que o volume de água de cada balde seja integralmente transferido para a caixa? + +Usando a aproximação $\pi \approx 3,14$, obtemos $3,14 \mathrm{~m}^{3}$ para o volume do balde. Como $\frac{\text { volume do tanque }}{\text { volume do balde }} \approx \frac{3,141}{3,14}$ é maior do que 1 (e, é claro, menor do que 2 ), concluímos que serão necessárias duas viagens à fonte para encher a caixa de água. + +Vamos, agora, usar a aproximação $\pi \approx 3,1416$. Aqui calculamos o volume do balde e obtemos $3,1415 \mathrm{~m}^{3}$. Então, $\frac{\text { volume do tanque }}{\text { volume do balde }} \approx \frac{3,141}{3,1416}$ é menor do que 1 , e concluímos, assim, que basta uma viagem à fonte para encher o balde, um resultado bem diferente do anterior! + +Deve ficar claro com esse exemplo que a escolha inicial de uma aproximação pode influenciar fortemente o resultado final. Nesse caso, dizemos que as condições do problema são sensíveis à aproximação. No nosso problema original de encher o tanque, os dados iniciais não eram sensíveis à aproximação usada para $\pi$, o que pode ser verificado imediatamente repetindo a resolução dada com $\pi \approx 3,142$ ou $\pi \approx 3,1416$. Em ambos os casos, obtém-se o resultado de 17 viagens. + +Em geral, os problemas desse tipo propostos em livros nos ensinos fundamental e médio são enunciados de modo pouco sensível à aproximação. Isto justifica parcialmente o uso de " $\pi=3,14$ " bem como o de, por exemplo, " $\sqrt{2}=1,41$ " + +(CURIOSIDADE: $\sqrt{2} \approx 1,4142135623730950488016887242097$ ). + +Observamos, também, que poucas casas decimais facilitam as contas, em particular quando não se usam máquinas de calcular. Seria impossível, na prática, trabalhar manualmente com a aproximação de 31 casas que demos para $\pi$ no início desta conversa. + +O tratamento de problemas de aproximação é feito através de desigualdades. Infelizmente, tempo e espaço não permitem que abordemos esse tópico com mais detalhes no momento, mas esperamos ter despertado sua curiosidade para o assunto. + +32. Fator primo - A decomposição de 2006 em fatores primos é $2006=2 \times 17 \times 59$. Assim, o maior fator primo de 2006 é 59. +33. Altura de salário - A opção correta é (d). + +O enunciado diz que 1 real $=275 \times 10^{7}$ cruzados. O salário de João é 640 reais, o que é equivalente a $640 \times 275 \times 10^{7}=176000 \times 10^{7}=176 \times 10^{10}$ cruzados. O número de pilhas de cem notas que se pode fazer com essa quantidade de notas de 1 cruzado é $176 \times 10^{10} / 10^{2}=176 \times 10^{8}$. Como cada uma destas pilhas tem $1,5 \mathrm{~cm}$ de altura, a altura de todas elas é $1,5 \times 176 \times 10^{8}=264 \times 10^{8} \mathrm{~cm}$. + +Agora lembramos que $1 \mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}=10^{3} \mathrm{~m}$ e que $1 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~cm}=10^{2} \mathrm{~cm}$, donde $1 \mathrm{~km}=10^{3} \times 10^{2}=10^{5} \mathrm{~cm}$. Assim, a pilha de $264 \times 10^{8} \mathrm{~cm}$ tem $264 \times 10^{8} / 10^{5}=$ $264 \times 10^{3}=264000 \mathrm{~km}$ de altura. + +34. Só bala - A opção correta é (c). + +A primeira bala pode ser de qualquer sabor. Para fixar as ideias, suponhamos que seja de banana. Depois que essa bala é retirada, sobram $1002+1001$ balas na caixa no nosso caso, 1002 de maçã e 1001 de banana. A probabilidade $q$ de que a segunda bala seja diferente (no nosso exemplo, de maçã) é $q=1002 / 2003$. A probabilidade $p$ de que a segunda bala seja igual (no nosso exemplo, de banana) é $p=1001 / 2003$. A diferença $q-p$ é, portanto, + +$$ +q-p=\frac{1002}{2003}-\frac{1001}{2003}=\frac{1}{2003} +$$ + +35. Distância ao centro - A opção correta é (e). + +Os pontos que estão a $6 \mathrm{~cm}$ de distância do ponto $P$ formam uma circunferência de centro $P$ e raio $R=6$ $\mathrm{cm}$. Se $d$ denota a diagonal do quadrado, do Teorema de Pitágoras temos + +$$ +d=\sqrt{10^{2}+10^{2}}=\sqrt{2 \times 10^{2}}=10 \sqrt{2} +$$ + +A circunferência de raio $L / 2=5 \mathrm{~cm}$ tangencia o quadrado em quatro pontos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-048.jpg?height=431&width=440&top_left_y=1769&top_left_x=1393) + +A circunferência de raio $D / 2$ toca o quadrado em quatro pontos, a saber, os vértices do quadrado. Temos $L=10, R=6$ e $D=10 \sqrt{2}$, portanto + +$$ +\underbrace{5}_{L / 2}<\underbrace{6}_{R}<\underbrace{5 \sqrt{2}}_{D / 2} +$$ + +(Observe que $1,2<\sqrt{2}, 5 \times 1,2<5 \times \sqrt{2}$ e, portanto, $6<5 \sqrt{2}$ ). Logo, a circunferência de raio $R=6$ está "entre" as duas circunferências de raios 5 e $5 \sqrt{2}$. Assim, ela corta o quadrado em oito pontos. + +36. Potências e potências - A opção correta é (e). + +Solução 1: Observamos que os termos do lado direito da equação dada podem ser escritos como potências de 2. De fato, $4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2 x}$ e $64=2^{6}$. Desse modo, a equação se torna $2\left(2^{x}\right)=2^{2 x}+2^{3}$. Temos, então, $2\left(2^{2 x}\right)-2^{2 x}=2^{6}$, donde $2^{2 x}(2-1)=2^{6}$, ou seja, $2^{2 x}=2^{6}$. Assim, $2 x=6$ e segue que $x=3$. + +Solução 2: $4^{x}+4^{x}=2\left(4^{x}\right)=2\left(2^{2 x}\right)=4^{x}+4^{3}$, portanto, $4^{x}=4^{3}$ e segue que $x=3$. + +37. Um raio de luz - A op̧̧ão correta é (b). + +Vamos acompanhar o trajeto do raio de luz a partir do ponto $S$. Para isso, lembramos a propriedade básica da reflexão de um raio de luz num espelho: o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. Por exemplo, na figura dada, os ângulos $a$ e $b$ são iguais, bem como os ângulos $d$ e $e$. Observe que, na figura, as paralelas $A S$ e $B V$ são cortadas pela transversal $A B$. + +Assim, + +- $a=30^{\circ}=b$, +- $a+b+c=180^{\circ}$, $\log c=120^{\circ} \mathrm{e}$ +- $c+d=180^{\circ}$, logo + +$d=60^{\circ}=e$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-049.jpg?height=346&width=737&top_left_y=1112&top_left_x=1142) + +Como a soma dos ângulos internos do triângulo $\triangle B C V$ é $180^{\circ}$, segue que $f=90^{\circ}$. Isso quer dizer que o nosso raio de luz, ao atingir $C$, será refletido sobre si mesmo e fará então o caminho inverso, $C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow S$. Desse modo, o trajeto completo do raio será + +$$ +S \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow S +$$ + +O comprimento desse trajeto do raio desde $S$ até retornar a $S$ é duas vezes a soma dos comprimentos dos segmentos $A S, A B$ e $B C$. É dado que $A S=1 \mathrm{~m}$, portanto, resta calcular $A B$ e $B C$. Para isso, olhamos para o triângulo $\triangle A B C$. Ele é um triângulo retângulo com ângulos de $30^{\circ}$ e $60^{\circ}$. Sabemos que num tal triângulo o cateto oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ tem comprimento igual à metade do comprimento da hipotenusa (exercício). No nosso caso, temos $B C=\frac{1}{2} A B$. + +Notamos, agora, que os triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle C B F$ são congruentes, pois são triângulos retângulos $\left(f=90^{\circ}\right)$ com ângulos iguais $\left(b=30^{\circ}\right)$ e um cateto comum $(B C)$, o que nos mostra que $A C=\frac{1}{2} A V=\frac{1}{2} \mathrm{~m}$. Pondo $A B=x$, temos $B C=\frac{1}{2} x$ e o Teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo $\triangle A B C$, nos dá $x^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} x\right)^{2}$. Simplificando, obtemos $\frac{3}{4} x^{2}=\frac{1}{4}$, donde $x=1 / \sqrt{3}=\sqrt{3} / 3$. + +Desse modo, obtemos o comprimento do trajeto do raio de luz, como segue. + +$$ +2(S A+A B+B C)=2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=2+\sqrt{3} \mathrm{~m} +$$ + +38. Diferença de quadrados - Usando a fatoração $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$ com $x=666666666$ e $y=333333333$, vemos que $x-y=y$ e $x+y=999999999$, portanto, + +$$ +\begin{aligned} +666666666^{2}-333333333^{2} & =333333333 \times 999999999 \\ +& =333333333 \times(1000000000-1) \\ +& =333333333000000000-333333333 \\ +& =333333332666666667 +\end{aligned} +$$ + +39. Escada de número - A opção correta é (e). + +Usando a regra dada, preenchemos as casas vazias a partir da segunda linha a contar de baixo e obtemos a figura. Logo, + +$$ +(13+x)+(11+2 x)=42 +$$ + +e, portanto, $24+3 x=42$, ou seja, $x=6$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-050.jpg?height=437&width=420&top_left_y=747&top_left_x=1412) + +40. Diferença de potências - A opção correta é (c). + +Solução 1: O algarismo final de $9867^{3}$ é o mesmo que o de $7^{3}=343$, isto é, 3 . O algarismo final de $9867^{2}$ é o mesmo que o de $7^{2}=49$, isto é, 9 . Se de um número terminado em 3 subtraímos outro terminado em 9, o algarismo final do resultado é 4 . + +Observação: Observe que o algarismo das unidades da diferença $9867^{3}-9867^{2}$ é igual ao algarismo das unidades de $\left(7^{3}-7^{2}\right)$. + +Solução 2: $n^{3}-n^{2}=n^{2}(n-1), \operatorname{com} n^{2}=9867^{2}$ terminando em 9 e $n-1=9866$ em 6 . Como $9 \times 6=54$, o algarismo final de $n^{2}(n-1)$ é 4 . + +41. Parábola girada - A opção correta é (e). + +Uma rotação de $180^{\circ}$ pode ser visualizada como uma meia-volta. Aqui temos uma meia-volta em torno da origem. A figura ilustra o que uma meia-volta faz com as coordenadas dos pontos do plano. Por exemplo, o ponto $A^{\prime}$ é o resultado da meia-volta aplicada ao ponto $A$; em outras palavras, $A^{\prime}$ é onde o ponto $A$ vai parar após a meia-volta. Do mesmo modo, $B^{\prime}$ é onde $B$ vai parar após a meia-volta. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-050.jpg?height=520&width=674&top_left_y=1810&top_left_x=1159) + +É fácil ver que na passagem de $A$ para $A^{\prime}$ as coordenadas trocam de sinal. Desse modo, vemos que uma meia-volta em torno da origem leva um ponto qualquer $(x, y)$ no ponto $(-x,-y)$. Assim, $(a, b)$ pertence à nova parábola se, e somente se, $(-a,-b)$ pertence à parábola $y=x^{2}-5 x+9$ original, ou seja, se $-b=a^{2}+5 a+9$ ou, ainda, $b=-a^{2}-5 a-9$. Logo, a equação da nova parábola é $y=-x^{2}-5 x-9$. + +42. Logotipo - Seja $r$ o raio dos quatro círculos iguais. + +Ligando os centros $A$ e $B$ de dois desses círculos ao centro $O$ dos círculos concêntricos, obtemos o triângulo $\triangle O A B$, como na figura. Lembrando que a reta que une os centros de dois círculos tangentes passa pelo ponto de tangência, vemos que $O A=O B=1+r$ e $A B=2 r$, tudo em $\mathrm{cm}$. O triângulo $\triangle O A B$ é retângulo em $O$ e o Teorema de Pitágoras dá + +$$ +(2 r)^{2}=(1+r)^{2}+(1+r)^{2} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-051.jpg?height=477&width=477&top_left_y=253&top_left_x=1406) + +Logo, $4 r^{2}=2(1+r)^{2}$, ou $2 r^{2}=(1+r)^{2}$, do que tiramos $r^{2}-2 r-1=0$. Assim, $r=\frac{1}{2}[2 \pm \sqrt{8}]=1 \pm \sqrt{2}$. Como o raio $r$ é positivo, obtemos $r=1+\sqrt{2}$. Segue que o raio do círculo maior mede $1+2 r=3+2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. + +43. Padeiro cansado - A opção correta é (d). + +Seja $x$ a quantidade de farinha, em quilos, de que o padeiro dispõe. Trabalhando sozinho, ele usaria $x / 6$ quilos de farinha em uma hora. Trabalhando com seu ajudante, eles usariam $x / 2$ quilos de farinha em uma hora. Seja $t$ o tempo, em horas, que o padeiro trabalhou sozinho. Como a farinha acaba em 150 minutos, ou seja, em 2,5 horas (2 horas e 30 minutos), o tempo que ele trabalhou com seu ajudante foi $2,5-t$ horas. Logo, a quantidade de farinha gasta durante o tempo que o padeiro trabalhou sozinho foi de $(x / 6) \times t$ e a quantidade gasta durante o tempo que o padeiro trabalhou com seu ajudante foi de $(x / 2) \times(2,5-t)$. Como + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-051.jpg?height=166&width=1130&top_left_y=1639&top_left_x=543) + +temos $x=\frac{1}{6} x t+\frac{1}{2} x(2,5-t)$. A quantidade $x$ de farinha que o padeiro tinha inicialmente era não nula. Logo, podemos dividir ambos os membros por $x$, encontrando $1=\frac{1}{6} t+\frac{1}{2}(2,5-t)$ e, portanto, $t=0,75$ horas, ou seja, o padeiro trabalhou sozinho durante 45 minutos. + +44. Muitas diagonais - Num poliedro qualquer, dois vértices distintos determinam uma diagonal apenas no caso em que não estejam numa mesma face. + +No caso do prisma hexagonal, vemos na figura que o vértice $v$ não forma uma diagonal com os vértices marcados com $*$. Levando o próprio $v$ em conta, vemos que $v$ não forma uma diagonal com exatamente nove vértices. Como o prisma tem doze vértices, segue que $v$ forma uma diagonal com exatamente $12-9=3$ vértices. O mesmo raciocínio vale para qualquer vértice, e concluímos que, de cada vértice do prisma, partem exatamente três diagonais. Como a diagonal que parte de um vértice $v$ para o vértice $w$ é a mesma que parte de $w$ para $v$, segue que o número de diagonais é $\frac{1}{2} 12 \times 3=18$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-052.jpg?height=490&width=1076&top_left_y=256&top_left_x=524) + +Seja $V$ um vértice do poliedro. Observando a figura, vemos que $V$ não forma uma diagonal com exatamente quatorze vértices, os treze marcados com $X$ e mais o próprio $V$. Como o poliedro tem vinte e quatro vértices no total, sobram $24-14=10$ vértices, com os quais $V$ forma uma diagonal. Logo, o número de diagonais desse poliedro é $\frac{1}{2} 24 \times 10=120$. + +45. Promoção de sabonete - A opção correta é (d). + +Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar 4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três. + +46. Qual é o ângulo? - A opção correta é (b). + +Como $\triangle A B C$ e $\triangle D E F$ são triângulos equiláteros, cada um de seus ângulos internos mede $60^{\circ}$. No triângulo $\triangle A G D$ temos + +$$ +G \widehat{A} D=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ} \text { e } \mathrm{G} \widehat{D A}=180^{\circ}-65^{\circ}-60^{\circ}=55^{\circ} +$$ + +Portanto, $A \widehat{G} D=180^{\circ}-45^{\circ}-55^{\circ}=80^{\circ}$. Logo, no triângulo $\triangle C G H$, temos + +$$ +x+80^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}, \text { donde } x=40^{\circ} \text {. } +$$ + +47. Caixa de papelão - A opção correta é (b). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-052.jpg?height=449&width=625&top_left_y=1957&top_left_x=407) + +A figura mostra as dobras que serão feitas para montar a caixa, que terá as dimensões seguintes: $20 \mathrm{~cm}$ de largura, $15 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $10 \mathrm{~cm}$ de altura. Logo, seu volume será de + +$$ +20 \times 15 \times 10=3000 \mathrm{~cm}^{3} +$$ + +48. Soma de vizinhos - A opção correta é (b). + +Seja $x$ o primeiro termo da sequência. Como o segundo termo é $1 \mathrm{e}$, a partir do terceiro, cada termo é a soma dos dois anteriores, temos que + +- o terceiro termo é $1+x$; +- o quarto termo é $1+(1+x)=2+x$; +- o quinto termo é $(1+x)+(2+x)=3+2 x$; +- o sexto termo é $(2+x)+(3+2 x)=5+3 x$. + +Como o quinto termo é 2005 , temos $3+2 x=2005$, donde $x=1001$. Logo, o sexto termo da sequência é $5+3 \times 1001=3008$. + +49. Algarismos crescentes - A opção correta é (d). + +Os números em questão, com + +- dois algarismos, são 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 e 89 (8 números); +- três algarismos, são 123, 234, 345, 456, 567, 678 e 789 (7 números); +- quatro algarismos, são $1234,2345,3456, \ldots, 6789$ (6 números); +- por fim, com cinco algarismos, somente 12345 , + +num total de $8+7+6+1=22$ números. + +50. Bloco girante - A opção correta é (b). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=399&width=580&top_left_y=1211&top_left_x=361) + +De acordo com a figura, podemos concluir que as dimensões das faces X, Y e Z são 2,3 e $6 \mathrm{~cm}^{2}$, respectivamente. A seguir, indicaremos os movimentos feitos pelo bloco e as faces que entram em contato com os quadradinhos em cada etapa. Lembre que giramos o bloco cinco vezes. + +As figuras a seguir mostram os quadradinhos do tabuleiro que ficam em contato com cada uma das três faces do bloco, desde a posição inicial até a final, após a última rotação. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=365&width=420&top_left_y=1825&top_left_x=381) + +Posição inicial + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=371&width=403&top_left_y=2279&top_left_x=387) + +$3^{a}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=363&width=394&top_left_y=1826&top_left_x=891) + +$1^{\mathrm{a}}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=366&width=417&top_left_y=2284&top_left_x=885) + +$4^{a}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=363&width=394&top_left_y=1826&top_left_x=1408) + +$2^{a}$ Rotação + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-053.jpg?height=360&width=388&top_left_y=2284&top_left_x=1422) + +$5^{a}$ Rotação + +Alguns quadradinhos entram em contato com as faces mais de uma vez, conforme figura a seguir, que mostra todos os quadradinhos que tiveram contato com as faces do bloco desde a posição inicial até a última rotação. + +| | | | | | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | | | | | +| | | | | | | | | +| | | | $\mathbf{X}$ | | | | | +| | $\mathbf{Y}$ | $\mathbf{Y}$ | $\mathbf{X} / \mathbf{Y}$ | $\mathbf{X}$ | $\mathbf{X}$ | | | +| | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Y} / \mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | | | +| | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Y} / \mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | | | +| | | | $\mathbf{Y}$ | $\mathbf{Z}$ | $\mathbf{Z}$ | | | + +Contando nesta última figura, vemos que o bloco esteve em contato com 19 quadradinhos do tabuleiro. + +51. Iterando um ponto - A opção correta é (d). + +A partir da tabela + +| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | +| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $f(x)$ | 4 | 1 | 3 | 5 | 2 | + +obtemos + +$$ +\begin{aligned} +& f(4)=5, f(\underbrace{f(4)}_{5})=f(5)=2, f(f(\underbrace{f(4)}_{5}))=f(\underbrace{f(5)}_{2})=f(2)=1 \mathrm{e} \\ +& \underbrace{f(f(f(f(4)}_{4 \text { vezes }})))=f(f(f(\underbrace{f(4)}_{5})))=f(f(\underbrace{f(5)}_{2}))=f(\underbrace{f(2)}_{1})=f(1)=4 +\end{aligned} +$$ + +Como 2004 é múltiplo de 4 , segue que $\underbrace{f(f(f(f(\ldots f}_{2004 \text { vezes }}(4) \ldots)))=4$. O diagrama a seguir ilustra essa afirmação. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-054.jpg?height=311&width=1354&top_left_y=1666&top_left_x=385) + +52. Esmeralda e o 21 - Primeiro vamos listar os números que têm o agrupamento 21 no meio de sua representação decimal. + +- 21, 121, 221, . ., 921, num total de 10 números. +- $210,211, \ldots, 219$, num total de 10 números. + +Também devemos contar os agrupamentos 21 obtidos a partir de um par de números consecutivos tal que o primeiro termina com 2 e o segundo começa com 1, que são os 11 casos seguintes. + +$$ +\begin{gathered} +12-13,120-103,112-113,122-123,132-133,142-143 \\ +152-153,162-163,172-173,182-183,192-193 +\end{gathered} +$$ + +Assim, temos um total de $20+11=31$ agrupamentos 21 nesse número. + +## 53. Muitos fatores - A opção correta é (d). + +Cada um dos fatores é uma diferença de quadrados, isto é, $a^{2}-b^{2}$, em que $a=1 \mathrm{e}$ $b=1 / c^{2}=(1 / c)^{2}$. Usando a fatoração $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, obtemos + +$$ +\begin{gathered} +\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{225}\right) \\ +=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right) \\ +=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{15}\right)\left(1+\frac{1}{15}\right) \\ +=\frac{1}{2} \times \underbrace{\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}}_{1} \times \underbrace{\frac{4}{3} \times \frac{3}{4}}_{1} \times \underbrace{\frac{5}{4} \times \cdots}_{1} \times \cdots \times \underbrace{\cdots \times \frac{14}{15}}_{1} \times \frac{16}{15}=\frac{1}{2} \times \frac{16}{15}=\frac{8}{15} . +\end{gathered} +$$ + +54. Falta um ângulo - A opção correta é (a). + +Os ângulos internos do quadrilátero dado são $50^{\circ}, 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}, \alpha$ e $180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360^{\circ}$, temos $50^{\circ}+150^{\circ}+\alpha+140^{\circ}=360^{\circ}$, donde $\alpha=20^{\circ}$. + +55. Soma de distâncias - A opção correta é (e). + +Temos $|z-x|=3,7-(-1)=4,7$ e $|w-x|=9,3-(-1)=10,3$. Logo, + +$$ +|z-x|+|w-x|=4,7+10,3=15 +$$ + +56. Espiral do Artur - A opção correta é (d). + +A figura mostra que a "espiral" é constituída por segmentos cujos comprimentos formam uma sequência finita da forma $1,1,2,2,3,3,4,4, \ldots, n, n$ (se os dois últimos segmentos da espiral têm o mesmo comprimento) ou, então, da forma $1,1,2,2,3,3,4,4, \ldots$, $n, n, n+1$ (se os dois últimos segmentos da espiral têm comprimentos diferentes). +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-055.jpg?height=514&width=1310&top_left_y=1947&top_left_x=452) + +A soma dos $k$ primeiros números naturais é dada por + +$$ +1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} +$$ + +e o comprimento total da espiral é $4 \mathrm{~m}=400 \mathrm{~cm}$. Portanto, + +$$ +2 \times \frac{n(n+1)}{2}=1+1+2+2+3+3+\cdots+n+n=400 +$$ + +ou, então, + +$$ +2 \times \frac{n(n+1)}{2}+n+1=1+1+2+2+\cdots+n+n+n+1=400 +$$ + +de modo que $n(n+1)=400$ ou $(n+1)^{2}=400$. + +Entretanto, não existem dois números naturais consecutivos cujo produto seja 400, isto é, a equação $n(n+1)=400$ não tem solução. Assim, $(n+1)^{2}=400$, de modo que $n+1=20$. Portanto, o último segmento da espiral tem $20 \mathrm{~cm}$ e o penúltimo $19 \mathrm{~cm}$. Os comprimentos dos segmentos da espiral formam a sequência de números $1,1,2,2,3,3,4,4, \ldots, 19,19,20$. Assim, são $19 \times 2+1=39$ segmentos. Como sete já foram traçados, falta traçar 32 . + +57. Quais são os ângulos? - A opção correta é (d). + +Temos $B \widehat{C} A=D \widehat{A} C=y$ (ângulos alternos internos) e $B \widehat{D} A=C \widehat{B} D=y$ (simetria). Seja $O$ o ponto de interseção das duas diagonais. + +Traçando o segmento $M N$ paralelo aos lados $A D$ e $B C$ do retângulo, obtemos $C \widehat{O} N=B \widehat{C} A=y$ e $N \widehat{O} D=$ $B \widehat{D} A=y$. Logo, + +$$ +x=C \widehat{O} D=C \widehat{O} N+N \widehat{O} D=2 y +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-056.jpg?height=240&width=391&top_left_y=1319&top_left_x=1438) + +58. Raiz menor - A equação já foi dada na forma fatorada $a(x-m)(x-n)=0$, logo suas raízes são $m=3 \sqrt{5}$ e $n=5 \sqrt{3}$. Devemos apenas decidir qual delas é a maior. Isso pode ser feito de duas maneiras, pelo menos. + +Podemos elevar $m$ e $n$ ao quadrado, obtendo $m^{2}=9 \times 5=45$ e $n^{2}=25 \times 3=75$. Como $45<75$, resulta que $3 \sqrt{5}=m=\sqrt{45}<\sqrt{75}1, x>2$ e $x<3$, ou seja, $21, x<2$ e $x>3$, o que não é possível. Logo, não pode ocorrer esse caso. +3) $\underbrace{(x-1)}_{-} \underbrace{(x-2)}_{+} \underbrace{(x-3)}_{+}$. + +Isso equivale a $x<1, x>2$ e $x>3$, o que não é possível. Logo, não pode ocorrer esse caso. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-057.jpg?height=438&width=642&top_left_y=2214&top_left_x=1272) + +4) $\underbrace{(x-1)}_{-} \underbrace{(x-2)}_{-} \underbrace{(x-3)}_{-}$. + +Isso equivale a $x<1, x<2$ e $x<3$, ou seja, $x<1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-058.jpg?height=186&width=583&top_left_y=318&top_left_x=1205) + +Logo, os únicos reais $x$ satisfazendo $(x-1)(x-2)(x-3)<0$ são os reais $x$ tais que $x<1$ ou $2100$, verdadeira. + +(b) $|2-9|=|-7|=7=9-2$, verdadeira. + +(c) $|-6 a|=|-6| \times|a|=6|a|$, verdadeira. + +$|x|= \begin{cases}x & \text { se } x \geq 0 \\ -x & \text { se } x<0\end{cases}$ + +s + +(d) $|5-13|=|-8|=8 \neq-8=5-13=|5|-|13|$, falsa. + +(e) $\left|a^{2}+5\right|=a^{2}+5$, verdadeira, pois $a^{2}+5>0$, para qualquer valor de $a$. + +68. Fração radical - A opção correta é (e). + +Elevando ao quadrado ambos os membros de $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=5$, obtemos $\frac{x}{y}=25$. Assim, + +$$ +\frac{x+y}{2 y}=\frac{1}{2} \times \frac{x+y}{x}=\frac{1}{2} \times\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{y}\right)=\frac{1}{2} \times\left(\frac{x}{y}+1\right)=\frac{1}{2} \times(25+1)=13 +$$ + +69. Área de triângulo - A opção correta é (d). + +Os triângulos $\triangle T K R$ e $\triangle G R S$ são proporcionais por serem triângulos retângulos com um ângulo agudo igual. Logo, temos $\frac{R S}{T K}=\frac{G S}{T R}$. Como $G S=T K$, segue que $(T K)^{2}=R S \times T R=2 \times 6=12$, ou seja, $T K=2 \sqrt{3}$. Também + +$$ +K G=T R+R S=6+2=8 +$$ + +Assim, a área do triângulo $\triangle K G R$ mede + +$$ +\frac{1}{2} \underbrace{K G}_{\text {base }} \times \underbrace{T K}_{\text {altura }}=\frac{1}{2}[8 \times 2 \sqrt{3}]=8 \sqrt{3} +$$ + +70. Pares de inteiros - A opção correta é (c). + +Temos + +$$ +13=\frac{a+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+b}=\frac{\frac{a b+1}{b}}{\frac{1+a b}{a}}=\frac{(a b+1) \times a}{(1+a b) \times b}=\frac{a}{b} +$$ + +Logo, $a=13 b$. Como $a+b \leq 100$, segue que $14 b \leq 100$ e, portanto, $b \leq 7,14$. Como $b$ é inteiro, devemos ter $b \leq 7$. Logo, os pares são em número de sete, a saber, + +$$ +(13,1),(26,2),(39,3),(52,4),(65,5),(78,6) \text { e }(91,7) +$$ + +71. Qual é a soma? - A opção correta é (c). + +1o Caso: Se $x \leq 0$, então $|x|=-x$ e, pela primeira equação, temos $x+(-x)+y=5$, ou seja, $y=5$. Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos $x=6$, o que não é possível, pois estamos supondo $x \leq 0$. Logo, não há solução nesse caso $x \leq 0$. + +$2^{\circ}$ Caso: Se $y \geq 0$, então $|y|=y$ e, pela segunda equação, temos + +$$ +x+y-y=6 +$$ + +ou seja, $x=6$. Substituindo esse valor na primeira equação, obtemos $y=-7$, o que não é possível, pois estamos supondo $y \geq 0$. + +3o Caso: Se $x>0$ e $y<0$, então $|x|=x$ e $|y|=-y$. Pela primeira equação temos $2 x+y=5$ e, pela segunda, $x-2 y=6$. Multiplicando $2 x+y=5$ por 2 e somando com $x-2 y=6$, obtemos $5 x=16$, de modo que $x=16 / 5$ e segue que $y=5-2 x=-7 / 5$. Assim, $x+y=9 / 5$. + +72. Círculo intermediário - A opção correta é (a). + +A área do maior círculo é $13^{2} \pi=169 \pi$ e a do menor é $5^{2} \pi=25 \pi$, que também é a área do maior anel. Seja $r$ o raio do círculo intermediário. Então, a área do maior anel é $169 \pi-\pi r^{2}$. Logo, $169 \pi-\pi r^{2}=25 \pi$, ou seja, $\pi r^{2}=169 \pi-25 \pi=144 \pi$, donde $r^{2}=144$ e $r=12 \mathrm{~cm}$. + +## 73. Frações incompletas + +(a) Observe que $21 \times 6=126$. Portanto, o numerador 21 foi multiplicado por 6 para obter o numerador 126 do primeiro quociente. Logo, o denominador _- também foi multiplicado por 6 para dar o denominador $8_{-}$do primeiro quociente. $O$ único número da forma 8_ que é divisível por 6 é 84 , e $84 \div 6=18$. Podemos, então, completar as frações, obtendo + +$$ +\frac{126}{8 \underline{4}}=\frac{21 \times 6}{18 \times 6}=\frac{21}{1 \underline{8}} +$$ + +(b) Temos $4 / 5=0,8$ e queremos ter _- $8=0,8 \times 33_{-}$. Observe que 33_ deve ser múltiplo de 5, portanto, só pode ser 330 ou 335. Entretanto, + +$$ +0,8 \times 330=264 \neq \_\_8 +$$ + +Assim, $33_{-}=335$, com $335=5 \times 67$, e $_{-\_} 8=268=4 \times 67$. Logo, só existe uma maneira de completar a fração, + +$$ +\frac{2 \underline{6} 8}{33 \underline{5}}=\frac{268 \div 67}{335 \div 67}=\frac{4}{5} +$$ + +## 74. Triângulos impossiveis + +- Figura 1: Não está correta, porque a soma dos ângulos internos do triângulo não é $180^{\circ}$. De fato, $74+42+42=158<180$. +- Figura 2: Não está correta, porque o comprimento dos lados não satisfaz o Teorema de Pitágoras: $18^{2}=324 \neq 369=144+225=12^{2}+15^{2}$. Logo, o triângulo não pode ser retângulo. +- Figura 3: Não está correta, porque um dos lados de um triângulo não pode ser menor do que a soma dos outros dois: $15>6+8$. + +75. Razão de áreas - A opção correta é (b). + +Como o arco de $60^{\circ}$ do círculo I tem o mesmo comprimento que o arco de $45^{\circ}$ no círculo II, concluímos que o raio do círculo I é menor do que o do círculo II. Denotemos por $r$ e $R$ os raios dos círculos I e II, respectivamente. + +No círculo I, o comprimento do arco de $60^{\circ}$ é igual a $1 / 6$ de seu comprimento, ou seja $2 \pi r / 6$. Analogamente, no círculo II, o comprimento do arco de $45^{\circ}$ é igual a $1 / 8$ de seu comprimento, ou seja, $2 \pi R / 8$. Logo, $2 \pi r / 6=$ $2 \pi R / 8$, ou seja, $r / R=6 / 8=3 / 4$. Finalmente, temos + +$$ +\frac{\text { área do círculo I }}{\text { área do círculo II }}=\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}=\left(\frac{r}{R}\right)^{2}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16} +$$ + +76. Inequação errada - A opção correta é (c). + +Nessa questão usaremos as propriedades de desigualdades seguintes. Podemos somar o mesmo número a ambos os membros de uma desigualdade sem alterar seu sentido. Podemos multiplicar ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo sem alterar seu sentido. Assim, + +$$ +x>y \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} +x+z>y+z \text { (somando } z \text { qualquer a ambos os lados) } \\ +x z>y z \text { (muliplicando por } z>0 \text { em ambos os lados) } +\end{array}\right. +$$ + +Logo, (a) e (b) estão corretas, pois foi somado $z$ e $-z$ a ambos os membros, bem como (d) e (e), pois ambos os membros foram multiplicados por $1 / z^{2}$ e $z^{2}$, ambos positivos, já que $z \neq 0$. A opção (c) é falsa, porque $z$ pode ser negativo. Por exemplo, se $x=5, y=3$ e $z=-2$, temos $5>3$ e, no entanto, + +$$ +\underbrace{5 \times 2}_{x z}=-10<-6=\underbrace{3 \times(-2)}_{y z} +$$ + +## 77. Equações geométricas + +(a) $|x-5|=2$ significa que a distância de $x$ a 5 é 2 . Logo, as raízes são 3 e 7 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-061.jpg?height=128&width=659&top_left_y=1986&top_left_x=824) + +(b) $|x+3|=1$ significa que a distância de $x$ a -3 é 1 . Logo, as raízes são -4 e -2 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-061.jpg?height=123&width=659&top_left_y=2206&top_left_x=824) + +(c) Denotando $y=3 x$, a equação toma a forma $|y-7|=9$, o que equivale a dizer que a distância de $y$ a 7 é 9 . Logo, as raízes são -2 e 16. Como $y=3 x$, temos $3 x=-2$ e $3 x=16$, de modo que as raízes da equação original são $x=-\frac{2}{3}$ e $x=\frac{16}{3}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-061.jpg?height=120&width=659&top_left_y=2576&top_left_x=824) +(d) As raízes da equação $|x+2|=|x-5|$ são os números equidistantes de -2 e de 5. No entanto, só pode haver um único número equidistante de dois outros, e que fica no meio do caminho entre os dois. Como a distância de 5 a -2 é 7 , o ponto equidistante deve distar 3,5 de -2 e de 7 . Logo, a solução é $x=1,5$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-062.jpg?height=194&width=662&top_left_y=480&top_left_x=777) + +78. Pista circular - A opção correta é (c). + +Vamos marcar os quatro pontos a partir de A. Como a pista mede $20 \mathrm{~km}$, o comprimento de cada um dos quatro quadrantes é $5 \mathrm{~km}$ e podemos, então, marcar os pontos. Como $367=18 \times 20+7$, o carro deu 18 voltas completas e percorreu mais $7 \mathrm{~km}$ a partir de A. Logo, ele passa $2 \mathrm{~km}$ de B e para a $1 \mathrm{~km}$ de C. Portanto, C é o ponto mais próximo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-062.jpg?height=394&width=397&top_left_y=768&top_left_x=1429) + +79. Maior comprimento - A opção correta é (e). + +Note que + +- AE é a hipotenusa de um triângulo de catetos com $5 \mathrm{~cm}$ e $9 \mathrm{~cm}$; +- CF é a hipotenusa de um triângulo de catetos com $2 \mathrm{~cm}$ e $4 \mathrm{~cm}$; +- $\mathrm{AC}$ é a hipotenusa de um triângulo de catetos com $3 \mathrm{~cm}$ e $4 \mathrm{~cm}$; +- FD é a hipotenusa de um triângulo de catetos com $2 \mathrm{~cm}$ e $9 \mathrm{~cm}$; +- CE é a hipotenusa de um triângulo de catetos com $2 \mathrm{~cm}$ e $5 \mathrm{~cm}$. + +Usando o Teorema de Pitágoras calculamos essas hipotenusas. + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{AE}=\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{106} \approx 10,3 \\ +& \mathrm{CF}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20} \approx 4,47 \\ +& \mathrm{CF}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5 \\ +& \mathrm{FD}=\sqrt{2^{2}+9^{2}}=\sqrt{85} \approx 9,22 \\ +& \mathrm{CE}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29} \approx 5,39 +\end{aligned} +$$ + +Como $\mathrm{CD}=5 \mathrm{~cm}$, obtemos $\mathrm{AE} \approx 10,3, \mathrm{CD}+\mathrm{CF} \approx 5+4,47=9,47$, $\mathrm{AC}+\mathrm{CF} \approx 5+4,47=9,47, \mathrm{FD} \approx 9,22$ e $\mathrm{AC}+\mathrm{CE} \approx 5+5,39=10,39$. Logo, o maior segmento é $\mathrm{AC}+\mathrm{CE}$, que mede $10,39 \mathrm{~cm}$. + +80. Desigualdade entre inteiros - A opção correta é (d). + +Se $-3 x^{2}<-14$, então $3 x^{2}>14$, ou $x^{2}>\frac{1}{3} 14=4 \frac{2}{3}$. Como estamos olhando apenas para valores inteiros de $x$, então $x^{2}$ também é inteiro. Sendo $x^{2}>4 \frac{2}{3}$, concluímos que $x^{2}$ é, no mínimo, 5. Dentre os números $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$ somente quatro, a saber, $-5,-4,-3$ e 3 satisfazem $x^{2} \geq 5$. + +81. Equação cúbica - A opção correta é (d). + +Observe que o polinômio cúbico dado é igual a $x\left(2007 x^{2}+2006 x+2005\right)$, portanto, $x=0$ é uma solução da equação dada e a opção (a) fica descartada. Como a equação é cúbica e $x=0$ é uma solução, a opção (e) fica descartada. Agora, para ver se a equação dada tem uma, duas ou três soluções, só precisamos ver se a equação de segundo grau $2007 x^{2}+2006 x+2005=0$ não tem solução, ou tem uma ou tem duas soluções. Mas o discriminante dessa equação é + +$$ +\begin{aligned} +\Delta & =2006^{2}-4 \times 2007 \times 2005=2006^{2}-4(2006+1)(2006-1) \\ +& =2006^{2}-4\left(2006^{2}-1\right)=-3 \times 2006^{2}+4<0 +\end{aligned} +$$ + +de modo que essa equação não possui raízes reais. Assim, a equação inicial tem uma única raiz real. + +Observação: Uma outra maneira (e mais simples) de mostrar que $\Delta<0$ é observar que $2006<2007$ e $2006<4 \times 2005$, portanto, + +$$ +2006 \times 2006<4 \times 2005 \times 2007 \text { e } 2006^{2}-4 \times 2005 \times 2007<0 +$$ + +82. O perfume de Rosa - O volume de um cilindro é o produto da área da base pela altura. Como o raio da base mede $7 \mathrm{~cm}$, a área da base é $\pi \times 7^{2}$ e, então, o volume do vidro é + +$$ +\pi \times 7^{2} \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=490 \pi \mathrm{cm}^{3}=\frac{490 \pi}{1000} \mathrm{dm}^{3}=0,49 \pi \text { litros } +$$ + +lembrando que $1000 \mathrm{~cm}^{3}=1 \mathrm{dm}^{3}=1$ litro. Depois de duas semanas, restaram 0,45 litros de perfume, de modo que ela gastou $(0,49 \pi-0,45)$ litros. Portanto, a fração que representa o volume gasto é + +$$ +\frac{\text { volume gasto }}{\text { volume total }}=\frac{0,49 \pi-0,45}{0,49 \pi}=\frac{49 \pi-45}{49 \pi} +$$ + +83. Igualdade com inteiros - Como $2^{n}=m^{2}-1=(m+1)(m-1)$, estabelecemos que $m-1$ e $m+1$ são potências de 2 . Como a diferença de $m+1$ e $m-1$ é 2 , a única solução possível é $m-1=2$ e $m+1=2^{2}$, donde $m=3$. Assim, $2^{n}+1=3^{2}=9$ e obtemos $n=3$. A resposta é $m=n=3$. +84. O caminho da pulga - No primeiro pulo, a pulga percorre $10 \times\left(\frac{1}{2}\right) \mathrm{m}$, no segundo pulo, ela percorre $10 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \mathrm{~m}$, e assim por diante. Depois de 7 pulos, a pulga terá percorrido + +$$ +\begin{aligned} +10\left(\frac{1}{2}\right) & +10\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+10\left(\frac{1}{2}\right)^{7} \\ +& =10\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\right] \\ +& =10 \times \frac{2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1}{2^{7}}=10 \times \frac{127}{128} \approx 9,9 +\end{aligned} +$$ + +Logo, em 7 dias, ela terá percorrido, aproximadamente $9,9 \mathrm{~m}$. Em geral, depois de $n$ dias, a pulga terá percorrido + +$$ +10\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right) \text { metros. } +$$ + +Para calcular a soma acima, note que $\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$ é a soma dos $n$ termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $a_{1}=1 / 2$ e cuja razão é $q=1 / 2$. A fórmula para essa soma é + +$$ +S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1 / 2\left(1-1 / 2^{n}\right)}{1-1 / 2}=1-\frac{1}{2^{n}} +$$ + +Assim, + +$$ +10\left(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=10\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)=10-\frac{10}{2^{n}} +$$ + +Tomando $n=10$, obtemos + +$$ +10-\frac{10}{2^{10}}=10-\frac{10}{1024}=10 \times \frac{1023}{1024} \approx 9,99 +$$ + +Portanto, ao final do décimo dia, a pulga terá percorrido, aproximadamente, 9,99 metros. + +A pulga estará a menos de $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho quando ela já tiver percorrido, pelo menos, $9,999=10-0,001$ metros, ou seja, quando + +$$ +10-\frac{10}{2^{n}} \geq 10-0,0001 +$$ + +o que equivale a $0,001 \geq 10 / 2^{n}$, ou $2^{n} \geq 10 / 0,001=10000$. + +Agora, $2^{13}=2^{10} \times 2^{3}=1024 \times 8=8192<10000<16384=2^{14}$, de modo que devemos tomar $n=14$ e a pulga estará a menos do que $0,001 \mathrm{~m}$ do final do caminho a partir do décimo quarto dia. + +85. Uma soma alternada - A opção correta é (d). + +A expressão $(-1)^{n+1}$ na definição de $S_{n}$ tem valor 1 se $n$ for par e tem valor -1 se $n$ for ímpar. + +Solução 1: Associando parcelas consecutivas duas a duas, obtemos uma soma de várias parcelas iguais a -1 : $(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots$. Logo, + +$$ +S_{1992}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+\cdots+(1991-1992)}_{1992 \div 2=996 \text { parcelas }}=(-1) \times 996=-996 +$$ + +e + +$$ +S_{1993}=(1-2)+(3-4)+\cdots+(1991-1992)+1993=-996+1993=997 +$$ + +Assim, $S_{1992}+S_{1193}=-996+997=1$. + +Solução 2: Como + +$$ +S_{2 n}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[2 n-(2 n+1)]}_{n \text { parcelas iguais a }-1} +$$ + +obtemos $S_{2 n}=-n$ e $S_{2 n+1}=S_{2 n}+(2 n+1)=-n+2 n+1=n+1$. Assim, $S_{2 n}+S_{2 n+1}=$ 1. + +86. O raio da circunferência - A opção correta é (c). + +Solução 1: Se o raio é $r$, então o comprimento de um arco de $\theta$ graus é $\frac{2 \pi}{360} \theta r$. Assim, no problema dado, temos que + +$$ +2000 \mathrm{~m}=\frac{2 \pi}{360} 300 r=\frac{5 \pi}{3} r +$$ + +portanto $r=2000 \times(3 / 5 \pi) \approx 382,17 \mathrm{~m}$. + +Solução 2: Como a circunferência tem $360^{\circ}$, um arco de $300^{\circ}$ representa $5 / 6$ da circunferência, portanto, seu comprimento de $2 \mathrm{~km}$ é $5 / 6$ do comprimento da circunferência, isto é, $(5 / 6) \times 2 \pi r=2000 \mathrm{~m}$, portanto + +$$ +r=\frac{2000 \times 6}{10 \pi}=\frac{1200}{\pi} \approx 382,17 \mathrm{~m} +$$ + +87. Quatro passageiros - O passageiro que quer ficar na janela tem três possíveis lugares para se sentar, o seguinte pode-se sentar em qualquer lugar livre, tendo, portanto, três possíveis lugares; o seguinte tem dois possíveis lugares e o último não tem escolha. Concluímos que o número dessas formas de se sentar é $3 \times 3 \times 2=18$. +88. Os cinco círculos - Observemos que qualquer linha que passe pelo centro $O$ do quadrado $A B C D$, divide a área formada pelos círculos $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3}$ e $\mathcal{C}_{4}$ pela metade. Por outro lado, qualquer linha reta que passe pelo centro $F$ do círculo $\mathcal{C}_{5}$, divide a área desse círculo pela metade. Assim, a reta procurada é a reta $F O$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-065.jpg?height=508&width=762&top_left_y=1451&top_left_x=727) + +89. O triângulo e o quadrado - As diagonais do quadrado $A B C D$ dividem o quadrado em 4 triângulos iguais, portanto, a área do triângulo $\triangle B C E$ mede uma quarta parte da área do quadrado, ou seja, + +$$ +1 \div 4=0,25 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-065.jpg?height=260&width=286&top_left_y=2006&top_left_x=1590) + +Como o comprimento de $B F$ é a metade de $B E$ e $C E$ é a altura comum às bases $B F$ e $B E$, concluímos que a área do triângulo $\triangle C B F$ necessariamente é a metade da área do triângulo $\triangle C B E$. Assim, a área do triângulo $\triangle C B F$ é $0,125 \mathrm{~cm}^{2}$. + +90. Uma refeição - Se $S$ corresponde ao número de sanduíches e $P$ ao número de pratos de refeição, então $5 S+7 P=90$ e, portanto, + +$$ +P=\frac{90-5 S}{7}=5 \times \frac{18-S}{7} +$$ + +Como queremos soluções inteiras não-negativas $P$ e $Q$, vemos que 7 deve dividir $18-S$. Assim, $S$ só pode ser 4,11 ou 18 e, nesses casos, $P$ é igual a 10,5 ou 0 , respectivamente. Portanto, temos somente três formas de fazer a compra sem receber troco, a saber, 4 sanduíches e 10 pratos, 11 sanduíches e 5 pratos, ou 18 sanduíches e nenhum prato. + +91. Plano Cartesiano - Somando 1 à abscissa $a$ do ponto $P=(a, b)$ transladamos esse ponto uma unidade para a direita, trocando $a$ por $-a$ refletimos esse ponto pelo eixo $y$ e dividindo $a$ por 2 , transladamos esse ponto à metade de sua distância do eixo $x$. Analogamente, trocar a ordenada $b$ de $P$ por $b-1$, ou $b-2$, translada $P$ uma ou duas unidades para baixo, trocar $b$ por $-b$ reflete o ponto pelo eixo $x$ e trocar $b$ por $b / 2$ translada $P$ para o ponto à metade de sua distância do eixo $y$. A figura mostra $P$ junto com os quatro pontos $A=(a+1, b / 2), B=(a / 2, b-1), C=(-a,-b) \mathrm{e}$ $D=(1-a, b-2)$ no plano cartesiano. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-066.jpg?height=511&width=551&top_left_y=518&top_left_x=1318) + +92. Soma dos terminados em 9 - A soma das $k$ primeiras parcelas de uma progressão aritmética é dada por $S_{k}=\frac{1}{2}\left(a_{1}+a_{k}\right) k$, em que $a_{1}$ e $a_{k}=a_{1}+(k-1) r$ são o primeiro e último termos, respectivamente, e $r$ é a razão. Por exemplo, temos + +$$ +1+2+3+\cdots+(n-1)=\frac{1}{2}[1+(n-1)](n-1)=\frac{1}{2} n(n-1) +$$ + +A soma dada é a de uma progressão aritmética de $n$ parcelas com primeiro termo $a_{1}=9$ e razão $r=10$, de modo que temos $a_{n}=9+(n-1) 10$ e, portanto, + +$$ +S_{n}=\frac{1}{2}[9+9+(n-1) 10] n=9 n+(n-1) 5 n=5 n^{2}+4 n +$$ + +Como queremos $S_{n} \geq 10^{5}$, precisamos encontrar o menor inteiro positivo $n$ tal que $5 n^{2}+4 n \geq 10^{5}$ ou, equivalentemente, $5 n^{2}+4 n-10^{5} \geq 0$. Para isso, resolvemos a equação de segundo grau $5 x^{2}+4 x-10^{5}=0$, obtendo as soluções + +$$ +x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+20 \times 10^{5}}}{10} +$$ + +e a raiz positiva $x_{1}=\frac{1}{10}[-4+\sqrt{2000016}] \approx 141,02$. Como $5 x^{2}+4 x-10^{5}$ é positivo fora das raízes, por ter coeficiente dominante $5>0$, resulta que $n=142$ é o menor inteiro positivo $n$ para o qual $S_{n}$ é maior do que $10^{5}$. + +93. Três cilindros - O volume de um cilindro de raio $R$ e altura $h$ é dado por $\pi R^{2} h$. + +(a) Os três volumes são $V_{1}=\pi \times 10^{3}=1000 \pi, V_{2}=\pi \times 5^{2} \times 10=250 \pi$ e $V_{3}=$ $\pi \times 5^{2} \times 20=500 \pi$, portanto, $V_{1}>V_{3}>V_{2}$. + +(b) Como os cilindros $V_{2}$ e $V_{3}$ têm o mesmo raio, basta manter o raio do cilindro em $5 \mathrm{~cm}$ e a altura entre 10 e $20 \mathrm{~cm}$; por exemplo, $h=15 \mathrm{~cm}$. Nesse caso, o volume $V_{4}$ do novo cilindro é $\pi \times 5^{2} \times 15=375 \pi \mathrm{cm}^{3}$. +(c) Para construir um cilindro de volume $V_{5}$ entre $V_{1}$ e $V_{3}$, podemos tomar a menor das duas alturas, que é $10 \mathrm{~cm}$, e diminuir o raio do cilindro de maior volume de 10 para $8 \mathrm{~cm}$, obtendo um cilindro de volume $V_{5}=\pi \times 8^{2} \times 10=640 \pi \mathrm{cm}^{3}$. + +94. Porcentagem de mortalidade - A opção correta é (a). + +A proporção de toda a população que fica doente da enfermidade é $\frac{15}{100}$ e, entre os que ficam doentes, a proporção dos que morrem é $\frac{8}{100}$. Assim, a proporção da população que morre pela doença é $\frac{15}{100} \times \frac{8}{100}$, o que corresponde a + +$$ +\frac{15 \times 8}{100^{2}}=\frac{120}{10000}=\frac{1,2}{100}=1,2 \% +$$ + +95. Agenda de aulas - Se a aula da manhã é segunda ou sexta (em qualquer um dos três horários), então o dia da aula de tarde pode ser escolhido de três formas diferentes (em qualquer um dos dois horários), portanto, temos $2 \times 3 \times 3 \times 2=36$ formas diferentes de escolher o horário. No caso em que a aula de manhã seja no sábado, o dia da aula da tarde pode ser qualquer dia de segunda a quinta, portanto, temos $3 \times 4 \times 2=24$ possíveis formas de escolher o horário. Por último, se a aula da manhã é terça, quarta ou quinta, então a aula da tarde só pode ser escolhida de duas formas, portanto, temos $3 \times 3 \times 2 \times 2=36$ formas de escolher o horário. Assim, Eliane pode escolher seu horário de $36+24+36=96$ formas distintas. +96. Jogo de Cartas - A estratégia abaixo permite realizar o jogo com 17 movimentos. Em cada movimento, o primeiro número indica a pilha da qual a carta é tomada e o segundo a pilha em que a carta é colocada. Por exemplo, o primeiro movimento é (1) e 4 sobre 2 significa pegar a carta superior da pilha 4 e colocar sobre a pilha 2 . + +| $(1) 4$ sobre 2 | $(2) 4$ sobre 3 | $(3) 4$ sobre 2 | $(4) 3$ sobre 4 | $(5) 3$ sobre 4 | $(6) 1$ sobre 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $(7) 3$ sobre 4 | $(8) 1$ sobre 3 | $(9) 1$ sobre 4 | $(10) 2$ sobre 1 | $(11) 2$ sobre 4 | $(12) 2$ sobre 3 | +| $(13) 2$ sobre 1 | $(14) 2$ sobre 1 | $(15) 4$ sobre 2 | $(16) 4$ sobre 2 | $(17) 4$ sobre 2 | | + +O movimento 2 também poderia ser 4 sobre 1 , o movimento 4 poderia ser 1 sobre 4, o movimento 5 poderia ser 1 sobre 4 , o movimento 6 poderia ser 3 sobre 4 . Os movimentos 4,5 e 6 poderiam ser permutados em qualquer ordem. Teríamos, assim, pelo menos, seis maneiras de realizar o jogo com 17 movimentos. + +Esse jogo poderia ser realizado com um número menor de movimentos? + +97. Frações inteiras - Como + +$$ +\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)+8}{n+1}\right]=\frac{1}{3}\left(2 n+2+\frac{16}{n+1}\right) +$$ + +segue que a expressão entre parênteses deve ser um múltiplo de 3 e, em particular, $n+1$ deve dividir 16. Assim, $n$ pode ser $1,3,7$ ou 15. Pela tabela ao lado, em cada um desses quatro casos, ou seja, para $n$ igual a 1, 3, 7 ou 15 , o quociente dado resulta ser um número inteiro. + +| $n$ | $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ | +| :---: | :---: | +| 1 | 4 | +| 3 | 4 | +| 7 | 6 | +| 15 | 11 | + +98. Quatro prefeitos e um círculo - O número de rodovias é igual ao número de pontos que podem ser o centro de um círculo (rodovia) que seja equidistante de quatro pontos (cidades) dados. Como nenhum círculo passa pelos quatro pontos dados, se algum círculo for equidistante dos quatro pontos, esse círculo não pode deixar todos os quatro pontos do lado de dentro ou todos do lado de fora, de modo que deve dividir o conjunto dos quatro pontos em dois, sem passar por algum deles. Assim, só podemos ter três tipos de configuração, de acordo com o número de pontos dentro e fora do círculo. No primeiro, o círculo equidistante deixa três pontos dentro e um fora; no segundo, dois dentro e dois fora e, no terceiro, um dentro e dois fora. + +Nas figuras abaixo estão ilustrados os dois primeiros tipos, em que o círculo contínuo é o equidistante. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-068.jpg?height=434&width=914&top_left_y=868&top_left_x=594) + +Na primeira figura, o centro do círculo equidistante coincide com o centro do círculo circunscrito ao triângulo formado pelos três pontos internos. Essa mesma configuração ocorre no terceiro tipo, em que o centro do círculo equidistante coincide com o centro do círculo circunscrito ao triângulo formado pelos três pontos externos. Assim, nesses dois tipos, o número de círculos equidistantes é igual ao número de triângulos que podemos formar com três dentre os quatro pontos, ou seja, quatro. + +Na segunda figura, o centro do círculo equidistante está na mediatriz dos dois pontos internos e, também, na mediatriz dos dois pontos externos. Assim, nesse tipo, o número de círculos equidistantes é igual ao número de maneiras de dividir o conjunto de quatro pontos em dois conjuntos de dois pontos cada um, ou seja, três. + +Logo, o número possível de projetos de rodovias circulares equidistantes das quatro cidades é $4+3=7$. + +99. Fatoriais - Queremos $a b c=a!+b$ ! $+c$ ! com algarismos $0 \leq a, b, c \leq 9$. Como $0!=1!=1,2!=2,3!=6$ e $4!=24$, algum dos algarismos $a, b$ ou $c$ deve ser maior do que 4 , pois $0!+1!+2!+3!+4!=34$ só tem dois dígitos. Se algum dos algarismos $a, b$ ou $c$ for maior do que ou igual a 6 , teremos $a b c=a!+b!+c!>6!=720$, o que acarreta que algum dos algarismos $a, b$ ou $c$ é, pelo menos, igual a 7; mas então $a b c=a!+b!+c!>7!=5040$ tem, pelo menos, quatro dígitos, o que é uma impossibilidade. + +Assim, algum dentre $a, b$ e $c$ é igual a 5 e os demais são menores do que 5. O menor número possível é $5!+1!+0!=120+1+1=122$ e o maior número possível é $5!+3!+4!=120+6+24=150$. Logo, o algarismo $a$ das centenas é 1 . Se o algarismo $b$ das dezenas for 5 , então $c \leq 4 \mathrm{e}$ + +$$ +1!+5!+c!=1+120+c!=121+c!\leq 121+4!=121+24=145 \neq 15 c +$$ + +Se o algarismo $b$ das dezenas for 0,2 ou 3 , então $b$ ! é igual a 1,2 ou 6 e, como necessariamente $c=5$, temos que $1!+b!+5!=1+b!+120=121+b$ ! é igual a 122 , 123 ou 127 , todos diferentes de $1 b 5$. Resta apenas a opção $b=4$ e $c=5$. Nesse caso, efetivamente $1!+4!+5!=1+24+120=145$, como queríamos. Os três números inteiros são $a=1, b=4$ e $c=5$. + +100. O Riquinho - Os 1000 reais de Riquinho foram repartidos em parcelas crescentes a partir de 1 , de modo que $1+2+3+\cdots+n \leq 1000$. Como $1+2+3+\cdots+n$ é a soma dos $n$ primeiros números inteiros a partir de 1 , temos $1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}(1+n) n$. Assim, queremos encontrar o maior $n$ tal que $\frac{1}{2}(1+n) n=1+2+3+\cdots+n \leq 1000$, ou seja, tal que $n^{2}+n-2000 \leq 0$. + +Como $n^{2}+n-2000$ é igual a -2000 para $n=0$ e o coeficiente dominante desse polinômio é $1>0$, sabemos que os valores de $n^{2}+n-2000$ são negativos para todo $n$ entre 0 e a raiz positiva do polinômio quadrático $x^{2}+x-2000$. Pela fórmula de Bhaskara, a raiz positiva é dada por + +$$ +x=\frac{-1+\sqrt{1+8000}}{2} \approx 44,22 +$$ + +portanto $n^{2}+n>2000$ para $n \geq 45$. Assim, Riquinho distribuiu apenas 44 parcelas. Como Bernardo recebeu a segunda parcela, a quinta parcela $(5=2+3)$, a oitava parcela $(8=2+2 \times 3)$, e assim por diante, também recebeu a última, já que $44=2+14 \times 3$, num total de + +$$ +2+5+8+11+\cdots+44=\frac{1}{2}(44+2) \times 15=23 \times 15=345 \text { reais. } +$$ + +Observação: Depois de distribuir as 44 parcelas, ainda sobram + +$$ +1000-\frac{1}{2}(44 \times 45)=1000-990=10 +$$ + +dos 1000 reais de Riquinho. + +101. Retângulo com dimensões inteiras - Sejam $a$ e $b$ os comprimentos dos lados do retângulo. Supondo $a \leq b$, temos $b^{2}0,99$, isso equivale a + +$$ +1-\frac{1}{2^{n}}=S_{n}>0,99=1-0,01=1-\frac{1}{100} +$$ + +ou seja, a $2^{n}>100$. Como $2^{7}=128>100>2^{6}=64, n=7$ é o menor $n$ tal que $2^{n}>100$, ou $S_{n}>0,99$. + +Observação: Note que, no início desta resolução, deduzimos o valor da soma da progressão geométrica de primeiro termo e razão ambos iguais a $1 / 2$, sem usar a fórmula dessa soma, a saber, + +$$ +S_{n}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}} +$$ + +## 118. Soma de raizes quadradas + +(a) Como + +$$ +r^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2})(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^{2}=2+2 \sqrt{6}+3=5+2 \sqrt{6} +$$ + +segue que $r^{2}-5=2 \sqrt{6}$, ou $\sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$. + +(b) Pelo mesmo argumento, + +$$ +\begin{aligned} +s^{2} & =(\sqrt{215}+\sqrt{300})^{2}=215+2 \sqrt{215 \cdot 300}+300 \\ +& =515+10 \sqrt{43 \cdot 60}=515+10 \sqrt{2580} \\ +& >515+10 \sqrt{2500}=515+500=1015 +\end{aligned} +$$ + +119. Duas rodas - Enquanto a roda $A$ dá 1200 voltas, a roda $B$ dá 1500 voltas ou, equivalentemente, a roda $A$ dá 4 voltas a cada 5 voltas da roda $B$. Denotemos por $R$ o raio da roda $A$ e por $r$ o raio da roda $B$. O comprimento da roda $A$ é $2 \pi R$ e o da roda $B$ é $2 \pi r$, portanto, o comprimento de 4 voltas da roda $A$ é $4 \times(2 \pi R)$ e o comprimento de 5 voltas da roda $B$ é $5 \times(2 \pi r)$. Como esses dois comprimentos são iguais, temos que $4 R=5 r$. Por outro lado, na figura vemos que $2(r+R)=9$, de modo que + +$$ +9=2(r+R)=2 r+2\left(\frac{5}{4} r\right)=\left(2+\frac{5}{2}\right) r=\frac{9}{2} r +$$ + +e, assim, estabelecemos que $r=2 \mathrm{~cm}$ e $R=2,5 \mathrm{~cm}$. + +120. Dois divisores - A opção correta é (c). + +O número $N=2^{48}-1$ é muito grande mas, mesmo assim, podemos descobrir vários de seus divisores. Para isso, utilizamos a igualdade + +$$ +(x-1)\left(x^{a-1}+x^{a-2}+\cdots+x+1\right)=x^{a}-1 +$$ + +Notamos que os divisores de 48 são $1,2,3,4,6,8,12,24$ e 48 . Tomando $x=2^{2}$ e $a=24$ na igualdade acima, estabelecemos que $x-1=2^{2}-1=3$ é um divisor de $\left(2^{2}\right)^{24}-1=2^{48}-1=N$. Analogamente, tomando $x=2^{3}$ e $a=18$, estabelecemos que $x-1=2^{3}-1=7$ é um outro divisor de $\left(2^{3}\right)^{18}-1=2^{48}-1=N$. Procedendo dessa maneira, verificamos que, para qualquer divisor $d$ de 48 , o número $2^{d}-1$ é um divisor de $N$. Dessa forma, concluímos que $2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{4}-1=17,2^{6}-1=63$, $2^{8}-1=251$, e assim por diante, são divisores de $N$. + +Além desses, podemos ainda obter outros divisores de $N$ considerando os divisores pares $d=2 n$ de 48 e usando o produto notável + +$$ +2^{d}-1=\left(2^{n}\right)^{2}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right) +$$ + +Como $2^{d}-1$ é um divisor de $N$, também $2^{n}+1$ é um divisor de $N$. Por exemplo, $d=4=2 \times 2$ fornece o divisor $2^{2}+1=5$ de $N, d=6=2 \times 3$ fornece o divisor $2^{3}+1=9$ de $N, d=8=2 \times 4$ fornece o divisor $2^{4}+1=17$ de $N, d=12=2 \times 6$ fornece o divisor $2^{6}+1=65$ de $N$, e assim por diante. + +Note que já obtivemos dois divisores de $N=2^{48}-1$ entre 60 e 70, a saber, 63 e 65 . + +Observação: Com o auxílio de um computador, podemos ver que $N$ é, realmente, um número muito grande, já que $N=2^{48}-1=281474976710655$, e obter sua fatoração, dada por + +$$ +N=2^{48}-1=3^{2} \times 5 \times 7 \times 13 \times 17 \times 97 \times 241 \times 257 \times 673 +$$ + +Empregando o argumento exposto na resolução deste exercício, é possível encontrar vários divisores de números bastante grandes. + +121. Rede de estações - $\mathrm{O}$ exemplo mostra que podemos conectar pelo menos sete estações dentro das condições propostas. Começamos com uma estação particular, e vamos pensar nela como se fosse a base da rede. Ela pode ser conectada a uma, duas, ou três estações, conforme mostra o primeiro dos dois diagramas a seguir. As estações A, B e C têm, ainda, duas linhas não utilizadas, portanto, podem ser conectadas a duas outras estações, como no segundo dos dois diagramas a seguir. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-076.jpg?height=464&width=1114&top_left_y=1478&top_left_x=480) + +Agora, é impossível acrescentar mais estações, pois qualquer outra a mais não poderia ser conectada à base satisfazendo as condições do problema. Isso mostra que não podemos ter mais do que 10 estações. + +Vejamos, agora, se é possível montar uma rede com essas 10 estações. Observe, no diagrama acima, que apenas a base é conectada a todas as outras estações (através de um cabo ou de uma conexão via uma estação). As estações que estão nos extremos ainda possuem duas linhas não utilizadas, e agora vamos usá-las para fechar a rede. Veja o diagrama a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-077.jpg?height=626&width=711&top_left_y=298&top_left_x=707) + +122. Bolas brancas e pretas - A opção correta é (b). + +Inicialmente observe que, depois de cada substituição, o número de bolas brancas, ou permanece o mesmo, ou decresce de dois. Logo, o número de bolas brancas permanece par. Por outro lado, cada grupo de bolas removidas que contém pelo menos uma bola branca é substituído por outro grupo que também contém uma bola branca, portanto, o número de bolas brancas nunca é zero. Agora observe que a opção (b) é a única que inclui pelo menos duas bolas brancas, logo ela é a opção correta. Um modo de obter esse resultado é remover três bolas brancas 49 vezes até obter 149 pretas e duas brancas e, depois, remover uma preta e duas brancas 149 vezes. + +123. $O$ cubo - Seja $a$ a aresta do cubo que Alice quer construir. Como a área lateral do cubo mede $6 a^{2} \mathrm{~cm}^{2}$, devemos ter $6 a^{2} \leq 25 \times 60$, isto é, $a^{2} \leq 250$ e, portanto, $a<16$. Com $a=15$ temos $4=60 \div 15$ quadrados de lado medindo $15 \mathrm{~cm}$ e sobra um retângulo de 60 por $10 \mathrm{~cm}$. Podemos cortar fora um retângulo de 60 por $2,5 \mathrm{~cm}$ e os pedaços marcados $\operatorname{com} \circledast$, de dimensões 15 por $7,5 \mathrm{~cm}$. Assim, na figura, a linha pontilhada indica dobradura e a linha contínua indica corte; com os dois pedaços de cartolina marcados com $\circledast$ formamos a tampa. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-077.jpg?height=220&width=534&top_left_y=2077&top_left_x=841) + +## 124. Um quadrado e um triângulo + +Solução 1: Indiquemos por $S_{1}, S_{2}$ e $S_{3}$ as áreas dos triângulos $\triangle X A B, \triangle A Y D$ e $\triangle B C Z$ e por $S_{q}$ a área do quadrado $A B C D$, conforme indicado na figura. Se $S$ denota a área do triângulo $\triangle X Y Z$, então $S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{q}$ e como, por hipótese, $S_{q}=(7 / 32) S$, estabelecemos que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{S} & =\frac{S-S_{q}}{S}=1-\frac{S_{q}}{S} \\ +& =1-\frac{7}{32}=\frac{25}{32} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-078.jpg?height=363&width=791&top_left_y=367&top_left_x=1018) + +Como $\triangle X A B$ e $\triangle X Y Z$ são triângulos semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, isto é, + +$$ +\frac{S_{1}}{S}=\left(\frac{X A}{X Y}\right)^{2} +$$ + +Transladando horizontalmente o triângulo $\triangle B C Z$ de modo a justapô-lo ao triângulo $\triangle A D Y$, obtemos um triângulo semelhante a $\triangle X Y Z$, mas de área $S_{2}+S_{3}$. Assim, + +$$ +\frac{S_{2}+S_{3}}{S}=\left(\frac{A Y}{X Y}\right)^{2} +$$ + +Somando esses dois quocientes obtidos e usando a proporção estabelecida acima, concluímos que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{25}{32} & =\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{S}=\frac{(X A)^{2}+(A Y)^{2}}{(X Y)^{2}}=\frac{(X A)^{2}+(X Y-X A)^{2}}{(X Y)^{2}} \\ +& =\frac{(X Y)^{2}+2(X A)^{2}-2(X Y)(X A)}{(X Y)^{2}}=1+2\left(\frac{X A}{X Y}\right)^{2}-2\left(\frac{X A}{X Y}\right) +\end{aligned} +$$ + +ou seja, a razão entre $X A$ e $X Y$ procurada satisfaz a equação de segundo grau + +$$ +2\left(\frac{X A}{X Y}\right)^{2}-2\left(\frac{X A}{X Y}\right)+\frac{7}{32}=0 +$$ + +Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos dois valores possíveis para essa razão, a saber, $\frac{X A}{X Y}=\frac{7}{8}$ e $\frac{X A}{X Y}=\frac{1}{8}$. + +Solução 2: Denotemos o comprimento do lado do quadrado $A B C D$ por $l$, a altura do triângulo $\triangle X Y Z$ por $H$, a altura do triângulo $\triangle X A B$ por $h$ e o comprimento do lado $Y Z$ por $b$. A área do quadrado é $l^{2}$ e a área do triângulo $\triangle X Y Z$ é $\frac{1}{2} b H$. Como os triângulos $X Y Z$ e $X A B$ são semelhantes, temos + +$$ +\frac{l}{b}=\frac{h}{H}=\frac{X A}{X Y} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-078.jpg?height=351&width=788&top_left_y=2280&top_left_x=1022) + +Portanto, $b=\frac{H l}{h}$, a área do triângulo $\triangle X Y Z$ é $\frac{1}{2} b H=\frac{H^{2} l}{2 h}=\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}$ e a razão procurada é dada por + +$$ +\frac{X A}{X Y}=\frac{h}{H}=\frac{h}{h+l}=\frac{1}{1+\frac{l}{h}} +$$ + +de modo que resta calcular a razão $l / h$. + +Como a razão entre a área $\frac{(h+l)^{2} l}{2 h}$ do triângulo $\triangle X Y Z$ e a área $l^{2}$ do quadrado é $32 / 7$, obtemos $7(h+l)^{2}=64 h l$. Expandindo e dividindo por $h^{2}$, obtemos a equação quadrática + +$$ +7\left(\frac{l}{h}\right)^{2}-50\left(\frac{l}{h}\right)+7=0 +$$ + +que tem soluções + +$$ +\frac{l}{h}=\frac{50 \pm \sqrt{50^{2}-4 \times 49}}{14}=\frac{25 \pm \sqrt{25^{2}-7^{2}}}{7}=\frac{25 \pm 24}{7} +$$ + +Assim, $l / h$ tem dois possíveis valores, $1 / 7$ e 7 e, portanto, $\frac{X A}{X Y}$ tem dois possíveis valores, $\frac{X A}{X Y}=\frac{7}{8}$ e $\frac{X A}{X Y}=\frac{1}{8}$. + +## 125. A urna + +Solução 1: Os pares + +$$ +\begin{aligned} +& \{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{1,6\} \\ +& \{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{2,6\},\{3,4\} \\ +& \{3,5\},\{3,6\}, \quad\{4,5\}, \quad\{4,6\}, \quad\{5,6\} +\end{aligned} +$$ + +são os únicos pares de bolas diferentes que podem ser retirados da urna. Logo, podem ser retirados da urna $5+4+3+2+1=15$ diferentes pares de bolas. Dentre esses, existem apenas 5 pares de bolas numeradas com números que diferem por uma unidade, a saber, $\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\}$ e $\{5,6\}$. Assim, a probabilidade que um desses pares seja retirado é $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. + +Solução 2: Observemos que se extrairmos a primeira bola com um número entre 2 e 5 , então dentre as cinco bolas que ficam na urna, temos duas possíveis bolas que cumprem a condição do problema, portanto, nesse caso, a probabilidade que a segunda bola cumpra a condição é $\frac{2}{5}$ e a probabilidade que a primeira bola tenha um número entre 2 e 5 é $\frac{4}{6}$. Por outro lado, se a primeira bola extraída for 1 ou 6 , só temos uma bola na urna que cumpre a condição, portanto, nesse caso, a probabilidade para a escolha da segunda bola é $\frac{1}{5}$ e a probabilidade da primeira bola ser 1 ou 6 é $\frac{2}{6}$. Assim, a probabilidade das bolas serem consecutivas é + +$$ +\frac{4}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \times \frac{1}{5}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3} +$$ + +126. Soma das raizes de uma equação - Devemos considerar dois casos. Se $x+1 \geq 0$, então $|x+1|=x+1$ e a equação é $x^{2}+3 x+2=x+1$, ou seja, $x^{2}+2 x+1=0$, que só possui a solução $x=-1$. Se $x+1<0$, então $|x+1|=-x-1$ e a equação é +$x^{2}+3 x+2=-x-1$, ou seja, $x^{2}+4 x+3=0$, que tem apenas a solução $x=-3$ no intervalo $x<-1$. Assim, as únicas soluções distintas da equação dada são -1 e -3 , de modo que a soma de todas as raízes distintas da equação é -4 . +127. Produto de três números - Sejam $a, b, c, \ldots, i, j$ os números nos 10 círculos, conforme indicado no diagrama. + +$$ +(a) \times(b) \times(d)(f)=(g) h(i) +$$ + +Observe que $a, c$ e $f$ não podem ser zero, pois $0 \times x=0$, para qualquer $x$. entretanto, o produto dos três números é um número de quatro algarismos, portanto, $a b d<10 \mathrm{e}$ os números que aparecem em $a b d$ são 1,2 e 3 ou 1,2 e 4 . Observemos que a segunda opção é impossível de ocorrer, porque o mínimo produto que podemos obter nesse caso é $1 \times 23 \times 456=10488$, de modo que $a b d=6$ e o produto é maior do que 6000 . Tampouco pode $a$ ser 2 ou 3 , porque nesse caso o mínimo valor que tem o produto é $2 \times 14 \times 356=9968$ e os outros produtos ficam maiores do que 10000 . Assim, $a=1$. Continuando essa análise, chegaremos à solução dada no diagrama. + +(1) $\times$ (2)(6) $\times$ (3)(4)(5) $=$ (8)(9)(7)(1) + +128. Área do triângulo - Para determinar a área de um triângulo, basta conhecer o comprimento de uma base e sua respectiva altura. Tomando $A C$ como base, a altura corta $A C$ no ponto $H=(1,0)$, já que o segmento $A C$ é vertical e o segmento $H B$ é horizontal. Assim, a base $A C$ mede 8 unidades e a altura $B H$ relativa a essa base mede 7. Logo, a área do triângulo é $\frac{1}{2}(7 \times 8) 2=28$ unidades de área. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-080.jpg?height=320&width=436&top_left_y=1736&top_left_x=1370) + +129. Duas tabelas - Vemos que na primeira tabela cada linha é uma progressão aritmética de razão 3 e cada coluna é uma progressão aritmética de razão 7. + +| 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | +| 19 | 22 | 25 | 28 | 31 | +| 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | +| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | + + +| | | 39 | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | | +| | | | | 87 | +| 56 | | | | | +| | | | $\star$ | | + +Digamos que na segunda tabela a razão das progressões aritméticas das linhas seja $a$ e a das colunas seja $b$. Assim, obtemos $39+2 a+2 b=87$ e $39-2 a+3 b=56$. + +| $39-2 a$ | $39-a$ | 39 | $39+a$ | $39+2 a$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $39-2 a+b$ | | | | $39+2 a+b$ | +| $39-2 a+2 b$ | | | | 87 | +| 56 | | | | | +| | | | $\star$ | | + +Somando essas duas equações, resulta $78+5 b=143$, donde $b=13$. Subtraindo as duas igualdades que anteriormente foram somadas, obtemos $4 a-b=31$. Segue que $a=11$. Assim, o número que estava na posição $\star$ era $39+a+4 b=39+11+4 \times 13=102$. + +130. A sequência $\boldsymbol{a b c}$ - Sabendo que $30=2(10+a)$, obtemos que $a=5$. Assim, $b=$ $2(30+a)=2(30+5)=70$ e, portanto, $c=2(b+30)=2(70+30)=200$. +131. Perímetro e diagonal - A opção correta é (b). + +Denotando por $a$ e $b$ os comprimentos dos lados do retângulo, temos $2 a+2 b=20$, de modo que $a+b=10$. O quadrado do comprimento da diagonal, dado pelo Teorema de Pitágoras, é $d^{2}=a^{2}+b^{2}$. Mas, + +$$ +(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)=2 a^{2}+2 b^{2}=2 d^{2} +$$ + +e $(a+b)^{2}=100$, portanto $d^{2}=50-\frac{1}{2}(a+b)^{2}$. Assim, vemos que o mínimo do comprimento da diagonal ocorre quando $a=b$, caso em que $d=\sqrt{50}$. + +132. As idades numa classe - Denotemos por $a$ a idade comum dos alunos e por $n$ o número de alunos dessa classe. Temos sete alunos com $a-1$ anos, dois com $a+2$ anos e os demais, ou seja, $n-9$ alunos, com $a$ anos. Logo, a soma das idades de todos os alunos, que é 330 , pode ser desdobrada em $330=7(a-1)+2(a+2)+(n-9) a=n a-3$, de modo que $n a=330+3=333=9 \times 37$. + +Como a classe tem mais do que 9 alunos, então $a=9$ e $n=37$, ou seja, a classe tem 37 alunos. + +133. A mesa redonda - O perímetro de mesa ampliada é + +$$ +140 \times \pi+40 \times 6 \approx 140 \times 3,14+240=679,60 \mathrm{~cm} +$$ + +Se cada convidado precisa de $60 \mathrm{~cm}$ de espaço, poderão sentar-se à mesa, no máximo, + +$$ +\frac{679,60}{60} \approx 11,3 +$$ + +ou seja, 11 convidados. + +## 134. Brincadeira com sete números + +Solução 1: Os sete números podem ser escritos como + +$$ +\underbrace{n-3, n-2, n-1}_{3 n-6}, n, \underbrace{n+1, n+2, n+3}_{3 n+6} +$$ + +Observando que $3 n-6+12=3 n+6$, estabelecemos que $n=12$. Logo, os números são $9+10+11+12=13+14+15$. + +Solução 2: Sejam $n+1, n+2, \ldots, n+7$ os sete números consecutivos tais que + +$$ +(n+1)+\cdots+(n+k)=(n+k+1)+\cdots+(n+7) +$$ + +para algum $k$ entre 1 e 6 . Como todos os números à esquerda da igualdade são menores do que os números à direita, existem mais parcelas à esquerda, portanto, $k=6,5$ ou 4. Tomando $k=6$, obtemos $6 n+1+2+3+4+5+6=n+7$, ou seja, $5 n+14=0$, que não tem solução inteira. Também $k=5$ dá $5 n+1+2+3+4+5=n+6+n+7$, ou seja, $3 n+2=0$, que não tem solução inteira. Finalmente, com $k=4$ obtemos $4 n+1+2+3+4=3 n+5+6+7$, portanto, $n=8$ e $9+10+11+12=13+14+15$ é a única solução. + +135. Um terreno compartilhado - Como as áreas dos triângulos $\triangle A B M$ e $\triangle A D N$ são iguais, temos + +$$ +\frac{1}{2}(B M \times A B)=\frac{1}{2}(N D \times A D) +$$ + +Como o terreno é quadrado, temos $A B=A D$, de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-082.jpg?height=343&width=371&top_left_y=882&top_left_x=1411) + +modo que $B M=D N$ e, portanto, a figura $A M C N$ é simétrica em relação à diagonal $A C$. Logo, a área do triângulo $\triangle A C N$ é a metade da área do triângulo $\triangle A D N$. Agora, como esses triângulos têm a mesma altura, resulta $D N=2 N C$ e, por simetria, $B M=2 M C$. Concluímos que a distância ao vértice $C$ do quadrado dos pontos $M$ e $N$ deve ser $1 / 3$ do comprimento do lado do quadrado. + +136. As duas partículas - Denotemos as partículas por $A$ e $B$ e seja $v$ a velocidade da partícula $B$. Supondo que $A$ seja a mais rápida, temos que $v+2$ é a velocidade de $A$. Assim, o tempo que $B$ demora para dar uma volta é $120 / v$ e o tempo que $A$ demora é $120 /(v+2)$. Como esse tempo é três segundos inferior ao de $B$, temos a equação básica + +$$ +\frac{120}{v}-3=\frac{120}{v+2} +$$ + +Simplificando, isso equivale a $v^{2}+2 v-80=0$, cuja raiz positiva é + +$$ +v=\frac{1}{2}[-2+\sqrt{4+320}]=-1+\sqrt{81}=8 +$$ + +Portanto, a velocidade da partícula mais lenta é $8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ e a da mais rápida é $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. + +137. Queda livre - No primeiro segundo, o corpo percorre $4,9 \mathrm{~m}$ e, como a distância percorrida aumenta $9,8 \mathrm{~m}$ a cada segundo em relação ao segundo anterior, o corpo percorre $4,9+9,8 \mathrm{~m}$ no segundo segundo, $4,9+2 \times 9,8 \mathrm{~m}$ no terceiro segundo, $4,9+3 \times 9,8$ $\mathrm{m}$ no quarto segundo e assim por diante, até o décimo primeiro segundo, em que o corpo percorre $4,9+10 \times 9,8=102,9 \mathrm{~m}$. A distância total percorrida pelo corpo até o impacto é + +$$ +\begin{aligned} +& 4,9+(4,9+9,8)+(4,9+2 \times 9,8)+\cdots+(4,9+10 \times 9,8) \\ +& \quad=4,9 \times 11+9,8(1+2+\cdots+10)=53,9+9,8 \times 55=592,9 \mathrm{~m} +\end{aligned} +$$ + +138. Um caminho triangular - Se $v$ representa a velocidade constante com que Janete caminha, então $v=(1992 \mathrm{~m}) /(24 \mathrm{~min})=83 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$. Janete percorre o outro lado $B C$ e a hipotenusa $C A$ com a mesma velocidade de $v=83 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ e gasta 2 horas e 46 minutos, o que é igual a $166 \mathrm{~min}$. Assim, $B C+A C=83 \times 166=13778 \mathrm{~m}$. + +Mas, pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa $C A$ do triângulo satisfaz $(C A)^{2}=(1922)^{2}+(B C)^{2}$. Daí decorre que + +$$ +\begin{aligned} +(1992)^{2} & =(C A)^{2}-(B C)^{2}=(C A+B C)(C A-B C) \\ +& =13778 \times(C A-B C) +\end{aligned} +$$ + +portanto $C A-B C=1992^{2} / 13778=288 \mathrm{~m}$. Assim, $C A+B C=13778 \mathrm{e}$ $C A-B C=288$. Subtraindo, obtemos $2 B C=13778-288=13490$ e, portanto, $B C=\frac{1}{2} 13490=6745 \mathrm{~m}$. + +139. O preço do feijão - A opção correta é (a). + +Se $b$ denota o preço final e $a$ o preço inicial de um bem, então a variação é $b-a$ e o aumento percentual é + +$$ +\frac{b-a}{a} +$$ + +Observe que os valores intermediários do bem não alteram a variação do aumento percentual num certo período. Usando apenas os dados de janeiro e de abril da tabela dada, obtemos os aumentos percentuais do + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { feijão A: } & \frac{103,33-65,67}{65,67}=\frac{37,66}{65,67}=0,57=57 \% \\ +\text { feijão B: } & \frac{109,50-73,30}{73,30}=\frac{36,20}{73,30}=0,49=49 \% \\ +\text { feijão C: } & \frac{100,00-64,50}{64,50}=\frac{35,50}{64,50}=0,55=55 \% +\end{array} +$$ + +Portanto, o maior aumento percentual de preço foi o do feijão $A$ e o menor foi o do feijão $B$. + +140. Interseção de triângulos - Quando acrescentamos um novo triângulo a uma figura constituída de triângulos, ele corta cada um dos lados dos triângulos que já existiam em, no máximo, dois pontos. Inicialmente, começando com um só triângulo, não temos ponto de interseção algum. Acrescentando um segundo triângulo, introduzimos, no máximo, $2 \times 3=6$ pontos de interseção. Do mesmo modo, introduzindo um terceiro triângulo, introduzimos, no máximo, mais $2 \times 6=12$ pontos de interseção. Logo, três triângulos se intersectam em, no máximo, $6+12=18$ pontos. A figura mostra que esse caso de 18 pontos de interseção pode acontecer. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-083.jpg?height=434&width=442&top_left_y=2262&top_left_x=887) + +141. Comparar triângulos - De acordo com os dados do problema, temos + +$$ +\frac{A B}{A C}=\frac{A C}{A D}=\frac{B C}{C D}=\frac{2}{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-084.jpg?height=262&width=517&top_left_y=283&top_left_x=1295) + +Segue que os triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle A C D$ têm seus lados proporcionais e, portanto, são semelhantes. Em particular, obtemos $B \widehat{A} C=C \widehat{A} D$. + +142. Queima de velas - A opção correta é (c). + +Como o verdadeiro comprimento das velas é irrelevante, podemos estipular qualquer tamanho para as velas, que a resposta será, sempre, a mesma. O mais simples é supor que ambas velas têm comprimento igual a uma unidade. Assim, a que queima em 3 horas queima à velocidade constante $1 / 3$ (de vela por hora) e a que queima em 4 horas queima à velocidade $1 / 4$ (de vela por hora). Logo, depois de algum tempo (em horas) $t$, uma queima $t / 3$ (de vela) e a outra $t / 4$ (de vela), de modo que o que sobra de uma vela depois de um tempo $t$ é $1-t / 3$ e da outra, $1-t / 4$. Queremos saber quanto tempo decorre desde o instante $t=0$ até o momento em que o comprimento da vela que queima mais lentamente é o dobro do comprimento da que queima mais rapidamente, o que equivale a resolver a equação + +$$ +1-\frac{t}{4}=2\left(1-\frac{t}{3}\right)=2-\frac{2 t}{3} +$$ + +Como $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$, a única solução é $t=\frac{12}{5}=2 \frac{2}{5}$ horas, o que equivale a 2 horas e 24 minutos. Assim, depois de 2 horas e 24 minutos, o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra. Como queremos que isso aconteça às 16 horas, as velas devem ser acesas às 13 horas e 36 minutos. + +143. Uma distração - A opção correta é (b). + +Solução 1: Seja $x$ o número com que Júlia se distraiu. Ela deveria ter obtido $6 x$ mas, com sua distração, obteve $x / 6$. Logo, seu erro foi de $6 x-x / 6=(35 / 6) x$ e, portanto, em termos percentuais, seu erro foi de $\frac{(35 / 6) x}{6 x}=\frac{35}{36} \approx 0,9722=97,22 \%$. + +Solução 2: Se $N$ é o valor que Júlia deveria ter obtido então, com seu erro, ela encontrou $N / 36$, de modo que o erro absoluto cometido foi de $N-N / 36=(35 / 36) N$ e, portanto, o erro relativo foi de $\frac{35}{36} \times 100 \%=97,22 \%$. + +144. Problema de nota - Seja $c$ o número de problemas resolvidos corretamente e seja $e$ a soma do número de problemas resolvidos incorretamente e de problemas não resolvidos. Logo, $c+e=80$ e $5 c-3 e$ é o número de pontos do aluno na avaliação. No caso presente, + +$$ +\left\{\begin{aligned} +c+e & =80 \\ +5 c-3 e & =8 +\end{aligned}\right. +$$ + +Resolvendo o sistema, encontramos $c=31$ e $e=49$. Logo, o aluno resolveu 31 problemas corretamente. + +## 145. Quadrados e triângulos + +(a) Os únicos quadrados que não têm nenhum de seus lados paralelos nem à reta $r$, nem à reta $s$, são os do tipo 1 e os do tipo 2 (ver figuras). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-085.jpg?height=488&width=502&top_left_y=470&top_left_x=914) + +Assim, há um total de seis quadrados, sendo quatro do tipo 1 e dois do tipo 2 . + +(b) Digamos que a distância vertical ou horizontal entre dois pontos contíguos do reticulado seja igual a uma unidade. O total desses triângulos é dezesseis, cada um deles com catetos iguais a $\sqrt{5}$ unidades e hipotenusa de $\sqrt{10}$ unidades. De fato, cada um dos quadrados do tipo 2 , como visto em (a), nos dá quatro triângulos, por divisão ao longo de cada uma das duas diagonais obtendo, assim, oito triângulos. Os oito triângulos restantes são obtidos através de uma única translação horizontal ou vertical de cada um dos anteriores. Na figura, exemplificamos a única translação possível de um dos quatro triângulos obtidos de um quadrado do tipo 2 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-085.jpg?height=417&width=434&top_left_y=1505&top_left_x=937) + +## 146. Cálculo de áreas + +(a) A área hachurada corresponde a um quarto da área de um círculo de raio $r$, portanto, a área hachurada é igual a $\frac{1}{4} \pi r^{2}$. + +(b) Observe que a área da região marcada com $\mathrm{X}$, que não está hachurada na figura (a), é igual à área do quadrado todo, diminuída da área da região hachurada, ou seja, + +área da região marcada com $\mathrm{X}=r^{2}-\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4}(4-\pi) r^{2}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-085.jpg?height=208&width=614&top_left_y=2489&top_left_x=847) + +Voltando ao item (b), a área da região hachurada na figura (b) é igual à área do quadrado todo, menos duas vezes a área da região marcada com X, ou seja, é igual a + +$$ +\text { área da região hachurada }=r^{2}-2 \times \frac{1}{4}(4-\pi) r^{2}=\frac{1}{2} \pi r^{2}-r^{2} +$$ + +147. Sequência de algarismos - Os números com um algarismo formam os 9 primeiros termos da sequência. Os 90 números de dois algarismos formam os 180 termos seguintes. Depois vêm os 2700 termos correspondentes aos números de três algarismos, seguidos pelos 36000 termos correspondentes aos números de quatro algarismos e finalmente, os 450000 termos que são os correspondentes aos números de cinco algarismos. Logo, enumerando os termos da sequência, obtemos 488889 termos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-086.jpg?height=117&width=1362&top_left_y=958&top_left_x=381) + +Para escrever todos os termos de 1, 2, 3 e 4 algarismos, chegamos à $38889^{\text {a }}$ posição da sequência. Logo, o algarismo na $206788^{a}$ posição faz parte de um número de cinco algarismos, ou seja, está no bloco + +$$ +\underbrace{a_{38890}, \ldots, a_{488889}}_{5 \text { algs }} +$$ + +Esse bloco é da forma 10000, 10001,.. 99 999. Para ver quantos números de cinco algarismos existem desde a posição 38889 até a posição 206788 , dividimos essa diferença por 5. Assim, $206788-38889=167899$ e $167899=5 \times 33579+4$. Portanto, precisamos de 33579 números de cinco algarismos, mais os quatro primeiros algarismos do $33580^{\circ}$ número de cinco algarismos, que é 43579 , para chegar ao algarismo na posição 206788. + +Como o quarto algarismo do número 43579 é 7 , temos que o algarismo procurado é 7 . + +148. Soma constante - Para resolver este problema, o mais fácil é começar dispondo os números $1,2,3,4,5,6,7,8$ e 9 numa tabela $3 \times 3$ de modo que a soma de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal seja 15. Depois basta somar 662 a cada elemento da tabela, obtendo, por exemplo, a solução seguinte. + +| 670 | 665 | 666 | +| :--- | :--- | :--- | +| 663 | 667 | 671 | +| 668 | 669 | 664 | + +Assim como existem outras maneiras de dispor os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 na tabela, também existem outras soluções desse problema. + +149. Contando os zeros - Inicialmente, verificamos como terminam as potências de 9, ou seja, listamos os dois últimos algarismos, os da dezena e da unidade, das potências $9^{n}$, ordenadamente. + +| Se $n$ for | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $9^{n}$ termina com | 01 | 09 | 81 | 29 | 61 | 49 | 41 | 69 | 21 | 89 | 01 | 09 | 81 | + +Assim, vemos que os dois últimos algarismos de $9^{10}, 9^{11}$ e $9^{12}$ são os mesmos de $9^{0}, 9^{1}$ e $9^{2}$. A partir $9^{10}$, os dois últimos algarismos das potências começam a se repetir, formando uma sequência periódica de período 10. Como $2007=10 \times 200+7$ e os dois últimos algarismos de $9^{10 \times 200}$ são 01, segue que os dois últimos algarismos de $9^{2007}$ são os dois últimos algarismos de $9^{7}$, ou seja, 69. Então, os dois últimos algarismos de $9^{2007}+1$ são iguais a $69+1=70$. Assim, existe um único zero no final do número $9^{2007}+1$. + +150. Círculos dentro do quadrado - A resposta desse problema é afirmativa: é possível colocar um certo número de círculos sem superposição dentro de um quadrado de 1 centímetro de lado, de tal forma que a soma dos raios desses círculos seja maior do que 2008 centímetros. + +Para exibir uma tal configuração, desenhamos linhas paralelas aos lados do quadrado, dividindoo em $n^{2}$ quadradinhos menores; cada um desses quadradinhos tem lado igual a $1 / n$. Dentro de cada um desses quadradinhos, desenhamos um círculo inscrito de raio igual a $1 / 2 n$. No caso particular $n=4$, essa construção é dada na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-087.jpg?height=323&width=329&top_left_y=969&top_left_x=652) + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +n^{2}=4^{2}=16 \text { círculos } \\ +\text { lados dos quadradinhos }=\frac{1}{4} \\ +\text { raio dos círculos }=\frac{1}{8} \\ +\text { soma dos raios }=16 \times \frac{1}{8}=\frac{4}{2}=2 +\end{array}\right. +$$ + +Desse modo, a soma dos raios dos $n^{2}$ círculos é igual a $n^{2} \times 1 / 2 n=n / 2$. Como estamos interessados no caso desta soma ser maior do que 2008, devemos ter $n / 2>2008$, ou seja, $n>4016$. Logo, dividindo o quadrado em $4017^{2}$ quadradinhos (ou mais), a soma dos raios dos círculos inscritos nos quadradinhos será maior do que 2008. + +151. Construindo um número - As condições dadas implicam que os números devem satisfazer todas as condições seguintes. + +$$ +\cdots \underline{1}-1 \cdots +$$ + +$$ +\cdots \underline{2}--\underline{2} \cdots +$$ + +$$ +\cdots \underline{3}--\underline{3} \cdots +$$ + +$$ +\cdots \underline{4}---\underline{4} \cdots +$$ + +| caso A: | $\underline{4}--\underline{3}-\underline{4}-\underline{3}$ | ou | $\underline{4}-\underline{3}-\underline{4} \underline{3}-$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| caso B: | $3 \underline{4}-$ | ou | -43 | +| caso C: | $\underline{3}-\underline{4}-\underline{3}--\frac{4}{4}$ | ou | $-\underline{3} \underline{4}-\underline{3}-\underline{4}$ | + +Vamos estudar as possíveis posições dos dois algarismos 4 em um número de oito algarismos. De acordo com (iv), existem apenas três possibilidades: + +$$ +\begin{array}{ll} +\text { caso A: } & \underline{4}-\underline{4}--\underline{4}-\frac{4}{4} \\ +\text { caso B: } & -\underline{4}---\underline{4} \\ +\text { caso C: } & --4---4 +\end{array} +$$ + +Em cada um desses casos, existem duas possibilidades de colocar os algarismos 3: + +$\mathrm{Na}$ tentativa de colocar os algarismos 1 e 2, percebemos que as duas possibilidade do caso $\mathrm{B}$ são impossíveis, bem como as primeiras possibilidades dos casos A e C. Os únicos casos que levam a soluções do problema são as segundas possibilidades dos casos A e C, que levam às duas únicas soluções + +$$ +41312432 \text { e } 23421314 +$$ + +152. Número na circunferência - Na figura a seguir representamos os nove algarismos escritos ao redor da circunferência. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-088.jpg?height=522&width=534&top_left_y=407&top_left_x=795) + +Lendo os algarismos escritos ao redor da circunferência, de três em três, no sentido horário, obtemos os seguintes números de três algarismos cada: + +$$ +a_{1} a_{2} a_{3}, a_{2} a_{3} a_{4}, a_{3} a_{4} a_{5}, a_{4} a_{5} a_{6}, a_{5} a_{6} a_{7}, a_{6} a_{7} a_{8}, a_{7} a_{8} a_{9}, a_{8} a_{9} a_{1} \text { e } a_{9} a_{1} a_{2} +$$ + +Para somar esses números usamos o algoritmo da adição, como indicado a seguir. + +$$ +\begin{array}{r} +a_{1} a_{2} a_{3} \\ +a_{2} a_{3} a_{4} \\ +a_{3} a_{4} a_{5} \\ +a_{4} a_{5} a_{6} \\ ++\quad a_{5} a_{6} a_{7} \\ +a_{6} a_{7} a_{8} \\ +a_{7} a_{8} a_{9} \\ +a_{8} a_{9} a_{1} \\ +a_{9} a_{1} a_{2} \\ +\hline ? ? ? ? ? ? ? +\end{array} +$$ + +Analisando esses nove números, notamos que todos têm os algarismos da unidade diferentes. Logo, + +$$ +a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{1}+a_{2}=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 +$$ + +Do mesmo modo, esses nove números também têm todos os algarismos das dezenas e todos os algarismos das centenas diferentes. Logo, a soma dos algarismos das dezenas também é 45 e o mesmo ocorre com os algarismos das centenas. Portanto, para somar basta calcular $45+45 \times 10+45 \times 100=4995$. Assim, a soma dos nove números é 4995. + +153. Cada peça em seu lugar - A primeira informação é certamente falsa, pois se fosse verdadeira, o ouro estaria no cofre 2 ou 3, mas deveria estar no próprio cofre 1 , para que a primeira informação fosse verdadeira. Essa contradição mostra que o ouro não está nem no cofre 2 nem no cofre 3. Por ser falsa a informação na porta do cofre 1, concluímos que o outro também não está nele. A segunda informação é certamente falsa, pois se fosse verdadeira, o ouro estaria no cofre 2, o que é incorreto. Logo, a primeira e a segunda informações são falsas. Portanto, o ouro não está no cofre 1 , nem no 2 nem no 3 , e a prata não está no cofre 1. + +As únicas possibilidades que restam para o ouro são os cofres 4 ou 5. Se o ouro estivesse no cofre 4 , + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-089.jpg?height=88&width=554&top_left_y=373&top_left_x=837) + +a informação 4 seria a correta e o níquel estaria na cofre 3. Então a terceira informação deve ser falsa e deveríamos ter o bronze também no cofre 3, o que é uma impossibilidade. Logo, essa possibilidade fica descartada e o ouro deve estar no cofre 5. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-089.jpg?height=94&width=568&top_left_y=661&top_left_x=824) + +De fato, com o ouro no cofre 5 , a informação 5 é a correta e a platina está no cofre cujo número é superior, em uma unidade, ao que contém o bronze. Pela afirmação do cofre 3, que é falsa, teríamos o bronze no cofre 3. Logo, a platina está no cofre 4. Como a segunda afirmação é falsa, a prata não está no cofre 1, só podendo estar no cofre 2. Portanto, temos a solução seguinte. + +$$ +\underbrace{\text { níquel }}_{1}, \underbrace{\text { prata }}_{2}, \underbrace{\text { bronze }}_{3}, \underbrace{\text { platina }}_{4}, \underbrace{\text { oure }}_{5} . +$$ + +154. Soma de quadrados - Como a razão da progressão aritmética é 2 , os três números podem ser denotados por $n-2, n$ e $n+2$. A soma de seus quadrados é um número de quatro algarismos iguais, digamos, $k k k k$, em que $k$ é algum inteiro entre 1 e 9 , ou seja, + +$$ +k k k k=(n-2)^{2}+n^{2}+(n+2)^{2}=3 n^{2}+8 +$$ + +A partir deste ponto, apresentamos duas possibilidades de solução. + +Solução 1: Como $k k k k-8=3 n^{2}$ é um múltiplo de 3 , o resto da divisão de $k k k k$ por 3 é igual ao resto da divisão de 8 por 3 , que é 2 . Mas $k k k k=k \times 1111$ e o resto da divisão de 1111 por 3 é 1 , de modo que o resto da divisão de $k$ por 3 é 2 . Como $1 \leq k \leq 9$, só podemos ter $k$ igual a 2, 5 ou 8 . Como na Solução 1 , os casos $k=2$ e $k=8$ são impossíveis e $k=5$ é a única opção, caso em que $n=43$ e os três números procurados são 41,43 e 45 , que constituem a única solução para o problema. + +Solução 2: Como $k k k k=3 n^{2}+8$, obtemos + +$$ +3 n^{2}=k k k k-8=(k k k \times 10+k)-(9-1)=(k k k \times 10-9)+(k+1) +$$ + +Mas $k k k \times 10-9=k k(k-1) 1$ é múltiplo de 3 , portanto também $k+1$ é um múltiplo de 3. Como $1 \leq k \leq 9$, só podemos ter $k$ igual a 2,5 ou 8 . No caso $k=2$, obtemos + +$$ +n^{2}=\frac{2222-8}{3}=738=2 \times 369 +$$ + +o que é impossível, pois 738 não é um quadrado perfeito. Analogamente, se $k=8$, obtemos + +$$ +n^{2}=\frac{8888-8}{3}=2960=2^{4} \times 5 \times 37 +$$ + +o que, novamente, é impossível, já que esse último número não é um quadrado perfeito. Resta, portanto, a última opção, $k=5$. Nesse caso, + +$$ +n^{2}=\frac{5555-8}{3}=1849=43^{2} +$$ + +portanto, $n=43$ e os três números em progressão aritmética procurados são 41,43 e 45, que constituem a única solução para o problema. + +## 155. Adivinhe o número + +Solução 1: Seja $x$ o número procurado. Observe que $x+2$ é divisível por $3,4,5$ e 6 . O menor múltiplo comum desses números é 60 . Logo, $x+2=60 \mathrm{e}$, então, $x=58$. + +Solução 2: Seja $x$ o número procurado. O resto da divisão de $x$ por 3 é 1 . Portanto, $x$ é da forma $x=3 a+1$, com $a \geq 0$ inteiro. A seguir, queremos determinar de que forma deve ser $a$ para que $x=3 a+1$ deixe resto 2 na divisão por 4 , isto é, para que $3 a$ deixe resto 1 na divisão por 4. Qual deve ser o resto da divisão de $a$ por 4? Por um lado, se esse resto for 3 , então $a$ é da forma $a=4 b+3$, de onde segue que $3 a=12 b+9=4 \cdot(3 b+2)+1$ deixa, de fato, resto 1 na divisão por 4. Por outro lado, podemos verificar que qualquer outro resto não funcionaria. Se, por exemplo, $a$ deixasse resto 2 na divisão por 4 , teríamos $a=4 b^{\prime}+2 \mathrm{e}$ $3 a=12 b^{\prime}+6=4 \cdot\left(3 b^{\prime}+1\right)+2$ deixaria resto 2 e não 1 na divisão por 4 . + +Substituindo $a=4 b+3 \mathrm{em} x=3 a+1$, obtemos $x=12 b+10$. Usamos agora que $x$ deixa resto 3 na divisão por 5 . Como 10 é múltiplo de $5,12 b$ também deixa resto 3 na divisão por 5 . Mas $12 b=10 b+2 b$ e $10 b$ é múltiplo de 5 . Logo, $2 b$ deixa resto 3 na divisão por 5 . Então, $b$ deixa resto 4 na divisão por 5 . De fato, por um lado, se $b=5 c+4$, então $2 b=10 c+8=5 \cdot(2 c+1)+3$ deixa realmente resto 3 na divisão por 5 . Por outro lado, como acima, podemos verificar que 4 é o único resto que funciona. Então, $b=5 c+4$ e $x=12 b+10=12 \cdot(5 c+4)+10=60 c+58$. Concluímos que as soluções do problema são os números $x$ da forma $x=60 n+58$, com $n \geq 0$ inteiro. O menor deles, para $n=0$, é $x=58$. + +156. Um código - Observe que + +$$ +A O B M E P=A O B \times 1000+M E P \text { e } M E P A O B=M E P \times 1000+A O B +$$ + +Denotemos $A O B=m$ e $M E P=n$. Pelos dados do problema, temos + +$$ +6 \times A O B M E P=7 \times M E P A O B +$$ + +donde $6 \cdot(1000 m+n)=7 \cdot(1000 n+m)$, ou $6000 m-7 m=7000 n-6 n$ ou, ainda, $5993 m=6994 n$. Dividindo ambos os lados por 13, concluímos que $461 m=538 n$. A fatoração de 538 em fatores primos é $538=2 \times 269$ e 461 é primo. Portanto, 538 e 461 são primos entre si. Logo, 461 divide $n$ e 538 divide $m$. Como $A O B$ e $M E P$ são números de três algarismos, só podemos ter as soluções $n=461$, ou $n=822$, e $m=538$. É fácil verificar que $6 \times 538461=3230766=7 \times 461538$ e que $6 \times 538822=3232932 \neq 5757766=7 \times 822538$. Portanto, $n=822$ não serve, sendo $A O B=538$ e $M E P=461$ a única solução. Assim, os algarismos são $A=5, O=3, B=8, M=4, E=6$ e $P=1$. + +## 157. Calculando distâncias + +Solução 1: Observe que é conhecido o ângulo $A \widehat{B} D$. De fato, o triângulo $\triangle A B C$ é equilátero, portanto, $A \widehat{B} C=60^{\circ}$ e, como $C \widehat{B} D=90^{\circ}$, obtemos $A \widehat{B} D=150^{\circ}$. Assim, aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo $\triangle A B D$, resulta + +$$ +A D^{2}=3^{2}+4^{2}-2 \cdot 3 \cdot 4 \cos 150^{\circ}=25+24 \cos 30^{\circ}=25+12 \sqrt{3} +$$ + +Segue que $A D=\sqrt{25+12 \sqrt{3}} \mathrm{~cm}$. + +Solução 2: Seja $E$ o ponto sobre a reta $B D$ tal que o triângulo $\triangle A E B$ seja retângulo no vértice $E$ (veja figura). Nesse triângulo, temos + +$$ +\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{\circ}=\frac{E B}{A B}=\frac{E B}{3} \quad \text { e } \quad \frac{1}{2}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{A E}{A B}=\frac{A E}{3} +$$ + +portanto, + +$$ +E B=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \quad \text { e } \quad A E=\frac{3}{2} +$$ + +em particular, $E D=4+\frac{3 \sqrt{3}}{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-091.jpg?height=389&width=714&top_left_y=645&top_left_x=751) + +Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\triangle A E D$, obtemos + +$$ +A D^{2}=A E^{2}+E D^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{8+3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}=25+12 \sqrt{3} +$$ + +Segue que $A D=\sqrt{25+12 \sqrt{3}} \mathrm{~cm}$. + +158. Calculando lados de um triângulo - Como o triângulo $\triangle A B C$ é equilátero, seus ângulos são todos iguais a $60^{\circ}$. Sobre o lado $C B$ desse triângulo, construímos um novo triângulo $\triangle C B P^{\prime}$, congruente ao triângulo $\triangle A B P$, tal que $P \widehat{A} B=P^{\prime} \widehat{C} B$ e $A \widehat{B} P=C \widehat{B} P^{\prime}$ (girando o triângulo $\triangle A B P$ no sentido horário por $60^{\circ}$ em torno do ponto $B$ ). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-091.jpg?height=631&width=762&top_left_y=1809&top_left_x=727) + +Note que o ângulo $P \widehat{B} P^{\prime}$ é congruente ao ângulo $A \widehat{B} C$, ou seja, mede $60^{\circ}$. Assim, se traçarmos o segmento $P P^{\prime}$, temos que o triângulo $\triangle P B P^{\prime}$, que já é isósceles, pois $P B=B P^{\prime}=4 \mathrm{~cm}$ é, de fato, equilátero e, em consequência, temos que $P P^{\prime}=4 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-092.jpg?height=600&width=720&top_left_y=251&top_left_x=702) + +Denotando o ângulo $P \widehat{P^{\prime}} C$ por $a$, aplicamos a Lei dos Cossenos ao triângulo $\triangle C P P^{\prime}$ e obtemos + +$$ +5^{2}=3^{2}+4^{2}-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos a +$$ + +ou seja, $25=25-24 \cos a$. Segue que $\cos a=0$ e, portanto, $a=90^{\circ}$. Dessa forma, estabelecemos $C \widehat{P^{\prime} B} B=a+60^{\circ}=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-092.jpg?height=614&width=714&top_left_y=1206&top_left_x=705) + +Agora, denotando o lado do triângulo $\triangle A B C$ por $l$, aplicamos a Lei dos Cossenos ao triângulo $\triangle C B P^{\prime}$ e obtemos + +$$ +l^{2}=3^{2}+4^{2}-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 150^{\circ}=25+12 \sqrt{3} +$$ + +Segue que $\sqrt{25+12 \sqrt{3}} \mathrm{~cm}$ é o comprimento dos lados do triângulo equilátero $\triangle A B C$. + +159. Amigo oculto - Primeiramente observemos que o número de formas de distribuir os presentes sem nenhuma restrição é $5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$. Daí temos que tirar os casos "ruins", isto é, os casos em pelo menos um amigo tirou o seu próprio presente. Esses casos a eliminar podem ser listados pelo número de amigos que tiram seu próprio presente. + +- Os 5 amigos ficaram com seus próprios presentes. Só há uma possibilidade de acontecer isso. +- Exatamente 4 amigos ficaram com seus próprios presentes. Isso não é possível. +- Exatamente 3 amigos ficaram com seus próprios presentes. Nessa situação, os outros dois amigos trocam os presentes. Assim, escolhemos 3 pessoas dentre as 5 , isto é, $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2}=10$ possibilidades. +- Exatamente 2 amigos ficaram com seus próprios presentes. Nesse caso, escolhemos 2 pessoas dentre as 5 , isto é, $\frac{5 \times 4}{2}=10$ possibilidades. Os outros 3 amigos trocam os presentes entre si, dando um total de $10 \times 2=20$ possibilidades. +- Por último, exatamente um amigo ficou com seu próprio presente. Nesse caso, escolhemos uma pessoa dentre um total de 5 , multiplicando pelo número de formas que os outros amigos não fiquem com seu presente, que são 9 maneiras. Logo, nessa situação, temos um total de $5 \times 9=45$ possibilidades. + +Portanto, temos $120-45-20-10-1=44$ maneiras de distribuir os presentes sem que alguém fique com seu próprio presente. + +160. Contando soluções - A equação dada é equivalente a $x y=144(x+y)=144 x+144 y$, portanto, isolando $x$, obtemos $x=\frac{144 y}{y-144}$. Como $x$ e $y$ devem ser inteiros positivos, o denominador $y-144$ deve ser um número inteiro positivo, digamos, $y-144=n$. Substituindo essa expressão no valor de $x$, obtemos + +$$ +x=\frac{144(n+144)}{n}=144+\frac{144^{2}}{n} +$$ + +Como $x$ deve ser um número inteiro, $n$ deve ser um divisor de $144^{2}$. Sendo $144^{2}=12^{4}=2^{8} \cdot 3^{4}$, seus divisores são os números $d$ da forma $d=2^{a} \cdot 3^{b}$, com $0 \leq a \leq 8 \mathrm{e}$ $0 \leq b \leq 4$. Como há 9 valores possíveis para $a$ e 5 valores possíveis para $b$, concluímos que $144^{2}$ tem $9 \times 5=45$ divisores. + +Assim, para cada divisor $n$ de $144^{2}$, obtemos uma solução + +$$ +(x, y)=\left(144+\frac{144^{2}}{n}, n+144\right) +$$ + +da equação $\frac{x y}{x+y}=144$ dada. Portanto, essa equação possui 45 pares de números inteiros positivos $(x, y)$ que a satisfazem. + +161. Determinando uma sequência - Sejam $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{80}$ os números dessa sequência. Para cada $i \geq 1$, temos + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a_{i+1}=a_{i} \cdot a_{i+2} \\ +a_{i+2}=a_{i+1} \cdot a_{i+3} +\end{array}\right. +$$ + +Consequentemente, $a_{i+1}=a_{i} \cdot a_{i+1} \cdot a_{i+3}$ e, como $a_{i+1} \neq 0$, já que o produto dos termos da sequência é $8 \neq 0$, segue $a_{i} \cdot a_{i+3}=1$. + +Quaisquer dois números da sequência, cujos índices distem 3 um do outro, são tais que o seu produto é igual a 1. Portanto, o produto de seis números consecutivos nessa sequência é, sempre, igual a 1. Sendo o produto dos 40 primeiros termos da sequência igual a 8, concluímos que o produto dos quatro primeiros termos também é 8, pois os 36 termos restantes formam seis grupos de 6 termos consecutivos da sequência e, em cada grupo desses, o produto é igual a 1. Isto é, $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}=8$. Como $a_{i} \cdot a_{i+3}=1$, segue que $a_{1} a_{4}=1$ e, daí, $a_{2} a_{3}=8$. + +Temos, também, a hipótese de que os 80 termos da sequência têm produto igual a 8 , donde podemos concluir que $a_{1} a_{2}=8$, já que os 78 últimos termos podem ser agrupados em 13 grupos de 6 termos consecutivos, cada um com produto igual a 1, como já vimos. + +Então, de $a_{2} a_{3}=8, a_{1} a_{2}=8$ e $a_{2}=a_{1} a_{3}$, segue que $a_{1} a_{2}^{2} a_{3}=64$ e $a_{2}^{3}=64$. Assim, + +$$ +a_{1}=2, a_{2}=4 \text { e } a_{3}=2 +$$ + +Observe, ainda, que a sequência inteira está, agora, determinada. De fato, temos + +$$ +2,4,2, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 2,4,2, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \ldots +$$ + +em que os seis primeiros termos ficam se repetindo, sempre na mesma ordem. + +162. Construindo uma cerca - A soma dos comprimentos dos três lados (os que não são de pedra) é $140 \mathrm{~m}$. + +(a) Se os dois lados vizinhos ao muro de pedra têm $40 \mathrm{~m}$ cada um, os dois juntos têm $80 \mathrm{~m}$ e o terceiro lado terá $140-80=60 \mathrm{~m}$. + +(b) Se o maior dos lados a ser cercado tiver $85 \mathrm{~m}$, ele não pode estar ser vizinho ao muro de pedras, porque nesse caso esses dois lados mediriam $85 \times 2=170 \mathrm{~m}$, que é maior do que $140 \mathrm{~m}$. Logo, ele deveria ser paralelo ao muro de pedra e, nesse caso, cada um dos outros lados mediria $27,5 \mathrm{~m}$, o que também não é possível, já que a cerca é composta de pedaços inteiros de $1 \mathrm{~m}$ cada um. + +Os dois lados que encostam no muro de pedra podem ter $65 \mathrm{~m}$ cada um porque nesse caso, o outro teria $140-2 \times 65=10 \mathrm{~m}$, o que não contraria as condições dadas. + +163. Um quadrilátero especial - Como os triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle A C D$ são retângulos e têm a mesma hipotenusa $A C$, pelo Teorema de Pitágoras temos $x^{2}+11^{2}=y^{2}+7^{2}$, onde $A B=x$ e $D C=y$. Então, + +$$ +(y-x)(y+x)=y^{2}-x^{2}=72=2^{3} \times 3^{2} +$$ + +e, portanto, $y-x$ e $y+x$ são divisores de 72. Para cada fatoração de 72, precisamos resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas, como na tabela a seguir, e identificar os casos em que existem soluções inteiras. + +| Fator de 72 | | Medidas de | | Observações | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $y+x$ | $y-x$ | $x$ | $y$ | | +| 72 | 1 | - | - | Não há solução inteira | +| 36 | 2 | 17 | 19 | Possui solução inteira | +| 24 | 3 | - | - | Não há solução inteira | +| 28 | 4 | 12 | 16 | Possui solução inteira | +| 12 | 6 | 3 | 9 | Possui solução inteira | +| 9 | 8 | - | - | Não há solução inteira | + +Assim, há três soluções inteiras para o comprimento dos lados $x$ e $y$. + +164. Três quadrados - Os triângulos retângulos $\triangle A E B$ e $\triangle E H F$ são congruentes, pois seus ângulos $E \widehat{B} A$ e $F \widehat{E} H$ são iguais (lados respectivos perpendiculares) e as hipotenusas são iguais (lados de um quadrado). Então, $A E=F H$. Pelo Teorema de Pitágoras, + +$$ +\text { área de } B E F G=B E^{2}=A B^{2}+A E^{2}=A B^{2}+F H^{2}=30+20=50 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +## 165. Bolinha de gude + +Solução 1: Denotemos por $x, y$ e $z$ o número de bolinhas que cada um tinha no início da partida. Temos + +| | $1^{\mathbf{o}}$ | $2^{\underline{o}}$ | $3^{\underline{o}}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Início | $x$ | $y$ | $z$ | +| $1^{\underline{a}}$ rodada | $x-y-z$ | $2 y$ | $2 z$ | +| $2^{\underline{a}}$ rodada | $2(x-y-z)$ | $2 y-2 z-(x-y-z)$ | $4 z$ | +| $3^{\underline{a}}$ rodada | $4(x-y-z)$ | $2(3 y-x-z)$ | $4 z-2(x-y-z)-(3 y-x-z)$ | + +Como cada um terminou a partida com 64 bolinhas, segue que + +$$ +\left\{\begin{aligned} +4(x-y-z) & =64 \\ +2(3 y-x-z) & =64 \\ +4 z-2(x-y-z)-(3 y-x-z) & =64 +\end{aligned}\right. +$$ + +donde + +$$ +\left\{\begin{aligned} +x-y-z & =16 \\ +-x+3 y-z & =32 \\ +-x-y+7 z & =64 +\end{aligned}\right. +$$ + +Para resolver o sistema, somamos a primeira com a segunda equações e a primeira com a terceira, obtendo + +$$ +\left\{\begin{aligned} +y-z & =24 \\ +-y+3 z & =40 +\end{aligned}\right. +$$ + +Daí, obtemos $z=32$ e $y=56$, portanto, $x=16+56+32=104$. Assim, o primeiro jogador começou a partida com 104 bolinhas, o segundo, com 56 e o terceiro, com 32. + +| | $1 \underline{0}$ | $2 \underline{O}$ | $3 \underline{O}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Início | | | | +| Após a 1-a rodada | | | | +| Após a 2 a rodada | | | | +| Após a 3a rodada | 64 | 64 | 64 | + +Solução 2: Preenchemos a tabela "de baixo para cima", isto é, do final para o início do jogo. Começamos com 64 nas três casas finais. + +Como os dois primeiros jogadores dobraram a quantidade de bolinhas na terceira rodada, + +| | $\overline{10}$ | $\overline{2}$ | 3 의 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Início | | | | +| Após a 1- rodada | | | | +| Após a 2a rodada | 32 | 32 | $\overline{128}$ | +| Após a 3a rodada | 64 | 64 | 64 | + +cada um tinha 32 bolinhas e o terceiro jogador deu 32 a cada um deles. Deduzimos que ele possuía $64+32+32=128$ bolinhas. + +| | $\overline{10}$ | $2 \underline{O}$ | $3^{\underline{O}}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Início | | | | +| Após a 1a rodada | 16 | $32+16+64=112$ | 64 | +| Após a $2^{\mathrm{a}}$ rodada | 32 | 32 | 128 | +| Após a 3a rodada | 64 | 64 | 64 | + +Quem perdeu a segunda rodada foi o segundo jogador. Logo, a tabela era + +Finalmente, + +| | $1^{\underline{\underline{o}}}$ | $2^{\underline{\underline{o}}}$ | $3^{\underline{\underline{ }}}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Início | $16+56+32=104$ | 56 | 32 | +| Após a $1^{\underline{\mathrm{a}}}$ rodada | 16 | $32+16+64=112$ | 64 | +| Após a 2 ${ }^{\underline{\mathrm{a}}}$ rodada | 32 | 32 | 128 | +| Após a 3 ${ }^{\underline{\mathrm{a}}}$ rodada | 64 | 64 | 64 | + +Assim, o primeiro jogador começou a partida com 104 bolinhas, o segundo, com 56 e o terceiro, com 32 . + +166. Uma soma - Inicialmente, observe que $\frac{1}{k \cdot(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. Logo, + +$$ +\frac{1}{1 \cdot 2}=1-\frac{1}{2}, \quad \frac{1}{2 \cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}, \quad \ldots, \quad \frac{1}{2007 \cdot 2008}=\frac{1}{2007}-\frac{1}{2008} +$$ + +Assim, temos + +$$ +S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}+\frac{1}{2007}-\frac{1}{2008} +$$ + +e, portanto, $S=1-\frac{1}{2008}=\frac{2007}{2008}$. + +167. Dobrando papel - Sejam $E$ e $F$ os pontos de interseção, como na figura. Sejam $A B=2 a$ e $B C=2 b$. Então $A M=M B=D N=N C=a$ e $M E=E N=b$. Traçamos $A N$ e denotamos por $P$ o ponto de interseção dos segmentos $A N$ e $B D$. Os segmentos $A N$ e $M C$ são paralelos (pois $A M=N C$ e $A M \| N C$ ). Como $M$ é o ponto médio de $A B$ e $M F \| A P$, temos que $F$ é o ponto médio do segmento $P B$. Analogamente, $P$ é o ponto médio do segmento $D F$ e segue que $D P=P F=F B$. Por simetria, verificamos que $P E=E F$ e, então, $E F / F B=1 / 2$. Por outro lado, área $(\triangle M B E)=\frac{1}{4}$ área $(\triangle A B D)=125 \mathrm{e}$, como $\triangle M E F$ e $\triangle M B E$ têm a mesma altura relativamente ao vértice $M$ e a base do primeiro é $1 / 3$ da base do segundo, concluímos que + +$$ +\text { área }(\triangle M E F)=\frac{1}{3} 125 \mathrm{~cm}^{2} \text {. } +$$ + +168. Uma área - Os triângulos $\triangle A B M$ e $\triangle A B C$ têm a mesma altura $d$ em relação às respectivas bases $A M$ e $A C$. Como $M$ é o ponto médio de $A C$, obtemos + +$$ +\frac{\text { área }(\triangle A B M)}{\text { área }(\triangle A B C)}=\frac{\frac{1}{2} A M \cdot d}{\frac{1}{2} A C \cdot d}=\frac{A M}{A C}=\frac{1}{2} +$$ + +de modo que + +$$ +\text { área }(\triangle A B M)=\frac{1}{2} \text { área }(\triangle A B C)=\frac{1}{2} \quad 100=50 \mathrm{~cm}^{2} . +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-096.jpg?height=462&width=805&top_left_y=2236&top_left_x=660) + +Analogamente, + +$$ +\frac{\text { área }(\triangle A B P)}{\text { área }(\triangle A B M)}=\frac{B P}{B M} \text {. } +$$ + +Pelo Teorema das Bissetrizes Internas, + +$$ +\frac{B P}{P M}=\frac{A B}{A M}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} +$$ + +portanto, $P M=\frac{3}{2} B P$. Então obtemos + +$$ +\frac{\text { área }(\triangle A B P)}{\text { área }(\triangle A B M)}=\frac{B P}{B M}=\frac{B P}{B P+P M}=\frac{B P}{B P+\frac{3}{2} B P}=\frac{B P}{\frac{5}{2} B P}=\frac{2}{5} +$$ + +de modo que área $(\triangle A B P)=\frac{2}{5}$ área $(\triangle A B M)=\frac{2}{5} \cdot 50=20 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 169. Últimos algarismos + +Solução 1: Como só queremos saber os dois últimos algarismos, basta conhecer as duas últimas colunas dessa soma (a das dezenas e a das unidades), ou seja, + +$$ +8+88 \times 2007=8+\ldots 16 +$$ + +Como $8+16=24$, os dois últimos algarismos do número são 24. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-097.jpg?height=389&width=699&top_left_y=1182&top_left_x=1181) + +Solução 2: Observemos que os dois últimos algarismos do número dado são iguais aos dois últimos algarismos do número + +$$ +8+\overbrace{88+\cdots+88}^{2007}=8+2007 \times 88 +$$ + +que também coincidem com os dois últimos algarismos de $8+7 \times 88=624$. Logo, os dois últimos algarismos do número procurado são 24 . + +170. Idades múltiplas - Quando Isabel tem $a$ anos, sua mãe tem $20+a$ anos. Se $a$ é divisor de $20+a$, então $(20+a) / a=(20 / a)+1$ é um número inteiro e, consequentemente, $20 / a$ também é inteiro. Então, $a$ é um divisor de 20 e, portanto, $a$ pode ser 1, 2, 4, 5, 10 ou 20. Assim, temos um total de 6 vezes em que as idades das duas são múltiplos. + +| Isabel | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | 20 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Mãe | 21 | 22 | 24 | 25 | 30 | 40 | + +Observe que, depois dos 20 anos de Isabel, nunca mais a idade da mãe será um múltiplo da idade de Isabel. + +171. Blocos diferentes - $\mathrm{O}$ volume do cubo é $10 \times 10 \times 10=1000 \mathrm{~cm}^{3}$. $\mathrm{O}$ volume $V$ de um bloco é o produto de suas três medidas, altura $(=a)$, largura $(=l)$ e comprimento $(=c)$. + +Para construir cada bloco, Ana deve usar todos os bloquinhos, portanto, o volume de cada bloco é + +$$ +V=\text { altura } \times \text { largura } \times \text { comprimento }=a l c=1000 \mathrm{~cm}^{3} +$$ + +Assim, precisamos saber de quantas maneiras podemos escrever 1000 como o produto de três números inteiros positivos $a, l$ e $c$. Para isso, fatoramos 1000 , obtendo a $l c=1000=2^{3} \times 5^{3}$. + +Solução 1: Podemos encontrar todos esses números listando as dimensões $a, l$ e $c$ dos blocos. Sem perda de generalidade, podemos supor que $a \leq l \leq c$. Então $a^{3} \leq a l c \leq 1000$ e, portanto, $a \leq 10$. Logo, $a=1,2,4,5,8$ ou 10 . Mas se $a=8$, então $l c=125=5^{3}$ e, como $8 \leq l \leq c$, não há como obter medidas inteiras para $l$ e $c$. Assim, $a$ só pode ser $1,2,4,5$ ou 10 . A tabela mostra as 19 possibilidades para esses blocos. + +| $a$ | $l$ | $c$ | $a$ | $l$ | $c$ | +| ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | +| | 1 | 1000 | | 2 | 250 | +| | 2 | 500 | | 4 | 125 | +| | 4 | 250 | 2 | 5 | 100 | +| 1 | 5 | 200 | | 10 | 50 | +| | 8 | 125 | | 20 | 25 | +| | 10 | 100 | | 5 | 40 | +| | 20 | 50 | 5 | 8 | 25 | +| | 25 | 40 | | 10 | 20 | +| 4 | 5 | 50 | | | | +| | 10 | 25 | 10 | 10 | 10 | + +Solução 2: Podemos encontrar todos esses números listando as potências de 2 e 5, sem esquecer que uma das medidas pode ser 1 (no caso de potência 0). A tabela mostra as 19 possibilidades para esses blocos. + +| potência de 2 | potência de 5 | $a$ | $l$ | $c$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 3 | 3 | 1 | 1 | $2^{3} \times 5^{3}$ | +| | | 1 | $2^{3}$ | $5^{3}$ | +| 1,2 | 3 | 1 | 2 | $2^{2} \times 5^{3}$ | +| | | 1 | $2^{2}$ | $2 \times 5^{3}$ | +| | | 2 | $2^{2}$ | $5^{3}$ | +| $1,1,1$ | 3 | 2 | 2 | $2 \times 5^{3}$ | +| 3 | 1,2 | 1 | $2^{3} \times 5$ | $5^{2}$ | +| | | 1 | $2^{3} \times 5^{2}$ | 5 | +| | | $2^{3}$ | 5 | $5^{2}$ | +| 3 | $1,1,1$ | 5 | 5 | $2^{3} \times 5$ | +| 1,2 | 1,2 | 1 | $2 \times 5$ | $2^{2} \times 5^{2}$ | +| | | 1 | $2 \times 5^{2}$ | $2^{2} \times 5$ | +| | | 2 | 5 | $2^{2} \times 5^{2}$ | +| | | $2^{2}$ | $2 \times 5$ | $5^{2}$ | +| | | $2^{2}$ | $2 \times 5^{2}$ | 5 | +| 1,2 | $1,1,1$ | 2 | $2^{2} \times 5$ | $5^{2}$ | +| $1,1,1$ | 1,2 | 5 | $2 \times 5$ | $2^{2} \times 5$ | +| $1,1,1$ | $1,1,1$ | $2 \times 5$ | $2 \times 5$ | $2 \times 5^{2}$ | + +172. Quadro negro - Inicialmente observe que, de 1 a 77, Joana apagou 11 múltiplos de 7 e 7 múltiplos de 11. Como 77 é múltiplo de 7 e de 11, então ela apagou $11+7-1=17$ números, sobrando $77-17=60$ números. Agora, agrupando os 10000 primeiros números em grupos de 77 números consecutivos, esse raciocínio se aplica em cada uma das linhas abaixo, isto é, em cada linha sobraram 60 números. + +$$ +\begin{array}{ccccc} +\text { 1a linha: } & 1, & 2, & \ldots, & 77 \\ +2^{\text {a }} \text { linha: } & 78, & 79, & \ldots, & 154 \\ +3^{\text {a }} \text { linha: } & 155, & 158, & \ldots, & 231 +\end{array} +$$ + +Como, $2008=33 \times 60+28$, sabemos que entre os primeiros $33 \times 77=2541$ números, $33 \times 60=1980$ números ficaram sem apagar. + +$$ +\text { 33a linha: } \quad \ldots, \quad \ldots, \quad \ldots, \quad 2541 +$$ + +Ainda faltam contar 28 números. Vamos, então, examinar a 34a linha, que começa com 2542. Como os números apagados estão nas colunas $7,11,14,21,22,28,33,35$, etc., e até a $35^{\text {a }}$ coluna foram apagados oito números, restam $35-8=27$ números na $34^{\text {a }}$ linha. Logo, depois de apagados os múltiplos de 7 e de 11 nessa linha, o 28 nómero é 2577 . Assim, o número na 2008 a posição é o 2577. + +173. Conjunto sem múltiplos - Inicialmente, observemos que o conjunto $\{51,52,53, \ldots, 100\}$ tem 50 elementos e nenhum de seus elementos é múltiplo de outro. Assim, o subconjunto com o maior número de elementos e que satisfaz a propriedade exigida tem, no mínimo, 50 elementos. Para concluir que 50 é o maior número possível de elementos de um subconjunto que satisfaça a propriedade exigida, basta mostrar que todo subconjunto com mais de 50 elementos possui dois números múltiplos. Para isso, denotamos $B=\{1,2,3, \ldots, 100\}$ e dividimos $B$ em 50 subconjuntos disjuntos, considerando os diversos subconjuntos de $B$ cujos elementos são do tipo número ímpar $\times 2^{k}$, com $k$ natural. Como existem apenas 50 números ímpares entre 1 e 100, obtemos cinquenta subconjuntos dois a dois disjuntos construídos dessa forma, como segue. + +- $A_{1}=\{1,2,4,8,16,32,64\}=B \cap\left\{1 \times 2^{k} \mid\right.$ para algum $\left.k=0,1,2,3, \ldots\right\}$; +- $A_{2}=\{3,6,12,24,48,96\}=B \cap\left\{3 \times 2^{k} \mid\right.$ para algum $\left.k=0,1,2,3, \ldots\right\}$; +- $A_{3}=\{5,10,20,40,80\}=B \cap\left\{5 \times 2^{k} \mid\right.$ para algum $\left.k=0,1,2,3, \ldots\right\}$; +- $A_{50}=\{99\}=B \cap\left\{99 \times 2^{k} \mid\right.$ para algum $\left.k=0,1,2,3, \ldots\right\}$. + +Observe que $B$ é a união desses cinquenta subconjuntos, isto é, + +$$ +B=\{1,2, \ldots, 100\}=A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{50} +$$ + +e que, se dois elementos de $B$ estiverem num mesmo subconjunto $A_{i}$, então um deles é múltiplo do outro. Assim, se um subconjunto $A$ de $B$ tiver mais do que 50 elementos, podemos afirmar que existem pelo menos dois elementos de $A$ num mesmo subconjunto $A_{i}$ e, portanto, um deles é múltiplo do outro. Isso prova que 50 é o número máximo de elementos de qualquer subconjunto de $B$ que não possua dois elementos tais que um deles seja múltiplo do outro. + +174. Brincando com a calculadora - O resultado é o mesmo número inicial $a b c$ de três algarismos. De fato, se $a b c$ é um número de três algarismos, então o número de seis algarismos $a b c a b c$ é da forma $a b c a b c=1000 \times a b c+a b c=1001 \times a b c$. + +Como $1001=7 \times 11 \times 13$, dividindo, sucessivamente, $a b c a b c$ por 7 , 11 e 13, obtemos + +$$ +\frac{a b c a b c}{7 \times 11 \times 13}=\frac{1001 \times a b c}{1001}=a b c +$$ + +175. No galinheiro - Sejam $x$ e $y$, respectivamente, o número de galinhas e de pintinhos no galinheiro. + +(a) Temos $4 x+2 y=240$, ou seja, $2 x+y=120$. Como $8 \mathrm{~kg}=8000 \mathrm{~g}$, temos $160 x+40 y \leq 8000$. Assim, $4 x+y \leq 200$. + +Em resumo, os números $x$ de galinhas e $y$ de pintinhos satisfazem + +$$ +(*)\left\{\begin{array}{l} +2 x+y=120 \\ +4 x+y \leq 200 +\end{array}\right. +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-100.jpg?height=422&width=734&top_left_y=931&top_left_x=1095) + +(b) A reta $2 x+y=120$ corta o eixo $O x$ em $x=60$ e o eixo $O y$ em $y=120$. A reta $4 x+y=200$ corta o eixo $O x$ em $x=50$ e o eixo $O y$ em $y=200$. Os gráficos dessas retas estão dadas na figura, em que a desigualdade $4 x+y \leq 200$ é representada pela região sombreada. Observe que, na figura, as condições $(*)$ são representadas pelo segmento que liga os pontos $P$ e $(0,120)$. As coordenadas do ponto $P$ são a solução do sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +2 x+y=120 \\ +4 x+y=200 +\end{array}\right. +$$ + +ou seja, $x=40$ e $y=40$ e, portanto, $P=(40,40)$. + +(c) Temos que $2 \times 20+80=120$ e $4 \times 20+80 \leq 200$. Logo, $x=20$ e $y=80$ satisfazem as condições $(*)$ e, por isso, o galinheiro comporta, sim, 20 galinhas e 80 pintinhos. Agora, $2 \times 30+100 \neq 120$, logo, $x=30$ e $y=100$ não satisfazem as condições $(*)$ e, por isso, o galinheiro não comporta 30 galinhas e 100 pintinhos. + +(d) O número máximo de galinhas é $40 \mathrm{e}$, nesse caso, teremos também 40 pintinhos. O número máximo de pintinhos é 120 e, nesse caso, teremos 0 galinhas. + +176. Um número perfeito - Se $2^{31}-1$ é um número primo, seu único divisor próprio é o número 1. Então, os divisores próprios de $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ são + +$$ +1,2,2^{2}, \ldots, 2^{29}, 2^{30},\left(2^{31}-1\right), 2\left(2^{31}-1\right), 2^{2}\left(2^{31}-1\right), \ldots 2^{29}\left(2^{31}-1\right) +$$ + +A soma $S$ desses divisores é + +$$ +S=\left[1+2+2^{2}+\cdots+2^{29}+2^{30}\right]+\left(2^{31}-1\right)\left[1+2+2^{2}+\cdots+2^{29}\right] +$$ + +Em cada um dos dois colchetes aparece a soma $S_{n}$ de uma progressão geométrica de $n$ termos, sendo o primeiro termo igual a 1 e a razão igual a 2: o primeiro colchete é $S_{31}$, com 31 termos e +o segundo é $S_{30}$, com trinta termos. Usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, obtemos + +$$ +S_{31}=\frac{2^{31}-1}{2-1}=2^{31}-1 \quad \text { e } \quad S_{30}=\frac{2^{30}-1}{2-1}=2^{30}-1 +$$ + +Então a soma dos divisores próprios de $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$ é + +$$ +S=\left(2^{31}-1\right)+\left(2^{31}-1\right)\left[2^{30}-1\right]=\left(2^{31}-1\right)\left(1+2^{30}-1\right)=2^{30}\left(2^{31}-1\right) +$$ + +Logo, essa soma é igual a $2^{30}\left(2^{31}-1\right)$, como queríamos provar. + +177. Quinze minutos a mais - Sabemos que a velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo gasto. + +Solução 1: Denotando por $t$ o tempo gasto, em horas, pelo carro mais lento, o que faz a viagem a uma velocidade de $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, sabemos que o tempo gasto pelo outro carro é de $t-1 / 4$, já que 15 minutos é um quarto de hora. Como ambos percorrem a mesma distância, segue que $60 \times t=70 \times(t-1 / 4)$, portanto, $t=7 / 4$ horas, ou 1 hora e três quartos de hora. Logo, a distância entre as duas cidades é $60 \times 7 / 4=105 \mathrm{~km}$. + +Solução 2: Vamos representar por $d$ a distância, em quilômetros, entre as cidades A e B e por $T$ o tempo gasto, em horas, pelo carro mais veloz. Como o outro carro gasta 15 minutos a mais para fazer o mesmo percurso, temos que o tempo gasto pelo carro mais lento é igual a $T+0,25$ horas, pois $15 \mathrm{~min}=0,25 \mathrm{~h}$. Como o carro mais veloz anda a $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, temos $70=d / T$ e, como o mais lento anda a $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, temos $60=d /(T+0,25)$. Assim, + +$$ +d=70 \times T=60(T+0,25) +$$ + +ou seja, $T=1,5 \mathrm{~h}$, e a distância entre as cidades A e B é igual a $d=70 \times 1,5=105 \mathrm{~km}$. + +178. Outros caminhos - Qualquer que seja o trajeto de Júlia da sua casa até a escola, se ela deseja seguir um caminho mais curto, ela deve percorrer exatamente oito quarteirões para a direita e cinco quarteirões para cima. Um caminho mais curto ligando a sua casa até a escola é, então, uma sequência de "travessias de quarteirões", sendo oito delas no sentido horizontal (para a direita) e cinco no sentido vertical (para cima). Assim, para definir um caminho mais curto, ela precisa apenas decidir em que ordem fará essas treze travessias. + +Para isso, imaginemos oito cartelas impressas com a letra $\mathrm{D}$ e cinco cartelas impressas com a letra C. Uma permutação qualquer dessas cartelas pode ser interpretada como um caminho mais curto a ser percorrido por Júlia. Por exemplo, a sequência de cartelas DDCDCCDDDDCDC define o caminho indicado na figura dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-101.jpg?height=463&width=720&top_left_y=2233&top_left_x=748) + +Para determinar o número de maneiras pelas quais podem ser ordenadas essas cartelas, devemos contar de quantas maneiras diferentes se pode colocar cinco cartelas com a letra C em uma fila com treze lugares vagos, sendo os demais oito lugares na fila ocupados com as cartelas com a letra D. + +Inicialmente, devemos escolher um dos treze lugares vagos para colocar uma letra C. Colocada essa letra, sobram doze lugares vagos para a segunda letra C. Colocada essa letra, sobram onze lugares vagos para a terceira letra, dez lugares para a quarta letra e, finalmente, nove lugares para a quinta letra C. Agora, uma vez colocadas as cinco letras C, qualquer permutação dessas letras entre si não altera a distribuição das letras na fila. Como a quantidade de permutações de cinco objetos é $5!=120$, pelo princípio multiplicativo temos que o número de maneiras de ordenar as treze cartelas é dado por + +$$ +\frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120}=1287 +$$ + +de modo que existem 1287 caminhos mais curtos diferentes da casa de Júlia até a escola. + +179. Escrevendo no tabuleiro - Começando com a letra A, ela pode ser escrita em qualquer uma das nove casas do tabuleiro. Uma vez escrita a letra $\mathbf{A}$, sobram seis casas nas quais pode ser escrita a letra B. Uma vez escritas as letras $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$ no tabuleiro, sobram três casas para a letra $\mathbf{C}$ ser escrita. Assim, pelo princípio multiplicativo, existem $9 \times 6 \times 3=162$ maneiras diferentes das letras $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ e $\mathbf{C}$ serem escritas no tabuleiro. +180. Fração e percentagem - A opção correta é (d). + +Se um número $x$ é diminuído de $40 \%$, ele passa a valer $60 \%$ de $x$, ou seja, $0,6 x$. Do mesmo modo, quando um número $y$ é diminuído de $60 \%$, ele passa a valer $0,4 y$. Portanto, a fração $x / y$ passa a ter o valor + +$$ +\frac{0,6 x}{0,4 y}=\frac{6}{4} \frac{x}{y}=1,5 \times \frac{x}{y} +$$ + +o que significa que a fração $x / y$ aumentou $50 \%$ do seu valor. + +181. Triângulos sobrepostos - Os pontos $A, B, C$ e $D$ formam o retângulo $A B C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-102.jpg?height=317&width=528&top_left_y=1766&top_left_x=798) + +Como as diagonais de um retângulo o dividem em quatro triângulos de mesma área, a área sombreada é igual a três quartos da área do retângulo $A B C D$. Assim, a área sombreada é igual a $\frac{3}{4}(7 \times 4)=21 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Vejamos, agora, o caso da outra figura. Sejam $x=D E=C E, y=A E=B E$ e $E$ o ponto de interseção dos segmentos $A C$ e $B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-102.jpg?height=306&width=602&top_left_y=2394&top_left_x=767) + +A área sombreada é a soma das áreas dos triângulos $A D E$ e $A B C$, ou seja, + +$$ +\frac{4 \times x}{2}+\frac{4 \times 7}{2}=2 x+14 +$$ + +Logo, basta calcular $x$. Temos que $x+y=7$ e, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $A E D$, também $y^{2}=x^{2}+4^{2}$. Substituindo $y=7-x$ nessa última equação, obtemos $(7-x)^{2}=x^{2}+16$, de modo que $49-14 x+x^{2}=x^{2}+16$, ou seja, + +$$ +x=\frac{49-16}{14}=\frac{33}{14} +$$ + +Finalmente, a área sombreada é dada por $2 \times \frac{33}{14}+14=\frac{33}{7}+14=\frac{131}{7} \mathrm{~cm}^{2}$. + +182. Dois motoristas - Sabemos que a velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo gasto. Seja $d$ a distância entre as duas cidades $\mathrm{A}$ e B. + +- O primeiro motorista percorre a distância de $2 d$ à velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, portanto, o tempo total gasto por esse motorista é + +$$ +t=\frac{2 d}{80}=\frac{d}{40} \text { horas. } +$$ + +- O segundo motorista percorre a distância $d$ na ida à uma velocidade constante de 90 $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ e, na volta, percorre a mesma distância $d$ à velocidade constante de $70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Logo, o tempo gasto na ida e volta é + +$$ +t=\frac{d}{70}+\frac{d}{90}=\frac{16 d}{630}=\frac{8 d}{315} \text { horas. } +$$ + +Como + +$$ +\frac{d}{40}=\frac{8 d}{320}<\frac{8 d}{315} +$$ + +verificamos que o motorista que viaja à velocidade constante de $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ é o que gasta menos tempo no percurso de ida e volta. + +183. Soma e inverte - Como 0 não é o inverso de número algum, qualquer sequência que comece e termine em 0 deve ser dada por + +$$ +0 \xrightarrow{+1} 1 \longrightarrow \cdots \longrightarrow-1 \xrightarrow{+1} 0 \text {. } +$$ + +Uma sequência dessas é a seguinte. + +$$ +\begin{aligned} +& 0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{+1} 3 \xrightarrow{-i}-\frac{1}{3} \xrightarrow{+1} \frac{2}{3} \xrightarrow{+1} \frac{5}{3} \xrightarrow{+1} \frac{8}{3} \xrightarrow{-i}-\frac{3}{8} \xrightarrow{+1} \frac{5}{8} \xrightarrow{+1} \frac{13}{8} \xrightarrow{+1} \frac{21}{8} \\ +& \xrightarrow{-i}-\frac{8}{21} \xrightarrow{+1} \frac{13}{21} \xrightarrow{-i}-\frac{21}{13} \xrightarrow{+1}-\frac{8}{13} \xrightarrow{+1} \frac{5}{13} \xrightarrow{-i}-\frac{13}{5} \xrightarrow{+1}-\frac{8}{5} \xrightarrow{+1}-\frac{3}{5} \xrightarrow{+1} \frac{2}{5} \\ +& \xrightarrow{-i}-\frac{5}{2} \xrightarrow{+1}-\frac{3}{2} \xrightarrow{+1}-\frac{1}{2} \xrightarrow{+1} \frac{1}{2} \xrightarrow{-i}-2 \xrightarrow{+1}-1 \xrightarrow{+1} 0 . +\end{aligned} +$$ + +Uma outra sequência, bem mais curta e simples é, simplesmente, + +$$ +0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{-i}-1 \xrightarrow{+1} 0 . +$$ + +(a) Com cada litro de gasolina, que custa $\mathrm{R} \$ 2,49$, o carro roda 12,3 quilômetros. Logo, o preço do quilômetro rodado é de $\frac{2,49}{12,3}$ reais. Se o carro fizer $y$ quilômetros por litro de álcool, o preço do quilômetro rodado com álcool é de $\frac{1,59}{y}$ reais. Para que a utilização do álcool seja mais vantajosa, financeiramente, é necessário que + +$$ +\frac{1,59}{y}<\frac{2,49}{12,3}, \quad \text { ou seja, que } \quad y>\frac{1,59 \times 12,3}{2,49}=7,85 +$$ + +Assim, o consumo desse carro com álcool deve ser maior do que $7,85 \mathrm{~km} / 1$. + +(b) Supondo que o consumo do carro seja de $x \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de gasolina e de $y \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de álcool, queremos saber quando o custo com gasolina é maior do que o custo com álcool, isto é, quando + +$$ +\frac{2,49}{x}>\frac{1,59}{y} +$$ + +o que acarreta $2,49 y>1,59 x$, ou seja, $y>0,64 x$, já que $x$ e $y$ são valores positivos. Um exemplo disso é o carro como o do item (a), que consuma $12,3 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de gasolina e $8 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de álcool. $\mathrm{Ou}$, então, um carro que faça $10 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de gasolina e $7 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de álcool. + +(c) Com cada litro de gasolina, que custa $\mathrm{R} \$ 2,49$, o carro roda $x$ quilômetros. Logo, o preço de 100 quilômetros rodados é de $g(x)=100 \frac{2,49}{x}=\frac{249}{x}$ com gasolina. Com cada litro de álcool, que custa $\mathrm{R} \$ 1,59$, o carro roda $\frac{x}{2}+1$ quilômetros. Logo, o preço de 100 quilômetros rodados com álcool é de $a(x)=100 \frac{1,59}{\frac{x}{2}+1}=\frac{318}{x+2}$. + +(d) Para que o custo seja o mesmo, basta ter $\frac{249}{x}=g(x)=a(x)=\frac{318}{x+2}$, ou seja, $249(x+2)=318 x$, cuja solução é $x=7,22 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$, que deve ser o consumo com gasolina. Para que o custo seja o mesmo, o consumo do carro com álcool deve ser de $\frac{7,22}{2}+1=4,61 \mathrm{~km} / 1$. + +(e) Supondo que o consumo do carro seja de $x \mathrm{~km} / 1$ de gasolina e de $\frac{x}{2}+1 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de álcool, queremos saber quando o custo com álcool é menor do que o custo com gasolina, isto é, quando $\frac{3,18}{x+2}<\frac{2,49}{x}$, o que acarreta $0,69 x<4,98$, ou seja, $x<7,22$, já que $x$ é um valor positivo. Assim, só é financeiramente vantajoso abastecer com álcool se o consumo com gasolina for menor do que $7,22 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$. Um exemplo disso é um carro que faça 6 $\mathrm{km} / \mathrm{l}$ de gasolina e, portanto, $4 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ com álcool: nesse caso, por exemplo, o custo de 100 quilômetros rodados com gasolina é de $g(6)=\mathrm{R} \$ 41,50$ e com álcool é de $a(6)=\mathrm{R} \$$ 39,75 . Observe que, a partir de um consumo de $7,22 \mathrm{~km} / 1$ de gasolina, é financeiramente vantajoso abastecer só com gasolina; por exemplo, se o carro fizer $10 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de gasolina e, portanto, $6 \mathrm{~km} / \mathrm{l}$ de álcool, o custo de 100 quilômetros rodados com gasolina é de $g(10)=\mathrm{R} \$ 24,90$ e com álcool é de $a(10)=\mathrm{R} \$ 26,50$. + +Observação: Todos os valores utilizados nessas soluções foram arredondados na segunda casa decimal. + +185. Contando triângulos - Sejam $A, B, \ldots, K$ os onze pontos marcados, como na figura dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-105.jpg?height=334&width=557&top_left_y=256&top_left_x=835) + +Dividiremos a contagem em três casos. + +(i) Um vértice é $A$. Nesse caso, um vértice do triângulo deve estar no conjunto $\{H, I, J, K\}$ e o outro vértice no conjunto $\{B, C, D, E, F, G\}$. Como existem quatro escolhas para um vértice $\mathrm{e}$ seis escolhas para o outro vértice, a quantidade de triângulos com um vértice no ponto $A$ é $6 \times 4=24$. + +(ii) Dois vértices em $\{B, C, D, E, F, G\}$. O número de possíveis escolhas de dois dentre esses seis pontos é + +$$ +C_{6}^{2}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6 \times 5}{2}=15 +$$ + +O outro vértice do triângulo é qualquer um dos quatro pontos $H, I, J$ ou $K$. Daí, a quantidade desses triângulos é $4 \times 15=60$. + +(iii) Dois vértices em $\{H, I, J, K\}$. O número de possíveis escolhas de dois dentre esses quatro pontos é + +$$ +C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 \times 3}{2}=6 +$$ + +Como o outro vértice pode ser escolhido de seis maneiras diferentes no conjunto $\{B, C, D$, $E, F, G\}$, resulta que a quantidade desses triângulos é $6 \times 6=36$. + +Logo, $24+60+36=120$ é a quantidade de triângulos cujos vértices são tomados dentre os onze pontos da figura. + +186. Quadrado perfeito - Seja $x$ um número de oito algarismos, da forma $x=9999 * * * *$. + +Como o menor desses números é 99990000 e o maior é 99 999 999, temos que + +$$ +99990000 \leq x \leq 99999999 +$$ + +Observemos que $10000^{2}=100000000=99999999+1$ e que + +$$ +9999^{2}=(10000-1)^{2}=10000^{2}-20000+1=99980001 +$$ + +Isso mostra que $9999^{2}\frac{1-0,01^{2}}{0,02}=\frac{1-\frac{1}{100^{2}}}{\frac{2}{100}}=\frac{100^{2}-1}{200} +$$ + +Elevando, novamente, ao quadrado os dois membros (não negativos) dessa desigualdade, obtemos + +$$ +n-1>\frac{\left(100^{2}-1\right)^{2}}{200^{2}}=\frac{100^{4}-2 \times 100^{2}+1}{4 \times 100^{2}}=\frac{100^{2}}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4 \times 100^{2}} +$$ + +ou seja, + +$$ +n-1>2500-\frac{1}{2}+\frac{1}{40000} +$$ + +e, finalmente, + +$$ +n>2500+\frac{1}{2}+\frac{1}{40000} +$$ + +Como $\frac{1}{2}+\frac{1}{40000}<1$, temos que o menor número inteiro que satisfaz essa última desigualdade é 2501 . Assim, estabelecemos que o menor número inteiro positivo que satisfaz a desigualdade dada é o número 2501. + +## 188. Conjunto de Cantor + +(a) De acordo com a definição do conjunto de Cantor, temos o desenho seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-106.jpg?height=232&width=720&top_left_y=1072&top_left_x=725) + +(b) $1 / 3$ é uma extremidade de $C_{2}$, portanto, pertence ao conjunto de Cantor. $3 / 81=1 / 27$ e $1 / 27$ é uma extremidade de $C_{4}$, portanto, $3 / 81$ pertence ao conjunto de Cantor. $4 / 9$ está entre $1 / 3$ e $2 / 3$, portanto, está no terço central de $C_{1}$, que foi removido de $C_{2}$; assim, 4/9 não pertence ao conjunto de Cantor. 4/81 está entre 1/27 e $2 / 27$, portanto, está no terço central do primeiro segmento de $C_{3}$, que foi removido de $C_{4}$; assim, 4/81 não pertence ao conjunto de Cantor. + +(c) Observe que $C_{1}$ tem comprimento $1, C_{2}$ tem comprimento $2 / 3, C_{3}$ tem comprimento $4 / 9$, $C_{4}$ tem comprimento $8 / 27$ e $C_{5}$ tem comprimento 16/81. Assim, os comprimentos de $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots, C_{n}, \ldots$ formam uma progressão geométrica de razão $q=2 / 3$ e primeiro termo $a_{1}=1$, como segue. + +$$ +1, \frac{2}{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{2},\left(\frac{2}{3}\right)^{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{4}, \ldots,\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}, \ldots +$$ + +Em particular, o comprimento de $C_{n}$ é $(2 / 3)^{n-1}$. + +189. Enchendo uma piscina - Como as torneiras A e B despejam água na piscina com vazão constante, o volume de água despejado na piscina de cada uma das torneiras é proporcional ao tempo em que ela fica aberta. Assim, se durante duas horas a torneira A enche $15 \%$ do volume da piscina, então em 4 horas ela encherá $30 \%$ do volume da piscina. + +Mas, quando as torneiras A e B ficam simultaneamente abertas durante quatro horas, elas conseguem encher $50 \%$ do volume da piscina. Daí, temos que a torneira B enche $50 \%-30 \%=$ $20 \%$ do volume da piscina em quatro horas. + +Para saber quanto tempo a torneira B deve ficar aberta para encher os $35 \%$ restantes do volume da piscina, basta utilizar a regra de três. + +$$ +\begin{array}{ccc} +\text { horas } & \rightarrow & \text { percentual } \\ +4 & \rightarrow & 20 \% \\ +x & \rightarrow & 35 \% +\end{array} +$$ + +Logo, a torneira B gastará $x=\frac{35 \times 4}{20}=7$ horas para encher os $35 \%$ restantes. + +## 190. Probabilidade de ser um número par + +Solução 1: Sejam $a$ e $b$ os números escritos nas bolas retiradas por José e Maria, respectivamente. Existem, então, nove possibilidades para $a$ e oito possibilidades para $b$. Desse modo, existem $9 \times 8=72$ possibilidades para o número $a b$. Para contar quantos desses números $a b$ são pares, precisamos analisar separadamente dois casos, como segue. + +- Ambos números $a$ e $b$ são pares. +- O número $a$ é ímpar e o número $b$ é par. + +No primeiro caso, em que $a$ e $b$ são pares, existem quatro possibilidades para $a$ e três possibilidades para $b$. Desse modo, existem $4 \times 3=12$ possibilidades ao todo. + +No segundo caso, em que $a$ é ímpar e $b$ é par, existem cinco possibilidades para $a$ e quatro possibilidades para $b$. Desse modo, existem $5 \times 4=20$ possibilidades. + +Portanto, a probabilidade de o número $a b$ ser par é $\frac{12+20}{72}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$. + +Solução 2: A paridade do número a ser formado depende da paridade do número escrito na bola a ser retirada por Maria. Dentre os números inteiros de 1 a 9, existem cinco ímpares, $1,3,5,7$ e 9, e quatro pares, $2,4,6$ e 8 . Portanto, a probabilidade de que o número a ser formado seja par é $\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9}$. + +191. Múltiplo de $7-N=(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m)$ é um múltiplo de 7 . + +Solução 1: Inicialmente, observemos que, denotando $k=n-m$, temos + +$$ +\begin{aligned} +N & =(n+6 m)(2 n+5 m)(3 n+4 m) \\ +& =(n+7 m-m)(2 n+7 m-2 m)(3 n+7 m-3 m) \\ +& =(n-m+7 m)[2(n-m)+7 m][3(n-m)+7 m] \\ +& =(k+7 m)(2 k+7 m)(3 k+7 m) +\end{aligned} +$$ + +Como 7 é primo e divide $N$, então pelo menos um dos três fatores $k+7 m, 2 k+7 m$ ou $3 k+7 m$ de $N$ é múltiplo de 7 . + +(i) Se $k+7 m$ é múltiplo de 7 , então $\frac{k+7 m}{7}=\frac{k}{7}+m$ é inteiro, $\log$ o $k$ é múltiplo de 7 . Segue que $2 k$ e $3 k$ também são múltiplos de 7 e, portanto, os três fatores $k+7 m, 2 k+7 m$ e $3 k+7 m$ de $N$ são múltiplos de 7 . Concluímos que $N$ é múltiplo de $7^{3}$. + +(ii) Se $2 k+7 m$ é múltiplo de 7 , então $\frac{2 k+7 m}{7}=\frac{2 k}{7}+m$ é inteiro, $\operatorname{logo} 2 k$ é múltiplo de 7 . Como 2 e 7 são primos entre si, segue que $k$ é múltiplo de 7 , o que leva ao caso anterior e $N$ resulta ser múltiplo de $7^{3}$. + +(iii) Se $3 k+7 m$ é múltiplo de 7 , analogamente concluímos que $k$ é múltiplo de 7 , o que leva ao caso anterior e $N$ é múltiplo de $7^{3}$. + +Assim, estabelecemos que $N$ é múltiplo de $7^{3}$. + +Solução 2: Consideremos os números $A=n+6 m, B=2 n+5 m$ e $C=3 n+4 m$. Como o número primo 7 divide o produto $N=A \times B \times C$, então 7 divide pelo menos um desses fatores. Para concluir que $7^{3}$ divide $N$, basta mostrar, portanto, que se 7 divide algum dos números $A, B$ ou $C$ então 7 divide cada um deles. + +Suponhamos que 7 divida $A$. Então 7 divide $2 A$. Mas $2 A=2 n+12 m=B+7 m$. Como 7 também divide $7 m$, segue que 7 divide $B$. Da mesma forma, como 7 divide $A$, segue que 7 divide $3 A$. Mas $3 A=3 n+18 m=C+14 m$. Como 7 também divide $14 m$, concluímos que 7 divide $C$. + +Suponhamos que 7 divida $B$. Então 7 divide $4 B$. Mas $4 B=8 n+20 m=A+7(n+2 m)$. Como 7 também divide $7(n+2 m)$, segue que 7 divide $A$. Como já foi mostrado acima, dividindo $A$, 7 também divide $C$. + +Suponhamos que 7 divida $C$. Então 7 divide $5 C$. Mas $5 C=15 n+20 m=A+7(2 n+2 m)$. Como 7 também divide $7(2 n+2 m)$, segue que 7 divide $A$. Como já foi mostrado acima, dividindo $A, 7$ também divide $B$. + +192. Os ângulos $15^{\circ}$ e $75^{\circ}-$ Como $D B$ é a diagonal de um quadrado de lado medindo $1 \mathrm{~cm}, o$ Teorema de Pitágoras garante que $D B^{2}=1^{1}+1^{2}=2$, ou seja, $D B=\sqrt{2}$. Recordemos que + +$$ +\begin{array}{ll} +\cos 60^{\circ}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2} ; & \operatorname{tg} 60^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=\sqrt{3} \\ +\operatorname{sen} 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; & \operatorname{tg} 30^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3} +\end{array} +$$ + +(a) O triângulo $\triangle B C E$ é equilátero, logo seus ângulos internos medem $60^{\circ}$. A partir dessa informação, obtemos os ângulos assinalados na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-108.jpg?height=437&width=716&top_left_y=1261&top_left_x=750) + +No triângulo $\triangle C D F$ temos sen $60^{\circ}=\frac{C D}{D F}=\frac{1}{D F}$. Como sen $60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, segue que $\frac{1}{D F}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ e, portanto, que $D F=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$. Ainda no triângulo $\triangle C D F$ temos $\cos 60^{\circ}=\frac{C F}{D F}=\frac{C F}{2 \sqrt{3} / 3}$. Mas $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, de onde se conclui que $\frac{1}{2}=\frac{C F}{2 \sqrt{3} / 3}$, ou seja, $C F=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Segue que $B F=1-C F=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Temos, agora, + +$$ +\frac{1}{2}=\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{F N}{B F}=\frac{F N}{1-\sqrt{3} / 3}, \quad \text { de modo que } \quad F N=\frac{3-\sqrt{3}}{6} +$$ + +e + +$$ +\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{\circ}=\frac{B N}{B F}=\frac{B N}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}, \quad \text { de modo que } \quad B N=\frac{\sqrt{3}-1}{2} +$$ + +Assim, calculamos os três lados do triângulo $\triangle D B N$, como segue. + +- $D B=\sqrt{2}$; +- $D N=D F+F N=\frac{2 \sqrt{3}}{3}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$; +- $B N=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. +(b) No triângulo $\triangle D B N$ temos $D \widehat{B} N=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$, donde concluímos que $B \widehat{D} N=15^{\circ}$. Assim, temos + +$$ +\cos 75^{\circ}=\frac{B N}{D B}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} +$$ + +e + +$$ +\cos 15^{\circ}=\frac{D N}{D B}=\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} +$$ + +Resta observar que sen $75^{\circ}=\cos 15^{\circ}$, sen $15^{\circ}=\cos 75^{\circ}$ e que + +$\operatorname{tg} 75^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ e $\operatorname{tg} 15^{\circ}=\frac{\operatorname{sen} 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-109.jpg?height=526&width=406&top_left_y=445&top_left_x=1476) + +## 193. Circulos tangentes + +(a) Na figura dada estão desenhadas dois círculos concêntricos de raios $r$ e $R$ e um círculo de raio $x$, simultaneamente tangente aos dois círculos concêntricos. Logo, $r+2 x=R$, donde $x=\frac{R-r}{2}$. + +(b) Na figura dada temos dois círculos tangentes de raio $x$ que também são tangentes aos dois círculos concêntricos de raios $r$ e $R$. Os pontos $A, B$ e $C$ são os centros desses círculos. Para traçar doze círculos de raio $x$ na região entre os dois círculos concêntricos, devemos ter $A \widehat{C} B=\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-109.jpg?height=706&width=352&top_left_y=1048&top_left_x=1528) + +Se $T$ é o ponto de tangência dos círculos de raio $x$, então $T$ é ponto médio do segmento $A B$ e $A \widehat{C} T=15^{\circ}$. Nesse triângulo retângulo temos + +$$ +\operatorname{sen} 15^{\circ}=\frac{A T}{A C}=\frac{x}{r+x} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-109.jpg?height=225&width=431&top_left_y=1755&top_left_x=1452) + +Observe que + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{sen} 15^{\circ} & =\operatorname{sen}\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\operatorname{sen} 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \operatorname{sen} 30^{\circ} \\ +& =\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} +\end{aligned} +$$ + +o que coincide com o valor obtido na questão precedente. Mas $x=\frac{R-r}{2}$, do que concluímos que $\frac{R-r}{R+r}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Dividindo por $r$ o numerador e o denominador do membro esquerdo dessa igualdade obtemos + +$$ +\frac{\frac{R}{r}-1}{\frac{R}{r}+1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} +$$ + +Segue que $4\left(\frac{R}{r}-1\right)=(\sqrt{6}-\sqrt{2})\left(\frac{R}{r}+1\right)$ e, finalmente, + +$$ +\frac{R}{r}=\frac{4+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}} +$$ + +Observação: Uma outra maneira de obter o valor de sen $15^{\circ}$ é utilizar a fórmula $\operatorname{sen}(\theta / 2)=\sqrt{(1-\cos \theta) / 2}$ do ângulo metade. Para $\theta=30^{\circ}$, obtemos + +$$ +\operatorname{sen} 15^{\circ}=\operatorname{sen} \frac{30^{\circ}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{3} / 2}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} +$$ + +Repetindo o argumento apresentado acima com esse valor do seno, obtemos + +$$ +\frac{R}{r}=\frac{2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}} +$$ + +É bastante curioso e nada evidente, à primeira vista, que essas duas expressões envolvendo radicais sejam iguais: + +$$ +\frac{4+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}} +$$ + +194. Mudando a base - Num triângulo isósceles, a altura relativa à base coincide com a mediana. Traçando essa altura no triângulo dado, de base 10, obtemos dois triângulos retângulos com catetos medindo 5 e $h$ e hipotenusa 13. Pelo Teorema de Pitágoras, temos $h^{2}+5^{2}=13^{2}$, donde $h^{2}=13^{2}-5^{2}=144 \mathrm{e}$, portanto, $h=\sqrt{144}=12$. Logo, a área do triângulo dado é + +$$ +A=\frac{b \times h}{2}=\frac{10 \times 12}{2}=60 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +Agora "colamos" os dois triângulos retângulos ao longo do cateto medindo 5, obtendo um triângulo isósceles com $12+12=24 \mathrm{~cm}$ de base, lados de $13 \mathrm{~cm}$ e altura relativa à base igual a $5 \mathrm{~cm}$. Logo, esse novo triângulo isósceles também tem área igual a $\frac{24 \times 5}{2}=60 \mathrm{~cm}^{2}$. + +195. Clube de Matemática - Sejam $H$ e $M$ os números de homens e mulheres, respectivamente, no clube. Temos duas possibilidades. Se eu sou um menino, temos $M=H-1$ e, quando falta um menino, o número total de pessoas no clube é + +$$ +M+H-1=H-1+H-1=2 H-2 +$$ + +Logo, $H-1=M=\frac{3}{4}(2 H-2)$, de modo que $H=1$. Mas então, $M=1-1=0$, o que não é possível. Assim, necessariamente, eu sou uma menina, e, portanto, $M=H+1$ e temos $H+1=\frac{3}{4}(2 H+1-1)$, donde $H=2$ e $M=3$. + +## 196. Uma calculadora diferente + +Solução 1: Para calcular $(2 * 3)+(0 * 3)$ utilizamos as propriedades (i), (ii) e (iii), obtendo + +$$ +\begin{array}{rll} +(2 * 3)+(0 * 3) & \stackrel{(\mathrm{iii})}{=} & (2+0) *(3+3) \\ += & (6+(-4)) *(6+0) \\ +& \stackrel{(\mathrm{iii})}{=} & (6 * 6)+((-4) * 0) \\ +& \stackrel{(\mathrm{i})}{=}(\mathrm{ii}) & 6+(-4) \times 2 \\ +& =6-8=-2 +\end{array} +$$ + +Para calcular $1024 * 48$, observe que $1024=976+48$. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +1024 * 48 & =(976+48) *(0+48) \\ +& =(976 * 0)+(48 * 48) \\ +& =976 \times 2+48 \\ +& =1952+48=2000 +\end{aligned} +$$ + +Solução 2: Pelas propriedades (i), (ii) e (iii), + +$$ +\begin{aligned} +a * b & =((a-b)+b) *(0+b) \\ +& =((a-b) * 0)+(b * b) \\ +& =(a-b) \times 2+b \\ +& =2 a-2 b-b \\ +& =2 a-b +\end{aligned} +$$ + +para quaisquer inteiros $a$ e $b$. Assim, + +$$ +(2 * 3)+(0 * 3)=(2 \times 2-3)+(2 \times 0-3)=1-3=-2 +$$ + +$$ +1024 * 48=2 \times 1024-48=2048-48=2000 +$$ + +Observação: Existe uma única operação $*$ sobre os inteiros com as propriedades (i), (ii) e (iii) do enunciado, a saber, $a * b=2 a-b$, como mostramos na segunda solução. No entanto, mesmo restringindo o domínio de $*$ aos inteiros não negativos, é possível mostrar que uma operação com as propriedades (i), (ii) e (iii) do enunciado existe, e é única, sendo dada por $a * b=2 a-b$, só que, agora, precisamos nos restringir a números inteiros não negativos $a, b$ tais que $2 a \geq b$, para que o resultado da operação ainda seja um número inteiro não negativo. Denotemos o conjunto dos inteiros não negativos por $\mathbb{N}^{*}$. + +É claro que a dedução feita na segunda solução se aplica somente se $a \geq b$ pois, nesse caso, $a-b \in \mathbb{N}^{*}$. Para provar a existência e unicidade da operação $a * b$ nos inteiros não negativos tais que $2 a \geq b$, precisamos de um argumento mais sutil, como segue. + +Supondo que a operação $a * b$ esteja definida em $\mathbb{N}^{*}$ sempre que $2 a \geq b$, dando um resultado em $\mathbb{N}^{*}$ e satisfazendo as propriedades (i), (ii) e (iii) do enunciado, afirmamos que $a * b=2 a-b$ vale sempre. De fato, dado $c \in \mathbb{N}^{*}$, temos $c *(2 c)=0$, já que podemos cancelar $2 c$ de ambos lados da igualdade + +$$ +2 c=(2 c) *(2 c)=(c+c) *(2 c+0)=(c *(2 c))+(c * 0)=(c *(2 c))+2 c +$$ + +Agora, dados $a, b \in \mathbb{N}^{*}$, com $2 a \geq b$ e $b>a$, temos $2 a-b, b-a \in \mathbb{N}^{*} \mathrm{e}$ + +$$ +\begin{aligned} +a * b & =((2 a-b)+(b-a)) *((2 a-b)+(2 b-2 a)) \\ +& =(2 a-b) *(2 a-b)+(b-a) *(2(b-a)) \\ +& =(2 a-b)+0=2 a-b +\end{aligned} +$$ + +Finalmente, para $a, b \in \mathbb{N}^{*}$, com $2 a \geq b$ e $a \geq b$, isso já foi mostrado na segunda solução. Assim, $a * b=2 a-b$ vale para quaisquer $a, b \in \mathbb{N}^{*}$ tais que $2 a \geq b$. + +197. Cercando o globo terrestre - Como o raio da Terra é muito grande, e foi dado apenas um acréscimo de $1 \mathrm{~m}$ ao comprimento do fio ao longo do Equador, parece que a folga entre o fio e o Equador é muito pequena. Mais ainda, se trocarmos a Terra por Júpiter ou por uma +bolinha de gude e realizarmos essa mesma experiência, parece que a altura da folga entre o fio aumentado e o "equador" dessa esfera também muda, sendo que quanto maior a esfera considerada, menor é a folga entre o fio e o "equador" da esfera. + +Mostremos que essa ideia intuitiva é falsa e que a altura da folga, entre o fio e o Equador, sempre é de aproximadamente $16 \mathrm{~cm}$, independentemente do raio da esfera em que a experiência for realizada. + +Consideremos a circunferência de comprimento $2 \pi R$ de um círculo de raio $R$ e também a circunferência de comprimento igual a $2 \pi R+1$ de um outro círculo de mesmo centro, de raio igual a $R+h$. Assim, $h$ é a altura da "folga" entre as duas circunferências. Como a circunferência de um círculo de raio $R+h$ tem comprimento igual a $2 \pi(R+h)$, obtemos a igualdade + +$$ +2 \pi R+1=2 \pi(R+h)=2 \pi R+2 \pi h +$$ + +que, simplificada, fornece $1=2 \pi h$, ou seja, + +$$ +h=\frac{1}{2 \pi} \approx \frac{1}{6,28} \approx 0,16 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-112.jpg?height=308&width=306&top_left_y=840&top_left_x=1523) + +Portanto, independentemente do valor de $R$, a altura da folga obtida com $1 \mathrm{~m}$ a mais de fio é, sempre, de aproximadamente $16 \mathrm{~cm}$. Em particular, somente uma formiga é capaz de passar por debaixo desse fio. + +198. Comprimento de uma corda - Sendo $A B$ um diâmetro, o triângulo $\triangle A B C$ está inscrito numa semicircunferência, implicando que esse triângulo é retângulo no vértice $C$. Pelo Teorema de Pitágoras, + +$$ +B C^{2}=A B^{2}-A C^{2} +$$ + +ou seja, + +$$ +B C^{2}=20^{2}-12^{2}=256=16^{2} +$$ + +Assim, obtemos que $B C=16$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-112.jpg?height=348&width=420&top_left_y=1528&top_left_x=1412) + +199. Dois irmãos - Sejam $x$ e $y$ as idades atuais dos dois irmãos e $z$ a idade do pai. Temos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-112.jpg?height=168&width=882&top_left_y=1983&top_left_x=610) + +Uma maneira simples de encontrar $z$ é multiplicar a terceira equação por 2 e do resultado subtrair a segunda equação, obtendo $2 z+40-(z-1)=80-(-4)$, o que implica $z=43$. Usando as duas primeiras equações podemos calcular, agora, a idade dos dois filhos. Pela primeira equação, $x=y+3$ e, pela segunda, $43-1=2 x+2 y-4$, ou seja, $x=23-y$. Somando essas duas equações obtidas, encontramos $2 x=26$, donde $x=13$ e, portanto, $y=10$. + +200. Canelonis de ricota - Colando os retângulos de massa ao longo do maior lado, Pedro obtém um cilindro de base circular com $10 \mathrm{~cm}$ de comprimento e $16 \mathrm{~cm}$ de altura. O volume que ele, então, recheia com ricota é o volume $V=$ área da base $\times$ altura desse cilindro. A área da base é dada por $\pi \times r^{2}$, onde $r$ denota o raio da base. Vamos, então, calcular o raio +sabendo que o perímetro da base é $10 \mathrm{~cm}$. Temos $2 \pi r=10$, ou seja, $r=5 / \pi$. Assim, o volume de ricota para cada caneloni é dado, nesse caso, por + +$$ +V=\pi \times \frac{5^{2}}{\pi^{2}} \times 16=\frac{16 \times 25}{\pi}=\frac{400}{\pi} \mathrm{cm}^{3} +$$ + +Agora, colando os retângulos de massa ao longo do menor lado, Pedro obtém um cilindro de base circular com $14 \mathrm{~cm}$ de perímetro e $12 \mathrm{~cm}$ de altura. + +O raio da base agora é dado por $r^{\prime}=14 / 2 \pi=7 / \pi$. Assim, o volume de ricota para cada caneloni é dado, nesse caso, por + +$$ +V^{\prime}=\pi \times \frac{7^{2}}{\pi^{2}} \times 12=\frac{588}{\pi} \mathrm{cm}^{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-113.jpg?height=317&width=548&top_left_y=658&top_left_x=1325) + +Finalmente, para calcular o novo gasto com ricota, usamos uma regra de três direta. + +$$ +\begin{array}{ccc} +\text { Volume }\left(\mathrm{cm}^{3}\right) & & \text { Ricota }(\mathrm{g}) \\ +\frac{400}{\pi} & \longrightarrow & 500 \\ +\frac{588}{\pi} & \longrightarrow & x +\end{array} +$$ + +Segue que + +$$ +x=\frac{500 \times 588}{400}=735 \mathrm{~g}, +$$ + +de modo que agora Pedro gasta $235 \mathrm{~g}$ a mais de ricota por caneloni. + +201. Cálculo de segmentos - $\mathrm{O}$ triângulo $\triangle A B P$ é retângulo com catetos $A B=1200$ e $B P=$ $150+350=500$. Pelo Teorema de Pitágoras, temos + +$$ +A P^{2}=1200^{2}+500^{2}=(144+25) \times 10^{4}=169 \times 10^{4}=\left(13 \times 10^{2}\right)^{2} +$$ + +de modo que $A P=13 \times 10^{2}=1300 \mathrm{~m}$. Analogamente, considerando o triângulo retângulo $\triangle P C D$, temos + +$$ +D P^{2}=350^{2}+1200^{2}=\left(7^{2}+12^{2} \times 2^{2}\right)\left(5^{2} \times 10^{2}\right)=25^{2} \times 50^{2} +$$ + +donde $D P=1250 \mathrm{~m}$. Os triângulos $\triangle P C Q$ e $\triangle P B A$ são retângulos com um ângulo em comum, logo são semelhantes e segue que + +$$ +\frac{P Q}{P A}=\frac{P C}{P B}=\frac{C Q}{A B} +$$ + +Substituindo os valores conhecidos, obtemos + +$$ +\frac{P Q}{1300}=\frac{350}{500}=\frac{C Q}{1200} +$$ + +Assim, + +$$ +P Q=\frac{350 \times 1300}{500}=910 \mathrm{~m} \text { e } C Q=\frac{350 \times 1200}{500}=840 \mathrm{~m} +$$ + +202. Prá chegar junto! - Sabemos que a velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo gasto. Como as velocidades de Luisa e Ada são constantes, a distância percorrida por cada uma é proporcional ao tempo decorrido. Logo, se Ada percorre $3000-120=2880 \mathrm{~m}$ no mesmo tempo em que Luisa percorre $3000 \mathrm{~m}$, então Ada percorrerá $3000 \mathrm{~m}$ no mesmo tempo em que Luisa percorrer $d \mathrm{~m}$, numa rega de três direta. + +$$ +\begin{array}{rlc} +\text { Luisa } & \rightarrow \text { Ada } \\ +3000 & \rightarrow 2880 \\ +d & \rightarrow 3000 +\end{array} +$$ + +Assim, $d=\frac{3000^{2}}{2880}=3125$ e Luisa deve partir $125 \mathrm{~m}$ antes do ponto A para chegar junto com Ada ao ponto $\mathrm{B}$. + +203. Um professor enfurecido - Quem teve $x$ como nota mensal vai ter um desconto de $x \%$ sobre essa nota, ou seja vai perder + +$$ +x \% \text { de } x=\frac{x}{100} \times x=\frac{x^{2}}{100} +$$ + +Logo, uma nota inicial de $x$, depois do castigo, fica sendo $x-\frac{x^{2}}{100}$. Consideremos essa função "nota depois do castigo", dada por + +$$ +f(x)=x-\frac{x^{2}}{100} +$$ + +Como as notas máximas e mínimas são 0 e 100, podemos considerar essa função apenas no domínio $[0,100]$, ou seja, para $0 \leq x \leq 100$. O gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para baixo. O valor mínimo dessa função é 0 , que ocorre em $x=0$ e $x=100$ e o valor máximo ocorre no vértice, ou seja, no ponto $x=50$, que é a média aritmética entre as duas raízes 0 e 100 de $f$. + +(a) A maior nota depois do castigo é para os alunos que, antes do castigo, tiraram 50. Essa nota é + +$$ +f(50)=50-\frac{50^{2}}{100}=25 +$$ + +(b) A menor nota é 0 e ocorre para os alunos que tiraram 0 ou, pasmem, 100 antes do castigo. De fato, $f(0)=f(100)=0$. + +(c) Para cada nota maior do que 50 há uma outra nota, menor do que 50 , que acaba sendo igual depois do castigo. De fato, pela simetria da parábola, $f(50-n)=f(50+n)$, para cada $0 \leq n \leq 50$. Por exemplo, quem tirou 30 acaba com a mesma nota 21 de quem tirou 70, pois $f(30)=21=f(70)$. Assim, procede a reclamação dos alunos que tiraram notas boas. + +204. O percurso de um atleta - O Polo Norte da Terra é o ponto mais fácil de ser identificado como solução: saindo o atleta do Polo Norte, correndo $5 \mathrm{~km}$ para o Sul, depois $5 \mathrm{~km}$ para o Leste e finalmente $5 \mathrm{~km}$ para o Norte, ele volta novamente para o Polo Norte. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-114.jpg?height=360&width=1126&top_left_y=2338&top_left_x=497) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-115.jpg?height=380&width=808&top_left_y=261&top_left_x=655) + +Vamos determinar outros ponto da Terra que satisfazem as hipóteses do problema. Consideremos o paralelo (linha paralela ao Equador) de comprimento $5 \mathrm{~km}$. Existem dois deles, um próximo ao Polo Norte e outro próximo ao Polo Sul. Vamos denotar por $C_{1}$ o que está mais próximo do Polo Sul e por $C_{2}$ o paralelo que está $5 \mathrm{~km}$ ao Norte de $C_{1}$, distância essa medida ao longo de um meridiano. Afirmamos que qualquer ponto $A$ sobre o paralelo $C_{2}$ satisfaz as hipóteses do problema. De fato, saindo de $A$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o Sul, chega-se a um ponto $B$ do paralelo $C_{1}$. Como $C_{1}$ mede $5 \mathrm{~km}$, saindo de $B$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o Leste retorna-se novamente a $B$. Finalmente, saindo de $B$ e caminhando $5 \mathrm{~km}$ para o norte, retorna-se novamente ao ponto de partida $A$. + +205. Áreas iguais - Seja $T$ a área do triângulo $\triangle A B C$ e denotemos por $a$ e $c$ as áreas internas aos semicírculos de diâmetros $A B$ e $B C$ mas externas ao semicírculo de diâmetro $A C$ e por $b$ e $d$ as áreas compreendidas entre os catetos do triângulo e o semicírculo de diâmetro $A C$. Segue que a área do semicírculo de diâmetro $A B$ é dada por $a+b$, portanto, + +$$ +a+b=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}=\frac{\pi}{8} A B^{2} +$$ + +a área do semicírculo de diâmetro $B C$ é dada por $c+d$, portanto, + +$$ +c+d=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}=\frac{\pi}{8} B C^{2} +$$ + +e a área do semicírculo de diâmetro $A C$ é dada por $b+d+T$, portanto, + +$$ +b+d+T=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}=\frac{\pi}{8} A C^{2} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-115.jpg?height=339&width=417&top_left_y=1518&top_left_x=1462) + +e, em particular, $b+d=\frac{\pi}{8} A C^{2}-T$. Além disso, o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo $\triangle A B C$ fornece $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$ ou, então, $A B^{2}+B C^{2}-A C^{2}=0$. Assim, + +$$ +a+c=(a+b)+(c+d)-(b+d)=\frac{\pi}{8}\left(A B^{2}+B C^{2}-A C^{2}\right)+T=T +$$ + +ou seja, a soma $a+b$ das áreas sombreadas é igual à área $T$ do triângulo retângulo $\triangle A B C$. + +## 206. Função definida por área + +(a) A reta $r$ passa pelo ponto $(0,2)$, portanto, tem equação dada por $y=m x+2$. Como essa reta também passa pelo ponto $(-2,0)$, temos $0=-2 m+2$, o que implica $m=1$. Assim, a equação de $r$ é $y=x+2$. A reta $s$ passa pelo ponto $(0,6)$, portanto, tem equação dada por $y=m x+6 \mathrm{e}$, como também passa pelo ponto $(3,0)$, temos $0=3 m+6$, o que implica $m=-2$. Assim, a equação de $s$ é $y=-2 x+6$. +(b) Denotemos por $A$ o ponto de encontro das retas $r$ e $s, B=(0,2), O=(0,0)$, $D=(3,0)$ e por $C$ o ponto de corte da reta $s$ com a reta horizontal por $B$, como na figura dada. Por definição, $f(0)$ é a soma das áreas do triângulo $\triangle A B C$ e do trapézio $B O D C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-116.jpg?height=529&width=448&top_left_y=495&top_left_x=878) + +Para determinar as coordenadas de $A$, igualamos $x+2=-2 x+6$, obtendo $x=4 / 3$. Substituindo esse valor na equação de $r$ ou $s$ resulta $y=10 / 3$, ou seja, $A=(4 / 3,10 / 3)$. O ponto $C$ pertence à reta $s$ e à reta $y=2$, portanto, $-2 x+6=2$, ou seja, $x=2$, e obtemos $C=(2,2)$. A altura do triângulo $\triangle A B C$ em relação à base $B C$ é $h=10 / 3-2=4 / 3$, portanto, a área do triângulo $\triangle A B C$ é igual a $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 2=\frac{4}{3}$. Já a área do trapézio $B O D C$ é $2 \times \frac{3+2}{2}=5$, de modo que + +$$ +f(0)=\frac{4}{3}+5=\frac{19}{3} +$$ + +(c) Observe que $f(y)$ é igual a $f(0)$ menos a área do trapézio de altura $y$ e bases 3 e $x$, sendo $x$ a abscissa do ponto da reta $s$ que tem ordenada $y$, ou seja, satisfaz $y=-2 x+6$. Assim, $x=(6-y) / 2=3-\frac{1}{2} y$ e a área desse trapézio é dada por + +$$ +\frac{3+x}{2} y=\frac{3+3-\frac{1}{2} y}{2} y=3 y-\frac{1}{4} y^{2} +$$ + +e obtemos, para $0 \leq y<2$, + +$$ +f(y)=\frac{19}{3}-3 y+\frac{1}{4} y^{2}=\frac{1}{4} y^{2}-3 y+\frac{19}{3} +$$ + +(c) O gráfico de $f(y)=\frac{y^{2}}{4}-3 y+\frac{19}{3}$ é uma parábola côncava para cima. As coordenadas do vértice $V$ dessa parábola são $x=\frac{3}{2 / 4}=6$ e + +$$ +y=f(6)=\frac{6^{2}}{4}-3 \times 6+\frac{19}{3}=-9+\frac{19}{3}=-\frac{8}{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-116.jpg?height=366&width=382&top_left_y=2164&top_left_x=1431) + +ou seja, $V=(6,-8 / 3)$. Como $f(2)=1-6+\frac{19}{3}=\frac{4}{3}$, o gráfico de $f$, com $0 \leq y<2$, é o segmento de parábola em linha grossa na figura dada. + +207. PA e $\boldsymbol{P G}$ - Os quatro termos de uma progressão aritmética de razão $r$ podem ser escritos como + +$$ +x, x+r, x+2 r, x+3 r +$$ + +Assim, os três números em progressão geométrica são $x, x+2 r, x+3 r$. Então, pela própria definição de progressão geométrica, $x+2 r$ é a média geométrica de $x$ e $x+3 r$, ou seja, + +$$ +x(x+3 r)=(x+2 r)^{2} +$$ + +Segue daí que $x^{2}+3 x r=x^{2}+4 x r+4 r^{2}$ e, portanto, $-x r=4 r^{2}$. O caso $r=0$ não é interessante, pois daria origem a progressões constantes. Supondo $r \neq 0$, obtemos $-x=4 r$. + +Atribuindo valores não-nulos a $x$, obtemos soluções do problema. Por exemplo, para $x=4$, obtemos ( $r=-1$ e) a progressão aritmética $4,3,2,1$ tal que os números $4,2,1$ formam uma progressão geométrica. Note que esse problema tem uma infinidade de soluções, uma para cada valor escolhido de $x \neq 0$. + +208. Plano cartesiano - Comecemos examinando alguns casos. + +- $f(1)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(1,4)$, portanto, $f(1)=0$. +- $f(2)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(2,3)$, portanto, $f(2)=0$. +- $f(3)$ é o número de pontos inteiros sobre o segmento que liga $(0,0)$ ao ponto $(3,6)$. Como nesse segmento estão os dois pontos inteiros $(1,2)$ e $(2,4)$, segue que $f(3)=2$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_30c9a294a58a6e4b8190g-117.jpg?height=384&width=1510&top_left_y=1458&top_left_x=338) + +Vejamos, agora, o caso geral. Note que se um ponto inteiro $(x, y)$ está sobre o segmento que une $(0,0)$ a $(n, n+3)$, sem ser uma das extremidades, então $01$. Então $d$ divide $n$ e $n+3$, portanto $d$ divide $(n+3)-n=3$. Logo, como $d>1$, temos $d=3$, o que não é possível, +porque partimos da hipótese de que 3 não divide $n$. Assim, o MDC de $n$ e $n+3$ é 1 , provando o lema. + +Mostremos, agora, que os únicos pontos inteiros sobre o segmento que une $(0,0)$ a $(n, n+3)$ são as extremidades. De fato, suponhamos que esse segmento contenha algum ponto inteiro $(x, y)$ diferente das extremidades. Então $00$ para qualquer $n$, para verificar se + +$$ +\frac{k^{2}}{1,001^{k}}=\frac{k^{2} \times 1,001}{1,001^{k+1}}<\frac{(k+1)^{2}}{1,001^{k+1}} +$$ + +basta verificar se $k^{2} \times 1,001<(k+1)^{2}$. Multiplicando tudo por 1000 , isso equivale a $k(k-2000)<1000$. Ora, para $1 \leq k \leq 2000$ temos $k(k-2000) \leq 0<1000$ e, para $k \geq 2001$, vale $k(k-2000)>2001>1000$. Em particular, + +$$ +\frac{2000^{2}}{1,001^{2000}}<\frac{2001^{2}}{1,001^{2001}} \quad \text { e } \frac{2001^{2}}{1,001^{2001}}>\frac{2002^{2}}{1,001^{2002}} +$$ + +Logo, a sequência dada cresce estritamente com $1 \leq k \leq 2001$ e daí decresce estritamente com $k \geq 2001$. Assim, o maior termo dessa sequência é atingido com $k=2001$. + +## 213. Moedas falsas + +(a) Aladim deve retirar de cada saco um número diferente de moedas, como segue. Primeiro retira uma moeda do primeiro saco, depois duas do segundo, daí três do terceiro, e assim, sucessivamente, até o último saco, do qual retira as dez moedas. Ao todo, foram retiradas $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$ moedas, que são colocadas na balança. Se todas essas moedas fossem verdadeiras, pesariam um total de $55 \times 10=550$ g. Mas, como algumas são falsas, o peso será menor. Se faltar um grama é porque há somente uma moeda falsa e, portanto, o primeiro saco é o procurado. Se faltarem dois gramas é porque há duas moedas falsas e, portanto, o segundo saco é o procurado, e assim sucessivamente. + +(b) Vejamos que, em geral, uma tentativa de solução como a anterior não permite a identificação dos sacos com moedas falsas. Suponhamos que Aladim tenha retirado uma moeda do primeiro saco, duas moedas do segundo, e assim sucessivamente, até o último saco, de onde ele retirou dez moedas. Se existissem dois ou mais sacos com moedas falsas, o procedimento de pesar essas 55 moedas pode ser inconclusivo. Por exemplo, digamos que na pesagem das 55 moedas faltassem $7 \mathrm{~g}$, ou seja, foram pesadas 7 moedas falsas. Nesse caso, poderiam existir moedas falsas nos sacos 1 e 6 , ou moedas falsas nos sacos 2 e 5 , ou moedas falsas nos sacos 1,2 e 4 , etc. Ou seja, procedendo dessa maneira não é possível identificar quais são os sacos de moedas falsas. + +Para resolver esse problema, ele pode proceder de uma outra maneira, como segue. Primeiro ele retira uma moeda do primeiro saco, depois duas moedas do segundo, daí quatro do terceiro, oito do quarto, dezesseis do quinto saco e assim, sucessivamente, até o último saco, sempre dobrando, a cada saco, o número de moedas retiradas do saco. Dessa forma são retiradas, ao todo, + +$$ +1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023 +$$ + +moedas que, juntas, pesariam $10230 \mathrm{~g}$, se todas as moedas retiradas fossem verdadeiras. A diferença entre o peso real obtido na pesagem dessas 1.023 moedas e seu peso ideal de $10230 \mathrm{~g}$, indica a quantidade de moedas falsas pesadas e em quais dos sacos elas estão. Vejamos isso através de um exemplo. Imaginemos que na pesagem tenham sido obtidos $10125 \mathrm{~g}$, ou seja, faltaram $10230-10125=105 \mathrm{~g}$, que correspondem ao número de moedas falsas. Subtraindo, sucessivamente, os números correspondentes às moedas retiradas de cada saco, começando sempre do maior número menor do que 105, temos $105-64=41,41-32=9,9-8=1$, ou seja, $105=1+8+32+64$. Desse resultado, Aladim pode concluir que foram retiradas 1, 8, 32 e 64 moedas falsas do primeiro, quarto, sexto e sétimo sacos. + +Vamos, agora, justificar, de um modo mais formal, o raciocínio desenvolvido no exemplo numérico. Seja $p$ o peso obtido com a pesagem das 1023 moedas retiradas. A diferença $10230-p$ é o número de moedas falsas retiradas dos sacos. Efetuando divisões sucessivas por 2, pode-se provar que qualquer número inteiro positivo se escreve, de maneira única, como uma soma de potências distintas de 2. De fato, é isso que fornece a justificativa teórica para a expansão binária, ou seja, em base 2 , dos números naturais. No nosso caso, isso implica que + +$$ +10230-p=1 \times a_{0}+2 \times a_{1}+2^{2} \times a_{2}+2^{3} \times a_{3}+\cdots+2^{9} \times a_{9} +$$ + +em que cada um dos números $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{9}$ é 0 ou 1 . + +De cada saco foram retiradas quantidades de moedas que são potências de 2 e cada saco ou contém somente moedas falsas ou contém somente moedas verdadeiras, isto é, em um mesmo saco não existem os dois tipos de moedas. Daí, temos que se algum desses +números, digamos $a_{j}$, for 1 , então foram retiradas $2^{j}$ moedas falsas do saco $j+1$; por outro lado, se o número $a_{j}$ for 0 , então foram retiradas $2^{j}$ moedas verdadeiras do saco $j+1$. + +214. Menor inteiro - Como $q=2005-p$, queremos + +$$ +\frac{5}{8}<\frac{p}{2005-p}<\frac{7}{8} +$$ + +de onde segue que $5(2005-p)<8 p$ e $8 p<7(2005-p)$. Logo, + +$$ +\frac{5 \times 2005}{13} 16 | 3 | + +22. Um sistema - Resposta: 23. +23. Constelações floridas - Pelo menos duas soluções: + +$$ +D=25 \times 169=4225 ; \quad R=144 \times 169=24336 +$$ + +e + +$$ +D=49 \times 289=14161 ; \quad R=100 \times 144=14400 +$$ + +24. Dois meses iguais - Setembro de 2006. +25. A faixa e o quadrado + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=145&width=608&top_left_y=487&top_left_x=815) + +26. Um número e seu sêxtuplo - Resposta: 746 é a única solução. +27. Oito dentro de um retângulo - Pelo menos duas soluções: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=277&width=485&top_left_y=929&top_left_x=520) + +e + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=274&width=479&top_left_y=931&top_left_x=1211) + +28. Uma estratégia com um número muito grande - Resposta: 99999585960. +29. Um número surpreendente - Resposta: 381654729. +30. Qual é o erro? - Cláudia e Bruno. +31. Soma - Três soluções: + +| 231468 | +| ---: | +| 231468 | +| $+\quad 5972$ | +| 468908 |$\quad$| 264538 | +| ---: | +| 264538 | +| $\quad 9102$ | + +32. Bolinhas + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-12.jpg?height=237&width=237&top_left_y=2080&top_left_x=995) + +33. Um número que não é divisivel por 5 - Resposta: 2004. +34. Quatro frações e um inteiro - Resposta: 1. +35. O Rei Arthur e o Dragão das Três Cabeças e Três Caudas - Resposta: 5. +36. O passeio do cavalo + +| $A$ | $X$ | $M$ | $R$ | $G$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $N$ | $S$ | $H$ | $Y$ | $L$ | +| $I$ | $B$ | $W$ | $F$ | $Q$ | +| $T$ | $O$ | $D$ | $K$ | $V$ | +| $C$ | $J$ | $U$ | $P$ | $E$ | + +37. As faces do cubo - Resposta: 24 . +38. Data fatídica - Resposta: 17.06 .2345 +39. Todos com o 2 - A opção correta é (e). +40. Tortas da vovó - A opção correta é (d). + +Vamos examinar cada uma das situações propostas. Lembre que, no final, vovó recebeu $7+6+3-2=14$ docinhos. + +(a) Impossível, porque ela recebeu, no mínimo, $3-2=1$ docinho de chocolate. + +(b) Impossível, porque ela recebeu, no mínimo, $6-2=4$ docinhos de côco. + +(c) Impossível, porque $7-2=5>3$. + +(d) Possível, porque Sofia pode ter comido um docinho de amora e um de chocolate, restando 6 de amora, 6 de côco e 2 de chocolate para a vovó. + +(e) Impossível, porque 7 não é maior do que $6+3-2=7$. + +41. Família Sétimo - Os nascimentos ocorreram em seis dias 1ํo de abril, logo existem irmãos gêmeos. Como nesse ano temos dois bolos a mais do que há dois anos, então há dois anos o mais jovem ainda não tinha nascido, o penúltimo filho tinha acabado de nascer e os gêmeos já tinham nascido. Atualmente, o mais jovem tem um ano e os gêmeos têm $x$ anos, com $x \geq 3$. Como + +$$ +\underbrace{1+2+3+4+5+6+x}_{\text {número de velas nesse ano }}=2 \times \underbrace{(1+2+3+4+x-2)}_{\text {número de velas } 2 \text { anos atrás }} +$$ + +temos $x=5$. Logo, serão acesas $1+2+3+4+2 \times 5+6=26$ velinhas. + +## 42. O salta-ficha + +(a) A ficha 7 salta sobre as fichas 8 e 9 formando uma pilha com a ficha 10; + +(b) a ficha 4 salta sobre as fichas 5 e 6 formando uma pilha com a ficha 8 ; + +(c) a ficha 6 salta sobre as fichas 3 e 5 formando uma pilha com a ficha 2 ; + +(d) a ficha 5 salta sobre a pilha $(4,8)$ formando uma pilha com a ficha 9 e + +(e) a ficha 1 salta sobre a pilha $(6,2)$ formando uma pilha com a ficha 3. + +O resultado segue. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4778dc6da6b432625121g-14.jpg?height=125&width=305&top_left_y=260&top_left_x=961) + +43. O menor - Como $5^{2}=3^{2}+4^{2}$, temos $5^{2002}=\left(3^{2}+4^{2}\right)^{1001}$. Sabemos que, para $a>0$ e $b>0$, + +$$ +(a+b)^{1001}>a^{1001}+b^{1001} +$$ + +Assim, $5^{2002}>3^{2002}+4^{2002}$. + +44. O maior resultado - Estamos procurando o maior valor de $(10 a+b) /(a+b)$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, sendo pelo menos um deles diferente de 0 . Temos + +$$ +\frac{10 a+b}{a+b}=\frac{10 a+10 b-9 b}{a+b}=\frac{10 a+10 b}{a+b}-\frac{9 b}{a+b}=10-\frac{9 b}{a+b} \leq 10 +$$ + +Logo, se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ tais que $(10 a+b) /(a+b)=10$, teremos o maior resultado. Note que isso ocorre quando $b=0$, ou seja, + +$$ +\frac{10}{1}=\frac{20}{2}=\frac{30}{3}=\frac{40}{4}=\frac{50}{5}=\frac{60}{6}=\frac{70}{7}=\frac{80}{8}=\frac{90}{9}=10 +$$ + +Assim, a resposta é 10. + +45. Dois mil - Observe que os números 189, 8307 e 99 têm todos peso 18 e que 99 é o menor número que pesa 18. Para aumentar o peso de um número e minimizar o número é preciso que o número tenha o maior número possível de algarismos 9. Por outro lado, podemos dizer que o 0 está eliminado dos algarismos a ser considerados, porque ele aumenta o número sem aumentar seu peso. + +Temos que $2000=9 \times 222+2$. Logo, o número procurado deve ter 222 algarismos 9 e um algarismo 2, ou dois algarismos 1 . Eliminamos o caso dos números com dois algarismos 1 porque eles têm 224 algarismos, sendo, portanto, maiores do que os números que possuem o algarismo 2 e têm 223 algarismos. Assim, o número procurado tem um 2 seguido de 222 algarismos 9: o número é 299 . . 999. + +46. No cabeleireiro - Seja $x$ o montante inicial no caixa. Esse montante mais o que os três clientes pagaram nos dará o caixa zerado. + +- O primeiro cliente paga $x-10$ e, depois dele, há $x+x-10=2 x-10$ reais no caixa. +- O segundo cliente paga $(2 x-10)-10=2 x-20$ e, depois dele, há $(2 x-10)+(2 x-20)=4 x-30$ no caixa. +- O terceiro cliente paga $(4 x-30)-10=4 x-40$ e depois dele há $(4 x-30)+(4 x-40)=8 x-70$ no caixa. + +Como o caixa está zerado depois do terceiro cliente, $8 x-70=0$, ou seja, + +$$ +x=70 / 8=8,75 \text { reais. } +$$ + +47. O macaco e a raposa - 2450 é o produto dos números primos $1,2,5,5,7$ e 7 . As três idades correspondem a uma combinação particular desses números ou de seus produtos. A raposa não pode descobrir as idades no início porque pelo menos duas dessas combinações têm por soma o dobro de sua idade. De todas as combinações possíveis, somente $5+10+49$ e $7+7+50$ têm a mesma soma 64 . + +1- conclusão: a raposa tem 32 anos. + +Depois da nova dica do macaco, a raposa descobriu as idades porque pode eliminar uma combinação, a que contém dois números iguais, uma vez que um deles é o mais jovem de todos. + +$2^{\mathbf{a}}$ conclusão: as pessoas têm 5,10 e 49 anos. + +48. Nova sequência - Cada termo da sequência é a soma do termo precedente com os quadrados de cada um de seus algarismos. De fato, + +$$ +470=425+4^{2}+2^{2}+5^{2}, 535=470+4^{2}+7^{2}+0^{2}, \ldots +$$ + +Assim, depois de 802, os próximos termos serão 870 e 983. + +49. Retângulo quase quadrado - A área é um número da forma $a a b b$, onde $a$ e $b$ representam algarismos, portanto + +$$ +a a b b=1100 a+11 b=11(100 a+b) +$$ + +Seja $x$ a largura do terreno. Então $x(x+1)=11(100 a+b)$ e deduzimos que $x$ ou $x+1$ é um múltiplo de 11. Procurar múltiplos de 11 que satisfaçam a condição obtida é bastante trabalhoso, por isso, para simplificar, vamos estabelecer quais os valores que $x$ pode ter, procurando seus valores mínimo e máximo. + +- Mínimo: a menor área possível é 1111, logo $x(x+1)=1111$ e $x>32$. +- Máximo: a maior área possível é $9999, \log x(x+1)=9999$ e $x<100$. + +Agora testamos todos $x$ entre 32 e 100 tais que $x$ ou $x+1$ seja múltiplo de 11 e que $x(x+1)$ seja do tipo $a a b b$. Temos apenas doze opções, como segue. + +$$ +\begin{aligned} +& 33 \times 34=1122,43 \times 44=1892,44 \times 45=1980,54 \times 55=2970 \\ +& 55 \times 56=2970,65 \times 66=4290,66 \times 67=4422,76 \times 77=5852 \\ +& 77 \times 78=6006,87 \times 88=7656,88 \times 89=7832,99 \times 100=9900 +\end{aligned} +$$ + +Encontramos três possibilidades para as dimensões do terreno, a saber, $33 \times 34,66 \times 67$ ou $99 \times 100$ metros. + +50. Onde está o erro? - Esse deixamos para os alunos! diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_aritmetica.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_aritmetica.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c962da197e74684eb04af75673283249b0d5df75 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_aritmetica.md @@ -0,0 +1,212 @@ +# 15. Aritmética + +| Nível 1 | Soluções | +| :--- | :--- | + +## 1 | Múltiplo de 9 com Algarismos Pares + +Encontre o menor múltiplo de 9 que não possui algarismos ímpares. + +Solução: Como o número é divisível por 9, a soma dos algarismos é divisível por 9 . + +Por outro lado, como todos os algarismos são pares, a soma dos algarismos também é par. Assim, a soma dos algarismos é no mínimo 18. O menor múltiplo de 9 com a soma dos algarismos igual a 18 é 99 , mas seus algarismos são ímpares. Isto implica que o número deve ter três ou mais algarismos. + +Se queremos o menor número com 3 algarismos, o primeiro algarismo deve ser no mínimo 2. Neste caso, a soma dos outros dois algarismos é igual a 16 e como são pares, a única possibilidade é 288. + +Portanto, $288=9 \times 32$ é o menor múltiplo de 9 com todos os algarismos pares. + +## 2 | Guardando Cubos + +Uma caixa possui o formato de um bloco retangular de dimensões $102 \mathrm{~cm}, 255 \mathrm{~cm}$ e $170 \mathrm{~cm}$. Queremos guardar nessa caixa a menor quantidade possível de pequenos cubos de aresta inteira, de forma a ocupar toda a caixa. + +Sugestão: Note que a medida da aresta do cubo deve ser um divisor de cada uma das três medidas das dimensões da caixa. + +(a) Qual a medida da aresta de cada bloco? + +(b) Quantos blocos serão necessários? + +## Solução: + +(a) Como a quantidade de blocos é a menor possível, a aresta do mesmo deve ser a maior possível. A medida da aresta deve ser um divisor de 102, 255 e 170. Como queremos a maior aresta possível, a medida dela deve ser igual ao $\operatorname{mdc}(102,255,170)=17$. Logo, a aresta do cubo mede $17 \mathrm{~cm}$. + +(b) O número de blocos é + +$$ +\frac{102 \cdot 255 \cdot 170}{17 \cdot 17 \cdot 17}=6 \cdot 15 \cdot 10=900 +$$ + +Sugestão: Determine o valor mínimo para a soma dos algarismos do número. + +Fatos que Ajudam: A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é divisível por 9 . + +Sugestão: Determine os possíveis valores para o produto e suas fatorações. + +Fatos que Ajudam: 101 é primo. +Sugestão: Mostre inicialmente que ele não pode ter comprado mais de 127 artigos. + +## 3 | Calculadora Quebrada + +Tio Mané tem uma calculadora quebrada que não tem a tecla 0 e no visor nunca aparece 0 depois de alguma operação. Assim, por exemplo, se ele multiplica $3 \times 67$, obtém como resposta 21 , ao invés de 201. + +Tio Mané multiplicou dois números de dois algarismos em sua calculadora e obteve no visor o número 11. Quais são os possíveis números que ele multiplicou? + +Solução: Como a calculadora não possui a tecla $O$, o produto de dois números de dois algarismos nesta calculadora é maior ou igual a $11 \times 11=121$ e menor que $100 \times 100=10000$, as possíveis respostas para o produto são: 1001, 1010 e 1100. Para cada um dos casos temos: + +- $1001=11 \times 91=13 \times 77$, duas possíveis soluções; +- $1010=101 \times 10$ e como 101 é primo, não temos solução neste caso; +- $1100=11 \times 2^{2} \times 5^{2}=25 \times 44$ é a única solução já que nenhum dos dois fatores pode ser divisível simultaneamente por 2 e 5 . + +Portanto, os possíveis produtos efetuados por Tio Mané são $11 \times 91$ ou $13 \times 77$ ou $25 \times 44$. + +## 4 | Loja em Quixajuba + +Uma loja em Quixajuba só vende artigos com preços de R $\$ 0,99$, R\$ 1,99, R\$ 2,99, e assim sucessivamente. Tio Mané realizou uma compra no valor total de R $\$ 125,74$. Quantos artigos ele pode ter comprado? + +Solução: Inicialmente observe que $\frac{125,74}{0,99}<128$, portanto Tio Mané comprou no máximo 127 artigos. Como a compra efetuada custa 26 centavos abaixo de um valor inteiro, ele comprou ou 26 artigos, ou 126 artigos, ou 226 artigos, etc. Porém, como só adquiriu no máximo 127 artigos, então ele pode ter comprado 26 ou 126, que são quantidades possíveis de se comprar. Veja os exemplos: + +- 26 artigos: 25 artigos de R\$ 0,99 e um no valor de R\$100,99. +- 126 artigos: 125 artigos de R\$0,99 e um no valor de R\$1,99. + + +## 5 | Números Sortudos + +Dizemos que um número natural é sortudo se todos os seus dígitos são iguais a 7. Por exemplo, 7 e 7777 são sortudos, mas 767 não é. João escreveu num papel os vinte primeiros números sortudos começando pelo 7, e depois somou-os. Qual o resto da divisão dessa soma por 1000 ? + +Solução: Observemos que se um número sortudo tem mais de 3 algarismos, o resto da divisão por 1000 é 777. + +Assim, o resto que estamos procurando é o mesmo resto da divisão de + +$$ +7+77+\underbrace{777+777+\cdots+777}_{18 \text { vezes }} +$$ + +por 1000. Mas este número é + +$$ +84+18 \times 777=84+13986=14070 +$$ + +Assim, o resto é 70. + +## 6 | Somando Idades + +Cada pessoa de um grupo de dez pessoas calcula a soma das idades das outras nove integrantes do grupo. As dez somas obtidas foram $82,83,84,85,87,89,90,90,91$ е 92 . + +Determine a idade da pessoa mais jovem. + +Solução: Observe que a idade de cada pessoa aparece como parcela em 9 dos 10 números. Assim, se somarmos os 10 números obteremos nove vezes a soma de todas as idades. Portanto, a soma das idades das dez pessoas é + +$$ +\frac{82+83+84+85+87+89+90+90+91+92}{9}=\frac{873}{9}=97 +$$ + +A pessoa mais jovem obteve a maior soma, que corresponde à soma das idades dos nove mais velhos, portanto sua idade é $97-92=5$ anos. + +## 7 | Menor Soma Positiva + +O produto de 50 números inteiros consecutivos é zero e a soma desses números é positiva. Qual o menor valor que pode assumir essa soma? + +Solução: Como o produto é igual a zero, um dos números tem de ser zero. Assim, para minimizar a soma devemos ter a maior quantidade de números negativos mas de forma que a soma ainda seja positiva. + +Assim, a quantidade de números negativos deve ser menor que a quantidade de números positivos. Logo, entre os 49 números não nulos 24 são negativos e 25 são positivos. Portanto, a soma mínima é + +$$ +\begin{gathered} +-24+(-23)+(-22)+\cdots+(-1)+0+1+\cdots+25= \\ +25+(-24+24)+(-23+23)+\cdots+(-1+1)+0=25 +\end{gathered} +$$ + +Sugestão: Observe que a partir do número 777 , todos os números deixam o mesmo resto na divisão por 1000 . +Sugestão: Observe a quantidade de vezes que a idade de uma pessoa foi considerada nas dez somas. +Sugestão: Se o produto dos números é igual a zero, então um dos números deve ser igual a zero. + +Sugestão: Observe o que ocorre com a soma dos algarismos do número quando se faz a operação descrita no problema. + +Fatos que Ajudam: A média aritmética de dois números $a$ e $b$ é dada por + +$$ +\frac{a+b}{2} +$$ + +(1) $2(3) 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=68&width=440&top_left_y=1194&top_left_x=151) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=71&width=440&top_left_y=1261&top_left_x=151) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=60&width=451&top_left_y=1329&top_left_x=140) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=62&width=451&top_left_y=1391&top_left_x=140) + +(6) 2203401689 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=74&width=449&top_left_y=1511&top_left_x=148) + +$\begin{array}{lllllllll}8 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{array}$ + +Sugestão: Analise os restos dos números da sequência quando são divididos por 3. + +Fatos que Ajudam: Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 3. + +## 8 | Média dos Algarismos + +Paulinho escreveu um número no quadro e depois inventou a seguinte brincadeira: escolhe dois algarismos do número que sejam ambos pares ou ambos ímpares e troca cada um deles pela sua média aritmética. Ele repete este processo quantas vezes quiser, desde que o número disponha de dois algarismos com a mesma paridade. Por exemplo, ele escreveu o número 1368 e obteve a sequência na qual foram destacados os algarismos que serão trocados no passo seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-4.jpg?height=137&width=986&top_left_y=691&top_left_x=729) + +(a) Com esta brincadeira, é possível obter o número 434434 a partir do número 324561 ? + +(b) Paulinho escreveu o número 123456789 no quadro. Mostrar que com este processo, selecionando os números adequadamente, ele pode obter um número maior que 800000000 . + +## Solução: + +(a) Observemos que com este processo a soma dos algarismos do número não muda. Como a soma dos algarismos de 324561 é 21 e a soma dos algarismos de 434434 é 22, segue que é impossível obter 434434 a partir de 324561. + +(b) Apresentamos uma sequência de passos que gera, a partir do número 123456789, um número maior que 800000000 . + +## 9 | Sequência Numérica I + +Todo termo de uma sequência, a partir do segundo, é igual à soma do anterior com a soma de seus algarismos. Os primeiros elementos da sequência são + +$$ +1,2,4,8,16,23,28,38,49, \ldots +$$ + +É possível que 793210041 pertença a essa sequência? + +Solução: Sabemos que um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 3 . Em cada caso, se o número deixa resto 1 na divisão por 3 , então o número mais a soma de seus algarismos deixa resto 2 na divisão por 3 , e se o número deixa resto dois, então a soma dele com a soma de seus algarismos deixa resto 1 porque $2+2=4$ deixa resto 1 . + +Calculando os restos da sequência quando dividimos por 3 , obtemos uma nova sequência + +$$ +1,2,1,2,1, \ldots +$$ + +isto é, uma sequência periódica onde aparecem unicamente os restos 1 e 2. Como o número 793210041 é divisível por 3, então ele não pertence à sequência. + +## 10 | Estrelas em Geometrix + +Estrelix, um habitante de Geometrix, decidiu colocar os inteiros positivos seguindo a disposição indicada na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=300&width=651&top_left_y=455&top_left_x=471) + +Figura 10.1 + +Em quais estrelas aparece o número 2011? Posicione todos os números que aparecem nas referidas estrelas. + +Solução: Consideremos que cada estrela tem em sua composição 11 números e outros dois números, que serão contados na estrela seguinte, conforme a figura 10.2. Dividindo 2011 por 11, obtemos quociente 182 e resto 9. Assim, o número 2011 é o nono número da $183^{\mathrm{a}}$ estrela, que está representada na figura 10.3. +Sugestão: Separe as estrelas deixando os números compartilhadas sempre na estrela à direita. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=288&width=486&top_left_y=1078&top_left_x=1433) + +números com- + +partilhados + +Figura 10.2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_8d3dbea621321b3cd252g-5.jpg?height=396&width=443&top_left_y=1561&top_left_x=1452) + +Figura 10.3 + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_desafios.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_desafios.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bc9426a9664ccd9b6560d0037ccb4c97be36468c --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_desafios.md @@ -0,0 +1,210 @@ +# 18. Desafios + +Nível 1 Soluções + +## 31 | Vizinhos e Distantes + +É possível escrever os números naturais de 1 a 100 sobre uma reta de modo que a diferença entre quaisquer dois números vizinhos seja maior ou igual a 50 ? + +Solução: Observe que o único vizinho possível para o 50 é o número 100 e o único vizinho possível para o número 51 é o número 1. Portanto, 50 e 51 devem aparecer nas extremidades da configuração. Começando por 51, obtemos a configuração. + +$$ +51 \rightarrow 1 \rightarrow 52 \rightarrow 2 \rightarrow 53 \rightarrow \cdots \rightarrow 100 \rightarrow 50 +$$ + +É possível demonstrar que esta configuração e a que contém os números na ordem inversa, são as únicas possíveis. + +De fato, os únicos possíveis vizinhos de 52 são o 1 e o 2, logo os vizinhos de 1 são 51 e 52 . Como 1 não é vizinho de 53, então os únicos possíveis vizinhos de 53 são 2 e 3. + +Do mesmo modo descobrimos que os únicos vizinhos possíveis de 54 são o 3 e o 4 (pois o 2 e o 1 já têm vizinhos) e continuando esse processo mostramos que esta é a única sequência possível. + +Observe que a configuração é formada intercalando os números dos conjuntos $\{51,52, \ldots, 100\}$ e $\{1,2, \ldots 50\}$. + +## 32 | Truque com Cartas + +Um mágico com os olhos vendados dá 29 cartas numeradas de 1 a 29 para uma mulher da plateia. Ela esconde duas cartas no bolso e devolve as restantes para a assistente do mágico. + +A assistente escolhe duas cartas dentre as 27 e um homem da plateia lê, na ordem que quiser, o número destas cartas para o mágico. Após isto, o mágico adivinha o número das cartas que foram escondidas pela mulher. + +Como o mágico e sua assistente podem combinar uma estratégia para realizarem esse truque? + +Solução: Existem várias estratégias possíveis. Vamos apresentar + +Sugestão: Analise os possíveis vizinhos do número 50 e do número 51 . +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-1.jpg?height=912&width=508&top_left_y=1378&top_left_x=1430) + +Figura 32.1 uma. + +Separemos em dois casos: + +- Primeiro Caso: A mulher escolheu duas cartas não consecutivas (estamos supondo que 29 e 1 são consecutivos). Nesse caso, a assistente escolhe as duas cartas posteriores às escolhidas pela mulher. + +Sugestão: O número máximo de pontos no campeonato é três vezes a quantidade de jogos. A cada empate, este número diminui em uma unidade. + +- Segundo Caso: A mulher escolheu duas cartas consecutivas. Nesse caso, a assistente escolhe as duas cartas posteriores à maior carta. No caso em que a mulher escolhe as cartas 29 e 1, a assistente pega as cartas 2 e 3. + +Para realizar o truque, o mágico precisa somente dizer as duas cartas anteriores em qualquer dos casos. + +## 33 | Campeonato de Quixajuba + +A tabela mostra a classificação final do campeonato de futebol de Quixajuba. Neste campeonato cada time jogou com cada um dos outros quatro vezes. Cada time ganha 3 pontos por vitória, 1 por empate e não ganha pontos em caso de derrota. + +| Equipe | Pontos | +| :---: | :---: | +| Bissetriz | 22 | +| Primo | 19 | +| Potência | 14 | +| MDC | 12 | + +(a) Quantas partidas foram disputadas no campeonato? + +(b) Quantas partidas terminaram empatadas? + +## Solução: + +(a) Existem 6 possíveis confrontos entre os quatro times (Bissetriz $\times$ Primo), (Bissetriz $\times$ Potência), (Bissetriz $\times$ MDC), (Primo $\times$ Potência), (Primo $\times$ MDC) e (Potência $\times$ MDC). Cada um destes confrontos aconteceu 4 vezes e logo o número de partidas é igual a $4 \times 6=24$. + +(b) O número máximo de pontos do campeonato é igual a 3 vezes o número de jogos, isto é, $3 \times 24=72$. Cada vez que acontece um empate este número diminui uma unidade. Como o número total de pontos ao final do campeonato foi $22+19+14+12=67$, o número de partidas que terminaram empatadas é $72-67=5$. + +## 34 | Tabuleiro 6 x 6 + +Você dispõe de doze peças em formato de L, como a mostrada na figura 34.1. Cada figura é formada por três quadrados de lado 1. Mostre como cobrir um quadrado $6 \times 6$ com essas peças, de modo que nenhum retângulo $2 \times 3$ seja formado por exatamente duas de tais peças. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-2.jpg?height=146&width=140&top_left_y=2234&top_left_x=1141) + +Solução: A figura 34.2 exibe uma possível divisão. + +## 35 | Somando Algarismos + +Quantos números naturais de três algarismos são tais que a soma destes é igual a 24 ? + +Solução: Se todos os algarismos forem menores que 8 , a soma será menor que $3 \times 8=24$. + +Se um deles for igual a 8 , a soma dos outros dois será 16 e temos as possibilidades: $16=8+8=7+9$. Obtemos então sete soluções 888 , $789,798,879,897,978$ e 987. + +Se um dos algarismos for igual a 9, a soma dos outros dois será 15 e temos as possibilidades: $15=7+8=6+9$. A primeira igualdade leva a soluções já encontradas. A outra resulta nos números 699, 969 e 996. + +Existem então dez naturais com a propriedade desejada: 888, 789, $798,879,897,978,987,699,969$ е 996. + +## 36 | Contando Quadrados + +Doze pontos são marcados sobre uma grade de pontos, como mostrado na figura 36.1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=224&width=235&top_left_y=1239&top_left_x=748) + +Figura 36.1 + +Quantos quadrados podem ser formados ligando quatro desses pontos? + +Solução: No total existem 11 quadrados, como indicado abaixo. + +- 5 quadrados pequenos, como na figura 36.2. +- 4 quadrados maiores, como na figura 36.3. +- E 2 quadrados maiores ainda, mostrados na figura 36.4. +Sugestão: Observe que todos os algarismos não podem ser menores que 8 . + +Sugestão: Verifique que existem quadrados inclinados, de dois tamanhos diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=220&width=214&top_left_y=1529&top_left_x=1566) + +Figura 36.2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=223&width=218&top_left_y=1833&top_left_x=1567) + +Figura 36.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-3.jpg?height=214&width=211&top_left_y=2143&top_left_x=1568) + +Figura 36.4 + +## 37 | A Moeda Falsa + +Temos 25 moedas aparentemente iguais, mas sabemos que exatamente uma delas é falsa e tem o peso diferente do peso das outras. Não sabemos qual é a moeda falsa. Todas as outras 24 moedas possuem o mesmo peso. + +Queremos determinar, utilizando uma balança de pratos, se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada que as outras. + +Como podemos alcançar este objetivo realizando duas pesagens em uma balança de pratos? + +- Não queremos encontrar a moeda falsa. Queremos saber se ela é mais leve ou mais pesada que as outras. +- Nesse tipo de balança podemos comparar os pesos colocados nos dois pratos, ou seja, a balança pode equilibrar ou pender para o lado mais pesado. + +Solução: Separe uma das moedas e coloque as outras 24 na balança, com 12 em cada prato. Temos duas possibilidades: + +(1) A balança equilibra. Neste caso, concluímos que a moeda falsa é a que não está na balança e todas as que estão na balança são verdadeiras. Basta realizar uma nova pesagem com a moeda falsa e uma outra moeda qualquer. + +(2) A balança não equilibra. Pegamos as 12 moedas do prato mais leve e colocamos novamente na balança com 6 moedas em cada prato. Temos novamente dois casos. + +(a) Se a balança equilibrar, então todas as 12 moedas são verdadeiras e podemos concluir que a moeda falsa era uma das outras 12 do grupo mais pesado. Portanto, neste caso, a moeda falsa é mais pesada. + +(b) Se a balança não equilibrar, a moeda falsa é uma destas 12 moedas e como este grupo é mais leve que o outro, concluímos que a moeda falsa é mais leve. + +Sugestão: Cada peça do dominó sempre cobre uma casa preta e uma casa branca. + +## 38 | O Tabuleiro Mutilado + +A figura abaixo mostra um tabuleiro $8 \times 8$ no qual duas casas foram retiradas (a do canto inferior direito e a do canto superior esquerdo). É possível cobrir este tabuleiro com 31 dominós $2 \times 1$ ? Cada dominó pode ser colocado na horizontal ou na vertical cobrindo exatamente duas casas. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-4.jpg?height=552&width=414&top_left_y=2076&top_left_x=998) + +Figura 38.1 + +Solução: Cada vez que colocamos uma peça de dominó no tabuleiro, cobrimos uma casa branca e uma casa preta. Deste modo, o número de casas pretas cobertas é igual ao número de casas brancas cobertas. + +Como nosso tabuleiro tem 30 casas pretas e 32 casas brancas, não é possível colocarmos 31 dominós. + +## 39 | Dividindo um Retângulo + +(a) É possível dividir um retângulo $39 \times 55$ em retângulos $5 \times 11$ ? + +(b) É possível dividir um retângulo $55 \times 27$ em retângulos $5 \times 11$ ? + +## Solução: + +(a) Suponha que seja possível fazer tal divisão. O lado de medida 39 será então escrito como soma de múltiplos de 5 e 11. É claro que serão utilizadas no máximo 3 parcelas 11. Vamos analisar as possibilidades: + +(1) Não é possível usar somente múltiplos de 5 porque 39 não é divisível por 5. + +(2) Não é possível usar um 11 porque 39 - 11 = 28 não é divisível por 5. + +(3) Não é possível usar duas parcelas 11 porque $39-2 \times 11=17$ não é divisível por 5 . + +(4) Não é possível usar três parcelas 11 porque $39-3 \times 11=6$ não é divisível por 5 . + +Logo, não é possível dividir um retângulo 39 × 55 em retângulos $5 \times 11$. + +(b) Já no caso do retângulo $55 \times 27$ podemos escrever + +$$ +27=5+11+11 +$$ + +Como o lado de medida 55 pode ser coberto tanto por 5 lados de medida 11 quanto por 11 lados de medida 5, basta repetir a posição dos retângulos usados na cobertura do lado de medida 27 até completar o retângulo, conforme a figura 39.1 +Sugestão: Analise a possibilidade de se obter 39 e 27 como soma de várias parcelas 5 e 11 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-5.jpg?height=286&width=488&top_left_y=1559&top_left_x=1435) + +Figura 39.1 + +Sugestão: Comece preenchendo o tabuleiro pelas casas vizinhas a um canto. + +## 40 | Números no Tabuleiro $4 \times 4$ + +Guilherme escreveu 0 ou 1 em cada casa de um tabuleiro $4 \times 4$. Ele colocou os números de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada casa do tabuleiro fosse igual a 1. + +Por exemplo, na figura 40.1, considerando a casa marcada com $\bullet$, a soma dos números das casas sombreadas é igual a 1 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_f834661fc4998f822873g-6.jpg?height=331&width=297&top_left_y=571&top_left_x=1051) + +Determine a soma de todos os 16 números do tabuleiro. + +Solução: Cada casa só pode ter um vizinho com um número 1 e os outros vizinhos devem ser zeros, já que a soma dos vizinhos é 1 . + +Começando do canto superior esquerdo, podemos supor sem perda de generalidade que preenchemos o tabuleiro como na figura 40.2. + +Nos passos seguintes, as casas preenchidas são as vizinhas da casa marcada. + +Em cada passo, os números preenchidos são únicos para respeitar as condições do problema. + +A soma dos números nas casas preenchidas é 3. Fazendo uma análise semelhante, começando no canto inferior esquerdo ou no canto superior direito, concluímos que a soma dos números das outras casas também é igual a 3. + +Portanto, a soma dos números colocados no tabuleiro é sempre igual a 6. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_diversos.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_diversos.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..662433854c99ada925ebed30fe208ba9e8ea847c --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_diversos.md @@ -0,0 +1,230 @@ +# 17. Diversos + +Nível 1 Soluções + +## 21 | Colorindo Mapas + +No mapa da figura 21.1 a curva XY é uma das fronteiras. Países como I e II têm fronteira comum. O ponto $Y$ não é considerado fronteira, ou seja, países como I e V não têm fronteira comum. Você deve colorir o mapa fazendo países de fronteira comum terem cores diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=234&width=311&top_left_y=1071&top_left_x=701) + +Figura 21.1 + +(a) Qual é o número mínimo de cores para colorir o mapa? Mostre como colori-lo. + +(b) Desenhe outro mapa de 6 países, que precise de pelo menos 4 cores para ser pintado. Mostre como colori-lo com cores A, B, C e D. + +## Solução: + +(a) No mínimo são necessárias duas cores, como mostrado na figura 21.2. + +(b) As figuras 21.3 e 21.4 exibem dois mapas com seis países que precisam de no mínimo quatro cores para serem pintados. + +## 22 | De Coco da Selva a Quixajuba + +As cidades de Coco da Selva e Quixajuba estão ligadas por uma linha de ônibus. De Coco da Selva saem ônibus para Quixajuba de hora em hora e o primeiro parte à meia-noite em ponto. De Quixajuba saem ônibus para Coco da Selva de hora em hora e o primeiro parte à meianoite e meia em ponto. A viagem de ônibus é feita em exatamente 5 horas. + +Se um ônibus sai de Coco da Selva ao meio-dia, quantos ônibus vindo de Quixajuba ele encontra durante o percurso? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=226&width=317&top_left_y=1643&top_left_x=1506) + +Figura 21.2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=249&width=305&top_left_y=1943&top_left_x=1521) + +Figura 21.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-1.jpg?height=220&width=214&top_left_y=2260&top_left_x=1566) + +Figura 21.4 + +Solução: Observemos que o ônibus que parte de Coco da Selva para Quixajuba encontra os ônibus que, no momento de sua saída, estão + +Sugestão: Divida as moedas em três grupos de 16 moedas. no caminho de Quixajuba para Coco da Selva e mais os ônibus que partem nas cinco horas seguintes. + +Os ônibus que estão na estrada são aqueles que partiram até 5 horas antes desse ônibus, enquanto os ônibus que ainda vão partir têm de fazê-lo até 5 horas depois. Assim o ônibus se encontrará com todos aqueles que partiram de Quixajuba entre $7 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$ e $16 \mathrm{~h} 30 \mathrm{~min}$, que são 10. + +## 23 | O Baralho de João + +João possui um baralho com 52 cartas numeradas de 1 até 52 . Um conjunto de três cartas é chamado sortudo se a soma dos algarismos em cada carta é a mesma. Qual é o número mínimo de cartas que João tem de pegar do baralho, sem olhar, de tal forma que entre as cartas que ele pegou necessariamente existam três cartas que formam um conjunto de cartas sortudo? + +Solução: Primeiro observemos que a soma dos algarismos das cartas é no máximo $4+9=13$ o que somente acontece com a carta 49. Já para as somas que estão entre 1 e 12, há pelo menos duas cartas que satisfaçam cada soma, assim pegando a carta 49 mais duas cartas para cada soma entre 1 e 12 , isto é, $2 \times 12+1=25$ cartas, ainda não temos três cartas que formam um conjunto sortudo. + +Agora, se pegamos 26 cartas, no mínimo 25 têm soma de seus algarismos entre 1 e 12. Logo, pelo menos, 3 cartas têm a mesma soma dos algarismos. + +## 24 | Moedas e Pesagens + +Ana possui 48 moedas aparentemente iguais. Porém, exatamente uma das moedas é falsa e tem peso diferente do peso das outras. Ela possui uma balança eletrônica que mede o peso total de qualquer quantidade de moedas. Mostre como ela pode determinar a moeda falsa realizando sete pesagens. + +Solução: Dividimos as 48 moedas em três grupos de 16 moedas e realizamos três pesagens. A moeda falsa estará no grupo de peso diferente. + +Além disso, já é possível determinar o peso da moeda falsa e das moedas boas. + +Pegamos o grupo de 16 moedas que contém a moeda falsa e dividimos em dois grupos de 8. Escolhemos um grupo e o pesamos. Como sabemos qual é o peso que devemos obter se a moeda é falsa ou boa, podemos determinar se a moeda está nesse grupo ou no grupo que não foi pesado. + +Pegamos novamente o grupo que contém a moeda falsa, dividimos em dois grupos com a mesma quantidade de moedas e pesamos um dos grupos. Realizando mais quatro vezes este processo, até pesar uma única moeda, podemos determinar a moeda falsa. + +Deste modo, precisamos de três pesagens iniciais e mais quatro pesagens dividindo os grupos pela metade. Ao todo, precisamos de sete pesagens. + +## 25 | Distribuindo Maçãs + +Noventa e nove maçãs são distribuídas entre alguns garotos de tal forma que todos recebem quantidades diferentes de maçãs. + +(a) Qual o número máximo de garotos que pode haver nesse grupo? + +(b) Havendo dez garotos, qual o número máximo de maçãs que recebe o garoto que ganhou menos maçãs? + +## Solução: + +(a) Para maximizar o número de garotos temos de minimizar o número de maçãs que cada um pode receber. Neste caso, os primeiros números naturais $1,2,3,4, \ldots$, correspondem às quantidades de maçãs que cada garoto deverá receber, exceto o último garoto. Como + +$$ +1+2+3+\cdots+12+13=91 +$$ + +e + +$$ +1+2+3+\cdots+13+14=105 +$$ + +o número máximo de garotos é 13 . + +(b) Observemos que + +$$ +1+2+\cdots+10=55 +$$ + +é o número mínimo de maçãs que recebem os dez garotos. Para cada maçã que damos ao garoto com menor número de maçãs, temos de dar uma maçã a cada um dos outros para que todos fiquem com quantidades distintas de maçãs. + +Como $99-55=44$ podemos dar 4 maçãs a mais para todos os garotos. Portanto, o garoto com menos maçãs pode receber no máximo 5 maçãs (Observe que $5+6+\cdots+14=95$ e $6+7+\cdots+15=$ 105). + +## 26 | Maria e seus Convidados + +Maria convidou nove garotos e oito garotas para sua festa de aniversário. Ela preparou camisetas com os números de 1 a 18, ficou com a de número 1 e distribuiu as demais para seus convidados. Durante uma dança, ela observou que a soma dos números de cada casal era um quadrado perfeito. Quais pares estavam dançando? + +Solução: Observe inicialmente que a maior soma possível para um casal é $18+17=35<6^{2}$, donde obtemos os pares $\{18,7\},\{17,8\}$ e $\{16,9\}$. Consideremos agora dois casos: + +- O par do 15 é o 10. + +Segue que o par do 6 é o 3 e não há escolha para o par do 1. + +- O par do 15 é o 1. + +Segue que o par do 10 é o 6 , o par do 2 é o 14 , o par do 3 é o 13 , o par do 12 é o 4 e o par do 5 é o 11. Portanto, existe somente uma solução: + +$$ +\{1,15\},\{2,14\},\{3,13\},\{4,12\},\{5,11\},\{6,10\},\{7,18\},\{8,17\},\{9,16\} +$$ + +Sugestão: Para maximizar o número de garotos temos de minimizar o número de maçãs que cada um recebe. +Sugestão: Determine inicialmente o maior quadrado perfeito que é a soma de dois números dentre os citados. + +Sugestão: Comece comparando os cartões de $A$ e de $B$. + +## 27 | Cartões de Apostas + +Três apostadores A, B e C preenchem individualmente um cartão de apostas, dos possíveis resultados de cinco jogos de futebol ( $C=$ vitória do time da casa, $\mathrm{E}=$ empate, $\mathrm{V}=$ vitória do visitante). Os cartões preenchidos foram: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-4.jpg?height=310&width=988&top_left_y=530&top_left_x=707) + +Finalizadas as partidas, observou-se que $A$ obteve três acertos, $B$ obteve três acertos e C obteve dois acertos. Construa um cartão com cinco acertos. + +Solução: A e B obtiveram juntos 6 acertos, mas só há 5 jogos, logo + +| | $C$ | $E$ | $V$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | $\times$ | | | +| 2 | $\times$ | | | +| 3 | $\times$ | | | +| 4 | | $\times$ | | +| 5 | $\times$ | | | + +houve pelo menos um jogo em que ambos acertaram. Comparando seus cartões, apenas no jogo 4 houve respostas iguais. Logo, esse jogo está certo e dos outros quatro jogos, A acertou 2 e B acertou outros 2 . + +Comparando o cartão do B com o cartão do C, em todos os jogos suas respostas foram diferentes, então os 2 acertos de $C$ também são acertos de $A$. Mas os cartões de A e $C$ unicamente coincidem nos jogos 1 e 2, que devem ser os resultados corretos dos jogos. Portanto os jogos 3 e 5 foram acertados por B, obtendo a tabela ao lado. + +## 28 | Números de 1 a 16 + +Sugestão: Encontre todos os possíveis vizinhos do número 16 . (a) Mostre que os números de 1 a 16 podem ser escritos numa reta, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito. + +(b) Mostre que os números de 1 a 16 não podem ser escritos ao redor de uma circunferência, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito. + +Solução: A observação-chave que ajuda a resolver (a) e resolve (b) é procurar os possíveis vizinhos para o número 16. + +Um vizinho de 16 é um número que somado a 16 resulte em um quadrado perfeito. Um candidato é o número 9 , pois $16+9=5^{2}$. + +Não existem outros, pois o próximo quadrado perfeito após o 25 é o 36 e a maior soma que podemos obter dentre dois números de 1 a 16 é $15+16=31$. + +(a) Como o 16 só tem um vizinho possível, ele deve ficar numa extremidade. Começando com o 16 obtemos a solução abaixo. + +$16-9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8$ + +(b) Para que fosse possível colocar todos os números de 1 a 16 ao redor de uma circunferência, todo número deveria ter dois vizinhos. Mas o único vizinho possível para o 16 é 9, impossibilitando a construção circular. + +## 29 | Calculando Somas + +Considere um tabuleiro com 11 linhas e 11 colunas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-5.jpg?height=349&width=349&top_left_y=408&top_left_x=682) + +Figura 29.1 + +(a) Quantas casas formam este tabuleiro? + +(b) A diagonal cujas casas estão sombreadas separa o tabuleiro em duas regiões: uma acima e outra abaixo. Quantas casas formam cada região? É possível calcular esse número sem contar casa por casa? + +(c) Com a ajuda do tabuleiro, é possível calcular a soma $1+2+\cdots+10$. Explique como. + +(d) Com a ajuda de outro tabuleiro, com o raciocínio semelhante ao do item anterior, é possível calcular a soma $1+2+\cdots+100$. Qual deve ser a quantidade de linhas e colunas do tabuleiro? Qual o valor da soma? + +## Solução: + +(a) Como há 11 casas em cada linha do tabuleiro e este possui 11 linhas, o total de casas é $11 \times 11=121$. + +(b) Como há uma casa da diagonal em cada linha do tabuleiro e este possui 11 linhas, o total de casas da diagonal é 11. Por outro lado, a diagonal é um eixo de simetria, separando duas regiões iguais. Existem $11 \times 11$ casas no tabuleiro e destas 11 estão na diagonal. O número de casas que formam cada região é então $(11 \times 11-11) / 2=55$. + +(c) Vamos contar o número de casas em cada peça por linha (veja a figura 29.2). A primeira linha contém 1 casa, a segunda 2, a terceira 3 e assim por diante, até a última linha, que contém 10 casas. Portanto, a soma $1+2+\cdots+10$ é o total de casas de cada peça, as quais contêm 55 casas: + +$$ +1+2+\cdots+10=\frac{11 \times 11-11}{2}=55 +$$ + +Sugestão: Observe que as duas regiões formadas são iguais. No item (c), conte as casas de cada peça por linha. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-5.jpg?height=363&width=331&top_left_y=1977&top_left_x=1502) + +(d) Vamos considerar um tabuleiro com 101 linhas e 101 colunas e considerar a diagonal que o separa em duas regiões iguais. A diagonal contém 101 casas e cada região contém $(101 \times 101-$ 101) $/ 2=5050$ casas. Por outro lado, contando o número de casas por linha, obtemos $1+2+\cdots+100$. Portanto, + +$$ +1+2+\cdots+100=5050 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=343&width=388&top_left_y=314&top_left_x=206) + +Figura 29.3 + +## Problema Relacionado + +Considere o tabuleiro com 10 linhas e 10 colunas, da figura 29.3. Ele está dividido em dez peças no formato $\square$ coloridas alternadamente de branco e cinza. A primeira peça é formada somente por uma casa. + +(a) Quantas casas formam a sétima peça? E a décima peça? + +(b) É possível calcular a soma $1+3+\cdots+19$ com a ajuda deste tabuleiro. Como? + +(c) Com um raciocínio semelhante a este e com o auxílio de outro tabuleiro é possível calcular a soma $1+3+5+\cdots+99$. Quantas linhas e colunas deve ter o tabuleiro? Qual o valor da soma? + +## 30 | Herança para Cinco Filhos + +Divida a figura 30.1 em cinco partes do mesmo formato e com áreas iguais de tal modo que cada parte contenha exatamente um quadrado cinza. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=309&width=368&top_left_y=925&top_left_x=1021) + +Figura 30.1 + +Solução: A figura 30.2 mostra a solução do problema. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d889f7c81233a28648eeg-6.jpg?height=320&width=391&top_left_y=1465&top_left_x=1004) + +Figura 30.2 + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_geometria.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_geometria.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db0841d8511b72ec6cab9076a0a0d4a20e05e400 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N1_geometria.md @@ -0,0 +1,296 @@ +# 16. Geometria + +Nível 1 Soluções + +## 11 | Bandeira do Tio Mané + +O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isso, comprou um tecido branco retangular com $100 \mathrm{~cm}$ de largura e $60 \mathrm{~cm}$ de altura. Dividiu dois de seus lados em 5 partes iguais e os outros dois em 3 partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura 11.1 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=348&width=511&top_left_y=1168&top_left_x=607) + +Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou? + +Solução: As diagonais da Bandeira dividem-na em 4 triângulos de área $60 \times 100 / 4=1500 \mathrm{~cm}^{2}$ cada um. + +Estas diagonais dividem a Bandeira em dois tipos de triângulo, como mostrados nas figuras 11.3 e 11.4 . + +O triângulo do tipo 11.3 está dividido em 5 triângulos de mesma área porque possuem mesma base e altura. Assim, a área pintada no triângulo da figura 11.3 é $(1500 / 5) \times 3=900 \mathrm{~cm}^{2}$. + +O triângulo da figura 11.4 está dividido em 3 triângulos de igual área. Logo, a área pintada nesse triângulo é $(1500 / 3) \times 2=1000 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Deste modo, a área total pintada da bandeira é + +$$ +2 \times(900+1000)=3800 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +Sugestão: Trace as diagonais do retângulo e calcule a área das quatro partes determinadas. + +Fatos que Ajudam: Triângulos com a mesma base e a mesma altura têm áreas iguais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=314&width=513&top_left_y=1679&top_left_x=1411) + +Figura 11.2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=184&width=507&top_left_y=2021&top_left_x=1417) + +Figura 11.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-1.jpg?height=278&width=329&top_left_y=2214&top_left_x=1506) + +Figura 11.4 + +Sugestão: Determine a medida do lado do quadrado. + +## 12 | Abelha na Flor + +As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura 12.1, na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-2.jpg?height=446&width=534&top_left_y=485&top_left_x=932) + +Figura 12.1 + +Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem $24 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, qual é a distância percorrida pela abelha? + +Solução: A área destacada corresponde à soma das áreas de seis quadrados. Portanto, cada quadrado possui $4 \mathrm{~cm}^{2}$ de área e lado $2 \mathrm{~cm}$. + +Os lados dos quadrados e dos triângulos equiláteros são todos iguais. Uma volta completa da abelha em torno da flor corresponde a 24 vezes o lado do quadrado, ou seja, $48 \mathrm{~cm}$. + +## 13 | Ângulo da Asa Delta + +Na figura 13.1, temos dois triângulos, $A B C$ e $A D C$ tais que $A B=A D$ e $C B=C D=C A$. Sabendo que $C \hat{B A}=25^{\circ}$, determine a medida do ângulo BCीD. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-2.jpg?height=300&width=226&top_left_y=1740&top_left_x=1098) + +Figura 13.1 + +Solução: Observe que os triângulos $A B C$ e $A D C$ são iguais e isósceles, pois os três lados de cada triângulo possuem as mesmas medidas. Por outro lado, + +$$ +\hat{C} \hat{B} A=B \hat{A} C=C \hat{A} D=A \hat{D} C=25^{\circ} +$$ + +Daí, + +$$ +\mathrm{BC} \mathrm{A}=\mathrm{D} \hat{C} A=180^{\circ}-25^{\circ}-25^{\circ}=130^{\circ} +$$ + +Finalmente + +$$ +\mathrm{B} \hat{C} \mathrm{D}=360^{\circ}-130^{\circ}-130^{\circ}=100^{\circ} \text {. } +$$ + +## 14 | Azulejos de Pedro + +Pedro é um pedreiro. Ele tem um grande número de azulejos de três tipos, como mostrado abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=166&width=462&top_left_y=452&top_left_x=630) + +Figura 14.1 + +O menor lado de cada azulejo mede $10 \mathrm{~cm}$. Ele quer ladrilhar completamente uma bancada de uma cozinha sem cortar qualquer azulejo. + +(a) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um retângulo $60 \mathrm{~cm} \times 50 \mathrm{~cm}$. + +(b) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um quadrado $60 \mathrm{~cm} \times 60 \mathrm{~cm}$. + +## Solução: + +(a) A solução é exibida na figura 14.2. + +(b) A solução é exibida na figura 14.3. + +## 15 | Retângulo 9 x 4 + +(a) Divida um retângulo $9 \times 4$ em três peças e remonte-as de modo a formar um quadrado $6 \times 6$. + +(b) Divida um retângulo $9 \times 4$ em duas peças e remonte-as de modo a formar um quadrado $6 \times 6$. + +## Solução: + +(a) Dividimos o retângulo $9 \times 4$ em dois retângulos $2 \times 3$ e um retângulo $4 \times 6$ como mostra a figura 15.1 e os reagrupamos como ilustra a figura 15.2, formando um quadrado $6 \times 6$. Veja as figuras 15.1 a 15.3 . + +(b) Dividimos o retângulo em duas figuras iguais e em forma de L e as reagrupamos, como ilustram as figuras 15.3 e 15.4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=166&width=277&top_left_y=2190&top_left_x=547) + +Figura 15.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=191&width=231&top_left_y=2166&top_left_x=981) + +Figura 15.4 + +Comentário: A solução de (b) leva a infinitas soluções para (a). Para tal, basta dividir uma das duas peças de (b) em duas quaisquer, obtendo três peças. + +Sugestão: Perceba que deve haver uma peça em $\mathbf{L}$ cobrindo cada canto da bancada. Além disso, calcule quantas peças de cada tipo são necessárias para cobrir a área de cada bancada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=280&width=325&top_left_y=797&top_left_x=1505) + +Figura 14.2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=314&width=323&top_left_y=1205&top_left_x=1506) + +Figura 14.3 +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-3.jpg?height=452&width=330&top_left_y=1775&top_left_x=1502) + +Figura 15.2 + +Sugestão: Trace um segmento de reta ligando os pontos médios relatados no problema. + +Fatos que Ajudam: Traçando uma diagonal de um retângulo, este fica dividido em dois triângulos de mesma área. +Sugestão: Determine a que fração da área do tangram corresponde cada uma das peças. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=297&width=289&top_left_y=1745&top_left_x=244) + +Figura 17.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=308&width=508&top_left_y=2122&top_left_x=137) + +Figura 17.4 + +## 16 | Plantando Jasmins + +O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um canteiro retangular com $10 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Dividiu o canteiro traçando uma diagonal e unindo cada um dos pontos médios dos lados maiores com um vértice do lado oposto, como indicado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=257&width=326&top_left_y=528&top_left_x=1042) + +Figura 16.1 + +Solução: Sejam ABCD o canteiro e $X$ e $Y$ os pontos médios de $A B$ e $C D$, respectivamente, como na figura 16.2. O ponto de interseção da reta $X Y$ e da diagonal $A C$ determina o centro $O$ do retângulo. + +Como a figura é simétrica em relação ao centro $O$, em particular temos que os triângulos XZO e YWO são iguais. + +Concluímos que a área do quadrilátero $X Z W B$ é igual à área do triângulo XYB que corresponde a $1 / 4$ da área do retângulo $A B C D$, isto é, $2,5 \mathrm{~m}^{2}$. + +## 17 | Tangram + +A figura 17.2 é um retângulo cuja área sombreada foi feita utilizando peças de um tangram que formam um quadrado de $10 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, mostrado na figura 17.1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=255&width=254&top_left_y=1620&top_left_x=798) + +Figura 17.1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-4.jpg?height=257&width=436&top_left_y=1619&top_left_x=1164) + +Figura 17.2 + +Qual é a área do retângulo? + +## Solução: + +No tangram temos: dois triângulos maiores de área $1 / 4$ do quadrado, isto é, $10 / 4 \mathrm{~cm}^{2}$; um triângulo, um quadrado e um paralelogramo de área $1 / 8$ do quadrado, isto é, $10 / 8 \mathrm{~cm}^{2}$ e dois triângulos de área $1 / 16$ do quadrado, isto é, $10 / 16 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Na decomposição mostrada na figura 17.4, o retângulo formado possui, além das peças do tangram, quatro quadrados de área $10 / 8 \mathrm{~cm}^{2}$ e seis triângulos de área 10/16 cm², numa área total de + +$$ +4 \times \frac{10}{8}+6 \times \frac{10}{16}=\frac{35}{4} \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +Finalmente, a área do retângulo é + +$$ +10+\frac{35}{4}=\frac{75}{4}=18,75 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +## 18 | Triângulo Isósceles I + +Seja $A B C$ um triângulo com $B \hat{A C}=30^{\circ}$ e $A \hat{B C}=50^{\circ}$. A reta $\ell$ corta os lados $A B, B C$ e o prolongamento de $A C$ em $D, E$ e $F$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-5.jpg?height=368&width=508&top_left_y=501&top_left_x=608) + +Figura 18.1 + +Se o triângulo BDE é isósceles, quais são as três possíveis medidas para o ângulo CF̂E? + +Solução: Sabemos que BCA $=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$ e ECF $=80^{\circ}$. Assim, basta calcular a medida do ângulo CÊF para depois calcular a medida do ângulo CF̂E. Temos três possíveis casos, dependendo quais dos três lados do triângulo BDE são iguais: + +(a) $\mathrm{Se} \mathrm{BD}=\mathrm{BE}$, temos que + +$$ +\mathrm{BDE}=\mathrm{BE} \mathrm{D}=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ} +$$ + +$$ +\mathrm{CF} \mathrm{F}=180^{\circ}-80^{\circ}-65^{\circ}=35^{\circ} +$$ + +(b) $\mathrm{Se} \mathrm{BD}=\mathrm{DE}$, temos que + +$$ +\hat{B E} \mathrm{D}=\mathrm{D} \hat{\mathrm{B} E}=50^{\circ} +$$ + +e + +$$ +\mathrm{CF} E=180^{\circ}-80^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ} +$$ + +(c) $\mathrm{Se} \mathrm{DE}=\mathrm{BE}$, temos que + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{B} \hat{D E}=\mathrm{D} \hat{B E}=50^{\circ} \\ +\mathrm{BE} D=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ} +\end{gathered} +$$ + +e + +$$ +\mathrm{C} \hat{F} E=180^{\circ}-80^{\circ}-80^{\circ}=20^{\circ} +$$ + +Sugestão: Divida o retângulo maior em quadrados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=219&width=340&top_left_y=650&top_left_x=230) + +Figura 19.2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=228&width=346&top_left_y=937&top_left_x=221) + +Figura 19.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=226&width=331&top_left_y=1235&top_left_x=226) + +Figura 19.4 + +## 19 | Formando um Retângulo + +A partir de seis retângulos iguais e cinco quadrados iguais é formado um retângulo de perímetro 324 cm, como mostrado na figura 19.1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-6.jpg?height=277&width=391&top_left_y=455&top_left_x=1004) + +Determine a área do retângulo construído. + +Solução: Do retângulo cinza destacado na figura 19.2, concluímos que um dos lados do retângulo mede 4 vezes o lado do quadrado. + +Assim, o outro lado do retângulo mede 3 vezes o lado do quadrado (veja a figura 19.3). Segue que podemos dividir o retângulo em quadrados, como indicado na figura 19.4. + +Desta forma, temos que o retângulo fica dividido em $11 \times 7=77$ quadrados. O perímetro deste retângulo é $11+11+7+7=36$ vezes o lado do quadrado. Portanto o lado do quadrado é $324 / 36=9 \mathrm{~cm}$ e a área do retângulo é $11 \times 7 \times 9^{2}=6237 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 20 | Construindo uma Pipa + +Para construir a pipa de papel representada na figura, Eduardo começou por pintar um retângulo ABCD numa folha de papel. Em seguida, prolongou cada um dos lados do retângulo triplicando o seu comprimento e obteve o quadrilátero $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-7.jpg?height=452&width=782&top_left_y=542&top_left_x=474) + +Figura 20.1 + +Sabendo que a área do retângulo $A B C D$ é $200 \mathrm{~cm}^{2}$, qual é a área da pipa construída por Eduardo? + +Solução: Observe que os triângulos $A A^{\prime} D^{\prime}$ e $C C^{\prime} B^{\prime}$ são iguais. De igual forma os triângulos $B B^{\prime} A^{\prime}$ e $D D^{\prime} C^{\prime}$ são iguais. + +Assim, se $X$ e $Y$ são pontos tais que $A^{\prime} B B^{\prime} X$ e $A^{\prime} A D^{\prime} Y$ são retângulos (figura 20.2), a área da pipa é igual à soma das áreas destes retângulos mais a área do retângulo $A B C D$ e cada um destes retângulos pode ser dividido em $3 \times 2=6$ retângulos iguais a $A B C D$. + +Concluímos que a pipa tem área $(6+6+1) \times 200=2600 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Sugestão: Mostre que a área de cada um dos quatro triângulos é igual ao triplo da área do retângulo ABCD. + +Fatos que Ajudam: Construindo uma diagonal de um retângulo, este fica dividido em dois triângulos de mesma área. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4e05cbad380df980abcfg-7.jpg?height=454&width=346&top_left_y=1007&top_left_x=1506) + +Figura 20.2 + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..521a0f5808b2c5d5e2844279cac44b9fd6ac29b2 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.md @@ -0,0 +1,345 @@ +# 19. Aritmética e Álgebra + +| Nível 2 | Soluções | +| :--- | :--- | + +## 41 | Múltiplo de 36 + +Determine o maior múltiplo de 36 que possui todos os algarismos pares e diferentes. + +Solução: Para um número ser divisível por $36=4 \times 9$, deve ser divisível por 4 e por 9. Assim, a soma dos algarismos do número $n$ procurado deve ser divisível por 9. + +Por outro lado, como todos os algarismos são pares, a soma dos algarismos também é par. Assim, a soma dos algarismos é no mínimo 18. Como $0+2+4+6+8=20$, o número $n$ deve ser formado pelos algarismos $0,4,6$ e 8 . + +O maior número que podemos formar com esses algarismos, sem repetir, é 8640, o qual também é divisível por 4, assegurando que este é o número procurado. + +## 42 | Quem é maior? + +Sejam + +$$ +R=3 \times 9+4 \times 10+5 \times 11+\cdots+2003 \times 2009 +$$ + +$$ +S=1 \times 11+2 \times 12+3 \times 13+\cdots+2001 \times 2011 +$$ + +(a) Qual é o maior número: $\mathrm{R}$ ou $S$ ? + +(b) Calcule a diferença entre o maior e o menor. + +## Solução: + +(a) Cada parcela de $S$ é da forma $n \times(n+10)=n^{2}+10 n$ e cada parcela de $R$ é da forma $(n+2) \times(n+8)=n^{2}+10 n+16$ com $\mathrm{n}=\{1,2, \ldots, 2001\} \mathrm{em}$ ambos os casos. Assim, para todo n, cada parcela de $R$ é maior que a correspondente em $S$, o que torna $\mathrm{R}>\mathrm{S}$. + +(b) A diferença entre as parcelas correspondentes é igual a + +$$ +\left(n^{2}+10 n+16\right)-\left(n^{2}+10 n\right)=16 +$$ + +Como existem 2001 parcelas, a diferença entre R e S é igual a $16 \times 2001=32016$. +Fatos que Ajudam: A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é divisível por 9. +Sugestão: Observe que cada parcela de $S$ é da forma + +$$ +n \times(n+10) +$$ + +e cada parcela de R é da forma + +$$ +(n+2) \times(n+8) +$$ + +## Fatos que Ajudam: + +$$ +\begin{aligned} +& (a+b) \times(c+d)= \\ +& a c+a d+b c+b d +\end{aligned} +$$ + +Sugestão: No item (b), analise os números que possuem a soma dos algarismos maior ou igual a 17. +Sugestão: Para quatro números consecutivos use a notação $x, x+1$, $x+2, x+3$ + +Fatos que Ajudam: (a) O único número primo par é 2. (b) O único número primo múltiplo de 3 é 3. + +## 43 | Resto da Divisão + +Um número $n$ de dois algarismos é dividido pela soma de seus algarismos, obtendo resto $\mathrm{r}$. + +(a) Encontre um número $n$ tal que $\mathrm{r}=0$. + +(b) Mostre que r não pode ser maior que 15. + +(c) Mostre que para qualquer $r$ menor ou igual a 12, existe um $n$ que deixa resto $r$ ao dividi-lo pela soma de seus algarismos. + +## Solução: + +(a) Existem vários exemplos onde o resto da divisão é 0 , sendo o menor deles $n=12$. + +(b) Denotemos por $\mathrm{S}$ a soma dos algarismos de $\mathrm{n}$. + +Observemos que $S \leqslant 18$ e a igualdade somente acontece se $n=$ 99, mas neste caso o resto da divisão é 9 . + +Se $S=17$, temos dois possíveis valores de $n=89$ e 98 , que quando divididos por 17 deixam respectivamente restos 4 e 13 . + +Nos números restantes, a soma dos algarismos é menor ou igual a 16. Assim, o resto deve ser menor ou igual a 15. + +O resto é igual a 15 se $n=79$. Verifique! + +(c) Para terminar, basta mostrar um exemplo para cada resto entre 1 e 12. Se consideramos os números $19,28,37, \ldots, 91$, em todos a soma de seus algarismos é 10 e os restos da divisão por 10 são respectivamente $9,8, \ldots, 1$. Para os restos 10,11 e 12 , basta considerar os números 65,76 e 87. + +## 44 | Soma de Consecutivos + +(a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta. + +(b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta. + +## Solução: + +(a) Seja x o menor dos números. Então, a soma em questão é + +$$ +x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4 x+6=2(x+3) +$$ + +Este número é par maior que 2, portanto não pode ser um número primo. + +(b) Seja y o menor dos números. Então, a soma em questão é + +$$ +y+(y+1)+(y+2)=3 y+3=3(y+1) +$$ + +Este número é múltiplo de 3 e maior que 3, logo não pode ser um número primo. + +## 45 | Quadrado Perfeito + +Observe que + +$$ +\begin{gathered} +1^{2}+2^{2}+(1 \times 2)^{2}=3^{2} \\ +2^{2}+3^{2}+(2 \times 3)^{2}=7^{2} \\ +3^{2}+4^{2}+(3 \times 4)^{2}=13^{2} +\end{gathered} +$$ + +Prove que se a e b são inteiros consecutivos então o número + +$$ +a^{2}+b^{2}+(a b)^{2} +$$ + +é um quadrado perfeito. + +Solução: Suponha, sem perda de generalidade, que $b>a$, isto é, $b-a=1$. Então + +$$ +\begin{gathered} +(b-a)^{2}=1^{2} \\ +b^{2}-2 a b+a^{2}=1 \\ +a^{2}+b^{2}=2 a b+1 +\end{gathered} +$$ + +Somando $(a b)^{2}$ em cada lado da igualdade, temos + +$a^{2}+b^{2}+(a b)^{2}=(2 a b+1)+(a b)^{2}=(a b)^{2}+2(a b) \cdot 1+1^{2}=(a b+1)^{2}$. + +Sugestão: Mostre que a expressão considerada é igual a + +$$ +(a b+1)^{2} +$$ + +Fatos que Ajudam: + +$$ +(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} +$$ + +## Problema Relacionado + +Observe que + +$$ +\begin{aligned} +& 1 \times 2 \times 3 \times 4+1=5^{2} \\ +& 2 \times 3 \times 4 \times 5+1=11^{2} \\ +& 3 \times 4 \times 5 \times 6+1=19^{2} +\end{aligned} +$$ + +Prove que o produto de quatro inteiros positivos consecutivos, aumentado em uma unidade, é um quadrado perfeito. + +Sugestão: Elimine as milhares de frações, fazendo + +$$ +A=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1991}}}} . +$$ + +Solução: Façamos + +$$ +A=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1991}}}} +$$ + +Assim, a soma em questão será + +$$ +\frac{1}{2+A}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+A}}=\frac{1}{2+A}+\frac{1+A}{2+A}=\frac{2+A}{2+A}=1 +$$ + +Sugestão: Tente fatorar os números dados: + +(a) Escrevendo o número dado como uma diferença de dois quadrados. + +(b) Escrevendo o número dado como uma soma de dois cubos. + +Fatos que Ajudam: Utilize as identidades: + +(a) $m^{2}-n^{2}=(m-n)(m+n)$ + +(b) $m^{3}+n^{3}=(m+n)\left(m^{2}-m n+\right.$ $n^{2}$ ) + +## 47 | Primos Não! + +(a) Prove que o número 3999991 não é primo. + +(b) Prove que o número 1000343 não é primo. + +## Solução: + +(a) Observe que + +$$ +\begin{aligned} +3999991 & =4000000-9 \\ +& =4 \cdot 10^{6}-3^{2} \\ +& =\left(2 \cdot 10^{3}\right)^{2}-3^{2} \\ +& =\left(2 \cdot 10^{3}-3\right)\left(2 \cdot 10^{3}+3\right)=1997 \cdot 2003 +\end{aligned} +$$ + +e portanto não é um número primo. + +(b) Observe que + +$$ +\begin{aligned} +1000343 & =10^{6}+7^{3} \\ +& =\left(10^{2}\right)^{3}+7^{3}= \\ +& =\left(10^{2}+7\right)\left(\left(10^{2}\right)^{2}-10^{2} \cdot 7+7^{2}\right) \\ +& =107 \cdot 9349 +\end{aligned} +$$ + +portanto não é primo. + +## 48 | Trilegais + +Sugestão: Estude a quantidade de números pares e ímpares em um dos subconjuntos com três elementos. + +Fatos que Ajudam: A soma de dois números pares ou ímpares resulta num número par. A soma de um número par com um número ímpar resulta num número ímpar. +Um conjunto de números é chamado trilegal se pode ser dividido em subconjuntos com três elementos de tal modo que um dos elementos seja a soma dos outros dois. Por exemplo, o conjunto $\{1,2,3, \ldots, 11,12\}$ é trilegal pois pode ser dividido em $\{1,5,6\}$, $\{2,9,11\},\{3,7,10\}$ e $\{4,8,12\}$. + +(a) Mostre que $\{1,2, \ldots, 14,15\}$ é trilegal. + +(b) Mostre que $\{1,2, \ldots, 2010\}$ não é trilegal. + +## Solução: + +(a) Para a primeira parte basta encontrar uma distribuição em subconjuntos com três elementos, por exemplo + +$$ +\{1,6,7\},\{2,12,14\},\{3,8,11\},\{4,9,13\},\{5,10,15\} +$$ + +(b) Observemos que se um conjunto de três elementos cumpre a condição de ser trilegal, então ele tem de ser da forma + +$$ +\text { \{par, par, par }\} +$$ + +ou + +$$ +\text { \{ímpar, ímpar, par\}. } +$$ + +Suponhamos que podemos dividir o conjunto em subconjuntos trilegais que tem $A$ conjuntos do primeiro tipo e B conjuntos de segundo tipo. Como a quantidade de números ímpares menores que 2010 é 1005, devemos ter $2 B=1005$, o que é contraditório. + +## 49 | Diferença de Quadrados + +(a) De quantas formas é possível escrever o número 105 como diferença de dois quadrados perfeitos? + +(b) Mostre que não é possível escrever o número 106 como diferença de dois quadrados perfeitos. + +## Solução: + +(a) Sejam $x$ e $y$ dois inteiros positivos tais que a diferença entre seus quadrados é igual a 105, ou seja, $x^{2}-y^{2}=105$. Fatorando, obtemos $(x-y)(x+y)=105$ e, portanto, $x+y$ e $x-y$ devem ser divisores de 105, com $x+y>x-y$. Observe que $1 \cdot 105=3 \cdot 35=5 \cdot 21=7 \cdot 15$ são todas as maneiras de escrever o número 105 como produto de dois inteiros positivos. Assim, teremos quatro casos: + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{\begin{array}{l} +x+y=105 \\ +x-y=1 +\end{array} \Longleftrightarrow x=53 \text { e } y=52 .\right. \\ +& \left\{\begin{array}{l} +x+y=35 \\ +x-y=3 +\end{array} \Longleftrightarrow x=19 \text { e } y=16\right. \\ +& \left\{\begin{array}{l} +x+y=21 \\ +x-y=5 +\end{array} \Longleftrightarrow x=13 \text { e } y=8\right. +\end{aligned} +$$ + +Portanto, é possível escrever 105 como diferença de dois quadrados de quatro formas, a saber: $53^{2}-52^{2}, 19^{2}-16^{2}, 13^{2}-8^{2}$ e $11^{2}-4^{2}$. + +(b) Observe que quaisquer que sejam os inteiros $x$ e $y$, os números $x+y$ e $x-y$ são ambos pares ou ambos ímpares, pois a soma dos dois números é igual a $2 x$, que é par, logo não podemos ter um par e o outro ímpar. + +Deste modo concluímos que o produto $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ é múltiplo de 4 (caso $x+y$ e $x-y$ sejam pares) ou um número ímpar (caso $x+y$ e $x-y$ sejam ímpares). + +Como 106 é par mas não é divisível por 4, não pode ser escrito como diferença de dois quadrados. + +Fatos que Ajudam: A diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma destes números pela diferença dos mesmos números. Algebricamente: + +$$ +m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n) +$$ + +Sugestão: Verifique que a sequência que fica no quadro depois de todo o processo é periódica. + +Fatos que Ajudam: Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando são divididos por 9. + +## 50 | Outra de Joãozinho + +Joãozinho escreveu os números de 1 até 100000 no quadro, depois foi trocando cada número pela soma de seus algarismos e repetiu este processo até obter uma lista de 100000 números de um algarismo. Por exemplo, começando pelo número 7234 obtemos $7+2+3+4=16 \mathrm{e}$ $1+6=7$. + +(a) Que número ficou no lugar do número 98765? + +(b) Quantas vezes aparece o número 8 na lista final? + +(c) Qual é o número que mais vezes se repete? + +## Solução: + +(a) $98765 \longrightarrow 9+8+7+6+5=35 \longrightarrow 3+5=8$. + +(b) Observemos que um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, depois de terminar todo o processo vamos obter uma lista da forma + +$$ +1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4, \ldots, 8,9,1 +$$ + +Assim até 99999, cada um dos algarismos aparece 11111 vezes, em particular o 8 aparece 11111 vezes. + +(c) Do item anterior fica claro que o número que mais se repete é o 1 , pois aparece 11112 vezes na lista. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_combinatoria.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_combinatoria.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee402721a42584c6792d0ae12117ad25ad2f0ccb --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_combinatoria.md @@ -0,0 +1,199 @@ +# 21. Combinatória + +Nível 2 Soluções + +## 61 | Colorações do Cubo + +De quantas formas é possível colorir as 6 faces de um cubo de preto ou branco? Duas colorações são iguais se é possível obter uma a partir da outra por uma rotação. + +Solução: Observemos que basta contar quantas colorações existem que têm exatamente 0, 1, 2 e 3 faces pretas, porque os outros casos são simétricos. Com uma ou nenhuma face preta existe uma única coloração para cada caso. Quando temos duas faces pretas temos duas possíveis colorações que são: quando estas faces são opostas e quando elas não são. Por último, com três faces pretas também temos dois casos: quando duas dessas faces pretas são opostas e quando não existem faces opostas de cor preta. Assim, no total temos $1+1+2+2+2+1+1=10$ possíveis colorações. + +## Problema Relacionado + +De quantas formas é possível colorir as 12 arestas de um cubo de branco ou de preto? Duas colorações são iguais quando é possível obter uma a partir da outra por uma rotação. + +## 62 | Comparando Sequências + +Um professor e seus 30 alunos escreveram, cada um, os números de 1 a 30 em uma ordem qualquer. A seguir, o professor comparou as sequências. Um aluno ganha um ponto cada vez que um número aparece na mesma posição na sua sequência e na do professor. Ao final, observou-se que todos os alunos obtiveram quantidades diferentes de pontos. Mostre que a sequência de um aluno coincidiu com a sequência do professor. + +Solução: O número de acertos é um número entre 0 e 30 inclusive. Mas, observe que 29 não pode ser obtido porque se 29 números estão em posição certa, só há uma maneira de colocar o $30^{\circ}$ número, que é em posição certa também. + +Como há 30 alunos e 30 possíveis resultados, $\{0,1, \ldots, 28,30\}$, então um aluno escreveu exatamente a sequência do professor. + +Sugestão: Selecione uma pessoa que não acertou todos os pontos e determine o número máximo de pontos que ela pode ter acertado. + +Sugestão: Para o item (a), conte $o$ número de cordas que saem de um determinado ponto. + +## 63 | Segmentos e Triângulos + +Dez pontos são marcados ao redor de uma circunferência, como ilustra a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_0308bd91a070e7a80796g-2.jpg?height=297&width=280&top_left_y=454&top_left_x=1068) + +(a) Quantas cordas podem ser formadas ligando dois quaisquer destes pontos? (Uma corda é um segmento de reta ligando dois pontos sobre uma circunferência.) + +(b) Quantos triângulos podem ser formados ligando três quaisquer destes pontos? + +## Solução: + +(a) De cada ponto saem 9 cordas e temos 10 pontos. Mas cada corda é contada duas vezes (uma corda $A B$ é contada por sair de $A$ e por sair de B), assim temos $9 \times 10 / 2=45$ cordas. + +(b) Cada corda é lado de 8 triângulos (basta escolher um ponto que não seja extremidade da corda escolhida) mas cada triângulo é contado três vezes (uma vez para cada corda). Como temos 45 cordas, então temos $8 \times 45 / 3=120$ triângulos. + +## Contando Subconjuntos + +Vamos resolver um problema mais geral em que temos $n$ pontos distribuídos na circunferência. Como cada corda está determinada por dois pontos, então precisamos contar de quantas formas podemos escolher 2 pontos entre os $n$. + +O primeiro ponto pode ser escolhido de $n$ formas, já o segundo pode ser escolhido de $n-1$ formas, pois ele deve ser distinto do primeiro selecionado. Assim temos $n(n-1)$ escolhas de pares ordenados, mas a ordem em que foram selecionados não importa, porque eles geram o mesmo subconjunto e assim o mesmo segmento. Portanto, o número de subconjuntos de dois pontos ou equivalentemente o número de segmentos é $n(n-1) / 2$. + +Seguindo este raciocínio, encontrar todos os triângulos equivale a encontrar todos os subconjuntos de três pontos dentre os $n$ pontos. Assim, a escolha ordenada de três pontos pode ser realizada de $n(n-1)(n-2)$ maneiras, mas como a ordem não importa, então o subconjunto com três elementos $\{a, b, c\}$, está sendo contado seis vezes: $a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a$. Deste modo, o número de subconjuntos com três pontos, ou equivalentemente, o número de triângulos com vértices nos $n$ pontos é $n(n-1)(n-2) / 6$. + +No caso geral, se queremos saber quantos polígonos convexos com $k$ vértices existem (ou equivalentemente, quantos subconjuntos de $k$ pontos temos entre os $n$ pontos), a resposta é dada por $\binom{n}{k}$ (lê-se " $n$ escolhe k"), que é calculado como + +$$ +\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot k} +$$ + +## 64 | Esqueleto do Cubo + +O esqueleto de um cubo $6 \times 6 \times 6$, formado por cubinhos $1 \times 1 \times 1$ é mostrado na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_0308bd91a070e7a80796g-3.jpg?height=500&width=437&top_left_y=387&top_left_x=638) + +Figura 64.1 + +(a) Quantos cubinhos formam este esqueleto? + +(b) É dado um cubo $7 \times 7 \times 7$ formado por cubinhos $1 \times 1 \times 1$. Quantos cubinhos devemos retirar para obter um esqueleto do cubo $7 \times$ $7 \times 7$. + +## Solução: + +(a) O esqueleto do cubo é formado por uma camada superior e uma inferior com 20 cubinhos cada e quatro colunas com 4 cubinhos cada. + +Assim, o total de cubinhos é + +$$ +2 \times 20+4 \times 4=56 +$$ + +(b) Do cubo $7 \times 7 \times 7$ foi retirado um cubo central $5 \times 5 \times 5$ e em cada uma das faces foram retirados $5 \times 5$ cubinhos. + +Portanto, o total de cubinhos retirados foi + +$$ +5 \times 5 \times 5+6 \times(5 \times 5)=125+150=275 +$$ + +## 65 | Placas das Bicicletas + +Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras. A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{A}=\{\mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{L}, \mathrm{P}, \mathrm{R}\}$, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{B}=\{\mathrm{M}, \mathrm{I}, \mathrm{O}\}$ e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto $\mathcal{C}=\{\mathrm{D}, \mathrm{U}, \mathrm{N}, \mathrm{T}\}$. + +Devido ao aumento no número de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois dos conjuntos. + +Qual o maior número de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras? + +Solução: Inicialmente, é possível fazer o emplacamento de $5 \times 3 \times 4=$ 60 bicicletas. Vamos analisar as duas situações possíveis: + +- Aumentamos duas letras num dos conjuntos. Com isso, podemos ter +Sugestão: Calcule o número inicial de placas que podem ser feitas com os elementos dos conjuntos $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ e $\mathcal{C}$ e depois refaça o cálculo analisando as diversas possibilidades de aumentar em 1 ou 2 os elementos dos conjuntos. + +| $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \times \mathcal{C}$ | Número de Placas | +| :---: | :---: | +| $7 \times 3 \times 4$ | 84 | +| $5 \times 5 \times 4$ | 100 | +| $5 \times 3 \times 6$ | 90 | + +Assim, com a modificação mostrada, o número de novas placas é no máximo $100-60=40$. + +- Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter + +| $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \times \mathcal{C}$ | Número de Placas | +| :---: | :---: | +| $6 \times 4 \times 4$ | 96 | +| $6 \times 3 \times 5$ | 90 | +| $5 \times 4 \times 5$ | 100 | + +Neste caso, o número de placas novas também é no máximo 40. + +Sugestão: No item (b), considere os jogadores que são eliminados ao invés dos que passam para as próximas rodadas. + +## 66 | Torneio de Tênis + +Num torneio de tênis cada jogador passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização do torneio decide quais rodadas determinados jogadores devem jogar. Por exemplo, um cabeça de chave pode, a critério dos organizadores, entrar na segunda rodada, ou passar da primeira para a terceira, de modo que o total de jogadores que participem de cada rodada seja par. + +(a) Considere um torneio de tênis com 64 jogadores. Quantas partidas são disputadas? + +(b) E em um torneio com 2011 jogadores? + +## Solução: + +(a) Na primeira rodada são realizadas 32 partidas, das quais 32 jogadores passam para a fase seguinte. Depois são realizadas 16 partidas, classificando 16 para a rodada seguinte e assim por diante. Assim, o número de partidas do torneio é + +$$ +32+16+8+4+2+1=63 +$$ + +(b) Como em cada partida um jogador é eliminado, então o número de partidas é igual ao número de jogadores eliminados, isto é, $2011-1=2010$. + +## Problema Relacionado + +Um torneio de futebol com 57 times será disputado com as seguintes regras: + +(a) Nenhum jogo pode terminar empatado. + +(b) O time que perder duas partidas será eliminado. + +(c) O torneio termina quando sobrar apenas um time, que será o campeão. + +Se o time campeão perder uma vez, quantas partidas serão disputadas no torneio? + +## 67 | Pesando Pedras + +Possuímos 32 pedras, todas com pesos diferentes. Descreva um processo para mostrar que podemos encontrar as duas pedras mais pesadas com 35 pesagens em uma balança de pratos. + +Solução: Dividimos as pedras em 16 pares, pesamos cada par e pegamos as 16 mais pesadas. Repetimos o processo com as 16 pedras obtendo 8 pedras com oito pesagens a mais, 4 pedras com quatro pesagens, 2 pedras com 2 pesagens e a pedra mais pesada com a última pesagem. + +Até este momento foram usadas $16+8+4+2+1=31$ pesagens para encontrar a pedra mais pesada. + +A segunda pedra mais pesada deve ser uma das pedras que foi comparada com a pedra mais pesada, que foram 5 pedras no total. É claro que para descobrir a segunda pedra mais pesada devem ser registradas as comparações das pesagens anteriores para saber quais pedras foram comparadas com a pedra mais pesada. + +Para determinar a pedra mais pesada entre estas cinco pedras, precisamos de 4 pesagens porque cada vez que fazemos uma pesagem eliminamos a pedra mais leve. Portanto, precisamos de 35 pesagens para determinar as 2 pedras mais pesadas. + +Temos 68 moedas com pesos diferentes. Fazendo 100 pesagens, encontre a moeda mais pesada e a mais leve. + +## 68 | Produto 2000 + +Quantos números naturais de cinco algarismos têm o produto de seus algarismos igual a 2000? + +Solução: Inicialmente, observe que $2000=2^{4} \times 5^{3}$. Como os algarismos do número são menores que 10 , cada fator 5 deve ser um algarismo desse número. Além disso, o produto dos outros algarismos deve ser $2^{4}=16$. Assim, temos dois casos: + +- Os algarismos que faltam são 2 e 8. Nesse caso, existem cinco possibilidades para posicionarmos o 2 , quatro possibilidades para posicionarmos o 8 e uma única possibilidade para posicionarmos cada 5 que resta. Portanto, podemos formar $5 \times 4=20$ números. +- Os algarismos que faltam são 4 e 4. Nesse caso, podemos escolher dois lugares para os algarismos 4 de $\binom{5}{2}=10$ modos (veja Contando Subconjuntos na página 118) e uma maneira de posicionarmos cada 5 que resta. Portanto, podemos formar 10 números. +Sugestão: Divida as pedras em pares e realize as pesagens, eliminando as pedras mais leves. Perceba que a segunda pedra mais pesada somente pode ser eliminada pela pedra mais pesada. + +Logo, podem ser formados $20+10=30$ números. + +Sugestão: (a) Divida em dois casos de acordo com a cor da casa central. (b) Determine o número de tabuleiros $3 \times 3$ que podem ser colocados no tabuleiro $123 \times 123$. + +## 69 | Tabuleiro $123 \times 123$ + +Num tabuleiro $123 \times 123$, cada casa é pintada de roxo ou azul de acordo com as seguintes condições: + +- Cada casa pintada de roxo que não está na borda do tabuleiro tem exatamente 5 casas azuis dentre suas 8 vizinhas. +- Cada casa pintada de azul que não está na borda do tabuleiro tem exatamente 4 casas roxas dentre suas 8 vizinhas. + +Nota: Duas casas são vizinhas se possuem um lado ou um vértice em comum. + +(a) Considere um tabuleiro $3 \times 3$ dentro do tabuleiro $123 \times 123$. Quantas casas de cada cor pode haver neste tabuleiro $3 \times 3$ ? + +(b) Calcule o número de casas pintadas de roxo no tabuleiro $123 \times 123$. + +## Solução: + +(a) Observando um tabuleiro $3 \times 3$, podemos claramente ver que seu centro não está na borda do tabuleiro. A casa do centro pode: + +- Estar pintada de roxo. Nesse caso, temos dentre suas 8 vizinhas, 5 azuis e 3 roxas. No total, há 4 casas roxas e 5 casas azuis nesse tabuleiro. +- Estar pintada de azul. Nesse caso, temos dentre suas 8 vizinhas, 4 azuis e 4 roxas. No total, há 4 casas roxas e 5 casas azuis nesse tabuleiro. + +(b) Como em qualquer tabuleiro $3 \times 3$ dentro do tabuleiro $123 \times 123$ o número de casas azuis é 5 e o número de casas roxas é 4 , podemos dividir o tabuleiro $123 \times 123$ em tabuleiros menores $3 \times 3$ conforme a figura 69.1. Deste modo, o tabuleiro é dividido em $\left(\frac{123}{3}\right)^{2}=$ $41^{2}=1681$ tabuleiros $3 \times 3$. Como cada tabuleiro $3 \times 3$ tem 4 casas roxas, então há no total $1681 \times 4=6724$ casas roxas. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_desafios.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_desafios.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c7280348d7158fb5e69a6ccf5c1b7b9f4a050ef --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N2_desafios.md @@ -0,0 +1,168 @@ +# 23. Desafios + +Nível 2 Soluções + +## 75 | Ora Bolas! + +Cinco bolas iguais estão se movendo na mesma direção ao longo de uma reta fixa, mantendo uma certa distância de uma para outra. Na mesma direção, mas no sentido oposto, outras cinco bolas se movem de encontro às primeiras. As velocidades de todas as bolas são iguais. Quando duas bolas colidem, voltam na mesma velocidade de antes, ao longo da mesma direção. Quantas colisões entre bolas vão ocorrer? + +## Solução: + +## 0000000000 + +Uma solução clara para o problema seria fazer todo o percurso das bolas, mas adotaremos outra estratégia. + +Imagine que quando há a colisão de duas bolas, ao invés de gerar a volta das mesmas, uma bola se transforma na outra, como se não houvesse a colisão. Chamaríamos a esse processo de transmutação. + +É claro que cada colisão do problema inicial corresponde a uma transmutação na nossa interpretação. + +Mas o número de transmutações é bem mais fácil de calcular, porque as bolas não mudam de direção. As cinco bolas à esquerda encontrarão as cinco bolas à direita e o número procurado será então $5 \times 5=25$. + +## 76 | Distância entre os Vilarejos + +A estrada que liga dois vilarejos em uma montanha é formada somente por trechos de subida ou descida. Um ônibus sempre viaja a $15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ em trechos de subida e a $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \mathrm{em}$ trechos de descida. Encontre a distância entre os vilarejos se o ônibus leva exatamente 4 horas para fazer a viagem completa de ida e volta. + +Solução: Observe que os trechos de subida no percurso de ida são exatamente os trechos de descida para a volta e vice-versa. Assim, em uma viagem de ida e volta a distância percorrida nas subidas é igual a distância percorrida nas descidas. + +Chamemos de $\mathrm{d}$ a distância entre os dois vilarejos. Como a distância total percorrida foi igual a $2 d$, então o tempo gasto subindo foi $d / 15$ + +Sugestão: Mostre que a situação do item (a) é possível e a do item (b) não. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-2.jpg?height=514&width=442&top_left_y=868&top_left_x=173) + +Sugestão: Perceba que para chegarem em até 2 h $40 \mathrm{~min}$, cada um deve fazer pelo menos metade do percurso de bicicleta. horas e o tempo gasto descendo foi $\mathrm{d} / 30$ horas. Como o tempo total foi 4 horas, temos + +$$ +\frac{d}{15}+\frac{d}{30}=4 +$$ + +Resolvendo a equação, encontramos $d=40$, ou seja, a distância entre os vilarejos é igual a $40 \mathrm{~km}$. + +## 77 | Amigos que você pode Contar! + +Considere um grupo de 15 pessoas. É possível que cada uma delas conheça exatamente: + +(a) 4 pessoas do grupo? + +(b) 3 pessoas do grupo? + +(Admita que se $A$ conhece B então B conhece $A$.) + +## Solução: + +(a) É possível. Representamos as 15 pessoas por pontos, conforme o diagrama ao lado. Um arco entre dois pontos significa que as duas pessoas representadas se conhecem. Como cada ponto está ligado a dois pontos à esquerda e a dois pontos à direita, saem quatro arcos de cada ponto, o que significa que é possível que cada pessoa conheça exatamente 4 pessoas do grupo. + +(b) Não é possível! Vamos representar as pessoas por pontos. Ligamos dois pontos se as pessoas representadas se conhecem. Quantos arcos vamos precisar traçar para representar todas as amizades? Cada ponto é extremidade de 3 arcos, resultando num total de $15 \times 3=45$ arcos que saem de todos os pontos. Porém, nesta contagem, cada arco foi contado duas vezes, nas duas extremidades. Portanto, o número de segmentos deve ser 45/2, o que é um absurdo, pois este número não é inteiro. + +## 78 | Três Amigos e uma Bicicleta + +A distância entre Coco da Selva e Quixajuba é $24 \mathrm{~km}$. Dois amigos precisam ir de Quixajuba a Coco da Selva e um terceiro amigo precisa ir de Coco da Selva a Quixajuba. Eles possuem uma bicicleta que inicialmente está em Quixajuba. Cada um deles pode ir caminhando a velocidade de $6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ou de bicicleta a velocidade de $18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Além disso, podem deixar a bicicleta em qualquer ponto do trajeto. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-2.jpg?height=177&width=1012&top_left_y=2210&top_left_x=702) + +Mostre como eles podem proceder para chegarem a seus destinos em no máximo $2 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}$. + +Solução: Chamaremos de A e B os amigos que estão em Quixajuba e C o que está em Coco da Selva. Nossos personagens podem seguir a seguinte estratégia: + +- Na primeira hora, A vai de bicicleta enquanto B e C irão caminhando. Depois dessa hora, $\mathrm{A}$ e $\mathrm{C}$ se encontram no quilômetro 18 (medido desde Quixajuba) e B está no quilômetro 6. +- A continua caminhando e chegará a seu destino depois de uma hora. Enquanto isso, C continua de bicicleta e B fica parado esperando C chegar. Como a distância entre C e B é de $12 \mathrm{~km}$, isso acontecerá depois de 12/18 =2/3 h, isto é, 40 minutos. +- Nesse ponto, C passa a bicicleta para B e cada um continua seu trajeto chegando a seus destinos em uma hora. + +Assim o tempo total empregado por $\mathrm{B}$ e $\mathrm{C}$ foi de $2 \mathrm{~h} 40 \mathrm{~min}$, enquanto A gastou $2 \mathrm{~h}$. + +## 79 | Contando Polígonos + +Em uma circunferência foram marcados 15 pontos brancos e 1 ponto preto. Consideremos todos os possíveis polígonos (convexos) com seus vértices nestes pontos. + +Vamos separá-los em dois tipos: + +- Tipo 1: os que possuem somente vértices brancos. +- Tipo 2: os que possuem o ponto preto como um dos vértices. + +Existem mais polígonos do tipo 1 ou do tipo 2? Quantos existem a mais? + +## Solução: + +Observe que para cada polígono do tipo 1 podemos construir um polígono do tipo 2 adicionando o ponto preto. + +Por outro lado, se temos um polígono do tipo 2 e retirarmos o ponto preto, a única forma de não gerar um polígono é se sobrarem exatamente dois pontos brancos. + +Portanto, existem mais polígonos do tipo 2 do que do tipo 1. + +Para calcular a diferença, basta contar o número de pares de pontos brancos. Para isso, observe que cada ponto branco pode formar um par com cada um dos outros 14 pontos brancos. Assim, como existem 15 pontos brancos, teremos $15 \times 14$ pares ordenados. Segue que temos $15 \times 14 / 2=105$ pares de pontos. + +Observação: É possível determinar as quantidades de polígonos do tipo 1 e do tipo 2. Veja a caixa Contando Subconjuntos, na página 118. +Sugestão: Construa um polígono do tipo 2 a partir de um polígono do tipo 1 . +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_9f6ce5ffa52bbf7500dfg-3.jpg?height=842&width=330&top_left_y=1124&top_left_x=1502) + +## Sugestão: + +(a) Suponha + +$$ +a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e +$$ + +O que podemos dizer sobre $a+$ $b$ ? E sobre $d+e$ ? E sobre $a+c$ ? + +(b) Carlos não conseguirá alcançar seu objetivo porque existem dois conjuntos formados por quatro números que geram os números $10,20,22,24,26$ e 36 . + +## 80 | Desafiando os Amigos! + +(a) Adriano escolheu secretamente cinco números a, b, c, d e e e informou a Bruna os dez números $24,28,30,30,32,34,36,36$, 40 e 42 obtidos pelo cálculo de todas as somas de dois números dentre os cinco escolhidos. + +O objetivo de Bruna é descobrir a, b, c, d, e. Bruna pode alcançar seu objetivo? + +(b) Adriano escolheu secretamente quatro números $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ e q e informou a Carlos os seis números 10, 20, 22, 24, 26 e 36 obtidos pelo cálculo de todas as somas de dois números dentre os quatro escolhidos. + +O objetivo de Carlos é descobrir m, n, p e q. Ele pode alcançar seu objetivo? + +## Solução: + +(a) Suponha que $\mathrm{a} \leqslant \mathrm{b} \leqslant \mathrm{c} \leqslant \mathrm{d} \leqslant e$. Logo a menor soma é $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ e $\mathrm{a}$ maior soma é $d+e$. A segunda menor é $a+c$ e a segunda maior é c $+e$. Assim, temos o sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a+b=24 \\ +a+c=28 \\ +c+e=40 \\ +d+e=42 +\end{array}\right. +$$ + +Por outro lado, cada número é utilizado em quatro somas e então + +$$ +\begin{gathered} +a+b+c+d+e= \\ +\frac{24+28+30+30+32+34+36+36+40+42}{4}=83 +\end{gathered} +$$ + +Assim, + +$c=(a+b+c+d+e)-(a+b)-(d+e)=83-24-42=17$. + +Logo, + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{a}=28-\mathrm{c}=11 \\ +& \mathrm{~b}=24-\mathrm{a}=13 \\ +& \mathrm{e}=40-\mathrm{c}=23 \\ +& \mathrm{~d}=42-e=19 +\end{aligned} +$$ + +(b) Observe que os números 3, 7, 17 e 19 geram as somas 10, 20, 22, 24, 26 e 36 e o mesmo acontece com os números 4, 6, 16 e 20. Carlos não alcançará seu objetivo! + +## Problema Relacionado + +Uma lista de seis inteiros positivos $p, q, r, s, t, u$ satisfaz $pa-1$. Assim, $b+11$ é igual a 12, 15 ou 18 . Então $b=1,4$ ou 7 . + +- Se $b=1$, como $9(a-1) / 12=3(a-1) / 4$ é inteiro temos que $a=5$ ou 9 que gera os números 516 e 912. +- Se $b=4,9(a-1) / 15=3(a-1) / 5$ é inteiro e assim, $a=6$ que gera o número 645. +- Se $b=7,9(a-1) / 18=(a-1) / 2$ e então $a=3, a=5, a=7$ ou $a=9$ gerando os números $378,576,775$ e 972. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_combinatoria.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_combinatoria.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50e01a68495a6c84bc19316f479384414210dfbe --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_combinatoria.md @@ -0,0 +1,219 @@ +# 25. Combinatória e Probabilidade + +Nível 3 Soluções + +## 91 | Produto Par + +Tio Mané tem duas caixas, uma com sete bolas distintas numeradas de 1 a 7 e outra com oito bolas distintas numeradas com todos os números primos menores que 20. Ele sorteia uma bola de cada caixa. + +Sugestão: Calcule a probabilidade do produto ser ímpar. Qual é a probabilidade de que o produto dos números das bolas sorteadas seja par? + +Solução: O produto dos números sorteados é ímpar somente se as duas bolas sorteadas têm números ímpares. + +A probabilidade de sortearmos da primeira caixa uma bola com número ímpar é $4 / 7$ e a probabilidade de sortearmos uma bola ímpar da segunda caixa é $7 / 8$, porque esta contém bolas com os números $\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$. + +Assim, a probabilidade do produto dos números das caixas ser ímpar + +$$ +\frac{4}{7} \times \frac{7}{8}=\frac{1}{2} +$$ + +Portanto, a probabilidade do produto ser par é $1-1 / 2=1 / 2$. + +## 92 | Subconjuntos com Soma Grande + +Considere o conjunto $A=\{1,2,3, \ldots, 2011\}$. Quantos subconjuntos de $A$ existem de modo que a soma de seus elementos seja 2023060? + +Solução: Observe que a soma $1+2+\cdots+2011=\frac{2011 \times 2012}{2}=$ 2023066. Logo, para obtermos um subconjunto de $A$ que tenha para soma de seus elementos 2023060, basta retirarmos de $A$ os elementos cuja soma é 6. Os possíveis casos são: + +- Subconjuntos com um elemento : $\{6\}$. +- Subconjuntos com dois elementos: $\{2,4\}$ e $\{1,5\}$. +- Subconjuntos com três elementos: $\{1,2,3\}$. + +Portanto, há quatro subconjuntos de $A$ cuja soma de seus elementos é 6 e por consequência também há quatro subconjuntos de $A$ cuja soma dos elementos é 2023060. + +Sugestão: Observe que a formiga sempre está no 1 nos segundos ímpares. + +## 93 | Formiga Aleatória + +Uma formiga se movimenta uma unidade por segundo sobre os pontos 0,1 e 2 da figura a seguir, começando do ponto 0 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_98fe4f82538e82dc6d3ag-2.jpg?height=105&width=232&top_left_y=450&top_left_x=1089) + +(a) Quais são os possíveis percursos da formiga até 3 segundos? + +(b) Quantos possíveis percursos pode fazer a formiga até 10 segundos? + +## Solução: + +(a) Até três segundos temos dois possíveis percursos: $0-1-0-1$ ou $0-1-2-1$. + +(b) Observemos que quando a formiga está nos pontos 0 e 2 ela somente tem uma possibilidade para caminhar no segundo seguinte, que é ir para 1. Quando está em 1 ela tem duas possibilidades no segundo seguinte, que é ir para 0 ou 2 . Assim, nos segundos ímpares a formiga sempre está no 1 , enquanto nos segundos pares ela está no 0 ou no 2. Portanto, o número de caminhos possíveis depois de 10 segundos é + +$$ +1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2=32 +$$ + +## 94 | Algarismos e Paridade + +Sugestão: Conte os números pares e os números ímpares separadamente. +Tiago escreve todos os números de quatro algarismos não nulos distintos que possuem a mesma paridade. Qual a probabilidade de que, ao escolhermos um desses números, ele seja par? + +Solução: Os quatro algarismos escolhidos fazem parte dos conjuntos $A=\{1,3,5,7,9\}$ ou $B=\{2,4,6,8\}$. + +Com os elementos do conjunto $A$ temos 5 possibilidades para o primeiro algarismo, 4 para o segundo, 3 para o terceiro e 2 para o quarto, totalizando $5 \times 4 \times 3 \times 2=120$ números com 4 algarismos distintos. + +Já com os elementos do conjunto $B$ temos 4 possibilidades para $o$ primeiro algarismo, 3 para o segundo, 2 para o terceiro e 1 para o quarto, totalizando $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ números com quatro algarismos distintos. + +Assim, é possível formar $120+24=144$ números. De todas as possibilidades calculadas, apenas as geradas pelo conjunto B são números pares. + +Portanto, a probabilidade pedida é 24/144 = 1/6. + +## 95 | Bolas Pretas, Brancas e Azuis + +Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e algumas bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, outra bola dessa urna. Para quais quantidades de bolas azuis, a probabilidade das duas bolas retiradas terem mesma cor vale $1 / 2$ ? + +Solução: Chamemos de n o número de bolas azuis da caixa. Quando retiramos as duas bolas, elas podem ser: + +- Duas bolas pretas. A probabilidade é + +$$ +\frac{1}{n+5} \times \frac{1}{n+5}=\left(\frac{1}{n+5}\right)^{2} +$$ + +- Duas bolas brancas. A probabilidade é + +$$ +\frac{4}{n+5} \times \frac{4}{n+5}=\left(\frac{4}{n+5}\right)^{2} +$$ + +- Duas bolas azuis. A probabilidade é + +$$ +\frac{n}{n+5} \times \frac{n}{n+5}=\left(\frac{n}{n+5}\right)^{2} +$$ + +Logo, a probabilidade das duas bolas serem da mesma cor é a soma das probabilidades individuais: + +$$ +\left(\frac{1}{n+5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{n+5}\right)^{2}+\left(\frac{n}{n+5}\right)^{2}=\frac{1+16+n^{2}}{(n+5)^{2}}=\frac{1}{2} +$$ + +Simplificando a igualdade obtemos que $n^{2}-10 n+9=0$, donde $n$ é igual a 1 ou 9 . + +## 96 | Aparando um Poliedro + +Considere um poliedro convexo com 100 arestas. Todos os vértices foram aparados próximos a eles mesmos, usando uma faca plana afiada (isto foi feito de modo que os planos resultantes não se intersectassem no interior ou na fronteira do poliedro). Calcule para o poliedro resultante: + +(a) o número de vértices. + +(b) o número de arestas. + +## Solução: + +(a) Quando realizamos os cortes, cada aresta antiga estará ligada a dois vértices novos, enquanto os vértices antigos desaparecem. Assim o novo poliedro tem 200 vértices. + +(b) Quando realizamos um corte, de cada novo vértice surgem duas arestas novas (correspondentes a duas arestas consecutivas na nova face criada) e uma aresta antiga. Assim, de cada vértice do +Sugestão: Considere $\mathrm{n}$ o número de bolas azuis da urna e determine as probabilidades de as duas bolas retiradas serem ambas pretas, ambas brancas e ambas azuis. + +Fatos que Ajudam: A probabilidade que aconteça um dentre três eventos independentes é a soma das probabilidades que cada um aconteça. +Sugestão: Determine a relação entre as arestas do antigo poliedro e os vértices do novo. + +Fatos que Ajudam: O número de modos de escolher dois dentre $n$ objetos distintos é $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$. Veja Contando Subconjuntos na página 118. + +## Problema Relacionado + +Em um torneio de xadrez cada jogador disputou uma partida com cada um dos demais participantes. A cada partida, havendo empate, cada jogador ganhou $1 / 2$ ponto; caso contrário, o vencedor ganhou 1 ponto e o perdedor, 0 ponto. Participaram homens e mulheres e cada participante conquistou o mesmo número de pontos contra homens que contra mulheres. Mostre que o número total de participantes é um quadrado perfeito. +Fatos que Ajudam: O número de maneiras de escolher $k$ objetos distintos dentre $n$ objetos distintos é + +$$ +\binom{n}{k}=\frac{n(n-1) \ldots(n-k+1)}{k!} +$$ + +Veja o quadro na página 118. novo poliedro saem exatamente 3 arestas. Deste modo, se somarmos a quantidade de arestas que partem de todos os vértices, encontraremos $3 \times 200=600$. Este número corresponde ao dobro do número de arestas, pois cada uma foi contada em dois vértices. Logo, o número de arestas é 300. + +Quantas faces tem este novo poliedro? + +## 97 | Bolas Azuis e Vermelhas + +Existem bolas azuis e bolas vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é $1 / 2$. Prove que o número de bolas na caixa é um quadrado perfeito. + +Solução: Suponha que existam a bolas azuis e $v$ bolas vermelhas na caixa. + +(1) O número de modos de escolher duas bolas de cores diferentes é av. + +(2) O número de modos de escolher duas bolas quaisquer é $\binom{a+v}{2}$. + +(3) De (1) e (2), a probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes é $a v /\binom{a+v}{2}$. + +Portanto, + +$$ +\frac{a v}{\binom{a+v}{2}}=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow 2 a v=\frac{(a+v)(a+v-1)}{2} +$$ + +donde + +$$ +4 a v=(a+v)^{2}-(a+v) \Longleftrightarrow a+v=(a-v)^{2} +$$ + +Logo, a quantidade de bolas é um quadrado perfeito. + +## 98 | Dez Pontos no Plano + +Dez pontos são dados no plano e não existem três colineares. Quatro segmentos distintos ligando pares destes pontos são escolhidos ao acaso, mas todos com a mesma probabilidade. Qual é a probabilidade de três dos segmentos escolhidos formarem um triângulo? + +Solução: O número de possíveis segmentos entre os 10 pontos é $\binom{10}{2}=45$ e o número de formas de escolher 4 desses segmentos é $\binom{45}{4}$. + +Já o número de formas de escolher 4 segmentos de tal modo que três deles formem um triângulo é igual ao número de maneiras de escolher três vértices, que determinam os três segmentos do triângulo, multiplicado pelo número de formas de escolher o outro segmento, isto é $\binom{10}{3} \times(45-3)$. Portanto, a probabilidade de que três dos quatro segmentos formem um triângulo é + +$$ +\frac{\binom{10}{3} \times 42}{\binom{45}{4}}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 42 \times 4!}{3!\times 45 \times 44 \times 43 \times 42}=\frac{16}{473} +$$ + +## 99 | Contando Diagonais no Poliedro + +Um poliedro convexo $\mathcal{P}$ tem 26 vértices, 60 arestas e 36 faces. 24 faces são triangulares e 12 são quadriláteros. Uma diagonal espacial é um segmento de reta unindo dois vértices não pertencentes a uma mesma face. $\mathcal{P}$ possui quantas diagonais espaciais? + +Solução: Os 26 vértices determinam exatamente $\binom{26}{2}=26 \times 25 / 2=$ 325 segmentos. Destes segmentos, 60 são arestas e como cada quadrilátero tem duas diagonais, então temos $12 \times 2=24$ diagonais que não são espaciais. + +Portanto, o número de diagonais espaciais é $325-60-24=241$. + +## 100 | Grade de Pontos + +Uma grade de pontos com 10 linhas e 10 colunas é dada. Cada ponto é colorido de vermelho ou de azul. Sempre que dois pontos da mesma cor são vizinhos em uma mesma linha ou coluna, eles são ligados por um segmento da mesma cor dos pontos. Se dois pontos são vizinhos mas de cores diferentes, são ligados por um segmento verde. No total, existem 52 pontos vermelhos. Destes vermelhos, 2 estão nos cantos e outros 16 estão no bordo da grade. Os outros pontos vermelhos estão no interior da grade. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_98fe4f82538e82dc6d3ag-5.jpg?height=388&width=394&top_left_y=1311&top_left_x=657) + +Existem 98 segmentos verdes. Determine o número de segmentos azuis. + +Solução: Inicialmente, observe que existem 9 segmentos em cada linha e em cada coluna, de modo que existem $9 \times 10+9 \times 10=180$ segmentos no total. + +Seja $A$ o número de segmentos azuis e $V$ o número de segmentos vermelhos. Então $A+V+98=180$, de modo que $A+V=82$, já que existem 98 segmentos verdes. + +Observe que dos pontos vermelhos, só podem partir segmentos vermelhos ou verdes. Vamos contar o total de segmentos que partem dos pontos vermelhos. Neste total os segmentos verdes são contados exatamente uma vez e os segmentos vermelhos duas vezes, pois os segmentos vermelhos ligam dois pontos vermelhos. + +Partindo de um canto, existem 2 segmentos: $\square$. + +De um ponto sobre o bordo partem 3 segmentos + +De um ponto interior partem 4 segmentos +Sugestão: Conte o número total de segmentos determinados pelos vértices e retire os que não são diagonais espaciais. + +Fatos que Ajudam: O número de modos de escolher dois objetos dentre $n$ objetos distintos é $\binom{n}{2}=$ $\frac{n(n-1)}{118}$. Veja o quadro na página + +Sugestão: Conte o número total de segmentos e conte o total de segmentos que partem de pontos vermelhos. + +Fatos que Ajudam: De pontos vermelhos não saem segmentos azuis. + +Então, o número total de segmentos que partem dos vértices vermelhos é + +$$ +2 \times 2+3 \times 16+4 \times 34=188 +$$ + +mas como 98 segmentos que partem dos pontos vermelhos são os segmentos verdes, os restantes $188-98=90$ são vermelhos e foram contados duas vezes, de modo que $V=45$. + +Portanto, $A=82-\mathrm{V}=37$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_desafios.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_desafios.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bee9c50a7fc5c5837149b4132e3b445ada48a285 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_desafios.md @@ -0,0 +1,158 @@ +# 28. Desafios + +Nível 3 Soluções + +## 116 | Quatro Cores no Tabuleiro + +Considere o tabuleiro $9 \times 9$ mostrado abaixo. As linhas estão numeradas de 1 a 9 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_874784cb479b0f26034ag-1.jpg?height=406&width=454&top_left_y=962&top_left_x=641) + +Figura 116.1 + +Colorimos as casas das linhas ímpares do tabuleiro com as cores azul e branco, alternadamente, começando com azul e pintamos as casas das linhas pares do tabuleiro de cinza e vermelho, alternadamente, começando com a cor cinza. + +(a) Quantas casas foram pintadas com cada cor? + +(b) Qual é o número máximo de peças da forma + +| $\square \square$ que podem | +| :--- | :--- | + +ser colocadas, sem sobreposição, nesse tabuleiro? + +## Solução: + +(a) Cada linha ímpar contém 5 casas azuis e 4 casas brancas. Como o tabuleiro tem 5 linhas ímpares, o número de casas azuis é $5 \times 5=$ 25 e o número de casas brancas é $5 \times 4=20$. + +Do mesmo modo, cada linha par tem 5 casas cinzas e 4 casas vermelhas e o tabuleiro tem 4 linhas pares. Assim, o número de casas cinzas é $4 \times 5=20$ e o número de casas vermelhas é $4 \times 4=$ 16. + +(b) Não importa como coloquemos a peça + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_874784cb479b0f26034ag-1.jpg?height=100&width=146&top_left_y=2337&top_left_x=995) +ela sempre vai cobrir uma casa de cada cor no tabuleiro. Como o tabuleiro tem apenas 16 casas vermelhas, o número de peças tem que ser menor ou igual a 16. + +Exibimos na figura 116.2 uma configuração com exatamente 16 peças. + +Sugestão: Para o item (b), verifique quantas casas de cada cor são cobertas ao colocar uma peça no tabuleiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_874784cb479b0f26034ag-1.jpg?height=468&width=486&top_left_y=1425&top_left_x=1433) + +Figura 116.2 + +## Problema Relacionado + +É possível dividir um tabuleiro $8 \times 9 \mathrm{em}$ retângulos $1 \times 6$ ? + +Sugestão: Veja o problema Números no Tabuleiro $4 \times 4$, do nível 1 , na página 100. + +## 117 | Números no Tabuleiro $8 \times 8$ + +Guilherme escreveu um número em cada casa de um tabuleiro $8 \times 8$ de modo que a soma dos números das casas vizinhas de cada casa do tabuleiro é igual a 1. Calcule a soma de todos os números escritos por Guilherme. + +Observação: duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. + +Solução: Numere as casas do tabuleiro conforme mostrado na figura 117.1. + +A soma dos números das casas marcadas com um mesmo número é igual a 1, porque elas são as vizinhas a uma determinada casa. + +| 1 | 2 | 1 | 7 | 8 | 7 | 8 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 2 | 1 | 3 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | +| 4 | 3 | 6 | 3 | 6 | 11 | 10 | 9 | +| 5 | 4 | 3 | 6 | 11 | 12 | 11 | 10 | +| 4 | 5 | 18 | 17 | 12 | 11 | 12 | 13 | +| 5 | 18 | 17 | 18 | 17 | 12 | 13 | 14 | +| 19 | 20 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | +| 20 | 19 | 20 | 16 | 15 | 16 | 15 | 14 | + +Figura 117.1 + +Logo, a soma de todos os números do tabuleiro é igual a 20. + +## 118 | Formigas Geométricas! + +Três formigas estão paradas em três dos quatro vértices de um retângulo no plano. As formigas se movem no plano uma por vez. A cada vez, a formiga que se move o faz segundo a reta paralela à determinada pelas posições das outras duas formigas. É possível que, após alguns movimentos, as formigas se situem nos pontos médios de três dos quatro lados do retângulo original? + +Solução: Observe que, se uma formiga $A$ se movimenta sobre uma reta paralela à reta determinada pelas outras duas formigas B e C, então a área do triângulo com vértices sobre as três formigas é invariante, já que a base BC e a medida da altura do triângulo com relação ao lado $B C$ não mudam. + +Inicialmente, a área do triângulo $A B C$ é a metade da área do retângulo. Porém, se as formigas conseguissem chegar aos pontos médios, a área determinada por elas seria $1 / 4$ da área do retângulo. + +Como a área não é a mesma, é impossível que as formigas se situem nos pontos médios dos lados do retângulo, a partir da configuração inicial. + +## 119 | Ponto no Interior do Quadrado + +$P$ é um ponto no interior do quadrado $A B C D$ tal que $P A=1, P B=2$ e $P C=3$. Qual é a medida do ângulo $A \hat{P} B$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_874784cb479b0f26034ag-3.jpg?height=365&width=322&top_left_y=457&top_left_x=707) + +Figura 119.1 + +Solução: Seja $Q$ um ponto tal que os triângulos CQB e APB são congruentes, como mostrado na figura. Isto é equivalente a fazer uma rotação do triângulo APB com centro em B e ângulo $90^{\circ}$ no sentido horário. Em particular, temos que $\mathrm{PBQ}=90^{\circ}$. Assim, $\mathrm{PQ}^{2}=$ $\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{BQ}^{2}=2^{2}+2^{2}$, donde $\mathrm{PQ}=2 \sqrt{2}$. + +Por outro lado, + +$$ +\mathrm{PC}^{2}=9=8+1=\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QC}^{2} +$$ + +e segue que o triângulo PCQ é retângulo com ângulo reto em Q. + +Portanto, $\mathrm{A} \hat{\mathrm{PB}}=\mathrm{B} \hat{\mathrm{Q} C}=\mathrm{B} \hat{\mathrm{QP}}+\mathrm{PQ} \mathrm{Q}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$. + +## Problema Relacionado + +Seja $P$ um ponto no interior do triângulo equilátero $A B C$ tal que: + +$$ +\mathrm{PA}=5, \quad \mathrm{~PB}=7, \quad \text { e } \quad \mathrm{PC}=8 +$$ + +Determine a medida do lado do triângulo $A B C$. + +Sugestão: Para o item (b), ordene os pontos de coordenadas inteiras em_ordem crescente de distância a $(\sqrt{2}, 1 / 3)$. + +Fatos que Ajudam: A distância entre os pontos $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ e $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ é dada pela expressão + +$$ +\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} +$$ + +O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional. + +## 120 | Pontos no Interior do Disco + +(a) Mostre que não existem dois pontos com coordenadas inteiras no plano cartesiano que estão igualmente distanciados do ponto $(\sqrt{2}, 1 / 3)$. + +(b) Mostre que existe um círculo no plano cartesiano que contém exatamente 2011 pontos com coordenadas inteiras em seu interior. + +## Solução: + +(a) Suponhamos que os $(a, b)$ e (c, d) são pontos com coordenadas inteiras que estão igualmente distanciados do ponto $(\sqrt{2}, 1 / 3)$. Assim, + +$$ +\sqrt{(a-\sqrt{2})^{2}+\left(b-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{(c-\sqrt{2})^{2}+\left(d-\frac{1}{3}\right)^{2}} +$$ + +Deste modo, + +$$ +a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}-\frac{2 b}{3}+\frac{2 d}{3}=2 \sqrt{2}(a-c) +$$ + +Como a parte esquerda desta igualdade é racional, devemos ter $a-c=0$ e consequentemente + +$$ +a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}-\frac{2 b}{3}+\frac{2 d}{3}=0 +$$ + +Portanto, + +$$ +b^{2}-d^{2}-\frac{2 b}{3}+\frac{2 d}{3}=(b-d)\left(b+d-\frac{2}{3}\right)=0 +$$ + +e como $b+d-2 / 3 \neq 0$, segue que $b-d=0$, isto é $(a, b)$ e $(c, d)$ são o mesmo ponto. + +(b) Pelo item (a), não existem dois pontos de coordenadas inteiras à mesma distância de $(\sqrt{2}, 1 / 3)$. Podemos então ordenar estes pontos em ordem estritamente crescente de distâncias a $(\sqrt{2}, 1 / 3)$. Assim, sendo $d_{i}$ a distância do $i$-ésimo ponto $P_{i} a(\sqrt{2}, 1 / 3)$, a circunferência de centro $(\sqrt{2}, 1 / 3)$ e raio $r$, com $d_{2011}4 \times 12=48 +$$ + +Por outro lado, se eles comem o máximo possível, com cinco pizzas sobrará, isto é, + +$$ +7 x+3 y<5 \times 12=60 +$$ + +Assim, precisamos encontrar dois números naturais $x$ e $y$ que satisfaçam simultaneamente + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +3 x+y>24 \\ +7 x+3 y<60 +\end{array}\right. +$$ + +Como $7 x \leqslant 7 x+3 y<60, x<60 / 7<9$, logo o número de meninos é menor ou igual a 8 . + +Por outro lado, como $x$ e $y$ são inteiros, então $3 x+y \geqslant 25>24$, multiplicando por 3 , obtemos $9 x+3 y \geqslant 75$, e como $-7 x-3 y>-60$, somando estas duas desigualdades (as duas têm o mesmo sentido), encontramos que $2 x>75-60=15$, ou $x>7,5$. Portanto, o número de meninos é 8 . + +Substituindo $x=8$ nas desigualdades obtemos $y>0$ e $3 y<4$, que tem como única solução $y=1$. Assim, o grupo tem oito meninos e uma menina. + +Comentário: O problema também pode ser resolvido geometricamente. A solução é o único ponto com coordenadas inteiras que está no interior da região delimitada pelo eixo $x$ e pelas retas $3 x+y=24$ e $7 x+3 y=60$. A figura 115.1 ilustra a situação. +Sugestão: Analise a quantidade mínima e máxima de pedaços que o grupo pode comer. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c1885330a84aefc61a60g-3.jpg?height=600&width=334&top_left_y=1319&top_left_x=1501) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_geometria.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_geometria.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36efac581c8ed1070df565a929299e3a0a6e0f2b --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2011_N3_geometria.md @@ -0,0 +1,381 @@ +# 26. Geometria + +Nível 3 Soluções + +## 101 | Triângulo 20 - 40 - 120 + +Num triângulo $A B C$, o ângulo $A \hat{B C}$ mede $20^{\circ}$ e o ângulo $A \hat{C} B$ mede $40^{\circ}$. Seja $E$ um ponto sobre $B C$ tal que $B E=B A$. + +(a) Mostre que o triângulo CEA é isósceles. + +(b) Sabendo que o comprimento da bissetriz do ângulo BÂC é 2, determine $\mathrm{BC}-\mathrm{AB}$. + +## Solução: + +(a) Temos $C \hat{A B}=180^{\circ}-20^{\circ}-40^{\circ}=120^{\circ}$. Como o triângulo $A B E$ é isósceles, segue que + +$$ +A \hat{E} B=E \hat{A} B=\frac{180^{\circ}-20^{\circ}}{2}=80^{\circ} +$$ + +Assim, $\mathrm{CA} E=120^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$ e o triângulo ACE tem dois ângulos de $40^{\circ}$, e, portanto, é isósceles com $C E=E A$. + +(b) Seja $\mathrm{D}$ o pé da bissetriz do ângulo BÂC. A bissetriz divide o ângulo CÂB em dois ângulos de $60^{\circ}$. Logo, o ângulo + +$$ +\mathrm{CDA}=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ} +$$ + +Como AÊB também mede $80^{\circ}$, temos que o triângulo $A D E$ é isósceles. Finalmente, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-1.jpg?height=268&width=486&top_left_y=1642&top_left_x=1433) + +$$ +\mathrm{BC}-\mathrm{AB}=\mathrm{BC}-\mathrm{BE}=\mathrm{CE}=\mathrm{EA}=\mathrm{AD}=2 +$$ + +## Problema Relacionado + +$O$ triângulo $A B C$ é isósceles de base $B C$ e $B \hat{A C}=48^{\circ}$. Os pontos $D$ e $E$ estão sobre os lados $A B$ e $A C$, respectivamente, tais que $D \hat{C A}=9^{\circ}$ e $E \hat{B C}=33^{\circ}$. Determine a medida do ângulo CDE. + +Sugestão: Utilize o teorema de Pitágoras. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-2.jpg?height=402&width=474&top_left_y=473&top_left_x=151) + +Figura 102.1 + +## 102 | Um Problema Antigo! + +"Duas torres, uma com 30 passos e a outra com 40 passos de altura, estão à distância de 50 passos uma da outra. Entre ambas se acha uma fonte, para a qual dois pássaros descem no mesmo momento do alto das torres com a mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo. Quais as distâncias horizontais da fonte às duas torres?"(Leonardo de Pisa, Liber Abaci, 1202). + +## Solução: + +$\mathrm{Na}$ figura, $\mathrm{AD}$ e $\mathrm{BC}$ representam as duas torres e o ponto $\mathrm{E}$ representa a posição da fonte. Como os dois pássaros chegam ao mesmo tempo, temos que $D E=E C$. + +Denotemos por $x$ a distância de $A$ a $E$ e assim $E B=50-x$. Usando o teorema de Pitágoras nos triângulos DAE e EBC, temos que + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +D E^{2}=30^{2}+x^{2} \\ +E C^{2}=40^{2}+(50-x)^{2} +\end{array}\right. +$$ + +Como DE $=\mathrm{EC}$, temos: + +$$ +900+x^{2}=1600+2500-100 x+x^{2} \Longleftrightarrow x=3200 / 100=32 +$$ + +Portanto, as distâncias horizontais da fonte às duas torres são $A E=$ $x=32$ passos e $\mathrm{EB}=50-x=18$ passos. + +## 103 | Circunferências Tangentes + +Sugestão: Trabalhe os ângulos dos triângulos isósceles $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{C}$ e $\mathrm{BO}_{2} \mathrm{C}$. + +Fatos que Ajudam: Dadas duas circunferências tangentes, o ponto de tangência e os dois centros pertencem a uma mesma reta. +As circunferências $\mathcal{C}_{1}$ e $\mathcal{C}_{2}$ são tangentes à reta $\ell$ nos pontos $A$ e $B$ e tangentes entre si no ponto $C$. Prove que o triângulo $A B C$ é retângulo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-2.jpg?height=346&width=466&top_left_y=1546&top_left_x=972) + +Figura 103.1 + +Solução: Como as circunferências são tangentes, então o ponto de tangência $\mathrm{C}$ e os centros $\mathrm{O}_{1}$ e $\mathrm{O}_{2}$ pertencem a uma mesma reta. Além disso, como as circunferências são tangentes a $\ell$, então $O_{1} A$ e $O_{2} B$ são perpendiculares a $\ell$ e, portanto, paralelas. + +Seja $\alpha$ a medida do ângulo $\mathrm{O}_{1} \hat{\mathrm{C}} \mathrm{A}$ e $\beta$ a medida do ângulo $\mathrm{O}_{2} \hat{\mathrm{C}} \mathrm{B}$. Como os triângulos $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{C}$ e $\mathrm{BO}_{2} \mathrm{C}$ são isósceles, segue que $\mathrm{CA} \mathrm{O}_{1}=$ $\alpha$ e $\mathrm{CBO}_{2}=\beta$. + +Como as retas $\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}$ e $\mathrm{O}_{2} \mathrm{~B}$ são paralelas, temos $\mathrm{AO} \hat{O}_{1} \mathrm{C}+B \hat{\mathrm{O}}_{2} \mathrm{C}=180^{\circ}$, donde $180^{\circ}-2 \alpha+180^{\circ}-2 \beta=180^{\circ}$. Portanto, $\alpha+\beta=90^{\circ}$. + +Assim, $A \hat{C} B=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=90^{\circ}$. + +## 104 | Triângulo Isósceles II + +Seja $A B C$ um triângulo isósceles com $A B=A C$ e $\widehat{A}=30^{\circ}$. Seja $D$ o ponto médio da base $B C$. Sobre $A D$ e $A B$ tome dois pontos $P$ e $Q$, respectivamente, tais que $\mathrm{PB}=\mathrm{PQ}$. Determine a medida do ângulo PQ̣C. + +Solução: Observemos que + +$$ +A \hat{B C}=A \hat{C} B=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ} +$$ + +Como todos os pontos da altura AP estão à mesma distância de $\mathrm{B} \mathrm{e}$ de $C$, em particular, o triângulo BPC é isósceles com $B P=P C$. Pela hipótese do problema, o triângulo BPQ também é isósceles. Denotemos por $\alpha$ a medida do ângulo $\mathrm{PBC}, \operatorname{assim} \mathrm{BCP}=\alpha \mathrm{e}$ + +$$ +\hat{A Q P}=180^{\circ}-\mathrm{BQP}=180^{\circ}-\mathrm{QBP}=180^{\circ}-\left(75^{\circ}-\alpha\right)=105^{\circ}-\alpha +$$ + +e + +$$ +P \hat{C A}=75^{\circ}-P \hat{C} B=75^{\circ}-\alpha +$$ + +Assim $A \hat{Q} P+P \hat{C A}=180^{\circ}$, portanto o quadrilátero $A Q P C$ é inscritível, em particular $\mathrm{PQC}=\mathrm{PA} \mathrm{C}=15^{\circ}$. + +## 105 | Circunferência no Setor + +Uma circunferência de raio $r$ está inscrita em um setor circular de raio R. O comprimento da corda $A B$ é igual a $2 a$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-3.jpg?height=434&width=554&top_left_y=1419&top_left_x=571) + +Figura 105.1 + +Prove que + +$$ +\frac{1}{\mathrm{r}}=\frac{1}{\mathrm{R}}+\frac{1}{\mathrm{a}} +$$ + +Solução: Denotemos por $\mathrm{D}$ o ponto de tangência de $A O$ com a circunferência. Então $\mathrm{ODO}_{1}=90^{\circ}$. Observe também que $A C=$ $\mathrm{AB} / 2=a$. + +Por outro lado, $\mathrm{OCA}=90^{\circ}$. Os triângulos $\mathrm{ODO}_{1}$ e $\mathrm{OCA}$ são semelhantes pois possuem um ângulo comum e um ângulo reto. Portanto, + +$$ +\frac{\mathrm{OO}_{1}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{O}_{1} \mathrm{D}}{\mathrm{AC}} +$$ + +isto é, + +$$ +\frac{R-r}{R}=\frac{r}{a} +$$ + +donde + +$$ +\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{R}}=\frac{1}{\mathrm{r}} +$$ + +Sugestão: Mostre que os ângulos ẬP e Â̂P somam $180^{\circ}$. + +Fatos que Ajudam: Um quadrilátero é inscritível se a soma dos ângulos opostos é $180^{\circ}$. Ângulos inscritos no mesmo arco são iguais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-3.jpg?height=611&width=323&top_left_y=631&top_left_x=1506) + +Figura 104.1 + +Sugestão: Ligue o centro da circunferência inscrita no setor ao ponto de tangência desta com o raio do setor circular. Procure triângulos semelhantes. + +Fatos que Ajudam: Se duas circunferências são tangentes, então o ponto de tangência e os centros das circunferências são colineares. Se uma reta é tangente a uma circunferência, então o segmento que une o centro da circunferência ao ponto de tangência é perpendicular à reta. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-3.jpg?height=408&width=463&top_left_y=2032&top_left_x=1439) + +Figura 105.2 + +Sugestão: (a) Trace uma reta pelo centro da menor circunferência, paralela à reta $\ell$. + +Fatos que Ajudam: Se duas circunferências são tangentes, então o ponto de tangência e os centros das circunferências são colineares. Se uma reta é tangente a uma circunferência, então o segmento que une o centro da circunferência ao ponto de tangência é perpendicular à reta. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-4.jpg?height=357&width=508&top_left_y=821&top_left_x=137) + +Figura 106.3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-4.jpg?height=349&width=508&top_left_y=1276&top_left_x=137) + +Figura 106.4 + +## 106 | Mais Circunferências Tangentes + +(a) Duas circunferências de raios $\mathrm{R}$ e $\mathrm{r}$ são tangentes externamente (figura 106.1). Demonstre que o segmento determinado pela tangente comum externa $\ell$ mede $d=2 \sqrt{\operatorname{Rr}}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-4.jpg?height=363&width=974&top_left_y=524&top_left_x=744) + +(b) Considere, como ilustrado na 106.2, as três circunferências de raios $\mathrm{R}$, r e $x$, tangentes duas a duas e tangentes à reta $\ell$. Mostre que + +$$ +\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}} +$$ + +Solução: Sejam $\mathrm{O}_{1}$ e $\mathrm{O}_{2}$ os centros das circunferências e $A$ e $B$ os pontos de tangência com a reta $\ell$, conforme ilustrado na figura 106.3. + +(a) Seja $\mathrm{P}$ o ponto sobre $\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}$ tal que $\mathrm{PO}_{2}$ é paralelo a $\mathrm{AB}$. Como $\mathrm{PO}_{2} \mathrm{BA}$ é um retângulo, então o triângulo $\mathrm{O}_{1} \mathrm{PO}_{2}$ é retângulo em P. Assim, pelo teorema de Pitágoras temos que + +$$ +\begin{aligned} +A B^{2}=\mathrm{PO}_{2}^{2} & =\left(\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right)^{2}-\left(\mathrm{O}_{1} \mathrm{P}\right)^{2} \\ +& =(\mathrm{R}+\mathrm{r})^{2}-(\mathrm{R}-\mathrm{r})^{2}=4 \mathrm{Rr} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $A B=2 \sqrt{\operatorname{Rr}}$. + +(b) Seja $\mathrm{C}$ o ponto de tangência da terceira circunferência com a reta. Pelo item (a), sabemos que + +$$ +A C=2 \sqrt{R x}, \quad C B=2 \sqrt{x r} \quad \text { e } \quad A B=2 \sqrt{R r} +$$ + +Segue que $2 \sqrt{R r}=2 \sqrt{R x}+2 \sqrt{x r}$, que dividindo por $2 \sqrt{R r x}$, obtémse + +$$ +\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{r}}+\frac{1}{\sqrt{R}} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-4.jpg?height=352&width=534&top_left_y=2097&top_left_x=138) + +## Problema Relacionado + +A figura 106.5 mostra duas retas paralelas $r$ e s. A reta ré tangente às circunferências $\mathcal{C}_{1}$ e $\mathcal{C}_{3}$, a reta s é tangente às circunferências $\mathcal{C}_{2}$ e $\mathcal{C}_{3}$ e as circunferências tocam-se como também mostra a figura. As circunferências $\mathcal{C}_{1}$ e $\mathcal{C}_{2}$ têm raios a e b, respectivamente. Qual é o raio da circunferência $\mathcal{C}_{3}$ ? + +## 107 | Reta Equilibrada + +Seja $A B C$ um triângulo tal que $A B=55, A C=35$ e $B C=72$. Considere uma reta $\ell$ que corta o lado $B C$ em $D$ e o lado $A C$ em $E$ e que divide o triângulo em duas figuras com perímetros iguais e áreas iguais. Determine a medida do segmento CD. + +## Solução: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-5.jpg?height=400&width=751&top_left_y=642&top_left_x=481) + +Sejam $C D=x, C E=y$ e $D E=z$. + +(1) Como o triângulo CED tem o mesmo perímetro do quadrilátero ABDE, temos + +$$ +x+y+z=(35-y)+z+(72-x)+55 \Longleftrightarrow y=81-x +$$ + +(2) Como eles também possuem a mesma área, a área do triângulo DCE deve ser igual à metade da área do triângulo $A B C$. Deste modo, + +$$ +\frac{x y \operatorname{sen} \hat{C}}{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{35 \cdot 72 \cdot \operatorname{sen} \hat{C}}{2} \Longleftrightarrow x y=1260 +$$ + +Utilizando as duas equações encontradas obtemos $x^{2}-81 x+1260=$ 0 . Resolvendo esta equação, chegamos em $x=60$ ou $x=21$. No primeiro caso obtemos $y=21$ e no segundo $y=60$. Como E está sobre o lado $A C$, devemos ter $y \leqslant 35$ e então a solução que nos interessa é $x=60$ e $y=21$. Portanto, $C D=60$. +Sugestão: Calcule a área do $\triangle C E D$, a qual é metade da área do $\triangle A B C$. + +Fatos que Ajudam: A área $S$ de um triângulo que possui dois lados de medidas $\mathrm{a}$ e $\mathrm{b}$ e estes determinam um ângulo $\theta$ pode ser calculada pela fórmula + +$$ +S=\frac{a b \operatorname{sen} \theta}{2} +$$ + +Demonstração: A área do triângulo da figura 107.1 é $\mathrm{ah} / 2$, mas $h=b \operatorname{sen} \theta$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-5.jpg?height=259&width=486&top_left_y=907&top_left_x=1436) + +Figura 107.1 + +Então, + +$$ +\frac{a h}{2}=\frac{a b \operatorname{sen} \theta}{2} +$$ + +Sugestão: Mostre que os triângulos BME e HEN são isósceles. + +Fatos que Ajudam: O ortocentro de um triângulo é o ponto de intersecção das alturas. Em um triângulo retângulo, a mediana relativa a hipotenusa tem comprimento igual a metade da hipotenusa. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-6.jpg?height=340&width=351&top_left_y=738&top_left_x=224) + +Figura 108.1 + +## 108 | Alturas e Pontos Médios + +$O$ triângulo acutângulo $A B C$ de ortocentro $H$ é tal que $A B=48$ e $\mathrm{HC}=14$. O ponto médio do lado $A B$ é $M$ e o ponto médio do segmento HC é N. + +(a) Mostre que o ângulo MÊN é reto. + +(b) Determine o comprimento do segmento $\mathrm{MN}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-6.jpg?height=448&width=508&top_left_y=644&top_left_x=791) + +Figura 108.2 + +Solução: Inicialmente observe que ME é mediana relativa à hipo- + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-6.jpg?height=443&width=508&top_left_y=1252&top_left_x=154) + +Figura 108.3 tenusa do triângulo $A E B$. Portanto, $M E=A M=M B=24$. Desse fato segue que o triângulo $B M E$ é isósceles. Então $M \hat{E} B=M \hat{B E}=\beta$. Analogamente, como $\mathrm{N}$ é o ponto médio da hipotenusa do triângulo $\mathrm{HEC}$, temos $\mathrm{EN}=\mathrm{HN}=\mathrm{NC}=7$ e o triângulo HNE é isósceles. Assim, $H \hat{E} N=E \hat{H} N=\alpha$. + +$O$ triângulo $\mathrm{FHB}$ é retângulo em $\mathrm{F}$ e $\mathrm{FHB}+\mathrm{HBF}=\alpha+\beta=90^{\circ}$. Assim, o triângulo MEN é retângulo em E. Aplicando o teorema de Pitágoras neste triângulo, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +& M N^{2}=M E^{2}+E N^{2} \\ +& M N^{2}=24^{2}+7^{2}=625 +\end{aligned} +$$ + +donde $M N=25$. + +## 109 | É Proibido usar Régua! + +(a) Sejam $\mathcal{C}$ uma circunferência com centro $\mathrm{O}$ e raio $\mathrm{r}$ e $\mathrm{X}$ um ponto exterior a $\mathcal{C}$. Construímos uma circunferência de centro em $X$ passando por $\mathrm{O}$, a qual intersecta $\mathcal{C}$ nos pontos $\mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$. Com centro em $\mathrm{P}$ construímos uma circunferência passando por $\mathrm{O}$ e com centro em Q construímos uma outra circunferência passando por $\mathrm{O}$. Estas duas circunferências intersectam-se nos pontos $\mathrm{O}$ e $Y$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-7.jpg?height=360&width=385&top_left_y=697&top_left_x=687) + +Figura 109.2 + +Prove que $\mathrm{OX} \times \mathrm{OY}=\mathrm{r}^{2}$. + +(b) É dado um segmento AB. Mostre como construir, usando somente compasso, um ponto $C$ tal que $B$ seja o ponto médio do segmento AC. + +(c) É dado um segmento AB. Mostre como construir, usando somente compasso, o ponto médio do segmento $A B$. + +## Solução: + +(a) Observe que os triângulos XOP e PYO são ambos isósceles, de bases OP e YO, respectivamente. Estes triângulos possuem ângulos da base de mesma medida, pois o ângulo PÔX = YÔP é comum aos dois triângulos. Deste modo, os triângulos XOP e PYO são semelhantes e podemos escrever OX/OP $=O P / O Y$, , como $\mathrm{OP}=\mathrm{r}$, concluímos que $\mathrm{OX} \times \mathrm{OY}=\mathrm{r}^{2}$. + +(b) Determinamos um ponto $R$ tal que o triângulo $A B R$ seja equilátero. Em seguida, determinamos um ponto $S \neq A$ de modo que o triângulo RBS seja equilátero e construímos $C \neq R$ de forma que o triângulo $\mathrm{BSC}$ também seja equilátero. Assim, $\mathrm{BC}=\mathrm{BS}=\mathrm{BR}=$ $A B$ e $A$, B e $C$ são colineares ( $A \hat{B C}=60^{\circ}+60^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$, logo $B$ é o ponto médio de $A C$. + +(c) Seja $M$ o ponto médio de $A B$. Construa a circunferência com centro em $A$ e raio $r=A B$. Como no item anterior, com o compasso construímos um ponto $C$ tal que $B$ é o ponto médio de $A C$. + +Observe que $A M \times A C=(r / 2) \times 2 r=r^{2}$ e, portanto, podemos construir o ponto $M$ utilizando o processo de construção do item (a): determinamos os pontos $\mathrm{P} e \mathrm{Q}$, pontos de interseção da circunferência de centro $\mathrm{C}$ que contém $\mathrm{A}$ e da circunferência de centro A que contém B. O ponto $\mathrm{M}$ é obtido pela interseção das circunferências de centros $\mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$ que passam por $\mathrm{A}$. +Sugestão: (a) Mostre que os triângulos XOP e PYO são semelhantes. (b) Tente obter o ponto C construindo triângulos equiláteros. (c) Utilize os itens (a) e (b). + +Fatos que Ajudam: Dados dois pontos D e E, podemos construir um ponto $F$, utilizando somente compasso, tal que o $\triangle D E F$ seja equilátero. $\mathrm{O}$ ponto $\mathrm{F}$ pode ser obtido como um dos dois pontos de interseção da circunferência de centro em $D$ que contém $E$ e da circunferência de centro em $E$ que contém D. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-7.jpg?height=648&width=374&top_left_y=1296&top_left_x=1481) + +Figura 109.4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-7.jpg?height=368&width=211&top_left_y=2009&top_left_x=1505) + +Figura 109.5 + +## Problema Relacionado + +É dada uma circunferência $\mathcal{C}$. Construir, usando somente compasso, o centro de $\mathcal{C}$. + +## 110 | Pés das Perpendiculares + +Sugestão: Mostre que os triângulos BEF e BCD são semelhantes. + +Fatos que Ajudam: Sejam X, B e C pontos no plano tais que $\mathrm{BX} \mathrm{X}=$ $90^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-8.jpg?height=169&width=174&top_left_y=755&top_left_x=313) + +Figura 110.1 + +Então o ponto $X$ está sobre a circunferência de diâmetro BC. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-8.jpg?height=283&width=297&top_left_y=1109&top_left_x=251) + +Se $Y$ é outro ponto qualquer do arco $X C$, então $C \hat{X} Y=C \hat{B} Y$, porque estes ângulos medem a metade do arco YC. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-8.jpg?height=286&width=302&top_left_y=1613&top_left_x=246) + +Seja $A B C$ um triângulo acutângulo com alturas BD e CE. Os pontos $F$ e $G$ são os pés das perpendiculares $B F$ e $C G$ a reta $D E$. Prove que $\mathrm{EF}=\mathrm{DG}$. + +## Solução: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_fcff7d0cdc4488e80dd9g-8.jpg?height=480&width=423&top_left_y=774&top_left_x=979) + +Os ângulos FBEE e DÊC possuem a mesma medida, pois ambos são o complemento do ângulo FÊB. + +Observe que o quadrilátero BCDE é inscritível. De fato, a circunferência de diâmetro $B C$ contém $E$ e $D$, pois $B \hat{E} C=B \hat{D C}=90^{\circ}$. + +Segue que $F \hat{B E}=D \hat{E C}=D \hat{B C}$. + +Portanto, $\triangle B E F \sim \triangle B C D$ e obtemos + +$$ +\frac{E F}{D C}=\frac{B E}{B C} \Longrightarrow E F=\frac{B E \times D C}{B C} +$$ + +Analogamente, o triângulo CDG é semelhante ao triângulo CBE, donde obtemos + +$$ +\mathrm{DG}=\frac{\mathrm{DC} \times \mathrm{BE}}{\mathrm{BC}} +$$ + +e segue que $E F=D G$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e7d80b1247a31783161fc4165c8133e14a48597b --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N1.md @@ -0,0 +1,1447 @@ +# Nível 1 + +Assunto $\quad$ Aritmética + +## 1 Cláudia transforma números + +Cláudia gosta de brincar com números de dois ou mais algarismos. Ela escolhe um desses números, multiplica seus algarismos e, caso o produto tenha mais de um algarismo, ela os soma. Ela chama o resultado final de transformado do número escolhido. Por exemplo, o transformado de 187 é 11, pois $1 \times 8 \times 7=56$ e $5+6=11$; já o transformado de 23 é 6 , pois $2 \times 3=6$. + +a) Qual é o transformado de 79 ? + +b) Quais são os números de dois algarismos cujo transformado é 3? + +c) Quantos são os números de três algarismos cujo transformado é 0 ? + +## 2 Joãozinho coleciona números + +Joãozinho coleciona números naturais cujo algarismo das unidades é a soma dos outros algarismos. Por exemplo, ele colecionou 10023, pois $1+0+0+2=3$. + +a) Na coleção de Joãozinho há um número que tem 4 algarismos e cujo algarismo das unidades é 1 . Que número é esse? + +b) Qual é o maior número sem o algarismo 0 que pode aparecer na coleção? + +c) Qual é o maior número sem algarismos repetidos que pode aparecer na coleção? + +## 3 Qual o algarismo das unidades? + +Um número par tem 10 algarismos e a soma desses algarismos é 89. Qual é o algarismo das unidades desse número? +A) 0 +B) 2 +C) 4 +D) 6 +E) 8 + +## 4 Matemágicas + +Um "matemágico" faz mágicas com cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança: "Sem que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro do número do cartão, some 3 e multiplique o resultado por 5. Depois + +some 1, se o cartão for verde; + +some 2, se o cartão for amarelo; + +some 3 , se o cartão for azul; + +some 4, se o cartão for vermelho. + +Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você escolheu." + +a) Joãozinho escolheu o cartão vermelho com o número 3. Qual é o número que ele deve dizer ao matemágico? +b) Mariazinha disse "setenta e seis" para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão que ela escolheu? + +c) Após escolher um cartão, Pedrinho disse "sessenta e um" e o matemágico respondeu "Você errou alguma conta". Explique como o matemágico pôde saber isso. + +## 5 Somando no lugar certo + +Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789 podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição: $123+4+56+7+89=279$. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha assim o número 54 ? +A) 4 +B) 5 +C) 6 +D) 7 +E) 8 + +## 6 Jogando com nímeros + +Ana e Cristina estão jogando contra Beatriz e Diana. No início de cada partida, elas embaralham nove cartões numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartões, sobrando sempre um cartão na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os números de seus cartões e o número de pontos da dupla é a soma dos pontos das duas parceiras. Vence a dupla que fizer o maior número de pontos. Veja um exemplo de uma partida na tabela: + +| | Ana | Cristina | Beatriz | Diana | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Cartões retirados | 1 e 4 | 5 e 7 | 2 e 9 | 3 e 6 | +| Pontos de cada menina | $1+4=5$ | $5+7=12$ | $2+9=11$ | $3+6=9$ | +| Pontos da dupla | $5+12=17$ | | $11+9=20$ | | +| Resultado | Beatriz e Diana ganham, pois 20 é maior que 17 | | | | + +a) Numa partida, Ana e Cristina tiraram somente cartões com números ímpares, e sobrou o cartão de número 7. Qual foi o resultado da partida? Por quê? + +b) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 8? Por quê? + +c) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o cartão de número 5? Por quê? + +d) Em outra partida, uma das meninas tirou o cartão de número 3. Ana fez um ponto a menos que Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou? + +## 7 Números e palitos de fósforo + +Com palitos de fósforo formamos algarismos, conforme a figura. Deste modo, para escrever o número 188 , usamos 16 palitos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-02.jpg?height=505&width=696&top_left_y=2183&top_left_x=589) + +César escreveu o maior número que é possível escrever com exatamente 13 palitos. Qual é a soma dos algarismos do número que César escreveu? +A) 8 +B) 9 +C) 11 +D) 13 +E) 15 + +## 8 Chegando ao 1 + +Numa aula de Matemática, a professora inicia uma brincadeira escrevendo, no quadro-negro, um número. Para continuar a brincadeira, os alunos devem escrever outro número, seguindo as regras abaixo: + +- Se o número escrito só tiver um algarismo, ele deve ser multiplicado por 2. +- Se o número escrito tiver mais de um algarismo, os alunos podem escolher entre apagar o algarismo das unidades ou multiplicar esse número por 2. + +Depois que os alunos escrevem um novo número, a brincadeira continua com este número, sempre com as mesmas regras. Veja a seguir dois exemplos desta brincadeira, um começando com 203 e o outro com 4197: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-03.jpg?height=169&width=831&top_left_y=949&top_left_x=710) + +a) Comece a brincadeira com o número 45 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1. b) Comece agora a brincadeira com o número 345 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1. + +c) Explique como chegar ao número 1 começando a brincadeira com qualquer número natural diferente de zero. + +## 9 Resumindo + +Para obter o resumo de um número de até 9 algarismos, deve-se escrever quantos são seus algarismos, depois quantos são seus algarismos ímpares e finalmente quantos são seus algarismos pares. Por exemplo, o número 9103405 tem 7 algarismos, sendo 4 ímpares e 3 pares, logo seu resumo é 743 . + +a) Encontre um número cujo resumo seja 523. + +b) Encontre um número que seja igual ao seu próprio resumo. + +c) Para qualquer número de até 9 algarismos, podemos calcular o resumo do resumo de seu resumo. Mostre que esse procedimento leva sempre a um mesmo resultado, qualquer que seja o número inicial. + +## 10 Casais especiais + +Dois números naturais formam um casal quando eles têm o mesmo número de algarismos e em sua soma aparece apenas o algarismo 9. Por exemplo, 225 e 774 formam um casal, pois ambos têm três algarismos e $225+774=999$. + +a) Qual é o número que forma um casal com 2010? + +b) Quantos são os casais formados por números de dois algarismos? + +Casais especiais são casais em que os dois números têm os mesmos algarismos e que, em cada número, os algarismos são distintos. Por exemplo, 36 e 63 formam um casal especial, mas 277 e 722 não. + +c) Dê um exemplo de casal especial com números de quatro algarismos. + +d) Explique por que não existem casais especiais com números de três algarismos. + +## 11 Supernúmeros + +Um número $A$ de dois algarismos é um supernúmero se é possível encontrar dois números $B$ e $C$, ambos também de dois algarismos, tais que: + +- $A=B+C$; +- soma dos algarismos de $A=$ (soma dos algarismos de $B$ ) + (soma dos algarismos de $C$ ). + +Por exemplo, 35 é um supernúmero. Duas maneiras diferentes de mostrar isto são $35=11+24$ e $35=21+14$, pois $3+5=(1+1)+(2+4)$ e $3+5=(2+1)+(1+4)$. A única maneira de mostrar que 21 é um supernúmero é $21=10+11$. + +a) Mostre de duas maneiras diferentes que 22 é um supernúmero e de três maneiras diferentes que 25 é um supernúmero. + +b) De quantas maneiras diferentes é possível mostrar que 49 é um supernúmero? + +c) Quantos supernúmeros existem? + +## 12 Correndo na medida certa + +A figura abaixo representa o traçado de uma pista de corrida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-04.jpg?height=337&width=411&top_left_y=957&top_left_x=731) + +Os postos $A, B, C$ e $D$ são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 quilômetros pode ser realizada com partida em $D$ e chegada em A. + +a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros? + +b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos? + +c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros. + +## 13 Números em um quadrado + +Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9 , um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é $5+8+2=15$ e a soma dos números da segunda coluna é $9+7+8=24$. Nesse exemplo, as seis somas são $6,12,15,15,18$ e 24 . + +| | 9 | 3 | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | 7 | 1 | +| 5 | 8 | 2 | + +a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando? + +b) Explique por que não é possível que em um quadrado do Gabriel todas as somas sejam números pares. + +c) Preencha o quadrado de forma que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-05.jpg?height=240&width=248&top_left_y=228&top_left_x=1007) + +## 14 Dado no papelão + +Num dado comum, a soma dos pontos de duas faces opostas é sempre 7. É possível construir um dado comum dobrando e colando uma das peças de papelão a seguir. Que peça é essa? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-05.jpg?height=202&width=283&top_left_y=1047&top_left_x=361) +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-05.jpg?height=200&width=277&top_left_y=1051&top_left_x=678) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-05.jpg?height=200&width=277&top_left_y=1048&top_left_x=998) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-05.jpg?height=200&width=282&top_left_y=1051&top_left_x=1304) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-05.jpg?height=202&width=280&top_left_y=1047&top_left_x=1616) +E) + +## 15 Sacas de arroz e sacas de milho + +A caminhonete do Tio Barnabé pode carregar até 2000 quilos. Ele aceita um serviço para transportar uma carga de 150 sacas de arroz de 60 quilos cada e 100 sacas de milho de 25 quilos cada. + +a) Você acha possível que o Tio Barnabé faça esse serviço em cinco viagens? Por quê? + +b) Descreva uma maneira de fazer o serviço em seis viagens. + +## 16 Com pés e cabeças + +Um fazendeiro perguntou ao seu filho: Quantos pés eu posso contar quando eu estou tirando leite de uma vaca? O menino respondeu: São 6, sendo 4 da vaca e 2 seus. O pai então disse: Na verdade são 9, porque você esqueceu de contar os 3 do banquinho em que eu fico sentado. A seguir, o pai propôs outro problema ao seu filho: Num curral há algumas pessoas, vacas e banquinhos, pelo menos um de cada. $\mathrm{O}$ número total de pés é 22 e o de cabeças é 5 . Quantas vacas há no curral? O menino resolveu o problema corretamente. Qual foi sua resposta? +A) 1 +B) 2 +C) 3 +D) 4 +E) 5 + +## 17 Pedrinho escreve números + +Pedrinho escreveu todos os números inteiros compreendidos entre 100 e 999 cuja soma dos algarismos é 12. Por exemplo, os números 129 e 750 aparecem entre os números escritos. + +a) Quantos números escritos têm apenas dois algarismos iguais? + +b) Quantos números escritos são formados apenas por algarismos ímpares? + +## 18 Quantos foram os empates? + +Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Quando uma partida terminava empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates? + +| Time | Pontos | +| :--- | :---: | +| Cruzínthians | 5 | +| Flameiras | 3 | +| Nauritiba | 3 | +| Greminense | 2 | + +A) 2 +B) 3 +C) 4 +D) 5 +E) 6 + +## 19 Futebol matemático + +Os times $A, B, C, D$ e $E$ disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras: + +- o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada; +- em caso de empate, cada um dos times ganha 1 ponto; +- cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. + +O campeão do torneio foi o time $A$, seguido na classificação por $B, C, D$ e $E$, nessa ordem. Além disso: + +- o time $A$ não empatou nenhuma partida; +- o time $B$ não perdeu nenhuma partida; +- todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos. + +a) O time $A$ ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time $B$ ? Por quê? + +b) Com quantos pontos o time $A$ terminou o torneio? Por quê? + +c) Explique porque o time $B$ obteve um número par de pontos nesse torneio. + +d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do $\times$, em caso de empate. + +| $A$ | $A$ | $A$ | $A$ | $B$ | $B$ | $B$ | $C$ | $C$ | $D$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | +| $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $C$ | $D$ | $E$ | $D$ | $E$ | $E$ | + +## 20 Ímpar soma, par divide + +Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo: + +- se o número for ímpar, soma-se 1 ; +- se o número for par, divide-se por 2. + +Por exemplo, começando com o número 21 , forma-se a seguinte sequência: + +$$ +21 \rightarrow 22 \rightarrow 11 \rightarrow 12 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 +$$ + +Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar. + +a) Escreva a sequência que começa com 37. + +b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências. + +c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7? + +d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta. + +## 21 Bolas coloridas + +Ana quer colorir as bolinhas das Figuras 1, 2 e 3 de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-07.jpg?height=225&width=231&top_left_y=510&top_left_x=638) + +Figura 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-07.jpg?height=274&width=271&top_left_y=500&top_left_x=938) + +Figura 2 + + + +Figura 3 + +Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 1 e duas maneiras diferentes de colorir a Figura 2: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-07.jpg?height=180&width=1116&top_left_y=1069&top_left_x=570) + +a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 1? + +b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 2? + +c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 3? + +## 22 Codificando palavras + +Um antigo método para codificar palavras consiste em escolher um número de 1 a 26, chamado chave do código, e girar o disco interno do aparelho ilustrado na figura até que essa chave corresponda à letra $A$. Depois disso, as letras da palavra são substituídas pelos números correspondentes, separados por tracinhos. Por exemplo, na figura abaixo a chave é 5 e a palavra PAI é codificada como $20-5-13$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-07.jpg?height=485&width=491&top_left_y=1845&top_left_x=885) + +a) Usando a chave indicada na figura, descubra qual palavra foi codificada como $23-25-7-25-22-13$. + +b) Codifique OBMEP usando a chave 20. + +c) Chicó codificou uma palavra de 4 letras com a chave 20, mas esqueceu-se de colocar os tracinhos e escreveu 2620138. Ajude o Chicó colocando os tracinhos que ele esqueceu e depois escreva a palavra que ele codificou. + +d) Em uma outra chave, a soma dos números que representam as letras $A, B$ e $C$ é 52 . Qual é essa chave? + +## 23 Troca-inverte + +O troca-inverte é uma brincadeira com números em que há dois tipos de movimentos: + +- troca: separar o número em dois grupos e trocar a ordem desses grupos; +- inverte: escrever o número na ordem inversa. + +Por exemplo, começando com 35421 podemos obter 31245, como mostrado abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-08.jpg?height=217&width=879&top_left_y=508&top_left_x=497) + +a) Brincando com o troca-inverte e começando com 123456 , como podemos obter 165432 ? + +b) Brincando com o troca-inverte e começando com 123, como podemos obter todos os outros cinco números de três algarismos diferentes que podem ser escritos com 1,2 e 3 ? + +c) Por que, no troca-inverte, começando com 123456 é impossível obter $243156 ?$ + +## 24 Um bom preenchimento + +Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem preenchida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-08.jpg?height=237&width=214&top_left_y=1224&top_left_x=835) + +a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-08.jpg?height=243&width=325&top_left_y=1592&top_left_x=771) + +b) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5 ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-08.jpg?height=177&width=168&top_left_y=1965&top_left_x=841) + +c) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7 ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-08.jpg?height=237&width=194&top_left_y=2263&top_left_x=837) + +## 25 Troca-cor + +No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da $1^{\mathrm{a}}$ linha são numeradas com os números ímpares e as da $2^{\mathrm{a}}$ linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa, então, essa casa e as casas vizinhas mudam de cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-09.jpg?height=368&width=1530&top_left_y=587&top_left_x=343) + +a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros abaixo. + +Tabuleiro Jogadas +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-09.jpg?height=270&width=278&top_left_y=1258&top_left_x=363) + +b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro $2 \times 100$. + +c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro $2 \times 101$. + +d) Explique por que não é possível jogar uma partida completa com menos de 51 jogadas no tabuleiro $2 \times 101$. + +## 26 As torres de Caroba + +Caroba tem várias peças em forma de cilindro, de três tipos: brancas de $2 \mathrm{~cm}$ de altura, cinzas de $3 \mathrm{~cm}$ de altura e pretas de $4 \mathrm{~cm}$ de altura. Com essas peças ela pode montar torres de $10 \mathrm{~cm}$ de altura de várias maneiras diferentes, algumas delas ilustradas na figura. Descrevemos cada torre listando as alturas de suas peças, de baixo para cima; por exemplo, as torres abaixo são descritas por $(2,2,4,2),(2,4,2,2)$, $(3,2,3,2)$ e $(2,2,2,2,2)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-09.jpg?height=469&width=806&top_left_y=2187&top_left_x=725) +a) Descreva todas as diferentes torres de $10 \mathrm{~cm}$ que a Caroba pode fazer com três peças. + +b) Com 12 peças, sendo 4 de cada uma das cores, a Caroba conseguiu montar 3 torres de $10 \mathrm{~cm}$, tendo sobrado 2 peças de $3 \mathrm{~cm}$, como na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=429&width=509&top_left_y=442&top_left_x=682) + +Descreva como a Caroba pode montar 7 torres de 10cm, se ela possuir 27 peças, sendo 9 de cada uma das cores. + +c) Explique porque a Caroba não vai conseguir montar 8 torres de $10 \mathrm{~cm}$, se ela possuir 27 peças, sendo 9 de cada uma das cores. + +## Geometria + +## 27 Azulejos + +A figura ao lado mostra a superfície pintada de um azulejo em forma de losango. Dos cinco padrões abaixo, apenas um não pode ser montado com cópias desse azulejo. Qual é esse padrão? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=206&width=237&top_left_y=1719&top_left_x=156) +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=137&width=229&top_left_y=1782&top_left_x=411) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=137&width=163&top_left_y=1782&top_left_x=655) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=137&width=234&top_left_y=1785&top_left_x=840) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=140&width=192&top_left_y=1780&top_left_x=1092) +E) + +## 28 Figuras no quadro-negro + +A professora Clotilde desenhou três figuras no quadro-negro, todas com área igual a $108 \mathrm{~cm}^{2}$. + +a) A primeira figura é um retângulo que tem um lado de comprimento igual a $12 \mathrm{~cm}$. Qual o perímetro desse retângulo? + +b) A segunda figura é um retângulo dividido em um retângulo branco e um quadrado cinza de área igual a $36 \mathrm{~cm}^{2}$, como na figura ao lado. Qual é o perímetro do retângulo branco? + +c) A terceira figura é um quadrado, que ela dividiu em dois retângulos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=98&width=145&top_left_y=1553&top_left_x=1575) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-10.jpg?height=32&width=34&top_left_y=1616&top_left_x=1559) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=248&width=248&top_left_y=247&top_left_x=1007) + +## 29 Reforma no Sítio do Picapau Amarelo + +Dona Benta dividiu o Sítio do Picapau Amarelo entre seis personagens, mantendo uma parte do Sítio como reserva florestal. A divisão está indicada na figura, onde a área de cada personagem é dada em hectares e a área sombreada é a reserva florestal. O Sítio tem formato retangular e $A B$ é uma diagonal. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=457&width=762&top_left_y=888&top_left_x=750) + +a) Qual é a área da reserva florestal? + +b) Para preparar os terrenos para o plantio, cada um dos seis personagens gastou uma quantia proporcional à área de seu terreno. O Quindim e a Cuca gastaram, juntos, $R \$ 2.420,00$. Quanto foi que o Saci gastou? + +## 30 Figuras no vazio + +Joãozinho dobrou duas vezes uma folha de papel quadrada, branca de um lado e cinza do outro, e depois recortou um quadradinho, como na figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=208&width=764&top_left_y=1869&top_left_x=743) + +Qual das figuras abaixo ele encontrou quando desdobrou completamente a folha? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=171&width=171&top_left_y=2242&top_left_x=337) +A) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=174&width=168&top_left_y=2237&top_left_x=544) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=171&width=168&top_left_y=2242&top_left_x=750) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=171&width=165&top_left_y=2242&top_left_x=957) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-11.jpg?height=171&width=163&top_left_y=2242&top_left_x=1158) +E) + +## 31 Cartolina vira cubo + +Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado. Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=158&width=368&top_left_y=497&top_left_x=183) +B) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=123&width=137&top_left_y=504&top_left_x=614) +C) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=114&width=151&top_left_y=503&top_left_x=801) +D) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=123&width=154&top_left_y=504&top_left_x=1008) +E) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=306&width=234&top_left_y=304&top_left_x=1479) + +## 32 Quantas cores? + +Mário montou um cubo com doze varetas iguais e quer pintá-las de modo que em nenhum vértice se encontrem varetas de cores iguais. Qual é o menor número de cores que ele precisa usar? +A) 2 +B) 3 +C) 4 +D) 6 +E) 8 + +## 33 Cubo sobre cubo + +Pedro gasta $1 \mathrm{~mL}$ de tinta cinza para pintar $100 \mathrm{~cm}^{2}$ de superfície. + +a) O sólido da figura abaixo foi feito colando uma face de um cubo de aresta $10 \mathrm{~cm}$ em uma face de um cubo de aresta $20 \mathrm{~cm}$. Quantos mililitros de tinta Pedro precisa para pintar esse sólido? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=234&width=192&top_left_y=1436&top_left_x=835) + +b) Pedro gastou $54 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na próxima figura abaixo. Quantos mililitros a mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses dois blocos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-12.jpg?height=165&width=508&top_left_y=1905&top_left_x=680) + +c) Pedro gastou $54 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar outro cubo. Depois de pintado, esse cubo foi dividido em cubinhos iguais, e Pedro gastou mais $216 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar todas as faces dos cubinhos que não estavam pintadas. Em quantos cubinhos ele dividiu o cubo? + +## 34 Acertando a área + +A figura abaixo representa o terreno de Dona Idalina. Esse terreno é dividido em duas partes por uma cerca, representada pelo segmento $A C$. A parte triangular $A B C$ tem área igual a $120 \mathrm{~m}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-13.jpg?height=306&width=340&top_left_y=475&top_left_x=961) + +a) Qual é a área total do terreno? + +b) Dona Idalina quer fazer uma nova cerca, representada pelo segmento $A F$ na figura abaixo, de modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Qual deve ser a distância $C F$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-13.jpg?height=277&width=306&top_left_y=1061&top_left_x=978) + +## 35 Miguilim e os triângulos + +Miguilim brinca com dois triângulos iguais cujos lados medem $3 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$ e $6 \mathrm{~cm}$. Ele forma figuras planas unindo um lado de um triângulo com um lado do outro, sem que um triângulo fique sobre o outro. Abaixo vemos duas das figuras que ele fez. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-13.jpg?height=160&width=591&top_left_y=1805&top_left_x=573) + +Figura I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-13.jpg?height=185&width=414&top_left_y=1778&top_left_x=1275) + +Figura II + +a) Quais os comprimentos dos lados que foram unidos nas Figuras I e II? + +b) Calcule os perímetros das Figuras I e II. + +c) Qual o menor perímetro de uma figura que Miguilim pode formar? Desenhe duas figuras que ele pode formar com esse perímetro. + +## 36 Retângulo recortado + +Uma folha retangular de $20 \mathrm{~cm}$ por $30 \mathrm{~cm}$ foi cortada ao longo das linhas tracejadas $A C$ e $B D$ em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na Figura I. Os segmentos $A C$ e $B D$ têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-14.jpg?height=342&width=804&top_left_y=246&top_left_x=542) + +a) Qual é o comprimento do segmento $A B$ ? + +b) Qual é a área de um pedaço triangular? E de um pedaço de cinco lados? + +c) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na Figura + +II. Qual é a área do buraco? + +## 37 Triângulo sobre triângulo + +Um quadrado de lado $3 \mathrm{~cm}$ é cortado ao longo de uma diagonal em dois triângulos, como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a), (b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a região em que um triângulo fica sobre o outro. Em cada item, calcule a área da região cinza. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-14.jpg?height=512&width=1576&top_left_y=977&top_left_x=137) + +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-14.jpg?height=274&width=377&top_left_y=1225&top_left_x=494) + +(c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-14.jpg?height=268&width=365&top_left_y=1231&top_left_x=911) + +## 38 Planificações + +As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura ao lado mostra a planificação de uma pirâmide; quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na figura é $1+3+4=8$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-14.jpg?height=177&width=391&top_left_y=1942&top_left_x=730) + +a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide acima? + +b) A figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto indicado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-14.jpg?height=241&width=450&top_left_y=2321&top_left_x=700) + +c) A figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto $\mathbf{A}$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-15.jpg?height=226&width=605&top_left_y=247&top_left_x=834) + +d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior? + +## 39 Ligando pontos na circunferência + +Juquinha marca pontos sobre uma circunferência e traça segmentos ligando alguns desses pontos. Ele chama um ponto de ponto-ímpar quando este está ligado a um número ímpar de pontos, e de ponto-par caso contrário. Por exemplo, na ilustração ao lado, ele escolheu cinco pontos e fez quatro ligações. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-15.jpg?height=237&width=322&top_left_y=704&top_left_x=1575) + +a) Juquinha marcou cinco pontos sobre uma circunferência e traçou todas as ligações possíveis, exceto uma. Quantos pontos-ímpares foram obtidos? + +b) Juquinha marcou seis pontos em cada uma das circunferências a seguir. Em cada caso, mostre como obter o número de pontos-ímpares indicado com exatamente cinco ligações. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-15.jpg?height=246&width=1391&top_left_y=1165&top_left_x=435) + +c) Explique por que Juquinha sempre encontrará um número par de pontos-ímpares, quaisquer que sejam o número de pontos que ele marcar e o número de ligações que ele traçar. + +## Soluções do Nível 1 + +Assunto + +## Aritmética + +## 1 Cláudia transforma números - Solução + +a) Primeiro multiplicamos os algarismos de 79 , obtendo $7 \times 9=63$, e depois somamos os algarismos desse produto, obtendo $6+3=9$. Logo o transformado de 79 é 9 . + +b) A brincadeira de Cláudia tem duas etapas: a primeira, na qual ela multiplica os algarismos, e a segunda, na qual ela soma os algarismos do produto encontrado, no caso de esse produto ter mais de um algarismo. Para que 3 seja obtido como o transformado de um número na primeira etapa, esse número só pode ser 13 ou 31. Para que 3 seja obtido como o transformado de um número na segunda etapa, o resultado da primeira etapa deve ser um número de dois algarismos cuja soma seja 3 , ou seja, deve ser 12, 21 ou 30. A tabela abaixo mostra todos os números de dois algarismos cujo produto é um desses três números. + +| $\mathbf{1 2}$ | $26,62,34,43$ | +| :--- | :--- | +| $\mathbf{2 1}$ | 37,73 | +| $\mathbf{3 0}$ | 56,65 | + +Assim, os números 13,31, 26, 62,34,43,37,73,56 e 65 são os únicos números de dois dígitos cujo transformado é 3 . + +c) $1^{a}$ solução: Na segunda etapa da brincadeira temos uma soma de algarismos, que é sempre diferente de 0 ; portanto, 0 nunca será obtido como transformado de um número de três algarismos nessa etapa. Para se obter 0 como transformado de algum número de três algarismos na primeira etapa, esse número deve ter 0 como algarismo das unidades, das dezenas ou de ambas. Os números de três algarismos que têm 0 tanto nas unidades quanto nas dezenas são 100,200,.. 900, num total de 9. Os números que têm 0 apenas nas unidades são da forma $X Y 0$, onde $X$ e $Y$ representam algarismos de 1 a 9 . Há $9 \times 9=81$ números desse tipo, e o mesmo raciocínio mostra que há 81 números de três algarismos com 0 apenas no algarismo das dezenas. No total, há $9+81+81=171$ números de três algarismos cujo transformado é 0 . + +$2^{a}$ solução: Como na solução acima, concluímos que o 0 deve aparecer na casa das unidades, das dezenas ou em ambas. O algarismo das centenas pode ser qualquer algarismo de $1 \mathrm{a} 9$. Depois de escolhido esse algarismo, pode-se escolher os algarismos das dezenas e das unidades de 19 maneiras diferentes; por exemplo, 100, 101,102,...,109,110,120,...,190 são as 19 possibilidades com o 1 na primeira posição. Logo o total procurado é $9 \times 19=171$. + +$3^{a}$ solução: Como na solução acima, concluímos que o 0 deve aparecer na casa das unidades, das dezenas ou ambas. Há 90 números com 0 nas unidades e 90 com 0 nas dezenas, bem como 9 que tem 0 tanto nas dezenas quanto nas unidades. No total, há $90+90-9=171$ números de três algarismos cujo transformado é 0 . + +## 2 Joãozinho coleciona números - Solução + +a) Há apenas três maneiras de escrever 1 como soma de três números naturais: $1=1+0+0,1=0+1+0$ e $1=0+0+1$, que nos dão as possibilidades 1001, 0101 e 0011 . Os números 0101 e 0011 devem ser descartados, pois não têm quatro algarismos significativos. Logo, na coleção do Joãozinho, aparece o número 1001. +b) Primeiro notamos que se um número com algarismos não nulos está na coleção, então ele tem no máximo 10 algarismos. De fato, se ele tivesse 11 ou mais algarismos não nulos, então a soma de todos seus algarismos, exceto o das unidades, seria no mínimo 10, o que não é possível pois o maior algarismo é o 9. Logo todos os números com algarismos não nulos na coleção têm no máximo 10 algarismos, o que mostra que existe um maior número sem o 0 na coleção. Vamos supor que a coleção do Joãozinho está completa. O número 2316 está na coleção; trocando o 3 por 111 obtemos 211116, que também está na coleção e é maior que 2316, pois tem mais algarismos. Em geral, se um número sem o algarismo 0 está na coleção e tem algum algarismo que não o das unidades diferente de 1, podemos "espichar" o número, trocando esse algarismo por uma sequência de 1's e obtendo um novo número, que está na coleção e é maior que o primeiro. Logo o maior número com algarismos não nulos na coleção deve ter todos seus algarismos iguais a 1, com exceção do algarismo das unidades, que é igual ao número de 1's que o precedem. Como o maior algarismo das unidades possível é 9 , segue que o número procurado é 1111111119. + +Notamos que a coleção pode ter números arbitrariamente grandes com o algarismo 0 , como (por exemplo) 101, 1001, 10001 e assim por diante. + +c) Um número da coleção não pode ter seis algarismos distintos, pois nesse caso a soma dos cinco algarismos à esquerda do algarismo das unidades seria no mínimo $0+1+2+3+4=10$. Por outro lado, a coleção pode ter números de cinco algarismos distintos como, por exemplo, 25108. Se um destes números tem o algarismo das unidades diferente de 9, podemos "aumentá-lo" adicionando 1 ao algarismo das unidades e 1 ao algarismo das dezenas de milhares (que, claramente, não pode ser 9), sem sair da coleção. Por exemplo, o número 43108 pode ser "aumentado" para 53109, que também está na coleção. Logo o maior número de cinco algarismos distintos na coleção deve ter 9 como algarismo das unidades. Basta agora escrever 9 como soma de quatro parcelas distintas em ordem decrescente para "montar" nosso número; segue imediatamente que a decomposição procurada é $9=6+2+1+0$ e obtemos o número 62109 . + +## 3 Qual o algarismo das unidades? - Solução + +## Alternativa E + +A maior soma possível de dez algarismos é $10 \times 9=90$, que ocorre quando temos 10 algarismos 9 . Para que a soma seja 89 , basta diminuir uma unidade de algum dos algarismos, ou seja, substituir um 9 por um 8. Logo o número tem nove algarismos 9 e um algarismo 8. Como ele é par, seu algarismo das unidades só pode ser o 8, ou seja, o número é 9999999998. + +## 4 Matemágicas - Solução + +a) Para saber o número que deve dizer ao matemágico, Joãozinho deve fazer quatro contas: + +$1^{a}$ conta: multiplicar o número no cartão escolhido por 2; + +$2^{a}$ conta: somar 3 ao resultado da primeira conta; + +$3^{\text {a }}$ conta: multiplicar por 5 o resultado da segunda conta; + +$4^{\text {a }}$ conta: somar 1, 2, 3 ou 4 ao resultado da terceira conta, dependendo da cor do cartão escolhido. + +Como o número no cartão escolhido por Joãozinho foi 3 , o resultado da primeira conta é $3 \times 2=6$; o resultado da segunda conta é $6+3=9$ e o da terceira é $9 \times 5=45$. Por fim, como a cor do cartáo escolhido por Joãozinho é vermelha, o resultado da quarta e última conta é $45+4=49$. Assim Joãozinho deve dizer "quarenta e nove" ao matemágico. + +b) $1^{a}$ solução: Vamos analisar o que acontece com o número de um cartão quando fazemos as operações indicadas. Qualquer que seja esse número, após a terceira conta obtemos um múltiplo de 5, ou seja, um número cujo algarismo das unidades é 0 ou 5. Concluímos então que, todas as contas estando corretas, o algarismo das unidades do número dito ao matemágico é: + +- 1 ou 6, se o cartão escolhido é verde; +- 2 ou 7, se o cartão escolhido é amarelo; +- 3 ou 8, se o cartão escolhido é azul; +- 4 ou 9, se o cartão escolhido é vermelho. + +Desse modo, se Mariazinha disse 76 ao matemágico, seu cartão era verde e o resultado da terceira conta realizada por ela foi $76-1=75$; o resultado da segunda conta foi $75 \div 5=15$; o resultado da primeira conta foi $15-3=12$ e o número no cartão escolhido por Mariazinha foi $12 \div 2=6$. Conferindo: $(2 \times 6+3) \times 5+1=76$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Essa solução não difere essencialmente da anterior, mas é mais precisa e permite uma solução imediata do item $c$ ). Como antes, vamos analisar o que acontece com o número de um cartão quando fazemos as operações indicadas. Qualquer que seja esse número, ao multiplicar por 2 obtemos um número par; ao somar 3 ao resultado, obtemos um número ímpar (esse é o detalhe em que essa solução difere da anterior). Ao multiplicar por 5, obtemos um número cujo algarismo das unidades é 5. Concluímos então que, todas as contas estando corretas, o último algarismo do número dito ao matemágico é + +$\bullet 6$, se o cartão escolhido é verde; + +- 7, se o cartão escolhido é amarelo; +- 8, se o cartão escolhido é azul; +- 9, se o cartão escolhido é vermelho. + +O restante dessa solução procede como a anterior. + +$3^{a}$ solução: Seja $x$ o número de um cartão; então o número dito ao matemágico é $5(2 x+3)+y=10 x+15+y$, onde $y$ é um número inteiro de 1 a 4 correspondendo à cor do cartão. Temos aqui $10+15+y=76$, ou seja $10 x+y=61$. Como o dígito das unidades de $10 x$ é 0 , vemos que $y$ só pode ser $1 ; \log$ o $10 x=60$ donde $x=6$ e concluímos que o cartão escolhido foi o 6 verde. + +c) $1^{\mathrm{a}}$ solução: (de acordo com a $1^{\mathrm{a}}$ solução do item b)): Quando Pedrinho disse 61 ao matemágico, ele pensou assim: se as contas de Pedrinho estiverem corretas, o cartão deve ser verde (pois o algarismo das unidades de 61 é 1 ) e depois da terceira conta o número obtido foi $61-1=60$, depois da segunda conta o número obtido foi $60 \div 5=12$, depois da primeira conta o número obtido foi $12-3=9$ e então o número no cartão deve ser $9 \div 2=4,5$, o que não pode acontecer pois os números nos cartões são números inteiros. Logo Pedrinho deve ter errado alguma conta. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: (de acordo com a $2^{a}$ solução do item $b$ )): Dizer ao matemágico um número cujo algarismo das unidades é diferente de 6, 7, 8 ou 9 indica que houve algum erro de conta. + +## 5 Somando no lugar certo - Solução + +## ALTERNATIVA D + +Como queremos obter a soma 54, devemos colocar sinais de adição entre todos os algarismos a partir do 5 , isto é, 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? $5+\underbrace{6+7+8+9}_{30}=54$. Logo precisamos que 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? $5=24$. + +Com o mesmo argumento usado anteriormente, vemos que isso só pode ser feito como $12+3+4+5$. Logo $12+3+4+5+6+7+8+9=54$ é a expressão procurada, para a qual necessitamos de 7 sinais de adição. + +## 6 Jogando com números - Solução + +a) Como sobrou o cartão de número 7 e Ana e Cristina só tiraram cartões ímpares, seus cartões foram 1, 3,5 e 9; logo, a soma de seus pontos foi $1+3+5+9=18$. Beatriz e Diana tiram os cartões $2,4,6$ e 8 , cuja soma é $2+4+6+8=20$. Logo Beatriz e Diana ganharam por 20 a 18 . + +b) A soma dos valores de todos os cartões é $1+2+\cdots+9=45$; então, se o 8 fica na mesa então, a soma dos valores dos cartões retirados é $45-8=37$. Assim, para que a partida termine empatada, 37 pontos devem ser divididos igualmente entre as duas duplas, o que é impossível pois 37 é um número ímpar. Mais geralmente, se sobra um cartão de número par na mesa, a soma dos pontos das duplas é 45 - número par = número ímpar, e não pode haver empate neste caso. + +c) Quando sobra o cartão de número 5 , a soma dos pontos das duplas é $45-5=40$, que é um número par. Se nesse caso uma partida termina empatada, cada dupla deve ter feito $40 \div 2=20$ pontos. Para argumentar que o empate pode realmente acontecer nessa situação, é necessário exibir uma partida que termine empatada em 20 a 20; um exemplo é quando uma dupla retira os cartões de números 1, 2, 8 e 9 e a outra retira os restantes. + +d) O cartão com menor número que pode sobrar é 1 e o maior é 9. Logo, a soma dos pontos feitos pelas duas duplas varia de $45-9=36$ a $45-1=44$, ou seja, os pontos obtidos pelas meninas são quatro +números consecutivos cuja soma está entre 36 e 44. + +As possibilidades $\{1,2,3,4\},\{2,3,4,5\},\{3,4,5,6\},\{4,5,6,7\},\{5,6,7,8\},\{6,7,8,9\}$ e $\{7,8,9,10\}$ não servem pois, em qualquer delas, a soma dos números é menor que 36 . Analogamente $\{10,11,12,13\}$, $\{11,12,13,14\},\{12,13,14,15\},\{13,14,15,16\}$ e $\{14,15,16,17\}$ não servem pois, em qualquer caso, a soma dos números é maior que 44 . + +Restam as possibilidades $\{8,9,10,11\}$ e $\{9,10,11,12\}$. No primeiro caso, o cartão que ficou na mesa é o de número $45-(8+9+10+11)=7$ e no segundo é o de número $45-(9+10+11+12)=3$. Como o cartão que ficou na mesa não foi o de número 3 , só resta a primeira possibilidade; concluímos que Ana fez 8 pontos, Beatriz fez 9, Cristina fez 10 e Diana fez 11. A dupla que venceu foi Beatriz e Diana, com $9+11=20$ pontos, contra $8+10=18$ da dupla Ana e Cristina. + +## 7 Números e palitos de fósforo - Solução + +## ALTERNATIVA B + +Um número com uma determinada quantidade de algarismos, sendo o primeiro à esquerda diferente de zero, é sempre maior que qualquer número que tenha um algarismo a menos. Por exemplo, 1000 (com 4 algarismos) é maior do que 999 (que tem apenas 3 algarismos). + +Assim, com exatamente 13 palitos, devemos formar um número que tenha a maior quantidade possível de algarismos, sendo o primeiro à esquerda diferente de 0 . Como, dentre todos o algarismos, o 1 é aquele formado com o menor número de palitos, vemos que, para obter o maior número possível com 13 palitos, devemos usar tantos algarismos 1 quantos forem possível. + +Não é possível usar seis vezes algarismo 1, pois neste caso já teríamos usado 12 palitos e não há algarismo que possa ser formado com apenas um palito. Pelo mesmo motivo, não é possível usar cinco vezes o algarismo 1; não há algarismo formado por 3 palitos. + +Mas é possível usar quatro vezes o algarismo 1; neste caso, usamos 8 palitos e podemos completar o número com um entre os algarismos 2 ou 5, que são formados por 5 palitos. Neste caso, devemos escolher o 5, que nos permite formar o número 51111 com 13 palitos. A soma dos algarismos deste número é $5+1+1+1+1=9$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-19.jpg?height=222&width=423&top_left_y=1508&top_left_x=722) + +## 8 Chegando ao 1 - Solução + +a) Há várias soluções, como, por exemplo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-19.jpg?height=171&width=896&top_left_y=2022&top_left_x=480) + +b) Aqui também há várias soluções, como, por exemplo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-19.jpg?height=177&width=1146&top_left_y=2296&top_left_x=361) + +c) Aplicamos a regra "apaga" até restar apenas um algarismo, e temos então três casos: + +1. Primeiro caso: o algarismo restante é igual a 1: + +neste caso a brincadeira acaba. + +2. Segundo caso: o algarismo restante é 2,3 ou 4 : + +neste caso aplicamos a regra "dobra" algumas vezes até obter um número de dois algarismos cujo algarismo das dezenas seja 1 (16, 12 ou 16, respectivamente), e aplica-se a regra "apaga" obtendo o número 1 . + +3. Terceiro caso: o algarismo restante é $5,6,7,8$ ou 9 : + +neste caso aplicamos a regra "dobra" uma vez, obtendo respectivamente 10,12, 14, 16 ou 18; então aplicamos a regra "apaga" para obter o número 1. + +## 9 Resumindo - Solução + +a) Consideremos um número cujo resumo seja 523. Então ele tem cinco dígitos (523), dos quais dois são ímpares (523) e três são pares (523). Podemos formar muitos números satisfazendo estas condições; alguns exemplos são 11222, 23456 e 36854 . + +b) Como o resumo de qualquer número tem três algarismos, vemos que, para que um número seja igual ao seu próprio resumo, é necessário que ele tenha três algarismos. Suponhamos então que exista um número que seja seu próprio resumo, e seja $c$ seu algarismo das centenas, $d$ o das dezenas e $u$ o das unidades. Como o algarismo das centenas do resumo de um número de três algarismos é 3 , devemos ter $c=3$. Somando os algarismos das dezenas e das unidades do resumo devemos obter o número de algarismos do número original, ou seja, $d+u=3$. Logo as possibilidades para o resumo de um resumo são 303,312, 321 ou 330; destes, o único que é seu próprio resumo é o 321, que é então o número procurado + +c) O resumo de um número tem sempre três algarismos. Como vimos no item $b$ ), as quatro possibilidades para o resumo de um número de três algarismos são 303, 312, 321 ou 330; logo as possibilidades para o resumo do resumo de qualquer número estão entre estas quatro. Os resumos de 303, 312, 321 ou 330 são todos iguais a 321. Como 321 tem como resumo ele mesmo, sempre chegaremos a ele quando calculamos sucessivas vezes o resumo de um número. Mais precisamente, para qualquer número inicial, o resumo do resumo de seu resumo é 321. Podemos visualizar este raciocínio no diagrama abaixo. + +número $\xrightarrow{\text { resumo }}$ número de três algarismos $\xrightarrow{\text { resumo }} 303,312,321$, ou $330 \xrightarrow{\text { resumo }} 321$ + +Observação: notamos que o resumo do resumo de qualquer número só pode ser 303 ou 321. De fato, da primeira vez que calculamos o resumo de algum número obtemos um número de três dígitos $c d u$, com $d+u=c$. Temos então dois casos: + +## 1. Primeiro caso: $c$ é par. + +Neste caso $d$ e $u$ são ambos pares ou ambos ímpares. + +- se $d$ e $u$ são pares, o próximo resumo será 303; +- se $d$ e $u$ são ímpares, o próximo resumo será 321 . + +2. Segundo caso: $c$ é ímpar. + +Neste caso $d$ é par e $u$ é ímpar, ou $d$ é ímpar e $u$ é par. + +- se $d$ é par e $u$ é ímpar, o próximo resumo será 321; +- se $d$ é ímpar e $u$ é par, o próximo resumo será 321. + + +## 10 Casais especiais - Solução + +a) O número que forma um casal com 2010 é 7989 , pois ambos possuem 4 dígitos e sua soma é $2010+7989=$ 9999. + +b) Existem noventa números com dois dígitos, a saber, os números de 10 a 99. Desses números, só não possuem par aqueles que começam com 9, ou seja, os dez números de 90 a 99. Logo, oitenta números com dois dígitos têm par para formar um casal, e portanto existem quarenta casais distintos com dois dígitos. +c) Damos a seguir três exemplos de casais especiais: $(2376,7623),(5814,4185)$ e $(8901,1098)$. + +d) 1 $1^{\text {a }}$ solução: Vamos supor que exista um casal especial de números com três algarismos. Sejam $A$ o algarismo das centenas, $B$ o algarismo das dezenas e $C$ o algarismo das unidades de um dos números desse casal; esse número é então $A B C$, onde notamos que $A$ não é igual a 0 . Esses são também os algarismos do segundo número do casal, que pode então ser $A B C, A C B, B A C, B C A, C A B$ ou $C B A$. Temos então as seis possibilidades a seguir: + +$$ ++\begin{array}{lll} +A & B & C \\ +A & B & C \\ +\hline 9 & 9 & 9 +\end{array}+\begin{array}{ccc} +A & B & C \\ +A & C & B \\ +\hline 9 & 9 & 9 +\end{array}+\begin{array}{ccc} +A & B & C \\ +B & A & C \\ +\hline 9 & 9 & 9 +\end{array}+\begin{array}{ccc} +A & B & C \\ +B & C & A \\ +\hline 9 & 9 & 9 +\end{array}+\begin{array}{ccc} +A & B & C \\ +C & A & B \\ +\hline 9 & 9 & 9 +\end{array}+\begin{array}{ccc} +A & B & C \\ +C & B & A \\ +\hline 9 & 9 & 9 +\end{array} +$$ + +A primeira possibilidade não pode ocorrer, pois $A+A=9$ é impossível. De modo similar, eliminamos a segunda, a terceira e a última possibilidade. Na quarta possibilidade temos $B+C=9=A+C$ e segue que $A=B$, o que não pode acontecer, pois em um casal especial os algarismos são distintos. O mesmo argumento elimina a quinta possibilidade e, assim, concluímos que não existem casais especiais com números de três algarismos. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Suponhamos que exista um casal especial com números de três algarismos e sejam $A, B$ e $C$ os algarismos desses números. Cada algarismo de um dos números, somado com algum algarismo do segundo número, tem 9 como resultado; assim devemos ter $A+A+B+B+C+C=2(A+B+C)=27$, o que não pode acontecer, pois 27 é ímpar. Logo não existem casais especiais com números de três algarismos. + +## 11 Supernúmeros - Solução + +a) Duas maneiras de mostrar que 22 é um supernúmero são $22=10+12$ e $22=11+11$, pois $2+2=$ $(1+0)+(1+2)$ e $2+2=(1+1)+(1+1)$. + +b) Apresentamos abaixo todas as maneiras de escrever 49 como a soma de dois números de dois algarismos cada, colocando sempre o menor deles à esquerda: + +$$ +\begin{aligned} +49 & =10+39 \\ +49 & =11+38 \\ +49 & =12+37 \\ +& \vdots \\ +49 & =23+26 \\ +49 & =24+25 +\end{aligned} +$$ + +Uma simples contagem revela que o número de maneiras é $15=24-10+1$. Observe que qualquer uma delas pode ser usada para mostrar que 49 é um supernúmero. Por exemplo, na primeira delas temos que $4+9=(1+0)+(3+9)$. Logo é possível mostrar que 49 é um supernúmero de 15 maneiras diferentes. c) Como 10 é o menor número de dois algarismos, temos que $20=10+10$ é o menor número de dois algarismos que pode ser escrito como a soma de dois outros números de dois algarismos. Considere agora qualquer número $x$ de dois algarismos que seja maior ou igual a 20 e chame de $a$ o seu algarismo das dezenas e de $b$ o seu algarismo das unidades. Vamos agora pensar no número $x-10$. Esse é um número maior ou igual a 10, já que $x$ é maior ou igual a 20. Logo tem dois algarismos. Assim ele pode ser escrito como $m n$ onde $m$ é o algarismo das dezenas e $n$ o das unidades. O seu algarismo das dezenas é $m=a-1$ e o das unidades é $n=b$. Agora escrevendo $x=10+(x-10)$ vemos que $x$ é um supernúmero, pois + +$$ +\underbrace{a+b}_{x}=\underbrace{(1+0)}_{10}+\underbrace{(a-1)+b}_{x-10} +$$ + +Um exemplo ajuda a entender esse raciocínio. Pensemos em $x=38$; aqui temos + +$$ +\begin{array}{r} +38 \\ +-10 \\ +\hline 28 +\end{array} +$$ + +ou seja, $x-10=28$. A expressão $x=10+(x-10)$, neste caso, é $38=28+10$, que mostra que 28 é um supernúmero, pois + +$$ +3+8=11=(1+0)+(2+8) +$$ + +Logo, todos os números de 20 a 99 são supernúmeros, e eles são em número $99-20+1=80$. + +## 12 Correndo na medida certa - Solução + +a) Uma volta completa em torno de uma pista tem extensão $1 \mathrm{~km}+2 \mathrm{~km}+6 \mathrm{~km}+4 \mathrm{~km}=13 \mathrm{~km}$. Por isso, para percorrer $14 \mathrm{~km}$ é preciso dar uma volta completa e percorrer mais $1 \mathrm{~km}$. A única forma de percorrer $1 \mathrm{~km}$ respeitando-se o sentido da corrida é começando em $A$ e terminando em $B$. Portanto a corrida deve começar em $A$, dar uma volta completa e terminar em $B$. + +b) Como $100=7 \times 13+9$, uma corrida de $100 \mathrm{~km}$ corresponde a dar 7 voltas completas na pista e percorrer mais $9 \mathrm{~km}$. A única forma de percorrer $9 \mathrm{~km}$ respeitando-se o sentido da corrida é começando em $A$ e terminando em $D$. Portanto a corrida deve começar em $A$, dar 7 voltas completas e terminar em $D$. + +c) Como sugerido nos itens anteriores, a solução do problema está baseada na ideia de "dar uma certa quantidade de voltas" sem exceder o comprimento da corrida e depois localizar trechos convenientes para percorrer a "distância restante". Do ponto de vista matemático, esse procedimento corresponde a efetuar o algoritmo de divisão com divisor igual a 13, ou seja, a escrever + +$$ +\begin{aligned} +\text { dividendo }(\text { comprimento da corrida) }= & 13 \text { (divisor) } \times \text { quociente (número de voltas) } \\ +& + \text { resto (distância restante) } +\end{aligned} +$$ + +sendo o resto um número natural menor do que 13. Logo o resto só pode ser um dos números 1, 2, 3, $4,5,6,7,8,9,10,11$ e 12. Por inspeção direta podemos verificar como realizar corridas com qualquer extensão de $1 \mathrm{~km}$ a $13 \mathrm{~km}$. Os resultados estão dispostos na seguinte tabela: + +| Extensão em km | Ponto de partida | Ponto de chegada | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{~B}$ | +| 2 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{C}$ | +| 3 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{C}$ | +| 4 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{A}$ | +| 5 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | +| 6 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{D}$ | +| 7 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{C}$ | +| 8 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{D}$ | +| 9 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{D}$ | +| 10 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{A}$ | +| 11 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ | +| 12 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{~A}$ | +| 13 | Qualquer um | O mesmo da partida | + +Vejamos agora que é possível realizar corridas com qualquer comprimento inteiro maior do que $13 \mathrm{~km}$. Para isso basta ver que temos duas possibilidades: + +1. Primeiro caso: a extensão é um múltiplo de $13 \mathrm{~km}$. + +Nesse caso, basta escolhermos qualquer posto e então realizarmos uma corrida que começa e termina nesse posto dando o número de voltas completas que é o quociente entre a extensão da corrida e 13 + +Por exemplo, se a extensão da corrida é de $208 \mathrm{~km}=16 \times 13 \mathrm{~km}$, basta dar 16 voltas completas na pista. + +2. Segundo caso: a extensão não é um múltiplo de $13 \mathrm{~km}$. + +Nesse caso, calculamos o quociente e o resto da divisão da extensão da corrida por 13. O resto será um dos números 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. A tabela acima fornece os postos de partida e de chegada da corrida. O número de voltas será igual ao quociente. + +Por exemplo, se a extensão da corrida é $109 \mathrm{~km}=(8 \times 13+5) \mathrm{km}$, ela deve começar no posto $D$, dar 8 voltas completas, retornando então a $D$, e depois percorrer o trecho de $D$ a $B$. + +## 13 Números em um quadrado - Solução + +a) Somar as somas das linhas é o mesmo que somar todos os números no quadrado; assim, a soma das somas das linhas é $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. O mesmo se pode dizer da soma das somas das colunas, e concluímos que a soma de todas as somas é $2 \times 45=90$. Logo, a soma que está faltando é $90-(9+13+14+17+18)=90-71=19$. + +b) $1^{\text {a }}$ solução: Se todas as somas fossem pares, as somas das três linhas seriam pares e sua soma seria par. Mas isso é impossível pois, como vimos acima, a soma das somas das três linhas é 45 , que é um número ímpar. + +2a solução: Ao distribuir os números no quadrado, uma linha pode ter no máximo três números ímpares. Por outro lado, há cinco números ímpares de 1 a 9 , a saber, 1, 3, 5, 7 e 9. As maneiras de escrever 5 como soma de inteiros menores ou iguais a 3 são $5=2+3=1+1+3=1+2+2$. Como em qualquer dessas somas aparecem as parcelas 1 ou 3 , concluímos que pelo menos uma linha de um quadrado preenchido conterá um ou três números ímpares, sendo os restantes pares. Em qualquer caso, obtemos uma linha cuja soma é ímpar. + +c) Vamos estender um pouco essa solução para determinar não apenas um, mas todos os quadrados que têm as somas dadas. Antes de começar, notamos que trocar a ordem de duas linhas (ou de duas colunas) não altera as somas de um quadrado. Os seis números do resultado final devem ser separados em dois grupos de três números cada, cujas somas sejam iguais a 45. No primeiro grupo, cada número é a soma de uma linha e, no outro, a soma de cada coluna. De acordo com o item anterior, cada grupo deve conter um número ímpar; logo 7 e 13 devem ficar em conjuntos diferentes. Segue imediatamente que a única possibilidade é separar as somas nos grupos $7,16,22$ e 13, 14, 18; podemos então supor que as somas das linhas são 7, 16, 22 e as somas das colunas são 13, 14, 18. + +Como a única maneira de obter a soma 7 é $1+2+4=7$, podemos começar a preencher o quadrado como abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-23.jpg?height=131&width=212&top_left_y=1294&top_left_x=822) + +Suponhamos que a soma da segunda linha seja 22; as únicas possibilidades para a soma 22 são $5+8+9=22$ e $6+7+9=22$, que vamos considerar separadamente. + +Suponhamos primeiro que na segunda linha aparecem os números 5,8 e 9. Aqui o 5 não pode aparecer na coluna do 4 , pois $4+5=9$ e para obter uma das somas 13,14 ou 18 nessa coluna o terceiro número deveria ser 4,5 ou 9 , respectivamente, o que não pode acontecer pois o 4 já foi usado enquanto que 5 e 9 aparecem na segunda linha; argumento análogo mostra que o 9 também não pode aparecer na coluna do 4 , ou seja, o 8 aparece abaixo do 4 . Como $4+8=12$ e tanto o 1 como o 2 já foram usados, a soma dessa coluna não pode ser 13 ou 14; logo a soma é 18. + +| 1 | 2 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | +| | | 8 | + +Podemos agora completar o quadrado das seguintes maneiras: + +| 1 | 2 | 4 | 7 | 1 | 2 | 4 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 5 | $\overline{9}$ | 8 | 22 | 9 | 5 | 8 | 22 | +| 7 | 3 | 6 | 16 | 3 | 7 | 6 | | + +Deixamos para o(a) leitor(a) mostrar que, quando na segunda linha aparecem os números 6, 7 e 9, as possibilidades são: + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 7 | 9 | 6 | +| 5 | 3 | 8 | + + +| 1 | 2 | 4 | 7 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 6 | 7 | 22 | +| 8 | 5 | 3 | 16 | +| 18 | 13 | 14 | | +| | | | | + + +| 1 | 2 | 4 | 7 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 7 | 6 | 2 | +| 3 | 5 | 8 | | +| 16 | 16 | | | +| 13 | 14 | | | + + +| 1 | 2 | 4 | 7 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 7 | 6 | 22 | +| 8 | 5 | 3 | 16 | +| 18 | 13 | 14 | | +| | | | | + +Desse modo, existem apenas seis quadrados com as somas do enunciado, a menos de troca de posição de linhas, troca de posição de colunas e troca das linhas pelas colunas. + +## Combinatória + +14 Dado no papelão - Solução + +## ALTERNATIVA C + +A figura abaixo identifica com a mesma letra as faces que se tornarão opostas quando o dado for montado. As alternativas $A$ ), $B$ ), $D$ ) e $E$ ) devem ser eliminadas, pois nelas as faces marcadas com a letra a não somam 7 pontos. Resta a alternativa $C$ ), na qual todos os pares de faces marcados com a mesma letra somam 7 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-24.jpg?height=254&width=340&top_left_y=992&top_left_x=961) + +## 15 Sacas de arroz e sacas de milho - Solução + +a) Tio Barnabé tem que transportar uma carga total de $150 \times 60+100 \times 25=9000+2500=11500$ quilos. Como a carga máxima da caminhonete é 2000 quilos, em cinco viagens Tio Barnabé poderá transportar no máximo $5 \times 2000=10000$ quilos, faltando ainda $11500-10000=1500$ quilos para completar o serviço. Logo, não é possível fazer o serviço em apenas 5 viagens. + +b) $1^{a}$ Solução: Tio Barnabé pode fazer 5 viagens carregando, em cada uma, 30 sacas de arroz e 8 de milho, totalizando $30 \times 60+8 \times 25=1800+200=2000$ quilos. Em cinco viagens, ele levaria $30 \times 5=150$ sacas de arroz e $5 \times 8=40$ sacas de milho, restando $100-40=60$ sacas de milho, pesando $60 \times 25=1500$ quilos, que poderiam ser todas transportadas na sexta viagem. + +$2^{a}$ Solução: Tio Barnabé pode fazer 5 viagens levando, em cada uma, 28 sacos de arroz e 12 de milho, totalizando $28 \times 60+12 \times 25=1980$ quilos em cada viagem; na sexta viagem ele pode levar os 10 sacos de arroz e os 40 de milho restantes, totalizando $10 \times 60+12 \times 25=1600$ quilos. + +## 16 Com pés e cabeças - Solução + +## ALTERNATIVA C + +A tabela abaixo representa todas as possibilidades para que o número de cabeças seja 5 (lembramos que banquinhos não têm cabeça e há pelo menos uma pessoa e uma vaca). + +| Cabeças | | Pés | Pés de banquinhos | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Vacas | Pessoas | | (22 - pés, vacas e pessoas) | +| 1 | 4 | 12 | 10 | +| 2 | 3 | 14 | 8 | +| 3 | 2 | 16 | 6 | +| 4 | 1 | 18 | 4 | + +A última coluna representa as possibilidades para o número de pés de banquinhos que há no curral. Como cada banquinho tem 3 pés, o número total de pés de banquinhos deve ser um múltiplo de 3 . O +único múltiplo de 3 que aparece na última coluna é 6, correspondente a 2 banquinhos. Logo no curral havia 3 vacas, 2 pessoas e 2 banquinhos. + +## 17 Pedrinho escreve números - Solução + +a) O algarismo 1 não pode ser repetido porque não é possível escrever 12 como uma soma da forma $1+1+x$ onde $x$ é um algarismo; de fato, como $x$ é no máximo 9 , esta soma será no máximo 11 . O algarismo 4 também não pode ser repetido pois neste caso o número teria que ser 444 , que tem três algarismos iguais e não está de acordo com o enunciado. Finalmente, os algarismos 7, 8 e 9 não podem ser repetidos, pois neste caso a soma dos algarismos ultrapassaria 12. Assim, o algarismo repetido só pode ser 2, 3, 5 ou 6 . Com 2, 3 e 5 podemos formar 9 números: 228, 282, 822, 336, 363, 633, 552, 525 e 255. Com o algarismo 6 podemos formar 2 números: 606 e 660. Portanto a quantidade de números escrita é $9+2=11$. + +b) A soma de três números ímpares é um número ímpar. Como 12 é par, vemos que é impossível achar três algarismos ímpares cuja soma é 12. Logo nenhum dos números escritos tem os três algarismos ímpares. + +## 18 Quantos foram os empates? - Solução + +## ALTERNATIVA D + +$1^{a}$ solução: Cada time jogou três vezes. Com 5 pontos, o Cruzínthians só pode ter vencido uma partida e empatado duas, pois se tivesse vencido duas partidas, teria pelo menos 6 pontos e se não tivesse vencido nenhuma, teria no máximo 3 pontos. O Greminense não venceu nenhuma partida, pois obteve apenas 2 pontos; logo empatou duas partidas e perdeu uma. O Flameiras, em segundo lugar com 3 pontos, não venceu nenhuma partida, pois se isso tivesse acontecido, ele teria que ter perdido duas; como o Greminense não ganhou nenhuma e o Cruzínthians apenas uma, ele teria perdido para o Nauritiba. Mas o mesmo raciocínio mostra que então o Nauritiba, tendo ganho a partida com o Flameiras, deveria ter perdido para Flameiras! Como isso não pode acontecer, concluímos que o Flameiras e o Nauritiba empataram suas três partidas. Logo o número de empates foi $3+3-1=5 ; o-1$ aparece nessa expressão pois o empate entre Flameiras e Nauritiba deve ser contado apenas uma vez. A tabela abaixo mostra a pontuação do campeonato. + +| | Cruzíntians | Flameiras | Nauritiba | Greminense | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Pontos ganhos pelo Cruzíntians | | 1 | 1 | 3 | +| Pontos ganhos pelo Flameiras | 1 | | 1 | 1 | +| Pontos ganhos pelo Nauritiba | 1 | 1 | | 1 | +| Pontos ganhos pelo Greminense | 0 | 1 | 1 | | + +$2^{a}$ solução: Outra solução é notar que em cada jogo disputado são distribuídos 2 pontos, no caso de empate ou 3 pontos, caso não ocorra empate. Como cada um dos quatro times jogou uma única vez com seus três adversários, foram disputados ao todo seis jogos, nos quais foram distribuídos $5+3+3+2=13$ pontos. A única maneira de parcelar 13 em seis parcelas de 2 ou 3 é $13=3+2+2+2+2+2$; logo, cinco dos seis jogos terminaram empatados. + +## 19 Futebol matemático - Solução + +a) O time $B$ não perdeu nenhuma partida, logo empatou ou ganhou de $A$. Mas $A$ não empatou nenhuma partida, $\log$ o $A$ perdeu de $B$. + +b) O time $A$ perdeu uma partida. Se tivesse perdido exatamente mais um jogo, teria 6 pontos. Mas $B$ tem no mínimo 6 pontos, pois venceu $A$ e não perdeu nenhuma das outras três partidas. Como $A$ tem mais pontos que $B$, concluímos que $A$ perdeu somente para $B$; e como $A$ não empatou nenhuma partida, venceu as outras três. Logo $A$ obteve 9 pontos. + +c) $1^{a}$ solução: Como o time $B$ não perdeu para nenhum outro time, ele ganhou 1 ou 3 pontos em cada partida, isto é, sempre um número ímpar de pontos. Como a soma de quatro números ímpares é par, vemos que $B$ terminou o torneio com um número par de pontos. +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como ficou em segundo lugar, o time $B$ fez menos do que 9 pontos, portanto venceu uma ou duas partidas. Como ele jogou quatro partidas, se venceu uma delas então empatou três, finalizando com 6 pontos; se venceu duas então empatou duas, finalizando com 8 pontos. Logo, as possibilidades para o número de pontos que $B$ obteve nesse torneio são 6 e 8 , ambos números pares. + +d) De acordo com os itens anteriores, $A$ perdeu de $B$ e venceu $C, D$ e $E$. Dos 6 jogos restantes, 5 foram empates. Se $B$ tivesse só 2 empates, então todos os jogos entre $C, D$ e $E$ seriam empates e os dois desses times que empataram com $B$ terminariam empatados, o que contraria o enunciado. Logo, os três jogos de $B$ contra $C$, $D$ e $E$ foram empates. Como houve um total de 5 empates, 2 dos jogos entre $C, D$ e $E$ foram empates. Como a ordem de classificação é $C, D, E$, a única vitória foi de $C$ contra $E$. Temos, assim, a tabela de resultados abaixo. + +| $A$ | $A$ | $A$ | $A$ | $B$ | $B$ | $B$ | $C$ | $C$ | $D$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | +| $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $C$ | $D$ | $E$ | $D$ | $E$ | $E$ | + +## 20 Ímpar soma, par divide - Solução + +a) A sequência é $37 \rightarrow 38 \rightarrow 19 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. + +b) A única sequência de comprimento 3 é $4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. As sequências de comprimento 4 são $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow$ 1 e $8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$; elas são obtidas a partir de $4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$, a primeira acrescentando $4-1=3$ à esquerda e a segunda acrescentando $2 \times 4=8$ à esquerda. Do mesmo modo, a sequência ímpar $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ dá origem à sequência par $6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$; a sequência par $8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ dá origem à sequência ímpar $7 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ e à sequência par $16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. Temos assim as três únicas sequências de comprimento 5 , sendo duas pares e uma ímpar. O raciocínio pode ser representado pelo esquema abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-26.jpg?height=168&width=625&top_left_y=1475&top_left_x=818) + +c) 1a solução: Repetindo o esquema do item anterior, temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-26.jpg?height=485&width=985&top_left_y=1805&top_left_x=638) + +e assim temos três sequências pares e duas ímpares de comprimento 6 e cinco sequências pares e três ímpares de comprimento 7 . + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Observamos que a sequência ímpar de comprimento 5 dá origem a uma sequência par de comprimento 6; já as duas sequências pares de comprimento 5 dão origem a duas sequências pares de comprimento 6 e duas sequências ímpares de comprimento 6 . Assim, temos duas sequências ímpares de comprimento 6 e $1+2=3$ sequências pares de comprimento 6 , num total de $2+3=5$ sequências de comprimento 6. O mesmo argumento mostra que há oito sequências de comprimento 7 , sendo três ímpares e cinco pares. + +Observação: A repetição desse argumento para valores sucessivos do comprimento mostra que, a partir do comprimento 3 , o número de sequências ímpares é $0,1,1,2,3,5,8, \ldots$, o número de sequências pares é $2,3,5,8,13, \ldots$ e o número total de sequências é $3,5,8,13,21, \ldots$ Cada termo dessas sequências de valores, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores; vemos assim que essas sequências, com a eventual omissão de termos iniciais, são a sequência $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots$, conhecida como sequência de Fibonacci. Apresentamos esse resultado na tabela a seguir. + +| Comprimento | 5 | 6 | 7 | $\cdots$ | 15 | 16 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | +| Ímpares | 1 | 2 | $1+2=3$ | $\cdots$ | 144 | $89+144=233$ | +| Pares | 2 | 3 | $2+3=5$ | $\cdots$ | 233 | $144+233=377$ | +| Total (impares+pares) | $1+2=3$ | $2+3=5$ | $3+5=8$ | $\cdots$ | $144+233=377$ | $233+377=610$ | + +d) $1^{a}$ solução: As 144 sequências ímpares de comprimento 15 dão origem a 144 sequências pares de comprimento 16; já as 233 sequências pares de comprimento 15 dão origem a 233 sequências pares de comprimento 16 e 233 sequências ímpares de comprimento 16. Assim, temos 233 sequências ímpares de comprimento 16 e $377=233+144$ sequências pares de comprimento 16 , num total de $233+377=610$ sequências. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: A parte da sequência de Fibonacci que nos interessa é $1,2,3,5,8, \ldots, 144,233,377,610, \ldots$ O número de sequências ímpares de comprimento 15 (resp. 16) é o $15^{\circ}$ (resp. $16^{\circ}$ ) termo dessa sequência, que é 144 (resp. 233); o número de sequências pares de comprimento 15 (resp. 16) é o $16^{\circ}$ (resp. $17^{\circ}$ ) termo, que é 233 (resp. 377) e o número total é o $17^{\circ}$ (resp. $18^{\circ}$ ) termo, que é 377 (resp. 610). + +## 21 Bolas Coloridas - Solução + +a) Ana pode pintar a bolinha 1 com qualquer uma das três cores. A bolinha 2 deve então ser pintada de uma cor diferente da primeira, restando a Ana duas cores para pintá-la. A bolinha 3 deve ser pintada com a cor que sobrar. Portanto, a Figura 1 pode ser pintada de $3 \times 2 \times 1=6$ maneiras diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-27.jpg?height=165&width=188&top_left_y=1465&top_left_x=840) + +b) Vamos dividir as maneiras de pintar a Figura 2 em dois casos. + +1. Primeiro caso: as bolinhas 1 e 3 são pintadas da mesma cor. + +Essa cor pode ser escolhida de três maneiras diferentes; após esta escolha, a cor da bolinha 2 pode ser escolhida de duas maneiras diferentes, bem como a da bolinha 4 . O número de maneiras de pintar a Figura 2 nesse caso é $3 \times 2 \times 2=12$. + +2. Segundo caso: as bolinhas 1 e 3 são pintadas de cores diferentes. + +Nesse caso, a cor da bolinha 1 pode ser escolhida de três maneiras diferentes e após isso, restam duas possibilidades para a cor da bolinha 3. Para as bolinhas 2 e 4 há apenas uma possibilidade, que é a cor que não foi usada nas bolinhas 1 e 3. Logo, o número de maneiras de pintar a Figura 2 nesse caso é $3 \times 2 \times 1=6$. + +No total, a Figura 2 pode ser pintada de $12+6=18$ maneiras diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-27.jpg?height=191&width=191&top_left_y=2286&top_left_x=841) + +c) As bolinhas de 1 a 4 formam a figura do item anterior e portanto, para pintá-las, Ana tem 18 possibilidades. Para pintar a bolinha 5, ela tem duas cores disponíveis, pois a bolinha 4 já está pintada. Logo, temos $18 \times 2=36$ possibilidades para pintar as bolinhas de 1 a 5 . Dividimos agora nossa contagem em dois casos. + +1. Primeiro caso: as bolinhas 3 e 6 são pintadas da mesma cor. + +Nesse caso, temos uma única escolha para a cor da bolinha 6 (pois a bolinha 3 já foi pintada) e duas para a bolinha 7 , ou seja, temos $1 \times 2=2$ possibilidades. + +2. Segundo caso: as bolinhas 3 e 6 são pintadas de cores diferentes. + +Nesse caso também temos uma única escolha para a cor da bolinha 6 (diferente das cores das bolinhas 3 e 4) e sobra apenas uma cor para a bolinha 7 . Aqui temos apenas uma possibilidade. No total, há $36 \times 2+36 \times 1=108$ maneiras diferentes de pintar a Figura 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-28.jpg?height=319&width=340&top_left_y=797&top_left_x=961) + +## 22 Codificando palavras - Solução + +a) A partir da figura do enunciado temos $23=S, 25=U, 7=C, 22=R$ e $13=I$. Logo a palavra codificada como 23-25-7-25-22-13 é SUCURI. + +b) Ao passar da chave 5 para a chave 20 devemos somar 15 aos números da figura do enunciado, lembrando que se a soma for maior do que 26 devemos subtrair 26. Assim, temos $O=19+15-26=$ $34-26=8, B=6+15=21, M=17+15-26=6, E=9+15=24, P=20+15-26=9$ donde OBMEP é codificada como 8-21-6-24-9. + +c) Como não existe letra codificada como 0, um dos números associados a letras na sequência 2620138 é o 20. À sua direita há três dígitos, mas como não há letra codificada como 138 ou 38, os números associados a letras são o 13 e o 8 . Isto dá um total de 3 letras. Portanto, à esquerda de 20 só podemos admitir o 26. Logo, a codificação da palavra é 26-20-13-8, a qual, na chave 20, corresponde a GATO. + +d) Quando somamos três números consecutivos, obtemos um número divisível por 3; por exemplo, $14+15+16=45$. Ao somar os números que representam as letras $A, B$ e $C$ nessa certa chave, obtemos 52, que não é um número divisível por 3. Isso mostra que os três números não são consecutivos e isso somente é possível se um dos números for 26 e outro for 1 . Como a soma é 52, o terceiro número é $52-27=25$. A única codificação de $A B C$, neste caso, é 25-26-1, ou seja, a chave é 25 . + +23 Troca-inverte - Solução + +a) Aqui estão três soluções, entre outras: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-28.jpg?height=228&width=948&top_left_y=2370&top_left_x=657) + +b) Existem 5 números diferentes formados com os algarismos 1, 2 e 3, além de 123. Eles são 132, 213, + +231, 312 e 321. Vamos mostrar como obter todos a partir de 123: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-29.jpg?height=380&width=517&top_left_y=318&top_left_x=678) + +Pode-se, também, obter todos estes números através de uma única sequência de troca e inverte; por exemplo, + +$$ +123 \xrightarrow{\text { troca }} 312 \xrightarrow{\text { troca }} 231 \xrightarrow{\text { inverte }} 132 \xrightarrow{\text { troca }} 21,3 \xrightarrow{\text { troca }} 321 +$$ + +c) Em um número qualquer formado com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, temos os algarismos das "pontas" e os do "meio"; por exemplo, em 621354 os algarismos das pontas são 6 e 4 e os algarismos 2, 1, 3, e 5 estão no meio. Dizemos também que dois algarismos são vizinhos se um está ao lado do outro; no exemplo em questão, $(2,1)$ e $(3,5)$ são dois pares de vizinhos. O movimento inverte troca os algarismos das pontas e mantém os vizinhos juntos. O movimento troca faz com que as pontas se tornem vizinhos e separa um par de vizinhos, fazendo com que eles se tornem pontas. Logo, começando com 123456, vemos que qualquer sequência de movimento troca e inverte tem como resultado um número em que 1 e 6 são ou pontas ou vizinhos; como isso não acontece com 243156, é impossível transformar 123456 em 243156 com esses movimentos. + +Alternativamente, podemos pensar nos algarismos do número 123456 escritos ao longo de um círculo orientado no sentido horário, como na figura ao lado. $\mathrm{O}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-29.jpg?height=223&width=231&top_left_y=1219&top_left_x=1455) +movimento inverte muda o sentido de rotação deste ciclo e o movimento troca mantém este sentido; por outro lado, algarismos vizinhos, em particular o 1 e o 6, permanecem sempre vizinhos após qualquer destes movimentos. Como em 243156 o 1 e o 6 não são vizinhos, concluímos que é impossível transformar 123456 em 243156 com esses movimentos. + +## 24 Um bom preenchimento - Solução + +a) Só existe uma maneira de preencher o diagrama, como mostramos a seguir. + +- O número 9 não pode ficar abaixo de nenhum número, logo deve ficar no topo. +- Acima do número 7 só podemos colocar o 9 ou o 8 . Como o 9 já está no topo, o 8 ficará acima do 7 . +- O número 6 não pode ficar abaixo do 5 nem do 2 , logo ficará abaixo do 8 , ao lado do 7 . +- O número 1 é o único que pode ficar abaixo do 2 . +- Os números 3 e 4 devem ficar abaixo do 5 , com o 3 abaixo do 4 . + +A sequência de figuras a seguir ilustra as etapas deste raciocínio. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-29.jpg?height=536&width=1374&top_left_y=2142&top_left_x=246) +b) 1 $1^{\text {a }}$ solução: Primeiro vamos examinar o diagrama menor de três bolinhas contidas no triângulo pontilhado, abaixo à esquerda. Para que ele fique bem preenchido com quaisquer três números positivos distintos, o maior número deve ficar no topo e os outros dois poderão ser colocados nos dois círculos de baixo de duas maneiras diferentes. Por exemplo, se os números forem 3, 6 e 8, podemos dispô-los das duas maneiras ilustradas abaixo à direita. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-30.jpg?height=274&width=998&top_left_y=471&top_left_x=630) + +Para que o diagrama completo do problema fique bem preenchido com os números de 1 a 5, o 5 deve ficar no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 4 . As três casas restantes, marcadas com o triângulo pontilhado, formam o diagrama analisado acima e poderão então ser preenchidas de duas maneiras, com os três números restantes. Resumindo, podemos preencher o diagrama do seguinte modo: + +- preenchemos o círculo do topo com o 5: uma possibilidade; +- preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3 ou 4: quatro possibilidades; +- preenchemos as três casas que faltam com os três algarismos restantes: duas possibilidades. Logo, o diagrama pode ser preenchido de $1 \times 4 \times 2=8$ maneiras diferentes. Notamos que este raciocínio se aplica para quaisquer cinco números positivos distintos. Isto será importante na resolução do próximo item. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Notamos primeiro que o 5 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 4 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 5 , e então: + +- se o 4 ocupar a bolinha sombreada, o 3 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 5 , e o 1 e o 2 podem ser colocados de duas maneiras diferentes nas duas bolinhas que sobram; temos duas possibilidades neste caso; +- se o 4 ocupar a outra bolinha abaixo do 5, a casa sombreada pode ser ocupada por qualquer dos números de 1 a 3, e os outros dois números podem ser colocados nas duas últimas bolinhas vazias; neste caso temos $3 \times 2=6$ possibilidades. + +Deste modo, o número total de maneiras de preencher o diagrama é $2+6=8$. + +c) $1^{\text {a }}$ solução: Para que o diagrama fique bem preenchido com os números de 1 a 7 , temos que colocar o 7 no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 6 . A parte circundada pela linha pontilhada foi analisada no item $b$ ) e pode ser preenchida com os 5 números restantes de 8 formas diferentes. Ou seja, podemos preencher o diagrama como segue: + +- preenchemos o círculo do topo com o 7: uma possibilidade; +- preenchemos a casa sombreada com 1,2,3,4,5 ou 6: seis possibilidades; +- preenchemos a parte circundada com os algarismos restantes: oito possibilidades. Logo, o diagrama pode ser preenchido de $1 \times 6 \times 8=48$ maneiras diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-30.jpg?height=365&width=343&top_left_y=1985&top_left_x=959) + +$2^{a}$ solução: Notamos primeiro que o 7 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 6 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 7 , e então: + +- se o 6 ocupar a bolinha sombreada, os números de 1 a 5 devem ocupar as casas circundadas com a linha pontilhada. De acordo com o item $b$ ), isto pode ser feito de oito maneiras distintas. +- se o 6 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 7, podemos colocar qualquer número de 1 a 5 na casa sombreada e distribuir os números restantes pelas quatro bolinhas ainda vazias, o que pode ser feito de oito maneiras diferentes, de acordo com o item $b$ ). Aqui temos $5 \times 8=40$ possibilidades. + +Logo, o diagrama pode ser preenchido de $8+40=48$ maneiras diferentes. + +a) Mostramos abaixo um jogo completo para cada tabuleiro, destacando as casas apertadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-31.jpg?height=214&width=1128&top_left_y=547&top_left_x=364) + +b) Dividimos o tabuleiro $2 \times 100$ em 25 retângulos $2 \times 4$ e, em cada um desses retângulos, tornamos as casas cinzas procedendo como ilustrado no item a); notamos que ao aplicar este procedimento em um retângulo os demais não são afetados. Desse modo podemos preencher todas as casas do jogo $2 \times 100$. + +c) Dividimos o tabuleiro como ilustrado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-31.jpg?height=108&width=894&top_left_y=1051&top_left_x=478) + +Na primeira linha selecionamos as casas 1, 9, 17, .., 193, 201 e na segunda as casas $6,14,22, \ldots, 190$, 198. Cada uma das casas selecionadas está dentro de uma região destacada com traço mais forte. Ao apertar uma destas casas, ela e todas as outras casas de sua região ficam cinzas, sem afetar as outras regiões. Apertando todas estas casas podemos então preencher todas as casas do jogo $2 \times 101$. + +Notamos que há uma casa selecionada de duas em duas colunas, começando da primeira à esquerda, e uma na última coluna. Como as colunas são em número de 101, vemos que foram selecionadas 51 casas, que é o número de jogadas que foram necessárias para terminar o jogo do modo descrito. + +d) Não é possível acabar o jogo $2 \times 101$ com menos de 51 jogadas, pois cada jogada muda a cor de no máximo quatro casas. Assim, com 50 jogadas ou menos conseguiremos mudar a cor de no máximo $50 \times 4=200$ casas, mas no jogo $2 \times 101$ devemos mudar a cor de 202 casas. Logo, é impossível fazer menos do que 51 jogadas e deixar cinzas todas as casas. + +Observação: A solução dos itens b) e c) mostra como terminar o jogo no caso de tabuleiros $2 \times n$, onde $n$ deixa restos 0 ou 1 quando dividido por 4 . É interessante completar a análise nos casos em que os restos são 2 ou 3; deixamos isto para o(a) leitor(a). + +## 26 As torres de Caroba - Solução + +a) Abaixo listamos as torres que a Caroba pode fazer com três peças: + +- com duas peças de $4 \mathrm{~cm}$ e uma de $2 \mathrm{~cm}:(4,4,2),(4,2,4),(2,4,4)$; +- com uma peça de $4 \mathrm{~cm}$ e duas de $3 \mathrm{~cm}:(4,3,3),(3,4,3),(3,3,4)$; + +b) Ela pode montar, por exemplo, quatro torres $(4,4,2)$, uma torre $(4,3,3)$ e duas torres $(3,3,2,2)$, restando uma peça de $2 \mathrm{~cm}$ e três peças de $3 \mathrm{~cm}$. Outra possibilidade é fazer quatro torres $(4,3,3)$, duas torres $(4,4,2)$ e uma torre $(2,2,2,2,2)$, restando uma peça de $4 \mathrm{~cm}$, uma peça de $3 \mathrm{~cm}$ e duas peças de $2 \mathrm{~cm}$. Pode-se também aproveitar as torres do item a) e montar, além delas, a torre ( $3,3,2,2$ ), sobrando uma peça de $3 \mathrm{~cm}$ e quatro peças de $2 \mathrm{~cm}$. Há ainda outras possibilidades. + +c) $1^{a}$ solução: O comprimento total de todas as peças que a Caroba tem é $9 \times(2+3+4)=9 \times 9=81 \mathrm{~cm}$. Se ela pudesse fazer 8 torres de $10 \mathrm{~cm}$, a soma dos comprimentos dessas torres seria $80 \mathrm{~cm}$, ou seja, sobraria $1 \mathrm{~cm}$. Como não existe peça de $1 \mathrm{~cm}$, concluímos que é impossível montar 8 torres de $10 \mathrm{~cm}$ com 9 peças de cada uma das cores. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Peças de $3 \mathrm{~cm}$ aparecem 0 ou 2 vezes em qualquer torre de $10 \mathrm{~cm}$, donde o número de peças de $3 \mathrm{~cm}$ usadas para fazer qualquer número de torres é par. Como a Caroba tem 9 peças de $3 \mathrm{~cm}$, segue que vai sobrar pelo menos uma peça de $3 \mathrm{~cm}$, qualquer que seja o número de torres que ela montar. Descontando essa peça, o comprimento total das peças que sobram é $81-3=78 \mathrm{~cm}$, que não é suficiente para montar 8 torres de $10 \mathrm{~cm}$. Logo a Caroba não vai conseguir montar as 8 torres de $10 \mathrm{~cm}$. + +Assunto Geometria + +## 27 Azulejos - Solução + +## ALTERNATIVA E + +Mostramos ao lado dois azulejos. O azulejo 1 é o azulejo do enunciado, com o qual foram formadas as figuras das alternativas $A$ ), $B$ ), C) e $D$ ). A figura da alternativa $E$ ) foi feita com duas cópias do azulejo 1 e duas cópias do azulejo 2. Como não é possível obter o azulejo 2 por translação ou rotação do azulejo 1, segue que não podemos montar a figura da alternativa $E$ ) com cópias do azulejo 1 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-32.jpg?height=131&width=294&top_left_y=851&top_left_x=984) + +## 28 Figuras no quadro-negro - Solução + +Para orientar a solução, lembramos que a área de um retângulo é igual ao produto dos comprimentos de dois lados adjacentes; em particular, a área de um quadrado é igual ao quadrado de seu lado. + +a) Como a área do retângulo é $108 \mathrm{~cm}^{2}$ e um lado mede $12 \mathrm{~cm}$, o comprimento do lado adjacente, indicado por ? na figura abaixo, deve ser um número que, quando multiplicado por 12 , tenha como resultado 108 , ou seja, é $108 \div 12=9$. Assim, o perímetro do retângulo é $12 \mathrm{~cm}+12 \mathrm{~cm}+9 \mathrm{~cm}+9 \mathrm{~cm}=42 \mathrm{~cm}$. + +Solução algébrica: Seja $x$ o comprimento do lado indicado por ? na figura, dado em centímetros. Então $12 x=108$ e, como antes, temos $x=108 \div 12=9$; o cálculo do perímetro é idêntico ao feito acima. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-32.jpg?height=405&width=491&top_left_y=1625&top_left_x=882) + +b) Como o quadrado cinza tem área igual a $36 \mathrm{~cm}^{2}$, o comprimento de seu lado, em centímetros, é um número cujo quadrado é 36 , ou seja, é igual 6. Logo o retângulo maior tem um lado de comprimento $6 \mathrm{~cm}$; como sua área é $108 \mathrm{~cm}^{2}$, segue que seu outro lado mede $108 \div 6=18 \mathrm{~cm}$. Logo um lado do retângulo branco mede $6 \mathrm{~cm}$ e o outro mede $18 \mathrm{~cm}-6 \mathrm{~cm}=12 \mathrm{~cm}$, e assim seu perímetro é $12 \mathrm{~cm}+12 \mathrm{~cm}+6 \mathrm{~cm}+6 \mathrm{~cm}=$ $36 \mathrm{~cm}$. + +Pode-se também argumentar que a área do retângulo branco é $108 \mathrm{~cm}^{2}-36 \mathrm{~cm}^{2}=72 \mathrm{~cm}^{2}$; como um de seus lados mede $6 \mathrm{~cm}$, então o outro mede, em centímetros, então $72 \div 6=12$. O restante da solução segue como acima. + +Solução algébrica: O lado do quadrado, que mede $6 \mathrm{~cm}$, é um lado do retângulo branco e também do retângulo maior. Seja $x$ o comprimento, em centímetros do outro lado do retângulo branco; então o outro lado do retângulo maior tem comprimento $(x+6) \mathrm{cm}$. Como sua área é $108 \mathrm{~cm}^{2}$, segue que $6(x+6)=108$, ou seja, $6 x+36=108$. $\operatorname{Logo} 6 x=108-36=72$ e segue que $x=72 \div 6=12$. O cálculo do perímetro do retângulo branco segue como acima. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-33.jpg?height=325&width=739&top_left_y=246&top_left_x=573) + +c) Na figura ao lado marcamos os lados do quadrado $R$ em pontilhado e os lados do quadrado $S$ em traço mais grosso. Para simplificar, vamos nos referir ao comprimento de um segmento grosso apenas como "grosso", e do mesmo modo para "pontilhado". O perímetro do quadrado $S$ é igual a quatro grossos. Observamos que os retângulos brancos são iguais, pois têm os mesmos lados, e seu perímetro é igual a dois grossos mais dois pontilhados. Por outro lado, o enunciado diz que o perímetro de um desses retângulos é igual a três vezes o perímetro de $S$, isto é, igual a doze grossos. Logo os dois pontilhados devem ser iguais a dez grossos, ou seja, cada pontilhado é igual a cinco grossos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-33.jpg?height=357&width=365&top_left_y=1024&top_left_x=754) + +Notamos agora que um lado do quadrado grande é igual a um grosso mais um pontilhado, ou seja, é igual a seis grossos. Podemos então decompor o quadrado grande em $6 \times 6=36$ quadradinhos iguais ao quadrado $S$, como na figura ao lado. Como a área do quadrado maior é igual a $108 \mathrm{~cm}^{2}$, a área de um desses quadradinhos é igual a $108 \mathrm{~cm}^{2} \div 36=3 \mathrm{~cm}^{2}$. Finalmente, o quadrado $R$ consiste de $5 \times 5=25$ quadradinhos e então sua área é igual a $25 \times 3 \mathrm{~cm}^{2}=75 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Solução algébrica: Primeiro argumentamos, como acima, que os retângulos brancos são iguais. Seja agora $x$ o lado do quadrado $S$ (grosso) e $y$ o lado do quadrado $R$ (pontilhado). O perímetro de $S$ é então $4 x$ e o de um retângulo branco é $2 x+2 y$; o enunciado nos diz que $2 x+2 y=3 \times 4 x=12 x$, donde $2 y=10 x$ e então $y=5 x$. Logo o lado do quadrado grande mede $x+5 x=6 x$; como sua área é $108 \mathrm{~cm}^{2}$ temos $108=6 x \times 6 x=36 x^{2}$, onde $x^{2}=3$. A área de $R$, em centímetros quadrados, é então $y^{2}=(5 x)^{2}=25 x^{2}=25 \times 3=75$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-33.jpg?height=400&width=397&top_left_y=1953&top_left_x=732) + +## 29 Reforma no Sítio do Picapau Amarelo - Solução + +a) Um retângulo fica dividido em duas regiões de mesma área por sua diagonal. Logo os terrenos de Quindim, Visconde de Sabugosa e Cuca, juntos, têm área igual à metade da área do Sítio. A área desses terrenos, em hectares, somam $4+7+12=23$. A outra metade do Sítio tem a mesma área e é igual à +soma das áreas dos terrenos de Saci, Narizinho, Rabicó e da reserva florestal. Portanto $6+5+10+$ (área da reserva) $=23$, ou seja, a área da reserva é igual a 23ha $-21 \mathrm{ha}=2$ ha. + +b) Quindim e Cuca, juntos, possuem 4ha +7 ha $=11 \mathrm{ha}$. Assim, gastaram $\frac{2420}{11}=220$ reais por hectare. Como o terreno de Saci tem 6ha, ele gastou $6 \times 220=1320$ reais. + +## 30 Figuras no vazio - Solução + +## ALTERNATIVA E + +A figura mostra o que acontece ao desdobrar o papel. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-34.jpg?height=212&width=618&top_left_y=702&top_left_x=819) + +## 31 Cartolina vira cubo - Solução + +## ALTERNATIVA C + +Ao montar o cubo, a face branca e a face cinza ficam opostas; $\operatorname{logo}$ as alternativas $A$ ) e $B$ ) estão excluídas. As alternativas $D$ ) e $E$ ) estão excluídas pois no cubo não podem aparecer um retângulo branco e outro cinza com um lado menor em comum. + +## 32 Quantas cores? - Solução + +## ALTERNATIVA B + +Cada vértice é a extremidade de três arestas e, portanto, são necessárias pelo menos três cores diferentes. Por outro lado, três cores diferentes bastam; podemos ver isto na figura, onde três cores diferentes estão indicadas em traços cheio, tracejado e pontilhado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-34.jpg?height=202&width=235&top_left_y=1658&top_left_x=1019) + +## 33 Cubo sobre cubo - Solução + +a) $1^{a}$ solução: A superfície do sólido é igual à soma das superfícies dos cubos menos a área "perdida" no contato entre eles, que é igual a duas vezes a área de uma face do cubo menor. Assim, a área do sólido obtido, em centímetros quadrados, é igual a $6 \times 20 \times 20+6 \times 10 \times 10-2 \times 10 \times 10=2400+600-200=2800$. Como Pedro gasta $1 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar $100 \mathrm{~cm}^{2}$, então ele vai gastar $\frac{2800}{100}=28 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar a superfície do sólido. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Cada face do cubo maior tem área igual a $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}=400 \mathrm{~cm}^{2}$. Assim, Pedro gastará $\frac{400}{100}=4 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar cada face do cubo maior; analogamente, ele gastará $1 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar cada face do cubo menor. Logo ele gastará $6 \times 4+6 \times 1-2 \times 1=28 \mathrm{~mL}$ de tinta para pintar todo o sólido. + +b) Para pintar uma das faces do cubo, Pedro gastou $\frac{54}{6}=9 \mathrm{~mL}$ de tinta. O corte criou duas novas superfícies, cada uma com área igual à de uma das faces do cubo; para pintar estas duas superfícies Pedro deve gastar $2 \times 9=18 \mathrm{~mL}$ de tinta. + +c) $1^{a}$ solução: Para dividir o cubo em cubinhos iguais, devem ser feitos cortes paralelos às faces e igualmente espaçados. Como vimos no item b), cada um destes cortes cria $1800 \mathrm{~cm}^{2}$ de superfície não pintada. Portanto, o número de cortes foi $\frac{21600}{1800}=12$. Como os cubinhos são iguais, os cortes horizontais, +verticais e longitudinais devem ser todos de mesmo número, ou seja, em número de $\frac{12}{3}=4$. Esses cortes dão origem a 5 camadas horizontais, verticais e longitudinais de cubinhos, e segue que o cubo original foi dividido em $5 \times 5 \times 5=125$ cubinhos. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como no item $b$ ) concluímos que, para pintar cada face do cubo Pedro gastou $9 \mathrm{~mL}$ de tinta, logo cada face tem área, igual a $900 \mathrm{~cm}^{2}$. Concluímos que a aresta do cubo mede $30 \mathrm{~cm}$. Pedro gastou $54+216=270 \mathrm{~mL}$ de tinta no total, logo ele pintou $27.000 \mathrm{~cm}^{2}$. É intuitivo que o número de camadas horizontais, verticais e longitudinais seja o mesmo. Chamamos esse número de $n$. A quantidade de cubinhos é então $n^{3}$ e a aresta de cada um dos cubinhos mede $\frac{30}{n} \mathrm{~cm}$. Logo a área de uma face de um cubinho é $\frac{30 \mathrm{~cm}}{n} \times \frac{30 \mathrm{~cm}}{n}=\frac{900}{n^{2}} \mathrm{~cm}^{2}$, e temos: + +$$ +27000=\underbrace{6 \times \frac{900}{n^{2}}}_{\begin{array}{l} +\text { área total das } \\ +\text { faces de um } \\ +\text { cubinho } +\end{array}} \times n^{3}=5400 \times n +$$ + +Segue que $n=5$ e então o número de cubinhos é $5^{3}=125$. + +## 34 Acertando a área - Solução + +a) $1^{a}$ solução: A figura abaixo mostra como decompor a região $A C D E$ em um quadrado $C D E H$ e um triângulo $A H E$. Como $C D=D E=10 \mathrm{~m}$ e $A C=20 \mathrm{~m}$, segue que $A H=10 \mathrm{~m}$. Logo a área do triângulo $A H E$ é metade da área de um quadrado de lado $10 \mathrm{~m}$, ou seja, é + +$$ +\frac{A H \times H E}{2}=\frac{10 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}}{2}=50 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Como a área do quadrado $C D E H$ é $10 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~m}^{2}$, concluímos que a área da região $A C D E$ é $100 \mathrm{~m}^{2}+50 \mathrm{~m}^{2}=150 \mathrm{~m}^{2}$. + +Alternativamente, podemos calcular a área de $A C D E$ como a diferença entre as áreas do retângulo $A C D G$ e do triângulo $A G E$, ou seja, $20 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}-\frac{10 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}}{2}=150 \mathrm{~m}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-35.jpg?height=383&width=385&top_left_y=1616&top_left_x=744) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Podemos calcular a área do trapézio retângulo $A C D E$, em metros quadrados, pela fórmula usual: + +$$ +\frac{(A C+D E) \times C D}{2}=\frac{(20+10) \times 10}{2}=150 +$$ + +A área total do terreno é então área $(A C D E)+$ área $(A B C)=150 \mathrm{~m}^{2}+120 \mathrm{~m}^{2}=270 \mathrm{~m}^{2}$. + +b) $1^{\text {a }}$ solução: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-35.jpg?height=320&width=306&top_left_y=2361&top_left_x=778) + +Como o terreno tem $270 \mathrm{~m}^{2}$, ao dividi-lo em duas partes iguais cada uma das partes terá área de + +$$ +\frac{270 \mathrm{~m}^{2}}{2}=135 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Desse modo, devemos ter + +$$ +135 \mathrm{~m}^{2}=\operatorname{área}(A B C F)=\operatorname{área}(A B C)+\text { área }(A C F)=120 \mathrm{~m}^{2}+\operatorname{área}(A C F) +$$ + +e vemos que área $(A C F)=15 \mathrm{~m}^{2}$. Por outro lado, a área do triângulo $A C F$ é + +$$ +\frac{A C \times C F}{2}=\frac{20 \mathrm{~m} \times C F}{2}=10 \mathrm{~m} \times C F +$$ + +Portanto, $10 \mathrm{~m} \times C F=15 \mathrm{~m}^{2}$ e logo $C F=1,5 \mathrm{~m}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como o terreno tem $270 \mathrm{~m}^{2}$, ao dividi-lo nas partes de mesma área $A B C F$ e $A F D E$, cada parte terá área de $135 \mathrm{~m}^{2}$. Notamos que $A B C F$ é um trapézio de bases $A B$ e $C F$ e de altura $A C=20 ; \log$ o + +$$ +135 \mathrm{~m}^{2}=\operatorname{área}(A B C F)=\frac{(12 \mathrm{~m}+C F) \times 20 \mathrm{~m}}{2}=120 \mathrm{~m}^{2}+10 \mathrm{~m} \times C F +$$ + +e segue que $C F=1,5 \mathrm{~m}$. + +## 35 Miguilim e os triângulos - Solução + +a) Na Figura I, verificamos que as medidas de dois lados que não foram unidos são $4 \mathrm{~cm}$ e $6 \mathrm{~cm}$. Como os dois lados unidos são do mesmo tamanho, eles não podem medir nem $4 \mathrm{~cm}$ nem $6 \mathrm{~cm}$, logo medem $3 \mathrm{~cm}$. Na Figura II, o triângulo que está mais acima tem um lado livre de $4 \mathrm{~cm}$ e, claramente, o lado que foi unido ao triângulo de baixo é menor do que o lado livre não identificado. Portanto, o lado do triângulo superior que foi unido ao de baixo mede $3 \mathrm{~cm}$. No triângulo de baixo, claramente, o maior lado foi unido ao lado do triângulo de cima. Esse lado mede $6 \mathrm{~cm}$. + +b) Os lados de medida $3 \mathrm{~cm}$ não fazem parte do perímetro da Figura I. Logo o perímetro da Figura I é igual a $2 \times(4 \mathrm{~cm}+6 \mathrm{~cm})=20 \mathrm{~cm}$. O lado de $3 \mathrm{~cm}$ de um triângulo e o pedaço de $3 \mathrm{~cm}$ do lado maior do outro triângulo não fazem parte do perímetro da Figura II. Logo o perímetro da Figura II, em centímetros, é igual a $6+4+3+4+(6-3)=20$. + +c) O perímetro de uma figura obtida quando se unem lados dos dois triângulos é igual à soma dos perímetros dos dois triângulos menos duas vezes o comprimento do menor dos lados que foram unidos. Assim, o perímetro da figura é o menor possível quando unirmos os dois lados de $6 \mathrm{~cm}$; nesse caso o perímetro, em centímetros, é igual a $2 \times(3+4+6)-2 \times 6=26-12=14$. As duas figuras abaixo têm perímetro mínimo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-36.jpg?height=148&width=512&top_left_y=2045&top_left_x=869) + +## 36 Retângulo recortado - Solução + +a) Vamos representar a folha original pelo retângulo $P Q R S$ na figura abaixo. Seja $M$ o ponto onde os segmentos $A C$ e $B D$ se encontram. Como o centro do retângulo é o centro de simetria da figura, concluímos que $A M=M C=\frac{1}{2} A C$. Por outro lado, sabemos que $A C=B D$, donde $A M=B M=C M=D M$. Como os ângulos com vértice em $M$ são todos retos, os triângulos $A M B, B M C, C M D$ e $D A M$ são congruentes e, em particular, $A B=B C=C D=D A$ e os ângulos desses triângulos em $A, B, C$ e $D$ são iguais, donde $A B C D$ é um quadrado. Como $B P C Q$ é um retângulo, $B C=P Q=20 \mathrm{~cm}$, donde $A B=20 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-37.jpg?height=392&width=517&top_left_y=238&top_left_x=678) + +b)A área de cada um dos triângulos $A M B, B M C, C M D$ e $D A M$ é igual a $\frac{1}{4}$ da área do quadrado $A B C D$, que é $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}=400 \mathrm{~cm}^{2}$; logo a área de um desses triângulos é $\frac{400}{4}=100 \mathrm{~cm}^{2}$. Como são os dois pedaços de cinco lados iguais, eles têm a mesma área. A folha original tem área igual a $20 \times 30=600 \mathrm{~cm}^{2}$, e se subtrairmos dessa área as áreas dos dois pedaços triangulares $A B M$ e $D M C$, restará a área dos dois pedaços de cinco lados. Portanto, a área de cada pedaço de cinco lados, em centímetros quadrados, é igual a $\frac{600-2 \times 100}{2}=\frac{600-200}{2}=\frac{400}{2}=200$. + +Outra solução para obtenção da área do triângulo: A base $A B$ do triângulo $A B M$ mede $20 \mathrm{~cm}$; a altura relativa a essa base é metade da altura da folha, ou seja, $\frac{20 \mathrm{~cm}}{2}=10 \mathrm{~cm}$. Portanto, a área de cada um dos dois triângulos é $\frac{20 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm}}{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Outra solução para obtenção da área do polígono de cinco lados: Cada pedaço de cinco lados é formado por um dos quatro triângulos acima e por um retângulo de altura $20 \mathrm{~cm}$ e largura igual a $\frac{20 \mathrm{~cm}-10 \mathrm{~cm}}{2}=\frac{10 \mathrm{~cm}}{2}=5 \mathrm{~cm}$. Como a área de cada triângulo é de $100 \mathrm{~cm}^{2}$ e a área do retângulo é igual a $5 \times 20 \mathrm{~cm}^{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$, concluímos que a área de cada pedaço de cinco lados é igual a $100 \mathrm{~cm}^{2}+100 \mathrm{~cm}^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +c) $1^{\text {a }}$ solução: $\mathrm{O}$ quadrado formado pelos quatro pedaços e o buraco tem área igual a 8 vezes a área de cada pedaço triangular, conforme mostrado no desenho a seguir. Portanto, sua área é igual a $8 \times 100 \mathrm{~cm}^{2}=800 \mathrm{~cm}^{2}$. Como a soma das áreas das quatro peças é igual à área da folha original, ou seja, $600 \mathrm{~cm}^{2}$, concluímos que a área do buraco é igual a $800 \mathrm{~cm}^{2}-600 \mathrm{~cm}^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-37.jpg?height=388&width=377&top_left_y=1485&top_left_x=745) + +$2^{a}$ solução: O buraco é um retângulo cuja altura é igual à altura da folha original, ou seja, $20 \mathrm{~cm}$. Seu comprimento é a diferença entre o comprimento da folha original e o segmento $A B$, ou seja, $30 \mathrm{~cm}-20 \mathrm{~cm}=$ $10 \mathrm{~cm}$. Portanto, a área do buraco é $20 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +$3^{a}$ solução: Cada triângulo retângulo é isósceles com hipotenusa de medida $20 \mathrm{~cm}$. Se $a$ é a medida, em centímetros, de um dos catetos, temos $20^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}$, donde $a=\sqrt{20^{2} / 2}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2}$. Assim, o quadrado grande tem lado igual a $10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}+10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}=20 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ e sua área é $(20 \sqrt{2} \mathrm{~cm})^{2}=800 \mathrm{~cm}^{2}$. Como a soma das áreas das quatro peças é igual à área da folha original, ou seja, $600 \mathrm{~cm}^{2}$, concluímos que a área do buraco é igual a $800 \mathrm{~cm}^{2}-600 \mathrm{~cm}^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 37 Triângulo sobre triângulo - Solução + +$\mathrm{O}$ argumento geral para a resolução desta questão está ilustrado na figura abaixo. O triângulo $A B C$ é um dos triângulos resultantes do corte do quadrado e $D$ é um ponto qualquer no lado $A B, \operatorname{com} D E$ perpendicular a $A B$. O triângulo $A D E$ também é retângulo com dois lados iguais, e sua área é igual a metade da área do quadrado $A D E F$; a área do triângulo $A D G$ é então igual a $\frac{1}{4}$ da área do quadrado $A D E F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-38.jpg?height=419&width=406&top_left_y=236&top_left_x=928) + +a) O argumento acima mostra que a região cinza (abaixo) tem área igual a $\frac{1}{4}$ da área do quadrado de lado $3 \mathrm{~cm}$, ou seja, $\frac{1}{4} \times(3 \mathrm{~cm})^{2}=\frac{9 \mathrm{~cm}^{2}}{4}=2,25 \mathrm{~cm}^{2}$. Podemos também usar a fórmula da área de um triângulo. A altura relativa ao lado de $3 \mathrm{~cm}$ mede a metade do lado do quadrado, ou seja, $\frac{3}{2} \mathrm{~cm}$. A área da região cinza, em centímetros quadrados, é então + +$$ +\text { área }=\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}=\frac{3 \times \frac{3}{2}}{2}=\frac{9}{4} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-38.jpg?height=368&width=308&top_left_y=1084&top_left_x=977) + +b) Um argumento similar ao utilizado no item anterior, mostra que a área da região cinza contida na interseção do quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$ com o triângulo de base $5 \mathrm{~cm}$ da figura abaixo é $\frac{1}{4} \times(1 \mathrm{~cm})^{2}=\frac{1 \mathrm{~cm}^{2}}{4}=$ $0,25 \mathrm{~cm}^{2}$. Alternativamente, podemos usar a fórmula para a área de um triângulo para obter + +$$ +\text { área }=\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2}=\frac{1 \mathrm{~cm} \times \frac{1}{2} \mathrm{~cm}}{2}=\frac{1}{4} \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +c) $1^{\text {a }}$ solução: Como $A B=C D=3 \mathrm{~cm}$ e $A D=5 \mathrm{~cm}$, vemos que $B C=1 \mathrm{~cm}$, e podemos então marcar os comprimentos indicados na figura. A região cinza é a união de um retângulo de base $1 \mathrm{~cm}$ e altura $2 \mathrm{~cm}$ com um triângulo cuja área já foi calculada no item anterior. Logo, a área da região cinza em, centímetros quadrados, é $1 \times 2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}=2,25$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: A região cinza é um retângulo de base 1 e altura 3 da qual se retiram três triângulos, cada um com área igual a $\frac{1}{4}$ da área de um quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$. Então, a área procurada, em centímetros quadrados, é igual a $3 \times 1-3 \times \frac{1}{4}=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}=2,25$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-38.jpg?height=348&width=534&top_left_y=2142&top_left_x=864) + +## 38 Planificações - Solução + +a) Na pirâmide cada vértice pertence a três faces. O ponto assinalado se tornará o vértice das faces com os números 2, 3 e 4; como esses são os três maiores números que aparecem nas faces, esse vértice terá a maior soma, que é $2+3+4=9$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-39.jpg?height=165&width=192&top_left_y=477&top_left_x=835) + +b) Em um cubo, cada vértice pertence a três faces. Ao montar o cubo, as arestas pontilhadas na figura abaixo coincidirão, o mesmo acontecendo com os pontos $A$ e $B$. Vemos assim que as faces que se encontram no vértice correspondente ao ponto $A$ são as faces com os números 3,6 e $2 ; \log$ o valor desse vértice é $3+6+2=11$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-39.jpg?height=277&width=319&top_left_y=895&top_left_x=777) + +c) Em um octaedro, cada vértice pertence a quatro faces. A figura abaixo mostra que, ao formar o octaedro, o ponto $A$ será o vértice comum das faces com os números 4, 5, 6 e 7; logo seu valor será $4+5+6+7=22$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-39.jpg?height=303&width=414&top_left_y=1376&top_left_x=730) + +d) Ao montar o octaedro, os dois segmentos indicados pela letra $a$ formarão uma aresta e os pontos $C$ e $D$ coincidirão. Logo os segmentos indicados por $b$ também coincidirão e o ponto $B$ será levado no ponto $E$. Desse modo, as faces que têm o vértice correspondente a $B$ em comum são as faces com os números $1,2,4$ e 5 ; o valor desse vértice é então $1+2+4+5=12$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-39.jpg?height=326&width=437&top_left_y=1936&top_left_x=707) + +## 39 Ligando pontos na circunferência - Solução + +a) Juquinha, ao marcar cinco pontos sobre uma circunferência e traçar todas as ligações possíveis, sempre obtém cinco pontos-pares, pois cada ponto está ligado aos outros quatro pontos restantes. Retirando qualquer uma dessas ligações, dois desses cinco pontos-pares passam a ser pontos-ímpares. Logo, ao marcar cinco pontos sobre uma circunferência e fazer todas as ligações possíveis, exceto uma, Juquinha obtém 2 pontos-ímpares e 3 pontos-pares. +b) Na figura abaixo mostramos duas maneiras de obter 0, 2, 4 e 6 pontos-ímpares (assinalados com $\times$ ) com exatamente cinco conexões + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=200&width=211&top_left_y=363&top_left_x=660) + +0 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=203&width=208&top_left_y=618&top_left_x=661) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=200&width=214&top_left_y=363&top_left_x=904) + +2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=205&width=214&top_left_y=617&top_left_x=904) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=197&width=208&top_left_y=364&top_left_x=1141) + +4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=203&width=229&top_left_y=618&top_left_x=1142) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=203&width=211&top_left_y=361&top_left_x=1388) + +6 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_1c2853cb1112cfb2ee2dg-40.jpg?height=203&width=214&top_left_y=618&top_left_x=1389) + +c) $1^{a}$ solução: Antes de Juquinha começar a fazer ligações, todos os pontos são pares, pois 0 é par. Vamos agora pensar em Juquinha desenhando as ligações uma a uma. Quando ele desenha a primeira, os dois pontos ligados passam a ser ímpares. A partir daí, cada nova ligação pode: + +- ligar dois pontos pares: nesse caso, esses pontos tornam-se ímpares e o número de pontos ímpares aumenta de dois; ou +- ligar dois pontos ímpares: nesse caso, esses pontos tornam-se pares e o número de pontos ímpares diminui de dois; ou +- ligar um ponto par a um ponto ímpar: nesse caso, o ponto par torna-se ímpar, o ponto ímpar torna-se par e o número de pontos ímpares continua o mesmo. + +Em resumo, a cada nova ligação o número de pontos ímpares aumenta ou diminui de dois ou então permanece o mesmo. Como o número inicial de pontos ímpares é 0 , que é par, segue que o número de pontos ímpares é sempre par, independentemente do número de pontos iniciais e do número de ligações. Uma solução perfeitamente análoga parte de um desenho pronto, retirando as ligações uma a uma. $2^{\mathrm{a}}$ solução: Suponhamos que Juquinha tenha acabado de desenhar a figura. Para cada vértice, contamos a quantos outros vértices ele está ligado e somamos todos esses números. Essa soma é par; de fato, como cada ligação conecta dois vértices, essa soma é duas vezes o número de ligações. Cada vértice par contribui com uma parcela par e cada vértice ímpar com uma parcela ímpar para essa soma; como a soma é par, o número de parcelas ímpares deve ser par, ou seja, o número de vértices ímpares é par. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..669fd0f8aa159f53c48e7af6c97f1efcdf186eca --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N2.md @@ -0,0 +1,1534 @@ +# Nível 2 + +Assunto + +Aritmética + +## 1 Os cartões de Catarina + +Catarina tem 210 cartões numerados de 1 a 210. + +a) Quantos desses cartões têm um número que é múltiplo de 3? + +b) Quantos desses cartões têm um número par que não é múltiplo de 3? + +c) Qual é o menor número de cartões que Catarina deve pegar, ao acaso, para ter certeza de que pelo menos dois deles tenham o número 2 ou o número 3 como divisor comum? + +## 2 Enquadrados + +Um número é enquadrado quando, ao ser somado com o número obtido invertendo a ordem de seus algarismos, o resultado é um quadrado perfeito. Por exemplo, 164 e 461 são enquadrados, pois 164+461 = $625=25^{2}$. Quantos são os números enquadrados entre 10 e 100 ? +A) 5 +B) 6 +C) 8 +D) 9 +E) 10 + +## 3 Múltiplos irados + +O múltiplo irado de um número natural é o menor múltiplo do número formado apenas pelos algarismos 0 e 1 . Por exemplo, o múltiplo irado de 2 , bem como de 5, é 10; já o múltiplo irado de 3 é 111 e o de 110 é ele mesmo. + +a) Qual é o múltiplo irado de 20? + +b) Qual é o múltiplo irado de 9? + +c) Qual é o múltiplo irado de 45? + +d) Qual é o menor número natural cujo múltiplo irado é 1110 ? + +## 4 Apenas algarismos impares + +Patrícia escreveu, em ordem crescente, os inteiros positivos formados apenas por algarismos ímpares: 1, $3,5,7,9,11,13,15,17,19,31,33, \ldots$ Qual foi o $157^{\circ}$ número que ela escreveu? +A) 997 +B) 999 +C) 1111 +D) 1113 +E) 1115 + +## 5 Esconde-esconde + +Um número inteiro positivo esconde outro número quando, apagando alguns de seus algarismos, aparece o outro. Por exemplo, o número 123 esconde os números 1, 2, 3, 12, 13 e 23, mas não esconde 32, 123 e 213. + +a) Qual é o maior número de três algarismos escondido por 47239 ? +b) Qual é o menor número que esconde simultaneamente 2009 e 9002 ? + +c) Ache um múltiplo de 2009 que esconde 2009 e cujo algarismo das unidades é 3. + +## 6 Filhos e irmãos + +Para qualquer número positivo $x$, dizemos que os números $x+1 \mathrm{e} \frac{x}{x+1}$ são filhos de $x$ e que os dois são irmãos. Por exemplo, $\frac{3}{2}$ e $\frac{1}{3}$ são irmãos, pois são filhos de $\frac{1}{2}$; de fato, $\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+1$ e $\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}$. + +a) Encontre um irmão de $\frac{5}{7}$. + +b) Um número pode ser filho de dois números positivos diferentes? Por quê? + +c) Mostre que $\frac{1}{2008}$ é descendente de 1, isto é, ele é filho de um filho de um filho... de um filho de 1. + +## 7 Algarismos afilhados + +Um algarismo é afilhado de um número natural se ele é o algarismo das unidades de algum divisor desse número. Por exemplo, os divisores de 56 são 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 e 56, logo os afilhados de 56 são 1 , 2, 4, 6, 7 e 8 . + +a) Quais são os afilhados de 57 ? + +b) Ache um número que tenha 7 e 9 como afilhados, mas não 3. Quais são os afilhados desse número? + +c) Explique porque 2 e 5 são afilhados de qualquer número que tenha 0 entre seus afilhados. + +d) Explique porque 8 é afilhado de qualquer número que tenha 0 e 9 entre seus afilhados. + +## 8 Chegando ao 1 + +Numa aula de Matemática, a professora inicia uma brincadeira escrevendo, no quadro-negro, um número. Para continuar a brincadeira, os alunos devem escrever outro número, seguindo as regras abaixo: + +- Se o número escrito só tiver um algarismo, ele deve ser multiplicado por 2. +- Se o número escrito tiver mais de um algarismo, os alunos podem escolher entre apagar o algarismo das unidades ou multiplicar esse número por 2 . + +Depois que os alunos escrevem um novo número, a brincadeira continua com este número, sempre com as mesmas regras. Veja a seguir dois exemplos desta brincadeira, um começando com 203 e o outro com 4197: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-02.jpg?height=174&width=825&top_left_y=1855&top_left_x=518) + +a) Comece a brincadeira com o número 45 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1. + +b) Comece agora a brincadeira com o número 345 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1. + +c) Explique como chegar ao número 1 começando a brincadeira com qualquer número natural diferente de zero. + +## 9 Conjuntos equilibrados + +Um conjunto de inteiros consecutivos é equilibrado se ele pode ser dividido em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos, de modo que: + +1) os dois subconjuntos não tenham elementos em comum; +2) a soma dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos elementos do outro; +3) a soma dos quadrados dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos quadrados dos elementos do outro. + +Por exemplo, o conjunto $\{7,8,9,10,11,12,13,14\}$ é equilibrado, pois podemos dividi-lo nos subconjuntos $\{7,10,12,13\}$ e $\{8,9,11,14\}$, e + +$$ +\begin{aligned} +& 7+10+12+13=8+9+11+14 \\ +& 7^{2}+10^{2}+12^{2}+13^{2}=8^{2}+9^{2}+11^{2}+14^{2} +\end{aligned} +$$ + +a) Verifique que o conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ é equilibrado. + +b) Mostre que qualquer conjunto de oito inteiros consecutivos é equilibrado. + +c) Mostre que nenhum conjunto de quatro inteiros consecutivos é equilibrado. + +## 10 Descobrindo a multiplicação + +Na multiplicação indicada na figura ao lado os asteriscos representam algarismos, iguais ou não. Qual é a soma dos números que foram multiplicados? +A) 82 +B) 95 +C) 110 +D) 127 +E) 132 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-03.jpg?height=245&width=166&top_left_y=820&top_left_x=1616) + +## 11 Cartas marcadas + +Estefânia tem cinco cartas marcadas com as letras $A, B, C, D$ e $E$, empilhadas nessa ordem de cima para baixo. Ela embaralha as cartas pegando as duas de cima e colocando-as, com a ordem trocada, embaixo da pilha. A figura mostra o que acontece nas duas primeiras vezes em que ela embaralha as cartas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-03.jpg?height=189&width=717&top_left_y=1376&top_left_x=772) + +Se Estefânia embaralhar as cartas 74 vezes, qual carta estará no topo da pilha? +A) $A$ +B) $B$ +C) $C$ +D) $D$ +E) $E$ + +## 12 Correndo na medida certa + +A figura abaixo representa o traçado de uma pista de corrida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-03.jpg?height=325&width=394&top_left_y=1962&top_left_x=937) + +Os postos $A, B, C$ e $D$ são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 quilômetros pode ser realizada com partida em $D$ e chegada em A. + +a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros? + +b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos? + +c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros. + +## 13 Números em um quadrado + +Gabriel desenha quadrados divididos em nove casas e escreve os números naturais de 1 a 9, um em cada casa. Em seguida, ele calcula a soma dos números de cada linha e de cada coluna. A figura mostra um dos quadrados do Gabriel; observe que a soma dos números da terceira linha é $5+8+2=15$ e a soma dos números da segunda coluna é $9+7+8=24$. Nesse exemplo, as seis somas são $6,12,15,15,18$ e 24 . + +| $\mathbf{6}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{3}$ | 18 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{7}$ | $\mathbf{1}$ | 12 | +| $\mathbf{5}$ | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{2}$ | 15 | +| 15 | 24 | 6 | | +| | | | | + +a) Gabriel preencheu um quadrado e fez apenas cinco somas: 9, 13, 14, 17 e 18. Qual é a soma que está faltando? + +b) Explique por que não é possível que em um quadrado do Gabriel todas as somas sejam números pares. + +c) Preencha o quadrado de forma que as somas sejam 7, 13, 14, 16, 18 e 22. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-04.jpg?height=237&width=237&top_left_y=1092&top_left_x=818) + +## Combinatória + +## 14 Paisagens + +Podemos montar paisagens colocando lado a lado, em qualquer ordem, os cinco quadros da figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-04.jpg?height=257&width=642&top_left_y=1885&top_left_x=610) + +Trocando a ordem dos quadros uma vez por dia, por quanto tempo, aproximadamente, é possível evitar que uma mesma paisagem se repita? +A) uma semana +B) um mês +C) dois meses +D) quatro meses +E) seis meses + +## 15 Colorindo + +João vai pintar figuras compostas por quadrados e triângulos. Cada quadrado pode ser pintado de azul, vermelho ou verde e cada triângulo de azul, vermelho ou amarelo, de modo que polígonos com um lado comum não tenham a mesma cor. Em cada um dos itens a seguir, determine de quantas maneiras João pode pintar a figura correspondente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=148&width=71&top_left_y=326&top_left_x=570) +a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=180&width=203&top_left_y=293&top_left_x=1029) +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=242&width=206&top_left_y=233&top_left_x=1553) +c) + +## 16 Problema de tabuleiro + +Os quadradinhos do tabuleiro da figura devem ser preenchidos de modo que: + +- nos quadradinhos de cada uma das regiões em forma de $\hookleftarrow$ apareçam os números 1, 3, 5 e 7 ou os números 2, 4, 6 e 8 ; +- em quadradinhos com um lado comum não apareçam números consecutivos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=294&width=297&top_left_y=984&top_left_x=979) + +Qual é a soma dos números que vão aparecer nos quadradinhos cinzas? +A) 12 +B) 14 +C) 16 +D) 18 +E) 20 + +## 17 Encaixando + +As peças da Figura 1 são feitas de quadradinhos de cartolina cinza de um lado e branca do outro. A Figura 3 mostra uma maneira de encaixar essas peças com o lado cinza para cima nos quatro quadrados da Figura 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=249&width=251&top_left_y=1800&top_left_x=477) + +Figura 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=316&width=311&top_left_y=1758&top_left_x=975) + +Figura 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-05.jpg?height=299&width=300&top_left_y=1775&top_left_x=1506) + +Figura 3 + +De quantas maneiras diferentes é possível fazer isso? +A) 1024 +B) 1536 +C) 2048 +D) 3072 +E) 4096 + +## 18 Futebol matemático + +Os times $A, B, C, D$ e $E$ disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras: + +- o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada; +- em caso de empate, cada um dos times ganha 1 ponto; +- cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. + +O campeão do torneio foi o time $A$, seguido na classificação por $B, C, D$ e $E$, nessa ordem. Além disso: + +- o time $A$ não empatou nenhuma partida; +- o time $B$ não perdeu nenhuma partida; +- todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos. + +a) O time $A$ ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time $B$ ? Por quê? + +b) Com quantos pontos o time $A$ terminou o torneio? Por quê? + +c) Explique porque o time $B$ obteve um número par de pontos nesse torneio. + +d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do $\times$, em caso de empate. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-06.jpg?height=206&width=879&top_left_y=634&top_left_x=497) + +## 19 Ímpar soma, par divide + +Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo: + +- se o número for ímpar, soma-se 1; +- se o número for par, divide-se por 2. + +Por exemplo, começando com o número 21, forma-se a seguinte sequência: + +$$ +21 \rightarrow 22 \rightarrow 11 \rightarrow 12 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 +$$ + +Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar. + +a) Escreva a sequência que começa com 37. + +b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências. + +c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7 ? + +d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta. + +## 20 Uma caixa cheia de bolas + +Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas brancas em quantidade suficiente para efetuar repetidamente o seguinte procedimento, até que sobrem duas bolas na caixa: + +- retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa; +- se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de cor mais escura é devolvida para a caixa; +- caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e coloca-se na caixa uma bola branca. + +Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se garantir que: + +A) as duas serão brancas. + +B) as duas serão cinzentas. + +C) as duas serão pretas. + +D) exatamente uma será preta. + +E) exatamente uma será cinzenta. + +## 21 Jogo Diferente + +Fernando e Isaura inventaram um jogo diferente, cujas regras são as seguintes: + +1) eles começam uma partida com 128 palitos cada um; +2) em cada jogada, eles tiram par ou ímpar; se sai par, Fernando dá a metade dos palitos que tem para Isaura e, se sai ímpar, Isaura dá a metade dos palitos que tem para Fernando; +3) eles repetem o procedimento da regra 2 até que um deles fique com um número ímpar de palitos, quando a partida acaba. Ganha quem ficar com maior número de palitos. + +Veja o que acontece em uma partida onde a sequência das três primeiras jogadas é par, ímpar, par: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-07.jpg?height=86&width=1576&top_left_y=485&top_left_x=340) + +a) Complete o esquema com o número de palitos de Fernando e Isaura, de acordo com as jogadas indicadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-07.jpg?height=92&width=1573&top_left_y=728&top_left_x=344) + +b) Uma partida acabou quando Fernando ficou com 101 palitos. Na última jogada saiu par ou ímpar? + +c) Qual foi a sequência de pares e ímpares da partida que acabou quando Fernando ficou com 101 palitos? + +d) Mostre que qualquer partida acaba com exatamente sete jogadas. + +## 22 Quadrados especiais + +O quadrado da Figura I é chamado especial porque: + +- ele está dividido em 16 quadrados iguais; +- em cada linha e em cada coluna aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4; +- em cada um dos quadrados $A, B, C$ e $D$ (como na Figura II) aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4. + +| 4 | 2 | 1 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 3 | 2 | 4 | +| 3 | 1 | 4 | 2 | +| 2 | 4 | 3 | 1 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-07.jpg?height=223&width=203&top_left_y=1393&top_left_x=1166) + +a) Complete o quadrado abaixo de modo que ele se torne especial. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-07.jpg?height=194&width=203&top_left_y=1768&top_left_x=1029) + +b) É possível completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial? Por quê? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-07.jpg?height=199&width=203&top_left_y=2122&top_left_x=1029) + +c) Exiba todas as maneiras de completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-07.jpg?height=191&width=202&top_left_y=2480&top_left_x=1027) +d) Quantos quadrados especiais existem? + +## 23 Um bom preenchimento + +Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem preenchida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-08.jpg?height=234&width=211&top_left_y=563&top_left_x=840) + +a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-08.jpg?height=249&width=323&top_left_y=915&top_left_x=775) + +b) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5 ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-08.jpg?height=177&width=168&top_left_y=1279&top_left_x=841) + +c) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7 ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-08.jpg?height=243&width=194&top_left_y=1569&top_left_x=837) + +## 24 Troca-cor + +No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da $1^{\mathrm{a}}$ linha são numeradas com os números ímpares e as da $2^{\mathrm{a}}$ linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa, então, essa casa e as casas vizinhas mudam de cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): + +| Tabuleiro
$2 \times 3$ | Partida completa | | | | | | | | | | | | | | | Jogadas | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | 1 | 3 | 5 | $\xrightarrow{1}$ | | 1 | 3 | 5 | 6 | 1 | 3 | 5 | | | 1 e 6 | +| | | 2 | 4 | 6 | | | 2 | 4 | 6 | | 2 | 4 | 6 | | | | +| $2 \times 2$ | 1 | 3 | 1 | | | 3 | 2 | 1 | 3 | 4 | 1 | 3 | 3 | 1 | 3 | $1,2,4$ e 3 | +| | 2 | 4 | | | | 4 | | 2 | 4 | | 2 | 4 | | | 4 | | + +a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros abaixo. + +Tabuleiro + +Jogadas + +| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | + + +| 1 | 3 | 5 | 7 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 2 | 4 | 6 | 8 | + +b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro $2 \times 100$. + +c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro $2 \times 101$. + +d) Explique por que não é possível jogar uma partida completa com menos de 51 jogadas no tabuleiro $2 \times 101$. + +## 25 Letras e números + +Juliana quer dar a cada uma das 26 letras $A, B, C, D, \ldots, W, X, Y, Z$ do alfabeto um valor numérico diferente de zero, de tal modo que $A \times C=B, B \times D=C, C \times E=D$, e assim por diante, até $X \times Z=Y$. + +a) Se Juliana der a $A$ e $B$ os valores 5 e 7 , respectivamente, quais serão os valores de $C, D$ e $E$ ? + +b) Mostre que $G=A$, quaisquer que sejam os valores que Juliana der para $A$ e $B$. + +c) Se Juliana der valores para $A$ e $B$ tais que $A \times B=2010$, qual será o valor do produto $A \times B \times C \times D \times$ + +$\cdots \times W \times X \times Y \times Z$ ? + +## 26 Arrasta Um + +No jogo Arrasta Um usa-se um tabuleiro quadriculado e peças redondas, uma preta e as outras brancas. Coloca-se uma peça em cada casa do tabuleiro, exceto em uma que é deixada vazia. Um movimento consiste em deslocar para a casa vazia a peça de uma casa adjacente. O jogo termina quando a peça preta chega ao canto superior direito do tabuleiro. Veja um exemplo de como terminar o Arrasta Um em quatro movimentos em um tabuleiro $2 \times 2$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-09.jpg?height=166&width=165&top_left_y=1850&top_left_x=640) + +posição inicial +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-09.jpg?height=188&width=760&top_left_y=1850&top_left_x=858) + +Esta sequência de movimentos pode ser descrita por $(\uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow)$. + +a) Descreva como terminar o Arrasta Um em seis movimentos no tabuleiro $3 \times 3$ abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-09.jpg?height=151&width=157&top_left_y=2243&top_left_x=1052) + +b) Descreva como terminar o Arrasta Um em dez movimentos no tabuleiro $3 \times 3$ abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-09.jpg?height=148&width=157&top_left_y=2533&top_left_x=1052) +c) Mostre que em um tabuleiro $n \times n$, como na figura, é possível terminar o Arrasta Um em $6 n-8$ movimentos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-10.jpg?height=328&width=346&top_left_y=356&top_left_x=752) + +Assunto + +## Geometria + +## 27 Cinco trapézios + +A figura é formada por 5 trapézios isósceles iguais. Qual é a medida do ângulo indicado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-10.jpg?height=140&width=286&top_left_y=1192&top_left_x=791) +A) $72^{\circ}$ +B) $74^{\circ}$ +C) $76^{\circ}$ +D) $78^{\circ}$ +E) $80^{\circ}$ + +## 28 Acertando a área + +A figura abaixo representa o terreno de Dona Idalina. Esse terreno é dividido em duas partes por uma cerca, representada pelo segmento $A C$. A parte triangular $A B C$ tem área igual a $120 \mathrm{~m}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-10.jpg?height=312&width=346&top_left_y=1700&top_left_x=752) + +a) Qual é a área total do terreno? + +b) Dona Idalina quer fazer uma nova cerca, representada pelo segmento $A F$ na figura abaixo, de modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Qual deve ser a distância $C F$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-10.jpg?height=274&width=306&top_left_y=2222&top_left_x=775) + +A Figura I mostra um quadrado de $40 \mathrm{~cm}^{2}$ cortado em cinco triângulos retângulos isósceles, um quadrado e um paralelogramo, formando as sete peças do jogo Tangran. Com elas é possível formar a Figura II, que tem um buraco sombreado. Qual é a área do buraco? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-11.jpg?height=232&width=237&top_left_y=455&top_left_x=772) + +Figura I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-11.jpg?height=326&width=328&top_left_y=408&top_left_x=1161) + +Figura II +A) $5 \mathrm{~cm}^{2}$ +B) $10 \mathrm{~cm}^{2}$ +C) $15 \mathrm{~cm}^{2}$ +D) $20 \mathrm{~cm}^{2}$ +E) $25 \mathrm{~cm}^{2}$ + +## 30 Retângulo recortado + +Uma folha retangular de $20 \mathrm{~cm}$ por $30 \mathrm{~cm}$ foi cortada ao longo das linhas tracejadas $A C$ e $B D$ em quatro pedaços: dois triângulos iguais e dois polígonos iguais de cinco lados cada um, como na Figura I. Os segmentos $A C$ e $B D$ têm o mesmo comprimento e se encontram no centro do retângulo formando ângulos retos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-11.jpg?height=344&width=792&top_left_y=1284&top_left_x=744) + +a) Qual é o comprimento do segmento $A B$ ? + +b) Qual é a área de um pedaço triangular? E de um pedaço de cinco lados? + +c) Com os quatro pedaços podemos montar um quadrado com um buraco retangular, como na Figura + +II. Qual é a área do buraco? + +## 31 Polígonos e polígonos + +A figura mostra um dodecágono regular decomposto em seis triângulos equiláteros, seis quadrados e um hexágono regular, todos com lados de mesma medida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-11.jpg?height=337&width=343&top_left_y=2173&top_left_x=959) + +a) Se cada triângulo tem área igual a $1 \mathrm{~cm}^{2}$ qual é a área do hexágono? + +b) A figura abaixo foi obtida retirando doze triângulos equiláteros de um dodecágono regular cujo lado mede $1 \mathrm{~cm}$. Qua é a área dessa figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-12.jpg?height=414&width=394&top_left_y=227&top_left_x=731) + +c) A figura abaixo foi obtida retirando dois hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo lado mede $1 \mathrm{~cm}$. Qual é a área dessa figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-12.jpg?height=325&width=325&top_left_y=820&top_left_x=771) + +## 32 Quantos? + +Os oito pontos destacados na figura dividem os lados do quadrado em três partes iguais. Quantos triângulos retângulos podem ser traçados com os três vértices nesses pontos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-12.jpg?height=337&width=328&top_left_y=1493&top_left_x=767) +A) 8 +B) 12 +C) 16 +D) 24 +E) 32 + +## 33 Triângulos em um retângulo + +Na figura abaixo, $A B C D$ é um retângulo, $M$ e $N$ são pontos nos lados $B C$ e $A D$, respectivamente, e os números representam as áreas dos triângulos $A B Q, B Q M, M P C$ e $C P D$ em centímetros quadrados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-12.jpg?height=228&width=591&top_left_y=2256&top_left_x=641) + +a) Qual é a área do triângulo $A M D$ ? Por quê? + +b) Calcule a soma das áreas dos triângulos $A Q N$ e NPD. + +c) Calcule a área do quadrilátero $M P N Q$. + +## 34 Muitos quadrados + +A Princesa Telassim cortou uma folha de papel retangular em 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18 centímetros. + +a) Qual era a área da folha antes de ser cortada? + +b) Quais eram as medidas da folha antes de ser cortada? + +c) A Princesa Telassim precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem. + +## 35 Decágono + +A figura mostra um polígono regular de dez lados com centro $O$. Qual é a medida do ângulo $a$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-13.jpg?height=334&width=340&top_left_y=827&top_left_x=961) +A) $15^{\circ}$ +B) $18^{\circ}$ +C) $20^{\circ}$ +D) $30^{\circ}$ +E) $36^{\circ}$ + +## 36 Estrela + +Na figura, os triângulos $A B C$ e $D E F$ são equiláteros de lados $14 \mathrm{~cm}$ e $13 \mathrm{~cm}$, respectivamente, e os lados $B C$ e $E F$ são paralelos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-13.jpg?height=388&width=392&top_left_y=1528&top_left_x=932) + +a) Calcule a medida do ângulo EÛT. + +b) Calcule o perímetro do polígono $P Q R S T U$. + +c) Se o segmento $P Q$ mede $6 \mathrm{~cm}$, qual é a medida do segmento $S T$ ? + +## 37 Polígonos convexos elegantes + +Um polígono convexo é elegante quando ele pode ser decomposto em triângulos equiláteros, quadrados ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. Abaixo, mostramos alguns polígonos elegantes, indicando para cada um deles uma decomposição e o número de lados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-13.jpg?height=169&width=231&top_left_y=2451&top_left_x=638) + +4 lados + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-13.jpg?height=163&width=97&top_left_y=2460&top_left_x=937) + +5 lados + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-13.jpg?height=177&width=192&top_left_y=2447&top_left_x=1092) + +6 lados + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-13.jpg?height=220&width=282&top_left_y=2446&top_left_x=1341) + +7 lados +a) Desenhe um polígono elegante de 8 lados, indicando uma decomposição. + +b) Quais são as possíveis medidas dos ângulos internos de um polígono elegante? + +c) Mostre que um polígono elegante não pode ter mais que 12 lados. + +d) Desenhe um polígono elegante de 12 lados, indicando uma decomposição. + +## 38 O polígono $A B C D E F G H I J K L$ + +O polígono $A B C D E F G H I J K L$ é regular e tem doze lados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-14.jpg?height=329&width=325&top_left_y=732&top_left_x=771) + +a) Qual é a medida dos ângulos internos do polígono? + +b) O ponto $M$ é a interseção dos segmentos $A E$ e $D K$. Quais são as medidas dos ângulos $M \hat{D} E$ e $D \hat{M} E$ ? + +c) Qual é a medida do ângulo $C \hat{B} M$ ? + +d) Prove que os pontos $B, M$ e $F$ estão alinhados. + +## 39 Um triângulo em quatro partes + +Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo $A B C$ dividido em quatro partes; nesses triângulos, $D$ é ponto médio de $A B, E$ é ponto médio de $A C$ e $F G$ mede $\frac{1}{2} B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-14.jpg?height=314&width=409&top_left_y=1668&top_left_x=732) + +a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de $180^{\circ}$ os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de $D$ e $E$, respectivamente. Explique por que os pontos $M, A$ e $N$ estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo $M A \hat{N}$ é igual a $180^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-14.jpg?height=315&width=508&top_left_y=2224&top_left_x=680) + +b) Na figura abaixo, o ponto $K$ é a interseção das retas $J M$ e $L N$. Explique por que os triângulos $F G I$ e MNK são congruentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-15.jpg?height=372&width=437&top_left_y=228&top_left_x=909) + +Os itens acima mostram que $H J K L$ é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo $A B C$ foi dividido. + +c) Mostre que $L H=E F$. + +d) Na figura abaixo o triângulo $A B C$ tem área 9 e $H J K L$ é um quadrado. Calcule o comprimento de $E F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-15.jpg?height=374&width=403&top_left_y=872&top_left_x=929) + +## Soluções do Nível 2 + +Assunto + +## Aritmética + +## 1 Os cartões de Catarina - Solução + +a) Como $210 \div 3=70$, existem 70 cartões cujos números são múltiplos de 3 . Mais precisamente, esses cartões são os de número $3=1 \times 3,6=2 \times 3,9=3 \times 3,12=4 \times 3, \ldots, 204=68 \times 3,207=69 \times 3$ e $210=70 \times 3$. + +b) $1^{a}$ solução: Um raciocínio idêntico ao do item a) mostra que existem $210 \div 2=105$ cartões com números pares entre 1 e 210 (inclusive). Por outro lado, os números pares entre 1 e 210 que são múltiplos de 3 são $2 \times 3,4 \times 3,6 \times 3, \ldots, 68 \times 3$ e $70 \times 3$, em número de 35 . Logo existem $105-35=70$ cartões com números pares que não são múltiplos de 3 . + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Há 105 cartões pares. Por outro lado, entre os 70 múltiplos de 3 há $70 \div 2=35$ pares; logo $105-35=70$ são pares mas não múltiplos de 3 . + +$3^{\text {a }}$ solução: Retiram-se dos cartões os 70 cujos números são múltiplos de 3 , restando assim 210-70 = 140 cartões. Desses, metade são pares, pois entre dois múltiplos de 3 consecutivos um dos números é par e o outro ímpar; logo entre eles há $140-70=70$ cartões que não são nem pares nem múltiplos de 3 . + +$4^{a}$ solução: Observamos que, entre 1 e 6, existem dois números pares que não são múltiplos de 3, a saber, 2 e 4. Do mesmo modo, entre 7 e 13 existem dois números pares que não são múltiplos de 3, a saber, 8 e 10. Esse padrão se repete a cada bloco de seis números consecutivos até chegar ao bloco de 205 a 210. Nesse último bloco, os números que não são múltiplos de 3 são 206 e 208. Temos assim $210 \div 6=35$ blocos e, em cada um, dois números pares que não são múltiplos de 3 , num total de $35 \times 2=70$ números. c) As partes A, B e C da figura abaixo correspondem às conclusões dos itens anteriores. Restam, então, cartões com números que não são nem pares nem múltiplos de 3, correspondendo à parte $\mathbf{D}$. Escolhendo um número na parte $\mathbf{A}$, outro na parte $\mathbf{B}$ (ou $\mathbf{C}$ ) e 70 na parte $\mathbf{D}$, vemos que é possível escolher 72 cartões de modo que quaisquer dois deles não contenham números que sejam simultaneamente pares ou múltiplos de 3. Por outro lado, ao escolher 73 cartões, os números de pelo menos três deles devem ficar fora da parte $\mathbf{D}$, ou seja, devem pertencer às partes $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ e $\mathbf{C}$. Se dois desses números ficam na mesma parte, eles têm 2 ou 3 (ou mesmo ambos, no caso de ficarem na parte A) como divisor comum. Caso contrário, temos um na parte A e outro na parte B (ou C) que têm 3 (ou 2) como divisor comum. Logo Catarina deve pegar 73 cartões. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-17.jpg?height=311&width=599&top_left_y=2169&top_left_x=840) + +## 2 Enquadrados - Solução + +## ALTERNATIVA C + +Seja $n$ um número enquadrado entre 10 e 100 , $a$ seu algarismo das dezenas e $b$ seu algarismo das unidades; notamos que $1 \leq a \leq 9$ e $0 \leq b \leq 9$. Então $n=10 a+b$ e o número obtido invertendo-se os algarismos de $n$ é $10 b+a$. Como $n$ é enquadrado temos que $(10 a+b)+(10 b+a)=11 a+11 b=11(a+b)$ é um quadrado perfeito. + +Notamos primeiro que, se $b=0$, então não é possível que $11(a+b)$ seja um quadrado perfeito, já que $11 a$ nunca é um quadrado perfeito para $a$ assumindo os valores de 1 a 9. Logo temos $b \neq 0$. Com isso, vemos que $2 \leq a+b \leq 18$; dentre esses possíveis valores para $a+b$, o único que faz de $11(a+b)$ um quadrado perfeito é 11. Logo $a+b=11$ e as possibilidades para $n$ são então 29 e 92,38 e 83 , 47 e 74 e 56 e 65 , num total de 8 . + +Observação: podemos também chegar à conclusão de que $b \neq 0$ verificando diretamente que 10,20 , $30, \ldots, 90$ não são enquadrados. + +## 3 Múltiplos irados - Solução + +a) Os primeiros múltiplos de 20 são 20,40,60,80 e 100. Logo o múltiplo irado de 20 é 100. + +b) Se os algarismos de um número divisível por 9 são apenas 0 e 1 , nesse número devem aparecer pelo menos nove algarismos 1. Para que esse múltiplo seja o menor possível, ele deve ter o menor número de algarismos possível; logo o múltiplo irado de 9 é 111111111. + +c) Um múltiplo de 45 é múltiplo de 5 e 9; logo seu algarismo das unidades é 0 ou 5 e a soma de seus algarismos é divisível por 9. Como múltiplos irados são formados apenas pelos algarismos $0 \mathrm{e} 1$, segue que o múltiplo irado de 45 deve ter 0 como algarismo das unidades; logo esse múltiplo é 1111111110. + +d) O número 1110 é o menor número que tem apenas os algarismos 0 e 1 e que é, ao mesmo tempo, múltiplo de 3 (pois a soma de seus algarismos é 3 ) e múltiplo de 2 (pois seu último algarismo é 0 ). Logo 1110 é o múltiplo irado de 6. Como os múltiplos irados de 1,2,3, 4 e 5 são, respectivamente, 1, 10, 111, 100 e 10, segue que o menor número cujo múltiplo irado é 1110 é 6 . + +## 4 Apenas algarismos impares - Solução + +## ALTERNATIVA D + +Há cinco algarismos ímpares: 1,3,5,7 e 9. Contando apenas números inteiros positivos, existem então 5 números formados por apenas um algarismo ímpar, $5 \times 5=25$ números formados por dois algarismos ímpares e $5 \times 5 \times 5=125$ números formados por três algarismos ímpares. Assim, existem $5+25+125=155$ números inteiros positivos menores que 1000 formados por algarismos ímpares. O $156^{\circ}$ é então 1111 e o $157^{\circ}$ é 1113 . + +## 5 Esconde-esconde - Solução + +a) Para obter o maior número possível de três algarismos escondido por 47239, devemos primeiro fazer com que esse número tenha o maior algarismo possível na casa das centenas. Para isso, devemos apagar o 4 e deixar o 7 na casa das centenas. Após isso buscamos o maior algarismo possível na casa das dezenas; para isso apagamos o 2 e obtemos 739 , que é o número procurado. + +b) Como o número procurado esconde 2009, entre seus algarismos aparecem 2,0,0 e 9, nesta ordem. Analogamente, como ele esconde 9002 então entre seus algarismos aparecem 9,0,0 e 2 nesta ordem. Logo este número possui no mínimo seis algarismos: um 2 e um 9 à esquerda de dois 0 's e um 2 e um 9 à direita dos mesmos. Há exatamente quatro números de seis algarismos deste tipo, a saber, 290029, 290092, 920029 e 920092. O menor deles é 290029, que é o número procurado. Notamos que não é necessário pesquisar números de sete ou mais algarismos, pois eles são todos maiores que 290029. + +c) Uma primeira ideia é encontrar um múltiplo de 2009 que termina em 3, o que é imediato: $7 \times 2009=$ 14063. Esta não é a resposta procurada, pois 14063 não esconde 2009. Mas 200900000 é múltiplo de 2009, e então + +$$ +200914063=200900000+14063=100000 \times 2009+7 \times 2009=100007 \times 2009 +$$ + +é um múltiplo de 2009 que esconde 2009 e termina em 3. + +## 6 Filhos e irmãos - Solução + +Observação: para facilitar a escrita da solução, vamos dizer que $x$ é pai de $y$ se $y$ é filho de $x$. + +a) Suponhamos que $\frac{5}{7}$ seja filho de um número positivo $x$. Então $\frac{5}{7}=x+1$ ou $\frac{5}{7}=\frac{x}{x+1}$. A primeira equação leva a + +$$ +x=\frac{5}{7}-1=-\frac{2}{7} +$$ + +o que não pode acontecer pois $x>0$. A segunda equação leva a + +$$ +7 x=5(x+1)=5 x+5 +$$ + +donde $2 x=5$ e segue que $x=\frac{5}{2}$. Logo o irmão de $\frac{5}{7}$ é $\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$. + +b) Suponhamos que $y$ seja filho de $x$ e de $z$. Temos então as seguintes quatro possibilidades $x+1=z+1$, $\frac{x}{x+1}=\frac{z}{z+1}, x+1=\frac{z}{z+1}$ ou $\frac{x}{x+1}=z+1$. No primeiro e no segundo caso obtemos que $x=z$. No terceiro obtemos $x(z+1)=-1$, que não tem solução pois $x$ e $z$ devem ser positivos. De maneira similar, o quarto caso, nos fornece que $z(x+1)=-1$ que também não tem solução. Logo, se $y$ tem pai, ele é único. + +c) Vamos chamar $\frac{x}{x+1}$ de filho menor de $x$. Quando $x=\frac{1}{n}$ o filho menor de $x$ é + +$$ +\frac{x}{x+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}=\frac{1}{n+1} +$$ + +Logo o filho menor de 1 é $\frac{1}{2}$, o filho menor de $\frac{1}{2}$ é $\frac{1}{3}$, o filho menor de $\frac{1}{3}$ é $\frac{1}{4}$ e assim por diante até obtermos $\frac{1}{2008}$ como o filho menor de $\frac{1}{2007}$. + +## 7 Algarismos afilhados - Solução + +a) Os divisores de 57 são 1,3,19 e 57, donde seus afilhados são 1,3,9 e 7 . + +b) O exemplo mais simples é 49, cujos afilhados são 1,7 e 9. + +c) Se um número tem um divisor terminado em 0 então este número é múltiplo de 10. Logo ele é múltiplo de 2 e de 5 , e portanto 2 e 5 são seus afilhados. + +d) Seja $N$ um número que tem 0 e 9 como afilhados. Pelo item anterior, 2 é afilhado de $N, \operatorname{logo} N$ é par. Como 9 é afilhado de $N$, algum número ímpar terminado em 9 é divisor de $N$. Portanto, $N$ é divisível pelo produto de 2 por esse número, ou seja, $N$ é divisível por um número terminado em 8 . Logo, 8 é afilhado de $N$. + +## 8 Chegando ao 1 - Solução + +a) Há várias soluções, como, por exemplo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-19.jpg?height=168&width=894&top_left_y=1875&top_left_x=678) + +b) Aqui também há várias soluções, como, por exemplo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-19.jpg?height=168&width=1128&top_left_y=2126&top_left_x=567) + +c) Aplicamos a regra "apaga" até restar apenas um algarismo, e temos então três casos: + +1. Primeiro caso: o algarismo restante é igual a 1: + +neste caso a brincadeira acaba. + +2. Segundo caso: o algarismo restante é 2,3 ou 4 : + +neste caso aplicamos a regra "dobra" algumas vezes até obter um número de dois algarismos cujo algarismo das dezenas seja 1 (16, 12 ou 16, respectivamente), e aplica-se a regra "apaga" obtendo o número 1. + +3. Terceiro caso: o algarismo restante é $5,6,7,8$ ou 9 : + +neste caso aplicamos a regra "dobra" uma vez, obtendo respectivamente 10,12, 14, 16 ou 18; então aplicamos a regra "apaga" para obter o número 1. + +## 9 Conjuntos equilibrados - Solução + +a) Dividimos o conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ nos subconjuntos $\{1,4,6,7\}$ e $\{2,3,5,8\}$. Como + +$$ +1+4+6+7=18=2+3+5+8 +$$ + +$$ +1^{2}+4^{2}+6^{2}+7^{2}=102=2^{2}+3^{2}+5^{2}+8^{2} +$$ + +vemos que $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ é equilibrado. + +b) Seja $A=a+1, a+2, a+3, \ldots, a+8$ um conjunto arbitrário de 8 números inteiros consecutivos. Do item $a$ ), sabemos que $1+4+6+7=2+3+5+8\left(^{*}\right)$ e $1^{2}+4^{2}+6^{2}+7^{2}=2^{2}+3^{2}+5^{2}+8^{2}\left({ }^{* *}\right)$. Da primeira igualdade segue que + +$$ +(a+1)+(a+4)+(a+6)+(a+7)=(a+2)+(a+3)+(a+5)+(a+8) +$$ + +ou seja, podemos dividir $A$ nos subconjuntos $\{a+1, a+4, a+6, a+7\}$ e $\{a+2, a+3, a+5, a+8\}$ que têm a mesma soma. Para ver que a condição na soma dos quadrados também vale, basta calcular + +$$ +(a+1)^{2}+(a+4)^{2}+(a+6)^{2}+(a+7)^{2}=4 a^{2}+2 a(1+4+6+7)+\left(1^{2}+4^{2}+6^{2}+7^{2}\right) +$$ + +e8 + +$$ +(a+2)^{2}+(a+3)^{2}+(a+5)^{2}+(a+8)^{2}=4 a^{2}+2 a(2+3+5+8)+\left(2^{2}+3^{2}+5^{2}+8^{2}\right) +$$ + +Usando $\left.{ }^{*}\right)$ e $\left.{ }^{(* *}\right)$, concluímos que $A$ é equilibrado. + +c) Suponhamos que exista um número inteiro $a$ tal que o conjunto $\{a, a+1, a+2, a+3\}$ seja equilibrado. A soma dos elementos desse conjunto é $4 a+6$. Assim, para que ele satisfaça a primeira condição de um conjunto equilibrado, devemos dividi-lo em dois subconjuntos de dois elementos cada um e de modo que a soma dos elementos de cada um deles seja $\frac{1}{2}(4 a+6)=2 a+3$. Isto só é possível quando os subconjuntos são $\{a, a+3\}$ e $\{a+1, a+2\}$. Para que a segunda condição de um conjunto equilibrado seja satisfeita, devemos ter + +$$ +a^{2}+(a+3)^{2}=(a+1)^{2}+(a+2)^{2} +$$ + +ou seja + +$$ +2 a^{2}+6 a+9=2 a^{2}+6 a+5 +$$ + +Simplificando essa última igualdade chegamos a $4=0$, um absurdo. Logo nenhum conjunto com quatro inteiros consecutivos é equilibrado. + +## 10 Descobrindo a multiplicação - Solução + +## ALTERNATIVA C + +O número 1656 é o resultado do produto de dois números com dois dígitos. Vamos então fatorar 1656 para verificarmos todas as possibilidades para esses dois números. Temos que $1656=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 23$; então as possibilidades são $1656=72 \times 23,1656=24 \times 69,1656=36 \times 46$ e $1656=92 \times 18$. + +Agora observe as contas armadas: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-20.jpg?height=378&width=968&top_left_y=2280&top_left_x=454) + +A única que satisfaz o enunciado é aquela na qual a segunda parcela da soma não possui três algarismos, ou seja, é a última conta da primeira linha. Logo os números que foram multiplicados são 92 e 18 e a soma procurada é $92+18=110$. + +## 11 Cartas marcadas - Solução + +## ALTERNATIVA E + +O leitor pode verificar que, se Estefânia embaralhar as cartas 6 vezes, elas voltarão à posição inicial. Como $74=12 \times 6+2$, embaralhar as cartas 74 vezes tem o mesmo efeito que fazê-lo duas vezes, o que deixa a carta $E$ no topo da pilha. + +## 12 Correndo na medida certa - Solução + +a) Uma volta completa em torno de uma pista tem extensão $1 \mathrm{~km}+2 \mathrm{~km}+6 \mathrm{~km}+4 \mathrm{~km}=13 \mathrm{~km}$. Por isso, para percorrer $14 \mathrm{~km}$ é preciso dar uma volta completa e percorrer mais $1 \mathrm{~km}$. A única forma de percorrer $1 \mathrm{~km}$ respeitando-se o sentido da corrida é começando em $A$ e terminando em $B$. Portanto a corrida deve começar em $A$, dar uma volta completa e terminar em $B$. + +b) Como $100=7 \times 13+9$, uma corrida de $100 \mathrm{~km}$ corresponde a dar 7 voltas completas na pista e percorrer mais $9 \mathrm{~km}$. A única forma de percorrer $9 \mathrm{~km}$ respeitando-se o sentido da corrida é começando em $A$ e terminando em $D$. Portanto a corrida deve começar em $A$, dar 7 voltas completas e terminar em $D$. + +c) Como sugerido nos itens anteriores, a solução do problema está baseada na ideia de "dar uma certa quantidade de voltas" sem exceder o comprimento da corrida e depois localizar trechos convenientes para percorrer a "distância restante". Do ponto de vista matemático, esse procedimento corresponde a efetuar o algoritmo de divisão com divisor igual a 13, ou seja, a escrever + +$$ +\text { dividendo }(\text { comprimento da corrida) = } 13 \text { (divisor) } \times \text { quociente (número de voltas) } +$$ + +$$ +\text { + resto (distância restante), } +$$ + +sendo o resto um número natural menor do que 13. Logo o resto só pode ser um dos números 1, 2, 3, $4,5,6,7,8,9,10,11$ e 12. Por inspeção direta podemos verificar como realizar corridas com qualquer extensão de $1 \mathrm{~km}$ a $13 \mathrm{~km}$. Os resultados estão dispostos na seguinte tabela: + +| Extensão em km | Ponto de partida | Ponto de chegada | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{~B}$ | +| 2 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{C}$ | +| 3 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{C}$ | +| 4 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{A}$ | +| 5 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | +| 6 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{D}$ | +| 7 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{C}$ | +| 8 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{D}$ | +| 9 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{D}$ | +| 10 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{A}$ | +| 11 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ | +| 12 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{~A}$ | +| 13 | Qualquer um | O mesmo da partida | + +Vejamos agora que é possível realizar corridas com qualquer comprimento inteiro maior do que $13 \mathrm{~km}$. Para isso basta ver que temos duas possibilidades: + +1. Primeiro caso: a extensão é um múltiplo de $13 \mathrm{~km}$. + +Nesse caso, basta escolhermos qualquer posto e então realizarmos uma corrida que começa e termina nesse posto dando o número de voltas completas que é o quociente entre a extensão da corrida e 13. + +Por exemplo, se a extensão da corrida é de $208 \mathrm{~km}=16 \times 13 \mathrm{~km}$, basta dar 16 voltas completas na pista. + +2. Segundo caso: a extensão não é um múltiplo de $13 \mathrm{~km}$. + +Nesse caso, calculamos o quociente e o resto da divisão da extensão da corrida por 13. O resto será um dos números $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$ e 12. A tabela acima fornece os postos de partida e de chegada da corrida. O número de voltas será igual ao quociente. + +Por exemplo, se a extensão da corrida é $109 \mathrm{~km}=(8 \times 13+5) \mathrm{km}$, ela deve começar no posto $D$, dar 8 voltas completas, retornando então a $D$, e depois percorrer o trecho de $D$ a $B$. + +## 13 Números em um quadrado - Solução + +a) Somar as somas das linhas é o mesmo que somar todos os números no quadrado; assim, a soma das somas das linhas é $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. O mesmo se pode dizer da soma das somas das colunas, e concluímos que a soma de todas as somas é $2 \times 45=90$. Logo, a soma que está faltando é $90-(9+13+14+17+18)=90-71=19$. + +b) $1^{\text {a }}$ solução: Se todas as somas fossem pares, as somas das três linhas seriam pares e sua soma seria par. Mas isso é impossível pois, como vimos acima, a soma das somas das três linhas é 45 , que é um número ímpar. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Ao distribuir os números no quadrado, uma linha pode ter no máximo três números ímpares. Por outro lado, há cinco números ímpares de 1 a 9, a saber, 1,3,5,7 e 9. As maneiras de escrever 5 como soma de inteiros menores ou iguais a 3 são $5=2+3=1+1+3=1+2+2$. Como em qualquer dessas somas aparecem as parcelas 1 ou 3, concluímos que pelo menos uma linha de um quadrado preenchido conterá um ou três números ímpares, sendo os restantes pares. Em qualquer caso, obtemos uma linha cuja soma é ímpar. + +c) Vamos estender um pouco essa solução para determinar não apenas um, mas todos os quadrados que têm as somas dadas. Antes de começar, notamos que trocar a ordem de duas linhas (ou de duas colunas) não altera as somas de um quadrado. Os seis números do resultado final devem ser separados em dois grupos de três números cada, cujas somas sejam iguais a 45. No primeiro grupo, cada número é a soma de uma linha e, no outro, a soma de cada coluna. De acordo com o item anterior, cada grupo deve conter um número ímpar; logo 7 e 13 devem ficar em conjuntos diferentes. Segue imediatamente que a única possibilidade é separar as somas nos grupos 7, 16, 22 e 13, 14, 18; podemos então supor que as somas das linhas são 7, 16, 22 e as somas das colunas são 13, 14, 18 . + +Como a única maneira de obter a soma 7 é $1+2+4=7$, podemos começar a preencher o quadrado como abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-22.jpg?height=134&width=214&top_left_y=1686&top_left_x=824) + +Suponhamos que a soma da segunda linha seja 22; as únicas possibilidades para a soma 22 são $5+8+9=22$ e $6+7+9=22$, que vamos considerar separadamente. + +Suponhamos primeiro que na segunda linha aparecem os números 5, 8 e 9. Aqui o 5 não pode aparecer na coluna do 4 , pois $4+5=9$ e para obter uma das somas 13,14 ou 18 nessa coluna o terceiro número deveria ser 4,5 ou 9 , respectivamente, o que não pode acontecer pois o 4 já foi usado enquanto que 5 e 9 aparecem na segunda linha; argumento análogo mostra que o 9 também não pode aparecer na coluna do 4 , ou seja, o 8 aparece abaixo do 4 . Como $4+8=12$ e tanto o 1 como o 2 já foram usados, a soma dessa coluna não pode ser 13 ou 14; logo a soma é 18. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-22.jpg?height=157&width=240&top_left_y=2234&top_left_x=814) + +Podemos agora completar o quadrado das seguintes maneiras: + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 5 | 9 | 8 | +| 2 | 22 | | +| 7 | 3 | 6 | +| 13 | 14 | 18 | + + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 9 | 5 | 8 | +| 3 | 7 | 6 | + +Deixamos para o(a) leitor(a) mostrar que, quando na segunda linha aparecem os números 6, 7 e 9, as possibilidades são: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-23.jpg?height=180&width=1336&top_left_y=407&top_left_x=474) + +Desse modo, existem apenas seis quadrados com as somas do enunciado, a menos de troca de posição de linhas, troca de posição de colunas e troca das linhas pelas colunas. + +## Combinatória + +## 14 Paisagens - Solução + +## ALTERNATIVA D + +Temos cinco posições distintas para colocarmos cinco quadros também distintos. Na primeira posição temos 5 escolhas distintas possíveis. Na segunda posição temos 4 escolhas distintas, e assim por diante. Pelo princípio multiplicativo, podemos formar $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$ paisagens distintas. Como um mês tem, aproximadamente, 30 dias, podemos mudar a paisagem por aproximadamente $\frac{120}{30}=4$ meses. + +## 15 Colorindo - Solução + +a) Se João pintar o quadrado de azul, ele terá as escolhas vermelho e amarelo para o triângulo. Se ele pintar o quadrado de vermelho, ele terá as escolhas azul e amarelo para pintar o triângulo. Finalmente, se ele pintar o quadrado de verde, ele terá as escolhas azul, vermelho e amarelo para pintar o triângulo. Logo, ele pode pintar a figura de $2+2+3=7$ maneiras diferentes. + +b) 1 ${ }^{a}$ solução: Se João escolher azul ou vermelho para o triângulo, cada um dos quadrados poderá ser pintado de duas cores; se ele escolher amarelo para o triângulo, cada quadrado poderá ser pintado de três cores. Logo, o número de maneiras diferentes de pintar essa figura é $2 \times 2 \times 2 \times 2+1 \times 3 \times 3 \times 3=43$. $2^{a}$ solução: + +- Se o quadrado de baixo é pintado de amarelo, o triângulo do meio pode ser pintado de verde, vermelho ou azul. No caso em que ele é pintado de verde, há com $3 \times 3=9$ possibilidades para pintar os quadrados restantes. Já em cada um dos casos em que ele é pintado de vermelho ou azul; há $2 \times 2=4$ modos de pintar os quadrados restantes. Assim, há, no total, $9+2 \times 4=17$ possibilidades quando o quadrado inferior é pintado de amarelo. +- Se o quadrado de baixo é pintado de vermelho, o triângulo do meio pode ser pintado de verde ou azul. No caso em que ele é pinado de verde, há, novamente, 9 possibilidades para pintar os quadrados restantes. No caso em que ele é pintado de azul, há 4 possibilidades para os quadrados restantes. Assim, há, no total, $9+4=13$ possibilidades quando o quadrado inferior é pintado de vermelho. +- De maneira análoga, quando o quadrado de baixo é pintado de azul há, no total, há $9+4=13$ possibilidades. + +Portanto, a figura pode ser colorida de $17+13+13=43$ modos distintos. + +c) $1^{a}$ solução: Se João escolher azul ou vermelho para o quadrado sombreado, os triângulos adjacentes poderão ser pintados de $2 \times 2 \times 2 \times 2$ maneiras diferentes; em metade dessas maneiras o triângulo sombreado é azul ou vermelho, caso em que os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $2 \times 2$ maneiras e na outra metade ele é amarelo, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $3 \times 3$ maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times(1 \times 2 \times 2+1 \times 3 \times 3)=208$ maneiras diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-24.jpg?height=300&width=240&top_left_y=227&top_left_x=814) + +Se ele escolher verde para o quadrado sombreado, os triângulos adjacentes poderão ser pintados de $3 \times 3 \times 3 \times 3$ maneiras diferentes; em dois terços dessas maneiras o triângulo sombreado é azul ou vermelho, caso em que os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $2 \times 2$ maneiras e no terço restante ele é amarelo, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $3 \times 3$ maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de $3 \times 3 \times 3 \times(2 \times 2 \times 2+1 \times 3 \times 3)=459$ maneiras diferentes. No total, a figura poderá ser pintada de $208+459=667$ maneiras diferentes. + +$2^{a}$ solução: Se João escolher azul ou vermelho para o triângulo sombreado, os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $2 \times 2 \times 2$ maneiras diferentes; em metade dessas maneiras o quadrado sombreado é azul ou vermelho, caso em que os triângulos adjacentes poderão ser pintados de $2 \times 2 \times 2$ maneiras e na outra metade ele é amarelo, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $3 \times 3 \times 3$ maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de $2 \times 2 \times 2 \times(1 \times 2 \times 2 \times 2+1 \times 3 \times 3 \times 3)=280$ maneiras diferentes. Se ele escolher amarelo para o triângulo sombreado, os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $3 \times 3 \times 3$ maneiras diferentes; em dois terços dessas maneiras o quadrado sombreado é azul ou vermelho, caso em que os triângulos adjacentes poderão ser pintados de $2 \times 2 \times 2$ maneiras e no terço restante ele é verde, quando os quadrados adjacentes poderão ser pintados de $3 \times 3 \times 3$ maneiras diferentes. Nesse caso, a figura poderá ser pintada de $3 \times 3 \times(2 \times 2 \times 2 \times 2+1 \times 3 \times 3 \times 3)=387$ maneiras diferentes. No total, a figura poderá ser pintada de $280+387=667$ maneiras diferentes. + +$3^{\mathrm{a}}$ solução (usando a $2^{a}$ solução do item b)): Se o quadrado inferior é pintado de amarelo, os triângulos de baixo podem ser pintados de $3 \times 3 \times 3=27$ modos. Se ele é pintado de azul ou vermelho, os triângulos de baixo podem ser pintados de $2 \times 2 \times 2=8$ modos. Logo, o número total de possibilidades é $17 \times 27+26 \times 8=459+208=667$. + +## 16 Problema de tabuleiro - Solução + +## ALTERNATIVA E + +Uma maneira de preencher a tabela de acordo com as condições do enunciado é dada abaixo. Em cada etapa, indicamos com a cor cinza as novas casas preenchidas; o leitor pode justificar cada um dos passos ilustrados. Notamos que a tabela final é única, independente do modo com que ela é preenchida. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-24.jpg?height=188&width=1002&top_left_y=1804&top_left_x=433) + +Voltando ao enunciado dessa questão, vemos que a soma dos números nos quadradinhos cinzas marcados no desenho desse enunciado é igual a $6+8+5+1=20$. + +## 17 Encaixando - Solução + +## ALTERNATIVA B + +Vamos denotar as peças, da esquerda para a direita e de cima para baixo, de $H, U, Z$ e $R$. A peça $H$ só pode ser colocada de duas maneiras diferentes em um quadrado, a peça $U$ de quatro maneiras diferentes, a peça $Z$ de duas maneiras diferentes e a peça $R$ de quatro maneiras diferentes. Uma vez fixada a posição em que as peças vão entrar nos quadrados, elas podem ser distribuídas de $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ maneiras diferentes. Logo o número de maneiras diferentes de colocar as peças nos quadrados é $2 \times 4 \times 2 \times 4 \times 24=1536$. + +18 Futebol matemático - Solução +a) O time $B$ não perdeu nenhuma partida, logo empatou ou ganhou de $A$. Mas $A$ não empatou nenhuma partida, $\log$ o $A$ perdeu de $B$. + +b) O time $A$ perdeu uma partida. Se tivesse perdido exatamente mais um jogo, teria 6 pontos. Mas $B$ tem no mínimo 6 pontos, pois venceu $A$ e não perdeu nenhuma das outras três partidas. Como $A$ tem mais pontos que $B$, concluímos que $A$ perdeu somente para $B$; e como $A$ não empatou nenhuma partida, venceu as outras três. Logo $A$ obteve 9 pontos. + +c) $1^{a}$ solução: Como o time $B$ não perdeu para nenhum outro time, ele ganhou 1 ou 3 pontos em cada partida, isto é, sempre um número ímpar de pontos. Como a soma de quatro números ímpares é par, vemos que $B$ terminou o torneio com um número par de pontos. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como ficou em segundo lugar, o time $B$ fez menos do que 9 pontos, portanto venceu uma ou duas partidas. Como ele jogou quatro partidas, se venceu uma delas então empatou três, finalizando com 6 pontos; se venceu duas então empatou duas, finalizando com 8 pontos. Logo, as possibilidades para o número de pontos que $B$ obteve nesse torneio são 6 e 8 , ambos números pares. + +d) De acordo com os itens anteriores, $A$ perdeu de $B$ e venceu $C, D$ e $E$. Dos 6 jogos restantes, 5 foram empates. Se $B$ tivesse só 2 empates, então todos os jogos entre $C, D$ e $E$ seriam empates e os dois desses times que empataram com $B$ terminariam empatados, o que contraria o enunciado. Logo, os três jogos de $B$ contra $C$, $D$ e $E$ foram empates. Como houve um total de 5 empates, 2 dos jogos entre $C, D$ e $E$ foram empates. Como a ordem de classificação é $C, D, E$, a única vitória foi de $C$ contra $E$. Temos, assim, a tabela de resultados abaixo. + +| $A$ | $A$ | $A$ | $A$ | $B$ | $B$ | $B$ | $C$ | $C$ | $D$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | +| $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $C$ | $D$ | $E$ | $D$ | $E$ | $E$ | + +## 19 Ímpar soma, par divide - Solução + +a) A sequência é $37 \rightarrow 38 \rightarrow 19 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. + +b) A única sequência de comprimento 3 é $4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. As sequências de comprimento 4 são $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow$ 1 e $8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$; elas são obtidas a partir de $4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$, a primeira acrescentando $4-1=3$ à esquerda e a segunda acrescentando $2 \times 4=8$ à esquerda. Do mesmo modo, a sequência ímpar $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ dá origem à sequência par $6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$; a sequência par $8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ dá origem à sequência ímpar $7 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ e à sequência par $16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. Temos assim as três únicas sequências de comprimento 5 , sendo duas pares e uma ímpar. O raciocínio pode ser representado pelo esquema abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-25.jpg?height=168&width=626&top_left_y=1852&top_left_x=815) + +c) 1 solução: Repetindo o esquema do item anterior, temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-25.jpg?height=477&width=982&top_left_y=2189&top_left_x=640) +e assim temos três sequências pares e duas ímpares de comprimento 6 e cinco sequências pares e três ímpares de comprimento 7 . + +$2^{a}$ solução: Observamos que a sequência ímpar de comprimento 5 dá origem a uma sequência par de comprimento 6; já as duas sequências pares de comprimento 5 dão origem a duas sequências pares de comprimento 6 e duas sequências ímpares de comprimento 6 . Assim, temos duas sequências ímpares de comprimento 6 e $1+2=3$ sequências pares de comprimento 6 , num total de $2+3=5$ sequências de comprimento 6. O mesmo argumento mostra que há oito sequências de comprimento 7 , sendo três ímpares e cinco pares. + +Observação: A repetição desse argumento para valores sucessivos do comprimento mostra que, a partir do comprimento 3 , o número de sequências ímpares é $0,1,1,2,3,5,8, \ldots$, o número de sequências pares é $2,3,5,8,13, \ldots$ e o número total de sequências é $3,5,8,13,21, \ldots$ Cada termo dessas sequências de valores, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores; vemos assim que essas sequências, com a eventual omissão de termos iniciais, são a sequência $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots$, conhecida como sequência de Fibonacci. Apresentamos esse resultado na tabela a seguir. + +| Comprimento | 5 | 6 | 7 | $\cdots$ | 15 | 16 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | +| Ímpares | 1 | 2 | $1+2=3$ | $\cdots$ | 144 | $89+144=233$ | +| Pares | 2 | 3 | $2+3=5$ | $\cdots$ | 233 | $144+233=377$ | +| Total (impares+pares) | $1+2=3$ | $2+3=5$ | $3+5=8$ | $\cdots$ | $144+233=377$ | $233+377=610$ | + +d) $1^{a}$ solução: As 144 sequências ímpares de comprimento 15 dão origem a 144 sequências pares de comprimento 16; já as 233 sequências pares de comprimento 15 dão origem a 233 sequências pares de comprimento 16 e 233 sequências ímpares de comprimento 16. Assim, temos 233 sequências ímpares de comprimento 16 e $377=233+144$ sequências pares de comprimento 16 , num total de $233+377=610$ sequências. + +$2^{a}$ solução: A parte da sequência de Fibonacci que nos interessa é $1,2,3,5,8, \ldots, 144,233,377,610, \ldots$ O número de sequências ímpares de comprimento 15 (resp. 16) é o $15^{\circ}$ (resp. $16^{\circ}$ ) termo dessa sequência, que é 144 (resp. 233); o número de sequências pares de comprimento 15 (resp. 16) é o $16^{\circ}$ (resp. $17^{\circ}$ ) termo, que é 233 (resp. 377) e o número total é o $17^{\circ}$ (resp. $18^{\circ}$ ) termo, que é 377 (resp. 610). + +## 20 Uma caixa cheia de bolas - Solução + +## ALTERNATIVA D + +Quando se retiram duas bolas pretas da caixa, elas não retornam; mas quando as bolas retiradas são uma preta e outra de cor distinta, a preta retorna. Isso mostra que o número de bolas pretas na caixa diminui de dois em dois. Como o número inicial de bolas pretas é ímpar, sempre haverá um número ímpar de bolas pretas na caixa; desse modo, exatamente uma das duas bolas que sobrar na caixa é preta. + +## 21 Jogo Diferente - Solução + +a) Como saiu ímpar na primeira jogada, Isaura deu metade dos seus palitos para o Fernando; desse modo, Isaura ficou com 64 palitos, e como o número total de palitos é 256 segue que Fernando ficou com $256-64$ = 192 palitos. Do mesmo modo, após a segunda jogada, Isaura ficou com 32 palitos e Fernando com $256-32=224$ palitos. Na terceira jogada saiu par, e Fernando deu metade de seus palitos para a Isaura; logo, Fernando ficou com 112 palitos e Isaura com $256-112=144$ palitos. + +| Fernando | Isaura | ímpar | Fernando | Isaura | ímpar | Fernando | Isaura | par | Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 128 | 128 | $\overrightarrow{1^{a} \text { jogada }}$ | 192 | 64 | $2^{a}$ jogada | 224 | 32 | $3^{a}$ jogada | 112 | 144 | + +b) $1^{a}$ solução: Após qualquer jogada, o perdedor não pode ter mais que 127 palitos; de fato, se isso ocorresse, antes dessa jogada ele teria pelo menos $2 \times 128=256$ palitos, o que não pode acontecer. $O$ ganhador terá então no mínimo $256-127$ = 129 palitos; logo, o ganhador da jogada anterior é aquele que tem mais palitos. + +$2^{a}$ solução: Suponhamos que em um dado momento Fernando tem $x$ palitos e Isaura tem $y$ palitos; notamos que como $x+y=256$, que é um número par, então $x$ e $y$ são ambos pares ou ambos ímpares. Se +o jogo ainda não acabou, então $x$ e $y$ são pares, e depois da jogada seguinte podem acontecer as seguintes situações: + +- saiu par: nesse caso Fernando fica com $\frac{x}{2}$ palitos e Isaura com $y+\frac{x}{2}$ palitos, ou seja, Isaura fica com mais palitos do que Fernando; +- saiu ímpar: nesse caso Fernando fica com $x+\frac{y}{2}$ palitos e Isaura com $\frac{y}{2}$ palitos, ou seja, Fernando fica com mais palitos do que Isaura. + +Isso mostra que basta saber quem tem o maior número de palitos para determinar o resultado da última jogada: se Isaura tiver mais, o resultado foi par e se Fernando tiver mais, o resultado foi ímpar. No nosso caso, a partida acabou quando Fernando ficou com 101 palitos e Isaura com $256-101=155$ palitos. Logo o resultado da última jogada foi par. + +c) Aplicamos o raciocínio do item b) para recuperar as jogadas uma a uma em ordem inversa, do seguinte modo: + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 101 | 155 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 101=202$ palitos e Isaura tinha $256-202=54$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 202 | 54 | + +Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha $2 \times 54=108$ palitos e Fernando tinha $256-108=148$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 148 | 108 | + +Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha $2 \times 108=216$ palitos e Fernando tinha $256-216=40$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 40 | 216 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 40=80$ palitos e Isaura tinha $256-80=176$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 80 | 176 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 80=160$ palitos e Isaura tinha $256-160=96$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 160 | 96 | + +Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha $2 \times 96=192$ palitos e Fernando tinha $256-192=64$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 64 | 192 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 64=128$ palitos e Isaura tinha $256-128=128$ palitos. Essa é a situação inicial do jogo. + +Logo, a sequência de jogadas dessa partida foi par, ímpar, par, par, ímpar, ímpar, par. + +d) Vamos aproveitar o trabalho do item anterior e fazer o seguinte diagrama do número de palitos de Fernando e Isaura, jogada a jogada: + +| Fernando | $128=2^{7} \times 1$ | $64=2^{6} \times 1$ | $160=2^{5} \times 5$ | $80=2^{4} \times 5$ | $40=2^{3} \times 5$ | $202=2^{1} \times 101$ | $101=2^{0} \times 101$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Isaura | $128=2^{7} \times 1$ | $192=2^{6} \times 3$ | $96=2^{5} \times 3$ | $176=2^{4} \times 11$ | $108=2^{2} \times 27$ | $54=2^{1} \times 27$ | $155=2^{0} \times 155$ | + +Esse diagrama e outros exemplos semelhantes sugerem que, em um momento qualquer de uma partida, o número de palitos de Fernando e o número de palitos de Isaura se escrevem, respectivamente, como $2^{n} a$ e $2^{n} b$, onde $a$ e $b$ são inteiros ímpares. Além disso, se o jogo não acabou, então depois da próxima jogada eles terão $2^{n-1} a^{\prime}$ e $2^{n-1} b^{\prime}$ palitos, respectivamente, onde $a^{\prime}$ e $b^{\prime}$ também são inteiros ímpares. Vamos mostrar que essas afirmativas são verdadeiras. Suponhamos que em alguma etapa de uma partida os dois jogadores têm, respectivamente, $2^{n} a$ e $2^{n} b$ palitos, onde $a$ e $b$ são inteiros ímpares, e que o jogo não acabou, ou seja, que $n \geq 1$. Se a próxima jogada sair par, então Fernando ficará com $\frac{2^{n} a}{2}=2^{n-1} a$ palitos e Isaura ficará com $2^{n-1} a+2^{n} b=2^{n-1}(a+2 b)$ palitos. Como $a$ é ímpar então $b^{\prime}=a+2 b$ também é ímpar. Desse modo, após essa jogada, Fernando e Isaura ficarão com $2^{n-1} a$ e $2^{n-1} b^{\prime}$ palitos, onde $a$ e +b' são ímpares. Um argumento idêntico leva à mesma conclusão no caso em que a próxima jogada sair ímpar, e acabamos de provar nossa afirmativa. O jogo começa com ambos os jogadores com $128=2^{7} \times 1$ palitos, ou seja, $\operatorname{com} n=7$. Como uma partida acaba quando $n=0$ e $n$ decresce de uma unidade a cada jogada, segue imediatamente que qualquer partida acaba depois da sétima jogada. + +## 22 Quadrados especiais - Solução + +a) A solução está apresentada na figura abaixo: + +| $\mathbf{1}$ | 2 | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | 2 | 1 | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | 1 | $\mathbf{4}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{3}$ | 2 | + +b) Não. Como os quadradinhos na última coluna do quadrado $D$ estão preenchidos com 1 e 2, então os dois quadradinhos na última coluna no quadrado $B$ deveriam ser preenchidos com 3 e 4 . Mas nem o 3 nem o 4 podem aparecer na segunda linha, já que eles já aparecem na segunda linha do quadrado $A$. + +c) No quadrado $D$, o 2 pode aparecer na mesma coluna do 1 (como visto no item anterior). Com um argumento semelhante, mostra-se que o 3 não pode aparecer na mesma linha do 1 . Temos, assim, as seguintes possibilidades para o preenchimento do quadrado $D$ : + +| 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 1 | ou | 3 | 4 | +| :--- | :--- | +| 2 | 1 | ou | 4 | 3 | +| :--- | :--- | +| 2 | 1 | + +Em cada um destes casos, o quadrado especial pode ser preenchido de modo único: + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | 1 | + + +| 1 | 2 | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ | 1 | + + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ | 1 | + +d) Para preencher o quadrado $A$, podemos colocar o 1 de 4 modos, o 2 de 3 modos, o 3 de 2 modos e o 4 de 1 modo. Logo, ele pode ser preenchido de $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ modos. Para cada uma destas escolhas, o número de modos de preencher o restante do quadrado especial é o mesmo. Portanto, para contar quantas são as maneiras de terminarmos de preencher o quadrado especial, podemos supor que o quadrado $A$ está preenchido como no item anterior. Para preencher o quadrado $C$, podemos colocar o 1 em qualquer das 4 casas. Uma vez fixado o 1 , há 3 modos de completar o quadrado, como visto no item anterior. O número total de possibilidades de preenchimento é, portanto, $24 \times 4 \times 3=288$. + +## 23 Um bom preenchimento - Solução + +a) Só existe uma maneira de preencher o diagrama, como mostramos a seguir. + +- O número 9 não pode ficar abaixo de nenhum número, logo deve ficar no topo. +- Acima do número 7 só podemos colocar o 9 ou o 8 . Como o 9 já está no topo, o 8 ficará acima do 7 . +- O número 6 não pode ficar abaixo do 5 nem do 2 , logo ficará abaixo do 8 , ao lado do 7 . +- O número 1 é o único que pode ficar abaixo do 2. +- Os números 3 e 4 devem ficar abaixo do 5 , com o 3 abaixo do 4. + +A sequência de figuras a seguir ilustra as etapas deste raciocínio. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-29.jpg?height=538&width=1376&top_left_y=233&top_left_x=434) + +b) 1 $1^{\text {a }}$ solução: Primeiro vamos examinar o diagrama menor de três bolinhas contidas no triângulo pontilhado, abaixo à esquerda. Para que ele fique bem preenchido com quaisquer três números positivos distintos, o maior número deve ficar no topo e os outros dois poderão ser colocados nos dois círculos de baixo de duas maneiras diferentes. Por exemplo, se os números forem 3, 6 e 8, podemos dispô-los das duas maneiras ilustradas abaixo à direita. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-29.jpg?height=270&width=988&top_left_y=1098&top_left_x=634) + +Para que o diagrama completo do problema fique bem preenchido com os números de 1 a 5 , o 5 deve ficar no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 4 . As três casas restantes, marcadas com o triângulo pontilhado, formam o diagrama analisado acima e poderão então ser preenchidas de duas maneiras, com os três números restantes. Resumindo, podemos preencher o diagrama do seguinte modo: + +- preenchemos o círculo do topo com o 5: uma possibilidade; +- preenchemos a casa sombreada com 1,2,3 ou 4: quatro possibilidades; +- preenchemos as três casas que faltam com os três algarismos restantes: duas possibilidades. + +Logo, o diagrama pode ser preenchido de $1 \times 4 \times 2=8$ maneiras diferentes. Notamos que este raciocínio se aplica para quaisquer cinco números positivos distintos. Isto será importante na resolução do próximo item. + +$2^{a}$ solução: Notamos primeiro que o 5 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 4 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 5 , e então: + +- se o 4 ocupar a bolinha sombreada, o 3 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 5, e o 1 e o 2 podem ser colocados de duas maneiras diferentes nas duas bolinhas que sobram; temos duas possibilidades neste caso; +- se o 4 ocupar a outra bolinha abaixo do 5, a casa sombreada pode ser ocupada por qualquer dos números de 1 a 3 , e os outros dois números podem ser colocados nas duas últimas bolinhas vazias; neste caso temos $3 \times 2=6$ possibilidades. + +Deste modo, o número total de maneiras de preencher o diagrama é $2+6=8$. + +c) $1^{a}$ solução: Para que o diagrama fique bem preenchido com os números de 1 a 7 , temos que colocar o 7 no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 6 . A parte circundada pela linha pontilhada foi analisada no item $b$ ) e pode ser preenchida com os 5 números restantes de 8 formas diferentes. Ou seja, podemos preencher o diagrama como segue: + +- preenchemos o círculo do topo com o 7: uma possibilidade; +- preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3, 4, 5 ou 6: seis possibilidades; +- preenchemos a parte circundada com os algarismos restantes: oito possibilidades. + +Logo, o diagrama pode ser preenchido de $1 \times 6 \times 8=48$ maneiras diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-30.jpg?height=365&width=331&top_left_y=243&top_left_x=768) + +$2^{\text {a }}$ solução: Notamos primeiro que o 7 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 6 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 7 , e então: + +- se o 6 ocupar a bolinha sombreada, os números de 1 a 5 devem ocupar as casas circundadas com a linha pontilhada. De acordo com o item $b$ ), isto pode ser feito de oito maneiras distintas. +- se o 6 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 7, podemos colocar qualquer número de 1 a 5 na casa sombreada e distribuir os números restantes pelas quatro bolinhas ainda vazias, o que pode ser feito de oito maneiras diferentes, de acordo com o item b). Aqui temos $5 \times 8=40$ possibilidades. + +Logo, o diagrama pode ser preenchido de $8+40=48$ maneiras diferentes. + +## 24 Troca-cor - Solução + +a) Mostramos abaixo um jogo completo para cada tabuleiro, destacando as casas apertadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-30.jpg?height=212&width=1128&top_left_y=1256&top_left_x=364) + +b) Dividimos o tabuleiro $2 \times 100$ em 25 retângulos $2 \times 4$ e, em cada um desses retângulos, tornamos as casas cinzas procedendo como ilustrado no item $a$ ); notamos que ao aplicar este procedimento em um retângulo os demais não são afetados. Desse modo podemos preencher todas as casas do jogo $2 \times 100$. + +c) Dividimos o tabuleiro como ilustrado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-30.jpg?height=103&width=894&top_left_y=1753&top_left_x=478) + +Na primeira linha selecionamos as casas 1, 9, 17,.., 193, 201 e na segunda as casas $6,14,22, \ldots, 190$, 198. Cada uma das casas selecionadas está dentro de uma região destacada com traço mais forte. Ao apertar uma destas casas, ela e todas as outras casas de sua região ficam cinzas, sem afetar as outras regiões. Apertando todas estas casas podemos então preencher todas as casas do jogo $2 \times 101$. + +Notamos que há uma casa selecionada de duas em duas colunas, começando da primeira à esquerda, e uma na última coluna. Como as colunas são em número de 101, vemos que foram selecionadas 51 casas, que é o número de jogadas que foram necessárias para terminar o jogo do modo descrito. + +d) Não é possível acabar o jogo $2 \times 101$ com menos de 51 jogadas, pois cada jogada muda a cor de no máximo quatro casas. Assim, com 50 jogadas ou menos conseguiremos mudar a cor de no máximo $50 \times 4=200$ casas, mas no jogo $2 \times 101$ devemos mudar a cor de 202 casas. Logo, é impossível fazer menos do que 51 jogadas e deixar cinzas todas as casas. + +Observação: A solução dos itens $b$ ) e $c$ ) mostra como terminar o jogo no caso de tabuleiros $2 \times n$, onde $n$ deixa restos 0 ou 1 quando dividido por 4 . É interessante completar a análise nos casos em que os restos são 2 ou 3; deixamos isto para o(a) leitor(a). + +## 25 Letras e números - Solução + +a) Substituindo $A=5$ e $B=7$ em $A \times C=B$, temos $5 \times C=7$ e segue que $C=\frac{7}{5}$. Podemos agora achar $D$ substituindo os valores de $B$ e $D$ em $B \times D=C$; obtemos $7 \times D=\frac{7}{5}$ e então $D=\frac{1}{5}$. Finalmente, de $C \times E=D$ temos $\frac{7}{5} \times E=\frac{1}{5}$ e vemos que $E=\frac{1}{7}$. + +b) Multiplicando as expressões $A \times C=B$ e $B \times D=C$ obtemos $A \times B \times C \times D=B \times C$; como $B$ e $C$ são diferentes de 0 , concluímos que $A \times D=1$, ou seja, $D=\frac{1}{A}$. Do mesmo modo, multiplicando as expressões $B \times D=C$ e $C \times E=D$ obtemos $B \times E=1$, ou seja, $E=\frac{1}{B}$. Repetindo esse raciocínio, vemos que cada letra a partir do $D$ é o inverso da letra que aparece três posições atrás dela; em particular, $G=\frac{1}{D}=\frac{1}{\frac{1}{A}}=A$. + +c) O item anterior nos mostra que $C \times D \times E \times F \times G \times H=C \times D \times E \times \frac{1}{C} \times \frac{1}{D} \times \frac{1}{E}=1$; o mesmo raciocínio mostra que o produto de quaisquer seis letras consecutivas é igual a 1. Temos então: + +$A \times B \times C \ldots \times Y \times Z=A \times B \times(C \times \ldots \times H) \times(I \times \ldots \times N) \times(O \times \ldots \times T) \times(U \times \ldots \times Z)=A \times B=2010$ + +pois todos os produtos entre parênteses são produtos de seis letras consecutivas, logo são todos iguais a 1. + +Observação: Notamos que esse problema depende do fato de que, uma vez fixados os valores de $A$ e $B$, a sequência dos valores das letras do alfabeto é $A, B, \frac{B}{A}, \frac{1}{A}, \frac{1}{B}, \frac{A}{B}, A, B, \frac{B}{A}, \frac{1}{A}, \frac{1}{B}, \frac{A}{B}, A, B, \ldots$ + +## 26 Arrasta Um - Solução + +a) A figura abaixo mostra que a sequência de seis movimentos $(\downarrow, \leftarrow, \uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow)$ termina o jogo a partir da posição inicial dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-31.jpg?height=140&width=1008&top_left_y=1301&top_left_x=632) + +b) A figura abaixo mostra que a sequência de quatro movimentos $(\uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow)$ transforma a posição inicial dada na posição inicial do item a), a partir da qual é possível terminar o jogo em seis movimentos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-31.jpg?height=158&width=844&top_left_y=1622&top_left_x=708) + +Assim, podemos terminar o jogo num total de $4+6=10$ movimentos. + +c) A ideia é fazer com que a peça preta se mova ao longo da diagonal do tabuleiro. Isso pode ser feito uma casa de cada vez usando primeiro os movimentos do exemplo do enunciado seguidos da repetição dos movimentos do item a). Abaixo ilustramos esse procedimento em um tabuleiro $4 \times 4$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-31.jpg?height=225&width=1219&top_left_y=2035&top_left_x=521) + +Em geral, em um tabuleiro $n \times n$, a peça preta deverá subir $n-1$ casas na diagonal. Pelo método indicado acima, pode-se subir a primeira delas em 4 movimentos e cada uma das $n-2$ restantes em 6 movimentos cada uma. Logo, pode-se acabar o jogo em $4+6(n-2)=6 n-8$ movimentos. + +## Geometria + +## 27 Cinco trapézios - Solução + +## ALTERNATIVA A + +Lembramos que a soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é $(n-2) \times 180^{\circ}$. Podemos ver a figura do enunciado como um polígono de 6 lados (em traço mais grosso na figura ao lado); a soma de seus ângulos internos é então $(6-2) \times 180^{\circ}=720^{\circ}$. Por outro lado, como os trapézios são congruentes, a soma destes ângulos internos é igual a 10 vezes a medida do ângulo marcado, que vale então $\frac{720^{\circ}}{10}=72^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-32.jpg?height=194&width=368&top_left_y=708&top_left_x=747) + +## 28 Acertando a área - Solução + +a) $1^{\text {a }}$ solução: A figura abaixo mostra como decompor a região $A C D E$ em um quadrado $C D E H$ e um triângulo $A H E$. Como $C D=D E=10 \mathrm{~m}$ e $A C=20 \mathrm{~m}$, segue que $A H=10 \mathrm{~m}$. Logo a área do triângulo $A H E$ é metade da área de um quadrado de lado $10 \mathrm{~m}$, ou seja, é + +$$ +\frac{A H \times H E}{2}=\frac{10 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}}{2}=50 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Como a área do quadrado $C D E H$ é $10 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~m}^{2}$, concluímos que a área da região $A C D E$ é $100 \mathrm{~m}^{2}+50 \mathrm{~m}^{2}=150 \mathrm{~m}^{2}$. + +Alternativamente, podemos calcular a área de $A C D E$ como a diferença entre as áreas do retângulo $A C D G$ e do triângulo $A G E$, ou seja, $20 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}-\frac{10 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m}}{2}=150 \mathrm{~m}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-32.jpg?height=380&width=383&top_left_y=1620&top_left_x=745) + +2a solução: Podemos calcular a área do trapézio retângulo $A C D E$, em metros quadrados, pela fórmula usual: + +$$ +\frac{(A C+D E) \times C D}{2}=\frac{(20+10) \times 10}{2}=150 +$$ + +A área total do terreno é então área $(A C D E)+$ área $(A B C)=150 \mathrm{~m}^{2}+120 \mathrm{~m}^{2}=270 \mathrm{~m}^{2}$. + +b) $1^{\text {a }}$ solução: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-32.jpg?height=317&width=302&top_left_y=2360&top_left_x=777) + +Como o terreno tem $270 \mathrm{~m}^{2}$, ao dividi-lo em duas partes iguais cada uma das partes terá área de + +$$ +\frac{270 \mathrm{~m}^{2}}{2}=135 \mathrm{~m}^{2} +$$ + +Desse modo, devemos ter + +$$ +135 \mathrm{~m}^{2}=\operatorname{área}(A B C F)=\operatorname{área}(A B C)+\text { área }(A C F)=120 \mathrm{~m}^{2}+\text { área }(A C F) +$$ + +e vemos que área $(A C F)=15 \mathrm{~m}^{2}$. Por outro lado, a área do triângulo $A C F$ é + +$$ +\frac{A C \times C F}{2}=\frac{20 \mathrm{~m} \times C F}{2}=10 \mathrm{~m} \times C F +$$ + +Portanto, $10 \mathrm{~m} \times C F=15 \mathrm{~m}^{2}$ e $\log \mathrm{o} C F=1,5 \mathrm{~m}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como o terreno tem $270 \mathrm{~m}^{2}$, ao dividi-lo nas partes de mesma área $A B C F$ e $A F D E$, cada parte terá área de $135 \mathrm{~m}^{2}$. Notamos que $A B C F$ é um trapézio de bases $A B$ e $C F$ e de altura $A C=20 ; \log$ o + +$$ +135 \mathrm{~m}^{2}=\operatorname{área}(A B C F)=\frac{(12 \mathrm{~m}+C F) \times 20 \mathrm{~m}}{2}=120 \mathrm{~m}^{2}+10 \mathrm{~m} \times C F +$$ + +e segue que $C F=1,5 \mathrm{~m}$. + +## 29 Um buraco no Tangran - Solução + +## ALTERNATIVA C + +Abaixo vemos as figuras do enunciado da questão. A descrição das peças da Figura I implica que os pontos $M$ e $N$ são pontos médios dos lados $A B$ e $A C$. A Figura III, onde $P$ é o ponto médio de $B C$, mostra que a área do triângulo $A M N$ é igual à quarta parte da área do triângulo $A B C$, que por sua vez tem área igual à metade da área do quadrado. Logo, área $(A M N)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 40=5 \mathrm{~cm}^{2}$. A Figura II mostra que o buraco consiste de três triângulos iguais ao triângulo $A M N ; \log$ sua área é $15 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-33.jpg?height=306&width=306&top_left_y=1412&top_left_x=498) + +Figura I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-33.jpg?height=331&width=342&top_left_y=1411&top_left_x=914) + +Figura II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-33.jpg?height=245&width=388&top_left_y=1485&top_left_x=1371) + +Figura III + +## 30 Retângulo recortado - Solução + +a) Vamos representar a folha original pelo retângulo $P Q R S$ na figura abaixo. Seja $M$ o ponto onde os segmentos $A C$ e $B D$ se encontram. Como o centro do retângulo é o centro de simetria da figura, concluímos que $A M=M C=\frac{1}{2} A C$. Por outro lado, sabemos que $A C=B D$, donde $A M=B M=C M=D M$. Como os ângulos com vértice em $M$ são todos retos, os triângulos $A M B, B M C, C M D$ e $D A M$ são congruentes e, em particular, $A B=B C=C D=D A$ e os ângulos desses triângulos em $A, B, C$ e $D$ são iguais, donde $A B C D$ é um quadrado. Como $B P C Q$ é um retângulo, $B C=P Q=20 \mathrm{~cm}$, donde $A B=20 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-33.jpg?height=389&width=525&top_left_y=2284&top_left_x=868) + +b)A área de cada um dos triângulos $A M B, B M C, C M D$ e $D A M$ é igual a $\frac{1}{4}$ da área do quadrado $A B C D$, que é $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}=400 \mathrm{~cm}^{2}$; logo a área de um desses triângulos é $\frac{400}{4}=100 \mathrm{~cm}^{2}$. Como são os dois pedaços de cinco lados iguais, eles têm a mesma área. A folha original tem área igual a $20 \times 30=600 \mathrm{~cm}^{2}$, e se subtrairmos dessa área as áreas dos dois pedaços triangulares $A B M$ e $D M C$, restará a área dos dois pedaços de cinco lados. Portanto, a área de cada pedaço de cinco lados, em centímetros quadrados, é igual a $\frac{600-2 \times 100}{2}=\frac{600-200}{2}=\frac{400}{2}=200$. + +Outra solução para obtenção da área do triângulo: A base $A B$ do triângulo $A B M$ mede $20 \mathrm{~cm}$; a altura relativa a essa base é metade da altura da folha, ou seja, $\frac{20 \mathrm{~cm}}{2}=10 \mathrm{~cm}$. Portanto, a área de cada um dos dois triângulos é $\frac{20 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm}}{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Outra solução para obtenção da área do polígono de cinco lados: Cada pedaço de cinco lados é formado por um dos quatro triângulos acima e por um retângulo de altura $20 \mathrm{~cm}$ e largura igual a $\frac{20 \mathrm{~cm}-10 \mathrm{~cm}}{2}=\frac{10 \mathrm{~cm}}{2}=5 \mathrm{~cm}$. Como a área de cada triângulo é de $100 \mathrm{~cm}^{2}$ e a área do retângulo é igual a $5 \times 20 \mathrm{~cm}^{2}=100 \mathrm{~cm}^{2}$, concluímos que a área de cada pedaço de cinco lados é igual a $100 \mathrm{~cm}^{2}+100 \mathrm{~cm}^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +c) $1^{\text {a }}$ solução: O quadrado formado pelos quatro pedaços e o buraco tem área igual a 8 vezes a área de cada pedaço triangular, conforme mostrado no desenho a seguir. Portanto, sua área é igual a $8 \times 100 \mathrm{~cm}^{2}=800 \mathrm{~cm}^{2}$. Como a soma das áreas das quatro peças é igual à área da folha original, ou seja, $600 \mathrm{~cm}^{2}$, concluímos que a área do buraco é igual a $800 \mathrm{~cm}^{2}-600 \mathrm{~cm}^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-34.jpg?height=382&width=371&top_left_y=1017&top_left_x=748) + +$2^{a}$ solução: O buraco é um retângulo cuja altura é igual à altura da folha original, ou seja, $20 \mathrm{~cm}$. Seu comprimento é a diferença entre o comprimento da folha original e o segmento $A B$, ou seja, $30 \mathrm{~cm}-20 \mathrm{~cm}=$ $10 \mathrm{~cm}$. Portanto, a área do buraco é $20 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +$3^{a}$ solução: Cada triângulo retângulo é isósceles com hipotenusa de medida $20 \mathrm{~cm}$. Se $a$ é a medida, em centímetros, de um dos catetos, temos $20^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}$, donde $a=\sqrt{20^{2} / 2}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2}$. Assim, o quadrado grande tem lado igual a $10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}+10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}=20 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ e sua área é $(20 \sqrt{2} \mathrm{~cm})^{2}=800 \mathrm{~cm}^{2}$. Como a soma das áreas das quatro peças é igual à área da folha original, ou seja, $600 \mathrm{~cm}^{2}$, concluímos que a área do buraco é igual a $800 \mathrm{~cm}^{2}-600 \mathrm{~cm}^{2}=200 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 31 Polígonos e polígonos - Solução + +a) A figura abaixo mostra que o hexágono pode ser decomposto em seis triângulos iguais aos triângulos que fazem parte do dodecágono. Como cada um desses triângulos tem área $1 \mathrm{~cm}^{2}$, segue que o hexágono tem área $6 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-34.jpg?height=323&width=331&top_left_y=2140&top_left_x=771) + +b) $1^{a}$ solução: A figura do item anterior mostra que o dodecágono pode ser decomposto em doze triângulos equiláteros iguais e seis quadrados. Desse modo, ao retirar doze triângulos do dodecágono, a estrela que sobra tem área igual à área de seis quadrados. Como o lado do dodecágono mede $1 \mathrm{~cm}$, cada quadrado tem área $1 \mathrm{~cm}^{2}$ e assim a área da estrela é $6 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-35.jpg?height=366&width=354&top_left_y=248&top_left_x=954) + +$2^{a}$ solução: Podemos decompor o hexágono central da estrela em seis triângulos e "encaixá-los" como indicado na figura abaixo. A figura assim obtida tem a mesma área da estrela e consiste de seis quadrados de lado $1 \mathrm{~cm}$; sua área é então $6 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-35.jpg?height=354&width=357&top_left_y=888&top_left_x=952) + +c) A figura abaixo mostra que os dois hexágonos retirados têm a mesma área que doze triângulos equiláteros; como no item $b$ ), a região cinza tem a mesma área que seis quadrados de lado $1 \mathrm{~cm}$; sua área é então $6 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-35.jpg?height=374&width=374&top_left_y=1503&top_left_x=938) + +## 32 Quantos? - Solução + +## ALTERNATIVA D + +Vamos escolher um ponto entre os pontos destacados; por exemplo, o primeiro ponto à esquerda no lado inferior do quadrado. A Figura 1 mostra os três triângulos retângulos que podemos construir com o vértice com o ângulo reto nesse ponto. Como o mesmo acontece com os outros pontos destacados, vemos que o número de triângulos retângulos com vértices nesses pontos é $8 \times 3=24$. Devemos justificar a afirmativa de que esses triângulos são retângulos. Isso é claro para o triângulo da Figura 1. + +Quanto ao da Figura 2, notamos que os dois triângulos retângulos brancos são congruentes, logo seus ângulos com vértice no ponto escolhido somam $90^{\circ} \mathrm{e}$, consequentemente, o ângulo do triângulo cinza nesse vértice é também $90^{\circ}$. + +Finalmente, o triângulo da Figura 3 é retângulo pois seus lados menores são diagonais de quadrados, como indicado pelos segmentos mais claros; assim eles fazem ângulo de $45^{\circ}$ com o lado inferior do quadrado e o ângulo do triângulo cinza nesse vértice é também $90^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-36.jpg?height=186&width=186&top_left_y=244&top_left_x=615) + +Figura 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-36.jpg?height=182&width=186&top_left_y=246&top_left_x=838) + +Figura 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-36.jpg?height=177&width=185&top_left_y=248&top_left_x=1067) + +Figura 3 + +## 33 Triângulos em um retângulo - Solução + +Lembramos que a área de um triângulo é dada pela fórmula $\frac{1}{2}$ base $\times$ altura e a área do retângulo por base $\times$ altura. Na figura ao lado, concluímos que a área do triângulo sombreado é metade da área do retângulo, pois ambos têm a mesma base e a mesma + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-36.jpg?height=132&width=215&top_left_y=702&top_left_x=1503) +altura. Logo a soma das áreas dos dois triângulos brancos também é metade da área do retângulo, ou seja, igual à área do triângulo sombreado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-36.jpg?height=194&width=508&top_left_y=974&top_left_x=680) + +a) Pelo visto acima, temos área $(A M D)=$ área $(A B M)+$ área $(M D C)=16 \mathrm{~cm}^{2}+8 \mathrm{~cm}^{2}+27 \mathrm{~cm}^{2}+9 \mathrm{~cm}^{2}=60 \mathrm{~cm}^{2}$. b) Como área $(A M D)=$ área $(B N C)$, temos área $(A Q N)+$ área $(N D P)=$ área $(A M D)-$ área $(M Q N P)=$ área $(B N C)-$ área $(M Q N P)=$ área $(B Q M)+$ área $(M P C)=8 \mathrm{~cm}^{2}+27 \mathrm{~cm}^{2}=35 \mathrm{~cm}^{2}$ + +c) Temos + +$$ +\text { área }(M Q N P)=\text { área }(B N C)-\text { área }(B Q M)-\text { área }(M P C)=60 \mathrm{~cm}^{2}-8 \mathrm{~cm}^{2}-27 \mathrm{~cm}^{2}=25 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +Observação: As áreas dos triângulos nesse problema não foram escolhidas ao acaso. Deixamos como exercício para o(a) leitor(a) mostrar que é possível construir a figura abaixo, onde $a, b, c$ e $d$ representam as áreas dos triângulos correspondentes, se e somente se $\frac{a^{2}}{b}+\frac{d^{2}}{c}=b+c$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-36.jpg?height=208&width=363&top_left_y=1678&top_left_x=755) + +Solução alternativa para os itens b) e c): Podemos resolver primeiro o item $c$ ), como segue. Como área $(A M D)=$ área $(B N C)=60 \mathrm{~cm}^{2}$, temos + +$$ +\text { área }(M N P Q)=\text { área }(B N C)-27 \mathrm{~cm}^{2}-8 \mathrm{~cm}^{2}=25 \mathrm{~cm}^{2} \text {, } +$$ + +obtendo então para o item $b$ ) + +$$ +\text { área }(A Q N)+\text { área }(N D P)=\text { área }(A M D)-\text { área }(M N P Q)=60 \mathrm{~cm}^{2}-25 \mathrm{~cm}^{2}=35 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +## 34 Muitos quadrados - Solução + +a) A área da folha, era igual a soma das áreas dos nove quadrados, que é (em centímetros quadrados): + +$$ +1^{2}+4^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2}+14^{2}+15^{2}+18^{2}=1056 +$$ + +b) Sejam $a$ e $b$ as dimensões da folha, onde supomos $a \leq b$. Como a área de um retângulo é o produto de suas dimensões, temos $a b=1056$. Além disso, como as medidas dos lados dos quadrados em que a folha +foi cortada são números inteiros, segue que $a$ e $b$ devem ser números inteiros. Observamos, finalmente, que $a$ e $b$ devem ser maiores ou iguais a 18 , pois um dos quadrados em que a folha foi cortada tem lado com esta medida. Como $a$ e $b$ são divisores de 1056, a fatoração em fatores primos $1056=2^{5} \times 3 \times 11$ nos mostra que $a$ e $b$ são da forma $2^{x} \times 3^{y} \times 11^{z}$, onde $x, y$ e $z$ são inteiros tais que $0 \leq x \leq 5,0 \leq y \leq 1 \mathrm{e}$ $0 \leq z \leq 1$. Lembrando que $a b=1056$ e que $a$ e $b$ são maiores que 18 , obtemos as seguintes possibilidades: + +| $\mathbf{a}$ | $\mathbf{b}$ | +| :---: | :---: | +| $2 \times 11=22$ | $2^{4} \times 3=48$ | +| $2^{3} \times 3=24$ | $2^{2} \times 11=44$ | +| $2^{5}=32$ | $3 \times 11=33$ | + +Temos agora que decidir quais destas possibilidades podem ocorrer como medidas da folha. Como o maior quadrado tem lado 18 , que é menor que 22,24 e 32 , vemos que nenhum quadrado pode encostar nos dois lados de comprimento $b$ da folha. Isto quer dizer que $b$ pode ser expresso de duas maneiras como uma soma, na qual as parcelas são medidas dos lados dos quadrados, sendo que: + +- não há parcelas repetidas em nenhuma das duas expressões e +- não há parcelas comuns às duas expressões. + +Este argumento mostra que $2 b \leq 1+4+7+8+9+10+14+15+18$ ou seja, $2 b \leq 86$. Logo $b \leq 43$ e a única possibilidade é $b=33$. Segue que as dimensões da folha eram $a=32$ e $b=33$. + +Existem outras maneiras de eliminar os pares $(22,48)$ e $(24,44)$, usando o argumento acima e mostrando, por exemplo, que não existem duas maneiras de escrever 22 e 24 como soma dos lados dos quadrados de duas maneiras com parcelas distintas e sem parcelas comuns. Esta solução depende do fato de que, em qualquer decomposição de um retângulo em quadrados, os lados dos quadrados são necessariamente paralelos a um dos lados do retângulo. Um argumento intuitivo para demonstrar este fato consiste em selecionar um vértice do retângulo e observar que o quadrado ao qual este vértice pertence tem seus lados apoiados sobre os lados do retângulo. Qualquer quadrado que toca este primeiro quadrado (mesmo que em apenas um vértice) tem seus lados necessariamente paralelos aos lados do retângulo, pois, caso contrário, teríamos ângulos diferentes de $90^{\circ}$ ou $180^{\circ}$ na decomposição, e estes ângulos não podem ser preenchidos com quadrados. + +c) A única possibilidade (a menos de rotações e simetrias) é mostrada a seguir: + +| | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 14 | 18 | | | +| 10 | 4 | | | +| | 7 | 15 | | +| 1 | 7 | | | +| 9 | | | | + +## 35 Decágono - Solução + +## ALTERNATIVA B + +O triângulo $A O B$ é isósceles pois os lados $O A$ e $O B$ são iguais. Logo, os ângulos $O A B$ e $O \hat{B} A$ também são iguais, ou seja, ambos têm medida $a$. Notamos agora que o ângulo central $A \hat{O} B$ mede $\frac{4}{10} \times 360^{\circ}=144^{\circ}$. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale $180^{\circ}$, segue que $2 a+144^{\circ}=180^{\circ}$. Logo $a=\frac{180^{\circ}-144^{\circ}}{2}=\frac{36^{\circ}}{2}=18^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-38.jpg?height=374&width=414&top_left_y=561&top_left_x=730) + +## 36 Estrela - Solução + +a) Como $B C$ e $E F$ são paralelos, os ângulos $E U T$ e $A C B$ são alternos internos, donde $E \hat{U} T=A \hat{C} B=60^{\circ}$. b) Pelo item a) podemos concluir que todos os triângulos da figura são equiláteros. Desse modo, temos $Q P=F P, U T=U E, T S=C S$ e $R Q=R B$. Logo, o perímetro de $P Q R S T U$ é + +$$ +\begin{gathered} +Q P+P U+U T+T S+S R+R Q=(F P+P U+U E)+(C S+S R+R B) \\ +=F E+C B=13 \mathrm{~cm}+14 \mathrm{~cm}=27 \mathrm{~cm} +\end{gathered} +$$ + +c) De $P Q=6 \mathrm{~cm}$ segue que $F P=6 \mathrm{~cm}$, pois o triângulo $Q F P$ é equilátero, e concluímos que $P E=$ $F E-E P=13 \mathrm{~cm}-6 \mathrm{~cm}=7 \mathrm{~cm}$. Como $B C$ é paralelo a $E F$ e $A B$ é paralelo a $D E$, o quadrilátero $P E S B$ é um paralelogramo, donde $B S=P E=7 \mathrm{~cm}$. Finalmente, temos $S C=B C-B S=14 \mathrm{~cm}-7 \mathrm{~cm}=7 \mathrm{~cm} ; \operatorname{logo}$ $S T=S C=7 \mathrm{~cm}$, pois o triângulo $T C S$ é equilátero. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-38.jpg?height=471&width=488&top_left_y=1609&top_left_x=687) + +Uma solução análoga pode ser dada a partir do paralelogramo QDTA. + +## 37 Polígonos convexos elegantes - Solução + +a) Um exemplo de polígono elegante com oito lados aparece abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-38.jpg?height=249&width=346&top_left_y=2417&top_left_x=752) +b) Como um polígono elegante é convexo e é formado colocando lado a lado quadrados e triângulos equiláteros, seus ângulos são somas de parcelas iguais a $60^{\circ}$ ou $90^{\circ}$ que não ultrapassem $180^{\circ}$. Os valores possíveis são então $60^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}=60^{\circ}+60^{\circ}$ e $150^{\circ}=60^{\circ}+90^{\circ}$. + +c) Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono com $n$ lados é $(n-2) \times 180^{\circ}$. Por outro lado, vimos no item $b$ ) que o maior valor possível do ângulo interno de um polígono elegante é $150^{\circ}$; logo, a soma dos ângulos internos de um polígono elegante de $n$ lados é no máximo $n \times 150^{\circ}$. Temos então $180(n-2) \leq 150 n$, e segue que $30 n \leq 360$, ou seja, $n \leq 12$. + +d) A figura abaixo mostra um polígono elegante de 12 lados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-39.jpg?height=322&width=340&top_left_y=610&top_left_x=958) + +## 38 O polígono $A B C D E F G H I J K L$ - Solução + +a) $1^{a}$ solução: Como a soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é $(n-2) \times 180^{\circ}$, a soma dos ângulos internos do dodecágono é $(12-2) \times 180^{\circ}=1800^{\circ}$. Logo, cada um de seus ângulos internos mede $\frac{1800^{\circ}}{12}=150^{\circ}$. + +$2^{2}$ solução: Outra solução usa a circunferência de centro $O$ circunscrito ao polígono. O ângulo $A \hat{O} B$ mede $\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$. O triângulo $O A B$ é isósceles, pois $O A$ e $O B$ são iguais, como raios da circunferência. Logo, $\hat{O A B}=O \hat{B} A=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$. Pela simetria da figura, temos também $O \hat{A} L=75^{\circ}$, e então $B \hat{A} L=2 \times 75^{\circ}=150^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-39.jpg?height=392&width=394&top_left_y=1483&top_left_x=931) + +Antes de prosseguir, lembramos um resultado básico de geometria elementar. Dado uma circunferência de centro $O$ e um arco $\hat{A B}$ nesta circunferência (marcado em traço mais forte na figura abaixo), temos o ângulo central $A \hat{O} B$ associado a este arco. Seja $P$ um ponto qualquer na circunferência que não pertence a $\hat{A B}$. Então a medida do ângulo inscrito $A \hat{P} B$ é a metade da medida do ângulo $O \hat{A} B$, independentemente da posição de $P$. A figura abaixo ilustra esta situação; nela temos: + +$$ +\beta=A \hat{P} B=A \hat{Q} B=\frac{1}{2} A \hat{O} B=\frac{1}{2} \alpha +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-39.jpg?height=374&width=354&top_left_y=2303&top_left_x=954) +b) 1 $1^{\text {a }}$ solução: Consideremos outra vez a circunferência de centro $\mathrm{O}$ circunscrita ao polígono. Como $E$ e $K$ são diametralmente opostos, o ângulo $E \hat{D} K$ está inscrito na semicircunferência e segue que $E \hat{D} K=90^{\circ}$. Como o ângulo central correspondente a um lado do dodecágono regular é $\frac{180^{\circ}}{12}=30^{\circ}$, o ângulo central $A \hat{O} D$ mede $90^{\circ}$, e segue que $A \hat{E} D=45^{\circ}$. Finalmente, o triângulo $E D M$ tem ângulos $E \hat{D} M=90^{\circ}$ e $M \hat{E} D=45^{\circ}$; como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, segue que $D \hat{M E}=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+45^{\circ}\right)=45^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-40.jpg?height=425&width=419&top_left_y=547&top_left_x=727) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: $\mathrm{O}$ triângulo $I A E$ é equilátero, pois seus vértices estão igualmente espaçados no polígono regular; em particular $A \hat{E} I=60^{\circ}$. Além disso, os ângulos $A \hat{E} D$ e $F \hat{E} I$ são iguais (pois correspondem aos arcos iguais $A \hat{C} D$ e $F \hat{H} I$ ), donde + +$$ +150^{\circ}=F \hat{E} D=F \hat{E} I+I \hat{E} A+A \hat{E} D=60^{\circ}+2 \times A \hat{E} D +$$ + +e obtemos $A \hat{E} D=45^{\circ}$. Agora basta argumentar como na primeira solução para obter $E \hat{D} M=90^{\circ} \mathrm{e}$ $D \hat{M} E=45^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-40.jpg?height=431&width=419&top_left_y=1452&top_left_x=727) + +$3^{\mathrm{a}}$ solução: A medida do ângulo $A \hat{E} D=E \hat{A} B$ (por simetria) também pode ser obtida através da soma dos ângulos do polígono de cinco lados $A E D C B$; temos + +$$ +A \hat{E} D+E \hat{A} B+3 \times 150^{\circ}=(5-2) \times 180^{\circ}=540^{\circ} +$$ + +e então $2 \times A \hat{E} D=90^{\circ}$, donde $A \hat{E} D=45^{\circ}$. A partir daí a solução procede como nas anteriores. + +c) Como o triângulo $E D M$ tem dois ângulos de $45^{\circ}$, ele é isósceles; $\operatorname{logo} M D=D E$, ou seja, $M D$ tem a mesma medida que os lados do polígono. Como $E \hat{D C}=150^{\circ}$ e $E \hat{D M}=90^{\circ}$, temos $M \hat{D C}=60^{\circ}$; e como $M D=D C$ segue que o triângulo $M D C$ é equilátero. Em particular, temos $M C D=60^{\circ}$ e segue que $M \hat{C} B=90^{\circ}$. Finalmente, como $M C=C B$, o triângulo $M C B$ é isósceles e então $M \hat{B C}=B \hat{M C}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$. + +d) $1^{\text {a }}$ solução: Temos $F \hat{B C}=45^{\circ}=M \hat{B} C$. Logo os segmentos $F B$ e $M B$ fazem o mesmo ângulo com o segmento $B C$, e segue que os pontos $B, M$ e $F$ estão alinhados. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: No quadrilátero $B C D M$ temos $M \hat{B C}=45^{\circ}, B \hat{C} M=150^{\circ} \mathrm{e} M \hat{D C}=60^{\circ} ;$ como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360^{\circ}$, segue que $B \hat{M} D=360^{\circ}-\left(45^{\circ}+150^{\circ}+60^{\circ}\right)=105^{\circ}$. Analogamente, no quadrilátero $M D E F$ temos $F \hat{M} D=360^{\circ}-\left(90^{\circ}+150^{\circ}+45^{\circ}\right)=75^{\circ}$. $\operatorname{Logo} F \hat{M} B=F \hat{M} D+D \hat{M} B=$ $75^{\circ}+105^{\circ}=180^{\circ}$, e segue que os pontos $B, M$ e $F$ estão alinhados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-41.jpg?height=408&width=394&top_left_y=230&top_left_x=931) + +## 39 Um triângulo em quatro partes - Solução + +a) 1a solução: Na figura a seguir marcamos, em preto, o ângulo em $B$ do triângulo $A B C$ e o ângulo correspondente no polígono $A M J D$; em cinza, marcamos o ângulo em $C$ do triângulo $A B C$ e o ângulo correspondente do polígono $A E L N$. Podemos observar na parte superior da figura que o ângulo $M A N$ é a soma desses dois ângulos com o ângulo em $A$ do triângulo $A B C$; como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, segue que $M A N=180^{\circ}$. Logo, $M, A$ e $N$ estão alinhados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-41.jpg?height=435&width=574&top_left_y=1116&top_left_x=844) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Observamos primeiro que $A M$ é paralelo a $B F$, pois ele é obtido de $B F$ por meio de uma rotação de $180^{\circ}$; do mesmo modo, $A N$ é paralelo a CG. Como $B F$ e CG estão na mesma reta suporte e $A M$ e $A N$ têm o ponto $A$ em comum, segue que os pontos $M, A$ e $N$ estão alinhados. + +b) Na figura abaixo os ângulos marcados em cinza são congruentes, assim como os ângulos marcados em preto. Segue que os ângulos marcados em branco com traço duplo também são congruentes, pois são ambos suplementos do ângulo vermelho; do mesmo modo, os ângulos em branco com traço simples são também congruentes. Notamos agora que $M N=M A+A N=B F+C G=B C-F G=2 F G=F G=F G$. Segue, pelo critério ângulo-lado-ângulo, que os triângulos FGI e MNK são congruentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-41.jpg?height=531&width=600&top_left_y=1985&top_left_x=822) + +c) Na figura abaixo traçamos a base média $D E$ do triângulo $A B C$. O teorema da base média nos diz que $D E$ é paralelo a $B C$ e que $D E=\frac{1}{2} B C=F G$. Segue que os triângulos $F G I$ e $E H D$ são congruentes, pois são retângulos, tem os ângulos cinzas congruentes (pois são agudos de lados paralelos) e hipotenusas +congruentes. Em particular, temos $F I=E H$, donde $F H=F I-H I=E H-H I=E I$. Logo $L H=L E+E I+I H=$ $F H+H I+I E=E F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_984603b876c0bc28095bg-42.jpg?height=431&width=554&top_left_y=344&top_left_x=657) + +d) A área do quadrado $H J K L$ é igual à área do triângulo $A B C$, que é 9; logo o lado do quadrado mede 3. Em particular, $L H=3$ e segue do item anterior que $E F=3$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a4c2516cee1f2c7b7d32cc1ec910bc1c7fff93f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2012_N3.md @@ -0,0 +1,1919 @@ +# Conteúdo + +Apresentação ..... 5 +Nível 1 ..... 9 +Aritmética ..... 9 +Combinatória ..... 13 +Geometria ..... 18 +Nível 2 ..... 25 +Aritmética ..... 25 +Combinatória ..... 28 +Geometria ..... 34 +Nível 3 ..... 41 +Aritmética ..... 41 +Combinatória ..... 44 +Geometria ..... 51 +Soluções do Nível 1 ..... 57 +Aritmética ..... 57 +Combinatória ..... 65 +Geometria ..... 73 +Soluções do Nível 2 ..... 83 +Aritmética ..... 83 +Combinatória ..... 89 +Geometria ..... 98 +Soluções do Nível 3 ..... 109 +Aritmética ..... 109 +Combinatória ..... 119 +Geometria ..... 130 + +## Nível 3 + +Assunto Aritmética + +## 1 O contrário + +O contrário de um número de dois algarismos, ambos diferentes de zero, é o número obtido trocando-se a ordem de seus algarismos. Por exemplo, o contrário de 25 é 52 e o contrário de 79 é 97 . Qual dos números abaixo não é a soma de um número de dois algarismos com o seu contrário? +A) 44 +B) 99 +C) 121 +D) 165 +E) 181 + +## 2 Trocando de ordem os algarismos + +O número abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cada um deles representado por uma das letras $a, b, c, d, e$. Multiplicando-se este número por 4 obtém-se um número de cinco algarismos edcba. Qual o valor de $a+b+c+d+e$ ? +A) 22 +B) 23 +C) 24 +D) 25 +E) 27 + +## 3 Os discos dão voltas + +Os discos $A, B, C$ e $D$ representam polias de diâmetros $8,4,6 \mathrm{e} 2 \mathrm{~cm}$, respectivamente, unidas por correias que se movimentam sem deslizar. Quando o disco $A$ dá uma volta completa no sentido horário, o que acontece com o disco $D$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-02.jpg?height=349&width=417&top_left_y=1833&top_left_x=928) + +A) Dá 4 voltas no sentido horário + +B) Dá 3 voltas no sentido horário + +C) Dá 6 voltas no sentido anti-horário + +D) Dá 4 voltas no sentido anti-horário + +E) Dá 3 voltas no sentido anti-horário + +## 4 Uma festa matemática + +O Grêmio Estudantil de Taperoá vai dar uma festa, vendendo ingressos a $\mathrm{R} \$ 6,00$. Para estimular a compra antecipada de ingressos, os diretores do Grêmio decidiram que: + +- os ingressos serão numerados a partir do número 1 e vendidos obedecendo à ordem crescente de sua numeração; +- ao final da festa, cada participante receberá $\mathrm{R} \$ 0,01$ para cada ingresso vendido que tenha um número maior que o número do seu ingresso. + +a) Se forem vendidos 100 ingressos, quanto vai receber, ao final da festa, a pessoa que comprou o ingresso com o número 1? E a que comprou o ingresso com o número 70 ? + +b) Qual será o lucro do Grêmio se forem vendidos 100 ingressos? + +c) Quantos ingressos o Grêmio deve vender para ter o maior lucro possível? + +## 5 A maior soma + +Escreva os algarismos de 0 até 9 em uma linha, na ordem que você escolher. Na linha debaixo junte os vizinhos, formando nove números novos, e some esses números como no exemplo: + +| 2 | | 1 | | 3 | | 7 | | 4 | | 9 | | 5 | | 8 | | 0 | | 6 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | 21 | | 13 | | 37 | | 74 | | 49 | | 95 | | 58 | | 80 | | 06 | | +| 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | + +Qual é a maior soma que é possível obter desse modo? +A) 506 +B) 494 +C) 469 +D) 447 +E) 432 + +## 6 Correndo na medida certa + +A figura abaixo representa o traçado de uma pista de corrida. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-03.jpg?height=331&width=411&top_left_y=1488&top_left_x=731) + +Os postos $A, B, C$ e $D$ são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 quilômetros pode ser realizada com partida em $D$ e chegada em A. + +a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros? + +b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos? + +c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros. + +## 7 Severina, Catarina e os números + +a) Severina escreveu um número inteiro positivo em cada lado de um quadrado. Em seguida, escreveu em cada vértice o produto dos números escritos nos lados que se encontram nesse vértice. A soma dos números escritos em dois lados opostos é 60 e a soma dos números escritos nos outros lados é 85. Qual é a soma dos números escritos nos vértices? + +b) Catarina, por sua vez, escreveu em cada face de um cubo um número inteiro positivo. Em seguida, escreveu em cada vértice o produto dos números escritos nas três faces que se encontram nesse vértice. Se a soma dos números escritos nos vértices é 105, qual é a soma dos números escritos nas faces? + +## 8 Simpáticos números + +Um número inteiro $n$ é simpático quando existem inteiros positivos $a, b$ e $c$ tais que $a a partir da situação inicial | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| posição da carta de número 5
a partir do topo da pilha | $10^{\mathrm{a}}$ | | | | | | + +b) Partindo da situação inicial, qual será a posição da carta de número $n$ após um embaralhamento? + +c) Partindo da situação inicial, ache duas cartas que trocam de lugar uma com a outra a cada embaralhamento. + +d) Um grupo de três cartas que trocam de lugar entre si a cada embaralhamento é chamado trio invariante. Partindo da situação inicial, encontre todos os trios invariantes. + +## Geometria + +## 27 Porta de garagem + +A figura abaixo ilustra o funcionamento de uma porta de garagem, representada pelo segmento $X Y$. Ao mover o ponto $X$, o ponto $A$ desliza por um trilho vertical, representado pelo segmento $B D$. Algumas das medidas na figura são $A C=B C=C Y=0,5 \mathrm{~m}$ e $A X=1 \mathrm{~m}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-12.jpg?height=283&width=211&top_left_y=1292&top_left_x=1025) + +a) Na figura, o ponto $X$ está a $0,2 \mathrm{~m}$ do trilho $B D$. Qual é a distância de $C$ ao trilho? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-12.jpg?height=260&width=203&top_left_y=1720&top_left_x=1029) + +b) Mostre que a altura do ponto $Y$ com relação ao chão não se altera com o movimento da porta. + +c) Se o para-choque de um carro tem altura de $0,4 \mathrm{~m}$, como na figura, qual deve ser a distância mínima entre o trilho e o para-choque para que ele não seja atingido ao abrir-se a porta? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-12.jpg?height=308&width=346&top_left_y=2196&top_left_x=958) + +## 28 Triângulos retângulos + +Os seis triângulos da figura são retângulos e seus ângulos com vértice no ponto $A$ são iguais. Além disso, $A B=24 \mathrm{~cm}$ e $A C=54 \mathrm{~cm}$. Qual é o comprimento de $A D$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-13.jpg?height=306&width=485&top_left_y=438&top_left_x=700) +A) $30 \mathrm{~cm}$ +B) $34 \mathrm{~cm}$ +C) $36 \mathrm{~cm}$ +D) $38 \mathrm{~cm}$ +E) $39 \mathrm{~cm}$ + +## 29 Mesma área + +Na figura abaixo, o triângulo $A B C$ e o retângulo $P Q R S$ têm a mesma área e a mesma altura 1. Para cada valor de $x$ entre 0 e 1 desenha-se o trapézio $A B E D$ de altura $x$ e depois o retângulo $P Q N M$ de área igual à do trapézio, como na figura. Seja $f$ a função que associa a cada $x$ a altura do retângulo $P Q N M$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-13.jpg?height=303&width=1005&top_left_y=1182&top_left_x=431) + +a) Qual é a razão entre $A B$ e $P Q$ ? + +b) Qual é o valor de $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ? + +c) Ache a expressão de $f(x)$ e desenhe o gráfico de $f$. + +## 30 Três circunferências e um comprimento + +A figura mostra três circunferências de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos destacados. Qual é o comprimento do segmento $A B$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-13.jpg?height=351&width=508&top_left_y=1975&top_left_x=680) +A) 1 +B) $\sqrt{2}$ +C) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ +D) $\frac{3}{2}$ +E) $\sqrt{3}$ + +## 31 Papel dobrado + +Uma tira de papel retangular, branca de um lado e cinza do outro, foi dobrada como na figura. Qual é a medida do ângulo $\alpha$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-14.jpg?height=317&width=437&top_left_y=238&top_left_x=912) +A) $110^{\circ}$ +B) $115^{\circ}$ +C) $120^{\circ}$ +D) $125^{\circ}$ +E) $130^{\circ}$ + +## 32 Muitos quadrados + +A Princesa Telassim cortou uma folha de papel retangular em 9 quadrados de lados $1,4,7,8,9,10,14$, 15 e 18 centímetros. + +a) Qual era a área da folha antes de ser cortada? + +b) Quais eram as medidas da folha antes de ser cortada? + +c) A Princesa Telassim precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem. + +## 33 Luz e espelho + +Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na Figura 1. A Figura 2 mostra dois espelhos que se encontram formando um ângulo $\alpha$. Um raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto $A$ e é refletido três vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto $D$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-14.jpg?height=320&width=1082&top_left_y=1459&top_left_x=587) + +a) Qual é a medida do ângulo $\alpha$ ? + +b) Seja $A B$ perpendicular ao espelho I, como na Figura 2. Se $A B=10 \mathrm{~cm}$, qual é o comprimento de $C D$ ? + +## 34 Região сотит + +Dois triângulos retângulos isósceles com catetos de medida 2 são posicionados como mostra a Figura 1. A seguir, o triângulo da esquerda é deslocado para a direita. Nas Figuras 2 e $3, x$ indica a distância entre os vértices $A$ e $B$ dos dois triângulos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-14.jpg?height=234&width=420&top_left_y=2259&top_left_x=495) + +Figura 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-14.jpg?height=249&width=337&top_left_y=2257&top_left_x=997) + +Figura 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-14.jpg?height=252&width=356&top_left_y=2258&top_left_x=1407) + +Figura 3 + +Para cada $x$ no intervalo $[0,4]$, seja $f(x)$ a área da região comum aos dois triângulos (em cinza nas figuras). +a) Calcule $f(1)$ e $f(3)$. + +b) Encontre as expressões de $f$ nos intervalos $[0,2]$ e $[2,4]$ e esboce o seu gráfico. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-15.jpg?height=477&width=574&top_left_y=390&top_left_x=638) + +c) Qual é a área máxima da região comum aos dois triângulos? + +## 35 Qual a razão? + +Na figura abaixo, $A B C D$ e $A E F G$ são retângulos e o ponto $F$ pertence à diagonal $A C$. A área do triângulo cinza é igual a $\frac{1}{18}$ da área do retângulo $A E F G$. Qual é o valor de $\frac{A F}{A C}$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-15.jpg?height=317&width=511&top_left_y=1343&top_left_x=681) +A) $\frac{3}{5}$ +B) $\frac{3}{8}$ +C) $\frac{8}{13}$ +D) $\frac{11}{18}$ +E) $\frac{3}{4}$ + +## 36 Um triângulo em quatro partes + +Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo $A B C$ dividido em quatro partes; nesses triângulos, $D$ é ponto médio de $A B, E$ é ponto médio de $A C$ e $F G$ mede $\frac{1}{2} B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-15.jpg?height=320&width=411&top_left_y=2176&top_left_x=728) + +a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de $180^{\circ}$ os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de $D$ e $E$, respectivamente. Explique por que os pontos $M, A$ e $N$ estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo $M A \hat{N}$ é igual a $180^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-16.jpg?height=305&width=491&top_left_y=230&top_left_x=885) + +b) Na figura abaixo, o ponto $K$ é a interseção das retas $J M$ e $L N$. Explique por que os triângulos $F G I$ e MNK são congruentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-16.jpg?height=371&width=434&top_left_y=697&top_left_x=911) + +Os itens acima mostram que $H J K L$ é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo $A B C$ foi dividido. + +c) Mostre que $L H=E F$. + +d) Na figura abaixo o triângulo $A B C$ tem área 9 e $H J K L$ é um quadrado. Calcule o comprimento de $E F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-16.jpg?height=376&width=403&top_left_y=1334&top_left_x=929) + +## 37 As distâncias da formiguinha + +Uma formiguinha fez um passeio em um plano que contém dois pontos fixos $A$ e $B$. O gráfico em linha cheia indica a distância da formiga ao ponto $A$, em função do tempo, ao longo de seu trajeto entre os instantes $t=0$ e $t=9$; o gráfico em linha tracejada dá a mesma informação com relação ao ponto $B$. Por exemplo, no instante $t=7$ a distância da formiga ao ponto $A$ era 5 e a distância ao ponto $B$ era 3 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-16.jpg?height=574&width=600&top_left_y=2106&top_left_x=822) +a) Em que instantes a formiguinha se encontrava à mesma distância de $A$ e de $B$ ? + +b) Qual é a distância entre $A$ e $B$ ? + +c) Em que instantes a formiguinha estava sobre a reta que liga $A$ e $B$ ? + +d) Qual foi a distância percorrida pela formiguinha entre os instantes $t=0$ e $t=9$ ? + +## 38 Triangulações legais + +Dado um pentágono regular, dizemos que um ponto é legal quando: + +- ele é um dos vértices do pentágono, ou +- ele é a interseção de segmentos cujos extremos são pontos legais; esses segmentos são chamados segmentos legais. + +A figura mostra como triangular legalmente (isto é, decompor em partes triangulares usando somente segmentos legais) um pentágono em 3, 5, 9 e 11 triângulos. Os pequenos círculos indicam os pontos legais que aparecem a cada etapa. Note que a decomposição na quinta etapa não é uma triangulação legal, pois uma de suas partes é um quadrilátero. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-17.jpg?height=200&width=1559&top_left_y=934&top_left_x=157) + +a) Desenhe uma triangulação legal do pentágono em 7 triângulos. + +b) Mostre como triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar (maior que 1) de triângulos (a figura abaixo pode ajudar). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-17.jpg?height=183&width=194&top_left_y=1345&top_left_x=837) + +c) Mostre que não é possível triangular legalmente o pentágono em um número par de triângulos. + +## 39 Quadrado legal + +Numa folha de papel marcamos pontos igualmente espaçados na horizontal e na vertical, de modo que o quadrado $A$ tenha área $1 \mathrm{~cm}^{2}$, como na figura. Dizemos que um quadrado é legal se seus vértices são quatro desses pontos; por exemplo, os quadrados $A$ e $B$ são legais. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-17.jpg?height=350&width=1210&top_left_y=1979&top_left_x=296) + +a) Qual é a área do quadrado $B$ ? + +b) Desenhe um quadrado legal de área $13 \mathrm{~cm}^{2}$. + +c) Existe um quadrado legal de área $41 \mathrm{~cm}^{2}$ ? E de área $43 \mathrm{~cm}^{2}$ ? Justifique sua resposta. + +d) Mostre que, para cada quadrado legal, existe outro quadrado legal com o dobro de sua área. + +## Soluções do Nível 3 + +Assunto Aritmética + +## 1 O contrário - Solução + +## ALTERNATIVA E + +Seja $n$ um número de dois algarismos, sendo $a$ seu algarismo das dezenas e $b$ o das unidades; então $n=10 a+b$. Se $a$ e $b$ são ambos diferentes de zero, o contrário de $n$ é $10 b+a$. Desse modo, a soma de $n \mathrm{e}$ de seu contrário é: + +$$ +(10 a+b)+(10 b+a)=11 a+11 b=11(a+b) +$$ + +e, portanto, a soma de um número com seu contrário é sempre um múltiplo de 11. Basta agora notar que todas as opções são múltiplos de 11, com a exceção de 181. + +Pode-se também verificar que as outras opções são todas somas de um número com seu contrário; de fato, $44=13+31,99=18+81,121=29+92$ e $165=69+96$. + +Para explicar como foram encontradas essas expressões, tomemos, como exemplo, $165=11 \times 15$. $\mathrm{O}$ raciocínio inicial mostra que se escolhermos algarismos não nulos $a$ e $b$ de modo que sua soma seja 15, então 165 será a soma do número $10 a+b$ e de seu contrário. Por exemplo, podemos tomar $a=6$ e $b=9$; para essa escolha obtemos a expressão $165=69+96$. Outras escolhas são possíveis; por exemplo, $a=8$ e $b=7$ leva a $165=87+78$. O mesmo raciocínio serve para as outras alternativas. + +## 2 Trocando de ordem os algarismos - Solução + +## ALTERNATIVA E + +A multiplicação pode ser esquematizada como + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-18.jpg?height=114&width=246&top_left_y=1942&top_left_x=1005) + +A solução é baseada nas seguintes observações: + +- O algarismo $a$ só pode ser 1 ou 2 , pois, se fosse $a \geq 3$, então $4 a$ seria um número de 2 algarismos $\mathrm{e}$ portanto o número edcba teria 6 algarismos. Mas $a$ não pode ser 1 pois $e d c b a$, sendo múltiplo de 4 , é par, donde seu último algarismo é par. $\operatorname{Logo} a=2$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-18.jpg?height=117&width=254&top_left_y=2414&top_left_x=1004) + +- O algarismo $e$ só pode ser 8 ou 9 , pois $2 \times 4=8$ e $e d c b a$ tem apenas 5 algarismos. No entanto, $e$ não pode ser 9 porque $9 \times 4$ termina em 6 e não em 2 . $\operatorname{Logo} e=8$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-19.jpg?height=126&width=242&top_left_y=234&top_left_x=813) + +- O algarismo $b$ só pode ser 1 ou 2 , pois $4 \times b$ tem que ser um número de apenas 1 algarismo. Como $a=2$ e os cinco algarismos de abcde são distintos, só podemos ter $b=1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-19.jpg?height=120&width=243&top_left_y=548&top_left_x=815) + +- O algarismo $d$ só pode ser 2 ou 7, pois $4 \times d+3$ é um número terminado em 1. Como $a=2$ e os cinco algarismos de abcde são distintos só podemos ter $d=7$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-19.jpg?height=120&width=243&top_left_y=868&top_left_x=815) + +- O algarismo $c$ só pode ser 9 , pois $4 c+3$ é um número terminado em $c$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-19.jpg?height=122&width=243&top_left_y=1144&top_left_x=815) + +Logo, a resposta é $8+7+9+1+2=27$. + +3 Os discos dão voltas - Solução + +## ALTERNATIVA D + +A figura mostra que os discos $A$ e $B$ giram no mesmo sentido, os discos $B$ e $C$ em sentidos opostos e os discos $C$ e $D$ no mesmo sentido. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-19.jpg?height=400&width=488&top_left_y=1722&top_left_x=681) + +Assim, $D$ gira no sentido anti-horário. Lembramos que o perímetro $p$ de um círculo de raio $r$ é dado por $p=2 \pi$ r. Como o raio do disco $A$ é quatro vezes o de $D$, segue que o perímetro de $A$ também é quatro vezes o perímetro de $D$. Logo $D$ dá quatro voltas para cada volta de $A$. + +Observação: usamos, no argumento acima, o fato de que os raios dos discos $B$ e $C$ são irrelevantes para a resolução desta questão; é interessante mostrar isto rigorosamente. Denotando por $a, b, c$ e $d$ os raios de $A, B, C$ e $D$ e por $n_{a}, n_{b}, n_{c}$ e $n_{d}$ os números de voltas dados pelos discos $A, B, C$ e $D$, respectivamente, então: + +$$ +n_{a} 2 \pi a=n_{b} 2 \pi b, \quad n_{b} 2 \pi b=n_{c} 2 \pi, \quad n_{c} 2 \pi c=n_{d} 2 \pi d +$$ + +o que implica que: + +$$ +n_{a} 2 \pi a=n_{d} 2 \pi d, +$$ + +$\log$, + +$$ +\frac{n_{d}}{n_{a}}=\frac{a}{d} +$$ + +Assim, se $n_{a}=1$ então, usando que $a=8$ e $b=2$, obtemos que $n_{d}=\frac{8}{2}=4$. + +## 4 Uma festa matemática - Solução + +a) Após a venda do ingresso de número 1, foram vendidos 100-1 = 99 ingressos. Logo, quem comprou o primeiro ingresso receberá $99 \times 0,01=0,99$ reais. Do mesmo modo, após a venda do ingresso de número 70 foram vendidos $100-70=30$ ingressos, logo quem comprou esse ingresso receberá $30 \times 0,01=0,30$ reais. + +b) 1a solução: O valor da venda de 100 ingressos é $\mathrm{R} \$ 600,00$. O Grêmio terá que devolver $\mathrm{R} \$ 0,01$ para quem comprou o $99^{\circ}$ ingresso, 2 centavos para o quem comprou o $98^{\circ}$ ingresso e assim por diante, até $\mathrm{R} \$ 0,99$ para quem comprou o $1^{\circ}$ ingresso. No total, o Grêmio terá que devolver, em reais, + +$$ +\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+\cdots+\frac{99}{100}=\frac{1+2+3+\cdots+99}{100}=\frac{\frac{99 \times 100}{2}}{100}=49,50 +$$ + +e seu lucro total, será de $\mathrm{R} \$ 600,00-\mathrm{R} \$ 49,50=\mathrm{R} \$ 550,50$. + +Observação: Notamos que essa solução é baseada na ideia usada para demonstrar a conhecida fórmula para a soma dos termos consecutivos de uma progressão aritmética. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Com os ingressos de número 1 e 100, o Grêmio tem um lucro, em reais, de + +$$ +(6-99 \times 0,01)+(6-0 \times 0,01)=11,01 +$$ + +Com os ingressos de números 2 e 99, o lucro será também de + +$$ +(6-98 \times 0,01)+(6-1 \times 0,01)=11,01 +$$ + +Aplicando o mesmo argumento também para os pares de ingressos de números 3 e 98,4 e 97, .., 50 e 51, obtemos um total de 50 pares, cada um dando ao Grêmio um lucro de R\$11,01. Logo, o lucro do Grêmio será de $50 \times \mathrm{R} \$ 11,01=\mathrm{R} \$ 550,50$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-20.jpg?height=45&width=1528&top_left_y=1551&top_left_x=338) + +$$ +\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+\cdots+\frac{x-1}{100}=\frac{1+2+3+\cdots+(x-1)}{100}=\frac{\frac{(x-1) x}{2}}{100}=\frac{x^{2}-x}{200} +$$ + +Assim, denotando por $L(x)$ o lucro do Grêmio com a venda de $x$ ingressos, temos que: + +$$ +L(x)=6 x-\frac{x^{2}-x}{200}=\frac{1201 x-x^{2}}{200}=\frac{x(1201-x)}{200} +$$ + +O gráfico de $L(x)$ é uma parábola e o valor máximo de $L(x)$ ocorre quando $x=600,5$. Para ver isto não é necessário usar a fórmula para os pontos de máximo ou mínimo, basta observar a simetria do gráfico dessa parábola, desenhado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-20.jpg?height=552&width=662&top_left_y=2094&top_left_x=797) + +Como a quantidade de ingressos é um número inteiro, o lucro máximo do Grêmio será atingido quando forem vendidos 600 ou 601 ingressos. Como esses pontos são simétricos com relação a 600,5 o lucro será o mesmo em qualquer caso. Esse lucro é $L(600)=\frac{600(1201-600)}{200}=1803$ reais. $2{ }^{\text {a }}$ solução: Podemos pensar que o comprador do ingresso de número $n$ paga ao Grêmio $\mathrm{R} \$ 6,00$, e que dessa quantia o Grêmio vai retirar $\mathrm{R} \$ 0,01$ para cada um dos compradores anteriores. Logo, denotando por $f(n)$ o lucro (em reais) do Grêmio com o ingresso de número $n$, temos que: + +$$ +f(n)=6-(n-1) \times 0,01=6,01-0,01 \times n +$$ + +Segue que o lucro do Grêmio por ingresso diminui de $\mathrm{R} \$ 0,01$ a cada ingresso vendido (ou seja, a função $f$ é decrescente). Como o lucro do Grêmio com o ingresso de número 601 é $f(601)=6-(601-1) \times 0,01=0$ reais e a função $f$ é decrescente, vemos que o lucro do Grêmio é positivo para todos os ingressos de número menor que 601, e negativo para todos os ingressos de número maior que 601. Logo, o lucro total do Grêmio será o maior possível quando forem vendidos 600 (ou 601) ingressos, pois somente depois da venda do ingresso de número 601, o Grêmio passaria a ter prejuízos (isto é, lucro negativo) com a venda de cada ingresso adicional. + +$3^{\mathrm{a}}$ solução: O comprador do último ingresso não recebe nada de volta, ou seja, o Grêmio vai lucrar $\mathrm{R} \$ 6,00$ com seu ingresso; o comprador do penúltimo ingresso recebe $\mathrm{R} \$ 0,01$ de volta, logo o Grêmio vai lucrar $\mathrm{R} \$ 5,99$ com seu ingresso. Desse modo, o lucro total do Grêmio (em reais) com a venda dos ingressos é + +$$ +6,00+5,99+5,98+\cdots+(\text { lucro com o ingresso de número } 1) +$$ + +e segue que esse lucro total aumenta com a adição de novos compradores contando que o lucro com o ingresso de número 1 seja positivo. + +O lucro com o ingresso número 1 é $6-(x-1) \times 0,01$ reais, onde $x$ é o número de ingressos vendidos. A equação $6-(x-1) \times 0,01=0$ tem raiz $x=601$, logo o lucro com o ingresso de número 1 é positivo se $x<601$. Desse modo, o lucro máximo será atingido quando o Grêmio vender 600 ingressos (ou 601, visto que o ingresso de número 601 dá lucro de 0 reais). + +## 5 A maior soma - Solução + +## ALTERNATIVA B + +Para qualquer disposição dos algarismos, a soma dos vizinhos "juntados" terá sempre nove parcelas, sem repetição de algarismos nas unidades ou nas dezenas. O único algarismo que não aparece nas unidades é o primeiro e o único que não aparece nas dezenas é o último. Para que a soma seja máxima, o algarismo 0 não deve comparecer nas dezenas e, portanto, deve ser o último; além disso, o menor dos algarismos $1,2, \ldots, 9$ não deve aparecer nas unidades e, portanto, o 1 deve ser o primeiro. Concluímos que a soma é máxima para qualquer escolha onde 1 é o primeiro algarismo e 0 o último. Nesse caso, a soma das unidades será $0+2+3+4+5+6+7+8+9=44$ e a soma das dezenas será $10+20+30+40+50+60+70+80+90=450$; a soma máxima é então $450+44=494$. + +Algebricamente, podemos escrever esse argumento como segue. Seja $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ uma disposição qualquer dos algarismos de 0 até 9 na primeira linha. Na segunda linha da tabela do enunciado dessa questão, aparecerão os números $a_{1} a_{2}, a_{2} a_{3}, \ldots, a_{9} a_{10}$. Usando a representação decimal, a soma desses números pode ser escrita na forma + +$$ +\begin{aligned} +S & =a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{9} a_{10} \\ +& =\left(10 a_{1}+a_{2}\right)+\left(10 a_{2}+a_{3}\right)+\cdots+\left(10 a_{9}+a_{10}\right) \\ +& =10 \times\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}\right)+\left(a_{2}+\cdots a_{9}+a_{10}\right)-10 a_{10}-a_{1} \\ +& =11 \times\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}+a_{10}\right)-10 a_{10}-a_{1} \\ +& =45 \times 11-10 a_{10}-a_{1} \\ +& =495-10 a_{10}-a_{1} +\end{aligned} +$$ + +Logo, o valor máximo de $S$ é atingido quando $a_{10}=0$ e $a_{1}=1$, e, nesse caso, vale $495-10 \times 0-1=494$. + +## 6 Correndo na medida certa - Solução + +a) Uma volta completa em torno de uma pista tem extensão $1 \mathrm{~km}+2 \mathrm{~km}+6 \mathrm{~km}+4 \mathrm{~km}=13 \mathrm{~km}$. Por isso, para percorrer $14 \mathrm{~km}$ é preciso dar uma volta completa e percorrer mais $1 \mathrm{~km}$. A única forma de percorrer $1 \mathrm{~km}$ respeitando-se o sentido da corrida é começando em $A$ e terminando em $B$. Portanto a corrida deve começar em $A$, dar uma volta completa e terminar em $B$. + +b) Como $100=7 \times 13+9$, uma corrida de $100 \mathrm{~km}$ corresponde a dar 7 voltas completas na pista e percorrer mais $9 \mathrm{~km}$. A única forma de percorrer $9 \mathrm{~km}$ respeitando-se o sentido da corrida é começando em $A$ e terminando em $D$. Portanto a corrida deve começar em $A$, dar 7 voltas completas e terminar em $D$. + +c) Como sugerido nos itens anteriores, a solução do problema está baseada na ideia de "dar uma certa quantidade de voltas" sem exceder o comprimento da corrida e depois localizar trechos convenientes para percorrer a "distância restante". Do ponto de vista matemático, esse procedimento corresponde a efetuar o algoritmo de divisão com divisor igual a 13, ou seja, a escrever + +$$ +\begin{aligned} +\text { dividendo }(\text { comprimento da corrida })= & 13 \text { (divisor) } \times \text { quociente (número de voltas) } \\ +& + \text { resto (distância restante), } +\end{aligned} +$$ + +sendo o resto um número natural menor do que 13. Logo o resto só pode ser um dos números 1, 2, 3, $4,5,6,7,8,9,10,11$ e 12. Por inspeção direta podemos verificar como realizar corridas com qualquer extensão de $1 \mathrm{~km}$ a $13 \mathrm{~km}$. Os resultados estão dispostos na seguinte tabela: + +| Extensão em km | Ponto de partida | Ponto de chegada | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{~B}$ | +| 2 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{C}$ | +| 3 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{C}$ | +| 4 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{A}$ | +| 5 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{B}$ | +| 6 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{D}$ | +| 7 | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{C}$ | +| 8 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{D}$ | +| 9 | $\mathrm{~A}$ | $\mathrm{D}$ | +| 10 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{A}$ | +| 11 | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ | +| 12 | $\mathrm{~B}$ | $\mathrm{~A}$ | +| 13 | Qualquer um | O mesmo da partida | + +Vejamos agora que é possível realizar corridas com qualquer comprimento inteiro maior do que $13 \mathrm{~km}$. Para isso basta ver que temos duas possibilidades: + +1. Primeiro caso: a extensão é um múltiplo de $13 \mathrm{~km}$. + +Nesse caso, basta escolhermos qualquer posto e então realizarmos uma corrida que começa e termina nesse posto dando o número de voltas completas que é o quociente entre a extensão da corrida e 13 . + +Por exemplo, se a extensão da corrida é de $208 \mathrm{~km}=16 \times 13 \mathrm{~km}$, basta dar 16 voltas completas na pista. + +2. Segundo caso: a extensão não é um múltiplo de $13 \mathrm{~km}$. + +Nesse caso, calculamos o quociente e o resto da divisão da extensão da corrida por 13. O resto será um dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. A tabela acima fornece os postos de partida e de chegada da corrida. O número de voltas será igual ao quociente. + +Por exemplo, se a extensão da corrida é $109 \mathrm{~km}=(8 \times 13+5) \mathrm{km}$, ela deve começar no posto $D$, dar 8 voltas completas, retornando então a $D$, e depois percorrer o trecho de $D$ a $B$. + +## Severina, Catarina e os números - Solução + +a) $1^{a}$ solução: Sejam $a, b, c$ e $d$ os números escritos nos lados do quadrado no sentido horário. Os números associados aos vértices são, portanto, $a b, b c, c d$ e $d a$, e sua soma é + +$$ +a b+b c+c d+d a=b(a+c)+d(a+c)=(a+c)(b+d)=85 \times 60=5100 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-23.jpg?height=431&width=463&top_left_y=527&top_left_x=705) + +$2^{a}$ solução: Sejam $a$ e $b$ dois lados adjacentes do quadrado e 60 - a e $85-b$ os outros dois. Então, a soma dos produtos dos comprimentos de lados adjacentes é + +$$ +a b+b(60-a)+(60-a)(85-b)+(85-b) a=5100 +$$ + +b) Sejam $(a, b),(m, n)$ e $(s, y)$ os pares de números escritos em faces opostas do cubo. Os números associados aos vértices são, portanto, $a m x, a n x, a m y, a n y, b m x, b n x, b m y$ e $b n y$, e sua soma é + +$$ +\begin{aligned} +105 & =a m x+a n x+a m y+a n y+b m x+b n x+b m y+b n y \\ +& =a(m x+n x+m y+n y)+b(m x+n x+m y+n y) \\ +& =(a+b)(m x+n x+m y+n y) \\ +& =(a+b)[(m+n) x+(m+n) y] \\ +& =(a+b)(m+n)(x+y) +\end{aligned} +$$ + +Como 105 se fatora em fatores primos como $105=3 \times 5 \times 7$ e os números $a+b, m+n$ e $x+y$ são inteiros maiores que 1 , segue que $a+b, m+n$ e $x+y$ devem ser iguais a 3,5 e 7 (em alguma ordem). Logo $a+b+m+n+x+y=3+5+7=15$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-23.jpg?height=486&width=643&top_left_y=1750&top_left_x=615) + +Na figura os números $a$ e $b$ estão escritos, respectivamente, na frente e atrás do cubo, os números $m$ e $n$ embaixo e em cima e os números $x$ e $y$ à esquerda e à direita. + +## 8 Simpáticos números - Solução + +a) Lembrando que $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$, podemos simplificar a expressão $(3 x+1)^{2}+(4 x+2)^{2}-(5 x+2)^{2}$ como segue: + +$$ +(3 x+1)^{2}+(4 x+2)^{2}-(5 x+2)^{2}=9 x^{2}+6 x+1+16 x^{2}+16 x+4-25 x^{2}-20 x-4 +$$ + +$$ +=(9+16-25) x^{2}+(6+16-20) x+(1+4-4)=2 x+1 +$$ + +b) Notando que: + +$$ +(3 x-m)^{2}+(4 x-n)^{2}-(5 x-5)^{2}=-(6 m+8 n-50) x+\left(m^{2}+n^{2}-25\right) +$$ + +devemos encontrar inteiros $m$ e $n$ tais que: + +$$ +-(6 m+8 n-50) x+\left(m^{2}+n^{2}-25\right)=2 x +$$ + +para todos os valores de $x$. + +Isso só é possível se $m^{2}+n^{2}-25=0$ e $-(6 m+8 n-50)=2$, simultaneamente. Isto é equivalente a, $m^{2}+n^{2}=25$ e $3 m+4 n=24$. + +As soluções para a equação $m^{2}+n^{2}=25$ estão dispostas na tabela abaixo: + +| $\mathbf{m}$ | 0 | $\pm 3$ | $\pm 4$ | $\pm 5$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathbf{n}$ | $\pm 5$ | $\pm 4$ | $\pm 3$ | 0 | + +Uma verificação direta mostra que, dentre as escolhas contidas nessa tabela, apenas os valores $m=4 \mathrm{e}$ $n=3$ satisfazem a equação $3 m+4 n=24$. + +c) Do enunciado temos $4^{2}+7^{2}-8^{2}=1$. Multiplicando esta expressão por $2^{2}$, obtemos $2^{2} \cdot 4^{2}+2^{2}$. $7^{2}-2^{2} \cdot 8^{2}=4$, ou seja, $8^{2}+14^{2}-16^{2}=4$, o que mostra que 4 é simpático. Outras expressões são $4=5^{2}+10^{2}-11^{2}=6^{2}+7^{2}-9^{2}=7^{2}+22^{2}-23^{2}$ e, mais geralmente, $4=(3 k+4)^{2}+(4 k+2)^{2}-(5 k+4)^{2}$ para $k>2$. + +d) Vamos dividir o argumento para números ímpares e pares. + +- Números ímpares: + +Seja $n=2 k+1$ um número ímpar maior que 1 , ou seja, com $k>0$. O item a) mostra que fazendo $a=3 k+1, b=4 k+2$ e $c=5 k+2$ temos $n=a^{2}+b^{2}-c^{2}$. Notamos que $a0$. Como já sabemos que 1 é simpático, segue que todo número ímpar positivo é simpático. + +- Números pares: + +Seja $n=2 k$ um número par maior que 4 , ou seja, $\operatorname{com} k>2$. Aqui o item $b$ ) mostra que fazendo $a=3 k-4, b=4 k-3$ e $c=5 k-5$ temos $n=a^{2}+b^{2}-c^{2}$. Notamos que $a2$. Como já sabemos que 2 e 4 são simpáticos, segue que todo número par positivo é simpático. Concluímos, então, que todos os inteiros positivos são simpáticos. + +Curiosidade: A fórmula geral que apresentamos abaixo (entre outras) mostra que todo número positivo $n$ é simpático: + +$$ +n=(n+3)^{2}+\left(\frac{n^{2}+5 n+8}{2}\right)^{2}-\left(\frac{n^{2}+5 n+8}{2}+1\right)^{2} +$$ + +## 9 Números em um quadrado - Solução + +a) Somar as somas das linhas é o mesmo que somar todos os números no quadrado; assim, a soma das somas das linhas é $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. O mesmo se pode dizer da soma das somas das colunas, e concluímos que a soma de todas as somas é $2 \times 45=90$. Logo, a soma que está faltando é $90-(9+13+14+17+18)=90-71=19$. + +b) $1^{a}$ solução: Se todas as somas fossem pares, as somas das três linhas seriam pares e sua soma seria par. Mas isso é impossível pois, como vimos acima, a soma das somas das três linhas é 45 , que é um número ímpar + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Ao distribuir os números no quadrado, uma linha pode ter no máximo três números ímpares. Por outro lado, há cinco números ímpares de 1 a 9, a saber, 1,3,5,7 e 9. As maneiras de escrever 5 como soma de inteiros menores ou iguais a 3 são $5=2+3=1+1+3=1+2+2$. Como em qualquer dessas somas aparecem as parcelas 1 ou 3 , concluímos que pelo menos uma linha de um quadrado preenchido conterá um ou três números ímpares, sendo os restantes pares. Em qualquer caso, obtemos uma linha cuja soma é ímpar. + +c) Vamos estender um pouco essa solução para determinar não apenas um, mas todos os quadrados que têm as somas dadas. Antes de começar, notamos que trocar a ordem de duas linhas (ou de duas colunas) não altera as somas de um quadrado. Os seis números do resultado final devem ser separados em dois +grupos de três números cada, cujas somas sejam iguais a 45. No primeiro grupo, cada número é a soma de uma linha e, no outro, a soma de cada coluna. De acordo com o item anterior, cada grupo deve conter um número ímpar; logo 7 e 13 devem ficar em conjuntos diferentes. Segue imediatamente que a única possibilidade é separar as somas nos grupos 7, 16, 22 e 13,14, 18; podemos então supor que as somas das linhas são 7, 16, 22 e as somas das colunas são 13, 14, 18 . + +Como a única maneira de obter a soma 7 é $1+2+4=7$, podemos começar a preencher o quadrado como abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-25.jpg?height=132&width=214&top_left_y=565&top_left_x=824) + +Suponhamos que a soma da segunda linha seja 22; as únicas possibilidades para a soma 22 são $5+8+9=22$ e $6+7+9=22$, que vamos considerar separadamente. + +Suponhamos primeiro que na segunda linha aparecem os números 5,8 e 9. Aqui o 5 não pode aparecer na coluna do 4 , pois $4+5=9$ e para obter uma das somas 13,14 ou 18 nessa coluna o terceiro número deveria ser 4,5 ou 9 , respectivamente, o que não pode acontecer pois o 4 já foi usado enquanto que 5 e 9 aparecem na segunda linha; argumento análogo mostra que o 9 também não pode aparecer na coluna do 4 , ou seja, o 8 aparece abaixo do 4 . Como $4+8=12$ e tanto o 1 como o 2 já foram usados, a soma dessa coluna não pode ser 13 ou 14; logo a soma é 18. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-25.jpg?height=157&width=240&top_left_y=1115&top_left_x=814) + +Podemos agora completar o quadrado das seguintes maneiras: + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 5 | 9 | 8 | +| 2 | 22 | | +| 7 | 3 | 6 | +| 13 | 14 | 18 | + + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 9 | 5 | 8 | +| 3 | 22 | | +| 3 | 7 | 6 | +| 13 | 14 | 18 | + +Deixamos para o(a) leitor(a) mostrar que, quando na segunda linha aparecem os números 6, 7 e 9, as possibilidades são: + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 7 | 9 | 6 | +| 5 | 3 | 8 | + + +| 1 | 2 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | +| 9 | 6 | 7 | +| 8 | 5 | 3 | + + +| 1 | 2 | 4 | 7 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 7 | 6 | | +| 3 | 5 | 8 | 16 | +| 13 | 14 | 18 | | + + +| 1 | 2 | 4 | 7 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 9 | 7 | 6 | 2 | +| 8 | 5 | 3 | 16 | +| 18 | 13 | 14 | | + +Desse modo, existem apenas seis quadrados com as somas do enunciado, a menos de troca de posição de linhas, troca de posição de colunas e troca das linhas pelas colunas. + +## 10 Correria - Solução + +## ALTERNATIVA A + +Seja $x$ o comprimento em metros da pista. A distância entre Bernardo e Carlos era de 10 metros quando Alberto cruzou a linha de chegada, e era de 16 metros quando Bernardo cruzou a linha de chegada. Vemos assim que, durante o intervalo de tempo no qual Alberto e Bernardo completaram a corrida, Bernardo correu 36 metros enquanto Carlos correu 30; logo + +$$ +\frac{\text { velocidade de Carlos }}{\text { velocidade de Bernardo }}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6} +$$ + +Como Bernardo cruzou a linha de chegada 16 metros à frente de Carlos, temos a equação $\frac{5}{6}=\frac{x-16}{x}$, cuja solução é $x=96$. + +## 11 Resolvendo o problema da calculadora - Solução + +a) A seguir vemos o que acontece quando começamos com o número 3 no visor e apertamos as teclas na ordem $B B A B$ : + +$$ +3 \xrightarrow{\text { B }} 3+3=6 \xrightarrow{\text { B }} 6+3=9 \xrightarrow{\text { A }} 9^{2}=81 \xrightarrow{\text { B }} 81+3=84 +$$ + +Logo, o número que vai aparecer no visor é 84 . + +b) Uma maneira é apertar as teclas na ordem $B B A B B$, como vemos a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-26.jpg?height=77&width=857&top_left_y=658&top_left_x=702) + +Outra maneira é apertar a tecla $B$ dezoito vezes seguidas; ainda outra é $B A$ seguida de treze $B$ 's. + +c) $1^{a}$ solução: Se o número que aparece no visor após apertar as teclas $A$ e $B$ algumas vezes não é um quadrado perfeito, a última tecla apertada foi necessariamente a tecla $B$. Desse modo, se o 54 aparece no visor, podemos reconstruir parcialmente a sequência das teclas apertadas até chegar a 54: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-26.jpg?height=75&width=1082&top_left_y=979&top_left_x=590) + +Chegamos a 36, que é um quadrado perfeito. Aqui temos as possibilidades + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-26.jpg?height=82&width=528&top_left_y=1164&top_left_x=867) + +e + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-26.jpg?height=74&width=1573&top_left_y=1345&top_left_x=344) + +Como 9 é um quadrado perfeito, essa última sequência nos dá também duas possibilidades, a saber, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-26.jpg?height=83&width=491&top_left_y=1535&top_left_x=885) + +e + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-26.jpg?height=77&width=346&top_left_y=1686&top_left_x=952) + +Vemos assim que é possível chegar a 54 a partir de 0 e 3, mas não a partir de 2 . + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Se um número inteiro $x$ não é múltiplo de 3 então: + +- $x+3$ não é múltiplo de 3 . + +De fato, se $x+3$ fosse múltiplo de 3 , poderíamos escrever $x+3=3 y$ para algum inteiro $y$ e então $x=3 y-3=3(y-1)$ seria múltiplo de 3 , absurdo. + +- $x^{2}$ não é múltiplo de 3. + +De fato, os fatores primos de $x$ e $x^{2}$ são os mesmos; assim, se 3 não é fator primo de $x$ então também não será fator primo de $x^{2}$. + +Assim, começando com um número que não é múltiplo de 3 no visor, não é possível chegar a um múltiplo de 3 apertando as teclas $A$ e $B$. Como 2 não é múltiplo de 3 e $54=3 \times 18$ é múltiplo de 3 , concluímos que não se pode chegar a 54 a partir do 2. + +$3^{\mathrm{a}}$ solução: Vamos tentar chegar a 54 a partir do 2. Como 54 não é múltiplo de 3, vemos que não é possível usar apenas a tecla $B$, ou seja, a tecla $A$ deve ser usada pelo menos uma vez. Por outro lado, a tecla $A$ só pode ser usada em números menores ou iguais a 7. Os números obtidos a partir do 2 que são menores ou iguais a 7 são $2,4=2^{2}, 5=2+3$ e $7=2^{2}+3$; seus quadrados são $4,16,25$ e 49 . A partir de 16,25 e 49 não podemos usar a tecla $A$ outra vez, e como nenhum desses números difere de 54 por um múltiplo de 3, vemos que a partir deles não é possível chegar a 54; o mesmo argumento se aplica ao 4 e a seu quadrado 16. Logo, não é possível obter 54 a partir do 2. + +$4^{\mathrm{a}}$ solução: Notamos primeiro que começando do 2 e apertando apenas duas teclas quaisquer, o maior resultado possível é 24 (sequência $B A$ ), ou seja, não se chega ao 54. Vamos agora ver o que acontece quando o 2 está no visor e apertamos três teclas. + +| Sequência de teclas | Resultado | +| :---: | :---: | +| AAA | 256 | +| AAB | 19 | +| ABA | 49 | +| BAA | 125 | +| ABB | 10 | +| BAB | 28 | +| BBA | 64 | +| BBB | 11 | + +Podemos eliminar as sequências $A A A, B A A$ e $B B A$ de nossas considerações, pois elas levam a resultados maiores que 54. Para chegar ao 54 a partir dos resultados das outras sequências, não podemos usar a tecla $A$, pois isso nos daria resultados maiores que 54. Por outro lado, a diferença entre 54 e qualquer dos números 19,49,10, 28 e 11 não é um múltiplo de 3 , ou seja, também não podemos chegar ao 54 a partir desses números apenas com a tecla $B$. Logo, não é possível chegar ao 54 a partir do 2 . + +## 12 Cartas marcadas - Solução + +## ALTERNATIVA E + +O leitor pode verificar que, se Estefânia embaralhar as cartas 6 vezes, elas voltarão à posição inicial. Como $74=12 \times 6+2$, embaralhar as cartas 74 vezes tem o mesmo efeito que fazê-lo duas vezes, o que deixa a carta $E$ no topo da pilha. + +13 Paula escreve números - Solução + +## ALTERNATIVA C + +A flecha que aponta para baixo na tabela passa pelos quadrados dos números ímpares: $1^{2}=1,3^{2}=9$, $5^{2}=25$ e assim por diante. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-27.jpg?height=534&width=605&top_left_y=1709&top_left_x=631) + +Vamos chamar de $a_{n}$ o $n$-ésimo termo de nossa sequência; por exemplo, $a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=13 \mathrm{e}$ $a_{4}=31$. Observando a tabela, vemos que + +$$ +\begin{aligned} +& 1^{2} \xrightarrow{1 \text { casa para a direita }} 1^{2}+1=2 \xrightarrow{1 \text { casa para cima }} 1^{2}+1+1=3=a_{2} \\ +& 3^{2} \xrightarrow{1 \text { casa para a direita }} 3^{2}+1=10 \xrightarrow{3 \text { casas para cima }} 3^{2}+1+3=13=a_{3} \\ +& 5^{2} \xrightarrow{1 \text { casa para a direita }} 5^{2}+1=26 \xrightarrow{5 \text { casas para cima }} 5^{2}+1+5=31=a_{4} +\end{aligned} +$$ + +e assim por diante. Vemos, então, que a lei de formação da sequência, a partir de $a_{2}$, é + +$$ +\begin{aligned} +& a_{2}=\left[1^{\mathrm{o}} \text { impar }\right]^{2}+1+1^{\mathrm{o}} \text { ímpar } \\ +& a_{3}=\left[2^{\mathrm{o}} \text { impar }\right]^{2}+1+2^{\mathrm{o}} \text { impar } \\ +& a_{4}=\left[3^{\mathrm{o} \text { impar }}\right]^{2}+1+3^{\mathrm{o} \text { impar }} +\end{aligned} +$$ + +e, em geral, + +$$ +a_{n}=\left[(n-1)^{\circ} \text { ímpar }\right]^{2}+1+(n-1)^{\circ} \text { ímpar } +$$ + +Logo, $a_{30}=\left[29^{\circ} \mathrm{i} m p a r\right]^{2}+1+29^{\circ}$ ímpar, e como o $29^{\circ}$ número ímpar é 57 segue que $a_{30}=57^{2}+1+57=3307$. Mais geralmente, o $(n-1)^{\circ}$ número ímpar é $2(n-1)-1=2 n-3$ e segue que $a_{n}=(2 n-3)^{2}+1+(2 n-3)=$ $4 n^{2}-10 n+7$. + +## Combinatória + +## 14 Futebol matemático - Solução + +a) O time $B$ não perdeu nenhuma partida, logo empatou ou ganhou de $A$. Mas $A$ não empatou nenhuma partida, $\operatorname{logo} A$ perdeu de $B$. + +b) O time $A$ perdeu uma partida. Se tivesse perdido exatamente mais um jogo, teria 6 pontos. Mas $B$ tem no mínimo 6 pontos, pois venceu $A$ e não perdeu nenhuma das outras três partidas. Como $A$ tem mais pontos que $B$, concluímos que $A$ perdeu somente para $B$; e como $A$ não empatou nenhuma partida, venceu as outras três. Logo $A$ obteve 9 pontos. + +c) $1^{\mathrm{a}}$ solução: Como o time $B$ não perdeu para nenhum outro time, ele ganhou 1 ou 3 pontos em cada partida, isto é, sempre um número ímpar de pontos. Como a soma de quatro números ímpares é par, vemos que $B$ terminou o torneio com um número par de pontos. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como ficou em segundo lugar, o time $B$ fez menos do que 9 pontos, portanto venceu uma ou duas partidas. Como ele jogou quatro partidas, se venceu uma delas então empatou três, finalizando com 6 pontos; se venceu duas então empatou duas, finalizando com 8 pontos. Logo, as possibilidades para o número de pontos que $B$ obteve nesse torneio são 6 e 8 , ambos números pares. + +d) De acordo com os itens anteriores, $A$ perdeu de $B$ e venceu $C, D$ e $E$. Dos 6 jogos restantes, 5 foram empates. Se $B$ tivesse só 2 empates, então todos os jogos entre $C, D$ e $E$ seriam empates e os dois desses times que empataram com $B$ terminariam empatados, o que contraria o enunciado. Logo, os três jogos de $B$ contra $C$, $D$ e $E$ foram empates. Como houve um total de 5 empates, 2 dos jogos entre $C, D$ e $E$ foram empates. Como a ordem de classificação é $C, D, E$, a única vitória foi de $C$ contra $E$. Temos, assim, a tabela de resultados abaixo. + +| $A$ | $A$ | $A$ | $A$ | $B$ | $B$ | $B$ | $C$ | $C$ | $D$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | +| $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $C$ | $D$ | $E$ | $D$ | $E$ | $E$ | + +## 15 Quixajuba disputa um torneio - Solução + +a) O número total de partidas disputadas no torneio é $3+2+1=6$. Como 6 não é divisível por 4 , o torneio não pode acabar com os quatro times tendo o mesmo número de vitórias. + +b) $1^{a}$ solução: Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve ganhar todas as suas partidas. De fato, se ele ganhar duas ou menos então os outros três times dividirão pelo menos quatro vitórias entre si, e assim algum deles deve ter pelo menos duas vitórias; nesse caso, o Quixajuba não seria o campeão isolado. Para cada um dos três jogos entre os outros times há duas possibilidades. Logo, o +número de maneiras do Quixajuba terminar sozinho em primeiro lugar é $1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2=8$. Como há $2^{6}=64$ resultados possíveis para as seis partidas, a probabilidade de o Quixajuba ser o campeão isolado é $\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$. + +2a solução: Argumentamos como acima que o Quixajuba será o campeão isolado se e somente se ele vencer suas três partidas. Como a probabilidade de o Quixajuba ganhar um jogo contra qualquer dos outros times é $\frac{1}{2}$, a probabilidade de ele ganhar suas três partidas é $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$. + +c) Suponhamos que os times sejam $A, B, C$ e $D$ e que o torneio termine com $D$ isolado em último lugar. Então $D$ perdeu todas suas partidas; de fato, + +- se $D$ tivesse ganho suas três partidas, teria terminado o torneio em primeiro lugar (como vimos no item anterior); +- se $D$ tivesse ganho duas (ou uma) partidas, os outros times dividiriam quatro (ou cinco) vitórias entre si; neste caso, pelo menos um deles teria ganho no máximo uma partida e assim $D$ não teria ficado em último lugar isolado. + +Logo $A, B$ e $C$ dividem entre si as seis vitórias, ou seja, cada um deles ganhou duas vezes; uma contra $D$ e uma contra um dos outros. Para as partidas entre $A, B$ e $C$ temos apenas duas possibilidades: $A$ ganhou de $B$ que ganhou de $C$ que ganhou de $A$, ou $A$ ganhou de $C$ que ganhou de $B$ que ganhou de $A$. Em resumo, há apenas duas possibilidades para que $A, B$ e $C$ dividam a liderança, e neste caso $D$ acaba o torneio em último lugar isolado. Como qualquer um dos times pode acabar em último lugar isolado, enquanto os outros dividem a liderança, segue que o número de possibilidades para que isto aconteça é $4 \times 2=8$. Por outro lado, o número total de possibilidades para os resultados das seis partidas é $2^{6}=64$. Logo a probabilidade de que três times dividam a liderança é $\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$. + +## 16 O sorteio do livro - Solução + +a) Para André ganhar o livro ele deve retirar a bola preta. Como a caixa contém quatro bolas das quais apenas uma é preta, a probabilidade de ele retirar a bola preta é $\frac{1}{4}$. + +Uma outra solução aparece na $2^{\mathrm{a}}$ solução do item $b$ ). + +b) 1a solução: Para Dalva ganhar o livro, André, Bianca e Carlos devem retirar bolas brancas. Como inicialmente a caixa contém 3 bolas brancas, a probabilidade de André retirar uma bola branca é $\frac{3}{4}$. Supondo que André tire uma bola branca, sobrarão na caixa 2 bolas brancas e 1 preta; assim, a probabilidade de Bianca tirar uma bola branca é $\frac{2}{3}$. Do mesmo modo, se André e Bianca tirarem bolas brancas, a probabilidade de Carlos tirar uma bola branca será $\frac{1}{2}$. Assim, a probabilidade de André, Carlos e Bianca tirarem bolas brancas é $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, que é a probabilidade de Dalva ganhar o livro. Raciocínio semelhante mostra que a probabilidade de qualquer um dos amigos ganhar o livro é $\frac{1}{4}$, ou seja, o sorteio é justo e a ordem em que eles retiram as bolas não tem importância. Para entender melhor isso, veja a seguinte solução. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Mantendo as regras do sorteio, vamos pintar uma bola branca de azul e outra de vermelho; temos então quatro bolas diferentes na caixa. O número de sorteios possíveis passa a ser $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$; desses, Dalva ganha o livro quando André, Bianca e Carlos ficam com as bolas branca, azul e vermelha, o que pode acontecer de $3 \times 2 \times 1=6$ maneiras diferentes. Logo, a probabilidade de Dalva ganhar o livro é $\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$. Esse raciocínio se aplica a qualquer um dos amigos, justificando assim o comentário anterior sobre a justiça do sorteio. + +c) $1^{a}$ solução: André pode ganhar o livro de duas maneiras, a saber, quando a primeira bola retirada for preta ou então quando as quatro primeiras bolas retiradas forem brancas e a quinta preta. A probabilidade no primeiro caso é $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ e no segundo é $\frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{28}$. Assim, a probabilidade procurada é $\frac{1}{4}+\frac{3}{28}=\frac{5}{14}$. + +$2^{a}$ solução: A probabilidade de que André ganhe o livro na primeira rodada, como visto acima, é $\frac{1}{4}$. Para calcular a probabilidade de que ele ganhe o livro na segunda rodada vamos calcular os casos possíveis e os casos favoráveis. As primeiras cinco bolas podem ser sorteadas de $8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$ maneiras. Para que André ganhe o livro na quinta bola, as quatro primeiras bolas devem ser brancas e a quinta preta, o que pode ocorrer de $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2$ maneiras. Logo a probabilidade de que André ganhe o livro na quinta bola sorteada é $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}=\frac{3}{28}$. Assim, a probabilidade procurada é $\frac{1}{4}+\frac{3}{28}=\frac{5}{14}$. + +d) $1^{a}$ solução: Dalva só vai ganhar o livro no caso em que as três primeiras bolas sorteadas sejam brancas e a quarta preta; de fato, se as quatro primeiras bolas sorteadas forem brancas, sobrarão na caixa duas +brancas e duas pretas e uma bola preta será retirada antes que chegue a sua vez. Assim, a probabilidade de que Dalva ganhe o livro é $\frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{7}=\frac{2}{14}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Dalva só pode ganhar o livro no caso em que as três primeiras bolas sorteadas sejam brancas e a quarta preta. As quatro primeiras bolas podem ser sorteadas de $8 \times 7 \times 6 \times 5$ modos. Para que Dalva ganhe o livro, as três primeiras devem ser brancas e a quarta preta, o que pode ocorrer de $6 \times 5 \times 4 \times 2$ modos. Logo, a probabilidade de que Dalva ganhe o livro é $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5}=\frac{1}{7}=\frac{2}{14}$. + +Fica como exercício para o(a) leitor(a) mostrar que as probabilidades de Bianca e Carlos ganharem o livro são, respectivamente, $\frac{4}{14} \mathrm{e} \frac{3}{14}$. O André foi bem esperto em propor esse novo sorteio! + +Observação: Escrevemos todas as probabilidades como frações com o mesmo denominador para compará-las mais rapidamente e também para facilitar a verificação de que a soma de todas é igual a 1. + +## 17 Ímpar soma, par divide - Solução + +a) A sequência é $37 \rightarrow 38 \rightarrow 19 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. + +b) A única sequência de comprimento 3 é $4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. As sequências de comprimento 4 são $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow$ 1 e $8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$; elas são obtidas a partir de $4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$, a primeira acrescentando $4-1=3$ à esquerda e a segunda acrescentando $2 \times 4=8$ à esquerda. Do mesmo modo, a sequência ímpar $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ dá origem à sequência par $6 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$; a sequência par $8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ dá origem à sequência ímpar $7 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ e à sequência par $16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. Temos assim as três únicas sequências de comprimento 5 , sendo duas pares e uma ímpar. O raciocínio pode ser representado pelo esquema abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-30.jpg?height=171&width=643&top_left_y=1248&top_left_x=815) + +c) 1 solução: Repetindo o esquema do item anterior, temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-30.jpg?height=489&width=988&top_left_y=1566&top_left_x=640) + +e assim temos três sequências pares e duas ímpares de comprimento 6 e cinco sequências pares e três ímpares de comprimento 7 . + +$2^{a}$ solução: Observamos que a sequência ímpar de comprimento 5 dá origem a uma sequência par de comprimento 6; já as duas sequências pares de comprimento 5 dão origem a duas sequências pares de comprimento 6 e duas sequências ímpares de comprimento 6 . Assim, temos duas sequências ímpares de comprimento 6 e $1+2=3$ sequências pares de comprimento 6 , num total de $2+3=5$ sequências de comprimento 6. O mesmo argumento mostra que há oito sequências de comprimento 7 , sendo três ímpares e cinco pares. + +Observação: A repetição desse argumento para valores sucessivos do comprimento mostra que, a partir do comprimento 3 , o número de sequências ímpares é $0,1,1,2,3,5,8, \ldots$, o número de sequências pares é $2,3,5,8,13, \ldots$ e o número total de sequências é $3,5,8,13,21, \ldots$ Cada termo dessas sequências de valores, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores; vemos assim que essas sequências, com a eventual omissão de termos iniciais, são a sequência $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots$, conhecida como sequência de Fibonacci. Apresentamos esse resultado na tabela a seguir. + +| Comprimento | 5 | 6 | 7 | $\cdots$ | 15 | 16 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | +| Ímpares | 1 | 2 | $1+2=3$ | $\cdots$ | 144 | $89+144=233$ | +| Pares | 2 | 3 | $2+3=5$ | $\cdots$ | 233 | $144+233=377$ | +| Total (ímpares+pares) | $1+2=3$ | $2+3=5$ | $3+5=8$ | $\cdots$ | $144+233=377$ | $233+377=610$ | + +d) $1^{a}$ solução: As 144 sequências ímpares de comprimento 15 dão origem a 144 sequências pares de comprimento 16; já as 233 sequências pares de comprimento 15 dão origem a 233 sequências pares de comprimento 16 e 233 sequências ímpares de comprimento 16. Assim, temos 233 sequências ímpares de comprimento 16 e $377=233+144$ sequências pares de comprimento 16 , num total de $233+377=610$ sequências. + +$2^{a}$ solução: A parte da sequência de Fibonacci que nos interessa é $1,2,3,5,8, \ldots, 144,233,377,610, \ldots$ O número de sequências ímpares de comprimento 15 (resp. 16) é o $15^{\circ}$ (resp. $16^{\circ}$ ) termo dessa sequência, que é 144 (resp. 233); o número de sequências pares de comprimento 15 (resp. 16) é o $16^{\circ}$ (resp. $17^{\circ}$ ) termo, que é 233 (resp. 377) e o número total é o $17^{\circ}$ (resp. $18^{\circ}$ ) termo, que é 377 (resp. 610). + +## 18 Bolas e probabilidades - Solução + +a) Uma bolinha colocada em $C$ só poderá parar nas caixas 2 ou 3; se colocada em $B$, ela poderá parar em qualquer das caixas. + +b) Se ela parte de $A$, para chegar à caixa 2 ela deve ir para a direita tanto na primeira como na segunda bifurcação. Como a bolinha tem chances iguais de ir para a direita ou para a esquerda em cada bifurcação, a probabilidade dela chegar à caixa 2 é $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ou $25 \%$. + +Se a bolinha for depositada em $B$, pelo mesmo raciocínio, ela poderá chegar à caixa 2 por dois caminhos diferentes: direita, esquerda ou esquerda, direita; ambos ocorrem com probabilidade $\frac{1}{4}$. Como estes eventos são disjuntos, a probabilidade de um deles ocorrer é a soma das probabilidades de cada evento individual. Logo, a probabilidade da bolinha sair de $B$ e chegar à caixa 2 é $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ ou $50 \%$. + +c) Existem três situações possíveis para que, no final, haja uma bolinha em cada caixa. Descrevemos estas situações na tabela abaixo, onde (por exemplo) a primeira linha indica a situação em que uma bolinha colocada em $A$ cai na caixa 1 , outra colocada em $B$ cai na caixa 2 e a última, colocada em $C$, cai na caixa 3. + +| | caixa 1 | caixa 2 | caixa 3 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathbf{1}^{\mathbf{a}}$ situação | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ | +| $\mathbf{2}^{\mathbf{a}}$ situação | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ | +| $\mathbf{3}^{\mathbf{a}}$ situação | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{C}$ | + +Observando que os eventos "bola colocada em $X$ caiu na caixa $Y$ " são independentes e lembrando que a probabilidade de eventos independentes ocorrerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de cada evento, a probabilidade de que cada uma destas situações ocorra é: + +$$ +\begin{aligned} +& 1^{a} \text { situação: } \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{32} \\ +& 2^{\mathrm{a}} \text { situação: } \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{64} \\ +& 3^{\mathrm{a}} \text { situação: } \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{64} +\end{aligned} +$$ + +Por outro lado, a ocorrência de cada uma das configurações acima é um evento disjunto dos outros dois; a probabilidade de ao menos um deles ocorrer é então igual à soma das probabilidades dos eventos individuais. Logo, a probabilidade de que haja uma bolinha em cada caixa é + +$$ +\frac{9}{32}+\frac{3}{64}+\frac{3}{64}=\frac{24}{64}=\frac{3}{8} +$$ + +A título de observação, listamos abaixo as 12 possibilidades para a distribuição de três bolinhas pelas caixas e suas respectivas probabilidades. + +| caixa 1 | caixa 2 | caixa 3 | probabilidade | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{A}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ | $18 / 64$ | +| $\mathrm{A}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ | $3 / 64$ | +| $\mathrm{A}$ | $\mathrm{BC}$ | vazia | $6 / 64$ | +| $\mathrm{A}$ | vazia | $\mathrm{BC}$ | $9 / 64$ | +| $\mathrm{AB}$ | vazia | $\mathrm{C}$ | $9 / 64$ | +| $\mathrm{AB}$ | $\mathrm{C}$ | vazia | $3 / 64$ | +| $\mathrm{B}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{C}$ | $3 / 64$ | +| $\mathrm{B}$ | $\mathrm{AC}$ | vazia | $1 / 64$ | +| vazia | $\mathrm{AB}$ | $\mathrm{C}$ | $6 / 64$ | +| vazia | $\mathrm{ABC}$ | vazia | $2 / 64$ | +| vazia | $\mathrm{AC}$ | $\mathrm{B}$ | $1 / 64$ | +| vazia | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{BC}$ | $3 / 64$ | + +## 19 Jogo Diferente - Solução + +a) Como saiu ímpar na primeira jogada, Isaura deu metade dos seus palitos para o Fernando; desse modo, Isaura ficou com 64 palitos, e como o número total de palitos é 256 segue que Fernando ficou com $256-64=192$ palitos. Do mesmo modo, após a segunda jogada, Isaura ficou com 32 palitos e Fernando com $256-32=224$ palitos. Na terceira jogada saiu par, e Fernando deu metade de seus palitos para a Isaura; logo, Fernando ficou com 112 palitos e Isaura com $256-112=144$ palitos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-32.jpg?height=88&width=1573&top_left_y=1281&top_left_x=344) + +b) $1^{a}$ solução: Após qualquer jogada, o perdedor não pode ter mais que 127 palitos; de fato, se isso ocorresse, antes dessa jogada ele teria pelo menos $2 \times 128=256$ palitos, o que não pode acontecer. $\mathrm{O}$ ganhador terá então no mínimo $256-127$ = 129 palitos; logo, o ganhador da jogada anterior é aquele que tem mais palitos. + +$2^{a}$ solução: Suponhamos que em um dado momento Fernando tem $x$ palitos e Isaura tem $y$ palitos; notamos que como $x+y=256$, que é um número par, então $x$ e $y$ são ambos pares ou ambos ímpares. Se o jogo ainda não acabou, então $x$ e $y$ são pares, e depois da jogada seguinte podem acontecer as seguintes situações: + +- saiu par: nesse caso Fernando fica com $\frac{x}{2}$ palitos e Isaura com $y+\frac{x}{2}$ palitos, ou seja, Isaura fica com mais palitos do que Fernando; +- saiu ímpar: nesse caso Fernando fica com $x+\frac{y}{2}$ palitos e Isaura com $\frac{y}{2}$ palitos, ou seja, Fernando fica com mais palitos do que Isaura. + +Isso mostra que basta saber quem tem o maior número de palitos para determinar o resultado da última jogada: se Isaura tiver mais, o resultado foi par e se Fernando tiver mais, o resultado foi ímpar. No nosso caso, a partida acabou quando Fernando ficou com 101 palitos e Isaura com $256-101=155$ palitos. Logo o resultado da última jogada foi par. + +c) Aplicamos o raciocínio do item $b$ ) para recuperar as jogadas uma a uma em ordem inversa, do seguinte modo: + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 101 | 155 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 101=202$ palitos e Isaura tinha $256-202=54$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 202 | 54 | + +Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha $2 \times 54=108$ palitos e Fernando tinha $256-108=148$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 148 | 108 | + +Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha $2 \times 108=216$ palitos e Fernando tinha $256-216=40$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 40 | 216 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 40=80$ palitos e Isaura tinha $256-80=176$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 80 | 176 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 80=160$ palitos e Isaura tinha $256-160=96$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 160 | 96 | + +Fernando tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu ímpar; então Isaura tinha $2 \times 96=192$ palitos e Fernando tinha $256-192=64$ palitos; + +| Fernando | Isaura | +| :---: | :---: | +| 64 | 192 | + +Isaura tem mais palitos, logo na jogada anterior saiu par; então Fernando tinha $2 \times 64=128$ palitos e Isaura tinha $256-128=128$ palitos. Essa é a situação inicial do jogo. + +Logo, a sequência de jogadas dessa partida foi par, ímpar, par, par, ímpar, ímpar, par. + +d) Vamos aproveitar o trabalho do item anterior e fazer o seguinte diagrama do número de palitos de Fernando e Isaura, jogada a jogada: + +| Fernando | $128=2^{7} \times 1$ | $64=2^{6} \times 1$ | $160=2^{5} \times 5$ | $80=2^{4} \times 5$ | $40=2^{3} \times 5$ | $202=2^{1} \times 101$ | $101=2^{0} \times 101$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Isaura | $128=2^{7} \times 1$ | $192=2^{6} \times 3$ | $96=2^{5} \times 3$ | $176=2^{4} \times 11$ | $108=2^{2} \times 27$ | $54=2^{1} \times 27$ | $155=2^{0} \times 155$ | + +Esse diagrama e outros exemplos semelhantes sugerem que, em um momento qualquer de uma partida, o número de palitos de Fernando e o número de palitos de Isaura se escrevem, respectivamente, como $2^{n} a$ e $2^{n} b$, onde $a$ e $b$ são inteiros ímpares. Além disso, se o jogo não acabou, então depois da próxima jogada eles terão $2^{n-1} a^{\prime}$ e $2^{n-1} b^{\prime}$ palitos, respectivamente, onde $a^{\prime}$ e $b^{\prime}$ também são inteiros ímpares. Vamos mostrar que essas afirmativas são verdadeiras. Suponhamos que em alguma etapa de uma partida os dois jogadores têm, respectivamente, $2^{n} a$ e $2^{n} b$ palitos, onde $a$ e $b$ são inteiros ímpares, e que o jogo não acabou, ou seja, que $n \geq 1$. Se a próxima jogada sair par, então Fernando ficará com $\frac{2^{n} a}{2}=2^{n-1} a$ palitos e Isaura ficará com $2^{n-1} a+2^{n} b=2^{n-1}(a+2 b)$ palitos. Como $a$ é ímpar então $b^{\prime}=a+2 b$ também é ímpar. Desse modo, após essa jogada, Fernando e Isaura ficarão com $2^{n-1} a$ e $2^{n-1} b^{\prime}$ palitos, onde $a$ e $b^{\prime}$ são ímpares. Um argumento idêntico leva à mesma conclusão no caso em que a próxima jogada sair ímpar, e acabamos de provar nossa afirmativa. O jogo começa com ambos os jogadores com $128=2^{7} \times 1$ palitos, ou seja, $\operatorname{com} n=7$. Como uma partida acaba quando $n=0$ e $n$ decresce de uma unidade a cada jogada, segue imediatamente que qualquer partida acaba depois da sétima jogada. + +## 20 Quadrados especiais - Solução + +a) A solução está apresentada na figura abaixo: + +| $\mathbf{1}$ | 2 | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | 2 | 1 | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | 1 | $\mathbf{4}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{3}$ | 2 | + +b) Não. Como os quadradinhos na última coluna do quadrado $D$ estão preenchidos com 1 e 2, então os dois quadradinhos na última coluna no quadrado $B$ deveriam ser preenchidos com 3 e 4 . Mas nem o 3 nem o 4 podem aparecer na segunda linha, já que eles já aparecem na segunda linha do quadrado $A$. + +c) No quadrado $D$, o 2 pode aparecer na mesma coluna do 1 (como visto no item anterior). Com um argumento semelhante, mostra-se que o 3 não pode aparecer na mesma linha do 1 . Temos, assim, as seguintes possibilidades para o preenchimento do quadrado $D$ : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-33.jpg?height=114&width=574&top_left_y=2556&top_left_x=644) + +Em cada um destes casos, o quadrado especial pode ser preenchido de modo único: + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | 1 | + + +| 1 | 2 | $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4}$ | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ | 1 | + + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | +| $\mathbf{2}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{4}$ | 3 | +| $\mathbf{4}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{2}$ | 1 | + +d) Para preencher o quadrado $A$, podemos colocar o 1 de 4 modos, o 2 de 3 modos, o 3 de 2 modos e o 4 de 1 modo. Logo, ele pode ser preenchido de $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ modos. Para cada uma destas escolhas, o número de modos de preencher o restante do quadrado especial é o mesmo. Portanto, para contar quantas são as maneiras de terminarmos de preencher o quadrado especial, podemos supor que o quadrado $A$ está preenchido como no item anterior. Para preencher o quadrado $C$, podemos colocar o 1 em qualquer das 4 casas. Uma vez fixado o 1, há 3 modos de completar o quadrado, como visto no item anterior. O número total de possibilidades de preenchimento é, portanto, $24 \times 4 \times 3=288$. + +## 21 Um bom preenchimento - Solução + +a) Só existe uma maneira de preencher o diagrama, como mostramos a seguir. + +- O número 9 não pode ficar abaixo de nenhum número, logo deve ficar no topo. +- Acima do número 7 só podemos colocar o 9 ou o 8 . Como o 9 já está no topo, o 8 ficará acima do 7 . +- O número 6 não pode ficar abaixo do 5 nem do 2 , logo ficará abaixo do 8 , ao lado do 7 . +- O número 1 é o único que pode ficar abaixo do 2 . +- Os números 3 e 4 devem ficar abaixo do 5 , com o 3 abaixo do 4 . + +A sequência de figuras a seguir ilustra as etapas deste raciocínio. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-34.jpg?height=532&width=1364&top_left_y=1432&top_left_x=446) + +b) $1^{a}$ solução: Primeiro vamos examinar o diagrama menor de três bolinhas contidas no triângulo pontilhado, abaixo à esquerda. Para que ele fique bem preenchido com quaisquer três números positivos distintos, o maior número deve ficar no topo e os outros dois poderão ser colocados nos dois círculos de baixo de duas maneiras diferentes. Por exemplo, se os números forem 3, 6 e 8, podemos dispô-los das duas maneiras ilustradas abaixo à direita. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-34.jpg?height=270&width=992&top_left_y=2252&top_left_x=630) + +Para que o diagrama completo do problema fique bem preenchido com os números de 1 a 5, o 5 deve ficar no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 4 . As três casas restantes, marcadas com o triângulo pontilhado, formam o diagrama analisado acima e poderão então +ser preenchidas de duas maneiras, com os três números restantes. Resumindo, podemos preencher o diagrama do seguinte modo: + +- preenchemos o círculo do topo com o 5: uma possibilidade; +- preenchemos a casa sombreada com 1,2,3 ou 4: quatro possibilidades; +- preenchemos as três casas que faltam com os três algarismos restantes: duas possibilidades. + +Logo, o diagrama pode ser preenchido de $1 \times 4 \times 2=8$ maneiras diferentes. Notamos que este raciocínio se aplica para quaisquer cinco números positivos distintos. Isto será importante na resolução do próximo item. + +$2^{a}$ solução: Notamos primeiro que o 5 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 4 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 5 , e então: + +- se o 4 ocupar a bolinha sombreada, o 3 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 5, e o 1 e o 2 podem ser colocados de duas maneiras diferentes nas duas bolinhas que sobram; temos duas possibilidades neste caso; +- se o 4 ocupar a outra bolinha abaixo do 5 , a casa sombreada pode ser ocupada por qualquer dos números de 1 a 3, e os outros dois números podem ser colocados nas duas últimas bolinhas vazias; neste caso temos $3 \times 2=6$ possibilidades. + +Deste modo, o número total de maneiras de preencher o diagrama é $2+6=8$. + +c) $1^{a}$ solução: Para que o diagrama fique bem preenchido com os números de 1 a 7 , temos que colocar o 7 no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 6 . A parte circundada pela linha pontilhada foi analisada no item $b$ ) e pode ser preenchida com os 5 números restantes de 8 formas diferentes. Ou seja, podemos preencher o diagrama como segue: + +- preenchemos o círculo do topo com o 7: uma possibilidade; +- preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3, 4, 5 ou 6: seis possibilidades; +- preenchemos a parte circundada com os algarismos restantes: oito possibilidades. Logo, o diagrama pode ser preenchido de $1 \times 6 \times 8=48$ maneiras diferentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-35.jpg?height=363&width=325&top_left_y=1343&top_left_x=771) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Notamos primeiro que o 7 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 6 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 7 , e então: + +- se o 6 ocupar a bolinha sombreada, os números de 1 a 5 devem ocupar as casas circundadas com a linha pontilhada. De acordo com o item $b$ ), isto pode ser feito de oito maneiras distintas. +- se o 6 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 7, podemos colocar qualquer número de 1 a 5 na casa sombreada e distribuir os números restantes pelas quatro bolinhas ainda vazias, o que pode ser feito de oito maneiras diferentes, de acordo com o item $b$ ). Aqui temos $5 \times 8=40$ possibilidades. + +Logo, o diagrama pode ser preenchido de $8+40=48$ maneiras diferentes. + +## 22 Troca-cor - Solução + +a) Mostramos abaixo um jogo completo para cada tabuleiro, destacando as casas apertadas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-35.jpg?height=209&width=1139&top_left_y=2374&top_left_x=367) + +b) Dividimos o tabuleiro $2 \times 100$ em 25 retângulos $2 \times 4$ e, em cada um desses retângulos, tornamos as +casas cinzas procedendo como ilustrado no item $a$ ); notamos que ao aplicar este procedimento em um retângulo os demais não são afetados. Desse modo podemos preencher todas as casas do jogo $2 \times 100$. c) Dividimos o tabuleiro como ilustrado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-36.jpg?height=106&width=894&top_left_y=427&top_left_x=678) + +Na primeira linha selecionamos as casas $1,9,17, \ldots, 193,201$ e na segunda as casas $6,14,22, \ldots, 190$, 198. Cada uma das casas selecionadas está dentro de uma região destacada com traço mais forte. Ao apertar uma destas casas, ela e todas as outras casas de sua região ficam cinzas, sem afetar as outras regiões. Apertando todas estas casas podemos então preencher todas as casas do jogo $2 \times 101$. + +Notamos que há uma casa selecionada de duas em duas colunas, começando da primeira à esquerda, e uma na última coluna. Como as colunas são em número de 101, vemos que foram selecionadas 51 casas, que é o número de jogadas que foram necessárias para terminar o jogo do modo descrito. + +d) Não é possível acabar o jogo $2 \times 101$ com menos de 51 jogadas, pois cada jogada muda a cor de no máximo quatro casas. Assim, com 50 jogadas ou menos conseguiremos mudar a cor de no máximo $50 \times 4=200$ casas, mas no jogo $2 \times 101$ devemos mudar a cor de 202 casas. Logo, é impossível fazer menos do que 51 jogadas e deixar cinzas todas as casas. + +Observação: A solução dos itens $b$ ) e $c$ ) mostra como terminar o jogo no caso de tabuleiros $2 \times n$, onde $n$ deixa restos 0 ou 1 quando dividido por 4 . É interessante completar a análise nos casos em que os restos são 2 ou 3; deixamos isto para o(a) leitor(a). + +## 23 Arrasta Um - Solução + +a) A figura abaixo mostra que a sequência de seis movimentos $(\downarrow, \leftarrow, \uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow)$ termina o jogo a partir da posição inicial dada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-36.jpg?height=142&width=1013&top_left_y=1511&top_left_x=630) + +b) A figura abaixo mostra que a sequência de quatro movimentos $(\uparrow, \leftarrow, \downarrow, \rightarrow)$ transforma a posição inicial dada na posição inicial do item a), a partir da qual é possível terminar o jogo em seis movimentos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-36.jpg?height=160&width=844&top_left_y=1846&top_left_x=708) + +Assim, podemos terminar o jogo num total de $4+6=10$ movimentos. + +c) A ideia é fazer com que a peça preta se mova ao longo da diagonal do tabuleiro. Isso pode ser feito uma casa de cada vez usando primeiro os movimentos do exemplo do enunciado seguidos da repetição dos movimentos do item a). Abaixo ilustramos esse procedimento em um tabuleiro $4 \times 4$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-36.jpg?height=220&width=1220&top_left_y=2283&top_left_x=518) + +Em geral, em um tabuleiro $n \times n$, a peça preta deverá subir $n-1$ casas na diagonal. Pelo método indicado acima, pode-se subir a primeira delas em 4 movimentos e cada uma das $n-2$ restantes em 6 movimentos cada uma. Logo, pode-se acabar o jogo em $4+6(n-2)=6 n-8$ movimentos. + +## 24 Ora bolas - Solução + +a) 1a solução: O princípio multiplicativo mostra que o número de maneiras de retirar duas bolas, uma a uma, é $10 \times 9=90$. Dessas retiradas, há dez para as quais o segmento determinado pelos pontos retirados é um diâmetro, a saber, $(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),(6,1),(7,2),(8,3),(9,4)$ e $(10,5)$. Logo, a probabilidade pedida é $\frac{10}{90}=\frac{1}{9}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Retira-se uma bola qualquer. Das nove possibilidades de retirar outra bola, apenas uma determinará, junto com a primeira, um diâmetro. Logo, a probabilidade de retirar duas bolas que determinam um diâmetro é $\frac{1}{9}$. + +$3^{\text {a }}$ solução: É possível retirar duas bolas de $\binom{10}{2}=45$ maneiras diferentes. Dessas retiradas há cinco que determinam diâmetros; logo a probabilidade procurada é $\frac{5}{45}=\frac{1}{9}$. + +b) $1^{\text {a }}$ solução: O princípio multiplicativo mostra que o número de maneiras de retirar três bolas, uma a uma, é $10 \times 9 \times 8=720$. Para que uma retirada determine um triângulo retângulo, ela deve conter duas bolas $a$ e $b$ que determinam um diâmetro e uma terceira bola $x$ distinta dessas duas. Ordenando essas três bolas das $3!=6$ maneiras possíveis, vemos que há seis retiradas que consistem dessas bolas. Como há cinco pares de bolas que determinam um diâmetro e a bola extra pode ser escolhida de oito maneiras diferentes, o número de retiradas que determinam um triângulo retângulo inscrito é $6 \times 5 \times 8=240$. Logo, a probabilidade procurada é $\frac{240}{720}=\frac{1}{3}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Uma vez retiradas três bolas, podemos formar com elas três grupos de duas bolas. Observamos que se um desses grupos determina um diâmetro, então isso não pode acontecer para os outros dois grupos. Como cada grupo de duas bolas tem probabilidade $\frac{1}{9}$ de determinar um diâmetro, a probabilidade procurada é então $\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$. + +$3^{\text {a }}$ solução: Há $\binom{10}{3}=120$ maneiras de escolher três bolas, ou seja, há 120 triângulos inscritos com vértices nos vértices do decágono. Por outro lado, cada diâmetro determina oito triângulos retângulos inscritos, num total de $5 \times 8=40$; ou seja, há 40 escolhas de três bolas que determinam triângulos retângulos inscritos. A probabilidade procurada é então $\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$. + +c) $1^{a}$ solução: O número de retiradas de quatro bolas é $10 \times 9 \times 8 \times 7$ e cada uma dessas retiradas determina um quadrilátero inscrito. Por outro lado, as bolas de uma retirada que determina um retângulo inscrito devem determinar dois diâmetros. Há dez escolhas para a primeira bola de uma tal retirada e a bola diametralmente oposta pode então aparecer em qualquer uma das três posições seguintes; as outras duas bolas podem então ser escolhidas de oito maneiras diferentes, correspondentes aos quatro diâmetros ainda não determinados. Assim, as retiradas que determinam um triângulo retângulo são em número de $10 \times 3 \times 8$ e a probabilidade procurada é então $\frac{10 \times 3 \times 8}{10 \times 9 \times 8 \times 7}=\frac{1}{21}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Para que as quatro bolas retiradas determinem um retângulo, as três primeiras devem determinar um triângulo retângulo, o que acontece com probabilidade $\frac{1}{3}$; uma vez isso feito, há uma única escolha para a quarta bola entre as sete remanescentes. Logo, a probabilidade procurada é $\frac{1}{3} \times \frac{1}{7}=\frac{1}{21}$. + +$3^{\text {a }}$ solução: Há $\binom{10}{4}=210$ maneiras de escolher quatro bolas, ou seja, há 210 quadriláteros inscritos com vértices nos vértices do decágono. Por outro lado, um retângulo inscrito é determinado por dois diâmetros, ou seja, há $\binom{5}{2}=10$ retângulos inscritos, correspondentes a dez escolhas de quatro bolas. Logo, a probabilidade procurada é $\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$. + +## 25 Lonjura - Solução + +a) Por contagem direta, vemos que a lonjura de $(3,2)$ é 11 e a de $(0,4)$ é 16 . +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-37.jpg?height=402&width=714&top_left_y=2260&top_left_x=571) +b) Os pontos de coordenadas inteiras no interior e nos lados desse quadrado formam $n+1$ linhas, cada uma com $n+1$ pontos; o total de pontos no interior e nos lados desse quadrado é então $(n+1)^{2}$. Excluindo a borda desse quadrado, sobra um quadrado de $n-1$ linhas e $n-1$ colunas, que contém $(n-1)^{2}$ pontos inteiros; segue que o número de pontos na borda do quadrado original é $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=4 n$. + +Observação: Pode-se também calcular o número de pontos de coordenadas inteiras no quadrado notando que de $(0,0)$ a $(0,1)$ a poligonal passa por $1+3=2^{2}$ pontos; de $(0,0)$ a $(2,0)$ a poligonal passa por $1+3+5=3^{2}$ pontos, de $(0,0)$ a $(0,3)$ a poligonal passa por $1+3+5+7=4^{2}$ pontos e assim por diante. Logo, o número de pontos inteiros do quadrado que tem um de seus vértices no ponto $(n, n)$ é $(n+1)^{2}$. + +c) $1^{a}$ solução: Para ir de $(0,0)$ até $(1,1)$ são 2 passos, de $(1,1)$ até $(2,2)$ são 4 passos, de $(2,2)$ até $(3,3)$ são 6 passos e assim por diante. Logo, para chegar ao ponto $(n, n)$ serão necessários $2+4+6+\cdots+2 n=$ $2 \times(1+2+3+\cdots+n)=2 \frac{n(n+1)}{2}=n^{2}+n$ passos. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: A poligonal chega ao ponto $(n, n)$ passando por todos os pontos com coordenadas inteiras do interior e da borda do quadrado do item anterior, com a exceção dos $n$ pontos da horizontal de $(0, n)$ até ( $n-1, n)$, caso $n$ seja ímpar ou da vertical de $(n, 0)$ até $(n, n-1)$, caso $n$ seja par. Logo, a poligonal passa por $(n+1)^{2}-n=n^{2}+n+1$ pontos, incluindo seus extremos, e seu comprimento é então $n^{2}+n$. + +d) $1^{\text {a }}$ solução: Como $425=\left(20^{2}+20\right)+5$ e $20^{2}+20$ é a lonjura do ponto $(20,20)$, vemos que para chegar ao ponto de lonjura 425 devemos chegar a $(20,20)$ e andar mais 5 segmentos ao longo da poligonal. Como 20 é par, esses segmentos partirão do ponto $(20,20)$ na vertical para baixo; assim chegamos ao ponto $(20,15)$, que é o ponto procurado. + +$2^{\text {a }}$ solução: Para ir de $(0,0)$ até $(1,1)$ são 2 passos; de $(1,1)$ até $(2,2)$ são 4 passos, de $(2,2)$ até $(3,3)$ são 6 passos e assim por diante. Logo, para chegar ao ponto $(20,20)$, serão necessários $2+4+6+\cdots+40=$ $2 \times(1+2+3+\cdots+20)=2 \times 210=420$ passos. A partir daí a solução procede como acima. + +## 26 Baralho embaralhado - Solução + +a) Vamos calcular a posição ocupada, após um embaralhamento, pela n-ésima carta da pilha. Há dois casos a considerar: + +1. Primeiro caso: $n \leq 52$ (ou seja, a carta está na metade superior da pilha) + +Neste caso, após um embaralhamento, ficarão acima dela as primeiras $n$ cartas da metade inferior e as primeiras $n-1$ cartas da parte superior. Logo, sua posição na pilha passará a ser $n+(n-1)+1=2 n$. + +2. Segundo caso: $n>52$ (ou seja, a carta está na metade inferior da pilha) + +Neste caso, após um embaralhamento, ficarão acima dela as cartas precedentes da metade inferior, que são em número de $n-52-1=n-53$ e igual quantidade de cartas da metade superior. Logo, sua nova posição na pilha é $(n-53)+(n-53)+1=2 n-105$. + +Em particular, podemos agora completar a tabela, observando que $55=2 \times 80-105$ e $5=2 \times 55-105$. + +| número de embaralhamentos
a partir da situação inicial | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| posição da carta de número 5
a partir do topo da pilha | $10^{\mathrm{a}}$ | $20^{\mathrm{a}}$ | $40^{\mathrm{a}}$ | $80^{\mathrm{a}}$ | $55^{\mathrm{a}}$ | $5^{\mathrm{a}}$ | + +b) Como visto acima, a carta que ocupa a posição $n$ passa a ocupar, após um embaralhamento, a posição $2 n$, se $\mathrm{n} \leq 52$ ou $2 n-105$, se $n>52$. + +c) Inicialmente, observamos que após um embaralhamento + +- as cartas da metade superior da pilha se movem para baixo, pois $2 n>n$ para todo $n$ positivo; +- as cartas da metade inferior da pilha se movem para cima, pois $2 n-105 $(9,18,36,72,39,78,51,102,99,93,81,57),(11,22,44,88,71,37,74,43,86,67,29,58)$,
$(13,26,52,104,103,101,97,89,73,41,82,59), \quad(17,34,68,31,62,19,38,76,47,94,83,61)$ | + +Observamos ainda que após 12 embaralhamentos todas as cartas voltam à posição inicial. + +## Geometria + +## 27 Porta de garagem - Solução + +a) $1^{a}$ solução: Na figura abaixo, temos $X S=0,2$ e queremos achar $C R$. Notamos que os ângulos indicados na figura com vértices em $C$ e $X$ são iguais, pois são determinados pelas paralelas $C R$ e XS e pela transversal $X Y$. Logo, os triângulos retângulos $A R C$ e $A S X$ são semelhantes e temos + +$$ +\frac{C R}{X S}=\frac{A C}{A X} +$$ + +ou seja, + +$$ +C R=X S \times \frac{A C}{A X}=0,2 \times \frac{0,5}{1}=0,1 +$$ + +Podemos também argumentar como segue. A razão de semelhança entre os triângulos $A R C$ e $A S X$ é igual a $\frac{A C}{A X}=\frac{0,5}{1}=0,5$; como os segmentos $C R$ e $X S$ são correspondentes, segue que o comprimento de $C R$ é a metade do comprimento de $A X$, ou seja, é igual a $0,1 \mathrm{~m}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-39.jpg?height=394&width=257&top_left_y=2284&top_left_x=817) +$2^{a}$ solução: Denotemos por $\alpha$ o ângulo $D \hat{A} X$, como na figura abaixo. Como $D \hat{A} X$ e $B \hat{A} Y$ são opostos pelos vértices, temos também $B \hat{A} Y=\alpha$. Nos triângulos retângulos $A S X$ e $A R C$, temos $X S=A X \operatorname{sen} \alpha=\operatorname{sen} \alpha \mathrm{e}$ $C R=A C \operatorname{sen} \alpha=\frac{1}{2} \operatorname{sen} \alpha . \log C R=\frac{1}{2} X S=0,1 \mathrm{~m}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-40.jpg?height=386&width=240&top_left_y=415&top_left_x=1019) + +b) 1 $1^{a}$ solução: Como $A C=B C=Y C$ os triângulos $A C B$ e $B C Y$ são isósceles; podemos então marcar os ângulos $\alpha$ e $\beta$ como na figura abaixo. A soma dos ângulos do triângulo $A B Y$ é $2 \alpha+2 \beta=180^{\circ}$; donde $\alpha+\beta=90^{\circ}$. Logo $B Y$ é perpendicular ao trilho $B D$, ou seja, $B Y$ é horizontal qualquer que seja a posição de $Y$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-40.jpg?height=399&width=257&top_left_y=1057&top_left_x=1005) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Como $A C=B C=Y C$, podemos traçar um círculo com centro $C$ e passando por $A, B$ e $Y$, como na figura à esquerda. Como os pontos $A, C$ e $Y$ estão alinhados, o segmento $A Y$ é um diâmetro desse círculo. Logo o ângulo $A \hat{B} Y$ está inscrito no semicírculo, donde sua medida é $90^{\circ}$. Assim $B Y$ é horizontal qualquer que seja a posição de $Y$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-40.jpg?height=402&width=266&top_left_y=1712&top_left_x=998) + +c) Na figura abaixo, queremos calcular $D T$ quando $X T=0,4$. Para isso, notamos primeiro que, quando a porta se fecha, $X Y$ coincide com $B D$; logo + +$$ +B D=X Y=X A+A C+C Y=1+0,5+0,5=2 +$$ + +Como DTXS é um retângulo, temos $S D=X T=0,4$ e segue que $B S=B D-S D=2-0,4=1,6$. Por outro lado, os triângulos $A S X$ e $A B Y$ são congruentes; de fato, eles são ambos retângulos, seus ângulos em $X$ e $Y$ são iguais (como no item $a$ )) e $A X=A Y$. Logo $A S=A B$ e como $B S=1,6$ segue que $A S=0,8$. O teorema de Pitágoras nos diz então que + +$$ +S X=\sqrt{A X^{2}-A S^{2}}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6 +$$ + +e concluímos que $D T=0,6 \mathrm{~m}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-41.jpg?height=423&width=277&top_left_y=234&top_left_x=798) + +## 28 Triângulos retângulos - Solução + +## ALTERNATIVA C + +Vamos denotar as medidas, em centímetros, das hipotenusas dos triângulos retângulos que aparecem na figura por $a, b, x, d$ e $c$, como na figura abaixo. O nosso objetivo é achar $x=A D$. + +Os seis triângulos retângulos são semelhantes, pois têm em comum o ângulo de vértice $A$. Logo, + +$$ +\frac{24}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{x}=\frac{x}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{54} +$$ + +Multiplicando os três primeiros termos acima e, separadamente, os três últimos, obtemos $\frac{24}{x}=\frac{x}{54}$. Logo $x^{2}=24 \times 54=2^{3} \times 3 \times 2 \times 3^{3}=2^{4} \times 3^{4}=4^{2} \times 9^{2}=36^{2}$, donde $x=36$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-41.jpg?height=300&width=503&top_left_y=1392&top_left_x=685) + +Alternativamente, seja $\lambda=\frac{24}{a}$. Multiplicando os seis termos da sequência de igualdades acima, obtemos $\lambda^{6}=\frac{24}{54}=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$, donde $\lambda^{3}=\frac{2}{3}$. Por outro lado, $\lambda^{3}=\frac{24}{a} \times \frac{a}{b} \times \frac{b}{x}=\frac{24}{x}$ e obtemos $\frac{24}{x}=\frac{2}{3}$, donde $x=36$. + +## 29 Mesma área - Solução + +a) Sejam $m$ e $n$, respectivamente, as medidas das bases do triângulo $A B C$ e do retângulo $P Q R S$, como na figura abaixo. Como a altura destas figuras é 1 , segue que área $(A B C)=\frac{m}{2}$ e área $(P Q R S)=n$. Da igualdade destas áreas segue $\frac{m}{2}=n$, donde $\frac{m}{n}=2$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-41.jpg?height=240&width=657&top_left_y=2259&top_left_x=605) + +b) Quando $x=\frac{1}{2}$ os pontos $D$ e $E$ coincidem com os pontos médios $T$ e $U$ dos lados $A C$ e $B C$, respectivamente. Se $V$ é o ponto médio do lado $A B$, podemos decompor o triângulo $A B C$ em quatro triângulos congruentes, como na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-42.jpg?height=280&width=582&top_left_y=228&top_left_x=840) + +Assim, + +$$ +\text { área }(A B U T)=\frac{3}{4} \text { área }(A B C)=\frac{3}{4} \frac{m}{2}=\frac{3 m}{8} +$$ + +Por outro lado, temos que + +$$ +\operatorname{area}(P Q N M)=f\left(\frac{1}{2}\right) n +$$ + +assim, para que as áreas sejam iguais devemos ter: + +$$ +f\left(\frac{1}{2}\right) n=\frac{3 m}{8}=\frac{3(2 n)}{8}=\frac{3 n}{4} +$$ + +donde $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$. + +c) Vamos primeiro calcular a área do trapézio $A B E D$ em função de $x$. Como $D E$ é paralela a $A B$, os triângulos $D E C$ e $A B C$ são semelhantes; a razão de semelhança é a razão de suas alturas, que é $\frac{1-x}{1}=1-x$. Como áreas de figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança, segue que + +$$ +\text { área }(D E C)=(1-x)^{2} \text { área }(A B C)=\frac{(1-x)^{2} m}{2} +$$ + +Logo + +$$ +\text { área }(A B E D)=\operatorname{área}(A B C)-\operatorname{área}(D E C)=\frac{m}{2}-\frac{(1-x)^{2} m}{2}=\left(2 x-x^{2}\right) n +$$ + +Da igualdade das áreas de $A B E D$ e $P Q M N$, segue que + +$$ +\left(2 x-x^{2}\right) n=f(x) n +$$ + +e concluímos que $f(x)=2 x-x^{2}$. A figura a seguir mostra o gráfico de $f(x)$ para $0 \leq x \leq 1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-42.jpg?height=288&width=297&top_left_y=1895&top_left_x=979) + +## 30 Três circunferências e um comprimento - Solução + +## ALTERNATIVA B + +Lembramos primeiro que se duas circunferências são tangentes, então, a reta que passa por seus centros passa também pelo ponto de tangência. No nosso caso, chamando de $P, Q$ e $R$ os centros das circunferências (como na figura), isso mostra que $P R=3, P Q=4$ e $Q R=5$. Como $3^{2}+4^{2}=5^{2}$, segue que o triângulo $P Q R$ é retângulo em $P$. Além disso, como $P A=P B=1$, vemos que $A B$ é a diagonal de um quadrado de lado 1 , ou seja, $A B=\sqrt{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-43.jpg?height=376&width=554&top_left_y=246&top_left_x=660) + +## 31 Papel dobrado - Solução + +## ALTERNATIVA C + +Consideremos o triângulo $A B C$ na figura ao lado. Ele é retângulo com $A B=1 \mathrm{~cm}$ e $B C=2 \mathrm{~cm}$, ou seja, um cateto é metade da hipotenusa. Segue que $D \hat{C} B=A \hat{C} B=30^{\circ} \mathrm{e}$, analogamente, $C \hat{B} D=30^{\circ}$. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, segue que $B \hat{D C}=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$. Como $B \hat{D} C$ e $\alpha$ são opostos pelo vértice, concluímos que $\alpha=120^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-43.jpg?height=365&width=540&top_left_y=1094&top_left_x=672) + +## 32 Muitos quadrados - Solução + +a) A área da folha, era igual a soma das áreas dos nove quadrados, que é (em centímetros quadrados): + +$$ +1^{2}+4^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2}+14^{2}+15^{2}+18^{2}=1056 +$$ + +b) Sejam $a$ e $b$ as dimensões da folha, onde supomos $a \leq b$. Como a área de um retângulo é o produto de suas dimensões, temos $a b=1056$. Além disso, como as medidas dos lados dos quadrados em que a folha foi cortada são números inteiros, segue que $a$ e $b$ devem ser números inteiros. Observamos, finalmente, que $a$ e $b$ devem ser maiores ou iguais a 18, pois um dos quadrados em que a folha foi cortada tem lado com esta medida. Como $a$ e $b$ são divisores de 1056, a fatoração em fatores primos $1056=2^{5} \times 3 \times 11$ nos mostra que $a$ e $b$ são da forma $2^{x} \times 3^{y} \times 11^{z}$, onde $x, y$ e $z$ são inteiros tais que $0 \leq x \leq 5,0 \leq y \leq 1$ e $0 \leq z \leq 1$. Lembrando que $a b=1056$ e que $a$ e $b$ são maiores que 18 , obtemos as seguintes possibilidades: + +| $\mathbf{a}$ | $\mathbf{b}$ | +| :---: | :---: | +| $2 \times 11=22$ | $2^{4} \times 3=48$ | +| $2^{3} \times 3=24$ | $2^{2} \times 11=44$ | +| $2^{5}=32$ | $3 \times 11=33$ | + +Temos agora que decidir quais destas possibilidades podem ocorrer como medidas da folha. Como o maior quadrado tem lado 18 , que é menor que 22,24 e 32 , vemos que nenhum quadrado pode encostar nos dois lados de comprimento $b$ da folha. Isto quer dizer que $b$ pode ser expresso de duas maneiras como uma soma, na qual as parcelas são medidas dos lados dos quadrados, sendo que: + +- não há parcelas repetidas em nenhuma das duas expressões e +- não há parcelas comuns às duas expressões. + +Este argumento mostra que $2 b \leq 1+4+7+8+9+10+14+15+18$ ou seja, $2 b \leq 86$. Logo $b \leq 43$ e a única possibilidade é $b=33$. Segue que as dimensões da folha eram $a=32$ e $b=33$. + +Existem outras maneiras de eliminar os pares $(22,48)$ e $(24,44)$, usando o argumento acima e mostrando, por exemplo, que não existem duas maneiras de escrever 22 e 24 como soma dos lados dos quadrados de duas maneiras com parcelas distintas e sem parcelas comuns. Esta solução depende do fato de que, em qualquer decomposição de um retângulo em quadrados, os lados dos quadrados são necessariamente paralelos a um dos lados do retângulo. Um argumento intuitivo para demonstrar este fato consiste em selecionar um vértice do retângulo e observar que o quadrado ao qual este vértice pertence tem seus lados apoiados sobre os lados do retângulo. Qualquer quadrado que toca este primeiro quadrado (mesmo que em apenas um vértice) tem seus lados necessariamente paralelos aos lados do retângulo, pois, caso contrário, teríamos ângulos diferentes de $90^{\circ}$ ou $180^{\circ}$ na decomposição, e estes ângulos não podem ser preenchidos com quadrados. + +c) A única possibilidade (a menos de rotações e simetrias) é mostrada a seguir: + +| | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 14 | 18 | | | +| 10 | 4 | | | +| | 7 | 15 | | +| 1 | 7 | | | +| 9 | | | | + +## 33 Luz e espelho - Solução + +a) $1^{a}$ solução: Marcamos na figura os ângulos relevantes para a solução. Notamos em particular que em A o ângulo de incidência (e, portanto, o de reflexão) é igual a $\alpha$; de fato, o raio de luz entra paralelo ao espelho I e a reta suporte do espelho II é transversal a ambos. Como $\gamma$ é ângulo externo do triângulo $A F C$, segue que $\gamma=2 \alpha$. Analogamente, como $\beta$ é ângulo externo do triângulo $C E F$, temos $\beta=\alpha+\gamma=3 \alpha$. Finalmente, do triângulo retângulo $C D E$ temos $180^{\circ}=\alpha+\beta+90^{\circ}=4 \alpha+90^{\circ}$, donde $4 \alpha=90^{\circ}$, ou seja, $\alpha=22,5^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-44.jpg?height=397&width=789&top_left_y=1886&top_left_x=722) + +$2^{\text {a }}$ solução: Como a soma dos ângulos do triângulo $A B F$ é $180^{\circ}$, segue que $B \hat{A} F=90^{\circ}-\gamma$. E como a soma dos ângulos com vértice em $A$ também é $180^{\circ}$, segue que $2 \alpha+\left(90^{\circ}-\gamma\right)+90^{\circ}=180^{\circ}$, donde $\gamma=2 \alpha$. Considerando agora o triângulo AFE, temos $\alpha+\beta+\left(180^{\circ}-2 \gamma\right)=180^{\circ}$, donde tiramos $\beta=2 \gamma-\alpha=3 \alpha$. Finalmente, o triângulo $C D E$ nos diz que $180^{\circ}=\alpha+\beta+90^{\circ}=4 \alpha+90^{\circ}$ e segue que $4 \alpha=90^{\circ}$, ou seja, $\alpha=22,5^{\circ}$. + +b) $1^{\mathrm{a}}$ solução: Observamos que, como $\gamma=2 \alpha=45^{\circ}$, o triângulo $D E F$ é isósceles, isto é, $E D=D F$. O teorema de Pitágoras nos diz que + +$$ +E F^{2}=E D^{2}+D F^{2}=2 E D^{2} +$$ + +donde tiramos $E F=\sqrt{2} E D$. O mesmo argumento aplicado ao triângulo $A B F$ mostra que $A F=\sqrt{2} A B=$ $10 \sqrt{2}$. + +Notamos agora que os triângulos $C D E$ e $A F E$ são semelhantes, pois têm os ângulos $\alpha$ e $\beta$ em comum. Logo + +$$ +\frac{C D}{A F}=\frac{C D}{10 \sqrt{2}}=\frac{D E}{F E}=\frac{D E}{\sqrt{2} D E}=\frac{1}{\sqrt{2}} +$$ + +donde tiramos $C D=10$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Refletimos a reta $C F$ usando a reta $C A$ como eixo de simetria, obtendo a semi-reta $C F^{\prime}$, onde $F^{\prime}$ é o simétrico de $F$ (figura abaixo). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-45.jpg?height=423&width=757&top_left_y=668&top_left_x=547) + +Note que + +$$ +C \hat{E} A=C \hat{E} F+\beta=C \hat{E} F^{\prime}+F^{\prime} \hat{E} A +$$ + +Como $C \hat{E} F=C \hat{E} F^{\prime}$, a equação anterior só pode ser válida se $F^{\prime} \hat{E} A=\beta$. Isso implica que os pontos $D, E$ e $F^{\prime}$ estão alinhados (ver figura acima); assim, $C D F^{\prime}$ é um triângulo. Como $\alpha=22,5^{\circ}$ segue que $D \hat{C} F^{\prime}=45^{\circ}$, donde $C D F^{\prime}$ é isósceles e então $C D=D F^{\prime}$. Para terminar, notamos que $A B D F^{\prime}$ é um retângulo, e segue que $D F^{\prime}=A B$. $\operatorname{Logo} C D=A B=10$. + +34 Região comum - Solução + +Observação: $\mathrm{O}$ argumento geral para a resolução desta questão está ilustrado abaixo. O triângulo $A B C$ é um dos triângulos resultantes do corte do quadrado, e $D$ é um ponto qualquer no lado $A B$. Fazendo $D E$ perpendicular a $A B$, o triângulo $A D E$ também é retângulo de lados iguais, e sua área é igual a metade da área do quadrado $A D E F$; a área do triângulo $A D G$ é então igual a $\frac{1}{4}$ da área do quadrado $A D E F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-45.jpg?height=394&width=394&top_left_y=1779&top_left_x=731) + +a) Quando $x=1$, a figura formada pela sobreposição dos triângulos maiores é um triângulo menor, indicado em cinza na figura abaixo. A observação acima mostra que sua área é a quarta parte da área de um quadrado de lado 1 , isto é, $f(1)=\frac{1}{4}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-45.jpg?height=291&width=334&top_left_y=2393&top_left_x=770) + +Quando $x=3$, a figura formada pela sobreposição dos dois triângulos é um pentágono, como na figura abaixo. Como os triângulos têm catetos de medida 2 e $A B=3$, vemos que os catetos se sobrepõem em um segmento de medida 1. Logo, o pentágono é a união de um quadrado de lado 1 e um triângulo idêntico ao que consideramos no início desta questão. Logo, $f(3)=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-46.jpg?height=305&width=403&top_left_y=493&top_left_x=929) + +b) Para valores de $x$ tais que $0 \leq x \leq 2$, a figura formada pela sobreposição dos triângulos é o triângulo em cinza à esquerda na figura abaixo, donde $f(x)=\frac{x^{2}}{4}$ para $0 \leq x \leq 2$, conforme a observação inicial. Quando $21$ concluímos que este é o valor máximo de $f$ no intervalo $[0,4]$. + +## 35 Qual a razão? - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-47.jpg?height=365&width=603&top_left_y=1425&top_left_x=635) + +Como a área do triângulo RFS é igual a $\frac{1}{18}$ da área do retângulo $A E F G$, ela é igual a $\frac{1}{9}$ da área do triângulo $E F G$. Como esses triângulos são semelhantes e a razão entre suas áreas é o quadrado de sua razão de semelhança, segue que essa última razão é $\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$. $\log$ o $F R=\frac{1}{3} E F$ e então $E R=E F-\frac{1}{3} E F=\frac{2}{3} E F$. Como os triângulos $F R S$ e $E B R$ são semelhantes, isso nos mostra que sua razão de semelhança é + +$$ +\frac{F R}{R E}=\frac{\frac{1}{3} E F}{\frac{2}{3} E F}=\frac{1}{2} +$$ + +Temos então $A E=G F=3 F S$ e $E B=2 F S$, donde $A B=A E+E B=3 F S+2 F S=5 F S$ e $\frac{A E}{A B}=\frac{3 F S}{5 F S}=\frac{3}{5}$. Pelo teorema de Tales temos $\frac{A F}{A C}=\frac{A E}{A B}$ e obtemos $\frac{A F}{A C}=\frac{3}{5}$. + +## 36 Um triângulo em quatro partes - Solução + +a) $1^{a}$ solução: Na figura a seguir marcamos, em preto, o ângulo em $B$ do triângulo $A B C$ e o ângulo correspondente no polígono $A M J D$; em cinza, marcamos o ângulo em $C$ do triângulo $A B C$ e o ângulo correspondente do polígono $A E L N$. Podemos observar na parte superior da figura que o ângulo $M A N$ é a soma desses dois ângulos com o ângulo em $A$ do triângulo $A B C$; como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, segue que $M A N=180^{\circ}$. Logo, $M, A$ e $N$ estão alinhados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-48.jpg?height=434&width=574&top_left_y=243&top_left_x=844) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Observamos primeiro que $A M$ é paralelo a $B F$, pois ele é obtido de $B F$ por meio de uma rotação de $180^{\circ}$; do mesmo modo, $A N$ é paralelo a CG. Como $B F$ e $C G$ estão na mesma reta suporte e $A M$ e $A N$ têm o ponto $A$ em comum, segue que os pontos $M, A$ e $N$ estão alinhados. + +b) Na figura abaixo os ângulos marcados em cinza são congruentes, assim como os ângulos marcados em preto. Segue que os ângulos marcados em branco com traço duplo também são congruentes, pois são ambos suplementos do ângulo vermelho; do mesmo modo, os ângulos em branco com traço simples são também congruentes. Notamos agora que $M N=M A+A N=B F+C G=B C-F G=2 F G=F G=F G$. Segue, pelo critério ângulo-lado-ângulo, que os triângulos FGI e MNK são congruentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-48.jpg?height=525&width=600&top_left_y=1094&top_left_x=822) + +c) Na figura abaixo traçamos a base média $D E$ do triângulo $A B C$. O teorema da base média nos diz que $D E$ é paralelo a $B C$ e que $D E=\frac{1}{2} B C=F G$. Segue que os triângulos $F G I$ e $E H D$ são congruentes, pois são retângulos, tem os ângulos cinzas congruentes (pois são agudos de lados paralelos) e hipotenusas congruentes. Em particular, temos $F I=E H$, donde $F H=F I-H I=E H-H I=E I$. $\operatorname{Logo} L H=L E+E I+I H=$ $F H+H I+I E=E F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-48.jpg?height=431&width=557&top_left_y=1886&top_left_x=844) + +d) A área do quadrado $H J K L$ é igual à área do triângulo $A B C$, que é 9 ; logo o lado do quadrado mede 3 . Em particular, $L H=3$ e segue do item anterior que $E F=3$. + +## 37 As distâncias da formiguinha - Solução + +Vamos denotar as distâncias da formiguinha aos pontos $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$, no instante $t$, por $A(t)$ e $B(t)$, respectivamente. As funções $A(t)$ e $B(t)$ estão representadas no gráfico abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-49.jpg?height=531&width=668&top_left_y=246&top_left_x=594) + +No gráfico abaixo, o ponto $P$ mostra que $A(3)=1$ e o ponto $Q$ mostra que $B(8)=3$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-49.jpg?height=579&width=645&top_left_y=927&top_left_x=611) + +a) Os pontos $R$ e $S$, onde os gráficos se cruzam, correspondem aos instantes $t$ nos quais $A(t)=B(t)$, ou seja, quando a formiguinha se encontrava à mesma distância dos pontos $A$ e $B$. Em $R$ temos $t=2 \mathrm{e}$ $A(2)=B(2)=2$; em Stemos $t=5$ e $A(5)=B(5)=3$. + +b) Os pontos $T$ e $U$ mostram que $B(0)=0$ e $A(0)=4$, ou seja, em $t=0$ a formiguinha se encontrava sobre B e à distância 4 de $\mathbf{A}$. Logo, a distância entre $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$ é 4 . + +c) Quando a formiguinha $\mathbf{F}$ estava na reta que passa por $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$, uma das três possibilidades a seguir deve ter ocorrido: + +1. F estava entre $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$, ou seja, $A(t)+B(t)=4$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-49.jpg?height=114&width=462&top_left_y=1893&top_left_x=1074) + +2. A estava entre $\mathbf{F}$ e $\mathbf{B}$, ou seja, $B(t)-A(t)=4$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-49.jpg?height=111&width=554&top_left_y=2009&top_left_x=1028) + +3. B estava entre $\mathbf{A}$ e $\mathbf{F}$, ou seja, $A(t)-B(t)=4$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-49.jpg?height=115&width=539&top_left_y=2127&top_left_x=1044) + +No gráfico anterior, vemos que a primeira possibilidade ocorreu no intervalo de tempo entre $t=0 \mathrm{e}$ $t=3$; a segunda possibilidade não ocorreu e a terceira ocorreu apenas no instante $t=9$. + +d) Como vimos no item anterior, de até $t=0$ até $t=3$ a formiguinha partiu de $\mathbf{B}$ e se moveu ao longo do segmento AB. Nesse trajeto a função $A(t)$ decresceu, ou seja, a formiguinha se aproximou de $\mathbf{A}$ até chegar a um ponto que dista 1 de $\mathbf{A}$ e 3 de $\mathbf{B}$. + +Entre $t=3$ e $t=9$ o gráfico mostra que $B(t)$ foi constante e igual a 3, ou seja, a formiguinha andou ao longo de um arco de círculo de centro $\mathbf{B}$ e raio 3. + +Finalmente, em $t=9$ a formiguinha voltou à reta $\mathbf{A B}$, dessa vez em um ponto que dista 7 de $\mathbf{A}$ e 3 de B. +$\mathrm{Na}$ figura abaixo, ilustramos esse trajeto, com as posições da formiguinha em instantes especiais. Assim, a formiguinha percorreu um segmento de comprimento 3 seguido de um semicírculo de raio 3; o comprimento desse trajeto é $3+3 \pi$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-50.jpg?height=300&width=651&top_left_y=427&top_left_x=814) + +## 38 Triangulações legais - Solução + +a) A figura a seguir mostra duas soluções para o problema. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-50.jpg?height=220&width=528&top_left_y=1038&top_left_x=862) + +b) A figura do enunciado mostra que, ao traçar as cinco diagonais do pentágono, obtemos 10 triângulos e um novo pentágono central. A repetição desse processo $n$ vezes (pensamos na repetição de 0 vezes como não tendo feito nada) tem como resultado $10 n$ triângulos e um pentágono central, que podemos dividir em 3,5,7,9, ou 11 triângulos como mostrado no enunciado. Desse modo, podemos triangular legalmente o pentágono em $10 n+r$ triângulos onde $r$ pode ser $3,5,7,9$ ou 11. Como qualquer número ímpar se escreve dessa forma, segue que podemos triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar de triângulos. + +Por exemplo, para triangular legalmente o pentágono em 229 triângulos, escrevemos $229=10 \times 22+9$, então efetuamos o processo de divisão por diagonais 22 vezes e finalmente dividimos o pentágono central restante em 9 triângulos. + +c) $1^{a}$ solução: Consideremos um pentágono triangulado legalmente, e sejam $n$ o número de triângulos e $m$ o número de pontos legais interiores dessa divisão. A soma dos ângulos de todos os triângulos é $180 n$ graus. Por outro lado, essa soma é igual à soma dos ângulos em volta dos pontos legais interiores mais a soma dos ângulos internos do pentágono, ou seja, é igual a $(360 m+540)$ graus. Logo $180 n=360 m+540$, ou seja, $n=2 m+3$ que é um número ímpar. Exemplificamos essa demonstração com a figura abaixo: onde $n=7$ e $m=2$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-50.jpg?height=234&width=254&top_left_y=2030&top_left_x=1001) + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Consideremos como acima um pentágono triangulado legalmente em $n$ triângulos, e seja $m$ o número total de lados desses triângulos. Ao contar os lados desses triângulos um por um, teremos dois casos: + +1. Primeiro caso: o lado é comum a dois triângulos + +Nesse caso, o lado em questão será contado duas vezes. + +2. Segundo caso: o lado é um dos lados do pentágono + +Nesse caso ele só será contado uma única vez. + +Obtemos então $m=\frac{3 n-5}{2}+5$. Como $m$ e $n$ são números inteiros segue que $\frac{3 n-5}{2}$ também é inteiro, ou seja, $3 n-5$ é par, donde $n$ é ímpar. A figura usada na solução anterior exemplifica essa demonstração no caso em que $n=7$ e $m=13$. + +## 39 Quadrado legal - Solução + +Observação: Para facilitar a escrita desta solução, vamos nos referir aos pontos do quadriculado como pontos legais. + +a) $1^{\text {a }}$ solução: Observando a figura abaixo, vemos que o quadrado $B$ pode ser inscrito em um quadrado que consiste de 9 quadradinhos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-51.jpg?height=297&width=286&top_left_y=777&top_left_x=791) + +A parte exterior ao quadrado $B$ na figura acima, pode ser decomposta em quatro triângulos iguais (em cinza). Cada triângulo é a metade de um retângulo feito de dois quadradinhos. Sendo assim a área de cada um desses triângulos é igual a $1 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo a área do quadrado $B$ é $9-4=5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +$2^{\mathrm{a}}$ solução: Utilizando novamente a figura da solução anterior, podemos também argumentar que o quadrado $B$ foi decomposto em um quadradinho e quatro triângulos de área $1 \mathrm{~cm}^{2}$, donde sua área é $1+4=5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +$3^{\text {a }}$ solução: Podemos calcular o lado $P R$ do quadrado observando o triângulo retângulo $P Q R$ na figura utilizada nas soluções anteriores. Seus catetos são $P Q$ e $Q R$, de medidas 1 e 2, respectivamente. Pelo teorema de Pitágoras, temos + +$$ +P R^{2}=\sqrt{P Q^{2}+Q R^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} +$$ + +e segue que a área do quadrado é $(\sqrt{5})^{2}=5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Queremos desenhar um quadrado legal de área $13 \mathrm{~cm}^{2}$; seu lado deve então medir $\sqrt{13} \mathrm{~cm}$. Observando a segunda solução apresentada no item a), vemos que o lado deve ser a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos de comprimentos $a$ e $b$ que são números inteiros e tais que $a^{2}+b^{2}=13$. Podemos então escolher $a=3$ e $b=2$ (a única solução, a menos de trocas dos valores de $a$ e $b$ ) e construir nosso quadrado de área $13 \mathrm{~cm}^{2}$ como, por exemplo, indicado na figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-51.jpg?height=297&width=302&top_left_y=1942&top_left_x=777) + +c) Se existe um quadrado legal de área $n$, então seu lado é $\sqrt{n}$; para construir um segmento deste comprimento devemos, como no item anterior, encontrar inteiros $a$ e $b$ tais que $a^{2}+b^{2}=n$. Para 41 não há problema, pois $41=4^{2}+5^{2}$; mas para 43 isto é impossível, como se pode ver por listagem direta. De fato, como $7^{2}=49$ ultrapassa 43 , devemos testar apenas se 43 se escreve como soma de dois quadrados dos números de 1 a 6 , o que não acontece pois $43-1^{2}=42,43-2^{2}=39,43-3^{2}=34,43-4^{2}=27,43-5^{2}=18$ e $43-6^{2}=7$ não são quadrados perfeitos. Logo é possível construir um quadrado legal de área $41 \mathrm{~cm}^{2}$, mas não é possível construir um de área $43 \mathrm{~cm}^{2}$. + +d) $1^{a}$ solução: A figura abaixo mostra um quadrado legal em cinza e a construção de um novo quadrado, em traço mais grosso, de área igual ao dobro da área do quadrado original. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-52.jpg?height=297&width=543&top_left_y=226&top_left_x=859) + +Notamos que, como os vértices do quadrado original são pontos legais, então os vértices do quadrado maior também são pontos legais. Para justificar esta última afirmativa, basta notar que se $A$ e $B$ são pontos legais e $C$ é o simétrico de $A$ com relação a $B$ (como na figura acima) então $C$ também é um ponto legal. Desse modo, o novo quadrado também é legal. + +$2^{a}$ solução: Como vimos no item $b$ ), se um quadrado legal tem área $n$ então existem inteiros $a$ e $b$ tais que $n=a^{2}+b^{2}$. Reciprocamente, se existem inteiros $a$ e $b$ tais que $n=a^{2}+b^{2}$, então existe um quadrado legal de área $n$. Como $(a-b)^{2}+(a+b)^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)$ vemos que um triângulo retângulo de catetos $a-b \mathrm{e}$ $a+b$ terá hipotenusa $\sqrt{2 n}$; o quadrado construído sobre esta hipotenusa terá área $2 n$ (em outras palavras, mostramos que se $n$ é soma de dois quadrados de inteiros então $2 n$ também o é). + +Usando este fato, ilustramos na figura abaixo uma construção de um quadrado legal de área $2 n$ (o quadrado grande em linha contínua) a partir de um quadrado legal de área $n$ (o quadrado pequeno em linha contínua). O quadrado pontilhado serve apenas para indicar os sentidos horizontal e vertical. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_c051a4aaadd76ab6970bg-52.jpg?height=474&width=508&top_left_y=1131&top_left_x=868) +legais. + +Notamos, como antes, que como o quadrado original é legal então todos os pontos indicados são + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8aa233eac104c839d517502258ce911387f9f168 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N1.md @@ -0,0 +1,1243 @@ +# NÍVEL 1 - ENUNCIADOS + +## 1 Água na medida certa + +Fábio precisa obter exatamente quatro litros de água. Para isso ele usará apenas os dois únicos baldes de água que tem em sua casa e uma torneira. Sabendo que um dos baldes que Fábio tem em sua casa tem capacidade de três litros, e outro tem capacidade de cinco litros, determine uma maneira com a qual Fábio pode obter a quantidade de água que necessita. + +## 2 Laranjas e goiabas + +Numa quitanda, há três caixas. Uma contém apenas laranjas, outra contém apenas goiabas, e a terceira contém laranjas e goiabas. Ives, que trabalha nesta quitanda, escreveu em uma caixa "Laranjas", em outra "Goiabas" e em outra "Laranjas e Goiabas", de maneira que cada nome estivesse na caixa errada. Pedindo a Ives que retire e mostre apenas uma fruta de apenas uma caixa, é possível saber como reescrever todos os nomes nas caixas de maneira correta. Explique como! + +## 3 Cubos e cubos + +Bráulia cortou um cubo em muitos cubinhos de aresta $1 \mathrm{~cm}$, através de cortes paralelos às suas faces. Por exemplo, se este cubo tivesse $4 \mathrm{~cm}$ de lado, os cortes produziriam: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-02.jpg?height=360&width=374&top_left_y=551&top_left_x=744) + +Entretanto, o comprimento da aresta deste cubo é desconhecido. + +a) Após cortar o cubo, Bráulia contou os cubinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado, os quais eram 512. Qual era o comprimento da aresta do cubo? + +b) Laura faz o mesmo com outro cubo, para o qual também é desconhecido o comprimento da aresta. Após o corte, Laura conta 512 cubinhos que antes não tinham nenhuma face em contato com o exterior do cubo. Qual era o comprimento do cubo? + +## 4 Qual a unidade? + +Qual o algarismo das unidades do número $3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots 3^{2013}$ ? + +Lembre-se, por exemplo, que $3^{2}=3 \times 3=9$. E $3^{3}=3 \times 3 \times 3=27$. Lembre-se também que o algarismo das unidades de um número é o último à direita dele. Por exemplo, o algarismo das unidades de 376564534539 é 9 . + +## 5 Pintando um cubo + +Mônica tem seis cores para pintar as faces de um cubo. De quantas maneiras ela pode fazer isso se: + +a) Todas as faces têm a mesma cor? + +b) Cinco faces têm a mesma cor e uma face tem uma cor diferente das restantes? + +c) Todas as faces têm cores diferentes? + +Observação: lembre-se, por exemplo, que as duas pinturas abaixo são iguais, pois se girarmos uma delas de maneira apropriada, obteremos a outra! +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-03.jpg?height=384&width=808&top_left_y=798&top_left_x=724) + +## 6 Formiga esperta + +Uma formiga esperta, que passeia sobre a superfície do cubo abaixo, faz sempre o menor caminho possível entre dois pontos. O cubo tem arestas de tamanho $1 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-03.jpg?height=571&width=662&top_left_y=1733&top_left_x=800) + +Qual distância a formiga esperta percorrerá se ela for: + +a) Do vértice $A$ ao vértice $B$ ? + +b) Do ponto $M$ ao ponto $N$ ? + +c) Do vértice $A$ ao vértice $D$ ? + +## 7 Soma de felinos + +Emílio gosta de propor desafios matemáticos e de animais. Ele escreveu num papel a seguinte soma: + +$$ +\begin{array}{rcccc} +& \mathbf{G} & \mathbf{A} \mathbf{O} \\ ++ & \mathbf{P} & \mathbf{U} & \mathbf{A} \\ +\hline \mathbf{P} & \mathbf{U} & \mathbf{M} & \mathbf{S} +\end{array} +$$ + +Emílio disse que a soma acima representa uma soma correta de dois números, onde cada letra representa um algarismo distinto. + +a) Qual é o algarismo representado pela letra $\mathbf{P}$ ? + +b) Quais são os algarismos representados pelas letras $\mathbf{G}$ e $\mathbf{U}$ ? + +c) Qual o número representado pela palavra PUMAS? + +## 8 Três pontos colineares + +Nove pontos são desenhados em uma folha de papel, como mostrados na seguinte figura: + +a) De quantas maneiras é possível escolher três pontos colineares? + +b) De quantas maneiras é possível escolher quatro pontos de modo que três deles sejam colineares? + +## 9 Tabuleiros e dominós + +Wanderson tem um tabuleiro $6 \times 6$ e peças de dominó como ilustrado na figura abaixo. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-05.jpg?height=388&width=300&top_left_y=500&top_left_x=981) + +Cada uma das duas faces da peça de dominó é quadrada e tem a mesma área de cada uma das casas do tabuleiro, que também são quadradas. + +a) Wanderson quer cobrir todo o tabuleiro utilizando suas peças de dominó de forma que cada face das peças de dominó fique posicionada sobre uma casa do tabuleiro. Quantas peças de dominó Wanderson precisará para fazê-lo? + +b) Renato recorta do tabuleiro de Wanderson duas faces de forma que o novo tabuleiro tenha 34 casas como desenhado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-05.jpg?height=294&width=300&top_left_y=1366&top_left_x=981) + +Logo após, Renato desafia Wanderson a cobrir o novo tabuleiro usando as suas peças de dominó. Existe algum modo de Wanderson vencer o desafio? + +c) Renato agora troca o tabuleiro de Wanderson pelo tabuleiro desenhado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-05.jpg?height=289&width=294&top_left_y=1923&top_left_x=984) + +Ele troca também as peças de dominó pelas novas peças $3 \times 1$ desenhadas abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-05.jpg?height=65&width=157&top_left_y=2349&top_left_x=1049) + +Feito isso, ele repete o desafio feito a Wanderson, agora com o novo tabuleiro e as novas peças. Existe algum modo de Wanderson vencer este novo desafio? + +## 10 Diferença de áreas + +a) $\mathrm{Na}$ figura abaixo mostram-se dois quadrados sobrepostos. O maior tem lado igual a 4, e o menor tem lado igual a 3. Quanto é a área da região pintada de cinza menos a área da região pintada de preto? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-06.jpg?height=305&width=425&top_left_y=550&top_left_x=724) + +b) Na figura abaixo estão desenhados seis quadrados, cujos lados, da esquerda para a direita, são iguais a 6, 5, 4, 3, 2 e 1, respectivamente. Quanto é a área pintada de cinza menos a área da região pintada de preto? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-06.jpg?height=483&width=942&top_left_y=1078&top_left_x=457) + +## 11 Faltam três + +Aureliano escreve uma lista contendo cinco números, sendo o primeiro deles o 6 e o último deles 0 8. O produto dos três primeiros números é 648 , o produto dos três centrais é 432, e o produto dos três últimos é 288. Qual é a lista de Aureliano? + +## 12 Números especiais + +Um número é chamado de especial se ele não contém o algarismo zero e, além disso, a soma de seus algarismos é igual ao dobro do primeiro algarismo. Por exemplo, o número 8161 é especial, pois: + +- nenhum de seus algarismos é o zero; +- a soma de todos os seus algarismos é $8+1+6+1=16$; +- $o$ dobro de seu primeiro algarismo é $8 \times 2=16$. + +a) Existe um número especial de cinco algarismos que seja par? Por quê? Caso exista, dê um exemplo. + +b) Qual é o menor número especial de quatro algarismos? + +c) Qual é o maior número especial? + +d) Qual é o maior número especial que tem todos os algarismos distintos? + +## 13 O número grande $N$ + +José Arcádio gosta de brincar com números. Em uma grande folha de papel, ele escreve os números inteiros desde o 1 até o 2013 um depois do outro, formando assim um número grande $N$. + +$$ +N=1234567891011121314 \ldots 201120122013 +$$ + +a) Quantos algarismos tem o número grande $N$ que foi escrito por José Arcádio? + +b) Qual é o 2013ํo algarismo no número grande $N$ escrito por José Arcádio? + +## 14 Vai dar galho + +A árvore do professor Fernando cresce de acordo com a seguinte regra: + +- na primeira semana a árvore começa a crescer com apenas um galho; +- após crescer por duas semanas, esse galho dá origem a um novo galho por semana; +- cada novo galho gerado continua a crescer, e após crescer por duas semanas dá origem a um novo galho por semana. + +A figura abaixo ilustra a árvore do professor Fernando após cinco semanas passadas do início do seu crescimento. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-08.jpg?height=954&width=554&top_left_y=834&top_left_x=657) + +Note que após três semanas havia dois galhos; após quatro semanas havia três galhos e após cinco semanas havia cinco galhos. + +a) Quantos galhos haverá após seis semanas? + +b) Quantos galhos haverá após sete semanas? + +c) Quantos galhos haverá após treze semanas? + +## 15 Vira vira robô + +Um certo robô só anda para a frente ou vira à direita, com um ângulo de $x$ graus em relação à direção original com que estava andando, conforme é mostrado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-09.jpg?height=254&width=811&top_left_y=564&top_left_x=725) + +Para retornar à direção e ao sentido original, o robô precisa virar à direita um certo número de vezes. Por exemplo, se $x=90^{\circ}$, então o robô precisa virar à direita quatro vezes: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-09.jpg?height=399&width=829&top_left_y=1057&top_left_x=722) + +a) Quantas vezes o robô precisa virar à direita se $x=60^{\circ}$ ? + +b) Quantas vezes o robô precisa virar à direita se $x=42^{\circ}$ ? + +c) E se $x=47^{\circ}$ ? + +## 16 Relógio matemático + +No jogo "Relógio Matemático" inicialmente um ponteiro aponta para um dos sete números contidos nas casas do relógio ilustrado na figura abaixo. Em cada rodada, o jogador deve verificar qual o número apontado pela seta e depois deslocá-la, em sentido horário, pela quantidade de casas indicada pelo número para o qual a seta aponta no início da rodada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-10.jpg?height=711&width=720&top_left_y=650&top_left_x=568) + +Por exemplo, caso o ponteiro aponte inicialmente para a casa de número 2 , o jogador deverá, na primeira rodada, movê-lo duas unidades no sentido horário, de forma que ele passará a apontar para a casa de número 4. + +a) Iniciando-se na casa de número 1 , quantas rodadas são necessárias até que 0 ponteiro retorne novamente a essa casa pela primeira vez? + +b) Ao iniciar-se o jogo com o ponteiro inicialmente posicionado na casa de número 6 , qual será sua posição após uma rodada? + +c) Qual é o único número para o qual, ao iniciar-se o jogo a partir dele, a seta apontará novamente para ele em uma rodada? + +d) O jogador decide trocar o relógio mostrado na figura acima por um relógio contendo 128 casas. Iniciando-se da casa de número 127, quantas rodadas serão necessárias para que o ponteiro atinja a casa de número 128 pela primeira vez? + +## 17 Desenhos bem desenhados + +Dizemos que um desenho é bem desenhado quando pode ser feito sem tirar o lápis do papel e sem passar o lápis duas vezes por cima de uma mesma linha. Por exemplo, o desenho abaixo é bem desenhado, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-11.jpg?height=354&width=545&top_left_y=551&top_left_x=858) + +pois pode ser desenhado, por exemplo, seguindo a ordem dos vértices + +$$ +A \rightarrow B \rightarrow H \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow K \rightarrow L \rightarrow C \rightarrow H \rightarrow E \rightarrow L \rightarrow D \rightarrow A +$$ + +a) Mostre que o desenho abaixo é bem desenhado: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-11.jpg?height=651&width=660&top_left_y=1231&top_left_x=798) + +b) O desenho a seguir é bem desenhado? Justifique. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-11.jpg?height=294&width=626&top_left_y=2020&top_left_x=815) + +## 18 Clarissa divide um hexágono + +Clarissa desenhou o hexágono abaixo e marcou os seus vértices com as letras $A, B$, $C, D, E$ e $F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-12.jpg?height=443&width=486&top_left_y=504&top_left_x=685) + +Em seguida ela declarou que alguns pontos do hexágono seriam chamados de legais. Um ponto do hexágono de Clarissa é chamado de legal se ele satisfaz alguma das propriedades abaixo: + +- esse ponto é um dos vértices do hexágono; +- esse ponto é a interseção entre duas diagonais do hexágono; +- esse ponto é a interseção entre qualquer segmento de reta ligando dois outros pontos legais. + +Por exemplo, na figura abaixo, os pontos $A, B, D$ e $F$ são pontos legais, já que são, todos eles, vértices do hexágono de Clarissa. O ponto $H$ também é um ponto legal porque é a interseção da diagonal $\overline{A B}$, com a diagonal $\overline{B F}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-12.jpg?height=448&width=486&top_left_y=1578&top_left_x=685) + +Clarissa diz que um triângulo contido em seu hexágono é legal se todos os seus vértices são pontos legais. Por exemplo, na figura abaixo o hexágono de Clarissa está dividido em quatro triângulos legais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-12.jpg?height=434&width=486&top_left_y=2262&top_left_x=685) +a) Clarissa quer dividir um hexágono em seis triângulos legais. Mostre como ela pode fazê-lo. + +b) Explique por que o ponto I na figura abaixo é um ponto legal. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-13.jpg?height=437&width=488&top_left_y=455&top_left_x=887) + +c) Mostre uma maneira com a qual Clarissa pode dividir o hexágono em 10 triângulos legais. + +d) Mostre uma maneira com a qual Clarissa pode dividir o hexágono em 2014 triângulos legais. + +## 19 Número impar de divisores + +O número natural preferido por Vladas possui uma quantidade ímpar de divisores. Mostre que esse número é um quadrado perfeito. + +Sugestão: Note que se o número $d$ é um divisor do número $n$, então $\frac{n}{d}$ também é divisor de $n$. Por exemplo, 6 é divisor de 24 . Logo, $24 / 6=4$, que também é divisor de 24 . + +## 20 Aline pinta o cubo + +Aline ganhou de presente um cubo composto por $4 \times 4 \times 4$ cubinhos brancos, como na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-14.jpg?height=356&width=368&top_left_y=1284&top_left_x=750) + +Sem separar os pequenos cubinhos, Aline decidiu pintar todas as faces do seu cubo com tinta vermelha. + +a) Diga quantos cubinhos ficaram com exatamente uma de suas faces pintada em vermelho. + +b) Diga quantos cubinhos ficaram com exatamente duas das suas faces pintadas em vermelho. + +Tempos depois, Aline pediu ao seu pai um cubo ainda maior para pintar da mesma maneira que ela havia feito com o cubo anterior. + +c) Após realizar a pintura, Aline separou os cubinhos. Ela notou que a quantidade de cubinhos que ficaram sem nenhuma face pintada em vermelho é igual ao triplo da quantidade de cubinhos que ficaram com duas faces pintadas em vermelho. Descubra o tamanho do novo cubo que Aline recebeu. + +## 21 O segundo quadrado + +Julio recebeu um tabuleiro $10 \times 10$ e seis quadrados todos de diferentes pinturas. Sabe-se que Julio posicionou os seis quadrados sobre o tabuleiro, um de cada vez, de forma que todas as casas do tabuleiro fossem cobertas por, pelo menos, um quadrado. Ao final, Julio formou a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-15.jpg?height=739&width=751&top_left_y=607&top_left_x=752) + +a) Diga quais foram os dois últimos quadrados colocados por Julio. + +b) Diga qual é o tamanho do segundo quadrado colocado por Julio. + +c) É possível dizer o tamanho do primeiro quadrado colocado por Julio? + +## 22 Triângulos pequenos e grandes + +Neste desenho todos os triângulos são equiláteros. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-16.jpg?height=960&width=1099&top_left_y=451&top_left_x=387) + +Sendo o perímetro do triângulo $A K T$ igual a $108 \mathrm{~cm}$, calcule o perímetro do triângulo $D E C$. + +## 23 Pirâmide de números + +Aline gosta de brincar com números naturais. Em uma de suas brincadeiras, ela coloca um número natural em cada um dos blocos da pirâmide ilustrada abaixo. Além disso os números são colocados de modo que o produto dos números em dois blocos vizinhos do mesmo nível coincida com o número colocado no bloco acima desses. Por exemplo, na figura abaixo, caso Aline coloque os números $a$ e $b$ nos blocos vizinhos indicados então ela deverá colocar o número $a \times b$ naquele bloco que se localiza acima desses. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-17.jpg?height=628&width=1180&top_left_y=748&top_left_x=538) + +Encontre uma maneira na qual Aline possa colocar os números de modo que os 5 números colocados na base da pirâmide sejam distintos e o número colocado no bloco do topo seja o 140026320. + +## 24 Cruzes sobre o tabuleiro + +Luana precisa colocar sobre um tabuleiro de $8 \times 8$ cruzes do formato desenhado a seguir, +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-18.jpg?height=586&width=1332&top_left_y=497&top_left_x=266) + +de modo que duas cruzes não ocupem o mesmo quadrinho. Por exemplo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-18.jpg?height=419&width=423&top_left_y=1224&top_left_x=722) + +No máximo, quantas cruzes Luana pode colocar sobre o tabuleiro? + +## 25 Quantos rebotes? + +Bruno e Pedro jogam sinuca sobre uma mesa estranha. Ela contém duas paredes que se encontram formando um ângulo de $20^{\circ}$. Eles observaram que as reflexões da bola contra as paredes são perfeitas, isto é, caso a sua trajetória de incidência faça um ângulo de $x^{\circ}$ com a parede então o ângulo que a trajetória refletida faz com a parede também será igual a $x^{\circ}$. A figura abaixo ilustra essa regra de reflexão. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-19.jpg?height=271&width=697&top_left_y=658&top_left_x=788) + +Brincando com a bola, eles perceberam que é possível que, após refletir algumas vezes na parede da mesa, a trajetória da bola intersecte a si própria. Por exemplo, Bruno lançou uma bola de modo que, depois de 3 reflexões, a sua trajetória intersectou-se a si mesma, como ilustra a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-19.jpg?height=280&width=798&top_left_y=1205&top_left_x=729) + +Depois de Bruno, Pedro lançou a bola da maneira mostrada na seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-19.jpg?height=269&width=768&top_left_y=1616&top_left_x=747) + +Diga quantas reflexões sofreu a bola enviada por Pedro antes que a sua trajetória intersectasse a si própria. + +## 26 Divisão do terreno + +Dona Lígia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em cinco regiões, sendo quatro retângulos e um quadrado como ilustrado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-20.jpg?height=416&width=417&top_left_y=503&top_left_x=725) + +$\mathrm{Na}$ figura acima temos que: + +- O quadrado do centro tem área igual a $64 \mathrm{~m}^{2}$; +- Os lados maiores dos quatro retângulos têm o mesmo comprimento; +- As cinco regiões têm o mesmo perímetro. + +Determine a área do terreno de Dona Lígia. + +## 27 Pão e vinho + +Dezesseis pessoas fazem fila na padaria. $\mathrm{O}$ dono da padaria oferece vinho à freguesia. Uma garrafa é entregue à primeira pessoa da fila e passada de pessoa a pessoa desde a primeira da fila até a última, sem retornar. Por quatro vezes a garrafa foi passada de uma mulher a uma mulher, por três vezes de uma mulher a um homem e por seis vezes de um homem a um homem. + +a) Por quantas vezes a garrafa foi passada de um freguês a outro? + +b) Quantas vezes foi a garrafa passada de um homem na fila a uma mulher na fila? + +c) A primeira pessoa da fila é homem ou mulher? E a última pessoa da fila? + +## 28 Greve de quadrados e cubos + +Um número natural é chamado de quadrado se pode ser escrito como o produto de dois números iguais. Por exemplo, 9 é um quadrado, pois $9=3 \times 3$. Os primeiros quadrados são 1, 4, 9, 16, 25, ... Um número natural é chamado de cubo se pode ser escrito como o produto de três números iguais. Por exemplo, 8 é um cubo, pois $8=2 \times 2 \times 2$. Os primeiros cubos são $1,8,27,64,125 \ldots$ + +Em um certo dia, os números quadrados e cubos decidiram entrar em greve. Foi assim que os demais números naturais tiveram que assumir novas posições: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-21.jpg?height=113&width=1082&top_left_y=763&top_left_x=544) + +a) Qual é o número que ficou na $12^{\text {a }}$ posição? + +b) Quais são os números menores ou iguais a 2013 que são ao mesmo tempo quadrados e cubos? + +c) Qual é a nova posição ocupada pelo número 2013 ? + +d) Descubra qual é o número que ficou na $2013^{\underline{a}}$ posição. + +## 29 Ximena e o tabuleiro + +Ximena deve escolher sete números diferentes da lista 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 para serem colocados no tabuleiro da figura a seguir. Ela deve colocar um número em cada casa de modo que o produto dos números na Fila 1 coincida com o produto dos números na Fila 2 e que coincida também com o produto dos três números colocados na única coluna do tabuleiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-21.jpg?height=391&width=537&top_left_y=1986&top_left_x=862) + +a) Quais são os números que Ximena deve escolher? + +b) Mostre a Ximena uma forma de conseguir seu objetivo. + +## 30 Vamos construir escadas + +Utilizando-se quadradinhos de $1 \mathrm{~cm}$ de lado são construídas escadas conforme a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-22.jpg?height=468&width=1288&top_left_y=497&top_left_x=287) + +a) Calcule a área total e o perímetro da quinta escada construída. + +b) Precisamos de uma escada de $78 \mathrm{~cm}^{2}$ de área. Qual escada devemos escolher? + +c) Precisamos de uma escada de $100 \mathrm{~cm}$ de perímetro. Qual escada devemos escolher? + +## 1 Água na medida certa - Solução + +O primeiro procedimento que Fábio deve tomar é encher completamente o balde de três litros e, em seguida, transferir todo o seu conteúdo para o balde de cinco litros. Feito isso, ele terá três litros de água dentro do balde de cinco litros, enquanto o balde de três litros estará vazio. Depois desse primeiro procedimento, Fábio deve então encher totalmente o balde de três litros mais uma vez e, em seguida, transferir o conteúdo desse balde novamente para o balde de cinco litros até que esse segundo esteja completamente cheio. Em seguida ele descarta toda a água contida no balde de cinco litros. E transfere toda a água contida no balde de três litros para o balde de cinco litros. Após essa etapa, Fábio terá o balde de três litros vazio enquanto o de cinco litros conterá um litro de água. Finalmente Fábio deverá encher totalmente o balde de três litros e transferir todo o conteúdo para o balde de cinco litros, obtendo no final uma quantidade de quatro litros de água no balde de cinco litros enquanto que o balde de três litros estará vazio. + +## 2 Laranjas e goiabas - Solução + +Primeiro, pedimos a Ives que retire uma fruta da caixa onde está escrito "Laranjas e Goiabas". Temos dois casos possíveis, ou Ives mostra uma laranja ou Ives mostra uma goiaba. + +Primeiro caso: Ives mostra uma laranja. Como todos os nomes estão em caixas erradas, isso significa que nesta caixa onde está escrito "Laranjas e Goiabas" há apenas laranjas. Resta descobrir o conteúdo das outras duas caixas: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-23.jpg?height=134&width=477&top_left_y=2309&top_left_x=889) + +Novamente, como todos os nome estão errados, na caixa onde está escrito "Goiabas", não pode haver somente goiabas. Logo, a caixa onde está escrito "Goiabas" é a que contém laranjas e goiabas. E a caixa restante, onde está escrito "Laranjas", é a que contém apenas goiabas. + +Segundo caso: Ives mostra uma goiaba. O raciocínio é o mesmo do caso anterior. $\mathrm{Na}$ caixa onde está escrito "Laranjas e goiabas" deve haver apenas goiabas. Logo, na caixa onde está escrito "Laranjas", deve haver laranjas e goiabas, e na caixa onde está escrito "Goiabas", haverá somente laranjas. + +## 3 Cubos e cubos - Solução + +a) Como $512=8^{3}$, então o comprimento da aresta do cubo antes de ser cortado era de $8 \mathrm{~cm}$. + +b) Os cubinhos que não tinham nenhuma face em contato com o exterior do cubo original formavam também um cubo. Como foram contados 512 cubinhos deste tipo, isso quer dizer que este cubo interior tinha aresta $8 \mathrm{~cm}$ (usando a resposta do item anterior). O cubo interior tem aresta duas unidades menor do que o cubo original. Logo, o comprimento da aresta do cubo original era de $10 \mathrm{~cm}$. + +## 4 Qual a unidade? - Solução + +## Note que + +$3^{1}=3$, cujo algarismo das unidades é 3. + +$3^{2}=9$, cujo algarismo das unidades é 9 . + +$3^{3}=27$, cujo algarismo das unidades é 7 . + +$3^{4}=81$, cujo algarismo das unidades é 1 . + +$3^{5}=243$, cujo algarismo das unidades é 3 . + +$3^{6}=729$, cujo algarismo das unidades é 9. + +$3^{7}=2187$, cujo algarismo das unidades é 7 . + +$3^{8}=6561$, cujo algarismo das unidades é 1 . + +Aí já podemos notar que a cada quatro potências, os algarismos das unidades se repetem (sempre 3, 9, 7 e 1, nessa ordem). E também que, como $3+7=10$ e $1+9=10$, esses grupos de quatro números não influenciam o algarismo das unidades, porque somar um número que termina em zero não muda o algarismo das unidades. + +Dividindo 2013 por 4, notamos que o resto é 1. Logo, o algarismo das unidades de $3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{2013}$ é 3 . + +## 5 Pintando um cubo - Solução + +a) Como todas as faces devem ter a mesma cor, só podemos pintar o dado com uma cor. Como são seis cores a escolher, são seis maneiras distintas de pintar o cubo. + +b) Pinte uma face com uma das seis cores possíveis. Há seis possibilidades para isso. Para cada uma dessas possibilidades, as demais faces podem ser pintadas, todas com a mesma cor, de uma das cinco cores restantes. Logo, temos $6 \times 5=30$ possibilidades. Note que não importa qual foi a face inicial escolhida, pois sempre podemos girar o cubo de forma adequada e mostrar que as pinturas são as mesmas. +c) Se pintarmos o cubo parado em uma certa posição, vamos ter: seis possibilidades para a primeira face; cinco para a segunda; quatro para a terceira; três para a quarta; dois para a quinta e uma para a última, que dá $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=720$. Porém, nesta maneira, estamos contando uma mesma pintura várias vezes, pois, girando o cubo, a pintura não muda. Vamos contar quantas vezes estamos contando repetidamente cada pintura. Fixe uma cor, digamos, azul. Esta face pintada de azul pode ser colocada em seis posições diferentes. Em cada uma delas, podemos rotacionar o cubo em quatro posições distintas (mantendo fixa a posição da face azul). Daí, concluímos que são $6 \times 4=24$ o número de vezes que contamos uma mesma pintura. Logo, 720 dividido por 24 dá 30 maneiras diferentes de pintar o cubo. + +## 6 Formiga esperta - Solução + +a) Como o cubo tem arestas de tamanho 1, a distância entre $A$ a $B$ é igual a $1 \mathrm{~cm}$. + +b) O menor caminho entre $M$ e $N$ é feito indo em linha reta de $M$ até $L$, e depois, novamente em linha reta, de $L$ até $N$. Veja a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-25.jpg?height=569&width=628&top_left_y=1189&top_left_x=817) + +A razão disso é simples: se colocarmos as faces $A B H F$ e $B C D H$ num mesmo plano, o caminho $M \rightarrow L \rightarrow N$ é uma linha reta! Logo, é o menor caminho entre dois pontos. Veja a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-25.jpg?height=462&width=802&top_left_y=2005&top_left_x=730) + +Logo, a distância a ser percorrida neste caso é de $2 \mathrm{~cm}$. + +c) Repetindo a ideia do item anterior, vamos colocar as faces $A B H F$ e $F H D E$ num mesmo plano, veja a figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-26.jpg?height=782&width=486&top_left_y=226&top_left_x=685) + +Logo, a menor distância entre $A$ e $D$ será dada pelo Teorema de Pitágoras: + +$$ +\begin{aligned} +& \overline{A D}^{2}=1^{2}+(1+1)^{2} \\ +& \Longrightarrow \overline{A D}^{2}=5 \\ +& \Longrightarrow \overline{A D}=\sqrt{5} +\end{aligned} +$$ + +Como a formiga é esperta, ela fará este menor caminho e percorrerá $\sqrt{5} \mathrm{~cm}$ ! + +## 7 Soma de felinos - Solução + +a) Como o número PUMAS tem cinco algarismos, e os números GATO e PUMA têm apenas quatro algarismos, então, obrigatoriamente, o primeiro algarismo do número PUMAS é igual a 1 , ou seja, $\mathbf{P}=1$. + +b) Para descobrir o valor de $\mathbf{U}$, temos que notar que existem duas possibilidades: + +$$ +\mathbf{G}+1=10+\mathbf{U} \quad \text { ou } \quad 1+\mathbf{G}+1=10+\mathbf{U} +$$ + +Note que o segundo caso só pode acontecer se $\mathbf{A}+\mathbf{U}$ for maior ou igual a 9. + +No primeiro caso, temos que $\mathbf{G}=9+\mathbf{U}$, o que só é possível se $\mathbf{G}=9$ e $\mathbf{U}=0$. + +No segundo caso, $\mathbf{G}=8+\mathbf{U}$ o que só poderia ocorrer se $\mathbf{U}$ fosse igual a 1 ou 0 . Mas $\mathbf{U}$ não pode ser igual a 1, pois já temos que $\mathbf{P}=1$. Assim, concluímos que a única possibilidade restante é $\mathbf{U}=0$ e $\mathbf{G}=8$. Mas sendo $\mathbf{U}=0$, não poderia ocorrer $\mathbf{A}+\mathbf{U}=10$. Logo deveríamos ter que $\mathbf{A}+\mathbf{U}=9$ o que nos forneceria $\mathbf{A}=9$. Mas isso também não pode ocorrer, já que teríamos $\mathbf{M}=\mathbf{A}+\mathbf{U}=9$. Assim, o segundo caso deve ser descartado. + +Concluímos então que vale o primeiro caso, isto é, $\mathbf{U}=0$ e $\mathbf{G}=9$. + +c) Pelos itens $a$ ) e $b$ ), já sabemos que $\mathbf{P}=1, \mathbf{G}=9$ e $\mathbf{U}=0$. Logo, a operação + +$$ +\begin{array}{rccc} +& \mathbf{G} & \mathbf{A} \mathbf{O} \\ ++ & \mathbf{P} & \mathbf{U} & \mathbf{A} \\ +\hline \mathbf{P} & \mathbf{U} & \mathbf{M} & \mathbf{A} +\end{array} +$$ + +pode ser reescrita como: + +| | 9 | $\mathbf{A}$ | $\mathbf{T}$ | $\mathbf{O}$ | +| ---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| + | 1 | 0 | $\mathbf{M}$ | $\mathbf{A}$ | +| 1 | 0 | $\mathbf{M}$ | $\mathbf{A}$ | $\mathbf{S}$ | + +Assim, vale também que + +| $\mathbf{A}$ | $\mathbf{T}$ | $\mathbf{O}$ | +| ---: | ---: | ---: | +| + | $\mathbf{M}$ | $\mathbf{A}$ | +| $\mathbf{M}$ | $\mathbf{A}$ | $\mathbf{S}$ | + +Como $\mathbf{A} \neq \mathbf{M}$, isso só pode acontecer se $\mathbf{A}+1=\mathbf{M}$. A partir disso, temos duas possibilidades: + +$$ +\mathbf{M}+\mathbf{T}=10+\mathbf{A} \quad \text { ou } \quad \mathbf{M}+\mathbf{T}+1=10+\mathbf{A} +$$ + +(Note que o segundo caso acontece quando $\mathbf{O}+\mathbf{A} \geq 10$ ). Como $\mathbf{A}+1=\mathbf{M}$ o primeiro caso nos dá que $\mathbf{T}=9$, o que não pode acontecer, pois já temos $\mathbf{G}=9$. + +Assim, concluímos que vale o segundo caso: $\mathbf{M}+\mathbf{T}+1=10+\mathbf{A}$. Como também vale que $\mathbf{A}+1=\mathbf{M}$, podemos concluir que $\mathbf{T}=8$. Lembrando ainda que $\mathbf{O}+\mathbf{A} \geq 10$, e sabendo que $\mathbf{S} \neq 0$ e $\mathbf{S} \neq 1$ devemos ter $\mathbf{O}+\mathbf{A} \geq 12$. + +Sendo $\mathbf{T}=8$, então: + +$$ +\mathbf{A} \in\{2,3,4,5,6,7\} \quad \text { e } \quad \mathbf{S} \in\{2,3,4,5,6,7\} +$$ + +Como $\mathbf{A}+1=\mathbf{M}$, não poderia ser $\mathbf{A}=7$ pois, nesse caso, teríamos $\mathbf{M}=8$, o que é impossível, pois já sabemos que $\mathbf{T}=8$. + +Assim, de fato, temos que: + +$$ +\mathbf{A} \in\{2,3,4,5,6\} \quad \text { e } \quad \mathbf{S} \in\{2,3,4,5,6,7\} +$$ + +Como $\mathbf{O}+\mathbf{A} \geq 12$, e $\mathbf{O} \neq \mathbf{A}$, só nos resta a escolha + +$$ +\mathbf{A}=5 \quad \text { e } \quad \mathbf{O}=7 +$$ + +o que ainda nos fornece $\mathbf{S}=2$. Mais ainda, como $\mathbf{A}+1=\mathbf{M}$, vale $\mathbf{M}=6$. + +Dessa maneira, o número PUMAS é igual a 10652. + +## 8 Três pontos colineares -Solução + +a) Existem oito maneiras de se escolherem três pontos colineares como ilustrado na figura a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-28.jpg?height=498&width=1080&top_left_y=230&top_left_x=404) + +b) Para escolhermos um conjunto de quatro pontos contendo três pontos colineares podemos adotar um procedimento composto pelos dois passos abaixo: + +(1) primeiro, escolhemos três pontos colineares; + +(2) fixados estes três pontos colineares, escolhemos um dos outros 6 pontos que restam. + +Observe que dessa forma é possível gerar todos os conjuntos de quatro pontos que contêm três pontos colineares. Além disso, cada escolha desse tipo produz um conjunto distinto daquele produzido pelas demais escolhas. Agora podemos contar quantas escolhas são possíveis. Pelo item $a$ ) acima sabemos que há oito escolhas no primeiro passo do procedimento. Fixada uma escolha no primeiro passo do procedimento, existem seis escolhas possíveis no segundo passo. Assim, no total, há $8 \times 6=48$ escolhas. Logo existem 48 conjuntos de quatro pontos contendo três pontos colineares. + +## 9 Tabuleiros e dominós - Solução + +a) Começamos colorindo as peças de dominó de Wanderson em preto e branco como desenhado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-28.jpg?height=86&width=146&top_left_y=1850&top_left_x=858) + +Note que o tabuleiro de Wanderson pode ser então dividido em exatamente 18 pares de casas coloridos como as peças de dominó. Logo, é possível cobrir o tabuleiro usando exatamente 18 peças. + +b) Consideramos novamente as peças de dominó pintadas como na resolução do item anterior: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-28.jpg?height=82&width=146&top_left_y=2312&top_left_x=858) + +Se fosse possível cobrir o tabuleiro com as peças de dominó teríamos no final utilizado a mesma quantidade de faces pretas e brancas, pois cada peça contém uma de cada face. Porém o novo tabuleiro tem 16 casas pretas e 18 peças brancas. Dessa forma é impossível cobri-lo com as peças de dominó, sendo assim impossível que Wanderson vença o novo desafio. +c) Vamos numerar as casas de um tabuleiro $6 \times 6$ da maneira ilustrada na figura abaixo: + +| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | +| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | +| 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | +| 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | +| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | + +Note que cada número aparece exatamente 12 vezes nessa numeração. Seguindo a mesma regra de numeração o novo tabuleiro teria os seguintes números associados às suas casas: + +| | 1 | 2 | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 3 | 1 | 2 | 7 | ] | +| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | +| | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | +| | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | +| | 2 | 3 | 1 | 2 | | + +Se posicionarmos uma das novas peças de três faces cobrindo exatamente três casas do tabuleiro, então cada face dessa peça ficaria posicionada sobre um dos números 1, 2 ou 3. Mais ainda, faces distintas da mesma peça ficariam posicionadas sobre números distintos. Logo, se fosse possível cobrir todo esse tabuleiro com as peças de três faces, então cada um dos números 1,2 e 3 teria que ficar abaixo da mesma quantidade de faces. Isso só seria possível se o tabuleiro tivesse a mesma quantidade de faces numeradas com cada um desses números. Porém isso não é verdade, já que o tabuleiro possui 12 faces com o número 3,11 com o número 2 e apenas 10 com o número 1. + +Isso nos mostra que é impossível que Wanderson vença esse novo desafio proposto por Renato. + +## 10 Diferença de áreas - Solução + +a) O quadrado de lado 4 tem área igual a $4 \times 4=16$, e o quadrado de lado 3 tem área igual a $3 \times 3=9$. Note que a diferença entre a área da região pintada de cinza e a área da região pintada de preto não muda quando movemos os quadrados, pois ao fazer isso, as áreas das regiões cinza e preta aumentam ou diminuem da mesma quantidade. Logo, o resultado procurado é o mesmo que teríamos se os quadrados não tivessem nenhuma sobreposição: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-29.jpg?height=292&width=528&top_left_y=2404&top_left_x=867) + +Disso, concluímos que a diferença entre as áreas das regiões cinza e preta é $16-9=$ 7. + +Outra solução seria: seja $C$ a área da região pintada em cinza, seja $B$ a área da região branca e seja $P$ a área da região pintada de preto. Temos que $C+B=16$ e $B+P=9$. Logo, fazendo a subtração dessas equações, + +$$ +C+B-(B+P)=16-9=7 +$$ + +e, portanto, + +$$ +C-P=7 +$$ + +é o valor procurado. + +b) Aplicando a mesma ideia do item anterior, mover qualquer quadrado não muda a diferença entre a soma das áreas das regiões pintadas de cinza e a soma das áreas das regiões pintadas de preto, pois sempre que movemos algum quadrado, aumentamos ou diminuímos as áreas de cada cor da mesma quantidade. Logo, o resultado procurado é o mesmo que teríamos para a situação onde os quadrados não têm qualquer sobreposição: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-30.jpg?height=634&width=1336&top_left_y=1165&top_left_x=266) + +Logo, o resultado procurado é $6 \times 6+4 \times 4+2 \times 2$ menos $5 \times 5+3 \times 3+1 \times 1$, que é igual a 21. + +## 11 Faltam três - Solução + +Vamos chamar de $a, b$ e $c$ o segundo, terceiro e quarto números da lista, respectivamente. Como o primeiro número da lista é o 6 e o último é o 8 , a lista pode ser representada como: + +$$ +6, a, b, c, 8 +$$ + +Como o produto dos três primeiros termos é igual a 648 , o produto dos três números do meio é igual a 432 e o produto dos três útimos números é igual a 288, temos que: + +$$ +6 \times a \times b=648, \quad a \times b \times c=432 \quad \text { e } \quad b \times c \times 8=288 +$$ + +Dividindo os dois lados da primeira equação por 6 , obtemos que: + +$$ +a \times b=108 +$$ + +Substituindo (.1) na segunda equação, temos $432=(a \times b) \times c=108 \times c$, logo: + +$$ +108 \times c=432 +$$ + +Dividindo os dois lados dessa equação por 108, obtemos que $c=4$. Usando o valor de $c=4$ na equação, $b \times c \times 8=288$, obtemos que $b \times 4 \times 8=288$, logo + +$$ +b \times 32=288 +$$ + +Dividindo os dois lados por 32 obtemos que $b=9$. Finalmente, podemos substituir $b=9$ na equação (.1) para concluir que + +$$ +a \times 9=108 +$$ + +Dividindo os dois lados por 9 obtemos que $a=12$. Logo, a lista procurada é: + +$$ +6,12,9,4,8 +$$ + +## 12 Números especiais - Solução + +a) Existem. Por exemplo, o número 51112 é especial, pois o zero não aparece entre seus algarismos e, além disso, o dobro de seu primeiro algarismos é $2 \times 5=10$, igual à soma de seus algarimos, dada por $5+1+1+1+2=10$. + +b) O maior número especial é o 9111111111. Nenhum outro número maior do que ele pode ser especial, vejamos o porquê disso. Se tivermos outro número especial também com 10 algarimos (o 9111111111 tem 10 algarismos) maior do que o 9111111111, este número teria algum algarismo diferente. O primeiro algarismo 9 não pode ser, porque 9 é o maior algarismo. Se algum outro é diferente, a soma de seus algarismos seria maior do que 18. Logo, não há um número de 10 algarismos maior do que o 9111111111. + +Se um número tem mais de 10 algarismos, todos diferentes de zero, então a soma de seus algarismos é maior do que 10. Logo, a soma de seus algarismos não pode ser o dobro de nenhum algarismo. Daí concluímos que 9111111111 é o maior número especial. + +c) O menor número especial de quatro algarismos é o 3111. Nenhum outro número $A B C D$ de quatro algarismos, menor do que ele, poderia ser especial, pois a soma de seus últimos algarismos, $A+B+C+D$ seria maior ou igual a 4. Logo, o primeiro algarismo $A$ é maior ou igual a 2. Se tivéssemos $A=2$, então teríamos $2+B+C+$ $D=4$, e portanto $B+C+D=2$, o que é impossível, pois nenhum algarismo é zero. + +d) Note que, se dois números tem quantidades diferentes de algarismos, então o maior deles sempre é o que tem mais algarismos. Logo, começaremos buscando qual será a maior quantidade possível de algarismos. + +Dizer que o dobro do primeiro algarismo é igual à soma de todos os algarismos é o mesmo que dizer que o primeiro algarismo é igual à soma dos demais algarismos. Como $1+2+3+4=10$, nenhum número especial com algarismos todos distintos pode ter cinco algarismos, já que a soma dos quatro últimos seria maior do que 9,0 +maior dígito possível. Logo, podemos buscar apenas números especiais com menos de cinco algarismos. + +Vamos escolher o primeiro algarismo como o maior possível. Logo, este deve ser o 9. Os três algarismos restantes devem ser distintos e somar 9. Logo, o número será da forma $9 B C D$, com $B+C+D=9$. Para que $B$ seja o maior possível, escolhemos $B=6$ (se $B$ for maior do que isso, não há como encontrar $C$ e $D$ ). Logo, teremos $C+D=3$. Escolhendo $C$ como o maior possível, teremos $C=2$ e daí $D=1$. Portanto, o maior número especial com todos os algarismos distintos é o 9621. + +## 13 O número grande $N-$ Solução + +a) Sejam $a$ e $b$ quaisquer números naturais com $a2$ portanto podemos simplificar a equação obtendo: + +$$ +(n-2)^{2}=\frac{3 \times 4 \times 6}{2}=36 +$$ + +Tomando a raiz quadrada dos dois lados obtemos que $n-2=6$, logo temos que $n=8$. + +## 21 O segundo quadrado - Solução + +a) Observe que o último quadrado colocado por Julio não pode ter nenhuma região coberta por algum outro quadrado, logo ele pode ser completamente visualizado. $\mathrm{Na}$ figura abaixo, o único quadrado que pode ser visualizado completamente é o quadrado $5 \times 5$ que aparece separadamente no lado direito. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-41.jpg?height=442&width=1122&top_left_y=1172&top_left_x=568) + +Logo, esse deve ser o último quadrado colocado por Julio. Ao retirarmos esse quadrado de sobre o tabuleiro, deve-se conseguir descobrir qual foi o penúltimo quadrado colocado por Julio. De fato obtemos a seguinte figura +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-41.jpg?height=442&width=1124&top_left_y=1949&top_left_x=568) + +na qual usando somente quadradinhos da zona branca, deveria ser possível reconstruir o penúltimo quadrado colocado por Julio. Na figura acima, o único quadrado que pode ser reconstruído adicionando-se quadradinhos da zona branca é o quadrado de $4 \times 4$ ilustrado na figura a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-42.jpg?height=442&width=1124&top_left_y=236&top_left_x=366) + +Este é, portanto, o penúltimo quadrado colocado. + +b) No item anterior descobrimos quais foram os dois últimos quadrados posicionados por Julio sobre o tabuleiro. Retirando esses dois últimos quadrados, devemos conseguir descobrir qual é o antipenúltimo quadrado colocado por Julio. Como Julio usou seis quadrados então o antipenúltimo deles é o quarto quadrado colocado por Julio. Na seguinte figura +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-42.jpg?height=434&width=1120&top_left_y=1251&top_left_x=366) + +o quarto quadrado colocado por Julio deve ser aquele que é possível de ser reconstruído adicionando-se apenas os quadradinhos da zona branca. O único que pode ser reconstruído dessa maneira é o quadrado de $7 \times 7$ que aparece na figura abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-42.jpg?height=438&width=1122&top_left_y=2042&top_left_x=367) + +Continuaremos usando o mesmo mecanismo. Retirando-se então os três últimos quadrados que foram colocados por Julio, obtemos a seguinte zona branca: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-43.jpg?height=454&width=1126&top_left_y=230&top_left_x=564) + +Agora, o único quadrado que pode ser completado usando apenas os quadradinhos da zona branca ilustrada acima é o quadrado de $6 \times 6$ que aparece na figura abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-43.jpg?height=516&width=1122&top_left_y=978&top_left_x=571) + +Esse quadrado foi, portanto, o terceiro quadrado colocado por Julio. Depois de retirar os quatro últimos quadrados encontrados acima, ficamos com a seguinte zona branca: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-43.jpg?height=590&width=1122&top_left_y=1892&top_left_x=571) + +Finalmente, o único quadrado que pode ser completado com quadradinhos da zona branca é o quadrado de $8 \times 8$ : +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-44.jpg?height=528&width=1116&top_left_y=227&top_left_x=377) + +O tamanho do segundo quadrado colocado por Julio é então $8 \times 8$. + +c) Seguimos o mesmo raciocínio dos itens anteriores. Se retirarmos todos os quadrados, exceto o primeiro quadrado colocado, obteremos a seguinte zona branca: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-44.jpg?height=594&width=1122&top_left_y=1074&top_left_x=366) + +Vemos que, adicionando quadradinhos da zona branca aos quadradinhos que restam poderíamos formar um quadrado de tamanho $n \times n$, para qualquer $n$ pertencente a $\{3,4,5, \ldots, 10\}$. Logo é impossível saber exatamente o tamanho do primeiro quadrado colocado por Julio. + +## 22 Triângulos pequenos e grandes - Solução + +Vamos começar olhando o triângulo $A B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-44.jpg?height=426&width=896&top_left_y=2174&top_left_x=477) + +Daremos nomes aos pontos do triângulo $A B C$ como indicado na figura seguinte: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-45.jpg?height=437&width=466&top_left_y=233&top_left_x=892) + +Note que o quadrilátero $P R E C$ contém sete triângulos equiláteros em seu interior. Vamos mostrar que o comprimento dos lados desses sete triângulos são todos iguais (isto é, que esses sete triângulos são congruentes). De fato, os triângulos $F E D$ e $D E C$ são equiláteros e possuem um lado em comum. Logo os três lados de cada um desses triângulos devem ter o mesmo comprimento. Do mesmo modo, os triângulos $G F D$ e $F E D$ são equiláteros e possuem um lado comum, logo têm lados com o mesmo comprimento. Repetindo esse argumento para cada par de triângulos com lado comum no quadrilátero $P R E C$, podemos concluir que todos os sete triângulos são congruentes. + +Chamemos de $x$ a medida em centímetros do comprimento do lado do triângulo equilátero $D E C$. Note, em particular, que o comprimento do segmento $P R$ é igual a $x$, já que ele é um dos lados do triângulo $P R H$. Como o segmento $P C$ é constituído pela base de quatro triângulos congruentes a $D E C$, temos que $\overline{P C}=4 \times x$. Da mesma forma, o segmento $R E$ sendo constituído pela base de três triângulos congruentes a $D E C$, tem comprimento igual a $\overline{R E}=3 \times x$. O triângulo $R Q E$ é equilátero e sua base tem comprimento igual a $\overline{R E}=3 \times x$. Logo, os seus demais lados têm também comprimento igual a $3 \times x$, o que nos fornece: $\overline{R Q}=\overline{R E}=3 x$. Então + +$$ +\overline{P Q}=\overline{P R}+\overline{R Q}=x+3 \times x=4 \times x +$$ + +Repetindo o mesmo argumento que foi usado para o quadrilátero $P R E C$, podemos concluir que o tamanho dos lados de todos os cinco triângulos que estão contidos no quadrilátero $A B Q P$ coincidem (isto é, esses cinco triângulos são congruentes). Em particular, + +$$ +\overline{A M}=\overline{P N}=\overline{N Q} +$$ + +Como $\overline{P N}=\overline{N Q}$ e $\overline{P Q}=\overline{P N}+\overline{N Q}$, temos que + +$$ +\overline{P Q}=2 \overline{P N}=2 \overline{N Q}=2 \overline{A M} +$$ + +Logo, $\overline{A M}=\frac{\overline{P Q}}{2}=2 \times x$. Assim, concluímos que + +$$ +\overline{A B}=3 \times \overline{A M}=6 \times x +$$ + +Observemos agora o triângulo original: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-46.jpg?height=459&width=532&top_left_y=233&top_left_x=662) + +Os triângulos $A B C$ e $B C L$ são equiláteros com um lado comum. Portanto eles são congruentes. Pelo mesmo motivo, os triângulos $B C L$ e $B L K$ são congruentes. Então, usando (.3), temos que $\overline{A B}=\overline{B K}=6 \times x$. Assim, vale que $\overline{A K}=\overline{A B}+\overline{B K}$, isto é, o lado do triângulo $A K T$ tem comprimento igual a $12 \times x$ e o seu perímetro é portanto igual a $36 \times x$. + +Ora, sabemos que o perímetro do triângulo $A B C$ é igual a $108 \mathrm{~cm}$. Logo, vale que $36 \times x=108 \mathrm{~cm}$, de onde concluímos que $x=3 \mathrm{~cm}$. Observe que o perímetro de um triângulo equilátero é igual a três vezes o comprimento do seu lado. Como $x$ foi definido como sendo o comprimento do lado do triângulo $D E C$, o perímetro desse triângulo é igual a $3 \times x=9 \mathrm{~cm}$. + +## 23 Pirâmide de números - Solução + +Iniciamos colocando os números $a, b, c, d$ e $e$ na base da pirâmide, conforme a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-46.jpg?height=431&width=786&top_left_y=1555&top_left_x=538) + +Usando a regra estabelecida podemos determinar quais serão os números que devem ser colocados no segundo nível da pirâmide: para cada bloco do segundo nível, basta multiplicar os números que foram colocados nos dois blocos da base que se encontram logo abaixo desse bloco. Assim o segundo nível da pirâmide será preenchido pelos números $a b, b c, c d$ e $d e$, conforme a figura acima. Procedendo da mesma forma para os outros níveis podemos preencher todos os demais blocos da pirâmide conforme a figura anterior. + +Concluímos assim que o número $a \times b^{4} \times c^{6} \times d^{4} \times e$ será aquele colocado no bloco no topo da pirâmide. Assim devemos ter que $a \times b^{4} \times c^{6} \times d^{4} \times e=140026320$. + +Fatorando o número 140026320 obtemos que $140026320=1 \times 2^{4} \times 3^{6} \times 7^{4} \times 5$. Logo, devemos ter que + +$$ +a \times b^{4} \times c^{6} \times d^{4} \times e=140026320=1 \times 2^{4} \times 3^{6} \times 7^{4} \times 5 +$$ + +Logo + +$$ +a \times b^{4} \times c^{6} \times d^{4} \times e=1 \times 2^{4} \times 3^{6} \times 7^{4} \times 5 +$$ + +Uma possível escolha para os valores de $a, b, c, d$ e $e$ é então obtida igualando-se fator por fator na expressão acima na ordem em que eles aparecem. Dessa forma podemos escolher: $a=1, b=2, c=3, d=7$ e $e=5$. + +Observação: Existem outras escolhas possíveis. De fato, decorre da expressão + +$$ +a \times b^{4} \times c^{6} \times d^{4} \times e=140026320=1 \times 2^{4} \times 3^{6} \times 7^{4} \times 5 +$$ + +encontrada acima, que $c=3$, que $\{b, d\}=\{2,7\}$ e que $\{a, e\}=\{1,5\}$. Consequentemente, os números da base são $1,2,3,5$ e 7 , e as possíveis respostas são: + +$$ +\begin{aligned} +& a=1, \quad b=2, \quad c=3, \quad d=7, \quad e=5 \quad \text { ou } \\ +& a=1, \quad b=7, \quad c=3, \quad d=2, \quad e=5 \quad \text { ou } \\ +& a=5, \quad b=2, \quad c=3, \quad d=7, \quad e=1 \quad \text { ou } \\ +& a=5, \quad b=7, \quad c=3, \quad d=2, \quad e=1 +\end{aligned} +$$ + +## 24 Cruzes sobre o tabuleiro - Solução + +Vamos começar procurando uma estimativa de quantos quadradinhos no máximo podem ser cobertos usando as cruzes. Primeiro, observamos que os quatro quadradinhos das esquinas nunca podem ser cobertos. Agora olhemos para os seguintes quadradinhos pintados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-47.jpg?height=320&width=328&top_left_y=1525&top_left_x=958) + +Em cada lado do tabuleiro, dos 6 quadradinhos pintados, note que no máximo 2 podem ser cobertos com cruzes. Por exemplo, no lado esquerdo, vemos os seguintes casos: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-47.jpg?height=328&width=1172&top_left_y=2072&top_left_x=540) + +Isso dá um máximo de 8 dos quadradinhos pintados que podem ser cobertos por cruzes. E somando os 36 quadradinhos que restam, dá um máximo de 44 quadradinhos do tabuleiro que podem ser cobertos por cruzes. Mas note que cada cruz cobre exatamente 5 quadradinhos. O número de quadradinhos cobertos pelas cruzes deve ser portanto divisível por 5. Concluímos assim que o máximo de quadradinhos do +tabuleiro que podem ser cobertos pelas cruzes é 40. Isso significa que o máximo de cruzes que poderiam ser colocadas é $40 / 5=8$. + +Devemos mostrar agora alguma configuração de 8 cruzes sobre o tabuleiro para mostrar que 8 é precisamente o máximo. Seguindo as observações feitas antes, podemos construir o seguinte exemplo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-48.jpg?height=328&width=325&top_left_y=590&top_left_x=771) + +Observação: No exemplo acima, as cores das cruzes foram alteradas para melhor distinguir a configuração. + +## 25 Quantos rebotes? - Solução + +Depois do terceiro rebote, observaremos o seguinte desenho: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-48.jpg?height=406&width=1145&top_left_y=1476&top_left_x=358) + +Vemos no desenho que $\measuredangle B A O=20^{\circ}$, já que os rebotes são perfeitos. + +Lembremos que a soma dos ângulos interiores de um triângulo é $180^{\circ}$. Em consequência, a soma dos ângulos interiores de dois vértices de um triângulo coincide com o ângulo exterior do terceiro vértice. Usaremos esse fato sistematicamente. + +Aplicando esse fato no triângulo $A B O$, temos $\angle A B P=\measuredangle B A O+\measuredangle A O B=40^{\circ}$. Usando que o rebote é perfeito, concluímos que $\measuredangle C B D=\measuredangle A B P=40^{\circ}$. + +Podemos usar agora o fato antes mencionado no triângulo $B C O$, e assim concluir que $\measuredangle B C A=\measuredangle C B O+\measuredangle B O C=40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ}$. Sabendo que o rebote é perfeito, temos que $\measuredangle B C A=\measuredangle D C O=60^{\circ}$. Logo, no triângulo $C D O$, temos que $\measuredangle C D B=$ $\measuredangle D C O+\measuredangle C O D=60^{\circ}+20^{\circ}=80^{\circ}$. O quarto rebote é perfeito, portanto $\measuredangle E D O=$ $\measuredangle C D B=80^{\circ}$, onde $E$ é o ponto mostrado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-49.jpg?height=408&width=1139&top_left_y=236&top_left_x=561) + +Como a soma de ângulos interiores no triângulo $E D O$ deve ser $180^{\circ}$, então $\measuredangle D E O=$ $80^{\circ}$. Decorre daí que depois do quinto rebote (no ponto $E$ ), a trajetória retornará de modo a cortar a si mesma. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-49.jpg?height=403&width=1134&top_left_y=878&top_left_x=561) + +Portanto, a resposta são 5 rebotes. + +## 26 Divisão do terreno - Solução + +Como a área do quadrado do centro é igual a $64 \mathrm{~m}^{2}$, então o seu lado mede $8 \mathrm{~m}$. Como o perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o comprimento do seu lado, concluímos que o perímetro do quadrado central é igual a $32 \mathrm{~m}$. + +Como as cinco regiões têm o mesmo perímetro, concluímos que o perímetro de cada retângulo também é igual a $32 \mathrm{~m}$. Observe agora a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-49.jpg?height=466&width=525&top_left_y=1857&top_left_x=868) + +Através dela vemos que $M A+A N$ é igual à metade do perímetro do retângulo MANS. Portanto, + +$$ +M A+A N=16 \mathrm{~m} +$$ + +Mas os lados maiores dos retângulos são iguais, $\log o M A=N B$. Assim, podemos substituir $M A$ por $N B$ na equação (.4) para obter que $N B+A N=16 \mathrm{~m}$. Concluímos +então que o lado do terreno mede $N B+A N=16 \mathrm{~m}$. Como o terreno tem forma de quadrado, a área do terreno é $(16 \mathrm{~m})^{2}=256 \mathrm{~m}^{2}$. + +## 27 Pão e vinho - Solução + +a) A cada vez que uma pessoa da fila passa a garrafa uma outra deve recebê-la. À excessão da primeira pessoa da fila, cada uma das pessoas recebe a garrafa de outra pessoa da fila exatamente uma vez. Como existem 16 pessoas na fila, a garrafa é recebida então por 15 vezes, logo é também passada por 15 vezes. + +b) Por 4 vezes a garrafa foi passada de uma mulher a uma mulher, 3 vezes de uma mulher a um homem e 6 vezes de um homem a um homem. Essas transferências contabilizam um total de $4+3+6=13$ vezes. Pelo item anterior, o total de vezes em que a garrafa é transferida é igual a 15. Portanto, a garrafa foi passada $15-13=2$ vezes de um homem a uma mulher. + +c) (Primeira Solução) Sejam $N(h, h)=6, N(h, m)=2, N(m, h)=3$ e $N(m, m)=4$ respectivamente as quantidades de vezes nas quais a garrafa foi passada de um homem a um outro homem, de um homem a uma mulher, de uma mulher para um homem e de uma mulher para outra mulher. Observe que: + +- a garrafa foi recebida por homens um total de $N(h, h)+N(m, h)=9$ vezes; +- a garrafa foi passada por um homem um total de $N(h, h)+N(h, m)=8$ vezes. + +Como homens receberam a garrafa mais vezes do que a passaram, temos que a última pessoa da fila é um homem, já que essa é a única pessoa da fila que recebe a garrafa de alguém da fila mas não a passa. + +Observe agora que: + +- a garrafa foi recebida por mulheres um total de $N(h, m)+N(m, m)=6$ vezes; +- a garrafa foi passada por uma mulher um total de $N(m, h)+N(m, m)=7$ vezes. + +Como mulheres receberam a garrafa menos vezes do que a passaram, a primeira pessoa da fila deve ser uma mulher, já que essa é a única pessoa que passa a garrafa sem tê-la recebido de alguém da fila. + +(Segunda solução) Enumeremos as 16 pessoas na ordem em que aparecem na fila: + +$$ +\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{15}, p_{16}\right\} +$$ + +Acima, cada $p$ com um número como índice representa uma pessoa. Como são 16 pessoas, os índices vão de 1 até 16. Não se assuste, é apenas uma notação, uma forma de representar o problema! + +Podemos dividir agora o conjunto de 16 pessoas em grupos do mesmo sexo e de modo que grupos consecutivos sejam formados por pessoas de sexo distinto: + +$$ +\left\{p_{1}, \ldots, p_{16}\right\}=\underbrace{\left\{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k_{1}}\right\}}_{\text {mesmo sexo A }} \cup \underbrace{\left\{p_{k_{1}+1}, p_{k_{1}+2}, \ldots, p_{k_{2}}\right\}}_{\text {mesmo sexo B }} \cup \cdots \cup \underbrace{\left\{p_{k_{\ell}+1}, p_{k_{\ell}+2}, \ldots, p_{15}, p_{16}\right\}}_{\text {mesmo sexo (A ou B) }} +$$ + +O número total de vezes que a garrafa foi passada entre pessoas de sexo diferente é $3+2=5$. Então devemos ter exatamente 6 grupos: + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{\left\{p_{1}, \ldots, p_{k_{1}}\right\}}_{\text {mesmo sexo A }} \cup \underbrace{\left\{p_{k_{1}+1}, \ldots, p_{k_{2}}\right\}}_{\text {mesmo sexo B }} \cup \underbrace{\left\{p_{k_{2}+1}, \ldots, p_{k_{3}}\right\}}_{\text {mesmo sexo A }} \cup \\ +& \cup \underbrace{\left\{p_{k_{3}+1}, \ldots, p_{k_{4}}\right\}}_{\text {mesmo sexo B }} \cup \underbrace{\left\{p_{k_{4}+1}, \ldots, p_{k_{5}}\right\}}_{\text {mesmo sexo A }} \cup \underbrace{\left\{p_{k_{5}+1}, \ldots, p_{16}\right\}}_{\text {mesmo sexo B }} +\end{aligned} +$$ + +Fica claro agora que para ter 3 passagens de garrafa de uma mulher a um homem, necessariamente as pessoas dos grupos de sexo $A$ são mulheres e as do grupo $B$ são homens. Portanto, a primeira pessoa da fila é uma mulher enquanto a última é um homem. + +## 28 Greve de quadrados e cubos - Solução + +a) Vamos sublinhar os números que são quadrados ou cubos: + +$$ +\underline{\underline{1}}, 2,3, \underline{\underline{4}}, 5,6,7, \underline{\underline{8}}, \underline{\underline{9}}, 10,11,12,13,14,15, \underline{\underline{16}}, 17, \ldots +$$ + +Contando as posições dos números que não foram sublinhados, observamos que o número que ficou na $12^{\mathrm{a}}$ posição é o número 17 . + +b) Observe que $12^{3}<2013<13^{3}$. Assim, os cubos menores ou iguais a 2013 são: + +$$ +1^{3}, 2^{3}, 3^{3} 4^{3} 5^{3}, 6^{3}, 7^{3}, 8^{3}, 9^{3}, 10^{3}, 11^{3}, 12^{3} +$$ + +Precisamos procurar quais desses são também quadrados. + +Claramente, $1^{3}=1=1^{2}$, logo 1 é também um quadrado. + +Note que $2^{3}=2 \times 2 \times 2$ não pode ser um quadrado, já que é um produto de uma quantidade ímpar do fator primo 2. Por motivos análogos, temos que $3^{3}, 5^{3}, 7^{3}$ e $11^{3}$ não podem ser quadrados. Observe que também $8^{3}=\left(2^{3}\right)^{3}=2^{9}$ é um produto de uma quantidade ímpar do fator primo 2. + +Temos que + +$$ +4^{3}=\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}=\left(2^{3}\right)^{2}=8^{2} +$$ + +$\log$ o $4^{3}=8^{2}=64$ é um cubo e um quadrado ao mesmo tempo. + +De maneira análoga, temos que + +$$ +9^{3}=\left(3^{2}\right)^{3}=3^{6}=\left(3^{3}\right)^{2}=27^{2} +$$ + +logo $9^{3}=27^{2}=729$ é um cubo e um quadrado simultaneamente. + +Finalmente, temos que $6^{3}=(2 \times 3)^{3}=2^{3} \times 3^{3}$ não pode ser um quadrado, já que a sua fatoração em fatores primos contém o termo $3^{3}$ que não é quadrado. Pelo mesmo motivo, $12^{3}=(4 \times 3)^{3}=2^{6} \times 3^{3}$ não é quadrado. + +Concluímos que os únicos números menores ou iguais do que 2013 que são quadrados e primos, simultaneamente, são 1, 64 e 729. + +c) Observe que + +$$ +44^{2}<2013<45^{2} \text { e } 12^{3}<2013<13^{3} +$$ + +Isso mostra que, no conjunto $\{1,2, \ldots, 2013\}$, existem 44 quadrados e 12 cubos. Dentre eles, existem números que são ao mesmo tempo quadrados e cubos. Pelo item +anterior, esses números são $1^{6}, 2^{6}$ e $3^{6}$. Concluímos que existem $44+12-3=53$ números no conjunto $\{1,2, \ldots, 2013\}$ que estão em greve. Portanto, o número 2013 ocupará a posição de número $2013-53=1960$. + +d) Vimos no item anterior, que o número 2013 ocupará a posição $2013-53=1960$. Para obter o novo número que ocupa a $2013^{\text {a }}$ precisamos então estudar as seguintes 53 posições. Os primeiros quadrados maiores que 2013 são $45^{2}=2025$ e $46^{2}=2116$, enquanto que o primeiro cubo maior que 2013 é $13^{3}=2197$. Logo, dentre os números $\{2013+1, \ldots, 2013+53\}$ somente o número 2025 está em greve. Assim, a nova posição do número $2013+53$ será $1960+53-1=2012$. Concluímos que o número que estará na posição 2013 é o número $2013+53+1=2067$. + +## 29 Ximena e o tabuleiro - Solução + +a) Vamos chamar de $p$ o produto comum. Se o número 5 fosse usado por Ximena, então $p$ seria necessariamente múltiplo de 5 . Mas não é possível colocar o 5 de modo que pertença às Filas 1 e 2 e à coluna de forma simultânea. Portanto, Ximena não pode usar o número 5. O mesmo argumento mostra que Ximena não pode usar o número 7. Devemos então colocar os números $1,2,3,4,6,8$ e 9 nas casas do tabuleiro. + +b) Já que o número 9 deve ser usado, segue-se que $p$ é divisível por 9 . Os únicos números múltiplos de 3 são 3,6 e 9 . Um jeito de colocar esses números para que $p$ seja divisível por 9 é o seguinte: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-52.jpg?height=323&width=459&top_left_y=1463&top_left_x=707) + +O produto dos dois números que falta colocar na coluna deve coincidir com o produto dos dois números que falta colocar na Fila 2, porque ambos os produtos coincidem com $p / 9$. Como o produto desses 4 números que faltam ser colocados deve ser $1 \times 2 \times 4 \times 8=64$, decorre que $p / 9$ deve ser $\sqrt{64}=8$. Segue-se que $p=72$. Agora, a Fila 1 deve ser necessariamente completada com o número 4 para que o produto dos números desta fila seja 72 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-52.jpg?height=323&width=457&top_left_y=2174&top_left_x=708) + +Logo, o centro da coluna deve ser completada com o número 2, para se ter 72 como produto na coluna. Finalmente, os números 1 e 8 podem ser colocados nos lugares que faltam em qualquer ordem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d18780f0fd52e0502cf8g-53.jpg?height=326&width=445&top_left_y=231&top_left_x=908) + +Assim o tabuleiro de Ximena ficou pronto! + +## 30 Vamos construir escadas - Solução + +a) Começamos com uma observação: A primeira escada é composta de apenas um quadradinho. A segunda escada é obtida, a partir da primeira adicionando um novo nível contendo dois quadradinhos. Assim ela tem $1+2=3$ quadradinhos. A terceira escada é obtida, a partir da segunda adicionando um novo nível contendo três quadradinhos, logo ela tem $1+2+3=6$ quadradinhos. Esse mesmo racicínio funciona para as demais escadas. + +Assim, para calcular a área da quinta escada, observamos que temos 5 quadradinhos no primeiro nível, 4 quadradinhos no segundo nível, 3 quadradinhos no terceiro nível, 2 quadradinhos no segundo nível, e um quadradinho no primeiro nível. No total, a escada está constituída por $1+2+3+4+5=15$ quadradinhos. Cada quadradinho tem $1 \mathrm{~cm}^{2}$ de área. Portanto, a área total da escada é $15 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Para calcular o perímetro podemos contar o número de segmentos verticais e o número de segmentos horizontais que compõem o contorno da quinta escada. + +Como temos cinco degraus, há 5 segmentos verticais e mais 5 segmentos horizontais compondo os degraus. Note ainda que para cada segmento horizontal em um degrau, existe um segmento horizontal na base da escada. De maneira análoga, para cada segmento vertical em um degrau, existe um segmento vertical na lateral direita da escada. No total, temos então $5+5$ segmentos verticais e $5+5$ segmentos horizontais. Portanto, o perímetro total da escada é $(5+5+5+5)=20 \mathrm{~cm}$. + +Observação: Podemos generalizar o argumento para calcular a área e o perímetro da $n$-ésima escada. Nesse caso, na base da escada, teremos $n$ quadradinhos, no segundo nível teremos $n-1$, e assim sucessivamente, até termos 1 quadradinho no topo. Então, a $n$-ésima escada está constituída por $1+2+\cdots+n$ quadradinhos. + +Para calcular esta soma, escrevemos os números como a seguir, repetindo os números da soma ao contrário: + +$$ +\begin{array}{ccccccccccccc} +1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots & + & n-2 & + & n-1 & + & n \\ +n & + & n-1 & + & n-2 & + & \cdots & + & 3 & + & 2 & + & 1 +\end{array} +$$ + +Observe que a soma de dois números numa coluna qualquer dá sempre $n+1$. Logo, se somarmos todos os números acima, como temos $n$ linhas, teremos como resposta $n(n+1)$. Como cada número aparece duas vezes na soma acima, o resultado $n(n+1)$ corresponde a duas vezes a soma que queremos. Ou seja, + +$$ +1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} +$$ + +Assim, a escada estará constituída por $\frac{n(n+1)}{2}$ quadradinhos. Concluímos que + +$$ +\text { A área da } n \text {-ésima é } \frac{n(n+1)}{2} \mathbf{c m}^{2} +$$ + +Por outro lado, na $n$-ésima escada podemos contar $n+n$ linhas verticais e $n+n$ linhas horizontais. Concluímos assim que + +$$ +\text { o perímetro da } n \text {-ésima escada é } 4 n \mathrm{~cm} \text {. } +$$ + +b) Por (.5), para conseguir uma escada de $78 \mathrm{~cm}^{2}$ precisamos que $n(n+1)=2 \times 78=$ $12 \times 13$. Portanto, a escada de número 12 é aquela que tem $78 \mathrm{~cm}^{2}$ de área. + +c) Por (.6), para conseguir uma escada de $100 \mathrm{~cm}$, precisamos que $4 n=100$. Portanto, a escada de número 25 é a escada que tem $100 \mathrm{~cm}$ de perímetro. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53e523e6e223c0dc408bd0f6ed4dd47c1ce30015 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N2.md @@ -0,0 +1,1344 @@ +# NÍVEL 2 - ENUNCIADOS + +## 1 Tartaruga corredora + +Uma tartaruga corredora anda em linha reta da seguinte maneira. No primeiro trecho do caminho, que mede $\frac{1}{2} \mathrm{~m}$, ela corre à velocidade de $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. No segundo trecho, que mede $\frac{1}{3} \mathrm{~m}$, ela corre à velocidade de $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. No terceiro trecho, que mede $\frac{1}{4} \mathrm{~m}$, ela corre à velocidade de $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ e assim por diante. + +a) Qual o tempo que a tartaruga leva para percorrer o primeiro trecho? Escreva o resultado como diferença de duas frações unitárias, ou seja, frações com numerador igual a 1. + +b) Faça o mesmo com respeito ao segundo trecho. + +c) Calcule o tempo que a tartaruga leva para percorrer os 2013 primeiros trechos. + +## 2 Gato late, cachorro mia? + +Na cidade de Trocalândia, $20 \%$ dos gatos pensam que são cachorros e $25 \%$ dos cachorros pensam que são gatos. Certo dia, um psicólogo veterinário resolve testar todos os gatos e cachorros de Trocalândia, verificando que $30 \%$ do total pensava ser gato. Que proporção dos animais testados era de cães? + +## 3 Os funcionários do hospital + +Um hospital tem os seguintes funcionários: + +Sara Dores da Costa: reumatologista + +Iná Lemos: pneumologista + +Ester Elisa: enfermeira + +Ema Thomas: traumatologista + +Ana Lisa: psicanalista + +Inácio Filho: obstetra + +a) De quantas maneiras os funcionários podem fazer uma fila? + +b) De quantas maneiras os mesmos funcionários podem sentar numa mesa redonda? Lembre-se que, numa mesa redonda, se todos se mudam para a cadeira da esquerda, a mesa continua igual! + +c) E de quantas maneiras os funcionários podem compor uma comissão formada por presidente, vice-presidente e suplente? + +## 4 A Lista de Pedro + +Pedro escreveu a lista de todos os números inteiros positivos menores que 10000 nos quais cada um dos algarismos 1 e 2 aparecem uma única vez. Por exemplo, 1234, 231, 102 foram escritos na lista, mas 1102 e 235 não estão na lista. Quantos números há na lista escrita por Pedro? + +## 5 Área em cinza + +Na figura a seguir, $A B C D$ é um retângulo, e o comprimento do segmento $B C$ é igual a 2. Além disso, os comprimentos dos segmentos $I J, K L, D O$ e $N M$ são todos iguais a 1. Determine a área da região pintada de cinza. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-03.jpg?height=808&width=1268&top_left_y=550&top_left_x=494) + +## 6 Quantos andares? + +Um prédio tem três escadas diferentes, todas começando na base do prédio e terminando no topo. Uma escada tem 104 degraus, outra tem 117 degraus, e a outra tem 156 degraus. Sempre que os degraus das três escadas estão na mesma altura, há um andar. Quantos andares tem o prédio? + +## 7 Pulga pula + +Uma pulga, que está no ponto $A$ de uma reta, pula exatamente $1 \mathrm{~m}$ de cada vez, sem nunca sair dessa reta. + +a) Se a pulga quer chegar no ponto $B$ localizado sobre a reta, a uma distância de $5 \mathrm{~m}$ à direita de $A$, com exatamente 7 pulos, de quantas maneiras ela pode fazer isso? + +b) Se a pulga quer chegar no ponto $C$ localizado sobre a reta, a uma distância $5 \mathrm{~m}$ à direita de $A$, com exatamente 9 pulos, de quantas maneiras ela pode fazer isso? + +c) É possível que a pulga chegue no ponto $D$ localizado sobre a reta a uma distância de $2013 \mathrm{~m}$ de $A$, com exatamente 2028 pulos? Justifique. + +## 8 Círculos e circulos + +Abaixo, veem-se círculos grandes e pequenos. Os círculos grandes têm raio 2, e os círculos pequenos têm raio 1. Qual a área da região pintada de cinza? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-04.jpg?height=594&width=874&top_left_y=1628&top_left_x=497) + +Observação: A área de um círculo de raio $r$ é igual a $\pi r^{2}$. + +## 9 Rodizio de veículos + +Na cidade de Autolândia, a numeração de placas de carros é feita através de números de três dígitos, portanto indo da placa 000 até a placa 999. Para diminuir a poluição, o prefeito Pietro decidiu implementar um rodízio de carros, estabelecendo os dias nos quais as pessoas podem usar seus carros. As regras do rodízio são: + +- Segunda-feira: somente carros com placa ímpar; +- Terça-feira: somente carros com placa cuja soma dos três dígitos é maior ou igual a 11 ; +- Quarta-feira: somente carros com placa cujo número é múltiplo de 3; +- Quinta-feira: somente carros com placa cuja soma dos três dígitos é menor ou igual a 14 ; +- Sexta-feira: somente carros com placa contendo pelo menos dois dígitos iguais; +- Sábado: somente carros cujo número na placa for estritamente menor do que 500 ; +- Domingo: somente carros cuja placa tenha os três dígitos menores ou iguais a 5 . + +a) Em quais dias o carro com a placa 729 pode circular? + +b) Maria, a esposa do prefeito, quer um carro que possa circular todos os dias exceto aos domingos. Qual placa ela deve ter? + +c) O prefeito Pietro precisa de uma placa que o permita circular todos os dias. Que placa ele deve ter? + +d) Por que todos os habitantes de Autolândia podem circular pelo menos uma vez por semana? + +## 10 Cubo do dia + +Patrícia quer escrever algarismos nas faces de dois cubos de madeira de tal modo que qualquer dia do mês possa ser representado juntando um algarismo de uma face de um dos cubos e outro algarismo de uma face do outro cubo. Por exemplo, para representar o dia primeiro, Patrícia junta os cubos de modo a mostrar as faces: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-06.jpg?height=85&width=163&top_left_y=617&top_left_x=861) + +Para representar o dia 26, Patrícia junta os cubos de maneira adequada mostrando as faces: + +## $2 \mathbf{2} \mathbf{6}$ + +O algarismo 6 pode ser usado para representar o 9 , bastando para isso girar a face. Lembre-se também que os dias de um mês vão de 01 até 31 . + +a) Quais algarismos devem ser escritos em ambos os cubos? + +b) Encontre quais algarismos devem ser escritos em cada cubo. + +## 11 Área do losango + +Considere um retângulo $A B C D$ onde os comprimentos dos lados são $\overline{A B}=4 \mathrm{e}$ $\overline{B C}=8$. Sobre os lados $B C$ e $A D$ se fixam os pontos $M$ e $N$, respectivamente, de modo que o quadrilátero $B M D N$ seja um losango. Calcule a área deste losango. + +## 12 Adriana pinta o muro + +Adriana gosta de pintar figuras geométricas. Ela pintou a frente de um muro da sua casa da seguinte forma: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-07.jpg?height=363&width=1360&top_left_y=504&top_left_x=448) + +a) O muro é retangular, tem altura $1 \mathrm{~m}$ e largura $4 \mathrm{~m}$. Os quatro quadrados interiores têm lado $1 \mathrm{~m}$. Que área tem a região que ela pintou em cinza? + +b) Adriana gostou da brincadeira, e resolveu pintar, de forma parecida, a frente de outro muro retangular, o qual tem $1 \mathrm{~m}$ de altura e $32 \mathrm{~m}$ de largura. Ela divide este muro retangular em 32 quadrados de lado $1 \mathrm{~m}$ e depois traça uma diagonal. Em seguida, pinta as regiões de forma alternada, como no muro anterior. Abaixo, está representada a parte mais à esquerda do muro: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-07.jpg?height=425&width=1222&top_left_y=1324&top_left_x=517) + +Que área do muro está pintada de cinza? (A área total pintada de cinza, não apenas a parte do muro mostrada acima). + +## 13 O lema de Quatrolândia + +No país da Quatrolândia, o número quatro representa a liberdade e o lema do país é a seguinte multiplicação: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-08.jpg?height=194&width=466&top_left_y=508&top_left_x=698) + +$\mathrm{Na}$ multiplicação acima, cada letra representa um algarismo, possivelmente com repetição. + +a) Mostre que a letra $\mathbf{S}$ representa o algarismo 2 e que a letra $\mathbf{L}$ representa $o$ algarismo 8. + +b) Mostre que a letra $\mathbf{E}$ representa o algarismo 1 e que a letra I representa o algarismo 7. + +c) Mostre que o número LIVRES é igual a 219978. + +## 14 Quantos quadrados? + +O professor Ciconete desenhou no quadro os seguintes pontos: + +Em seguida, ele perguntou aos seus alunos quantos quadrados com vértices em tais pontos é possível desenhar. Qual é a resposta correta para a pergunta do professor Ciconete? + +## 15 Paralelogramo + +$\mathrm{Na}$ figura a seguir, $A B C D$ é um paralelogramo, ou seja, é um quadrilátero cujos lados opostos têm o mesmo comprimento (e são paralelos). Além disso, o segmento $B E$ tem comprimento 6, e os segmentos $C D$ e $D E$ têm o mesmo comprimento. Qual o comprimento do segmento $F G$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-09.jpg?height=957&width=1122&top_left_y=595&top_left_x=570) + +## 16 Os 50 números de Vanessa + +Vanessa deseja escolher 50 números inteiros positivos distintos menores do que 100 e tais que a soma de quaisquer dois números escolhidos por ela seja sempre distinta de 99 e de 100. + +a) Mostre como Vanessa pode atingir o seu objetivo. + +b) Mostre que há somente uma maneira pela qual Vanessa pode escolher esses 50 números para atingir o seu objetivo. + +## 17 Pintando tabuleiro + +Um tabuleiro de tamanho $2013 \times 5$ (ou seja, com 2013 linhas e 5 colunas) deve ser pintado com as cores $A, B, C, D$. Algumas casas na primeira linha já foram pintadas, conforme mostra a figura abaixo (as casas não representadas na figura não foram pintadas ainda). Para continuar a pintar o tabuleiro, devemos seguir a seguinte regra: quadrados vizinhos (aqueles que compartilham um lado ou um vértice) não podem ter a mesma cor. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-10.jpg?height=913&width=1053&top_left_y=697&top_left_x=410) + +a) Descreva de que maneiras podemos completar a pintura das duas primeiras linhas. + +b) De quantas maneiras podemos pintar o tabuleiro inteiro? + +c) Descreva quais são as possíveis pinturas para a linha de número 2013. + +## 18 Ângulo + +Na figura a seguir, os ângulos marcados em cinza têm a mesma medida. Do mesmo modo, os ângulos marcados em branco também têm a mesma medida. Determine a medida do ângulo $b$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-11.jpg?height=434&width=831&top_left_y=548&top_left_x=710) + +## 19 Qual é o número? + +Juarez utilizou os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 para escrever o número $\overline{a b c d e}$ de cinco algarismos distintos. Sem revelar qual é esse número, ele disse a Luciana que: + +$\cdot$ o número $\overline{a b c}$ é divisível por 4; + +- o número $\overline{b c d}$ é divisível por 5 ; + +$\cdot$ o número $\overline{c d e}$ é divisível por 3. + +Em seguida, Luciana disse a Juarez que é possível descobrir qual é o número $\overline{a b c d e}$. Mostre que Luciana está correta, isto é, encontre o número $\overline{a b c d e}$. + +## 20 Cinco amigos, cinco corridas + +Os cinco amigos Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo disputaram entre si cinco corridas. Em cada corrida, o ganhador recebeu cinco pontos, o segundo colocado quatro pontos e assim sucessivamente até o último colocado, que recebeu apenas um ponto. Para obter a pontuação final de cada corredor, foram somadas as pontuações obtidas nas cinco corridas. Na pontuação final, Arnaldo ficou em primeiro lugar com 19 pontos, seguido de Bernaldo com 16 pontos. O terceiro, quarto e quinto lugares foram ocupados por Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo, respectivamente. Não houve empate em nenhuma corrida e nem na pontuação final. Mas um fato curioso é que nem Arnaldo e tampouco Bernaldo ganharam sequer uma das cinco corridas. + +a) Mostre que, em cada corrida tanto Arnaldo quanto Bernaldo obtiveram sempre o segundo e o terceiro lugar (em alguma ordem). + +b) Diga quantos pontos conseguiu Cernaldo. + +c) Quantas corridas ganhou cada um dos corredores? + +## 21 Superquadrados + +Um número natural $N$ maior que 10 é chamado "superquadrado" se o número formado por cada dois algarismos consecutivos do número $N$ (considerados na mesma ordem) é sempre um quadrado perfeito. Por exemplo, 8164 é "superquadrado" porque os números 81 , 16 e 64 são quadrados perfeitos. Outros exemplos de superquadrados são 25 e 649. + +a) Quantos números "superquadrados" existem? + +b) Qual é o maior número "superquadrado"? + +## 22 Araceli contra Florinda + +Araceli e Florinda brincam de colocar cruzes sobre um tabuleiro de dimensões $8 \times 8$. Cada uma das cruzes é constituída por cinco quadradinhos de lado igual ao lado das casas do tabuleiro como ilustrado na figura abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-13.jpg?height=396&width=890&top_left_y=550&top_left_x=684) + +Como regra da brincadeira, não pode haver sobreposições entre as cruzes colocadas, isto é, nenhuma cruz pode ser colocada de forma que algum dos seus quadradinhos fique posicionado sobre um quadradinho de alguma cruz colocada anteriormente. Quando ainda não há nenhuma cruz sobre o tabuleiro, Araceli decide colocar algumas cruzes de modo que Florinda não consiga adicionar nenhuma outra cruz. Por exemplo, Araceli poderia colocar cinco cruzes da seguinte maneira: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-13.jpg?height=294&width=286&top_left_y=1441&top_left_x=1002) + +Mas, caso Araceli colocasse as cinco cruzes da maneira ilustrada na figura abaixo, Florinda ainda teria oportunidade de colocar mais uma cruz: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-13.jpg?height=292&width=854&top_left_y=2012&top_left_x=701) + +Araceli + +a) Mostre a Araceli um modo de atingir o seu objetivo usando 4 cruzes. + +b) Mostre que Araceli não poderia atingir o seu objetivo usando apenas 3 cruzes. + +## 23 Pentágono regular + +A figura abaixo é composta por um quadrado e um pentágono regular. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-14.jpg?height=517&width=517&top_left_y=455&top_left_x=678) + +Calcule a soma dos ângulos $a^{\circ}$ e $b^{\circ}$. + +Fatos que ajudam. (Você pode usá-los!). A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a $180^{\circ}$. Além disso, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a $360^{\circ}$. Para ver isso, basta dividir o quadrilátero em dois triângulos, ligando dois vértices opostos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-14.jpg?height=340&width=348&top_left_y=1338&top_left_x=754) + +Cada triângulo tem $180^{\circ}$ como soma dos ângulos internos, daí obtemos $180^{\circ} \times 2=$ $360^{\circ}$ como soma dos ângulos internos do quadrilátero. $\mathrm{E}$ a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a $180^{\circ} \times 3=540^{\circ}$, pois podemos dividir um pentágono qualquer em três triângulos como mostra a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-14.jpg?height=366&width=369&top_left_y=1987&top_left_x=752) + +## 24 Um após um + +Considere a lista de números $a_{1}, a_{2}, \ldots$, onde + +$$ +a_{n}=\underbrace{111111 \ldots 1}_{3^{n} \text { algarismos }} +$$ + +ou seja, $a_{1}=\underbrace{111}_{\text {trếs uns }}, a_{2}=\underbrace{11111111}_{\text {nove uns }}, a_{3}=\underbrace{111 \ldots 1}_{\text {vinte e sete uns }}$, e assim por diante. + +a) Mostre que $a_{1}$ é múltiplo de 3 mas não de 9 . + +b) Mostre que $a_{2}$ é múltiplo de 9 mas não de 27 . + +c) Mostre que $a_{3}$ é múltiplo de 27 mas não de 81 . + +## 25 Retângulo ou trapézio + +A figura abaixo contém um quadrado e dois triângulos retângulos congruentes. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-15.jpg?height=230&width=586&top_left_y=1532&top_left_x=837) + +Com esses polígonos formamos um retângulo e um trapézio como mostra a figura seguinte: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-15.jpg?height=226&width=798&top_left_y=1953&top_left_x=731) + +Sabendo que o perímetro do retângulo é 58 , e que o perímetro do trapézio é 60 , calcule o lado do quadrado. + +Observação: Um triângulo é dito retângulo se um dos seus ângulos mede $90^{\circ}$. Dois triângulos são ditos congruentes quando os dois possuem lados com os mesmos comprimentos. + +## 26 Sabotando os planos do Chris + +Sobre um tabuleiro de $n \times n$, Chris planeja desenhar três O's. Ele deseja fazê-lo de modo que cada $\mathbf{O}$ fique dentro de um quadradinho e de modo que os três quadradinhos utilizados estejam dispostos no formato de um L. A seguinte figura mostra alguns exemplos com $n=4$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-16.jpg?height=260&width=988&top_left_y=612&top_left_x=434) + +Nosso objetivo será sabotar o plano de Chris! Chegaremos antes que ele e marcaremos alguns dos quadradinhos com um $\mathbf{X}$, não permitindo assim que ele desenhe os seus O's dentro desses quadradinhos. Por exemplo, em um tabuleiro de $3 \times 3$ podemos marcar cinco quadradinhos como mostra a figura seguinte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-16.jpg?height=280&width=283&top_left_y=1165&top_left_x=795) + +Vemos que assim não há uma maneira pela qual Chris possa cumprir com seu plano. + +a) Para $n=2$, qual é a quantidade mínima de quadradinhos que devemos marcar com um $\mathbf{X}$ para sabotar o plano de Chris? + +b) Para $n=3$, encontre um modo de sabotar o plano de Chris marcando exatamente quatro quadradinhos com um $\mathbf{X}$. + +c) Para $n=4$, encontre um modo de sabotar o plano de Chris marcando exatamente oito quadradinhos. + +d) Para $n=4$, mostre que é impossível sabotar o plano de Chris marcando apenas sete quadradinhos com um X. (Sugestão: use o item a)). + +## 27 Kiara e Yndira + +Sobre um quadro negro, Kiara escreveu 20 números inteiros, todos eles diferentes de zero. Em seguida, para cada par de números escritos por Kiara, Yndira escreveu sobre o mesmo quadro o respectivo produto entre eles (inclusive, se o resultado de algum produto já estava escrito, Yndira o repetiu). + +Por exemplo, caso os números 2, 3, 4 e 6 estivessem entre aqueles escritos por Kiara, então Yndira teria escrito os números $6,8,12,12,18$ e 24 , pois temos que $6=2 \times 3$, $8=2 \times 4,12=2 \times 6=3 \times 4,18=3 \times 6$ e $24=4 \times 6$. Note que o número 6 teria sido escrito novamente mesmo já tendo sido escrito por Kiara, enquanto que o número 12 teria sido escrito duas vezes por Yndira. + +a) No total, quantos números foram escritos por Kiara e Yndira sobre o quadro negro? + +b) Suponhamos que, do total de números escritos sobre o quadro, exatamente 120 são positivos. Se Kiara escreveu mais números positivos do que negativos, diga quantos dos números escritos por Kiara eram positivos. + +## 28 A área do quadrilátero + +Na figura abaixo, $A B C D$ é um paralelogramo, e $M$ é o ponto médio do segmento $A D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-17.jpg?height=562&width=1211&top_left_y=1775&top_left_x=525) + +Se a área do quadrilátero $M O C D$ é igual a $5 \mathrm{~cm}^{2}$, calcule a área do triângulo $A O M$. + +## 29 Abrindo e fechando portas + +Os 50 primeiros números naturais atravessarão um corredor que contém 50 portas numeradas de 1 a 50, todas elas inicialmente trancadas. O primeiro a atravessar será o número 1 , o segundo será o número 2 , em seguida o número 3 e assim por diante, até o número 50 que será o último a atravessar. Ao atravessar o corredor, o número $n$ carregará consigo as chaves das portas numeradas com múltiplo de $n$. Assim, por exemplo, o número 1 carregará as chaves de todas as portas, enquanto que o número 2 carregará somente as chaves das portas com numeração par e o número 25 carregará somente as chaves das portas numeradas com 25 e 50 . Durante o seu percurso, cada número usa as chaves que possui para trancar as portas que estiverem abertas e destrancar aquelas que estiverem fechadas. + +a) Quais serão as portas destrancadas pelo número 15 ? + +b) Mostre que, depois do número 50 ter percorrido o corredor, a porta de número 10 ficará destrancada enquanto que a porta de número 9 ficará trancada. + +c) Depois do número 50 ter percorrido o corredor, quais serão as portas destrancadas? + +## 30 Use as paralelas + +$\mathrm{Na}$ figura abaixo, $A B C D$ é um quadrado, e a circunferência de centro $O$ é tangente aos segmentos $D E$ e $C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-18.jpg?height=605&width=968&top_left_y=1719&top_left_x=450) + +a) Mostre que se $L_{1}$ é a reta que passa por $A C$ e $L_{2}$ é a reta que passa por $D O$, então $L_{1}$ e $L_{2}$ são paralelas. + +b) Sabendo que a área do quadrado $A B C D$ é igual a $36 \mathrm{~cm}^{2}$, calcule a área do triângulo $A C O$. + +## 1 Tartaruga corredora - Solução + +a) Como velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, temos que, no primeiro trecho, + +$$ +3=\frac{\frac{1}{2}}{t} +$$ + +e daí obtemos $t=\frac{1}{6} \mathrm{~s}$. Para escrever $\frac{1}{6}$ como diferença de duas frações unitárias, basta notar que + +$$ +\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +$$ + +b) Fazendo o mesmo do item anterior, obtemos + +$$ +4=\frac{\frac{1}{3}}{t} +$$ + +e daí obtemos $t=\frac{1}{4 \cdot 3} \mathrm{~s}=\frac{1}{12} \mathrm{~s}$. Para escrever $\frac{1}{12}$ como diferença de duas frações unitárias, basta notar que + +$$ +\frac{1}{12}=\frac{1}{3 \cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +$$ + +c) Os dois itens anteriores sugerem que os tempos percorridos em cada trecho são, de maneira ordenada, $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}-\frac{1}{4}, \frac{1}{5}-\frac{1}{4}, \ldots$ Para ver isso, basta notar que + +$$ +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} +$$ + +Logo, somando os tempos gastos do primeiro até o $2013^{-}$trecho, obtemos + +$$ +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right) +$$ + +Nessa soma, muitos termos se cancelam (o segundo de cada parênteses com o primeiro do próximo parênteses). Logo, obtemos como soma do tempo gasto nos 2013 primeiros termos o valor $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\right) \mathrm{s}$. + +## 2 Gato late, cachorro mia? - Solução + +Sejam $C$ e $G$, respectivamente, o número de cães e gatos de Trocalândia. O número de gatos que pensam que são gatos é + +$$ +\frac{80 G}{100} +$$ + +O número de cachorros que pensam que são gatos é + +$$ +\frac{25 C}{100} +$$ + +Logo, o número total de animais que pensam que são gatos é + +$$ +\frac{80 G+25 C}{100} +$$ + +Conforme diz o psicólogo veterinário, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{80 G+25 C}{100}=\frac{30}{100}(G+C) & \Longrightarrow 80 G+25 C=30 G+30 C \\ +& \Longrightarrow 80 G-30 G=30 C-25 C \\ +& \Longrightarrow 10 G=C +\end{aligned} +$$ + +Portanto, a proporção de cães é + +$$ +\frac{C}{C+G}=\frac{10 G}{10 G+G}=\frac{10}{11} +$$ + +sendo a resposta final 10/11. + +## 3 Os funcionários do hospital - Solução + +a) Para ser o primeiro da fila, podemos escolher qualquer um dos seis funcionários. Logo, há 6 possibilidades. Escolhido o primeiro da fila, restam cinco funcionários a serem escolhidos para ser o segundo da fila (porque um já foi escolhido). Para o terceiro lugar termos 4 possibilidades, e assim por diante. Logo, há + +$$ +6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=720 +$$ + +maneiras distintas de organizar a fila. + +b) Numa mesa redonda, só importa a posição relativa, como foi dito no enunciado. Se movermos cada funcionário para a cadeira à sua esquerda, a mesa continua igual. Quantas vezes podemos fazer isso? De 6, já que são seis funcionários. Se numerarmos as cadeiras, teríamos a mesma resposta do item anterior, 720. Como podemos girar as pessoas para a cadeira ao lado 6 vezes, concluímos que o número de maneiras de colocar os funcionários na mesa é $720 / 6=120$. + +c) Podemos escolher o presidente de 6 maneiras, já que são 6 funcionários. Para cada uma dessas escolhas, teremos 5 possibilidades para escolher o vice. E para uma dessas, 4 para o suplente. Logo, são $6 \times 5 \times 4=120$ maneiras de escolher a comissão. + +## 4 A Lista de Pedro - Solução + +Notemos que um número natural menor do que 10000 pode ser representado por exatamente quatro algarismos escolhidos em $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, possivelmente com repetições. Assim, temos quatro posições para serem preenchidas com esses algarismos. Por exemplo, o número 12 seria representado por 0012, isto é, o algarismo 0 foi escolhido para preencher a primeira e a segunda posição, o algarismo 1 foi escolhido para a terceira e o algarismo 2 foi escolhido para a quarta. + +Os números da lista de Pedro devem conter, obrigatoriamente os dígitos 1 e 2. Assim, para formar um número da lista de Pedro podemos seguir o seguinte procedimento: + +1. Escolhemos a posição do algarismo 1 dentre as quatro possíveis. +2. Escolhemos a posição do algarismo 2 dentre as três que restam. +3. Preenchemos cada uma das duas posições restantes com um dos oito algarismos escolhido no conjunto $\{0,3,4,5,6,7,8,9\}$, podendo haver repetição. + +Note que qualquer número da lista de Pedro é obtido desse modo e, para que dois procedimentos resultem no mesmo número, é necessário que as escolhas em cada passo coincidam. Logo, para contar a quantidade de números presentes na lista, basta contar a quantidade de escolhas possíveis nesse procedimento. + +Para o primeiro passo do procedimento temos quatro escolhas. Fixada uma escolha para o primeiro passo, temos três escolhas para o segundo passo. Fixadas as escolhas para os primeiro e segundo passos, para o último passo teremos $8 \times 8$ alternativas, já que temos oito algarismos para escolher para cada uma das posições e pode haver repetição. No total teremos $4 \times 3 \times 8 \times 8=768$ formas de realizar $o$ procedimento e, portanto, a lista de Pedro tem 768 números. + +## 5 Área em cinza - Solução + +A área da região em cinza é a soma da área dos triângulos $I J H, K L H, D O H$ e $N M H$. Lembramos que a área de um triângulo é dada por + +$$ +\text { área }=\frac{\text { base } \times \text { altura }}{2} +$$ + +Traçando um segmento paralelo aos lados $A B$ e $C D$ pelo ponto $H$, obtemos os pontos $P$ e $Q$ mostrados na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-21.jpg?height=503&width=800&top_left_y=2193&top_left_x=731) + +Note que a altura dos triângulos $I J H$ e $K L H$ é igual ao comprimento $\overline{H Q}$. Por outro lado, a altura dos triângulos $D O H$ e $N M H$ é igual ao comprimento $\overline{H P}$. Assim, temos que a área de cada um dos triângulos $I J H$ e $K L H$ é dada por + +$$ +\frac{1 \times \overline{H Q}}{2} +$$ + +enquanto que a área de cada um dos triângulos $D O H$ e $N M H$ é dada por + +$$ +\frac{1 \times \overline{H P}}{2} +$$ + +Assim, a soma das áreas dos quatro triângulos é dada por: + +$$ +2 \times \frac{1}{2} \times \overline{H Q}+2 \times \frac{1}{2} \times \overline{H P} +$$ + +que é igual a + +$$ +\overline{H P}+\overline{H Q} +$$ + +Como a soma $\overline{H Q}+\overline{H P}$ é igual ao comprimento do lado $B C$, temos que a área total em cinza é igual a 2. + +## 6 Quantos andares? - Solução + +Vamos chamar de $A, B$ e $C$ as três escadas, que têm 104, 117 e 156 degraus, respectivamente. Seja $a$ o número de degraus da escada $A$ entre cada dois andares, $b$ o número de degraus da escada $B$ entre cada dois andares, e $c$ o número de degraus da escada $C$ entre cada dois andares. Dividindo o número total de degraus de uma escada pelo número de degraus que esta escada tem entre cada dois andares, obtem-se o número de andares! Logo, + +$$ +\frac{104}{a}=\frac{117}{b}=\frac{156}{c}=d +$$ + +onde $d$ é o número de andares do prédio. Ou seja, $d$ é um divisor comum de 104, 117 e 156. Além disso, $d$ deve ser o maior possível, pois $a, b$ e $c$ são os menores possíveis! Logo, $d$ é o maior divisor comum $(m d c)$ de 104, 117 e 156. Calculando o $m d c$ de 104, 117 e 156, obtemos o número 13 como resposta. Logo, o número de andares deste prédio é 13 . + +## 7 Pulga pula-Solução + +a) Para chegar em $B$, a pulga deve dar exatamente um passo para a esquerda, e seis para a direita, em qualquer ordem. Como esse passo para a esquerda pode ser dado em qualquer momento, há 7 momentos possíveis para dá-lo! Logo, são 7 maneiras distintas da pulga chegar em $B$ com 7 passos. + +b) Para chegar em $C$, a pulga deve dar 7 passos para a direita e 2 para a esquerda, em qualquer ordem. De quantas maneiras a pulga pode fazer isso? Uma maneira é listar todas, são 36. + +Outra maneira, mais interessante, é pensar da forma seguinte: de quantas formas podemos ordenar 9 objetos distintos? A resposta é $9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$. E se há 7 objetos iguais de um tipo e 2 de outro tipo? Então, da maneira anterior, estaríamos contando cada configuração muitas vezes. De fato, estaríamos contando $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ vezes por causa de um tipo de objeto repetido e estaríamos contando $2 \times 1$ vezes por causa do outro. Daí, basta fazer + +$$ +\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times(2 \times 1)}=\frac{9 \times 8}{2 \times 1}=36 +$$ + +e, portanto, são 36 maneiras. Podemos agora pensar em um objeto de um tipo como sendo um salto para a direita, e o objeto do outro tipo como sendo um salto para a esquerda. Assim, cada maneira de ordenar os objetos, corresponde a uma maneira de ordenar os saltos da pulga. Concluímos que a pulga tem 36 maneiras distintas de chegar em $C$. + +c) A resposta é não! Porque $2028-2013=15$, que é ímpar. + +## 8 Círculos e círculos - Solução + +Vamos numerar as regiões: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-23.jpg?height=363&width=525&top_left_y=1286&top_left_x=868) + +As regiões 2 e 4 têm mesma área, pois uma pode ser obtida refletindo a outra. Além disso, as regiões 1 e 6 também possuem mesma área. Logo, a área da região em cinza acima é a mesma da região pintada em cinza abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-23.jpg?height=360&width=525&top_left_y=1876&top_left_x=868) + +A área da região pintada em cinza acima é a área do círculo de raio 2 , logo, igual a $\pi 2^{2}=4 \pi$. + +## 9 Rodizio de veículos - Solução + +a) Como o número 729 é ímpar, o carro com a placa de número 729 pode circular às segundas-feiras. Como $7+2+9=18$, o carro também pode circular às terçasfeiras, mas não às quintas-feiras. Como 729 é múltiplo de 3 , este carro também +pode circular às quartas-feiras. Como 729 não possui dígitos iguais, é maior do que 500 , e tem um dígito maior do que 6 , ele não pode circular às sextas-feiras, sábados e domingos. + +b) O leitor pode verificar que a resposta para essa questão é o número 363. Vamos em seguida mostrar uma maneira de se chegar a essa resposta. + +Seja $A B C$ o número da placa do carro de Maria. Como o carro deve circular aos sábados, devemos ter + +$$ +A \in\{0,1,2,3,4\} +$$ + +Além disso, o carro deve circular às terças-feiras e quintas-feiras. Logo, + +$$ +A+B+C \in\{11,12,13,14\} +$$ + +Mais ainda, para circular às segundas-feiras, devemos ter que + +$$ +C \in\{1,3,5,7,9\} +$$ + +Vamos dividir as possibilidades em quatro casos: + +Primeiro caso: $A=0$. + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C \in\{11,12,13,14\}$. É impossível obter essa igualdade se $B=0$ ou $C=0$. Logo, devemos supor que $B \neq 0$ e que $C \neq 0$. Em particular, vale que $B \neq A$ e $C \neq A$. Como o carro deve circular às sextas-feiras, então temos que $B=C$. Assim $2 C=B+C \in\{11,12,13,14\}$. Como, devemos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única possibilidade é $A B C=077$. Mas esse número não é um múltiplo de 3. Assim o carro com placa de número 077 está impedido de circular às quartas-feiras. Logo, esse caso deve ser descartado. + +Segundo caso: $A=1$. + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-1 \in\{10,11,12,13\}$. Assim, se fosse $B=1$, então deveríamos ter obrigatoriamente $C=9$. Logo, teríamos $A B C=119$ que não é um múltiplo de 3 , logo não pode circular às quartas-feiras. Por outro lado, se fosse $C=1$, então deveríamos ter obrigatoriamente $B=9$ obtendo que $A B C=191$ que também não é um múltiplo de 3 . Em particular, vale que $B \neq A \mathrm{e}$ $C \neq A$. Como o carro deve circular às sextas-feiras, então temos que $B=C$. Logo, $2 C=B+C=\in\{10,11,12,13\}$. Como devemos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única escolha possível é $C=5$. Assim, temos que $A B C=155$ que não é um múltiplo de 3. Deste modo, esse caso deve ser descartado. + +Terceiro caso: $A=2$. + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-2 \in\{9,10,11,12\}$. Assim, se fosse $B=2$ então as únicas escolhas possíveis para $C$ seriam $C=7$ ou $C=9$. Logo, deveríamos ter $A B C=227$ ou $A B C=229$. Como nenhum deles é um múltiplo de 3 , temos que descartar a opção $B=2$. Também $C \neq 2$, já que $C$ deve ser ímpar. Em particular, temos que $B \neq A$ e $C \neq A$. Como o carro deve circular às sextas-feiras, então temos que $B=C$. Logo, $2 C=B+C \in\{9,10,11,12\}$. Como devemos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única escolha possível é $C=5$. Assim, temos que $A B C=255$. Porém um carro contendo a placa com esse número não estaria impedido de circular aos domingos, pois satisfaria a exigência de que todos os dígitos são menores do que 6. Assim, esse caso deve ser descartado. + +Quarto caso: $A=3$. + +Nesse caso temos que $B+C=A+B+C-3 \in\{8,910,11\}$. Assim, se fosse $B=3$ então as únicas escolhas possíveis para $C$ seriam $C=5$ ou $C=7$. Logo, deveríamos ter $A B C=335$ ou $A B C=337$. Como nenhum deles é um múltiplo de 3 , temos que descartar a opção $B=3$. Se fosse também $C \neq 3$, então em particular teríamos que $B \neq A$ e $C \neq A$. Para que o carro possa circular às sextas-feiras deveríamos ter $B=C$. Logo $2 C=B+C \in\{8,9,10,11\}$. Como deveríamos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única escolha possível é $C=5$. Logo, teríamos $A B C=355$, que não é um múltiplo de 3. Assim, temos também que descartar a opção $C \neq 3$. Como $B+C \in\{8,9,10,11\}$, vale que $B \in\{5,6,7,8\}$. Logo, as escolhas possíveis para o valor de $A B C$ são 353, 363, 373 e 383. Dessas, a única que é um múltiplo de 3 é o 363. Logo, todas as outras opções devem ser descartadas. Como 363 possui um dígito que não é menor do que 6 , o carro que contém esse número em sua placa não pode circular aos domingos. Assim, esse é o número procurado. Para mostrar que essa é a única escolha de placa possível, vamos descartar também o próximo caso. + +Quinto caso: $A=4$. + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-4 \in\{7,8,9,10\}$. Assim, se fosse $B=4$ então as únicas escolhas possíveis para $C$ seriam $C=3$ ou $C=5$. Então as opções possíveis são $A B C=443$ ou $A B C=445$ que não são múltiplos de 3 . Como $C$ deve ser ímpar temos que $C \neq 4$, logo devemos ter $C=B$. Dessa forma $2 C=B+C\{7,8,9,10\}$. A única opção possível é $C=5$. Nesse caso, $A B C=455$ que não é um múltiplo de 3. Deste modo, não pode ser $A=4$. + +c) O leitor pode verificar que a resposta para essa questão é o número 255. Vamos em seguida mostrar uma maneira de se chegar a essa resposta, que se assemelha muito com o procedimento no item anterior. + +Seja $A B C$ o número da placa do carro do prefeito Pietro. Como o carro deve circular aos sábados, devemos ter + +$$ +A \in\{0,1,2,3,4\} +$$ + +Além disso o carro deve circular às terças-feiras e segundas-feiras, logo + +$$ +A+B+C \in\{11,12,13,14\} +$$ + +Mais ainda, para circular às segundas-feiras, devemos ter que + +$$ +C \in\{1,3,5,7,9\} +$$ + +Vamos dividir as possibilidades em quatro casos: + +Primeiro caso: $A=0$ (igual ao do item $c$ )). + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C \in\{11,12,13,14\}$. É impossível obter essa igualdade se $B=0$ ou $C=0$. Portanto, devemos supor que $B \neq 0$ e que $C \neq 0$. Em particular, vale que $B \neq A$ e $C \neq A$. Como o carro deve circular às sextasfeiras, temos que $B=C$. Assim, $2 C=B+C \in\{11,12,13,14\}$. Como devemos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única possibilidade é $A B C=077$. Mas esse número não é um múltiplo de 3. Assim, o carro com placa de número 077 está impedido de circular às quartas-feiras. Logo, esse caso deve ser descartado. + +Segundo caso: $A=1$ (igual ao do item $c$ )). + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-1 \in\{10,11,12,13\}$. Assim, se fosse $B=1$, então deveríamos ter obrigatoriamente $C=9$. Logo teríamos $A B C=119$ +que não é um múltiplo de 3 , logo não podendo circular às quartas-feiras. Por outro lado, se fosse $C=1$, então deveríamos ter obrigatoriamente $B=9$, obtendo que $A B C=191$ que também não é um múltiplo de 3 . Em particular, vale que $B \neq A$ e $C \neq A$. Como o carro deve circular às sextas-feiras, então temos que $B=C$. Logo, $2 C=B+C \in\{10,11,12,13\}$. Como devemos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única escolha possível é $C=5$. Assim, temos que $A B C=155$ que não é um múltiplo de 3. Logo, esse caso deve ser descartado. + +Terceiro caso: $A=2$. + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-2 \in\{9,10,11,12\}$. Assim, se fosse $B=2$ então as únicas escolhas possíveis para $C$ seriam $C=7$ ou $C=9$. Logo, deveríamos ter $A B C=227$ ou $A B C=229$. Como nenhum deles é um múltiplo de 3, temos que descartar a opção $B=2$. Também $C \neq 2$, já que $C$ deve ser ímpar. Em particular, temos que $B \neq A$ e $C \neq A$. Como o carro deve circular às sextas-feiras, então temos que $B=C$. Logo $2 C=B+C \in\{9,10,11,12\}$. Como devemos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única escolha possível é $C=5$. Assim, temos que $A B C=255$. Esse número é um múltiplo de 3 , logo pode circular também às quartas-feiras. Um carro contendo a placa com esse número pode ainda circular aos domingos, pois satisfaz a exigência de que todos os dígitos são menores do que 6. Assim, essa é a placa procurada. Para mostrar que essa é a única escolha de placa possível vamos descartar também os próximos dois casos. + +Quarto caso: $A=3$. + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-3 \in\{8,9,10,11\}$. Assim, se fosse $B=3$ então as únicas escolhas possíveis para $C$ seriam $C=5$ ou $C=7$. Logo deveríamos ter $A B C=335$ ou $A B C=337$. Como nenhum deles é um múltiplo de 3 , temos que descartar a opção $B=3$. Se fosse também $C \neq 3$, então em particular teríamos que $B \neq A$ e $C \neq A$. Para que o carro possa circular às sextas-feiras deveríamos ter $B=C$. Logo, $2 C=B+C \in\{8,9,10,11\}$. Como deveríamos ter $C \in\{1,3,5,7,9\}$, a única escolha possível é $C=5$. Logo teríamos $A B C=355$, que não é um múltiplo de 3. Assim, temos também que descartar a opção $C \neq 3$. Como $B+C \in\{8,9,10,11\}$ vale que $B \in\{5,6,7,8\}$. Logo as escolhas possíveis para o valor de $A B C$ são 353 , 363, 373 e 383. Dessas, a única que é um múltiplo de 3 é o 363. Logo, todas as outras opç̃oes devem ser descartadas. Como 363 possui um dígito que não é menor do que 6 o carro que contém esse número em sua placa não pode circular aos domingos. Assim esse caso deve ser também descartado. + +Quinto caso: $A=4$ (igual ao do item $c$ )). + +Nesse caso, temos que $B+C=A+B+C-4 \in\{7,8,9,10\}$. Assim, se fosse $B=4$ então as únicas escolhas possíveis para $C$ seriam $C=3$ ou $C=5$. Então as opções possíveis são $A B C=443$ ou $A B C=445$, que não são múltiplos de 3 . Como $C$ deve ser ímpar temos que $C \neq 4$, logo devemos ter $C=B$. Dessa forma, $2 C=B+C \in\{7,8,9,10\}$. A única opção possível é $C=5$. Nesse caso, $A B C=455$ que não é um múltiplo de 3. Assim, não pode ser $A=4$. + +d) Carros com placas cuja soma dos números é maior do que 10 podem circular às terças-feiras. Assim, caso um carro não possa circular às terças-feiras a sua placa contém um número cuja soma dos algarismos é menor do que $10 \mathrm{e}$, em consequência, menor também do que 15. Assim, esse carro pode circular às quintas-feiras. Deste modo, qualquer carro que seja impedido de circular às terças-feiras pode circular às quintas-feiras. + +## 10 Cubo do dia - Solução + +a) Os dias do mês que são escritos com dois algarismos iguais são 11 e 22. Logo, o 1 e 02 devem aparecer em ambos os cubos. Além disso, embora não exista um dia 00 no mês, o zero deve aparecer em ambos os cubos, vejamos o porquê disso. Se o zero estivesse em apenas um dos cubos, para formar os dias de 01 até 09 , no outro cubo deveriam estar os algarismos $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ (note que o 9 não foi incluído, porque 06 pode ser usado para representá-lo). Como são apenas seis faces no cubo, e são oito elementos no conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, isso é impossível. Logo, o zero deve aparecer em ambos os cubos. Falta mostrar que nenhum outro algarismo é escrito em ambos os cubos. Como já sabemos que os algarismos $0,1,2$ aparecem em ambos os cubos, restam seis faces a serem preenchidas com algarismos. Como ainda temos os seis algarismos $3,4,5,6,7,8$ para distribuir (o 9 é representado usando o 6 invertido) nas faces, fica claro que não podemos repetir mais nenhum algarismo em dois cubos diferentes. + +b) Há muitas soluções possíveis. Sabendo que 0,1 e 2 aparecem em ambos os cubos, podemos distribuir os algarismos $3,4,5,6,7$ e 8 de qualquer maneira nas faces restantes. Por exemplo, um cubo poderia ter em suas faces os algarismos $0,1,2,3$, 4 e 5 e o outro cubo os algarismos $0,1,2,6,7$ e 8 . + +## 11 Área do losango - Solução + +Observe o seguinte desenho: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-27.jpg?height=380&width=662&top_left_y=1483&top_left_x=800) + +Como $B M D N$ é um losango, então os comprimentos dos segmentos $B M, M D, D N$ e $N B$ são iguais a um mesmo valor, digamos a $x$. Pelo dado do problema, $\overline{A D}=8$, $\log 0 \overline{A N}=8-x$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-27.jpg?height=383&width=660&top_left_y=2110&top_left_x=801) + +Podemos agora aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo $B A N$ : + +$$ +4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2} +$$ + +Resolvendo a equação obtemos $x=5$. Finalmente, a área do losango resulta $4 \times x=$ $4 \times 5=20$. + +## 12 Adriana pinta o muro - Solução + +a) A diagonal do retângulo corta o segmento $J H$ em seu ponto médio, o ponto $I$, veja a figura a seguir. Além disso, os pontos $B$ e $P$ são os pontos médios dos lados $A C$ e $O Q$ do retângulo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-28.jpg?height=371&width=1100&top_left_y=797&top_left_x=381) + +Observe também que $F$ é o ponto médio de $E G$ e $M$ é o ponto médio de $L N$. Logo, o comprimento dos segmentos $G F, F E, L M$ e $M N$ são todos iguais a $\frac{1}{4} \mathrm{~m}$. Há várias formas de calcular as áreas das quatros regiões em cinza (que são dois triângulos e dois trapézios). Vamos mostrar uma maneira um pouco diferente das maneiras usuais. + +Deslizando o trapézio $F D J I$ para cima do triângulo $A G F$, e deslizando o triângulo $M N Q$ para cima do trapézio $H K M I$, obtemos a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-28.jpg?height=271&width=1025&top_left_y=1766&top_left_x=413) + +onde observamos dois retângulos de base $1 \mathrm{~m}$ e altura $\frac{3}{4} \mathrm{~m}$. Logo, a área total das regiões pintadas de cinza é, em metros quadrados, igual a $2 \times \frac{3}{4}=1,5$. + +b) Vamos aplicar a mesma ideia da questão anterior. Primeiro dividimos os quadrados em grupos de dois. O primeiro e o segundo, depois o terceiro e o quarto, depois o quinto e o sexto, e assim por diante. Em seguida, tomamos cada figura pintada em cinza que se encontra em um quadrado de ordem par e a deslizamos para cima da figura pintada em cinza do seu quadrado vizinho à esquerda. Por exemplo, a figura pintada de cinza do segundo quadrado é deslizada para a esquerda e vai para cima da figura pintada de cinza do primeiro quadrado, formando a figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-29.jpg?height=405&width=682&top_left_y=237&top_left_x=790) + +A região pintada em cinza forma agora um retângulo de base $1 \mathrm{~m}$. Vamos descobrir a altura desse retângulo. Como o muro tem $32 \mathrm{~m}$ de largura e $1 \mathrm{~m}$ de altura, e cada quadrado dentro do muro tem lado $1 \mathrm{~m}$, temos a figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-29.jpg?height=448&width=1453&top_left_y=901&top_left_x=404) + +Por semelhança de triângulos, $\frac{x}{1}=\frac{1}{32} \mathrm{~m}$. + +Logo, $x=\frac{1}{32}$. Logo, a altura do retângulo formado pelas regiões cinzas no primeiro quadrado é, em metros, igual a $1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$. Como são 32 quadrados, teremos $\frac{32}{2}=16$ retângulos cinzas, todos iguais (um no primeiro quadrado, outro no terceiro quadrado, outro no quinto, etc.). Portanto, a área total do muro pintada em cinza será, em metros quadrados, igual a $\frac{31}{32} \times 16=\frac{31}{2}$. + +## 13 O lema de Quatrolândia - Solução + +a) + +| $\mathbf{S}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{I}$ | $\mathbf{L}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | $\times$ | 4 | +| $\mathbf{L}$ | $\mathbf{I}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{S}$ | + +Analisando a multiplicação acima, notamos que $\mathbf{S}$ é o algarismo mais à esquerda do número SERVIL. Como ambos os números SERVIL e LIVRES têm 6 algarismos, temos que as únicas opções possíveis para o algarismo $\mathbf{S}$ são $\mathbf{S}=1$ ou $\mathbf{S}=2$ pois, caso contrário, o número LIVRES teria mais algarismos que o número SERVIL. Note no entanto que, como o número LIVRES é um múltiplo de 4, temos que ele deve ser par, logo não pode terminar com o dígito 1 . Segue daí que $\mathbf{S}=2$. + +Como os algarismos $\mathbf{S}$ e $\mathbf{L}$ são aqueles localizados mais à direita nos dois números SERVIL e LIVRES respectivamente, então, o algarismo $\mathbf{L}$ é obtido do algarismo $\mathbf{S}$ após uma multiplicação por quatro seguida, possivelmente, de uma soma por um dos números $0,1,2$ ou 3 . Nesse caso, como $\mathbf{S}=2$, então $\mathbf{S} \times 4=8$, logo para obter o algarismo $\mathbf{L}$ só podemos somar 0 ou 1 , pois a soma por 2 ou 3 conduziria ao resultado 10 ou 11 respectivamente. Assim, as possibilidades para o valor do algarismo $\mathbf{L}$ são $\mathbf{L}=2$ ou $\mathbf{L}=9$. Note que como o último algarismo de SERVIL e LIVRES são $\mathbf{L}$ e $\mathbf{S}$ respectivamente, então temos que $\mathbf{S}$ tem que ser o algarismo das unidades de $\mathbf{L} \times 4$. + +Temos as seguintes opções: + +- $\mathbf{L}=9$ + +Nesse caso, $\mathbf{L} \times 4=36$ que tem o algarismo das unidades igual a 6. Logo obteríamos $\mathbf{S}=6$, o que é uma contradição com a suposição de que $\mathbf{S}=2$. + +- $\mathbf{L}=8$ + +Nesse caso, $\mathbf{L} \times 4=32$ que tem o algarismo das unidades igual a 2. $\operatorname{Logo} \mathbf{S}=2$, o que está de acordo com a nossa escolha para $\mathbf{S}$. + +Os casos acima nos fazem concluir que a única escolha possível para $\mathbf{S}$ e $\mathbf{L}$ são $\mathbf{S}=2$ e $\mathbf{L}=8$ respectivamente. + +b) Pelo item anterior temos que $\mathbf{S}=2 \mathbf{e} \mathbf{L}=8$. Assim, o diagrama da multiplicação pode ser modificado para: + +| 2 | $\mathbf{E}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{I}$ | 8 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | $\times$ | 4 | +| 8 | $\mathbf{I}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{E}$ | 2 | + +Como os dois primeiros algarismos de SERVIL e LIVRES já estão determinados, podemos reduzir esse diagrama ao seguinte: + +| $\mathbf{E}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{I}$ | 8 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | $\times$ | 4 | +| $\mathbf{I}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{E}$ | 2 | + +Analisando a multiplicação acima, notamos que $\mathbf{E}$ é o algarismo mais à esquerda do número ERVI8. Como ambos os números ERVI8 e IVRE2 têm 5 algarismos, temos que as únicas opções possíveis para o algarismo $\mathbf{E}$ são $\mathbf{E}=1$ ou $\mathbf{E}=2$ pois, caso contrário, o número IVRE2 teria mais algarismos que o número ERVI8. + +Vamos analisar os seguintes casos: + +Primeiro caso: $\mathbf{E}=2$. + +| $\square$ | | | 3 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathbf{E}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{I}$ | 8 | +| | | | $\times$ | 4 | +| $\mathbf{I}$ | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{E}$ | 2 | + +Como os algarismos $\mathbf{E}$ e I são aqueles localizados mais à direita nos dois números ERVI8 e IVRE2 respectivamente, então, o algarismo I é obtido do algarismo E após uma multiplicação por quatro seguida, possivelmente, de uma soma por um dos números $0,1,2$ ou 3. Nesse caso, como estamos supondo que $\mathbf{E}=2$, então $\mathbf{E} \times 4=8$, logo para obter o algarismo I só podemos somar 0 ou 1, pois a soma por 2 ou 3 conduziria ao resultado 10 ou 11 respectivamente. Assim, as possibilidades para o valor do algarismo $\mathbf{I}$ são $\mathbf{I}=8$ ou $\mathbf{I}=9$. Note que como os últimos algarismos de ERVI8 e IVRE8 são E e I respectivamente, então temos que $\mathbf{E}$ tem que ser o algarismo das unidades de $\mathbf{I} \times 4+3$. + +Temos as seguintes opções: + +- $\mathbf{I}=9$ + +Nesse caso, $\mathbf{I} \times 4+3=39$ que tem o algarismo das unidades igual a 9. Logo obteríamos $\mathbf{E}=9$, o que é uma contradição com a suposição de que $\mathbf{E}=2$. + +- $\mathbf{I}=8$ + +Nesse caso, $\mathbf{I} \times 4+3=35$ que tem o algarismo das unidades igual a 5. Logo obteríamos $\mathbf{E}=5$, o que é uma contradição com a suposição de que $\mathbf{E}=5$. + +## Segundo caso: $\mathbf{E}=1$. + +Como os algarismos $\mathbf{E}$ e I são aqueles localizados mais à direita nos dois números ERVI8 e IVRE2 respectivamente, então, o algarismo I é obtido do algarismo E após uma multiplicação por quatro seguida, possivelmente, de uma soma por um dos números $0,1,2$ ou 3 (que deve preencher o quadradinho $\square$ acima do algarismo $\mathbf{E}$ no diagrama acima). Sendo $E=1$ então as opç̃os possíveis para o valor de $\mathbf{I}$ seriam $\mathbf{I}=4=4 \times \mathbf{E}+0, \mathbf{I}=5=4 \times \mathbf{E}+1, \mathbf{I}=6=4 \times \mathbf{E}+2$ e $\mathbf{I}=7=4 \times \mathbf{E}+3$. Note que como o último algarismo de ERVI 8 e LIVRE2 são E e I respectivamente, então temos que $\mathbf{E}$ tem que ser o algarismo das unidades de $\mathbf{I} \times 4+3$. + +Temos as seguintes opções: + +$$ +\text { - } \mathbf{I}=4 +$$ + +Nesse caso, $\mathbf{I} \times 4+3=19$ que tem o algarismo das unidades igual a 9. Logo obteríamos $\mathbf{E}=9$, o que é uma contradição com a suposição de que $\mathbf{E}=1$. + +$\cdot$ $\mathbf{I}=5$ + +Nesse caso, $\mathbf{I} \times 4+3=23$ que tem o algarismo das unidades igual a 3. Logo obteríamos $\mathbf{E}=3$, o que é uma contradição com a suposição de que $\mathbf{E}=1$. + +$$ +\bullet \mathbf{I}=6 +$$ + +Nesse caso, $\mathbf{I} \times 4+3=27$ que tem o algarismo das unidades igual a 7. Logo obteríamos $\mathbf{E}=7$, o que é uma contradição com a suposição de que $\mathbf{E}=7$. + +- $\mathbf{I}=7$ + +Nesse caso, $\mathbf{I} \times 4+3=31$ que tem o algarismo das unidades igual a 1. Logo obteríamos $\mathbf{E}=1$ que está de acordo com a nossa escolha para valor de $\mathbf{E}$. Observe que dentre todas essas opções a única que não conduziu a uma contradição foi a opção $\mathbf{I}=7$. Assim devemos descartar todas as demais possibilidades e supor que $\mathbf{E}=1 \mathrm{e} \mathbf{I}=7$. + +c) Pelo item anterior temos que $\mathbf{E}=7$ e $\mathbf{I}=7$. Assim o diagrama apresentado no item anterior pode ser modificado pelo seguinte: + +| 3 | | 3 | 3 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{V}$ | 7 | 8 | +| | | | $\times$ | 4 | +| 7 | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{R}$ | 1 | 2 | + +Para facilitar ainda mais, podemos nos concentrar no diagrama mais simples abaixo: + +| | $\square$ | 3 | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{V}$ | +| | $\times$ | 4 | +| 3 | $\mathbf{V}$ | $\mathbf{R}$ | + +onde o número que deve preencher o quadradinho é o $0,1,2$ ou o 3 . + +Note que a multiplicação do algarismo $\mathbf{R}$ por 4 somado com o número que deve ocupar o quadradinho, deve resultar em um número que tem o algarismo das dezenas igual a 3 e o algarismo das unidades igual a $\mathbf{V}$, isto é: $\mathbf{R} \times 4+\square=3 \mathbf{V}$. + +Isso só é possível se o algarismo $\mathbf{R}$ satisfizer que $\mathbf{R}=7, \mathbf{R}=8$ ou $\mathbf{R}=9$. Dividimos o problema nos seguintes casos: + +Primeiro caso: $\mathbf{R}=7$. + +Nesse caso, temos que $\mathbf{R} \times 4+\square=7 \times 4+\square=28+\square=3 \mathbf{V}$, onde $\square \in\{0,1,2,3\}$. Isso só pode ser verdade se o valor do número em $\square$ for igual a 2 ou 3 . + +Caso o valor do número em $\square$ seja igual a 2, temos que $28+\square=30$, logo devemos ter $V=0$. Mas esse valor para $V$ é impossível, pois devemos ter que $\mathbf{V} \times 4+3=\mathbf{R}$, o que não se verifica, já que o lado esquerdo é igual a $0 \times 4+2=2$ e estamos supondo que $\mathbf{R}=7$. + +Caso o valor do número em $\square$ seja igual a 3 , temos que $28+\square=31$, logo devemos ter $V=1$. Mas esse valor para $V$ é impossível, pois o diagrama que aparece acima ficaria escrito como: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-32.jpg?height=234&width=214&top_left_y=1839&top_left_x=818) + +que está claramente errado, já que o número 3 acima do algarismo 7 não poderia estar aparecendo. + +Segundo caso: $\mathbf{R}=8$. + +Como $\mathbf{R} \times 4+\square=3 \mathbf{V}$ e $\square \in\{0,1,2,3\}$, temos que $\mathbf{V}=2$, ou $\mathbf{V}=3$, ou $\mathbf{V}=4$ ou $\mathbf{V}=5$. + +No caso em que $\mathbf{V}=2$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=11$, logo concluímos que $\mathbf{R}=1$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +No caso em que $\mathbf{V}=3$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=15$, logo concluímos que $\mathbf{R}=5$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +No caso em que $\mathbf{V}=4$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=19$, logo concluímos que $\mathbf{R}=9$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +No caso em que $\mathbf{V}=5$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=23$, logo concluímos que $\mathbf{R}=3$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +## Terceiro caso: $\mathbf{R}=9$. + +Como $\mathbf{R} \times 4+\square=3 \mathbf{V}$, e $\square \in\{0,1,2,3\}$ temos que $\mathbf{V}=6$, ou $\mathbf{V}=7$, ou $\mathbf{V}=8$ ou $\mathbf{V}=9$. + +No caso em que $\mathbf{V}=6$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=27$, logo concluímos que $\mathbf{R}=7$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +No caso em que $\mathbf{V}=7$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=31$, logo concluímos que $\mathbf{R}=1$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +No caso em que $\mathbf{V}=8$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=35$, logo concluímos que $\mathbf{R}=5$, o que contradiz a nossa escolha de $\mathbf{R}=8$. + +No caso em que $\mathbf{V}=9$, temos que $\mathbf{V} \times 4+3=39$, logo concluímos que $\mathbf{R}=9$, o que está de acordo com a nossa escolha para $\mathbf{R}$. + +Assim, obtemos que a única escolha que não nos conduziu a uma contradição foi a escolha $\mathbf{R}=9 \mathbf{e} \mathbf{V}=9$. Juntamente com as soluções dos itens anteriores, obtemos que + +$$ +\text { SERVIL }=219978 \quad \text { e } \quad \text { LIVRES }=879912 +$$ + +é a única possibilidade que não nos levou a uma contradição. + +Assim devemos mostrar que $219978 \times 4=879912$ o que o leitor pode facilmente verificar. + +## 14 Quantos quadrados? - Solução + +Considere primeiramente os quadrados de lado 1 como desenhado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-33.jpg?height=409&width=411&top_left_y=1897&top_left_x=982) + +Uma simples contagem nos mostra que existem seis desses quadrados. + +Podemos também desenhar um quadrado de lado 2 cujos vértices são pontos do reticulado, como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-34.jpg?height=285&width=409&top_left_y=237&top_left_x=792) + +Note que é impossível desenhar um segundo quadrado de lado 2, assim quantidade total de tais quadrados é igual a um. + +Agora temos que contar também o número de quadrados orientados em uma direção diferente, como mostra a figura abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-34.jpg?height=416&width=542&top_left_y=1032&top_left_x=654) +- + +A próxima figura mostra que existem três desses quadrados: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-34.jpg?height=414&width=405&top_left_y=1698&top_left_x=791) + +Assim, concluímos que a resposta para a pergunta do professor Ciconete é $6+$ $1+3=10$. + +## 15 Paralelogramo - Solução + +Vamos desenhar um outro paralelogramo embaixo do paralelogramo $A B C D . \mathrm{Na}$ figura abaixo, podemos observar um outro paralelogramo $A D E K$, que é congruente ao paralelogramo $B C D A$ e tem um lado comum $A D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-35.jpg?height=643&width=894&top_left_y=501&top_left_x=684) + +Agora, traçamos a diagonal $K D$ do paralelogramo $A E D K$, conforme pode-se observar abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-35.jpg?height=648&width=876&top_left_y=1309&top_left_x=687) + +Como os paralelogramos são congruentes, temos que $\overline{B G}=\overline{L E}$. Além disso, também podemos ver que os segmentos $B C, A D$ e $K E$ são paralelos. Como $\overline{B A}=$ $\overline{A K}$, concluímos daí que $\overline{B G}=\overline{G L}=\overline{L E}$. Como + +$$ +\overline{B G}+\overline{G L}+\overline{L E}=6 +$$ + +temos que cada um deles tem comprimento igual a 2. Como $\overline{G F}=\overline{F L}$ e $\overline{G F}+\overline{F L}=$ 2, obtemos então que $\overline{F G}=1$. + +## 16 Os 50 números de Vanessa - Solução + +a) Basta que ela escolha os números 50, 51, 52, .., 99. Com efeito, se $a10$. Logo vale que $p=14$, isto é, Kiara escreveu 14 números positivos sobre o quadro. + +## 28 A área do quadrilátero - Solução + +Os segmentos $A D$ e $B C$ são paralelos. Então, valem as seguintes igualdades entre os ângulos: $O \hat{A} M=O \hat{C} B$ e $O \hat{B} C=O \hat{M} A$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-47.jpg?height=397&width=811&top_left_y=664&top_left_x=725) + +Logo, os triângulos $A O M$ e $C O B$ são semelhantes (isto é, esses triângulos têm os mesmos ângulos internos). Como o ponto $M$ é o ponto médio do segmento $A D$, temos que + +$$ +\overline{B C}=\overline{A D}=2 \times \overline{A M} +$$ + +Portanto, a proporção entre os triângulos $A O M$ e $C O B$ é de 1 para 2, isto é, o comprimento de cada lado do triângulo $C O B$ mede o dobro do comprimento do seu lado correspondente no triângulo $A O M$. Isso mostra que $\overline{B O}=2 \times \overline{O M}$. + +Note que o segmento $A H$ funciona como altura comum para os triângulos $B A O$ e $O A M$ como mostra a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-47.jpg?height=394&width=808&top_left_y=1645&top_left_x=724) + +Concluímos assim que + +$$ +\text { Área }(\triangle B A O)=\frac{\overline{B O} \times \overline{A H}}{2}=2 \times \frac{\overline{O M} \times \overline{A H}}{2}=2 \times \operatorname{Área}(\triangle O A M) +$$ + +De maneira análoga, os triângulos $B A O$ e $O B C$ compartilham a mesma altura. Como $\overline{O C}=2 \times \overline{A O}$, então + +$$ +\text { Área }(\triangle O B C)=2 \times \text { Área }(\triangle A O B) +$$ + +Chamemos de $a$ a medida de área do triângulo $A O M$. Acima, acabamos de mostrar que a área do triângulo $A O B$ é igual a $2 a$, e que a do triângulo $O B C$ é igual a $4 a$, como mostrado na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-48.jpg?height=389&width=806&top_left_y=231&top_left_x=525) + +Agora, observe que os triângulos $A B C$ e $A D C$ são congruentes (isto é possuem as mesmas medidas dos seus lados). Logo esses dois triângulos têm a mesma área. Como a área do triângulo $A B C$ é igual a $6 a$, para que o triângulo $A C D$ tenha a mesma área é necessário que a área do quadrilátero $M O C D$ seja igual a $5 \times a$. Pelo dado do problema temos que $5 a=5 \mathrm{~cm}^{2}$. Daí decorre que $a=1 \mathrm{~cm}^{2}$. A resposta é então $1 \mathrm{~cm}^{2}$ de área para o triângulo $A O M$. + +## 29 Abrindo e fechando portas - Solução + +a) Como os múltiplos de 15 que são menores que 50 são os números 15,30 e 45, temos que o número 15 carrega apenas as chaves para as portas numeradas com 15, 30 e 45. Vamos analisar cada uma dessas três portas separadamente. + +- Porta 15: Os divisores de 15 são os números 1, 3, 5 e 15. Assim, esses são os números que modificarão o estado dessa porta. O número 1 vai destrancá-la, enquanto o número 3 vai trancá-la novamente. Em seguida o número 5 vai destrancá-la e finalmente o número 15 vai trancá-la. Concluímos que essa porta não será destrancada pelo número 15 . +- Porta 30: Os divisores de 30 são os números 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Assim, o número 15 será o sétimo número a modificar o estado dessa porta. Como a porta começa trancada e sete é um número ímpar, temos que o número 15 irá destrancar essa porta. +- Porta 45: Os divisores de 45 são os números 1, 3, 5, 9, 15 e 45. Assim, o número 15 será o quinto número a modificar o estado dessa porta, portanto ele irá destrancá-la. + +Concluímos assim que o número 15 irá, de fato, destrancar as portas numeradas com o 30 e o 45 . + +b) Os divisores de 10 são os números 1, 2, 5 e 10 assim, ao atravessarem o corredor, esses são os únicos números que podem trancar ou destrancar a porta de número 10. Segue daí que essa porta terá o seu estado modificado exatamente quatro vezes. Como ela começa trancada, ela acabará também trancada. + +Os divisores de 9 são os números 1, 3 e 9. Assim a porta de número 9 terá o seu estado modificado exatamente três vezes. Como ela começa trancada, ela acabará destrancada. + +Observação: Seja $k$ a numeração de uma das portas. Da solução do item acima, podemos concluir que, se $k$ possui uma quantidade par de divisores, então essa porta acabará trancada. Por outro lado, se $k$ possui uma quantidade ímpar de divisores, então essa porta acabará destrancada. +c) Para cada $k \in\{1,2, \ldots, 50\}$ denotemos por $D(k)$ o número de divisores de $k$. Pelo enunciado do problema sabemos que existem exatamente $D(k)$ números naturais que carregam a chave da porta número $k$. Decorre daí que a porta número $k$ terá o seu estado alterado exatamente $D(k)$ vezes. Portanto as portas que acabarão abertas serão as portas de número $k$ tais que $D(k)$ é ímpar. + +Fixemos um $k$ número natural e escrevamos sua decomposição em fatores primos: + +$$ +k=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \cdots \times p_{m}^{\alpha_{m}} +$$ + +Qualquer divisor de $k$ deve ser um elemento da forma: + +$$ +p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \cdots \times p_{m}^{\beta_{m}} +$$ + +onde cada $\beta_{i}$ é um número inteiro escolhido em $\left\{0,1, \ldots, \alpha_{i}\right\}$. Então $D(k)$ é constituído pelos números dessa forma. + +Note que, a cada escolha dos expoentes $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$, corresponde um único elemento de $D(K)$, ou seja, um único divisor de $k$. Podemos contar então o número de maneiras de se escolherem expoentes $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$. Mas como cada $\beta_{i}$ deve pertencer ao conjunto $\left\{0,1, \ldots, \alpha_{i}\right\}$, temos que a quantidade total de escolhas para o valor de $\beta_{i}$ é igual a $\alpha_{i}+1$. Logo, existem + +$$ +\left(1+\alpha_{1}\right)\left(1+\alpha_{2}\right) \cdots\left(1+\alpha_{m}\right) +$$ + +escolhas para os valores dos expoentes $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$ e, como consequência, + +$$ +\left(1+\alpha_{1}\right)\left(1+\alpha_{2}\right) \cdots\left(1+\alpha_{m}\right) +$$ + +divisores do número $k$. + +Para que $k$ tenha uma quantidade ímpar de divisores, é suficiente e necessário que cada um dos fatores $\alpha_{i}+1$ seja um número ímpar, ou seja, que $\alpha_{i}$ seja par. + +Isso mostra que $k$ possui um número ímpar de divisores se, e somente se, $k$ é um quadrado perfeito. Portanto as portas que ficam abertas são precisamente aquelas com números: + +$$ +1, \quad 4, \quad 9, \quad 16, \quad 25,36 \text { e } 49 +$$ + +## 30 Use as paralelas - Solução + +a) Sejam $X$ e $Y$ os pontos nos quais a circunferência de centro $O$ tangencia os segmentos $D C$ e $D E$, como ilustrado na figura abaixo. Observemos primeiro que se desenhamos os segmentos que partem do centro $O$ da circunferência e terminam em $X$ e $Y$, obtemos como resultado um quadrado $D X O Y$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-49.jpg?height=477&width=762&top_left_y=2217&top_left_x=750) + +De fato, como $X$ e $Y$ são pontos de tangência, $O X$ deve ser ortogonal a $C D$ e $O Y$ deve ser ortogonal a $D E$. Isso mostra que $D X O Y$ é um retângulo. Mas os lados $O X$ e $O Y$ são raios para a circunferência e, portanto, têm o mesmo comprimento. Concluímos assim que $D X O Y$ é de fato um quadrado. Logo, $D O$ é a diagonal do quadrado $D X O Y$, e então $\measuredangle O D E=45^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-50.jpg?height=560&width=785&top_left_y=528&top_left_x=544) + +Como $\measuredangle C A D=45^{\circ}$ ( $C A$ é a diagonal do quadrado $A B C D$ ), então as retas $L_{1}$ e $L_{2}$ são paralelas. + +b) Observe que os triângulos $A D C$ e $A O C$ compartilham a mesma base $A C$. Por outro lado, a distância do vértice $D$ ao segmento $A C$ e a distância do vértice $O$ ao segmento $A C$ coincidem, ambas, com a distância entre as duas linhas paralelas $L_{1}$ e $L_{2}$, como podemos ver na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_27f67f4520ebb8354fb2g-50.jpg?height=559&width=782&top_left_y=1491&top_left_x=543) + +Chamemos de $d$ tal distância. Então, pela fórmula da área de um triângulo, concluímos que + +$$ +\text { Área }(\triangle A D C)=\frac{\overline{A C} \times d}{2}=\operatorname{Área}(\triangle A O C) +$$ + +Se a área do quadrado $A B C D$ é $36 \mathrm{~cm}^{2}$, então Área $(\triangle A D C)=18 \mathrm{~cm}^{2}$. Portanto, a resposta é Área $(\triangle A O C)=18 \mathrm{~cm}^{2}$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d416020abae05b55ec10466a6a215e4d3c604e10 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2013_N3.md @@ -0,0 +1,1433 @@ +# NÍVEL 3 - ENUNCIADOS + +## 1 Quadrado mágico + +Um quadrado mágico é uma tabela quadrada na qual a soma dos números em qualquer linha ou coluna é constante. Por exemplo, + +| 1 | 5 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | +| 8 | 3 | 4 | +| 6 | 7 | 2 | + +é um quadrado mágico, o qual usa os números de 1 a 9. Como o leitor pode verificar, a soma em qualquer linha ou coluna é sempre igual a 15. + +a) O quadrado abaixo é parte de um quadrado mágico que usa os números ímpares entre 1 e 17. Descubra qual número $X$ deve ser. + +| | 1 | | +| :---: | :---: | :---: | +| 5 | | 13 | +| $X$ | | 3 | + +b) Um quadrado mágico é dito hipermágico quando a soma em qualquer linha, coluna, ou diagonal, é constante. Escreva os números de 1 a 9 no quadrado abaixo de modo que ele se torne hipermágico. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-01.jpg?height=294&width=297&top_left_y=2406&top_left_x=979) + +## 2 Clube de ciclistas + +Os ciclistas têm aversão ao número zero (porque é oval) e ao número oito (porque assim ficam as rodas após os acidentes). Quantos sócios podem se inscrever num clube de ciclistas se cada um deve possuir uma identificação de três dígitos, sem usar o dígito zero nem o dígito oito? + +## 3 Tesoura e papel + +Uma folha de papel é retangular, com base igual a $20 \mathrm{~cm}$ e altura $10 \mathrm{~cm}$. Esta folha é dobrada nas linhas pontilhadas conforme a figura abaixo, e no final recortada por uma tesoura na linha indicada, a qual é paralela à base e está na metade da altura do triângulo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-02.jpg?height=279&width=1513&top_left_y=1511&top_left_x=180) + +a) Depois de cortar no local indicado, em quantas partes a folha ficou dividida? + +b) Qual a área da maior parte? + +## 4 A corrida de Cordisburgo + +Na cidade de Cordisburgo, foi realizada uma corrida de bicicleta num circuito circular, da qual participaram três ciclistas, Guimarães, Rosa e João. Na primeira hora da corrida, Guimarães fez exatamente 230 voltas completas, João fez exatamente 111 voltas completas, porém não se sabe quantas voltas Rosa realizou, sabe-se apenas que foi um número inteiro e que Rosa deu mais voltas que João e menos do que Guimarães. Além disso, cada um deles andou com velocidade constante, e todos partiram juntos do mesmo ponto. Considerando também as ultrapassagens feitas no tempo inicial, quantas ultrapassagens no total foram feitas nessa primeira hora de corrida? + +## 5 Múltiplos de 3 e quadrados + +Escreve-se, em ordem crescente, cada um dos múltiplos de 3 cuja soma com 1 é um quadrado perfeito: + +$$ +3,15,24,48, \ldots +$$ + +a) Qual é o próximo número que aparecerá, nesta sequência, depois do 48 ? + +b) Qual é o oitavo número desta sequência? + +c) Qual é o número que aparecerá, nesta sequência, na $2013^{a}$ posição? + +## 6 Minhoca matemática + +Uma minhoca matemática parte do ponto $A$ e chega no ponto $B$ da figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-04.jpg?height=426&width=436&top_left_y=453&top_left_x=772) + +B + +Esta minhoca matemática se move sempre sobre as linhas pretas do desenho acima, e nunca passa sobre um lugar no qual ela já esteve anteriormente. Além disso, esta minhoca pode andar para baixo, para cima e para a direita, mas não para a esquerda. Por exemplo, um caminho possível para que a minhoca matemática vá do ponto $A$ ao ponto $B$ poderia ser: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-04.jpg?height=420&width=419&top_left_y=1298&top_left_x=790) + +a) De quantas maneiras diferentes a minhoca matemática pode ir do ponto $A$ ao ponto $B$ através de caminhos contidos nos segmentos mostrados na figura abaixo? (seguindo as regras descritas anteriormente). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-04.jpg?height=466&width=440&top_left_y=2020&top_left_x=751) + +b) Qual o número total de maneiras que a minhoca matemática pode ir do ponto $A$ ao ponto $B$ ? (seguindo as regras anteriores, para qualquer caminho, não apenas os do item a)). + +## 7 Equiláteros + +O triângulo $A B C$ abaixo é equilátero, ou seja, tem seus três lados de mesmo comprimento e todos seus ângulos iguais a $60^{\circ}$. O senhor Simas marca um ponto $H$ qualquer no lado $B C$ do triângulo. Em seguida, ele traça um segmento paralelo ao lado $A C$, começando em $H$ e terminando no ponto $I$ sobre o lado $A B$. Em seguida, traça um segmento paralelo ao lado $A B$, começando em $H$ e terminando no ponto $J$ sobre o lado $A C$, conforme a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-05.jpg?height=623&width=711&top_left_y=702&top_left_x=775) + +a) Sabendo que o lado $A B$ tem comprimento igual a 1, calcule o perímetro do quadrilátero $A I H J$. + +b) O senhor Simas segue desenhando, como mostra a figura a seguir, e traça os segmentos $L O$ e $M P$ de maneira perpendicular ao lado $B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-05.jpg?height=625&width=708&top_left_y=1629&top_left_x=777) + +Seja $d$ o comprimento do segmento $I L$, seja $f$ o comprimento do segmento $J M$ e seja $x$ o comprimento do segmento $O P$. Mostre que + +$$ +x=\frac{1+d+f}{2} +$$ + +## 8 Tridominós + +Um tridominó é a figura a seguir, que é composta por três quadrados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-06.jpg?height=188&width=194&top_left_y=457&top_left_x=837) + +Podemos juntar tridominós para formar figuras. Por exemplo, podemos juntar dois tridominós para formar um retângulo $2 \times 3$, conforme observa-se abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-06.jpg?height=188&width=277&top_left_y=840&top_left_x=792) + +a) Mostre que não é possível juntar tridominós (sem sobrepô-los) de maneira a formar um quadrado $3 \times 3$. + +b) Mostre que não é possível juntar tridominós (sem sobrepô-los) de maneira a formar um quadrado $4 \times 4$. + +c) Qual o número mínimo de tridominós necessários para formar um quadrado? Justifique. + +## 9 Nascimento? + +O personagem histórico mexicano Benito Juárez nasceu na primeira metade do século XIX (o século XIX vai do ano 1801 ao ano 1900). Sabendo que Benito Juárez completou $x$ anos no ano $x^{2}$, qual foi o ano do seu nascimento? + +## 10 Dobrando papel + +Júlio Daniel tem um quadrado de papel com vértices $A, B, C$ e $D$. Ele primeiro dobra este quadrado de papel $A B C D$ levando os vértices $B$ e $D$ até a diagonal, como mostra a figura a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-07.jpg?height=544&width=1314&top_left_y=550&top_left_x=474) + +$\mathrm{E}$ em seguida, Júlio Daniel leva o vértice $C$ até o vértice $A$, obtendo assim um pentágono, como é mostrado a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-07.jpg?height=538&width=1076&top_left_y=1274&top_left_x=592) + +a) Mostre que o ângulo $a$ mede $90^{\circ}$. + +b) Determine a medida do ângulo $b$. + +## 11 Gato em cachorro + +O professor Guilherme criou três estranhas máquinas. A máquina $A$ transforma um gato em um cachorro com probabilidade $\frac{1}{3}$. A máquina $B$ transforma um gato em um cachorro com probabilidade $\frac{2}{5}$. A máquina $C$ transforma um gato em um cachorro com probabilidade $\frac{1}{4}$. E se o animal é um cachorro, nenhuma das máquinas faz transformação alguma. + +O professor Guilherme colocou um gato na máquina $A$, depois colocou o animal resultante da máquina $A$ na máquina $B$ e, por fim, colocou o animal resultante da máquina $B$ na máquina $C$. Qual a probabilidade de ter saído um cachorro da máquina $C$ ? + +## 12 Dez quadrados perfeitos + +Seja $a$ um número inteiro positivo tal que há exatamente 10 quadrados perfeitos maiores que $a$ e menores que $2 a$. + +a) Encontre o menor valor possível de $a$. + +b) Encontre o maior valor possível de $a$. + +## 13 Menores caminhos + +A figura a seguir mostra um cubo de aresta 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-09.jpg?height=494&width=540&top_left_y=455&top_left_x=861) + +a) Qual o menor comprimento possível para um caminho formado por arestas do cubo que passa por todos os 8 vértices? + +A figura abaixo mostra um cubo de aresta 1 no qual todas as 12 diagonais da face foram desenhadas. Assim, criou-se uma rede com 14 vértices (os 8 vértices do cubo e os 6 centros da face) e 36 arestas (as 12 do cubo e mais 4 sobre cada uma das 6 faces). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-09.jpg?height=494&width=568&top_left_y=1346&top_left_x=844) + +b) Qual o menor comprimento possível para um caminho formado por arestas dessa rede que passa por todos os 14 vértices? + +## 14 Um desafio matemático + +Daniel inventou uma brincadeira na qual é permitido apenas realizar as seguintes operações: + +- somar quatro unidades; +- multiplicar por quatro; +- elevar ao quadrado. + +Começando de um certo número, Daniel desafia um amigo a obter um outro número realizando sucessivamente qualquer uma das operações permitidas. + +Por exemplo, Daniel desafiou Alan a obter o número 152 a partir do número 3. Alan então conseguiu vencer o desafio realizando as seguintes operações: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-10.jpg?height=143&width=1036&top_left_y=928&top_left_x=407) + +a) Daniel desafiou Alan a obter o número 340 a partir do número 3. Alan conseguiu vencer o desafio da maneira ilustrada abaixo: + +$$ +3 \longrightarrow 9 \longrightarrow 81 \longrightarrow 85 \longrightarrow 340 +$$ + +Descreva qual foi a operação utilizada por Alan em cada uma das etapas. + +b) Mostre que Alan poderia também obter o número 340 começando do número 5. + +c) Suponha que Alan começa um desafio a partir de um número cuja divisão por 4 deixa resto 1. Mostre que após qualquer etapa do desafio o número obtido pode ter apenas resto 1 ou 0 . + +d) Mostre que é possível vencer o desafio de obter o número 43 a partir do número 3. Mostre também que não é possível vencê-lo começando do número 5. + +## 15 Caminhos inusitados + +Considere o diagrama ilustrado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-11.jpg?height=315&width=1174&top_left_y=445&top_left_x=544) + +Augusto gosta de contar caminhos partindo de algum ponto, chegando no ponto $A$ e nunca passando por um mesmo vértice duas vezes. Para isso, ele representa um caminho pela sequência dos pontos que o caminho visita. Por exemplo, o caminho pontilhado na figura abaixo é representado pela sequência $D C B A$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-11.jpg?height=302&width=1168&top_left_y=1034&top_left_x=547) + +Augusto chama um caminho de inusitado se a sequência que representa esse caminho está ordenada de maneira alfabética decrescente. Em outras palavras, o caminho é inusitado se nunca anda para a esquerda, seja subindo ou descendo. Por exemplo, o caminho $D C B A$ é inusitado. Já o caminho $D B C A$ não é inusitado, já que a letra $C$ aparece antes da letra $B$. + +a) Quantos caminhos inusitados existem começando em $D$ e terminando em $A$ ? + +b) Mostre que o número de caminhos inusitados começando em $E$ é a soma do número de caminhos inusitados começando em $D$ com o número de caminhos inusitados começando em $C$. + +c) Augusto calculou o número de caminhos inusitados saindo de $K$ e chegando em $A$. Qual é esse número? + +## 16 Tetraedro dentro de cubo + +Um tetraedro regular é um sólido de quatro faces, sendo todas elas triângulos equiláteros de mesmo tamanho. A figura abaixo mostra um tetraedro regular. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-12.jpg?height=594&width=576&top_left_y=500&top_left_x=640) + +O comprimento de qualquer aresta de um tetraedro regular é o mesmo. Por exemplo, no tetraedro acima, $\overline{A B}=\overline{A C}=\overline{C D}=\overline{B C}=\overline{A D}=\overline{B D}$. Mostre como colocar um tetraedro de lado $\sqrt{2}$ inteiramente dentro de um cubo de lado 1 . + +## 17 Achou? + +a) Encontre todos os números inteiros positivos de dois algarismos $\overline{a b}$ tais que: + +$$ +(a+1)(b+1)=\overline{a b}+1 +$$ + +b) Encontre todos os números inteiros positivos de três algarismos $\overline{a b c}$ tais que: + +$$ +(a+1)(b+1)(c+1)=\overline{a b c}+1 +$$ + +## 18 Os números de Luana + +No interior de cada um dos círculos que aparecem na figura abaixo, a pequena Luana colocou um dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-13.jpg?height=416&width=483&top_left_y=503&top_left_x=889) + +Ela o fez de modo que todos os números foram usados. O seu irmão mais velho, Pedro, olhou para cada trio de círculos colineares e somou os três números neles colocados. Pedro observou que a soma resultava ser sempre a mesma. + +a) Mostre que o número colocado por Luana no círculo do topo é 4 e que a soma constante observada por Pedro é igual a 12. + +b) Encontre uma maneira pela qual Luana poderia ter conseguido realizar tal proeza. + +## 19 Os amigos de Ernaldo + +Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo são estudantes de distintas partes do Brasil que foram escolhidos para representar o seu país nas olimpíadas internacionais. Depois de várias semanas de treino, algumas amizades foram formadas. Perguntamos, então, a cada um deles quantos amigos tinham feito no grupo. Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo responderam, respectivamente, que tinham feito 1, 2, 3 e 4 amigos dentro do grupo. Quantos dos integrantes do grupo são amigos de Ernaldo? + +## 20 Quem inclinou o quadrado? + +Na figura, $P Q R S$ é um quadrado, $\overline{Q E}=17$, e $\overline{P H}=12$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-14.jpg?height=654&width=963&top_left_y=455&top_left_x=455) + +Calcule $\overline{S E}$. + +## 21 Quatro números para quatro casas + +Os números $x, y, z$ e $w$ na figura são números inteiros todos diferentes entre si, maiores do que 1 , e foram colocados nas casas abaixo de modo que cada número (a partir de $y$ ) é divisor do número na casa da esquerda. + +| $x$ | $y$ | $z$ | $w$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | + +Descubra todas as soluções possíveis para $x, y, z$ e $w$ sabendo que a soma deles é 329 . + +## 22 o presente do pequeno Abel + +O pequeno Abel ganhou de presente um tabuleiro $2 \times n$ e $n$ fichas de tamanho $2 \times 1$. Por exemplo, a figura a seguir mostra o caso em que $n=10$, isto é, quando Abel tem um tabuleiro $2 \times 10$ e 10 fichas de tamanho $2 \times 1$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-15.jpg?height=404&width=996&top_left_y=553&top_left_x=630) + +Ele brinca de preencher o tabuleiro usando as $n$ fichas. Por exemplo, para $n=10$ Abel poderia preenchê-lo dos modos ilustrados a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-15.jpg?height=580&width=1042&top_left_y=1144&top_left_x=608) + +Observe, no entanto, que existem muitas outras maneiras pelas quais Abel pode preencher o seu tabuleiro. + +a) Calcule o número total de maneiras pelas quais Abel pode preencher o seu tabuleiro nos casos em que $n=1, n=2$ e $n=3$, isto é, no caso em que os tabuleiros têm dimensões $2 \times 1,2 \times 2$ e $2 \times 3$. + +b) Seja $a_{n}$ a quantidade de maneiras pelas quais Abel pode preencher um tabuleiro $2 \times n$ utilizando $n$ fichas $2 \times 1$. Mostre que $a_{10}=a_{9}+a_{8}$. + +c) Calcule o número total de maneiras pelas quais Abel pode preencher o seu tabuleiro quando $n=10$. + +## 23 Calcule $\measuredangle A P C$ + +Nos lados $A B$ e $B C$ de um triângulo equilátero $A B C$, fixam-se dois pontos $D$ e $E$, respectivamente, de modo que $\overline{A D}=\overline{B E}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-16.jpg?height=656&width=831&top_left_y=500&top_left_x=515) + +Se os segmentos $A E$ e $C D$ se cortam no ponto $P$, determine $\measuredangle A P C$. + +## 24 Alguém quer batata? + +Um comerciante recebeu quatro sacos de batatas e deseja medir o peso de cada um deles. Ele sabe que os pesos desses sacos em quilogramas são quantidades inteiras e distintas. Suponha que os pesos dos sacos (em quilogramas) sejam $a, b, c$ e $d$, com $a\frac{961}{2}>480 +$$ + +o que nos fornece que + +$$ +a \geq 481 +$$ + +Agora, observamos que, entre 481 e $2(481)=962$, há exatamente dez quadrados perfeitos. De fato, como $22^{2}=484$ e $31^{2}=961$, temos que + +$$ +481<22^{2}<23^{2}<24^{2}<25^{2}<26^{2}<27^{2}<28^{2}<29^{2}<30^{2}<31^{2}<962 +$$ + +Pela equação (.2) não podemos escolher valores para $a$ menores do que 481. Concluímos assim que o menor valor possível de $a$ é 481 . + +b) Assim como no item anterior, para que existam dez quadrados perfeitos entre $a$ e $2 a$, é necessário que exista algum inteiro positivo $x$ tal que: + +$$ +(x-1)^{2} \leq a$ 1368, logo: + +$$ +684<27^{2}<28^{2}<29^{2}<30^{2}<31^{2}<32^{2}<33^{2}<34^{2}<35^{2}<36^{2}<1368 +$$ + +Pela equação (.4) deduzimos que não é possível escolher um valor maior do que 684 para $a$. Com isto concluímos que o maior valor possível para $a$ é 684 . + +## 13 Menores caminhos - Solução + +a) A figura a seguir representa um pedaço de folha de papel, contendo oito quadrados de lado 1 posicionados lado a lado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-32.jpg?height=494&width=605&top_left_y=1232&top_left_x=631) + +Observe que, ao dobrarmos a folha de papel nas arestas que são comuns a dois quadrados, obteremos um cubo de lado 1 como aquele do enunciado do exercício. Assim é equivalente pensarmos em caminhos nessa figura ou no cubo do enunciado do exercício. Para facilitar a descrição dos caminhos, pensaremos sempre nessa figura. + +Os vértices do cubo resultante foram numerados da maneira como aparece nessa figura. Observe que os números 8, 7, 2, 3, 4 e 5 aparecem duas vezes nessa numeração. Isso se deve ao fato de que, ao dobrarmos a folha de papel, os dois vértices marcados com o mesmo número irão coincidir. + +Como a distância entre cada par de vértices adjacentes na figura acima é igual a 1, qualquer caminho passando por 8 vértices distintos deve ter, no mínimo, comprimento igual a 7 . + +Considere o caminho + +$$ +1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 7 \rightarrow 8 +$$ + +desenhado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-33.jpg?height=491&width=614&top_left_y=234&top_left_x=824) + +Esse caminho passa por todos os vértices do cubo e tem comprimento igual a 7. Assim, a resposta para o exercício é 7 . + +b) Como na resolução do item a), consideramos a figura abaixo que representa um pedaço de folha de papel, contendo oito quadrados de lado 1 posicionados lado a lado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-33.jpg?height=479&width=614&top_left_y=1174&top_left_x=824) + +Dessa vez acrescentamos ainda os vértices localizados nos centros de cada um dos quadrados bem como as diagonais dos quadrados que passam por esses vértices. + +Como no item anterior, ao dobrarmos a folha de papel nas arestas que são comuns a dois quadrados, obteremos um cubo de lado 1 como aquele do enunciado desse item. Assim é equivalente pensarmos em caminhos nessa figura ou no cubo do enunciado desse item. Para facilitar a descrição dos caminhos, pensaremos sempre nessa figura. + +Utilizamos os números de 1 a 8 para marcar os vértices que estão sobre as arestas do cubo, e as letras de $a$ a $f$, para marcar aqueles vértices localizados nos centros das faces do cubo. Assim o número total de vértices é igual a 14. Observe que os números aparecem duas vezes nessa numeração, devido ao fato de que, ao dobrarmos a folha de papel, os dois vértices marcados com o mesmo número irão coincidir. + +Consideremos o caminho + +$$ +1 \rightarrow a \rightarrow 2 \rightarrow b \rightarrow 3 \rightarrow c \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow d \rightarrow 6 \rightarrow e \rightarrow 7 \rightarrow f \rightarrow 8 +$$ + +realçado na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-34.jpg?height=480&width=602&top_left_y=231&top_left_x=630) + +Esse caminho consiste em 12 trechos ligando um vértice marcado com um número a um vértice marcado com uma letra (por exemplo, o trecho $1 \rightarrow a$ ) e apenas um segmento ligando dois vértices marcados ambos com números (a saber, o trecho $4 \rightarrow$ 5). Note que cada trecho ligando um vértice marcado com um número a um vértice marcado com uma letra tem comprimento igual a $\sqrt{2} / 2$. Por outro lado, o trecho ligando o vértice 4 ao vértice 5 tem comprimento igual a 1. Assim, o comprimento total do caminho descrito acima é igual a $12 \times \sqrt{2} / 2+1=6 \sqrt{2}+1$. + +Vamos agora mostrar que nenhum outro caminho contendo os 14 vértices pode ter um comprimento menor do que o caminho que destacamos acima. De fato, qualquer caminho contendo os 14 vértices deve, obrigatoriamente, conter uma quantidade mínima de 13 trechos. Cada trecho poderia a princípio ser de três tipos diferentes: + +- conectando um vértice marcado com número a um vértice marcado com número; +- conectando um vértice marcado com número a um vértice marcado com letra. No primeiro caso, o trecho tem comprimento igual a $\sqrt{2} / 2$ enquanto que no segundo ele tem comprimento igual a 1. Assim, para minimizar o comprimento dos caminhos, devemos utilizar o máximo possível de trechos com comprimento igual a $\sqrt{2} / 2$. + +Um caminho que só contivesse trechos conectando um vértice marcado com número a um vértice marcado com letra deveria conter o mesmo número de vértices de cada tipo, já que cada trecho começa em um número e termina em uma letra. Como temos um total de oito vértices marcados com números, e apenas seis marcados com letras, qualquer caminho que passe por todos os 14 vértices deve conter um trecho ligando dois vértices marcados com números, ou seja, um trecho de comprimento 1. + +Assim, o caminho que realçamos acima é um exemplo de caminho contendo todos os vértices do cubo e que contém a quantidade mínima permitida de trechos com comprimento igual a 1, logo tem o menor comprimento possível. Portanto, a resposta para esse item é $6 \times \sqrt{2}+1$. + +## 14 Um desafio matemático - Solução + +a) As operações realizadas em cada etapa aparecem acima de cada seta abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-34.jpg?height=135&width=988&top_left_y=2571&top_left_x=434) +b) Pode-se obter o 9 a partir do 5 somando-se 4 . A partir daí pode-se usar as três últimas etapas do item anterior como ilustrado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-35.jpg?height=138&width=965&top_left_y=405&top_left_x=640) + +c) Observe que somar quatro unidades nunca muda o resto da divisão por 4 . + +Por outro lado, após realizar uma multiplicação por 4 o resultado obtido é sempre um múltiplo de 4 , logo sua divisão por 4 deixa resto 0 . + +Logo, começando de um número cuja divisão por 4 deixa resto 1 , após realizar as duas operações citadas acima, podemos apenas obter um resultado cuja divisão por 4 com resto 1 ou resto 0 . A primeira opção acontece somente quando não realizamos nenhuma multiplicação por 4. Já a segunda opção acontece somente se realizarmos pelo menos uma multiplicação por 4. + +Um número $x$ cuja divisão por 4 deixa resto 0 é um múltiplo de 4 , logo podemos escrevê-lo como $x=n \times 4$ para algum número natural $n$. Dessa forma $x^{2}=16 \times n^{2}$, é um número que também é múltiplo de 4 , e assim ao ser dividido por 4, deixa resto 0. + +Por outro lado, se $x$ é um número cuja divisão por 4 deixa resto 1 então podemos escrevê-lo como $x=n \times 4+1$ para algum número natural $n$. Assim $x^{2}=(n \times 4+1)^{2}=$ $n^{2} \times 16+2 \times n \times 4+1$ que também deixa resto 1 ao ser dividido por 4 . + +Assim, em todo caso, ao realizarmos as operações permitidas no desafio, o resultado obtido vai sempre deixar resto 0 ou 1 ao ser dividido por 4 . + +d) Para obter o número 43 a partir do número 3, basta somar 4 dez vezes repetidamente. + +Como a divisão do número 5 por 4 deixa resto 1, pelo item anterior, qualquer operação realizada deixaria resto 0 ou 1 . Como a divisão de 43 por 4 deixa resto 3 , não é possível obtê-lo a partir do número 5. + +## 15 Caminhos inusitados - Solução + +a) Os caminhos inusitados saindo de $D$ e chegando em $A$ são $D C B A, D B A$ e $D C A$. + +b) Um caminho inusitado saindo de $E$, tem que visitar logo em seguida um dos pontos $D$ ou $C$. No caso em que ele visita o ponto $D$, a sua continuação até o ponto $A$ pode ser qualquer um dos caminhos inusitados saindo de $D$ e chegando em $A$. No caso em que ele visita o ponto $C$, a sua continuação pode ser qualquer um dos caminhos inusitados saindo de $C$. Dessa forma, o número total de caminhos inusitados saindo de $E$ é a soma do número de caminhos inusitados saindo de $D$ com o número de caminhos inusitados saindo de $E$. + +c) Para solucionar essa questão vamos renomear os pontos do diagrama. Façamos $A_{0}=A, A_{1}=B, A_{2}=C$ e assim sucessivamente até $A_{10}=K$. + +Seja $N(i)$ o número de caminhos inusitados partindo do ponto $A_{i}$ e chegando no ponto $A_{0}=A$. Então temos que $N(i)=N(i-1)+N(i-2)$ para todo $i=2,3, \ldots, 10$. Além disso, só existe um caminho inusitado partindo de $A_{1}=B$ e chegando em $A$, e existem dois caminhos inusitados partindo de $C$ e chegando em $A$, a saber $C B A$ e $C A$. Assim, $N(1)=1$ e $N(2)=2$. Então $N(3)=N(1)+N(2)=2+1=3$ +(conferir com a resposta do item $a$ ). De forma análoga, temos que $N(4)=3+2=5$, $N(5)=3+5=8$ e assim, sucessivamente. + +Seguindo esse procedimento podemos gerar a sequência abaixo fazendo cada número ser a soma dos seus dois antecessores: + +$$ +1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, \ldots +$$ + +O $n$-ésimo termo dessa sequência corresponde então ao número de caminhos inusitados saindo de $A_{n}$ e chegando em $A$. Assim, o número de caminhos inusitados saindo de $K=A_{10}$ e chegando em $A$ é o décimo termo dessa sequência, ou seja, 89 . + +Observação: A sequência obtida acima é a famosa sequência de Fibonacci. + +## 16 Tetraedro dentro de cubo - Solução + +Começamos desenhando um cubo de lado 1: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-36.jpg?height=397&width=419&top_left_y=1041&top_left_x=727) + +Vamos traçar duas arestas do tetraedro que queremos inscrever neste cubo: uma será $\overline{A C}$ e outra será $\overline{E G}$ : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-36.jpg?height=394&width=419&top_left_y=1602&top_left_x=727) + +Em seguida, ligamos o ponto $A$ aos pontos $E$ e $G$, e ligamos o ponto $C$ aos pontos $E$ e $G$ : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-36.jpg?height=391&width=419&top_left_y=2163&top_left_x=727) + +Observe pelo desenho que todas as arestas do tetraedro $A C E G$ são diagonais de alguma das faces do quadrado. Por exemplo, olhando a face $A B C D$ do cubo, temos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-37.jpg?height=297&width=314&top_left_y=234&top_left_x=974) + +Pelo Teorema de Pitágoras, $x^{2}=1^{1}+1^{2}$; portanto, $x=\sqrt{2}$ é o comprimento de qualquer aresta do tetraedro $A C E G$. + +## 17 Achou? - Solução + +a) Devemos achar todos os números da forma $\overline{a b}$ tais que + +$$ +(a+1)(b+1)=\overline{a b}+1 +$$ + +Notamos agora que $\overline{a b}=10 a+b$. Substituindo na expressão acima obtemos que: + +$$ +(a+1)(b+1)=10 a+b+1 +$$ + +Simplificando essa equação obtemos + +$$ +a b=9 a +$$ + +Como o número $\overline{a b}$ tem dois algarismos, temos que $a \neq 0$. Assim, podemos dividir os dois lados da equação acima por $a$ para obter que $b=9$. Portanto, os valores possíveis para $\overline{a b}$ são: + +$$ +19, \quad 29, \quad 39, \quad 49, \quad 59, \quad 69, \quad 79, \quad 89 \quad \text { e } 99 +$$ + +É simples verificar que todos esses números cumprem com a condição do problema. Por exemplo, para o número 19, temos que $a=1$ e $b=9$, $\log$ o $(a+1)(b+1)=20=$ $19+1=\overline{a b}+1$. Para os demais números, deixamos a verificação a cargo do leitor! + +b) Devemos agora achar todos os números da forma $\overline{a b c}$ tais que + +$$ +(a+1)(b+1)(c+1)=\overline{a b c}+1 +$$ + +Note que $\overline{a b c}=100 a+10 b+c$. Assim a expressão acima se reescreve como: + +$$ +(a+1)(b+1)(c+1)=100 a+10 b+c+1 +$$ + +O lado esquerdo pode ser escrito como: + +$(a+1)(b+1)(c+1)=a(b+1)(c+1)+(b+1)(c+1)=a(b+1)(c+1)+b(c+1)+c+1$. + +Substituindo na expressão anterior e simplificando obtemos então que + +$$ +a(b+1)(c+1)+b(c+1)=100 a+10 b +$$ + +Agora, arranjamos os termos para obter a seguinte equação equivalente: + +$$ +0=a\{100-(b+1)(c+1)\}+b\{10-(c+1)\} +$$ + +No entanto $b$ e $c$ denotam algarismos, logo como números eles assumem valores menores ou iguais a 9. Logo, temos que $(b+1)(c+1) \leq 100$. Decorre daí que $\{100-(b+1)(c+1)\} \geq 0$. Do mesmo modo, observamos que $\{10-(c+1)\} \geq 0$. Então, para que o termo da direita na equação (.6) seja igual a zero, deve-se ter que + +$$ +a\{100-(b+1)(c+1)\}=0 \quad \text { e } \quad b\{10-(c+1)\}=0 +$$ + +Como $a \neq 0$ então $\{100-(b+1)(c+1)\}=0$. Isso somente é possível se $b=c=9$. Concluímos que os únicos números possíveis são + +$$ +199, \quad 299, \quad 399, \quad 499, \quad 599, \quad 699, \quad 799, \quad 899 \text { e } 999 +$$ + +Agora, é simples verificar que todos esses números cumprem com a condição do problema. + +## 18 Os números de Luana - Solução + +a) Vamos chamar de $s$ a soma dos números colocados em cada trio de círculos colineares. Lembre-se que essa soma é sempre a mesma para cada trio. Chamemos ainda de $x$ o número que Luana escreveu no círculo do topo. Os círculos que não estão no topo, formam dois trios colineares horizontais. Assim, ao somarmos os números colocados em todos esses círculos encontraremos um resultado igual a duas vezes a soma dos números colocados nos triângulos de cada um dos trios, isto é, $2 \times s$. + +O valor obtido $2 \times s$, somado com o número colocado no círculo do topo $x$, deve resultar na soma de todos os números colocados, logo + +$$ +2 s+x=1+2+3+4+5+6+7=28 +$$ + +Por outro lado, olhemos para cada trio de círculos colineares que contenha o círculo do topo. Note que há três trios colineares contendo o círculo do topo: o trio vertical e os dois trios diagonais. Como a soma dos três números que aparecem em cada um desses trios deve ser igual a $s$, então a soma dos dois números distintos do número que aparece no topo deve ser igual a $s-x$. Assim, ao somarmos todos os números que aparecem nesses três trios, exceto o número que aparece no topo, devemos encontrar um resultado igual a $3 \times(s-x)$. Temos assim a equação: + +$$ +3(s-x)=1+2+3+4+5+6+7-x=28-x +$$ + +que é equivalente a + +$$ +3 s-2 x=28 +$$ + +As equações (.7) e (.8), nos fornecem o seguinte sistema: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +2 s+x=28 \\ +3 s-2 x=28 +\end{array}\right. +$$ + +Resolvendo esse sistema obtemos que $s=12$ e $x=4$. O número colocado no topo é, portanto, $x=4$. + +b) Sabemos que o número 4 deve ser colocado no topo. Sabendo que a soma deve ser constante igual e a 12, podemos construir uma maneira de Luana conseguir a proeza: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-39.jpg?height=357&width=400&top_left_y=233&top_left_x=931) + +## 19 Os amigos de Ernaldo - Solução + +Digamos que Ernaldo tem $x$ amigos dentro do grupo. Como Dernaldo tem 4 amigos, e o grupo tem 5 integrantes, então todos são amigos de Dernaldo. Tiremos Dernaldo do grupo. Assim, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Ernaldo ficam agora, respectivamente, com $0,1,2$ e $x-1$ amigos dentro do subgrupo. Como Arnaldo não tem mais amigos dentro do subgrupo podemos esquecê-lo. Na seguinte tabela mostramos o número de amigos que cada integrante tem dentro do subgrupo. + +| Integrante | № de amigos | +| :--- | :---: | +| Bernaldo | 1 | +| Cernaldo | 2 | +| Ernaldo | $x-1$ | + +Obviamente os dois amigos de Cernaldo dentro do subgrupo são Bernaldo e Ernaldo. Aliás, como Bernaldo só tem um amigo dentro do grupo, Cernaldo deve ser esse único amigo. Em particular, Ernaldo e Bernaldo não são amigos. Portanto, Cernaldo é também o único amigo de Ernaldo dentro do subgrupo, ou seja $x-1=1$. Concluímos assim que Cernaldo e Dernaldo são os únicos amigos de Ernaldo. A resposta é 2 . + +## 20 Quem inclinou o quadrado? - Solução + +Podemos completar o desenho de modo que, na figura seguinte, $H A Q E$ seja um retângulo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-39.jpg?height=526&width=764&top_left_y=1967&top_left_x=749) + +Se chamamos $\measuredangle H P S=a^{\circ}$, então $\measuredangle P Q=(90-a)^{\circ}$. Logo, $\measuredangle P Q A=a^{\circ}$. Observe, que deste modo, os triângulos $P H S$ e $Q A P$ possuem os mesmos ângulos internos (isto é, são semelhantes), como ilustrado na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-40.jpg?height=528&width=766&top_left_y=227&top_left_x=545) + +Como $S P Q R$ é um quadrado, vemos que o comprimento da hipotenusa do triângulo $P H S$ coincide com o comprimento da hipotenusa do triângulo $Q A P$. Concluímos que $P H S$ e $Q A P$ são triângulos congruentes (isto é, os seus lados têm os mesmos comprimentos). Logo, + +$$ +\overline{A Q}=\overline{P H}=12 +$$ + +Como $H A Q E$ é um retângulo, temos que $\overline{A Q}=\overline{H E}$ logo, temos que + +$$ +\overline{H E}=12 +$$ + +Pelo mesmo motivo, $\overline{A H}=\overline{Q E}=17$ e então $\overline{A P}=\overline{A H}-\overline{P H}=17-12=5$, como mostra a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_cc59d970f26105cc4ca1g-40.jpg?height=526&width=760&top_left_y=1413&top_left_x=548) + +Lembrando que os triângulos $P H S$ e $Q A P$ são congruentes, concluímos que + +$$ +\overline{H S}=\overline{A P}=5 +$$ + +De (.9) e (.10) segue-se que $\overline{S E}=12-5=7$. + +## 21 Quatro números para quatro casas - Solução + +Pelo enunciado do problema sabemos que + +$$ +1I$. Em particular, $x \geq 730$. Pela parte a), sabemos que então $I$ deve ter 4 ou mais algarismos. Logo, usando as partes b) e c) concluímos que $I>x$. Chegamos assim a uma contradição. Fica provado então que $I<730$. + +Além disso, como $I$ é o número final de Sergio, então $I$ é um quadrado perfeito. Finalmente, basta verificar quais dos valores em + +$$ +1^{2}, \quad 2^{2}, \quad 3^{2}, \quad \ldots, \quad 26^{2} \text { e } \quad 27^{2}=729 +$$ + +pode $I$ tomar. Depois dessa verificação vemos que os possíveis valores para $o$ número que Ivan pensou são 1, 81, 169 e 256. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2014_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2014_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c795338e35e99238a743247905a5b288dfc8e6a3 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2014_N1.md @@ -0,0 +1,1360 @@ +# 1 Dentro ou fora? + +a) O ponto preto abaixo está dentro ou fora da região delimitada pelo caminho fechado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-01.jpg?height=497&width=1356&top_left_y=1232&top_left_x=422) + +b) No caso abaixo, como o desenho era muito grande, não foi possível colocá-lo inteiramente aqui. Mesmo assim, sabendo que o caminho é fechado e não se corta, é possível dizer se o ponto está dentro ou fora da região delimitada pelo caminho. Descubra se o ponto está dentro ou fora da curva e justifique! + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-01.jpg?height=476&width=1172&top_left_y=2001&top_left_x=519) + +## 2 Estacionamento complicado + +Num certo estacionamento, os automóveis foram estacionados conforme mostra a figura (de maneira bastante apertada!). O motorista do carro número 1 pede educadamente para que os outros motoristas se movam para que ele possa sair do estacionamento. Um carro se move por vez e, devido ao estreito espaço para manobrar, cada carro se move apenas para frente ou para trás. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-02.jpg?height=309&width=563&top_left_y=660&top_left_x=628) + +Logo, para que o carro 1 possa sair, os carros foram movimentados na seguinte ordem: 3-2-1, como se vê na sequência de desenhos abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-02.jpg?height=312&width=1412&top_left_y=1155&top_left_x=201) + +a) Dada a situação de carros estacionados abaixo, descreva uma sequência de seis movimentos de carros de tal forma que o carro 1 possa sair do estacionamento. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-02.jpg?height=421&width=769&top_left_y=1698&top_left_x=504) + +b) Existe alguma sequência com menos de seis movimentos para a solução do item anterior? Argumente o porquê! +c) Descreva uma sequência de movimentos para que o carro 1 possa sair do estacionamento, dada a situação abaixo de carros estacionados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-03.jpg?height=291&width=1547&top_left_y=391&top_left_x=334) + +## 3 Dobraduras + +a) Um quadrado de papel de lado 1 foi dobrado conforme mostra a figura abaixo. Sabe-se que o comprimento do segmento que liga os pontos $A$ e $O$ é igual a $1 / 3$. Qual a área da parte da face superior do papel que continuou visível? (Ou seja, a parte em branco na figura abaixo à direita.) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-03.jpg?height=442&width=772&top_left_y=1175&top_left_x=716) + +b) Um outro quadrado, este de lado 5 , foi dobrado conforme a figura abaixo, sendo o comprimento dos segmentos $F G$ e $H I$ iguais a 1. Após a dobradura, qual é a área da face superior do papel que continuou visível? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-03.jpg?height=433&width=873&top_left_y=1856&top_left_x=671) +c) Um terceiro quadrado, de lado 1, foi dobrado duas vezes como mostra a figura abaixo. Qual o comprimento do segmento que liga os pontos $M$ e $N$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-04.jpg?height=803&width=859&top_left_y=389&top_left_x=477) + +## 4 Engrenando + +a) $\mathrm{Na}$ figura abaixo, são mostradas duas engrenagens encaixadas, uma engrenagem $A$ com 6 dentes e outra engrenagem $B$ com 8 dentes. Todos os dentes têm o mesmo tamanho. Se a engrenagem $A$ der 12 voltas, quantas voltas dará a engrenagem $B$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-04.jpg?height=433&width=589&top_left_y=1695&top_left_x=615) + +b) Considere 5 engrenagens encaixadas. A primeira tem 10 dentes, e está encaixada com uma segunda engrenagem com 20 dentes, que por sua vez está encaixada com uma terceira engrenagem que tem 40 dentes, que está encaixada com uma quarta engrenagem que tem 80 dentes, que por sua vez está encaixada com uma quinta engrenagem que tem 160 dentes. Quando a engrenagem maior der uma volta, qual a soma de voltas que serão dadas por todas as engrenagens? +c) Considere três engrenagens $C, D$ e $E$, sendo que a engrenagem $C$ está encaixada na engrenagem $D$ e a engrenagem $D$ está encaixada na engrenagem $E$. Cada uma delas tem uma certa quantidade de dentes, todos do mesmo tamanho. Sabe-se que quando a engrenagem $C$ deu 160 voltas, a engrenagem $D$ deu 1007 voltas, e a engrenagem $E$ deu 38 voltas. Qual o menor número total de dentes das três engrenagens somadas para que isso possa acontecer? + +## 5 Qual a pintura? + +Seis círculos, pintados de preto ou branco, estão em fila. A cada passo, uma nova linha de seis círculos é desenhada abaixo e em diagonal. Os novos círculos da nova linha são pintados com uma certa regra simples, que só depende da linha anterior. Veja a figura abaixo e descubra qual é essa regra! + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-05.jpg?height=542&width=870&top_left_y=1104&top_left_x=670) + +a) Como serão pintados os círculos da sétima linha? + +b) Em algum momento todos os círculos de uma mesma linha estarão pintados de preto? + +c) Como estarão pintados os círculos da linha de número 2014 ? + +## 6 Gata que salta + +Uma gata anda sempre em saltos de comprimento $1 \mathrm{~m}$. Inicialmente, esta gata está no ponto A da figura abaixo, que está a uma distância de $2 \mathrm{~m}$ do ponto $O$. Em seguida, ela salta para o ponto $B$, distante $1 \mathrm{~m}$ do ponto $A$ e tal que o segmento $A B$ é perpendicular ao segmento $O A$. Em seguida, a gata salta do ponto $B$ para o ponto $C$, distante $1 \mathrm{~m}$ do ponto $B$ e tal que $B C$ é perpendicular ao segmento $O B$, e assim por diante. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-06.jpg?height=672&width=651&top_left_y=708&top_left_x=584) + +a) Qual o comprimento do segmento $O B$ ? + +b) Qual o comprimento do segmento $O C$ ? + +c) Após 2014 saltos, a que distância do ponto $O$ estará a gata? Após quantos saltos ela estará a exatos $45 \mathrm{~m}$ do ponto $O$ ? + +## 7 O último algarismo + +Chamamos de "último algarismo de um número" como o algarismo mais à direita. Por exemplo, o último algarismo de 2014 é o algarismo 4. + +a) Qual o último algarismo de $11^{11}$ ? + +b) Qual o último algarismo de $9^{9}$ ? E qual o último algarismo de $9219^{9219}$ ? + +c) Qual o último algarismo de $2014^{2014}$ ? + +## 8 Ora bolas + +a) Têm-se 3 urnas inicialmente vazias. Escolhe-se uma delas ao acaso com igual probabilidade (1/3 para cada). Em seguida, coloca-se uma bola dentro da urna escolhida. Repete-se o processo até que uma mesma urna tenha duas bolas. Qual a probabilidade de que quando o processo termine, a quantidade total de bolas dentro de todas as urnas seja igual a 2 ? + +b) Têm-se agora 2014 urnas inicialmente vazias. Repetindo o mesmo processo de antes, qual a probabilidade de que no final haja exatamente 10 bolas dentro das urnas? + +## 9 Dobraduras e perimetros + +Num triângulo de lados $a, b$ e $c$, vale sempre que a soma de dois lados é maior do que o terceiro lado. Por exemplo, no triângulo abaixo, de lados $a, b$ e $c$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d1e5bbfbdffc7558a598g-07.jpg?height=291&width=536&top_left_y=1142&top_left_x=837) + +a + +vale a desigualdade $a10$. Sugestão: copie um retângulo igual ao desenhado em cima dele! + +c) Em cada lado de um quadrado é escolhido um ponto. Em seguida, estes pontos são ligados formando um quadrilátero, conforme mostrado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-03.jpg?height=526&width=532&top_left_y=1947&top_left_x=839) + +Mostre que o perímetro deste quadrilátero (soma dos comprimentos dos lados) é maior ou igual a duas vezes o comprimento da diagonal do quadrado. + +Sugestão: desenhe vários quadrados iguais ao quadrado dado! + +## 4 Números invertidos + +O número 1089 tem uma propriedade interessante. Quando fazemos a multiplicação deste número por 9 , como é mostrado a seguir, + +| 1 | 0 | 8 | 9 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | $\times$ | 9 | +| 9 | 8 | 0 | 1 | + +obtemos o número 9801 que é o número 1089 com os seus algarismos escritos da esquerda para direita! + +a) Encontre um número de cinco algarismos $A B C D E$ tal que sua multiplicação por 9 seja igual ao número que tem os dígitos de $A B C D E$ escritos da direita para a esquerda, ou seja, + +| $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | | $\times$ | 9 | +| $E$ | $D$ | $C$ | $B$ | $A$ | + +b) Encontre todos os números de sete algarismos cuja multiplicação por 9, como anteriormente, inverte a posição de seus algarismos. + +## 5 Ponto e linha sobre plano + +O grande pintor Kandinskemílio desenhou os seguintes pontos no papel. + +a) Sem levantar o lápis do papel, desenhe quatro linhas retas que passem por todos os nove pontos da figura desenhada por Kandinskemílio. +b) Prove que não é possível fazer o mesmo, descrito no item anterior, com apenas três linhas retas. + +c) Sem levantar o lápis do papel, desenhe seis linhas retas que passem por todos os dezesseis pontos da figura abaixo. + +## 6 Jussara gosta de fazer cópias reduzidas + +A professora Jussara gosta de fazer cópias reduzidas. Ela começa desenhando o triângulo retângulo $A B C$ abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-05.jpg?height=452&width=578&top_left_y=1286&top_left_x=816) + +Em seguida, a professora Jussara traça um segmento $A P_{1}$ de forma que $A P_{1}$ seja perpendicular a $B C$, conforme mostra a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-05.jpg?height=426&width=555&top_left_y=1910&top_left_x=822) + +Jussara afirma então que o triângulo $A P_{1} C$ é semelhante ao triângulo $A B C$ (ou seja, tem ângulos correspondentes iguais). +a) Mostre que a professora Jussara está certa! + +b) Calcule o comprimento do segmento $A P_{1}$. + +c) Calcule a razão entre a área do triângulo $A B C$ e a área do triângulo $A P_{1} C$. + +d) A professora Jussara repete o processo, agora traçando um segmento $P_{1} P_{2}$ perpendicular ao lado $A C$, conforme a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-06.jpg?height=450&width=577&top_left_y=597&top_left_x=613) + +Qual a razão entre as áreas dos triângulos $P_{1} P_{2} C$ e $A P_{1} C$ ? + +e) A professora Jussara repete o processo mais duas vezes, conforme mostra a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-06.jpg?height=452&width=566&top_left_y=1302&top_left_x=624) + +Qual a área do triângulo $P_{5} P_{6} C$ ? + +## 7 Maior ou menor? + +Qual número é maior, $2^{300}$ ou $3^{200}$ ? Bem, calcular explicitamente tais números é algo bem difícil, mesmo com a ajuda de uma calculadora ou de um computador. Entretanto, podemos descobrir sem calculá-los explicitamente! Observe: + +$$ +2^{300}=2^{3 \cdot 100}=\left(2^{3}\right)^{100}=8^{100} +$$ + +e observe também que + +$$ +3^{200}=3^{2 \cdot 100}=\left(3^{2}\right)^{100}=9^{100} +$$ + +Como $8^{100}<9^{100}$, concluímos que $2^{300}<3^{200}$. + +a) Qual número é maior, $2^{40}$ ou $3^{28}$ ? + +b) Qual número é maior, $31^{11}$ ou $17^{14}$ ? + +## 8 Drọ. Maria Amélia viaja + +a) A doutora Maria Amélia viaja para atender seus pacientes. Em seu primeiro dia de trabalho, ela tem que atender pacientes nas cidades Anápolis, Beápolis, Ceápolis, Deápolis e Enápolis. As cidades são ligadas por estradas, como mostra a figura abaixo. Para atender os pacientes mais rapidamente, a doutora Maria Amélia precisa passar por cada cidade exatamente uma vez, e no fim voltar para a cidade de onde começou o percurso. A doutora começa em Anápolis. Mostre como ela pode fazer isso! + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-07.jpg?height=386&width=637&top_left_y=1710&top_left_x=781) +b) A doutora Maria Amélia precisa fazer o mesmo, mas agora uma estrada foi interditada para manutenção. Mostre que a doutora ainda pode fazer o percurso descrito anteriormente passando apenas uma vez por cada cidade e retornando para a cidade de partida, Anápolis. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-08.jpg?height=389&width=637&top_left_y=477&top_left_x=591) + +c) Com o crescimento populacional, surgiram novas cidades, Efeápolis, Geápolis, Agápolis e Iápolis, como mostrado abaixo. As estradas que estavam em manutenção voltaram a ser transitáveis. Mostre que neste caso não há solução para o problema, ou seja, não há como a doutora sair de Anápolis, passar por cada uma das outras cidades exatamente uma vez, e então voltar para Anápolis. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-08.jpg?height=447&width=637&top_left_y=1172&top_left_x=591) + +## 9 Quadrados e mais quadrados + +a) Na figura abaixo, há três quadrados de lados 9,6 e $x$. Determine o valor de $x$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-08.jpg?height=523&width=920&top_left_y=1925&top_left_x=441) +b) Marcelo continua o desenho anterior e desenha mais alguns quadrados (muitos!). Como estes ficaram muitos pequenos, não é possível vê-los, mas mostramos alguns na figura abaixo. Qual o comprimento do lado do $2014^{\circ}$ quadrado, contando da esquerda para a direita? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-09.jpg?height=526&width=914&top_left_y=488&top_left_x=648) + +## 10 Divisão na medida + +Renato tem trinta melancias, Leandro tem dezoito melancias e Marcelo tem vinte e quatro jacas. Ao contrário de Leandro e Renato, Marcelo não gosta de jaca. Por outro lado, os três gostam de melancia. Os três fazem então um acordo: Marcelo dá as suas vinte e quatro jacas para Leandro e Renato, e as melancias de Leandro e Renato são divididas igualmente entre os três, ou seja, dezesseis para cada. Qual é a divisão justa de jacas entre Renato e Leandro? + +## 11 Comissões + +Em uma sala de aula há uma turma de dez alunos. Precisa-se escolher uma comissão de três alunos para representar esta turma, sendo a comissão composta por: um porta-voz, um diretor de artes e um assessor técnico. Nenhum aluno pode acumular cargos. + +a) De quantas maneiras esta comissão pode ser formada? + +b) Quantas comissões diferentes podem ser formadas com os alunos Leandro, Renato e Marcelo? + +c) Considere agora comissões sem cargos específicos. Use os itens a) e b) anteriores para descobrir quantas comissões sem cargos específicos podem ser formadas. + +## 12 Lúnulas + +a) Leandro desenha uma Lúnula de Hipócrates como mostrado na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-10.jpg?height=534&width=901&top_left_y=460&top_left_x=459) + +Nesta figura, o triângulo $A B C$ é retângulo e isósceles. A lúnula é a região em forma de lua crescente interna a uma semicircunferência e externa à outra semicircunferência, como mostra a figura. A primeira tem raio igual ao comprimento do cateto $A B$ e a segunda tem raio igual à metade do comprimento da hipotenusa $B C$. Mostre que a área da Lúnula de Hipócrates desenhada por Leandro é igual à área do triângulo retângulo $A B C$. + +b) Inspirado pelo desenho de Leandro, Renato decide desenhar as Lúnulas de Alhazen, conforme mostrado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-10.jpg?height=573&width=949&top_left_y=1506&top_left_x=435) + +Nessa figura, as lúnulas são as regiões em forma de lua crescente. Um triângulo retângulo $A B C$ e três semicircunferências são utilizadas para obter essas regiões. O comprimento do raio da maior das semicircunferências é igual à metade do comprimento da hipotenusa, enquanto que as duas menores têm raio igual à metade do comprimento do cateto correspondente. Mostre que a soma das áreas das duas lúnulas desenhadas por Renato é igual à área do triângulo $A B C$. + +## 13 A soma de Vladimir + +Vladimir escolheu três algarismos $a, b$ e $c$ tais que $a>b>c>0$ e com eles formou os números $a b c$, $c b a$ e $c a b$. Note que $a b c$ não é o produto de $a, b$ e $c$, mas sim o número de algarismos $a, b$ e $c$. Por exemplo, se $a=1, b=2$ e $c=3$, $a b c$ será o número 123. + +Depois de escolher estes três algarimos $a, b$ e $c$, Vladimir percebeu que um dos números formados era igual à soma dos outros dois. Encontre os números formados por Vladimir. + +## 14 Números no tabuleiro + +No seguinte tabuleiro, devemos colocar todos os números, desde 1 até 25 , seguindo as seguintes regras: + +- Em cada fila, os 5 números colocados devem formar uma sequência estritamente crescente quando lidas da esquerda para a direita. +- Em cada coluna, os 5 números colocados devem formar uma sequência estritamente crescente quando lidas de cima para baixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-11.jpg?height=518&width=532&top_left_y=1430&top_left_x=839) + +A diagonal principal do tabuleiro é a diagonal pintada no gráfico. + +a) Mostre que depois de colocar os números, o menor número colocado na diagonal principal é sempre maior ou igual a 5 , e o maior número colocado na diagonal principal é maior ou igual a 15. + +b) Coloque os números no tabuleiro de modo que na diagonal principal encontremos os números $5,9,12,14$ e 15 . + +c) Mostre que é impossível colocar os números de modo que a soma na diagonal principal seja menor que 55. + +## 15 Retângulos formando um quadrado + +$\mathrm{Na}$ figura seguinte, o quadrado $A B C D$ foi dividido em quatro retângulos, todos possuindo a mesma área. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-12.jpg?height=425&width=463&top_left_y=504&top_left_x=678) + +Sabendo que $M N=3$, calcule a área do quadrado $A B C D$. + +## 16 Cinco piratas e um tesouro + +Cinco piratas encontraram um cofre do tesouro cheio de moedas de ouro e as dividiram entre si. Sabe-se que: + +- O que o primeiro pirata recebeu é equivalente à metade do que receberam os outros quatro em conjunto. +- O que o segundo pirata recebeu é equivalente à terça parte do que receberam os outros quatro em conjunto. +- O que o terceiro pirata recebeu é equivalente à quarta parte do que receberam os outros quatro em conjunto. +- O que o quarto pirata recebeu é equivalente à quinta parte do que receberam os outros quatro em conjunto. + +Se o quinto pirata recebeu 90 moedas, diga quantas moedas tinha o cofre antes da divisão. + +## 17 Números balanceados + +Um número de quatro algarismos $a b c d$ é chamado balanceado se + +$$ +a+b=c+d +$$ + +Calcule as seguintes quantidades: + +a) Quantos números $a b c d$ são tais que $a+b=c+d=8$ ? + +b) Quantos números abcd são tais que $a+b=c+d=16$ ? + +c) Quantos números balanceados existem? + +## 18 O passeio de Florinda + +Florinda foi dar um passeio. Ela saiu do ponto $A$ e caminhou $1 \mathrm{~m}$. Nesse ponto ela virou para a esquerda um ângulo de $90^{\circ}$ e caminhou $2 \mathrm{~m}$. No último ponto ela virou para esquerda, e caminhou $3 \mathrm{~m}$. Ela continuou andando desta maneira até que no último trecho ela caminhou $30 \mathrm{~m}$ e chegou ao seu ponto final que chamaremos de ponto $B$. A figura seguinte ilustra os primeiros sete trechos do passeio de Florinda (note que o ponto $B$ não está ilustrado). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-13.jpg?height=523&width=536&top_left_y=1470&top_left_x=837) + +Calcule a distância entre os pontos $A$ e $B$. + +## 19 Sonho impossível + +Uma noite, Wanderson sonhou com dois números de três algarismos: + +$$ +a b c \text { e def, } +$$ + +de modo que a soma + +$$ +a b c+d e f+a b c d e f +$$ + +coincidia com a soma de todos os números de três algarismos. Note que $a b c$ não é o produto dos algarismos $a, b$ e $c$, e sim o número de três algarismos $a, b$ e $c$. $\mathrm{O}$ mesmo vale para os outros números. + +a) Calcule a soma de todos os números de três algarismos. + +b) Mostre que o sonho de Wanderson é um sonho impossível. + +## 20 Triângulos no dodecágono + +A seguinte figura mostra um dodecágono regular. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-14.jpg?height=384&width=383&top_left_y=1373&top_left_x=718) + +Responda às seguintes perguntas: + +a) Quantos triângulos equiláteros podem ser formados de modo que seus três vértices sejam vértices do dodecágono? + +b) Quantos triângulos escalenos podem ser formados de modo que seus três vértices sejam vértices do dodecágono? + +## 21 O perímetro do hexágono + +Considere o seguinte hexágono regular $A B C D E F$, cujo lado mede 4, e onde os pontos $P$ e $Q$ são os pontos médios dos lados $\overline{B C}$ e $\overline{D E}$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-15.jpg?height=466&width=518&top_left_y=523&top_left_x=843) + +Calcule o perímetro do hexágono $A B P Q E F$. + +## 22 Números equilibrados + +Um número inteiro positivo é chamado "equilibrado" se ele tem quatro algarismos, e um desses algarismos é igual à média dos outros três. Por exemplo: o número 2631 é equilibrado porque 3 é a média de 2,6 e 1; 4444 também é equilibrado porque 4 é a média de 4,4 e 4 . + +a) Encontre os três menores números equilibrados. + +b) Quantos são os números equilibrados menores que 2014 ? + +## 23 Subconjuntos hierárquicos + +Consideremos o conjunto $A=\{1,2,3,4, \ldots, n\}$. Um subconjunto de $A$ é chamado hierárquico se satisfaz as seguintes duas propriedades: + +- O subconjunto deve ter mais de um número. +- Há um número no subconjunto que coincide com a soma dos outros números do subconjunto. + +Deseja-se dividir o conjunto $A$ em subconjuntos hierárquicos. + +a) Para $n=13$, mostre que não é possível fazer a divisão. + +b) Para $n=12$, mostre que tal divisão é possível. + +## 24 Dividindo em triângulos isósceles + +A seguinte figura mostra um triângulo $A B C$ que foi dividido em 3 triângulos isósceles. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-16.jpg?height=415&width=679&top_left_y=501&top_left_x=570) + +a) Mostre que todo triângulo retângulo pode ser dividido em 2 triângulos isósceles. + +b) Mostre que qualquer triângulo pode ser dividido em 4 triângulos isósceles. + +c) Mostre que qualquer triângulo pode ser dividido em 5 triângulos isósceles. + +## 25 Dividindo pedras + +Uma pilha de pedras está sobre uma mesa, Pedrinho joga o seguinte jogo: a cada momento, ele pode escolher uma pilha com pelo menos 3 pedras, retirar uma dessas pedras e dividir a pilha em duas pilhas não vazias. Por exemplo, se ele tem uma pilha com 15 pedras, ele pode dividir essa pilha em duas pilhas de 9 e 5 (ele tira uma pedra, ficando com 14 pedras na pilha e depois a divide). Ele pode continuar com o processo. Por exemplo, Pedrinho pode dividir a pilha com 9 pedras em duas, uma de 3 e uma de 5 , ficando no final com três pilhas, uma de 3 , e duas de 5 . + +a) Se no início há uma única pilha com 19 pedras sobre a mesa. Pedrinho consegue, depois de alguns movimentos, que todas as pilhas restantes tenham exatamente 3 pedras? + +b) E se houver uma única pilha com 1001 pedras? + +## 26 Escrevendo números em ordem crescente + +Pedrinho faz uma lista de todos os números de 5 algarismos distintos que se formam com os dígitos $1,2,3,4,5$. Nesta lista os números estão ordenados de forma crescente. + +a) Qual o número que ocupa a posição 10 da lista? + +b) Qual o número que ocupa a posição 85 da lista? + +## 27 Quadrado em cima de quadrado + +Sejam $A B C D$ e $E F G H$ quadrados de lados 33 e 12, com $E F$ sobre o lado $D C$ (como mostrado na figura abaixo). Seja $X$ o ponto de interseção dos segmentos $H B$ e $D C$. Suponha que $\overline{D E}=18$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-17.jpg?height=754&width=542&top_left_y=1209&top_left_x=839) + +a) Calcule o comprimento do segmento $\overline{E X}$. + +b) Prove que os pontos $A, X$ e $G$ são colineares. + +## 28 Calculando médias + +Pedrinho escolheu 8 números distintos entre 1 e 11 e os escreveu numa determinada ordem. Joãozinho, vendo os números que Pedrinho escreveu, notou o seguinte fato curioso: se fizermos a média dos $n$ primeiros números escritos por Pedrinho, $n=1, \ldots, 8$, teremos como resultado sempre um número inteiro. $\mathrm{Ou}$ seja, se fizermos a média dos dois primeiros números, dos três primeiros, dos quatro primeiros números, e assim por diante, todas essas médias serão inteiras. + +Quais são as possíveis sequências de números que Pedrinho escreveu? (Dica: primeiro descubra quais são as possíveis somas para os 8 números, e depois tente descobrir de trás pra frente os números escolhidos.) + +## 29 Pizza para quantos? + +Um grupo de rapazes e moças saiu para comer pizza em dois dias consecutivos. No restaurante em que foram, as pizzas são cortadas em doze pedaços iguais. Maria observou que no primeiro dia cada rapaz comeu 7 pedaços, e cada moça 3 pedaços. Já no segundo dia, cada rapaz comeu 6 pedaços e cada moça 2 pedaços. Curiosamente, em ambos os dias eles pediram quatro pizzas que foram totalmente consumidas e depois pediram mais uma, da qual sobraram alguns pedaços (ou seja, foi comido pelo menos um pedaço e sobrou pelo menos um pedaço). Quantos rapazes e moças foram à pizzaria? + +## 30 Montando quadrados + +Pedrinho tem várias peças de madeira na forma de um triângulo retângulo de catetos $1 \mathrm{~cm}$ e $2 \mathrm{~cm}$. Com 4 dessas peças, ele consegue montar um quadrado de lado $2 \mathrm{~cm}$, como na figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-19.jpg?height=632&width=637&top_left_y=551&top_left_x=781) + +Brincando com mais peças, ele conseguiu montar um quadrado usando exatamente 20 peças. Monte você também um quadrado usando 20 peças. (Dica: calcule a área dos triângulos, e com isso calcule o lado do quadrado. Depois compare com a hipotenusa das peças.) + +## NÍVEL 2 - SOLUÇÕES + +## 1 Mantenha a soma - Solução + +a) Na linha inferior a soma é $2+3+5=10$. Como as somas ao longo de qualquer lado são iguais, o número que falta no canto superior à direita do quadrado deve ser igual a 2, como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-20.jpg?height=404&width=408&top_left_y=1289&top_left_x=901) + +Faltam mais dois números a serem preenchidos. Novamente, como a soma deve ser 10 em qualquer lado, os números que faltam são 1 e 3, como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-20.jpg?height=407&width=404&top_left_y=1925&top_left_x=903) + +b) Vamos chamar de $x$ e $y$ os números a serem colocados nos cantos superiores do quadrado, como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-21.jpg?height=415&width=423&top_left_y=237&top_left_x=698) + +As somas devem ser constantes ao longo de qualquer lado ou diagonal desenhada. A soma ao longo do lado superior é $x+9+y$, logo todas as somas devem ser iguais a $x+9+y$. Observando as somas ao longo dos lados verticais, deduzimos que os cantos inferiores devem ser iguais a $y-6$ e $x+3$, como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-21.jpg?height=409&width=421&top_left_y=948&top_left_x=699) + +Falta verificar a soma ao longo da diagonal desenhada e do lado horizontal inferior. A soma ao longo do lado horizontal inferior é igual a + +$$ +(y-6)+12+(x+3)=x+9+y +$$ + +verificando a soma desejada. Verificando a soma ao longo da diagonal desenhada, obtemos + +$$ +x+17+(x+3)=x+9+y +$$ + +de onde concluímos que $y=x+11$. Logo, qualquer solução será da forma + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-21.jpg?height=410&width=420&top_left_y=1915&top_left_x=697) + +Como o valor de $x$ ainda não foi fixado, podemos obter muitas soluções! Por exemplo, tomando $x=0$, obtemos a solução: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-22.jpg?height=415&width=412&top_left_y=237&top_left_x=899) + +c) Chamemos de $x$ e $y$ os números vizinhos aos números 3 e 4 , como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-22.jpg?height=244&width=1319&top_left_y=843&top_left_x=443) + +Como a soma ao longo de cada segmento é constante, os dois próximos números devem ser iguais a 3 e 4 : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-22.jpg?height=248&width=1333&top_left_y=1277&top_left_x=441) + +Como há 40 círculos no desenho, há 20 círculos na linha de cima e 20 círculos na linha de baixo. Continuando o processo acima, vamos obter: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-22.jpg?height=249&width=1319&top_left_y=1713&top_left_x=443) + +Observe $\mathrm{o} x$ no canto superior mais à direita. Este $x$ está ligado ao $4 \mathrm{e}$ ao $y$. Como $x+4=x+y$, concluímos que $y=4$. Logo, os números nos dois círculos cinza são iguais a 4 . + +## 2 Mova os fósforos! - Solução + +Observe a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-23.jpg?height=362&width=386&top_left_y=395&top_left_x=714) + +Colocando o palito de fósforo 1 na posição $a$, o 2 na posição $b$, o 3 na $c$ e o 4 na $d$, obtemos a seguinte figura composta por três quadrados de tamanhos distintos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-23.jpg?height=365&width=386&top_left_y=925&top_left_x=714) + +## 3 Desigualdades e triângulos - Solução + +a) As outras desigualdades são $b10$. + +c) Vamos desenhar quatro quadrados da seguinte maneira: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-24.jpg?height=738&width=742&top_left_y=1561&top_left_x=734) + +Em seguida, vamos copiar os segmentos de comprimentos $a, b, c$ e $d$ da seguinte maneira: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-25.jpg?height=737&width=732&top_left_y=237&top_left_x=541) + +Observe que os segmentos de comprimento $b$ e $d$ foram refletidos pelo eixo vertical. Como a menor distância entre dois pontos é dado pelo comprimento do segmento de reta que liga os dois pontos, temos que $a+b+c+d$ é maior ou igual a duas vezes o comprimento da diagonal do quadrado. + +## 4 Números invertidos - Solução + +a) Estamos procurando um número de cinco algarismos $A B C D E$ tal que + +$$ +A B C D E \times 9=E D C B A +$$ + +Somando $A B C D E$ dos dois lados dessa igualdade, obtemos que $A B C D E \times 10=$ $E D C B A+A B C D E$. Mas o número $A B C D E \times 10$ pode ser representado ainda pelos algarismos $A B C D E 0$. Sendo assim, obtivemos que $E D C B A+A B C D E=$ $A B C D E 0$. Para visualizar melhor, mostramos essa igualdade da seguinte forma: + +$$ +\begin{array}{rccccc} +& E & D & C & B & A \\ ++ & A & B & C & D & E \\ +\hline A & B & C & D & E & 0 +\end{array} +$$ + +Quando somamos dois números contendo cinco algarismos e encontramos como resultado um número contendo seis algarismos, esse último número tem o seu primeiro algarismo igual a 1. Assim, temos que $A=1$ : + +$$ +\begin{array}{rccccc} +& E & D & C & B & 1 \\ ++ & 1 & B & C & D & E \\ +\hline 1 & B & C & D & E & 0 +\end{array} +$$ + +Como $A=1$ e o último algarismo do resultado da soma é igual a 0 , necessariamente devemos ter $E=9$ : + +$$ +\begin{array}{rrrrrr} +& & & & 1 \\ +& 9 & D & C & B \\ ++ & 1 & B & C & D & 9 \\ +\hline 1 & B & C & D & 9 & 0 +\end{array} +$$ + +o que implica que: + +$$ +\begin{array}{rrrr} +& & & 1 \\ +& D & C & B \\ ++ & B & C & D \\ +\hline B & C & D & 9 +\end{array} +$$ + +Agora, temos duas possibilidades para o valor de $B$. Devemos ter então $B=1$ ou $B=0$. + +No caso em que $B=1$, temos que: + +$$ +\begin{aligned} +& 1 \\ +& \begin{array}{lll} +D & C & 1 +\end{array} \\ +& \begin{array}{cccc} ++ & 1 & C & D \\ +\hline 1 & C & D & 9 +\end{array} +\end{aligned} +$$ + +Assim, devemos ter que $D=7$ e então: + +ou de maneira mais simples: + +$$ +\begin{array}{r} +7 C \\ ++\quad 1 C \\ +\hline 1 C 7 +\end{array} +$$ + +o que é impossível, já que a soma de dois números que terminam com o mesmo algarismo deve resultar em um número par. + +Vamos nos concentrar no caso $B=0$, do qual obtemos então: + +| $D$ | $C$ | +| :---: | :---: | +| + | $C$ | + +Assim, temos que $D=8$ : + +$$ +\begin{array}{r} +\\ +8 C 0 \\ +8 \quad \\ ++\quad C 8 \\ +\hline C 89 +\end{array} +$$ + +o que nos dá $C=9$. Concluímos, portanto, que $A B C D E=10989$. + +b) A solução desse item é semelhante àquela do item anterior. Estamos procurando um número de sete algarismos $A B C D E F G$ tal que $A B C D E F G \times 9=$ $G F E D C B A$. Somando $A B C D E F G$ dos dois lados dessa igualdade, obtemos que: + +| | $G$ | $F$ | $E$ | $D$ | $C$ | $B$ | $A$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| + | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $F$ | $G$ | +| $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $F$ | $G$ | 0 | + +Logo, concluímos que $A=1$ e que $G=9$, obtendo assim: + +| | | | | | 1 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $F$ | $E$ | $D$ | $C$ | $B$ | +| + | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $F$ | +| $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | $F$ | 9 | + +Daí, concluímos que $B=1$ ou que $B=0$. Se fosse correto que $B=1$, então, para que o último algarismo do resultado fosse igual a 9 , deveríamos ter que $F=$ 7. Logo, a última soma mostrada tem um número começando com o algarismo 7 e outro com o algarismo 1 e não poderia resultar em um número contendo seis algarismos. Assim, devemos abandonar a possibilidade de que $B=1$ e nos concentrar no caso $B=0$. Nesse caso, temos que $F=8$ e então a soma fica: + +$$ +\begin{array}{r} +8 E D C \\ ++\quad C D E \\ +\hline C D E +\end{array} +$$ + +Temos agora duas possibilidades: $C=8$ ou $C=9$. Se fosse correto $C=8$ então teríamos que $E=0$. Nesse caso, a soma acima ficaria: + +| $80 D 8$ | +| ---: | +| $+\quad 8 D 0$ | +| $8 D 08$ | + +o que é impossível, já que para que $D+D$ termine com o algarismo 0 deveríamos ter que $D=5$ e assim: + +| 8058 | +| ---: | +| $+\quad 850$ | +| 8508 | + +o que é, claramente, errado! Logo devemos abandonar a possibilidade de que seja $C=8$ e nos concentrar no caso $C=9$. Nesse caso, temos que $E=9$, logo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-28.jpg?height=238&width=357&top_left_y=1195&top_left_x=932) + +que só pode ser satisfeita se $D=9$. + +Assim, a única possibilidade é $A B C D E F G=1099989$. + +## 5 Ponto e linha sobre plano - Solução + +a) Eis uma forma de passar pelos nove pontos com quatro linhas retas sem tirar o lápis do papel: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-28.jpg?height=410&width=407&top_left_y=1918&top_left_x=904) + +b) Eis um argumento para mostrar que não é possível fazer o mesmo do item anterior com apenas três retas: com uma reta podemos passar por no máximo +três pontos. Logo, para passar pelos nove pontos, cada reta deveria cobrir três pontos distintos. Mas nesse caso, as retas seriam paralelas! Logo, não é possível. + +c) Abaixo, uma forma de passar pelos dezesseis pontos com seis linhas retas sem tirar o lápis do papel: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-29.jpg?height=542&width=423&top_left_y=559&top_left_x=698) + +Há muitas outras! + +## 6 Jussara gosta de fazer cópias reduzidas - Solução + +a) Usaremos aqui que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180^{\circ}$. Considere a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-29.jpg?height=423&width=550&top_left_y=1502&top_left_x=632) + +Usando os ângulos internos do triângulo $A B C$, concluímos que $\alpha+\beta+90^{\circ}=$ $180^{\circ}$. Logo temos que $\alpha+\beta=90^{\circ}$. Um mesmo raciocínio nos fornece que $\alpha+\gamma=$ $90^{\circ}$. Assim, temos que $\beta=\gamma$. Logo, os triângulos $B A C$ e $A P_{1} C$ têm ângulos com mesmas medidas, logo são semelhantes. + +b) Vimos no item a) que os triângulos $B A C$ e $A P_{1} C$ são semelhantes. Assim, obtemos que a razão entre os catetos adjacentes aos ângulos correspondentes deve ser igual à razão entre as hipotenusas. Ou seja, + +$$ +\frac{\left|A P_{1}\right|}{|A B|}=\frac{|A C|}{|B C|} +$$ + +Segue daí que + +$$ +\left|A P_{1}\right|=\frac{|A C| \times|A B|}{|B C|}=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5} +$$ + +Observação: Note que + +$$ +\frac{\left|A P_{1}\right|}{|A B|}=\frac{|A C|}{|B C|}=\frac{4}{5} +$$ + +ou seja, a razão de semelhança entre esses dois triângulos é igual a 4/5. + +c) Como a razão de semelhança entre os triângulos é igual a $4 / 5$, temos que a base e a altura do triângulo $A P_{1} C$ medem $4 / 5$ da base e altura do triângulo $A B C$ respectivamente. Assim temos que: + +$$ +\begin{aligned} +\text { Área }\left(A P_{1} C\right) & =\frac{\operatorname{base}\left(A P_{1} C\right) \times \text { altura }\left(A P_{1} C\right)}{2}=\frac{4 / 5 \times \operatorname{base}(A B C) \times 4 / 5 \times \text { altura }(A B C)}{2} \\ +& =\frac{16}{25} \frac{\text { base }(A B C) \times \operatorname{altura}(A B C)}{2}=\frac{16}{25} \times \operatorname{Área}(A B C) +\end{aligned} +$$ + +Segue daí que a razão entre as áreas dos triângulos $A P_{1} C$ e $A B C$ é igual a 16/25. + +d) Usando um argumento semelhante ao do item a), conclui-se que os triângulos $A P_{1} C$ e $P_{1} P_{2} C$ são semelhantes. Pela figura abaixo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-30.jpg?height=423&width=555&top_left_y=1351&top_left_x=822) + +conclui-se que + +$$ +\frac{\left|P_{1} P_{2}\right|}{\left|A P_{1}\right|}=\frac{\left|P_{1} C\right|}{|A C|} +$$ + +Como a razão de semelhança entre os triângulos $A P_{1} C$ e $A B C$ é igual a 4/5, vale que + +$$ +\frac{\left|P_{1} P_{2}\right|}{\left|A P_{1}\right|}=\frac{4}{5} +$$ + +Daí, concluímos que a razão de semelhança entre os triângulos $P_{1} P_{2} C$ e $A P_{1} C$ também é igual a $\frac{4}{5}$. Portanto, a proporção entre as suas áreas é também igual a $16 / 25$. + +e) Através da figura + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-31.jpg?height=418&width=555&top_left_y=235&top_left_x=629) + +e um procedimento análogo ao dos itens a) e d), vemos que os triângulos $P_{5} P_{6} C$, $P_{4} P_{5} C, P_{3} P_{4} C, P_{2} P_{3} C, P_{1} P_{2} C, A P_{1} C$ e $B A C$ são todos semelhantes, sendo a razão de semelhança entre dois desses triângulos consecutivos igual a 4/5. Logo, a razão entre as áreas de dois desses triângulos consecutivos é igual a 16/25. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +\text { Área }\left(P_{5} P_{6} C\right) & =\frac{16}{25} \times \operatorname{Área}\left(P_{4} P_{5} C\right)=\left(\frac{16}{25}\right)^{2} \times \operatorname{Área}\left(P_{3} P_{4} C\right)=\cdots= \\ +& =\left(\frac{16}{25}\right)^{4} \times \operatorname{Área}\left(P_{1} P_{2} C\right)=\left(\frac{16}{25}\right)^{5} \times \text { Área }\left(A P_{1} C\right)= \\ +& =\left(\frac{16}{25}\right)^{6} \times \operatorname{Área}(A B C)=\left(\frac{16}{25}\right)^{6} \times \frac{3 \times 4}{2} +\end{aligned} +$$ + +## 7 Maior ou menor? - Solução + +a) Para ver qual número é maior, fazemos: + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{40}=2^{3 \cdot 13+1}=2 \cdot 2^{3 \cdot 13}=2 \cdot\left(2^{3}\right)^{13}=2 \cdot 8^{13} \\ +& 3^{28}=3^{2 \cdot 14}=\left(3^{2}\right)^{14}=9^{14}=9 \cdot 9^{13} +\end{aligned} +$$ + +Como $2 \cdot 8^{13}<9 \cdot 9^{13}$, concluímos que $2^{40}<3^{28}$. + +b) Para ver qual número é maior, fazemos: + +$$ +31^{11}<32^{11}=\left(2^{5}\right)^{11}=2^{55}<2^{56}=\left(2^{4}\right)^{14}<17^{14} +$$ + +## 8 Dr ${ }^{a}$. Maria Amélia viaja - Solução + +a) Há muitas soluções possíveis. Uma delas é a solução mostrada abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-32.jpg?height=463&width=642&top_left_y=408&top_left_x=779) + +b) A solução anterior também serve para este item! + +c) Uma maneira seria verificar todos os caminhos possíveis. Entretanto, façamos uma solução mais legal. Começemos colorindo os pontos que representam as cidades de preto $(P)$ e branco $(B)$ conforme ilustrado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-32.jpg?height=446&width=640&top_left_y=1178&top_left_x=782) + +Qualquer caminho passando uma vez por cada um dos pontos deveria visitar 5 pontos brancos e 4 pontos pretos. Note que, a partir de um ponto preto somente é possível seguir para um ponto branco e, da mesma forma, a partir de um ponto branco somente é possível seguir para um ponto preto. Logo, se fosse possível sair do ponto representando a cidade de Anápolis e voltar para esse mesmo ponto passando uma vez por cada um dos outros pontos, a sequência das cores dos pontos visitados deveria ser uma sequência alternada do tipo $P, B, P, B, P, B, \ldots$ Logo, essa sequência deveria ter a mesma quantidade de pontos pretos e pontos brancos. Mas já havíamos determinado que essa sequência deveria ter 5 pontos brancos e 4 pontos pretos! Logo, não é possível que tal caminho exista. + +## 9 Quadrados e mais quadrados - Solução + +a) Observe a figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-33.jpg?height=534&width=920&top_left_y=407&top_left_x=441) + +Por semelhança de triângulos, temos que + +$$ +\frac{6-x}{x}=\frac{3}{6} +$$ + +Portanto, $x=4$. + +b) Temos que os quadrados são semelhantes numa razão de $\frac{2}{3}$. Ou seja, cada novo quadrado tem um lado com comprimento igual a $\frac{2}{3}$ do lado anterior. Logo, o $2014^{\varrho}$ quadrado terá um lado igual a + +$$ +9\left(\frac{2}{3}\right)^{2013} +$$ + +## 10 Divisão na medida - Solução + +A ideia é determinar o valor de melancias em termos de jacas. Como são $18+30=$ 48 melancias e 24 jacas, temos a proporção + +$$ +\begin{array}{ccc} +48 \text { melancias } & - & 24 \text { jacas } \\ +1 \text { melancia } & - & x \text { jacas } +\end{array} +$$ + +o que dá $x=1 / 2$. Ou seja, uma melancia equivale a meia jaca. Como Renato tinha 30 melancias, este deve receber 15 jacas. Como Leandro tinha 18 melancias, este deve receber 9 jacas. + +## 11 Comissões - Solução + +a) Para escolher o porta-voz, temos 10 possibilidades, já que são dez alunos. Escolhido o porta-voz, temos agora 9 possibilidades para escolher o aluno que será o diretor de artes. Finalmente, para escolher o assessor técnico, restam 8 possibilidades. Logo, temos + +$$ +10 \times 9 \times 8=720 +$$ + +maneiras diferentes para escolher a comissão pedida. + +b) Podemos listar todas as comissões que têm os três alunos Marcelo, Leandro e Renato. Estas são: + +| Porta-voz | Diretor de Artes | Assessor Técnico | +| :---: | :---: | :---: | +| Marcelo | Renato | Leandro | +| Marcelo | Leandro | Renato | +| Renato | Leandro | Marcelo | +| Renato | Marcelo | Leandro | +| Leandro | Marcelo | Renato | +| Leandro | Renato | Marcelo | + +Logo, temos seis comissões possíveis. Outra maneira de obter o mesmo resultado seria: para escolher o porta-voz, temos 3 possibilidades dentre Marcelo, Renato e Leandro. Escolhido o porta-voz, restam duas possibilidades para escolher o diretor de artes. E escolhidos os dois cargos anteriores, só resta uma possibilidade para escolher o último cargo. Logo, temos + +$$ +3 \times 2 \times 1=6 +$$ + +maneiras diferentes para escolher uma comissão que tenha os alunos Marcelo, Leandro e Renato. + +c) Agora não há mais cargos. Logo, as comissões listadas no item b) são todas iguais (representam a mesma comissão formada por Marcelo, Renato e Leandro). Para contar quantas são as comissões sem cargo, vamos agrupar as comissões com cargos (porta-voz, diretor de artes e assessor técnico) em grupos de seis comissões que tenham os mesmos três alunos. Como são 720 comissões com cargo, e são grupos de 6 com as mesmas pessoas, obtemos + +$$ +\frac{720}{6}=120 +$$ + +maneiras diferentes de compor uma comissão sem cargos. + +## 12 Lúnulas - Solução + +a) Denotemos por $r$ o comprimento dos catetos $A B$ e $A C$. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $A B C$, temos que o comprimento da hipotenusa $B C$ é igual a $\sqrt{2} r$. Observe a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-35.jpg?height=579&width=973&top_left_y=509&top_left_x=423) + +Como mostrado acima, o comprimento do raio da semicircunferência de centro em $D$ e extremos $B$ e $C$ é igual à metade do comprimento da hipotenusa, ou seja, igual a $\frac{\sqrt{2}}{2} r$. + +A área da semicircunferência com centro em $D$ é igual a + +$$ +\frac{1}{2} \cdot \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2} r\right)^{2}=\frac{\pi r^{2}}{4} +$$ + +A área do quarto de circunferência com centro em $A$ e extremos $B$ e $C$ é igual a + +$$ +\frac{\pi r^{2}}{4} +$$ + +Logo, são iguais! Observe que a área hachurada abaixo é comum a essas duas regiões (a semicircunferência de centro em $D$ e o quarto de circunferência com centro em $A$ ). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-35.jpg?height=576&width=947&top_left_y=1909&top_left_x=436) + +Como as duas regiões têm mesma área e, de cada uma delas foi retirada uma mesma área (a região hachurada), o que sobrou também é igual. Portanto, as áreas em cinza são iguais. + +b) Observe a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-36.jpg?height=637&width=1021&top_left_y=543&top_left_x=592) + +Vamos chamar de $S_{E}$ a área da semicircunferência com centro em $E$ e extremos $A$ e $B$. Temos que + +$$ +S_{E}=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{c}{2}\right)^{2}=\frac{\pi c^{2}}{8} +$$ + +Vamos chamar de $S_{F}$ a área da semicircunferência com centro em $F$ e extremos $A$ e $C$. Temos que + +$$ +S_{F}=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\frac{\pi b^{2}}{8} +$$ + +Vamos chamar de $S_{G}$ a área da semicircunferência com centro em $G$ e extremos $B$ e $C$. Temos que + +$$ +S_{G}=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{\pi a^{2}}{8} +$$ + +Como o triângulo $A B C$ é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que + +$$ +a^{2}=b^{2}+c^{2} +$$ + +Disso, podemos concluir a relação entre as áreas + +$$ +S_{G}=S_{E}+S_{F} +$$ + +Observe agora a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-37.jpg?height=624&width=1015&top_left_y=233&top_left_x=402) + +A região hachurada cobre tanto parte da semicircunferência de centro em $G$ como parte das semicircunferências com centros em $E$ e $F$. Como $S_{G}=S_{E}+S_{F}$, e da região $S_{G}$ foi retirada uma área igual à área retirada das regiões $S_{E}$ e $S_{F}$ (a área hachurada), concluímos que o que restou também é igual! Logo, a área do triângulo retângulo $A B C$ é igual à soma das áreas em cinza entre os arcos de circunferência. + +## 13 A soma de Vladimir - Solução + +Como $a>c$, o número $a b c$ é maior que os números $c b a$ e $c a b$, e então devemos ter $a b c=c b a+c a b$. Assim, + +$$ +100 \cdot a+10 \cdot b+c=(100 \cdot c+10 \cdot a+b)+(100 \cdot c+10 \cdot b+a) +$$ + +e então $89 a=199 c+b$. + +Note que $10>a=(199 \cdot c+b) / 89>2 c$, e que $a=(199 \cdot c+b) / 89<(199 \cdot c+10 \cdot c) / 89<$ $3 \cdot c$. Em particular, $5>c$. Separemos em casos conforme o valor de $c$. + +- Se $c=1$ : Deveríamos ter $2\theta$ e, assim, + +$$ +\sigma \geq 15 +$$ + +De $(*),(* *),(* * *),(\star)$ e $(\star \star)$, obtemos que + +$$ +A+B+C+D+E=\alpha+\beta+\gamma+\theta+\sigma \geq 5+9+12+14+15 +$$ + +## 15 Retângulos formando um quadrado - Solução + +$\mathrm{Na}$ seguinte figura, a área do retângulo $M N P C$ é $|M N| \times|N P|$, enquanto que a área do retângulo $N Q F P$ é $|N Q| \times|N P|$. Para que as áreas desses retângulos coincidam, é necessário que $|N Q|=|M N|=3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-40.jpg?height=566&width=608&top_left_y=510&top_left_x=798) + +Se chamarmos $|B M|=\ell$, a área do retângulo $E B M Q$ será dada por $\ell \times(3+3)=6 \ell$. Para que a área dos retângulos $M N P C$ e $N Q F P$ seja também $6 \ell$, é necessário que $|N P|=2 \ell$. Assim, a medida do lado do quadrado deve ser igual a $B M+N P=$ $3 \ell$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-40.jpg?height=568&width=600&top_left_y=1350&top_left_x=805) + +Em particular, $|A D|=3 \ell$, e para que a área do retângulo $A E F D$ coincida com $6 \ell$, é necessário que $|F D|=2$. Observe agora que o lado do quadrado coincide com $|M N|+|N Q|+|F D|=3+3+2=8$. Finalmente, concluímos que a área do quadrado $A B C D$ é igual a $8^{2}=64$. + +## 16 Cinco piratas e um tesouro - Solução + +Sejam $a, b, c, d$, $e$ as quantidades de moedas recebidas pelos cinco piratas. $\mathrm{O}$ número total de moedas é $S=a+b+c+d+e$. O primeiro pirata recebeu metade do que receberam os outros quatro em conjunto, isto é, $a=(b+c+d+e) / 2=(S-a) / 2$. Então $a=S / 3$. O segundo pirata recebeu a terça parte do que receberam os outros quatro em conjunto, isto é, $b=(a+c+d+e) / 3=(S-b) / 3$. Portanto, $b=S / 4$. O terceiro pirata recebeu a quarta parte do que receberam os outros quatro em conjunto, isto é, $c=(a+b+d+e) / 4=(S-c) / 4$. Então $c=S / 5$. $\mathrm{O}$ quarto pirata recebeu a quinta parte do que receberam os outros quatro em conjunto, isto é, $d=(a+b+c+e) / 5=(S-d) / 5$. Daí, $c=S / 6$. Assim, o último pirata recebeu + +$$ +90=e=S-a-b-c-d=S-\frac{S}{3}-\frac{S}{4}-\frac{S}{5}-\frac{S}{6}=\frac{S}{20} +$$ + +Portanto, o cofre tinha $S=1800$ moedas antes da divisão. + +## 17 Números balanceados - Solução + +a) Vamos contar primeiro os valores possíveis para o par $(a, b)$. Observe que $a$ não pode ser igual a zero, por ser o primeiro algarismo em $a b c d$. Mas $a$ pode tomar qualquer valor em + +$$ +\{1,2,3,4,5,6,7,8\} +$$ + +porque por cada um desses valores, o número 8 - $a$ dá como resultado um valor apropriado para $b$. Contamos, assim, 8 possibilidades para o par $(a, b)$. Para contar os valores possíveis para o par $(c, d)$, basta ver que $c$ pode tomar qualquer valor no conjunto + +$$ +\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} +$$ + +e, para cada um desses valores, o número $8-c$ dá como resultado um valor apropriado para $d$. São assim 9 possibilidades para o par $(c, d)$. Os números $a b c d$ que cumprem com $a+b=c+d=8$ são as combinações de $a b$ e $c d$. A resposta é, portanto, + +$$ +8 \times 9=72 +$$ + +b) Comecemos contando as possibilidades para o par $(a, b)$. Observe que se $a$ fosse menor do que 7, o número 16 - $a$ seria negativo e não seria, então, um valor apropriado para $b$. Portanto, os valores possíveis para $a$ são + +$$ +\{7,8,9\} +$$ + +Contamos, assim, 3 possibilidades. Observe agora que para o par $(c, d)$, as possibilidades são exatamente as mesmas que para $(a, b)$ : + +$$ +(7,9), \quad(8,8) \quad \text { e } \quad(9,7) +$$ + +Finalmente, os números $a b c d$ que procuramos resultam de combinar as possibilidades para $a b$ e $c d$. A resposta é, portanto, + +$$ +3 \times 3=9 +$$ + +c) Devemos contar os números $a b c d$ de modo que $a+b=c+d$. Contemos primeiro aqueles em que $a+b=c+d=s$ para um $1 \leq s \leq 9$. As possibilidades para os pares $(a, b)$ e $(c, d)$ nesses casos se calculam de modo similar ao do item a). Os valores possíveis para $a$ são + +$$ +\{1,2, \ldots, s\} +$$ + +porque, para todos esses valores, o número $s-a$ é um valor permitido para $b$. Contamos, assim, $s$ possibilidades para o par $(a, b)$. Por outro lado, os valores permitidos para $c$ são + +$$ +\{0,1,2, \ldots, s\} +$$ + +porque, para todos esses valores, o número $s-c$ é um valor permitido para $d$. Contamos agora $s+1$ possibilidades para o par $(c, d)$. Finalmente, combinamos as possibilidades para os pares $(a, b)$ e $(c, d)$, e contamos assim + +$$ +s \times(s+1) +$$ + +números $a b c d$ tais que $a+b=c+d=s$, com $s \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Considerando todos os valores de $s$ entre 1 e 9 , teremos no total + +$$ +1 \times 2+2 \times 3+\cdots+9 \times 10=330 +$$ + +números $a b c d$ tais que $1 \leq a+b=c+d \leq 9$. + +Observe que o máximo valor possível para $a+b=c+d=s$ é 18. Ainda resta então considerar o caso em que $10 \leq s \leq 18$. Para que $s-a$ seja um valor permitido para $b$ é necessário que $0 \leq s-a \leq 9$. Isso implica que + +$$ +s-9 \leq a \leq s +$$ + +Mas como $a$ deve ser menor ou igual a 9 , os valores possíveis para $a$ serão + +$$ +\{s-9, s-8, \ldots, 9\} +$$ + +Quando $10 \leq s \leq 18$, é simples verificar que todos esses valores são permitidos para $a$, porque $s-a$ é também um valor permitido para $b$. Contamos assim $19-s$ possibilidades para o par $(a, b)$. Por outro lado, como no item b), as possibilidades para o par $(a, b)$ são exatamente as mesmas possibilidades para o par $(c, d)$. Combinando, obteremos $(19-s) \times(19-s)$ possibilidades para $a b c d$ com $a+b=c+d=s$ e $s \in\{10,11, \ldots, 19\}$. Considerando as somas $s$ de 10 até 18 , contamos + +$$ +9^{2}+8^{2}+7^{2}+\cdots+1^{2}=285 +$$ + +números $a b c d$ tais que $10 \leq a+b=c+d \leq 18$. Finalmente, a resposta é que existem $330+285=615$ números $a b c d$ tais que $a+b=c+d$. + +## 18 O passeio de Florinda - Solução + +Nesse exercício todas as distâncias estão dadas em metros. Observe na seguinte figura que os segmentos retilíneos horizontais possuem comprimentos ímpares enquanto que os verticais possuem comprimentos pares. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-43.jpg?height=354&width=355&top_left_y=526&top_left_x=732) + +Se consideramos somente os segmentos retilíneos horizontais, obtemos que o deslocamento horizontal total é igual a + +$$ +1-3+5-7+9-11+13-\cdots+25-27+29 +$$ + +Para calcular esse valor, podemos associar os termos do seguinte modo: + +$$ +1 \underbrace{-3+5}_{+2} \underbrace{-7+9}_{+2} \underbrace{-11+13}_{+2}-\ldots \underbrace{-27+29}_{+2} +$$ + +O deslocamento horizontal total é, então, igual a $1+2 \times 7=15$. + +Considerando agora os deslocamentos verticais, e calculando de modo similar, obtemos + +$$ +2 \underbrace{-4+6}_{+2} \underbrace{-8+10}_{+2} \underbrace{-12+14}_{+2}-\ldots \underbrace{-28+30}_{+2}=2+2 \times 7=16 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-43.jpg?height=460&width=471&top_left_y=1821&top_left_x=671) + +Finalmente, pelo Teorema de Pitágoras, concluímos que o deslocamento total é igual a + +$$ +\sqrt{15^{2}+16^{2}}=\sqrt{481} +$$ + +## 19 Sonho impossivel - Solução + +Podemos calcular a soma de todos os números de 3 algarismos + +$$ +100+101+102+\cdots+999=\frac{(100+999) \times 900}{2}=1099 \times 450 +$$ + +Por outro lado, + +$$ +a b c+\operatorname{def}+a b c d e f=a b c+\operatorname{def}+1000 \times a b c+\operatorname{def} +$$ + +O sonho de Wanderson pode então ser escrito como a equação + +$$ +1099 \times 450=1001 \times a b c+2 \times d e f . +$$ + +Observemos que o número $1099 \times 450$ pode ser escrito como + +$$ +(1001+98) \times 450=1001 \times 450+44100=1001 \times 450+1001 \times 44+56=1001 \times 494+56 +$$ + +Isto implica que + +$$ +1001 \times(494-a b c)+56=2 \times d e f +$$ + +O lado direito da equação é um número par. Para que o lado esquerdo seja par, é necessário que 494 - $a b c$ seja par. Dividindo por 2 , temos que + +$$ +1001 \times \frac{(494-a b c)}{2}+28=d e f +$$ + +Sabemos que $(494-a b c) / 2$ deve ser um número inteiro. Se $(494-a b c) / 2=0$, o lado esquerdo seria igual a 28 e não obteríamos um número de 3 algarismos. Se entretanto $(494-a b c) / 2=1$, o lado esquerdo seria igual a 1029 e não obteríamos um número de 3 algarismos. Portanto a equação (\$) não pode ser satisfeita. Concluímos que o sonho de Wanderson é impossível. + +## 20 Triângulos no dodecágono - Solução + +Podemos inscrever o dodecágono regular em um círculo como mostra a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-44.jpg?height=394&width=391&top_left_y=2087&top_left_x=904) + +Então os arcos que correspondem a cada um dos lados do dodecágono devem medir $(360 / 12)^{\circ}=30^{\circ}$. + +a) Os triângulos equiláteros que podemos formar estarão também inscritos no círculo. Sabemos que a medida do arco que corresponde a um lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência deve ser $(360 / 3)^{\circ}=120^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-45.jpg?height=421&width=473&top_left_y=662&top_left_x=673) + +Se fixamos um vértice, digamos $A$ no gráfico, existirá então um único triângulo equilátero usando o vértice $A$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-45.jpg?height=442&width=391&top_left_y=1397&top_left_x=711) + +Podemos contar assim 12 triângulos (um para cada vértice). Neste caso, cada triângulo seria contado 3 vezes. Concluímos que então existem $12 / 3=4$ triângulos equiláteros inscritos no dodecágono. + +b) Para contar o número de triângulos escalenos, podemos contar o número total de triângulos e subtrair o número de triângulos isósceles e equiláteros. + +Primeiro, contaremos os triângulos isósceles que não são equiláteros. Fixemos um vértice, digamos, $A$. Existem 4 triângulos isósceles não equiláteros inscritos no dodecágono cujo vértice $A$ corresponde ao ângulo desigual. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-46.jpg?height=982&width=1044&top_left_y=229&top_left_x=586) + +Podemos contar, assim, 4 triângulos isósceles por cada vértice do dodecágono, isto é, $4 \times 12$ triângulos isósceles não equiláteros no total. + +Contemos agora o número total de triângulos. Para determinar um triângulo, devemos escolher três vértices no conjunto de 12 vértices do dodecágono. Para escolher o primeiro vértice do triângulo, temos 12 alternativas, para o segundo, 11 e para o terceiro, restam 10. Mas no produto $12 \times 11 \times 10$ estamos contando várias vezes um mesmo triângulo. Observe que há seis formas possíveis para ordenar os vértices de um triângulo $A B C$, as quais estão listadas abaixo: + +$$ +A B C, \quad A C B, \quad B C A, \quad B A C, \quad C A B \quad \text { e } \quad C B A +$$ + +Portanto, no produto $12 \times 11 \times 10$, cada triângulo está sendo contado 6 vezes. Concluímos que há, no total, $\frac{12 \times 11 \times 10}{6}=220$ triângulos inscritos no dodecágono. + +Daí, o número de triângulos escalenos será igual a + +$$ +220-4 \times 12-4=168 +$$ + +## 21 O perimetro do hexágono - Solução + +Prolongamos os lados $\overline{B C}$ e $\overline{E D}$ do modo indicado na figura seguinte: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-47.jpg?height=476&width=635&top_left_y=407&top_left_x=592) + +Sendo $A B C D E F$ um hexágono regular, cada ângulo interno mede $120^{\circ}$. Portanto, $\measuredangle R C D=60^{\circ}, \measuredangle R D C=60^{\circ}$, e concluímos que o triângulo $D R C$ é equilátero de lado 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-47.jpg?height=478&width=635&top_left_y=1104&top_left_x=592) + +Como $|P R|=|Q R|=6$ e $\measuredangle P R D=60^{\circ}$, temos que o triângulo $P Q R$ é equilátero de lado 6. Portanto, $|P Q|=6$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-47.jpg?height=452&width=465&top_left_y=1767&top_left_x=677) + +Agora é fácil calcular o perímetro do hexágono $A B P Q E F: 4+2+6+2+4+4=22$. + +## 22 Números equilibrados - Solução + +Um número de quatro algarismos é equilibrado quando um de seus algarismos, digamos $a$, é a média dos outros três algarismos, digamos $b, c$ e $d$, ou seja, quando $(b+c+d) / 3=a$ ou, equivalentemente, quando $(a+b+c+d) / 4=a$. Vemos assim que um número $N$ de quatro algarismos é equilibrado quando ele satisfaz as duas seguintes condições: + +(i) A soma de seus algarismos, digamos $S$, é divisível por 4; + +(ii) $S / 4$ é um dos algarismos de $N$. + +(a) Dos números da forma $\overline{100 x}$, os únicos que satisfazem a condição i) são 1003 e 1007, e desses dois números, o único que satisfaz (ii) é 1003. Dos números da forma $\overline{101 x}$, os únicos que satisfazem (i) são 1012 e 1016, e desses dois, o único que satisfaz (ii) é 1012. Dos números da forma $\overline{102 x}$, os únicos que satisfazem (i) são 1021, 1025 e 1029, e desses três, os que satisfazem (ii) são 1021 e 1025. Em conclusão, os três menores números equilibrados são + +$$ +1003, \quad 1012 \text { e } 1021 +$$ + +(b) Analisemos primeiro os números equilibrados da forma $\overline{1 x y z}$. Pelas condições (i) e (ii), devemos ter $1+x+y+z$ divisível por $4 \mathrm{e}(1+x+y+z) / 4$ deve coincidir com um dos algarismos $1, x, y$ ou $z$. Suponha que os algarismos $x, y$ e $z$ satisfazem essas condições. + +- Se $x, y$ e $z$ são distintos, podemos formar os 6 números equilibrados $\overline{1 x y z}, \overline{1 x z y}$, $\overline{1 y x z}, \overline{1 y z x}, \overline{1 z x y}$ e $\overline{1 z y x}$. +- Se $x=y$ e $z$ são distintos, podemos formar os 3 números equilibrados $\overline{1 x x z}$, $\overline{1 x z x}$ e $\overline{1 z x x}$. +- Se $x=y=z$, podemos formar somente o número equilibrado $\overline{1 x x x}$. + +Note agora que $1=1+0+0+0 \leq 1+x+y+z \leq 1+9+9+9=28$. Então a soma $1+x+y+z$ somente pode tomar os valores $4,8,12,16,20,24$ e 28. Separaremos em casos conforme os valores que pode tomar a soma $x+y+z$. + +- Se $x+y+z=27$ : Nesse caso, devemos ter $x=y=z=9$, mas o número 1999 não satisfaz (ii), e então não é equilibrado. Assim, não temos números equilibrados. +- Se $x+y+z=23$ : Nesse caso, um dos algarismos deve ser igual a $(1+x+y+z) / 4=$ 6. Então o conjunto $\{x, y, z\}$ tem que ser $\{6,9,8\}$, e como os algarismos 6,9 e 8 são distintos, temos 6 números equilibrados. +- Se $x+y+z=19$ : Um dos algarismos deve ser igual a $(1+x+y+z) / 4=5$. Então o conjunto $\{x, y, z\}$ tem que ser $\{5,9,5\},\{5,8,6\}$ ou $\{5,7,7\}$. Se o conjunto $\{x, y, z\}$ for $\{5,9,5\}$, temos 3 números equilibrados, se for $\{5,8,6\}$ temos 6 números equilibrados, e se for $\{5,7,7\}$, temos 3 números equilibrados. Assim, temos no total $3+6+3=12$ números equilibrados. +- Se $x+y+z=15$ : Um dos algarismos deve ser igual a $(1+x+y+z) / 4=4$. Então o conjunto $\{x, y, z\}$ tem que ser $\{4,9,2\},\{4,8,3\},\{4,7,4\}$ ou $\{4,6,5\}$. Temos, então, $6+6+3+6=21$ números equilibrados. +- Se $x+y+z=11$ : Um dos algarismos deve ser igual a $(1+x+y+z) / 4=3$. Portanto, o conjunto $\{x, y, z\}$ tem que ser $\{3,8,0\},\{3,7,1\},\{3,6,2\},\{3,5,3\}$ ou $\{3,4,4\}$. Temos, então, $6+6+6+3+3=24$ números equilibrados. +- Se $x+y+z=7$ : Um dos algarismos deve ser igual a $(1+x+y+z) / 4=2$. Então o conjunto $\{x, y, z\}$ tem que ser $\{2,5,0\},\{2,4,1\}$ ou $\{2,3,2\}$. Temos então $6+6+3=15$ números equilibrados. +- Se $x+y+z=3$ : Um dos algarismos deve ser igual a $(1+x+y+z) / 4=1$. Então o conjunto $\{x, y, z\}$ tem que ser $\{1,2,0\},\{1,1,1\}$, ou $\{3,0,0\}$. Temos, então, $6+1+3=10$ números equilibrados. + +Finalmente, é simples ver que dos números $2000,2001, \ldots, 2013$, os únicos que satisfazem as condições i) e ii) são 2006 e 2011. Então, a quantidade de números equilibrados menores que 2014 é + +$$ +6+12+21+24+15+10+2=90 +$$ + +## 23 Subconjuntos hierárquicos - Solução + +a) Vamos supor que foi possível dividir o conjunto em $\ell$ grupos. Em cada grupo, o maior coincide com a soma dos outros números do grupo. Então, a soma de todos os números do grupo seria duas vezes o maior número do grupo. Provamos assim que a soma dos números dentro de cada grupo é sempre um número par. Teríamos então que a soma de todos os números no conjunto $A$ pode ser escrita como a soma de números pares e, portanto, devia ser também par. Mas se $n=13$, a soma total é $13 \times 14 / 2=13 \times 7$, que não é um número par. Isso mostra que, para $n=13$, tal divisão não pode ser feita. + +b) Observe que não pode haver um grupo com dois números, porque pela segunda condição, esses números teriam que ser iguais e isso não é possível. Como há 12 números, isso implica que há, no máximo, 4 grupos. Além disso, depois da discussão feita no item a), sabemos que a soma dos números maiores em cada grupo deve ser a metade da soma de todos os números em $A$, isto é, a metade de $12 \times 13 / 2=78$. Para que então a soma dos números maiores de cada grupo consiga ser $(78 / 2)=39$, é necessário ter ao menos 4 grupos, porque todos os números de $A$ são menores ou iguais a 12. Concluímos assim que devem existir exatamente 4 grupos, e que cada grupo deve ter exatamente 3 elementos. Um modo de conseguir a divisão é + +$$ +A=\{12,9,3\} \cup\{11,7,4\} \cup\{10,8,2\} \cup\{6,5,1\} +$$ + +## 24 Dividindo em triângulos isósceles - Solução + +a) Consideremos o triângulo retângulo com ângulos agudos $\alpha^{\circ} \mathrm{e} \beta^{\circ}$, como mostra a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-50.jpg?height=352&width=748&top_left_y=485&top_left_x=731) + +Traçamos um segmento $B M$, com $M$ sobre o lado $A C$, de modo que $\measuredangle M B C=\beta^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-50.jpg?height=375&width=746&top_left_y=997&top_left_x=732) + +Temos então que $\measuredangle M B A=90^{\circ}-\beta^{\circ}=\alpha^{\circ}$, e conseguimos assim os dois triângulos isósceles $A M B$ e $B M C$. + +b) Primeiro devemos observar que, em qualquer triângulo, existem sempre dois ângulos internos que são estritamente menores que $90^{\circ}$. Se não fosse assim, existiriam dois ângulos internos maiores ou iguais a $90^{\circ}$, e isso é impossível, dado que a soma dos ângulos internos deve ser $180^{\circ}$. Na figura seguinte, estamos supondo que $\measuredangle Q P R$ e $\measuredangle Q R P$ são ambos menores que $90^{\circ}$ : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-50.jpg?height=444&width=595&top_left_y=1877&top_left_x=802) + +Se traçarmos a altura partindo de $Q$, a base da altura se encontrará no lado $\overline{P R}$, como mostra a figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-51.jpg?height=463&width=595&top_left_y=234&top_left_x=612) + +Pelo item a), os triângulos retângulos $P H Q$ e $R H Q$ podem ser divididos em dois triângulos isósceles cada um. Feito isso, conseguiremos dividir o triângulo $P Q R$ em 4 triângulos isósceles. + +c) Sejam $\alpha^{\circ}$ e $\beta^{\circ}$ as medidas do menor e do maior ângulo interno do triângulo, respectivamente. Vamos supor primeiro que $\alpha<\beta$ como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-51.jpg?height=439&width=941&top_left_y=1057&top_left_x=436) + +Podemos então traçar um segmento $B D$, como mostra a próxima figura, de modo que o triângulo $B D C$ seja isósceles. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-51.jpg?height=439&width=941&top_left_y=1676&top_left_x=436) + +Agora, pelo item b), sabemos que o triângulo $A B D$ pode ser dividido em 4 triângulos isósceles. Fazendo assim, teremos dividido o triângulo $A B C$ em 5 triângulos isósceles. + +Devemos considerar agora o caso em que $\alpha=\beta$. Isso acontece somente se $o$ triângulo for equilátero. Podemos primeiro dividir o triângulo como mostra a seguinte figura, onde $I$ é o incentro do triângulo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-52.jpg?height=547&width=664&top_left_y=234&top_left_x=773) + +Assim, temos três triângulos isósceles. Finalmente, traçamos $I P$ e $I Q$ de modo que $\measuredangle A I P=\measuredangle C I Q=30^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-52.jpg?height=584&width=660&top_left_y=974&top_left_x=775) + +Os triângulos $A I P$ e $C I Q$ são claramente isósceles, enquanto o triângulo $I P Q$ é equilátero. Dividimos assim, o triângulo $A B C$ em 5 triângulos isósceles. + +## 25 Dividindo pedras - Solução + +a) Sim, Pedrinho consegue! Basta fazer o seguinte processo: primeiro dividimos a pilha original em duas, uma com 3 e outra com 15. Depois, dividimos a pilha com 15 em uma com 3, e outra com 11, ficando com duas pilhas de 3 , e uma de 11. Continuando o processo, dividimos a de $11 \mathrm{em}$ uma de 3 e uma de 7. Por fim, dividimos a pilha de 7 em duas pilhas de 3 , terminando com 5 pilhas de 3 pedras. + +b) Vamos provar que Pedrinho não consegue. Suponha que ele tenha feito $n$ divisões de pilhas. Como em cada divisão ele começa retirando uma pedra, Pedrinho retirará $n$ pedras no total. Além disso, a cada divisão é acrescentada uma pilha (uma pilha é dividida em duas), temos ao final $n+1$ pilhas. Então, se cada uma destas pilhas tem 3 pedras, Pedrinho, ao final, vai ter no total $3(n+1)$ pedras. Logo, concluímos que $3(n+1)=1001-n$, ou seja, o número de pedras ao +final é igual ao número inicial de pedras, menos o número de pedras que foram retiradas. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +3 n+3 & =1001-n \\ +4 n & =998 +\end{aligned} +$$ + +Como 998 não é múltiplo de 4, não existe este valor $n$. Logo, Pedrinho não consegue dividir a pilha original em várias pilhas de três pedras. + +## 26 Escrevendo números em ordem crescente - Solução + +a) Começamos escrevendo os primeiros números da lista: + +12345, 12354, 12435, 12453, 12534, 12543, 13245, 13254, 13425, 13452. + +Logo, o décimo número é 13452. + +b) Para encontrar o número que ocupa a posição 85 , percebemos que sempre que um número de 5 dígitos começa com o dígito 1 , este número é menor do que um número de 5 dígitos que começa com o número 2 . Por sua vez, este número é menor do que um que começa com 3, e assim por diante. Então, contaremos quantos destes números começam com 1,2 etc. + +Se fixarmos o primeiro dígito, por exemplo 1 , vamos ter 4 escolhas para o segundo dígito, a saber, cada um dos números $2,3,4$ e 5 . Para o terceiro dígito vamos ter só 3 escolhas, não podemos escolher um dígito já usado antes, e assim sucessivamente. Teremos 2 escolhas para o quarto dígito e uma única escolha para o último dígito. Logo, temos $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ números de 5 dígitos que começam com 1 na lista de Pedrinho e, claramente, estes têm que ser os primeiros 24 números, pois começam com 1. + +Analogamente, também temos 24 números que começam com 2 (é exatamente a mesma conta, trocando 1 por 2), que têm que ser os 24 seguintes números da lista. E o mesmo vale para 3, 4 e 5. Concluímos então que os primeiros 24 números começam com 1, depois temos 24 que começam com 2, depois 24 que começam com 3. Logo, o número que fica na posição 73 é o primeiro número que começa com 4 , que é o número 41235 , enquanto que o número na posição 96 é o último número que começa com 4, ou seja, o número 45321. + +Concluímos então que o número na posição 85 é um número que começa com 4. O que faremos agora é repetir o processo acima para o segundo dígito. Usando o mesmo argumento acima, temos $3 \times 2 \times 1=6$ números que começam com 41 , e estes são claramente menores que os que começam com 42 (que também são 6). Como $72+6+6=84$, temos que o número que ocupa a posição 85 é o primeiro número que começa com 43, ou seja, é o número 43125. + +## 27 Quadrado em cima de quadrado - Solução + +a) Denote $\overline{E X}=x$. Temos que $|\overline{C X}|=33-18-x=15-x$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-54.jpg?height=999&width=727&top_left_y=471&top_left_x=752) + +Agora note que os triângulos $E X H$ e $C X B$ são semelhantes, logo: + +$$ +\frac{|\overline{E H}|}{|\overline{C B}|}=\frac{|\overline{E X}|}{|\overline{C X}|} \Rightarrow \frac{12}{33}=\frac{x}{15-x} +$$ + +Agora encontramos $x$ : + +$$ +\begin{aligned} +12(15-x) & =33 x \\ +4(15-x) & =11 x \\ +60-4 x & =11 x \\ +15 x & =60 \\ +x & =4 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $|\overline{E X}|=4$. + +b) Seja $Y$ a interseção da reta $A G$ com o segmento $D C$. Para provar que $A, X$ e $G$ são colineares, basta mostrar que $Y=X$. E para isso, vamos calcular $|\overline{E Y}|$, e depois ver que isso é igual a $|\overline{E X}|$. Denote $|\overline{E Y}|=y$. E, portanto, $|\overline{F Y}|=12-y$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-55.jpg?height=994&width=724&top_left_y=193&top_left_x=550) + +Analogamente ao caso anterior, vemos que os triângulos $F Y G$ e $D Y A$ são semelhantes. Portanto: + +$$ +\frac{|\overline{F G}|}{|\overline{D A}|}=\frac{|\overline{F Y}|}{|\overline{D Y}|} \quad \Rightarrow \frac{12}{33}=\frac{12-y}{18+y} +$$ + +Agora encontramos $y$ : + +$$ +\begin{array}{ccc} +12(18+y) & = & 33(12-y) \\ +4(18+y) & = & 11(12-y) \\ +72+4 y & = & 132-11 y \\ +15 y & = & 60 \\ +y & = & 4 . +\end{array} +$$ + +Portanto, $|\overline{E Y}|=|\overline{E X}|$. Logo, $X=Y$, e concluímos que os pontos $A, X$ e $G$ são colineares. + +## 28 Calculando médias - Solução + +Primeiro notamos que a média dos 8 números é simplesmente a soma deles dividida por 8. Como a média é um número inteiro, a soma tem que ser múltipla de 8. Agora, como estamos somando 8 números distintos entre 1 e 11, esta soma tem que ser no mínimo $1+2+\ldots+8=36$ e no máximo $4+5+\ldots+11=60$. $\mathrm{E}$ como tem que ser múltipla de 8 , as únicas somas possíveis são $40,48,56$. + +Vamos agora escrever a sequência como + +$$ +a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8} +$$ + +e dividir em casos. + +Caso 1) A soma é igual a 40: + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{8}=40 +$$ + +Vamos tentar reconstruir a sequência a partir dos últimos números. Sabemos que a soma dos 7 primeiros números tem que ser múltipla de 7 . Por outro lado, a soma dos 7 primeiros números é igual a 40 menos o último número, $a_{8}$ (lembre-se que 40 é a soma de todos os números). Ou seja, + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=40-a_{8} +$$ + +Agora, $40-a_{8}$ tem que ser múltiplo de 7 , e como $1 \leq a_{8} \leq 11$, vale que $29 \leq$ $40-a_{8} \leq 39$. Mas o único múltiplo de 7 entre 29 e 39 é 35 e, portanto, $a_{8}=5$ e + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=35 +$$ + +Agora repetimos o processo. A soma dos 6 primeiros números é $35-a_{7}$, e tem que ser múltipla de 6 . Como antes, temos que $24 \leq 35-a_{7} \leq 34$, e os múltiplos de 6 entre 24 e 34 são 24 e 30. Logo $a_{7}=5$ ou $a_{7}=11$. Mas como $a_{7}$ é diferente de $a_{8}$, temos que a única possibilidade é $a_{7}=11$. Portanto, + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{6}=24 +$$ + +Continuando, a soma dos 5 primeiros números é $24-a_{6}$, e tem que ser múltipla de 5. Como $1 \leq a_{6} \leq 10$ ( $a_{6}$ não pode ser 11 , pois $a_{7}=11$ ), temos que $14 \leq 24-a_{6} \leq 23$, e os múltiplos de 5 entre 14 e 23 são 15 e 20. Logo, $a_{6}=4$ ou $a_{6}=9$. + +Caso 1.1) Caso $a_{6}=4$, ficamos com + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=20 +$$ + +Então, a soma dos quatro primeiros números é $20-a_{5}$, e vale que $10 \leq 20-a_{5} \leq 19$. Como os únicos múltiplos de 4 entre 10 e 19 são 12 e 16, temos que $a_{5}=4$ ou $a_{5}=8$. Mas $a_{6}$ já é igual a 4 , então $a_{5}=8$, e + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=12 +$$ + +Portanto, + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}=12-a_{4} +$$ + +Agora notamos que $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ é no mínimo $1+2+3=6$. Logo, $a_{4}=6$ ou $a_{4}=3$ (lembrando que $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ tem que ser múltiplo de 3). + +Se $a_{4}=6$, então $a_{1}+a_{2}+a_{3}=6$. Logo, $a_{3}=2$, pois $6-a_{3}$ tem que ser par e $a_{3}$ não pode ser igual a $a_{6}=4$. E sobram 1 e 3 para os lugares de $a_{1}$ e $a_{2}$. Daí, temos as possíveis sequências: + +$$ +1,3,2,6,8,4,11,5 \quad \text { e } \quad 3,1,2,6,8,4,11,5 +$$ + +Se $a_{4}=3$, então $a_{1}+a_{2}+a_{3}=9$. Como $9-a_{3}$ tem que ser par, concluímos que $a_{3}$ tem que ser ímpar e diferente de todos os ímpares já usados na sequência (que são 3,5 e 11). Logo, $a_{3}=1$ ou $a_{3}=7$, mas se $a_{3}=7$, então $a_{1}+a_{2}=2$, o que não dá pra acontecer. Assim, $a_{3}=1$ e $a_{1}+a_{2}=8$. Agora o único par de números distintos que soma 8 que podemos ter é 2 e 6 , pois 1 e 3 já foram usados. Logo, temos as possíveis sequências + +$$ +2,6,1,3,8,4,11,5 \quad \text { e } \quad 6,2,1,3,8,4,11,5 +$$ + +Caso 1.2) Se $a_{6}=9$, então + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=15 +$$ + +Por outro lado, o número $5=a_{8}$ já foi usado. Então, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ é no mínimo $1+2+3+4+6=16$, logo $a_{6}$ não pode ser 9 . + +Caso 2) A soma é igual a 48. + +Como no caso 1, vemos que a soma dos sete primeiros números é $48-a_{8}$. Como $37 \leq 48-a_{8} \leq 47$, temos que $a_{8}=6$ (o único múltiplo de 7 entre 37 e 47 é $o$ 42). Logo, + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=42 +$$ + +Continuando, a soma dos 6 primeiros números é $42-a_{7}$, e temos que $31 \leq 42-a_{7} \leq$ 41. O único múltiplo de 6 entre 31 e 41 é $o 36$, $\log$ o $a_{7}=6$, o que não pode acontecer, por $a_{8}=6$. Então não existe nenhuma sequência com soma 48 . + +Caso 3) A soma é igual a 56. + +Como nos casos anteriores, a soma dos sete primeiros números é $56-a_{8}$. Como $45 \leq 56-a_{8} \leq 55$, temos que $a_{8}=7$ (o único múltiplo de 7 entre 45 e 55 é o 49). Logo, + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=49 +$$ + +Continuando, a soma dos seis primeiros números é $49-a_{7}$. Daí, temos que $38 \leq 49-a_{7} \leq 48$, e os únicos múltiplos de 6 entre 38 e 48 são 42 e 48 . Como $a_{7}$ não pode ser igual a $a_{8}=7$, temos que $a_{7}=1 \mathrm{e}$ + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{6}=48 +$$ + +Portanto, a soma dos cinco primeiros números é $48-a_{6}$. Logo, $a_{6}=3$ ou $a_{6}=8$ (os únicos múltiplos de 5 entre 37 e 46 são 40 e 45). + +Caso 3.1) Caso $a_{6}=3$, então + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=45 +$$ + +Mas como $7=a_{8}$, a maior soma possível destes 5 números é $6+8+9+10+11=44$, logo $a_{6}$ não pode ser 3 . + +Caso 3.2) Caso $a_{6}=8$, então + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=40 +$$ + +Continuando com o processo anterior, vemos que a soma dos quatro primeiros números é $40-a_{5}$ e os únicos múltiplos de 4 entre 29 e 38 são 32, 36. Como $a_{5}$ não pode ser igual $8=a_{6}$, então $a_{5}=4$. Portanto, + +$$ +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=36 +$$ + +Logo, $36-a_{4}$ é múltiplo de 3 e, portanto, $a_{4}$ pode ser igual a 3,6 e 9. Mas como a soma $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ é no máximo $9+10+11=30$, temos que $a_{4}$ não pode ser 3 . Logo se $a_{4}=6$, então $a_{1}+a_{2}+a_{3}=30$. Portanto, $a_{1}, a_{2}$ e $a_{3}$ têm que ser os números 9 , 10 e 11 em alguma ordem. Como $a_{1}+a_{2}=30-a_{3}$, $a_{3}$ tem que ser par, temos que $a_{3}=10$. Logo, temos as sequências + +$$ +9,11,10,6,4,8,1,7 \quad \text { e } \quad 11,9,10,6,4,8,1,7 +$$ + +Agora, se $a_{4}=9$, então $a_{1}+a_{2}+a_{3}=27$, e como 7,8 e 9 já foram usados, $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ é no máximo $6+10+11=27$. Portanto, $a_{1}, a_{2}$ e $a_{3}$ têm que ser os números $6,10 \mathrm{e}$ 11 em alguma ordem. Como $30-a_{3}$ tem que ser par, então $a_{3}=11$. Logo, temos as sequências + +$$ +10,6,11,9,4,8,1,7 \quad \text { e } \quad 6,10,11,9,4,8,1,7 +$$ + +Concluindo, todas as sequências possíveis escritas por Pedrinho são + +$$ +\begin{array}{rll} +1,3,2,6,8,4,11,5 ; & 3,1,2,6,8,4,11,5 ; & 2,6,1,3,8,4,11,5 \\ +6,2,1,3,8,4,11,5 ; & 9,11,10,6,4,8,1,7 ; & 11,9,10,6,4,8,1,7 \\ +10,6,11,9,4,8,1,7 ; & 6,10,11,9,4,8,1,7 +\end{array} +$$ + +## 29 Pizza para quantos? - Solução + +Sejam $x$ e $y$ o número de rapazes e moças, respectivamente. Sabemos que o número total de pedaços consumidos foi no mínimo 49 (4 pizzas e um pedaço da última pizza) e no máximo 59 (4 pizzas mais 11 pedaços, lembre que sobrou pelo menos um pedaço da última pizza). Por outro lado, + +$$ +\begin{aligned} +& 7 x+3 y \leq 59 \\ +& 6 x+2 y \geq 49 +\end{aligned} +$$ + +Multiplicando a última equação por -1 , temos que trocar a desigualdade, ficando com + +$$ +\begin{aligned} +7 x+3 y & \leq 59 \\ +-6 x-2 y & \leq-49 +\end{aligned} +$$ + +E somando as duas desigualdades, chegamos a + +$$ +x+y \leq 10 +$$ + +Substituindo na segunda desigualdade, ficamos com + +$$ +4 x+10+10 \geq 4 x+(x+y)+(x+y)=6 x+2 y \geq 49 +$$ + +Logo, $4 x \geq 29$, e portanto $x \geq 8$. Por outro lado, da primeira equação temos que + +$$ +7 x \leq 7 x+3 y \leq 59 +$$ + +Daí, $7 x \leq 59$, que implica $x \leq 8$. Portanto, $x=8$ e, substituindo, ficamos com + +$$ +3 y \leq 3 \quad \text { e } \quad 2 y \geq 1 +$$ + +Isso nos dá, $y=1$. Portanto, foram 8 rapazes e 1 moça à pizzaria. + +## 30 Montando quadrados - Solução + +Cada peça tem área $\frac{1 \times 2}{2} \mathrm{~cm}^{2}=1 \mathrm{~cm}^{2}$. Logo, se usarmos 20 das peças, teremos um quadrado de área $20 \mathrm{~cm}^{2}$. Portanto, seu lado mede $\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$. Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vale que a hipotenusa de cada triângulo retângulo mede $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} \mathrm{~cm}$. Daqui, vemos que para construir esse quadrado, vamos ter que usar as hipotenusas para formar os lados do quadrado. Uma possível solução é a seguinte: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_463eeeabc25d438954b1g-59.jpg?height=1234&width=1248&top_left_y=1244&top_left_x=293) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2014_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2014_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8479fa95a5a0661a6f164ad18e5c4a24bd7d5d5f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2014_N3.md @@ -0,0 +1,1432 @@ +# NÍVEL 3 - ENUNCIADOS + +## 1 Minhoca rápida + +a) Uma minhoca anda sempre sobre uma linha reta. Todos os dias, ela avança 5 $\mathrm{m}$ e recua $3 \mathrm{~m}$. Ao final de 15 dias, a minhoca estará a que distância do ponto de partida? + +b) Ao final destes 15 dias, quantos metros terá caminhado, no total, esta minhoca? + +c) Uma outra minhoca anda também sobre uma linha reta, porém de maneira diferente da primeira. No primeiro dia, ela anda $1 \mathrm{~m}$ para a frente e $1 / 2 \mathrm{~m}$ para trás. No segundo dia, ela anda $1 / 2 \mathrm{~m}$ para a frente e $1 / 3 \mathrm{~m}$ para trás. No terceiro dia, ela anda $1 / 3 \mathrm{~m}$ para a frente e $1 / 4 \mathrm{~m}$ para trás, e assim sucessivamente. Quantos metros ela terá andado após 1000 dias? + +d) Algum dia esta segunda minhoca conseguirá estar a $2 \mathrm{~m}$ de distância do ponto inicial? + +## 2 Trocando posições + +No tabuleiro abaixo, é permitido mover qualquer objeto de seu quadrado para qualquer quadrado adjacente vazio acima, abaixo, ao lado ou em diagonal. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-02.jpg?height=319&width=476&top_left_y=512&top_left_x=671) + +a) Mostre como trocar a posição de todos os chapéus com todos os troféus em apenas cinco movimentos. Argumente porque não é possível trocá-los de posição com menos de cinco movimentos. + +b) Neste outro tabuleiro mostrado abaixo, qual o mínimo de movimentos para trocar os chapéus de posição com os troféus? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-02.jpg?height=320&width=634&top_left_y=1204&top_left_x=590) + +c) E se fosse um tabuleiro parecido com os anteriores, porém com 1000 chapéus e 1000 troféus, qual seria o mínimo de movimentos para trocá-los de posição? +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-02.jpg?height=320&width=1312&top_left_y=1725&top_left_x=252) + +## 3 Corte na medida + +Diogo recortou uma cruz de cartolina como mostrado abaixo. Nesta cruz, todos os lados têm comprimento igual a $1 \mathrm{~cm}$, e todos os ângulos são retos. Fernanda desafiou Diogo a fazer dois cortes em linha reta nesta cruz, de modo a formar quatro peças que possam ser reencaixadas de modo a formar um quadrado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-03.jpg?height=481&width=479&top_left_y=603&top_left_x=860) + +a) Qual será a área do quadrado obtido? + +b) Qual será o lado do quadrado obtido? + +c) Mostre como Diogo pode fazer estes dois cortes em linha reta de modo a poder formar o quadrado com as quatro peças obtidas pelo corte! + +## 4 Par ou ímpar maluco + +Artur e Dinah vão disputar o jogo do par ou ímpar maluco. Dinah escolhe "par" e Artur escolhe "ímpar". Em seguida, cada um escreve um número inteiro positivo em uma folha de papel sem que o outro a veja. Emílio recolhe as duas folhas, multiplica os números e declara Dinah vencedora se o resultado for par e Artur vencedor se for ímpar. + +a) Como deve fazer Dinah para que ela sempre ganhe o jogo? + +Emílio sugere uma modificação na disputa. Primeiramente ele pede que Artur e Dinah escrevam apenas números que não sejam divisíveis por três. Ele recolhe as folhas, multiplica os dois números, divide o resultado por três e declara Dinah vencedora se o resto da divisão for igual a 1 e Artur vencedor se esse resto for igual a 2. + +b) Mostre que Dinah não pode mais ter uma estratégia vencedora. + +c) Mostre que Artur e Dinah têm a mesma probabilidade de ganhar. + +## 5 Jogo do tira + +Diogo e Helen jogam o Jogo do Tira, que consiste no seguinte. Dado um quadriculado de quadrados $1 \times 1$, cada jogador, em sua vez, tem o direito de escolher um quadrado e então retirar do quadriculado todos os quadrados abaixo dele, todos os quadrados à esquerda dele, e todos os outros que estejam abaixo e à esquerda dele. Por exemplo, dado o quadriculado abaixo, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-04.jpg?height=270&width=335&top_left_y=658&top_left_x=742) + +o jogador que tem a vez pode selecionar o quadrado abaixo marcado em cinza, deixando para seu adversário os quadrados mostrados. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-04.jpg?height=270&width=788&top_left_y=1121&top_left_x=508) + +Perde quem tira o último quadrado. + +a) Dado o quadriculado abaixo, Helen começa jogando. Mostre uma estratégia para que ela ganhe a partida, independente da estratégia de Diogo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-04.jpg?height=135&width=135&top_left_y=1656&top_left_x=839) + +b) Dado o quadriculado abaixo, Helen começa jogando. Mostre uma estratégia para que ela ganhe a partida, independente da estratégia de Diogo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-04.jpg?height=204&width=209&top_left_y=1989&top_left_x=802) + +## 6 Cortando a corda + +Augusto tem um arame com $10 \mathrm{~m}$ de comprimento. Ele realiza um corte em um ponto do arame obtendo assim dois arames. Um com comprimento $x$ e outro com comprimento $10-x$ como mostra a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-05.jpg?height=645&width=1166&top_left_y=568&top_left_x=527) + +Augusto usa os dois pedaços do arame para fazer dois quadrados. + +a) Qual é o comprimento do lado de cada um dos quadrados? Qual é a área de cada um? + +b) Qual é o valor do comprimento de cada um dos dois pedaços do arame para que a soma das áreas dos quadrados obtidos seja mínima? + +c) Suponha que Augusto corte o arame em dez pedaços e use cada um deles para fazer um quadrado. Qual deve ser o tamanho de cada um dos pedaços para que a soma das áreas dos quadrados obtidos seja mínima? + +## 7 Calculadora de Cincolândia + +a) Uma calculadora do país de Cincolândia tem apenas os algarismos de 0 a 9 e dois botões $\square \mathrm{e} \triangle$. O botão $\square$ eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora. O botão $\triangle$ subtrai 5 do número que está no visor da calculadora. Mônica digita o número 7 e depois aperta $\square \mathrm{e}$, em seguida, aperta o botão $\triangle$. Qual o resultado mostrado pela calculadora? + +b) Mostre que se um número natural $x$ deixa resto 4 quando dividido por 5 , então o número $x^{2}$ deixa resto 1 quando dividido por 5 . + +c) Na calculadora de Cincolândia, é possível digitar o número 9 e depois chegar ao resultado 7 apertando os botões $\square$ ou $\triangle$ de maneira adequada? + +## 8 Algum dia ele ganha? + +A partir de hoje, o grande apostador Carlo Pietro decidiu frequentar cassinos diariamente. No primeiro dia, ele apostará em um jogo cuja probabilidade de ganhar é igual a $\frac{1}{2}$. Nos segundo, terceiro e quarto dias, ele apostará em jogos diferentes cujas probabilidades de vitória são, respectivamente, iguais a $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ e assim por diante nos dias que se seguirem. + +a) Qual é a probabilidade de que ele não tenha ganhado até o terceiro dia? + +b) Qual é a probabilidade de que ele não tenha ganhado até o quinto dia? + +c) Qual é a probabilidade de que ele não tenha ganhado até o $2013^{\underline{0}}$ dia? + +## 9 Área máxima + +O quadrado $A B C D$ desenhado na figura abaixo tem lado $3 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-06.jpg?height=304&width=325&top_left_y=1138&top_left_x=742) + +Os pontos $P$ e $Q$ podem ser deslocados sobre os segmentos $A B$ e $A D$ respectivamente de forma que o comprimento do segmento $A P$ meça a metade do comprimento do segmento $A Q$. + +a) Determine o valor da área do quadrilátero hachurado em função do comprimento do segmento $A B$. + +b) Determine a área máxima que o quadrilátero hachurado pode assumir. + +## 10 Uns e mais uns + +Calcule a soma + +$$ +1+11+111+1111+\cdots+\underbrace{1111 \ldots 11}_{n \text { uns }} +$$ + +## 11 Apertos de mão + +Num grupo de 20 pessoas, algumas pessoas trocam apertos de mão. + +a) Contamos quantos apertos de mão cada pessoa deu e somamos todos esses números. Mostre que o resultado é par. + +b) É possível que num grupo de 99 pessoas cada pessoa tenha dado exatamente 3 apertos de mão? + +## 12 Círculo sobre círculo + +Em uma folha de papel, Emanuelle desenha duas circunferências de raio 1 que se tangenciam em um ponto. Em seguida, ela desenha uma terceira circunferência de raio $1-\sqrt{2}$ que tangencia as duas anteriores externamente, conforme a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-07.jpg?height=452&width=727&top_left_y=1112&top_left_x=736) + +Emanuelle calcula a área da região limitada e exterior às três circunferências que é mostrada em cinza na figura acima. Qual o valor por ela encontrado? + +## 13 O treinamento de Julian + +Julian treina em uma pista de $3 \mathrm{~km}$. Ele percorre o primeiro quilômetro caminhando, o segundo correndo, e o terceiro em bicicleta. Se ele tivesse percorrido toda a pista em bicicleta, haveria demorado 10 minutos a menos. Julian corre ao dobro da velocidade com que caminha, e vai em bicicleta ao triplo da velocidade com que caminha. Quanto tempo Julian leva para correr $1 \mathrm{~km}$ ? + +## 14 Peões rebeldes + +No seguinte tabuleiro $4 \times 4$ devem ser colocados 4 torres, 4 cavalos, 4 bispos e 4 peões de modo que em cada linha e em cada coluna as peças colocadas sejam distintas, como no exemplo: + +| $B$ | $T$ | $P$ | $C$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $P$ | $B$ | $C$ | $T$ | +| $T$ | $C$ | $B$ | $P$ | +| $C$ | $P$ | $T$ | $B$ | + +Os peões são rebeldes e decidiram ficar nas seguintes posições: + +| | | $P$ | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $P$ | | | | +| | | | $P$ | +| | $P$ | | | + +Calcule o número de modos em que as outras peças podem ser colocadas. + +## 15 Ângulos no quadrado + +A seguinte figura mostra um quadrado $A B C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-08.jpg?height=378&width=409&top_left_y=1685&top_left_x=697) + +Se $\measuredangle A M B=60^{\circ}$ e $\measuredangle D M N=60^{\circ}$ calcule $\measuredangle M B N$. + +## 16 Carla escreve, Diana apaga + +Carla escreveu no quadro-negro os números inteiros de 1 até 21. Diana deseja apagar alguns deles de tal modo que ao multiplicar os números restantes o resultado seja um quadrado perfeito. + +a) Mostre que Diana deve apagar necessariamente os números 11, 13, 17 e 19 para conseguir seu objetivo. + +b) Qual a menor quantidade de números que Diana deve apagar para atingir o seu objetivo? + +## 17 Papai Noel + +Papai Noel chegou à casa de Arnaldo e Bernaldo carregando dez brinquedos distintos e enumerados de 1 a 10 e disse a eles: "o brinquedo número 1 é para você, Arnaldo e o brinquedo número 2 é para você, Bernaldo. Mas esse ano, vocês podem escolher ficar com mais brinquedos contanto que deixem ao menos um para mim". Diga de quantos modos Arnaldo e Bernaldo podem dividir entre eles o restante dos brinquedos. + +## 18 Hexágono equiângulo + +No hexágono da seguinte figura, a medida de todos os ângulos internos é $\alpha$, por isso ele é chamado de equiângulo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-09.jpg?height=453&width=703&top_left_y=1661&top_left_x=756) + +Sabe-se que os comprimentos dos segmentos $A B, B C, C D$ e $D E$ têm as medidas $|A B|=4,|B C|=5,|C D|=2,|D E|=3$. + +a) Calcule o valor de $\alpha$. + +b) Calcule $|E F|$ e $|F A|$. + +c) Calcule a área do hexágono. + +## 19 A lei pirata + +A lei pirata estabelece que, para dividir as moedas de um tesouro, o capitão deve escolher um grupo de piratas (excluindo a si mesmo). Em seguida, o capitão deve distribuir a mesma quantidade de moedas a cada um dos piratas desse grupo, de tal modo que não seja possível dar a cada um deles nenhuma outra das moedas que restaram (respeitando o fato de que cada pirata recebe a mesma quantidade). As moedas restantes são então dadas ao capitão. No navio do capitão Barbaroxa há 100 piratas (sem incluir o capitão). Barbaroxa deve dividir um tesouro que contém menos de 1000 moedas. Se ele escolher 99 piratas, ele ficará com 51 moedas, mas se escolher 77 piratas, ele ficará com 29 moedas. + +a) Quantas moedas contém o tesouro? + +b) Quantos piratas deve escolher Barbaroxa para ficar com a maior quantidade possível de moedas? + +## 20 Triângulos equiláteros no cubo + +A seguinte figura mostra um cubo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-10.jpg?height=470&width=479&top_left_y=1314&top_left_x=670) + +Calcule o número de triângulos equiláteros que podem ser formados de modo que seus três vértices sejam vértices do cubo. + +## 21 Quadrados vizinhos + +Na seguinte figura, $A B E F$ e $E B C D$ são quadrados. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-11.jpg?height=465&width=832&top_left_y=460&top_left_x=689) + +Se $\measuredangle M D E=15^{\circ}$ e $|A F|=4$, calcule $|M D|$. + +Observação: $|M D|$ é o comprimento do segmento $M D$. + +## 22 O engano de Raul + +Sejam $a$ e $b$ números inteiros positivos tais que $a>b$. O professor Fernando disse ao aluno Raul que se ele calculasse o número $A=a^{2}+4 b+1$, o resultado seria um quadrado perfeito. Raul, por engano, trocou os números $a$ e $b$ e calculou o número $B=b^{2}+4 a+1$ que, por acaso, também é um quadrado perfeito. + +a) Mostre que $A=(a+1)^{2}$. + +b) Encontre os números $a, b, A$ e $B$. + +## 23 A diagonal do quadriculado + +No seguinte papel, foi desenhado um quadriculado de $4 \times 6$ e depois traçada a diagonal de $A$ a $B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-12.jpg?height=582&width=889&top_left_y=502&top_left_x=465) + +Observe que a diagonal $A B$ intersecta o quadriculado em 9 pontos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-12.jpg?height=574&width=862&top_left_y=1209&top_left_x=478) + +Se o quadriculado fosse de tamanho $12 \times 17$, em quantos pontos a diagonal $A B$ intersectaria o quadriculado? + +## 24 Dobrando o quadrado + +A seguinte figura mostra um quadrado $A B C D$, e dois pontos $P$ e $Q$ sobre os lados $\overline{B C}$ e $\overline{D A}$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-13.jpg?height=462&width=479&top_left_y=504&top_left_x=860) + +Dobramos agora o quadrado ao longo do segmento $\overline{P Q}$, levando o vértice $B$ até $o$ ponto médio do segmento $\overline{C D}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-13.jpg?height=500&width=492&top_left_y=1151&top_left_x=862) + +Sabe-se que o lado do quadrado mede 24. + +a) Calcule o comprimento do segmento $\overline{P C}$. + +b) Calcule o comprimento do segmento $\overline{A Q}$. + +c) Calcule o comprimento do segmento $\overline{P Q}$. + +## 25 Somando Cubos + +Joãozinho começou a somar os primeiros cubos e reparou algo curioso: + +$$ +1^{3}+2^{3}=1+8=9=(1+2)^{2} +$$ + +O mesmo vale se somarmos até 3 : + +$$ +1^{3}+2^{3}+3^{3}=1+8+27=36=(1+2+3)^{2} +$$ + +Ou mesmo até 4: + +$$ +1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=1+8+27+64=100=(1+2+3+4)^{2} +$$ + +Surpreso com isso, Joãozinho foi perguntar ao seu professor de matemática se isso sempre aconteceria. O professor então deu a Joãozinho os seguintes passos para mostrar esse fato: + +Seja + +$$ +S_{n}=1+2+3+\ldots+n +$$ + +a soma dos $n$ primeiros números, + +$$ +Q_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} +$$ + +a soma dos $n$ primeiros quadrados e + +$$ +C_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3} +$$ + +a soma dos $n$ primeiros cubos. + +a) Calcule a diferença $(n+1)^{2}-n^{2}$. Agora calcule a soma + +$$ +\left(2^{2}-1^{2}\right)+\left(3^{2}-2^{2}\right)+\left(4^{2}-3^{2}\right)+\ldots+\left((n+1)^{2}-n^{2}\right) +$$ + +e conclua que $2 S_{n}+n=(n+1)^{2}-1$. Ache uma fórmula para $S_{n}$. + +b) Calcule $(n+1)^{3}-n^{3}$. Conclua que $3 Q_{n}+3 S_{n}+n=(n+1)^{3}-1$, e ache uma fórmula para $Q_{n}$. + +c) Calcule $(n+1)^{4}-n^{4}$. Conclua que $4 C_{n}+6 Q_{n}+4 S_{n}+n=(n+1)^{4}-1$, e ache uma fórmula para $C_{n}$. Conclua que $C_{n}=S_{n}^{2}$ para todo natural $n$. + +## 26 Contando tabuleiros + +Seja $a_{n}$ o número de maneiras de preencher um tabuleiro $n \times n$ com os algarismos 0 e 1 , de modo que a soma em cada linha e em cada coluna seja a mesma. Por exemplo, os tabuleiros $2 \times 2$ que satisfazem essa regra são: + +| 0 | 0 | +| :--- | :--- | +| 0 | 0 | + + +| 1 | 0 | +| :--- | :--- | +| 0 | 1 | + + +| 0 | 1 | +| :--- | :--- | +| 1 | 0 | + + +| 1 | 1 | +| :--- | :--- | +| 1 | 1 | + +Logo, $a_{2}=4$. Calcule os valores de $a_{3}$ e $a_{4}$. + +## 27 Distância até o incentro + +Seja $A B C$ um triângulo inscrito na circunferência abaixo. Sejam também $I$ o incentro do triângulo $A B C$ e $D$ o ponto onde a reta $A I$ corta a circunferência. Mostre que $|\overline{D B}|=|\overline{D C}|=|\overline{D I}|$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-15.jpg?height=677&width=645&top_left_y=555&top_left_x=780) + +## 28 Produto igual à soma + +Pedrinho escreveu dois números inteiros e positivos num pedaço de papel e mostrou para Joãozinho. Depois disso, Pedrinho calculou o dobro do produto destes dois números. Joãozinho somou 21 com o dobro do primeiro número e depois o resultado com o segundo número. Para surpresa dos dois, o resultado foi o mesmo. Quais são os possíveis números que Pedrinho escreveu no pedaço de papel? + +## 29 Colorindo palitos + +Pedrinho está brincando de fazer arranjos com palitos. Ele dispõe seus palitos formando triângulos equiláteros, como mostra a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-16.jpg?height=550&width=632&top_left_y=502&top_left_x=593) + +Pedrinho quer pintar cada palito de seu arranjo de tal forma que cada triângulo tenha seus lados pintados de exatamente duas cores diferentes. Para isso, ele dispõe de tintas vermelha, azul e preta. De quantos modos ele pode pintar o arranjo? + +## 30 Triângulos equiláteros + +Seja $A B C D$ um paralelogramo, e $A B F$ e $A D E$ triângulos equiláteros construídos exteriormente ao paralelogramo. Prove que $F C E$ também é equilátero. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-16.jpg?height=638&width=698&top_left_y=1669&top_left_x=571) + +## NÍVEL 3 - SOLUÇÕES + +## 1 Minhoca rápida - Solução + +a) A cada dia, a minhoca avança 5 metros e recua 3 metros. Portanto, no final do dia a minhoca avança $5-3=2$ metros. Depois de 15 dias, a minhoca estará a $15 \times 2=30$ metros do ponto de partida. + +b) A cada dia, a minhoca anda $5+3=8$ metros. Portanto, após estes 15 dias, a minhoca terá andado $8 \times 15=120$ metros. + +c) Esta minhoca anda da seguinte maneira: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-17.jpg?height=394&width=992&top_left_y=1472&top_left_x=605) + +Portanto, após 1000 dias, a minhoca estará a $1-\frac{1}{1001}=\frac{1000}{1001}$ metros da posição inicial. + +d) Como no $n$-ésimo dia a minhoca está a uma distância de $1-\frac{1}{n+1}$ metros da posição inicial, ela nunca estará a 2 metros da posição inicial, pois, para qualquer número natural $n$, temos: + +$$ +1-\frac{1}{n+1}<1<2 +$$ + +## 2 Trocando posições -Soluç̃o + +a) Abaixo, mostramos uma sequência de cinco movimentos para trocar os chapéus com os troféus (há outra!). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-18.jpg?height=571&width=1285&top_left_y=452&top_left_x=264) + +O argumento para mostrar que não é possível trocá-los com menos do que 5 movimentos é o seguinte: no primeiro movimento, precisamos mover um troféu ou um chapéu para a casa vazia acima à direita. Após este movimento, todos os objetos estarão fora de suas casas de destino. Como são quatro objetos, serão necessários pelo menos quatro movimentos para colocá-los em seus lugares. Como já foi feito um movimento, teremos $1+4=5$ movimentos no mínimo para trocar os chapéus com os troféus. + +b) Abaixo mostramos uma sequência de sete movimentos para trocar os chapéus de lugar com os troféus: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-18.jpg?height=764&width=1450&top_left_y=1572&top_left_x=184) + +O mesmo argumento de antes se aplica para concluírmos que sete é o mínimo de movimentos para trocar os chapéus de lugar com os troféus. No primeiro +movimento, temos de mover um chapéu ou um troféu para a casa vazia. Neste momento, todos os seis objetos estarão fora de seus lugares de destino. Portanto, para colocá-los em suas posições serão necessários pelo menos seis movimentos. Daí, teremos $6+1=7$ movimentos no mínimo. + +c) Se repetirmos o padrão descrito acima, conseguiremos trocar os chapéus e troféus com 2001 movimentos! A ideia é a seguinte. Começamos com a configuração + +| $a$ | $a$ | a | a | a | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $a$ | $a$ | $a$ | $a$ | $a$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-19.jpg?height=222&width=761&top_left_y=674&top_left_x=1015) + +Em seguida, por meio de 2 movimentos, atingimos a configuração + +| a | a | a | a | a | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| a | d | a | d | a | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-19.jpg?height=219&width=764&top_left_y=1059&top_left_x=1014) + +E com mais dois movimentos, atingimos a configuração + +| a | a | a | a | a | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $a$ | $a$ | $a$ | 9 | 0 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-19.jpg?height=228&width=769&top_left_y=1435&top_left_x=1011) + +Portanto, depois de 1000 movimentos atingimos a configuração + +| a | a | a | a | a | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | $a$ | a | a | a | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-19.jpg?height=225&width=764&top_left_y=1817&top_left_x=1014) + +Agora vamos voltando com a casa vazia! Com mais dois movimentos (depois desses 1000 movimentos), obtemos a configuração + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-19.jpg?height=227&width=539&top_left_y=2242&top_left_x=436) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-19.jpg?height=224&width=767&top_left_y=2246&top_left_x=1012) + +Com mais dois movimentos, obtemos a configuração + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-20.jpg?height=238&width=1356&top_left_y=336&top_left_x=231) + +Portanto, depois de 2000 movimentos (contando aqueles 1000 anteriores), obtemos a configuração + +| | $a$ | $a$ | $a$ | $a$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | a | a | 0 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-20.jpg?height=232&width=766&top_left_y=767&top_left_x=817) + +E com mais um movimento, concluímos! Logo, fizemos 2001 movimentos. O argumento para mostrar que não é possível fazer a troca com menos do que isso é o mesmo dos anteriores. + +## 3 Corte na medida - Solução + +a) A área do quadrado obtido deve ser a mesma da cruz de cartolina. Como a cruz de cartolina pode ser dividida em cinco quadrados de lados iguais a um, sua área será igual a $5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Para que a área do quadrado obtido seja igual a $5 \mathrm{~cm}^{2}$, é necessário que seu lado seja igual a $\sqrt{5} \mathrm{~cm}$. + +c) Os dois cortes que devem ser feitos são: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-20.jpg?height=490&width=1360&top_left_y=1750&top_left_x=227) + +## 4 Par ou ímpar maluco - Solução + +a) Temos que o produto de número par por um número ímpar é sempre par! Portanto, se Dinah pedir par e escrever no papel um número par, ela certamente ganhará. + +b) Dinah escolhe um número natural, digamos $3 q_{1}+r_{1}$, onde $q_{1}$ e $r_{1}$ são naturais e $r_{1}$ é o resto na divisão desse número por três. Ou seja, $r_{1}$ pode ser 1 ou 2 (não pode ser zero pela regra do jogo). O mesmo para Artur, ou seja, ele escolhe um número natural da forma $3 q_{2}+r_{2}$, onde $r_{2}$ pode ser 1 ou 2 . O produto desses dois números será: + +$$ +\left(3 q_{1}+r_{1}\right)\left(3 q_{2}+r_{2}\right)=3\left(3 q_{1} q_{2}+q_{1} r_{2}+q_{2} r_{1}\right)+r_{1} r_{2} +$$ + +Ou seja, quando dividimos o resultado por três, o resto na divisão por 3 será igual ao resto que obtemos quando dividimos $r_{1} r_{2}$ por 3 . Temos os casos: + +| $r_{1}$ | $r_{2}$ | Resto na divisão por 3 do resultado | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | 1 | 1 | +| 1 | 2 | 2 | +| 2 | 1 | 2 | +| 2 | 2 | 1 | + +Logo, Dinah não tem estratégia vencedora. Para qualquer número que Dinah escolha, Artur tem uma opção que o torna vencedor. + +c) Como são quatro casos (veja a tabela no item anterior) e Dinah ganha em dois casos e Artur ganha em dois casos, concluímos que os dois têm a mesma probabilidade de ganhar. + +## 5 Jogo do tira - Solução + +a) Helen começa tirando o quadrado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-21.jpg?height=288&width=790&top_left_y=1749&top_left_x=710) + +Diogo tem duas opções agora: se tira o quadrado abaixo, então Helen tira o quadrado seguinte e ganha a partida, pois Diogo terá que tirar o último quadrado. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-21.jpg?height=278&width=972&top_left_y=2202&top_left_x=612) + +E se Diogo tira o quadrado a seguir, então Helen tira o quadrado seguinte e também ganha. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-22.jpg?height=278&width=1153&top_left_y=374&top_left_x=330) + +b) Vamos descrever as configurações que fazem perder o jogador que as tem (em sua vez de jogar), o que também nos mostrará qual é a estratégia vencedora. Vejamos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-22.jpg?height=1628&width=1155&top_left_y=865&top_left_x=329) + +## 6 Cortando a corda - Solução + +Nessa questão todos os comprimentos são dados em metros e as áreas em metros quadrados. + +a) Um pedaço de corda tem comprimento $x$ e outro pedaço de corda tem comprimento $10-x$. Como um quadrado tem quatro lados de tamanhos iguais, um quadrado terá lado de comprimento igual a $\frac{x}{4}$ e outro quadrado terá lado de comprimento igual a $\frac{10-x}{4}$. + +A área de um quadrado de lado $\ell$ é igual a $\ell^{2}$. Portanto, um quadrado terá área igual a $\left(\frac{x}{4}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{16}$ enquanto o outro quadrado terá área igual a $\left(\frac{10-x}{4}\right)^{2}=$ $\frac{100-20 x+x^{2}}{16}$. + +b) Seja $S(x)$ a soma das áreas dos dois quadrados. Pelo item anterior, temos que + +$$ +S(x)=\frac{x^{2}}{16}+\frac{100-20 x+x^{2}}{16}=\frac{100-20 x+2 x^{2}}{16}=\frac{1}{8} x^{2}-\frac{5}{4} x+\frac{25}{4} +$$ + +é uma função do segundo grau. O mínimo de uma função do tipo + +$$ +f(x)=a x^{2}+b x+c +$$ + +com $a>0$ é atingido em $x=\frac{-b}{2 a}$. Assim, a área mínima será atingida se + +$$ +x=-\frac{\left(-\frac{5}{4}\right)}{2 \frac{1}{8}}=5 +$$ + +Ou seja, se a corda for cortada exatamente no meio! + +c) Pelo item anterior, sabemos que para minimizar a soma das áreas é necessário cortar exatamente no meio. Bem, afirmamos que para minimizar a área com nove cortes (ou seja, criando dez quadrados) é necessário que os pedaços de corda sejam todos iguais. Para mostrar isso, vejamos o seguinte argumento: se dois dos dez pedaços de corda fossem diferentes, seria possível diminuir a área cortando os pedaços de corda de modo que esses dois fossem iguais (estamos usando o item anterior). Portanto, dois pedaços de corda quaisquer devem ser iguais. Logo, todos devem ser iguais! + +## 7 Calculadora de Cincolândia - Solução + +a) Mônica começa digitando o número 7. Daí, + +$$ +7 \xrightarrow{\square} 7^{2}=49 \xrightarrow{\triangle} 49-5=44 . +$$ + +Logo, o resultado final que aparece na calculadora é o número 44. + +b) Se um número natural $x$ deixa resto 4 quando dividido por 5 , isso quer dizer que $x$ é da forma + +$$ +x=5 q+4 +$$ + +onde $q$ é um número natural. Elevando ao quadrado, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +x^{2} & =(5 q+4)^{2} \\ +& =25 q^{2}+2 \cdot 5 q \cdot 4+4^{2} \\ +& =5\left(5 q^{2}+8 q\right)+16 \\ +& =5\left(5 q^{2}+8 q\right)+15+1 \\ +& =5\left(5 q^{2}+8 q+3\right)+1 +\end{aligned} +$$ + +o que quer dizer que $x^{2}$ deixa resto 1 na divisão por 5 . + +c) O número 9 deixa resto 4 na divisão por 5 , pois $9=5 \cdot 1+4$. O número 7 deixa resto 2 na divisão por 5 , pois $7=5 \cdot 1+2$. + +Observe que se um número deixa resto 1 na divisão por 5 , o seu quadrado também deixa resto 1 na divisão por 5 . De fato, seja $x$ um número que deixa resto 1 na divisão por 5. Daí, $x=5 q+1$. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +x^{2} & =(5 q+1)^{2} \\ +& =25 q^{2}+2 \cdot 5 q \cdot 1+1^{2} \\ +& =5\left(5 q^{2}+2 q\right)+1 +\end{aligned} +$$ + +o que mostra que $x^{2}$ também deixa resto 1 na divisão por 5 . + +Começamos com o número 9 na tela da calculadora. Se apertarmos a tecla $\square$, o resultado deixará resto 1 na divisão por 5, pelo item anterior. Se apertarmos a tecla $\triangle$, o resultado continuará deixando resto 4 na divisão por 5 , pois subtrair 5 não muda o resto na divisão por 5 . Se em algum momento o resto for 1 , então continuará sendo 1, para sempre, pois nenhuma das duas operações $\square$ ou $\triangle$ alterará o resto na divisão por 5 . + +Assim, começando com o 9, o resto na divisão por 5 será sempre 4 ou 1 . Como 7 deixa resto 2 na divisão por 5, não é possível obtê-lo! + +## 8 Algum dia ele ganha? - Solução + +a) Para que Pietro não tenha ganho até o terceiro dia, é necessário que ele tenha perdido no primeiro, no segundo e no terceiro dia. A probabilidade de que Pietro ganhe no primeiro dia é $\frac{1}{2}$. Logo, a probabilidade de que Pietro tenha perdido no primeiro dia é + +$$ +1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} +$$ + +A probabilidade de que Pietro ganhe no segundo dia é $\frac{1}{3}$. Logo, a probabilidade de que Pietro tenha perdido no segundo dia é + +$$ +1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} +$$ + +A probabilidade de que Pietro ganhe no terceiro dia é $\frac{1}{4}$. Logo, a probabilidade de que Pietro tenha perdido no terceiro dia é + +$$ +1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} +$$ + +Portanto, a probabilidade de que Pietro tenha perdido no primeiro, segundo e terceiro dia é igual ao produto dessas probabilidades, que nos dá + +$$ +\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4} +$$ + +b) Repetimos o mesmo argumento de antes! Agora até o quinto dia, o que nos dá como probabilidade de Pietro não haver ganhado: + +$$ +\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{6} +$$ + +c) Pensando indutivamente, a probabilidade de que Pietro não tenha ganho até o $2013^{\circ}$ dia é igual a + +$$ +\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{2011}{2012} \cdot \frac{2012}{2013} \cdot \frac{2013}{2014}=\frac{1}{2014} +$$ + +## 9 Área máxima - Solução + +a) Chamemos de $x$ o comprimento do segmento $A P$ e denotaremos por $f(x)$ o valor da área do quadrilátero $B C Q P$ em função de $x$, medida em centímetros quadrados. Como o comprimento de $A P$ é a metade do comprimento do segmento $A Q$, temos que o valor máximo que pode ser assumido por $x$ é $3 / 2 \mathrm{~cm}$. O nosso objetivo é encontrar uma expressão para $f(x)$. + +Como o segmento $A Q$ mede o dobro do segmento $A P$, temos que o seu comprimento é igual a $2 x$. Logo o segmento $Q D$ mede $3-2 x$. Daí concluímos que a área do triângulo $A P Q$ é dada, em centímetros quadrados, por $(x \times 2 x) / 2=x^{2}$ e a área do triângulo $Q D C$ por $[3(3-2 x)] / 2$. + +Como a área da região hachurada é igual à área do quadrado $A B C D\left(9 \mathrm{~cm}^{2}\right)$ menos a soma das áreas dos triângulos $A P Q$ e $Q D C$, temos que $f(x)$ será dada, em centímetros quadrados, por: + +$$ +f(x)=9-\frac{3(3-2 x)}{2}-x^{2}=-x^{2}+3 x+\frac{9}{2} +$$ + +para $x \in[0,3 / 2]$. + +b) A função do segundo grau $f(x)=-x^{2}-3 x+9 / 2$ obtida no item anterior fornece a área do quadrilátero $B C Q P$ em termos do valor do comprimento do segmento +$A P$ que denotamos por $x$. O seu gráfico é uma parábola côncava para baixo, conforme mostra a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-26.jpg?height=370&width=685&top_left_y=381&top_left_x=567) + +Assim, o nosso objetivo é encontrar o máximo assumido por essa função com $x$ variando entre 0 e $3 / 2$. Para uma parábola que é o gráfico de uma função do tipo $h(x)=a x^{2}+b x+c$, a coordenada $x$ do vértice é dada por $x_{v}=\frac{-b}{2 a}$. Se a parábola é côncava para baixo, então a função correspondente atinge o máximo exatamente para $x=x_{v}$. No nosso caso, com $a=-1 \mathrm{e} b=3$, temos que $x_{v}=3 / 2$. Como $3 / 2$ pertence ao intervalo estipulado para os valores que $x$ pode assumir, temos que o valor máximo assumido por $f$ é igual a $f(3 / 2)=27 / 4 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 10 Uns e mais uns - Solução + +Uma solução pode ser feita usando soma de progressões geométricas. Mas daremos outra solução que não precisará disso! Observe. Chamemos de $S$ a soma que queremos calcular, ou seja, + +$$ +S=1+11+111+1111+\cdots+\underbrace{1111 \ldots 11}_{n \text { uns }} . +$$ + +Quanto vale $9 \times S$ ? Basta trocar cada dígito um por um dígito nove! + +$$ +9 S=9+99+999+9999+\cdots+\underbrace{9999 \ldots 99}_{n \text { noves }} +$$ + +Agora vamos escrever $9=10-1$. E fazemos o mesmo com $99=100-1$, $999=1000-1$ e assim por diante. Ou seja, + +$$ +\begin{array}{ccccc} +9 & = & 10-1 & = & 10^{1}-1 \\ +99 & = & 100-1 & = & 10^{2}-1 \\ +999 & = & 1000-1 & = & 10^{3}-1 \\ +9999 & = & 10000-1 & = & 10^{4}-1 \\ +\vdots & & \vdots & & \vdots \\ +\underbrace{9999 \cdots 9}_{n \text { noves }} & = & 1 \underbrace{000 \cdots 0}_{n \text { zeros }}-1 & & 10^{n}-1 +\end{array} +$$ + +Fazendo essas trocas em $9 S$, obtemos + +$$ +9 S=(10-1)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\left(10^{4}-1\right)+\cdots+\left(10^{n}-1\right) +$$ + +Agrupando todos os "menos uns", obtemos + +$$ +\begin{aligned} +9 S & =\left(10+10^{2}+10^{3}+10^{4}+\cdots+10^{n}\right)-(\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{n \text { uns }}) \\ +& =10 \cdot \underbrace{111111 \cdots 1}_{n \text { uns }}-n +\end{aligned} +$$ + +Para escrever melhor o número acima, vamos multiplicar e dividir por nove o termo com muitos "uns". Observe: + +$$ +\begin{aligned} +9 S & =10 \times \frac{9}{9} \underbrace{111111 \cdots 1}_{n \text { uns }}-n \\ +& =\frac{10}{9} \underbrace{99999 \cdots 9}_{n \text { noves }}-n \\ +& =\frac{10}{9}\left(10^{n}-1\right)-n +\end{aligned} +$$ + +Logo, + +$$ +9 S=\frac{10}{9}\left(10^{n}-1\right)-n +$$ + +Passando o fator nove para o outro lado da equação, temos + +$$ +S=\frac{10}{81}\left(10^{n}-1\right)-\frac{n}{9} +$$ + +obtendo assim o valor desejado! + +## 11 Apertos de mão - Solução + +a) Um aperto de mão é dado entre duas pessoas. Logo, quando somamos os apertos de mão de todas as pessoas, cada aperto de mão é contado duas vezes! Logo, a soma de quantas vezes cada pessoa apertou a mão de alguém é par, pois é o dobro de algum número. + +b) Como são 99 pessoas, se cada uma apertasse a mão de alguém 3 vezes, isso daria um total de $3 \times 99=297$ apertos de mão. Mas como vimos no item anterior, este total deve ser par, pois cada aperto de mão entre duas pessoas foi contado duas vezes (se fulano apertou a mão de sicrano, então esse aperto de mão foi contado uma vez quando estávamos somando os apertos de mão de fulano, e foi contado novamente quando estávamos somando os apertos de mão de sicrano). + +Por outro lado, 297 é ímpar! Logo, não é possível. + +## 12 Círculo sobre círculo - Solução + +a) Sejam $A, B$ e $C$ os centros das circunferências $C_{1}, C_{2}$ e $C_{3}$ respectivamente. $\mathrm{E}$ considere o triângulo cujos vértices são dados por esses pontos como na figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-28.jpg?height=465&width=727&top_left_y=510&top_left_x=546) + +Chamemos de $P$ o ponto em que $C_{1}$ tangencia $C_{2}$, de $Q$ o ponto em que $C_{2}$ tangencia $C_{3}$ e $R$ o ponto em que $C_{3}$ tangencia $C_{1}$. Note que a área da região procurada pode ser encontrada subtraindo-se da área do triângulo $A B C$ a soma das áreas dos setores circulares $A P R, B P Q$ e $C Q R$, conforme mostrado na figura abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-28.jpg?height=466&width=1316&top_left_y=1308&top_left_x=248) + +Como os raios das circunferências $C_{1}$ e $C_{2}$ são iguais a 1, temos que o comprimento dos segmentos $A P$ e $P B$ é dado por $|A P|=1$ e $|P B|=1$. Logo, o segmento $A B$ tem comprimento $|A B|=|A P|+|P B|=2$. Como a circunferência $C_{3}$ tem raio igual a $\sqrt{2}-1$ temos que $|C Q|=\sqrt{2}-1$. Logo, o comprimento do segmento $C B$ é dado por $|C B|=|C Q|+|Q B|=\sqrt{2}$. De maneira análoga, temos que $|C A|=\sqrt{2}$. Segue daí que o triângulo $A B C$ é isósceles e tem dois lados de comprimento $\sqrt{2}$ e um lado de comprimento 2 . Como $2^{2}=\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}$ temos que $|A B|^{2}=|B C|^{2}+|C A|^{2}$, isto é, os lados do triângulo $A B C$ satisfazem a relação dada pelo Teorema de Pitágoras. Assim, temos que esse triângulo é retângulo, sendo sua hipotenusa o lado $A B$. Assim, o ângulo $c$ mostrado na figura acima mede $90^{\circ}$. Como ele também é isósceles, os outros ângulos medem $45^{\circ}$. Em particular a sua área é igual à metade do produto dos catetos, isto é $(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) / 2=1$. Podemos agora calcular a área dos setores circulares, mostrados na figura abaixo: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-29.jpg?height=384&width=614&top_left_y=231&top_left_x=800) + +Como $a=45^{\circ}$ temos que a área do setor circular $A P R$ é igual a $1 / 8$ da área do disco delimitado por $C_{1}$, isto é + +$$ +\text { Área do setor } A P R=\frac{1}{8} \pi 1^{2}=\frac{\pi}{8} +$$ + +Analogamente, temos que + +$$ +\text { Área do setor } B P Q=\frac{1}{8} \pi 1^{2}=\frac{\pi}{8} +$$ + +Como $c=45^{\circ}$ temos que a área do setor circular $C Q R$ é igual a $1 / 4$ da área do disco delimitado pela circunferência $C_{3}$, logo: + +$$ +\text { Área do setor } C Q R=\frac{1}{4} \pi(\sqrt{2}-1)^{2}=\frac{(3-2 \sqrt{2}) \pi}{4} +$$ + +Logo, obtemos que a área da região encontrada por Emanuelle é igual a + +$$ +1-\pi\left(\frac{3-2 \sqrt{2}}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1-\pi \frac{(2-\sqrt{2})}{2} +$$ + +## 13 O treinamento de Julian - Solução + +Seja $t$ o tempo, em minutos, que Julian demora para percorrer de bicicleta um quilômetro. Como ele vai de bicicleta ao triplo da velocidade com que caminha, então ele caminha um quilômetro em $3 t$ minutos, e como ele corre ao dobro da velocidade com que caminha, então ele corre um quilômetro em $3 t / 2$ minutos. Assim, ele levou + +$$ +t+3 t+\frac{3 t}{2}=\frac{11 t}{2} +$$ + +minutos para percorrer os três quilômetros da pista. Se ele tivesse percorrido os três quilômetros da pista em bicicleta, ele haveria demorado $3 t$ minutos. Assim, conforme o enunciado do problema, temos (em minutos) + +$$ +\frac{11 t}{2}-3 t=10 +$$ + +e, resolvendo a equação anterior, obtemos $t=4$ minutos. Finalmente, Julian corre um quilômetro em $3 t / 2=6$ minutos. + +## 14 Peões rebeldes - Solução + +Três peças devem ser colocadas na primeira linha, vamos chamá-las de $\alpha$, $\beta$ e $\theta$ como na seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-30.jpg?height=330&width=315&top_left_y=702&top_left_x=752) + +Na casa $(b, 2)$ deve ser colocada uma peça diferente de $\beta$. Suponhamos primeiro que em $(b, 2)$ colocamos a peça $\alpha$. É imediato que na casa $(c, 2)$ devemos colocar uma peça $\theta$. + +| | 1 | 2 | | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\alpha$ | | | +| | | $\theta$ | | $P$ | +| | | $P$ | | | + +Observe que na casa $(b, 4)$ não pode estar uma peça $\alpha$, porque já há uma peça $\alpha$ na linha $b$, nem uma peça $\theta$, porque já há uma peça $\theta$ na coluna 4 . Isto implica que em $(b, 4)$ deve ir uma peça $\beta$ e, em consequência, em $(b, 3)$ e $(d, 4)$ devem ir uma peça $\theta$ e uma peça $\alpha$ respectivamente. + +| | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| ${ }_{b}$ | $P$ | $\alpha$ | $\theta$ | $\beta$ | +| | | $\theta$ | | $P$ | +| | | $P$ | | | + +A peça em $(d, 3)$ deve ser distinta de $\theta$ e $\alpha$, porque já há uma peça $\theta$ na coluna 3 e uma peça $\alpha$ na linha $d$. Portanto em $(d, 3)$ devemos colocar uma peça $\beta$. + +| | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\alpha$ | $\theta$ | $\beta$ | +| | | $\theta$ | | $P$ | +| | | $P$ | $\beta$ | | + +Agora é claro que só existe um modo de poder completar o tabuleiro. Concluímos que somente existe um modo de completar o tabuleiro se colocarmos uma peça $\alpha$ na posição $(b, 2)$. + +| | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $\alpha$ | $\beta$ | $I$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\alpha$ | | $\beta$ | +| | $\beta$ | $\theta$ | | $P$ | +| | $\theta$ | $P$ | $\beta$ | | + +Vamos supor agora que em $(b, 2)$ colocamos uma peça $\theta$. Nesse caso em $(c, 2)$ é necessário colocar uma peça $\alpha$. + +| | 1 | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\theta$ | | | +| | | $\alpha$ | | $P$ | +| | | $P$ | | | + +Para as posições $(b, 3)$ e $(b, 4)$ devemos usar as peças $\alpha$ e $\beta$. Temos, assim, duas alternativas. Suponhamos primeiro que em $b-3$ colocamos uma peça $\alpha$ e em $(b, 4)$ colocamos uma peça $\beta$. Em consequência, em $(d, 4)$ deve ir uma peça $\alpha$. + +| | 1 | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\theta$ | $\alpha$ | $\beta$ | +| | | $\alpha$ | | $P$ | +| | | $P$ | | | + +Finalmente, temos duas formas de completar o tabuleiro. + +| | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $c$ | $\beta$ | $F$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\theta$ | $\alpha$ | $\beta$ | +| | $\beta$ | $\alpha$ | | $P$ | +| | $\theta$ | $P$ | $\beta$ | | + + +| | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $c$ | $\beta$ | $P$ | | +| | $P$ | $\theta$ | $\alpha$ | $P$ | +| | $\theta$ | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | +| | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | | + +Suponhamos agora que em $(b, 3)$ colocamos uma peça $\beta$ e em $(b, 4)$ colocamos uma peça $\alpha$. Imediatamente vemos que em $(d, 4)$ devemos colocar uma peça $\beta$. + +| | | 2 | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| | $P$ | $\theta$ | $\beta$ | $\alpha$ | +| | | $\alpha$ | | $P$ | +| | | $P$ | | $\beta$ | + +Na casa $(d, 1)$ não pode ter uma peça $\alpha$ nem uma peça $\beta$ porque já há uma peça $\alpha$ na coluna 1 e uma peça $\beta$ na linha $d$. Portanto devemos colocar uma peça $\theta$ em $(d, 1)$ e assim somente existirá um modo de poder completar o tabuleiro. + +| 1 | 2 | | 3 | | +| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $a$ | $\alpha$ | $\beta$ | $P$ | $\theta$ | +| $b$ | $P$ | $\theta$ | $\beta$ | $\alpha$ | +| | | | | | +| $c$ | $\beta$ | $\alpha$ | $\theta$ | $P$ | +| | $\theta$ | $P$ | $\alpha$ | $\beta$ | +| | $\theta$ | | | | + +Assim obtivemos, no total, 4 maneiras de colocar as peças no tabuleiro de modo que as peças $\alpha, \beta$ e $\theta$ sejam as peças colocadas na primeira linha. Finalmente $\alpha$ é alguma das 3 peças, $\beta$ alguma das outras 2 peças e $\theta$ será a única peça que resta. Temos assim $3 \times 2$ possibilidades para o trio $(\alpha, \beta, \theta)$. A resposta é portanto + +$$ +4 \times 3 \times 2=24 +$$ + +modos de colocar as peças no tabuleiro. + +## 15 Ângulos no quadrado - Solução + +Observe que $\measuredangle B M N=(180-60-60)^{\circ}=60^{\circ}$. Em particular, $M B$ é uma bissetriz do ângulo $A M N$. Se traçarmos o segmento $\overline{B D}$ vemos que tal segmento é bissetriz do ângulo reto $A D C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-33.jpg?height=505&width=539&top_left_y=514&top_left_x=838) + +Concluímos assim que o ponto $B$ é o excentro do triângulo $M N D$. Isso implica que $N B$ é necessariamente a bissetriz do ângulo $M N C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-33.jpg?height=507&width=553&top_left_y=1203&top_left_x=823) + +Como a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo $M D N$ deve ser $180^{\circ}$ obtemos que + +$$ +\measuredangle M N C=\measuredangle D M N+\measuredangle M D N=(60+90)^{\circ} +$$ + +e, portanto $\measuredangle M N B=\measuredangle M N C / 2=75^{\circ}$. Finalmente, usamos que a soma dos ângulos internos do triângulo $B M N$ é $180^{\circ}$ para concluir que $\measuredangle M B N=(180-$ $60-75)^{\circ}=45^{\circ}$. + +## 16 Carla escreve, Diana apaga - Solução + +a) Se Diana decidir não apagar o número 11 então o produto dos números restantes será da forma $P=11 \times A$. Como 11 é o único múltiplo de 11 dentre os números escritos por Carla, então $A$ é o produto de números não divisíveis por 11, e logo $A$ não é múltiplo de 11. Assim, $P$ seria múltiplo de 11 mas não seria múltiplo de $11^{2}$, logo $P$ não seria quadrado perfeito. De modo análogo, podemos ver que Diana deve também apagar os números 13, 17 e 19. + +b) Se Diana apaga somente os números 11, 13, 17 e 19, o produto dos 17 números restantes seria + +$$ +1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10 \times 12 \times 14 \times 15 \times 16 \times 18 \times 20 \times 21=\left(2^{9} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7\right)^{2} \times 21 +$$ + +Esse número não é um quadrado perfeito e então ela precisa apagar pelo menos mais um número. Da fatoração acima é simples ver que se Diana apaga também o número 21 ela conseguirá seu objetivo. Assim, a menor quantidade de números que Diana deve apagar é 5 . + +## 17 Papai Noel - Solução + +Para cada um dos 8 brinquedos, do número 3 ao número 10 , devemos decidir se ele vai pertencer a Arnaldo, a Bernaldo ou deve ser deixado para Papai Noel. Se multiplicarmos então + +$$ +\underbrace{3 \times 3 \times \cdots \times 3}_{8 \text { vezes }} +$$ + +contaremos as formas de dividir os brinquedos entre Arnaldo, Bernaldo e Papai Noel, incluindo os casos em que Papai Noel fica sem nenhum brinquedo. Restará então contar o número de formas de dividir todos os brinquedos entre Arnaldo e Bernaldo (sem deixar nada para Papai Noel), e subtrair esse número de $3^{8}$. + +Para dividir os brinquedos entre Arnaldo e Bernaldo devemos decidir, por cada um dos 8 brinquedos, para qual dos dois o brinquedo vai. Assim temos + +$$ +\underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{8 \text { vezes }} +$$ + +formas de dividir os brinquedos entre Arnaldo e Bernaldo. Finalmente a resposta é + +$$ +3^{8}-2^{8}=6305 +$$ + +formas de dividir os brinquedos. + +## 18 Hexágono equiângulo - Solução + +a) A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é $4 \times 180^{\circ}$. Então $6 \times \alpha=4 \times 180^{\circ} \mathrm{e}$, portanto, $\alpha=120^{\circ}$. + +b) Prolongando os segmentos $A F, E D$ e $B C$, conseguimos a seguinte figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-35.jpg?height=645&width=726&top_left_y=508&top_left_x=742) + +Como $\measuredangle F A B=\measuredangle A B C=120^{\circ}$, segue-se que $\measuredangle Q A B=\measuredangle Q B A=60^{\circ}$. Concluímos assim que o triângulo $Q A B$ é equilátero. De modo análogo, concluímos que os triângulos $R D C$ e $P F E$ são equiláteros. Mais ainda, o triângulo $P Q R$ também é equilátero por ter todos os ângulos internos iguais. A medida do lado do triângulo equilátero $P Q R$ é + +$$ +|Q B|+|B C|+|C R|=4+5+2=11 +$$ + +Portanto, também temos que + +$$ +11=|R P|=2+3+|E P| +$$ + +o que implica que $|E P|=6$. Temos assim que $|E F|=|P F|=|E P|=6$, enquanto que $|Q A|=|A B|=4$. Finalmente, para que $|Q P|=|Q A|+|A F|+|F P|=$ $4+|A F|+6$ seja igual a 11, é necessário que $|F A|=1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-35.jpg?height=647&width=743&top_left_y=1839&top_left_x=739) +c) A área do hexágono pode ser calculada como a área do triângulo $P Q R$ menos a soma das áreas dos triângulos $Q A B, R C D$ e $P F E$. Lembre-se que a área de um triângulo equilátero de lado $\ell$ é $\ell^{2} \sqrt{3} / 4$. Daí, obtemos que a área do hexágono é + +$$ +\frac{11^{2} \sqrt{3}}{4}-\left(\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4}+\frac{2^{2} \sqrt{3}}{4}+\frac{6^{2} \sqrt{3}}{4}\right)=\left(11^{2}-4^{2}-2^{2}-6^{2}\right) \frac{\sqrt{3}}{4}=65 \frac{\sqrt{3}}{4} +$$ + +## 19 A lei pirata - Solução + +a) Seja $N$ o número de moedas que há no tesouro. Quando Barbaroxa escolhe 99 piratas para dividir as $N$ moedas, sobram 51 moedas para ele, ou seja, ele consegue dividir $N-51$ moedas entre 99 piratas, ou equivalentemente, o número $N-51$ é divisível por 99 . Em particular, o número $N-51+99=N+48$ é também divisível por 99. + +De modo análogo, podemos concluir que $N-29$ é divisível por 77. Logo, o número $N-29+77=N+48$ é também divisível por 77. Como $N+48$ é divisível por 77 e por 99 , então $N+48$ é divisível pelo mínimo múltiplo comum de 77 e 99 , ou seja, 693. + +Concluímos que $N+48$ é um múltiplo de 693 menor que $1000+48=1048$, e daí que $N+48=693$. Ou seja, $N=645$. + +b) Seja $n$ o número de piratas que escolhera Barbaroxa. Para fazer a divisão das moedas, Barbaroxa deve dividir o número $N=645$ por $n$, digamos $645=q n+r$, e ele ficará com $r$ moedas ( $q$ e $r$ são números naturais). Note que + +$$ +(q+1) n>q n+r=645 \geq q n +$$ + +Da desigualdade na esquerda, temos que $(q+1) 100 \geq(q+1) n>645$, e então $q \geq 6$. Analisemos agora os possíveis valores de $q$. + +- Se $q=6$ : Da desigualdade na esquerda de (*), obtemos $n>645 / 7>92$. Nesse caso, $r=645-6 n \leq 645-6(93)=87$ e, quando $n=93, r=87$. +- Se $q=$ 7: Da desigualdade na esquerda de (*), obtemos $n>645 / 8>80$. Nesse caso, $r=645-7 n \leq 645-7(81)=78$ e, quando $n=81, r=78$. +- Se $q \geq 8$ : Da desigualdade na direita de (*), obtemos $645 \geq q n \geq 8 n$, e então $81>645 / 8 \geq n>r$. + +Dessa análise, podemos concluir que Barbaroxa pode obter no máximo $r=87$ moedas. Para isto, ele deve escolher $n=93$ piratas. + +## 20 Triângulos equiláteros no cubo - Solução + +Sobre o cubo existem somente 3 distâncias possíveis entre os vértices: + +$$ +A B=\ell, \quad A R=\ell \sqrt{2} \quad \text { e } \quad P D=\ell \sqrt{3} +$$ + +Um triângulo equilátero que usa os vértices do cubo devia então ter alguma dessas distâncias como a medida do seu lado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-37.jpg?height=534&width=555&top_left_y=632&top_left_x=825) + +Vejamos se existem triângulos equiláteros de lado $\ell$. Observe que se a distância entre dois vértices do cubo é $\ell$, necessariamente eles estão unidos por uma aresta do cubo. Mas duas arestas do cubo são sempre perpendiculares. Então, não existem triângulos equiláteros de lado $\ell$. + +Vejamos agora se existem triângulos equiláteros de lado $\ell \sqrt{3}$. Os únicos pares de vértices à distância $\ell \sqrt{3}$ são $\{A, Q\},\{B, R\},\{S, C\}$ e $\{P D\}$. Como não existem dois pares com algum vértice em comum, concluímos que não é possível ter um triângulo equilátero de lado $\ell \sqrt{3}$. + +Contemos finalmente os triângulos equiláteros de lado $\ell \sqrt{2}$. Primeiro aqueles que têm $A$ como vértice. Os vértices à distância $\ell \sqrt{2}$ de $A$ são $P, R$ e $C$. Vemos que escolhendo qualquer par em $\{P, R, C\}$ obtemos um triângulo equilátero usando esse dois vértices junto com $A$. Contamos assim 3 triângulos equiláteros que usam o vértice $A$. Agora, se multiplicamos 8 vértices vezes 3 triângulos por cada vértice, consideraríamos todos os triângulos de lado $\ell \sqrt{2}$ e cada um deles estaria sendo contado exatamente 3 vezes (uma vez por cada vértice do triângulo contado). Concluímos, assim, que são + +$$ +\frac{8 \times 3}{3}=8 +$$ + +os triângulos de lado $\ell \sqrt{2}$. A resposta é então: 8 triângulos equiláteros. + +## 21 Quadrados vizinhos - Solução + +Como $\overline{A E}$ é a diagonal do quadrado $A B E F$, então $\angle A E F=45^{\circ}$. Prolonguemos o segmento $\overline{A E}$ para formar o triângulo retângulo $M P D$ como mostra a figura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-38.jpg?height=740&width=959&top_left_y=460&top_left_x=435) + +Observe que $\measuredangle P E D=\measuredangle A E F=45^{\circ}$ e, portanto, o triângulo retângulo $E P D$ é isósceles. A hipotenusa do triângulo $E P D$ mede 4 (que é lado do quadrado $B C D E$ ). Daí, os catetos medem $|E P|=|P D|=2 \sqrt{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_d02c2755ad3373bde08ag-38.jpg?height=745&width=959&top_left_y=1428&top_left_x=435) + +Finalmente, $\angle M D P=(15+45)^{\circ}$ e, portanto, no triângulo retângulo $M P D$ os ângulos internos são $30^{\circ}$ e $60^{\circ}$, e vale a seguinte relação + +$$ +|M D|=2|P D| +$$ + +Assim, provamos que $|M D|=2(2 \sqrt{2})=4 \sqrt{2}$. + +## 22 O engano de Raul - Solução + +a) Note que + +$$ +a^{2}2$, uma única vez cada, de tal forma que dois vizinhos possuem pelo menos um dígito em comum. Ache o menor $N>2$ para qual isso é possível. + +## 21 Números no círculo com dígitos em comum - Solução + +Como o 3 irá aparecer, devemos usar o 13 e o 23. Assim, como $9<23$, 9 deve estar no círculo. Seus dois vizinhos devem possuir o dígito 9 , os menores seriam 19 e 29, consequentemente $N$ deve ser pelo menos 29. Agora, para provar que 29 é o mínimo, basta construir um exemplo: + +$$ +1,12,2,22,20,21,23,3,13,14,4,24,25,5,15,10,11,19,9,29,28,8,18,17,7,27,26,6,16 +$$ + +## 22 Formando figuras com triângulos + +Pedrinho está brincando com três peças triangulares de lados $(5,8,10),(5,10,12)$ e $(5,8,12)$ como mostra o desenho abaixo. Ele pode juntar duas peças se colar exatamente os lados de mesmo tamanho delas. Por exemplo, ele pode juntar o lado 10 da primeira peça com o lado 10 da segunda, mas não pode juntar o lado 10 da primeira peça com o lado 8 da terceira, pois não possuem mesmo tamanho. Qual é o maior perímetro que Pedrinho pode obter juntando as três peças? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-19.jpg?height=157&width=345&top_left_y=1760&top_left_x=427) + +10 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-19.jpg?height=157&width=411&top_left_y=1758&top_left_x=891) + +12 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-19.jpg?height=114&width=412&top_left_y=1802&top_left_x=1416) + +12 + +## 22 Formando figuras com triângulos - Solução + +Somando os perímetros dos três triângulos temos: + +$$ +(5+8+10)+(5+10+12)+(5+8+12)=23+27+25=75 +$$ + +Quando juntamos dois triângulos usando um determinado lado, o efeito prático na soma anterior é diminuirmos o dobro de tal lado pois ele deixa de contribuir em dois triângulos. Para maximizar a soma que produz o perímetro, devemos fazer junções que usam os menores lados possíveis. A menor junção possível é envolvendo o lado de comprimento 5 que só pode ser feita uma vez pois só há três lados 5 e precisamos de dois deles para tal junção. A segunda menor junção possível envolve os lados de comprimento 8. + +Desse modo, devemos juntar o primeiro e o terceiro triângulos usando os lados 8. Em seguida, podemos juntar o lado 5 do segundo triângulo com qualquer um dos lados 5 da figura já formada. Assim, o maior perímetro é $75-2 \cdot 5-2 \cdot 8=49$. Abaixo temos um exemplo de figura formada com os triângulos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-20.jpg?height=275&width=741&top_left_y=522&top_left_x=563) + +## 23 Cozinhando arroz instantâneo no tempo certo + +Para fazer macarrão instantâneo é necessário colocar o macarrão para cozinhar exatamente por 3 minutos. Marcar exatamente 3 minutos é muito complicado sem um relógio, mas é possível se você tiver certas ampulhetas de areia que marcam tempos exatos em minutos. Por exemplo, suponha que você tem duas ampulhetas, uma que marca exatamente 7 minutos e outra que marca exatamente 4 minutos. Basta virá-las ao mesmo tempo e, quando a de 4 acabar, colocar o macarrão. Você deve retirá-lo da panela quando a de 7 minutos terminar. Assim, o macarrão terá cozinhado exatamente por $7-4=3$ minutos. + +a) Certo tipo de arroz instantâneo precisa cozinhar por exatamente 4 minutos. Mostre que é possível marcar o tempo para esse arroz cozinhar usando apenas ampulhetas de $9 \mathrm{mi}$ nutos e de 7 minutos. Qual o menor tempo total necessário para realizar essa tarefa? + +b) Seria possível marcarmos 9 minutos se tivéssemos apenas ampulhetas de 6 e de $10 \mathrm{mi}$ nutos? + +## 23 Cozinhando arroz instantâneo no tempo certo-Solução + +a) Para marcarmos 4 minutos, devemos virar as ampulhetas de 9 e de 7 algumas vezes de modo que a diferença entre os tempos seja 4 minutos. Como $2 \cdot 9-2 \cdot 7=4$, um procedimento seria virar sucessivamente a ampulheta de 9 minutos por 2 vezes e a de 7 também por 2 vezes. Inicialmente as duas devem ser viradas ao mesmo tempo e, quando a de 7 minutos acabar pela segunda vez, iniciaremos a contagem dos 4 minutos. Quando a ampulheta de 9 minutos acabar pela segunda vez, teremos terminado a contagem do tempo desejado. + +Existem outras combinações, por exemplo, $7 \cdot 7-5 \cdot 9=4$. Isso quer dizer que poderíamos ter virado a ampulheta de 7 sete vezes e a de 9 cinco vezes. Nesse caso, teríamos gasto 49 minutos para marcar os 4 de cozimento do arroz! + +Para determinarmos o tempo mínimo, veja que o tempo marcado é obtido pela subtração entre um múltiplo de 9 e um múltiplo de 7 ou entre um múltiplo de 7 e um de 9. Assim, o tempo total ou é um múltiplo de 7 somado com 4 ou um múltiplo de 9 também somado com 4. Analisando os múltiplos de 9: 9, 18, 27, ..; notamos que 18 é o primeiro deles que deixa resto 4 na divisão por 7 e de fato já mostramos no início que podemos marcar o tempo desejado em 18 minutos. Analisando agora os múltiplos de 7: 7, 14, 21, ..; podemos notar que o primeiro deles que deixa resto 4 na divisão por 9 é o 49 . Como $49>18$, o tempo mínimo é 18 minutos. + +Perceba ainda que a análise anterior nos permite ainda obter outras maneiras de marcarmos 4 minutos, por exemplo, como $9 \cdot 9=81$ deixa resto 4 por 7 , podemos obter o múltiplo $11 \cdot 7$ de 7 e escrever $9 \cdot 9-11 \cdot 7=4$. Bastaria usarmos a ampulheta de 9 minutos 9 vezes e a de 7 minutos por 11 vezes. O tempo total gasto seria de 81 minutos! + +b) Como 6 e 10 são pares, as diferenças de seus múltiplos são números pares e consequentemente só podem ser marcados tempos que representam números pares. Portanto, não é possível marcar 9 minutos pois 9 é ímpar. + +## 24 Pulos do grilo sem cair do penhasco + +Um grilo pode dar pulos de duas distâncias: 9 e 8 metros. Ele disputa uma corrida de 100 metros que vai até a beira de um penhasco. Quantos pulos o grilo deve dar para chegar ao fim da corrida, mas sem passar do ponto final e cair do penhasco? + +## 24 Pulos do grilo sem cair do penhasco - Solução + +Primeira solução: Suponha que o grilo desse apenas pulos de 9 metros. Em seu décimo segundo pulo ele cairia do penhasco, pois $9 \cdot 12=108 \mathrm{~m}$. Como ele pode também dar pulos de 8 metros, basta "trocar" 8 pulos de 9 metros por pulos de 8 metros. Teríamos assim 4 pulos de 9 metros e 8 pulos de 8 metros, num total de $4+8=12$ pulos. + +Essa é a única combinação de pulos possível, pois se o grilo der menos que 4 pulos de 9 metros, as distâncias máximas que ele poderá percorrer sem cair do penhasco são: $3 \cdot 9+9 \cdot 8=$ $99 \mathrm{~m}, 2 \cdot 9+10 \cdot 8=98 \mathrm{~m}, 1 \cdot 9+11 \cdot 8=97 \mathrm{~m} \mathrm{e} 0 \cdot 9+12 \cdot 8=96 \mathrm{~m}$. Além disso, dando mais que 4 pulos de 9 metros, o grilo deve dar menos que 8 pulos de 8 metros e assim as distâncias máximas que ele poderá percorrer sem cair do penhasco são: $5 \cdot 9+6 \cdot 8=93 \mathrm{~m}, 6 \cdot 9+5 \cdot 8=94 \mathrm{~m}$, $7 \cdot 9+4 \cdot 8=95 \mathrm{~m}, 8 \cdot 9+3 \cdot 8=96 \mathrm{~m}, 9 \cdot 9+2 \cdot 8=97 \mathrm{~m}, 10 \cdot 9+1 \cdot 8=98 \mathrm{~m} \mathrm{e} 11 \cdot 9+0 \cdot 8=99 \mathrm{~m}$. Como nenhuma dessas distâncias é igual a 100, não existe outra combinação. + +Segunda solução: Sejam $x$ o número de pulos de $9 \mathrm{~m}$ e $y$ o número de pulos de $8 \mathrm{~m}$. Queremos determinar $x+y$, sabendo que: + +$$ +\begin{aligned} +100 & =9 x+8 y \\ +& =8(x+y)+x +\end{aligned} +$$ + +Como 100 deixa resto 4 na divisão por 8, o mesmo deve ocorrer com o número $8(x+y)+x$. Ou seja, $x$ deve deixar resto 4 na divisão por 8 pois $8(x+y)$ já é múltiplo de 8 . Se $x>4$, saberemos que $x$ é pelo menos $8 \cdot 1+4=12$ que é o próximo número que deixa resto 4 por 8 depois de 4. Se o grilo der 12 pulos de $9 \mathrm{~m}$, ele chegará a $9 \cdot 12=108 \mathrm{~m}$ e cairá do penhasco. Logo, $x=4$ e após sua substituição na equação acima, podemos concluir que $y=(100-9 \cdot 4) / 8=8$. Portanto, o grilo deve dar $4+8=12$ pulos. + +## 25 Perímetros de prédios + +No desenho abaixo, três prédios foram construídos em um terreno dividido em lotes retangulares. Os perímetros dos prédios $A$ e $B$ valem $400 \mathrm{~m}$ e $240 \mathrm{~m}$, respectivamente. Quanto mede o perímetro do prédio $C$ ? + +| | | | | | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | | | | | +| | | | | | | | | +| | $A$ | | $B$ | | | $C$ | | +| | | | | | | | | +| | | | | | | | | + +## 25 Perímetros de prédios - Solução + +Em um lote, temos três dimensões importantes: a largura $l$, a altura $h$ e a diagonal $d$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-22.jpg?height=174&width=280&top_left_y=1758&top_left_x=794) + +Vamos chamar os perímetros dos prédios $A, B$ e $C$ de $P_{A}, P_{B}$ e $P_{C}$, respectivamente. Os seus valores são: + +$$ +\begin{aligned} +P_{A} & =4 d+2 l+4 h \\ +& =400 \\ +P_{B} & =2 d+2 l+2 h \\ +& =240 \\ +P_{C} & =3 d+l+3 h +\end{aligned} +$$ + +Dividindo-se a primeira equação por 2 , temos $2 d+l+2 h=200$. Subtraindo desse valor a segunda, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +240-200 & =(2 d+2 l+2 h)-(2 d+l+2 h) \\ +40 & =l +\end{aligned} +$$ + +Analisando o perímetro $P_{B}$, temos $d+l+h=120$. Portanto, $d+h=120-l=80$ e finalmente + +$$ +\begin{aligned} +P_{C} & =3(d+h)+l \\ +& =3 \cdot 80+40 \\ +& =240 +\end{aligned} +$$ + +## 26 Reis dominando o tabuleiro 6 por 6 + +O rei é uma peça do xadrez que pode se mover apenas uma casa na vertical, uma na horizontal ou uma na diagonal. Dizemos que um rei ataca uma casa se ele pode ocupá-la com um único movimento. Por exemplo, um rei situado nas casas centrais de um tabuleiro $6 \times 6$ ataca 8 casas, um rei situado nas casas laterais ataca 5 casas e um rei posicionado em um dos quatro cantos do tabuleiro ataca apenas 3 casas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-23.jpg?height=582&width=580&top_left_y=1071&top_left_x=841) + +a) Considere um tabuleiro $6 \times 6$, qual o menor número de reis que podem ser colocados no tabuleiro de modo que todas as casas do tabuleiro estejam ocupadas ou sejam casas atacadas por algum dos reis? + +b) Ainda considerando o tabuleiro $6 \times 6$, qual o maior número de reis que podemos colocar no tabuleiro de modo que eles não se ataquem? + +## 26 Reis dominando o tabuleiro 6 por 6 - Solução + +a) Divida o tabuleiro $6 \times 6$ em 4 tabuleiros $3 \times 3$. Se uma dessas quatro regiões não tiver rei, a casa central de tal região não será ocupada e nem atacada por nenhum rei. Portanto, são necessários pelo menos 4 reis. Se colocarmos um rei em cada casa central dos tabuleiros $3 \times 3$, então todas as casas do tabuleiro serão atacadas. Logo, o menor número de reis é 4 . + +b) Divida o tabuleiro $6 \times 6$ em 9 tabuleiros $2 \times 2$. Se dois reis estiverem no mesmo $2 \times 2$, então eles estarão se atacando. Portanto, temos no máximo 9 reis. Se colocarmos um rei no canto superior esquerdo de cada um desses tabuleiros $2 \times 2$, teremos 9 reis que não se atacam mutuamente. + +## 27 Quadrados mágicos + +a) João descobriu uma maneira de arrranjar os números $\{1,2,3, \ldots, 16\}$ em um tabuleiro $4 \times 4$ de modo que a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal são sempre as mesmas. Uma das possibilidades está no exemplo abaixo. + +| 4 | 6 | 9 | 15 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 13 | 11 | 8 | 2 | +| 16 | 10 | 5 | 3 | +| 1 | 7 | 12 | 14 | + +Encontre outro exemplo de distribuição desses 16 números satisfazendo as mesmas condições. + +b) Verifique que em qualquer distribuição possível, sempre a soma dos números de cada linha e coluna é 34 . + +c) João fez agora um novo tipo de tabuleiro com outros números positivos. O produto dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal são sempre os mesmos. Quanto vale o número $4 H$ ? + +| $1 / 2$ | 32 | $A$ | $B$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $C$ | 2 | 8 | 2 | +| 4 | 1 | $D$ | $E$ | +| $F$ | $G$ | $H$ | 16 | + +## 27 Quadrados mágicos-Solução + +a) Outras distribuições possíveis seriam: + +| 10 | 1 | 12 | 11 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 2 | 15 | 6 | 16 | +| 13 | 8 | 5 | 3 | +| 9 | 7 | 4 | 14 | + + +| 1 | 14 | 15 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 10 | 8 | 5 | 11 | +| 7 | 9 | 12 | 6 | +| 16 | 3 | 2 | 13 | + +b) Seja $l$ a soma dos números escritos em uma coluna. Somando os números das quatro colunas temos: + +$$ +\begin{aligned} +4 l & =1+2+3+\ldots+16 \\ +& =136 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $l=136 / 4=34$. O mesmo argumento pode ser aplicado às linhas. + +c) Efetuando cancelamentos no produto de algumas linhas, colunas e diagonais, obtemos: + +$$ +\begin{aligned} +(A \cdot 8 \cdot D \cdot H)(F \cdot 1 \cdot 8 \cdot B)(C \cdot 2 \cdot 8 \cdot 2) & =(1 / 2 \cdot 2 \cdot D \cdot 16)(1 / 2 \cdot 32 \cdot A \cdot B)(1 / 2 \cdot C \cdot 4 \cdot F) \\ +4 H & =1 +\end{aligned} +$$ + +## 28 Botões no tabuleiro 6 por 6 + +Em um tabuleiro de brinquedo $6 \times 6$, cada casa representa um botão luminoso. Quando alguém aperta um botão, ele acende se estiver apagado e apaga se estiver aceso. Além disso, todos os botões que compartilham um lado com um botão apertado também mudam de estado: de aceso para apagado ou de apagado para aceso. Começando com todos os botões apagados e apertando uma única vez todos os botões do tabuleiro, um de cada vez e em qualquer ordem, quantos botões estarão acesos no final? + +## 28 Botões no tabuleiro 6 por 6 - Solução + +Veja que um botão terminará aceso se ele mudar de estado um número ímpar de vezes e terminará apagado, caso contrário. Cada botão muda de estado quando ele ou um de seus vizinhos é apertado e, portanto, o número de vezes em que mudará de estado será igual ao seu número de vizinhos acrescido de uma unidade. Podemos assim analisar cada casa do tabuleiro de acordo com o seu número de vizinhos: + +i) As quatro casas dos cantos possuem dois vizinhos cada e assim mudarão de estado $1+$ $2=3$ vezes. Terminarão acesas. + +ii) As casas que estão nos lados e que não são cantos possuem três vizinhos e assim mudarão de estado $1+3=4$ vezes. Terminarão apagadas. + +iii) Cada uma das outras casas que não são laterais possuem quatro vizinhos e assim mudarão de estado $1+4=5$ vezes. Terminarão acesas. + +Por fim, como o tabuleiro $6 \times 6$ possui 16 casas laterais que não são cantos e estas são as únicas que terminarão apagadas, concluímos que $36-16=20$ botões estarão acesos ao final do processo. + +## 29 Cortando bandeirinhas de São João + +Certa festa possui bandeirinhas de São João nos formatos $A$ e $B$. Elas podem ser formadas dobrando-se uma folha $30 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ ao meio e cortando-se ao longo de um segmento que une dois pontos em lados opostos, um deles distando $10 \mathrm{~cm}$ do lado superior e o outro distando $10 \mathrm{~cm}$ do lado inferior, conforme a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-26.jpg?height=479&width=394&top_left_y=800&top_left_x=203) + +$20 \mathrm{~cm}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-26.jpg?height=488&width=183&top_left_y=801&top_left_x=731) + +$10 \mathrm{~cm}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-26.jpg?height=489&width=331&top_left_y=795&top_left_x=957) + +$10 \mathrm{~cm}$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-26.jpg?height=656&width=368&top_left_y=658&top_left_x=1328) +b) Se cortarmos apenas bandeirinhas do tipo $B$, não é possível cortar 6 bandeirinhas. Veja que não é possível colocar duas bandeirinhas tipo $B$ na horizontal, já que $2 \cdot 20=40>30$. Então, não é possível os dois cantos de um lado de 30 da folha $30 \times 60$ pertencerem a duas bandeirinhas do tipo $B$. Assim, no máximo poderemos cortar 5 bandeirinhas do tipo $B \mathrm{e}$ a figura a seguir mostra como isso pode ser feito. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-27.jpg?height=306&width=600&top_left_y=561&top_left_x=822) + +30 Pesando moedas + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-27.jpg?height=383&width=631&top_left_y=1399&top_left_x=815) + +a) João possui três moedas e uma balança de dois pratos. Ele sabe que exatamente uma das moedas é mais leve que as demais, sendo que as outras duas possuem o mesmo peso. Como ele pode descobrir qual é a moeda mais leve com uma única pesagem? + +b) João agora possui nove moedas e ele sabe novamente que exatamente uma delas é mais leve que as demais. Como ele pode descobrir a moeda mais leve com exatamente duas pesagens, se as demais possuem o mesmo peso? + +c) João juntou mais duas moedas normais à sua coleção e passou a ter 11 moedas. Depois de juntá-las, ele não conseguiu lembrar quais eram as moedas novas. Como ele poderá agora descobrir a mais leve com três pesagens? + +## 30 Pesando Moedas - Solução + +a) Ele deve escolher duas moedas quaisquer e colocar na balança. Se a balança ficar equilibrada, a moeda não escolhida é a leve. Se a balança não ficar equilibrada, então o prato mais alto indicará a moeda mais leve. + +b) Basta ele dividir as 9 moedas em três grupos de três e pesar dois quaisquer desses grupos. Se a balança ficar equilibrada, ele saberá que a moeda mais leve está no grupo não escolhido. Se ela não ficar equilibrada, a moeda mais leve estará no prato mais alto. Em qualquer caso, ele pode restringir a busca para um grupo de três moedas. Pelo item anterior, com apenas mais uma pesagem ele descobrirá a moeda mais leve. + +c) Uma maneira seria ele dividir as moedas em três grupos contendo as quantidades: 5, 5 e 1. Após realizar uma pesagem entre os primeiros dois grupos, caso a balança fique equilibrada, ele saberá que a moeda mais leve é a do último grupo. Caso contrário, ele deve agora dividir o grupo de 5 moedas do prato mais alto em três com as seguintes quantidades: 2, 2 e 1. Efetuando-se uma pesagem com os dois primeiros grupos, caso o prato fique equilibrado, ele saberá que a mais leve é a moeda do último grupo. Caso contrário, basta ele efetuar a última pesagem entre as moedas do prato mais alto. + +Existem ainda outras maneiras. Por exemplo, divida as moedas em quatro grupos com as quantidades: 3, 3, 3 e 2. Uma pesagem no último grupo, fornece de imediato a moeda mais leve caso a balança fique desequilibrada ou indica que as duas são normais possibilitando o descarte de tal grupo da busca. Assim, bastaria encontrar a moeda mais leve nos outros três grupos com duas pesagens repetindo o procedimento descrito no item $b$ ). + +Observação: Uma pergunta que pode ser usada para instigar os alunos é questioná-los se com duas pesagens seria ainda possível resolver o item $c$ ). + +Vejamos que não é possível com menos do que 3 pesagens. Cada pesagem pode ser codificada como uma dentre três informações: >, < ou =. Uma vez realizada a primeira pesagem, a partir de um dos três possíveis resultados, a segunda pesagem produzirá outras três possibilidades. + +As descobertas de moedas mais leves assim obtidas podem ser organizadas em um diagrama como ilustrado abaixo. As setas indicam as possibilidades de resultados após as pesagens e no final cada sequência deles deve indicar a moeda mais leve. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_80f7f1185898b39e7876g-29.jpg?height=939&width=782&top_left_y=433&top_left_x=731) + +Como existem no máximo 3$\cdot$3 = 9 pares de resultados envolvendo os símbolos $<,>\mathrm{e}=$, conseguiríamos identificar no máximo 9 moedas como resultados das pesagens. Daí, não é possível menos do que 3 pesagens indicarem a moeda mais leve dentre as 11 . + +## 31 Frações irredutíveis + +Uma fração irredutível é uma fração onde o numerador e o denominador não possuem fatores primos em comum. Por exemplo, $\frac{11}{7}$ é irredutível enquanto que $\frac{12}{14}$ não é, pois ainda podemos reduzi-la efetuando o cancelamento do número 2 : + +$$ +\frac{12}{14}=\frac{\not \cdot 6}{\not 2 \cdot 7}=\frac{6}{7} +$$ + +Assim, $\frac{12}{14}$ é igual à fração irredutível $\frac{6}{7}$. + +a) Determine uma fração irredutível igual a $\frac{111111}{14}$. + +b) Determine uma fração irredutível igual a $\frac{111111111}{18}$. + +c) Determine uma fração irredutível igual a $\frac{111 \ldots 111}{15}$ onde o dígito 1 se repete 2013 vezes no numerador. +d) Determine a soma do numerador e do denominador da fração irredutível que é igual à: + +$$ +\frac{111 \ldots 111}{2020 \ldots 0202} +$$ + +na fração anterior o numerador representa um número com 2014 algarismos iguais a 1 e no denominador existem 1007 algarismos 2 alternados por algarismos 0. + +## 31 Frações irredutiveis-Solução + +a) + +$$ +\begin{aligned} +\frac{111111}{14} & =\frac{7 \cdot 15873}{7 \cdot 2} \\ +& =\frac{15873}{2} +\end{aligned} +$$ + +Como 15873 não possui fator 2, a fração é irredutível. + +b) + +$$ +\begin{aligned} +\frac{111111111}{18} & =\frac{\phi \cdot 12345679}{9 \cdot 2} \\ +& =\frac{12345679}{2} +\end{aligned} +$$ + +Como 12345679 não possui fator 2, a fração é irredutível. + +c) Como $111=3 \cdot 37$, dividindo o numerador em grupos de três dígitos consecutivos, temos: + +$$ +\underbrace{111 \ldots 111}_{2013 \text { vezes }}=3 \cdot \underbrace{37037 \ldots 037}_{671 \text { vezes }} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{111 \ldots 111}{15} & =\frac{\not 3 \cdot 37037 \ldots 037}{\not \supset \cdot 5} \\ +& =\frac{37037 \ldots 037}{5} +\end{aligned} +$$ + +Como o numerador da fração anterior não é divisível por 5, ela é irredutível. + +d) Note que $11 \cdot 1010 \ldots 0101=111 \ldots 111$ e $2 \cdot 1010 \ldots 0101=2020 \ldots 0202$. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{111 \ldots 111}{2020 \ldots 0202} & =\frac{11 \cdot 1010 \ldots 0101}{2 \cdot 1010 \ldots 0101} \\ +& =\frac{11}{2} +\end{aligned} +$$ + +Como 11/2 é irredutível, a soma desejada é $11+2=13$. + +## 32 Grupos de quatro números com mesma soma + +a) Mostre uma maneira de separar todos os números de 1 a 16 em quatro conjuntos com quatro números cada, de modo que cada conjunto tenha a mesma soma. + +b) Mostre que existem pelo menos 1024 maneiras de escrever os números de 1 até 16 em cada uma das casinhas de um tabuleiro $4 \times 4$ de modo que a soma dos números de cada linha seja igual. + +## 32 Grupos de quatro números com mesma soma - Solução + +a) Primeiramente formemos oito pares de números escolhendo números opostos ao "meio" da sequência, ou seja, $(1,16),(2,15), \ldots,(7,10)$ e $(8,9)$. Veja que cada par possui soma 17 . Agora junte os pares em quatro grupos, cada um com soma 34 , por exemplo: $(1,16,2,15)$, $(3,14,4,13),(5,12,6,11)$ e $(7,10,8,9)$. + +b) Veja que os números obtidos no item anterior fornecem um exemplo de como colocar os números em cada linha. Vamos mostrar que temos pelo menos 1024 variações distintas desse exemplo. Em cada linha podemos "rodar" os números quatro vezes para a esquerda obtendo as sequências: $(1,16,2,15),(16,2,15,1),(2,15,1,16)$ e $(15,1,16,2)$. Além disso, podemos "rodar" as linhas quatro vezes de cima para baixo. Então, apenas rodando o "exemplo" contruído temos pelo menos 4 variações dentro de cada linha e mais outras 4 para rotações entre as linhas. Assim, no total teremos + +$$ +\underbrace{(4 \times 4 \times 4 \times 4)}_{\text {variações dentro das linhas }} \times \underbrace{4}_{\text {rotações entre as linhas }}=1024 +$$ + +maneiras de realizar esta tarefa. A figura abaixo mostra alguns exemplos de tabuleiros que podem ser obtidos pelas operações de rotações descritas: + +| 1 | 16 | 2 | 15 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 3 | 14 | 4 | 13 | +| 5 | 12 | 6 | 11 | +| 7 | 10 | 8 | 9 | + + +| 16 | 2 | 15 | 1 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 3 | 14 | 4 | 13 | +| 12 | 6 | 11 | 5 | +| 10 | 8 | 9 | 7 | + + +| 10 | 8 | 9 | 7 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 16 | 2 | 15 | 1 | +| 3 | 14 | 4 | 13 | +| 12 | 6 | 11 | 5 | + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2015_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2015_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0dd34f98525023a96edd4b2e5633bd81fb2f2e61 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2015_N2.md @@ -0,0 +1,907 @@ +# SOLUÇÕES DO NÍVEL 2 + +## 1 Conjunto de pesos suspensos + +A figura representa um conjunto de pesos suspensos em equilíbrio. Se o círculo pesa $40 \mathrm{~g}$, quanto pesa o retângulo? + +Observação: Você deve desconsiderar o peso das barras horizontais e dos fios. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-01.jpg?height=605&width=848&top_left_y=1431&top_left_x=704) + +## 1) Conjunto de pesos suspensos-Solução + +Seja $x$ o peso do retângulo. Como o retângulo e o triângulo estão em equilíbrio, o peso do triângulo também é $x$. Analisando o equilíbrio do conjunto que envolve o losango, o retângulo e o triângulo, podemos concluir que o peso do losango é $x+x=2 x$. Como o peso do círculo deve ser igual ao peso do conjunto formado pelo losango, o retângulo e o triângulo, podemos concluir que o seu peso vale $x+x+2 x=4 x$. Finalmente, dado que $4 x=40 \mathrm{~g}$, temos $x=10 g$. + +## 2 Espaço útil do quarto + +Pedro acabou de se mudar para sua nova casa e ganhou um novo quarto. A figura a seguir mostra uma vista superior simplificada de seu novo quarto que possui $2 \mathrm{~m}$ de largura por 2,5m de comprimento. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-02.jpg?height=697&width=963&top_left_y=545&top_left_x=455) + +A porta indicada na figura tem $50 \mathrm{~cm}$ de comprimento e pode ser aberta até encontrar a parede lateral. A janela é dividida em duas portas de mesmo comprimento que quando abertas encostam nas paredes vizinhas. Os arcos da figura mostram as aberturas da porta e da janela. A mãe de Pedro disse que ele deve colocar seus móveis no quarto de modo que não fiquem nos caminhos de abertura da porta nem da janela. Quantos metros quadrados Pedro tem em seu quarto para colocar os seus móveis? + +## 2 Espaço útil do quarto-Solução + +Seja $L$ o comprimento de cada porta da janela. Considerando que, quando as duas portas se abrem elas encostam nas paredes dos lados, temos então: $4 \cdot L=2$, ou seja, $L=0,5 \mathrm{~m}$. + +Chamemos de $A$ a área que Pedro tem para colocar seus móveis. Para determiná-la, basta considerar a área total e subtrair as áreas de abertura da porta e da janela. Sabendo que a porta abre $\frac{1}{4}$ de circunferência e que as janelas abrem, cada uma, meia circunferência, temos: + +$$ +\begin{aligned} +A & =2 \cdot 2,5-\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot(0,5)^{2}-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot(0,5)^{2} \\ +& =5-\frac{\pi}{16}-\frac{\pi}{4} \\ +& =\frac{80-5 \pi}{16} +\end{aligned} +$$ + +Então, Pedro possui $\frac{80-5 \pi}{16}$ metros quadrados para colocar seus móveis. + +## 3 Formando frações com dominós + +Um jogo comum de dominó é composto por 28 peças. Cada peça é formada por dois números inteiros que variam de $0 \mathrm{a} 6$, inclusive. Todas as possibilidades de combinações possíveis $(a, b)$, com $a \leq b$, são listadas exatamente uma vez. Note que a peça $(4,2)$ é listada como a peça $(2,4)$, pois $2 \leq 4$. Excluindo a peça $(0,0)$, para cada uma das outras 27 peças $(a, b)$, com $a \leq b$, escrevemos num quadro a fração $\frac{a}{b}$. + +a) Quantos valores distintos estão escritos nas formas de frações no quadro? (Veja que as frações $\frac{1}{2} \mathrm{e} \frac{2}{4}$ têm o mesmo valor e devem ser contadas apenas uma vez.) + +b) Qual a soma dos valores distintos encontrados no item anterior? + +## 3 Formando frações com dominós - Solução + +a) Basta começar contando pelos maiores denominadores e não repetir quando aparecerem os menores. + +i) Para $b=6$, temos + +$$ +\left(\frac{0}{6}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}\right)=\left(0, \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}, 1\right) +$$ + +ii) Para $b=5$, não devemos repetir $0=0 / 5$ e nem $1=5 / 5$, pois já foram contados, temos + +$$ +\left(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) +$$ + +iii) Para $b=4$, só podemos adicionar frações irredutíveis de denominador 4, pois já contamos as de denominador 1 e 2 quando $b=6$, temos então + +$$ +\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right) +$$ + +iv) Quando $b$ for 1, 2 ou 3, teremos frações que já foram contadas no caso $b=6$. Verifique! + +Logo, o número de valores distintos é $7+4+2=13$. + +b) Um bom jeito de somarmos as 13 frações é considerarmos suas formas redutíveis vistas no item anterior, ou seja, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{0}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6} & =\frac{21}{6} \\ +& =\frac{7}{2} \\ +\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5} & =\frac{10}{5} \\ +& =2 \\ +\frac{1}{4}+\frac{3}{4} & =1 +\end{aligned} +$$ + +Então a soma total é $\frac{7}{2}+2+1=\frac{13}{2}$. + +## 4 Bissetrizes + +A bissetriz de um ângulo é uma semirreta com origem no vértice de um ângulo que o divide em dois outros ângulos congruentes. Por exemplo, no desenho abaixo, a semirreta $O C$ é bissetriz do ângulo $\angle A O B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-04.jpg?height=471&width=517&top_left_y=638&top_left_x=655) + +a) A diferença entre dois ângulos consecutivos mas não adjacentes é $100^{\circ}$. Determine $o$ ângulo formado por suas bissetrizes. + +Observação: Lembre-se que dois ângulos são consecutivos se possuírem o mesmo vértice e pelo menos um lado em comum e que dois ângulos são adjacentes se não possuírem pontos interiores em comum. + +b) No desenho abaixo, $D A$ é bissetriz do ângulo $\angle C A B$. Determine o valor do ângulo $\angle D A E$ sabendo que $\angle C A B+\angle E A B=120^{\circ}$ e $\angle C A B-\angle E A B=80^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-04.jpg?height=434&width=699&top_left_y=1645&top_left_x=587) + +## 4 Bissetrizes - Solução + +a) Sejam $\angle B A D=2 x \mathrm{e} \angle B A C=2 y$ os ângulos adjacentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-05.jpg?height=371&width=528&top_left_y=454&top_left_x=864) + +O ângulo entre as bissetrizes é + +$$ +\begin{aligned} +\angle E A F & =\angle E A B-\angle F A B \\ +& =x-y \\ +& =\frac{2 x}{2}-\frac{2 y}{2} \\ +& =\frac{\angle C A B}{2}-\frac{\angle D A B}{2} \\ +& =\frac{100^{\circ}}{2} \\ +& =50^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +b) Sejam $x=\angle C A D=\angle D A B$ e $y=\angle E A B$. Então $2 x+y=120^{\circ}$ e $2 x-y=80^{\circ}$. Somando as duas equações, obtemos $4 x=200^{\circ}$, ou seja, $x=50^{\circ}$. Substituindo esse valor em $2 x+y=$ $120^{\circ}$, temos $y=120^{\circ}-2 x=120^{\circ}-100^{\circ}=20^{\circ}$. Portanto, + +$$ +\angle D A E=x-y=50^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ} +$$ + +## 5 Abandono do grupo + +Em um grupo de 200 pessoas, apenas $1 \%$ é mulher. Determine o número de homens que devem abandonar o grupo para que $98 \%$ das pessoas restantes sejam do sexo masculino. + +## 5 Abandono do grupo - Solução + +O número de mulheres é $200 \cdot \frac{1}{100}=2$. Para que tal número represente $2 \%=100 \%-98 \%$ da nova quantidade total de pessoas $x$, devemos ter $2=x \cdot \frac{2}{100}$, ou seja, $x=100$. Assim, devem sair $198-98=100$ pessoas do sexo masculino do grupo. + +## 6 Ângulos no triângulo + +No desenho abaixo, os pontos $E$ e $F$ pertencem aos lados $A B$ e $B D$ do triângulo $\triangle A B D$ de modo que $A E=A C$ e $C D=F D$. Se $\angle A B D=60^{\circ}$, determine a medida do ângulo $\angle E C F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-06.jpg?height=417&width=499&top_left_y=591&top_left_x=687) + +## 6 Ângulos no triângulo - Solução + +Sejam $2 \alpha=\angle E A C$ e $2 \beta=\angle F D C$. Como os triângulos $\triangle E A C$ e $\triangle F D C$ são isósceles, segue que $\angle A C E=\angle A E C=90^{\circ}-\alpha$ e $\angle D C F=\angle C F D=90^{\circ}-\beta$. Consequentemente, $\angle E C F=\alpha+\beta$. Analisando agora a soma dos ângulos do triângulo $\triangle A B D$, temos $60^{\circ}+2 \alpha+2 \beta=180^{\circ}$, ou seja, $60^{\circ}=\alpha+\beta$. Como já sabemos que $\angle E C F=\alpha+\beta$, então $\angle E C F=60^{\circ}$. + +## 7 Soluções do sistema + +Encontre todas as soluções, no conjunto dos números reais positivos, do sistema de equações: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x(x+y+z)=26 \\ +y(x+y+z)=27 \\ +z(x+y+z)=28 +\end{array}\right. +$$ + +## 7 Soluções do sistema - Solução + +Somando as três equações, obtemos $(x+y+z)^{2}=81$, ou seja, $x+y+z=9$, pois queremos soluções positivas. Substituindo tal valor em cada equação, temos: $x=26 / 9, y=27 / 9=3 \mathrm{e}$ $z=28 / 9$. Assim, a única solução do sistema é $(x, y, z)=(27 / 9,3,28 / 9)$. + +## 8 Áreas entre círculos + +a) No desenho abaixo, $A B C D$ é um quadrado de lado $4 \mathrm{~cm}$ e as regiões hachuradas foram delimitadas por dois semicírculos de diâmetros $A B$ e $B C$. Calcule a área da região hachurada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-07.jpg?height=362&width=386&top_left_y=710&top_left_x=938) + +b) Dado o quadrado $A B C D$ de lado 2. Sejam $O$ o centro do quadrado e $E$ e $F$ os pontos médios dos lados $C D$ e $A B$. Se os segmentos $F H$ e $G E$ têm mesma medida e os arcos $F E, E H, H O, O G, F G$ são semicircunferências, encontre a área sombreada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-07.jpg?height=449&width=440&top_left_y=1346&top_left_x=908) + +## 8 Áreas entre círculos - Solução + +a) Traçando as diagonais $A C$ e $B D$ delimitamos quatro setores circulares com mesma área. A soma das áreas pontilhadas corresponde à área tracejada contida no interior do triângulo $\triangle A B C$. Assim, a área tracejada inicial vale metade da área do quadrado $A B C D$, ou seja, $4 \cdot 4 / 2=8 \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-07.jpg?height=363&width=386&top_left_y=2337&top_left_x=935) +b) Como $F H=G E$, temos $H O=F O-F H=O E-G E=O G$. Consequentemente o semicírculo de diâmetro $H O$ possui a mesma área do semicírculo de diâmetro OG. Além disso, a área entre os $\operatorname{arcos} F G$ e $H O$ é igual à área entre os $\operatorname{arcos} G O$ e $E H$. Daí, a área procurada corresponde a área de um semicírculo de diâmetro $F E$. Como o raio do semicírculo de diâmetro $F E$ mede 1, a área sombreada mede $\frac{\pi \cdot 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-08.jpg?height=411&width=417&top_left_y=660&top_left_x=725) + +## 9 Distribuindo os pontos entre os itens + +O professor Carlão decidiu fazer uma questão de matemática que vale no total 10 pontos e possui três itens: $a, b$ e $c$. Após elaborar os itens, ele ficou na dúvida sobre qual a melhor maneira de distribuir os 10 pontos entre os itens de modo que cada um valha um número inteiro positivo de pontos. + +a) Joana, uma professora amiga de Carlão, sugeriu que o item $c$ deveria valer o mesmo tanto de pontos que a soma dos itens $a$ e $b$ pois, segundo ela, o item $c$ é mais difícil. Se Carlão seguir a sugestão de Joana, de quantos modos diferentes ele pode distribuir os pontos? + +b) Desconsiderando a sugestão de Joana, ou seja, considerando que Carlão vai distribuir os pontos de uma maneira qualquer, de quantos modos diferentes ele pode distribuir os 10 pontos da questão entre os três itens? + +## 9 Distribuindo os pontos entre os itens - Solução + +a) Se Carlão seguir a sugestão de Joana o item $c$ valerá 5 pontos e os itens $a$ e $b$ devem somar outros 5 pontos. Teremos então quatro divisões possíveis de itens $(a, b, c):(1,4,5),(2,3,5)$, $(3,2,5)$ e $(4,1,5)$. +b) Uma vez definidas as pontuações dos itens $a$ e $b$, o item $c$ valerá $10-a-b$ pontos e, portanto, bastará contarmos o número de maneiras de escolhermos $a$ e $b$. Se os itens $a$ e $b$ valem juntos $n$ pontos, então teremos $n-1$ possibilidades de pares de inteiros positivos $(a, b):$ + +$$ +(1, n-1),(2, n-2),(3, n-3), \ldots,(n-1,1) +$$ + +Como a soma $a+b$ deve valer no máximo 9 , quando $c$ é mínimo e vale 1 , e no mínimo $1+1=2$ pontos, quando $a$ e $b$ são mínimos, o total de maneiras de distribuirmos esses pontos é + +$$ +\begin{array}{r} +(9-1)+(8-1)+(7-1)+(6-1)+(5-1)+(4-1)+(3-1)+(2-1)= \\ +8+7+6+5+4+3+2+1= +\end{array} +$$ + +36 . + +Assim, Carlão pode distribuir os 10 pontos de 36 modos diferentes. + +## 10 Eliminando radicais + +Encontre dois inteiros positivos $x$ e $y$ tais que: + +$$ +\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2} +$$ + +## 10 Eliminando radicais - Solução + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & =\frac{-2+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}} \\ +& =\frac{-2+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}} \cdot \frac{2 \sqrt{2}+2+2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}+2+2 \sqrt{3}} \\ +& =\frac{-\sqrt{2}+(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+1)-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}+(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+1)+\sqrt{3}} \\ +& =\frac{(1+\sqrt{3})^{2}-2}{(\sqrt{2}+1)^{2}-3} \\ +& =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $x=2$ e $y=6$ satisfazem ao enunciado. + +Observação: É possível mostrar que essas são as únicas soluções inteiras. De fato, foi mostrado que $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2} & =(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2} \\ +x+y+2 \sqrt{x y} & =8+4 \sqrt{3} \\ +2 \sqrt{x y}-4 \sqrt{3} & =8-x-y +\end{aligned} +$$ + +Se $2 \sqrt{x y}-4 \sqrt{3} \neq 0$, segue que: + +$$ +\begin{aligned} +2 \sqrt{x y}+4 \sqrt{3} & =\frac{(2 \sqrt{x y})^{2}-(4 \sqrt{3})^{2}}{2 \sqrt{x y}-4 \sqrt{3}} \\ +& =\frac{4 x y-48}{8-x-y} +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, subtraindo esse resultado da última igualdade encontrada, temos + +$$ +\begin{aligned} +\left(\frac{4 x y-48}{8-x-y}\right)-(8-x-y) & =(2 \sqrt{x y}+4 \sqrt{3})-(2 \sqrt{x y}-4 \sqrt{3}) \\ +& =8 \sqrt{3} +\end{aligned} +$$ + +Isso é um absurdo, pois $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \mathrm{e}\left(\frac{4 x y-48}{8-x-y}\right)-(8-x-y) \in \mathbb{Q}$. Portanto, $2 \sqrt{x y}-4 \sqrt{3}=0 \mathrm{e}$ $\sqrt{x y}=\sqrt{12}$. Basta agora resolver o sistema: + +$$ +\left\{\begin{aligned} +\sqrt{x}+\sqrt{y} & =\sqrt{2}+\sqrt{6} \\ +\sqrt{x y} & =\sqrt{12} +\end{aligned}\right. +$$ + +Elevando a primeira equação ao quadrado e usando que $\sqrt{x y}=\sqrt{12}$, obtemos que $x+y=8$ e $12=x y=x(8-x)=8 x-x^{2}$. As raízes de $12=8 x-x^{2}$ são $x=2$ e $x=6$. Logo, $(x, y)=(2,6)$ ou (6,2). + +## 11 Desigualdade triangular + +João acaba de aprender a desigualdade triangular que diz que, em qualquer triângulo, um lado é sempre menor que a soma dos outros dois e também é maior que a diferença entre eles. + +a) O lado $A C$ do triângulo $A B C$ tem comprimento $3,8 \mathrm{~cm}$ e o lado $A B$ tem comprimento $0,6 \mathrm{~cm}$. Se o comprimento do lado $B C$ é um inteiro, qual é o seu valor? +b) Determine os valores de $x$ e $y$ na figura abaixo, sabendo que eles são números inteiros. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-11.jpg?height=639&width=671&top_left_y=320&top_left_x=790) + +## 11 Desigualdade triangular - Solução + +a) O comprimento do lado $B C$ deve ser menor que $3,8+0,6=4,4 \mathrm{~cm}$ e maior que $3,8-0,6=3,2 \mathrm{~cm}$. O lado $B C$ corresponde ao único inteiro entre tais números, ou seja, $B C=4 \mathrm{~cm}$. + +b) Pela desigualdade triangular aplicada aos triângulos $\triangle B D C$ e $\triangle B E D$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +& y<3+4 \\ +& x<1+y +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, $x<1+3+4=8$. Analisando o triângulo $F B E$, temos $x>7-2=5$. Portanto, como $x$ é um número inteiro, $x=6$ ou $x=7$. Analisando os triângulos $\triangle B E D$ e $\triangle B C D$, teríamos $y>x-1$ e $y<3+4=7$. Se $x=7$, teríamos $61$, então alguma outra diagonal deve ser traçada entre os vértices do conjunto $\left\{A, C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{k}, B\right\}$, pois o polígono $A C_{1} C_{2} \ldots C_{k} B$ também deve estar dividido em triângulos. Isso geraria um absurdo, pois tal diagonal produziria uma cadeia menor de vértices. Portanto, $k=1$ e $A B$ faz o vértice $C_{1}$ ter o número 1 . + +Observação: É possível mostrar que existem pelo menos dois vértices com o número 1 escrito. + +c) O primeiro passo é procurar algum vértice com o número 1 . A partir dele, podemos concluir que certamente existe uma diagonal entre seus dois vizinhos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-15.jpg?height=658&width=1446&top_left_y=2006&top_left_x=407) + +Após traçarmos tal diagonal, devemos desconsiderar o triângulo formado e repetir o processo no novo polígono com os números de seus vértices atualizados. Se em qualquer momento o número 1 não estiver escrito é porque ele deve ser o número desconhecido. Como existe um número finito de diagonais, após um número finito de repetições desse processo, todas elas serão traçadas. + +## 16 Razão entre segmentos + +Na figura abaixo, $A B C D$ é um retângulo e $E$ é o ponto médio de $A D$. O segmento $F G$ passa pelo ponto médio $M$ de $C E$. Determine a razão entre os comprimentos de $G M$ e $M F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-16.jpg?height=351&width=580&top_left_y=1115&top_left_x=652) + +## 16 Razão entre segmentos - Solução + +Pelo ponto $M$, trace o segmento de reta $P Q$ perpendicular aos lados $A B$ e $C D$ do retângulo $A B C D$ como mostra a figura abaixo. Como $M$ é o ponto médio de $C E$, podemos concluir que $P M$ é base média relativa ao lado $D E$ do triângulo $E C D$. Assim, se $D E=E A=x, P M=$ $D E / 2=x / 2$. Como $E$ é ponto médio de $D A$, temos $P Q=D A=2 x$. Consequentemente, $M Q=2 x-P M=3 x / 2$. Os triângulos $\triangle P M G$ e $\triangle M F Q$ são semelhantes, pois possuem os mesmos ângulos. Portanto, + +$$ +\frac{G M}{M F}=\frac{P M}{M Q}=\frac{x / 2}{3 x / 2}=\frac{1}{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-16.jpg?height=454&width=737&top_left_y=2240&top_left_x=568) + +## 17 Previsões astrológicas + +João trabalha vendendo pacotes de previsão astrológica. Para incrementar as vendas de suas previsões, ele oferece descontos caso pessoas de um mesmo signo queiram contratar seus serviços. No Horóscopo Grego, como existem exatamente 12 signos, portanto, em um grupo de 13 pessoas, sempre duas delas terão o mesmo signo e poderão se interessar pelo pacote promocional. + +a) Qual o número mínimo de pessoas que um grupo deve possuir para ele ter certeza de que existirão pelo menos 3 pessoas de um mesmo signo do Horóscopo Grego? + +b) No Horóscopo Chinês, também existem exatamente 12 signos. Se João quiser ter certeza de que, em determinado grupo de pessoas existirão duas possuindo exatamente os mesmos signos, tanto no Horóscopo Grego quanto no Horóscopo Chinês, qual o número mínimo de pessoas que tal grupo deve ter? + +## 17 Previsões astrológicas - Solução + +a) O mínimo é 25. Se em um grupo de 24 pessoas cada signo aparecer no máximo duas vezes, teremos no máximo $2 \cdot 12=24$ pessoas. Como $24<25$, isso mostra que pelo menos um dos signos deverá aparecer três vezes. De fato, esse é o mínimo onde tal propriedade ocorre pois se considerarmos 24 pessoas divididas em 12 pares com o mesmo signo, a propriedade do enunciado não será encontrada. + +b) O número mínimo é $12 \cdot 12+1=145$. Veja que existem no máximo $12 \cdot 12=144$ pares de combinações possíveis entre signos Gregos e Chineses. Se escolhermos 145 pessoas e as dividirmos de acordo com esses pares, pelo menos um deles deverá ser usado duas vezes. Não é possível concluirmos isso com menos de 145, pois é possível 144 pessoas apresentarem todos os pares possíveis de combinações sem repetições. + +Observação: Os argumentos usados em ambos os itens são aplicações do Princípio da Casa dos Pombos. Veja o problema 11 do nível 1 do Banco de 2014. + +## 18 Quadrado inclinado + +Na figura abaixo, $\angle A B F=\angle F B C=45^{\circ}$ e $A C D E$ é um quadrado. Se $A B=2 / 3 \cdot B C$, determine a razão $\frac{E F}{F D}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-18.jpg?height=586&width=617&top_left_y=518&top_left_x=617) + +## 18 Quadrado inclinado - Solução + +Pelos pontos $E$ e $D$, as retas paralelas aos lados $B C$ e $A B$ do triângulo $\triangle A B C$ determinam, juntamente com os prolongamentos desses lados, os pontos $G, H$ e $I$, como indicado na figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-18.jpg?height=539&width=537&top_left_y=1478&top_left_x=657) + +Dado que $\angle A B C=90^{\circ}$, segue que $G H I B$ é um retângulo. Como $\angle B A C+\angle A C B=90^{\circ} \mathrm{e}$ $\angle A C D=90^{\circ}$, segue que $\angle D C I=\angle B A C$. Assim, o triângulo $\triangle D C I$ possui os mesmos ângulos do triângulo $\triangle A B C$ e $A C=C D$. Pelo caso de congruência $A L A$, esses dois triângulos são congruentes. Da mesma forma podemos mostrar que $\triangle A B C \equiv \triangle G A E \equiv \triangle E H D$. Consequentemente $G H=G E+E H=A B+B C=H D+D I$ e, portanto, $G H I B$ é um quadrado. Isso implica que $\angle G H B=\angle B H I=45^{\circ}$. Pelo Teorema da Bissetriz Interna aplicado ao triângulo $\triangle E H D$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{E F}{F D} & =\frac{E H}{H D} \\ +& =\frac{B C}{A B} \\ +& =\frac{3}{2} +\end{aligned} +$$ + +## 19 Arranjos de flores no quadrado + +Um decorador distribuirá flores em oito pontos ao redor de um arranjo quadrado de flores, como indicado na figura abaixo. Ele quer fazer isso de modo tal que, em cada lado do arranjo, as pessoas vejam sempre a mesma quantidade de flores. No exemplo abaixo, temos o total de 11 flores e em cada um dos 4 lados do quadrado são vistas exatamente 4 delas. + +a) Qual o número máximo de flores que podem ser usadas, considerando que em cada lado do quadrado devem ser vistas exatamente 9 flores? + +b) Qual o número mínimo de flores que podem ser usadas, considerando que em cada lado do quadrado devem ser vistas exatamente 12 flores? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-19.jpg?height=519&width=514&top_left_y=954&top_left_x=859) + +## 19 Arranjos de flores no quadrado - Solução + +a) A soma das flores vistas nos lados é $4 \cdot 9=36$. Como as flores nos cantos são vistas por dois lados e as flores no meio dos lados são vistas apenas uma vez, podemos escrever: + +$$ +2 C+M=36 +$$ + +onde $C$ e $M$ indicam as quantidades de flores nos cantos e no meio. Consequentemente, $C+M=36-C \leq 36$ e seu valor será no máximo 36 , que ocorre quando $C=0$. Assim, devemos distribuir nas posições 2, 4, 6 e 8 exatamente 9 flores. Portanto, o número máximo de flores é 36 . + +b) A soma das flores vistas nos lados agora é $4 \cdot 12=48$ e a equação do item anterior se transforma em $2 C+M=48$. Consequentemente, $2(C+M)=48+M \geq 48$. Para atingir tal valor, como devemos ter $M=0$, basta distribuir 6 flores em cada um dos quatro cantos 1 , 3, 5 e 7 do arranjo. Portanto, o número mínimo de flores é 24. + +## 20 Somando no tabuleiro de Xadrez + +Um tabuleiro de Xadrez tem suas linhas e colunas numeradas conforme a figura a seguir. Em cada casa é escrito o número que é a soma dos números da linha e da coluna dessa casa. Por exemplo, na casa que está na linha 4 e na coluna 5 é escrito o número $4+5=9$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-20.jpg?height=445&width=446&top_left_y=563&top_left_x=702) + +a) Qual a soma dos números escritos em todas as casas do tabuleiro? + +b) Sejam $S_{\text {pretas }}$ a soma de todos os números escritos nas casas pretas e $S_{\text {brancas }}$ a soma de todos os números escritos em casas brancas. Quanto vale a diferença $S_{\text {pretas }}-S_{\text {brancas }}$ ? + +c) Quanto vale $S_{\text {pretas }}$ ? + +## 20 Somando no tabuleiro de Xadrez - Solução + +a) Veja que na linha 1 o número 1 é somado em cada uma das 8 casinhas, na linha 20 número 2 também é somado oito vezes, e assim por diante. Desse modo, podemos contabilizar a contribuição das linhas por: + +$$ +\begin{aligned} +8 \cdot(1+2+3+4+5+6+7+8) & =8 \cdot 36 \\ +& =288 +\end{aligned} +$$ + +O mesmo se passa com a contribuição das colunas, também totalizando 288. Concluímos que a soma de todas as casas é $2 \cdot 288=576$. + +b) Essa diferença também pode ser feita analisando-se a contribuição de cada linha e cada coluna, mas nesse caso para cada casa preta devemos somar o seu número, enquanto que para cada casa branca devemos subtraí-lo. Como cada linha e cada coluna possui exatamente quatro casas pretas e quatro brancas, o número escrito em uma linha ou coluna deve ser somado e subtraído 4 vezes, ou seja, contribui com $4-4=0$. Portanto, concluímos que $S_{\text {pretas }}-S_{\text {brancas }}=0$. + +c) Juntando as duas informações dos itens $a$ ) e $b$ ), temos + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +S_{\text {pretas }}+S_{\text {brancas }}=576 \\ +S_{\text {pretas }}-S_{\text {brancas }}=0 . +\end{array}\right. +$$ + +Somando as duas linhas, temos $2 S_{\text {pretas }}=576$, ou seja, $S_{\text {pretas }}=288$. + +## 21 Inteiros positivos espertinhos + +Dizemos que um número inteiro positivo $n$ é espertinho se existirem números inteiros positivos $a, b, c$ e $d$, não necessariamente distintos, tais que: + +$$ +n=\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}+d^{2}} +$$ + +Por exemplo, 12 é espertinho, pois: + +$$ +12=\frac{16^{2}-4^{2}}{4^{2}+2^{2}} +$$ + +Mostre que todos os números inteiros positivos são espertinhos. + +## 21 Inteiros positivos espertinhos - Solução + +Podemos reescrever a equação da seguinte forma: + +$$ +\begin{aligned} +n & =\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}+d^{2}} \\ +n\left(c^{2}+d^{2}\right) & =(a+b)(a-b) +\end{aligned} +$$ + +Se conseguirmos inteiros positivos tais que $a+b=n$ e $a-b=c^{2}+d^{2}$, teremos uma solução para a equação. Se é $n$ par, basta fazermos $c=d=1$ e resolvermos o sistema + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a+b=n \\ +a-b=2 +\end{array}\right. +$$ + +Somando e subtraindo as equações, encontramos a solução $a=\frac{n+2}{2}$ e $b=\frac{n-2}{2}$. Se $n>2, a$ e $b$ são inteiros positivos. Para ver que $n=2$ também é espertinho, escrevemos + +$$ +2=\frac{5^{2}-3^{2}}{2^{2}+2^{2}} +$$ + +Se $n$ é ímpar, podemos usar o mesmo raciocínio tomando $c=1 \mathrm{e} d=2$. Daí, teremos $c^{2}+d^{2}=$ 5 e: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a+b=n \\ +a-b=5 +\end{array}\right. +$$ + +Novamente, somando e subtraindo as equações, encontramos a solução $a=\frac{n+5}{2}$ e $b=\frac{n-5}{2}$. Se $n>5, a$ e $b$ são inteiros positivos. Para ver que 1, 3 e 5 também são espertinhos, escrevemos: + +$$ +\begin{aligned} +1 & =\frac{7^{2}-6^{2}}{3^{2}+2^{2}} \\ +3 & =\frac{8^{2}-5^{2}}{3^{2}+2^{2}} \\ +5 & =\frac{9^{2}-4^{2}}{3^{2}+2^{2}} +\end{aligned} +$$ + +## 22 Crianças dando voltas no lago + +Dez crianças decidem correr ao redor de um lago circular com $200 \mathrm{~m}$ de perímetro. No início da corrida, as dez crianças estão paradas ocupando posições distintas e cada uma delas correrá no sentido horário ou anti-horário, a depender de sua vontade, com velocidade de 200 $\frac{200}{k} \mathrm{~m} / \mathrm{min}$, onde $k$ é um inteiro positivo. Mostre que depois de certo tempo, existirá um instante em que todas as crianças estarão exatamente sobre as suas mesmas posições iniciais. + +## 22 Crianças dando voltas no lago - Solução + +Se uma criança tem velocidade $\frac{200}{k} \mathrm{~m} / \mathrm{min}$, então ela demorará $k$ minutos para dar uma volta completa no lago. Tendo isso em mente, se $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{10}$ denotam os inteiros associados às velocidades das 10 crianças e $M$ é um múltiplo comum de todos eles, após $M$ minutos a primeira criança terá feito exatamente $\frac{M}{k_{1}}$ voltas e estará sobre sua posição inicial. Do mesmo modo, cada uma das outras crianças terá feito uma quantidade inteira de voltas e estará sobre sua posição inicial. Concluímos então que após $M$ minutos todas as crianças estarão em suas posições iniciais. + +## 23 Somando e multiplicando os números das cinco crianças + +Cinco crianças sentam-se ao redor de uma mesa circular. Cada criança escolhe um número inteiro positivo e o relata para as outras. Em seguida, cada criança faz a seguinte conta: soma os números das duas crianças à sua esquerda, subtrai a soma dos números das outras duas crianças à sua direita e multiplica essa diferença pelo seu próprio número, chegando assim ao seu resultado final. + +Prove que a soma dos resultados finais de todas as crianças é um valor fixo que não depende dos números que as crianças escolheram inicialmente e, em seguida, determine esse valor. + +## 23 Somando e multiplicando os números das cinco crianças -Solução + +Vamos supor que os números em sentido horário são $a, b, c, d$ e $e$. Os valores obtidos como resultados finais são: + +$$ +\begin{aligned} +a((e+d)-(b+c)) & =a e+a d-a b-a c \\ +b((a+e)-(c+d)) & =b a+b e-b c-b d \\ +c((b+a)-(d+e)) & =c b+c a-c d-c e \\ +d((c+b)-(e+a)) & =d c+d b-d e-d a \\ +e((d+c)-(a+b)) & =e d+e c-e a-e b +\end{aligned} +$$ + +Veja que cada produto de dois números escolhidos inicialmente aparece uma vez com o sinal + e uma vez com o sinal -, por exemplo, ae aparece positivo na primeira expressão e negativo na última. Isso acontece, pois se um número $x$ tem $y$ no lado esquerdo, aparecerá $+x y$ em seu resultado final associado, enquanto que $y$ tendo $x$ do lado direito produzirá $-x y$ também em seu resultado final associado. Sendo assim, a soma dos resultados é sempre igual a zero. + +## 24 Descobrindo os números curiosos + +Sejam $a$ e $b$ dois dígitos diferentes de zero não necessariamente diferentes. O número de dois dígitos $\overline{a b}$ é chamado de curioso, se ele for um divisor do número $\overline{b a}$, que é formado pela troca da ordem dos dígitos de $\overline{a b}$. Ache todos os números curiosos. + +Observação: $\mathrm{O}$ traço sobre os números serve para distinguir o produto $a \cdot b$ do número de dois dígitos $\overline{a b}$. + +## 24 Descobrindo os números curiosos -Solução + +O número de dois dígitos $\overline{a b}$ pode ser escrito como $10 a+b$, assim como $\overline{b a}=10 b+a$. Se $10 a+b$ é divisor de $10 b+a$, temos $10 b+a=(10 a+b) k$, onde $k$ é um inteiro menor ou igual a 9 já que os dois números possuem dois dígitos. Segue que + +$$ +\begin{aligned} +10 b+a & =(10 a+b) k \\ +10 b+a+10 a+b & =(10 a+b)(k+1) \\ +11(a+b) & =(10 a+b)(k+1) +\end{aligned} +$$ + +Pela última equação, o número $(10 a+b)(k+1)$ deve ser múltiplo de 11 . Como $k \leq 9$, temos $k+1 \leq 10$ e, consequentemente, $k+1$ não possui fator 11 , implicando que $10 a+b$ deve ser múltiplo de 11. Todos os números de dois dígitos múltiplos de 11 possuem dígitos iguais $\mathrm{e}$ isso nos permite concluir que necessariamente $a=b$. Quando $a=b, \overline{a b}=\overline{b a}$ e, certamente, um divide o outro. Portanto, o conjunto dos números curiosos é + +$\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}$. + +## 25 Mudando de cor com fios mágicos + +Algumas lâmpadas de Natal são arranjadas usando fios mágicos. Cada lâmpada pode ser da cor verde ou amarela. Cada fio está ligado a duas lâmpadas e tem uma propriedade mágica: quando alguém toca em um fio unindo duas lâmpadas, cada uma delas troca de cor passando de verde para amarela ou de amarela para verde. + +a) No arranjo a seguir, cada ponto representa uma lâmpada e os segmentos representam os fios mágicos. No começo todas elas são amarelas. Qual o menor número de fios que devemos tocar para que todas as lâmpadas se tornem verdes? Mostre um exemplo de como fazer essa mudança com esse número mínimo de fios. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-24.jpg?height=320&width=463&top_left_y=859&top_left_x=702) + +b) Considere o arranjo da figura a seguir onde todas as lâmpadas estão com a cor amarela. Mostre que não é possível tocar em alguns fios mágicos e mudar a cor de todas as lâmpadas para o verde. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-24.jpg?height=323&width=685&top_left_y=1426&top_left_x=594) + +## 25 Mudando de cor com fios mágicos -Solução + +a) Cada fio que tocamos muda exatamente a cor de duas lâmpadas. Como existem 16 lâmpadas amarelas, devemos encostar em pelo menos 8 fios. A figura a seguir mostra um exemplo de escolhas de fios que torna isso possível: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-24.jpg?height=340&width=471&top_left_y=2286&top_left_x=701) +b) Veja que a configuração dada no item b) possui exatamente 23 lâmpadas. Note que ao encostar em um fio mágico temos três possibilidades de mudanças de lâmpadas: + +i) Duas verdes podem virar duas amarelas. + +ii) Duas amarelas podem virar duas verdes. + +iii) Uma verde e uma amarela viram uma amarela e uma verde. + +Assim, ou o número de lâmpadas verdes diminui 2, aumenta 2 ou permanece o mesmo. Desse modo, se no início começamos com 0 verdes, sempre teremos uma quantidade par de lâmpadas verdes. Como 23 é ímpar, não é possível chegar a tornar todas as 23 lâmpadas verdes. + +## 26 Marcando casinhas do tabuleiro 8 por 8 + +É dado um tabuleiro $8 \times 8$. + +a) Qual o número mínimo de casinhas que devemos marcar nesse tabuleiro, de modo que cada um de seus subtabuleiros $3 \times 3$ possua pelo menos uma casinha marcada? + +b) Qual o número mínimo de casinhas que devemos marcar nesse tabuleiro, de modo que cada um de seus subtabuleiros $3 \times 3$ possua pelo menos três casinhas marcadas? + +## 26 Marcando casinhas do tabuleiro 8 por 8 -Solução + +a) Considere a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-25.jpg?height=420&width=434&top_left_y=2069&top_left_x=914) + +Cada um dos quatro subtabuleiros $3 \times 3$ assinalados na figura deve ter pelo menos uma casa marcada. Além disso, com as quatro casas marcadas na figura acima, temos a propriedade desejada. Portanto, o mínimo é 4. +b) Considere a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-26.jpg?height=409&width=411&top_left_y=361&top_left_x=728) + +Veja que cada um dos seis pedaços $3 \times 3$ deve ter pelo menos três casas marcadas. Veja também que existem duas casas que podem ser contadas para dois pedaços. Com isso, teremos no mínimo $6 \times 3-2=16$ casas marcadas. Observe ainda que com as 16 casas marcadas na figura temos a propriedade desejada. + +## 27 Jogando com dominós + +Umberto e Doisberto jogam em um tabuleiro $3 \times n$ colocando dominós sempre cobrindo duas casas adjacentes (com lado em comum) do tabuleiro. Umberto faz a primeira jogada, Doisberto faz a segunda e eles seguem jogando alternadamente. Perde o jogador que não conseguir jogar. Para cada um dos casos abaixo, diga quais dos jogadores pode bolar uma estratégia e sempre garantir a vitória independentemente de como o outro jogue. + +a) $n=3$ + +b) $n=4$ + +## 27 Jogando com dominós - Solução + +a) Doisberto pode sempre garantir a vitória. Basta ele realizar um movimento que complete um quadrado $2 \times 2$ a partir do primeiro dominó de Umberto. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-26.jpg?height=211&width=211&top_left_y=2296&top_left_x=837) + +Veja na figura que sobram 5 casas. Independente da jogada de Umberto, na jogada seguinte de Doisberto, o jogo acaba com a sua vitória. +b) Umberto pode sempre garantir a vitória. Basta ele jogar o primeiro dominó nas duas casas centrais do tabuleiro. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-27.jpg?height=228&width=297&top_left_y=440&top_left_x=979) + +A partir daí, a cada jogada de Doisberto, Umberto deve jogar de forma simétrica em relação ao centro do tabuleiro, ou seja, como se ele imitasse a jogada de Doisberto. Por exemplo, se Doisberto colocar uma peça na horizontal começando no canto superior esquerdo, Umberto deve colocar outra peça também na horizontal começando no canto inferior direito. Desse modo, se Doisberto fizer uma jogada, certamente Umberto também poderá fazer a sua. Depois de algumas jogadas, Doisberto não poderá jogar e perderá o jogo. + +## 28 Separando em conjuntos de mesmo produto + +a) Mostre que não é possível separar os números do conjunto $A=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ em dois conjuntos em que o produto dos números em cada um deles é o mesmo. + +b) Qual o menor número de elementos que precisamos retirar do conjunto $A$ de modo que os elementos restantes possam ser divididos em dois conjuntos cujo produto de seus elementos sejam iguais? Mostre que números devem ser retirados e como separar os dois conjuntos. + +## 28 Separando em conjuntos de mesmo produto - Solução + +a) Basta olharmos para o número 7. Como ele é o único número de $A$ com fator 7, não é possível dividi-los em dois com o mesmo produto de seus elementos, pois um desses produtos seria múltiplo de 7 e o outro não. +b) Retirando apenas o número 7, mostraremos que é possível fazer tal divisão. Listemos as fatorações dos outros números em primos: + +| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 2 | 3 | $2^{2}$ | 5 | $2 \cdot 3$ | $2^{3}$ | $3^{2}$ | $2 \cdot 5$ | + +Existem exatamente dois números com fatores 5 e inevitalmente 5 e 10 devem estar em conjuntos separados. Como existem quatro fatores 3, distribuídos em três números, 9 deve ficar em um conjunto enquanto 3 e 6 devem ir para o outro. Finalmente, basta dividir os oito fatores 2 restantes. Um exemplo seria + +$$ +\begin{aligned} +& C_{1}=\{1,10,3,6,4\} \mathrm{e} \\ +& C_{2}=\{5,9,2,8\} +\end{aligned} +$$ + +Cada um dos conjuntos anteriores possui o produto dos elementos igual a 720 . + +## 29 Somando e subtraindo em um quadrado 3 por 3 + +É dado um quadrado $3 \times 3$ com números escritos em cada casinha $1 \times 1$. As jogadas permitidas são escolher uma linha, uma coluna ou uma diagonal e somar ou subtrair 1 dos três números que estiverem nela. Prove que não é possível começar com os números na configuração da esquerda e chegar aos números na configuração da direita após algumas operações. + +| 0 | 1 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | + + +| 1 | 0 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 0 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 1 | + +## 29 Somando e subtraindo em um quadrado 3 por 3 - Solução + +Seja $S$ a soma de todos os números nas casinhas do quadrado. Ao somarmos 1 em três casinhas, trocamos $S$ por $S+3$ e, ao subtrairmos 1 em três casinhas, trocamos $S$ por $S-3$. Como estamos sempre somando ou subtraindo 3 , o resto da soma de todos os números na divisão por 3 não se altera. Na primeira configuração temos soma 4 e na segunda configuração temos soma 5. Como 4 e 5 não deixam o mesmo resto na divisão por 3, não é possível ir de uma configuração para a outra. + +## 30 Retângulos encaixados + +Na figura abaixo, $A B C D$ e $E F G H$ são retângulos de lados paralelos. Sabendo que $A E=10$, $B F=20$ e $D H=30$, determine o comprimento do segmento $C G$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-29.jpg?height=471&width=751&top_left_y=581&top_left_x=755) + +## 30 Retângulos encaixados - Solução + +Realizaremos duas transformações geométricas no desenho de modo a manter os comprimentos de $A E, D H, G C$ e $B F$ inalterados. Translademos ${ }^{1}$ o trapézio $A E F B$ para a direita como indicado na figura abaixo até $E F$ coincidir com $H G$. Em seguida, translade o triângulo $\triangle A H D$, também como indicado abaixo, até que $H$ coincida com $G$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-29.jpg?height=952&width=1354&top_left_y=1552&top_left_x=455) + +Sejam $P$ o novo ponto obtido pelo colapso de $E, H, G$ e $F$ e $x, y, z$ e $w$ as suas distâncias aos[^0]lados do retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras, temos: + +$$ +\begin{aligned} +& A E^{2}=A P^{2}=x^{2}+z^{2} \\ +& D H^{2}=P D^{2}=x^{2}+w^{2} \\ +& G C^{2}=P C^{2}=y^{2}+w^{2} \\ +& B F^{2}=P B^{2}=z^{2}+y^{2} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +A E^{2}+G C^{2} & =x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2} \\ +& =D H^{2}+B F^{2} \\ +& =900+400 +\end{aligned} +$$ + +Finalmente, $G C=\sqrt{900+400-100}=20 \sqrt{3}$. + +## 31 Pintando de preto e branco + +João conseguiu pintar de preto e branco os quadrados de um tabuleiro $n \times n$ de modo que as interseç̃oes de quaisquer duas linhas e de quaisquer duas colunas não eram constituídas por quadrados com a mesma cor. Qual o valor máximo de $n$ ? + +## 31 Pintando de preto e branco - Solução + +Um exemplo $\operatorname{com} n=4$ é dado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-30.jpg?height=317&width=308&top_left_y=1692&top_left_x=771) + +Queremos mostrar agora que, se $n \geq 5$, não é possível existir tal pintura. Considere então um tabuleiro $n \times n$ com $n \geq 5$. + +Analisando os quadrados da primeira linha, pelo menos três deles serão de uma mesma cor. Digamos que esta cor seja preta (se fosse branca não faria a menor diferença para a nossa análise seguinte) e observemos agora as colunas $A, B$ e $C$ que contêm esses três quadrados pretos. A segunda linha deve intersectar essas três colunas em pelo menos dois quadrados brancos, pois, caso contrário, teríamos quatro interseções pretas entre as duas primeiras linhas e duas dessas três colunas. + +Suponha agora que as colunas que contêm dois quadrados pretos na primeira linha e dois brancos na segunda sejam as colunas $A$ e $B$ (se fossem $A$ e $C$ ou $B$ e $C$ a análise seguinte seria a mesma). A partir da terceira linha, como não podemos ter quadrados de mesma cor +simultaneamente nas colunas $A$ e $B$, as distribuições de cores só podem ser as duas opções seguintes: preto e branco ou branco e preto. Daí, dentre as linhas 3,4 ou 5 , duas delas terão exatamente a mesma distribuição. Essas duas linhas com mesma distribuição de cores intersectam a coluna $C$ em dois quadrados, em que nenhum deles pode ser preto ou branco e isso impede a existência da pintura satisfazendo as condições do enunciado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-31.jpg?height=534&width=346&top_left_y=607&top_left_x=952) + +## 32 Formando figuras com triângulos + +Nesse problema, vamos aprender e utilizar o famoso Teorema do Bico, que tem esse nome porque a figura formada parece realmente a cabeça e o bico de um pássaro. + +a) O Teorema do Bico diz que as distâncias de um ponto exterior a uma circunferência aos pontos onde suas tangentes tocam a circunferência são iguais. Na figura a seguir, $A P \mathrm{e}$ $A Q$ são tangentes à circunferência. Mostre que $A P=A Q$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-31.jpg?height=414&width=540&top_left_y=2232&top_left_x=861) +b) Considere o hexágono da figura a seguir, no qual todos os lados tangenciam a circunferência. Determine o valor do lado desconhecido $x$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-32.jpg?height=503&width=506&top_left_y=385&top_left_x=678) + +Observação: Não confunda com o Teorema dos Bicos do problema 13. Em ambos os casos, trata-se do nome popular dos resultados mencionados. + +## 32 Formando figuras com triângulos - Solução + +a) Trace $O A$. Observe que os triângulos $\triangle O P A$ e $\triangle O Q A$ são congruentes pois são triângulos retângulos com a mesma hipotenusa e um dos catetos com a mesma medida. Desse modo, $A P=A Q$. + +b) Cada um dos lados é dividido pelo ponto de tangência em dois segmentos, conforme a figura. Pelo item anterior, dois desses segmentos, que compartilham um vértice do hexágono em comum, são iguais. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +6+5+10 & =\left(x_{6}+x_{1}\right)+\left(x_{2}+x_{3}\right)+\left(x_{5}+x_{4}\right) \\ +& =\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(x_{3}+x_{4}\right)+\left(x_{5}+x_{6}\right) \\ +& =x+9+8 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $x=21-17=4$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-32.jpg?height=599&width=626&top_left_y=2062&top_left_x=618) + +## 33 Cortando um bolo usando o compasso + +Certo matemático adora pensar em problemas e cozinhar bolos. Após cozinhar seus bolos, ele os corta em pedaços iguais. As três figuras a seguir mostram bolos circulares de mesmo raio em que os dois primeiros foram cortados em 3 e 4 pedaços iguais, respectivamente. Ele deseja cortar o terceiro bolo, mas a única marcação conhecida é o centro do bolo. Mostre que usando um compasso e uma faca, de tamanhos suficientemente grandes, e os dois primeiros bolos é possível cortar o terceiro em 12 pedaços iguais. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-33.jpg?height=368&width=1364&top_left_y=738&top_left_x=448) + +## 33 Cortando um bolo usando o compasso - Solução + +O compasso servirá para transportar distâncias. O primeiro passo é marcar um ponto $A$ de referência na lateral do terceiro bolo. Usando os comprimentos de arcos do primeiro bolo e o compasso, pode-se marcar um ponto $C$ tal que o arco $A C$ meça $\frac{1}{3}$ do perímetro de sua circunferência. Em seguida, usando o comprimento de arco do segundo bolo, deve-se marcar o ponto $B$ no terceiro bolo tal que o arco $A B$ meça $\frac{1}{4}$ do perímetro de sua circunferência. Veja a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-33.jpg?height=477&width=480&top_left_y=1672&top_left_x=891) + +A fração do comprimento da circunferência que representa o arco $B C$ é + +$$ +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12} +$$ + +Usando o compasso podemos transportar a distância $B C$ ao longo do perímetro do bolo 11 vezes dividindo-o assim em 12 arcos iguais. Basta agora usar a faca e efetuar cortes que comecem nos pontos marcados e terminem no centro do bolo. + +## 34 Quadriláteros com todos os lados iguais não são congruentes + +Um erro que muitos alunos cometem é pensar que dois quadriláteros são congruentes se tiverem os seus respectivos lados iguais. Isso não é verdade. Nesse problema, veremos que quadriláteros podem ter lados correspondentes iguais, mas áreas distintas. + +a) Mostre que a maior área possível para um quadrilátero que possui dois lados de comprimento 3 e dois de comprimento 4 é 12 . + +b) Mostre que, nos quadriláteros em que isso acontece, a soma dos ângulos opostos é $180^{\circ}$. + +## 34 Quadriláteros com todos os lados iguais não são congruentes - Solução + +a) Existem dois modos de montar o quadrilátero com pares de lados iguais: ou eles ficam juntos ou ficam separados. Nos dois casos, o quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos que serão congruentes pelo caso (L.L.L.). Veja a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-34.jpg?height=434&width=531&top_left_y=1228&top_left_x=297) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-34.jpg?height=346&width=517&top_left_y=1232&top_left_x=1049) + +4 + +Na segunda figura logo abaixo, fixamos o lado de comprimento 4 e fazemos variar o lado de comprimento 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-34.jpg?height=357&width=674&top_left_y=1872&top_left_x=591) + +4 + +Como a base de comprimento 4 está fixa, a maior área possível ocorrerá quando tivermos a maior altura possível a tal lado e isso ocorre quando o lado de comprimento 3 for perpendicular à essa base. Qualquer altura diferente de 3 seria cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa 3 e, consequentemente, menor que 3. + +Portanto, a maior área para cada triângulo é $(3 \cdot 4) / 2=6$. Dado que existem dois de tais triângulos em cada tipo de quadrilátero, a área máxima é $6+6=12$. +b) Veja que a área máxima ocorre quando os triângulos formados são retângulos. Assim, a soma de ângulos opostos retos é $90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$. Como a soma dos ângulos internos do quadrilátero é $360^{\circ}$, os outros dois ângulos também devem somar $180^{\circ}$. + +## 35 Lados desconhecidos do hexágono equiângulo + +Um hexágono é chamado equiângulo quando possui os seis ângulos internos iguais. Considere o hexágono equiângulo $A B C D E F$ com lados $3, y, 5,4,1 \mathrm{e} x$, da figura a seguir. Determine os comprimentos $x$ e $y$ desconhecidos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-35.jpg?height=446&width=462&top_left_y=925&top_left_x=891) + +## 35 Lados desconhecidos do hexágono equiângulo - Solução + +Como um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos por meio de suas diagonais, a soma de seus ângulos internos é $180^{\circ}(6-2)=720^{\circ}$. Dado que ele é equiângulo, cada um dos ângulos internos medirá $\frac{720^{\circ}}{6}=120^{\circ}$. Sabendo disso, ao prolongarmos os lados formaremos, como indicado abaixo, triângulos equiláteros menores externos a três de seus lados e um triângulo equilátero maior $\triangle X Y Z$ que o conterá. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-35.jpg?height=523&width=576&top_left_y=1897&top_left_x=840) + +Como os lados do triângulo $\triangle X Y Z$ são iguais, temos + +$$ +3+y+5=5+4+1=1+x+3 +$$ + +Logo, $x=6$ e $y=2$. + +## 36 Formigas no retângulo + +Três formigas estão posicionadas nos vértices de um retângulo. Uma formiga se movimenta apenas quando as duas outras estão paradas e sempre em uma direção paralela à reta determinada pelas outras duas formigas. É possível que após algumas movimentações as três formigas fiquem posicionadas em três dos pontos médios dos lados do retângulo? + +## 36 Formigas no retângulo - Solução + +Quando uma formiga se move da posição $C$ para a posição $D$, como ilustra o desenho abaixo, $\mathrm{a}$ área do triângulo formado por elas permanece a mesma, pois + +$$ +A_{A C B}=\frac{h \cdot A B}{2}=A_{A D B} +$$ + +Não é possível que as três formigas ocupem os pontos médios porque no início a área do triângulo formado por elas corresponde à metade da área do retângulo original e a área de um triângulo formado pelos pontos médios corresponde a um quarto da área do retângulo original. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_360f8ce7ec440aed2c7ag-36.jpg?height=308&width=646&top_left_y=1288&top_left_x=608) + + +[^0]: ${ }^{1}$ Transladar um objeto significa mover todos os seus pontos em uma direção fixa e por uma distância fixa. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2015_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2015_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..19ea602676adf7f23c9eb8517d0a4276a77a0aa2 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2015_N3.md @@ -0,0 +1,1332 @@ +# 1 Polígono no relógio + +A partir do meio-dia, João faz, a cada 80 minutos, uma marca na posição do ponteiro das horas do seu relógio. + +a) Depois de quanto tempo não será mais necessário fazer novas marcas no relógio? + +b) Qual a soma dos ângulos internos do polígono formado pelas marcas? + +## 1 Polígono no relógio - Solução + +a) O ponteiro das horas concluirá uma volta completa após $12 \cdot 60=720$ minutos e ao longo dela nenhuma marca será repetida. Como 720 é múltiplo de 80, durante esse período são feitas exatamente $\frac{12 \cdot 60}{80}=9$ marcas no relógio e, além disso, os dois ponteiros voltam às suas posições iniciais. Daí, como as próximas marcas serão repetidas, o tempo desejado é 720 minutos. + +b) A soma dos ângulos internos de um polígono de 9 lados é $180^{\circ} \cdot(9-2)=1260^{\circ}$. + +## 2 Um diâmetro que também é altura + +No desenho abaixo, o $\triangle A B C$ é um triângulo equilátero e $C D$ é tanto uma altura do triângulo quanto um diâmetro do círculo. $\mathrm{Se} A B=10 \mathrm{~cm}$, determine a área sombreada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-02.jpg?height=426&width=491&top_left_y=495&top_left_x=680) + +## 2 Um diâmetro que também é altura - Solução + +Como $C D$ é diâmetro, o seu ponto médio $H$ é o centro do círculo. Sejam $I$ e $J$ as outras interseções da circunferência com os lados $A C$ e $B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-02.jpg?height=468&width=537&top_left_y=1254&top_left_x=657) + +Como $\angle I C H=\angle H C J=30^{\circ}$ e $I H=C H=H J$, segue que os triângulos $\triangle C H I$ e $\triangle C H J$ são isósceles com ângulo do vértice igual à $120^{\circ}$. Se $l$ é o raio do círculo, como a altura do triângulo e o diâmetro do círculo coincidem, $2 l=\frac{10 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$ e consequentemente $l=\frac{5 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$. Cada uma das regiões sombreadas corresponde a área de um setor circular de $120^{\circ}=2 \pi / 3$ subtraída de um triângulo isósceles, ou seja, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{(2 \pi / 3) l^{2}}{2}-\frac{l^{2} \operatorname{sen} 120^{\circ}}{2} & =\frac{\pi l^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3} l^{2}}{4} \\ +& =\frac{(4 \pi-3 \sqrt{3}) l^{2}}{12} \\ +& =\frac{(4 \pi-3 \sqrt{3})}{12} \cdot\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^{2} \\ +& =\frac{100 \pi-75 \sqrt{3}}{8} \mathrm{~cm}^{2} +\end{aligned} +$$ + +Como temos duas regiões iguais, a área procurada é o dobro do valor encontrado, ou seja, $\frac{100 \pi-75 \sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 3 Cubo cortado + +Francisco acaba de aprender em sua aula de geometria espacial a Relação de Euler para poliedros convexos: + +$$ +V+F=A+2 +$$ + +Na equação acima, $V, A$ e $F$ representam o número de vértices, de arestas e de faces do poliedro, respectivamente. Podemos verificar que a Relação de Euler é válida no cubo abaixo, pois existem 6 faces, 12 arestas, 8 vértices e + +$$ +V+F=8+6=12+2=A+2 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-03.jpg?height=451&width=528&top_left_y=954&top_left_x=861) + +João decidiu verificar a Relação de Euler em outro poliedro obtido de um cubo de madeira. Ele marcou os pontos médios de cada aresta e, em cada face, os uniu formando quadrados, como mostra a figura abaixo. Em seguida, ele cortou as 8 pirâmides formadas em torno de cada vértice, obtendo um novo poliedro. Determine: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-03.jpg?height=457&width=531&top_left_y=1690&top_left_x=862) + +a) o novo número de vértices; + +b) o novo número de arestas; + +c) o novo número de faces. + +## 3 Cubo cortado - Solução + +a) Os vértices do novo poliedro são exatamente os pontos médios das arestas do cubo original. Como o cubo tem 12 arestas, o novo poliedro possui 12 vértices. + +b) Cada aresta do novo poliedro é um lado de um dos quadrados formados nas faces. Como o cubo possui 6 faces e cada uma delas possui os 4 lados de um dos quadrados, o total de arestas procurado é $4 \cdot 6=24$. + +c) Existem 8 faces triangulares que são as bases das pirâmides removidas e 6 faces quadradas formadas nas faces do cubo original. Temos então $8+6=14$ faces. + +Veja que a Relação de Euler é válida também para esse novo poliedro, pois + +$$ +V+F=12+14=24+2=A+2 +$$ + +## 4 Tecla da calculadora + +A calculadora científica de João possui uma tecla especial que transforma qualquer número $x$ escrito na tela e que seja diferente de 1 no número $\frac{1}{1-x}$. + +a) O que acontece se o número 2 estiver escrito na tela e apertarmos a tecla especial três vezes? + +b) O que acontece se o número 2 estiver escrito na tela e apertarmos a tecla especial dez vezes? + +c) Finalmente, o que acontece se o número 2 estiver escrito na tela e apertarmos a tecla especial 2015 vezes? + +## 4 Tecla da calculadora - Solução + +a) Após apertarmos a tecla três vezes, obtemos: + +$$ +2 \xrightarrow{1^{a}} \frac{1}{1-2}=-1 \xrightarrow{2^{a}} \frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2} \xrightarrow{3^{a}} \frac{1}{1-1 / 2}=2 +$$ + +b) Em virtude do item anterior, a cada três toques na tecla especial, tudo se passa como se o número 2 não tivesse sido alterado. Assim, após a sexto e o nono uso da tecla especial, o número 2 ainda estará na tela. Finalmente, com o décimo uso da tecla especial, o transformaremos em $\frac{1}{1-2}=-1$. Esse padrão de repetição não é particular ao número 2 como mostra a sequência: + +$$ +x \xrightarrow{1^{a}} \frac{1}{1-x} \xrightarrow{2^{a}} \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=-\frac{1-x}{x} \xrightarrow{3^{a}} \frac{1}{1-\left(-\frac{1-x}{x}\right)}=x +$$ + +c) Como a cada três usos da tecla especial o número 2 continuará na tela, sempre após um número que é múltiplo de 3 de usos de tal tecla ainda teremos o número 2. Como 2013 é múltiplo de 3, basta analisarmos as duas últimas apertadas: + +$$ +\ldots \xrightarrow{2013^{a}} 2 \xrightarrow{2014^{a}} \frac{1}{1-2}=-1 \xrightarrow{2015^{a}} \frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2} +$$ + +Portanto, restará o número $\frac{1}{2}$ na tela. + +## 5 Uma fatoração esperta + +a) José aprendeu um método para calcular produtos de dois números de uma forma mais rápida baseado na fatoração: + +$$ +(n-k)(n+k)=n^{2}-k^{2} +$$ + +Para calcular 23 $\cdot 17$, ele escolhe $n=20, k=3$ e calcula: + +$$ +23 \cdot 17=20^{2}-3^{2}=400-9=391 +$$ + +Determine, sem usar a calculadora, o valor de $\sqrt{1001 \cdot 1003+1}$. + +b) Verifique que $(n(n+3)+1)^{2}=n(n+1)(n+2)(n+3)+1$. + +c) Determine, sem usar a calculadora, o valor de: + +$$ +\sqrt{(2014)(2015)(2016)(2017)+1} +$$ + +## 5 Uma fatoração esperta - Solução + +a) Basta escolher $n=1002 \mathrm{e} k=1$, pois + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{1001 \cdot 1003+1} & =\sqrt{1002^{2}-1^{2}+1} \\ +& =\sqrt{1002^{2}} \\ +& =1002 +\end{aligned} +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +(n(n+3)+1)^{2} & =n^{2}(n+3)^{2}+2 n(n+3)+1 \\ +& =n(n+3)[n(n+3)+2]+1 \\ +& =n(n+3)\left[n^{2}+3 n+2\right]+1 \\ +& =n(n+3)[(n+1)(n+2)]+1 \\ +& =n(n+1)(n+2)(n+3)+1 +\end{aligned} +$$ + +c) Usando o item anterior e escolhendo $n=2014$, temos + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{(2014)(2015)(2016)(2017)+1} & =\sqrt{(2014 \cdot 2017+1)^{2}} \\ +& =2014 \cdot 2017+1 \\ +& =4062239 +\end{aligned} +$$ + +## 6 Termos esquecidos da P.A. + +Uma progressão aritmética, costumeiramente chamada de P.A., é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com um valor fixo $r$ chamado de diferença comum ou razão da progressão. Por exemplo, a sequência abaixo é uma progressão aritmética com termo inicial 3 e diferença comum 4. + +$$ +a_{1}=3, a_{2}=7, a_{3}=11, a_{4}=15, a_{5}=19, a_{6}=23, a_{7}=27, a_{8}=31, a_{9}=35, \ldots +$$ + +Veja que estamos denotando o número da posição $i$ pelo símbolo $a_{i}$. + +a) Se o primeiro termo de uma progressão aritmética é 2 e sua diferença comum é 3 , qual é o valor do quarto termo? + +b) A professora de João pediu que ele calculasse o décimo primeiro termo de uma progressão aritmética. Infelizmente ele esqueceu qual era o termo inicial e a diferença comum. As únicas informações das quais ele lembrava eram: + +$$ +\begin{aligned} +a_{4}+a_{7}+a_{10} & =207 \\ +a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11} & =553 +\end{aligned} +$$ + +Quanto vale o décimo primeiro termo? + +## 6 Termos esquecidos da P.A. - Solução + +a) Se $a_{1}=2 \mathrm{e} r=3$, temos + +$$ +\begin{aligned} +& a_{2}=a_{1}+3=5 \\ +& a_{3}=a_{2}+3=8 \\ +& a_{4}=a_{3}+3=11 +\end{aligned} +$$ + +b) Sejam $a_{1}=d$ e $r$ a razão. Então, temos: + +$$ +\begin{aligned} +& a_{1}=d, \quad a_{2}=d+r, \quad a_{3}=d+2 r, \quad a_{4}=d+3 r, \quad a_{5}=d+4 r, \quad a_{6}=d+5 r \\ +& a_{7}=d+6 r, \quad a_{8}=d+7 r, \quad a_{9}=d+8 r, \quad a_{10}=d+9 r, \quad a_{11}=d+10 r . +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +a_{4}+a_{7}+a_{10} & =(d+3 r)+(d+6 r)+(d+9 r) \\ +217 & =3(d+6 r) \\ +a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11} & =(d+4 r)+(d+5 r)+\ldots+(d+10 r) \\ +553 & =7(d+7 r) +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, + +$$ +\left\{\begin{aligned} +d+6 r & =207 / 3=69 \\ +d+7 r & =553 / 7=79 +\end{aligned}\right. +$$ + +Resolvendo o sistema anterior, obtemos $r=10$ e $d=9$. Assim, $a_{11}=d+10 r=109$. + +## 7 Mágica com números de 1 a 50 + +O mágico Magimático chama três pessoas da plateia: Ana, Beto e Caio, para ajudarem em sua matemágica. Ele diz para cada um pensar em um número de 1 a 50, sem revelá-lo ao mágico, e contá-lo para cada um dos outros dois participantes. Em seguida, cada um deles deve simultaneamente trocar o seu número pela soma dos números dos outros dois. Por exemplo, Ana passa a ter a soma dos números de Beto e Caio. Magimático pede então que eles repitam esse processo mais uma vez. Após concluir a segunda troca, ele pede que falem os seus números. Ana responde 104, Beto 123 e Caio 137. Para a surpresa de todos, Magimático acerta os números iniciais escolhidos pelos três. Quais foram os números escolhidos incialmente? + +## 7 Mágica com números de 1 a 50 - Solução + +Vamos chamar o número de Ana de $A$, o de Beto de $B$ e o de Caio de $C$. Na primeira troca, Ana passou a ter $B+C$, Beto $A+C$ e Caio $A+B$. Após a segunda troca, Ana passou a ter $A+C+A+B=2 A+B+C$, Beto passou a ter $A+2 B+C$ e Caio passou a ter $A+B+2 C$. A partir das respostas finais que eles deram, sabemos que: + +$$ +\begin{aligned} +2 A+B+C & =104 \\ +A+2 B+C & =123 \\ +A+B+2 C & =137 +\end{aligned} +$$ + +Somando as três equações, obtemos $4 A+4 B+4 C=104+123+137=364$, ou seja, $A+B+C=$ 91. Subtraindo esse valor de cada uma das três equações, obtém-se $A=13, B=32$ e $C=46$. + +## 8 Formando triângulos obtusângulos + +Dado um triângulo de lados $a \leq b \leq c$, pela lei dos cossenos temos: + +$$ +\cos \hat{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} +$$ + +Se o ângulo $\hat{C}$ é obtuso, $\cos \hat{C}<0$. Como $2 a b$ é positivo, isso é o mesmo que $a^{2}+b^{2}-c^{2}<0$. Portanto, para um triângulo ser obtusângulo, o maior lado elevado ao quadrado é maior que a soma dos quadrados dos outros dois lados. Além disso, pela desigualdade triangular, sabemos que o maior lado é menor que a soma dos outros dois. Podemos resumir essas duas informações através das desigualdades + +$$ +a^{2}+b^{2}c^{2}$. O mesmo ocorre se $a \geq 5$ pois $a^{2}+b^{2} \geq 5^{2}+5^{2}>7^{2}$. + +Portanto, podemos formar apenas 8 triângulos obtusângulos. + +## 9 Polígonos tombados + +a) O quadrado $A B C D$ de lado $1 \mathrm{~cm}$ é "tombado" em torno do ponto $D$ conforme a figura a seguir. Os traços pontilhados indicam a área ocupada pelo quadrado durante o seu movimento de tombamento. Qual a área total ocupada pelo quadrado do início até o final de seu tombamento? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-09.jpg?height=451&width=1116&top_left_y=891&top_left_x=570) + +b) Assim, como no caso do quadrado do item anterior, um hexágono regular $A B C D E F$ de lado $1 \mathrm{~cm}$ é "tombado" em torno do ponto $F$ conforme a figura a seguir. Qual a área total ocupada pelo hexágono do início até o final do seu tombamento? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-09.jpg?height=631&width=1136&top_left_y=1758&top_left_x=563) + +## 9 Polígonos tombados - Solução + +a) Veja que a figura formada pode ser dividida em dois triângulos retângulos, $\triangle A B D$ e $\triangle D B^{\prime} C^{\prime}$, e um setor circular $D B B^{\prime}$ de abertura $90^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-10.jpg?height=459&width=1125&top_left_y=490&top_left_x=363) + +O raio do setor pode ser calculado usando-se o Teorema de Pitágoras + +$$ +R=B D=\sqrt{B C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} +$$ + +Sua abertura de $90^{\circ}$ equivale a $\frac{1}{4}$ da área de um círculo. Assim, a área será dada por + +$$ +\begin{aligned} +{[B A D]+\left[B^{\prime} D C^{\prime}\right]+\left[\widehat{B B^{\prime}}\right] } & =\frac{1 \cdot 1}{2}+\frac{1 \cdot 1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \pi(\sqrt{2})^{2} \\ +& =1+\frac{\pi}{2} \mathrm{~cm}^{2} +\end{aligned} +$$ + +b) Veja que a figura formada pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros de lado 1 e um setor circular de raio 2 e abertura $60^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-10.jpg?height=637&width=1150&top_left_y=1600&top_left_x=356) + +Como a altura de um triângulo equilátero de lado 1 é $\sqrt{3} / 2$, a sua área é + +$$ +\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} +$$ + +Um setor de $60^{\circ}$ equivale à um sexto da área de um círculo e assim a área procurada é + +$$ +6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 2^{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}+\frac{2 \pi}{3}=\frac{9 \sqrt{3}+4 \pi}{6} \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +## 10 Meninos e meninas na sorveteria Sorvete Matemático + +Pedro decidiu levar todos os seus filhos, meninos e meninas, para tomar sorvete na sorveteria Sorvete Matemático. Na sorveteria, há 12 sabores diferentes de sorvete e cada criança pediu um combo com 3 bolas de sorvete. Depois de sair da sorveteria, Pedro percebeu que, no total, foram pedidas exatamente duas bolas de cada sabor disponível na sorveteria. + +a) Sabendo que Pedro não tomou sorvete, qual o número total de seus filhos (meninas e meninos)? + +b) Pedro olhou com mais atenção os sabores que cada um pediu e notou que nenhum sabor foi pedido por um menino e por uma menina, ou seja, se um menino escolheu um sabor, nenhuma menina escolheu aquele mesmo sabor. Sabendo que pelo menos um de seus filhos é menino e que ele possui mais filhas do que filhos, determine o número de suas filhas. + +## 10 Meninos e meninas na sorveteria Sorvete Matemático-Solução + +a) Seja $n$ o número de filhos de Pedro. No total, foram pedidas $3 n$ bolas de sorvete. Como cada um dos 12 sabores foi pedido duas vezes, temos $3 n=2 \cdot 12$, ou seja, $n=8$. Portanto, Pedro possui 8 filhos. + +b) Sejam $x$ o número de meninos e $y$ o número de meninas. Pelo item anterior, sabemos que $x+y=8$. Como existe pelo menos um filho e há mais filhas do que filhos, sabemos que: $02^{98}=\left(2^{7}\right)^{14}>\left(10^{2}\right)^{14}=10^{28} +$$ + +Como $10^{28}$ é o menor número com 29 dígitos, $2^{100}$ possui pelo menos 29 dígitos. Fica então demonstrado que $k=29$ satisfaz a condição dado que $29 \leq N \leq 34$. + +## 15 o poderoso Raio Reflexivo + +O herói de um desenho animado enfrenta mais uma vez seu arqui-inimigo e precisa desferir seu famoso golpe do Raio Reflexivo. No quadrado da figura abaixo, o raio deverá, partindo de $F$ ricochetear, exatamente uma vez nos lados $C D, A D$ e $A B$, nesta ordem, antes de atingir o inimigo na posição $E$. Sempre que o raio ricocheteia em um dos lados do quadrado, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de saída como mostra a figura da direita. Sabendo que $B E=E F=F C=2 \mathrm{~m}$ e que o raio viaja a $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, determine o tempo decorrido entre o disparo do raio em $F$ e sua chegada ao ponto $E$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-16.jpg?height=352&width=650&top_left_y=744&top_left_x=607) + +## 15 o poderoso Raio Reflexivo-Solução + +Se a parede onde o raio reflete fosse um espelho, a sua trajetória também "apareceria" no outro lado do espelho como uma continuação em linha reta da trajetória inicial. Assim, após refletirmos o quadrado três vezes ao longo dos lados onde o raio incide, conseguiremos traçar uma trajetória imaginária com o mesmo comprimento da trajetória real. No desenho abaixo, o quadrado $A B C D$ foi refletido incialmente com respeito ao lado $D C$ e depois seguido das reflexões nos lados $D J$ e $J O$. A soma dos quatro segmentos que compõem a trajetória real coincide com o comprimento do segmento $F W$. Como $O W=B E=E F$, segue que $O E=F W$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-16.jpg?height=545&width=782&top_left_y=1738&top_left_x=543) + +Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo $O M E$, temos: + +$$ +O E^{2}=O M^{2}+E M^{2}=12^{2}+10^{2}=244 +$$ + +Portanto, $O E=2 \sqrt{61} \mathrm{~m}$. Consequentemente, o raio levará $2 \sqrt{61}$ segundos para atingir o alvo. + +## 16 O valor da expressão + +Sejam $a$ e $b$ números reais positivos quaisquer. Determine o valor da expressão + +$$ +\frac{\sqrt{\frac{a b}{2}}+\sqrt{8}}{\sqrt{\frac{a b+16}{8}+\sqrt{a b}}} +$$ + +## 16 O valor da expressão-Solução + +Seja $x=\sqrt{\frac{a b}{2}}+\sqrt{8}$. Então: + +$$ +\begin{aligned} +x^{2} & =\frac{a b}{2}+4 \sqrt{a b}+8 \\ +& =4\left(\frac{a b+16}{8}+\sqrt{a b}\right) \\ +& =4\left(\sqrt{\frac{a b+16}{8}+\sqrt{a b}}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Assim, o valor da expressão procurada é + +$$ +\begin{aligned} +\frac{\sqrt{\frac{a b}{2}}+\sqrt{8}}{\sqrt{\frac{a b+16}{8}+\sqrt{a b}}} & =\frac{x}{x / 2} \\ +& =2 +\end{aligned} +$$ + +## 17 Produto de dígitos + +Observe a equação: + +$$ +\begin{aligned} +(1+2+3+4)^{2} & =(1+2+3+4)(1+2+3+4) \\ +& =1 \cdot 1+1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 4+2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4+ \\ +& +3 \cdot 1+3 \cdot 2+3 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 1+4 \cdot 2+4 \cdot 3+4 \cdot 4 +\end{aligned} +$$ + +Note que são formados $4 \times 4=16$ produtos ao calcularmos $(1+2+3+4)^{2}$ usando a propriedade distributiva. + +a) Quantos produtos serão formados ao calcularmos $(1+2+3+4)^{3}$ também usando a propriedade distributiva? + +b) Qual a quantidade de números de dois algarismos que usam apenas os dígitos 1, 2, 3 e 4? +c) Qual a soma dos produtos dos dígitos de todos os números com quatro algarismos formados apenas pelos dígitos $1,2,3$ e 4 ? + +## 17 Produto de dígitos - Solução + +a) Cada produto que aparece na soma final é uma expressão do tipo $x \cdot y \cdot z$ onde $x$ é um número vindo do primeiro parênteses, $y$ é um número vindo do segundo e $z$ um número vindo do terceiro. Como existem 4 opções possíveis para cada um desses números, pelo princípio multiplicativo temos $4 \cdot 4 \cdot 4=64$ tais produtos. + +b) Tendo apenas 4 opções de dígitos, existem 4 opções de escolha para o dígito das dezenas e quatro opções de escolha para o dígito das unidades. Assim, temos $4 \cdot 4=16$ números de dois algarismos usando apenas os dígitos 1, 2, 3 e 4 . + +c) Calculemos inicialmente a soma dos produtos dos dígitos de todos os números com dois algarismos que usam apenas os quatro dígitos dados. Pelo item anterior, existem 16 tais números, a saber: $11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44$. A soma dos 16 produtos dos dígitos é: + +$$ +\begin{aligned} +& 1 \cdot 1+1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 4+2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4= \\ +& 3 \cdot 1+3 \cdot 2+3 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 1+4 \cdot 2+4 \cdot 3+4 \cdot 4=(1+2+3+4)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Isso nos motiva a analisar o número $(1+2+3+4)^{4}=10000$. Veja que se aplicarmos a propriedade de distributividade irão aparecer $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4=256$ produtos e cada um deles coincide com o produto dos dígitos dos números de quatro algarismos formados apenas pelos dígitos 1, 2, 3 e 4. Assim, o valor procurado é 10000 . + +## 18 Ponto médio lembra base média + +a) Na figura abaixo, $A D=D C, A E=B D, \angle A E C=90^{\circ}$. Determine o valor do ângulo $\angle C B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-18.jpg?height=463&width=674&top_left_y=2047&top_left_x=588) +b) No triângulo $\triangle A B C$ abaixo, $B D$ é bissetriz do ângulo $\angle A B C, E$ é o ponto médio de $A C \mathrm{e}$ $\angle A D B=90^{\circ}$. Se $A B=12 \mathrm{~cm}$ e $B C=20 \mathrm{~cm}$, calcule o comprimento do segmento $D E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-19.jpg?height=534&width=990&top_left_y=424&top_left_x=630) + +## 18 Ponto médio lembra base média - Solução + +a) Pelo ponto $D$, trace o segmento perpendicular ao lado $B C$ como indica a figura abaixo. Como $D$ é ponto médio de $A C$ e $D F \| A E$, podemos concluir que $D F$ é base média do triângulo $\triangle A E C$ com respeito à base $A E$. Portanto, se $A E=2 x$, então $D F=A E / 2=x$. Daí, sen $\angle D B C=D F / B D=x / 2 x=1 / 2$. Consequentemente, $\angle D B C=30^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-19.jpg?height=368&width=554&top_left_y=1461&top_left_x=842) + +b) Prolongue o segmento $A D$ até ele intersectar o lado $B C$ em $F$. Como $B D$ é bissetriz de $\angle A B F$, segue que os triângulos $\triangle A B D$ e $\triangle B D F$ possuem os mesmos ângulos e um lado em comum. Sendo assim, são congruentes e $B F=A B=12 \mathrm{~cm}$. Daí, $F C=8 \mathrm{~cm}$. Além disso, como $A D=D F$ e $A E=E C$, podemos concluir que $D E$ é base média do triângulo $\triangle A F C$, ou seja, $D E=F C / 2=4 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-19.jpg?height=478&width=898&top_left_y=2171&top_left_x=679) + +## 19 Números bacanas + +Um número natural é bacana se a soma de todos os seus divisores positivos (incluindo $1 \mathrm{e}$ $n)$ é maior ou igual ao dobro do número. Por exemplo, 12 é bacana pois $1+2+3+4+6+12=$ $28 \geq 24=2 \cdot 12$ enquanto que 4 não é bacana pois $1+2+4<8=2 \cdot 4$. Demonstre que existem infinitos números que são bacanas e infinitos números que não são bacanas. + +## 19 Números bacanas - Solução + +Veja que nenhum número primo é bacana, pois se $p$ é primo a soma dos seus divisores positivos é $p+1<2 p$. Como existem infinitos números primos, segue que existem infinitos números que não são bacanas. Se $p$ é um primo maior que 3 , o número $n=12 p$ possui pelo menos os seguintes divisores positivos distintos: + +$$ +\begin{aligned} +p+2 p+3 p+4 p+6 p+12 p & =28 p \\ +& >24 p \\ +& =2 n +\end{aligned} +$$ + +Assim, todo número da forma $12 p$ com $p$ primo maior que 3 é bacana. Novamente, como existem infinitos números primos, temos uma coleção infinita de números bacanas. + +## 20 Jogando com o resto na divisão por 3 + +Arnaldo e Bernaldo decidem jogar um jogo que possui um número limitado de jogadas. Arnaldo escreve o número 1 no quadro em sua primeira jogada. Em seguida, Bernaldo escreve 2 ou 4 no quadro. Depois disso, Arnaldo escreve 3 ou 9 no quadro. Os dois continuam jogando alternadamente mantendo a regra de que na jogada $n$ o jogador escreve $n$ ou $n^{2}$ no quadro. Arnaldo vence o jogo se, após a última jogada, a soma dos números no quadro for divisível por 3. Se a soma não for divisível por 3, então Bernaldo vence. + +a) Suponha que o jogo acabe na jogada de número 15. Mostre que Bernaldo pode garantir a vitória. + +b) Suponha que o jogo acabe na jogada de número 7. Nesse caso, qual dos dois jogadores poderá sempre garantir a vitória independentemente de como o seu adversário jogue? Como ele deverá jogar para vencer? + +## 20 Jogando com o resto na divisão por 3 - Solução + +a) Veja que 15 é divisível por 3, então independente da última jogada, 15 ou $15^{2}$, o resto na divisão por 3 não será alterado. Vejamos a jogada de número 14. Veja que 14 deixa resto 2 na divisão por 3 enquanto que $14^{2}=196$ deixa resto 1 na divisão por 3 . Como 14 é par, quem fará tal jogada é Bernaldo. Ele pode garantir sua vitória da seguinte forma: + +i) Se a soma dos 13 primeiros números deixar resto 0 ou 2 por 3 , Bernaldo deve jogar 14 , tornando o resto 2 ou 1 (que é o resto de $2+2=4$ ). + +ii) Se a soma dos 13 primeiros deixar resto 1, então Bernaldo deve usar 196 tornando o resto total 2. + +Logo, Bernaldo pode garantir sua vitória em qualquer caso. + +b) Observe que 7 e $7^{2}=49$ deixam resto 1 na divisão por 3. Então a sétima jogada acrescentará 1 ao resto da soma dos números anteriores da escolha. Estendendo esse raciocínio, vemos que 1, 3, 4, 6 e 7 deixam os mesmos restos que seus quadrados na divisão por 3. Assim, não importa o que seja feito nessas jogadas correspondentes a esses números, elas contribuirão com os restos: + +$$ +1+0+1+0+1=3 +$$ + +Como a soma anterior deixa resto 0 por 3 , as jogadas relevantes são as de número 2 (que pertence Bernaldo) e a de número 5 (que pertence a Arnaldo). Para Arnaldo garantir sua vitória, basta que ele jogue da seguinte forma: + +i) Se Bernaldo jogar 2, Arnaldo deve jogar 25 totalizando $2+25=27$ que deixa resto 0 por 3. + +ii) Se Bernaldo jogar 4, Arnaldo deve jogar 5 totalizando $4+5=9$ que deixa resto 0 por 3. + +Desse modo, Arnaldo pode garantir sua vitória em qualquer caso. + +## 21 Teoremas de Quadradágoras + +Quadradágoras era um enorme admirador de Pitágoras. Em suas investigações, ele descobriu dois teoremas sobre quadriláteros: + +a) "Se um quadrilátero $A B C D$ é tal que $\angle A B C=\angle A D C=90^{\circ}$, então $A B^{2}-C D^{2}=A D^{2}-$ $B C^{2}$." + +b) "Se um quadrilátero $A B C D$ é tal que $\angle A C B=\angle A D C=90^{\circ}$, então $A B^{2}=B C^{2}+C D^{2}+$ $A D^{2}$." + +Prove esses resultados. + +## 21 Teoremas de Quadradágoras - Solução + +a) Como $\angle A B C=\angle A D C=90^{\circ}$, sabemos que os triângulos $\triangle A B C$ e $\triangle A D C$ são retângulos. Pelo Teorema de Pitágoras, temos + +$$ +\begin{aligned} +A B^{2}+B C^{2} & =A C^{2} \\ +A D^{2}+C D^{2} & =A C^{2} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\left(A B^{2}-C D^{2}\right)-\left(A D^{2}-B C^{2}\right)=\left(A B^{2}+B C^{2}\right)-\left(A D^{2}+C D^{2}\right)=A C^{2}-A C^{2}=0 +$$ + +e, consequentemente $A B^{2}-C D^{2}=A D^{2}-B C^{2}$. + +b) De $\angle A C B=\angle A D C=90^{\circ}$, sabemos que os triângulos $\triangle A C B$ e $\triangle A D C$ são retângulos. Usando o Teorema de Pitágoras teremos + +$$ +\begin{aligned} +A C^{2} & =A D^{2}+C D^{2} \\ +A B^{2} & =B C^{2}+A C^{2} \\ +& =B C^{2}+\left(A D^{2}+C D^{2}\right) \\ +& =B C^{2}+C D^{2}+A D^{2} +\end{aligned} +$$ + +## 22 Número de divisores de um livre de quadrados + +Seja $n$ um número inteiro positivo. Se, para cada divisor primo $p$ de $n$, o número $p^{2}$ não divide $n$, dizemos então que $n$ é livre de quadrados. Mostre que todo número livre de quadrados tem uma quantidade de divisores que é igual a uma potência de 2 . + +## 22 Número de divisores de um livre de quadrados - Solução + +Suponha que $n$ é um número livre de quadrados e considere sua fatoração em primos: + +$$ +n=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}} +$$ + +Como $n$ é livre de quadrados, os expoentes $\alpha_{i}$ são todos iguais a 1. Portanto, + +$$ +n=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k} +$$ + +Para contarmos os dividores de $n$, basta contarmos quantos números possuem ou não cada um desses primos $p_{i}$. Como temos duas possibilidades para cada um desses primos figurar em um divisor, a saber, estar ou não estar na fatoração dele, pelo princípio multiplicativo temos + +$$ +2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2=2^{k} +$$ + +divisores. + +## 23 Quadriláteros de mesma área não são congruentes + +Na figura abaixo, os trapézios retângulos $A B C D$ e $A E F G$, com $B C \| E F$ e $C D \| F G$, possuem a mesma área. Sabendo que $B C=4, A D=7, C T=1$ e $T D=2$, determine a medida do segmento $D G$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-23.jpg?height=354&width=942&top_left_y=594&top_left_x=657) + +## 23 Quadriláteros de mesma área não são congruentes - Solução + +Trace a perpendicular por $B$ ao lado $D A$, intersectando $E F$ em $Y$ e $A D$ em $X$. Chamemos $D G$ de $x$ e $E Y$ de $y$. Veja a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-23.jpg?height=412&width=1028&top_left_y=1296&top_left_x=614) + +Os triângulos $\triangle E Y B$ e $\triangle A X B$ possuem os mesmos ângulos e, consequentemente são semelhantes. Desse modo, $\frac{y}{3}=\frac{1}{1+2}$ e, por conseguinte $y=1$. + +Calculemos as áreas dos trapézios dados: + +$$ +\begin{aligned} +{[A B C D] } & =\frac{C D \cdot(B C+A D)}{2} \\ +& =\frac{3 \cdot(4+7)}{2} \\ +& =\frac{33}{2} +\end{aligned} +$$ + +e + +$$ +\begin{aligned} +{[A E F G] } & =\frac{F G \cdot(E F+A G)}{2} \\ +& =\frac{2 \cdot((x+5)+(x+7))}{2} \\ +& =2 x+12 +\end{aligned} +$$ + +Como $[A B C D]=[A E F G]$, temos $33=4 x+24$ e $D G=x=9 / 4$. + +## 24 Produto de tangentes + +a) Verifique que $(1+\operatorname{tg} k)\left(1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)\right)=2$. + +b) Dado que + +$$ +\left(1+\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} 2^{\circ}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\operatorname{tg} 45^{\circ}\right)=2^{n} +$$ + +encontre $n$. + +## 24 Produto de tangentes - Solução + +a) + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)+1 & =\frac{\operatorname{sen}\left(45^{\circ}-k\right)}{\cos \left(45^{\circ}-k\right)}+1 \\ +& =\frac{\operatorname{sen} 45^{\circ} \cos k-\cos 45^{\circ} \operatorname{sen} k}{\cos 45^{\circ} \cos k+\operatorname{sen} 45^{\circ} \operatorname{sen} k}+1 \\ +& =\frac{\sqrt{2} / 2 \cos k-\sqrt{2} / 2 \operatorname{sen} k}{\sqrt{2} / 2 \cos k+\sqrt{2} / 2 \operatorname{sen} k}+1 \\ +& =\frac{\frac{\cos k}{\cos k}-\frac{\operatorname{sen} k}{\cos k}}{\frac{\cos k}{\cos k}+\frac{\operatorname{sen} k}{\cos k}} \\ +& =\frac{1-\operatorname{tg} k}{1+\operatorname{tg} k}+1 \\ +& =\frac{2}{1+\operatorname{tg} k} +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, $\left(\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)+1\right)(\operatorname{tg} k+1)=2$. + +b) O item anterior nos permite agrupar os primeiros 44 termos do produto dado, através de pares da forma $\left(\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)+1\right)(\operatorname{tg} k+1)$, em 22 produtos iguais a 2 . Como $1+\operatorname{tg} 45^{\circ}=2$, segue que $2^{n}=2^{23}$ e $n=23$. + +## 25 Bissetrizes no quadrilátero + +No quadrilátero $A B C D$, o lado $A D$ é tal que $A D=A B+C D$. Se $P$ é o ponto de encontro das bissetrizes de $\angle B A D$ e $\angle C D A$, mostre que $B P=P C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-25.jpg?height=425&width=779&top_left_y=484&top_left_x=730) + +## 25 Bissetrizes no quadrilátero-Solução + +Considere um ponto $E$ sobre o lado $A D$ de modo que $A E=A B$. Consequentemente, $E D=$ $A D-A E=A D-A B=C D$. Além disso, como $A P$ e $B P$ são bissetrizes, temos $\triangle B A P \equiv \triangle A P E$ e $\triangle P E D \equiv \triangle P D C$ pelo caso de congruência (L.A.L.). Daí, de $B P=P E$ e $P E=P C$, segue que $B P=P C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-25.jpg?height=385&width=716&top_left_y=1338&top_left_x=767) + +## 26 Razão entre segmentos e ponto médio + +Sejam $D$ um ponto no lado $A B$ do triângulo $\triangle A B C$ e $F$ a interseção de $C D$ e da mediana $A M$. Se $A F=A D$, encontre a razão entre $B D$ e $F M$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-25.jpg?height=402&width=482&top_left_y=2152&top_left_x=884) + +## 26 Razão entre segmentos e ponto médio - Solução + +Seja $E$ o ponto de interseção da reta paralela ao lado $A B$, que passa pelo ponto $M$, com o segmento $C D$. Como $M E \| A B$, segue que $\angle M E D=\angle E D A$. Além disso, como $\angle A F D=$ $\angle E F M$ e o triângulo $\triangle A F D$ é isósceles, podemos concluir que $\triangle E F M$ também é isósceles com $E M=F M$. Dado que $M$ é ponto médio de $B C$ e $E M \| B D$, o segmento $E M$ é uma base média do triângulo $\triangle C D B$. Assim, + +$$ +\frac{B D}{F M}=\frac{B D}{E M}=2 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-26.jpg?height=517&width=626&top_left_y=835&top_left_x=612) + +## 27 Segmentos perpendiculares + +Na figura abaixo, $A B C D$ é um quadrado e os pontos $K, L$ e $M$ estão sobre os lados $A B, B C$ e $C D$ de modo que $\triangle K L M$ é um triângulo isósceles retângulo em $L$. Prove que $A L$ e $D K$ são perpendiculares. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-26.jpg?height=636&width=660&top_left_y=1895&top_left_x=595) + +## 27 Segmentos perpendiculares -Solução + +Sejam $\angle M L C=\alpha$ e $\angle B A L=\beta$. Como $\angle K L M=\angle K B L=\angle L C M=90^{\circ}$, segue que $\angle K L B=$ $\angle L M C=90^{\circ}-\alpha$. Além disso, como $K L=L M$, os triângulos retângulos $\triangle L M C$ e $\triangle B L K$ são congruentes. De $B L=C M$ e $B K=L C$, segue que + +$$ +A K=A B-B K=B C-L C=B L +$$ + +Os triângulos $\triangle K A D$ e $\triangle A B L$ são congruentes pois $A K=B L, A B=A D$ e $\angle A B L=\angle K A D$. Consequentemente, $\angle A D K=\beta \mathrm{e} \angle L A D=90^{\circ}-\angle B A L=90^{\circ}-\beta$. Como os ângulos $\angle L A D$ e $\angle K D A$ são complementares, segue finalmente que $A L$ e $K D$ são perpendiculares. + +## 28 Trocando números usando MDC e MMC + +Em uma lousa são escritos os 2014 inteiros positivos de 1 até 2014. A operação permitida é escolher dois números $a$ e $b$, apagá-los e escrever em seus lugares os números $m d c(a, b)$ (Máximo Divisor Comum) e $m m c(a, b)$ (Mínimo Múltiplo Comum). Essa operação pode ser feita com quaisquer dois números que estão na lousa, incluindo os números que resultaram de operaç̃̃es anteriores. Determine qual a maior quantidade de números 1 que podemos deixar na lousa. + +## 28 Trocando números usando MDC e MMC-Solução + +A maior quantidade de números 1 que podemos deixar é 1007. Primeiro vamos mostrar como obtê-los. Para isso, basta tomar os pares de números consecutivos, $(1,2),(3,4),(5,6)$, ..., $(2013,2014)$ e realizar a operação em cada par. Sabendo que números consecutivos não têm fator comum, cada um dos máximos divisores comuns será 1 . + +Não é possível obter mais do que isso pois a quantidade de números pares não se altera no decorrer das operações. Isso ocorre pois, se operarmos com dois números pares, teremos como resultado dois números pares, se operarmos com dois números ímpares teremos como resultado dois números ímpares e se operarmos com um número par e um número ímpar obteremos também um número par e um número ímpar. Começamos com 1007 números pares e sempre teremos 1007 números pares. + +## 29 A diagonal de um retângulo + +No desenho abaixo, $A B C D$ é um retângulo e $E$ é o pé da perpendicular traçada de $A$ até a diagonal $B D$. As distâncias do ponto $E$ aos lados $D C, B C$ e $A B$ são $n, 1 \mathrm{e} x$, respectivamente. Seja ainda $d$ o comprimento da diagonal $B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-28.jpg?height=485&width=683&top_left_y=563&top_left_x=595) + +a) Verifique que $D E=x^{2} \sqrt{1+x^{2}}$. + +b) Verifique que $n=x^{3}$. + +c) Verifique que $d^{2 / 3}-x^{2 / 3}=1$. + +## 29 A diagonal de um retângulo - Solução + +a) Seja $y=D G$. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo $\triangle B E F$, temos $B E^{2}=x^{2}+1$. Pelas relações métricas do triângulo retângulo $\triangle A E B$, temos + +$$ +\begin{aligned} +x^{2} & =y \cdot 1 \\ +& =y \\ +A E^{2} & =y(y+1) \\ +& =x^{2}\left(x^{2}+1\right) +\end{aligned} +$$ + +Agora, pelas relações métricas no triângulo retângulo $\triangle A B D$, temos + +$$ +x^{2}\left(1+x^{2}\right)=A E^{2}=B E \cdot E D=\sqrt{1+x^{2}} \cdot E D +$$ + +ou seja, $E D=x^{2} \sqrt{1+x^{2}}$. + +b) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\triangle E D G$, obtemos + +$$ +n^{2}=E G^{2}=E D^{2}-D G^{2}=x^{4}\left(1+x^{2}\right)-x^{4}=x^{6} +$$ + +Assim, $n=x^{3}$. +c) + +$$ +\begin{aligned} +d & =B E+E D \\ +& =\sqrt{1+x^{2}}+x^{2} \sqrt{1+x^{2}} \\ +& =\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2} +\end{aligned} +$$ + +Daí, $d^{2 / 3}=1+x^{2}=1+n^{2 / 3}$ e o resultado segue. + +## 30 Dígitos repetidos + +a) Usando que $\frac{10^{n}-1}{9}=\underbrace{111 \ldots 111}_{n}$, verifique que: + +$$ +\underbrace{111 \ldots 111}_{4028}=\underbrace{222 \ldots 222}_{2014}+(\underbrace{333 \ldots 333}_{2014})^{2} +$$ + +b) Considere o número de 4028 dígitos + +$$ +X=\underbrace{111 \ldots 111}_{2013} 2 \underbrace{888 \ldots 888}_{2012} 96 +$$ + +Calcule $\sqrt{X}$. + +c) Mostre que o número $\underbrace{444 \ldots 444}_{n \text { vezes }} \underbrace{888 \ldots 8889}_{(n-1) \text { vezes }} 9$ é um quadrado perfeito. + +d) Mostre que o número + +$$ +\underbrace{111 \ldots 111}_{4028}-\underbrace{222 \ldots 222}_{2014} +$$ + +é um quadrado perfeito. + +## 30 Dígitos repetidos-Solução + +a) + +$$ +\begin{aligned} +\underbrace{222 \ldots 222}_{2014}+(\underbrace{333 \ldots 333}_{2014})^{2} & =\left(2 \cdot \frac{10^{2014}-1}{9}\right)+\left(3 \cdot \frac{10^{2014}-1}{9}\right)^{2} \\ +& =\frac{18\left(10^{2014}-1\right)}{81}+\frac{9 \cdot 10^{4028}-18 \cdot 10^{2014}+9}{81} \\ +& =\frac{9\left(10^{4028}-1\right)}{81} \\ +& =\frac{10^{4028}-1}{9} \\ +& =\underbrace{111 \ldots 111}_{4028} +\end{aligned} +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +X & =\underbrace{111 \ldots 111}_{2013} 2 \underbrace{888 \ldots 888}_{2012} 96 \\ +& =\underbrace{111 \ldots 111}_{2013} \cdot 10^{2015}+2 \cdot 10^{2014}+\underbrace{888 \ldots 888}_{2014}+8 \\ +& =\frac{10^{2013}-1}{9} \cdot 10^{2015}+2 \cdot 10^{2014}+8 \cdot \frac{10^{2014}-1}{9}+8 \\ +& =\frac{10^{4028}-10^{2015}+18 \cdot 10^{2014}+8 \cdot 10^{2014}-8+9 \cdot 8}{9} \\ +& =\frac{10^{4028}+16 \cdot 10^{2014}+64}{9} \\ +& =\left(\frac{10^{2014}+8}{3}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{X} & =\frac{10^{2014}+8}{3} \\ +& =\frac{10^{2014}-1}{3}+3 \\ +& =\underbrace{333 \ldots 333}_{2014}+3 \\ +& =\underbrace{333 \ldots 333}_{2013} 6 +\end{aligned} +$$ + +c) + +$$ +\begin{aligned} +\underbrace{444 \ldots 444 \underbrace{888 \ldots 888}_{(n-1) \text { vezes }} 9}_{n \text { vezes }} & =\underbrace{444 \ldots 444}_{n \text { vezes }} \cdot 10^{n}+\underbrace{888 \ldots 888}_{n \text { vezes }}+1 \\ +& =4 \cdot \frac{10^{n}-1}{9} \cdot 10^{n}+8 \cdot \frac{10^{n}-1}{9}+1 \\ +& =\frac{4 \cdot 10^{2 n}+4 \cdot 10^{n}+1}{9} \\ +& =\left(\frac{2 \cdot 10^{n}+1}{3}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Como $\frac{2 \cdot 10^{n}+1}{3}=\frac{6 \cdot 10^{n}-6}{9}+1=\underbrace{666 \ldots 666}_{n \text { vezes }}+1$ é um inteiro, segue que o número dado é um quadrado perfeito. +d) + +$$ +\begin{aligned} +\underbrace{111 \ldots 111}_{4028 \text { vezes }}-\underbrace{222 \ldots 222}_{2014} & =\frac{10^{4028}-1}{9}-2 \cdot \frac{10^{2014}-1}{9} \\ +& =\frac{10^{4028}-2 \cdot 10^{2014}+1}{9} \\ +& =\left(\frac{10^{2014}-1}{3}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Para finalizar, basta provar que $\frac{10^{2014}-1}{3}$ é inteiro e para isso veja que + +$$ +\frac{10^{2014}-1}{3}=3 \cdot \frac{10^{2014}-1}{9}=\underbrace{333 \ldots 333}_{2014} +$$ + +## 31 Radicais sucessivos + +Encontre as soluções da equação + +$$ +\sqrt{x+\sqrt{4 x+\sqrt{16 x+\sqrt{\ldots+\sqrt{4^{n} x+3}}}}}=1+\sqrt{x} +$$ + +## 31 Radicais sucessivos-Solução + +Elevemos a equação dada ao quadrado $n$ vezes, obtendo + +$$ +\begin{aligned} +x+\sqrt{4 x+\sqrt{16 x+\sqrt{\ldots+\sqrt{4^{n} x+3}}}} & =1+2 \sqrt{x}+\chi \\ +\sqrt{4 x+\sqrt{16 x+\sqrt{\ldots+\sqrt{4^{n} x+3}}}} & =1+2 \sqrt{x} \\ +4 x+\sqrt{16 x+\sqrt{\ldots+\sqrt{4^{n} x+3}}} & =1+4 \sqrt{x}+4 x \\ +\sqrt{16 x+\sqrt{\ldots+\sqrt{4^{n} x+3}}} & =1+4 \sqrt{x} \\ +\cdots & =\cdots \\ +\sqrt{4^{n-1} x+\sqrt{4^{n} x+3}} & =1+2^{n-1} \sqrt{x} \\ +4^{n-1} x+\sqrt{4^{n} x+3} & =1+2^{n} \sqrt{x}+2^{2 n-2} x \\ +\sqrt{4^{n} x+3} & =1+2^{n} \sqrt{x} \\ +4^{n} x+3 & =1+2^{n+1} \sqrt{x}+2^{2 n x} x \\ +3 & =1+2^{n+1} \sqrt{x} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $\sqrt{x}=2^{-n}$, ou seja, $x=2^{-2 n}$. + +## 32 Valores possiveis das raízes + +Na equação $x^{2}+p x+q=0$, os coeficientes $p$ e $q$ podem assumir quaisquer valores do intervalo $[-1,1]$. Quais são os possíveis valores das raízes de tal equação? + +## 32 Valores possíveis das raízes - Solução + +As raízes da equação são dadas por $r=\frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4 q}}{2}$. O valor máximo $\alpha$ de tal expressão deve ocorrer quando $-p \mathrm{e} \pm \sqrt{p^{2}-4 q}$ forem máximos. Como $p^{2}-4 q \leq 1^{2}-4(-1)=5 \mathrm{e}$ $-p \leq 1$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\frac{1+\sqrt{1^{2}-4(-1)}}{2} \\ +& =\frac{1+\sqrt{5}}{2} +\end{aligned} +$$ + +De modo similar, podemos verificar que o valor mínimo é $-\alpha$. Se $y$ é uma raiz de tal equação e $m$ é tal que $|m| \leq 1$, então $z=m y$ é uma raiz de $x^{2}+p m x+q m^{2}$ e os coeficientes ainda estão em $[-1,1]$. Consequentemente, todos os os números do intervalo $[-\alpha, \alpha]$ podem ser raízes de tais equações e, como vimos no início, nenhum outro número fora deste intervalo pode sê-lo. + +## 33 Ímpares que de 5 em 5 e 9 em 9 somam quadrados perfeitos + +Os números que são inteiros positivos elevados ao quadrado são chamados quadrados perfeitos, por exemplo, 16 é um quadrado perfeito pois é igual a $4^{2}$. Um fato curioso é que números que são quadrados perfeitos deixam apenas restos 0 ou 1 na divisão por 4 . Com isso podemos provar, por exemplo, que 2014 não é um quadrado perfeito pois 2014 deixa resto 2 na divisão por 4 . + +a) Sabendo que todo número inteiro ímpar é da forma $2 k+1$, mostre que os quadrados perfeitos ímpares deixam resto 1 na divisão por 8. + +b) É possível colocar 45 números inteiros ímpares em sequência de modo que a soma de quaisquer 5 consecutivos e de quaisquer 9 consecutivos sejam quadrados perfeitos? + +## 33 Ímpares que de 5 em 5 e 9 em 9 somam quadrados perfeitos-Solução + +a) Desenvolvamos o produto notável relativo ao quadrado de um número ímpar $(2 k+1)^{2}$ : + +$$ +\begin{aligned} +(2 k+1)^{2} & =4 k^{2}+4 k+1 \\ +& =4 k(k+1)+1 +\end{aligned} +$$ + +Como pelo menos um dentre $k$ e $k+1$ é par, segue que $k(k+1)$ é par e que $4 k(k+1)$ é múltiplo de $4 \cdot 2=8$. Consequentemente, $4 k(k+1)+1$ deixa resto 1 na divisão por 8 . +b) Provaremos por contradição que não é possível. Suponha que seja possível encontrar tal sequência de números. Como a soma de 9 números ímpares é ímpar, separando todos os números da sequência em 5 grupos de 9 números consecutivos, podemos concluir que a soma total é igual à soma de 5 quadrados perfeitos de números ímpares. Assim, como cada um deles deixa resto 1 na divisão por 8, em virtude do item anterior, a soma total deixaria o mesmo resto que + +$$ +1+1+1+1+1=5 +$$ + +na divisão por 8. A soma de 5 números ímpares também é um número ímpar. Consequentemente, separando a lista total em 9 grupos de cinco números consecutivos, podemos concluir que a soma total também é igual à soma de 9 quadrados perfeitos ímpares. Assim, como cada um deles deixa resto 1 na divisão por 8, novamente em virtude do item anterior, a soma total deixaria o mesmo resto que + +$$ +1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 +$$ + +na divisão por 8. Ou seja, a soma total deixaria resto 1 na divisão por 8. + +Obtemos uma contradição, pois a soma dos 45 números está deixando dois restos diferentes, 1 e 5, na divisão por 8 e isso mostra que não é possível existir tal sequência. + +## 34 Soma de dois primos é múltiplo de seis + +Sejam $p, q$ e $r$ três números primos maiores que 3. Sabe-se que o número $p+q+r$ também é primo. Mostre que $p+q, p+r$ ou $q+r$ é um múltiplo de 6 . + +## 34 Soma de dois primos é múltiplo de seis - Solução + +Primeiramente vejamos que, se um número $n$ é maior que 3 e deixa resto $0,2,3$ ou 4 na divisão por 6, então esse número não pode ser primo. Para isso, basta mostrar que o número pode ser escrito como o produto de dois números maiores que 1: + +$$ +\begin{aligned} +& n=6 m+0=2 \cdot 3 \cdot m \\ +& n=6 m+2=2 \cdot(3 m+1) \\ +& n=6 m+3=3 \cdot(2 m+1) \\ +& n=6 m+4=2 \cdot(3 m+2) +\end{aligned} +$$ + +Logo, números primos maiores que 3 deixam resto 1 ou 5 na divisão por 6 . Apliquemos isso aos números do enunciado. Como $p+q+r$ também é primo, podemos concluir que os três não podem deixar todos restos iguais a 1 ou todos restos iguais a 5 , pois isso faria com que $p+q+r$ fosse um múltiplo de 3 maior que 3 e naturalmente não poderia ser primo. Então, dentre os números $p, q$ e $r$, pelo menos um deixa resto 1 e pelo menos outro deixa resto 5 na divisão por 6 . Somando-os, chegamos a um número múltiplo de 6 . + +## 35 Pontuações em um torneio de Xadrez + +Em um torneio de xadrez, todos os jogadores enfrentaram todos os outros exatamente uma vez. Em cada partida, o jogador ganha 1 ponto se vencer, $1 / 2$ se empatar e 0 ponto se perder. Ao final do torneio, um repórter somou as pontuações de todos os jogadores e obteve 190 pontos. Nesse tipo de torneio, o vencedor é aquele que faz mais pontos. + +a) Quantos jogadores participaram do torneio? + +b) André participou do torneio e fez 9 pontos. Mostre que, mesmo sem saber as outras pontuações, André não foi o vencedor do torneio. + +## 35 Pontuações em um torneio de Xadrez - Solução + +a) Seja $J$ o número de jogadores. Cada partida vale no total 1 ponto, seja $1+0=1$ ou $1 / 2+1 / 2=1$. Então a pontuação total é igual ao número de partidas. Como cada um dos $J$ jogadores enfrenta cada um dos outros $J-1$ jogadores, poderíamos pensar que 0 total de jogos seria $J(J-1)$ embates. Entretanto, cada partida acaba sendo contada duas vezes e portanto o total de partidas é $\frac{J(J-1)}{2}$. Usando o número obtido pelo jornalista, temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{J(J-1)}{2} & =190 \\ +J(J-1) & =380 \\ +& =20 \cdot 19 +\end{aligned} +$$ + +Daí $J=20$. + +b) Como no total foram 190 pontos para 20 competidores, a média de pontos é $\frac{190}{20}=9,5$ pontos. Como André está abaixo da média de pontos e sempre existe um jogador que fez pelo menos tantos pontos quanto a média, podemos concluir que ele não foi o vencedor do torneio. + +## 36 Equação com radicais + +Resolva em $\mathbb{R}$ a equação $\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{x^{2}-6 x+10}=5$. + +## 36 Equação com radicais - Solução + +Primeira Solução: Podemos eliminar radicais elevando membros da equação abaixo ao quadrado: + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{x^{2}-6 x+10} & =5 \\ +\left(\sqrt{x^{2}-6 x+10}\right)^{2} & =\left(5-\sqrt{x^{2}+9}\right)^{2} \\ +x^{2}-6 x+10 & =25-10 \sqrt{x^{2}+9}+x^{2}+9 \\ +10 \sqrt{x^{2}+9} & =6 x+24 \\ +25\left(x^{2}+9\right) & =(3 x+12)^{2} \\ +25 x^{2}+225 & =9 x^{2}+72 x+144 \\ +16 x^{2}-72 x+81 & =0 \\ +(4 x-9)^{2} & =0 +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, $4 x-9=0$, ou seja $x=\frac{9}{4}$. Para verificar que $x=\frac{9}{4}$ é a solução, basta +escrever + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{x^{2}-6 x+10} & =\sqrt{\frac{81}{16}+9}+\sqrt{\frac{81}{16}-6 \cdot \frac{9}{4}+10} \\ +& =\frac{15}{4}+\frac{5}{4} \\ +& =5 +\end{aligned} +$$ + +Segunda Solução: Considere no plano cartesiano os pontos $F, D$ e $E$ de coordenadas $(x, 0)$, $(0,3)$ e $(3,-1)$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-35.jpg?height=597&width=720&top_left_y=1632&top_left_x=768) + +Podemos associar as distâncias entre alguns pontos aos radicais dados: + +$$ +\begin{aligned} +D F & =\sqrt{x^{2}+9} \\ +F E & =\sqrt{(x-3)^{2}+1^{2}} \\ +& =\sqrt{x^{2}-6 x+10} \\ +D E & =\sqrt{9+16} \\ +& =5 +\end{aligned} +$$ + +Pela desigualdade triangular, + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(x-3)^{2}+1^{2}} & =D F+F E \\ +& \geq D E \\ +& =5 +\end{aligned} +$$ + +Com igualdade apenas quando $D, F$ e $E$ são colineares. Portando, o ponto $F$ deve coincidir com a interseção $G$ entre $D E$ e o eixo $O x$, ou seja, $x=9 / 4$. + +Observação: Um problema relacionado que admitiria a mesma abordagem por meio de Geometria Analítica seria o: + +Qual o menor valor da função real + +$$ +f(x)=\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{(b-x)^{2}+c^{2}} +$$ + +onde $a, b, c$ são reais positivos? + +Repetindo o argumento anterior, se $E=(b,-c), D=(0, a)$ e $F=(x, 0)$, temos $f(x)=F E+F D$ e, pela desigualdade triangular, $f(x) \geq D E$ onde a igualdade ocorre apenas se $D, F$ e $E$ são colineares. O ponto de interseção de $D E$ e o eixo $O x$ é ( $\left.\frac{a b}{a+c}, 0\right)$ e, portanto, o mínimo ocorre em $x=\frac{a b}{a+c}$. + +## 37 Números em sequência que se repetem + +Uma propriedade interessante do número 2013 é que 3 é o último dígito da soma $2+0+1$. Repetindo-se esse processo, isto é, escrevendo-se à direita o último dígito da soma dos três dígitos anteriores, teremos uma sequência: + +$$ +2,0,1,3,4,8,5,7 \ldots +$$ + +a) Prove que começando com a sequência 2,0,1, nessa ordem, podemos também encontrar os três números consecutivos $1,2,2$, nessa ordem. + +b) Observe que se uma sequência de três números consecutivos aparecer novamente na mesma ordem, então toda a sequência se "repetirá" sucessivamente. Por exemplo, a sequência abaixo não é a sequência do enunciado, mas se repete a cada quatro números + +$$ +\ldots \underline{124312431243 \ldots 12431243 \ldots} +$$ + +Verifique que alguma sequência de três dígitos se repete na sequência do enunciado. +c) Suponha que na primeira aparição de " $a, b, c$ " na sequência, o número imediatamente anterior seja $x$, e que na sua segunda aparição seja $y$, ou seja, na sequência iremos encontrar os números na seguinte ordem: + +$$ +\ldots, x, a, b, c, \ldots, y, a, b, c \ldots +$$ + +Mostre que $x=y$. + +d) Dado que 1,2,2 apareceu na sequência, nessa ordem, mostre que eventualmente aparecerá novamente a sequência de dígitos $2,0,1$, também nessa ordem. + +## 37 Números em sequência que se repetem-Solução + +a) Basta continuarmos a escrever mais termos da sequência seguindo a regra do enunciado: + +$$ +\mathbf{2 , 0 , 1}, 3,4,8,5,7,0,2,9, \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{2}, \ldots +$$ + +b) Veja que temos no máximo 10 valores possíveis para cada um dos três números $a, b$ e $c$. Portanto, existem no máximo $10 \cdot 10 \cdot 10=1000$ sequências distintas de três números. Então, se tomarmos os 1003 primeiros números, teremos 1001 sequências de três números consecutivos desde os três primeiros até os três últimos deles. Como só existem 1000 sequências possíveis, alguma delas se repetirá, ou seja, existem três números consecutivos $a, b, c$ que aparecem mais de uma vez na sequência. + +c) Em virtude do aparecimento do dígito $c, x+a+b$ e $y+a+b$ devem ser iguais a $c$, $10+c$ ou $20+c$. Efetuando-se a subtração $x-y$, podemos obter $-20,-10,0,10$ ou 20 . Como $x$ e $y$ são dígitos, essa diferença só poderá assumir o valor 0 e, consequentemente $x=y$. + +d) Pelo item $b$ ), sabemos que os números se repetem em algum momento. Pelo item $c$ ), vemos que se três números se repetem o dígito imediatamente anterior a eles também se repete e, por conseguinte, todos os anteriores correspondentes também se repetem. Logo, a tripla de dígitos 2,0,1 irá se repetir. Como, pelo item a), partindo de 2,0,1 chegase a 1,2,2, então quando 2,0,1 se repetir, teremos "partido" de 1,2,2 e chegado a 2,0,1. + +$$ +\mathbf{2 , 0 , 1}, 3,4,8,5,7,0,2,9, \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{2}, \ldots 9, \mathbf{2 , 0}, \mathbf{1}, 3,4,8,5,7,0 \ldots +$$ + +## 38 Somando e subtraindo números de cobrinhas + +A folha do caderno de desenho de João é um enorme plano cartesiano quadriculado. Um dos seus desenhos preferidos é a criação de cobrinhas cobrindo os lados dos quadradinhos com sua caneta. Basicamente uma cobrinha é uma sequência de $2 n$ pontos distintos $P_{1}, P_{2}$, $\ldots, P_{2 n}$ escolhidos nos vértices dos quadradinhos dos tabuleiros de modo que pontos com índices consecutivos estão no lado de um mesmo quadradinho do tabuleiro. Por exemplo, na figura abaixo, temos uma cobrinha unindo os seguintes pontos do plano cartesiano: + +$$ +\begin{aligned} +& P_{1}=(0,0), \quad P_{2}=(1,0), \quad P_{3}=(1,1), \quad P_{4}=(1,2), \quad P_{5}=(2,2), \quad P_{6}=(2,3) \\ +& P_{7}=(3,3), \quad P_{8}=(4,3), \quad P_{9}=(4,4), \quad P_{10}=(5,4), \quad P_{11}=(6,4), \quad P_{12}=(6,5) +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-38.jpg?height=851&width=845&top_left_y=979&top_left_x=503) + +Depois de desenhar cobrinhas no tabuleiro, João gosta de calcular a soma das coordenadas dos pontos de índices ímpares, isto é, dos pontos $P_{1}, P_{3}, \ldots, P_{2 n-1}$, e subtrair desse número o resultado da soma das coordenadas dos pontos de índices pares, isto é, dos pontos $P_{2}, P_{4}$, $\ldots, P_{2 n}$. + +a) Para $n=3$, ou seja, com 6 pontos, desenhe "cobrinhas" em que o resultado obtido por João seja $-1,-3$, 1 e 3. + +b) Dependendo de $n$, quais os possíveis valores que João pode obter? + +Observação: A "cobrinha" pode também conter pontos com coordenadas negativas, basta que ela "se mova" para a esquerda do eixo $y$ ou para baixo do eixo $x$. + +## 38 Somando e subtraindo números de cobrinhas - Solução + +a) A figura a seguir mostra como obter os valores $-1,1,3 \mathrm{e}-3$ para o caso $n=3$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-39.jpg?height=422&width=1146&top_left_y=622&top_left_x=548) + +b) Sejam $S\left(P_{n}\right)$ a soma das coordenadas do ponto $P_{n}$ e $S$ o número obtido por João. Queremos calcular os possíveis valores de $\mathrm{S}$. + +$$ +\begin{aligned} +S & =\left(S\left(P_{1}\right)+S\left(P_{3}\right)+\ldots+S\left(P_{2 n-1}\right)\right)-\left(S\left(P_{2}\right)+S\left(P_{4}\right)+\ldots+S\left(P_{2 n}\right)\right) \\ +& =\left(S\left(P_{1}\right)-S\left(P_{2}\right)\right)+\left(S\left(P_{3}\right)-S\left(P_{4}\right)\right)+\ldots+\left(S\left(P_{2 n-1}\right)-S\left(P_{2 n}\right)\right) +\end{aligned} +$$ + +Veja que cada diferença $\left(S\left(P_{x}\right)-S\left(P_{x+1}\right)\right.$ ) é igual a 1 ou -1 pois eles são vértices de um mesmo quadradinho da folha de caderno. Desse modo, $S$ é adição de $n$ parcelas $\pm 1$, ou seja, + +$$ +S= \pm 1+ \pm 1+\ldots \pm 1 +$$ + +A soma máxima é $n$, quando todos os termos forem +1 e a mínima é $-n$, quando todos forem -1 . Será que $S$ pode assumir qualquer valor entre $n \mathrm{e}-n$ ? Note que se $n$ é par, $S$ é a soma de uma quantidade par de parcelas ímpares e isso naturalmente produz um número par. Se $n$ é ímpar, $S$ é a soma de uma quantidade ímpar de parcelas ímpares e isso naturalmente produz um número ímpar. Portanto, $S$ só pode assumir os valores que diferem por um número par de $n$, ou seja, valores do conjunto + +$$ +A=\{-n,-(n-2), \ldots, n-2 l, \ldots, n-2, n\} +$$ + +O exemplo anterior nos fornece uma ideia de como mostrar que qualquer número da forma $k=n-2 l$ do conjunto $A$ pode ser obtido. + +Desenhe uma "cobrinha" com comprimento $n+k=2 n-2 l$ no eixo $y$ e com comprimento $n-k=2 l$ no eixo $x$ como indicado no desenho abaixo + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-40.jpg?height=568&width=602&top_left_y=384&top_left_x=630) + +Os segmentos no eixo $y$ darão como contribuição o número $\frac{n+k}{2}=n-l$ e os do eixo $x$ o número $-\frac{n-k}{2}=l$. O resultado total é $\frac{n+k}{2}-\frac{n-k}{2}=k$. + +## 39 Quadrado encostando na reta + +a) Todo número real ao quadrado é maior ou igual a 0 , sendo 0 apenas se o número elevado ao quadrado for o próprio 0 . Consequentemente, para quaisquer números reais $a$ e $b$ temos $(a-b)^{2} \geq 0$. Prove que + +$$ +\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq a b +$$ + +com igualdade ocorrendo somente quando $a=b$. + +b) A figura a seguir mostra um quadrado de lado 1 com um vértice em comum com uma reta horizontal. Considerando todas as posições em que o quadrado "encosta" apenas um de seus vértices na reta, qual a maior área possível do pentágono $A B C E F$ onde $E$ e $F$ são as projeções ortogonais dos vértices $A$ e $C$ na reta horizontal? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-40.jpg?height=462&width=777&top_left_y=2202&top_left_x=545) + +## 39 Quadrado encostando na reta - Solução + +a) Desenvolvendo o produto notável, temos + +$$ +(a-b)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2}-2 a b+b^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2} \geq 2 a b \Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq a b +$$ + +Veja que a igualdade da última expressão acontece apenas quando há igualdade na primeira, ou seja, quando $a=b$. + +b) Considere a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4747cb56a5540358921fg-41.jpg?height=685&width=1148&top_left_y=757&top_left_x=545) + +Seja $\angle F A D=\alpha$. Como $\angle A F D=\angle A D C=90^{\circ}$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\angle F D A & =90^{\circ}-\angle F A D=90^{\circ}-\alpha \\ +\angle C D E & =180^{\circ}-\angle A D F-90^{\circ}=\alpha \\ +\angle D C E & =90^{\circ}-\angle C D E=90^{\circ}-\alpha +\end{aligned} +$$ + +Como os triângulos $\triangle F A D$ e $\triangle E D C$ possuem os mesmos ângulos e um lado correspondente de mesma medida, eles são congruentes pelo caso de congruência (A.L.A.). Sejam $a$ e $b$ os comprimentos de seus catetos como indicado na figura. Assim, a área do pentágono $A B C E F$ é + +$$ +[A B C E F]=[F A D]+[E D C]+[A B C D]=2 \cdot \frac{a \cdot b}{2}+1 \cdot 1=a b+1 +$$ + +Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $\triangle A F D$, sabemos que $a^{2}+b^{2}=1$. Finalmente, usando o resultado do item $a$ ), obtemos: + +$$ +\begin{aligned} +{[A B C E F] } & =a b+1 \\ +& \leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}+1 \\ +& =\frac{3}{2} +\end{aligned} +$$ + +com igualdade apenas quando $a=b$. Portanto, a maior área possível do pentágono $A B C E F$ é $3 / 2$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2016_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2016_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34a66ebd43988d1cc9313573972b7b9d58ecf958 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2016_N1.md @@ -0,0 +1,841 @@ +# ENUNCIADOS E SOLUÇÕES DO NÍVEL 1 + +## 1 Círculos nas três circunferências + +Na figura abaixo, três circunferências de mesmo raio se intersectam em seis pontos. Em cada um destes pontos, existe um círculo menor, todos de mesmo raio. Coloque os números 1, 2, $3,4,5,6$ nos círculos pequenos, de modo que os números escritos em cada uma das circunferências maiores seja 14 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-01.jpg?height=537&width=540&top_left_y=1890&top_left_x=861) + +## 1 Círculos nas três circunferências - Solução + +A soma de todos os números dados é $1+2+3+4+5+6=21$. Como a soma dos quatro números escritos em cada circunferência maior é 14 , a soma dos outros dois números é $21-14=7$. Os possíveis pares de números com tal soma são: $(3,4),(2,5)$ e (1,6). Fixando um desses pares de soma 7 , como exemplificado na figura a seguir com o par $(1,6)$ e considerando um dos círculos grandes que passam por eles, podemos concluir que os outros dois números, indicados por $A$ e $B$ neste mesmo círculo, devem somar $14-7=7$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-02.jpg?height=506&width=511&top_left_y=775&top_left_x=675) + +Portanto, basta escolhermos um dos pares restantes para as posições $A$ e $B$ e, finalmente, o par que sobrou para outras duas posições. A figura a seguir indica dois possíveis preenchimentos: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-02.jpg?height=514&width=1102&top_left_y=1583&top_left_x=383) + +## 2 Filhos de Paulo + +A idade de cada um dos três filhos de Paulo é um número inteiro. A soma destes três inteiros é igual a 12 e seu produto é 30 . Qual a idade de cada um dos seus três filhos? + +## 2 Filhos de Paulo - Solução + +Sejam $a, b$ e $c$ as idades dos três filhos de Paulo. Então: + +$$ +\begin{aligned} +a+b+c & =12 \\ +a b c & =30 +\end{aligned} +$$ + +O conjunto dos divisores de 30 é $\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$. Como se tratam de inteiros positivos e a soma deles é 12 , segue que $a, b, c \in\{1,2,3,5,6,10\}$. Como o produto é 30 , necessariamente um deles deve ser múltiplo de 5 . Se um deles é 10 , para que o produto seja 30 , os outros só podem ser 1 e 3. Isto não satisfaz a condição da soma das idades. Portanto, uma das idades é 5 . Logo, o produto das outras duas é $30 / 5=6$. As únicas possibilidades são 2 e 3 ou 1 e 6 . A primeira não é possível em virtude da condição da soma das idades. Assim, as três idades são 1,5 e 6. + +## 3 O tabuleiro $3 \times 5$ + +Em cada uma das situações abaixo, decida se é possível dispormos os números $1,2, \ldots, 15$ nos quadradinhos de um tabuleiro $3 \times 5$ de modo que: + +a) A soma dos números nas três linhas sejam iguais entre si e a soma dos números nas três colunas também sejam iguais entre si, mas, eventualmente, diferentes do valor das somas das linhas. + +b) A soma dos números em todas as linhas e colunas sejam iguais entre si. + +3 O tabuleiro $3 \times 5$-Solução + +a) Sim, é possível, como mostra o exemplo: + +| 1 | 11 | 5 | 14 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 3 | 12 | 4 | 13 | +| 15 | 10 | 7 | 6 | 2 | + +b) Suponha, por absurdo, que é possível fazer tal preenchimento do tabuleiro e seja $k \mathrm{o}$ valor comum das somas das linhas e colunas. Como existem 5 colunas, a soma de todos os números do tabuleiro é $5 k$. Por outro lado, como temos 3 linhas, a soma de todos os números é $3 k$. Isto produz um absurdo, pois $3 k=5 k$ apenas quando $k$ é igual a zero. + +## 4 Cubo com túnel + +No cubo $5 \times 5 \times 5$ das figuras abaixo, cubinhos foram retirados de modo que, para qualquer uma das faces, uma peça indicada pelo formato dos quadradinhos pintados de preto consiga atravessar o cubo e sair na face oposta. Determine quantos cubinhos foram retirados em cada item. + +a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-04.jpg?height=371&width=465&top_left_y=714&top_left_x=704) + +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-04.jpg?height=372&width=463&top_left_y=1256&top_left_x=702) + +4 Cubo com túnel-Solução + +a) Se fosse feito apenas um buraco entre duas faces opostas, teríamos que retirar exatamente $3 \cdot 5=15$ cubinhos. Se simplesmente somarmos a mesma quantidade para os outros dois buracos, teremos retirado $3 \cdot 15=45$ cubinhos. Entretanto, alguns cubinhos estão sendo retirados mais de uma vez. Para corrigir a contagem, devemos acrescentar os cubos que fazem parte de cada dois buracos. As interseções entre dois buracos são $3 \cdot 3=9$, $3 \cdot 1=3$ e $3 \cdot 1=3$ cubos comuns. Além disto, somando os cubos que foram retirados duas vezes, teremos negligenciado os cubos que fazem parte dos três buracos. Como a interseção dos três buracos é uma peça formada por 3 cubinhos, o total de cubos retirados é: + +$$ +45-9-3-3+3=33 +$$ + +Outra maneira de contar é "desmontar" os quatro blocos $2 \times 2 \times 5$ de quadrados brancos nas pontas do cubo maior e, em seguida, as peças brancas que sobraram: 4 delas do tamanho $1 \times 1 \times 1$ e 4 do tamanho $1 \times 1 \times 2$. Isto nos produz a contagem: + +$$ +125-4 \cdot 20-4 \cdot 2-4 \cdot 1=33 +$$ + +b) Se fosse feito apenas um buraco entre duas faces opostas, teríamos que retirar exatamente $5 \cdot 5=25$ cubinhos. Se simplesmente somarmos a mesma quantidade para os outros dois buracos, teremos retirado $3 \cdot 25=75$ cubinhos. Entretanto, alguns cubinhos estão sendo retirados mais de uma vez. Para corrigir a contagem, devemos acrescentar os cubos que fazem parte de cada dois buracos. Entre quaisquer dois buracos, existem $3 \cdot 3+2=11$ quadrinhos de interseção. Além disso, somando os cubos que foram retirados duas vezes, teremos negligenciado os cubos que fazem parte dos três buracos. Como a interseção dos três buracos é uma peça formada por 7 cubinhos, o total de cubos retirados é: + +$$ +75-3 \cdot 11+7=49 +$$ + +Outra maneira de contar é "desmontar" os oito blocos $2 \times 2 \times 2$ de quadrados brancos nas pontas do cubo maior e, em seguida, as 12 peças brancas $1 \times 1 \times 1$ entre as cruzes pretas das faces. Isso produz a contagem: + +$$ +125-8 \cdot 8-12=49 +$$ + +## 5 Barras de chocolate + +João possui 30 barras de chocolate com os pesos: 2, 3 ou 4 quilos. A soma dos pesos das barras é 100 quilos. João possui mais barras de $2 \mathrm{~kg}$ ou de $4 \mathrm{~kg}$ ? + +## 5 Barras de chocolate - Solução + +Sejam $x, y$ e $z$ as quantidades de barras de $2 \mathrm{~kg}, 3 \mathrm{~kg}$ e $4 \mathrm{~kg}$, respectivamente. Sabemos que: + +$$ +\begin{aligned} +x+y+z & =30 \\ +2 x+3 y+4 z & =100 +\end{aligned} +$$ + +Se multiplicarmos a primeira equação por 3 e a subtrairmos da segunda, obteremos + +$$ +z-x=10 +$$ + +Como $z-x>0$, segue que temos mais barras de $4 \mathrm{~kg}$ do que barras de $2 \mathrm{~kg}$. + +## 6 A divisão da pizza + +Um grupo de oito pessoas pediu uma pizza. O garçom conseguiu dividi-la em oito pedaços fazendo apenas três cortes retos. Como ele conseguiu fazer isto? + +## 6 A divisão da pizza - Solução + +Faça os cortes como indicado nas figuras a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-06.jpg?height=234&width=992&top_left_y=414&top_left_x=433) + +## 7 A calculadora do Planeta Zilot + +No planeta Zilot, as unidades de medidas são bem diferentes das que conhecemos na Terra. A medida padrão de comprimento é o Zimetro e um de seus submúltiplos é o Zimimimetro que equivale a $10^{-7}$ Zimetros. Uma calculadora pode realizar apenas duas operações: multiplicar um número por $10^{8}$ ou dividi-lo por $10^{5}$. Por exemplo, usando as operações da calculadora, podemos fazer as seguintes conversões: + +$$ +3 \rightarrow 3 \cdot 10^{-5} \rightarrow 3 \cdot 10^{-10} \rightarrow 3 \cdot 10^{-2} +$$ + +a) Explique como combinarmos as duas operações da calculadora e fazermos aparecer na tela o número que representa a conversão de $7 \cdot 10^{2}$ Zimetros em Zimimimetros. + +b) Como obter a conversão de $10^{10} \cdot 10^{-4}$ Zimetros em Zimimimetros começando com o número 1000 na tela da calculadora? + +c) Usando a calculadora, é possível transformar $10^{2017} \mathrm{em} 10^{11}$ usando as duas teclas mencionadas? + +## 7 A calculadora do Planeta Zilot-Solução + +a) Queremos que apareça na tela o número $7 \cdot 10^{2} \cdot 10^{7}=7 \cdot 10^{9}$. Uma maneira de fazer tal conversão, começando $\operatorname{com} 7 \cdot 10^{2}$, é apertar quatro vezes a tecla com a operação de multiplicar por $10^{8}$ e cinco vezes a tecla da divisão por $10^{5}$ : + +$7 \cdot 10^{2} \rightarrow 7 \cdot 10^{10} \rightarrow 7 \cdot 10^{18} \rightarrow 7 \cdot 10^{26} \rightarrow 7 \cdot 10^{34} \rightarrow 7 \cdot 10^{29} \rightarrow 7 \cdot 10^{24} \rightarrow 7 \cdot 10^{19} \rightarrow 7 \cdot 10^{14} \rightarrow 7 \cdot 10^{9}$. + +b) Queremos que apareça na tela o número $10^{10} \cdot 10^{-4} \cdot 10^{7}=10^{13}$, que é a conversão do número dado em Zimimimetros. Uma maneira de fazer tal conversão, começando com 1000, é apertar cinco vezes a tecla com a operação de multiplicar por $10^{8}$ e seis vezes a tecla da divisão por $10^{5}$ : + +$$ +1000 \rightarrow 1000 \cdot 10^{5 \cdot 8} \rightarrow 1000 \cdot 10^{5 \cdot 8} \cdot 10^{-6 \cdot 5}=10^{3+5 \cdot 8-6 \cdot 5}=10^{13} +$$ + +c) Se usarmos a tecla de divisão por $10^{5}$ cinco vezes e, em seguida, usarmos a tecla de multiplicação por $10^{8}$ três vezes, alteraremos o número da tela por um fator de $10^{-5 \cdot 5+3 \cdot 8}=10^{-1}$. Portanto, repetindo-se esta exata sequência de operações $2017-11=2006$ vezes, iremos tranformar o número dado em: + +$$ +10^{2017} \rightarrow 10^{2017} \cdot 10^{-1}=10^{2016} \rightarrow \ldots \rightarrow 10^{12} \cdot 10^{-1}=10^{11} +$$ + +## 8 Emboscada para Colorado Jones + +Colorado Jones deve resolver um grande enigma para sobreviver. Ele deve remover apenas um dos cinco potes que estão na sua frente, como indica a figura abaixo, para poder abrir a porta da câmara secreta. Ele sabe que em cada pote existe apenas um tipo de moeda, ouro ou prata, e que cada número escrito neles representa a quantidade de moedas em seu interior. Além disto, o único pote correto que deve ser removido, faz com que nos potes restantes o número de moedas de prata seja o dobro do número de moedas de ouro. Qual pote deve ser removido? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-07.jpg?height=125&width=708&top_left_y=1231&top_left_x=777) + +## 8 Emboscada para Colorado Jones - Solução + +A retirada de um dos potes deve permitir que Colorado Jones consiga separar os restantes em dois grupos, sendo que em um destes grupos existe o dobro de moedas do outro grupo. Se a quantidade de moedas do menor grupo é $x$, a soma das moedas dos dois grupos é $x+2 x=$ $3 x$. Portanto, já sabemos pelo menos que a retirada do pote correto faz a quantidade de moedas restantes ser um múltiplo de 3 . A soma das quantidades de moedas dos cinco potes é $81+71+41+37+35=265$, que deixa resto 1 na divisão por 3 . Consequentemente, para que a remoção de um pote torne esta quantidade múltipla de 3 , o mesmo deve deixar resto 1 por 3. Dos números apresentados, apenas 37 possui tal propriedade. Além disto, veja que ao retirá-lo, os potes restantes podem ser divididos em dois grupos: um com soma $81+71=2 \cdot 76$ e outro com soma $35+41=76$. Assim, Colorado Jones deve remover o pote de 37 moedas. + +## 9 Qual a idade do Zé? + +Zé Roberto possui cinco filhos, dois são gêmeos e os outros três são trigêmeos. Sabe-se que hoje a idade de Zé é igual à soma das idades dos seus cinco filhos. Daqui a 15 anos, se somarmos as idades dos cinco filhos, teremos o dobro da idade que Zé possuirá na mesma época e a soma das idades dos gêmeos será igual à soma das idades dos trigêmeos. + +(a) Qual a idade atual de Zé? + +(b) Qual a idade atual dos trigêmeos? + +## 9 Qual a idade do Zé? - Solução + +(a) Sejam $z$ a idade atual de Zé, $g$ a idade atual dos gêmeos e $t$ a idade atual dos trigêmeos. As informações do problema podem ser traduzidas em três equações: + +$$ +\begin{aligned} +z & =2 g+3 t \\ +2(z+15) & =2(g+15)+3(t+15) \\ +2(g+15) & =3(t+15) +\end{aligned} +$$ + +Para determinar $z$, basta substituir o valor de $2 g+3 t$ da primeira equação na segunda: + +$$ +\begin{aligned} +z & =2 g+3 t \\ +2 z+30 & =2 g+30+3 t+45 \\ +2 z & =z+45 \\ +z & =45 +\end{aligned} +$$ + +(b) Da terceira equação, temos $2 g=3 t+15$. Substituindo esta equação e $o$ valor de $z$ do item anterior na primeira equação, teremos: + +$$ +\begin{aligned} +45 & =3 t+15+3 t \\ +45 & =6 t+15 \\ +30 & =6 t \\ +t & =5 +\end{aligned} +$$ + +## 10 Agrupando bolinhas de gude + +Juca possui menos do que 800 bolinhas de gude. Ele gosta de separar as bolinhas em grupinhos com a mesma quantidade de bolinhas. Ele percebeu que se formar grupinhos com 3 bolinhas cada, sobram exatamente 2 bolinhas. Se ele formar grupinhos de 4 bolinhas, sobram 3 bolinhas. Se ele formar grupinhos de 5 bolinhas, sobram 4 bolinhas. E, finalmente, se ele formar grupinhos com 7 bolinhas cada, sobram 6 bolinhas. + +(a) Se Juca formasse grupinhos com 20 bolinhas cada, quantas bolinhas sobrariam? + +(b) Juca possui quantas bolinhas de gude? + +## 10 Agrupando bolinhas de gude - Solução + +(a) Seja $B$ o número de bolinhas de Juca. Veja que o número de bolinhas que sobram ao formar um grupinho é igual ao resto da divisão de $B$ pelo tamanho dos grupinhos. Para determinar o resto na divisão por 20 , deve-se utilizar os restos na divisão por 4 e por 5 , já que $20=4 \cdot 5$. Suponha que seja dada uma bola a mais para Juca. Sabendo que com com grupinhos de 5 bolinhas sobram 4 bolinhas e em grupinhos de 4 sobram 3, então Juca pode dividir as $B+1$ bolas em grupinhos de 4 bolas e em grupinhos de 5 bolas sem sobrar nenhuma, $\log B+1$ é múltiplo de $4 \cdot 5=20$, já que este é o Mínimo Múltiplo Comum entre 4 e 5. Portanto, $B$ deixa resto 19 na divisão por 20. Assim, sobrariam 19 bolinhas. +(b) Para cada um dos números do conjunto $\{3,4,5,7\}$, o resto na divisão é uma unidade a menos que o tamanho dos grupinhos. Deste modo, se adicionarmos uma bola a mais na coleção de Juca, teremos um número $B+1$ que é múltiplo de $3,4,5$ e 7, consequentemente, $B+1$ é múltiplo do Mínimo Múltiplo Comum destes quatro números, ou seja, múltiplo de $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7=420$. Como Juca possui menos que 800 bolinhas, então $B+1=420$ e assim concluímos que $B=419$. + +## 11 Os ângulos do triângulo escaleno + +Em um triângulo escaleno, um ângulo é o dobro de outro. Se um dos ângulos é $36^{\circ}$, determine todas as possibilidades para os ângulos do triângulo. + +## 11 Os ângulos do triângulo escaleno-Solução + +Sejam $xx+y+z \\ +& =180^{\circ} \\ +z & >\frac{180^{\circ}}{3} \\ +& =60^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +De forma semelhante, podemos concluir que $x<60^{\circ}$. Logo, $x=36^{\circ}$ ou $y=36^{\circ}$. No primeiro caso, se $y=2 x$, temos $z=180^{\circ}-3 x=72^{\circ}=2 x$. Isto é um absurdo, pois $z>y$. Se $z=2 x$, temos $y=180^{\circ}-3 x=72^{\circ} \mathrm{e}$ isto também é um absurdo, pois novamente temos $z=y$. Logo, se $x=36^{\circ}$, então $z=2 y$ e $180^{\circ}=x+y+z=36^{\circ}+3 y$, ou seja, $(x, y, z)=\left(36^{\circ}, 48^{\circ}, 96^{\circ}\right)$. No segundo caso, quando $y=36^{\circ}$, se $z=2 y$, teremos $x=180^{\circ}-3 y=72^{\circ}$. Isto é impossível, pois $x9+90 \cdot 2=189$, então o dígito de posição 2016 aparecerá entre os números de três dígitos. De fato, podemos buscar o dígito $2016-189=1827$ a partir dos números $100101102103 \ldots$... Como $1827=3 \cdot 609$, então, sendo o 100 o primeiro número, o último dígito do número de ordem 609 será o dígito procurado. O número de ordem 609 é + +$$ +100+609-1=708 +$$ + +Concluímos assim que o dígito de ordem 2016 nesta sequência é 8 . + +## 19 Dividindo moedas de ouro para ganhar mais + +Um grupo de dez caçadores de relíquias encontrou um baú de moedas de ouro com 100 moedas que permaneceu perdido por mais de duzentos anos. + +Para facilitar a organização de todos, cada caçador recebe um número de 1 a 10 de acordo com a hierarquia que cada um tem no grupo. Isto é, o caçador número 10 é o chefe enquanto o número 1 não pode dar ordens para nenhum dos outros. Eles decidiram usar uma certa forma de "democracia" para dividir as moedas de ouro. O caçador 10 faz uma proposta para a divisão de todas as moedas entre os 10 caçadores. Cada caçador vota a favor ou contra. Se metade ou mais dos caçadores votar a favor, esta divisão é realizada. Caso contrário, o caçador 10 perde sua vez e fica fora da divisão de moedas. O caçador 9 , então, poderá fazer sua proposta de divisão das 100 moedas entre os caçadores de 1 até 9 . Novamente, cada caçador de 1 até 9 vota a favor ou contra e, se metade ou mais concordar, a divisão é feita. Caso contrário, o caçador 9 perde sua vez e fica sem moedas. O processo segue passando para o caçador 8 e assim sucessivamente. + +Os caçadores sabem que cada moeda não pode ser dividida, pois vale muito mais inteira. Além disso, cada caçador quer ganhar o máximo de moedas possível. + +(a) Suponha que o processo chegou até a vez do caçador 3. Qual a proposta que ele deve fazer para obter o maior ganho e ainda contar com a garantia de que sua proposta seja aceita na votação com os caçadores 1,2 e 3 ? +(b) Suponha que o processo chegou ao caçador 4. Os caçadores são muito espertos e sabem a resposta do item anterior. Qual a proposta o caçador 4 deve fazer para ter o maior ganho possível e ainda contar com a garantia de que ela seja aceita? + +(c) Voltemos ao início do problema e lembremo-nos de que todos os caçadores são muito espertos. Qual a proposta que o caçador 10 deve fazer para obter o maior ganho e ainda contar com a garantia de que sua proposta seja aceita em votação? + +## 19 Dividindo moedas de ouro para ganhar mais - Solução + +(a) Considere primeiro o cenário em que a proposta do caçador 3 não é aceita. Neste caso, o caçador 2 leva tudo, pois o voto dele já representa metade dos votos. Voltando à proposta do caçador 3, veja que além do próprio voto ele precisa de mais um para que sua proposta seja aceita. Se ele propuser 99 moedas para si e uma para o caçador 2, os caçadores 1 e 2 poderiam votar contra, pois o caçador 2 poderia ganhar todas as moedas e, para o caçador 1, tal resultado seria indiferente. Por outro lado, se o caçador 3 propuser 99 para si e uma moeda para o caçador 1, então este último votará a favor, pois esta situação é melhor para ele do que o caçador 2 levar tudo. + +(b) É importante lembrar que todos os caçadores chegam à mesma conclusão sobre o item anterior. Então se o caçador 4 propuser 99 moedas para si e uma para o caçador 2, este último aceitará, pois caso contrário ele ficará sem nenhuma. Apenas contando com os votos de 2 e 4 , a proposta será aceita. + +(c) O raciocínio feito nos itens anteriores pode ser repetido várias vezes até chegar ao caçador 9, que deve propor 96 moedas para si e uma moeda para cada um dos caçadores de ordem ímpar: 1, 3, 5 e 7. A partir disto, o caçador 10 deve propor 96 moedas para si e uma para cada um dos caçadores de ordem par: 2, 4, 6 e 8 . Os caçadores com números pares votam a favor, já que seu ganho será maior do que na proposta do caçador 9. + +## 20 Números quadradois + +Se um quadrado pode ser dividido em $n$ quadrados de no máximo dois tamanhos diferentes, então, dizemos que $n$ é um número quadradois. Veja que os números 4 e 10 são quadradois como podemos ver nas figuras a seguir: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-16.jpg?height=178&width=500&top_left_y=2292&top_left_x=684) + +(a) Mostre que 6 é quadradois. + +(b) Mostre que 2015 é quadradois. +(c) Mostre que todo inteiro maior que 5 é quadradois. + +## 20 Números quadradois - Solução + +(a) Basta exibir um exemplo com 6 quadrados menores possuindo no máximo dois tamanhos diferentes entre eles, como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-17.jpg?height=365&width=357&top_left_y=751&top_left_x=952) + +(b) Para cada inteiro ímpar $i$, desenhe $i-4$ quadrados formando uma figura no formato de $L$ circundando um quadrado. Isto pode ser feito, pois $i-4$ é ímpar. Em seguida, divida o quadrado circundado em outros quatro quadrados. Sendo $i>5$, temos $i \geq 7$ e $i-4 \geq 3$. Observe o padrão das duas figuras a seguir para $i=7 \mathrm{e} i=11$ : +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-17.jpg?height=214&width=528&top_left_y=1435&top_left_x=864) + +Seguindo este padrão para 2015, podemos colocar 4 quadrados grandes no canto inferior esquerdo, 1005 quadrados de tamanho menor sobre a lateral direita e 1005 quadrados deste mesmo tamanho menor na lateral superior destes 4 quadrados. E, finalmente, um quadrado com o mesmo tamanho dos 2010 menores já colocados ocupando no canto superior direito. + +(c) O item anterior nos permite concluir que todos os ímpares maiores ou iguais a 7 são quadradois. Podemos aproveitar tal fato. Para tanto, na representação de um inteiro ímpar, basta transformar os 4 quadrados de maior tamanho em um só com o dobro do lado. Assim, perdemos 4 quadrados, mas ganhamos um no lugar reduzindo o número total de quadrados em 3. Nos exemplos do item anterior, notando que $7-3=4 \mathrm{e}$ $11-3=8$, temos: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-17.jpg?height=236&width=558&top_left_y=2320&top_left_x=844) + +Subtraindo 3 unidades de todo inteiro ímpar maior ou igual a 7, obtemos todos os inteiros pares maiores ou iguais a 4. Então todo o número inteiro maior que 5 é quadradois. + +## 21 Retângulo formado por quadrados diferentes + +É bastante simples formar um retângulo com quadrados justapostos de tamanhos repetidos veja, por exemplo, o problema dos números quadradois. Uma atividade bem mais complicada é formar um retângulo, também com quadrados justapostos, todos possuindo tamanhos distintos. A primeira publicação de um retângulo formado por quadrados com todos os tamanhos distintos foi feita em 1925 por Z. Morón. Ele formou um retângulo $47 \times 65$ com dez quadrados de lados: 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 e 25. Zeca Mourão cortou quadrados de papel com o formato dos quadrados de lados usados por Z. Morón e decidiu montar o retângulo $47 \times 65$. Depois de algum tempo, o Zeca finalmente conseguiu. Vamos tentar descobrir como ficou a sua montagem? + +(a) Sabendo que o perímetro do retângulo foi feito por apenas seis quadrados, quais quadrados foram usados no bordo? + +(b) Faça a colocação destes quadrados de maneira adequada. + +(c) Complete a montagem de Zeca Mourão. + +## 21 Retângulo formado por quadrados diferentes - Solução + +(a) O perímetro do retângulo a ser formado é $2 \cdot(47+65)=224$. Entre os quadrados, haverá 4 que ficarão nos cantos contribuindo duas vezes para o perímetro. Como são exatamente 6 quadrados contribuindo para os lados, dois deles contribuem apenas uma vez para o perímetro. Entre os quadrados disponíveis, o maior perímetro que podemos ter com 4 deles contribuindo duas vezes e 2 deles contribuindo uma vez é + +$$ +\begin{aligned} +2(25+24+23+22)+17+19 & =2 \cdot 94+36 \\ +& =188+36 \\ +& =224 +\end{aligned} +$$ + +Então, como este máximo só é atingido de uma única forma, os quadrados usados no bordo são: 17, 19, 22, 23, 24 e 25. +(b) Veja que os lados de tamanho 47 foram cobertos por dois quadrados cada. O único modo de fazer isto é usando 25 e 22 em um lado e 24 e 23 no outro. Além disto, para formar os lados 65 , devem ser usados 25, 17 e 23 sobre um lado e 22, 19 e 24 sobre o outro. Com estas informações, chegamos à seguinte configuração: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-19.jpg?height=819&width=1128&top_left_y=533&top_left_x=564) + +(c) Observe que o quadrado de lado 11 completa o espaço entre o quadrado com lado 17 e o quadrado com lado 19. Excluindo algumas possibilidades naturais, podemos completar a montagem como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-19.jpg?height=877&width=1208&top_left_y=1629&top_left_x=524) + +## 22 Tabela de multiplicação + +Cada letra de $A$ até $J$ representa um número distinto de 1 até 10 . Na tabela a seguir, cada número escrito representa o produto do número da sua linha pelo número da sua coluna. Por exemplo, $A \cdot F=18$. + +| $\times$ | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $F$ | 18 | | | | | +| $G$ | | | | 20 | | +| $H$ | | 42 | | | | +| $I$ | | | | | 24 | +| $J$ | | | 10 | | | + +Usando a equação + +$$ +A+B+C+D+E=F+G+H+I +$$ + +e sabendo os cinco valores na tabela, determine o valor de cada letra de $A$ até $J$. + +## 22 Tabela de multiplicação-Solução + +Comecemos com o número 42, o único modo dele aparecer é com o produto 6$\cdot$7. Daí, $\{B, H\}=\{6,7\}$. Em seguida, analisemos o 18 e 24 . Como o 6 já foi usado, podemos concluir que $\{A, F\}=\{2,9\}$ e $\{E, I\}=\{3,8\}$. Olhando 10 e 20 e lembrando que o 2 já foi usado, temos $\{C, J\}=\{1,10\}$ e $\{D, G\}=\{4,5\}$. A soma de todos os números de 1 até 10 é 55 e sendo $S=A+B+C+D+E$, temos $2 S+J=55$ implicando que $J$ é ímpar. Como $\{C, J\}=\{1,10\}$, temos $J=1, C=10$ e $S=27$. Note que $A+B+D+E=17$. Cada uma destas letras possui apenas dois valores possíveis e a menor soma possível é $2+6+4+3=15$. Trocando 3 por 8 ou 2 por 9 excedemos a soma 17, então a única forma de chegar a 17 é tomar $A=2, B=7, D=5$ e $E=3$. Isto nos permite encontrar os valores das demais letras $F=9, G=4, H=6$ e $I=8$. + +## 23 Completando o quadrado + +Encontrar um número que somado a 13600 forma um quadrado perfeito não parece ser uma tarefa fácil. Vamos resolver isso geometricamente. Considere um retângulo de área 13600 com um dos lados igual a 136. Divida-o em um quadrado $A$ e um retângulo $B$. Corte o retângulo $B$ em dois retângulos iguais, ambos denotados por $C$. Posicione os retângulos $C$ sobre dois lados consecutivos do quadrado $A$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-21.jpg?height=520&width=1290&top_left_y=682&top_left_x=478) + +(a) Qual a área do retângulo $C$ ? + +(b) Veja que se adicionarmos o quadrado $X$, completamos um quadrado maior. Qual deve ser o lado do quadrado $X$ ? + +(c) Após responder os dois itens anteriores, determine um número que somado a 13600 resulta em um quadrado perfeito e determine a raiz quadrada desse quadrado perfeito. + +## 23 Completando o quadrado - Solução + +(a) Como um dos lados é 136 e a área é 13600, então o outro lado é 100. Além disto, sendo $A$ um quadrado, ele possui lado 100. Consequentemente, o lado menor do retângulo $B$ é $136-100=36$ e o seu lado maior é 100, como indicado na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-21.jpg?height=371&width=906&top_left_y=2182&top_left_x=675) + +Um dos lados do retângulo $C$ é 100 e o outro é metade do lado menor do retângulo $B$, ou seja, $\frac{36}{2}=18$. Concluímos que a área do retângulo $C$ é $18 \cdot 100=1800$. +(b) O lado do quadrado $X$ é igual ao menor lado do retângulo $C$, ou seja, 18 . + +(c) Se somarmos $18^{2}=324$ ao número 13600 , então o resultado será $13924=118^{2}$. Portanto, a raiz procurada é 118 . + +## 24 Cortando a escada para formar um quadrado + +A figura a seguir mostra uma "escadinha" formada por dois quadrados, um de lado $8 \mathrm{~cm}$ e um de lado $6 \mathrm{~cm}$. A tarefa é cortar a figura em três pedaços e reagrupá-los para formar um quadrado sem buracos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-22.jpg?height=503&width=1019&top_left_y=985&top_left_x=427) + +(a) Qual o lado do quadrado que deverá ser formado no final? + +(b) Utilizando apenas um lápis, uma régua de $20 \mathrm{~cm}$, com marcações de $1 \mathrm{~cm}$ em $1 \mathrm{~cm}$, e uma tesoura que corta apenas seguindo uma linha reta, mostre como realizar a tarefa desejada. + +## 24 Cortando a escada para formar um quadrado - Solução + +Cortando a escada para formar um quadrado + +(a) Como o quadrado não deve ter buracos, a área final deve ser igual à área original. Se chamarmos de $L$ o lado do quadrado, temos: + +$$ +\begin{aligned} +L^{2} & =8^{2}+6^{2} \\ +L^{2} & =64+36 \\ +L^{2} & =100 \\ +L & =10 +\end{aligned} +$$ + +(b) Pelo Teorema de Pitágoras, 8, 6 e 10 são lados de um triângulo retângulo, pois $6^{2}+8^{2}=10^{2}$. Tomando o lado maior da figura acima, que possui comprimento $8+6=14$, marque o ponto $R$ que o divide em pedaços de tamanhos 6 e 8 . Isto pode ser feito com a régua. Com o lápis, trace os segmentos deste ponto para os extremos opostos esquerdo e direito, denotados por $P$ e $Q$, como na figura a seguir. Usando o Teorema de Pitágoras, temos $P R=Q R=10$. Estes segmentos separam a figura nos pedaços $A, B$ e $C$. Os pedaços $A$ e $C$ são triângulos congruentes e, usando as somas de seus ângulos internos, podemos concluir que $\angle P R Q=90^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-23.jpg?height=574&width=1025&top_left_y=798&top_left_x=615) + +Com a tesoura, a figura é separada nos pedaços $A, B$ e $C$. Em seguida, eles são realocados para formar o quadrado de lado 10 da figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-23.jpg?height=691&width=694&top_left_y=1733&top_left_x=778) + +## 25 Montando Hexagonângulos + +Um hexagonângulo é um hexágono que possui todos os ângulos iguais a $120^{\circ}$. Bia possui triângulos equiláteros com todos os lados inteiros possíveis. Além disto, ela possui muitos triângulos de cada tamanho e pretende usá-los para montar hexagonângulos. Por exemplo, ela usou 6 triângulos de lado 1 para formar um hexagonângulo de perímetro 6 como na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-24.jpg?height=468&width=463&top_left_y=817&top_left_x=702) + +Na próxima figura, temos outro hexagonângulo de perímetro 19 formado por 8 triângulos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-24.jpg?height=425&width=437&top_left_y=1501&top_left_x=724) + +(a) Considere o hexagonângulo de perímetro 19 montado por Bia. Se ela o construísse usando apenas triângulos de lado 1, quantos triângulos seriam necessários? + +(b) Mostre como construir um hexagonângulo de perímetro 8 usando 7 triângulos. + +(c) Dê um exemplo de um hexagonângulo com 8 triângulos e um outro com 9 triângulos. + +(d) Explique como construir um hexagonângulo usando exatamente 2016 triângulos. + +## 25 Montando Hexagonângulos - Solução + +(a) Observe que um triângulo de lado 2 é formado por 4 triângulos de lado 1, o triângulo de lado 3 por 9 triângulos de lado 1 e o triângulo de lado 4 por 16 triângulos de lado 1 . +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-25.jpg?height=266&width=798&top_left_y=678&top_left_x=730) + +Como o hexágono é formado por 4 triângulos de lado 2,3 de lado 3 e 1 de lado 4, então a quantidade de triângulos de lado 1 para formar o mesmo hexágono é + +$$ +4 \cdot 4+3 \cdot 9+1 \cdot 16=16+27+16=59 +$$ + +(b) O hexagonângulo da próxima figura é formado por 7 triângulos e tem perímetro 8. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-25.jpg?height=377&width=446&top_left_y=1533&top_left_x=905) + +(c) Observe que a partir do hexagonângulo do item anterior, podemos ir adicionando triângulos de lado 2 para formar hexagonângulos com quantidade de triângulos maior ou igual a 7. A seguir, veja exemplos para 8 e 9 triângulos. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-25.jpg?height=336&width=1218&top_left_y=2310&top_left_x=520) +(d) O padrão visto nos exemplos anteriores pode ser replicado para qualquer número maior que 6. No caso do lado de tamanho 2016, teremos 6 triângulos de lado 1 e 2010 triângulos de lado 2 se alternando em uma fila horizontal, como indicado abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-26.jpg?height=377&width=1288&top_left_y=474&top_left_x=287) + +26 Entrega das garrafas + +Determine o maior número de garrafas de refrigerante que não podem ser entregues em caixas lacradas de 6,15 e 10 garrafas de refrigerante. + +## 26 Entrega das garrafas - Solução + +Qualquer quantidade de refrigerantes que pode ser entregue é um número da forma $6 x+15 y+10 z$, onde $x, y$ e $z$ são inteiros não negativos representando as quantidades de caixas de cada um dos três tipos mencionados no enunciado. O Menor Múltiplo Comum das três quantidades de caixas, o número $M M C(6,10,15)=30$, certamente representa uma quantidade de refrigerente que pode ser entregue, pois basta escolher $x=5$ ou $y=2$ ou ainda $z=3$. Façamos então uma tabela com alguns números que podem representar quantidades entregues de refrigerantes. + +| $x$ | $y$ | $z$ | $6 x+15 y+10 z$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 0 | 1 | 2 | 35 | +| 4 | 0 | 1 | 34 | +| 3 | 1 | 0 | 33 | +| 2 | 0 | 2 | 32 | +| 1 | 1 | 1 | 31 | +| 5 | 0 | 0 | 30 | +| | | | 29 | +| 3 | 0 | 1 | 28 | +| 2 | 1 | 0 | 27 | +| 1 | 0 | 2 | 26 | +| 0 | 1 | 1 | 25 | +| 4 | 0 | 0 | 24 | + +Não podemos entregar a quantidade de 29 garrafas, pois como 29 é ímpar e tanto 6 quanto 10 são números pares, precisamos usar pelo menos uma caixa de 15 garrafas. Não podemos usar mais que uma porque 29 é menor que $2 \cdot 15=30$. Isto nos força a entregar $29-15=14$ garrafas combinando caixas de 6 e 10. Como 14 não é múltiplo de 6, precisamos usar pelo +menos uma caixa com 10 . Como $2 \cdot 10>14$, devemos usar exatamente uma caixa com 10 . Isso nos obriga a entregar $14-10=4$ garrafas com caixas de 6 . Isto é impossível. Notemos agora que existem 6 números consecutivos logo após 29 , representando quantidades que podem ser entregues. Seja $n$ um inteiro maior que 29 e o dividamos por 6 obtendo $n=6 q+r$, onde $q$ é o quociente e $r \in\{0,1,2,3,4,5\}$ é o seu resto. Como $n>29$, devemos ter $q \geq 5$ e, consequentemente, podemos escrever $n=6(q-5)+30+r$. O número $6(q-5)$ representa claramente uma quantidade de garrafas que pode ser entregue apenas com caixas de 6 e o número $30+r$, por estar no conjunto $\{30,31,32,33,34,35\}$, representa uma quantidade de garrafas que pode ser entregue com combinações das três caixas. Portanto, o número 29 é a maior quantidade de refrigerantes que não podem ser entregues. + +## 27 O resto da divisão de um número muito grande + +Qual o resto da divisão de $2^{2015}$ por 20? Bom, é difícil fazer esta divisão diretamente usando apenas papel e caneta. Vamos procurar uma maneira de obter tal resposta analisando os restos de potências de 2 por 20 com a esperança de encontrar algum padrão neles. Qual o resto que $2^{5}$ deixa por 20 ? + +$$ +2^{5}=32=1 \cdot 20+12 +$$ + +Sabendo disto, fica fácil saber o resto de $2^{6}$ por 20 , pois + +$$ +2^{6}=2 \cdot 2^{5}=2 \cdot(1 \cdot 20+12)=2 \cdot 20+24 +$$ + +Dado que 24 é maior que 20 e não pode ser um resto, devemos escrever + +$$ +2^{6}=3 \cdot 20+4 +$$ + +Podemos estender o argumento anterior concluindo que para saber o resto de $2^{i+1}$ por 20 , basta saber o resto do produto do resto de $2^{i}$ por 20. Desse modo, podemos construir a sequência de potências e restos na divisão por 20. + +$$ +\begin{array}{cllllll} +n & 2^{1} & 2^{2} & 2^{3} & 2^{4} & 2^{5} & 2^{6} \\ +\text { Resto por 20 } & 2 & 4 & 8 & 16 & 12 & 4 +\end{array} +$$ + +(a) Determine os restos que os números $2^{7}, 2^{10} \mathrm{e} 2^{13}$ deixam na divisão por 20. + +(b) Sabendo que os restos se repetem de forma periódica, determine o período de repetição, ou seja, o número de restos distintos que ficam se repetindo. + +(c) Voltamos à pergunta do começo do problema. Qual o resto que $2^{2015}$ deixa na divisão por 20 ? + +## 27 O resto da divisão de um número muito grande -Solução + +(a) Vamos continuar a calcular os restos da divisão até o 13. + +$$ +\begin{array}{clllllllllllll} +n & 2^{1} & 2^{2} & 2^{3} & 2^{4} & 2^{5} & 2^{6} & 2^{7} & 2^{8} & 2^{9} & 2^{10} & 2^{11} & 2^{12} & 2^{13} \\ +\text { Resto por 20 } & 2 & 4 & 8 & 16 & 12 & 4 & 8 & 16 & 12 & 4 & 8 & 16 & 12 +\end{array} +$$ + +Logo, os restos procurados são 8,4 e 12 . +(b) Os restos começam a se repetir a partir de $2^{2}$ e a cada quatro potências consecutivas. Portanto, o período é 4 e os restos que ficam se repetindo são: 4, 8, 16 e 12. + +(c) Como o período de repetição é 4, basta observar o resto na divisão de 2015 por 4 . Como este resto é 3 , concluímos que ao dividir o número $2^{2015}$ por 20 obtemos resto igual a 8 . + +## 28 Separando cartões e fazendo o produto + +Os três amigos José, Pedro e Daniel fazem um jogo com os oito cartões numerados com os números de 2 até 9 . Em cada rodada, os oito cartões são separados para os três amigos, naturalmente não necessariamente em quantidades iguais, e cada um calcula o produto dos números nos seus cartões. Aquele que tiver como resultado um número maior que os outros dois vence a rodada. Se dois tiverem resultados iguais e maiores que o resultado do terceiro, então os dois vencem. Depois de algumas rodadas, Pedro desconfia que sempre algum dos três amigos possuirá cartões cujo produto será pelo menos 72. Infelizmente, Pedro não sabe como provar que isso sempre acontece. Vamos ajudá-lo? + +(a) Mostre que se um dos amigos pegar 4 ou mais cartas, então certamente o produto das suas cartas será maior que 72. + +(b) Em uma rodada, Daniel tirou três cartões, entre eles o 9. Sabendo que o produto dos seus números é menor que 72, quais são os outros dois cartões de Daniel? + +(c) Na mesma rodada do item anterior, mostre que um dos outros amigos, José ou Pedro, terá três ou mais cartões e seu produto será maior que 72. + +(d) Em outra rodada, Daniel pegou duas cartas, entre elas o 9, mas seu produto novamente é menor que 72. Mostre que o produto dos 6 cartões restantes é maior que $72^{2}$ e conclua que um dos dois amigos, José ou Pedro, tem produto dos cartões maior que 72. + +## 28 Separando cartões e fazendo o produto-Solução + +(a) Se um dos amigos pegar 4 ou mais cartões, o menor produto possível de seus números ocorrerá se ele pegar os quatro cartões com os menores números. Portanto, o produto será pelo menos + +$$ +\begin{aligned} +2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 & =120 \\ +& >72 +\end{aligned} +$$ + +(b) Se os outros dois cartões de Daniel forem os menores possíveis, ou seja, 2 e 3, seu produto é de pelo menos + +$$ +\begin{aligned} +2 \cdot 3 \cdot 9 & =54 \\ +& <72 +\end{aligned} +$$ + +Se forem diferentes de 2 e 3 , ele tem cartóes com números maiores que ou iguais a 2 e 4 , resultando assim no produto $2 \cdot 4 \cdot 9=72$, que não é menor que 72 . +(c) Retirando os cartões de Dariel, restam 8-3 = 5 cartões. Como estes cinco cartões serão distribuídos entre dois amigos, um deles receberá pelo menos 3 cartões. O produto destes cartões é maior ou igual a $4 \cdot 5 \cdot 6=120$, que passa de 72 . + +(d) Primeiro, veja que o outro cartão de Daniel é no máximo 7, para que multiplicado por 9 ainda seja menor que 72. Deste modo, o produto dos demais cartões é pelo menos + +$$ +\begin{aligned} +2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 & =(3 \cdot 4 \cdot 6)(2 \cdot 5 \cdot 8) \\ +& =72 \cdot 80 \\ +& >72 \cdot 72 \\ +& =72^{2} +\end{aligned} +$$ + +Se o produto dos dois números é maior que $72^{2}$, então é impossível que os dois produtos sejam simultaneamente menores que 72. Concluímos assim que um deles é maior que 72. + +## 29 Somas de cinco números de 1 até 20 + +Paulinho está treinando para sua prova de aritmética. Para se tornar cada vez mais rápido, ele fica realizando várias somas. Paulinho pede que seu pai o ajude escolhendo cinco números inteiros de 1 até 20. Em seguida, Paulinho os soma. Após várias tentativas, seu pai percebeu que ele estava ficando muito entediado com as somas e decidiu fazer o filho pensar mais antes de responder. Vamos ajudar Paulinho a responder as novas perguntas do seu pai? + +(a) Qual a menor e qual a maior soma possível de cinco números inteiros de 1 até 20 ? + +(b) Para cada valor desde o menor até o maior possível, selecione cinco números de 1 até 20 tal que a soma deles seja este valor. + +## 29 Somas de cinco números de 1 até 20 - Solução + +(a) A soma mínima é obtida quando são utilizados os cinco menores números, ou seja, a menor soma possível é $1+2+3+4+5=15$. Usando o mesmo raciocínio, a maior soma possível é $16+17+18+19+20=90$. +(b) Sim, vamos provar que podemos incrementar de 1 em 1 o valor da soma de cinco números começando de 15 até chegar a 90 . Começamos da soma mínima $1+2+3+4+5$. Aumente de 1 em 1 o maior número que ainda não chegou ao seu valor máximo. Em outras palavras, aumenta-se o 5 até 20 . Em seguida, aumenta-se o 4 até 19. Deste modo, teremos: + +$$ +\begin{aligned} +1+2+3+4+5 & =15 \\ +1+2+3+4+6 & =16 \\ +1+2+3+4+7 & =17 \\ +& \cdots \\ +1+2+3+4+20 & =30 \\ +1+2+3+5+20 & =31 \\ +1+2+3+6+20 & =32 \\ +& \cdots \\ +1+2+3+19+20 & =45 \\ +& \cdots \\ +15+17+18+19+20 & =89 \\ +16+17+18+19+20 & =90 +\end{aligned} +$$ + +Perceba que cada número de 15 até 90 aparecerá como soma de cinco números distintos. + +## 30 Cortando o bolo em pedaços iguais + +Gervinho tem um bolo em forma de quadrado de lado $20 \mathrm{~cm}$, visto de cima na figura a seguir. Ele vai dividir o bolo em 5 pedaços de mesma área para comer com seus 4 amigos. Ele só pode fazer cortes verticais, pois como o bolo é feito de camadas diferentes, assim todos receberão mesmas quantidades de cada camada. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-30.jpg?height=639&width=694&top_left_y=2005&top_left_x=590) +(a) Suponha que Gervinho já fez o primeiro corte do centro até um ponto sobre o lado com distância $7 \mathrm{~cm}$ para o canto superior esquerdo. Como ele deve fazer os demais cortes, sabendo que todos devem partir do centro? + +(b) Deixando de lado a situação anterior, suponha que Gervinho fez o primeiro corte, a partir do ponto $P$ distando $8 \mathrm{~cm}$ e $9 \mathrm{~cm}$ de seus lados mais próximos, e que terminou no ponto $Q$ distante $7 \mathrm{~cm}$ do canto superior esquerdo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-31.jpg?height=628&width=706&top_left_y=968&top_left_x=775) + +Como ele deve fazer os outros cortes sabendo que todos devem partir do ponto $P$ até a lateral do bolo? + +(c) Na borda da cobertura há doces, por isto, em cada um dos casos, Gervinho deve receber o pedaço de bolo que tiver maior perímetro da borda do bolo. Se há mais de um com este maior perímetro, então ele deve pegar qualquer um deles. Em cada um dos casos anteriores, indique o pedaço que Gervinho deve receber. + +## 30 Cortando o bolo em pedaços iguais - Solução + +(a) Como a área do quadrado é $20 \cdot 20=400$, cada um dos 5 amigos deve receber $\frac{400}{5}=80$ de área de bolo. Se considerarmos cada pedaço de bolo como um triângulo com base sobre os lados do bolo ou união de triângulos com base sobre os lados, então a altura será sempre 10. Deste modo, basta fazer com que a base ou soma das bases sobre os lados seja 16. Com a parte que tem 7 , devemos adicionar uma parte com base $16-7=9$. Restando assim uma parte com base $20-9=11$. Para tal parte, devemos adicionar outra com base $16-11=5$. Seguindo assim, teremos os seguintes cortes: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-32.jpg?height=489&width=506&top_left_y=949&top_left_x=678) + +(b) Usando a mesma estratégia do item anterior, basta calcular as áreas de cada triângulo formado por cortes paralelos aos lados e em direções aos vértices saindo do centro. Obtemos assim, a seguinte repartição do bolo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-32.jpg?height=520&width=520&top_left_y=1830&top_left_x=674) + +Observando as áreas, podemos criar um procedimento para montar os pedaços, um de cada vez. Para usar os dois pedaços de tamanhos 28 e 36 , devemos retirar $80-28-36=16$ do triângulo de área 54 , sobrando assim $54-16=38$. Para completar o pedaço de área 80 usando o pedaço de tamanho 38, precisamos de pedaços que somem área $80-38=42$. Ele pode ser obtido do segundo triângulo de área 54 . + +O processo segue até atingir a configuração a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-33.jpg?height=577&width=531&top_left_y=331&top_left_x=865) + +Abaixo temos outra figura sem as subdivisões de cada pedaço: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_20684006194a352111ccg-33.jpg?height=591&width=540&top_left_y=1029&top_left_x=861) + +(c) No caso do primeiro item, todos os pedaços possuem o mesmo perímetro da borda do bolo, então Gervinho deve receber qualquer um deles. No caso do segundo item, podemos comparar os perímetros da borda de cada pedaço, que chamaremos de: $P_{A}, P_{B}, P_{C}$, $P_{D}$ e $P_{E}$. + +$$ +\begin{gathered} +P_{A}=7+\frac{104}{9}=18+\frac{5}{9} \\ +P_{B}=\frac{76}{9}+7=15+\frac{4}{9} \\ +P_{C}=13+\frac{4}{11} \\ +P_{D}=\frac{160}{11}=14+\frac{6}{11} \\ +P_{E}=\frac{56}{11}+13=18+\frac{1}{11} +\end{gathered} +$$ + +Como $\frac{5}{9}>\frac{1}{11}$, concluímos que Gervinho deve ficar com o pedaço $A$, pois ele possui o maior perímetro da borda do bolo. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2016_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2016_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..894bba374d32a03dbda9680baaa55d89e4a326d9 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2016_N2.md @@ -0,0 +1,1054 @@ +# ENUNCIADOS E SOLUÇÕES DO NÍVEL 2 + +## 1 A corrente da oficina do Zé + +Na oficina do Zé, existem seis pedaços de correntes com as seguintes quantidades de elos: $10,10,8,8,5$ e 2 . Ele precisa unir estes pedaços para formar uma corrente circular. Ele gasta 1 minuto para cortar um elo e 2 minutos para uni-lo, perfazendo um total de 3 minutos por elo. Se ele cortar um elo ao final de cada peça separada, unindo as peças uma de cada vez, ele demoraria $6 \cdot 3=18$ minutos. Entretanto, como ele está com pressa, ele pretende realizar esta operação de uma forma mais rápida. + +a) Diga como ele pode formar a corrente circular gastando apenas 15 minutos. + +b) É possível ele fazer tal operação em menos de 15 minutos? + +## 1 A corrente da oficina do Zé-Solução + +a) Uma maneira para ele formar a corrente em 15 minutos é inicialmente abrir todos os elos do pedaço de 5 elos. Neste procedimento ele gastará $5 \cdot 1=5$ minutos. Em seguida, ele deve usar cada um destes elos abertos entre os 5 pedaços de correntes restante, usando exatamente um elo para unir dois pedaços distintos. Para este último procedimento ele gastará $5 \cdot 2=10$ minutos. + +b) O tempo gasto sempre é um múltiplo de 3 porque uma vez que se gasta 1 minuto para se abrir um elo, é necessário gastarmos 2 minutos para fechá-lo e assim o tempo total por elo alterado é $1+2=3$ minutos. Como $12=3 \cdot 4$ é o maior múltiplo de 3 menor que 15 , se fosse possível ele gastar menos de 15 minutos, ele teria que alterar no máximo 4 elos. Como existem 6 pedaços de correntes, pelo menos dois deles não teriam elos alterados. Para unir estes dois pedaços na corrente maior, precisaríamos de pelo menos 3 elos alterados inseridos em suas extremidades. Assim, poderíamos usar apenas um elo para conectar os pedaços restantes. Como ele terá pelo menos três pedaços restantes, isto é impossível. + +## 2 Segmentos paralelos + +$\mathrm{Na}$ figura abaixo, os segmentos $A B$ e $C D$ são paralelos. Se $\angle C I J=10 \beta, \angle A G J=10 \alpha$, $\angle C E J=6 \alpha$ e $\angle J F G=6 \beta$, determine $o$ valor do ângulo $\angle I J K$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-02.jpg?height=468&width=811&top_left_y=503&top_left_x=523) + +## 2 Segmentos paralelos - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-02.jpg?height=466&width=825&top_left_y=1229&top_left_x=521) + +Como $\angle C E J$ e $\angle J F A$ são ângulos colaterais internos, $6 \alpha+6 \beta=180^{\circ}$, ou seja, $\alpha+\beta=30^{\circ}$. Pelo ponto $J$, considere o segmento $M L$ paralelo a $A B$. Temos + +$$ +\begin{aligned} +x & =180^{\circ}-\angle I J G \\ +& =180^{\circ}-\angle I J M-\angle M J G \\ +& =180^{\circ}-\angle J I E-\angle J G F \\ +& =180^{\circ}-\left(180^{\circ}-10 \beta\right)-\left(180^{\circ}-10 \alpha\right) \\ +& =10(\alpha+\beta)-180^{\circ} \\ +& =120^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +## 3 Aboia no rio + +Um barco motorizado solta uma boia em um rio de margens retilíneas e paralelas às 10:00 e começa a navegar, na direção determinada pelo rio, contra a correnteza até às 10:15. Depois disto, ele retorna, também na direção determinada pelo rio. Em que instante o barco encontrará novamente a boia? + +## 3 A boia no rio-Solução + +Como tanto o barco quanto a boia vão estar sujeitos aos mesmos efeitos da correnteza do rio, para efeitos práticos, podemos considerar apenas a velocidade relativa do barco em relação à boia e supor que a correnteza é nula. Neste caso, se o barco levou 15 minutos para ir em correnteza parada, ele também levará 15 para voltar e assim ele encontrará a boia às 10:30. + +Podemos também resolver o problema analisando o sistema de equações produzido pelas informações do enunciado. Sejam $c$ a velocidade da correnteza e $v$ a velocidade do barco, ambos medidos em quilômetros por hora. Seja ainda $x$ o tempo que leva para o barco encontrar a boia desde o momento em que ele a solta no rio. Como o barco navega contra a correnteza no primeiro um quarto de hora, a distância que ele percorre é $\frac{v}{4}-\frac{c}{4}$, pois o motor do barco produz o deslocamento de $\frac{v}{4}$ e a correnteza do rio o faz retroceder $\frac{c}{4}$. No movimento de volta, que dura $x-\frac{1}{4}$ horas, o barco percorre, agora no sentido da correnteza, $\left(x-\frac{1}{4}\right) v+\left(x-\frac{1}{4}\right) c$, onde a primeira parcela é a contribuição do motor do barco no deslocamento e a segunda a da correnteza. Durante o movimento de ida e volta do barco, a boia foi deslocada pela corretenza por uma distância de $x c$ quilômetros, portanto, este valor corresponde à diferença entre as distâncias de ida e volta: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{v}{4}-\frac{c}{4}+x c & =\left(x-\frac{1}{4}\right) v+\left(x-\frac{1}{4}\right) c \\ +x v & =\frac{v}{2} \\ +x & =\frac{1}{2} +\end{aligned} +$$ + +Assim, o barco gastou 1/2 de uma hora, ou seja, 30 minutos, para encontrar a boia. + +## 4 Tangentes do círculo + +Duas tangentes são desenhadas de um ponto $A$ a um círculo de centro $O$, tocando-o em $B$ e $C$. Seja $H$ o ortocentro do triângulo $A B C$, sabendo que $\angle B A C=40^{\circ}$, encontre o valor do ângulo $\angle H C O$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-03.jpg?height=368&width=631&top_left_y=2163&top_left_x=815) + +## 4 Tangentes do círculo-Solução + +Como $A C$ é tangente ao círculo, temos $\angle A C O=90^{\circ}$. Assim + +$$ +\begin{aligned} +\angle H C O & =90^{\circ}-\angle A C F \\ +& =\angle C A F \\ +& =40^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +## 5 Números três estrelas + +Dizemos que um número inteiro positivo de três dígitos é três estrelas se ele for o resultado do produto de três números primos distintos. Por exemplo, $286=2 \cdot 11 \cdot 13$ é um número três estrelas, mas $30=2 \cdot 3 \cdot 5$ e $275=5 \cdot 5 \cdot 13$ não são números três estrelas, pois o primeiro só possui dois dígitos e o segundo não é o produto de três primos distintos. + +(a) Qual o menor número três estrelas? + +(b) Mostre que cada número três estrelas possui algum divisor em comum com 30 maior que 1 . + +## 5 Números três estrelas - Solução + +(a) Os dois primeiros números de três dígitos são $100=2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ e $101=101$ (que é primo). Ao testar 102, temos $102=2 \cdot 3 \cdot 17$, que é o menor número três estrelas. + +(b) Basta mostrar que todo número três estrelas possui pelo menos um dos fatores primos do conjunto $\{2,3,5\}$. Se tomarmos um número três estrelas que não tenha pelo menos um destes fatores, ele será pelo menos $7 \cdot 11 \cdot 13=1001$ e, consequentemente, possuirá mais que três dígitos e não será um número três estrelas. + +## 6 Círculos Tangentes + +Na figura a seguir, o círculo de centro $B$ é tangente ao círculo de centro $A$ em $X$. O círculo de centro $C$ é tangente ao círculo de centro $A$ em $Y$. Além disto, os círculos de centros $B$ e $C$ também são tangentes. Se $A B=6, A C=5$ e $B C=9$, quanto mede $A X$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-05.jpg?height=711&width=740&top_left_y=593&top_left_x=752) + +## 6 Círculos Tangentes - Solução + +Sejam $r_{a}, r_{b}$ e $r_{c}$ os raios dos círculos de centros $A, B$ e $C$, respectivamente. Se $Z$ é o ponto de tangência dos círculos de centros $B$ e $C$, os dados do problema nos permitem montar o seguinte sistema de equações: + +$$ +\begin{aligned} +A B & =A X-B X \\ +6 & =r_{a}-r_{b} \\ +A C & =A Y-C Y \\ +5 & =r_{a}-r_{c} \\ +B C & =B Z+Z C \\ +9 & =r_{b}+r_{c} +\end{aligned} +$$ + +Então + +$$ +\begin{aligned} +6+5 & =\left(r_{a}-r_{b}\right)+\left(r_{a}-r_{c}\right) \\ +& =2 r_{a}-\left(r_{b}+r_{c}\right) \\ +& =2 r_{a}-9 \\ +r_{a} & =10 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $A X=10$. + +## 7 Quadrilátero formado por bissetrizes + +Dado um quadrilátero convexo, se as quatro bissetrizes de seus ângulos formam um novo quadrilátero $H I J E$, calcule a soma dos ângulos opostos $\angle H I J+\angle J E H$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-06.jpg?height=594&width=1097&top_left_y=528&top_left_x=385) + +## 7 Quadrilátero formado por bissetrizes - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-06.jpg?height=591&width=1093&top_left_y=1372&top_left_x=390) + +Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360^{\circ}$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha+\beta & =360^{\circ}-\angle I H E-\angle I J E \\ +& =360^{\circ}-\angle D H A-\angle C J B \\ +& =360^{\circ}-\left(180^{\circ}-\angle A D H-\angle D A H\right)-\left(180^{\circ}-\angle J C B-\angle J B C\right) \\ +& =\angle A D H+\angle D A H+\angle J C B+\angle J B C \\ +& =\frac{\angle A D C}{2}+\frac{\angle D A B}{2}+\frac{\angle D C B}{2}+\frac{\angle C B A}{2} \\ +& =\frac{360^{\circ}}{2} \\ +& =180^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +## 8 A fuga das formigas + +a) João arranjou 13 palitos no formato de um cercado retangular $1 \times 4$ como mostrado na figura abaixo. Cada palito é o lado de um quadradinho $1 \times 1$ e no interior de cada um destes quadradinhos ele colocou uma formiga. Qual o número mínimo de palitos que devemos remover para garantir que todas as 4 formigas consigam fugir e retornar para os seus formigueiros? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-07.jpg?height=103&width=300&top_left_y=725&top_left_x=981) + +b) João agora arranjou 24 palitos no formato de um cercado quadrado $4 \times 4$ como mostrado na figura abaixo e no interior de cada um destes quadradinhos, ele colocou uma formiga. Qual o número mínimo de palitos que devemos remover para garantir que todas as 9 formigas consigam fugir e retornar para os seus formigueiros? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-07.jpg?height=311&width=308&top_left_y=1135&top_left_x=977) + +## 8 A fuga das formigas - Solução + +a) É possível libertarmos todas as formigas removendo 4 palitos como indica a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-07.jpg?height=103&width=300&top_left_y=1902&top_left_x=975) + +Como cada palito é compartilhado por no máximo dois quadrados e cada quadrado deve possuir pelo menos uma lateral aberta para que a formiga em seu interior possa fugir, para usarmos 3 ou menos palitos, somos obrigados a remover pelo menos um palito do interior que é lateral de dois quadrados. A remoção de um destes palitos aglutina o interior de dois quadradinhos num compartimento maior e, do ponto de vista prático, transforma o problema de libertar 4 formigas em um cercado $1 \times 4$ no problema de libertarmos 3 formigas em um cercado $1 \times 3$. Se é possível removermos 3 ou menos no cercado $1 \times 4$, também deve ser possível libertarmos as formigas de um $1 \times 3$ usando 2 ou menos palitos. Pelo mesmo argumento inicial, isto nos força a remover pelo menos um palito interior e assim, o problema é novamente transformado em libertarmos duas formigas em um cercado $1 \times 2$ removendo apenas um palito. Isto é claramente impossível, tanto removendo o único palito interior como um palito do bordo de tal cercado. Logo, o mínimo de palitos que devem ser removidos neste caso é 4 . +b) É possível libertarmos todas as formigas removendo 9 palitos como indica o exemplo da esquerda da figura a seguir +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-08.jpg?height=324&width=734&top_left_y=431&top_left_x=564) + +Durante a retirada sucessiva de palitos para a libertação das formigas, chamemos em qualquer momento por compartimento qualquer linha poligonal fechada de palitos sem possuir em seu interior uma outra linha poligonal fechada de palitos. Por exemplo, na figura da direita acima, onde foram removidos 6 palitos, temos 3 compartimentos indicados por três tipos de preenchimentos distintos. Veja que a remoção de um palito diminui o número de compartimentos em no máximo uma unidade. Portanto, como temos inicialmente 9 compartimentos e queremos que no final nenhuma formiga fique presa em qualquer tipo de compartimento, devemos remover pelo menos 9 palitos. + +## 9 Os ângulos do pentágono + +Todos os vértices do pentágono $A B C D E$ estão sobre um mesmo círculo. Se $\angle D A C=50^{\circ}$, determine $\angle A B C+\angle A E D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-08.jpg?height=694&width=697&top_left_y=1823&top_left_x=585) + +## 9 Os ângulos do pentágono - Solução + +Como ângulos inscritos associados a um mesmo arco são iguais, temos $\angle D A C=\angle D B C$. Além disto, sabendo que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscritível é $180^{\circ}$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +\angle A B C+\angle A E D & =(\angle A B D+\angle A E D)+\angle D B C \\ +& =180^{\circ}+\angle D A C \\ +& =180^{\circ}+50^{\circ} \\ +& =230^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-09.jpg?height=691&width=714&top_left_y=905&top_left_x=774) + +## 10 Pontos nos lados do quadrado + +Os pontos $E$ e $F$ estão nos lados $A D$ e $B C$, respectivamente, do quadrado $A B C D$. Sabendo que $B E=E F=F D=30$, encontre a área do quadrado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-09.jpg?height=422&width=434&top_left_y=2099&top_left_x=914) + +## 10 Pontos nos lados do quadrado - Solução + +Sejam $G$ e $H$ os pés das perpendiculares traçadas de $E$ e $F$ aos lados $B C$ e $A D$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-10.jpg?height=419&width=425&top_left_y=453&top_left_x=724) + +Como $A B=C D$ e $B E=F D$, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: + +$$ +\begin{aligned} +A E & =\sqrt{B E^{2}-A B^{2}} \\ +& =\sqrt{F D^{2}-C D^{2}} \\ +& =F C +\end{aligned} +$$ + +Além disto, como $E F=F D$, novamente pelo Teorema de Pitágoras, podemos concluir que + +$$ +\begin{aligned} +E H & =\sqrt{E F^{2}-H F^{2}} \\ +& =\sqrt{F D^{2}-H F^{2}} \\ +& =H D \\ +& =F C +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, $A E=E H=H D=x$ e $A B=A D=3 x$. Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $A E B$, temos + +$$ +900=B E^{2}=A E^{2}+A B^{2}=x^{2}+9 x^{2} +$$ + +Logo, a área do quadrado é $A B^{2}=9 x^{2}=810$. + +## 11 Triângulo inscrito no quadrado + +No desenho a seguir, $A B C D$ é um quadrado e os pontos $E$ e $F$ estão sobre os lados $B C$ e $C D$ de modo que $A E F$ é um triângulo retângulo, $A E=4 \mathrm{e} E F=3$. Qual é a área do quadrado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-10.jpg?height=417&width=437&top_left_y=2276&top_left_x=707) + +## 11 Triângulo inscrito no quadrado - Solução + +Se $\angle B A E=\alpha$, como $\angle A B C=\angle A E F=90^{\circ}$, temos $\angle B E A=90^{\circ}-\alpha$ e $\angle F E C=\alpha$. Consequentemente os triângulos $B E A$ e $C F E$ são semelhantes e + +$$ +\frac{B E}{C F}=\frac{A B}{E C}=\frac{A E}{E F}=\frac{4}{3} +$$ + +Se $B E=x$, temos $C F=\frac{3 x}{4}$ e $\frac{A B}{A B-x}=\frac{4}{3}$, ou seja, $A B=4 x$. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos $E A F$ e $A F D$, temos + +$$ +\begin{aligned} +A E^{2}+E F^{2} & =A F^{2} \\ +3^{2}+4^{2} & =A D^{2}+F D^{2} \\ +25 & =A B^{2}+(A B-C F)^{2} \\ +25 & =16 x^{2}+\frac{169 x^{2}}{16} \\ +25 & =\frac{425 x^{2}}{16} \\ +x^{2} & =\frac{16}{17} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, a área do quadrado é $A B^{2}=16 x^{2}=\frac{256}{17}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-11.jpg?height=420&width=434&top_left_y=2000&top_left_x=911) + +## 12 O comprimento do segmento + +Na figura, a reta $t$ é paralela ao segmento $E F$ e tangente ao círculo. Se $A E=12, A F=10$ e $F C=14$, determine a medida do comprimento de $E B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-12.jpg?height=662&width=811&top_left_y=520&top_left_x=520) + +## 12 O comprimento do segmento - Solução + +Como a reta $t$ é tangente ao círculo, temos $\angle X A E=\angle A C B$. Além disto, como $t \mathrm{e} E F$ são paralelos, temos $\angle X A E=\angle A E F$. De forma semelhante, temos $\angle Y A F=\angle A F E=\angle A B C$. Portanto, $\triangle A F E \simeq \triangle A B C$. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A E}{A C} & =\frac{A F}{A B} \\ +\frac{12}{10+14} & =\frac{10}{12+E B} \\ +12+E B & =20 \\ +E B & =8 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-12.jpg?height=668&width=819&top_left_y=1899&top_left_x=516) + +## 13 Bissetrizes formando um losango + +Os lados $A B$ e $C D$ do quadrilátero $A B D C$ são paralelos. As bissetrizes dos ângulos $\angle B A D$, $\angle A B C, \angle B C D$ e $\angle A D C$ se encontram em $E, G, F$ e $H$ como indica a figura a seguir. Seja $O$ o ponto de interseção das diagonais de $A B D C$. + +a) Verifique que $E, O$ e $F$ estão em uma mesma reta. + +b) Supondo que $E G F H$ é um losango, verifique que $C O=O D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-13.jpg?height=431&width=576&top_left_y=938&top_left_x=840) + +## 13 Bissetrizes formando um losango - Solução + +a) Como $A G$ e $B H$ são as bissetrizes de $\angle B A O$ e $\angle A B O$, segue que $E$ é o incentro do triângulo $A B O$. Portanto, $E O$ é a bissetriz do ângulo $\angle A O B$. De forma semelhante, podemos concluir que $O F$ é bissetriz do ângulo $\angle C O D$. Como os ângulos $\angle A O B$ e $\angle C O D$ são opostos pelo vértice, as retas determinadas por $E O$ e $O F$ coincidem com a bissetriz de $\angle A O B$. Logo, $E, O$ e $F$ estão em uma mesma reta. + +b) Dado que $E G F H$ é um losango, temos $\angle E F G=\angle F E G=\angle E F H=\angle H E F$. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\angle O F C & =\angle O F H+\angle H F C \\ +& =\angle O F G+\angle G F D \\ +& =\angle O F D +\end{aligned} +$$ + +Como $\angle D O F=\angle F O C$, seque que os triângulos $O F C$ e $O D F$ possuem os mesmos ângulos e o lado $O F$ em comum. Pelo caso de congruência $A L A$, temos $\triangle C O F \equiv \triangle D O F$ e, consequentemente, $C O=O D$. + +## 14 Números no quadro negro + +Sobre um quadro negro existem os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Em cada movimento, João pode trocar dois números $a$ e $b$ por $a \cdot b+a+b$. Encontre todas as possibilidades para o último número no quadro negro. + +## 14 Números no quadro negro-Solução + +Realizemos uma sequência de movimentos para analisar o comportamento da lista de números ao longo dos movimentos: + +$$ +\begin{aligned} +1,2,3,4,5,6 & \rightarrow \\ +1,11,4,5,6 & \rightarrow \\ +1,11,5,34 & \rightarrow \\ +\mathbf{6 9}, 11,5 & \rightarrow \\ +\mathbf{1 1 , 4 1 9} & \rightarrow \\ +5039 . & +\end{aligned} +$$ + +A expressão $a \cdot b+a+b$ é muito semelhante à expressão $(a+1) \cdot(b+1)$. Veja que se somarmos 1 em todos os números antes de um movimento, o multiplicarmos e fizermos o mesmo nos números após um movimento, obteremos o mesmo resultado $S$, pois + +$$ +(a+1) \cdot(b+1)=[(a \cdot b+a+b)+1] +$$ + +No exemplo inicial, temos + +$$ +\begin{array}{rl} +1, \mathbf{2 , 3}, 4,5,6 & S=(1+1)(2+1)(3+1)(4+1)(5+1)(6+1)=5040 \\ +1,11, \mathbf{4}, 5, \mathbf{6} & S=(1+1)(11+1)(4+1)(5+1)(6+1)=5040 \\ +\mathbf{1 , 1 1 , 5 , 3 4} & S=(1+1)(11+1)(5+1)(34+1)=5040 \\ +\mathbf{6 9}, 11, \mathbf{5} & S=(69+1)(11+1)(5+1)=5040 \\ +\mathbf{1 1 , 4 1 9} & S=(11+1)(419+1)=5040 \\ +5039 & S=(5039+1)=5040 +\end{array} +$$ + +Logo, independentemente de como sejam realizadas as operações, a quantidade $S$ não será alterada e o número final sempre será + +$$ +\begin{aligned} +S & =(1+1)(2+1)(3+1)(4+1)(5+1)(6+1)-1 \\ +& =5039 +\end{aligned} +$$ + +## 15 A soma dos ângulos + +Na figura abaixo, encontre o valor de + +$$ +\angle G A B+\angle A B C+\angle B C D+\angle C D E+\angle D E F+\angle E F G+\angle F G A +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-15.jpg?height=417&width=434&top_left_y=588&top_left_x=914) + +## 15 A soma dos ângulos - Solução + +Considere o ponto $O$ no interior da figura, como indicado no desenho abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-15.jpg?height=462&width=480&top_left_y=1328&top_left_x=891) + +Então + +$$ +\begin{array}{r} +\angle G A B+\angle A B C+\angle B C D+\angle C D E+\angle D E F+\angle E F G+\angle F G A+ \\ +(\angle G A O+\angle O A B)+(\angle A B O+\angle O B C)+(\angle B C O+\angle O C D)+ \\ ++(\angle C D O+\angle O D E)+(\angle D E O+\angle O E F)+(\angle E F O+\angle O F G)+ \\ ++(\angle F G O+\angle O G A) +\end{array} +$$ + +Veja agora que a soma dos ângulos entre parênteses correspondem a 7 pares de ângulos dos triângulos $D O E, E O F, F O G, G O A, A B O, B O C$ e $C D O$. Como a soma dos ângulos desses triângulos é $7 \cdot 180^{\circ}=1260^{\circ} \mathrm{e}$ + +$$ +\begin{aligned} +\angle D O E+\angle E O F+\angle F O G+\angle G O A+\angle A O B+\angle B O C+\angle C O D & =2 \cdot 360^{\circ} \\ +& =720^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +segue, após comparação com a primeira equação, que a soma procurada é + +$$ +1260^{\circ}-720^{\circ}=540^{\circ} +$$ + +## 16 Estrada triangular + +Três carros partem de uma cidade $A$ ao mesmo tempo e percorrem um caminho fechado composto por três segmentos de reta $A B, B C$ e $C A$. As velocidades do primeiro carro sobre esses segmentos são 12, 10 e 15 quilômetros por hora, respectivamente. As velocidades do segundo carro são 15, 15 e 10 quilômetros por hora, respectivamente. Finalmente, as velocidades do terceiro carro são 10, 20 e 12 quilômetros por hora, respectivamente. Encontre o valor do ângulo $\angle A B C$, sabendo que todos os três carros terminam na cidade $A$ ao mesmo tempo. + +## 16 Estrada triangular - Solução + +Sejam $x, y$ e $z$ os comprimentos de $A B, B C$ e $A C$, respectivamente. O tempo de chegada $t$, comum aos três carros, pode ser encontrado através das equações: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\frac{x}{12}+\frac{y}{10}+\frac{z}{15}=t \\ +\frac{x}{15}+\frac{y}{15}+\frac{z}{10}=t \\ +\frac{x}{10}+\frac{y}{20}+\frac{z}{12}=t +\end{array}\right. +$$ + +Multiplicando todas as equações por 60, obtemos + +$$ +\left\{\begin{aligned} +5 x+6 y+4 z & =60 t \\ +4 x+4 y+6 z & =60 t \\ +6 x+3 y+5 z & =60 t +\end{aligned}\right. +$$ + +Da segunda equação, temos $x+y=(60 t-6 z) / 4=(30 t-3 z) / 2$. Substituindo este valor na terceira equação, temos + +$$ +x=\frac{60 t-3(x+y)-5 z}{3}=\frac{30 t-z}{6} +$$ + +Além disto, + +$$ +y=\frac{30 t-3 z}{2}-\frac{30 t-z}{6}=\frac{60 t-8 z}{6} +$$ + +Finalmente, substituindo os dois valores encontrados na primeira equação do último sistema, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +5 \cdot \frac{30 t-z}{6}+6 \cdot \frac{60 t-8 z}{6}+4 z & =60 t \\ +150 t-5 z+360 t-48 z+24 z & =360 t \\ +t & =\frac{29}{150} z +\end{aligned} +$$ + +Substituindo nas expressões para $x$ e $y$, podemos concluir que $(x, y, z)=(4 z / 5,3 z / 5, z)$. Como os lados do triângulo $A B C$ estão na proporção $3: 4: 5$, podemos concluir que ele é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3,4 e 5 . Consequentemente, $\angle A B C=90^{\circ}$. + +## 17 Produto das áreas + +Na figura abaixo, o triângulo $A B C$ é retângulo em $C$ e tanto $B C D E$ quanto $C A F G$ são quadrados. Se o produto das áreas dos triângulos $E A B$ e $B F A$ é 64 , determine a área do triângulo $A B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-17.jpg?height=649&width=985&top_left_y=555&top_left_x=638) + +## 17 Produto das áreas - Solução + +Como $D A$ é paralelo a $E B$, a área do triângulo $A E B$ é $\frac{E B \cdot B C}{2}=\frac{B C^{2}}{2}$. Da mesma forma, a área do triângulo $A B F$ é $\frac{A C^{2}}{2}$. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +{[A B E] \cdot[A B F] } & =\frac{B C^{2}}{2} \cdot \frac{A C^{2}}{2} \\ +64 \cdot 4 & =B C^{2} \cdot A C^{2} \\ +16 & =B C \cdot A C +\end{aligned} +$$ + +Logo, a área do triângulo $A B C$ é $\frac{B C \cdot A C}{2}=\frac{16}{2}=8$. + +## 18 Tempos de corrida + +Arnaldo, Bráulio e Carlos participarão de uma corrida de rua. Depois de algumas semanas, eles estavam discutindo suas estratégias. Arnaldo corre a primeira metade da distância total da corrida a $9 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e a segunda metade a $11 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Já Bráulio corre um terço da distância a $9 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, o segundo terço a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e, por fim, o último terço a $11 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Carlos usa uma estratégia diferente dos dois primeiros, ele corre metade do seu tempo total de corrida a $9 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e a metade final do tempo a $11 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Determine a ordem entre os tempos totais de Arnaldo, Bráulio e Carlos de chegada ao final da corrida. + +## 18 Tempos de corrida - Solução + +Chamaremos os tempos, medidos em horas, de Arnaldo, Bráulio e Carlos de $t_{A}, t_{B}$ e $t_{C}$, respectivamente. Seja $6 d$ a distância total da corrida, medida em quilômetros. Como Carlos corre metade do tempo a $9 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ e metade a $11 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, então + +$$ +6 d=9 \cdot \frac{t_{C}}{2}+11 \cdot \frac{t_{C}}{2}=10 \cdot t_{C} +$$ + +Com isto, podemos montar equações e comparar os três tempos. + +$$ +\begin{aligned} +t_{A} & =\frac{3 d}{9}+\frac{3 d}{11} \\ +& =\frac{600 d}{990} \\ +t_{B} & =\frac{2 d}{9}+\frac{2 d}{10}+\frac{2 d}{11} \\ +& =\frac{598 d}{990} \\ +t_{C} & =\frac{6 d}{10} \\ +& =\frac{594 d}{990} +\end{aligned} +$$ + +Concluímos que $t_{C} + +Após fazer várias trocas, João não conseguiu chegar na situação final desejada. Decidiu então pedir ajuda ao seu professor Piraldo. O professor afirma que não é possível partir da configuração inicial e chegar na configuração final desejada. Para provar isto, o professor Piraldo pegou algumas cartas com os números $1,-1$ e 0 . Então ele disse para João colocar sobre cada lado do pentágono uma carta com o seguinte padrão: +i) Olhando no sentido horário, se os vértices tiverem $B$ e $A$ ou tiverem $A$ e $C$ coloque uma carta com o número 1 . + +ii) Ainda olhando no sentido horário, se os vértices tiverem $A$ e $B$ ou tiverem $C$ e $A$ coloque uma carta com o número -1 . + +iii) Para os demais casos coloque a carta 0 . + +Sempre que fizer uma troca, mude as cartas usando estas instruções. Após a explicação, o professor Piraldo disse que analisando o comportamento das cartas João agora poderia concluir porque é impossível atingir o objetivo inicial. + +(a) Fazendo todas as trocas possíveis de botões, de $A$ para $B$, de $B$ para $C$ ou de $C$ para $A$ e as trocas reversas, o que acontece com a soma das cartas colocadas sobre os lados segundo as instruções do professor Piraldo? + +(b) Qual a soma das cartas na situação inicial e na situação final desejada? Conclua que não é possível partir da configuração inicial e chegar na situação final desejada. + +## 23 Trocando os botões - Solução + +(a) Como são apenas três cores, há apenas 3 trocas de botões possíveis. Além disto, os dois botões nos vértices vizinhos do vértice onde a troca é feita, devem ter botões de cores diferentes tanto da cor anterior quanto da cor após a troca. Como são apenas três cores, os dois vizinhos necessariamente possuem botões da mesma cor. Considerando o vértice em que o botão será trocado junto com seu anterior e seu sucessor no sentido horário, temos apenas três tipos de trocas possíveis de botões: + +$$ +\begin{aligned} +& C A C \leftrightarrow C B C \\ +& A B A \leftrightarrow A C A \\ +& B C B \leftrightarrow B A B +\end{aligned} +$$ + +Considerando agora a soma dos valores das duas cartas que estão entre o primeiro e o segundo e entre o segundo e terceiro vértice, teremos as seguintes possíveis alterações: + +$$ +\begin{aligned} +(-1)+1 & =0+0 \\ +(-1)+1 & =1+(-1) \\ +0+0 & =1+(-1) +\end{aligned} +$$ + +respectivamente. Deste modo, concluímos que a soma dos números nas cartas, seguindo as instruções do professor Piraldo, não varia. +(b) Na figura a seguir, temos as cartas colocadas na situação inicial e na situação final. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-24.jpg?height=214&width=220&top_left_y=384&top_left_x=701) + + + +Como a soma das cartas é diferente e já vimos no item anterior que as trocas não podem alterar esta soma, então não é possível chegar à situação final desejada partindo da situação inicial. + +## 24 Dividindo quadrados em poliminós com mesma soma + +Um poliminó é uma sequência de quadradinhos $1 \times 1$ justapostos compartilhando lados em comum com seus vizinhos e formando uma única peça. Os poliminós de dois quadradinhos são conhecidos como dominós e os poliminós com quatro quadradinhos são conhecidos como tetraminós, as pecinhas do famoso jogo Tetris. A figura a seguir mostra um quadrado $3 \times 3$ com números de 1 até 9 escritos em cada um de seus quadradinhos $1 \times 1$. + +| 1 | 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 5 | 6 | +| 7 | 8 | 9 | + +Sabendo que $1+2+\ldots+9=45$, podemos tentar dividir o quadrado em 3 poliminós com mesma soma, cada um com soma $\frac{45}{3}=15$. A figura a seguir, mostra uma maneira de fazer isto. + +| 1 | 2 | 3 | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | 5 | 6 | +| 7 | 8 | 9 | + +(a) Mostre que não é possível dividir o quadrado $3 \times 3$ em uma quantidade maior que três de poliminós de mesma soma. + +(b) Considere o quadrado $4 \times 4$ com os números de 1 até 16, escritos em ordem crescente como indicado na figura abaixo + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 5 | 6 | 7 | 8 | +| 9 | 10 | 11 | 12 | +| 13 | 14 | 15 | 16 | + +Mostre como dividir este quadrado em dois poliminós de modo que a soma dos números em cada um deles seja a mesma. + +(c) Considere o quadrado $5 \times 5$ com os números de 1 até 25 escritos em ordem crescente seguindo o padrão da figura anterior. Mostre que não é possível dividir este quadrado em dois ou mais poliminós com a mesma soma dos números em cada um deles. + +## 24 Dividindo quadrados em poliminós com mesma soma - Solução + +(a) Para dividirmos o quadrado em $x$ poliminós de mesma soma, então $x$ deve obrigatoriamente ser um divisor da soma total dos números. No caso do quadrado $3 \times 3$, como a soma é 45 , se $x>5$, então cada poliminó teria soma menor que $\frac{45}{5}=9$. Entretanto, o poliminó que tivesse o quadradinho 9 não poderia realizar esta soma. No caso $x=5$, devemos ter 5 pedaços com soma 9 em cada. Com isto, o 9 teria que ser deixado sozinho. Porém, o número 8 deixado sozinho não produziria a soma 9 e se o adicionarmos com qualquer um de seus vizinhos, formaremos um poliminó com soma maior que 9. Como 4 não divide 45, concluímos que não é possível dividir em mais que 3 pedaços de mesma soma. +(b) Como a soma dos números de 1 até 16 é igual a 136, então cada um dos dois pedaços deve somar 68. Somando os números da última linha teremos $13+14+15+16=58$. As 10 unidades que faltam podem ser incluídas com um único quadradinho, pois os quadrados com os números 10 e 14 possuem um lado em comum. Veja a divisão construída na figura a seguir. + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 5 | 6 | 7 | 8 | +| 9 | 10 | 11 | 12 | +| 13 | 14 | 15 | 16 | + +(c) Novamente o primeiro passo é calcular a soma dos números no quadrado, que no caso $5 \times 5$, resulta em 325 . Lembrando que para dividir o quadrado em $x$ poliminós de mesma soma é necessário que $x$ seja um divisor de 325 . Se $x>13$, então cada parte deverá ter soma menor que $\frac{325}{13}=25$, mas o poliminó com o quadrado 25 já ultrapassa este valor e impossibilita tal divisão. Entre os divisores de 325, os únicos entre 2 e 13 são 5 e 13. Se $x=13$, então 25 ficaria sozinho em um poliminó e, em seguida, o 24 não poderia formar poliminó com soma 25 em virtude de seus vizinhos. Se $x=5$, então a soma de cada poliminó deverá ser 65. Novamente, olhamos para o 25 . Se ele estiver no mesmo poliminó que 24 a soma já será 49 e qualquer quadrado adicional faria a soma passar de 65. Então, considere o 25 junto com o 20 . Se neste mesmo poliminó tivermos 15 ou 19, a soma passará de 59 e qualquer quadradinho que adicionarmos fará a soma passar de 65. Concluímos que não é possível dividir este quadrado $5 \times 5$ em dois ou mais poliminós de mesma soma. + +## 25 Apertando botões para mudar as cores + +A figura a seguir mostra um tabuleiro $3 \times 3$ de quadradinhos $1 \times 1$ e botões $L 1, L 2, L 3, C 1, C 2$ e C3. Inicialmente todos os quadradinhos estão brancos, mas ao apertar um botão do lado de uma fila, linha ou coluna, altera-se a cor, de branco para preto ou de preto para branco, de todos os quadradinhos daquela fila. Por exemplo, se apertarmos $L 2$, mudam-se todos os quadradinhos da segunda linha para a cor preta e, se $C 3$ for apertado em seguida, o quadradinho da segunda linha e terceira coluna volta à cor branca e os outros dois quadradinhos da terceira coluna se tornam pretos. O resultado final do uso dos botões $L 2$ e $C 3$ é exibido na segunda figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-27.jpg?height=382&width=856&top_left_y=1031&top_left_x=702) + +$C 1 \quad C 2 \quad C 3$ $C 1 \quad C 2 \quad C 3$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-27.jpg?height=305&width=369&top_left_y=1098&top_left_x=1186) + +(a) Mostre uma forma de apertar alguns botões para chegar ao mesmo resultado que apertar L2 e C3, mas sem apertar nenhum destes dois botões. + +(b) Considere os quadradinhos $X, Y, Z$ e $W$ a seguir. Após algumas apertadas nos botões, sabe-se que o quadradinho $X$ mudou de cor três vezes, o quadradinho $Y$ mudou de cor cinco vezes e o quadradinho $Z$ mudou de cor duas vezes. Quantas vezes mudou de cor o quadradinho $W$ ? + +| | $C 1$ | $C 2$ | $C 3$ | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| $L 1$ | $X$ | $Y$ | $?$ | +| $L 2$ | $Z$ | $W$ | $?$ | +| $L 3$ | $?$ | $?$ | $?$ | +| | | | | + +(c) A figura a seguir mostra um tabuleiro resultante de alguns apertos. O tabuleiro possui quatro quadradinhos de cores desconhecidas marcados com? e cinco quadradinhos de cores conhecidas no bordo. Descubra as cores dos quatro quadradinhos desconhecidos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-28.jpg?height=485&width=503&top_left_y=580&top_left_x=682) + +## 25 Apertando botões para mudar as cores - Solução + +(a) Veja que a cor final de um quadradinho depende apenas da paridade do número de vezes que o quadradinho mudou de cor. Se este número for par, ele termina com a cor branca e, se este número for ímpar, sua cor final será preta. Se apertarmos todos os botões exceto $L 2$ e $C 3$, todos os quadradinhos terão mesma paridade na quantidade de mudanças de cores comparados com os respectivos quadradinhos depois de apertados $L 2$ e C3. Então basta apertar $L 1, L 3, C 1$ e C2 para chegar na mesma configuração. + +(b) Veja que o número de vezes que $X$ mudou de cor é igual ao número de apertadas de $C 1$ mais o número de apertadas de $L 1$, pois $X$ muda de cor quando um destes dois botões é apertado. Seguindo este raciocínio, o número de mudanças de $W$ é igual ao número de apertadas de $L 2$ e $C 2$, o número de mudanças de $Y$ é a soma das quantidades de apertadas de $L 1$ e $C 2$ e, por último, o número de mudanças de $Z$ é igual ao número de apertadas de $C 1$ e $L 2$. Isto nos permite concluir que os números de mudanças de $X$ e $W$ somados chegam ao mesmo resultado que os números de mudanças de $Y$ e $Z$ somados. Deste modo, o número de mudanças de $W$ é dado por $5+2-3=4$. +(c) Pelo raciocínio do item anterior, se considerarmos os quatro quadrados nas interseções de duas linhas e duas colunas, as somas dos números de mudanças dos quadrados em diagonal serão iguais. Em outras palavras, sendo preto ímpar e branco par, então quadradinhos de três pontas conhecidas do retângulo permitem determinar a cor do quadradinho que falta. De maneira simplificada: + +$$ +\begin{aligned} +(\text { preto }+ \text { preto })-\text { preto } & =\text { preto } \\ +(\text { preto }+ \text { preto })-\text { branco } & =\text { branco } \\ +(\text { branco }+ \text { branco })-\text { preto } & =\text { preto } \\ +(\text { branco }+ \text { branco })-\text { branco } & =\text { branco } \\ +(\text { preto }+ \text { branco })-\text { branco } & =\text { preto } \\ +(\text { preto }+ \text { branco })-\text { preto } & =\text { branco } +\end{aligned} +$$ + +Como os quatro desconhecidos formam retângulo, usando os que estão no bordo, podemos achar as cores desconhecidas. A figura a seguir mostra a cor de cada quadradinho. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-29.jpg?height=460&width=477&top_left_y=1689&top_left_x=892) + +## 26 Provando o Teorema de Viviani + +O Teorema de Viviani afirma que a soma das distâncias de um ponto no interior de um triângulo equilátero aos três lados é igual à altura do triângulo. Em outras palavras, seja $A B C$ um triângulo equilátero e $P$ um ponto no seu interior como mostrado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-30.jpg?height=571&width=639&top_left_y=568&top_left_x=617) + +Então + +$$ +x+y+z=h +$$ + +Vamos provar o Teorema de Viviani. Para isto, considere o triângulo $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ congruente ao triângulo $A B C$, mas que possui o ponto $P$ sobre o lado $A^{\prime} C^{\prime}$. O triângulo $A^{\prime} Q P$ possui todos os lados paralelos a $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ e, portanto, também é equilátero. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-30.jpg?height=723&width=902&top_left_y=1643&top_left_x=477) + +(a) Prove que $P P_{1}=E F$, ou seja, que $x=x^{\prime}$. + +(b) Prove que $P_{3} D=P P_{2}$, ou seja, que $y=y^{\prime}$. + +(c) Prove que $A^{\prime} E=P P_{3}+P P_{2}$, ou seja, que $A^{\prime} E=y+z$. +(d) Sabendo que $A^{\prime} F=h$, pois os triângulos $A B C$ e $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ são congruentes, conclua a demonstração do Teorema de Viviani. + +## 26 Provando o Teorema de Viviani - Solução + +(a) Note que $P P_{1}$ e $E F$ são lados opostos do retângulo $P P_{1} F E$, portanto eles possuem o mesmo comprimento. + +(b) Observe que $P_{3} D H B$ e $P P_{2} G C^{\prime}$ são retângulos, $\log P_{3} D=B H=y^{\prime}$ e $P P_{2}=C^{\prime} G=y$. Veja que os triângulo $C G C^{\prime}$ e $B^{\prime} H B$ são congruentes, pois $B B^{\prime}=C C^{\prime}$ e possuem ângulos de $90^{\circ}$ e $60^{\circ}$. Com isso, $y=y^{\prime}$. + +(c) Veja que o segmento $P Q$ é paralelo ao lado $B^{\prime} C$, $\log A^{\prime} P Q$ é um triângulo equilátero. Como as alturas do triângulo equilátero possuem o mesmo comprimento, temos + +$$ +A^{\prime} E=P P_{3}+P_{3} D=y^{\prime}+z=y+z +$$ + +(d) Reunindo as informações dos itens anteriores, obtemos: + +$$ +\begin{aligned} +x+y+z & =P P_{1}+P P_{2}+P P_{3} \\ +& =E F+P_{3} D+P P_{3} \\ +& =E F+A^{\prime} E \\ +& =A^{\prime} F \\ +& =h +\end{aligned} +$$ + +## 27 Círculo rolando para formar um quadrado de mesma área + +A figura a seguir mostra um círculo de centro $O$ que rolou meia volta para ir da posição 1 até a posição 2. São desenhados a semicircunferência de diâmetro $C D$ e os quadrados $O_{1} A_{1} D B_{1}$ e $B_{1} E H G$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-31.jpg?height=680&width=991&top_left_y=1987&top_left_x=632) +(a) Seja $P$ o centro do diâmetro $C D$. Observando que $P C=P D=P E$, prove que $\angle C E D=90^{\circ}$. + +(b) Mostre que os triângulos $D B_{1} E$ e $E B_{1} C$ são semelhantes. + +(c) Mostre que o círculo de centro $O$ e o quadrado $B_{1} E H G$ possuem a mesma área. + +## 27 Círculo rolando para formar um quadrado de mesma área - Solução + +Para a solução usaremos a figura a seguir. + +posição 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-32.jpg?height=666&width=991&top_left_y=969&top_left_x=435) + +(a) Como os triângulos $C P E$ e $D P E$ são isósceles, então $\angle P C E=\angle P E C=x \mathrm{e}$ $\angle P E D=\angle P D E=y$. Além disto, como a soma dos ângulos internos do triângulo $C D E$ é $2 x+2 y$, concluímos que $x+y=90^{\circ}$. Logo, + +$$ +\angle C E D=\angle C E P+\angle P E D=x+y=90^{\circ} +$$ + +(b) Como $x+y=90^{\circ}$, podemos concluir que o triângulo $D B_{1} E$, que já possui ângulos $y \mathrm{e}$ $90^{\circ}$, possuirá o terceiro ângulo igual a $180^{\circ}-90^{\circ}-y=x$. Analogamente, o triângulo $E B_{1} C$ possui estes mesmos ângulos. Consequentemente, estes dois triângulos são semelhantes. + +(c) Seja $r$ o raio da circunferência. Como o círculo deu meia volta, então o centro $O$ se deslocou $\frac{2 \pi r}{2}=\pi r$. Analisando o quadrado $O_{1} A_{1} D B_{1}$, temos $B_{1} D=r$. Pela semelhança do item anterior, sabemos que + +$$ +\frac{B_{1} E}{B_{1} D}=\frac{B_{1} C}{B_{1} E} \Rightarrow B_{1} E^{2}=B_{1} C \cdot B_{1} D \Rightarrow B_{1} E^{2}=\pi r^{2} +$$ + +Como $B_{1} E^{2}$ é a área do quadrado $B_{1} E H G$ e $\pi r^{2}$ é a área do círculo, fica demonstrado que estas duas figuras possuem a mesma área. + +## 28 Determinando a área do lago em forma de triângulo + +Na cidade de Oropis existe um lago em forma de triângulo com cada um dos três lados sendo parte do perímetro de um terreno em forma de quadrado com áreas $370 \mathrm{~m}^{2}, 116 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e} 74 \mathrm{~m}^{2}$, como na primeira figura a seguir. O prefeito de Oropis, Arnaldo, deseja calcular a área do lago, mas não sabe como. $\mathrm{O}$ assistente do prefeito, Bernaldo, tem uma ideia. Ele diz que basta encontrar valores de $a, b, c$ e $d$ que satisfaçam as condições geométricas da segunda figura em que a área sombreada é congruente ao lago. Ele afirma que depois disto a tarefa se tornará muito mais simples. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-33.jpg?height=892&width=1442&top_left_y=766&top_left_x=404) + +(a) Determine valores inteiros de $a, b, c$ e $d$ que satisfaçam as condições geométricas da figura de Bernaldo. + +(b) Determine a área do lago. + +## 28 Determinando a área do lago em forma de triângulo - Solução + +(a) Veja que os lados do lago ao quadrado resultam em 74, 116 e 370 . As condições que devem ser atendidas são as equações oriundas de três aplicações do Teorema de Pitágoras: + +$$ +\begin{aligned} +a^{2}+c^{2} & =74 \\ +b^{2}+d^{2} & =116 \\ +(a+b)^{2}+(c+d)^{2} & =370 +\end{aligned} +$$ + +Podemos limitar os testes da primeira equação para números menores que 9, pois $9^{2}>74$. Após uma análise de casos, obtemos $a=5$ e $c=7$ ou $a=7$ e $c=5$ como únicas possibilidades. Na segunda equação, também após uma análise de casos, temos $b=4 \mathrm{e}$ $d=10$ ou $b=10$ e $d=4$ e, por conseguinte, $a+b=5+4=9$ e $c+d=7+10=17$, pois $(5+10)^{2}+(7+4)^{2} \neq 370$. Logo, $a=5, b=4, c=7$ e $d=10$. +(b) Deste modo, a área do lago é a área do triângulo maior subtraído de dois triângulos e um retângulo. Ou seja, a área do lago, em $m^{2}$ é + +$$ +\begin{aligned} +\frac{17 \cdot 9}{2}-\frac{7 \cdot 5}{2}-\frac{10 \cdot 4}{2}-7 \cdot 4 & =\frac{118}{2}-20-28 \\ +& =11 +\end{aligned} +$$ + +## 29 Condições para um quadrilátero ser um paralelogramo + +Um quadrilátero que possui os pares de lados opostos paralelos é chamado de paralelogramo. Por exemplo, no quadrilátero $A B C D$ a seguir, $A B$ é paralelo a $C D$ e $A D$ é paralelo a $B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-34.jpg?height=377&width=545&top_left_y=999&top_left_x=664) + +(a) Considerando o paralelogramo $A B C D$, trace a diagonal $A C$ e mostre que os comprimentos dos lados opostos são iguais, ou seja, que $A B=C D$ e $A D=B C$. + +(b) Considere um quadrilátero $X Y Z W$ no qual os lados $X Y$ e $Z W$ têm mesma medida e são paralelos, mostre que $X Y Z W$ é um paralelogramo, ou seja, que o outro par de lados $X W$ e $Y Z$ também são paralelos. + +(c) Seja $E F G H$ um quadrilátero e seja $T$ o ponto de encontro das suas diagonais. Sabendo que $E T=T G$ e $F T=T H$, prove que $E F G H$ é um paralelogramo. + +(d) Na figura a seguir, os pontos $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $P Q$ e $P R$ do triângulo $P Q R$. O ponto $S$ é o simétrico do ponto $M$ em relação ao ponto $N$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-34.jpg?height=457&width=517&top_left_y=2096&top_left_x=678) + +O segmento $M N$ é chamado de base média do triângulo em relação ao lado $Q R$. Mostre que o segmento $M N$ tem metade do comprimento do lado $Q R$ e é paralelo a este lado. + +29 Condições para um quadrilátero ser um paralelogramo - Solução + +(a) Ao traçar $A C$, temos, por paralelismo, $\angle D A C=\angle B C A$ e $\angle D C A=\angle B A C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-35.jpg?height=329&width=445&top_left_y=481&top_left_x=908) + +Como o lado $A C$ é comum, os triângulos $B C A$ e $D A C$ são congruentes pelo caso $A L A$. Logo, $A B=C D$ e $B C=D A$. + +(b) Pelo paralelismo de $X Y$ e $Z W$, temos $\angle Y X Z=\angle W Z X$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-35.jpg?height=374&width=614&top_left_y=1115&top_left_x=821) + +Usando que $X Y=Z W, \angle Z X Y=\angle X Z W$ e que o lado $X Z$ é comum aos dois triângulos $X Y Z$ e $Z W X$, concluímos que eles são congruentes pelo caso $L A L$. Isto prova que $\angle Y Z X=\angle W X Z$ e, consequentemente, os lados $X W$ e $Y Z$ também são paralelos. + +(c) Veja que $\angle E T F=\angle G T H$, pois são opostos pelo vértice. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-35.jpg?height=608&width=662&top_left_y=1843&top_left_x=800) + +Com esta informação e a relação de igualdade dos segmentos, podemos afirmar que os triângulos $E T F$ e GTH são congruentes pelo caso $L A L$. Então os lados $E F$ e $G H$ são segmentos paralelos de mesma medida e, usando o item anterior, fica provado que EFGH é um paralelogramo. +(d) Considere a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-36.jpg?height=568&width=645&top_left_y=390&top_left_x=611) + +Pelo item c, provamos que o quadrilátero PSRM é um paralelogramo. Isto implica que o lado $S R$ é paralelo a $M P$ e que ambos possuem o mesmo comprimento. Como $M$ é o ponto médio de $P Q$, concluímos que $S R$ e $Q M$ são paralelos e possuem mesmo comprimento. Deste modo, o quadrilátero $M S R Q$ é um paralelogramo. Como $Q R=M S=$ $2 \cdot M N$ e $Q R$ é paralelo a $M S$, temos $M N=\frac{Q R}{2}$ e $M N \| Q R$. + +## 30 Soma das áreas das duas luas + +A primeira figura a seguir mostra um triângulo retângulo $T$ e três semicírculos construídos externamente com diâmetro sobre cada lado. Na segunda figura, o triângulo $T^{\prime}$ é congruente a $T$ e o semicírculo $A_{3}$ é dobrado sobre o triângulo $T$ formando as regiões $L_{1}, L_{2}, R_{1} \mathrm{e}$ $R_{2}$. Veja que $L_{1}$ e $L_{2}$ têm formato de lua crescente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_10107d2fba0ec26bc845g-36.jpg?height=642&width=1191&top_left_y=1815&top_left_x=341) + +(a) Neste problema, usaremos a notação $[X]$ para denotar a área da região $X$. Verifique que + +$$ +\left[A_{1}\right]+\left[A_{2}\right]=\left[A_{3}\right] +$$ + +(b) Usando a figura formada por $T$ e $T^{\prime}$, verifique que ao dobrarmos o semicírculo $A_{3}$ o bordo passará pelo vértice de ângulo reto no triângulo. + +(c) Verifique que a soma das áreas das luas $L_{1}$ e $L_{2}$ é igual à área do triângulo $T$, ou seja, + +$$ +\left[L_{1}\right]+\left[L_{2}\right]=[T] +$$ + +## 30 Soma das áreas das duas luas - Solução + +(a) Sejam $a$ e $b$ os comprimentos dos dois catetos e $c$ o comprimento da hipotenusa do triângulo $T$. Pelo Teorema de Pitágoras, temos + +$$ +\begin{aligned} +a^{2}+b^{2} & =c^{2} \\ +\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4} & =\frac{c^{2}}{4} \\ +\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\pi\left(\frac{b}{2}\right)^{2} & =\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2} \\ +{\left[A_{1}\right]+\left[A_{2}\right] } & =\left[A_{3}\right] . +\end{aligned} +$$ + +(b) Como a figura é formada por $T$ e $T^{\prime}$ é um retângulo, suas diagonais têm mesma medida e se cortam no ponto médio de ambas, que chamaremos de $O$. Então $O$ é o centro do semicírculo $A_{3}$ e a distância de $O$ até o vértice com ângulo reto é igual à distância aos vértices da hipotenusa. Consequentemente, o semicírculo $A_{3}$ passará pelo vértice com ângulo reto de $T$. + +(c) Observe que os semicírculos $A_{1}$ e $A_{2}$ ficam divididos em luas e regiões como visto na figura. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +{\left[L_{1}\right]+\left[L_{2}\right] } & =\left[A_{1}\right]-\left[R_{1}\right]+\left[A_{2}\right]-\left[R_{2}\right] \\ +& =\left[A_{3}\right]-\left[R_{1}\right]-\left[R_{2}\right] \\ +& =[T] +\end{aligned} +$$ + +## 31 Verificando que certos números não são inteiros + +Considere as estimativas envolvendo o número $\pi^{2}$ : + +$$ +\begin{aligned} +\pi & <3,15 \\ +\pi^{2} & <(3,15)^{2}=9,9225 \\ +\pi^{2} & <10 +\end{aligned} +$$ + +Como sabemos que $\pi^{2}>3^{2}=9$, temos $9<\pi^{2}<10$. Assim, por se situar entre dois inteiros consecutivos, podemos afirmar que $\pi^{2}$ não é um número inteiro. +(a) Os números $a, b, c$ e $d$ são reais positivos quaisquer. Verifique que o número + +$$ +E=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+b}+\frac{d}{d+a+c} +$$ + +está entre dois inteiros positivos consecutivos e conclua que ele não é inteiro. + +(b) Seja $n$ um inteiro positivo. Verifique que o número + +$$ +\sqrt{n^{2}+n} +$$ + +não é inteiro. + +## 31 Verificando que certos números não são inteiros -Solução + +(a) Em uma fração, se aumentarmos o denominador, reduzimos o seu valor. Logo, + +$$ +\begin{aligned} +E & =\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+b}+\frac{d}{d+a+c} \\ +& >\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d} \\ +& =\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +Por outro lado, se diminuirmos o denominador, aumentamos o seu valor. Logo, + +$$ +\begin{aligned} +E & =\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+b}+\frac{d}{d+a+c} \\ +& <\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d} \\ +& =\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d} \\ +& =2 +\end{aligned} +$$ + +Concluímos assim que $E$ está entre 1 e 2, que são dois inteiros positivos consecutivos, logo o resultado desta expressão nunca será um número inteiro. + +(b) Veja que $n^{2}+n=n(n+1)$, deste modo, temos: + +$$ +n \cdot n2 +\end{aligned} +$$ + +pois como os braços possuem comprimentos diferentes, temos $\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}-\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}\right)^{2}>0$. + +## 2 A sombra do mastro + +Um mastro vertical $A B$ de altura $1 m$ é iluminado por raios do sol e forma sombras no plano horizontal de comprimentos: 1,2 e 3 metros em três momentos diferentes. Prove que a soma dos ângulos de incidência dos raios nestes três momentos forma um ângulo reto, ou seja, + +$$ +\angle A C D+\angle A E B+\angle A D B=90^{\circ} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-02.jpg?height=309&width=822&top_left_y=765&top_left_x=523) + +## 2 A sombra do mastro-Solução + +Como $D, E$ e $C$, são as extremidades das sombras do mastro, segue que $B D=D E=E C=1$. Sendo $A B D$ um triângulo retângulo com $A B=B D$, temos $\angle A D B=\angle B A D=45^{\circ}$. Portanto, basta mostrar que $\angle B E A+\angle B C A=45^{\circ}$. Construamos o triângulo $A F G$ de modo que $A F D B$ seja um quadrado e $G D=B C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-02.jpg?height=1042&width=1080&top_left_y=1586&top_left_x=385) + +Assim, $\angle A F G=\angle A B C, B E=F G$ e $A F=A B$. Consequentemente os triângulos $A G F$ e $A E B$ são congruentes pelo caso $L A L$ e assim $A G=A E$. Além disto, + +$$ +\begin{aligned} +\angle G A E & =\angle G A F+\angle F A E \\ +& =\angle E A B+\angle F A E \\ +& =\angle F A B \\ +& =90^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $G A E$ é um triângulo retângulo isósceles. Como $G D=B C, D E=A B$ e $\angle G D E=\angle A B C$, segue pelo caso $L A L$ que os triângulos $G D E$ e $C B A$ são congruentes. Daí + +$$ +\begin{aligned} +45^{\circ} & =\angle A G E \\ +& =\angle A G D+\angle D G E \\ +& =\angle A E B+\angle A C B +\end{aligned} +$$ + +Observação: Também é possível obtermos uma solução direta usando trigonometria: + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{tg}(\angle A E B+\angle A C B) & =\frac{\operatorname{tg}(\angle A E B)+\operatorname{tg}(\angle A C B)}{1-\operatorname{tg}(\angle A E B) \operatorname{tg}(\angle A C B)} \\ +& =\frac{A B / B E+A B / B C}{1-(A B / B E)(A B / B C)} \\ +& =\frac{1 / 2+1 / 3}{1-1 / 2 \cdot 1 / 3} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $\angle A E B+\angle A C B=45^{\circ}$. + +## 3 Reflexões nos lados do triângulo + +Sejam $O$ e $H$ o circuncentro e o ortocentro do triângulo $\triangle A B C$, respectivamente. Sejam $O_{1}$, $\mathrm{O}_{2}$ tais que $A C$ é mediatriz de $O O_{1}$ e $B C$ é mediatriz de $O O_{2}$, respectivamente. + +a) Verifique que $\angle B A H=\angle O A C$. + +b) Se $M$ é o ponto médio de $B C$, mostre que $O M=\frac{A H}{2}$. + +c) Encontre o ângulo $\angle O_{1} H O_{2}$ sabendo que $\angle B A C=60^{\circ}$ e $\angle A B C=80^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-04.jpg?height=694&width=691&top_left_y=772&top_left_x=588) + +## 3 Reflexões nos lados do triângulo - Solução + +a) Como o triângulo $A B F$ é retângulo, temos $\angle B A H=90^{\circ}-\angle A B C$. No triângulo isósceles $A O C$, o ângulo da base $\angle O A C$ mede $\frac{180^{\circ}-\angle A O C}{2}=90^{\circ}-\angle A B C$. Portanto, $\angle B A H=\angle O A C$. + +b) Sejam $D$ e $G$ as interseções, diferentes de $A$, de $A O$ e $A F$, respectivamente, com o circuncírculo do triângulo $A B C$. Como $\angle B A G=\angle D A C$ e + +$$ +\begin{aligned} +\angle B A D & =\angle B A G+\angle G A D \\ +& =\angle G A D+\angle D A C \\ +& =\angle G A C +\end{aligned} +$$ + +segue que $B G=D C$ e $B D=G C$. Além disto, $\angle G B C=\angle G A C=\angle B A D=\angle B C D$ e, pelo caso de congruência $L A L$, segue que $\triangle B G C \equiv \triangle C D B$. Consequentemente, $B G=C D$. Temos também $\angle E B C=90^{\circ}-\angle B C A=\angle G A C=\angle G B C$. Assim, pelo caso de congruência $A L A$, dado que $\angle H F B=\angle B F G$ e $\angle H B F=\angle G B F$, temos $\triangle B H F \equiv \triangle B G F$ e, como consequência, $B H=B G$. Observando os triângulos $B H M$ e $M C D$, temos + +$$ +\begin{aligned} +B H & =C D \\ +B M & =M C \\ +\angle H B M=90^{\circ}-\angle B C A & =\angle A C D-\angle B C A=\angle M C D +\end{aligned} +$$ + +Novamente pelo caso de congruência $L A L$, podemos concluir que os triângulos $B H M \mathrm{e}$ $C D M$ são congruentes. Isto implica que: + +$$ +\begin{aligned} +\angle H M B & =\angle C M D \\ +H M & =M D +\end{aligned} +$$ + +Assim, $H, M$ e $D$ são colineares e $O M$ é base média do triângulo $A H D$. Portanto, $O M=\frac{A H}{2}$. + +c) Como $\mathrm{BC}$ é mediatriz de $\mathrm{OO}_{2}$, segue que $\mathrm{OO}_{2}=2 \cdot \mathrm{OM}=\mathrm{AH}$. Além disto, como $O M \mathrm{e}$ $A H$ são perpendiculares a $B C$, segue que $A H$ e $O O_{2}$ são paralelos e congruentes. Consequentemente $\mathrm{AHO}_{2} \mathrm{O}$ é um paralelogramo e $\mathrm{AO} \| \mathrm{HO}_{2}$. De modo semelhante, $\mathrm{HO} \mathrm{O}_{1} \mathrm{OB}$ é um paralelogramo e $H O_{1} \| B O$. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +\angle O_{1} H O_{2} & =\angle A O B \\ +& =2 \cdot \angle A C B \\ +& =2 \cdot\left(180^{\circ}-\angle B A C-\angle A B C\right) \\ +& =80^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-05.jpg?height=956&width=945&top_left_y=1264&top_left_x=655) + +## 4 Fatores da soma + +a) Observe as somas: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-06.jpg?height=347&width=701&top_left_y=483&top_left_x=589) + +Verifique que vale: + +$$ +\begin{gathered} +\frac{(k+1) \cdot(k+2) \cdot(k+3) \cdot \ldots \cdot(k+901)}{901}+(k+2) \cdot(k+3) \cdot(k+4) \cdot \ldots \cdot(k+901)= \\ +\frac{(k+2) \cdot(k+3) \cdot \ldots \cdot(k+901) \cdot(k+902)}{901} +\end{gathered} +$$ + +b) Seja $N$ a soma dos números: + +$$ +\begin{array}{rrrrrrrrrr} +& 1 & \times & 2 & \times & 3 & \times & \ldots & \times & 900 \\ ++ & 2 & \times & 3 & \times & 4 & \times & \ldots & \times & 901 \\ ++ & \ldots & & & & & & & & \\ ++ & 1116 & \times & 1117 & \times & 1118 & \times & \ldots & \times & 2015 +\end{array} +$$ + +Mostre que $901 \cdot N$ é divisível por todo elemento do conjunto $\{1116,1117, \ldots, 2016\}$. + +## 4 Fatores da soma - Solução + +a) + +$$ +\begin{array}{r} +\frac{(k+1) \cdot(k+2) \cdot(k+3) \cdot \ldots \cdot(k+901)}{901}+(k+2) \cdot(k+3) \cdot(k+4) \cdot \ldots \cdot(k+901) \\ +\frac{(k+2) \cdot(k+3) \cdot \ldots \cdot(k+901) \cdot[(k+1)+901]}{901} \\ +\frac{(k+2) \cdot(k+3) \cdot \ldots \cdot(k+901) \cdot(k+902)}{901} +\end{array} +$$ + +b) Usando o item anterior 1116 vezes para $k=0,1,2, \ldots, 1115$, podemos reduzir sucessivamente a quantidade de parcelas que constituem $N$ sempre operando com os dois primeiros termos da soma. Obtemos assim: + +$$ +\begin{aligned} +N & =\frac{1116 \cdot 1117 \cdot 1118 \cdot \ldots \cdot 2016}{901} \\ +901 \cdot N & =1116 \cdot 1117 \cdot 1118 \cdot \ldots \cdot 2016 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, cada um dos números do conjunto $\{1116,1117, \ldots, 2016\}$ é um divisor de $901 \cdot N$. + +## 5 Escolha de cartas do baralho + +Um baralho possui 32 cartas divididas em 4 tipos, cada um com 8 cartas. De quantas formas podemos escolher 6 cartas de modo que todos os quatro tipos de cartas estejam entre elas? + +## 5 Escolha de cartas do baralho - Solução + +Vamos dividir as escolhas apropriadas de cartas em dois grupos: + +a) Grupo $S_{1}$ : Dois tipos são representados por duas cartas e os outros dois tipos restantes por apenas uma carta cada. + +b) Grupo $S_{2}$ : Um tipo é representado por três cartas e os outros três tipos restantes por apenas uma carta cada. + +Para contar a quantidade de cartas de $S_{1}$, podemos primeiramente escolher os dois tipos que serão representados por duas cartas de $\binom{4}{2}$ maneiras. Em seguida, podemos escolher duas cartas dentre as 8 de cada um destes tipos de $\binom{8}{2} \cdot\binom{8}{2}$. Finalmente, podemos escolher as cartas restantes nos grupos que restaram de $\binom{8}{1} \cdot\binom{8}{1}$ maneiras. Portanto, a quantidade de elementos de $S_{1}$ é + +$$ +\binom{4}{2} \cdot\binom{8}{2} \cdot\binom{8}{2} \cdot\binom{8}{1} \cdot\binom{8}{1}=\binom{4}{2} \cdot\binom{8}{2}^{2} \cdot 8^{2} +$$ + +Para contar a quantidade de cartas de $S_{2}$, podemos incialmente escolher o tipo que será representado por 3 cartas de $\binom{4}{1}$ maneiras. Em seguida, as três cartas deste tipo podem ser escolhidas de $\binom{8}{3}$ maneiras. Finalmente, podemos escolher as cartas restantes dos três grupos que restaram de $\binom{8}{1} \cdot\binom{8}{1} \cdot\binom{8}{1}$ maneiras. Portanto, a quantidade de elementos de $S_{2}$ é + +$$ +\binom{4}{1} \cdot\binom{8}{3} \cdot\binom{8}{1} \cdot\binom{8}{1} \cdot\binom{8}{1}=\binom{4}{3} \cdot\binom{8}{3} \cdot 8^{3} +$$ + +Assim, a quantidade de escolhas é + +$$ +\binom{4}{2} \cdot\binom{8}{2}^{2} \cdot 8^{2}+\binom{4}{3} \cdot\binom{8}{3} \cdot 8^{3}=415744 +$$ + +## 6 Uma fatoração radical + +a) Verifique que $(x-1)(x+1)+1=x^{2}$. + +b) Encontre o valor de $\sqrt{1+2014 \sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016 \cdot 2018}}}$. + +## 6 Uma fatoração radical - Solução + +a) $(x-1)(x+1)+1=\left(x^{2}-1\right)+1=x^{2}$. + +b) Usando o item anterior algumas vezes, obtemos: + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{1+2014 \sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016 \cdot 2018}}} & = \\ +\sqrt{1+2014 \sqrt{1+2015 \sqrt{2017^{2}}}} & = \\ +\sqrt{1+2014 \sqrt{1+2015 \cdot 2017}} & = \\ +\sqrt{1+2014 \sqrt{2016^{2}}} & = \\ +\sqrt{1+2014 \cdot 2016} & = \\ +\sqrt{2015^{2}} & = \\ +2015 & +\end{aligned} +$$ + +## 7 Os ângulos congruentes + +Os pontos $M, N$ e $P$ são escolhidos sobre os lados $B C, C A$ e $A B$ do triângulo $A B C$ de modo que $B M=B P$ e $C M=C N$. A perpendicular baixada de $B$ à $M P$ e a perpendicular baixada de $C$ à $M N$ se intersectam em $I$. Prove que os ângulos $\angle I P A$ e $\angle I N C$ são congruentes. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-08.jpg?height=557&width=900&top_left_y=2137&top_left_x=475) + +## 7 Os ângulos congruentes - Solução + +Como o triângulo $M N C$ é isósceles, $C I$ além de altura é também a bissetriz relativa ao vértice $C$. Consequentemente, $\angle I C N=\angle I C M$. Pelo caso de congruência $L A L$, segue que $\triangle I C M \equiv \triangle I C N$. Daí, $\angle I M C=\angle I N C$. De forma semelhante, temos $\angle B P I=\angle B M I$. Assim, + +$$ +\angle I P A=180^{\circ}-\angle I P B=180^{\circ}-\angle I M B=\angle I M C=\angle I N C +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-09.jpg?height=546&width=891&top_left_y=635&top_left_x=682) + +8 Múltiplo terminado em 2016 + +Mostre que existe um múltiplo de 2017 que termina em 2016. + +## 8 Múltiplo terminado em 2016 - Solução + +Considere a seguinte lista contendo 2018 números: + +$$ +\begin{aligned} +a_{1} & =2016 \\ +a_{2} & =20162016 \\ +a_{3} & =201620162016 \\ +\vdots & \vdots \\ +a_{2018} & =\underbrace{20162016 \ldots 20162016}_{2018 \text { vezes }} . +\end{aligned} +$$ + +Como existem apenas 2017 restos possíveis na divisão por 2017, dois dos números da lista anterior devem possuir o mesmo resto por $2017 \mathrm{e}$, consequentemente, a diferença entre eles deve ser um múltiplo de 2017. Digamos que eles sejam $a_{i}$ e $a_{j}$ : + +$$ +\begin{aligned} +a_{i}-a_{j} & =\underbrace{20162016 \ldots 20162016}_{i-j \text { vezes } 2016} \underbrace{00 \ldots 0}_{4 j \text { vezes }} \\ +& =\underbrace{20162016 \ldots 20162016}_{i-j \text { vezes } 2016} \cdot 10^{4 j} . +\end{aligned} +$$ + +Como $\operatorname{MDC}\left(2017,10^{4 j}\right)=1$, segue que $\underbrace{20162016 \ldots 20162016}_{i-j \text { vezes } 2016}$ deve ser divisível por 2017. + +## 90 cosseno de $75^{\circ}$ + +Seja $A B C D$ um retângulo com $A B=\sqrt{3}$. Se $\angle A C D=75^{\circ}$, calcule o comprimento de $A C$ e o valor de $\cos 75^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-10.jpg?height=348&width=1150&top_left_y=474&top_left_x=356) + +9 O cosseno de $75^{\circ}$ - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-10.jpg?height=351&width=1171&top_left_y=1047&top_left_x=340) + +Considere os pontos $F$ e $E$ sobre o lado $B C$ de modo que $F C=F A$ e $E F=A E$. Então, pelo Teorema do Ângulo Externo, temos + +$$ +\angle B E A=2 \cdot \angle E F A=4 \cdot \angle F C A=4 \cdot\left(90^{\circ}-\angle A C D\right)=60^{\circ} +$$ + +Daí, $\frac{A B}{A E}=\operatorname{sen} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\frac{A B}{B E}=\operatorname{tg} 60^{\circ}$, ou seja, $A E=2$ e $B E=1$. Além disto, $E F=A E=2$. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo $B F A$, temos + +$$ +\begin{aligned} +A F & =\sqrt{A B^{2}+B F^{2}} \\ +& =\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}} \\ +& =2 \sqrt{3} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $F C=A F=2 \sqrt{3}$. Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $A B C$, temos + +$$ +\begin{aligned} +A C & =\sqrt{A B^{2}+B C^{2}} \\ +& =\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(3+2 \sqrt{3})^{2}} \\ +& =\sqrt{24+12 \sqrt{3}} \\ +& =2 \sqrt{6+3 \sqrt{3}} +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente, temos + +$$ +\cos 75^{\circ}=\frac{C D}{A C}=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{6+3 \sqrt{3}}}=\frac{1}{2 \sqrt{2+\sqrt{3}}} +$$ + +## 10 Bolas na urna + +Uma urna contém $k$ bolas marcadas com $k$, para todo $k=1,2, \ldots, 2016$. Qual é o número mínimo de bolas que devemos retirar, sem reposição e sem olharmos as bolas, para termos certeza de que teremos 12 bolas com o mesmo número? + +## 10 Bolas na urna - Solução + +Somemos a maior quantidade de bolas que podem ser retiradas de cada tipo sem que obtenhamos 12 bolas de cada cor: + +$$ +1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+\underbrace{11+11+\ldots+11}_{2005 \text { vezes }}=22121 +$$ + +Assim, é possível que tenhamos azar e retiremos tal quantidade de bolas sem obtermos 12 bolas de cada cor. Entretanto, se retirarmos 22122 bolas, certamente teremos 12 bolas de uma mesma cor, pois a soma anterior conta exatamente o máximo de bolas que podem ser retiradas sem que isto ocorra. Logo, o mínimo buscado é 22122. + +## 11 Soma dos quadrados de 1 até $n$ + +Considere a soma das três tabelas a seguir. A primeira representa $n$ linhas, sendo a primeira $\operatorname{com} n$ números iguais a $n$, a segunda com $n-1$ números iguais a $n-1$ e assim por diante. Na segunda, temos uma distribuição de números parecida, mas em colunas em vez de linhas. Já na terceira, temos estes números em diagonais, a primeira diagonal possui um número 1 , a segunda dois números iguais a 2 , a terceira três números iguais a 3 e assim por diante. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-11.jpg?height=282&width=1418&top_left_y=1638&top_left_x=422) + +O resultado da soma das três tabelas será uma tabela com a mesma quantidade de números e com cada posição sendo o resultado da soma das posições correspondentes nas três tabelas. Por exemplo, no canto superior esquerdo, teremos o número $n+n+1=2 n+1$. + +(a) Um modo de verificar quantos números tem em cada tabela é virar uma delas de ponta cabeça e juntar com outra para formar um retângulo com $n$ linhas e o dobro de números de uma tabela. Sabendo disto, quantos números existem em uma tabela? + +(b) Quantas vezes aparece cada número $k$ em todas as três tabelas? + +(c) Para cada posição, linha $i$ e coluna $j$, determine os números escritos nela nas três tabelas e na tabela resultado. + +(d) Usando as informações dos itens anteriores, verifique que + +$$ +1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) +$$ + +## 11 Soma dos quadrados de 1 até $n$ - Solução + +(a) Ao virar uma delas de ponta cabeça e juntar com outra, formamos um retângulo $n \times(n+1)$. Como este retângulo possui o dobro de números de uma tabela, cada uma delas possui $\frac{n(n+1)}{2}$ números. + +(b) Cada número $k$ aparece $k$ vezes na primeira tabela, $k$ vezes na segunda e $k$ vezes na terceira. Portanto, cada número $k$ aparece $3 k$ vezes no total. + +(c) Na primeira tabela, a linha determina o valor daquela posição. Como o número inicial $n$ é reduzido em uma unidade a cada linha mais abaixo, então na linha $i$ e coluna $j$ teremos $n+1-i$. Usando o mesmo raciocínio na segunda tabela, na linha $i$ e coluna $j$ teremos o número $n+1-j$. Já na terceira tabela, observe que as posições associadas a elementos de uma diagonal possuem a soma de sua linha e coluna constante. Além disto, o número escrito em uma casa de uma diagonal é uma unidade a menos que esta constante. Logo, na linha $i$ e coluna $j$ teremos $i+j-1$. Na tabela do resultado teremos o número + +$$ +(n+1-i)+(n+1-j)+(i+j-1)=2 n+1 +$$ + +(d) Usando os itens anteriores, notamos que a tabela do resultado possui $\frac{n(n+1)}{2}$ elementos iguais a $2 n+1$. Deste modo, podemos somar os números das três tabelas dadas de duas maneiras diferentes: somando cada número $k$ nas três tabelas ou somando os números da tabela resultante. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +(3 \cdot 1) \cdot 1+(3 \cdot 2) \cdot 2+\ldots+(3 \cdot n) \cdot n & =\frac{n(n+1)}{2} \cdot(2 n+1) \\ +3\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}\right) & =\frac{1}{2} n(n+1)(2 n+1) \\ +1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2} & =\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) +\end{aligned} +$$ + +## 12 Soma dos cubos de 1 até 100 + +Considere a tabela de números a seguir. A primeira linha possui os números de 1 até $n$. A segunda possui os números de 1 até $n$ com cada um multiplicado por 2 . As linhas seguem este padrão até a última linha que apresenta $n$ vezes cada número de 1 até $n$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-13.jpg?height=597&width=537&top_left_y=678&top_left_x=859) + +Vamos usá-la para calcular o valor da expressão + +$$ +1^{3}+2^{3}+\ldots+100^{3} +$$ + +Além da tabela, usaremos o fato de que + +$$ +1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} +$$ + +(a) Determine a soma de todos os números da linha de número $k$. Com isso, determine uma expressão para a soma de todos os números da tabela. + +(b) Observe pedaços na tabela separando-a em camadas em forma de $L$. Os números em uma certa camada $k$ são: $k, 2 k, \ldots,(k-1) k, k^{2},(k-1) k, \ldots, 2 k, k$. Determine a soma dos números desta camada em função de $k$. + +(c) Somando os resultados de todas as camadas, chegaremos ao mesmo resultado que somando todas as linhas. Juntando estas informações determine o valor da expressão: + +$$ +1^{3}+2^{3}+\ldots+100^{3} +$$ + +## 12 Soma dos cubos de 1 até 100 - Solução + +(a) Os números na linha $t$ são os números de 1 até $n$ multiplicados por $t$. A soma deles é + +$$ +\begin{aligned} +t+2 t+3 t+\ldots+n t & =t(1+2+3+\ldots+n) \\ +& =t \frac{n(n+1)}{2} +\end{aligned} +$$ + +A soma dos números na tabela pode ser calculada usando a soma de todas as linhas. Como $\frac{n(n+1)}{2}$ é fator comum, ele pode ser colocado em evidência e teremos + +$$ +\frac{n(n+1)}{2}(1+2+3+\ldots+n)=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} +$$ + +(b) Somando os números teremos: + +$$ +\begin{aligned} +k+2 k+\ldots+(k-1) k+k^{2}+(k-1) k+\ldots+k & =k^{2}+2 k(1+2+3+\ldots+(k-1)) \\ +& =k^{2}+2 k \frac{(k-1) k}{2} \\ +& =k^{2}+k^{2}(k-1) \\ +& =k^{3} +\end{aligned} +$$ + +(c) Se fizermos a tabela para $n=100$ teremos 100 linhas e 100 camadas. Com as informações dos itens anteriores podemos concluir que + +$$ +\begin{aligned} +1^{3}+2^{3}+\ldots+100^{3} & =\left(\frac{100 \cdot 101}{2}\right)^{2} \\ +& =5050^{2} \\ +& =25502500 +\end{aligned} +$$ + +## 13 Descubra a cor do seu chapéu + +Ana, Beto e Carolina vão participar do programa de televisão "Descubra a cor do seu chapéu". No programa, eles se posicionam em roda e sobre a cabeça de cada um será colocado um chapéu azul ou verde. Cada um pode ver os chapéus dos outros, mas não a cor do seu próprio chapéu. Em seguida, cada um deles escreve em um papel uma dentre três opções "azul", "verde" ou "passo". Se todos os que escreveram cores "azul" ou "verde" acertarem a cor do seu chapéu, eles ganham um carro $0 \mathrm{~km}$. Se algum deles chutar a cor do chapéu, "azul" ou "verde", e errar, os três perdem. Se todos eles escreverem "passo", então os três também perdem. Vale ressaltar que eles não podem combinar sinais e não podem ver os papéis dos outros participantes. Os três se reúnem para tentar combinar uma estratégia. Carolina começa 'nenhum de nós deve escrever 'passo', devemos chutar entre 'azul' e 'verde', pois se todos passarmos perderemos". Beto reage dizendo "discordo, melhor apenas Ana chutar a cor do seu chapéu, enquanto eu e Carolina escrevemos 'passo'. Neste caso, a chance de ganhar será maior". Ana se pronuncia "tive uma ideia, se usarmos a minha estratégia teremos a probabilidade de $\frac{3}{4}$ de ganhar o carro". +(a) Seguindo a ideia de Carolina, qual a probabilidade de ganhar o carro? + +(b) Mudando para a ideia de Beto, qual passa a ser a probabilidade de ganhar o carro? + +(c) Dê um exemplo da possível estratégia de Ana que faz a probabilidade de ganhar o carro $\operatorname{ser} \frac{3}{4}$. + +## 13 Descubra a cor do seu chapéu - Solução + +(a) Seguindo a ideia de Carolina, cada pessoa tem duas cores possíveis de chapéu, no total há $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ possibilidades de chutes. Entre eles, há apenas um caso favorável: acertarem seus chutes. Portanto, a probabilidade de ganhar o carro é $\frac{1}{8}$. + +(b) Com a ideia de Beto, há agora apenas duas possibilidades: o chapéu de Ana é azul ou verde. Com um chute, ela terá probabilidade $\frac{1}{2}$ de acertar e os três ganharem. Veja que Beto e Carolina não influenciarão o resultado, pois eles vão simplesmente passar. + +(c) Cada pessoa olha as cores dos chapéus dos seus dois companheiros. Se forem de cores diferentes, esta pessoa deve passar. Se forem da mesma cor, então esta pessoa chuta que seu chapéu é da outra cor. Por exemplo, se os chapéus de Ana, Beto e Carolina forem azul, azul e verde, respectivamente, então Ana e Beto devem escrever "passo", pois enxergam chapéus de cores diferentes, enquanto Carolina deve escrever "verde" que é a cor diferente da cor dos dois chapéus que ela vê. Neste caso os três ganhariam o carro. No total há 8 possibilidades para as cores dos três chapéus. Note que, com a estratégia de Ana, os três perdem apenas em duas possibilidades, todos os chapéus verdes ou todos os chapéus azuis. Nas outras seis possibilidades, haverá dois chapéus de uma cor e um chapéu da outra e, como no exemplo, os três ganham. Concluímos que a probabilidade de ganhar o carro é $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. + +## 14 Qual a probabilidade de sair dois ases da mesma cor? + +Manuel é um matemático que gosta de jogos de cartas. Ele encontra os irmãos Jonas e Jonatan durante uma viagem de ônibus e propõe um jogo. Serão usados apenas os quatro ases do baralho, o de copas e o de ouros são vermelhos enquanto o de espadas e o de paus são pretos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-15.jpg?height=237&width=765&top_left_y=2194&top_left_x=748) + +Manuel será o banco e os dois irmãos, um de cada vez, apostarão 1 real contra ele em cada rodada. As cartas são postas viradas com face para baixo. Jonas escolhe uma carta e Jonatan a vira para cima. Jonas escolhe mais uma carta e Jonatan novamente a vira. Se as duas cartas tiverem a mesma cor, então Jonas ganha 1 real de Manuel. Caso contrário, Manuel ganha + +1 real de Jonas. Em seguida, Jonas e Jonatan trocam de posição e o jogo segue. Veja que Manuel não mexe nas cartas, por isto não pode manipular o jogo. Jonatan pensa um pouco e conclui que tem probabilidade de $\frac{2}{3}$ de vencer, pois os resultados são apenas duas cartas vermelhas, duas pretas ou uma vermelha e uma preta. Será mesmo? + +(a) Jonas já participou de olimpíadas de matemática e decidiu tomar mais cuidado. Ele decidiu analisar este jogo usando uma árvore de possibilidades. Como ficaria a árvore de possibilidades de Jonas? + +(b) Considerando os resultados da árvore do item anterior, qual a probabilidade de Manuel vencer cada rodada do jogo? + +## 14 Qual a probabilidade de sair dois ases da mesma cor? - Solução + +(a) Representaremos copas, espadas, ouros e paus pelas letras $C, E, O$ e $P$, respectivamente. A árvore de possibilidades é mostrada na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-16.jpg?height=831&width=425&top_left_y=1184&top_left_x=724) + +(b) Usando a árvore de possibilidades, há 12 resultados possíveis e em 8 deles Manuel vence. Portanto, a probabilidade de Manuel vencer cada rodada é $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. O raciocínio de Jonatan não está correto, pois as possibilidades de cores não ocorrem com a mesma probabilidade. + +Vale ressaltar que este item poderia ser respondido sem a árvore de possibilidades. Considere o momento após a virada da primeira carta. Entre as outras três, duas favorecem Manuel, pois possuem a cor diferente da cor da carta que foi virada. Então, assim como na conclusão usando a árvore, a probabilidade de Manuel vencer é $\frac{2}{3}$. + +## 15 Se trocarmos 1 por-1, o que acontece? + +Seja $n$ um número inteiro positivo maior ou igual a 5. Para números $a_{i}$ escolhidos no conjunto $\{-1,1\}$, calcula-se o número + +$$ +S_{n}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+\ldots+a_{n} a_{1} a_{2} a_{3} +$$ + +que soma os produtos de cada quatro termos $a_{i}$ de índices consecutivos, inclusive os que começam em $a_{n-2}, a_{n-1}$ e $a_{n}$ e terminam em $a_{1}, a_{2}$ e $a_{3}$, respectivamente. + +(a) Considerando $n=8$, comecemos com $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{7}=a_{8}=1$. Qual o valor de $S_{8}$ ? Se trocarmos $a_{4}=1$ por $a_{4}=-1$ quanto passa a ser a soma $S_{8}$ ? Após a primeira troca, trocamos $a_{5}=1$ por $a_{5}=-1$. Após esta segunda troca, quanto vale $S_{8}$ ? + +(b) Para cada troca de 1 por -1 , quantas parcelas mudam de valor? Quais são as possíveis variações no valor de $S_{8}$ quando se faz uma troca? + +(c) Mostre que para quaisquer oito valores de $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7}$ e $a_{8}$ no conjunto $\{-1,1\}$ a soma $S_{8}$ resulta sempre em um número múltiplo de 4 . + +(d) Para certo valor de $n$ e certa escolha dos números $a_{i}$ no conjunto $\{-1,1\}$ a soma + +$$ +S_{n}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+\ldots+a_{n} a_{1} a_{2} a_{3} +$$ + +resultou em zero. Prove que $n$ é necessariamente um número múltiplo de 4 . + +## 15 Se trocarmos 1 por-1, o que acontece? - Solução + +(a) Com os valores dados, tem-se: + +$$ +S_{8}=1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1+\ldots+1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1=8 +$$ + +É a soma de oito parcelas iguais a 1. Veja que ao trocar o $a_{4}$ de 1 para -1 , os quatro produtos em que ele aparece mudam de sinal. Então a soma perde quatro parcelas 1 que passam a ser quatro parcelas -1 . Deste modo, a soma passa a ser + +$$ +S_{8}^{\prime}=8-4+(-4)=0 +$$ + +Se trocarmos agora o $a_{5}$ de 1 para -1 , há quatro parcelas afetadas, mas algumas passam de 1 para -1 e outras passam de -1 para 1 . Mais especificamente, as parcelas com o $a_{5}$ que já mudaram de sinal com o $a_{4}$ voltarão a ser 1 . A parcela $a_{5} a_{6} a_{7} a_{8}$ passa de $1 \mathrm{a}-1$ e as outras três passam de -1 a 1 . Após a segunda troca a soma será + +$$ +\begin{aligned} +S_{8}^{\prime \prime} & =S_{8}^{\prime}-(1+(-1)+(-1)+(-1))+((-1)+1+1+1) \\ +& =S_{8}^{\prime}-(-2)+2 \\ +& =S_{8}^{\prime}+4 \\ +& =4 +\end{aligned} +$$ + +(b) Como vimos no item anterior, as quatro parcelas em que o produto possui certo $a_{i}$ mudam de valor quando trocamos este número de 1 para -1 . Para saber as possíveis variações, considere $x, y, z$ e $w$ as parcelas que possuem o $a_{i}$ no produto. + +$$ +\begin{aligned} +S_{8}^{\prime} & =S_{8}-(x+y+z+w)+(-x-y-z-w) \\ +& =S_{8}-2(x+y+z+w) +\end{aligned} +$$ + +Como $x, y, z$ e $w$ são produtos de números 1 ou -1, eles mesmos são iguais a 1 ou -1. Então ao somar os quatro, os resultados possíveis são $1+1+1+1=4$, $1+1+1+(-1)=2, \quad 1+1+(-1)+(-1)=0,1+(-1)+(-1)+(-1)=-2$ ou $(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4$. Finalmente, concluímos que as variações possíveis são $+8,+4,0,-4$ ou -8 . + +(c) Primeiro faça todos os números iguais a 1, então a soma é 8. Agora, para cada número da sequência, podemos trocá-lo para -1 e analisar a soma. Deste jeito, todas as possibilidades de números $a_{i}$ são analisadas. Pelo item anterior, cada troca gera uma variação que é um múltiplo de 4. Como no início a soma é um múltiplo de 4 e esta propriedade não se altera em cada troca, concluímos que a soma $S_{8}$ resulta sempre em um múltiplo de 4 . + +(d) Novamente, comece com todos os números iguais a 1 resultando em soma $n$. Para uma dada escolha dos elementos da sequência, trocamos cada $a_{i}$ igual a -1 por 1 , um por vez. Em cada troca, não altera-se o resto de $S_{n}$ na divisão por 4 e, ao final, chegamos no número 0 que é múltiplo de 4. Portanto, o número inicial $n$ também é um múltiplo de 4 . + +## 16 Apagando números e fazendo a operação estrela + +Sejam $a$ e $b$ números reais positivos com produto diferente de 1, define-se a operação estrela, representada por “*”, pela equação + +$$ +a * b=\frac{a+b-2 a b}{1-a b} \text {. } +$$ + +Em uma lousa, estão escritos 2015 números iguais a $\frac{1}{2}$. Em cada passo, apagam-se dois números $x$ e $y$ escritos na lousa e escreve-se o número $x * y$. Este passo é repetido 2014 vezes até que fique apenas um número na lousa. + +(a) Demonstre que a equação + +$$ +\frac{x * y}{1-x * y}=\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y} +$$ + +é verdadeira para quaisquer $x$ e $y$ reais $\operatorname{com} x \neq 1, y \neq 1$ e $x y \neq 1$. + +(b) Se para cada número $x$ que é escrito na lousa, calcularmos $\frac{x}{1-x}$ e somarmos todos estes resultados, teremos um certo resultado. Mostre que este resultado é sempre o mesmo não importando quantos passos tenham sido feitos até aquele momento. +(c) Qual o número que estará escrito na lousa ao final dos 2014 passos? + +(d) Se além dos 2015 números iguais a $\frac{1}{2}$ na situação inicial, também escrevermos um número 1, qual será o número final após a realização de 2015 passos? + +## 16 Apagando números e fazendo a operação estrela - Solução + +(a) Desenvolvendo a expressão da operação estrela, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{x * y}{1-x * y} & =\frac{\frac{x+y-2 x y}{1-x y}}{1-\frac{x+y-2 x y}{1-x y}} \\ +& =\frac{x+y-2 x y}{1-x y-x-y+2 x y} \\ +& =\frac{x+y-2 x y}{1-x-y+x y} \\ +& =\frac{x+y-2 x y}{(1-x)(1-y)} \\ +& =\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y} +\end{aligned} +$$ + +(b) Seja $S$ a soma dos termos $\frac{x}{1-x}$ para cada $x$ escrito na lousa. Usando o item anterior, concluímos que retirando dois termos $\frac{x}{1-x}$ e $\frac{y}{1-y}$ e adicionando o termo $\frac{x * y}{1-x * y}$, a soma não se altera. Como isto vale para cada passo, então continua valendo não importando quantos passos tenham sido feitos. + +(c) Seja $N$ o número final. Pelo item anterior, sabe-se que a soma não sofre alteração com as trocas. Portanto, podemos usá-la para descobrir o número final. + +$$ +\begin{aligned} +\frac{N}{1-N} & =\frac{1 / 2}{1-1 / 2}+\frac{1 / 2}{1-1 / 2}+\ldots+\frac{1 / 2}{1-1 / 2} \\ +& =1+1+\ldots+1 \\ +& =2015 \\ +N & =2015(1-N) \\ +2016 N & =2015 \\ +N & =\frac{2015}{2016} +\end{aligned} +$$ + +(d) Para um número $x \neq 1$, fazendo a operação $x * 1$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +x * 1 & =\frac{x+1-2 x}{1-x} \\ +& =\frac{1-x}{1-x} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +Como $x * 1=1$, fazer a troca de $x$ e 1 por $x * 1$ é o mesmo que apagar o $x$. Assim, podemos afirmar que ao final dos 2015 passos o único número escrito na lousa será 1 . + +## 17 Acertando na trave na Loteria + +Em certa loteria, existem 60 números distintos e 6 deles são sorteados sem reposição. Cada bilhete possui 6 números distintos entre os 60 possíveis. O prêmio máximo, conhecido como "gol-no-ângulo", é dado para o jogador que possuir o bilhete com os mesmos 6 números que foram sorteados. Nesta loteria, também existe o prêmio "bola-na-trave". Em um bilhete bola-na-trave, o menor número não possui diferença, em módulo, maior que 1 para o menor número sorteado, o segundo menor número não possui diferença, em módulo, maior que 1 para o segundo menor número sorteado e assim por diante até o sexto menor número. Por exemplo, suponha que o bilhete gol-no-ângulo seja $\{4,7,25,48,51,60\}$. Então os bilhetes $\{3,6,25,49,50,59\}$ e $\{5,6,25,47,50,60\}$ são bilhetes bola-na-trave, mas o bilhete $\{3,4,6,24,47,50\}$ não é bola-na-trave. Vale lembrar que um bilhete gol-no-ângulo não é um bilhete bola-na-trave. Para os itens a seguir, considere cada bilhete como a escolha de uma sequência de 6 números escritos em ordem crescente. + +(a) Dê um exemplo de conjunto de 6 números formando um bilhete gol-no-ângulo que tem o menor número possível de bilhetes bola-na-trave associados a ele. Quantos bilhetes bola-na-trave possíveis haveria para estes 6 números? + +(b) Dê um exemplo de conjunto de 6 números formando um bilhete gol-no-ângulo que resulta na maior quantidade possível de bilhetes bola-na-trave. Neste caso, haveria quantos bilhetes bola-na-trave possíveis? + +(c) Considere os números sorteados $\{2,3,8,11,14,17\}$, quantos são os bilhetes bola-na-trave associados a ele? + +(d) Suponha que o conjunto de números sorteados seja $\{8,10,12,14,16,18\}$. Neste caso, quantos são os bilhetes bola-na-trave possíveis associados a ele? + +## 17 Acertando na trave na Loteria - Solução + +(a) Tome os 6 menores números $\{1,2,3,4,5,6\}$. Neste caso, temos apenas 6 bilhetes bolana-trave, que são formados por escolhas de 6 números do conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Em princípio, existiriam 7 bilhetes, mas como um bilhete gol-no-ângulo não é bola-na-trave, o número de bilhetes bola-na-trave associados a ele é 6 . Provaremos que este é o menor valor possível mostrando que todos os outros conjuntos têm pelo menos 6 bilhetes bolana-trave. + +Tomando o conjunto $\{a, b, c, d, e, f\}$ em ordem crescente do $a$ para o $f$. Se $f<60$, temos os bilhetes bola-na-trave: + +$$ +\begin{gathered} +\{a, b, c, d, e, f+1\} \\ +\{a, b, c, d, e+1, f+1\} \\ +\{a, b, c, d+1, e+1, f+1\} \\ +\{a, b, c+1, d+1, e+1, f+1\} \\ +\{a, b+1, c+1, d+1, e+1, f+1\} \\ +\{a+1, b+1, c+1, d+1, e+1, f+1\} +\end{gathered} +$$ + +Se $f=60$, mas $a>1$, temos os bilhetes: + +$$ +\begin{gathered} +\{a-1, b, c, d, e, f\} \\ +\{a-1, b-1, c, d, e, f\} \\ +\{a-1, b-1, c-1, d, e, f\} \\ +\{a-1, b-1, c-1, d-1, e, f\} \\ +\{a-1, b-1, c-1, d-1, e-1, f\} \\ +\{a-1, b-1, c-1, d-1, e-1, f-1\} +\end{gathered} +$$ + +Se $a=1$ e $f=60$, então existiriam dois números seguidos que não seriam consecutivos, por exemplo, $d-c \geq 2$, neste caso teríamos os bilhetes: + +$$ +\begin{gathered} +\{a, b, c+1, d, e, f\} \\ +\{a, b+1, c+1, d, e, f\} \\ +\{a+1, b+1, c+1, d, e, f\} \\ +\{a, b, c, d-1, e, f\} \\ +\{a, b, c, d-1, e-1, f\} \\ +\{a, b, c, d-1, e-1, f-1\} +\end{gathered} +$$ + +(b) Veja que cada número $x$ no bilhete gol-no-ângulo gera 3 possibilidades para sua posição no bola-na-trave, a saber $x-1, x$ e $x+1$. Se números seguidos estiverem próximos, então teremos que eliminar repetições, por exemplo, se $a=b-1$ ou $a+1=b-1$. Portanto, para chegar no máximo podemos deixar números seguidos com diferença de pelo menos 3 . Um exemplo é o bilhete gol-no-ângulo $\{3,6,9,12,15,18\}$. Um bilhete bola-na-trave possui três possibilidades para o menor número, três para o segundo menor e assim por diante. Lembrando de não contar o bilhete gol-no-ângulo, teremos ao todo $3^{6}-1=728$ bilhetes bola-na-trave associados a ele. +(c) Vamos separar em casos. Se o primeiro número for 1, então para cada um dos cinco números temos três possibilidades, resultando assim em $3^{5}$ bilhetes. Se o primeiro número for 2, então o segundo número terá que ser 3 ou 4 . Os outros têm três possibilidades cada, logo teremos $2 \cdot 3^{4}$ bilhetes bola-na-trave associados. Se o primeiro número for 3 , o segundo é obrigatoriamente 4. Para cada um dos demais, há três possibilidades. Logo, teremos $3^{4}$ possibilidades. Lembrando de retirar o bilhete gol-no-ângulo, ficamos com + +$$ +3^{5}+2 \cdot 3^{4}+3^{4}-1=485 +$$ + +bilhetes bola-na-trave associados ao gol-no-ângulo $\{2,3,8,11,14,17\}$. + +(d) Vamos começar analisando separadamente os conjuntos $\{8,10,12\}$ e $\{14,16,18\}$. Para o primeiro grupo de números, se o maior número do bola-na-trave for 13, restam três possibilidades para 08 e três para o 10, com a exceção das duas escolhas serem iguais a 9 . Logo, existem oito possibilidades neste caso. Se o maior número for 12 temos também 8 possibilidades e, se o maior for 11, temos apenas duas possibilidades para $010 \mathrm{e}$ três para o 8, com a exceção das duas escolhas serem iguais a 9. Temos assim 5 possibilidades. Então para o primeiro grupo, temos $8+8+5=21$ possibilidades. Por simetria, podemos observar as possibilidades do menor número do segundo grupo e concluir que para o segundo grupo temos também $8+8+5=21$ possibilidades. Veja que temos que subtrair as possibilidades em que foi escolhido 13 para o 12 e 13 também para o 14, ou seja, $8 \cdot 8=64$ possibilidades. Novamente, temos que lembrar de excluir o bilhete gol-noângulo. Então teremos + +$$ +21 \cdot 21-8 \cdot 8-1=441-64-1=376 +$$ + +bilhetes bola-na-trave associados ao $\{8,10,12,14,16,18\}$. + +## 18 Propriedades das medianas + +Uma mediana de um triângulo é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Considere o triângulo $A B C$ na figura a seguir e sejam $M, N$ e $P$ os pontos médios dos lados $B C, C A$ e $A B$, respectivamente. As medianas $B N$ e $C P$ se cortam no ponto $G$. Seja $X$ o ponto médio do segmento $A G$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-22.jpg?height=602&width=842&top_left_y=2046&top_left_x=504) +(a) Usando o quadrilátero $G P X N$, verifique que o ponto $G$ divide o segmento $C P$ na razão $2: 1$, ou seja, que $C G=2 \cdot G P$. + +(b) A partir do item anterior, verifique que a mediana $A M$ corta a mediana $C P$ no mesmo ponto $G$. Note que isto mostra que as três medianas de um triângulo passam por um mesmo ponto. Este ponto é chamado de Baricentro do triângulo. + +(c) Suponha que as medianas $B N$ e $C P$ possuem o mesmo comprimento, verifique que $A C=A B$. + +## 18 Propriedades das medianas - Solução + +(a) Observe que os triângulos $A X N$ e $A G C$ são semelhantes, pois $\frac{A X}{A G}=\frac{A N}{A C}=\frac{1}{2}$ e o ângulo $A$ é comum aos dois triângulos. Com isto, $X N=\frac{G C}{2}$ e $X N$ é paralelo a $G C$. De maneira análoga, podemos provar que $P X$ é paralelo a $B N$. Assim, o quadrilátero $G P X N$ é um paralelogramo, pois possui lados opostos paralelos. Como paralelogramos também possuem lados opostos de mesma medida (para mais detalhes olhar o problema "Condições para um quadrilátero ser um paralelogramo" do nível 2) temos + +$$ +C G=2 \cdot X N=2 \cdot G P +$$ + +(b) Chamaremos de $G^{\prime}$ o ponto onde $A M$ corta $C P$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-23.jpg?height=609&width=848&top_left_y=1860&top_left_x=701) + +Usando a mesma ideia que o item anterior, o quadrilátero $G^{\prime} P Y M$ é um paralelogramo e vale $C G^{\prime}=2 \cdot G^{\prime} P$. Como $G$ e $G^{\prime}$ dividem o segmento de $C$ para $P$ na mesma razão, podemos concluir que $G=G^{\prime}$ e que as três medianas passam por $G$. +(c) Se as medianas $B N$ e $C P$ possuem o mesmo comprimento, então os triângulos $P G B$ e $N G C$ são congruentes pelo caso $L A L$, pois: + +$$ +\begin{aligned} +P G & =\frac{C P}{3} \\ +& =\frac{B N}{3} \\ +& =N G \\ +\angle P G B & =\angle N G C \\ +G B & =\frac{2 \cdot B N}{3} \\ +& =\frac{2 \cdot C P}{3} \\ +& =G C +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_40ea5c1759d4b041c087g-24.jpg?height=609&width=848&top_left_y=1089&top_left_x=504) + +Consequentemente, + +$$ +\begin{aligned} +P B & =N C \\ +\frac{A B}{2} & =\frac{A C}{2} \\ +A B & =A C +\end{aligned} +$$ + +## 19 Desigualdade com números de Fibonacci + +A sequência de Fibonacci começa com $F_{0}=0, F_{1}=1$ e, a partir do segundo termo, cada novo termo é obtido somando-se os dois anteriores, ou seja, + +$$ +F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \text { para } n \geq 0 +$$ + +Assim, os primeiros termos da sequência de Fibonacci são: + +$$ +\begin{array}{ccccccccccccc} +F_{0} & F_{1} & F_{2} & F_{3} & F_{4} & F_{5} & F_{6} & F_{7} & F_{8} & F_{9} & F_{10} & F_{11} & F_{12} \\ +0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 & 144 +\end{array} +$$ + +a) Verifique que $F_{n+3}<5 F_{n}$ para todo $n \geq 3$. + +b) Seja $n$ um inteiro positivo. Mostre que entre potências consecutivas de $n$ existe no máximo $n$ números de Fibonacci. + +## 19 Desigualdade com números de Fibonacci-Solução + +a) Como a sequência de Fibonacci é crescente, temos + +$$ +\begin{aligned} +F_{n+3} & =F_{n+2}+F_{n+1} \\ +& =2 \cdot F_{n+1}+F_{n} \\ +& =3 \cdot F_{n}+2 \cdot F_{n-1} \\ +& <3 \cdot F_{n}+2 \cdot F_{n} \\ +& =5 \cdot F_{n} +\end{aligned} +$$ + +b) Suponha que existam mais que $n$ números de Fibonacci entre $n^{k}$ e $n^{k+1}$. Denotemos as $n+1$ primeiras delas por $F_{l}, F_{l+1}, \ldots, F_{l+n}$. Assim, como $F_{l}$ e $F_{l+1}$ são maiores que $n^{k}$, temos + +$$ +\begin{aligned} +F_{l+2} & =F_{l+1}+F_{l} \\ +& >n^{k}+n^{k} \\ +& =2 \cdot n^{k} \\ +F_{l+3} & =F_{l+2}+F_{l+1} \\ +& >2 \cdot n^{k}+n^{k} \\ +& =3 \cdot n^{k} \\ +F_{l+4} & =F_{l+3}+F_{l+2} \\ +& >3 \cdot n^{k}+n^{k} \\ +& =4 \cdot n^{k} \\ +& \vdots \\ +F_{l+n} & =F_{l+n-1}+F_{l+n-2} \\ +& >(n-1) \cdot n^{k}+n^{k} \\ +& =n^{k+1} +\end{aligned} +$$ + +Isto é um absurdo, pois $F_{l+n}c+1$, podemos diminuir uma reta do conjunto com $a$ e aumentar uma reta no conjunto com $c$, mantendo assim a quantidade total de retas, mas aumentando o produto: + +$$ +\begin{aligned} +a \cdot b \cdot c & 39$. Assim, temos apenas 4 valores possíveis para a diferença $39-11 b$, como indicado na tabela: + +| $b$ | $39-11 b$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 39 | +| 1 | 28 | +| 2 | 17 | +| 3 | 6. | + +Como nenhum dos valores de $39-11 b$ é divisível por 5 , segue que tal divisão é impossível. + +## 17 A operação * + +Dados dois números reais $a$ e $b$, defina a operação $a \star b$ por $a \star b=a \cdot b+a+b+6$. Por exemplo, $3 \star 7=3 \cdot 7+3+7+6=23$ e $3 \star 3=3 \cdot 3+3+3+6=21$. + +a) Encontre o valor de $9 \star 99$. + +b) Encontre o número inteiro $b$ tal que $2 \star b=b$. + +c) Determine todos os números inteiros positivos $a$ e $b$, com $a|c|$, então $c^{2}=|c|^{2}<|b| \cdot|a|=b a$. Nos dois casos, o conjunto de números não pode satisfazer a condição do enunciado. + +(d) Não podemos ter mais que 3 elementos, pois caso existam 4 ou mais acontecerá um dos três casos anteriores. Para mostrar que 3 é realmente o máximo, basta exibir um exemplo com essa quantidade. Considere o conjunto $\{-2,1,2\}$. A condição do enunciado é satisfeita, pois $(-2)^{2}>1 \cdot 2,1^{2}>(-2) \cdot 2$ e $2^{2}>(-2) \cdot 1$. + +## 6 Primo ou composto? + +Determine se o número $\underbrace{11 \ldots 1}_{2016} 2 \underbrace{11 \ldots 1}_{2016}$ é um número primo ou um número composto. + +## 6 Primo ou composto? - Solução + +Seja $x=\underbrace{11 \ldots \ldots 1}_{2017}$. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +\underbrace{11 \ldots 1}_{2016} \underbrace{11 \ldots 1}_{2016} & =10^{2016} \cdot x+x \\ +& =x\left(10^{2016}+1\right) +\end{aligned} +$$ + +Como $x$ e $10^{2016}+1$ são divisores maiores que 1 do número dado, podemos concluir que ele é composto. + +## 7 Números nos triângulos + +Na figura abaixo, estão desenhados 16 triângulos equiláteros de lado 1. Dizemos que dois deles são vizinhos se possuem um lado em comum. Determine se é possível escrevermos os números de 1 até 16 dentro desses triângulos de modo que todas as diferença entre os números colocados em dois triângulos vizinhos sejam 1 ou 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-06.jpg?height=486&width=558&top_left_y=1290&top_left_x=630) + +## 7 Números nos triângulos-Solução + +Observe que entre quaisquer dois triângulos de lado 1 da figura é possível construirmos um caminho formado por no máximo 5 outros triângulos que são mutuamente vizinhos. Assim, se fosse possível fazer a distribuição dos 16 números como indicado no enunciado, seria possível começar do triângulo com o número 1 e realizar no máximo 6 incrementos de 1 ou 2 unidades, através do caminho de triângulos vizinhos, e chegar no triângulo com o número 16. Entretanto, $1+2+2+2+2+2+2=13<16$ e isso mostra que tal distribuição é impossível. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-07.jpg?height=468&width=536&top_left_y=237&top_left_x=837) + +## 8 Segmento tangente aos incírculos + +Um ponto $D$ é escolhido no lado $B C$ do triângulo $A B C$. A reta tangente aos incírculos dos triângulos $A B D$ e $A D C$ e diferente de $B C$ e $A D$ intersecta o segmento $A D$ em $T$. Se $A B=40 \mathrm{~cm}, A C=50 \mathrm{~cm}$ e $B C=60 \mathrm{~cm}$, determine o valor do comprimento de $A T$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-07.jpg?height=539&width=1108&top_left_y=1079&top_left_x=546) + +## 8 Segmento tangente aos incírculos - Solução + +Sabemos que os comprimentos dos segmentos tangentes traçados de um ponto externo a um círculo são congruentes e que $X Y=H I$. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +2 A T & =(A F-T F)+(A J-T J) \\ +& =A G+A K-(T X+T Y) \\ +& =(A B-B G)+(A C-C K)-X Y \\ +& =A B+A C-(B H+H I+I C) \\ +& =A B+A C-B C \\ +& =30 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $A T=30 \mathrm{~cm}$. + +## 9 Contando a quantidade de dígitos + +Podemos determinar a quantidade de algarismos da representação decimal de um número inteiro positivo determinando a maior potência de 10 que não é maior que ele. Mais precisamente, um número inteiro $N$ possui $k$ algarismos em sua representação decimal quando $10^{k-1} \leq N<10^{k}$. Por exemplo, 2016 possui 4 algarismos. Em alguns problemas, é importante achar a quantidade de algarismos envolvidos no resultado de operações aritméticas. + +a) Determine a quantidade de algarismos do produto $111111 \cdot 1111111111$, em que o primeiro fator possui 6 algarismos e $o$ segundo possui 10 algarismos. + +b) Os números $2^{2016}$ e $5^{2016}$ são escritos um ao lado do outro para formar um único número $N$ que possui uma quantidade de algarismos que é a soma das quantidades de algarismos dos dois números. Por exemplo, se fizéssemos isso com $2^{3}$ e $5^{3}$ iríamos obter o número 8125, que possui 4 algarismos. Determine a quantidade de algarismos de $N$. + +## 9 Contando a quantidade de dígitos - Solução + +a) Sejam $A$ e $B$ os números com 6 e 10 algarismos e começados por 1, respectivamente. Temos $10^{5}0$, concluímos que nesse caso a equação não possui solução. + +Com essas dicas, João pode encontrar todas as soluções. Veja que os papéis desempenhados por $x$ e $y$ na equação são simétricos. Portanto, se $(x, y, z)=(a, b, c)$ é solução, então $(b, a, c)$ também é solução. Então basta encontrarmos as soluções com $x \leq y$. O último item mostra que pelo menos um dentre $x$ e $y$ é menor ou igual a 3 e, aproveitando o estudo dos três itens iniciais, podemos listar todas as soluções. + +## 11 Frações irredutiveis + +Uma fração é dita irredutível quando seu numerador e seu denominador não possuem fatores comuns, ou seja, quando o máximo divisor comum entre os dois números é 1 . Por exemplo, a fração $\frac{3}{7}$ é irredutível, mas a fração $\frac{10}{14}$ não é, uma vez que 2 é um fator comum de 10 e 14. Para que valores de $n$ a fração $\frac{5 n+6}{6 n+5}$ é irredutível? Vamos estudar esse problema em partes: + +a) Seja $d=m d c(5 n+6,6 n+5)$ o máximo divisor comum de $5 n+6$ e $6 n+5$. Verifique que $d$ é um divisor de $n-1$. + +b) Sabendo que $d$ é um divisor de $n-1$, conclua que $d$ também é um divisor 11 . + +c) Verifique que se 11 divide $5 n+6$, então 11 divide $6 n+5$. + +d) Para quantos inteiros positivos $n$, menores que 50, a fração $\frac{5 n+6}{6 n+5}$ é irredutível? + +## 11 Frações irredutiveis - Solução + +a) Como $6 n+5$ e $5 n+6$ são múltiplos de $d$, existem inteiros $x$ e $y$ tais que $6 n+5=d x$ e $5 n+6=d y$. Logo, + +$$ +\begin{aligned} +n-1 & =(6 n+5)-(5 n+6) \\ +& =d x-d y \\ +& =d(x-y) +\end{aligned} +$$ + +implicando assim que $d$ é um divisor de $n-1$. + +b) Usando o fato de $6 n+5$ e $n-1$ serem múltiplos de $d$, podemos escrever + +$$ +\begin{aligned} +11 & =(6 n+5)-6(n-1) \\ +& =d x-6 d(x-y) \\ +& =d(x-6(x-y)) \\ +& =d(-5 x+6 y) +\end{aligned} +$$ + +que nos permite concluir que $d$ é um divisor de 11 . + +c) Se 11 é um divisor de $5 n+6$, então podemos escrever $5 n+6=11 k$. Além disso, podemos escrever 11 como + +$$ +\begin{aligned} +11 & =(6 n+5)-6(n-1) \\ +& =(6 n+5)-6((6 n+5)-(5 n+6)) \\ +& =-5(6 n+5)+6(5 n+6) \\ +& =-5(6 n+5)+66 k +\end{aligned} +$$ + +Reorganizando os termos da equação, temos + +$$ +\begin{aligned} +5(6 n+5) & =66 k-11 \\ +& =11(6 k-1) +\end{aligned} +$$ + +Dado que 11 é um divisor de $5(6 n+5)$, que não possui fator em comum com 5 , podemos concluir que 11 divide $6 n+5$. + +d) Basta organizar as informações obtidas nos itens anteriores. Já sabemos que o $m d c$ dos números dados divide 11, implicando apenas nas possibilidades 1 ou 11. Basta eliminar os casos em que 11 divide os dois números. Pelo item anterior, isso acontece quando $5 n+6$ deixa resto 0 na divisão por 11. Testando as possibilidades, vemos que isso acontece quando $n$ deixa resto 1 na divisão por 11 . De 1 até 50 , existem 5 números que deixam resto 1 na divisão por 11, a saber, 1, 12, 23, 34 e 45. Então a fração $\frac{5 n+6}{6 n+5}$ é irredutível para $50-5=45$ inteiros positivos $n$ menores que 50 . + +## 12 Quadrados adjacentes + +No desenho abaixo, $A B C D$ e $E F G C$ são quadrados. As retas $B G$ e $D E$ se encontram no ponto $H$. + +a) Verifique que $\angle B H D=90^{\circ}$ e conclua que o ponto $H$ está simultaneamente nas circunferências de diâmetros $B D$ e $E G$. + +b) Encontre o valor de $\angle A H D+\angle D H G+\angle G H F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-12.jpg?height=463&width=727&top_left_y=683&top_left_x=546) + +## 12 Quadrados adjacentes-Solução + +Antes de resolvermos o problema, precisaremos fazer um comentário sobre quadriláteros cíclicos. Considere um triângulo $A B C$, seu circuncírculo $\Gamma$ e um ponto $P$ no mesmo semiplano que $C$ determinado pela reta $A B$. Existem três possibilidades para o ponto $P$ : ele pode estar no lado de fora de $\Gamma$, sobre ele ou dentro dele. Cada uma dessas situações está representada no desenho abaixo. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-12.jpg?height=446&width=1102&top_left_y=1617&top_left_x=357) + +Na primeira situação, quando $P$ está fora da circunferência circunscrita, considere o ponto $Q$ de interseção de um dos segmentos $P A$ ou $P B$ com $\Gamma$. Como $\angle A C B$ e $\angle A Q B$ são ângulos inscritos no mesmo arco $A B$, temos $\angle A C B=\angle A Q B$. Pelo Teorema do Ângulo Externo, podemos escrever + +$$ +\begin{aligned} +\angle A C B & =\angle A Q B \\ +& =\angle A P B+\angle P A Q \\ +& >\angle A P B +\end{aligned} +$$ + +Na segunda situação, como $\angle A C B$ e $\angle A P B$ são ângulos inscritos no mesmo arco $A B$, temos $\angle A C B=\angle A P B$. Finalmente, na terceira situação, considere o ponto de interseção das retas $P A$ ou $P B$ com $\Gamma$. Novamente pelo Teorema de Ângulo Externo, temos + +$$ +\begin{aligned} +\angle A C B & =\angle A Q B \\ +& <\angle A Q B+\angle P A Q \\ +& =\angle A P B +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $\angle A C B=\angle A P B$ se, e somente se, o ponto $P$ está no circuncírculo do triângulo $A B C$. + +a) Como $E C=C G, D C=B C$ e $\angle B C G=\angle D C E=90^{\circ}$, segue que os triângulos $B C G$ e $E C D$ são congruentes. Daí, $\angle C B G=\angle C D E$. Pela observação anterior, isso nos garante que o ponto $B$ está no circuncírculo do triângulo $D C H$. Entretanto, sabemos que a circunferência que passa pelos pontos $B, C$ e $D$ é a círcunferência de diâmetro $B D$. Consequentemente, $A, B, C, D$ e $H$ estão sobre uma mesma circunferência de diâmetro $B D$ e $\angle B H D=\angle B C D=90^{\circ}$. Além disso, de $\angle E H G=180^{\circ}-\angle B H E=90^{\circ}=$ $\angle E F G$, segue em virtude da observação inicial que $E, H, F$ e $G$ estão em uma mesma circunferência. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-13.jpg?height=706&width=925&top_left_y=1207&top_left_x=645) + +b) Considerando a circunferência circunscrita ao quadrilátero $A B C D$, como $\angle A H D$ e $\angle A C D$ estão inscritos no mesmo arco $A D$, segue que $\angle A H D=\angle A C D$. Analogamente, considerando a circunferência circunscrita ao quadrado $E F G C$, temos $\angle G H F=\angle F C G$. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +\angle A H D+\angle D H G+\angle G H F & = \\ +\angle A C D+\angle D H G+\angle F C G & = \\ +45^{\circ}+90^{\circ}+45^{\circ} & =180^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Assim, podemos concluir que os pontos $A, H$ e $F$ são colineares. + +## 13 Cevianas no triângulo + +Um triângulo $A B C$ tem lados de comprimentos $A B=50 \mathrm{~cm}, B C=20 \mathrm{~cm}$ e $A C=40 \mathrm{~cm}$. Sejam $M$ e $N$ pontos no lado $A B$ tais que $C M$ é a bissetriz relativa ao ângulo $\angle A C B$ e $C N$ é a altura relativa ao lado $A B$. Qual a medida, em centímetros, de $M N$ ? + +## 13 Cevianas no triângulo - Solução + +Pela Lei dos Cossenos aplicado ao triângulo $\triangle A B C$, temos + +$$ +\begin{aligned} +A C^{2} & =A B^{2}+B C^{2}-2 \cdot A B \cdot B C \cdot \cos \angle A B C \\ +1600 & =2500+400-2 \cdot 50 \cdot 20 \cdot \cos \angle A B C \\ +\cos \angle A B C & =\frac{13}{20} +\end{aligned} +$$ + +Além disso, pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{B M}{M A} & =\frac{B C}{A C} \\ +\frac{B M}{B M+M A} & =\frac{B C}{B C+A C} \\ +\frac{B M}{50} & =\frac{20}{60} +\end{aligned} +$$ + +Daí, $B M=50 / 3$. Finalmente, + +$$ +\begin{aligned} +M N & =B M-B N \\ +& =\frac{50}{3}-B C \cdot \cos \angle A B C \\ +& =\frac{50}{3}-20 \cdot \frac{13}{20} \\ +& =\frac{11}{3} +\end{aligned} +$$ + +## 14 Usando os fatores comuns + +Suponha que desejamos encontrar todos os inteiros não negativos $x$ e $y$ que satisfazem a equação + +$$ +7 x+11 y=154 +$$ + +Se usarmos apenas que $7 x \leq 154$ implica $x \leq 22$ e testarmos as possibilidades, faremos 23 testes de casos! Por outro lado, podemos reescrever a equação como + +$$ +11 y=154-7 x=7(22-x) +$$ + +Veja que 11 divide $7(22-x)$, mas não possui fatores em comum com o 7 . Consequentemente 11 é um divisor de $22-x$. Como $22-x \leq 22$, basta testar $x=0, x=11$ ou $x=22$ para encontrarmos as três soluções $(x, y)=(0,14),(11,7)$ ou $(22,0)$ com apenas três testes de casos. + +(a) Encontre todos os pares $(m, n)$ de inteiros não negativos que satisfazem a equação + +$$ +5 m+8 n=120 +$$ + +(b) Sejam $a, b$ e $c$ números inteiros positivos $\operatorname{com} c>1$ tais que + +$$ +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c} +$$ + +Prove que pelo menos um dos números $a+c$ ou $b+c$ é um número composto, ou seja, possui algum divisor maior que 1 e menor do que ele mesmo. + +## 14 Usando os fatores comuns - Solução + +a) Podemos reescrever a equação como + +$$ +\begin{aligned} +8 n & =120-5 m \\ +& =5(24-m) +\end{aligned} +$$ + +Temos que 8 divide o lado direito e não possui fator comum com 5. Consequentemente $24-m$ deve ser um múltiplo de 8 . Sabendo que 24 é um múltiplo de 8 , temos que $m$ é um múltiplo de 8 entre 0 e 24 . Logo, as soluções da equação são $(m, n)=$ $(0,15),(8,10),(16,5)$ ou $(24,0)$. + +b) Se $a$ e $c$ possuírem um fator $d>1$ em comum, então $d$ é um divisor de $a+c$ maior que 1 e menor que $a+c$. Podemos concluir que $a+c$ é composto. Do mesmo modo, se $b$ e $c$ possuírem algum fator em comum, então $b+c$ é um número composto. Suponha, por outro lado, que $c$ não possua fatores em comum nem com $a$ e nem com $b$. Podemos desenvolver a equação dada + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{a}+\frac{1}{b} & =\frac{1}{c} \\ +\frac{a+b}{a b} & =\frac{1}{c} \\ +c(a+b) & =a b +\end{aligned} +$$ + +Isso nos diz que $c$ é um divisor maior que 1 do produto $a b$ que não possui fatores em comum com o produto $a b$. Isso não é possível. Logo, um dos dois casos acima deve acontecer e concluímos que pelo menos um dos números $a+c$ ou $b+c$ é composto. + +## 15 Papel quadriculado + +João possui uma folha de papel quadriculado com 10 quadrados de comprimento e 7 quadrados de largura. Ele escolheu 30 triângulos com vértices nas interseções das linhas desse papel quadriculado. Explique por que obrigatoriamente existem pelo menos dois triângulos escolhidos com vértices em comum. + +## 15 Papel quadriculado - Solução + +O papel quadriculado possui 11 linhas horizontais e 8 linhas verticais. Consequentemente, existem $11 \cdot 8=88$ pontos de interseções entre elas. Se não existirem dois triângulos com vértices em comum, precisaremos de pelo menos $3 \cdot 30=90$ vértices distintos. Como $90>88$, esse absurdo mostra que pelo menos dois triângulos devem compartilhar um vértice. + +## 16 Seis pontos em uma mesma circunferência + +Uma propriedade muito interessante dos triângulos retângulos é o segmento que une o vértice com o ângulo reto ao ponto médio do lado oposto ter comprimento igual à metade do comprimento desse lado oposto. + +(a) A primeira figura a seguir representa um triângulo $A B C$ retângulo no vértice $B$. Na segunda figura, adicionamos o triângulo $A D C$, que é congruente ao triângulo $A B C$, formando assim o retângulo $A B C D$. Além disso, traçamos as diagonais que se encontram no ponto $M$. Da segunda para a terceira figura, apenas apagamos o triângulo $A D C$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-16.jpg?height=360&width=750&top_left_y=1986&top_left_x=528) + +Usando a figura anterior, explique por que $A M=B M=C M$. +(b) Considere a figura a seguir em que $M$ é o ponto médio do segmento $A E$ e os ângulos nos pontos $B, C, D, F$ e $G$ são retos. Explique por que existe uma circunferência que passa pelos pontos $A, B, C, D, E, F$ e $G$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-17.jpg?height=886&width=915&top_left_y=482&top_left_x=650) + +## 16 Seis pontos em uma mesma circunferência - Solução + +(a) Em todo retângulo, as diagonais são iguais e se cortam em seu ponto médio. Portanto, temos $A M=B M=C M=D M$. + +(b) Para cada um dos triângulos retângulos formados com o segmento $A E$, podemos usar a propriedade do item anterior. Isso prova que todos os 7 pontos são equidistantes de $M$, a saber, com distância dada pelo comprimento de $A E$. Traçando a circunferência de centro $M$ e raio $M E$, necessariamente ela passará por todos os pontos dados. + +## 17 Cobrindo tabuleiros com L-triminós e I-triminós + +Queremos cobrir um tabuleiro quadriculado com certas pecinhas sem sobreposição e de modo que nenhuma parte delas fique fora do tabuleiro. Usaremos pecinhas, formadas por quadradinhos, chamadas L-triminós e I-triminós e que podem ser rotacionadas nas posições descritas na figura a seguir. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-18.jpg?height=214&width=1138&top_left_y=632&top_left_x=342) + +Para provar que é possível realizar uma cobertura, basta mostrar uma maneira de posicionar as pecinhas. Por outro lado, para provar que não é possível realizar alguma cobertura, nem sempre é conveniente testar todas as configurações possíveis de peças e muitas vezes precisamos esboçar argumentos engenhosos. Por exemplo, provaremos que não é possível cobrir um tabuleiro $3 \times 3$ usando apenas L-triminós. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-18.jpg?height=261&width=261&top_left_y=1223&top_left_x=779) + +Observe os quadradinhos pintados da figura. São 4 quadradinhos e não é possível cobrir dois deles usando um mesmo L-triminó. Assim, para cobrir os 4 quadradinhos teríamos que usar pelo menos $4 \mathrm{~L}$-triminós, mas isso resultaria em $4 \cdot 3=12$ quadradinhos cobertos, que claramente excede o total de 9 quadradinhos do tabuleiro inteiro. Portanto, não é possível cobrir o tabuleiro $3 \times 3$ com L-triminós. + +a) Mostre uma maneira de cobrir um tabuleiro $3 \times 4$ usando apenas L-triminós. + +b) Prove que não é possível cobrir um tabuleiro $3 \times 5$ usando apenas L-triminós. + +c) É possível cobrir o $3 \times 5$ usando exatamente um I-triminó e alguns L-triminós. Determine as posições que o I-triminó pode ocupar de modo que o resto do tabuleiro possa ser coberto com L-triminós. + +## 17 Cobrindo tabuleiros com L-triminós e I-triminós - Solução + +a) A figura a seguir mostra uma maneira de cobrir o tabuleiro $3 \times 4$ usando apenas Ltriminós. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-19.jpg?height=674&width=560&top_left_y=238&top_left_x=822) + +b) Considere o tabuleiro $3 \times 5$ a seguir e os 6 quadradinhos pintados. + +Como um L-triminó não pode cobrir duas dessas casinhas pintadas, se fosse possível cobrir o tabuleiro inteiro teríamos que usar pelo menos $6 \mathrm{~L}$-triminós. Porém, esses $6 \mathrm{~L}-$ triminós cobririam no total $6 \cdot 3=18$ quadradinhos e isso ultrapassa o total de $3 \cdot 5=15$ quadradinhos que o tabuleiro possui. Portanto, não é possível fazer essa cobertura. + +c) Observe que um I-triminó pode cobrir 0,1 ou 2 dos quadradinhos pintados na figura anterior. Se cobrir 0 ou 1, podemos usar o argumento do item anterior para mostrar que não será possível concluir a cobertura, pois 5 L-triminós já cobrem 15 quadradinhos. Portanto, a única possibilidade é que o I-triminó cubra 2 quadradinhos. De fato, se o I-triminó cobrir dois quadradinhos marcados é sempre possível concluir a cobertura com os L-triminós como indicado na próxima figura: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-19.jpg?height=578&width=870&top_left_y=1688&top_left_x=673) + +São 4 posições horizontais, duas na primeira linha e duas na terceira linha, e 3 verticais, cobrindo primeira, terceira e quinta colunas. No total o I-triminó pode ocupar 7 posições. + +## 18 Contando os divisores de $n^{2}$ maiores que $n$ + +Para determinar a quantidade de divisores positivos de um número, basta fatorá-lo como potências de primos distintos e multiplicar os sucessores dos expoentes. Por exemplo, $2016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$ possui $(5+1)(2+1)(1+1)=36$ divisores positivos. Considere o número $n=2^{7} \cdot 3^{4}$. + +a) Determine o número de divisores positivos de $n^{2}$. + +b) Quantos divisores de $n^{2}$ são maiores que $n$ ? + +c) Quantos divisores de $n^{2}$ são maiores que $n$ e não são múltiplos de $n$ ? + +## 18 Contando os divisores de $n^{2}$ maiores que $n$-Solução + +a) A partir da fatoração de $n$, podemos determinar a fatoração de $n^{2}$ : + +$$ +\begin{aligned} +n^{2} & =\left(2^{7} \cdot 3^{4}\right)^{2} \\ +& =2^{14} \cdot 3^{8} +\end{aligned} +$$ + +Então o número $n^{2}$ possui $(14+1)(8+1)=15 \cdot 9=135$ divisores positivos. + +b) Note que todos os divisores positivos de $n^{2}$ podem ser organizados em pares de números distintos da forma $\left(d, \frac{n^{2}}{d}\right)$ cujo produto é $n^{2}$, com exceção de $n$. Além disso, como os números em cada par são distintos e o produto é $n^{2}$, um deles é maior que $n$ e o outro é menor que $n$. Por exemplo, se considerarmos $n=6$, os divisores de $n^{2}=36$ diferentes de 6 podem ser organizados nos seguintes pares: $\{1,36\},\{2,18\},\{3,12\}$ e $\{4,9\}$. Dessa forma, podemos concluir que o número de divisores de $n^{2}$ maiores que $n$ é igual ao número de pares que podemos formar. Portanto, são $\frac{135-1}{2}=67$ divisores de $n^{2}$ maiores que $n$. + +c) Vamos continuar o raciocínio do item anterior. Veja que em cada par temos $x \cdot y=$ $n^{2}$, em que $x90^{\circ}$ e $A B C$ é acutângulo. + +## 27 Quantidade de divisores + +Quantos divisores de $88^{10}$ deixam resto 4 quando divididos por 6? + +## 27 Quantidade de divisores - Solução + +Como $88=2^{3} \cdot 11$, temos $88^{10}=\left(2^{3} \cdot 11\right)^{10}=2^{30} \cdot 11^{10}$. Se um inteiro $x$ deixa resto 4 por 6 , então $x+2$ é múltiplo de 6 . Consequentemente $x$ é par e deixa resto 1 na divisão por 3. Perceba agora que todos os divisores primos de $88^{10}$ deixam resto 2 na divisão por $3 \mathrm{e}$ que o produto de qualquer quantidade par deles deixa resto 1 por 3 enquanto o produto de qualquer quantidade ímpar deixa resto 2 por 3 . Portanto, os divisores que queremos contar são aqueles que possuem pelo menos um fator 2 , mas uma quantidade par de fatores primos. Assim, eles podem ser escritos na forma $2^{m} \cdot 11^{n}$ com $m \geq 1$ e $m+n$ par. Vamos dividir a contagem deles em duas partes: + +1. Quando $m$ é par, podemos escolhê-lo de 15 maneiras, pois ele deve pertencer ao conjunto $\{2,4, \ldots, 30\}$. Uma vez que ele tenha sido escolhido, temos 6 opções de escolha de outro número par para $n$, a saber, os elementos de $\{0,2,4,6,8,10\}$. +2. Quando $m$ é ímpar, podemos escolhê-lo também de 15 maneiras, pois ele deve pertencer ao conjunto $\{1,3,5, \ldots, 29\}$. Uma vez que ele tenha sido escolhido, temos 5 opções de escolhas, a saber, os elementos de $\{1,3,5,7,9\}$. + +Portanto, a quantidade de divisores é $15 \cdot 6+15 \cdot 5=165$. + +## 28 Quadrado Latino + +Um Quadrado Latino é um tabuleiro $n \times n$ preenchido com $n$ símbolos distintos de modo que em cada linha e em cada coluna não existam símbolos repetidos. Por exemplo, a figura abaixo mostra um exemplo de um Quadrado Latino de dimensões $3 \times 3$. O nome foi inspirado em trabalhos do matemático Leonhard Euler, que usou caracteres latinos como símbolos. + +| 1 | 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 1 | 2 | +| 2 | 3 | 1 | + +Sabemos que existem 576 Quadrados Latinos distintos de dimensões $4 \times 4$. De quantos modos podemos completar o quadrado abaixo, que já possui duas casas preenchidas, com os algarismos 1,2,3 e 4 de modo que em cada linha e coluna figurem os quatro algarismos? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-34.jpg?height=214&width=251&top_left_y=1114&top_left_x=781) + +## 28 Quadrado Latino - Solução + +Observe que dado um Quadrado Latino, quando trocamos todas as casas de um símbolo pelas casas de outro, ainda obtemos outro Quadrado Latino. No exemplo dado no enunciado, ao trocarmos as casas de número 1 e 2 de posição, obtemos: + +| 2 | 1 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 2 | 1 | +| 1 | 3 | 2 | + +Isso nos permite construir uma correspondência biunívoca entre todos os Quadrados Latinos que possuem no canto superior esquerdo um símbolo em $\{1,2,3,4\}$ e todos os outros Quadrados Latinos com outro símbolo no mesmo conjunto. Daí, em 1/4 do total de Quadrados Latinos $4 \times 4$ deve possuir o algarismo 1 na casa do canto superior esquerdo. Dentre esses quadrados, qualquer permutação entre os símbolos de $\{2,3,4\}$ ainda irá gerar um quadrado onde a casa do canto superior esquerdo tem o símbolo 1. + +| 1 | $X$ | $Y$ | $Z$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | | | | +| | | | | +| | | | | + +Portanto, em um terço dessas configurações o algarismo 2 se encontra na posição $X$, em outro terço na posição $Y$ e no último terço na posição $Z$ dos quadrados da primeira linha da figura anterior. Logo, o total de Quadrados Latinos procurados é + +$$ +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 576=48 +$$ + +## 29 Existe um número que divide todos os elementos do conjunto + +Seja $A$ um conjunto infinito de inteiros positivos. Sabe-se que se tomarmos qualquer subconjunto finito $B$ do conjunto $A$ existe um inteiro positivo $b$ maior que 1 tal que $b$ divide todos os elementos do conjunto $B$. Prove que existe um inteiro positivo $d$ maior que 1 que divide todos os elementos do conjunto $A$. + +## 29 Existe um número que divide todos os elementos do conjunto - Solução + +Considere um elemento $a$ do conjunto $A$ e sejam $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k-1}$, $p_{k}$ os divisores primos de $a$. Se algum primo $p_{i}$ divide todos os elementos do conjunto $A$, então $d=p_{i}$ satisfaz o enunciado. Vamos provar que isso obrigatoriamente acontece. Suponha, por absurdo, que para cada primo $p_{i}$ podemos encontrar um elemento $a_{i}$ do conjunto $A$ que não é divisível por $p_{i}$. Veja que não necessariamente todos os elementos $a_{i}$ são distintos. Considere agora o conjunto $B$ formado por $a$ e pelos inteiros $a_{i}$, para todo $i \in\{1,2, \ldots, k\}$. Pela condição do enunciado, existe $b>1$ que divide todos os elementos de $B$. Como $b$ divide $a$, então ele possui algum dos fatores primos de $a$ em sua fatoração, digamos $p_{x}$. Dado que $a_{x} \in B$, então $b$ divide $a_{x}$ e, consequentemente, $p_{x}$ deve ser um divisor de $a_{x}$. Esse absurdo mostra que a afirmação inicial feita sobre os primos $p_{i}$ é falsa. Logo, pelo menos um deles deve dividir todos os elementos do conjunto $A$. + +## 30 Um quadrilátero cíclico com diagonais perpendiculares + +Um quadrilátero é dito cíclico quando seus quatro vértices estão sobre uma mesma circunferência. Considere um quadrilátero $A B C D$ cíclico com diagonais $A C$ e $B D$ perpendiculares. Além disso, sejam $O$ o centro da circunferência que passa pelos vértices do quadrilátero e $P$ o ponto de encontro das diagonais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-36.jpg?height=743&width=729&top_left_y=638&top_left_x=545) + +a) A partir do ponto $P$ traçamos uma reta $r$ perpendicular a $B C$. A reta $r$ corta $B C$ em $X$ e $A D$ em $M$. Verifique que $M$ é o ponto médio do lado $A D$. + +b) A partir do ponto $P$ trace a reta $s$ perpendicular a $A D$ cortando $A D$ no ponto $Y$ e $B C$ no ponto $N$. Verifique que o quadrilátero $O M P N$ é um paralelogramo. + +## 30 Um quadrilátero cíclico com diagonais perpendiculares - Solução + +a) Seja $\angle B C A=\theta$. Veja que $\angle B C A=\angle B D A=\theta$, pois eles estão inscritos no mesmo arco $A B$. Considerando a soma dos ângulos do triângulo $C X P$, temos $\angle C P X=90^{\circ}-\theta$ e, consequentemente, $\angle B P X=\angle B P C-\angle C P X=\theta$. Vale que $\angle A P M=\angle X P C=90^{\circ}-\theta$, pois eles são ângulos opostos pelo vértice $P$, e $\angle M P D=\angle B P X=\theta$ pelo mesmo motivo. Analisando agora a soma dos ângulos internos do triângulo $P A D$, temos $\angle P A D+$ $\angle A P D+\angle P D A=180^{\circ}$. Assim, como $\angle A P D=90^{\circ}$, temos $\angle P A D=90^{\circ}-\theta$. Daí, $\angle M A P=\angle A P M$ e $\angle M P D=\angle M D P$, ou seja, $A P M$ e $M D P$ são triângulos isósceles com $M A=M P=M D$. Concluímos então que $M$ é o ponto médio de $A D$. +b) De modo semelhante ao item anterior, podemos concluir que $N$ é o ponto médio de $B C$. Como $O$ é equidistante dos extremos dos vértices $A, D, B$ e $C, O M$ e $O N$ são mediatrizes de $A D$ e $B C$, respectivamente. Decorre do item anterior que $O M \| P N$ e $O N \| P M$. Concluímos assim que $O M P N$ é um paralelogramo, pois seus lados opostos são paralelos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_4a19aea8e08094ae376fg-37.jpg?height=759&width=745&top_left_y=530&top_left_x=735) + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2017_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2017_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e718ab094e58bfb51c3a04bf2e8c50160fe7adde --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2017_N3.md @@ -0,0 +1,1286 @@ +# ENUNCIADOS E SOLUÇÕES DO NÍVEL 3 + +## 1 Números Naturais escritos no tabuleiro + +Considere o seguinte tabuleiro quadriculado onde todos os números naturais foram escritos em diagonal. + +| $\ddots$ | | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 10 | $\ddots$ | | | | | +| 6 | 9 | $\ddots$ | | | | +| 3 | 5 | 8 | 12 | $\ddots$ | | +| 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | $\ddots$ | + +Cada quadradinho possui uma posição denotada por $(x, y)$, em que $x$ representa a coluna, contada da esquerda para a direita, e $y$ representa a linha, contada debaixo para cima. Por exemplo, 12 é o número escrito no quadradinho de posição $(4,2)$ : + +a) Determine o número que está no quadradinho de posição $(4,4)$. + +b) Determine o número que está no quadradinho de posição $(1,2016)$. + +c) Determine o número que está no quadradinho de posição $(2013,2017)$. + +## 1 Números Naturais escritos no tabuleiro-Solução + +a) Podemos preencher mais casas do tabuleiro exibido para encontrar a casa $(4,4)$ : + +| 21 | 27 | | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 15 | 20 | 26 | | | | | +| 10 | 14 | 19 | 25 | | | | +| 6 | 9 | 13 | 18 | 24 | | | +| 3 | 5 | 8 | 12 | 17 | 23 | | +| 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | 16 | 22 | + +Portanto, o número no quadradinho $(4,4)$ é o 25. + +b) O número da casa $(1, n)$ está em uma diagonal contendo as casas $(x, y)$ tais que $x+y=$ $n+1$. Ou seja, na diagonal que o contém, existem $n$ números, a saber, os números das casas $(1, n),(2, n-1),(3, n-2), \ldots,(n, 1)$. Repetindo essa contagem para os números das casas $(1, n-1),(1, n-2), \ldots,(1,1)$, podemos constatar que já foram escritos $1+2+$ $\ldots+(n-1)$ números nas outras diagonais. Portanto, o número escrito na casa $(1, n)$ corresponde ao inteiro + +$$ +1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} +$$ + +Assim, o número na casa $(1,2016)$ é $\frac{2016 \cdot 2017}{2}$. + +c) Como o quadradinho $(m, n)$ está na diagonal contendo os quadradinhos $(x, y)$ com $x+y=m+n$, inicialmente iremos descobrir o número escrito em $(m+n-1,1)$. Pelo item anterior, o quadradinho $(1, m+n-2)$ possui o número $\frac{(m+n-2)(m+n-1)}{2}$. Portanto, o número escrito no quadradinho $(m+n-1,1)$ é $\frac{(m+n-2)(m+n-1)}{2}+1$. Além disso, o quadradinho $(m, n)$ é o ( $n-1)$-ésimo sucessor do número escrito no quadradinho $(m+n-1,1)$, ou seja, o número + +$$ +\begin{aligned} +\frac{(m+n-2)(m+n-1)}{2}+1+(n-1) & = \\ +\frac{m^{2}+m n-m+m n+n^{2}-n-2 m-2 n+2+2+2 n-2}{2} & = \\ +\frac{n(n+1)+m(m-1)+2(m-1)(n-1)}{2} & = \\ +\frac{n(n+1)}{2}+\frac{m(m-1)}{2}+(m-1)(n-1) & +\end{aligned} +$$ + +Logo, o número escrito no quadradinho $(2013,2017)$ é + +$$ +\frac{2013 \cdot 2012}{2}+\frac{2017 \cdot 2018}{2}+2012 \cdot 2016 +$$ + +## 2 Pintura de inteiros + +Os números inteiros do conjunto $\{1,2, \ldots, 20\}$ serão pintados com duas cores, branco e preto, de modo que ambas as cores sejam usadas. Além disso, o produto dos números de uma cor não deve possuir fatores primos em comum com o produto dos números da outra cor. De quantos modos isso pode ser feito? + +## 2 Pintura de inteiros - Solução + +Independente das cores escolhidas para os outros números, temos duas opções de escolha para a cor do número 1 . Temos também duas opções para a cor do número $2 \mathrm{e}$, uma vez que ela tenha sido escolhida, todos os números do conjunto $\{4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$ devem possuir a mesma cor do número 2 . Como existem números desse conjunto que compartilham fatores primos em comum com os números do conjunto $\{3,7,9,15\}$, estes 4 números ímpares também devem possuir a cor do número 2 . Resta escolhermos a cor dos números do conjunto $\{11,13,17,19\}$ e cada uma delas pode ser feita de modo independente, pois não existe outro número no conjunto inicial com esses mesmos fatores primos. Assim, o total de pinturas é $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{6}$. + +## 3 O conteúdo multiplicativo + +O conteúdo multiplicativo de um conjunto é o produto de seus elementos. Caso o conjunto possua um único elemento, seu conteúdo multiplicativo é este único elemento e, caso o conjunto seja vazio, seu conteúdo multiplicativo é 1 . Por exemplo, o conteúdo multiplicativo de $\{1,2,3\}$ é $1 \cdot 2 \cdot 3=6$. + +a) Determine a soma dos conteúdos multiplicativos de todos os subconjuntos de $\{1,2,3,4\}$. + +b) Determine a soma dos conteúdos multiplicativos de todos os subconjuntos de + +$$ +\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{2016}\right\} +$$ + +## 3 O conteúdo multiplicativo - Solução + +a) Observe que no produto $(1+a)(1+b)$, ao aplicarmos a propriedade distributiva da multiplicação dos números reais, aparecerão os produtos $1 \cdot 1,1 \cdot b, a \cdot 1$ e $a \cdot b$. Esses produtos coincidem com os conteúdos multiplicativos dos conjuntos $\varnothing,\{b\},\{a\}$ e $\{a, b\}$, respectivamente. Esses são exatamente os subconjuntos de $\{a, b\}$. Na multiplicação $(1+a)(1+b)(1+c)$, novamente ao usarmos a propriedade distributiva da multiplicação, aparecerão $2^{3}=8$ termos. Cada um desses termos está associado a elementos dentro +de cada parênteses que deverão ser escolhidos para figurar na parcela correspondente. Por exemplo, o termo $1 \cdot b \cdot c=b \cdot c$ corresponde a não escolhermos o $a$ no primeiro parênteses e, em seguida, escolhermos tanto $b$ quanto $c$ nos próximos dois parênteses. Os subconjuntos de $\{a, b, c\}$ estão associados a todas essas 8 parcelas, até mesmo o conjunto vazio, que tem como conteúdo multiplicativo o número 1 e é representado na soma pela parcela $1 \cdot 1 \cdot 1$. O mesmo se passa com qualquer quantidade de termos e assim a soma de todos os conjuntos multiplicativos do conjunto $\{1,2,3,4\}$ é o resultado $(1+1)(1+2)(1+3)(1+4)=120$. + +b) O argumento utilizado no item anterior também se aplica aqui e, consequentemente, o conteúdo multiplicativo procurado é + +$$ +\begin{aligned} +\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{2016}\right) & = \\ +\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{\not}{2}\right)\left(\frac{4}{\not 2}\right) \ldots\left(\frac{2017}{2016}\right) & =2017 +\end{aligned} +$$ + +## 4 Esse número possui quantos fatores 2 ? + +Neste problema, iremos estudar quantos fatores 2 aparecem na fatoração de números da forma $5^{2^{n}}-1$. + +(a) Sejam $x$ e $y$ dois números inteiros ímpares. Prove que $x^{2}+y^{2}$ possui exatamente um fator 2 em sua fatoração em primos. + +(b) Usando a fatoração $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, determine quantos fatores 2 o número $5^{4}-1$ possui. + +(c) O número $N=5^{2^{2017}}-1$ possui quantos fatores 2 ? + +(d) Sabendo que o número $5^{20}$ possui 14 algarismos. Prove que $5^{2^{18}+20}$ possui 6 zeros consecutivos em sua representação decimal. + +## 4 Esse número possui quantos fatores 2? - Solução + +(a) Como $x$ e $y$ são ímpares, então existem inteiros $x_{0}$ e $y_{0}$ tais que $x=2 x_{0}+1$ e $y=2 y_{0}+1$. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +x^{2}+y^{2} & =\left(2 x_{0}+1\right)^{2}+\left(2 y_{0}+1\right)^{2} \\ +& =4 x_{0}^{2}+4 x_{0}+1+4 y_{0}^{2}+4 y_{0}+1 \\ +& =4 x_{0}^{2}+4 x_{0}+4 y_{0}^{2}+4 y_{0}+2 \\ +& =2\left(2 x_{0}^{2}+2 x_{0}+2 y_{0}^{2}+2 y_{0}+1\right) \\ +& =2\left(2\left(x_{0}^{2}+x_{0}+y_{0}^{2}+y_{0}\right)+1\right) +\end{aligned} +$$ + +O número $x^{2}+y^{2}$ é o produto de 2 por um número ímpar e, portanto, possui apenas um fator 2 . + +(b) Como $5^{4}=\left(5^{2}\right)^{2}$, podemos usar a fatoração da diferença de quadrados duas vezes: + +$$ +\begin{aligned} +5^{4}-1 & =\left(5^{2}\right)^{2}-1^{2} \\ +& =\left(5^{2}+1\right)\left(5^{2}-1\right) \\ +& =\left(5^{2}+1^{2}\right)\left(5^{2}-1^{2}\right) \\ +& =\left(5^{2}+1^{2}\right)(5-1)(5+1) +\end{aligned} +$$ + +Agora basta contar os fatores $2 \mathrm{em}$ cada parcela. Pelo item anterior, $5^{2}+1^{2}$ possui um fator 2. Além disso, $5-1=4$ possui dois fatores 2 e $5+1$ possui apenas um fator 2 . Logo, $5^{4}-1$ possui $1+2+1=4$ fatores 2 . + +(c) Com o expoente é $2^{2017}$ poderemos usar a fatoração da diferença de quadrados 2017 vezes: + +$$ +\begin{aligned} +5^{2^{2017}}-1 & =\left(5^{2^{2016}}\right)^{2}-1^{2} \\ +& =\left(5^{2^{2016}}+1\right)\left(5^{2016}-1\right) \\ +& =\left(5^{2^{2016}}+1\right)\left(5^{2^{2015}}+1\right)\left(5^{2^{2015}}-1\right) \\ +& =\ldots \\ +& =\left(5^{2^{2016}}+1\right)\left(5^{2^{2015}}+1\right) \ldots\left(5^{2}+1\right)(5+1)(5-1) +\end{aligned} +$$ + +Temos 2016 números da forma $x^{2}+y^{2}$, com $x$ e $y$ ímpares, e cada um contribui com apenas um fator 2. Além disso, $5+1=6$ tem apenas um fator 2 e $5-1=4$ tem dois fatores 2. Podemos concluir que o número $N=5^{2^{2017}}-1$ possui exatamente $2016 \cdot 1+$ $1+2=2019$ fatores 2 em sua fatoração. + +Observação: Repetindo o argumento anterior, é possível mostrar que $5^{2^{n}}-1$ possui exatamente $n+2$ fatores primos 2 . + +(d) Pelo argumento do item anterior, existe um inteiro $k$ tal que $5^{2^{18}}-1=2^{20} k$. Consequentemente, $5^{2^{18}+20}=10^{20} k+5^{20}$. Como $10^{20}$ termina em 20 zeros e $5^{20}$ possui apenas 14 dígitos, segue que existem pelo menos $20-14=6$ dígitos iguais a zero consecutivos dentre os últimos dígitos da representação decimal de $5^{2^{18}+20}$. + +## 5 Diferenças que não são números primos + +Qual a maior quantidade de inteiros que podemos escolher no conjunto $\{1,2,3, \ldots, 2017\}$ de modo que a diferença entre quaisquer dois deles não seja um número primo? + +## 5 Diferenças que não são números primos - Solução + +A maior quantidade é $\frac{2017-1}{4}+1=505$, que pode ser obtida escolhendo-se os elementos que deixam resto 1 na divisão por 4: $\{1,5,9, \ldots, 2017\}$. A diferença entre quaisquer dois deles é sempre um múltiplo de 4 e consequentemente não é um número primo. Mostraremos agora que não é possível escolhermos mais que essa quantidade. + +Considere os 8 inteiros positivos consecutivos $\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7\}$. Queremos estudar quantos inteiros podem ser escolhidos desse conjunto de modo que a diferença entre quaisquer dois deles seja um número primo. + +i) Se o inteiro $n$ for escolhido, não poderemos escolher $n+2, n+3, n+5$ e $n+7$, pois a diferença entre eles e $n$ é um número primo. Além disso, $n+1$ e $n+6$ não podem ser simultaneamente escolhidos, pois diferem por 5. Desse modo, caso escolhamos $n$, poderemos escolher apenas dois inteiros do conjunto. + +ii) Suponha então que $n$ não é escolhido. Se escolhermos $n+1$, não poderemos escolher $n+3, n+4, n+6$. Além disso, do conjunto restante $\{n+2, n+5, n+7\}$ apenas um deles poderá ser escolhido. Novamente só poderemos escolher dois inteiros do conjunto. + +iii) Suponha agora que $n$ e $n+1$ não são escolhidos. Se escolhermos $n+2$, não poderemos escolher $n+4, n+5$ e $n+7$. Além disso, do cojunto restante $\{n+3, n+6\}$ apenas um deles pode ser escolhido. Novamente o número máximo é dois. + +iv) Se $n, n+1$ e $n+2$ não são escolhidos, mas $n+3$ é, não poderemos escolher $n+5 \mathrm{e}$ $n+6$. Do conjunto $\{n+4, n+7\}$ apenas um deles pode ser escolhido. O máximo de inteiros que podem ser escolhidos também é dois neste caso. + +v) Considerando os pares $(n+4, n+6)$ e $(n+5, n+7)$, apenas um inteiro de cada par pode ser escolhido. Portanto, se os quatro primeiros da lista não são escolhidos, só poderemos escolher no máximo dois. + +Dividindo os números de 1 até 2016 em 2016/8 = 252 grupos de 8 inteiros consecutivos, podemos concluir que em cada um deles poderemos escolher no máximo 2 inteiros. Assim, contando com o 2017, teremos no máximo $2 \cdot 252+1=505$ inteiros que podem ser escolhidos satisfazendo as condições do enunciado. + +## 6 Cosseno e seno da soma e da diferença + +Neste problema, deduziremos fórmulas para o cálculo do cosseno e do seno da soma e da diferença de ângulos cuja soma é menor que $90^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-07.jpg?height=494&width=896&top_left_y=530&top_left_x=652) + +Na figura anterior, o segmento $X Z$ mede 1. Lembrando que o seno de um ângulo em um triângulo retângulo é o quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa e que o cosseno é o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa, podemos escrever: $\cos B=Z T / 1$, $\operatorname{sen} B=T X / 1, \cos A=Z L / Z T$, sen $A=K X / T X$ e $\cos (A+B)=Y Z / 1$. Como $Y Z=L Z-$ $L Y$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +Y Z & =L Z-L Y \\ +\cos (A+B) & =\cos A \cdot Z T-X K \\ +& =\cos A \cdot \cos B-\operatorname{sen} A \cdot T X \\ +& =\cos A \cdot \cos B-\operatorname{sen} A \cdot \operatorname{sen} B +\end{aligned} +$$ + +a) Use a figura anterior para determinar a fórmula de $\operatorname{sen}(A+B)$ em função de sen $A$, $\operatorname{sen} B, \cos A$ e $\cos B$. + +b) Considere o desenho a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-07.jpg?height=486&width=516&top_left_y=1856&top_left_x=847) + +A partir das ideias apresentadas no enunciado, encontre as expressões de $\cos (A-B) \mathrm{e}$ $\operatorname{sen}(A-B)$ usando as funções trigonométricas de $A$ e $B$. + +## 6 Cosseno e seno da soma e da diferença - Solução + +a) Temos + +$$ +\operatorname{sen}(A+B)=\frac{X Y}{1}=K T+T L=\cos A \cdot \operatorname{sen} B+\operatorname{sen} A \cdot \cos B +$$ + +b) Usando as funções trigonométricas nos triângulos retângulos dados, temos as seguintes medidas: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-08.jpg?height=700&width=1089&top_left_y=813&top_left_x=370) + +Então temos + +$$ +\begin{aligned} +\cos (A-B) & =\frac{Y Z}{1} \\ +& =K T+T L \\ +& =\operatorname{sen} A \cdot \operatorname{sen} B+\cos A \cdot \cos B +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{sen}(A-B) & =\frac{X Y}{1} \\ +& =L Z-X K \\ +& =\operatorname{sen} A \cdot \cos B-\cos A \cdot \operatorname{sen} B +\end{aligned} +$$ + +## 7 Desigualdade triangular + +Os pontos $X, Y$ e $Z$ estão marcados nos lados $A D, A B$ e $B C$ do retângulo $A B C D$, respectivamente. Dado que $A X=C Z$, mostre que $X Y+Y Z \geq A C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-09.jpg?height=465&width=764&top_left_y=555&top_left_x=718) + +7 Desigualdade triangular-Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-09.jpg?height=444&width=788&top_left_y=1330&top_left_x=711) + +Construa o ponto $E$ sobre a reta $A D$ de modo que $A E=A X$, como indicado na figura acima. Como $A Y$ é altura e mediana do triângulo $E Y X$, podemos concluir que $Y E=Y X$. Além disso, como $A E=A X=C Z$ e $A E \| C Z$, segue que $E Z C A$ é um paralelogramo e, consequentemente, $E Z=A C$. Pela Desigualdade triangular, temos + +$$ +\begin{aligned} +X Y+Y Z & =E Y+Y Z \\ +& \geq E Z \\ +& =A C +\end{aligned} +$$ + +Veja que a igualdade ocorre apenas quando $E, Y$ e $Z$ são colineares. + +## 8 Um quadrilátero não convexo + +Os ângulos internos de um quadrilátero não convexo formado por uma linha poligonal que não se auto-intersecta são $45^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ}$ e $225^{\circ}$. Mostre que os pontos médios de seus lados formam um quadrado. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-10.jpg?height=690&width=849&top_left_y=554&top_left_x=485) + +## 8 Um quadrilátero não convexo-Solução + +Sejam $A B C D$ o quadrilátero não convexo, com $\angle A D C=225^{\circ}$ e $E, F, G$ e $H$ os pontos médios dos lados $A B, A D, C D$ e $B C$, respectivamente. Além disso, sejam $X$ e $Y$ os pontos de interseção de $C D$ e $B D$ com $A B$ e $A C$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-10.jpg?height=685&width=849&top_left_y=1651&top_left_x=485) + +Como $\angle A B C=\angle B C D=45^{\circ}$, segue que $\angle B X C=90^{\circ}$. Decorre daí, dado que $\angle B A D=45^{\circ}$, que $\angle A D X=45^{\circ}$. Assim, $A D X$ e $B C X$ são triângulos retângulos isósceles com $A X=D X$ e +$B X=C X$. Pelo caso de congruência $L A L$, como $\angle B X D=\angle A X C$, podemos concluir que os triângulos $B D X$ e $A C X$ são congruentes. Isso nos produz $B D=A C$ e $\angle A B D=\angle A C D$. Como + +$$ +\begin{aligned} +& \angle A B D+\angle B A C= \\ +& \angle A C D+\angle B A C=90^{\circ}, +\end{aligned} +$$ + +podemos concluir que $\angle B Y A=90^{\circ}$. Veja que $E F$ e $G H$ são bases médias dos triângulos $A B D$ e $B C D$, respectivamente. Daí, $E F=H G=B D / 2$ e $E F\|H G\| B D$. De modo semelhante, $E H=F G=A C / 2$ e $E H\|F G\| A C$. Isso nos permite concluir que todos os lados do quadrilátero $E F G H$ são iguais e, como $B D$ é perpendicular a $A C$, os lados consecutivos são perpendiculares. Logo, $E F G H$ é um quadrado. + +## 9 Números de 5 dígitos + +Considere a coleção de todos os números de 5 dígitos cuja soma dos dígitos é 43 . Um desses números é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele ser múltiplo de 11? + +## 9 Números de 5 dígitos - Solução + +A soma máxima dos dígitos de um número de cinco dígitos é 45 , que corresponde à soma dos dígitos de 99999. Para que um número possua soma de seus dígitos 43 podem ocorrer dois casos: ou ele terá três dígitos iguais a 9 e dois iguais a 8 ou ele terá quatro dígitos iguais a 9 e um igual a 7. No primeiro caso, podemos escolher a posição do primeiro dígito 8 de 5 maneiras e a posição do segundo de 4 maneiras. Entrentanto, como os dois dígitos são indistinguíveis, cada configuração foi contada duas vezes. Os dígitos 9 devem ser colocados nas posições restantes e isso nos dá $\frac{5 \cdot 4}{2}=10$ números. No segundo caso, podemos escolher a posição do dígito 7 de 5 maneiras. Consequentemente, existem $10+5=15$ números de 5 dígitos de modo que a soma de seus dígitos é 43. Precisamos agora recordar o critério de divisibilidade por 11: + +Um número de $n$ dígitos $\overline{a_{n} a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_{1}}$ é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada $a_{n}-a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-3}+\ldots+(-1)^{n} a_{1}$ é divisível por 11 . + +Pelo critério anterior, o número de 5 dígitos $\overline{a_{5} a_{4} a_{3} a_{2} a_{1}}$ é divisível por 11 , se 11 divide $a_{5}-a_{4}-a_{3}+a_{2}-a_{1}=\left(a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}\right)-2\left(a_{3}+a_{1}\right)$. Supondo que a soma dos seus dígitos é 43 e sabendo que $43=11 \cdot 3+10$, segue que 11 deve dividir $11 \cdot 3+2\left(5-a_{3}-a_{1}\right)$. Portanto, $a_{3}+a_{1}$ deixa resto 5 na divisão por 11 e as únicas possibilidades são $\left(a_{3}, a_{1}\right)=$ $(7,9),(9,7)$ ou $(8,8)$. Logo, dos 15 números da coleção, apenas 3 deles são múltiplos de 11 e, consequentemente, a probabilidade procurada é $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$. + +## 10 A competição matemática + +Um grupo de 10 estudantes participa de uma competição de matemática formada por equipes de 4 estudantes. Sabemos que quaisquer duas das equipes possuem exatamente um estudante em comum. + +a) Qual o número máximo de equipes de que um estudante pode participar? Forneça um exemplo de distribuição de 10 alunos onde este número máximo possa ser verificado. + +b) A competição pode possuir 8 equipes? + +## 10 A competição matemática - Solução + +a) Considere um estudante $A$ que participa do maior número de equipes e digamos que ele esteja em uma equipe com os três estudantes $B, C$ e $D$. Qualquer outra equipe que também tenha $A$ como um de seus membros, deverá conter outros três estudantes que não estão no conjunto $\{B, C, D\}$. Como existem apenas $10-1=9$ estudantes diferentes de $A$, o número máximo de equipes que podem conter $A$ é $9 / 3=3$. Um exemplo de distribuição de 10 estudantes, representados pelas letras do conjunto $\{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\}$ é + +| A | B | C | D | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| A | E | F | G | +| A | H | I | J. | + +Cada linha indica uma equipe e todas elas possuem apenas o estudante $A$ em comum. + +b) Suponhamos, por absurdo, que possam existir 8 equipes. Como cada uma delas possui 4 estudantes, teremos ao todo pelo menos $8 \cdot 4=32$ participações de alunos, contadas com repetições. Dado que existem apenas 10 estudantes e $32 / 10>3$, pelo menos um estudante deverá participar de 4 equipes. Isso contradiz o item anterior e esse absurdo mostra que não podemos ter 8 equipes. + +## 11 Interseções dos lados do quadrilátero + +Um quadrilátero convexo $A B C D$ é dado. Sejam $E$ a interseção de $A B$ e $C D, F$ a interseção de $A D$ e $B C$ e $G$ a interseção de $A C$ e $E F$. Prove que $B D$ e $E F$ são paralelos se, e somente se, $G$ é o ponto médio de $E F$. + +## 11 Interseç̃̃es dos lados do quadrilátero - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-13.jpg?height=404&width=709&top_left_y=755&top_left_x=756) + +Vamos denotar a área do triângulo $X Y Z$ por $[X Y Z]$. Podemos usar razões de áreas de triângulos para calcular razões de segmentos. No desenho anterior, temos $[A C E]=\frac{A E \cdot C D}{2}$ $\mathrm{e}[C E B]=\frac{E B \cdot C D}{2}$. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{[A C E]}{[C E B]} & =\frac{A E \cdot C D}{2} \cdot \frac{2}{E B \cdot C D} \\ +& =\frac{A E}{E B} +\end{aligned} +$$ + +Após essa observação, considere a figura do problema. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-13.jpg?height=466&width=706&top_left_y=1800&top_left_x=752) + +Temos que + +$$ +\frac{B C}{B F}=\frac{[B C E]}{[B E F]}=\frac{[A B C]}{[A B F]}=\frac{[B C E]-[A B C]}{[B E F]-[A B F]}=\frac{[A C E]}{[A E F]} +$$ + +Analogamente, podemos encontrar $\frac{C D}{D E}=\frac{[A C F]}{[A E F]}$ e $\frac{F G}{E G}=\frac{[A C F]}{[A C E]}$. Logo, pelo Teorema de Tales, $B D \| E F$ se, e somente se, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{B C}{B F} & =\frac{C D}{D E} \\ +\frac{[A C E]}{[A E F]} & =\frac{[A C F]}{[A E F]} +\end{aligned} +$$ + +A última igualdade é equivalente a $[A C E]=[A C F]$. Entretanto, $[A C E]=[A C F]$ é equivalente a $\frac{F G}{E G}=1$. Portanto, $B D \| E F$ se, e somente se, $G$ é o ponto médio de $E F$. + +Observação: Decorre diretamente do método anterior uma das implicações do Teorema de Ceva: Como as cevianas $C G, D F$ e $B E$ do triângulo $C E F$ concorrem no ponto $A$, então + +$$ +\begin{aligned} +\frac{B C}{B F} \cdot \frac{F G}{E G} \cdot \frac{D E}{C D} & =\frac{[A C E]}{[A E F]} \cdot \frac{[A C F]}{[A C E]} \cdot \frac{[A E F]}{[A C F]} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +## 12 Um triângulo externo + +Seja $A B C D$ um quadrilátero com $A D=B C$ e $\angle D A B+\angle A B C=120^{\circ}$. Um triângulo equilátero $D E C$ é construído no exterior do quadrilátero. Prove que o triângulo $A E B$ também é equilátero. + +## 12 Um triângulo externo-Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-15.jpg?height=632&width=729&top_left_y=419&top_left_x=738) + +Sejam $\angle A D C=x$ e $\angle D C B=y$. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360^{\circ}$, temos + +$$ +\begin{aligned} +\angle A D C+\angle D C B+\angle C B A+\angle B A D & =360^{\circ} \\ +x+y & =360^{\circ}-120^{\circ} \\ +& =240^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Analisando agora os triângulos $A D E$ e $C B E$, temos $\angle E C B=60^{\circ}+y$ e + +$$ +\begin{aligned} +\angle A D E & =360^{\circ}-60^{\circ}-x \\ +& =60^{\circ}+y +\end{aligned} +$$ + +Como $A D=C B$ e $D E=C E$, segue pelo caso de congruência $L A L$, que os triângulos $A D E$ e $C B E$ são congruentes. Daí, $A E=E B$ e + +$$ +\begin{aligned} +\angle A E B & =\angle A E D+\angle D E B \\ +& =\angle B E C+\angle D E B \\ +& =60^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Assim, $A E B$ é um triângulo isósceles com ângulo do vértice igual a $60^{\circ} \mathrm{e}$, consequentemente, é equilátero. + +## 13 O incentro e segmentos paralelos + +Seja $D$ um ponto no lado $A B$ do triângulo $A B C$ de modo que $C D=A C$, como indica a figura abaixo. O incírculo do triângulo $A B C$ é tangente aos lados $A C$ e $A B$ nos pontos $E$ e $F$, respectivamente. Sejam $I$ o incentro do triângulo $B C D$ e $P$ o ponto de encontro dos segmentos $A I$ e $E F$. Além disso, seja $G$ um ponto sobre o segmento $A B$ de modo que $I G$ e $E F$ sejam paralelos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-16.jpg?height=531&width=843&top_left_y=649&top_left_x=488) + +a) Prove que $D I=I G$. + +b) Prove que $A P=P I$. + +Observação: $\mathrm{O}$ incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo e o incírculo é a circunferência centrada no incentro e tangente aos três lados do triângulo. + +## 13 O incentro e segmentos paralelos - Solução + +a) Como $A F=A E$, segue que $\angle A F E=\angle A E F=\frac{180^{\circ}-\angle C A B}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle C A B}{2}$. Além disso, dado que $A C=C D$, temos $\angle C A D=\angle C D A$. Sabendo que $D I$ é bissetriz de $\angle C D B$, temos + +$$ +\begin{aligned} +\angle I D B & =\frac{\angle C D B}{2} \\ +& =\frac{180^{\circ}-\angle C D A}{2} \\ +& =90^{\circ}-\frac{\angle C A B}{2} +\end{aligned} +$$ + +Como $E F \| I G$, segue que $\angle I G D=\angle E F A=\angle I D G$. Portanto, o triângulo $I D G$ é isósceles com $I D=I G$. +b) Para provar que $A P=P I$, dado que $E F \| I G$, basta mostrarmos que $A F=F G$. Sejam $w=A F=A E, k=E C, l=F H, x=D H$ e $r=H B$. Para o que segue, precisaremos de um lema simples a respeito do comprimento dos segmentos determinados nos lados de um triângulo pelos pontos de tangência de seu incírculo. Considere a figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-17.jpg?height=462&width=870&top_left_y=541&top_left_x=670) + +$A E=A D, B E=B F$ e $C F=C D$, se $2 p=A B+B C+A C$, temos $2 A E=2 p-2 B C$ e, consequentemente, $A E=p-B C$. Analogamente, $B E=p-A C$ e $C F=p-A B$. Usando o lema anterior, e notando que $C D=w+k$ e $C B=k+l+r$, podemos concluir que + +$$ +\begin{aligned} +D H & =\frac{B D+C D-C B}{2} \\ +x & =\frac{(x+r)+(w+k)-(k+l+r)}{2} \\ +2 x & =w+x-l \\ +x+l & =w +\end{aligned} +$$ + +Assim, $F H=x+l=w=A F$ e isso conclui a demonstração. + +## 14 Números na circunferência + +Em uma circunferência são escritos 99 números naturais. Se $a$ e $b$ são dois números vizinhos na circunferência, então $\frac{a}{b}=2, a-b=1$ ou $a-b=2$. Prove que existe algum número na circunferência que é divisível por 3. + +## 14 Números na circunferência - Solução + +Sejam $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{99}$ os números na circunferência, escritos em ordem, e suponha, por absurdo, que nenhum deles é múltiplo de 3. Daí, se dois vizinhos $a$ e $b$ deixarem o mesmo resto na divisão por 3, como 3 não pode dividir as diferenças 1 e 2 , segue que $a=2 b$ ou $b=2 a$. Sabendo que 3 divide $a-b$, em ambas as situações anteriores poderíamos concluir que um deles, e portanto os dois, deve ser múltiplo de 3. Isso contradiz nossa suposição inicial. Uma vez que $a$ e $b$ não são multiplos de 3 e os seus restos são distintos, um deles deve deixar resto 1 e o outro deve deixar resto 2 na divisão por 3. Isso nos diz que $a_{i}+a_{i+1}$ é um múltiplo de 3 para todo $i \leq 98$. Podemos escrever: + +$$ +\begin{aligned} +& S=\left(a_{1}+a_{2}\right)+\ldots+\left(a_{97}+a_{98}\right)+a_{99} \\ +& S=a_{1}+\left(a_{2}+a_{3}\right)+\ldots+\left(a_{98}+a_{99}\right) +\end{aligned} +$$ + +Como as somas em cada parênteses são múltiplas de 3 , podemos concluir que $a_{1}$ e $a_{99}$ deixam o mesmo resto na divisão por 3. Entretanto, isso é uma contradição, pois números vizinhos não deixam o mesmo resto na divisão por 3. Isso nos diz que a suposição inicial é falsa e, consequentemente, pelo menos um deles dever ser múltiplo de 3 . + +## 15 Círculos tangentes ao segmento + +Os círculos de centros $E$ e $F$ são tangentes ao segmento $B D$ e aos semicírculos de diâmetros $A B, B C$ e $A C$. Sejam $r_{1}, r_{2}$ e $r$ os raios dos semicírculos de diâmetros $A B, B C$ e $A C$, respectivamente. Os raios dos círculos de centros $E$ e $F$ são $l_{1}$ e $l_{2}$, respectivamente. + +a) Verifique que a distância de $E$ até o segmento $A C$ é $\sqrt{\left(r_{1}+l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-l_{1}\right)^{2}}$. + +b) Verifique que $l_{1}=\frac{r_{1} r_{2}}{r_{1}+r_{2}}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-18.jpg?height=383&width=735&top_left_y=1934&top_left_x=539) + +## 15 Círculos tangentes ao segmento - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-19.jpg?height=635&width=1172&top_left_y=354&top_left_x=519) + +a) Como $A C=A B+B C$, seque que $r=r_{1}+r_{2}$. Sejam $H$ o pé da perpendicular de $E$ ao segmento $A C, O$ o ponto médio de $A C$ e $I$ a interseção de $O E$ com o semicírculo de diâmetro $A C$. Sejam ainda $O_{1}$ e $O_{2}$ os centros dos semicírculos de diâmetros $A B$ e $B C$, respectivamente, temos + +$$ +\begin{aligned} +O_{1} E & =O_{1} J+J E \\ +& =r_{1}+l_{1} \\ +E O & =I O-I E \\ +& =r-l_{1} \\ +O_{1} H & =O_{1} B-H B \\ +& =O_{1} B-E M \\ +& =r_{1}-l_{1} \\ +O H & =O C-H B-B C \\ +& =\left(r_{1}+r_{2}\right)-l_{1}-2 r_{2} \\ +& =r_{1}-r_{2}-l_{1} +\end{aligned} +$$ + +Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $E O_{1} H$, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +E H^{2} & =E O_{1}^{2}-O_{1} H^{2} \\ +E H^{2} & =\left(r_{1}+l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-l_{1}\right)^{2} \\ +E H & =\sqrt{\left(r_{1}+l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-l_{1}\right)^{2}} +\end{aligned} +$$ + +b) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $E O H$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +E H^{2} & =E O^{2}-O H^{2} \\ +& =\left(r-l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-r_{2}-l_{1}\right)^{2} \\ +& =\left(r_{1}+r_{2}-l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-r_{2}-l_{1}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Comparando a última equação com a expressão obtida no item anterior, temos + +$$ +\begin{aligned} +\left(r_{1}+l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-l_{1}\right)^{2} & =\left(r_{1}+r_{2}-l_{1}\right)^{2}-\left(r_{1}-r_{2}-l_{1}\right)^{2} \\ +4 r_{1} l_{1} & =4 r_{1} r_{2}-4 r_{2} l_{1} \\ +4 l_{1}\left(r_{1}+r_{2}\right) & =4 r_{1} r_{2} \\ +l_{1} & =\frac{r_{1} r_{2}}{r_{1}+r_{2}} +\end{aligned} +$$ + +Observação: De modo análogo, considerando as projeções de $F$ sobre os segmentos $B C$ e $B D$, podemos obter que $l_{2}=\frac{r_{1} r_{2}}{r_{1}+r_{2}}$. Portanto, $l_{1}=l_{2}$. + +## 16 Quadrados de reais são sempre maiores que ou iguais a zero + +Uma desigualdade simples, mas bastante útil é $x^{2} \geq 0$, para todo $x$ real. Para prová-la, basta estudar separadamente as seguintes possibilidades: $x>0, x<0$ ou $x=0$. De fato, um número real positivo multiplicado por um número real positivo é positivo, um número real negativo multiplicado por outro número real negativo é também positivo e, finalmente, $0 \cdot 0=0$. A partir dessa desigualdade, podemos derivar outras não tão elementares. Por exemplo, para quaisquer números reais $x$ e $y$ é verdade que $x^{2}+x y+y^{2} \geq 0$, pois + +$$ +\begin{aligned} +x^{2}+x y+y^{2} & =\left(x^{2}+\frac{2 x y}{2}+\frac{y^{2}}{4}\right)+3\left(\frac{y^{2}}{4}\right) \\ +& =\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \\ +& \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +Na última desigualdade, usamos que $\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0 \mathrm{e}\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0$. + +Veremos agora uma aplicação dessas desigualdades. Sejam $a$ e $b$ números reais tais que $a^{3}-b^{3}=2$ e $a^{5}-b^{5} \geq 4$. + +(a) Sabendo que para quaisquer reais $x$ e $y$ vale $x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$, verifique que $a>b$. + +(b) Verifique que $a^{2}+b^{2} \geq 2$. + +## 16 Quadrados de reais são sempre maiores que ou iguais a zero-Solução + +(a) Pela fatoração sugerida, + +$$ +\begin{aligned} +0<2 & =a^{3}-b^{3} \\ +& =(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +Como $a^{2}+a b+b^{2} \geq 0$, segue que $a-b>0$, ou seja, $a>b$. + +(b) Sabemos que $a^{2}, b^{2} \geq 0$ e $a-b>0$. Daí, + +$$ +\begin{aligned} +\left(a^{3}-b^{3}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right) & =a^{5}-a^{2} b^{3}+a^{3} b^{2}-b^{5} \\ +2\left(a^{2}+b^{2}\right) & =a^{5}-b^{5}+a^{2} b^{2}(a-b) \\ +& \geq a^{5}-b^{5} \\ +& \geq 4 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $a^{2}+b^{2} \geq 2$. + +## 17 Quadrados perfeitos que possuem um número quadrado perfeito de + +## divisores + +Seja $n>1$ um inteiro positivo, chamamos de $d(n)$ a quantidade de divisores positivos de $n$. Para calcular $d(n)$, basta escrever a fatoração de $n$ em potências de primos distintos e multiplicar os sucessores dos expoentes. Por exemplo, para 2016 temos a fatoração $2016=$ $2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1}$ e $d(2016)=(5+1)(2+1)(1+1)=36$. + +(a) Prove que se $n$ é um quadrado perfeito, então $d(n)$ é ímpar. + +(b) Determine todos os $n$ menores que 400 tais que $n$ e $d(n)$ sejam quadrados perfeitos. + +17 Quadrados perfeitos que possuem um número quadrado perfeito de divisores - Solução + +(a) Se $n$ é um quadrado perfeito, então existe um inteiro positivo $m$ tal que $n=m^{2}$. Na fatoração em primos de $n$, todos os expoentes são pares, pois cada fator primo de $m$ aparece o dobro de vezes na fatoração de $n$. Por exemplo, se $m=2^{2} \cdot 3$, então $n=m^{2}=$ $\left(2^{2} \cdot 3\right)^{2}=2^{4} \cdot 3^{2}$. Como o sucessor de um número par é ímpar e o produto de números ímpares também é ímpar, concluímos que $d(n)$ é ímpar. +(b) Escreva $n=m^{2}$. Como $m^{2}<400=20^{2}$ podemos concluir que $m \leq 20$. Entre os inteiros positivos menores que 20 , temos apenas 3 possíveis fatorações para $m: p^{k}, p \cdot q$ ou $p^{2} \cdot q$, com $p$ e $q$ primos distintos, pois qualquer produto de três primos distintos é maior que 20. Além disso, $k \leq 4$, pois $2^{5}>20$. No primeiro caso, $d(n)=d\left(p^{2} k\right)=2 k+1$ deve ser quadrado perfeito e apenas $m=2^{4}$, ou seja, $n=16^{2}$ satisfaz as condições. No segundo caso, $d(n)=d\left(p^{2} \cdot q^{2}\right)=(2+1)(2+1)=9$. Temos então os seguintes valores para $n$ : $6^{2}, 10^{2}, 14^{2}$ e $15^{2}$. No terceiro caso, $d\left(p^{4} \cdot q^{2}\right)=(4+1)(2+1)=15$, que não é quadrado perfeito. Portanto, os números $n$ menores que 400 tais que $n$ e $d(n)$ são quadrados perfeitos são $6^{2}, 10^{2}, 14^{2}, 15^{2}$ e $16^{2}$. + +## 18 Pintando pontos + +Seja $n \geq 3$ um inteiro positivo. Sobre uma reta, são marcados os $n$ pontos $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n}$, nessa ordem e igualmente espaçados entre si. Em seguida, cada um dos pontos deve ser pintado de azul ou de vermelho de modo que não existam três pontos $P_{x}, P_{\frac{x+y}{2}}$ e $P_{y}$ pintados da mesma cor, sendo $x+y$ par. + +(a) Mostre que para $n=8$ existe uma maneira de colorir os pontos $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{8}$ satisfazendo a condição dada. + +(b) Mostre que qualquer pintura para $n=9$ não satisfaz a condição dada. + +## 18 Pintando pontos - Solução + +(a) Marcaremos com $A$ e $V$ as cores dos pontos em ordem. Considere a seguinte forma de colorir os 8 pontos: + +$$ +\begin{array}{cccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} \\ +A & V & V & A & A & V & V & A . +\end{array} +$$ + +A condição dada requer que não existam pontos de mesma cor de modo que um deles seja o ponto médio do segmento formado pelos outros dois. É imediato verificar que essa condição é satisfeita no exemplo anterior. + +(b) Considere uma pintura qualquer para $n=9$ satisfazendo as condições do enunciado. Assim, não podem existir trios da forma $\left(P_{x}, P_{\frac{x+y}{2}}, P_{y}\right)$ com todos esses pontos com a mesma cor. Suponha inicialmente que $P_{3}$ e $P_{5}$ possuem a mesma cor, digamos azul. Então $P_{1}, P_{4}$ e $P_{7}$ deverão ter a cor oposta, ou seja, vermelho. Caso contrário, algum dos trios $\left(P_{1}, P_{3}, P_{5}\right),\left(P_{3}, P_{4}, P_{5}\right)$ ou $\left(P_{3}, P_{5}, P_{7}\right)$ teria três pontos pintados de azul. Entretanto, isso implicaria que ( $P_{1}, P_{4}, P_{7}$ ) estão pintados de vermelho. Portanto, para a condição do enunciado ser satisfeita, concluímos que $P_{3}$ e $P_{5}$ não podem ter +a mesma cor. O mesmo argumento anterior aplicado a $P_{5}$ e $P_{7}$ nos permite concluir que eles também possuem cores opostas. Suponha, sem perda de generalidade, que $P_{3}$ é azul e $P_{5}$ é vermelho. Logo, $P_{7}$ deve ter cor azul. Desse modo, temos a seguinte configuração: + +$$ +\begin{array}{ccccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} & P_{9} \\ +- & - & A & - & V & - & A & - & -. +\end{array} +$$ + +Analisaremos agora as possíveis cores dos outros pontos. Tratemos inicialmente do caso em que $P_{1}$ é azul. Assim, teremos a seguinte configuração: + +$$ +\begin{array}{ccccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} & P_{9} \\ +A & - & A & - & V & - & A & - & -. +\end{array} +$$ + +Para que $\left(P_{1}, P_{4}, P_{7}\right)$ ou $\left(P_{1}, P_{2}, P_{3}\right)$ não sejam azuis, $P_{2}$ e $P_{4}$ devem ser vermelhos. + +$$ +\begin{array}{ccccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} & P_{9} \\ +A & V & A & V & V & - & A & - & -. +\end{array} +$$ + +Para que $\left(P_{2}, P_{4}, P_{6}\right)$ não sejam todos vermelhos, $P_{6}$ deve ser azul: + +$$ +\begin{array}{ccccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} & P_{9} \\ +A & V & A & V & V & A & A & - & - +\end{array} +$$ + +Se $P_{8}$ é vermelho, $\left(P_{2}, P_{5}, P_{8}\right)$ serão todos vermelhos e, se $P_{8}$ é azul, $\left(P_{6}, P_{7}, P_{8}\right)$ serão azuis. Em ambas as situações a condição do enunciado não é satisfeita. Resta analisarmos agora o que acontece quando $P_{1}$ é vermelho. Nesse caso, temos a seguinte configuração: + +$$ +\begin{array}{ccccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} & P_{9} \\ +V & & A & & V & & A & - & - +\end{array} +$$ + +Se $P_{9}$ é vermelho, $\left(P_{1}, P_{5}, P_{9}\right)$ serão todos vermelhos. Portanto, $P_{9}$ deve ser azul e a configuração deve ser: + +$$ +\begin{array}{ccccccccc} +P_{1} & P_{2} & P_{3} & P_{4} & P_{5} & P_{6} & P_{7} & P_{8} & P_{9} \\ +V & & A & & V & & A & - & A +\end{array} +$$ + +Mas esse caso é o simétrico do caso $P_{1}$ pintado de azul. Repetindo os mesmos passos, veremos que $P_{2}$ não poderá ser colorido de vermelho nem de azul. Para qualquer coloração do $P_{1}$, não será possível pintar todos os 9 pontos de modo que não existam três pontos $P_{x}, P_{\frac{x+y}{2}}$ e $P_{y}$ pintados da mesma cor. + +## 19 Produtos que são quadrados perfeitos + +Sérgio escolhe dois números inteiros positivos $a$ e $b$. Ele escreve 4 números no seu caderno: $a, a+2, b$ e $b+2$. Em seguida, todos os 6 produtos de dois desses números são escritos na lousa. Seja $Q$ a quantidade de quadrados perfeitos escritos nela, determine o valor máximo de $Q$. + +## 19 Produtos que são quadrados perfeitos - Solução + +Inicialmente provaremos que o produto $a(a+2)$ não é um quadrado perfeito para qualquer escolha de $a$. Temos dois casos a considerar: + +i) Se $a$ é ímpar, então nenhum primo que divide $a$ poderá dividir $a+2$. Daí, $a$ e $a+2$ deverão ser, cada um, um quadrado perfeito. Isso claramente não tem solução para $a \geq 1$, pois a diferença entre dois quadrados perfeitos é pelo menos 3 . + +ii) Se $a$ é par, temos $a=2 k$ para algum inteiro positivo $k$. Daí, $a(a+2)=2 k(2 k+2)=$ $(2 k+1)^{2}-1$. Isso também não é possível, pois neste caso teríamos um quadrado perfeito entre dois quadrados perfeitos consecutivos: $(2 k)^{2}x_{n-1}$ para todo inteiro positivo $n$. + +c) Perceba que a sequência parece crescer muito pouco. Após calcular alguns termos iniciais, poderíamos suspeitar que nenhum termo excede 2016, mas de fato vamos provar que existem termos maiores que 2016. Para isso, vamos usar a sequência auxiliar $y_{n}=x_{n}^{3}$. Prove que $y_{n}>y_{n-1}+3$ para todo $n \geq 2$. +d) Prove que existe um número $N$ tal que $x_{N}>2016$. + +## 22 Um termo na sequência maior que 2016 - Solução + +a) Basta usar a equação dada para $n=2, n=3$ e $n=4$. + +$$ +\begin{gathered} +x_{2}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}^{2}}=1+\frac{1}{1^{2}}=2 \\ +x_{3}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=2+\frac{1}{2^{2}}=\frac{9}{4} \\ +x_{4}=x_{3}+\frac{1}{x_{3}^{2}}=\frac{9}{4}+\frac{1}{\left(\frac{9}{4}\right)^{2}}=\frac{793}{324} +\end{gathered} +$$ + +b) Para qualquer $n$, se $x_{n-1} \neq 0$, então $x_{n-1}^{2}>0$ e $\frac{1}{x_{n-1}^{2}}>0$, pois todo quadrado de um número real não nulo é positivo. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +x_{n} & =x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}} \\ +& >x_{n-1} +\end{aligned} +$$ + +Como $x_{1}=1>0$, pelo argumento anterior, temos $x_{2}>x_{1}>0$. Agora, usando $x_{2}$ no papel de $x_{1}$ no argumento anterior, temos $x_{3}>x_{2}>0$. Veja que podemos continuar repetindo o argumento, agora com $x_{3}$ no papel de $x_{2}$. Esse processo indutivo nos permite concluir que a sequência é estritamente crescente. + +c) Elevando a equação de recorrência ao cubo teremos + +$$ +\begin{aligned} +x_{n}^{3} & =\left(x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}}\right)^{3} \\ +& =x_{n-1}^{3}+3 x_{n-1}^{2} \frac{1}{x_{n-1}^{2}}+3 x_{n-1} \frac{1}{x_{n-1}^{4}}+\frac{1}{x_{n-1}^{6}} \\ +& >x_{n-1}^{3}+3 +\end{aligned} +$$ + +Logo, + +$$ +y_{n}=x_{n}^{3}>x_{n-1}^{3}+3=y_{n-1}+3 +$$ + +d) A ideia agora é usar o crescimento de $y_{n}$ para chegar em alguma conclusão sobre o crescimento de $x_{n}$. Temos $x_{n}>2016$ se, e somente se, $y_{n}=x_{n}^{3}>2016^{3}$. No item ante- +rior, provamos que $y_{n}>y_{n-1}+3$ para todo $n \geq 2$. Aplicações sucessivas dessa desigualdade nos permitem concluir que: + +$$ +\begin{aligned} +y_{n} & >y_{n-1}+3 \\ +& >y_{n-2}+6 \\ +& >y_{n-3}+9 \\ +& \cdots \\ +& >y_{1}+3(n-1) \\ +& =3 n-2 +\end{aligned} +$$ + +Bom, agora basta tomar $N$ que satisfaça $3 N-2>2016^{3}$, ou seja, $N>\frac{2016^{3}+2}{3}$. Podemos tomar $N=2016^{3}$, por exemplo, já que esse número satisfaz a inequação anterior. Para esse valor de $N$, o termo $x_{N}$ da sequência será maior que 2016. + +## 23 Triângulos no interior de um quadrado + +a) Considere um quadrado $A B C D$ de lado 1. Os pontos $X, Y$ e $Z$ são marcados no interior ou nas arestas desse quadrado de modo que formem um triângulo. Considere uma possível configuração dos pontos na figura a seguir. Em que $X, Y$ e $Z$ estão sobre os lados $A B, B C$ e $C D$, respectivamente. Prove que existe um ponto $Y^{\prime}$ sobre o lado $C D$ de modo que os triângulos $X Y Z$ e $X Y^{\prime} Z$ possuam a mesma área. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-30.jpg?height=445&width=433&top_left_y=1583&top_left_x=693) + +b) Considerando ainda a figura anterior, qual a maior área que um triângulo com dois vértices sobre o lado $C D$ e um sobre o lado $A B$ pode ter? Em seguida, estime a maior área possível de um triângulo com todos os seus vértices no interior do quadrado, não necessariamente sobre os seus lados. + +c) No interior ou nos lados de um quadrado de lado 2 são marcados 9 pontos, sem que existam 3 deles colineares. Prove que podemos escolher 3 pontos de modo que o triângulo que tem esses três pontos como vértices possui a área menor que ou igual a $\frac{1}{2}$. + +## 23 Triângulos no interior de um quadrado - Solução + +a) Por $Y$, trace uma reta paralela a $X Z$ e seja $Y^{\prime}$ o ponto de encontro dessa reta com $C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-31.jpg?height=450&width=449&top_left_y=420&top_left_x=883) + +Os triângulos $X Y Z$ e $X Y^{\prime} Z$ possuem mesma área, pois possuem mesma base $X Z$ e as alturas relativas a ela são iguais. + +b) Aproveitando a notação do item anterior, considere o triângulo $X Y^{\prime} Z$, com $Y^{\prime}$ e $Z$ sobre o lado $C D$ e $X$ sobre o lado $A B$. Considerando a base $Y^{\prime} Z$ e a altura $h_{x}$, podemos estimar a área do triângulo $X Y^{\prime} Z$, denotada por $\left[X Y^{\prime} Z\right]$, através de + +$$ +\begin{aligned} +{\left[X Y^{\prime} Z\right] } & =\frac{Y^{\prime} Z \cdot h_{X}}{2} \\ +& \leq \frac{1 \cdot 1}{2} \\ +& =1 / 2 +\end{aligned} +$$ + +Veja que ocorre a igualdade apenas quando $Y^{\prime} Z=C D$. Considere três pontos $M, N$ e $P$ escolhidos dentro de um quadrado de lado 1 . Prolongue a reta $M P$ e a semirreta $P N$ até encontrar os lados do quadrado nos pontos $X, Y$ e $Z$. Note que a área do triângulo $X Y Z$ é maior que ou igual à área do triângulo $M N P$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-31.jpg?height=418&width=455&top_left_y=1689&top_left_x=880) + +Considerando a construção do primeiro item, caso não existam dois vértices do triângulo $X Y Z$ sobre um mesmo lado, podemos considerar um triângulo $X Y^{\prime} Z$ de mesma área e possuindo essa propriedade. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +{[M N P] } & \leq[X Y Z] \\ +& =\left[X Y^{\prime} Z\right] \\ +& \leq 1 / 2 +\end{aligned} +$$ + +c) Divida o quadrado de lado 2 em 4 quadrados de lado 1 conforme a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-32.jpg?height=380&width=381&top_left_y=336&top_left_x=719) + +Como 9/4 $>2$, pelo menos um desses quatros quadrados terá 3 ou mais dos 9 pontos. Pelo item anterior, três pontos dentro de um quadrado de lado 1 formam um triângulo de área menor ou igual a $1 / 2$. + +## 24 Os pontos médios formam um quadrado + +Considere um triângulo acutângulo $A B C$ e quadrados $A B Z X$ e $A C W Y$, construídos externamente sobre os seus lados. Os pontos $M$ e $P$ são os pontos médios dos segmentos $B C$ e $X Y$, respectivamente; os pontos $Q$ e $N$ são os centros dos quadrados $A B Z X$ e $A C W Y$, respectivamente; e os pontos $R$ e $S$ são pontos médios dos lados $A B$ e $A C$, respectivamente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-32.jpg?height=833&width=1364&top_left_y=1455&top_left_x=225) + +Vamos provar que $M N P Q$ é um quadrado em alguns passos. + +a) Verifique que os triângulos $Q R M$ e $M S N$ são congruentes. +b) Verifique que $\angle Q M N=90^{\circ}$. + +c) Sabendo dos resultados anteriores, mostre que $M N P Q$ é um quadrado. + +## 24 Os pontos médios formam um quadrado - Solução + +a) Uma base média de um triângulo é um segmento ligando dois pontos médios de seus lados. Esse segmento é paralelo ao lado oposto e possui metade do seu comprimento. Sabendo isso, temos $R M=\frac{A C}{2}, S M=\frac{A B}{2}$ e $\angle B R M=\angle B A C=\angle M S C$. Além disso, como $Q$ e $N$ são centros dos quadrados, podemos afirmar que $Q R=\frac{A B}{2}, N S=\frac{A C}{2}$ e $\angle Q R B=\angle N S C=90^{\circ}$. Dessa forma, os triângulos $Q R M$ e $M S N$ são congruentes pelo caso $L A L$, pois $Q R=M S, \angle Q R M=\angle M S N=90^{\circ}+\angle B A C$ e $R M=S N$. + +b) Como os triângulos $Q R M$ e $M S N$ são congruentes, $M S \| A B$ e $\angle Q R B=90^{\circ}$, então + +$$ +\begin{aligned} +\angle Q M N & =\angle Q M R+\angle R M S+\angle S M N \\ +& =\angle Q M R+\angle B R M+\angle M Q R \\ +& =\angle Q M R+\angle Q R M+\angle M Q R-90^{\circ} \\ +& =180^{\circ}-90^{\circ} \\ +& =90^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +c) Com as informações dos itens anteriores, sabemos que o triângulo $Q M N$ é um triângulo retângulo isósceles com $Q M=M N$. Daí, $\angle M Q N=\angle Q N M=45^{\circ}$. De modo semelhante, podemos provar também que o triângulo $Q P N$ também é um triângulo retângulo isósceles com $\angle Q P N=90^{\circ} \mathrm{e} Q P=P N$, pois basta repetir o argumento anterior trocando o papel do triângulo $A B C$ pelo do triângulo $X A Y$. Dado que os triângulos retângulos isósceles $Q N M$ e $P Q N$ possuem a mesma hipotenusa, podemos concluir que eles são congruentes e assim $P N M Q$ é um retângulo com todos os lados iguais, ou seja, um quadrado. + +## 25 Uma construção geométrica + +Considere três pontos colineares $B, C$ e $D$ de modo que $C$ está entre $B$ e $D$. Seja $A$ um ponto que não pertence a reta $B D$ de modo que $A B=A C=C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-34.jpg?height=407&width=634&top_left_y=531&top_left_x=590) + +(a) Se $\angle B A C=36^{\circ}$, então verifique que + +$$ +\frac{1}{C D}-\frac{1}{B D}=\frac{1}{C D+B D} +$$ + +(b) Suponha agora que vale + +$$ +\frac{1}{C D}-\frac{1}{B D}=\frac{1}{C D+B D} +$$ + +Verifique que $\angle B A C=36^{\circ}$. + +## 25 Uma construção geométrica - Solução + +(a) Como $\angle B A C=36^{\circ}$ e o triângulo $A B C$ é isósceles, temos $\angle A B C=\angle A C B=72^{\circ}$. Além disso, como $\angle A C D=108^{\circ}$ e o triângulo $A C D$ também é isósceles, segue que $\angle C A D=$ $\angle C D A=36^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-34.jpg?height=441&width=690&top_left_y=2037&top_left_x=562) + +Portanto, os triângulos $A B C$ e $D B A$ são semelhantes, pois possuem todos os ângulos iguais. Consequentemente $\frac{B C}{A B}=\frac{A B}{B D} \mathrm{e}$ + +$$ +\begin{aligned} +\frac{B C}{B A} & =\frac{A B}{B D} \\ +\frac{B C}{C D} & =\frac{C D}{B D} \\ +B D \cdot B C & =C D^{2} \\ +B D(B D-C D) & =C D^{2} \\ +B D^{2}-B D \cdot C D & =C D^{2} \\ +B D^{2}-C D^{2} & =B D \cdot C D \\ +(B D-C D)(B D+C D) & =B D \cdot C D \\ +\frac{B D-C D}{B D \cdot C D} & =\frac{1}{B D+C D} \\ +\frac{1}{C D}-\frac{1}{B D} & =\frac{1}{C D+B D} +\end{aligned} +$$ + +(b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-35.jpg?height=462&width=709&top_left_y=1223&top_left_x=753) + +Suponha agora que vale a equação dada. A partir dela e repetindo os passos da última sequência de equações, na ordem inversa, podemos concluir que $\frac{B C}{B A}=\frac{B A}{D B}$. Como $\angle A B C=\angle D B A$, segue que $A B D$ e $A B C$ são semelhantes. Daí, se $\angle B A C=x$, temos $\angle B D A=x$. Lembrando que $A C=C D$ temos o triângulo $A C D$ isósceles implicando $\angle C A D=x$. Somando os ângulos internos do triângulo $A C D$ temos $\angle A C D=180^{\circ}-2 x$. De $A C=C D$, decorre que $\angle C A D=\angle C D A=x$ e, consequentemente, $\angle B C A=2 x$. Finalmente, como $A B=A C$, temos $\angle A B C=2 x \mathrm{e}$ + +$$ +\begin{aligned} +\angle A B C+\angle B C A+\angle C A B & =180^{\circ} \\ +2 x+2 x+x & =180^{\circ} \\ +x & =36^{\circ} . +\end{aligned} +$$ + +## 26 Cortando a mesma quantidade de L-triminós + +As peças a seguir são chamadas de $L$-triminós. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-36.jpg?height=220&width=1110&top_left_y=456&top_left_x=353) + +Essas peças são usadas para cobrir completamente um tabuleiro $6 \times 6$. Nessa cobertura, cada $L$-triminó cobre exatamente 3 quadradinhos do tabuleiro $6 \times 6$ e nenhum quadradinho é coberto por mais de um $L$-triminó. + +a) Quantos $L$-triminós são usados para cobrir um tabuleiro $6 \times 6$ ? + +b) Em uma cobertura de todo o tabuleiro, dizemos que uma fileira (linha ou coluna) corta um $L$-triminó quando a fileira possui pelo menos um dos quadradinhos cobertos por esse $L$-triminó. Caso fosse possível obter uma cobertura do tabuleiro $6 \times 6$ na qual cada fileira cortasse exatamente a mesma quantidade de L-triminós, quanto seria essa quantidade? + +c) Prove que não existe uma cobertura do tabuleiro $6 \times 6$ com $L$-triminós na qual cada fileira corte a mesma quantidade de $L$-triminós. + +## 26 Cortando a mesma quantidade de L-triminós-Solução + +a) Seja $x$ o número de $L$-triminós usados para cobrir um tabuleiro $6 \times 6$. Como esse tabuleiro possui exatamente $6 \cdot 6=36$ quadradinhos e cada um deve ser coberto por exatamente um dos $L$-triminós, então $3 x=36$, ou seja, $x=12$. + +b) Seja y a quantidade de $L$-triminós que cada fileira corta. Considere todos os pares ( $F, L$ ), onde $F$ denota uma das 12 fileiras (linhas ou colunas) e $L$ um dos $12 L$-triminós que é cortado pela fileira $F$. Por um lado, como cada fileira corta $y$ triminós, temos $12 y$ pares do tipo $(F, L)$. Por outro lado, cada um dos $12 L$-triminós é cortado por exatamente 4 fileiras (duas linhas e duas colunas) e isso nos dá o total de $12 \cdot 4=48$ pares do tipo $(F, L)$. Essa contagem deve ser a mesma nas duas situações e daí $12 y=48$, ou seja, $y=4$. + +c) Suponha, por absurdo, que exista uma cobertura em que cada fileira corta exatamente a mesma quantidade de L-triminós. Pelo item anterior, sabemos que cada fileira deve cortar exatamente $4 L$-triminós. Quando uma fileira corta um L-triminó, eles possuem 1 ou 2 quadradinhos em comum. Tendo isso em mente, considere agora uma fileira em que dos $4 L$-triminós cortados por ela, $a$ possuem 1 quadradinho na fileira e ( $4-a$ ) +possuem 2 quadradinhos. Como a fileira possui 6 quadradinhos, $a+2(4-a)=6$, ou seja, $a=2$ e $4-a=2$. Consequentemente, podemos concluir que em qualquer fileira existem $2 L$-triminós cortados em 1 quadradinho e $a-2=2 L$-triminós cortados com 2 quadradinhos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-37.jpg?height=571&width=576&top_left_y=502&top_left_x=820) + +Considere agora a primeira linha do tabuleiro da figura anterior. Existem 2 L-triminós que cobrem, cada um, exatamente 1 quadradinho da primeira linha e, consequentemente, eles mesmos cobrem 2 quadradinhos da segunda linha. Analogamente, os $2 \mathrm{~L}-$ triminós que cobrem exatamente dois quadradinhos da primeira linha cobrem, cada um, exatamente 1 quadradinho da segunda linha. Note que isso já cobre totalmente a primeira e a segunda linhas implicando que nenhum $L$-triminó poderia cruzar a separação entre a segunda e a terceira linhas. Podemos repetir o raciocínio para terceira e quarta linhas e quinta e sexta linhas. Também podem fazer isso em colunas com a primeira e a segunda colunas, a terceira e a quarta colunas e a quinta e a sexta colunas. Dessa forma, o tabuleiro $6 \times 6$ fica dividido em 9 subtabuleiros $2 \times 2$ por faixas que não podem ser cruzadas por $L$-triminós. Isso implica que cada subtabuleiro tem que ser coberto por $L$-triminós. Isso é impossível, pois o número de quadradinhos em cada subtabuleiro não é um múltiplo de 3. Concluímos assim que não é possível cobrir o tabuleiro $6 \times 6$ com $L$-triminós de modo que cada fileira corte a mesma quantidade de $L$-triminós. + +## 27 Troca de presentes + +Existem 2017 pessoas em uma festa. Em um determinado momento, cada uma delas dá um presente para um outro convidado (é possível que um convidado receba mais de um presente). Mostre que podemos encontrar um grupo de 673 pessoas na festa de modo que quaisquer duas delas não trocaram presentes entre si. + +## 27 Troca de presentes-Solução + +Nossa estratégia será classificar os convidados da festa em grupos de três cores de modo que pessoas associadas a uma mesma cor não trocaram presentes entre si. Pelo menos uma dessas cores terá 673 pessoas, pois caso contrário, o total de pessoas será no máximo $672 \cdot 3=2016<2017$. Bastará então escolher o grupo formado pelas 673 pessoas de uma mesma cor para satisfazer a condição do enunciado. + +Para começar a classificação de cores, escolha uma pessoa qualquer e a coloque em uma mesa circular. Do seu lado esquerdo, sente a pessoa que recebeu um presente dela. Em seguida, caso ainda não esteja sentada, sente a pessoa que recebeu um presente da que acabou de sentar e repita esse processo. Como o número de pessoas é finito, eventualmente o processo de convite para que novas pessoas se sente será encerrado e teremos encontrado um ciclo, como ilustrado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-38.jpg?height=809&width=851&top_left_y=973&top_left_x=484) + +Uma vez que um ciclo de pessoas tenha sido construído, escolha uma delas e a associe a cor 1. Em seguida, numere alternadamente as pessoas no ciclo com cores 1 e 2. Caso o ciclo tenha tamanho ímpar, a última cor associada deve ser a 3. Dessa forma, pessoas associadas a uma mesma cor não trocam presentes entre si. + +Além disso, para as pessoas que não estão no ciclo, associe a cor 1 se ela deu um presente para alguém da cor 2 e associe a cor 2 se ela deu presente para alguém da cor 1 ou 3. Depois repita o processo sucessivamente seguindo essa mesma regra. Não existirá ambiguidade na atribuição de cores, pois cada pessoa só entrega um presente. Caso existam pessoas que não estejam associadas a algumas das três cores, podemos concluir que elas trocaram presentes entre si e não com as pessoas que já estão associadas às cores anteriores. Nesse caso, podemos repetir o argumento para esse grupo de pessoas que trocaram presentes entre si, construir um ciclo e, em seguida, realizar a atribuição de cores seguindo o mesmo padrão. Como a cada vez que executamos esse processo o número + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_e988dd467f3d6c2bf99fg-39.jpg?height=711&width=1322&top_left_y=231&top_left_x=441) + +de pessoas que não estão associadas a cores diminui e o número de pessoas na festa é finito, em algum momento todas elas estarão com alguma cor. Pela forma como foi feita a atribuição, pessoas de uma mesma cor não trocaram presente entre si e isso conclui o argumento descrito no início da solução. + +## 28 Somas no tabuleiro + +Cada um dos números $1,2,3 \ldots, 25$ é arranjado em uma das casas de um tabuleiro $5 \times 5$. Em cada linha, eles aparecem em ordem crescente, da esquerda para a direita. Encontre os valores máximo e mínimo possíveis para as somas dos números da terceira coluna. + +## 28 Somas no tabuleiro-Solução + +Podemos numerar as linhas e colunas do tabuleiro com os números de 1 a 5, de cima para baixo e da esquerda para a direita. Além disso, podemos denotar o número escrito na linha de número $i$ e na coluna de número $j$ por $a_{i j}$, como indicado na figura abaixo: + +| $a_{11}$ | $a_{12}$ | $a_{13}$ | $a_{14}$ | $a_{15}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $a_{21}$ | $a_{22}$ | $a_{23}$ | $a_{24}$ | $a_{25}$ | +| $a_{31}$ | $a_{32}$ | $a_{33}$ | $a_{34}$ | $a_{35}$ | +| $a_{41}$ | $a_{42}$ | $a_{43}$ | $a_{44}$ | $a_{45}$ | +| $a_{51}$ | $a_{52}$ | $a_{53}$ | $a_{54}$ | $a_{55}$. | + +Em cada linha $i$, sabemos que + +$$ +a_{i 1}5 +$$ + +Como $t_{H}3 \\ +4^{99} & >3^{99} \\ +3 \cdot 4^{99} & >3 \cdot 3^{99} \\ +3 \cdot 4^{99} & >3^{100} +\end{aligned} +$$ + +e + +$$ +4^{99}=2^{198}>2^{100} +$$ + +Somando as desigualdades + +$$ +\begin{aligned} +3 \cdot 4^{99} & >3^{100} \\ +4^{99} & >2^{100} +\end{aligned} +$$ + +obtemos + +$$ +4^{100}>3^{100}+2^{100} +$$ + +b) Observe que + +$$ +\begin{gathered} +\left(24^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60}}\right) \cdot\left(24^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^{2} \cdot\left(24^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^{3} \cdot \ldots \cdot\left(24^{\frac{1}{60}}\right)^{59}= \\ +\left(24^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60}}\right) \cdot\left(24^{\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{2}{60}}\right) \cdot\left(24^{\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{3}{6}+\cdots+\frac{3}{60}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(24^{\frac{59}{60}}\right)= \\ +\left(24^{\frac{1}{2}}\right) \cdot\left(24^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\right) \cdot\left(24^{\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}\right) \cdot\left(24^{\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(24^{\frac{1}{60}+\frac{2}{60}+\cdots+\frac{59}{60}}\right) +\end{gathered} +$$ + +Como $2^{x} \cdot 3^{y}=24^{k}$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +k & =\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{60}+\frac{2}{60}+\cdots+\frac{59}{60}\right) \\ +& =\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+\cdots+\frac{59}{2} \\ +& =\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+59) \cdot 59}{2} \\ +& =15 \cdot 59 +\end{aligned} +$$ + +Logo, $2^{x} \cdot 3^{y}=\left(2^{3} \cdot 3^{1}\right)^{15 \cdot 59}$, ou seja, $x=45 \cdot 59$ e $y=15 \cdot 59$. Portanto, $x+y=60 \cdot 59=3540$. + +## 25 A volta dos Repunits + +a) Se $A=\underbrace{111 \ldots 111}_{2 m}$ e $B=\underbrace{444 \ldots 444}_{m}$, verifique que a soma $A+B+1$ é um quadrado perfeito para qualquer inteiro positivo $m$. + +b) Se $p=\underbrace{111 \ldots 111}_{l}$ é um número primo, verifique que $l$ também é um número primo. + +c) Verifique que se $x=\underbrace{111 \ldots 111}_{n}$ é divisível por 41, então $n$ é divisível por 5. + +d) $\mathrm{Se}$ + +$$ +y=\underbrace{\sqrt{111 \ldots 111}}_{2 n \text { vezes }} \cdot 10^{n} +$$ + +encontre o maior inteiro positivo que não é maior que $y$. + +## 25 A volta dos Repunits - Solução + +a) Observe que $\underbrace{11 \ldots 11}_{2 m}=\frac{10^{2 m}-1}{9}$, pois + +$$ +\begin{aligned} +& \underbrace{11 \ldots 11}_{k}= \\ +& 10^{k}+10^{k-1}+\cdots+10^{1}+10^{0}= \\ +& =\frac{10^{k}-1}{9} +\end{aligned} +$$ + +Assim, temos + +$$ +\begin{aligned} +\underbrace{44 \ldots 44}_{m} & =4 \cdot \underbrace{11 \ldots 11}_{m} \\ +& =4 \cdot\left(\frac{10^{m}-1}{9}\right) . +\end{aligned} +$$ + +O que gera + +$$ +\begin{array}{r} +A+B+1= \\ +\frac{10^{2 m}-1}{9}+4 \cdot \frac{\left(10^{m}-1\right)}{9}+\frac{9}{9}= \\ +\frac{10^{2 m}-1+4 \cdot 10^{m}-4+9}{9}= \\ +\frac{\left(10^{m}\right)^{2}+2 \cdot 2 \cdot 10^{m}+2^{2}}{9}= \\ +=\left(\frac{10^{m}+2}{3}\right)^{2} +\end{array} +$$ + +Como o número $10^{m}+2$ é múltiplo de 3 , pois a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3 , a expressão é um quadrado perfeito. + +b) Suponha que $l$ é um número composto, ou seja, $l=m \times n$, com $m, n>1$. Então podemos fatorar $p$ da seguinte forma: + +$$ +x=\underbrace{11 \ldots 11}_{n} \cdot 1 \underbrace{00 \ldots 0}_{n-1} 1 \ldots 1 \underbrace{00 \ldots 0}_{n-1} 1 +$$ + +com $m-1$ grupos de zeros. Portanto, $p$ não seria primo. Vale comentar que o recíproco não é verdadeiro, pois 111 possui uma quantidade de dígitos dada por um número primo, mas $111=3 \cdot 37$ é um número composto. + +c) Pelo Algoritmo da Divisão, podemos escrever $n=5 q+r$, com $r \in\{0,1,2,3,4\}$, e + +$$ +\begin{array}{r} +\underbrace{11 \ldots 1}_{n \text { vezes }}= \\ +\underbrace{11 \ldots 1}_{5 q \text { vezes } r \text { vezes }}+\underbrace{11 \ldots 1}_{r \text { vezes }}= \\ +\underbrace{11 \ldots 1} 100001 \ldots 00001+\underbrace{11 \ldots 1}_{r \text { vezes }} . +\end{array} +$$ + +Como $11111=41 \cdot 271$, o resto que $x$ deixa por 41 é o mesmo que $\underbrace{11 \ldots 1}_{r \text { vezes }}$. Analisando a divisão dos números do conjunto $\{1,11,111,1111,1111\}$ por 41 , notamos que nenhum deles é divisível por 41. Portanto, para que $x$ seja múltiplo de 41 devemos ter $r=0 \mathrm{e}$ assim $n$ deve ser um múltiplo de 5 . +d) Seja $k=\underbrace{111 \ldots 111}_{2 n \text { vezes }}$, então + +$$ +\begin{aligned} +9 k & <10^{2 n} \\ +9 k^{2} & <10^{2 n} k \\ +& =y^{2} +\end{aligned} +$$ + +Daí, extraindo a raiz quadrada da última desigualdade, temos $3 k10^{2 n}+1 \\ +9 k^{2}+6 k & >10^{2 n} k+k \\ +9 k^{2}+6 k+1 & >10^{2 n} k+k+1 \\ +& >10^{2 n} k \\ +& =y^{2} +\end{aligned} +$$ + +Daí segue que $(3 k+1)^{2}>y^{2}$, ou $3 k+1>y$. Portanto, + +$$ +3 k2$. Além disso, $(m-2)$ e $(n-6)$ precisam dividir 12 e $n>0$, então ( $n-6) \in\{1,2,3,4,6,12\}$, o que faz $n \in\{7,8,9,10,12,18\}$, sendo 6 valores possíveis diferentes para $n$. Para verificar que todos eles são soluções, basta considerar os seguintes exemplos de anéis +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-07.jpg?height=850&width=1232&top_left_y=1598&top_left_x=484) + +## 8 A linha do trem + +Uma linha de trem está dividida em 10 trechos pelas estações $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ e $K$. A distância de $A$ até $K$ é igual a $56 \mathrm{~km}$. O trajeto de dois trechos consecutivos é sempre menor ou igual a $12 \mathrm{~km}$ e o trajeto de três trechos consecutivos sempre é maior ou igual a $17 \mathrm{~km}$. Determine as distâncias: + +a) de $J$ até $K$; + +b) de $D$ até $H$; + +c) de $B$ a $G$. + +## 8 A linha do trem -Solução + +a) Podemos escrever $A K=56$ e $A K=A D+D G+G J+J K$. Como $A D, D G$ e $G J \geq 17$, então $J K \leq 5$. Daí, para $H K \geq 17$, devemos ter $H J \geq 12$. Mas, sabemos que $H J \leq 12$, assim $H J=12$. A partir de $H K \geq 17$ e $H J=12$, concluímos $J K \geq 5$ e a única possibilidade é $J K=5$. + +b) Por simetria, teremos $A B=5$ e $B D=12$. Agora, seguimos com + +$$ +\begin{aligned} +D H & =A K-A B-B D-H J-J K \\ +& =56-5-12-5-12=22 +\end{aligned} +$$ + +c) Por fim, $G J \geq 17$, mas $H J=12$. Assim $G H \geq 5$. A partir de $D G \geq 17$ e $D H=D G+G H=$ 22, obtemos $D G=17$ e $G H=5$. Portanto + +$$ +\begin{aligned} +B G & =B D+D G \\ +& =12+17 \\ +& =29 +\end{aligned} +$$ + +## 9 Uma diagonal no diâmetro + +Uma das diagonais de um quadrilátero inscritível é um diâmetro de seu círculo circunscrito. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-09.jpg?height=642&width=706&top_left_y=467&top_left_x=755) + +Verifique que as interseções $E$ e $F$ das retas perpendiculares por $A$ e $C$, respectivamente, a reta $B D$ satisfazem + +$$ +D E=B F +$$ + +## 9 Uma diagonal no diâmetro - Solução + +Estenda as perpendiculares $C F$ e $A E$ para a segunda interseção com o círculo nos pontos $H$ e $G$, respectivamente. Como $A G \| C H$ e $A C$ é um diâmetro, segue que $A G C H$ é um retângulo. Seja $M$ o ponto médio de $E F$. Por ser uma corda da circunferência, temos $O M$ perpendicular a $B D$. Usando que $E F$ é perpendicular aos lados do retângulo, temos $E M=F M$ e daí + +$$ +D E=D M-M E=B M-M F=B F +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-09.jpg?height=682&width=712&top_left_y=1795&top_left_x=749) + +## 10 O jogo dos dados + +Um jogo é composto das seguintes regras: + +i) Em cada rodada, ocorre o lançamento de um dado comum não viciado. + +ii) Se sair o número 3, então o jogador $A$ ganha. + +iii) Se sair um dos números do conjunto $\{4,5,6\}$, então o jogador $B$ ganha. + +iv) Se sair um dos números do conjunto $\{1,2\}$, então o dado é lançado outra vez até resultar em 3 ou 4 ou 5 ou 6 . + +Qual a probabilidade do jogador $B$ vencer? + +## 10 O jogo dos dados-Solução + +Seja $P_{i}(B)$ a probabilidade do jogador $B$ vencer na rodada $i$, com $i$ inteiro positivo, e $P_{i}(\overline{A+B})$ a probabilidade de $A$ e $B$ não vencerem na rodada $i$. Portanto, temos que + +$$ +\begin{aligned} +& P_{1}(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ +& P_{2}(B)=P_{1}(\overline{A+B}) \cdot P_{2}(B)=\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6} \\ +& P_{3}(B)=P_{1}(\overline{A+B}) \cdot P_{2}(\overline{A+B}) \cdot P_{3}(B)=\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{18} \\ +& \quad \vdots \\ +& P_{n}(B)=P_{1}(\overline{A+B}) \cdot P_{2}(\overline{A+B}) \cdot \ldots \cdot P_{n-1}(\overline{A+B}) \cdot P_{n}(B)=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} +\end{aligned} +$$ + +Perceba que os resultados formam uma progressão geométrica de razão 1/3 que precisaremos somar para encontrar a probabilidade $P(B)$ de $B$ vencer. Temos, então + +$$ +P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\cdots+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{4} +$$ + +Observação: Se $|q|<1$ e $S=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}$, então + +$$ +S q=q+q^{2}+q^{3} \ldots+q^{n} +$$ + +Daí, $S q-S=q^{n}-1$ e, consequentemente, $S=\frac{q^{n}-1}{q-1}$. No final da solução anterior, aplicamos essa fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica com $q=1 / 3$. + +## 11 Aplicando áreas + +A figura a seguir mostra um segmento $A B$, seu ponto médio $C$ e as semicircunferências de diâmetros $A B$ e $A C$. Uma circunferência de centro $P$ é tangente às duas semicircunferências e também ao segmento $A B$. Sendo $A B=8 \mathrm{~cm}$, e $O$, o ponto médio de $A C$, perguntase: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-11.jpg?height=463&width=830&top_left_y=567&top_left_x=693) + +a) Qual a medida do perímetro do triângulo $O C P$ ? + +b) Qual a medida do raio da circunferência de centro $P$ ? + +## 11 Aplicando áreas - Solução + +a) Seja $x$ o raio da circunferência de centro $P$. Traçamos $O P$, que passa pelo ponto de tangência $D ; C P$, que passa pelo ponto de tangência $F$; e $P E$, perpendicular a $A B$ (e raio da circunferência destacada na figura). Temos $C P=4-x$ e $O P=2+x$. O perímetro do triângulo $O C P$ é + +$$ +\begin{aligned} +2 p & =O P+C P+C O \\ +& =(2+x)+(4-x)+2 \\ +& =8 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +b) Agora, calcularemos a área do $\triangle O C P$ de duas formas, pela fórmula de Heron, que usa o semi perímetro $p=4 \mathrm{~cm}$ e como metade do produto da base pela altura. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-11.jpg?height=468&width=838&top_left_y=2005&top_left_x=710) + +Sendo assim, + +$$ +\sqrt{4 \cdot(4-2)(4-(2+x))(4-(4-x))}=\frac{2 \cdot x}{2} +$$ + +Resolvendo a equação anterior, ficamos $\operatorname{com} x=\frac{16}{9} \mathrm{~cm}$. + +Observação: Um triângulo de perímetro $2 p$ e lados de comprimentos $a, b$ e $c$, pela Fórmula de Heron, possui área dada por + +$$ +A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} +$$ + +## 12 Lúnulas + +Um quadrilátero $A B C D$ está inscrito numa circunferência de centro $O$. Sabe-se que as diagonais $A C$ e $B D$ são perpendiculares. Sobre cada um dos lados construímos semicírculos, externamente, como mostra a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-12.jpg?height=764&width=729&top_left_y=1326&top_left_x=545) + +a) Mostre que os triângulos $A O B$ e $C O D$ têm a mesma área. + +b) Se $A C=8 \mathrm{~cm}$ e $B D=6 \mathrm{~cm}$ determine a área da região pintada. + +## 12 Lúnulas - Solução + +a) Inicialmente, observe que + +$$ +\begin{aligned} +A \hat{O} B+C \hat{O} D & = \\ +2 \cdot(A \hat{C} B+C \hat{B} D) & = \\ +2 \cdot 90^{\circ} & =180^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Sejam $M$ e $N$, respectivamente, os pontos médios dos lados $A B$ e $C D$. Então $B O \hat{O} M=$ $\frac{A \hat{O} B}{2}=\frac{180^{\circ}-C \hat{O} D}{2}=C \hat{O} N$. Isso nos permite concluir que os triângulos retângulos $\triangle B M O$ e $\triangle C N O$ possuem os mesmos ângulos. Além disso, podemos concluir que eles são congruentes, pois possuem a mesma hipotenusa. Então eles têm a mesma área e, consequentemente, vale o mesmo para $\triangle A O B$ e $\triangle C O D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-13.jpg?height=767&width=741&top_left_y=1044&top_left_x=761) + +b) Sejam $r_{1}=\frac{A B}{2}$ e $r_{2}=\frac{C D}{2}$ os raios das semicircunferências sobre os lados $A B$ e $C D$, respectivamente. Pela congruência dos triângulos $B M O$ e $O N C$, temos $O N=B M=r_{1}$. Dessa forma, + +$$ +r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=R^{2} +$$ + +Analogamente, se $r_{3}$ e $r_{4}$ são os raios das semicircunferências sobre $A D$ e $B C$, temos + +$$ +r_{3}^{2}+r_{4}^{2}=R^{2} +$$ + +Agora, somando as áreas dos quatro semicírculos, obtemos: + +$$ +\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}\right)=\pi \cdot R^{2} +$$ + +Logo, as 4 semicircunferências preenchem completamente o círculo. Subtraindo-se as áreas dos segmentos circulares, concluímos que a área sombreada é igual à área do quadrilátero. Como as diagonais são perpendiculares, esta será igual a + +$$ +\frac{A C \cdot B D}{2}=\frac{8 \cdot 6}{2}=24 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +## 13 Combate com dados + +Dois jogadores se enfrentam em um jogo de combate com dados. O atacante lançará três dados e o defensor, dois. $\mathrm{O}$ atacante derrotará o defensor em apenas um lance de dados se, e somente se, as duas condições seguintes forem satisfeitas: + +i) O maior dado do atacante for maior do que o maior dado do defensor. + +ii) O segundo maior dado do atacante for maior do que o segundo maior dado do defensor (convencionamos que o "segundo maior dado" pode ser igual ao maior dado, caso dois ou mais dados empatem no maior valor). + +Considerando que todos os dados são honestos com os resultados equiprováveis, calcule a probabilidade de o atacante vencer com o defensor conseguindo nos dados dele: + +a) 2 cincos; + +b) 1 cinco e 1 quatro. + +## 13 Combate com dados -Solução + +a) Para ganhar, precisamos tirar ao menos dois 6. A probabilidade será igual a tirar: + +- três seis: $P_{1}=\left(\frac{1}{6}\right)^{3}$; ou +- dois seis e outro número qualquer menor que 6: $P_{2}=3 \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot \frac{5}{6}=\frac{15}{6^{3}}$. + +Portanto, a probabilidade é $\frac{1}{6^{3}}+\frac{15}{6^{3}}=\frac{16}{6^{3}}=\frac{2}{27}$. +b) Para ganhar, precisamos tirar ao menos um maior do que 5 e outro maior do que 4 . A probabilidade será igual a tirar: + +- três seis: $P_{1}=\left(\frac{1}{6}\right)^{3}$; e +- dois seis e outro qualquer $(<6): P_{2}=3 \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot \frac{5}{6}=\frac{15}{6^{3}}$; +- um seis e dois cincos: $P_{2}=3 \cdot \frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{3}{6^{3}}$; ou +- um seis, um cinco e outro qualquer ( $<5$ ): $P_{2}=3!\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6}=\frac{24}{6^{3}}$; + +Portanto, ficamos com + +$$ +\frac{1}{6^{3}}+\frac{15}{6^{3}}+\frac{3}{6^{3}}+\frac{24}{6^{3}}=\frac{43}{216} +$$ + +## 14 Os ângulos do losango + +Sejam $A B C D$ um losango, com $\angle B A D>\angle A B C$, e $P$ e $Q$ pontos nos lados $A B$ e $A D$, respectivamente, tais que o triângulo $P C Q$ é equilátero, com lado igual ao lado do losango. Encontre as medidas dos ângulos do losango. + +## 14 Os ângulos do losango - Solução + +Como $\angle A B C=\angle Q D C=\alpha$ e $B C=P C=Q C=C D$, segue que $\angle B C P=\angle D C Q=180^{\circ}-2 \alpha$. Assim, + +$$ +\begin{aligned} +180^{\circ}-\alpha & =\angle B C D \\ +& =\left(180^{\circ}-2 \alpha\right)+60^{\circ}+\left(180^{\circ}-2 \alpha\right) \\ +& =420^{\circ}-4 \alpha . +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $240^{\circ}=3 \alpha$, ou seja, $\alpha=80^{\circ}$. Logo, os ângulos do losango são $80^{\circ}, 80^{\circ}, 100^{\circ} \mathrm{e} 100^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-15.jpg?height=394&width=677&top_left_y=1844&top_left_x=761) + +## 15 Circunferência tangente aos lados + +Prove que se um polígono possui uma circunferência tangente a todos os seus lados, então é possível encontrar três lados do polígono que formam um triângulo. + +## 15 Circunferência tangente aos lados - Solução + +Seja $D E$ o maior lado do polígono e considere os outros dois lados adjacentes a ele, denotados por $C D$ e $E F$ na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-16.jpg?height=502&width=487&top_left_y=849&top_left_x=674) + +Além disso, sejam $K$, em $C D$, e $I$, em $D E$, e $J$, em $E F$ os pontos de tangências desses lados com a circunferência mencionada no enunciado. Como $K D=D I=x$ e $E I=E J=y$, temos + +$$ +\begin{aligned} +D E & =x+y \\ +& E F$ e $D E+E F>$ $C D$. Em virtude da Desigualdade Triangular, os segmentos $D E, C D$ e $E F$ são lados de um triângulo. + +## 16 Os clubes da ilha + +Uma ilha possui 50 clubes. Cada habitante da ilha é sócio de 1 ou 2 clubes. Cada clube tem no máximo 55 sócios e para cada par de clubes existe um habitante da ilha que é sócio dos dois clubes. Encontre todas as possibilidades para as quantidades possíveis de habitantes da ilha. Justifique sua resposta. + +## 16 Os clubes da ilha - Solução + +Existem $\binom{50}{2}=1225$ pares de clubes e para cada um deles devemos ter um habitante que pertence a ambos. Denotemos esses habitantes por $H_{i j} \operatorname{com} i, j \in\{1,2, \ldots, 50\}$ e $i2$, em que $d(X, Y)$ denota a distância entre $X$ e $Y$. Considere as somas $S_{A}$ e $S_{B}$ das distâncias de todos os 2018 pontos até $A$ e $B$, respectivamente. Como $S_{A}+S_{B}>2 \cdot 2018$, pelo menos uma dessas somas é maior que 2018 . + +## 22 Quantas raizes quadradas diferentes?! + +a) Qual o valor de + +$$ +\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} ? +$$ + +b) Se $x=\sqrt{1+2 \cdot \sqrt{1+3 \cdot \sqrt{1+4 \cdot \sqrt{1+5 \cdot \sqrt{\ldots}}}}}$ é um número real, qual o seu valor? + +## 22 Quantas raízes quadradas diferentes?! - Solução + +a) Perceba que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}} & =\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n})^{2}-(\sqrt{n+1})^{2}} \\ +& =\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-(n-1)} \\ +& =-\sqrt{n}+\sqrt{n+1} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}= \\ +& -1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{6}-\ldots-\sqrt{99}+\sqrt{100}= \\ +& \sqrt{100}-1=9 +\end{aligned} +$$ + +b) Observe a seguinte sequência de quadrados de inteiros positivos + +$$ +\begin{array}{lll} +3^{2}=1+8=1+2 \cdot 4 & & \\ +4^{2}=1+15=1+3 \cdot 5 & \Rightarrow & 4=\sqrt{1+3 \cdot 5} \\ +5^{2}=1+24=1+4 \cdot 6 & \Rightarrow & 5=\sqrt{1+4 \cdot 6} \\ +6^{2}=1+35=1+5 \cdot 7 & \Rightarrow & 6=\sqrt{1+5 \cdot 7} \\ +\vdots & \vdots & \vdots \\ +n^{2}=1+n^{2}-1=1+(n-1) \cdot(n+1) & \Rightarrow & n=\sqrt{1+(n-1) \cdot(n+1)} +\end{array} +$$ + +Podemos então iterar cada uma das equações anteriores de modo a obtermos + +$$ +\begin{aligned} +& 3^{2}=1+2 \cdot 4 \\ +& 3^{2}=1+2 \cdot \sqrt{1+3 \cdot 5} \\ +& 3^{2}=1+2 \cdot \sqrt{1+3 \cdot \sqrt{1+4 \cdot 6}} \\ +& 3^{2}=1+2 \cdot \sqrt{1+3 \cdot \sqrt{1+4 \cdot \sqrt{1+5 \cdot 7}}} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +3^{2} & =1+2 \cdot \sqrt{1+3 \cdot \sqrt{1+4 \cdot \sqrt{1+5 \cdot \sqrt{\cdots}}}} \\ +3 & =\sqrt{1+2 \cdot \sqrt{1+3 \cdot \sqrt{1+4 \cdot \sqrt{1+5 \cdot \sqrt{\cdots \cdots}}}}} +\end{aligned} +$$ + +## 23 Duas equações bonitas + +a) Determine a soma das raízes reais da equação + +$$ +x^{2}+18 x+30=2 \cdot \sqrt{x^{2}+18 x+45} +$$ + +b) Resolva a equação $\sqrt{5-\sqrt{5-x}}=x$, com $00, \sqrt{\Delta}= \pm(2 x-1)$. Como 5 é uma das raízes da equação, tem-se: + +$$ +5=\frac{2 x^{2}+1 \pm(2 x+1)}{2} +$$ + +Temos dois casos a considerar: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{2 x^{2}+1+(2 x-1)}{2} & =5 \\ +x^{2}+x-5 & =0 \\ +x & =\frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} +\end{aligned} +$$ + +ou + +$$ +\begin{aligned} +\frac{2 x^{2}+1-(2 x-1)}{2} & =5 \\ +x^{2}-x-4 & =0 \\ +x & =\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Como $0\binom{20}{2}=190$. Mostraremos agora que se o governo construir 191 estradas todas as cidades farão parte de um mesmo grupo conexo. De fato, suponha que exista mais de um grupo conexo e seja $k$, com $1 \leq k \leq 20$ o número de vértices de um deles, que chamaremos de $A$. Recordamos que se ligarmos todas as estradas possíveis em um grupo de $n$ cidades, obteremos $\frac{n(n-1)}{2}$ estradas. Como não devem existir estradas entre o grupo $A$ e os demais grupos que contém as outras $21-k$ cidades, o total de estradas não é maior que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{k(k-1)}{2}+\frac{(21-k)(20-k)}{2} & = \\ +k^{2}-21 k+210 & = \\ +(k-21 / 2)^{2}+399 / 4 & \leq \\ +(19 / 2)^{2}+399 / 4 & =190 +\end{aligned} +$$ + +Isso é um absurdo, pois o governo construiu 191 estradas. Assim, o menor valor de $n$ é 191. + +## 29 O torneio de xadrez + +Em um torneio de xadrez, cada um dos participantes jogou exatamente uma vez com cada um dos demais e não houve empates. Mostre que existe um jogador $P$ tal que, para qualquer outro jogador $Q$, distinto de $P$, uma das situações a seguir ocorre: +i) $Q$ perdeu de $P$; + +ii) $Q$ perdeu de alguém que perdeu de $P$. + +## 29 O torneio de xadrez - Solução + +Seja $P$ o jogador que mais venceu partidas no torneio. Digamos que $P$ tenha vencido os jogadores do conjunto $S=\left\{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{k}\right\}$. Considere um jogador qualquer $Q$ diferente de $P$. Se $Q$ perdeu para $P$, ele satisfaz o item $i$ ). Se além de vencer $P, Q$ também ganhou de todos os elementos de $S$, então ele terá mais vitórias que $P$. Esse absurdo mostra que se $Q$ tiver ganho de $P$, então ele perdeu para alguém de $S$ e assim $i$ ) é verdadeira. Em qualquer caso, $i$ ) ou $i$ ) é satisfeita. + +## 30 O caminho fechado + +Existem 1999 cidades e 4000 estradas em um certo país (cada estrada conecta 2 cidades). Prove que existe um caminho fechado passando através de não mais que 20 cidades. + +## 30 O caminho fechado - Solução + +Inicialmente destrua as cidades, juntamente com suas estradas incidentes, se delas partem menos que 3 estradas. Como $2 \cdot 1999<4000$, eventualmente irão sobrar estradas e cidades após esse processo. Assim, podemos assumir que de todas as cidades restantes partem pelo menos 3 estradas. Escolha uma cidade qualquer, que será chamada de patamar $T_{0}$. A seguir, descreveremos uma construção ordenada de conjuntos de cidades. As cidades que podem ser acessadas a partir de $T_{0}$ serão denotadas por $T_{1}$. As que podem ser acessadas a partir de $T_{1}$ e ainda não estão em $\left\{T_{0}, T_{1}\right\}$ serão chamadas de $T_{2}$. Continuando esse processo, podemos definir $T_{3}, T_{4}, \ldots$. Se não existir um ciclo com não mais que 20 cidades, como cada cidade possui grau pelo menos 3 , então para cada um dos primeiros patamares $T_{i}$ possui pelo menos o dobro de cidades de $T_{i-1}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-27.jpg?height=256&width=613&top_left_y=1754&top_left_x=801) + +Se existirem mais de 10 patamares, o número de cidades será de pelo menos + +$$ +\begin{array}{r} +\left|T_{0}\right|+\left|T_{1}\right|+\left|T_{2}\right|+\ldots+\left|T_{10}\right| \geq \\ +1+2+4+\ldots+2^{10}= \\ +2047> \\ +1999 +\end{array} +$$ + +Esse absurdo mostra que existem no máximo 10 patamares. Isso significa que, para algum $i \leq 9$, as cidades que podem ser acessadas a partir de $T_{i}$ estão em $\left\{T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{i-1}\right\}$ e isso gera um ciclo com não mais que 20 cidades. + +## 31 Os ângulos do quadrilátero + +Num triângulo $A B C$, tomamos pontos $X, Y$ sobre os lados $A B, B C$, respectivamente. Se $A Y$ e $C X$ se intersectam em $Z$ e + +$$ +A Y=Y C \text { e } A B=Z C +$$ + +verifique que + +$$ +\angle C Z Y=\angle A B Y +$$ + +## 31 Os ângulos do quadrilátero - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-28.jpg?height=679&width=679&top_left_y=1104&top_left_x=570) + +Sejam $l$ a mediatriz do segmento $A C$ e $B^{\prime}$ o simétrico de $B$ com respeito a $l$. Então, como $A$ é o simétrico de $C$, os triângulos $A B Y$ e $C B^{\prime} Y$ são congruentes, donde + +$$ +\begin{aligned} +\angle C B^{\prime} Y & =\angle A B Y \\ +C B^{\prime} & =A B +\end{aligned} +$$ + +Além disso, os pontos $A, Y, B^{\prime}$ são colineares (pois suas reflexões $C, Y, B$ são). A última igualdade, juntamente com a segunda relação do enunciado, dá que + +$$ +C B^{\prime}=A B=C Z +$$ + +Como os ângulos da base do triângulo isósceles $\triangle Z B^{\prime} C$ são iguais, segue que + +$$ +\angle C Z Y=\angle C B^{\prime} Y=\angle A B Y +$$ + +## 32 As equipes de alunos + +Alguns alunos de uma escola foram divididos em equipes satisfazendo as seguintes condições: + +i) Quaisquer 2 equipes diferentes possuem exatamente 2 membros em comum. + +ii) Toda equipe possui exatamente 4 elementos. + +iii) Para quaisquer 2 alunos, existe uma equipe da qual ambos não fazem parte. + +a) Explique por que um par qualquer de estudantes pode participar de no máximo 3 equipes. + +b) Qual o número máximo de equipes? + +## 32 As equipes de alunos - Solução + +a) Suponha que existem estudantes $A$ e $B$ participando de 4 equipes chamadas de $E_{1}, E_{2}$, $E_{3}$ e $E_{4}$ : + +$$ +\begin{aligned} +E_{1} & =\{A, B, C, D\} \\ +E_{2} & =\{A, B, E, F\} \\ +E_{3} & =\{A, B, G, H\} \\ +E_{4} & =\{A, B, I, J\} +\end{aligned} +$$ + +Pela condição (iii), existe uma equipe $E_{5}$ que não possui simultaneamente os estudantes $A$ e $B$. Pela condição ( $i$ ), a equipe $E_{5}$ deve possuir exatamente dois membros em comum com $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ e $E_{4}$. Se $E_{5}$ não possuir $A$ e nem $B$, então deverá possuir os elementos dos seguintes 4 conjuntos disjuntos $\{C, D\},\{E, F\},\{G, H\}$ e $\{I, J\}$. Isso obriga $E_{5}$ a ter mais de 4 elementos. Digamos que $E_{5}$ não possua o estudante $A$, mas possua o estudante $B$ (como $A$ e $B$ desempenham o mesmo papel nessa análise, o estudo que faremos para $A$ é o mesmo para $B$ ). Assim, $E_{5}$ deverá possuir pelo menos um estudante de cada um dos mesmos 4 conjuntos anteriores e novamente essa equipe será forçada a ter mais que 4 elementos. Esse absurdo mostra que um par qualquer de estudantes não pode participar de 4 equipes. + +b) Considere um par de estudantes ( $A, B$ ) que participa de mais de uma equipe, cuja existência é garantida pelo item $(i)$, e estudemos as seguintes possibilidades a partir das informações do item anterior. + +1) O par ( $A, B$ ) participa de exatamente três outras equipes que são chamadas de $E_{1}$, $E_{2}, E_{3}$ : + +$$ +\begin{aligned} +& E_{1}=\{A, B, C, D\} \\ +& E_{2}=\{A, B, E, F\} \\ +& E_{3}=\{A, B, G, H\} +\end{aligned} +$$ + +Iremos mostrar que nesse caso não podem existir mais que 4 outras equipes. Repetindo o argumento do item anterior, se uma equipe não possuir $A$ e nem $B$, ela possuirá todos os elementos do conjunto $\{C, D, E, F, G, H\}$ e isso produzirá um absurdo com a condição ( $i$ i). Logo, todas as demais equipes possuem $A$ ou $B$ e, pela condição $(i)$, qualquer outra equipe possui exatamente um elemento de cada um dos três conjuntos: $\{C, D\},\{E, F\}$ e $\{G, H\}$. Analisando as possíveis combinações dos 3 elementos restantes, em princípio, teríamos no máximo $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ escolhas associadas aos conjuntos anteriores. Entretanto, existem alguns pares de escolhas que não podem estar simultaneamente presentes para que a condição $(i)$ seja satisfeita: + +$$ +\begin{array}{ccc} +\{C, E, G\} & \text { e } & \{D, F, H\} \\ +\{C, E, H\} & \text { e } & \{D, F, G\} \\ +\{C, F, G\} & \text { e } & \{D, E, H\} \\ +\{C, F, H\} & \text { e } & \{D, E, G\} +\end{array} +$$ + +Assim, podem existir no máximo mais 4 equipes além de $E_{1}, E_{2}$ e $E_{3}$. +2) $O$ par $(A, B)$ participa de exatamente duas outras equipes que são chamadas de $E_{1}$, $E_{2}$ : + +$$ +\begin{aligned} +& E_{1}=\{A, B, C, D\} \\ +& E_{2}=\{A, B, E, F\} +\end{aligned} +$$ + +Em virtude da condição $(i)$, a única equipe que não pode possuir simultaneamente $A$ e $B$ é a $\{C, D, E, F\}$. Considerando uma equipe distinta dela, novamente pelo item (i), um elemento de cada um dos conjuntos $\{A, B\},\{C, D\}$ e $\{E, F\}$ deve estar presente. Isso novamente gera $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ escolhas que podem ser divididas nos seguintes pares: + +$$ +\begin{array}{lcc} +\{A, C, E\} & \text { e } & \{B, D, F\} \\ +\{A, C, F\} & \text { e } & \{B, D, E\} \\ +\{A, D, E\} & \text { e } & \{B, C, F\} \\ +\{A, D, F\} & \text { e } & \{B, C, E\} +\end{array} +$$ + +De cada par, apenas uma escolha pode estar presente nas equipes de estudantes e isso nos mostra que existem no máximo mais 4 equipes que contém $A$ ou $B$. Considerando as duas equipes que contém $\{A, B\}$, a eventual equipe $\{C, D, E, F\}$ e as possíveis 4 outras equipes, temos um total de no máximo $2+1+4=7$ equipes. + +Em ambos os casos, o máximo de equipes é 7. Para mostrar que é possível satisfazermos as três condições com esse número, basta considerar o seguinte exemplo: + +$$ +\{A, B, C, H\},\{A, D, F, H\},\{A, E, G, H\},\{B, D, G, H\},\{B, E, F, H\},\{C, D, E, H\},\{C, F, G, H\} +$$ + +em que cada letra, como anteriormente, representa um certo estudante. + +## 33 Fatorações e divisibilidade + +Usando a fatoração da diferença de quadrados, $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$, podemos escrever + +$$ +x^{2^{n}}-y^{2^{n}}=\left(x^{2^{n-1}}+y^{2^{n-1}}\right)\left(x^{2^{n-1}}-y^{2^{n-1}}\right) \text {. } +$$ + +a) Explique por que $3^{2^{2018}}-2^{2^{2018}}$ pode ser escrito como produto de 2018 inteiros maiores que 1 e distintos. + +b) Verifique que $3^{2^{n}}-1=\left(3^{2^{n-1}}+1\right)\left(3^{2^{n-2}}+1\right)\left(3^{2^{n-3}}+1\right) \ldots\left(3^{2}+1\right)\left(3^{1}+1\right)\left(3^{1}-1\right)$. + +c) Usando o item anterior, verifique que $2^{n+1}$ é um divisor de $3^{2^{n}}-1$. + +d) Conhecendo a fatoração + +$$ +x^{m}-y^{m}=(x-y)\left(x^{m-1}+x^{m-2} y+x^{m-3} y^{2}+\ldots+x y^{m-2}+y^{m-2}\right) +$$ + +encontre um inteiro positivo $n$ com mais de 2018 divisores positivos tal que $3^{n-1}-2^{n-1}$ é múltiplo de $n$. + +## 33 Fatorações e divisibilidade - Solução + +a) Usando a fatoração da diferença de quadrados, temos: + +$$ +\begin{aligned} +x^{2^{n}}-y^{2^{n}} & =\left(x^{2^{n-1}}+y^{2^{n-1}}\right)\left(x^{2^{n-1}}-y^{2^{n-1}}\right) \\ +x^{2^{n-1}}-y^{2^{n-1}} & =\left(x^{2^{n-2}}+y^{2^{n-2}}\right)\left(x^{2^{n-2}}-y^{2^{n-2}}\right) \\ +x^{2^{n-2}}-y^{2^{n-2}} & =\left(x^{2^{n-3}}+y^{2^{n-3}}\right)\left(x^{2^{n-3}}-y^{2^{n-3}}\right) \\ +& \cdots \\ +x^{2}-y^{2} & =(x+y)(x-y) +\end{aligned} +$$ + +Multiplicando todas as equações e cancelando os fatores repetidos, obtemos + +$$ +x^{2^{n}}-y^{2^{n}}=\left(x^{2^{n-1}}+y^{2^{n-1}}\right)\left(x^{2^{n-2}}+y^{2^{n-2}}\right) \ldots\left(x^{2}+y^{2}\right)(x+y)(x-y) +$$ + +Assim, em geral, substituindo $x=3$ e $y=2,3^{2^{n}}-2^{2^{n}}$ é o produto de $n$ fatores da forma $2^{2^{i}}+3^{2^{i}}$ com $i$ pertencente ao conjunto $\{0,1,2, \ldots, n-1\}$. + +b) Na fatoração obtida no item anterior, basta fazer $x=3$ e $y=1$. + +c) Como cada termo da forma $3^{2^{i}}+1$ possui o fator 2 por ser par, podemos concluir que o produto de todos os números da forma $3^{2^{i}}+1$, com $i \in\{1,2, \ldots, n-1\}$ é múltiplo de $2^{n-1}$. Além disso, o fator $3^{2^{0}}+1=2^{2}$ possui dois fatores 2 . Assim, usando a expressão encontrada no item anterior, podemos concluir que $2^{n-1} \cdot 2^{2}=2^{n+1}$ é um divisor de $3^{2^{n}}+1$. +d) Seja $n=3^{2^{2017}}-2^{2^{2017}}$. Pelo primeiro item, todos os 2019 números da lista + +$$ +1,2^{2^{0}}+3^{2^{0}}, 2^{2^{1}}+3^{2^{1}}, \ldots, 3^{2^{2017}}+2^{2^{2017}} +$$ + +são divisores de $n$. A partir da fatoração dada, podemos concluir que se $x$ e $y$ são inteiros, então $x-y$ é um divisor de $x^{m}-y^{m}$. Fazendo $x=2^{2^{2017}}$ e $y=3^{2^{2017}}$, obtemos que $n=3^{2^{2017}}-2^{2^{2017}}$ é um divisor de $3^{2^{2017} m}-2^{2^{2017} m}$, para qualquer inteiro positivo $m$. Note agora que + +$$ +n-1=\left(3^{2^{2017}}-1\right)-2^{2^{2017}} +$$ + +Pelo terceiro item, $3^{2^{2017}}-1$ é um múltiplo de $2^{2017}$. Como $2017<2^{2017}$, também temos que $2^{2017}$ é um divisor de $2^{2^{2017}}$. Assim, $\left(3^{2^{2017}}-1\right)-2^{2^{2017}}$ é um número da forma $2^{2017} m$. Daí, $n$ divide $3^{n-1}-2^{n-1}$ e, além disso, possui pelo menos de 2019 divisores positivos. + +## 34 Duas circunferências e uma perpendicular + +Seja $Q$ um ponto na circunferência de diâmetro $A B$, sendo $Q$ diferente de $A$ e $B$. Seja $Q H$ a reta perpendicular a $A B$ que passa por $Q$, sendo $H$ pertencente a $A B$. Os pontos de interseção da circunferência de diâmetro $A B$ e a circunferência de centro $Q$ e raio $Q H$ são $C$ e $D$. Prove que $C D$ passa pelo ponto médio de $Q H$. + +## 34 Duas Circunferências e uma perpendicular-Solução + +Consideremos as duas figuras a seguir. Sejam $\angle C Q H=\alpha, \angle Q C D=\beta$ e $E$ a interseção de $Q H$ com a circunferência de diâmetro $A B$. Delas, podemos concluir que: + +i) Temos $\angle C D H=\frac{\alpha}{2}$, pois na circunferência de centro em $Q$ o seu ângulo central $\angle C Q H$ é correspondente ao $\overparen{\mathrm{CH}}=\alpha$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-32.jpg?height=589&width=703&top_left_y=1889&top_left_x=590) +ii) $\angle C D E=\alpha$, pois ele está inscrito ao arco $\overparen{\mathrm{CE}}$, assim como o ângulo $\angle C Q E$, considerando a circunferência de diâmetro $A B$. Com isso, temos que: + +$$ +\angle H D E=\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2} +$$ + +iii) $\angle Q E D=\beta$, pois está inscrito ao arco $\overparen{Q D}$, assim como o ângulo $\angle Q C D=\beta$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_42ab6d7ce4e674d231dcg-33.jpg?height=658&width=743&top_left_y=628&top_left_x=760) + +iv) $Q H=H E$, pois $Q E$ é perpendicular ao diâmetro $A B$. + +Por fim, + +- note que $\triangle Q M C \sim \triangle D M E$. Daí, podemos concluir que: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{Q M}{D M} & =\frac{Q C}{D E} \\ +Q M & =Q C \cdot \frac{D M}{D E} +\end{aligned} +$$ + +- Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna no $\triangle M D E$, temos que: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{D M}{H M} & =\frac{D E}{H E} \\ +H M & =H E \cdot \frac{D M}{D E} +\end{aligned} +$$ + +Pelas duas conclusões anteriores e sabendo que + +$$ +Q C=H E=Q H=\text { raio da circunferência de centro } Q +$$ + +podemos concluir que $Q M=H M$. Portanto, $C D$ passa pelo ponto médio de $Q H$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N1.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..30cac52974dad09a183e6cdba4acf5a9183499c0 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N1.md @@ -0,0 +1,789 @@ +# 1] Cobrindo o Tabuleiro + +Triminós são peças formadas por três quadradinhos, como indica a figura abaixo. Dois desses triminós foram colocados dentro de um tabuleiro $4 \times 6$. Qual o número máximo de triminós que podem ser colocados dentro do tabuleiro de modo a cobrir sem sobreposição as casinhas restantes? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-01.jpg?height=267&width=376&top_left_y=1389&top_left_x=711) + +Triminós + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-01.jpg?height=140&width=135&top_left_y=1387&top_left_x=1365) + +## 1 Cobrindo o Tabuleiro - Solução + +É possível cobrir o tabuleiro por completo com 8 triminós, como indica a figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-01.jpg?height=254&width=368&top_left_y=2046&top_left_x=921) + +## 2 O Número de Zeros + +Resolvendo as expressões abaixo, qual o resultado termina com o maior número de zeros? + +a) $2^{5} \cdot 3^{4} \cdot 5^{6}$. + +b) $2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{5}$. + +c) $4^{3} \cdot 5^{6} \cdot 6^{5}$. + +d) $4^{2} \cdot 5^{4} \cdot 6^{3}$. + +## 2 O Número de Zeros - Solução + +Como $2^{5} \cdot 3^{4} \cdot 5^{6}=10^{5} \cdot 3^{4} \cdot 5$ termina com 5 zeros, $2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{5}=10^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5$ termina com 4 zeros, $4^{3} \cdot 5^{6} \cdot 6^{5}=10^{6} \cdot 6^{5}$ termina em 6 zeros e $4^{2} \cdot 5^{4} \cdot 6^{3}=10^{4} \cdot 6^{3}$ termina em 4 zeros, a opção correta é a letra $C$. + +## 3 Baralho Soma + +Júlia possui um baralho com 18 cartas, numeradas de 1 a 18. Após embaralhar, ela distribui as cartas com os números voltados para baixo, em 3 linhas e 6 colunas, conforme a figura. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-02.jpg?height=514&width=780&top_left_y=1564&top_left_x=519) + +Júlia escolhe uma soma $X$ e vira duas cartas. Se a soma for $X$, ela retira o par da mesa, mas se não for $X$, ela retorna as cartas à posição inicial. Ela repete este processo até que todos os pares com soma igual a $X$ sejam virados. + +a) Se ela escolhe $X=8$, quais pares sairão da mesa? + +b) Para qual valor de $X$ todas as cartas saem da mesa? +c) Para um determinado $X$, exatamente 2 cartas ficam na mesa. Quantos são os possíveis valores de $X$ ? + +## 3 Baralho Soma - Solução + +a) Como $1+7=8,2+6=8,3+5=8$, os pares serão $(1,7),(2,6)$ e $(3,5)$. + +b) Se $X>19$, a carta 1 não poderá formar par com ninguém. Se $X<19$, a carta 18 não fará par com ninguém. Assim, a única possibilidade é $X=19$, o que é possível, pois formaríamos pares com todas as cartas: $(1,18),(2,17),(3,16),(4,15),(5,14),(6,13)$, $(7,12),(8,11),(9,10)$. + +c) 1) Se $X=20$, sobram apenas as cartas 1 e 10; + +2) se $X=21$, sobram as cartas 1 e 2 ; +3) se $X>21$, sobram mais de duas cartas; +4) se $X=18$, sobram as cartas 9 e 18 ; +5) se $X=17$, sobram as cartas 17 e 18 ; +6) se $X<17$ sobram mais de duas cartas. + +Portanto, são 4 valores de $X$ que fazem com que sobrem exatamente 2 cartas sobre a mesa: 17, 18, 20 e 21. + +## 4 Dardos Certeiros + +Na figura, temos um alvo no qual lançam-se dardos. O círculo interno vale 10 pontos, o anel intermediário vale 5 pontos, o anel externo vale 3 pontos e a área externa vale 0 . Caso o dardo acerte uma linha, a pontuação será a média dos pontos das regiões que são divididas pela linha. Em cada jogada, o participante lança 4 dardos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-03.jpg?height=507&width=513&top_left_y=1925&top_left_x=846) +a) As marcas no alvo da figura a seguir indicam os dardos lançados por Leo. Quantos pontos ele fez? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-04.jpg?height=515&width=513&top_left_y=541&top_left_x=671) + +b) Quantos pontos diferentes podem ser obtidos lançando os 4 dardos, sem que nenhum deles acerte qualquer linha? + +c) William pretende fazer 30 pontos nos seus 4 lançamentos. De quantas maneiras diferentes ele pode obter esta soma, não importando a sequência dos dardos, ou seja, as sequências $(10,10,10,0)$ e $(0,10,10,10)$ são consideradas uma forma só de somar 30 pontos $(3 \cdot 10=30)$ ? + +## 4 Dardos Certeiros - Solução + +a) Leo fez $10+5+\frac{5+3}{2}+\frac{3+0}{2}=20,5$ pontos. + +b) A pontuação mínima é 0 e a máxima é 40 . Assim, basta verificarmos para cada um dos naturais neste intervalo a possibilidade de ser uma soma possível. Vamos construir uma tabela, mostrando um exemplo para cada soma possível. + +| $1^{\circ}$ dardo | $2^{\circ}$ dardo | $3^{\circ}$ dardo | $4^{\circ}$ dardo | Soma | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 0 | 0 | 0 | 3 | 3 | +| 0 | 0 | 0 | 5 | 5 | +| 0 | 3 | 3 | 0 | 6 | +| 5 | 0 | 0 | 3 | 8 | +| 3 | 3 | 0 | 3 | 9 | +| 5 | 5 | 0 | 0 | 10 | +| 5 | 3 | 3 | 0 | 11 | +| 3 | 3 | 3 | 3 | 12 | +| 10 | 3 | 0 | 0 | 13 | +| 5 | 3 | 3 | 3 | 14 | +| 5 | 0 | 0 | 10 | 15 | +| 5 | 3 | 5 | 3 | 16 | +| 10 | 5 | 0 | 3 | 18 | +| 3 | 3 | 10 | 3 | 19 | +| 10 | 10 | 0 | 0 | 20 | +| 10 | 5 | 3 | 3 | 21 | +| 10 | 3 | 10 | 0 | 23 | +| 10 | 0 | 10 | 5 | 25 | +| 10 | 3 | 3 | 10 | 26 | +| 10 | 10 | 5 | 3 | 28 | +| 10 | 10 | 10 | 0 | 30 | +| 10 | 10 | 3 | 10 | 33 | +| 10 | 10 | 10 | 5 | 35 | +| 10 | 10 | 10 | 10 | 40 | +| | | | | | + +Portanto, são 25 pontuações diferentes. + +c) Além das pontuações 0, 3, 5 e 10, temos as pontuações das linhas que podem ser 1,5 ou 4 ou 7,5. Para atingirmos 30 pontos, sem atingirmos a região que vale 7,5 , devemos atingir pelo menos dois dardos na região de 10 pontos, ou seja, $(10 ; 10 ; 5 ; 5)$ ou $(10 ; 10 ; 10 ; 0)$. Além destas possibilidades, temos também $(10 ; 7,5 ; 7,5 ; 5)$ e $(7,5 ; 7,5 ; 7,5 ; 7,5)$, totalizando 4 possibilidades ao todo. + +## 5 Laranjas e Maçãs + +Em uma frutaria, Jaime percebeu que uma laranja custa o mesmo que meia maçã mais meio real, percebeu também que um terço de uma maçã custa o mesmo que um quarto de uma laranja mais meio real. Com o valor de 5 laranjas mais 5 reais, quantas maçãs Jaime consegue comprar? + +## 5 Laranjas e Maçãs -Solução + +Se uma laranja custa o mesmo que meia maçã mais meio real, então, 2 laranjas custam o mesmo que 1 maçã mais 1 real; temos também que se um terço de uma maçã custa $o$ mesmo que um quarto de laranja mais meio real, então, multiplicando cada parte por 12, temos que 4 maçãs custam o mesmo que 3 laranjas mais 6 reais. Juntando as duas informações, concluímos que 5 laranjas mais 5 reais custam o mesmo que 5 maçãs. Podemos resolver este problema utilizando o sistema de equações: + +$$ +\left\{\begin{array} { c } +{ L = \frac { M } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \\ +{ \frac { M } { 3 } = \frac { L } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } } +\end{array} \rightarrow \left\{\begin{array} { c } +{ 2 L = M + 1 } \\ +{ 4 M = 3 L + 6 } +\end{array} \rightarrow \left\{\begin{array}{llc} +2 L-1= & M \\ +3 L+6= & 4 M +\end{array}\right.\right.\right. +$$ + +Somando as equações do último sistema, chegamos a $5 L+5=5 M$, ou seja, 5 laranjas mais 5 reais custam o mesmo que 5 maçãs. + +## 6 Calculadora Maluca + +A calculadora de Joseane ficou maluca: para cada algarismo que ela aperta, aparece seu dobro no visor. As teclas de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão funcionam normalmente e não podem ser apertadas duas vezes seguidas. Por exemplo, uma sequência de operações permitida é escrever $2 \rightarrow \times \rightarrow 3$, que gera o número $4 \cdot 6=24$. + +a) Como ela pode fazer aparecer 80 apertando 3 teclas? + +b) Como ela pode fazer aparecer 50 apertando 3 teclas de algarismos e duas de operações de forma alternada? + +c) Qual a menor quantidade de teclas que ela deve apertar para obter no número 23? + +## 6 Calculadora Maluca - Solũ̧̧̃o + +a) Apertando os algarismos, os números que podem aparecer na tela são $0,2,4,6,8$, 10, 12, 14, 16 e 18. Uma maneira de fazer aparecer 80 no visor é apertar a sequência $4 \rightarrow \times \rightarrow 5$, que resulta em $8 \times 10=80$. + +b) A sequência deve ser: algarismo - operação - algarismo - operação - algarismo. Uma maneira é $5 \rightarrow \times \rightarrow 5 \rightarrow \div \rightarrow 1$, que resulta na operação $(10 \times 10) \div 2=50$. + +c) Uma maneira de se obter o 23 é apertar 4 teclas: $2 \rightarrow 3 \rightarrow \div \rightarrow 1$, que resulta em $46 \div 2=$ 23. Como todos os algarismos digitados geram números pares, se usarmos apenas as teclas,+- ou $\times$, o resultado será par e assim ela não obterá o 23. Portanto, o símbolo $\div$ será usado pelo menos uma vez. Se ela usar outra tecla de operação, como elas não podem ser apertadas duas vezes seguidas, será preciso apertar pelo menos 5 teclas. Por outro lado, usando apenas uma operação, precisaremos de pelo menos mais outras duas teclas com algarismos. Como nenhuma divisão admissível entre os algarismos do conjunto $\{0,2, \ldots, 18\}$ produz 23 , o número mínimo de teclas que ela deve usar é 4 . + +## 7 Divisão do Terreno + +Jonas dividiu um terreno quadrado em oito partes retangulares iguais, conforme a figura, dando uma parte para cada um dos seus oito filhos. Para cercar sua parte, Antônia verificou que o seu perímetro era $120 \mathrm{~m}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-07.jpg?height=333&width=328&top_left_y=510&top_left_x=944) + +a) Qual a área do terreno que Jonas dividiu? + +b) Se representarmos o perímetro de um dos terrenos menores por $P$, qual a área original do terreno em função de $P$ ? + +## 7 Divisão do Terreno-Solução + +a) Como o terreno inicialmente era quadrado, após a divisão, o comprimento de cada retângulo mede o dobro de sua largura. Sendo assim, a largura mede $\frac{120}{6}=20 \mathrm{~m}$ e o comprimento $2 \cdot 20=40 \mathrm{~m}$. Portanto, o terreno antes da divisão tinha $80 \mathrm{~m}$ de lado e, consequentemente, $80^{2}=6.400 \mathrm{~m}^{2}$ de área. + +b) Repetindo os passos do item anterior, a largura de cada retângulo mede $\frac{P}{6}$ e o comprimento $\frac{P}{3}$. O lado do quadrado mede $\frac{2 P}{3}$ e, consequentemente, sua área $\frac{4 P^{2}}{9}$. + +## 8 Gincana na Escola + +Uma escola com 862 alunos participará de uma gincana, cujas regras são: + +I) O número de inscritos tem que ser um número entre $\frac{2}{3}$ e $\frac{7}{9}$ do total de alunos da escola. + +II) Como os alunos serão divididos em grupos com 11 alunos, o número de inscritos deverá ser múltiplo de 11. + +Quantas são as possíveis quantidades de inscritos desta escola? + +## 8 Gincana na Escola - Solução + +Como $\frac{2}{3} \cdot 862=574, \overline{6}$ e $\frac{7}{9} \cdot 862=670, \overline{4}$, então a quantidade de alunos deve ser um múltiplo de 11 no intervalo $[575,670]$. O menor múltiplo no intervalo é $53 \cdot 11=583$ e o maior é $60 \cdot 11=660$. Portanto, são $60-52=8$ possíveis quantidades diferentes de alunos desta escola para a participação na gincana. + +## 9 Moedas na Mesa + +Sobre uma mesa estão 10 moedas, todas com "cara" voltada para cima. Uma jogada consiste em virar exatamente 4 moedas. + +a) Qual a quantidade mínima de jogadas para que todas estejam com "coroa" voltada para cima? + +b) Se fossem 11 moedas, seria possível deixar todas com coroa voltada para cima? + +## 9 Moedas na Mesa - Solução + +a) Com 2 jogadas não é possível, pois conseguimos mudar apenas $2 \cdot 4=8$ moedas e precisamos alterar 10. Vamos mostrar agora que é possível com 3 jogadas, analisando a sequência da figura, na qual $k$ representa cara e $C$, coroa. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-08.jpg?height=613&width=1317&top_left_y=1465&top_left_x=272) + +b) Viramos sempre 4 moedas (quantidade par) a cada jogada. Inicialmente, o número de caras (10) e o de coroa (0) é par. Sempre que viramos 4 moedas, a quantidade é par em cara e coroa ou ímpar em ambas, pois a soma das quantidades viradas é par (4). Assim, após cada jogada, a quantidade de caras e de coroas têm mesma paridade (ambas par ou ambas ímpar). Dessa forma, concluímos que não é possível deixar as 11 moedas com "coroa" voltada para cima, pois o número de coroas (11) seria ímpar e o de caras (0) seria par. + +## 10 Misturando Líquidos + +Em um recipiente existem 6 litros de uma mistura homogênea de dois líquidos (alfa e beta) na razão de $7: 2$, enquanto que em outro recipiente existem 9 litros de outra mistura com os mesmos dois líquidos (alfa e beta), só que neste a razão é $4: 7$. Misturando os líquidos dos dois recipientes, qual será a nova razão? + +## 10 Misturando Líquidos -Solução + +No primeiro recipiente a quantidade de líquido alfa é $\frac{7}{9} \cdot 6=\frac{14}{3}$ litros e de beta é $\frac{2}{9} \cdot 6=$ $\frac{4}{3}$ litros, enquanto que no segundo as quantidades de alfa e beta, respectivamente, são $\frac{4}{11} \cdot 9=\frac{36}{11}$ e $\frac{7}{11} \cdot 9=\frac{63}{11}$ litros. Ao misturarmos, obtemos $\frac{14}{3}+\frac{36}{11}=\frac{262}{33}$ litros de alfa e $\frac{4}{3}+\frac{63}{11}=\frac{233}{33}$ litros de beta. Portanto, a razão final da mistura (alfa : beta) é $\frac{\frac{262}{33}}{\frac{233}{33}}=\frac{262}{233}$. + +## 11 Meninos e Meninas na Sala de Aula + +Em uma sala de aula há 50 alunos, dentre meninos e meninas. Pelo menos um dos alunos é menino. Tomando qualquer par de alunos, pelo menos um dos dois é menina. Quantas são as meninas desta sala? + +## 11 Meninos e Meninas na Sala de Aula - Solução + +Já que existe pelo menos um menino, seja João o menino da turma. Para cada par formado com João, pelo menos um é menina, ou seja, qualquer aluno que fizer par com João será menina. Portanto, são 49 meninas nesta turma. + +## 12 Círculo de Alunos + +Os alunos de uma escola formaram um círculo. Jonas e Amanda, que não estavam no círculo, resolveram contar os alunos do círculo, mas cada um iniciando por um aluno diferente, apesar de seguirem no mesmo sentido. Marcos foi o número 37 na contagem de Jonas e o número 15 na de Amanda. Nair foi a número 3 na contagem de Jonas e número 201 na de Amanda. Quantos alunos a escola possui? + +## 12 Círculo de Alunos-Solução + +A contagem de Jonas e Amanda foi no mesmo sentido e eles contaram a mesma quantidade de alunos no círculo. De Marcos até Nair, pela contagem de Amanda, são $201-14=$ 187 alunos. Esse resultado deve ser o mesmo na contagem de Jonas. Como Nair foi a número 3 na contagem de Jonas, significa que Jonas contou até o último aluno do círculo e recomeçou a contagem contando mais 3 . Se ele partiu do 37, então devemos subtrair 36 do total de alunos do círculo e depois somar 3, de forma que o resultado seja 187, ou seja, o total de alunos do círculo é $187+36-3=220$. Não podemos esquecer que Jonas e Amanda também são alunos da escola, mas não estavam no círculo. Portanto, o total de alunos da escola é $220+2=222$. + +Observação: Outra maneira de resolver o problema é utilizar uma equação. Utilizando $x$ para o número de alunos do círculo e observando que as contagens de Jonas e Amanda, de Marcos a Nair, deve dar o mesmo resultado, temos: + +$$ +\begin{aligned} +x-36+3 & =201-14 \\ +x-33 & =187 \\ +x & =187+33 \\ +x & =220 +\end{aligned} +$$ + +Concluímos assim que o número de alunos da escola é $220+2=222$. + +## 13 Passeio de Casais + +Três casais estão em um passeio. Valdir tem 30 reais a mais que Laura e Paulo tem 50 reais a mais que Clara. Cada um dos homens tem exatamente 40 reais a mais que a respectiva esposa. Laura e Clara têm mais dinheiro que Bruna, que só tem 30 reais, e Joaquim é professor de Matemática. + +a) Quem é a esposa de Paulo? + +b) Quem é a esposa de Valdir? + +c) Que quantia Joaquim possui? + +## 13 Passeio de Casais - Solução + +a) Vamos construir um quadro com as iniciais das pessoas, no qual os maridos ficarão na primeira coluna e as esposas na primeira linha. Cada quadrinho associa um homem a uma mulher. Utilizaremos também a notação $x$ para "não é casal"e $\checkmark$ para "é casal". + +| | $C$ | $L$ | $B$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $V$ | | | | +| $P$ | | | | +| $J$ | | | | + +Se Valdir tem 30 reais a mais que Laura, não podem ser um casal, assim como Paulo não pode ser marido de Clara, pois, em ambos os casos, o homem não tem exatamente 40 reais a mais que a mulher. + +| | $C$ | $L$ | $B$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| $V$ | | $x$ | | +| $P$ | $x$ | | | +| $J$ | | | | + +Bruna é quem tem menos dinheiro entre as mulheres, então deve ser esposa do homem que tem menos dinheiro, que não pode ser Paulo. Portanto, Laura é esposa de Paulo. + +| | $C$ | $L$ | $B$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $V$ | | $x$ | | +| $P$ | $x$ | $\checkmark$ | $x$ | +| $J$ | | | | + +b) Supondo que Laura tenha uma quantidade $q$ de reais, então Valdir tem $(q+30)$ e Paulo tem $(q+40)$, pois é marido de Laura e, consequentemente, Clara tem $(q-10)$, pois tem 50 reais a menos que Paulo. Supondo que Bruna seja esposa de Valdir, então Valdir teria $40+30=70$ reais e Clara teria, por consequência, $40-10=30$ reais, que é a mesma quantia de Bruna, o que é absurdo, pois Bruna é a que tem menos. Portanto, a esposa de Valdir é Clara. + +| | $C$ | $L$ | $B$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $V$ | $\checkmark$ | $x$ | $x$ | +| $P$ | $x$ | $\checkmark$ | $x$ | +| $J$ | | | | + +c) Basta agora preenchermos a última linha do quadro e percebermos que, se Bruna é esposa de Joaquim, o professor de matemática, então Joaquim possui $30+40=70$ reais. + +| | $C$ | $L$ | $B$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $V$ | $\checkmark$ | $x$ | $x$ | +| $P$ | $x$ | $\checkmark$ | $x$ | +| $J$ | $x$ | $x$ | $\checkmark$ | + +## 14 Pintando Bolinhas na OBMEP + +Na figura, cada uma das 5 letras possui certa quantidade de círculos. Dispomos de 3 cores (azul, vermelho, laranja) para pintar os círculos (cada um de uma única cor). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-12.jpg?height=209&width=729&top_left_y=1101&top_left_x=545) + +a) De quantas maneiras diferentes podemos pintar os círculos da letra " $\mathrm{O}$ ", não necessariamente usando as 3 cores? + +b) De quantas maneiras diferentes podemos pintar os círculos da letra "E" usando necessariamente as 3 cores? + +c) De quantas maneiras diferentes podemos pintar a letra "B" de forma que círculos ligados por um segmento devam ter cores diferentes? (Os três círculos alinhados na vertical possuem DOIS segmentos separando-os). + +## 14 Pintando Bolinhas na OBMEP - Solução + +a) São 3 possibilidades de cores para cada um dos círculos. Portanto, podemos pintá-lo de $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81$ maneiras. + +b) Sem considerar a restrição (usar necessariamente as 3 cores), o total de possibilidades, conforme o raciocínio do item anterior, é $3^{6}=729$. Vamos agora descontar deste resultado as possibilidades nas quais utilizamos apenas 1 ou 2 cores. Escolhendo apenas 2 cores, por exemplo, azul e vermelho, temos $2^{6}-2=62$ possibilidades de pintar com 2 cores (subtraímos 2 para descontar as duas possibilidades nas quais pintamos somente de azul e somente de vermelho. Calma! Já as colocaremos novamente). Se +escolhermos azul e laranja, assim como laranja e vermelho, também teremos 62 possibilidades em cada. Lembrando que em 3 possibilidades ficam todos os círculos da mesma cor, temos, portanto, um total de $729-3 \cdot 62-3=540$ maneiras de pintar os círculos da letra $E$ utilizando todas as cores. + +c) Vamos pintar logo o círculo do ponto médio do segmento vertical, pois ele tem segmento comum com todos os demais: são 3 possibilidades. Agora, sobraram duas cores para pintar os 2 círculos de cima e as mesmas 2 cores para os de baixo. Supondo que o primeiro círculo foi pintado de azul, podemos pintar os círculos de cima de vermelho - laranja ou laranja - vermelho, ou seja, 2 possibilidades, assim como os 2 debaixo. Portanto, são $3 \cdot 2 \cdot 2=12$ maneiras. + +## 15 Área no Quadriculado + +Nas figuras, os quadriculados são compostos por quadradinhos com $1 \mathrm{~cm}$ de lado. + +a) Qual a área cinza do quadriculado a seguir? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-13.jpg?height=354&width=667&top_left_y=1417&top_left_x=798) + +b) Qual a área cinza do quadriculado a seguir? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-13.jpg?height=341&width=669&top_left_y=2050&top_left_x=794) +c) Qual a área da parte branca do quadriculado, sabendo que a área cinza escuro (2 quadriláteros e 1 triângulo) tem $4 \mathrm{~cm}^{2}$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-14.jpg?height=394&width=763&top_left_y=416&top_left_x=549) + +## 15 Área no Quadriculado - Solução + +a) Vamos dividir a parte cinza da figura em triângulos e retângulos, de maneira que os triângulos tenham a metade da área de um retângulo composto por um número inteiro de quadradinhos e cada retângulo composto por um número inteiro de quadradinhos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-14.jpg?height=383&width=746&top_left_y=1368&top_left_x=563) + +Assim, temos que a área cinza é $\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+6+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+2+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=16 \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Vamos repetir o mesmo procedimento do item anterior. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-14.jpg?height=378&width=748&top_left_y=2063&top_left_x=562) + +Portanto, a área cinza é $\frac{4}{2}+2+\frac{6}{2}+2+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+\frac{8}{2}=15 \mathrm{~cm}^{2}$. + +c) Primeiro devemos perceber que esta figura é a união das figuras dos dois primeiros itens. Com isso, podemos dizer que a área do retângulo total é a soma das áreas cinzas dos dois primeiros itens, mais a área branca, menos a área cinza escuro, pois foi contada duas vezes. Seja $x$ a área branca (soma das três partes), temos: + +$$ +\begin{aligned} +16+15+x-4 & =8 \cdot 4 \\ +x+27 & =32 \\ +x & =5 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, a área da parte branca é $5 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 16 Cooperativa Agrícola + +Uma cooperativa agrícola de pequenos produtores criou uma numeração própria com 6 algarismos para que o consumidor identifique a procedência dos produtos: + +I) Os 2 primeiros algarismos indicam a sub-região, que são 27 , numeradas de 01 a 27 . + +II) Os 2 algarismos seguintes dizem respeito ao produtor, sendo que cada sub-região possui 40, numerados de 31 a 70 (perceba que existe o produtor 35 , por exemplo, na sub-região 01, na 02, na $03 \ldots$..., ou seja, são 27 produtores número 35 ). + +III) Os 2 últimos algarismos referem-se ao tipo de produto, que são 28, numerados de 71 a 98 . + +Por exemplo, o número 074197 corresponde a um produto da sub-região 07, produtor 41 desta sub-região, tipo 97. + +a) Carlos anotou o número na sequência errada, trocando de lugar as 3 partes do código, anotando 900950. Mesmo assim é possível identificar sub-região, produtor e tipo do produto? + +b) Ao todo, quantos códigos diferentes podem ser gerados, de forma que atenda às condições da cooperativa? + +c) Júnior é um consumidor supersticioso. Ele detesta o número 15, não comprando qualquer produto que o contenha. Quantos são os códigos de produtos nesta situação? + +## 16 Cooperativa Agrícola - Solução + +a) É possível, pois as numerações de cada um dos três elementos é diferente. O produto de Carlos é da sub-região 09, Carlos é o produtor 50 desta sub-região e o tipo de produto é 90 . + +b) São três elementos que compõem o código. No primeiro são 27 opções, no segundo são 40 e no terceiro são 28. Assim, o total de códigos possíveis é $27 \cdot 40 \cdot 28=30.240$. + +c) Fixando 15 nos dois primeiros algarismos, são $40 \cdot 27=1.080$ possibilidades. Fixando 15 na segunda e terceira posições do código, temos 3 possibilidades para o $1^{\circ}$ algarismo ( 0,1 ou 2 ), 10 para o $4^{\circ}$ e 28 para os 2 últimos, ou seja, são $3 \cdot 10 \cdot 28=840$ possibilidades. Como 15 não pode aparecer em outras posições temos, portanto, $1.080+840=1.920$ códigos de produtos nessa situação. + +## 17 Dividindo Áreas + +Na figura, temos um retângulo e um quadrado interno ao retângulo. A área cinza é a área do retângulo que não pertence ao quadrado. É possível dividir a área cinza em duas partes de mesma área com apenas uma reta, qualquer que seja a posição do quadrado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-16.jpg?height=481&width=761&top_left_y=1459&top_left_x=526) + +## 17 Dividindo Áreas - Solução + +Em um retângulo qualquer, valendo também para o quadrado, é claro que podemos dividilo em duas áreas iguais passando uma reta pelo seu centro (encontro das diagonais). Como na figura, queremos dividir a área cinza em duas com mesma área, basta passarmos uma reta pelo centro do retângulo e pelo centro do quadrado, já que a área cinza é a diferença entre essas duas áreas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-17.jpg?height=490&width=788&top_left_y=289&top_left_x=711) + +## 18 Números no Tabuleiro + +João quer escrever os números de 1 até 12 nas 12 casinhas de um tabuleiro $3 \times 4$ + +a) Na figura abaixo, dê um exemplo do preenchimento de João de modo que a soma dos números nas três linhas seja a mesma. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-17.jpg?height=312&width=410&top_left_y=1361&top_left_x=900) + +b) É possível que João consiga obter uma distribuição nesse tabuleiro de modo que a soma dos números em cada coluna seja sempre a mesma? + +18 Números no Tabuleiro - Solução + +a) Uma solução para que as três linhas tenham a mesma soma é: + +| 1 | 2 | 11 | 12 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 3 | 4 | 9 | 10 | +| 5 | 6 | 7 | 8 | + +Veja que + +$$ +\begin{aligned} +1+2+11+12 & = \\ +3+4+9+10 & = \\ +5+6+7+8 & =26 +\end{aligned} +$$ + +b) Não. A soma de todos os números do tabuleiro é igual a + +$$ +1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78 +$$ + +Se cada coluna tivesse a mesma soma $C$, então a soma total deveria ser $4 C$. Entretanto, 78 não é um múltiplo de 4. + +## 19 Sequências Numéricas + +Janete brinca com os números criando sequências a partir de um número de 4 algarismos: + +I) Primeiro ela divide o número em duas partes, sendo a primeira formada pelos dois primeiros algarismos e a segunda pelos dois últimos. + +II) Se o número de uma das partes é par, ela divide-o por 2, mas se for ímpar ela soma 1 . + +III) Em seguida, ela junta os dois resultados (na ordem original). + +IV) Se continuar com 4 algarismos, repete o processo; se o novo número tiver 3 algarismos ela o separa em duas partes, sendo a primeira com apenas o primeiro algarismo e a segunda com os dois últimos e repete o processo; se tiver 2 algarismos, ela repete o processo, sem dividir o número. + +V) Esse processo é repetido até chegar em um número com apenas 1 algarismo, quando encerra a sequência. + +Por exemplo, vamos construir a sequência que começa com 1.617: + +$$ +\begin{aligned} +& 1617 \rightarrow 16|17 \rightarrow 818 \rightarrow 8| 18 \rightarrow 49 \rightarrow \\ +& 50 \rightarrow 25 \rightarrow 26 \rightarrow 13 \rightarrow 14 \rightarrow 7 . +\end{aligned} +$$ + +Portanto, a sequência é: + +$$ +1617 \rightarrow 818 \rightarrow 49 \rightarrow 50 \rightarrow 25 \rightarrow 26 \rightarrow 13 \rightarrow 14 \rightarrow 7 +$$ + +a) Qual a sequência que começa com 2.020? + +b) Qual o $5^{\circ}$ termo da sequência que começa com 8.998 ? + +c) Vamos chamar de subsequência os 5 últimos números de uma sequência. Quantas subsequências diferentes existem que terminam em 7, mas que todos os seus termos sejam formados por números de 2 algarismos, com exceção do 7 ? + +## 19 Sequências Numéricas -Solução + +a) Temos: + +$$ +\begin{aligned} +& 2020 \rightarrow 20|20 \rightarrow 1010 \rightarrow 10| 10 \rightarrow \\ +& \begin{array}{llllllll} +55 & \rightarrow & \rightarrow 6 & \rightarrow & 28 & \rightarrow & 14 & \rightarrow +\end{array} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, a sequência é: + +$$ +2020 \rightarrow 1010 \rightarrow 55 \rightarrow 56 \rightarrow 28 \rightarrow 14 \rightarrow 7 +$$ + +b) Temos: + +$$ +\begin{aligned} +& 8998 \rightarrow 89|98 \rightarrow 9049 \rightarrow 40| 49 \rightarrow \\ +& 4550 \rightarrow 45|50 \rightarrow 4625 \rightarrow 46| 25 \rightarrow \quad 2326 . +\end{aligned} +$$ + +Portanto, o $5^{\circ}$ termo da sequência é 2326. + +c) Precisamos pensar neste problema de "trás para frente". Para chegarmos ao 7, necessariamente passamos pelo 14; para chegarmos ao 14, passamos pelo 13 ou 28; para chegarmos ao 13 passamos pelo 26; para chegarmos ao 28, passamos pelo 27 ou 56; para chegarmos ao 26, passamos pelo 25 ou 52; para chegarmos ao 27 , passamos pelo 54 e para chegarmos ao 56, passamos pelo 55. Portanto, são 4 sequências: + +$$ +\begin{aligned} +& 25 \rightarrow 26 \rightarrow 13 \rightarrow 14 \rightarrow 7 \\ +& 52 \rightarrow 26 \rightarrow 13 \rightarrow 14 \rightarrow 7 \\ +& 54 \rightarrow 27 \rightarrow 28 \rightarrow 14 \rightarrow 7 \\ +& 55 \rightarrow 56 \rightarrow 28 \rightarrow 14 \rightarrow 7 +\end{aligned} +$$ + +## 20 Dobrando Papéis + +A figura é um recorte de papel formado por um quadrado de lados medindo $10 \mathrm{~cm}$ e dois triângulos isósceles (triângulo isósceles são triângulos com dois lados de mesma medida). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-20.jpg?height=436&width=854&top_left_y=533&top_left_x=477) + +a) Dobrando um dos triângulos sobre o quadrado, conforme a figura, qual a área do quadrado que fica visível? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-20.jpg?height=439&width=592&top_left_y=1269&top_left_x=611) + +b) Dobrando os dois triângulos sobre o quadrado, conforme a figura, qual a área do quadrado que fica visível? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-20.jpg?height=280&width=293&top_left_y=2004&top_left_x=784) + +## 20 Dobrando Papéis - Solução + +a) A área visível é a diferença entre a área do quadrado e a área do triângulo, ou seja, $10^{2}-\frac{10 \cdot 10}{2}=50 \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Vamos dividir a figura em triângulos de mesma área e, para isso, basta traçarmos um segmento unindo os pontos médios dos lados verticais. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-21.jpg?height=296&width=289&top_left_y=719&top_left_x=987) + +A figura foi dividida em 8 triângulos de mesma área, sendo $\frac{100}{8}=12,5 \mathrm{~cm}^{2}$ a área de cada. Portanto, a área visível é $2 \cdot 12,5=25 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## 21 A Professora Célia + +A professora Célia, em uma aula sobre sequências, resolve fazer uma brincadeira de adivinhação com padrões: + +I) Primeiro ela escolhe um número Natural. + +II) Cláudia deve dizer o dobro do seu sucessor. + +III) Marcelo deve dizer o triplo do antecessor dito por Cláudia. + +IV) Por fim, Ademar deve dizer o quádruplo do sucessor do número dito por Marcelo. + +a) Se a professora Célia escolher 3 , qual será a sequência formada pelos 4 números? + +b) Diani estava no banheiro e quando voltou, ouviu Ademar dizendo 184. Qual foi o número escolhido pela professora? + +c) Crie uma expressão para determinar o número escolhido pela professora se Ademar disse que o resultado é $x$. + +## 21 A Professora Célia-Solução + +a) Se a professora Célia escolher 3, Cláudia deve dizer $2 \cdot 4=8$, Marcelo deve dizer 3$\cdot$7 = 21 e Ademar deve dizer $4 \cdot 22=88$. + +b) Precisamos analisar o problema de "trás para frente", utilizando as operações inversas. Se Ademar disse 184, então Marcelo só pode ter dito $\frac{184}{4}-1=46-1=45$ e, consequentemente, Cláudia só pode ter dito $\frac{45}{3}+1=16$, por fim, a professora Célia deve ter dito $\frac{16}{2}-1=7$. + +c) Usando o raciocínio do item anterior, se Ademar disse $x$, então Marcelo deve ter dito $\frac{x}{4}-1$, Cláudia deve ter dito $\frac{\frac{x}{4}-1}{3}+1$ e o número escolhido pela professora foi + +$$ +\frac{\frac{\frac{x}{4}-1}{3}+1}{2}-1=\frac{x-16}{24} +$$ + +## 22 Cartões Numerados + +Janaína comprou um baralho diferente: são 180 cartas numeradas de 1 a 180, sendo que as cartas pares são vermelhas e as cartas ímpares são azuis. + +a) Quantas cartas são múltiplas de 7 e vermelhas? + +b) Quantas cartas são múltiplas de 7 ou vermelhas? + +c) Janaína escolheu aleatoriamente 80 cartas, todas, coincidentemente, pretas. Qual a quantidade mínima de cartas múltiplas de 7 ? + +## 22 Cartões Numerados -Solução + +a) Como as cartas vermelhas são pares, então as vermelhas que são múltiplas de 7 devem ser múltiplas também de 2 , ou seja, devem ser múltiplas de 14 . O primeiro múltiplo de 14 é o próprio $14=1 \cdot 14$, enquanto que o último é $168=12 \cdot 14$, ou seja, são 12 cartas vermelhas e múltiplas de 7. + +b) O primeiro múltiplo de 7 ímpar é $7=1 \cdot 7$ e o último é $175=25 \cdot 7$, ou seja, são 13 múltiplos de 7 que são ímpares. Assim, o número de cartas vermelhas ou múltiplas de 7 é $90+13=103$. +c) Como existem 13 cartas azuis que são múltiplas de 7, a quantidade mínima delas, dentre as 80 azuis é 3 , pois a quantidade máxima de azuis múltiplas de 7 não escolhidas é 10. + +## 23 Batalha de Vírus + +Em uma célula existem 10 vírus tipo $A$. Em determinado momento, um vírus tipo $B$ entra nesta célula. Depois disso, de hora em hora, cada vírus $B$ mata um vírus $A$ e, imediatamente após este evento, cada vírus se divide em 2 , ambos do mesmo tipo desse vírus. + +a) Depois de 3 horas da chegada do vírus $B$ na célula, qual a quantidade de cada tipo de vírus, incluindo as duplicações das batalhas após $3 h$ ? + +b) Depois de quanto tempo a quantidade de vírus tipo B será igual à quantidade de vírus do tipo $A$ ? + +c) Os vírus tipo $A$ serão extintos da célula? + +## 23 Batalha de Vírus - Solução + +a) Vamos construir um quadro para acompanhar o processo: + +| | Vírus $A$ | Vírus $B$ | Vírus $A$ | Vírus $B$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | Antes da duplicação | Antes da duplicação | Após a duplicação | Após a duplicação | +| $1 h$ | 9 | 1 | 18 | 2 | +| $2 h$ | 16 | 2 | 32 | 4 | +| $3 h$ | 28 | 4 | 56 | 8 | + +Portanto, após $3 h$ haverá 56 vírus tipo $A$ e 8 tipo $B$. + +b) Continuando a tabela, temos: + +| | Vírus $A$ | Vírus $B$ | Vírus $A$ | Vírus $B$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | Antes da duplicação | Antes da duplicação | Após a duplicação | Após a duplicação | +| $1 h$ | 9 | 1 | 18 | 2 | +| $2 h$ | 16 | 2 | 32 | 4 | +| $3 h$ | 28 | 4 | 56 | 8 | +| $4 h$ | 48 | 8 | 96 | 16 | +| $5 h$ | 80 | 16 | 160 | 32 | +| $6 h$ | 128 | 32 | 256 | 64 | +| $7 h$ | 192 | 64 | 384 | 128 | +| $8 h$ | 256 | 128 | 512 | 256 | +| $9 h$ | 256 | 256 | 512 | 512 | + +Portanto, depois de 9 horas a quantidade de vírus tipo $B$ será maior. + +c) Pelo item anterior, vimos que depois de $9 h$ as quantidades de vírus de cada tipo são as mesmas. Portanto, depois de mais de $1 h$, ou seja, após $10 h$ da chegada do vírus tipo $B$, os vírus tipo $A$ serão extintos. + +## 24 Operaç̃̃es no Tabuleiro + +Considere o tabuleiro a seguir + +| 1 | 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | 5 | 6 | +| 7 | 8 | 9 | + +Uma operação permitida é escolher uma linha horizontal ou vertical e somar 1 aos três números ou subtrair 1 de todos eles. Determine se é possível, mediante uma sequência de operações permitidas, obter o tabuleiro. + +| 9 | 8 | 7 | +| :--- | :--- | :--- | +| 6 | 5 | 4 | +| 3 | 2 | 1 | + +## 24 Operações no Tabuleiro-Solução + +Sim, é possível. Somando 1 oito vezes na primeira linha, obtemos: + +| 9 | 10 | 11 | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | 5 | 6 | +| 7 | 8 | 9 | + +Agora somando 1 duas vezes na linha do meio: + +| 9 | 10 | 11 | +| :---: | :---: | :---: | +| 6 | 7 | 8 | +| 7 | 8 | 9 | + +Subtraindo 1 quatro vezes da terceira linha, temos: + +| 9 | 10 | 11 | +| :---: | :---: | :---: | +| 6 | 7 | 8 | +| 3 | 4 | 5 | + +Escolhendo agora subtrair 1 duas vezes a segunda linha vertical: + +| 9 | 8 | 11 | +| :---: | :---: | :---: | +| 6 | 5 | 8 | +| 3 | 2 | 5 | + +Finalmente, escolhendo 4 vezes a terceira linha vertical para subtrair 1, obtemos: + +| 9 | 8 | 7 | +| :--- | :--- | :--- | +| 6 | 5 | 4 | +| 3 | 2 | 1 | + +## 25 Os Triângulos Equiláteros + +Na figura a seguir, o perímetro do triângulo equilátero maior é $24 \mathrm{~cm}$ e cada um dos triângulos menores também são equiláteros. Qual a soma dos comprimentos de todos os segmentos desenhados na figura? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-25.jpg?height=450&width=516&top_left_y=1792&top_left_x=839) + +## 25 Os Triângulos Equiláteros - Solução + +Como o perímetro do triângulo maior é $24 \mathrm{~cm}$, segue que o lado de cada um dos triângulos menores é $1 \mathrm{~cm}$. Para encontrar a soma de todos os segmentos, basta somar os perímetros dos triângulos cinzas e dos triângulos pretos da figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-26.jpg?height=447&width=516&top_left_y=543&top_left_x=646) + +Ao todo temos 27 triângulos, cada um de perímetro $3 \mathrm{~cm}$, totalizando $27 \cdot 3=81 \mathrm{~cm}$. + +## 26 A Adivinhação do Número de Pedras + +Seis pessoas tentam advinhar o número de pedras que há em uma caixa. Alberto diz que há 52 pedras, Bernardo diz que há 59, Carlos diz 62, Davi 65, Eduardo 49 e Felipe 42. Todos erraram, sendo que alguns disseram um número maior e outros um número menor. As medidas de seus erros foram $1,4,6,9,11$ e 12, em alguma ordem. Determine quantas pedras há na caixa e o erro de cada um. + +## 26 Adivinhação do Número de Pedras - Solução + +O maior erro que apareceu na lista é 12. Assim, para cada número $k$ mencionado pelas pessoas, o número de pedras deve estar entre $k-12 \mathrm{e} k+12$. Para restringir nossa análise sobre as possíveis quantidades de pedras, analisemos o maior e o menor número que foram mencionados: 65 e 42. Consequentemente, a quantidade de pedras não pode ser menor que $65-12=53$ e não pode ser maior que $42+12=54$. Se a quantidade de pedras fosse 54, como Alberto falou 52, o número 2 deveria aparecer entre os erros. Dado que isso não aconteceu, a quantidade de pedras é 53 e os erros de cada um foram: + +| Alberto | $1=53-52$ | +| :--- | :--- | +| Bernardo | $6=59-53$ | +| Carlos | $9=62-53$ | +| Davi | $12=65-53$ | +| Eduardo | $4=53-49$ | +| Felipe | $11=53-42$ | + +## 27 Ladrões que roubam ladrões + +Três ladrões $A, B$ e $C$ repartiram em partes iguais o resultado de um roubo. Na primeira noite, enquanto $C$ dormia, $A$ e $B$ retiraram metade do que ele tinha e repartiram em partes iguais entre si. Na segunda noite, enquanto $A$ dormia, $B$ e $C$ retiraram metade do que ele tinha e repartiram em partes iguais entre si. Na terceira noite, enquanto $B$ dormia, $A$ e $C$ retiraram metade do que ele tinha e repartiram em partes iguais entre si. Na manhã seguinte, eles se separaram para sempre. Quando $B$ contou seu dinheiro, percebeu que possuía $\mathrm{R} \$ 10.000,00$. Determina a quantia inicial que foi roubada pelos ladrões. + +## 27 Ladrões que roubam ladrões - Solução + +Seja $x$ a quantidade de dinheiro que cada ladrão recebeu na divisão inicial do resultado do roubo. Na primeira noite, $x / 2$ do dinheiro de $C$ é dividido em duas parcelas de $1 / 2 \cdot x / 2=$ $x / 4$, uma para $A$ e outra para $B$. Após essa distribuição, $A$ e $B$ passam a ter $x+x / 4=5 x / 4$. A tabela a seguir indica o quanto cada um possuía em cada noite. + +| | $A$ | $B$ | $C$ | +| :--- | :---: | :---: | :---: | +| Início | $x$ | $x$ | $x$ | +| Noite 1 | $5 x / 4$ | $5 x / 4$ | $x / 2$ | +| Noite 2 | $5 x / 8$ | $25 x / 16$ | $13 x / 16$ | +| Noite 3 | $65 x / 64$ | $25 x / 32$ | $77 x / 64$ | + +Como + +$$ +\begin{aligned} +\frac{25 x}{32} & =10.000 \\ +x & =12.800 +\end{aligned} +$$ + +Portanto a quantia inicial foi de $3 \cdot 12.800=\mathrm{R} \$ 38.400,00$. + +## 28 Cobrindo o Tabuleiro com Dominós + +Algumas peças cinzas no formato de um dominó $2 \times 1$ podem ser usadas para cobrir os quadradinhos de um tabuleiro $5 \times 5$. Dizemos que o tabuleiro está lotado quando não há espaço para colocar novas peças, como no exemplo abaixo. Qual o menor número de peças que devemos usar para deixar um tabuleiro lotado? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-28.jpg?height=367&width=365&top_left_y=615&top_left_x=732) + +## 28 Cobrindo o Tabuleiro com Dominós -Solução + +A figura a seguir exibe um exemplo de um tabuleiro lotado com 9 peças. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-28.jpg?height=368&width=368&top_left_y=1323&top_left_x=720) + +Vamos mostrar que 9 é o menor número de peças para que o tabuleiro se torne lotado. Suponha que existe uma configuração lotada com 8 peças ou menos e divida o tabuleiro como indicado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-28.jpg?height=372&width=365&top_left_y=1950&top_left_x=732) + +Nesse desenho, temos os subtabuleiros $X, Y, Z$ e $T$ de dimensões $2 \times 2$ nos cantos. Como estamos supondo que a configuração é lotada, cada um desses subtabuleiros tem casas +em comum com pelo menos 2 peças. Além disso, uma peça não pode ter casas em comum com dois desses subtabuleiros. Assim, as peças dessa configuração podem ser divididas em 4 pares distintos e o total de peças é 8. Nessa situação, o quadrado central não pode ser coberto por nenhuma peça e os quadrados vizinhos a ele, chamados de $A, B, C$ e $D$, devem ser cobertos por alguma peça, pois caso contrário seria possível inserir mais uma peça na configuração. Note que os dominós que cobrem as peças $A, B, C$ e $D$ são todas distintas e nenhuma delas pode estar totalmente contida na cruz pintada de cinza. Consequentemente, 4 peças da configuração devem estar contidas no quadrado central $3 \times 3$ da figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-29.jpg?height=368&width=365&top_left_y=757&top_left_x=925) + +As outras 4 peças devem cobrir os 16 quadradinhos do bordo do tabuleiro. Como entre elas pode existir no máximo um quadradinho vazio, essas 4 peças cobrem no máximo $4 \cdot 2+4=12$ quadradinhos do bordo e assim é possível colocar mais uma peça. Portanto, não pode existir uma configuração lotada com 8 peças. + +## 29 Números na Poligonal + +Os números $1,2,3, \ldots, 14$ devem ser escritos nos 14 vértices da linha poligonal abaixo de modo que as somas dos 4 números escritos em cada um dos 7 segmentos da poligonal seja a mesma. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-29.jpg?height=436&width=513&top_left_y=1807&top_left_x=859) + +a) Qual a soma de todos os números de 1 a 14? + +b) Qual deve ser a soma dos números escritos em um segmento? +c) Dê um exemplo de distribuição desses números. + +## 29 Números na Poligonal - Solução + +a) A soma de todos os números que devem ser escritos é + +$$ +1+2+3+\ldots+14=105 +$$ + +b) Ao somarmos os números escritos em cada um dos 7 segmentos, cada um deles será somado duas vezes. Portanto, a soma comum a cada um desses segmentos é $\frac{105 \cdot 2}{7}=$ 30. + +c) A figura abaixo mostra uma possível distribuição + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_3fc4f3a6ef7302a792fcg-30.jpg?height=489&width=555&top_left_y=1077&top_left_x=629) + +## 30 Professor Piraldo + +O professor Piraldo fará uma avaliação para 5 alunos de uma turma: Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo. Essa prova consiste em chamar cada um ao quadro, uma única vez, para resolver um problema cada. + +a) De quantas maneiras diferentes o professor pode chamá-los ao quadro? + +b) Em quantas destas sequências eles NÃO estão em ordem alfabética? + +c) Em quantas dessas sequências Arnaldo e Bernaldo são chamados em posições consecutivas? + +## 30 Professor Piraldo - Solução + +a) Para o primeiro aluno são 5 possibilidades, para o segundo 4 possibilidades, para o terceiro 3, para o quarto 2 e para o último, apenas, uma possibilidade. Portanto, o total de possibilidades é $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$. + +b) Existe apenas uma sequência na qual eles irão ao quadro em ordem alfabética. Sendo assim, o número de sequências nas quais eles NÃO irão em ordem alfabética é $120-1=$ 119. + +c) Vamos considerar Arnaldo e Bernaldo como se fossem apenas uma pessoa: ABnaldo. Assim, seriam $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24$ possibilidades, onde, para cada uma delas, podemos trocar a posição de Arnaldo e Bernaldo mantendo-os lado a lado. Portanto, o total de possibilidades é $2 \cdot 24=48$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N2.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57b258510bcb7a69089f1c7c1e470bd63cea303c --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N2.md @@ -0,0 +1,910 @@ +# ENUNCIADOS E SOLUÇÕES DO NÍVEL 2 + +## 1 Pontos Equilegais + +No quadriculado da figura, dizemos que dois ou mais pontos nas intersecções das linhas são equilegais, em relação a um ponto fixo, quando suas distâncias são iguais a este. Por exemplo, $B$ e $C$ são equilegais em relação a $A$, mas $B$ e $D$ não são. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-01.jpg?height=426&width=428&top_left_y=1257&top_left_x=888) + +a) Marque, no quadriculado a seguir, os pontos equilegais a $K$ em relação a $J$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-01.jpg?height=421&width=413&top_left_y=1878&top_left_x=925) + +b) Se os pontos não precisarem ser nas intersecções das linhas, que figura será formada no plano do quadriculado dos pontos equilegais a $K$ em relação a $J$ ? +c) Se os pontos não precisarem ser no plano do quadriculado, que figura será formada dos pontos equilegais a $K$ em relação a $J$ ? + +## 11 Pontos Equilegais-Solução + +a) Supondo que a medida do lado de cada quadradinho seja $1 \mathrm{~cm}$, então a distância $d$ de $K$ a $J$ pode ser determinada pelo Teorema de Pitágoras: $d^{2}=2^{2}+1^{2}$, donde concluímos que $d=\sqrt{5} \mathrm{~cm}$. Todos os pontos das intersecções que estiverem à distância de $\sqrt{5} \mathrm{~cm}$ de $J$ serão equilegais a $K$. Vamos marcá-los: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-02.jpg?height=420&width=425&top_left_y=895&top_left_x=718) + +b) O conjunto de pontos equidistantes de $J$ é uma circunferência cuja medida do raio é $\sqrt{5} \mathrm{~cm}$. + +c) No espaço, o conjunto de pontos equidistantes a um ponto qualquer é uma superfície esférica. + +## 2 Expressão no Quadro + +O professor M. A. Luco escreveu no quadro a expressão: + +$$ +\frac{n^{2}-5 n+4}{n-4} +$$ + +Então, ele diz aos alunos que $n$ pode ser qualquer número natural, com exceção de 4 . + +a) Qual o valor da expressão para $n=1$ ? + +b) Marcos substituiu $n$ por um número natural e verificou que o valor da expressão é 5 . Marcos substituiu $n$ por qual número? + +c) Quais são os números naturais que não podem ser o valor numérico da expressão? + +## 2 Expressão no Quadro - Solução + +a) Para $n=1$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{n^{2}-5 n+4}{n-4} & =\frac{1^{2}-5 \cdot 1+4}{1-4} \\ +& =\frac{1-5+4}{-3} \\ +& =0 +\end{aligned} +$$ + +b) Igualando a expressão a 5, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{n^{2}-5 n+4}{n-4} & =5 \\ +n^{2}-5 n+4 & =5(n-4) \\ +n^{2}-10 n+24 & =0 \\ +n & =\frac{10 \pm \sqrt{(-10)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \\ +& =\frac{10 \pm \sqrt{100-96}}{2} \\ +& =\frac{10 \pm 2}{2} \\ +& =5 \pm 1 +\end{aligned} +$$ + +Portanto, Marcos substituiu $n$ por 6 , já que $n \neq 4$. + +c) Fatorando o numerador e lembrando que $n \neq 4$, temos: + +$$ +\frac{n^{2}-5 n+4}{n-4}=\frac{(n-4)(n-1)}{n-4}=n-1 +$$ + +Como $n \neq 4$, então $n-1 \neq 3$. Portanto, a expressão pode assumir qualquer valor natural com exceção de 3. + +## 3 Nem Todos Passaram + +Em uma turma existem 70 alunos, tais que: +I) 14 meninos passaram em Matemática; + +II) 12 meninos passaram em Física; + +III) 10 meninos e 16 meninas não passaram em Matemática nem em Física; + +IV) 32 são meninos; +V) 10 passaram nas duas disciplinas; + +VI) 22 passaram apenas em Matemática. + +Quantas meninas passaram somente em Física? + +## 3 Nem Todos Passaram - Solução + +Para resolver o problema, vamos utilizar o diagrama abaixo, no qual o retângulo superior representa as quantidades de meninos em cada caso e o inferior as quantidades de meninas; na circunferência da esquerda, a quantidade de alunos que passou em matemática, enquanto que na da direita, a quantidade que passou em física, sendo que na intersecção, a quantidade que passou em ambos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-04.jpg?height=647&width=809&top_left_y=1564&top_left_x=505) + +Agora, vamos preenchendo o diagrama, utilizando as informações, usando uma sequência conveniente. Por $I I I$, temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-05.jpg?height=653&width=825&top_left_y=276&top_left_x=695) + +Por $I V$ e $I$, como 32 são meninos e 14 deles passaram em matemática, então $32-14=18$ não passaram em matemática, o que significa que $18-10=8$ deles passou apenas em física. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-05.jpg?height=645&width=812&top_left_y=1520&top_left_x=694) + +Por $I I$, como 12 meninos passaram em física, então $12-8=4$ deles passaram também em matemática. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-06.jpg?height=640&width=804&top_left_y=283&top_left_x=505) + +Por $I$, como 14 meninos passaram em matemática, então $14-4=10$ deles passaram apenas em matemática. Com isso, já determinamos todas as quantidades relacionadas aos meninos. + +| | meninos | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | + +Por $V$, como 10 alunos passaram nas duas disciplinas, então $10-4=6$ meninas passaram em ambas. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-07.jpg?height=653&width=825&top_left_y=276&top_left_x=695) + +Por $V I$, como 22 passaram apenas em matemática, então $22-10=12$ meninas passaram apenas em matemática. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-07.jpg?height=651&width=825&top_left_y=1385&top_left_x=695) + +Como já temos $10+10+4+8+12+6+16=66$ alunos no diagrama, a quantidade de meninas que passou apenas em física é $70-66=4$. + +## 4 Quadrilatero, mas não um Qualquer + +Seja $A B C D$ um quadrilátero tal que $A C=B C+C D$. Se $\angle B C D=120^{\circ}, \overline{C A}$ é bissetriz e $A B=x$, qual o valor de $B D$, em função $x$ ? + +## 4 Quadrilátero, mas não um Qualquer - Solução + +Vamos analisar a figura: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-08.jpg?height=770&width=750&top_left_y=736&top_left_x=545) + +Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo $A B C$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}=b^{2}+(b+c)^{2}-2 \cdot b \cdot(b+c) \cdot \cos 60^{\circ} \\ +& x^{2}=b^{2}+b^{2}+2 b c+c^{2}-2 b^{2} \frac{1}{2}-2 b c \frac{1}{2} \\ +& x^{2}=b^{2}+b^{2}+2 b c+c^{2}-b^{2}-b c \\ +& x^{2}=b^{2}+b c+c^{2} +\end{aligned} +$$ + +Aplicando agora a Lei dos Cossenos no triângulo $B C D$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +B D^{2} & =b^{2}+c^{2}-2 \cdot b \cdot c \cdot \cos 120^{\circ} \\ +B D^{2} & =b^{2}+c^{2}-2 b c\left(-\cos 60^{\circ}\right) \\ +B D^{2} & =b^{2}+c^{2}+b c \\ +B D^{2} & =x^{2} \\ +B D & =x +\end{aligned} +$$ + +## 5 Números com 5 Algarismos + +Com 5 algarismos não nulos, podemos formar 120 números, sem repetir algarismo em um mesmo número. Seja $S$ a soma de todos esses números. Determine a soma dos algarismos de $S$, sendo: + +a) 1, 3, 5, 7 e 9 os 5 algarismos; + +b) 0, 2, 4, 6 e 8 os 5 algarismos, lembrando que 02468 é um número com 4 algarismos e, portanto, não teremos 120 números neste caso. + +## 5 Números com 5 Algarismos - Solução + +a) São 120 números ao todo, com todas as combinações possíveis. Assim, em cada uma das posições (unidade, dezena, centena, unidade do milhar, dezena do milhar), cada um dos algarismos aparece a mesma quantidade de vezes, ou seja, $\frac{120}{5}=24$. Por exemplo, nas unidades, o algarismo 1 aparece 24 vezes, assim como o 3, o 5, o 7 e o 9. Dessa forma, a soma de todas as unidades é: + +$$ +\begin{aligned} +24 \cdot 1+24 \cdot 3+24 \cdot 5+24 \cdot 7+24 \cdot 9 & = \\ +24(1+3+5+7+9) & = \\ +24 \cdot 25 & =600 +\end{aligned} +$$ + +Sendo assim, a soma $S$ é: + +$$ +\begin{aligned} +S & =600+600 \cdot 10+600 \cdot 100+600 \cdot 1.000+600 \cdot 10.000 \\ +& =600(1+10+100+1.000+10.000) \\ +& =600 \cdot 11.111 \\ +& =6.666 .600 +\end{aligned} +$$ + +Por fim, a soma dos algarismos de $S$ é $6+6+6+6+6+0+0=30$. + +b) Vamos utilizar o mesmo raciocínio do item anterior, contando também os números que iniciam por 0 , ou seja, que possuem apenas 4 algarismos. Chamando essa soma dos 120 números de $S^{\prime}$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +S^{\prime} & =24 \cdot(0+2+4+6+8) \cdot 11.111 \\ +& =24 \cdot 20 \cdot 11.111 \\ +& =5.333 .280 +\end{aligned} +$$ + +Precisamos descontar agora os números que começam com 0 , que é a soma de todos os números de 4 algarismos que podemos formar com 2, 4, 6 e 8 (120-24 = 96 ao todo). Esta soma vale $24 \cdot(2+4+6+8) \cdot 1.111=533.280$. Portanto, $S=S^{\prime}-533.280=4.800 .00$, sendo a soma de seus algarismos igual a $4+8+0+0+0+0+0=12$. + +## 6 Reunião de Matemáticos + +Em uma reunião de matemáticos, Carlos diz a Frederico: $O$ dobro do produto dos dois dígitos do número de matemáticos na reunião é exatamente a nossa quantidade. Qual a quantidade mínima de matemáticos que deve se juntar a nós para que nossa quantidade seja um número primo? Ajude Frederico a resolver o problema. + +## 6 Reunião de Matemáticos-Solução + +Vamos representar a quantidade de matemáticos por $\overline{a b}$. Temos que: + +$$ +\begin{aligned} +2 a b & =\overline{a b} \\ +2 a b & =10 a+b \\ +2 a b-b & =10 a \\ +b(2 a-1) & =10 a \\ +b & =\frac{10 a}{2 a-1} +\end{aligned} +$$ + +Analisando os possíveis valores de $a$, lembrando que ambos são algarismos, com $a \neq 0$, concluímos que $a=3$ e $b=6$. Portanto, o número de matemáticos é 36 e com mais um matemático a quantidade será um número primo. + +## 7 Triângulos Isósceles + +Na figura, os triângulos $\triangle A D E$ e $\triangle A B C$ são isósceles. Se $\angle D F C=150^{\circ}$, qual a medida de $\angle F D B$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-10.jpg?height=418&width=449&top_left_y=1866&top_left_x=690) + +## 7 Triângulos Isósceles - Solução + +Como $\triangle A D E$ e $\triangle A B C$ são isósceles, temos $\angle D A E=\angle D E A=\angle A B C=\alpha$. Além disso, $\angle B F E=\angle D F C=150^{\circ}(\mathrm{OPV})$. Pela soma dos ângulos internos do quadrilátero $A B F E$, temos $3 \alpha+150^{\circ}=360^{\circ}$, donde $\alpha=70^{\circ}$. Por fim, $\angle F D B+70^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}$, ou seja, $\angle F D B=$ $40^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-11.jpg?height=407&width=455&top_left_y=605&top_left_x=880) + +8 Soma da Quarta dos Inversos + +Se $6 x y-\sqrt{3} x^{2}=\sqrt{3} y^{2}$, calcule + +$$ +\left(\frac{x}{y}\right)^{4}+\left(\frac{y}{x}\right)^{4} +$$ + +8 Soma da Quarta dos Inversos - Solução + +Temos: + +$$ +\begin{aligned} +6 x y-\sqrt{3} x^{2} & =\sqrt{3} y^{2} \\ +6 x y & =\sqrt{3}\left(x^{2}+y^{2}\right) \\ +\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & =\frac{\sqrt{3}}{6} \\ +\frac{x^{2}+y^{2}}{x y} & =\frac{6}{\sqrt{3}} \\ +\frac{x}{y}+\frac{y}{x} & =2 \sqrt{3} +\end{aligned} +$$ + +Elevando a última igualdade ao quadrado, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{2} & =(2 \sqrt{3})^{2} \\ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+2+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =12 \\ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =10 +\end{aligned} +$$ + +Finalmente, elevando mais uma vez a expressão ao quadrado, temos: + +$$ +\begin{aligned} +\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{2} & =10^{2} \\ +\frac{x^{4}}{y^{4}}+2+\frac{y^{4}}{x^{4}} & =100 \\ +\left(\frac{x}{y}\right)^{4}+\left(\frac{y}{x}\right)^{4} & =98 +\end{aligned} +$$ + +## 9 Bissetrizes Internas + +Na figura, $\angle A B C=100^{\circ}, \angle F A C=3 \angle E C B$ e $\angle G C A=3 \angle D A B$. Determine a medida do ângulo agudo na interseç̧ão das bissetrizes internas dos triângulos $\triangle A D B$ e $\triangle C E B$ relativo aos ângulos $D$ e $E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-12.jpg?height=698&width=637&top_left_y=1642&top_left_x=591) + +## 9 Bissetrizes Internas - Solução + +Vamos marcar na figura os pontos de intersecção e os ângulos que nos interessam, sendo $x$ o ângulo da intersecção das bissetrizes que procuramos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-13.jpg?height=661&width=619&top_left_y=463&top_left_x=798) + +Pela soma dos ângulos internos do triângulo $\triangle A B C$, temos: + +$$ +\begin{aligned} +100^{\circ}+\left(180^{\circ}-\alpha-3 \beta\right)+\left(180^{\circ}-\beta-3 \alpha\right) & =180^{\circ} \\ +460^{\circ}-4 \alpha-4 \beta & =180^{\circ} \\ +4 \alpha+4 \beta & =280^{\circ} \\ +\alpha+\beta & =70^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Pelos triângulos $\triangle A B D$ e $\triangle B C E$, temos $\alpha+2 \theta=100^{\circ}$ e $\beta+2 \lambda=100^{\circ}$. Somando estas duas últimas equações, chegamos a: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha+2 \theta+\beta+2 \lambda & =100^{\circ}+100^{\circ} \\ +\alpha+\beta+2 \theta+2 \lambda & =200^{\circ} \\ +70^{\circ}+2(\theta+\lambda) & =200^{\circ} \\ +\theta+\lambda & =65^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Agora, vamos utilizar a soma dos ângulos internos do quadrilátero $K B L J$. + +$$ +\begin{aligned} +\angle K J L+\angle B K J+\angle K B L+\angle B L J & =360^{\circ} \\ +x+\left(80^{\circ}+\theta\right)+100^{\circ}+\left(80^{\circ}+\lambda\right) & =360^{\circ} \\ +x+260^{\circ}+\theta+\lambda & =360^{\circ} \\ +x+\theta+\lambda & =100^{\circ} \\ +x+65^{\circ} & =100^{\circ} \\ +x & =35^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +## 10 Escoteiro Explorador + +Juca é um escoteiro que está explorando as proximidades do seu acampamento. Após coletar frutas e madeira, ele deve pegar água no rio e voltar para sua barraca. Vamos representar, na figura, Juca pela letra $J$, o rio pela letra $r$ e sua barraca pela letra $B$. A distância dos pés das perpendiculares $C$ e $E$, em $r$ dos pontos $J$ e $B$ é $180 m$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-14.jpg?height=304&width=873&top_left_y=652&top_left_x=457) + +Qual a menor distância que Juca pode percorrer para voltar para sua barraca, passando pelo rio? + +## 10 Escoteiro Explorador - Solução + +Vamos marcar o ponto $B^{\prime}$, simétrico do ponto $B$, em relação à reta $r$. O ponto $B^{\prime}$ também dista $80 \mathrm{~m}$ da reta $r$ e, com isso, temos os triângulos congruentes $\triangle B C D$ e $\triangle B^{\prime} C D$ (ladoângulo-lado), sendo $D$ o ponto que Juca pegará água no rio. Como a menor distância entre $J$ e $B^{\prime}$ é o comprimento de um segmento de reta unindo esses dois pontos, $J, D$ e $B^{\prime}$ devem estar alinhados. Seja $x$ a medida do segmento $\overline{D E}$, vamos aplicar a razão de semelhança nos triângulos $\triangle B C D$ e $\triangle J E D$ : + +$$ +\begin{aligned} +\frac{180-x}{80} & =\frac{x}{100} \\ +\frac{180-x}{4} & =\frac{x}{5} \\ +4 x & =900-5 x \\ +9 x & =900 \\ +x & =100 \mathrm{~m} +\end{aligned} +$$ + +Aplicando agora o Teorema de Pitágoras nos triângulos $\triangle B C D$ e $\triangle J E D$, podemos encontrar a menor distância entre $J$ e $B$, passando por $r$ : + +$$ +\begin{aligned} +J D+D B & =\sqrt{100^{2}+100^{2}}+\sqrt{80^{2}+80^{2}} \\ +& =100 \sqrt{2}+80 \sqrt{2} \\ +& =180 \sqrt{2} \mathrm{~m} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-15.jpg?height=577&width=830&top_left_y=293&top_left_x=693) + +## 11 Cortando o Cubo + +No cubo $A B C D E F G H$, cuja aresta mede $6 \mathrm{~cm}$, o ponto $M$ é ponto médio de $\overline{E F}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-15.jpg?height=690&width=790&top_left_y=1299&top_left_x=710) + +a) Determine a área do triângulo $A M H$. + +b) Determine o volume da pirâmide $A M H E$. (O volume de uma pirâmide pode ser calculado pela terça parte do produto entre a área da base e a altura relativa a esta base). + +c) Calcule a medida da altura relativa à base $A M H$. + +## 11 Cortando o Cubo - Solução + +a) $\overline{A H}$ é a diagonal de uma face, ou seja, $A H=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} . \overline{M H}$ e $\overline{A M}$ são hipotenusas de triângulos cujos catetos medem $6 \mathrm{~cm}$ e $3 \mathrm{~cm}$, ou seja, $M H=A M=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$. Trançando a altura $M M^{\prime}$ do triângulo $A M H$, relativa ao lado $\overline{A H}$, podemos encontrá-la aplicando o Teorema de Pitágoras, ou seja, $M M^{\prime}=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Por fim, a área do triângulo $A M H$ é $\frac{6 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{3}}{2}=9 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-16.jpg?height=439&width=901&top_left_y=740&top_left_x=456) + +b) Utilizando como base da pirâmide $A M H E$ o triângulo $E H M$, cuja área é $\frac{6 \cdot 3}{2}=9 \mathrm{~cm}^{2}$, sua altura será $\overline{A E}$ e seu volume será $\frac{9 \cdot 6}{3}=18 \mathrm{~cm}^{3}$. + +c) Para o cálculo da medida da altura relativa à base $A M H$ da pirâmide $A M H E$, vamos calcular o volume desta pirâmide de duas maneiras: a primeira com base $A M H$ e altura $h$, que é o que procuramos, e a segunda com base $M H E$. + +$$ +\begin{aligned} +\frac{9 \sqrt{6} \cdot h}{3} & =18 \\ +h & =\frac{6}{\sqrt{6}} \\ +h & =\sqrt{6} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## 12 Tabuleiro Mágico + +Em um tabuleiro $4 \times 4$, deve-se colocar os números de 1 a 16 nas casas, sem repetir, de forma que a soma dos números de cada linha, coluna e diagonal seja a mesma. Chamamos essa soma de Soma Mágica. + +a) Qual a Soma Mágica deste tabuleiro? +b) Se a soma das casas marcadas com $X$ no tabuleiro abaixo é 34 , qual a soma das casas marcadas com $Y$ ? + +| $Y$ | | | $Y$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| | $X$ | $X$ | | +| | $X$ | $X$ | | +| $Y$ | | | $Y$ | + +c) Se preenchermos com naturais consecutivos de $k$ a $(k+15)$, de forma que a Soma Mágica seja 50, qual o valor de $k$ ? + +## 12 Tabuleiro Mágico - Solução + +a) Como são 4 linhas (assim como 4 colunas), a Soma Mágica vale: + +$$ +\frac{1+2+3+\ldots+16}{4}=34 +$$ + +b) Se somarmos as duas diagonais, teremos exatamente a soma das casas marcadas com $X$ e com $Y$. Assim, a soma das casas marcadas com $Y$ é $2 \cdot 34-34=34$. + +c) Temos: + +$$ +\begin{aligned} +\frac{k+(k+1)+(k+2)+\ldots+(k+15)}{4} & =50 \\ +16 k+(1+2+3+\ldots+15) & =200 \\ +16 k+\frac{(1+15) 15}{2} & =200 \\ +16 k+120 & =200 \\ +16 k & =80 \\ +k & =5 +\end{aligned} +$$ + +## 13 Analisando Números + +Analisando os números naturais de 4 algarismos: + +a) Quantos deles têm todos os algarismos diferentes? + +b) Quantos têm o algarismo 1 exatamente uma vez e todos os algarismos diferentes? + +c) Quantos têm o algarismo 1? + +## 13 Analisando Números - Solução + +a) Para escolher a unidade do milhar, temos 9 possibilidades, já que não podemos utilizar o zero, pois não seria um número de quatro algarismos; para escolher o algarismo da centena, temos 9 possibilidades, pois já utilizamos um dos algarismos; para a dezena, são 8 possibilidades; e para a unidade são 7 possibilidades. Portanto são $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7=4.536$ possibilidades ao todo. + +b) Vamos dividir em casos: + +I) Fixando o 1 na casa da unidade do milhar, e não o utilizando mais, são 9$\cdot$8$\cdot$7 = 504 possibilidades. + +II) Fixando agora o 1 na casa da centena, da dezena ou da unidade, são $8 \cdot 8 \cdot 7=448$ possibilidades em cada um dos casos (lembrando que na casa da unidade do milhar deste caso não podemos utilizar 0 nem 1), ou seja, são $3 \cdot 448=$ 1.344 possibilidades. + +Portanto, o total de possibilidades é $504+1.344=1.848$. + +c) A quantidade de números de 4 algarismos que NÃO possuem o algarismo 1 é $8 \cdot 9 \cdot 9$. $9=5.832$. Como são 9.000 números com 4 algarismos, destes, $9.000-5.832=3.168$ apresentam o algarismo 1 . + +## 14 Dado Geográfico + +O jogo "Dado Geográfico"consiste em cada participante jogar um dado uma quantidade $n$ de vezes e anotar a sequência, sendo que o primeiro lançamento indica a distância, em metros, que o participante andará para o Norte, o segundo para o Leste, o terceiro para o Sul, o quarto para o Oeste, o quinto para o Norte e assim por diante. Após isso mede-se a distância até a origem. Vence quem ficar mais próximo da posição inicial. + +a) Márcia tirou 214365 (6 lançamentos). Qual a sua distância até a origem? +b) Em 4 lançamentos, quantas possibilidades existem para que o participante volte para a origem após o último lançamento? + +c) Em 5 lançamentos, quantas possibilidades existem para que o participante volte para a origem após o último lançamento? + +## 14 Dado Geográfico - Solução + +a) Márcia andou $2+6=8 \mathrm{~m}$ para $\mathrm{o}$ Norte, $1+5=6 \mathrm{~m}$ para o Leste, $4 \mathrm{~m}$ para o Sul e $3 \mathrm{~m}$ para $\mathrm{o}$ Oeste. Na direção Norte-Sul, Márcia andou 8-4 = $4 m$ para o Norte e na direção LesteOeste, Márcia andou $6-3=3 m$ para o Leste. Como estas direções são ortogonais, basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras para determinarmos a distância $d$ à origem: $d^{2}=4^{2}+3^{2}$, segue que $d=5 \mathrm{~m}$. + +b) Para voltar à origem, o participante deve tirar o mesmo resultado para Norte e Sul, e também o mesmo para Leste e Oeste. Como existem 6 possibilidades de valores iguais em dois lançamentos, o total de possibilidades de retorno à origem ao final do último lançamento é $6 \cdot 6=36$. + +c) Vamos usar o mesmo raciocínio do item anterior, mas serão 2 dados que determinarão deslocamento para o Norte (primeiro e quinto). Para a direção Leste-Oeste são 6 possibilidades. Se no lançamento para o Sul, tirarmos 1, não existe possibilidade de voltarmos para a origem com 2 lançamentos para o Norte; se para o Sul tirarmos 2 , existe apenas 1 possibilidade para o Norte $(1+1)$; se tirarmos 3 para o Sul, são 2 possibilidades para o Norte ( $1+2$ ou $2+1)$; se tirarmos 4 , serão 3 possibilidades; se tirarmos 5 , serão 4 possibilidades; se tirarmos 6 , serão 5 possibilidades. Sendo assim, são $1+2+3+4+5=15$ possibilidades no sentido Norte-Sul. Portanto, serão $6 \cdot 15=90$ possibilidades de voltarmos à origem após 5 lançamentos. + +## 15 Jogo na Lousa + +A professora Jacira propõe um jogo na lousa: + +I) Um dos alunos escreve uma sequência com $n$ algarismos não nulos; + +II) Um segundo aluno deve escrever outra sequência com ( $n-1)$ algarismos na qual o primeiro é a diferença positiva dos dois primeiros da primeira sequência, o segundo é a diferença entre o segundo e o terceiro algarismo da primeira sequência e assim por diante; + +III) Um terceiro aluno usa o mesmo processo, mas utilizando a segunda sequência. + +IV) Segue o processo até que o último aluno escreva apenas um algarismo na lousa. + +V) Se aparecer algum zero em uma das sequências, dizemos que é uma SEQUÊNCIA FURADA e não continuamos o processo. + +Por exemplo: + +| $1^{\circ}$ aluno | 5 | 8 | 9 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $2^{\circ}$ aluno | 3 | | | 6 | +| $3^{\circ}$ aluno | | 2 | 5 | | +| $4^{\circ}$ aluno | | | | | + +Após fazer a brincadeira algumas vezes, a professora propõe alguns desafios: + +a) Continue as sequências abaixo, dada a primeira sequência escrita pelo primeiro aluno. + +| $1^{\circ}$ aluno | 1 | 2 | 4 | 8 | +| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $2^{\circ}$ aluno | | | | | +| $3^{\circ}$ aluno | | | | | +| $4^{\circ}$ aluno | | | | | + +b) Se um jogo possui 5 sequências, sendo a última o algarismo 5 , construa um exemplo para esta situação. + +c) Explique porque não é possível construir uma situação com 6 sequências, na qual a última é o algarismo 5 . + +## 15 Jogo na Lousa-Solução + +a) Utilizando o processo descrito no enunciado, temos: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-20.jpg?height=232&width=643&top_left_y=1880&top_left_x=588) + +b) Pensando do final para o começo, necessariamente, se o maior número do aluno da posição $k$ é $j$, então o aluno da posição $k-1$ (imediatamente anterior) tem seu maior número maior que $j$. Assim, se o $5^{\circ}$ aluno escreveu $5,04^{\circ}$, deve ter escrito pelo menos 6 sobre o 5 , o $3^{\circ}$ deve ter escrito pelo menos 7 sobre o 6 , o $2^{\circ}$ pelo menos 8 , sobre o $7 \mathrm{e}$ o $1^{\circ}$ deve ter escrito um 9 sobre o 8 . Assim, já podemos construir um quadro com um algarismo por sequência. + +| $1^{\circ}$ aluno | 9 | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $2^{\circ}$ aluno | | 8 | | | +| $3^{\circ}$ aluno | | 7 | | | +| $4^{\circ}$ aluno | | | 6 | | +| $5^{\circ}$ aluno | | | | 5 | + +Basta agora continuarmos o preenchimento das sequências. + +| $1^{\circ}$ aluno | 9 | | 1 | | 2 | | 4 | | 8 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $2^{\circ}$ aluno | | 8 | | 1 | | 2 | | 4 | | +| $3^{\circ}$ aluno | | | 7 | | 1 | | 2 | | | +| $4^{\circ}$ aluno | | | | 6 | | 1 | | | | +| $5^{\circ}$ aluno | | | | 5 | | | | | | + +c) Como visto no item anterior, se finalizarmos com 5 com o $5^{\circ}$ aluno, precisamos de no mínimo um 9 para o $1^{\circ}$ aluno, mas se finalizarmos com 5 com o $6^{\circ}$ aluno, precisaríamos de 10 para o $1^{\circ}$ aluno, o que é absurdo, pois só podemos utilizar algarismos. Portanto, é impossível terminar com 5 no $6^{\circ}$ aluno. + +## 16 Fichas no Tabuleiro + +Joana deve colocar três fichas em um tabuleiro $5 \times 5$, no qual as casas são numeradas de 1 a 25, sendo uma em cada casa. De quantas maneiras ela pode fazer isso, se: + +a) As 3 fichas são de cores diferentes? + +b) As 3 fichas são idênticas? + +c) As fichas são de cores diferentes e não podem estar duas a duas em uma mesma linha ou coluna? + +## 16 Fichas no Tabuleiro-Solução + +a) Como são 25 casas para a primeira ficha, temos 25 possibilidades, para a segunda ficha, temos 24 possibilidades e para a terceira ficha, temos 23 possibilidades. Portanto, são $25 \cdot 24 \cdot 23=13.800$ possibilidades. +b) Para as peças da mesma cor, devemos descontar o número de situações repetidas que contaremos utilizando o raciocínio do item anterior. Vamos escolher as três primeiras casas do tabuleiro e as cores branca (B), amarela (A) e verde (V). Para estas casas, temos as possibilidades: + +| $\mathrm{A}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{V}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{A}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{B}$ | +| $\mathrm{B}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{V}$ | +| $\mathrm{B}$ | $\mathrm{V}$ | $\mathrm{A}$ | +| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{B}$ | +| $\mathrm{V}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{A}$ | + +Vemos que são 6 distribuições diferentes para cada conjunto de 3 casas. No caso das fichas com mesma cor, essas 6 distribuições são exatamente iguais, ou seja, apenas $\frac{1}{6}$ das 13.800 distribuições anteriores. Portanto, o total de distribuições para fichas da mesma cor é $\frac{13.800}{6}=2.300$. + +c) Primeiro vamos escolher as 3 linhas que serão colocadas as fichas: usando o mesmo raciocínio do item anterior, temos $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6}=10$ combinações de 3 linhas de um total de 5. Agora vamos distribuir as fichas por uma das combinações de 3 linhas, por exemplo, as três primeiras linhas: na primeira linha são 5 possibilidades; na segunda 4, pois não podemos utilizar a coluna da ficha que está na primeira linha; e na última 3, pois não podemos utilizar as colunas das fichas já colocadas. Portanto, o total de maneiras de distribuir 3 fichas, uma de cada cor, em um tabuleiro sem repetir linha ou coluna é $10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3=600$. + +## 17 Bandeira Bicolor + +A bandeira da figura é formada por um retângulo $40 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ e possui duas cores (branca e cinza). A parte branca é composta por duas listras de mesma largura que se cruzam e são perpendiculares aos lados do retângulo. A parte cinza é a área do retângulo que não foi coberto pelas listras. Qual deve ser a medida da largura das listras para que a área branca seja igual a área cinza? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-23.jpg?height=386&width=576&top_left_y=780&top_left_x=820) + +## 17 Bandeira Bicolor - Solução + +Seja $x$ a medida da largura das faixas. Assim, uma das faixas mede $x$ por $40 \mathrm{~cm}$, enquanto que a outra mede $x$ por $20 \mathrm{~cm}$. Se somarmos as áreas das duas faixas, estaremos contando sua intersecção duas vezes e, portanto, precisaremos descontá-la. Como a área das faixas deve ser a metade da área da bandeira, temos: + +$$ +\begin{aligned} +40 x+20 x-x^{2} & =\frac{40 \cdot 20}{2} \\ +60 x-x^{2} & =400 \\ +x^{2}-60 x+400 & =0 \\ +x & =\frac{60 \pm \sqrt{60^{2}-4 \cdot 1 \cdot 400}}{2} \\ +& =\frac{60 \pm \sqrt{2.000}}{2} \\ +& =30 \pm 10 \sqrt{5} +\end{aligned} +$$ + +Como $010$ e a soma das quantidades de quaisquer duas caixas é maior que 15 + +b) Inicialmente note que os números de 57 a 64 podem ser escritos na forma $8 x+9 y$ : + +| $x$ | $y$ | $8 x+9 y$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 9 | 1 | 57 | +| 5 | 2 | 58 | +| 4 | 3 | 59 | +| 3 | 4 | 60 | +| 2 | 5 | 61 | +| 1 | 8 | 62 | +| 0 | 7 | 63 | +| 8 | 0 | 64 | + +Somando 8 unidades a cada uma dessas representações, podemos escrever todos os números inteiros do intervalo [65,72] na forma $8 x+9 y$. Por exemplo, como $60=8 \cdot 3+9 \cdot 4$, segue que $68=8 \cdot 4+9 \cdot 4$. Somando sucessivamente 8 , podemos concluir que todos os inteiros dos intervalos + +$$ +[73,80],[81,88],[89,96], \ldots +$$ + +podem ser escritos na forma $8 x+9 y$, com $x$ e $y$ inteiros não negativos. Assim, todos os inteiros maiores que 56 podem ser escritos na forma $8 x+9 y \operatorname{com} x$ e $y$ inteiros não negativos. +c) As quantidades de chocolates que podem ser compradas são os números da forma $8 x+9 y+10 z, \operatorname{com} x, y$ e $z$ inteiros não negativos representando as quantidades de cada tipo de caixa. Um número que pode ser escrito na forma $8 x+9 y$ em particular também pode ser escrito na forma $8 x+9 y+10 z$. Assim, em virtude do item anterior, basta analisarmos os números menores que 56 para sabermos qual é o maior deles que não pode ser uma quantidade admissível de chocolates comprados na loja. A tabela a seguir indica como escrever todos os números de 32 até 40 na forma $8 x+9 z+10 z$ : + +| $x$ | $y$ | $z$ | $8 x+9 y+10 z$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 4 | 0 | 0 | 32 | +| 3 | 1 | 0 | 33 | +| 3 | 0 | 1 | 34 | +| 2 | 1 | 1 | 35 | +| 2 | 0 | 2 | 36 | +| 1 | 1 | 2 | 37 | +| 1 | 0 | 3 | 38 | +| 0 | 1 | 3 | 39 | +| 5 | 0 | 0 | 40 | + +Somando 8 unidades a cada uma dessas representações, podemos escrever todos os números de 40 a 48 . Repetindo esse processo, podemos escrever todos os números inteiros de 48 a 56 na forma $8 x+9 y+10 z$, com $x, y$ e $z$ inteiros não negativos. Para concluir que 31 é a maior quantidade de chocolate que não podemos comprar na loja, precisamos verificar que não existem $x, y$ e $z$ não negativos tais que + +$$ +8 x+9 y+10 z=31 +$$ + +Se existissem tais inteiros, como 31 é ímpar e 8 e 10 são pares, devemos ter $y \neq 0$. Assim $y=3$ ou $y=1$. No primeiro caso, teríamos $8 x+10 z=4$, que claramente não possui solução em inteiros não negativos. No segundo caso, teríamos $8 x+10 z=22$, ou seja, $4 x+5 z=11$. Para $z=0, z=1$ e $z=2$, deveríamos ter $4 x=11,4 x=6$ e $4 x=1$. Como nenhuma dessas equações possui soluções em inteiros, podemos concluir que a equação (2) não possui solução em inteiros não negativos. + +## 26 Números de Telefones Legais + +Nós chamamos um número de telefone $d_{1} d_{2} d_{3}-d_{4} d_{5} d_{6} d_{7}$ de legal se o número $d_{1} d_{2} d_{3}$ for igual a $d_{4} d_{5} d_{6}$ ou a $d_{5} d_{6} d_{7}$. Por exemplo, $234-2347$ é um número de telefone legal. Assuma que cada $d_{i}$ pode ser qualquer dígito de 0 a 9 . Quantos números de telefones legais existem? + +## 26 Números de Telefones Legais - Solução + +Se $d_{1} d_{2} d_{3}$ é simultaneamente igual a $d_{4} d_{5} d_{6}$ e $d_{5} d_{6} d_{7}$, então todos os dígitos são iguais. Para contar o número de telefones com $d_{1} d_{2} d_{3}$ igual a $d_{4} d_{5} d_{6}$, basta escolhermos $d_{1} d_{2} d_{3}$ de $10 \cdot 10 \cdot 10=10^{3}$ maneiras e o valor de $d_{7}$ de 10 maneiras. Portanto, existem $10^{3} \cdot 10=$ $10^{4}$ telefones com $d_{1} d_{2} d_{3}$ igual a $d_{4} d_{5} d_{6}$. De modo semelhante, existem $10^{4}$ números de telefones com $d_{1} d_{2} d_{3}$ igual a $d_{5} d_{6} d_{7}$. Descontando os números de telefones que estão em ambos os grupos, temos $2 \cdot 10^{4}-10=19.990$ números de telefone legais. + +## 27 Os Sapatose as Meias da Aranha + +a) As letras $A, B$ e $C$ podem ser dispostas em linha de 6 formas distintas: + +$$ +A B C, A C B, B A C, B C A, C A B, C B A +$$ + +Note que em 3 delas a letra $A$ aparece à esquerda da letra $B$ : + +$$ +A B C, A C B, C A B +$$ + +Dispondo as letras $A, B, C$ e $D$ em linha de todas as 24 formas distintas possíveis, em quantas delas a letra $A$ aparece à esquerda da letra $B$ ? + +b) Uma aranha tem uma meia e um sapato para cada um de seus oito pés. De quantas maneiras diferentes a aranha pode se calçar admitindo que as 8 meias e os 8 sapatos são distintos e que cada meia precisa ser colocada antes do seu respectivo sapato? + +## 27 Os Sapatos e as Meias da Aranha - Solução + +a) Para cada palavra de 4 letras em que $A$ está à esquerda de $B$, trocando a posição dessas duas letras, obtemos uma palavra de 4 letras em que $A$ está à direita da letra $B$ : + +$$ +C \mathbf{A B} D \leftrightarrow C \mathbf{B A} D +$$ + +Agrupando as 24 palavras em 12 pares desse tipo, podemos concluir que em metade delas a letra $A$ está à esquerda de $B$ e na outra metade a letra $A$ está à direita de $B$. +b) Se simbolizarmos as meias por $\left\{m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{8}\right\}$ e os sapatos por $\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{8}\right\}$, podemos interpretar cada palavra com essas 16 letras como uma ordem de uso desses objetos. Por exemplo, a palavra + +$$ +m_{1} m_{2} s_{1} s_{2} s_{3} s_{4} m_{5} \ldots s_{8} +$$ + +indica que a aranha colocará inicialmente a meia $m_{1}$, depois a meia $m_{2}$, o sapato $s_{1}, 0$ sapato $s_{2}$ etc. Existem 16! permutações desses 16 símbolos. Por simetria, em metade deles, o símbolo $m_{1}$ vem antes do $s_{1}$ e na outra metade ocorre o contrário. Dessa metade em que $m_{1}$ vem antes de $s_{1}$, em metade delas o símbolo $m_{2}$ vem antes de $s_{2}$. Repetindo esse argumento para os demais pares de meia, podemos concluir que existem + +$$ +\frac{16!}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{16!}{2^{8}} +$$ + +sequências em que o símbolo $m_{i}$ vem antes de $s_{i}$ para todo $i$. Esse é o número procurado. + +## 28 As Diagonais do Quadrilátero + +Os vértices do quadrilátero $A B C D$ estão em uma circunferência. Cada uma de suas diagonais bissecta um ângulo e trisecta o ângulo oposto. Determine as medidas dos ângulos do quadrilátero. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-33.jpg?height=547&width=568&top_left_y=1593&top_left_x=826) + +Observação: Dizemos que uma semirreta $O M$ trisecta um ângulo $\angle A O B$ se a amplitude de um dos dois ângulos determinado por ela é um terço do valor da amplitude do ângulo $\angle A O B$. + +## 28 As Diagonais do Quadrilátero - Solução + +Suponha que a diagonal $A C$ bissecta o ângulo $\angle D C B$. A outra diagonal bissecta $\angle A B C$ ou $\angle A D C$. Podemos supor sem perda de generalidade que ela bissecta o ângulo $\angle A D C$. Como $\angle A D B=\angle B D C$ e $\angle A C B=\angle A C D$, os arcos $A D, A B$ e $B C$ correspondem a um mesmo valor do ângulo central $x$. Analisando agora as trisecções dos ângulos, ou $\angle D B C=$ $2 \cdot \angle A B D=x$ ou $\angle D B C=\frac{1}{2} \cdot \angle A B D=\frac{x}{4}$. No primeiro caso, temos + +$$ +\begin{aligned} +\angle D A B+\angle A B C+\angle B C D+\angle C D A & =360^{\circ} \\ +\frac{3 x}{2}+\frac{3 x}{2}+x+x & =360^{\circ} \\ +x & =72^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Assim os ângulos do quadrilátero são $72^{\circ}, 72^{\circ}, 108^{\circ}$ e $108^{\circ}$. Procedendo de modo semelhante no segundo caso, temos $x=\frac{720^{\circ}}{7}$ e os ângulos do quadrilátero são $\frac{720^{\circ}}{7}, \frac{720^{\circ}}{7}$, $\frac{540}{7}^{\circ}$ e $\frac{540^{\circ}}{7}$. + +## 29 Os Ângulos entre Quadrados + +Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. Determine a medida do ângulo $x$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-34.jpg?height=388&width=656&top_left_y=1847&top_left_x=571) + +## 29 Os Ângulos entre Quadrados - Solução + +No desenho abaixo, onde $A B$ é paralelo à $C D$, vamos mostrar que a soma dos ângulos brancos é igual à soma das medidas dos ângulos cinzas. Tal resultado vale para qualquer quantidade de "bicos" no desenho e o chamamos popularmente como "Teorema dos Bicos". + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-35.jpg?height=381&width=278&top_left_y=605&top_left_x=966) + +Por cada um dos vértices dos "bicos", trace uma paralela ao segmento $A B$. Perceba que vários pares de ângulos alternos internos, que são congruentes, serão formados como indica a figura abaixo. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-35.jpg?height=495&width=343&top_left_y=1307&top_left_x=931) + +Cada um dos ângulos marcados possui exatamente um representante entre os ângulos brancos e cinzas. Assim, cada uma dessas somas das medidas de ângulos vale $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6}$. + +Como os dois bastões verticais são paralelos, podemos aplicar o Teorema dos Bicos no caminho poligonal formado pelos lados dos quadrados que contém os ângulos marcados obtendo: + +$$ +30^{\circ}+126^{\circ}+75^{\circ}+x=90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ} +$$ + +Assim, $x=39^{\circ}$. + +## 30 Triângulos Isósceles + +Na figura, o triângulo $\triangle A B C$ é isósceles de base $B C$ e o ângulo $\angle B A C$ mede $30^{\circ}$. O triângulo $\triangle B C D$ é isósceles de base $B D$. Determine a medida do ângulo $\angle D C A$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-36.jpg?height=512&width=386&top_left_y=500&top_left_x=719) + +## 30 Triângulos Isósceles - Solução + +Como $\triangle A B C$ é isósceles, temos $\angle A B C=\angle A C B=\alpha$. Como $\triangle B C D$ é isósceles, também temos $\angle B D C=\angle D B C=\alpha$. Se $\angle D C A=\beta$, temos, pelo Teorema do Ângulo Externo, que $\alpha=30^{\circ}+\beta$. Analisando a soma dos ângulos do $\triangle B C D, \alpha+\alpha+\alpha-\beta=180^{\circ}$. Assim, pelas duas equações temos $2 \beta+90^{\circ}=180^{\circ}$, ou seja, $\beta=45^{\circ}$. Portanto, a medida do ângulo $\angle D C A$ é $45^{\circ}$. + +## 310 Ângulo Desconhecido + +Na figura, $A B=A C, A E=A D$ e o ângulo $\angle B A D$ mede $30^{\circ}$. Determine a medida $x$ do ângulo $\angle C D E$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_96f63abf6bdef97495eag-36.jpg?height=391&width=764&top_left_y=1705&top_left_x=522) + +## 31 Ôngulo Desconhecido - Solução + +Pelo Teorema do Ângulo Externo, $\angle A D E+x=30^{\circ}+\angle A B D$, portanto $\angle A D E=\angle A E D=$ $30^{\circ}+\angle A B D-x$. Além disso, $\angle A E D=x+\angle A C D$. Igualando as duas equações e usando que $\angle A B C=\angle A C B$, temos $30^{\circ}+\angle A B D-x=x+\angle A C D$, ou seja, $x=15^{\circ}$. + diff --git a/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N3.md b/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff1b4bf21a3a7749d3b3e341db5c89c16b4137eb --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/md/pt-bq2020_N3.md @@ -0,0 +1,1458 @@ +# ENUNCIADOS E SOLUÇÕES DO NÍVEL 3 + +## 1 A Equação com Radicais + +Ache todos os valores de $x$ satisfazendo + +$$ +\frac{x+\sqrt{x+1}}{x-\sqrt{x+1}}=\frac{11}{5} +$$ + +## 1 A Equação com Radicais -Solução + +A equação pode ser reescrita como + +$$ +\begin{aligned} +\frac{x+\sqrt{x+1}}{x-\sqrt{x+1}} & =\frac{11}{5} \\ +5 x+5 \sqrt{x+1} & =11 x-11 \sqrt{x+1} \\ +16 \sqrt{x+1} & =6 x \\ +8 \sqrt{x+1} & =3 x +\end{aligned} +$$ + +Elevando os membros da última equação ao quadrado, temos + +$$ +\begin{aligned} +9 x^{2} & =64(x+1) \\ +9 x^{2}-64 x-64 & =0 +\end{aligned} +$$ + +As raízes dessa equação são $x=8$ e $x=-\frac{8}{9}$. Dessas soluções, apenas $x=8$ satisfaz a equação dada. + +## 2 O Trapézio e os Pontos Médios + +No trapézio $A B C D$, os lados $A B$ e $C D$ são paralelos. Sejam $M$ o ponto médio da diagonal $A C, N$ o ponto médio da diagonal $B D$ e $P$ o ponto médio do lado $A B$. Sabemos que $A B=15 \mathrm{~cm}, C D=24 \mathrm{~cm}$ e a altura do trapézio é $h=14 \mathrm{~cm}$. + +a) Calcule a medida do comprimento do segmento $M N$. + +b) Calcule a área do triângulo $M N P$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-02.jpg?height=320&width=532&top_left_y=760&top_left_x=654) + +## 2 O Trapézio e os Pontos Médios - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-02.jpg?height=317&width=532&top_left_y=1388&top_left_x=654) + +a) Se $P$ é o ponto médio de $A B$ e $L$ o ponto médio de $A D$, segue que $M L$ é base média do triângulo $A C D$ e assim $L M=12 \mathrm{~cm}$. Como $L N$ é base média do triângulo $A B D$, segue que $L N=7,5 \mathrm{~cm}$. Portanto, $M N=L M-L N=4,5 \mathrm{~cm}$ + +b) Como $M N$ está sobre a base média, a sua distância até a reta $C D$ é $h / 2=7 \mathrm{~cm}$. Portanto, a altura do triângulo $M N P$ relativa ao lado $M N$ é $7 \mathrm{~cm}$ e assim + +$$ +\text { Área }(M N P)=1 / 2 \cdot 7 \cdot 4,5=15,75 \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +## 3 O Sistema com Cubos + +Se $x$ e $y$ são números reais tais que $x+y=10$ e $x^{3}+y^{3}=400$, determine $o$ valor de $x^{2}+y^{2}$. + +## 3 O Sistema com Cubos - Solução + +Como + +$$ +\begin{aligned} +x^{3}+y^{3} & =(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \\ +& =(x+y)\left((x+y)^{2}-3 x y\right) \\ +& =10(100-3 x y) +\end{aligned} +$$ + +segue que $40=100-3 x y$, ou seja, $x y=20$. Daí + +$$ +\begin{aligned} +x^{2}+y^{2} & =(x+y)^{2}-2 x y \\ +& =100-40 \\ +& =60 +\end{aligned} +$$ + +## 4 A Soma Trigonométrica + +Determine o valor da soma + +$$ +S=\operatorname{sen}^{2} 1^{\circ}+\operatorname{sen}^{2} 2^{\circ}+\operatorname{sen}^{2} 3^{\circ}+\ldots+\operatorname{sen}^{2} 89^{\circ} +$$ + +## 4 A Soma Trigonométrica - Solução + +Como sen $x=\cos \left(90^{\circ}-x\right)$ e $\operatorname{sen}^{2} x+\cos ^{2} x=1$, segue que + +$$ +\operatorname{sen}^{2} 1^{\circ}+\operatorname{sen}^{2} 89^{\circ}=\operatorname{sen}^{2} 2^{\circ}+\operatorname{sen}^{2} 88^{\circ}=\ldots=\operatorname{sen}^{2} 44^{\circ}+\operatorname{sen}^{2} 46^{\circ}=1 +$$ + +Portanto, pareando os termos da soma em pares do tipo $\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sen}^{2}(90-x)$, temos + +$$ +S=44+\operatorname{sen}^{2} 45^{\circ}=44+\frac{1}{2}=\frac{89}{2} +$$ + +## 5 o Ponto no Interior do Quadrado + +Seja $A B C D$ um quadrado de lado $28 \mathrm{~cm}$. Seja $P$ um ponto interior ao quadrado e $E$ um ponto no lado $C D$ tal que $P E$ é perpendicular a $C D$. Além disso, $A P=B P=P E$. Encontre o comprimento de $A P$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-04.jpg?height=524&width=510&top_left_y=568&top_left_x=654) + +## 5 O Ponto no Interior do Quadrado - Solução + +Seja $M$ o ponto de interseção da reta $E P$ com o lado $A B$. Como $E P$ é perpendicular a $C D$, então $E M$ é perpendicular a $A B$. Além disso, como o triângulo $A B P$ é isósceles, $M$ é o ponto médio de $A B$. Se o comprimento de $A P$ é $x$, segue do Teorema de Pitágoras que + +$$ +\begin{aligned} +A P^{2} & =A M^{2}+P M^{2} \\ +x^{2} & =14^{2}+(28-x)^{2} \\ +x^{2} & =196+784-56 x+x^{2} \\ +56 x & =980 \\ +x & =17,5 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-04.jpg?height=383&width=381&top_left_y=1939&top_left_x=719) + +## 6 Perpendiculares no Parelelogramo + +No paralelogramo $A B C D$, o ângulo $B A D$ é agudo e o lado $A D$ é menor que o lado $A B$. A bissetriz do ângulo $\angle B A D$ corta o lado $C D$ em $E$. Por $D$ se traça uma perpendicular a $A E$ que corta $A E$ em $P$ e $A B$ em $F$. Traçamos por $E$ uma perpendicular a $A E$ que corta o lado $B C$ em $Q$. Além disso, o segmento $P Q$ é paralelo a $A B$ e o comprimento de $A B$ é $20 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-05.jpg?height=386&width=725&top_left_y=595&top_left_x=740) + +a) Encontre o valor de $\frac{C Q}{A D}$. + +b) Encontre a medida do comprimento do lado $A D$. + +## 6 Perpendiculares no Parelelogramo-Solução + +a) De $\angle D A P=\angle P A F$ e $A P \perp D F$, segue que o triângulo $A D F$ é isósceles e que $P$ é o ponto médio de $D F$. Como $E Q$ e $D F$ são perpendiculares a $A E$, temos que $D F \| E Q$ e $\angle C E Q=\angle C D F=\angle D F A$. No paralelogramo $A B C D, \angle D A B=\angle D C B$ e assim os triângulos $A D F$ e $E C Q$ são semelhantes. Portanto, $C E=C Q$ e + +$$ +\frac{C Q}{A D}=\frac{E Q}{D F} +$$ + +Como os lados opostos do quadrilátero $D E Q P$ são paralelos, segue que ele é um paralelogramo. Consequentemente $D P=E Q$ e + +$$ +\frac{C Q}{A D}=\frac{D P}{2 \cdot D P}=\frac{1}{2} +$$ + +b) Seja $x$ o comprimento do segmento $A D$. De $\angle D A E=\angle E A B=\angle D E A$, podemos concluir que o triângulo $A D E$ é isósceles e assim $A D=D E=x$. Do item anterior, decorre que $C Q=x / 2$. Assim + +$$ +\begin{aligned} +C D & =D E+E C \\ +20 & =x+x / 2 \\ +& =3 x / 2 +\end{aligned} +$$ + +Finalmente, $x=40 / 3 \mathrm{~cm}$. + +## 7 Prolongamentos dos Lados + +No triângulo $A B C$, temos os ângulos $\angle A C B=65^{\circ} \mathrm{e} \angle A B C=70^{\circ}$. Sobre os prolongamentos do lado $B C$, marcam-se o ponto $P$ de tal modo que $B P=A B$ e que $B$ esteja entre $P$ e $C$; e o ponto $Q$ de modo que $C Q=A C$ e que $C$ esteja entre $B$ e $Q$. Se $O$ é o centro da circunferência que passa por $A, P$ e $Q$, encontre os valores dos ângulos $\angle O A Q$ e $\angle O A P$. + +## 7 Prolongamentos dos Lados - Solução + +Sejam $\angle B A O=x$ e $\angle O A C=y$. De $B P=A B$ e $A C=C Q$, podemos concluir que $\angle A P B=$ $\angle P A B=\beta$ e $\angle C A Q=\angle A Q C=\gamma$. Como $O$ é o centro da circunferência que passa por $A$, $P$ e $Q$, temos $O P=O A=O Q$ e daí os triângulos $A O P$ e $A O Q$ são isósceles. Consequentemente, + +$$ +\begin{aligned} +\angle A P O & =\angle P A O \\ +\alpha+\beta & =x+\beta \\ +x & =\alpha +\end{aligned} +$$ + +De modo semelhante, podemos concluir que $y=\alpha$. Pelo Teorema do Ângulo Externo, $\angle A B C=2 \beta$ e $\angle A C B=2 \gamma$. Assim, $\beta=70 / 2=35^{\circ}$ e $\gamma=65 / 2^{\circ}=32^{\circ} 30^{\prime}$. Além disso, $2 \alpha=$ $\angle B A C=45^{\circ}$ e assim $\alpha=22^{\circ} 30^{\prime}$. Finalmente, + +$$ +\begin{aligned} +\angle O A P & =\beta+\alpha \\ +& =57^{\circ} 30^{\prime} +\end{aligned} +$$ + +$\mathrm{e}$ + +$$ +\begin{aligned} +\angle O A Q & =\gamma+\alpha \\ +& =55^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-06.jpg?height=563&width=764&top_left_y=1905&top_left_x=527) + +## 8 Peças Deslizantes + +Em um tabuleiro $5 \times 5$, cada quadradinho possui uma peça em seu centro. O único movimento permitido para uma dessas peças é se deslocar para um quadradinho que compartilhe exatamente um vértice com o quadradinho em que ela está, como indicado na figura abaixo. Tanto é possível que várias peças ocupem um mesmo quadradinho quanto que um quadradinho fique vazio. Em um dado momento, todas as peças serão movidas simultaneamente. + +a) Dê um exemplo de movimentos das 25 peças de modo que sobrem exatamente 5 quadradinhos vazios. + +b) Qual o número mínimo de quadradinhos vazios que poderão ser encontrados após esse momento? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-07.jpg?height=314&width=320&top_left_y=1170&top_left_x=950) + +8 Peças Deslizantes - Solução + +a) A figura a seguir mostra um conjunto de movimentos em que apenas 5 quadradinhos ficam vazios. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-07.jpg?height=418&width=407&top_left_y=2009&top_left_x=904) +b) Pinte as colunas do tabuleiro de forma alternada de preto e branco. Assim existem 15 quadradinhos pretos e 10 brancos. Veja que após um movimento de uma peça, ela fica em um quadradinho de cor oposta ao que ela estava anteriormente. Assim, as peças dos 15 quadradinhos pretos ficarão nos 10 quadradinhos brancos e as 10 peças que estavam nos quadradinhos brancos poderão ocupar no máximo 10 quadradinhos pretos, ou seja, devem sobrar pelo menos 5 quadradinhos pretos vazios. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-08.jpg?height=417&width=421&top_left_y=632&top_left_x=699) + +Em virtude do exemplo dado no item $a$ ), sabemos que esse mínimo é realizável. + +## 9 A Área do Quadrado + +Considere um quadrado $A B C D$ de centro $O$. Sejam $E, F, G$ e $H$ pontos no interior dos lados $A B, B C, C D$ e $D A$, respectivamente, tal que $A E=B F=C G=D H$. Sabe-se que $O A$ intersecta $H E$ no ponto $X, O B$ intersecta $E F$ no ponto $Y, O C$ intersecta $F G$ no ponto $Z$ e $O D$ intersecta $G H$ no ponto $W$. Sejam $x$ e $y$ as medidas dos comprimentos de $A E$ e $A H$, respectivamente. + +a) Dado que Área $(E F G H)=1 \mathrm{~cm}^{2}$, calcule o valor de $x^{2}+y^{2}$. + +b) Verifique que $H X=\frac{y}{x+y}$. Em seguida, conclua que $X, Y, Z$ e $W$ são vértices de um quadrado. + +c) Calcule + +Área $(A B C D) \cdot$ Área $(X Y Z W)$. + +## 9 A Área do Quadrado - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-09.jpg?height=500&width=500&top_left_y=379&top_left_x=855) + +a) Sejam $x$ e $y$ as medidas dos comprimentos de $A E$ e $A H$, respectivamente. Dado que $A H=E B, A E=B F$ e $\angle H A E=\angle E B F$, segue que os triângulos $A E H$ e $E B F$ são congruentes. Daí + +$$ +\angle H E F=180^{\circ}-\angle H E A-\angle B E F=180^{\circ}-\angle E F B-\angle B E F=90^{\circ} +$$ + +De modo semelhante, podemos concluir que $\angle E F G=\angle F G H=\angle G H E=90^{\circ}$. Pelo Teorema de Pitágoras, $H E^{2}=x^{2}+y^{2}$. O mesmo vale para os demais lados do retângulo $H E F G$, ou seja, $E H=E F=F G=G H=1$. Portanto, a sua área é $1=A_{H E F G}=$ $x^{2}+y^{2}$. + +b) Como $A C$ é bissetriz de $\angle H A E$, decorre do Teorema da Bissetriz Interna que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{H X}{E X} & =\frac{A H}{A E} \\ +\frac{H X}{H X+E X} & =\frac{A H}{A H+A E} \\ +H X & =\frac{y}{x+y} +\end{aligned} +$$ + +De modo semelhante, $E X=\frac{x}{x+y}$. A diagonal $B D$ também é bissetriz de $\angle E B F \mathrm{e}$ $\triangle E B F \equiv A H E$. Daí $E Y=H X=\frac{y}{x+y}$ e podemos concluir por analogia ao argumento inicial, agora aplicado ao quadrado $H E F G$, que os pontos $X, Y, Z$ e $W$ são vértices de um quadrado. + +c) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $E X Y$, obtemos + +$$ +\begin{aligned} +X Y^{2} & =E X^{2}+E Y^{2} \\ +& =\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+y)^{2}} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, a área do quadrilátero $X Y Z W$ é Área $(X Y Z W)=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}$. Como Área $(E F G H)=$ 1 , segue que $x^{2}+y^{2}=1$ e que + +$$ +\text { Área }(A B C D) \cdot \text { Área }(X Y Z W)=(x+y)^{2} \cdot \frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}=1 +$$ + +## 10 Preenchimento do Tabuleiro + +José quer preencher as casas de um tabuleiro $2 \times n$ com zeros e uns de modo que dois números vizinhos iguais, em uma mesma linha, impeçam que se preencha também com números iguais as casas correspondentes da outra linha. Por exemplo, no desenho abaixo, os valores de $A$ e $B$ não podem ser iguais. + +| 0 | 1 | 0 | $\cdots$ | 1 | 1 | $\cdots$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 1 | 0 | $\cdots$ | $A$ | $B$ | $\cdots$ | + +a) Encontre todos os preenchimentos possíveis do tabuleiro abaixo: + +| 0 | 0 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | | | + +b) No tabuleiro, todas as colunas já estão preenchidas, exceto as duas últimas. De quantas maneiras os números das casas $A$ e $B$ podem ser escolhidos? + +| $\cdots$ | 0 | $A$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\cdots$ | 1 | $B$ | + +c) De quantas maneiras José pode preencher o tabuleiro se $n=2020$ ? + +## 10 Preenchimento do Tabuleiro - Solução + +a) Temos os preenchimentos: + +| 0 | 0 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 0 | + + +| 0 | 0 | 0 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 1 | + + +| 0 | 0 | 1 | +| :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 1 | + +b) A princípio, existem 2 escolhas possíveis para $A$ e outras duas possíveis para $B$. Apenas a escolha $A=0$ e $B=1$ é proibida. Portanto, existem 2.2-1 = 3 escolhas possíveis. +c) Começando a preencher da esquerda para a direita, existem 4 tipos possíveis de colunas e as regras se resumem a não preenchermos uma certa coluna com a mesma configuração da coluna imediatamente anterior. Assim, uma vez que José escolheu os números de uma coluna, ele possui 3 opções de preenchimento para a próxima. No início, podemos escolher livremente como preencher a primeira coluna mais a esquerda e depois continuar a escolha das demais da esquerda para a direita. Pelo Princípio Multiplicativo, o total de preenchimentos é: + +$$ +4 \cdot 3 \cdot 3 \cdots \cdots 3=4 \cdot 3^{2019} +$$ + +## 11 O Semicírculo e os Triângulos + +Os triângulos $A B C$ e $A B D$ estão inscritos na mesma semicircunferência de diâmetro $A B$, que mede $15 \mathrm{~cm}$. Se traça por $D$ a perpendicular a $A B$ que intersecta $A B$ em $P$, o segmento $A C$ em $Q$ e o prolongamento do lado $B C$ em $R$. Além disso, $P R=\frac{40}{3} \mathrm{~cm}$ e $P Q=$ $\frac{15}{4} \mathrm{~cm}$. + +a) Verifique que $P Q \cdot P R=B P \cdot A P$. + +b) Encontre a medida do segmento $D P$. + +## 11 O Semicírculo e os Triângulos - Solução + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-11.jpg?height=608&width=722&top_left_y=1798&top_left_x=739) +a) Como $A B$ é um diâmetro, segue que $\angle A C B=90^{\circ}$. Daí + +$$ +\angle P R B=90^{\circ}-\angle P B R=\angle B A C +$$ + +Os triângulos $A P Q$ e $P R B$ são semelhantes, pois possuem ângulos de mesmas medidas. Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{P Q}{A P} & =\frac{B P}{P R} \\ +P Q \cdot P R & =B P \cdot A P +\end{aligned} +$$ + +b) Os triângulos retângulos $A D P$ e $A B D$ são semelhantes, pois compartilham um dos ângulos agudos. O mesmo ocorre com os triângulos retângulos $A B D$ e $D B P$. Com mais razão, $A D P$ é semelhante a $D B P$ e assim + +$$ +\begin{aligned} +\frac{D P}{A P} & =\frac{B P}{D P} \\ +D P^{2} & =A P \cdot B P +\end{aligned} +$$ + +Pelo item anterior, segue que + +$$ +\begin{aligned} +D P^{2} & =P Q \cdot P R \\ +D P & =\sqrt{\frac{40}{3} \cdot \frac{15}{4}} \\ +& =5 \sqrt{2} +\end{aligned} +$$ + +## 12 Os Clubes de Alunos I + +Em uma escola, devem ser formados $n$ clubes, com $n \geq 3$ e cada um com 3 integrantes, de modo que para cada par de clubes haja exatamente um estudante que integra ambos. + +a) Dê um exemplo de uma distribuição de 7 clubes que satisfaçam as condições mencionadas. + +b) Verifique que se um estudante pertence a 4 clubes, então ele deve pertencer a todos os demais. + +c) Determine o valor mínimo de $n$ de modo que para qualquer conjunto de clubes que satisfaçam essas condições seja obrigatória a presença de um mesmo estudante em todos eles. + +## 12 Os Clubes de Alunos I - Solução + +a) Nomeando os alunos por $A, B, C, D, E$ e $F$, os seguintes conjuntos representam 7 clubes que atendem às condições do enunciado: + +$$ +\{A, B, C\},\{A, D, E\},\{A, F, G\},\{B, E, F\},\{B, D, G\},\{C, D, F\},\{C, E, G\} +$$ + +b) Suponha que o estudante $A$ pertença aos seguintes 4 clubes: + +$$ +\{A, B, C\},\{A, D, E\},\{A, F, G\},\{A, H, I\} +$$ + +Suponha que existe um clube $K$ formado pelos alunos $\{M, N, P\}$ do qual $A$ não faz parte. Então, $K$ deve possuir pelo menos um elemento de cada um dos seguintes 4 conjuntos disjuntos: + +$$ +\{B, C\},\{D, E\},\{F, G\},\{H, I\} +$$ + +Isso é um absurdo, pois para que isso aconteça $K$ deveria ter pelo menos 4 elementos. Portanto, $A$ deve pertencer a todos os clubes. + +c) Afirmamos que o valor mínimo é $n=8$. Pelo item anterior, basta verificarmos que nesse caso algum aluno deve pertencer a pelo menos 4 clubes. Suponha que isso não ocorre, ou seja, que cada aluno pertence a no máximo 3 clubes e considere um clube genérico $w$ formado pelos alunos $\{X, Y, Z\}$. Cada um dos elementos de $w$ pode estar em no máximo mais outros 2 clubes. Como qualquer outro clube deve compartilhar um aluno em comum com $w$, contando os demais clubes que contém $X, Y$ ou $Z$, concluímos que podem existir no máximo mais $2+2+2=6$ outros clubes distintos de $w$. Assim, o total de clubes seria no máximo $6+1=7$ e isso é um absurdo. + +Comentário: É possível construir o exemplo do item a) considerando os segmentos e a circunferência do diagrama de Fano, como ilustrado a seguir. Nele, cada segmento passando por 3 pontos marcados e a circunferência central representam um clube. Note que esses segmentos e a circunferência central possuem um ponto de interseção. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-13.jpg?height=362&width=399&top_left_y=1955&top_left_x=911) + +## 13 Progressões Geométricas + +As progressões geométricas $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ e $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ possuem a mesma razão, com $a_{1}=$ $27, b_{1}=99$ e $a_{15}=b_{11}$. Encontre $\mathrm{o}$ valor de $a_{9}$. + +## 13 Progressões Geométricas - Solução + +Seja $r$ o valor da razão comum das duas progressões geométricas. Temos + +$$ +\begin{aligned} +a_{15} & =a_{1} r^{14} \\ +& =27 r^{14} \\ +b_{11} & =b_{1} r^{10} \\ +& =99 r^{10} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $27 r^{14}=99 r^{10}$ e daí $3 r^{4}=11$. Finalmente + +$$ +\begin{aligned} +a_{9} & =a_{1} r^{8} \\ +& =27\left(r^{4}\right)^{2} \\ +& =27\left(\frac{11}{3}\right)^{2} \\ +& =\frac{27 \cdot 121}{9} \\ +& =363 +\end{aligned} +$$ + +## 14 Embaralhamento de Cartões + +Existem três cartões, cada um com um número do conjunto $\{1,2, \ldots, 10\}$. Esses três cartões foram embaralhados e distribuídos a três pessoas, que registraram os números em seus respectivos cartões. Os cartões foram então coletados e o processo foi repetido novamente. Após algumas repetições, cada uma das três pessoas somou os seus registros. Sabendo que as somas obtidas foram 13,15 e 23, quais eram os números nos cartões? + +## 14 Embaralhamento de Cartões - Solução + +Sejam $x, y$ e $z$ os números escritos nos três cartões, com $x \leq y \leq z$. A cada etapa do processo de sorteio, a soma dos números dos três cartões é sempre $x+y+z$. Como $13+$ $15+23=51=3 \cdot 17$ e tanto 3 quanto 17 são números primos, segue que foram realizados 3 sorteios e $x+y+z=17$. Analisando a pessoa que obteve a soma 23 , devemos ter $z \geq 8$, pois caso contrário a soma máxima seria $7 \cdot 3=21$. Se $z=10$, nas somas $13 \mathrm{e} 15$ podem aparecer no máximo uma parcela $z$. Como $x+y=17-z=7$, segue que $(x, y, z)=(3,4,10)$, $(2,5,10)$ ou $(1,6,10)$. Nos dois primeiros casos, não é possível obter soma 13 e no último +não é possível obter soma 15 com três parcelas. Se $z=8$, então novamente nas somas 13 e 15 podem aparecer no máximo uma parcela $z$. De $3 \cdot 8>23>8+7+7$, podemos concluir que exatamente duas parcelas 8 são usadas para obter a soma 23 e assim um dos cartões deve possuir o número $23-8-8=7$. Sabendo que $x+y=17-z=9$, a única solução possível é $(x, y, z)=(2,7,8)$, mas essa tripla não pode gerar as somas $13 \mathrm{e} 15$. Finalmente, a única opção que resta a ser analisada é $z=9$. Nesse caso, nas somas 13 e 15 exatamente uma parcela $z$ é usada e, além disso, $x \leq 3$, pois caso contrário a menor soma possível com a parcela $z$ seria $9+4+4=17>13$. Por outro lado, como $x+y=17-z=8$, as opções que nos restam são $(x, y, z)=(1,7,9),(2,6,9)$ ou $(3,5,9)$. A primeira não pode gerar a soma 13 e a segunda não pode gerar a soma 15. A terceira opção é a única possível e um exemplo de sorteios está ilustrado na seguinte tabela: + +| Pessoa 1 | 3 | 5 | 5 | $=13$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| Pessoa 2 | 9 | 3 | 3 | $=15$ | +| Pessoa 3 | 5 | 9 | 9 | $=23$ | + +## 15 A Sequência e os Quadrados + +Começando com um número inteiro positivo $n$, uma sequência é criada satisfazendo a seguinte regra: cada termo se obtém do anterior subtraindo-se o maior quadrado perfeito que é menor ou igual ao termo anterior, até chegar ao número zero. Por exemplo, se $n=142$, teremos a seguinte sequência de 5 termos: + +$$ +a_{1}=142, a_{2}=21, a_{3}=5, a_{4}=1, a_{5}=0 +$$ + +pois $21=142-11^{2}, 5=21-4^{2}, 1=5-2^{2}$ e $0=1-1^{2}$. + +a) Dê exemplo de uma sequência que tenha exatamente 6 termos. + +b) Encontre o menor valor de $n$ para que a sequência assim criada tenha exatamente 7 termos. + +## 15 A Sequência e os Quadrados - Solução + +a) Um exemplo é a sequência + +$$ +a_{1}=23, a_{2}=7=23-16, a_{3}=3=7-4, a_{4}=2=3-1, a_{5}=1=2-1, a_{6}=0=1-1 +$$ + +b) Como $a_{n+1}=a_{n}-x^{2}$, $\operatorname{com} x^{2} \leq a_{n}<(x+1)^{2}$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +a_{n+1} & =a_{n}-x^{2} \\ +& <(x+1)^{2}-x^{2} \\ +& =2 x+1 +\end{aligned} +$$ + +Daí o inteiro $x$ satisfaz $x>\frac{a_{n+1}-1}{2}$. Para obter o valor mínimo, a sequência será construída de trás para frente e em cada etapa será utilizado a estimativa mínima do incremento $x^{2}$ obtida anteriormente. Temos $a_{7}=0$ e $a_{6} \geq 1^{2}$. Daí + +$$ +\begin{aligned} +a_{5} & =a_{6}+x^{2} \\ +& \geq 1+1^{2} \\ +a_{4} & =a_{5}+x^{2} \\ +& \geq 2+1^{2} \\ +a_{3} & =a_{4}+x^{2} \\ +& \geq 3+2^{2} \\ +a_{2} & =a_{3}+x^{2} \\ +& \geq 7+4^{2} \\ +a_{1} & =a_{2}+x^{2} \\ +& \geq 23+144 +\end{aligned} +$$ + +Assim, o menor valor de $n$ é $23+144=167$ e a sequência de 7 termos que será criada é + +$$ +a_{1}=167, a_{2}=23, a_{3}=7, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}=1, a_{7}=0 +$$ + +## 16 O Triângulo e o seu Incírculo + +Seja $A B C$ um triângulo retângulo com $\angle B A C=90^{\circ}$ e $I$ o ponto de encontro de suas bissetrizes. Uma reta por $I$ corta os lados $A B$ e $A C$ em $P$ e $Q$, respectivamente. A distância de $I$ para o lado $B C$ é $1 \mathrm{~cm}$. + +a) Encontre o valor de $P M \cdot N Q$. + +b) Determine o valor mínimo possível para a área do triângulo $A P Q$. + +Dica: Se $x$ e $y$ são dois números reais não negativos, então $x+y \geq 2 \sqrt{x y}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-16.jpg?height=423&width=864&top_left_y=2036&top_left_x=488) + +## 16 O Triângulo e o seu Incírculo - Solução + +a) $\mathrm{Se} \angle A P Q=\alpha$, segue que $\angle M I P=90^{\circ}-\alpha \mathrm{e}$ + +$$ +\angle N I Q=180^{\circ}-\angle M I N-\angle M I P=\alpha +$$ + +Portanto, os triângulos $I M P$ e NIQ são semelhantes e daí + +$$ +\frac{I M}{N Q}=\frac{P M}{I N} \Rightarrow P M \cdot N Q=I M \cdot I N=1 +$$ + +b) Sejam $x=M P$ e $y=N Q$. Como $A M I N$ é um quadrado de lado $1 \mathrm{~cm}$, segue que a área do triângulo $A P Q$ é dada por + +$$ +\begin{aligned} +\frac{A P \cdot A Q}{2} & =\frac{(1+x)(1+y)}{2} \\ +& =\frac{1+x y+x+y}{2} +\end{aligned} +$$ + +Pelo item anterior, $x y=1$. Além disso, pela desigualdade apresentada na dica, $x+y \geq$ $2 \sqrt{1}=2$. Assim, a área mínima é $\frac{1+1+2}{2}=2$ e pode ser obtida fazendo $A P=A Q=2$. Observação: A desigualdade apresentada como sugestão é um caso particular da desigualdade entre médias aritméticas e geométricas $(M A \geq M G)$. Para verificar esse caso, de $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0$, segue que + +$$ +x-2 \sqrt{x y}+y \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 2 \sqrt{x y} +$$ + +## 17 Equação com Números Irracionais + +Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito da forma $\frac{p}{q}$, com $p$ e $q$ números inteiros. Se um número real não é racional, dizemos que ele é irracional. Por exemplo, $\frac{1}{4}$ é um número racional e $\sqrt{3}$ é irracional. Encontre todos os pares de números racionais $(a, b)$ tais que + +$$ +\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2+\sqrt{3}} +$$ + +## 17 Equação com Números Irracionais - Solução + +Elevando ao quadrado, obtemos as equações equivalentes: + +$$ +\begin{aligned} +a+b+2 \sqrt{a b} & =2+\sqrt{3} \\ +2 \sqrt{a b} & =2-a-b+\sqrt{3} +\end{aligned} +$$ + +Como $a$ e $b$ são números racionais, $r=2-a-b$ também é um número racional. Eleve a última equação ao quadrado: + +$$ +\begin{aligned} +4 a b & =r^{2}+3+2 r \sqrt{3} \\ +4 a b-r^{2}-3 & =2 r \sqrt{3} +\end{aligned} +$$ + +Se $r \neq 0$, temos + +$$ +\sqrt{3}=\frac{4 a b-r^{2}-3}{2 r} +$$ + +Como $r$ é um número racional, o número $\frac{4 a b-r^{2}-3}{2 r}$ também é racional. Entretanto, isso gera uma contradição, pois $\sqrt{3}$ é um número irracional. Logo, $r=0$ e assim das últimas equações temos + +$$ +\begin{aligned} +a+b & =2 \\ +a b & =3 / 4 +\end{aligned} +$$ + +Isso mostra que $a$ e $b$ são raízes da equação $x^{2}-2 x+3 / 4=0$, ou seja, $(a, b)=(1 / 2,3 / 2)$ ou $(a, b)=(3 / 2,1 / 2)$. Esses números satisfazem a primeira equação e, consequentemente, são solução da equação do problema. + +## 18 O Triângulo Inscrito na Circunferência + +Na figura a seguir, $O$ é o centro da circunferência que passa pelos vértices $A, B$ e $C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-19.jpg?height=619&width=595&top_left_y=489&top_left_x=802) + +a) Se $R$ é o comprimento do raio da circunferência, verifique que + +$$ +\frac{R}{A O_{A}}=\frac{h_{a}-r_{a}}{h_{a}} +$$ + +b) Definindo $O_{B}$ e $O_{C}$ de modo semelhante, verifique que + +$$ +\frac{1}{A O_{A}}+\frac{1}{B O_{B}}+\frac{1}{C O_{C}}=\frac{2}{R} +$$ + +## 18 O Triângulo Inscrito na Circunferência-Solução + +a) Como os triângulos $O M O_{A}$ e $A N O_{A}$ são semelhantes, segue que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{h_{a}}{r_{a}} & =\frac{A O_{A}}{O O_{A}} \\ +\frac{h_{a}}{h_{a}-r_{a}} & =\frac{A O_{A}}{A O_{A}-O O_{A}} \\ +\frac{h_{a}-r_{a}}{h_{a}} & =\frac{R}{A O_{A}} +\end{aligned} +$$ + +b) Como $[A B C]=\frac{B C \cdot h_{a}}{2}$ e $[B O C]=\frac{B C \cdot r_{a}}{2}$, segue do item anterior que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{R}{A O_{A}} & =\frac{h_{a}-r_{a}}{h_{a}} \\ +& =1-\frac{[B O C]}{[A B C]} +\end{aligned} +$$ + +Assim, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{R}{A O_{A}}+\frac{R}{B O_{B}}+\frac{R}{C O_{C}} & = \\ +3-\frac{[B O C]+[A O C]+[A O B]}{[A B C]} & = \\ +3-\frac{[A B C]}{[A B C]} & =2 +\end{aligned} +$$ + +Concluímos portanto que + +$$ +\frac{1}{A O_{A}}+\frac{1}{B O_{B}}+\frac{1}{C O_{C}}=\frac{2}{R} +$$ + +## 19 A Equação Cúbica + +Considere os números reais $p$ e $q$ e a equação cúbica: + +$$ +x^{3}+p x+q=0 +$$ + +a) Se $x_{0}$ é uma raiz real da equação, então + +$$ +x^{3}+p x+q=\left(x-x_{0}\right)\left(x^{2}+a x+b\right) +$$ + +Verifique que $a=x_{0}$. + +b) Verifique que $p^{2} \geq 4 x_{0} q$. + +## 19 A Equação Cúbica - Solução + +a) Expandindo a equação dada, temos + +$$ +\begin{aligned} +x^{3}+p x+q & =\left(x-x_{0}\right)\left(x^{2}+a x+b\right) \\ +& =x^{3}+\left(a-x_{0}\right) x^{2}+\left(b-a x_{0}\right) x-b x_{0} +\end{aligned} +$$ + +Como o coeficiente de $x^{2}$ no termo da esquerda é nulo, devemos ter $a-x_{0}=0$, ou seja, $x_{0}=a$. +b) Comparando os coeficientes de $x^{1}$ e $x^{0}$ em ambos os membros das equações anteriores, temos $p=b-a x_{0}=b-x_{0}^{2}$ e $q=-b x_{0}$. Daí, como todo quadrado de um número real é não negativo, + +$$ +\begin{aligned} +p^{2}-4 x_{0} q & =\left(b-x_{0}^{2}\right)^{2}+4 b x_{0}^{2} \\ +& =b^{2}-2 b x_{0}^{2}+x_{0}^{4}+4 b x_{0}^{2} \\ +& =b^{2}+2 b x_{0}^{2}+x_{0}^{4} \\ +& =\left(b+x_{0}^{2}\right)^{2} \\ +& \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +Consequentemente $p^{2} \geq 4 x_{0} q$. + +## 20 A Circunferência e o Quadrado + +No quadrado $A B C D$, os pontos $M$ e $N$ são interiores aos lados $B C$ e $C D$ de modo que $\angle M A N=45^{\circ}$. Seja $O$ o ponto de interseção do círculo que passa por $C, M$ e $N$ com o segmento $A C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-21.jpg?height=476&width=465&top_left_y=1475&top_left_x=867) + +a) Verifique que $O M=O N$. + +b) Verifique que $O$ é o centro da circunferência que passa por $A, M$ e $N$. + +## 20 A Circunferência e o Quadrado - Solução + +a) Como $\angle M C O=\angle O C N=45^{\circ}$, segue que os comprimentos das cordas $M O$ e $N O$ são iguais a um mesmo valor $L$. + +b) Seja $R$ o comprimento do raio da circunferência que passa por $A, M$ e $N$. Pela Lei dos Senos, + +$$ +\frac{M N}{\operatorname{sen}(\angle M A N)}=2 R \Rightarrow R=\frac{M N}{\sqrt{2}} +$$ + +Como $\angle M C N=90^{\circ}, M N$ é um diâmetro da circunferência que passa por $C, M$ e $N$. Consequentemente, $\angle M O N=90^{\circ}$. Pelo Teorema de Pitágoras, + +$$ +\begin{aligned} +M O^{2}+N O^{2} & =M N^{2} \\ +2 L^{2} & =M N^{2} \\ +L & =\frac{M N}{\sqrt{2}} +\end{aligned} +$$ + +De $R=L$ e $M O=N O$, podemos concluir que $O$ é o centro da circunferência que passa por $A, M$ e $N$. + +## 21 O Retângulo e as Perpendiculares + +Seja $A B C D$ um retângulo com $B C=2 \cdot A B$. Seja $E$ o ponto médio de $B C$ e $P$ um ponto arbitrário interno ao lado $A D$. Sejam $F$ e $G$ os pés das perpendiculares desenhadas de $A$ a $B P$ e de $D$ a $C P$. Sabemos que $\angle B P C=85^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-22.jpg?height=402&width=717&top_left_y=1816&top_left_x=551) + +a) Verifique que os triângulos $B E F$ e $B E P$ são semelhantes. + +b) Determine o valor da soma dos ângulos $\angle B E F+\angle C E G$. + +## 21 O Retângulo e as Perpendiculares - Solução + +a) Em virtude das relações métricas nos triângulos retângulos aplicadas ao triângulo $A B P$, temos + +$$ +B E^{2}=A B^{2}=B F \cdot B P +$$ + +Portanto, + +$$ +\frac{B E}{B P}=\frac{B F}{B E} +$$ + +Dada a relação de proporcionalidade da última equação e $\angle E B F=\angle E B P$, segue que os triângulos $B E F$ e $B E P$ são semelhantes. + +b) Da semelhança do item anterior, segue que $\angle B E F=\angle B P E$. De modo análogo, $\angle C E G=$ $\angle E P C$. Assim, + +$$ +\angle B E F+\angle C E G=\angle B P E+\angle E P C=\angle B P C=85^{\circ} \text {. } +$$ + +## 22 Produtos e a Sequência de Fibonacci + +A Sequência de Fibonacci é definida recursivamente por $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ para $n \in \mathbb{Z} \mathrm{e}$ $F_{1}=F_{2}=1$. Determine o valor de: + +$$ +\left(1-\frac{F_{2}^{2}}{F_{3}^{2}}\right)\left(1-\frac{F_{3}^{2}}{F_{4}^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{F_{2019}^{2}}{F_{2020}^{2}}\right) +$$ + +## 22 Produtos e a Sequência de Fibonacci - Solução + +Podemos reescrever um termo genérico do produto dado como + +$$ +\begin{aligned} +1-\frac{F_{i}^{2}}{F_{i+1}^{2}} & =\frac{F_{i+1}^{2}-F_{i}^{2}}{F_{i+1}^{2}} \\ +& =\frac{\left(F_{i+1}-F_{i}\right)\left(F_{i+1}+F_{i}\right)}{F_{i+1}^{2}} \\ +& =\frac{F_{i-1} F_{i+2}}{F_{i+1}^{2}} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +\left(1-\frac{F_{2}^{2}}{F_{3}^{2}}\right)\left(1-\frac{F_{3}^{2}}{F_{4}^{2}}\right)\left(1-\frac{F_{4}^{2}}{F_{5}^{2}}\right) \ldots \cdot\left(1-\frac{F_{2018}^{2}}{F_{2019}^{2}}\right) \cdot\left(1-\frac{F_{2019}^{2}}{F_{2020}^{2}}\right) & = \\ +\frac{F_{1} F_{4}^{\prime}}{F_{3}^{2}} \cdot \frac{F_{2} F_{5}}{F_{4}^{2}} \cdot \frac{F_{3} F_{6}}{F_{5}^{2}} \cdot \ldots \cdot \frac{F_{2017} F_{2020}}{F_{2019}^{2}} \cdot \frac{F_{2018} F_{2021}}{F_{2020}^{2}} & = \\ +\frac{F_{1} F_{2} \cdot\left(F_{3} F_{4} \ldots F_{2017} F_{2018}\right) \cdot F_{2021}}{F_{3} \cdot\left(F_{3} F_{4} \ldots F_{2018} F_{2019}\right) F_{2019} F_{2020}} & = \\ +\frac{F_{2021}}{2 F_{2019} F_{2020}} & = +\end{aligned} +$$ + +## 23 O Ângulo no Triângulo + +Na figura abaixo, os segmentos $A M, A K, B_{2} C_{2}$ e $B_{1} C_{1}$ são tangentes a circunferência de centro $O$. Se $\angle B_{1} O B_{2}=30^{\circ}$, determine o valor do ângulo $\angle B_{1} D B_{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-24.jpg?height=529&width=1124&top_left_y=1224&top_left_x=358) + +## 23 O Ângulo no Triângulo - Solução + +Pelo Teorema do Ângulo Externo, temos + +$$ +\begin{aligned} +\angle B_{1} O B_{2} & =\angle A B_{1} O-\angle A B_{2} O \\ +& =\frac{\angle A B_{1} C_{1}-\angle A B_{2} C_{2}}{2} \\ +& =\frac{\angle B_{1} D B_{2}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, $\angle B_{1} D B_{2}=2 \cdot 30=60^{\circ}$. + +## 24 Ponto Médio Lembra Base Média + +No desenho abaixo, $A B C$ um triângulo com lados de comprimentos $A B=4 \mathrm{~cm}, A C=$ $6 \mathrm{~cm}$. Além disso, $\angle D A H=\angle H A B, \angle A H B=90^{\circ}$ e $M$ é o ponto médio de $B C$. Encontre o comprimento do segmento $M H$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-25.jpg?height=549&width=465&top_left_y=590&top_left_x=867) + +## 24 Ponto Médio Lembra Base Média - Solução + +Como $A H$ é altura e bisstriz do vértice $A$, segue que o triângulo $A B D$ é isósceles. Daí $H$ é um ponto médio do segmento $B D$ e $A B=A D$. Consequentemente, $M H$ é uma base média do triângulo $C B D$ e assim + +$$ +\begin{aligned} +M H & =\frac{C D}{2} \\ +& =\frac{A C-A D}{2} \\ +& =\frac{A C-A B}{2} \\ +& =1 \mathrm{~cm} . +\end{aligned} +$$ + +## 25 A Função Ímpar + +Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função ímpar, isto é, uma função que satisfaz $-f(x)=f(-x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Suponha que $f(x+5)=f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ e que $f(1 / 3)=1$. Determine o valor da soma: + +$$ +f(16 / 3)+f(29 / 3)+f(12)+f(-7) +$$ + +## 25 A Função Ímpar - Solução + +Temos + +$$ +\begin{aligned} +f\left(\frac{1}{3}\right) & =1 \\ +f\left(\frac{1}{3}+5\right) & =1 \\ +f\left(\frac{16}{3}\right) & =1 +\end{aligned} +$$ + +Como $f$ é uma função ímpar, i.e., $f(-x)=-f(x)$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +f\left(-\frac{1}{3}\right) & =-1 \\ +f\left(-\frac{1}{3}+5+5\right) & =-1 \\ +f\left(\frac{29}{3}\right) & =-1 +\end{aligned} +$$ + +e + +$$ +\begin{aligned} +f(-7) & =f(-12+5) \\ +& =f(-12) \\ +& =-f(12) +\end{aligned} +$$ + +Finalmente, + +$$ +\begin{aligned} +f(16 / 3)+f(29 / 3)+f(12)+f(-7) & = \\ +1+(-1)+f(12)-f(12) & =0 +\end{aligned} +$$ + +## 26 A Altura e o Ponto Médio + +Na figura a seguir, $\angle C A B=2 \cdot \angle C B A, A D$ é uma altura e $M$ é o ponto médio de $A B$. Se $A C=2 \mathrm{~cm}$, encontre o comprimento do segmento $D M$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-27.jpg?height=365&width=700&top_left_y=510&top_left_x=755) + +## 26 A Altura e o Ponto Médio - Solução + +Seja $K$ o ponto médio de $A C$. Como o círculo de centro $K$ e diâmetro $A C$ passa por $D$, segue que $C K=A K=D K=1 \mathrm{~cm}$. Dessa última igualdade, decorre que o triângulo $A D K$ é isósceles e assim $\angle K D A=\angle K A D$. O segmento $K M$ é base média do triângulo $A B C$, implicando em $K M \| B C$ e assim $\angle K M D=\angle C B A$. Pelo Teorema do Ângulo Externo, + +$$ +\angle D K M=\angle A D K-\angle D M K=\angle D M K +$$ + +Finalmente, como as últimas igualdades mostram que o triângulo $D K M$ é isósceles, segue que $D M=D K=1 \mathrm{~cm}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-27.jpg?height=365&width=698&top_left_y=1599&top_left_x=759) + +## 27 O Quadrado Inscrito na Circunferência + +O quadrado $A B C D$ de lado $1 \mathrm{~cm}$ está inscrito em uma circunferência de centro $O$. O ponto $M$ está sobre o arco $B C$, o segmento $A M$ encontra $B D$ no ponto $P$, o segmento $D M$ encontra $A C$ no ponto $Q$. + +a) Verifique que $\angle A Q D=\angle P A D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-28.jpg?height=714&width=690&top_left_y=248&top_left_x=564) + +b) Encontre a área do quadrilátero $A P Q D$. + +27 O Quadrado Inscrito na Circunferência - Solução + +a) $\operatorname{Como} \angle A M D=45^{\circ}=\angle O A D=\angle O D A$, temos + +$$ +\begin{aligned} +\angle A Q D & =\angle A M D+\angle M A Q \\ +& =45^{\circ}+\angle M A Q \\ +& =\angle O A D+\angle M A Q \\ +& =\angle P A D +\end{aligned} +$$ + +b) De modo semelhante ao item anterior, podemos mostrar que $\angle A P D=\angle A D Q$ e daí os triângulos $A P D$ e $Q D A$ são semelhantes. Daí + +$$ +\frac{A Q}{A D}=\frac{A D}{P D} \Rightarrow A D^{2}=A Q \cdot P D +$$ + +Em virtude do item anterior, a área do quadrilátero $A P Q D$ é dada por + +$$ +\begin{aligned} +\frac{P D \cdot A Q \operatorname{sen}(\angle P O Q)}{2} & =\frac{A D^{2}}{2} \\ +& =\frac{\operatorname{Area}(A B C D)}{2} \\ +& =\frac{1}{2} \mathrm{~cm}^{2} +\end{aligned} +$$ + +## 28 A Função Exponencial + +Seja $f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3}$. + +a) Encontre o valor de $f(x)+f(1-x)$. + +b) Calcule o valor da soma + +$$ +f\left(\frac{1}{2020}\right)+f\left(\frac{2}{2020}\right)+f\left(\frac{3}{2020}\right)+\ldots+f\left(\frac{2019}{2020}\right) +$$ + +## 28 A função exponencial - Solução + +a) Temos + +$$ +\begin{aligned} +f(x)+f(1-x) & =\frac{9^{x}}{9^{x}+3}+\frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3} \\ +& =\frac{9^{x}}{9^{x}+3}+\frac{9}{9+3 \cdot 9^{x}} \\ +& =\frac{9^{x}}{9^{x}+3}+\frac{3}{3+9^{x}} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +b) Em virtude do item anterior, podemos juntar os termos correspondendo às frações $\frac{i}{2020} \mathrm{e} \frac{2020-i}{2020}$ para obter o número 1 : + +$$ +\begin{aligned} +& f\left(\frac{1}{2020}\right)+f\left(\frac{2}{2020}\right)+f\left(\frac{3}{2020}\right)+\ldots+f\left(\frac{2019}{2020}\right)= \\ +& \left(f\left(\frac{1}{2020}\right)+f\left(\frac{2019}{2020}\right)\right)+\left(f\left(\frac{2}{2020}\right)+f\left(\frac{2018}{2020}\right)\right)+ \\ +& \left(f\left(\frac{3}{2020}\right)+f\left(\frac{2017}{2020}\right)\right)+\ldots+\left(f\left(\frac{1009}{2020}\right)+f\left(\frac{1011}{2020}\right)\right)+f\left(\frac{1010}{2020}\right)= \\ +& 1009+\frac{3}{3+3}= \\ +& \frac{2019}{2} \text {. } +\end{aligned} +$$ + +## 29 O Retângulo e o Semicírculo + +Seja $A B C D$ um retângulo tal que $A B=\sqrt{2} B C$. Seja $E$ um ponto sobre o semicírculo com diâmetro $A B$, como indicado na figura a seguir. Sejam $K$ e $L$ as interseções de $A B$ com $E D$ e $E C$, respectivamente. Se $A K=2 \mathrm{~cm}$ e $B L=9 \mathrm{~cm}$, calcule, em $\mathrm{cm}$, o comprimento do segmento $K L$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-30.jpg?height=412&width=495&top_left_y=669&top_left_x=667) + +## 29 O Retângulo e o Semicírculo - Solução + +Sejam $x$ e $y$ os comprimentos das projeções ortogonais dos segmentos $E K$ e $E L$ sobre o segmento $A B$ e $P$ a projeção ortogonal de $E$ sobre $A B$. Além disso, seja $h=E P$. Por semelhança de triângulos, temos + +$$ +\frac{2}{x}=\frac{B C}{h} \text { e } \frac{9}{y}=\frac{B C}{h} +$$ + +Portanto, + +$$ +\begin{aligned} +K L & =x+y \\ +& =\frac{11 h}{B C} +\end{aligned} +$$ + +Como $E A B$ é um triângulo retângulo em $E$, segue das relações métricas dos triângulos retângulos que + +$$ +\begin{aligned} +h^{2} & =A P \cdot P B \\ +& =(2+x)(9+y) \\ +& =\left(2+\frac{2 h}{B C}\right)\left(9+\frac{9 h}{B C}\right) \\ +& =18\left(1+\frac{h}{B C}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Portanto, + +$$ +1+\frac{h}{B C}=\frac{h}{3 \sqrt{2}} +$$ + +Além disso, de + +segue que + +$$ +\sqrt{2} B C=A K+K L+L B=11\left(1+\frac{h}{B C}\right) +$$ + +$$ +\frac{h}{3 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} B C}{11} +$$ + +Ou seja, $\frac{h}{B C}=\frac{6}{11}$ e $K L=\frac{11 h}{B C}=6 \mathrm{~cm}$. + +## 30 Números Parentes + +Seja $\overline{a b}$ um número inteiro de dois dígitos ${ }^{2}$. Um inteiro positivo é um parente de $\overline{a b}$ se: + +i) o dígito das unidades de $n$ também é $b$. + +ii) os outros dígitos de $n$ são distintos de zero e somam $a$. + +Por exemplo, os parentes de 31 são 31, 121, 211 e 1111. Encontre todos os números de dois dígitos que dividem todos os seus parentes. + +## 30 Números Parentes - Solução + +Vamos dividir o problema em casos: + +1) Se $a=1$ e $n$ é parente de $\overline{a b}$, então a única possibilidade é $n=\overline{1 b}$. Esse número é sempre solução, pois $\overline{1 b}$ divide $\overline{1 b}$. +2) Se $a=2$, como $\overline{2 b}$ deve dividir $\overline{11 b}$, então $\overline{2 b}$ deve dividir $\overline{11 b}-\overline{2 b}=90$. Os divisores de $90=2 \cdot 3^{2} \cdot 5$ são + +$$ +1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45 \text { e } 90 +$$ + +Como $20 \leq \overline{2 b}=20+b \leq 29$, não temos soluções nesse caso. + +3) Se $a \geq 3$, como $\overline{a b}$ deve dividir a $\overline{(a-3) 21 b}$ e $\overline{(a-3) 12 b}$, então $\overline{a b}$ divide a diferença $\overline{(a-3) 21 b}-\overline{(a-3) 12 b}=90$. Lembrando da análise de divisores do item anterior, as únicas possibilidades são 30,45 e 90 , dado que $\overline{a b} \geq 30$. Resta verificarmos que essas três opções dividem todos os seus parentes. + +i) Se $n$ é parente de 30, então $n$ termina em 0 e a soma de seus dígitos é um múltiplo de 3. Portanto, $n$ é múltiplo de $10 \cdot 3=30$.[^0]ii) Se $n$ é parente de 45, então $n=A \cdot 10+5$, em que $A$ é um número cuja soma dos dígitos é 4 . Como a soma dos dígitos de $n$ é um múltiplo de $9, n$ também é múltiplo de 9. Além disso, como $n$ termina em 5, então $n$ também é múltiplo de 5. Portanto, $n$ é múltiplo de $9 \cdot 5=45$. + +iii) Se $n$ é parente de 90 , então $n=A \cdot 10$, em que $A$ é um número cuja soma dos dígitos é 9 . Como $n$ termina em 0 e é múltiplo de 9 , segue que $n$ é múltiplo de $9 \cdot 10=90$. + +Logo, os únicos inteiros positivos que dividem todos os seus parentes são + +$$ +10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,30,45 \text { e } 90 +$$ + +## 31 A Função de Inteiros + +Para cada número inteiro positivo $n$ se associa um inteiro não negativo $f(n)$ de modo que se cumpram as três regras seguintes: +i) $f(a b)=f(a)+f(b)$. + +ii) $f(n)=0$ se $n$ é um primo maior que 10 . + +iii) $f(1)2020$ existem dois números bacana de $n$ dígitos que são consecutivos. + +## 35 Inteiros Bacanas - Solução + +a) Os números 31 e 32 são bacanas, pois + +$$ +31 \rightarrow 10 \rightarrow 1 +$$ + +e + +$$ +32 \rightarrow 13 \rightarrow 10 \rightarrow 1 +$$ + +b) Considere os números + +$$ +A=\underbrace{111 \ldots 11}_{31 \text { uns }} \underbrace{000 \ldots 00}_{n-31 \text { zeros }} \text { e } B=\underbrace{111 \ldots 11}_{31 \text { uns }} \underbrace{000 \ldots 00}_{n-32 \text { zeros }} 1 \text {. } +$$ + +Note que $A$ e $B$ são números bacanas consecutivos, pois + +$$ +A \rightarrow 31 \rightarrow 10 \rightarrow 1 +$$ + +$\mathrm{e}$ + +$$ +B \rightarrow 32 \rightarrow 13 \rightarrow 10 \rightarrow 1 +$$ + +## 36 Conflitos no Planeta X + +No planeta $X$, existem 100 países alienígenas com conflitos entre si. Para evitar uma guerra mundial, esses países se organizam em grupos de alianças militares para proteção mútua. Sabemos que as alianças seguem as seguintes regras: + +1) Nenhuma aliança contém mais de 50 países. +2) Quaisquer dois países pertencem a pelo menos uma aliança. + +a) É possível que um país participe de menos de três alianças militares? + +b) Qual é o menor número possível de alianças para que essas duas condições sejam satisfeitas? + +## 36 Conflitos no Planeta X-Solução + +a) Não é possível. Suponha que o país $A$ pertence a no máximo duas alianças. Nesse caso, como cada aliança tem no máximo 50 países, o país $A$ é membro de uma mesma aliança com no máximo $49+49=98$ países. Como existem 99 países distintos de $A$, pelo menos um deles não estará em uma aliança com $A$ e isso gera um conflito com a regra (2). +b) Como cada país participa de pelo menos 3 alianças, se somarmos as quantidades de participações de todos os países em todas as alianças obteremos pelo menos o número $3 \cdot 100=300$. Por outro lado, cada aliança contabiliza no máximo 50 participações. Assim, o número mínimo de alianças não pode ser menor do que $\frac{300}{50}=6$. Para verificarmos que esse número é realmente o menor possível, basta exibirmos um exemplo de configuração em que ele é atingido. Divida os 100 países em 4 grupos de 25 países: $A$, $B, C, D$. Agora, forme as alianças de 50 países constituídas por todas as 6 combinações de dois desses grupos: + +$$ +A \cup B, A \cup C, A \cup D, B \cup C, B \cup D \text { e } C \cup D +$$ + +## 37 Segmentos no Triângulo Equilátero + +No desenho ao lado, o triângulo $A B C$ é equilátero e $B D=C E=A F=\frac{A B}{3}$. A razão $\frac{E G}{G D}$ pode ser escrita na forma $\frac{m}{n}, \operatorname{mdc}(m, n)=1$. Quanto vale $m+n$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-37.jpg?height=460&width=516&top_left_y=1150&top_left_x=884) + +## 37 Segmentos no Triângulo Equilátero - Solução + +Veja que $\frac{E G}{G D}=\frac{[E B G]}{[B G D]}$. Agora, $\frac{[E B G]}{[B C F]}=\frac{\frac{1}{2} E B \cdot B G \cdot \operatorname{sen}(\angle E B G)}{\frac{1}{2} B C \cdot B F \cdot \operatorname{sen}(\angle C B F)}$. Como $\angle E B G=\angle C B F$, temos + +$$ +\frac{[E B G]}{[B C F]}=\frac{E B \cdot B G}{B C \cdot B F} +$$ + +Analogamente, + +$$ +\frac{[B G D]}{[A B F]}=\frac{B G \cdot B D}{B A \cdot B F} +$$ + +Dividindo (1) por (2), obtemos $\frac{[E B G]}{[B G D]} \cdot \frac{[A B F]}{[B C F]}=\frac{E B \cdot B A}{B C \cdot B D}$. Finalmente, como $\frac{[A B F]}{[B C F]}=$ $\frac{A F}{C F}=\frac{1}{2}$, temos + +$$ +\frac{[E B G]}{[B G D]}=\frac{E B \cdot B A \cdot C F}{B C \cdot B D \cdot A F}=\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 2=4 +$$ + +Logo, $\frac{E G}{G D}=\frac{4}{1}$ e, portanto, $m+n=5$. + +## 38 As Equações com Cubos + +Lembrando que + +$$ +\begin{aligned} +(a+b+c)^{3} & =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+ \\ +& +3 a c^{2}+3 a^{2} c+3 b^{2} c+3 b c^{2}+6 a b c +\end{aligned} +$$ + +Encontre as soluções do sistema de equações + +$$ +\begin{aligned} +a^{3}+3 a b^{2}+3 a c^{2}-6 a b c & =1 \\ +b^{3}+3 b a^{2}+3 b c^{2}-6 a b c & =1 \\ +c^{3}+3 c a^{2}+3 c b^{2}-6 a b c & =1 +\end{aligned} +$$ + +## 38 As Equações com Cubos - Solução + +Sejam $A=a^{3}+3 a b^{2}+3 a c^{2}-6 a b c, B=b^{3}+3 b a^{2}+3 b c^{2}-6 a b c$ e $C=c^{3}+3 c a^{2}+3 c b^{2}-6 a b c$. Usando a identidade algébrica mencionada no enunciado, temos + +$$ +\begin{aligned} +-A+B+C & =(-a+b+c)^{3} \\ +A-B+C & =(a-b+c)^{3} \\ +A+B-C & =(a+b-c)^{3} +\end{aligned} +$$ + +Como $A=B=C=1$, segue que + +$$ +\begin{aligned} +(-a+b+c)^{3} & =1 \\ +(a-b+c)^{3} & =1 \\ +(a+b-c)^{3} & =1 +\end{aligned} +$$ + +Portanto + +$$ +-a+b+c=a-b+c=a+b-c=1 +$$ + +De $2=(-a+b+c)+(a-b+c)=2 c$, segue que $c=1$. De forma semelhante, podemos concluir que $a=b=1$ e que $(a, b, c)=(1,1,1)$ é a única solução do sistema. + +## 39 Castelo no Tabuleiro + +Em um tabuleiro $7 \times 7$, dizemos que 4 casas assinaladas com $X$ formam um castelo se elas são vértices de um retângulo com lados paralelos aos do tabuleiro, como indicado na figura a seguir: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-39.jpg?height=510&width=497&top_left_y=779&top_left_x=859) + +a) Marque 21 casas com $X$ no tabuleiro $7 \times 7$ sem que exista qualquer castelo entre elas. + +b) Verifique que para qualquer escolha de 22 casas com $X$ sempre existirá um castelo. + +## 39 Castelo no Tabuleiro - Solução + +a) Um exemplo é o que está na seguinte figura a seguir. + +| $X$ | $X$ | | $X$ | | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | $X$ | $X$ | | $X$ | | | +| | | $X$ | $X$ | | $X$ | | +| | | | $X$ | $X$ | | $X$ | +| $X$ | | | | $X$ | $X$ | | +| | $X$ | | | | $X$ | $X$ | +| $X$ | | $X$ | | | | $X$ | + +b) Se existem 22 casas com um $X$, como há apenas 7 linhas, pelo menos uma delas terá 4 casas marcadas com $X$. Permutando linhas ou colunas do tabuleiro, nenhum castelo será criado ou destruído. Assim, podemos supor que a linha que contém as 4 casas marcadas é a primeira e que eles estão nas primeiras 4 colunas, como indicado na figura a seguir. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-40.jpg?height=505&width=505&top_left_y=551&top_left_x=657) + +Podemos agora analisar duas situações distintas. + +1) Suponha que na primeira linha existem apenas 4 casas marcadas. Se em alguma linha restante das quatro colunas encontrarmos duas casas marcadas, teremos um castelo. Se isso não ocorre, nas primeiras 4 colunas teremos no máximo $4+6$ casas marcadas e, consequentemente, pelo menos $22-10=12$ casas com $X$ devem ser dispostas nas últimas 3 colunas. Isso garante que uma delas terá pelo menos 4 casas marcadas. Novamente após permutar linhas e colunas, podemos supor que essas 4 casas marcadas estão na quinta coluna como indicado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-40.jpg?height=500&width=505&top_left_y=1627&top_left_x=657) + +Para que não exista castelo, na região pontilhada pode existir no máximo mais uma casa marcada em cada uma das duas últimas colunas. Assim, essa região terá no máximo $4+2=6$ casas com $X$. Como nas últimas 3 colunas existem 12 casas marcadas, no retângulo tracejado devemos ter pelo menos $12-6=6$ casas marcadas e assim, inevitavelmente, teremos um castelo. Portanto, se na primeira linha existem exatamente 4 casas marcadas, sempre teremos um castelo. + +2) Suponha que na primeira linha existem mais de 4 casas marcadas e que essas casas estão nas primeiras 5 colunas. Como discutido anteriormente, se alguma linha restante das cinco primeiras colunas possuir mais de uma casa marcada, teremos um castelo. Se isso não ocorre, nas primeiras 5 colunas teremos no máximo $5+6$ casas marcadas e, consequentemente, pelo menos $22-11=11$ casas com $X$ devem ser dispostas nas últimas 2 colunas. Isso garante que uma delas terá pelo menos 6 casas marcadas. Novamente, após permutar linhas e colunas, podemos supor que 5 dessas casas marcadas estão na sexta coluna como indicado na figura abaixo: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-41.jpg?height=507&width=508&top_left_y=698&top_left_x=846) + +Para que não exista castelo, na região pontilhada pode existir no máximo mais uma casa marcada na última coluna. Assim, essa região terá no máximo $5+1=6$ casas com $X$. Como nas últimas 2 colunas existem 11 casas marcadas, nos dois retângulos tracejados devemos ter pelo menos $11-6=5$ casas marcadas. Mas isso é um absurdo, pois nesses retângulos temos apenas 4 casas. Esse absurdo mostra que sempre teremos um castelo também nesse caso. + +## 40 Os Números da Lousa + +Os 2020 números + +$$ +1 \cdot 2,2 \cdot 3,3 \cdot 4, \ldots, 2020 \cdot 2021 +$$ + +são escritos na lousa. Um movimento consiste em escolher três números $a, b, c$ escritos na lousa, apagá-los e escrever na lousa o número + +$$ +\frac{a b c}{a b+b c+a c} +$$ + +a) Verifique que + +$$ +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(\frac{a b c}{a b+b c+a c}\right)^{-1} +$$ + +b) Usando + +$$ +\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} +$$ + +encontre o valor da soma + +$$ +\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{2020 \cdot 2021} +$$ + +c) Após 1009 movimentos, sobram dois números na lousa. Prove que se um deles é 4/3, o outro é maior do que 4. + +## 40 Os Números da Lousa - Solução + +a) Note que + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & =\frac{b c+a c+a b}{a b c} \\ +& =\left(\frac{a b c}{a b+b c+a c}\right)^{-1} +\end{aligned} +$$ + +b) Em virtude da identidade sugerida, temos + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{2020 \cdot 2021} & = \\ +\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\right) & = \\ +\frac{1}{1}-\frac{1}{2021} & =\frac{2020}{2021} +\end{aligned} +$$ + +c) Pelo item anterior, a qualquer momento, a soma dos inversos dos números escritos na lousa é sempre a mesma. No final, se restam apenas os números $x$ e $4 / 3$, temos + +$$ +\frac{1}{x}+\frac{3}{4}=\frac{2020}{2021}<1 +$$ + +Daí + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{x} & <1-\frac{3}{4} \\ +& =1 / 4 +\end{aligned} +$$ + +Ou seja, $x>4$. + +## 41 Os Competidores no Salão + +Em uma competição, os competidores ocupam todos os lugares de um salão retangular onde os assentos estão organizados em filas e colunas de tal modo que há mais de duas filas e em cada fila há mais de dois assentos. Em um dado momento, esses competidores recebem a ordem de cumprimentarem com um aperto de mão apenas os seus vizinhos diretos no salão, isto é, quem está na sua esquerda, direita, na frente, atrás e em diagonal. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_12f29789e10e6749ebb9g-43.jpg?height=290&width=426&top_left_y=804&top_left_x=887) + +Alguém percebeu que foram dados 1020 apertos de mãos. Seja $n$ o número de filas e $m$ a quantidade de lugares de cada fila. + +a) Quais são as possíveis quantidades de apertos de mão que cada competidor do salão pode ter dado? + +b) Para cada uma das quantidades $x$ descritas no item anterior, calcule quantos competidores deram $x$ apertos de mão. + +c) Determine o número de competidores que estavam no salão. + +## 41 Os Competidores no Salão - Solução + +a) Um competidor que sentou em um dos 4 cantos do salão deu 3 apertos de mão. Se um competidor sentou em algum dos 4 bordos, mas sem estar posicionado nos cantos, ele deu 5 apertos de mão. Finalmente, se um competidor sentou no interior do salão, ele deu 8 apertos de mão. + +A figura a seguir ilustra essas possibilidades. + +| 3 | 5 | 3 | +| :---: | :---: | :---: | +| 5 | 8 | 5 | +| 3 | 5 | 3 | + +b) Existem 4 pessoas que apertaram a mão de 3 pessoas, $2(n-2)+2(m-2)$ pessoas que apertaram a mão de 5 pessoas e $(n-2)(m-2)$ pessoas que apertaram a mão de 8 pessoas. + +c) Multiplicando a quantidade de pessoas do item anterior pelos apertos de mão correspondentes, teremos contado cada um deles duas vezes, portanto + +$$ +\begin{aligned} +8 \cdot(n-2)(m-2)+5 \cdot[2(n-2)+2(m-2)]+3 \cdot 4 & =2 \cdot 1020 \\ +8 m n-6 n-6 m & =2036 +\end{aligned} +$$ + +Daí $m=\frac{1018+3 n}{4 n-3}$. Para que $m$ seja inteiro, $4 n-3$ deve dividir $1018+3 n$ e consequentemente $4 n-3$ deve dividir $4(1018+3 n)=3(4 n-3)+4081$. Como $4 n-3$ divide $3(4 n-3)$, segue que $4 n-3$ divide $4081=7 \cdot 11 \cdot 53$. Os divisores de 4081 são 1, 7, 11, 53, 77, 371, 583 e 4081. Note que $4 n-3$ deixa resto 1 na divisão por 4 e, dessa lista de divisores, os únicos que podem ser iguais a $4 n-3$ são: $1,53,77$ e 4081 . Se + +$$ +\begin{aligned} +& 4 n-3=1 \Rightarrow n=1 \\ +& 4 n-3=53 \Rightarrow n=14 \\ +& 4 n-3=77 \Rightarrow n=20 \\ +& 4 n-3=4081 \Rightarrow n=1021 +\end{aligned} +$$ + +O primeiro e o quarto caso não são admissíveis, pois há mais de duas filas e em cada fila há mais de dois assentos. Assim $n=14$ e $m=\frac{1018+3 \cdot 14}{4 \cdot 14-3}=20$ ou então $n=20 \mathrm{e}$ $m=\frac{1018+3 \cdot 20}{4 \cdot 20-3}=14$. Portanto, estavam no salão $m \cdot n=280$ competidores. + + +[^0]: ${ }^{2}$ Nessa notação, $b$ é o dígito das unidades e $a$ é o dígito das dezenas. + diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2c6a40907046736fbc77bdb92dffa62704c578c --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f79e4909db94cc7b9b57dfc7715f1e55815a5b385a0a1042cbbcb32db4002c91 +size 1172936 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..93f94922604a67da862a08e0bbecaec81ec6c23f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7e8c2089236dd5d7bd40d42f6d376fe5677110d3aa58a39262b0a88d91c451c5 +size 1354363 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b36685408c6ea4f0ebaa0d53c53c11ce585a7651 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-Banco_Questoes_2019_PS_Nivel_3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:17739e4c58973797745fcf89155099d4c5b77e83f7307a395255c9fd12eb91d3 +size 2844678 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf53243040f6fa088ad8b3ea25ff20d32d2bbd91 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0d1d16852cf46f6d18cb65b66d15898177c06072e2397554fcf850c331d9ebcb +size 3471985 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dda0644f156610aa05faf4499853d6e215c9af92 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:88bfc128651b53ea3aafcea4f899e036921ca1bc064c7c94764d2e264038c40f +size 5036449 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86807295c14340dee6a62b6f86911c84fdae6d28 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c8d0165d83322c1cd8644e026b446a871ec3ec73b16089bd385919ac0bfbe056 +size 5992226 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..effab0e5436814754c08a5a04008ff4b8939494c --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2006_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f1fb384cb135edd2411cfb2bdddbe8de31035fe1297caac83f0c57ae05495c41 +size 249892 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3239c84f31b08739877cb1ec0208afa48aec6ce --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:970b19d5d8b8cc9540e2bd91c43d4b7d3554843d8907bbc5e682046a29157708 +size 203196 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..472cafb437318c01c5e2be2fe13f3bf193bfbca3 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dd57243af8ada300ebcbc730b2f6a5557a0940d4900a09e8aca6744f917bb851 +size 171301 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0e5e8d374cbdcbbeced58c58e4d2000ab729e5a --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L1_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b9617c0939babad44cf0daafcff8ddf61ed7b56fa7d664a2d8fc1e8d39392dfe +size 241315 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..195a3a6d0119dff44e73ec302679f94496175cae --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57e674d57c257b74d9fdd21e8314818e9165dc45a17352762f896adf42edd1f0 +size 134510 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2548a58470f9e6beed41a337e8406863f88af74d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d74201c0236f937c4f06663536042127b3911f81eecddb84ff057583fb1d126f +size 131495 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f95e3f1ff674f97e30c0cca9db27ffeaa32c60e0 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L2_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5cd821494f417fbcfbe82f3de67ad58aa9fd641d73b38acc716fabf03da7c0ad +size 190892 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a74daeb44c0d26fac7843a7d82d3ace0ee4284c9 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:45dc3af49075e51f6328cc3b14d6888b9c1545273cf052e0d3182a809ce7af70 +size 204458 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fbbd4e2d5fe531b4834aa9fe91080cc70ce61e82 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e4a773e10d7245e12a7f3a1c19a06bf3ed981bf51d36086693877b49b6291cde +size 136254 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f65f59a60270eab0b34fa73ca966884818e918f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L3_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ef97b4dcce545c7f5d46c59f080827fbef27c1f333f9058195811a7d4a89b21d +size 183054 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de91c2fb93e41ef87e46ae4e222da76bbb0b9671 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e403f27881933b4aed5f195dd02dde18b7082fbf152a919872c8fe964c6233f5 +size 200881 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02850b283b3121d449b3e028d8e27c6458c5668a --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2119b11068ce6b47f35cfa8fbe5b27da77e0d7776e071a59a4cc9e3c796b8a47 +size 140333 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8892df30ba445f9aa5a9da86f9ab45819e38f7f8 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L4_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3ada7d0a0548c905a9992ca9cb03a2e828f6a045d15d0efbe78464d506e7241e +size 208053 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2f702c2b4843ce39b44e38c5a8bbac0375397c20 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20e87a042cccb4a140a6c0f78c5eaa760307644fd7e9921aaa38f70501b7b524 +size 194178 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5642603d808fabd780735110ef0e36e3fbde415d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d322c9bca8495207adb73541a9978be4fea10e849aa59e6ceb5d9e629a5a1d98 +size 126373 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e7c54bbb5d7bfe01c4aaf5b7b66f478f8c102ba --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L5_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7fb8ee74cf2d2e5c130a4d1910a4a92d5dd7ad30efcaa3acbcdab09a4437d021 +size 162520 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..609ab3d80b174c3fcea6e14605b373378b989c10 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0eb612250694b75042e3d6096b15ada28eb0b349c62054dfe57f3f32c05ac81 +size 192943 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..241ce9fcfc48b40d894b34a7b1f0334c61a6901a --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ca7a4592a26e803be8dee133a2f91c34d403a2c74b49560e8185ea9c3cc9e1a2 +size 103918 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a7447d4f55577a204f916a929720f0a0a670d2b5 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L6_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1a6b87bce6d717fe2f326eb5eadfe9628a49f8c13136019607d1aad909c874f9 +size 310977 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d03abf589cc0d5881ba691cf2df7c4551f95c688 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5548b37bda8ed582560af08aefc0be8dce6712481f1ac5592e8baaa750a0191d +size 82633 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f1a36f1cbeb0f2258a8f0abe85e4ac83337551d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ce233ed9a847ccfb2064e3df8d313b40c56ae27ebbd1c2cf605fad8013727139 +size 126651 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e928747a1e8cf82ccbccbd7dc6f84b2a4aedaf7 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L7_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d600704fbce60bc83c91cbf7733d981827fbc9d32b8f828921605b4533a21a8b +size 298902 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e0be9124ca96b7799a1f1cafe0897feaf16eaeb6 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a0097b362d04bafc76ce7da6f41eadc0e59cf078bdc026127c43205124f1feb1 +size 191813 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..43f4a32e695d4001c9e693eb5aa7267c7cfd9012 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8fca24ea430b1183a10669e8d220ef33e0dd1d9cd9a7f1f95dba01c40c5d6690 +size 190895 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..871d02670e96892a83253d8fd578742399e1e5f3 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_L8_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3810d9fbf482c6a1f84283f831b9113002b1b4fb878aca780ec4ae71b6b4304c +size 165117 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d8a82a070264f98c3cc0ec7d430d472423436b7d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2007_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:18d9987162754ac49fc10c15b0cfbfab244429704001470b7e6b2d86793e60db +size 166077 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2008_L1_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2008_L1_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c0c764585c28e52fe3f8d2ee1dea86673e3bf0d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2008_L1_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d8b6e897d61a746b475080ee68a6cc9b2e275059962b22fc926848086564b823 +size 166847 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9b075b7db525f5445e4c2f95a191517a1b8083a --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:42cf05ee0b0fe9bb2b889213dd5175ba56718abccc543c4f1dd5fd59bcc39419 +size 1778115 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a50761638c31fc0c5ea069012e9a6cf53b16ce0 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d5ed718cf4f5ad33dd00103a8d8e2986d06a035c8873c94b2f47bb5e806e6f5 +size 1953090 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e929e7d8d730dc82c091832cd81f97bb12b20b24 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2b2b6b96b2c78d403c0f92ac090d5d7d1e018cbad98e881a036d4df36a4277b9 +size 1879386 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dff6cf6ee47fb56222189fe7add5077040fcc985 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2009_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6d32591b80a0b98ca2499a99baf0dee39c618094bb604064d457b4e2de456543 +size 347850 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0bd3b5c4e08cf1cc8d92a76f46cd6ea2104129e --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:88e8f2fb1e7d30010269bffd45260e61a24f7f6ef41547b838bbfb9c1e4157b2 +size 2329444 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de2a6af4aeb903b69351339527c31645a21a45c9 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:993877101680b5511033d4f6b950ce108097408bf32a4c9cba216020009a7c50 +size 2246173 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0fdd6f2d4f619ae50443204c860d653c8188e4f3 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cca5a850633261518eef4836f092861a5083aaa22e52d1701b9b200b73eb57c2 +size 2717787 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d7bfeb61193c22d245458be044e6d22b4157e141 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2010_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4de1eba685cb7ab8955927f8f880e7f9660cc1da449a03d8787ceaca7af7a9f9 +size 431620 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_aritmetica.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_aritmetica.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..414f43cebfa0029ac022449c00a7ee838d31ca2d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_aritmetica.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:00e0efc2bc9e93baab08d3b64c7d522fc104c938f5d5385ba35e2b7989eec06e +size 112488 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..910273e9eb021801a6bac6b85ae31d85a1407772 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d57636f1f3ef64ff7c8d855e927f3ecafc378e898c25784e7fd89f6357ce9d4a +size 118183 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_diversos.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_diversos.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d138bf7ca4bdb957edb9b120e972869aab9532f1 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_diversos.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6d43708709dcf477582d7ee9f862a972be9736ba6cbdd6fdcfd24076f5ee33dc +size 146319 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_geometria.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_geometria.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f9e3a7fcaf01dada6065168316643e9609dbec7 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N1_geometria.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ee0adf38397aae8ffd5d69c6963b2b412c938de84fbd1f30e0f4d120d5500e68 +size 144987 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ef41cf6da1dff9a50d1036bd5d41ade783e68d52 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d898ad6355b8bbdf9d893b423551cc88614c3e2270e442ee8df514494857df37 +size 136244 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_combinatoria.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_combinatoria.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1d72d144b909243cece864dcff7e055168455778 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_combinatoria.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9cdfaed01a90e274ea4a8fd8e0c449c96c30fd43d4e8c4588220f2270397ba5e +size 146634 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e97527eb2438d4b75edea8075df5799352ff4547 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2d90aeca375ade69992172b43e4ac178ae32ea3425ac2489255895b8e9272fce +size 129212 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_diversos.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_diversos.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8862135f7ee1b7f4497aec93629857f587015f02 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_diversos.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:84802220d48de5c38a3852f8d47863ce5bb4094a066a201212fde7412e7ece2b +size 122148 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_geometria.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_geometria.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a575e0a0cc896d7894f4c4ea6bb090341830b520 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N2_geometria.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ea0b1e1a9c15eaea92edab1d1e870cb7d2f28d69ada5a4016c822a96b9cf2f4 +size 180288 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_aritmetica_e_algebra.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_aritmetica_e_algebra.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d764ed1aae95738126b7f4b513cd23ece93c875e --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_aritmetica_e_algebra.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e5127e49404b80466cec823c341ff9daf409754a4adc04c3ed693e5d0ed62038 +size 141273 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_combinatoria.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_combinatoria.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..193ac77fda55ce22de61ef88202e14b764c7b0f8 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_combinatoria.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b9638cbb0200e24bf3b727af2419b393d959d8b695d1c4ee1e4a2c664910c1ea +size 144821 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_desafios.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_desafios.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ba4fcfeac24dd9c23f90bbe3a66fd7f5ee72f143 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_desafios.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8b0730246661daf75ae118ba807d51be9a70029f8ba6d880619c8103f2a4f52c +size 109403 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_diversos.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_diversos.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..afdc210b63537e0ebdc9300437c67f0339197c3b --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_diversos.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1cd389693134575df284ab09bc21d811c3e2b10dd168d16028488e6fe8aa3007 +size 93212 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_geometria.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_geometria.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e24f7cf84ea045dae53bb600ce53307eb2ed73d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2011_N3_geometria.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:742e1cc374e9795b271bd8962e77abaf86939f124a5469760c2eb5cece74f146 +size 203203 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bc710eead686f9bea29a935d017088a4f871f86b --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:76e8c4abee2f002806f575b98de598e21274b2a7e95c6778105e9f0988e61ea5 +size 2654247 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..29f6efca3a753eca0bafadb84e01bbffeee58fca --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f2d72e5579a684af89f99e584491b4b898e86d7925aac438a87965517432b251 +size 2206720 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d62e80d9622aa56a4e411af334ad806a7fd7dad --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2012_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:debe93f5ff352b2813fcca61b9db4788e171f525336d27b3db994a451b4def80 +size 2956717 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8ad1a2910c4a6a0b4472b87c20b35f074b9d147 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0b3cea4844ff3c90962e8f8d9c7b75abdb638fc86fc2d5b1209fa22744f55caf +size 4569972 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f0c008a587154b7121673019b69e1d2d96afb63 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e7cde5eae90212dc7ddf32b7719158c28faaae7c840d8945fbf2344903466d38 +size 854360 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4745f6cadfd807a073f0bc102bf9bb97241adef --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2013_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:09a4e049da01a032d234fc8d648388b636a12eff34b69b8a4afa3eebb1ba247a +size 915439 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5630f51502ba5cd7840f6f5fcb44777c3b5e4ec2 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9344373416c3bb24b987948f87aa9cb642206844f8425320de9094d080e62a41 +size 738445 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c8ff0d585ca255bf2e236b73543c976ebc53e01d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:608a2f201c1741b976d9ee19949e8a92b64ad5609db43de1d7618b305b3ccdc8 +size 928302 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2362d0f097159fc6723b7054df78b3fa4d6df256 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2014_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57b0b98b6f98e90b563af0841fac61d6724ea09ac10c3ec6b1e52320da6da77a +size 5563266 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65f425b07d2cba154440f17c0d4622ce874de063 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6ae5033dc5914507c10966d113873faeafaaacfc4b493200cad16a82f591150f +size 541076 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a34fc4696564a419c38a27dd81c054b424a9223e --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:297170ba1b52196542b2dc1cd72c37529050841c29e87d771effe6d088ae2d05 +size 1115352 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a501e504314a952a4e32176186e381d7b3d38994 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2015_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2a51037183b5ba16dfbef550098f1db5a2056345a534804a775e32b1d131104e +size 521123 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..20035a4dc7aaa67c2ebe32ee73816dc9297e47fb --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:699f7c9833d955ba23448477589f083f8ad31029fd838ab5504c6bc32e19470d +size 481550 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b1aa5a4fd76b378c16072d81955fea879b7edd9 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a943834843bceac3f0b041809c7f698e5b032474cf10086bbcac6fd1f49267c6 +size 570090 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6254f2a4d2a4446b107e0edd14971a8f08a05544 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2016_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ff753a56978c78ed24443a9fc8036365f110e5eac4900cdbbc57aeb2694e122 +size 608668 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1ad34aec35319ccb9e304f8db38aa7be3ca882b --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:92e6056b799715d921d69f8d04e22e518ebf3bd503eda63a5841bac92e0bbcf9 +size 306249 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65f82174ae947b7dbb24fad588d93a05d02e7dd4 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:35048033a91ea9566ca0311bf2d4bf949fa1af09dd3d227d3d036cf4253ec700 +size 486049 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..823b05e94149abe5d80137e011792ccb4fb4e8ec --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2017_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8e41821c9724fdd8afbddf0e6b13002fa265ec7a7c640058d129c705aff34bad +size 596058 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e232b047a8e8ef2a80c6bcb672ca74f5e8e5bcc2 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0683438f8088a600512de530da200fd83fa97db99748ef37206144b4fbbbda69 +size 1136086 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6df32e676935741e97b2979df2b4001a5967dcb2 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:467b182f8416f89b6e73a534fdcae38416787b10a467b66860f7ea802f2067dd +size 545097 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3bfda3a9011e0077aed72645cf70e8185c745d42 --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2018_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6e0a2b2070ff1ceb2be643543b697d46a1f6119a02d79f716de225c891469243 +size 654581 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N1.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f924aed75e5035081290a34a91648a7adab5eb9f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b798c3d3a2fc6bddfc1e0dffbf1575fbead13287f916887fc50a81b3781553f6 +size 1084473 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N2.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65e6c807ae53ef53f849eeec3b53acae06ba706d --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:261ac38c4e597e08cab6ba042d5da021bf33da973959883c5012b7bf5a4c8793 +size 2334692 diff --git a/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N3.pdf b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08486a634efba5ca89179c23ccce54164269f92f --- /dev/null +++ b/Brazilian_MO/raw/pt-bq2020_N3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f13f384a87b935453d96ff0959a756235a73531e3e4be26e730afc506a84f573 +size 1951819 diff --git a/CEMC/download_script/download_euclid.py b/CEMC/download_script/download_euclid.py new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f6354dd14d00ec54ada02bb29cfaf940f1f8a66 --- /dev/null +++ b/CEMC/download_script/download_euclid.py @@ -0,0 +1,76 @@ +# ----------------------------------------------------------------------------- +# Author: Jiawei Liu +# Date: 2024-11-27 +# ----------------------------------------------------------------------------- +''' +Download script for CEMC Euclid +To run: +`python CEMC_Euclid/download_script/download_euclid.py` +''' + +import requests +from bs4 import BeautifulSoup +from tqdm import tqdm +from pathlib import Path +from requests.adapters import HTTPAdapter +from urllib3.util.retry import Retry +from urllib.parse import urljoin + + +def build_session( + max_retries: int = 3, + backoff_factor: int = 2, + session: requests.Session = None +) -> requests.Session: + """ + Build a requests session with retries + + Args: + max_retries (int, optional): Number of retries. Defaults to 3. + backoff_factor (int, optional): Backoff factor. Defaults to 2. + session (requests.Session, optional): Session object. Defaults to None. + """ + session = session or requests.Session() + adapter = HTTPAdapter(max_retries=Retry(total=max_retries, backoff_factor=backoff_factor)) + session.mount("http://", adapter) + session.mount("https://", adapter) + session.headers.update({ + "User-Agent": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/58.0.3029.110 Safari/537.3" + }) + + return session + + +def main(): + base_url = "https://cemc.uwaterloo.ca/resources/past-contests?grade=All&academic_year=All&contest_category=24" + req_session = build_session() + + output_dir = Path(__file__).parent.parent / "raw" / "euclid" + output_dir.mkdir(parents=True, exist_ok=True) + + resp = req_session.get(base_url) + soup = BeautifulSoup(resp.text, 'html.parser') + + problem_pdf = soup.find_all('a', href=lambda x: x and x.endswith('Contest.pdf')) + solution_pdf = soup.find_all('a', href=lambda x: x and x.endswith('Solution.pdf')) + + pdf_uris = [urljoin(base_url, pdf['href']) for pdf in problem_pdf + solution_pdf] + + for pdf_uri in tqdm(pdf_uris): + output_file = output_dir / f"en-{Path(pdf_uri).name}" + + # Check if the file already exists + if output_file.exists(): + continue + + pdf_resp = req_session.get(pdf_uri) + + if pdf_resp.status_code != 200: + print(f"Failed to download {pdf_uri}") + continue + + output_file.write_bytes(pdf_resp.content) + + +if __name__ == "__main__": + main() diff --git a/CEMC/download_script/download_pfc.py b/CEMC/download_script/download_pfc.py new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..78b226145eb9d114119fc103988e0ff526a97514 --- /dev/null +++ b/CEMC/download_script/download_pfc.py @@ -0,0 +1,83 @@ +# ----------------------------------------------------------------------------- +# Author: Jiawei Liu +# Date: 2024-11-27 +# ----------------------------------------------------------------------------- +''' +Download script for CEMC PFC(Pascal、Fermat、Cayley) +To run: +`python CEMC_Euclid/download_script/download_pfc.py` +''' + +import requests +from bs4 import BeautifulSoup +from tqdm import tqdm +from pathlib import Path +from requests.adapters import HTTPAdapter +from urllib3.util.retry import Retry +from urllib.parse import urljoin + + +def build_session( + max_retries: int = 3, + backoff_factor: int = 2, + session: requests.Session = None +) -> requests.Session: + """ + Build a requests session with retries + + Args: + max_retries (int, optional): Number of retries. Defaults to 3. + backoff_factor (int, optional): Backoff factor. Defaults to 2. + session (requests.Session, optional): Session object. Defaults to None. + """ + session = session or requests.Session() + adapter = HTTPAdapter(max_retries=Retry(total=max_retries, backoff_factor=backoff_factor)) + session.mount("http://", adapter) + session.mount("https://", adapter) + session.headers.update({ + "User-Agent": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/58.0.3029.110 Safari/537.3" + }) + + return session + + +def main(): + base_url = "https://cemc.uwaterloo.ca/resources/past-contests?grade=All&academic_year=All&contest_category=14" + req_session = build_session() + + output_dir = Path(__file__).parent.parent / "raw" / "pfc" + output_dir.mkdir(parents=True, exist_ok=True) + + while True: + resp = req_session.get(base_url) + soup = BeautifulSoup(resp.text, 'html.parser') + + problem_pdf = soup.find_all('a', href=lambda x: x and x.endswith('Contest.pdf')) + solution_pdf = soup.find_all('a', href=lambda x: x and x.endswith('Solution.pdf')) + + pdf_uris = [urljoin(base_url, pdf['href']) for pdf in problem_pdf + solution_pdf] + + for pdf_uri in tqdm(pdf_uris): + output_file = output_dir / f"en-{Path(pdf_uri).name}" + + # Check if the file already exists + if output_file.exists(): + continue + + pdf_resp = req_session.get(pdf_uri) + + if pdf_resp.status_code != 200: + print(f"Failed to download {pdf_uri}") + continue + + output_file.write_bytes(pdf_resp.content) + + next_page = soup.find('li', class_='pager__item--next') + if not next_page: + break + else: + base_url = urljoin(base_url, next_page.find("a")['href']) + print(f"Next page: {base_url}") + +if __name__ == "__main__": + main() diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2015EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2015EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..157314ae06957fb8fb076ba8523de6dda9d5c024 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2015EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:82938ce3ab9645159d401caee9060c68168ea423a6bc0e93b8c0fef3231580e7 +size 1109147 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2015EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2015EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2a4d25197b440b929741bd4ac67079fd006e3419 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2015EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:75cb715ff06641d76348fb2a15736c8e050da269f510f480e7ba76a2e56171aa +size 1037242 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2016EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2016EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed004c1167cf5eecd7741abea93ab35f6618f68d --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2016EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1020b092f625fd9c7b4f7030f68790cd9ba1caed6d0787a5fd96b9ca2d8bb8fa +size 1017409 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2016EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2016EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1ecd5c8b9d12760269277dd5cec3b6a57ab4bf6 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2016EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bfe7937d56398fd368b296e6d2bc92c55ec7270ebb828574afbd54c9398caede +size 831063 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2017EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2017EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9c7fa5144fd35f761e5228744886c75a2e3cb904 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2017EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d85dbedf8e3de2fb4bed034337212233ebaac3efb737e497a1d5989c2ea718f +size 986400 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2017EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2017EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c05937be86664f999d9eb5088be26aac561ac9c --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2017EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aedc2621992818eb0ec0b65a5532457aeeaf434f30623a52741e230d49ad16f3 +size 2032891 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2018EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2018EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf0569ee3478db6ca7415681cbd5b45186e7669e --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2018EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a60bb902f158d40e437484f298f59b81feca0e47bc561b3ed22a130a0379332d +size 1243617 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2018EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2018EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af13236e3d73dc04dac8d480b4b22263d6f74e98 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2018EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:729d8ffb90ab0d44eddaf3e7f5655cb610369ce7a3277449aecbc14e26eae5f5 +size 2772665 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2019EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2019EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fdc0695404649140dba62438ef4017ada408edd6 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2019EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6cbbd60997682414a8ca2cc66734edb0db450e1dff493f4285727fb8c8b6f154 +size 962260 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2019EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2019EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f31bf711cae44d3b2ebfb37dd837639620024799 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2019EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9187ce5e9f6d3b0469df994fdc2bcd6d492313eb3509dc83324c02a8a06103dd +size 788086 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2020EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2020EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..18ad463701409449b79db810dfef2e2dd342616d --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2020EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fa4e613cfd26fba192219e6900375f5bc82f6f3080a0b08f20c5e5e4a79495be +size 828529 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2020EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2020EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6b627fb31449a95982eabe7e5569e2d208d5bfb --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2020EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:627f09c2aa4e0e4fcc9ac464d41e77fb9d9348a0951cf6bae870c4560b65f88b +size 1660101 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2021EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2021EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd7a64d0efbdb95381fe5f11af2d94e05575a1e7 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2021EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0dd8494176d9a44993252106a3934cd0f3d40d7292b40ff8e0dd4853a803a79d +size 1185957 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2021EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2021EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..029d8f10ebbef21e9b7927ad4f0561966378413a --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2021EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7976c4952a2b4b84cb4e9aa78e23fd2e4e9c3d66a2449b06b215a909e76d6699 +size 1011165 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2022EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2022EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fbcd1d2fa65ab94798f1d222b6e224fb8bcc8324 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2022EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:58632a9d1fc425bf5c65c15d5e4124734c6e9e0be8cd05084eff33e8d77cb2b5 +size 811469 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2022EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2022EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1b587741f99978d1c5e2d64a63ac86c2397cbeea --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2022EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3396a215963d50e4968ccf5fc33e1e0e2177fa2e8664bcd8216a20329fc82388 +size 1648258 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2023EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2023EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a0e610563c2c63c652b5829c979068141b01e6ff --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2023EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9e4da7f44a1cbd1a4dd5d7a9e1c5e1e5b493d93ae9bddd9ee418c42674feb08b +size 798432 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2023EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2023EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89c7406f09411afae38580181a12a1397f54b674 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2023EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cae52b26d98bf95dca9593055e432c07df156ea74424f2c6d04e903b2559fe8f +size 1255480 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2024EuclidContest.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2024EuclidContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6b78610240fb6620816b885de0f64eb043b1979e --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2024EuclidContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f65a70ba508d5d02c1c1207bf11c66dab612bee9ab350cc2e17fbfacf6f432cd +size 931703 diff --git a/CEMC/raw/euclid/en-2024EuclidSolution.pdf b/CEMC/raw/euclid/en-2024EuclidSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bf367e315256ea1a3c0a9a6a87b2c92216328ac5 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/euclid/en-2024EuclidSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:66b7ef7c0b670f899303592a9ab40abba6765e3495895d0e336ef59e0855b875 +size 1456699 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2015CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2015CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c5b7b761a1890f307e63d1a9a8d39dc97d874265 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2015CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1e2289dcb8f7b82a122db1feecb1449fa36615897ceb03c6f3da48ac8b0bbc60 +size 1852530 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2015CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2015CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8faf4dc8d48ecdd30b200cdc40be269e98bd1c60 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2015CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4eba68927cad734946b6eed299f9a4e9ab8a4df8944b4608eaebd72c1d8cbfa6 +size 6585694 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2015FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2015FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..38761d41ab39057c0cd0974876ff992a61404323 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2015FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d361e5cb034bd44010b06f95e56744dc3b36642c5be442858577d262cf229810 +size 1408723 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2015FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2015FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..390e888259b1c9969a38a6cee341c9db4d85acce --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2015FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b53705dae9ae622a5c94ec1ab9259d78c87a24b1d16caba7e59532399d419d19 +size 1711895 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2015PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2015PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c9fa216b735ba7ecf59cf97c29dcd1dae5aa8de3 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2015PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:785669310a3212aa201b865544747b0a3621a429492973b4c90e524528c67608 +size 3351056 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2015PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2015PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..523235a09d7f3de4cf4daec4765f896e529f6d8d --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2015PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:452df78a716ae5c76521db5bbc48ab3206d2104430a9420911b2d70176b4645c +size 2124841 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2016CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2016CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5beb93a8710f4d7f6c615eee6382aaacfdcd6e53 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2016CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d31302d881b18dd9fef5148eccb6655d553e5968e51937f9823d4d2f4116d653 +size 4671126 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2016CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2016CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c8acb23b66732b699de314359235acbfd78d8b8 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2016CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bbe90e54cb7aa50e7d081ff2f8c59850313bc0fa610e5fc2d2fdeacc206a17ab +size 3942473 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2016FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2016FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..154881a235923b17227f91ffeb720d7f949830c1 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2016FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8449b3350ea382f8b7876bc3efe1779934d990f31567b2a2b111a2fe6150bf5e +size 2799971 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2016FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2016FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55bc9c853f6270e183e7e6215ad5aa7579f2dce4 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2016FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cfbbed176e6d447154571b357a095d08875221a82307a101bdd1a852490ed8d6 +size 1862414 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2016PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2016PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..218bf8fa33cca4e61a47f8d9cb45f8daff96b3b2 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2016PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a5be1126e4d006991477964f0579910fb022bb06c5be560c2dcc7f2d018d2806 +size 7112243 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2016PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2016PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3ea9257a800aefe5e2aeeacc0e7577c094ac398 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2016PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b7624b80917ae1f57041c64a5f0caa5a652efc23c9a71a72ac1dd32ea992c798 +size 4326095 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2017CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2017CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89fbc1d96b9764bd3e755224892c96e937a231c1 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2017CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:318a18d777275e2cb248994c3df3601afa93db12f1539c33f2b14e11dc4d810d +size 1509359 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2017CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2017CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7588f27f00a843fcfee4e6c37def40567fbd6fc --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2017CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:031d397e5bb5eeee7d53c9b7c13a73d402695c32364a9ce2e9fe835dc0528ef5 +size 1031279 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2017FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2017FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa2589b43254c3d42e1983be2ebf31fab94878d8 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2017FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1cb9348373a04e6d459a51b9414e58d8a0968d55da65b4e849eaf9b61823a937 +size 1337688 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2017FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2017FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..527132201cbbd96a9e3bd52397c4496cffc514fa --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2017FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0f177361606aad358e0749c441c762752107bc10ee8f0aba896f0aab00f4ed52 +size 417455 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2017PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2017PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e1f7d9c8249e13df3e1cc94203a358ec17a564ac --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2017PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5eeb14e47ee1acad64821891f0bd3a63acfb3f63a8977f9a9057ac9bf0f95a87 +size 1857009 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2017PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2017PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b93f6bca85e1f82a666742921bb9b3f55b3843ba --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2017PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:99a7bf0c1409d1fb1a545e232cae847ff8a32127167939e690c954719dd26c0f +size 494192 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2018CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2018CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4a42be74e76de72f1476c5d18bd6979229d3f750 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2018CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:274f63d561da1d52b661719beddc46a196e5afd6e55b745601c86acf344cba9e +size 1197712 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2018CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2018CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5fb07cfd33d1c5e69d9e51aecb00a56c9d47904 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2018CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fd250c9e902b736fc8f01536f670e5af480675c3fb7a43137b08a27f8fa9ba18 +size 1713877 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2018PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2018PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02b89a1b0646beacf5dd3cd7de4cf596057a90e5 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2018PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:adb12cdf39e810386574bc07b78bb8c139f52e2b488813563935ab8ed1af1a80 +size 1556096 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2018PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2018PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b3c722a25d87d3aaa5726f8759f627a0e731f5c --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2018PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:df9d00ca21f8ec1205ea225a935faad1e0af66d1472b5f3627c3d465bb74bbed +size 1080362 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2019CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2019CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4d86a3ca5845a7f62ae2b6e8dd1cc8ab9e3caed0 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2019CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0c82677f306c166d03a7cf9bfa4f3b2a9d3116380d5fd821b419362af7fab0bd +size 2395857 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2019CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2019CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8ada2ee989f12aa32e3abb8d7924127dff69d048 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2019CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5002d72305c7e0fd9568b601a72df55fe05cd998b73a3cf887ea99e3aa55e0c9 +size 1192161 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2019FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2019FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..98835a1f51d735c84cb27775b685d9d44c01a630 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2019FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:61e33d066839de639128fe4f77e2f2ff38b27132b3b4157980994191c86bcbf9 +size 1611585 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2019FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2019FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..414e27e6932bbd8acdf76b84cbec748410a07c56 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2019FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8c23035c3d5c6d236766e65505a521044a6c5ab06ffbb8e7dfd256440df6d75c +size 1682827 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2019PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2019PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..156dcb8896968837035de4cffcd8e2a513b7af6a --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2019PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7ca181b44900b7c97bd118a2d7a1331b97b0383b2f3bc1604716dfe7ccbc8c1b +size 2888645 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2019PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2019PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a303080d91ce182fa1fdaabef211ffad2b05caa --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2019PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8ac3f1ec8e5b09b5f30be0c78692b6381644b364f695816d1f69a0bd5982e938 +size 1181995 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2020CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2020CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1b884b6b5bae224c8aadbeac2be838f9bbd7241 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2020CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fdaccca59b1352fcd8fc9448e2dbffe5c5c5bdca191337136427457e520966c5 +size 1790420 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2020CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2020CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dab7d4fa9051bf62446a7f19e4118656e311622a --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2020CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f06ed0d2c77a06d5b23c57d23370abff4d01919bbb983ee028ee4ee1b6a8c5b +size 705846 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2020FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2020FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d5da5e94d33a2b6f18e85c013fbbbb3039532a77 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2020FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:071758b77caf8fa01da9bbb1e7c356c6117a0f8ca09cbf7cd43068a69100cbd2 +size 1346187 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2020FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2020FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e8d52f63395c8d4c61cf4a9e1b6f8d5ba32036f --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2020FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:068007c98a6dafc29ebd6604eb2a1ebc028f795b9d1ff3d4cd04d9e8de0567b3 +size 1606394 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2020PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2020PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c9c124c6e7077ffecd66d91b80d66cc06d38deb0 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2020PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2553dadf296212d0aea2c49b53264ef448addba5b10cc06ec4d4cc04e36e799e +size 2444173 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2020PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2020PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..adfe9bac19e6801bc44d0392ea4ec09d79c377db --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2020PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5f2395564c55cc9e1ec4b5ef28225b105d722be6c729ec25abfa50f7c088bd60 +size 1026760 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2021CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2021CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..01fb045ff9d2646dcdf6859c73d91c6e90663a29 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2021CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:89a486fefb2536421edd02ad0bf5ca58ebcfdbf8e84c5d9ceab64c3b70597374 +size 1276615 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2021CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2021CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce0b536c579df8918ffc9cbf5def63d379f0ec61 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2021CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b7f6049c38af0adc5d7d9b143ed24d689562768462316a491ed69d31a3c4f4f +size 1686221 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2021FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2021FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8e92d7cd8fe9120d8dbfc8b7b7c877a6e4dcb1a --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2021FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d511fa255849c92ceee3aa2f7010e0847aea119f00af1c50c29d55896295bf64 +size 1147764 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2021FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2021FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5880e56ece4a7f147458bbbcda942558a42c4fc8 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2021FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9afe40b4ce682a8b878d85e6360e1f213e5feec284adbad608c2959b2dee303e +size 943421 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2021PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2021PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0a1ab405bd4d1776b1dc02307b62f27cbd3bc0e7 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2021PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:db9672718472f6b55014574bf4c47d3766d469660d19552893e0883ec706fbba +size 3071302 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2021PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2021PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7757c6598120077ed95f39e8102ea453001daa58 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2021PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:003ee5bc718d9227881d78c0af882b9f2c5214ab8a9d3e21624748aa294e5779 +size 1361395 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2022CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2022CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c52c6ab70f417778e4786eb447c370acbe46ab7d --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2022CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:84132fbc0c40799f5c54f5f91bd70f020cee3875c238377587aecd3be771d791 +size 1919247 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2022CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2022CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6b0efd2e45d3ae9327aad46e8324b4487013c98a --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2022CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7e5e91a044a6fa886e3d045d693e0d57ef3ddfb9a606e1d88044a6eb4c3fd0bc +size 1664020 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2022FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2022FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b18aff094b3d69a953e465fb07307fa162231d93 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2022FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4ee9924eba6eb4110d390a1da942e0b819df66a9045915fb5fddb12156cae946 +size 828789 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2022FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2022FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bc9e08a1ac2bd48341e1d16d92e6ff9dca2c8bf0 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2022FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:446a0c085accc2dff0c8ca877837c0ede45effc180495f62ad5afea54c48dc57 +size 664212 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2022PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2022PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..766e6035c4d9df65f1bd77754aa6aaee1c12c101 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2022PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fe6f20426ac03d5f8b9567c80ad47e00f509d60bd1b69f2f4003a7025cf81991 +size 1918443 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2022PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2022PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0e37cc3ef432c0d857ad102974119e7338c9a8e --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2022PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a291f049f0d6706526bc0069a5566c20d54c1d61c40851330d931c6a06c51d37 +size 1356665 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2023CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2023CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8c78faed5f69b89585172b1504013bde72e33300 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2023CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:56b1990bf443d727a78f666a18287a3779c477d3477af8782b4dca31c0b34ec5 +size 1640961 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2023CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2023CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..16f245cfabad11b7532753f3258f16809876e02e --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2023CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:335a7c231607706c804cbf0173a870d40358441087f5b39f8e1231d6279597f1 +size 1159554 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2023FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2023FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5f5cf80274e2ff7e816a8c1ec8b546b0ff391cd --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2023FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:92d495309cff757b24f29fa609ccaec11d7d3e871d4a3fb3c80ccb08f8c75f66 +size 378517 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2023FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2023FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d2a305240640146af8a607bf25c3075948ee3ab3 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2023FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:eed36daf0171a0a5022ed2745cd4887ccedf2b76c5ccd486b26c16f9dc16e96e +size 1114402 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2023PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2023PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe7580b186e0e46714508442596e3f9921e02b0c --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2023PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:92401e853726a78d86385a22d9260051d53d368e5837166bd24adf94f896f2b9 +size 1076579 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2023PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2023PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ca8df2e5087a4df0ea3dad655df1220839d0723c --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2023PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:44bfd6eb536e49dad532cbcb7bc4d7b99ceab5da5d0d3d8133e7c6dde8b567bf +size 733021 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2024CayleyContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2024CayleyContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1569c41ef29b9212ee2bb8a914404956aa90603 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2024CayleyContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e069d48aaee3ec372f8f459019021ed222df806346abff3defc3789a270eb938 +size 1828477 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2024CayleySolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2024CayleySolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e54b57c66f20dd4c6557ba86bb4a41cfae3af810 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2024CayleySolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3b1e087e4551e471ff257e7ddb9c8e58cc96b21142f8ff1914d7452ed6107cc2 +size 769018 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2024FermatContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2024FermatContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08b9199da2f527825139a68c40bc3e57b12d69b7 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2024FermatContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:625e3e796a4b0b5db049ec7d294e0ae307a71cc87f4d54f69bb7b631ec5d7048 +size 1678555 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2024FermatSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2024FermatSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d2fd5a7551b74ea4cb1499539a16bf521838a0ca --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2024FermatSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:be7907dad98da7075548080b770f3d2f2bc262fe1b7808ce017c2b0b2d5bd986 +size 1248052 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2024PascalContest.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2024PascalContest.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a3bd65a34334786991868172c63836003edb9f4 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2024PascalContest.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:459504cd0df285fd047f03acc6653099956b0a9624a6bdb3a43c98e857a1d83e +size 1581795 diff --git a/CEMC/raw/pfc/en-2024PascalSolution.pdf b/CEMC/raw/pfc/en-2024PascalSolution.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..445d998110a78faf3d603244a952152a0a2be5e1 --- /dev/null +++ b/CEMC/raw/pfc/en-2024PascalSolution.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9c7c3b5ab72fb9f0fcab717189019a85fed292efbc2cf9638ae36b54bad1ca5d +size 996304 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2002_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2002_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..685bf29209eddb68a2b5143a38015d2a871ae5a7 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2002_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5a1847eeece5c9d6299ff76175c20624cea1264025e859e79638d09df6c4a197 +size 89450 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2002_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2002_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..85e32046e5b9ed32dff79d8ad65f07d2123f9e9c --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2002_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:28a673544aa003c2ef9ccf877ab3d736309a692c0f17a67655424a86eb4b1d7e +size 42793 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2003_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2003_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0a8cc063bdcd2ad6a1f77ce61242a9e9d91b614e --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2003_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ba7f457e00ba1a7165a92e7cbb605f6a11a5e73fc8ff31cabda9aa89265550cd +size 178659 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2003_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2003_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8cc8073efd886121793118eb3de1df411f4ec97 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2003_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:270f947f26a1fb1a95ce5e71e8ab6a717a4dd05ae2e9fe30df0e4554cbfd8198 +size 38070 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2004_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2004_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f4cea5a46dbe1b16ca0ea9c6c0416101fdfbf21 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2004_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c254afa5aaad22676ab5e6f6e9819e55f256cbe679986bf0f9c33b4196369872 +size 52186 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2004_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2004_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..871dd01ec15d9575763f10e10f3b06827acc0782 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2004_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8aecd1452849aa4cd6860424d0452473116b509f25dffa9fcec253be439303ef +size 36720 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2005_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2005_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90fe82e13a986f2fdad1adbe49c6256d34259cb3 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2005_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bdddf0bbbd5aa5278cce76aed7792087d41bfadb4701f05da1c7c264560d870e +size 52381 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2005_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2005_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3a221982e4868816738cdcd4fc37a8d78b2e0a7 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2005_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:09a6556c3c05101a6b94ac0dee9e6f7a0dee7954e66d6d99e77a75b2ab6713f1 +size 36874 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2006_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2006_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fdb12d0378a49322c655b9807b6490a4ce5b7210 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2006_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b84a039fccad6d43a898740588eee4bff8d6a7f1862a6e29c38e7ac076051115 +size 71100 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2006_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2006_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59ef7c195a6c2e4f0ed023cc533d825bff13dfc8 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2006_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7ab817a9fb0e125470fc008bd9d6c2cdf3c60ab59bb19a4859914b796fbc9ce0 +size 39658 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2007_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2007_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27ca51ddbf4f1a0579664fcdcb17eb54ca158228 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2007_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1bab650dce7ebf01da83eed30a58ed463d0dfdcd5b93083abd3844258dcf1010 +size 99633 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2007_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2007_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac116998f7455de8eae94b459e5ddf52b1f3dbb2 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2007_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:606d66fcff326d31c1145857acfdb9e62d70799bb2c6dcd2316bec330e41293f +size 810132 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2008_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2008_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf63448e27e2c8036a1f2ebe180e5f31640886dc --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2008_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:51d714922bbe1c39fa2aeb3b7219b5c98e6fe03aa8862dbb96e5dd65ff533f6b +size 520804 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2008_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2008_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76a62d21f87c10e62a3031393f684d93b00c958c --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2008_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1bdfaddfc359dba7da3f17fe52cc529b657e37233cc9e9c10bff89d0afe0afd1 +size 93151 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2009_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2009_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8693f6268dbc98c1e89b1fe7a7b49a4ff6294cb --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2009_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3b283bdc7cc82e9b8282e8fcb64907f02d7439a56b7d8a4b0c4d2994442e0117 +size 298056 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2009_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2009_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3311feafbed7f47dd0f8f9bfa153910ecb78620 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2009_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4e518829c919f4ec5dd01c025d2625f15ae9d11c5ec8f5fe182553072e65c915 +size 107095 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2010_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2010_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f240589f0591039a5bdb680ad06c8da152059c5 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2010_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:93e39225655ec256919c64ea8eaf44f2ff549c73bf0f169242b30b4db703da9b +size 386773 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2010_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2010_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..990623cd6f1e28021b7559616fba824298733dea --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2010_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:91a0177ad2955d7c53f865623940dbacc76375bccb67d0fd022e528c550d4a38 +size 189144 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2011_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2011_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bee9787b10907feb681a1afffa14c1a7cbe43a37 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2011_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b3a5262958205237c47eb8c44d721481daa857fc7d668077dd223d84786a9d6 +size 61182 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2011_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2011_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23a0ee23fa374789a9ed6a6e62184aafe7b57221 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2011_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2a72b2400d8466a33ba9dfc2636daa04005a46789b20a4685a0b00147789b350 +size 323398 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2012_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2012_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b16b9fdb977a98d81083576d2770f14c7db2874 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2012_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8771b9fa05aa9d90e199f4347bb453435f37231abf45a82a8d4f867abad28265 +size 232966 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2012_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2012_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..decc0d75c86866ffb175646090761bbe5d6fd017 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2012_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bb682883d638da20633502c2cafdcbf44c74806b4d3a2a3e982d155aa92637cd +size 320855 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2013_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2013_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ed805cfbcd91db027c0f2fb58372484c05cc475 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2013_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d8d44fe3ceb7a32b612f752c924404e0db72dd9c0a8bef91097baafd7cbe43e +size 242669 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2013_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2013_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f3b268b944063845f350e2d9fa2774828067134 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2013_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a4c979020615d9389c3814070f3aaf52279bc99f786d1f281a1432f2264f04c9 +size 321791 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2014_a.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2014_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..67d114fdd48bcefb215f0b97078f0cf889c3b4d0 --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2014_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e7ebd9091665130ab430741dc78743c24da03df70bd8fd87afb98d9d4d7dc1ed +size 314153 diff --git a/HongKong/raw/preliminary/en-2014_q.pdf b/HongKong/raw/preliminary/en-2014_q.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..229b8afb517526a27fc39ffb0ea75785135ef86f --- /dev/null +++ b/HongKong/raw/preliminary/en-2014_q.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:43611572ed185957f12c5ced32e35acc63b062d7fbe8ec6d20e82e09324783e0 +size 336015 diff --git a/Iran_MO/raw/Iran IMO Booklet 2000-24.pdf b/Iran_MO/raw/Iran IMO Booklet 2000-24.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d0eea4499b984ddd08bdbb2f737e7412cdac6c7 --- /dev/null +++ b/Iran_MO/raw/Iran IMO Booklet 2000-24.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cedb3401ab5fa0c20e2e9526a0aa9177a63fef5dafed226918fbfab9ad91920b +size 37983018 diff --git a/MEMO/md/en-2008ind.md b/MEMO/md/en-2008ind.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..937b362c0a953c76487e88cacb4d36ddb5e97659 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2008ind.md @@ -0,0 +1,162 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6e816fae67d917d5ebbcg-1.jpg?height=1136&width=831&top_left_y=226&top_left_x=607) + +I-1 Let $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ be a sequence of positive integers such that $a_{n}a_{j}+a_{k}$ is satisfied. Determine the least possible value of $a_{2008}$. + +Solution (Jaromír Šmša, Czech Republic). Since $a_{2}-a_{1} \geqslant 1$ and $a_{n+2}-a_{n+1} \geqslant$ $\left(a_{n+1}-a_{n}\right)+1$ (by applying the quadruple ( $\left.n, n+1, n+1, n+2\right)$ for each $n$ ), induction yields $a_{n+1}-a_{n} \geqslant n$ for all $n \geqslant 1$. Thus $a_{n+1} \geqslant n+a_{n}$ (and $a_{1} \geqslant 1$ ), hence induction again yields $a_{n} \geqslant \frac{1}{2}\left(n^{2}-n+2\right)$. Since the sequence $a_{n}=\frac{1}{2}\left(n^{2}-n+2\right)$ is as required (transform $a_{i}+a_{l}>a_{j}+a_{k}$ to $i^{2}+l^{2}>j^{2}+k^{2}$ and substitute $i=d-y, l=d+y$, $j=d-x, k=d+x$, where $0 \leqslant x1$ is a positive integer. We select the centers of $2 n-2$ squares. How many selections are there such that no two selected centers lie on a line parallel to one of the diagonals of the chessboard? + +Solution. By a $k$-diagonal we mean any chessboard diagonal formed by $k$ squares, where $1 \leqslant k \leqslant n$. Since the number of stones is $2 n-2$, while the number of chessboard +diagonals in one direction is $2 n-1$ and two of them, which are 1-diagonals, must not be occupied by stones simultaneously, we can conclude that each $k$-diagonal with $k>1$ contains exactly 1 stone and that exactly two of the 4 corner squares (1-diagonals) are occupied (and lie on the same border side). Let us call two different directions of diagonals as A and B. + +Now let us consider the set $P$ of all the pairs $(s, f)$, for which the stone $s$ lies on the same diagonal as the unoccupied ("free") square $f$. There are exactly $n^{2}-2 n+2$ free squares on the chessboard, two of them are corner, hence for each of the $n^{2}-2 n$ free squares $f$ which lie on two $k$-diagonals with $k>1$, we have $(s, f) \in P$ for exactly two stones $s$. Thus the total number $p$ of the pairs in $P$ is given by the formula + +$$ +p=2\left(n^{2}-2 n\right)+2=2 n^{2}-4 n+2 +$$ + +where +2 stands for the two free corner squares. + +If a stone $s$ lies on the intersection of a $k_{1}$-diagonal and a $k_{2}$-diagonal with $k_{1}, k_{2}>1$, then the number of pairs $(s, f) \in P$ with this $s$ equals $k_{1}+k_{2}-2$. The same holds also for the two other stones with $\left\{k_{1}, k_{2}\right\}=\{1, n\}$. Obviously, for any stone we have $k_{1}+k_{2} \geqslant n+1$ with equality iff the stone lies on a border square. Thus for each stone $s$, the number of pairs $(s, f) \in P$ is at least $n-1$, and therefore + +$$ +p \geqslant(2 n-2)(n-1)=2 n^{2}-4 n+2 +$$ + +Since we have the equality, all the stones must lie on the boarder squares of the chessboard. + +If we put some stones (even no stone) on the first horizontal row in any way, then the border squares for the other stones are determined in exactly one way. To see this, consider separately the four corner squares and then, for each $k, 11$, i.e. if $k-4= \pm 2^{k}$ with any nonnegative integer $k$. + +On the other hand, if $k-4$ has got an odd divisor $p>1$, then we can easily find a multiple of $p$ of the form $4 n+1$ (for example, the number $p^{2}$ or simply one of the numbers $p, 3 p$ ). For any number $4 n+1$ being a multiple of $p$, the above identity implies that $p \mid k n+1$, hence $4 n+1$ and $k n+1$ are not relatively prime. + +Answer: $k=4 \pm 2^{k}$, where $k=0,1,2, \ldots$ + + +[^0]: ${ }^{1}$ Remove two white 2-diagonals of one direction and two white $(n-1)$-diagonals of the other direction; the remaining white squares form the same diagonals as white squares of the chessboard $(n-2) \times(n-2)$. + + 2 Remove one black $n$-diagonal; the remaining black squares form the same diagonals as the white squares of the chessboard $(n-1) \times(n-1)$. + diff --git a/MEMO/md/en-2008team.md b/MEMO/md/en-2008team.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6bce6640f1e7430601e85f1049309577d4a697e2 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2008team.md @@ -0,0 +1,170 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a7c27b8cc9acec9f03deg-1.jpg?height=1131&width=785&top_left_y=228&top_left_x=630) + +T-1 Let $\mathbb{R}$ denote the set of real numbers. Find all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that + +$$ +x f(x+x y)=x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(y) +$$ + +for all $x, y \in \mathbb{R}$. + +Solution. Setting $x=y=0$ in + +$$ +x f(x+x y)=x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(y) +$$ + +we get $f(0)=0$. Using this in (0) with $y=-1$ we obtain + +$$ +x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(-1)=0 +$$ + +Let us distinguish the cases $f(-1)=0$ and $f(-1) \neq 0$. + +The case $f(-1)=0$. It follows from (1) that $f(x)=0$ for all $x \neq 0$. As we already know, $f(0)=0$. Thus we get the zero function $f(x)=0$, which is obviously a solution. + +The case $f(-1) \neq 0$. Setting $x=-1$ in (1) yields $f(1)=1$. Using this in (1) with $x=1$, we get $f(-1)=-1$ and hence (1) can be transformed to + +$$ +x f(x)=f\left(x^{2}\right) +$$ + +Put now $y=x-1$ in (0) to get + +$$ +x f\left(x^{2}\right)=x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(x-1) +$$ + +Summing up (2) and (3) we obtain the equation + +$$ +f\left(x^{2}\right)(f(x-1)-(x-1))=0 +$$ + +Assume that $f(a)=0$ for some $a \neq 0$. Then $f\left(a^{2}\right)=0$ by (2) and hence (0) with $x=a$ implies that $a f(a+a y)=0$, i.e. $f(a+a y)=0$. Since $y$ is arbitrary here, we get $f(-1)=0$, which is not the case. Therefore, for any $x \neq 0$ we have $f(x) \neq 0$, and hence $f\left(x^{2}\right) \neq 0$ as well. Thus (4) leads to the conclusion that $f(x-1)=x-1$ for any $x \neq 0$, i.e. $f(x)=x$ for any $x \neq-1$. Since we already know that $f(-1)=-1$, we get the identity function $f(x)=x$, which is obviously a solution. + +T-2 Let $n \geqslant 2$ be an integer. There are $n$ positive integers written on a blackboard. In each step we choose two of the numbers on the blackboard and replace each of them by their sum. Determine all values of $n$ for which it is always possible to get $n$ identical integers in a finite number of steps. + +Solution. Starting from the $n$-tuple $(2,2,1,1, \ldots, 1)$ with any $n \geqslant 3$, we get always an $n$-tuple in which the number of maximal values is even. Hence no odd $n \geqslant 3$ is as required. + +Let us show by induction that any even $n \geqslant 2$ is satisfactory, which is obvious if $n=2$. For an even $n \geqslant 4$, by the induction hypothesis, we can transform any initial $n$-tuple to $(a, a, \ldots, a, b, b)$. If $a \neq b$, we apply repeatedly some of the following series of steps, which always lead to an $n$-tuple of type $(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k})$ in which the number $k$ may differ from the initial value $k=n-2$ (remaining to be even): + +$$ +\text { series } \alpha:(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k}) \rightarrow(\underbrace{2 a, \ldots, 2 a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k}), +$$ + +$$ +\begin{array}{r} +\text { series } \beta:(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k}) \rightarrow(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{2 b, \ldots, 2 b}_{n-k}), \\ +\text { series } \gamma_{1}(\text { if } k \leqslant n-k):(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k}) \rightarrow(\underbrace{a+b, \ldots, a+b}_{2 k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-2 k}), \\ +\text { series } \gamma_{2}(\text { if } k \geqslant n-k):(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k}) \rightarrow(\underbrace{a, \ldots, a}_{2 k-n}, \underbrace{a+b, \ldots, a+b}_{2(n-k)}) . +\end{array} +$$ + +To describe our procedure, we introduce the notation $c=2^{P(c)} N(c)$ for any positive integer $c$, where $P(c) \geqslant 0$ and $N(c)$ is odd. To each $n$-tuple $(\underbrace{a, \ldots, a}_{k}, \underbrace{b, \ldots, b}_{n-k})$ with $a \neq b$, let us apply +$\triangleright$ series $\alpha$ if $P(a)P(b)$, + +$\triangleright$ series $\gamma_{1}$ or $\gamma_{2}$ if $P(a)=P(b)$ (and hence $N(a) \neq N(b)$ ). + +Using the series $\alpha$ and $\beta$, the numbers $N(a), N(b)$ do not change, while the series $\gamma_{1}$ and $\gamma_{2}$ cause the changes exactly one of them, namely + +$$ +N(b) \rightarrow \frac{N(a)+N(b)}{2^{m}}, \quad \text { or } \quad N(b) \rightarrow \frac{N(a)+N(b)}{2^{m}} \quad \text { respectively } +$$ + +where $m=P(N(a)+N(b)) \geqslant 1$ and hence + +$$ +\frac{N(a)+N(b)}{2^{m}} \leqslant \frac{N(a)+N(b)}{2}<\max (N(a), N(b)) +$$ + +(recall that $N(a) \neq N(b))$. Consequently, throughout our procedure, the value of $\max (N(a), N(b))$ is a nonincreasing variable, and hence constant after a finite numbers of series. From this moment, we must still have either $N(a) \geqslant N(b)$, or $N(a) \leqslant N(b)$. This excludes either series $\gamma_{1}$, or series $\gamma_{2}$ from future applications, in which, therefore, all possible changes of the parameter $k$ are either $k \rightarrow 2 k$, or $(n-k) \rightarrow 2(n-k)$. Since this can repeat only $r$ times, where $2^{r} \leqslant n$, at the end we always we get an $n$-tuple $(a, \ldots, a, b, \ldots, b)$ for which (if $a \neq b$ ) the continuation of our procedure reduces only to the series $\alpha$ and $\beta$. Applying now either $\alpha$, or $\beta$ exactly $|P(a)-P(b)|$ times, we get an $n$-tuple $\left(a^{\prime}, \ldots, a^{\prime}, b^{\prime}, \ldots, b^{\prime}\right)$ with $P\left(a^{\prime}\right)=P\left(b^{\prime}\right)$. Since $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ are already excluded, we have $a^{\prime}=b^{\prime}$, which completes the induction proof. + +Another solution (German team, adapted). We show without induction on $n$ that any even $n=2 k$ is satisfactory. At the beginning in the initial $2 k$-tuple $\left(a_{1}, \ldots, a_{2 k}\right)$ we replace every pair ( $a_{2 i-1}, a_{2 i}$ ) (for $\left.i=1, \ldots, k\right)$ by the pair $\left(a_{2 i-1}+a_{2 i}, a_{2 i-1}+a_{2 i}\right)$. From now on, we shall have always identical numbers on the $(2 i-1)$ th and $(2 i)$ th position. Hence because of brevity we shall work with $k$-tuples $(x, y, z, \ldots)$ instead of $2 k$-tuples $(x, x, y, y, z, z, \ldots)$. We are allowed to do the following transformations on the $k$-tuples: + +$\triangleright$ choose two of the numbers $x, y$ and replace each of them by their sum (this corresponds with two steps $(\ldots, x, x, \ldots, y, y, \ldots) \rightarrow(\ldots, x+y, x, \ldots, x+y, y, \ldots) \rightarrow$ $(\ldots, x+y, x+y, \ldots, x+y, x+y, \ldots)$ performed on the $2 k$-tuple); + +$\triangleright$ choose one number $x$ and multiply it by 2 (this corresponds with one step $(\ldots, x, x, \ldots) \rightarrow(\ldots, x+x, x+x, \ldots)$; + +$\triangleright$ divide all numbers by 2 (this obviously does not affect anything; formally we could remember how many times we have performed this dividing and multiply all the numbers by the proper power of two at the end). + +Our aim is to obtain $k$ identical numbers. We reach it by iterating the following algorithm: + +1. While there are at least two odd numbers, find the minimum and the maximum odd number and replace each of them by their (even) sum. +2. If there is one odd number left after finishing the first step, multiply it by two. +3. Divide all numbers by 2 . + +Clearly, after each iteration, the maximum number among all $k$ numbers either decreases or does not change. As this maximum is permanently a positive integer, after a finite number of iterations, it fixes at the value $M$ and does not change anymore. From now on, look at the number $N$ of $M$ 's in the $k$-tuple. + +Obviously $M$ is odd (otherwise it would decrease in the third step in the next iteration). If $N\angle A C^{\prime} B=\angle A B C^{\prime}=\angle A B E^{\prime}>\angle A B E$ (because $E$ lies between $A$ and $E^{\prime}$ ), which contradicts to $\angle A C B=\angle E B A$. + +Similarly, if $C$ does not lie on the segment $C^{\prime} D$, then $C$ lies outside $\mathcal{K}$ (on the same side of the line $A B$ as $C^{\prime}$ ), therefore $\angle A C B<\angle A C^{\prime} B=\angle A B C^{\prime}=\angle A B E^{\prime}<\angle A B E$ (because $E^{\prime}$ lies between $A$ and $E$ ), which again contradicts to $\angle A C B=\angle E B A$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a7c27b8cc9acec9f03deg-5.jpg?height=702&width=526&top_left_y=660&top_left_x=411) + +Fig. 4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_a7c27b8cc9acec9f03deg-5.jpg?height=654&width=525&top_left_y=707&top_left_x=1094) + +Fig. 5 + +Another solution (Karel Horák, Czech Republic). From the given equalities of angles it follows that triangles $A B D$ and $C E D$ are similar (Fig. 5). From that similarity we immediately get that triangles $A C D$ and $B E D$ are similar (by sas, same angles at common vertex $D$, and proportional sides). From the equal angles $B E D$ and $A C D$ if follows that the sum of three angles $B C A, A C D$ and $D C E$ is equal to the sum of angles in the triangle $A B E$, so $E, C$, and $B$ are collinear. + +T-4 Let $n$ be a positive integer. Prove that if the sum of all positive divisors of $n$ is a perfect power of 2 , then the number of these divisors is also a perfect power of 2 . + +Solution. Suppose that $n=p_{1}^{s_{1}} p_{2}^{s_{2}} \ldots p_{k}^{s_{k}}$, where $p_{1}, \ldots, p_{k}$ are distinct primes and $s_{i} \geqslant 1$ for each $i$, and that the sum of all positive divisors of $n$, which is given by + +$$ +\left(1+p_{1}+p_{1}^{2}+\cdots+p_{1}^{s_{1}}\right)\left(1+p_{2}+p_{2}^{2}+\cdots+p_{2}^{s_{2}}\right) \ldots\left(1+p_{k}+p_{k}^{2}+\cdots+p_{k}^{s_{k}}\right) +$$ + +is a perfect power of 2 . Then each of the factors + +$$ +f_{i}=1+p_{i}+p_{i}^{2}+\cdots+p_{i}^{s_{i}} +$$ + +is also a perfect power of 2 greater than 1 and hence both $p_{i}$ and $s_{i}$ are odd. Suppose that $s_{i}>1$. In this case we have + +$$ +f_{i}=\left(1+p_{i}\right)\left(1+p_{i}^{2}+p_{i}^{4}+\cdots+p_{i}^{s_{i}-1}\right) +$$ + +Since $f_{i}$ has no odd divisor greater than 1 , the even integer $s_{i}-1$ (which is supposed to be positive) must be of the form $4 k+2$ and thus we can make another factorization + +$$ +f_{i}=\left(1+p_{i}\right)\left(1+p_{i}^{2}\right)\left(1+p_{i}^{4}+p_{i}^{8}+\cdots+p_{i}^{s_{i}-3}\right) +$$ + +Consequently, both $1+p_{i}$ and $1+p_{i}^{2}$ are powers of 2 , hence $1+p_{i} \mid 1+p_{i}^{2}$, which contradicts to $1+p_{i}^{2}=\left(1+p_{i}\right)\left(p_{i}-1\right)+2$ (as $1+p_{i} \mid 2$ is impossible). This means that $s_{i}=1$ for each $i$ and thus the number of divisors of $n$ equals $2^{k}$. + +Note that the above solution can be finished without observing the fact that $1+p_{i}$ and $1+p_{i}^{2}$ cannot be powers of 2 at the same time. Indeed, repeating the procedure of factorization we get finally + +$$ +f_{i}=\left(1+p_{i}\right)\left(1+p_{i}^{2}\right)\left(1+p_{i}^{4}\right) \ldots\left(1+p_{i}^{2_{i}}\right) +$$ + +hence $s_{i}=2^{t_{i}+1}-1$ with some $t_{i} \geqslant 0$ for each $i$ and thus the number of divisors of $n$ equals $2^{k+t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{k}}$. (As we know from the original solution, $t_{i}=0$ for each $i$.) + diff --git a/MEMO/md/en-2010solutions.md b/MEMO/md/en-2010solutions.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f72f812d42eb40c5ce38fd3b89403c1fa371b6b1 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2010solutions.md @@ -0,0 +1,780 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ded7ed172ed094285367g-01.jpg?height=875&width=827&top_left_y=365&top_left_x=627) + +# Contest Solutions + +$4^{\text {th }}$ MEMO, Strečno, Slovakia + +9 to 15 September 2010 + +Problem I-1. Find all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that for all $x, y \in \mathbb{R}$, we have + +$$ +f(x+y)+f(x) f(y)=f(x y)+(y+1) f(x)+(x+1) f(y) +$$ + +Solution. Setting $y=0$ yields + +$$ +0=f(0)(f(x)-x-2) +$$ + +It is easy to check that $f(x)=x+2$ is not a solution, so $f(0)=0$. Setting $x=1, y=-1$, we obtain + +$$ +0=f(-1)(f(1)-3) +$$ + +so $f(-1)=0$ or $f(1)=3$. + +Let us assume $f(-1)=0$. Putting $x=2, y=-1$ in the original functional equation, we get $f(-2)=f(1)$. On the other hand, setting $x=-2, y=1$ gives $f(-2) f(1)=3 f(-2)-f(1)$ which together with $f(-2)=f(1)$ gives $f(1) \in\{0,2\}$. + +So we have $f(1)=a \in\{0,2,3\}$. Setting $y=1$ yields + +$$ +f(x+1)=(3-a) f(x)+a(x+1) +$$ + +for all real $x$. + +Now we set $y=1+1 / x$ for arbitrary $x \neq 0$, we obtain + +$$ +f\left(x+\frac{1}{x}+1\right)+f(x) f\left(\frac{1}{x}+1\right)=f(x+1)+\left(\frac{1}{x}+2\right) f(x)+f\left(\frac{1}{x}+1\right)(x+1) +$$ + +Applying (1) yields + +$$ +(3-a)\left(f\left(x+\frac{1}{x}\right)+f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)-(x+1) f\left(\frac{1}{x}\right)\right)=f(x)\left(5-2 a-(a-1) \frac{1}{x}\right)+2 a+a x +$$ + +From this and the original functional equation with $y=1 / x$ we have + +$$ +(3-a)\left(a+f(x)\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)=f(x)\left(5-2 a-(a-1) \cdot \frac{1}{x}\right)+2 a+a x +$$ + +which is equivalent to + +$$ +f(x)\left(-2+a+\frac{2}{x}\right)=a^{2}+a x-a +$$ + +Using $a \in\{0,2,3\}$ we get $f(x)=0, f(x)=x^{2}+x, f(x)=3 x$ for all real $x$ (with some exceptions when $-2+a+\frac{2}{x}=0$, but this cases can be handled easily for example by using (1)). We can also easily check that the functions $f(x)=0, f(x)=x^{2}+x, f(x)=3 x$ are solutions of the original functional equation. + +Solution 2. As in the first solution we obtain $f(0)=0, f(1)=a \in\{0,2,3\}$ and + +$$ +f(x+1)=(3-a) f(x)+a(x+1) \quad \text { for } x \in \mathbb{R} +$$ + +If $a=3$, then (2) implies that $f(x+1)=3(x+1)$ for all $x \in \mathbb{R}$ (and therefore $f(x)=3 x$ for all $x$ ). It is easy to verify that this is a solution of the functional equation. + +In the sequel we will assume that $a \in\{0,2\}$ and therefore $f(-1)=0$. We will compute $f(x y z)$ in two different ways. Setting $y z$ for $y$ into the original functional equation we obtain + +$$ +\begin{aligned} +f(x y z)= & f(x+y z)+f(x) f(y z)-(y z+1) f(x)-(x+1) f(y z)= \\ += & f(x+y z)+f(x) f(y+z)+f(x) f(y) f(z)-(z+1) f(x) f(y)- \\ +& -(y+1) f(x) f(z)-(y z+1) f(x)-(x+1) f(y+z)-(x+1) f(y) f(z)+ \\ +& +(x+1)(z+1) f(y)+(x+1)(y+1) f(z) +\end{aligned} +$$ + +On the other hand, setting $x y$ for $x$ and $z$ for $y$ into the original functional equation we obtain + +$$ +\begin{aligned} +f(x y z)= & f(x y+z)+f(x y) f(z)-(z+1) f(x y)-(x y+1) f(z)= \\ += & f(x y+z)+f(x+y) f(z)+f(x) f(y) f(z)-(y+1) f(x) f(z)- \\ +& -(x+1) f(y) f(z)-(z+1) f(x+y)-(z+1) f(x) f(y)+(y+1)(z+1) f(x)+ \\ +& +(x+1)(z+1) f(y)-(x y+1) f(z) . +\end{aligned} +$$ + +Therefore + +$$ +\begin{aligned} +& f(x+y z)+f(x) f(y+z)-(y z+1) f(x)-(x+1) f(y+z)+(x+1)(y+1) f(z)= \\ +& =f(x y+z)+f(x+y) f(z)-(z+1) f(x+y)+(y+1)(z+1) f(x)-(x y+1) f(z) +\end{aligned} +$$ + +In particular, for $x=-1$ and $y=z$ we obtain + +$$ +f\left(z^{2}-1\right)=f(z-1) f(z)-(z+1) f(z-1)+(z-1) f(z) +$$ + +On the other hand, setting $x=z+1$ and $y=z-1$ into the original equation we obtain + +$$ +f(2 z)+f(z+1) f(z-1)=f\left(z^{2}-1\right)+(z+2) f(z-1)+z f(z+1) +$$ + +Therefore + +$$ +f(2 z)+f(z+1) f(z-1)=f(z-1) f(z)+f(z-1)+(z-1) f(z)+z f(z+1) +$$ + +Since (2) implies that $f(2)=5 a-a^{2}$ and since for $x=2$ and $y=z$ the original functional equation implies + +$$ +f(z+2)+f(2) f(z)=f(2 z)+(z+1) f(2)+3 f(z) +$$ + +it follows that + +$$ +\begin{gathered} +f(z+2)+\left(5 a-a^{2}\right) f(z)+f(z+1) f(z-1)= \\ +=f(z-1) f(z)+f(z-1)+(z+2) f(z)+z f(z+1)+\left(5 a-a^{2}\right)(z+1) +\end{gathered} +$$ + +The equation (2) implies that + +$$ +\begin{aligned} +f(z) & =(3-a) f(z-1)+a z \\ +f(z+1) & =(3-a)^{2} f(z-1)+\left(4 a-a^{2}\right) z+a +\end{aligned} +$$ + +and + +$$ +f(z+2)=(3-a)^{3} f(z-1)+\left(a^{3}-7 a^{2}+13 a\right) z+5 a-a^{2} +$$ + +From the last four equations we obtain that + +$$ +\begin{aligned} +(3-a)(2-a) f(z-1)^{2}- & 2(a-3)(a-2) z f(z-1)+\left(a^{2}-9 a+20\right) f(z-1)= \\ +& =\left(5 a-a^{2}\right) z^{2}+\left(a^{2}-5 a\right) z +\end{aligned} +$$ + +For $a=2$ we get $6 f(z-1)=6 z^{2}-6 z$, therefore $f(z)=z^{2}+z$ and it is easy to verify that this is a solution of the functional equation. + +For $a=0$ we get $6 f(z-1)^{2}-12 z f(z-1)+20 f(z-1)=0$, which implies that for each $z \in \mathbb{R}$ one of the equalities $f(z)=0$ and $f(z)=2 z-\frac{4}{3}$ is satisfied. Assume that $f(z)=2 z-\frac{4}{3}$ for some $z \in \mathbb{R}$. Then the original functional equation for $x=1$ and $y=z$ implies that $f(z+1)=3 f(z)=6 z-4$. Therefore either $6 z-4=0$ or $6 z-4=2(z+1)-\frac{4}{3}$. The first equation implies that $z=\frac{2}{3}$ and $f(z)=2 z-\frac{4}{3}=0$, and the second equation implies that $z=\frac{7}{6}$ and therefore $f(z)=2 z-\frac{4}{3}=1, f(z+1)=3 z=3=2(z+1)-\frac{4}{3}$ and $f(z+2)=3 f(z+1)=9 \neq 5=2(z+2)-\frac{4}{3}$. The contradiction shows that $f(z)=0$ for each $z \in \mathbb{R}$. + +Problem I-2. All positive divisors of a positive integer $N$ are written on a blackboard. Two players $A$ and $B$ play the following game taking alternate moves. In the first move, the player A erases $N$. If the last erased number is $d$, then the next player erases either a divisor of $d$ or a multiple of $d$. The player who cannot make a move loses. Determine all numbers $N$ for which $A$ can win independently of the moves of $B$. + +Solution. Let $N=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \ldots p_{k}^{a_{k}}$ be the prime factorization of $N$. In an arbitrary move the players writes down a divisor of $N$, which we can represent as a sequence $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right)$, where $b_{i} \leq a_{i}$ (such a sequence represents the number $p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \ldots p_{k}^{b_{k}}$ ). The rules of the game say that the sequence $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right)$ can be followed by a sequence $\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)$ with either $c_{i} \leq b_{i}$ for each $i$, or $a_{i} \geq c_{i} \geq b_{i}$ for each $i$ (obviously, if such a sequence is not on the sheet). + +If one of the numbers $a_{i}$ is odd, then the player $B$ posses the winning strategy. Indeed, let for simplicity $a_{1}$ be odd. Then the response for the move $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right)$ should be + +$$ +\left(a_{1}-b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right) +$$ + +One can easily check that this is a winning strategy for $B$ : All the legal sequences split up into pairs and when $A$ writes down one sequence from a pair, player $B$ responds with the second one from the same pair ( $a_{1}-b_{1} \neq b_{1}$ because of $a_{1}$ is odd). + +If all $a_{i}$ are even, then the player $A$ has a winning strategy. Let the move of player $B$ be $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right)$, where one of $b_{i}$ is strictly less than $a_{i}\left(\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right) \neq\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right)\right.$, as it was the first move of $A$ ). Let $j$ be the smallest index such that $b_{j}a>b>1$, thus the condition is trivially satisfied. Otherwise, for some integers $k$ and $\ell, n=\ell \cdot k$ with $\ell>k>1$. Then $\ell-k$ also divides $n=\ell \cdot k$. + +If $\ell$ and $k$ are coprime, $\ell-k$ is coprime to $\ell$ and $k$, thus $\ell-k=1$. Hence $n=k(k+1)$. Let $p$ be a prime divisor of $k$. Since $k+1-p$ is coprime to $p(k+1)$, the condition implies that $k+1-p$ divides $k$. But + +$$ +k+1-p=(p-1)\left(\frac{k}{p}-1\right)+\frac{k}{p} +$$ + +divides $k$ if and only if $(p-1)(k / p-1)=0$; thus $k=p$ and $n=p(p+1)$. Clearly $p=2$ gives a solution $n=6$. Otherwise $p+1=q \cdot r$ for some prime $q$ and integer $r$ greater than 1 . Since + +$$ +p-q=q r-1-q=(q-1)(r-1)-2+r +$$ + +is a divisor of $r$, we have $(q-1)(r-1) \leq 2$. This gives only three possibilities: $q=r=2$ or $q=2, r=3$ or $q=3, r=2$. The first one yields a solution $n=12$, while the other two give $n=30$, which fails to satisfy the conditions: $6-2 \nmid 30$. + +It remains to consider the case when $n$ cannot be written as a product of two coprime numbers greater than 1 . Then $n=p^{a}$, where $a \geq 3$ (for $a \leq 2$, we obtain the solutions we have +already described). This implies that $p$ and $p^{2}$ are proper divisors of $n$, hence $p^{2}-p=p(p-1)$ divides $n=p^{a}$. Since $p$ and $p-1$ are coprime, this is only possible when $p-1=1$; thus $p=2$. However, $2^{3}-2=6$ is not a divisor of $2^{a}$; hence there are no solutions for $a \geq 4$. Only the number 8 satisfies the condition in this case. + +Solution 3. Clearly $1, p, p^{2}$ are solutions. For the other prime powers, $n=p^{k}$ is possible only for $p=2$ and $k<4$ ( $p^{2}-p$ is even for odd $p, 8-2=6$ does not divide 16). + +Now, $n$ is not a prime power, then it has two (or more) prime factors $p, q$. Then $q-p \mid n$. If $p, q$ are both odd, then $2 \mid n$. (Otherwise also $2 \mid n$.) Therefore, if $n$ is not a prime power, one of its factors is 2 . + +Let $p$ be the smallest divisor of $n$ larger than $2 ; 1<21$. Then $1<3<3 a<6 a=n$, therefore + +$$ +\begin{gathered} +(3 a-3)=3(a-1) \mid n=6 a \\ +a-1 \mid 2 a . +\end{gathered} +$$ + +Since $\operatorname{gcd}(a, a-1)=1$, we have $a-1 \mid 2$, hence $a-1=1$ or $a-1=2$, which yields $n=12$ or $n=18$. + +It is easy to check that $n=12$ is a solution, and $n=18$ is not (e.g., $7=9-2$ is not a divisor of 18). + +## Problem T-1. + +Three strictly increasing sequences + +$$ +a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, \quad b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots, \quad c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots +$$ + +of positive integers are given. Every positive integer belongs to exactly one of the three sequences. For every positive integer $n$, the following conditions hold: + +(i) $c_{a_{n}}=b_{n}+1$; + +(ii) $a_{n+1}>b_{n}$; + +(iii) the number $c_{n+1} c_{n}-(n+1) c_{n+1}-n c_{n}$ is even. + +Find $a_{2010}, b_{2010}$, and $c_{2010}$. + +Solution. Since $\left\{c_{n}\right\}$ is a strictly increasing sequence of positive integers, it is clear that $c_{n} \geq n, n \in \mathbb{N}$. Hence, $c_{a_{n}} \geq a_{n}, n \in \mathbb{N}$. However, the given sequences do not contain equal terms, so $c_{a_{n}}>a_{n}$ and $b_{n}=c_{a_{n}}-1>a_{n}, n \in \mathbb{N}$. Similarly, from (ii) and (iii), $a_{n+1}>b_{n}+1=c_{a_{n}}, n \in \mathbb{N}$. It is also easy to see that $b_{n}1$ then $c_{1}=1$ or $b_{1}=1$. The latter case is impossible because $b_{1}>a_{1}$. Then we must have $c_{1}=1$, and either $c_{2}=2$, or $a_{1}=2$ and $c_{a_{1}}=c_{2}=a_{1}+2=4$. In both cases we obtain a contradiction by setting $n=1$ in (iv). This proves that $a_{1}=1$, and, together with (2), defines a unique sequence $\left\{a_{n}\right\}$ : + +$a_{n}=a_{n-1}+(2 n-1)=a_{n-2}+(2 n-3)+(2 n-1)=\cdots=a_{1}+3+5+\ldots+(2 n-1)=n^{2}, \quad n \in \mathbb{N}$. + +Hence, + +$$ +\begin{aligned} +a_{2010} & =2010^{2} \\ +b_{2010} & =c_{a_{2010}}-1=a_{2010}+2 \cdot 2010-1=2011^{2}-2 \\ +c_{1936} & =c_{44^{2}}=c_{a_{44}}=a_{44}+2 \cdot 44=44^{2}+88=2024 \\ +a_{45} & =45^{2}=2025 +\end{aligned} +$$ + +and all the integers between $a_{45}$ and $b_{45}=c_{a_{45}}-1=a_{45}+2 \cdot 45-1=a_{45}+89$ belong to the sequence $\left\{c_{n}\right\}$. Hence, these integers have the form + +$$ +c_{1936+k}=a_{45}+k, \quad k=1,2, \ldots, 88 +$$ + +and $c_{2010}=c_{1936+74}=a_{45}+74=2099$. + +Answer. $a_{2010}=2010^{2}, b_{2010}=2011^{2}-2, c_{2010}=2099$. + +Solution 2. Denote by $(*)$ the trivial fact $a_{n}b_{1}$, which is impossible. If $c_{1}=2$, then by (ii) we have $2=c_{1}=c_{a_{1}}=b_{1}+1$, hence $b_{1}=1$ which is also impossible. So the only way is to put $b_{2}=2$. Then by (ii) $c_{1}=c_{a_{1}}=b_{1}+1=3$. + +| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | $\ldots$ | +| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $a_{n}$ | 1 | | | | | | +| $b_{n}$ | 2 | | | | | | +| $c_{n}$ | 3 | | | | | | + +Now, because of (iv), we have $c_{2} \neq 4$. Also, $b_{2} \neq 4$, because otherwise by (*) and (ii) $a_{2}1 +$$ + +The numbers 1 and 2 are powers of two, hence we may assume that $n \geq 3$. Since $n$ is not a power of two, it has an odd divisor greater than one; therefore, according to our lemma, ${ }^{3}$ there are coprime numbers $a$ and $b$ such that + +$$ +10^{n}+1=a b +$$ + +Our task is to prove that there are numbers $t$ and $s$ such that + +$$ +m=\left(10^{n}+1\right) t=a b t=s(s-1) +$$ + +First, we show that there is a positive integer $s$ divisible by $a$ which satisfies $s \equiv 1$ $($ mod $b$ ). Consider the numbers $0, a, 2 a, \ldots,(b-1) a$. These numbers give mutually different remainders modulo $b$ since $a$ and $b$ are coprime. Therefore, one of them gives remainder 1 and we take $s$ to be this number. + +Similarly we can pick a number $s^{\prime}$ divisible by $b$ which satisfies $s^{\prime} \equiv 1(\bmod a)$. The numbers $s$ and $s^{\prime}$ are positive and smaller than $10^{n}$. Therefore, $s(s-1)$ and $s^{\prime}\left(s^{\prime}-1\right)$ are both divisible by $a b$ and smaller than $10^{2 n}$. Moreover, $s+s^{\prime} \equiv 1(\bmod a b)$. The number $s+s^{\prime}$ is greater than 1 and smaller than $2 \cdot 10^{n}$. Hence $s+s^{\prime}=a b+1$. Therefore, one of the numbers $s$ and $s^{\prime}$ is greater than $5 \cdot 10^{n-1}$. Then one of the numbers $s(s-1)$ or $s^{\prime}\left(s^{\prime}-1\right)$ is greater than $25 \cdot 10^{2 n-2}$, thus it has $2 n$ digits. This number has all the required properties. + +Comment. Instead od using congruences we can also look at Diophantine equations $a x=$ $b y+1$ and $a x=b y-1$. Both have solutions with $010^{n-1}$ for one of them.[^2] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Slope of the line with the equation $z+t \bar{z}=s$ is $t$. + +[^1]: ${ }^{2}$ Another way to look at $a_{n} / 3$ modulo 4 is to note that it always ends with 67 . + +[^2]: ${ }^{3}$ We can avoid using the lemma by exploiting the Mihailescu's theorem, first known as Catalan's Conjecture; it was proved in 2002. It says that the only solution of the equation $x^{a}-y^{b}=1$ in positive integers greater than one is $3^{2}-2^{3}$. This implies that if $10^{n}+1$ is a power of a prime then it is a prime. This cannot happen since $n$ has an odd divisor. + diff --git a/MEMO/md/en-2013solutions.md b/MEMO/md/en-2013solutions.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1931e6a04c07f5612cbb305e410df4e9eed3d91c --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2013solutions.md @@ -0,0 +1,458 @@ +# Problems and solutions + +## INDIVIDUAL COMPETITION + +Problem I-1. Let $a, b, c$ be positive real numbers such that + +$$ +a+b+c=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} +$$ + +Prove that + +$$ +2(a+b+c) \geq \sqrt[3]{7 a^{2} b+1}+\sqrt[3]{7 b^{2} c+1}+\sqrt[3]{7 c^{2} a+1} +$$ + +Find all triples $(a, b, c)$ for which equality holds. + +Solution. From the AM-GM inequality, we obtain that + +$$ +\sqrt[3]{7 a^{2} b+1}=2 \cdot \sqrt[3]{a \cdot a \cdot\left(\frac{7 b}{8}+\frac{1}{8 a^{2}}\right)} \leq \frac{2}{3}\left(a+a+\frac{7 b}{8}+\frac{1}{8 a^{2}}\right) +$$ + +We have analogous upper bounds for $\sqrt[3]{7 b^{2} c+1}$ and $\sqrt[3]{7 c^{2} a+1}$. Adding up these three inequalities, we obtain that + +$$ +\sqrt[3]{7 a^{2} b+1}+\sqrt[3]{7 b^{2} c+1}+\sqrt[3]{7 c^{2} a+1} \leq \frac{2}{3}\left(\frac{23(a+b+c)}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)\right) +$$ + +Using the condition of the problem, we obtain + +$$ +\sqrt[3]{7 a^{2} b+1}+\sqrt[3]{7 b^{2} c+1}+\sqrt[3]{7 c^{2} a+1} \leq 2(a+b+c) +$$ + +Equality holds if and only if $a, b$, and $c$ satisfy the system of equations + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{7 b}{8}+\frac{1}{8 a^{2}} \\ +& b=\frac{7 c}{8}+\frac{1}{8 b^{2}} \\ +& c=\frac{7 a}{8}+\frac{1}{8 c^{2}} +\end{aligned} +$$ + +Note that this system actually implies the equation stipulated in the problem. + +Defining $f(x)=\frac{8}{7}\left(x-\frac{1}{8 x^{2}}\right)$, we can rewrite the system as + +$$ +\begin{aligned} +& b=f(a) \\ +& c=f(b) +\end{aligned} +$$ + +$$ +a=f(c) +$$ + +We prove that $f(x)$ is a non-decreasing function. Let $u \geq v$. Then + +$$ +\begin{aligned} +f(u)-f(v) & =\frac{8}{7}\left((u-v)+\frac{1}{8 v^{2}}-\frac{1}{8 u^{2}}\right) \\ +& =\frac{8}{7}\left((u-v)+\frac{(u-v)(u+v)}{8 u^{2} v^{2}}\right) \\ +& =\frac{8}{7}(u-v)\left(1+\frac{u+v}{8 u^{2} v^{2}}\right) \\ +& \geq 0 . +\end{aligned} +$$ + +Since the system of equations is cyclically symmetric, we may assume that $a=$ $\max \{a, b, c\}$. Since $a \geq b$, we have $b=f(a) \geq f(b)=c$, so $c=f(b) \geq f(c)=a$. In all, $c \geq a \geq b \geq c$, so $a=b=c$. + +We now have to find the solutions of $f(a)=a$. + +$$ +\begin{aligned} +\frac{8}{7}\left(a-\frac{1}{8 a^{2}}\right) & =a \\ +8 a-\frac{1}{a^{2}} & =7 a \\ +\frac{1}{a^{2}} & =a \\ +1 & =a^{3} +\end{aligned} +$$ + +Thus, equality holds if and only if $a=b=c=1$. + +Problem I-2. Let $n$ be a positive integer. On a board consisting of $4 n \times 4 n$ squares, exactly $4 n$ tokens are placed so that each row and each column contains one token. In a step, a token is moved horizontally or vertically to a neighbouring square. Several tokens may occupy the same square at the same time. The tokens are to be moved to occupy all the squares of one of the two diagonals. + +Determine the smallest number $k(n)$ such that for any initial situation, we can do it in at most $k(n)$ steps. + +Solution. We shall prove that $k(n)=6 n^{2}$. + +We define the distance from a given square to a given diagonal to be the minimal number of steps needed to get from the square to the diagonal. This equals the minimal number of horizontal steps needed to do that. It also equals the minimal number of vertical steps needed to do that. + +Given a configuration of tokens, we define the distance from this configuration to a given diagonal to be the sum of distances of the tokens to that diagonal. + +Choose the coordinate system so that the vertices of the board have coordinates $\pm 2 n$. Place a token on each of the $n$ squares the coordinates of whose centres satisfy $x>0$ and $y-x=n$. Now complete this configuration of tokens so that it has a rotational symmetry of $90^{\circ}$ about the origin. Then we have $4 n$ tokens, one in each row, one in each column. The distance from this configuration to either diagonal is $2 n \cdot n+2 n \cdot 2 n=6 n^{2}$. Therefore, $k(n) \geq 6 n^{2}$. + +Now consider any configuration satisfying the conditions of the problem. We prove that $\leq 6 n^{2}$ steps suffice even if we only allow horizontal moves. I.e., the smallest of the +two distances from the given configuration to the diagonals is $\leq 6 n^{2}$. It suffices to prove that the sum of the two distances from the given configuration to the diagonals is $\leq 12 n^{2}$. + +Observe that the sum of the two distances from the square with center $(x, y)$ to the two diagonals is $2 \max (|x|,|y|)$. This number can take values $1,3, \ldots, 4 n-1$. The squares where it takes a given value can be covered by two columns and two rows, so we can place at most four tokens there. Thus, the sum of the values for the $4 n$ tokens is $\leq 4((4 n-1)+(4 n-3)+\cdots+(2 n+1))=4 n \cdot 3 n=12 n^{2}$. + +Problem I-3. Let $A B C$ be an isosceles triangle with $A C=B C$. Let $N$ be a point inside the triangle such that $2 \angle A N B=180^{\circ}+\angle A C B$. Let $D$ be the intersection of the line $B N$ and the line parallel to $A N$ that passes through $C$. Let $P$ be the intersection of the angle bisectors of the angles $C A N$ and $A B N$. + +Show that the lines $D P$ and $A N$ are perpendicular. + +Solution. Since $A C=B C$, there is a circle $k$ such that the lines $A C$ and $B C$ are the tangents to $k$ at the points $A$ and $B$. The condition defining the point $N$ implies that the point $N$ lies on the circle $k$. + +By the tangent-chord theorem, we have $\angle B A N=\angle D B C$ and $\angle C A N=\angle A B D$. Since $D C$ is parallel to $A N$, we have $\angle C A N=\angle A C D$. Hence $\angle A C D=\angle A B N$, so the quadrilateral $A B C D$ is cyclic. It follows that $\angle C A D=\angle C B D=\angle B A N$. + +We can conclude that the angle bisector of $\angle C A N$ is the angle bisector of $\angle B A D$. Hence the point $P$ is the incenter of the triangle $A B D$ and $D P$ is the angle bisector of $\angle A D B$. + +We also note that since $C D$ is parallel to $A N$, we have $\angle A N D=\angle B D C=\angle B A C=$ $\angle B A N+\angle N A C=\angle C A D+\angle N A C=\angle N A D$. Hence $A D=N D$ and we conclude that the angle bisector of $\angle A D B$ is the perpendicular bisector of the segment $A N$. + +Hence $D P$ is perpendicular to $A N$. + +Remark 1. The first part of the solution can easily be deduced also by calculating the angles without noting that $A C$ and $B C$ are tangents to $k$. + +Remark 2. It is a well-known fact that the intersection of the perpendicular bisector of the segment $A N$ and the angle bisector of the angle $\angle A B N$ lies on the circumcircle of the triangle $A B N$, i.e. $P$ also lies on the circle $k$. This fact is obtained more easily by calculating the angle $\angle A P B$. + +Problem I-4. Let $a$ and $b$ be positive integers. Prove that there exist positive integers $x$ and $y$ such that + +$$ +\binom{x+y}{2}=a x+b y +$$ + +Solution. Denoting $A=2 a+1$ and $B=2 b+1$, the equation can be translated into + +$$ +\frac{B-(x+y)}{x}=\frac{(x+y)-A}{y} +$$ + +For $A=B$, any integers with $x+y=A$ satisfy the equation. Now suppose that $A2$. + +Let $H_{i}$ denote the house with number $i$ at the start of the day, and let $(i \rightleftarrows i+1)$ denote the swap between $H_{i}$ and $H_{i+1}$. Let $H_{k}$ be the house that has plate $n$ at the end of the day. It follows that the swaps $(n-1 \rightleftarrows n),(n-2 \rightleftarrows n-1), \ldots,(k \rightleftarrows k+1)$ must have happened in this order, for otherwise plate $n$ could not have reached the house $H_{k}$. In addition, $(k-1 \rightleftarrows k)$ must have happened before $(k \rightleftarrows k+1)$, otherwise plate $n$ would have ended up somewhere between $H_{1}$ and $H_{k-1}$. + +It follows that for any $k \leq it_{i}$, or $i=1$, then plate $i$ will finish the day at the eastern end of the maximal increasing subsequence starting at $t_{i}$. If $t_{i-1}$ between the neighbouring $t$ 's determine the final distribution of the plates. Conversely, given the final distribution of the plates, we can calculate the relations. Indeed, let $2 \leq i \leq n-1$. If plate $i$ ends up east of its original position, then $t_{i-1}>t_{i}$, whereas if plate $i$ ends up west of its original position, then $t_{i-1}1$ if $n$ is even. + +We will show by induction on $k$ that $f\left(2^{k} l\right)=k+1$ for all odd $l$ and $f\left(2^{k} m\right)>k+1$ for all even $m$. The basis of induction has been proved above. Assume that the statement holds for all $k1$ if $n$ is even, as we have shown above. Therefore $f\left(2^{k_{0}} l\right)=k_{0}+1$ for odd $l$ and $f\left(2^{k_{0}} \mathrm{~m}\right)>k_{0}+1$ for even $m$, which completes the induction. It is easy to check that this function indeed satisfies the conditions of the problem. + +Solution 1a. Like in Solution 1 we prove that + +$$ +f(\text { odd })=1, \quad \text { and } \quad f(\text { even })>1 +$$ + +We will show by induction on $k$ that $f\left(2^{k} l\right)=k+1$ for all odd $l$ and $f\left(2^{k} m\right)>k+1$ for all even $m$. The basis of induction has been proved above. Assume that the statement holds for all $kk_{0}+1$. Surjectivity of $f$ implies, that there exists positive integer $b$ such that +$f(b)=k_{0}+1$. By induction hypothesis $b$ is of the form $b=2^{k_{0}} r$ for some $r$ ( $r$ may be odd or even). Considering the pair $\left(2^{k_{0}}, b\right)$ we get $f\left(2^{k_{0}}(r+1)\right)=f\left(b+2^{k_{0}}\right)=\min \left\{f\left(2^{k_{0}}\right), f(b)\right\}=k_{0}+1$. By induction we get $f\left(2^{k_{0}} r^{\prime}\right)=k_{0}+1$ for all $r^{\prime} \geqslant r$, contradicting the surjectivity of $f$. Hence $f\left(2^{k_{0}}\right)=k_{0}+1$. Conditions of the problem and induction hypothesis imply that $f(n)=k_{0}+1$ iff $f\left(n+2^{k_{0}}\right)>k_{0}+1$. Therefore it follows inductively that $f\left(2^{k_{0}} l\right)=k_{0}+1$ for odd $l$ and $f\left(2^{k_{0}} m\right)>k_{0}+1$ for even $m$, which finishes the induction step. + +It is easy to check that the function defined by $f\left(2^{k_{0}} l\right)=k_{0}+1$ for odd $l$ indeed satisfies the conditions of the problem. + +Solution 2. Like in Solution 1 we prove that $f($ odd $)=1$, and $f($ even $)>1$. Define a sequence of functions $g_{k}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ by + +$$ +g_{0}(n)=f(n) \quad \text { and } \quad g_{k}(n)=g_{k-1}(2 n)-1, \quad \text { for } k \in \mathbb{N} +$$ + +Using first part of solution we prove by induction that all $g_{k}$ satisfy the initial conditions of the problem (they map to $\mathbb{N}$, are surjective and satisfies mutually exclusive equations). It follows from the first part of the solution that $g_{k}($ odd $)=1$ for all $k=0,1,2, \ldots$ From $g_{k}(l)=1$ for odd $l$ we inductively obtain $f\left(2^{k} l\right)=k+i$ by backward substitution. This shows that shows that the problem has a unique solution given by $f\left(2^{k} l\right)=k+1$ for all $k \geqslant 0$ and all odd $l$. It is easy to check that this function indeed satisfies the conditions of the problem. + +Solution 3. Plugging pair $(a, a)$ into the given equations we obtain $f(2 a) \neq \min \{f(a), f(a)\}=$ $f(a)$, in particular $f(4 a) \neq f(2 a)$. From pair $(a, 2 a)$ we get $f(3 a)=f(2 a+a)=\min \{f(2 a), f(a)\}$. Suppose $f(2 a)f(a)$. + +Next we prove by induction on $l$ that $f(l a)=f(a)$ for all odd $l$. For $l=1$, there is nothing to show. We assume that $f((l-2) a)=f(a)$. As $f(2 a)>f(a)$, we have + +$$ +f(l a)=\min \{f((l-2) a), f(2 a)\}=\min \{f(a), f(2 a)\}=f(a) +$$ + +which proves the induction step. + +Let now $n=2^{k} l$ for odd $l$. By the above we have $f(n)=f\left(2^{k}\right)$. Thus we only have to determine $f\left(2^{k}\right)$ for $k \geqslant 0$. Since $f(2 a)>f(a)$ for all $a, f\left(2^{k}\right)$ is increasing in $k$. By surjectivity, the only solution is $f\left(2^{k}\right)=k+1$. It is easily seen that $f\left(2^{k} l\right)=k+1$, is indeed a solution. + +## $\mathrm{I}-2 \quad \mathrm{C}$ + +Let $n \geqslant 3$ be an integer. An inner diagonal of a simple $n$-gon is a diagonal that is contained in the $n$-gon. Denote by $D(P)$ the number of all inner diagonals of a simple $n$-gon $P$ and by $D(n)$ the least possible value of $D(Q)$, where $Q$ is a simple $n$-gon. Prove that no two inner diagonals of $P$ intersect (except possibly at a common endpoint) if and only if $D(P)=D(n)$. + +Remark: A simple $n$-gon is a non-self-intersecting polygon with $n$ vertices. A polygon is not necessarily convex. + +Solution 1. First we prove that for every $n$-gon $P$ with $n \geqslant 4$ we have $D(P) \geqslant 1$. Let $A$ be one of the vertices of $P$ with inner angle les than $180^{\circ}$. Denote the two vertices adjacent to $A$ by $B$ and $C$. The segment $B C$ is a diagonal of $P$, since $n \geqslant 4$. If it lies in $P$, we are done, so suppose it does not lie in $P$. Let $C^{\prime}$ be the unique point on the segment $A C$ such that the triangle $A B C^{\prime}$ lies in $P$ and the segment $B C^{\prime}$ contains at least one point in the boundary of $P$ distinct from $B$ and $C^{\prime}$. Let $D \neq C^{\prime}$ be the point on the segment $B C^{\prime}$, which lies in the boundary of $P$ and is closest to $C^{\prime}$. Then $D$ must be a vertex of $P$ and $A D$ is an inner diagonal. + +Next we prove that $D(n)=n-3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_95e557bc4ef4e666f168g-04.jpg?height=343&width=351&top_left_y=1502&top_left_x=858) + +On the picture diagonals between pairs of points on bottom are clearly outer because that part of polygon is concave. Therefore inner diagonals only exist between upper point and lower points. Number of those diagonals is $n-3$ therefore $D(n) \leqslant n-3$. + +We prove by induction that $D(n) \geqslant n-3$. The case $n=3$ is clear. So suppose $n \geqslant 4$ and let $P$ be a $n$-gon. By the above there exists an inner diagonal of $P$. This diagonal divides $P$ into two polygons $R$ and $S$ with $k$ and $m$ vertices respectively. Clearly $k, mn$. Let $m=n+k$ for a positive integer $k$. Without loss of generality, we may assume $a>b$. In that case + +$$ +\frac{a^{m}+b^{m}}{a^{n}+b^{n}}>\frac{a^{n} \cdot b^{k}+b^{m}}{a^{n}+b^{n}}=b^{k} +$$ + +thus there exists a positive integer $t$ such that + +$$ +\frac{a^{m}+b^{m}}{a^{n}+b^{n}}=b^{k}+t +$$ + +This equation can be written as follows: + +$$ +\begin{aligned} +a^{m}+b^{m} & =\left(b^{k}+t\right)\left(a^{n}+b^{n}\right), \\ +a^{m} & =a^{n} b^{k}+t\left(a^{n}+b^{n}\right) . +\end{aligned} +$$ + +Since $a$ and $b$ are relatively prime, $a^{n}+b^{n}$ and $a^{n}$ are relatively prime as well. Therefore, from the last equation we can conclude that $t$ is divisible by $a^{n}$. Let $c$ be a positive integer such that $t=c \cdot a^{n}$. We have + +$$ +a^{k}=b^{k}+c \cdot a^{n}+c \cdot b^{n} +$$ + +The right-hand side of the previous equation is greater than $a^{n}$ so we conclude that $k>n$. Previous equation can be written as + +$$ +a^{n}\left(a^{k-n}-c\right)=b^{n}\left(b^{k-n}+c\right) \text {. } +$$ + +This implies that $b^{k-n}+c$ is divisible by $a^{n}$, since $a$ and $b$ are relatively prime. Let $x$ be a positive integer such that + +$$ +b^{k-n}+c=x \cdot a^{n} +$$ + +The previous equation gives us + +$$ +a^{k-n}-c=x \cdot b^{n} +$$ + +Summing the last two equations gives us + +$$ +a^{k-n}+b^{k-n}=x\left(a^{n}+b^{n}\right) +$$ + +which means that + +$$ +\frac{a^{k-n}+b^{k-n}}{a^{n}+b^{n}} +$$ + +is an integer. Since $(k-n)+n=kn$. Write $m=k n+r$, where $k \geqslant 1$ and $0 \leqslant rx_{j}$. So the sum to the right equals less than $(n-1)+(n-3)+\ldots\left(n-2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1\right)$. Times 2 equals ... $\left\lfloor\frac{n^{2}}{2}\right\rfloor$. + +Solution 3. $\quad S(x)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-i\right|$ + +When we resolve absolute values, we get + +$$ +S(x)=\sum_{\text {some } \mathrm{i}}\left(x_{i}-i\right)+\sum_{\text {other } \mathrm{i}}\left(i-x_{i}\right) +$$ + +so + +$$ +S(x)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}-\sum_{i=1}^{n} b_{i} +$$ + +where the numbers $a_{i}$ and $b_{i}$ are all numbers from 1 to $n$ (twice!). So + +$$ +S(x) \leqslant\left(n+n+(n-1)+(n-1)+\ldots+\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1\right)\right)-\left(1+1+2+2+\ldots+\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor\right) +$$ + +which evaluates to ... $\left\lfloor\frac{n^{2}}{2}\right\rfloor$. Equality is attained when $i$ and $x_{i}$ are on different sides of $\frac{n+1}{2}$, for all $i$. + +## T-4 C + +Let $N$ be a positive integer. In each of the $N^{2}$ unit squares of an $N \times N$ board, one of the two diagonals is drawn. The drawn diagonals divide the $N \times N$ board into $K$ regions. For each $N$, determine the smallest and the largest possible values of $K$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_95e557bc4ef4e666f168g-17.jpg?height=465&width=462&top_left_y=487&top_left_x=797) + +Example with $N=3, K=7$ + +Answer. The smallest $K$ is $2 N$ and the largest is $\left\lfloor\frac{(N+1)^{2}+1}{2}\right\rfloor$. + +## Solution 1. Minimum + +A small triangle is a right-angled isosceles triangle whose area is $\frac{1}{2}$ whose hypotenuse is a diagonal of a unit square. A board segment is a horizontal or a vertical segment on the boundary of the board. There are $4 N$ board segments and each of these segments belongs to the boundary of some region. + +Crucial remark is that each region has either 0 or 2 board segments on its boundary. Indeed, let $R$ be a region that has at least one board segment on its boundary. Let us colour one such board segment in red and then colour the small triangle whose leg is that board segment. In each subsequent step we colour red the unique small triangle which was not coloured so far and which has one of its legs coloured red. This process ends when the other leg of the small triangle is also a board segment. In this way we have exhausted all small triangles of which $R$ consists and shown that $R$ has exactly two board segments on its boundary. + +It follows that if the number of regions is $K$, then there is at most $2 K$ board segments. Thus + +$$ +2 K \geqslant 4 N \quad \Longrightarrow \quad K \geqslant 2 N +$$ + +Example with $K=2 N$ : + +## Maximum + +The sum of areas of all regions is constant as it is equal to the area of the board. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_95e557bc4ef4e666f168g-18.jpg?height=523&width=514&top_left_y=178&top_left_x=774) + +An inner region is a region that has no board segments on its boundary. The boundary of an inner region consists of diagonals and all of them lie on one of two parallel directions. Let us start at some point of the boundary of an inner region and trace the boundary clockwise. In order to return to the same point (i.e. to close the boundary) we need to change direction at least three times, which means that there are at least four diagonals on its boundary. Each diagonal belongs to a different small triangle, so the area of an inner region is at least 2 . + +If a region is not inner, then it has exactly two board segments on its boundary. If these two segments meet at the corner of a board, then the region consists of a single small triangle and has area $\frac{1}{2}$. We call such regions corner regions. If a region is not inner and not a corner region, we call it outer. An outer region has exactly two board segments on its boundary, which are not legs of the same small triangle, so each such region has an area at least 1. The area is exactly 1 if the two board segments on the boundary are on the same side of the board and share an endpoint. + +The number of non inner regions is $2 N$, so their area is at least $4 \cdot \frac{1}{2}+(2 N-4) \cdot 1=2 N-2$. + +Case 1. If $N$ is even, it is possible to make 4 corner regions and $4 \cdot\left(\frac{1}{2} N-1\right)=2 N-4$ regions of area 1. So, the area on non inner regions is at least $2 N-2$ and the area of inner regions is thus at most $N^{2}-2 N+2$. It follows that there are at most $\frac{1}{2}\left(N^{2}-2 N+2\right)$ inner regions, i.e. there are at most + +$$ +2 N+\frac{N^{2}-2 N+2}{2}=\frac{(N+1)^{2}+1}{2} +$$ + +regions when $N$ is even. + +Case 2. Let us consider the case when $N$ is odd. If there are exactly 2 corner regions, the total are of outer and corner regions is at least $2 \cdot \frac{1}{2}+(2 N-2) \cdot 1=2 N-1$. + +If there are 3 corner regions, then there are two sides of the board with 2 board segments belonging to corner regions. These sides have an odd number of board segments belonging to outer regions. Hence there must be an outer region which has two board segments on different sides of the boards and its area is at least $\frac{3}{2}$. We see that in this case the area of all outer and corner regions is at least $3 \cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+(2 N-4) \cdot 1=2 N-1$. + +Also, if there are 4 corner regions, all four sides of the board have an odd number of board segments belonging to outer regions, so at least 2 outer regions have area $\frac{3}{2}$. The total area (of outer and corner regions) in this case is also at least $4 \cdot \frac{1}{2}+2 \cdot \frac{3}{2}+(2 N-6) \cdot 1=2 N-1$. + +If there would be no corner regions or exactly 1 corner region, then the total area of all outer and corner regions would be at least $1 \cdot \frac{1}{2}+(2 N-1) \cdot 1>2 N-1$. (We could have argued that these cases are actually impossible, but for the sake of our argument this is sufficient.) + +So the area of all non inner regions is at least equal to $2 N-1$. The remaining area is at most $N^{2}-2 N+1=(N-1)^{2}$, so there are at most $\frac{1}{2}(N-1)^{2}$ inner regions. This implies that there are at most + +$$ +2 N+\frac{(N-1)^{2}}{2}=\frac{(N+1)^{2}}{2} +$$ + +regions when $N$ is odd. + +The following examples show that these numbers of regions can be obtained. + +Example: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_95e557bc4ef4e666f168g-19.jpg?height=616&width=1306&top_left_y=1136&top_left_x=366) + +Answer: the smallest $K$ is $2 N$ and the largest is $\left\lfloor\frac{(N+1)^{2}+1}{2}\right\rfloor$. + +Remark: every configuration of chosen diagonals determines a set of paths (which may even not be paths but cycles): when you enter into a small square, you leave it on your left or on your right (the chosen diagonal determines that). So if you start in any region, in any square, and follow your path, only one of two possibilities happen: you leave the big square, or you return to the starting point and the path actually is a circle (and, with a chess argument, an even cycle). In the case where you leave the big circle, if you follow the path from the starting point into the opposite dirrection, you cannot return to this point but you also leave the big square so you get a path that starts and ends on the boundary of a big square. + +Of course every path/circle corresponds to a region. + +This approach in a way replaces the red-triangle argument from the official solution and the proof that the smallest area of inner regions is 2 . + +Solution 2. We make use of the generalized Euler's polyhedron formula + +$$ +V+F=E+C+1 +$$ + +Herein $V$ denotes the number of vertices, $E$ the number of edges, $F$ the number of faces (regions) and $C$ the number of connected components of a planar graph. We apply this formula to the graph whose vertices are the $(N+1)^{2}$ corner points of all the $N^{2}$ unit squares. The edges are the $4 N$ segments on the circumference and the $N^{2}$ drawn diagonals. Then we get for the number of faces (without the exterior face) + +$$ +K=F-1=E-V+C=4 N+N^{2}-(N+1)^{2}+C=2 N-1+C +$$ + +Since $C \geqslant 1$ we must have $K \geqslant 2 N$. We can easily achieve $C=1$ and $K=2 N$, for instance by choosing all the diagonals parallel to each other. Hence $2 N$ is the least possible value of $K$. + +In order to find an upper bound for $C$ we assign to every corner point its boundary distance, i. e. the smallest distance from the four sides of the $N \times N$ square. (The corner points with boundary distance $d$ lie on the circumference of a square of side length $N+1-2 d$, there are exactly $(N+1-2 d)^{2}-(N-1-2 d)^{2}=4(N-2 d)$ such points, except for $N=2 d$, in which there is exactly one such point - the midpoint of the board.) Furthermore to a connected component $Z$ of the graph we assign the minimal boundary distance $D(Z)$ of the corner points contained in $Z$. (Since all the corner points lie in the same connected component, there is exactly one component $Z_{0}$ such that $D\left(Z_{0}\right)=0$.) We now consider two neighbouring corner points both having boundary distance $d \geqslant 1$ and we observe that at least one of them must be connected to a point with boundary distance $d-1$. (Namely these two corner points are two vertices of a unit square whose other two vertices have boundary distance $d-1$. The diagonal drawn in this unit square is the desired connection.) That means that for $2 dA C$. Prove that there exists a point $D$ with the following property: whenever two distinct points $X$ and $Y$ lie in the interior of $A B C$ such that the points $B, C, X$, and $Y$ lie on a circle and + +$$ +\angle A X B-\angle A C B=\angle C Y A-\angle C B A +$$ + +holds, the line $X Y$ passes through $D$. + +Solution. Let $D$ be the point on $B C$ for which $A D$ is a tangent to the circumcircle of $A B C$. As we will show in the sequel, the point $D$ is as desired. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_95e557bc4ef4e666f168g-21.jpg?height=808&width=1522&top_left_y=1109&top_left_x=244) + +Solution 1. We assume $B, C, X, Y$ lie on a circle in that order, the other case being similar. We compute the following equality + +$$ +\begin{aligned} +\angle A X Y-\angle D A Y & =\angle A X B-\angle Y X B-\angle D A B-\angle B A Y \\ +& =\angle A X B-\angle Y C B-\angle A C B-\angle B A Y \\ +& =\angle A X B-2 \angle A C B+\angle A C Y-\angle B A C+\angle Y A C \\ +& =\angle A X B-2 \angle A C B-\angle B A C+\pi-\angle C Y A \\ +& =\angle A X B-\angle A Y C+\angle C B A-\angle A C B=0 . +\end{aligned} +$$ + +So $A D$ is tangent to the circumcircle of triangle $\triangle A X Y$. Consequently $A D$ is the radical axis of the circumcircles of triangles $\triangle A X Y$ and $\triangle A B C$. On the other hand $B C$ is the radical axis +of the circumcircles of triangles $\triangle B C X$ and $\triangle A B C$. By a well known theorem the radical axis of three circles intersect in one point, so $X Y$ passes through $D$. + +Solution 2. Let $X$ and $Y$ be two points satisfying the condition mentioned in the problem and let the line $D X$ meet the circumcircle of triangle $B X C$ for the second time in $Y^{\prime}$. It suffices to prove that $Y=Y^{\prime}$. + +Let us assume that the points $D, X$ and $Y^{\prime}$ are collinear in this order, the other case being similar. Due to $D X \cdot D Y^{\prime}=D B \cdot D C=D A^{2}$ the triangles $A D X$ and $Y^{\prime} D A$ are similar. Hence + +$$ +\begin{aligned} +\angle C Y^{\prime} A & =360^{\circ}-\angle A Y^{\prime} D-\angle D Y^{\prime} C=180^{\circ}-\angle D A X+\angle C B X \\ +& =\left(180^{\circ}-\angle B A X\right)-\angle D A B+\angle C B X=\angle A X B+\angle X B A-\angle A C B+\angle C B X \\ +& =\angle A X B+\angle C B A-\angle A C B +\end{aligned} +$$ + +Using the condition + +$$ +\angle A X B-\angle A C B=\angle A Y^{\prime} C-\angle C B A +$$ + +we get $\angle A Y C=\angle A Y^{\prime} C$, so $Y$ and $Y^{\prime}$ lie on the same circle through $A$ and $C$. On the other hand, $Y$ and $Y^{\prime}$ both lie on the circumcircle of $\triangle B C X$, therefore $Y=Y^{\prime}$. + +## T-6 + +## $\mathbf{G}$ + +Let $I$ be the incentre of triangle $A B C$ with $A B>A C$ and let the line $A I$ intersect the side $B C$ at $D$. Suppose that point $P$ lies on the segment $B C$ and satisfies $P I=P D$. Further, let $J$ be the point obtained by reflecting $I$ over the perpendicular bisector of $B C$, and let $Q$ be the other intersection of the circumcircles of the triangles $A B C$ and $A P D$. Prove that $\angle B A Q=\angle C A J$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_95e557bc4ef4e666f168g-23.jpg?height=1168&width=1294&top_left_y=735&top_left_x=384) + +Solution. + +Let $A I$ intersect the circumcircle of triangle $A B C$ for the second time at $T$. It is known that $T$ is the centre of the circumcircle of triangle $B I C$ and due to symmetry the point $J$ lies on this circle as well. + +Since + +$$ +\angle B Q P=\angle A Q P-\angle A Q B=\pi-\angle A D P-\angle A C B=\angle D A C=\angle B A T=\angle B Q T +$$ + +the points $T, P$, and $Q$ are collinear. + +Now let $T J$ intersect $B C$ at $S$. We have $I J \| B C$ and the triangle $J T I$ is isosceles, so $S T D$ is isosceles as well. The same applies to DPI and as their base angles are both equal to + +$$ +\frac{\pi-\angle A C B+\angle C B A}{2} +$$ + +we must have $\angle I T S=\angle I P S$ as well, meaning that the quadrilateral $I P T S$ is cyclic. It follows that $\angle S P T=\angle S I T$. + +Their angles being equal, the triangles $T A B$ and $T B D$ are similar, whence + +$$ +\frac{|T D|}{|T B|}=\frac{|T B|}{|T A|} +$$ + +In view of $|T D|=|T S|$ and $|T B|=|T I|=|T J|$ this yields + +$$ +\frac{|T S|}{|T I|}=\frac{|T J|}{|T A|} +$$ + +which proves $I S \| A J$. It follows that $\angle S I T=\angle J A T$, which in combination with the result of our third paragraph proves + +$$ +\angle I A Q=\pi-\angle Q P D=\angle S P T=\angle J A T +$$ + +Using $\angle T A C=\angle B A I$ we get $\angle J A C=\angle B A Q$. + +## T-7 N + +Find all pairs of positive integers $(a, b)$ such that + +$$ +a!+b!=a^{b}+b^{a} +$$ + +Answer. $(a, b) \in\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$ + +Solution. If $a=b$, the equation reduces to $a!=a^{a}$. Since $a^{a}>a!$ for $a \geqslant 2$, the only solution in this case is $a=b=1$. If $a=1$, the equation reduces to $b!=b$, which gives an additional solution $a=1, b=2$. We prove $a=b=1 ; a=1, b=2$ and $a=2, b=1$ are the only solution of the Diophantine equation. + +Assume $a, b$ is another solution satisfying $1a$ we have $p \left\lvert\, \frac{b!}{a!}\right.$ and hence, $\frac{b!}{a!}+1$ is coprime to $p$. Thus, the exponent in prime factorization of LHS equals the exponent of $p$ in prime factorization of $a$ !. It is well know, that this equals + +$$ +\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{a}{p^{k}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{a}{p}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a}{p^{2}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a}{p^{3}}\right\rfloor+\ldots +$$ + +We have $\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{a}{p^{k}}\right|<\frac{a}{p}+\frac{a}{p^{2}}+\cdots=a\left(\frac{1}{p-1}\right) \leqslant a$. The exponent of $p$ in prime factorization of RHS is however at least $a$ since $p|a, p| b$ and $b>a$. This contradicts the assumption that $a, b$ is a solution. Therefore there are no solutions to the equation, when $a, b \geqslant 2$. + +## T-8 N + +Let $n \geqslant 2$ be an integer. Determine the number of positive integers $m$ such that $m \leqslant n$ and $m^{2}+1$ is divisible by $n$. + +Answer. $D\left(2^{\alpha_{0}} p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}\right)=2^{k}$ + +Solution 1. Let $D(n)$ be the number of positive integers $m$ such that $m \leqslant n$ and $m^{2}+1$ is divisible by $n$. + +No number of the form $m^{2}+1$ is divisible by 4 , so if 4 divides $n$, we have $D(n)=0$. It is also known that $D(n)=0$ if $n$ is divisible by some number of the form $4 k+3$. Furthermore, $D(2)=1$. + +1. Assume first that $n=p$ is an odd prime of the form $4 k+1$. We show that $D(p)=2$. + +Lemma: If $p=4 k+1$, where $k$ is a positive integer and $p$ is a prime number, and if $S=\left\{x_{1}, \ldots, x_{p}\right\}$ is a complete residue system modulo $p$, then there exist exactly two elements $x \in S$ for which $x^{2} \equiv-1(\bmod p)$. + +First, we will prove that congruence equation $x^{2} \equiv-1(\bmod p)$ has at least one solution if $p \equiv 1(\bmod 4)$. + +Using Wilson's theorem, we have + +$$ +\left(1 \cdot 2 \cdots \frac{p-1}{2}\right) \cdot\left((p-1)(p-2) \cdots\left(p-\frac{p-1}{2}\right)\right) \equiv\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^{2} \equiv-1 \quad(\bmod p) +$$ + +thus $x=\left(\frac{p-1}{2}\right)$ ! is a solution. + +Furthermore, if $x_{i} \in S$ is a solution then $x_{j}=p-x_{i} \in S$ is also a solution. If $p=2 q+1$, exactly one of the numbers $x_{i}, x_{j}$ is smaller than or equal to $q$. We can assume that $x_{i} \leqslant q$. If given congruence equation had another solution $x_{k} \in S$, we could, by the same argument, assume that $x_{k} \leqslant q$. However, $x_{i}^{2} \equiv x_{k}^{2} \equiv-1(\bmod p)$ implies that $p$ divides $\left(x_{k}-x_{i}\right)\left(x_{k}+x_{i}\right)$, which is impossible since $x_{i}, x_{k} \leqslant q$. + +This completes the proof of lemma. + +2. Now let $n=p^{k}$ be a prime power where $p$ is congruent to 1 modulo 4 . We will prove by induction that $D\left(p^{k}\right)=2$. + +Induction basis, the case for $k=1$, is the previous step. + +Assume that $D\left(p^{k}\right)=2$ for some positive integer $k$. + +Let $i$ and $j$ be those two integers less then $p^{k}$ such that $i^{2}+1$ and $j^{2}+1$ are divisible by $p^{k}$. + +Then all numbers less then $p^{k+1}$ that satisfy congruence equation $x^{2} \equiv-1\left(\bmod p^{k}\right)$ are the following numbers: + +$$ +m p^{k}+i, \quad \text { for } m=0, \ldots, p-1 \quad \text { and } \quad m p^{k}+j, \quad \text { for } m=0, \ldots, p-1 +$$ + +Exactly one of the numbers $\frac{\left(m p^{k}+i\right)^{2}+1}{p^{k}}$ (for $\left.m=0, \ldots, p-1\right)$ is divisible by $p$, i.e. exactly one among numbers $\left(m p^{k}+i\right)^{2}+1$ (for $m=0, \ldots, p-1$ ) is divisible by $p^{k+1}$ ). + +To prove that, assume the opposite - that there are two such numbers, namely $\left(m_{1} p^{k}+\right.$ $i)^{2}+1$ and $\left(m_{2} p^{k}+i\right)^{2}+1$. This means that number + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{\left(m_{1} p^{k}+i\right)^{2}+1}{p^{k}}-\frac{\left(m_{2} p^{k}+i\right)^{2}+1}{p^{k}} \\ += & \frac{\left(m_{1} p^{k}+i-m_{2} p^{k}-i\right)\left(m_{1} p^{k}+i+m_{2} p^{k}+i\right)}{p^{k}} \\ += & \left(m_{1}-m_{2}\right)\left(p^{k}\left(m_{1}+m_{2}\right)+2 i\right) +\end{aligned} +$$ + +is divisible by $p$ which is impossible because neither $m_{1}-m_{2}$ nor $i$ are divisible by $p$. + +In the same way, we conclude that exactly one of the numbers $\left(m p^{k}+j\right)^{2}+1$ (for $m=$ $0, \ldots, p-1)$ is divisible by $p^{k+1}$. + +Therefore, $D\left(p^{k+1}\right)=2$. + +3. Next, assume that $n=p^{a} q^{b}$ where $p$ and $q$ are two distinct prime numbers of the form $4 k+1$, for positive integers $k$, then $D\left(p^{a} q^{b}\right)=4$ for all positive integers $a$ and $b$. + +According to above, $D\left(p^{a}\right)=2$. + +Let $i$ and $j$ be those two positive integers smaller than $p^{a}$ such that $i^{2}+1$ and $j^{2}+1$ are both divisible by $p^{a}$. + +All numbers smaller than $p^{a} q^{b}$ that satisfy congruence equation $x^{2} \equiv-1\left(\bmod p^{a}\right)$ are the following: + +$$ +m p^{a}+i \text { for } m=0, \ldots, q^{b}-1 \text { and } \quad m p^{a}+j \quad \text { for } m=0, \ldots, q^{b}-1 +$$ + +Since $\left\{0,1,2, \ldots, q^{b}-1\right\}$ is a complete residue system modulo $q^{b}$, the same is true for $\left\{0, p^{a}, 2 p^{a}, \ldots,\left(q^{b}-1\right) p^{a}\right\}$ (because $p^{a}$ and $q^{b}$ are relatively prime), hence $T=\left\{i, p^{a}+\right.$ $\left.i, 2 p^{a}+i, \ldots,\left(q^{b}-1\right) p^{k}+i\right\}$ is a complete residue system modulo $q^{b}$, as well. + +Lemma implies that there are exactly two elements of the set $T$ that satisfy the congruence equation $x^{2} \equiv-1\left(\bmod q^{b}\right)$. + +In the same way, there are exactly two elements of the $\left\{j, p^{a}+j, 2 p^{a}+j, \ldots,\left(q^{b}-1\right) p^{a}+j\right\}$ that satisfy congruence equation $x^{2} \equiv-1\left(\bmod q^{b}\right)$. + +Therefore, $D\left(p^{a} q^{b}\right)=4$. + +Using the previous part inductively, we conclude that $D\left(p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)=2^{n}$ for distinct odd prime numbers $p_{i}, i=1,2, \ldots, n$. + +4. Finally, we show that $D\left(p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)=D\left(2 p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)$, if $p_{i}, i=1,2, \ldots, n$ are distinct odd prime numbers, all congruent to 1 modulo 4 . + +Let $a=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}$. + +If $i_{1}, i_{2}, i_{3}, \ldots i_{2^{n}}$ are all positive integers less than $a$ that satisfy congruence equation $x^{2} \equiv-1(\bmod a)$, then all positive integers less than $2 a$ that satisfy that equation are the following: + +$$ +\delta a+i_{j}, j=1,2,3, \ldots, 2^{n} \quad \text { for } \delta=0,1 +$$ + +However, exactly one of the number $i_{j}^{2}+1$ and $\left(a+i_{j}\right)^{2}+1$ is even, which implies that $D\left(p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)=D\left(2 p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)$. + +Thus we conclude that + +$$ +D\left(p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)=D\left(2 p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{n}^{\alpha_{n}}\right)=2^{n} +$$ + +for distinct odd prime numbers $p_{i}, i=1,2, \ldots, n$. + +Solution 2. No number of the form $m^{2}+1$ is divisible by 4 , so if 4 divides $n$, we have $D(n)=0$. + +Also $D(2)=1$. + +Write $n=p_{0}^{\alpha_{0}} p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$ with $p_{0}=2, \alpha_{0} \in\{0,1\}$ and $p_{i}$ odd and $\alpha_{i} \geqslant 1$ for $i \geqslant 1$. + +The problem is to find the number of residue classes $m$ modulo $n$ with $m^{2} \equiv-1(\bmod n)$. + +It is clear that, $m^{2} \equiv-1(\bmod n)$ if and only if $m^{2} \equiv-1\left(\bmod p_{i}^{\alpha_{i}}\right)$ for all $i$. + +We use the following lemma. + +Lemma: Let $p$ be a prime number and $\alpha \geqslant 1$. Then the number of residue classes $m$ fulfilling + +$$ +m^{2} \equiv-1 \quad\left(\bmod p^{\alpha}\right) +$$ + +equals + +$$ +\begin{cases}0 & \text { if } p \equiv 3 \quad(\bmod 4) \\ 1 & \text { if } p^{\alpha}=2 \\ 2 & \text { if } p \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases} +$$ + +Proof of lemma: For $p^{\alpha}=2$, there is nothing to show. It is well-known that -1 is a quadratic residue modulo an odd prime $p$ if and only if $p \equiv 1(\bmod 4)$. We now assume $p \equiv 1(\bmod 4)$. + +It is also known (Hensel lifting) that if some $b$ is a quadratic residue modulo some odd prime $p$, then $b$ is also a quadratic residue modulo $p^{\alpha}$. + +Thus there is at least one residue class $m$ with $m^{2} \equiv-1\left(\bmod p^{\alpha}\right)$. Another residue class $r$ is also a solution $r^{2} \equiv-1\left(\bmod p^{\alpha}\right)$ if and only if $m^{2} \equiv r^{2}\left(\bmod p^{\alpha}\right)$ or equivalently $p^{\alpha} \mid$ $(m-r)(m+r)$. We have $\operatorname{gcd}(m+r, m-r) \mid 2 m$ which is coprime to $p^{\alpha}$. Thus $r \equiv \pm m$ $\left(\bmod p^{\alpha}\right)$. + +Thus $m^{2} \equiv-1\left(\bmod p^{\alpha}\right)$ has exactly two solutions. This proves the lemma. + +By the lemma, $\alpha_{0}$ does not influence the result. For each $1 \leqslant i \leqslant k$, there are two choices for $m$ modulo $p_{i}^{\alpha_{i}}$, thus there are $2^{k}$ choices for $m$ modulo $n$ by the Chinese remainder theorem. + diff --git a/MEMO/md/en-2017_solutions_.md b/MEMO/md/en-2017_solutions_.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..934cb130faecb6198639777fa1775ca8448091e1 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2017_solutions_.md @@ -0,0 +1,653 @@ +11TH MIDDLE EUROPEAN MATHEMATICAL OLYMPIAD VILNIUS 2017 LITHUANIA + +## Contest problems with solutions + +Jury \& Problem Selection Committee + +| Countries | Selected problems | | | | +| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | +| | Algebra | Combinatorics | Geometry | Number theory | +| Austria | T-2 | T-3 | | T-8 | +| Croatia | | | T-5 | | +| Czech Republic | | I-2 | | | +| Germany | | | | I-4 | +| Poland | T-1 | T-4 | | T-7 | +| Slovakia | I-1 | | I-3, T-6 | | + +## Contents + +Individual Competition ..... 4 +I - 1 ..... 4 +I - 2 ..... 6 +I - 3 ..... 7 +I - 4 ..... 8 +Team Competition ..... 10 +T - 1 ..... 10 +T - 2 ..... 12 +T - 3 ..... 14 +T - 4 ..... 19 +T - 5 ..... 21 +T - 6 ..... 22 +T-7 ..... 24 +T - 8 ..... 25 + +## Individual Competition + +## I - 1 + +Determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying + +$$ +f\left(x^{2}+f(x) f(y)\right)=x f(x+y) +$$ + +for all real numbers $x$ and $y$. + +Answer: $f(x) \equiv 0$, or $f(x) \equiv x$, or $f(x) \equiv-x$. + +Solution. Put $x:=0$. Then $f(f(0) f(y))=0$, so there is at least one real number $a$ such that $f(a)=0$. + +Let $z$ be an arbitrary real number, let's put $x:=a, y:=z-a$. Then we get $f\left(a^{2}\right)=a \cdot f(z)$. If $a \neq 0$, we'll get that $f$ is constant, i. e. $f(x) \equiv c$. The equation (1) is then equivalent to $c=c x$ for all $x$, which gives us $c=0$. The function $f(x) \equiv 0$ is really a solution. + +So we've proved that $f(x)=0$ if and only if $x=0$. Therefore after putting $y:=-x$ we get + +$$ +x^{2}+f(x) f(-x)=0 +$$ + +Now let's put $y:=0$, which gives us + +$$ +f\left(x^{2}\right)=x f(x) +$$ + +From (3) for $x:=-x$ we get $f\left(x^{2}\right)=-x f(-x)$, so $x(f(x)+f(-x))=0$, which for $x \neq 0$ means $f(x)=-f(-x)$ and for $x=0$ it holds too, so $f$ is an odd function. + +By putting $f(-x)=-f(x)$ to (2) we get $x^{2}=f(x)^{2}$, which means that for every $x$ is $f(x)=x$ or $f(x)=-x$. We'll prove that $f(x) \equiv x$ or $f(x) \equiv-x$. + +Assume there are $a, b$ such that $f(a)=a$ and $f(b)=-b$. Let's put $x:=a, y:=b$ to (1). Then we have + +$$ +f\left(a^{2}-a b\right)=a \cdot f(a+b) +$$ + +This relation together with $f(x)=x$ or $f(x)=-x$ means that + +$$ +e_{1}\left(a^{2}-a b\right)=e_{2}\left(a^{2}+a b\right) +$$ + +where $e_{1}, e_{2} \in\{1,-1\}$. After checking options (if we WLOG suppose $e_{1}=1$, there'll be only two) we'll find out it must hold $a=0$ or $b=0$. If $a=0$, then for all $x \neq 0$ we have $f(x)=-x$, +which is true even for $x=0$, so $f(x) \equiv-x$, in that case. Analogously, if $b=0$, then $f(x) \equiv x$. These two solutions really satisfy (1). + +The equation has 3 solutions: $f(x) \equiv 0, f(x) \equiv x, f(x) \equiv-x$. + +Alternative solution 1. Suppose, $f$ is injective; that is, $f\left(y_{0}\right)=f\left(y_{1}\right)$ implies $y_{0}=y_{1}$. Plugging $x=1$ gives + +$$ +f(1+f(1) f(y))=f(1+y) . +$$ + +From injectivity, this gives $1+f(1) f(y)=1+y$. We see that $f(1)=c \neq 0$, and $f(y)=c^{-1} y$. For $y=1$ this gives $c^{2}=1$. Thus, $f(y)=y$ or $f(y)=-y$, and both are the solutions. + +Assume, $f$ is not injective, and $f\left(y_{0}\right)=f\left(y_{1}\right)$ for a certain pair $y_{0} \neq y_{1}$. Plugging $y \mapsto y_{0}$, and $y \mapsto y_{1}$, and comparing, gives + +$$ +x f\left(x+y_{0}\right)=x f\left(x+y_{1}\right) . +$$ + +Thus, if $x \neq 0$, then $f\left(x+y_{0}\right)=f\left(x+y_{1}\right)$. This is also valid for $x=0$. So, for $P=y_{0}-y_{1} \neq 0$, we get + +$$ +f(x+P)=f(x) . +$$ + +Put in the initial equation $x=0$. We see that $f(f(y) f(0))=0$. Let $a$ be such that $f(a)=0$, which does exist. Put $x=a, y=z-a$. This gives $f\left(a^{2}\right)=a f(z)$. If $a \neq 0$, we get that $f(x)=c$, and only $c=0$ does satisfy this. So, if $f$ is not identically $0, a$ can be only 0 . But this now contradicts to $f(P)=f(0)=0$. + +Alternative solution 2. Obviously, the functions $f(x)=0$ and $f(x)= \pm x$ are solutions. Let us prove that there are no more solutions. + +Let $f$ be any other solution. Denote $f(0)=c$. Taking $x=0$ we get $f(c f(y))=0$ for all $y$. Hence $f(a)=0$ for $a=c f(1)$ and therefore $0=f(c f(a))=f(0)=c$. + +Now take $y=0$; then $f\left(x^{2}\right)=x f(x)$ for all $x$ and therefore $x f(x)=-x f(-x)$, i.e. $f(-x)=-f(x)$ for all $x \neq 0$. Hence $f$ is an odd function. + +Next prove that 0 is the only point, where $f(x)=0$. Let $f(c)=0$ for $c \neq 0$. Then $f\left(c^{2}\right)=c f(y)$ for all $y$, i.e. $f(y)=c_{1}$ for all $y$. Obviously, such $f$ is not a solution; we got a contradiction. + +Now take $y=-x$; then $f\left(x^{2}-f^{2}(x)\right)=0$ and therefore $x^{2}=f^{2}(x)$ for all $x$. +Suppose $f(1) f(y)=-y$ for some $y \neq 0$; then + +$$ +f(1-y)=f(1+y) +$$ + +which yields $1-y= \pm(1+y)$, a contradiction. + +## I - 2 + +Let $n \geqslant 3$ be an integer. A labelling of the $n$ vertices, the $n$ sides and the interior of a regular $n$-gon by $2 n+1$ distinct integers is called memorable if the following conditions hold: + +1. Each side has a label that is the arithmetic mean of the labels of its endpoints. +2. The interior of the $n$-gon has a label that is the arithmetic mean of the labels of all the vertices. + +Determine all integers $n \geqslant 3$ for which there exists a memorable labelling of a regular $n$-gon consisting of $2 n+1$ consecutive integers. + +Solution. We prove that the desired $n$ 's are precisely those divisible by 4 . +Fix $n$ and assume such labelling exists. Without loss of generality, the labels form a set $\{0,1, \ldots, 2 n\}$. A maximum can't be obtained by averaging, so number $2 n$ labels a vertex. In order for the side labels to be integers, the vertex labels have to have the same parity, hence all of them are even. + +Since the label of the interior is the average of the vertex as well as edge labels, we see that the interior label is the average of all labels. Thus the interior label is equal to $n$. + +There are $n+1$ even labels and $n$ of them label vertices. Denote by $e$ the one that doesn't. We have + +$$ +n=\frac{0+2+\cdots+2 n-e}{n}=\frac{n(n+1)-e}{n} +$$ + +which gives $n=e$, i.e. $n$ has to be even. In that case, the vertex labels form a set $V=$ $\{0,2, \ldots, n-2, n+2, \ldots, 2 n\}$ and hence the side labels form a set $S=\{1,3, \ldots, 2 n-1\}$. + +Now assume $n=4 k+2$ for some integer $k \geqslant 1$. Then $V$ contains $n / 2+1$ numbers divisible by four, hence two such labels are used on neighbouring vertices which contradicts the fact that all edges get odd label. Therefore, $n$ is divisible by 4. + +Finally, for any $n=4 k$ we construct a satisfying labelling: Label the vertices by numbers + +$$ +0,2,4, \ldots, 4 k-2, \quad 4 k+4,4 k+2, \quad 4 k+8,4 k+6, \ldots, \quad 8 k, 8 k-2 +$$ + +in this order. Then all the even labels but $n=4 k$ are used for vertices, $n$ itself is used for the interior, and the side labels are $1,3, \ldots, 4 k-3,4 k+1,4 k+3, \ldots, 8 k-1,4 k-1$ in this order. + +Remark. Another construction of a satisfying labelling: Label the vertices by numbers + +$$ +0,2, \ldots, 2 k-2, \quad 6 k, 6 k-2, \ldots, 4 k+2, \quad 8 k, 8 k-2, \ldots, 6 k+2, \quad 2 k, 2 k+2, \ldots, 4 k-2 +$$ + +in this order. + +## I - 3 + +Let $A B C D E$ be a convex pentagon. Let $P$ be the intersection of the lines $C E$ and $B D$. Assume that $\angle P A D=\angle A C B$ and $\angle C A P=\angle E D A$. Prove that the circumcentres of the triangles $A B C$ and $A D E$ are collinear with $P$. + +Solution. Simple angle chasing gives us: + +$$ +\begin{gathered} +\angle B C D+\angle E D C=\angle A C B+\angle A C D+\angle E D A+\angle A D C= \\ +=\angle P A D+\angle A C D+\angle C A P+\angle A D C=180^{\circ}, +\end{gathered} +$$ + +so $B C \| D E$. Therefore there exists a homothety $H$ centered in $P$ that maps $B C$ to $D E$. Let $A^{\prime}$ be the image of $A$ under this homothety. Then simply $\angle A^{\prime} E D=\angle A C B=\angle A^{\prime} A D$, so quadrilateral $A^{\prime} D E A$ is cyclic. This means that the circumcircle of triangle $A E D$ is the same as the circumcircle of triangle $D A^{\prime} E$. But triangle $A B C$ maps to the triangle $A^{\prime} D E$, so their circumcenters are collinear with the center of homethety $P$, which concludes the proof. + +## I - 4 + +Determine the smallest possible value of + +$$ +\left|2^{m}-181^{n}\right|, +$$ + +where $m$ and $n$ are positive integers. + +Answer: $\left|2^{15}-181^{2}\right|=7$. +Solution. Calculating + +$$ +181^{2}=32,761 +$$ + +one should get the idea that this may be close to + +$$ +2^{15}=32,768 +$$ + +so taking the difference of both we arrive at the minimum possible value 7 . +As we can clearly see that the difference must be positive and odd, we only need to eliminate the possibilities 1,3 and 5 for the given difference. + +First consider the difference modulo 15 since this will lead to a short period of basis 2 and an even shorter one of basis 181 . Since $2^{m} \equiv 1,2,4,8$ modulo 15 and $181^{n} \equiv 1$ modulo 15 we get that + +$$ +2^{m}-181^{n} \equiv 0,1,3,7 \text { modulo } 15 +$$ + +thus leaving us with possible residues $0,1,3,7,8,12,14$ for the absolute of the difference. Therefore we can eliminate the minimum 5 for the difference, leaving us with 1 and 3 as possible values less than 7 . + +We can easily see that indeed $m \geqslant 4$ is clearly required for the difference to be anywhere near 7 or less. So now let us consider the following equations: + +$$ +\begin{aligned} +2^{m}-181^{n}=-1 & \Rightarrow 2^{m} \equiv 181^{n}-1 \equiv 0 \text { modulo } 3, \text { which is impossible; } \\ +2^{m}-181^{n}=1 & \Rightarrow 2^{m} \equiv 181^{n}+1 \equiv 2 \text { modulo } 4, \text { which is impossible for } m \geqslant 2 ; \\ +2^{m}-181^{n}=-3 & \Rightarrow 2^{m} \equiv 181^{n}-3 \equiv 2 \text { modulo } 4, \text { which is still impossible. } +\end{aligned} +$$ + +Therefore one last equation needs to be considered: + +$$ +2^{m}-181^{n}=3 \Leftrightarrow 2^{m}=181^{n}+3 . +$$ + +By looking at the period of the values obtained modulo 15 we can see that $m \equiv 2$ modulo 4 is required, so $m=4 k+2$. + +But then we can look at the equation modulo 13 and see that: + +$$ +\begin{aligned} +2^{m}-181^{n}=3 & \Leftrightarrow 2^{m}=181^{n}+3 \\ +& \Rightarrow 2^{4 k+2} \equiv(-1)^{n}+3 \quad \text { modulo } 13 \\ +& \Leftrightarrow 4 \cdot 16^{k} \equiv(-1)^{n}+3 \quad \text { modulo 13 } \\ +& \Leftrightarrow 4 \cdot 3^{k} \equiv(-1)^{n}+3 \quad \text { modulo 13 } +\end{aligned} +$$ + +We can clearly see that $(-1)^{n}+3 \equiv 2,4$ modulo 13 and $4 \cdot 3^{k} \equiv 12,10,4$ modulo 13 periodically. So the only possible solution would be if $(-1)^{n}+3 \equiv 4$ but that requires $n$ to be even, thus $n=2 q$ and hence + +$$ +\left|2^{m}-181^{n}\right|=\left|2^{4 k+2}-181^{2 q}\right|=\left|\left(2^{2 k+1}-181^{q}\right) \cdot\left(2^{2 k+1}+181^{q}\right)\right| \geqslant 183 +$$ + +so this will not lead to any solution less than 7 , which proves 7 to be the minimum possible value. + +## Team Competition + +## T - 1 + +Determine all pairs of polynomials $(P, Q)$ with real coefficients satisfying + +$$ +P(x+Q(y))=Q(x+P(y)) +$$ + +for all real numbers $x$ and $y$. + +Answer: Either $P \equiv Q$ or $P(x)=x+a$ and $Q(x)=x+b$ for some real numbers $a, b$. + +Solution. If either $P$ or $Q$ is constant then clearly $P \equiv Q$. Suppose neither of $P, Q$ is constant. +Write $P(x)=a x^{n}+b x^{n-1}+R(x)$ and $Q(x)=c x^{m}+d x^{m-1}+S(x)$ with $n, m \geqslant 1, a \neq 0 \neq c$, $\operatorname{deg} R0$ or $j<0$, we argue anlogously. If $j=0$, then $i \neq 0$ for a non-central lamp, therefore the maximum is $|i|$ and wie have again the values $|i-1|,|i|,|i|$, $|i+1|$ to check which contain and odd number of values $\equiv 0,1 \bmod 4$. + +Therefore, we have found an arrangement with exactly one lamp with an even number of neighbours that are on as desired. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_a672ddca8fd5bbe40e05g-15.jpg?height=563&width=1674&top_left_y=1312&top_left_x=194) + +The images show the discussed optimal arrangement for $n=77$. Lamps that are on are yellow, lamps that are off are blue. The first image shows all lamps, the second image shows the lamps with $i+j$ even and the third image shows the lamps with $i+k$ odd. + +Alternative solution. We color the board as a chess board in such a way that the four corners are white. + +An active lamp on a black field has no influence on the number of active neighbours of any lamp on a black field, and vice versa an active lamp on a white field has no influence on the number of active neighbours of a lamp on a white field. Therefore, we can optimize the number of lamps with an even number of active neighbours separately for lamps on black and white fields. + +For the black fields, it is easy to find an arrangement in which all black fields have exactly one active neighbour, by turning on the following lamps: In the 1st, 5 th, 9 th, 13 th, $\ldots$ row the 1st, 5th, 9th, 13th, ... lamp (so all lamps with $x \equiv y \equiv 1 \bmod 4$, assuming that the corner has coordinates $(1,1)$ ), and in the 3rd, 7th, 11th, ... row the 3rd, 7th, 11th, ... lamp (so all lamps with $x \equiv y \equiv 3 \bmod 4)$. + +An example for $n=77$ with the same color coding as in the previous solution: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_a672ddca8fd5bbe40e05g-16.jpg?height=715&width=721&top_left_y=956&top_left_x=673) + +For white fields, we first show that at least one white field has to have an even number of active neighbours. To do so, we colour all white fields in the 1st, 3 rd, 5th, ... row and in the 1st, 3rd, 5th, ... column red. Each black field is neighbour to exactly two red fields, and red fields have only black neighbours. If $x$ lamps on black fields are active, then all red fields together have exactly $2 x$ active neighbours. Since the number of red fields is odd, at least one of them has to have an even number of active neighbours. + +All that is left to do is finding an arrangement in which all white fields except for one have an odd number of active neighbours. To do so, we separate the board into four "triangles" roughly as follows: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_a672ddca8fd5bbe40e05g-17.jpg?height=709&width=706&top_left_y=197&top_left_x=681) + +In the upper triangle we turn on the following lamps: In the 1st, 3rd, 5th, ... row always the lamp on the second field from the left, and then every 4th lamp, like this: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_a672ddca8fd5bbe40e05g-17.jpg?height=681&width=686&top_left_y=1093&top_left_x=688) + +For filling the other triangles, we rotate the same pattern by $90^{\circ}$. Each lamp is only neighboured to fields from the own triangle, and each field within the triangle has exactly one active neighbour. Only the field in the middle of the board is left. + +An example for $n=77$ : +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_a672ddca8fd5bbe40e05g-18.jpg?height=686&width=686&top_left_y=271&top_left_x=685) + +Altogether, the pattern looks like this: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_a672ddca8fd5bbe40e05g-18.jpg?height=689&width=690&top_left_y=1055&top_left_x=683) + +## T - 4 + +Let $n \geqslant 3$ be an integer. A sequence $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ of distinct points in the plane is called good if no three of them are collinear, the polyline $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ is non-self-intersecting and the triangle $P_{i} P_{i+1} P_{i+2}$ is oriented counterclockwise for every $i=1,2, \ldots, n-2$. + +For every integer $n \geqslant 3$ determine the greatest possible integer $k$ with the following property: there exist $n$ distinct points $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ in the plane for which there are $k$ distinct permutations $\sigma:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow\{1,2, \ldots, n\}$ such that $A_{\sigma(1)}, A_{\sigma(2)}, \ldots, A_{\sigma(n)}$ is good. +(A polyline $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ consists of the segments $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n-1} P_{n}$.) + +Answer: $n^{2}-4 n+6$. +Solution. Fix $n$ points on a plane, no three of which are collinear. Let $\mathcal{P}$ be their convex hull. Let the vertices of $\mathcal{P}$ be $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}$ (lying in this order on the boundary of $\mathcal{P}$ counterclockwise). We denote $A_{m+1}=A_{1}$. Also, let $\mathcal{I}$ be the set of our fixed points other than $A_{1}, \ldots, A_{m}$, i.e. the points lying in the interior of $\mathcal{P}$. + +Lemma. Every good polyline contains all but one side of $\mathcal{P}$. +Proof. The key observation is that if a segment $A_{i} A_{i+1}$ is not a part of our polyline, then the point $A_{i+1}$ appears in the polyline before $A_{i}$. + +This is clear if $A_{i}$ is the last vertex of the polyline. Otherwise there is a segment $A_{i} X$ in the polyline, where $X \neq A_{i+1}$. Observe that all segments appearing after $A_{i} X$ are located in the halfplane determined by the line $A_{i} X$ which does not contain the point $A_{i+1}$. This is because the polyline always turns left, has no self-intersections, and $A_{i}$ is a vertex of $\mathcal{P}$. This implies that the point $A_{i+1}$ must appear in the polyline before $A_{i}$. + +It is clear that at least one side of $\mathcal{P}$ does not appear in the polyline. Suppose now that $A_{i_{1}} A_{i_{1}+1}, A_{i_{2}} A_{i_{2}+1}, \ldots, A_{i_{j}} A_{i_{j}+1}$ are all segments on the boundary of $\mathcal{P}$ that do not appear in the polyline (where $1 \leqslant i_{1}A C$ and circumcircle $\Gamma$. Let $M$ be the midpoint of the shorter arc $B C$ of $\Gamma$, and let $D$ be the intersection of the rays $A C$ and $B M$. Let $E \neq C$ be the intersection of the internal bisector of the angle $A C B$ and the circumcircle of the triangle $B D C$. Let us assume that $E$ is inside the triangle $A B C$ and there is an intersection $N$ of the line $D E$ and the circle $\Gamma$ such that $E$ is the midpoint of the segment $D N$. + +Show that $N$ is the midpoint of the segment $I_{B} I_{C}$, where $I_{B}$ and $I_{C}$ are the excentres of $A B C$ opposite to $B$ and $C$, respectively. + +Solution. Consider the following implications: +Let us denote by $P$ the other point of intersection of internal bisector from $C$ and the circle $\Gamma$. +$B D C E$ is cyclic + +$$ +\begin{aligned} +& \Longrightarrow \angle B D C=\angle B E P \\ +& \Longrightarrow \triangle B E P \sim \triangle B D A \\ +& (\angle B P E=\angle B P C=\angle B A C=\angle B A D) \\ +& \Longrightarrow \frac{B E}{B P}=\frac{B D}{B A} \\ +& \Longrightarrow \frac{B E}{B D}=\frac{B P}{B A} \\ +& \Longrightarrow \triangle B D E \sim \triangle B A P \\ +& \left(\angle D B E=\angle A B P=\frac{1}{2} \angle A C B\right) \\ +& \Longrightarrow E B=E D \\ +& \text { ( } \triangle B A P \text { is isosceles) } \\ +& \Longrightarrow \angle M B N=\angle D B N=90^{\circ} \\ +& \Longrightarrow M \text { and } N \text { are diametrically opposite on } \Gamma \\ +& \Longrightarrow N B=N C \text {. } +\end{aligned} +$$ + +The quadrilateral $I_{B} I_{C} B C$ is cyclic, as $I_{B} B \perp I_{C} B$ and $I_{C} C \perp I_{B} C$. Let $I_{A}$ be the excentre of $\triangle A B C$ opposite to $A$. Now consider the nine point circle of $\triangle I_{A} I_{B} I_{C}$. We can clearly see that this circle is $\Gamma$, as $\triangle A B C$ is the orthic triangle of $\triangle I_{A} I_{B} I_{C}$. So $\Gamma$ passes through the midpoint of $I_{B} I_{C}$ and this midpoint is also equidistant from $B$ and $C$, so $N$ must be the described midpoint. + +## T - 6 + +Let $A B C$ be an acute-angled triangle with $A B \neq A C$, circumcentre $O$ and circumcircle $\Gamma$. Let the tangents to $\Gamma$ through $B$ and $C$ meet each other at $D$, and let the line $A O$ intersect $B C$ at $E$. Denote the midpoint of $B C$ by $M$ and let $A M$ meet $\Gamma$ again at $N \neq A$. Finally, let $F \neq A$ be a point on $\Gamma$ such that $A, M, E$ and $F$ are concyclic. Prove that $F N$ bisects the segment $M D$. + +Solution. We may suppose $A B0$ then + +$$ +x_{0}+\cdots+x_{i-1}=x_{0}+\cdots+x_{i-1}+x_{i} +$$ + +which is a contradiction. +On the other hand + +$$ +x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n-1}=0+1+2+\cdots+n-1=n \cdot \frac{n-1}{2} . +$$ + +This means that if $n$ is odd then $x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n-1} \equiv 0(\bmod n)$. This gives a contradiction if $n>1$, because $x_{0}=0$. + +If $n$ is even then we put $x_{i}=i$ if $i$ is even and $x_{i}=n-i$ if $i$ is odd. Then + +$$ +x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{2 m}=0+(n-1)+2+(n-3)+\cdots+2 m \equiv m \quad(\bmod n) +$$ + +and + +$$ +x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{2 m+1}=x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{2 m}+(n-2 m-1) \equiv n-m-1 \quad(\bmod n) . +$$ + +Thus the numbers $x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{i}, i=0,1, \ldots, n-1$, are pairwise distinct modulo $n$. + +## T - 8 + +For an integer $n \geqslant 3$ we define the sequence $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}$ as the sequence of exponents in the prime factor decomposition of $n!=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}$, where $p_{1}\frac{n}{3}-\frac{2}{3}+\frac{n}{9}-\frac{8}{9}=\frac{4 n-14}{9} \\ +& \alpha_{4}>\frac{n-6}{7} \\ +& \alpha_{3}<\frac{n}{5}+\frac{n}{25}+\cdots=\frac{n}{4} . +\end{aligned} +$$ + +In the geometric sequence, we have $\alpha_{2} \alpha_{4}=\alpha_{3}^{2}$. Since all terms in the above inequalities are positive, we get: + +$$ +\left(\frac{4 n-14}{9}\right)\left(\frac{n-6}{7}\right)<\alpha_{2} \alpha_{4}=\left(\alpha_{3}\right)^{2}<\frac{n^{2}}{16} . +$$ + +After simplification, we get: $n^{2}-608 n+1344 \leqslant 0$. This is certainly false for $n \geqslant 608$ and it remains to check the small cases. + +For two primes $p$ and $q$ with $p3$. We will now give a list of appropriate primes $p$ and $q$ such that the intervals $[q, 2 p-1]$ cover most of our interval. + +| $p$ | 3 | 5 | 7 | 11 | 17 | 29 | 47 | 83 | 157 | 311 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $q$ | 5 | 7 | 11 | 13 | 19 | 31 | 53 | 89 | 163 | 313 | +| $2 p-1$ | 5 | 9 | 13 | 21 | 33 | 57 | 93 | 165 | 313 | 621 | + +It remains to check $n=3,4,6,10$ which give the sequences of exponents $(1,1),(3,1),(4,2,1)$ and $(8,4,2,1)$, respectively, which clearly work. + +Alternative solution. Let $p_{i}$ be the $i$ th prime number, that is $p_{1}=2, p_{2}=3, p_{3}=5$, etc. +We check the small cases up to $n=11$ and find the solutions 3 !, 4!, 6 ! and 10 !. +From now on, let $n>11$. + +Claim. The smallest and last exponent $\alpha_{k}$ in the prime factor decomposition of $n!$ is always 1 . +Proof. By Bertrand's postulate, we know $p_{k+1}<2 p_{k}$. Therefore, for all $n \in\left[p_{k}, p_{k+1}-1\right]$, the largest prime number that occurs in $n!$ is $p_{k}$ and it occurs exactly once. + +Therefore, $\alpha_{1}=f^{m}$ for some $f \in \mathbb{N}$ and $m+1$ is the number of primes in the prime factor decomposition of $n$ !. + +Case 1: $f=2$. +The exponent of 2 in the prime factor decomposition of $\left(2^{m}\right)!$ is $2^{m-1}+2^{m-2}+\cdots+1=2^{m}-1$. Therefore, $\alpha_{1}=2^{m}$ holds exactly for $n=2^{m}+2$ and $2^{m}+3$, and since $n>11$, we have $m \geqslant 4$. + +Let $\pi(x)$ be the number of primes $\leqslant x$. We check easily that $\pi(16)=6$. Bertrand's postulate implies $\pi(2 x) \geqslant \pi(x)+1$, therefore, + +$$ +\pi(n) \geqslant \pi\left(2^{m}\right) \geqslant \pi\left(2^{m-1}\right)+1 \geqslant \ldots \geqslant \pi\left(2^{4}\right)+m-4=6+m-4=m+2 +$$ + +which is not compatible with the fact that there are $m+1$ primes in the prime factor decomposition of $n!$. + +Case 2: $f>2$. +Since the exponent of 2 is now even bigger than $2^{m}, n$ must be bigger than $2^{m}+3$, so as before, the number of primes in the prime factor decomposition of $n$ ! must be bigger than $m+1$ which is again a contradiction. + +We have seen, that the solutions $3,4,6,10$ are indeed all the solutions. + diff --git a/MEMO/md/en-2018_solutions.md b/MEMO/md/en-2018_solutions.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8085bca52f3ad0efee81da38e3d911e1d5465516 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2018_solutions.md @@ -0,0 +1,681 @@ +## NシNO The 12th Middle European Mathematical Olympiad + +## Problems + +## with Solutions + +The Problem Selection Committee + +The Jury and the Problem Selection Committee selected 12 problems proposed by the following countries: + +| | | T-1 | Poland | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| I-1 | Austria | T-2 | Austria | +| I-2 | Ukraine | T-3 | Czech Republic | +| I-3 | Slovakia | T-4 | Poland | +| I-4 | Slovakia | T-5 | Slovakia | +| | T-6 | Ukraine | | +| | T-7 | Poland | | +| | T-8 | Germany | | + +The Problem Selection Committee would like to thank Roger Labahn for providing the $\mathrm{IATEX}_{\mathrm{E}}$ templates. + +## Contents + +Individual competition - problem statements ..... 4 +[-1] ..... 4 +I-2 ..... 4 +I-3 ..... 4 +I-4 ..... 4 +Team competition - problem statements ..... 5 +T-1 ..... 5 +T-2 ..... 5 +T-3 ..... 5 +T-4 ..... 5 +T-5 ..... 5 +T-6 ..... 5 +T-7. ..... 6 +T-8 ..... 6 +Individual competition - solutions ..... 7 +[-1] ..... 7 +I-2 ..... 8 +I-3 ..... 9 +I-4 ..... 11 +Team competition - solutions ..... 12 +T-1 ..... 12 +T-2 ..... 13 +T-3 ..... 15 +T-4 ..... 16 +T-5 ..... 17 +T-6 ..... 19 +T-7 ..... 21 +T-8 ..... 22 + +## I-1 + +Let $\mathbb{Q}^{+}$denote the set of all positive rational numbers and let $\alpha \in \mathbb{Q}^{+}$. Determine all functions $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow(\alpha,+\infty)$ satisfying + +$$ +f\left(\frac{x+y}{\alpha}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{\alpha}, \quad \text { for all } x, y \in \mathbb{Q}^{+} . +$$ + +## I-2 + +The two figures depicted below consisting of 6 and 10 unit squares, respectively, are called staircases. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_f0e30d0409ec4fd9b0e5g-04.jpg?height=226&width=720&top_left_y=938&top_left_x=673) + +Consider a $2018 \times 2018$ board consisting of $2018^{2}$ cells, each being a unit square. Two arbitrary cells were removed from the same row of the board. Prove that the rest of the board cannot be cut (along the cell borders) into staircases (possibly rotated). + +## I-3 + +Let $A B C$ be an acute-angled triangle with $A B0$ and $B \geq 2$ or $A=0$ and $B>2$. For $\alpha \neq 2$ there are no solutions. + +Solution. By putting $x=y$ in the given functional equation we get $f\left(\frac{2 x}{\alpha}\right)=f(x) \cdot \frac{2}{\alpha}$. It follows that + +$$ +t \in \operatorname{Im}(f) \Longleftrightarrow t \cdot \frac{2}{\alpha} \in \operatorname{Im}(f) \quad \text { for all } t \in \mathbb{Q}^{+} . +$$ + +Therefore, if $\alpha \neq 2$ then $f$ takes arbitrarily small values. This is a contradiction with the assumption that $f(x)>\alpha$ for all $x \in \mathbb{Q}^{+}$. We conclude that there are no such functions for $\alpha \neq 2$. + +Assume now that $\alpha=2$. By putting $x=a+b$ and $y=a-b$ in the given functional equation, where $a>b>0$ are any rationals, we get + +$$ +f(a+b)-f(a)=f(a)-f(a-b) +$$ + +It follows that $f$ restricted to any arithmetic sequence is linear. Since for every rational number $q$ there is an arithmetic sequence containing $q$, 1 , and 2 , it follows that $f$ is linear on $\mathbb{Q}^{+}$. Therefore $f(x)=A x+B$ for some reals $A$ and $B$. A direct check of the condition $f(x)>2$ for all $x \in \mathbb{Q}^{+}$yields that it must be that either $A>0$ and $B \geq 2$ or $A=0$ and $B>2$. Clearly, all such functions satisfy the given equation. + +## I-2 + +The two figures depicted below consisting of 6 and 10 unit squares, respectively, are called staircases. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_f0e30d0409ec4fd9b0e5g-08.jpg?height=223&width=712&top_left_y=434&top_left_x=675) + +Consider a $2018 \times 2018$ board consisting of $2018^{2}$ cells, each being a unit square. Two arbitrary cells were removed from the same row of the board. Prove that the rest of the board cannot be cut (along the cell borders) into staircases (possibly rotated). + +Solution. Enumerate the rows of the board with integers from 1 to 2018. We color the cells of the board in horizontal strips of width 2 as follows: rows 1 and 2 are colored red, rows 3 and 4 are colored blue, rows 5 and 6 are colored red, rows 7 and 8 are colored blue, etc. If we disregarded the two cells removed from the board, both the number of red cells and the number of blue cells would be divisible by 4 . Since the two cells are removed from the same row, they would have the same color, hence after the removal we have that either the number of red cells is divisible by 4 , while the number of blue cells is congruent to 2 modulo 4 , or vice versa. In both cases, the numbers of red cells and of blue cells are not congruent modulo 4. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_f0e30d0409ec4fd9b0e5g-08.jpg?height=501&width=1332&top_left_y=1617&top_left_x=365) + +It now remains to observe that if a staircase, either of size 6 or 10, is placed on the board, then the difference of the numbers of red and blue cells covered by the staircase is always divisible by 4. This follows from a straightforward case study. Hence, if the board with the two cells removed could be tiled with staircases, then the difference of the numbers of red and blue cells would be divisible by 4 , a contradiction. + +## I-3 + +Let $A B C$ be an acute-angled triangle with $A Bm$. Thus the least $n$ that satisfies these conditions is $\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, m)-1$. It follows that $p(m)=\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, m)-1$ for every integer $m \geq 3$. In particular, a number $n$ as in statement a) always exists. + +To finish the problem we need to prove that $\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, 2018)=\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, 2019)$. But this is clear, because $2019=3 \cdot 673 \mid \operatorname{lcm}(1,2, \ldots, 2018)$, so we are done. + +## T-1 + +Let $a, b$ and $c$ be positive real numbers satisfying $a b c=1$. Prove that + +$$ +\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b c}+\frac{b^{2}-c^{2}}{b+c a}+\frac{c^{2}-a^{2}}{c+a b} \leq a+b+c-3 +$$ + +Solution. Note that + +$$ +\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b c}=\frac{a(a+b c)-a b c-b^{2}}{a+b c}=a-\frac{b^{2}+1}{a+b c}=a-a \cdot \frac{b^{2}+1}{a^{2}+a b c}=a-a \cdot \frac{b^{2}+1}{a^{2}+1} . +$$ + +Therefore the desired inequality can be rewritten as + +$$ +a-a \cdot \frac{b^{2}+1}{a^{2}+1}+b-b \cdot \frac{c^{2}+1}{b^{2}+1}+c-c \cdot \frac{a^{2}+1}{c^{2}+1} \leq a+b+c-3 +$$ + +or + +$$ +3 \leq a \cdot \frac{b^{2}+1}{a^{2}+1}+b \cdot \frac{c^{2}+1}{b^{2}+1}+c \cdot \frac{a^{2}+1}{c^{2}+1} . +$$ + +This immediately follows from AM-GM inequality. The proof is completed. + +## T-2 + +Let $P(x)$ be a polynomial of degree $n \geq 2$ with rational coefficients such that $P(x)$ has $n$ pairwise different real roots forming an arithmetic progression. Prove that among the roots of $P(x)$ there are two that are also the roots of some polynomial of degree 2 with rational coefficients. + +Solution. Let + +$$ +P(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} . +$$ + +Then the polynomial $P$ has $n$ distinct real roots $r_{1}0$. Denoting $k=\frac{n-1}{2}$, again by Viète's formula we infer that + +$$ +a_{n-2}=\sum_{-k \leq i0$. Denoting $k=\frac{n}{2}$, by Viète's formula we infer that + +$$ +a_{n-2}=\sum_{-k0$ one has $c=a^{2}-a+1>0, k=\left(a^{2}-a+2\right)^{2}-2>0$, and $b=k(a+c)+a-1>0$. These numbers satisfy + +$$ +\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a b+b c+c a}=k +$$ + +and witness that $k=\left(a^{2}-a+2\right)^{2}-2 \in S$ for every positive integer $a$. + +Solution 2. to a) To prove that $k \in S$ we have to find positive integers $a, b, c$ satisfying + +$$ +k \cdot(a b+b c+c a)=a^{2}+b^{2}+c^{2} +$$ + +Set $a=k \cdot(b+c)+x$ for some positive integer $x$. Then the above becomes equivalent to: + +$$ +\begin{aligned} +k \cdot((k \cdot(b+c)+x) \cdot(b+c)+b c) & =(k \cdot(b+c)+x)^{2}+b^{2}+c^{2} \\ +k^{2} \cdot(b+c)^{2}+k x \cdot(b+c)+k b c & =k^{2} \cdot(b+c)^{2}+2 k x \cdot(b+c)+x^{2}+b^{2}+c^{2} \\ +k b c-k x \cdot(b+c) & =x^{2}+b^{2}+c^{2} \\ +k \cdot(b c-b x-c x) & =x^{2}+b^{2}+c^{2} +\end{aligned} +$$ + +This can be trivially satisfied, if we find positive integers $b, c, x$ with $b c-b x-c x=1$. Or equivalently: + +$$ +b=\frac{c x+1}{c-x} +$$ + +This shows that for any positive integer $x$ the following integers satisfy ( $*$ ): + +$$ +\begin{aligned} +& c=x+1 \\ +& b=c x+1=x^{2}+x+1 \\ +& k=x^{2}+b^{2}+c^{2}=x^{4}+2 x^{3}+5 x^{2}+4 x+2 \\ +& a=k(b+c)+x=x^{6}+4 x^{5}+11 x^{4}+18 x^{3}+20 x^{2}+13 x+4 +\end{aligned} +$$ + +In particular, any integer of the form $x^{4}+2 x^{3}+5 x^{2}+4 x+2$ is an element of $S$. As this grows strictly monotonically with $x$, we get infinitely many possible positive integer values in $S$. + +Solution 3. to a) Let $m$ be an odd positive number and let $a=F_{m}, b=F_{m+1}$, where $F_{i}$ denotes the $i$-th Fibonacci number. Moreover, let + +$$ +c=\frac{\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)^{2}-a b}{a+b}=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}+b^{3}+a b \cdot \frac{a b-1}{a+b} . +$$ + +In order to prove that $c$ is an integer we will first prove the following identity: + +$$ +F_{k+1}^{2}-F_{k}^{2}=F_{k} F_{k+1}+(-1)^{k} +$$ + +for all integers $k \geq 1$. Recall that $F_{i}=\frac{\xi^{i}-\eta^{i}}{\xi-\eta}$, where $\xi$ and $\eta$ are the roots of the quadratic polynomial $t^{2}-t-1$. Then $\xi \eta=-1$. Therefore + +$$ +\begin{aligned} +F_{k+1}^{2}-F_{k}^{2}-F_{k} F_{k+1} & =F_{k+1}\left(F_{k+1}-F_{k}\right)-F_{k}^{2}=F_{k+1} F_{k-1}-F_{k}^{2} \\ +& =\frac{\xi^{k+1}-\eta^{k+1}}{\xi-\eta} \cdot \frac{\xi^{k-1}-\eta^{k-1}}{\xi-\eta}-\left(\frac{\xi^{k}-\eta^{k}}{\xi-\eta}\right)^{2} \\ +& =\frac{\xi^{2 k}+\eta^{2 k}-\xi^{k+1} \eta^{k-1}-\xi^{k-1} \eta^{k+1}-\left(\xi^{2 k}+\eta^{2 k}-2 \xi^{k} \eta^{k}\right)}{(\xi-\eta)^{2}} \\ +& =\frac{-\xi^{k-1} \eta^{k-1}\left(\xi^{2}+\eta^{2}-2 \xi \eta\right)}{(\xi-\eta)^{2}}=\frac{(-1)^{k}(\xi-\eta)^{2}}{(\xi-\eta)^{2}}=(-1)^{k} . +\end{aligned} +$$ + +Since $m$ is odd we have + +$$ +(b-a)(b+a)=b^{2}-a^{2}=a b-1, +$$ + +therefore $a+b \mid a b-1$ which means that $c$ is indeed an integer. +Now, observe that + +$$ +a b+b c+c a=a b+c(a+b)=\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)^{2} . +$$ + +As a consequence, + +$$ +\begin{aligned} +\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(a+b)^{2} & =\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)^{2}+(c(a+b))^{2} \equiv\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+2\left(a^{2}+b^{2}\right) \cdot a b+(a b)^{2} \\ +& =\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)^{2} \equiv 0 \quad(\bmod a b+b c+c a) . +\end{aligned} +$$ + +But since $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}\left(F_{m}, F_{m+1}\right)=1$, then also + +$$ +\operatorname{gcd}(a+b, a b+b c+c a)=\operatorname{gcd}(a+b, a b)=1 +$$ + +Therefore we obtain that $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a b+b c+c a}$ is an integer. +To end the proof it suffices to show that $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a b+b c+c a}$ can be arbitrarily large, depending on the choice of $m$. But + +$$ +\begin{gathered} +a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq c^{2} \geq b^{6} \quad \text { and } \\ +a b+b c+c a=\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)^{2} \leq 9 b^{4} +\end{gathered} +$$ + +which means that $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a b+b c+c a} \geq \frac{b^{2}}{9}$. Since $b=F_{m+1}$ can be arbitrarily large, the conclusion follows. + +Solution 1. to b) We will show that $4 \notin S$. It is enough to prove that the equation + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}=4(a b+b c+c a) +$$ + +has no solutions in positive integers. Since squares of integers may be congruent only to 0 or 1 modulo 4 , while the right hand side is divisible by 4 , we have $a^{2} \equiv b^{2} \equiv c^{2} \equiv 0(\bmod 4)$. Therefore $a=2 a_{1}, b=2 b_{1}, c=2 c_{1}$ for some positive integers $a_{1}, b_{1}, c_{1}$. Then + +$$ +a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}=4\left(a_{1} b_{1}+b_{1} c_{1}+c_{1} a_{1}\right) . +$$ + +By continuing this process we see that $a, b, c$ are divisible by $2^{k}$ for every positive integer $k$, which is a contradiction. + +Comment. One can prove in a similar way that $4 n \notin S$ for every integer $n$. + +Solution 2. to b) We will prove that $3 \notin S$. We have to show that there are no positive integers $a, b, c$ satisfying + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}=3(a b+b c+c a) +$$ + +Suppose the contrary and let $a, b, c$ be a solution to the above that minimizes $a+b+c$. Then at least one of $a, b, c$ is odd because otherwise $a / 2, b / 2, c / 2$ is a solution with a smaller sum of variables. + +We rewrite the equation in the following form: + +$$ +(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}=8(a b+b c+c a) . +$$ + +Since squares of integers may be congruent only to 0 or 1 modulo 4 , we see that $(a+b)^{2} \equiv$ $(b+c)^{2} \equiv(c+a)^{2}(\bmod 4)$. It follows that $a, b, c$ have the same parity. Since one of $a, b, c$ is odd, actually all of them are odd. Write $a=2 k+1, b=2 l+1, c=2 m+1$. Substituting this to the original equation yields + +$$ +4\left(k^{2}+k+l^{2}+l+m^{2}+m\right)+3=12(k l+l m+m k+k+l+m)+9 . +$$ + +It follows that $3 \equiv 9(\bmod 4)$ which is absurd. Therefore, there are no positive integers $a, b, c$ satisfying $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3(a b+b c+c a)$. + +Comment. One can prove in a similar way that $4 n+3 \notin S$ for every integer $n$. + +Solution 3. to b) Before we start the actual proof, let us give some preparatory statements. First, we may assume without loss of generality that $\operatorname{gcd}(a, b, c)=1$, as otherwise we can simply divide all of $a, b, c$ by $\operatorname{gcd}(a, b, c)$. Next, we claim that $\operatorname{gcd}(a, b)=1$. Otherwise, the denominator would be divisible by $\operatorname{gcd}(a, b)$, so the numerator would have to be divisible by $\operatorname{gcd}(a, b)$ as well, which would entail $\operatorname{gcd}(a, b) \mid c$. But this contradicts $\operatorname{gcd}(a, b, c)=1$. + +We now move to the main problem: we claim that $3 \notin S$. In other words, we have to prove that the equation + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 a b+3 b c+3 c a +$$ + +has no solutions in positive integers. Regrouping the terms yields + +$$ +c^{2}-(3 a+3 b) c+a^{2}-3 a b+b^{2}=0 +$$ + +which we now consider as a quadratic equation in $c$. For $c$ to be an integer, it is necessary that the discriminant, written below, is a perfect square: + +$$ +\Delta=9(a+b)^{2}-4\left(a^{2}-3 a b+b^{2}\right)=5\left(a^{2}+6 a b+b^{2}\right) +$$ + +This implies that $a^{2}+6 a b+b^{2}=(a+3 b)^{2}-8 b^{2}$ is divisible by 5 . However, $(a+3 b)^{2}$ may be congruent only to 0,1 , or 4 modulo 5 , whereas $8 b^{2}$ may be congruent only to 0,2 , or 3 modulo 5 , so their difference can only be divisible by 5 only if $b \equiv 0(\bmod 5)$ and $a+3 b \equiv 0(\bmod 5)$. This however implies $5 \mid \operatorname{gcd}(a, b)=1$, which is a contradiction. + +Comment. That $4 \notin S$ can be proved in a very similar fashion. + +Comment. A (non-exhaustive) computer search found the following integer values smaller than 200 in $S$ : + +$$ +\begin{aligned} +& 1,2,5,10,14,17,26,29,37,50,62,65,74,77,82,98,101,109,110, \\ +& 122,125,145,149,170,173,190,194,197 +\end{aligned} +$$ + +Comment. There are several other families of solutions that can be used for part a). Probably the simplest (though maybe not to find...) is + +$$ +\begin{aligned} +& a=x+1 \\ +& b=x^{2}+1 \\ +& c=x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+2 x+1 \\ +& n=x^{2}+1 . +\end{aligned} +$$ + diff --git a/MEMO/md/en-2019ind.md b/MEMO/md/en-2019ind.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ce3d6044ceb6f5e2310ac2fc97d30cc420ee589 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2019ind.md @@ -0,0 +1,235 @@ +# MEMO Mathematical Olympiad + +## Solutions + +## to Individual Competition Problems + +## Problem I-1 + +Determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that + +$$ +f(x f(y)+2 y)=f(x y)+x f(y)+f(f(y)) +$$ + +holds for all real numbers $x$ and $y$. + +(proposed by Patrik Bak, Slovakia) + +Answer. The functional equation has two solutions, $f(x) \equiv 0$ and $f(x) \equiv 2 x$. + +Solution. Setting $x=0$ and $y=0$ in the functional equation yields $f(f(0))=0$. So there is at least one zero point of $f$. Let $a$ be any of them. Setting $y=a$ gives us $f(2 a)=f(a x)+f(0)$. If $a \neq 0$, then $f$ is a constant function and we know that $f(a)=0$, so it is a zero function, which is indeed a solution. + +It remains to investigate the case where 0 is the only zero point of $f$, i.e. $f(a)=0$ if and only if $a=0$. Furthermore, taking $x=0$ in the functional equation we obtain + +$$ +f(2 y)=f(f(y)) +$$ + +If we prove an injectivity of $f$, the previous identity yields $f(y)=2 y$, what is the second solution, as we can easily check. + +Now we prove the injectivity of $f$. Firstly, let us examine the set of the fixed points of $f$. This set is non-empty because 0 is one of its points. Assume that $p$ is any of the fixed points, i.e. $f(p)=p$. Setting $x=-1, y=p$ in the functional equation gives + +$$ +p=f(-f(p)+2 p)=f(-p)-f(p)+f(f(p))=f(-p) +$$ + +Now we set $x=1, y=-p$ in the functional equation and we obtain using proved $f(-p)=p$ + +$$ +p=f(f(-p)-2 p)=f(-p)+f(-p)+f(f(-p))=3 p +$$ + +This yields that $p=0$ is the only fixed point of $f$. + +Secondly, we choose $x$ so that $x f(y)+2 y=x y$, which yields $x=2 y /(y-f(y))$. This can be done for each $y \neq 0$, since 0 is the only fixed point of $f$. This substitution gives us + +$$ +f(f(y))=\frac{2 y f(y)}{f(y)-y}=\frac{2 f^{2}(y)}{f(y)-y}-2 f(y) +$$ + +In order to finish the proof of injectivity let us assume that non-zero real numbers $a, b$ satisfy $f(a)=f(b)$. We have already proved that $f(a)=f(b) \neq 0$. The previous identity yields + +$$ +\frac{2 f^{2}(a)}{f(a)-a}-2 f(a)=f(f(a))=f(f(b))=\frac{2 f^{2}(b)}{f(b)-b}-2 f(b) +$$ + +and it follows that $a=b$. The proof of the injectivity is thereby finished. + +Remark. We present an alternative way of proving that $f(p)=p$ implies $p=0$. + +Assume that $f(p)=p$. Then $y=p$ in (1) means $f(2 p)=p$ and afterwards $y=2 p$ means $f(4 p)=p$. Taking $x=2$ and $y=p$ in the original equation then gives us $p=0$, which works. Therefore the only fixed point of $f$ is 0 . + +Solution by Jozef Fülöp awarded by prize of the dean of the FMF, Charles Univerzity, Prague. + +We set $x=1, y=0$ in the original equation and we obtain + +$$ +f(f(0))=f(0)+f(0)+f(f(0)) +$$ + +which implies $f(0)=0$. This identity yields after setting $x=0$ in the original equation + +$$ +f(2 y)=f(f(y)) +$$ + +Let us assume that there exists $t_{0} \neq 0$ such that $f\left(t_{0}\right)=0$. For every real number $t$ we obtain by substitution $x=t / t_{0}, y=t_{0}$ in the original equation + +$$ +f\left(2 t_{0}\right)=f(t)+\frac{t}{t_{0}} \cdot f\left(t_{0}\right)+f(f(y))=f(t)+f\left(f\left(t_{0}\right)\right) +$$ + +This equation with (2) gives us $f(t)=0$ for each real number $t$, which is one of the solutions, as we can easily check. + +Now we can assume that $f(y) \neq 0$ for every real number $y \neq 0$. For each real number $t$ and $y \neq 0$ we obtain by putting $x=2 t / f(y)$ in the original equation + +$$ +f(2 t+2 y)=f\left(\frac{2 t y}{f(y)}\right)+2 t+f(f(y)) +$$ + +We prove that the function $f$ is injective. If $a, b$ are numbers from $\mathbb{R} \backslash\{0\}$ such that $f(a)=$ $f(b)(\neq 0)$ then the substitutions $t=a, y=b$ or $t=b, y=a$ in the previous equation gives + +$$ +\begin{aligned} +f(2 a+2 b) & =f\left(\frac{2 a b}{f(b)}\right)+2 a+f(f(b)) \\ +f(2 b+2 a) & =f\left(\frac{2 b a}{f(a)}\right)+2 b+f(f(a)) +\end{aligned} +$$ + +This two equations directly yields to $a=b$, which proves the injectivity. + +The injectivity of the function $f$ together with (2) lead to $f(y)=2 y$ what is the second solution, as we can check. + +## Problem I-2 + +Let $n \geq 3$ be an integer. We say that a vertex $A_{i}(1 \leq i \leq n)$ of a convex polygon $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ is Bohemian if its reflection with respect to the midpoint of the segment $A_{i-1} A_{i+1}$ (with $A_{0}=A_{n}$ and $A_{n+1}=A_{1}$ ) lies inside or on the boundary of the polygon $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$. Determine the smallest possible number of Bohemian vertices a convex $n$-gon can have (depending on $n$ ). + +(A convex polygon $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ has $n$ vertices with all inner angles smaller than $180^{\circ}$.) + +(proposed by Dominik Burek, Poland) + +Answer. $n-3$. + +In the following we write for short 'reflection of $A$ in $P$ ' instead of 'reflection of the vertex $A$ with respect to the midpoint of the segment connecting the two neigbouring vertices of $A$ in the polygon $P$ ? + +## Solution. + +Lemma. If $A B C D$ is a convex quadrilateral with $\angle B A D+\angle C B A \geq \pi$ and $\angle B A D+\angle A D C \geq$ $\pi$ then $A$ is a Bohemian vertex of $A B C D$. + +Proof. Let $E$ be the reflection of $A$ in $A B C D$. It is clearly seen that $E$ belongs to the halfplanes containing $C$ determined by lines $A B$ and $A D$. Since $\angle B A D+\angle C B A \geq \pi$ and $\angle B A D+$ $\angle E B A=\pi$, point $E$ belongs to the (closed) halfplane containing points $A, D$ determined by the line $B C$. Analogously, using the assumption $\angle B A D+\angle A D C$ we infer that $E$ belongs to the closed halfplane containing points $A, B$ determined by the line $C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_7e99b1556acc0291915eg-3.jpg?height=499&width=713&top_left_y=2189&top_left_x=680) + +Therefore $E$ lies inside or on the boundary of $A B C D$. Thus $A$ is Bohemian. + +Consider a convex $n$-gon $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$. Choose any four vertices $A_{i}, A_{j}, A_{k}, A_{l}$ with $i0$ and the second coordinates of all the remaining vertices are positive. If all the remaining vertices $A_{2}, \ldots, A_{n}$ have their first coordinates between 0 and $a$ (see picture below), it is easy to see that the only vertices that could be non-Bohemian are $A_{1}, A_{2}$, and the +point with the strictly largest second coordinate (if such a vertex exists). So, in this case, there exist at least $n-3$ Bohemian vertices. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_7e99b1556acc0291915eg-5.jpg?height=472&width=1196&top_left_y=318&top_left_x=427) + +Observation 2. An affine transformation does not change anything, so the statement is proved for all polygons that lie between two parallel lines that go through two adjacent vertices, i.e., whenever there are two adjacent vertices with sum of their angles at most $180^{\circ}$. + +Consider now any polygon $P=A_{1} A_{2}, \ldots A_{n}$. + +Observation 3. If there are two (non-adjacent) vertices $A_{i}, A_{j}$ and two parallel lines $p_{i}, p_{j}$ with $A_{i} \in p_{i}, A_{j} \in p_{j}$ such that the whole polygon lies between $p_{i}$ and $p_{j}$, then the diagonal $A_{i} A_{j}$ splits $P$ into two polygons of the type considered in Observation 2. By Observations 1 and 2, these two polygons have at most 4 non-Bohemian points together, $A_{i}, A_{j}$, and two more. + +Observation 4. For any vertex $A_{i}$ there exist a vertex $A_{j}$ and two parallel lines $p_{i}$ and $p_{j}$ with $A_{i} \in p_{i}, A_{j} \in p_{j}$ such that the whole polygon lies between them. In fact, take a line $p_{i}$ such that $p_{i} \cap P=\left\{A_{i}\right\}$, then $A_{j}$ is the vertex with maximal distance from $p_{i}$, if there are two such vertices, change the direction of $p_{i}$ slightly to obtain a unique $A_{j}$. + +Let $n=4$. Then there exist two adjacent vertices with sum of their angles not larger than $180^{\circ}$, so, by Observation 2, any quadrilateral has at most 3 non-Bohemian vertices. + +Let $n \geq 5$. By Observations 3 and 4 , there exist at most 4 non-Bohemian vertices. So, at least one vertex is Bohemian, denote it by $A_{i}$. Then, by Observations 3 and 4 , all the nonBohemian vertices are contained in the quadruple $A_{i}, A_{j}$ and some other two vertices. Since $A_{i}$ is Bohemian, there are at most three non-Bohemian vertices and the proof is complete. + +Solution 3. We prove by induction that every $n$-gon has at least $n-3$ Bohemian vertices. + +Step $1, n=4$. We show that every quadrilateral $A B C D$ has at least one Bohemian vertex. We consider a triangle $A B C$. Then $D$ has to be in one of the areas $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ (see picture below), otherwise, $A B C D$ would not be a convex quadrilateral. If $D$ were in $P_{2}$, then $B$ would be Bohemian. If $D$ were in $P_{3}$, it would be Bohemian. If $D$ were in $P_{1}$, then $A$ would be Bohemian and similarly if $D$ were in $P_{4}$, then $C$ would be Bohemian (the last two cases are not immediate but easy to prove). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_7e99b1556acc0291915eg-6.jpg?height=477&width=714&top_left_y=201&top_left_x=662) + +Induction step. Consider an $n$-gon $P=A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ with $n \geq 5$. Let $P^{\prime}$ be an $(n-1)$-gon obtained from $P$ by omitting one vertex different from $A_{1}$. Let $A_{1}^{\prime}$ be the reflexion of $A_{1}$ in $P$ and $A_{1}^{\prime \prime}$ the reflexion of $A_{1}$ in $P^{\prime}$. We show the following statement + +$$ +\text { if } A_{1} \text { is non-Bohemian in } P \text {, then it is non-Bohemian also in } P^{\prime} \text {. } +$$ + +This statment is obvious if the omitted vertex is not adjacent to $A_{1}$ (since in this case $A_{1}^{\prime}=A_{1}^{\prime \prime}$ and $P^{\prime} \subset P$ ). So, let the omitted vertex be $A_{n}$ (the other neighbour $A_{2}$ can be done in the same way) and let us assume for contradiction that $A_{1}^{\prime} \notin P$ and $A_{1}^{\prime \prime} \in P^{\prime}$. Let us observe that vectors $A_{n} A_{n-1}$ and $A_{1}^{\prime} A_{1}^{\prime \prime}$ are equal. Let us discuss the possible position of $A_{n-1}$. If $A_{n-1} \in Q_{3} \cup Q_{4}$ (as in the picture below) then $A_{1}^{\prime \prime}$ lies below the line $A_{n} A_{n-1}$ while the whole polygon $P$ lies above this line, contradiction with $A_{1}^{\prime \prime} \in P^{\prime} \subset P$. If $A_{n-1} \in Q_{2}$, then $A_{1}^{\prime} \in \triangle A_{2} A_{n} A_{n-1} \subset P$, contradiction. If $A_{n-1} \in Q_{1}$, then the new reflexion $A_{1}^{\prime \prime} \in Q_{2}$ and $A_{1}^{\prime} \in \triangle A_{2} A_{n} A_{1}^{\prime \prime}$ and $\triangle A_{2} A_{n} A_{1}^{\prime \prime} \subset P^{\prime}$ since $A_{1}^{\prime \prime} \in P^{\prime}$. Therefore $A_{1}^{\prime} \in P^{\prime} \subset P$, contradiction. Statement (S) is proved. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_7e99b1556acc0291915eg-6.jpg?height=506&width=1268&top_left_y=1506&top_left_x=405) + +Since (by the induction hypothesis) there are at most 3 non-Bohemian vertices in $P^{\prime}$, there are at most 4 non-Bohemian vertices in $P$ (the three and the omitted one). Since $n \geq 5$ there is at least one Bohemian vertex in $P$. Assume now that $P^{\prime}$ is obtained form $P$ by omitting a Bohemian vertex. Since there are at most 3 non-Bohemian vertices in $P^{\prime}$, there are at most 3 non-Bohemian vertices in $P$ and the proof is complete. + +## Problem I-3 + +Let $A B C$ be an acute-angled triangle with $A C>B C$ and circumcircle $\omega$. Suppose that $P$ is a point on $\omega$ such that $A P=A C$ and that $P$ is an interior point of the shorter arc $B C$ of $\omega$. + +Let $Q$ be the point of intersection of the lines $A P$ and $B C$. Furthermore, suppose that $R$ is a point on $\omega$ such that $Q A=Q R$ and that $R$ is an interior point of the shorter arc $A C$ of $\omega$. Finally, let $S$ be the point of intersection of the line $B C$ with the perpendicular bisector of the side $A B$. Prove that the points $P, Q, R$, and $S$ are concyclic. + +(proposed by Patrik Bak, Slovakia) + +Solution. Let ud denote $O$ the center of the circle $\omega$ and $\varphi=\angle P A R$. Since the triangle $Q A R$ is isosceles, we have $\angle A R Q=\varphi$ and $\angle P Q R=2 \varphi$. The central angle theorem (applying to the chord $P R$ ) also yields $\angle P O R=2 \varphi$. Thus the points $P, Q, O$ and $R$ are concyclic. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_7e99b1556acc0291915eg-7.jpg?height=808&width=654&top_left_y=795&top_left_x=701) + +Further, let us denote $\beta=\angle A B C$. Since $A P=A C$, we have $\angle A C P=\angle A P C=\beta$ and thus (by the central angle theorem) $\angle A O P=2 \beta$, which gives + +$$ +\angle P A O=\angle A P O=90^{\circ}-\beta=\angle O P Q +$$ + +Since $\angle A B S=\beta$, we furthermore have $\angle O S B=\angle O S Q=90^{\circ}-\beta$, which concludes $\angle O P Q=$ $\angle O S B$ and therefore also the points $P, Q, O$ and $S$ are concyclic. + +From both paragraphs above it immediately follows the requested claim, i.e. the points $P, Q$, $R, S$ are concyclic, and the proof is done. + +## Problem I-4 + +Determine the smallest positive integer $n$ for which the following statement holds true: From any $n$ consecutive integers one can select a non-empty set of consecutive integers such that their sum is divisible by 2019 . + +## (proposed by Kartal Nagy, Hungary) + +Answer. $n=340$. + +Solution The prime factorization of 2019 is $3 \cdot 673$. Let $p=673$. + +For each integer $k$, color the three numbers $k p-1, k p, k p+1$ red, and and the six numbers $k p+\frac{p-5}{2}, k p+\frac{p-3}{2}, k p+\frac{p-1}{2}, k p+\frac{p+1}{2}, k p+\frac{p+3}{2}, k p+\frac{p+5}{2}$ blue. Now the integers are colored periodically. In a period of length $p=673$, there are 3 red integers, then 332 uncolored integers, then 6 blue integers and finally 332 uncolored integers. + +The sum of the integers in a red interval is $3 k p=2019 \cdot k$, and the sum of the integers in a blue interval is $6\left(k p+\frac{p}{2}\right)=2019 \cdot(2 k+1)$. So if there is a colored interval (we mean a maximal one throughout) in the given $n$ consecutive integers, one can choose it. It is easy to see, that among any $340=332+(6-1)+(3-1)+1$ consecutive integers, there must be a colored interval. Thus the smallest $n$ (that we look for) satisfies $n \leq 340$. + +Now we will show that it is not possible to choose consecutive integers in the desired way from the set $A=\{335,336, \ldots, 673\} . \quad(|A|=339$ and thus $n \geq 340$.) Assume that there exists $\{a, a+1, \ldots b\} \subseteq A$ such that + +$$ +2019 \left\lvert\, a+(a+1)+\cdots+b=\frac{(b-a+1)(a+b)}{2}\right. +$$ + +That means either $673 \mid b-a+1$, or $673 \mid a+b$. Since + +$$ +0<1 \leq b-a+1 \leq 339<673 +$$ + +673 must divide $a+b$. Taking into account that + +$$ +671=335+336 \leq a+b \leq 673+673=2 \cdot 673 +$$ + +we conclude that $a+b$ must be 673 or $2 \cdot 673$. It means either $a=335$ and $b=338$, or $a=336$ and $b=337$, or $a=b=673$. But $2019 \nmid 335+336+337+338=1346,2019 \nmid 336+337=673$ and $2019 \nmid 673$, a contradiction. + +Comment. The same proof works for every odd number $m=p \cdot q$, where $p$ is a 'big' prime divisor of $m$. We need that $p>\sqrt{3 m}$. Then the answer is $n=\frac{p+3 q}{2}-1$. + diff --git a/MEMO/md/en-2019team.md b/MEMO/md/en-2019team.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..065e9e3b78fad20696b439632db4625112881e6e --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2019team.md @@ -0,0 +1,401 @@ +# Solutions + +## to Team Competition Problems + +## Problem T-1 + +Determine the smallest and the greatest possible values of the expression + +$$ +\left(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\right)\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\right) +$$ + +provided $a, b$, and $c$ are non-negative real numbers satisfying $a b+b c+c a=1$. + +(proposed by Walther Janous, Austria) + +Answer. The smallest value is $\frac{27}{16}$ and the greatest is 2 . + +Solution. Let us denote + +$$ +x=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}, \quad y=\frac{2 a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)} +$$ + +to simplify notation. + +Denominators in $x$ can be manipulated using $a b+b c+c a=1$ as + +$$ +a^{2}+1=a^{2}+a b+b c+c a=(a+b)(a+c) +$$ + +and similarly for $b^{2}+1$ and $c^{2}+1$. This yields a relation between $x$ and $y$ + +$$ +x=\frac{a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1-\frac{2 a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1-y +$$ + +Using + +$$ +\frac{1}{a^{2}+1}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1} +$$ + +and similar relations for $b$ and $c$ we have + +$$ +\left(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}\right)\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\right)=(3-x) x +$$ + +Since $(3-x) x=(2+y)(1-y)=2-y-y^{2}$, we want to estimate $y$. Obviously $y \geq 0$ with equality e.g. for $(a, b, c)=(0,1,1)$. On the other hand $y \leq \frac{1}{4}$ as can be seen after multiplying three AM-GM inequalities + +$$ +a+b \geq 2 \sqrt{a b}, \quad b+c \geq 2 \sqrt{b c}, \quad c+a \geq 2 \sqrt{c a} +$$ + +The equality is reached for $a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}$. + +Finally we compute + +$$ +\frac{27}{16}=2-\frac{1}{4}-\frac{1}{16} \leq 2-y-y^{2} \leq 2 +$$ + +Similar solution. Let us denote + +$$ +x=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1} +$$ + +Since + +$$ +\frac{a^{2}}{a^{2}+1}=1-\frac{1}{a^{2}+1} +$$ + +holds we have + +$$ +\left(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\right)\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\right)=x(3-x)=\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2} +$$ + +To obtain the extrema it is sufficient to find the bounds of $x$. + +The sum $a+b+c$ is non-negative because $a, b, c \geq 0$. If $a+b+c=0$ then $a=b=c=0$ what is in contradiction with $a b+b c+c a=1$, so $a+b+c>0$. Using $a b+b c+c a=1$ we obtain + +$$ +\frac{1}{a^{2}+1}=\frac{1}{a^{2}+a b+b c+c a}=\frac{1}{(a+b)(a+c)} +$$ + +and similarly for $1 /\left(b^{2}+1\right)$ and $1 /\left(c^{2}+1\right)$. This yields + +$$ +x=\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)}{(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c}=\frac{2}{1-\frac{a b c}{a+b+c}} +$$ + +and the problem is reduced to find bounds of $a b c /(a+b+c)$. We have obviously + +$$ +0 \leq \frac{a b c}{a+b+c} +$$ + +The equality holds there if one of $a, b, c$ is equal 0 and the product of remaining two is 1 . On the other hand using AM-GM inequality we have + +$$ +a+b+c=(a+b+c)(a b+b c+c a) \geq 3(a b c)^{\frac{1}{3}} \cdot 3(a b c)^{\frac{2}{3}}=9 a b c +$$ + +with equality in the case $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$. So + +$$ +\frac{a b c}{a+b+c} \leq \frac{1}{9} +$$ + +These inequalities give us the bounds for $x$ + +$$ +2 \leq x=\frac{2}{1-\frac{a b c}{a+b+c}} \leq \frac{9}{4} +$$ + +This follows + +$$ +\frac{27}{16} \leq \frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2} \leq 2 +$$ + +The lower bound arises if one of $a, b, c$ is zero and product of the others is 1 , the upper bound arises if $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$. + +## Problem T-2 + +Let $\alpha$ be a real number. Determine all polynomials $P$ with real coefficients such that + +$$ +P(2 x+\alpha) \leq\left(x^{20}+x^{19}\right) P(x) +$$ + +holds for all real numbers $x$. + +(proposed by Walther Janous, Austria) + +Answer. For all $\alpha$ the only satisfying polynomial is $P(x) \equiv 0$. + +Solution. Zero polynomial obviously satisfies the problem. Further, let us suppose that polynomial $P$ is non-zero. Let $n$ be its degree and $a_{n} \neq 0$ be its coefficient at $x^{n}$. Polynomial $\left(x^{20}+x^{19}\right) P(x)-P(2 x+\alpha)$ has degree $n+20$, coefficient $a_{n}$ at $x^{n+20}$ and it is non-negative for all real numbers $x$. It follows that $n+20$ (and $n$ too) is an even number and $a_{n}>0$. + +For $x=-1$ and $x=0$ we obtain + +$$ +P(-2+\alpha) \leq 0 \quad \text { and } \quad P(\alpha) \leq 0 +$$ + +So $P$ has real roots. Let $m$ be its minimal real root and $M$ the maximal real root. Since $a_{n}>0$ the values $P(x)$ are positive outside the interval $\langle m, M\rangle$. It yields $\{-2+\alpha, \alpha\} \subset\langle m, M\rangle$, the interval $\langle m, M\rangle$ is so proper (non-degenerate) and it has the length at least 2 . + +For $x=m$ we have + +$$ +P(2 m+\alpha) \leq 0 +$$ + +This implies $m \leq 2 m+\alpha$ and therefore $-\alpha \leq m$. Analogously for $x=M$ we obtain + +$$ +P(2 M+\alpha) \leq 0 +$$ + +This yields $2 M+\alpha \leq M$ and $M \leq-\alpha$. It follows altogether $m=M=-\alpha$, which contradicts the fact that $\langle m, M\rangle$ is the proper interval. This finally proves that non-zero polynomial $P$ satisfying the problem does not exist. + +## Problem T-3 + +There are $n$ boys and $n$ girls in a school class, where $n$ is a positive integer. The heights of all the children in this class are distinct. Every girl determines the number of boys that are taller than her, subtracts the number of girls that are taller than her, and writes the result on a piece of paper. Every boy determines the number of girls that are shorter than him, subtracts the number of boys that are shorter than him, and writes the result on a piece of paper. Prove that the numbers written down by the girls are the same as the numbers written down by the boys (up to a permutation). + +(proposed by Stephan Wagner, Austria) + +Solution. We prove the statement by induction. The case $n=1$ is easy (either both children write down 0 , or both write down 1). For the induction step, suppose that the children are standing in a row in order of height (the tallest first), and consider a boy and a girl standing next to each other (such a pair must clearly always exist). If $k$ boys and $\ell$ girls are taller than these two, then either both write down $k-\ell=(n-\ell-1)-(n-k-1)$ (if the girl is taller), or both write down $(k+1)-\ell=(n-\ell)-(n-k-1)$ (if the boy is taller). + +If we remove these two children from the class, the numbers of all the other children would remain the same (the boy and the girl cancel in the other children's calculations). Thus we are done by the induction hypothesis. + +Remark. This solution can be modified in many ways. For example, instead of removing the two children, we can let them "switch heights". This can be repeated until we reach the situation that all boys are taller than all girls (or vice versa), in which case the numbers are easy to determine. + +## Problem T-4 + +Prove that every integer from 1 to 2019 can be represented as an arithmetic expression consisting of up to 17 symbols 2 and an arbitrary number of additions, subtractions, multiplications, divisions and brackets. The 2's may not be used for any other operation, for example to form multi-digit numbers (such as 222) or powers (such as $2^{2}$ ). + +Valid examples: + +$$ +\left((2 \times 2+2) \times 2-\frac{2}{2}\right) \times 2=22, \quad(2 \times 2 \times 2-2) \times\left(2 \times 2+\frac{2+2+2}{2}\right)=42 +$$ + +Solution 1. We will first prove by induction that every even number less than $2^{n}$ can be written with at most $\frac{3}{2} n-1$ 's. This is certainly true for $n=2$ and $n=3$ with $2=2,4=2+2$ and $6=2+2+2$. + +Let $k \geq 8$ be an even number $<2^{n}$. If it is divisible by 4 , it can be written as $2\left(\frac{k}{2}\right)$ which needs at most $1+\frac{3}{2}(n-1)-1<\frac{3}{2} n-1$ by induction. If $k \equiv 2(\bmod 4)$, then $k=2+2 \cdot 2 k^{\prime}$ where $k^{\prime}<2^{n-2}$. If $k^{\prime}$ is an even number, then we obtain $k$ using at most $1+2+\frac{3}{2}(n-2)-1=\frac{3}{2} n-1$ 2 's, by induction. If $k^{\prime}$ is odd, then $k^{\prime}+1$ is even and we have $k=2 \cdot 2\left(k^{\prime}+1\right)-2$. If $k^{\prime}+1<2^{n-2}$ then we can use induction again to get $k$ with at most $1+2+\frac{3}{2}(n-2)-1=\frac{3}{2} n-12$ 's. If $k^{\prime}+1=2^{n-2}$, we obtain $k=2 \cdot 2 \cdot 2^{n-2}-2$ using $n+12$ 's which is less or equal to $\frac{3}{2} n-1$ since $n \geq 4$. This finishes the proof for even numbers. + +Obviously, any odd number can be obtained from an even number by adding $\frac{2}{2}$, so any odd number less than $2^{n}$ can be obtained by at most $\frac{3}{2} n-1+2=\frac{3}{2} n+12$ 's, which for $n=11$ yields 172 's. + +Solution 2. It is enough to show that all multiples of 4 can be written using at most 15 2's (since numbers not divisible by 4 can be written as $N+2$ or $N \pm \frac{2}{2}$ where $N$ is divisible by 4). So, let $N$ be divisible by 4 and let its binary representation be $N=2^{a_{1}}+\cdots+2^{a_{k}}$ with $a_{1}>a_{2}>\cdots>a_{k}>1$. Since $N<2019$ we have $a_{1} \leq 10$. Observe that $k$ is the number of 1 's in the binary representation of $N$. We distinguish two cases: + +1st case: Let $k \leq 6$, i.e. there are at most six 1 's in the binary representation of $N$. Then we can write + +$$ +N=2^{a_{k}-1}\left(2+2^{a_{k-1}-a_{k}}\left(2+2^{a_{k-2}-a_{k-1}}\left(2+\ldots\left(2+2^{a_{1}-a_{2}+1}\right)\right)\right)\right) +$$ + +If we rewrite all powers using multiplication, we obtain an expression with $a_{k}-1+a_{k-1}-a_{k}+$ $\cdots+a_{1}-a_{2}+1=a_{1} 2$ 's comming from powers and one additional 2 added in each bracket. Since there are $k-1$ brackets, we need $a_{1}+k-1 \leq 10+5=152$ 's to represent $N$. + +2nd case: Let $k \geq 7$. Then we can write $N=2^{11}-1-2^{b_{1}}-2^{b_{2}}-\cdots-2^{b_{l}}$, where $b_{1}>b_{2}>\cdots>b_{l}$ are the positions of zeros in the binary representation of $N$. Since $N$ is divisible by 4 , we have $b_{l}=0, b_{l-1}=1$. Similarly to the first case, we have + +$$ +N=2^{11}-2^{b_{1}}-\cdots-2^{b_{l-2}}-4=2\left(2^{b_{l-2}-2}\left(2^{b_{l-3}-b_{l-2}}\left(\ldots\left(2^{11-b_{1}+1}-2\right) \ldots\right)-2\right)-2\right) +$$ + +If we expand powers into multiplications, the number of multiplicating 2 's is $1+\left(b_{l-2}-2\right)+$ $\left(b_{l-3}-b_{l-2}\right)+\cdots+11-b_{1}+1=11$ and the number of 2 's after minus signs in exactly $l-1$, i.e. at most $10+l$ 's in total. Since $k \geq 7$, there are at most four zeros in the binary representation of $N$, i.e. $l \leq 4$ and $10+l \leq 15$, which completes the proof. + +## Problem T-5 + +Let $A B C$ be an acute-angled triangle such that $A B0 +$$ + +it follows from $c>b-a>0$ and $a-1 \geq a+b-c>0$ that + +$$ +A=c(a-1)+b>c(a-1)>(b-a)(a+b-c)=C +$$ + +Thus $A>C>0$, which implies that $A$ does not divide $C$, a contradiction. + +Solution 2 It suffices to verify that + +$$ +\frac{b-1}{a}<\frac{c(b-1)+a}{c(a-1)+b}<\frac{b}{a} +$$ + +because no integer lies between the two fractions $\frac{b-1}{a}$ and $\frac{b}{a}$. Routine algebraic manipulations show that the left-hand inequality is equivalent to + +$$ +c>b-\frac{a^{2}}{b-1}, \quad \text { where } \quad \frac{a^{2}}{b-1}>0 +$$ + +while the right-hand inequality is equivalent to $ca$ by the conditions of the problem. Besides, since $A \mid B$ and $A, B$ are clearly positive, we have $B \geq A$ as well. + +Let $n \geq 1$ be now an integer such that $b \geq n a$ and $B \geq n A$. Our goal is to prove that $b \geq(n+1) a$ and $B \geq(n+1) A$ as well. Firstly we verify that $B>n A$. If $b>n a$, then + +$$ +B-n A=c(b-1-a n)+c n+a-n b \geq c n+a-n b=n(c-b)+a>a>0 +$$ + +and we are done. On the other hand, if $b=n a$, then $n b-a=(n-1)(a+b)$ and hence the nonnegative number $B-n A$ can be written as + +$$ +B-n A=(n-1) c-(n b-a)=(n-1) c-(n-1)(a+b)=(n-1)(c-a-b) +$$ + +which means that $n=1$ (because of $cn A$ is proven. Since $A \mid(B-n A)$, we have $B-n A \geq A$, i.e. $B \geq(n+1) A$. To finish the second induction step, it remains to prove that $b \geq(n+1) a$. + +The proved inequality $B \geq(n+1) A$ means that + +$$ +c(b-(n+1) a+n) \geq(n+1) b-a +$$ + +Since $b \geq n a$ implies that $a \leq \frac{b}{n}$ and hence $\frac{n+1}{n} b \geq a+b>c$, we can conclude the following: + +$$ +(n+1) b-a \geq\left((n+1)-\frac{1}{n}\right) b=\frac{n(n+1)-1}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} b>\frac{n(n+1)-1}{n+1} c=\left(n-\frac{1}{n+1}\right) c +$$ + +Comparing this with the preceding inequality, we get + +$$ +b-(n+1) a+n>n-\frac{1}{n+1}, \quad \text { or } \quad b-(n+1) a>-\frac{1}{n+1}>-1 +$$ + +hence the integer $b-(n+1) a$ is nonnegative, as we wished to prove. + +## Problem T-8 + +Let $N$ be a positive integer such that the sum of the squares of all positive divisors of $N$ is equal to the product $N(N+3)$. Prove that there exist two indices $i$ and $j$ such that $N=F_{i} \cdot F_{j}$, where $\left(F_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ is the Fibonacci sequence defined by $F_{1}=F_{2}=1$ and $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ for all $n \geq 3$. + +## (proposed by Alain Rossier, Switzerland) + +Solution Denote by $1=d_{1}0$ implies that $k \geq 3$. However, if $k=3$, then $N=p^{2}$ with some prime $p=d_{2}$ satisfying $p^{2}=3 p^{2}-1$, which is impossible. Thus $k \geq 4$. + +For each $i=2,3, \ldots, k-1$, we have $d_{i} d_{k+1-i}=N$ and hence $d_{i}^{2}+d_{k+1-i}^{2} \geq 2 N$ by the AM-GM inequality. Consequently, + +$$ +3 N-1=\sum_{i=2}^{k-1} d_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=2}^{k-1}\left(d_{i}^{2}+d_{k+1-i}^{2}\right) \geq \frac{1}{2}(k-2) \cdot 2 N=(k-2) N +$$ + +However, $3 N-1 \geq(k-2) N$ means that $k \leq 5-\frac{1}{N}<5$, which together with the previous fact that $k \geq 4$ leads to the equality $k=4$. Thus either $N=p^{3}$ with $p$ being a prime and our equation becomes $p^{2}+p^{4}=3 p^{3}-1$, or $N$ has a factorization $N=p q$, with some primes $p>q$ and our equation becomes $p^{2}+q^{2}=3 p q-1$. As the first case cannot have any solutions, we conclude that the latter must be true. + +Notice that the equation $p^{2}+q^{2}=3 p q-1$ has 'prime' solutions $(p, q)=(5,2)=\left(F_{5}, F_{3}\right)$ and $(p, q)=(13,5)=\left(F_{7}, F_{5}\right)$. This encourages us to prove a more general fact: Any solution $(a, b)$ of the equation $a^{2}+b^{2}=3 a b-1$ with positive integers $a>b$ is of the form $(a, b)=\left(F_{2 i+1}, F_{2 i-1}\right)$, for some $i \geq 1$. After proving it, we get the desired representation $N=p q=F_{2 i+1} F_{2 i-1}$. + +Assume to the contrary that there exist integers $a>b>0$ such that $a^{2}+b^{2}=3 a b-1$ but no $i$ such that $a=F_{2 i+1}$ and $b=F_{2 i-1}$. Among all such pairs $(a, b)$, take the one with $b$ minimal. By Vieta's formulas, the equation $a^{2}+b^{2}=3 a b-1$ remains to hold if we replace $a$ by the number $a^{\prime}$ that satisfies $a+a^{\prime}=3 b$ and $a a^{\prime}=b^{2}+1$. In view of the symmetry, the solutions of the equation are then not only pairs $(a, b)$ and $\left(a^{\prime}, b\right)$, but $\left(b, a^{\prime}\right)$ as well. + +Note that the number $a^{\prime}=3 b-a$ is an integer which is positive, because of $a>0$ and $a a^{\prime}=b^{2}+1>0$. Moreover, $a \geq b+1$ implies that + +$$ +a^{\prime}=\frac{b^{2}+1}{a} \leq \frac{b^{2}+1}{b+1}=b-\frac{b-1}{b+1} \leq b +$$ + +Thus $a^{\prime}y$, then the sequence $a_{n}=f^{n}(a)$ is eventually periodic with a period $x-y$, but then the set $\left\{f(a), f^{2}(a), \ldots\right\}$ is finite, which is a contradiction. + +Therefore, for every $n \in \mathbb{N}_{0}$, there exists a unique positive integer $x_{n}$ such that $f^{x_{n}}(a)=n+f(a)$, and conversely, for all $x \geq 1$ the number $f^{x}(a)$ is of the form $m+f(a)$ for some $m \geq 0$. In other words, the map $\mathbb{N}_{0} \ni n \mapsto x_{n} \in \mathbb{N}$ is bijective. + +Furthermore, $f^{x_{n+1}}(a)=(f(a)+n)+1=f^{x_{n}}(a)+1=f\left(f^{x_{n}-1}(a)\right)+1=f^{g\left(f^{x_{n}-1}(a)\right)}\left(f^{x_{n}-1}(a)\right)=$ $f^{x_{n}-1+g\left(f^{x_{n}-1}(a)\right)}(a)$, which implies $x_{n+1}=x_{n}-1+g\left(f^{x_{n}-1}(a)\right)>x_{n}$, since $g(t)>1$ for all $t$. + +Therefore, the map $n \mapsto x_{n}$ is a strictly increasing bijection from $\mathbb{N}_{0}$ to $\mathbb{N}$ which gives $x_{n}=n+1$ for all $n$. Thus $f^{n+1}(a)=f(a)+n$, which implies $f(f(n))=f(n)+1$ for all $n \in \mathbb{N}$, hence $g(n)=2$ for all $n \in \mathbb{N}$. Obviously, this means $g$ is bounded. + +Suppose now that $k \geq 2$. We will give an explicit example of functions $f$ and $g$ satisfying required properties. + +- For each positive integer $n$, let $f\left(k^{n}\right)=n k+1$ and let $f(n k+1)=k^{n}+2$. +- For each positive integer $a$ which is not a power of $k$, let $f(a k)=a k+2$. +- For any other positive integer $x$, let $f(x)=x+1$. + +In other words: We take the sequence of all positive integers $1,2,3, \ldots$, remove from it all numbers congruent to 1 modulo $k$ except for 1 itself, then insert them again a bit later, with each $n k+1$ occurring directly after $k^{n}$. That is, we get the sequence (shown here for a $k \geq 4$ ) + +$1,2, \ldots, k, k+1, k+2, \ldots, 2 k, 2 k+2, \ldots, 3 k, 3 k+2, \ldots, k^{2}, 2 k+1, k^{2}+2, \ldots, k^{3}, 3 k+1, k^{3}+2, \ldots$ and for every $n$ we let $f(n)$ be the successor of $n$ in this sequence. + +For example in the case $k=2$, we get the sequence + +$$ +1, \mathbf{2}, 3, \mathbf{4}, 5,6, \mathbf{8}, 7,10,12,14, \mathbf{1 6}, 9,18,20, \ldots, \mathbf{3 2}, 11,34 \ldots +$$ + +and in the case $k=5$, we get the sequence + +$$ +1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,17,18,19,20,22,23,24, \mathbf{2 5}, 11,27,28,29,30,32,33, \ldots +$$ + +with the powers of $k$ highlighted in each case. + +Like in the first solution we note that for every $n$ the number $n+k$ appears after $n$, so we again define $g(n)$ as the number of terms in the sequence between $f(n)$ and $f(n)+k$ (inclusively), or equivalently, define $g(n)$ to be the smallest $m$ such that $f^{m}(n)=f(n)+k$. + +Now, $g\left(k^{n}\right)$ (denoting the distance between $f\left(k^{n}\right)=n k+1$ and $f\left(k^{n}\right)+k=n k+1+k=$ $(n+1) k+1=f\left(k^{n+1}\right)$ which occur after $k^{n}$ and $k^{n+1}$, respectively) is equal to two plus the number of integers $i$ such that $k^{n}+2 \leq i \leq k^{n+1}$ and $i$ is not congruent to 1 modulo $k$. For easier calculation we note that this is equivalent to the amount of integers $i$ with $k^{n}X+999$. Then the 1000 consecutive integers + +$$ +10^{i}+X, 10^{i}+X+1, \ldots, 10^{i}+X+999 +$$ + +have a total digit sum equal to $N+1000$ (since each number got an extra digit 1 and, possibly, several zeroes). + +Part 2, by discrete continuity. We make three observations: + +(A) For any integer $n \geq 0$, we have $S(n+1)-S(n) \leq 1$. + +- Indeed, as before, we have + +$$ +S(n+1)-S(n)=\left(s_{n+1}+\cdots+s_{n+1000}\right)-\left(s_{n}+\cdots+s_{n+999}\right)=s_{n+1000}-s_{n} +$$ + +Note that the numbers $n+1000$ and $n$ have the same last three digits. We distinguish two cases: +a) If the fourth digit of $n$ from the right is less than 9 , then the digits of $n+1000$ and $n$ differ only in that position and we have $s_{n+1000}-s_{n}=1$. (If $n$ is 3 -digit, this is true too.) + +b) Otherwise, suppose that there are $d \geq 1$ consecutive digits 9 just in front of the last three digits of $n$. Then $s_{n+1000}-s_{n}=1-9 d<1$, because the resulting number will have $d$ zeroes in place of the nines, and the digit to the left of the nines increased by one. + +(B) We have $S(0)=13500$. + +- By the same argument as in Part 1 we get $S(0)=3 \cdot 100 \cdot(0+1+\cdots+9)=13500$. + +(C) The sequence $S(n)$ is unbounded as $n \rightarrow \infty$. + +- For instance, setting $n=10^{k}-1$ we get $S(n) \geq s_{n}=9 k$. + +It remains to put the observations together. By (B), the number $n=13500$ is contagious. Now fix $N \geq 13501$. Since the sequence $(S(n))_{n=0}^{\infty}$ is unbounded, there exists an integer $k \geq 1$ such that $S(k) \geq N$. Take the smallest such $k$. By minimality of $k$ we have $S(k-1) \leq N-1$. Combining this with (A) we now deduce + +$$ +N \leq S(k) \leq 1+S(k-1) \leq 1+(N-1)=N +$$ + +hence $S(k)=N$ implying that $N$ is contagious. + +## $\mathrm{I}-3$ + +Let $A B C$ be an acute scalene triangle with circumcircle $\omega$ and incenter $I$. Suppose the orthocenter $H$ of $B I C$ lies inside $\omega$. Let $M$ be the midpoint of the longer arc $B C$ of $\omega$. Let $N$ be the midpoint of the shorter arc $A M$ of $\omega$. + +Prove that there exists a circle tangent to $\omega$ at $N$ and tangent to the circumcircles of $B H I$ and CHI. + +Solution 1. Denote the circumcircles of $B H I$ and $C H I$ by $\omega_{1}$ and $\omega_{2}$ and their centers by $O_{1}$ and $O_{2}$, respectively. Let $O$ be the center of $\omega$. Let $R$ be the radius of $\omega$. + +Since $H$ is the orthocenter of triangle $B I C$ it follows that $I$ is the orthocenter of triangle $B H C$. Therefore + +$\angle H I B=180^{\circ}-(\angle B H I+\angle I B H)=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\angle C B H+90^{\circ}-\angle B H C\right)=180^{\circ}-\angle H C B$, + +and analogously we get $\angle C I H=180^{\circ}-\angle C B H$ and $\angle B I C=180^{\circ}-\angle B H C$. + +Denote by $r$ the radius of circle $\omega_{1}$, then from sine law we get + +$$ +\begin{aligned} +2 r & =\frac{H B}{\sin \angle H I B}=\frac{H B}{\sin \left(180^{\circ}-\angle H I B\right)}=\frac{H B}{\sin \angle H C B}= \\ +& =\text { diameter of circumcircle of the triangle } B H C +\end{aligned} +$$ + +Using the same argument for triangles $C I H$ and $B I C$ we see that $r$ is equal to radii of $\omega_{1}, \omega_{2}$, circumcircles of $B I C$ and $B H C$. + +From the following angle chase it follows that + +$$ +\begin{aligned} +\angle B H C & =180^{\circ}-\angle B I C=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\frac{1}{2} \angle C B A-\frac{1}{2} \angle B C A\right)= \\ +& =\frac{1}{2}(\angle C B A+\angle B C A)=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B A C +\end{aligned} +$$ + +Since $H$ lies inside $\omega$ and $\angle B A C$ is acute we conclude that + +$$ +\angle B A C<\angle B H C=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B A C<90^{\circ} +$$ + +so + +$$ +2 r=\text { diameter of circumcircle of } B H C=\frac{B C}{\sin \angle B H C}<\frac{B C}{\sin \angle B A C}=2 R +$$ + +thus $r0$. + +Observe that $O_{1} X=R=r+(R-r)$, so $\omega^{\prime}$ is tangent externally to $\omega_{1}$. For similar reason it is tangent externally to $\omega_{2}$. Moreover $O X=r=R-(R-r)=O N-X N$, so $\omega^{\prime}$ is tangent to $\omega$ internally at point $N$. + +Solution 2. Let $\beta:=\angle A B I=\angle I B C$ and $\gamma:=\angle B C I=\angle I C A$. Without loss of generality, we assume that $\beta>\gamma$. Furthermore, we define $P$ to be the intersection of $N B$ and the circumcircle of $B H I$ and $Q$ to be the intersection of $N C$ and the circumcircle of $C H I$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_6a77b54051eac76d613fg-12.jpg?height=1002&width=945&top_left_y=1172&top_left_x=561) + +Our goal is to prove that the circumcircle of $N P Q$ satisfies the desired conditions. To this end, define the tangent $t_{N}$ to $\omega$ through $N$, tangent $t_{P}$ to the circumcircle of $B H I$ through $P$ and tangent $t_{Q}$ to the circumcircle of $C H I$ through $Q$. Let $X$ be the intersection of $t_{P}$ and $t_{Q}, Y$ the intersection of $t_{N}$ and $t_{Q}$ and $Z$ the intersection of $t_{N}$ and $t_{P}$. If we can prove that $P X=Q X$, $N Y=Q Y$ and $N Z=P Z$, it follows that the circumcircle of $N P Q$ is the incircle of $X Y Z$ and $N, P$ and $Q$ are the contact points. By definition of $t_{N}, t_{P}$ and $t_{Q}$, this would imply that the circumcircle of $N P Q$ satisfies the desired properties. + +Using that the arcs $M N$ and $N A$ have the same lengths and the triangle $B M C$ is isosceles, we calculate some angles: + +$$ +\begin{aligned} +\angle A C N=\angle A B N & =\frac{1}{2} \angle A B M \\ +& =\frac{1}{2}(\angle A B C-\angle M B C) \\ +& =\frac{1}{2}\left(2 \beta-\frac{180^{\circ}-\angle C M B}{2}\right) \\ +& =\frac{1}{2}\left(2 \beta-\frac{180^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 \beta-2 \gamma\right)}{2}\right) \\ +& =\frac{1}{2}(\beta-\gamma) +\end{aligned} +$$ + +Furthermore, using that $H$ is the orthocenter of $B I C$ and has to lie outside of it but inside $\omega$, we compute + +$$ +\begin{aligned} +\angle I C Q & =\angle I C A+\angle A C N=\gamma+\frac{1}{2}(\beta-\gamma)=\frac{1}{2}(\beta+\gamma) \\ +\angle P B I & =\angle A B I-\angle A B N=\beta-\frac{1}{2}(\beta-\gamma)=\frac{1}{2}(\beta+\gamma) \\ +\angle B C H & =90^{\circ}-\angle I B C=90^{\circ}-\beta \\ +\angle H I Q & =\angle H C Q \\ +& =\angle B C I+\angle I C Q-\angle B C H \\ +& =\gamma+\frac{1}{2}(\beta+\gamma)-\left(90^{\circ}-\beta\right) \\ +& =\frac{1}{2}\left(3 \beta+3 \gamma-180^{\circ}\right) +\end{aligned} +$$ + +By an analogous computation, we find that + +$$ +\angle P I H=\frac{1}{2}\left(3 \beta+3 \gamma-180^{\circ}\right) +$$ + +If we now define $X^{\prime}$ as the intersection of $t_{P}$ and $H I$ as well as $X^{\prime \prime}$ the intersection of $t_{Q}$ and $H I$, we obtain by tangency: + +$$ +\angle X^{\prime} P I=\frac{1}{2} \angle P B I=\frac{1}{2}(\beta+\gamma)=\frac{1}{2} \angle I C Q=\angle I Q X^{\prime \prime} +$$ + +Since also + +$$ +\angle P I X^{\prime}=\angle P I H=\frac{1}{2}\left(3 \beta+3 \gamma-180^{\circ}\right)=\angle H I Q=\angle X^{\prime \prime} I Q +$$ + +we get two similar triangles $X^{\prime} P I$ and $X^{\prime \prime} Q I$. Also, since $H I$ is the power line of the circumcircles of $B H I$ and $C H I$, we have + +$$ +X^{\prime} P^{2}=X^{\prime} H \cdot X^{\prime} I, \quad X^{\prime \prime} Q^{2}=X^{\prime \prime} H \cdot X^{\prime \prime} I +$$ + +and hence + +$$ +\frac{X^{\prime} H \cdot X^{\prime} I}{X^{\prime \prime} H \cdot X^{\prime \prime} I}=\left(\frac{X^{\prime} P}{X^{\prime \prime} Q}\right)^{2}=\left(\frac{X^{\prime} I}{X^{\prime \prime} I}\right)^{2} +$$ + +using similarity. By simplifying those terms, we get + +$$ +\frac{X^{\prime} H}{X^{\prime \prime} H}=\frac{X^{\prime} I}{X^{\prime \prime} I}=\frac{X^{\prime} H+H I}{X^{\prime \prime} H+H I} +$$ + +hence $X^{\prime} H \cdot H I=X^{\prime \prime} H \cdot H I$ and therefore $X^{\prime} H=X^{\prime \prime} H$, which implies that $X^{\prime}=X^{\prime \prime}=X$. By the power of $X$ to $B H I$ and $C H I$, we finally get $X P^{2}=X Q^{2}$, so $X P=X Q$ as desired. + +To see that $N Y=Q Y$, define $D$ as the second intersection of the circumcircles of $C H I$ and $A B C$ and let $Y^{\prime}$ be the intersection of $C D$ and $t_{N}$. We want to show that $Y^{\prime}=Y$. Using that $\angle C Q I=\angle C H I=90^{\circ}-\angle B C H=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\angle I B C\right)=\beta$, we compute + +$$ +\begin{aligned} +\angle Q D Y^{\prime} & =180^{\circ}-\angle C D Q \\ +& =\angle Q I C \\ +& =180^{\circ}-\angle C Q I-\angle I C Q \\ +& =180^{\circ}-\beta-\frac{1}{2}(\beta+\gamma) +\end{aligned} +$$ + +On the other hand, the tangency to $\omega$ at $N$ yields + +$$ +\angle Y^{\prime} N Q=\angle Y^{\prime} N C=\angle N B C=\angle I B C+\angle N B I=\beta+\frac{1}{2}(\beta+\gamma) +$$ + +Now, since $\angle Q D Y^{\prime}+\angle Y^{\prime} N Q=180^{\circ}$, we conclude that $N Q D Y^{\prime}$ is a cyclic quadrilateral. The same is true for $N Q D Y$ because of + +$$ +\angle Y N D=\angle N C D=\angle Q C D=\angle Y Q D +$$ + +where we used tangency of $t_{N}$ to $\omega$ and of $t_{Q}$ to the circumcircle of $C H I$. Since both $Y$ and $Y^{\prime}$ lie on $t_{N}$, they have to be the same point. Since $C D$ is the power line of circle $\omega$ and the circumcircle of $C H I$, we obtain $Y Q^{2}=Y N^{2}$, so $Q Y=N Y$. We can find a completely analogous argument for $P Z=N Z$ to conclude. + +## $\mathrm{I}-4$ + +Find all positive integers $n$ for which there exist positive integers $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ such that + +$$ +\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{2}{x_{2}^{2}}+\frac{4}{x_{3}^{2}}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{x_{n}^{2}}=1 +$$ + +Answer. Solutions exist for all positive integers $n$ except for $n=2$. + +## Solution 1. + +- $n=1$ : + +Here, $x_{1}:=1$ provides a solution, since + +$$ +\frac{1}{1^{2}}=1 +$$ + +- $n=2$ : + +Here, no solution exists. Indeed, $x_{1}=1$ or $x_{2}=1$ yields $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{2}{x_{2}^{2}}>1$, while $x_{1}, x_{2} \geq 2$ leads to + +$$ +\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{2}{x_{2}^{2}} \leq \frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}<1 +$$ + +- $n=4$ : + +Here, $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right):=(3,3,3,6)$ provides a solution, since + +$$ +\frac{1}{3^{2}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{4}{3^{2}}+\frac{8}{6^{2}}=\frac{7}{9}+\frac{8}{36}=\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=1 +$$ + +- Induction step from $n$ to $(n+2)$ : + +Let $\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ be a solution for $n$, i.e., + +$$ +\frac{1}{y_{1}^{2}}+\frac{2}{y_{2}^{2}}+\frac{4}{y_{3}^{2}}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{y_{n}^{2}}=1 +$$ + +Then + +$$ +\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}\right):=\left(2,2,4 y_{1}, 4 y_{2}, \ldots, 4 y_{n}\right) +$$ + +is a solution for $(n+2)$, since + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{2}{x_{2}^{2}}+\frac{4}{x_{3}^{2}}+\cdots+\frac{2^{n+1}}{x_{n+2}^{2}} & =\frac{1}{2^{2}}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{4}{\left(4 y_{1}\right)^{2}}+\cdots+\frac{2^{n+1}}{\left(4 y_{n}\right)^{2}} \\ +& =\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{4}{16}\left[\frac{1}{\left(y_{1}\right)^{2}}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{\left(y_{n}\right)^{2}}\right] \\ +& =\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cdot 1 \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +Using this induction step and the solutions for $n=1$ and $n=4$, we can construct solutions for all $n \geq 3$. + +Solution 1a. There are other induction steps possible. For example from $n$ to $(n+3)$ : + +Let $\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ be a solution for $n$, i.e., + +$$ +\frac{1}{y_{1}^{2}}+\frac{2}{y_{2}^{2}}+\frac{4}{y_{3}^{2}}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{y_{n}^{2}}=1 +$$ + +Then + +$$ +\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+3}\right):=\left(3,3,3,6 y_{1}, 6 y_{2}, \ldots, 6 y_{n}\right) +$$ + +is a solution for $(n+3)$, since + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{2}{x_{2}^{2}}+\frac{4}{x_{3}^{2}}+\cdots+\frac{2^{n+2}}{x_{n+3}^{2}} & =\frac{1}{3^{2}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{4}{3^{2}}+\frac{8}{\left(6 y_{1}\right)^{2}}+\cdots+\frac{2^{n+2}}{\left(6 y_{n}\right)^{2}} \\ +& =\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{4}{9}+\frac{8}{36}\left[\frac{1}{\left(y_{1}\right)^{2}}+\cdots+\frac{2^{n-1}}{\left(y_{n}\right)^{2}}\right] \\ +& =\frac{7}{9}+\frac{2}{9} \cdot 1 \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +In order to complete this approach, of course, solutions have to be provided for $n=1,3$, and 5 . + +In fact, every solution $\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right)$ for $k$ yields an induction step from $n$ to $(n+k-1)$. Indeed, if $\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ is a solution then + +$$ +\left(z_{1}, \ldots, z_{k-1}, z_{k} \cdot y_{1}, \ldots, z_{k} \cdot y_{n}\right) +$$ + +is a solution, too. The two constructions presented above belong to $(2,2,4)$ and $(3,3,3,6)$. + +So it is conceivable that someone finds an induction from $n$ to, say, $(n+6)$. In this case, solutions for six suitable small values of $n$ would be necessary in order to complete the approach. + +Solution 2. As in the previous solution, we can show that there does not exist a solution for $n=2$ and find explicit solutions for $n=1$ and $n=3$. + +We construct further solutions by induction. Let $\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ be a solution for $n \geq 3$. + +Then setting $x_{n-2}=x_{n+1}:=3 y_{n-2}$ and $x_{i}:=y_{i}$ for all other $i$ is a solution for $n+1$, since for the sum of the terms corresponding to $x_{n-2}$ and $x_{n+1}$ (which are the only ones that differ between the solutions for $n$ and $n+1$ ) we get + +$$ +\frac{2^{n-3}}{x_{n-2}^{2}}+\frac{2^{n}}{x_{n+1}^{2}}=\frac{2^{n-3}}{9 y_{n-2}^{2}}+\frac{2^{n}}{9 y_{n-2}^{2}}=\frac{(1+8) \cdot 2^{n-3}}{9 y_{n-2}^{2}}=\frac{2^{n-3}}{y_{n-2}^{2}} +$$ + +thereby keeping the sum of all terms equal. + +Solution 3. As in the other solutions, we can show that there does not exist a solution for $n=2$. Also, we can find explicit solutions for $n=4, n=6$ and $n=8$. Now we prove that we can find suitable integers for all other $n$ : + +For $n=2 k+1$ (where $k$ is a suitable non-negative integer), we can choose + +$$ +x_{1}=\cdots=x_{n-1}=2^{k}, \quad x_{n}=2^{2 k} +$$ + +to obtain + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{2^{i-1}}{x_{i}^{2}}=\sum_{i=1}^{2 k} \frac{2^{i-1}}{2^{2 k}}+\frac{2^{2 k}}{2^{4 k}}=\frac{\frac{2^{2 k}-1}{2-1}}{2^{2 k}}+\frac{1}{2^{2 k}}=1 +$$ + +For $n=2 k$ with an integer $k \geq 5$, observe that, by setting $x_{i}=2^{\frac{i-1}{2}}$ for odd $i$ and $x_{i}=2^{\frac{i}{2}-1}$ for even $i$, we have + +$$ +\sum_{i=1}^{2 k} \frac{2^{i-1}}{x_{i}^{2}}=\sum_{j=1}^{k}\left(\frac{2^{2 j-2}}{2^{2 j-2}}+\frac{2^{2 j-1}}{2^{2 j-2}}\right)=\sum_{j=1}^{k}(1+2)=3 k +$$ + +If we can modify the $x_{i}$ in order to obtain some square number $m^{2}$ on the right hand side, we can in a second step multiply each $x_{i}$ by $m$ to obtain a sum of 1 . + +Observe that all $x_{i}$ for $i>2$ are even. We show that there is a square divisible by 3 that can be obtained by replacing some of the $x_{i}$ (with $i>2$ ) by $x_{i}^{\prime}:=x_{i} / 2$ : + +Note that for odd $i$, this increases the sum by $4-1=3$ and for even $i$, this increases the sum by $8-2=6$. Since there are $k-1$ odd and $k-1$ even indexes to choose from, we can increase the sum by every number $l$ that is divisible by three and satisfies $0 \leq l \leq 3(k-1)+6(k-1)=9 k-9$. + +Because of $k \geq 5$ and therefore $\sqrt{3 k} August 25, 2021 + +## Problem I-1 + +Determine all real numbers $A$ such that every sequence of non-zero real numbers $x_{1}, x_{2}, \ldots$ satisfying + +$$ +x_{n+1}=A-\frac{1}{x_{n}} +$$ + +for every integer $n \geqslant 1$, has only finitely many negative terms. + +Answer. All $A \geq 2$ satisfy the given property. + +## First Solution + +Let us assume that $A \geqslant 2$ holds and there is some $n \geqslant 1$ with $x_{n}<0$. Then $x_{n+1}>A \geqslant 2$. + +We claim that $x_{n+k}>1$ for all $k \geq 1$. This is easily proven by induction: we already did this for $k=1$, and the induction step follows from + +$$ +x_{n+k+1}=A-\frac{1}{x_{n+k}}>A-1 \geqslant 1 +$$ + +Hence, there is at most one negative term if $A \geqslant 2$. + +Let us assume that $A<2$ holds and there is a sequence $\left(x_{n}\right)$ such that $x_{n}>0$ for all $n \geqslant N$. We write + +$$ +x_{n+2}+2 \leqslant x_{n+2}+x_{n+1}+\frac{1}{x_{n+1}}=x_{n+1}+A +$$ + +hence $x_{n+2} \leqslant x_{n+1}+(A-2)$ and thus $x_{n+k}<0$ for large enough $k$, contradiction. + +## Second Solution + +The case $A \geqslant 2$ is handled as in the above solution. + +In the case $A<2$ assume that only finitely many members of the sequence are positive. Without loss of generality we can assume all members are positive. We have that + +$$ +x_{n+1}=A-\frac{1}{x_{n}}0$. As we have that the sequence is bounded below by 0 and bounded above, we have that it has a limit, denote it $L>0$. Taking the limit of the recursive relation we obtain + +$$ +L=A-\frac{1}{L} \Longrightarrow A=L+\frac{1}{L} \geqslant 2 +$$ + +which is a contradiction. + +## Third Solution + +The case $A \geqslant 2$ is handled as in the above solution. + +Let us assume that there is a sequence $\left(x_{n}\right)$ such that $x_{n}>0$ for all $n \geqslant N$. Without loss of generality, we may assume that $x_{n}>0$ for all $n \geqslant 0$. Summing the first $n$ equalities we obtain + +$$ +x_{2}+\ldots+x_{n+1}+\frac{1}{x_{1}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}=n A +$$ + +Since $x_{k}+\frac{1}{x_{k}} \geqslant 2$ for $k=2, \ldots, n$, we get + +$$ +0 \leqslant x_{n+1}+\frac{1}{x_{1}} \leqslant n A-2(n-1)=2-n(2-A) +$$ + +For large enough $n$ this expression is negative so we get a contradiction. + +## Problem I-2 + +Let $m$ and $n$ be positive integers. Some squares of an $m \times n$ board are coloured red. A sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 r}$ of $2 r \geqslant 4$ pairwise distinct red squares is called a bishop circuit if for every $k \in\{1, \ldots, 2 r\}$, the squares $a_{k}$ and $a_{k+1}$ lie on a diagonal, but the squares $a_{k}$ and $a_{k+2}$ do not lie on a diagonal (here $a_{2 r+1}=a_{1}$ and $a_{2 r+2}=a_{2}$ ). + +In terms of $m$ and $n$, determine the maximum possible number of red squares on an $m \times n$ board without a bishop circuit. + +(Remark. Two squares lie on a diagonal if the line passing through their centres intersects the sides of the board at an angle of $45^{\circ}$.) + +## First Solution + +Obviously, for the tables $1 \times n$ and $n \times 1$, the largest number of black cells is $n$. Therefore, we assume that $m \geq 2$ a $n \geq 2$ for the rest of the solution. In the table $m \times n$, we can color the first two rows, the first column and the last column, which is $2 m+2 n-4$ black cells in total. It is easy to see that such a table contains no bishop circuit. + +Now we show that if there is no bishop circuit, there are at most $2 m+2 n-4$ black cells in the table $m \times n$. We denote the cell in $i$-th row and $j$-th column by $(i, j)$. The $k$-th positive diagonal is a set of cells $(i, j)$, such that $i+j-1=k$. Similarly, the $k$-th negative diagonal is a set of cells $(i, j)$, such that $n+i-j=k$. + +Consider a bipartite graph $G$ with partitions + +$$ +A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m+n-1}\right\} \quad \text { and } \quad B=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m+n-1}\right\} +$$ + +where the vertices $a_{i}$ and $b_{j}$ are connected by an edge if and only if the cell in the intersection of the $i$-th positive diagonal and the $j$-th negative diagonal is black. Notice that a bishop circuit corresponds to a circuit in $G$ and vice versa. + +The graph $G$ has at least two components: If we color the cells of the table alternately green and red like in chess, then the edges of $G$ corresponding to green cells lie in a different component that the edges of $G$ corresponding to red cells - it is not possible to move a bishop between a green and a red cell. + +Furthermore, $G$ has $2 n+2 m-2$ vertices. If $G$ is acyclic, then $G$ is a forest consisting of at least two trees. Therefore, $G$ contains at most $2 n+2 m-2-2=2 n+2 m-4$ edges and that is the upper bound on the number of black cells we wanted to prove. + +## Second Solution + +Denote by $S$ the coloring configuration from the first proof consisting of the first two rows and the first and the last column of the table. It is easy to see that $S$ does not contain the bishop circle. Also, $S$ is maximal in the sense that if we add any new cell to it, the new coloring will contain a bishop circle. + +We will show that any optimal coloring $C$ has the same number of cells as $S$ by transforming $C$ to $S$ by iterating the following steps: + +1) First we choose any cell $a$ which is in $S$, but not in $C$. If there is no such cell, we are done since maximality of $S$ and optimality of $C$ imply that $S=C$. +2) From the optimality of $C$ it follows that there is a bishop circle $B$ in the coloring $C \cup\{a\}$ containing $a$. Since $S$ does not contain a bishop circle, there is an element $b$ in cycle $B$ which is not in $S$. We replace coloring $C$ with the coloring $\tilde{C}=$ $(C \cup\{a\}) \backslash\{b\}$. + +To finish the proof, we need to show that $\tilde{C}$ is optimal. For that we need to prove that $B$ is a unique cycle in $C \cup\{a\}$ containing $a$. + +Assume the opposite. Let $a_{0}, a, a_{1}, \ldots a_{2 r}$ and $b_{0}, a, b_{1}, \ldots b_{2 s}$ be two bishop cycles in $C \cup\{a\}$ such that $a_{0}$ and $b_{1}$ (as well as $a_{1}$ and $b_{0}$ ) are on the same diagonal. Consider the cycle in $C$ (every two consecutive cells are on the same diagonal) + +$$ +a_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2 s}, b_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 r} +$$ + +It remains to prove that it contains a bishop circle which will contradict the optimality of $C$. + +Note that no three consecutive cells are on the same diagonal, so the only problem is if the cells are not pairwise different. Thus we can assume that we can write the cycle in the following form + +$$ +c_{1}, \ldots c_{k}, c_{1}, d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{t-1} +$$ + +where $t \geq k$. If we remove first $k$ cells we obtain the cycle + +$$ +c_{1}, d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{t-1} +$$ + +Furthermore, if $d_{t-1}, c_{1}$ and $d_{1}$ are on the same diagonal, we remove $c_{1}$. By repeating this procedure, we end up with the bishop's circuit. + +## Problem I-3 + +Let $A B C$ be an acute triangle and $D$ an interior point of segment $B C$. Points $E$ and $F$ lie in the half-plane determined by the line $B C$ containing $A$ such that $D E$ is perpendicular to $B E$ and $D E$ is tangent to the circumcircle of $A C D$, while $D F$ is perpendicular to $C F$ and $D F$ is tangent to the circumcircle of $A B D$. Prove that the points $A, D, E$ and $F$ are concyclic. + +## First solution + +Denote by $T$ the intersection point of $B E$ and $C F$. Clearly, $D, E, F, T$ are concyclic because of the right angle $D E T$ and $T F D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_bec995c17505bb1ad46ag-10.jpg?height=783&width=954&top_left_y=1005&top_left_x=611) + +The tangent line $D E$ gives $\angle A D E=\angle A C D$. Similarly $\angle F D A=\angle D B A$, therefore $\angle F D E=180^{\circ}-\angle B A C$. This gives + +$$ +\angle B T C=\angle E T F=180^{\circ}-\angle E D F=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\angle B A C\right)=\angle B A C +$$ + +which means that $B, C, A, T$ are also concyclic. With this we have + +$$ +\angle A T E=\angle A T B=\angle A C B=\angle A C D=\angle A D E +$$ + +which shows that $A, E, D, T$ are also concyclic. + +Therefore all points $A, D, E, F, T$ are concyclic. + +## Second solution + +Denote the angles of $A B C$ conventionally by $\alpha, \beta, \gamma$, also let $\angle B A D=x$ and $\angle D A C=y$. As in the previous solution, notice that $\angle F D E=180^{\circ}-\alpha$. It is enough to show that $\angle E A F=\alpha$. + +Because of the tangent line $D E$, it holds that $\angle D B E=90^{\circ}-\angle E D B=90^{\circ}-y$, and analogously $\angle F C D=90^{\circ}-x$. + +We will show that it cannot happen that both points $E$ and $F$ lie inside or outside $A B C$. If they both were outside, we would have $\angle D B E>\angle A B D$ and $\angle F C D>\angle A C D$, in other words $90^{\circ}-y>\beta$ and $90^{\circ}-x>\gamma$. The sum of these inequalities gives $180^{\circ}-x-y>\beta+\gamma$, which is a contradiction, since $x+y=\alpha$. Analogously, $E, F$, cannot be both inside. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_bec995c17505bb1ad46ag-11.jpg?height=828&width=977&top_left_y=997&top_left_x=631) + +Without loss of generality assume that $E$ is not outside $A B C$ (i.e. it is inside or on $A B$ ) and $F$ is not inside (i.e. it is outside or an $A C$ ). In order to show that $\angle E A F=\alpha$, it remains to show that triangles $A E B$ and $A F C$ are similar. + +We have $\angle E B A=\beta-\left(90^{\circ}-x\right)$ and $\angle F C A=\left(90^{\circ}-y\right)-\gamma$. These two angles are equal, since + +$$ +\beta-\left(90^{\circ}-x\right)-\left(\left(90^{\circ}-y\right)-\gamma\right)=x+y+\beta+\gamma-180^{\circ}=\alpha+\beta+\gamma-180^{\circ}=0 +$$ + +Now we can finish the proof by calculating ratios: + +$$ +\frac{B E}{C F}=\frac{B D \cdot \sin y}{C D \cdot \sin x}=\frac{B D}{\sin x} \cdot \frac{\sin y}{C D}=\frac{A B}{\sin \angle A D B} \cdot \frac{\sin \angle A D C}{A C}=\frac{A B}{A C} +$$ + +## Third Solution + +Let $G$ be the point on the line $F D$ such that the quadrilateral $A D C G$ is cyclic. + +Since $D F$ is tangent to the circumcircle of $A B D$ we have $\angle G A C=\angle G D C=\angle D A B$. Similarly, since $D E$ is tangent to the circumcircle of $A C D$ we have $\angle G C A=\angle G D A=$ $\angle F D A=\angle D B A$. We hence conclude that the triangles $A B D$ and $A C G$ are spirally similar with center at $A$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_bec995c17505bb1ad46ag-12.jpg?height=594&width=1076&top_left_y=751&top_left_x=410) + +Additionally, since $\angle F G C=\angle D G C=\angle D A C=\angle B D E$ and $\angle B E D=\angle C F G=90^{\circ}$ (and thus $\triangle B E D \sim \triangle C F G$ ), we have that the same spiral similarity maps the point $E$ to point $F$. From this we get $\angle E A F=\angle B A C$. + +Since $D E$ and $D F$ are tangent to the circumcircles of $A C D$ and $A B D$ respectively, we also have $\angle A D E=\angle A C D$ and $\angle F D A=\angle D B A$. Therefore, + +$$ +\angle F D E=\angle F D A+\angle A D E=\angle D B A+\angle A C D=180^{\circ}-\angle B A C +$$ + +By combining the above equalities, we get that $\angle E A F=\angle B A C=180^{\circ}-\angle F D E$ and thus $A, D, E, F$ are concyclic, as desired. + +## Problem I-4 + +Let $n \geqslant 3$ be an integer. Zagi the squirrel sits at a vertex of a regular $n$-gon. Zagi plans to make a journey of $n-1$ jumps such that in the $i$-th jump, it jumps by $i$ edges clockwise, for $i \in\{1, \ldots, n-1\}$. Prove that if after $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ jumps Zagi has visited $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+1$ distinct vertices, then after $n-1$ jumps Zagi will have visited all of the vertices. + +(Remark. For a real number $x$, we denote by $\lceil x\rceil$ the smallest integer larger or equal to $x$.) + +## Solution + +Number the vertices $0,1, \ldots, n-1$ clockwise starting at the vertex Zagi is on. After his $i$-th jump Zagi will be at a vertex numbered $1+2+\cdots+i=\frac{i(i+1)}{2}(\bmod n)$. We need to prove that if for all $k \in\left\{0,1,2, \ldots,\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right\}$ the fractions $\frac{k(k+1)}{2}$ achieve different values modulo $n$ then they achieve different values modulo $n$ even for all $k \in\{0,1,2, \ldots, n-1\}$. We will in fact prove two following claims: + +- for numbers of the form $n=2^{r}$, with $r \geq 2$, all $k \in\{0,1,2, \ldots, n-1\}$ the fractions $\frac{k(k+1)}{2}$ achieve different values mod $n$; +- for numbers of the form $n=2^{r} \cdot l$, with $r \geq 0$ and $l \geq 3$ odd, we have that there exist distinct $a, b \in\left\{0,1,2, \ldots,\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right\}$ such that $\frac{a(a+1)}{2} \equiv \frac{b(b+1)}{2}(\bmod n)$. + +Let us firstly observe $n$ of the form $2^{r}$, with $r \geq 2$. Let as assume that there are $1 \leq$ $bm>0$, we have $0 \leq bP\left(i_{j}\right)$. Note that $P$ is continuous, so by the intermediate value theorem, there exists $y \in\left(i_{j}, x\right)$ such that $P(y)=\min \left(\frac{P(x)+P\left(i_{j}\right)}{2}, P\left(i_{j}\right)+\frac{1}{2}\right) \in\left(P\left(i_{j}\right), P\left(i_{j}\right)+1\right)$. By continuity of $P$, there exists $\delta>0$ such that $(y-\delta, y+\delta) \subseteq S_{j}$. By ( ††), S(P) is infinite, which is a contradiction. + +Claim 3. For each $1 \leqslant j \leqslant k, P^{\prime}$ has at least $2\left|S_{j}\right|$ zeroes in $\left(i_{j}, i_{j}+1\right)$. + +Proof: Indeed, fix $j \in\{1, \ldots, k\}$ and let $S_{j}=\left\{x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}$, where we may assume $i_{j}x$ coins, the other $b-1$ bags in the $b$-tuple containing $a$ coins in total. Then we have $a+x0$, then $k(k p+1)=(p+1)(2 p+1)$. Firstly, after observing the equation modulo $p$ we can deduce that $p \mid k-1$. Secondly, the equation can be written as quadratic equation in $p$ : + +$$ +2 p^{2}+\left(3-k^{2}\right) p+1-k=0 +$$ + +Its discriminant is $D=\left(k^{2}-3\right)^{2}+8(k-1)$. If $k=1$ we obtain $n=p$, but this does not lead to any solution. If $k>1$, then $D$ is strictly greater than $\left(k^{2}-3\right)^{2}$. To be a perfect square, $D$ must be greater than or equal to $\left(k^{2}-2\right)^{2}$. Hence we obtain + +$$ +\left(k^{2}-3\right)^{2}+8(k-1) \geq\left(k^{2}-2\right)^{2} \Longrightarrow 2(k-2)^{2} \geq 5 +$$ + +which holds only for $k=1,2,3$. The case $k=1$ is already solved. The case $k=2$ implies that $p \mid 2-1=1$, which leads to contradiction. In the case $k=3$, we similarly obtain that $p$ must be equal to 2 , but the pair $(k, p)=(3,2)$ does not satisfy the equation $k(k p+1)=(p+1)(2 p+1)$. + +In the second case, if $p \mid n+1$, then we again introduce positive integer $k$ such that $n+1=k p$ and obtain equation $k(k p-1)=(p+1)(2 p+1)$. Now we have that $p \mid k+1$, and the quadratic equation in terms of $p$ is + +$$ +2 p^{2}+\left(3-k^{2}\right) p+1+k=0 +$$ + +It discriminant $D=\left(k^{2}-3\right)^{2}-8(k+1)$ is less than $\left(k^{2}-3\right)^{2}$, so it must be less than or equal to $\left(k^{2}-4\right)^{2}$ : + +$$ +\left(k^{2}-3\right)^{2}-8(k+1) \leq\left(k^{2}-4\right)^{2} \Longrightarrow 2(k-2)^{2} \leq 23 +$$ + +We conclude $k \leq 5$. Since $p \mid k+1$, we have that $p$ divides one of the numbers $2,3,4,5,6$, so we have $p \in\{2,3,5\}$. After we plug in those choices for $p$ in (2), we obtain the only solution $(n, p)=(5,2)$. + +## Problem T-8 + +Prove that there are infinitely many positive integers $n$ such that $n^{2}$ written in base 4 contains only digits 1 and 2 . + +## Solution + +We prove that there are infinitely many $n$ 's such that $n^{2}$ written in base 4 contains only 1 and 2 , with the first and last digit being 1 . One example is $n=5$, for which $n^{2}=25=121_{4}$. + +Now we describe how for given such $n$ we can obtain another, bigger one, which satisfies these requirements as well. Let $n^{2}$ have $k$ digits in base 4 and satisfy aforementioned requirements. Now let us consider the number $n^{\prime}=2^{2 k-1} n+n$. Then we have + +$$ +n^{\prime 2}=\left(2^{2 k-1} n+n\right)^{2}=4^{2 k-1} n^{2}+2 \cdot 2^{2 k-1} n^{2}+n^{2}=4^{2 k-1} n^{2}+4^{k} n^{2}+n^{2} +$$ + +In base 4 this number consists of three copies of $n^{2}$, with the first one $\left(n^{2}\right)$ ending on the right, the second one $\left(4^{k} n^{2}\right)$ ending right before the beginning of first one and the third one ( $4^{2 k-1} n^{2}$ ) overlapping by its last digit with first digit of second one. As both first and last digit of $n^{2}$ are 1 , in this place 2 digits 1 get summed to digit 2. Otherwise there are no other places where two non-zero digits would overlap, neither is there any 'empty space' which would get filled by zeros, so $n^{\prime 2}$ contains only digits 1 and 2. Furthermore, first and last digit of ${n^{\prime 2}}^{2}$ is same as first and last digit of $n^{2}$, so this property also remains. + +By repeating this construction one gets an infinite sequence of numbers satisfying the problem statement. + diff --git a/MEMO/md/en-2023-solutions.md b/MEMO/md/en-2023-solutions.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed5da2d684f7ed67dfa18e5d74c9f7dea003401c --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2023-solutions.md @@ -0,0 +1,397 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_561ea782a1b8d6052093g-01.jpg?height=1218&width=838&top_left_y=165&top_left_x=566) + +Solution Booklet + +## The Problem Selection Committee + +Danil Koževnikov (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +Martin Melicher (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +Michal Pecho (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) Marián Poturnay (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +Martin Vodička (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +gratefully received +118 problem proposals submitted by 6 countries: +Austria - Croatia - Czech Republic - Hungary - Poland Slovakia + +The selected problems were submitted by: + +- I-1: Walther Janous (Austria) +- I-2: Josef Tkadlec (Czech Republic) +- I-3: Patrik Bak (Slovakia) +- I-4: Michael Reitmeir (Austria) +- T-1: Josef Tkadlec (Czech Republic) +- T-2: Walther Janous (Austria) +- T-3: Jozef Rajník (Slovakia) +- T-4: Ivan Novak (Croatia) +- T-5: Patrik Bak (Slovakia) +- T-6: Dominik Burek (Poland) +- T-7: Josef Tkadlec (Czech Republic) +- T-8: Ivan Novak (Croatia) + + +## Contents + +Individual ..... 5 +[-1] ..... 5 +I-2 ..... 6 +I-3 ..... 7 +I-4] ..... 9 +Team ..... 11 +T-1 ..... 11 +T-2 ..... 13 +T-3. ..... 14 +T-4 ..... 16 +T-5. ..... 18 +T-6 ..... 19 +T-7 ..... 21 +T-8 ..... 23 + +## I-1 + +Let $\mathbb{R}$ denote the set of all real numbers. For each pair $(\alpha, \beta)$ of nonnegative real numbers subject to $\alpha+\beta \geq 2$, determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying + +$$ +f(x) f(y) \leq f(x y)+\alpha x+\beta y +$$ + +for all real numbers $x$ and $y$. + +Solution. We know $f(x) f(y) \leq f(x y)+\alpha x+\beta y$ and by exchanging $x$ and $y$ we get $f(x) f(y) \leq$ $f(x y)+\beta x+\alpha y$. Combining the two we get + +$$ +f(x) f(y) \leq f(x y)+\gamma x+\gamma y +$$ + +where $\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}$. Notice that $\gamma \geq 1$. +Setting $x=y=-1$ in (1) we get $f(-1)^{2} \leq f(1)-2 \gamma$, so $f(1) \geq 2 \gamma$. Setting $x=y=1$ in (1) we get $f(1)^{2} \leq f(1)+2 \gamma$, so $f(1)^{2}-f(1) \leq 2 \gamma$. Since $f(1) \geq 2 \gamma \geq 2$ and $t^{2}-t$ is an increasing function for $t \geq 2$, we have $(2 \gamma)^{2}-2 \gamma \leq f(1)^{2}-f(1) \leq 2 \gamma$, hence $4 \gamma^{2} \leq 4 \gamma$, so $\gamma \leq 1$. Therefore, $\gamma=1$. + +We know that $f(1) \geq 2$ and $f(1)^{2}-f(1) \leq 2$, thus necessarily $f(1)=2$. We also know $f(-1) \leq f(1)-2 \gamma=0$, so $f(-1)=0$. + +Setting $x=z, y=1$ in (1) we get $2 f(z) \leq f(z)+z+1$, so $f(z) \leq z+1$. Setting $x=-z$, $y=-1$ in (1) we get $0 \leq f(z)-z-1$, so $f(z) \geq z+1$. It follows that the only function which can possibly satisfy the problem statement is + +$$ +f(z)=z+1 +$$ + +It remains to check for which $\alpha$ and $\beta$ this is indeed a solution. +Substituting $f$ into original inequality, we get $(x+1)(y+1) \leq(x y+1)+\alpha x+\beta y$, thus $(1-\alpha) x+(1-\beta) y \leq 0$. This holds for all $x, y$ iff $\alpha=\beta=1$. Hence, for $(\alpha, \beta)=(1,1)$ the only solution is $f(z)=z+1$ and for $(\alpha, \beta) \neq(1,1)$ there are no solutions. + +## I-2 + +Find all integers $n \geq 3$ for which it is possible to draw $n$ chords of one circle such that their $2 n$ endpoints are pairwise distinct and each chord intersects precisely $k$ other chords for: +(a) $k=n-2$, +(b) $k=n-3$. + +Remark. A chord of a circle is a line segment whose both endpoints lie on the circle. + +Answer. (a) All even $n$. (b) All $n \geq 3$. + +Solution. (a) Every chord avoids precisely one other chord, hence the avoiding chords form pairs and $n$ must be even. On the other hand, for any even $n \geq 2$ the construction is simple (see the left figure). +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_561ea782a1b8d6052093g-06.jpg?height=201&width=1693&top_left_y=1170&top_left_x=184) +(b) For $n=3,4,5,8$ we can draw the chords as in the middle figure. From an admissible drawing with $n=3,4,8$, we can build an admissible drawing with $n+3 k$ by adding $k$ triples of parallel lines within the gray strip: Each existing chord crosses all the newly added chords, so it avoids precisely the 2 other chords it avoided before. Each newly added chord crosses all other chords except the other two chords in its triple. + +Another Solution to (b). Another way to look at the construction in part (2) is as follows: Consider two "blocks" $T$ and $F$ of three and four chords, respectively, shown below in the left figure. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_561ea782a1b8d6052093g-06.jpg?height=234&width=1363&top_left_y=2048&top_left_x=182) + +Note that each chord misses exactly two other chords from its block, so any time we place several blocks such that any two chords from different blocks cross, we obtain an admissible drawing (see the middle figure). Since all integers $n \geq 3$ except $n=5$ can be expressed as a sum of several 3's and 4's (by a casework mod 3, or by the Frobenius coin problem aka the ChickenMcNugget theorem), it remains to find an admissible drawing for $n=5$. For that, see the right figure. + +## I-3 + +Let $A B C$ be a triangle with incenter $I$. The incircle $\omega$ of $A B C$ is tangent to the line $B C$ at point $D$. Denote by $E$ and $F$ the points satisfying $A I\|B E\| C F$ and $\angle B E I=\angle C F I=90^{\circ}$. Lines $D E$ and $D F$ intersect $\omega$ again at points $E^{\prime}$ and $F^{\prime}$, respectively. Prove that $E^{\prime} F^{\prime} \perp$ AI. + +Solution 1. Our goal essentially is to prove that the circumcirle of $D E F$ is tangent to the incircle - that would immediately mean $E F \| E^{\prime} F^{\prime}$, which together with $E F \perp A I$ gives the desired result. In order to prove that we just need to show $\angle B D E=\angle E F D$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_561ea782a1b8d6052093g-07.jpg?height=666&width=891&top_left_y=906&top_left_x=591) + +Notice that quadrilaterals $B D I E, D C F I$ are cyclic due to right angles $B D I, B E I, I D C, I F C$. It it well-known that the circumcenter of $B I C$ lies on $A I$ (in fact, it is the second intersection of $A I$ with the circumcircle of $A B C)$. This means that line $E I F$ is tangent to the circumcircle of $B I C$. With all these facts, we just need to perform simple angle chasing: + +$$ +\angle B D E=\angle B I E=\angle I C B=\angle I C D=\angle I F D=\angle E F D . +$$ + +Solution 2. Denote by $B^{\prime}$ and $C^{\prime}$ the projections of $I$ on $A C$ and $A B$, respectively. The right angles gives us that $C, F, B^{\prime}, D$ lie on a circle. Angle chasing using $A I \| C F$ then gives: + +$$ +\angle F^{\prime} I B^{\prime}=2 \angle F^{\prime} D B^{\prime}=2 \angle F D B^{\prime}=2 \angle F C B^{\prime}=2 \angle I A C=\angle B A C +$$ + +Furthermore, we angle chase that: + +$$ +\angle F I B^{\prime}=90^{\circ}-\angle A I B^{\prime}=\angle I A C=\frac{\angle B A C}{2} +$$ + +So we get that: + +$$ +\angle F^{\prime} I F=\angle F^{\prime} I B^{\prime}-\angle F I B^{\prime}=\angle B A C-\frac{\angle B A C}{2}=\frac{\angle B A C}{2} +$$ + +Analogously, $\angle E^{\prime} I E=\frac{\angle B A C}{2}$, so the line $E I F$ is an external angle bisector in the triangle $E^{\prime} I F^{\prime}$. Since $A I \perp E F$, the line $A I$ is an internal angle bisector in the triangle $E^{\prime} I F^{\prime}$. But triangle $E^{\prime} I F^{\prime}$ is isosceles, hence the line $A I$ is also an altitude, so $A I \perp E^{\prime} F^{\prime}$. + +## I-4 + +Let $n$ and $m$ be positive integers. We call a set $S$ of positive integers $(n, m)$-good if it satisfies the following three conditions: +(i) We have $m \in S$. +(ii) For all $a \in S$, all of the positive divisors of $a$ are elements of $S$ too. +(iii) For all mutually different numbers $a, b \in S$, we have $a^{n}+b^{n} \in S$. + +Determine all pairs $(n, m)$ such that the set of all positive integers is the only $(n, m)$-good set. + +Answer. The set $\mathbb{Z}_{\geq 1}$ is the only $(m, n)$-good set if and only if $n$ is odd and $m \geq 2$. + +Solution. For $m=1$ we have that $\{1\}$ is $(m, n)$-good. For the rest of the solution we assume $m \geq 2$. + +- $n$ is odd + +Let $S$ be $(m, n)$-good set. Since $x+y \mid x^{n}+y^{n}$, for $x, y \in S$ with $x \neq y$ we have $x+y \in S$. Since $1 \mid m$, it implies $1 \in S$ and also $m+1 \in S$. By induction, all positive integers greater than $m$ are in $S$. Moreover, every postive integer smaller than $m$ has a multiple which is greater than $m$. This implies that $S=\mathbb{Z}_{\geq 1}$. + +- $n$ is even + +Let $n=2 k$ and let $p$ be a prime coprime to $m$ such that $p \equiv 3 \bmod 4$. Such prime exists since there are infinitely many primes with remainder 3 modulo 4 (this well-known fact follows for example from Dirichlet's theorem). Let $S=\left\{x \in \mathbb{Z}_{\geq 1}: p \nmid x\right\}$. We will show that $S$ is $(m, n)$-good set. Clearly, the first two conditions are satisfied. Consider two distinct elements $x, y \in S$ such that + +$$ +x^{2 k} \equiv-y^{2 k} \quad \bmod p +$$ + +By exponentiating this congruence to the power of $\frac{p-1}{2}$, we obtain + +$$ +x^{k(p-1)} \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot y^{k(p-1)} \quad \bmod p, +$$ + +form which it follows that + +$$ +1 \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}} \quad \bmod p +$$ + +Since $p \equiv 3 \bmod 4,(p-1) / 2$ is an odd number, thus $(-1)^{\frac{p-1}{2}}=-1$ is a contradiction. Therefore, $S$ is $(m, n)$-good set. + +Comment. The end of the solution can be replaced by stating the well-known fact that for $p \equiv 3(\bmod 4)$ we have $p\left|x^{2}+y^{2} \Rightarrow p\right| x, y$. + +## T-1 + +Let $\mathbb{Z}$ denote the set of all integers and $\mathbb{Z}_{>0}$ denote the set of all positive integers. +(a) A function $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ is called $\mathbb{Z}$-good if it satisfies $f\left(a^{2}+b\right)=f\left(b^{2}+a\right)$ for all $a, b \in \mathbb{Z}$. Determine the largest possible number of distinct values that can occur among $f(1), f(2), \ldots, f(2023)$, where $f$ is a $\mathbb{Z}$-good function. +(b) A function $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ is called $\mathbb{Z}_{>0}$-good if it satisfies $f\left(a^{2}+b\right)=f\left(b^{2}+a\right)$ for all $a, b \in \mathbb{Z}_{>0}$. Determine the largest possible number of distinct values that can occur among $f(1), f(2), \ldots, f(2023)$, where $f$ is a $\mathbb{Z}_{>0^{-}}$good function. + +Solution. The answer is (a) 2 and (b) 1077. +(a) Note that + +$$ +f\left(a^{2}+b\right)=f\left(b^{2}+a\right)=f\left((-b)^{2}+a\right)=f\left(a^{2}-b\right) +$$ + +In particular, by setting $a \in\{0,1\}$ we get $f(b)=f(-b)$ and $f(1+b)=f(1-b)$. This then yields + +$$ +f(2+b)=f(1+(1+b))=f(1-(1+b))=f(-b)=f(b) +$$ + +hence by induction the function must be constant on even integers and (separately) on odd integers. On the other hand, a function $f(n)=n(\bmod 2)$ satisfies the requirements and attains 2 distinct values on $\{1, \ldots, 2023\}$. +(b) Given two positive integers $mb>0$. Then either $n=a, k=b$ (in which case we obtain a parent $k^{2}+na$, a contradiction. +(d) For any $n \geq 2$, the $n+2$ numbers in $B_{n}=\left\{n^{2}+n, \ldots, n^{2}+2 n+1\right\}$ do not have a parent: Let $n \leq k \leq 2 n+1$ and assume that $n^{2}+k=a^{2}+b$ with $a>b>0$. Since $n^{2}+k<(n+1)^{2}+1$, we must have $a \leq n$ but then $b \geq k \geq n \geq a$, a contradiction. + +Note that as $n \in \mathbb{N}$ varies, the sets $A_{n}, B_{n}$ form a partition of $\mathbb{N} \backslash S$, hence each positive integer has at most one parent. In other words, if we process the positive integers in increasing order, for any currently processed integer $n$ there will always be at most one parent, and thus at most one requirement on which value to assign to $f(n)$. Therefore, as we process the integers, to any +integer $n$ without a parent we can always safely assign any value $f(n)$. (Clearly, when $n$ has a parent $m$, we must assign $f(n)=f(m)$.) The answer is the number of integers $n \in\{1, \ldots, 2023\}$ with no parent. Since $2023=44^{2}+87$, this is + +$$ +|S|+\left(\sum_{i=2}^{43}(i+2)\right)+(87-44+1)=1077 +$$ + +Comment. It is possible to ask only for the answer to the part (b). + +## T-2 + +Let $a, b, c$ and $d$ be positive real numbers with $a b c d=1$. Prove that + +$$ +\frac{a b+1}{a+1}+\frac{b c+1}{b+1}+\frac{c d+1}{c+1}+\frac{d a+1}{d+1} \geq 4 +$$ + +and determine all quadruples $(a, b, c, d)$ for which equality holds. + +Solution. By assumption we have + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a b+1}{a+1}+\frac{b c+1}{b+1}+\frac{c d+1}{c+1}+\frac{d a+1}{d+1} & =\left(\frac{a b+1}{a+1}+\frac{c d+a b c d}{c+1}\right)+\left(\frac{b c+1}{b+1}+\frac{d a+a b c d}{d+1}\right)= \\ +& =(a b+1)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{c d}{c+1}\right)+(b c+1)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{a d}{d+1}\right)= \\ +& =(a b+1)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a b c+a b}\right)+(b c+1)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b c d+b c}\right) +\end{aligned} +$$ + +When estimating the parentheses by the inequality of the arithmetic-harmonic mean (i. e. $1 / u+1 / v \geq 4 /(u+v)$ for positive real numbers $u$ and $v$ with equality iff $u=v)$, we see that the above expression is at least + +$$ +\begin{aligned} +(a b+1) \frac{4}{a+1+a b c+a b}+(b c+1) \frac{4}{b+1+b c d+b c} & =\frac{4(a b+1)}{a+1+a b c+a b}+\frac{4(b c+1) \cdot a}{(b+1+b c d+b c) \cdot a}= \\ +& =\frac{4(a b+1)}{a+1+a b c+a b}+\frac{4(a b c+a)}{a b+a+1+a b c}= \\ +& =\frac{4(a b+1+a b c+a)}{1+a+a b+a b c}=4 +\end{aligned} +$$ + +Equality holds iff $a+1=a b c+a b$ and $b+1=b c d+b c \Leftrightarrow a b+a=1+a b c$. Addition of these equations yields $2 a=2 a b c$, that is $b c=1$. Plugging this into the first equation, we also get $1=a b$. Therefore $a b=b c=c d=1$, which implies $a=c$ and $b=d=1 / a$. Indeed, these conditions suffice, as is readily checked. Thus, equality holds iff $(a, b, c, d)=\left(t, \frac{1}{t}, t, \frac{1}{t}\right)$ for some positive real $t$. + +## T-3 + +Find the smallest integer $b$ with the following property: For each way of colouring exactly $b$ squares of an $8 \times 8$ chessboard green, one can place 7 bishops on 7 green squares so that no two bishops attack each other. + +Remark. Two bishops attack each other if they are on the same diagonal. + +Solution. Let us place 40 bishops on 6 diagonals as shown in Figure 2, If we select any 7 of the placed bishops, by Pigeon hole principle, at least two of the selected bishops are on the same diagonal, so they attack each other. Thus, the number $b$ of selected bishops is at least 41. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_561ea782a1b8d6052093g-14.jpg?height=435&width=441&top_left_y=1093&top_left_x=813) + +Figure 1 + +Now, suppose for a contrary, that there is a placement of 41 bishops such there are not 7 non-attacking bishops. Divide all tiles to 8 groups as shown in Figure ??. It is easy to see that any two bishops belonging to the same group do not attack each other. Therefore, each group contains at most 6 bishops. Moreover, groups 7 and 8 contain at most 2 bishops due to their size. Therefore, we have at most $6 \cdot 6+2 \cdot 2=40$ bishops, which is a contradiction. Therefore, from any placement of 41 bishops, it is possible to select some 7 of them such that no two attack each other. This, together with the lower bound of $b \geq 41$ finishes this solution. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_27_561ea782a1b8d6052093g-14.jpg?height=421&width=420&top_left_y=2131&top_left_x=818) + +Figure 2 + +Comment (1). A weaker upper bound of 49 can be shown as follows: Consider a placement of 49. bishops. We have 8 rows and $49 / 8>6$, so by Pigeon hole principle, there is a row with at least 7 bishops. Clearly, bishops in the same row do not attack each other. + +Comment (2). This problem can be generalised for larger dimensions of the chessboard and also larger number of sought non-attacking bishops. + +## T-4 + +Let $c \geq 4$ be an even integer. In some football league, each team has a home uniform and an away uniform. Every home uniform is coloured in two different colours, and every away uniform is coloured in one colour. A team's away uniform cannot be coloured in one of the colours from the home uniform. There are at most $c$ distinct colours on all of the uniforms. If two teams have the same two colours on their home uniforms, then they have different colours on their away uniforms. + +We say a pair of uniforms is clashing if some colour appears on both of them. Suppose that for every team $X$ in the league, there is no team $Y$ in the league such that the home uniform of $X$ is clashing with both uniforms of $Y$. Determine the maximum possible number of teams in the league. + +Answer. We claim the answer is $\frac{n^{3}}{8}-\frac{n^{2}}{4}$. + +Solution. We first give an example of a league with $\frac{n^{3}}{8}-\frac{n^{2}}{4}$ teams. +Split the colours in two sets of size $n / 2$. Let $m=n / 2$ and let $c_{1}, \ldots, c_{m}$ and $d_{1}, \ldots, d_{m}$ be the colours in those sets. + +Consider all pairs of kits of the form $\left(\left\{c_{i}, c_{j}\right\}, d_{k}\right)$ or $\left(\left\{d_{i}, d_{j}\right\}, c_{k}\right)$, where $ib$ satisfying + +$$ +n=\frac{4 a b}{a-b} . +$$ + +Answer. Any composite $n \neq 4$. + +Solution. We say that $n$ is good if there exist such positive integers $a$ and $b$ (and bad otherwise). + +First, we show that $n=4$ is bad. Suppose otherwise. Then there exist positive integers $a, b$ such that + +$$ +4=\frac{4 a b}{a-b} +$$ + +But this rewrites as $(a+1)(b-1)=-1$ and the left-hand side is non-negative for any two positive integers $a, b$, a contradiction. + +Now consider $n \geq 6$. We make three observations. +First, note that if $n$ is good then any its multiple $n^{\prime}=k \cdot n$ is also good - it suffices to take $a^{\prime}=k \cdot a$ and $b^{\prime}=k \cdot b$. In particular, for $a=2, b=1$ we have $4 a b /(a-b)=8$, hence all multiples of 8 are good. + +Second, take any positive integer $t$ of the form $t=4 k+1$. By setting $a=t, b=1$ we get + +$$ +\frac{4 a b}{a-b}=\frac{4 \cdot t}{4 k}=\frac{t}{k} +$$ + +hence by setting $a=t \cdot k, b=k$ we obtain that any multiple of any number of the form $t=4 k+1$ is good. + +Third, likewise, take any positive integer $t$ of the form $t=4 k-1$. By setting $a=t, b=1$ we get + +$$ +\frac{4 a b}{a-b}=\frac{4 \cdot t}{4 k-2}=\frac{2 t}{2 k-1} +$$ + +hence every multiple of double of any number of the form $t=4 k-1$ is good. +Now we combine the observations. Consider any composite number $n \geq 6$. If the prime factorization of $n$ contains a prime of the form $4 k+1$ then $n$ is good (by the second observation). Similarly, if $n$ contains at least two (not necessarily distinct) primes of the form $4 k-1$ then their product is of the form $4 k+1$, and thus $n$ is good (by the second observation). If $n$ contains a prime of the form $4 k-1$ and it is even, then $n$ is also good (by the third observation). Thus, +it remains to consider the powers of 2 . But we know that all multiples of 8 are good (by the first observation) and 4 is bad, so we are done. + +## T-8 + +Let $A$ and $B$ be positive integers. Consider a sequence of positive integers $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ such that + +$$ +x_{n+1}=A \cdot \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B \quad \text { for every } n \geq 2 +$$ + +Prove that the sequence attains only finitely many different values. +Remark. We denote by $\operatorname{gcd}(a, b)$ the greatest common divisor of positive integers $a$ and $b$. + +Solution. Let $n \geq 2$ be a positive integer such that $x_{n+1}>x_{n}$. Then + +$$ +\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}<\frac{x_{n+1}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}=A+\frac{B}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)} \leq A+B . +$$ + +Furthermore, + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n+1}\right) & =\operatorname{gcd}\left(x_{n}, A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) \\ +& \leq \operatorname{gcd}\left(\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right), A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) \cdot \operatorname{gcd}\left(\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}, A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) \\ +& =\operatorname{gcd}\left(\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right), B\right) \cdot \operatorname{gcd}\left(\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}, A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) +\end{aligned} +$$ + +where we first used the fact that $\operatorname{gcd}(a b, c) \leq \operatorname{gcd}(a, c) \operatorname{gcd}(b, c)$, and then used the Euclidean algorithm on the left factor of the right hand side. + +Now we'll bound each of the factors by constants. The left factor is not greater than $B$, and the right factor is not greater than $\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}$, which is less than or equal to $A+B$. We conclude that + +$$ +\operatorname{gcd}\left(x_{n+1}, x_{n}\right) \leq B(A+B) +$$ + +which implies $x_{n+2} \leq A B(A+B)+B$. +We say an element of the sequence is big if it is greater than $A B(A+B)+B$, and small otherwise. The sequence is either eventually decreasing, or it contains a small element, since $x_{n+2}$ is small whenever $x_{n+1}>x_{n}$. + +We've proven that whenever $x_{j}$ is small, either $x_{j+1} \leq x_{j}$ and hence $x_{j+1}$ is also small, or $x_{j+2}$ is small. This means that from some point in the sequence onwards there are no two consecutive big elements, but then all but finitely many elements of the sequence are not greater than $A(A B(A+B)+B)+B$, because either they're small or the previous element of the sequence is small. + +Since we bounded all but finitely many elements of the sequence, the claim is proven. + diff --git a/MEMO/md/en-2023solutions.md b/MEMO/md/en-2023solutions.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e175b71bac4d25ed1a18641e89c8c87e2e9ad0f9 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2023solutions.md @@ -0,0 +1,431 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_775ea5fd909fa7632c76g-01.jpg?height=1225&width=834&top_left_y=158&top_left_x=565) + +Solution Booklet + +## The Problem Selection Committee + +Danil Koževnikov (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) + +Martin Melicher (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) + +Michal Pecho (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) Marián Poturnay (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) + +Martin Vodička (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) + +gratefully received + +118 problem proposals submitted by 6 countries: + +Austria - Croatia - Czech Republic - Hungary - Poland Slovakia + +The selected problems were submitted by: + +- I-1: Walther Janous (Austria) +- I-2: Josef Tkadlec (Czech Republic) +- I-3: Patrik Bak (Slovakia) +- I-4: Michael Reitmeir (Austria) +- T-1: Josef Tkadlec (Czech Republic) +- T-2: Walther Janous (Austria) +- T-3: Jozef Rajník (Slovakia) +- T-4: Ivan Novak (Croatia) +- T-5: Patrik Bak (Slovakia) +- T-6: Dominik Burek (Poland) +- T-7: Josef Tkadlec (Czech Republic) +- T-8: Ivan Novak (Croatia) + + +## Contents + +Individual ..... 5 +I-1 ..... 5 +I-2 ..... 6 +I-3 ..... 7 +I-4 ..... 9 +Team ..... 11 +T-1 ..... 11 +T-2. ..... 13 +T-3. ..... 14 +T-4 ..... 16 +T-5. ..... 18 +T-6. ..... 19 +T-7. ..... 21 +T-8 . ..... 23 + +## $\mathrm{I}-1$ + +Let $\mathbb{R}$ denote the set of all real numbers. For each pair $(\alpha, \beta)$ of nonnegative real numbers subject to $\alpha+\beta \geq 2$, determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying + +$$ +f(x) f(y) \leq f(x y)+\alpha x+\beta y +$$ + +for all real numbers $x$ and $y$. + +Solution. We know $f(x) f(y) \leq f(x y)+\alpha x+\beta y$ and by exchanging $x$ and $y$ we get $f(x) f(y) \leq$ $f(x y)+\beta x+\alpha y$. Combining the two we get + +$$ +f(x) f(y) \leq f(x y)+\gamma x+\gamma y +$$ + +where $\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}$. Notice that $\gamma \geq 1$. + +Setting $x=y=-1$ in (1) we get $f(-1)^{2} \leq f(1)-2 \gamma$, so $f(1) \geq 2 \gamma$. Setting $x=y=1$ in (1) we get $f(1)^{2} \leq f(1)+2 \gamma$, so $f(1)^{2}-f(1) \leq 2 \gamma$. Since $f(1) \geq 2 \gamma \geq 2$ and $t^{2}-t$ is an increasing function for $t \geq 2$, we have $(2 \gamma)^{2}-2 \gamma \leq f(1)^{2}-f(1) \leq 2 \gamma$, hence $4 \gamma^{2} \leq 4 \gamma$, so $\gamma \leq 1$. Therefore, $\gamma=1$. + +We know that $f(1) \geq 2$ and $f(1)^{2}-f(1) \leq 2$, thus necessarily $f(1)=2$. We also know $f(-1) \leq f(1)-2 \gamma=0$, so $f(-1)=0$. + +Setting $x=z, y=1$ in (1) we get $2 f(z) \leq f(z)+z+1$, so $f(z) \leq z+1$. Setting $x=-z$, $y=-1$ in (1) we get $0 \leq f(z)-z-1$, so $f(z) \geq z+1$. It follows that the only function which can possibly satisfy the problem statement is + +$$ +f(z)=z+1 +$$ + +It remains to check for which $\alpha$ and $\beta$ this is indeed a solution. + +Substituting $f$ into original inequality, we get $(x+1)(y+1) \leq(x y+1)+\alpha x+\beta y$, thus $(1-\alpha) x+(1-\beta) y \leq 0$. This holds for all $x, y$ iff $\alpha=\beta=1$. Hence, for $(\alpha, \beta)=(1,1)$ the only solution is $f(z)=z+1$ and for $(\alpha, \beta) \neq(1,1)$ there are no solutions. + +## $\mathrm{I}-2$ + +Find all integers $n \geq 3$ for which it is possible to draw $n$ chords of one circle such that their $2 n$ endpoints are pairwise distinct and each chord intersects precisely $k$ other chords for: + +(a) $k=n-2$, + +(b) $k=n-3$. + +Remark. A chord of a circle is a line segment whose both endpoints lie on the circle. + +Answer. (a) All even $n$. (b) All $n \geq 3$. + +Solution. (a) Every chord avoids precisely one other chord, hence the avoiding chords form pairs and $n$ must be even. On the other hand, for any even $n \geq 2$ the construction is simple (see the left figure). +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_775ea5fd909fa7632c76g-06.jpg?height=194&width=1696&top_left_y=1174&top_left_x=181) + +(b) For $n=3,4,5,8$ we can draw the chords as in the middle figure. From an admissible drawing with $n=3,4,8$, we can build an admissible drawing with $n+3 k$ by adding $k$ triples of parallel lines within the gray strip: Each existing chord crosses all the newly added chords, so it avoids precisely the 2 other chords it avoided before. Each newly added chord crosses all other chords except the other two chords in its triple. + +Another Solution to (b). Another way to look at the construction in part (2) is as follows: Consider two "blocks" $T$ and $F$ of three and four chords, respectively, shown below in the left figure. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_775ea5fd909fa7632c76g-06.jpg?height=230&width=1370&top_left_y=2046&top_left_x=181) + +Note that each chord misses exactly two other chords from its block, so any time we place several blocks such that any two chords from different blocks cross, we obtain an admissible drawing (see the middle figure). Since all integers $n \geq 3$ except $n=5$ can be expressed as a sum of several 3's and 4's (by a casework mod 3, or by the Frobenius coin problem aka the ChickenMcNugget theorem), it remains to find an admissible drawing for $n=5$. For that, see the right figure. + +## $\mathrm{I}-3$ + +Let $A B C$ be a triangle with incenter $I$. The incircle $\omega$ of $A B C$ is tangent to the line $B C$ at point $D$. Denote by $E$ and $F$ the points satisfying $A I\|B E\| C F$ and $\angle B E I=\angle C F I=90^{\circ}$. Lines $D E$ and $D F$ intersect $\omega$ again at points $E^{\prime}$ and $F^{\prime}$, respectively. Prove that $E^{\prime} F^{\prime} \perp$ $A I$. + +Solution 1. Our goal essentially is to prove that the circumcirle of $D E F$ is tangent to the incircle - that would immediately mean $E F \| E^{\prime} F^{\prime}$, which together with $E F \perp A I$ gives the desired result. In order to prove that we just need to show $\angle B D E=\angle E F D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_775ea5fd909fa7632c76g-07.jpg?height=671&width=893&top_left_y=904&top_left_x=593) + +Notice that quadrilaterals $B D I E, D C F I$ are cyclic due to right angles $B D I, B E I, I D C, I F C$. It it well-known that the circumcenter of $B I C$ lies on $A I$ (in fact, it is the second intersection of $A I$ with the circumcircle of $A B C$ ). This means that line $E I F$ is tangent to the circumcircle of BIC. With all these facts, we just need to perform simple angle chasing: + +$$ +\angle B D E=\angle B I E=\angle I C B=\angle I C D=\angle I F D=\angle E F D +$$ + +Solution 2. Denote by $B^{\prime}$ and $C^{\prime}$ the projections of $I$ on $A C$ and $A B$, respectively. The right angles gives us that $C, F, B^{\prime}, D$ lie on a circle. Angle chasing using $A I \| C F$ then gives: + +$$ +\angle F^{\prime} I B^{\prime}=2 \angle F^{\prime} D B^{\prime}=2 \angle F D B^{\prime}=2 \angle F C B^{\prime}=2 \angle I A C=\angle B A C +$$ + +Furthermore, we angle chase that: + +$$ +\angle F I B^{\prime}=90^{\circ}-\angle A I B^{\prime}=\angle I A C=\frac{\angle B A C}{2} +$$ + +So we get that: + +$$ +\angle F^{\prime} I F=\angle F^{\prime} I B^{\prime}-\angle F I B^{\prime}=\angle B A C-\frac{\angle B A C}{2}=\frac{\angle B A C}{2} +$$ + +Analogously, $\angle E^{\prime} I E=\frac{\angle B A C}{2}$, so the line $E I F$ is an external angle bisector in the triangle $E^{\prime} I F^{\prime}$. Since $A I \perp E F$, the line $A I$ is an internal angle bisector in the triangle $E^{\prime} I F^{\prime}$. But triangle $E^{\prime} I F^{\prime}$ is isosceles, hence the line $A I$ is also an altitude, so $A I \perp E^{\prime} F^{\prime}$. + +## $\mathrm{I}-4$ + +Let $n$ and $m$ be positive integers. We call a set $S$ of positive integers $(n, m)$-good if it satisfies the following three conditions: + +(i) We have $m \in S$. + +(ii) For all $a \in S$, all of the positive divisors of $a$ are elements of $S$ too. + +(iii) For all mutually different numbers $a, b \in S$, we have $a^{n}+b^{n} \in S$. + +Determine all pairs $(n, m)$ such that the set of all positive integers is the only $(n, m)$-good set. + +Answer. The set $\mathbb{Z}_{\geq 1}$ is the only $(m, n)$-good set if and only if $n$ is odd and $m \geq 2$. + +Solution. For $m=1$ we have that $\{1\}$ is $(m, n)$-good. For the rest of the solution we assume $m \geq 2$. + +- $n$ is odd + +Let $S$ be $(m, n)$-good set. Since $x+y \mid x^{n}+y^{n}$, for $x, y \in S$ with $x \neq y$ we have $x+y \in S$. Since $1 \mid m$, it implies $1 \in S$ and also $m+1 \in S$. By induction, all positive integers greater than $m$ are in $S$. Moreover, every postive integer smaller than $m$ has a multiple which is greater than $m$. This implies that $S=\mathbb{Z}_{\geq 1}$. + +- $n$ is even + +Let $n=2 k$ and let $p$ be a prime coprime to $m$ such that $p \equiv 3 \bmod 4$. Such prime exists since there are infinitely many primes with remainder 3 modulo 4 (this well-known fact follows for example from Dirichlet's theorem). Let $S=\left\{x \in \mathbb{Z}_{\geq 1}: p \nmid x\right\}$. We will show that $S$ is $(m, n)$-good set. Clearly, the first two conditions are satisfied. Consider two distinct elements $x, y \in S$ such that + +$$ +x^{2 k} \equiv-y^{2 k} \quad \bmod p +$$ + +By exponentiating this congruence to the power of $\frac{p-1}{2}$, we obtain + +$$ +x^{k(p-1)} \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot y^{k(p-1)} \quad \bmod p +$$ + +form which it follows that + +$$ +1 \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}} \quad \bmod p +$$ + +Since $p \equiv 3 \bmod 4,(p-1) / 2$ is an odd number, thus $(-1)^{\frac{p-1}{2}}=-1$ is a contradiction. Therefore, $S$ is $(m, n)$-good set. + +Comment. The end of the solution can be replaced by stating the well-known fact that for $p \equiv 3(\bmod 4)$ we have $p\left|x^{2}+y^{2} \Rightarrow p\right| x, y$. + +## T-1 + +Let $\mathbb{Z}$ denote the set of all integers and $\mathbb{Z}_{>0}$ denote the set of all positive integers. + +(a) A function $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ is called $\mathbb{Z}$-good if it satisfies $f\left(a^{2}+b\right)=f\left(b^{2}+a\right)$ for all $a, b \in \mathbb{Z}$. Determine the largest possible number of distinct values that can occur among $f(1), f(2), \ldots, f(2023)$, where $f$ is a $\mathbb{Z}$-good function. + +(b) A function $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ is called $\mathbb{Z}_{>0}$ good if it satisfies $f\left(a^{2}+b\right)=f\left(b^{2}+a\right)$ for all $a, b \in \mathbb{Z}_{>0}$. Determine the largest possible number of distinct values that can occur among $f(1), f(2), \ldots, f(2023)$, where $f$ is a $\mathbb{Z}_{>0^{0}}$ good function. + +Solution. The answer is (a) 2 and (b) 1077. + +(a) Note that + +$$ +f\left(a^{2}+b\right)=f\left(b^{2}+a\right)=f\left((-b)^{2}+a\right)=f\left(a^{2}-b\right) +$$ + +In particular, by setting $a \in\{0,1\}$ we get $f(b)=f(-b)$ and $f(1+b)=f(1-b)$. This then yields + +$$ +f(2+b)=f(1+(1+b))=f(1-(1+b))=f(-b)=f(b) +$$ + +hence by induction the function must be constant on even integers and (separately) on odd integers. On the other hand, a function $f(n)=n(\bmod 2)$ satisfies the requirements and attains 2 distinct values on $\{1, \ldots, 2023\}$. + +(b) Given two positive integers $mb>0$. Then either $n=a, k=b$ (in which case we obtain a parent $k^{2}+na$, a contradiction. + +(d) For any $n \geq 2$, the $n+2$ numbers in $B_{n}=\left\{n^{2}+n, \ldots, n^{2}+2 n+1\right\}$ do not have a parent: Let $n \leq k \leq 2 n+1$ and assume that $n^{2}+k=a^{2}+b$ with $a>b>0$. Since $n^{2}+k<(n+1)^{2}+1$, we must have $a \leq n$ but then $b \geq k \geq n \geq a$, a contradiction. + +Note that as $n \in \mathbb{N}$ varies, the sets $A_{n}, B_{n}$ form a partition of $\mathbb{N} \backslash S$, hence each positive integer has at most one parent. In other words, if we process the positive integers in increasing order, for any currently processed integer $n$ there will always be at most one parent, and thus at most one requirement on which value to assign to $f(n)$. Therefore, as we process the integers, to any +integer $n$ without a parent we can always safely assign any value $f(n)$. (Clearly, when $n$ has a parent $m$, we must assign $f(n)=f(m)$.) The answer is the number of integers $n \in\{1, \ldots, 2023\}$ with no parent. Since $2023=44^{2}+87$, this is + +$$ +|S|+\left(\sum_{i=2}^{43}(i+2)\right)+(87-44+1)=1077 +$$ + +Comment. It is possible to ask only for the answer to the part (b). + +## T-2 + +Let $a, b, c$ and $d$ be positive real numbers with $a b c d=1$. Prove that + +$$ +\frac{a b+1}{a+1}+\frac{b c+1}{b+1}+\frac{c d+1}{c+1}+\frac{d a+1}{d+1} \geq 4 +$$ + +and determine all quadruples $(a, b, c, d)$ for which equality holds. + +Solution. By assumption we have + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a b+1}{a+1}+\frac{b c+1}{b+1}+\frac{c d+1}{c+1}+\frac{d a+1}{d+1} & =\left(\frac{a b+1}{a+1}+\frac{c d+a b c d}{c+1}\right)+\left(\frac{b c+1}{b+1}+\frac{d a+a b c d}{d+1}\right)= \\ +& =(a b+1)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{c d}{c+1}\right)+(b c+1)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{a d}{d+1}\right)= \\ +& =(a b+1)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a b c+a b}\right)+(b c+1)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b c d+b c}\right) +\end{aligned} +$$ + +When estimating the parentheses by the inequality of the arithmetic-harmonic mean (i. e. $1 / u+1 / v \geq 4 /(u+v)$ for positive real numbers $u$ and $v$ with equality iff $u=v)$, we see that the above expression is at least + +$$ +\begin{aligned} +(a b+1) \frac{4}{a+1+a b c+a b}+(b c+1) \frac{4}{b+1+b c d+b c} & =\frac{4(a b+1)}{a+1+a b c+a b}+\frac{4(b c+1) \cdot a}{(b+1+b c d+b c) \cdot a}= \\ +& =\frac{4(a b+1)}{a+1+a b c+a b}+\frac{4(a b c+a)}{a b+a+1+a b c}= \\ +& =\frac{4(a b+1+a b c+a)}{1+a+a b+a b c}=4 +\end{aligned} +$$ + +Equality holds iff $a+1=a b c+a b$ and $b+1=b c d+b c \Leftrightarrow a b+a=1+a b c$. Addition of these equations yields $2 a=2 a b c$, that is $b c=1$. Plugging this into the first equation, we also get $1=a b$. Therefore $a b=b c=c d=1$, which implies $a=c$ and $b=d=1 / a$. Indeed, these conditions suffice, as is readily checked. Thus, equality holds iff $(a, b, c, d)=\left(t, \frac{1}{t}, t, \frac{1}{t}\right)$ for some positive real $t$. + +## T-3 + +Find the smallest integer $b$ with the following property: For each way of colouring exactly $b$ squares of an $8 \times 8$ chessboard green, one can place 7 bishops on 7 green squares so that no two bishops attack each other. + +Remark. Two bishops attack each other if they are on the same diagonal. + +Answer. 41 + +Solution. Let us place 40 bishops on 6 diagonals as shown in Figure 2. If we select any 7 of the placed bishops, by Pigeon hole principle, at least two of the selected bishops are on the same diagonal, so they attack each other. Thus, the number $b$ of selected bishops is at least 41. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_775ea5fd909fa7632c76g-14.jpg?height=437&width=443&top_left_y=1095&top_left_x=812) + +Figure 1 + +Now, suppose for a contrary, that there is a placement of 41 bishops such there are not 7 non-attacking bishops. Divide all tiles to 8 groups as shown in Figure ??. It is easy to see that any two bishops belonging to the same group do not attack each other. Therefore, each group contains at most 6 bishops. Moreover, groups 7 and 8 contain at most 2 bishops due to their size. Therefore, we have at most $6 \cdot 6+2 \cdot 2=40$ bishops, which is a contradiction. Therefore, from any placement of 41 bishops, it is possible to select some 7 of them such that no two attack each other. This, together with the lower bound of $b \geq 41$ finishes this solution. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_775ea5fd909fa7632c76g-14.jpg?height=429&width=422&top_left_y=2127&top_left_x=817) + +Figure 2 + +Comment (1). A weaker upper bound of 49 can be shown as follows: Consider a placement of 49. bishops. We have 8 rows and $49 / 8>6$, so by Pigeon hole principle, there is a row with at least 7 bishops. Clearly, bishops in the same row do not attack each other. + +Comment (2). This problem can be generalised for larger dimensions of the chessboard and also larger number of sought non-attacking bishops. + +## T-4 + +Let $c \geq 4$ be an even integer. In some football league, each team has a home uniform and an away uniform. Every home uniform is coloured in two different colours, and every away uniform is coloured in one colour. A team's away uniform cannot be coloured in one of the colours from the home uniform. There are at most $c$ distinct colours on all of the uniforms. If two teams have the same two colours on their home uniforms, then they have different colours on their away uniforms. + +We say a pair of uniforms is clashing if some colour appears on both of them. Suppose that for every team $X$ in the league, there is no team $Y$ in the league such that the home uniform of $X$ is clashing with both uniforms of $Y$. Determine the maximum possible number of teams in the league. + +Answer. We claim the answer is $\frac{n^{3}}{8}-\frac{n^{2}}{4}$. + +Solution. We first give an example of a league with $\frac{n^{3}}{8}-\frac{n^{2}}{4}$ teams. + +Split the colours in two sets of size $n / 2$. Let $m=n / 2$ and let $c_{1}, \ldots, c_{m}$ and $d_{1}, \ldots, d_{m}$ be the colours in those sets. + +Consider all pairs of kits of the form $\left(\left\{c_{i}, c_{j}\right\}, d_{k}\right.$ ) or ( $\left.\left\{d_{i}, d_{j}\right\}, c_{k}\right)$, where $ib$ satisfying + +$$ +n=\frac{4 a b}{a-b} +$$ + +Answer. Any composite $n \neq 4$. + +Solution. We say that $n$ is good if there exist such positive integers $a$ and $b$ (and bad otherwise). + +First, we show that $n=4$ is bad. Suppose otherwise. Then there exist positive integers $a, b$ such that + +$$ +4=\frac{4 a b}{a-b} +$$ + +But this rewrites as $(a+1)(b-1)=-1$ and the left-hand side is non-negative for any two positive integers $a, b$, a contradiction. + +Now consider $n \geq 6$. We make three observations. + +First, note that if $n$ is good then any its multiple $n^{\prime}=k \cdot n$ is also good - it suffices to take $a^{\prime}=k \cdot a$ and $b^{\prime}=k \cdot b$. In particular, for $a=2, b=1$ we have $4 a b /(a-b)=8$, hence all multiples of 8 are good. + +Second, take any positive integer $t$ of the form $t=4 k+1$. By setting $a=t, b=1$ we get + +$$ +\frac{4 a b}{a-b}=\frac{4 \cdot t}{4 k}=\frac{t}{k} +$$ + +hence by setting $a=t \cdot k, b=k$ we obtain that any multiple of any number of the form $t=4 k+1$ is good. + +Third, likewise, take any positive integer $t$ of the form $t=4 k-1$. By setting $a=t, b=1$ we get + +$$ +\frac{4 a b}{a-b}=\frac{4 \cdot t}{4 k-2}=\frac{2 t}{2 k-1} +$$ + +hence every multiple of double of any number of the form $t=4 k-1$ is good. + +Now we combine the observations. Consider any composite number $n \geq 6$. If the prime factorization of $n$ contains a prime of the form $4 k+1$ then $n$ is good (by the second observation). Similarly, if $n$ contains at least two (not necessarily distinct) primes of the form $4 k-1$ then their product is of the form $4 k+1$, and thus $n$ is good (by the second observation). If $n$ contains a prime of the form $4 k-1$ and it is even, then $n$ is also good (by the third observation). Thus, +it remains to consider the powers of 2 . But we know that all multiples of 8 are good (by the first observation) and 4 is bad, so we are done. + +## T-8 + +Let $A$ and $B$ be positive integers. Consider a sequence of positive integers $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ such that + +$$ +x_{n+1}=A \cdot \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B \quad \text { for every } n \geq 2 +$$ + +Prove that the sequence attains only finitely many different values. + +Remark. We denote by $\operatorname{gcd}(a, b)$ the greatest common divisor of positive integers $a$ and $b$. + +Solution. Let $n \geq 2$ be a positive integer such that $x_{n+1}>x_{n}$. Then + +$$ +\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}<\frac{x_{n+1}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}=A+\frac{B}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)} \leq A+B +$$ + +Furthermore, + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n+1}\right) & =\operatorname{gcd}\left(x_{n}, A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) \\ +& \leq \operatorname{gcd}\left(\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right), A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) \cdot \operatorname{gcd}\left(\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}, A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) \\ +& =\operatorname{gcd}\left(\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right), B\right) \cdot \operatorname{gcd}\left(\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}, A \operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)+B\right) +\end{aligned} +$$ + +where we first used the fact that $\operatorname{gcd}(a b, c) \leq \operatorname{gcd}(a, c) \operatorname{gcd}(b, c)$, and then used the Euclidean algorithm on the left factor of the right hand side. + +Now we'll bound each of the factors by constants. The left factor is not greater than $B$, and the right factor is not greater than $\frac{x_{n}}{\operatorname{gcd}\left(x_{n}, x_{n-1}\right)}$, which is less than or equal to $A+B$. We conclude that + +$$ +\operatorname{gcd}\left(x_{n+1}, x_{n}\right) \leq B(A+B) +$$ + +which implies $x_{n+2} \leq A B(A+B)+B$. + +We say an element of the sequence is big if it is greater than $A B(A+B)+B$, and small otherwise. The sequence is either eventually decreasing, or it contains a small element, since $x_{n+2}$ is small whenever $x_{n+1}>x_{n}$. + +We've proven that whenever $x_{j}$ is small, either $x_{j+1} \leq x_{j}$ and hence $x_{j+1}$ is also small, or $x_{j+2}$ is small. This means that from some point in the sequence onwards there are no two consecutive big elements, but then all but finitely many elements of the sequence are not greater than $A(A B(A+B)+B)+B$, because either they're small or the previous element of the sequence is small. + +Since we bounded all but finitely many elements of the sequence, the claim is proven. + diff --git a/MEMO/md/en-2024-SolutionBooklet.md b/MEMO/md/en-2024-SolutionBooklet.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c5d518c11ec7cd05b2e43273dd4f8c3ab2117f3e --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-2024-SolutionBooklet.md @@ -0,0 +1,778 @@ +## |X|
$18^{\text {TH }}$ MEMO Szeged, 2024 + +Solution Booklet + +## The Problem Selection Committee + +Áron Bán-Szabó (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +Csongor Beke (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) Márton Borbényi (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +András Imolay (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) Anett Kocsis (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) Benedek Váli (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) Ákos Záhorský (Algebra, Combinatorics, Geometry, Number Theory) +gratefully received +132 problem proposals submitted by 8 countries: +Austria - Croatia - Czech Republic - Hungary - Lithuania Poland - Slovakia - Switzerland + +The selected problems were submitted by: + +- I-1: Theresia Eisenkölbl (Austria) +- I-2: András Imolay (Hungary) +- I-3: Patrik Bak (Slovakia) +- I-4: Walther Janous (Austria) +- T-1: Marián Poturnay (Slovakia) +- T-2: Borna Šimić (Croatia) +- T-3: Csongor Beke (Hungary) +- T-4: Ivan Novak (Croatia) +- T-5: Marián Poturnay (Slovakia) +- T-6: Michal Pecho (Slovakia) +- T-7: Patrik Bak (Slovakia) +- T-8: Ivan Novak (Croatia) + + +## Contents + +Individual ..... 5 +[-1] ..... 5 +I-2 ..... 7 +I-3 ..... 11 +I-4] ..... 15 +Team ..... 18 +T-1 ..... 18 +T-2. ..... 20 +T-3 ..... 23 +T-4 ..... 25 +T-5 ..... 29 +T-6 ..... 31 +T-7. ..... 35 +T-8 ..... 36 + +## I-1 + +Determine all $k \in \mathbb{N}_{0}$ for which there exists a function $f: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{N}_{0}$ such that $f(2024)=k$ and + +$$ +f(f(n)) \leq f(n+1)-f(n) +$$ + +for all $n \in \mathbb{N}_{0}$. +Remark. Here $\mathbb{N}_{0}$ denotes the set of nonnegative integers. + +Answer. The possible values of $f(2024)$ are $0,1,2, \ldots, 2023$. + +Solution. Note that $0 \leq f(f(n)) \leq f(n+1)-f(n)$, hence $f$ is increasing. + +Claim. $f(n) \leq n$ for all $n \in \mathbb{N}_{0}$. + +Proof. Suppose indirectly that $f(n)>n$, i.e., $f(n) \geq n+1$. By monotonicity, this implies $f(f(n)) \geq f(n+1)$. Consequently, + +$$ +f(n+1) \leq f(f(n)) \leq f(n+1)-f(n) +$$ + +leading to $f(n) \leq 0$, which contradicts $0 \leq nn$. Using the condition of the problem + +$$ +\begin{aligned} +f(f(n)) & \leq f(n+1)-f(n) \\ +f(f(n+1)) & \leq f(n+2)-f(n+1) \\ +f(f(n+2)) & \leq f(n+3)-f(n+2) \\ +& \vdots \\ +f(f(f(n)-1)) & \leq f(f(n))-f(f(n)-1) +\end{aligned} +$$ + +Summing up the inequalities, we get + +$$ +f(f(n)) \leq f(f(n))+f(f(n+1))+f(f(n+2))+\cdots+f(f(f(n)-1)) \leq f(f(n))-f(n) +$$ + +leading to $f(n) \leq 0$, which contradicts $0 \leq n1$. We only show a second proof for the statement that if $f(x) \neq 0$ for all $x \in \mathbb{R}$ then there is no solution. + +Assume that $f(x) \neq 0$ for all $x \in \mathbb{R}$. Plugging in $(x, f(x))$ gives + +$$ +f(x+1)=1+f^{3}(x) +$$ + +for all $x$ (upon dividing by $f(x) \neq 0$ ) whereas $(x, f(x)+1)$ gives + +$$ +f(x+1)=f(f(1+f(x)))=f\left(1+f^{4}(x)\right)=1+f^{7}(x) +$$ + +which gives in particular that $f^{3}(x)=f^{7}(x)$. We can now compute: + +$$ +\begin{aligned} +f(x+2) & =1+f^{3}(1+x) \\ +& =1+f^{2}\left(1+f^{3}(x)\right) \\ +& =1+f\left(1+f^{6}(x)\right) \\ +& =2+f^{9}(x) \\ +& =2+f^{5}(x) +\end{aligned} +$$ + +and similarly we have + +$$ +\begin{aligned} +f(x+3) & =2+f^{5}(1+x) \\ +& =2+f^{4}\left(1+f^{3}(x)\right) \\ +& =2+f^{3}\left(1+f^{6}(x)\right) \\ +& =2+f^{2}\left(1+f^{9}(x)\right) \\ +& =2+f\left(1+f^{12}(x)\right) \\ +& =3+f^{15}(x) \\ +& =3+f^{11}(x) \\ +& =3+f^{7}(x) \\ +& =2+f(x+1) +\end{aligned} +$$ + +and we obtain $f(x+2)=f(x)+2$ for all $x \in \mathbb{R}$. If we now plug in $(x+2, y)$ we have + +$$ +y f(x+1)+2 y=f(x+y-f(x))+f(x) f(f(y))+2 f(f(y)) +$$ + +which gives $f(f(y))=y$ so $f(f(0))=0$, a contradiction. + +Solution 3. We reduce to showing that $f(x)=0$ for some $x \in \mathbb{R}$, and reduce this to injectivity, as in Solution 1. Therefore we assume $f(x) \neq 0$ for all $x \in \mathbb{R}$, but $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=a$ for some $x_{1} \neq x_{2}$. Comparing the given equation for $\left(x_{1}, y\right)$ and $\left(x_{2}, y\right)$ gives + +$$ +y\left(f\left(x_{1}+1\right)-f\left(x_{2}+1\right)\right)=f\left(x_{1}+y-a\right)-f\left(x_{2}+y-a\right) . +$$ + +For $y=a \neq 0$ we get $f\left(x_{1}+1\right)=f\left(x_{2}+1\right)$, so the left side above is identically 0 . Therefore + +$$ +f\left(x_{1}+y-a\right)=f\left(x_{2}+y-a\right) +$$ + +for all $y$, so $f$ is periodic with period $t=x_{1}-x_{2} \neq 0$. +But now comparing the original equation for $(x, y)$ and $(x, y+t)$ for any real $x, y$ we get + +$$ +t f(x+1)=0 +$$ + +so $f$ attains the value 0 . + +## T-3 + +There are 2024 mathematicians sitting in a row next to the river Tisza. Each of them is working on exactly one research topic, and if two mathematicians are working on the same topic, everyone sitting between them is also working on it. + +Marvin is trying to figure out for each pair of mathematicians whether they are working on the same topic. He is allowed to ask each mathematician the following question: "How many of these 2024 mathematicians are working on your topic?" He asks the questions one by one, so he knows all previous answers before he asks the next one. + +Determine the smallest positive integer $k$ such that Marvin can always accomplish his goal with at most $k$ questions. + +Answer. The number of required questions is 2023. + +Solution. We solve the problem more generally, for $n$ mathematicians. We will prove that the answer is $n-1$. + +By asking the left-most $n-1$ mathematicians, Marvin can determine the working groups from the left to right. + +Now we show that $n-2$ questions may not be enough. Let $x_{i}$ be the answer of the $i$-th mathematician. It is easy to see that $x_{1}^{-1}+\cdots+x_{n}^{-1}$ is the number of different topics studied. All of the mathematicians will answer 1 or 2 to the question in such a way, that after each question if $a$ and $b$ are the smallest and largest indices such that the $a$-th and $b$-th mathematicians haven't been asked by Marvin yet, then $x_{1}^{-1}+\cdots+x_{a-1}^{-1}$ and $x_{b+1}^{-1}+\cdots+x_{n}^{-1}$ are integers, and all values $x_{i}$ with $ak$ be the largest integer such that we already asked $x_{j}$ for all $kb_{2}$. Namely, if $b_{j-1}r$. + +Since $x+n z$ is a break point, $r \sim x+n z-r$. +Since $x+(n+1) z$ is a break point, $x+n z-r \sim x+(n+1) z-(x+n z-r)=z+r$. +Hence, the sequence $\left(a_{n}\right)_{n}$ is periodic with period $z$, which proves the claim. + +Solution 2. Similarly to the first solution, $x \sim y$ denotes that $a_{x}=a_{y}$. If we know that $a[b]$ is palindromic, then $x \sim b-x$ for all $0\nu_{p}\left(a_{i}\right)$ for some positive integer $i$ (if $i$ with this property don't exist, we're done). Since $a_{i} a_{i+1} \mid k-a_{i}^{2}$, we must have $\nu_{p}\left(a_{i}^{2}\right)=\nu_{p}(x)$, as otherwise $\nu_{p}\left(a_{i}^{2}-x\right) \leq \nu_{p}\left(a_{i}^{2}\right)<\nu_{p}\left(a_{i} a_{i+1}\right)$, a contradiction. + +Then $a_{i+1} a_{i+2} \mid k-a_{i+1}^{2}$, and since $\nu_{p}(x)=\nu_{p}\left(a_{i}^{2}\right)<\nu_{p}\left(a_{i+1}^{2}\right)$, we have $\nu_{p}\left(x-a_{i+1}^{2}\right)=\nu_{p}(x)$, and $\nu_{p}\left(a_{i+1} a_{i+2}\right) \leq \nu_{p}(x)$, from where it follows that $\nu_{p}\left(a_{i+2}\right)<\frac{\nu_{p}(x)}{2}$. +Now $a_{i+2} a_{i+3} \mid k-a_{i+2}^{2}$ and from $\nu_{p}\left(a_{i+2}\right)<\frac{\nu_{p}(x)}{2}$ we have that $\nu_{p}\left(x-a_{i+2}^{2}\right)=\nu_{p}\left(a_{i+2}^{2}\right)$, therefore $\nu_{p}\left(a_{i+3}\right) \leq \nu_{p}\left(a_{i+2}\right)<\frac{\nu_{p}(x)}{2}$. + +Repeating the same argument for $i+3, i+4, \ldots$ gives us + +$$ +\nu_{p}\left(a_{i+j}\right) \leq \nu_{p}\left(a_{i+j-1}\right) \leq \frac{\nu_{p}(x)}{2} +$$ + +for $j \geq 3$, and we're done. + +Solution 2. We can finish the proof slightly differently. We have already seen that there are only finitely many primes dividing any element of the sequence. So it is enough to prove that for any such prime $p$ there is $M$ such that $\nu_{p}\left(a_{n}\right)$ is constant for any $n \geq M$. Take any such prime $p$. + +Suppose that there is $i$ such that $\nu_{p}\left(a_{j}\right)$ takes its minimum, that is $\nu_{p}\left(a_{i}\right) \leq \nu_{p}\left(a_{j}\right)$ for all $j$, furthermore $\nu_{p}\left(a_{i+1}\right)>\nu_{p}\left(a_{i}\right)$. (If there is no such $i$, then we have proved the required property for $p$.) + +We know that $a_{i} a_{i+1} \mid k-a_{i}^{2}$ and $a_{i+1} a_{i+2} \mid k-a_{i+1}^{2}$. Then from the fact that $\nu_{p}\left(a_{i}\right)$ is minimal we know that $\nu_{p}\left(x-a_{i+1}^{2}\right) \geq \nu_{p}\left(a_{i+1}\right)+\nu_{p}\left(a_{i}\right)$. Therefore + +$$ +\nu_{p}\left(a_{i+1}\right)+\nu_{p}\left(a_{i}\right) \leq \nu_{p}\left(\left(x-a_{i+1}^{2}\right)-\left(x-a_{i}^{2}\right)\right)=\nu_{p}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)+\nu_{p}\left(a_{i+1}-a_{i}\right)=2 \nu_{p}\left(a_{i}\right) +$$ + +But then we get that $\nu_{p}\left(a_{i+1}\right) \leq \nu_{p}\left(a_{i}\right)$, which is a contradiction. + diff --git a/MEMO/md/en-MEMO2011solutions.md b/MEMO/md/en-MEMO2011solutions.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2659f7cf60c020b261b59e4ba50b431bb3aa32e1 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-MEMO2011solutions.md @@ -0,0 +1,993 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_5764d1cf8319bc2123f3g-01.jpg?height=408&width=1496&top_left_y=133&top_left_x=286) + +Sth MIDDLE EURDPEAN MATHEMATICAL DLYMPIAD VARAŽDIN 2011 CROATIA + +# PROBLEMS AND SOLUTIONS + +5th Middle European Mathematical Olympiad + +Varaždin, Croatia, September 2011 + +## ALGEBRA + +## I 1 (Vjekoslav Kovač, Croatia) + +Initially, only the integer 44 is written on a board. An integer $a$ on the board can be replaced with four pairwise different integers $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ such that the arithmetic mean $\frac{1}{4}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)$ of the four new integers is equal to the number $a$. In a step we simultaneously replace all the integers on the board in the above way. After 30 steps we end up with $n=4^{30}$ integers $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ on the board. Prove that + +$$ +\frac{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}}{n} \geqslant 2011 +$$ + +## First solution + +Let us first prove an auxiliary statement. + +Lemma. If $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ are four different integers such that their average $a=\left(a_{1}+a_{2}+\right.$ $\left.a_{3}+a_{4}\right) / 4$ is also an integer, then + +$$ +\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}{4}-a^{2} \geqslant \frac{5}{2} +$$ + +Proof. Note that the expression on the left hand side can be transformed as + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}{4}-a^{2} \\ +& =\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}-8 a^{2}+4 a^{2}}{4} \\ +& =\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}-2 a\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)+4 a^{2}}{4} \\ +& =\frac{\left(a_{1}-a\right)^{2}+\left(a_{2}-a\right)^{2}+\left(a_{3}-a\right)^{2}+\left(a_{4}-a\right)^{2}}{4} +\end{aligned} +$$ + +Now, $a_{1}-a, a_{2}-a, a_{3}-a, a_{4}-a$ are four different integers that add up to 0 . We claim that sum of their squares is at least 10. If none of these integers is 0 , then that sum is at least $1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}=10$. On the other hand, if one of the integers is 0 , than the remaining three cannot be only from the set $\{1,-1,2,-2\}$, because no three different elements of that set add up to 0 . Therefore, the sum of their squares is at least $3^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=11$. This completes the proof of the lemma. + +Returning to the given problem, we denote by $S_{k}$ the average of squares of the numbers on the board after $k$ steps. More precisely, + +$$ +S_{k}=\frac{b_{k, 1}^{2}+b_{k, 2}^{2}+\cdots+b_{k, 4^{k}}^{2}}{4^{k}} +$$ + +where $b_{k, 1}, b_{k, 2}, \ldots, b_{k, 4^{k}}$ are the numbers appearing on the board after the operation is performed $k$ times. Applying the above lemma to each of the numbers, adding up these inequalities, and dividing by $4^{k}$, we obtain $S_{k+1}-S_{k} \geqslant \frac{5}{2}$, so in particular + +$$ +S_{30} \geqslant S_{0}+30 \cdot \frac{5}{2}=44^{2}+30 \cdot \frac{5}{2}=2011 +$$ + +## Second solution (by Michat Zajạc, Poland) + +Let $a_{0,1}=44$ and let $a_{i, 1}, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, 4^{i}}$ be number written on the board after $i$ steps. In $(i+1)$-st step we replace the number $a_{i, k}$ with $a_{i+1,4 k-3}, a_{i+1,4 k-2}, a_{i+1,4 k-1}$ and $a_{i+1,4 k}$. We denote + +$$ +S_{i}=\frac{\sum_{j=1}^{4} a_{i, j}^{2}}{4^{i}} +$$ + +We want to prove that $S_{i+1} \geqslant S_{i}+2.5$, with equality occuring when each number $a$ is replaced by $(a-2, a-1, a+1, a+2)$. For a given number $a$, let $\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)$ be an arbitrary quadruple of integers that satisfy the conditions that $b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}=4 a$ and $b_{1}>b_{2}>b_{3}>b_{4}$. We will prove that $\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)$ majorizes $(a+2, a+1, a-1, a-2)$. + +First we conclude that $b_{1} \geqslant a+2$, otherwise + +$$ +b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4} \leqslant(a+1)+a+(a-1)+(a-2)<4 a . +$$ + +Next, it holds that $b_{1}+b_{2} \geqslant(a+2)+(a+1)=2 a+3$. + +Otherwise, it holds that $b_{1}+b_{2} \leqslant 2 a+2$ and thus $b_{2} \leqslant a, b_{3} \leqslant a-1$ and $b_{4} \leqslant a-2$. This implies that $b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4} \leqslant 4 a-1<4 a$, which is false. + +Finally, in order to prove that $b_{1}+b_{2}+b_{3} \geqslant 3 a+2$, which is equivalent to $b_{4} \leqslant a-2$, we assume otherwise: $b_{4} \geqslant a-1$ and we arrive to contradiction in the same way as in the first case (in this case the sum is strictly bigger than $4 a$ ). Thus, we have proved that $\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right) \succ(a+2, a+1, a-1, a-2)$. + +The function $f(x)=x^{2}$ is convex (because $f^{\prime \prime}(x)=2>0$ ) and by Karamata inequality it holds that: + +$$ +b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2} \geqslant(a+2)^{2}+(a+1)^{2}+(a-1)^{2}+(a-2)^{2}=4 a^{2}+10 +$$ + +Similar to first solution, we conclude that $S_{i+1} \geqslant S_{i}+2.5$ and finally by inductive argument: + +$$ +S_{30} \geqslant S_{0}+30 \cdot 2.5=2011 +$$ + +## T 1 (Tonći Kokan, Croatia) + +Find all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that the equality + +$$ +y^{2} f(x)+x^{2} f(y)+x y=x y f(x+y)+x^{2}+y^{2} +$$ + +holds for all $x, y \in \mathbb{R}$, where $\mathbb{R}$ is the set of real numbers. + +## First solution + +Substituting $y=0$ we find that $x^{2} f(0)=x^{2}$ holds for all real numbers $x$ which implies $f(0)=1$. + +Let us introduce a new function $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ given by $g(x)=f(x)-1$. Equation from the problem becomes + +$$ +y^{2} g(x)+x^{2} g(y)=x y g(x+y) +$$ + +while $g(0)=0$. + +Denoting $c=g(1)$ and introducing another function $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $h(x)=g(x)-c x$, we obviously get $h(0)=h(1)=0$, whereas the equation that must be satisfied is now + +$$ +y^{2} h(x)+x^{2} h(y)=x y h(x+y) +$$ + +Substituting $x=y=1$ in the last equation we get $h(2)=0$, while another substitution $x=-1, y=1$ gives $h(-1)=0$. + +Let us suppose that there exists a real number $y_{0}$ such that $h\left(y_{0}\right) \neq 0$. + +Putting $x=1, y=y_{0}+1$ in (2) we get: + +$$ +h\left(y_{0}+1\right)=\left(y_{0}+1\right) h\left(y_{0}+2\right), \quad \text { or } \quad h\left(y_{0}+2\right)=\frac{h\left(y_{0}+1\right)}{y_{0}+1} +$$ + +On the other hand, substituting $x=2, y=y_{0}$ in (2) gives + +$$ +4 h\left(y_{0}\right)=2 y_{0} h\left(y_{0}+2\right), \quad \text { i.e. } \quad h\left(y_{0}+2\right)=\frac{2 h\left(y_{0}\right)}{y_{0}} +$$ + +Finally, putting $x=1, y=y_{0}$ in (2) leads to: + +$$ +h\left(y_{0}\right)=y_{0} h\left(y_{0}+1\right), \quad \text { or } \quad h\left(y_{0}+1\right)=\frac{h\left(y_{0}\right)}{y_{0}} +$$ + +From (3), (4) and (5) it follows that $y_{0}=-\frac{1}{2}$. However, substituting $x=y=-\frac{1}{2}$ in (2) and using $h(-1)=0$ we arrive at $h\left(-\frac{1}{2}\right)=0$, which is a contradiction. + +We conclude that $h(x)=0$ holds for all $x \in \mathbb{R}$ and thus $f(x)=c x+1$ is the only solution. We check that this really is the solution for every real number $c$. + +## Second solution (by Matija Bašić, coordinator) + +We define function $h$ as in the first solution of the problem. Hence, we have $h(0)=0$, $h(1)=0$, + +$$ +y^{2} h(x)+x^{2} h(y)=x y h(x+y) \text {. } +$$ + +Substituting $y=x: \quad 2 x^{2} h(x)=x^{2} h(2 x), \forall x, \quad$ or $h(2 x)=2 h(x)$ for all $x$. + +Thus $h(2)=0$. + +Substituting $y=-x: \quad x^{2}(h(x)+h(-x))=x^{2} h(0)=0, \forall x, \quad$ which gives + +$$ +h(-x)=-h(x), \quad \forall x +$$ + +Thus $h(-1)=0$. + +Put $y=1$ in $(*): \quad h(x)+x^{2} h(1)=x h(x+1)$ i.e. + +$$ +h(x)=x h(x+1) +$$ + +In (1) we change $x \rightarrow x+1$ + +$$ +h(x+1)=(x+1) h(x+2) +$$ + +Put $y=2$ in $(*): \quad 4 h(x)+x^{2} h(2)=2 x h(x+2) \quad$ i.e. + +$$ +2 h(x)=x h(x+2) +$$ + +Now we conclude + +$$ +\begin{aligned} +2(x+1) h(x) & =(3)=x(x+1) h(x+2) \\ +& =(2)=x h(x+1) \\ +& =(1)=h(x) +\end{aligned} +$$ + +Therefore, + +$$ +2(x+1) h(x)=h(x), \quad \forall x +$$ + +so $h(x)=0$ or $2(x+1)=1$ for all $x$. Obviously, $h(x)=0$ for all $x \neq-\frac{1}{2}$. + +Moreover, $2 h\left(-\frac{1}{2}\right)=h\left(2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=h(-1)=0$ so $h\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ holds as well. + +We have proved that $h(x)=0$ for all $x \in \mathbb{R}$, hence, $g(x)=c x, f(x)=c x+1$. + +Direct check shows that $f(x)=c x+1$ is the solution of the given functional equation for all $c \in \mathbb{R}$. + +## Third solution (by Klemen Šivic, Slovenian leader) + +As in the first solution we obtain $f(0)=1$ and we define $g(x)=f(x)-1$. Then $g(0)=0$ and + +$$ +g(x+y)=\frac{y}{x} g(x)+\frac{x}{y} g(y) \quad \text { for } x, y \neq 0 +$$ + +Therefore + +$g(x+y+z)=\frac{y+z}{x} g(x)+\frac{x}{y+z} g(y+z)=\frac{y+z}{x} g(x)+\frac{x y}{z(y+z)} g(z)+\frac{x z}{y(y+z)} g(y)$ + +for all nonzero $x, y$ and $z$ such that $z \neq-y$. However, since the left side of the above equation is symmetric in $x$ and $z$, we obtain that + +$$ +\frac{y+z}{x} g(x)+\frac{x y}{z(y+z)} g(z)+\frac{x z}{y(y+z)} g(y)=\frac{y+x}{z} g(z)+\frac{z y}{x(y+x)} g(x)+\frac{x z}{y(y+x)} g(y) +$$ + +for all nonzero $x, y$ and $z$ such that $y \neq-x$ and $y \neq-z$. In this equation we set $y=z=1$ and we obtain + +$$ +\frac{2 g(x)}{x}+x g(1)=\frac{1}{x(x+1)} g(x)+\left(x+1+\frac{x}{x+1}\right) g(1) \quad \text { for all } x \neq 0,-1 +$$ + +i.e. + +$$ +\frac{2 x+1}{x(x+1)} g(x)=\frac{2 x+1}{x+1} g(1) \quad \text { for all } x \neq 0,-1 +$$ + +Therefore + +$$ +g(x)=g(1) x \quad \text { for all } x \neq 0,-1,-\frac{1}{2} +$$ + +Clearly, the above equation holds also for $x=0$. If we set $x=1$ and $y=-1$ into the equation (1), we obtain $g(-1)-g(1)$, and if we set $x=y=-\frac{1}{2}$, then we obtain $-g(1)=g(-1)=2 g\left(-\frac{1}{2}\right)$, therefore $g\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{g(1)}{2}$. Hence $g(x)=g(1) x$ for all $x \in \mathbb{R}$. $f(1)=a$ can be arbitrary, therefore all solutions are functions $g(x)=a x$, or equivalently, $f(x)=a x+1$ for all $x \in \mathbb{R}$, where $a \in \mathbb{R}$ is arbitrary. + +## Fourth solution (by team Hungary) + +Similar to the first solution, we introduce the function $g(x)$ and prove that $g(0)=0$ and $g(-x)=-g(x)$. Inserting $y=1$ and $y=-1$ into the equation for $g(x)$ we ge: + +$$ +\begin{aligned} +g(x)+x^{2} g(1) & =x g(x+1) \\ +g(x)+x^{2} g(-1) & =-x g(x-1) +\end{aligned} +$$ + +Inserting $x+1$ instead of $x$ into (2) we get: + +$$ +g(x+1)+(x+1)^{2} g(-1)=-(x+1) g(x) +$$ + +From (2) and (3) we get represent $g(x+1)$ in two ways: + +$$ +g(x+1)=\frac{g(x)+x^{2} g(1)}{x}=-(x+1) g(x)-(x+1)^{2} g(-1) \quad \text { for } x \neq 0 +$$ + +Solving for $g(x)$ and using $g(-1)=-g(1)$ we get: + +$$ +g(x)\left(x^{2}+x+1\right)=g(1) x\left(x^{2}+x+1\right) +$$ + +Since $x^{2}+x+1>0$ for all $x \in \mathbb{R}$ we get $g(x)=g(1) x$ and $f(x)=c x+1$. Direct check shows that this is, indeed, the solution of the given functional equation for all $c \in \mathbb{R}$. + +## T 2 (Kristina Ana Škreb, Croatia) + +Let $a, b, c$ be positive real numbers such that + +$$ +\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2 +$$ + +Prove that + +$$ +\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2} \geqslant \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} +$$ + +## First solution + +Note that the condition of the problem is equivalent to + +$$ +\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1 +$$ + +We want to prove that + +$$ +\begin{gathered} +\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2} \geqslant \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \\ +\Longleftrightarrow \quad \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right) \\ +\Longleftrightarrow \quad\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right) \geqslant 3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right) \\ +\Longleftrightarrow \quad \frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{b+1}{\sqrt{b}}+\frac{c+1}{\sqrt{c}} \geqslant 3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right) +\end{gathered} +$$ + +From (1) we see that at most one of the numbers $a, b$, and $c$ can be strictly smaller than 1. (Otherwise, we would have $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.) + +Without loss of generality we can take $a \geqslant b \geqslant c$. + +Case 1. $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 1$ + +We have + +$$ +\sqrt{a}(\sqrt{a b}-1) \geqslant \sqrt{b}(\sqrt{a b}-1) \quad \Longrightarrow \quad \frac{a+1}{\sqrt{a}} \geqslant \frac{b+1}{\sqrt{b}} +$$ + +and also + +$$ +\sqrt{b}(\sqrt{b c}-1) \geqslant \sqrt{c}(\sqrt{b c}-1) \quad \Longrightarrow \quad \frac{b+1}{\sqrt{b}} \geqslant \frac{c+1}{\sqrt{c}} +$$ + +Case 2. $a \geqslant b \geqslant 1$, and $c<1$ + +The same way as in Case 1 , we get $\frac{a+1}{\sqrt{a}} \geqslant \frac{b+1}{\sqrt{b}}$. + +Since $a, b$, and $c$ are positive numbers, (1) implies + +$$ +\frac{1}{1+b} \leqslant 1-\frac{1}{1+c}=\frac{c}{1+c} \quad \Longrightarrow \quad b c \geqslant 1 \quad \Longrightarrow \quad b \geqslant \frac{1}{c} +$$ + +And this gives + +$$ +\sqrt{b}\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-1\right) \geqslant \sqrt{\frac{1}{c}}\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-1\right) \Longrightarrow \frac{b+1}{\sqrt{b}} \geqslant \frac{c+1}{\sqrt{c}} +$$ + +We have showed that + +$$ +a \geqslant b \geqslant c \quad \Longrightarrow \quad \frac{a+1}{\sqrt{a}} \geqslant \frac{b+1}{\sqrt{b}} \geqslant \frac{c+1}{\sqrt{c}} +$$ + +and + +$$ +a \geqslant b \geqslant c \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{1+a} \leqslant \frac{1}{1+b} \leqslant \frac{1}{1+c} +$$ + +hold. + +Now (3), (4) and the Chebyshev inequality imply + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{b+1}{\sqrt{b}}+\frac{c+1}{\sqrt{c}} & =\left(\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{b+1}{\sqrt{b}}+\frac{c+1}{\sqrt{c}}\right)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\right) \\ +& \geqslant 3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right) +\end{aligned} +$$ + +which is exactly (2). + +## Second solution (by Klemen Šivic, Slovenian leader) + +We make a substitution $x=\frac{1}{a+1}, y=\frac{1}{b+1}, z=\frac{1}{c+1}$. The condition + +$$ +\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1 +$$ + +is then equivalent to + +$$ +x+y+z=1 +$$ + +and the original variables can be expressed as $a=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}=\frac{y+z}{x}, b=\frac{x+z}{y}$ and $c=\frac{x+y}{z}$. The inequality + +$$ +\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2} \geqslant \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} +$$ + +is then equivalent to + +$$ +\sqrt{\frac{x+y}{2 z}}+\sqrt{\frac{y+z}{2 x}}+\sqrt{\frac{z+x}{2 y}} \geqslant \sqrt{\frac{2 x}{y+z}}+\sqrt{\frac{2 y}{z+x}}+\sqrt{\frac{2 z}{y+x}} +$$ + +We will prove that this inequality holds for all positive numbers $x, y$ and $z$. + +We make a substitution $p=x+y, q=y+z, r=z+x$. Then $p, q$ and $r$ are sides of a triangle and we have to prove that + +$$ +\sqrt{\frac{p}{q+r-p}}+\sqrt{\frac{q}{r+p-q}}+\sqrt{\frac{r}{p+q-r}} \geqslant \sqrt{\frac{p+q-r}{r}}+\sqrt{\frac{q+r-p}{p}}+\sqrt{\frac{r+p-q}{q}} +$$ + +Since $p, q$ and $r$ are sides of a triangle, we can write $p=2 R \sin \alpha, q=2 R \sin \beta$ and $r=2 R \sin \gamma$, where $R$ is the circumradius and $\alpha, \beta$ and $\gamma$ angles of the triangle with sides $p, q$ and $r$. Then + +$$ +\begin{gathered} +\sqrt{\frac{p}{q+r-p}}=\sqrt{\frac{\sin \alpha}{\sin \beta+\sin \gamma-\sin \alpha}}=\sqrt{\frac{\sin (\beta+\gamma)}{\sin \beta+\sin \gamma-\sin (\beta+\gamma)}}= \\ +\quad=\sqrt{\frac{2 \sin \frac{\beta+\gamma}{2} \cos \frac{\beta+\gamma}{2}}{2 \sin \frac{\beta+\gamma}{2}\left(\cos \frac{\beta-\gamma}{2}-\cos \frac{\beta+\gamma}{2}\right)}}=\sqrt{\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}}} +\end{gathered} +$$ + +Similarly we compute the other terms in (1), therefore (1) is equivalent to + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}}}+\sqrt{\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{2 \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\alpha}{2}}}+\sqrt{\frac{\sin \frac{\gamma}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}} \\ +& \quad \geqslant \sqrt{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}}+\sqrt{\frac{2 \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}}+\sqrt{\frac{2 \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}} +\end{aligned} +$$ + +or equivalently, to + +$$ +\begin{aligned} +\sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2} & \geqslant 2\left(\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\gamma}{2}+\sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}\right) \\ +& =\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2}\right)^{2}-\left(\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\beta}{2}+\sin ^{2} \frac{\gamma}{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +Since $\sin x$ is concave function on $(0, \pi)$, Jensen's inequality implies that + +$$ +\sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2} \leqslant 3 \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{6}=3 \sin \frac{\pi}{6}=\frac{3}{2} +$$ + +Therefore + +$$ +\begin{aligned} +\sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2} & \geqslant \frac{2}{3}\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2}\right)^{2} \\ +& \geqslant\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\beta}{2}+\sin \frac{\gamma}{2}\right)^{2}-\left(\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \frac{\beta}{2}+\sin ^{2} \frac{\gamma}{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +where at the end we used the arithmetic-quadratic mean. Therefore the inequality is proved. + +## Third solution (by team Croatia) + +Let $a=2 x, b=2 y, c=2 z$. Then our condition is equivalent to : + +$$ +\frac{x}{1+2 x}+\frac{y}{1+2 y}+\frac{z}{1+2 z}=1 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{1+2 x}+\frac{1}{1+2 y}+\frac{1}{1+2 z}=2 +$$ + +and we need to prove that + +$$ +\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geqslant \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}} +$$ + +which is equivalent to : + +$$ +\sum_{c y c} \frac{x-1}{\sqrt{x}} \geqslant 0 \Longleftrightarrow \sum_{c y c} \frac{x-1}{2 x+1} \cdot \frac{2 x+1}{\sqrt{x}} \geqslant 0 +$$ + +Since this inequality is symmetric, we can assume $x \geqslant y \geqslant z$. We prove that then: + +$$ +\frac{x-1}{2 x+1} \geqslant \frac{y-1}{2 y+1} \geqslant \frac{z-1}{2 z+1} +$$ + +and + +$$ +\frac{2 x+1}{\sqrt{x}} \geqslant \frac{2 y+1}{\sqrt{y}} \geqslant \frac{2 z+1}{\sqrt{z}} +$$ + +In order to prove (1) we note that: + +$$ +\frac{x-1}{2 x+1} \geqslant \frac{y-1}{2 y+1} \Longleftrightarrow 3 x \geqslant 3 y +$$ + +which holds. The same argument holds for $y$ and $z$. + +In order to prove (2) we factor the inequality in the following equivalent way: + +$$ +(\sqrt{x}-\sqrt{y})(2 \sqrt{x y}-1) \geqslant 0 +$$ + +By the assumption, $\sqrt{x}-\sqrt{y} \geqslant 0$ thus we need to prove that $2 \sqrt{x y}-1 \geqslant 0$. Assume the opposite, ie. that $4 x y<1$. Then: + +$$ +\frac{1}{1+2 x}+\frac{1}{1+2 y}=\frac{2(1+x+y)}{1+2(x+y)+4 x y}=1+\frac{1-4 x y}{(1+2 x)(1+2 y)}>1 +$$ + +which contradicts the condition. + +We have proven that triplets + +$$ +\left(\frac{x-1}{2 x+1}, \frac{y-1}{2 y+1}, \frac{z-1}{2 z+1}\right) \quad \text { and } \quad\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{x}}, \frac{2 y+1}{\sqrt{y}}, \frac{2 z+1}{\sqrt{z}}\right) +$$ + +are ordered in the same way thus by Chebyshev inequality we have: + +$$ +\sum_{\text {cyc }}\left(\frac{x-1}{2 x+1} \cdot \frac{2 x+1}{\sqrt{x}}\right) \geqslant \frac{1}{3} \sum_{\text {cyc }} \frac{x-1}{2 x+1} \cdot \sum_{\text {cyc }} \frac{2 x+1}{\sqrt{x}}=0 +$$ + +## COMBINATORICS + +## I 2 (Tomislav Pejković, Croatia) + +Let $n \geqslant 3$ be an integer. John and Mary play the following game: First John labels the sides of a regular $n$-gon with the numbers $1,2, \ldots, n$ in whatever order he wants, using each number exactly once. Then Mary divides this $n$-gon into triangles by drawing $n-3$ diagonals which do not intersect each other inside the $n$-gon. All these diagonals are labeled with number 1. Into each of the triangles the product of the numbers on its sides is written. Let $S$ be the sum of those $n-2$ products. + +Determine the value of $S$ if Mary wants the number $S$ to be as small as possible and John wants $S$ to be as large as possible and if they both make the best possible choices. + +## Solution (by Rudi Mrazović, coordinator) + +For $n=3$ the answer is 6 . Suppose $n \geqslant 4$. It is obvious that in each triangulation there are at least two triangles that share two sides with the polygon. We will prove that it is always best for Mary to choose a triangulation for which there is no more than two triangles of this kind. + +We call a triangle in a triangulation bad if all of its sides are diagonals of the polygon. First we prove that Mary can choose an optimal triangulation that contains no bad triangles. Assume on the contrary that every optimal triangulation contains a bad triangle. For an optimal triangulation $\mathcal{T}$ let $d(\mathcal{T})$ be the length of the smallest side of all bad triangles in $\mathcal{T}$. Among all optimal triangulations with minimal number of bad triangles let $\mathcal{T}_{0}$ be such that $d\left(\mathcal{T}_{0}\right)$ is minimal. + +Consider a bad triangle $A B C$ in $\mathcal{T}_{0}$ such that $|A B|=d\left(\mathcal{T}_{0}\right)$. Let $A B D$ be the other triangle of $\mathcal{T}_{0}$ that contains $\overline{A B}$ as one of its sides. Since $D$ lies on the arc $\overparen{A B}$ of the circumcircle of $A B C$ that does not contain $C$ and $\varangle A C B$ is acute, we have $|A D|<|A B|$ and $|B D|<|A B|$. + +Let $\mathcal{T}_{1}$ be the triangulation obtained from $\mathcal{T}_{0}$ by replacing $\overline{A B}$ with $\overline{C D}$. If the sides $\overline{A D}$ and $\overline{B D}$ have labels $a$ and $b$ respectively, then + +$$ +S\left(\mathcal{T}_{1}\right)-S\left(\mathcal{T}_{0}\right)=a+b-a b-1=-(a-1)(b-1) \leqslant 0 +$$ + +Because $\mathcal{T}_{0}$ is optimal triangulation, we conclude that $\mathcal{T}_{1}$ is also optimal. Since $\mathcal{T}_{0}$ has the minimal number of bad triangles at least one of the segments $\overline{A D}$ and $\overline{B D}$ should be a diagonal, but then $d\left(\mathcal{T}_{1}\right)$ is less than $d\left(\mathcal{T}_{0}\right)$ what is a contradiction. + +Now that we know that Mary can choose an optimal triangulation that contains no bad triangles, we easily conclude that in a such triangulation there are exactly two triangles that share two sides with the polygon. If we denote by $x_{1}$ (respectively $x_{2}$ ) the number of triangles that have exactly one (respectively two) of their sides being the sides of the polygon, then $x_{1}+x_{2}=n-2$ and $x_{1}+2 x_{2}=n$, so $x_{2}=2$. + +Mary's strategy is to choose these two triangles so that the side of the polygon labeled with 1 is contained in one of these triangles and the side labeled with 2 is contained in the other. + +By this strategy Mary makes sure that + +$$ +\begin{aligned} +S & \leqslant \max \left\{\frac{n(n+1)}{2}-(1+2+n+n-1)+1 \cdot n+2 \cdot(n-1)\right. \\ +& \left.\frac{n(n+1)}{2}-(1+2+n+n-1)+1 \cdot(n-1)+2 \cdot n\right\} \\ +& \frac{n^{2}+3 n-6}{2} +\end{aligned} +$$ + +On the other hand, John can force Mary to achieve exactly this bound by labeling the sides of the polygon in the following order + +$$ +1, n-1,4, n-3,5, \ldots, n-2,3, n, 2 +$$ + +Thus, the answer to our problem is $S=\frac{n^{2}+3 n-6}{2}$, for each $n \geqslant 3$. + +## T 3 (Viktor Harangi, Hungary) + +For an integer $n \geqslant 3$, let $\mathcal{M}$ be the set $\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leqslant x \leqslant n, 1 \leqslant y \leqslant n\}$ of points in the plane. ( $\mathbb{Z}$ is the set of integers.) + +What is the maximum possible number of points in a subset $S \subseteq \mathcal{M}$ which does not contain three distinct points being the vertices of a right triangle? + +## Solution + +We will prove that the maximal cardinality of $S$ is $2 n-2$. + +The set + +$$ +S=\{1\} \times\{2, \ldots, n\} \cup\{2, \ldots, n\} \times\{1\} +$$ + +has cardinality $2 n-2$ and it does not contain three distinct points that form a right triangle. + +We will show that any subset $S \subset \mathcal{M}$ which does not contain three distinct points that form a right triangle can have at most $2 n-2$ points. For such set $S$ consider its subsets: + +- $S_{x}$ consists of those points $P=(x, y)$ in $S$ that have unique $x$ coordinate, that is, there exists no $y^{\prime} \neq y$ such that $\left(x, y^{\prime}\right) \in S$. +- $S_{y}$ consists of those points $P=(x, y)$ in $S$ that have unique $y$ coordinate, that is, there exists no $x^{\prime} \neq x$ such that $\left(x^{\prime}, y\right) \in S$. + +We claim that $S=S_{x} \cup S_{y}$. We prove this by contradiction. Assume ther exists a point $P \in S \backslash\left(S_{x} \cup S_{y}\right)$. Since $P \notin S_{x}$, there exists $P_{x} \neq P$ in $S$ with the same $x$ coordinate as $P$. Similarly, there exists $P_{y} \neq P$ in $S$ with the same $y$ coordinate as $P$. Hence $P, P_{x}, P_{y} \in S$ and $\varangle P_{x} P P_{y}=90^{\circ}$, a contradiction. + +Clearly, $\left|S_{x}\right| \leqslant n$, and if $\left|S_{x}\right|=n$, then $S=S_{x}$. The same holds for $S_{y}$. So, $|S|=n$ or $\left|S_{x}\right|,\left|S_{y}\right| \leqslant n-1$ and $|S| \leqslant\left|S_{x}\right|+\left|S_{y}\right| \leqslant 2 n-2$. It follows that the cardinality of $S$ is at $\operatorname{most} \max (n, 2 n-2)=2 n-2$. + +## T 4 (Vjekoslav Kovač, Croatia) + +Let $n \geqslant 3$ be an integer. At a MEMO-like competition, there are $3 n$ participants, there are $n$ languages spoken, and each participant speaks exactly three different languages. + +Prove that at least $\left\lceil\frac{2 n}{9}\right\rceil$ of the spoken languages can be chosen in such a way that no participant speaks more than two of the chosen languages. + +( $\lceil x\rceil$ is the smallest integer which is greater than or equal to $x$.) + +## First solution + +Consider the classifications of the set of $n$ available languages into easy, medium, and hard languages. There are $3^{n}$ possible classifications in total and we denote by $S$ the set of all possible classifications. For each classification $s \in S$, let $A(s)$ be the number of easy languages and let $B(s)$ be the number of students who speak 3 easy languages. + +If we add up quantities $A(s)$ over all possible classifications $s \in S$, the resulting sum will be $\sum_{s \in S} A(s)=n 3^{n-1}$. In order to verify that, we realize that the result should be the same for medium and hard languages too, but all three of these sums add up to + +$$ +3 \sum_{s \in S} A(s)=\text { number of classifications } \times \text { number of languages }=3^{n} \cdot n \text {. } +$$ + +On the other hand, we use double counting to compute the sum of quantities $B(s)$ over all possible classifications $s \in S$. + +For each student there are $3^{n-3}$ classifications for which he speaks 3 easy languages, as we only have the choice to classify each of the $n-3$ languages that the student does not speak. In two ways, we count the cardinality of the set + +$$ +\{(X, s) \text { : for a classification } s \text { student } X \text { speaks } 3 \text { easy languages }\} +$$ + +to get the identity + +$$ +\sum_{s \in S} B(s)=3 n \cdot 3^{n-3}=n 3^{n-2} +$$ + +We claim that there exists a classification $s \in S$ such that $A(s)-B(s) \geqslant \frac{2 n}{9}$. If we assume on the contrary that $A(s)-B(s)<\frac{2 n}{9}$ for all classifications $s \in S$, then summing over all $3^{n}$ of them would give + +$$ +n 3^{n-1}-n 3^{n-2}=\sum_{s \in S} A(s)-\sum_{s \in S} B(s)<3^{n} \cdot \frac{2 n}{9} +$$ + +i.e. $2 n 3^{n-2}<2 n 3^{n-2}$, which is a contradiction. + +Let us consider any classification $s \in S$ of languages satisfying $A(s)-B(s) \geqslant \frac{2 n}{9}$. We can first choose all $A(s)$ easy languages. Then we find all $B(s)$ students who can speak 3 of these languages, and for each of them we remove one of the languages the student speaks. This leaves us with a choice of at least $\frac{2 n}{9}$ languages. + +Remark: Classification of languages simply as easy or hard would not give the desired bound. It would lead to a choice of at least $\frac{n}{8}$ languages only. Taking more than three language classes would not be a better strategy either. + +## Solution (by Rudi Mrazović, coordinator) + +In this proof we will use probabilistic method. Let $p \in[0,1]$. For each language, suppose we choose it with probability $p$ and we make these decisions independently. ${ }^{1}$ Let $A$ be the number of chosen languages (i.e. the number of $1 \mathrm{~s}$ in $\omega$ ) and $B$ the number of students whose all three languages are among chosen ones. Lets calculate the expectations ${ }^{2}$ of these random variables. + +$$ +\begin{aligned} +\mathbb{E} A & =\mathbb{E}\left[\sum_{\text {language } l} \mathbf{1}_{\text {we have chosen the language } l}\right]=\sum_{\text {language } l} \mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\text {we have chosen the language } l}\right] \\ +& =\sum_{\text {language } l} \mathbb{P}(\text { we have chosen the language } l)=n p \\ +\mathbb{E} B & =\mathbb{E}\left[\sum_{\text {student } s} \mathbf{1}_{\text {student's }} s \text { languages are all chosen }\right]=\sum_{\text {student } s} \mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\text {student's } s \text { languages are all chosen }}\right] \\ +& \left.=\sum_{\text {student } s} \mathbb{P} \text { (student's } s \text { languages are all chosen }\right)=3 n p^{3} +\end{aligned} +$$ + +We will use the following obvious (and easily proved inequality). For arbitrary random variable $X$ we have + +$$ +\mathbb{P}(X \geqslant \mathbb{E} X)>0 +$$ + +For $X=A-B$ we get + +$$ +\mathbb{P}\left(A-B \geqslant n p-3 n p^{3}\right)>0 +$$ + +In this way we have proved that there is a choosing of languages such that $A-B \geqslant$ $n p-3 n p^{3}$. For this choosing for each student that speaks three chosen languages remove one of them. In the end we are left with at least $A-B$ (and thus $n p-3 n p^{3}$ ) languages that do the job. Taking $p=\frac{1}{3}$ we get what we need, i.e. we can choose at least $\left\lceil\frac{2 n}{9}\right\rceil$ such that no student speaks more than two of them. + +## Alternative approach (based on the solution by team Poland) + +We choose $\left\lceil\frac{n}{3}\right\rceil$ languages uniformly and randomly. Similarly to the previous probabilistic solution we show that with positive probability the number of students that speak three of the chosen languages is less or equal to $\left\lfloor\frac{n}{9}\right\rfloor$. Again, use the same trick of removing some of the languages to obtain at least $\left\lceil\frac{2 n}{9}\right\rceil$ of them such that no student speaks three of them.[^0] + +## I 3 (Nik Stopar, Slovenia) + +In a plane the circles $\mathcal{K}_{1}$ and $\mathcal{K}_{2}$ with centers $I_{1}$ and $I_{2}$, respectively, intersect in two points $A$ and $B$. Assume that $\varangle I_{1} A I_{2}$ is obtuse. The tangent to $\mathcal{K}_{1}$ in $A$ intersects $\mathcal{K}_{2}$ again in $C$ and the tangent to $\mathcal{K}_{2}$ in $A$ intersects $\mathcal{K}_{1}$ again in $D$. Let $\mathcal{K}_{3}$ be the circumcircle of the triangle $B C D$. Let $E$ be the midpoint of that arc $C D$ of $\mathcal{K}_{3}$ that contains $B$. The lines $A C$ and $A D$ intersect $\mathcal{K}_{3}$ again in $K$ and $L$, respectively. Prove that the line $A E$ is perpendicular to $K L$. + +First solution (by Tomislav Pejković, coordinator) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_5764d1cf8319bc2123f3g-16.jpg?height=973&width=826&top_left_y=924&top_left_x=612) + +Since $A D$ is tangent to $\mathcal{K}_{2}$, it follows that $\varangle A C B=\varangle D A B$. Similarly, $\varangle A D B=\varangle B A C$. + +From this we have $\varangle D B C=(\varangle A D B+\varangle D A B)+(\varangle B A C+\varangle A C B)=2(\varangle D A B+\varangle B A C)$, hence + +$$ +\varangle D B C=2 \varangle D A C . +$$ + +By $\widehat{X Y}$ we denote the angle $\varangle X Z Y$ where $Z$ is a point on the circle $\mathcal{K}_{3}$ such that $X, Y, Z$ are ordered counterclockwise. + +Since $E$ is the midpoint of the arc $C D$ and the points $C, E, D, K$ are concyclic we have + +$$ +\varangle A K E=\frac{1}{2} \overparen{C D}=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\overparen{D C}\right)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\varangle C B D\right)=90^{\circ}-\varangle D A C +$$ + +This means that $K E$ and $A L$ are perpendicular. + +Analogously, $L E$ and $A K$ are perpendicular and $E$ is the orthocenter of the triangle $A K L$. Hence $A E$ and $K L$ are perpendicular. + +Remark: We use the notation $\overparen{C D}$ and $\overparen{D C}$ because it provides a convenient way of writing the solution in all cases regardless of the mutual position of the points $A, D, L, C, K$. + +## Second solution + +Since $A D$ is tangent to $\mathcal{K}_{2}$, it follows that $\varangle A C B=\varangle D A B$. Similarly, $\varangle A D B=\varangle B A C$. + +From this we have $\varangle D B C=(\varangle A D B+\varangle D A B)+(\varangle B A C+\varangle A C B)=2(\varangle D A B+\varangle B A C)$, hence + +$$ +\varangle D E C=\varangle D B C=2 \varangle D A C . +$$ + +Since $|E D|=|E C|$, the point $E$ is the circumcenter of $A C D$. Therefore $|E C|=|E A|=$ $|E D|$. + +Because the points $C, B, D, K$ are concyclic we have $\varangle K D B=\varangle A C B$. From this and the first arguments of this solution we have that $|D K|=|A K|$. Since we proved $|E A|=$ $|E D|$, we conclude that the line $K E$ is the bisector of the segment $A D$ and therefore perpendicular to it. + +Analogously, $L E$ and $A K$ are perpendicular and $E$ is the orthocenter of the triangle $A K L$. Hence $A E$ and $K L$ are perpendicular. + +Remark: The identity $\varangle K D B=\varangle A C B$ holds in all cases regardless of the mutual position of the points $A, D, L, C, K$. + +## Third solution (by Karol Kaszuba, Poland) + +Let us apply inversion with respect to a circle with the center $A$ and radius $r$. Denote the image of point $X$ with $X^{\prime}$. From the assumptions of the problem and well known facts about the inversion directly follows that $A D^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ is a parallelogram. + +From the definition of the image of the point by inversion we have + +$$ +\left|E^{\prime} C^{\prime}\right|=|E C| \frac{r^{2}}{|A E||A C|}, \quad\left|E^{\prime} D^{\prime}\right|=|E D| \frac{r^{2}}{|A E||A D|} +$$ + +Dividing these two identities and using that $E$ is the midpoint of the arc $\overparen{C D}$ we obtain + +$$ +\frac{\left|E^{\prime} C^{\prime}\right|}{\left|E^{\prime} D^{\prime}\right|}=\frac{|E C|}{|E D|} \cdot \frac{|A D|}{|A C|}=\frac{|A D|}{|A C|}=\frac{\left|A C^{\prime}\right|}{\left|A D^{\prime}\right|}=\frac{\left|D^{\prime} B^{\prime}\right|}{\left|C^{\prime} B^{\prime}\right|} +$$ + +We consider all points $X$ with the property + +$$ +\frac{\left|X C^{\prime}\right|}{\left|X D^{\prime}\right|}=\frac{\left|D^{\prime} B^{\prime}\right|}{\left|C^{\prime} B^{\prime}\right|} +$$ + +These points form the Apollonius circle and hence there are exactly two such points intersecting the image of $\mathcal{K}_{3}$, each on different arc $\overline{C^{\prime} D^{\prime}}$. One of these is the point $E^{\prime}$. Since the point symmetric to $B^{\prime}$ with respect to the line $C^{\prime} D^{\prime}$ also lies on the same arc $\widehat{C^{\prime} D^{\prime}}$ as $E^{\prime}$ and lies on the mentioned Apollonius circle we conclude that $E^{\prime}$ is symmetric to $B^{\prime}$. + +This implies $\left|E^{\prime} C^{\prime}\right|=\left|B^{\prime} D^{\prime}\right|=\left|C^{\prime} A^{\prime}\right|$ (first equality holds because of the symmetry the second because $A D^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ is a parallelogram) and similarly $\left|E^{\prime} D^{\prime}\right|=\left|D^{\prime} A^{\prime}\right|$. Hence $A C^{\prime} E^{\prime} D^{\prime}$ is a deltoid so $A E^{\prime} \perp C^{\prime} D^{\prime}$. This means that $A E^{\prime}$ contains the orthocenter of the triangle $A C^{\prime} D^{\prime}$. It is well know that the orthocenter and circumcenter are isogonal conjugates (lying on the lines which are symmetric with respect to the angle bisector). On the other hand triangles $A C^{\prime} D^{\prime}$ and $A L^{\prime} K^{\prime}$ are inversely similar, so the circumcenter of $A K^{\prime} L^{\prime}$ lies on the same line through $A$ as the orthocenter of $A C^{\prime} D^{\prime}$. + +All of this shows that $A E^{\prime}$ pass through the circumcenter of $A K^{\prime} L^{\prime}$, so $A E$ is perpendicular to $K L$. + +## T 5 (Michal Szabados, Slovakia) + +Let $A B C D E$ be a convex pentagon with all five sides equal in length. The diagonals $A D$ and $E C$ meet in $S$ with $\varangle A S E=60^{\circ}$. Prove that $A B C D E$ has a pair of parallel sides. + +## First solution + +Let $F$ be such that $D E F$ is an equilateral triangle and the points $B$ and $F$ lay in the opposite half-planes determined by $D E$. Denote $\varangle D A E=\alpha$. Then $\varangle A D E=\alpha$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_5764d1cf8319bc2123f3g-19.jpg?height=699&width=805&top_left_y=787&top_left_x=634) + +Since $\varangle E S D=120^{\circ}$, we have $\varangle D E C=60^{\circ}-\alpha$. Then $\varangle S C D=\varangle E C D$ and + +$$ +\varangle A D C=\varangle S D C=180^{\circ}-\varangle S C D-\varangle D S C=60^{\circ}+\alpha . +$$ + +Obviously $\varangle A D F=60^{\circ}+\alpha$ and because $|F D|=|C D|$ we conclude that $A D F \simeq A D C$. Similarly, $\varangle A E C=\varangle F E C=120^{\circ}-\alpha$, so $A C E \cong F C E$. + +From these two pairs of equal triangles we conclude $|A F|=|A C|=|F C|$, so both triangles $D E F$ and $A C F$ are equilateral. + +If $E$ lies on the line $A F$ or $D$ lies on the line $F C$ then $|A C|=2|E D|=|A B|+|B C|$ and $B$ lies on $A C$, which is not possible. Therefore exactly one of the points $D$ and $E$ lays inside the triangle $A C F$. Without loss of generality, let it be the point $E$. + +The triangles $A E F$ and $A B C$ have their corresponding sides equal therefore $A E F \cong A B C$ and this yields $60^{\circ}=\varangle F A C=\varangle E A B$, so $|E B|=|A B|$. Hence $B C D E$ is a rhombus, i.e., $E D \| B C$. + +## Second solution (by Matija Bašić, coordinator) + +Let $\alpha$ be as in the first solution. In the same way we prove $\varangle A E C=120^{\circ}-\alpha$ and $\varangle C E D=60^{\circ}-\alpha$. Let $F$ be the symmetric image of $A$ with respect to $C E$. We get $\varangle D E F=120^{\circ}-\alpha-\left(60^{\circ}-\alpha\right)=60^{\circ}$. Since $|D E|=|A E|=|E F|$, triangle $D E F$ is equilateral. + +Because $|A B|=|B C|=|D F|=|C D|$ the triangles $A B C$ and $C D F$ are congruent. + +If the point $D$ is outside the triangle $A C F$ then this implies that $B$ and $D$ are symmetric with respect to $C E$, so $|B E|=|D E|$. Hence $B C D E$ is a rhombus and $D E \| B C$. + +If the point $D$ is inside the triangle $A C F$ then the point $E$ is outside that triangle and we see in the similar way that $F$ and $C$ are symmetric with respect to $A D$ and also $B$ and $E$ are symmetric with respect to $A D$. Hence $|B D|=|D E|$ and $A B D E$ is a rhombus, so $D E \| A B$. + +## Third solution (by Gerd Baron, Austrian leader) + +Define the point $B^{\prime}$ such that $B^{\prime} C D E$ is rhombus. + +If the pentagon $A B^{\prime} C D E$ is convex, denote $\varangle E A D=\varangle E D A=\alpha$. Similarly to other solution we have $\varangle A E B^{\prime}=\varangle A E D-\varangle B^{\prime} E C-\varangle C E D=180^{\circ}-2 \alpha-\left(60^{\circ}-\alpha\right)-\left(60^{\circ}-\alpha\right)=$ $60^{\circ}$. + +Since $|A E|=\left|B^{\prime} E\right|$, we conclude that $A B^{\prime} E$ is equilateral. + +Points $B$ and $B^{\prime}$ are on the same side of the line $A C$, so we conclude that $B=B^{\prime}$, so $D E \| A B$. + +If the pentagon $A B^{\prime} C D E$ is not convex, denote the intersection of $B^{\prime} E$ and $A D$ by $F$ and $\varangle D E C=\varangle D C E=\beta$. Similarly to other solutions we have $A E B^{\prime}=180^{\circ}-\varangle E A F-$ $\varangle E F A=180^{\circ}-\varangle E D A-(\varangle F E C+\varangle F S E)=180^{\circ}-\left(60^{\circ}-\beta\right)-\left(\beta+60^{\circ}\right)=60^{\circ}$. + +Since $|A E|=\left|B^{\prime} E\right|$, we conclude that $A B^{\prime} E$ is equilateral. + +Let $B^{\prime \prime}$ be the symmetric image of $B^{\prime}$ with respect to $A C$. Then $A B^{\prime \prime} C B^{\prime}$ is a rhombus and $B=B^{\prime \prime}$, so we conclude $B^{\prime} C \| A B^{\prime \prime}$ and hence $D E \| A B$. + +## Fourth solution (by team Slovakia) + +Denote $\varangle D E C=\varangle D C E=\alpha$ and suppose that all five sides of the pentagon have length a. As in the previous solutions we see that $\varangle S E A=60^{\circ}+\alpha, \varangle S D C=120^{\circ}-\alpha$. Applying the law of sines to the triangles $A S E$ and $C S D$ implies + +$$ +|S A|=\frac{a \sin \left(60^{\circ}+\alpha\right)}{\sin 60^{\circ}}=\frac{a \sin \left(120^{\circ}-\alpha\right)}{\sin 60^{\circ}}=|S C| +$$ + +The triangle $A S C$ is isosceles and $\varangle A C S=\varangle C A S=30^{\circ}$ and we have $|A C|=\sqrt{3} \cdot|A S|$. + +The law of cosines applied to the triangle $A B C$ gives + +$$ +a^{2}=a^{2}+3|A S|^{2}-2 \sqrt{3} a \cdot|A S| \cdot \cos (\varangle A C B) +$$ + +from where we get $\cos (\varangle A C B)=\frac{3|A S|}{2 \sqrt{3} a}=\sin \left(60^{\circ}+\alpha\right)=\cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)$. + +Since $0<\varangle A C B<90^{\circ}$ we have two possibilities. + +The first possibility is that $\varangle A C B=30^{\circ}-\alpha$, so $\varangle B C E=\alpha=\varangle C E D$ and hence $B C \| E D$. + +The second possibility is that $\varangle A C B=\alpha-30^{\circ}$, so $\varangle B A D=60^{\circ}-\alpha=\varangle A D E$ and hence $A B \| E D$. + +## Fifth solution (by team Germany) + +We construct a point $Q$ on the line $S E$ such that $A S Q$ is the equilateral triangle. As in the previous solutions it is easily seen that $\varangle E A Q=\varangle D C S$ and since $\varangle A Q S=60^{\circ}=$ $\varangle C S D$ and $|A E|=|D C|$ we have that the triangle $A E Q$ and $S C D$ are congruent, so $|A S|=|A Q|=|C S|$. + +This shows that the quadrilateral $A B C S$ is a deltoid, so $\varangle A S B=\varangle B S C=60^{\circ}$ and the point $S$ is the Fermat's point of the triangle $B D E$. + +Let point $X$ be such that $B E X$ is equilateral and that $S$ and $X$ lie on different sides of the line $E B$. It is well know that the property of the Fermat's point $S$ is that $X, S$ and $D$ are collinear. Also, since $|B X|=|E X|, X$ lies on the bisector of the segment $\overline{B E}$. + +We have two cases. In the first case, the segment bisector of $\overline{B E}$ coincides with the line $D S$, so $A B D E$ is a rhombus and $A B \| E D$. + +In the second case, the segment bisector of $\overline{B E}$ intersects the line $A S$ at exactly one point. From the remarks we have given, that point must be $X$ and also $A$, so $A=X$. Then the triangle $B E A$ is equilateral, so $A B C D$ is a rhombus and $B C \| E D$. + +## T 6, (Michal Rolínek, Josef Tkadlec, Czech Republic) + +Let $A B C$ be an acute triangle. Denote by $B_{0}$ and $C_{0}$ the feet of the altitudes from vertices $B$ and $C$, respectively. Let $X$ be a point inside the triangle $A B C$ such that the line $B X$ is tangent to the circumcircle of the triangle $A X C_{0}$ and the line $C X$ is tangent to the circumcircle of the triangle $A X B_{0}$. Show that the line $A X$ is perpendicular to $B C$. + +## First solution + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_5764d1cf8319bc2123f3g-22.jpg?height=634&width=805&top_left_y=757&top_left_x=634) + +Let $A_{0}$ be the foot of the altitude from $A$. The quadrilateral $A C A_{0} C_{0}$ is cyclic because $\varangle A A_{0} C=\varangle A C_{0} C=90^{\circ}$. By the power of the point $B$ with respect to that circle we have $|B A|\left|B C_{0}\right|=\left|B A_{0}\right||B C|$. + +The power of the point $B$ with respect to the circumcircle of $A X C_{0}$ gives $|B X|^{2}=$ $|B A|\left|B C_{0}\right|$. + +Similarly, we have $|C X|^{2}=|C A|\left|C B_{0}\right|=\left|C A_{0}\right||B C|$. + +Summing these two results we have + +$$ +|B X|^{2}+|C X|^{2}=\left|B A_{0}\right||B C|+\left|C A_{0}\right||B C|=|B C|^{2} +$$ + +The converse of Pythagora's theorem implies $\varangle B X C=90^{\circ}$. + +Moreover, from $|B X|^{2}=\left|B A_{0}\right||B C|$, i.e. $|B X|:|B C|=\left|B A_{0}\right|:|B X|$ we have that the triangles $B X A_{0}$ and $B C X$ are similar. It follows that + +$$ +\varangle B A_{0} X=\varangle B X C=90^{\circ}=\varangle B A_{0} A, +$$ + +so $A_{0}, X$ and $A$ are collinear, so $A X$ and $B C$ are perpendicular. + +## Second solution (by Tomislav Pejković, coordinator) + +Let $H$ be the orthocenter of the triangle $A B C$. Because $B X$ is tangent to the circumcircle of $A X C_{0}$ we have $\varangle B X C_{0}=\varangle B A X$ (the tangent chord angle theorem). Hence the triangles $B A X$ and $B X C_{0}$ are similar. + +Analogously, the triangle $C A X$ and $C X B_{0}$ are similar. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_5764d1cf8319bc2123f3g-23.jpg?height=637&width=808&top_left_y=567&top_left_x=630) + +Observe that the quadrilateral $A C_{0} H B_{0}$ is cyclic because $\varangle A C_{0} H=\varangle A B_{0} H=90^{\circ}$. The power of the point $B$ with respect to circumcircles of $A C_{0} X$ and $A C_{0} H B_{0}$ gives + +$$ +\left|B B_{0}\right||B H|=|B A|\left|B C_{0}\right|=|B X|^{2} +$$ + +From this we conclude that the triangles $B X H$ and $B B_{0} X$ are similar and $\varangle B X H=$ $\varangle X B_{0} H=\varangle X B_{0} C-90^{\circ}$. Since $C A X$ and $C X B_{0}$ are similar we have $\varangle X B_{0} C=\varangle A X C$. We obtained $\varangle B X H=\varangle A X C-90^{\circ}$ and analogously $\varangle C X H=\varangle A X B-90^{\circ}$. + +Summing up these results we get + +$$ +\varangle B X C=\varangle B X H+\varangle C X H=\varangle A X C+\varangle A X B-180^{\circ}=180^{\circ}-\varangle B X C +$$ + +and so $\varangle B X C=90^{\circ}$. + +Hence, the points $B, C_{0}, X, B_{0}, C$ all lie on the same circle and we have + +$$ +\varangle A X B=\varangle B C_{0} X=180^{\circ}-\varangle X B_{0} B=180^{\circ}-\varangle B X H +$$ + +which means that $A, X$ and $H$ are collinear. So $A X$ and $B C$ are perpendicular. + +## Third solution (by teams Croatia, Hungary and Poland) + +By power of the point we have + +$$ +|C X|^{2}=|C A|\left|C B_{0}\right|, \quad|B X|^{2}=|B A|\left|B C_{0}\right| +$$ + +so the point $X$ is the intersection of the circle with center $C$ and radius $\sqrt{|C A|\left|C B_{0}\right|}$ and the circle with center $B$ and radius $\sqrt{|B A|\left|B C_{0}\right|}$. There are two such points, but only one is in the interior of the triangle $A B C$, so we conclude that the point $X$ is unique. + +On the other hand we will prove that the point $Y$ which is the intersection of the circle with diameter $\overline{B C}$ and the altitude from the point $A$ has the same properties as the point $X$, from which we conclude that $X$ and $Y$ are the same point and hence $X$ lies on the line perpendicular to $B C$. + +Since $\varangle B B_{0} C=90^{\circ}$, the quadrilateral $B C B_{0} Y$ is cyclic and hence $\varangle C B B_{0}=\varangle C Y B_{0}$. On the other hand $\varangle C A Y=90^{\circ}-\varangle A C B=\varangle C B B_{0}=\varangle C Y B_{0}$, so by the tangent-chord theorem the line $C Y$ is tangent to the circumcircle of the triangle $A Y B_{0}$. Analogously, the line $B Y$ is tangent to the circumcircle of the triangle $A Y C_{0}$. Hence, $X=Y$. + +## I 4 (Kamil Duszenko, Poland) + +Let $k$ and $m$, with $k>m$, be positive integers such that the number $k m\left(k^{2}-m^{2}\right)$ is divisible by $k^{3}-m^{3}$. Prove that $(k-m)^{3}>3 k m$. + +## First solution + +Let $d$ be the greatest common divisor of $k$ and $m$. Write $k=d a, m=d b$. Then $a$ and $b$ are relatively prime. Moreover, $a>b$. + +The number $k m\left(k^{2}-m^{2}\right)=d^{4} a b\left(a^{2}-b^{2}\right)=d^{4} a b(a-b)(a+b)$ is divisible by $k^{3}-m^{3}=$ $d^{3}\left(a^{3}-b^{3}\right)=d^{3}(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$, so we have + +$$ +a^{2}+a b+b^{2} \mid d a b(a+b) +$$ + +However, since the numbers $a$ and $b$ are relatively prime, the number $a^{2}+a b+b^{2}$ is relatively prime to $a, b$, and $a+b$. (For example, in case of $a+b$ we note that $a^{2}+a b+b^{2}=(a+b) a+b^{2}$, and $a+b$ is relatively prime to $b$ and hence to $b^{2}$.) Thus + +$$ +a^{2}+a b+b^{2} \mid d +$$ + +This, in particular, yields $d \geqslant a^{2}+a b+b^{2}=(a-b)^{2}+3 a b>3 a b$. Therefore + +$$ +(k-m)^{3}=d^{3}(a-b)^{3} \geqslant d^{3}=d^{2} \cdot d>d^{2} \cdot 3 a b=3 k m +$$ + +## Second solution (by Wojciech Nadara, Poland) + +Since $k^{2}+k m+m^{2}$ divides $k m(k+m)$ and $\left(k^{2}+k m+m^{2}\right)(k+m)$ we have that it divides their difference $(k+m)\left(k^{2}+m^{2}\right)=k^{3}+k^{2} m+k m^{2}+m^{3}$. From this we conclude that $k^{2}+k m+m^{2}$ also divides $k^{3}+k^{2} m+k m^{2}+m^{3}-k\left(k^{2}+k m+m^{2}\right)=m^{3}$. + +Analogously, we conclude that $k^{2}+k m+m^{2}$ divides $k^{3}$. + +Multiplying the second power of $k^{2}+k m+m^{2} \mid k^{3}$ with $k^{2}+k m+m^{2} \mid m^{3}$ we conclude $\left(k^{2}+k m+m^{2}\right)^{3} \mid k^{6} m^{3}$. Hence $k^{2}+k m+m^{2}$ also divides $k^{2} m$ and analogously $k m^{2}$. + +Adding all the results we have obtained we conclude that $k^{2}+k m+m^{2}$ divides $k^{3}-$ $3 k^{2} m+3 k m^{2}-m^{3}=(k-m)^{3}$. + +Because $k>m$, i.e. $k-m>0$, we have $k^{2}+k m+m^{2} \leqslant(k-m)^{3}$. + +Since $(k-m)^{2}$ is equivalent to $k^{2}+k m+m^{2}>3 k m$, we obtain $3 k m<(k-m)^{3}$. + +## T 7 (Mariusz Skaba, Poland) + +Let $A$ and $B$ be disjoint nonempty sets with $A \cup B=\{1,2,3, \ldots, 10\}$. Show that there exist elements $a \in A$ and $b \in B$ such that the number $a^{3}+a b^{2}+b^{3}$ is divisible by 11 . + +## Solution + +For each $n=0,1,2, \ldots$ the numbers $2^{n}, 2^{n+1}, 2^{n+2}, \ldots, 2^{n+9}$ have different remainders when divided by 11 . + +Suppose that for every $b \in B$ there is no $a \in A$ such that $a \equiv 2 b(\bmod 11)$. + +From the above statement there exists $n \in\{0,1, \ldots, 9\}$ such that $b \equiv 2^{n}(\bmod 11)$ and we conclude that elements of $B$ give ten different remainders when divided by 11 , so $B$ has 10 elements. That is a contradiction with the fact that $A$ is nonempty. + +Therefore there exist $b \in B$ and $a \in A$ such that $a \equiv 2 b(\bmod 11)$, and we have + +$$ +a^{3}+a b^{2}+b^{3} \equiv 8 b^{3}+2 b^{3}+b^{3}=11 b^{3} \equiv 0 \quad(\bmod 11) +$$ + +## T 8 (Aivaras Novikas, Lithuania) + +We call a positive integer $n$ amazing if there exist positive integers $a, b, c$ such that the equality + +$$ +n=(b, c)(a, b c)+(c, a)(b, c a)+(a, b)(c, a b) +$$ + +holds. Prove that there exist 2011 consecutive positive integers which are amazing. (By $(m, n)$ we denote the greatest common divisor of positive integers $m$ and $n$.) + +## Solution + +We may choose such positive integers $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2011}$ that the numbers + +$$ +y_{1}=x_{1}^{2}\left(x_{1}+2\right), \quad y_{2}=x_{2}^{2}\left(x_{2}+2\right), \quad \ldots, \quad y_{2011}=x_{2011}^{2}\left(x_{2011}+2\right) +$$ + +are pairwise coprime. For example, we may choose $x_{1}=1$ and $x_{i}=y_{1} y_{2} \ldots y_{i-1}-1$ for every consecutive $i$. This choice guarantees that for every integer $2 \leqslant i \leqslant 2011$ both $x_{i}$ and $x_{i}+2$ (hence, $y_{i}$ as well) are coprime with any of the numbers $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{i-1}$. + +If a positive integer $n$ is divisible by any of the numbers $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2011}$ then it is amazing. Indeed, if, say, $n=y_{i} m=x_{i}^{2}\left(x_{i}+2\right) m$ for some positive integers $m$ and $1 \leqslant i \leqslant 2011$ then $n=(b, c)(a, b c)+(c, a)(b, c a)+(a, b)(c, a b)$ for $a=m x_{i}^{2}, b=m x_{i}, c=x_{i}$. + +Since the numbers $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2011}$ are pairwise coprime, the Chinese remainder theorem implies that there exists a positive integer $k$ satisfying the equalities + +$$ +k \equiv-i \quad\left(\bmod y_{i}\right), \quad i=1,2, \ldots, 2011 +$$ + +This means that $k+i$ is divisible by $y_{i}$ for any $1 \leqslant i \leqslant 2011$. Thus, the consecutive positive integers $k+1, k+2, \ldots, k+2011$ are all amazing, and the statement of the problem is proved. + + +[^0]: ${ }^{1}$ Formally, we consider probability space $\left(\{0,1\}^{n}, \mathcal{P}\left(\{0,1\}^{n}\right), \mathbb{P}\right)$ where + + $$ + \mathbb{P}(\omega)=p^{k(\omega)}(1-p)^{n-k(\omega)}, \quad \text { for each } \omega \in\{0,1\}^{n} + $$ + + ${ }^{2}$ The expectation of integer random variable $X$ is the number $\mathbb{E} X=\sum_{k=0}^{n} k \mathbb{P}(X=k)$. + diff --git a/MEMO/md/en-MEMO2016_Solutions-8.md b/MEMO/md/en-MEMO2016_Solutions-8.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2844be20b8bdf98c9237a4b282f92989838c74dc --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-MEMO2016_Solutions-8.md @@ -0,0 +1,1217 @@ +EUROPEAN + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-01.jpg?height=1500&width=1434&top_left_y=304&top_left_x=334) + +# Contest Problems
with Solutions + +Jury \& Problem Selection Committee + +We would like to remind everybody of the following MEMO regulation: + +## These exam problems + +have to be kept strictly confidential until the contest will have been finished. + +## Jury \& Problem Selection Committee + +selected + +12 problems submitted by the following countries: + +T-1 Croatia + +T-2 Lithuania + +I-1 Austria + +T-3 Croatia + +I-2 Switzerland + +T-4 Austria + +I-3 Slovakia + +T-5 Croatia + +I-4 Croatia + +T-6 Poland + +T-7 Slovakia + +T-8 Austria + +The Problem Selection Committee would also like to thank Roger Labahn for providing the $\mathrm{IAT}_{\mathrm{E}} \mathrm{X}$ templates. + +## Contents + +Individual Competition ..... 4 +I-1 ..... 4 +I-2 ..... 7 +I-3 ..... 9 +I-4 ..... 12 +Team Competition ..... 15 +T-1 ..... 15 +T-2 . ..... 19 +T-3. ..... 22 +T-4 ..... 24 +T-5. ..... 25 +T-6 ..... 28 +T-7. ..... 34 +T-8 ..... 37 + +## I-1 A + +Let $n \geqslant 2$ be an integer and $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ be real numbers satisfying + +(a) $x_{j}>-1$ for $j=1,2, \ldots, n$ and + +(b) $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=n$. + +Prove the inequality + +$$ +\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+x_{j}} \geqslant \sum_{j=1}^{n} \frac{x_{j}}{1+x_{j}^{2}} +$$ + +and determine when equality holds. + +Solution. We have to prove + +$$ +\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+x_{j}}-\sum_{j=1}^{n} \frac{x_{j}}{1+x_{j}^{2}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{1-x_{j}}{\left(1+x_{j}\right)\left(1+x_{j}^{2}\right)} \geqslant 0 +$$ + +We use the supporting line method and consider the function $f$ defined by + +$$ +f(x)=\frac{1-x}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)} +$$ + +for all $x>-1$. The tangent line of $f$ at $x=1$ is given by $y=\frac{1-x}{4}$. We claim that + +$$ +f(x)=\frac{1-x}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)} \geqslant \frac{1-x}{4} +$$ + +for all $x>-1$ with equality for $x=1$. For $x \geqslant 1$ we get $4 \leqslant(1+x)\left(1+x^{2}\right)$ and for $-10$ for $j=1,2, \ldots, n$, Cauchy-Schwarz inequality yields + +$$ +\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+x_{j}} \cdot \sum_{j=1}^{n}\left(1+x_{j}\right) \geqslant\left(\sum_{j=1}^{n} 1\right)^{2} +$$ + +which is equivalent to + +$$ +\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+x_{j}} \geqslant \frac{n}{2} +$$ + +It therefore suffices to prove that + +$$ +\sum_{j=1}^{n} \frac{x_{j}}{1+x_{j}^{2}} \leqslant \frac{n}{2} +$$ + +but this last inequality is equivalent to the trivial one + +$$ +\sum_{j=1}^{n} \frac{\left(1-x_{j}\right)^{2}}{1+x_{j}^{2}} \geqslant 0 +$$ + +so the inequation is proven. + +In the last equation, we have equality if and only if $x_{j}=1$ for $j=1,2, \ldots, n$, and one can easily see that this is indeed a case of equality, so it is the only case of equality. + +Solution The inequality is equivalent to + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{1-x_{i}}{\left(1+x_{i}\right)\left(1+x_{i}^{2}\right)} \geqslant 0 +$$ + +As the functions $f(x)=1-x$ and $g(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)}$ are both strictly decreasing, we can apply the Chebychev inequality to obtain: + +$$ +n \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1-x_{i}}{\left(1+x_{i}\right)\left(1+x_{i}^{2}\right)} \geqslant\left(\sum_{i=1}^{n} 1-x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\left(1+x_{i}\right)\left(1+x_{i}^{2}\right)}\right)=0 +$$ + +So we're done. + +Solution (via Lagrange multipliers) Let us write $f(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{x}{1+x^{2}}$. We want to show that the expression $f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right)$ in the domain + +$$ +D: x_{1}, \ldots, x_{n}>-1, x_{1}+\ldots+x_{n}=n +$$ + +attains its minimal value 0 exactly at the point $x_{1}=\ldots=x_{n}=1$. + +We first consider the boundary of $D$. This means that w. l. o. g. we may assume that $x_{1}=-1$, in which case the expression attains the value $+\infty$, which is not the minimum. + +We now look for minima in the interior of the domain: The method of Lagrange multipliers gives the Langrange function + +$$ +F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \lambda\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(f\left(x_{j}\right)-\lambda\left(x_{j}-1\right)\right) +$$ + +and results in the system of equations + +$$ +\begin{aligned} +f^{\prime}\left(x_{j}\right) & =\lambda, \quad j=1, \ldots, n \\ +\sum_{j=1}^{n} x_{j} & =n +\end{aligned} +$$ + +Now note that + +- $f^{\prime}(x)=\frac{-1}{(1+x)^{2}}+\frac{x^{2}-1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{2\left(x^{3}-x^{2}-x-1\right)}{(1+x)^{2}\left(1+x^{2}\right)^{2}}$. +- $f^{\prime}(x)<0$ for $-10$ for $x>2$. This can be seen from the second expression for $f^{\prime}(x)$, since for $x>2$ we have $1+x+x^{2}<\frac{x^{3}}{8}+\frac{x^{3}}{4}+\frac{x^{3}}{2}0$ for $-1\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)} +$$ + +Thus we get + +$$ +\begin{aligned} +& f^{\prime \prime}(x)> \frac{2 x\left(3-x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}+\frac{2}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)}=\frac{2 x\left(3-x^{2}\right)(1+x)+2\left(1+x^{2}\right)^{2}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)^{3}}= \\ +&= \frac{\left(6 x+6 x^{2}-2 x^{3}-2 x^{4}\right)+\left(2+4 x^{2}+2 x^{4}\right)}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)^{3}}=\frac{2+6 x+10 x^{2}-2 x^{3}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)^{3}}= \\ +&=\frac{\frac{1}{2}(2+3 x)^{2}+\frac{11}{2} x^{2}-2 x^{3}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)^{3}}>0 +\end{aligned} +$$ + +- For $0 \leqslant x \leqslant \sqrt{3}$, the assertion is obvious. +- For $\sqrt{3}\frac{2}{27}, \quad \frac{2 x\left(3-x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}=-\frac{2 x\left(x^{2}-3\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}>-\frac{2 \cdot 2\left(2^{2}-3\right)}{\left(1+\sqrt{3}^{2}\right)^{3}}=-\frac{1}{16}>-\frac{2}{27} +$$ + +- Hence $f^{\prime}$ is strictly increasing for $-145^{\circ}$ and with circumcentre $O$. The point $P$ lies in its interior such that the points $A, P, O, B$ lie on a circle and $B P$ is perpendicular to $C P$. The point $Q$ lies on the segment $B P$ such that $A Q$ is parallel to $P O$. + +Prove that $\Varangle Q C B=\Varangle P C O$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-09.jpg?height=602&width=813&top_left_y=704&top_left_x=610) + +Solution 1. Since $\Varangle B A C>45^{\circ}$, we have $\Varangle B O C>90^{\circ}$, and the points $A, P, O, B$ lie on a circle in this order. + +Instead of the equality $\Varangle Q C B=\Varangle P C O$, we show the equivalent statement $\Varangle O C B=\Varangle P C Q$. + +We know that $\Varangle O C B=90^{\circ}-\Varangle B A C$ and $\Varangle P C Q=90^{\circ}-\Varangle C Q P$. So we just need to show $\Varangle B A C=\Varangle C Q P$. By the construction of $P$ and $Q$, we have + +$$ +\Varangle P Q A=\Varangle Q P O=\Varangle B P O=\Varangle B A O=\Varangle O B A=180^{\circ}-\Varangle A P O=\Varangle Q A P +$$ + +so the triangle $A Q P$ is isosceles with $P A=P Q$. Thus if $Q^{\prime}$ denotes the point obtained by reflecting $Q$ about $P$, then $\Varangle Q A Q^{\prime}=90^{\circ}$. + +Moreover, reusing some part of the above calculation and exploiting that $O$ is the circumcentre of $A B C$, we find + +$$ +\Varangle A Q^{\prime} B=\Varangle A Q^{\prime} Q=90^{\circ}-\Varangle Q^{\prime} Q A=90^{\circ}-\Varangle P Q A=90^{\circ}-\Varangle O B A=\Varangle A C B, +$$ + +which proves that the quadrilateral $A B C Q^{\prime}$ is cyclic. Finally, since $\Varangle Q P C=90^{\circ}$ and $P Q=$ $P Q^{\prime}$, the triangle $Q^{\prime} Q C$ is isosceles with $C Q=C Q^{\prime}$, whence + +$$ +\Varangle C Q P=\Varangle C Q Q^{\prime}=\Varangle Q Q^{\prime} C=\Varangle B Q^{\prime} C=\Varangle B A C, +$$ + +as we wanted to show. + +Another solution of the second part: + +Let $Q^{\prime}$ be the point of intersection of $B P$ with the circumcircle of the traingle $A B C$. Then we have + +$$ +\Varangle B Q^{\prime} C=\Varangle B A C=\alpha \quad \text { and } \quad \Varangle A Q^{\prime} B=\Varangle A C B=\gamma . +$$ + +Since $\Varangle Q^{\prime} P A=180^{\circ}-\Varangle A P B=180^{\circ}-2 \gamma$ we get $\Varangle P A Q^{\prime}=180^{\circ}-\Varangle A Q^{\prime} B-\Varangle Q^{\prime} P A=\gamma$ and triangle $A P Q^{\prime}$ is isosceles with $P Q^{\prime}=P A$. Therefore we get $P Q=P A=P Q^{\prime}$ and the point $P$ is the midpoint of $Q Q^{\prime}$. + +Finally, since $\Varangle Q P C=90^{\circ}$ and $P Q=P Q^{\prime}$, the triangle $Q^{\prime} Q C$ is isosceles with $C Q=C Q^{\prime}$. Therefore + +$$ +\Varangle C Q P=\Varangle Q Q^{\prime} C=\Varangle B A C, +$$ + +as we wanted to show. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-10.jpg?height=739&width=857&top_left_y=1024&top_left_x=605) + +Solution 2. Since $\Varangle B A C>45^{\circ}$, we have $\Varangle B O C>90^{\circ}$, and the points $A, P, O, B$ lie on a circle in this order. + +Instead of showing the equality $\Varangle Q C B=\Varangle P C O$, we prove the equivalent statement $\Varangle O C B=$ $\Varangle P C Q$. + +Let $Y$ be the point of intersection of $A Q$ with the circle through $A, O$ and $B$. Due to $P O \| A Y$ the quadrilateral $A Y O P$ is an isosceles trapezoid with $P A=O Y$. Since $A O=O B$, we can conclude $O P=Y B$, e.g. by proving the congruence of the triangles $A O P$ and $O B Y$. Therefore, $P B Y O$ is an isosceles trapezoid as well and we get that $P Q Y O$ is a parallelogram. + +The triangle $A Q P$ is isosceles due to $P A=O Y=P Q$ and, in addition, similar to triangle $A B O$ because of $\Varangle A P B=\Varangle A O B$. + +Now let $Z$ be the midpoint of $B C$. Since $\Varangle B P C=90^{\circ}$, we know that $Z$ is the center point of the circle through $P, B$ and $C$. Hence we get $Z C=Z P=Z B$. Since triangle $P B Z$ is +isosceles, we have $\Varangle Z B P=\Varangle B P Z$. Because of $\Varangle Z B P=\Varangle Z B Y+\Varangle Y B P$ and $\Varangle B P Z=$ $\Varangle B P O+\Varangle O P Z$ and $\Varangle Y B P=\Varangle B P O$, we conclude $\Varangle Z B Y=\Varangle O P Z$. Now we have the equality of two corresponding sides and the enclosed angle. Therefore, the triangles $Y B Z$ and $P O Z$ are congruent, yielding $O Z=Y Z$. + +Since $\Varangle O Z Y=90^{\circ}-\Varangle Y Z B=90^{\circ}-\Varangle P Z O=\Varangle C Z P$ and $Z C=Z P$, we see that the triangles $O Y Z$ and $C P Z$ are similar. Therefore, we get + +$$ +\frac{C P}{O Y}=\frac{C Z}{O Z}, \quad \text { hence } \quad \frac{C P}{P Q}=\frac{C Z}{O Z} +$$ + +Now the similarity of the triangles $P Q C$ and $O Z C$ follows from $\Varangle Q P C=\Varangle C Z O=90^{\circ}$ and we get $\Varangle P C Q=\Varangle O C Z=\Varangle O C B$, which completes the proof. + +## $\mathrm{I}-4 \mathrm{~N}$ + +Find all functions $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ such that $f(a)+f(b)$ divides $2(a+b-1)$ for all $a, b \in \mathbb{N}$. + +Remark: $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ denotes the set of positive integers. + +Answer. The only solutions are the constant function $f(a)=1$ for all $a \in \mathbb{N}$ and the function $f(a)=2 a-1$ for all $a \in \mathbb{N}$. + +Solution 1. We will first prove that $f$ is either injective or bounded. + +Assume that we have $f(m)=f(n)=t$ for some $m$ and $n$. If we plug in $m$ and $n$ as $b$, we get respectively: + +$$ +\begin{aligned} +& f(a)+t \mid 2(a+m-1) \\ +& f(a)+t \mid 2(a+n-1) +\end{aligned} +$$ + +Since the divisor of two numbers must divide their difference, we get $f(a)+t \mid 2 m-2 n$. That means that if $f$ is not bounded, it is injective, because then we must have $m=n$. + +Case 1: $f$ is injective + +If we put $a=b=1$ in the given relation, we get $f(1)=1$. Putting $a=b$ gives us $f(a) \mid 2 a-1$. Since $f$ is injective, we can now prove by induction that $f(a)=2 a-1$ for $a=2,3, \ldots$ since all smaller divisors of $2 a-1$ are already attained by previous values of $f$. + +Case 2: $f$ is bounded + +If $f$ is bounded, the maximum of $f$ exists and for any $a \in \mathbb{N}$ we can choose a prime $p$ that is greater than $a$ and at least three times greater than this maximum. We can now choose $b \in \mathbb{N}$ such that $a+b-1=p$ and we get $f(a)+f(b) \mid 2 p$. Clearly, $f(a)+f(b)1$ implies $f(a+2)=2 a+3$. Setting $b=a+2$ gives $f(a+2)+2 a-1 \mid 2(2 a+1)$. If $f(a+2)=1$, then $a \mid 2 a+1$. This implies $a=1$, which was excluded. Therefore, the odd number $f(a+2)$ is greater than 2 , so $f(a+2)+2 a-1$ is a divisor of $2(2 a+1)$ that is greater than $2 a+1$ (half of $2(2 a+1)$ ). Thus $f(a+2)+2 a-1$ must be equal to $2(2 a+1)$, which gives $f(a+2)=2 a+3$ as desired. + +Therefore, $f(2)=3$ implies $f(4)=7$. Now, setting $a=3$ and $b=4$ gives $f(3)+7 \mid 12$, which implies $f(3)=5$. + +Since we now know that $f(a)=2 a-1$ holds for $1,2,3,4$ and we can use induction in steps of two, we get $f(a)=2 a-1$ for all $a$, which is clearly a solution. + +The two solutions are $f(a)=1$ for all $a$ and $f(a)=2 a-1$ for all $a$. + +Solution. 3. We have $f(1)=1$ and $f(a) \mid(2 a-1)$ as in the previous solution. + +If $f(2)=1$, then $f(a)=1$ for all $a$ as in the previous solution. + +Therefore, we only have to consider $f(2)=3$. We easily check that $f(a)=2 a-1$ for all $a$ is a solution. + +Choose $k$ maximally such that $f(a)=2 a-1$ holds for all $1 \leqslant a \leqslant k$. Then setting $a=k$ and $b=k+1$ yields + +$$ +2 k-1+f(k+1)=f(k)+f(k+1) \mid 4 k +$$ + +which by maximality of $k$ implies that $f(k+1)=1$. + +Setting $a=k-1$ and $b=k+1$ yields + +$$ +2 k-2=f(k-1)+f(k+1) \mid 2(k-1+k+1-1)=4 k-2 +$$ + +which also implies $2 k-2 \mid((4 k-2)-2(2 k-2))=2$ and thus $k=2$. + +We conclude that $f(3)=1$ and $f(4) \mid 7$. If $f(4)=1$, then + +$$ +4=f(2)+f(4) \mid 10 +$$ + +a contradiction. Thus $f(4)=7$. This leads to the contradiction + +$$ +8=f(3)+f(4) \mid 12 +$$ + +Thus there are only the constant solution and the solution $f(a)=2 a-1$ for all $a$. + +Solution 4. We have $f(1)=1$ and $f(a) \mid(2 a-1)$ as in the previous solutions. + +If $f(2)=1$, then $f(a)=1$ for all $a$ as in the previous solutions. + +Therefore, we only have to consider $f(2)=3$. + +Let $p$ be a prime with $p \equiv-1(\bmod 4)$. Since we already know that $f(a) \mid 2 a-1$, we get $\left.f\left(\frac{p+1}{2}\right) \right\rvert\, p$ which implies that $f\left(\frac{p+1}{2}\right)$ is either 1 or $p$. + +If $f\left(\frac{p+1}{2}\right)=1$ then we choose $a=2$ and $b=\frac{p+1}{2}$ in the original equation and get $4 \mid p+3$ which is impossible. Therefore, $f\left(\frac{p+1}{2}\right)=p$ for all such primes $p$. + +Now we choose $b=\frac{p+1}{2}$ in the original equation and get + +$$ +f(a)+p|2 a-1+p \Longrightarrow f(a)+p| 2 a-1-f(a) \text {. } +$$ + +Since there exist arbitrarily large primes $p$ with $p \equiv-1(\bmod 4)$, the right-hand side has to be 0 , so $f(a)=2 a-1$ which is indeed a solution. + +## T-1 A + +Determine all triples $(a, b, c)$ of real numbers satisfying the system of equations + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}+a b+c=0 \\ +& b^{2}+b c+a=0 \\ +& c^{2}+c a+b=0 +\end{aligned} +$$ + +Answer. The solutions are + +$$ +(a, b, c) \in\left\{(0,0,0),\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\right\} +$$ + +Solution. If one of the numbers $a, b$ and $c$ is equal to zero, it is easy to see that the other two numbers also have to be equal to zero, which gives us the solution $(0,0,0)$. + +Now assume that $a, b, c \neq 0$. + +If all three numbers are positive, then the left-hand side of each equation is positive, while the right-hand sides are equal to zero, which is impossible. + +Let us assume that only one of the numbers is positive, and without loss of generality let it be $a$. Since $b, c<0$, it follows that $b^{2}+b c+a>0$, which is a contradiction. + +It remains to consider the two following cases: + +(a) All three numbers are negative. + +We substitute $a=-x, b=-y$ and $c=-z$, where $x, y, z>0$. The original system transforms into + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}+x y=z \\ +& y^{2}+y z=x \\ +& z^{2}+z x=y +\end{aligned} +$$ + +The system is cyclic, so we can assume that $x \leqslant y$ and $x \leqslant z$. Now we have + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}+x y=z \geqslant x \Longrightarrow x+y \geqslant 1 \\ +& y^{2}+y z=x \leqslant y \Longrightarrow y+z \leqslant 1 +\end{aligned} +$$ + +From the previous two inequalities we conclude that + +$$ +x+y \geqslant 1 \geqslant y+z, \quad \text { i.e. } \quad x \geqslant z +$$ + +On the other hand $x \leqslant z$, so we get $x=z$. + +Now, from equation (1) it follows that $x+y=1$, while from equation (2) it follows that + +$$ +x=y^{2}+y z=y^{2}+y x=y(y+x)=y +$$ + +Thus $x=y=z$ and from $x+y=1$ we see that $x=y=z=1 / 2$. + +We easily verify that $(a, b, c)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ is indeed a solution. + +(b) Exactly one of the numbers is negative. + +Without loss of generality we can assume that $c$ is negative, while $a$ and $b$ are positive. From the second equation we conclude that $b(b+c)=-a<0$, thus $b+c<0$. The third equation yields $c(a+c)=-b<0$, thus $a+c>0$. + +Adding $a+b$ to the first equation and cyclic permutation yields + +$$ +a+b+c=(1-a)(a+b)=(1-b)(b+c)=(1-c)(c+a) +$$ + +The last product is positive. This implies that $1-a>0$ and $1-b<0$ by our above considerations. Therefore $00$ (note that $S=0$ would imply $x=y=z=0$ and hence $a=b=c=0$, which has already been excluded), we can split it into the inequalities $3 \geqslant S$ and $S \geqslant 3$, so we have equality and actually all the inequalities are equalities. + +The case of equality for the triangle equality is when all nonzero $x, y, z$ have the same sign and, in view of equations 6, the only possibility is that $x, y, z$ are all negative. Moreover, in the last inequality, we have equality exactly when $x^{2}=y^{2}=z^{2}$ and, because they have the same sign, it means $x=y=z$. Finally, in view of $x y z=-1$, the only possibility is $x=y=z=-1$. By definition of $x, y, z$ the values of $a, b, c$ are then + +$$ +(a, b, c)=\left(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}\right) +$$ + +and this is indeed a solution. + +## T-2 A + +Let $\mathbb{R}$ denote the set of real numbers. Determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that + +$$ +f(x) f(y)=x f(f(y-x))+x f(2 x)+f\left(x^{2}\right) +$$ + +holds for all real numbers $x$ and $y$. + +Answer. There are two solutions: + +$$ +f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 0, \quad g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 3 x +$$ + +Solution. We set $x=0$ and get $f(0) f(y)=f(0)$, so $f(0)=0$ or $f(y)=1$ for all $y$. The latter leads to a contradiction. + +We set $y=x+z$ and get + +$$ +f(x) f(x+z)=x f(f(z))+x f(2 x)+f\left(x^{2}\right) +$$ + +for all $x$ and $z$. Setting $z=0$ yields + +$$ +f(x)^{2}=x f(2 x)+f\left(x^{2}\right) +$$ + +We set $C=f(1)$. For $x=1$ and $x=2$, we get $f(2)=C(C-1)$ and $f(4)=C^{2}(C-1)^{2} / 3$, respectively. + +If $C=0$, so (1) with $x=1$ yields $f(f(z))=f(2)=0$, so (1) reads $f(x) f(x+z)=x f(2 x)+f\left(x^{2}\right)$ for all $z$, which implies that $f(x)=0$ for all $x$. + +Setting $x=1$ and $x=2$ in (1) leads to + +$$ +\begin{aligned} +C f(z+1) & =f(f(z))+C^{2} \\ +C(C-1) f(z+2) & =2 f(f(z))+C^{2}(C-1)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Eliminating $f(f(z))$ and division by $C \neq 0$ leads to + +$$ +(C-1) f(z+2)-2 f(z+1)=C\left(C^{2}-2 C-1\right) +$$ + +for all $z$. Setting $z=-1$ leads to $C(C-1)=C\left(C^{2}-2 C-1\right)$. In view of $C \neq 0$, this implies $C=3$. Inserting this in (3), dividing by 2 and shifting $z$ leads to + +$$ +f(z+1)-f(z)=3 +$$ + +for all $z$. + +We set $z=1$ in (1) and get + +$$ +f(x)(f(x)+3)=9 x+x f(2 x)+f\left(x^{2}\right) +$$ + +Together with (2), we get $3 f(x)=9 x$, i.e., $f(x)=3 x$ for all $x$. + +Both $f(x)=3 x$ and $f(x)=0$ are solutions. + +Alternative Solution. Setting $x=0$ in the original equation gives $f(0) f(y)=f(0)$. If $f(0) \neq 0$ then $f(x)=1, x \in \mathbb{R}$, but this function does not satisfy the original equation. Hence, $f(0)=0$. + +Setting $y=0$ and $y=x$ in the original equation we get + +$$ +0=x f(f(-x))+x f(2 x)+f\left(x^{2}\right), \quad f(x)^{2}=x f(2 x)+f\left(x^{2}\right) +$$ + +In combination this gives + +$$ +-x f(f(-x))=f(x)^{2} \quad \text { and } \quad x f(f(x))=f(-x)^{2}, x \in \mathbb{R} +$$ + +Multiplying the original equation by $y-x$ gives + +$(y-x) f(x) f(y)=x(y-x) f(f(y-x))+(y-x)\left(x f(2 x)+f\left(x^{2}\right)\right)=x f(x-y)^{2}+(y-x) f(x)^{2}$, which gives + +$$ +x f(x-y)^{2}=(y-x) f(x)(f(y)-f(x)) +$$ + +Now setting $x=2 y \neq 0$ in (5) we get + +$$ +2 y f(y)^{2}=-y f(2 y)(f(y)-f(2 y)) +$$ + +and consequently + +$$ +0=f(2 y)^{2}-f(y) f(2 y)-2 f(y)^{2}=(f(2 y)+f(y))(f(2 y)-2 f(y)) +$$ + +Thus, for any $y \neq 0$ (and for $y=0$ as well) we have $f(2 y)=-f(y)$ or $f(2 y)=2 f(y)$. Setting $y=2 x \neq 0$ in (5) we get + +$$ +x f(-x)^{2}=x f(x)(f(2 x)-f(x)) +$$ + +and consequently + +$$ +f(-x)^{2}+f(x)^{2}=f(x) f(2 x) +$$ + +If $f(2 x)=-f(x)$ holds for some $x \in \mathbb{R}$, then $f(-x)^{2}+2 f(x)^{2}=0$ implies $f(-x)=f(x)=0=$ $f(2 x)$. Hence, the equality $f(2 x)=2 f(x)$ holds for all $x \in \mathbb{R}$. + +Replacing $y$ by $y+x$ in the original equation and using (4) gives + +$$ +f(x) f(x+y)=x f(f(y))+x f(2 x)+f\left(x^{2}\right)=x f(f(y))+f(x)^{2} +$$ + +Now setting $y=x$ gives $2 f(x)^{2}=x f(f(x))+f(x)^{2}$, which means $f(x)^{2}=x f(f(x))$. Multiplying (6) by $y$ yields + +$$ +y f(x) f(x+y)=x f(y)^{2}+y f(x)^{2} +$$ + +Here we can deduce that $f(x)=0$ implies $x=0$, unless $f$ is identically 0 . Now we can interchange $x$ and $y$ and achieve $y f(x) f(x+y)=x f(y) f(x+y)$. Setting $y=1$ now gives $f(x)=x f(1)$ for all $x \neq-1$. However, we also have + +$$ +f(-1)=\frac{1}{2} f(-2)=\frac{1}{2} \cdot(-2) f(1)=-f(1) +$$ + +so $f(x)=x f(1)$ is valid for all $x$. Plugging in $f(x)=c x$ easily gives $c=0$ or $c=3$. Hence these are the two solutions. + +## T-3 C + +A tract of land in the shape of an $8 \times 8$ square, whose sides are oriented north-south and east-west, consists of 64 smaller $1 \times 1$ square plots. There can be at most one house on each of the individual plots. A house can only occupy a single $1 \times 1$ square plot. + +A house is said to be blocked from sunlight if there are three houses on the plots immediately to its east, west and south. + +What is the maximum number of houses that can simultaneously exist, such that none of them is blocked from sunlight? + +Remark: By definition, houses on the east, west and south borders are never blocked from sunlight. + +Answer. The maximal number of houses is 50 . + +Solution. Let us represent the tract as an $8 \times 8$-chessboard, with cells colored black if the corresponding parcel is occupied, and white otherwise. We denote by $(i, j)$ the cell in the $i-$ th row and $j$-th column (with the first row being the northernmost and the first column being the westernmost). We start by showing that an optimal configuration can be obtained by coloring all the cells along the east, south, and west borders. + +Assume that there is an optimal configuration in which one of those cells, for example $(i, 1)$, is left white. Since we have an optimal configuration, this cell cannot be colored black. This means that by coloring $(i, 1)$, we would block the cell $(i, 2)$. In other words, we know that the cells $(i, 2),(i, 3)$ and $(i+1,2)$ are all colored black in this optimal configuration. However, we now see that we can color $(i, 1)$ instead of $(i, 2)$, keeping the same number of black cells and coloring $(i, 1)$, without disturbing any of the other cells. + +We can apply the same reasoning to any of the cells $(1,1)-(8,1),(8,1)-(8,8)$ and, similarly, to $(8,8)-(1,8)$, thus showing that there is an optimal configuration in which all the cells along the E, S, W borders are colored black. + +Those cells being colored, we are left with a $7 \times 6$ area of the board. We can now show that no more than 28 cells in this area can be colored black. In order to obtain 28 , the average number of black cells per row has to be 4 . However, if any row contains six black cells, the next row down cannot contain any black cells, since such a black cell would block the cell immediately north of it. Similarly, if a row were to contain 5 black cells, the next row down would be able to contain at most 3 black cells (namely in the cell immediately below the single white one and the two next to it). This shows that the average number of black cells per row in our $7 \times 6$ area cannot be greater than 4 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-23.jpg?height=374&width=375&top_left_y=204&top_left_x=652) + +(a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-23.jpg?height=369&width=388&top_left_y=204&top_left_x=1025) + +(b) + +Figure 1: Alternative Solution + +This gives us an upper bound on the total number of black cells: the 22 border cells plus 28 cells in the remaining $7 \times 6$ area, i.e., 50 cells in total. + +An example to show that 50 can indeed be achieved is the following. We color the columns $1,2,4,5,7,8$ and row 8 black, leaving the other cells white. This coloring clearly satisfies the conditions and contains exactly 50 black cells, completing the proof. + +Alternative Solution. By building a house on each dark grey plot in Figure 1(a), we see that 50 houses can be built accordingly. + +We will prove that no more than 50 houses can be built, or, equivalently, that at least 14 plots remain empty. Consider the $144 \times 1$ rectangles in Figure 1(b) marked by their thick boundary. We will uniquely assign one empty plot to each of these 14 rectangles as follows: + +- if the rectangle contains at least one empty plot, assign to it the easternmost such plot; +- if the rectangle contains no empty plots, assign to it the westernmost empty plot in the rectangle directly to the south of it. + +In order to see that this assignment is feasible, note that if some rectangle contains no empty plots, then its two central houses are blocked from sunlight from the east and west. Therefore, the two central plots of the rectangle directly to the south of it must be empty, showing that we can indeed assign its westernmost empty plot to the original rectangle while leaving its easternmost empty plot unassigned. The above assignment is thus feasible and shows that there are at least 14 empty plots, concluding the proof. + +## T-4 C + +A class of high school students wrote a test. Every question was graded as either 1 point for a correct answer or 0 points otherwise. It is known that each question was answered correctly by at least one student and the students did not all achieve the same total score. + +Prove that there was a question on the test with the following property: The students who answered the question correctly got a higher average test score than those who did not. + +Solution. Let $n$ be the number of the students in the class and $a$ their average score. Denote by $P$ and $S$ the set of all problems, and the set of all students resp., and let $S(p)$ be the non-empty set of students who solved problem $p \in P$. For any student $s$, let $\operatorname{sc}(s)$ be the score of $s$. For any proposition $A$, let $[A]=1$ if $A$ is true and 0 if $A$ is false. + +We will prove the assertion by contradiction. Assume that on all questions the average test score of solvers was at most the general average $a$, that is + +$$ +a \geqslant \frac{1}{|S(p)|} \sum_{s \in S(p)} \operatorname{sc}(s) \Leftrightarrow a|S(p)| \geqslant \sum_{s \in S(p)} \operatorname{sc}(s) +$$ + +We now sum these inequalities over all problems $p \in P$ to get + +$$ +\begin{aligned} +& a \sum_{p \in P}|S(p)| \geqslant \sum_{p \in P} \sum_{s \in S(p)} \operatorname{sc}(s) \\ +& \Leftrightarrow \quad a \sum_{p \in P} \sum_{s \in S}[s \text { solved } p] \geqslant \sum_{p \in P} \sum_{s \in S}[s \text { solved } p] \sum_{q \in P}[s \text { solved } q] \\ +& \Leftrightarrow \quad a \sum_{s \in S} \operatorname{sc}(s) \geqslant \sum_{s \in S}\left(\sum_{p \in P}[s \text { solved } p]\right) \cdot\left(\sum_{q \in P}[s \text { solved } q]\right) \\ +& \Leftrightarrow \quad \frac{1}{n}\left(\sum_{s \in S} \operatorname{sc}(s)\right)^{2} \geqslant \sum_{s \in S} \operatorname{sc}(s)^{2} +\end{aligned} +$$ + +However, this is the reverse of the inequality between the arithmetic and the quadratic mean. Since the case of equality, namely that $\operatorname{sc}(s)$ is the same for all $s \in S$, is excluded by the problem statement, we arrive at the desired contradiction. + +## T-5 G + +Let $A B C$ be an acute-angled triangle with $A B \neq A C$, and let $O$ be its circumcentre. The line $A O$ intersects the circumcircle $\omega$ of $A B C$ a second time in point $D$, and the line $B C$ in point $E$. The circumcircle of $C D E$ intersects the line $C A$ a second time in point $P$. The line $P E$ intersects the line $A B$ in point $Q$. The line through $O$ parallel to $P E$ intersects the altitude of the triangle $A B C$ that passes through $A$ in point $F$. + +Prove that $F P=F Q$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-25.jpg?height=865&width=1217&top_left_y=807&top_left_x=428) + +Solution 1. Let us denote $\Varangle A B C$ by $\beta$ and $\Varangle B C A$ by $\gamma$. Without loss of generality, $A B>$ $A C$, or equivalently $\beta<\gamma$, as in the figure. + +Segment $A D$ is a diameter of $\omega$, so by Thales' theorem we have $\Varangle D C A=90^{\circ}$. Since the quadrilateral $C E D P$ is cyclic, we get $\Varangle P E D=90^{\circ}$, which immediately gives $\Varangle A E Q=90^{\circ}$. + +Since $\Varangle E A Q=\Varangle O A B=90^{\circ}-\gamma$, we also get $\Varangle A Q P=\Varangle A Q E=\gamma$. Since $C E D P$ is cyclic, we get $\Varangle A D P=\Varangle E D P=180^{\circ}-\Varangle P C E=\Varangle A C B=\gamma$. This means that the quadrilateral $A Q D P$ is cyclic. + +Let us denote the circumcentre of $A Q D P$ by $F^{\prime}$. We show that $F=F^{\prime}$. + +We have $\Varangle A P Q=180^{\circ}-\Varangle C A B-\Varangle A Q P=\beta$. Hence $\Varangle F^{\prime} A Q=90^{\circ}-\beta$, which implies that $F^{\prime}$ lies on the altitude of $A B C$ that passes through $A$. + +Moreover, by definition $F^{\prime}$ must lie on the perpendicular bisector of $A D$, which is the line through $O$ parallel to $P E$. + +So we get $F^{\prime}=F$, and consequently $F P=F Q$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-26.jpg?height=1045&width=1114&top_left_y=217&top_left_x=491) + +Solution 2. Let $\alpha, \beta$ and $\gamma$ denote the angles of $A B C$ in the natural way. + +Point $F$ is defined as the intersection point of the perpendicular bisector of diameter $A D$ with the altitude of triangle $A B C$ through $A$. We define points $P^{\prime}$ and $Q^{\prime}$ as the intersection points of the circle with center $F$ passing through $A$ (and therefore also through $D$ ) with sides $A C$ and $A B$, respectively. First we show $P=P^{\prime}$. + +We calculate + +$$ +\begin{gathered} +\Varangle E D P^{\prime}=\Varangle A D P^{\prime}=\Varangle A Q^{\prime} P^{\prime}=\Varangle A Q^{\prime} F+\Varangle F Q^{\prime} P^{\prime}= \\ +\Varangle A Q^{\prime} F+\frac{180^{\circ}-\Varangle Q^{\prime} F P^{\prime}}{2}=90^{\circ}-\beta+90^{\circ}-\alpha=\gamma=180^{\circ}-\Varangle E C P^{\prime} . +\end{gathered} +$$ + +So we have that $P^{\prime}$ is the intersection of the circumcircle of triangle $E D C$ with $A C$ and therefore we have $P=P^{\prime}$. + +Now we prove $Q=Q^{\prime}$. We have + +$$ +\Varangle A B C=\Varangle A D C=\Varangle E D C=\Varangle E P C=\Varangle Q^{\prime} P A=\Varangle Q^{\prime} D A=\beta +$$ + +and therefore quadrilateral $B D E Q^{\prime}$ is cyclic. Since $\Varangle D B Q^{\prime}=90^{\circ}$ we get $Q^{\prime} E \perp A D$. Together with $\Varangle D E P^{\prime}=\Varangle D E P=90^{\circ}$ we have that $Q^{\prime}$ lies on the line $P E$ and thus $Q^{\prime}=Q$. Therefore we have proven $F P=F Q$. + +Solution 3. Let us denote $\angle A B C$ by $\beta$ and $\angle B C A$ by $\gamma$ and the foot of the altitude from $A$ by $G$. Without loss of generality let $A B>A C$, or equivalently $\beta<\gamma$, as in the figure. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-27.jpg?height=1011&width=1077&top_left_y=465&top_left_x=501) + +Let $\omega_{1}$ be the reflection of $\omega$ about the angle bisector of $\angle B A C$. Since $\angle E A B=\angle O A B=$ $\angle C A G=90^{\circ}-\gamma$, the center $O_{1}$ of $\omega_{1}$ lies on the altitude from $A$ and $A O=A O_{1}$. The circle $\omega_{1}$ intersects $A B$ for the second time at $C_{1}$ with $A C=A C_{1}$ and $A C$ for the second time at $B_{1}$ with $A B=A B_{1}$. + +Now, if we can prove + +$$ +A C_{1}: A Q=A B_{1}: A P=A O_{1}: A F +$$ + +then there is a homothety with center $A$ which maps $C_{1} \rightarrow Q, B_{1} \rightarrow P$ and $O_{1} \rightarrow F$. Hence $P$ and $Q$ lie on a circle $\omega_{2}$ with center $F$ and and the problem is solved. + +Therefore it remains to prove $A C_{1}: A Q=A B_{1}: A P=A O_{1}: A F$. + +The triangles $A O F$ and $A G E$ are similar, so we have $A F=\frac{A O \cdot A E}{A G}$. Due to segment $A D$ being a diameter of $\omega$, we have $\angle D C A=90^{\circ}$ by Thales' theorem. Since the quadrilateral $C E D P$ is cyclic, we get $\angle P E D=90^{\circ}$, which immediately gives $\angle A E Q=90^{\circ}$. Since $\angle E A Q=\angle O A Q=$ $90^{\circ}-\gamma$, we have $A Q=\frac{A E}{\sin \gamma}$ and with $A C=\frac{A G}{\sin \gamma}$, we get + +$$ +A C_{1}: A Q=A C: A Q=\frac{A G}{\sin \gamma}: \frac{A E}{\sin \gamma}=A G: A E=A O: \frac{A O \cdot A E}{A G}=A O_{1}: A F +$$ + +Similarly we can prove $A B_{1}: A P=A O_{1}: A F$ and we are ready. + +## T-6 G + +Let $A B C$ be a triangle with $A B \neq A C$. The points $K, L, M$ are the midpoints of the sides $B C, C A, A B$, respectively. The inscribed circle of $A B C$ with centre $I$ touches the side $B C$ at point $D$. The line $g$, which passes through the midpoint of segment $I D$ and is perpendicular to $I K$, intersects the line $L M$ at point $P$. + +Prove that $\Varangle P I A=90^{\circ}$. + +Solution 1. Let $(X Y Z)$ denote the circumcircle of a triangle $X Y Z$. We use the following well-known lemma: + +Lemma. The centre of the circle $(B I C)$ is the midpoint of arc $B C$ of circle $(A B C)$ and therefore lies on the angle bisector of $\Varangle B A C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_ef0be42837b45243f854g-28.jpg?height=1202&width=1282&top_left_y=1101&top_left_x=384) + +Now assume without loss of generality that $A B1$, there are $9 \cdot 10^{k-1}$ numbers with $k$ digits, which is an even number. Thus we need to end after a segment of odd length of numbers with an odd number of digits, i.e., we end on an even number, so a Mozartian number is indeed even. + +(b) The numbers $n=\underbrace{2 \ldots 2}_{2 \ell} 0$ are Mozartian numbers for all natural numbers $\ell$ : There are an even number of least significant digits $0,1, \ldots, 9$; and all other digits at higher positions except for those in $n$ are repeated 10 times in a row which does not change the parities of occurrences. The leading $2 \ell$ digits 2 of $n$ do not change parities, either. + +## Solution 2. + +(a) Let $k$ be any integer $\geqslant 0$. In the pairing $(2,3),(4,5), \ldots,(2 k, 2 k+1)$, the members of each pair need the same number of digits, so each pair needs an even number of digits together, so alltogether the numbers from 1 to $2 k+1$ need an odd number of digits. Therefore, any Mozartian number has to be even because the total number of digits used up to a Mozartian number has to be even. + +(b) We will show that $10^{2 k}+22$ are Mozartian numbers for all natural numbers $k$. + +We first note that by the proof of the first part, we know that we need an odd number of digits up to $10^{2 k}+21$, and therefore an even number of digits up to $10^{2 k}+22$. So it is sufficient to check that the digits $1,2, \ldots, 9$ occur an even number of times because the condition for 0 will be automatically satisfied. + +Now, we will consider the numbers from 0 to $10^{2 k}-1$ as numbers with $2 k+1$ digits with leading zeros where necessary. Clearly, each digit must occur equally often. Since the number of all digits in this list is divisible by 100 , this quantity is still divisible by 10 , +therefore even. This proves that nonzero digits occur an even number of times in this interval. + +It remains to consider the numbers $10^{2 k}, 10^{2 k}+1, \ldots, 10^{2 k}+22$. Clearly, the leading ones occur an odd number of times. Since the list $1,2, \ldots, 22$ contains an odd number of ones and an even number of the other digits, the proof is finished. + +## Solution 3. (only Part (b)) + +We will first show that for any $k \geqslant 1$ the numbers from 0 to $20 k-1$ together contain an even number of each digit from 0 to 9 . + +The units digits clearly run from 0 to 9 an even number of times, so they contribute an even number to each digit count. For any possible fixed choice of all digits except the units digits, there are 10 numbers that satisfy this condition, so again, they contribute an even number to each digit count which proves the assertion. + +Consider now the numbers from 1 to $M=20 k$ where $M$ has a decimal representation that contains an odd number of zeros and an even number of each digit from 1 to 9 . Since the odd number of zeros compensates for the missing zero that was counted in the above assertion, we find that $M$ is a Mozartian number. + +There are clearly infinitely many such numbers, for example all numbers of the form $22 \ldots 20$ that contain an even number of $2 \mathrm{~s}$. + +Comment. The argument of Solution 3 shows that Mozartian numbers that are multiples of 20 are exactly those multiples that contain an odd number of 0 s and an even number of all other digits. + +By an analogous argument, one can now find all Mozartian numbers. The following table lists the parity restrictions on the digit counts for each possible even residue modulo 20 where e stands for even and o stands for odd. The rows list the different possible residues and the columns lists the digits from 0 to 9. For example, 10198 is a Mozartian number because it has residue 18 modulo 20 and the digits that occur an odd number of times are 0,8 and 9 . These conditions are the only restrictions on Mozartian numbers. + +| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| 0 | o | e | e | e | e | e | e | e | e | e | +| 2 | e | o | e | e | e | e | e | e | e | e | +| 4 | e | o | o | o | e | e | e | e | e | e | +| 6 | e | o | o | o | o | o | e | e | e | e | +| 8 | e | o | o | o | o | o | o | o | e | e | +| 10 | e | o | o | o | o | o | o | o | o | o | +| 12 | o | e | o | o | o | o | o | o | o | o | +| 14 | o | e | e | e | o | o | o | o | o | o | +| 16 | o | e | e | e | e | e | o | o | o | o | +| 18 | o | e | e | e | e | e | e | e | o | o | + +## T-8 N + +We consider the equation $a^{2}+b^{2}+c^{2}+n=a b c$, where $a, b, c$ are positive integers. + +Prove: + +(a) There are no solutions $(a, b, c)$ for $n=2017$. + +(b) For $n=2016, a$ must be divisible by 3 for every solution $(a, b, c)$. + +(c) The equation has infinitely many solutions $(a, b, c)$ for $n=2016$. + +## Solution 1. + +(a) We distinguish cases depending on the parity of $a, b, c$ : + +- If all three are odd, we have $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2017 \equiv 0(\bmod 2)$ and $a b c \equiv 1(\bmod 2)$. +- If exactly one of them is even, we have $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2017 \equiv 1(\bmod 2)$ and $a b c \equiv 0$ $(\bmod 2)$. +- If exactly two of them are even, we have $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2017 \equiv 2(\bmod 4)($ recalling that squares are either congruent to 0 or 1 modulo 4$)$ and $a b c \equiv 0(\bmod 4)$. +- If all three are even, we have $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2017 \equiv 1(\bmod 2)$ and $a b c \equiv 0(\bmod 2)$. In each of the four cases, we see that the two sides of the equation cannot be equal. + +(b) Note that $m^{2} \equiv 0(\bmod 3)$ if $m$ is divisible by 3 and $m^{2} \equiv 1(\bmod 3)$ otherwise, and note also that 2016 is divisible by 3 . We consider two cases: + +- If none of the three numbers $a, b, c$ is divisible by 3 , then neither is $a b c$, while on the other hand $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2016 \equiv 1+1+1+0 \equiv 0(\bmod 3)$. Hence we get a contradiction. +- Otherwise, $a b c$ is divisible by 3 , so $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ must be divisible by 3 as well. If exactly one of the three variables is divisible by 3 , we have $a^{2}+b^{2}+c^{2} \equiv 2(\bmod 3)$, and if exactly two of them are divisible by 3 , we have $a^{2}+b^{2}+c^{2} \equiv 1(\bmod 3)$. In both cases, we see that there cannot be a solution. This leaves us with the only possibility that $a, b, c$ are all divisible by 3 . + +(c) We know from the previous part that we must have $a=3 x, b=3 y, c=3 z$ for certain positive integers $x, y, z$. We plug these into the given equation and divide by 9 to obtain + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}+224=3 x y z +$$ + +Note that $225=15^{2}$ is a perfect square, so we try to find solutions with $x=1$ : + +$$ +y^{2}+z^{2}+225=3 y z +$$ + +Indeed, $y=z=15$ is a solution, and we find further solutions by means of "Vieta jumping". Suppose that $\left(y_{0}, z_{0}\right)$ is a solution, i.e., + +$$ +y_{0}^{2}+z_{0}^{2}+225=3 y_{0} z_{0} +$$ + +where $y_{0} \geqslant z_{0}$. The second solution to the quadratic equation + +$$ +z^{2}-3 y_{0} z+\left(225+y_{0}^{2}\right)=0 +$$ + +is $z_{1}=3 y_{0}-z_{0} \geqslant 2 y_{0}>y_{0}$, giving us a new solution pair $\left(z_{1}, y_{0}\right)$ that has a greater first component than the previous one. Repeating the procedure, we obtain infinitely many solutions. + +Solution 2. The third part can also be solved by means of the theory of Pellian equations. Let us return to the equation + +$$ +y^{2}+z^{2}+225=3 y z +$$ + +We multiply by 4 and complete the square: + +$$ +4 y^{2}-12 y z+4 z^{2}+900=(2 y-3 z)^{2}-5 z^{2}+900=0 +$$ + +For odd $k$, we have + +$$ +(2+\sqrt{5})^{k} \cdot(2-\sqrt{5})^{k}=-1 +$$ + +We can write $(2+\sqrt{5})^{k}$ as $u+v \sqrt{5}$ for certain positive integers $u$ and $v$, so that $(2-\sqrt{5})^{k}=$ $u-v \sqrt{5}$ and thus + +$$ +u^{2}-5 v^{2}=-1 +$$ + +Now simply set $z=30 v$ and $y=15 u+45 v$ (so that $2 y-3 z=30 u$ ) to obtain + +$$ +(2 y-3 z)^{2}-5 z^{2}+900=0 +$$ + +as desired. Since we obtain a solution for every odd $k$ in this way, there must be infinitely many. + diff --git a/MEMO/md/en-MEMO_2022_I_sol_en.md b/MEMO/md/en-MEMO_2022_I_sol_en.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b7e61ed00bd0ec6e9c337d1318dc4d27253dc55 --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-MEMO_2022_I_sol_en.md @@ -0,0 +1,164 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_bb329c9c39073469be65g-1.jpg?height=266&width=260&top_left_y=110&top_left_x=204) + +Individual Competition - Solutions + +MEMO + +2022 + +Bern + +English version + +# Problem I-1 + +Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers. Determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that + +$$ +f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y) +$$ + +holds for all $x, y \in \mathbb{R}$. + +Solution. Denote by $P(x, y)$ the given assertion. + +Taking $y=-f(x)$ we get the equality $f(x+f(x-f(x)))=x+f(0)$, which implies that $f$ is surjective. + +Let $d$ be a zero of $f$. From $P(d, 0)$ we get $0=d+f(0)$, thus $-f(0)$ is the only zero of $f$. + +From $P(0, y)$ we get + +$$ +f(f(y))=f(y+f(0)) +$$ + +From $P(-f(0), y+f(0))$ we get $f(f(y)-f(0))=-f(0)+f(y+f(0))$. Using (1), we get $f(f(y)-f(0))=-f(0)+f(f(y))$, or equivalently $f(f(y))=f(f(y)-f(0))+f(0)$. + +Since $f$ is surjective, we can replace $f(y)$ by $y$ to obtain + +$$ +f(y)=f(y-f(0))+f(0) +$$ + +Replacing $y$ by $y+f(0)$ to the right, we get $f(y+f(0))=f(y)+f(0)$. However, applying (1) to the left side gives us + +$$ +f(f(y))=f(y)+f(0) +$$ + +Once again, using surjectivity we conclude that $f(y)=y+f(0)$ for every real number $y$. Thus, any function $f$ which is a solution is of the form $f(y)=y+c$ for some real number $c$. It's easy to check that all such functions satisfy the problem's condition. + +Solution via surjectivity. Let $P(x, y)$ denote the given equation. The function $f$ is surjective, as can be seen with $P(x,-f(x))$. Observe that $P(y, x-y)$ gives us + +$$ +f(y+f(x))=y+f(f(y)+x-y) +$$ + +which, when plugged back into the original equation, translates to + +$$ +f(x+f(x+y))=x+y+f(f(y)+x-y) +$$ + +Observe the equation + +$$ +x+f\left(x+y_{0}\right)=f\left(y_{0}\right)+x-y_{0} +$$ + +For every $y_{0}$ it has a solution $x_{0}$, as $f$ is surjective. Plugging $x_{0}$ and $y_{0}$ in (2), it follows that $x_{0}+y_{0}=0$. As $x_{0}=-y_{0}$ is the only possible solution, it must solve the equation. We now get that $-y+f(0)=f(y)-2 y$ for all $y$, and so $f(x)=x+c$. We see that all such functions indeed solve the equation. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_bb329c9c39073469be65g-2.jpg?height=252&width=234&top_left_y=111&top_left_x=226) + +## Problem I-2 + +Let $n$ be a positive integer. Anna and Beatrice play a game with a deck of $n$ cards labelled with the numbers $1,2, \ldots, n$. Initially, the deck is shuffled. The players take turns, starting with Anna. At each turn, if $k$ denotes the number written on the topmost card, then the player first looks at all the cards and then rearranges the $k$ topmost cards. If, after rearranging, the topmost card shows the number $k$ again, then the player has lost and the game ends. Otherwise, the turn of the other player begins. Determine, depending on the initial shuffle, if either player has a winning strategy, and if so, who does. + +Answer: A player wins if and only if in the deck she receives, the topmost card with number $k$ does not have the smallest number among the $k$ topmost cards + +Solution with explicit strategy. For the sake of brevity, we will always refer to the cards as the numbers $1, \ldots, n$ in a row, in some permutation. The first number corresponds to the topmost card. + +Assume it is your turn and the first number $k$ is not the smallest number among the first $k$ numbers; let $m$ be that smallest number. You can now place $m$ in the first place and sort the remaining numbers in decreasing order. + +If $m=1$, then the opponent will immediately after her next turn. + +Otherwise, the smallest of the $m-1$ numbers on positions 2 to $m$ is now larger than $k$ : The smallest of the $k$ numbers before the rearrangement was $m$, so the largest of them was at least $m+k-1$, and the $(m-1)$-th largest was at least $m+k-1-(m-2)=k+1$. + +This now forces your opponent to remove $m$ from the start and to put something there that is bigger than $k$ (else she loses the game). Also, $m$ still remains among the first $m$ numbers, so the new first number $k^{\prime}$ again is not the smallest among the first $k^{\prime}>m$ numbers. + +Repeating this ensures that you always have a non-losing move. + +The game terminates since the leading number cannot increase forever. Therefore, it is forced that your opponent will at some point lose the game. + +If instead the first number $k$ is the smallest among the first $k$ numbers when it is your turn, then the same strategy applies to your opponent after your move. + +Solution with winning positions. Essentially the same idea can also be written as an iterative characterization of winning positions. We inductively show that a position is a winning position if and only if the first number $k$ is not the smallest among the first $k$ numbers. + +First, we observe that a player cannot make a legal move if and only if the first number is 1 . Consequently, a player can win within one move if and only if 1 is among the first $k$ numbers. + +If the first number is $n$, then 1 is always among the first $n$ numbers, so this is a winning position. + +Let us assume the first number is $k$, and for all $k^{\prime}>k$ we have already shown that permutations starting with $k^{\prime}$ are winning positions if and only if $k^{\prime}$ is not the smallest among the first $k^{\prime}$ numbers. + +If $k$ is the smallest number among the first $k$ numbers, then the player whose turn it is must put some number $k^{\prime}$ larger than $k$ in the first position and $k$ among the first $ka$. Then we compute $\operatorname{gcd}(a, 1+a b)+\operatorname{lcm}(a, 1+a b)=1+a+a^{2} b$, which is again coprime with $a$. Repeatedly applying this procedure with $a$ and the last written number, we obtain all the numbers of the form + +$$ +1+a+\ldots+a^{k-1}+a^{k} b=\frac{a^{k}-1}{a-1}+a^{k} b=: V_{k} +$$ + +By the pigeonhole principle there exists two positive integer $k_{1}b$, so we will write $V_{k}=t \cdot b$ with $t>1$. + +Now we take $V_{k}$ and $b$ and compute + +$$ +\operatorname{gcd}\left(V_{k}, b\right)+\operatorname{lcm}\left(V_{k}, b\right)=b+V_{k}=(t+1) \cdot b +$$ + +and hence repeatedly applying this procedure with $b$ and the last written number gives all numbers of the form $s \cdot b$ for $s \geq t$. In particular, if we apply this procedure sufficiently many times $s$ will be a multiple of $n$. + diff --git a/MEMO/md/en-MEMO_2022_T_sol_en.md b/MEMO/md/en-MEMO_2022_T_sol_en.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce3ba95e25f90bb3c7fe344ebd0da17f5ff0425d --- /dev/null +++ b/MEMO/md/en-MEMO_2022_T_sol_en.md @@ -0,0 +1,360 @@ +# Problem T-1 + +Given a pair $\left(a_{0}, b_{0}\right)$ of real numbers, we define two sequences $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ and $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ of real numbers by + +$$ +a_{n+1}=a_{n}+b_{n} \quad \text { and } \quad b_{n+1}=a_{n} \cdot b_{n} +$$ + +for all $n=0,1,2, \ldots$ Find all pairs $\left(a_{0}, b_{0}\right)$ of real numbers such that $a_{2022}=a_{0}$ and $b_{2022}=b_{0}$. + +Answer: All pairs $\left(a_{0}, b_{0}\right)$ where $b_{0}=0$ and $a_{0}$ is arbitrary. + +Solution. Consider a function $\Phi$ of two real variables defined by $\Phi(a, b)=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}$. We claim that $\Phi\left(a_{n+1}, b_{n+1}\right) \geq \Phi\left(a_{n}, b_{n}\right)$ for all $n$, with equality if and only if $a_{n} b_{n}=0$. Indeed, setting $a_{n}=a$ and $b_{n}=b$ we verify + +$$ +\Phi\left(a_{n+1}, b_{n+1}\right)-\Phi\left(a_{n}, b_{n}\right)=(a b-1)^{2}+(a+b-1)^{2}-(a-1)^{2}-(b-1)^{2}=(a b)^{2} \geq 0 +$$ + +This means that + +$$ +\Phi\left(a_{2022}, b_{2022}\right) \geq \Phi\left(a_{2021}, b_{2021}\right) \geq \cdots \geq \Phi\left(a_{0}, b_{0}\right) +$$ + +so equalities must occur everywhere. We distinguish two cases: + +(a) If $b_{0}=0$ then $a_{i}=a_{0}$ and $b_{i}=0$ for all $i=1, \ldots, 2022$ and we get a valid solution for arbitrary real number $a_{0}$. + +(b) If $b_{0} \neq 0$ then from $\left(a_{0} b_{0}\right)^{2}=0$ we infer $a_{0}=0$. Thus $a_{1}=b_{0} \neq 0, b_{1}=0$ and from this point on $a_{i}=b_{0}, b_{i}=0$ for all $i=1, \ldots, 2022$. Hence we do not get any solution here. + +Remark. Other functions work too. For example a function $\Phi_{2}$ defined by + +$$ +\Phi_{2}(a, b)=a^{2}-2 a-2 b +$$ + +gives an even slightly more convenient $\Phi\left(a_{n+1}, b_{n+1}\right) \geq \Phi\left(a_{n}, b_{n}\right)$ with equality if and only if $b_{n}=0$. + +Alternative solution. Since + +$$ +a_{n+2}-a_{n+1}=b_{n+1}=a_{n} b_{n}=a_{n}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a_{n} a_{n+1}-a_{n}^{2} +$$ + +we can write + +$$ +\sum_{n}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)^{2}=2 \sum_{n} a_{n}^{2}-2 \sum_{n} a_{n+1} a_{n}=-2 \sum_{n}\left(a_{n} a_{n+1}-a_{n}^{2}\right)=-2 \sum_{n}\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=0 +$$ + +thus $a_{n}=a_{n+1}=a_{n}+b_{n}$ and $b_{n}=0$ for all $n$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_45ecadfb6afd1a68901ag-02.jpg?height=257&width=237&top_left_y=109&top_left_x=224) + +Team Competition - Solutions + +## Problem T-2 + +Let $k$ be a positive integer and $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ be nonnegative real numbers. Initially, there is a sequence of $n \geq k$ zeros written on a blackboard. At each step, Nicole chooses $k$ consecutive numbers written on the blackboard and increases the first number by $a_{1}$, the second one by $a_{2}$, and so on, until she increases the $k$-th one by $a_{k}$. After a positive number of steps, Nicole managed to make all the numbers on the blackboard equal. Prove that all the nonzero numbers among $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ are equal. + +Solution. Denote by $L_{i}, 0 \leq i0$. Focusing now at the $k$ th number in John's sequence, we get $K=L_{0} a_{k-1}+\cdots+L_{i} a_{k-1-i}+\ldots$. But $L_{0} a_{k-1}=p a=K$, so we are getting $L_{i} a_{k-1-i}=0$, hence $a_{k-1-i}=0$. + +We can apply exactly the same argument on the other side (replace $L_{j}$ with $R_{n-1-j}$ and $a_{j}$ with $a_{k-1-j}$ and eq. (1) with eq. (2)). We get that whenever $a_{k-1-i}0$, implying $L_{0}>0$. We normalize the sequence by dividing each term by $a_{0}$, so that $a_{0}=1$ and all numbers on the board are equal to $L_{0}$ in the end. + +Claim. All terms of the sequence are now rational numbers. + +Proof. Assume the contrary. Consider the smallest index $i$ with $a_{i} \notin \mathbb{Q}$ and look at the $i$-th number on the board which in the end of the process takes the value $L_{0} \in \mathbb{N}$. Since $a_{i}$ was added to this position $L_{0}$ times and all other terms added to it must have been rational by minimality of $i$, we get a contradiction. + +If there now exists some index $j$ with $0v_{q}\left(L_{s} \cdot a_{t}\right)$. Hence, + +$$ +v_{q}\left(L_{0} \cdot a_{0}\right)>v_{q}\left(L_{s} \cdot a_{t}\right)=v_{q}\left(\sum_{i=0}^{s+t} L_{i} \cdot a_{s+t-i}\right) +$$ + +contradiction. We conclude that no such $j$ could have existed, so all terms are either equal to 0 or $a_{0}$. + +Solution using Polynomials. By the claim of the previous solution, we see that we may assume all terms of the sequence to be nonnegative integers (just multiply everything by the lcm of the denominators). Again, we note that for all $i$, it holds that $a_{0} \geq a_{i}$. + +Now observe the polynomial + +$$ +P(x)=\sum_{i=0}^{k-1} a_{i} x^{i} +$$ + +and interpret the numbers on the board as a polynomial in a similar way, i.e. if the numbers on the board are $b_{0}, \ldots, b_{n-1}$, read it as + +$$ +\sum_{i=0}^{n-1} b_{i} x^{i} +$$ + +The problem states that after each step, the polynomial on the board is increased by $x^{p} \cdot P(x)$ for some $p \in \mathbb{N}_{0}$. Therefore, the condition can be rewritten as + +$$ +P(x) \cdot Q(x)=K \cdot \frac{x^{n}-1}{x-1} +$$ + +for some polynomial $Q \in \mathbb{Z}[x]$ and $K \in \mathbb{N}$. It follows that + +$$ +P(x)=a \cdot R(x) +$$ + +where $a \mid K$ and $R(x) \left\lvert\, \frac{x^{n}-1}{x-1}\right.$. We see that the constant term of $R$ must be equal to 1 , and so $a_{0}=a$. As $a \mid a_{i}$ and $a_{0} \geq a_{i}$ for all $i$, they are indeed all equal to $a$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_45ecadfb6afd1a68901ag-05.jpg?height=257&width=237&top_left_y=109&top_left_x=224) + +## Problem T-3 + +Let $n$ be a positive integer. There are $n$ purple and $n$ white cows queuing in a line in some order. Tim wishes to sort the cows by colour, such that all purple cows are at the front of the line. At each step, he is only allowed to swap two adjacent groups of equally many consecutive cows. What is the minimal number of steps Tim needs to be able to fulfill his wish, regardless of the initial alignment of the cows? + +Example. For instance, Tim can perform the following three swaps: + +$$ +W \underline{P W} \overline{P P} W \longrightarrow \underline{W} \bar{P} P P W W \longrightarrow P \underline{W P} \overline{P W} W \longrightarrow P P W W P W +$$ + +Answer: Tim needs at most $n$ swaps. + +Solution. Imagine that the queue has an additional immovable purple cow in front of all other cows and an additional immovable white cow behind all other cows; he can only do swaps that do not displace these two. We will now consider the variable of "the number of pairs of adjacent equally coloured cows". For example, if the queue is + +$$ +\overline{\mathrm{P}} P W \overline{P P} \underline{W} \overline{W W} P \underline{\mathrm{W}} +$$ + +we have 4 different such pairs, including the two immovable cows at the start and end in our queue. Now, note that when Tim makes a swap, he changes three pairs - the one preceding the first block; the one between the two blocks and the one after the second block. + +$$ +\begin{aligned} +& \ldots x_{1} \underline{y_{1} \ldots x_{2}} \frac{y_{2} \ldots x_{3}}{\downarrow} y_{3} \ldots \\ +& \ldots x_{1} \underline{y_{2} \ldots x_{3}} \underline{y_{1} \ldots x_{2}} y_{3} \ldots +\end{aligned} +$$ + +It is not hard to see that the maximum increase in the number of such pairs is 2 ; it is impossible to go from all three of them being unequal to all three being equal. + +In the worst-case initial scenario, which consists of an alternating sequence beginning with a $W$, there are no adjacent equal pairs, and the final state contains $2 n$ adjacent equal pairs (again taking into account the two immovable cows). This establishes $n$ as a lower bound. + +Finally, we iteratively prove that $n$ is always sufficient with the induction hypothesis that we can always attain the sorted queue as well as the reversed queue within $n$ moves. This is trivially true for $n=1$. Now, suppose it holds true up to $k$, and consider the case $k+1$ (disregarding the immovable cows, which we do not need anymore). + +- If the cow in front is purple and the last cow is white, just sort the inner queue of length $2 k$ with $k$ moves. +- If the first cow is white and the last cow is purple, sort the inner queue in reverse (in $k$ moves) and then do one final swap on the large blocks white and purple cows. +- If the first and the last cow have the same colour, use one initial swap to get a purple cow at the start and a white cow at the end. This is certainly possible because if both are white, there must be a purple cow in the front half of the queue, so we can swap the block from the first cow until right before that white cow with the subsequent block of the same length; this does not modify the end of the queue. If both are purple, a symmetric argument allows swapping a white cow to the end without modifying the start. Then sort the inner queue with $k$ moves. + +By symmetry, we could also have sorted to the reverse queue within $k+1$ moves. Thus we have proved the inductive step and are done. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_45ecadfb6afd1a68901ag-07.jpg?height=257&width=237&top_left_y=109&top_left_x=224) + +## Problem T-4 + +Let $n$ be a positive integer. We are given a $2 n \times 2 n$ table. Each cell is coloured with one of $2 n^{2}$ colours such that each colour is used exactly twice. Jana stands in one of the cells. There is a chocolate bar lying in one of the other cells. Jana wishes to reach the cell with the chocolate bar. At each step, she can only move in one of the following two ways. Either she walks to an adjacent cell or she teleports to the other cell with the same colour as her current cell. (Jana can move to an adjacent cell of the same colour by either walking or teleporting.) Determine whether Jana can fulfill her wish, regardless of the initial configuration, if she has to alternate between the two ways of moving and has to start with a teleportation. + +Remark. Two cells are adjacent if they share a common edge. + +Answer: Jana can always reach the chocolate. + +Solution. Fix the colouring of the cells and the starting position. We prove that Jana can reach any cell. Call a series of moves legal, if she starts from the starting cell with a teleport move, and uses the two types of moves alternately. Divide the cells into four categories. + +- Call a cell teleport reachable, if Jana can make a legal series of moves finishing in this cell, but all such legal movement ends with a teleport move. +- Call a cell adjacent reachable, if Jana can make a legal series of moves finishing in this cell, but all such legal movement ends with an adjacent move. +- Call a cell easily reachable if it can be reached legally such that the last move is a teleportation, and also it can be reached with the last move being an adjacent move. +- Finally, call a cell unreachable, if Jana cannot move to this cell with a legal movement. + +For consistency, we assume the cell that Jane starts on to be reachable with an adjacent move that happened before the start of the game and forces Jane to perform a teleport move next. The starting cell therefore is either adjacent reachable or easily reachable. Also, for any given cell, we call the other cell with the same colour its "partner cell". + +Lemma. The number of teleport reachable cells and adjacent reachable cells must be the same. + +Proof. Consider a cell $T$ and its partner cell $T^{\prime}$. If $T$ is easily reachable, so is $T^{\prime}$ (as any move before teleporting from $T^{\prime}$ to $T$ must be an adjacent move to $T^{\prime}$ and any adjacent move to $T$ can be extended by a teleport to $T^{\prime}$ ). Similarly, if $T$ is teleport reachable, $T^{\prime}$ must be adjacent reachable and vice versa. If $T$ is unreachable, so is $T^{\prime}$, otherwise it would contradict the previous observations. Each pair therefore contributes equally many adjacent and teleport reachable cells. + +Lemma. Each neighbour $N$ of a teleport reachable cell $T$ must be adjacent reachable. + +Proof. A legal movement to $T$ can be extended with an adjacent move to $N$. But if $N$ was easily reachable, we could extend a teleport movement to $N$ with an adjacent move to $T$, so $T$ would be easily reachable too. + +Lemma. Neighbours of easily reachable cells are never unreachable. + +Proof. At the very least we could extend a teleport movement to the easily reachable cell with an adjacent move. + +Assume that there exist one or more unreachable cells. Then somewhere on the board, there are two adjacent cells of which one is unreachable and the other is not. By the second and third lemma, this neighbour cell can neither be easily reachable nor teleport reachable, so it must be adjacent reachable. + +Put a domino covering these two cells, and tile the whole table with dominoes containing this domino. Clearly, we can do this: Extend the two short sides of the domino such the sides of the domino now partition the board into four rectangular regions. Since each of those rectangles have at least one even dimension, we can cover them by dominoes. + +Now by the second lemma, every domino that contains a teleport reachable cell must contain an adjacent reachable cell, and there is a domino that contains an adjacent reachable cell with no teleport reachable cell. This is a contradiction, as the number of teleport reachable cells and adjacent reachable cells are the same by the first lemma. + +## Problem T-5 + +Let $\Omega$ be the circumcircle of a triangle $A B C$ with $\angle C A B=90^{\circ}$. The medians through $B$ and $C$ meet $\Omega$ again at $D$ and $E$, respectively. The tangent to $\Omega$ at $D$ intersects the line $A C$ at $X$ and the tangent to $\Omega$ at $E$ intersects the line $A B$ at $Y$. Prove that the line $X Y$ is tangent to $\Omega$. + +Solution. Let $G$ be the second intersection of the median through $A$ and $\Omega$. We will show that $X Y$ is tangent to $\Omega$ at $G$. Let $X^{\prime}$ be the intersection of the tangents to $\Omega$ at $D$ and $G$. We claim that $A, C$, and $X^{\prime}$ are collinear. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_45ecadfb6afd1a68901ag-09.jpg?height=569&width=805&top_left_y=949&top_left_x=680) + +Let $O$ be the center of $\Omega$, and $M$ the midpoint of $A C$. We start by noting that + +$$ +\angle G O X^{\prime}=\frac{1}{2} \angle G O D=\angle G B D=\angle A M B +$$ + +where we used that $A C \| B G$ in the last equality. Hence, $\triangle M A B \sim \triangle O G X^{\prime}$, in particular $\frac{X^{\prime} G}{O G}=\frac{B A}{A M}$. As $A C=2 \cdot A M$ and $A G=2 \cdot O G$, we also have $\triangle C A B \sim A G X^{\prime}$. In particular, $\angle G A X^{\prime}=\angle A C B=\angle G A C$, proving the claim. Hence $X=X^{\prime}$, so that the tangent at $G$ contains $X$, and by symmetry, $Y$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_45ecadfb6afd1a68901ag-09.jpg?height=509&width=803&top_left_y=1987&top_left_x=678) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_05_45ecadfb6afd1a68901ag-10.jpg?height=252&width=237&top_left_y=111&top_left_x=224) + +Team Competition - Solutions + +MEMO + +2022 + +Bern + +English version + +## Problem T-6 + +Let $A B C D$ be a convex quadrilateral such that $A C=B D$ and the sides $A B$ and $C D$ are not parallel. Let $P$ be the intersection point of the diagonals $A C$ and $B D$. Points $E$ and $F$ lie, respectively, on segments $B P$ and $A P$ such that $P C=P E$ and $P D=P F$. Prove that the circumcircle of the triangle determined by the lines $A B, C D$ and $E F$ is tangent to the circumcircle of the triangle $A B P$. + +Solution. Without loss of generality assume that $A Pf(n-1)+(n-1)+1$ for all $n>1$. In other words, the sequence $\left(b_{n}\right)_{n}$ is a strictly increasing sequence of positive integers. Since $b_{1} \geq 2$, we have $b_{n} \geq n+1$, or, in other words, $f(n) \geq n^{2}+n$ for every $n \geq 1$. + +Consider some $n \geq 1$. We have $f(f(n))+f(n)+1=j^{2}$ for some integer $j$ from the condition of the problem applied to $f(n)$. Also $f(f(n))-f(n)=k^{2}$ for some integer $k$. Clearly $kk$, we have $j \geq k+1$ and hence $j-k \geq 1, j+k \geq 2 k+1$. Combining these inequalities with the previous equation yield $2 f(n)+1 \geq 2 k+1$ and therefore $k \leq f(n)$. This means that $f(f(n))-f(n) \leq f(n)^{2}$. + +Combining the two results we obtain that $f(f(n))=f(n)^{2}+f(n)$ for all $n$. Moreover by the problem conditions $b_{n}:=\sqrt{f(n)+n+1}$ is a strictly increasing sequence of integers such that $b_{n} \geq n+1$ and $b_{f(n)}=f(n)+1$ for all $n$. Therefore we must have that $b_{n}=n+1$ for all $n$ and hence $f(n)=n^{2}+n$ for all $n$. We verify easily that this function verify the conditions of the problem. + +Comment. The condition ' $f(f(n))-f(n)$ is a square' can be replaced by any condition of the form ' $f\left(c_{n}\right)-c_{n}$ is a square'. where $\left(c_{n}\right)_{n}$ is any unbounded sequence. The same solution applies. + +## Problem T-8 + +We call a positive integer cheesy if we can obtain the average of the digits in its decimal representation by putting a decimal separator after the leftmost digit. Prove that there are only finitely many cheesy numbers. + +Example. For instance, 2250 is cheesy, as the average of the digits is 2.250 . + +Solution. Let $n$ be a positive integer and $k$ be the number of digits of $n$. Let $m$ be the sum of digits of $n$. We prove that if $k \geq 2^{6}$ then $n$ is not reflexive. + +Let $a=v_{2}(k)$ be the nonnegative integer such that $2^{a} \leq k<2^{a+1}$. It is easy to see that $n$ is reflexive exactly if + +$$ +m \cdot 10^{k-1}=n k +$$ + +Suppose by contradiction that $n$ is reflexive and $k \geq 2^{6}$. The left handside is divisible by $10^{k-1}$ and $k<2^{a+1}$, and also from this trivially $k<5^{a+1}$, so $2^{a+1}$ and $5^{a+1}$ do not divide $k$, which means $10^{k-1-a} \mid n$. + +Hence the last $k-1-a$ digits of $n$ is 0 , so only the first $a+1$ digits can be nonzero, thus $m \leq 9(a+1)$. Also $n \geq 10^{k-1}$ as $n$ has $k$ digits. + +It is easy to prove that $9(A+1)<2^{A}$ if $A \geq 6$. + +Combining these + +$$ +m \cdot 10^{k-1} \leq 9(a+1) \cdot 10^{k-1}<10^{k-1} \cdot 2^{a} \leq n k +$$ + +which is a contradiction. + diff --git a/MEMO/raw/en-2008ind.pdf b/MEMO/raw/en-2008ind.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0e2e90134b9e6ac19e2aa7b04542f3efbe6e80b --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2008ind.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dfe7fc3f41d4b5b4591259ea05932933b57fda72722231a39ada1ad9fa19d3be +size 73635 diff --git a/MEMO/raw/en-2008team.pdf b/MEMO/raw/en-2008team.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d5d1b0d7d269d949637bda2a4ede809ec1760d77 --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2008team.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f3dd933a6fa7c0a9996da93b56327bacd084dae4c6935204b3eb0ff61f8c7e32 +size 75310 diff --git a/MEMO/raw/en-2010solutions.pdf b/MEMO/raw/en-2010solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d66d2005957ae1b55877507a6e3c7ba27a4a83f --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2010solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9afe941aa367880f23ad53db01a41b93cb8accb8328142e3dc6a9019dc7d0e84 +size 636818 diff --git a/MEMO/raw/en-2013solutions.pdf b/MEMO/raw/en-2013solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4715aea1a6f944beadc2ab3618b03ac50580cffd --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2013solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:65a6e254bbbed6ff10cf65ae7dd72be412eaf61c6c090cb0cf04dabcb914be30 +size 745472 diff --git a/MEMO/raw/en-2015solutions.pdf b/MEMO/raw/en-2015solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aedb9ef700cb8ccf259d53165a2ed294d5978fed --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2015solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8737f3d5e3e52eccf9ec9e578d36780738a6f614603fb255acd28b6e788c6136 +size 425354 diff --git a/MEMO/raw/en-2017_solutions_.pdf b/MEMO/raw/en-2017_solutions_.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3018dde7f0033a8857c51b27f1a8a14ae0767186 --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2017_solutions_.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a91b09abd2bfa728e35572eae2f0ca393679d395cbcb68b7648250b25303ee13 +size 248876 diff --git a/MEMO/raw/en-2018_solutions.pdf b/MEMO/raw/en-2018_solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b57c0772b696b8493f3dc841aeaa375a0c6745ff --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2018_solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5cffa1f2e2aa9242ed11e6bf38796f43a1fcf95b5a418c0efd86e0343283acdc +size 430293 diff --git a/MEMO/raw/en-2019ind.pdf b/MEMO/raw/en-2019ind.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4629e0d46aeddc6f299c606e3db5074f92f0d09 --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2019ind.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3242b3b8bb82590afd58ad3f7b9ed9ca451c519421d87ef7b9bf38fa9d9728a1 +size 299564 diff --git a/MEMO/raw/en-2019team.pdf b/MEMO/raw/en-2019team.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e889a95533319a77a8834e0873ac31ad8f2bad79 --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2019team.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4b5c20d6d24cc77c39aa86d453455c59f676a04cc8fda5e5695b46dd135e2dca +size 318191 diff --git a/MEMO/raw/en-2020-Shortlist-solutions.pdf b/MEMO/raw/en-2020-Shortlist-solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8de23e156391a2f327821736465091e8824bdd3c --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2020-Shortlist-solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5602d445745e89cf36ebf6f81ecaf51bd47a04c98ad9c0d87679252ede7d96d3 +size 440978 diff --git a/MEMO/raw/en-2021Problems-and-Solutions-Booklet.pdf b/MEMO/raw/en-2021Problems-and-Solutions-Booklet.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..70aee1c8bdd7618d06970f42111c5fc2879ab97e --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2021Problems-and-Solutions-Booklet.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd8e37a6ce4f37665578d24885be6257f3be8fb9de5a534250c639517c247da8 +size 862315 diff --git a/MEMO/raw/en-2023-solutions.pdf b/MEMO/raw/en-2023-solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1cd4967516cfaee2369bf1103f227f090c1c7dab --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2023-solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5b0aa3d01f2fe757d69e65501f0e82a18a770fd398a3ccc0ed9e8614a42023fa +size 379403 diff --git a/MEMO/raw/en-2024-SolutionBooklet.pdf b/MEMO/raw/en-2024-SolutionBooklet.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e62535de4a0386a51e2857096a6a859f3cbfe808 --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-2024-SolutionBooklet.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e0506fdb389d02dc78606af8412a9d4152bd63bf8dfdb09cd24cd5aad23bd508 +size 592694 diff --git a/MEMO/raw/en-MEMO2011solutions.pdf b/MEMO/raw/en-MEMO2011solutions.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3afb8196e9233310d618792a99e07830b1f9a161 --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-MEMO2011solutions.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:db895d6dd11e61b7a8d29dcef67d2876a6cbffed57927de27ccd61f814e76018 +size 186715 diff --git a/MEMO/raw/en-MEMO2016_Solutions-8.pdf b/MEMO/raw/en-MEMO2016_Solutions-8.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eede21e9999f1fb0fb2c0f9e423d24c73860ecfc --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-MEMO2016_Solutions-8.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:edac0dc2b5fa2aea708a32663354cab3461721ff6f2de12402f6bdfb9d90af72 +size 415184 diff --git a/MEMO/raw/en-MEMO_2022_I_sol_en.pdf b/MEMO/raw/en-MEMO_2022_I_sol_en.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3ad416509aba9ca72bb81fbd8dd9118afc4ca1d --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-MEMO_2022_I_sol_en.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7e91a832aed5fc475ff1f87bd3a16dfb85e753265035169ccfd98b61239cb4b2 +size 268099 diff --git a/MEMO/raw/en-MEMO_2022_T_sol_en.pdf b/MEMO/raw/en-MEMO_2022_T_sol_en.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87b57a4a6ba2a4bdd5afdf00f88ad39cf49eb83d --- /dev/null +++ b/MEMO/raw/en-MEMO_2022_T_sol_en.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5918b6c639a20b4c1de3b0c29fdc74d2d34dddfefbe4111f7a7e49c1cc5427b2 +size 351245 diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-0-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XII-cls_12_loc.md b/Romania_Olympiad/md/ro-0-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XII-cls_12_loc.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d91ceafeb413763dca560085046dfd6b086f331 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-0-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XII-cls_12_loc.md @@ -0,0 +1,367 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cec03b1defdc87686e88g-1.jpg?height=146&width=577&top_left_y=41&top_left_x=1068) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală - 26 februarie 2022 + +## CLASA a XII-a - enunţuri + +Timp de lucru 180 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Fie operaţia $\perp$ definită prin $x \perp y=x y-6 x-6 y+42$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. Această operaţie nu este lege de compoziţie pe: + +A. $\mathbb{R}$. + +B. $\mathbb{R} \backslash\{6\}$. + +C. $(6, \infty)$. + +D. $(-\infty, 6)$. + +E. $\mathbb{Q}$. + +2. Funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(a x+b) e^{x}$ este o primitivă a funcţiei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=$ $(3 x+2) e^{x}$ dacă: + +A. $a=3, b=1$. + +B. $a=3, b=-1$. + +C. $a=3, b=0$. + +D. $a=3, b=2$. + +E. $a=3, b=-2$. + +3. Fie legea asociativă * definită pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$ prin $x * y=(x-3)(y-3)+3$. Atunci $\frac{7}{2} * \frac{11}{3} * \frac{15}{4} * \frac{19}{5} * \frac{23}{6}$ este egal cu: +A. $\frac{27}{7}$. +B. $\frac{19}{6}$. +C. $\frac{1}{6}$. +D. $\frac{7}{2}$. +E. 3 . +4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu derivata continuă astfel încât $f^{\prime}(0)=2$. Notăm cu $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)+F(-x)-2 F(0)}{x^{2}}$ este egală cu: + +A. 0 . + +B. 1 . + +C. 2 . + +D. -1 . + +E. -2 . + +5. Pe $\mathbb{Z}_{8}$ definim legea $\circ$ prin $a \circ b=a b+a+b$, pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}_{8}$. Numărul soluţiilor ecuaţiei $x \circ x=\widehat{7}$ este: + +A. 0 . + +B. 1 . + +C. 2 . + +D. 4 . + +E. 8 . + +6. Fie funcţia $f:\left[\frac{1}{2}, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x}(t-1) \ln (t) d t$. Atunci: + +A. $x=1$ este punct de minim al funcţiei $f$. + +B. $x=1$ este punct de maxim al funcţiei $f$. + +C. $f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$. + +D. $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$. + +E. Toate răspunsurile anterioare sunt false. + +7. Pe $(0, \infty)$ definim legea de compoziţie $\perp$ prin $u \perp v=u \sqrt{1+v^{2}}+v \sqrt{1+u^{2}}$, pentru orice $u, v \in(0, \infty)$. Valoarea numărului real $\alpha$, pentru care $\lim _{x \rightarrow \infty}\left((x \perp x)-\alpha x^{2}\right)$ există şi este finită, este egală cu: + +A. 1 . + +B. 2 . + +C. 4 . + +D. 8 . + +E. Alt răspuns. + +8. Fie mulţimea $\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f$ admite primitive pe $\mathbb{R}\}$. Care dintre următoarele enunţuri este fals? + +A. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g+h \in \mathcal{F}$. + +B. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g-h \in \mathcal{F}$. + +C. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g h \in \mathcal{F}$. + +D. Pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$ si $g \in \mathcal{F}$ avem $\alpha g \in \mathcal{F}$. + +E. $\mathcal{F}$ este grup în raport cu operaţia de adunare a funcţiilor. + +9. Pe $\mathbb{R}$ definim legea asociativă * prin $a * b=3(a-2)(b-2)+2$, pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$. Pentru un număr real $\alpha$ definim şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ prin relaţia $x_{n}=\underbrace{\alpha * \alpha * \ldots * \alpha}_{n \text { de } \alpha}$. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului $\alpha$ pentru care şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ este mărginit este: + +A. $\emptyset$. +B. $\{2\}$. + +C. $\left\{\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right\}$. +D. $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$. +E. $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]$. + +10. Valoarea integralei $I=\int_{0}^{1}(x \cos (x)+\sin (x)) d x$ este: + +A. 0 . + +B. 1 . + +C. $\cos (1)$. + +D. $\sin (1)$. + +E. $\sin (1)+\cos (1)$. + +11. Cel mai mic număr natural nenul $n$, pentru care $\widehat{2} \cdot \widehat{7} \cdot \widehat{12} \cdot \ldots \cdot(\widehat{5 n+2})=\widehat{0}$ în $\mathbb{Z}_{2022}$, este: + +A. 1011 . + +B. 37 . + +C. 337 . + +D. 67 . + +E. 57 . + +12. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie pară si $a \in(0, \infty)$ astfel încât $f(a) \neq 0$. Fie $F$ o primitivă a functुiei $f$ cu proprietatea $F(a)=F(-a)=0$. Atunci $\int_{-a}^{a} F(t) d t$ este egală cu: + +A. $a$. + +B. $-f(a)$. + +C. $-a$. + +D. $f(-a)$. + +E. 0 . + +13. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Se ştie că $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G$. Câte morfisme injective $f: G \rightarrow G$ satisfac relaţia $f(f(x)) \cdot f(x)=e$, pentru orice $x \in G$ ? + +A. Niciunul. + +B. Exact unul. + +C. Exact două. + +D. Un număr finit mai mare sau egal decât 3 . + +E. O infinitate. + +14. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie continuă şi crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci despre $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F(n)}{f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n-1)}$ putem spune că: + +A. $\mathrm{Nu}$ există. + +B. Este egală cu 0. + +C. Este egală cu 1. + +D. Este egală cu $+\infty$. + +E. Este egală cu 2. + +15. Numărul total de valori posibile ale elementului $a \in \mathbb{Z}_{36}$, pentru care funcţia $f: \mathbb{Z}_{36} \rightarrow \mathbb{Z}_{36}$, $f(x)=a x$ este surjectivă, este egal cu: + +A. 36 . + +B. 18 . + +C. 12 . + +D. 9 . + +E. 4 . + +16. Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ definim şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ prin $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{n} d x$. Valoarea lui $n$, pentru care are loc egalitatea $I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{2022}$, este: + +A. 2023 . + +B. 2022 . + +C. 2021 . + +D. 2020 . + +E. 2019 . + +17. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $H \neq G$ o submulţime nevidă a lui $G \mathrm{cu}$ proprietatea că oricare ar fi $a \in H$ şi $b \in G \backslash H$ avem $a b \in H$. Considerăm enunţurile: + +E1: Pentru orice $u, v \in H$ avem $u v \in H$. + +E2: Pentru orice $u, v \in G \backslash H$ avem $u v \in G \backslash H$. + +E3: $e \in H$. + +E4: Pentru orice $x \in H$ avem $x^{-1} \in H$. + +Numărul de enunţuri adevărate este egal cu: + +A. 4 . + +B. 2 . + +C. 0 . + +D. 3 . + +E. 1 . + +18. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului real $a$ pentru care funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\left\{\begin{aligned} \cos ^{2} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{aligned}\right.$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, este: + +A. $\left\{\frac{1}{2}\right\}$. + +B. $\{1\}$. + +C. $\{0\}$. + +D. $[0,1]$. + +E. $\emptyset$. + +19. Fie ( $G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $a, b \in G$, astfel încât $a^{4}=e$ şi $a^{2} b a^{-2}=b^{4}$. Care dintre următoarele enunţuri este cu certitudine adevărat? + +A. $a^{2} b^{3} a^{-2}=b^{8}$. + +B. $a^{2} b^{5} a^{-2}=b^{16}$. + +C. $b^{14}=e$. + +D. $b^{15}=e$. + +E. $b^{16}=e$. + +20. Valoarea limitei $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x$ este: +A. $\frac{\pi^{2}}{4}$. +B. $\frac{\pi^{2}}{2}$. +C. $\frac{\pi}{4}$. + +D. $\frac{\pi^{2}}{8}$. +E. $\frac{\pi}{8}$. + +21. Fie $n \in \mathbb{N}$ şi $G$ un grup cu $2 n+1$ elemente, despre care se ştie că există o funcţie $f: G \rightarrow G$, cu proprietatea că $f(x f(x y))=y f\left(x^{2}\right)$, pentru orice $x, y \in G$. Considerăm enunţurile: + +E1: $f$ este injectivă. + +E2: $G$ poate fi grup necomutativ. + +E3: $x^{8} y=y x^{8}$. + +E4: $f(x)=x$, pentru orice $x \in G$. + +Numărul de enunţuri adevărate este egal cu: + +A. 0 . + +B. 1 . + +C. 2 . + +D. 3 . + +E. 4 . + +22. Valoarea integralei $I=\int_{0}^{4 \pi} \frac{x \cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ este: + +A. $2 \pi$. + +B. 2 . + +C. $\pi$. + +D. 1 . + +E. 0 . + +23. Fie $A \subset \mathbb{Z}$ o mulţime care are ca elemente toate numerele naturale prime, opusele lor, 0,1 şi -1 . Fie enunţurile: + +E1: Adunarea numerelor nu este lege de compozitiie pe $A$. + +E2: Înmulţirea numerelor nu este lege de compoziţie pe $A$. + +E3: Există o infinitate de operaţii * care pot fi legi de compoziţie pe $A$. + +E4: Există cel puţin o operaţie * care defineşte o structură de grup abelian pe $A$. + +Numărul de enunţuri adevărate este egal cu: + +A. 0 . + +B. 1 . + +C. 2 . + +D. 3 . + +E. 4 . + +24. Spunem că o funcţie integrabilă $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ are proprietatea $P$ dacă + +$$ +\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x-\left(\int_{0}^{1} f(x) d x\right)^{2}=\frac{1}{4} +$$ + +Fie enunţurile: + +E1: Există funcţii continue care au proprietatea $P$. + +E2: Există funcţii discontinue care au proprietatea $P$. + +E3: Există funcţii monotone care au proprietatea $P$. + +E4: Există funcţii nemonotone care au proprietatea $P$. + +Numărul de enunţuri adevărate este egal cu: + +A. 3 . + +B. 4 . + +C. 0 . + +D. 1 . + +E. 2 . + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală - 26 februarie 2022 + +CLASA a XII-a + +Grila de răspunsuri + +1. Răspuns: $\mathrm{D}$ +2. Răspuns: $\mathrm{B}$ +3. Răspuns: B +4. Răspuns: C +5. Răspuns: C +6. Răspuns: $\mathrm{D}$ +7. Răspuns: $\mathrm{B}$ +8. Răspuns: C +9. Răspuns: $\mathrm{E}$ +10. Răspuns: $\mathrm{D}$ +11. Răspuns: $D$ +12. Răspuns: $\mathrm{E}$ +13. Răspuns: $B$ +14. Răspuns: C +15. Răspuns: C +16. Răspuns: C +17. Răspuns: B +18. Răspuns: A +19. Răspuns: $D$ +20. Răspuns: $D$ +21. Răspuns: D +22. Răspuns: $\mathrm{E}$ +23. Răspuns: $\mathrm{E}$ +24. Răspuns: A diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XI-cls_11_loc.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XI-cls_11_loc.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8031003d2e6e8721382edd5eae2cf3e7b94b21c5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XI-cls_11_loc.md @@ -0,0 +1,213 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ea27ed47ceede2f7d537g-1.jpg?height=137&width=151&top_left_y=34&top_left_x=1067) + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 26 februarie 2022
CLASA a XI-a - enunţuri + +## Timp de lucru 180 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Fie matricea $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det}(A)=1+i$. Valoarea expresiei $\operatorname{det}\left(A^{3}\right)+\operatorname{det}(i A)$ este: +A 0 +B $1-i$ +C $-1+i$ +D $3-3 i$ +$\mathbf{E}-2+i$ +2. Dacă $z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ este o soluţie a ecuaţiei $x^{5}=1$, atunci determinantul $\left|\begin{array}{ccc}z & -z & 0 \\ 0 & z^{2} & -1 \\ 1 & z & 1+z\end{array}\right|$ are valoarea: +A -1 +B 1 +C 0 +D -4 +E 4 +3. Considerăm permutarea $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)$. Numărul soluţiilor ecuaţiei $x^{2}=\sigma, x \in S_{4}$, este egal cu: +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 +4. Suma numerelor reale $a$ şi $b$ pentru care $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}+a x\right)=b$ este egală cu: +A 1 +B $-\frac{1}{2}$ +C $\frac{1}{2}$ +$\mathbf{D} \frac{3}{2}$ +E -1 +5. Mai jos sunt enumerate cinci enunţuri referitoare la şiruri de numere reale. + +A. Orice şir convergent este monoton şi mărginit. + +B. Orice şir monoton are limită. + +C. Orice şir descrescător este mărginit superior. + +D. Orice şir mărginit conţine un subşir convergent. + +E. Orice şir conţine un subşir monoton. + +Care dintre aceste afirmaţii este falsă? +A +B +C +D +$\mathrm{E}$ + +6. Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. Suma elementelor matricei $A^{2022}$ este egală cu: +A -8088 +B -6063 +C 0 +D 1011 +E 6066 +7. Limita $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}$ este egală cu: +A $\frac{1}{e^{2}}$ +$\mathbf{B} \frac{1}{e}$ +C 1 +$\mathbf{D} \sqrt{e}$ +$\mathbf{E} e$ + +Problemele 8 şi 9 se referă la următorul enunţ: + +Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{1}=1$ şi $x_{n+1}=x_{n}+2^{-x_{n}}$, pentru orice $n \geq 1$. + +8. Atunci: +A $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$ +B $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. +C $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit. +D $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ nu are limită. +E $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ nu este monoton +9. Limita $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}$ este egală cu: +A $e$ +B $\ln 2$ +$\mathbf{C} \frac{1}{e}$ +D $\frac{1}{\ln 2}$ +$\mathbf{E} \frac{1}{e \ln 2}$ +10. Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este definit astfel: $a_{1}=\sqrt{8}$ şi $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}+\frac{2}{3^{n}}}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Atunci: +A $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ +B $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1$ +$\mathbf{C} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2$ +$\mathbf{D} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=3$ +$\mathbf{E} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty$ +11. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det}(A)=\operatorname{Tr}(A)=1$ şi $M=\left\{A^{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$. Numărul elementelor mulţimii $M$ este: +A 1 +B 2 +C 3 +D 6 +$\mathrm{E} \infty$ +12. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$, cu $\operatorname{det}(A)=5$ şi $\operatorname{Tr}(A)=6$. Notăm $M=\left\{a \in \mathbb{R} \mid \operatorname{det}\left(A^{4}+a A^{2}+25 I_{2}\right)=25\right\}$. Atunci: +A $M=\{25\}$ +B $M=\{-27,-25\}$ +C $M=\{0\}$ +D $M=\{-10,9\}$ +E $M=\{-25\}$ +13. Valoarea maximă a funcţiei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definită prin $f(x)=\left|\begin{array}{llll}x & x & x & x \\ x & 1 & 1 & 1 \\ x & 1 & 3 & 3 \\ x & 1 & 3 & 5\end{array}\right|, x \in \mathbb{R}$, este: +A 0 +B $\frac{1}{2}$ +C 1 +D 2 +E 8 + +Problemele 14-15 se referă la următorul enunţ: + +Fie matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -4 \\ -1 & 2\end{array}\right)$. + +14. Atunci $A^{2022}$ este: +A $I_{2}$ +B $O_{2}$ +C $3 A$ +D $2021 A$ +E $4^{2021} A$ +15. Numărul matricelor $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea $X^{2022}=A$ este egal cu: +A 1011 +B 2022 +C 2 +D 0 +E 1 +16. Fie $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A \cdot A^{T}=I_{3}$, unde prin $A^{T}$ am notat transpusa matricei $A$. Atunci: +A $\operatorname{Tr}(A)=3$ +$\mathbf{B} \operatorname{det}(A)=1$ +$\mathrm{C} A=A^{T}$ +$\mathbf{D} \operatorname{det}\left(A^{2}-I_{3}\right)=0 \quad \mathbf{E} \operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)=0$ +17. Fie $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq 4} \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$ astfel îcât pe diagonala principală avem zerouri (deci $a_{i i}=0$ pentru $i \in\{1, \ldots, 4\})$, iar în rest numere reale nenule. Numărul termenilor nenuli ai sumei $s=\sum_{\sigma \in S_{4}} a_{1 \sigma(1)} \cdot a_{2 \sigma(2)} \cdot a_{3 \sigma(3)} \cdot a_{4 \sigma(4)}$ este: +A 9 +B 23 +C 12 +D 8 +E 7 +18. Definim şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ prin $a_{n}=[\sqrt{2}+\{n \sqrt{2}\}], n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $[x]$ şi $\{x\}$ reprezintă partea întreagă şi respectiv partea fracţionară a numărului real $x$. Atunci $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}$ este: +A $\sqrt{2}$ +B $2 \sqrt{2}$ +C 0 +D $1+\sqrt{2}$ +$\mathrm{E} \infty$ +19. Fie şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin relaţia de recurenţă $x_{n+1} \cdot x_{n-1}^{5}=x_{n}^{6}$, cu $x_{0}=4$ si $x_{1}=2$. Limita şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ este: +A $\infty$ +B 0 +C 1 +D 2 +E 5 +20. Se consideră matricele $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $A B+5 I_{n}=3 A+2 B$. Câte dintre următoarele patru afirmaţii sunt adevărate? +(1) $A-2 I_{n}$ este inversabilă +(2) $B-3 I_{n}$ este inversabilă +(3) $A B=B A$ +(4) Ecuaţia $A X=2 X$ are soluţii nenule in $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. +21. Sुirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este definit prin $x_{n}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}-\ldots+(-1)^{n-1} \sqrt{1}}{\sqrt{n}}, n \geq 1$. Atunci: +A $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ +$\mathbf{B} \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ +C $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ +$\mathbf{D} \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$ +E $\quad\left(x_{n}\right)_{n \geq 1} \quad$ nu are limită + +Problemele 22-23 se referă la următorul enunţ: + +Considerăm şirul $\left(e_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $e_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +22. Limita şirului $x_{n}=\frac{n\left(\sqrt[n]{e_{n}}-1\right)}{\ln e_{n}}, n \in \mathbb{N}^{*}$ este: +A 0 +$\mathbf{B} \frac{1}{e}$ +C $\frac{1}{2}$ +D 1 +$\mathbf{E} e$ +23. Limita şirului $y_{n}=\sqrt[n]{n!}\left(e \sqrt[n]{e_{n}}-1-1\right), n \in \mathbb{N}^{*}$ este: +A 0 +$\mathbf{B} \frac{1}{e}$ +C 1 +$\mathbf{D} e$ +$\mathrm{E} \infty$ +24. Fie $L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}{n}\right)^{n}$. Atunci +A $L=0$ +B $L=1$ +C $L=e$ +$\mathbf{D} L=e^{2}$ +$\mathrm{E} L=\infty$ + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală - 26 februarie 2022 + +CLASA a XI-a + +Grila de răspunsuri + +1. C +2. A +3. A +4. C +5. A +6. B +7. E +8. A +9. D +10. D +11. D +12. B +13. C +14. E +15. C +16. D +17. A +18. A +19. B +20. D +21. B +22. D +23. B +24. E diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.md b/Romania_Olympiad/md/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..639bed66ac6a7581b5a5f44bf53cdd8f953feea4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.md @@ -0,0 +1,180 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ac5e95192665c9bd1d41g-1.jpg?height=271&width=268&top_left_y=130&top_left_x=858) + +# Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a IX-a + +Problema 1. Se consideră $a$ și $b$ numere naturale nenule. Demonstrați că ecuația + +$$ +x^{2}+(a+b)^{2} x+4 a b=1 +$$ + +are soluții raționale dacă și numai dacă $a=b$. + +Problema 2. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$, astfel încât $A^{\prime}$ este mijlocul ipotenuzei, $M$ mijlocul înălțimii $A D, D \in(B C)$ și $\{P\}=B M \cap A A^{\prime}$. + +Dacă notăm $\alpha=m(\widehat{P C B})$, să se demonstreze că + +$$ +\operatorname{tg} \alpha=\sin C \cdot \cos C +$$ + +Problema 3. Determinați funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care există funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât + +$$ +f(x)+f(y)=[g(x+y)] +$$ + +oricare ar fi $x, y$ numere reale. + +(Am notat cu $[a]$ partea întreagă a numărului real a.) + +Problema 4. Fie $a, b, c, d$ numere naturale nenule, cu $a Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a IX-a - soluții și bareme + +Problema 1. Se consideră $a$ și $b$ numere naturale nenule. Demonstraţi că ecuația + +$$ +x^{2}+(a+b)^{2} x+4 a b=1 +$$ + +are soluții raționale dacă și numai dacă $a=b$. + +Soluție. Pentru $a=b$ numere naturale nenule ecuatia se scrie $x^{2}+4 a^{2} x+4 a^{2}-1=0$, cu soluțiile $x_{1}=-1$ și $x_{2}=1-4 a^{2}$ $1 p$ + +Reciproc, să presupunem că ecuatia $x^{2}+s x+p=0$, unde $s=(a+b)^{2}$ și $p=4 a b-1$, admite soluții raționale. Atunci $\Delta=s^{2}-4 p$ va fi pătrat perfect, deci $s^{2}-4 p=n^{2}$, cu $n \in \mathbb{N}$. . . .1p + +Cum numerele $s$ și $n$ au aceeași paritate s,i $4 p>0$ deducem că $n\left|2 h\left(x_{0}\right)\right|$ obținem că + +$$ +0 \leq\left|2 \cdot h\left(\frac{x_{0}}{n}\right)\right|=\left|\frac{2 h\left(x_{0}\right)}{n}\right|<1 +$$ + +de unde $h\left(\frac{x_{0}}{n}\right)=0$, deci $h\left(x_{0}\right)=0$. Cum $x_{0}$ a fost ales arbitrar obținem $h(x)=0$ pentru orice $\mathrm{x}$ real. Deducem că $f(x)=f(0)$ iar cum $2 f(x)=[g(2 x)] \in \mathbb{Z}$ rezultă $f(x)=\frac{k}{2}$ pentru orice $\mathrm{x}$ real, unde $\mathrm{k}$ este un număr întreg fixat. + +$3 p$ + +Problema 4. Fie $a, b, c, d$ numere naturale nenule cu $a$ $x+y \Rightarrow z \geqslant x+y+1$. Obținem astfel + +$$ +a=\frac{x y}{z-x-y} \leqslant x y +$$ + +$.2 \mathbf{p}$ + +Avem că $\frac{x y}{a}+a \leqslant x y+1 \Leftrightarrow x y+a^{2} \leqslant x y a+a \Leftrightarrow(x y-a)+a(a-x y) \leqslant 0 \Leftrightarrow(x y-a)(1-a) \leqslant 0$, adevărat. + +Obținem astfel $d=a+z=x+y+\frac{x y}{a}+a \leqslant x+y+x y+1=(x+1)(y+1)$ $2 \mathbf{p}$ + +Inegalitatea din enunț se transcrie $\sqrt{a}+\sqrt{d}0,16 \Leftrightarrow n>0,8$ adevărată pentru $n \in N^{*}$ + +$1 p$ +b) Observăm că $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \in(0,1) \Rightarrow[\sqrt{n+1}-\sqrt{n}]=0$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +Prin urmare, prima zecimală a diferenței $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ va fi 2 dacă şi numai dacă + +$$ +0,2<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<0,3 \Leftrightarrow \frac{2}{10}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{3}{10} \Leftrightarrow \frac{10}{3}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<5 . +$$ + +Pentru $n \geq 7$ inegalitatea $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<5$ nu este satisfacută. În urma verificării numerelor rămase găsim $n \in\{3,4,5\}$. + +## Problema 3. + +## Soluție şi barem + +Din $50 / / D C$, cum $D C / / A B \Rightarrow 50 / / A B$ ş $S O / / P R$....................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=89&width=1589&top_left_y=602&top_left_x=129) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=89&width=1607&top_left_y=733&top_left_x=129) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=92&width=1610&top_left_y=866&top_left_x=133) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=105&width=1610&top_left_y=994&top_left_x=133) + +Deoarece DCPR trapez $\Rightarrow C D \neq P R=B C$, deci $A B \neq B C$ + +Aplicând inegalitatea mediilor pentru $\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{BC}=A B+B C>2 \sqrt{A B \cdot B C}$ (inegalitatea este strictă) + +$\Rightarrow \frac{1}{A B+B C}<\frac{1}{2 \sqrt{A B \cdot E C}}$ si folosind $(3) \Rightarrow 50<\frac{1}{2} \sqrt{A B \cdot B C}$. + +$2 \mathrm{p}$ + +## Problema 4. + +## Soluție şi barem + +a) $A A^{\prime} \cap B B^{\prime}=\{O\} \Rightarrow\left(A A^{\prime}, B B^{\prime}\right) \cap C D=\{M\} \Rightarrow A A^{\prime}, B B^{\prime}$ înălțimi şi $\triangle A B M \Rightarrow M O \perp A B \ldots \ldots . . . .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=108&width=1523&top_left_y=1793&top_left_x=245) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=97&width=1582&top_left_y=1950&top_left_x=227) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-3.jpg?height=109&width=1584&top_left_y=2090&top_left_x=229) + +$$ +\begin{aligned} +& \left.D^{\prime} \text { - inălțime în tetraedru } \begin{array}{l} +D D^{\prime} \perp(A B C) \\ +A B \subset(A B C) +\end{array}\right\} \Rightarrow D D^{\prime} \perp A B \\ +& C D \perp A B +\end{aligned} +$$ + +Cum există un singur plan ce conține dreapta $C D$, perpendicular pe $\mathrm{AB}, \Rightarrow \mathrm{CD}$, DD' şi CC' coplanare $\Rightarrow C C^{\prime} \cap D D^{\prime} \neq \varnothing$ +b) $C D \perp(A B M) \Rightarrow A M \perp C D \Rightarrow A D^{2}=A M^{2}+M D^{2}, A C^{2}=A M^{2}+M C^{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ae59796893daadcb82g-4.jpg?height=74&width=1532&top_left_y=526&top_left_x=229) + +$\Rightarrow A D^{2}+B C^{2}=A C^{2}+B D^{2}$ $1 \mathrm{p}$ + +Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1000-Matematica, 2014, Bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1000-Matematica, 2014, Bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f957e4ce57ea8c189b6bd3750e43284a5680243 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1000-Matematica, 2014, Bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_barem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# SUBIECTUL I + +Aflați perechile de numere întregi ( $x, y$ ) pentru care există egalitatea: $x^{2}+3=2^{y}$. +$x^{2}+3 \geq 3$ pentru orice $x$ intreg ..... 1 punct +$y \leq 0=>2^{y} \leq 1=>S=\phi$ ..... 1punct +$y>0=>2^{y}>1=>2^{y}$ par 1 unct +Deci, $x$ impar, adică $x=2 k+1=>(2 k+1)^{2}+3=2^{y}=>4(k(k+1)+1)=2^{y}$. ..... 2puncte +$4 / 2^{y}$ și 8 nu divide $2^{y}$ ..... 1punct +$y=2$ și $x=1$ soluție unică ..... 1punct + +## SUBIECTUL II + +1. a) Arătați că: + +$$ +\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \text { pentru orice } \boldsymbol{n} \text { număr natural nenul. } +$$ + +## b) Calculați suma: + +$$ +\frac{1}{2 \sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{1}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{100 \sqrt{99}+99 \sqrt{100}} +$$ + +a ) $\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}(n+1-n)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}} \ldots$. 3puncte $\qquad$ $\qquad$ + +$$ +\mathrm{s}=\frac{9}{10} +$$ + +## SUBIECTUL III + +Considerăm triunghiul $\mathrm{ABC}$, dreptunghic în $\mathrm{A}$, şi punctul $\mathrm{O}$ mijlocul ipotenuzei $\mathrm{BC}$. Dacă $\mathbf{E}$ este simetricul lui $A$ față de dreapta $B C$ și punctul $F$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $\mathrm{O}$, arătați că patrulaterul BCFE este trapez isoscel. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d1c821149e2cbccca428g-2.jpg?height=526&width=540&top_left_y=511&top_left_x=264) + +$E=\operatorname{Sim}_{B C} A, A E \cap B C=\{M\}$, atunci $B C$ este mediatoarea segmentului $[A E]$ și $[M A] \equiv[M E]$. + +Reiese că $\triangle A B E$ este isoscel și $[A B] \equiv[B E]$ + +2 puncte + +$F=\operatorname{Sim}_{O} A$, atunci $[A O] \equiv[O F]$, dar $[B O] \equiv[O C]$ și $B C \cap$ $A F=\{O\}$. Deci ABFC este paralelogram și cum $m(<$ $B A C)=90^{\circ}$ atunci este dreptunghi. Din aceasta reiese că $[A B] \equiv[C F]$, dar $[A B] \equiv[B E]$, atunci $[C F] \equiv[B E]$. + +2 puncte + +În $\triangle E A F, M$ este mijlocul lui $[A E]$, iar $O$ este mijlocul lui $[A F]$, adică $[M O]$ este linie mijlocie, de unde $M O / / E F$, deci $B C / / E F$ și cum $[C F] \equiv[B E]$, atunci $B C F E$ este trapez isoscel. + +3 puncte + +## SUBIECTUL IV + +Se dă triunghiul $\mathrm{ABC}$, în care $\mathrm{D} \epsilon(\mathrm{BC})$ astfel încât $\frac{D B}{B C}=\frac{5}{8}, \mathrm{E} \epsilon(\mathrm{AC})$ cu $\frac{E C}{A C}=\frac{3}{7}, \mathrm{~F} \epsilon(\mathrm{AB})$ cu $\frac{A B}{F B}=\frac{9}{5}$. Demonstrați că dreptele $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}$ şi $\mathrm{CF}$ sunt concurente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d1c821149e2cbccca428g-2.jpg?height=494&width=723&top_left_y=1620&top_left_x=244) + +$$ +\begin{aligned} +& D \in(B C) \text { astfel încât } \frac{D B}{B C}=\frac{5}{8} \text {. Prin derivare, } \\ +& \text { obținem: } \frac{D B}{B C-D B}=\frac{5}{8-5} \text {, adică } \frac{D B}{D C}=\frac{5}{3} +\end{aligned} +$$ + +$E \in(A C)$ astfel încât $\frac{E C}{A C}=\frac{3}{7}$. Prin derivare, obținem: $\frac{E C}{A C-E C}=\frac{3}{7-3}$, adică $\frac{E C}{E A}=\frac{3}{4}$ + +$F \in(A B)$ astfel încât $\frac{A B}{F B}=\frac{9}{5}$. Prin derivare, obținem: $\frac{A B-F B}{F B}=\frac{9-5}{5}$, adică $\frac{F A}{F B}=\frac{4}{5}$ + +2 puncte + +Se observă că $\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}=1$, adică $\frac{D B}{D C} \cdot \frac{E C}{E A} \cdot \frac{F A}{F B}=1$. Atunci, conform reciprocei Teoremei lui Ceva, dreptele $A D, B E$ și $C F$ sunt concurente. 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1001-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1001-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e92b3215bb25150b2463176feca87d994c9e2d4a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1001-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,115 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014 + +Clasa a VI- a + +## SUBIECTUL I (7p) + +Determinaţi cele mai mici numere naturale consecutive $a$ Toate subiectele sunt obligatorii. + +$>$ Timp de lucru: $\mathbf{2}$ ore + +## BAREM DE CORECTARE CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL I: + +Determinaţi cele mai mici numere naturale consecutive $a180^{\circ}$ - nu convine ..................1p + +## SUBIECTUL IV + +Fie triunghiul oarecare $A B C$. Pe semidreptele (CA şi (BA se consideră punctele $D$ şi respectiv $E$, asfel încât $A \in(C D), A \in(B E),(A D) \equiv(A B)$ şi $(A E) \equiv(A C)$. Ştiind că $M$ este mijlocul segmentului $(\mathrm{BC})$, iar $\mathrm{N}$ este mijlocul segmentului (DE), arătaţi că: +a) $(\mathrm{DN}) \equiv(\mathrm{BM})$; +b) $\triangle \mathrm{AME} \equiv \triangle \mathrm{ANC}$; + +c) (AP este bisectoarea unghiului $\varangle \mathrm{CAE}$, unde $\{\mathrm{P}\}=\mathrm{ME} \cap \mathrm{CN}$. + +## Solutie: + +a) $\Delta \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{ADE}=>(\mathrm{BC}) \equiv(\mathrm{DE})=>(\mathrm{BM}) \equiv(\mathrm{DN}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 \mathrm{p}$ +b) $\Varangle \mathrm{BAM} \equiv \varangle \mathrm{DAN} \Rightarrow \varangle \mathrm{CAM} \equiv \Varangle \mathrm{EAN} \Rightarrow \varangle \mathrm{EAM} \equiv \Varangle \mathrm{CAN} . . . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +$\Delta \mathrm{AME} \equiv \triangle \mathrm{ANC}$ (L.U.L)............................................................................. $1 \mathrm{p}$ +c) $\triangle \mathrm{BME} \equiv \triangle \mathrm{DNC} \Rightarrow \varangle \mathrm{BMP} \equiv \varangle \mathrm{DNP} \Rightarrow \Varangle \mathrm{PMC} \equiv \Varangle \mathrm{PNE} . \ldots . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +$\triangle \mathrm{PMC} \equiv \triangle \mathrm{PNE} \Rightarrow(P C) \equiv(P E)$............................................................. $1 \mathrm{p}$ + +$\triangle \mathrm{APC} \equiv \triangle \mathrm{APE} \Rightarrow \Varangle \mathrm{PAC} \equiv \nless \mathrm{PAE} \Rightarrow$ concluzia ............................................ $1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1002-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1002-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e6e441eae873bfc52ed7325df0b518a4df2ae89 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1002-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,144 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014 + +Clasa a V- a + +## SUBIECTUL I (7p) + +Se consideră şirul $3,7,11,15,19$, + +a) Să se completeze şirul cu încă 3 termeni; + +b) Să se determine al 2014 - lea termen; + +c) Să se arate ca al 2014 - lea termen nu este pătrat perfect; + +d) Să se calculeze suma primilor 2014 termeni. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Se consideră numărul $\mathrm{a}=2014 \cdot 8671 \cdot 52014-131$. + +a) Să se calculeze suma cifrelor lui a; + +b) Să se arate că a nu este pătrat perfect; + +c) Să se determine câtul şi restul împărţirii lui a la 2013. 52015 + +## SUBIECTUL III (7p) + +Împărțind numărul natural a la numărul natural nenul b se obține câtul 14 și restul 18. Știind că diferența dintre numerele a și a - 3 b este egală cu 135 , arătați că numărul 2a este pătrat perfect. + +Gazeta Matematică nr. 11 / 2013 + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Se consideră trei numere naturale diferite două câte două. Se scrie în fiecare din cele 9 pătrățele ale pătratului de mai jos, câte unul din cele trei numere, astfel încât, fiecare dintre aceste numere să apară o singură dată pe fiecare linie și pe fiecare coloană. + +a) Să se arate că în două din colţurile opuse ale pătratului, se află numere egale; + +b) Să se arate că pe una din diagonale se află numere egale; + +c) Să se determine cele trei numere, ştiind că sunt numere prime, iar suma tuturor numerelor de pe toate liniile și toate coloanele este egală cu 72 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08a7108d620895491c51g-1.jpg?height=173&width=176&top_left_y=2193&top_left_x=1170) + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: $\mathbf{2}$ ore + + +## BAREM DE CORECTARE CLASA a V-a + +## SUBIECTUL I (7p) + +Se consideră şirul $3,7,11,15,19$, + +a) Să se completeze şirul cu încă 3 termeni; + +b) Să se determine al 2014 - lea termen; + +c) Să se arate ca al 2014 - lea termen nu este pătrat perfect; + +d) Să se calculeze suma primilor 2014 termeni. + +## Solutie: + +a) $23,27,31$ + +$1 p$ + +b) Termenul general este de forma $4 k+3$ 2p + +al 2014 - lea termen este $4 \cdot 2013+3=8055$ $.1 p$ +c) $89^{2}<8055<90^{2}$ $1 p$ + +Sau: nr. de forma $4 k+3$ nu sunt pătrate perfecte +d) $S=4 \cdot 0+3+4 \cdot 1+3+4 \cdot 2+3+\ldots \ldots .+4 \cdot 2013+3=4 \cdot(0+1+2+3+\ldots .+2013)+$ + +$3 \cdot 2014=8114406$ $2 p$ + +## SUBIECTUL II (7p) + +Se consideră numărul $\boldsymbol{a}=2014 \bullet 8671 \bullet 52014$-131. + +a) Să se calculeze suma cifrelor lui $a$; + +b) Să se arate că $\boldsymbol{a}$ nu este pătrat perfect; + +c) Să se determine câtul şi restul împărţirii lui $a$ la 2013$\cdot$ 52015 . + +## Solutie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08a7108d620895491c51g-2.jpg?height=65&width=1528&top_left_y=1755&top_left_x=298) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08a7108d620895491c51g-2.jpg?height=103&width=1468&top_left_y=1816&top_left_x=357) + +suma este 18129 .......................................................................................1p + +b) a se divide cu 3 dar nu se divide cu 9 , deci nu e pătrat perfect + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08a7108d620895491c51g-2.jpg?height=329&width=1487&top_left_y=2020&top_left_x=336) + +## SUBIECTUL III (7p) + +Împărțind numărul natural a la numărul natural nenul $b$ se obține câtul 14 și restul 18. Știind că diferența dintre numerele a și a - 3b este egală cu 135 , arătați că numărul 2a este pătrat perfect. +$a=b \cdot 14+18$ ..... $1 p$ +$a-(a-3 b)=3 b$ ..... $2 p$ +$3 b=135 \Rightarrow b=45$ ..... $1 p$ +$a=45 \cdot 14+18=648$ ..... $1 p$ +$2 \mathrm{a}=1296=36^{2}$ ..... 2p + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Se consideră trei numere naturale diferite două câte două. Se scrie în fiecare din cele 9 pătrățele ale pătratului de mai jos, câte unul din cele trei numere, astfel încât, fiecare dintre aceste numere să apară o singură dată pe fiecare linie și pe fiecare coloană. + +a) Să se arate că în două din colţurile opuse ale pătratului, se află numere egale; + +b) Să se arate că pe una din diagonale se află trei numere egale; + +c) Să se determine cele trei numere, ştiind că sunt numere prime, iar suma tuturor numerelor de pe toate liniile și toate coloanele este egală $\mathrm{cu} 72$. + +## Solutie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08a7108d620895491c51g-3.jpg?height=174&width=166&top_left_y=1255&top_left_x=1065) + +a) Pătratul are 4 colțuri, cele 3 numere se scriu în 3 colțuri, iar în al 4 - lea colț se va scrie un număr egal cu unul scris deja, deci în 2 colțuri sunt numere egale + +Deoarece pe fiecare rând și pe fiecare coloană, un număr apare o singură dată, rezultă că cele două colțuri cu numereegale nu pot fi alăturate, deci sunt opuse + +| | | $\mathrm{a}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $\mathrm{a}$ | | +| $\mathrm{a}$ | | | + +b) Notăm cele trei nr. cu a, b, c +Dacă a este în colțuri opuse +atunci, pe rândul II, a nu poate +fi scris decât în coloana a II - a ..... $.2 p$ +c) $3 a+3 b+3 c+3 a+3 b+3 c=72$ ..... $1 p$ +$a+b+c=12$ ..... $1 p$ +numerele sunt 2,3 și 7 ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1003-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1003-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c6509b9cd24a3c283c2002c79970071b9cf6b43 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1003-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +etapa locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX- a + +## SUBIECTUL I ( $7 p$ ) + +Fie $a, b \in \square, a \geq-\frac{18}{15}, b \geq-\frac{7}{10}$ astfel încât $3 a+2 b=17$ şi expresia $E(a, b)=3 \sqrt{15 a+8}+4 \sqrt{10 b+7}$. + +3p) a) Pentru $a=3$ să se demonstreze că $E(a, b)<50$; + +4p) + +b) Să se determine valoarea maximă a expresiei $E(a, b)$, şi valorile numerelor $a, b$ pentru care se atinge acest maxim. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Se consideră suma $S_{n}=\left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{3}{3}\right]+\left[\frac{4}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{3}\right], n \in N^{*}$. Se cere: + +2p) a) Calculaţi $S_{n}$ pentru $n \in\{1,2,3,4,5,6\}$; + +5p) b) Să se arate că $S_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n(n-1)}{6}, n=3 m \text { sau } n=3 m+1 \\ \frac{(n-2)(n+1)}{6}, & n=3 m+2\end{array}\right.$. + +## SUBIECTUL III (7p) + +Fie $A B C$ un triunghi și $D \in(B C)$ astfel încât $C D=k \cdot B C, k>0$. + +4p) a) Demonstraţi că $A D\frac{1}{A B}+\frac{1}{A C}$. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Pe laturile $A B, B C, C D, D A$ ale paralelogramului $A B C D$ se consideră punctele $M, N, P, Q$ astfel încât $\frac{A M}{M B}=l, \frac{C N}{N B}=k, \frac{C P}{P D}=m, \frac{A Q}{Q D}=p$, unde $l, k, m, p>0$ şi $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A N}+\overrightarrow{C Q}+\overrightarrow{C M}=\overrightarrow{0}$. Arătaţi că dreptele $Q N, P M$ şi $A C$ sunt concurente. + +## BAREM DE CORECTARE + +etapa locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX- a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }}(7 \mathrm{p}$ ) + +a) $a=3 \Rightarrow b=4 \Rightarrow E(a, b)=3 \sqrt{53}+4 \sqrt{47}$ + +$3 \sqrt{53}<22,4 \sqrt{47}<28$ şi $E(a, b)<50$ + +b) Folosind inegalitatea CBS avem: $(3 \sqrt{15 a+8}+4 \sqrt{10 b+7})^{2} \leq\left(3^{2}+4^{2}\right)(15 a+8+10 b+7) \Rightarrow$ $E(a, b)^{2} \leq 25(15+5(3 a+2 b)) \Rightarrow E(a, b) \leq \sqrt{25(15+5 \cdot 17)} \Rightarrow E(a, b) \leq 50$ + +Egalitate are loc dacă $\frac{\sqrt{15 a+8}}{3}=\frac{\sqrt{10 b+7}}{4} \Leftrightarrow \frac{15 a+8}{9}=\frac{10 b+7}{16}=\frac{15 a+8+10 b+7}{25}=\frac{5 \cdot 17+15}{25}=4$ şi se obţine $a=\frac{28}{15}$ şi $b=\frac{57}{10}$ + +$(2 p)$ + +## $\underline{\text { SUBIECTUL II }}(7 \mathrm{p}$ ) + +a) $S_{1}=S_{2}=0, S_{3}=1, S_{4}=2, S_{5}=3, S_{6}=5$ + +b) Dacă $n=3 m$, + +$$ +\begin{aligned} +& S_{n}=\left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{3}{3}\right]+\left[\frac{4}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{3 m}{3}\right]=0+0+1+1+1+\ldots+(m-1)+(m-1)+(m-1)+m \Rightarrow \\ +& S_{n}=3(1+2+\ldots+m-1)+m=3 \frac{m(m-1)}{2}+m=\frac{m(3 m-3+2)}{2}=\frac{\frac{n}{3}\left(3 \cdot \frac{n}{3}-1\right)}{2}=\frac{n(n-1)}{6} \ldots \ldots \ldots . +\end{aligned} +$$ + +Analog se tratează celelalte două cazuri. + +## SUBIECTUL III (7p) + +a) $\frac{B D}{D C}=\frac{B C-D C}{D C}=\frac{1-k}{k} \Rightarrow \overrightarrow{A D}=k \overrightarrow{A B}+(1-k) \overrightarrow{A C}$ + +$D \in(B C)$ deci $k<1 \Rightarrow|1-k|=1-k$ + +$A D=|\overrightarrow{A D}|=|k \overrightarrow{A B}+(1-k) \overrightarrow{A C}|\frac{b+c}{b c}=\frac{1}{A B}+\frac{1}{A C}$. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL IV (7p) }}$ + +$\overrightarrow{A P}=\frac{1}{1+m} \overrightarrow{A C}+\frac{m}{1+m} \overrightarrow{A D}$ şi analoagele. + +Folosind $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$, relaţia dată devine $\left(\frac{1}{m+1}-\frac{1}{l+1}\right) \overrightarrow{A B}+\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{p+1}\right) \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{0}$ şi deci + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c067b97d3d6989e23884g-3.jpg?height=71&width=1456&top_left_y=567&top_left_x=334) + +Rezultă $A M=C P$ şi $B N=D Q$ $(1 p)$ + +Din paralelogramele $A M C P, B N D Q$ şi $A B C D$ rezultă concurenţa cerută. + +..$(2 p)$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1004-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1004-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..280e8f5fa942530ba0bb195a8e1bca5c84e5abbd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1004-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,92 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 16 Februarie 2014
Clasa a VIII a + +1. Dacă $\mathrm{n}$ este număr natural nenul atunci fie numărul: + +$$ +A=\sqrt{1}+\sqrt{1+3}+\sqrt{1+3+5}+\sqrt{1+3+5+7}+\ldots+\sqrt{1+3+5+\ldots+2 n-1} +$$ + +a) Arătaţi că numărul $\sqrt{8 \mathrm{~A}+1}$ este raţional, pentru orice $\mathrm{n} \in \mathbb{N}-\{0\}$. + +b) Arătaţi că numărul $\sqrt{2 A+1}$ este iraţional, pentru orice $\mathrm{n} \in \mathbb{N}-\{0\}$ + +Horaţiu Morar, Şcoala Gimnazială Ştefan cel Mare, Bistriţa + +2. Arătați că $\sqrt{2008 \cdot 2010 * 2012 \times 2014+16} \in \mathbb{N}$ + +Daniel Stanciu şi Elisabeta Stanciu, Beclean + +3. 3. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, M$ este mijlocul muchiei $C C^{\prime}$. Știind că $A B=$ 3cm, $B C=\sqrt{15} \mathrm{~cm}$ și $A A^{\prime}=2 \mathrm{~cm}$, aflaţi aria triunghiului $A^{\prime} B M$ și distanța de la $M$ la $A^{\prime} B$. + +SGM nr. 11/2013 + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 16 Februarie 2014 + +## Clasa a VIII a + +## Barem de corectare + +1. Dacă n este număr natural nenul atunci fie numărul: + +$\mathrm{A}=\sqrt{1}+\sqrt{1+3}+\sqrt{1+3+5}+\sqrt{1+3+5+7}+\ldots .+\sqrt{1+3+5+\ldots+2 n-1}$ + +a) Arătaţi că numărul $\sqrt{8 A+1}$ este raţional, pentru orice $\mathrm{n} \in \mathbb{N}-\{0\}$. + +b) Arătaţi că numărul $\sqrt{2 A+1}$ este iraţional, pentru orice $\mathrm{n} \in \mathbb{N}-\{0\}$ + +## Soluție și barem de corectare + +a) + +$$ +\begin{aligned} +& 1+3+5+\ldots+2 n-1=n^{2} \text { şi atunci } A=\sqrt{1}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{4^{2}}+\ldots+\sqrt{n^{2}} \\ +& 1 \mathrm{p} \\ +& A=1+2+3+4+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} \text { şi atunci } \sqrt{8 A+1}=\sqrt{8 \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}+1}= \\ +& =\sqrt{4 n^{2}+4 n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}}=|n+1|=n+1 \text {, număr raţional } \text {. } +\end{aligned} +$$ + +b) + +$\sqrt{2 A+1}=\sqrt{2 \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}+1}=\sqrt{\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1}$ + +Arătăm că $n^{2}+n+1$ este cuprins între două pătrate perfecte consecutive; $n^{2}0$, adevărată pentru orice număr natural + +$n^{2}+n+1<(n+1)^{2} \Leftrightarrow n^{2}+n+10$, adevărată pentru orice $n$ număr natural nenul $1 \mathrm{p}$ În concluzie $\mathrm{n}^{2}<\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1<(\mathrm{n}+1)^{2}$ şi atunci $\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1$ nu este pătrat perfect deci $\sqrt{2 A+1}=$ $\sqrt{\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1}$ este număr iraţional pentru orice $\mathrm{n} \in \mathbb{N} \backslash\{0\}$ $1 \mathrm{p}$ + +2. Arătați că $\sqrt{2008 \cdot 2010 \cdot 2012 \cdot 2014+16} \in \mathbb{N}$ + +## Solutie: + +Fie $a=2008$ + +$$ +\begin{array}{ll} +\sqrt{a(a+2)(a+4)(a+6)+16}= & 1 \mathrm{P} \\ +=\sqrt{\left(a^{2}+6 a\right)\left(a^{2}+6 a+8\right)+16}= & 2 \mathrm{P} \\ +=\sqrt{\left(a^{2}+6 a\right)^{2}+8\left(a^{2}+6 a\right)+16}= & 2 \mathrm{P} \\ +=\sqrt{\left(a^{2}+6 a+4\right)^{2}}=a^{2}+6 a+4 \in \mathbb{N} & 2 \mathrm{P} +\end{array} +$$ + +3. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, M$ este mijlocul muchiei $C C^{\prime}$. Știind că $A B=3 \mathrm{~cm}$, $B C=\sqrt{15} \mathrm{~cm}$ și $A A^{\prime}=2 \mathrm{~cm}$, aflați aria triunghiului $A^{\prime} B M$ și distanța de la $M$ la $A^{\prime} B$. + +Barem de corectare: +$A^{\prime} B=\sqrt{13} \mathrm{~cm}$ +$1 p$ +$B M=4 \mathrm{~cm}$ +$1 p$ +$A^{\prime} M=5 \mathrm{~cm}$ +$1 \mathrm{p}$ + +Aria $\Delta A^{\prime} B M$ cu formula lui Heron: + +$$ +\begin{array}{ll} +A_{\triangle A^{\prime} B M}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{13}}{2} \cdot \frac{9-\sqrt{13}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}+1}{2}}=\sqrt{51} & 2 \mathrm{p} \\ +A_{\triangle \mathrm{A}^{\prime} B M}=\frac{d\left(M, A^{\prime} B\right) \cdot A^{\prime} B}{2} & 1 \mathrm{p} \\ +d\left(M, A^{\prime} B\right)=\frac{2 \sqrt{663}}{13} & 1 \mathrm{p} +\end{array} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1005-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1005-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8a2adf71fe1a0a4ba2307935d5325f7041c020a5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1005-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,158 @@ +# Olimpiada naţională de matematică- clasa a VII-a Etapa locală- 16 februarie 2014 + +## SUBIECTUL 1. + +Aflaţi numerele întregi $x$, diferite de -1, astfel încât $\sqrt{\frac{x-2010}{x+1}}$ să fie număr întreg. + +Cioancă Monica, C.N. Liviu Rebreanu, Bistriţa + +## SUBIECTUL 2. + +Fie ABC un triunghi şi M mijlocul lui [BC] . Dacă P este un punct astfel încât $\mathrm{M} \in(\mathrm{AP})$ şi triunghiurile $\mathrm{ABM}$ şi $\mathrm{PBM}$ au aceeaşi arie, stabiliţi natura patrulaterului ABPC. + +Suplimentul Gazetei Matematice, decembrie, 2013 + +## SUBIECTUL 3. + +Considerăm numerele raţíonale: + +$\mathrm{a}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2013}$ şi + +$\mathrm{b}=\frac{3}{1 \cdot 4}+\frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{7}{12^{2}}+\frac{9}{20^{2}}+\cdots+\frac{89}{1980^{2}}$ + +Arătaţi că numărul $\mathrm{c}=\sqrt{2 \cdot \frac{1-\mathrm{b}}{1-a}}$ este iraţional. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru 2 ore. + +## Solutie si Barem de corectare + +## SUBIECTUL1. + +Fie $\sqrt{\frac{x-2010}{x+1}}=\mathrm{k}$, k natural deci întreg................................................... 1p + +Ridicăm la pătrat relaţia de mai sus și obținem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-2.jpg?height=118&width=1588&top_left_y=732&top_left_x=240) + +sau $k^{2}=\frac{x+1-2011}{x+1}=1-\frac{2011}{x+1}$. .................................................. 2p + +Deoarece $k^{2}$ este număr întreg rezultă că $\frac{2011}{x+1}$ este număr întreg............ 1p + +Adică $\mathrm{x}+1 \in\{-1 ; 1 ;-2011 ; 2011\}$ şi $\mathrm{x} \in\{-2 ; 0 ;-2012 ; 2010\}$............... 1p + +Înlocuind valorile lui $x$ în $\sqrt{\frac{x-2010}{x+1}} \in \mathbb{Z}$ obținem că $x=2010 \ldots \ldots . . . . . . . . . \quad 1 p$ + +## SUBIECTUL 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-2.jpg?height=69&width=1596&top_left_y=1459&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-2.jpg?height=103&width=1568&top_left_y=1519&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-2.jpg?height=114&width=1582&top_left_y=1622&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-2.jpg?height=109&width=1579&top_left_y=1733&top_left_x=244) + +Din relația de mai sus rezultă că $\mathrm{AM}=\mathrm{PM}$ și cum $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$ rezultă că $\mathrm{ABPC}$ +este paralelogram. .................................................................................. 1p + +## Discuție + +Dacă triunghiul $\mathrm{ABC}$ este isoscel de bază [BC], sau echilateral, atunci ABPC este romb. Dacă triunghiul $\mathrm{ABC}$ este dreptunghic isoscel, de bază [ $\mathrm{BC}]$, atunci patrulaterul ABPC este pătrat. Dacă triunghiul $\mathrm{ABC}$ este dreptunghic în $\mathrm{A}$, atunci ABPC este dreptunghi + +## SUBIECTUL 3. + +Calculând sumele de la numitorii fracţiilor obţínem că $\mathrm{a}=\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\frac{2}{4 \cdot 5}+$ $+\cdots+\frac{2}{2013 \cdot 2014}$ + +Dând apoi factor comun pe 2 şi folosind egalitatea $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, n natural $\mathrm{n} \neq 0$, avem că $\mathrm{a}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}\right)=\frac{2012}{2014}$ + +Observând o regulă de formare a numitorilor, numărul b îl mai putem scrie $\mathrm{b}=\frac{3}{1 \cdot 4}+\frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}}+\frac{9}{4^{2} \cdot 5^{2}}+\cdots+\frac{89}{44^{2} \cdot 45^{2}}$ + +Prin ridicarea la pătrat a fiecărui factor de la numitorii fracţiilor putem scrie $\mathrm{b}=\frac{3}{1 \cdot 4}+\frac{5}{4 \cdot 9}+\frac{7}{9 \cdot 16}+\frac{9}{16 \cdot 25}+\cdots+\frac{89}{1936 \cdot 2025}$ + +Şi utilizînd faptul că $\frac{3}{1 \cdot 4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4} ; \frac{5}{4 \cdot 9}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9} ; \ldots ; \frac{89}{1936 \cdot 2025}=\frac{1}{1936}-\frac{1}{2025}$; avem $\mathrm{b}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{1936}-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025} \ldots \ldots \ldots \quad 1 \mathrm{p}$ Înlocuind valorile numerelor $\mathrm{a}$ şi $\mathrm{b}$ în $\mathrm{c}=\sqrt{2 \cdot \frac{1-\mathrm{b}}{1-a}}$ obţínem că $\mathrm{c}=\sqrt{2 \cdot \frac{\frac{1}{2025}}{\frac{2}{2014}}}=$ $=\sqrt{\frac{2014}{2025}}=\frac{\sqrt{2014}}{45}$, adică c este număr iraţional $2 \mathrm{p}$ + +## Olimpiada naţională de matematică- clasa a VII-a Etapa locală- 16 februarie 2014 + +## SUBIECTUL 1. + +Aflaţi numerele întregi $x$, diferite de -1, astfel încât $\sqrt{\frac{x-2010}{x+1}}$ să fie număr întreg. + +Cioancă Monica, C.N. Liviu Rebreanu, Bistriţa + +## SUBIECTUL 2. + +Fie ABC un triunghi şi M mijlocul lui [BC] . Dacă P este un punct astfel încât $\mathrm{M} \in(\mathrm{AP})$ şi triunghiurile $\mathrm{ABM}$ şi $\mathrm{PBM}$ au aceeaşi arie, stabiliţi natura patrulaterului ABPC. + +Suplimentul Gazetei Matematice, decembrie, 2013 + +## SUBIECTUL 3. + +Considerăm numerele raţíonale: + +$\mathrm{a}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2013}$ şi + +$\mathrm{b}=\frac{3}{1 \cdot 4}+\frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{7}{12^{2}}+\frac{9}{20^{2}}+\cdots+\frac{89}{1980^{2}}$ + +Arătaţi că numărul $\mathrm{c}=\sqrt{2 \cdot \frac{1-\mathrm{b}}{1-a}}$ este iraţional. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru 2 ore. + +## Solutie si Barem de corectare + +## SUBIECTUL1. + +Fie $\sqrt{\frac{x-2010}{x+1}}=\mathrm{k}$, k natural deci întreg................................................... 1p + +Ridicăm la pătrat relaţia de mai sus și obținem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-5.jpg?height=118&width=1588&top_left_y=732&top_left_x=240) + +sau $k^{2}=\frac{x+1-2011}{x+1}=1-\frac{2011}{x+1}$. .................................................. 2p + +Deoarece $k^{2}$ este număr întreg rezultă că $\frac{2011}{x+1}$ este număr întreg............ 1p + +Adică $\mathrm{x}+1 \in\{-1 ; 1 ;-2011 ; 2011\}$ şi $\mathrm{x} \in\{-2 ; 0 ;-2012 ; 2010\}$............... 1p + +Înlocuind valorile lui $x$ în $\sqrt{\frac{x-2010}{x+1}} \in \mathbb{Z}$ obținem că $x=2010 \ldots \ldots . . . . . . . . . \quad 1 p$ + +## SUBIECTUL 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-5.jpg?height=69&width=1596&top_left_y=1459&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-5.jpg?height=103&width=1568&top_left_y=1519&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-5.jpg?height=114&width=1582&top_left_y=1622&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_71f252b3334e3c497fd4g-5.jpg?height=109&width=1579&top_left_y=1733&top_left_x=244) + +Din relația de mai sus rezultă că $\mathrm{AM}=\mathrm{PM}$ și cum $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$ rezultă că $\mathrm{ABPC}$ +este paralelogram. .................................................................................. 1p + +## Discuție + +Dacă triunghiul $\mathrm{ABC}$ este isoscel de bază [BC], sau echilateral, atunci ABPC este romb. Dacă triunghiul $\mathrm{ABC}$ este dreptunghic isoscel, de bază [ $\mathrm{BC}]$, atunci patrulaterul ABPC este pătrat. Dacă triunghiul $\mathrm{ABC}$ este dreptunghic în $\mathrm{A}$, atunci ABPC este dreptunghi + +## SUBIECTUL 3. + +Calculând sumele de la numitorii fracţiilor obţínem că $\mathrm{a}=\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\frac{2}{4 \cdot 5}+$ $+\cdots+\frac{2}{2013 \cdot 2014}$ + +Dând apoi factor comun pe 2 şi folosind egalitatea $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, n natural $\mathrm{n} \neq 0$, avem că $\mathrm{a}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}\right)=\frac{2012}{2014}$ + +Observând o regulă de formare a numitorilor, numărul b îl mai putem scrie $\mathrm{b}=\frac{3}{1 \cdot 4}+\frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}}+\frac{9}{4^{2} \cdot 5^{2}}+\cdots+\frac{89}{44^{2} \cdot 45^{2}}$ + +Prin ridicarea la pătrat a fiecărui factor de la numitorii fracţiilor putem scrie $\mathrm{b}=\frac{3}{1 \cdot 4}+\frac{5}{4 \cdot 9}+\frac{7}{9 \cdot 16}+\frac{9}{16 \cdot 25}+\cdots+\frac{89}{1936 \cdot 2025}$ + +Şi utilizînd faptul că $\frac{3}{1 \cdot 4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4} ; \frac{5}{4 \cdot 9}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9} ; \ldots ; \frac{89}{1936 \cdot 2025}=\frac{1}{1936}-\frac{1}{2025}$; avem $\mathrm{b}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{1936}-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025} \ldots \ldots \ldots \quad 1 \mathrm{p}$ Înlocuind valorile numerelor $\mathrm{a}$ şi $\mathrm{b}$ în $\mathrm{c}=\sqrt{2 \cdot \frac{1-\mathrm{b}}{1-a}}$ obţínem că $\mathrm{c}=\sqrt{2 \cdot \frac{\frac{1}{2025}}{\frac{2}{2014}}}=$ $=\sqrt{\frac{2014}{2025}}=\frac{\sqrt{2014}}{45}$, adică c este număr iraţional $2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1006-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1006-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f966a4533d04fddad3c6c5cc48d63018be8b4196 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1006-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-CLASA a VI-a + +1. Rezolvați ecuațiile: +a) $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{2014}{2015}$ +b) $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\right)^{x}=\frac{125}{216}$ +2. Se consideră șirul $S=a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, unde $a_{0}=1 ; a_{1}=3 ; a_{2}=15 ; a_{3}=255$. Determinați valoarea lui $a_{4}$ și arătați că valoarea raportului $\frac{a_{4}}{a_{3}}$ este număr prim. +3. Se dă unghiul alungit $\overline{A O B}$ și punctele $\mathrm{C}$ și $\mathrm{D}$ situate în semiplane opuse față de dreapta $\mathrm{AB}$, astfel încât $m(\overline{C O} \bar{D})=80^{\circ}$. + +a) Dacă $[O N$ este bisectoarea unghiului AOC, și [OM este bisectoarea unghiului BOD și $m(\widetilde{B O C})=140^{\circ} 15^{\circ} 30^{\prime \prime}$, calculați $m(\overline{M O N})$. + +b) Dacă $[O E \quad$ este semidreapta opusă semidreptei $[O D$, calculați $m(\overline{B O E})$. + +Gazeta matematică, Supliment cu exerciții- Decembrie, 2013 + +## NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează cu $0-7$ puncte $\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu Timp efectiv de lucru 2 ore + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-CLASA a VI-a + +## Barem de notare si corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a82526c0e198bd7c2b97g-2.jpg?height=1665&width=1722&top_left_y=658&top_left_x=104) + +## NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează cu $0-7$ puncte + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +Timp efectiv de lucru 2 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1007-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1007-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..38183fda5b88b745d6ff4fec59c4cf2896ce614c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1007-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,116 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 16 Februarie 2014 + +## Clasa a V a + +## Subiectul I + +Determinaţi numerele naturale $x$ şi $y$ ştiind că diferenţa lor este 800 , iar câtul împărţirii numărului $x$ la $y$ este 20 şi restul nenul. + +## Subiectul II + +Se consideră șirul $1,9,35,91,189, \ldots$. + +a) Arătaţi că numărul 189 poate fi scris ca sumă de două cuburi perfecte. + +b) Aflați următorii doi termeni ai șirului. + +c) Determinaţi ultimele trei cifre ale termenului al 1001-lea. + +## Subiectul III + +Fie numărul $n=9+99+999+\ldots+\underbrace{99 \ldots 9}_{2014 \text { cifre }}+2014$. + +a) Arătaţi că numărul $n$ este divizibil cu 10 . + +b) Aflaţi câtul şi restul împărţirii numărului $n$ la 111. + +SGM - OCTOMBRIE 2013 + +## NOTA: + +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Fiecare subiect se noteaza cu 0 - 7 puncte +- Nu se acorda puncte din oficiu +- Timp efectiv de lucru 2 ore + + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 16 Februarie 2014 + +## Subiectul I + +Barem de corectare şi notare: + +$$ +\begin{aligned} +& x-y=800 \\ +& x=20 y+r, 0 ETAPA LOCALĂ- Clasa a IV-a
16 februarie 2014 + +## Subiectul I + +Dacă + +$$ +\begin{aligned} +& \mathbf{a}=(56: 8 \times 4+110: 10-24: 8): 6 \times 9 \\ +& \mathbf{b}=600+280: 4-[680: 2+4 \times(30+12+18)] +\end{aligned} +$$ + +Aflaţi produsul celor două numere. + +## Subiectul II + +Determinați două numere naturale care îndeplinesc următoarele condiții: dacă la al doilea număr adăugăm 77 , numărul obținut este egal cu primul; dacă la primul adăugăm 167 , numărul obținut va fi de 5 ori mai mare decât al doilea număr. + +## Subiectul III + +Legenda ne povesteȘte despre cei 7 feciori ai Vrâncioaiei care au luptat alături de Ștefan cel Mare împotriva turcilor. La nașterea celui de al șaselea fecior vârsta mamei era de 7 ori mai mare decât vârsta celui de al treilea fiu. Vârstele fiilor reprezintă numere consecutive pare. Câți ani aveau fiecare dintre feciori și câți ani avea pe atunci Vrâncioaia? + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ- Clasa a IV-a
16 februarie 2014
Barem de corectare
SUBIECTUL I + +``` +a = (56:8x 4+110:10-24:8):6 x 9 +a = (7x4+11-3):6x9 +8x0,4p = 3,2p +a = (28+11-3):6x 9 +a = 36:6 x 9 +a=6x9 +a = 54 +b=600+280:4 - [680:2 + 4x (30+12+18)] +b = 600+70-( 340+4 x 60) +b = 600+70-(340+240) +8x 0,4p=3,2p +b = 600 + 70-580 +b = 670 - 580 +b = 90 +``` + +a x b = 54 x 90 \ + +## Barem de corectare + +## SUBIECTUL II + +II Notăm primul număr cu I și al doilea cu II. + +1. Reprezentare grafică: +II $\qquad$ . .77 +I $\qquad$ 167 +$1 p$ +2. Precizarea modificarii în egalitatea mărimilor. + +$$ +\mathbf{I I}+77=\mathbf{I} +$$ + +$1 p$ + +3. Stabilirea corecta a raportului. + +$77+167=4$ părți + +$3 p$ + +4. Aflarea celui de-al doilea număr. + +$1 \mathrm{p}$ + +$244: 4=61$ + +5.Aflarea primului număr. + +$1 p$ + +$61+77=138$ + +Total : $7 p$ + +Sau: + +Fie a Și b + +$\mathrm{b}+77=\mathrm{a} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$a+167=5 b \quad 2 p$ + +$\mathrm{b}+77+167=5 \mathrm{~b} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$244=4 b \quad 1 p$ + +$\mathrm{b}=61 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{a}=138 \quad 1 \mathrm{p} \quad$ Total : $7 \mathrm{p}$ + +## Barem de corectare + +## SUBIECTUL III + +III 1.Reprezentarea grafică: + +``` +F1 /..../...../..../...../...../ +F2 /..../...../........../ +F3 +F4 /..../...../ +F5 /..../ +M /... +F6-0 ani +F7-nu era născut +``` + +2.Aflarea vârstei F5. + +$$ +0 \text { + } 2 \text { = } 2 \text { (ani) } +$$ + +$0,5 p$ +3. Aflarea vârstei F4. + +$$ +0+2+2=4 \text { (ani) } +$$ + +$0,5 p$ +4. Aflarea vârstei F3. +$0+2+2+2=6$ (ani) +$0,5 p$ +5. Aflarea vârstei F2. +$0+2+2+2+2=8$ (ani) +$0,5 p$ +6. Aflarea vârstei F1. + +$$ +0+2+2+2+2+2=10 \text { (ani) } \quad 0,5 \mathrm{p} +$$ + +7. Aflarea vârstei $M$. + +$$ +7 x(0+2+2+2)=42 \text { (ani) } \quad 0,5 p +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1009-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1009-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0c70107ee3075237c1faa53dcb5b28b1f30630e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1009-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,193 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2014
CLASA A- VIII -A + +## Subiectul I. + +Se consideră mulţimea $\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x} \in R \mid x=a+b \sqrt{5}\right.$ şi $\left.a, b \in Z, a^{2}-5 b^{2}=1\right\}$. Demonstraţi că : +a) $(9+4 \sqrt{5}) \in \mathrm{A}$ + +b) Dacă $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{A}, \mathrm{y}=\mathrm{c}+\mathrm{d} \sqrt{5}, \mathrm{c}, \mathrm{d} \in Z$ atunci $\mathrm{x} \cdot \mathrm{y} \in \mathrm{A}$ + +c) Dacă $\bar{x}=\mathrm{a}-b \sqrt{5}$ şi $\bar{y}=\mathrm{c}-\mathrm{d} \sqrt{5}$, a, b, c, $d \in Z$ atunci $\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}$ + +## Subiectul II. + +a) Determinaţi valorile reale ale lui $x$ şi $y$ pentru care $x^{4}+16 y^{4}=16 x y-8$ + +b) Fie $n \in N^{*}$. Arătați că $\sqrt{9 n^{2}+5 n}$ este număr irațional. + +c) Fie numerele reale pozitive $a, b, c$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{5}{3}$. Arătaţi că $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{a b c}$ + +## Subiectul III. + +Se consideră punctele $A, B, C, D$, necoplanare, astfel încât + +$(A C) \equiv(A D) \equiv(B C) \equiv(B D)$ şi punctele $E$ şi $F$ mijloacele lui $(A B)$ respectiv $(C D)$. + +a) Calculaţi măsura unghiului dreptelor $A B$ şi CD. + +b) Dacă $A A^{\prime} \perp(B C D)$, demonstraţi că punctele $B, A^{\prime}$ şi $F$ sunt coliniare. + +c) Dacă $\mathrm{G}$ este piciorul perpendicularei din A pe bisectoarea unghiului $« A C D$, arătaţi că $E G \|(B C D)$. + +## Subiectul IV. + +Fie cubul ABCDEFGH, în care $B G \cap F C=\{P\}$ și aria triunghiului DBP este egală cu $25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$. + +a) Calculați lungimea muchiei cubului. + +b) Determinați tg $u^{0}$, unde $u^{0}$ este măsura unghiului dintre dreptele DP și EB. + +c) Calculați valoarea unei funcți trigonometrice pentru măsura unghiului determinat de planele (EDG) și (EBG). + +## Nota: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect e notat de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare care conduce la soluţia problemei este acceptată. + +## BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +## CLASA A- VIII - A + +## Subiectul I + +a) Se ia $a=9$ şi $b=4$ + +$1 p$ + +avem condiţia $a^{2}-5 b^{2}=9^{2}-5 \bullet 4^{2}=81-80=1$ deci $(9+4 \sqrt{5}) \in$. + +$1 \mathrm{p}$ + +b) Fie $\mathrm{x}=a+b \sqrt{5}$ сu $a^{2}-5 b^{2}=1$ şi $\mathrm{y}=\mathrm{c}+\mathrm{d} \sqrt{5} \mathrm{cu} \mathrm{c}^{2}-5 \mathrm{~d}^{2}=1$ $.1 p$ + +din calcul $x \cdot y=(a c+5 b d)+\sqrt{5}(a d+b c)$ verificăm dacă $(a c+5 b d)^{2}-5(a d+b c)^{2}=1$ $1 p$ + +din calcul ( ac+5bd) $)^{2}-5(a d+b c)^{2}=a^{2} c^{2}+10 a b c d+25 b^{2} d^{2}-5 a^{2} d^{2}-10 a b c d-5 b^{2} c^{2}=$ $a^{2} c^{2}-5 b^{2} c^{2}-5 a^{2} d^{2}+25 b^{2} d^{2}=c^{2}\left(a^{2}-5 b^{2}\right)-5 d^{2}\left(a^{2}-5 b^{2}\right)=\left(a^{2}-5 b^{2}\right)\left(c^{2}-5 d^{2}\right)=1 \bullet 1=1$ deci $x \bullet y \in A$ + +c) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_725beade569d86b4c0a5g-2.jpg?height=60&width=1298&top_left_y=913&top_left_x=240) +$\operatorname{iar} \bar{x}=\mathrm{a}-b \sqrt{5}$ şi $\bar{y}=\mathrm{c}-\mathrm{d} \sqrt{5}$ de unde $\bar{x}+\bar{y}=(\mathrm{a}+\mathrm{c})-\sqrt{5}(\mathrm{~b}+\mathrm{d})$, deci $\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y} \ldots \ldots . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul II. + +a) + +$$ +\begin{aligned} +& x^{4}+16 y^{4}=16 x y-8 \Leftrightarrow x^{4}+16 y^{4}-16 x y+8=0 \\ +& \Leftrightarrow x^{4}-8 x^{2} y^{2}+16 y^{4}+8 x^{2} y^{2}-16 x y+8=0 \\ +& \Leftrightarrow\left(x^{2}-4 y^{2}\right)^{2}+8(x y-1)^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}=4 y^{2} \text { şi } x y=1 +\end{aligned} +$$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Cazul I $\quad x=2 y \Rightarrow 2 y^{2}=1 \Leftrightarrow y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ + +Soluţiile ecuaţ̧iei sunt perechile de numere reale : + +$\left(\sqrt{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ;\left(-\sqrt{2} ;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ + +Cazul II $x=-2 y \Rightarrow-2 y^{2}=1$ + +Ecuaţia nu are soluţii reale + +$1 p$ + +b) Vom arăta că numărul $9 n^{2}+5 n$ nu este pătrat perfect. + +$$ +9 n^{2}<9 n^{2}+5 n<9 n^{2}+6 n+1 +$$ + +$(3 n)^{2}<9 n^{2}+5 n<(3 n+1)^{2}$ + +Între două pătrate perfecte consecutive nu mai există un alt pătrat perfect. + +Deci, $\sqrt{9 n^{2}+5 n}$ este număr iraţional + +$1 \mathrm{p}$ + +c) $0 \leq(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b-2 a c-2 b c$ + +$0 \leq \frac{5}{3}+2(a b-a c-b c) \Leftrightarrow a c+b c-a b \leq \frac{5}{6}<1$ Împărţind ambii membri ai inegalităţii $a c+b c-a c<1$ prin $a b c>0$ obţinem inegalitatea ceruta. + +## Subiectul III. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_725beade569d86b4c0a5g-3.jpg?height=819&width=983&top_left_y=474&top_left_x=300) + +a) $\triangle A B C$ este isoscel, $C E$ mediană $\Rightarrow C E$ înălţime $\Rightarrow C E \perp A B$ + +$\triangle D A B$ este isoscel, $D E$ mediană $\Rightarrow D E$ înălţime $\Rightarrow D E \perp A B$ + +$.0,5 p$ + +$A B \perp C D, A B \perp D E \Rightarrow A B \perp(E D C)$. + +$C D \subset(E D C) \Rightarrow A B \perp C D \Rightarrow m<(A B, C D)=90^{\circ}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) $A A^{\prime} \perp(B C D) \Rightarrow A A^{\prime} \perp C D$. $A B \perp C D \Rightarrow C D \perp\left(A B A^{\prime}\right) \Rightarrow C D \perp B A^{\prime}$ + +$.1 p$ + +Deci $B A^{\prime}$ înălţime în $\triangle B C D$. Dar $\triangle B C D$ este isoscel şi $B F$ este mediană, deci înălţime, rezultă că $B$, $A^{\prime}$ şi $F$ sunt coliniare. + +$.1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_725beade569d86b4c0a5g-3.jpg?height=71&width=1456&top_left_y=1908&top_left_x=237) +$\triangle C A I$ este isoscel deoarece $C G$ bisectoare şi înălţime, rezultă $C G$ este mediană $\Rightarrow G$ este mijlocul lui $A I$ + +$1 p$ + +$E$ este mijlocul lui $(A B) \Rightarrow E G$ este linie mijlocie î $\triangle A B I \Rightarrow E G \square B I$ + +$.1 p$ + +$B I \subset(B C D) \Rightarrow E G \square(B C D)$ + +$.1 p$ + +## Subiectul IV. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_725beade569d86b4c0a5g-4.jpg?height=821&width=857&top_left_y=378&top_left_x=691) + +a) Dacă notăm muchia cubului cu 2a obținem: + +$\mathrm{BD}=2 \mathrm{a} \sqrt{2}$ (diagonală în pătratul $\mathrm{ABCD}$ ); + +$B P=a \sqrt{2}$ (raza cercului circumscris pătratului $\mathrm{FBCG}$ ) + +$D P=a \sqrt{6}$ (teorema lui Pitagora în $\triangle D P T$, unde T este mijlocul lui $[B C]$. + +Obținem $\triangle B P D$ dreptunghic în $\mathrm{P}$ (reciproca teoremei lui Pitagora).......1p + +Egalând aria: $5 \sqrt{3}=\frac{B P \cdot D P}{2}$, obținem $\mathrm{a}=5$. Deci, muchia cubului are $10 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +b) Dreptele DP și EB sunt necoplanare. Ducem prin P o paralelă la EB. + +[O'P] este linie mijlocie în $\triangle E G B, \mathrm{O}^{\prime}$ este centrul pătratului $\mathrm{EFGH}$. + +$u^{0}=m(\widehat{D ; E} B)=m\left(D \widehat{P ; O^{\prime} P}\right)=m\left(\widehat{D P O^{\prime}}\right)$ + +$D P=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm} ; \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{P}=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm} ; \mathrm{DO}^{\prime}=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ $.1 \mathrm{p}$ + +Vom obține $\operatorname{tg} \mathrm{u}^{0}=\sqrt{11}$. $1 p$ + +c)(EDG) $\cap(E D B)=E G$ + +$\triangle E B G$ echilateral $\Rightarrow \mathrm{BO}^{\prime} \perp \mathrm{EG}, \mathrm{BO}^{\prime}=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. + +$\triangle E D G$ echilateral $\Rightarrow \mathrm{DO}^{\prime} \perp \mathrm{EG}, \mathrm{DO}^{\prime}=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. + +$m\left[(E D \widehat{G) ;(E B G)}]=m\left(D \widehat{O^{\prime} ; B} O^{\prime}\right)=m\left(\widehat{D O^{\prime} B}\right)=a^{0}\right.$ $.1 p$ + +Obtinem $\cos a^{0}=\frac{1}{3}$ sau $\sin a^{0}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-101-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-101-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3a5845fe792145a6b1eb8c4ceb0ff365bc1cd038 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-101-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,128 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A VII- A + +Problema 1. Aflați numerele naturale nenule $n$, astfel încât $\sqrt{n!+3} \in \mathbb{Q}$, unde $n!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. + +Problema 2. Trei copii se joacă cu numere, în 2017 paşi, astfel: la pasul 1 fiecare dintre ei are în mână un cartonaş pe care este scris un număr rațional pozitiv care nu este număr natural și astfel încât suma numerelor de pe cele trei cartonașe să fie număr natural. La pasul $k$ fiecare dintre ei își pune cartonașul la spate și-l înlocuiește cu un altul pe care este scris numărul ce reprezintă suma numerelor celorlalți doi, de la pasul $k-1$, unde $2 \leq k \leq 2017$. Demonstrați că: + +a) la fiecare pas, suma numerelor aflate pe cartonașele din mâinile lor este număr natural; + +b) la fiecare pas, numărul aflat pe cartonașul din mâna fiecărui copil nu este natural; + +c) la pasul 2017, suma tuturor numerelor aflate pe cartonașele din spatele fiecărui jucător este aceeași, un număr natural divizibil cu 17 . + +Problema 3. În pătratul $\mathrm{ABCD}$ se ia punctul $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$, astfel încât $\frac{B M}{B C}=\frac{1}{4}$. Dreapta $\mathrm{DM}$ intersectează pe $\mathrm{AC}$ în $\mathrm{Q}$ și prelungirea lui $(\mathrm{AB})$ în $\mathrm{P}$. Aflaţi valoarea raportului $\frac{Q M}{D P}$. + +Problema 4. Romburile $A B C D$ și $D E F G$ au un singur punct comun, $(A B) \equiv(D E), \measuredangle A B C \equiv \measuredangle D E F$, iar punctele $B, D$ și $F$ sunt coliniare. Demonstrați că: +a) $m(\measuredangle A D G)=90^{\circ}$; + +b) mijlocul segmentului $[B F]$ este punctul $L$, unde $\{L\}=A E \cap C G$; +c) $B F \leq 2 \sqrt{2} \cdot A B$. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +## Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A VII- A + +Problema 1. Aflați numerele naturale nenule $n$, astfel încât $\sqrt{n!+3} \in \mathbb{Q}$, unde $n!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. + +## Soluție şi barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1b22a4ce70da42f720d7g-2.jpg?height=75&width=1707&top_left_y=866&top_left_x=107) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1b22a4ce70da42f720d7g-2.jpg?height=72&width=1719&top_left_y=959&top_left_x=107) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1b22a4ce70da42f720d7g-2.jpg?height=75&width=1719&top_left_y=1049&top_left_x=107) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1b22a4ce70da42f720d7g-2.jpg?height=74&width=1715&top_left_y=1141&top_left_x=112) + +$1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \ldots \mathrm{n}+1 \in M_{3}+1$, deci $3(1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \ldots \mathrm{n}+1)$ este multiplu de 3 făra a fi multiplu de 9 , şi nu este pătrat perfect, așadar $\sqrt{n!+3} \notin \mathbb{Q}$.... $.2 p$ + +Problema 2. Trei copii se joacă cu numere, în 2017 pași, astfel: la pasul 1 fiecare dintre ei are în mână un cartonaş pe care este scris un număr rațional pozitiv care nu este număr natural și astfel încât suma numerelor de pe cele trei cartonașe să fie număr natural. La pasul $k$ fiecare dintre ei își pune cartonașul la spate și-l înlocuiește cu un altul pe care este scris numărul ce reprezintă suma numerelor celorlalți doi, de la pasul $k-1$, unde $2 \leq k \leq 2017$. Demonstrați că: + +a) la fiecare pas, suma numerelor aflate pe cartonașele din mâinile lor este număr natural; + +b) la fiecare pas, numărul aflat pe cartonașul din mâna fiecărui copil nu este natural; + +c) la pasul 2017, suma tuturor numerelor aflate pe cartonașele din spatele fiecărui jucător este aceeași, un număr natural divizibil cu 17 . + +## Claudiu-Stefan Popa + +## Solutuie şi barem: + +a) Notăm cu $a_{1}, b_{1}$ şi $c_{1}$ numerele raționale pozitive care nu sunt numere raționale aflate pe cartonașele ținute în mână de cei trei copii. $a_{1}+b_{1}+c_{1}=s \in \mathbb{N}$ + +La pasul 2, $a_{2}=b_{1}+c_{1}, b_{2}=a_{1}+c_{1}, c_{2}=a_{1}+b_{1}$ și $a_{2}+b_{2}+c_{2}=2 \cdot\left(a_{1}+b_{1}+c_{1}\right)=2 s \in \mathbb{N}$ + +$.1 p$ + +La pasul $\mathrm{k}, 2B D$ ) +$A C \perp B F$ și $E G \perp B F \Rightarrow A C \| E G$, deci $A C E G$ trapez. Din congruența triunghiurilor dreptunghice isoscele $A D G$ și $C D E$ rezultă $A G=C E$, deci $A C E G$ este trapez isoscel. $\triangle A C G \equiv \triangle C A E(L U L) \Rightarrow \measuredangle A C G \equiv \measuredangle C A E \Rightarrow \triangle L A C$ isoscel $\Rightarrow \triangle L E G$ isoscel. Dacă notăm cu $O_{1}$, respectiv $O_{2}$ intersecțiile diagonalelor romburilor $A B C D$, respectiv $D E F G$, cum $L O_{1}, L O_{2}$ sunt mediane în triunghiurile $L A C$, respectiv $L E G$, ele sunt și înălțimi, deci $L O_{1} \perp A C, L O_{2} \perp E G$. Însă $A C \| E G \Rightarrow O_{1}, L, O_{2}$ coliniare, deci $L \in B F$ $1 p$ + +În triunghiurile $L A C$ și $L E G$, dreptunghice î $L$ avem $L O_{1}=\frac{A C}{2}$, respectiv $L O_{2}=\frac{G E}{2}$, deci $L B=L O_{1}+O_{1} B=\frac{A C}{2}+\frac{B D}{2}=\frac{D F}{2}+\frac{B D}{2}=\frac{B F}{2} \Rightarrow L$ este mijlocul segmentului $B F$ $1 p$ + +c) $A_{A C E G}=2 \cdot A_{A D G}+A_{A C D}+A_{E D G}=2 \cdot A_{A D G}+\frac{A_{A B C D}}{2}+\frac{A_{A B C D}}{2}=2 \cdot A_{A D G}+A_{A B C D}=A B^{2}+A_{A B C D} \leq$ $2 \cdot A B^{2}$ $1 p$ Însă $A_{A C E G}=\frac{O_{1} O_{2} \cdot(A C+G E)}{2}=\left(\frac{B D+D F}{2}\right)^{2}=\left(\frac{B F}{2}\right)^{2} \cdot$ Deci, $\left(\frac{B F}{2}\right)^{2} \leq 2 \cdot A B^{2} \Rightarrow B F \leq 2 \sqrt{2} \cdot A B$ + +Obs. Soluția de mai sus, pentru b), presupune că cele două romburi nu sunt și pătrate. Pentru cazul particular în care cele două romburi sunt pătrate, cele trei cerințe sunt aproape evidente. Concurentul care tratează doar acest caz, primește $\mathbf{1 p}$. + +Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1010-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1010-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2941938ff4e7402e19caa661f8c035298a81d554 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1010-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,138 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2014 + +CLASA a VII - a + +## Subiectul I + +a) Dacă $m, n \in N^{*}$, aflați care este cel mai mic număr de forma $\left|5^{2 m}-3^{n}\right|$. + +b) Comparaţi numerele: $\frac{\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}}{\sqrt{2014}^{2015}+\sqrt{2015}^{2014}}$ si $\frac{\sqrt{2014}}{\sqrt{2015}}$. + +## Subiectul II + +Într-un turneu de şah participă cel puţin 10 elevi dintre care 2 elevi de clasa a VII-a , restul fiind elevi de clasa a VIII -a. Fiecare participant joacă exact câte o partidă cu fiecare din ceilalţi. Cei doi elevi din clasa a VII-a au obţinut în total 8 puncte , iar elevii din clasa a VIIIa au obținut punctaje egale. Ştiind că pentru un joc câştigat se acordă un punct, pentru remiză 0,5 puncte şi 0 puncte pentru un joc pierdut, câţi participanţi sunt în clasa a VIII-A ? + +## Subiectul III + +Demonstraţi că în orice trapez modulul diferenţei lungimilor bazelor este strict mai mare decât modulul diferenţei lungimilor laturilor neparalele . + +## Subiectul IV + +În $\triangle A B C$, B` şi \(\mathrm{M}\) sunt mijloacele segmentelor (AC) şi respective (BB`). Dacă $\left(A M \cap(B C)=\left\{A^{\prime}\right\},\left(B^{`} A^{`} \cap\left(A B=\{D\}\right.\right.\right.$ şi $N \in\left(A A^{`}\right)$ astfel încât $B^{`} \mathrm{~N} \| \mathrm{BC}$, atunci: + +1) Arătați că $B A ` B ` N$ este paralelogram; +2) Calculaţi $\frac{A_{A} D C}{A_{A B C}}$. + +Timp de lucru 3 ore. + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 16.02.2014
BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +CLASA a VII- a + +## Subiectul I + +a) Dacă $m, n \in N^{*}$, aflați care este cel mai mic număr de forma $\left|5^{2 m}-3^{n}\right|$. + +b) Comparați numerele: $\frac{\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}}{\sqrt{2014}^{2015}+\sqrt{2015}^{2014}}$ şi $\frac{\sqrt{2014}}{\sqrt{2015}}$. + +Barem: + +a) Pentru $\mathrm{m}=1$ şi $\mathrm{n}=3,\left|5^{2 m}-3^{n}\right|=2$............................................................................................ 1p + +Avem $u\left(5^{2 m}\right) \in\{5\}, \forall m \in N^{*}$ şi $u\left(3^{n}\right) \in\{1,3,7,9\}, \forall n \in N^{*}, u\left(\left|5^{2 m}-3^{n}\right|\right) \in\{2,4,6,8\}, \forall m, n \in N^{*}$ $\qquad$ +Prin urmare cel mai mic număr de forma $\left|5^{2 m}-3^{n}\right|$ este 2 ...............................................................1p + +b) Arătăm că: $\frac{\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}}{\sqrt{2014}^{2015}+\sqrt{2015}^{2014}}>1$....................................................................................... 1p + +Calculăm diferența: $\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}-\sqrt{2014}^{2015}-\sqrt{2015}^{2014}=$ + +$\sqrt{2015}^{2014}(\sqrt{2015}-1)-\sqrt{2014}^{2014}(\sqrt{2014}-1)>0$ + +Deoarece $\sqrt{2015}-1>\sqrt{2014}-1$ şi $\sqrt{2015}^{2014}>\sqrt{2014}^{2014}$, deci $\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}>$ + +$\sqrt{2014}^{2015}+\sqrt{2015}^{2014}$, ceea ce este echivalent cu $\frac{\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}}{\sqrt{2014}^{2015}+\sqrt{2015}^{2014}}>1$. + +$\operatorname{Cum} \frac{\sqrt{2014}}{\sqrt{2015}}<1 \Rightarrow \frac{\sqrt{2014}^{2014}+\sqrt{2015}^{2015}}{\sqrt{2014}^{2015}+\sqrt{2015}^{2014}}>\frac{\sqrt{2014}}{\sqrt{2015}}$ + +$1 p$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
16.02.2014
BAREM DE CORECTARE S,I NOTARE
CLASA A VII A + +Subiectul II + +Într-un turneu de şah participă cel puţin 10 elevi dintre care 2 elevi de clasa a VII-a , restul fiind elevi de clasa a VIII-a. Fiecare participant joacă exact câte o partidă cu fiecare din ceilalţi. Cei doi elevi din clasa a VII-a au obţinut în total 8 puncte , iar elevii din clasa a VIII-a au obţinut punctaje egale. Ştiind că pentru un joc câştigat se acordă un punct, pentru remiză 0,5 puncte şi 0 puncte pentru un joc pierdut, câţi participanţi sunt în clasa a VIII-A ? + +BAREM + +Fie $n$ numărul de elevi de clasa a VIII-a şi $m$ numărul de puncte obţinut de fiecare elev de clasa a VIII-a. Rezultă că în turneu sunt obţinute în total $n \cdot m+8$ + +Pe de altă parte acest număr de puncte poate fi calculat şi astfel: $n+2$ persoane , fiecare din ele joacă cu câte $n+1$ persoane fiecare , deci numărul de puncte este $\frac{(n+2)(n+1)}{2}$ (numărul de puncte este egal cu numărul de partide). + +Prin urmare $n \cdot m+8=\frac{(n+2)(n+1)}{2} \Leftrightarrow n(n+3-2 m)=14$ + +Cum $14=1 \cdot 2 \cdot 7$, sunt posibile următoarele cazuri : + +1) $n=1, m=-5$ - fals +2) $n=2, m=-1$ - fals +3) $n=7, m=4$ - fals ( sunt mai mult de 10 elevi) +4) $n=14, m=8$ - adevărat + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-4.jpg?height=211&width=457&top_left_y=43&top_left_x=228) + +MINISTERUL EDUCAȚIEI + +NAȚIONALE + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
16.02.2014
BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +CLASA a VII-a + +Subiectul III + +Demonstraţi că în orice trapez modulul diferenţei lungimilor bazelor este strict mai mare decăt modulul diferenței lungimilor laturilor neparalele . + +Considerăm trapezul $A B C D$ cu bazele $A B|B C-B E|$ $.2 \mathrm{p}$ + +$E C=|C D-A B|>|B C-B E|=|B C-A D|$ $1 \mathrm{p}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2014
BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +CLASA a VII-a + +Subiectul IV + +În $\triangle A B C$, $B^{\prime}$ şi $M$ sunt mijloacele segmentelor (AC) şi respective (BB). Dacă $\left(A M \cap(B C)=\left\{A^{\prime}\right\},\left(B^{`} A^{\prime} \cap\left(A B=\{D\}\right.\right.\right.$ şi $N \in\left(A A^{\prime}\right)$ astfel încât $B^{\prime} N \| B C$, atunci: + +1) Arătați că $B A^{\prime} B^{\prime} N$ este paralelogram ; +2) Calculaţi $\frac{A_{A} D C}{A_{A B C}}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-6.jpg?height=457&width=445&top_left_y=1185&top_left_x=317) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-6.jpg?height=77&width=1596&top_left_y=1766&top_left_x=230) + +$\left[B^{\prime} N\right] \|\left[B A^{\prime}\right]$ si $\left[B^{\prime} N\right] \equiv\left[B A^{\prime}\right] \Rightarrow B A^{\prime} B^{\prime} N$ paralelogram............................................................. 1 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-6.jpg?height=137&width=1596&top_left_y=1939&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-6.jpg?height=140&width=1556&top_left_y=2077&top_left_x=267) + +În $\triangle A D$ Cavem $\left[D B^{\prime}\right]$ si $[C B]$ mediane $\Rightarrow A^{\prime} c . g$. ..................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-6.jpg?height=109&width=1556&top_left_y=2287&top_left_x=267) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2634b5d72a53ef1bea90g-6.jpg?height=120&width=1550&top_left_y=2433&top_left_x=276) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1011-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1011-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc125299339c044e404ac3a079fae028b2ac04bf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1011-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,160 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
16.02.2014 + +## CLASA a VI a + +## Subiectul I + +Unghiurile $\widehat{A O B}$ si $\widehat{A O C}$ sunt suplementare neadiacente. Dacă $m(\widehat{A O B}) ETAPA LOCALĂ
16.02.2014 + +Bareme de corectare + +CLASA a VI - a + +## Subiectul I + +Unghiurile $\overline{A O B}$ si $\overline{A O C}$ sunt suplementare neadiacente. Dacă $m(\widehat{A O B}) rezulta ca acesta nu poate fi obtinut. | | | | | | | | | | | $2 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul IV + +Se consideră numărul $A$, format din $n$ cifre de 1 . Să se arate că $A$ este divizibil cu 7 dacă şi numai dacă $n$ este divizibil cu 6 . + +## Barem: + +| Numerele $1,11,111,1111,11111$ nu sunt divizibile cu 7, verificare directă | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $111111: 7=15873$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Daca notăm $a=111111$ şi $n=6 k$ atunci $A=a \cdot\left(1+10^{6}+10^{12}+\ldots+10^{6 \cdot(k-1)}\right)$
si cum 7 divide $a$ obţinem că 7 divide $A$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Dacă $n=6 k+r$, şi $r \neq 0$ atunci $A=a \cdot\left(1+10^{6}+10^{12}+\ldots+10^{6 \cdot(k-1)}\right) \cdot 10^{r}+x$
unde $x$ este format din $r$ cifre de 1 . Cum 7 divide pe $a$ şi 7 nu divide pe $x$
obţinem că în această situaţie 7 nu divide pe $A$ | $2 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1012-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1012-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f76567f254e1adbdb5a2536a2c68cd9b630865a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1012-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,130 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16.02.2014 + +CLASA V + +## SUBIECTUL I + +a) Verificaţi dacă numărul + +$$ +a=2^{20}\left\{11^{2}: 121+3\left[\left(3^{5} \cdot 2^{3}\right)^{10}:\left(6^{30} \cdot 3^{19}\right)-2014^{0}\right]\right\}-7 +$$ + +este divizibil cu 7 şi cu 5. + +b) Aflaţi restul împărţirii numărului $b=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2013+2015$ la 2014. + +## SUBIECTUL II + +Aflaţi elementele mulţimilor $A$ şi $B$ ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile : +a) $A \cup B=\{x \in \mathbb{N} \mid x$ este cifră a sistemului zecimal $\}$; +b) $A \cap B=\left\{x \in \mathbb{N} \mid x\right.$ este ultima cifră a lui $7^{n}$, cu $n$ număr natural $\}$; +c) $A$ şi $B$ au acelaşi număr de elemente; + +d) Suma elementelor mulţimii $A$ este mai mare decât suma elementelor mulţimii $B$; +e) $\mathrm{B} \backslash \mathrm{A}=\{5\}$. + +## SUBIECTUL III + +Se consideră mulțimile infinite de numere naturale: + +$$ +A=\left\{x \mid x=n^{2}, n \in \mathbb{N}\right\} \text { şi } B=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots, a_{n}, \ldots\right\} +$$ + +unde $a_{1}=2, a_{2}=a_{1}+5, a_{3}=a_{2}+5, a_{4}=a_{3}+5$ şi aşa mai departe. + +Arătaţi că: +a) $4017 \in B$ şi $2014 \notin B$; + +b) mulţimile $A$ şi $B$ sunt disjuncte; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_760186a39a2d4c01a32ag-1.jpg?height=126&width=1048&top_left_y=1916&top_left_x=298) + +## SUBIECTUL IV + +Matei şi Paul joacă următorul joc: + +"Pe o tablă este scris numărul 16. Matei adună la numărul 16 un număr oarecare de la 1 la 9 şi scrie pe tablă rezultatul sumei. Apoi, Paul adună la numărul scris de Matei pe tablă un număr de la 1 la 9 şi scrie rezultatul pe tablă. Jocul va continua în acelaşi mod (fiecare dintre concurenţi adună la ultimul număr scris de celălalt pe tablă un număr oarecare de la 1 la 9). Câştigă cel care ajunge primul la 2014". + +Care va fi strategia lui Matei pentru a câştiga jocul? + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16.02.2014 + +CLASA a V-a + +BAREM DE NOTARE + +## SUBIECTUL I + +| I a) $\left(3^{5} \cdot 2^{3}\right)^{10}=3^{50} \cdot 2^{30}$ | $\mathbf{0 . 5 p}$ | +| :---: | :---: | +| $6^{30} \cdot 3^{19}=3^{49} \cdot 2^{30}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $\left(3^{50} \cdot 2^{30}\right):\left(3^{49} \cdot 2^{30}\right)=3$ | $\mathbf{0 . 5 p}$ | +| $2^{20}\left[11^{2}: 121+3 \cdot(3-1)\right]-7=2^{20} \cdot 7-7$ | $\mathbf{0 . 5 p}$ | +| $7\left(2^{20}-1\right)$ se divide cu 7 | $0.5 \mathbf{p}$ | +| $u\left(2^{20}\right)=6$ | $\mathbf{0 . 5 p}$ | +| $u\left(2^{20}-1\right)=5, u(a)=5$ deci numărul $a$ se divide cu 5 | $\mathbf{0 . 5 p}$ | +| I b) $b=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1006 \cdot 1007 \cdot 1008 \cdot \ldots \cdot 2013+2014+1$ | $0.5 \mathbf{p}$ | +| $b=1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 1006 \cdot 1008 \cdot \ldots \cdot 2013 \cdot(2 \cdot 1007)+2014+1$ | $1 \mathbf{1 p}$ | +| $b=1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 1006 \cdot 1008 \cdot \ldots \cdot 2013 \cdot 2014+2014+1$ | $0.5 \mathbf{p}$ | +| $b=2014 \cdot(1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 1006 \cdot 1008 \cdot \ldots \cdot 2012 \cdot 2013+1)+1$ | $0.5 \mathrm{p}$ | +| Din teorema împărţirii cu rest avem că restul este 1 | $0.5 \mathbf{p}$ | +| TOTAL | $7 \mathbf{p}$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2014 + +CLASA a V-a + +## BAREM DE NOTARE + +## SUBIECTUL II + +| $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :---: | +| $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{1,3,7,9\} \Rightarrow \mathrm{A} \supset\{1,3,7,9\}$ şi $\mathrm{B} \supset\{1,3,7,9\}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $\mathrm{B} \backslash \mathrm{A}=\{5\} \Rightarrow 5 \in B$ şi $5 \notin A$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Numărul elementelor fiecărei mulţimi trebuie să fie 7 | $\mathbf{1 p}$ | +| Soluţii : $\mathrm{A}=\{1,2,3,6,7,8,9\}$ şi $\mathrm{B}=\{0,1,3,4,5,7,9\}$ sau $\mathrm{A}=\{1,3,4,6,7,8,9\}$
şi $\mathrm{B}=\{0,1,2,3,5,7,9\}$ sau $\mathrm{A}=\{1,2,3,4,7,8,9\}$ şi $\mathrm{B}=\{0,1,3,5,6,7,9\}$ sau
$\mathrm{A}=\{1,0,3,6,7,8,9\}$ şi $\mathrm{B}=\{2,1,3,5,4,7,9\}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| TOTAL | $\mathbf{7 p}$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16.02.2014 + +CLASA a V-a + +## BAREM DE NOTARE + +## SUBIECTUL III + +| a) | $a_{2}=a_{1}+5=2+5=7$
$a_{3}=a_{2}+5=2+2 \cdot 5=12$
$a_{4}=a_{3}+5=2+3 \cdot 5=17$ | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\Rightarrow a_{n}=2+(n-1) \cdot 5$ | $1 p$ | +| | $4017 \in B \Leftrightarrow 4017=2+(n-1) \cdot 5$ şi $n \in \mathbb{N}$. Cum $n=804$, rezultă că $4017 \in B$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $2014 \in B \Leftrightarrow 2014=2+(n-1) \cdot 5$ şi $n \in \mathbb{N}$. Cum $n=2017: 5$ şi $2017: 5 \notin \mathbb{N}$,
rezultă că $2014 \notin B$ | $1 \mathbf{p}$ | +| b) | Oricare ar fi $x \in A \Rightarrow \mathrm{u}(x) \in\{0,1,4,5,6,9\}$
Oricare ar fi $x \in B \Rightarrow \mathrm{u}(x) \in\{2,7\}$
Din relaţiile anterioare rezultă că mulţimile $A$ şi $B$ sunt disjuncte | 1p | +| c) | $16=4^{2}$, deci $16 \in A$
$1156=34^{2}$, deci $1156 \in A$
$111556=334^{2}$, deci $111556 \in A$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\underbrace{11 \ldots 1}_{\text {de } 9 \text { ori }}$ Re o ori
Rezultă concluzia. | $1 \mathbf{p}$ | +| | TOTAL | $7 \mathbf{p}$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2014 + +CLASA a V-a + +BAREM DE NOTARE + +## SUBIECTUL IV + +| Se observă că $2014=10 \cdot 199+24$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :---: | +| Mai întâi, Matei va aduna 8 şi va scrie numărul $16+8=24$. | | +| Dacă Paul adună $\mathrm{x} \in\{1,2, \ldots, 9\}$, atunci la a doua mişcare, Matei va aduna $10-\mathrm{x}$ şi va
scrie pe tablă numărul $24+\mathrm{x}+10-\mathrm{x}=34$ şi aşa mai departe. | $\mathbf{2 p}$ | +| La fiecare etapă, atunci când Paul va aduna y, Matei urmează să adune 10 -y. | $\mathbf{1 p}$ | +| Astfel, la a 199 -a mişcare, Matei scrie pe tablă numărul $4+10 \cdot 200=2004$. Apoi, Paul
va scrie numărul $2004+y, y \in\{1,2, \ldots, 9\}$, iar Matei va aduna la acesta 10 -y şi scrie pe
tablă 2014. | $\mathbf{2 p}$ | +| TOTAL | $\mathbf{7 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1013-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1013-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9aa9b12c266185db028c83acb9a36826f3e5431 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1013-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL I + +Pe mulţimea $\mathfrak{R}$ definim legea de compoziţie : + +$$ +x * y=(\sqrt[2015]{x}+\sqrt[2015]{y})^{2015} +$$ + +Să se arate că $(\Re, *)$ este grup abelian şi că $(\Re, *) \cong(\Re,+)$. + +## SUBIECTUL II + +Calculați : $\int \frac{2 \sin x+3 \cos x}{3 \sin x+2 \cos x} d x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ fără a utiliza o schimbare de variabilă. + +## SUBIECTUL III + +Fie $G=\left\{0, \frac{1}{2013}, \frac{2}{2013}, \ldots \ldots . . . ., \frac{2012}{2013}\right\}$. Definim pe G legea de compoziţie $x * y=\{x+y\}$, unde $\{x\}$ este partea fracţionară a lui x. Să se arate că $(G, *)$ este grup abelian şi că $(G, *) \cong\left(Z_{2013}, *\right)$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $n \in N, n \geq 3$ și + +$$ +I_{n}=\int_{2}^{3} \sum_{k=1}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right] d x +$$ + +a)Să se calculeze $I_{3}$. + +b)Să se arate că $\frac{5 n-6}{2} \leq I_{n} \leq \frac{5 n-4}{2}$ + +Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1014-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1014-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6213024aba24bb98b3d776061f32f96e085a68f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1014-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I + +Se consideră matricele $A, B, C \in M_{3}(I R)$ și $x$ o cifră nenulă: $A=\left(\begin{array}{ccc}100 & 10 & 1 \\ 10 & 1 & 100 \\ 1 & 100 & 10\end{array}\right)$, + +$B=\left(\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}\overline{x 11} & \overline{1 x 1} & \overline{11 x} \\ \overline{1 x 1} & \overline{11 x} & \overline{x 11} \\ \overline{11 x} & \overline{x 11} & \overline{1 x 1}\end{array}\right)$ + +a)Să se arate că: $A \cdot B=C$; + +b)Să se rezolve ecuația $\operatorname{det}(C)=0$. + +## SUBIECTUL II + +Fie $a \in I R_{+}^{*}$ și $n \in I N, n \geq 2$. + +a)Să se arate că $[a]+\left[a+\frac{1}{2}\right]=[2 a]$. + +b)Să se arate că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}, x_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left[a+\frac{k}{n}\right]$ este convergent. ( $[a]$ este partea întreagă a lui a) + +## SUBIECTUL III + +Fie $A \in M_{2}(I R)$ și propozițiile p: $\operatorname{Tr}(A)=1, \quad(\operatorname{Tr}(A)$ este suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $A$ ), q: $\operatorname{det}(A)=2$, r: $\operatorname{det}\left(A+I_{2}\right)=4$. + +Să se arate că dacă două dintre propoziții sunt adevărate, este și adevărată și a treia. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $\alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$. Considerăm șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=\operatorname{tg} \alpha$ și $a_{n+1}=a_{n}^{2} \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha, n \geq 1$. + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a_{n}-1\right)$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1015-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1015-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49b125944d7a987d833a4c7ac8b37db379856d00 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1015-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a X-a + +## SUBIECTUL I + +a)Determinati $a \in I N$ astfel incat $: \sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{2}+1}$. + +b)Sa se arate ca : $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}$. + +## SUBIECTUL II + +a)Determinati $a \in I R$, stiind ca $:(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)=\left(t^{2}-5 t+a\right)^{2}-1$, pentru orice $t \in I R$. + +b)Sa se rezolve ecuatia $\left(10^{x}-1\right)\left(10^{x}-2\right)\left(10^{x}-3\right)\left(10^{x}-4\right)+1=0$. + +## SUBIECTUL III + +Sa se rezolve ecuatia $1+\log _{5} x=\log _{3}(4+\sqrt{5 x})$. + +## SUBIECTUL IV + +Consideram numarul complex $z=\cos 10^{\circ}+i \sin 10^{\circ}$. + +a)Sa se arate ca $\frac{z^{14}+1}{z^{7}}=2 \cos \frac{7 \pi}{18}$. + +b)Sa se calculeze suma: $S=\left[\frac{2014\left(z^{2}+1\right)}{z}\right]+\left[\frac{2014\left(z^{4}+1\right)}{z^{2}}\right]+\left[\frac{2014\left(z^{6}+1\right)}{z^{3}}\right]+\ldots+\left[\frac{2014\left(z^{36}+1\right)}{z^{18}}\right]$, unde $[t]$ reprezinta partea intreaga a numarului real t. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1016-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1016-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4b19a69b746153e03f21e51fa26ebba24a851520 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1016-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $S_{n}=\frac{1}{\sqrt{3+2 \sqrt{1 \cdot 2}}}+\frac{1}{\sqrt{5+2 \sqrt{2 \cdot 3}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n+1+2 \sqrt{n(n+1)}}} ; n \in N^{*}$. + +Să se calculeze: $1+S_{2014}$. + +## SUBIECTUL II + +Fie $A=\left\{[n \sqrt{2}] \mid n \in N^{*}\right\}$ și $B=\left\{[(2+\sqrt{2}) n] \mid n \in N^{*}\right\}$, unde $[\mathrm{x}]$ reprezintă partea întreagă a lui x. Calculaţi A $\cap$ B. + +## SUBIECTUL III + +Aflați aria totală a unei piramide patrulatere regulate $\mathrm{VABCD}$ în care muchia laterală VA are lungimea de $12 \mathrm{~cm}$ și măsura unghiului VAC este de $30^{\circ}$. + +## SUBIECTUL IV + +Pe planul triunghiului $\mathrm{OBC}$ se ridică în $\mathrm{O}$, o perpendiculară pe care se ia un punct $\mathrm{A}$. + +Fie $\mathrm{M}$ și $\mathrm{M}_{1}$ ortocentrele triunghiurilor $\mathrm{ABC}$, respectiv $\mathrm{OBC}, \mathrm{AD}$ și $\mathrm{BE}$ înălțimi în triunghiul $\mathrm{ABC}$ și $\mathrm{BE}_{1}$ înălțime în triunghiul $\mathrm{OBC}$. + +a)Să se arate că $M M_{1} \perp(\mathrm{ABC})$ + +b)Dacă $O B=5 \mathrm{~cm}, O C=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, B C=7 \mathrm{~cm}$ și $O A=2 \sqrt{21} \mathrm{~cm}$ să se calculeze AD. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1017-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1017-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6f42d73edc37d9e21ca4cdc029e4a45d13793c9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1017-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,42 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL I + +a)Să se arate că $\sqrt{2014 \cdot 2015} \notin \mathbf{N}$. + +b)Determinaţi un număr raţional $p \in \mathbf{Q}$ astfel încât $\sqrt{2014 \cdot 2015+p} \in \mathbf{Q}$. + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve în $\mathbf{Z}$ ecuația: + +$$ +\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\ldots+\frac{1}{(x+2013)(x+2014)}=\frac{2014}{2015} +$$ + +## SUBIECTUL III + +În triunghiul dreptunghic $\mathrm{ABC}$, cu $m(\hat{A})=90^{\circ}$, bisectoarea unghiului $\mathrm{A}$ intersectează pe $\mathrm{BC}$ î $\mathrm{M}$, iar N este mijlocul lui AB. + +a)Demonstrați că dacă $M N=\frac{A B}{2}$, atunci triunghiul $\mathrm{ABC}$ este isoscel; + +b)În condițiile de la punctul a) arătați că $A_{\triangle M N B}=\frac{1}{4} A_{\triangle A B C}$. + +## SUBIECTUL IV + +Se dă pătratul ABCD și fie E și F mijloacele laturilor $[A B]$, respectiv [BC]. Să se arate că: + +a) $C E \perp D F$; + +b)Dacă P este simetricul lui E față de A arătați că CDPE este paralelogram; + +c)Dacă $\mathrm{CE} \cap \mathrm{DF}=\{\mathrm{M}\}$ arătați că $\mathrm{AD}=\mathrm{AM}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1018-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1018-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..18f705d49a083acefcb00ac8e3140ca21d252ff3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1018-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a VI-a + +## SUBIECTUL I + +a)Aflați numărul $\overline{a b c}$ știind că $\overline{a b c}+\overline{b c a}+\overline{c a b}=1332$ și $a, b, c$ sunt numere prime diferite două câte două. + +b) Arătați că numărul $A=6^{3 n+2}+6^{3 n+1}+1$ se divide cu $43, \forall n \in I N$. + +## SUBIECTUL II + +Să se determine $m, n \in I N$ * astfel încât: + +$$ +1+1 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 3+\ldots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n=m^{2014} +$$ + +## SUBIECTUL III + +Pe o dreaptă $d$ se consideră punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2014}$ asfel încât $A_{1}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{0} A_{2}\right], A_{2}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{0} A_{3}\right], A_{3}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{0} A_{4}\right], \ldots, A_{2013}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{0} A_{2014}\right]$. Știind că lungimea segmentului $\left[A_{2013} A_{2014}\right]$ este $2^{2012} \mathrm{~cm}$, aflați lungimile segmentelor $\left[A_{0} A_{1}\right],\left[A_{0} A_{2014}\right]$ și verificați dacă lungimea segmentului $\left[A_{2010} A_{2014}\right]$ este divizibilă cu 15. + +## SUBIECTUL IV + +Avem la dispoziție un raportor care are o singură gradație la $19^{\circ}$. Să se arate că utilizând acest raportor putem construi orice unghi având măsura $1^{0}, 2^{0}, 3^{0}, \ldots, 359^{0}$. De câte utilizări ale raportorului este nevoie pentru a desena un unghi de $60^{\circ}$ ? + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1019-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1019-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..639d84700d03fde0dfacea21c59f883f9e010f27 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1019-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,42 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a V-a + +## SUBIECTUL I + +Se considera mulțimile: + +$A=\{1,2,3, \ldots, 100\}$ și $B=\{5 n+3 \mid n \in I N\}$ + +a)Să se determine numarul elementelor mulțimii $A \cap B$. + +b)Să se calculeze suma elementelor mulțimii $A \backslash B$. + +c)Câte elemente din mulțimea $A \cup B$ sunt pătrate perfecte? + +## SUBIECTUL II + +Un elev a rezolvat 28 de probleme în cinci zile. În ziua a cincea a rezolvat de șase ori mai multe probleme fața de prima zi. Să se afle câte probleme a rezolvat elevul în ziua a patra, știind că în fiecare zi a rezolvat un numar de probleme cel puțin egal cu cel din ziua precedenta. + +## SUBIECTUL III + +Se împarte la 11 numărul $7^{n+1}+4 \cdot 7^{n}+17$, unde $n$ este un număr natural. + +a)Să se determine câtul și restul împarțirii. + +b)Să se determine ultimele două cifre ale câtului daca $n$ este un numar natural multiplu de 4 . + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră numerele naturale $n, \overline{a b}$ și $\overline{c d}$ care satisfac relatia: $2^{\overline{a b}}+2^{\overline{c d}}=4^{n}$. + +a)Aratati că $\overline{a b}=\overline{c d}$ și $\overline{a b}$ este un număr impar. + +b)Să se determine valorile posibile ale lui $n$ și să se precizeze câte dintre acestea satisfac, în plus, conditiia: $\left(2^{n}+1\right)$ este divizibil cu 5 . + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-102-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-102-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6ca6b2681fd1be151bb14c8663760e77545025a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-102-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,130 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +## Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A VI A + +Problema 1. Se consideră trei puncte coliniare $A, B$ și $C$ astfel încât $\frac{A B}{B C}=\frac{3}{5}$ s,i $A C=40 \mathrm{~cm}$. Fie $M$ şi $P$ mijloacele segmentelor $[A B]$, respectiv $[B C]$. + +a) Să se determine lungimile segmentelor $[A B]$ şi $[B C]$. + +b) Să se determine valoarea raportului $\frac{A P}{M C}$. + +Problema 2. a) Simplificați fracția $\frac{64}{\overline{a b 64}-36 \cdot \overline{a b}}, a \neq 0$, astfel încât să devină ireductibilă. + +b) Demonstrați că numărul $n=3^{23}+5^{23}+15^{23}$ este divizibil cu 23 . + +Problema 3. Fie $n$ și $k$ numere naturale mai mari decât 2 . Vom spune că $n$ este atras de $k$, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: + +1) $n$ este divizibil cu $k$ și are $k-1$ divizori; +2) suma divizorilor lui $n$ este divizibilă cu $k$, dar nu este divizibilă cu $k+1$. + +Să se determine cel mai mic număr $n$ de trei cifre atras de 7 . + +Problema 4. Unghiul alungit $\Varangle A_{1} O A_{19}$ este împărțit în 18 unghiuri adiacente două câte două de semidreptele $\left[O A_{2},\left[O A_{3}, \ldots, \quad\left[O A_{18}\right.\right.\right.$, astfel încât $m\left(\Varangle A_{2} O A_{3}\right)=m\left(\nless A_{1} O A_{2}\right)+1^{\circ}$, $m\left(\Varangle A_{3} O A_{4}\right)=m\left(\Varangle A_{2} O A_{3}\right)+1^{\circ}, m\left(\Varangle A_{4} O A_{5}\right)=m\left(\Varangle A_{3} O A_{4}\right)+1^{\circ}, \ldots, m\left(\Varangle A_{18} O A_{19}\right)=m\left(\Varangle A_{17} O A_{18}\right)+1^{\circ}$. + +a) Demonstrați că $1^{\circ} Clasa a IX-a + +## SUBIECTUL I + +a)Se consideră mulțimea $M=\{x \in \mathbf{N} \mid x \leq 2014\} \quad$ și mulțimile $\quad A=\{2 a-1 \mid a \in \mathbf{N}\} \cap M$, $B=\{3 b-1 \mid b \in \mathbf{N}\} \cap M$ și $C=\{5 c-1 \mid c \in \mathbf{N}\} \cap M$. + +Să se calculeze cardA, cardB și cardC. + +b) Fie a, b, c și d numere reale pozitive astfel încât: $a+b+c+d=1$. + +Să se arate că: $a^{2} b^{2}+c^{2} d^{2} \leq \frac{1}{16}$. + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve ecuaţia: $\left[x^{2}\right]-4[x]+3=0$ unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +## SUBIECTUL III + +Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi cu $A B=c, B C=a, A C=b$. Medianele $\mathrm{AM}, \mathrm{BN}$ și $\mathrm{CP}$ taie cercul circumscris triunghiului în punctele $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ respectiv $\mathrm{F}$. Știind că $\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{N E}+\overrightarrow{P F}=\overrightarrow{0}$, să se arate că + +$\frac{a^{2}}{2 b^{2}+2 c^{2}-a^{2}} \overrightarrow{A M}+\frac{b^{2}}{2 a^{2}+2 c^{2}-b^{2}} \overrightarrow{B N}+\frac{c^{2}}{2 a^{2}+2 b^{2}-c^{2}} \overrightarrow{C P}=\overrightarrow{0}$. + +## SUBIECTUL IV + +Se dă $\triangle A B C M \in[A B], N \in[A C]$ si $P \in B C$ astfel încât $C \in[B P]$ dacă $\alpha, \beta, \gamma \in R$ astfel încât $\overrightarrow{A M}=\alpha \overrightarrow{M B} \quad \overrightarrow{B P}=\beta \overrightarrow{C P} \quad \overrightarrow{C N}=\gamma \overrightarrow{N A}$ să se arate vectorial că dacă $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ coliniare atunci $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma=1$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la $\mathbf{0}$ la 7 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1021-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1021-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3f43f45bbe57366b7b803b74ca10efe925fefb1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1021-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,52 @@ +Olimpiada naţională de matematică + +Etapa locală, 15 februarie 2014, Clasa a XII a + +1. Pe mulţimea $M=(0, \infty)$ se defineşte legea de compoziţie "*'care satisface următoarele proprietăţi: +a) $(x * y) \cdot(x * z)=x *(y+z), \forall x, y, z \in M$; +b) $x * 1=x, \forall x \in M$. + +Să se calculeze $4 * \frac{1}{4}$ şi $\sqrt{2014} * 2014$. + +Lucian Dragomir , RMT 1/2006 + +2. Fie $(G, \cdot)$ un grup finit de ordin $n$ şi $f: G \rightarrow G$ un morfism cu proprietăţile: +a) $f \circ f=1_{G}$; b) $f(x)=x \Rightarrow x=e$. + +Să se arate că: + +1) $\left\{f(x) \cdot x^{-1} / x \in G\right\}=G$ +2) $G$ este abelian; +3) $n$ este impar. + +Dorel Miheţ + +3. a) Dacă $F:\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right) \rightarrow \mathbb{R}$ este primitiva funcţiei $f:\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ pentru care $F(0)=0$, calculaţi $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$. + +b) Determinaţi funcţiile derivabile $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care admit o primitivă $G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care $G(x)=\frac{x \cdot g(x)}{2}, \forall x \in \mathbb{R}$. + +4. a) Demonstraţi că $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}, \forall x>0$. + +b) Calculaţi $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{\operatorname{arctg} x}{x} d x$. + +GM 2007 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +Olimpiada naţională de matematică,Etapa locală, 15 februarie 2014,Clasa a XII a, Barem de evaluare + +| (1) Din (1), pentru $y=z=\frac{1}{2}$, folosind (2), deducem că $x * \frac{1}{2}=\sqrt{x}, \forall x>0$. | $(2 \mathrm{p})$ | +| :---: | :---: | +| Pentru $y=z=\frac{1}{4}$ în (1) obţinem $\left(x * \frac{1}{4}\right)^{2}=x * \frac{1}{2}=\sqrt{x} \Rightarrow x * \frac{1}{4}=\sqrt[4]{x} \Rightarrow 4 * \frac{1}{4}=\sqrt{2}$ | $(2 \mathrm{p})$ | +| Dacă în (1) punem $y=z=1$, avem $x^{2}=x * 2$, apoi $y=2, z=1$ conduce la $x^{3}=x * 3$;
se demonstrează imediat prin inducţie că $x^{n}=x * n, \forall x>0, n \in \mathbb{N}^{*}$,
aşadar rezultatul căutat este $2014^{1007}$. | (3p) | +| (2) (1) Se consideră funcţia $g: G \rightarrow G, g(x)=f(x) \cdot x^{-1}$ şi se arată destul de repede că este
injectivă;deoarece G este finită, avem că funcţia este şi surjectivă, de unde concluzia este
imediată; | $\overline{(3 p)}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c8abcd9ebea5fba031b3g-2.jpg?height=221&width=1438&top_left_y=820&top_left_x=233) | (2p) | +| 3) Dacă $x \neq e$,avem $f(x) \neq x \Rightarrow x \neq x^{-1}$ şi astfel toate submulţimile de forma $\left\{x, x^{-1}\right\}$
formează o partiţie a lui $G \backslash\{e\}$, ale cărei clase conţin toate câte două elemente,adică $G \backslash\{e\}$
conţine un număr par de elemente,concluzia fiind imediată şi aici. | $(2 p)$ | +| (3)a) Notăm $A=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ şi considerăm $B=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x$; determinăm $B-A$ şi
$B+A$, de unde $A=\frac{x-\ln \|\sin x+\cos x\|}{2}+\mathcal{C}=F(x)$ | (2p) | +| $F(0)=0 \Rightarrow F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$ | (1p) | +| b) derivând egalitatea dată obţinem $2 g(x)=g(x)+x g^{\prime}(x), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g(x)=x g^{\prime}(x), \forall x \in \mathbb{R}$ | $(2 \mathrm{p})$ | +| Deducem că, pentru $x \neq 0$, avem $\left(\frac{g(x)}{x}\right)^{\prime}=0 \Rightarrow g(x)= \begin{cases}a x, & x<0 \\ b, & x=0 \\ c x, & x>0\end{cases}$ | (1p) | +| Deoarece $g$ este continuă se ajunge la $b=0, a=c \in \mathbb{R}$, deci $g(x)=a x, x \in \mathbb{R}$ | $(1 \mathrm{p})$ | +| (4) a) Se consideră $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ şi deoarece
$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow f(x)=k, \forall x>0 ; \operatorname{cum} f(1)=\frac{\pi}{2}$, concluzia este evidentă | (3p) | +| b) se foloseşte schimbarea de variabilă $x=\frac{1}{t}$ şi imediat se obţine că integral este egală cu
$\frac{\pi}{2} \ln 2$ | $(4 p)$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1022-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1022-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a58ea4fa2bb91a3092f686455289dd741b74cd9c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1022-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,52 @@ +Olimpiada naţională de matematică + +Etapa locală, 15 februarie 2014 + +# Clasa a XI a + +1. Se spune că două matrice $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$, sunt rude de gradul $\boldsymbol{k}, k \in \mathbb{N}$, dacă + +$$ +A B=B A \text { şi } \operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=k +$$ + +a) Arătaţi că există cel puţin două matrice $A$ şi $B$ nenule care sunt rude de gradul 1. + +b) Demonstraţi că, dacă două matrice $A$ şi $B$ sunt rude de gradul $\mathbf{0}$, atunci $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B$. + +c) Stabiliţi o altă cerinţă având în vedere enunţul oferit ! + +(Adică vi se cere să creaţi o mini sau o maxi problemă...) + +Lucian Dragomir + +2. Se consideră $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A B+B A=O_{3}$ şi $P(x)=\operatorname{det}(A+x B)$. + +Arătaţi că $P(i) \in \mathbb{R}$ sau $\frac{P(i)}{i} \in \mathbb{R}$. + +RMT 2/2011 + +3. Se consideră şirurile de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 0}$ cu $x_{n} \geq 1, y_{n} \geq 1$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\right)=2$. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$. + +Gazeta Matematică 1/2013 + +4. Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left[\frac{1}{x}\right]$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +Olimpiada naţională de matematică, Etapa locală, 15 februarie 2014,Clasa a XI a, Barem de evaluare + +| (1) a) de exemplu $A=I_{2}$ şi $B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ (verificare !); evident, orice alt exemplu corect este
luat în considerare ! | $(2 p)$ | +| :---: | :---: | +| b) Se consideră $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{det}(A+x B)=(\operatorname{det} B) \cdot x^{2}+m x+\operatorname{det} A, m \in \mathbb{R}$. Din
$\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=0$ deducem $\operatorname{det}(A+i B) \operatorname{det}(A-i B)=0$, adică $f(i)=f(-i)=0$ şi astfel
$f(x)=k \cdot\left(x^{2}+1\right), \forall x \in \mathbb{R}$. Concluzia e imediată. | (3p) | +| c) chestiune de creaţie, aşadar aşteptăm să vedem ce sunt în stare elevii acestei generaţii !
oricum, probabil mai mult decât noi (în ceea ce priveşte creativitatea)... punctaţi ca atare ! | $(2 \mathrm{p})$ | +| (2) $(A+i B)^{2}=(A-i B)^{2} \Rightarrow \operatorname{det}(A+i B)= \pm \operatorname{det}(A-i B)$ | $\overline{(3 p)}$ | +| aşadar $P(i)= \pm P(-i)$, deci $P(i)= \pm \overline{P(i)}$ | $\overline{(2 p)}$ | +| Dacă $P(i)=\overline{P(i)}$, atunci $P(i) \in \mathbb{R}$ | $\overline{(1 p)}$ | +| Dacă $P(i)=\overline{P(i)}$, atunci $\frac{P(i)}{i} \in \mathbb{R}$. | $\overline{(1 p)}$ | +| (3) $2 \leq x_{n}-y_{n} \leq \sqrt{2\left(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\right)}$ şi, deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{2\left(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\right)}=2 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=2$ | (4p) | +| Cum $1 \leq x_{n} \leq x_{n}+y_{n}-1$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}-1\right)=1$ se ajunge la $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$; analog $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=1$ | (3p) | +| (4) | | +| $\frac{1}{x}-1<\left[\frac{1}{x}\right] \leq \frac{1}{x}, \forall x \in \mathbb{R}^{*} \Rightarrow 1-x0$ | | +| şi $1-x>x \cdot\left[\frac{1}{x}\right] \geq 1, \forall x<0$. Prin trecere la limită în origine, avem că ambele limite laterale sunt
egale: $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left[\frac{1}{x}\right]=1$. | (7p) | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1023-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1023-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e184760d79dce2236af1e5ab6edd2e7eea221a6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1023-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,48 @@ +Olimpiada naţională de matematică + +Etapa locală, 15 februarie 2014 + +Clasa a X a + +1. Se consideră un număr natural nenul $n$ fixat şi pentru orice număr natural $k \in\{0,1,2, \ldots, n\}$ se notează $a_{k}=(\sqrt{2})^{n-k} \cdot(\sqrt[4]{3})^{k}$. Determinaţi numerele naturale $n$ pentru care mulţimea $A=\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}$ conţine exact 10 numere raţionale. +2. Determinaţi numerele naturale $n \geq 1$ pentru care $n=\log _{2}(1+n)+\log _{3} n$. + +Lucian Dragomir, supliment Gazeta Matematică 9/2013 + +3. Se notează cu $\mathcal{F}$ mulţimea funcţiilor $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care au proprietatea + +$$ +f(x) f(y)=f(x+y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} +$$ + +şi, pentru orice $f \in \mathcal{F}$, se consideră mulțimea $H(f)=\{x \in \mathbb{R} / f(x)=1\}$ + +a) Arătați că există $g \in \mathcal{F}$ și determinați în acest caz $H(g)$ + +b) Demonstraţi că, dacă $f \in \mathcal{F}$, atunci $f$ nu este surjectivă. +c) $f \in \mathcal{F}$ este injectivă dacă şi numai dacă $H(f)=\{0\}$. + +4. Se consideră numerele reale $a, b, c$ şi mulţimile $A=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \mid z^{2}+a z \in \mathbb{R}\right\}$, $B=\left\{z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \mid z^{2}+b \bar{z}+c z \in \mathbb{R}\right\}$. Arătaţi că $A=B$ dacă şi numai dacă $a+b=c$. + +RMT 1/2011 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +Olimpiada naţională de matematică,Etapa locală, 15 februarie 2014,Clasa a X a, Barem de evaluare + +| (1) $\quad a_{k}=2^{\frac{n-k}{2}} \cdot 3^{\frac{k}{4}} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \frac{n-k}{2}, \frac{k}{4} \in \mathbb{Z}$ | $\overline{(4 p)}$ | +| :---: | :---: | +| $n \in\{36,38\}$ | (3p) | +| (2) Se observă soluţiile $n=1, n=3$ | | +| $\log _{2} 3+\log _{3} 2>2 \Rightarrow n=2$ nu este soluţie | $(1 \mathrm{p})$ | +| $\log _{2} 5<\frac{5}{2}$ şi $\log _{3} 4<\frac{3}{2}$, aşadar nici $n=4$ nu este soluţie | $(1 \mathrm{p})$ | +| $\log _{2} 6+\log _{3} 5<3+2=5 \Rightarrow n=5$ nu este soluţie | $(1 \mathrm{p})$ | +| Pentru $n \geq 6$ se demonstrează prin inducţie că $\log _{2}(1+n)<\frac{n}{2}$ sau $2^{n}>(n+1)^{2}$
şi $\log _{3} n<\frac{n}{2}$ sau $3^{n}>n^{2}$, de unde $\log _{2}(1+n)+\log _{3} n observate iniţial | $(2 \mathrm{p})$ | +| (3) a) de exemplu $g(x)=e^{x} \Rightarrow H(g)=\{0\}$ | (1p) | +| b) Facem substituţiile $x \rightarrow \frac{x}{2}, y \rightarrow \frac{x}{2} \Rightarrow f(x)=f^{2}\left(\frac{x}{2}\right) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f$ nu este
surjectivă; | $(2 \mathrm{p})$ | +| c) (I) pentru $x=y=0 \Rightarrow f^{2}(0)=f(0) \Rightarrow f(0)=0$ sau $f(0)=1$.
Dacă $f(0)=0$, atunci pentru $y=0, x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(0) f(x)=f(x) \Rightarrow f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$, deci $f$ nu
e injectivă. Dacă $f(0)=1$, cum $f$ este injectivă deducem $f(x) \neq 1, \forall x \in \mathbb{R}^{*}$. | $(2 \mathrm{p})$ | +| (II).Reciproc, în relaţia dată facem substituţia $y \rightarrow-y \Rightarrow f(x) f(-y)=f(x-y)(1)$.
Dacă $y=x \Rightarrow f(x) f(-x)=f(0)==1 \Rightarrow f(-x)=\frac{1}{f(x)}$ şi acum relaţia (1) se scrie
$\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$. Considerăm $x, y$ cu $f(x)=f(y) \Rightarrow f(x-y)=1 \Rightarrow$
$(x-y) \in H(f) \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y$ adică $f$ este injectivă. | $(2 p)$ | +| (4) $z^{2}+b \bar{z}+c z=z^{2}+b \bar{z}+b z+(c-b) z \in \mathbb{R}$ dacă şi numai dacă $z^{2}+(c-b) z \in \mathbb{R}$ | $(2 \mathrm{p})$ | +| Dacă $c-b=a$ atunci, cum $b \bar{z}+b z \in \mathbb{R}, \forall z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$, deducem că $A=B$. | $(3 \mathrm{p})$ | +| Reciproc, dacă $A=B$, luăm $z=-\frac{a}{2}+i \in A$ şi avem $\left(-\frac{a}{2}+i\right)\left((c-b)--\frac{a}{2}+i\right) \in \mathbb{R}$, de unde
$c=a+b$ | $(2 \mathrm{p})$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1024-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1024-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2862a815001d51c856fedf7bdb3fea778bb648e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1024-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,54 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +## Etapa locală, 15 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +1. a) Arătați că pentru orice valori naturale ale lui $a$ avem $\sqrt{4 a^{2}+4 a+1} \in \mathbb{Q}$ + +b) Arătați că există doar două valori naturale ale lui $a$ pentru care $\sqrt{a^{2}+a+4} \in \mathbb{Q}$ + +c) Arătați că nu există valori naturale ale lui $a, b$ pentru $\sqrt{a^{2}+4 b+2} \in \mathbb{Q}$ + +Prof. Ovidiu Bădescu + +2. a) Determinați $((-\infty, 3] \backslash(1,3)) \cap[1,3)$ + +b) Determinați $m \in \mathbb{R}$ astfel încât $[m, 3 m-2) \backslash(-\infty, m+1]=\varnothing$ + +Prof. Ovidiu Bădescu + +3. Se consideră un cub $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Planul determinat de $A$ și de centrele pătratelor $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ și $B_{1} C_{1} C B$ intersectează $\left[B_{1} C_{1}\right]$ în $E$. Calculați $\frac{B_{1} E}{C_{1} E}$. + +Viitorii olimpici.ro + +4. În mijlocul $D$ al ipotenuzei $B C$ a triunghiului dreptunghic $A B C$ se ridică perpendiculara $D S$ pe planul triunghiului, unde $S$ este arbitrar ales pe aceasta dreapta. Dacă se notează cu $U$ şi $V$ proiecțiile lui $D$ pe planele $(S A B)$, respectiv $(S A C)$, demonstraţi că dreapta $U V$ este paralelă cu planul $(A B C)$ dacă şi numai dacă triunghiului $A B C$ este dreptunghic isoscel. + +Prof. Camelia Pîrvu, Oraviţa + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada naţională de matematică + +## Etapa locală, 15 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +## Barem de evaluare + +| 1. a) $\sqrt{4 a^{2}+4 a+1}=2 a+1 \in \mathbb{Q}$ | (2p) | +| :---: | :---: | +| b) $a \in\{0,3\}$ | (2p) | +| c) $a^{2} \in\{4 k, 4 k+1\} \Rightarrow a^{2}+4 b+2 \in\{4 k+2,4 k+3\}$ | $(3 p)$ | +| 2. a) $(-\infty, 3] \backslash(1,3)=(-\infty, 1] \cup\{3\}$ | (1p) | +| $((-\infty, 1] \cup\{3\}) \cap[1,3)=\{1\}$ | (1p) | +| b) $m<3 m-2 \Rightarrow m>1$ | $(2 p)$ | +| $3 m-2 \leq m+1 \Rightarrow m \leq \frac{3}{2}$ | $(2 p)$ | +| $m \in\left(1, \frac{3}{2}\right]$ | (1p) | +| 3. Fie $O$ centrul $A B C D, O_{1}$ centrul $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, O_{2}$ centrul lui $B_{1} C_{1} C B$ și
$A O_{1} \cap C C_{1}=\{M\}$ rezultă că $\{E\}=M O_{2} \cap B_{1} C_{1}$ | (1p) | +| Fie $\{F\}=M O_{2} \cap B C \Rightarrow \frac{O_{1} C_{1}}{A C}=\frac{1}{2}=\frac{M C_{1}}{M C}=\frac{E C_{1}}{F C}$ | (3p) | +| $\Delta E O_{2} C_{1} \equiv \Delta F O_{2} B, \Delta E O_{2} B_{1} \equiv \Delta F O_{2} C \Rightarrow \frac{B_{1} E}{C_{1} E}=2$ | (3p) | +| 4. $\Rightarrow \mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ mijloacele catetelor $(\mathrm{AB})$ ş (AC), obține $\frac{S U}{S M}=\frac{S V}{S N}$ | (2p) | +| Folosind teorema catetei obține $S M \equiv S N \Rightarrow \triangle A B C$ dreptunghic isoscel | $(2 p)$ | +| $\Leftarrow(S M) \equiv(S N),(S U) \equiv(S V) \Rightarrow$ concluzia | (3p) | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1025-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1025-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8ef1b91501831061ad8f11fbdc1021b9c2fe4d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1025-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,77 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a VII-a + +1. Fie $A_{n}=\left\{a \in \mathbb{Z} \mid a= \pm p_{1} \pm p_{2} \pm p_{3} \pm \ldots \pm p_{n}\right\}$ unde $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ sunt primele $n$ numere naturale prime iar semnele + şi respectiv - se aleg în toate modurile posibile. + +a) Să se arate că $0 \in A_{5}$ + +b) Arătaţi că $A_{2 p}, p \geq 1, p \in \mathbb{N}$, are un număr par de elemente. + +c) Arătaţi că dacă $k, p \geq 1, k, p \in \mathbb{N}$, atunci: $A_{2 p} \cap A_{2 k+1}=\varnothing$. + +prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa + +2. Determinaţi numerele naturale $a, b, c$ astfel încât fracţiile: $\frac{a+b}{b+c}, \frac{2(b+c)}{c+a}, \frac{3(c+a)}{a+b}$ să fie toate numere naturale. + +prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa + +3. Triunghiul $A B C$ este isoscel de bază $[B C] c u \quad m(\nless A)>90^{\circ}$. Fie $F D$ şi $G E$ mediatoarele laturilor $[A B]$, respectiv $[A C]$ cu $D \in(A B)$ şi $E \in(A C), F, G \in B C$ iar $D F \cap G E=\{H\}$. Fie $T$ mijlocul laturii[BC]. Arătaţi că: +a) $\triangle H D E$ este isoscel; +b) $H T \perp B C$; + +c) HT este mediatoarea segmentului $[D E]$. + +RMCS 41 + +4. Prin mijlocul $M$ al diagonalei $A C$ a unui trapez $A B C D$ construim $N M \| B D, N \in A B$. + +Ştiind că $\mathrm{CN} \perp \mathrm{AB}$, demonstraţi că $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ + +GMS 12 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15 FEBRUARIE 2014
Clasa a VII-a
SOLUTII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## Problema 1: + +| a) | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebfa11ade3e0632518a1g-2.jpg?height=65&width=1385&top_left_y=748&top_left_x=299) | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b) | Observaţia 1: Dacă pentru calculul unui element a din $A_{2 p}$ se face o alegere de
semne în faţa numerelor prime $p_{i}, i=\overline{1.2 p}$, schimbând toate semnele se va
obţine evident ca rezultat opusul lui a, adică -
a.................................................................... | 1p | +| | Observaţia 2: Pentru că singurul număr par din expresia de calcul a unui element a
din $A_{2 p}$ este $p_{1}= \pm$, restul fiind impare, va rezulta că $A_{2 p}$ conţine doar numere
impare şi deci $0 \notin A_{2 p}$ | $1 p$ | +| | Observaţia 3. Elementele lui $A_{2 p}$ se pot grupa în perechi de numere $(-a, a) \mathrm{cu}$
$a \neq 0$ şi deci numărul de elemente din $A_{2 p}$ este par................................................... | $1 p$ | +| c) | Observaţia 1: $A_{2 p}$ conţine doar numere impare. (s-a punctat mai sus)
Observaţia 2: $A_{2 k+1}$ conţine doar numere pare..................................................... | 1p | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebfa11ade3e0632518a1g-2.jpg?height=60&width=1385&top_left_y=1722&top_left_x=299) | 1p | + +Problema 2: + +| Notăm: $x=\frac{a+b}{b+c}, y=\frac{2(b+c)}{c+a}, z=\frac{3(c+a)}{a+b} \Rightarrow x y z=6$ | 2p | +| :--- | :--- | +| Avem variantele: a) $\left\{\begin{array}{ll}x=1, y=2, z=3 & \text { (1) } \\ x=1, y=3, z=2 & \text { (2) } \\ x=2, y=1, z=3 & \text { (3) } \\ x=2, y=3, z=1 & \text { (4) }\end{array}\right.$ sau $\begin{cases}x=1, y=1, z=6 \\ x=1, y=6, z=1 & \text { (2) } \\ x=6, y=1, z=1 & \text { (3) } \\ x=3, y=1, z=2 & \text { (5) } \\ x=3, y=2, z=1 & \text { (6) }\end{cases}$ | | + + +| ...................................................................................................................................... | $2 p$ | +| :---: | :---: | +| Cazul a) - (1) obţinem soluţia: $a=b=c=k \in \mathbb{N}^{*}$
Cazul a) - (2) obţinem soluţia: $a=c=k \in \mathbb{N}^{*}, b=2 k$
Cazul a) - (3) obţinem soluţia: $b=c=k \in \mathbb{N}^{*}, a=3 k$
Cazul a) - (4) nu există soluţii naturale,
Cazul a) - (5) obţinem soluţia: $a=2 b=2 k \in \mathbb{N}^{*}, c=0$ | | +| Cazul a) - (6) nu există soluţii naturale............................................................................................................ | $2 p$ | +| Cazul b) - (1) obţinem soluţia: $a=c=k \in \mathbb{N}^{*}, b=0$
Cazul b) - (2) obţinem soluţia: $a=c=k \in \mathbb{N}^{*}, b=5 k$
Cazul b) - (3) nu există soluţii naturale........................................................................... | $1 p$ | + +## Problema 3: + +| a) | $\Delta H E A \stackrel{\text { I.C. }}{\equiv} \triangle H D A \Rightarrow(H E) \equiv(H D) \Rightarrow \Delta H D E$ isoscel ..................................... | 2p | +| :---: | :---: | :---: | +| b) | $\mathrm{HE}, \mathrm{HD}$ mediatoare $\Rightarrow \mathrm{HT}$ mediatoare $\Rightarrow \mathrm{HT} \perp \mathrm{BC}$........................................... | 2p | +| c) | DE linie mijlocie în $\triangle A B C \Rightarrow D E \\| B C \Rightarrow H T \perp D E \Rightarrow H T$ înălţime....................... | $2 p$ | +| | $\Delta \mathrm{HDE}$ isoscel $\Rightarrow \mathrm{HT}$ mediatoare ........................................................... | 1p | + +## Problema 4: + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebfa11ade3e0632518a1g-3.jpg?height=192&width=1276&top_left_y=1885&top_left_x=224) | $2 p$ | +| :---: | :---: | +| $\triangle \mathrm{ANC}$ dreptunghic, $\mathrm{MN}$ mediană $\Rightarrow M N=\frac{A C}{2}$
$\Rightarrow \triangle \mathrm{ACE}$ isoscel $\Rightarrow(\mathrm{AC}) \equiv(C E)$..................................................................................... | $2 p$ | +| $\mathrm{DB}\\|\mathrm{CE}, \mathrm{DC}\\| \mathrm{BE} \Rightarrow \mathrm{DBEC}$ paralelogram $\Rightarrow(\mathrm{DB}) \equiv(\mathrm{CE})$....................................... | $2 p$ | +| $\Rightarrow(D B) \equiv(A C) \Rightarrow A B C D$ trapez isoscel $\Rightarrow A D=A C$.......................................................... | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1026-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1026-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7321ad98a079cd45ee159a9b4ea241518b7b1956 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1026-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-15.02.2014
CLASA VI + +## Subiectul I + +1.Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor $a=3^{n+1} \cdot 7^{n}+4$ și $b=3^{n} \cdot 7^{n+1}+6$, unde $n$ este un număr natural. + +Gazeta Matematică 11/2012 + +2. a)Demonstrați că dacă $p$ este număr prim, $p>5$ atunci u $\left(p^{4}\right)=1$. + +(Se notează cu u $(n)$ ultima cifră a numărului natural $n$ ). + +b)Arătați că nu există numere prime $p, p>5$ astfel încât să avem că $p^{8}+p^{4}+p=\underbrace{1717 \cdots 17}_{2014 \text { cifre }}$ + +Prof.Buzescu Antoanela + +## Subiectul II + +Câte numere naturale cel mult egale cu 2014 sunt divizibile cu 19 şi au exact 8 divizori? + +Prof.Pîrvu Camelia + +## Subiectul III + +Segmentul $[A B]$ are lungimea egală cu 55 . Punctele $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{9}$ împart segmentul $[A B]$ în 10 segmente $\left[A M_{1}\right],\left[M_{1} M_{2}\right], \ldots\left[M_{9} B\right]$ ale căror lungimi sunt egale cu numere naturale nenule distincte. + +a)Arătați că există puncte $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{9}$ cu proprietatea din enunț. + +b)Să se arate că mijlocul lui $[A B]$ nu coincide cu niciunul din punctele $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{9}$. + +Prelucrare concurs ,,Jose Marti” + +## Subiectul IV + +Bisectoarele unghiurilor adiacente $\Varangle A O B$ și $\varangle B O C$ formează un unghi cu măsura de10 $0^{\circ}$ + +a)Arătați că $80^{\circ}<5 m(\nless A O B)+4 m(\nless B O C)<100^{\circ}$ + +b)Dacă $5 m(\nless A O B)+4 m(\nless B O C)=90^{\circ}$ arătați că $[O B$ este bisectoarea $\varangle A O C$. + +$$ +(\{: t: \xi) +$$ + +NOTĂ:Timp de lucru 2 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se punctează cu 7 puncte. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-15.02.2014
BAREM DE CORECTARE
CLASA VI + +## Subiectul + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8f4d8898b59af8a2326g-2.jpg?height=60&width=1302&top_left_y=484&top_left_x=300) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8f4d8898b59af8a2326g-2.jpg?height=63&width=1245&top_left_y=545&top_left_x=340) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8f4d8898b59af8a2326g-2.jpg?height=62&width=1208&top_left_y=600&top_left_x=344) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8f4d8898b59af8a2326g-2.jpg?height=63&width=1151&top_left_y=662&top_left_x=344) + +## Subiectul II + +Subiectul III + +a)Din $A B=55, A M_{1}, \cdots, M_{9} B \in \mathbb{N}^{*}$, distincte , iar $1+2+3+\cdots+10=$ 55 , deduce că $\left\{A M_{1}, M_{1} M_{2}, \ldots, M_{9} B\right\}=$ $\{1,2, \ldots, 10\}$ + +b)Fie $O$ mijlocul segmentului $[A B]$,atunci $A O=\frac{55}{2}$. $1 p$ + +Dacă $O \in\left\{M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{9}\right\}$ atunci $A O$ ar fi sumă de numere naturale.... $2 \mathrm{p}$ + +Finalizare $1 p$ + +## Subiectul IV + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8f4d8898b59af8a2326g-2.jpg?height=66&width=1197&top_left_y=2234&top_left_x=298) + +$5 m(\nless A O B)+4 m(\nless B O C)=4 m(\nless A O C)+m(\nless A O B)>80^{\circ} \ldots \ldots 2 \mathrm{p}$ $\mathrm{dar}, 5 m(\nless A O B)+4 m(\nless B O C)=5 m(\nless A O C)-m(\nless B O C)<100^{\circ}$ $2 p$ + +Deduce $m(\nless A O B)=10^{\circ}, m(\nless B O C)=10^{\circ}$ $1 p$ + +Finalizare + +$1 p$ + +Notă: Orice altă soluție se punctează corespunzător + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1027-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1027-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2c1f6fabc33b78aa506d38db1b77e1d96c24944 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1027-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,78 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - 15.02.2014
Clasa a V-a + +1. O sală de spectacoleare 400 de locuri. Pentru un spectacol care începe la ora $20: 00$, ușile sălii se deschid la ora 19:00. În primul minut intră un spectator, în al doilea minut intră 3 spectatori și, tot așa, în fiecare minut intră cu doi mai mulți spectatori decât au intrat în minutul anterior. Aflați la ce oră $s-a$ umplut sala. + +Prof. Iulia Cecon, Oțelu Roșu + +RMCS nr. 37 + +2. Un drum de lungime $\overline{a b c}$ km a fost străbătut astfel: în prima zi $\overline{b c} \mathrm{~km}$, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi restul, $\overline{b c}+c^{2}+20 \mathrm{~km}$, adică 200 km.Determinați lungimea drumului ( $a, b, c$ sunt cifre în baza 10). + +Prof. Buzescu Antoanela, Caransebes + +3. Determinați ultima cifră a sumei tuturor numerelor naturale, nenule, care împărțite la 50 dau restul egal cu pătratul câtului. + +Prof. Vasile Chiș, Reșița + +4. La Jocurile Olimpice de larnă - Sochi 2014, România participă cu o echipă de 25 de sportivi care vor concura la probele de biatlon, patinaj viteză şi schi fond. Să se determine câţi sportivi din echipa României participă la toate cele trei probe sportive, dacă se stie că 5 sportivi nu participă nici la biatlon nici la patinaj viteză, 3 sportivi nu participă nici la patinaj viteză nici la schi fond, 4 sportivi nu participă nici la proba de schi fond nici la proba de biatlon şi câte 5 sportivi participă la cel puţin câte două din cele trei probe. + +Prof. Camelia Pîrvu, Oraviţa + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de două ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 1 la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - 15.02.2014 + +1. Notăm cu "n" timpul în care se umple sala (în minute). + +Numărul spectatorilor care intră în sală va fi: + +$1+3+5+\ldots+(2 n-1) \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . .3 p$ + +Calculând obținem $n^{2}=400$............. $2 p$ + +și prin urmare: $n=20$.......................1p + +Finalizare ............................................1p + +2. Dacă jumătate din rest este de 200 km ,atunci restul este de 400 km, +adică $\overline{a b c}=\overline{b c}+400$ deci $a=4$. +3 . +$\overline{b c}+c^{2}+20=200$, deduce $\overline{b c}+c^{2}=180$ . $.1 p$. +cum $\overline{b c} \leq 99, c^{2} \leq 81$, deduce $b=c=9$. $2 p$. +finalizare, lungimea drumului este $499 \mathrm{~km}$. $1 \mathrm{p}$. +3. Dacă notăm cu ,,a” deîmpărțitul, vom avea: + +$a: 50=x$ rest $x^{2}$, unde $x^{2}$ este pătrat perfect și $x^{2}<50 \ldots . . . . . . . . . . . . . .1 p$ + +Prin urmare: $x^{2} \in\{0,1,4,9,16,25,36,49\}$ sii deci $x \in\{0,1,2,3,4,5,6,7\} \ldots \ldots . . .2 p$ + +Numerele ,a” vor fi: $5 \cdot 0+0,5 \cdot 1+1,5 \cdot 2+4, \ldots, 5 \cdot 7+49$. .....................1p + +Suma lor va fi: $S=50(1+2+\ldots+7)+\left(1^{2}+2^{2}+\ldots+7^{2}\right)$......................................................................... + +Ultima cifră a numarului $50(1+2+\ldots+7)$ este 0 , iar ........................... 1 p $u\left(1^{2}+2^{2}+\ldots+7^{2}\right)=u(1+4+9+6+5+6+9)=0$. Vom avea $u(S)=0$.......1p + +4. Se deduce că : + +5 sportivi participă numai la schi fond + +3 sportivi participă numai la biatlon + +4 sportivi participă numai la patina viteză + +$\Rightarrow 25-(5+3+4)=13$ sportivi participă la două sau mai multe probe........3p + +Dacă x este numărul sportivilor care participă la toate cele trei probe $\Rightarrow 5$-x participă la oricare două câte două probe. + +$\Rightarrow x+5-x+5-x+5-x=13 \ldots \ldots .3 p$ + +$\Rightarrow 15-2 x=13 \Rightarrow x=1$ + +1 sportiv participă la toate cele 3 probe. ....1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_83fa3233cc8539a8333cg-3.jpg?height=893&width=971&top_left_y=1124&top_left_x=271) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1028-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1028-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5808b3b334afe175953eb71b7edb9399abbe751 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1028-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +Etapa locală, 15 februarie 2014 + +## Clasa a IX a + +1. a) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii $\left\{\begin{array}{l}2 x+[y]=5,3 \\ {[x]+y=4,2}\end{array}\right.$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Gazeta Matematică, supliment 10/2013 + +b) Determinaţi numerele naturale nenule $n$ pentru care egalitatea + +$$ +\{x\}+\left\{x+\frac{1}{n}\right\}=\{n x\}+\frac{1}{n} \quad \text { este adevărată pentru orice } x \in \mathbb{R} \text {, } +$$ + +unde $\{a\}$ reprezintă partea fracţionară a numărului real $a$ + +Lucian Dragomir, ViitoriOlimpici.ro 2013 + +2. Se notează cu $\mathcal{F}$ mulţimea funcţiilor $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ cu proprietatea că + +$$ +f(a+b) \geq f(a)+f(b), \quad \forall a, b \in \mathbb{Z} +$$ + +(i) Arătaţi că există $f \in \mathcal{F}$ cu $f(0) \neq 0$. + +(ii) Demonstraţi că, dacă $f \in \mathcal{F}$ şi $f(1)=|f(-1)|=1$, atunci $f(0)=0$ şi $f(2)=2$. + +3. Determinaţi numerele întregi $x, y, n$ pentru care sunt adevărate egalităţile + +$$ +x+y=2^{n} \text { şi } x^{2}+y^{2}=n^{3} +$$ + +## Lucian Dragomir + +4. Se consideră un triunghi oarecare $A B C$ şi punctele $M \in(B C), N \in(C A), P \in(A B)$ astfel încât $B M=M C, A N=2 \cdot N C$ şi $A P=3 \cdot P B$. Dacă $T$ este mijlocul lui $(A C)$ şi $R$ este simetricul lui $M$ faţă de $N$, arătaţi că punctele $P, T, R$ sunt coliniare. + +Gazeta Matematică 3/2013 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +Olimpiada naţională de matematică,Etapa locală, 15 februarie 2014,Clasa a IX a, Barem de evaluare + +| (1) a) Notând $x=[x]+\alpha, \alpha \in[0,1)$ şi $y=[y]+\beta, \beta \in[0,1)$, deducem că $\beta=0,2$ şi $\alpha=0,15$
sau $\alpha=0,65$ | $\overline{(2 p)}$ | +| :---: | :---: | +| Se obţin imediat perechile $(x, y)=(1,15 ; 3,2)$ şi $(x, y)=(0,65 ; 4,2)$ | (1p) | +| b) pentru că egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice număr real $x$, ea trebuie să aibă loc, printre
altele, pentru $x=\frac{1}{n}$. Rezultă că $\left\{\frac{1}{n}\right\}+\left\{\frac{2}{n}\right\}=0+\frac{1}{n}$.
Dacă $n \geq 3$ această relaţie revine la $0=\frac{1}{n}$, fals. Aşadar pentru $n \geq 3$ egalitatea din enunţ nu are
loc pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Rămân de tratat cazurile $n=1$ şi $n=2$. | (1p) | +| o Pentru $n=1$ egalitatea din enunţ devine $\{x\}+\{x+1\}=\{x\}+1$, adică $\{x+1\}=1$ care nu este
adevărată pentru orice $x \in \mathbb{R}$ (este chiar falsă pentru orice $x \in \mathbb{R}$ ) | (1p) | +| o pentru $n=2$ egalitatea din enunţ revine la $\{x\}+\left\{x+\frac{1}{2}\right\}=\{2 x\}+\frac{1}{2}$
adică $x-[x]+x+\frac{1}{2}-\left[x+\frac{1}{2}\right]=2 x-[2 x]+\frac{1}{2}$, deci la $[2 x]=[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]$, care este identitatea
lui Hermite, adevărată pentru orice număr real $x$.
Aşadar singurul număr natural care satisface egalitatea din enunţ este $n=2$. | $(2 p)$ | +| (2) (i) de exemplu $f(x)=x-1$ (justificare !) | $(2 \mathrm{p})$ | +| (ii) pentru $a=b=0 \Rightarrow f(0) \leq 0$ (1) | $(1 \mathrm{p})$ | +| Deosebim cazurile: (I) $f(1)=f(-1)=1$; luăm $a=1, b=-1$ în inegalitatea din enunţ şi ajungem la
$f(0) \geq 2$, contradicţie cu (1) | (1p) | +| (II) $f(1)=1, f(-1)=-1$. Luăm $a=1, b=-1$ şi se ajunge la $f(0) \geq 0 \stackrel{(1)}{\Rightarrow} f(0)=0$ | (1p) | +| Pentru $a=b=1 \Rightarrow f(2) \geq 2$, iar pentru $a=2, b=-1 \Rightarrow f(2) \leq 2$, deci $f(2)=2$ | $(2 \mathrm{p})$ | +| (3) Remarcăm pentru început, din a doua ecuaţie, că $n \in \mathbb{N}$, apoi imediat $n \neq 0$ | $(1 \mathrm{p})$ | +| Folosind inegalitatea $(x+y)^{2} \leq 2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ deducem că $4^{n} \leq 2 n^{3} \Rightarrow n \leq 2$ (se demonstrează prin
inducţie că $4^{n}>2 n^{3}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ | (3p) | +| Pentru $n=1$ se ajunge la un sistem fără soluţii întregi | (1p) | +| Pentru $n=2$ se găseşte unica soluţie $(x, y)=(2,2)$ | $(2 p)$ | +| (4) $\overrightarrow{T N}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A C}$ şi $\overrightarrow{A P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}$ | $\overline{(2 p)}$ | +| $\overrightarrow{T R}=\overrightarrow{T N}+\overrightarrow{N R}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{M N}$ | (1p) | +| $\overrightarrow{T R}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{C N}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{C A}$ | $(1 \mathrm{p})$ | +| $\overrightarrow{T R}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ | $\overline{(1 p)}$ | +| $\overrightarrow{P T}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}$ | (1p) | +| $\overrightarrow{P T}=\frac{3}{2} \overrightarrow{T R}$ şi astfel se deduce imediat concluzia dorită | $(1 \mathrm{p})$ | +| Notă: Evident, orice altă soluţie corectă se punctează corespun | | +| Observaţie: pentru o soluţie elementară se poate consulta GM 9/2013 | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1029-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1029-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..adfe70ab123eaa9a842bc11f60100cfc5f31bea4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1029-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,91 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XII-a + +VARIANTA 2 + +1. Fie $a \in(1, \infty)$ şi funcţia $f: R \rightarrow R$ astfel încât $\ln \left(f^{2}(x)+1\right)+a f(x)=x,(\forall) x \in R$. Sa se demonstreze că funcţia $f$ admite primitive. + +Mihai Dragoş Totolici, R.M.T 1-2014 + +2. Pe mulţimea $M$ se defineşte o operaţie notată multiplicativ cu proprietatea + +$$ +x \cdot(y \cdot x)=y, \forall x, y \in M +$$ + +Să se demonstreze că fiecare din ecuaţiile + +$$ +a \cdot x=b +$$ + +şi + +$$ +x \cdot a=b +$$ + +unde $a, b \in M$, are soluţie unică. + +R.M.T. 1-2014 + +3. Determinați funcția $f: R \rightarrow R$ ce satisface condițiile +a) $f$ este derivabilă cu derivata continuă; +b) $f(0)=2013$; +c) $f^{\prime}(\mathrm{x})-\mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{x} \cos x$, oricare ar fi numărul real $x$. + +Teodor Trișcă şi Daniela Vicol, Botoşani, Supliment G.M + +4. Cîte elemente are grupul multiplicativ al matricelor de ordin 2 cu elemente în clasele de resturi modulo 3? Dar subgrupul matricelor ce au determinantul 1 modulo 3? + +Suplimentul cu exerciţii G.M.1/2014 + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +1. Se consideră funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(t)=\ln \left(t^{2}+1\right)+a t, t \in \mathbb{R} \quad$ (1p) + +Studiază monotonia ei şi arată că $g$ este strict crescătoare $(2 p)$ + +Deduce că $g$ este bijectivă, deoarece $\lim _{t \rightarrow-\infty} g(t)=-\infty, \lim _{t \rightarrow \infty} g(t)=\infty, \quad(2 p)$ + +Deoarece $g(f(x))=x,(\forall) x \in \mathbb{R}, f=g^{(-1)}$ este bijecție crescătoare, deci continuă, admițând primitive $(2 \mathrm{p})$ + +2. a) Studiază ecuația $a x=b$, deducând $a=x(a x)=x b(1 \mathrm{p})$ + +Obține $b a=b(x b)=x \quad 1 \mathrm{p}$ + +Deduce unica soluție $x=b a(1 \mathrm{p})$, verificând $-\mathrm{o}(1 \mathrm{p})$ + +b) Pornește de la $x a=b$ obținând $x=a(x a)=a b(2 \mathrm{p})$ + +Verifică că $x=a b$ este soluție. (1p) + +3. Deduce că $\left(e^{x} \cdot \sin x\right)^{\prime}=e^{x} \cdot(\sin x)^{\prime}+\left(e^{x}\right)^{\prime} \cdot \sin x=e^{x} \cdot \cos x+e^{x} \sin x \quad$ (1p) . + +Deduce și că $\left(e^{x} \cdot \sin x\right)^{\prime}-\left(e^{x} \cdot \sin x\right)=e^{x} \cos x(2 \mathrm{p})$ + +Deduce că primitiva calculată trebuie să aibă forma $e^{x} \cdot \sin x+k \cdot e^{x}, x \in \mathbb{R} \quad(1 p)$ + +Din condiția de etalonare, deduce că $k=2013 .(2 \mathrm{p})$ + +Obține primitiva ca fiind $f(x)=e^{x} \sin x+2013 e^{x}, x \in \mathbb{R} \quad$ (1p) + +4. a) Numără cele 81 de matrici (2p) + +b) Determină numărul matricilor care nu sunt inversabile $(2 p)$ + +Le pune în bijecție pe cele de determinant 1 cu cele de determinant 2 (fiecare reprezentant al clasei respective $(2 p)$ + +Obține cele $24=48: 2$ matrice de determinant $1(1 \mathrm{p})$ + +Observație: Sau le listează pe toate ( 5 p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-103-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-103-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25f9f1bcff0308f398fa27d84a6fe19d19d333f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-103-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,105 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A V- A + +## Problema 1. + +Calculați: $\left(37^{2016}: 1369^{1008}\right):\left(2^{2016}-2^{2015}-\ldots-2^{2}-2-1\right)$ + +## Problema 2. + +Se consideră numărul natural $A=\overline{4 a}+\overline{a 4}$, unde $a$ este o cifră diferită de 0 . Se cere: + +a) Determinați cifra $a$ pentru care numărul $A$ este pătrat perfect. + +b) Arătați că nu există $a$ astfel încât numărul $A$ să fie cub perfect. + +## Problema 3. + +Determinați o mulțime finită $M$ de numere naturale consecutive, știind că diferența dintre cel mai mare și cel mai mic element este 2015, iar suma celor mai mici trei elemente ale mulțimii $M$ este 2016 . + +## Problema 4. + +Un pițigoi a vizitat într-o zi 50 de crengi de copac. Pe prima creangă a ciripit o dată, pe a doua creangă a ciripit de două ori și tot așa până când pe a 50 -a creangă a ciripit de 50 de ori. Pițigoiul răgușește dacă într-o zi ciripește de 999 de ori. Răspundeți la următoarele întrebări: + +a) A răgușit pițigoiul în acea zi? + +b) De cîte ori a ciripit răgușit? + +c) De cîte ori a ciripit răgușit pe creanga pe care a răgușit? + +Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A V-A + +Problema 1. Calculați: $\left(37^{2016}: 1369^{1008}\right):\left(2^{2016}-2^{2015}-\ldots-2^{2}-2-1\right)$ + +## Soluție şi barem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed9ce7b72d1b7a3ea09ag-2.jpg?height=58&width=1218&top_left_y=846&top_left_x=252) + +Efectuează calculul: $\left(37^{2016}:\left(37^{2}\right)^{1008}\right):\left(2^{2016}-2^{2015}-\ldots-2^{2}-2-1\right)=\ldots \ldots .1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left(37^{2016}: 37^{2016}\right):\left(\left(2 \cdot 2^{2015}-2^{2015}\right)-\ldots-2^{2}-2-1\right)=\ldots \ldots .2 p \\ +& 1:\left(2^{2015}-\ldots-2^{2}-2-1\right)=\ldots 1:(2-1)=1: 1=1 \ldots \ldots \ldots \ldots .3 p +\end{aligned} +$$ + +Problema 2. Se consideră numărul natural $A=\overline{4 a}+\overline{a 4}$, unde $a$ este o cifră diferită de 0 . Se cere: + +a) Determinați cifra $a$ pentru care numărul $A$ este pătrat perfect. + +b) Arătați că nu există $a$ astfel încât numărul $A$ să fie cub perfect. + +## Soluție şi barem + +a) $A=\overline{4 a}+\overline{a 4}=40+a+10 a+4=11 a+44=11(a+4) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \mathrm{p}$ $\qquad$ +b) Pentru ca $A=11(a+4)$ să fie cub perfect ar trebui ca $a+4=11^{2} \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +Prin urmare $a=11^{2}-4=117$ fals deoarece $a$ este cifră.....................2p + +Problema 3. Determinați o mulțime finită $M$ de numere natural consecutive, știind că diferența dintre cel mai mare și cel mai mic element este 2015 , iar suma celor mai mici trei elemente ale mulțimii $M$ este 2016 . + +## Soluție şi barem + +Fie $M=\{a+1, a+2, \ldots, a+n\}$ $1 \mathrm{p}$ + +Avem: $(a+n)-(a+1)=2015$ și $a+1+a+2+a+3=2016$ $3 p$ + +Se obține $n=2016$ și $a=670$ $.2 p$ + +Mulțimea căutată este $M=\{671,672,673, \ldots, 2686\}$. $1 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Un pițigoi a vizitat într-o zi 50 de crengi de copac. Pe prima creangă a ciripit o dată, + +pe a doua creangă a ciripit de două ori și tot așa până când pe a 50 -a creangă a ciripit de 50 de ori. Pițigoiul răgușește dacă într-o zi ciripește de 999 de ori. Răspundeți la următoarele întrebări: + +a) A răguşit pițigoiul în acea zi? + +b) De cîte ori a ciripit răgușit? + +c) De cîte ori a ciripit răgușit pe creanga pe care a răgușit? + +## Soluție şi barem + +a) Pitigoiul a ciripit de $1+2+3+\ldots+50=1275$ de ori. ............................ $2 \mathrm{p}$ + +Cum $1275>999$, rezultă că a răgușit. . ........................................................1p + +b)Cum $1275-999=276$ de ori............................................................. + +c) Cum $1+2+3+\ldots+44=990$, rezultă că pițigoiul a răgușit pe a 45 -a creangă, după ce a $\qquad$ +Apoi el a ciripit de $45-9=36$ de ori....................................................1p + +Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1030-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1030-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f727dc1d646cd45e22ebca46b92b6c67f795511 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1030-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,99 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +VARIANTA 2 + +1. Fie matricele $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in M_{2}(\mathbf{R})$.Să se arate că: +a) $\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{B})-\operatorname{det}(\mathrm{A})-\operatorname{det}(\mathrm{B})=\operatorname{tr}(\mathrm{A}) \operatorname{tr}(\mathrm{B})-\operatorname{tr}(\mathrm{AB})$. + +b)Dacă A este inversabilă ,atunci ecuatia $\operatorname{det}(\mathrm{xA}+\mathrm{B})=0$, are două soluții reale şi distincte dacă şi numai dacă are loc inegalitatea + +$$ +(\operatorname{tr}(\mathrm{AB})-\operatorname{tr}(\mathrm{A}) \operatorname{tr}(\mathrm{B}))^{2}>4 \operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}) +$$ + +2.a)Să se calculeze $X^{n}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$, dacă $X=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right)$. + +b)Să se arate că orice două matrice pătratice de ordinul al treilea A şi B având toate elementele reale cu proprietatea că $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right)$ nu comută la înmultire . + +c)Să se dea exemplu de două matrice pătratice $\mathrm{A}$ şi B de ordinul al treilea având toate elementele reale cu proprietatea că $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2\end{array}\right)$. + +3. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere reale definit prin $x_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ şi $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_{n}}{2}}, n \geq 1$. Sa se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{1} x_{2} \ldots x_{n}$. + +4.Pentru un şir de numere reale $\left(a_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ definim şirurile $\left(x_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ şi $\left(y_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ prin $x_{n}=\min \left(a_{n}, a_{n+1}\right)$ şi $y_{n}$ $=\max \left(a_{n}, a_{n+1}\right),(\forall) n \in \mathrm{N}$. + +a)Să se arate că dacă şirul $\left(a_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ are limită atunci şirurile $\left(x_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ şi $\left(y_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ au limită. + +b)Este reciproca adevărată ? + +c)Să se arate că dacă $\left(a_{n}\right)_{\text {n }}$ este doar mărginit şi verifică $a_{n+2} \leq \frac{a_{n+1}+a_{n}}{2},,(\forall) \mathrm{n} \in \mathrm{N}$, atunci $\left(y_{n}\right)_{\mathrm{n}}$ este convergent. + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +VARIANTA 2 + +## BAREM DE CORECTARE: + +1a) Demonstratia prin calcul direct sau altfel + +b) Scrierea ecuatiei sub forma $\operatorname{det}(A) x^{2}+(\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B)-\operatorname{tr}(A B)) x+\operatorname{det}(B)=0$. ---1punct + +Ecuatia este de gradul al doilea $(\operatorname{det} \mathrm{A} \neq 0$ ) + +1punct + +Conditia $\Delta>0$ şi obtinerea $(\operatorname{tr}(\mathrm{AB})-\operatorname{tr}(\mathrm{A}) \operatorname{tr}(\mathrm{B}))^{2}>4 \operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B})$ 1punct + +2.a) Obṭinerea formei $X^{n}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}a_{n} & 0 & b_{n} \\ 0 & 1 & 0 \\ b_{n} & 0 & a_{n}\end{array}\right)$, unde $a_{n}=\frac{1}{2}\left(5^{n}+(-1)^{n}\right)$ si $b_{n}=\frac{1}{2}\left(5^{n}-(-1)^{n}\right), \forall n \in \boldsymbol{N}$ ,prin inductie sau cu şiruri sau altfel + +3puncte + +b)Reducerea la absurd şi obtinerea $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0$ $-2$ puncte + +$\operatorname{det}(\mathrm{X})<0$ şi finalizare $-1$ + +punct + +c) $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot \mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & 2\end{array}\right)$ + +punct +3 Convergenta şirului 4 +puncte + +Calculul primei limite (valoarea este 1 ) $-1$ punct + +Calculul celei de-a doua limite (valoarea este $\frac{2}{\pi}$ )2 puncte + +(Dacă prima limita se calculeaza folosind exprimarea termenului general al şirului sub forma + +$x_{n}=\cos \left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$, pentru inductie se acordă 4 puncte si pentru calculul primei limite 1 punct) + +4.a)Cazul cand şirul initial este convergent $\qquad$ 3puncte +punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ee48facb1c68a1951bbbg-4.jpg?height=58&width=1627&top_left_y=445&top_left_x=220) +punct + +c)Monotonia + +1 punct + +Mărginirea şi finalizare cu teorema lui Weierstrass- + +1punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1031-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1031-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e941b3c5bd24087264e7c9da8623046780ebc60d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1031-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +VARIANTA 2 + +1. Se consideră numerele complexe $z_{1}, \mathrm{Z}_{2} \ldots \ldots . \mathrm{Zn}$, nenule,astfel încat + +$$ +\mathrm{Zk} \cdot \mathrm{Zk}_{\mathrm{k}+1}-(1-\mathrm{i}) \mathrm{Zk}-\mathrm{i}=0 +$$ + +Calculați produsul $\mathrm{z}_{1} . \mathrm{z}_{2} \ldots \ldots . \mathrm{z}_{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathbf{N}^{*}$ + +2. Să se rezolve sistemul: + +$$ +\left\{\begin{array}{c} +2^{5 x+7}+4^{4 y+5}+16^{3 z+4}+256^{t+3}=64 \\ +\log _{2}(5 x+7)+\log _{2}(4 y+5)+\log _{2}(3 z+4)+\log _{2}(t+3)=2 +\end{array}\right. +$$ + +3. Fie $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots . \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in[0,1]$. Să se arate că: + +$$ +\frac{n-1}{2}+\frac{1}{1+x_{1} \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{n}} \leq \frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1+x_{n}} \leq n-1+\frac{1}{1+x_{1} \cdot x_{2} \ldots \cdot \ldots \cdot x_{n}} +$$ + +Gazeta Matematică nr. 11 / 2013 + +4. Se consideră funcția $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, care verifică relația:(f $\circ f)(x)=x^{3}+x-8(\forall) x \in \mathbf{R}$. + +Știind că orice ecuație polinomială $a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0}=0 \mathrm{cu}$ coeficienții reali și de grad impar $n$ are cel puțin o rădăcină reale: + +a) să se arate că funcția f este bijectivă, + +b) Calculați f(2). + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +VARIANTA 2 + +## BAREM DE CORECTARE: + +Subiectul 1.a) $z_{\mathrm{k}+1}=\frac{(1-i) z_{K}+\mathrm{i}}{z_{k}}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{z}_{\mathrm{k}+2}=\frac{(-i) z_{k}+i+1}{(1-i) z_{k}+i}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{Z}_{\mathrm{k}+3}=\frac{1}{-i z_{k}+1+i}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{Z}_{\mathrm{k}+4}=\mathrm{Z}_{\mathrm{k}}$ ..... $1 p$ +finalizare ..... $3 p$ +Subiectul 2. Din a doua ecuație rezultă: $(5 x+7)(4 y+5)(3 z+4)(t+3)=2^{2}=4$ ..... $.2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3382139ba16e98d8954g-2.jpg?height=63&width=1439&top_left_y=1288&top_left_x=226) ..... $.3 p$ + +Finalizare $x=3 / 2 ; y=3 / 4 ; z=-1 t=-5 / 2$ + +Subiectul 3. Inducție matematică:n=1 Vom avea egalitate peste tot + +$\mathrm{n}=2: \quad \frac{1}{2}+\frac{1}{1+a b} \leq \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \leq 1+\frac{1}{1+a b}$ și demonstrație + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}) \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}+1): \frac{n}{2}+\frac{1}{1+x_{1} x_{2 \ldots} x_{n-1}\left(x_{n} x_{n+1}\right)}=\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1+x_{1} x_{2 \ldots} x_{n-1}\left(x_{n} x_{n+1}\right)} \leq \frac{1}{1+x_{1}}+\ldots . .+\frac{1}{1+x_{n-1}}+$ $\frac{1}{1+x_{n} x_{n+1}}+\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+x_{1}}+\ldots \ldots . . \frac{1}{1+x_{n+1}}$. + +$\mathrm{n}+\frac{1}{1+x_{1} \ldots x_{n+1}}=\mathrm{n}-1+1+\frac{1}{1+x_{1} x_{2 \ldots \ldots-1}\left(x_{n} x_{n+1}\right)} \geq \frac{1}{1+x_{1}}+\ldots . .+\frac{1}{1+x_{n-1}}+\frac{1}{1+x_{n} x_{n+1}}+1 \geq \frac{1}{1+x_{1}}+\ldots+\frac{1}{1+x_{n+1}} \ldots .2 \mathrm{p}$ + +Subiectul 4. a) $h(x)=x^{3}+x-8$ injectivă, rezultă $f_{0} f$ injectivă,deci $f$ injectivă + +$.2 p$ +Din ipoteză pt $(\forall) \mathrm{y} \in \mathrm{R}$,ecuatia $\mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}-8-\mathrm{y}=0$ are soluție reală, deci $\exists x \in R$, +a.î. $h(x)=y$,adică h este surjectivă,de unde rezultă $f$ surjectivă ..... $2 p$ +f injectivăși surjectivă, deci bijectivă ..... $1 \mathrm{p}$ +b) $f(f(f(x)))=f\left(x^{3}+x-8\right)=f^{3}(x)+f(x)-8$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +pentrux $=2$ avem $f\left(2^{3}+2-8\right)=f^{3}(2)+f(2)-8$, rezultă $f(2)=2$ ..... $.1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1032-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1032-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..596f3d131a8a9209adc5cbb70bc8a9b283885346 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1032-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,112 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +VARIANTA 2 + +## SUBIECTE: + +1. a) Fie numerele naturale nenule $\mathrm{m}$ şi $\mathrm{n}$, să se arate că $\left(\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}\right) \vdots 7$ dacă şi numai dacă $\mathrm{m} \vdots 7$ şi n $\vdots$. 7 . + +b) Fiind date numerele $x, y \in N^{*}$, astfel încât numerele $2 x+5 y$ şi $5 x+2 y$ să fie pătrate perfecte, să se arate că $\mathrm{x}$ şi y sunt multipli de 7 . + +2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: + +$$ +\sqrt{|x-1|}+\sqrt{|x-2015|}=\sqrt{2014} +$$ + +(Problema E:14587 din G.M. nr. 12/2013) + +3. Se dă un triunghi dreptunghi $\mathrm{ABC}$, cu lungimile catetelor $\mathrm{AB}=\mathrm{acm}$ şi $\mathrm{AC}=\mathrm{a} \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Se îndoaie acesta după mediana $\mathrm{AM}, \mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$, astfel încât distanţa dintre punctele $\mathrm{B}$ şi $\mathrm{C}$ să devină egală cu $\mathrm{a} \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ şi apoi se proiectează punctul $\mathrm{C}$ pe planul $(\mathrm{ABM}$ ) în punctul $\mathrm{O}$. + +a) Să se arate că $O B \perp A B$; + +b) Să se calculeze distanţa de la punctul C la planul (ABM). + +4. Se consideră triunghiul dreptunghic $\mathrm{ABC}, \mathrm{cu} \mathrm{m}(<\mathrm{A})=90^{\circ}, \mathrm{AB}=8 \mathrm{dm}, \mathrm{AC}=3 \mathrm{dm}$ §̧i trapezul dreptunghic $\mathrm{ACDE}, \mathrm{cu} \quad \mathrm{AE} / / \mathrm{CD}, \mathrm{AE}=2 \sqrt{2} \mathrm{dm}, \mathrm{CD}=3 \sqrt{2} \mathrm{dm}$, $\mathrm{m}(<\mathrm{ACD})=\mathrm{m}(<\mathrm{CAE})=90^{\circ}$ astfel încât $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AE}$. Dacă $\mathrm{d}=(\mathrm{BED}) \cap(A B C)$, atunci: + +a) Arătaţi că d $\perp$ DC. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul D la dreapta d. + +c) Calculaţi tangenta unghiului determinat de planele (BED) şi (ABC). + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +VARIANTA 2 + +## BAREM DE CORECTARE: + +1. a) Dacă: $\mathrm{m}=7 \mathrm{k}, \mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*} \Rightarrow \mathrm{m}^{2}=\Re 77 ; \mathrm{m}=7 \mathrm{k}+1 \Rightarrow \mathrm{m}^{2}=9 \pi 7+1 ; \mathrm{m}=7 \mathrm{k}+2 \Rightarrow$ $\mathrm{m}^{2}=9 \Re 7+4 ; \mathrm{m}=7 \mathrm{k}+3 \Rightarrow \mathrm{m}^{2}=9 \times 7+2 ; \mathrm{m}=7 \mathrm{k}+4 \Rightarrow \mathrm{m}^{2}=9 \pi 7+2 ; \mathrm{m}=7 \mathrm{k}+5 \Rightarrow$ $\mathrm{m}^{2}=9 \subset 7+4 ; \mathrm{m}=7 \mathrm{k}+6 \Rightarrow \mathrm{m}^{2}=9 \subset 7+1 \Rightarrow \mathrm{m}^{2}=977+\mathrm{r}, \mathrm{r} \in\{0,1,2,4\}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ analog se obţine pentru $\mathrm{n}^{2}=9 \Re 7+\mathrm{p}, \mathrm{p} \in\{0,1,2,4\} \Rightarrow \mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}=9 \Re 7+\mathrm{r}+\mathrm{p}=9 \leftarrow 7+\mathrm{t}$ şi $\mathrm{t} \in\{0,1,2,3,4,5,6\}$. + +Dintre aceste forme ale numărului $m^{2}+n^{2}$ multipli ai lui 7 există numai pentru $t=0$, care se realizează dacă şi numai dacă $\mathrm{r}=\mathrm{p}=0$, adică $\mathrm{m} \vdots 7$ şi $\mathrm{n} \vdots 7$. $1 p$ +b) $2 x+5 y=m^{2}, 5 x+2 y=n^{2} \Rightarrow 7(x+y)=m^{2}+n^{2} \Rightarrow\left(m^{2}+n^{2}\right) \vdots 7$ $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_736955c6078eb206c15cg-2.jpg?height=86&width=1543&top_left_y=1117&top_left_x=337) +$\Rightarrow m^{2}-n^{2}=3 y-3 x=3(y-x) \vdots 49 \Rightarrow(y-x) \vdots 7$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +şi aplicând criteriul sumei şi al diferenţei de divizibilitate se obţine: $2 \mathrm{y}: 7 \Rightarrow \mathrm{y} \vdots 7$ şi $2 \mathrm{x} \vdots 7$ $\Rightarrow \mathrm{x}: 7$. + +2. Cazul I: $x<1 \Rightarrow x-2015<1-2015=-2014 \Rightarrow|x-2015|>2014 \Rightarrow$ + +$\sqrt{|x-2015|}>\sqrt{2014}$, deci ecuaţia nu are soluţie. + +$2 \mathrm{p}$ + +Cazul II: $1 \leq \mathrm{x} \leq 2015 \Rightarrow \mathrm{x}-1 \geq 0 \Rightarrow|\mathrm{x}-1|=\mathrm{x}-1$ + +$$ +\Rightarrow x-2015 \leq 0 \Rightarrow|x-2015|=-x+2015 +$$ + +După ridicare la pătrat ecuţia devine: $\mathrm{x}-1+2 \sqrt{|x-1| \cdot|x-2015|}-\mathrm{x}+2015=2014 \Leftrightarrow$ $|x-1| \cdot|x-2015|=0 \Rightarrow x=1$ sau $x=2015$. $2 \mathrm{p}$ + +Cazul III: $\mathrm{x}>2015 \Rightarrow \mathrm{x}-1>2014 \Rightarrow|\mathrm{x}-1|>2014 \Rightarrow \sqrt{|x-1|}>\sqrt{2014}$, deci ecuaţia $\mathrm{nu}$ are soluţie. + +Soluţia ecuaţiei este: $\mathrm{x} \in\{1,2015\}$. + +3. a) După îndoire, laturile $\triangle \mathrm{ABC}$ au dimensiunile $\mathrm{AC}=\mathrm{a} \sqrt{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{CB}=\mathrm{a} \sqrt{2} \xrightarrow{\text { R.t.Pit. }}$ $\mathrm{CB} \perp \mathrm{AB}$, + +b) $\mathrm{Cum} \mathrm{CO} \perp(\mathrm{ABM}) \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{C},(\mathrm{ABM}))=\mathrm{CO}$ + +Aplicând teorema lui Pitagora în $\triangle \mathrm{ABC}$ se obţin: $\mathrm{BC}=2 \mathrm{a} \mathrm{cm}, \mathrm{AM}=\mathrm{BM}=\mathrm{MC}=\mathrm{acm}$, iar folosind reciproca teoremei lui Pitagora, $\triangle \mathrm{BMC}$ după îndoire devine dreptunghic în $\mathrm{M}$. + +Cum $\triangle \mathrm{ABM}$ este echilateral $\Rightarrow \mathrm{m}(<\mathrm{OBM})=90^{\circ}-\mathrm{m}(<\mathrm{ABM})=30^{0} \Rightarrow \mathrm{OM}=\frac{B M \cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{a \sqrt{3}}{3} . .1 \mathrm{p}$ şi aplicând teorema lui Pitagora în $\triangle \mathrm{OCM}\left(\mathrm{m}(<\mathrm{COM})=90^{\circ}\right)$ se obţine $\mathrm{CO}=\frac{a \sqrt{6}}{3}$ + +4. a) Fie $\mathrm{DE} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{M}\} \Rightarrow(\mathrm{BED}) \cap(\mathrm{ABC})=\mathrm{BM}=\mathrm{d}$ $1 p$ + +Din $\mathrm{AE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{AB} \Rightarrow \mathrm{AE} \perp(\mathrm{ABC})$, cum $\mathrm{AE} / / \mathrm{DC} \Rightarrow$ $\mathrm{DC} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{d} \subset(\mathrm{ABC}) \Rightarrow \mathrm{DC} \perp \mathrm{d}$ + +b) Fie $\mathrm{AN} \perp \mathrm{d}$, cum $\mathrm{AE} \perp(\mathrm{ABC}) \stackrel{T 3 \mathrm{p}}{\Longrightarrow} \mathrm{EN} \perp \mathrm{d}$, fie $\mathrm{DP} / / \mathrm{NE}, \mathrm{P} \in \mathrm{d} \Rightarrow$ $\mathrm{DP} \perp \mathrm{d} \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{D}, \mathrm{d})=\mathrm{DP}$ + +$\operatorname{Din} \triangle \mathrm{AEM} \sim \triangle \mathrm{CDM}(1) \Rightarrow \frac{A E}{D C}=\frac{A M}{M C} \Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}=\frac{A M}{A M+3} \Rightarrow \mathrm{AM}=6$ + +Aplicând T. Pitagora în $\triangle \mathrm{ABM}$ şi $\triangle \mathrm{AEN}$ se obţin: $\mathrm{BM}=10, \mathrm{AN}=\frac{A B \cdot A M}{B M}=\frac{8 \cdot 6}{10}=\frac{24}{5}$, respectiv + +$\mathrm{NE}^{2}=\frac{576}{25}+8=\frac{776}{25} \Rightarrow \mathrm{NE}=\frac{2 \sqrt{194}}{5}$ + +Din $\triangle \mathrm{NEM} \sim \triangle \mathrm{PDM}$ şi (1) $\Rightarrow \frac{A E}{D C}=\frac{M E}{M D}=\frac{N E}{D P} \Rightarrow \mathrm{DP}=\frac{3 \sqrt{194}}{5}$. $1 \mathrm{p}$ + +c) $(\mathrm{BED}) \cap(\mathrm{ABC})=\mathrm{d}, \mathrm{AN} \perp \mathrm{d}, \mathrm{EN} \perp \mathrm{d} \Rightarrow \mathrm{m}(<(\mathrm{BDE}),(\mathrm{ABC}))=\mathrm{m}(<\mathrm{ENA})$ şi + +$$ +\operatorname{tg}(<\text { ENA })=\frac{A E}{A N}=\frac{2 \sqrt{2}}{\frac{24}{5}}=\frac{5 \sqrt{2}}{12} +$$ + +Notă: Orice altă soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1033-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1033-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..52f3453f38729012ce70feb25d69952b6da8d21b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1033-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,133 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
- etapa locală - 16 februarie 2014
Clasa a VII-a + +## Varianta 2 + +## SUBIECTE: + +1. a) Dacă $x, y, z, t \in \mathbf{R}+$ şi $x+y+z+t=1007$, arătaţi că: + +$\sqrt{x(y+z+t)}+\sqrt{y(z+t+v)}+\sqrt{z(t+x+y)}+\sqrt{t(x+y+z)} \leq 2014$ + +b) Arătaţi că: + +$\frac{10}{17}<\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\ldots+\frac{1}{17}<1 \frac{1}{4}$ + +(7puncte) + +2. Se dau numerele $a=\frac{3}{2 \cdot 5}+\frac{7}{5 \cdot 12}+\frac{11}{12 \cdot 23}+\ldots+\frac{47}{255 \cdot 302}$ si + +$\mathrm{b}=1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\ldots+2013 \cdot 2014-\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+2013^{2}\right)$ + +Stabiliţi dacă numărul $x=\sqrt{\left(\frac{151 a}{3}\right)^{2014}+\left(\frac{b}{2015}\right)^{2013}}$ este număr iraţional. + +(7puncte) + +3. În patrulaterul convex $\mathrm{ABCD}$ se construieşte mediatoarea lui $[\mathrm{BC}]$ care intersectează pe $[\mathrm{AD}]$ în $M$. Dacă $\mathrm{m}(\triangle \mathrm{BMC})=60^{\circ}$, MB || CD şi $\mathrm{CM}|| \mathrm{AB}$, să se determine măsura unghiului ascuţit format de diagonalele patrulaterului. + +(7puncte) + +E:14417 din GM 5/2013 + +4. Fie un triunghi $\mathrm{ABC}$. Fie $\mathrm{R}$ pe semidreapta opusă lui $(\mathrm{AB}$ astfel încât $\mathrm{AR}=2 \mathrm{AB}$ şi $\mathrm{M}$ mijlocul laturii + +AC. Considerăm punctele $\{\mathrm{T}\}=\mathrm{RM} \cap \mathrm{BC}$ şi $\{\mathrm{L}\}=\mathrm{AT} \cap \mathrm{BM}$. Aflaţi raportul $\frac{L M}{L B}$. + +(7puncte) + +$E: 14320$ din GM 3/2012 + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
- etapa locală - 16 februarie 2014
Clasa a VII-a + +Varianta 2 + +BAREM de CORECTARE si NOTARE: + +## 1. a) SOLUTIE + +a) Folosim inegaliatea mediilor $\mathrm{m}_{\mathrm{g}} \leq \mathrm{m}_{\mathrm{a}} \Leftrightarrow \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a+b}{2}$ $\qquad$ +$\sqrt{x(y+z+t)} \leq \frac{x+y+z+t}{2}=\frac{1007}{2}$ + +$\sqrt{y(z+t+x)} \leq \frac{x+y+z+t}{2}=\frac{1007}{2}$ + +$\sqrt{z(t+x+y)} \leq \frac{x+y+z+t}{2}=\frac{1007}{2}$ + +$1 p$ + +$\sqrt{t(x+y+z)} \leq \frac{x+y+z+t}{2}=\frac{1007}{2}$ + +Însumând cele 4 relaţii obţinem inegalitatea cerută. + +$1 p$ + +b) $\frac{1}{17}<\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$ + +$\frac{1}{17}<\frac{1}{9}<\frac{1}{8}$ + +$\frac{1}{17}<\frac{1}{10}<\frac{1}{8}$ + +$2 p$ + +$\frac{1}{17}=\frac{1}{17}<\frac{1}{8}$ + +Însumând cele 10 relaţii de mai sus obţinem: + +$\frac{10}{17}<\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\ldots+\frac{1}{17}<\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1 \frac{1}{4}$ + +......... $1 p$ + +2. SOLUTIE + +$a=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{12}+\ldots+\frac{1}{255}-\frac{1}{302}$ $\qquad$ +$a=\frac{1}{2}-\frac{1}{302}=\frac{75}{151}$ + +$b=\left(1 \cdot 2-1^{2}\right)+\left(2 \cdot 3-2^{2}\right)+\left(3 \cdot 4-3^{2}\right)+\ldots+\left(2013 \cdot 2014-2013^{2}\right)$ + +$\mathrm{b}=1+2+3+\ldots+2013=1007 \cdot 2013$ + +2p + +Dacă M apalধ̧คFT.मAdiatoarei lui $[\mathrm{BC}]$ şi $\mathrm{m}(\square \mathrm{BMC})=60^{\circ}$, atunci AMBC este echilateral. ........ 1p + +MB || CD şi CM || AB implică $\mathrm{m}(\square \mathrm{ABM})=\mathrm{m}(\square \mathrm{BMC})=\mathrm{m}(\square \mathrm{DCM})=60^{\circ}$ (alt. int.) $1 \mathrm{p}$ dar şi $\mathrm{m}(\square \mathrm{AMB})=\mathrm{m}(\triangle \mathrm{MDC}$ ) (unghiuri corespondente). + +De aici $\triangle \mathrm{AMB} \sim \triangle \mathrm{MDC}$ şi atunci $\frac{M B}{C D}=\frac{A B}{C M}$ + +Cum $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}=\mathrm{BC}$, obţinem $\frac{B C}{C D}=\frac{A B}{B C}$ + +Cum $\mathrm{m}(\square \mathrm{ABC})=\mathrm{m}(\square \mathrm{BCD})=120^{\circ} \Rightarrow \triangle \mathrm{ACB} \sim \triangle \mathrm{BCD}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8188132f240fbebccec5g-3.jpg?height=271&width=401&top_left_y=369&top_left_x=1209) + +De aici $\mathrm{m}(\triangle \mathrm{CAB})=\mathrm{m}(\square \mathrm{DBC})$, dar $\mathrm{m}(\square \mathrm{CAB})=\mathrm{m}(\square \mathrm{MCA})$ (alt. int.) + +$\Rightarrow \mathrm{m}(\square \mathrm{MCO})=\mathrm{m}(\square \mathrm{OBC})$ $\qquad$ +Cum $\mathrm{m}(\triangle \mathrm{MCO})+\mathrm{m}(\square \mathrm{OCB})=60^{\circ}$, avem $\mathrm{m}(\triangle \mathrm{OBC})+\mathrm{m}(\square \mathrm{OCB})=60^{\circ}$ + +de unde $\mathrm{m}(\square \mathrm{AOB})=60^{\circ}$ ca unghi exterior al triunghiului OBC. + +## 4. SOLUTIE + +## Desen + +Aplicăm Teorema lui Menelaus în triunghiul ABC pentru transversala R-M-T + +şi obţinem $\frac{C T}{T B} \cdot \frac{B R}{R A} \cdot \frac{A M}{M C}=1$ + +de unde $\frac{C T}{T B} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}=1 \Rightarrow \frac{C T}{B T}=\frac{2}{3}$ + +Aplicăm Teorema lui Menelaus în triunghiul BMC pentru transversala A-L-T şi obţinem $\frac{B T}{T C} \cdot \frac{C A}{A M} \cdot \frac{M L}{L B}=1$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8188132f240fbebccec5g-3.jpg?height=326&width=368&top_left_y=1512&top_left_x=1106)$\qquad$ de unde $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{M L}{L B}=1 \Rightarrow \frac{L M}{L B}=\frac{1}{3}$ + +## $\underline{\text { Notă: }}$ + +Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1034-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1034-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fcf029e22e7b3616eec238f29f48592b72669e37 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1034-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,142 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +VARIANTA 2 + +1. Pentru un număr natural notăm $P_{n}$ produsul divizorilor naturali ai lui $n$. + +Determinaţi $n$ cu proprietatea $P_{n}=6^{1575}$ + +G.M. 7-8-9/2011 + +2. Aflaţi numerele de forma $\overline{a b c d}$ divizibile cu 36 ştiind că prin împărţire la 5 dau restul 2 şi $a-d=4$ + +$$ +\text { G.M. 5/2011 } +$$ + +3. Aflaţi numerele naturale $\overline{a b} \mathrm{cu} a>b$ astfel încât: + +$$ +\frac{\overline{a b}}{a-b}=\overline{b a}-3 +$$ + +Braila, 2007 + +4. Fie unghiul ascuţit $A O B$. În semiplanul determinat de $O A$ care nu conţine ( $O B$ se duc semidreptele ( $O X$ şi ( $O Y$ astfel încât $m(\square X O A)=m(\square Y O B)=90^{\circ}$ şi $(O E$ este bisectoarea $\square X O B$. + +a) Arătaţi că semidreapta ( $O E$ se află în interiorul $\square A O Y$ + +b) Ştiind că $m(\square X O E)=\frac{11}{4} \cdot m(\square A O B)$ aflaţi măsurile unghiurilor $\square A O B$ şi $\square X O B$ + +Maramureş, 2008 + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +VARIANTA 2 + +## BAREM DE CORECTARE: + +I. $\quad P_{n}=6^{1575}=2^{1575} \cdot 3^{1575}$ + +Deducem $n=2^{x} \cdot 3^{y} ; x, y \in \square^{*}$ + +$1 p$. + +Divizorii lui $n$ sunt: $\quad 1,2,2^{2}, \ldots, 2^{x}$ + +$$ +3,3 \cdot 2,3 \cdot 2^{2}, \ldots, 3 \cdot 2^{x} +$$ + +$$ +3^{y}, 3^{y} \cdot 2,3^{y} \cdot 2^{2}, \ldots, 3^{y} \cdot 2^{x} +$$ + +$1 p$. + +$P_{n}=\left(2 \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot \ldots \cdot 2^{x}\right)^{y+1} \cdot\left(3 \cdot 3^{2} \cdot 3^{3} \cdot \ldots \cdot 3^{y}\right)^{x+1}$ + +$P_{n}=2^{\frac{x(x+1)(y+1)}{2}} \cdot 3^{\frac{y(y+1)(x+1)}{2}}$ + +$1 p$. + +$P_{n}=2^{1575} \cdot 3^{1575} \Rightarrow x(x+1)(y+1)=3150$ + +şi $y(y+1)(x+1)=3150$.....................1p. + +$\frac{x}{y}=1 \Rightarrow x=y$ + +$1 p$. + +$\Rightarrow x(x+1)^{2}=3150=14 \cdot 15^{2} \Rightarrow x=y=14 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1c242573d9ad15cd724ag-3.jpg?height=75&width=1253&top_left_y=2107&top_left_x=410) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1c242573d9ad15cd724ag-3.jpg?height=80&width=1394&top_left_y=2324&top_left_x=274) + +$36 / \overline{a b c d} \Rightarrow \overline{a b c d}$ este număr $\mathrm{par} \Rightarrow d=2$........................1p. + +Cum $a-d=4 \Rightarrow a=6$....................................................... + +$4 \cdot 9=36 ;(4,9)=1 \Rightarrow 4 / \overline{6 b c 2}$ şi $9 / \overline{6 b c 2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. +$4 / \overline{6 b c 2} \Rightarrow c \in\{1,3,5,7,9\}$ + +$1 p$. + +$9 / \overline{6 b c 2} \Rightarrow 9 / 6+b+c+2=b+c+8$ $1 p$. + +Finalizare: Numerele $\overline{a b c d}$ ce îndeplinesc condiţia problemei sunt: $6012 ; 6732 ; 6552 ; 6372 ; 6192$ + +$1 p$. + +III. $\overline{a b}=(a-b)(\overline{b a}-3)$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Notăm } a-b=x ; x \in \square^{*} \Rightarrow a=x+b \\ +& \text { 1p. } +\end{aligned} +$$ + +IV. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1c242573d9ad15cd724ag-4.jpg?height=631&width=1060&top_left_y=1952&top_left_x=612) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) } m(\square A O B)=\alpha \Rightarrow m(\square Y O A)=90^{\circ} \Rightarrow m(\square X O Y)=\alpha \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{p} . \\ +& m(\square X O B)=90^{\circ}+\alpha \\ +& \text { (OE bisectoarea } \square X O B \Rightarrow m(\square X O E)=m(\square B O E)=\frac{90^{\circ}+\alpha}{2} \ldots \ldots . .1 \mathrm{p} . +\end{aligned} +$$ + +Arătăm că $m(\square Y O B)>m(\square B O E)>m(\square A O B) \Leftrightarrow 90^{\circ}>\frac{90^{\circ}+\alpha}{2}>\alpha$ ..... $1 p$. +i) $90^{\circ}>\frac{90^{\circ}+\alpha}{2} \Leftrightarrow 90^{\circ}>\alpha$ + +ii) $\frac{90^{\circ}+\alpha}{2}>\alpha \Leftrightarrow 90^{\circ}>\alpha$ + +$1 p$ +$\Rightarrow(O E \in \operatorname{Int}(\square A O Y)$ + +b) $m(\square X O E)=\frac{11}{4} \cdot m(\square A O B) \Leftrightarrow \frac{90^{\circ}+\alpha}{2}=\frac{11 \alpha}{4}$ + +$1 p$ +$\Leftrightarrow 180^{\circ}+2 \alpha=11 \alpha \Leftrightarrow 9 \alpha=180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha=20^{\circ}$ ..... $1 p$. +$m(\square A O B)=20^{\circ} ; m(\square X O B)=20^{\circ}+90^{\circ}=110^{\circ}$ ..... $1 p$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1035-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1035-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b6996c8188995e8d736af1e8b6ae88e06d830dc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1035-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,83 @@ +# Olimpia da Naţională de Matematică - etapa locală - 16 februarie 2014 Clasa a V-a + +Varianta 2 + +## SUBIECTE: + +1. Fie numerele $x=2011+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2010)$ şi $y=1+3+5+\ldots+2011$ + +a) Să se arate că $x$ şi y sunt pătrate perfecte. + +b) Să se arate că $2011+x<4 \cdot y$. + +(7puncte) + +2. Să se demonstreze că numărul $x=2^{n} \cdot 5^{3 n}-2^{4 n} \cdot 5^{n}+6^{n} \cdot 13^{2 n}-3^{3 n} \cdot 13^{n}$ se divide cu 17 oricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$. + +(7puncte) + +3. Aflaţi numerele naturale de forma $\overline{a b}$ care împărţite la 36 dau restul un pătrat perfect. + +(7puncte) + +## E:14178 din GM 11/2011 + +4. Într-o urnă sunt bile albe, roşii şi verzi. Ştiind că numărul bilelor albe este cu 35 mai mare decât al celor roşii, numărul celor roşii este de trei ori mai mic decât al celor verzi, iar numărul celor verzi este cu 19 mai mare decât al celor albe, determinaţi câte bile de fiecare culoare sunt în urnă. + +(7puncte) + +$E: 14379$ din GM 3/2013 + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
- etapa locală - 16 februarie 2014
Clasa a V-a + +Varianta 2 + +## BAREM de CORECTARE şi NOTARE: + +## 1. SOLUTIE + +a) $x=2011+2010 \cdot 2011$ +$\mathrm{x}=2011^{2} \Rightarrow \mathrm{x}$ este pătrat perfect +$\mathrm{y}=\left(\frac{2011+1}{2}\right)^{2} \Rightarrow \mathrm{y}=1006^{2} \Rightarrow \mathrm{y}$ este pătrat perfect +b) $2011+2011^{2}<4 \cdot 1006^{2} \Leftrightarrow$ $\qquad$ +$2011 \cdot 2012<2^{2} \cdot 1006^{2} \Leftrightarrow$ +$2011 \cdot 2012<(2 \cdot 1006)^{2} \Leftrightarrow 2011 \cdot 2012<2012^{2}$ (A) $\qquad$ + +## 2. SOLUTIE + +$x=2^{n} \cdot 5^{n}\left(5^{2 n}-2^{3 n}\right)+3^{n} \cdot 13^{n}\left(2^{n} \cdot 13^{n}-3^{2 n}\right)$ +$x=2^{n} \cdot 5^{n}\left(25^{n}-8^{n}\right)+3^{n} \cdot 13^{n}\left(26^{n}-9^{n}\right)$ +$a^{\mathrm{n}}-b^{\mathrm{n}}=\mathrm{M}(\mathrm{a}-\mathrm{b})$ +$x=10^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{M}(25-8)+39^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{M}(26-9)$ +$x=M 17 \Leftrightarrow 17 / x$ $\qquad$ +3. SOLUTIE + +$\overline{a b}=36 \cdot \mathrm{c}+\mathrm{r} .0 \leq \mathrm{r}<36$ şi $\mathrm{r}$ este un pătrat perfect + +$\Rightarrow \mathrm{r} \in\{0,1,4,9,16,25\}$ + +...... $1 \mathrm{p}$ + +$36 \cdot \mathrm{c} \leq \overline{a b} \Rightarrow \mathrm{c} \in\{0,1,2\}$ + +Obţinem numerele: $16,25,36,37,40,45,52,61,72,73,76,81,88,97$. $4 p$ + +## 4. SOLUTIE + +Notăm cu a numărul bilelor albe, cu r numărul bilelor roşï si cu v numărul bilelor verzi. +$\mathrm{a}=\mathrm{r}+35$ +...... 1 p +$\mathrm{v}=3 \mathrm{r}$ +$v=a+19 \Rightarrow v=r+35+19=r+54$ +$3 r=3+54 \Rightarrow r=27 ; a=62 ; v=81$ + +Finalizare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1036-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_suibiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1036-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_suibiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e7ec149dfa2e4c149e7f8d0a2735df3c0740d1f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1036-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_suibiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,196 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +VARIANTA 2 + +1.Fie $a, b, c$ numere reale strict positive. Arătaţi că: + +$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{ab}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)$ + +GM nr.11/2013 + +2.Fie $a \in R$. Rezolvaţi ecuaţ̧ia : + +$[x]^{2}+\left[x+\frac{1}{2}\right]=\mathrm{a}+[2 \mathrm{x}]$, unde $[\mathbf{x}]$ este partea întreagă a numărului real $\mathbf{x}$. + +GM nr.11/2013 + +3.Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ definit astfel: $a_{1}=0$ și $a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{4 a_{n}+1}+1, n \geq 1$. + +a) Să se determine $a_{n}$. + +b) Să se arate că $\sqrt{4 \mathrm{a}_{1}+1}+\sqrt{4 \mathrm{a}_{2}+1}+\cdots+\sqrt{4 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}=\mathrm{n}^{2}, \mathrm{n} \geq 1$ + +## GMB nr.11/2011 + +4. În paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ avem $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BD}=3, \mathrm{BC}=2$. Fie $\mathrm{G}=$ centrul de greutate al $\triangle \mathrm{ABD}$, + +$\mathrm{I}=$ centrul cercului înscris în $\triangle \mathrm{BCD}$ și $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $\overrightarrow{\mathrm{BM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MC}}$. Să se arate că G, I, M sunt coliniare. + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +VARIANTA 2 + +## BAREM DE CORECTARE: + +## Problema 1 + +Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ numere reale strict positive. Arătaţi că: + +$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{ab}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)$ + +## GM nr.11/2013 + +## Solutie: + +Aplicând inegalitatea mediilor avem: + +$a^{2}+b c \geq 2 \sqrt{a^{2} b c}<=>\frac{1}{a^{2}+b c} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a^{2} b c}}<=>\frac{a}{a^{2}+b c} \leq \frac{1}{2 \sqrt{b c}}$ + +$\mathrm{b}^{2}+\mathrm{ac} \geq 2 \sqrt{\mathrm{b}^{2} \mathrm{ac}}<=>\frac{1}{\mathrm{~b}^{2}+\mathrm{ac}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{b}^{2} \mathrm{ac}}}<=>\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{ac}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{ac}}}$ + +$c^{2}+a b \geq 2 \sqrt{c^{2} a b}<=>\frac{1}{c^{2}+a b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{c^{2} a b}}<=>\frac{c}{c^{2}+a b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b}}$ + +De asemenea: + +$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}\right) \geq \sqrt{\frac{1}{\mathrm{ab}}}$ + +$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right) \geq \sqrt{\frac{1}{\mathrm{bc}}}$ + +(2p) + +$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right) \geq \sqrt{\frac{1}{\mathrm{ac}}}$ + +Din relatiile de mai sus obtinem + +$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{ab}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{bc}}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ac}}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ab}}}\right) \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}+\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{c}}+\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}\right)=$ $=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)$. + +(2p) + +Prin urmare : + +$$ +\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{ab}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{c}\right) +$$ + +## Problema 2 + +Fie $a \in \mathrm{R}$. Rezolvaţi ecuaţia : + +$[\mathbf{x}]^{2}+\left[\mathbf{x}+\frac{1}{2}\right]=\mathbf{a}+[\mathbf{2 x}]$, unde $[\mathbf{x}]$ este partea întreagă a numărului real $\mathbf{x}$. + +GM nr.11/2013 + +## Solutie: + +Se cunoaşte egalitatea lui Hermite pentru $n=2$ : +$[\mathrm{x}]+\left[\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right]=[2 \mathrm{x}]$. + +Ecuația din enunț devine: + +$[\mathrm{x}]^{2}+[2 \mathrm{x}]-[\mathrm{x}]=\mathrm{a}+[2 \mathrm{x}]<=>[\mathrm{x}]^{2}-[\mathrm{x}]=\mathrm{a}<=>[\mathrm{x}]^{2}-[\mathrm{x}]-\mathrm{a}=0$. + +Ultima exuație are soluții reale $<=>1+4 \mathrm{a} \geq 0, \mathrm{a} \in \mathrm{Z}<=>\mathrm{a} \in \mathrm{N}$. + +Pe de altă parte: $[\mathrm{x}]^{2}-[\mathrm{x}]=\mathrm{a}<=>[\mathrm{x}]([\mathrm{x}]-1)=\mathrm{a}, \quad \mathrm{a} \in \mathrm{N}$. + +Prin urmare dacă $\mathrm{a}=(\mathrm{k}-1) \mathrm{k}, \quad \mathrm{k} \in \mathbf{N}$ atunci ecuația se reduce la: + +$[\mathrm{x}]=\mathrm{k}, \mathrm{k} \in \mathbf{N}$ și soluția va fi $\mathrm{x} \in[\mathrm{k}, \mathrm{k}+1)$. + +Pentru celelatle valori reale ale lui a ecuația nu are soluții reale. + +## Problema 3 + +Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ definit astfel: $a_{1}=0$ şi $a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{4 a_{n}+1}+1, n \geq 1$. + +a) Să se determine $a_{n}$. + +b) Să se arate că $\sqrt{4 \mathrm{a}_{1}+1}+\sqrt{4 \mathrm{a}_{2}+1}+\cdots+\sqrt{4 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}=\mathrm{n}^{2}, \mathrm{n} \geq 1$. + +## G.M. nr. 11/2011 + +Soluție: a) $\mathrm{a}_{1}=0$. În relația din enunț dăm valori lui $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$. + +Pentru $\mathrm{n}=1 \Rightarrow \mathrm{a}_{2}=\mathrm{a}_{1}+\sqrt{4 \mathrm{a}_{1}+1}+1 \Rightarrow \mathrm{a}_{2}=2=1 \cdot 2$ + +Pentru $\mathrm{n}=2=>\mathrm{a}_{3}=6=2 \cdot 3$ + +Pentru $\mathrm{n}=3=>\mathrm{a}_{4}=12=3 \cdot 4$ + +Pentru $\mathrm{n}=\mathrm{n}-1=>\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}-1) \cdot \mathrm{n}$ + +Demonstrăm prin inducție matematică că $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}-1) \cdot \mathrm{n} \quad(\forall) \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ + +1) Verificarea este făcută. +2) $\mathrm{P}(\mathrm{K}) \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{k}+1)<=>\mathrm{a}_{\mathrm{k}}=(\mathrm{k}-1) \cdot \mathrm{k} \stackrel{?}{\Rightarrow} \mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}=\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)$ + +Cum $\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}=\mathrm{a}_{\mathrm{k}}+\sqrt{4 \mathrm{a}_{\mathrm{k}}+1}+1$ și $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}=(\mathrm{k}-1) \cdot \mathrm{k} \Rightarrow$ + +$a_{k+1}=(k-1) \cdot k+\sqrt{4 k(k-1)+1}+1$ + +$a_{k+1}=k^{2}-\mathrm{k}+\sqrt{(2 \mathrm{k}-1)^{2}}+1$ + +$a_{k+1}=k^{2}+k=k(k+1)$ + +Din 1) și 2) $=>a_{n}=(n-1) n,(\forall) n \in N^{*}$ + +b) Vom calcula suma $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sqrt{4 \mathrm{a}_{1}+1}+\sqrt{4 \mathrm{a}_{2}+1}+\cdots+\sqrt{4 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}$ + +$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \sqrt{4 \mathrm{a}_{\mathrm{k}}+1}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}(2 \mathrm{k}-1)=2 \cdot \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}-\mathrm{n}=\mathrm{n}^{2}$ + +Problema 4 + +În paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ avem $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BD}=3, \mathrm{BC}=2$. Fie $\mathrm{G}=$ centrul de greutate al $\triangle \mathrm{ABD}$, $\mathrm{I}=$ centrul cercului înscris în $\triangle \mathrm{BCD}$ și $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $\overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{M C}$. Să se arate că G, I, M sunt coliniare. + +## Solutie: + +Cum G este centrul de greutate al $\triangle \mathrm{ABD}$ avem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7aeecfd1e89bfa6262b7g-3.jpg?height=260&width=734&top_left_y=2560&top_left_x=1209) + +Cum $\mathrm{I}=$ centrul cercului înscris în $\triangle \mathrm{BCD}$ de laturi 4,3 și 2 avem: + +$\overrightarrow{r_{I}}=\frac{4 \overrightarrow{r_{B}}+3 \overrightarrow{r_{C}}+2 \overrightarrow{r_{D}}}{4+3+2}$ + +$$ +\operatorname{Cum} \frac{\overrightarrow{B M}}{\overrightarrow{M C}}=2=>\overrightarrow{r_{M}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{r_{B}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{r_{C}}=>\overrightarrow{r_{M}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{r_{B}}+2 \overrightarrow{r_{C}}\right) +$$ + +Dar ABCD este paralelogram $=>\overrightarrow{r_{A}}+\overrightarrow{r_{C}}=\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{D}}$ (4) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7aeecfd1e89bfa6262b7g-4.jpg?height=92&width=736&top_left_y=662&top_left_x=266) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7aeecfd1e89bfa6262b7g-4.jpg?height=95&width=1216&top_left_y=752&top_left_x=266) + +$=>\overrightarrow{M G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{r_{B}}+2 \overrightarrow{r_{D}}-3 \overrightarrow{r_{C}}\right)(6)$ + +$\overrightarrow{M I}=\overrightarrow{r_{I}}-\overrightarrow{r_{M}} \xrightarrow{(2) s ̦ i(3)} \overrightarrow{M I}=\frac{1}{9}\left(4 \overrightarrow{r_{B}}+3 \overrightarrow{r_{C}}+2 \overrightarrow{r_{D}}\right)-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{r_{B}}+2 \overrightarrow{r_{C}}\right)$ + +Obținem: + +$\overrightarrow{M I}=\frac{1}{9}\left(\overrightarrow{r_{B}}+2 \overrightarrow{r_{D}}-3 \overrightarrow{r_{C}}\right) / \cdot 3=>3 \overrightarrow{M I}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{r_{B}}+2 \overrightarrow{r_{D}}-3 \overrightarrow{r_{C}}\right)$ (7) + +(1p) + +(6)și (7) + +$$ +\overrightarrow{M G}=3 \overrightarrow{M I}=>\text { punctele } \mathrm{G}, \mathrm{I}, \mathrm{M} \text { sunt coliniare } +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1037-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1037-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a593d1721835185694d20f185857684e2d30f72b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1037-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5756fcc490759f03f8a0g-1.jpg?height=182&width=160&top_left_y=131&top_left_x=842) + +# CLASA a XII-a + +PROBLEMA 1. Fie multimea + +$$ +\mathrm{K}=\left\{A(a, b)=\left(\begin{array}{ccc} +a & 0 & -a \\ +b & 2 b & b \\ +-a & 0 & a +\end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\} +$$ + +Atunci $(\mathrm{K},+, \cdot)$ este corp. + +PROBLEMA 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup și funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{2}$. + +a) Să se demonstreze că $f$ este endomorfism al grupului $G$ dacă și numai dacă $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +b) Dacă grupul $G$ este comutativ și are un număr impar de elemente, să se demonstreze că functia $f$ este un automorfism al grupului G. + +PROBLEMA 3.Fie sirul de termen general + +$$ +I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x}\left(\operatorname{tg}^{n-1} x+\operatorname{tg}^{n} x+\operatorname{tg}^{n+1} x\right) d x, n \geq 1 +$$ + +Sa se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[n^{2}]{n I_{n}}-1\right)$. + +PROBLEMA 4. Să se determine funcţiile $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică simultan condiţiile: + +i) $f$ este crescătoare; + +ii) $f$ admite o primitivă $F$ cu proprietatea că $F(0)=0$ şi $F(x+y) \leq F(x)+$ $F(y), \forall x, y \in[0, \infty)$. + +NOTA: Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza cu puncte de la 0 la 7 . + +## Barem clasa a XII-a + +## Problema 1. + +## Verificarea axiomelor .(7p) + +## Problema 2. + +a) Dacă $f$ este endomorfim al grupului $G$, atunci $f(x y)=f(x) f(y), \forall x, y \in G$. + +Atunci $(x y)^{2}=x^{2} y^{2}, \forall x, y \in G$, adică $x y x y=x x y y, \forall x, y \in G$. Simplificând la stânga prin $x$ și la dreapta + +prin $y$ obținem $y x=x y, \forall x, y \in G$, deci $(G,$.$) este grup abelian. (2 puncte)$ + +Dacă $(G, \cdot)$ este grup abelian, atunci $\forall x, y \in G$ avem + +$f(x y)=(x y)^{2}=x y x y=x x y y=x^{2} y^{2}=f(x) f(y)$, adică $f$ este endomorfim al grupului $G$. (1 punct) + +b) Fie $(G, \cdot)$ un grup comutativ cu $2 n+1$ elemente $(n \in \mathbb{N}$ ). Dacă $e$ este elementul neutru al grupului, atunci $x^{2 n+1}=e, \forall x \in G$. (1 punct) + +Dacă $a, b \in G$ și $f(a)=f(b) \Rightarrow a^{2}=b^{2} \Rightarrow a^{2 n}=b^{2 n}$. Dar $a^{2 n+1}=b^{2 n+1} \Rightarrow a^{2 n} a=b^{2 n} b \Rightarrow a=b$, prin urmare $f$ este injectivă. (1 punct) + +Deoarece $f$ este injectivă și $G$ este mulțime finită, rezultă că $f$ este bijectivă. (1 punct) + +Cum $(G,$.$) este grup abelian, conform a) rezultă că f$ este endomorfim al grupului $G$. În concluzie, $f$ este automorfism al grupului $G$. (1 punct) + +## Problema 3. + +Avem $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x} \operatorname{tg}^{n-1} x\left(1+\operatorname{tg}^{2} x\right) d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x} \operatorname{tg}^{n} x d x=I_{1}+I_{2}$. Prima integrala devine prin integrare prin parti $I_{1}=\left.e^{n x}\left(\frac{1}{n} \operatorname{tg}^{n} x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-I_{2}=\frac{1}{n} e^{\frac{n \pi}{4}}-I_{2}(3 p)$. De aici $n I_{n}=e^{\frac{n \pi}{4}}$ si limita de calculat se scrie $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{\pi}{4 n}}-1}{\frac{1}{n}}=\frac{\pi}{4}(4 p)$. + +## Problema 4 + +Pentru $x=y>0$ obţinem $F(2 x) \leq 2 F(x) \Rightarrow F(2 x)-F(x) \leq F(x)$. Din teorema lui Lagrange rezultă că există $c x \in(x, 2 x)$ astfel încât $x f(c x) \leq F(x)$. Deoarece $f$ este crescătoare, + +avem $f(x) \leq f(c x), \operatorname{deci} x f(x) \leq F(x)$. În continuare deducem $\frac{x f(x)-F(x)}{x^{2}} \leq 0$, +adica $\left(\frac{F(x)}{x}\right) \leq 0, \forall x \in(0, \infty)$ de unde rezulta ca functia $\frac{F(x)}{x}$ + +este descrescătoare pe $(0, \infty)$. (4 puncte) + +Cum $f$ este crescătoare rezultă că $F$ este convexă şi cum $F(0)=0$ deducem că funcţia $\frac{F(x)}{x}$ este crescătoare pe $(0, \infty)$, prin urmare $\frac{F(x)}{x}$ este constanta pe $(0, \infty)$. + +Avem $F(x)=k x \Rightarrow f(x)=k, \forall x \in(0, \infty)$. Cum $f$ are primitive rezultă că $f$ are proprietatea lui Darboux, deci $f(x)=k, \forall x \in[0, \infty)$.(3puncte) + +A doua soluţie. Deoarece $f$ are primitive rezultă că $f$ are proprietatea lui Darboux şi cum $f$ este monotonă deducem că $f$ este continuă. Atunci $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$. (1p) + +Fie $x, y \in[0, \infty)$.Inegalitatea din enunt se poate scrie + +$$ +F(x+y)-F(x) \leq F(y) \Rightarrow \int_{x}^{x+y} f(t) d t \leq \int_{0}^{y} f(t) d t +$$ + +Cu schimbarea de variabila $u=\mathrm{t}-\mathrm{x}$ avem $\int_{x}^{x+y} f(t) d t=\int_{0}^{y} f(x+u) d u$ si inegalitatea precedent devine + +$$ +\int_{0}^{y}(f(t+x)-f(t)) d t \leq 0 .(2 \mathbf{p}) +$$ + +Dar $f$ crescătoare şi $t \leq t+x$ implică $f(t+x)-f(t) \geq 0, \forall t \in[0, y]$, deci $\int_{0}^{y}(f(t+x)-f(t)) d t \geq 0$. (2 puncte) + +Atunci $\int_{0}^{y}(f(t+x)-f(t)) d t=0$ şi cum funcţia de sub integrală este continuă şi pozitivă, + +rezultă că $f(t+x)-f(t)=0, \forall t \in[0, y]$. Pentru $t=0$ obţinem $f(x)=f(0)$ şi cum $x$ a fost ales arbitrar, deduce ca $f$ este functia constanta. + +Se verifică imediat că funcțiile constante verifică cerinţele problemei. (2 puncte) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1038-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1038-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ac511741f459256d9e3d05100da57efe2100aa0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1038-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,100 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d0cfdb9cc1994bb921b1g-1.jpg?height=250&width=716&top_left_y=108&top_left_x=304) + +MINISTERUL + +EDUCAȚIEI + +NAȚIONALE + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +15.02.2014 + +CLASA a XI-a + +# Problema 1. + +Daca A,B,C,D sunt solutiile ecuatiei matriciale $X^{2}=\left(\begin{array}{cc}3 & -5 \\ 5 & 8\end{array}\right)$ aratati ca + +$$ +A^{2013}+B^{2013}+C^{2013}+D^{2013}=O_{2} +$$ + +## Problema 2. + +Fie matricile $A, B \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})$. Sa se arate ca : + +(i) $\operatorname{det}(A+B)-\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B)=\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B)-\operatorname{tr}(A B)$. + +(ii)Daca matricea A este inversabila,atunci ecuatia $\operatorname{det}(x A+B)=0$ are doua solutii reale si distincte daca si numai daca are loc inegalitatea + +$$ +(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}>\operatorname{det}(A+B) \cdot \operatorname{det}(A-B) +$$ + +## Problema 3. + +Sa se arate ca $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2^{n}}\right)=0$. + +## Problema 4. + +Se considera sirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere reale definit prin $x_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ si $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_{n}}{2}}, n \geq 1$. Sa se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{1} x_{2} \ldots x_{n}$. + +G.M. + +NOTA:Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 . + +## BAREM CLASA a XI-a + +## Problema1. + +Apicand determinantul avem $\operatorname{det}\left(X^{2}\right)=(\operatorname{det}(X))^{2}=49 \Rightarrow \operatorname{det}(X)= \pm 7$. + +Luam $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ din Cayley-Hamilton avem $X^{2}-\operatorname{tr}(X) X \pm 7 I_{2}=O_{2}$ + +Pentru $\operatorname{det}(\mathrm{X})=7$ obtinem solutiile: $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ si $\mathrm{B}=-\mathrm{A}$. + +Pentru $\operatorname{det}(\mathrm{X})=-7$ obtinem solutiile: $C=\frac{i}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc}-4 & -5 \\ 5 & 1\end{array}\right)$ si $\mathrm{D}=-\mathrm{C}$. + +Evident $A^{2013}+B^{2013}+C^{2013}+D^{2013}=O_{2}$. + +## Problema 2. + +(i) Se verifica prin calcul.(3p) + +(ii) Ecuatia se scrie $\operatorname{det}(A) x^{2}+(\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B)-\operatorname{tr}(A B)) x+\operatorname{det}(B)=0$. Conditia ca sa avem doua solutii distincte (avem ecuatie de $\operatorname{gradul} \operatorname{doi}, \operatorname{det}(A) \neq 0$ ) este $(\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B)-\operatorname{tr}(A B))^{2} \geq 4 \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$ In care folosind punctul (i) si $\operatorname{det}(A+B)+\operatorname{det}(A-B)=2(\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B))$ obtinem ceea ce se cere demonstrat.(4p) + +## Problema 3. + +Cu inegalitatea mediilor avem : + +$$ +0<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2^{n}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}+\frac{1}{2 \sqrt{2 n}}+\ldots+\frac{1}{2 \sqrt{n 2^{n}}}=\frac{1}{2 \sqrt{n}}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2^{n}}}\right) +$$ + +Utilizand Lema Stolz-Cesaro si $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2^{n}}=0$ avem + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2^{n}}}}{2 \sqrt{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{2^{n+1}}}}{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2^{n+1}}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=0 +$$ + +Teorema clestelui ne asigura ca limita ceruta este zero. + +PROBLEMA 4. + +Deoarece $x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi}{2^{2}}$ si folosind formula $\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$ obtinem + +$x_{2}=\cos \frac{\pi}{2^{3}}$ si prin inductie matematica $x_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$. (3p)Limita ceruta devine + +$$ +\mathrm{L}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{1} x_{2} \ldots x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{\pi}{2^{2}} \cos \frac{\pi}{2^{3}} \ldots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}\right) +$$ + +Folosind $\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha$ obtinem $\mathrm{L}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}=\frac{2}{\pi}$.(4p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1039-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1039-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d10b9703897c105c3bce9fa92ccd8a01c410d52 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1039-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c450b273fd583be454fg-1.jpg?height=184&width=160&top_left_y=130&top_left_x=842) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +15.02 .2014 + +## CLASA a $\mathbf{X}$-a + +PROBLEMA 1. Fie numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2014} \in(0, \infty)$ si functia + +$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\ldots+a_{2014}^{x}$. Daca $f(2014)=f(-2014)=2014$, aratati ca functia $\mathrm{f}$ este constanta. + +PROBLEMA 2.a)Aratati ca $x^{2}+y^{2} \geq 2 x y, \forall x, y \in \mathbb{R}$. + +b)Demonstrati ca daca $a, b, c \in(0,1)$ atunci are loc inegalitatea + +$$ +\log _{a} \frac{4 b}{b+4}+\log _{b} \frac{4 c}{c+4}+\log _{c} \frac{4 a}{a+4} \geq \frac{3}{2} +$$ + +Dragos Constantinescu + +PROBLEMA 3.Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ si multimea + +$A=\left\{\alpha_{1} z_{1}+\alpha_{2} z_{2}+\alpha_{3} z_{3} \mid \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in[0,1]\right\}$. + +a)Aratati ca $\forall w \in A$ are loc inegalitatea $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}-w\right|+|w| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$. + +b)Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ si orice $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n} \geq 0$ cu $\sum_{i=1}^{n} a_{i}=1$ si orice $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n} \in A$ are loc inegalitatea + +$$ +\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}-\sum_{k=1}^{n} a_{k} z_{k}\right|+\sum_{k=1}^{n} a_{k}\left|w_{k}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right| +$$ + +N.Bourbacut + +PROBLEMA 4.a)Daca a, b, $\mathrm{c}, \mathrm{d}$ sunt numere complexe de modul egal si $a+b+c+d=0$ demonstrati ca numerele sunt afixele varfurilor unui dreptunghi. + +b)Fie $\mathrm{ABCD}$ un patrulater inscris in cercul de raza 1.Fie $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ centrele de greutate ale triunghiurilor BCD,CDA,DAB,ABC.Sa se arate ca daca $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}+D G_{4}=\frac{16}{3}$,atunci ABCD este dreptunghi. + +G.M. + +NOTA.Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 . + +## BAREM CLASA a X-a + +Problema 1. + +$$ +\begin{aligned} +& f(2014)=2014 \Rightarrow \frac{a_{1}^{2014}+a_{2}^{2014}+\ldots+a_{2014}^{2014}}{2014}=1(1 p) \\ +& f(-2014)=2014 \Rightarrow \frac{2014}{\frac{1}{a_{1}^{2014}}+\frac{1}{a_{2}^{2014}}+\ldots+\frac{1}{a_{2014}^{2014}}}=1(1 p) +\end{aligned} +$$ + +Deoarece media aritmetica a unor numere este egala cu media lor armonica $\Leftrightarrow$ numerele sunt egale,deduce ca + +$a_{1}^{2014}=a_{2}^{2014}=\ldots=a_{2014}^{2014} \Rightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{2014}=a$ (notatie) (3p) + +Atunci $f(x)=2014 \cdot a^{x}$ iar $\operatorname{din} \mathrm{f}(2014)=2014$ rezulta $a^{2014}=1 \Rightarrow a=1$ si in concluzie $f(x)=2014$, deci constanta. + +## Problema2. + +a)Evident (1p) + +b) Avem $b+4 \geq 4 \sqrt{b}$ (din a)), iar de aici $\frac{4 b}{4+b} \leq \sqrt{b}$ care prin logaritmare in baza $a \in(0,1)$ obtinem $\log _{a} \frac{4 b}{4+b} \geq \log _{a} \sqrt{b}=\frac{1}{2} \log _{a} b$. Analog obtinem inca doua inegalitati, iar prin adunare rezulta $M_{s} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{a} b+\log _{b} c+\log _{c} a\right) \geq \frac{3}{2}$ unde am folosit inegalitatea mediilor.(6p) + +Problema 3. + +a)Din $w \in A$ avem $w=\alpha_{1} z_{1}+\alpha_{2} z_{2}+\alpha_{3} z_{3}$.Atunci + +$$ +\begin{aligned} +& \left|z_{1}+z_{2}+z_{3}-w\right|+|w|=\left|\left(1-\alpha_{1}\right) z_{1}+\left(1-\alpha_{2}\right) z_{2}+\left(1-\alpha_{3}\right) z_{3}\right|+|\alpha z+\alpha z+\alpha z| \leq \\ +& \sum\left(1-\alpha_{i}\right)\left|z_{i}\right|+\sum \alpha_{i}\left|z_{i}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right| . +\end{aligned} +$$ + +b) Analog cu punctul a). + +## Problema 4. + +a) Punctele $A, B, C, D$ de afixe $a, b, c, d$ se afla pe un cerc de centru $O$ si de raza r.Fie $\mathrm{M}$ si $\mathrm{N}$ punctele de afixe $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ si $\mathrm{c}+\mathrm{d}$. $\operatorname{Din} \frac{(a+b)+(c+d)}{2}=0$ rezulta ca + +O este mijlocul segmentului MN.Deoarece OAMB este romb rezulta $A B \perp O M$, analog $C D \perp M N$,deci AB este parallel cu CD.Analog demonstram ca $A D$ este parallel cu $B C$,deci $A B C D$ este un paralelogram inscriptibil,i.e.ABCD este dreptunghi.(3p) + +b) Notam $S=a+b+c+d$.Aplicand inegalitatea $C-B-S$ conditiei din enunt avem + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\frac{16}{3}\right)^{2}=\left(A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}+D G_{4}\right)^{2} \leq 4\left(A G_{1}^{2}+B G_{2}^{2}+C G_{3}^{2}+D G_{4}^{2}\right)= \\ +& \frac{4}{9}\left(\sum|4 a-S|^{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +Iar de aici, folosind $z \bar{z}=|z|^{2}$ obtinem $\mathrm{S}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$. Aplicand punctul a) obtinem cerinta problemei,i.e. ABCD=dreptunghi.(4p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-104-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-104-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..338c221962d9aa78b6ccac4a241b037b57cdde67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-104-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,83 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +## Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A IX - A + +Problema 1. Rezolvați ecuaț̦ia $[x]+\frac{1}{[x]}=\{x\}+\frac{1}{\{x\}}$ (unde $[x]$ este partea întreagă a lui $x$, iar $\{x\}$ este partea fractionară a lui $x$ ). + +Problema 2. Dacă $a, b, c \in(0, \infty)$ și $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$, demonstrați inegalitatea + +$$ +\frac{a^{3}}{b+3 c}+\frac{b^{3}}{c+3 a}+\frac{c^{3}}{a+3 b} \geq 1 +$$ + +Problema 3. Se consideră paralelogramul $A B C D$. O dreaptă care nu conține punctul $A$ intersectează dreptele $A B, A C$ şi $A D$ în punctele $B_{1}, C_{1}$, respectiv $D_{1}$. Arătați că dacă $\overrightarrow{A B_{1}}=\lambda_{1} \cdot \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D_{1}}=\lambda_{2} \cdot \overrightarrow{A D}$ şi $\overrightarrow{A C_{1}}=\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{A C}$, atunci $\frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}=\frac{1}{\lambda_{3}}$. + +Problema 4. Vectorii $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}$ de modul 1 sunt situați în același semiplan limitat de o dreaptă care trece prin $O$. Arătați că $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|>1$. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A IX - A + +Problema 1. Rezolvați ecuația $[x]+\frac{1}{[x]}=\{x\}+\frac{1}{\{x\}}$ (unde $[x]$ este partea întreagă a lui $x$, iar $\{x\}$ este partea fracționară a lui $x$ ). + +Soluție şi barem Se impun condițile de existență $[x] \neq 0$ și $\{x\} \neq 0$ şi scriem ecuația în forma $([x]-\{x\})\left(1-\frac{1}{[x] \cdot\{x\}}\right)=0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e36118bc52131d497f6eg-2.jpg?height=120&width=1221&top_left_y=846&top_left_x=585) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e36118bc52131d497f6eg-2.jpg?height=66&width=1670&top_left_y=996&top_left_x=154) +II. $[x] \cdot\{x\}=1$. Cum $\{x\} \in[0,1) \Rightarrow[x]>1 \Rightarrow[x]=n,\{x\}=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ $-2 \mathrm{p}$ + +Cum $x=[x]+\{x\}$, obținem că mulțimea soluțiilor este $S=\left\{\left.n+\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}, n \geq 2\right\}$ $-2 \mathrm{p}$ + +Problema 2. Dacă $a, b, c \in(0, \infty)$ și $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$, demonstrați inegalitatea + +$$ +\frac{a^{3}}{b+3 c}+\frac{b^{3}}{c+3 a}+\frac{c^{3}}{a+3 b} \geq 1 +$$ + +Soluție şi barem Folosim inegalitatea dintre media aritmetică şi media geometrică. Obținem: + +$\frac{16 a^{3}}{b+3 c}+a(b+3 c) \geq 2 \sqrt{\frac{16 a^{3}}{b+3 c} \cdot a(b+3 c)}=8 a^{2}$ $3 \mathrm{p}$ + +Folosind și analoagele inegalității precedente, rezultă + +$\frac{a^{3}}{b+3 c}+\frac{b^{3}}{c+3 a}+\frac{c^{3}}{a+3 b} \geq \frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-(a b+b c+c a)}{4}$ $-2 p$ + +Folosim $a b+b c+c a \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ + +Obținem $\frac{a^{3}}{b+3 c}+\frac{b^{3}}{c+3 a}+\frac{c^{3}}{a+3 b} \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}=1$ $1 \mathrm{p}$ + +Problema 3. Se consideră paralelogramul $A B C D$. O dreaptă care nu conține punctul $A$ intersectează dreptele $A B, A C$ și $A D$ în punctele $B_{1}, C_{1}$, respectiv $D_{1}$. Arătați că dacă $\overrightarrow{A B_{1}}=\lambda_{1} \cdot \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D_{1}}=\lambda_{2} \cdot \overrightarrow{A D}$ și $\overrightarrow{A C_{1}}=\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{A C}$, atunci $\frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}=\frac{1}{\lambda_{3}}$ + +## Soluție şi barem + +Fie $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}$. Rezultă că $\overrightarrow{A C}=\vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{A B_{1}}=\lambda_{1} \cdot \vec{a}, \overrightarrow{A D_{1}}=\lambda_{2} \cdot \vec{b}$ și $\overrightarrow{A C}=\lambda_{3} \cdot(\vec{a}+\vec{b})-----------------1 \mathrm{p}$ $\overrightarrow{B_{1} D_{1}}=\overrightarrow{A D_{1}}-\overrightarrow{A B_{1}}=-\lambda_{1} \cdot \vec{a}+\lambda_{2} \cdot \vec{b}, \overrightarrow{B_{1} C_{1}}=\overrightarrow{A C_{1}}-\overrightarrow{A B_{1}}=\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right) \cdot \vec{a}+\lambda_{3} \cdot \vec{b}----------------------------------------1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e36118bc52131d497f6eg-3.jpg?height=117&width=1672&top_left_y=891&top_left_x=159) + +Ultima relație este echivalentă $\mathrm{cu} \frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}=\frac{1}{\lambda_{3}}$ + +Problema 4. Vectorii $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}$ de modul 1 sunt situați în același semiplan limitat de o dreaptă care trece prin $O$. Arătați că $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|>1$. + +Soluṭie şi barem Fără a restrânge generalitatea presupunem că $B \in \operatorname{Int}(\widehat{A O C})$. + +$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O M},|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O C}|=1 \Rightarrow O A M C$ este romb, deci $(O M$ este bisectoarea lui $\widehat{A O C}$ $\qquad$ +Rezultă că $m(\widehat{A O M})=m(\widehat{M O C})<90^{\circ}$ $1 \mathrm{p}$ + +Ca urmare $m(\widehat{B O M})<90^{\circ}(1)$ $1 \mathrm{p}$ + +$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O P}, O M P B$ paralelogram (2) $-1 \mathrm{p}$ + +Din (1) și (2) rezultă $O P>O B=1$ + +În concluzie $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=O P>1$ $\qquad$ +Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1040-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1040-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c766281a1755de23f62d24536371ab29c1c00656 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1040-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,144 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4bd8f87b8cb94443c44dg-1.jpg?height=241&width=214&top_left_y=64&top_left_x=305) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $a, b, c$ numere reale pozitive cu proprietatea că $a \cdot b \cdot c=1$. + +a) Verificați egalitatea $\frac{1}{1+a^{2} b}+\frac{1}{1+b c^{2}}=1$; + +b) Demonstraţi că $\frac{1}{1+a^{2} b}+\frac{1}{1+b^{2} c}+\frac{1}{1+c^{2} a}<2$. + +Vasile Berghea, Avrig, Sibiu, G.M. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +a) $a b c=1 \Rightarrow \frac{1}{1+a^{2} b}+\frac{1}{1+b c^{2}}=\frac{1}{a b c+a^{2} b}+\frac{1}{a b c+b c^{2}}$ + +$$ +\frac{1}{a b c+a^{2} b}+\frac{1}{a b c+b c^{2}}=\frac{a+c}{a b c(a+c)}=\frac{1}{a b c}=1 +$$ + +b) Arată că $\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}>\frac{1}{1+b c}$ + +$$ +\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}>\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b c}=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}=\frac{1}{1+a}+\frac{a}{1+a}=1 +$$ + +Numerele $a b, b c, c a$ respectă condițiile $\Rightarrow \frac{1}{1+a b}+\frac{1}{1+b c}+\frac{1}{1+c a}>1$ $\qquad$ $\frac{1}{1+a b}=\frac{a b c}{a b c+a b}=\frac{c}{1+c}=1-\frac{1}{1+c}$ + +Analog $\frac{1}{1+b c}=1-\frac{1}{1+a}$ si $\frac{1}{1+c a}=1-\frac{1}{1+b}$ + +Deci $1<\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}<2$ + +Numerele $a^{2} b, b^{2} c, c^{2} a$ respectă condițiile $\Rightarrow \frac{1}{1+a^{2} b}+\frac{1}{1+b^{2} c}+\frac{1}{1+c^{2} a}<2$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4bd8f87b8cb94443c44dg-2.jpg?height=250&width=250&top_left_y=62&top_left_x=1580) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a VIII-a + +# SUBIECTUL al II-lea + +a) Aflaţi numerele reale $x$ și $y$ pentru care avem $\sqrt{2 x^{2}+12 x+67}+\sqrt{y^{2}-6 y+18} \leq 10$. + +b) Arătați că nu există $m, n \in \mathbb{N}$, astfel încât $7 m^{2}-n^{2}=6 n+3$. + +Constantinescu Dragoș Jr., Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +$$ +\left.\begin{array}{l} +\text { a) } \sqrt{2 x^{2}+12 x+67}=\sqrt{2(x+3)^{2}+49} \geq 7 \\ +\sqrt{y^{2}-6 y+18}=\sqrt{(y-3)^{2}+9} \geq 3 \\ +\sqrt{2 x^{2}+12 x+67}+\sqrt{y^{2}-6 y+18} \leq 10 \\ +\sqrt{2 x^{2}+12 x+67}+\sqrt{y^{2}-6 y+18} \geq 10 +\end{array}\right\} \Rightarrow \sqrt{2 x^{2}+12 x+67}+\sqrt{y^{2}-6 y+18}=10 +$$ + +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4bd8f87b8cb94443c44dg-2.jpg?height=138&width=1478&top_left_y=1731&top_left_x=304) + +....... $1 p$ + +Arătăm că $p^{2}+1 \% 7,(\forall) p \in \mathbb{N}$. + +Cum + +$$ +p \in\{7 k, 7 k+1,7 k+2,7 k+3,7 k+4,7 k+5,7 k+6\} \Rightarrow p^{2} \in\{7 k, 7 k+1,7 k+2,7 k+4\} \Rightarrow +$$ + +$p^{2}+1 \in\{7 k+1,7 k+2,7 k+3,7 k+5\} \Rightarrow p^{2}+1 \% 7 \Rightarrow(\nexists) m, n \in \mathbb{N}$ care să verifice relația dată . + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL al III-lea + +În triunghiul $A B C$ cu $m(\nless A)=90^{\circ}, B C=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ și $\operatorname{tg} B=\frac{\sqrt{2}}{2},[C D]$ este mediană cu $D \in(A B)$, iar $A N \perp C D$, cu $N \in(C D)$. Fie $A N \cap B C=\{O\}$. + +a) Aflaţi aria triunghiul $A B C$. + +b) Demonstrați că $[B O] \equiv[C O]$. + +c) Dacă $M A \perp(A B C)$ și $m \nless[(M C D),(A B C)]=30^{\circ}$, să se afle $M A$. + +Leon Genoiu, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $\operatorname{Cum} \operatorname{tg}(\angle B)=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{A C}{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow A C=k \sqrt{2}$, iar $\mathrm{AB}=2 \mathrm{k}$. Cum $\mathrm{BC}=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$, + +Aplicând T.P. în $\triangle \mathrm{ABC}$ şi rezolvând ecuaţia obţinută, aflăm $\mathrm{k}=5$. Atunci $\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}$, iar $\mathrm{AC}=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ şi atunci $\mathrm{A}_{A B C}=\frac{A B \cdot A C}{2}=25 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Din $\triangle \mathrm{ACD}$, dr. în $\mathrm{A}$, cu T.P.,aflăm $\mathrm{CD}=5 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$.Tot din $\triangle \mathrm{ACD}$, cum $\mathrm{AN} \perp \mathrm{CD} \Rightarrow$ $\mathrm{AN}=\frac{A C \cdot A D}{C D}=\frac{5 \sqrt{6}}{3} \mathrm{~cm}$ + +Din $\triangle N A C$, dr. în N, cu T.P. aflăm $\mathrm{CN}=\frac{10 \sqrt{3}}{3}=\frac{2}{3} \cdot 5 \sqrt{3}=\frac{2}{3} \cdot C D$. + +Cum $[\mathrm{CD}]$ mediană,deducem că $\mathrm{N}$ este centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{ABC}$ şi cum $\mathrm{AN} \cap B C=\{O\}$, deducem că $[\mathrm{BO}] \equiv[O C]$. $\qquad$ c) Cum $\mathrm{MA} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{AN} \perp \mathrm{CD}, \mathrm{CD}, \mathrm{AN} \subset(\mathrm{ABC})$, cu T.3P. deducem că $\mathrm{MN} \perp \mathrm{CD}$. Atunci deducem că $\qquad$ $\mathrm{m}(\angle \mathrm{MNA})=\mathrm{m}(\angle[(M C D) ;(A B C)])=30^{\circ}$ $\qquad$ +Cum $A N=\frac{5 \sqrt{6}}{3} \mathrm{~cm}$, din $\triangle \mathrm{MAN}$, dr. în $\mathrm{A}$ şi $\mathrm{m}(\angle \mathrm{MNA})=30^{\circ}$,aflăm că $M A=\frac{5 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4bd8f87b8cb94443c44dg-4.jpg?height=252&width=1508&top_left_y=64&top_left_x=318) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ15.02.2014
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL al IV-lea + +Pe planul triunghiului echilateral $A B C$ cu $A B=6 \mathrm{~cm}$ se ridică, de aceeași parte a planului $(A B C)$, perpendicularele $A^{\prime} A \perp(A B C), B^{\prime} B \perp(A B C)$ și $C^{\prime} C \perp(A B C)$, astefel încât $A A^{\prime}=B B^{\prime}=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. + +a) Aflaţi distanța de la $A$ la planul ( $A^{\prime} B C$ ). + +b) Aflaţi sinusul unghiului dintre $A^{\prime} B$ și $B^{\prime} C$. + +c) Se colorează cu roșu sau albastru segmentele cu extremitățile în oricare două puncte dintre punctele $A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$. Dintre toate triunghiurile cu vârfurile în trei din cele șase puncte, arătați că există cel puțin un triunghi cu toate laturile de aceeași culoare. + +Ștefan Smărăndoiu, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $\left.\begin{array}{l}A A^{\prime} \perp(A B C) \\ \\ A M \subset(A B C) \\ B C \subset(A B C)\end{array}\right\} \Rightarrow A^{\prime} M \perp B C \Rightarrow d\left(A^{\prime}, B C\right)=A^{\prime} M$ + +Fie $A T \perp A^{\prime} M$ + +$A M \perp B C$ + +$\left.\begin{array}{l}A^{\prime} M \perp B C \\ B C \subset\left(A^{\prime} B C\right) \\ A^{\prime} M \subset\left(A^{\prime} B C\right)\end{array}\right\} \Rightarrow A^{\prime} T \perp\left(A^{\prime} B C\right)$ + +$A^{\prime} T=\frac{6 \sqrt{15}}{5} \mathrm{~cm}$ + +b) Prelungim $[A B] c u[B E]$, a.i. $[A B] \equiv[B E] ; \quad E B A^{\prime} B^{\prime}$ paralelogram + +$\Rightarrow E B^{\prime} \| A^{\prime} B \Rightarrow \Varangle\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)=\Varangle\left(E B^{\prime}, B^{\prime} C\right)=\Varangle E B^{\prime} C$ + +$A_{\triangle B^{\prime} E C}=\frac{6 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{13}}{2}=9 \sqrt{39} ; A_{\triangle B^{\prime} E C}=\frac{12 \cdot 12 \sin E B^{\prime} C}{2} ; \sin E B^{\prime} C=\frac{\sqrt{39}}{8} \quad \ldots .1 p$ + +c) Există 5 segmente cu o extremitate în $B:[B A],[B C],\left[B B^{\prime}\right],\left[B A^{\prime}\right],\left[B C^{\prime}\right]$. + +Conform principiului cutiei există trei segmente de aceeași culoare. $.1 p$ + +Fără a restrânge generalitatea problemei, presupunem că $\left[B B^{\prime}\right],\left[B A^{\prime}\right],\left[B C^{\prime}\right]$ sunt roșii. + +* Dacă una din muchiile $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right],\left[A^{\prime} C^{\prime}\right],\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$ este roșie, atunci avem un triunghi roșu. +* Dacă toate muchiile $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right],\left[A^{\prime} C^{\prime}\right],\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$ sunt albastre, atunci $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ este albastru. Există deci, cel puțin un triunghi cu toate laturile de aceeași culoare. ....1p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1041-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1041-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b3568f88f977d980bca1b94a7e24a1ee76120e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1041-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,144 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1cdd7dea46c8027f1a4ag-1.jpg?height=240&width=746&top_left_y=64&top_left_x=314) + +MINISTERL + +EDUCAȚII + +NAȚIONAL + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Dacă $0 ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL al II-lea + +Fie $a=\sqrt{2 n+5}, b=\sqrt{3 n+15}$ cu $n \in \mathbb{N}, c=\sqrt{114-80 \sqrt{2}}+\sqrt{50}$ și $d=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}{\sqrt{4098600}}$. + +a) Pentru $n=11$, calculați media geometrică a numerelor $a$ și $b$. + +b) Stabilitịi dacă numărul c este natural. + +c) Arătați că numărul $d$ este rațional. + +Ion Gherghinaru, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $a=\sqrt{22+5}=3 \sqrt{3} ; b=\sqrt{33+15}=4 \sqrt{3}$ + +m.g. $(a ; b)=\sqrt{a b}=6$ + +b) $\sqrt{114-80 \sqrt{2}}=\sqrt{(8-5 \sqrt{2})^{2}}=|8-5 \sqrt{2}|=8-5 \sqrt{2}$ + +$$ +c=8 \in \mathbb{N} +$$ + +c) $d=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{12}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{4098600}}-\frac{\sqrt{2024}}{\sqrt{4098600}}$. + +$d=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2024}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}$. + +$d=1-\frac{1}{45}=\frac{44}{45} \in \mathbb{Q}$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1cdd7dea46c8027f1a4ag-3.jpg?height=252&width=1528&top_left_y=60&top_left_x=302) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02.2014
CLASA a VII-a + +# SUBIECTUL al III-lea + +În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A, A D$ este înălțime cu $D \in B C$, iar $E \in(D C)$, astfel încât $\Varangle C A E \equiv \Varangle D A E$. Perpendiculara în $E$ pe $B C$ intersectează $(A C)$ în $F$, iar paralela prin $E$ la $A C$ intersectează $A D$ în $G$. Să se arate că: +a) $A G E F$ este romb; +b) $\frac{D G}{A G}=\frac{A D}{A C}$; +c) Punctele $B, G, F$ sunt coliniare. + +Ştefan Smărăndoiu, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $A G E F$ este paralelogram + +b) $G E \| A C \Rightarrow \frac{D G}{A G}=\frac{D E}{E C}$ + +$$ +\left[A E \text { este bis. } \Rightarrow \frac{D E}{E C}=\frac{D G}{A G} . \quad \frac{D G}{A G}=\frac{A D}{A C}\right. +$$ + +c) $E G \perp A B \Rightarrow E G \quad$ este înălțime în $\triangle A B E$ $\qquad$ +$G$ este ortocentrul $\triangle-l u i \quad A B E$ + +$$ +\left.\begin{array}{l} +G \notin A E \\ +F G \perp A E \\ +B G \perp A E +\end{array}\right\} \Rightarrow d r . F G \text { si } B G \text { coincid } \Rightarrow \overline{B, G, F} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1cdd7dea46c8027f1a4ag-4.jpg?height=252&width=1534&top_left_y=58&top_left_x=296) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02.2014
CLASA a VII-a + +# SUBIECTUL al IV-lea + +Fie $A B C$ un triunghi oarecare și punctele $M \in(B C), N \in(A C), P \in(A B)$, astfel încât $B M=M C, A N=2 \cdot N C$ și $A P=3 \cdot P B$. Dacă $T$ este mijlocul lui $(A C)$ și $R$ este simetricul lui $M$ față de $N$, arătați că: + +a) $P M \cap A C$; + +b) Punctele $P, T, R$ sunt coliniare. + +Cătălin Cristea, Craiova, G.M. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) Demonstrează că $P M \backslash A C$; + +b) $B N \| P T$ + +Fie $V$ mijlocul segmentului $[N C]$ $\qquad$ +MVRT paralelogram $\Rightarrow M V \| T R$ $\qquad$ +$[M V]$ este linie mijlocie în $\Rightarrow M V \| P T$ + +$\left.\begin{array}{l}T \notin M V \\ T R \| M V \\ T P \| M V\end{array}\right\} \Rightarrow d r . T R$ si $P T$ coincid $\Rightarrow \overline{P, T, R}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1042-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1042-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c00e05a2188564515e561b793ebe8216c7d1ea15 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1042-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,173 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f869f0cc3917d3e9a280g-1.jpg?height=254&width=1520&top_left_y=62&top_left_x=305) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 15.02.2014
CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL I + +Se consideră numerele naturale $a$ și $b$, astfel încât $7 a+3 b=972$. + +a) Arătați că $21 a+9 b$ este pătrat perfect. + +b) Dacă $a$ este număr prim, stabiliți dacă $b$ este număr prim. + +c) Dacă cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ este 12 , atunci + +aflați $a$ și $b$. + +Liviu Ion Vlădescu, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $7 a+3 b=972 \Rightarrow 21 a+9 b=2916$ + +....... $0,5 p$ + +$21 a+9 b=54^{2}$ + +$7 a+3 b=972$ +b) $\left.\begin{array}{l}(\forall) b \in \mathbb{N} \Rightarrow 3 b \vdots 3 \\ 972 \vdots 3\end{array}\right\} \Rightarrow 7 a \vdots 3$ + +....... $0,5 p$ + +$\left.\begin{array}{l}7 a \vdots 3 \\ (7 ; 3)=1\end{array}\right\} \Rightarrow a \vdots 3$ + +....... $0,5 p$ + +$\left.\begin{array}{l}a \vdots 3 \\ \text { a este prim }\end{array}\right\} \Rightarrow a=3$ + +........ $0,5 p$ + +$\left.\begin{array}{l}7 a+3 b=972 \\ a=3\end{array}\right\} \Rightarrow b=317$, e prim +c) $(a ; b)=12 \Rightarrow(\exists) x, y \in \mathbb{N}^{*}, c u(x ; y)=1$, astefel încât $a=12 x$ și $b=12 y$. + +$7 \cdot 12 x+3 \cdot 12 y=972 \Rightarrow 7 x+3 y=81$ $\qquad$ +Arată că $x \vdots 3$ + +$\ldots \ldots . .0,5 p$ + +$\left.\begin{array}{l}7 x+3 y=81 \\ 3 y \geq 0\end{array}\right\} \Rightarrow 7 x \leq 81 \Rightarrow x \leq 11 \frac{4}{7}$ + +$x \leq 11 \frac{4}{7}$ + +$\left.x \in \mathbb{N}^{*}\right\} \Rightarrow x \in\{3 ; 6 ; 9\}$ + +$x \vdots 3$ + +Convin $a=36 ; b=240$ și $a=72 ; b=156$. + +$x=9 ; y=6$ nu convine, pentru că $(x ; y)=3$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f869f0cc3917d3e9a280g-2.jpg?height=254&width=1520&top_left_y=62&top_left_x=305) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 15.02 .2014
CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL al II-lea + +Fie $\Varangle A O B, \Varangle B O C, \Varangle C O D, \Varangle D O E, \Varangle E O F$ și $\Varangle F O A$ unghiuri în jurul punctului $O$, astfel încât : $m(\varangle A O B)=n^{\circ} ; m(\varangle B O C)=(n+k)^{\circ}$; + +$m(\varangle C O D)=(n+2 k)^{\circ} ; m(\varangle D O E)=(n+3 k)^{\circ} ; m(\varangle E O F)=(n+4 k)^{\circ} ;$ + +$m(\varangle F O A)=(n+5 k)^{\circ}$, unde $k, n \in \mathbb{N}^{*}$, cu $k ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL al III-lea + +Se consideră un triunghi $A B D$ ascuțitunghic. Fie $E$ simetricul punctului $D$ față de $B$ și $[B C$ semidreaptă opusă cu $[B A$, astfel încât $B C=2 \cdot A B$. În semiplanul opus cu $(A C, E$ se ia un punct $F$, astfel încât $\varangle A B D \equiv \varangle B C F$ și $[B D] \equiv[C F]$. Știind că $O$ este mijlocul segmentului $[B C]$, să se arate că: +a) $[A D] \equiv[E O]$; +b) $\triangle D A O \equiv \triangle E O A$ +c) $E, O, F$ sunt coliniare. + +Gheorghe Ciucă, Râmnicu Vâlcea + +BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE +a) $[D B] \equiv[B E]$ +........ $0,5 p$ +$\varangle A B D \equiv \varangle O B E$ +....... $0,5 p$ +$[A B] \equiv[B O]$ +....... $0,5 p$ +$\triangle A B D \equiv \triangle O B E$ (L.U.L.) +....... $0,5 p$ +$[A D] \equiv[E O]$ +....... $0,5 p$ +b) $\varangle D A B \equiv \varangle E O A$ +....... $0,5 p$ +$\triangle D A O \equiv \triangle E O A($ L.U.L.) $\qquad$ +c) $[E B] \equiv[F C]$ +$\ldots \ldots . .0,5 p$ +$\varangle O B E \equiv \varangle O C F$ +........ $0,5 p$ +$[O B] \equiv[O C]$ +....... $0,5 p$ +$\triangle O B E \equiv \triangle O C F$ (L.U.L.) +........ $0,5 p$ +$\varangle B O E \equiv \varangle C O F$ +$.0,5 p$ +$\left.\frac{\varangle B O E}{B, O, C} \equiv \varangle C O F\right) \Rightarrow \overline{E, O, F}$. +......... $0,5 p$ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f869f0cc3917d3e9a280g-4.jpg?height=256&width=1534&top_left_y=60&top_left_x=296) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02.2014
CLASA a VI-a + +# SUBIECTUL al IV-lea + +Trei elevi, Moișanu, Niculescu și Popescu, având prenumele Alex, Barbu și Costel, au participat la un concurs de matematică, unde au primit câte 15 probleme. La final, Moişanu a avut cel mai mic număr de probleme rezolvate corect. Barbu și Costel au rezolvat împreună cu 12 probleme mai mult decât Alex, Alex și Costel au rezolvat împreună cu 4 probleme mai mult decât Barbu. Aflați care sunt numele complete ale celor trei copii și câte probleme a rezolvat fiecare, știind că numărul problemelor rezolvate de Niculescu este trei șeptimi din suma numerelor problemelor rezolvate de ceilalți doi. + +Adrian Zanoschi, Iași, G.M. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +Fie $m, n, p$, respectiv, $a, b, c \in \mathbb{N}^{*}$ numărul problemelor rezolvate corect. + +$a+b+c=m+n+p$ + +$\left.\begin{array}{l}b+c=a+12 \\ a+c=b+4\end{array}\right\} \Rightarrow 2 c=16 \Rightarrow c=8$. + +$a+4=b$ + +$n=\frac{3}{7} \operatorname{din}(m+p) \Rightarrow 7 n=3(m+p)$ + +$\left.\begin{array}{l}7 n \vdots 3 \\ (7 ; 3)=1\end{array}\right\} \Rightarrow n \vdots 3$ $\qquad$ +$\left.\begin{array}{l}n \vdots 3 \\ c=8\end{array}\right\} \Rightarrow$ Pe Niculescu nu-l cheamă Costel + +Cazul I: Popescu Costel $\quad p=c=8$ + +$7 n=3(m+p) \Rightarrow 7 n=3(m+1)+21$. Arată $\left.\begin{array}{l}(m+1) \vdots 7 \\ m+1 \leq 16\end{array}\right\} \Rightarrow m \in\{6 ; 13\}$ + +$m=n=6$ nu convine pentru că $n>m ;$ + +....... $0,5 p$ + +$m=13 ; n=9$ nu convine pentru că $n>m$. $\qquad$ +Cazul II: Moișanu Costel $m=c=8$ + +$7 n=3(8+p) \Rightarrow 7 n=3(p+1)+21$. Arată că $(p+1) \vdots 7$ $\qquad$ +Arată că: $\left.\begin{array}{l}(p+1) \vdots 7 \\ p+1 \leq 16 \\ m=8 ETAPA LOCALĂ
15.02.2014
CLASA a V-a + +## SUBIECTUL I + +1. Să se compare numerele: +a) $8^{671} \mathrm{cu} 4^{1007}$ +b) $2^{861} \mathrm{cu} 5^{369}$. + +Emil Mitrache, Râmnicu Vâlcea + +2. Demonstrați că $3^{5001}+4^{4001}<7^{3001}$. + +Ion Safta, Pitești, G.M. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +1. a) $8^{671}=\left(2^{3}\right)^{671}=2^{2013}$ + +$$ +4^{1007}=\left(2^{2}\right)^{1007}=2^{2014} . \text { Deci } 8^{671}<4^{1007} +$$ + +$$ +\text { b) } \begin{aligned} +2^{861} & =\left(2^{7}\right)^{123}=128^{123} \\ +5^{369} & =\left(5^{3}\right)^{123}=125^{123} . \text { Deci } 2^{861}>5^{369} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ +2. $7^{3001}=7^{3000} \cdot 7=3 \cdot 7^{3000}+4 \cdot 7^{3000}$ + +$$ +\left.\begin{array}{l} +3^{5000}=\left(3^{5}\right)^{1000}=243^{1000} \\ +7^{3000}=\left(7^{3}\right)^{1000}=343^{1000} +\end{array}\right\} \Rightarrow 3^{5000}<7^{3000} \Rightarrow 3^{5001}<3 \cdot 7^{3000} \ldots 1 p +$$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02 .2014
CLASA a V-a + +## SUBIECTUL al II-lea + +$$ +\text { Fie } A=\{\overline{a b c d} \mid \overline{a b}=\overline{c d}+6 ; a \neq 0 ; c \neq 0\} +$$ + +a) Stabiliți dacă 2014, respectiv 2020 , aparțin mulțimii $A$. + +b) Aflați restul împărțirii unui element oarecare $\overline{a b c d}$ din $A$ la 101. + +c) Dacă $S$ este suma tuturor elementelor din mulțimea $A$, arătați că $S$ nu este pătrat perfect. + +Marcel Neferu, Drăgășani + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $20=14+6 \Rightarrow 2014 \in A$. + +$$ +20 \neq 20+6 \Rightarrow 2020 \notin A . +$$ + +b) $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=(\overline{c d}+6) \cdot 100+\overline{c d}=101 \cdot \overline{c d}+600$ + +$$ +\overline{a b c d}=101(\overline{c d}+5)+95 \Rightarrow r=95 +$$ + +c) $S=491871$ + +$$ +S=4 k+3 \Rightarrow S \text { nu este pătrat perfect } +$$ + +( Sau $S: 3, S: 3^{2}$ ) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +15.02 .2014 + +CLASA a V-a + +## SUBIECTUL al III-lea + +Fie $A=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2014\}$. + +a) Câte elemente din $A$ sunt divizibile cu 48 ? + +b) Câte elemente din $A$ sunt divizibile cu 48 sau 80 ? + +c) Determinați submulțimile lui $A$ care au suma elementelor egală cu 2029100. + +Gheorghe Ciucă, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) 41 de elemente + +b) 25 de elemente divizible cu 80 + +8 elemente divizible cu 80 și 48 + +c) $1+2+3+\ldots+2014=2029105$ + +$$ +\begin{aligned} +& A_{1}=\{1 ; 4 ; 5 ; 6 ; \ldots ; 2014\}=A-\{2 ; 3\} \\ +& A_{2}=\{2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; \ldots ; 2014\}=A-\{1 ; 4\} \\ +& A_{3}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 ; \ldots ; 2014\}=A-\{5\} +\end{aligned} +$$ + +$$ +\ldots . . . .0,5 p +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e90d1e889f1769bbf001g-4.jpg?height=252&width=1532&top_left_y=60&top_left_x=206) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
15.02.2014
CLASA a V-a + +# SUBIECTUL al IV-lea + +Numim număr ," preferat" orice număr de trei cifre diferite, format cu cifrele $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, care are proprietatea că produsul cifrelor sale este pătrat perfect. + +De exemplu, 149 este număr ,,preferat ", iar 245 nu este număr ,, preferat". + +a) Scrieţi două numere ,preferate "care au cifra unităţilor 2. + +b) Câte numere , preferate "există în total? + +c) Stabiliți dacă suma tuturor numerelor ,, preferate” este pătrat perfect. + +Gheorghe Radu, Râmnicu Vâlcea + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) 362 şi 632 sunt numere ,, preferate ", pentru că $2 \cdot 3 \cdot 6=36=6^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1,5 \mathrm{p}$ + +b) Cu cifrele 2, 3, 6 sunt 6 numere , preferate " : 236, 263, 326, 362, 623, $632 \ldots . .0,5 \mathrm{p}$ $1 \cdot 4 \cdot 9=36=6^{2}$. Cu cifrele $1,4,9$ sunt 6 numere , preferate $"$ : $149,194,419,491,914,941$ $0,5 \mathrm{p}$ + +$1 \cdot 2 \cdot 8=16=4^{2}$. Cu cifrele $1,2,8$ sunt 6 numere , preferate ”: + +$128,182,218,281,812,821$ + +$0,5 \mathrm{p}$ + +$2 \cdot 4 \cdot 8=64=8^{2}$. Cu cifrele $2,4,8$ sunt 6 numere ,, preferate ”: + +$248,284,428,482,824,842$ + +$.0,5 \mathrm{p}$ + +$2 \cdot 8 \cdot 9=144=12^{2}$. Cu cifrele $2,8,9$ sunt 6 numere ,, preferate ": + +$289,298,829,892,928,982$ + +$0,5 \mathrm{p}$ + +$3 \cdot 6 \cdot 8=144=12^{2}$. Cu cifrele $3,6,8$ sunt 6 numere , preferate ": + +$368,386,638,683,836,863$. $.0,5 \mathrm{p}$ + +Total : $6 \cdot 6=36$ numere ,, preferate $"$ + +$.0,5 \mathrm{p}$ + +c) Dacă $a, b, c$ sunt cifrele unui număr ,, preferat ", atunci fiecare apare în seria de 6 numere de două ori pe locul unităţilor, de două ori pe locul zecilor şi de două ori pe locul sutelor, prin urmare suma numerelor , preferate " formate cu aceste cifre este egală cu: + +$2 \cdot 111 \cdot(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})=222 \cdot(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})$. + +$\mathrm{S}=222 \cdot(2+3+6)+222 \cdot(1+4+9)+222 \cdot(1+2+8)+222 \cdot(2+4+8)+222 \cdot(2+8+9)+$ $+222 \cdot(3+6+8)=222 \cdot(11+14+11+14+19+17)=222 \cdot 86=19092 \ldots \ldots \ldots \ldots . .1,5 \mathrm{p}$ + +$U(S)=2 \Rightarrow S$ nu este pătrat perfect. $\ldots . .0,5 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1044-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1044-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1fab5b8cf29b9ac2bd704214545049851b346fd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1044-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,143 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d71d004b804b254a3430g-1.jpg?height=250&width=1676&top_left_y=108&top_left_x=318) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ + +15.02.2014 + +## CLASA a IX-a + +PROBLEMA 1. a) Demonstrati ca pentru orice $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{x}, \mathrm{y}$ strict pozitive avem + +$$ +\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b} +$$ + +b) Fie $t \in[0,1]$. Demonstrati ca + +$$ +\frac{t^{2}}{a^{2}-t^{2}} \leq \frac{t}{a^{2}-1}, a>1 +$$ + +c) Fie $x, y, z$ numere reale pozitive cu suma 1 si fie a real, $a>1$. Sa se arate ca + +$$ +\begin{gathered} +\frac{27}{9 a^{2}-1} \leq \frac{1}{a^{2}-x^{2}}+\frac{1}{a^{2}-y^{2}}+\frac{1}{a^{2}-z^{2}} \leq \frac{3 a^{2}-2}{a^{2}\left(a^{2}-1\right)} \\ +\text { G.M. } +\end{gathered} +$$ + +PROBLEMA 2.Fie $a \in \mathbb{R}$ cu $0 \leq a<1$. Demonstrati identitatea + +$$ +\left[a\left(1+\left[\frac{1}{1-a}\right]\right)\right]+1=\left[\frac{1}{1-a}\right] +$$ + +unde $[x]$ reprezinta partea intreaga a lui $\mathrm{x}$. + +PROBLEMA 3. Fie $A B C D$ un patrulater convex, $O$ punctul de intersecție al diagonalelor, $M$ un punct de pe segmentul $A B$ și $N$ un punct de pe segmentul $C D$. Să se arate că $O, M, N$ sunt coliniare dacă și numai dacă + +$$ +A M \cdot D N \cdot O B \cdot O C=B M \cdot C N \cdot O A \cdot O D +$$ + +PROBLEMA 4. Pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$ notăm cu $f(n)$ numărul perechilor $(x, y)$ cu $x$, $y \in \mathbb{Z}$ și $\left|x^{2}-y^{2}\right|=n$. + +a) Calculați $f$ (2013) . + +b) Calculați $f(n)$ pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +NOTA: Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza cu puncte de la 0 la 7 . +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d71d004b804b254a3430g-2.jpg?height=256&width=1700&top_left_y=102&top_left_x=295) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16.02.2013 + +## CLASA a IX-a + +PROBLEMA 1 . +a) $(a+b)\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\right)=x^{2}+y^{2}+\frac{a}{b} y^{2}+\frac{b}{a} x^{2} \geq(x+y)^{2}$ + +b)Inegalitatea este echivalenta cu $t(t-1)\left(t+a^{2}\right) \leq 0$ adevarata (2p) + +c) Pentru inegalitatea din stanga avem folosind a) + +$$ +\sum \frac{1}{a^{2}-x^{2}} \geq \frac{9}{3 a^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \geq \frac{9}{3 a-\frac{1}{3}}=\frac{27}{9 a^{2}-1} +$$ + +Am folosit $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}=\frac{1}{3}(2 \mathrm{p})$. Inegalitatea din dreapta ,dupa efectuarea unor calcule, este echivalenta $\mathrm{cu} \sum \frac{x^{2}}{a^{2}-x^{2}} \leq \frac{1}{a^{2}-1}$ (1) Luam in $\mathrm{b}) \mathrm{t}=\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ adunam cele trei inegalitati si folosind conditia $x+y+z=1$ rezulta inegalitatea de demonstrat.( $2 p$ ) + +## PROBLEMA 2. + +Exista $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel incat $\left[\frac{1}{1-a}\right]=k$ deci $k \leq \frac{1}{1-a} Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a XII-a M $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Să se determine primitivele funcției $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$. + +## Problema 2 + +a) Să se arate că $\int \cos \left(x^{3}+1\right) d x=x \cos \left(x^{3}+1\right)+3 \int x^{3} \sin \left(x^{3}+1\right) d x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +b) Să se calculeze $\int\left(4+9 x^{6}\right) \cos \left(x^{3}+1\right) d x$, unde $x \in \mathbb{R}$. + +## Problema 3 + +Pe $\mathbb{Z}$ se defineşte legea de compoziție asociativă $x * y=x y-2 x-2 y+6,(\forall) x, y \in \mathbb{Z}$. Să se determine restul împărțirii lui $\underbrace{5 * 5 * \ldots * 5}_{\text {de } 2014 \text { ori }}$ la $3^{2014}$. + +## Problema 4 + +Se consideră mulțimea $G=\left\{\left.A_{x}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 x & 5 x^{2}-2 x \\ 0 & 1 & 5 x \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \right\rvert\, x \in \mathbb{R}\right\} \subset M_{3}(\mathbb{R})$. + +a) Să se arate că $A_{x} \cdot A_{y}=A_{x+y},(\forall) x, y \in \mathbb{R}$. + +b) Să se arate că $(G, \cdot)$ formează o structură de grup. + +c) Să se arate că $f: G \rightarrow \mathbb{R}, f\left(A_{x}\right)=x$ este un izomorfism de la $(G, \cdot)$ la $(\mathbb{R},+)$. + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a XII-a M2 + +## Problema 1 + +Pe $\mathbb{R}$ definim legea de compoziție asociativă, $x * y=2 x y-6 x-6 y+21,(\forall) x, y \in \mathbb{R}$. + +a) Arătați că $x * y=2(x-3)(y-3)+3,(\forall) x, y \in \mathbb{R}$. + +b) Calculați $1 * 2 * \ldots * 2014$. + +c) Există $a, b \in \mathbb{R} / \mathbb{Q}$ astfel încât $a * b \in \mathbb{N}$ ? Justificați răspunsul. + +## Problema 2 + +Să se calculeze integralele $I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ şi $J=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x$, unde $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. + +## Problema 3 + +Fie $f, F:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x-1}, F(x)=(a x+b) \sqrt{x-1}$, unde $a, b \in \mathbb{R}$. Determinați $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $F$ este o primitivă pentru $f$. + +## Problema 4 + +Se consideră mulțimea $G=\left\{\left.A(x)=\left(\begin{array}{ll}1 & x \\ 0 & 1\end{array}\right) \right\rvert\, x \in \mathbb{Z}\right\}$. + +a) Să se arate că $(G, \cdot)$ este grup. + +b) Arătaţi că $f: \mathbb{Z} \rightarrow G, f(x)=A(x)$ este un izomorfism de la $(\mathbb{Z},+)$ la $(G, \cdot)$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală -15.02.2014 + +Clasa a XII-a $\mathbf{M}_{1}$ + +Soluţii și bareme + +1. Funcţia $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$,deci admite primitive pe $\mathbb{R}$. Utilizăm formula de integrare prin părţi. ...1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7446422352ed099e0a03g-3.jpg?height=238&width=1654&top_left_y=865&top_left_x=257) + +obţinem: $\int \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) d x=\int(x)^{\prime} \cdot \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) d x=x \cdot \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)-\int \frac{2|x|}{1+x^{2}} d x$, + +Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $(\exists) c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{R}$ astfel încât + +$$ +F(x)=\left\{\begin{array}{c} +x \cdot \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+\ln \left(1+x^{2}\right)+c_{1}, x<0 \\ +c_{2}, x=0 \\ +x \cdot \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)-\ln \left(1+x^{2}\right)+c_{3}, x>0 +\end{array}\right. +$$ + +Cum $F$ este continuă, din condiţia $F(0-0)=F(0+0)=F(0)$, obţinem $c_{1}=c_{2}=c_{3}$, + +$$ +\Rightarrow F(x)=c+\left\{\begin{array}{c} +x \cdot \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+\ln \left(1+x^{2}\right), x \leq 0 \\ +x \cdot \arccos \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)-\ln \left(1+x^{2}\right)+c_{3}, x>0 +\end{array} \quad, \text { unde } c \in \mathbb{R}\right. +$$ + +2. a) Utilizăm formula de integrare prin părţi, avem: + +$$ +\int \cos \left(x^{3}+1\right) d x=\int(x)^{\prime} \cos \left(x^{3}+1\right) d x=x \cos \left(x^{3}+1\right)+3 \int x^{3} \sin \left(x^{3}+1\right) d x +$$ + +b) Utilizând formula de integrare prin părţi, obţinem: +$I=\int 4 \cos \left(x^{3}+1\right) d x=\int(4 x)^{\prime} \cos \left(x^{3}+1\right) d x=4 x \cos \left(x^{3}+1\right)+12 \int x^{3} \sin \left(x^{3}+1\right) d x=$ + +$=4 x \cos \left(x^{3}+1\right)+12 \int\left(\frac{x^{4}}{4}\right)^{\prime} \sin \left(x^{3}+1\right) d x=4 x \cos \left(x^{3}+1\right)+12 \frac{x^{4}}{4} \sin \left(x^{3}+1\right)-12 \int \frac{x^{4}}{4} \cdot 3 x^{2} \cos \left(x^{3}+1\right) d x=$ + +$=4 x \cos \left(x^{3}+1\right)+3 x^{4} \sin \left(x^{3}+1\right)-\underbrace{\int 9 x^{6} \cos \left(x^{3}+1\right) d x}_{J}, \Rightarrow$ + +$\int\left(4+9 x^{6}\right) \cos \left(x^{3}+1\right) d x=I+J==4 x \cos \left(x^{3}+1\right)+3 x^{4} \sin \left(x^{3}+1\right)+C$. + +3. $x * y=x y-2 x-2 y+6=x y-2 x-2 y+4+2=x(y-2)-2(y-2)+2=(x-2)(y-2)+2,(\forall) x, y \in \mathbb{Z}$ + +$x * x=(x-2)^{2}+2, x * x * x=(x * x) * x=(x-2)^{3}+2, \ldots, \underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } n \text { ori }}=(x-2)^{n}+2,(\forall) x \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +Demonstrăm prin inducţie : Fie $x \in \mathbb{Z}, P(n): \underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } n \text { ori }}=(x-2)^{n}+2, n \in \mathbb{N}, n \geq 2 . P(2)$ este adevărat. + +Presupunem $P(k)$ adevărat şi demonstrăm $P(k+1)$, unde $k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ arbitrar fixat. + +$P(k+1): \underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } k+1 \text { ori }}=\underbrace{(x * x * \ldots * x)}_{\text {de } k \text { ori }} * x=\left[(x-2)^{k}+2-2\right](x-2)+2=(x-2)^{k+1}+2$, deci $P(k+1)$ adevărat. + +Aşadar $P(n)$ adevărat $(\forall) n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +Avem $\underbrace{5 * 5 * \ldots * 5}_{\text {de } 2014 \text { ori }}=(5-2)^{2014}+2=3^{2014}+2$ şi restul împărţirii la $3^{2014}$ este 2. + +4. a) $A_{x} \cdot A_{y}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 x & 5 x^{2}-2 x \\ 0 & 1 & 5 x \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 y & 5 y^{2}-2 y \\ 0 & 1 & 5 y \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 y+2 x & 5 y^{2}-2 y+10 x y+5 x^{2}-2 x \\ 0 & 1 & 5 y+5 x \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=$ + +$$ +=\left(\begin{array}{ccc} +1 & 2(x+y) & 5(x+y)^{2}-2(x+y) \\ +0 & 1 & 5(x+y) \\ +0 & 0 & 1 +\end{array}\right)=A_{x+y},(\forall) x, y \in \mathbb{R} +$$ + +b)Din a) $A_{x} \cdot A_{y}=A_{x+y}, x+y \in \mathbb{R}$, deci $A_{x} \cdot A_{y} \in G,(\forall) A_{x}, A_{y} \in G$, deci înmulţirea este lege pe $G$ (1) .....0,5p Observăm că $A_{x}=A, \Leftrightarrow x=y$. Înmulţirea matricelor este asociativă pe $M_{3}(\mathbb{R}), G \subset M_{3}(\mathbb{R})$, deci şi pe $G(2) \ldots .0,5 \mathrm{p}$ $A_{0}=I_{3} \in G$, deci înmulţirea admite element neutru (3). + +Pentru orice $x \in \mathbb{R}$, avem $A_{x} \cdot A_{-X}=A_{-X} \cdot A_{x}=A_{0}=I_{3}$, deci toate elementele sunt simetrizabile (4). $\qquad$ + +Din $(1),(2),(3),(4)$ rezultă $(G, \cdot)$ grup. $\qquad$ +c) $f\left(A_{x} \cdot A_{y}\right)=f\left(A_{x+y}\right)=x+y=f\left(A_{x}\right)+f\left(A_{y}\right),(\forall) A_{x}, A_{y} \in G$, deci $f \operatorname{morfism}(A)$. $\qquad$ +Fie $A_{x}, A_{y} \in G$ astfel încât $f\left(A_{x}\right)=f\left(A_{y}\right) \Rightarrow x=y \Rightarrow A_{x}=A_{y} \Rightarrow f$ injectivă $\left(B_{1}\right)$. $\qquad$ +Fie $y \in \mathbb{R}$, atunci $(\exists) A_{y} \in G$ astfel încât $f\left(A_{y}\right)=y$, deci $f$ surjectivă $\left(B_{2}\right)$. $\qquad$ +Din $\left(B_{1}\right)$ şi $\left(B_{2}\right)$ rezultă $f$ bijectivă $(B)$. Din $(A)$ şi $(B)$ rezultă $f$ izomorfism. $\qquad$ + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014 + +Clasa a XII-a M $\mathbf{M}_{2}$ + +Soluţii și bareme + +1. a) $2(x-3)(y-3)+3=2\left(x^{2}-3 x-3 y+9\right)+3=2 x y-6 x-6 y+21=x * y,(\forall) x, y \in \mathbb{R}$. + +b) Căutăm "zeroul" legii: $a \in \mathbb{R}$ pentru care $a * x=x * a=a,(\forall) x \in \mathbb{R}$. + +$a * x=a \Leftrightarrow 2(a-3)(x-3)+3=a \Leftrightarrow 2(a-3)(x-3)-(a-3)=0 \Leftrightarrow(a-3)[2(x-3)-1]=0,(\forall) x \in \mathbb{R}$, deci $a-3=0 \Rightarrow a=3, \quad \ldots .2 \mathrm{p}$ verificăm $x * 3=2(x-3)(3-3)+3=3,(\forall) x \in \mathbb{R}$, deci $3 * x=x * 3=3,(\forall) x \in \mathbb{R}$. + +Avem $1 * 2 * \ldots * 2014 \stackrel{* * " \text { asociativã }}{=}(1 * 2) * 3 *(4 * \ldots * 2014)=3 *(4 * \ldots * 2014)=3$. + +c) Răspunsul este afirmativ. Putem lua, spre exemplu, $a=3+\sqrt{3}, b=3+2 \sqrt{3} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, obţinem $a * b=2(3+\sqrt{3}-3)(3+2 \sqrt{3}-3)+3=15 \in \mathbb{N}$. + +2. Avem $I+J=\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int d x=x+C$, respectiv + +$-I+J=\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x=\int \frac{(\sin x+\cos x)^{\prime}}{\sin x+\cos x} d x=\ln |\sin x+\cos x|+C \stackrel{x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}{=} \ln (\sin x+\cos x)+C$ + +$I=\frac{1}{2}[(I+J)-(-I+J)]=\frac{1}{2}[x-\ln (\sin x+\cos x)]+C$, iar + +$J=\frac{1}{2}[(I+J)+(-I+J)]=\frac{1}{2}[x+\ln (\sin x+\cos x)]+C$ + +3. $F$ este primitivă pentru $f \Leftrightarrow F^{\prime}(x)=f(x),(\forall) x \in(1, \infty) \Leftrightarrow[(a x+b) \sqrt{x-1}]^{\prime}=\sqrt{x-1},(\forall) x \in(1, \infty) \Leftrightarrow$ + +$a \sqrt{x-1}+(a x+b) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1} \Leftrightarrow 2 a(x-1)+(a x+b)=2(x-1) \Leftrightarrow 3 a x+(b-2 a)=2 x-2,(\forall) x \in(1, \infty) \Rightarrow$ + +$\left\{\begin{array}{c}3 a=2 \\ b-2 a=-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a=\frac{2}{3} \\ b=-\frac{2}{3}\end{array}\right.\right.$. + +4. a) $A(x) \cdot A(y)=\left(\begin{array}{ll}1 & x \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & y \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & x+y \\ 0 & 1\end{array}\right)=A(x+y)$ şi cum $x+y \in \mathbb{Z}$, rezultă $A(x) \cdot A(y) \in G$, deci înmulţirea este lege pe $G(1)$. $\qquad$ +Înmulţirea matricelor este asociativă pe $M_{2}(\mathbb{R}), G \subset M_{2}(\mathbb{R})$, deci şi pe $G(2)$. $\qquad$ +$A(0)=I_{2} \in G$, deci înmulţirea admite element neutru (3). $\qquad$ +$(\forall) x \in \mathbb{Z}$, avem $A(x) \cdot A(-x)=A(-x) \cdot A(x)=A(0)=I_{2}$, deci toate elementele sunt simetrizabile (4) $\qquad$ +Din (1),(2),(3),(4) rezultă $(G, \cdot)$ grup. + +b) $f(x+y)=A(x+y) \stackrel{a)}{=} A(x) \cdot A(y)=f(x) \cdot f(y),(\forall) x, y \in \mathbb{Z}$, deci $f$ morfism $(A)$. $\qquad$ +Fie $x, y \in \mathbb{Z}$ astfel încât $f(x)=f(y) \Rightarrow A(x)=A(y) \Rightarrow\left(\begin{array}{ll}1 & x \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & y \\ 0 & 1\end{array}\right) \Rightarrow x=y \Rightarrow f$ injectivă $\left(B_{1}\right)$. $\qquad$ +Fie $A(x) \in G$, atunci $x \in \mathbb{Z}$ astfel încât $f(x)=A(x)$, deci $f$ surjectivă $\left(B_{2}\right)$. + +Din $\left(B_{1}\right)$ şi $\left(B_{2}\right)$ rezultă $f$ bijectivă $(B)$. Din $(A)$ şi $(B)$ rezultă $f$ izomorfism. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1046-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1046-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1bc46ec9020d7422179c7d9133310d07f1575776 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1046-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,174 @@ +# limpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a XI-a M $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Se consideră determinantul $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}e^{2 x^{2}} & e^{-a} & e^{-x} \\ e^{-a} & e^{2 x} & e^{-x^{2}} \\ e^{-x} & e^{-x^{2}} & e^{2 a}\end{array}\right|$, unde $a \in \mathbb{R}$. + +a) Pentru ce valori ale lui $a \in \mathbb{R}$, ecuația $f(x)=0$ are soluții reale? + +b) Să se determine $a \in \mathbb{R}$ pentru care ecuaţia $f(x)=0$ are toate soluțiile numere reale strict negative. + +## Problema 2 + +Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi $A, B \in M_{n}(\mathbb{Q})$ două matrice cu proprietatea că $A+B=A B$. Arătați că pentru orice $k \in \mathbb{N}$, $k \geq 2$, proprietătile următoare sunt echivalente: + +1) $A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}=O_{n}$. +2) $B^{k}=O_{n}$. + +## Problema 3 + +Să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}-k+1}{k^{4}+k}}\right)^{n^{2}+1}$. + +## Problema 4 + +Să se determine în funcție de $\alpha \in \mathbb{R}, \lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}(\sqrt{x+1}-2 \sqrt{x}+\sqrt{x-1})$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a XI-a M $\mathbf{M}_{2}$ + +## Problema 1 + +Se consideră funcția $f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+2}$. Să se determine domeniul maxim de definiție şi asimptotele la graficul funcției. + +## Problema 2 + +Să se determine $x \in \mathbb{R}$ poentru care $\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 2 \\ 1 & 2 & x \\ 2 & x & 1\end{array}\right|=0$. + +## Problema 3 + +Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(x^{2}-1\right)}{\operatorname{tg}\left(x^{3}-1\right)} \cdot \frac{e^{x^{2}-1}-1}{x^{4}-1}$. + +## Problema 4 + +Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R})$. + +a) Să de calculeze $\operatorname{det}\left(A+3 I_{3}\right)$. + +b) Să se verifice dacă $A^{5}+4 A=O_{3}$. + +c) Să se calculeze $A+A^{5}+A^{9}+\ldots+A^{2013}$. + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a XI-a M + +## Soluţii și bareme + +1. a) Dezvoltând determinantul obţinem: $f(x)=e^{2 x^{2}+2 x+2 a}+2 e^{-x^{2}-x-a}-3=e^{2\left(x^{2}+x+a\right)}+\frac{2}{e^{\left(x^{2}+x+a\right)}}-3$ + +Notând : $e^{\left(x^{2}+x+a\right)}=t>0$, ecuaţia $f(x)=0$ devine : + +$t^{2}+\frac{2}{t}-3=0 \Leftrightarrow \frac{t^{3}-3 t+2}{t}=0 \Leftrightarrow \frac{(t-1)^{2}(t+2)}{t}=0 \Leftrightarrow(t-1)^{2}(t+2)=0 \Rightarrow t_{1}=1>0 ; t_{2}=-2<0$ + +Revenind la notaţie, vom avea : $e^{\left(x^{2}+x+a\right)}=1 \Rightarrow x^{2}+x+a=0\left(^{*}\right)$. + +Ecuaţia are soluţii reale $\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow 1-4 a \geq 0 \Leftrightarrow a \in\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]$. + +a) Ecuaţia $f(x)=0$ are toate soluţiile strict negative $\Leftrightarrow$ ecuaţia $\left({ }^{*}\right)$ are soluţiile $x_{1}, x_{2}$ strict negative.....1p + +$$ +\begin{aligned} +& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} +\Delta \geq 0 \\ +S<0 \\ +P>0 +\end{array}\right. \\ +& \left\{\begin{array}{l} +a \in\left(-\infty, \frac{1}{4}\right. +\end{array}\right] \\ +& -1<0 \text { adevarat } S=x_{1}+x_{2}=-1 ; P=x_{1} \cdot x_{2}=a \Rightarrow\left(0, \frac{1}{4}\right] \\ +& a \in(0, \infty) +\end{aligned} +$$ + +2. 3) $\Rightarrow$ 2) $A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}=O_{n} \cdot \mid B \Rightarrow A B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}+B^{k}=O_{n} \stackrel{A B=A+B}{\Rightarrow} \underbrace{A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}}_{O_{n}}+B^{k}=O_{n} \Rightarrow B^{k}=O_{n}$ +2) $\Rightarrow$ 1) Ştim că $B^{k}=O_{n}, \forall k \in \mathbb{N}, k \geq 2$.Demonstrăm prin metoda inducţiei matematice afirmaţia de la (1) + +$P(k): A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}=O_{n}, \forall k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ + +I) $P(2): A+B=O_{n}$ de verificat + +$O_{n}=B^{2}=A B^{2}=(A B) B \stackrel{A B=A+B}{=}(A+B) B=A B+B^{2} \stackrel{B^{2}=O_{n}}{=} A B=A+B \Rightarrow A+B=O_{n} \Rightarrow P(2)$ adevărat. + +II) $P(k) \rightarrow P(k+1)$ + +$P(k): A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}=O_{n}$, pentru $k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ fixat, ipoteză de inducţie + +$P(k+1): A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}+B^{k}=O_{n}$, trebuie demonstrat + +Din $P(k) \Rightarrow A+B+\ldots+B^{k-1}=O_{n} \mid+B^{k}\left(=O_{n}\right) \Rightarrow A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}+B^{k}=O_{n} \Rightarrow P(k+1): A+B+B^{2}+\ldots+B^{k-1}+B^{k}=O_{n}$ adevărat. + +3. $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}-k+1}{k^{4}+k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}-k+1}{\left(k^{4}+k\right)}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}-k+1}{k\left(k^{3}+1\right)}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}-k+1}{k(k+1)\left(k^{2}-k+1\right)}=$ + +$=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$ + +$\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}-k+1}{k^{4}+k}}\right)^{n^{2}+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n]{\frac{n}{n+1}}\right)^{n^{2}+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{n^{2}+1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-1}}\right]^{\frac{-\left(n^{2}+1\right)}{n(n+1)}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$ + +4. $\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}(\sqrt{x+1}-2 \sqrt{x}+\sqrt{x-1})=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-\sqrt{x}+\sqrt{x-1})=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}\left(\frac{\not x+1-\not x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}+\frac{\not x-1-\not x}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}\right)=$ + +$=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}+\frac{-1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}\left(\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})}\right)=$ + +$=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\alpha}\left(\frac{\not x-1-\not x-1}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}\right)=$ + +$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-2 x^{\alpha}}{x^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}=l$ + +Discuţie: + +1) Pentru $\alpha<\frac{3}{2} \Rightarrow l=0$ +2) Pentru $\alpha=\frac{3}{2} \Rightarrow l=-\frac{1}{4}$ +3) Pentru $\alpha>\frac{3}{2} \Rightarrow l=-\infty$ + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a XI-a M $\mathbf{M}_{2}$ + +Soluţii și bareme + +1. $D=\mathbb{R} \Rightarrow$ nu există asimptote verticale. Cum $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=\infty \Rightarrow$ nu există asimptote orizontale . Studiem existenţa asimptotei oblice la $-\infty$ : + +$m=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x \sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{x}=-1$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e43af83ca70630f5d12bg-5.jpg?height=201&width=1244&top_left_y=1038&top_left_x=142) + +deci $y=-x$ asimptotă oblică la $-\infty$. + +Studiem existenţa asimptotei oblice la $+\infty$ : + +$$ +\begin{aligned} +& m=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{x}=1, \\ +& n=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow \infty}[\underbrace{\sqrt{x^{2}+2}}_{\infty}-\underbrace{\chi}_{\infty}]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+2-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}+x}=\frac{2}{\infty}=0 +\end{aligned} +$$ + +deci $y=x$ asimptotă oblică la $+\infty$. + +2. $\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 2 \\ 1 & 2 & x \\ 2 & x & 1\end{array}\right| \stackrel{L_{1} \rightarrow L_{1}+L_{2}+L_{3}}{=}\left|\begin{array}{ccc}x+3 & x+3 & x+3 \\ 1 & 2 & x \\ 2 & x & 1\end{array}\right|=(x+3) \cdot\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & x \\ 2 & x & 1\end{array}\right|=(x+3) \cdot\left(2+x+2 x-4-x^{2}-1\right)==(x+3) \cdot\left(-x^{2}+3 x-3\right)$ + +Cum determinantul este nul $\Leftrightarrow(x+3) \cdot\left(-x^{2}+3 x-3\right)=0$, adică $x+3=0 \Leftrightarrow x=-3$ + +sau $-x^{2}+3 x-3=0$, dar $\Delta=-3<0$ şi ecuaţia nu are soluţii reale. Deci $S=\{-3\}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e43af83ca70630f5d12bg-6.jpg?height=434&width=1507&top_left_y=309&top_left_x=141) + +4. a) $\operatorname{det}\left(A+3 I_{3}\right)=\left|\begin{array}{ccc}4 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 4\end{array}\right|=48+3=51$. + +b) $A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right), A^{3}=A^{2} \cdot A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right), A^{5}=A^{3} \cdot A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & -4\end{array}\right)$ şi + +$A^{5}+4 A=\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=O_{3}$. + +c) Din (b) $\Rightarrow A^{5}+4 A=O_{3} \Rightarrow A^{5}=-4 A A^{9}=A^{5} \cdot A^{4}=-4 A^{5}=(-4)^{2} A, A^{13}=A^{9} \cdot A^{4}=(-4)^{2} A^{5}=(-4)^{3} A . . ., A^{2013}=(-4)^{50 B} A, \Rightarrow$ $A+A^{5}+A^{9}+\ldots+A^{2013}=A+(-4) A+(-4)^{2} A+\ldots+(-4)^{503} A=\left[1+(-4)+(-4)^{2}+\ldots+(-4)^{503}\right] A=$ + +$=\frac{(-4)^{504}-1}{-4-1} A=\frac{1-4^{504}}{5} A$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1047-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1047-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03c840d1261d0f4001a16a17b348c35455f268c4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1047-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,137 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a X-a M $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Stabiliți valoarea de adevăr a următoarei propoziții: "Există numere iraționale care ridicate la puterea număr irațional să dea număr rațional". + +## Problema 2 + +Fie $\varepsilon=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}$ şi $z \in \mathbb{C}$. Demonstrați că $(z-1)^{2}+(z-\varepsilon)^{2}+(z-\bar{\varepsilon})^{2}=3 z^{2}$. + +## Problema 3 + +Să se demonstreze că dacă $a, b, c \in(0, \infty)$, atunci $\lg ^{2}\left(\frac{a b}{c}\right)+\lg ^{2}\left(\frac{b c}{a}\right)+\lg ^{2}\left(\frac{c a}{b}\right) \geq \lg \frac{a b c}{\sqrt[4]{1000}}$. + +## Problema 4 + +Să se determine $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ pentru care $2^{\sin ^{2} x}+2^{\cos ^{2} x}=2 \sqrt{2}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a X-a $\mathbf{M}_{2}$ + +## Problema 1 + +Aflați $a, b \in \mathbb{Z}$ astfel încât $\sqrt[3]{38+17 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5}$. + +## Problema 2 + +Arătați că expresia $E=\frac{\log _{2} x^{2}+\log _{2} x^{3}+\ldots+\log _{2} x^{2014}}{\log _{7} x^{3}+\log _{7} x^{4}+\ldots+\log _{2} x^{2015}}$ este independentă de $x$, pentru orice $x \in(0,1) \cup(1, \infty)$. + +## Problema 3 + +Să se determine suma valorilor lui $x \in \mathbb{Z}$ pentru care are sens expresia $E(x)=\log _{x^{2}-3 x+2}\left(16-x^{2}\right)$. + +## Problema 4 + +Să se rezolve în $\mathbb{C}$ ecuaţia $z+|z|=8+4 i$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a X-a $\mathbf{M}_{1}$
Soluţii și bareme + +1) Afirmaţia este adevărată. + +Exemplu: $a=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ şi $b=\sqrt{2}$. + +Dacă $a \in \mathbb{Q}$, atunci acesta este exemplul de număr iraţional : $\sqrt{2}$, care ridicat la numărul iraţional $\sqrt{2}$ dă număr raţional. + +Dacă $a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, atunci $a^{\sqrt{2}}=\left[(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\right]^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{2}=2 \in \mathbb{Q}$, deci $a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}, \sqrt{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ si $a^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}$. + +2) $\varepsilon=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}$ este una dintre rădăcinile complexe nereale ale unităţii. + +Aceasta verifică ecuaţiile: $z^{3}=1$ şi $z^{2}+z+1=0$, + +iar $\bar{\varepsilon}=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}=\varepsilon^{2}$ este cea de-a doua rădăcină complexă nereală a celor două ecuaţii. + +Deci $\varepsilon^{2}+\varepsilon+1=0, \varepsilon^{3}=1, \varepsilon^{4}=\varepsilon$.Atunci vom avea : + +$(z-1)^{2}+(z-\varepsilon)^{2}+(z-\bar{\varepsilon})^{2}=z^{2}-2 z+1+z^{2}-2 \varepsilon+\varepsilon^{2}+z^{2}-2 \bar{\varepsilon}+\bar{\varepsilon}^{2}=z^{2}-2 z+1+z^{2}-2 \varepsilon+\varepsilon^{2}+z^{2}-2 \varepsilon^{2}+\varepsilon=$ + +$=3 z^{2}-2 z \underbrace{\left(\varepsilon^{2}+\varepsilon+1\right)}_{0}+\underbrace{\left(\varepsilon^{2}+\varepsilon+1\right)}_{0}=3 z^{2}$ + +3) Facem următoarele notaţii : + +$\lg a=x, \lg b=y, \lg c=z$ + +Atunci: $\lg ^{2}\left(\frac{a b}{c}\right)+\lg ^{2}\left(\frac{b c}{a}\right)+\lg ^{2}\left(\frac{c a}{b}\right)=(\lg a+\lg b-\lg c)^{2}+(\lg b+\lg c-\lg a)^{2}+(\lg c+\lg a-\lg b)^{2}=$ + +$=(x+y-z)^{2}+(y+z-x)^{2}+(z+x-y)^{2}$ +$\lg \frac{a b c}{\sqrt[4]{1000}}=\lg a+\lg b+\lg c-\frac{3}{4}=x+y+z-\frac{3}{4}$ + +Inegalitatea din enunţ devine : + +$$ +\begin{aligned} +& (x+y-z)^{2}+(y+z-x)^{2}+(z+x-y)^{2} \geq x+y+z-\frac{3}{4} \Leftrightarrow \\ +& 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2 x y-2 x z-2 y z+2 y z-2 x y-2 x z+2 x z-2 x y-2 y z \geq x+y+z-\frac{3}{4} \Leftrightarrow \\ +& (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-x-y-z+\frac{3}{4} \geq 0 \Leftrightarrow \\ +& (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}+\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +Cum suma pătratelor unor numere reale este pozitivă, oricare ar fi numerele respective, ultima afirmaţie este adevărată. + +4) Aplicăm inegalitatea mediilor pentru numerele reale pozitive: $2^{\sin ^{2} x}, 2^{\cos ^{2} x}$ : + +$\frac{2^{\sin ^{2} x}+2^{\cos ^{2} x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin ^{2} x} \cdot 2^{\cos ^{2} x}}=\sqrt{2^{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}}=\sqrt{2}$ + +Dar conform ecuaţiei din enunţ, rezultă că mediile sunt egale, egalitatea având loc dacă şi numai dacă numerele sunt egale. Deci: + +$2^{\sin ^{2} x}=2^{\cos ^{2} x} \Rightarrow \sin ^{2} x=\cos ^{2} x$ + +dar pentru $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin x>0, \cos x>0 \Rightarrow \sin x=\cos x \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}$. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a X-a $\mathbf{M}_{2}$
Soluţii și bareme + +1. Prin ridicare la puterea a 3-a, obţinem $38+17 \sqrt{5}=(a+b \sqrt{5})^{3} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow 38+17 \sqrt{5}=a^{3}+3 a^{2} b \sqrt{5}+15 a b^{2}+5 b^{3} \sqrt{5} \Leftrightarrow 38+17 \sqrt{5}=\underbrace{\left(a^{3}+15 a b^{2}\right)}_{\in \mathbb{Z}}+\underbrace{\left(3 a^{2} b+5 b^{3}\right)}_{\in \mathbb{Z}} \sqrt{5} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a^{3}+15 a b^{2}=38 \\ 3 a^{2} b+5 b^{3}=17\end{array}\right.$ (altfel, am ajunge la contradicţia $\sqrt{5} \in \mathbb{Q}$ ), de unde + +$\left\{\begin{array}{l}a\left(a^{2}+15 b^{2}\right)=38 \\ b\left(3 a^{2}+5 b^{2}\right)=17\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a, b>0 \\ b \mid 17 \\ b \leq 1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ a=2\end{array}\right.\right.\right.$ + +2. $E=\frac{\log _{2} x^{2}+\log _{2} x^{3}+\ldots+\log _{2} x^{2014}}{\log _{7} x^{3}+\log _{7} x^{4}+\ldots+\log _{2} x^{2014}}=\frac{2 \log _{2} x+3 \log _{2} x+\ldots+2014 \log _{2} x}{3 \log _{7} x+4 \log _{7} x+\ldots+2014 \log _{7} x}=\frac{\log _{2} x(2+3+\ldots+2014)}{\log _{7} x(3+4+\ldots+2015)}=$ + +$=\frac{\log _{2} x \cdot \frac{(2+2014) \cdot 2013}{2}}{\log _{7} x \cdot \frac{(3+2015) \cdot 2013}{2}}=\frac{1008 \cdot \log _{2} x}{1009 \cdot \log _{7} x}=\frac{1008 \cdot \frac{\lg x}{\lg 2}}{1009 \cdot \frac{\lg x}{\lg 7}}=\frac{1008 \cdot \lg 7}{1009 \cdot \lg 2}$, + +adică este independentă de $x$, pentru orice $x \in(0,1) \cup(1, \infty)$. + +3. Condiţii de existenţă: $\left\{\begin{array}{c}x^{2}-3 x+2>0 \\ x^{2}-3 x+2 \neq 1 \\ 16-x^{2}>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x \in(-\infty, 1) \cup(2, \infty) \\ x \in \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\} \\ x \in(-4,4)\end{array} \Leftrightarrow x \in(-4,1) \cup(2,4) \backslash\left\{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}\right.\right.$ + +şi cum $x \in \mathbb{Z}$, obţinem $x \in\{-3,-2,-1,0,3\}$, + +iar suma acestora este -3 . + +4. Fie $z=a+b i$, unde $a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ + +## INSPECTORATULSTCOLAR TUDETEANILFOV + +Ecuaţia se rescrie: $a+b i+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=8+4 i \Leftrightarrow\left(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)+b i=8+4 i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=8 \\ b=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}b=4 \\ \sqrt{a^{2}+16}=8-a\end{array}\right.\right.$. + +Se impune condiţia de compatibilitate $8-a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 8 \Leftrightarrow a \in(-\infty, 8]$, $\qquad$ +prin ridicare la pătrat obţinem $a^{2}+16=64-16 a+a^{2} \Leftrightarrow 16 a=48 \Leftrightarrow a=3$, + +deci soluţia ecuaţiei este $z=3+4 i$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1048-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1048-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..293b376bd306bbb82678dfc640f533fb078ea5bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1048-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,124 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +## FAZA LOCALĂ + +### 15.02.2014 + +## Clasa a VIII - a + +1. ( 4 p ) a) Calculați $\left[(2+\sqrt{3})^{2014}+\frac{1}{(2-\sqrt{3})^{2014}}\right] \cdot \frac{(4-2 \cdot \sqrt{3})^{2014}}{2^{2013}}$ + +( 3 p ) b) Determinați numerele raționale $a$ și $b$ astfel încât + +$$ +2 a \sqrt{2}-b=a+b \sqrt{2}-3 +$$ + +2. (4p ) a) Rezolvați ecuația $|x-1|+|x-2|+\cdots+|x-2013|=2014(x-2014)$. + +( 3 p ) b) Arătați că $x \sqrt{x}+y \sqrt{y} \geq x \sqrt{y}+y \sqrt{x}, \forall x, y \in \mathbb{R}_{+}$ + +3. ( $7 \mathrm{p}$ ) În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, M$ este mijlocul laturii $A B, C^{\prime} M \cap D^{\prime} B=\{P\}$. Dacă $B P=4 \sqrt{3}$, aflaţi distanţa de la punctul $\mathrm{D}$ la diagonala $D^{\prime} B$. +4. În tetraedrul regulat $A B C D$ se consideră punctul $\mathrm{M}$ - mijlocul lui $[A B]$ şi $\mathrm{N}$ - mijlocul lui $[A C]$. Dacă muchia tetraedrului este de $8 \mathrm{~cm}$., determinaţi : + +( 3 p ) a) Perimetrul patrulaterului BCNM + +(2 p ) b) măsura unghiului format de dreapta $\mathrm{MN}$ cu $\mathrm{AB}$ + +( 2 p ) c) distanţa de la punctul C la planul (ABD). + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii, + +Timp de lucru : 3 ore + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 p. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ + +15.02.2014 + +Clasa a VIII - a + +1. a) $\frac{(2+\sqrt{3})^{2014} \cdot(2-\sqrt{3})^{2014}+1}{(2-\sqrt{3})^{2014}} \cdot \frac{(4-2 \sqrt{3})^{2014}}{2^{2013}}=\frac{\left(2^{2}-\sqrt{3}^{2}\right)^{2014}+1}{(2-\sqrt{3})^{2014}} \cdot \frac{2^{2014}(2-\sqrt{3})^{2014}}{2^{2013}}=$ + +$$ +\left(1^{2014}+1\right) \cdot 2=4 +$$ + +b) $(2 a-b) \sqrt{2}=a+b-3$ + +$$ +\begin{aligned} +& (2 a-b) \sqrt{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \text { iar } a+b-3 \in \mathbb{Q} \Rightarrow \\ +& \left\{\begin{array} { c } +{ 2 a - b = 0 } \\ +{ a + b - 3 = 0 } +\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} +a=1 \\ +b=2 +\end{array}\right.\right. +\end{aligned} +$$ + +2. a ) Membrul stâng este pozitiv $\Rightarrow$ membrul drept este pozitiv , deci $x-$ $2014 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2014 \Rightarrow x-1 \geq 0, x-2 \geq 0, \ldots, x-2013 \geq 0 \Rightarrow$ renuntând la module se obține + +$$ +\begin{aligned} +& x-1+x-2+\cdots+x-2013=2014 \cdot(x-2014) \Leftrightarrow 2013 x- \\ +& (1+2+3+\cdots+2013)=2014 x-2014^{2} \Leftrightarrow 2013 x-\frac{2013 \cdot 2014}{2}= \\ +& 2014 x-2014^{2} \Leftrightarrow x=2014^{2}-\frac{2013 \cdot 2014}{2} \Leftrightarrow x=\frac{2 \cdot 2014^{2}-2013 \cdot 2014}{2}=1007 \\ +& 2015 +\end{aligned} +$$ + +b ) $x \sqrt{x}+y \sqrt{y}-x \sqrt{y}-y \sqrt{x}=x(\sqrt{x}-\sqrt{y})-y(\sqrt{x}-\sqrt{y})=$ + +$$ +\begin{aligned} +& (\sqrt{x}-\sqrt{y})(x-y)=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})= \\ +& (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \geq 0 \text { pentru orice } x, y \in \mathbb{R}_{+} +\end{aligned} +$$ + +3. Desen + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41eee465e45fe0070e7bg-4.jpg?height=731&width=602&top_left_y=291&top_left_x=704) + +Unind $C^{\prime}$ си $A \Rightarrow C^{\prime} A$ diagonală în dreptunghiul $A B C^{\prime} D^{\prime}, \mathrm{cu} \quad A C^{\prime} \cap B D^{\prime}=\{O\}$. + +În triunghiul $A B C^{\prime}, C^{\prime} M \cap B O=\{P\}$ + +$P$ este centrul de greutate $\Rightarrow B P=\frac{2}{3} B O \Rightarrow \frac{2}{3} \frac{l \sqrt{3}}{2}=B P \Rightarrow l=\frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ + +$\Rightarrow l=12 \quad$ ( muchia cubului ) + +(2 p ) + +În triunghiul $D^{\prime} D B$ cu $m(\Varangle D)=90^{\circ}$ notăm $\left(D, B D^{\prime}\right)=D E, D E=\frac{D D^{\prime} \cdot D B}{D^{\prime} B}=$ $4 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ + +4. Desen + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41eee465e45fe0070e7bg-4.jpg?height=674&width=605&top_left_y=1630&top_left_x=520) + +a ) $\triangle A B C, M N$ - linie mijlocie $\Rightarrow M N \| B C, M N=\frac{B C}{2}=4 \mathrm{~cm}$ $B C N M$ - trapez isoscel $P_{B C N M}=B C+C N+N M+M B=8 \mathrm{~cm}+3 \cdot 4 \mathrm{~cm}=$ $20 \mathrm{~cm}$ + +b) $M N \| B C, A B$ secantă $m(\Varangle(M N, A B))=60^{\circ}$ + +Fie $\mathrm{P}$ mijl. lui $[B C] \Rightarrow A P \perp B C$ + +Cum $D O \perp(A B C) \Rightarrow D O \perp B C$, resultă $\left\{\begin{array}{l}B C \perp(D P O) \\ A D \subset(D P O)\end{array} \Rightarrow B C \perp A D\right.$. + +$\operatorname{Din} M N \| B C$ și $A D \perp M N \Rightarrow m(\Varangle(M N, A D))=90^{\circ}$ + +c ) $\left\{\begin{array}{l}A B \perp C M \\ A B \perp D M\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A B \perp(C M D) \\ A B \subset(A B D)\end{array} \Rightarrow(A B D) \perp(C D M)\right.\right.$ + +Construim $C E \perp D M, C E \subset(C D M) \Rightarrow C E \perp(A D B) \Rightarrow d(C,(A B D))=C E$ + +În $\triangle C D M, D M=\frac{l \sqrt{3}}{2}=4 \sqrt{3}$ + +Se aplică teorema lui Pitagora și se obține $D O=\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ + +$A_{\triangle C D M}=\frac{C M \cdot D O}{2}=16 \sqrt{2}$ + +$A_{\triangle C D M}=\frac{D M \cdot C E}{2}=\frac{4 \sqrt{3} \cdot C E}{2}=2 \sqrt{3} \cdot C E$. Se obține $C E=\frac{8 \sqrt{6}}{3} d(C,(A B D))=\frac{8 \sqrt{6}}{3} \mathrm{~cm}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1049-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1049-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..697a6e4f0a6426a0d7a45d307d0294aad952bb8b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1049-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ + +### 15.02.2014 + +## Clasa a VII - a + +1. ( 3 p ) a) Arătaţi că $: \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}+n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$, pentru orice număr natural $\mathrm{n}$. + +( 4 p ) b) Stabilitị dacă numărul $a$ este rațional, unde : + +$$ +a=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{\sqrt{20}}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{30}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{42}}+\ldots+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\sqrt{9900}} +$$ + +2. ( 7 p ) Să se determine două numere naturale a căror sumă este 29 , știind că unul are 2 divizori , celălalt exact 5 divizori, iar suma tuturor divizorilor ( celor 7 ) este 45 . +3. Fie paralelogramul $A B C D$ cu $D B \perp B C$. Prin punctul $\mathrm{C}$ se duce o perpendiculară pe $\mathrm{DC}$, care intersectează diagonala $\mathrm{BD}$ în $\mathrm{E}$. + +( $4 \mathrm{p}$ ) a) Demonstrați că $\Varangle B E C \equiv \Varangle D A B$. + +$(3 \mathrm{p})$ b) Dacă $m(\Varangle A)=60^{\circ}$, arătaţi că $\frac{B E}{E C}=\frac{C B}{B A}$. + +4. ( $7 \mathrm{p}$ ) În pătratul $A B C D$ se consideră $M$ și $N$ mijloacele laturilor $[A D]$ și $[D C]$. Fie $P \in(M B$ astfel încât $M B=B P$. Dacă $B D=8 \mathrm{~cm}$, aflaţi distanța de la $B$ la $N P$ + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii, + +Timp de lucru : 3 ore + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 p. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ + +15.02.2014 + +Clasa a VII - a + +1. a) $\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ +b) $a=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}-\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{20}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{30}}+\cdots+\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9900}}-\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{9900}}$ + +$a=\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}$ + +$a=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \in \mathbb{Q}$ + +2. a ) Fie $a, b$ astfel încât $a+b=29$. Cum $a$ are 2 divizori, rezultă că $a=p$, unde $p$ număr prim și $\mathcal{D}_{a}=\{1, p\}$ + +Numărul $b$ are 5 divizori $\Rightarrow b=q^{4}$, unde $q$ este număr prim iar $\mathcal{D}_{b}=\left\{1, q^{1}, q^{2}, q^{3}, q^{4}\right\}$ + +Suma divizorilor este $1+p+1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}=2+\left(p+q^{4}\right)+q^{1}+q^{2}+q^{3}=$ $2+(a+b)+q^{1}+q^{2}+q^{3}=45 \Rightarrow q^{1}+q^{2}+q^{3}=45-31=14$. Rezultă $q(1+$ $q 1+q 2=14 \Rightarrow q 14 \Rightarrow q \in 2,7$ + +Soluția este $q=2$, deci $b=2^{4}=16 \Rightarrow a=29-16=13$ + +3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c85baa57ef7e75616028g-2.jpg?height=517&width=714&top_left_y=2003&top_left_x=500) + +C + +a ) $A B C D$ paralelogram $\Rightarrow m(\Varangle A B C)+m(\Varangle B C D)=180^{\circ}$. + +Notăm $m(\Varangle A B D)=x$ și $m(\Varangle B C D)=y \Rightarrow x+90^{\circ}+y=180^{\circ} \Rightarrow$ $x+y=90^{\circ} . m(\Varangle B C E)=90^{\circ}-y=x^{\circ}$ + +În $\triangle B C E,(\Varangle B)=90^{\circ}, m(\Varangle B E C)=y$ și cum $m(\Varangle D A B)=m(\Varangle B C D) \Rightarrow$ $m(\Varangle B E C)=m(\Varangle D A B)$ +b) $m(\Varangle A)=60^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A B D)=30^{\circ} \Rightarrow \triangle B E C$ dreptunghic în $B$ + +$m(\Varangle B C E)=30^{\circ} \Rightarrow B E=\frac{C E}{2} \Rightarrow \frac{B E}{C E}=\frac{1}{2}$. + +În $\triangle B C D \quad m(\Varangle B)=90^{\circ}, m(\Varangle B D C)=30^{\circ} \Rightarrow B C=\frac{D C}{2} \Rightarrow \frac{B C}{D C}=\frac{1}{2}$ + +$[D C]=[B A]$, rezultă $\frac{B E}{E C}=\frac{B C}{B A}$ + +4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c85baa57ef7e75616028g-3.jpg?height=705&width=994&top_left_y=1075&top_left_x=334) + +$$ +\Delta M A B \equiv \triangle N C B \Rightarrow \left\lvert\, \begin{aligned} +& B M=B N \\ +& B N=B P +\end{aligned} \Rightarrow N B=\frac{M P}{2}\right. +$$ + +$\triangle M N P$ dreptunghic $\left(\widehat{N}=90^{\circ}\right) \Rightarrow M N \perp N P, B R \perp N P \Rightarrow M N \| B R$ + +B mijlocul lui MP, deci BR este linie mijlocie în $\triangle M N P \Rightarrow B R=\frac{M N}{2}=\frac{A C}{4}=2 \mathrm{~cm}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-105-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-105-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a53be80c0e94ce7e9152879088df1623bb2236db --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-105-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# Olimpiada națională de matematică, faza locală, județul Caraș-Severin, 2016 + +## Clasa a XII-a + +I. Pe $\mathbb{Z}$ definim legea "○" prin relaţia $x \circ y=x y-3 x-3 y+12$, pentru orice $x, y \in \mathbb{Z}$. + +a) Să se determine elementele din $\mathbb{Z}$, simetrizabile în raport cu legea "o"; + +b) Să se determine $x \in \mathbb{Z}$ pentru care $\underbrace{\chi \circ X \circ X \circ \ldots \circ \chi}_{2016}=x$. + +II. a) Daţi un exemplu de funcţie continuă neconstantă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care există $k \in \mathbb{Z}$ astfel încât + +$$ +\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{4 k+1}{4} \text { şi } \int_{1}^{2} f(x) d x=\frac{4 k+15}{4} +$$ + +b) Daţi un exemplu de funcţie continuă neconstantă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care + +$$ +4 \cdot \int_{0}^{1} x \cdot f^{\prime}(x) d x=3 +$$ + +RMCS 38 + +III. Se consideră funcţia $f:\left[0, \frac{\pi}{3}\right] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\cos ^{2} x} \cdot e^{x}$. + +Dacă $F$ este o primitivă a funcţiei considerate şi $F(0)=1$, calculaţi $F\left(\frac{\pi}{3}\right)$. + +RMCS 30 + +IV. a) Se consideră un grup finit $(G, o)$ de ordin impar şi $a, b, c \in G$ cu proprietatea că $a \circ b=c$ şi $c \circ b=a$. Demonstraţi că $a=c$. + +b) Studiaţi dacă există $a, b, c \in\left(\mathbb{Z}_{4},+\right)$ pentru care $a+b=c, c+b=a$ şi $a \neq c$. + +Articol Gazeta Matematică 2010 + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă î plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Olimpiada naţională de matematică + +Etapa locală, 5 martie 2016, Caraș - Severin + +Clasa a XII a (Barem de corectare și notare) + +| 1. a) elementul neutru este 3 | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| 2 p - elementele simetrizabile sunt 2 şi 4 | 2p | +| b) se demonstrează că $\underbrace{x \circ X \circ X \circ \ldots \circ X}_{2016}=(x-3)^{2016}+3$ | $\mathbf{3 p}$ | +| numerele reale căutate sunt 2 şi 4 | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2. a) Pare normal să căutăm o funcţie de gradul al treilea, ţinând cont mai ales de apariţia în | $\mathbf{4 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | + +dreapta a numărului $\frac{1}{4}=\int_{0}^{1} x^{3} d x$; un exemplu este $f(x)=x^{3}+k, k \in \mathbb{Z}$. + +b) Folosind metoda integrării prin părţi poate ne vin idei, dar nu e obligatoriu... Un exemplu este în final $f(x)=x^{3}$. + +| 3. Derivata funcţiei $g:\left[0, \frac{\pi}{3}\right] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{1}{\cos x}$ este $g^{\prime}(x)=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}$ | 2p | +| :--- | :--- | +| $f(x)=g^{\prime}(x) \cdot e^{x}+g(x) \cdot e^{x}$, folosirea metodei integrării prin părţi | 2p | +| $F(x)=\frac{1}{\cos x} \cdot e^{x}+k$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $F(0)=1 \Rightarrow k=0$, de unde $F\left(\frac{\pi}{3}\right)=2 e^{\frac{\pi}{3}}$. | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. a) Cum $a \circ b=c$ şi $c \circ b=a$, deducem $c \circ b \circ b=c$. | 2p | +| :--- | :--- | +| Deoarece $G$ este grup se ajunge la $b \circ b=e$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $\|G\|=2 k+1, k \in \mathbb{N}$, se obţine imediat $b=e$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Revenind în $a \circ b=c$, rezultă $a=c$. | $\mathbf{1 p}$ | +| b) De exemplu, $a=\hat{0}, b=\hat{2}, c=\hat{2}$ îndeplinesc condiţiile cerute. ( verificare !) | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1050-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1050-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c8dbe95d9edd13b13be96814c5ab3c301b791fd0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1050-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,99 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +## FAZA LOCALĂ + +### 15.02.2014 + +## Clasa a VI-a + +1. Calculați + +( 4 p ) a ) $\left(2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}\right):\left(2^{2014}-2^{2011}\right)$ + +( 3 p ) b ) Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$, știind că + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2014} \\ +& b=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2013}{2014} +\end{aligned} +$$ + +2. ( 3 p ) a ) Arătați că $a \cdot \overline{a a a}+b \cdot \overline{b b b}+c \cdot \overline{c c c}$ este divizibil cu 37 . + +( 4 p ) b ) Determinați $\overline{a b c}$, știind că $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ și $a, b, c$-distincte . + +3. Pe o dreaptă se consideră punctele $A_{o}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{10}$, în această ordine , astfel încât $A_{1}$ să fie mijlocul lui $\left[A_{o} A_{2}\right], A_{2}$ mijlocul lui $\left[A_{0} A_{3}\right]$ și așa mai departe, până la $A_{9}$ mijlocul lui $\left[A_{0} A_{10}\right]$. Știind că $A_{0} A_{1}=2 \mathrm{~cm}$, determinați : + +( 3 p ) a ) lungimea segmentului $A_{9} A_{10}$; + +( 4 p ) b ) lungimea laturii triunghiului echilateral care s-ar putea confecționa dintr-o buclă de sârmă cu lungimea egală cu $\left(A_{0} A_{10}-1\right) \mathrm{cm}$. + +4. ( $7 \mathrm{p}$ ) Fie unghiurile $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O C$ neadiacente suplementare, astfel încât $m(\Varangle B O C)=\frac{3}{5}$ din $m(\Varangle A O B)$. Dacă $D$ este simetricul punctului $A$ față de $O$ și $E$ un punct astfel încât ( $O B$ este bisectoarea $\Varangle E O C$, arătați că $E$ se află pe dreapta $A D$. + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii, + +Timp de lucru : 2 ore + +Fiecare subiect se notează de la 0 la $7 \mathrm{p}$. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ + +### 15.02.2014 + +## Clasa a VI - a + +1. a) $\left[2^{2013} \cdot\left(1+2^{1}+2^{2}\right)\right]:\left[2^{2011} \cdot\left(2^{3}-1\right)\right]=\left(2^{2013} \cdot 7\right):\left(2^{2011} \cdot 7\right)$ + +Finalizare $\left(2^{2013} \cdot 7\right):\left(2^{2011} \cdot 7\right)=2^{2}=4(1 p)$ +b) $a+b=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2014}+\frac{2013}{2014}\right)=1 \cdot 2013=2013$ $m_{a}=\frac{a+b}{2}=2013: 2=1006,5$ + +2. a) $a \cdot 111 \cdot a+b \cdot 111 \cdot b+c \cdot 111 \cdot c=111 \cdot\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=3 \cdot 37 \cdot\left(a^{2}+b^{2}+\right.$ $c 2$ rezultă că numărul reste divizibil cu 37 . +b) $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ și $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ cifre $, a \neq 0, a \neq b, a \neq c, b \neq c$. + +Dacăa $=1, b=0 \Rightarrow c=1 \Rightarrow$ numărul101 - NU + +Dacăa $=3, b=4 \Rightarrow c=5 \Rightarrow$ numărul345 - DA + +Dacă $a=2 \Rightarrow 4+b^{2}=c^{2} \Rightarrow c^{2}-b^{2}=4$ + +Pătratele perfecte ale cifrelor de la 1 la 9 sunt $\{1,4,9,16,25,36,49,64,81\}$ și nu există două pătrate perfecte a căror diferență să fie $4,9,16,25,36,49,64$ sau 81 Singurele soluții sunt 345 și 435 . + +3. a) $A_{0} A_{1}=A_{1} A_{2}=2 \mathrm{~cm} \Rightarrow A_{0} A_{2}=2 \cdot 2 \mathrm{~cm}=4 \mathrm{~cm}$ + +$$ +A_{2} A_{3}=A_{0} A_{2}=4 \mathrm{~cm} \Rightarrow A_{0} A_{3}=2 \cdot 4 \mathrm{~cm}=8 \mathrm{~cm}=2^{3} \mathrm{~cm} +$$ + +$A_{3} A_{4}=A_{0} A_{3}=8 \mathrm{~cm} \Rightarrow A_{0} A_{4}=2 \cdot 8 \mathrm{~cm}=16 \mathrm{~cm}=2^{4} \mathrm{~cm} \Rightarrow A_{4} A_{5}=2^{4} \mathrm{~cm}$ + +$\Rightarrow \cdots A_{9} A_{10}=2^{9} \mathrm{~cm}$ +b) $A_{0} A_{10}=A_{0} A_{1}+A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+\cdots+A_{9} A_{10}=2+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}=$ + +$2^{2}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}=2^{3}+2^{3}+\cdots+2^{9}=2^{9}+2^{9}=2^{10}$ + +$A_{0} A_{10}-1=2^{10}-1=1024-1=1023 \vdots 3$ + +lungimealaturiitriunghiuluiechilateraleste1023:3 $=341 \mathrm{~cm}$ + +4. Desen + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7d5b74813c81cf4ee773g-4.jpg?height=472&width=622&top_left_y=418&top_left_x=683) + +$(1 \mathrm{p})$ + +$$ +\begin{gathered} +m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O B)+\frac{3}{5} m(\Varangle A O B)=180^{\circ} \Rightarrow \\ +\frac{8}{5} m(\Varangle A O B)=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O B)=112^{\circ} 30^{\prime} +\end{gathered} +$$ + +$m(\Varangle A O B)=112^{\circ} 30^{\prime} \Rightarrow m(\Varangle B O C)=67^{\circ} 30^{\prime}$ + +(OB bisectoarea $\Varangle E O C \Rightarrow m(\Varangle C O B)=m(\Varangle B O E)=67^{\circ} 30^{\prime}$ + +A si $D$ simetrice față de $O \Rightarrow m(\Varangle A O D)=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle B O D)=$ $180^{\circ}-m(\Varangle A O B)=180^{\circ}-112^{\circ} 30^{\prime}=67^{\circ} 30^{\prime} \quad$ (2p) + +$\operatorname{Dar} m(\Varangle B O E)=67^{\circ} 30^{\prime}$, deci $m(\Varangle B O D)=m(\Varangle B O E) \operatorname{iar}(O D$ și (OE sunt în același semiplan față de ( $O B$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1051-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1051-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36159bf674bc5383207e99e86a571eec27f963af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1051-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,117 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ + +### 15.02.2014 + +## Clasa a $\mathbf{V}-\mathbf{a}$ + +1. ( $5 \mathrm{p})$ a) Comparți numerele naturale $a$ și $b$, știind că : + +$$ +\begin{aligned} +& a=\left[\left(12^{2}-10^{2}\right): 11-1^{2014}\right]: 3-2014^{0} \\ +& b=\left[\left(3^{4}-2^{16}: 2^{11}\right): 7-2 \cdot 3\right]^{2014} +\end{aligned} +$$ + +( 2p ) b) Cu numerele $a$ și $b$ determinate la cerința a), efectuați : + +$$ +\overline{b b a a}-\overline{b a b a}+a^{b}-b^{a} +$$ + +2. ( $4 p$ ) a) Aflați valoarea lui $x$ din egalitatea : + +$$ +(x+1)+(x+2)+(x+3)+\cdots+(x+50)=2525 +$$ + +( 3 p ) b) Câte numere naturale verifică relația : + +$$ +4 \cdot x+17<100 ? +$$ + +3. Fie mulțimea $A=\left\{x \in \boldsymbol{N} \mid 2^{n} OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ + +15.02.2014 + +## Clasa a V - a + +1. a ) $a=[(144-100): 11-1]: 3=1-1=0$ + +$b=[(81-32): 7-6]^{2014}=1$ + +$\mathrm{a}<\mathrm{b}$ + +( 1 p ) + +b ) $\overline{b b a a}-\overline{b a b a}+a^{b}-b^{a}=1100-1010+0^{1}-1^{0}=90-1=89$ + +2. a ) $50 x+(1+2+3+\cdots+50)=2525$ + +$$ +50 x=2525-50 \cdot 51: 2 +$$ + +$$ +50 x=2525-1275 +$$ + +$$ +x=1250: 50 \Rightarrow x=25 +$$ + +b ) $4 x<100-17 \Rightarrow x<20 \frac{3}{4} \Rightarrow x \in\{0,1,2,3, \ldots, 20\}$ + +21 numere natural verifică relația + +3. a ) $n=2014 \quad 2^{2014} Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a IX-a M $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Rezolvați în R ecuația $\left[\frac{4 x+4}{4 x-5}\right]=\frac{2 x-1}{3}$. + +## Problema 2 + +a) Arătați că $4 x^{3}+4 x^{2}+2 \geq 7 x, \forall x \in[-2, \infty)$ + +b) Determinați valorile reale ale lui $k$, pentru care: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{2} \geq k(a+b+c)$, $\forall a, b, c \in[-2, \infty)$. + +## Problema 3 + +Să se arate că pentru orice număr natural $n \geq 6$, un pătrat se poate împărți în exact $n$ pătrate (nu neapărat de aceeaşi dimensiune - în figura alăturată aveți un exemplu pentru $n=10)$. + +## Problema 4 + +| 1 | 2 | 5 | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 3 | 4 | | | +| 6 | | 7 | 8 | +| | | 9 | 10 | + +a) Arătați că, dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$, atunci, pentru orice punct $O$ din planul triunghiului avem $\overrightarrow{O G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})$. + +b) Determinați o relație între numerele reale $a, b$ astfel încât punctele $A(1,1), B(a, b)$ şi $C(a+1, b+1)$ să fie vârfurile unui triunghi. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014
Clasa a IX-a M $\mathbf{M}_{2}$ + +## Problema 1 + +Arătaţi că: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y},(\forall) a, b \in \mathbb{R}$ şi $(\forall) x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}$. + +## Problema 2 + +La o fabrică de încălțăminte s-au fabricat în luna martie 2013, 540 perechi de pantofi, la fel şi în aprilie, iar la fiecare două luni producția se dublează. + +a) Câte perechi de pantofi se fabrică până la sfârşitul anului (incepând cu luna martie)? + +b) În ce lună/an producția va fi de 276480 de pantofi? + +## Problema 3 + +Fie $A B C D$ un paralelogram. Să se arate că pentru orice punct $M$ din planul paralelogramului avem relația $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}$. + +## Problema 4 + +Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ se consideră $S_{n}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}$. + +a). Să se verifice că $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b). Să se calculeze $S_{5}$. + +c). Utilizând eventual metoda inducției matematice, să se arate că $S_{n}=\frac{n}{n+1},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +d). Să se găsească cel mai mare număr natural nenul $n$, cu proprietatea că $S_{n}<\frac{11}{12}$. + +e). Să se găsească cel mai mic număr natural nenul $n$, cu proprietatea că $S_{n}>\frac{111}{112}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a IX-a $\mathbf{M}_{1}$ + +Soluţii și bareme + +1. $\left[\frac{4 x+4}{4 x-5}\right]=\frac{2 x-1}{3} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x-1}{3}=t, t \in \mathbb{Z} \\ {\left[\frac{4 x+4}{4 x-5}\right]-\frac{2 x-1}{3}=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 t+1}{2}, t \in \mathbb{Z} \\ {\left[\frac{6 t+6}{6 t-3}\right]-t=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 t+1}{2}, t \in \mathbb{Z} \\ {\left[\frac{2 t+2}{2 t-1}-t\right]=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 t+1}{2}, t \in \mathbb{Z} \\ 0 \leq \frac{2 t+2}{2 t-1}-t<1\end{array} \Leftrightarrow\right.\right.\right.\right.$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d5cbdd024c867208060g-3.jpg?height=379&width=1797&top_left_y=1163&top_left_x=153) + +$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=\frac{3 t+1}{2}, t \in \mathbb{Z} \\ (2 t+1)(t-2)(2 t-1) \leq 0 \\ (2 t-3)(t+1)(2 t-1)>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=\frac{3 t+1}{2}, t \in \mathbb{Z} \\ t \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup\left[\frac{1}{2}, 2\right] \\ t \in\left(-1, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2}, \infty\right)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=\frac{3 t+1}{2}, t \in \mathbb{Z} \\ t \in\left(-1,-\frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2}, 2\right]\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}t=2 \\ x=\frac{7}{2}\end{array}\right.\right.\right.\right.$ + +$S=\left\{\frac{7}{2}\right\}$ + +2. a) $4 x^{3}+4 x^{2}-7 x+2=(x+2)(2 x-1)^{2} \geq 0,(\forall) x \in[-2, \infty)$. + +b) Dacă $a=b=c=-2 \Rightarrow k \geq \frac{7}{4}$, dacă $a=b=c=\frac{1}{2} \Rightarrow k \leq \frac{7}{4}$, deci singura valoare posibilă pentru $k$ este $\frac{7}{4} \quad \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Din a) rezultă $a^{3}+a^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{7}{4} a, b^{3}+b^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{7}{4} b, c^{3}+c^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{7}{4} c$, de unde prin sumare, rezultă $a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{2} \geq \frac{7}{4}(a+b+c)$, deci $k=\frac{7}{4}$. + +## INSPECTORATULSTCOLAR JUDETEAN ILFOV + +3. Demonstrăm prin inducţie matematică. Facem verificarea pentru primele 3 valori ale lui $n$ (vezi figura aălturată). .....1p Apoi presupunem $P(k)$ : "Pătratul poate fi împăţit în $k$ pătrate" adevărată şi demonstrăm $P(k+3)$ : "Pătratul poate fi + +| 1 | 2 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | +| 4 | | | +| | | | +| 5 | | | + + +| 1 | 2 | 5 | +| :--- | :--- | :--- | +| 3 | 4 | | +| 6 | 7 | | + + +| 1 | 2 | 3 | 4 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 5 | | | | +| | 8 | | | +| 7 | | | | + +împărţit în $k+3$ pătrate”. + +Pentru demonstraţie se observă că prin împărţirea unui pătrat din cele $k$ în 4 , obţinem $k+3$ pătrate. + +4. a) Fie $M$ mijlocul lui $[B C]$ şi G centrul de greutate al triunghiului $A B C$. Construim BGCN paralelogram. + +Atunci vom avea: + +(1) $\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{G N}$ (reg. paralelog.). Din BGCN paralelogram $\Rightarrow B C \cap G N=\{M\}$, mijlocul lui $[B C]$. + +Dar A,G,M coliniare şi G,M,N coliniare , deci A,G,M,N coliniare. Avem următoarele relaţii vectoriale: + +$\overrightarrow{G N}=2 \overrightarrow{G M}$ şi $\overrightarrow{G A}=-2 \overrightarrow{G M}$ (G fiind centrul de greutate al $\triangle A B C$ ). + +Introducând în relaţia (1), obţinem: $\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{G N}=-\overrightarrow{G A} \Rightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow$ + +$\overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow 3 \overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=-3 \overrightarrow{G O} \Rightarrow$ + +$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=3 \overrightarrow{O G} \Rightarrow \overrightarrow{O G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})$ + +b) A,B,C pot fi vârfurile unui triunghi dacă şi numai dacă A,B,C necoliniare. + +A, B, C coliniare $\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} \backslash 0$, a i $\overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{B C} \Leftrightarrow(a-1) \vec{i}+(b-1) \vec{j}=k(\vec{i}+\vec{j}) \Leftrightarrow a-1=b-1=k \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow a=b(=k+1)$ Deci A,B,C sunt vârfurile unui triunghi dacă şi numai dacă $a \neq b$. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 15.02.2014 + +Clasa a IX-a $\mathbf{M}_{2}$ + +Soluţii și bareme + +1. $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y},(\forall) a, b \in \mathbb{R}(\forall) x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}$. + +$\Leftrightarrow \frac{a^{2} y+b^{2} x}{x y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y} \Leftrightarrow(p t . c a x+y>0$ si $x y>0)\left(a^{2} y+b^{2} x\right)(x+y) \geq(a+b)^{2} x y$ + +$\Leftrightarrow a^{2} x y+a^{2} y^{2}+b^{2} x^{2}+b^{2} x y \geq a^{2} x y+2 a b x y+b^{2} x y \Leftrightarrow a^{2} y^{2}-2 a b x y+b^{2} x^{2} \geq 0$ + +$\Leftrightarrow(a y-b x)^{2} \geq 0(\forall) a, b \in \mathbb{R} ;(\forall) x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*} \quad$ ( pătratul oricărui număr real este pozitiv) + +2.a) Până la sfârşitul anului sunt 10 luni, iar produç̧ia se va dubla de $10: 2=5$ ori. Deci se vor fabrica $540\left(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}\right)=540 \cdot 2 \cdot \frac{2^{5}-1}{2-1}=33480$ perechi de pantofi. + +b) $276840: 2=138240$ perechi de pantofi, de unde $540 \cdot 2^{n}=138240 \Leftrightarrow 2^{n}=138240: 540 \Leftrightarrow 2^{n}=256 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow n=8$, deci după 8 grupe de câte 2 luni, adică 16 luni (1 an şi 4 luni), în iulie 2014 se va obţine producţia de 276480 pantofi. + +3. $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D} \Leftrightarrow \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M D}=\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C} \Leftrightarrow \overrightarrow{D A}=\overrightarrow{C B}$ adevărat, deoarece ABCD paralelogram $\qquad$ +4. a) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$ +b) $S_{5}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{5 \cdot 6}=\frac{a)}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{15}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. +c) $S_{n}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n \cdot(n+1)} \stackrel{a)}{1}=\frac{1}{12}+\frac{1}{/ 2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$ +d) $S_{n}<\frac{11}{12} \Leftrightarrow \frac{n}{n+1}<\frac{11}{12} \stackrel{n \in \mathbb{N}^{*}}{\Leftrightarrow} 12 n<11 n+11 \Leftrightarrow n<11$ si $n \in \mathbb{N}^{*}, n$ maxim $\Rightarrow n=10$. +e) $S_{n}>\frac{111}{112} \Leftrightarrow \frac{n}{n+1}>\frac{111}{112} \stackrel{n \in \mathbb{N}^{*}}{\Leftrightarrow} 112 n>111 n+111 \Leftrightarrow n>111$ si $n \in \mathbb{N}^{*}, n$ minim $\Rightarrow n=112$. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1053-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1053-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d532e1f5a2210f37c543479d6d7b36dc3b8b635b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1053-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,106 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA FAZA LOCALĂ + +15.02.2014 + +## Clasa a IV - a + +1. (3p) a) Aflaţi valoarea lui , $x^{\prime}$ din: + +$$ +77-(7+x: 7) \times 7=7 +$$ + +(4p) b) Să se afle un număr știind că dacă îl împărțim la 8 , câtului obținut îi adunăm 13, suma obținută o înmulțim cu 4, iar din produsul obținut scădem 25, obținem 55. + +2. (7p) Scrie numărul 613 ca o sumă de trei termeni, astfel încât fiecare termen să fie cu 1 mai mare decat dublul numărului precedent. +3. (7p) Dacă $\overline{a b b}-\overline{x x}=1$, arătaţi că numărul $\overline{a b x}+\overline{a x a}+\overline{x a b}$ se împarte exact la 55 , iar numărul $\overline{a a a}-\overline{a a b}+\overline{a a x}$ este număr par. +4. Un șoricel are 10 grame, iar șoricuța are 6 grame. + +(2p) a) Câte grame au împreună 13 șoricei și 12 șoricuțe? + +(5p) b) Dați cel puțin trei exemple în care un grup format din țoricei și șoricuțe să cântărească exact 200 de grame + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii, + +Timp de lucru : 2 ore + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 p. + +INSPECTORATULSTCOLAR TUDETEANILFOV + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALĂ
15.02.2014
Clasa a IV - a + +## Subiectul 1. a) (3 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& 77-(7+x: 7) \times 7=7 \\ +& (7+x: 7) \times 7=77-7 \\ +& (7+x: 7) \times 7=70 \\ +& 7+x: 7=70: 7 \\ +& 7+x: 7=10 \\ +& x: 7=10-7 \\ +& x: 7=3 +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ + +## Subiectul 1. b) (4 puncte) + +$(x: 8+13) \cdot 4-25=55$ + +$(x: 8+13) \cdot 4=55+25$ + +$(x: 8+13) \cdot 4=80$........................................................................................ $1 p$ + +$x: 8+13=80: 4$ + +$x: 8+13=20$ + +$x: 8=20-13$ + +$x: 8=7$ + +$x=7 \cdot 8=56$ + +R: 56 + +$1 p$ + +Subiectul 2. (7 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47bb3eb8c1528183d4d7g-2.jpg?height=134&width=1250&top_left_y=2314&top_left_x=363) +$c=2 b+1$ ..... $1 p$ +$\mathrm{a}=87$ ..... $2 \mathrm{p}$ +$\mathrm{b}=175$ ..... $1 \mathrm{p}$ +c $=351$ ..... $1 p$ + +## Subiectul 3. (7 puncte) + +Din relatia data rezulta ca cele doua numere sunt consecutive, deci singura posibilitate este $100-99=1$, $1 \mathrm{p}$ + +ceea ce conduce la $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=0$ si $\mathrm{x}=9$. + +$3 \mathrm{p}$ +$\overline{a b x}+\overline{a x a}+\overline{x a b}=1210$ si $1210: 55=22$ ..... $2 p$ +$\overline{a a a}-\overline{a a b}+\overline{a a x}=120$ si este numar par. ..... $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 4. a) (2 puncte) + +13 x $10+12$ x $6=202$ grame + +## Subiectul 4. b) (5 puncte) + +$\mathrm{a}=$ numărul de șoricei + +$\mathrm{b}=$ numărul de șoricuțe + +$10 a+6 b=200$ + +$1 p$ + +împărțind la 2 obținem $5 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}=100$ de unde avem $\mathrm{b}$ multiplul lui 5 $1 \mathrm{p}$ + +pentru fiecare exemplu câte 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1054-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xii_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1054-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xii_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f906ab026252a2ba4d08b3cc65fabbec393399a9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1054-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xii_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Olimpiada de matematică + +Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie $(G, \bullet)$ un grup. Pentru orice $x \in G$ și orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, notăm $x^{n}=\underbrace{x \bullet x \bullet \ldots \bullet x}_{\text {norix }}$. + +a) Demonstrați că oricare ar fi $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ și $x \in G$ are loc egalitatea $x^{m} \bullet x^{n}=x^{n} \bullet x^{m}$; + +b) Fie $x, y \in G$ cu proprietatea că există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $x^{n}=y$. Demonstratị că $x \bullet y=y \bullet x$. + +2. Fie funcția $f:(0, \infty) \rightarrow(0,2), f(x)=\frac{2 x}{x+1}$ și legea "*" definită pe $(0,2)$ prin relația $x * y=\frac{x y}{x y-x-y+2}$. + +a) Demonstrați că $f(x y)=f(x) * f(y)$, pentru orice $x, y \in(0,2)$; + +b) Determinati $u \in(0,2)$ pentru care $u * u * u=\frac{4}{3}$. + +3. Fie $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{x^{2}+1} d x, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Demonstratị că $I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{n+1}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Demonstrați că $\frac{1}{2(n+1)} \leq I_{n} \leq \frac{1}{2(n-1)}$, pentru orice $n \geq 2$; + +c) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$. + +4. a) Fie $f:[0.1] \rightarrow[0, \infty)$ continuă, diferită de functia nulă. Demonstrați că $\int_{0}^{1} f(x) d x>0$. + +b) Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ considerăm functiile continue $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea $\int_{0}^{1} f_{k}^{2}(x) d x=\frac{2 k-1}{n}$, pentru orice $k \in\{1,2,3 \ldots, n\}$. Demonstrați că există $\alpha \in[0,1]$ pentru care $f_{1}(\alpha)+f_{2}(\alpha)+\ldots .+f_{n}(\alpha) \leq n$. + +Supliment Gazeta Matematică, noiembrie 2013 + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XII-a - barem + +1. a) Verificare pe baza asociativității; 4p + +b) Verificare pe baza punctului precedent. 3 p + +2. a) Verificare; $3 p$ + +b) Funcția $f$ este bijectivă, deci există $a \in(0, \infty)$ astfel încât $f(a)=u$. + +Atunci $u * u * u=\frac{4}{3}$ conduce $f\left(a^{3}\right)=\frac{4}{3}$, de unde $a=\sqrt[3]{2}$ și $u=\frac{2 \sqrt[3]{2}}{1+\sqrt[3]{2}}$. + +3. a) Verificare; + +b) Se aplică monotonia integralei și punctul precedent; + +c) Se aplică punctul precedent și criteriul cleștelui și obținem $\lim _{n \rightarrow \infty} n l_{n}=\frac{1}{2}$ + +$2 p$ + +4. a) Există cel puțin un punct $u \in[0,1]$ pentru care $f(u)>0$. Atunci există cel puțin un interval $[a, b] \subset[0,1]$ pentru care $f(x)>0$, pentru orice $x \in[a, b]$. Atunci $\int_{0}^{1} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} f(x) d x>0$. + +$3 p$ + +b) Presupunem contrariul. Atunci $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\ldots .+f_{n}(x)>n$, pentru orice $x \in[0,1]$. Dar + +$n \sum_{k=1}^{n} f_{k}^{2}(x) \geq\left(\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x)\right)^{2}>n^{2}$, adică $\sum_{k=1}^{n} f_{k}^{2}(x)>n$. Folosind punctul precedent se obține $\sum_{k=1}^{n} \int_{0}^{1} f_{k}^{2}(x) d x>n$, care contrazice ipoteza deoarece $\sum_{k=1}^{n} \int_{0}^{1} f_{k}^{2}(x) d x=n$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1055-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xi_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1055-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xi_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..129ab814f6743e78eba5e337653f383214c80588 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1055-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xi_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# Olimpiada de matematică + +## Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +1. a) Fie $\alpha \in \mathbb{R}$ si. $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right)$. Demonstratị că $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}\cos n \alpha & -\sin n \alpha \\ \sin n \alpha & \cos n \alpha\end{array}\right)$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Fie $B=\left(\begin{array}{rr}\sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{array}\right)$. Calculatii $B^{300}$. + +2. Pentru un șir $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, definim șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ prin relatiile $x_{n}=\min \left(a_{n}, a_{n+1}\right)$ și $y_{n}=\max \left(a_{n}, a_{n+1}\right)$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că dacă șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ are limită, atunci și șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ au limită; + +b) Este reciproca adevărată? + +Gazeta Matematică - 11/ 2013 + +3. a) Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$. Demonstrați că $\operatorname{det}(A+x B)=\operatorname{det}(A)+(\operatorname{Tr}(A) \operatorname{Tr}(B)-\operatorname{Tr}(A B)) x+\operatorname{det}(B) x^{2}, \forall x \in \mathbb{C}$; + +b) Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $A B=B A$ și $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=0$. Demonstrați că $\operatorname{Tr}(A) \operatorname{Tr}(B)=\operatorname{Tr}(A B)$. + +4. Fie $a, b \in(0, \infty)$ și definim șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$, respectiv $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. prin relațille $x_{1}=a, y_{1}=b$ și $x_{n+1}=\frac{2 x_{n} y_{n}}{x_{n}+y_{n}}$, $y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}$, pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Demonstrați că aceste șiruri sunt convergente și au aceeași limită; + +b) Determinati limita acestor șiruri. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a - barem + +1. a) Verificare + +b) Avem $B=2\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{6} & -\sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{6} & \cos \frac{\pi}{6}\end{array}\right)$ și se aplică punctul precedent. + +2. a) Este consecință a definiției limitei unui șir cu ajutorul vecinătăților; + +$4 p$ + +b) Reciproca poate fi falsă, de exemplu șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$, definit prin relația $a_{n}=(-1)^{n}$. + +3. a) Verificare; + +$3 p$ +b) $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=\operatorname{det}(A+i B) \operatorname{det}(A-i B)$, deci unul dintre $\operatorname{det}(A+i B)$ sau $\operatorname{det}(A-i B)$ este nul. $2 p$ Concluzia se obtine dacă dăm lui $x$ valoarea $i$ sau $-i$ în relația de la punctul precedent. $2 p$ + +4. a) Evident $x_{2} \leq y_{2}$ și apoi se obține $x_{2} \leq x_{n} \leq y_{n} \leq y_{2}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +Se deduce că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$. este crescător, iar șirul $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ descrescător și obținem convergența lor. + +Din a doua relație de recurență obținem $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +b) Dar $x_{n+1} y_{n+1}=x_{n} y_{n}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, de unde obtinem $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\sqrt{a b}$. + +$2 p$ + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1056-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_x_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1056-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_x_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ebe0930d240e40140df40edecdb60e94856b9fe6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1056-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_x_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,58 @@ +# Olimpiada de matematică + +## Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +1. Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=[x]+[-x]$. + +a) Determinaţi imaginea funcţiei $f$; + +b) Fie numerele reale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2014}$ cu proprietatea că $f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\ldots+f\left(x_{2014}\right)=-2013$. Determinaţi cardinalul mulţimii $\mathbb{Z} \cap\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2014}\right\}$. + +2. Pentru orice șir $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ de numere reale notăm cu $S_{n}=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu termenii pozitivi . Atunci $\frac{S_{n}}{n} \geq \sqrt{a_{1} a_{n}}$; + +b) Fie $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu $b_{n} \geq 1, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Atunci , $\lg \left(\frac{S_{n}}{n}\right) \geq \sqrt{\lg b_{1} \cdot \lg b_{n}}$. + +3. a) Demonstratị că $(1+x)^{n} \geq 1+n x$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ și $x \in(-1, \infty)$; + +b) Determinati $x \in \mathbb{R}$ pentru care $\sqrt{1+2 x}+\sqrt[3]{1+3 x}+\sqrt[4]{1+4 x}+\sqrt[5]{1+5 x}=4+4 x$. + +4. Fie $a, b, c$ numere complexe distincte de același modul. Demonstrați că imaginile lor geometrice sunt vârfurile unui triunghi echilateral dacă și numai dacă $a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)=0$. + +Gazeta Matematică - 9/2013 + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a X-a - barem + +1. a) Dacă $x \in \mathbb{Z}$, atunci $f(x)=0$. Dacă $x \notin \mathbb{Z}$, atunci $f(x)=-1$ deci $\operatorname{Im} f=\{-1,0\}$; $\quad$; + +b) Din punctul precedent se obtine cardinal egal cu 1 . 3 p + +2. a) Avem $\frac{S_{n}}{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \geq \sqrt{a_{1} a_{n}}$; 3p + +b) Dacă $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. este progresie geometrică cu termeni strict pozitivi, atunci $\left(\lg b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. este +progresie aritmetică. + +Din punctul precedent $\frac{\lg b_{1}+\lg b_{2}+\ldots+\lg b_{n}}{n} \geq \sqrt{\lg b_{1} \cdot \lg b_{n}}$. Se aplică apoi inegalitatea mediilor. $3 \mathbf{p}$ + +3. a) Se demonstrează prin inductie matematică; +OBS: Nu se acordă punct pentru identificarea rezultatului ca find inegalitatea lui Bernoulli. + +b) Existența radicalilor conduce la restrictia $x \geq-\frac{1}{4}$. Din punctul precedent avem $\sqrt[n]{1+n x} \leq 1+x$. $1 \mathrm{p}$ Scriem inegalitatea pentru $n=2,3,4,5$ și le adunăm. Se obține $\sqrt{1+2 x}+\sqrt[3]{1+3 x}+\sqrt[4]{1+4 x}+\sqrt[5]{1+5 x} \leq 4+4 x$. egalitatea este posibilî numai dacă $x=0$. + +## NOTĂ + +- Orice solutulie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1057-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_viii_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1057-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_viii_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..760d1c0ff03c222a5c1793c4dd3bdf12f43f55cb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1057-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_viii_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +1. Fie $x, y, z \in \mathbb{Q}, x, y, z>0$ astfel încât $x y z=2$. + +a) Demonstrați că $\frac{1}{x}+y+z+2=\frac{(y+2)(z+2)}{2}$; + +b) Demonstrați că numărul $\sqrt{2\left(\frac{1}{x}+y+z+2\right)\left(\frac{1}{y}+z+x+2\right)\left(\frac{1}{z}+x+y++2\right)}$ este rational. + +Supliment Gazeta Matematică, noiembrie 2013 + +2. Fie tetraedrul $A B C D$. Notăm $\mathrm{cu} P, Q$ și $R$, centrele de greutate ale triunghiurilor $A B C, A B D$, respectiv $A C D$. Fie $M$ un punct interior triunghiului $B C D$ și notăm cu $X, Y$ și $Z$ simetricele sale față de punctele $P, Q$ și, respectiv $R$. + +a) Demonstrați că $(P Q R) \|(B C D)$; + +b) Demonstrați că $(X Y Z) \|(B C D)$. + +3. a) Să se demonstreze că $\frac{x+n}{n+1} \geq \frac{n+3}{2 x+n+1}$, pentru orice $x \in \mathbb{N}^{*}$ și $n \in \mathbb{N}$; + +Determinați $x \in \mathbb{N}^{*}$ care verifică egalitatea +b) $\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}+\ldots+\frac{x+2013}{2014}=\frac{4}{2 x+2}+\frac{5}{2 x+3}+\ldots+\frac{2016}{2 x+2014}$. + +4. În paralelogramul $A B C D$ avem $B D \leq A C$. Se consideră punctele $M, N, P, Q \notin(A B C)$, de aceeași parte a planului $(A B C)$ astfel încât $M A, N B, P C, Q D$ sunt perpendiculare pe planul ( $A B C)$, $M A \leq N B \leq Q D \leq P C,[A C] \equiv[C P]$ și $[B N] \equiv[B D]$. Se știe că $M P \cap N Q \neq \varnothing$. + +a) Demonstrati egalitatea $M A+P C=N B+Q D$; + +b) Demonstrați că $A_{M A C} \leq A_{Q D B}$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a - barem + +1. a) Verificare 3p + +b) Se obține $\sqrt{2\left(\frac{1}{x}+y+z+2\right)\left(\frac{1}{y}+z+x+2\right)\left(\frac{1}{z}+x+y++2\right)}=\frac{(x+2)(y+2)(z+2)}{2} \in \mathbb{Q}$. + +2. a) Se arată că dreptele $P Q$ și $P R$ sunt paralele cu planul $(B C D)$ 3p + +b) Se demonstrează că planul $(X Y Z)$ este paralel cu planul $(P Q R)$ și apoi se deduce concluzia. $4 \mathrm{p}$ + +3. a) Prin transformări se ajunge la inegalitatea echivalentă $2\left(x^{2}-1\right)+(x-1)+3 n(x-1) \geq 0$; $\quad 4 \mathrm{p}$ + +b) Folosind punctul precedent deducem că unica solutie este $x=1$. + +$3 p$ + +4. a) Fie $M P \cap N Q=\{S\}$. Atunci trapezele dreptunghice $A C P M$ și $B D Q N$ au aceeași linie mijlocie, de unde deducem egalitatea cerută; + +b) Avem $A_{M A C}=\frac{1}{2} M A \cdot A C=\frac{1}{2} M A \cdot P C$. Analog $A_{Q D B}=\frac{1}{2} Q D \cdot N B$. Inegalitatea este echivalentă $\mathrm{cu}$ $M A \cdot P C \leq N B \cdot Q D$. + +Fie $N B-M A=P C-Q D \stackrel{\text { notäm }}{=} x$, atunci $M A \cdot P C \leq N B \cdot Q D \Leftrightarrow M A \cdot(x+Q D) \leq Q D(x+M A)$ $\Leftrightarrow M A \leq Q D$ ceea ce este adevărat. $2 p$ + +NOTĂ + +- Orice solutulie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1058-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vii_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1058-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vii_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ddc511202b3f88905439156f72e4e3326285114 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1058-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vii_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VII-a + +1. a) Fie $a, b, c \in \mathbb{N}^{*}$, respectiv invers proporționale cu $x, y, z \in \mathbb{N}^{*}$. Arătați că dacă $b^{2}=a c$, atunci $y^{2}=x z$; + +b) Fie numerele $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{12} \in \mathbb{N}^{*}$ respectiv, invers proporționale cu $2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{12}$. Demonstratị că numărul $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{12}$ este cub perfect. + +2. Se consideră patrulaterul $A B C D$ în care $m(\varangle A B C)=90^{\circ},[A C] \equiv[A D]$ și $m(\Varangle B A C) \equiv m(\Varangle C A D)=20^{\circ}$. Se consideră punctul $E \in(A C)$ astfel încât $D E \perp A C$. Determinați măsura unghiului $\Varangle E B C$. +3. În paralelogramul $A B C D, M$ este mijlocul laturii $[D C], B M \cap A D=\{N\}, C N \cap A B=\{P\}$, + +$B M \cap A C=\{T\}$. + +a) Demonstrați că BDNC și BDCP sunt paralelograme; + +b) Demonstratii că punctele $D, T, P$ sunt coliniare. + +Supliment Gazeta Matematică, septembrie 2013 + +4. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Fie $a, b$ doi divizori ai lui $n$ pentru care $b>a$. Demonstratị că $b>a+\frac{a^{2}}{n}$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VII-a - barem + +1. a) Avem $a x=b y=c z=k$, deci $y^{2}=\frac{k^{2}}{b^{2}}=\frac{k^{2}}{a c}=\frac{k}{a} \cdot \frac{k}{c}=x z$. + +b) Avem $a_{2}^{2}=a_{1} \cdot a_{3}$, de unde $a_{1} a_{2} a_{3}=a_{2}^{3}$. Se obtine $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{12}=\left(a_{2} a_{5} a_{8} a_{11}\right)^{3}$ si concluzia. + +2. Avem $\triangle A B C \equiv \triangle A E D$ (I.U.), de unde $[A B] \equiv[A E] ; \quad 3 p$ + +Triunghiul $A B E$ este isoscel și $m(\Varangle A B E)=80^{\circ}$; 3p + +Obținem $m(\Varangle E B C)=10^{\circ}$ + +$1 p$ + +3. a) BDNC este paralelogram deoarece diagonalele se înjumătătesc. + +$2 p$ + +$B D C P$ este paralelogram deoarece are două laturi opuse paralele și congruente. + +$2 p$ + +b) Punctele $D, T, P$ sunt coliniare deoarece $T$ este centrul de greutatea la triunghiului $A N P$ și $P D$ este mediană. + +4. Există numerele $k, I \in \mathbb{N}^{*}, k>I$ astfel încât $n=a k=b l$. + +Inegalitatea este echivalentă cu $\frac{n}{l}>\frac{n}{k}+\frac{n}{k^{2}}$, adică $\frac{1}{l}>\frac{1}{k}+\frac{1}{k^{2}}$, echivalent cu $k^{2}>k l+l$, echivalent cu $k(k-I)>I$ ceea ce este adevărat. + +- Orice solutuie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1059-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vi_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1059-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vi_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94fb56fd61be3d37ceda393308aa8a5f6d0e8bfa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1059-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vi_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +1. Fie $a, b, c$ cifre nenule și numărul $A=\overline{a b c}+\overline{b c a}+\overline{c a b}$. + +a) Demonstrați că numărul $A$ este divizibil cu 3 ; + +b) Demonstratii că numărul $A$ nu este divizibil cu 28 , oricare ar fi cifrele $a, b, c$. + +2. Două unghiuri suplementare au o latură comună și bisectoarele lor determină un unghi de $60^{\circ}$. Determinați măsurile celor două unghiuri. + +Gazeta Matematică - 10/2013 + +3. O mulţime $M$ de numere raţionale are următoarele proprietăţi : +1) $6 \in M$ și $12 \in M$; +2) dacă $x \in M$ și $y \in M$ atunci $\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right) \in M$; +3) dacă $(2 x+3 y) \in M$, atunci $(x+y) \in M$. + +Arătaţi că : + +a) Mulţimea $M$ conţine cel puţin două numere naturale consecutive; + +b) Mulţimea $M$ conţine cel puţin trei numere prime; + +c) Există $a, b, c, d \in M$, distincte două câte două, astfel încât $a+b=c+d$. + +4. De dimineaţă o rândunică zboară pe o creangă a unui copac şi ciripeşte o dată, apoi zboară pe o a doua creangă şi ciripeşte de două ori, apoi pe a treia creangă şi ciripeşte de trei ori şi aşa mai departe ( pe a 20-a creangă ciripeşte de 20 de ori...). Pe a câta creangă se află rândunica când ciripeşte pentru a 100-a oară de dimineaţă? + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a - barem + +1. a) Se obține $A=111(a+b+c)$. Cum 111:3, se obține concluzia. 4p + +b) Avem $(28 ; 111)=1$ și $a+b+c \leq 27$ și apoi concluzia. 3p + +2. Se demonstrează că unghiurile nu pot fi adiacente. $2 p$ + +Se obtin măsurile $30^{\circ}$ și $150^{\circ}$. 5 p + +3. a) $x=6 \in M, y=12 \in M \stackrel{2)}{\Rightarrow} 7 \in M$, aşadar mulţimea conţine numerele consecutive 6 şi 7 . $2 p$ +b) $x=6 \in M, y=6 \in M \stackrel{2)}{\Rightarrow} 5 \in M$, apoi $(2 \cdot 1+3 \cdot 1) \in M \stackrel{3)}{\Rightarrow} 2 \in M$, aşadar avem numerele prime 2,5 şi 7 în mulţime; +c) $x=12 \in M, y=12 \in M \stackrel{2)}{\Rightarrow} 10 \in M$, apoi $x=10 \in M, y=3 \in M \stackrel{2)}{\Rightarrow} 6 \in M$. Deci, se pot lua $a=2, b=7, c=3, d=6$. +4. Notăm(pentru simplificarea redactării) creanga cu numărul $n$ cu $c_{n}$. Atunci, pe $c_{1}$ rândunica ciripeşte 0 dată, pe $c_{2}$ rândunica ciripeşte de 2 ori, pe $c_{n}$ rândunica ciripeşte de $n$ ori. În total, înainte de a zbura de pe $c_{n}$, rândunica a ciripit de $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ ori. + +Din $\frac{n(n+1)}{2} \leq 100<\frac{n(n+1)}{2}+n+1$ deducem, eventual prin încercări, $n=13$. (Adică ultimul ciripit de pe creanga $c_{13}$ este al 91 - lea, deci rândunica ciripeşte a 100-a oară când se află pe creanga $c_{14}$ ). + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-106-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-106-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3a27e3981a89b1e488203895ebf78b870361d54 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-106-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,59 @@ +Olimpiada națională de matematică, faza locală, județul Caraş-Severin, 2016 + +# Clasa a XI-a + +I. Se notează cu $a, b, c$ lungimile laturilor unui triunghi, iar cu $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ lungimile înălţimilor şi se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{lll}1 & a & h_{a} \cdot h_{b} \\ 1 & b & h_{b} \cdot h_{c} \\ 1 & c & h_{c} \cdot h_{a}\end{array}\right)$. Arătaţi că det $A \geq 0$. În ce condiţii avem $\operatorname{det} A=0$ ?. Lucian Dragomir, Supliment GM 12/2014 + +II. Se consideră $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $\operatorname{det}\left(A-I_{2}\right)=2$ şi $\operatorname{det}\left(A+I_{2}\right)=4$. Calculaţi det $A$ şi $\operatorname{det}\left(A-2 I_{2}\right)$. + +RMCS 34 + +III. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin $x_{n+1}=x_{n}+\frac{4}{x_{n}}, n \geq 0, x_{0}=1$. + +Calculaţi: +a) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$; +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}}$. + +RMCS nr. 39 + +IV. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ si, pentru orice număr natural nenul $n$, se notează + +$$ +a_{n}=\lim _{x \rightarrow 0}(1-x \cdot \sin n x)^{f(x)} +$$ + +Calculaţi : +a) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(f(x) \cdot\left(e^{x^{2}}-\cos 3 x\right)\right)$. +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} a_{k}$. + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Olimpiada naţională de matematică + +Etapa locală, 5 martie 2016, Caraș - Severin + +## Clasa a XI a (Barem de corectare și notare) + +1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_12b9c2426693dc5b7f77g-2.jpg?height=645&width=1631&top_left_y=454&top_left_x=218) + +2. + +Folosim egalitatea $\operatorname{det}\left(A-x \cdot I_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{tr} A) \cdot x+\operatorname{det} A$ şi deducem imediat: $\operatorname{det} A-\operatorname{tr} A=1$, $\operatorname{det} A+\operatorname{tr} A=3$ + +$\operatorname{det} A=2, \operatorname{tr} A=1$, de unde $\operatorname{det}\left(A-2 I_{2}\right)=4$. + +3. + +a)Se arată, prin inducţie matematică, că $x_{n}>0, \forall n \geq 0$. Atunci, $x_{n+1}-x_{n}=\frac{4}{x_{n}}>0 \Rightarrow$ şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ este strict crescător. Dacă şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ ar fi mărginit superior, deci convergent, trecând la limită, ar rezulta: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}+\frac{4}{\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}}$, contradicţie. Urmează $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ + +b) Aplicând criteriul Stolz-Cesaro, avem: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{2}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(8+\frac{16}{x_{n}^{2}}\right)=8$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}}=2 \sqrt{2}$ + +| 4. | a) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}+\frac{1-\cos 3 x}{x^{2}}\right)=1+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^{2} \frac{3 x}{2}}{x^{2}}=\frac{11}{2}$ | 3p | +| :--- | :--- | :--- | +| | b) $a_{k}=e^{-k}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{1}{e-1}$ | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1060-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_v_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1060-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_v_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..74bc1ad63119720f483441452acc3374dc0b593d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1060-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_v_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,73 @@ +# Olimpiada de matematică
Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a V-a + +1. Gigel a rezolvat luni un sfert din problemele pe care şi le-a propus pentru o săptămână, marţi a rezolvat o treime din cele rămase, iar miercuri a rezolvat jumătate din cele rămase și a constatat că i-au mai rămas de rezolvat 12 probleme. Câte probleme şi-a propus să rezolve Gigel în acea săptămână? +2. Se consideră numerele $A=\left(13^{23} \cdot 13^{32}: 13^{54}-\left(9^{3}\right)^{6}: 9^{17}\right)^{33}$ și $B=243 \cdot 81^{15}: 27^{7}$. + +a) Demonstrați egalitatea $A=2^{66}$; + +b) Determinați valoarea numărului $x \in \mathbb{N}$ care verifică relația $B=3^{x}$; + +c) Demonstrați inegalitatea $A Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a V-a - barem + +1. Folosind metoda grafică se deduce că numărul de probleme rezolvat în fiecare zi este același. În total sunt 48 probleme. +2. a) Verificare; $2 p$ + +b) Se obtine $B=3^{44}$, deci $x=44$; $3 p$ + +c) Avem $A=\left(2^{3}\right)^{22}=8^{22}, B=\left(3^{2}\right)^{22}=9^{22}$ și apoi concluzia. $2 p$ + +3. a) Ultima cifră a lui $N$ este 0 și de aici concluzia; + +$3 p$ +b) $N=10-1+100-1+1000-1+\ldots+\underbrace{1000.0}_{\text {2015ciffe }}-1+2014=\underbrace{111 \ldots 110}_{2015 \text { cifre }}$. + +$2 p$ + +Numărul $\underbrace{111 . .1100}$ se divide cu 111, deci restul împărțirii este 10. + +2p + +2015 cifre + +4. a) De exemplu: $3(\mathrm{~B})+7(\mathrm{M})+7(\mathrm{~B})+7(\mathrm{M})+7(\mathrm{~B})+7(\mathrm{M})+3(\mathrm{~B})+2(\mathrm{M})+6(\mathrm{~B})=49$ + +$1 p$ + +b) Bogdan poate câștiga numai dacă analizează în ordine inversă pornind de la 49 și el trebuie să obțină în mod invers sumele $41,33,25,17,9$. Diferența este de 8 și se obține completând pâna la 8 numărul ales de Marius. Deci trebuie să aleagă la început numărul 4. + +c) Deoarece $49: 8=6$ rest 1 , Marius trebuie să aleagă la început numărul 1 și apoi dacă Bogdan alege numărul $n$, Marius va alege întotdeauna numărul $8-n$. $3 p$ + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1061-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_ix_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1061-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_ix_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9d5c84f584a221ddca709d629253612eacafeff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1061-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_ix_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# Olimpiada de matematică + +## Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Demonstratị identitatea $1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixat. Determinatị numerele $x_{1}, x_{2}, . ., x_{n} \in(0, \infty)$, care verifică relația $\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{k}\right)^{2}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{k}^{3}$, pentru orice $k \in\{1,2,3, \ldots, n\}$. + +2. Fie triunghiul $A B C$ şi $G$ centrul de greutate. Fie $M \in(A B), N \in(B C), P \in(C A)$ astfel încât $\frac{M A}{M B}=\frac{N B}{N C}=\frac{P C}{P A}$. Notăm cu $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $A M P, B M N$, respectiv $C N P$. Demonstraţi că triunghiurile $A B C$ şi $G_{1} G_{2} G_{3}$ au acelaşi centru de greutate. +3. a) Demonstratii că oricare ar fi $x, y \in \mathbb{R}$ și $t \in[0,1]$ are loc inegalitatea $|t x+(1-t) y|+|(1-t) x+t y| \leq|x|+|y|$; + +b) Fie $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ astfel încât $a \leq b \leq c \leq d$ și $b-a=d-c$. Atunci $|b|+|c| \leq|a|+|d|$. + +4. Fie $x, y, z \in(0, \infty)$ cu proprietatea $x y, x z, y z \leq 1$. + +a) Determinați $m \in(0, \infty)$ maxim pentru care $\frac{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}{2+x^{2}+y^{2}} \geq m(1+x y)$, pentru orice $x, y \in(0, \infty) \mathrm{cu}$ proprietatea $x y \leq 1$; + +b) Demonstrați inegalitatea $\frac{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}{2+x^{2}+y^{2}}+\frac{\left(1+x^{2}\right)\left(1+z^{2}\right)}{2+x^{2}+z^{2}}+\frac{\left(1+y^{2}\right)\left(1+z^{2}\right)}{2+y^{2}+z^{2}} \geq \frac{3+x y+x z+y z}{2}$. + +(Gazeta Matematică - 9/2013) + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +## Faza locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a - barem + +1. a) Verificare prin inducție matematică. + +b) Se obțin valorile $x_{k}=k$, pentru $k \in\{1,2, . ., n\}$. + +$4 p$ + +2. Dacă notăm $k=\frac{M A}{M B}=\frac{N B}{N C}=\frac{P C}{P A}$, atunci pentru orice $X$ din plan avem $\overrightarrow{X G_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{X A}+\overrightarrow{X M}+\overrightarrow{X P})$ + +$=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{X A}+\frac{\overrightarrow{X A}+k \overrightarrow{X B}}{1+k}+\frac{\overrightarrow{X C}+k \overrightarrow{X A}}{1+k}\right)$ și analoagele; + +Prin însumare se obține $\overrightarrow{X G_{1}}+\overrightarrow{X G_{2}}+\overrightarrow{X G_{3}}=\overrightarrow{X A}+\overrightarrow{X B}+\overrightarrow{X C}$, care conduce apoi la concluzie. + +3. a) Se aplică inegalitatea modulului; + +b) Ipoteza conduce la existența unui număr $t \in[0,1]$ astfel încât $b=t a+(1-t) d$ și $c=(1-t) a+t d$. Apoi se aplică punctul precedent. + +4. a) Un caz particular conduce la concluzia $m \leq \frac{1}{2}$. + +Apoi se demonstrează că inegalitatea $\frac{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}{2+x^{2}+y^{2}} \geq \frac{1}{2}(1+x y)$ este valabila în ipotezele date. Deci $m=\frac{1}{2}$; + +b) Se aplică de trei ori punctul precedent. + +$3 p$ + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1062-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1062-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd0b1f0aa17869c373b6056e24bd08ca696ba7c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1062-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,98 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a XII-a
14.02.2014 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Fie ( $G$, ) un grup şi $a, b \in G$, două elemente cu proprietățile: $a b a=b a^{2} b, a^{2}=a^{-1}, b^{2014}=b$ + +a) Arătați că $a b^{2}=b^{2} a$; + +b) Arătaţi că $b=e$. + +prof. Eugen Jecan, Colegiul Național ,,Andrei Mureşanu” Dej + +## Subiectul II.(40 puncte ) + +Fie mulțimea $G=\left\{f_{a}: R \rightarrow R / f_{a}(x)=a x+3-3 a, a \in R^{*}\right\}$. + +a) Arătați că oricare ar fi $g, h \in G$ avem $g \circ h \in G$; + +b) Arătați că $G$ este grup în raport cu operația de compunere a funcțiilor; + +c) Determinați toate elementele de ordin finit ale grupului $G$. + +Gazeta matematică + +## Subiectul III.(10 puncte) + +Să se calculeze: $I=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}+1+x} d x$ + +prof.Ilie Diaconu, Liceul Teoretic "Avram Iancu”, Cluj-Napoca + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Să se determine funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}$ astfel încât funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=f(x)(\sin 2 x+4 \cos x)$ + +să admită primitiva $G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, G(x)=\frac{f(x)}{2+\sin x}$. + +prof.Gheorghe Lobont, Colegiul Național ,,Mihai Viteazul" Turda + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a XII-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +a) Arătăm mai întâi că $a b^{2}=b^{2} a$. + +Avem: $a b^{2}=a b a a^{-1} b=b a^{2} b a^{-1} b=\left(b a^{2}\right)\left(b a^{-1} b\right)=b a^{2}\left(b a^{2} b\right)=\left(b a^{2}\right)(a b a)=b a^{3} b a=b^{2} a$. Am folosit că $a^{3}=e$. + +b) Demonstrăm acum că $a b^{2014}=b^{2014} a$. + +Avem succesiv: + +$a b^{2014}=a\left(b^{2}\right)^{1007}=a \cdot b^{2} \cdot b^{2} \cdot \ldots \cdot b^{2}=b^{2} \cdot a \cdot b^{2} \cdot \ldots \cdot b^{2}=b^{2} \cdot b^{2} \cdot a \cdot b^{2} \cdot \ldots \cdot b^{2}=\cdots=b^{2} \cdot b^{2} \cdot \ldots \cdot b^{2} \cdot a=$ $=\left(b^{2}\right)^{1007} \cdot a=b^{2014} \cdot a$. Folosind că $b^{2014}=b$, avem $\quad a b=b a \Rightarrow a b a=b a^{2}$. Dar $a b a=b a^{2} b$, deci $b a^{2}=b a^{2} b$ şi simplificând la stânga cu $b a^{2}$, obținem $b=e$. + +## Subiectul II. + +a) $\forall f_{a}, f_{b} \in G \Rightarrow\left(f_{a} \circ f_{b}\right)(x)=f_{a}\left(f_{b}(x)\right)=a b x+3-3 a b=f_{a b}(x), \forall x \in R \Rightarrow f_{a} \circ f_{b}=f_{a b} \in G$ + +b) Elementul neutru este $f_{1} \in G$, simetricul elementului $f_{a} \in g$ este $f_{1} \in G$, ○ este asociativă + +c) Pentru $a=1, f_{1}(x)=x$ are ordinul 1. Pentru $a \neq 1, f_{a}^{(n)}(x)=a^{n} x+\left(1-a^{n}\right) \cdot 3$ este de ordin finit dacă $f_{a}^{(n)}=f_{1}$, deci $a^{n}=1 \Rightarrow a=-1, f_{-1}(x)=-x+6$ are ordinul 2 + +(10p) + +## Subiectul III. + +$\mathrm{Cu}$ schimbarea de variabilã $\mathrm{x}=-\mathrm{t}$, avem: + +$I=\int_{1 / 2}^{-1 / 2} \frac{(\arcsin (-t))^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}+1-t}(-d t)=\int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{(\arcsin t)^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}+1-t} d t=\int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}+1-x} d x$ + +Prin adunare,obținem: + +$2 I=\int_{-1 / 2}^{1 / 2}(\arcsin x)^{2} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}+1+x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}+1-x}\right) d x=$ + +$=\int_{-1 / 2}^{1 / 2}(\arcsin x)^{2} \cdot \frac{2\left(\sqrt{1-x^{2}}+1\right)}{\left(\sqrt{1-x^{2}}+1\right)^{2}-x^{2}} d x=\int_{-1 / 2}^{1 / 2}(\arcsin x)^{2} \cdot \frac{2\left(\sqrt{1-x^{2}}+1\right)}{2\left(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\right)} d x=$ + +$=\int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=2 \int_{0}^{1 / 2} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\left.\frac{2}{3}(\arcsin x)^{3}\right|_{0} ^{1 / 2}=\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{\pi}{6}\right)^{3} \Rightarrow I=\frac{\pi^{3}}{648}$ + +(10p) + +## Subiectul IV. + +Relația $G^{\prime}(x)=g(x)$ conduce la $\frac{f^{\prime}(x)(2+\sin x)-f(x) \cos x}{(2+\sin x)^{2}}=f(x)(\sin 2 x+4 \cos x)$ şi de aici se obține + +$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{\cos x}{2+\sin x}+2 \cos x(2+\sin x)^{2}$. + +(10p) + +Rezultă $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\int \frac{\cos x}{2+\sin x} d x+2 \int \cos x(2+\sin x)^{2} d x$ şi prin urmare se obține + +$\ln f(x)=\ln (2+\sin x)+\frac{2}{3}(2+\sin x)^{3}+\ln |\mathfrak{C}| \Leftrightarrow f(x)=|\mathfrak{C}| \cdot e^{\frac{2}{3}(2+\sin x)^{3}} \cdot(2+\sin x)$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1063-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1063-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de5686bda03bad89e9debee19b51a3cc0ee86185 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1063-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,102 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a XI-a
14.02.2014 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +$$ +\text { Fie matricea } A=\left(\begin{array}{lll} +0 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 1 \\ +0 & 0 & 0 +\end{array}\right) +$$ + +a) Să se arate că dacă $X \in M_{3}(C)$ astfel încât $A X=X A$, atunci $X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right) ; a, b, c \in C$; + +b) Determinați $X^{n}, n \in N^{*}$, unde $X$ sunt matricele de la punctul a) cu proprietatea că $a=b=1, c \in C$; + +c) Să se demonstreze că ecuația $X^{3}=A$ nu are soluții în $M_{3}(C)$. + +prof. Cristian Petru Pop, ISJ Cluj + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Se dǎ şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{2 k(2 k+1)}-\sqrt{(2 k-1)(2 k+2)})$. + +a) Sǎ se demonstreze cǎ $\frac{1}{2(k+1)}<\sqrt{2 k(2 k+1)}-\sqrt{(2 k-1)(2 k+2)}<1 ; \forall k \in N^{*}$ + +b) Sǎ se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$. + +prof.Alb Nicolae, Liceul Teoretic "O. Goga" Huedin + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Fie funcția $f:(-1,1) \rightarrow R, f(t)=\frac{2 t}{1-t^{2}}$. Să se calculeze: +a) $L_{1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{n}} \prod_{k=1}^{n}(\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{\text {kori }})(\operatorname{tg} x)$; +b) $L_{2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sum_{k=1}^{n} \ln (1+(\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{\text {kori }})(\operatorname{tg} x))$, unde $x \in\left(-\frac{\pi}{2^{n+1}}, \frac{\pi}{2^{n+1}}\right), n \in N^{*}$ fixat. + +prof. Ilie Diaconu, Liceul Teoretic "Avram Iancu”, Cluj-Napoca + +Subiectul IV. (20 puncte) Fie matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2} \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9\end{array}\right)$ si $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 a & a^{2} \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 6 & 9\end{array}\right)$. + +a) Scrieți rezultatul determinantului $\operatorname{det}\left(A \cdot B^{t}\right)$ sub formă de produs; + +b) Scrieți rezultatul determinantului $D=\left|\begin{array}{lll}\left(x^{2}+1\right)^{2} & (x y+1)^{2} & (x z+1)^{2} \\ (x y+1)^{2} & \left(y^{2}+1\right)^{2} & (y z+1)^{2} \\ (x z+1)^{2} & (y z+1)^{2} & \left(z^{2}+1\right)^{2}\end{array}\right|$ sub formă de produs. prof. Anca Cristina Hodorogea, ISJ Cluj + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a XI-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +Subiectul I. + +a) Calcul direct +b) $X^{n}=\left(\begin{array}{ccc}1 & n & n c+\frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \forall n \in N^{*}$ + +(10p) + +c) Fie $X$ o solutuie, $X^{4}=A X=X A \Rightarrow X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right), a, b, c \in C$ + +$$ +\Rightarrow \operatorname{det} X^{3}=\operatorname{det} A \Rightarrow(\operatorname{det} X)^{3}=0 \Rightarrow a=0 \Rightarrow X=\left(\begin{array}{lll} +0 & b & c \\ +0 & 0 & b \\ +0 & 0 & 0 +\end{array}\right) \Rightarrow X^{3}=O_{3} \neq A +$$ + +## Subiectul II. + +a) Demonstrǎm prima inegalitate; Folosim inegalitatea mediilor şi avem : + +$\sqrt{2 k(2 k+1)}+\sqrt{(2 k-1)(2 k+2)}<\frac{2 k+2 k+1}{2}+\frac{2 k-1+2 k+2}{2}=4 \mathrm{k}+1$. Deci, prima inegalitate este demonstrată. + +Urmeazǎ a doua inegalitate: $\frac{2}{\sqrt{2 k(2 k+1)}+\sqrt{(2 k-1)(2 k+2)}}<1$; + +$\sqrt{2 k(2 k+1)}+\sqrt{(2 k-1)(2 k+2)}>2$. Cum $\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}$, rezultă $\sqrt{2 k(2 k+1)}+\sqrt{(2 k-1)(2 k+2)} \geq \sqrt{2 \cdot 3}+\sqrt{1 \cdot 4}>2$. (10p) + +b) Însumăm după $\mathrm{k}$ inegalitățile de la punctul a) şi obținem: + +$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n+1}\right)<\mathrm{a}_{\mathrm{n}}<\mathrm{n}$. Trecând la limită după $\mathrm{n}$ se obṭine $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=+\infty$. + +(10p) + +## Subiectul III. + +Se arată imediat, prin inducție, că : $\underbrace{\text { (fofo } \ldots \text { of })}_{\text {kori }}(\operatorname{tgx})=\operatorname{tg} 2^{K} x,(\forall) k \in N^{*}$. + +Atunci obținem: + +a) $L_{1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{n}} \prod_{k=1}^{n} \operatorname{tg}^{k} x=\lim _{x \rightarrow 0} \prod_{k=1}^{n} \frac{\operatorname{tg} 2^{k} x}{2^{k} x} \cdot \prod_{k=1}^{n} 2^{k}=2^{1+2+\cdots+n}=2^{\frac{D(0+1)}{2}}$; + +b) $L_{2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\operatorname{tg} 2^{k} x\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} \frac{\ln \left(1+\operatorname{tg} 2^{k} x\right)}{\operatorname{tg} 2^{k} x} \cdot \frac{\operatorname{tg} 2^{k} x}{2^{k} x} \cdot 2^{k}=\sum_{k=1}^{n} 2^{k}=2^{n+1}-2$. + +## Subiectul IV. + +a) $\operatorname{det}\left(A \cdot B^{t}\right)=2(2-a)^{2}(3-a)^{2}$ +b) $\left(\begin{array}{lll}\left(x^{2}+1\right)^{2} & (x y+1)^{2} & (x z+1)^{2} \\ (x y+1)^{2} & \left(y^{2}+1\right)^{2} & (y z+1)^{2} \\ (x z+1)^{2} & (y z+1)^{2} & \left(z^{2}+1\right)^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 x & 2 y & 2 z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\right) \Rightarrow D=2(z-x)^{2}(z-y)^{2}(y-x)^{2}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1064-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1064-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75958b60503b1d3436bbf0b2674eb0a59a5a206e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1064-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,75 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a X-a + +14.02.2014 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +Să se rezolve ecuația $5^{3 x+1} \cdot 49^{\frac{3 x+1}{3 x+3}}=175$. + +prof.Gheorghe Lobont, Colegiul Național „,Mihai Viteazul" Turda + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Se consideră numerele complexe nenule $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ astfel încât $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$ şi $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=$ r. Sǎ se demonstreze cǎ $\left|z_{2}-z_{1}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|=\left|z_{3}-z_{2}\right|$. + +prof.Alb Nicolae, Liceul Teoretic "O. Goga" Huedin + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Să se rezolve ecuatiiile: +a) $\log _{9}\left(1+x^{2}+x^{3}\right)=2 \log _{4} x$. +b) $(5+\sqrt{24})^{x}+(5-\sqrt{24})^{x}=98$ + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Considerăm punctele $A(1,0), B\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. + +a) Să se arate că triunghiul ABC este echilateral. + +b) Să se arate că pentru $(\forall) x \in R$, are loc inegalitatea: + +$\sqrt{9^{x}+(x-1)^{2} \cdot 16^{x}}+\sqrt{9^{x}-\sqrt{3} \cdot 12^{x}+\left(x^{2}+x+1\right) \cdot 16^{x}} \geq \sqrt{9^{x}+\sqrt{3} \cdot 12^{x}+\left(x^{2}+x+1\right) \cdot 16^{x}}$. + +prof. Eugen Jecan, Colegiul Național “Andrei Mureşanu” Dej + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a X-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +Avem $x \in \mathbb{R}-\{-1\}$ şi ecuația devine $\left(5 \cdot 49^{\frac{1}{3 x+3}}\right)^{3 x+1}=5^{2} \cdot 7 \Leftrightarrow 5^{3 x-1} \cdot 7^{\frac{3 x-1}{3 x+3}}=1 \Leftrightarrow(3 x-1) \cdot\left(\lg 5+\frac{\lg 7}{3 x+3}\right)=0$. + +Mulțimea soluțiilor ecuației este $S=\left\{\frac{1}{3},-1-\frac{1}{3} \log _{5} 7\right\}$. + +## Subiectul II. + +Fie $\mathrm{O}$ originea unui reper cartezian din plan şi $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}$ imaginile numerelor $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}$ şi respectiv $\mathrm{z}_{3}$. + +Din condiția $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=\mathrm{r}$ rezultă cǎ punctele $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}$ şi $\mathrm{M}_{3}$ aparțin cercului de centru $\mathrm{O}$ şi rază $\mathrm{r}$. Fie acum, $\mathrm{M}\left(z_{1}+z_{2}\right)$ imaginea lui $\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2}$. Cum $\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2}=-\mathrm{z}_{3}$, rezultǎ cǎ afixul lui $\mathrm{M}$ este $-\mathrm{z}_{3}$, deci $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{M}_{3}$ sunt diametral opuse pe cerc. + +Pe de altă parte $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O M_{1}}+\overrightarrow{O M_{2}}$ şi astfel $\mathrm{OM}_{1} \mathrm{MM}_{2}$ este paralelogram cu $\mathrm{OM}_{1}=\mathrm{OM}_{2}=\mathrm{OM}=\mathrm{r}$, deci $\mathrm{OM}_{1} \mathrm{MM}_{2}$ este romb cu o diagonală egală cu latura. Astfel, unghiul $\mathrm{M}_{1} \mathrm{OM}_{2}$ are $120^{\circ}$ şi apoi unghiurile $\mathrm{M}_{1} \mathrm{OM}_{3}$ şi $\mathrm{M}_{2} \mathrm{OM}_{3}$ au tot $120^{\circ}$. + +Triunghiul $\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{2} \mathrm{M}_{3}$ este echilateral şi rezultă ca $\left|z_{2}-z_{1}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|=\left|z_{3}-z_{2}\right|$. + +(20p) + +## Subiectul III. + +a) Fie $y=\log _{9}\left(1+x^{2}+x^{3}\right)=2 \log _{4} x \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2^{y} \\ 1+x^{2}+x^{3}=9^{y}\end{array}\right\} \Rightarrow 1+4^{y}+8^{y}=9^{y} \Rightarrow y=2$ soluție unică Deci $x=4$ +b) $x= \pm 2$ + +## Subiectul IV. + +a) Avem $A B=B C=A C=\sqrt{3}$. Punctele se află pe cercul unitate. + +b) Considerând punctul $M\left(x,\left(\frac{3}{4}\right)^{x}\right)$, inegalitatea din enunț, se scrie $M A+M B \geq M C$. + +Cum triunghiul $A B C$ este echilateral, folosind Teorema lui Pompeiu, avem că pentru orice punct din planul triunghiului $A B C$, care nu aparține cercului circumscris triunghiului, se poate construi un triunghi cu segmentele $M A$, $M B$ şi $M C$, deci avem inegalitatea $M A+M B \geq M C$. Dacă $M$ se află pe cercul circumscris, atunci suma a două dintre segmentele $M A, M B, M C$ este egală cu al treilea segment. În cazul nostru avem egalitate pentru $M$ situat pe arcul mic $A B$. Dar punctul $M\left(x,\left(\frac{3}{4}\right)^{x}\right)$ aparține graficului funcției $f(x)=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}$, deci punctele pentru care avem egalitate sunt soluțiile sistemului $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ y=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}\end{array}\right.$. Acestea sunt $x_{1}=0, x_{2}=\frac{1}{2}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1065-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1065-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3ef0a31c28587dc92915056040bfab85d0dc832e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1065-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VIII-a + +14.02.2014 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Să se demonstreze că: $\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{2 n-1}{\sqrt{n^{2}-n}}+\frac{2 n+1}{\sqrt{n^{2}+n}} \geq 2 n,(\forall), n \in N^{*}$ + +prof. Grigore Tarta, Liceul Teoretic"Ana Ipătescu"Gherla + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Fie $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}$ care verifică relaţia: $x^{2}-2 \sqrt{3} x+y^{2}+4 y+3=0$. Să se determine $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}$ pentru care $[\mathrm{x}]=[\mathrm{y}]$, unde $[\mathrm{a}]$ reprezintă partea intreagă a numărului real a. + +prof.Violin Gorcea, Liceul Teoretic "Avram Iancu" Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Fie $E_{1}=\frac{a(2 a+8)+8}{(a+4)(2 a+12)-16}$ şi $E_{2}=\frac{a(a+4)+4}{a(a+1)-2}$. + +a) Determinați $a \in Z$ astfel încât expresiile să aibă sens; + +b) Determinați $a \in Z$ pentru care $\frac{1}{E_{1}}+\frac{1}{E_{2}} \in N$; + +c) Calculaţi $a \in Z$ astfel încât $\frac{1}{E_{1}}+\frac{1}{E_{2}}=\frac{3 a+10}{a+2}$. + +prof. Simona Pop, Colegiul Augustin Maior Cluj-Napoca + +## Subiectul IV.(30 puncte) + +Un triunghi dreptunghic $A B C\left(m \nless A=90^{\circ}\right)$ are catetele $A B=3 m, A C=4 m$. În $A$ se ridică o perpendiculară pe planul $(A B C)$ pe care se ia un segment $A D=1 m$. Să se afle: +a) $d(A,(D B C))$; + +b) Ariile triunghiurilor $D A B, D A C, D B C, A B C$; +c) $\sin (\Varangle((D B C) ;(A B C)))$. + +prof. Cristian Petru Pop, ISJ Cluj + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a VIII-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +## Subiectul I. + +Pornim de la inegalitatea evidentă: $\frac{a+b}{\sqrt{a b}} \geq 2,(\forall), a, b \in N^{*}$, avem: + +$$ +\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{2 n-1}{\sqrt{n^{2}-n}}+\frac{2 n+1}{\sqrt{n^{2}+n}} \geq 2 \cdot\left(\frac{2 n+2}{2}-1\right)=2 \cdot(n+1-1)=2 n +$$ + +## Subiectul II. + +Relația din enunț devine: $x^{2}-2 \sqrt{3} x+3+y^{2}+4 y+4=4 \Leftrightarrow(x-\sqrt{3})^{2}+(y+2)^{2}=4$. + +Atunci $(x-\sqrt{3})^{2} \leq 4$ si $(y+2)^{2} \leq 4$. + +$(x-\sqrt{3})^{2} \leq 4 \Leftrightarrow|x-\sqrt{3}| \leq 2 \Leftrightarrow x \in[-2+\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]=S_{1}$. + +Dacă $(y+2)^{2} \leq 4$ obținem $-2 \leq y+2 \leq 2 \Leftrightarrow y \in[-4,0]=S_{2}$. + +Din $S_{1} \cap S_{2}=[-2+\sqrt{3}, 0]$ putem avea $[\mathrm{x}]=[\mathrm{y}]=-1$ sau $[\mathrm{x}]=[\mathrm{y}]=0$ + +Dacă $[\mathrm{x}]=[\mathrm{y}]=-1$ obținem $x \in[-2+\sqrt{3}, 0)$ și $y \in[-1,0)$. + +Dacă $[\mathrm{x}]=[\mathrm{y}]=0$ atunci $x \in[0,1)$ și $y=0$. + +## Subiectul III. + +a) $(a+4)(2 a+12)-16=2(a+2)(a+8) ; a(a+1)-2=(a-1)(a+2) \quad \Rightarrow a \in Z \backslash\{-8,-2,1\}$ + +b) $\frac{1}{E_{1}}+\frac{1}{E_{2}}=\frac{2 a+7}{a+2} \in N \Rightarrow \quad a \in\{-1,-5,1\}$ + +c) $a=-3$ + +## Subiectul IV. + +Desen corect +a) $d(A,(D B C))=\frac{12}{13} ;$ (CU JUSTIFICĂRI) +b) $A_{D A B}=1,5 m^{2}, A_{D A C}=2 m^{2}, A_{D B C}=6,5 m^{2}, A_{A B C}=6 m^{2}$ +c) $\sin (\Varangle((D B C) ;(A B C)))=\frac{5}{13} \quad$ (CU JUSTIFICĂRI) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1066-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1066-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..014025951216c5215a37f1f09b4d4031a2bde7a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1066-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,106 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VII-a
14.02.2014 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Determinați numărul de elemente al mulțimii: $A=\left\{\overline{a b c d} \left\lvert\, \frac{a+3}{b}=\frac{b-3}{c}=\frac{c+4}{d}=\frac{d-4}{a}\right.\right\}$. + +prof. Ioan Balica, Şcoala Gimnazială Ioan Bob Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +a) Demonstrați că $\sqrt{a(a+1)+\sqrt{a(a+1)}} (OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +Conform proprietății şirului de rapoarte egale, avem $\frac{a+3}{b}=\frac{b-3}{c}=\frac{c+4}{d}=\frac{d-4}{a}=\frac{a+3+b-3+c+4+d-4}{a+b+c+d}=1$. + +Deci $a+3=b, b-3=c$ şi $c+4=d$. Obținem $c=a$ şi $d=a+4$. Dar $a, b, c, d$ sunt cifre, $a \neq 0$. Rezultă că $a \in\{1,2,3,4,5\}$. Se obține $A=\{1415,2526,3637,4748,5859\}$, deci $A$ are 5 elemente. + +## Subiectul II. + +a) calcul direct + +Fie $S=\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{6+\sqrt{6}}+\sqrt{12+\sqrt{12}}+\ldots+\sqrt{90+\sqrt{90}}=$ + +$$ +\sqrt{1 \cdot 2+\sqrt{1 \cdot 2}}+\sqrt{2 \cdot 3+\sqrt{2 \cdot 3}}+\sqrt{3 \cdot 4+\sqrt{3 \cdot 4}}+\ldots+\sqrt{9 \cdot 10+\sqrt{9 \cdot 10}} \Rightarrow +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& S<\sqrt{1 \cdot 2+\sqrt{2 \cdot 2}}+\sqrt{2 \cdot 3+\sqrt{3 \cdot 3}}+\sqrt{3 \cdot 4+\sqrt{4 \cdot 4}}+\ldots+\sqrt{9 \cdot 10+\sqrt{10 \cdot 10}} \Rightarrow \\ +& S<\sqrt{2^{2}}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{4^{2}}+\ldots+\sqrt{10^{2}} \Rightarrow S<\frac{10 \cdot 11}{2}-1 \Rightarrow S<54 +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul III. + +Fie $\mathrm{C}$ capacitatea chiuvetei şi $t$ timpul de umplere în condițiile din enunţ. + +Folosim regula de trei simplă pentru robinetul de apă rece: + +$5 \mathrm{~min}$. $\qquad$ C + +$\mathrm{t}$ min........... $\mathrm{C}_{1} \quad$ (S-a notat $\mathrm{C}_{1}$ partea din capacitate umplută de acest robinet) $\mathrm{C}_{1}=\frac{\mathrm{tC}}{5}$ + +Analog, se obține $\mathrm{C}_{2}=\frac{\mathrm{tC}}{7}\left(\mathrm{C}_{2}\right.$ este partea umplută de robinetul de apă caldă) şi $\mathrm{C}_{3}=\frac{\mathrm{tC}}{3}$ (unde $\mathrm{C}_{3}$ este partea din capacitate care se scurge prin orificiu). + +Presupunând că după $t$ minute chiuveta se umple, avem $\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2}-\mathrm{C}_{3}=\mathrm{C} \Rightarrow$ + +$\frac{\mathrm{tC}}{5}+\frac{\mathrm{tC}}{7}-\frac{\mathrm{tC}}{3}=\mathrm{C} \Rightarrow \frac{\mathrm{t}}{5}+\frac{\mathrm{t}}{7}-\frac{\mathrm{t}}{3}=1 \Rightarrow \frac{21 t+15 t-35 t}{105}=1 \Rightarrow \frac{t}{105}=1 \Rightarrow t=105$. + +Deoarece $t$ este pozitiv, rezultă că chiuveta se va umple în 105 minute. + +## Subiectul IV. + +desen corect + +(5p) + +$$ +\text { a) } \left.\begin{array}{l} +\Varangle M E B \equiv \Varangle C A B \text { (corespondente) } \\ +\Varangle C A B \equiv \Varangle M B E +\end{array}\right\} \Rightarrow \Varangle M E B \equiv \Varangle M B E \Rightarrow \triangle M B E \text { - triunghi isoscel } \Rightarrow[M E] \equiv[M B] \text {, } +$$ + +$\operatorname{dar}[M B] \equiv[M D] \Rightarrow \triangle B E D$ - triunghi dreptunghic în $E \Rightarrow D E \perp A B$. + +(10p) + +b) În triunghiul $A O B, \quad \mathrm{ME} \| A O \Rightarrow \frac{A B}{B E}=\frac{B O}{M B}$, (teorema lui Thales) (1). + +În triunghiul $D E M, \quad \mathrm{FO} \| M E \Rightarrow \frac{D F}{D E}=\frac{D O}{D M}$, (teorema lui Thales) + +$$ +[D M] \equiv[B M],(\text { ipoteză }), \quad \text { deci: } \frac{D F}{D E}=\frac{D O}{B M} +$$ + +Din (1) şi (2) adunînd, obținem: $\frac{A B}{B E}+\frac{D F}{D E}=2$. + +(5p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1067-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1067-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8be3c720243c1a4b714487217f10b3341f845fb0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1067-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,91 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VI-a + +14.02.2014 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Arătați că $\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots \ldots . .+\frac{1}{1+2+3+\ldots . .+2014}<\frac{2014}{2015}$ + +prof. Sorin Borodi, Liceul Teoretic Alexandru Papiu Ilarian Dej + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Să se determine cifrele $a, b, c$ ştiind că împărțind 2216 la $\overline{5 a}$ se obține câtul $\overline{4 b}$ şi restul $\overline{2 c}$, unde $\overline{2 c}$ este număr prim. + +prof. Gheorghe Lobont,, Colegiul Național Mihai Viteazul" Turda + +## Subiectul III.(20 puncte) + +La un antrenament, un sportiv, urcă un şir de trepte după regula: urcă 4 trepte şi coboară o treaptă, urcă iar 5 trepte şi coboară 3 trepte, după care reia de la început. + +a) Pe a câtea treaptă se află sportivul după 2014 paşi? + +b) După câți paşi ajunge pe treapta 2014 ? + +(Se consideră pas urcarea sau coborârea unei trepte) + +prof. Vasile Şerdean, Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul IV.(30 puncte) + +În interiorul unghiului $\Varangle A O B$ se iau punctele $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{101}$, astfel încât: $m\left(\Varangle A O A_{1}\right)=m\left(\Varangle A_{1} O A_{2}\right)=m\left(\Varangle A_{2} O A_{3}\right)=\ldots=m\left(\Varangle A_{101} O B\right)=1^{\circ} 20^{\prime}$. + +a) Aflaţi măsura unghiului $\Varangle A O B$. + +b) Dacă $M$ este un punct în interiorul unghiului $\Varangle A O B$ astfel încât $O M \perp O B$, să se afle $m\left(\varangle A_{12} O M\right)$. + +prof. Teodor Poenaru, Liceul Teoretic Nicolae Bălcescu Cluj-Napoca + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 2 ore. + +## Barem clasa a VI-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +Subiectul I. + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2}}+\frac{1}{\frac{3 \cdot 4}{2}}+\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{2}}+\ldots \ldots . .+\frac{1}{\frac{2014 \cdot 2015}{2}}=\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\frac{2}{4 \cdot 5}+\ldots \ldots . .+\frac{2}{2014 \cdot 2015}= \\ +& =2 \cdot\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots \ldots . .+\frac{1}{2014 \cdot 2015}\right)=2 \cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots \ldots . .+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)= \\ +& =2 \cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\right)=\frac{2013}{2015}<\frac{2014}{2015} +\end{aligned} +$$ + +(10p) + +## Subiectul II. + +Din teorema împărțirii cu rest se obține $2216=\overline{5 a} \cdot \overline{4 b}+\overline{2 c}$ şi din ipoteză $c \in\{3,9\}$. + +Dacă $c=3$ atunci $u(a \cdot b)=3$ ceea ce conduce la $a, b \in\{1,3\}$, cu soluțiile $a=1$ şi $b=3$, respectiv $a, b \in\{7,9\}$, dar în acest caz nu avem soluții. + +(5p) + +Dacă $c=9$ atunci $u(a \cdot b)=7$ ceea ce conduce la $a, b \in\{1,7\}$, respectiv $a, b \in\{3,9\}$ şi nu există soluții. (5p) + +Prin urmare soluția problemei este $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=3 \\ c=3\end{array}\right.$. + +## Subiectul III. + +Regula de urcare necesită $(4+1)+(5+3)=13$ paşi. + +În 13 paşi efectuați sportivul avansează(4-1)+(5-3)=5 trepte +a) $2014=13 \cdot 154+12$, sportivul aplică regula de urcare de 154 ori ajungând pe treapta 770 şi mai are de efectuat 12 paşi(urcă 4 trepte şi coboară 1 treaptă, urcă 5 trepte şi coboară 2 trepte) mai urcând 6 trepte. După 2014 paşi se află pe treapta 776. +b) $2014=5 \cdot 402+4$, sportivul ajunge pe treapta 2010 după $402 \cdot 13=5226$ paşi. Fiind necesari încă 4 paşi, ajunge pe treapta 2014 după 5230 paşi. + +## Subiectul IV. + +a) $m(\Varangle A O B)=102 \cdot 1^{\circ} 20^{\prime}=102^{\circ} 2040^{\prime}=136^{\circ}$ + +(20p) +b) $m(\Varangle A O M)=136^{\circ}-90^{\circ}=46^{\circ}$ + +$m\left(\Varangle A O A_{12}\right)=12 \cdot 1^{\circ} 20^{\prime}=16^{\circ}$ + +$m\left(\Varangle A_{12} O M\right)=46^{\circ}-14^{\circ}=30^{\circ}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1068-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1068-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b6029ff24ea11a941e8af591760288457b6df12 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1068-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a V-a + +14.02.2014 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Se consideră şirul de numere $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, \ldots$, unde $a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=7, a_{4}=15, a_{5}=31, \ldots$ Să se arate că $a_{2014}+1$ este pătrat perfect. + +prof. Măgdaş Elena, Şcoala Gimnazială "Horea” Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Determinați primele şi ultimele cinci cifre ale numărului: + +$$ +\begin{array}{r} +2^{2014} \cdot 25^{1006}+2^{2014}:\left[2^{1000} \cdot 2^{1012}+\left(2^{200} \cdot 2^{205}\right)^{5}:\left(2^{7}\right)^{2}+\left(5^{2014}: 5^{2013}-1^{2014}\right)^{1005} \cdot 2\right] \cdot 1007 \\ +\text { prof. Ioana Luduşan, Liceul Teoretic "Gh. Şincai" Cluj-Napoca } +\end{array} +$$ + +## Subiectul III.(30 puncte) + +a) Un număr de trei cifre se micşorează de 6 ori dacă i se ia cifra din mijloc. Să se afle numărul. + +b) Să se afle toate perechile de numere naturale nenule care au suma 111 şi pentru care 111 este divizibil cu diferența celor două numere. + +prof. Vasile Şerdean, Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Emil aşteaptă la o casă de bilete, împreună cu alte persoane, aşezate în şir. Andrei, aflat chiar în fața lui Emil, spune: "În spatele meu sunt de 5 ori mai multe persoane decât în fața mea". Mihai, aflat chiar în spatele lui Emil, spune: "În spatele meu sunt de 3 ori mai multe persoane decât în fața mea". Câte persoane aşteaptă la casa de bilete? + +prof. Sorin Borodi, Liceul Teoretic "Alexandru Papiu Ilarian" Dej + +## Barem clasa a V-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +$a_{1}=2^{1}-1, a_{2}=2^{2}-1, a_{3}=2^{3}-1, a_{4}=2^{4}-1, \ldots a_{2014}=2^{2014}-1 \Rightarrow a_{2014}+1=2^{2014}=\left(2^{1007}\right)^{2}$ + +## Subiectul II. + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{2012} \cdot 5^{2012} \cdot 2^{2}+2^{2014}:\left[2^{2012}+\left(2^{405}\right)^{5}: 2^{14}+\left(2^{2}\right)^{1005} \cdot 2\right] \cdot 1007=10^{2012} \cdot 4+2^{2014} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5d069eb2bbe2e614196cg-2.jpg?height=112&width=1618&top_left_y=890&top_left_x=340) + +$$ +\begin{aligned} +& =\underbrace{40000 \ldots 00000}_{d \theta 2012 \text { ori }}+2 \cdot 1007=\underbrace{400000 \ldots 000002014}_{d z 2008 \text { ori }} +\end{aligned} +$$ + +Primele 5 cifre sunt $4,0,0,0,0$ si ultimele cinci cifre sunt $0,2,0,1,4$. + +## Subiectul III. + +a) $\overline{a b c}=6 \cdot \overline{a c}$. Atunci $100 a+10 b+c=60 a+6 c$ + +$$ +\begin{aligned} +& 40 a+10 b=5 c \\ +& 8 a+2 b=c \Rightarrow a=1 \Rightarrow 8+2 b=c \Rightarrow b=0, c=8 +\end{aligned} +$$ + +b) Fie $a, b \in N^{*}, a>b$ numerele căutate. Atunci $a+b=111,(a-b) \in D_{111}=\{1,3,37,111\}$ (10p) Deci $(a, b) \in\{(56,55) ;(57,54) ;(74,37)\}$ + +## Subiectul IV. + +Fie $n$ numărul de persoane aflate în fața lui Andrei. Conform datelor, în spatele lui Andrei sunt $5 n$ persoane. Numărul total de persoane aflate la ghişeu este $n+1+5 n=6 n+1$. (1) + +În fața lui Mihai se află $n+2$ persoane, iar în spatele lui Mihai $3(n+2)$ persoane. Numărul total de persoane aflate la ghişeu poate fi scris $(n+2)+1+3(n+2)=4 n+9 \quad$ (2) + +Egalând (1) şi (2) se deduce ecuația $6 n+1=4 n+9$, cu soluția $n=4$. + +Înlocuind în (1) sau în (2) se obține că numărul de persoane aflate la ghişeu este 25 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1069-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1069-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..58a3e45fe67e635fa2732d2752cbbad0e227e5a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1069-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,111 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a IX-a + +14.02.2014 + +## Subiectul I.(40 puncte ) + +a) Arătați că $\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}$, oricare ar fi $a, b, c \in(0, \infty)$. + +b) Demonstrați inegalitatea $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$, oricare ar fi $a, b, c \in(0, \infty)$. + +c) Justificând răspunsul, stabiliți valoarea de adevăr a propoziției ,,există $a, b, c, d \in(0, \infty)$ astfel încât + +$$ +\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b} \in \mathbb{N} " +$$ + +prof. Viorel Lupşor, L.T. ,,O. Ghibu” Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(10 puncte ) + +Fie $a, b, c \in[1, \infty)$ astfel încât $a+b+c=4$. Să se arate că: $\sqrt{a b(c-1)}+\sqrt{b c(a-1)}+\sqrt{c a(b-1)} \leq \sqrt{a b+b c+c a}$. În ce caz avem egalitate? + +prof.Ilie Diaconu, Liceul Teoretic "Avram Iancu”, Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(20 puncte) + +1. Fie k un număr natural impar. Să se demonstreze că: + +$\left[\sqrt{k^{2}}\right]+\left[\sqrt{k^{2}+2}\right]+\left[\sqrt{k^{2}+4}\right]+\ldots+\left[\sqrt{(k+2)^{2}-2}\right]=(k+1)(2 k+1)$. + +2. Să se calculeze suma: + +$[\sqrt{1}]+[\sqrt{3}]+[\sqrt{5}]+\ldots+\left[\sqrt{4 n^{2}+4 n-1}\right]$, unde $n \in \mathrm{N}^{*}$. + +prof. Nicolae Alb, Lieul Teoretic "Octavian Goga” Huedin + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Se consideră paralelogramul $\mathrm{ABCD}$. O dreaptă oarecare taie dreptele $\mathrm{AD}, \mathrm{BD}$ şi respectiv $\mathrm{CD}$ în punctele $A_{1}, B_{1}$ şi $C_{1}$. Arătaţi că dacă $\overrightarrow{D A_{1}}=a \cdot \overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D B_{1}}=b \cdot \overrightarrow{D B}, \overrightarrow{D C_{1}}=c \cdot \overrightarrow{D C}$, atunci are loc inegalitatea $2 b \leq \sqrt{a c}$. Când are loc egalitate? + +prof. Eugen Jecan, Colegiul Național "Andrei Mureşanu" Dej + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a IX-a
(OLM 2014-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +a) $a, b, c \in(0, \infty) \Rightarrow a+b+c>a+b \Rightarrow \frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}$. Apoi, $\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c} \Leftrightarrow$ $a^{2}+a b+a c2^{n+3}-2, \forall n \geq 3$. Se deduce astfel că pentru $k \geq 3$ avem $x \geq 4^{k}>2^{k+3}-2>x$ + +Se ajunge aşadar la $k \in\{0,1,2\}$; notăm cu $M_{k}, k=\overline{0,2}$, mulţimea soluţiilor sistemului (1) şi se obţin $M_{o}=[2,4), M_{1}=[8,14), M_{2}=[26,30) \Rightarrow M=M_{o} \cup M_{1} \cup M_{2}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1070-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xii_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1070-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xii_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14d4ba439c7205a9040b44feb94d9160865d2f5e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1070-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xii_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,139 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +## Clasa a XII-a + +1) Să se calculeze $\int \frac{3 \sin x+\cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. +2) Se consideră funcția $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\{x\}(1-\{x\})$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracționară a lui $x$. + +a) Să se arate că $f$ admite primitive; + +b) Să se calculeze $\int f(x) d x$. + +3) Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x * y=x y+3 x+3 y+6$. + +a) Să se arate că * determină pe $(-3,+\infty)$ o structură de grup abelian; + +b) Să se determine $x \in \mathbb{R}$ cu proprietatea că există $k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ astfel încât $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } k \text { ori }}=x$. + +$(* * *)$ + +4) Fie $p \geq 3$ un număr prim și $a$ un element de ordin 2 din grupul $\left(\mathbb{Z}_{2 p},+\right)$. Să se arate că: + +a) există o mulțime $H \subset \mathbb{Z}_{2 p}$ cu $p$ elemente, astfel încât suma elementelor mulțimii $H$ este $\hat{0}$, iar $x-y \neq a$, oricare ar fi $x, y \in H$. + +b) există exact $2^{p-1}$ submulțimi $F \subset \mathbb{Z}_{2 p}$ care verifică cerința de la a). + +(prelucrare G.M. 10/2013) + +Propunător: prof. Marius Mohonea - C.N. "UNIREA "- Focşani + +## SUCCES! + +NOTĂ: $\quad$ Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-14.02.2014 + +## Clasa a XII-a + +## Soluţii + +1) Fie $I=\int \frac{\sin x}{2 \sin x+5 \cos x} d x$ și $J=\int \frac{\cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x$ + +$2 I+5 J=\int 1 d x=x+C$ + +$-5 I+2 J=\int \frac{-5 \sin x+2 \cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x=\ln (2 \sin x+5 \cos x)+C$ + +Obținem $J=\frac{1}{29}(5 x+2 \ln (2 \sin x+5 \cos x))+C$ şi $I=\frac{1}{29}(2 x-5 \ln (2 \sin x+5 \cos x))+C$ + +Atunci $\int \frac{3 \sin x+\cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x=3 I+J=\frac{1}{29}(11 x-13 \ln (2 \sin x+5 \cos x))+C$ + +2) Se explicitează funcţia și se obține $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+1)(-x), x \in[-1,0) \\ x(1-x), x \in[0,1) \\ 0, x=1\end{array}=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-x, x \in[-1,0) \\ x-x^{2}, x \in[0,1]\end{array}\right.\right.$ + +Deoarece $\lim _{\substack{x \rightarrow k \\ x<0}} f(x)=\lim _{\substack{x \rightarrow k \\ x>0}} f(x)=f(0)=0$ se obține că $f$ este continuă pe $[-1,1]$ și atunci $f$ admite primitive + +Primitivele lui $f$ sunt de forma $F(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+c_{1}, x \in[-1,0) \\ -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+c_{2}, x \in[0,1]\end{array}\right.$ + +Relația $c_{1}=c_{2}$ se obține din continuitatea funcției $F$ + +3) Axiomele grupului abelian se verifică cu ușurință folosind, eventual, scrierea $x * y=(x+3)(y+3)-3$ + +Egalitatea $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } k \text { ori }}=x$ este echivalentă cu $(x+3)^{k}-3=x \Leftrightarrow(x+3)\left[(x+3)^{k-1}-1\right]=0$ + +Valorile lui $x \in \mathbb{R}$ pentru care există $k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ sunt $-4,-3,-2$ + +4) Singurul element de ordin 2 din $\left(\mathbb{Z}_{2 p},+\right)$ este $p$ + +a) Fie $H=\{\hat{1}, 2, \ldots, p\}$ + +Cum $1+2+\ldots+p=\frac{p(p+1)}{2}=p \cdot k, k \in \mathbb{Z}$ rezultă că suma elementelor mulțimii $H$ este $\hat{0}$ + +Dacă $x, y \in H$ atunci $x-y \neq p$ și atunci $H$ verifică condițile problemei. + +b) Fie $A_{0}=\{\hat{0}, p\}, A_{1}=\{\hat{1}, p+1\}, \ldots, A_{p-1}=\{p-1,2 p-1\}$ + +Dacă $x, y \in A_{k}$ atunci $x-y=p$ iar dacă $x \in A_{k}, y \notin A_{k}$ atunci $x-y \neq p$ + +Așadar din fiecare din mulțimile $A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{p-1}$ se alege un element + +Presupunem că din $A_{1}, \ldots, A_{p-1} \mathrm{~s}$-au ales respectiv $x_{1}, \ldots, x_{p-1}$ și notăm $S_{1}=x_{1}+\ldots+x_{p-1}$ + +Suma elementelor nealese este $S_{2}=p+x_{1}+\ldots+p+x_{p-1}=S_{1}$ (sunt număr par de $p$ ) + +$S_{1}+S_{2}=\hat{1}+\ldots+2 p-1-p=p-p=\hat{0} \Rightarrow 2 S_{1}=\hat{0} \Rightarrow S_{1} \in\{\hat{0}, p\}$ + +Dacă $S_{1}=\hat{0}$ atunci din $A_{0}$ se alege $\hat{0}$, iar dacă $S_{1}=p$ atunci din $A_{0}$ se alege $p$ + +Așadar, numărul de submulțimi este egal cu număr de moduri de alege câte un element din mulțimile $A_{1}, \ldots, A_{p-1}$, adică $2^{p-1}$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a XII-a + +## Bareme + +1) Fie $I=\int \frac{\sin x}{2 \sin x+5 \cos x} d x$ și $J=\int \frac{\cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x$ $.1 \mathrm{p}$ + +$2 I+5 J=\int 1 d x=x+C$ $1 \mathrm{p}$ + +$-5 I+2 J=\int \frac{-5 \sin x+2 \cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x=\ln (2 \sin x+5 \cos x)+C$ $.2 \mathrm{p}$ + +Obținem $J=\frac{1}{29}(5 x+2 \ln (2 \sin x+5 \cos x))+C$ și $I=\frac{1}{29}(2 x-5 \ln (2 \sin x+5 \cos x))+C \ldots 2 \mathrm{p}$ Atunci $\int \frac{3 \sin x+\cos x}{2 \sin x+5 \cos x} d x=3 I+J=\frac{1}{29}(11 x-13 \ln (2 \sin x+5 \cos x))+C$ + +2) Se explicitează funcția și se obține $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+1)(-x), x \in[-1,0) \\ x(1-x), x \in[0,1) \\ 0, x=1\end{array} \quad=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-x, x \in[-1,0) \\ x-x^{2}, x \in[0,1]\end{array} \quad \ldots 1 \mathrm{p}\right.\right.$ Deoarece $\lim _{\substack{x \rightarrow k \\ x<0}} f(x)=\lim _{\substack{x \rightarrow k \\ x>0}} f(x)=f(0)=0$ se obține că $f$ este continuă pe $[-1,1]$ și atunci $f$ admite primitive. + +Primitivele lui $f$ sunt de forma $F(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+c_{1}, x \in[-1,0) \\ -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+c_{2}, x \in[0,1]\end{array}\right.$ + +Relația $c_{1}=c_{2}$ se obține din continuitatea funcției $F$ + +3) Axiomele grupului abelian se verifică cu ușurință folosind, eventual, scrierea $x * y=(x+3)(y+3)-3$ + +Egalitatea $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } k \text { ori }}=x$ este echivalentă cu $(x+3)^{k}-3=x \Leftrightarrow>(x+3)\left[(x+3)^{k-1}-1\right]=0 \ldots 1 \mathrm{p}$ Valorile lui $x \in \mathbb{R}$ pentru care există $k \in \mathbb{N}, k \geq 2$ sunt $-4,-3,-2$ + +4) Singurul element de ordin 2 din $\left(\mathbb{Z}_{2 p},+\right)$ este $p$ $1 \mathrm{p}$ + +a) Fie $H=\{\hat{1}, 2, \ldots, p\}$ $1 \mathrm{p}$ + +Cum $1+2+\ldots+p=\frac{p(p+1)}{2}=p \cdot k, k \in \mathbb{Z}$ rezultă că suma elementelor mulțimii $H$ este $\hat{0}$ + +Dacă $x, y \in H$ atunci $x-y \neq p$ și atunci $H$ verifică conditiile problemei. $1 \mathrm{p}$ + +b) Fie $A_{0}=\{\hat{0}, p\}, A_{1}=\{\hat{1}, p+1\}, \ldots, A_{p-1}=\{p-1,2 p-1\}$ $1 \mathrm{p}$ + +Dacă $x, y \in A_{k}$ atunci $x-y=p$ iar dacă $x \in A_{k}, y \notin A_{k}$ atunci $x-y \neq p$ + +Așadar din fiecare din mulțimile $A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{p-1}$ se alege un element..... $1 p$ + +Presupunem că din $A_{1}, \ldots, A_{p-1} \mathrm{~s}$-au ales respectiv $x_{1}, \ldots, x_{p-1}$ și notăm $S_{1}=x_{1}+\ldots+x_{p-1}$ + +Suma elementelor nealese este $S_{2}=p+x_{1}+\ldots+p+x_{p-1}=S_{1}$ (sunt număr par de $p$ ) + +$S_{1}+S_{2}=\hat{1}+\ldots+2 p-1-p=p-p=\hat{0} \Rightarrow 2 S_{1}=\hat{0} \Rightarrow S_{1} \in\{\hat{0}, p\}$ $1 \mathrm{p}$ + +Dacă $S_{1}=\hat{0}$ atunci din $A_{0}$ se alege $\hat{0}$, iar dacă $S_{1}=p$ atunci din $A_{0}$ se alege $p$ Așadar, numărul de submulțimi este egal cu număr de moduri de alege câte un element din mulțimile $A_{1}, \ldots, A_{p-1}$, adică $2^{p-1}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1071-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xi_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1071-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xi_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3612a071d2fde7be28e566796a61690deb05a060 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1071-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xi_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,254 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a XI-a + +1) Fie $X, Y \in M_{2}(R)$. Să se arate că: +a) $\operatorname{det}(X+Y)+\operatorname{det}(X-Y)=2 \operatorname{det}(X)+2 \operatorname{det}(Y)$; + +b) dacă $\operatorname{det}(X Y+Y X) \leq 0$, atunci $\operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}\right) \geq 0$. + +2) a) Calculaţi $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+\sin 2 x\right)^{\frac{1}{x}}$; + +b) Determinaţi valorile reale ale parametrilor $a$ şi $b$ pentru care $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{a}{1-x^{6}}-\frac{b}{1-x^{9}}\right)=-\frac{1}{2}$. + +3) a) Să se rezolve în $M_{2}(R)$ ecuaţia $X^{2013}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2014 \\ 0 & 1\end{array}\right)$. + +b) Se consideră $A \in M_{2}(C)$ cu $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=0$. Să se arate că $A^{2014}=O_{2}$. + +4) Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ şi $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n a_{n}}, n \geq 1$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right)$ + +(Gazeta matematică nr. 5/2013) + +Propunător: prof. Corneliu Huzum - C.E. "Mihail Kogălniceanu "- Focşani + +## SUCCES! + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-14.02.2014 + +## Clasa a XI-a + +## Soluţii + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 1) a) } X=\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{ll} +m & n \\ +p & q +\end{array}\right) ; a, b, c, d, m, n, p, q \in R . \\ +& \operatorname{det}(X+Y)+\operatorname{det}(X-Y)=\left|\begin{array}{ll} +a+m & b+n \\ +c+p & d+q +\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} +a-m & b-n \\ +c-p & d-q +\end{array}\right|= \\ +& =a d+a q+d m+m q-b c-b p-c n-n p+a d-a q-d m+m q-b c+b p+c n-n p=2(a d+m q-b c-n p) \\ +& 2 \operatorname{det}(X)+2 \operatorname{det}(Y)=2\left|\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll} +m & n \\ +p & q +\end{array}\right|=2(a d-b c+m q-n p) +\end{aligned} +$$ + +Prin urmare $\operatorname{det}(X+Y)+\operatorname{det}(X-Y)=2 \operatorname{det}(X)+2 \operatorname{det}(Y)$. + +b) Folosind a) obţinem + +$$ +\begin{aligned} +& 2 \operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}\right)+2 \operatorname{det}(X Y+Y X)=\operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}+X Y+Y X\right)+\operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}-X Y-Y X\right)= \\ +& =\operatorname{det}\left[(X+Y)^{2}\right]+\operatorname{det}\left[(X-Y)^{2}\right]=[\operatorname{det}(X+Y)]^{2}+[\operatorname{det}(X-Y)]^{2} \geq 0 \Rightarrow \\ +& \Rightarrow \operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}\right) \geq-\operatorname{det}(X Y+Y X) \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +2) a) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+\sin 2 x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\left[1+\left(e^{x}+\sin 2 x-1\right)\right] e^{\frac{1}{x}+\sin 2 x-1}\right\}^{\frac{e^{x}+\sin 2 x-1}{x}}=$ $=e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1}{x}+\frac{\sin 2 x}{2 x} \cdot 2\right)}=e^{3}$ + +b) $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{a}{1-x^{6}}-\frac{b}{1-x^{9}}\right)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}}\left(\frac{a}{1+x^{3}}-\frac{b}{1+x^{3}+x^{6}}\right)=\frac{\frac{a}{2}-\frac{b}{3}}{0}$ + +Dacă $\frac{a}{2}-\frac{b}{3} \neq 0$, atunci limita este infinită şi nu convine. + +Dacă $\frac{a}{2}-\frac{b}{3}=0 \Rightarrow b=\frac{3 a}{2}$. + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{a}{1-x^{6}}-\frac{b}{1-x^{9}}\right)=a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}}\left(\frac{1}{1+x^{3}}-\frac{3}{2\left(1+x^{3}+x^{6}\right)}\right)=a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}} \cdot \frac{2 x^{6}-x^{3}-1}{2\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{3}+x^{6}\right)}= \\ +& =a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}} \cdot \frac{\left(2 x^{3}+1\right)\left(x^{3}-1\right)}{2\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{3}+x^{6}\right)}=-\frac{a}{4}=-\frac{1}{2} \Rightarrow a=2, b=3 +\end{aligned} +$$ + +3) a) $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) ; a, b, c, d \in R . X^{2014}=X^{2013} \cdot X=X \cdot X^{2013}$, adică + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\begin{array}{cc} +1 & 2014 \\ +0 & 1 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} +1 & 2014 \\ +0 & 1 +\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} +a+2014 c=a \\ +b+2014 d=2014 a+b \\ +c=c \\ +d=2014 c+d +\end{array} \Rightarrow\right. \\ +& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} +c=0 \\ +d=a +\end{array} \Rightarrow X=\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +0 & a +\end{array}\right)=a I_{2}+B, B=\left(\begin{array}{ll} +0 & b \\ +0 & 0 +\end{array}\right),\left(a I_{2}\right) B=B\left(a I_{2}\right)\right. \\ +& B^{2}=O_{2} \text { şi } B^{n}=O_{2}, \forall n \geq 2 +\end{aligned} +$$ + +$$ +X^{2013}=\left(a I_{2}+B\right)^{2013}=a^{2013} I_{2}+2013 a^{2012} B=\left(\begin{array}{cc} +a^{2013} & 2013 a^{2012} b \\ +0 & a^{2013} +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} +1 & 2014 \\ +0 & 1 +\end{array}\right) +$$ + +Se obţine sistemul $\left\{\begin{array}{l}a^{2013}=1 \\ 2013 a^{2012} b=2014\end{array}\right.$ cu soluţiile reale $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=\frac{2014}{2013}\end{array} \Rightarrow X=\left(\begin{array}{ll}1 & \frac{2014}{2013} \\ 0 & 1\end{array}\right)\right.$ +b) $\operatorname{Cum} A^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det}(A) \cdot I_{2}=O_{2} \Rightarrow A^{2}=-\operatorname{det}(A) \cdot I_{2} \Rightarrow \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=-2 \operatorname{det}(A)=0 \Rightarrow \operatorname{det}(A)=0$ $A^{2}=O_{2} \Rightarrow A^{2014}=O_{2}$. + +4) Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are termenii strict pozitivi. Cum $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{1+n a_{n}} \leq 1$, şirul este convergent. + +Fie $l=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. Dacă $l>0$, atunci $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+n a_{n}\right)=\infty$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}=0$, adică $l=0$, fals. Prin urmare $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +Aplicând succesiv lema Stolz-Cesaro, avem: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{a_{n}}}{n^{4}-(n-1)^{4}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{a_{n}}}{4 n^{3}-6 n^{2}+4 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n}}}{n^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{4 n^{3}-6 n^{2}+4 n-1}= \\ +& =\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{a_{n}}{n^{2}}}{2}=\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}}{(n+1)^{2}-n^{2}}=\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1+n a_{n}-1}{a_{n}}}{2 n+1}=\frac{1}{8} +\end{aligned} +$$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a XI-a + +## Bareme + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 1) a) } X=\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{ll} +m & n \\ +p & q +\end{array}\right) \text {;a,b, c, } d, m, n, p, q \in R \text {. } \\ +& \operatorname{det}(X+Y)+\operatorname{det}(X-Y)=\left|\begin{array}{ll} +a+m & b+n \\ +c+p & d+q +\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} +a-m & b-n \\ +c-p & d-q +\end{array}\right|=a d+a q+d m+m q- \\ +& -b c-b p-c n-n p+a d-a q-d m+m q-b c+b p+c n-n p=2(a d+m q-b c-n p) \\ +& .2 p \\ +& 2 \operatorname{det}(X)+2 \operatorname{det}(Y)=2\left|\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll} +m & n \\ +p & q +\end{array}\right|=2(a d-b c+m q-n p) \\ +& 2 \operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}\right)+2 \operatorname{det}(X Y+Y X)=\operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}+X Y+Y X\right)+\operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}-X Y-Y X\right)= \\ +& =\operatorname{det}\left[(X+Y)^{2}\right]+\operatorname{det}\left[(X-Y)^{2}\right]= +\end{aligned} +$$ + +$=[\operatorname{det}(X+Y)]^{2}+[\operatorname{det}(X-Y)]^{2} \geq 0 \Rightarrow$ +$\Rightarrow \operatorname{det}\left(X^{2}+Y^{2}\right) \geq-\operatorname{det}(X Y+Y X) \geq 0$. ..... $.1 p$ + +2) a) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+\sin 2 x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}^{\infty}\left\{\left[1+\left(e^{x}+\sin 2 x-1\right)\right]^{\frac{1}{e^{x}+\sin 2 x-1}}\right\}^{\frac{e^{x}+\sin 2 x-1}{x}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_478bf47d4fb6dda1efbdg-4.jpg?height=323&width=1068&top_left_y=1986&top_left_x=217) +$1 p$ + +$$ +=e^{3} +$$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $\frac{a}{2}-\frac{b}{3} \neq 0$, atunci limita este infinită şi nu convine. + +Dacă $\frac{a}{2}-\frac{b}{3}=0 \Rightarrow b=\frac{3 a}{2}$ + +$$ +\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{a}{1-x^{6}}-\frac{b}{1-x^{9}}\right)=a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}}\left(\frac{1}{1+x^{3}}-\frac{3}{2\left(1+x^{3}+x^{6}\right)}\right)=a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}} \cdot \frac{2 x^{6}-x^{3}-1}{2\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{3}+x^{6}\right)}= +$$ + +$=a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x^{3}} \cdot \frac{\left(2 x^{3}+1\right)\left(x^{3}-1\right)}{2\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{3}+x^{6}\right)}=$ + +$=-\frac{a}{4}=-\frac{1}{2} \Rightarrow a=2, b=3$. + +3) a) $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) ; a, b, c, d \in R . X^{2014}=X^{2013} \cdot X=X \cdot X^{2013}$, adică + +$\left(\begin{array}{cc}1 & 2014 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 2014 \\ 0 & 1\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+2014 c=a \\ b+2014 d=2014 a+b \\ c=c \\ d=2014 c+d\end{array} \Rightarrow\right.$ + +$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c=0 \\ d=a\end{array} \Rightarrow X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & a\end{array}\right)=\right.$ $1 \mathrm{p}$ + +$=a I_{2}+B, B=\left(\begin{array}{ll}0 & b \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(a I_{2}\right) B=B\left(a I_{2}\right)$. + +$B^{2}=O_{2}$ şi $B^{n}=O_{2}, \forall n \geq 2$. + +$X^{2013}=\left(a I_{2}+B\right)^{2013}=a^{2013} I_{2}+2013 a^{2012} B=\left(\begin{array}{cc}a^{2013} & 2013 a^{2012} b \\ 0 & a^{2013}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 2014 \\ 0 & 1\end{array}\right) \ldots$ + +$2 p$ + +Se obţine sistemul $\left\{\begin{array}{l}a^{2013}=1 \\ 2013 a^{2012} b=2014\end{array}\right.$ cu soluţiile reale + +$\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=\frac{2014}{2013}\end{array} \Rightarrow X=\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{2014}{2013} \\ 0 & 1\end{array}\right)\right.$ + +$1 p$ + +b) Cum $A^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det}(A) \cdot I_{2}=O_{2} \Rightarrow A^{2}=-\operatorname{det}(A) \cdot I_{2} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=-2 \operatorname{det}(A)=0 \Rightarrow \operatorname{det}(A)=0$ + +4) Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are termenii strict pozitivi. Cum $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{1+n a_{n}} \leq 1$, şirul este convergent + +Fie $l=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. Dacă $l>0$, atunci $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+n a_{n}\right)=\infty$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}=0$, adică $l=0$, fals. Prin urmare $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +Aplicând succesiv lema Stolz-Cesaro, avem: + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{a_{n}}}{n^{4}-(n-1)^{4}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{a_{n}}}{4 n^{3}-6 n^{2}+4 n-1}=$ $.2 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n}}}{n^{2}} \cdot \frac{n^{3}}{4 n^{3}-6 n^{2}+4 n-1}=\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n}}}{n^{2}}= \\ +& =\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}}{(n+1)^{2}-n^{2}}=\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1+n a_{n}-1}{a_{n}}}{2 n+1}=\frac{1}{8} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1072-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_x_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1072-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_x_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..394fd791e2baf42cf6d152ef6f42cbd2b8437b34 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1072-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_x_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,188 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +## Clasa a X-a + +1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia: $3^{x+1 \mid}-2\left|3^{x}-1\right|=3^{x}+2$. + +(culegere) + +2. Ştiind că $A=\{z \in \mathbb{C} /|z|=1, z \neq-1\}$, demonstraţi că $f: \mathbb{R} \rightarrow A, \quad f(x)=\frac{1+x i}{1-x i}$ reprezintă o funcţie bijectivă. +3. Arătaţi că dacă $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ sunt distincte două câte două astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|$ ģi $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{3}+z_{1}\right|$ atunci $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral. +4. Fie $x, y, z$ numere reale strict mai mari ca 1 . Demonstraţi inegalitatea: $\log _{y z^{2}} x+\log _{z x^{2}} y+\log _{x y^{2}} z \geq 1$. + +(G.M./2013) + +## SUCCES! + +NOTĂ: $\quad$ Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Faza locală-15.02.2014
Clasa a X-a + +## Soluţii + +1. Se explicitează modulele. + +Cazul I: $x \in(-\infty,-1)$. Ecuaţia devine $3^{-x-1}+3^{x}-4=0$. + +Se face substituţia $3^{x}=t>0$ şi se obţine ecuaţia $3 t^{2}-12 t+1=0$ cu soluţiile $t_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{33}}{3}>0$. Cum $\log _{3} \frac{6-\sqrt{33}}{3} \in(-\infty,-1)$ şi $\log _{3} \frac{6+\sqrt{33}}{3} \notin(-\infty,-1)$ rezultă că soluţia în acest caz este $S_{I}=\left\{\log _{3} \frac{6-\sqrt{33}}{3}\right\}$ + +Cazul II: $x \in[-1,0)$. Ecuaţia devine $3^{x+1}+3^{x}-4=0 \Leftrightarrow 3^{x}=1 \Leftrightarrow x=0 \notin[-1,0)$. + +Deci $S_{I I}=\varnothing$ + +Cazul III: $x \in[0, \infty)$. Ecuaţia devine $3^{x+1}-3 \cdot 3^{x}=0 \Leftrightarrow 0=0$. + +Deci $S_{\text {III }}=[0, \infty)$ + +Soluţia finală este $S=\left\{\log _{3} \frac{6-\sqrt{33}}{3}\right\} \cup[0, \infty)$ + +2. Se ştie că $f$ este bijectivă dacă şi numai dacă ecuaţia $f(x)=z, x \in \mathbb{R}$ are soluţie unică pentru orice $z \in A$. + +Fie $z \in A$, adică $z \in \mathbb{C} c u|z|=1$ si $z \neq-1$. + +Din $f(x)=z$ şi $z \neq-1$ se obţine $x=\frac{z-1}{i(z+1)}$ + +Rămâne de arătat că $x \in \mathbb{R}$. + +Se ştie că $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x=\bar{x}$ + +Se foloseşte că $z \cdot \bar{z}=|z|^{2}=1$ şi se calculează + +$x-\bar{x}=\frac{z-1}{i(z+1)}-\frac{\bar{z}-1}{-i(\bar{z}+1)}=0$ + +Se obţine $x=\frac{z-1}{i(z+1)} \in \mathbb{R}$ soluţie unică a ecuaţie $f(x)=z$. + +3. Se verifică $\left|z+z^{\prime}\right|^{2}+\left|z-z^{\prime}\right|^{2}=2\left(|z|^{2}+\left|z^{\prime}\right|^{2}\right), \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C}$ + +Se aplică relaţia de mai sus, pe rând, numerelor $z_{1}$ si $z_{2}, z_{2}$ si $z_{3}$ respectiv $z_{3}$ si $z_{1}$. + +Din $\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)$ si $\left|z_{2}+z_{3}\right|^{2}+\left|z_{2}-z_{3}\right|^{2}=2\left(\left|z_{2}\right|^{2}+\left|z_{3}\right|^{2}\right)$, folosind ipoteza, se obţine $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{3}\right|$. Analog $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|$ + +Fie $A, B, C$ imaginile geometrice asociate numerelor complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ distincte două câte două cu $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right| \neq 0$ + +Se deduce că punctele $A, B, C$ sunt situate pe un cerc având centrul în originea reperului cartezian şi raza $\left|z_{1}\right|>0$ + +Din $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{3}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|$ rezultă $A B=B C=C A$, ceea ce arată că triunghiul $A B C$ este echilateral. + +4. Se notează $\lg x=a, \lg y=b, \lg z=c$. + +Din $x, y, z>1 \Rightarrow a, b, c>0$. + +Inegalitatea de demonstrat devine $\frac{a}{b+2 c}+\frac{b}{c+2 a}+\frac{c}{a+2 b} \geq 1\left(^{*}\right)$. + +Notând $b+2 c=A, c+2 a=B, a+2 b=C$ se arată că + +$$ +\frac{a}{b+2 c}=\frac{1}{9}\left(\frac{C}{A}+4 \frac{B}{A}-2\right), \frac{b}{c+2 a}=\frac{1}{9}\left(\frac{A}{B}+4 \frac{C}{B}-2\right), \frac{c}{a+2 b}=\frac{1}{9}\left(\frac{B}{C}+4 \frac{A}{C}-2\right) \text { сu } A, B, C>0 \text { si } +$$ + +$$ +\text { rămâne de demonstrat }\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{A}\right)+\left(\frac{B}{C}+\frac{C}{B}\right)+\left(\frac{C}{A}+\frac{A}{C}\right)+3\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{A}\right)-6 \geq 9 +$$ + +Din inegalitatea mediilor rezultă + +$$ +\frac{A}{B}+\frac{B}{A} \geq 2, \frac{B}{C}+\frac{C}{B} \geq 2, \frac{C}{A}+\frac{A}{C} \geq 2 s i \frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{A} \geq 3 \text {, ceea ce demostrează (**). } +$$ + +Altfel, se aplică inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz: + +$$ +\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) \geq\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}\right)^{2}, \forall x_{i}, y_{i} \in \mathbb{R}, i \in\{1,2,3\} +$$ + +Notând $\sqrt{\frac{a}{b+2 c}}=x_{1} ; \sqrt{a(b+2 c)}=y_{1} \quad \cdots$ + +Se obţine $\left(\sum \frac{a}{b+2 c}\right)\left(\sum a(b+2 c)\right) \geq\left(\sum a\right)^{2}$ şi rămâne de arătat $\frac{(a+b+c)^{2}}{3(a b+b c+c a)} \geq 1$ + +$\mathrm{Cu} a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a \Leftrightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0$ (adev.) sau din nou CBS. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a X-a + +## Bareme + +1. Se explicitează modulele ...................................1p + +Cazul I: $x \in(-\infty,-1)$. Ecuaţia devine $3^{-x-1}+3^{x}-4=0$. + +Se face substituţia $3^{x}=t>0$ şi se obţine ecuaţia $3 t^{2}-12 t+1=0 \mathrm{cu}$ soluţiile $t_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{33}}{3}>0$. Cum $\log _{3} \frac{6-\sqrt{33}}{3} \in(-\infty,-1)$ şi $\log _{3} \frac{6+\sqrt{33}}{3} \notin(-\infty,-1)$ rezultă că soluţia în acest caz este $S_{I}=\left\{\log _{3} \frac{6-\sqrt{33}}{3}\right\}$ $.3 \mathrm{p}$ + +Cazul II: $x \in[-1,0)$. Ecuaţia devine $3^{x+1}+3^{x}-4=0 \Leftrightarrow 3^{x}=1 \Leftrightarrow x=0 \notin[-1,0)$. + +Deci $S_{I I}=\varnothing$ + +Cazul III: $x \in[0, \infty)$. Ecuaţia devine $3^{x+1}-3 \cdot 3^{x}=0 \Leftrightarrow 0=0$. + +Deci $S_{\text {III }}=[0, \infty)$ + +Soluţia finală este $S=\left\{\log _{3} \frac{6-\sqrt{33}}{3}\right\} \cup[0, \infty)$ + +$1 p$ + +2. Se ştie că $f$ este bijectivă dacă şi numai dacă ecuaţia $f(x)=z, x \in \mathbb{R}$ are soluţie unică pentru orice $z \in A$ $1 p$ + +Fie $z \in A$, adică $z \in \mathbb{C} c u|z|=1$ şi $z \neq-1$. + +Din $f(x)=z$ şi $z \neq-1$ se ob̧̧ine $x=\frac{z-1}{i(z+1)}$ + +Rămâne de arătat că $x \in \mathbb{R}$. + +Se ştie că $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x=\bar{x}$ $1 \mathrm{p}$ + +Se foloseşte că $z \cdot \bar{z}=|z|^{2}=1$ şi se calculează + +$x-\bar{x}=\frac{z-1}{i(z+1)}-\frac{\bar{z}-1}{-i(\bar{z}+1)}=0$. + +Se obţine $x=\frac{z-1}{i(z+1)} \in \mathbb{R}$ soluţie unică a ecuaţie $f(x)=z \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Altfel, $f$ injectivă................................................................... $2 p$ + +$f$ surjectivă.............................................................. $4 p$ + +Concluzie...........................................................................1p + +3. Se verifică $\left|z+z^{\prime}\right|^{2}+\left|z-z^{\prime}\right|^{2}=2\left(|z|^{2}+\left|z^{\prime}\right|^{2}\right), \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C}$ $\qquad$ $3 \mathrm{p}$ + +Se aplică relaţia de mai sus, pe rând, numerelor $z_{1}$ şi $z_{2}, z_{2}$ şi $z_{3}$ respectiv $z_{3}$ si $z_{1}$ + +$\operatorname{Din}\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)$ şi $\left|z_{2}+z_{3}\right|^{2}+\left|z_{2}-z_{3}\right|^{2}=2\left(\left|z_{2}\right|^{2}+\left|z_{3}\right|^{2}\right)$, folosind ipoteza, se obtine $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{3}\right|$. Analog $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|$ $\qquad$ $3 \mathrm{p}$ + +Fie $A, B, C$ imaginile geometrice asociate numerelor complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ distincte două câte două cu $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right| \neq 0$ + +Se deduce că punctele $A, B, C$ sunt situate pe un cerc având centrul în originea reperului cartezian şi raza $\left|z_{1}\right|>0$ + +Din $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{3}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|$ rezultă $A B=B C=C A$, ceea ce arată că triunghiul $A B C$ este echilateral. $1 p$ + +4. Se notează $\lg x=a, \lg y=b, \lg z=c \quad$ Din $x, y, z>1 \Rightarrow a, b, c>0$ $\qquad$ $1 p$ + +Inegalitatea de demonstrat devine $\frac{a}{b+2 c}+\frac{b}{c+2 a}+\frac{c}{a+2 b} \geq 1(*) \ldots .1 \mathrm{p}$ + +Notând $b+2 c=A, c+2 a=B, a+2 b=C$ se arată că + +$\frac{a}{b+2 c}=\frac{1}{9}\left(\frac{C}{A}+4 \frac{B}{A}-2\right), \frac{b}{c+2 a}=\frac{1}{9}\left(\frac{A}{B}+4 \frac{C}{B}-2\right), \frac{c}{a+2 b}=\frac{1}{9}\left(\frac{B}{C}+4 \frac{A}{C}-2\right) \operatorname{cu} A, B, C>0$ şi rămâne de demonstrat $\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{A}\right)+\left(\frac{B}{C}+\frac{C}{B}\right)+\left(\frac{C}{A}+\frac{A}{C}\right)+3\left(\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{A}\right)-6 \geq 9(* *) \ldots .3 \mathrm{p}$ + +Din inegalitatea mediilor rezultă + +$\frac{A}{B}+\frac{B}{A} \geq 2, \frac{B}{C}+\frac{C}{B} \geq 2, \frac{C}{A}+\frac{A}{C} \geq 2$ şi $\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{A} \geq 3$, ceea ce demostrează $(* *) \ldots 2 \mathrm{p}$ + +Altfel, se aplică inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz: + +$\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) \geq\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}\right)^{2}, \forall x_{i}, y_{i} \in \mathbb{R}, i \in\{1,2,3\} \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Notând $\sqrt{\frac{a}{b+2 c}}=x_{1} ; \sqrt{a(b+2 c)}=y_{1}, \ldots$ + +Se obţine $\left(\sum \frac{a}{b+2 c}\right)\left(\sum a(b+2 c)\right) \geq\left(\sum a\right)^{2}$ + +şi rămâne de arătat că $\frac{(a+b+c)^{2}}{3(a b+b c+c a)} \geq 1$. + +$2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1073-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_viii_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1073-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_viii_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..81c0388512c1337724d0f3e94c12930f99cf8b4d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1073-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_viii_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,133 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală - 15.02.2014 + +## Clasa a VIII-a + +1. Determinaţi mulţimea $I=(-\infty ; a] \cap\left[a^{-1} ; \infty\right), a \in R^{*}$. Discuţie. +2. Arătaţi că $a(a+2)(a+5)(a+7)+25$ este pătrat perfect pentru orice $a$ număr natural. +3. Fie $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ numere raţionale astfel încât $\mathrm{xyz}=2$. + +a) Arătaţi că $\frac{1}{x}+y+z+2=\frac{(y+2)(z+2)}{2}$ + +b) Arătaţi că $2\left(\frac{1}{x}+y+z+2\right)\left(\frac{1}{y}+x+z+2\right)\left(\frac{1}{z}+x+y+2\right)$ reprezintă pătratul unui număr raţional. + +GM (supliment cu exerciţii) nr. 11 / 2013 + +4. Prin mijlocul $\mathrm{M}$ al muchiei (AB) a tetraedrului $\mathrm{ABCD}$ se duce un plan paralel cu $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}$, care intersectează muchiile (BC), (CD) şi (DA) în N, P şi, respectiv, Q . Determinaţi măsura unghiului dreptelor $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}$, ştiind că aria patrulaterului MNPQ este $\frac{1}{8} \cdot \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}$ + +Manual pentru clasa a VIII-a, Editura Teora + +Propunător: profesor Tiberiu Oprea, Colegiul Național "Al. I. Cuza" Focşani + +## SUCCES! + +NOTĂ: $\quad$ Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a VIII-a + +Soluţii + +1. $\mathrm{a} \in(-\infty ;-1) \cup(0 ; 1) \Rightarrow \mathrm{I}=\Phi$ + +$\mathrm{a} \in(-1 ; 0) \cup(1 ; \infty) \Rightarrow \mathrm{I}=\left[\mathrm{a}^{-1} ; \mathrm{a}\right]$ + +$\mathrm{a}=-1 \Rightarrow \mathrm{I}=\{-1\}$ + +$\mathrm{a}=1 \Rightarrow \mathrm{I}=\{1\}$ + +2. $a(a+2)(a+5)(a+7)+25=\left(a^{2}+7 a\right)\left(a^{2}+7 a+10\right)+25=$ $=\left(a^{2}+7 a\right)^{2}+10\left(a^{2}+7 a\right)+25=$ $=\left(a^{2}+7 a+5\right)^{2}$ +3. a) $\frac{1}{x}+y+z+2=\frac{y z}{2}+y+z+2=\frac{y z+2 y+2 z+4}{2}=\frac{(y+2)(z+2)}{2}$ +b) $2\left(\frac{1}{x}+y+z+2\right)\left(\frac{1}{y}+x+z+2\right)\left(\frac{1}{z}+x+y+2\right)=$ + +$=2 \frac{(\mathrm{y}+2)(\mathrm{z}+2)}{2} \cdot \frac{(\mathrm{x}+2)(\mathrm{z}+2)}{2} \cdot \frac{(\mathrm{y}+2)(\mathrm{x}+2)}{2}=$ + +$=\left[\frac{(x+2)(y+2)(z+2)}{2}\right]^{2}$ + +4. Fie $\alpha$ planul paralel cu $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}$ care conţine $\mathrm{M}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\begin{array}{l} +\mathrm{AC} \| \alpha \\ +\alpha \cap(\mathrm{ABC})=\mathrm{MN} +\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{MN} \| \mathrm{AC} \\ +& \Rightarrow \mathrm{MN}|| \mathrm{PQ} \\ +& \text { Analog PQ } \| \mathrm{AC} \\ +& \Rightarrow \text { MNPQ paralelogram } \\ +& \mathrm{MQ}\|\mathrm{PN}\| \mathrm{BD} \\ +& \mathrm{MN}=\frac{\mathrm{AC}}{2} ; \mathrm{NP}=\frac{\mathrm{BD}}{2} \\ +& \text { Aria } \mathrm{MNPQ}=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{NP} \cdot \sin (\angle \mathrm{MNP})=\frac{\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} \cdot \sin (\angle \mathrm{AC}, \mathrm{BD})}{4} \\ +& \sin (\angle \mathrm{AC}, \mathrm{BD})=\frac{1}{2} +\end{aligned} +$$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a VIII-a + +## Bareme + +1. $\mathrm{a} \in(-\infty ;-1) \cup(0 ; 1) \Rightarrow \mathrm{I}=\Phi$ + +$3 p$ + +$\mathrm{a} \in(-1 ; 0) \cup(1 ; \infty) \Rightarrow \mathrm{I}=\left[\mathrm{a}^{-1} ; \mathrm{a}\right]$ + +3 p + +$\mathrm{a}=-1 \Rightarrow \mathrm{I}=\{-1\}$ + +$\mathrm{a}=1 \Rightarrow \mathrm{I}=\{1\}$ + +1p + +2. $a(a+2)(a+5)(a+7)+25=\left(a^{2}+7 a\right)\left(a^{2}+7 a+10\right)+25=$ + +$3 p$ + +$=\left(a^{2}+7 a\right)^{2}+10\left(a^{2}+7 a\right)+25=$ + +$2 p$ + +$=\left(a^{2}+7 a+5\right)^{2}$ + +2p + +3. a) $\frac{1}{x}+y+z+2=\frac{y z}{2}+y+z+2=\frac{y z+2 y+2 z+4}{2}=\frac{(y+2)(z+2)}{2}$ + +$3 \mathbf{p}$ +b) $2\left(\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+2\right)\left(\frac{1}{\mathrm{y}}+\mathrm{x}+\mathrm{z}+2\right)\left(\frac{1}{\mathrm{z}}+\mathrm{x}+\mathrm{y}+2\right)=$ + +$=2 \frac{(y+2)(\mathrm{z}+2)}{2} \cdot \frac{(x+2)(\mathrm{z}+2)}{2} \cdot \frac{(\mathrm{y}+2)(\mathrm{x}+2)}{2}=$ + +$2 \mathbf{p}$ + +$=\left[\frac{(x+2)(y+2)(z+2)}{2}\right]^{2}$ + +$2 p$ + +4. Fie $\alpha$ planul paralel cu $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}$ care conţine $\mathrm{M}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\begin{array}{l} +\mathrm{AC} \| \alpha \\ +\alpha \cap(\mathrm{ABC})=\mathrm{MN} +\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{MN} \| \mathrm{AC} \\ +& \text { Analog } \mathrm{PQ} \| \mathrm{AC} \\ +& \mathrm{MN}=\frac{\mathrm{AC}}{2} ; \mathrm{NP}=\frac{\mathrm{BD}}{2} \Rightarrow \mathrm{MNPQ} \| \mathrm{PQ} \\ +& \text { Aria } \mathrm{MNPQ}=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{NP} \cdot \sin (\angle \mathrm{MNP})=\frac{\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} \cdot \sin (\angle \mathrm{AC}, \mathrm{BD})}{4} \\ +& \sin (\angle \mathrm{AC}, \mathrm{BD})=\frac{1}{2} \\ +& \operatorname{Deci~} \mathrm{m}(\angle \mathrm{AC}, \mathrm{BD})=30^{\circ} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1074-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vii_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1074-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vii_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3e70831547f648ddc8d21145c60c5a57a4541018 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1074-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vii_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală - 15.02.2014 + +## Clasa a VII-a + +1. Calculaţi: +a) $(-\sqrt{288}+\sqrt{98})-(\sqrt{18}-\sqrt{242})$ +b) $|x|+2 x+1+|x-1|$, dacă $x<0$ + +c) partea întreagă a numărului $A \sqrt{2014}$, unde + +$A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\cdots+\frac{\sqrt{2014}-\sqrt{2013}}{\sqrt{2013} \cdot \sqrt{2014}}$ + +2. a) Dacă $00$ atunci, $\frac{a}{b}<\frac{a+x}{b+x}$ + +b) Să se arate că: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2013}{2014}<\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{2014}{2015}$ + +3. În triunghiul $A B C, m(\Varangle A)=90^{\circ}, m(\Varangle C)=30^{\circ}$. Fie $M$ mijlocul laturii $(A C)$. Paralela prin $C$ la $A B$ intersectează $B M$ în $N$. + +a) Arătaţi că $A B C N$ este paralelogram. + +b) Dacă $P$ este simetricul lui $B$ faţă de $A$ şi $P C \cap A N=\{S\}$, arătaţi că $B S \perp P C$ + +4. Fie paralelogramul $A B C D$ cu $A D \perp A C$. Notăm cu $N$ proiecţia lui $C$ pe $B D$ şi cu $P$ simetricul lui $B$ faţă de $A C$. Demonstraţi că $A N \perp N P$. + +GM 2013 + +Propunător: profesor Pătraşcu Enache, Colegiul Național Unirea Focşani + +## SUCCES! + +NOTĂ: $\quad$ Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Faza locală - 15.02.2014
Clasa a VII-a
Soluţii + +| 1. a) | $-12 \sqrt{2}+7 \sqrt{2}-3 \sqrt{2}+11 \sqrt{2}=$ | +| :---: | :---: | +| | $=3 \sqrt{2}$ | +| b) | $-x+2 x+1-x+1=$ | +| | $=2$ | +| c) | $A=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2013}}-\frac{1}{\sqrt{2014}}=1-\frac{1}{\sqrt{2014}}$ | +| | $A \sqrt{2014}=\sqrt{2014}-1 \Rightarrow[A \sqrt{2014}]=43$ | +| 2. a) | $a(b+x) $m(\Varangle A N P)=m(\Varangle O N A)+m(\Varangle O N P)=m(\Varangle C N P)+m(\Varangle O N P)=m(\Varangle O N C)=90$ | +| | $A N \perp N P$ | + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Faza locală - 15.02.2014
Clasa a VII-a
Bareme + +| 1. a) | $-12 \sqrt{2}+7 \sqrt{2}-3 \sqrt{2}+11 \sqrt{2}=$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $=3 \sqrt{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) | $-x+2 x+1-x+1=$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| c) | $A=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2013}}-\frac{1}{\sqrt{2014}}=1-\frac{1}{\sqrt{2014}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $A \sqrt{2014}=\sqrt{2014}-1 \Rightarrow[A \sqrt{2014}]=43$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 2. a) | $a(b+x) $m(\Varangle A N P)=m(\Varangle O N A)+m(\Varangle O N P)=m(\Varangle C N P)+m(\Varangle O N P)=m(\Varangle O N C)=90$ | | +| | $A N \perp N P$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1075-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vi_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1075-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vi_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..443e8256c883a195b1b1de484d3524946ed0376e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1075-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vi_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,165 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală - 15.02.2014 + +## Clasa a VI-a + +1) Fie $\overline{a b c}$ un număr în baza 10 cu proprietatea că $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7}$. + +a) Să se arate că $a=c$; + +b) Să se determine toate numerele $\overline{a b c}$ cu proprietatea dată. + +2) Fie fracția $F=\frac{2 n+7}{5 n+3}$, în care $n$ este număr natural. Arătați că: + +a) Dacă fracția este reductibilă, atunci $n \geq 11$; + +b) Dacă $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{2014}$ sunt valori ale lui $n$ pentru care $F$ este reductibilă, atunci suma $n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{2014}$ nu se divide cu 29 . + +GM 6-7-8/2013 + +3) Pe laturile ( $A B$ ) și ( $A C$ ) ale triunghiului $\triangle A B C$ se consideră respectiv punctele $M$ și $N$ astfel încât $[B M] \equiv[C N]$ și $[B N] \equiv[C M]$. Se consideră $\{O\}=B N \cap C M$. Să se arate că: +a) $\triangle M O N$ este isoscel; + +b) (AO este bisectoarea unghiului $\Varangle B A C$. + +4) Fie $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{100}$ puncte coliniare, în această ordine, astfel ca $A_{1} A_{2}=1 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=4 \mathrm{~cm}$, $A_{3} A_{4}=7 \mathrm{~cm}$ și așa mai departe. Notăm cu $M$ mijlocul segmentului $\left[A_{20} A_{100}\right]$. + +a) Să se determine lungimea segmentului $\left[A_{1} M\right]$; + +b) Să se afle în care din segmentele $\left[A_{k} A_{k+1}\right]$ se află punctul $M$. + +## SUCCES! + +NOTĂ: $\quad$ Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-14.02.2014 + +## Clasa a VI-a + +## Soluţii + +1) a) $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7}<=>7 \cdot \overline{a b}=4 \cdot \overline{b c}$ + +Deoarece $(7,4)=1$ avem $7|\overline{b c}, 4| \overline{a b}$ și atunci $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7}=k \in \mathbb{N}$ + +Din $\overline{a b}=4 k$ și $\overline{b c}=7 k$ prin însumare se obține $11 k=\overline{a b}+\overline{b c}=11 b+10 a+c=11(b+a)+(c-a)$ + +$\Rightarrow c-a=11(k-b-a) \vdots 11$ + +Deoarece $a, b, c \in\{0, \ldots, 9\}$ rezultă că $a=c$ + +b) $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7} \Leftrightarrow \Rightarrow \frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b a}}{7} \Leftrightarrow 7 \cdot \overline{a b}=4 \cdot \overline{b a} \Leftrightarrow 70 a+7 b=40 b+4 a \Leftrightarrow 66 a=33 b \Leftrightarrow 2 a=b$ Se obțin soluțiile $\overline{a b c} \in\{121,242,363,484\}$. + +2) Fie $d=(2 n+7,5 n+3)$ + +Din $d \mid 2 n+7$ și $d \mid 5 n+3$ se obține $d|5(2 n+7)-2(5 n+3) \Leftrightarrow d| 29 \Leftrightarrow d \in\{1,29\}$ + +a) Dacă $F=\frac{2 n+7}{5 n+3}$ este reductibilă atunci $d>1 \Rightarrow d=29$ + +Din $29 \mid 2 n+7 \Rightarrow 2 n+7 \geq 29 \Rightarrow n \geq 11$ + +b) Dacă $F=\frac{2 n+7}{5 n+3}$ este reductibilă atunci $d=29 \mid 2 n+7$ + +Deoarece $2 n+7$ este impar $2 n+7=29(2 k+1) \Rightarrow 2 n+7=58 k+29 \Rightarrow n=29 k+11$ + +Atunci $n_{i}=29 k_{i}+11$ și $n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{2014}=29\left(k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{2014}\right)+11 \cdot 2014 \% 29$ + +3) a) $\triangle M B C \equiv \triangle N C B($ L.L.L. $)=>M B C \equiv \Varangle N C B, \Varangle M C B \equiv \Varangle N B C, \Varangle B M C \equiv \Varangle C N B$ + +Prin diferență se obține și $\Varangle M B N \equiv \Varangle N C M$ + +$\triangle M B O \equiv \triangle N C O($ U.L.U. $) \Rightarrow[M O] \equiv[N O] \Rightarrow \triangle M O N$ este isoscel + +b) $\triangle M A C \equiv \triangle N A B(U . L . U.) \Rightarrow[A M] \equiv[A N]$ + +$\triangle M A O \equiv \triangle N A O($ L.L.L.) $\Rightarrow>M A O \equiv \Varangle N A O \Rightarrow(A O$ este bisectoarea unghiului $\Varangle B A C$ + +4) a) $A_{1} A_{2}=3 \cdot 0+1, A_{2} A_{3}=3 \cdot 1+1, A_{3} A_{4}=3 \cdot 2+1, \ldots, A_{99} A_{100}=3 \cdot 98+1$ + +$$ +A_{1} A_{20}=3 \cdot(1+2+\ldots+18)+19=532 \text { și } A_{1} A_{100}=3 \cdot(1+2+\ldots+98)+99=14652 +$$ + +$A_{20} A_{100}=14652-532=14120=A_{20} M=M A_{100}=7060$ + +$A_{1} M=A_{1} A_{20}+A_{20} M=532+7060=7592$ + +b) $M \in\left[A_{k} A_{k+1}\right]<\Rightarrow A_{1} M \leq A_{1} A_{k+1}$ și $k$ este cel mai mic posibil + +$$ +A_{1} A_{k+1}=3 \cdot(1+2+\ldots+k-1)+k=3 \cdot \frac{(k-1) k}{2}+k=\frac{k(3 k-1)}{2} +$$ + +Obținem $7592 \leq \frac{k(3 k-1)}{2}<\Rightarrow 15184 \leq k(3 k-1)$ + +Deoarece $71 \cdot(3 \cdot 71-1)=15052$ și $72 \cdot(3 \cdot 72-1)=15480$ se obține $k=72$ și $M \in\left[A_{72} A_{73}\right]$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-15.02.2014 + +## Clasa a VI-a + +## Bareme + +1) a) $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7} \Leftrightarrow=>\cdot \overline{a b}=4 \cdot \overline{b c}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Deoarece $(7,4)=1$ avem $7|\overline{b c}, 4| \overline{a b}$ şi atunci $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7}=k \in \mathbb{N}$ + +Din $\overline{a b}=4 k$ și $\overline{b c}=7 k$ prin însumare se obține $11 k=\overline{a b}+\overline{b c}=11 b+10 a+c=11(b+a)+(c-a)$ $\Rightarrow c-a=11(k-b-a): 11$. $1 \mathrm{p}$ + +Deoarece $a, b, c \in\{0, \ldots, 9\}$ rezultă că $a=c$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) $\frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b c}}{7} \Leftrightarrow \frac{\overline{a b}}{4}=\frac{\overline{b a}}{7} \Leftrightarrow 7 \cdot \overline{a b}=4 \cdot \overline{b a} \Leftrightarrow 70 a+7 b=40 b+4 a \Leftrightarrow 66 a=33 b \Leftrightarrow 2 a=b$..2p + +Se obțin soluțiile $\overline{a b c} \in\{121,242,363,484\}$ + +2) Fie $d=(2 n+7,5 n+3)$ + +Din $d \mid 2 n+7$ și $d \mid 5 n+3$ se obține $d|5(2 n+7)-2(5 n+3) \Leftrightarrow d| 29 \Leftrightarrow d \in\{1,29\}$ $.2 p$ + +a) Dacă $F=\frac{2 n+7}{5 n+3}$ este reductibilă atunci $d>1=>d=29$................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Din $29 \mid 2 n+7 \Rightarrow 2 n+7 \geq 29 \Rightarrow n \geq 11$ $1 \mathrm{p}$ + +b) Dacă $F=\frac{2 n+7}{5 n+3}$ este reductibilă atunci $d=29 \mid 2 n+7$. $1 \mathrm{p}$ + +Deoarece $2 n+7$ este impar $2 n+7=29(2 k+1) \Rightarrow>2 n+7=58 k+29 \Rightarrow n=29 k+11$ ..1p + +Atunci $n_{i}=29 k_{i}+11$ şi $n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{2014}=29\left(k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{2014}\right)+11 \cdot 2014 \% 29$.......... + +$1 \mathrm{p}$ + +3) a) $\triangle M B C \equiv \triangle N C B($ L.L.L. $) \Rightarrow \Varangle M B C \equiv \Varangle N C B, \Varangle M C B \equiv \Varangle N B C, \Varangle B M C \equiv \Varangle C N B$. $.1 \mathrm{p}$ + +Prin diferență se obține și $\Varangle M B N \equiv \Varangle N C M$ + +$\triangle M B O \equiv \triangle N C O(U . L . U.) \Rightarrow[M O] \equiv[N O] \Rightarrow \triangle M O N$ este isoscel. $2 \mathrm{p}$ + +b) $\triangle M A C \equiv \triangle N A B(U . L . U.) \Rightarrow[A M] \equiv[A N]$ . $.2 \mathrm{p}$ + +$\triangle M A O \equiv \triangle N A O($ L.L.L. $) \Rightarrow \Varangle M A O \equiv \Varangle N A O \Rightarrow>(A O$ este bisectoarea unghiului $\Varangle B A C$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +4) a) $A_{1} A_{2}=3 \cdot 0+1, A_{2} A_{3}=3 \cdot 1+1, A_{3} A_{4}=3 \cdot 2+1, \ldots, A_{99} A_{100}=3 \cdot 98+1$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b98d91e9860e9d3570e7g-5.jpg?height=185&width=1666&top_left_y=473&top_left_x=293) +$A_{20} A_{100}=14652-532=14120 \Rightarrow A_{20} M=M A_{100}=7060$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$A_{1} M=A_{1} A_{20}+A_{20} M=532+7060=7592$ ..... $1 \mathrm{p}$ +b) $M \in\left[A_{k} A_{k+1}\right]<\Rightarrow A_{1} M \leq A_{1} A_{k+1}$ și $k$ este cel mai mic posibil. ..... $1 \mathrm{p}$ +$A_{1} A_{k+1}=3 \cdot(1+2+\ldots+k-1)+k=3 \cdot \frac{(k-1) k}{2}+k=\frac{k(3 k-1)}{2}$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +Obținem $7592 \leq \frac{k(3 k-1)}{2}<=>15184 \leq k(3 k-1)$ $1 \mathrm{p}$ + +Deoarece $71 \cdot(3 \cdot 71-1)=15052$ și $72 \cdot(3 \cdot 72-1)=15480$ se obține $k=72$ și $M \in\left[A_{72} A_{73}\right] \ldots . .1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1076-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_v_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1076-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_v_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87e712cf4de22b6a8a11133411cb21245ee7dcf2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1076-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_v_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Faza locală - 15.02.2014
Clasa a V-a + +1) Aflați valoarea lui $x$ din egalitatea: + +$$ +[(x+2013) \cdot 2013-2013]: 2013=2014 +$$ + +Supliment GM septembrie 2013 + +2) Determinaţi ultima cifră nenulă a numărului a, unde $a=2^{102} \cdot 5^{3} \cdot 3^{20}$. +3) Să se compare numerele $a=5^{205}-3 \cdot 5^{204}-3^{2} \cdot 5^{203}-4 \cdot 5^{202}$ și + +$$ +b=3+2 \cdot 3+2 \cdot 3^{2}+2 \cdot 3^{3} \ldots+2 \cdot 3^{302} +$$ + +GM 11/2013 + +4) Numerele naturale $a, b, c(0a + +4) Din Teorema Impartirii cu Rest: b+c=2a+15. + +Din enunț $a+b+c=63 \Rightarrow a+(2 a+15)=63 \Rightarrow 3 a+15=63 \Rightarrow 3 a=48 \Rightarrow a=16$, deci unul dintre numerele b sau c are cifrele egale. + +Inlocuind $\Rightarrow 2 \cdot 16+15 \Rightarrow b+c=47$. + +Știind că $b>a$ si $a=16 \Rightarrow b=22$ sau $b=33$ sau $b=44$. + +Dacă $b=22 \Rightarrow c=47-22 \Rightarrow c=25$ + +Dacă $\mathrm{b}=33 \Rightarrow \mathrm{c}=47-33=14$ care nu convine pentru că $b\mathrm{a}$ + +Dacă $\mathrm{c}=33 \Rightarrow \mathrm{b}=14 \mathrm{nu}$ convine pentru că $\mathrm{b}>\mathrm{a}$ + +Dacă $\mathrm{c}=22 \Rightarrow \mathrm{b}=25$ nu convine pentru că $\mathrm{b}<\mathrm{c}$. + +Deci soluția problemei este: $\mathrm{a}=16, \mathrm{~b}=22, \mathrm{c}=25$. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Faza locală-15.02.2014 + +Clasa a V-a + +## Bareme + +1) $(x+2013) \cdot 2013-2013=2014 \cdot 2013$ ..... $.2 p$ +$(x+2013) \cdot 2013=2014 \cdot 2013+2013$ ..... $1 p$ +$2014 \cdot 2013+2013=2013 \cdot(2014+1)=2013 \cdot 2015$ ..... $1 p$ +$(x+2013) \cdot 2013=2013 \cdot 2015 \Rightarrow x+2013=(2013 \cdot 2015): 2013$ ..... $1 p$ +$x+2013=2015$ ..... $1 p$ +$x=2$ ..... $1 p$ +2) Evidentierea produsului $2^{3} \cdot 5^{3}=1000$ ..... $2 p$ +Ultima cifră a lui $2^{99}$ este 8 ..... $.2 \mathrm{p}$ +Ultima cifră a lui $3^{20}$ este 1 ..... 2p +Finalizare : ultima cifră a lui ,,a” este 8 ..... $1 \mathrm{P}$ +3) $\mathrm{a}=5^{202}$ ..... $2 p$ +$b=3^{303}$ ..... $2 p$ +$\mathrm{a}=25^{101}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{b}=27^{101}$ ..... $1 p$ +Finalizare a $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ..... $1 p$ +4) $a+b+c+63$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Teorema Împărțirii cu Rest: $D=\hat{I} \cdot C+R, R0$, iar punctele $P, Q$ și $R$ mijloacele segmentelor $[A B],[C D]$, respectiv $[M N]$. + +a) Demonstrați că punctele $P, Q$ și $R$ sunt coliniare. + +b) Determinați valoarea numărului real $k>0$ astfel încât patrulaterul MNPQ să fie paralelogram. + +## SUCCES! + +NOTĂ: $\quad$ Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Faza locală-14.02.2014 + +## Clasa a IX-a + +## Soluţii + +1) Presupunem că există cel puțin doi termeni $a_{m}, a_{n} \in \mathbb{Q}$. Rezultă că $a_{m}-a_{n}=(m-n) \cdot r \in \mathbb{Q}$ Cum $m \neq n \Rightarrow r \in \mathbb{Q}$. Prin urmare $a_{m}=a_{1}+(m-1) r \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Contradictie! +2) a) $P(n): \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n-1}{3(2 n+1)}, n \geq 2 . P(2): \frac{1}{15}=\frac{1}{15}$ adevărată. + +$$ +\begin{aligned} +& P(k) \rightarrow P(k+1) \\ +& \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}=\frac{k-1}{3(2 k+1)}+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}= \\ +& =\frac{2 k^{2}+3 k-2 k-3+3}{3(2 k+1)(2 k+3)}=\frac{2 k^{2}+k}{3(2 k+1)(2 k+3)}=\frac{k}{3(2 k+3)} . \text { Deci P(n) este adevărată } \forall n \geq 2 . +\end{aligned} +$$ + +b) $\left[S_{n}\right]=\left[\frac{n-1}{3(2 n+1)}\right]=0$, deci $\left\{S_{n}\right\}=S_{n} \Rightarrow\left\{\frac{n-1}{3(2 n+1)}\right\}=\frac{n-1}{3(2 n+1)}$. Deci $\frac{n-1}{3(2 n+1)} \in\left[\frac{1}{15}, \frac{1}{7}\right]$ + +$\Leftrightarrow \frac{1}{15} \leq \frac{n-1}{3(2 n+1)} \leq \frac{1}{7} \Leftrightarrow 7 n-7 \leq 6 n+3 \leq 15 n-15 \Leftrightarrow 2 \leq n \leq 10$ rezultă $n \in\{2 ; 3 ; \ldots ; 10\}$. + +3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ + +$$ +2 \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E D}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D A})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D} +$$ + +4) a) $\overrightarrow{A M}=k \overrightarrow{M D}, \overrightarrow{B N}=k \overrightarrow{N D}$ și $k>0 \Rightarrow M \in[A D], N \in[B C]$ + +$\overrightarrow{P M}=\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{k}{k+1} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{P N}=\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{k}{k+1} \overrightarrow{B C}$, deci + +$\overrightarrow{P R}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N})=\frac{k}{2(k+1)}(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})$. Dar + +$\overrightarrow{P Q}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B C}++\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{A D})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})$, deci $\overrightarrow{P R}=\frac{k}{k+1} \overrightarrow{P Q}$, de unde rezultă coliniaritatea punctelor $P, Q, R$. + +c) Patrulaterul $M N P Q$ paralelogram $\Leftrightarrow \overrightarrow{P R}=\frac{1}{2} \overrightarrow{P Q} \Leftrightarrow \frac{k}{k+1}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow k=1$. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Faza locală-15.02.2014 + +## Clasa a IX-a + +## Bareme + +1) Presupunem că există cel puțin doi termeni $a_{m}, a_{n} \in \mathbb{Q}$ $.2 p$ + +Rezultă că $a_{m}-a_{n}=(m-n) \cdot r \in \mathbb{Q}$. $.2 p$ + +Cum $m \neq n \Rightarrow r \in \mathbb{Q}$ ..1p + +Prin urmare $a_{m}=a_{1}+(m-1) r \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Contradicție! $2 p$ + +2) a) $P(n): \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n-1}{3(2 n+1)}, n \geq 2$.verificare $\mathrm{P}(2)$ $1 \mathrm{p}$ + +Demonstrarea implicației $P(k) \rightarrow P(k+1) \ldots$ Deci $\mathrm{P}(\mathrm{n})$ este adevărată $\forall n \geq 2$ $2 p$ +b) $\left[S_{n}\right]=\left[\frac{n-1}{3(2 n+1)}\right]=0$, deci $\left\{S_{n}\right\}=S_{n} \Rightarrow\left\{\frac{n-1}{3(2 n+1)}\right\}=\frac{n-1}{3(2 n+1)}$ $.2 \mathrm{p}$ $\frac{n-1}{3(2 n+1)} \in\left[\frac{1}{15}, \frac{1}{7}\right] \Leftrightarrow \frac{1}{15} \leq \frac{n-1}{3(2 n+1)} \leq \frac{1}{7} \Leftrightarrow 2 \leq n \leq 10$, deci $n \in\{2 ; 3 ; \ldots ; 10\}$ +3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$ + +$\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ $2 p$ + +$2 \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E D}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D A})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}$ + +4) a) $\overrightarrow{A M}=k \overrightarrow{M D}, \overrightarrow{B N}=k \overrightarrow{N D}$ și $k>0 \Rightarrow M \in[A D], N \in[B C]$ $1 \mathrm{p}$ + +$\overrightarrow{P M}=\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{k}{k+1} \overrightarrow{A D}$, + +$\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{k}{k+1} \overrightarrow{B C}$ + +$\overrightarrow{P R}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N})=\frac{k}{2(k+1)}(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})$ + +$\overrightarrow{P Q}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B C}++\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{A D})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})$ + +deci $\overrightarrow{P R}=\frac{k}{k+1} \overrightarrow{P Q}$, de unde rezultă coliniaritatea punctelor $P, Q, R$. + +b) Patrulaterul $M N P Q$ paralelogram $\Leftrightarrow \overrightarrow{P R}=\frac{1}{2} \overrightarrow{P Q} \Leftrightarrow \frac{k}{k+1}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow k=1$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1078-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xii_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1078-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xii_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e7a7728195e94cf3a51a7b6349bb0c1190c6c91a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1078-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xii_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,180 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES Olimpiada de matematică
Faza locală
14.02.2014
Clasa a XII-a + +## Problema 1 + +Fie mulțimea $G=(k, \infty) \backslash\{k+1\}, k>0$, pe care se definește legea * astfel încât: + +$\log _{a}[(x * y)-k]=\log _{a}(x-k) \cdot \log _{a}(y-k), \forall x, y \in G, a>0, a \neq 1$. + +a) Să se determine numărul perechilor de numere întregi $(k, a)$ pentru care elementul neutru al legii * este $e=2014$. + +b) Să se verifice dacă legea * este asociativă și să se determine elementul $x \in G$ care verifică relaţia $x=x^{\prime}$, în cazul $k=a+1=1005$.(s-a notat cu $a^{\prime}$ simetricul lui $a$ în raport cu legea *). + +## Problema 2 + +Fie $f:(0, \pi) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{3} x} \cdot e^{-x}$. Să se determine primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$. + +Matlap + +## Problema 3 + +Pentru $a \in \mathbf{R}$ și $b \in \mathbf{R}^{*}$ considerăm funcția $f_{a+b i}: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} . f_{a+b i}(x+i y)=x+(a+i b) y$ și notăm $G=\left\{f_{a+b i} \mid a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}^{*}\right\}$. + +a) Să se demonstreze că $G$ este un grup necomutativ în raport cu compunerea funcțiilor. + +b) Considerăm și grupul $H=\left\{f_{a, b} \mid a \in \mathbf{R}^{*}, b \in \mathbf{R}\right\}$, unde $f_{a, b}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f_{a, b}(x)=a x+b$ şi unde operaţia este de asemenea compunerea funcțiilor. + +Să se demonstreze că aplicația $h: H \rightarrow G, h\left(f_{a, b}\right)=f_{-\frac{b}{a}+\frac{1}{a} i}$ este un izomorfism de grupuri. + +## Problema 4 + +Să se determine funcția derivabilă $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ știind că $f^{\prime}(x)=f(x)+\frac{f(x)}{x}+e^{x}$, pentru orice $x>0$ și $f(1)=e$. + +Gazeta Matematica + +Subiectele au fost selectate de: Astalus Niculina, Ilie Stefan, Matefi Istvan + +## INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN MURES + +S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală + +14.02.2014 + +Clasa a XII-a + +## Barem de evaluare + +## Problema 1 + +Fie mulțimea $G=(k, \infty) \backslash\{k+1\}, k>0$, pe care se definește legea $*$ astfel încât: $\log _{a}[(x * y)-$ $k]=\log _{a}(x-k) \cdot \log _{a}(y-k), \forall x, y \in G, a>0, a \neq 1$. + +a) Să se determine numărul perechilor de numere întregi $(k, a)$ pentru care elementul neutru al legii $*$ este $e=2014$. + +b) Să se verifice dacă legea * este asociativă și să se determine elementul $x \in G$ care verifică relația $x=x^{\prime}$, în cazul $k=a+1=1005$.(s-a notat cu $a^{\prime}$ simetricul lui $a$ în raport cu legea $*$ ). + +## Soluţie + +Din calcul se obține: $x * y=k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)}, x, y \in G$. + +1 punct + +a) Din $e \in G$ element neutru se obține $x * e=e * x=x,(\forall) x \in G ; x * e=x \Leftrightarrow k+$ $(x-k)^{\log _{a}(e-k)}=x$ + +$\Leftrightarrow(x-k)^{\log _{a}(e-k)}=x-k \Leftrightarrow \log _{a}(e-k)=1 \Leftrightarrow e=k+a \in G \quad$.....2punct + +$k+a=2014, k, a \in Z, k>0 \Rightarrow(k, a) \in\{(1,2013),(2,2012),(3,2011), \ldots,(2013,1)\}$, în total 2013 perechi. 1punct + +b) Se verifică asociativitatea pentru $k=1005, a=1004$. 1punct + +$x * x^{\prime}=e \Leftrightarrow x^{\prime}=k+a^{\frac{\log _{a}(e-k)}{\log _{a}(x-k)}} \in G \ldots \ldots \ldots . . .1$ punct + +Pentru $x=x^{\prime}$ obținem $\log _{1004}^{2}(x-1005)=1 \Rightarrow>\log _{1004}(x-1005)=1 \Rightarrow x_{1}=2009 \in G$ sau $\log _{1004}(x-1005)=-1 \Rightarrow x_{2}=1005+\frac{1}{1004} \in G \ldots \ldots . . .1$ punct + +## Problema 2. + +Fie $f:(0, \pi) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{3} x} \cdot e^{-x}$. + +Să se determine primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$. + +Matlap + +## Soluţie + +Integrăm prin părți + +$$ +u(x)=e^{-x} \cdot \cos x, u^{\prime}(x)=-e^{-x} \cdot(\sin x+\cos x) +$$ + +NOTĂ: Orice altă rezolvare corectă se evaluează cu punctaj maxim. + +$$ +v^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{\sin ^{3} x}, \quad v(x)=-\frac{1}{2 \sin ^{2} x} +$$ + +$F(x)=-\frac{\cos x}{2 \sin ^{2} x} \cdot e^{-x}-\frac{1}{2} \int \frac{e^{-x}}{\sin x} d x-\frac{1}{2} \int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot e^{-x} d x$ + +Fie $I=\int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot e^{-x} d x$. Integrăm prin părți + +$$ +\begin{aligned} +& g(x)=e^{-x}, u^{\prime}(x)=-e^{-x} \\ +& h^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{\sin ^{2} x}, \quad h(x)=-\frac{1}{\sin x} +\end{aligned} +$$ + +De unde $I=-\frac{e^{-x}}{\sin x}--\int \frac{e^{-x}}{\sin x} d x$ + +Deci $F(x)=-\frac{\cos x}{2 \sin ^{2} x} \cdot e^{-x}-\frac{1}{2} \int \frac{e^{-x}}{\sin x} d x+\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-x}}{\sin x}+\frac{1}{2} \int \frac{e^{-x}}{\sin x} d x=\frac{\sin x-\cos x}{2 \sin ^{2} x} \cdot e^{-x}+C$ (1p) + +Folosind condiția $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$ obținem $C=0$. + +Deci funcția căutată este $F(x)=\frac{\sin x-\cos x}{2 \sin ^{2} x} \cdot e^{-x}$ + +## Problema 3 + +Pentru $a \in \mathbf{R}$ și $b \in \mathbf{R}^{*}$ considerăm funcția $f_{a+b i}: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} . f_{a+b i}(x+i y)=x+(a+i b) y$ și notăm $G=\left\{f_{a+b i} \mid a \in \mathbf{R}, b \in \mathbf{R}^{*}\right\}$. + +a) Să se demonstreze că $G$ este un grup necomutativ în raport cu compunerea funcțiilor. + +b) Considerăm și grupul $H=\left\{f_{a, b} \mid a \in \mathbf{R}^{*}, b \in \mathbf{R}\right\}$, unde $f_{a, b}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f_{a, b}(x)=a x+b$ și unde operația este de asemenea compunerea funcțiilor. + +Să se demonstreze că aplicația $h: H \rightarrow G, h\left(f_{a, b}\right)=f_{-\frac{b}{a}+\frac{1}{a} i}$ este un izomorfism de grupuri. + +## Soluţie + +a) + +- Parte stabilă: $\quad\left(f_{a+b i} o f_{c+d i}\right)(x+i y)=f_{a+b i}\left(f_{c+d i}(x+i y)\right)=f_{a+b i}(x+(c+d i) y)=$ + +$$ +=f_{a+b i}(x+c y+d y i)=x+c y+(a+b i) d y=x+c y+(a+b i) d y=x+(c+a d+b d i) y= +$$ + +$$ +=f_{c+a d+b d i}(x+y i) \Rightarrow f_{a+b i} o f_{c+d i}=f_{c+a d+b d i} +$$ + +- Asociativitate +- $\quad f_{a+b i} o f_{c+d i}=f_{c+a d+b d i}$ si $f_{c+d i} o f_{a+b i}=f_{a+c b+b d i}$ deci compunerea nu este comutativă. (1p) +- Elementul neutru: $f_{i}$ + +.1 punct + +$-\left(f_{a+b i}\right)^{-1}=f_{-\frac{a}{b}+\frac{1}{d} i}$, + +1 punct + +- deci $(G, o)$ grup necomutativ. +b) $\left(f_{a, b} o f_{c, d}\right)(x)=f_{a, b}\left(f_{c, d}(x)\right)=f_{a, b}(c x+d)=a(c x+d)+b=f_{a c, a d+b}(x) \quad$.... punct $h\left(f_{a, b} o f_{c, d}\right)=h\left(f_{a c, a d+b}\right)=f_{-\frac{a d+b}{a c}+\frac{1}{a c} i} \operatorname{si} h\left(f_{a, b}\right) o h\left(f_{c, d}\right)=f_{-\frac{b}{a}+\frac{1}{a} i}$ of ${ }_{-\frac{d}{c}+\frac{1}{c} i}=f_{-\frac{d}{c}-\frac{b}{a c}+\frac{1}{a c} i}$ + +deci $h$ este morfism. + +.1 punct + +$h$ este bijectiva $\Rightarrow h$ este bijectiva. + +1 punct + +## Problema 4 + +Să se determine funcția derivabilă $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ știind că $f^{\prime}(x)=f(x)+\frac{f(x)}{x}+e^{x}$, pentru orice $x>0$ și $f(1)=e$. + +Gazeta Matematică + +## Soluție + +Fie funcția $g:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, g(x)=\frac{f(x)}{x \cdot e^{x}}-\ln x . \quad \ldots \ldots \ldots \ldots . .3$ puncte + +Avem $g^{\prime}(x)=\frac{x \cdot e^{x} f^{\prime}(x)-\left(e^{x}+x \cdot e^{x}\right) f(x)}{\left(x \cdot e^{x}\right)^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{f^{\prime}(x)-\left(1+\frac{1}{x}\right) f(x)}{x \cdot e^{x}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0$. .2 puncte + +Deci $g$ este constant. Cum $g(1)=\frac{f(1)}{e}=1$, rezultă că $g(x)=1$ pentru orice $x>0$, deci + +$$ +f(x)=(1+\ln x) x e^{x}, x \in(0, \infty) \ldots \ldots \ldots \ldots . . .2 \text { puncte } +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1079-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xi_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1079-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xi_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7cfae09fe5aba0ef22591c1d41f106fb0371c52f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1079-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xi_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,187 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică
Faza locală + +14.02.2014 + +Clasa a XI-a + +## Problema 1 + +Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ astfel încât $x_{2}=1, x_{n+1}=\frac{n^{2}}{n-1} \cdot x_{n}, n \geq 2$. + +Dacă $S_{n}=\sum_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right) \cdot \frac{1}{x_{k}}$, să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$. + +## Problema 2 + +Se consideră șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$, definit prin: + +$$ +a_{0}=0, a_{1}=1,13^{a_{n}}=12^{a_{n-1}}+5^{a_{n-2}}, \forall n \geq 2 +$$ + +Să se arate că șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent și să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +## Problema 3 + +Fie $A \in M_{n}(\mathbf{R})$, unde $n$ este impar. Să se arate că dacă $A^{2}=O_{n}$, atunci oricare ar fi matricea $X \in M_{n}(\mathbf{R})$ cu proprietatea că $A X=X A$, au loc inegalitățile: + +$$ +\operatorname{det}\left(X A+X^{2}\right) \geq 0 \leq \operatorname{det}\left(X A-X^{2}\right) +$$ + +## Problema 4 + +## Notă: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Propunători: prof.Pop Carmen, György Gabriella + +## INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN MURES + +S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală + +14.02.2014 + +Clasa a XI-a + +Barem de evaluare + +## Problema 1 + +Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ astfel încât $x_{2}=1, x_{n+1}=\frac{n^{2}}{n-1} \cdot x_{n}, n \geq 2$. Dacă $S_{n}=\sum_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right) \cdot \frac{1}{x_{k}}$, să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$. + +## Soluţie + +Se demonstrează că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$ este pozitiv. + +Avem: $\quad x_{2}=1$ + +$$ +x_{3}=\frac{2^{2}}{1} \cdot x_{2} +$$ + +$$ +x_{n+1}=\frac{n^{2}}{n-1} \cdot x_{n} +$$ + +Prin înmulțirea relațiilor se obține: $x_{n+1}=\frac{(n!)^{2}}{(n-1)!}$. + +Deci: $x_{n+1}=n \cdot n!, \forall n \geq 2$. + +Atunci $S_{n}=\sum_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right) \cdot \frac{1}{x_{k}}=\sum_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \cdot \frac{1}{(k-1)(k-1)!}=\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}=$ + +$$ +=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}-2 . +$$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=e-2$. + +## Problema 2 + +Se consideră șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$, definit prin: + +$$ +a_{0}=0, a_{1}=1,13^{a_{n}}=12^{a_{n-1}}+5^{a_{n-2}}, \forall n \geq 2 +$$ + +Să se arate că șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent și să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +## Solutie + +$a_{0}=0, a_{1}=1,13^{a_{2}}=12^{a_{1}}+5^{a_{0}} \Rightarrow 13^{a_{2}}=13 \Rightarrow a_{2}=1$. + +$13^{a_{3}}=12^{a_{2}}+5^{a_{1}} \Rightarrow 13^{a_{3}}=17 \Rightarrow a_{3}=\log _{13} 17>1$. Avem $a_{0}0$ este adevărată inegalitatea $a^{2}+2 \geq 2 a \sqrt{2}$. + +(b) Demonstraţi că, dacă $x, y, z$ sunt numere reale strict pozitive, atunci este adevărată inegalitatea + +$$ +\frac{x}{2+x^{2}}+\frac{y}{2+y^{2}}+\frac{z}{2+z^{2}} \leq \frac{3 \sqrt{2}}{4} +$$ + +Gazeta Matematică, Supliment, 2015 + +II. Arătaţi că există cel puţin două numere naturale având suma multiplu de 16 şi diferenţa pătratelor lor egală cu 2016. + +Prof. Pirvu Camelia, Școala Gimnazială "Romul Ladea" Oravița + +III. Fie $O x, O y, O z$, trei drepte perpendiculare două câte două și punctele $A, A^{\prime} \in O x, B, B^{\prime} \in O y$, $C, C^{\prime} \in O z$. Arătaţi că dacă ortocentrele triunghiurilor $A B C$ și $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ sunt coliniare cu $\mathrm{O}$ atunci planele $(A B C)$ și $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ sunt paralele. + +Stăniloiu Nicolae, prf. Bocșa + +IV. Fie $A B C D$ trapez dreptunghic cu $A B \| C D, m(\measuredangle A)=90^{\circ}, A B=4 \sqrt{3}, A D=3, D C=5 \sqrt{3}$. + +În punctul $A$ ridicăm $A M$ perpendicular pe planul trapezului. Dacă notăm cu $Q, P$ proiecțiile lui $A$ pe $M D$, respectiv $M B$, iar cu $S$ proiecția lui $Q$ pe $M C$, calculați lungimea lui $P S$, știind că $A M=4$. + +Prof. Avramescu Irina, Școala Gimnazială Nr. 9 Reșița + +Olimpiada națională de matematică, faza locală, județul Caraş-Severin, 2016 + +Barem de corectare și notare + +Clasa a VIII-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_42e16a63b3b7dd024eb8g-2.jpg?height=1579&width=1753&top_left_y=704&top_left_x=171) + +| Dacă $H$ este ortocentrul triunghiului $A B C$ atunci $O H \perp(A B C)$ | $4 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| Dacă $H^{\prime}$ este ortocentrul triunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ atunci $O H^{\prime} \perp\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ și cele două plane
au o perpendiculară comună, deci sunt paralele. | $3 \mathrm{p} \quad$ | +| IV. Fie $A B C D$ trapez dreptunghic cu $A B \\| C D, m(\measuredangle A)=90^{\circ}, A B=4 \sqrt{3}, A D=3$,
$\quad D C=5 \sqrt{3}$.
În punctul $A$ ridicăm $A M$ perpendicular pe planul trapezului. Dacă notăm cu $Q, P$ proiecțiile
lui $A$ pe $M D$, respectiv $M B$, iar cu $S$ proiecția lui $Q$ pe $M C$, calculaţi lungimea lui $P S$, știind că
$A M=4$. | | +| $M D=5$ | $1 \mathrm{p} \quad$ | +| $M Q=3,2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $M D \perp D C$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\triangle M Q S \sim \triangle M C D \Rightarrow M S=1,6$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Analog, $M P=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\triangle M P S \sim \triangle M C B$, deci $P S=\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1080-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_x_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1080-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_x_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d4edd3d9e5f019d553f3b690ac79bf406f094763 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1080-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_x_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,132 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică + +Faza locală + +14.02.2014 + +Clasa a X-a + +## Problema 1: + +Calculați suma + +$$ +S=[\lg 1]+[\lg 2]+[\lg 3]+\cdots+\left[\lg 10^{2014}\right] . +$$ + +## Problema 2: + +Determinați funcțile strict crescătoare $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că: + +$f(x f(y))=f(x) y, \forall x, y \in \mathbb{R}$. + +## Problema 3: + +Să se arate că triunghiul $\mathrm{ABC}$ este echilateral dacă și numai dacă: + +$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2 a b c}+\cos A+\cos B+\cos C=3$. + +Gazeta matematică + +## Problema 4: + +Fie $z_{1}, z_{2} \in \mathbf{C}$ cu $\operatorname{Re} z_{1} \geq 0$ și $\operatorname{Re} z_{2} \geq 0$. Să se arate că $\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+z_{1} \cdot z_{2}+\bar{z}_{1} \cdot \bar{z}_{2} \geq 0$. + +Gazeta matematică + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Propunători: prof.Oprica Natalia,prof. Blaga Cristinel + +## Problema 1 + +Calculați suma + +$$ +S=[\lg 1]+[\lg 2]+[\lg 3]+\cdots+\left[\lg 10^{2014}\right] +$$ + +## Soluţie. + +$$ +\text { Dacă } p \in \mathbb{N} \text {, atunci }[\lg k]=p \Leftrightarrow p \leq \lg ka \Rightarrow f(f(a))>f(a) \Rightarrow a>f(a)$, fals. ... 1p + +Daca $a \in \mathbb{R}$ si $f(a)Olimpiada de matematică
Faza locală
14.02.2014
Clasa a IX-a + +# Problema 1: + +Calculați: $\left[\frac{1^{2}}{2}\right]+2^{1} \cdot\left[\frac{2^{2}}{3}\right]+2^{2} \cdot\left[\frac{3^{2}}{4}\right]+\ldots+2^{n-1} \cdot\left[\frac{n^{2}}{n+1}\right]$. + +## Problema 2: + +Se consideră triunghiul $A B C$ oarecare. Se duc : mediana $A L$ corespunzătoare laturii [BC], bisectoarea $L E$ a unghiului $\overline{A L C}$, bisectoarea $L F$ a unghiului $\overline{A L} \bar{B}$. $(E \in A C, F \in A B)$ Notăm $E F \cap A L=\{M\}$. Demonstrați că oricare ar fi punctul $O$ din plan avem : $2 \cdot \overline{O M}=\overline{O E}+\overline{O F}$. + +## Problema 3: + +Se consideră numerele reale $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ diferite de $-1 \mathrm{cu}$ abc=1. Arătaţi că dacă + +$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{3}{2}$, + +atunci unul din numerele a,b,c este egal cu 1. + +## Problema 4 + +Aflați $x>1$ pentru care $\frac{1}{[x]}+\frac{1}{\{x\}}=2014 x$, unde $[x]$ înseamnă partea întreagă a lui $x$, iar $\{x\}$ reprezintă partea fractionară a lui $x$. + +## Gazeta Matematică + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Propunători: prof.Hecser Enikö, Pescărus Teodor + +## INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN MURES
S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică
Faza locală
14.02.2014
Clasa a IX-a
Barem de evaluare + +## Problema 1: + +Calculați: $\left[\frac{1^{2}}{2}\right]+2^{1} \cdot\left[\frac{2^{2}}{3}\right]+2^{2} \cdot\left[\frac{3^{2}}{4}\right]+\ldots+2^{n-1} \cdot\left[\frac{n^{2}}{n+1}\right]$. + +## Soluție + +$n-1<\frac{n^{2}}{n+1}1$ pentru care $\frac{1}{[x]}+\frac{1}{\{x\}}=2014 x$, unde $[x]$ înseamnă partea întreagă a lui $x$, iar $\{x\}$ reprezintă partea fractionară a lui $x$. + +## Soluţie + +Ecuația este echivalentă cu $\frac{\{x\}+[x]}{[x] \cdot\{x\}}=2014 x$. + +Cum $\{x\}+[x]=x$ și $x>1$ obținem $[x] \cdot\{x\}=\frac{1}{2014}$. + +Dacă $[x]=n$, atunci $\{x\}=\frac{1}{2014 n}<1$. De aici $n>\frac{1}{2014}$, adică $n \geq 1$. (2p) + +În concluzie, orice $x=n+\frac{1}{2014 n}$, cu $n \in \mathbf{N}^{*}$ este soluţie a ecuaţiei. (1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1082-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_viii_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1082-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_viii_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c7bc945775d15ae62bbeb93f79d991691e583c9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1082-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_viii_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,157 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică
Faza locală
14.02.2013-----
Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Aduceți la o formă mai simplă expresia $(5+4)\left(5^{2}+4^{2}\right)\left(5^{4}+4^{4}\right)\left(5^{8}+4^{8}\right) . .\left(5^{512}+4^{512}\right)$. + +b) Arătaţi că: + +$$ +\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{29}{\sqrt{210}} \geq 28 +$$ + +## SUBIECTUL II + +Demonstrați ca oricare ar fi numerele reale pozitive $x, y, z$ are loc inegalitatea: + +$$ +2 x y(2 x+y)+6 x z(2 x+3 z)+3 y z(y+3 z) \geq 36 x y z +$$ + +## SUBIECTUL III + +Fie cubul ABCDA'B'C'D', Q centrul feței BCC'B' și P mijlocul muchiei (AB). Fie $\mathrm{DM} \perp \mathrm{PC}, \mathrm{M} \in \mathrm{PC}$. Arătați că: + +a) dreapta DM conține mijlocul segmentului (BC); +b) $\mathrm{QM} \perp \mathrm{PC}$. + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$ în care $\mathrm{D}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{BC}$. Dacă E este mijlocul segmentului $\mathrm{AD}, \mathrm{F}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{BE}$, iar $\mathrm{G}$ este punctul de intersecţie a dreptelor $\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{CF}$, calculaţi $\frac{A G}{A B}$. + +Gazeta matematică + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Propunători: prof.Stoica Angela, Curta Doina, Danciu Alin, Gîņa Vasile + +## INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN MURES + +S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 14.02.2014 + +Clasa a VIII-a + +Barem de evaluare + +## SUBIECTUL I + +a) Aduceți la o formă mai simplă expresia $(5+4)\left(5^{2}+4^{2}\right)\left(5^{4}+4^{4}\right)\left(5^{8}+4^{8}\right) . .\left(5^{512}+4^{512}\right)$. + +b) Arătaţi că: + +$$ +\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{29}{\sqrt{210}} \geq 28 +$$ + +## Soluţie + +a) Fie $S=(5+4)\left(5^{2}+4^{2}\right)\left(5^{4}+4^{4}\right)\left(5^{8}+4^{8}\right) . .\left(5^{512}+4^{512}\right)$ + +$$ +S(5-4)=(5-4)(5+4)\left(5^{2}+4^{2}\right)\left(5^{4}+4^{4}\right)\left(5^{8}+4^{8}\right) \ldots\left(5^{512}+4^{512}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p} +$$ + +Obţinerea succesivă a diferenţelor de pătrate + +Finalizare + +$$ +S=\left(5^{512}-4^{512}\right)\left(5^{512}+4^{512}\right)=5^{1024}-4^{1024} +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{m}_{\mathrm{g}}(\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \leq \mathrm{m}_{\mathrm{a}}(\mathrm{a} ; \mathrm{b}), \forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R} \text {, de unde } \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\sqrt{\mathrm{a} \cdot \mathrm{b}}} \geq 2 \\ +& \frac{3}{\sqrt{2}} \geq 2 \\ +& \frac{5}{\sqrt{6}} \geq 2 \\ +& 1 \mathrm{p} \\ +& \frac{29}{\sqrt{210}} \geq 2 \\ +& \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\ldots+\frac{29}{\sqrt{210}} \geq 2 \cdot 14=28 +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL II + +Demonstrați ca oricare ar fi numerele reale pozitive $x, y, z$ are loc inegalitatea: + +$$ +2 x y(2 x+y)+6 x z(2 x+3 z)+3 y z(y+3 z) \geq 36 x y z +$$ + +## Soluţie + +notăm $2 x=a, y=b$ și $3 z=c$ + +inegalitatea devine: $a b(a+b)+a c(a+c)+b c(b+c) \geq 6 a b c$ $\mathbf{1 p}$ + +$a^{2} b+a b^{2}+a^{2} c+a c^{2}+b^{2} c+b c^{2}-2 a b c-2 a b c-2 a b c \geq 0 \quad \ldots \ldots . .2 \mathbf{p}$ + +$b\left(a^{2}+c^{2}-2 a c\right)+a\left(b^{2}+c^{2}-2 b c\right)+c\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\right) \geq 0 \ldots \ldots \ldots . .2 \mathbf{p}$ + +$b(a-c)^{2}+a(b-c)^{2}+c(a-b)^{2} \geq 0$ adevărat deoarece este sumă de numere pozitive $\ldots 2$ p + +## SUBIECTUL III + +Fie cubul ABCDA'B'C'D', Q centrul feței BCC'B' și P mijlocul muchiei (AB). Fie $\mathrm{DM} \perp \mathrm{PC}, \mathrm{M} \in \mathrm{PC}$. Arătați că: + +a) dreapta DM conține mijlocul segmentului (BC); +b) $\mathrm{QM} \perp \mathrm{PC}$. + +## Soluţie + +a) Fie $\mathrm{BC} \cap \mathrm{DM}=\{\mathrm{N}\}$ + +$\triangle \mathrm{DMC}$ dreptunghic, $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{DMC})=90^{\circ}$, $\triangle$ CBP dreptunghic,, $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{PBCC})=90^{\circ}$ $\Varangle \mathrm{DCM} \equiv \Varangle \mathrm{CPB}$ (alterne interne). + +Se obțin astfel unghiurile $\Varangle$ NDC și $\Varangle$ PCB congruente $2 p$ Din conguența $\quad \triangle \mathrm{PCB} \equiv \Delta \mathrm{NCD}$ se obține congruența $[\mathrm{PB}] \equiv[\mathrm{NC}]$, deci $\mathrm{N}$ mijlocul segmentului (BC) $.2 p$ + +b) Din $\mathrm{QN}$ linie mijlocie în $\triangle \mathrm{BCC}^{\prime}$ rezultă $\mathrm{QN} \| \mathrm{CC}^{\prime}$, iar $\mathrm{CC}^{\prime} \perp(\mathrm{ABC})$, deci $\mathrm{QN} \perp(\mathrm{ABC})$. $1 p$ + +Din teorema celor 3 perpendiculare obținem $\mathrm{QM} \perp \mathrm{PC}$ $2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_95381b579f6234329655g-3.jpg?height=688&width=711&top_left_y=952&top_left_x=707) + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$ în care $\mathrm{D}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{BC}$. Dacă E este mijlocul segmentului $\mathrm{AD}, \mathrm{F}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{BE}$, iar $\mathrm{G}$ este punctul de intersecţie a dreptelor $\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{CF}$, calculaţi $\frac{A G}{A B}$. + +## Soluţie + +Construim $F M \| A B$ cu $M \in A D$ si $E N \| A B$ cu $N \in B C$. (1p) + +Vom avea $F M$ linie mijlocie in $\triangle E A B \Rightarrow F M=\frac{A B}{2}$ si $E N$ linie mijlocie in $\triangle D A B \Rightarrow N E=\frac{A B}{2}$ + +Deci, $F M=N E=\frac{A B}{2}(1 \mathrm{p})$ + +$\triangle F G B \equiv \triangle F P E(U L . U) \Rightarrow[E P] \equiv[B G](1 \mathrm{p})$ + +NOTĂ: Orice altă rezolvare corectă se evaluează cu punctaj maxim. + +Din (t.f.a) $\Rightarrow \triangle C P N \approx \triangle C G B \Rightarrow \frac{N P}{B G}=\frac{C N}{B C}=\frac{3}{4} \Rightarrow N P=\frac{3 \cdot B G}{4}$ (2p) + +Dar, $N E=E P+N P \Rightarrow \frac{A B}{2}=B G+\frac{3 \cdot B G}{4} \Rightarrow A B=\frac{7 \cdot B G}{2} \Rightarrow A G=\frac{5 \cdot B G}{2}$ (1p) + +In final, $\frac{A G}{A B}=\frac{5}{7} \cdot(1 \mathrm{p})$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1083-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vii_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1083-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vii_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e8cb9e93707a3198bd9bf69ed85c482cd1f26129 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1083-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vii_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,100 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_732a2d1e4e4f0f42357fg-1.jpg?height=256&width=1394&top_left_y=106&top_left_x=191) + +# S.S.M.R - FILIALA MURES Olimpiada de matematică Faza locală 14.02.2013----Clasa a VII-a + +## Subiectul I + +Fie expresia $A=53 \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{2013 \cdot 2014}\right)$. + +a) Să se calculeze valoarea expresiei $A$. + +b) Să se demonstreze că $A$ poate fi scris in forma $\frac{a \cdot b \cdot c}{d \cdot e}$, unde suma cifrelor din numerele $a, b$ și $c$ este egal cu suma cifrelor din numerele $d$ și $e$. + +## Subiectul II + +Fie dreptunghiul $\mathrm{ABCD}$.Perpendiculara $\mathrm{AM}$ pe $\mathrm{BD}(\mathrm{M} \in \mathrm{BD})$, intersectează $\mathrm{BC}$ și $\mathrm{DC}$, respectiv în E și F. Să se arate că $\frac{1}{A M}=\frac{1}{A F}+\frac{1}{A E}$. + +## Subiectul III + +In triunghiul ascutitunghic $\mathrm{ABC}$, inaltimea $\mathrm{AD}$ este egala cu latura $\mathrm{BC}$. Bisectoarele unghiurilor $\mathrm{ADB}$ si $\mathrm{ADC}$ intersecteaza pe $\mathrm{AB}$ respectiv $\mathrm{AC}$ in $\mathrm{M}$ si $\mathrm{N}$. Sa se arate ca: + +$$ +\frac{M B}{M A}+\frac{N C}{N A}=1 +$$ + +## Subiectul IV + +Dacă $a, b, c$ sunt numere naturale impare, iar $q$ este un număr raţional oarecare, arătaţi că + +$$ +a q^{2}+b q+c \neq 0 +$$ + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Propunători: prof.Bonta Patricea, Capusan Cornelia, Portik Antal, Andreica Gheorghe + +## SUBIECTUL I + +Fie expresia $A=53 \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{2013 \cdot 2014}\right)$. + +a) Să se calculeze valoarea expresiei $A$. + +b) Să se demonstreze că $A$ poate fi scris in forma $\frac{a \cdot b \cdot c}{d \cdot e}$, unde suma cifrelor din numerele $a, b$ și $c$ este egal cu suma cifrelor din numerele $d$ și $e$. + +## Soluţie + +a) $A=53 \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\right)=53 \cdot\left(1-\frac{1}{2014}\right)=53 \cdot \frac{2013}{2014}=\frac{2013}{38}$ +b) $A=\frac{2013}{38}=\frac{3 \cdot 11 \cdot 61}{2 \cdot 19}$, + +Suma cifrelor din numitor și numărător este egal cu 12. + +## SUBIECTUL II + +ABCD dreptunghi $\Rightarrow \mathrm{AB} \| \mathrm{CD} \Rightarrow \triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{ECF} \Rightarrow \frac{F E}{E A}=\frac{C E}{E B}=\frac{C F}{A B} \Rightarrow \frac{E F+A E}{A E}=\frac{C F+A B}{A B}$ $\Rightarrow \frac{A F}{A E}=\frac{D F}{A B}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow \triangle \mathrm{ABM} \sim \Delta F M D \Rightarrow \frac{F M}{M A}=\frac{D M}{M B}=\frac{D F}{A B} \Rightarrow \\ +& \frac{A F}{A E}=\frac{F M}{A M}=\frac{A F-A M}{A M} \Rightarrow +\end{aligned} +$$ + +$\frac{A F}{A E}=\frac{A F}{A M}-1 \left\lvert\, \frac{1}{A F} \Rightarrow \frac{1}{A M}=\frac{1}{A F}+\frac{1}{A E}\right.$ + +## SUBIECTUL III + +desen $1 p$ + +teorema bisectoarei in triunghiurile ADB si ADC $4 p$ $\frac{M B}{M A}+\frac{N C}{N A}=\frac{B D}{D A}+\frac{D C}{D A}=\frac{B D+D C}{D A}=\frac{B C}{D A}=1$ deoarece DA=BC + +## SUBIECTUL IV + +Dacă $a, b, c$ sunt numere naturale impare, iar $q$ este un număr raţional oarecare, arătaţi că + +$$ +a q^{2}+b q+c \neq 0 +$$ + +Soluţie + +Fie $\in Q=>, q=\frac{m}{n}$ unde $m$ şi $n$ sunt numere întregi, $n \neq 0$. + +Atunci : $a \cdot q^{2}+b \cdot q+c=a \cdot\left(\frac{m}{n}\right)^{2}+b \cdot \frac{m}{n}+c=\frac{a \cdot m^{2}+b \cdot m \cdot n+c \cdot n^{2}}{n^{2}}$ + +Cum numerele întregi $a, b, c$ sunt impare, distingem cazurile : + +$m, n$ impare $=>a \cdot m^{2}+b \cdot m \cdot n+c \cdot n^{2}$ este un număr impar. (2p) + +$m$ par, $n$ impar $=>a \cdot m^{2}+b \cdot m \cdot n+c \cdot n^{2}$ este un număr impar . (2p) + +mimpar, $n$ par $=>a \cdot m^{2}+b \cdot m \cdot n+c \cdot n^{2}$ este un număr impar. (2p) + +Deci: $a \cdot q^{2}+b \cdot q+c \neq 0$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1084-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vi_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1084-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vi_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c887184142efa3b91369f29b61b49767b121dabe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1084-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vi_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică
Faza locală
14.02.2013-----
Clasa a VI-a + +## Subiectul I. + +Arătați că numarul $\mathrm{a}=\mathrm{n}^{65}-\mathrm{n}^{13}$ se divide cu 10 , oricare ar fi $\mathrm{n}$ numarul natural. + +## Subiectul II. + +Se consideră numerele raționale pozitive $x=1 \frac{1}{99}+2 \frac{2}{99}+3 \frac{3}{99}+\cdots+98 \frac{98}{99}$ și $\mathrm{y}=\frac{21}{97}+\frac{2121}{9797}+\frac{212121}{979797}$ + +a) Arătați că $x$ este pătrat perfect. + +b) Comparați numerele $\mathrm{x}$ și $\mathrm{y}$. + +## Subiectul III. + +Dreptele AB si CD sunt concurente in O. Stiind ca semidreptele [OM, [OT, [OR, sunt bisectoarele unghiurilor $\angle \mathrm{BOD},<\mathrm{DOM}$ si respectiv, $\angle \mathrm{COB}$, iar $\mathrm{m}(<\mathrm{AOM})=130^{\circ}$, calculati: +a) $\mathrm{m}(<\mathrm{ROM})$; +b) $\mathrm{m}(<\mathrm{AOD})$; + +c) masura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor $<\mathrm{AOC}$ si $<\mathrm{BOR}$. + +## Subiectul IV. + +Demonstraţi că, oricare ar fi $n$ număr natural, numărul $A=3 \cdot 5^{2 n+1}+2^{3 n+1}$ este divizibil cu 17 . + +Gazeta matematică + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Propunători: Bozdog Constantin, Suciu Sorin, Botez Radu. + +## INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN MURES + +S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 14.02.2014 + +Clasa a VI-a + +Barem de evaluare + +## SUBIECTUL I + +Arătați că numarul $\mathrm{a}=\mathrm{n}^{65}-\mathrm{n}^{13}$ se divide $\mathrm{cu} 10$, oricare ar fi $\mathrm{n}$ numarul natural. + +## Soluţie + +Pentru verificare $\mathrm{n}=0$ si $\mathrm{n}=1$ + +Daca $\mathrm{n}>1 \quad \mathrm{u}\left(\mathrm{n}^{65}\right)=\mathrm{u}\left(\mathrm{n}^{4 \cdot 16+1}\right)=\mathrm{u}(\mathrm{n})$ $2 p$ + +$u\left(n^{13}\right)=u\left(n^{4 \cdot 3+1}\right)=u(n)$ $2 p$ + +$u(a)=u\left(n^{65}-n^{13}\right)=u(n)-u(n)=0$ rezulta a este divizibil cu 10 + +## SUBIECTUL II + +Se consideră numerele raționale pozitive $\mathrm{x}=1 \frac{1}{99}+2 \frac{2}{99}+3 \frac{3}{99}+\cdots+98 \frac{98}{99}$ și $\mathrm{y}=\frac{21}{97}+\frac{2121}{9797}+$ $\frac{212121}{979797}$. + +a) Arătați că $x$ este pătrat perfect. + +b) Comparați numerele x și y. + +## Soluţie + +$\mathrm{x}=\frac{99+1}{99}+\frac{2 \cdot 99+2}{99}+\cdots+\frac{98 \cdot 99+98}{99}=\frac{100+200+\cdots+9800}{99}$ + +$\mathrm{X}=\frac{100(1+2+\cdots+98)}{99}=\frac{100 \cdot 98 \cdot 99: 2}{99}=100 \cdot 49=70^{2}$ - pătrat perfect $\quad \mathbf{2 p}$ + +$\mathrm{y}=\frac{21}{97}+\frac{21 \cdot 101}{97 \cdot 101}+\frac{21 \cdot 10101}{97 \cdot 10101}=\frac{21}{97}+\frac{21}{97}+\frac{21}{97}=\frac{63}{97}$ + +$x>1$ și $y<1$ deci $y Olimpiada de matematică
Faza locală 14.02.2014
Clasa a V-a
Barem de evaluare + +## SUBIECTUL I + +Pentru orice $\mathrm{n}$ număr natural, aflaţi restul împărţirii numărului $\mathrm{A}=5^{\mathrm{n}+4} \cdot 3^{\mathrm{n}+1}+5^{\mathrm{n}+1} \cdot 3^{\mathrm{n}+3}+3 \cdot 15^{\mathrm{n}}$ la 2013. + +## Soluţie + +$$ +\mathrm{A}=5^{\mathrm{n}} \cdot 5^{4} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{1}+5^{\mathrm{n}} \cdot 5^{1} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{3}+3 \cdot 15^{\mathrm{n}} +$$ + +$\mathrm{A}=15^{\mathrm{n}}\left(5^{4} \cdot 3+5 \cdot 3^{3}+3\right)$ + +$\mathrm{A}=15^{\mathrm{n}}(1875+135+3)$ + +$\mathrm{A}=15^{\mathrm{n}} \cdot 2013$, deci A este divizibil cu 2013. + +Finalizare: restul este 0 . + +## SUBIECTUL II + +Stabiliţi dacă următoarele numere sunt pătrate perfecte: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{a}=2001^{2}-2001-2000 \\ +& \mathrm{~b}=(1+2+3+\ldots+2002) 3003^{2005} \\ +& \mathrm{c}=2^{2 \mathrm{n}+1} 5^{2 \mathrm{n}+3}-3 ; \mathrm{n} \in \mathbf{N} +\end{aligned} +$$ + +## Soluţie + +$$ +\begin{array}{ll} +\mathrm{a}=2000^{2} & 2 p \\ +\mathrm{~b}=2003 \cdot 1001^{2006} \cdot 3^{2005} \neq p^{2} & 2 p \\ +c=10^{2 n+1} \cdot 25-3 \ldots & 2 p \\ +u(c)=7 ; c \neq p^{2} & 1 p +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL III + +Ana şi Barbu desenează pe câte o foaie de hârtie grupuri de steluțe . Ana desenează o steluță, apoi 3 steluțe apoi 5 şi așa mai departe, de fiecare dată un număr impar. Barbu desenează 2 steluțe, apoi 4 steluțe, apoi 6 şi așa mai departe, de fiecare dată un număr par. Arătați că, indiferent de momentul la care se vor opri din desenat cei doi copii, numărul total de steluțe desenate de Ana nu poate fi egal cu numărul total de steluțe desenate de Barbu. + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +Numarul stelutelor desenate de Ana este: + +$$ +1+3+5+\ldots+(2 \mathrm{k}-1)=\mathrm{k}^{2} \quad 2 \mathrm{p} +$$ + +Numarul stelutelor desenate de Barbu este: + +$2+4+6+\ldots+2 \mathrm{p}=\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)$ 2p + +Se observa ca numarul stelutelor desenate de Ana este patrat perfect $2 p$ + +iar numarul stelutelor desenate de Barbu este produs de doua nr consecutive, deci nu poate fi patrat perfect $1 p$ + +## SUBIECTUL IV + +Determinaţi numerele naturale de forma $\overline{a b c}$ care verifica relaţia $\overline{a b} \cdot\left(b^{2}+c^{2}\right)=2014$ + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +$2014=2 \cdot 19 \cdot 53$ (1p) $\Rightarrow \overline{a b} \cdot\left(b^{2}+c^{2}\right)=2 \cdot 19 \cdot 53$ (1p) + +## Cazul I + +$$ +\overline{a b}=19 \Rightarrow c^{2}=106-81 \Rightarrow c=5 \Rightarrow \overline{a b c}=195 \text { (3p) } +$$ + +## Cazul II + +$$ +\overline{a b}=38 \Rightarrow c^{2}=53-64 \Rightarrow c \notin N +$$ + +## Cazul III + +$$ +\overline{a b}=53 \Rightarrow c^{2}=38-9 \Rightarrow c=29 \text { nu este cifră (1p) } +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1086-Matematica, 2014, Barem_Sibiu-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1086-Matematica, 2014, Barem_Sibiu-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91b3b0ca3084f02f3a364448e2b6ae794ffe24f2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1086-Matematica, 2014, Barem_Sibiu-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_barem.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a VI-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +a) Calculul sumei (3p) + +b) $S=\frac{\overline{a b c}-\overline{a b}}{900}+\frac{\overline{b c a}-\overline{b c}}{900}+\frac{\overline{c a b}-\overline{c a}}{900}=\frac{100 a+100 b+100 c}{900}=\frac{a+b+c}{9}$ + +$\frac{a+b+c}{3}=6 \Rightarrow a+b+c=18 \Rightarrow S=\frac{18}{9}=2$ (2p) + +## Problema 2 + +a) Fie $a$ numărul natural de trei cifre. Atunci: $a=10 \cdot q_{1}+8$ si $a=12 \cdot q_{2}+10 \quad$ (1p) Din cele două relaţii obţinem: $a+2=10 \cdot q_{1}+10 \Rightarrow a+2=10 \cdot\left(q_{1}+1\right) \Rightarrow 10 /(a+2)$ si $a+2=12 \cdot q_{2}+12 \Rightarrow a+2=12 \cdot\left(q_{2}+1\right) \Rightarrow 12 /(a+2) \Rightarrow(a+2) \in M_{10} \cap M_{12} \quad$ (1p) + +Cel mai mic multiplu comun al numerelor 10 şi 12 este 60, deci + +$(a+2) \in\{60,120,180,240,300, \ldots\}$ (1p) + +Rezultă că $a \in\{58,118,178,238,298, \ldots\}$, deci $\mathrm{a}=118 \quad$ (1p) + +b) a $\geq 5$ și a prim $\Rightarrow$ a impar （1p） $\Rightarrow$ restul este număr impar (1p) resturile care convin sunt: 1; 5; 7 și 11 (1p). + +## Problema 3 + +În relaţia $a+3 b+15 c=123$ avem: $3 / 3 b, 3 / 15 c, 3 / 123 \Rightarrow 3 / a$, dar $a$ fiind număr prim $\Rightarrow a=3$ + +Atunci $3 b+15 c=120 \Rightarrow b+5 c=40$, dar $5 / 5 c, 5 / 40, b$ număr prim $\Rightarrow b=5 \Rightarrow 5 c=35 \Rightarrow c=7$ (1p) + +Notând $m(\widetilde{B O C})=x$ obţinem $m(\widetilde{A O B})=\frac{3}{5} x$ şi $m(\widetilde{C O D} \bar{D})=\frac{7}{5} x . \quad$ (1p) + +Soluţia ecuaţiei $\frac{3}{5} x+x+\frac{7}{5} x=150^{\circ}$ este $x=50^{\circ}$, deci $m(\widetilde{A O B})=30^{\circ}$, + +$m(\widetilde{B O C} \bar{C})=50^{\circ}, m(\widetilde{C O D})=70^{\circ}$ + +(2p) + +Fie (OE şi (OF bisectoarele unghiurilor $\widetilde{B O C}$, respectiv $\overrightarrow{C O D}$. + +Atunci $\left.\mathrm{m}(\widetilde{E O F} \bar{F})=60^{\circ} \quad \mathbf{( 1 p}\right)$ + +## Problema 4 + +a) Pentru fiecare lungime corect aflata se acorda 1 punct. + +b) $M_{1000} M=\frac{M_{1} M_{2000}-M_{1} M_{1000}}{2}$ + +(1p) + +$$ +M_{1} M_{1000}=1+2+\ldots+999=\frac{1000 \cdot 999}{2}, M_{1} M_{2000}=1+2+\ldots+1999=\frac{2000 \cdot 1999}{2} +$$ + +## Calculul lungimii $\mathrm{M}_{1} \mathrm{M} \quad$ (1p) + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1087-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1087-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..16325266f93168d8728aac9171738ddb4b59859a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1087-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,133 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a XI-a + +## Problema 1 + +Fie șirul $\left(x_{n}\right), \mathrm{n} \geq 1$ definit astfel: $x_{1}=3, x_{n}=x_{n-1}+2 \mathrm{n}+1, \mathrm{n}>1$. + +Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\ln 2+\ln \left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{2 i-1}}\right)\right]$. + +## Problema 2 + +Se consideră șirul $\left(x_{n}\right) \mathrm{n} \geq 1$ de numere reale pozitive cu $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=0$. + +Să se calculeze: + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x_{1}^{2}-x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}-x_{2} x_{3}+x_{3}^{2}}+\cdots+\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n} x_{1}+x_{1}^{2}}}{n}$ + +GMB 4/2012 + +## Problema 3 + +a) Să se arate că $A^{2}=\operatorname{Tr}(A) A-\operatorname{det}(A) I_{2}$, unde $A \in M_{2}(\mathbf{C})$. + +b) Să se arate că $\mathrm{A}(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{B}=\mathrm{B}(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{A}$, pentru $\mathrm{A}$ și $\mathrm{B} \in M_{2}(\mathrm{C})$ astfel încât $\operatorname{Tr}(\mathrm{A})+\operatorname{Tr}(\mathrm{B})=0$. + +## Problema 4 + +Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in M_{2}(\mathrm{Q})$ astfel încât $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$, $\operatorname{det} \mathrm{A}=-3$ și $\operatorname{det}(\mathrm{A}+\sqrt{3} \mathrm{~B})=0$. + +Să se calculeze $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)$ + +GMB 12/2011 + +Probleme selectate de Prof. Ursan Rodica + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +$\operatorname{Sirul}\left(x_{n}\right) n \geq 1$ se mai poate scrie + +$x_{1}=3$ + +$x_{2}=x_{1}+5$ + +$x_{3}=x_{2}+7$ + +$x_{n}=x_{n-1}+2 \mathrm{n}+1$ + +$x_{n}=3+5+7+\ldots+2 \mathrm{n}+1=\sum_{k=1}^{n}(2 k+1)=\mathrm{n}(\mathrm{n}+2), \mathrm{n} \geq 1$ + +Atunci $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{2 i-1}}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2 i-1)(2 i+1)}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 i-1}-\right.$ + +$\left.\frac{1}{2 i+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)=$ + +$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)=\frac{n}{2 n+1}, \mathrm{n} \geq 1$ + +Avem: $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\ln 2+\ln \frac{n}{2 n+1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(\frac{2 n}{2 n+1}\right)^{n}=$ + +$=\ln \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)^{-(2 n+1) \frac{n}{-(2 n+1)}}=\ln e^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$ + +## Problema 2 + +Se consideră $a_{n}=\sqrt{x_{1}^{2}-x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}-x_{2} x_{3}+x_{3}^{2}}+\cdots+\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n} x_{1}+x_{1}^{2}}, \mathrm{n} \geq 3$ + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{Cum} \sqrt{x^{2}-x y+y^{2}} \leq \sqrt{(x+y)^{2}}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \geq 0 \Rightarrow \\ +& \Rightarrow>0 \leq a_{n} \leq x_{1}+x_{2}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n}+x_{1}=2\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right) +\end{aligned} +$$ + +Atunci $0 \leq \frac{a_{n}}{n} \leq \frac{2\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)}{n}$ + +Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 \xrightarrow{\text { c.stolz }} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=0$ (1p) $=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=0$ + +## Problema 3 + +a) Demonstrarea relatiei (2p) + +b) Relația $\mathrm{A}(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{B}=\mathrm{B}(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{A} \Leftrightarrow A^{2} B+A B^{2}=B A^{2}+B^{2} A$. (1p) + +Din punctual a) + +avem: $\left\{\begin{array}{l}A^{2}=\operatorname{Tr}(A) A-\operatorname{det}(A) I_{2} \\ B^{2}=\operatorname{Tr}(B) B-\operatorname{det}(B) I_{2}\end{array}\left(\begin{array}{l}\left.A^{2} B\right)=\operatorname{Tr}(A) A B-\operatorname{det}(A) B \\ A B^{2}=\operatorname{Tr}(B) A B-\operatorname{det}(B) A\end{array}(1 \mathrm{p})\right.\right.$ + +Prin adunarea relațiilor se obține: + +$A^{2} B+A B^{2}=\operatorname{Tr}(A) A B-\operatorname{det}(A) B++\operatorname{Tr}(B) A B-\operatorname{det}(B) A=[\operatorname{Tr}(\mathrm{A})+\operatorname{Tr}(\mathrm{B})] \mathrm{AB}-\operatorname{det}(\mathrm{A}) \mathrm{B}-$ $\operatorname{det}(\mathrm{B}) \mathrm{A}=-\operatorname{det}(\mathrm{A}) \mathrm{B}-\operatorname{det}(\mathrm{B}) \mathrm{A}(*) \quad(1 \mathrm{p}$ ) + +Analog $\mathrm{B} A^{2}+B^{2} A=[\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B)]-\operatorname{det}(A) B-\operatorname{det}(B) A=-\operatorname{det}(A) B-\operatorname{det}(B) A$ $(* *)$ + +(1p) + +$\operatorname{Din}(*)(* *)=>A(A+B) B=B(A+B) A$ + +## Problema 4 + +Fie $\mathrm{p}(\mathrm{x})=\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{xB})=\mathrm{a} x^{2}+b x+c$, a,b,c $\in \mathbf{Q}$ + +$\operatorname{Din} p(\sqrt{3})=\operatorname{det}(A+\sqrt{3} B)=0$ și $p(\sqrt{3})=3 a+\sqrt{3} b+c=>3 a+c+\sqrt{3} b=0, a, b, c \in Q=>$ + +$=>b=0$ şi $\mathrm{c}=-3 \mathrm{a}$ + +Avem $p(x)=a x^{2}-3 a$. Cum $p(0)=\operatorname{det}(A)=-3$ și $p(0)=-3 a=>a=1$ deci $p(x)=x^{2}-3$ + +Fie $\varepsilon$ o rădăcină cubică a unității, $\varepsilon \neq 1$. + +$(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B})(\mathrm{A}+\bar{\varepsilon} \mathrm{B})=A^{2}+\bar{\varepsilon} A B+\bar{\varepsilon} B A+\varepsilon \bar{\varepsilon} B^{2}=A^{2}+B^{2}+(\varepsilon+\bar{\varepsilon}) A B=A^{2}+B^{2}-A B . \quad(2 \mathrm{p})$ $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)=\operatorname{det}[(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B})(\mathrm{A}+\bar{\varepsilon} \mathrm{B})]=\operatorname{det}(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}) \operatorname{det}(\mathrm{A}+\bar{\varepsilon} \mathrm{B})=\mathrm{p}(\varepsilon) \mathrm{p}(\bar{\varepsilon})=$ + +$=\left(\varepsilon^{2}-3\right)\left(\bar{\varepsilon}^{2}-3\right)=\left(\varepsilon^{2}-3\right)(\varepsilon-3)=\varepsilon^{3}-3 \varepsilon^{2}-3 \varepsilon+9=$ + +$=\varepsilon^{3}-3\left(\varepsilon^{2}+\varepsilon\right)+9=1+3+9=13 \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)=13$ + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1088-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1088-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..58962c22487d95a397bd831d4f26047583dc2c7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1088-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,102 @@ +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 15.02.2014 + +# Clasa a X-a + +## Problema 1 + +Să se arate că dacă $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in(0,1)$, atunci + +$$ +\log _{x_{1}} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}+\log _{x_{2}} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}+\ldots+\log _{x_{n}} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} \geq \mathrm{n} +$$ + +## Problema 2 + +Fie a $\in \mathbf{R}_{+}$şi $z \in \mathbf{C}^{*}$, astfel încât $\left|z+\frac{1}{z}\right|=$ a. Să se afle cea mai mare şi cea mai mică valoare posibilă a lui $|z|$. + +## Problema 3 + +Să se calculeze partea întreagă a numărului $\alpha=\log _{2} 3+\log _{3} 5+\log _{5} 8$. + +## Problema 4 + +Se consideră funcţia $\mathrm{f}:[1, \infty] \rightarrow \mathrm{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}$. + +a) Să se arate că $\operatorname{Imf}=(0,2]$. + +b) Să se studieze bijectivitatea funcţiei $\bar{f}:[1, \infty] \rightarrow(0,2], \bar{f}(x)=\mathrm{f}(\mathrm{x}),(\forall) \mathrm{x} \geq 1$. + +Probleme selectate de Prof. Petruta Gelu + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a X-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} \leq \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}} \Rightarrow \log _{x_{i}} \frac{n}{x_{1}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} \geq \frac{1}{n} \log _{x_{1}}\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right), \mathrm{i}=\overline{1, n} \ldots \ldots . \ldots \ldots .3 \mathrm{~m} \\ +& \log _{x_{1}} \frac{n}{\bar{x}_{1}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}+\ldots+\log _{x_{n}} \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} \geq \frac{1}{n}\left(\log _{x_{1}} x_{1}+\log _{x_{1}} x_{2}+\ldots+\log _{x_{n}} x_{n}\right) \geq \frac{1}{n}\left(\mathrm{n}+\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2\right)=\mathrm{n} . \ldots . .4 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +- S-a folosit inegalitatea $\log _{a} b+\log _{b} a \geq 2, \mathrm{a}, \mathrm{b} \in(0,1)$. + + +## Problema 2 + +||$z_{1}|-| z_{2}|| \leq\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|,(\forall) z_{1}, z_{2} \in C$. $.1 \mathrm{p}$ + +||$z|-| \frac{1}{z}|| \leq\left|z+\frac{1}{z}\right| \leq|z|+\left|\frac{1}{z}\right|$. $1 \mathrm{1p}$ + +||$z\left|-\frac{1}{|z|}\right| \leq a \Leftrightarrow-a \leq|z|-\frac{1}{|z|} \leq a \Leftrightarrow|z|^{2}-a|z|-1 \leq 0$ şi $|z|^{2}+a|z|-1 \geq 0 \quad$ (1)......1p + +$a \leq|z|+\frac{1}{|z|} \Rightarrow|z|^{2}-a|z|+1 \geq 0$ (2) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_53901464a9685e0e2fefg-2.jpg?height=111&width=1531&top_left_y=1612&top_left_x=134) + +## Problema 3 + +$\alpha \geq 3 \sqrt[8]{\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 5 \cdot \log _{5} 8}=3 \sqrt[3]{\log _{2} 8}=3 \sqrt[8]{3}=\sqrt[8]{81} \geq \sqrt[8]{64}=4 \Rightarrow \alpha \geq 4 \ldots \ldots . . . . . . . . .3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_53901464a9685e0e2fefg-2.jpg?height=92&width=1510&top_left_y=1890&top_left_x=130) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_53901464a9685e0e2fefg-2.jpg?height=67&width=1508&top_left_y=2008&top_left_x=137) + +## Problema 4 + +a) Se aratã cã $\operatorname{Imf}=(0,2]$ prin dublã incluziune . +Se verificã $01$; +(b) $\frac{C S}{A P}+\frac{B R}{A Q}>\frac{B C^{2}}{A B \cdot A C}$. + +Supliment Gazeta Matematică 12/2014 + +IV. Se consideră un pătrat $A B C D$ în care $A C \cap B D=\{O\}$ și punctele $E \in(B D), Q \in(A C), F \in(D O)$ astfel încât: $\frac{D E}{B D}=\frac{1}{8}, \frac{A Q}{A C}=\frac{7}{8}$ și $\frac{E F}{D O}=\frac{1}{2}$. + +a) Arătați că patrulaterul $A B Q E$ este trapez isoscel; + +b) Știind că $F C \cap A E=\{H\}$ arătați că $H O<\frac{A B}{2}$; + +Prof. Șandru Marius, Școala Gimnazială Nr. 2 Reșița + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Olimpiada națională de matematică, faza locală, județul Caraș-Severin, 2016 + +Barem de corectare și notare + +## Clasa a VII-a + +I. Se consideră numerele raţionale $x \neq-1, y \neq-2$ și $z \neq-3$ care verifică egalitatea: + +$$ +\frac{2016}{x+1}+\frac{2016}{y+2}+\frac{2016}{z+3}=2015 +$$ + +Determinaţi numărul raţional $A=\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$. + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=\frac{2015}{2016} \\ +& A=\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}=3-2\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\right) \\ +& A=3-\frac{2015}{1008}=\frac{3024-2015}{1008}=\frac{1009}{1008} +\end{aligned} +$$ + +II. Se consideră mulţimea $M=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$. Arătaţi că: + +(a) $\sqrt{3+2 \sqrt{2}} \in M$; + +(b) dacă $x, y \in M$, atunci $x \cdot y \in M$. +a) $\sqrt{3+2 \sqrt{2}}=\sqrt{2+2 \sqrt{2}+1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}=\sqrt{2}+1, a=1, b=1 \Rightarrow \sqrt{2}+1 \in M$ +b) $x y=(a+b \sqrt{2})(c+d \sqrt{2})=(a b+2 b d)+(a d+b c) \sqrt{2}$ + +| $a b+2 b d \in \mathbb{Z}, a d+b c \in \mathbb{Z} \Rightarrow x y \in M$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | + +III. Se consideră un triunghi $A B C$ în care se notează cu $I$ punctul de intersecţie a bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului; punctele $P$ și $Q$ sunt picioarele perpendicularelor din $A$ pe $B I$, respectiv pe $C I$, iar $R$ şi $S$ sunt picioarele perpendicularelor duse din $B$ şi $C$ pe dreptele $C I$, respectiv BI. + +Arătaţi că: +(a) $\frac{A P}{C S}+\frac{A Q}{B R}>1$; +(b) $\frac{C S}{A P}+\frac{B R}{A Q}>\frac{B C^{2}}{A B \cdot A C}$. + +Supliment Gazeta Matematică 12/2014 + +| a) Construcția figurii. $B I \cap A C=\{M\}, C I \cap A B=\{N\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $\frac{A P}{C S}=\frac{A M}{M C}, \quad \frac{A Q}{B R}=\frac{A N}{B N}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{A P}{C S}=\frac{A B}{B C}, \frac{A Q}{B R}=\frac{A C}{B C}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{A P}{C S}+\frac{A Q}{B R}=\frac{A B}{B C}+\frac{A C}{B C}>1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $\frac{C S}{A P}=\frac{B C}{A B}, \quad \frac{B R}{A Q}=\frac{B C}{A C}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{B C}{A B}+\frac{B C}{A C}>\frac{B C^{2}}{A B \cdot A C}$ | $2 p$ | +| IV. Se consideră un pătrat $A B C D$ în care $A C \cap B D=\{O\}$ și punctele $E \in(B D), Q \in(A C)$,
$F \in(D O)$ astfel încât: $\frac{D E}{B D}=\frac{1}{8}, \frac{A Q}{A C}=\frac{7}{8}$ și $\frac{E F}{D O}=\frac{1}{2}$.
a) Arătați că patrulaterul $A B Q E$ este trapez isoscel;
b) Știind că $F C \cap A E=\{H\}$ arătați că $H O<\frac{A B}{2}$ | | +| a) Construcția figurii | $1 \mathrm{p}$ | +| $E Q \\| A B$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $[A E] \equiv[B Q]$ şi concluzia | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $F$-Centrul de greutate al triunghiului $A C E$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $H$ - este mijlocul lui $A E$
$H O=\frac{E C}{2}$ | $\frac{1 \mathrm{p}}{1 \mathrm{p}}$ | +| $E CC D$. Bisectoarea unghiului $\widetilde{A B \bar{C}}$, bisectoarea unghiului $\widetilde{B C D} \bar{D}$ și $A D$ sunt concurente în punctul $M$. + +a) Demonstrați că triunghiul MBC este dreptunghic. + +b) Demonstraţi că $M$ este mijlocul lui $[A D]$. + +c) Demonstrați că perpendiculara din $A$ pe $M B$, perpendiculara din $D$ pe $M C$ și $\mathrm{BC}$ sunt concurente. + +## Problema 4 + +În triunghiul ascuțitunghic $A B C, D \in(B C)$. $E$ şi $F$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $A D B$ şi $A D C$. Demonstrați că $\triangle A B C \backsim \triangle D E F$ dacă și numai dacă $A D \perp B C$ + +Probleme selectate de Prof. Chisiu Gabriela + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 15.02.2014 + +## Clasa a VII-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +a) Numerele 9 și 25 au exact trei divizori $\Rightarrow 9$ și 25 sunt "pătrate magice" + +Numărul 10 are 4 divizori iar numărul 12 are 6 divizori $\Rightarrow 10$ și 12 nu sunt "pătrate magice" (2p) + +b) Dacă un număr $n$ are are exact trei divizori atunci $n=p^{2}$, unde $p=$ număr prim. (1p) + +"Pătratele magice" de trei cifre sunt $11^{2}, 13^{2}, 17^{2}, 19^{2}, 23^{2}, 29^{2}, 31^{2} \Rightarrow 7$ numere de trei cifre care sunt pătrate magice. (1p) + +c) Presupunem că există 2 "pătrate magice" $\mathrm{a} \leq \mathrm{b}$ a căror sumă este un "pătrat magic" $\mathrm{c} . \Rightarrow a \leq bx^{2}+x-1$ + +de unde avem + +$n+1>x^{2}+x \geq\left[x^{2}\right]+x$ + +deci $x \in B_{n+1}$, adică $A_{n} \subset B_{n+1} \cdot 3$ puncte + +Fie $x \in B_{n} ;$ rezultă + +$n \geq\left[x^{2}\right]+x>x^{2}-1+x$ + +de unde avem + +$n+1>x^{2}+x \geq x^{2}+[x]$ + +deci $x \in A_{n+1}$, adică $B_{n} \subset A_{n+1}$. 3 puncte + +## Problema 3 + +a. $\overrightarrow{A D}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{3}{4} \overrightarrow{A C} ; \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \quad 2$ puncte Construcţia punctelor $M, N, P$ astfel încât $\overrightarrow{A M}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A N}=-\frac{3}{4} \overrightarrow{A C} ; \overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} 1$ punct Construcţia paralelogramelor $A M D N, A B E P 1$ punct b. $\overrightarrow{A D}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{A E}$ implică $A, D, E$ coliniare 3 puncte. + +## Problema 4 + +Dacă $m \geq 500$ atunci ștergând, de exemplu, numerele de la 1 la 500 , printre numerele rămase, de la 501 la 1000 , nu există nici o pereche de numere care să poată fi divizibil unul cu celălalt, căci raportul lor este $<2$. 2 puncte Vom arăta că $m=499$ are proprietatea cerută. 1 punct Arătăm că printre oricare 501 numere de la 1 la 1000 există unul care să-l dividă pe altul. Fiecare din cele 501 numere este de forma $2^{k}(2 t+1), 0 \leq k \leq 9, t$ natural; oricărui astfel de număr îi asociem $2 t+1$. Există 500 de numere impare mai mici decât 1000 , deci la două din cele 501 numere le va corespunde acelaşi număr impar. Dintre aceste două numere, unul se va obţine din celălalt prin înmulţire cu o putere a lui 2.4 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1093-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1093-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45cc5408421a3fe8fac797d795ed7d54115c218f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1093-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,104 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN SIBIU + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 14.02.2014
Clasa a XII-a + +1. Fie mulțimea $A=[2,4]$, legea $x \circ y=\frac{3 x y-5 x-5 y+10}{2 x y-4 x-4 y+9}$ pe $A$ şi funcția $f: A \rightarrow R$ cu $f(x)=\frac{5-2 x}{x-1}$. Ştiind că legea este bine definită: + +(2p) a) Arătați că $\operatorname{Im} f=1,1_{\_}^{-}$şi că $f(x \circ y)=f(x) f(y), \forall x, y \in A$. + +(5p) b) Deduceți asociativitatea legii, elementul neutru, elementele simetrizabile şi calculați $\frac{11}{5} \circ \frac{17}{8} \circ \frac{23}{11} \circ \ldots \circ \frac{6 n+5}{3 n+2}$, unde $n \in N, n \geq 2$. + +SGM10/2013 + +2. (4p) a) Se consideră $f, g: I \rightarrow R, I \subseteq R$ interval, două funcții derivabile, cu derivate continue. Determinați $\int \boldsymbol{\Upsilon}(x)+f(x) g^{\prime}(x) \_\cdot e^{g(x)} d x$. + +(3p) b) Folosind eventual punctul a), calculați $\int \frac{x^{2} \ln x-\ln x+x}{x^{2}} e^{x+\frac{1}{x}} d x, x>0$. + +Petru Vlad + +3. Fie ( ${ }^{*}, \cdot$ grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule, $\varepsilon$ o rădăcină a ecuației $x^{2}+x+1=0$ şi $H=1, \varepsilon, \varepsilon^{2}$. Arătați că: + +(3p) a) $H$ este subgrup al grupului ( ${ }^{*}, \cap$. + +(4p) b) Orice subgrup cu trei elemente al grupului $\mathbf{C}^{*}$, , coincide cu $H$. + +4. Se consideră şirul $I_{n}=\int_{0}^{a} \sin ^{n} x \cos n x d x, n \in N^{*}$, unde $a \neq(2 k+1) \frac{\pi}{2}, \forall k \in Z$. + +(4p) a) Demonstraț i că, pentru orice număr natural $n \geq 3$, este adevărată relaț ia de recurenț ă + +$$ +4 I_{n}+I_{n-2}=\frac{2}{n} \sin ^{n} a \sin n a+\frac{1}{n-1} \sin ^{n-1} a \cos (n-1) a +$$ + +(3p) b) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} n l^{\alpha+2} I_{n+1}+2^{\alpha} I_{n-1}$, unde $\alpha>0$. + +Livia Băcilă + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a XII-a, 2014 + +1. a) Deoarece $f$ derivabilă, deci continuă, ṣ i $f^{\prime}(x)=\frac{-3}{(x-1)^{2}}<0 \Rightarrow f$ strict descrescătoare pe $(1,+\infty) \Rightarrow \operatorname{Im} f=[f(4), f(2)]=[-1,1]$ + +$f(x \circ y)=f(x) f(y) \quad \forall x, y \in A$ +b) $f$ strict monotonă pe $A \Rightarrow f$ injectivă pe $A$. + +Se arată că $f(x \circ y) \circ z=f(\circ(y \circ z)$, ș i cum $f$ injectivă $\Rightarrow$ legea " $\circ$ " asociativă. (1p) + +Se rezolvă ecuaț ia $f(x \circ e)=f(x) \Rightarrow f(e)=1 \Rightarrow e=2 \in A$ elementul neutru. + +Pentru a determina elementele simetrizabile rezolvăm ecuaț ia $f\left(x \circ x^{\prime}\right)=f(e)$. + +Pentru $x \neq \frac{5}{2} \Rightarrow f(x) \neq 0$ ș i $f\left(x^{\prime}\right)=\frac{1}{f(x)} \in[-1,1] \Rightarrow x \in\{2,4\}$ care sunt singurele elemente simetrizabile. + +$$ +f\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{6 k+5}{3 k+2}\right)=\prod_{k=1}^{n} f\left(\frac{6 k+5}{3 k+2}\right)=\prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1}=\frac{1}{n+1}=f\left(\frac{5 n+6}{2 n+3}\right) \text { s, i atunci } +$$ + +$$ +\frac{11}{5} \circ \frac{17}{8} \circ \frac{23}{11} \circ \ldots \circ \frac{6 n+5}{3 n+2}=\frac{5 n+6}{2 n+3} +$$ + +2. a) Funcț ia $\mathbf{f}^{\prime}+f g^{\prime} \bar{e}^{g}$ admite primitive fiind continuă. + +$\int f^{\prime}(x)+f(x) g^{\prime}(x) \cdot e^{g(x)} d x=\int\left[f(x) e^{g(x)}\right]^{\prime} d x=f(x) e^{g(x)}+C$ + +b) Pentru $f(x)=\ln x$ s i $g(x)=x+\frac{1}{x}$ se aplică a) Obṭ inem $\int \frac{x^{2} \ln x-\ln x+x}{x^{2}} e^{x+\frac{1}{x}} d x=\ln x \cdot e^{x+\frac{1}{x}}+C$ + +3. a) Din tabla legii + +| | 1 | $\varepsilon$ | $\varepsilon^{2}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 1 | $\varepsilon$ | $\varepsilon^{2}$ | +| $\varepsilon$ | $\varepsilon$ | $\varepsilon^{2}$ | 1 | +| $\varepsilon^{2}$ | $\varepsilon^{2}$ | $\mathbf{1}$ | $\varepsilon$ | + +rezultă că $\forall x, y \in H \Rightarrow x \cdot y \in H$ ș i că $\forall x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H$ adică $H$ subgrup. + +b) Fie $H^{\prime}=1 a, b$ subgrup cu 3 elemente al grupului $\mathbf{C}^{*}$.. + +Dacă $a^{2}=1$, atunci $a=1$ (fals) sau $a=-1$ + +Dacă $a=-1$ atunci $b^{2}=1$ sau $b^{2}=-1$. + +Dacă $b^{2}=1 \Rightarrow b= \pm 1$ ș i $H^{\prime}=\{-1,1\}$ fals ș i dacă $b^{2}=-1$ atunci $H^{\prime}=\{ \pm 1, \pm i\}$ fals + +Rămâne că $b=a^{2}$ şi $a^{3}=1, a \neq 1$ adică $a=\varepsilon$ sau $a=\varepsilon^{2}$. În ambele cazuri, $H^{\prime}=H$ + +4. a) Considerăm ș irul $J_{n}=\int_{0}^{a} \sin ^{n} x \sin n x d x, \quad n \in N^{*}$. + +Prin părț i obṭ inem $I_{n}=\frac{1}{n} \sin ^{n} a \sin n a-\int_{0}^{a} \sin ^{n-1} x \cos x \sin n x d x$ (1) $\qquad$ +Adunând încă odată $I_{n}$ la (1) obṭ inem $2 I_{n}=\frac{1}{n} \sin ^{n} a \sin n a-J_{n-1}$ (2). + +Analog, $J_{n}=-\frac{1}{n} \sin ^{n} a \cos n a+\int_{0}^{a} \sin ^{n-1} x \cos x \cos n x d x \Rightarrow 2 J_{n}=-\frac{1}{n} \sin ^{n} a \cos n a+I_{n-1}$ (3)(1p) + +Din (2) ș i (3) obț inem $4 I_{n}=\frac{2}{n} \sin ^{n} a \sin n a+\frac{1}{n-1} \sin ^{n-1} a \cos (n-1) a-I_{n-2}$ + +b) Deoarece $\sin a \in(-1,1) \Rightarrow \sin ^{n} a \rightarrow 0$ + +(1p) + +Din (4): $\lim _{n \rightarrow \infty} n 2^{\alpha+2} I_{n+1}+2^{\alpha} I_{n-1}=2^{\alpha} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n}{n+1} \sin ^{n+1} a \sin (n+1) a+\sin ^{n} a \cos n a\right)=0$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1094-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1094-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d55f84c647aaef5a446b182ad8804787baa27855 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1094-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,49 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a XI-a, 2014 + +1. $D=\left|\begin{array}{ccc}e^{2 x^{2}} & e^{2} & e^{-x} \\ e^{2} & e^{2 x} & e^{-x^{2}} \\ e^{-x} & e^{-x^{2}} & e^{-4}\end{array}\right|=x^{x^{2}+x-2},+\frac{2}{e^{x^{2}+x-2}}-3$ + +Notăm $e^{x^{2}+x-2}=t, \quad t>0$ + +$D=\frac{-1, \mathbf{1}+2}{t} \leq 0 \Leftrightarrow t=1$ + +$x^{2}+x-2=0 \Rightarrow x \in 1-2$ + +2. a) $x_{1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x}=1$ + +$x_{2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{x}=2$. + +$x_{3}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin 2 x}{x}=2^{2}$ + +(1p) + +b) Demonstraț ia prin inducț ie că + +$x_{n}=2^{n-1}, \forall n \in N^{*}$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+\ldots+2^{n-1}}{2^{n}}=1$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c75239b96e5f1c8a75d8g-1.jpg?height=74&width=1514&top_left_y=1531&top_left_x=271) +$\boldsymbol{Q}_{n} \backslash$ n 0 , ele vor avea aceeaș i limită l + +b) Enunț ul reciprocei este: + +"Dacă $\boldsymbol{\aleph}_{n}-n \geq 0$ s i $\boldsymbol{\aleph}_{n}{ }_{n \geq 0}$ au limită, atunci ș irul $\boldsymbol{Q}_{n}{ }_{n \geq 0}$ are +limită." +(1p) + +Căutăm un contraexemplu care să dovedească faptul că reciproca este falsă + +$a_{n}=1$, este divergent fără limită + +$x_{n}=\min \left\langle 1,<1_{,}^{\pi+1} \frac{\gamma}{J}-1\right.$ are limită + +$y_{n}=\max \left\langle 1^{\pi},<1^{\pi+1} \frac{\lambda}{J} 1\right.$ are limită. + +4. a) $X(z) \cdot X(\bar{z})=I_{2}\left(-|z|^{2} \cdot \operatorname{det} A+A\left(\bar{z}+|z|^{2} \cdot \operatorname{tr} \mathcal{A}^{-}=\right.\right.$ + +Deci $n=1-|z|^{2} \cdot \operatorname{det} A, \quad m=z+\bar{z}+|z|^{2} \cdot \operatorname{tr}$ + +b) $|z|=1 \Rightarrow z+\bar{z}=2 \cos \alpha \in[-2,2]$ + +$\left.\operatorname{tr} \mathbf{X}(\mathrm{z}) \cdot X(\bar{z})_{-}^{-}=\operatorname{tr} A+n I_{2}=a^{2}+d^{2}+2(\cos \alpha)+d\right)+2+2 b c$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1095-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1095-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9160b162482cab9f50ba94f666f92a94266b7c3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1095-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,131 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALÄ, 14.02.2014
Clasa a X-a + +1. (4p) a) Arătați că, pentru orice numere complexe $z_{1}, z_{2}$, are loc egalitatea: + +$$ +4\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-2 z_{2}\right|^{2}+\left|-2 z_{1}+z_{2}\right|^{2}=9\left|z_{1}\right|^{2}+9\left|z_{2}\right|^{2} +$$ + +(3p) b) Calculaț i în funcț ie de numerele complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots, z_{n}, n \in N^{*}$, suma $\sum_{k=1}^{n}\left|S-t z_{k}\right|^{2}$, unde $S=z_{1}+z_{2}+\cdots z_{n}, t \in N^{*}$.. + +Ileana Oțoiu, Doriana Dorca + +2. (7p) Fie $a \in(0,+\infty), n \in N, n \geq 2$ şi numerele: + +$$ +x=\sqrt[4]{n}-\sqrt{\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \ldots \cdot \sqrt{n}_{a}^{2^{n}}}, y=\sqrt[n]{\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a} \cdot \ldots \cdot \cdot^{2}+n{ }^{n+1}} +$$ + +Arătați că $x^{2^{n}+1}=y$. + +3. (7p) Rezolvați în $\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{R}$ sistemul: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +2^{x}+3^{x}=3 y+2 \\ +2^{y}+3^{y}=3 z+2 \\ +2^{z}+3^{z}=3 x+2 +\end{array}\right. +$$ + +Petru Vlad + +4. Fie $n \in N, n \geq 2, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(0,1)$ sau $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(1,+\infty)$. Demonstrați inegalitățile: + +(4p) a) $\log _{a_{1}} a_{2}+2 \sqrt{\log _{a_{2}} a_{3}}+3 \sqrt[8]{\log _{a_{\mathrm{s}}} a_{1}} \geq 6$. + +(3p) b) $\log _{a_{1}} a_{2}+2 \sqrt{\log _{a_{2}} a_{3}}+3 \sqrt[\mathrm{s}]{\log _{a_{\mathrm{s}}} a_{4}}+\cdots+n \sqrt[n]{\log _{a_{n}} a_{1}} \geq \frac{n(n+1)}{2}$. + +GM12/2013 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a X-a, 2014 + +1. a) $4\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-2 z_{2}\right|^{2}+\left|-2 z_{1}+z_{2}\right|^{2}=$ +$=4\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\right)+\left(z_{1}-2 z_{2}\right)\left(\bar{z}_{1}-2 \bar{z}_{2}\right)+\left(-2 z_{1}+z_{2}\right)\left(-2 \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\right)=$ $\qquad$ 2p) + +$=9\left|z_{1}\right|^{2}+9\left|z_{2}\right|^{2}$ + +. ( + +2p) + +b) $\sum_{k=1}^{n}\left|S-t z_{k}\right|^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(S-t z_{k}\right)\left(\bar{S}-t \bar{z}_{k}\right)$ + +.$(1$ + +p) + +$\sum_{k=1}^{n}\left(S \cdot \bar{S}-t S \bar{z}_{k}-t \bar{S} z_{k}+t^{2}\left|z_{k}\right|^{2}\right)$. + +1p) + +$(n-2 t)|S|^{2}+t^{2} \sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}$ + +.( + +1p) + +2. $x=4^{n}-1 \sqrt{\left(a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}}\right)^{2^{n}}}=$ + +p) + +$=a^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}\right) \cdot 2^{n} \cdot \frac{1}{4^{n}-1}}=a^{\frac{2^{n}-1}{2^{2 n}-1}}$ + +$y=a^{\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n \cdot n+1}\right) \cdot \frac{n+1}{n}}$ $\qquad$ +1p) + +$=a^{\frac{n}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n}}=a$ + +p) + +$x^{2^{n}+1}=a^{\frac{2^{2 n}-1}{2^{2 n}-1}}=a=y$. + +p) + +3.Sistemulesteciclic. Presupunem că ( $x, y, z$ )este soluț ie a sistemului ș i $x>y$ $x>y \Rightarrow 3 y+2=2^{x}+3^{x}>2^{y}+3^{y}=3 z+2 \Rightarrow y>z$..... + +( + +1p) + +$3 z+2=2^{y}+3^{y}>2^{z}+3^{z}=3 x+2 \Rightarrow z>x$, + +contradicț ie..... + +Analog pentru $x FAZA LOCALĂ, 14.02.2014
Clasa a VIII-a + +1. Se consideră expresia $E \ll, y=x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+\sqrt{2 x y}$. + +(3p) a) Descompuneți expresia în factori. + +(4p) b) Dacă $x \cdot y=1$, demonstraţi că $E(, y \geq 4+\sqrt{2}$. + +Petru Vlad + +2. (7p) Fie $a, b, c$, numere reale pozitive $\mathrm{cu} a \cdot b \cdot c=1$. Demonstrați inegalitatea + +$$ +\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} +$$ + +GM 9/2013 + +3. Se dă cubul $A B C D A^{`} B^{`} C ` D^{`}$ cu muchia de lungime $a$. Punctele $M, N, P, M `, N `, P^{`}$ sunt + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd19da943c3c4c08650g-1.jpg?height=74&width=1165&top_left_y=1351&top_left_x=271) + +(3p) a) Calculați distanța de la punctul A la planul MNP. + +(4p) b) Calculați distanța dintre planele $\mathbf{P} M N_{\text {- şi }} \boldsymbol{P}^{\prime} M^{\prime} N^{\prime}$; + +4. Se consideră $A B C D$ un romb cu diagonalele $A C=8 \mathrm{~cm}, B D=6 \mathrm{~cm}$. În punctul $N$, mijlocul segmentului $A O, A C \cap B D=O$, se ridică perpendiculara $M N$ pe planul rombului, $M N=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Calculați: + +(3p) a) Aria triunghiului $M B D$. + +(4p) b) Distanța de la punctul $M$ la latura $A D$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a VIII-a, 2014 + +1. a) $x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x y=x^{2}+y^{2}-2 x^{2} y^{2}+x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x y=$ ..... (1p) +$=x^{2}+y^{2}-\sqrt{2} x y \quad x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x y+x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x y=$ ..... (1p) +$=x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x y \quad x^{2}+y^{2}-\sqrt{2} x y+1$ ..... (1p +) +b) $x^{2}+y^{2} \geq 2 x y=2$ ..... (2p) +E,$y \geq+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1$, ..... (1p) +$E, y \geq 4+\sqrt{2}$. ..... (1p) +2. $\frac{1}{a+b} \leq \frac{a+b}{4 a b} \Leftrightarrow\left(-b^{2} \geq 0\right.$. ..... (2p) +$\frac{1}{a+b} \leq \frac{a+b}{4 a b}=\frac{c+b+b}{4 a b c}=\frac{a c+b c}{4}$ ..... $(2 p$ +) +$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \leq \frac{2 a b+b c+a c}{4}=\frac{a b+b c+a c}{2}$ ..... $(1 p$ +) +$a b+a c+b c \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ..... $(1 p$ +) +Finalizare ..... (1p) +3. a) $\triangle M N P$ echilateral de latură $\frac{a \sqrt{2}}{2}$.... ..... (1p) +$P A=A N=A M=\frac{a}{2}$ ..... (1p) +Piramida APMN triunghiulară regulată $\quad \mathrm{cu}$ înălțimea ..... $A O=h=\frac{a \sqrt{3}}{6}$ +(1p) +b) Se arată că planele $M N P \| M^{\prime} N^{\prime} P^{\prime}$ ..... (1p) +$A C^{\prime}=d A, P M N=+d M N P, M^{\prime} N^{\prime} P^{\prime}+d C^{\prime} M^{\prime} N^{\prime} P^{\prime}$ : ..... (1p + +) +$A C^{\prime}=a \sqrt{3}$ ..... (1p) +Distanța dintre cele două plane este $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ ..... (1p) +4. ..... a) $\triangle M N A \ll N=90^{\circ} \Rightarrow M A=4 \mathrm{~cm}$ +.(1p) +$\triangle M O A$ echilateral $\Rightarrow M O=4 \mathrm{~cm} \Rightarrow A_{\triangle M B D}=12 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... (2p) +b) $M N \perp(A O D), N T \perp A D \Rightarrow M T \perp A D \Rightarrow d(M, A D)=M T$. ..... (1p) + +$$ +O R \text { înălțime în } \triangle A O D, O R=\frac{12}{5} \mathrm{~cm} +$$ + +$N T$ linie mijlocie în $\triangle A O R \Rightarrow N T=\frac{6}{5} \mathrm{~cm}$ + +$\triangle M N T: M T=\frac{4 \sqrt{21}}{5} \mathrm{~cm}$ + +(1p ) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1097-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1097-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36bfdb134b79f395a4d63e43a934ace6d01f77e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1097-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETุEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 14.02.2014
Clasa a VII-a + +1. (7p) Rezolvaț i în mulțimea numerelor întregi ecuația: $\sqrt{x-2}+\sqrt{2-y}=3$. +2. (4p) a) Costul unei bluze reprezintă $30 \%$ din costul unei rochii, respectiv $7,5 \%$ din costul unui palton. Cât la sută reprezintă costul rochiei din costul paltonului? + +(3p) b) La un magazin prețul unui produs s-a mărit cu $25 \%$, apoi s-a redus cu p\%, ajungând la prețul inițial. Cât la sută reprezintă reducerea aplicată? + +Doina Negrilă + +3. Fie dreptunghiul $A B C D$ cu $A D=4 \mathrm{~cm}, A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ şi $m(A \hat{B} D)=30^{\circ}$. Notăm cu $M$ şi $N$, respectiv cu $P$ şi $Q$, picioarele perpendicularelor $\operatorname{din} A$ şi $C$ pe diagonala $B D$, respectiv $\operatorname{din} B$ şi $D$ pe diagonala $A C$. + +(4p) a) Arătați că MQNP este dreptunghi. + +(3p) b) Calculați aria dreptunghiului $M Q N P$. + +Mihaela Diana Dragoie + +4. (7p) Fie paralelogramul $A B C D$ сu $A D \perp A C$. Notăm cu $N$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $B D$ şi cu $P$ simetricul lui $B$ faṭă de $A C$. Demonstrați că $A N \perp N P$. + +GM9/2013 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a VII-a, 2014 + +1. Condițiile de existență a radicalilor: $x \geq 2$ şi $y \leq 2$........................................1p) + +Observația: $0 \leq \sqrt{x-2} \leq 3$............................................................................................1p) + +$x \in$ Z3,...,10,11 .........................................................................................................1p) + +Mulț imea soluțiilor este: $\quad,-7 ; \mathbf{1},-2 ; \mathbf{6}, 1 ; \mathbf{1}, 2$, + +$(4 p)$ + +2. a) $b=\frac{30}{100} \cdot r, b=\frac{7,5}{100} \cdot p$ + +$\frac{30}{100} \cdot r=\frac{7,5}{100} \cdot p$ + +$\frac{r}{p}=\frac{1}{4} \Rightarrow$ prețul rochiei este $25 \%$ din prețul paltonului + +b) Dacă $x$ este prețul inițial al produsului, prețul acestuia după scumpire este: + +$x+\frac{25}{100} \cdot x=\frac{125}{100} \cdot x=\frac{5}{4} \cdot x$ + +$\frac{5}{4} \cdot x-\frac{p}{100} \cdot \frac{5}{4} \cdot x=x$ + +Soluția: $p \%=20 \%$ + +3. a) Figura corectă + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2fe05cd0e210b2a6d5aeg-2.jpg?height=440&width=699&top_left_y=1576&top_left_x=290) + +$\triangle A M D \equiv \triangle C N B \equiv \triangle B P C \equiv \triangle D Q A \Rightarrow D M=B N=C P=A Q$ + +$A O=B O=C O=D O \Rightarrow M O=N O=P O=Q O$ (diferențe de segmente congruente) $\Rightarrow M Q N P$ dreptunghi + +b) $\triangle A D O$ isoscel cu un unghi de $60^{\circ}$, deci este echilateral, înălțimile $A M$ şi $D Q$ sunt mediane, $M Q$ este linie mijlocie $\Rightarrow M Q=\frac{D A}{2}$ + +În $\triangle A O B \quad N_{\text {_ este linie mijlocie } \Rightarrow Q N}^{-}=\frac{A B}{2}$ + +$\mathrm{A}_{M Q N P}=M Q \cdot Q N=2 \cdot 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$ + +4. Figura corectă + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2fe05cd0e210b2a6d5aeg-3.jpg?height=689&width=917&top_left_y=358&top_left_x=501) + +$B C=C P$ +$B C=A D$$\left|\Rightarrow \begin{array}{l}C P=A D \\ C P \| A D\end{array}\right| \Rightarrow A D P C$ paralelogram cu $m(D \hat{A} C)=90^{\circ} \Rightarrow A D P C$ dreptunghi .(2p) $A P \cap D C=Q, \triangle D N C$ dreptunghic în $N, \quad O_{-}^{-}$mediană $\Rightarrow N O=\frac{D C}{2}$. + +$A P=D C \Rightarrow N O=\frac{D C}{2} \Rightarrow \triangle A N P$ dreptunghic î $N \Rightarrow A N \perp N P$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1098-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1098-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9481d64ec3e2b58abc5e5d8e3137d1e6dcea6205 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1098-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÄ
FAZA LOCALĂ, 14.02.2014
Clasa a VI-a + +1. (7p) Două numere naturale mai mici decât 200 au c.m.m.d.c. 28 , iar produsul lor este 32928. Determinaț i cele două numere. +2. (3p) a) Stabiliț i valoarea de adevăr a propoziț iei $\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{2013 \cdot 2014}$. + +(4p) b) Demonstraț i că: + +$$ +\frac{1}{1 \cdot 12}+\frac{1}{12 \cdot 23}+\frac{1}{23 \cdot 34}+\cdots+\frac{1}{2003 \cdot 2014}<\frac{1}{11} +$$ + +3. Pe o dreaptă se consideră punctele distincte $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{2014}$, în această ordine, astfel încât $M$ este mijlocul segmentului $A_{0} A_{10}$ s i $A_{0} A_{1}=3 \mathrm{~cm}, A_{1} A_{2}=7 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=11 \mathrm{~cm}$, $A_{3} A_{4}=15 \mathrm{~cm}$ ș i aș a mai departe. + +(3p) a) Calculaţi lungimile segmentelor $\left[A_{9} A_{10}\right]$ ș i $\left[A_{0} M\right]$. + +(4p) b) Calculaț i lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{2014}\right]$. + +Monica Guita + +4. Se dă unghiul alungit $\Varangle A O B$ ș i punctele $C, D$ situate în semiplane opuse faț ă de dreapta $A B$, astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle C O D)=80^{\circ}$. + +(4p) a) Dacă $[O N$ este bisectoarea $\Varangle A O C,[O M$ este bisectoarea $\Varangle B O D$ ș i $\mathrm{m}(\Varangle B O C)=$ $140^{\circ} 15$ ' $30^{\prime}$, calculaț i măsura $\Varangle M O N$. + +(3p) b) Dacă [OE este semidreapta opusă semidreptei $[O D$, calculaț i măsura $\Varangle B O E$. + +SGM12/2013 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 2 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a VI-a, 2014 + +1. $(a, b)=28$ rezultă $a=28 x$ ș i $b=28 y,(x, y)=1$ ..... (1p) +$a \cdot b=32928$, rezultă $28 x \cdot 28 y=32928$ ..... (1p) +Deci $x y=42$ ..... (2p) +Cum $a, b<200$, rezultă $x, y \leq 7$. ..... (1p) +Deci singurele soluț ii sunt $x=6, y=7$ ș i atunci $a=168$ ș i $b=$ ..... 196 +(1p) +Sau $x=7, y=6$ ș i atunci $a=196$ ș i $b=168$ ..... (1p) +2. a) Calculul corect al diferenț ei ..... (2p) +Stabilirea valorii de adevăr a propoziț iei date ..... (1p) +b) Notând suma din membrul stâng cu $S$ avem +$11 S=\frac{12-1}{1 \cdot 12}+\frac{23-12}{12 \cdot 23}+\frac{34-23}{23 \cdot 34}+\cdots+\frac{2014-2003}{2003 \cdot 2014}=$ ..... (1p) +$=1-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{34}+\cdots+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2014}=$ ..... (1p) +$=1-\frac{1}{2014}$ ..... (1p) +$11 S<1 \Rightarrow S<\frac{1}{11}$. ..... (1p) +3. a) $A_{0} A_{1}=3=4 \cdot 0+3, A_{1} A_{2}=7=4 \cdot 1+3, A_{2} A_{3}=11=4 \cdot 2+3$, +deci $A_{9} A_{10}==4 \cdot 9+3=39$ ..... (1p) +$A_{0} M=A_{0} A_{10}: 2=(3+7+\ldots+39): 2=105$ ..... (2p) +b) $A_{0} A_{2014}=A_{0} A_{1}+A_{1} A_{2}+\ldots+A_{2013} A_{2014}=(4 \cdot 0+3)+(4 \cdot 1+3)+(4 \cdot 2+3)+$ +$(4 \cdot 2013+3)=$ + +(1p) +$=4 \cdot(1+2+\ldots+2013)+2014 \cdot 3=4 \cdot 2013 \cdot 2014: 2+2014 \cdot 3=$ ..... (2p) +$=2014 \cdot 4029=8114406$ ..... $(1 p)$ +4. a) Figura. ..... (1p) +$\mathrm{m}(\Varangle M O N)=(\mathrm{m}(\Varangle M O D)+\mathrm{m}(\Varangle D O A)+\mathrm{m}(\Varangle A O N)=$ + +$=\mathrm{m}(\Varangle B O D): 2+\mathrm{m}(\Varangle D O A)+\mathrm{m}(\Varangle A O C): 2=$ + +$=(\mathrm{m}(\Varangle B O D)+2 \mathrm{~m}(\Varangle D O A)+\mathrm{m}(\Varangle A O C)): 2=$ $=(\mathrm{m}(\Varangle B O A)+\mathrm{m}(\Varangle D O C)): 2=$ + +$=\left(180^{\circ}+80^{\circ}\right): 2=130^{\circ}$ + +(3p) +b) $\mathrm{m}(\Varangle B O D)=360^{\circ}-[\mathrm{m}(\Varangle C O D)+\mathrm{m}(\Varangle B O C)]=$ +$=360^{\circ}-\left[80^{\circ}+140^{\circ} 15^{\prime} 30^{\prime \prime}\right]=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a96920e3230ef7108286g-2.jpg?height=417&width=731&top_left_y=2279&top_left_x=1162) + +$$ +\begin{aligned} +& =139^{\circ} 44^{\prime} 30^{\prime \prime} \\ +& \text { 的 } \\ +& \mathrm{m}(\Varangle B O E)=\mathrm{m}(\Varangle D O E)-\mathrm{m}(\Varangle B O D)= \\ +& \left.=180^{\circ}-139^{\circ} 44^{\prime} 30^{\prime \prime}=40^{\circ} 15^{\prime} 30^{\prime \prime} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . .1 p\right) +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1099-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1099-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62fa78cc7ffb44cc9833d17078746172137ea3f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1099-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 14.02.2014
Clasa a V-a + +1. Fie numerele $x=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots 53+54$ şi $y=1+4^{1}+4^{2}+\ldots+4^{2014}$. + +(3p) a) Determinaţi restul împărțirii numărului $x$ la 2014. + +(4p) b) Precizați câtul şi restul împărțirii numărului $y$ la 21. + +Felicia Brodețchi + +2. (7p) Trei copii cumpără pixuri, caiete ș i creioane, fiecare tip de obiect fiind de acelaș i fel, ș i plătesc astfel: + +- primul, pentru 12 pixuri, 8 caiete, 8 creioane, 60 lei; +- al doilea, pentru 4 pixuri, 8 caiete, 2 creioane, 30 lei; +- al treilea, pentru 8 pixuri, 4 caiete ș i 6 creioane, 38 lei. + +Determinaț i preț ul fiecaruia dintre cele trei tipuri de obiecte cumpărate. + +Liviu Cocariu-Ardelean + +3. (4p) a) Arătaț i că numărul $A=2007^{2014}+2008^{2013}+2009^{2012}$ nu este pătrat perfect. + +(3p) b) Arătat i că numărul $B=2^{6 n+7}-2^{6 n+5}+2^{6 n+2}$ se poate scrie ca suma a patru cuburi perfecte. + +Maria Ghit $\breve{a}$ + +4. (7p) Determinaț i mulț imea: $M=\overline{a b c} \mid a \cdot \overline{b c}, b \cdot \overline{a c}$ sunt numere consecutive . + +GM 3/2013 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 2 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a V-a, 2014 + +1. a) $2014=2 \cdot 19 \cdot 53$........................................................................................1p) + +Se obține că 1.2・3.4 $\cdot$.... $\cdot$53:2014.....................................................................1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b034a20621b24b4b2959g-2.jpg?height=55&width=1556&top_left_y=475&top_left_x=250) + +b) $y=1+4^{1}+4^{2} \cdot\left(+4+4^{2}+4^{5} \cdot\left(+4+4^{2}+\ldots .+4^{2012} \cdot\left(+4+4^{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(1 p)\right.\right.\right.$ + +$y=1+4^{1}+4^{2} \cdot 21+4^{5} \cdot 21+\ldots .+4^{2012} \cdot 21$............................................................1p) + +$y=5+21 \cdot 4^{2}+4^{5}+\ldots+4^{2012}$ `................................................................................ + +Împărțind numărul $y$ la 21 obținem câtul $4^{2}+4^{5}+4^{8}+\ldots+4^{2012}$ şi restul 5 ..................(1p) + +2. Metoda comparat iei: prezentarea datelor sub forma schemei de mai jos ................... (2p) + +Primul copil ....... 12 pixuri ...... 8 caiete ...... 8 creioane ...... 60 lei + +Al doilea copil ..... 4 pixuri ...... 8 caiete ...... 2 creioane ...... 30 lei + +Al treilea copil ..... 8 pixuri ...... 4 caiete ...... 6 creioane ...... 38 lei + +Adunând obiectele cumpărate de ultimii 2 copii obț inem: + +12 pixuri ...... 12 caiete ...... 8 creioane ...... 68 lei ..................................1p) + +$\Rightarrow 4$ caiete costă 8 lei $\Rightarrow 1$ caiet costă 2 lei .......................................................................1p) + +Avem 12 pixuri ...... 8 creioane ...... $60-8 \cdot 2=44$ lei + +4 pixuri ...... 2 creioane ...... $30-8 \cdot 2$ = 14 lei $\mid \cdot 4$..........................................1p) + +$\Rightarrow \quad 16$ pixuri ...... 8 creioane ...... 56 lei $\Rightarrow 4$ pixuri costă $56-44=12$ lei + +$\Rightarrow 1$ pix costă 3 lei + +$\Rightarrow 1$ creion costă 1 leu + +3. a) $u\left(2007^{2014}\right)=9$....................................................................................................... + +$u\left(2008^{2013}\right)=8$........................................................................................................1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b034a20621b24b4b2959g-2.jpg?height=60&width=1536&top_left_y=1820&top_left_x=266) + +$u(A)=8 \Rightarrow A$ nu este pătrat perfect ............................................................(1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b034a20621b24b4b2959g-2.jpg?height=62&width=1528&top_left_y=1985&top_left_x=264) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b034a20621b24b4b2959g-2.jpg?height=66&width=1533&top_left_y=2046&top_left_x=267) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b034a20621b24b4b2959g-2.jpg?height=66&width=1533&top_left_y=2103&top_left_x=267) + +4. Dacă $a \cdot \overline{b c}>b \cdot \overline{a c}$, atunci $a \cdot \overline{b c}-b \cdot \overline{a c}=1$, de unde obț inem $c(-b=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. (1p) + +$\Rightarrow c=1, b \in \mathbb{1} 2,3,4,5,6,7,8, a=b+1$ + +Dacă $b \cdot \overline{a c}>a \cdot \overline{b c}$, atunci $b \cdot \overline{a c}-a \cdot \overline{b c}=1$, de unde obț inem $c \cdot-a=1$ + +$\Rightarrow c=1, a \in \mathbb{1} 2,3,4,5,6,7,8, b=a+1$ + +$M=121,211,231,321,341,431,451,541,561,651,671,761,781,871,891,981$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-11-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VIII-cl8_nationala.md b/Romania_Olympiad/md/ro-11-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VIII-cl8_nationala.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..60cf801e8ad841cfb795d3a4e1a72ea2c15fc25b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-11-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VIII-cl8_nationala.md @@ -0,0 +1,215 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_61d9b6d719f0f01da53ag-1.jpg?height=270&width=1034&top_left_y=130&top_left_x=858) + +# Olimpiada Națională de Matematică Etapa Naţională, Iaşi, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a VIII-a + +Problema 1. a) Arătați că, dacă $a, b \in[1, \infty)$, atunci $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}} \geqslant \frac{2}{1+a b}$. + +b) Fie $x, y, z \in[0, \infty)$, cu proprietatea că $2 x+2 y+2 z+x y+y z+z x=9$. Arătați că: + +$$ +\frac{1}{x^{2}+2 x+2}+\frac{1}{y^{2}+2 y+2}+\frac{1}{z^{2}+2 z+2} \geqslant \frac{3}{5} +$$ + +Problema 2. Fie $a, b \in \mathbb{R}$ cu proprietatea că $|a x+b| \leqslant 1$, pentru orice $x \in[-1,1]$. + +a) Arătați că $\left|a^{2}+a b+2 b\right| \leqslant 2$. + +b) Aflați numerele $a$ și $b$ pentru care $\left|a^{2}+a b+2 b\right|=2$. + +Problema 3. În interiorul cubului $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ se consideră piramida patrulateră regulată $S A B C D$ cu baza $A B C D$, astfel încât $\Varangle\left(\left(S A^{\prime} B^{\prime}\right),\left(S C^{\prime} D^{\prime}\right)\right)=30^{\circ}$. Fie punctul $M$ pe latura $A^{\prime} D^{\prime}$ pentru care $\Varangle A^{\prime} B^{\prime} M=30^{\circ}$. + +a) Aflați unghiul dintre apotema piramidei $S A B C D$ și planul $(A B C)$. + +b) Determinați tangenta unghiului dintre planele $\left(M A B^{\prime}\right)$ și $(S A B)$. + +Problema 4. Se consideră numărul natural $n$, cu $n \geqslant 2$. Spunem că numărul $S$ este special, dacă pentru orice scriere a lui $n$ sub forma $n=n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}$, cu $k, n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} \in \mathbb{N}^{*}$ și $n_{1} \leqslant n_{2} \leqslant \ldots \leqslant n_{k}$, există numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k} \in \mathbb{N}$, astfel încât $a_{1}\frac{1}{2} \overparen{U^{\prime} V^{\prime}}=45^{\circ}>30^{\circ}$, de unde rezultă că $\Varangle U^{\prime} S V^{\prime}=150^{\circ}$. + +$1 p$ + +Se arată ușor că triunghiul $U S V$ este echilateral (alegem punctul $S^{\prime}$ în interiorul pătratului $U U^{\prime} V^{\prime} V$, astfel încât triunghiul $U V S^{\prime}$ să fie echilateral, și se arată că punctele $S$ și $S^{\prime}$ coincid), în consecință $\Varangle(S U,(A B C D))=\Varangle S U V=60^{\circ}$. $1 p$ + +b) Cum triunghiurile $M A^{\prime} A$ și $M A^{\prime} B^{\prime}$ sunt congruente (C.C.), deducem că $\Varangle M A A^{\prime}=30^{\circ}$, deci $\Varangle M A D=60^{\circ}$. Așadar $\Varangle(M A,(A B C D))=\Varangle(S U,(A B C D))=60^{\circ}$. + +Rezultă că $S U \| M A$, deci $S U \|\left(M A B^{\prime}\right)$. . + +$1 p$ Așadar dreapta de intersecție a planelor (MAB') și $(S A B)$ este paralelă cu $S U$ și trece prin $A$, adică $\left(M A B^{\prime}\right) \cap(S A B)=M A$. $1 p$ + +Fie $T \in A M$, astfel încât $B^{\prime} T \perp A M$. + +Deoarece $A B \subset(S A B)$ și $A B \perp A M$, rezultă că $\Varangle\left(\left(M A B^{\prime}\right),(S A B)\right)=\Varangle\left(B^{\prime} T, A B\right)$. Cum $A^{\prime} B^{\prime} \| A B$, rezultă că $\Varangle\left(\left(M A B^{\prime}\right),(S A B)\right)=\Varangle\left(B^{\prime} T, A^{\prime} B^{\prime}\right)=\Varangle A^{\prime} B^{\prime} T$. + +$1 p$ + +Egalând aria triunghiului isoscel $M A B^{\prime}$ scrisă în funcție de două baze, rezultă $B^{\prime} T=\frac{a \sqrt{5}}{2}$, unde $a$ reprezintă latura cubului. Din triunghiul dreptunghic $T A^{\prime} B^{\prime}$, сu $\Varangle T A^{\prime} B^{\prime}=90^{\circ}$, deducem $A^{\prime} T=\frac{a}{2}$, iar $\operatorname{tg}\left(\Varangle A^{\prime} B^{\prime} T\right)=\frac{A^{\prime} T}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{1}{2}$. + +Problema 4. Se consideră numărul natural $n$, cu $n \geqslant 2$. Spunem că numărul $S$ este special, dacă pentru orice scriere a lui $n$ sub forma $n=n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}$, cu $k, n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} \in \mathbb{N}^{*}$ şi $n_{1} \leqslant n_{2} \leqslant \ldots \leqslant n_{k}$, există numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k} \in \mathbb{N}$, astfel încât $a_{1}n-2$, adică $b \geqslant n-1$. + +$1 p$ + +În consecință, $n^{2}-2 n=a+b(n-1) \geqslant b(n-1) \geqslant(n-1)^{2}=n^{2}-2 n+1$, fals. + +Așadar numărul $n^{2}-2 n$ nu este special. + +$1 p$ + +b) Dacă $S$ este un număr special, atunci pentru scrierea $n=n$ există $a \in \mathbb{N}$, astfel încât $S=a n$, deci $S$ este un multiplu al lui $n$. ..................................................... + +Fie $S=t \cdot n$, cu $t \in \mathbb{N}$. Pentru $k=2, n_{1}=1$ și $n_{2}=n-1$, numărul $n$ se scrie $n=1+(n-1)$, ṣi există $a_{1}, a_{2} \in \mathbb{N}$, cu $a_{1}t$, deci $a_{2} \geqslant t+1$. + +Din $t \cdot n=a_{1}+a_{2}(n-1) \geqslant a_{2}(n-1) \geqslant(t+1)(n-1)$, obținem $t \geqslant n-1$. $1 p$ + +Arătăm că pentru orice $p \in \mathbb{N}$, cu $p \geqslant n-1$, numărul $S_{p}=p n$ este special. + +Fie $k \in \mathbb{N}^{*}$ și $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} \in \mathbb{N}^{*}, n_{1} \leqslant n_{2} \leqslant \ldots \leqslant n_{k}$, astfel încât $n=n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}$. Avem: + +$$ +\begin{aligned} +S_{n-1}= & n^{2}-n=\left(n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}\right)^{2}-\left(n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}\right)=n_{1}\left(n_{1}-1\right)+n_{2}\left(2 n_{1}+n_{2}-1\right)+ \\ +& +n_{3}\left(2 n_{1}+2 n_{2}+n_{3}-1\right)+\ldots+n_{k}\left(2 n_{1}+2 n_{2}+\ldots+2 n_{k-1}+n_{k}-1\right) +\end{aligned} +$$ + +Numerele naturale $a_{1}=n_{1}-1, a_{2}=2 n_{1}+n_{2}-1, \ldots, a_{k}=2 n_{1}+2 n_{2}+\ldots+2 n_{k-1}+n_{k}-1$ sunt astfel încât $0n-1$, scriem $p n=n(n-1+p-n+1)=n(n-1)+n(p-n+1)=S_{n-1}+n(p-n+1)$. $\mathrm{Cu}$ numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ alese anterior, deducem că: + +$$ +S_{p}=p n=a_{1} n_{1}+a_{2} n_{2}+\ldots+a_{k} n_{k}+\left(n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}\right)(p-k+1) +$$ + +deci $S_{p}=\left(a_{1}+p-k+1\right) \cdot n_{1}+\left(a_{2}+p-k+1\right) \cdot n_{2}+\ldots+\left(a_{k}+p-k+1\right) \cdot n_{k}$. + +Pentru $A_{1}=a_{1}+p-n+1, A_{2}=a_{2}+p-n+1, \ldots, A_{k}=a_{k}+p-n+1$, obținem $0 $n=6 p+2$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $n+16=13 k+26: 13$
$n+16=6 p+18: 6$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $(n+16) \vdots 78$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $(n+16)=780$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $n=764$ | $1 \mathrm{p}$ | +| III. Determinaţi numărul perechilor de numere naturale $(x, y)$ pentru care: $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2016}$. | | +| $x=\frac{2016 y}{y+2016}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $x=2016-\frac{2016^{2}}{y+2016}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $(y+2016) \mid 2016^{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $A=2016^{2}=2^{10} \cdot 3^{4} \cdot 7^{2}, N(A)=11 \cdot 5 \cdot 3=165, N(A)$ - numărul divizorilor lui $A$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $N$-numărul căutat, $N=N\left(2016^{2}\right)-N(2016)=165-1-82=82$ | $2 \mathrm{p}$ | + +IV. Se consideră trei puncte $B, O, C$ pe o dreaptă $a$ astfel încât $B O=O C$ şi punctele $D$ şi $E$ situate pe $(O B)$ respectiv $(O C)$, astfel încât $E C=B D$. În semiplane diferite faţă de dreapta $a$ se consideră punctele $P$ şi $Q$ astfel încât $P B=Q C$ şi $P E=Q D$. Demonstraţi că: +a) $\triangle P B E \equiv \triangle Q C D$; + +b) punctele $P, O, Q$ sunt coliniare. + +a) Construcția figurii Congruența $\triangle P B E \equiv \triangle Q C D \quad$ 2p + +b) Congruența $\triangle P E O \equiv \triangle Q D O$ $1 \mathrm{p}$ + +Congruența $\Varangle P O E \equiv \Varangle Q O D$ și opuse la vârf $\Rightarrow P, O, Q$ sunt coliniare $2 \mathrm{p}$ $2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1100-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1100-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8efc61bbbba4f3171cc339aca2d531e4c330a88d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1100-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,86 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALÄ, 14.02.2014
Clasa a IX-a + +1. (7p) Arătaț i că pentru orice număr natural nenul $n$ este adevărată inegalitatea: + +$$ +\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n+1}>1 +$$ + +2. (7p) Rezolvaț i în $\mathbf{R}$ ecuaț ia: + +$$ +\{x\}+\{2 x\}+\{3 x\}=1 +$$ + +unde prin $\{a\}$ s-a notat partea fractionară a numarului real $a$. + +Petru Vlad + +3. (7p) Determinaț i ș irul de numere $\boldsymbol{\phi}_{n}$ n 1 s s tiind că: + +$$ +a_{n} \in N^{*}, 1^{2} a_{1}+2^{2} a_{2}+\ldots+n^{2} a_{n}=\frac{n^{2} \boldsymbol{ब}_{n}+1^{*}}{4}, \sim_{n} \in N^{*} +$$ + +GM11/2013 + +4. Se consideră $A B C$ un triunghi ș i $D, E \in B C$, astfel încât $B D=D E=E C$. Se notează cu $M, N, Q$ mijloacele laturilor $A B, A C, B C$. + +(4p) a) Determinaț i $r \in \mathbf{R}$ astfel încât $\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{E N}=r \overrightarrow{Q A}$. + +(3p) b) Daca $G_{1}, G_{2}$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $M N D$ ș i $M N E$, arătaț i că $G_{1} G_{2} \| B C$. + +Petru Vlad + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a IX-a, 2014 + +1. $\mathrm{P}(1): \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \triangleright 1 \Leftrightarrow \frac{13}{12} \triangleright 1$, inegalitate adevarata + +$k \geq 1, \mathrm{P}(k)$ adevarată $\Rightarrow \mathrm{P}(k+1): \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ldots+\frac{1}{3 k+1}+\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3 k+3}+\frac{1}{3 k+4} \triangleright 1$ + +Este suficient să arătăm că: $\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3 k+3}+\frac{1}{3 k+4}-\frac{1}{k+1}>1$ + +Finalizare + +2. $x=x+x \Rightarrow x+2 x+3 x=6 x-1$ + +$6 x-1=k \in Z \Rightarrow x=\frac{k+1}{6}$ + +Ecuatia devine $\left[\frac{k+1}{6}\right]+\left[\frac{k+1}{3}\right]+\left[\frac{k+1}{2}\right]=k$ + +Se considera $k$ de forma $6 p, 6 p+1,6 p+2, \ldots, 6 p+5, p \in \mathbf{Z}$ ș i se obț ine mulț imea soluț iilor $S=\left\{\frac{6 p+1}{6}, \frac{6 p+2}{6}, \frac{6 p+3}{6}, \left.\frac{6 p+4}{6} \right\rvert\, p \in Z\right\}$ + +3. Pentru $n=1$ avem $a_{1}=\frac{\boldsymbol{ब}_{1}+1_{2}^{Z}}{4} \Leftrightarrow \boldsymbol{\phi}_{1}-1_{\mathcal{Z}}^{\boldsymbol{z}}=0 \Leftrightarrow a_{1}=1$ + +Pentru $n=2$ avem $a_{1}+4 a_{2}=\boldsymbol{\phi}_{2}+1^{2} \Leftrightarrow a_{2} \boldsymbol{\phi}_{2}-2=0 \Rightarrow a_{2}=2$ + +Demonstrăm prin induct ie matematică $a_{n}=n, \| n \in N^{*}$. + +$k \geq 2, a_{k}=k$ ș i P $(k+1): 1^{2} a_{1}+2^{2} a_{2}+\ldots+k^{2} a_{k}+k+1^{2} a_{k+1}=\frac{k+1^{2} a_{k+1}+1^{2}}{4} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow \frac{k^{2} a_{k}+1^{2}}{4}+k+1^{2} a_{k+1}=\frac{k+1^{2} a_{k+1}+1^{2}}{4} \Leftrightarrow a_{k+1}-k-1 \quad a_{k+1}+k-1=0$ + +$\Rightarrow a_{k+1}=k+1$, de unde $a_{n}=n, \eta \cap \in N^{*}$ + +4. a) Figura corectă + +$\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{E N}=\frac{\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}}{2}+\frac{\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E C}}{2}=-\frac{\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}}{2}$. + +$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{A Q}=-2 \overrightarrow{Q A}$ + +$\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{E N}=\overrightarrow{Q A} \Rightarrow r=1$ + +b) I $M N \cap A Q=P \Rightarrow P$ este mijlocul lui $[M N]$ + +$\frac{P G_{1}}{G_{1} D}=\frac{1}{2}=\frac{P G_{2}}{G_{2} E} \Rightarrow G_{1} G_{2}\left\|D E \Rightarrow G_{1} G_{2}\right\| B C$ + +II. Fie $P$ un punct oarecare $\Rightarrow \overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{P D}=3 \overrightarrow{P G_{1}}, \overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{P E}=3 \overrightarrow{P G_{2}}$ + +$3 \overrightarrow{G_{2} G_{1}}=3 \overrightarrow{P G_{1}}-\overrightarrow{P G_{2}}=\overrightarrow{P D}-\overrightarrow{P E}=\overrightarrow{E D} \Rightarrow G_{1} G_{2} \| B C$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1101-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_internationala_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1101-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_internationala_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd08adb3b488ee7b46276fa1a6ecae5a4e3ae101 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1101-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_internationala_subiecte.md" @@ -0,0 +1,37 @@ +Problema 1. Demonstraţi că pentru orice numere naturale nenule $k$ şi $n$ există $k$ numere naturale nenule $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k}$ (nu neapărat diferite) astfel încât + +$$ +1+\frac{2^{k}-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_{1}}\right)\left(1+\frac{1}{m_{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{m_{k}}\right) +$$ + +Problema 2. O configuraţie de 4027 de puncte se numeşte columbiană dacă are 2013 puncte colorate cu roşu şi 2014 puncte colorate cu albastru, şi nu conţine trei puncte coliniare. O mulţime finită de drepte din plan împarte planul în regiuni. O mulţime de drepte se numeşte bună pentru o configuraţie columbiană dacă următoarele două condiţii sunt îndeplinite: + +- Nicio dreaptă nu trece printr-un punct al configuraţiei, +- Nicio regiune nu conţine puncte de aceeaşi culoare. + +Determinaţi cel mai mic număr natural $k$ astfel încât pentru orice configuraţie columbiană de 4027 de puncte să existe o mulţime bună de $k$ drepte. + +Problema 3. Cercul exînscris corespunzător vârfului $A$ al triunghiului $A B C$ este tangent la latura $B C$ în punctul $A_{1}$. Definim analog punctele $B_{1}$ pe latura $C A$ şi $C_{1}$ pe latura $A B$. Presupunem că centrul cercului circumscris triunghiului $A_{1} B_{1} C_{1}$ aparţine cercului circumscris triunghiului $A B C$. Demonstraţi că triunghiul $A B C$ este dreptunghic. + +Cercul exînscris în triunghiul $A B C$ corespunzător vârfului A este cercul tangent laturii BC şi dreptelor $A B$ şi $A C$, dar nu laturilor $A B$ şi $A C$. Cercurile exînscrise corespunzătoare vârfurilor $B$ şi $C$ se definesc analog. + +Problema 4. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic cu ortocentrul $H$ şi fie $W$ un punct situat în interiorul laturii $B C$. Punctele $M$ şi $N$ sunt picioarele înălţimilor din $B$, respectiv $C$. Notăm cu $\omega_{1}$ cercul circumscris triunghiului $B W N$ şi fie $X$ punctul diametral opus lui $W$ în cercul $\omega_{1}$. Analog, notăm cu $\omega_{2}$ cercul circumscris triunghiului $C W M$ şi fie $Y$ punctul diametral opus lui $W$ în cercul $\omega_{2}$. Demonstraţi că punctele $X, Y$ şi $H$ sunt coliniare. + +Problema 5. Fie $\mathbb{Q}_{>0}$ mulţimea numerelor raţionale strict pozitive. Fie $f: \mathbb{Q}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie ce îndeplineşte următoarele trei condiţii: + +(i) Pentru orice $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$ avem $f(x) f(y) \geq f(x y)$, + +(ii) Pentru orice $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$ avem $f(x+y) \geq f(x)+f(y)$, + +(iii) Există un număr raţional $a>1$ astfel încât $f(a)=a$. + +Demonstraţi că $f(x)=x$ pentru orice $x \in \mathbb{Q}_{>0}$. + +Problema 6. Fie $n \geq 3$ un număr întreg şi fie un cerc pe care marcăm $n+1$ puncte echidistante. Considerăm toate numerotările acestor puncte cu numerele $0,1, \ldots, n$ astfel încât fiecare număr este folosit exact o dată; două astfel de numerotări se consideră identice dacă printr-o rotaţie a cercului coincid. O numerotare se numeşte frumoasă dacă pentru orice patru numere $a Etapa Naţională, Sighişoara, 2 Aprilie 2013 + +## CLASA a VI-a SUBIECTELE + +Problema 1. Ana, Barbu, Carmen şi Dan au de rezolvat 60 de probleme. Ana a rezolvat 45 dintre ele, Barbu a rezolvat 48 , Carmen a rezolvat 44 , iar Dan a rezolvat 47 de probleme. Arătaţi că probabilitatea ca o problemă din cele 60 să fie rezolvată de toţi cei patru este cel puţin egală cu $\frac{1}{15}$. + +Problema 2. Dreptunghiul din figura de mai jos este împărţit în $49 \times 101$ pătrate egale. In pătratul din stânga jos se află o monedă. Doi copii imaginează următorul joc: pe rând, fiecare dintre ei mută moneda din locul în care se află pe un pătrat oarecare situat la dreapta, pe aceeaşi linie sau pe un pătrat oarecare situat deasupra, pe aceeaşi coloană. Câştigă jucătorul care plasează moneda în pătratul din dreapta sus. + +Arătaţi că primul jucător poate câştiga, oricum ar juca cel de-al doilea. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37e0bde509fee30fee69g-1.jpg?height=294&width=574&top_left_y=1509&top_left_x=775) + +Problema 3. Se consideră numerele prime $p Etapa Naţională, Sighişoara, 2 Aprilie 2013
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE, CLASA a V-a + +Problema 1. Un număr natural de patru cifre diferite două câte două, având forma $\overline{a b c d}$, se numeşte interesant dacă $a \cdot d+b \cdot c=33$. Arătaţi că suma tuturor numerelor interesante de patru cifre este multiplu de 11. + +Soluţie. Dacă $\overline{a b c d}$ este număr interesant, atunci şi numerele $\overline{b a d c}, \overline{c d a b}$, $\overline{a c b d}, \overline{b d a c}, \overline{c a d b}, \overline{d b c a}$ si $\overline{d c b a}$ sunt numere interesante... + +Din observaţia de mai sus deducem că numerele interesante se pot grupa, după această regulă, câte opt. + +Avem + +$\overline{a b c d}+\overline{b a d c}+\overline{c d a b}+\overline{d c b a}+\overline{a c d b}+\overline{b d a c}+\overline{c a d b}+\overline{d b c a}=2222 \cdot(a+b+c+d)$ + +care este multiplu de 11. În concluzie, suma tuturor numerelor interesante de patru cifre este multiplu de 11 . . . $3 p$ + +Problema 2. Considerăm o descompunere a tablei de şah $8 \times 8$ în $p$ dreptunghiuri care nu se suprapun, astfel încât fiecare dreptunghi să conţină un număr întreg de pătrătele, dintre care jumătate să fie albe şi să nu existe două dreptunghiuri având acelaşi număr de pătrăţele. Determinaţi valoarea maximă a lui $p$. + +Soluţie. Dacă $p \geq 8$, dreptunghiurile vor conţine, în total, cel puţin $2+4+6+8+10+12+14+16=72$ pătrăţele, ceea ce este imposibil, tabla de şah având numai 64 de pătrăţele. + +Pentru $p=7$ avem posibilitatea să descompunem tabla. + +Iată un exemplu: $3 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a5d3ebec06670245d3a7g-3.jpg?height=697&width=746&top_left_y=1728&top_left_x=684) + +Problema 3. Fie $a, b, c, d, x, y, z, t$ cifre astfel încât $00$. Atunci + +$$ +t^{2} F(t)=3 \int_{0}^{t} x^{2} f(x) \mathrm{d} x +$$ + +unde $F(t)=\int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x$. + +1 punct + +Prin derivare rezultă $2 t F(t)+t^{2} f(t)=3 t^{2} f(t)$, deci $2 t(t f(t)-F(t))=0$, adică $\left(\frac{F(t)}{t}\right)^{\prime}=0$, pentru orice $t \in(0, \infty)$. 3 puncte + +Rezultă că funcţia $g(t)=\frac{F(t)}{t}$ este constantă pe intervalul $(0, \infty)$, deci $F(t)=k t$, adică + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5b0be9c0b0d77c339529g-3.jpg?height=49&width=1556&top_left_y=1537&top_left_x=282) + +Procedând similar pe intervalul $(-\infty, 0)$, rezultă că există constantele $k_{1}, k_{2}, k$ astfel încât + +$$ +f(t)= \begin{cases}k_{1}, & t<0 \\ k_{2}, & t=0 \\ k, & t>0\end{cases} +$$ + +## 1 punct + +Cum $f$ este continuă, rezultă $k_{1}=k_{2}=k$, deci $f(t)=k$, pentru orice $t \in \mathbb{R}$. Se verifică imediat că funcţile constante pe $\mathbb{R}$ satisfac relatia din enunţ. + +Problema 2. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel care îndeplineşte simultan următoarele două condiţii: + +(1) $A$ nu este corp, + +(2) oricare ar fi $x$ un element neinversabil al lui $A$, există un număr întreg $m \geq 1$, care depinde de $x$, astfel încât + +$$ +x=x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{m}} +$$ + +Să se arate că: + +(a) $x+x=0$, oricare ar fi $x \in A$, + +(b) $x^{2}=x$, oricare ar fi elementul neinversabil $x \in A$. + +Soluţie. (a) Este suficient să demonstrăm că $1+1=0$. Fie $x$ un element neinversabil, fie $m \in \mathbb{N}^{*}$, astfel încât $x=x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{m}}$, si $y=x+x^{2}+\cdots+x^{2^{m}-1}$. În mod evident, $x y=x$, deci $x y^{k}=x$, oricare ar fi $k \in \mathbb{N}^{*}$. Întrucât $x$ este neinversabil, $y$ este neinversabil, deci există $p \in \mathbb{N}^{*}$, astfel încât $-y=(-y)^{2}+(-y)^{3}+\cdots+(-y)^{2^{p}-1}+(-y)^{2^{p}}=y^{2}-y^{3}+\cdots-y^{2^{p}-1}+y^{2^{p}}$. Prin urmare, $-x=-x y=x y^{2}-x y^{3}+\cdots-x y^{2^{p}-1}+x y^{2^{p}}=x-x+\cdots-x+x=x$, i.e., $x+x=0$. + +2 puncte + +Fie $x$ un element nenul şi neinversabil. Cum $2 x=0$, rezultă că 2 este neinversabil, deci $2+2=0$ şi $2=2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2^{m}}$, unde $m \in \mathbb{N}^{*}$. Relaţia $2+2=0$ implică $2^{2}=0$, deci $2^{k}=0$, oricare ar fi $k \geq 2$. Prin urmare, $2=2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2^{m}}=0$. + +(b) Fie $x$ un element neinversabil al lui $A$ şi $m \in \mathbb{N}^{*}$, astfel încât $x=x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{2^{m}}$. Atunci $x^{2}=x^{3}+x^{4}+\cdots+x^{2^{m}+1}$. Întrucât $1+1=0$, prin adunarea celor două relaţii obţinem $x^{2^{m}+1}=x$. ...................................................................................... + +Relaţiile $1+1=0$ şi $x^{2^{m}+1}=x$ implică $\left(x^{2}+x\right)^{2^{m}}=x^{2^{m+1}}+x^{2^{m}}=x^{2^{m}+1} \cdot x^{2^{m}-1}+x^{2^{m}}=$ $x \cdot x^{2^{m}-1}+x^{2^{m}}=x^{2^{m}}+x^{2^{m}}=0$. ................................................................... + +Vom arăta că $x^{2}+x=0$, de unde concluzia. Fie $y=x^{2}+x$ şi $k$ cel mai mic număr natural nenul, astfel încât $y^{k}=0-$ un astfel de $k$ există, deoarece $y^{2^{m}}=0$. În cazul în care $k>1$, elementul $y^{k-1}$ este neinversabil în $A$ şi există $n \in \mathbb{N}^{*}$, astfel încât $y^{k-1}=\left(y^{k-1}\right)^{2^{n}+1}=$ $y^{(k-1)\left(2^{n}+1\right)}$. Întrucât $(k-1)\left(2^{n}+1\right) \geq k$, rezultă că $y^{(k-1)\left(2^{n}+1\right)}=0$, deci $y^{k-1}=0$ - în contradicţie cu minimalitatea lui $k$. Prin urmare, $k=1$ şi $y=0$. ................. 2 puncte + +Problema 3. Fie $a \in(0,1)$ şi $\mathcal{C}$ mulţimea funcţiilor crescătoare $f:[0,1] \rightarrow[0, \infty)$, astfel încât $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$. Să se determine: + +(a) $\max _{f \in \mathcal{C}} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$, + +(b) $\max _{f \in \mathcal{C}} \int_{0}^{a}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x$. + +Soluţia 1. (a) Fie $f$ o funcţie din mulţimea $\mathcal{C}$. Arătăm că + +$$ +\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \leq a +$$ + +Într-adevăr, + +$$ +\begin{aligned} +a-\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x & =a \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=a \int_{a}^{1} f(x) \mathrm{d} x-(1-a) \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \\ +& \geq a \int_{a}^{1} f(a) \mathrm{d} x-(1-a) \int_{0}^{a} f(a) \mathrm{d} x=0 +\end{aligned} +$$ + +Cum pentru funcţia constantă $f \equiv 1$ are loc egalitatea, rezultă că maximumul cerut este egal cu $a$. + +2 puncte + +(b) Maximumul cerut este $a$, dacă $a \leq 1 / 2$, şi $1 /(4(1-a))$, dacă $a>1 / 2$; aceste valori sunt atinse, de exemplu, pentru $f \equiv 1$, în primul caz, şi + +$$ +f(x)= \begin{cases}0, & \text { dacă } 0 \leq x \leq 2 a-1, \\ 1 /(2(1-a)), & \text { dacă } 2 a-11 / 2\end{cases} +$$ + +În acest scop, fie $f$ o funcţie din mulţimea $\mathcal{C}$. Ţinând cont de condiţile din enunt, + +$$ +\begin{aligned} +\int_{0}^{a}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x & \leq f(a) \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \leq\left(\frac{1}{1-a} \int_{a}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right) \\ +& =\frac{1}{1-a}\left(1-\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right) +\end{aligned} +$$ + +1 punct + +Să observăm că + +$$ +\max \{t(1-t): t \leq a\}= \begin{cases}a(1-a), & \text { dacă } a \leq 1 / 2 \\ 1 / 4, & \text { dacă } a>1 / 2\end{cases} +$$ + +în ambele cazuri, maximumul este atins într-un singur punct: în $t=a$, în primul caz, şi în $t=1 / 2$, în al doilea. + +Prin urmare, + +$$ +\int_{0}^{a}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leq \begin{cases}a, & \text { dacă } a \leq 1 / 2 \\ 1 /(4(1-a)), & \text { dacă } a>1 / 2\end{cases} +$$ + +## 2 puncte + +Soluţia 2. (b) Ţinând cont de exemplele din prima soluţie, este suficient să arătăm că + +$$ +\int_{0}^{a}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leq \begin{cases}a, & \text { dacă } a \leq 1 / 2, \\ 1 /(4(1-a)), & \text { dacă } a>1 / 2 .\end{cases} +$$ + +Fie $f$ o funcţie din mulţimea $\mathcal{C}$. Dacă $f(a)<1$, atunci + +$$ +\int_{0}^{a}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leq \int_{0}^{a}(f(a))^{2} \mathrm{~d} x=a(f(a))^{2}1 / 2\end{cases} +$$ + +în ambele cazuri, maximumul este atins într-un singur punct: în $t=1$, în primul caz, şi în $t=1 /(2(1-a))$, în al doilea. + +Prin urmare, + +$$ +\int_{0}^{a}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leq \int_{0}^{a}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x \leq \begin{cases}a, & \text { dacă } a \leq 1 / 2 \\ 1 /(4(1-a)), & \text { dacă } a>1 / 2\end{cases} +$$ + +Remarcă. Se poate arăta că, exceptând punctele $x=0$ şi $x=1$ - cărora li se adaugă la (b) punctul $x=2 a-1$, în cazul în care $a>1 / 2-$, funcţiile care realizează maximumul integralelor din enunţ sunt unic determinate; în punctele menţionate, plajele valorice admisibile rezultă din monotonie. + +Problema 4. Fie $n \geq 2$ un număr natural, $(K,+, \cdot)$ un corp comutativ cu proprietatea că $\underbrace{1+\cdots+1}_{m \text { ori }} \neq 0, m=2, \ldots, n, f \in K[X]$ un polinom de gard $n$ şi $G$ un subgrup al grupului aditiv $(K,+), G \neq K$. Să se arate că există $a \in K$, astfel încât $f(a) \notin G$. + +Soluţie. Fie $g \in K[X]$ un polinom de grad $m \in\{2, \ldots, n\}$. Polinomul $h(X)=g(X+1)-g(X)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5b0be9c0b0d77c339529g-6.jpg?height=43&width=1553&top_left_y=1754&top_left_x=286) + +Presupunem că $\operatorname{Im} f \subseteq G$. Considerăm polinoamele $f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{n-1}$, definite astfel: + +$$ +f_{0}=f \quad \text { şi } \quad f_{k}(X)=f_{k-1}(X+1)-f_{k-1}(X), \quad k=1, \ldots, n-1 +$$ + +Din remarca anterioară, $\operatorname{deg} f_{k}=n-k$ şi $\operatorname{Im} f_{k} \subseteq G$. În particular, $\operatorname{deg} f_{n-1}=1$ şi $\operatorname{Im} f_{n-1} \subseteq$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5b0be9c0b0d77c339529g-6.jpg?height=49&width=1556&top_left_y=2022&top_left_x=282) + +Cum funcţia polinomială $\tilde{f}_{n-1}: K \rightarrow K$ este surjectivă, rezultă că $\operatorname{Im} f_{n-1}=K$, deci $G=K$ fals. + +Remarcă. Problema arată că, în condiţiile din enunţ, grupul aditiv al lui $K$ este generat de imaginea funcţiei polinomiale $\tilde{f}$. + +În caracteristică zero, $\operatorname{deg} f$ poate să fie oricât de mare. In caracteristică $p$, unde $p$ este prim, condiţia $\operatorname{deg} f0$ astfel încât $A_{1}^{k}+A_{2}^{k}+\cdots+A_{m}^{k} \neq O_{n}$. + +Notă: Numim nilpotentă o matrice pătratică având o putere nulă. + +Problema 3. O funcţie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ se numeşte contractibilă dacă, pentru orice numere $x, y \in(0, \infty)$, avem $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{n}(x)-f^{n}(y)\right)=0$, unde $f^{n}=\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{\text {de } n \text { ori } f}$. + +a) Considerăm $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie contractibilă, continuă, cu proprietatea că are un punct fix, adică există $x_{0} \in(0, \infty)$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$. Arătaţi că $f(x)>x$, oricare ar fi $x \in\left(0, x_{0}\right)$ şi $f(x)0$ egész szám, amelyre $A_{1}^{k}+A_{2}^{k}+\cdots+A_{m}^{k} \neq O_{n}$. + +Megjegyzés: Egy négyzetes mátrix nilpitens, ha van olyan hatványa, ami nullmátrix. + +3. feladat. Az $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ függvényt nevezzük kontraktibilis$n e k$, ha bármely $x, y \in(0, \infty)$ számok esetén $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{n}(x)-f^{n}(y)\right)=0$, ahol $f^{n}=f \circ f \circ \cdots \circ f$. + +a)Legyen $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ egy olyan folytonos, kontraktibilis függvény, amelynek van fixpontja, azaz létezik $x_{0} \in(0, \infty)$ úgy, hogy $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$. Igazold, hogy $f(x)>x$, bármely $x \in\left(0, x_{0}\right)$ esetén és $f(x)0$ astfel încât $A_{1}^{k}+A_{2}^{k}+\cdots+A_{m}^{k} \neq O_{n}$. + +Soluţie. Notăm cu $\lambda_{i 1}, \lambda_{i 2}, \ldots, \lambda_{i n}$ valorile proprii ale matricei $A_{i}$, $i=1,2, \ldots, m$. Presupunem prin absurd că $A_{1}^{k}+A_{2}^{k}+\cdots+A_{m}^{k}=O_{n}$, oricare ar fi $k \geq 1$. Atunci $\operatorname{tr}\left(A_{1}^{k}\right)+\operatorname{tr}\left(A_{2}^{k}\right)+\cdots+\operatorname{tr}\left(A_{m}^{k}\right)=0$, + +de unde $\sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i j}^{k}=0$. + +.......................................................................... + +Din relaţiile lui Newton, egalităţile $\sum_{i j} \lambda_{i j}^{k}=0, k \geq 1$, implică $\lambda_{i j}=0$, oricare ar fi $i=1,2, \ldots, m, j=1,2, \ldots, n$. + +Atunci $A_{i}^{n}=O_{n}, i=1,2, \ldots, m$, contradicţie. + +Problema 3. O funcţie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ se numeşte contractibilă dacă, pentru orice numere $x, y \in(0, \infty)$, avem $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{n}(x)-f^{n}(y)\right)=0$, unde $f^{n}=f \circ f \circ \cdots \circ f$. + +a) Considerăm $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie contractibilă, continuă, cu proprietatea că are un punct fix, adică există $x_{0} \in(0, \infty)$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$. Arătaţi că $f(x)>x$, oricare ar fi $x \in\left(0, x_{0}\right)$ şi $f(x)x, \forall x \in\left(0, x_{0}\right)$. + +............................................................................................ + +In primul caz obţinem inductiv că $00$, atunci din $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ rezultă $a=f(a)$, fals. Atunci $a=0$, de unde rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{n}\left(x_{0}\right)-f^{n}(x)\right)=x_{0} \neq 0, \forall x \in\left(0, x_{0}\right)$, contradicţie. Rămâne $f(x)>x$, oricare ar fi $x \in\left(0, x_{0}\right)$. + +............................................................................................. + +Analog, $f(x)>x, \forall x \in\left(x_{0}, \infty\right)$ sau $f(x)f^{n}(x)>x$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$, de unde rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)=\infty$ şi apoi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{n}(x)-f^{n}\left(x_{0}\right)\right)=\infty, \forall x \in$ $\left(x_{0}, \infty\right)$, contradicţie. Ca urmare, $f(x)1$, deoarece $f$ este strict crescătoare pe $[1, \infty)$. Demonstrăm prin inducţie proprietatea $y_{n}y_{1}^{2}$. Din +inegalitatea clasică $1-xp$. + +Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=p}^{n-1} \frac{1}{k}=\infty$, găsim $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{-\frac{1}{9} \sum_{k=p}^{n-1} \frac{1}{k}}=0$, de unde rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f^{n}(y)-f^{n}(x)\right)=0$. Rezultă că funcţia $f$ este contractibilă, evident fără puncte fixe. + +Problema 4. a) Fie $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ o funcţie derivabilă şi convexă. Arătaţi că dacă $f(x) \leq x$, oricare ar fi $x \geq 0$, atunci $f^{\prime}(x) \leq 1$, oricare ar fi $x \geq 0$. + +b) Determinaţi funcţiile $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ derivabile şi convexe care au proprietatea că $f(0)=0$ şi $f^{\prime}(x) \cdot f(f(x))=x$, oricare ar fi $x \geq 0$. + +Soluţie. a) Presupunem contrariul. Există $a \geq 0$ cu $f^{\prime}(a)>1$, deci, $\operatorname{cum} \lim _{x \searrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}>1$, există $b>a \operatorname{cu} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}>1$. + +Pentru orice $x>b$, din convexitatea funcţiei $f$ rezultă $\frac{f(x)-f(b)}{x-b} \geq$ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m>1$. + +Atunci $f(x) \geq m x-m b+f(b)$, de unde $f(x)>x$ pentru $x$ suficient de mare. Contradicţie. + +........................................................................................................... + +b) Vom demonstra că $f(x)=x$, oricare ar fi $x \geq 0$. Cum $f^{\prime}(x)=$ $\frac{x}{f(f(x))}>0$, oricare ar fi $x>0$, deducem că $f$ este strict crescătoare. Cum $f$ este convexă şi derivabilă, rezultă că $f^{\prime}$ este crescătoare. + +Presupunem prin absurd că există $f(a)1$. Conform primului punct deducem că există $b>a \operatorname{cu} f(b)=b$. Atunci $f(f(b))=b$ şi apoi $f^{\prime}(b)=10$, de unde $f(x)=x$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1107-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1107-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8d51eb51efbeabd7a8b5eee9bba08e06b708e04 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1107-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,280 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_842f4c1210bc4693f59eg-1.jpg?height=268&width=772&top_left_y=300&top_left_x=604) + +MINISTERUL + +EDUCAȚIEI + +NAȚIONALE + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013 + +## CLASA a X-a + +Problema 1. Să se rezolve ecuaţia: + +$$ +2^{\sin ^{4} x-\cos ^{2} x}-2^{\cos ^{4} x-\sin ^{2} x}=\cos 2 x +$$ + +Problema 2. Se consideră numerele complexe distincte $a, b, c, d$. Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente: + +i) Pentru orice $z \in \mathbb{C}$ are loc inegalitatea $|z-a|+|z-b| \geq|z-c|+$ $|z-d|$; + +ii) Există $t \in(0,1)$ astfel încât $c=t a+(1-t) b$ şi $d=(1-t) a+t b$. + +Problema 3. Să se determine toate funcţiile injective $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ care satisfac relaţia + +$$ +|f(x)-f(y)| \leq|x-y| +$$ + +pentru orice $x, y \in \mathbb{Z}$. + +Problema 4. a) Să se arate că + +$$ +\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{m}}0$ şi numărul natural nenul $n$ pentru care + +$$ +[x]+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1,005 \cdot n +$$ + +Notă: $[a]$ este partea întreagă, iar $\{a\}$ partea fracţionară a numărului real $a$. + +Problema 4. Numim specială o mulţime $M$ de numere reale cu proprietăţile: + +(i) pentru orice $x, y \in M, x \neq y$, numerele $x+y$ şi $x y$ sunt nenule, exact unul dintre ele fiind raţional; + +(ii) pentru orice $x \in M$, numărul $x^{2}$ este iraţional. + +Aflaţi numărul maxim de elemente ale unei mulţimi speciale. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_537b9f14cff679319578g-2.jpg?height=268&width=1012&top_left_y=300&top_left_x=604) + +## Matematika tantárgyverseny + +## Országos szakasz, Brassó, 2013. április 2.
VIII. OSZTÁLY + +1. feladat. Az $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ szabályos egyenes hasábban $A B=a$. Tudjuk, hogy egyetlenegy olyan $M \in\left(B B^{\prime}\right)$ pont létezik, amelyre $m\left(A M C^{\prime} \varangle\right)=90^{\circ}$. + +Határozd meg az $A M$ egyenes és az $\left(A C C^{\prime}\right)$ sík szögének mértékét! + +2. feladat. Egy végtelen méretủ sakktáblán egy bástyával lépegetünk függőleges és vízsintes irányban felváltva (minden lépésnél irányt vált a bástya). Az első lépésben egy négyzetnyit halad a bástya, a második lépésnél két négyzetnyit, és így tovább, az $n$-edik lépesnél $n$ négyzetnyit halad bármely $n \in \mathbb{N}^{*}$ esetén. + +Legyen $T$ azon $n$ természetes számok halmaza, amelyekre létezik $n$ darab lépésből álló lépéssorozat, amelyekkel a bástya visszakerül az eredeti helyére. + +a) Igazold, hogy $2013 \notin T$. + +b) Határozd meg a $T \cap\{1,2, . ., 2012\}$ halmaz elemeinek számát! + +3. feladat. Határozd meg az $x>0$ valós számot és az $n$ nem nulla természetes számot, ha fennáll az + +$$ +[x]+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1,005 \cdot n +$$ + +egyenlöség! + +Megjegyzés: $[a]$ az $a$ valós szám egészrészét, $\{a\}$ pedig a törtrészét jelöli. + +4. feladat. Egy valós számokból álló $M$ halmazt nevezzünk speciálisnak, ha egyidőben teljesíti a következő tulajdonságokat: + +(i) bármely $x, y \in M, x \neq y$, esetén az $x+y$ és $x y$ számok közül egyik sem nulla és pontosan egyik racionális; + +(ii)bármely $x \in M$ esetén $x^{2}$ irracionális. + +Maximum hány elemet tartalmazhat egy speciális halmaz? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_537b9f14cff679319578g-3.jpg?height=562&width=884&top_left_y=144&top_left_x=620) + +MINISTERUL EDUCAȚIEI + +NATุIONALE + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa finală, Braşov, 2 aprilie 2013
CLASA a VIII-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Problema 1. Prisma regulată dreaptă $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, cu $A B=a$, are proprietatea că există un unic punct $M \in\left(B B^{\prime}\right)$ astfel încât $m\left(\varangle A M C^{\prime}\right)=90^{\circ}$. + +Determinaţi măsura unghiului format de dreapta $A M$ cu planul $\left(A C C^{\prime}\right)$. + +Soluţie. Vom arăta mai întâi că $M$ este mijlocul muchiei $\left[B B^{\prime}\right]$. Presupunând contrariul, fie $M^{\prime} \in\left(B B^{\prime}\right)$ simetricul lui $M$ faţă de mijlocul muchiei $\left[B B^{\prime}\right]$; atunci $M^{\prime} \neq M$. Deoarece $\triangle M A B \equiv$ $\Delta M^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}$ şi $\Delta M^{\prime} A B \equiv \Delta M C^{\prime} B^{\prime}$, rezultă că $[M A] \equiv\left[M^{\prime} C^{\prime}\right]$ şi $\left[M^{\prime} A\right] \equiv\left[M C^{\prime}\right]$. Prin urmare, $\triangle M A C^{\prime} \equiv \Delta M^{\prime} C^{\prime} A$, deci $m\left(\varangle A M C^{\prime}\right)=m\left(\varangle A M^{\prime} C^{\prime}\right)=90^{\circ}$, contradicţie cu unicitatea alegerii lui $M$. + +3 puncte + +Notând $B B^{\prime}=h$, calculând $A M, M C^{\prime}$ şi $A C^{\prime}$ şi aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_537b9f14cff679319578g-3.jpg?height=60&width=1797&top_left_y=1263&top_left_x=175) + +Dacă $O$ este centrul feţei $\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right)$, rezultă $M O \perp\left(A C C^{\prime}\right)$, deci unghiul format de dreapta $A M$ cu planul $\left(A C C^{\prime}\right)$ este unghiul $M A O$. + +Cum $M O=O A=\frac{a \sqrt{3}}{2}$, triunghiul $M O A$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\varangle M A O)=45^{\circ} .2$ puncte + +Problema 2. Pe o tablă de şah de dimensiuni infinite se mută o tură, alternativ pe orizontală şi pe verticală. Tura se deplasează un pătrăţel la prima mutare, două pătrăţele la a doua mutare şi, în general, $n$ pătrăţele la a $n$-a mutare, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Fie $T$ mulţimea numerelor naturale $n$ cu proprietatea că există un şir de $n$ mutări după care tura revine la poziţia iniţială. + +a) Arătaţi că $2013 \notin T$. + +b) Determinaţi numărul elementelor mulţimii $T \cap\{1,2, . ., 2012\}$. + +Soluţie. Putem considera pătrăţelele tablei de şah ca o reţea de puncte cu coordonate numere întregi (puncte laticiale), în care poziţia iniţială o presupunem a fi $(0,0)$. Atunci, după fiecare mutare, una dintre coordonate va fi de forma $\pm 1 \pm 3 \pm 5 \pm \ldots$, iar cealaltă de forma $\pm 2 \pm 4 \pm 6 \pm \ldots$. + +a) Prespunând $2013 \in T$, atunci există o alegere a semnelor + si - pentru care au loc simultan relaţiile $\pm 1 \pm 3 \pm 5 \pm \ldots \pm 2013=0$ şi $\pm 2 \pm 4 \pm 6 \pm \ldots \pm 2012=0$. + +Pentru orice combinaţie de semne, $\pm 1 \pm 3 \pm \ldots \pm 2013$ are aceeaşi paritate cu $1+3+\ldots+2013=1007^{2}$, deci, în ipoteza că $2013 \in T$, ar rezulta că 0 şi $1007^{2}$ au aceeaşi paritate, absurd ........ 2 puncte + +Observaţie. Concluzia $2013 \notin T$ se obţine şi astfel: scriind $\pm 2 \pm 4 \pm \ldots \pm 2012=2 \cdot( \pm 1 \pm 2 \pm \ldots \pm 1006)$ şi observând că numărul $\pm 1 \pm 2 \pm \ldots \pm 1006$ are aceeaşi paritate cu $1+2+\ldots .+1006=503 \cdot 1007$, în ipoteza că $2013 \in T$, ar rezulta că 0 şi $503 \cdot 1007^{2}$ au aceeaşi paritate, fals. +b) Condiţia $n \in T$ implică existenţa unor alegeri a semnelor + şi - pentru care să aibă loc simultan egalităţile: + +$$ +\begin{gathered} +\pm 1 \pm 3 \pm 5 \pm \ldots \pm\left(2 \cdot\left[\frac{n+1}{2}\right]-1\right)=0 \\ +\pm 2 \pm 4 \pm 6 \pm \ldots \pm\left(2 \cdot\left[\frac{n}{2}\right]\right)=0 +\end{gathered} +$$ + +## 1 punct + +Din $(*)$ rezultă că 0 are aceeaşi paritate cu $1+3+\ldots+\left(2 \cdot\left[\frac{n+1}{2}\right]-1\right)=\left[\frac{n+1}{2}\right]^{2}$, deci $\left[\frac{n+1}{2}\right]$ trebuie să fie număr par. Acest lucru se întâmplă dacă $4 \mid n$ sau $4 \mid n+1$ (1) + +Din $(* *)$ rezultă că 0 are aceeaşi paritate cu $1+2+\ldots+\left[\frac{n}{2}\right]=\frac{\left[\frac{n}{2}\right] \cdot\left(\left[\frac{n}{2}\right]+1\right)}{2}$, adică $4 \left\lvert\,\left[\frac{n}{2}\right]\right.$ sau $4 \left\lvert\,\left[\frac{n}{2}\right]+1\right.$. Se obţine că 8 divide unul dintre numerele $n-1, n, n+1$ sau $n+2$ (2) + +Din (1) şi (2) rezultă că este necesar ca $n$ să aibă forma $8 k$ sau $8 k-1$, unde $k \in \mathbb{N}^{*} \mathbf{2}$ puncte Pentru orice $k \in \mathbb{N}^{*}$ avem $n=8 k \in T$, deoarece + +$$ +\begin{gathered} +(1-3-5+7)+(9-11-13+15)+\ldots+[(8 k-7)-(8 k-5)-(8 k-3)+(8 k-1)]=0 \\ +(2-4-6+8)+(10-12-14+16)+\ldots+[(8 k-6)-(8 k-4)-(8 k-2)+(8 k)]=0 +\end{gathered} +$$ + +De asemenea, pentru orice $k \in \mathbb{N}^{*}$ avem $n=8 k-1 \in T$, deoarece + +$$ +\begin{gathered} +(1-3-5+7)+(9-11-13+15)+\ldots+[(8 k-7)-(8 k-5)-(8 k-3)+(8 k-1)]=0 \\ +(2+4-6)+(8-10-12+14)+\ldots+[(8 k-8)-(8 k-6)-(8 k-4)+(8 k-2)]=0 +\end{gathered} +$$ + +Se obţine că $T \cap\{1,2, \ldots, 2012\}$ are 502 elemente + +Problema 3. Determinaţi numărul real $x>0$ şi numărul natural nenul $n$ pentru care + +$$ +[x]+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1,005 \cdot n +$$ + +Soluţie. Ecuaţia se scrie $[x]+\left\{\frac{1}{x}\right\}=\frac{201}{200} n=n+\frac{n}{200}$. Notând cu $q$, respectiv $r$, câtul şi restul împărţirii lui $n$ la 200, rezultă că + +$$ +[x]+\left\{\frac{1}{x}\right\}=n+q+\frac{r}{200} +$$ + +Partea întreagă a expresiei din membrul stâng este egală cu $[x]$, iar partea întreagă a expresiei din membrul drept este $n+q$, deci $[x]=201 q+r$ şi $\left\{\frac{1}{x}\right\}=\frac{r}{200} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 2$ puncte + +Dacă $x<1$, atunci $[x]+\left\{\frac{1}{x}\right\}=\left\{\frac{1}{x}\right\}<1<1,005 \cdot n$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Dacă $x=1$, se obţine $1=1,005 \cdot n$, imposibil. Ca urmare, $x>1$, deci $0<\frac{1}{x}<1$, adică $\left\{\frac{1}{x}\right\}=\frac{1}{x}$. Rezultă $\frac{1}{x}=\frac{r}{200}$, deci $r \neq 0$ şi $x=\frac{200}{r}$. + +Folosind faptul că $[x] \leq x<[x]+1$, rezultă $201 q+r \leq \frac{200}{r}<201 q+r+1$,deci $201 q r+r^{2} \leq$ $200<201 q r+r(r+1)$. Cum $q, r \in \mathbb{N}$, inegalităţile de mai sus nu pot avea loc pentru $q r \geq 1$, deci $q r=0$. Deoarece $r \neq 0$, rezultă $q=0$, deci $r^{2} \leq 200Etapa finală, Braşov, 2 aprilie 2013 + +# SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. În triunghiul $A B C$, bisectoarea $A D(D \in B C)$ şi mediana $B E(E \in A C)$ se intersectează în punctul $P$. Dreptele $A B$ şi $C P$ se întâlnesc î punctul $F$. Paralela prin $B$ la $C F$ intersectează dreapta $D F$ în punctul $M$. Demonstraţi că $D M=B F$. + +Soluţie. Din teorema lui Ceva rezultă că $\frac{B F}{F A} \cdot \frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B}=1$, de unde $\frac{B F}{F A}=\frac{B D}{D C}$. Folosind + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0d0af319f92aa70cc123g-3.jpg?height=55&width=1588&top_left_y=1246&top_left_x=233) + +Deoarece $\triangle B F D \sim \triangle B A C$, deducem că $\frac{B F}{B A}=\frac{F D}{A C}$, aşadar + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0d0af319f92aa70cc123g-3.jpg?height=57&width=1588&top_left_y=1338&top_left_x=233) + +Cum $\triangle B D M \sim \triangle C D F$, rezultă că $\frac{D M}{F D}=\frac{B D}{D C}$. Însă, din teorema bisectoarei, $\frac{B D}{D C}=\frac{A B}{A C}$, prin urmare $D M=\frac{A B}{A C} \cdot F D$. + +În concluzie, $D M=B F$. $3 p$ + +Problema 2. Un zar este un cub de muchie 1, având înscrise pe feţe cifrele de la 1 la 6 , astfel încât suma cifrelor de pe oricare două feţe opuse este 7 . + +Folosind 27 de zaruri, construim un cub cu muchia 3. + +Stabiliţi ce valori poate lua suma tuturor cifrelor de pe cele şase feţe ale cubului de muchie 3 . + +Soluţie. Numim zaruri de tip I pe cele care au o singură faţă vizibilă (acele zaruri din centrele feţelor cubului mare), de tip II pe cele cu două feţe vizibile (acelea din mijloacele muchiilor) şi de tip III pe cele cu trei feţe vizibile (zarurile din colţuri). Orice cub de muchie 3 conţine 6 zaruri de tip I, 12 zaruri de tip II şi 8 zaruri de tip III. + +Suma minimă pe cele şase feţe se obţine în cazul în care pe zarurile de tip I se vede 1 , pe zarurile de tip II sunt vizibile cifrele 1 şi 2 , iar pe zarurile de tip III sunt vizibile 1,2 şi 3 . Suma minimă este $6 \cdot 1+12 \cdot 3+8 \cdot 6=90$. + +Maximul se obţine când pe zarurile de tip I se vede 6 , pe zarurile de tip II sunt vizibile 5 şi 6 , iar pe zarurile de tip III sunt vizibile 4,5 şi 6 . Suma maximă este $6 \cdot 6+12 \cdot 11+8 \cdot 15=288$. + +Vom arăta că suma totală poate lua orice valoare intermediară între 90 şi 288. Pentru aceasta, vom pleca de la cubul în care se realizează minimul sumei şi vom roti zarurile, pas cu pas, astfel încât să mărim suma cu 1 la fiecare pas. + +Rotind un zar de tip I, putem mări suma totală de pe feţele cubului mare cu câte o unitate la fiecare pas, până când pe acest zar apare 6. Continuăm acest procedeu, astfel încât pe toate zarurile de tip I să devin a vizibilă faţa 6 . ... $1 p$ + +Rotim acum un zar de tip II de la $1+2$ la $5+6$ şi, în acelaşi timp, rotim două dintre zarurile de tip I la 1, respectiv 4 ; astfel am mărit suma totală cu 1. În următorii paşi rotim acele două zaruri de tip I asupra cărora am acţionat, mărind suma totală cu câte o unitate de fiecare dată; în final, pe ele va apărea din nou cifra 6. Continuăm acest procedeu, astfel încât pe toate zarurile de tip II să devină vizibile feţele 5 şi 6 . .. $2 p$ + +Apoi, rotim un zar de tip III de la $1+2+3$ la $4+5+6$, rotind în acelaşi timp două dintre zarurile de tip I la 2 ; astfel, am mărit suma totală cu 1. În următorii paşi rotim acele două zaruri de tip I asupra cărora am acţionat, mărind suma totală cu câte o unitate de fiecare dată; în final, pe ele va apărea din nou cifra 6 . Continuăm acest procedeu, astfel încât pe toate zarurile de tip III să devină vizibile feţele 4,5 şi 6 . + +Am obţinut cubul de muchie 3 având suma cifrelor de pe feţe 288. În concluzie, suma de pe feţe poate lua toate valorile de la 90 la 288 . + +Problema 3. Fie $A B C D$ un dreptunghi cu $5 A D<2 A B$. Pe latura $A B$ se consideră punctele $S$ şi $T$ astfel încât $A S=S T=T B$. Notăm cu $M, N$ şi $P$ proiecţiile punctelor $A, S$ respectiv $T$ pe dreptele $D S, D T$ respectiv $D B$. Arătaţi că punctele $M, N$ şi $P$ sunt coliniare dacă şi numai dacă $15 A D^{2}=2 A B^{2}$. + +Soluţie. Fie $A B=3 a$ şi $A D=b$, cu $b<\frac{6}{5} a$. + +Folosind teorema catetei în triunghiul dreptunghic $A D S$, obţinem că $D M=\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, M S=$ $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$. + +Exprimând în două moduri aria triunghiului DST, deducem că $S N \cdot D T=A D \cdot S T$, de unde $S N=\frac{a b}{\sqrt{4 a^{2}+b^{2}}}$. Cu teorema lui Pitagora în triunghurile dreptunghice $N S D$ şi $N S T$, obţinem că $D N=\frac{2 a^{2}+b^{2}}{\sqrt{4 a^{2}+b^{2}}}$, respectiv $N T=\frac{2 a^{2}}{\sqrt{4 a^{2}+b^{2}}}$. + +Procedând analog, rezultă că $T P=\frac{a b}{\sqrt{9 a^{2}+b^{2}}}, D P=\frac{6 a^{2}+b^{2}}{\sqrt{9 a^{2}+b^{2}}}, B P=\frac{3 a^{2}}{\sqrt{9 a^{2}+b^{2}}} . \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{2 p}$ + +Distanţa de la $M$ la $A B$ este $\frac{a^{2} b}{a^{2}+b^{2}}$. Distanţa de la $N$ la $A B$ este $\frac{N S \cdot N T}{S T}=\frac{2 a^{2} b}{4 a^{2}+b^{2}}$. Distanţa de la $P$ la $A B$ este $\frac{3 a^{2} b}{9 a^{2}+b^{2}}$. + +Condiţia $b<\frac{6}{5} a$ implică $d(M, A B)>d(N, A B)>d(P, A B)$; atunci punctele $\{Q\}=M N \cap$ $A B$ sुi $\left\{Q^{\prime}\right\}=N P \cap A B$ sunt situate pe semidreapta ( $A B$ cu $T \in[A Q]$ sु $T \in\left[A Q^{\prime}\right] \ldots \ldots .1 \mathbf{p}$ + +Aplicăm teorema lui Menelaus în triunghiurile $D S T$ si $D T B$, cu transversarelele $M-N-Q$, respectiv $N-P-Q^{\prime}$. Obţinem că $\frac{S Q}{Q T}=\frac{2 a^{2}+b^{2}}{2 b^{2}}$, iar $\frac{T Q^{3}}{Q^{\prime} B}=\frac{12 a^{2}+2 b^{2}}{6 a^{2}+3 b^{2}}$. + +De aici, $Q T=\frac{2 a b^{2}}{2 a^{2}-b^{2}}$ şi $Q^{\prime} T=\frac{a\left(12 a^{2}+2 b^{2}\right.}{6 a^{2}-b^{2}}$ + +Atunci: $M-N-P$ coliniare $\Leftrightarrow Q=Q^{\prime} \Leftrightarrow T Q=T Q^{\prime} \Leftrightarrow \frac{2 a b^{2}}{2 a^{2}-b^{2}}=\frac{a\left(12 a^{2}+2 b^{2}\right)}{6 a^{2}-b^{2}} \Leftrightarrow 5 b^{2}=$ $6 a^{2} \Leftrightarrow 15 A D^{2}=2 A B^{2}$ + +$4 p$ + +Problema 4. Fie $n$ un număr natural nenul; considerăm mulţimea $M=\{1,2, \ldots, 2 n+1\}$. + +Stabiliţi în câte moduri se poate partiţiona mulţimea $M$ în trei submulţimi nevide $A, B, C$ $(A \cup B \cup C=M, A \cap B=B \cap C=C \cap A=\emptyset)$ astfel încât să fie satisfăcute simultan condiţile: + +(i) pentru orice $a \in A$ şi orice $b \in B$, restul împărţirii lui $a$ la $b$ aparţine mulţimii $C$; + +(ii) pentru oricare $c \in C$, există $a \in A$ şi $b \in B$ astfel încât $c$ este restul împărţirii lui $a$ la $b$. + +Soluţie. Observăm că $a>b$, oricare ar fi $a \in A$ şi $b \in B$. Într-adevăr, în caz contrar, restul împărţirii lui $a$ la $b$ este 0 sau $a$, contradicţie. Rezultă că mulţimea $A$ este alcătuită din numere naturale consecutive şi $2 n+1 \in A$. + +.................................................................................................... + +Fie $b_{1}$ cel mai mic element din mulţimea $B$. Deoarece $0 \notin C$, rezultă că $2 b_{1}>2 n+1$. Deducem că $2 b>2 n+1$, oricare ar fi $b \in B$. Astfel, câturile tuturor împărţirilor numerelor din $A$ la numerele din $B$ sunt egale cu 1 . + +Dacă există $c \in C$ astfel încât $c>b_{1}$, atunci $c$ este restul împărţirii unui număr $a \in A$ la un număr $b \in B$. Rezultă că $a=1 \cdot b+c>b_{1}+b_{1}=2 b_{1}>2 n+1$, contradicţie. Deducem că $c $n+1 \leq E(n, n) așadar singurul număr real $a$ pentru care avem $f(a)=a$ este $a=1 \quad(*)$ | $(1 \mathrm{p})$ | +| $f(g(1))=g(f(1)) \Rightarrow f(g(1))=g(1)$; în baza observaţiei $\left(^{*}\right)$ se ajunge la $g(1)=1 \in \mathbb{Z}$ | $(3 p)$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1110-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1110-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17ee7f615313c188bc921b1e3bbee8c22164e305 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1110-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,171 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_017d0dd5bd29afd1c0bbg-1.jpg?height=266&width=768&top_left_y=300&top_left_x=606) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013 + +## CLASA a IX-a + +Problema 1. Un şir de numere este numit complet dacă are termeni naturali nenuli şi orice număr natural nenul are cel puţin un multiplu printre termenii şirului. + +Arătaţi că o progresie aritmetică este şir complet dacă şi numai dacă raţia sa divide primul termen. + +Problema 2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie arbitrară şi $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie de gradul al doilea, având proprietatea: + +pentru orice numere reale $m$ şi $n$, ecuaţia $f(x)=m x+n$ are soluţii dacă şi numai dacă ecuaţia $g(x)=m x+n$ are soluţii. + +Arătaţi că funcţiile $f$ şi $g$ sunt egale. + +Problema 3. Fie $P$ un punct în interiorul unui triunghi ascuţitunghic $A B C$ şi $D, E, F$ intersecțile dreptelor $A P, B P, C P$ cu $[B C],[C A]$, respectiv $[A B]$. + +a) Arătaţi că aria triunghiului $D E F$ este cel mult un sfert din aria triunghiului $A B C$. + +b) Arătaţi că raza cercului înscris în triunghiul $D E F$ este cel mult un sfert din raza cercului circumscris triunghiului $A B C$. + +Problema 4. Considerăm un număr natural nenul $n$ şi funcţia + +$$ +f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=\left\{\begin{array}{c} +\frac{x}{2} \quad, \text { dacă } x \text { este par } \\ +\frac{x-1}{2}+2^{n-1}, \text { dacă } x \text { este impar } +\end{array}\right. \text {. } +$$ + +Determinaţi mulţimea + +$$ +A=\{x \in \mathbb{N} \mid(\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{\text {de } n \text { ori } f})(x)=x\} +$$ + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată de la 0 la 7 puncte. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_017d0dd5bd29afd1c0bbg-2.jpg?height=268&width=1018&top_left_y=294&top_left_x=606) + +## Matematika tantárgyverseny + +## Országos szakasz, Brassó, 2013. április 2. + +## IX. OSZTÁLY + +1. feladat. Egy számsorozatot nevezzünk teljesnek, ha elemei nullától különböző természetes számok és minden nullától különböző természetes számnak legalább egy többszöröse tagja a sorozatnak. + +Igazold, hogy egy számtani haladvány akkor és csak akkor teljes, ha a rációja osztja a sorozat első elemét! + +2. feladat Legyen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ egy tetszőleges függvény és $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ egy olyan másodfokú függvény, amelyre igaz az alábbi állítás: + +Bármely $m$ és $n$ valós szám esetén az $f(x)=m x+n$ egyenletnek akkor és + +csak akkor van megoldása, ha a $g(x)=m x+n$ egyenletnek van megoldása. Igazold, hogy a $f$ és $g$ függvények egyenlőek egymással! + +3. feladat. Az $A B C$ hegyesszögü háromszög belsejében vegyünk fel egy $P$ pontot. A $D, E$ és $F$ pontok az $A P, B P$ és $C P$ egyenesek metszéspontjai a $[B C],[C A]$ illetve $[A B]$ oldalakkal. + +a) Igazold, hogy a $D E F$ háromszög területe legfeljebb egynegyede az $A B C$ háromszög területének! + +b) Igazold, hogy a $D E F$ háromszögbe írt kör sugara legfeljebb egynegyede az $A B C$ háromszög köré írt kör sugarának! + +4. feladat. Adott az $n$ nem nulla természetes szám és az + +$$ +f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=\left\{\begin{array}{c} +\frac{x}{2} \quad, \text { ha } x \text { páros } \\ +\frac{x-1}{2}+2^{n-1}, \text { ha } x \text { páros } +\end{array}\right. +$$ + +függvény. + +Határozd meg az + +$$ +A=\{x \in \mathbb{N} \mid(\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{n \text { darab } f})(x)=x\} +$$ + +halmaz elemeit! + +Munkaidö 4 óra. + +Minden feladatra 7 pont szerezhetö. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_017d0dd5bd29afd1c0bbg-3.jpg?height=276&width=268&top_left_y=228&top_left_x=603) + +Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013 + +# SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE, CLASA a IX-a + +Problema 1. Un şir de numere este numit complet dacă are termeni naturali nenuli şi orice număr natural nenul are cel puţin un multiplu printre termenii şirului. + +Arătaţi că o progresie aritmetică este şir complet dacă şi numai dacă raţia sa divide primul termen. + +Soluţie. Dacă raţia $r$ divide primul termen $a_{1}$, atunci $a_{1}=d r, d \in \mathbb{N}$ şi $a_{n}=(d+n-1) r$, iar un multiplu al numărului natural nenul $k$ se obţine luând $d+n-1$ multiplu de $k \ldots \mathbf{3 p}$ + +Reciproc, dacă $r=0$, atunci şirul nu poate fi complet ............................................... + +Deoarece $r \neq 0$ şi, conform ipotezei, există un multiplu al lui $r$ de forma $a_{1}+(n-1) r$, $n \in \mathbb{N}^{*}$, reiese că $r \mid a$ + +. $3 p$ + +Problema 2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie arbitrară şi $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie de gradul al doilea, având proprietatea: + +pentru orice numere reale $m$ şi $n$, ecuaţia $f(x)=m x+n$ are soluţii dacă şi numai + +dacă ecuaţia $g(x)=m x+n$ are soluţii. + +Arătaţi că funcţiile $f$ şi $g$ sunt egale. + +Soluţie. Observăm că, dacă graficul funcţiei $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=m x+n$ este tangent la graficul funcţiei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=a x^{2}+b x+c$, atunci ecuaţia $a x^{2}+b x+c=m x+n$, $a, b, c, m, n \in \mathbb{R}, a \neq 0$ are discriminantul nul, deci functुia $k: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, k(x)=a x^{2}+b x+c-$ $m x-n$ se anulează într-un punct şi are semn constant în celelalte puncte $\left(^{*}\right) \ldots \ldots \ldots .1$ p + +Putem presupune, fără a restrânge generalitatea, că $g(x)=a x^{2}+b x+c, a>0$. + +Să presupunem că există $x_{0}$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)m x+n^{\prime}, \forall x \in \mathbb{R}-$ fals ......... 3p + +Rezultă $f(x) \geq g(x), \forall x \in \mathbb{R}(* *)$. Dacă presupunem acum că există $x_{0}$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)>g\left(x_{0}\right)$, atunci alegem din nou $m$ şi $n$ astfel încât graficul funcţiei $h(x)=m x+n$ să fie tangent la graficul lui $g$ în punctul $\left(x_{0}, g\left(x_{0}\right)\right)$. In acest caz, din $\left({ }^{* *}\right)$ şi $\left(^{*}\right)$ rezultă că $f(x)>m x+n, \forall x \in \mathbb{R}$, pe când ecuaţia $g(x)=m x+n$ are soluţia $x_{0}$ - fals ......... 3p + +Problema 3. Fie $P$ un punct în interiorul unui triunghi ascuţitunghic $A B C$ sुi $D, E, F$ intersecțiile dreptelor $A P, B P, C P$ cu $[B C],[C A]$, respectiv $[A B]$. + +a) Arătaţi că aria triunghiului $D E F$ este cel mult un sfert din aria triunghiului $A B C$. + +b) Arătaţi că raza cercului înscris în triunghiul $D E F$ este cel mult un sfert din raza cercului circumscris triunghiului $A B C$. + +Soluţie. a) Fie $\frac{B D}{C D}=x, \frac{C E}{A E}=y, \frac{A F}{B F}=z$. Atunci $\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}}=\frac{A F}{A B} \cdot \frac{A E}{A C}=\frac{z}{(z+1)(y+1)}$ şi analoagele.............................................................................................. + +Deducem $\frac{S_{D E F}}{S_{A B C}}=1-\sum_{\text {cic }} \frac{z}{(z+1)(y+1)}=\frac{x y z+1}{(x+1)(y+1)(z+1)}=\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_017d0dd5bd29afd1c0bbg-3.jpg?height=46&width=1399&top_left_y=2384&top_left_x=360) + +Folosind acum inegalitatea mediilor, $\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \frac{2}{8 \sqrt{x y z}}=\frac{1}{4} \ldots \ldots \ldots \ldots$ 1p +b) Se ştie că perimetrul triunghiului $D E F$ este mai mare sau egal decât perimetrul triunghiului ortic $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Rezultă $r_{D E F}=\frac{S_{D E F}}{p_{D E F}} \leq \frac{S_{A B C}}{4 p_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$...................................... + +$\operatorname{Din} A^{\prime} B^{\prime}=c \cos C=R \sin 2 C, p_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{2} R \sum \sin 2 A=2 R \sin A \sin B \sin C$ sुi $S_{A B C}=$ $2 R^{2} \sin A \sin B \sin C$ reiese acum concluzia + +Problema 4. Considerăm un număr natural nenul $n$ şi funcţia + +$$ +f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=\left\{\begin{array}{c} +\frac{x}{2} \quad, \text { dacă } x \text { este par } \\ +\frac{x-1}{2}+2^{n-1}, \text { dacă } x \text { este impar } +\end{array}\right. +$$ + +Determinaţi mulţimea + +$$ +A=\{x \in \mathbb{N} \mid(\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{\text {de } n \text { ori } f})(x)=x\} +$$ + +Soluţie. Observăm că $f(x)702 \ldots 2 \mathbf{p}$ + +Observăm ca 0 aparţine mulţimii A şi se calculează suma $0+1+2+\ldots+37-1=$ $703-1=702 \ldots 3 p$ + +Produsul elementelor mulţimii $\mathrm{A}$ este $0 \ldots 2 \mathrm{p}$ + +2. $A=3^{2}+3^{4}+3^{6}+3^{8}+\ldots+3^{2006} / \cdot\left(3^{4}-3^{2}\right) \ldots 2 \mathbf{p}$ $72 \cdot A=3^{6}+3^{8}+3^{12}+\ldots+3^{2010}-3^{4}-3^{6}-\ldots-3^{2008}$ $A=\left(3^{2010}-3^{4}\right): 72 \Rightarrow A=3^{2}\left(3^{2006}-1\right): 8 \ldots 2 \mathbf{p}$ $8 A+9=\left(3^{1003}\right)^{2}$ este patrat perfect...3p +3. Pentru asezarea numerelor în figură ...2p + +In figură sunt prezentate 9 linii, adunând sumele de pe fiecare linie vom obţime $9 \cdot 30=270 \ldots .2$ p + +Notăm cu k numărul din cercul din centrul şi obţinem + +$1+2+3+\ldots+19+8 k=270 \Rightarrow 190+8 k=270 \Rightarrow k=10$. + +Pe fiecare linie vom aseza numere de forma $10-a, k, 10+a ; a \epsilon\{1,2,3, \ldots, 9\} \ldots 3 \mathbf{p}$ + +4. Notăm cu x- nr de gări iniţiale şi cu y- numărul de gări nou construite. + +La început au existat $x(x-1)$ tipuri de bilete deoarece fiecare gară vindea câte un tip de bilet spre toate celelalte $\mathrm{x}-1$ gări.... $\mathbf{2 p}$ + +Dacă se adaugă y gari se vor mai tipări $y(x+y-1)$ tipuri de bilete de la gările noi la toate celalate de pe calea ferată şi înca xy de la gările existente la cele noi, în total $y(x+y-1)+x y$. + +$y(2 x+y-1)=46 \ldots 3 \mathbf{p}$ + +Dacă $y=1 \Rightarrow 2 x=46 \Rightarrow x=23$; + +Dacă $y=2 \Rightarrow 2 x+1=23 \Rightarrow x=11$; + +Dacă $y=23 \Rightarrow 2 x+22=2$ nu convine; + +Dacă $y=46 \Rightarrow 2 x+46-1=1$ nu convine.... $\mathbf{2 p}$ + +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +CLASA A V-A + +## SUBIECTE + +1. O mulțime $A$ are 37 de elemente numere naturale diferite a căror sumă este 702. Calculaţi produsul celor 37 de elemente ale mulţimii $A$. +2. Fie numărul $A=3^{2}+3^{4}+3^{6}+\ldots+3^{2006}$. Arătaţi că numărul $8 A+9$ este pătrat perfect. +3. Aşezaţi numerele naturale de la 1 la 19 în cele 19 cercuri din figura alăturată astfel încât suma celor trei numere de pe fiecare linie să fie 30. Justificaţi răspunsul! + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a8c8baf53f5fef8753deg-2.jpg?height=480&width=483&top_left_y=1276&top_left_x=838) + +4. Se consideră o cale ferată în linie dreaptă care trece prin mai multe gări. Fiecare gară vinde bilete către toate celelalte gări, iar biletele sunt distincte pentru fiecare rută şi direcţie. Se mai construiesc alte câteva gări, astfel încât va trebui să se mai tipărescă încă 46 tipuri de bilete. Câte gări au fost la început şi câte s-au mai construit? + +NOTĂ: + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1112-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1112-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65cd394bffe8207ea0232e92e051e637360ffe39 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1112-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,68 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA A VIII-A + +## SOLUȚIE ŞI BAREM DE CORECTARE: + +| Subiectul I | Punctaj | +| :--- | :--- | +| a) Din inegalitatea $\mathrm{a}+\frac{1}{\mathrm{a}} \geq 2$ pentru orice $\mathrm{a}>0$, rezultă | | +| \|| $10 x /(5 x+1)\|+\|(5 \mathrm{x}+1) / 1 U x \mid(\mathbf{z}$ | | +| $\Rightarrow\|5 \mathrm{x}-1\|=0 \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{1}{5}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Se verifică faptul că $\mathrm{x}=\frac{1}{5}$ este soluție a ecuației. | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Ecuația dată este echivalentă cu $\mathrm{x}^{4}-4 \mathrm{x}^{3}+16 \mathrm{x}-16=0 \Leftrightarrow$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Leftrightarrow \mathrm{x}^{4}-4 \mathrm{x}^{3}+4 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}^{2}+16 \mathrm{x}-16=0 \Leftrightarrow$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Leftrightarrow \mathrm{x}^{2}(\mathrm{x}-2)^{2}-4(\mathrm{x}-2)^{2}=0 \Leftrightarrow$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Leftrightarrow(\mathrm{x}-2)^{2}\left(\mathrm{x}^{2}-4\right)=0 \Leftrightarrow \mathrm{x} \in\{2,-2\}$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| Subiectul II | Punctaj | +| :---: | :---: | +| a) Inegalitatea este echivalentă cu $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2} \geq 4 \mathrm{ab} \Leftrightarrow(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2} \geq 0$, propoziție
adevărată | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Folosind inegalitatea de la a) pentru ab, bc şi ac şi însumând, obţinem:
$\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c} \geq 4\left[\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\right\rfloor$
Din inegalitatea $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+y z+x z \Rightarrow$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq(x+y+z)^{2}$, in care, înlocuind $x$ cu $\frac{1}{a+b}$, y cu $\frac{1}{b+c}$ şi $z$
cu $\frac{1}{c+a}$, obṭinem succesiv: | $1 \mathrm{p}$ | +| $3\left[\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\right] \geq\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^{2} \Leftrightarrow$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c} \geq 4\left[\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\right] \geq 2 \frac{4}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^{2}$
de unde rezultă concluzia. | $1 \mathrm{p}$ | + + +| Subiectul III | Punctaj | +| :--- | :--- | +| Fie M si N mijloacele segmentelor [CD] şi [BD], AF $\perp \mathrm{BC}$ şi IL $\perp \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{IL}=\mathrm{r}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{A G}{A N}=\frac{2}{3}=\frac{A G^{r}}{A M} \Rightarrow G G^{r}\left\\|M N \Rightarrow G G^{\prime}\right\\|(B C D)(1)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $A_{\Delta A: C}=\frac{B C \cdot A F}{2}=\frac{(A B+B C+C A) \cdot[L}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d516d82979e07cb3b941g-2.jpg?height=369&width=1631&top_left_y=232&top_left_x=221) + +| Subiectul IV | Punctaj | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d516d82979e07cb3b941g-2.jpg?height=1038&width=1339&top_left_y=778&top_left_x=231) | $2 \mathrm{p}$ | + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA A VIII-A + +## SUBIECTE + +I. Rezolvaţi ecuaţiile: +a) $\left|\frac{10 x}{5 x+1}\right|+\left|\frac{5 x+1}{10 x}\right|+|5 x-1|=2$, +$\mathrm{x} \in \mathbf{R}-\left\{-\frac{1}{5}, 0\right\}$ +b) $x^{3}-4 x+4=\frac{x^{4}}{4}$ +(RMT 1/2013) + +II. Demonstraţi inegalităţile următoare pentru orice numere strict pozitive a, b, c: +a) $\frac{1}{a b} \geq \frac{4}{(a+b)^{2}}$ +b) $3 \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{ab}}+\frac{1}{\mathrm{bc}}+\frac{1}{\mathrm{ca}}\right) \geq 4 \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}+\frac{1}{\mathrm{~b}+\mathrm{c}}+\frac{1}{\mathrm{c}+\mathrm{a}}\right)^{2}$ + +III. Fie ABCD patru puncte necoplanare astfel încât $\mathrm{BC}$ este media aritmetică a lungimilor segmentelor $\mathrm{AB}$ şi AC. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABD, $\mathrm{G}^{\prime}$ centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{ACD}$, iar $\mathrm{I}$ centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Demonstraţi că (IGG') \| (BCD). + +IV. Un paralelipiped dreptunghic $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ are dimensiunile $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=\mathrm{b}$, $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{c}$ şi diagonala $\mathrm{AC}^{\prime}=\mathrm{d}$. Să se arate că următoarele afirmaţii sunt echivalente: +a. $\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}}$ +b. $\mathrm{AC}^{\prime} \perp\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{DB}\right)$ +c. $\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}}=d^{2}$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: trei ore + +Pentru fiecare problemă rezolvată correct se acordă 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1113-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiecteee.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1113-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiecteee.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12c07e41bbd93d4437c1bd9d8d1680bfeb3957dc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1113-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiecteee.md" @@ -0,0 +1,67 @@ +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7d8ecc5f63bbf2bb1a9ag-1.jpg?height=309&width=293&top_left_y=339&top_left_x=908) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2013. március 9. + +## XII. OSZTÁLY + +1.feladat. Számítsd ki a $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x$. határértéket! + +2. feladat. Egy $(G, \cdot)$ csoport $(P)$ tulajdonságú, ha a $G$ minden $f$ automorfizmusa esetén léteznek a $G$ olyan $g$ és $h$ automorfizmusai, amelyekre $f(x)=g(x) \cdot h(x)$, bármely $x \in G$ esetén. Igazold, hogy: + +a) Minden $(P)$ tulajdonságú csoport kommutatív! + +b) Minden kommutatív, páratlan rendű, véges csoport $(P)$ tulajdonságú! + +c) Nincs $(P)$ tulajdonságú, $4 n+2,(n \in \mathbb{N})$ rendű véges csoport! + +(Egy csoport rendje a csoport elemeinek száma.) + +3. feladat. Adott az $f:[0, \pi / 2] \rightarrow[0, \infty)$ növekvő függvény. Igazold, hogy: +a) $\int_{0}^{\pi / 2}(f(x)-f(\pi / 4))(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x \geq 0$. + +b) Létezik $a \in[\pi / 4, \pi / 2]$ úgy, hogy $\int_{0}^{a} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \cos x \mathrm{~d} x$. + +4. feladat. Az $(A,+, \cdot)$ gyürúben $x=0$ az egyetlen megoldása az $x^{2}=0$, $x \in A$ egyenletnek. Adott a $B=\left\{a \in A \mid a^{2}=1\right\}$ halmaz. Igazold, hogy: +a) $a b-b a=b a b-a$, bármely $a \in A$ és $b \in B$ esetén! +b) $(B, \cdot)$ csoport. + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7d8ecc5f63bbf2bb1a9ag-2.jpg?height=277&width=266&top_left_y=344&top_left_x=927) + +Olimpiada Naţională de Matematică, 2013 Etapa judeţeană şi a municipiului Bucureşti, 9 Martie, 2013 + +## CLASA a XII-a + +Problema 1. Să se calculeze limita $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x$. + +Problema 2. Un grup $(G, \cdot)$ are proprietatea $(P)$, dacă, pentru orice automorfism $f$ al lui $G$, există două automorfisme $g$ şi $h$ ale lui $G$, astfel încât $f(x)=g(x) \cdot h(x)$, oricare ar fi $x \in G$. Să se arate că: + +(a) Orice grup care are proprietatea $(P)$ este comutativ. + +(b) Orice grup comutativ finit de ordin impar are proprietatea $(P)$. + +(c) Niciun grup finit de ordin $4 n+2, n \in \mathbb{N}$, nu are proprietatea $(P)$. (Ordinul unui grup finit este numărul de elemente ale acelui grup.) + +Problema 3. Fie $f:[0, \pi / 2] \rightarrow[0, \infty)$ o funcţie crescătoare. Să se arate că: + +(a) $\int_{0}^{\pi / 2}(f(x)-f(\pi / 4))(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x \geq 0$. + +(b) Există $a \in[\pi / 4, \pi / 2]$, astfel încât $\int_{0}^{a} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \cos x \mathrm{~d} x$. (Gazeta Matematică) + +Problema 4. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel cu proprietatea că $x=0$ este unica soluţie a ecuaţiei $x^{2}=0, x \in A$. Fie $B=\left\{a \in A \mid a^{2}=1\right\}$. Să se arate că: + +(a) $a b-b a=b a b-a$, oricare ar fi $a \in A$ şi $b \in B$. + +(b) $(B, \cdot)$ este grup. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1114-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiecteee.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1114-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiecteee.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e1ccb3c9ab87c84f3e5aa0fda8321a7bc241811 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1114-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiecteee.md" @@ -0,0 +1,86 @@ +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bcb89bc4b7213003aec2g-1.jpg?height=312&width=307&top_left_y=348&top_left_x=909) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2013. március 9. + +## XI. OSZTÁLY + +1. feladat. $\mathrm{Az}\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ sorozat növekvő és korlátos. Számítsd ki a + +$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 a_{n}-a_{1}-a_{2}\right)\left(2 a_{n}-a_{2}-a_{3}\right) \cdots\left(2 a_{n}-a_{n-2}-a_{n-1}\right)\left(2 a_{n}-a_{n-1}-a_{1}\right)$. + +határértéket! + +Gazeta Matematică + +2. feladat. Az $A$ és $B$ másodrendủ négyzetes mátrixok teljesítik az + +$$ +A B=A^{2} B^{2}-(A B)^{2} \text { és } \quad \operatorname{det}(B)=2 +$$ + +összefüggéseket. + +a) Igazold, hogy az $A$ mátrix nem invertálható! + +b) Számítsd ki a $\operatorname{det}(A+2 B)-\operatorname{det}(B+2 A)$ különbséget! + +3. feladat. Adott az $A$-edrendű ( $n>1$ ) nem invertálható négyzetes mátrix. Az $A$ elemei mind 1 moduluszú komplex számok. + +a) Igazold, hogy ha $n=3$, akkor az $A$ mátrix két sorának vagy két oszlopának elemei egyenesen arányosak. + +b) Igaz-e az előző alpontbeli tulajdonság $n=4$ esetén? + +4. feladat. Legyen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ egy monoton függvény. + +a) Igazold, hogy $f$-nek minden $x_{0} \in \mathbb{R}$ pontban van jobb- és baloldali határértéke! + +b) Értelmezzük a $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\lim _{t \nearrow x} f(t)$ függvényt, vagyis $g(x)$ az $f$ függvény baloldali határértéke az $x$ pontban. Igazold, hogy ha a $g$ függvény folytonos, akkor az $f$ függvény is folytonos! + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bcb89bc4b7213003aec2g-2.jpg?height=303&width=249&top_left_y=350&top_left_x=930) + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 9 Martie 2012 + +## CLASA a XI-a + +Problema 1. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir crescător şi mărginit. Calculaţi + +$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 a_{n}-a_{1}-a_{2}\right)\left(2 a_{n}-a_{2}-a_{3}\right) \cdots\left(2 a_{n}-a_{n-2}-a_{n-1}\right)\left(2 a_{n}-a_{n-1}-a_{1}\right)$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Fie matricele de ordin 2 cu elemente reale $A$ şi $B$ astfel încât + +$$ +A B=A^{2} B^{2}-(A B)^{2} \quad \text { si } \quad \operatorname{det}(B)=2 +$$ + +a) Arătaţi că matricea $A$ nu este inversabilă. + +b) Calculaţi $\operatorname{det}(A+2 B)-\operatorname{det}(B+2 A)$. + +Problema 3. Fie $A$ o matrice neinversabilă de ordin $n, n>1$, cu elemente în mulţimea numerelor complexe, toate elementele având modulul egal cu 1 . + +a) Arătaţi că pentru $n=3$, două dintre liniile sau două dintre coloanele matricei $A$ sunt proporţionale. + +b) Rămâne adevărată concluzia de la punctul anterior pentru $n=4$ ? + +Problema 4. Se consideră o funcţie monotonă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. + +a) Demonstraţi că $f$ are limite laterale în fiecare punct $x_{0} \in \mathbb{R}$. + +b) Definim functia $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\lim _{t>x} f(t)$, i.e. $g(x)$ este limita la stânga în punctul $x$. Arătaţi că dacă funcţia $g$ este continuă, atunci funcţia $f$ este continuă. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1115-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiecteee.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1115-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiecteee.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eec637ac2503ea351e7a181675d9adc284f160b2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1115-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiecteee.md" @@ -0,0 +1,83 @@ +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1ba2654d54dc01d67ad7g-1.jpg?height=263&width=266&top_left_y=340&top_left_x=927) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2013. március 9. + +## X. OSZTÁLY + +1. feladat. Adottak az $a, b \in \mathbb{R}$ és $z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ számok úgy, hogy fennálljon $\mathrm{az}|a-b|=|a+b-2 z|$ egyenlőség. + +a) Igazold, hogy a $|z-a|^{x}+|\bar{z}-b|^{x}=|a-b|^{x}$, egyenletnek egy és csak egy $x \in \mathbb{R}$ megoldása van! + +b) Határozd meg azokat az $x \in \mathbb{R}$ számokat, amelyekre fennáll az + +$$ +|z-a|^{x}+|\bar{z}-b|^{x} \leq|a-b|^{x} +$$ + +egyenlőtlenség! + +## Gazeta Matematică + +2. feladat. Legyenek $a, b \in \mathbb{C}$. Igazold, hogy az $|a z+b \bar{z}| \leq 1$ egyenlőtlenség akkor és csak akkor áll fenn bármely egységnyi moduluszú $(|z|=1) z$ komplex szám esetén, ha $|a|+|b| \leq 1$. +3. feladat. Adottak az $a, b \in \mathbb{R}^{*}$ számok és az $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, + +$$ +f(x)= \begin{cases}a x, & x \in \mathbb{Q} \\ b x, & x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\end{cases} +$$ + +függvény. + +Igazold, hogy $f$ akkor és csak akkor injektív, ha $f$ szürjektív. + +4. feladat. Adott az $n \in \mathbb{N}^{*}$ szám. Igazold, hogy + +$$ +2 \sqrt{2^{n}} \cos \left(n \arccos \frac{\sqrt{2}}{4}\right) +$$ + +egy páratlan egész szám! + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1ba2654d54dc01d67ad7g-2.jpg?height=281&width=271&top_left_y=342&top_left_x=924) + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 9 Martie 2012 + +## CLASA a X-a + +Problema 1. Fie $a, b \in \mathbb{R}$ şi $z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ astfel încât $|a-b|=|a+b-2 z|$. + +a) Să se arate că ecuaţia $|z-a|^{x}+|\bar{z}-b|^{x}=|a-b|^{x}$, cu necunoscuta $x \in \mathbb{R}$, are soluţie unică. + +b) Să se rezolve inecuaţia $|z-a|^{x}+|\bar{z}-b|^{x} \leq|a-b|^{x}$, cu necunoscuta $x \in \mathbb{R}$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Fie $a, b \in \mathbb{C}$. Să se arate că $|a z+b \bar{z}| \leq 1$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$, cu $|z|=1$, dacă şi numai dacă $|a|+|b| \leq 1$. + +Problema 3. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, + +$$ +f(x)= \begin{cases}a x, & x \in \mathbb{Q} \\ b x, & x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\end{cases} +$$ + +unde $a$ şi $b$ sunt două numere reale nenule. + +Să se arate că $f$ este injectivă dacă şi numai dacă $f$ este surjectivă. + +Problema 4. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se arate că numărul + +$$ +2 \sqrt{2^{n}} \cos \left(n \arccos \frac{\sqrt{2}}{4}\right) +$$ + +este număr întreg impar. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1116-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiecteee.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1116-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiecteee.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ecf92c5e72b1e2416704b3731ab677c589751a2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1116-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiecteee.md" @@ -0,0 +1,63 @@ +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5a4040a6b81a4b116d8g-1.jpg?height=320&width=309&top_left_y=637&top_left_x=905) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2013. március 9.
VIII. OSZTÁLY + +1. feladat. Határozd meg az összes olyan egész számokból álló $(x, y, z)$ számhármast, amely teljesíti az + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}=16(x+y+z) +$$ + +egyenlőséget! + +2. feladat. Határozd meg az összes olyan $x$ valós számot, amelyre az $a=\frac{2 x+1}{x^{2}+2 x+3}$ egész szám! +3. feladat. Az $A B C D E F A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime} F^{\prime}$ szabályos hatoldalú hasáb alapéle $A B=12$ és magassága $A A^{\prime}=12 \sqrt{3}$. Jelöljük $N$-nel a $C C^{\prime}$ él felezőpontját. + +a) Bizonyítsd be, hogy a $B F^{\prime}$ és $N D$ egyenesek merőlegesek egymásra! + +b) Számítsd ki a $B F^{\prime}$ és $N D$ egyenesek távolságát! + +4. feladat. Adott a nullától különböző $n$ természetes szám. Határozd meg a azokat a nullától különböző $x_{1}y$, akkor $x+y$ nem osztható $x-y$-nal. + +a) Adj példát olyan $\mathcal{P}$ tulajdonságú $X$ halmazra, amely legalább három elemet tartalmaz és tartalmazza a 4 -est és a 14 -est is! + +b) Bizonyítsd be, hogy van legalább egy $n$ elemet tartalmazó, $\mathcal{P}$ tulajdonságú halmaz! + +c) Bizonyítsd be, hogy nincs olyan $n$ elemet tartalmazó, $\mathcal{P}$ tulajdonságú halmaz, amely tartalmazza a 4 -est és a 14 -est is! + +Munkaidő 2 óra +30 perc kérdésekre. + +Minden feladatra 7 pont szerezhető. + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f39287a0ff0a1b46e266g-2.jpg?height=314&width=307&top_left_y=347&top_left_x=909) + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 9 Martie 2013 + +## CLASA a VI-a + +Problema 1. Se consideră triunghiul echilateral $A B C$ şi punctul $D$ pe semidreapta opusă semidreptei ( $B C$, astfel încât $[D B] \equiv[B C]$. Considerăm punctul $E$ în semiplanul determinat de dreapta $A D$ ce nu conţine punctul $B$, astfel încât $\mathrm{d}(E, A B)=E A, \mathrm{~d}(E, D C)=E D$ şi $E A=E D$, iar punctul $F$ astfel ca $D \in(B F)$ şi $[F D] \equiv[B C]$. + +a) Demonstraţi că $\triangle F D E \equiv \triangle B A E$. + +b) Arătaţi că $[E B$ este bisectoarea unghiului $\widehat{A E D}$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Determinaţi câte numere de opt cifre conţin în scrierea lor secvenţa " 2013". (un exemplu de astfel de număr este 31020135) + +Problema 3. a) Arătaţi că 30007 este număr compus. + +b) Arătaţi că şirul: $37,307,3007, \ldots, 3 \underbrace{00 \ldots 0}_{\text {de } n \text { ori }} 7, \ldots$ conţine o infinitate de termeni care sunt numere compuse. + +Problema 4. Se consideră numărul natural $n, n \geq 10$ şi mulţimea $A=\{1,2,3, \ldots, 3 n\}$. Spunem că mulţimea nevidă $X, X \subset A$ are proprietatea $\mathcal{P}$ dacă oricare ar fi $x \in X$ şi $y \in X, x>y$, numărul $x+y$ nu se divide cu numărul $x-y$. + +a) Daţi un exemplu de mulţime $X$ cu proprietate $\mathcal{P}$ care conţine numerele 4 şi 14 şi care are cel puţin trei elemente. + +b) Demonstraţi că există cel puţin o mulţime cu proprietatea $\mathcal{P}$ care are exact $n$ elemente. + +c) Arătaţi că nu există o mulţime cu proprietatea $\mathcal{P}$ care să aibă $n$ elemente şi să conţină numerele 4 şi 14 . + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1119-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiecteee.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1119-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiecteee.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb920b376800d971fa151e8a52c99d118961f4c1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1119-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiecteee.md" @@ -0,0 +1,67 @@ +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_268c4ee617befb33cde1g-1.jpg?height=315&width=307&top_left_y=344&top_left_x=909) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2013. március 9. + +## V. OSZTÁLY + +## 1. feladat. + +a) Számítsd ki: $5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}$; + +b) Igazold, hogy $2015^{2014}$ felírható négy teljes köb összegeként! + +Gazeta Matematică + +2. feladat. Határozd meg azokat a nullától különböző $a, b, c$ számjegyeket, amelyekre fennáll az $\overline{a b}^{2}=\overline{c a b}$ egyenlőség! +3. feladat. Az $A$ természetes szám $n$ darab nullától különböző számjegyből áll, ahol $n \geq 1$. A $B$ számot úgy kaptuk az $A$ számból, hogy az $A$ számjegyeit valamilyen módon összekevertük és így $A+B=10^{n}$. + +a) Ha $n=3$, adj egy példát a feladatbeli feltételeket teljesítő $A$ és $B$ számra! + +b) Igazold, hogy $n$ páratlan szám! + +c) Igazold, hogy $A$ felírásában van legalább egy 5-ös számjegy! + +4. feladat. Adott az $M=\left\{2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{15}\right\}$ halmaz. + +a) Van-e három olyan nem üres $A, B, C$ halmaz, amelyek páronként diszjunktak, $A \cup B \cup C=M$, és mindhárom halmazon belül az elemek szorzata ugyanannyi? + +b) Van-e három olyan nem üres $X, Y, Z$ halmaz, amelyek páronként diszjunktak, $X \cup Y \cup Z=M$, és mindhárom halmazon belül az elemek összege ugyanannyi? + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_268c4ee617befb33cde1g-2.jpg?height=312&width=307&top_left_y=348&top_left_x=909) + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 9 Martie 2013 + +## CLASA a V-a + +Problema 1. a) Calculaţi $5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}$; + +b) Arătaţi că numărul $2015^{2014}$ poate fi scris ca o sumă de patru cuburi perfecte. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Determinaţi cifrele nenule $a, b, c$ astfel încât $\overline{a b}^{2}=\overline{c a b}$. + +Problema 3. Se consideră un număr natural $A$ scris cu $n$ cifre nenule, $n \geq 1$. Numărul $B$ este obţinut din numărul $A$ prin rearanjarea cifrelor acestuia. Stiind că $A+B=10^{n}$ se cere: + +a) Pentru $n=3$, daţi un exemplu de numere $A$ şi $B$ cu proprietatea din enuntु. + +b) Arătaţi că $n$ este număr impar. + +c) Demonstraţi că în scrierea lui $A$ există cel puţin o cifră egală cu 5 . + +Problema 4. Se consideră mulţimea $M=\left\{2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{15}\right\}$. + +a) Există trei mulţimi, $A, B, C$, nevide şi disjuncte două câte două astfel încât $A \cup B \cup C=M$, iar produsul elementelor fiecărei mulţimi să fie acelaşi? + +b) Există trei mulţimi, $X, Y, Z$, nevide şi disjuncte două câte două astfel încât $X \cup Y \cup Z=M$, iar suma elementelor fiecărei mulţimi să fie aceeaşi? + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-112-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-112-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..984581678772f69c4a63460df8de670552232d97 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-112-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,109 @@ +# Olimpiada națională de matematică, faza locală, județul Caraș-Severin, 2016 + +## Clasa a V-a + +I. Dragos, S Serban și tatăl lor au fost la pescuit. În timp ce tatăl prindea 10 pești, Dragoș prindea 5 pești, iar Şerban prindea 4 pești. În două ore, pescuind cu toţii în acelaşi ritm, Dragoş a prins 25 de pești. + +a) Calculaţi câţi pești au prins, în două ore, cei trei pescari. + +b) După câteva ore Dragoş a prins un număr impar de pești iar împreună au prins 191 de pești. Câți pești a prins fiecare? + +Supliment Gazeta Matematică 12/2014 (enunt modificat) + +II. Se consideră numerele $a=2009+2 \cdot(1+2+\ldots+2008)$ şi $b=1+3+\ldots+2009$. + +a) Arătați că $a$ și $b$ sunt pătrate perfecte. + +b) Arătați că între numerele $a$ și $4 \cdot b$ nu există niciun pătrat perfect. + +Prof. Avramescu Irina, Școala Gimnazială Nr. 9 Reșița + +III. Determinaţi cel mai mic număr de patru cifre distincte care verifică simultan următoarele proprietăţi: + +a) numărul format din primele două cifre este de forma $2^{x}+2^{y}$, unde $x$ și $y$ sunt numere naturale; + +b) numărul format din ultimele două cifre este de forma $2^{x}$ sau $2^{y}$, cu $x$ și $y$ numere naturale. + +Prof. Pirvu Camelia, Școala Gimnazială "Romul Ladea" Oravița + +IV. O mulțime de trei numere naturale nenule se numește simpatică dacă unul dintre numere este media aritmetică a celorlalte două. + +a) Determinați mulțimile simpatice care se pot forma cu elementele mulţimii $A=\{1,2,3, \ldots, 10\}$. + +b) Calculaţi câte mulțimi simpatice se pot forma cu elementele mulţimii $B=\{1,2,3, \ldots, 2016\}$. + +Iancu Maria, Școala Gimnazială "Romul Ladea" Oravița + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada națională de matematică, faza locală, județul Caraş-Severin, 2016
Barem de corectare și notare
Clasa a V-a + +| {Dragoş, Şerban și tatăl lor au fost la pescuit. În timp ce tatăl prindea 10 pessti, Dragoș prindea
5 pești, iar Şerban prindea 4 pești. În două ore, pescuind cu toţii în acelaşi ritm, Dragoș a prins 25
de pești.
a) Calculați câți pești au prins, în două ore, cei trei pescari.
b) După câteva ore Dragoş a prins un număr impar de pești, iar împreună au prins 191 de pești. Câții
pești au prins fiecare?
Supliment Gazeta Matematică 12/2014 (enunt modificat)} | | +| :---: | :---: | +| | | +| b) Tatăl a prins 100 sau 101 pești, Dragoș a prins 50 sau 51 pești, Șerban a prins 40
sau 41 pești. | $2 p$ | +| Din imparitate rezultă că Dragoș a prins 51 de pești, Șerban 40 iar tatăl 100 | $2 p$ | +| II. Se consideră numerele $a=2009+2 \cdot(1+2+\ldots+2008)$ și $b=1+3+\ldots+2009$.
a) Arătati că $a$ și $b$ sunt pătrate perfecte.
b) Arătati că între numerele $a$ și $4 \cdot b$ nu există niciun pătrat perfect. | | +| a) $a=2009+2008 \cdot 2009=2009(1+2008)=2009 \cdot 2009$ | $2 p$ | +| $\mathrm{b}=1+2+\ldots+2010-2 \cdot(1+2+\ldots+1005)=1005 \cdot 2011-1005 \cdot 1006=1005 \cdot 1005$ | $2 \mathrm{D}$ | +| b) $4 b=2010 \cdot 2010$ | 20 | +| Intre două pătrate perfecte consecutive nu există pătrat perfect | $1 p$ | +| III. Determinaţi cel mai mic număr de patru cifre distincte care verifică următoarele propriet.
a) numărul format din primele două cifre este de forma $2^{x}+2^{y}$, unde $x$ și $y$ sunt numere 1
b) numărul format din ultimele două cifre este de forma $2^{x}$ sau $2^{y}$, cu $x$ și $y$ numere natu | turale; | +| $2^{\mathrm{k}} \in\left\{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}, 2^{6}\right\}$. Fie $\overline{\text { abcd }}$ numărul căutat
$\Rightarrow \overline{\mathrm{ab}}=2^{\mathrm{x}}+2^{\mathrm{y}}$ şicd $\overline{c \mathrm{~d}}=2^{\mathrm{x}}$ sau $2^{\mathrm{y}}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă $2^{\mathrm{x}} \in\left\{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}, 2^{6}\right\}$
$\Rightarrow \overline{\mathrm{ab}} \in\left\{2^{0}+2^{4}, 2^{0}+2^{5}, 2^{0}+2^{6}, 2^{1}+2^{3}, 2^{1}+2^{4}, 2^{1}+2^{5}, 2^{1}+2^{6}, 2^{2}+2^{3}, 2^{2}+2^{4}, 2^{2}+2^{5}, 2^{2}+2^{6}, 2^{3}+2^{3}, 2^{3}+2^{4}, 2^{3}+2^{5}, 2^{3}+2^{6}, 2^{4}+2^{5}, 2^{4}+2^{6}, 2\right.$ | 3p | +| Soluţia care verifică condiţiile problemei este:
$\overline{\mathrm{ab}}=2^{2}+2^{4}=20 \Rightarrow \overline{\mathrm{cd}}=2^{4}=16 \Rightarrow \overline{\mathrm{abcd}}=2016$. | 3p | + +IV. O mulțime de trei numere naturale nenule se numește simpatică + +dacă unul dintre numere este media aritmetică a celorlalte două. + +a) Determinați mulțimile simpatice care se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3, \ldots, 10\}$. + +b) Calculaţi câte mulțimi simpatice se pot forma cu elementele mulţimii $B=\{1,2,3, \ldots, 2016\}$. + +a) O mulțime simpatică este de forma $\{a, b,(a+b): 2\}, a, b \in N^{*}$, a și b cu aceeaşi paritate. + +Mulțimile simpatice formate cu numerele de la 1 la 10 sunt: + +Pentru $a=1 \Rightarrow\{1,3,2\},\{1,5,3\},\{1,7,4\},\{1,9,5\} \Rightarrow 4$ mulțimi. + +Pentru $a=2 \Rightarrow\{2,4,3\},\{2,6,4\},\{2,8,5\},\{2,10,6\} \Rightarrow 4$ mulțimi. + +Pentru $a=3 \Rightarrow\{3,5,4\},\{3,7,5\},\{3,9,6\} \Rightarrow 3$ mulțimi. + +Pentru $a=4 \Rightarrow\{4,6,5\},\{4,8,6\},\{4,10,7\} \Rightarrow 3$ mulțimi. + +Pentru $a=5 \Rightarrow\{5,7,6\},\{5,9,7\} \Rightarrow 2$ mulțimi. + +Pentru $a=6 \Rightarrow\{6,8,7\},\{6,10,8\} \Rightarrow 2$ mulțimi. + +Pentru $a=7 \Rightarrow\{7,9,8\} \Rightarrow 1$ mulțime. + +Pentru $a=8 \Rightarrow\{8,10,9\} \Rightarrow 1$ mulțime. + +În total sunt: $2 \cdot 4+2 \cdot 3+2 \cdot 2+2 \cdot 1=20$ mulțimile simpatice formate cu numerele de la 1 la 10 . + +b) Am observat, pe cazul particular de la a), că numărul mulțimilor simpatice ale unei mulțimi cu 10 numere este $5 \cdot 4=20$, unde 5 este jumătatea numărului de elemente al mulțimii. Deducem că se pot forma $1008 \cdot 1007=1015056$ mulțimi simpatice cu numerele de la 1 la 2016. + +Pentru $a=1 \Rightarrow b \in\{5,7,9, \ldots, 2015\} \Rightarrow 1007$ mulțimi. + +Pentru $\quad a=2 \Rightarrow b \in\{4,6,8, \ldots, 2016\} \Rightarrow 1007$ mulțimi. + +Pentru $a=3 \Rightarrow b \in\{5,7,9, \ldots, 2015\} \Rightarrow 1006$ mulțimi. + +Pentru $a=4 \Rightarrow b\{6,8,10, \ldots, 2016\} \Rightarrow 1006$ mulțimi. + +Pentru $\quad a=2011 \Rightarrow b \in\{2011,2013\},\{2011,2015\} \Rightarrow 2$ mulțimi. + +Pentru $a=2012 \Rightarrow b \in\{2012,2014\},\{2012,2016\} \Rightarrow 2$ multimi. + +Pentru $a=2013 \Rightarrow b=2015 \Rightarrow 1$ mulțime. + +Pentru $a=2014 \Rightarrow b=2016 \Rightarrow 1$ mulțime. + +În total există: + +$2 \cdot 1007+2 \cdot 1006+\ldots+2 \cdot 2+2 \cdot 1=2 \cdot(1007+1006+\ldots+2+1)=1008 \cdot 1007=1015056$ mulțimi simpatice ce se pot forma cu numerele de la 1 la 2016. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1120-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiecteee.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1120-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiecteee.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1461ce81dcb1ef6780c0389dca3137400fdfb8d6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1120-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiecteee.md" @@ -0,0 +1,102 @@ +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46141c83eae3bc341f15g-1.jpg?height=263&width=263&top_left_y=324&top_left_x=931) + +# Matematika tantárgyverseny
Megyei szakasz, 2013. március 9. + +## IX. OSZTÁLY + +## 1. feladat + +a) Bizonyítsd be, hogy bármely $x$ valós szám esetén igaz az + +$$ +x^{4}-x^{3}-x+1 \geq 0 +$$ + +egyenlőtlenség! + +b) Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ +x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4} +\end{array}\right. +$$ + +Gazeta Matematică + +2. feladat. Adott az $A B C$ háromszög. Vegyük fel a háromszög oldalain a $D, E \in(B C), F, G \in(C A), H, I \in(A B)$ pontokat úgy, hogy $B D=C E$, $C F=A G$ és $A H=B I$. Legyenek $M, N$ és $P$ a $[G H],[D I]$ illetve $[E F]$ szakaszok felezőpontjai, $M^{\prime}$ pedig az $A M$ és $B C$ egyenesek metszéspontja. + +a) Igazold, hogy + +$$ +\frac{B M^{\prime}}{C M^{\prime}}=\frac{A G}{A H} \cdot \frac{A B}{A C} +$$ + +b) Igazold, hogy az $A M, B N$ és $C P$ egyenesek összefutók! + +3. feladat. A nullától különböző $n$ természetes számra $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ olyan valós számok, amelyekre fennáll az $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k} \leq k$ egyenlőtlenség bármely $k \in\{1,2, \ldots, n\}$ esetén. Igazold, hogy: + +$$ +\frac{a_{1}}{1}+\frac{a_{2}}{2}+\ldots+\frac{a_{n}}{n} \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n} +$$ + +4. feladat. Kezdetben egy papírlapon különböző természetes számok listája szerepel. A listát folytatni azt jelenti, hogy kiválasztunk két különböző számot a listából, és felírjuk a legkisebb közös többszörösüket is, ha az már nem szerepel a listában. A lista bezárul, ha nem folytatható (például a 2, 3, 4, 6 lista a 12 hozzáadása után bezárul). Ha egy lista kezdetben 10 darab számot tartalmaz, akkor legfeljebb hányat tartalmazhat miután bezárul? + +Munkaidö 4 óra. + +Minden feladatra 7 pont szerezhetö. + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46141c83eae3bc341f15g-2.jpg?height=276&width=268&top_left_y=347&top_left_x=923) + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 9 Martie 2013 + +## CLASA a IX-a + +Problema 1. a) Demonstraţi că, oricare ar fi numărul real $x$, are loc inegalitatea + +$$ +x^{4}-x^{3}-x+1 \geq 0 +$$ + +b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale sistemul + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ +x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4} +\end{array}\right. +$$ + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Se consideră triunghiul $A B C$ şi punctele $D, E \in(B C)$, $F, G \in(C A), H, I \in(A B)$ astfel încât $B D=C E, C F=A G$ şi $A H=B I$. Notăm cu $M, N, P$ mijloacele segmentelor $[G H],[D I]$, respectiv $[E F]$ şi cu $M^{\prime}$ intersecţia dreptelor $A M$ şi $B C$. + +a) Arătaţi că + +$$ +\frac{B M^{\prime}}{C M^{\prime}}=\frac{A G}{A H} \cdot \frac{A B}{A C} +$$ + +b) Arătaţi că dreptele $A M, B N$ şi $C P$ sunt concurente. + +Problema 3. Fie $n$ un număr natural nenul şi $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ numere reale astfel încât $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k} \leq k$, oricare ar fi $k \in\{1,2, \ldots, n\}$. Arătaţi că + +$$ +\frac{a_{1}}{1}+\frac{a_{2}}{2}+\ldots+\frac{a_{n}}{n} \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n} +$$ + +Problema 4. Pe o hârtie este scrisă la început o listă de numere naturale distincte. O continuare a listei înseamnă alegerea a două numere dintre cele existente şi scrierea pe listă a celui mai mic multiplu comun al acestora, cu condiţia ca el să nu fie deja scris. Spunem că lista $s$-a închis dacă nu mai există nicio continuare posibilă a sa (de exemplu, lista $2,3,4,6$ se închide după ce-l adăugăm pe 12). Care este numărul maxim de numere care pot apărea pe o listă care s-a închis, dacă la început lista conţinea 10 numere? + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1121-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1121-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23564b128e10b1c601353e810eb52ec2d95b962c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1121-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,292 @@ +# MINISTERUL EDUCAȚIEI I CERCETĂRII + +COLEGIUL NA IONAL "AL. I. CUZA" + +## Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală -februarie 2013 + +## Clasa a XII-a, M1 + +1. Fie mulțimea $M=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 7 b & a\end{array}\right) / a, b \in \square\right\}$. + +a) Demonstrați că $(M, \cdot)$ este monoid; + +b) Demonstrați că $M$ are o infinitate de elemente inversabile. + +2. Determinați primitivele funcțiilor: +a) $f:(0, \infty) \rightarrow \square, f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}$ +b) $g:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \square, g(x)=\frac{\sin x+2 \cos x}{2 \sin x+\cos x}$. +3. Se dau funcțiile $f, F: \square \rightarrow \square$. Ştiind că $F$ este o primitivă a lui $f$, demonstrați că $f$ este funcție impară dacă şi numai dacă $F$ este funcție pară. +4. Fie $A(+, \square)$ un inel şi $a, b \in A$ cu proprietatea că $a^{2}+b^{2}=a b$. Să se arate că $(a b)^{2}=b^{2} a^{2}$ şi $(b a)^{2}=a^{2} b^{2}$. + +## Clasa a XII-a, M1 + +## $\underline{\text { Bareme }}$ + +1. a) Se verifică axiomele monoidului +b) $\operatorname{Cum} A=\left(\begin{array}{cc}8 & 3 \\ 7 \cdot 3 & 8\end{array}\right) \in M$, atunci $A^{n} \in M, \forall n \in \square$ $\qquad$ +Mulțimea $\left\{A^{n} / n \in \square\right\} \subset M$ este infinită, deducem că $M$ este infinită... 2 p +2. a) + +$$ +\int \frac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} d x=\int \frac{1+\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{2 \sqrt{x}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x+\frac{1}{2} \int 1 d x-\frac{1}{2} \int \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+x}} d x \ldots 2 \mathrm{p} +$$ + +Finalizare. + +$2 p$ + +b) Fie $A=\int \frac{\sin x}{2 \sin x+\cos x} d x, B=\int \frac{\cos x}{2 \sin x+\cos x} d x$. + +$2 A+B=\int 1 d x=x+C$ $1 \mathrm{p}$ + +Pe de altă parte, + +$-A+2 B=\ln (2 \sin x+\cos x)+C$ $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare. + +$.1 \mathrm{p}$ + +3. $(\Leftarrow) \mathrm{F}$ pară, + +$F(-x)=F(x) \Rightarrow-F^{\prime}(-x)=F^{\prime}(x) \Rightarrow-f(-x)=f(x) \Rightarrow \mathrm{f}$ + +impară... $3 \mathrm{p}$ + +$(\Rightarrow) \mathrm{f}$ impară, + +$$ +f(-x)=-f(x) \Rightarrow(F(-x)-F(x))^{\prime}=0, \forall x \in \square \Rightarrow \exists c \in \square \text { a.̂.. } F(-x)-F(x)=c +$$ + +şi + +$\operatorname{din} x=0 \Rightarrow c=0$, ceea ce încheie problema. + +4. + +$$ +\text { Din } a^{2}+b^{2}=a b \Rightarrow a^{3}+a b^{2}=a^{2} b \underset{\text { şi }}{ } a^{2} b+b^{3}=a b^{2} +$$ + +de unde, prin adunare, se obține $a^{3}+b^{3}=0$ + +Tot $a^{2}+b^{2}=a b \Rightarrow a^{4}+a^{2} b^{2}=a^{3} b$ şi $a^{2} b^{2}=-a^{4}-b^{4}$ + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}+b^{2}=a b \Rightarrow b\left(a^{2}+b^{2}\right) a=b a b a \Rightarrow b a^{3}+a b^{3}=(b a)^{2} \\ +& a^{3}+b^{3}=0 \Rightarrow b a^{3}+a b^{3}=-b^{4}-a^{4} +\end{aligned} +$$ + +$\operatorname{Din}(1),(2)$ şi (3) $\Rightarrow(b a)^{2}=a^{2} b^{2}$..... + +$.3 p$ + +Pe de altă parte, $(a b)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=a^{4}+b^{4}+a^{2} b^{2}+b^{2} a^{2}$ şi (1) implică + +$(a b)^{2}=b^{2} a^{2}$ + +$.2 p$ + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN VRANCEA + +## COLEGIUL TEHNIC “EDMOND NICOLAU" + +Str. 1 Decembrie 1918, nr. 10, tel: 0237/213784 Focsani-Vrancea + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +CLASA a XII-a MATEMATICĂ - INFORMATICĂ + +## SUBIECTUL I + +Fie $f:[0,1] \rightarrow[0, \infty)$ continua si crescatoare. + +Sa se demonstreze ca: + +$\frac{1}{2013} \int_{0}^{1} f(x) a^{\top} x \leq \int_{0}^{1} x^{2012} f\left(x^{2012}\right) d x \leq \frac{1}{2012} \int_{0}^{1} f(x) a^{\top} x$ + +SUBIECTUL II + +a)Sa se demonstreze ca + +$\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}, \forall x>0$ + +b) Sa se calculeze + +$I=\int_{\frac{1}{4}}^{4} \frac{(x+1) \operatorname{arctg} x}{x \sqrt{x^{2}+1}} a^{\top} x$ + +SUBIECTUL III + +Sa se calculeze: + +$$ +\int_{0}^{\frac{\pi^{2}}{4}} \frac{1}{1+\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}} d x +$$ + +G.M.Nr. 42011 + +SUBIECTUL IV + +Fie $G=(-1-a, 1+a), a>0$ si $x * y=\frac{(x+y)(1+a)^{2}}{x y+(1+a)^{2}}, \forall x, y \in G$. + +a) Sa se demonstreze ca $(G, *)$ este grup abelian + +b) Daca $a=\frac{1+a}{2}$ sa se calculeze $\frac{\alpha * a * \ldots * \alpha}{2013 o r i}$ + +Subiecte prelucrate de Prof. Cenţa Răvaş + +## BAREM CLASA a XII-a MATE - INFO. + +## SUBIECTUL I + +( $) x \in[0,1]$ avem $x^{2013} \leq x^{2012} \leq x^{2011}$ deci + +$f\left(x^{2013}\right) \leq f\left(x^{2012}\right) \leq f\left(x^{2011}\right)(2 p)$ + +Obtinem + +$\int_{0}^{1} x^{2012} f\left(x^{2013}\right) d x \leq \int_{0}^{1} x^{2012} f\left(x^{2012}\right) d x \leq \int_{0}^{1} x^{2011} f\left(x^{2012}\right) d x$ (2 p) + +De unde + +$\frac{1}{2013} \int_{0}^{1}\left(x^{2013}\right)^{\prime} f\left(x^{2013}\right) d x \leq \int_{0}^{1} x^{2012} f\left(x^{2012}\right) d^{\prime} x \leq \frac{1}{2012} \int_{0}^{1}\left(x^{2012}\right)^{\prime} f\left(x^{2012}\right) d x$ (2p) + +Finalizam + +$\frac{1}{2013} \int_{0}^{1} f(x) d x \leq \int_{0}^{1} x^{2012} f\left(x^{2012}\right) d x \leq \frac{1}{2012} \int_{0}^{1} f(x) d x(1 p)$ + +## SUBIECTUL II + +a) Luam $f:(0, \infty) \rightarrow R, f(x)=\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ + +$f^{\prime}(x)=0$ deci $f(x)=f(1)=\frac{\pi}{2}(2 p)$ + +b) Facem substitutia $t=\frac{1}{x} d e c t I=-\int_{4}^{\frac{1}{4}} \frac{\left(\frac{1}{t}+1\right) \operatorname{arctg} \frac{1}{t}}{\frac{1}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1}} d t=>I=\int_{\frac{1}{4}}^{4} \frac{(x+1) \operatorname{arctg} \frac{1}{x}}{x \sqrt{x^{2}+1}} d x(2$ p) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Obtinem } 2 I=\frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{4}}^{4} \frac{x+1}{x \sqrt{x^{2}+1}} d x=\frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{4}}^{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{x^{2} \sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+1}}\right) d x(1 \mathrm{p}) \\ +& I=\frac{\pi}{4}\left(\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)-\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+1}\right)\right) / \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2} \ln \left(\frac{4(4+\sqrt{17)}}{1+\sqrt{17}}\right)(2 \mathrm{p}) +\end{aligned} +$$ + +SUBIECTUL III + +$I=\int_{0}^{\frac{\pi^{2}}{4}} \frac{1}{1+\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}} d x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{t}{1+\sin t+\cos t} d t, t=\sqrt{x}(2 \mathrm{p})$ + +$I=-\pi \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{1}{1+\cos x+\sin x} d x+2 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{x}{1+\cos x+\sin x} d x, x=\frac{\pi}{2}-t(2 \mathrm{p})$ + +Deci + +$2 I=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos x+\sin x} d x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 \frac{1-\operatorname{tg} 2}{1+\operatorname{tg} \frac{x}{2}} \frac{2 \operatorname{tg}}{2}+\frac{x}{2}} d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\operatorname{tg} \frac{g^{2}}{2} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg} \frac{x}{2}} d x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(1+\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right)^{\prime}}{1+\operatorname{ta} \frac{x}{2}} d x(2 \mathrm{p})$ + +$I=\frac{\pi}{2} \ln \left(1+\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right) / /_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2} \ln 2(1 \mathrm{p})$ + +## SUBIECTUL IV + +a) Verificarea axiomelor(3 p) +b) $a * a=\frac{2 a(1+a)^{2}}{a^{2}+(1+a)^{2}}=\frac{4}{5}(1+a)=\frac{8}{10}(1+a)=\frac{3^{2}-1}{3^{2}+1}(1+a)(1 \mathrm{p})$ + +$$ +\begin{aligned} +& a * a * a=\frac{\left(a+\frac{4}{5}(1+a)\right)(1+a)^{2}}{a \cdot \frac{4}{5}(1+a)+(1+a)^{2}}=\frac{\left(\frac{1}{2}(1+a)+\frac{4}{5}(1+a)(1+a)^{2}\right.}{\frac{1}{2}(1+a) \cdot \frac{4}{5}(1+a)+(1+a)^{2}}= \\ +& \frac{13}{14}(1+a)=\frac{26}{28}(1+a)=\frac{3^{s}-1}{3^{s}+1}(1+a) +\end{aligned} +$$ + +Se demonstreaza prin inductie ca + +$$ +\underbrace{a * a * \ldots * a}_{n \text { ori }}=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}(1+a)(2 p) +$$ + +# OLIMPIADA DE MATEMATICÃ + +ETAPA LOCALÃ - ADJUD + +9 februarie 2013 + +## $\underline{\text { Clasa a XII-a }}$ + +## Subiectul 1. + +Fie $(G, \cdot)$ un grup şi $e$ elemental său neutru. Elementele $a, b \in G$ satisfac condi iia: $a^{2}=b^{2}=(a b)^{2}$. Să se arate că $a^{4}=b^{4}=e$. + +Probleme de structuri algebrice,Ed. Academiei RSR + +## $\underline{\text { Subiectul } 2 .}$ + +Fie funcția $f: R \rightarrow R$ şi $F$ o primitivă a sa cu proprietatea că $e^{x-F(x)}=F(x)$, oricare ar fi $x \in R$. Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$. + +( Gazeta Matematică, nr.2/2012) + +## Subiectul 3. + +Fie mulțimea $G=(2013 ;+\infty)-\{2014\}$ pe care definim legea: $x \circ y=2013+(x-2013)^{\lg (y-2013)}$, logaritmul fiind în baza 10. Arătați că: +a) $(G, \circ)$ este grup abelian. + +b) Funcția $f: R^{*} \rightarrow G, f(x)=2013+10^{x}$ este izomorfism de grupuri de la $\left(R^{*}, \cdot\right)$ la $(G, \circ)$. + +## Subiectul 4. + +a) Calculaţi $I=\int \frac{e^{x}-\cos x}{e^{x}-\cos x-\sin x} d x$ şi $J=\int \frac{\sin x}{e^{x}-\cos x-\sin x} d x, x>1$. + +b) Calculați $I=\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{e^{x}+1} d x$. + +(Admitere 2002 Cibernetică ) + +Subiecte propuse de : prof. Munteanu Daniel - Liceul "Emil Botta " Adjud + +## Barem de corectare si notare. + +## Clasa a XII-a --- Liceul "Emil Botta" Adjud + +Etapa locală -9 februarie 2013 + +## Subiectul 1. + +$a^{2}=(a b)^{2} \Leftrightarrow a^{2}=a b a b \Rightarrow a=b a b$ + +$b^{2}=(a b)^{2} \Rightarrow b^{2}=a b a b \Rightarrow b=a b a$ + +Atunci $a b=(b a b) \cdot(a b a) \Leftrightarrow a b=b(a b a) b a \Leftrightarrow a b=b^{3} a$ + +Înmulțind la dreapta cu $a$ obținem $a b a=b^{3} a^{2} \Leftrightarrow b=b^{3} a^{2} \Rightarrow b^{2} a^{2}=e$ + +Cum $a^{2}=b^{2}$, ultima egalitate se scrie $a^{4}=e \Leftrightarrow b^{4}=e$ + +## Subiectul 2. + +Avem $f(x)=F^{\prime}(x)=e^{x-F(x)} \cdot(1-f(x)), x \in R$ + +Deci $f(x) \cdot(1-f(x))=e^{x-F(x)} \cdot(1-f(x))^{2} \geq 0$ + +Rezultă $f(x) \in[0 ; 1]$, oricare ar fi $x \in R$ + +Atunci $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$ + +## Subiectul 3. + +a) $(G, \circ)$ este grup abelian + +b) f este izomorfism de grupuri + +## Subiectul 4. + +a) $I-J=\int \frac{e^{x}-\cos x-\sin x}{e^{x}-\cos x-\sin x} d x=x+c$ + +$I+J=\int \frac{e^{x}-\cos x+\sin x}{e^{x}-\cos x-\sin x} d x=\int \frac{\left(e^{x}-\cos x-\sin x\right)^{\prime}}{e^{x}-\cos x-\sin x} d x=$ + +$\ln \left|e^{x}-\cos x-\sin x\right|+c=\ln \left(e^{x}-\cos x-\sin x\right)+c$. + +$I=\frac{1}{2}\left[\ln \left(e^{x}-\cos x-\sin x\right)+x\right]+c, J=\frac{1}{2}\left[\ln \left(e^{x}-\cos x-\sin x\right)-x\right]+c \ldots$ + +b) Schimbare de variabilă $y=-x \Rightarrow I=\int_{1}^{-1} \frac{-y^{2}}{e^{-y}+1} d y=\int_{-1}^{1} \frac{e^{y} y^{2}}{e^{y}+1} d y$ + +Prin nsumare cu integral inițială obținem $2 I=\int_{-1}^{1} y^{2} d y \Rightarrow I=\frac{1}{3}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1122-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1122-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..71d9b89bc4a5fed46da0e77db72540fcc2ca4686 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1122-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,408 @@ +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI + +INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +CentrulMetodic -Panciu + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA ZONALĂ - 9 FEBRUARIE 2013 + +CLASA A XI-A + +## SUBIECTUL 1 + +Fie matricile astfel încât i. Calcula i $x$ i $y$. + +Gazeta matematică, supliment cu exerci ii + +## SUBIECTUL 2 + +Se consideră matricea . + +a). Să se determine matricile din care comută cu . + +b). Să se rezolve în ecua ia . + +Culegere de probleme + +## SUBIECTUL 3 + +Să se studieze convergen a irului definit prin, , . + +Culegere de probleme + +## SUBIECTUL 4 + +Fie, două iruri de numere ra ionale asfel încât Să se arate că: + +a). i + +b). + +Culegere de probleme + +Propunător, prof. Sfetcu Traian, Liceul teoretic Ioan Slavici Panciu + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI + +INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +## CentrulMetodic -Panciu + +a. SOLUTII / BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_38cc3cb22bf90cd6c67dg-02.jpg?height=2221&width=1631&top_left_y=383&top_left_x=218) + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI I CERCETĂRII + + COLEGIUL NA IONAL "AL. I. CUZA"Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală -februarie 2013 + +## Clasa a XI-a + +1. Sa se calculeze limitele: +a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}$ +b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt[3]{\cos 3 x} \ldots \cdot \sqrt[n]{\cos n x}}{x^{2}}$ +2. Fie $f: R \rightarrow R$ o functie periodica .Aratati ca nu exista $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ +3. Fie $A \in M_{2}(R), A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha+\sin \alpha & 2 \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha-\sin \alpha\end{array}\right)$.Sa se calculeze $A^{n}, n \in N$. +4. Se consideră şirul $\left(a_{p}\right)_{p \geq 2}$ definit astfel: + +$$ +a_{p}=\left[\frac{2^{n+1}+3}{2^{n}+1}\right]+\left[\frac{3^{n+1}+4}{3^{n}+1}\right]+\ldots+\left[\frac{p^{n+1}+p+1}{p^{n}+1}\right] \text {, unde } n \in N^{*} \text {, iar }[x] +$$ + +reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +Să se calculeze: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} \ln b_{n}-3 n^{2} \ln (n+1)\right)$, unde $b_{n}=6\left(\sum_{p=2}^{n} a_{p}-1\right)$, + +( $\forall) \quad n \in N, n \geq 2$ + +## Clasa a-XI-a Solutii + +1. a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ + +(2p) + +b) Notam $a_{n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt[3]{\cos 3 x} \ldots \cdot \sqrt[n]{\cos n x}}{x^{2}} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow a_{n}-a_{n-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n-1]{\cos n x}(1-\sqrt[n]{\cos n x}}{x^{2}}=\ldots=\frac{n}{2}(2 p) \Rightarrow$ + +$a_{n}-a_{n-1}=\frac{n}{2} \Rightarrow \ldots$ + +$\Rightarrow a_{n}-a_{1}=\frac{n^{2}+n-2}{4} \Rightarrow$ (1p) $a_{n}=a_{1}+\frac{n^{2}+n-2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{n^{2}+n-2}{4} \Rightarrow a_{n}=\frac{n^{2}+n}{4}$. + +2. Deoarece $\left[\frac{k^{n+1}+k+1}{k^{n}+1}\right]=\left[k+\frac{1}{k^{n}+1}\right]=k,(\forall) k \in N^{*}$, +$a_{p}=2+3+\ldots+p$, adică $a_{p}=\frac{p(p+1)}{2}-1, \quad(\forall) p \geq 2$. (2p) + +Pe de altă parte: $b_{n}=6\left(\sum_{p=2}^{n} a_{p}-1\right)=3 \cdot \sum_{p=1}^{n} p(p+1)-6(n+1)=n(n+1)(n+2)-6(n+1)$ + +( s - a ținut cont că: $\sum_{p=1}^{n} p(p+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ), adică + +$b_{n}=(n+1) \cdot\left(n^{2}+2 n-6\right),(\forall) n \geq 2$. (3p) + +Atunci limita cerută va fi egală cu: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} \ln (n+1)\left(n^{2}+2 n-6\right)-3 n^{2} \ln (n+1)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\ln \left(n^{2}+2 n-6\right)^{n^{2}}-\ln (n+1)^{2 n^{2}}\right)= \\ +& =\ln \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}+2 n-6}{(n+1)^{2}}\right)^{n^{2}}=\ln \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{7}{(n+1)^{2}}\right)^{n^{2}}=\ln e^{-7}=-7 \text {. Astfel problema este } +\end{aligned} +$$ + +rezolvată. (2p) + +3. Fie $f: R \rightarrow R$ o functie periodica si $\mathrm{T}>0$ o perioada. Exista $a, b \in R: f(a) \neq f(b)$. + +Alegem sirurile $x_{n}=n T+a \rightarrow \infty, y_{n}=n T+b \rightarrow \infty$.Atunci + +$f\left(x_{n}\right)=f(n T+a)=f(a) \rightarrow f(a)$ + +respectiv $f\left(y_{n}\right)=f(n T+b)=f(b) \rightarrow f(b)$, deci $f$ nu are limita spre $+\infty$ + +4. Ecuatia caracteristica este $r^{2}-\operatorname{Tr}(A) \cdot r+\operatorname{det}(A)=0$, adica $r^{2}-2 \cos \alpha \cdot r+1=0$, cu solutiile + +$r_{1,2}=\cos \alpha \pm i \cdot \sin \alpha$. Atunci $A^{n}=A_{1} \sin n \alpha+A_{2} \cos n \alpha,(\forall) n \geq 0$. + +$$ +\begin{gathered} +n=0 \Rightarrow A_{2}=I_{2} ; n=1 \Rightarrow A_{1} \sin \alpha+I_{2} \cos \alpha=A \text {, de unde obtinem } A_{1}=\left(\begin{array}{cc} +1 & 2 \\ +-1 & -1 +\end{array}\right) . \text { Deci } \\ +A^{n}=\sin n \alpha\left(\begin{array}{cc} +1 & 2 \\ +-1 & -1 +\end{array}\right)+\cos n \alpha\left(\begin{array}{ll} +1 & 0 \\ +0 & 1 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} +\sin n \alpha+\cos n \alpha & 2 \sin n \alpha \\ +-\sin n \alpha & \cos n \alpha-\sin n \alpha +\end{array}\right) +\end{gathered} +$$ + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN VRANCEA + +## COLEGIUL TEHNIC “EDMOND NICOLAU” + +Str. 1 Decembrie 1918, nr. 10, tel: 0237/213784 + +Focsani-Vrancea + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +CLASA a XI-a MATEMATICĂ - INFORMATICĂ + +## SUBIECTUL I + +Fie $A \in M_{3}(R)$ cu proprietatea ca suma elementelor de pe fiecare linie si coloana este 1 , iar elementele de pe diadonala principala sunt $\frac{1}{2}$. Aratati ca $\operatorname{det} A>0$. + +## SUBIECTUL II + +Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$. Sa se determine sirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1} \operatorname{si}\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel incat $A^{n}=x_{n} \cdot A+y_{n} \cdot I_{2}$. + +Sa se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$. + +SUBIECTUL III + +Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, un sir de numere reale cu $a_{1}>1$ si $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}, \forall n \geq 2$. + +Sa se arate $\mathrm{ca}\left(a_{n}\right)_{n \_1}$ este convergent catre 1 . + +G.M. + +SUBIECTUL IV + +Fie ecuatia $X^{2}=\left(\begin{array}{ll}2013 & 1 \\ 2012 & 1\end{array}\right), X \in M_{2}(C)$. + +a) Sa se rezolve ecuatia. + +b) Daca $X_{1,2,3,4}$ sunt solutiile ecuatiei sa se calculeze + +$$ +X_{1}^{2013}+X_{2}^{2013}+X_{3}^{2013}+X_{4}^{2013} +$$ + +## BAREM CLASA a XI-a MATE - INFO. + +SUBIECTUL I + +$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & a & \frac{1}{2}-a \\ \frac{1}{2}-a & \frac{1}{2} & a \\ a & \frac{1}{2}-a & \frac{1}{2}\end{array}\right), a \in R(2 \mathrm{p})$ + +Din $L_{1}=L_{1}+L_{2}+L_{3}(1 p)$ si apoi $C_{1}=C_{1}+C_{2}+C_{3}(1 p)$ obtinem + +$\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} & a \\ 1 & \frac{1}{2}-a & \frac{1}{2}\end{array}\right|=3 a^{2}-\frac{3}{2} a+\frac{1}{4}(2 p)$ + +Finalizare $\operatorname{det} A=3\left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{16}>0, \forall a \in R \cdot(1 \mathrm{p})$ + +SUBIECTUL II + +Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$. Sa se determine sirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1} s i\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel incat $A^{n}=x_{n} \cdot A+y_{n} \cdot I_{2}$. + +$A^{1}=1 \cdot A+0 \cdot I_{2}$ deci $x_{1}=1$ si $y_{1}=0(0,5 \mathrm{p})$ + +$\operatorname{Cum} A^{2}-\operatorname{Tr}(A) \cdot A+\operatorname{det} A \cdot I_{2}=O_{2}(0,5 \mathrm{p})$ + +$A^{2}=\left(\begin{array}{cc}6 & 5 \\ 10 & 11\end{array}\right)=5 \cdot A-4 \cdot I_{2}(0,5 \mathrm{p})$ + +$A^{n+1}=A^{n} \cdot A=A\left(x_{n} \cdot A+y_{n} \cdot I_{2}\right)=\left(5 x_{n}+y_{n}\right) A-4 x_{n} I_{2}(1 \mathrm{p})$ + +Obtinem $x_{n+1}=5 x_{n}-4 x_{n-1}$ de unde $x_{n}=\frac{1}{3}\left(4^{n}-1\right)(2,5 \mathrm{p})$ + +Si $y_{n+1}=-4 x_{n}$ deci $y_{n}=\frac{4}{3}\left(1-4^{n-1}\right)(1 \mathrm{p})$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=-1(1 \mathrm{p})$ + +SUBIECTUL III + +Din relatia din enunt se obtine : +$a_{n+1}=\frac{a_{n}{ }^{2}}{a_{n+1}^{2}-a_{n+1}+1} \nabla n \geq 2$ + +Demonstram prin inductie $P(n): a_{n}>1, \forall n \geq 1$ + +Evident $\mathrm{P}(1)$ adevarat din ipoteza + +$P(n+1): a_{n+1}-1=a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}-1=\frac{a_{n}-1}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}>0(2 p)$ + +Cum $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{a_{n}}{a_{n}{ }^{2}-a_{n}+1}<1$, $\forall n \geq 2$ (2p) + +Deci sirul este convergent(descrescator si marginit inferior de 1) + +Trecand la limita in relatia de recurenta obtinem $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1(1 \mathrm{p})$ + +SUBIECTUL IV +a) $\operatorname{det}\left(X^{2}\right)=(\operatorname{det} X)^{2}=\operatorname{det} A=1=>\operatorname{det} X= \pm 1(1 \mathrm{p})$ + +Aplicam relatia Cayley-Hamilton: + +$X^{2}-\operatorname{Tr}(X) \cdot X+\operatorname{det} X \cdot I_{2}=O_{2}(0,5 \mathrm{p})$ + +De unde $\operatorname{Tr}(X) \cdot X=\operatorname{det} X \cdot I_{2}+X^{2}(0,5 \mathrm{p})$ + +Cazul i) det $X=1$ + +Notam $\operatorname{Tr}(X)=\mathrm{t}$ deci $\operatorname{Tr}(t \cdot X)=\operatorname{Tr}\left(\begin{array}{ll}2014 & 1 \\ 2012 & 2\end{array}\right)=>t^{2}=2016=>t= \pm \sqrt{2016}(1 \mathrm{p})$ + +Obtinem $X_{1,2}= \pm \frac{1}{\sqrt{2016}}\left(\begin{array}{cc}2014 & 1 \\ 2012 & 2\end{array}\right)(1 \mathrm{p})$ + +Cazul ii) det $X=-1$ + +Notam $\operatorname{Tr}(\mathrm{X})=\mathrm{t}$ deci $\operatorname{Tr}(t \cdot X)=\operatorname{Tr}\left(\begin{array}{ll}2012 & 1 \\ 2012 & 0\end{array}\right)=>t^{2}=2012=>t= \pm \sqrt{2012}(1 \mathrm{p})$ + +Obtinem $X_{3,4}= \pm \frac{1}{\sqrt{2012}}\left(\begin{array}{ll}2012 & 1 \\ 2012 & 0\end{array}\right)(1 \mathrm{p})$ + +b) Observam $X_{2}=-X_{1}$ si $X_{4}=-X_{3}$ + +$$ +X_{1}^{2013}-X_{1}^{2013}+X_{3}^{2013}-X_{3}^{2013}=O_{2}(2 p) +$$ + +Inspectoratul Scolar al JudetuluiVrancea + +## OLIMPIADA DE MATEMATICA
Etapalocala Adjud-09 februarie 2013
CLASA a XI-a + +## Subiectul 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_38cc3cb22bf90cd6c67dg-09.jpg?height=89&width=1093&top_left_y=514&top_left_x=424) +$y_{n}=\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n-1}}, \forall n \in \square^{*}$ calculati $\quad \mathrm{L}=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$. + +Subiectul 2. + +$$ +\text { Calculati: } \mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}\left(\left[\frac{1}{x^{2}}\right]+\left[\frac{2}{x^{2}}\right]+\ldots+\left[\frac{k}{x^{2}}\right]\right), k \in \square^{*} +$$ + +## Subiectul 3. + +$$ +A=\left(\begin{array}{ccc} +1 & 0 & 1 \\ +-1 & 1 & -\frac{1}{2} \\ +0 & 0 & 1 +\end{array}\right) . \text { Calculati } A^{2013} +$$ + +## Subiectul 4. + +Fie A, B, C treimatricepatratice de ordin n cu elementerealeastfelincat + +$\mathrm{BA}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}={ }_{n}$ sidet $(\mathrm{A}+\mathrm{B})=0$. Sa se aratecadet $(\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}-\mathrm{BAC})=0$. + +GM. Nr. 9/2012 + +Subiectepropuse de : prof. Dorneanu Angela, LiceulTeoretic "Emil Botta" Adjud Nota: + +- Toatesubiectelesuntobligatorii. +- Timp de lucru 3 ore. +- Fiecaresubiect se noteaza de la 0 la 7 puncte + + +## Barem de corecturasinotare: + +## Subiectul 1: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_38cc3cb22bf90cd6c67dg-10.jpg?height=88&width=844&top_left_y=409&top_left_x=424) + +..1p + +Demonstramprininductieca : + +$x_{n} \in(0,1), \forall n \in \square$ + +Din monotoniesimarginire $\Rightarrow \operatorname{sirul}\left(x_{n}\right)_{n \in \square}$ este convergent..................................................1p + +Printrecere la limita in relatia de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_38cc3cb22bf90cd6c67dg-10.jpg?height=89&width=1239&top_left_y=823&top_left_x=302) + +$y_{n}=\frac{x_{n-1}-x_{n}^{1 p}}{x_{n} \cdot x_{n-1}} \stackrel{x_{n-1}^{2}}{x_{n} \cdot x_{n-1}}=\frac{x_{n-1}}{x_{n}} \stackrel{x_{n-1}}{=} \frac{1}{x_{n-1}-x_{n-1}^{2}}=\frac{1}{1-x_{n-1}}, \forall n \geq 1$ + +Finalizare: + +$\mathrm{L}=1$. . $\qquad$ +.....................1p + +## Subiectul 2: + +Folosiminegalitatea: ${ }^{x-1}<[x] \leq x, \forall x \in \square$ $\qquad$ +...........1p + +$\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{2}{x^{2}}-1+\ldots+\frac{k}{x^{2}}-1<\left[\frac{1}{x^{2}}\right]+\left[\frac{2}{x^{2}}\right]+\ldots+\left[\frac{k}{x^{2}}\right] \leq \frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}+\ldots+\frac{k}{x^{2}}$ + +min. + +..............2p + +$\frac{\frac{k(k+1)}{2}}{x^{2}}-k<\left[\frac{1}{x^{2}}\right]+\left[\frac{2}{x^{2}}\right]+\ldots+\left[\frac{k}{x^{2}}\right] \leq \frac{\frac{k(k+1)}{2}}{x^{2}}$ + +................ $2 p$ + +$\frac{k(k+1)}{2}-x^{2} 2 | Folosirea inegalități mediilor
Finalizare | $2 p$ | +| Subiect
3 | 1. | $4 p$ | +| | 2. | $1 p$ | +| | | $1 p$ | + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +CentrulMetodic -Panciu + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI I CERCETĂRII COLEGIUL NA IONAL "AL. I. CUZA" + +Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală -februarie 2013 + +## Clasa a X-a + +1. Sa se rezolve ecuatia $: x^{\log _{2} \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log _{2} 7}=1$ +2. Fie $a>\frac{1}{2}$ si multimile $A=\{z \in C|| z \mid \leq a\}, B=\{z \in C|| z-1-i \mid \leq 2 a\}$. Aratati $\mathrm{ca}$ + +$|\operatorname{Re}(z)-\operatorname{Im}(z)| \leq a \sqrt{2}$, pentru orice $z \in A \cap B$. + +3. Rezolvați ecuația : $2^{x}+2^{[x]}+2^{\{x\}}=3$ +4. Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C^{*}$ astfel încât $z_{1}+z_{3} \neq 0$ şi $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{1}\right|$. Să se calculeze $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}$. + +## Clasa a-X-a Solutii + +1. Se logaritmeaza ecuatia in baza 2. Rezulta $\log _{2} x \cdot \log _{2} \frac{x}{98}+\log _{2} 14 \cdot \log _{2} 7=0 \Rightarrow$ $\log _{2} x\left(\log _{2} x-\log _{2} 98\right)+\left(1+\log _{2} 7\right) \log _{2} 7=0$. Notam $\log _{2} x=t$ si obtinem ecuatia de gradul al doilea $t^{2}-\left(1+2 \log _{2} 7\right) \cdot t+\log _{2} 7+\log _{2}^{2} 7=0$, cu discriminantul $\Delta=1$; + +$t_{1,2}=\frac{1+2 \log _{2} 7 \pm 1}{2}, \mathrm{deci}$ + +$x_{1}=7, x_{2}=14$ + +2. Demonstram ca $A \cap B \neq \varnothing$; Evident $\mathrm{A}$ este discul de centru $\mathrm{O}(0)$ si raza $a$, iar $\mathrm{B}$ este discul + +de centru $M(1+i)$ si de raza $2 a$.Deoarece $M O=|1+i|=\sqrt{2}2^{1}+2^{1}+1>3 +$$ + +c) Dacă $\mathrm{x} \in[-1,0) \rightarrow[\mathrm{x}]=-1$, iar $\{\mathrm{x}\}=\mathrm{x}-[\mathrm{x}]=\mathrm{x}-(-1)=\mathrm{x}+1 \rightarrow$ $2^{x}+2^{[x]}+2^{\{x\}}=3 \rightarrow x=\log _{2} \frac{5}{6}$ + +d) Dacă $\mathrm{x} \in[0,1) \rightarrow[\mathrm{x}]=0 ;\{\mathrm{x}\}=\mathrm{x} \rightarrow$ $2^{x}+2^{0}+2^{x}=3 \rightarrow \mathrm{x}=0$ + +Din $\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c} ; \mathrm{d} . \rightarrow \mathrm{S}=\left\{\log _{2} \frac{5}{6} ; 0\right\}$ + +4. Fie $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=a+i b, a, b \in R$. + +Egalitatea $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|$ sescrie + +$\left|\left(z_{2}+z_{3}\right)\left(\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right)\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right| \Leftrightarrow\left|z_{2}+z_{3}\right| \cdot\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|$ + +şi cum $\left|z_{2}+z_{3}\right| \neq 0$, rezultă $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right|=1 \Leftrightarrow|a+1+b i|=1$ de unde $(a+1)^{2}+b^{2}=1$. + +(1) + +Avem $\left|z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{1}\right| \Leftrightarrow\left|\frac{z_{1}+z_{3}}{z_{1}}\right|=1 \Leftrightarrow|a+b i|=1$, adică $a^{2}+b^{2}=1$. (2) + +Din (1) rezultă $b^{2}=1-(a+1)^{2}$ şi înlocuind în (2) obținem $a^{2}+1-(a+1)^{2}=1 \Leftrightarrow 2 a+1=0$, deci $a=-\frac{1}{2}$ iar $b= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. + +Aşadar, există două soluții : $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}$ şi $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}$. + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN VRANCEA + +## COLEGIUL TEHNIC “EDMOND NICOLAU” + +Str. 1 Decembrie 1918, nr. 10, tel: 0237/213784 + +Focsani-Vrancea + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +## Clasa a-X MATE - INFO + +9.02 .2013 + +1.Pentru $n \in N, n \geq 2$, notam cu $U_{n}$ multimea radacinilor de ordinul $\mathrm{n}$ ale unitatii si $\varepsilon_{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n}$. Aratati ca : + +a) $\forall x, y \in U_{n} \rightarrow x y \in U_{n}$ + +b) $\overline{\varepsilon_{k}}=\varepsilon_{n-k}$ + +c) $\sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{1}^{j}=0$ + +2.Rezolvati ecuatia : + +$\sqrt[8]{7 x+1}+\sqrt[8]{8+x-x^{2}}+\sqrt[8]{x^{2}-8 x-1}=2$ + +3.Rezolvati ecuatia: + +$\sin 2 x+\cos 2 x=\sin x+\cos x$ + +4.Fie $a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots a_{n} \in(0, \infty)$ + +a) demonstrati ca $\frac{1}{1+i 09 a_{1} a_{2}+i 09 a_{1} a_{s}+\ldots . . .20 a_{a_{1} a_{n}}}+$ + +$\frac{1}{\log _{a_{2} a_{1}}+1+\log _{a_{2}} a_{s}+\ldots . . . \log a_{2} a_{n}}+\ldots \ldots \ldots .+\frac{1}{\log _{a_{n}} a_{1}+i 0 a_{n} a_{2}+\ldots . . . \log a_{n} a_{n-1}+1}=1$ + +b) $\lg \left(a_{1}+a_{2}\right) \geq \frac{1}{2} i g a_{1} a_{2}+i g 2$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICÃ
ETAPA LOCALÃ - ADJUD + +9 februarie 2013 + +Clasa $a$ X-a + +## Subiectul 1. + +Determinați media aritmetică a radăcinilor ecuației : $\left(\log _{4} e^{2}\right)^{x}+(4 \ln 2)^{x}=2^{x+2}$. + +(Admitere 2006,Marketing) + +## Subiectul 2. + +Fie numerele reale $a, b$ astfel nc $\mathrm{t} 00$. + +b) Să se arate că nu există o funcție $f:(0 ;+\infty) \rightarrow R$ cu proprietatea că $f^{2}\left(x^{2}\right)-3 f\left(2^{x}\right)+4 \log _{2} x=0, \forall x>0$ + +## Subiectul 4. + +Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ pentru care $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1$ şi $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$. Arătați că $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0$. + +(Algebra pentru grupele de excelență) + +Subiecte propuse de : prof. Munteanu Daniel - Liceul "Emil + +Botta " Adjud + +## Barem de corectare si notare. + +## Clasa a X-a --- Liceul "Emil Botta" Adjud + +Etapa locală -9 februarie 2013 + +## Subiectul 1. + +Ecuația se scrie + +$\left(\log _{2} e\right)^{x}+(4 \ln 2)^{x}=2^{x+2}$ + +$\left(\frac{1}{\ln 2}\right)^{x}+(4 \ln 2)^{x}=2^{x+2}$ + +.......(1p) + +$\left(\frac{1}{2 \ln 2}\right)^{x}+(2 \ln 2)^{x}=4$ + +..(1p) + +$\mathrm{Cu}$ notația $(2 \ln 2)^{x}=t, t>0$ ecuaţia devine + +$t^{2}-4 t+1=0$ + +Soluțiile sunt + +$t_{1}=2+\sqrt{3}, t_{2}=2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ + +Atunci + +$t_{1} \cdot t_{2}=(2 \ln 2)^{x_{1}+x_{2}}=1$ + +...(1p) + +Rezultă $x_{1}+x_{2}=0 \Rightarrow$ media aritmetică a rădăcinilor este + +0 .... + +(1p) + +## Subiectul 2. + +Fie + +$$ +\lambda=\frac{(z-a)(z-b)}{z(z-1)}=\frac{\left(1-\frac{a}{z}\right)\left(1-\frac{b}{z}\right)}{1-\frac{1}{z}} +$$ + +.......(1p) + +Notăm + +$1-\frac{1}{z}=t \Rightarrow[1-a(1-t)][1-b(1-t)]=\lambda t$ + +p) + +$a b t^{2}+[b(1-a)+a(1-b)-\lambda] t+(1-a)(1-b)=0$ + +.......... $1 \mathrm{p})$ + +Cum $z \in C-R \Rightarrow t \in C-R \Rightarrow t$ şi $\bar{t}$ sunt soluțiile ecuației cu coeficienți reali + +$$ +a b x^{2}+[b(1-a)+a(1-b)-\lambda] x+(1-a)(1-b)=0 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_51a6b0055ed931d99f56g-10.jpg?height=71&width=637&top_left_y=249&top_left_x=1161) + +..... (2p) + +Din a doua relație a lui Viete $\Rightarrow|t|^{2}=t \cdot \bar{t}=\frac{(1-a)(1-b)}{a b}$ de unde + +concluzia. + +(1p) + +## Subiectul 3. + +a) Pentru + +$$ +x=1 \Rightarrow f(2)+f(0)=1 +$$ + +## Pentru + +$x=4 \Rightarrow f(16)+f(2)=1$ + +Atunci $f(0)=f(16) \Rightarrow \mathrm{f}$ nu este injectivă.... + +b) Pentru $x=2$ rezultă + +$f^{2}(4)-3 f(4)+4=0$ + +Notăm + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_51a6b0055ed931d99f56g-10.jpg?height=231&width=840&top_left_y=1145&top_left_x=422) + +## Subiectul 4. + +$z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$ + +.......... (2p) + +Utiliz nd + +$|z|=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \Rightarrow \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}=0 \Rightarrow z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}+z_{2} z_{3}=0$ + +p) + +$\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right)^{2}=0 \Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+2\left(z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}+z_{2} z_{3}\right)=0$ $\qquad$ +........ (2p) + +Concluzia. + +..(1p) + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ŞI SPORTULUI
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEȚULUI VRANCEA
Centrul metodic Odobeşti
Olimpiada de matematică + +Faza locală - 9 februarie 2013 + +## Clasa a X -a Matematică - Informatică + +1. Să se rezolve ecuația: $\frac{1}{x^{2}} \cdot 2013^{x^{2}}+x^{2} \cdot 2013^{\frac{1}{x^{2}}}=4023$. +2. Arâtați că dacă $a, b, c \in(1, \infty)$, atunci.: + +$$ +\frac{\log _{a} b+\log _{b} c}{1+\log _{a} c}+\frac{\log _{b} c+\log _{C} a}{1+\log _{b} a}+\frac{\log _{C} a+\log _{a} b}{1+\log _{C} b} \geq 3 +$$ + +3. Rezolvați în $\mathrm{N}^{*}$, ecuațiile: +a) $\sin \frac{\pi}{2 n}+\cos \frac{\pi}{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$ +b) $\sin \frac{\pi}{2 n}+\cos \frac{\pi}{2 n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$. +4. Fie $\mathrm{ABCD}$ un trapez cu baza mare $\mathrm{CD}$ şi $\mathrm{O}$ intersecția diagonalelor sale. În exterior considerăm punctele $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ astfel încât $\angle \mathrm{MDA}=\angle \mathrm{CBN}=\angle \mathrm{DBA}$ şi $\angle \mathrm{MAD}=\angle \mathrm{BCN}=\angle \mathrm{CAD}$. Să se arate că punctele $\mathrm{M}, \mathrm{O}, \mathrm{N}$ sunt coliniare şi $\mathrm{BD} \cdot \mathrm{AC}>\mathrm{AB} \cdot \mathrm{MN}$. + +Notă: - Toate subiectele sunt obligatorii + +- Fiecare problemă se notează cu 7 punte +- Timp de lucru 3 ore + +Propunător : + +Prof : Zamfir Teodora + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală - 9 februarie 2013 + +## Clasa a X -a Matematică - Informatică + +BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +| Su
bie
ct | SOLUȚII | BAREM
DE
COREC
TARE | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | Notăm $x^{2}=t$ Și vom aplica de două ori inegalitatea mediilor Și avem
$\frac{1}{t} \cdot 2013^{t}+t \cdot 2013^{\frac{1}{t}} \geq 2 \sqrt{2013^{t+\frac{1}{t}}} \geq 2 \sqrt{2013^{2}}=4026$. Deoarece avem egalitate rezultă
că $t=1$ de unde $x=1$ sau $x=-1$ | $5 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | Notăm cu $\ln \mathrm{a}=\mathrm{x}, \ln \mathrm{b}=\mathrm{y}, \ln \mathrm{c}=\mathrm{z}$, inegalitatea se rescrie: $\sum \frac{\frac{y}{x}+\frac{z}{y}}{1+\frac{z}{x}} \geq 3$ evident
$\sum\left(\frac{y}{x+\mathrm{z}}+\frac{x z}{y x+y z}\right) \geq 3$. Avem, conform inegalităţii lui Nesbitt, $\sum \frac{y}{x+z} \geq \frac{3}{2}$ şi
$\sum \frac{x z}{y x+y z} \geq \frac{3}{2}$, care adunate, dau inegalitatea dorită. Egalitate avem pentru $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=1$. | $2 \mathrm{p}$ | +| 3
a) | Ecuația se scrie succesiv $\sin \frac{\pi}{2 n}+\cos 2 \frac{\pi}{2 n}=\frac{\sqrt{n}}{2} \Rightarrow 2 \sin \frac{\pi}{2 n}+2\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\pi}{2 n}\right)=\sqrt{n}$.
Notăm cu $x=\sin \frac{\pi}{2 n} \in[0,1]$ avem $4 x^{2}-2 x+\sqrt{n}-2=0$
Avem $\Delta=4(9-4 \sqrt{n})$ şi $\Delta \geq 0$ din rezultă $n \in\{1,2,3,4,5\}$.
Pentru $n=1$ nu convine. Pentru $n=2$, rezultă $\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $n=2$ este soluție.
Pentru $n=3$, rezultă $\sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$. Pentru $n=4$, rezultă
$\sin \frac{\pi}{8}+\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{4}}{2}$, iar pentru $n=3$ se scrie
$\sin \frac{\pi}{10}+\cos \frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ este soluție, mulțimea soluțiilor $S=\{2,5\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 3
b) | Ecuația se scrie echivalent cu $\frac{n}{2}=\left(\sin \frac{\pi}{2 n}+\cos \frac{\pi}{2 n}\right)^{2}=1+2 \sin \frac{\pi}{2 n} \cos \frac{\pi}{2 n}$
adică $\sin \frac{\pi}{n}=\frac{n-4}{4}$. Această ecuație are soluție unică $n=6$, membrul stâng al ecuației | | + + +| | fiind funcție descrescătoare de $\mathrm{n}$, iar cel drept funcție crescătoare de $\mathrm{n}$. | | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | Avem: $\angle \mathrm{AMD}=180^{\circ}-\angle \mathrm{MAD}-\angle \mathrm{MDA}=180^{\circ}-\angle \mathrm{OAB}-\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{AOB}$, deci | | +| | MAOD este patrulater inscriptibil. Analog, BNCO este patrulater inscriptibil. | $1 \mathrm{p}$ | +| | Rezultă că $\angle \mathrm{MOA}=\angle \mathrm{MDA}=\angle \mathrm{OBA}, \angle \mathrm{BON}=\mathrm{BCN}=\angle \mathrm{OAB}$, de unde | | +| | $\angle \mathrm{MOA}+\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{BON}=180^{\circ}$, prin urmare $\mathrm{M}, \mathrm{O}, \mathrm{N}$ sunt coliniare. | $1 \mathrm{p}$ | +| | \#. $\quad M O$ | | +| | Din asemanarea trıungnıur11or MIAU \$1 DAB rezuıta ca $\overline{A B}=\overline{B D}$, deci | $2 \mathrm{p}$ | +| | $\mathrm{AO} \cdot \mathrm{BD}=\mathrm{MO} \cdot \mathrm{AB}$ | | +| | Din asemănarea triunghiurilor NCO şi DCB rezultă că $\frac{C O}{R D}=\frac{N O}{D D}$ şi obținem | | +| | $C B \quad D B$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\mathrm{CO} \cdot \mathrm{BD}=\mathrm{NO} \cdot \mathrm{DC}$ | | +| | Prin sumarea avem: $\mathrm{BD} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{MO}+\mathrm{DC} \cdot \mathrm{NO}>\mathrm{AB}(\mathrm{MO}+\mathrm{NO})=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{MN}$. | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1124-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1124-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d6f075aea51b85ca94a42c50205cc0b37ad8ffd0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1124-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,900 @@ +# Ministerul Educației Naționale Inspectoratul Şcolar Județean Vrancea
Centrul Metodic Focşani I
OLIMPIADA DE MATEMATICA
Faza locală -09.02.2013
Clasa a VIII-a + +## Subiectul 1 + +a) Determinați numerele reale $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ ştiind că $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=6$ şi $\mathrm{xy}+\mathrm{xz}+\mathrm{yz}=12$. + +b) Arătați că numărul $S=6^{3}+13^{3}+20^{3}+\ldots+(7 n-1)^{3}+15 n$ se divide cu 7 , $\forall$ $\mathrm{n} \in \mathbf{N}^{*}$. + +## Subiectul 2 + +Fie $n \geq \geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $\mathrm{n}^{4}+\mathrm{n}^{2}+3$ nu poate fi scris ca suma a două numere prime. + +## Subiectul 3 + +Se consideră punctele necoplanare $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ astfel încât $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AC}] \equiv[\mathrm{AD}]$. Fie punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ mijloacele segmentelor $[\mathrm{BC}],[\mathrm{CD}]$, respectiv [DB]. Arătați că dacă $\mathrm{AM} \perp \mathrm{AN}$, atunci $\mathrm{AP} \perp(\mathrm{AMN})$. + +## Subiectul 4 + +Se consideră piramida patrulateră regulată $\mathrm{VABCD}$ cu baza $\mathrm{ABCD}$ şi un plan $\alpha$ neparalel cu planul (ABC), care intersectează segmentele (VA), (VB), (VC) şi (VD) în punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ respectiv în $\mathrm{Q}$. Arătaţi că $\frac{M A}{M V}+\frac{P C}{P V}=\frac{N B}{N V}+\frac{Q D}{Q V}$. + +## Bareme de evaluare i notare + +## Subiectul 1 + +a) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(x y+x z+y z)=12$ + +$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x y+x z+y z \Leftrightarrow(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}=0 \Rightarrow x=y=z$ $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare $x=y=z=2$ + +## $1 \mathrm{p}$ + +b) $S=(7 \cdot 1-1)^{3}+(7 \cdot 2-1)^{3}+(7 \cdot 3-1)^{3}+\ldots+(7 \cdot \mathrm{n}-1)^{3}+15 \mathrm{n}$. + +$.2 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{S}=\mathrm{M}_{7}-\mathrm{n}+15 \mathrm{n}$ + +$.1 \mathrm{p}$ + +Finalizare + +$1 \mathrm{p}$ + +Subiectul 2 + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{n}^{4}+\mathrm{n}^{2}+3=\mathrm{n}^{2}\left(\mathrm{n}^{2}+1\right)+3, \mathrm{n}^{2}\left(\mathrm{n}^{2}+1\right)=\mathrm{nr} \text {. par }=\mathrm{n}^{4}+\mathrm{n}^{2}+3 \mathrm{nr} \text {. impar } \\ +& \ldots . .2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +Presupunem ca $n^{4}+n^{2}+3=a+b$, cu $a, b$ nr. natural prime $\Rightarrow a=2$ sau $b=2$ ..... 2 p + +Se consideră $\mathrm{a}=2$. Obținem $\mathrm{b}=\mathrm{n}^{4}+\mathrm{n}^{2}+1=\left(\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}^{2}-\mathrm{n}+1\right)$ $2 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1 \geq 1, \mathrm{n}^{2}-\mathrm{n}+1 \geq 1 \mathrm{nr}$. naturale $=>\mathrm{b}$ nu este prim $=>$ presupunerea este falsă + +$.1 p$ + +## Subiectul 3 + +$\mathrm{AP} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{MN} \| \mathrm{BD}=>\mathrm{AP} \perp \mathrm{MN}$ $1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{AM} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{BC} \| \mathrm{PN} \Rightarrow \mathrm{AM} \perp \mathrm{PN}$ + +$1 p$ +$\mathrm{AM} \perp \mathrm{PN}, \mathrm{AM} \perp \mathrm{AN}, \mathrm{PN}, \mathrm{AN} \subset(\mathrm{APN})=>\mathrm{AM} \perp(\mathrm{APN})$ + +.......................... $2 p$ + +$\mathrm{AM} \perp(\mathrm{APN}), \mathrm{AP} \subset(\mathrm{APN})=>\mathrm{AM} \perp \mathrm{AP}$ + +............................................ $1 p$ + +$\mathrm{AP} \perp \mathrm{AM}, \mathrm{AP} \perp \mathrm{MN}, \mathrm{AM}, \mathrm{MN} \subset(\mathrm{AMN})=>\mathrm{AP} \perp(\mathrm{AMN})$ + +........................ $2 p$ + +Subiectul 4 + +| $D_{B}$ | | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-04.jpg?height=602&width=1503&top_left_y=1030&top_left_x=345) | 3p | +| În trapezul $A A^{\prime} C^{\prime} C$ avem $O O^{\prime}$ linie mijlocie, deci $A A^{\prime}+C C^{\prime}=2 \cdot O O^{\prime} \quad(2)$
Din relațiile (1) și (2) rezultă că: $\frac{M A}{M V}+\frac{P C}{P V}=\frac{2 \cdot O O^{\prime}}{V O^{\prime}}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| În mod analog se arată că: $\frac{N B}{N V}+\frac{Q D}{Q V}=\frac{2 \cdot O O^{\prime}}{V O^{\prime}}$ de unde rezultă egalitatea dorită. | $1 \mathrm{p}$ | + +## MINISTERUL EDUCA IEINA IONALE
INSPECTORATUL COLAR AL JUDE ULUI VRANCEA
CENTRUL METODIC FOC ANI II + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală- 09.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +1. Fie numerele reale $a$ și $b$ cu proprietatea $a-6 b=-2$ și $a \in[-2 ; 4]$. + +Să se determine numărul real $c=$. + +2. a) Determinați valoarea minimă a expresiei $E(x)=$. + +b) Determinați numerele reale $x, y, z$ pentru care: + +( G.M. 9 / 2012 ) + +3. In triunghiul $A B C$ cunoaștem $B C=7 \mathrm{~cm}, \mathrm{M}$ și $\mathrm{N}$ sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [AC], $P$ este punctul de intersecție al bisectoarei unghiului $A B C$ cu $M N$, $P A=3 \mathrm{~cm}, P B=4 \mathrm{~cm}$. Se ridică perpendiculara $P Q=1 \mathrm{~cm}$ pe planul $(A B C)$. + +a) Calculați distanța de la punctul $Q$ la dreapta $B C$. + +b) Fie $\{\mathrm{D}\}=\mathrm{BP} \cap \mathrm{AC}$. Calculați tangenta unghiului format de dreapta QD cu planul $(\mathrm{ABC})$. + +4. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care $A D^{\prime} \cap A^{\prime} D=\{O\}$ și punctul $M$ este mijlocul muchiei $A B$. Demonstrați că : + +a) dreapta MO este paralelă cu planul (DBB') ; + +b) dreapta MO este perpendiculară pe planul (A'C'D); + +c) dacă BD'n $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)=\{G\}$, arătați că punctul G este centrul de greutate al triunghiului $A^{\prime} C^{\prime} D$. + +Subiect propus de: + +prof. Dragomir Rodica - Șc. „ Ștefan cel Mare" Focșani prof. Alexandru Petronela - Lic. Ped." Spiru Haret" Focșani + +## Barem de corectare + +1. ..... $1 p$ +.............................................................. $1 p$ +$a-6 b=-2 \Rightarrow, b \in[0,1]$ ..... $1 p$ +........................................................... 1,5p +...............................................................1,5p +$\qquad$ +2. a) $E(x)=$ + +$E(x)$ este minim când este + +maxim............................................................. $0,5 p$ + +minim + +..................................................................................................5p + +$x=$ + +2. + +...... $0,5 p$ + +$E(2)=-$ + +1. + +$.0,5 p$ +b) $x-2010 \geq 0 ; y+2012 \geq 0 ; z-4 \geq$ + +0........................................................... 1p ..... $1 p$ +Relațiile analoage: ..... $1 \mathrm{p}$ +$x=2011 ; y=-2011 ; z=$ +5. ..... $1 p$ +3. a) $\triangle$ BMP este +isoscel ..... $1 p$ +$\triangle A B P$ este dreptunghic în $P, A B=5$ +$\mathrm{cm}$. ..... $1 p$ +$d(P, A B)=d(P, B C)=$ +$\mathrm{cm}$. ..... $1 p$ +$\mathrm{T} 3 \perp \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{Q}, \mathrm{BC})=$ +$\mathrm{QR}=\mathrm{cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +b) $\mathrm{PN}=1 \mathrm{~cm}$ +$1 p$ +$\triangle \mathrm{PDN} \sim \Delta \mathrm{BDC}$ (T.F.A.); +$\mathrm{PD}=\mathrm{cm}$ ..... $1 p$ +$\angle(\mathrm{QD},(\mathrm{ABC}))=\angle \mathrm{QDP}, \operatorname{tg}(\angle \mathrm{QDP})=$ +$\mathrm{cm}$. ..... $.1 p$ +4. a) $O M$ linie mijlocie î $\triangle A B D^{\prime}, O M \| B D^{\prime}, B D^{\prime} \subset\left(D B B^{\prime}\right) \Rightarrow$ ..... $\mathrm{OM} \|\left(\mathrm{DBB}^{\prime}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . .1 p$ +b) $A^{\prime} C^{\prime} \perp\left(B D D^{\prime}\right) \Rightarrow A^{\prime} C^{\prime} \perp$ +$\mathrm{BD}^{\prime}$. ..... $1 p$ +$A^{\prime} D \perp\left(A B D^{\prime}\right) \Rightarrow A^{\prime} D \perp$ +$\mathrm{BD}^{\prime}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{BD}^{\prime} \perp\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}\right), \mathrm{OM} \| \mathrm{BD} \mathrm{D}^{\prime} \Rightarrow \mathrm{OM} \perp($ +$A^{\prime} C^{\prime} D$ ) ..... $1 p$ +c) Fie $\{G\}=B D^{\prime} \cap D O^{\prime}$, deci $\{G\}=B D^{\prime} \cap\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$. Fie $\left\{O^{\prime}\right\}=B^{\prime} D^{\prime} \cap A^{\prime} C^{\prime}$, +$\Delta D^{\prime} O^{\prime} G \sim \Delta$ +BDG. ..... $1 p$ + +Finalizare $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-09.jpg?height=243&width=214&top_left_y=113&top_left_x=161) + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE
Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013- + +CLASA a VIII-a + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013- + +CLASA a VIII-a + +$7 p$ 1. Fie numerele: + +$$ +A=\sqrt{7-4 \sqrt{3}}-\sqrt{7+4 \sqrt{3}} \text { şi } B=\left[\frac{5}{2 \sqrt{3}}-\sqrt{27}^{-1}+\left(-\frac{1}{3 \sqrt{3}}\right)\right] \cdot \sqrt{108} +$$ + +a) arătați că $B \in N$ + +b) calculați $(1+A+2 \sqrt{3})^{2013}$ + +c) încadrați numărul $A+B$ între două numere naturale consecutive + +$7 p$ 2. Paralelogramul $A B C D$ şi triunghiul echilateral $C D E$ sunt în plane diferite. Fie $F$ mijlocul laturii $A D, G$ centrul de greutate al triunghiului $C D E$ şi $F C \cap B D=\{M\}$. Să se demonstreze că: +a) $M G / /(A D E)$ +b) $M G=\frac{1}{3} A E$ + +$7 p \quad$ 3. Să se arate că : $\left(x^{2}+2 x+2\right)\left(y^{2}-2 y+2\right) \geq 4 x y ; x, y>0$ + +$7 p$ 4. În prisma triunghiulară regulată dreaptă $\mathrm{ABCA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ avem $\mathrm{AA}^{\prime}=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}$. Demonstrați că $\mathrm{BC}^{\prime} \perp \mathrm{AB}$. + +(Problema S:E12.413 din GM 2012). + +Subiect selectate şi propuse de: prof. Ochiuz Claudia coala Gimnazială Gura Cali ei prof. Botez Liliana coala Gimnazială Tîmboie ti + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE + +Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013 + +## CLASA a VIII-a + +Barem de corectare + +Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-10.jpg?height=1996&width=1856&top_left_y=778&top_left_x=137) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-11.jpg?height=2410&width=1862&top_left_y=346&top_left_x=131) + +| | $\left(x+\frac{2}{x}+2\right)\left(y+\frac{2}{y}-2\right) \geq(2 \sqrt{2}+2)(2 \sqrt{2}-2) \Rightarrow\left(x+\frac{2}{x}+2\right)\left(y+\frac{2}{y}-2\right) \geq 4$ | $1,6 \mathrm{p}(0,4 \mathrm{x} 4)$
$2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-12.jpg?height=510&width=1430&top_left_y=698&top_left_x=275) | $3 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +## CentrulMetodic -Panciu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA ZONALĂ - 9 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA A VIII-A + +1.Daca a,b
{0\} astfel incat + +,aflati valoarea sumelor: +a) +b) + +2. Fie cubul ABCDA'B'C'D'. Pe diagonala BD' proiectăm vârfurile opuse B' şi D în $M$ şi, respectiv, în $P$. Dacă $M P=12 \mathrm{~cm}$, calculați lungimea muchiei cubului. + +3.Aratati ca numarul $A=n^{2}+2 n-1$ nu se divide cu 3 , oricare ar fi $n$ numar intreg + +$$ +\text { G.M .B S:.E } 13.31 +$$ + +4. Fie expresia : + +a) Aduceti expresia la forma cea mai simpla . + +b) Determinati valorile lui $x$ pentru care expresia are sens . + +c) Determinati aZ, astfel incat $E(a) Z$. + +Subiecte propuse de :prof: Draghici Violeta si prof.Dogaru Daniela + +## MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA
CentrulMetodic -Panciu + +Barem Corectare + +cl a VIII a + +1. + +a) +$1 p$ + +$1 p$ + +$1 p$ + +b) ............................................................ + +$1 p$ + +$1 p$ + +2. + +lungimea muchiei cubului - o notăm cu $1 p$ + +$\mathrm{BD}=$ (diagonala patratului)..................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$B D^{\prime}=$ (diagonala cubului)......................................................... $1 \mathrm{p}$ + +În $\triangle B D D ':$................................................ $1 p$ + +ÎnDDPD': ;............................................................ $1 p$ + +$; \ldots . . . . . . . .1 p$ + +cm;................................................................ $1 p$ + +## 3. Discutie + +$n=3 k=>A=9 k^{2}+6 k-1$, nu e divizibil cu 3........................................................ $2 p$ + +$n=3 k+1=>A=9 k^{2}+12 k+2$, nu e divizibil cu 3................................................. $2 p$ + +$n=3 k+2=>A=9 k^{2}+18 k+7$, nu e divizibil cu 3.................................................. $2 p$ + +finalizare .......................................................................................................... 1p + +4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-14.jpg?height=54&width=1117&top_left_y=2046&top_left_x=298) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-14.jpg?height=54&width=1165&top_left_y=2120&top_left_x=297) + +c) x+4D8......................................................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-14.jpg?height=66&width=1039&top_left_y=2257&top_left_x=360) + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +CentrulMetodic -Panciu + +## MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEȚULUI VRANCEA + +CENTRUL METODIC VIDRA + +## OLMPIADA NATTIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALÄ
Clasa a VIII-a + +1. Fie expresia $E(x)=\left(\frac{x+1}{2 x-1}+\frac{2 x^{2}-x+2}{4 x^{2}-1}-\frac{x-1}{2 x+1}\right) \cdot \frac{2 x^{2}-5 x+2}{x^{2}-2 x-8}$, $x \in R-\left\{-2 ;-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{4}\right\}$ + +a.) Aduceți expresia $\mathrm{E}(\mathrm{x})$ la forma cea mai simplă. + +b.) Determinați elementele mulțimii $A=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \in \mathrm{Z}, \mathrm{E}(\mathrm{x}) \in \mathrm{Z}\}$. + +2. a) Arătați că, pentru orice numere reale $x, y>0$, este adevărată inegalitatea: + +$$ +\frac{2}{x+y}-\frac{1}{x y} \leq 1 +$$ + +b) Demostrați că, pentru orice numere reale $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0$ pentru care $a+b+c=1$, este adevărată inegalitatea: $\frac{1+a}{b+c}+\frac{1+b}{c+a}+\frac{1+c}{a+b} \leq \frac{1}{a b c}$. + +(Gazeta Matematică) + +3. Muchia cubului $A B C D A$ 'B'C'D' este de $18 \mathrm{~cm}$. Calculați: +a) $\mathrm{d}\left(\mathrm{D}^{\prime}, \mathrm{BC}\right)$ +b) $\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\left(\mathrm{BDA}^{\prime}\right)\right)$ +c) $\operatorname{tg} \square\left(\left(A^{\prime} B D\right),(A B C)\right)$. +4. Triunghiul isoscel $\mathrm{ABC}$ se proiectează pe planul $\alpha$ ce conține dreapta $\mathrm{BC}$, după + +triunghiul dreptunghic $A^{\prime} B C$. Ştiind că $A^{\prime} B=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{C}=6 \mathrm{~cm}$, să se calculeze : + +a) cosinusul unghiului $\mathrm{ABC}$; + +b) lungimea laturii necongruente $\mathrm{cu}$ celelalte laturi ale triunghiului $\mathrm{ABC}$; + +c) distanța de la punctul $\mathrm{A}^{\prime}$ la planul (ABC). + +Propunător : prof. Bratu Mihaela - Liceul "Simion Mehedinți" Vidra + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## CLASA a VIII-a + +1. a.) $2 x^{2}-5 x+2=(2 x-1)(x-2)$ + +$$ +x^{2}-2 x-8=(x+2)(x-4) +$$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$$ +E(x)=\frac{2 x^{2}+5 x+2}{(2 x+1)(2 x-1)} \cdot \frac{(2 x-1)(x-2)}{(x+2)(x-4)} +$$ + +$2 \mathrm{p}$ + +$$ +E(x)=\frac{x-2}{x-4} +$$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b.) + +$\frac{x-2}{x-4}=1+\frac{2}{x-4}$. + +$(x-2) \in\{ \pm 1 ; \pm 2\}$ + +$$ +A=\{2 ; 3 ; 5 ; 6\} +$$ + +| DETALII REZOLVARE | BAREM
ASOCIAT | +| :---: | :---: | +| a) Prin reducere la absurd, presupunem că $\frac{2}{x+y}-\frac{1}{x y}>1(*)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Cum $x+y \geq 2 \sqrt{x y}$, deducem $\frac{2}{x+y} \leq \frac{1}{\sqrt{x y}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Astfel, din $(*)$, ajungem la $\frac{1}{\sqrt{x y}}-\frac{1}{x y}>1$, fals. | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Folosind punctul a) şi ipoteza, ajungem la:
$\frac{1+c}{a+b}=\frac{1+1-a-b}{a+b}=\frac{2}{a+b}-1 \leq \frac{1}{a b}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Analog, obținem $\frac{1+b}{c+a} \leq \frac{1}{a c}, \frac{1+a}{b+c} \leq \frac{1}{b c}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Însumând ultimile trei relații, obținem
$\frac{1+a}{b+c}+\frac{1+b}{c+a}+\frac{1+c}{a+b} \leq \frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}+\frac{1}{a b}=\frac{1}{a b c}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +$.1 \mathrm{p}$ + +2. + +## 3. Figura + +$.1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-18.jpg?height=837&width=1108&top_left_y=579&top_left_x=476) + +a)D'D $\perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{DC} \perp \mathrm{BC}(\mathrm{ABCD}$ pătrat $) \rightarrow \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{C} \perp \mathrm{BC} \rightarrow \mathrm{d}\left(\mathrm{D}^{\prime}, \mathrm{BC}\right)=\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{C}$ $1 \mathrm{p}$ + +În triunghul D'DC prin teorema lui Pitagora + +$\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{C}=18 \sqrt{2}$ + +$\mathrm{b})\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}\right) \equiv(\mathrm{AB}) \equiv(\mathrm{AD}),(\mathrm{BD}) \equiv\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{D}\right) \equiv\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}\right) \rightarrow \mathrm{AA}^{\prime} \mathrm{BD}$ piramidă triunghiulară + +regulată $\rightarrow \mathrm{d}\left(\mathrm{A},\left(\mathrm{BDA}^{\prime}\right)=\mathrm{AG}\right.$, unde $\mathrm{G}$ este centrul cercului circumscris triunghiului $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BD}$ .......... $1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}=\mathrm{BD} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{3}}{2}=9 \sqrt{6} \rightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{G}=\frac{2}{3} \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{O}=6 \sqrt{6}$ + +În triunghiul $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AG}$ prin teorema lui Pitagora $\mathrm{AG}=6 \sqrt{3}$ + +.......................................................... $1 p$ + +c) $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{AO} \perp \mathrm{DB} \rightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O} \perp \mathrm{BD}$ + +$\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}, \mathrm{AO} \perp \mathrm{BD} \rightarrow$ + +$m \square\left(\left(A^{\prime} B D\right),(A B C)\right)=m \square\left(A^{\prime} O A\right)$ + +$1 p$ + +calculează $\mathrm{AO}=9 \sqrt{2}, \operatorname{tg} \square\left(\left(A^{\prime} B D\right),(A B C)\right)=$ $\sqrt{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +4. Realizarea desenului + +$.1 \mathrm{p}$ + +Arată că $\Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}$ este dreptunghic în $\mathrm{A}^{\prime}$ + +... $1 \mathrm{p}$ + +Arată că $\triangle \mathrm{ABC}$ este isoscel cu $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ sau $\mathrm{AC}=$ BC.........................................1p + +Dacă $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=10 \mathrm{~cm}$, calculează $\quad \mathrm{AA}^{\prime}=6 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{AC}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ .......................... $1 \mathrm{p}$ + +Calculează $\quad \cos (\angle \mathrm{ABC})=\frac{16}{25} \quad$ şi $\quad \mathrm{d}\left(\mathrm{A}^{\prime} ;(\mathrm{ABC})\right)=\frac{24 \sqrt{41}}{41}$ + +Dacă $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=10 \mathrm{~cm}$, calculează $\mathrm{AA}^{\prime}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=8 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ Dacă $\mathrm{AC}$ B........................ $\mathrm{p} \quad \mathrm{cm}$, calculează $\mathrm{AA}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=8 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + +Calculează + +$$ +\cos (\angle \mathrm{ABC})=\frac{2 \sqrt{2}}{5} \mathrm{~cm} +$$ + +$\mathrm{d}\left(\mathrm{A}^{\prime} ;(\mathrm{ABC})\right)=\frac{12 \sqrt{34}}{17} \mathrm{~cm}$ + +$.1 \mathrm{p}$ + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI I CERCETĂRII + +COLEGIUL NA IONAL "AL. I. CUZA" + +Olimpiada Națională de Matematică + +## Etapa locală -februarie 2013 + +## Clasa a VIII a + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) Fie } a, \quad b, c, \quad x, \quad y, \quad z \quad \mathbf{R}^{*} \quad \text { astfel încât: } \\ +& x=b c+\frac{1}{a}, y=c a+\frac{1}{b}, z=a b+\frac{1}{c}, a x+b y+c z=1 . \\ +& \text { Arăta i că } x y z \quad 0 \text {, oricare ar fi } a, b, c \quad \mathbf{R}^{*} . \\ +& \text { b) Determina i numerele naturale } n \text { pentru care } \sqrt{n^{2}+8 n+51} \text { este număr } +\end{aligned} +$$ + +ra ional. + +## SUBIECTUL II + +$$ +\text { Arăta ă că ecua ia } \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1006}}+\frac{1}{\sqrt{2012-x}+\sqrt{1006}}=\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{2012-x}} +$$ + +are 2013 solu ii în mul imea numerelor întregi. + +(G. $M .9$ + +- 2012) + + +## SUBIECTUL III + +Se dă cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care $A C \cap B D=\{\mathrm{O}\}, B C^{\prime} \cap C B^{\prime}=\{P\} \quad$ i $\mathrm{Q}$ mijlocul + +muchiei $D D^{\prime}$. Demonstra i că dreptele $O Q \quad$ i $A P$ sunt perpendiculare. + +## SUBIECTUL IV + +Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel $A B C$ cu ipotenuza $B C=8 \mathrm{~cm}$, se ridică perpendiculara $B M=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. Se cere: +a) $(M A C) \perp(M A B)$; + +b) distan a de la punctul $B$ la planul (MAC); + +c) măsura unghiului format de planele (MBC) i (MAC) + +Subiecte propuse de prof. Gicu a Dochi c."Duiliu Zamfirescu" Foc ani + +## Clasa a VIII a + +## Barem de corectare + +## SUBIECTUL I + +a) $a x=a b c+1, b y=a b c+1, c z=a b c+1$ i $a x+b y+c z=1 \Rightarrow a b c=-$ $\frac{2}{3}$. + +$$ +\begin{aligned} +& a x=b y=c z=\quad \frac{1}{3} \Rightarrow(a b c)(x y z)=\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \quad \Rightarrow \quad x y z \quad=\quad-\frac{1}{18} \quad 0 \\ +& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +b) $\sqrt{n^{2}+8 n+51} \in \mathbf{Q}, n^{2}+8 n+51 \in \mathbf{N} \Rightarrow \sqrt{n^{2}+8 n+51} \in \mathbf{N} \Rightarrow n^{2}+8 n+51=k^{2}, \mathrm{k} \quad \mathbf{N}$ ............ $1 \mathrm{p}$ + +$\begin{gathered}(n+4-k)(n+4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 35\} \ldots \ldots \ldots \ldots\end{gathered} \quad=\quad-35, \quad n+4+k \in\{1, \quad 5, \quad 7$, + +$$ +\text { Finalizare } \quad: \quad n \quad= +$$ + +$$ +13 . +$$ + +$1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL II + +Condi ii de existen ă a radicalilor : $0 \leq x \leq 2012$ i $x$ + +$\mathbf{N}$. existen ă a radicalilor : $0 \leq x \leq 2012$ i $\quad x$ + +$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{1006}}{x-1006}+\frac{\sqrt{2012-x}-\sqrt{1006}}{1006-x}=\frac{2(\sqrt{x}-\sqrt{2012-x})}{2 x-2012}$, + +$x \neq 1006$... $2 \mathrm{p}$ + +$\sqrt{x}-\sqrt{2012-x}=\sqrt{x}-\sqrt{2012-x}$ este verificată pt orice $x\{0,1, \ldots, 1005,1007, \ldots, 2012\} \ldots \ldots . . .2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-21.jpg?height=241&width=1523&top_left_y=1880&top_left_x=298) + +## SUBIECTUL III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-21.jpg?height=62&width=1513&top_left_y=2235&top_left_x=306) + +$$ +\begin{aligned} +& D B D^{\prime} \Rightarrow O Q \| B D^{\prime} \\ +& \angle(O Q, A P)=\angle\left(B D^{\prime}, A P\right) \\ +& \text {......1p } +\end{aligned} +$$ + +$A B C^{\prime} D^{\prime}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-22.jpg?height=114&width=1393&top_left_y=301&top_left_x=301) + +$\triangle A B D^{\prime} \sim \triangle B P A(\mathrm{LUL}) \Rightarrow \angle A B D^{\prime} \equiv \angle B P A, \angle A B D^{\prime} \quad$ i $\angle P B D^{\prime}$ sunt complementare, de unde $\qquad$ +$A P \perp B D^{\prime} \Rightarrow A P \perp O Q$ + +........1p + +## SUBIECTUL IV + +a) $M B \perp(A B C), B A \perp A C \xrightarrow{T 3 \perp} M A \perp A C$ + +$M A \perp A C, M B \perp A C \Rightarrow C A \perp(M A B), C A \subset(M A C) \Rightarrow(M A C) \perp(M B C)$ + +..... $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-22.jpg?height=269&width=1518&top_left_y=1684&top_left_x=301) + +$\mathrm{cm}$ + +$2 \mathrm{p}$ + +c) + +$A D \perp B C, A D \perp M B \Rightarrow A D \perp(M B C), D Q \perp M C \xrightarrow{T 3 \perp} A Q \perp M C$ + +. $.1 \mathrm{p}$ + +$\angle((M B C),(M A C))=\angle(A Q, D Q)=\angle A Q D$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-23.jpg?height=182&width=1527&top_left_y=245&top_left_x=299) + +....1p + +## INSPECTORATUL COLAR JUDE EAN VRANCEA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - ADJUD, 9.02.2013
CLASA a-VIII-a + +1. a) Arăta i că $(x \sqrt{2}-3 \sqrt{3})^{2014} \in \mathrm{N}$, unde $x=\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}$. + +b) Se consideră mul imile $A=\left\{x \in Z \left\lvert\, \frac{5 x+7}{2 x-3} \in Z\right.\right\} \quad$ i $B=\{x \in \mathbf{R}|| x-5 \mid \leq 11\}$. + +Calcula i $A \cap B$. + +2. a) Să se afle minimul expresiei + +$E(x, y)=x^{4}-6 x^{2}+y^{2}-10 y+36, \quad x, y \in \mathbf{R}$ şi valorile + +lui $x$ şi $y$ pentru care se obține acest minim; + +b) Dacă $a+b+c=0 \quad$ i $a b c=2013$ calcula i $\frac{a}{b^{2} c^{2}}+\frac{b}{a^{2} c^{2}}+\frac{c}{a^{2} b^{2}}$. + +3. Pe planul pătratului $\mathrm{ABCD}$ se construieste perpendiculara $\mathrm{SA}$, astfel încât $\mathrm{SA}=\mathrm{AB}=\mathrm{a}$. + +a) Arăta i că $\mathrm{BD} \perp \mathrm{SC}$. + +b) Calcula i distan a dintre dreptele BD si SC. + +c) Dacă M este mijlocul laturii CD, determina i distan a de la punctul S la dreapta BM. + +Gazeta Matematică + +4. În prisma patrulateră regulată $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$, se consideră punctele E, $\mathrm{F}$, respectiv + +F', mijloacele muchiilor [AB], [BC], respectiv [B'C']. Muchia bazei este de $6 \mathrm{~cm}$, iar + +înăl imea $\mathrm{AA}^{\prime}=9 \mathrm{~cm}$. + +a) Demonstra i că $\mathrm{AF} \perp \mathrm{DE}$. + +b) Calcula i tangenta unghiului diedru determinat de (F'DE) si (ABC). + +c) Fie punctul P situat pe muchia [BB']. Calcula i lungimea segmentului $\mathrm{BP}$, stiind că perimetrul $\triangle \mathrm{A}$ 'PF este minim. + +Notă: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect se notează cu $0-7$ puncte. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Subiecte propuse de: prof. Severin Cristinel, coala Gimnazială Păune ti + +Barem de corectare şi notare + +1. ( 7 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) } x=\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{10+2 \sqrt{21}}{2}}-\sqrt{\frac{10-2 \sqrt{21}}{2}} \Leftrightarrow \\ +& x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x=\sqrt{6} \\ +& (x \sqrt{2}-3 \sqrt{3})^{2014}=(\sqrt{6} \sqrt{2}-3 \sqrt{3})^{2014}=(\sqrt{12}-3 \sqrt{3})^{2014}= \\ +& =(2 \sqrt{3}-3 \sqrt{3})^{2014}=(-\sqrt{3})^{2014}=3^{1007} \in \mathrm{N} \\ +& \text { b) } \left.A=\left\{x \in Z \left\lvert\, \frac{5 x+7}{2 x-3} \in \mathrm{Z}\right.\right\} \Rightarrow 2 x-3 \right\rvert\, 5 x+7 \\ +& \left.\Rightarrow \begin{array}{l} +(2 x-3) \mid 2(5 x+7) \\ +(2 x-3) \mid 5(2 x-3) +\end{array}\right\} \Rightarrow(2 x-3) \mid 29 \Rightarrow \\ +& (2 x-3) \in\{ \pm 1, \pm 29\} \Rightarrow x \in\{-13,1,2,16\} \\ +& \Leftrightarrow A=\{-13,1,2,16\} \\ +& \text { i } \quad B=\{x \in \mathfrak{R}|| x-5 \mid \leq 11\} \Leftrightarrow|x-5| \leq 11 \Leftrightarrow-11 \leq x-5 \leq 11 \\ +& \Leftrightarrow B=[-6 ; 16] \\ +& \Leftrightarrow \quad A \cap B=\{1 ; 2 ; 16\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +2. (7 puncte) +a) $E(x, y)=x^{4}-6 x^{2}+y^{2}-10 y+36, \quad x, y \in \mathbf{R} \Leftrightarrow \mathrm{E}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(\mathrm{x}^{2}-3\right)^{2}+(\mathrm{y}-5)^{2}+2$ + +## .............. $2 \mathrm{p}$ + +Valoarea minimă este 2 $1 \mathrm{p}$ pentru $x= \pm \sqrt{3}$ şi $y=5$ $1 \mathrm{p}$ +b) + +$$ +n=\frac{a}{b^{2} c^{2}}+\frac{b}{a^{2} c^{2}}+\frac{c}{a^{2} b^{2}}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2} b^{2} c^{2}}=\frac{1}{2013^{2}}\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right) +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& 1 \mathrm{p} \\ +& a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b)+c^{3}=-c^{3}-3 a b(-c)+c^{3}=3 a b c \\ +& \Rightarrow n=\frac{1}{2013^{2}}\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)=\frac{3 \cdot 2013}{2013^{2}}=\frac{1}{671} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +3. (7puncte) +a) +``` +\mathrm { SA } \mathrm { \perp } ( \mathrm { ABC } ) , \mathrm { BD } \subset ( \mathrm { ABC } ) , \Rightarrow \mathrm { SA } \perp \mathrm { BD } +1p +\mathrm { AC } \mathrm { \perp } \mathrm { BD } \mathrm { (ABCD } \mathrm { pătrat), } \Rightarrow \mathrm { BD } \perp ( \mathrm { SAC) } +Cum SC \subset (SAC), }=>\textrm{BD}\perp\textrm{SC}\mathrm{ . +............... 1 p +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-26.jpg?height=759&width=892&top_left_y=480&top_left_x=321) + +b) Fie $\mathrm{O}$ centrul pătratului $\mathrm{ABCD}$. În $\triangle \mathrm{SAC}$ construim $\mathrm{OQ} \perp \mathrm{SC}, \mathrm{Q} \in \mathrm{SC}$ că $\mathrm{BD} \perp$ (SAC) si, cum $\mathrm{OQ} \subset(\mathrm{SAC}), \Rightarrow \quad \mathrm{OQ} \perp \mathrm{BD}$. $\mathrm{p}$ + +$$ +\text { Din } \triangle \mathrm{OQC} \sim \Delta \mathrm{SAC} \text { se ob ine că } O Q=\frac{a \sqrt{6}}{6} \text {. } +$$ + +$$ +\text { ................. } 1 \mathrm{p} +$$ + +c) Construim $\mathrm{AT} \perp \mathrm{BM}, \mathrm{T} \in \mathrm{BM}$; cum $\mathrm{SA} \perp(\mathrm{ABC})$, din teorema celor trei perpendiculare + +urmează că $\mathrm{ST} \perp \mathrm{BM}$, deci distan a de la punctul $\mathrm{S}$ la dreapta $\mathrm{BM}$ este ST. + +Aria triunghiului $\mathrm{ABM}$ este jumătate din cea a pătratului $\mathrm{ABCD}$, + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{iar} B M=\frac{a \sqrt{5}}{2} \\ +& \text {.............. } 1 \mathrm{p} \\ +& \Rightarrow A T=\frac{2 a \sqrt{5}}{5} \\ +& \text {............. } 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +4. (7puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-27.jpg?height=875&width=634&top_left_y=403&top_left_x=339) + +a) Fie $\mathrm{DE} \cap \mathrm{AF}=\{\mathrm{M}\} \quad \triangle \mathrm{AED} \equiv \triangle \mathrm{BFA}(\mathrm{CC})$ $\qquad$ +$1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow \angle \mathrm{AED} \equiv<\mathrm{BFA}$. Atunci în $\triangle \mathrm{AME}$ : + +$\mathrm{m}<(\mathrm{EAM})+\mathrm{m}<(\mathrm{AEM})=\mathrm{m}<(\mathrm{BAF})+\mathrm{m}<(\mathrm{BFA})=90 o$ + +Rezultă că $\mathrm{m}<(\mathrm{AME})=90^{\circ}$, deci $\mathrm{AF} \perp D E$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) $\mathrm{FF} ' \perp(\mathrm{ABCD}), \mathrm{MF} \perp \mathrm{DE}$ (cf. punctului a) ) ; MF, $\mathrm{DE} \subset(\mathrm{ABCD}) \Rightarrow \mathrm{F} ' \mathrm{M} \perp \mathrm{DE}$, deci unghiului plan corespunzător unghiului diedru este $<$ F'MF $\qquad$ $1 \mathrm{p}$ + +În triunghiul $\triangle \mathrm{DAE}$ aplicăm teorema lui Pitagora $\Rightarrow \mathrm{DE}=3 \sqrt{5}$ + +$\mathrm{AM} \perp \mathrm{DE} \Rightarrow A M=\frac{A D \cdot A E}{D E}=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ $\qquad$ $1 \mathrm{p}$ + +Atunci $\mathrm{MF}=\mathrm{AF}-\mathrm{AM}=\frac{9 \sqrt{5}}{5}$ + +În triunghiul $F^{\prime} F M: \operatorname{tg}\left(\angle F^{\prime} F M\right)=\frac{F^{\prime} F}{M F}=\sqrt{5}$ $\qquad$ +c) Pe semidreapta $(\mathrm{AB}$ luăm $\mathrm{N}$ astfel încât $\mathrm{BN}=\mathrm{BF}$. + +$\triangle P B N \equiv \triangle P B F(C . C) \Rightarrow P N=P F(1)$ + +Perimetrul triunghiului $\mathrm{A}$ PF este minim $\Leftrightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{P}+\mathrm{PF}+\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{F}$ este minimă. + +Cum $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{F}=$ constant perimetrul este minim $\Leftrightarrow \mathrm{A} \mathrm{P}+\mathrm{PF}$ este minim $\Leftrightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{P}+\mathrm{PN}$ este $\operatorname{minim} \Leftrightarrow \mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{P}, \mathrm{N}$ sunt coliniare. + +$$ +P B \| \mathrm{AA}^{\prime} \Rightarrow \quad \triangle N P B \sim \triangle N A^{\prime} A \Rightarrow \frac{P B}{A A^{\prime}}=\frac{B N}{N A} \Rightarrow \mathrm{PB}=3 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . \mathrm{p} +$$ + +## OLMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 9 FEBRUARIE 2013
Clasa a VIII-a + +Subiectul 1 . + +Rezolvati ecuatia: $(x+y)^{2}-2(x-2)(y+1)+1=0$ + +RMI Constanta nr 1/2011- Prof + +Vasile Tarciniu, Odobesti + +## Subiectul 2 . + +a)Arătați că $\sqrt{7^{2011}+2009}$ nu este număr rațional; + +b) Aflați $\mathrm{n} \in \mathbf{N}$, astfel încât $9 \mid\left(46^{2012}-64^{\mathrm{n}}\right)$. + +prof. Toma David + +Subiectul 3 . + +Aratati ca numarul $13^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}}-2$ este divizibil cu 9 , oricare ar fi $\mathrm{n}$ numar natural. + +Tarciniu,Odobesti,Vrancea - GM 7-8-9/2012 + +## Subiectul 4 . + +În triunghiul $A B C, A B=26 \mathrm{~cm}, B C=40 \mathrm{~cm}, A C=42 \mathrm{~cm}$ şi $D \in(A C)$ astfel, încât $\frac{A D}{D C}=\frac{3}{4}$. + +Dacă $D E$ este perpendicular pe planul $(A B C)$ şi $D E=12 \mathrm{~cm}$, calculați distanța de la punctul $E$ la dreapta $B C$. + +prof. Toma David + +## Clasa a VIII-a + +## BAREM DE CORECTARE + +## Subiectul 1. + +Ecuatia poate lua forma: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-30.jpg?height=62&width=1456&top_left_y=652&top_left_x=302) + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}+2 x y+y^{2}-2 x y-2 x+4 y+4+1=0 \text {.......................................................... } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-30.jpg?height=62&width=1456&top_left_y=744&top_left_x=302) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-30.jpg?height=52&width=1456&top_left_y=798&top_left_x=302) + +$$ +\begin{aligned} +& (x-1)^{2}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1 \quad \text {.............................................................................................. } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-30.jpg?height=60&width=1412&top_left_y=894&top_left_x=302) + +## Subiectul 2. + +$$ +\text { a) Observă } 7^{2011}+2009=\left(7^{4}\right)^{502} \cdot 7^{3}+2009 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots +$$ + +$$ +\left.u\left(7^{4}\right)^{502}=1 \ldots\left(7^{4}\right)^{502} \cdot 7^{3}+2009\right]=2 \Rightarrow \sqrt{7^{2011}+2009} \text { nu este număr raţional .........1p } +$$ + +b) $46^{2012}-64^{\mathrm{n}}=\left(46^{2012}-1\right)+\left(1-64^{\mathrm{n}}\right)$ ..... $1 p$ +$\left(46^{2012}-1\right)$ div. cu $46-1$, deci cu 9 ..... $1 p$ +$1-64^{\text {n }}$ div. cu 1-64, deci cu 9 ; deci pt. orice $n \in \mathbf{N}$. ..... $1 p$ + +## Subiectul 3. + +Notam $\mathrm{N}=13^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}}-2$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-30.jpg?height=65&width=1477&top_left_y=1729&top_left_x=302) + +$\mathrm{N}=(2197-1) \mathrm{a}+(343-1) \mathrm{b}=2196 \mathrm{a}+342 \mathrm{~b}=9(244 \mathrm{a}+38 \mathrm{~b}) \Rightarrow \mathrm{N} 9 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +2) $\mathrm{n}=3 \mathrm{k}+1 \Rightarrow \mathrm{N}=13^{3 \mathrm{k}+1}+7^{3 \mathrm{k}+1}-2=13 \cdot 2197^{\mathrm{k}}+7 \cdot 343^{\mathrm{k}}-2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_60af1ad751256d1e0fdeg-30.jpg?height=63&width=1472&top_left_y=1882&top_left_x=302) + +$\mathrm{N}=13(2197-1) \mathrm{a}+7(343-1) \mathrm{b}+18=9(13 \cdot 244 \mathrm{a}+7 \cdot 38 \mathrm{~b}+2) \Rightarrow \mathrm{N}$ : $9 \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +3) $n=3 k+2 \Rightarrow N=13^{3 k+2}+7^{3 k+2}-2=169 \cdot 2197^{k}+49 \cdot 343^{k}-2$ + +$\mathrm{N}=\left(169 \cdot 2197^{\mathrm{k}}-169\right)+\left(49 \cdot 343^{\mathrm{k}}-49\right)+216$ + +$\mathrm{N}=169(2197-1) \mathrm{a}+49(343-1) \mathrm{b}+216$ + +$\mathrm{N}=169 \cdot 2196 \mathrm{a}+49 \cdot 342 \mathrm{~b}+216=9(169 \cdot 244 a+49 \cdot 38 \mathrm{~b}+24) \Rightarrow \mathrm{N}: 9$ $.1 \mathrm{p}$ + +Deci $\mathrm{N}: 9$,oricare ar fi $\mathrm{n}$ numar natural. + +Subiectul 4. +$\mathrm{DE} \perp(\mathrm{ABC})$ si $\mathrm{DF} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{E}, \mathrm{BC})=\mathrm{EF}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +$A_{A B C}=504 \mathrm{Cm}^{2}$ ..... $1 p$ +Fie $\mathrm{AG} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{AG}=25,2 \mathrm{~cm}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\frac{A D}{D C}=\frac{3}{4} \Rightarrow \mathrm{AD}=18 \mathrm{~cm}, \mathrm{DC}=24 \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ +$\Delta \mathrm{DFC} \sqcup \Delta \mathrm{AGC} \mathrm{DF}=14,4 \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{DE} \perp(\mathrm{ABC}) \Rightarrow \mathrm{DE} \perp \mathrm{DF} \Rightarrow \Delta \mathrm{EDF}$ dr $\mathrm{m}(\square \mathrm{EDF})=90^{\circ}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{EF}=\frac{12 \sqrt{61}}{5} \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1125-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1125-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..449808df78a75ca29bafaeab59aa281739d190b5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1125-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,753 @@ +# Ministerul Educației Naționale Inspectoratul Şcolar Județean Vrancea + +Centrul Metodic Focşani I + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală -09.02.2013
Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Fie multimea $A=\{\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots \ldots . . . . . . . . ., \sqrt{2013}\}$. + +Aflati card.A $\bigcap$ N. Justificati rezultatul. + +b) Sa se determine numerele naturale $x$ si $y$ care sunt solutii ale ecuatiei + +$$ +x+|25-y|=2013-10^{y} +$$ + +## SUBIECTUL 2 + +Se considera numerele $B=b 000$...... $0 b$, unde cifra zero apare de $2 n+1$ ori . + +Demonstrati ca $\sqrt{B}$ este numar irational . + +Gazeta matematica nr.6-7-8/ 2012. + +## SUBIECTUL 3 + +Fie triunghiul $A B C$ si punctele $M \in(A B), N \in(A C)$ astfel incat $[A M] \equiv[A N]$ si $[B N] \equiv[C M]$. Demonstrati ca triunghiul $A B C$ este isoscel. + +## SUBIECTUL 4 + +In triunghiul isoscel $A B C$ cu baza $B C$, punctul $S$ este mijlocul segmentului $A B$ si + +$P$ este mijlocul segmentului $A C$. Consideram punctele $M \in(S B)$ si $N \in(P A)$ astfel incat $[B M] \equiv[A N]$ si $\{Q\}=M N \cap S P$. + +a) Aratati ca $[\mathrm{MQ}] \equiv[\mathrm{NQ}]$. + +b) Demonstrati ca $\mathrm{MN}>\frac{B C}{2}$ + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA VIIA + +1.a) Card. $\mathrm{A} \cap \mathrm{N}=45$ si justificare. ..... $2 p$ +b) $x \geq 0,|25-y| \geq 0$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +$2013-10^{y} \geq 0 \Rightarrow y \in\{0,1 \cdot 2,3\}$ ..... $2 p$ +$x \in\{1987,1979,1890,991\}$ ..... $1 p$ +$(x, y) \in\{(1987,0),(1979.1),(1890,2),(991,3)\}$ ..... $.1 p$ +2. Trebuie demonstrat ca B nu este patrat perfect ..... $.1 p$ +$b \in\{2,3,7,8\}, B$ nu este patrat perfect. ..... $.1 p$ +$b=1, B=\left(10^{n+1}\right)^{2}+1$ nu este patrat perfect. ..... $.2 p$ +$b \in\{4,9\} \Rightarrow b\left(10^{2 n+2}+1\right)$ nu este $p$.perfect. ..... $.1 p$ +$b=5$ atunci B este divizibil cu 5 , dar nu este divizibil cu $5^{2}$ si nu e p.perf. ..... $1 p$ +$b=6$ atunci $B$ este divizibil cu 3 ,dar nu este divizibil cu $3^{2}$. ..... $.1 p$ +3. Fie $B P \quad M N, P \in N C$ ..... $.2 p$ +$\triangle A B P$ este isoscel ..... $1 p$ +MNPB este trapez isoscel. ..... $.2 p$ +$\mathrm{MP}=\mathrm{NB}=\mathrm{MC}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{P}=\mathrm{C}$,deci $\mathrm{ABC}$ este triunghi isoscel ..... $.1 p$ +4. a) Fie MD $S P, D \in(A C)$ ..... $1 p$ +$N P=P D \Rightarrow P Q$ este I. mijl. in $\triangle N M D \Rightarrow M Q=Q N$. ..... $2 p$ +b)Fie $N E \perp$ MD,$E \in$ MD. ..... $1 p$ +SPEM este paralelogram ..... $.1 p$ +$\mathrm{ME}=\mathrm{SP} \Rightarrow \mathrm{ME}=\frac{B C}{2}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{ME}<\mathrm{MN} \Rightarrow \mathrm{MN}>\frac{B C}{2}$ ..... $1 p$ + +## MINISTERUL EDUCA IEINA IONALE + +INSPECTORATUL COLAR AL JUDE ULUI VRANCEA + +CENTRUL METODIC FOC ANI II + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală- 09.02.2013 + +Clasa a VII-a + +1. Arăta $\square i$ că dacă p este număr prim diferit de $2 \square i 5$, atunci $p^{4}$ 1 se divide cu 10 . + +(G.M. 4/2012- + +E14333) + +2. Arăta $\square i$ că: +a) $\mathrm{A}=$ +b) $B=$ +3. Fie dreptunghiul $A B C D$ și $M, N, P, Q$ respectiv mijloacele laturilor $[A B],[B C],[C D],[A D]$. + +a) Demonstrați că MNPQ este romb. + +b) Dacă arătați că + +4. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ şi (AD bisectoarea, unde . Fie, unde . + +Demonstrați că : +a) +b) + +Subiect propus de: + +Prof. Florin Slujitoru + +Prof. Andrei + +## BAREM DE CORECTARE + +1. $\mathrm{p}=$ prim, $\mathrm{p}, \mathrm{p}$ ..... 2 puncte +2puncte +2puncte ..... 1punct +2. a) ..... 1 punct +1 punct +nu este pătrat perfect +1 punct +b) ..... 1 punct +............................................................... 1 punct +1 punct +$B=-4 \quad B$ ..... 1 punct +3. a) linie mijlocie în ..... 1 punct +linie mijlocie în ..... 1 punct +linie mijlocie în ..... 1 punct +linie mijlocie +$\mathrm{AC}=\mathrm{BD} \mathrm{MN}=\mathrm{NP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{MQ} \mathrm{MNPQ}-$ romb ..... 1 punct +b) $\mathrm{PC}=\mathrm{BM}$ și $\mathrm{PCBM}-$ paralelogram ..... 1 punct +dar PCBM - dreptunghi ..... 1 punct +: (Cf. T. Thales ) ..... 1 punct +4. a) (AD bisectoarea ..... 1 punct +şi AD - secantă (alterne interne ) ..... 1 punct + +- isoscel 2 puncte +b) (AD bisectoarea ( $\mathrm{Cf}$. teoremei bisectoarei ) ..... 1 punct +În ( Cf. T. Thales ) ..... 1 punct +1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-05.jpg?height=243&width=226&top_left_y=113&top_left_x=161) + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE
Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013- + +CLASA a VII-a + +1. Fie $X=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{7^{2}}+\sqrt{7^{3}}+\ldots+\sqrt{7^{100}}}{8 \sqrt{7}+56}$ + +Arăta i că XсN. + +2. Printr-un punct $\mathrm{P}$ al laturii $(\mathrm{BC})$ al triunghiului $\mathrm{ABC}$ se duce paralela la mediana $[\mathrm{AD}] \mathrm{a}$ triunghiului ( DC BC), care intersectează dreapta $A B$ în $M$ şi dreapta $A C$ în N . Arătați că + +a). $\mathrm{AM} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AN} \cdot \mathrm{AB}$ + +b). $\mathrm{MP}+\mathrm{NP}=2 \cdot \mathrm{AD}$ + +Clubul matematicienilor, editura ART + +3. Fie $M$ şi $N$ două puncte distincte, interioare unui triunghi ascuțitunghic $\mathrm{ABC}$. Să se arate că există cel puțin un punct $\mathrm{D}$ pe una din laturile triunghiului astfel încât $\mathrm{MD}+\mathrm{ND}$ să ia valoarea cea mai mică posibilă ( minimă ). +4. Fie $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ numere naturale nenule astfel încât: + +$$ +9^{(x-2)}+9^{(y+2)} \leq 2 \cdot 3^{(x+y)} +$$ + +Demonstra i ca $3^{x}+3^{y}$ se divide cu 41 . + +(E:14375 din GM 2012) + +Subiecte selectate i propuse de Prof. Sontica Ion Liceul Teoretic ,,Grigore Gheba,,-DUMITRE TI Prof. Fogoro Liviu coala Gimnazială ,,Duiliu Zamfirescu” Dumbrăveni + +Prof. Vioreanu Marius coala Gimnazială -Borde ti + +Notă + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Pentru fiecare subiect se acordă 7 puncte + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +Timp de lucru 3 ore + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE + +Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013 + +## CLASA a VII-a + +Barem de corectare + +Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + +1 + +| $X=\frac{\sqrt{7}+7+7 \sqrt{7}+7^{2}+7^{2} \sqrt{7}+\ldots+7^{50}}{8 \sqrt{7}+56}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $X=\frac{(7+\sqrt{7})+7(7+\sqrt{7})+\ldots+7^{49}(7+\sqrt{7})}{8(\sqrt{7}+7)}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $X=\frac{(\sqrt{7}+7)\left(1+7+7^{2}+\ldots+7^{49}\right)}{8(\sqrt{7}+7)}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $X=\frac{(1+7)+7^{2}(1+7)+\ldots+7^{48}(1+7)}{8}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $X=1+7^{2}+\ldots+7^{48} \in N$ | $1 \mathrm{p}$ | + +2. + +| $\mathrm{BAD} \sim \triangle \mathrm{BMP} \quad \frac{M P}{A D}=\frac{B P}{B D}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| $\triangle \mathrm{CNP} \sim \triangle \mathrm{CAD} \quad \frac{N P}{A D}=\frac{P C}{D C}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{MP}=\mathrm{AD} \cdot \frac{B P}{B D} \quad \mathrm{NP}=\mathrm{AD} \cdot \frac{P C}{D C}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{MP}+\mathrm{NP}=\mathrm{AD}\left(\frac{B P}{B D}+\frac{P C}{B D}\right)=2 A D$ | $1 \mathrm{p}$ | + +3. + +| Realizarea desenului pentru triunghiul ABC | $0,25 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Identificarea punctelor $\mathrm{M}, \mathrm{N} \mathrm{i} \mathrm{D} \mathrm{pe} \mathrm{desen}$ | $0,25 \mathrm{p}$ | +| Construim $\mathrm{MT}$
ordine {fe2978c04-c029-4abc-88ee-87188fd74008} și MT {f9dfa25fb-574d-40bf-bea6-7262b2f1d276} colineare în această | $4 \times 0,25 \mathrm{p}$ | +| Scrierea rela iei MD+DN=PD+DN, dacă $\mathrm{D} \in(\mathrm{BC})$ | $2 \times 0,5 \mathrm{p}$ | +| În triunghiul PDN avem rela ia MD+DN $>\mathrm{PN}$ i min $(\mathrm{MD}+\mathrm{DN})=\mathrm{PN}$ | $4 \times 0,25 \mathrm{p}$ | +| Analog pentru $\mathrm{D} \in(\mathrm{AB})=>\min (\mathrm{MD}+\mathrm{DN})=\mathrm{QN}$ unde Q și M simetrice
față de AB | $1,25 \mathrm{p}$ | +| Asemănător pentru $\mathrm{D} \in(\mathrm{AC})=>\min (\mathrm{MD}+\mathrm{DN})=\mathrm{RN}, \mathrm{R}$ și M simetrice faţă
de AC | $1,25 \mathrm{p}$ | +| Finalizare: | $1,00 \mathrm{p}$ | + +4. + +| $9^{(x-2)}-2 \cdot 3^{(x+y)}+9^{(x+2)} \leq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| $\left(3^{x-2}-3^{y+2}\right)^{2} \leq 0$ | $2 \mathrm{p}$ | + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE
Centrul Metodic Gugeşti + +| $3^{(w-2)}-3^{(y+2)}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\mathrm{x}-2=\mathrm{y}+2, \mathrm{x}=\mathrm{y}+4$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $3^{x}+3^{y}=3^{(y+4)}+3^{y}=3^{y}\left(3^{4}+1\right)=3^{y}-82$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 41divide3 | | + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI + +INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +## CentrulMetodic -Panciu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA ZONALĂ - 9 FEBRUARIE 2013 + +CLASA A VII-A + +1. Fie nr., i. + +a). Calcula i media aritmetică a numerelor $a$ i $c$. + +b). Arăta i că. + +Culegere de probleme + +2. a). Fie . Afla i numerele întregi $a$ i $b$ dacă + +b). Arăta i că pentru, numărul este natural. + +Culegere de probleme + +3. Pe laturile i ale unui triunghi $A B C$ se construiesc în exterior pătratele $A B D E$ i ACFG. Arăta i că : + +a). . + +b). . + +c). Mediana a triunghiului $A B C$ i înăl imea a triunghiului $A E G$, i sunt în prelungire. + +Culegere de probleme + +4. Fie $A B C$ un triunghi oarecare ascu itunghic i punctele, astfel încât i. Notăm cu . a). Arăta i că dacă $P$ este mijlocul segmantului, atunci ||$A C$. + +b). Calcula i raportul ariilor triunghiurilor $A P M$ i $A B C$. + +G.M.11/2012 + +Propunător : + +Prof : Sfetcu Olgu a + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI + +INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +## CentrulMetodic -Panciu + +BAREM DE CORECTARE I NOTARE - CLASA a VII-a + +| Su
bie
ct | SOLUȚII | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-09.jpg?height=165&width=138&top_left_y=477&top_left_x=1827) | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | Se calculează, .Pentru fiecare calcul corect se atribuie câte 1,5 .
a). Media aritmetică este egală cu.
b). Se folose te faptul că, i apoi media aritmetică a numerelor $a, c$ | $0,5 \mathrm{p}$
$4,5 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | a). Se calculează
Se scrie egalitatea în forma, egalitate care este echivalentă cu
. Folosind reducerea la absurd rezultă că $a=-22 \quad$ i $b=-7$.
b). Se folose te formula. Pentru aplicarea formulei în calculul numitorului se acordă
1p.
Înlocuire simplificare i finalizare se acordă încă $2 p$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| 3 | a). Se compară triunghiurile $B A G \quad$ i $E A C$
b)., apoi în triunghiul $S A B$ avem .
În triunghiul $S T E$ : i finalizare.
c). Se prelunge te $A M \mathrm{cu} M P, A M=M P$
. Finalizare | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| 4 | a). Se construie te $E F$ paralelă cu $A D$. Apoi se ia, i folosind teorema lui Thales de
unde rezultă că. Apoi se ia triunghiul $B E F \quad$ i folosind teorema lui Thales rezultă
$B M=M E$, finalizare.
b). Se folose te faptul că mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale.
, apoi
Finalizare | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$

$1+1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDETุULUI VRANCEA + +CENTRUL METODIC VIDRA + +## OLMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
Clasa a VII-a + +1. Determinați mulțimea: $\mathrm{A}=\{(a, b) \in \mathrm{Z} \times \mathrm{Z} \mid a b+2 a-3 b=7\}$ +2. Fie numerele $\quad a=|2 \sqrt{3}-4|$ şi $b=\sqrt{(5-3 \sqrt{3})^{2}}$ + +a) Comparați cele două numere. + +b) Calculați diferența dintre media aritmetică şi semiprodusul celor două numere. + +3. În triunghiul $\mathrm{ABC}, \mathrm{m}(<\mathrm{A})=90^{\circ}$, se notează cu $\mathrm{G}$ intersecția înălțimii $[\mathrm{AD}]$, $\mathrm{D} \in(\mathrm{BC}), \mathrm{cu}$ + +bisectoarea $[C E], E \in(A B)$. Fie $E F \perp B C, F \in B C$. Să se arate că: + +a) Triunghiul AEG este isoscel. + +b) Patrulaterul AEFG este romb. + +4. Considerăm pătratul $\mathrm{ABCD}$ şi punctele $E \in(B C), F \in(D C)$. Dacă + +$$ +\begin{aligned} +& m(\square B A E)=15^{\circ} \text { şi } \\ +& m(\square D A F)=30^{\circ}, \text { determinați } m(\square A E F) . +\end{aligned} +$$ + +(Gazeta Matematică) + +Propunător : prof. Bratu Mihaela-Liceul "Simion Mehedinți" Vidra + +1. Ecuația se scrie sub forma: + +$a(b+2)=7+3 b$. . . $1 \mathrm{p}$ + +Deoarece $b=-2$ nu poate să fie soluție, rezultă, că + +$\mathrm{b}+2 \neq 0$. + +$1 p$ + +Deci ecuația se poate scrie sub forma: $a=$ $\frac{3 b+7}{b+2}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Cum $b+2 \mid 3 b+7$ şi $b+2|b+2 \Rightarrow b+2| 3 b+7-3(b+2)$ + +$\Rightarrow \mathrm{b}+2 \mid 1 \Rightarrow \mathrm{b}+2 \in\{+1,-1\} \Rightarrow \mathrm{b} \in\{-1,-3\} \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +Dacă $b=-1$, rezultă $a=4$, şi dacă $b=-3$, atunci $a=$ + +2 . $1 \mathrm{p}$ + +2. a) $a=|2 \sqrt{3}-4|=4-2 \sqrt{3}$, ptr. că $2 \sqrt{3}-$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-11.jpg?height=57&width=821&top_left_y=1045&top_left_x=305) + +$\mathrm{b}=|5-3 \sqrt{3}|=\mathbf{8} \sqrt{3}-5$, ptr. că + +$5-3 \sqrt{3}<0$ + +| $4-2 \sqrt{3}$ | $?$ | $3 \sqrt{3}-5$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $9-2 \sqrt{3}$ | $?$ | $8 \sqrt{3}$ | +| 9 | $?$ | $5 \sqrt{3}$ | +| $\sqrt{81}$ | $>$ | $\sqrt{75}$ |$\quad \Rightarrow \quad \mathrm{a}>$ + +a) $\mathrm{m}_{\mathrm{a}}-\frac{a-h}{2}=\frac{a+h}{2}-\frac{a-h}{2}$ + +........................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Rezultatul final: + +$\frac{-21 \sqrt{3}}{2}+\frac{37}{2}$ + +$.2 p$ + +3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-12.jpg?height=493&width=482&top_left_y=320&top_left_x=453) + +$\triangle A B C: m( ASOCIAT | +| :--- | :---: | +| Avem $m(\square F A E)=45^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Fie $S \in(C B$ astfel încât $B \in(C S)$ şi $B S=D F$. Atunci
$\square A B S \equiv \square A D F$ (c.c.). | $2 \mathrm{p}$ | +| Obținem că $m(\square E A S)=m(\square B A S)+m(\square B A E)=45^{\circ}$,deci
$\square E A S \equiv \square E A F$. | $1 \mathrm{p}$ | + + +| De asemenea, din congruența anterioară avem şi $\mathrm{AF}=\mathrm{AS}$, de unde deducem
că $\square A E F \equiv \triangle A E S \quad$ (L.U.L). | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Atunci $m(\square A E F)=m(\square A E S)=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI I CERCETĂRII + + COLEGIUL NA IONAL "AL. I. CUZA" +## Olimpiada Națională de Matematică + +## Etapa locală -februarie 2013 + +## Clasa a VII-a + +1. a. Afla i numerele $x, y, z$ şi $t \in \mathrm{Q}$ astfel încât $2 x=5 y, 4 z=x, t=8 z$, iar $x+y=146$ $-(z+t)$. + +b. Se dă $n=(-1)^{-1} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot(-3)^{-3} \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot(-5)^{-5} \cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{-6}$. Determinați cel mai mare număr întreg nenul $m$ astfel încât $\sqrt{2 \cdot \sqrt{n \cdot m}} \in \mathrm{Q}$. + +2. Rezolvați în $\mathbf{\mathbf { N } ^ { * }}$ ecuația : + +$$ +1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4024}{2013} +$$ + +1. Pe laturile $(A D)$ şi $(B C)$ ale unui paralelogram $A B C D$ de centru $O$ se consideră punctele $M$, repectiv $N$,astfel încât $(A M) \equiv(C N)$. + +a. Demonstrați că O este mijlocul segmentului $(M N)$ + +b. Dacă $M N \cap A B=\{P\}$ şi $M N \cap C D=\{R\}$, atunci dreptele $D P$ şi $B R$ sunt paralele. + +2. Pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ se consider punctele $D$ i $E$ astfel încât $B D=D E=E C$. Mediana $B B^{\prime},\left(B^{\prime} \in A C\right)$ intersectează pe $A D$ în $M$, iar mediana $C C^{\prime},\left(C^{\prime} \in A B\right)$ intersectează pe $A E$ în $N$. Arăta i că + +a. BMNC este trapez; +b. $M N=\frac{1}{4} B C$. + +$(\mathrm{GM} / 2012)$ + +Propunător : prof. Daniela Sîrghie - C.N. "Al.I.Cuza "-Focşani + +## Clasa a VII-a
Bareme + +1. a) $t=8 z, x=4 z, y=\frac{8 z}{5}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-15.jpg?height=409&width=1326&top_left_y=457&top_left_x=405) +2. $\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{2}{x \cdot(x+1)}=2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=$ + +$=1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=1+\frac{x-1}{x+1}=\frac{2 x}{x+1}$ $2 \mathrm{p}$ + +$\frac{2 x}{x+1}=\frac{4024}{2013} \Leftrightarrow 2 x \cdot 2013=4024 \cdot(x+1)$ + +.......................................................1p + +$4026 x=4024 x+4024$ + +.................................................................................. $1 p$ + +$x=4024: 2 \Leftrightarrow x=2012$ + +............................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +3. a)MN intersectat cu $\mathrm{AC}$ este $\mathrm{O}_{1}$. + +AM şi CN paralele si congruente rezulta AMCN paralelogram........................... 2 p + +deci $\mathrm{O}_{1}$ este mijlocul diagonalelor , deci a lui $\mathrm{AC}$, deci coincide $\mathrm{cu}$ + +O.................... $2 p$ + +b)PM=NR, de unde rezultă O mijlocul lui PR şi $\mathrm{BD}$, deci $\mathrm{PBRD}$ + +paralelogram. + +deci BP şi DR + +paralele. + +4. a) Teorema lui Menelaus în triunghiul $A D C$ cu transversala $B, M, B$, implică $M D=3 M A \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +Teorema lui Menelaus în triunghiul $A B E$ cu transversala $C^{\prime}, C, N$ implică $A N=3 N E \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +Reciproca teoremei lui Thales implica dreptele $M N$ i $B C$ paralele.. . $.1 \mathrm{p}$ + +Dar $M B \quad$ i $N C$ nu sunt paralele, rezultă $B M N C$ trapez.................................................. $1 p$ + +b)TFA in triunghiul ADE implică + +$$ +M N=\frac{1}{4} B C +$$ + +InspectoratulScolar al JudetuluiVrancea + +OLIMPIADA DE MATEMATICA + +Etapalocala Adjud-09 februarie 2013 + +CLASA a VII-a + +## Subiectul 1. + +Calculati: + +$$ +(2+4+6+\ldots+84) \cdot\left(\frac{2}{7 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 11}+\ldots+\frac{2}{19 \cdot 21}\right) +$$ + +Subiectul 2. + +Fie dreptunghiul ABCD , iarpunctele M,N,P si Q mijloacelelaturilor [AB] , $[B C], \quad[C D],[A D]$. Demonstratica: + +a) MNPQ esteromb; +b) $\mathrm{MN}=3 \mathrm{NS}$, unde $\{\mathrm{S}\}=\mathrm{MN} \cap \mathrm{BP}$. + +Subiectul 3. + +Sa se determine numerelea,b,cstiindca : $\frac{a^{2}}{9}=\frac{b^{3}}{128}=\frac{c^{3}}{250}$ si $\sqrt{a \cdot b \cdot c}=4 \sqrt{30}$. Subiectul 4. + +Fie ABC un triunghidreptunghic in $\mathrm{A}$ cu $\mathrm{m}(\square \mathrm{B})=60^{\circ}$, iar $\mathrm{D}$ si E pelatura BC astfelincat $\mathrm{m}(\square \mathrm{CAD})=10^{\circ}$ si (AE estebisectoareaunghiului BAD. + +Aratatica $[A D] \equiv[C E]$. + +G.M.nr. 9/2012 + +Subiectepropusede : prof. Dorneanu Angela, LiceulTeoretic "Emil Botta” Adjud Nota: + +- Toatesubiectelesuntobligatorii. +- Timp de lucru 3 ore. +- Fiecaresubiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + + +## Barem de corecturasinotare: + +## Subiectul 1: + +$2+4+6+\ldots+84 \stackrel{1 p}{=} 2(1+2+3+\ldots+42) \stackrel{1 p}{=} 2 \cdot \frac{42 \cdot 43}{2}$ + +$\frac{2}{7 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 11}+\ldots+\frac{2}{19 \cdot 21}^{1 p}=\frac{9-7}{7 \cdot 9}+\frac{11-9}{9 \cdot 11}+\ldots+\frac{21-19}{19 \cdot 21}=\frac{1 p}{7 \cdot 9}-\frac{7}{7 \cdot 9}+$ + +$\frac{11}{9 \cdot 11}-\frac{9}{9 \cdot 11}+\ldots+\frac{21}{19 \cdot 21}-\frac{19}{19 \cdot 21} \stackrel{1 p}{=} \frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{19}-\frac{1}{21}=\frac{1}{7}-\frac{1}{21}$ + +Finalizare: 172 (1p). + +## Subiectul 2. + +a) $M N, P Q$ liniimijlocii + +$\mathrm{MN}|| \mathrm{AC}|| \mathrm{PQ} ; \mathrm{QM}|| \mathrm{PN}$ || $\mathrm{BD}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-18.jpg?height=130&width=1364&top_left_y=1041&top_left_x=424) + +p + +QM , PN liniimijlocii + +$Q M|| P N|| B D$; + +$\mathrm{QM}=\mathrm{PN}=\frac{B D}{2}$ + +$1 p$ + +ABCD paralelogram, + +$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$. + +$1 p$ + +Finalizare + +$1 p$ +b) $\mathrm{PM}|| \mathrm{NB}, \stackrel{1 p}{\Rightarrow} \Delta N S B \square \triangle M S P \stackrel{1 p}{\Rightarrow} \frac{N S}{M S}=\frac{S B}{S P}=\frac{N B}{M P}$ + +$\mathrm{N}$ mijlocul $[\mathrm{BC}], \mathrm{BN}=\frac{B C}{2}=\frac{P M}{2} \stackrel{1 p}{\Rightarrow} \frac{N S}{M S}=\frac{1}{2}$. + +## Subiectul 3. + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{a^{2}}{9}=\frac{b^{3}}{128}=\frac{c^{3}}{250}=4 k^{6} \\ +& \text {. . } +\end{aligned} +$$ ..... $1 p$ + +$$ +a^{2}=36 k^{6} \Rightarrow a=6 k^{3} +$$ + +................................1p ..... $1 p$ +$b^{3}=512 k^{6} \Rightarrow b=8 k^{2}$ ..... +............................... $1 \mathrm{P}$ ..... $1 p$ +$c^{3}=1000 k^{6} \Rightarrow c=10 k^{2}$ +.............................. $1 p$ +$\sqrt{a \cdot b \cdot c}=\sqrt{6 k^{3} \cdot 8 k^{2} \cdot 10 k^{2}}=\sqrt{480 k^{7}}$ +........................1p +Prinridicare la patrat: +$480 k^{7}=480 \Rightarrow k=1$ ..... $1 p$ +Finalizare: $\mathrm{a}=6$, +$b=8, c=10$ +$\qquad$ +.....1p +Subiectul 4. +$m(\square A E D)=100^{\circ} ; m(\square E A D)=m(\square E D A)=40^{\circ} \Rightarrow \triangle A E$ Disoscel $\mathrm{cu}$ +$\mathrm{AE}=\mathrm{ED}$... ..... 2p +Consruim F simetricullui E fata de AC. Fie $\{\mathrm{T}\}=\mathrm{AC} \cap \mathrm{EF}$. +CT medianasiinaltime in $\Delta$ CEF $\Rightarrow$ bisectoare $\Rightarrow \Delta$ CEF isoscel cu un unghi de +$60 \Rightarrow$ echilateral: $\mathrm{CE}=\mathrm{CF}=\mathrm{EF}$ +$1 \mathrm{p}$ +AT medianasiinaltime in $\triangle \mathrm{AEF} \Rightarrow$ isoscel, +$\mathrm{AE}=\mathrm{AF}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +AT bisectoare +in $\triangle \mathrm{AEF} \Rightarrow m(\square E A F)=100^{\circ}$ +.....1p +$\Delta \mathrm{AEF} \equiv \Delta \mathrm{EAD} \Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{EF}$ +$1 p$ +Finalizare. +$\qquad$ ..... $.1 \mathrm{p}$ + +MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEȚULUI VRANCEA + +## OLMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 9 FEBRUARIE 2013 Clasa a VII-a + +1. Aflați valoarea numărului natural nenul $\mathrm{n}$ pentru care: + +$$ +\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\ldots+\frac{n}{(n+1)!}=\frac{2013!-1}{2013!} +$$ + +unde $\mathrm{n}!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot \mathrm{n}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$. + +2. Determinați numărul natural nenul de trei cifre $\overline{a b c}$, scris în baza 10 , ştiind că este pătrat perfect şi că $\sqrt{\overline{a b c}+1320 \sqrt{\overline{a b c}}}=\overline{a b c}$. +3. Fie paralelogramul $A B C D, M$ un punct pe $[B D]$ si $M N\|A B, N \in(A D), M P\| A D$, $\mathrm{P} \in(\mathrm{AB})$.Aratati ca daca $\mathrm{A}_{A P M N}=\mathrm{A}_{D N M}+\mathrm{A}_{B P M}$, atunci punctele $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{C}$ sunt coliniare. + +$$ +\text { G.M.Nr.1/2012 } +$$ + +4. Fie pătratul $\mathrm{ABCD}$. Se consideră punctele $\mathrm{N} \in(\mathrm{AB}), \mathrm{M} \in(\mathrm{AC})$ astfel încât $\frac{A N}{A B}=k$, $\frac{C M}{A C}=\frac{k}{2}, \mathrm{k}>0, \mathrm{k} \in \mathrm{R}$. Să se determine numărul $\mathrm{k}$ astfel încât $\mathrm{m}(\angle \mathrm{DMN})=90^{\circ}$. + +Propunator, + +Prof.Ticu Luminita -Scoala Mera + +## BAREM DE CORECTARE SI SOLUTII + +CLASA A VII-A + +## PROBLEMA 1 + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{2!}=\frac{2-1}{2!}=\frac{2}{2!}-\frac{1}{2!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!} \\ +& \frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} \\ +& \cdots \\ +& \frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!} +\end{aligned} +$$ + +Adunând aceste egalități membru cu membru, obținem: + +$$ +\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\ldots+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!} \quad \mathbf{2 p} +$$ + +Înlocuim în egalitatea din enunț: + +$$ +\begin{aligned} +& 1-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{2013!-1}{2013!} \Rightarrow 1-\frac{1}{(n+1)!}=1-\frac{1}{2013!} \Rightarrow(\mathrm{n}+1)!=2013!\Rightarrow \mathrm{n}+1=2013 \Rightarrow \\ +& \mathrm{n}=2012 +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 2 + +Deoarece $\overline{a b c}=p^{2}, \mathrm{p} \in \mathrm{N}^{*}$, înseamnă că $\mathrm{p}$ este un număr natural de două cifre, + +$$ +\mathrm{p} \in\{10,11, \ldots, 31\} . \quad \mathbf{1 p} +$$ + +Înlocuind în relația din enunț $\overline{a b c} \mathrm{cu} \mathrm{p}^{2}$, se obține: + +$$ +\sqrt{p^{2}+1320 p}=p^{2} \quad \boxed{\mathbf{1 p}} +$$ + +De aici, $p^{2}+1320 p=p^{4} \Rightarrow p^{4}-p^{2}-1320 p=0 \Rightarrow p\left(p^{3}-p-1320\right)=0$. + +Cum $\mathrm{p} \in \mathrm{N}^{*}$, înseamnă că $\mathrm{p}^{3}-\mathrm{p}-1320=0$. $1 p$ + +Altfel scris: $p\left(p^{2}-1\right)=1320 \Rightarrow p(p-1)(p+1)=1320$. + +$$ +1 p +$$ + +$\mathrm{p}(\mathrm{p}-1)(\mathrm{p}+1)$ este produsul a trei numere naturale consecutive + +1320 se poate scrie ca $10 \cdot 11 \cdot 12$ + +Din acestea va rezulta că $\mathrm{p}=11$ şi $\overline{a b c}=\mathrm{p}^{2}=121$ + +## PROBLEMA 3 + +Notam $\mathrm{S}_{1}=$ aria $\triangle \mathrm{DMN}, \mathrm{S}_{2}=$ aria $\triangle \mathrm{BMP}, \mathrm{S}=$ aria $\triangle \mathrm{ABD}$ si $\mathrm{S}_{p}=$ aria paralelogramului APMN.Din $\triangle \mathrm{DNM} \sim \triangle \mathrm{DAB}(\mathrm{MN} \| \mathrm{AB})$ avem $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\left(\frac{D M}{D B}\right)^{2}$ sau $\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}}=\frac{D M}{D B}$. $11_{1} \mathbf{2 p}$ Analog $\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}}=\frac{M B}{D B}$ (2).Din cele doua relatii obtinem $\frac{\sqrt{S_{1+}} \sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S}}=\frac{D M+M B}{D B}=1$ sau $\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}=\sqrt{S} . \quad \mathbf{p}$ + +Ridicam la patrat si tinem cont ca $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{S}_{\text {- }}$ 2p + +Obtinem $2 \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}}=\sqrt{S_{P}}$. Din enunt $\mathrm{S}_{P}=\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}$ si atunci $2 \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}}=\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}$. Ridicam la patrat si obtinem $\left(\mathrm{S}_{1}-\mathrm{S}_{2}\right)^{2}=0$,de unde $\mathrm{S}_{1}=\mathrm{S}_{2}$. Din (1) si (2) deducem ca $\mathrm{DM}=\mathrm{MB}$,adica $\mathrm{M}$ este mijlocul diagonalei BD.Cum ABCD este paralelogram,deducem ca $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{C}$ sunt coliniare. $2 p$ + +## PROBLEMA 4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-24.jpg?height=499&width=567&top_left_y=542&top_left_x=215) + +C + +Construim $\mathrm{MP} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{P} \in(\mathrm{AB}), \mathrm{MQ} \perp \mathrm{AD}$, $\mathrm{Q} \in(\mathrm{AD})$. + +Avem că $\mathrm{m}(<\mathrm{PMQ})=90^{\circ}$ şi APMQ este pătrat. + +Cum $\mathrm{m}(<\mathrm{DMN})=90^{\circ}$, atunci $\mathrm{m}(<\mathrm{DMQ})=\mathrm{m}(<\mathrm{NMP})$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf5fcfb5b6fa840cfbbcg-24.jpg?height=62&width=65&top_left_y=972&top_left_x=1670) + +Considerând acum triunghiurile DMQ şi NMP, avem $<\mathrm{DMQ} \equiv<\mathrm{NMP}$ şi $[\mathrm{MQ}] \equiv[\mathrm{MP}]$. + +Conform cazului de congruență C.U., cele două triunghiuri vor fi congruente şi de aici: + +$[\mathrm{DM}] \equiv[\mathrm{MN}],[\mathrm{DQ}] \equiv[\mathrm{NP}]$. + +Dar $[\mathrm{DQ}] \equiv[\mathrm{PB}]$ (ABCD şi APMQ sunt pătrate, deci DQ şi PB au aceeaşi lungime). + +Prin urmare $[\mathrm{NP}] \equiv[\mathrm{PB}]$. + +În triunghiul $\mathrm{ACB}$, conform teoremei lui Thales, avem: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{C M}{A C}=\frac{B P}{B A}=\frac{k}{2} \Rightarrow P B=\frac{k}{2} A B \\ +& \mathrm{NP}=\mathrm{AB}-\mathrm{PB}-\mathrm{AN}=\mathrm{AB}-\frac{k}{2} A B-\mathrm{k} \cdot \mathrm{AB}=\frac{2-3 k}{2} A B \\ +& 2-3 \mathrm{k}>0 \Rightarrow \mathrm{k}<\frac{2}{3} \\ +& \mathrm{NP}=\mathrm{PB} \Rightarrow \frac{2-3 \mathrm{k}}{2} A B=\frac{k}{2} A B \Rightarrow 2-3 \mathrm{k}=\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{2} . +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1126-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1126-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2de6d9218e8113004cfbe363bfdac247c1cc05e7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1126-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,1036 @@ +# Ministerul Educației Naționale Inspectoratul Şcolar Județean Vrancea
Centrul Metodic Focşani I
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală -09.02.2013
Clasa a VI-a + +$\underline{\text { Subiectul } 1}$ Se dă mulțimea $M=\{1,6,11,16, \ldots 2001\}$ ş $N$ o submulțime a lui $M$ cu 203 elemente. + +a) Să se arate că oricare ar fi submulțimea $N$, suma elementelor sale nu este pătrat perfect. + +b) Să se arate că există în $N$ două elemente a căror sumă este 2012 . + +GMB Nr. $9 / 2012$ + +Subiectul $\mathbf{2}$ a) Demonstrați că dacă $s=1+4+16+\cdots+4^{2015}$, atunci $3 s+1$ este pătrat perfect şi cub perfect. + +b) Dovediți că suma $3+6+9+\cdots+2013$ nu este nici pătrat perfect, nici cub perfect. + +Profesor Mirela Novetschi + +Subiectul 3 Unghiul $\frac{1000}{3} \right\rvert\,: 2 \leftrightarrow 2^{n}>\frac{500}{3} +$$ + +Cum $2^{7}=128$ iar $2^{9}=512$, convine $n \geq 9$. + +Punctele cerute pot fi $P_{9}$ şi $P_{10}$. + +## MINISTERUL EDUCA IEINA IONALE
INSPECTORATUL COLAR AL JUDE ULUI VRANCEA
CENTRUL METODIC FOC ANI II
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală- 09.02.2013
Clasa a VI-a + +1. a) Găsiți cel mai mare număr natural de trei cifre (în baza 10) știind că, dacă îl împărțim la 12 sau la 22, obținem de fiecare dată același rest. + +b) Aflați cea mai mare și cea mai mică fracție de forma care se simplifică prin 45. + +2. Determinați toate numerele prime $a, b, c$ știind că este un număr prim, și . + +(G.M. 2 /2012) + +3. Fie punctele coliniare $A, B, C, D$, în această ordine. Dacă $M, N, P$ sunt mijloacele segmentelor $A B, B C, C D$ și $M N=9 \mathrm{~cm}, N P=7 \mathrm{~cm}$, iar $A B+C D=16$ $\mathrm{cm}$, să se calculeze lungimile segmentelor $A B, B C, C D$. +4. În jurul unui punct $O$ se consideră toate unghiurile ce se pot forma cu măsurile de în ordinea scrisă. Notăm cu unghiurile formate în ordinea precizată. + +a) Stabiliți câte unghiuri se pot forma, conform enunțului, în jurul punctului $O$. + +b) Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor și . + +Subiect propus de: + +prof. Mihaela Diaconu - Școala Gimnazială „Ștefan cel Mare” Focșani prof. Iuliana Baiciu - Școala Gimnazială Garoafa + +## Barem -clasa a VI-a + +1. a) și ..... $1 p$ ..... $1 p$ +$1 p$ +$1 p$ + +b) numărătorul și numitorul trebuie să se dividă cu 5 și cu $9 \ldots .1$ p Pentru numărător se obțin valorile 3870 și 3375 , iar pentru numitor 1260 și 1665.....1p + +Asta înseamnă că, cea mai mare fracție este, iar cea mai mică este .......1p + +2. Analizând paritatea termenilor sumei , luând în considerare și faptul că suma este un număr prim, obținem că, niciunul dintre $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ sau c nu poate fi 2 . $1 p$ + +Dacă am considera că a, b și c nu pot fi 3 rezultă că nici și cum un pătrat perfect , sau $1 p$ + +Atunci $1 p$ + +unul dintre numere este 3 și cum și niciunul nu este 2 $1 p$ + +Avem . Pentru ...........1p + +sau $2 p$ + +3. Notăm + +$1 p$ + +Avem + +$3 p$ + +$1 p$ $\qquad$ +$1 \mathrm{p}$ + +4. a) Suma măsurilor unghiurilor în jurul punctului $O=$ $1 p$ + +## $1 p$ + +(grupe de câte 6 unghiuri) ...................................................1p + +unghiuri în jurul punctului $O$ + +....................................................1p + +b) Dacă notăm și , atunci avem + +..............3p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-10.jpg?height=243&width=214&top_left_y=113&top_left_x=161) + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE
Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013- + +## CLASA a VI-a + +1). Afla i numerele prime $a b$, pentru care $a+b$ si $b-a$ sunt numere prime . + +(E:14412 din GM 2012). + +2) Determina i cel mai mic număr natural tiind ca împăr indu-1 la frac iile $\frac{81}{41}, \frac{16}{61}, \frac{18}{97}$ catul este număr natural. +3) Dacă punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ sunt coliniare astfel încât $\mathrm{AB}=7 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=13 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=6 \mathrm{~cm}$ determina i lungimea segmentului $\mathrm{OB}$, tiind ca $\mathrm{O}$ apar ine dreptei $\mathrm{AB}$ si $\mathrm{OM}=3 \mathrm{~cm}$, $\mathrm{M}$ fiind mijlocul segmentului $\mathrm{AC}$. +4) Fie A, O, B trei puncte coliniare cu $\mathrm{O} €(\mathrm{AB})$ si $[\mathrm{OX},[\mathrm{OY}$ si $[\mathrm{OZ}$ trei semidrepte situate de aceiasi parte a dreptei $\mathrm{AB}$. Daca ( OX este bisectoarea unghiului $<\mathrm{AOY}$ si ( OY este bisectoarea $<\mathrm{XOZ}$ si ( $\mathrm{OZ}$ este bisectoarea unghiului $<\mathrm{YOB}$, demonstra i ca OY este perpendiculara pe $\mathrm{AB}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=243&width=214&top_left_y=113&top_left_x=161) + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE
Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-9 februarie 2013 + +## CLASA a VI-a + +Barem de corectare + +Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + +## Subiectul I . + +Numerele prime de forma $\mathrm{ab} €\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,53,59,61,67$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=48&width=1470&top_left_y=981&top_left_x=253) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=48&width=1559&top_left_y=1027&top_left_x=174) + +Finalizare $\quad a b €\{29$ \}........................................................................................ + +## Subiectul II . + +Fie numarul a $€ \mathrm{~N}$; + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=109&width=1597&top_left_y=1259&top_left_x=135) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=108&width=1571&top_left_y=1368&top_left_x=148) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=107&width=1571&top_left_y=1480&top_left_x=151) + +$\mathrm{a}=\mathrm{c} . \mathrm{m} . \mathrm{m} . \mathrm{mc}[81 ; 16 ; 18] \ldots$ si determinare.................................... 3p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-11.jpg?height=52&width=1579&top_left_y=1633&top_left_x=153) + +## Subiectul III + +Reprezentarea corecta pe axa a punctelor $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$, $\mathrm{M}$.................... $2 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{MB}=0,5 \mathrm{~cm} ; \mathrm{OM}=3 \mathrm{~cm} ; \mathrm{OB}=\mathrm{OM}+\mathrm{MB}=3,5 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \quad 5 \mathrm{p}$ + +## Subiectul IV + +Reprezentarea corecta a punctelor $1 \mathrm{p}$ + +Determinarea $\mathrm{m}(<\mathrm{AOX})=\mathrm{m}(<\mathrm{XOY})=\mathrm{m}(<\mathrm{YOZ})=\mathrm{m}(<\mathrm{ZOB})=180^{\circ}: 4=$ $45^{\circ}$. $3 \mathrm{P}$ + +$\mathrm{m}(<\mathrm{YOB})=\mathrm{m}(<\mathrm{YOZ})+\mathrm{m}(<\mathrm{ZOB})=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$ rezulta OY este perpendicular pe $\mathrm{AB}$ + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## Subiectul I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-12.jpg?height=514&width=1294&top_left_y=608&top_left_x=421) + +$\left.\begin{array}{l}15 a+33 b+407 c=2013 \\ 3 \mid 15 b \\ 3 \mid 33 b \\ 3 \mid 2013\end{array}\right\} \Rightarrow 3|407 c \Rightarrow 3| c ; c-$ prim $\Rightarrow c=3$. (1p) + +$15 a+33 b+407 \cdot 3=2013$............................. (1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-12.jpg?height=51&width=1005&top_left_y=868&top_left_x=431) + +$a=11$............................................................. (1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-12.jpg?height=51&width=1002&top_left_y=968&top_left_x=430) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-12.jpg?height=48&width=1002&top_left_y=1021&top_left_x=430) + +$b=19$........................................................... (1p) + +## Subiectul II + +$a+b=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{2013}{2014}+\frac{1}{2014}\right)$ + +$a+b=\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{2013 \text { termeni }}=2013 \quad(2 p)$ + +$2+0+1+3=6 \vdots 3 \Rightarrow 2013 \vdots 3 \Rightarrow(a+b) \vdots 3 \quad(1 p)$ + +## Subiectul III + +Realizarea desenului şi notarea corectă (2p) + +$$ +\begin{aligned} +& m(\widehat{A O C})+m(\widehat{B O D})=[m(\widehat{A O D})+2 \cdot m(\widehat{D O N})]+ \\ +& +[m(\widehat{A O D})+2 \cdot m(\widehat{M O A})] \quad(2 p) \\ += & 2 \cdot m(\widehat{A O D})+2 \cdot m(\widehat{D O N})+2 \cdot m(\widehat{M O A}) \\ += & 2 \cdot[m(\widehat{A O D})+m(\widehat{D O N})+m(\widehat{M O A})] \\ += & 2 \cdot m(\widehat{M O N})=2 \cdot 90^{\circ}=180^{\circ} . \quad(1 p) +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul IV + +Realizarea desenului şi notarea corectă $(1 p)$ + +$$ +\begin{aligned} +& {[A F] \equiv[D E]} \\ +& {[E M] \equiv[M F]} +\end{aligned} +$$ + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +CentrulMetodic -Panciu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA ZONALĂ - 9 FEBRUARIE 2013 + +CLASA A V-A + +Subiectul I ( din culegere probleme) + +Compara $\square$ i numerele: + +$a=2^{3 n+2}-2^{3+1}-2^{3 n}, b=3^{2 n+1}-2 \cdot 3^{2 n}$ + +Subiectul II ( din culegere probleme) + +Afla $\square \mathrm{i}$ elementele mul $\square$ imilor A $\square \mathrm{i}$ B care îndeplinesc simultan condi $\square$ iile: +a) $A B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ +b) $A B=\{3,4\}$ +c) $A\{5,6,7\}=$ +d) $\{1,2\} \quad B \neq$ + +Subiectul III (din manual) + +Simplifica $\square \mathrm{i}$ frac $\square$ ia: + +## Subiectul IV (Gazeta matematica ) + +Andrei este cel mai mic dintre 5 fra $\square \mathrm{i} \square \mathrm{i}$ Barbu cel mai mare. Emil este mai mic decât Călin. Dumitru este mai mare decât Emil $\square$ i decât Călin. Fiecare dintre fra $\square \mathrm{i}$ diferă de următorul cu un acel $a \square$ i număr întreg de ani (se consideră ani împlini $\square \mathrm{i}$, exprima $\square \mathrm{i}$ prin numere întregi). + +1. Să se scrie în ordinea crescătoare a vârstei cei cinci fra $\square \mathrm{i}$. +2. Dacă mijlociul are 7 ani care este suma vârstelor? +3. Care este maximul vârstei pe care ar putea-o avea cel mare? + +Realizat de: Prof. Marieana Nedeloiu - $\square$ coala Gimnazială nr. 1 Străoane Prof. Stanciu lonel - $\square$ coala Gimnazială Soveja + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI + +INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +## CentrulMetodic -Panciu + +## CLASA a V-a + +## Barem de notare + +``` +Subiectul I +\(a=2^{3 n+2}-2^{3 n+1}-2^{3 n}=2^{3 n} \cdot 2^{2}-2^{3 n} \cdot 2-2^{3 n} \longrightarrow 1 p\) +\(=2^{3 n} \cdot\left(2^{2}-2-1\right) ـ 1 \mathrm{p}\). +\(=2^{3 n} \cdot(4-2-1)=2^{3 n} \cdot 1=2^{3 n} \square 1 \mathrm{p}\) +\(b=3^{2 n+1}-2 \cdot 3^{2 n}=3^{2 n} \cdot(3-2)\) +1 p. +\(=32 n \cdot 1=3^{2 n}\) +\(1 \mathrm{p}\). +\(a=2^{3 n}=\left(2^{3}\right)^{n}=8^{n} \square i b=3^{2 n}=\left(3^{2}\right)^{n}=9^{n}\) +\(1 \mathrm{p}\). +Finalizare: \(8 n<9 n\); deci \(a(\hat{M O D})=\frac{x}{2}\) + +\[ +\begin{aligned} +& m(\hat{M O B})=180^{\circ}-m(\hat{M O A})=180^{\circ}-\frac{x}{2} \ldots \ldots \ldots \\ +& m(\hat{O} C)=\frac{m(\hat{M O B})}{2}+m(\hat{B O C})=90^{\circ}+\frac{3 x}{4} \\ +& m(\hat{L O F})=\frac{m(L \hat{O} C)}{2}=45^{\circ}+\frac{3 x}{8} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +\] + +b) + +\(m(\hat{M O F})=139^{\circ}=>\frac{m(\hat{M O B})}{2}+\frac{m(\hat{O} C)}{2}=139^{\circ}\) + +\(1 p\) + +\(90^{\circ}-\frac{x}{4}+45^{\circ}+\frac{3 x}{8}=139^{\circ}\) + +\(x=32^{\circ}\) + +\(.1 p\) + +\(m(\hat{M O L})=\frac{m(\hat{M O B})}{2}=90^{\circ}-\frac{x}{4}\) + +\(m(\hat{M O L})=82^{\circ}\) + +\(1 \mathbf{p}\) + +\section*{Subiectul IV} + +Să se determine numerele naturale a şi \(b\), ştiind că \(2^{3 a}-2^{3 b}=\overline{x y z}\) şi \(\overline{x y z}\) este număr impar. + +Gazeta Matematica Nr.10/2011 + +\section*{Rezolvare} + +Daca \(\overline{x y z}\) este numar impar, atunci \(2^{3 b}=1 \Rightarrow 2^{3 b}=2^{0} \Rightarrow 3 b=0 \Rightarrow b=0\). + +Rezulta ca \(2^{3 a}-1=\overline{x y z} \Rightarrow\left(2^{3}\right)^{a}-1=\overline{x y z} \Rightarrow 8^{a}-1=\overline{x y z}\) \(2 p\) + +Pentru \(a=3\) obtinem \(8^{3}-1=512-1=511\), \(1 p\) + +\(a \leq 2\) obtinem \(8^{2}-1=64-1=63\), ceea ce nu este de trei cifre \(\mathbf{1 p}\) + +\(a \geq 4\) obtinem \(8^{4}-1=4095\), ceea ce are mai mult de trei cifre \(\mathbf{1 p}\) + +Rezulta ca singura solutie este \(a=3\) si \(b=0\). + +\section*{MINISTERUL EDUCAȚIEI I CERCETĂRII} COLEGIUL NA IONAL "AL. I. CUZA" + +\section*{Olimpiada Națională de Matematică} + +\section*{Etapa locală -februarie 2013} + +\section*{Clasa a VI-a} + +1. Arăta i că pentru orice \(n\), număr natural nenul, frac ia \(\frac{10 n+9}{15 n+1}\) este ireductibilă.(GM/2012) + +2. Se consideră numerele \(a=\frac{10,(10)}{1}+\frac{20,(20)}{2}+\frac{30,(30)}{3}+\ldots+\frac{80,(80)}{8}\), + +\[ +\begin{aligned} +& b=\frac{1}{10,(10)}+\frac{2}{20,(20)}+\frac{3}{30,(30)}+\ldots+\frac{8}{80,(80)} \quad \mathrm{i} \\ +& c=\frac{10,(10)}{10,(10) \cdot 20,(20)}+\frac{10,(10)}{20,(20) \cdot 30,(30)}+\frac{10,(10)}{30,(30) \cdot 40,(40)}+\ldots+\frac{10,(10)}{70,(70) \cdot 80,(80)} +\end{aligned} +\] + +Demonstra i că: +a) \(a \cdot b\) număr natural pătrat perfect. +b) \(b: c \in \mathrm{Q}-\mathrm{N}\). + +3. Se consideră unghiul alungit \(\angle A O B\) i de aceea i parte a dreptei \(A B\) punctele \(C\) + +i \(D\) astfel încât \(\mathrm{m}(\propto C O D)=90^{\circ}\). Determina i măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor \(\angle A O C \quad \mathrm{i}\frac{7^{401}+n}{3^{802}+2 n}\), pentru orice numere naturale \(m\) şi \(n\). + +b) Stabiliți dacă numărul natural \(x\), soluție a ecuației \(x-16=15 \cdot\left(16+16^{2}+16^{3}+\right.\) \(\left.\ldots .+16^{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{cu}\) + +\(\mathrm{n} \geq 2, \mathrm{n} \in \mathbf{N}\), este pătrat perfect + +\section*{Subiectul III} + +Fie punctele \(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K\) coliniare în această ordine astfel încât \(A B=1 \mathrm{~cm}\), \(B C=2 \mathrm{~cm}, C D=3 \mathrm{~cm}, \ldots, J K=10 \mathrm{~cm}\). + +a) Determinați lungimea segmentului \(A K\). + +b) Determinați lungimea segmentului \(C H\). + +c) Dacă \(M\) este mijlocul segmentului \(B K\), determinați lungimea segmentului \(M K\). + +Supliment Gazeta Matematică E 11.275/2012 + +\section*{Subiectul IV} + +Se consideră unghiul ascuțit \(X O Y\). In semiplanul determinat de ( \(O X\) şi în care nu se află \(Y\) se duc semimidreptele \(\left(O A\right.\) şi \(\left(O B\right.\) astfel încât \(\mathrm{m}(\angle A O X)=90^{\circ}\) şi \(\mathrm{m}(\angle B O Y)=90^{\circ}\). Se notează cu ( \(O C\) bisectoarea unghiului \(B O X\). + +a) Dacă \(\mathrm{m}(\angle X O C)\) este cu \(20^{\circ}\) mai mare decât \(\mathrm{m}(\angle X O Y)\), să se afle \(\mathrm{m}(\angle X O Y)\). + +b) Dacă (OX este bisectoarea \(\angle Y O C\), atunci \(\mathrm{m}(\angle Y O C)=\mathrm{m}(\angle X O B)\) + +Nota: Toate cele patru subiecte sunt obligatorii , fiecare dintre ele punctandu-se intre 0 si 7 puncte + +Timpul maxim de lucru 2 ore 30 minute. + +Inspectoratul Şcolar al Județului Vrancea + +\section*{OLIMPIADA DE MATEMATICĂ} + +Faza locală - 9.02.2013 + +\section*{BAREM DE CORECTARE} + +Clasa a VI-a + +\section*{Subiectul I} + +Fie A numarul cautat. + +Din suma cifrelor lui \(A=30 \vdots 3\) deducem că numarul \(A\) este divizibil cu 3 ..... + +si \(\operatorname{din} A \vdots 30\) si \((3 ; 10)=1\) obtinem ca ultima cifra a numarului \(A\) este 0 .... \(1 p\) + +Pentru a obtine un numar cat mai mic, trebuie sa gasim o scriere a lui 30 ca suma de cat mai putine cifre nenule. Fie aceasta \(9+9+9+3\). . . 2p + +Pentru ca numarul format sa fie cel mai mic alegem prima cifra(ordinul cel mai mare) egala cu 1 . ...1p + +Obtinem numarul \(1 \underbrace{00 \ldots 00}_{24 \text { cifre }} 29990\) \(2 p\) + +\section*{Subiectul II} + +a) \(\frac{3^{302}+4 m+2}{5^{201}+m+1}=\frac{3^{2} \cdot 3^{300}+4 m+2}{5 \cdot 5^{200}+m+1}=\frac{9 \cdot 27^{100}+4 m+2}{5 \cdot 25^{100}+m+1}>1\) + +................... 1 p + +(Fiecare termen al numaratorului este mai mare decat termenii numitorului) + +\[ +\frac{7^{401}+n}{3^{802}+2 n}=\frac{7^{401}+n}{9^{401}+2 n}<1 +\] + +Din cele două relații rezultă imediat inegalitatea din enunț, pentru ca orice fractie subunitara este mai mica decat o fractie supraunitara \(.1 p\) + +b) \(x-16=(16-1) \cdot\left(16+16^{2}+16^{3}+\ldots .+16^{\mathrm{n}-1}\right)\) + +\(x-16=16^{2}+16^{3}+\ldots .+16^{n-1}+16^{n}-16-16^{2}-16^{3}-\ldots .16^{\mathrm{n}-1} \quad \ldots \ldots . .1 p\) + +\(x-16=16^{\mathrm{n}}-16\) + +...................1p + +\(x=16+16^{\mathrm{n}}-16\) + +\(1 p\) + +\(x=16^{\mathrm{n}}=\left(4^{\mathrm{n}}\right)^{2}\) + +\section*{\(\underline{\text { Subiectul III }}\)} + +a) Determinarea lungimii segmentului \(A K=A B+B C+\ldots . J K=1+2+3+. .+10=55(\mathrm{~cm})\) .............. \(2 p\) + +b) Determinarea lungimii segmentului \(C H=C D+D E+. .+G H=3+4+. .+7\) + +\(=25(\mathrm{~cm}) \ldots . .2 \mathrm{p}\) + +c) Dacă \(M\) este mijlocul segmentului \(B K\), atunci \(B M=M K=B K: 2=(A K-A B): 2=54: 2=\) 27(cm) \(.3 p\) + +\section*{Subiectul IV} + +Desen corespunzator datelor problemei \(\qquad\) \(\left.\begin{array}{l}\text { Fie } \mathrm{m}(\angle X O Y)=\mathrm{a}^{\circ} \text { şi } \mathrm{m}(\angle B O X)=2 \mathrm{~b}^{\circ} \text {. } \\ \text { (OC este bisectoare } \Rightarrow \mathrm{m}(\angle B O C)=\mathrm{m}(\angle X O C)=\mathrm{b}^{\circ}\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{a}+20^{\circ}\) (1) \(\qquad\) + +\[ +\left.\begin{array}{l} +\mathrm{m}(\angle B O Y)=90^{\circ} \\ +\mathrm{m}(\angle B O Y)=2 \mathrm{~b}+\mathrm{a} +\end{array}\right\} \Rightarrow 2 \mathrm{~b}+\mathrm{a}=90^{\circ}(2) +\] + +Din (1) §̧i (2) \(\Rightarrow 2 \mathrm{a}+40^{\circ}+\mathrm{a}=90^{\circ} \Rightarrow 3 \mathrm{a}=50^{\circ} \Rightarrow \mathrm{a}=16^{\circ} 40^{\prime} \ldots \ldots .1 \mathrm{p}\) + +b) \((\mathrm{OX}\) - bisectoarea \(\angle C O Y \Rightarrow \mathrm{m}(\angle X O Y)=\mathrm{m}(\angle C O X) \Leftrightarrow \mathrm{a}=\mathrm{b}\) (3) ........1p + +(OC - bisectoarea \(\angle B O X \Rightarrow \mathrm{m}(\angle B O X)=2 \mathrm{~b} \ldots \ldots \ldots\) 0,5p + +\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{m}(\angle B O X)+\mathrm{m}(\angle Y O X)=90^{\circ} \Rightarrow 2 \mathrm{~b}+\mathrm{a}=90^{\circ}(4) \quad \ldots \ldots \ldots \mathbf{0 , 5 p} \\ +& \quad \operatorname{Din}(3) \text { si }(4) \Rightarrow \mathrm{a}=30^{\circ} \\ +& \mathrm{m}(\angle B O X)=2 \mathrm{~b} ; \mathrm{b}=\mathrm{a}=30^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}(\angle B O X)=60^{\circ} \quad \Rightarrow \Rightarrow \angle B O X \equiv \angle C O Y \ldots \ldots .1 \mathrm{p} \\ +& \mathrm{m}(\angle C O Y)=60^{\circ} +\end{aligned} +\] + +\section*{OLMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 9 FEBRUARIE 2013 \\ Clasa a VI-a} + +\section*{Subiectul 1.} + +Aratati ca numerele de forma:2 \(2^{n+3} \cdot 3^{n+1} \cdot 5^{n+2}-2^{n} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{n+1}+2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 5^{n}\) sunt divizibile cu 2010, \(\forall n \in \square^{*}\). + +Prof Tarciniu Vasile, Odobesti,Vrancea,RMIC 2/2011 + +\section*{Subiectul 2 .} + +Se dau numerele : + +\[ +\begin{aligned} +& a=1+2+2^{2} \ldots+2^{1966}+2^{1967} \\ +& b=4\left(3^{1311}-3^{1310}+3^{1309}-3^{1308}+\ldots+3^{3}-3^{2}+3-1\right) +\end{aligned} +\] + +a) Scrieți numerele \(a+1\) şi \(b+1\) ca o singură putere. + +b) Comparați numerele a şi b. + +\section*{prof. Tarciniu Vasile} + +\section*{Subiectul 3.} + +Se da fractia \(F=\frac{372372 \ldots 372379}{496496 \ldots 496505}\) in care 372 si 496 se repeta de acelasi numar de ori. Aratati ca fractia F este ireductibila. + +GM 1/2012 + +\section*{Subiectul 4.} + +Triunghiul \(\mathrm{ABC}\) are \(\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}\) si \(\mathrm{BC}=8 \mathrm{~cm}\). Bisectoarea unghiului \(\mathrm{ABC}\) intersectează (AC) în punctul D. Perpendiculara din punctul C pe dreapta BD intersectează dreapta \(\mathrm{AB}\) în \(\mathrm{E}\). + +a) Demonstrati că triunghiul DCE este isoscel. + +b) Calculati perimetrul triunghiului ADE. + +prof. Tarciniu Vasile + +\section*{Clasa a VI-a} + +\section*{BAREM DE CORECTARE SI NOTARE} + +\section*{Subiectul 1.} +\(\mathrm{N}=2^{\mathrm{n}} \cdot 2^{3} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3 \cdot 5^{\mathrm{n}} \cdot 5^{2}-2^{\mathrm{n}} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{4} \cdot 5^{\mathrm{n}} \cdot 5+2^{\mathrm{n}} \cdot 2 \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3 \cdot 5^{\mathrm{n}}\) ..... \(1 p\) +\(\mathrm{N}=2^{\mathrm{n}} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{n}} \cdot(8 \cdot 3 \cdot 25-81 \cdot 5+2 \cdot 3)\) ..... \(1 \mathrm{p}\) +\(\mathrm{N}=2^{\mathrm{n}} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{n}} \cdot(600-405+6)\) ..... \(1 p\) +\(\mathrm{N}=2^{\mathrm{n}} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{n}} \cdot 201\) ..... \(1 p\) +\(\mathrm{N}=2^{\mathrm{n}-1} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{n}-1} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 201\) ..... \(.1 \mathrm{p}\) +\(\mathrm{N}=2^{\mathrm{n}-1} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{n}-1} \cdot 2010\) ..... \(1 \mathrm{p}\) +\(\mathrm{N}: 2010, \forall n \in \square\) ..... \(1 \mathrm{p}\) +Subiectul 2. +a) \(2 \mathrm{a}-\mathrm{a}=2^{1968}-1\) ..... \(1 p\) +\(\mathrm{a}+1=2^{1968}\) ..... \(1 p\) +\(\mathrm{b}=(3+1)\left(3^{1311}-3^{1310}+3^{1309}-3^{1308}+\ldots+3^{3}-3^{2}+3-1\right)=3^{1312}-1\) ..... \(1 p\) +\(b+1=3^{1312}\) ..... \(1 p\) +b) \(a+1=2^{1968}=\left(2^{3}\right)^{656}=8^{656}\) ..... \(1 \mathrm{1p}\) +\(\mathrm{b}+1=3^{1312}=\left(3^{2}\right)^{656}=9^{656}\) ..... \(1 p\) +\(\mathrm{a}<\mathrm{b}\) ..... \(1 p\) + +\section*{Subiectul 3.} + +Se considera ca 372 si 496 se repeat de n ori. + +\(\mathrm{F}=\frac{372 \cdot 10^{n-3}+372 \cdot 10^{n-6}+\ldots+372 \cdot 10^{3}+379}{496 \cdot 10^{n-3}+496 \cdot 10^{n-6}+\ldots+496 \cdot 10^{3}+505}\) + +\(\mathrm{F}=\frac{372 \cdot\left(10^{n-3}+10^{n-6}+\ldots+10^{3}\right)+379}{496 \cdot\left(10^{n-3}+10^{n-6}+\ldots+10^{3}\right)+505}\) + +\(1 p\) + +Notam \(\mathrm{a}=\left(10^{n-3}+10^{n-6}+\ldots+10^{3}\right)\) + +\(\mathrm{F}=\frac{372 \cdot a+379}{496 \cdot a+505}\) + +Fie d este cel mai mare divizor comun pentru \(372 \cdot a+379\) si \(496 \cdot a+505\),atunci: + +\(\mathrm{d}|372 \cdot a+7 \Rightarrow \mathrm{d}| 4(372 \cdot a+7)\) + +\(\mathrm{d}|496 \cdot a+9 \Rightarrow \mathrm{d}| 3(496 \cdot a+9)\) \(.1 \mathrm{p}\) + +\(\mathrm{d} \mid 4(372 \cdot a+7)-3(496 \cdot a+9)\) \(1 \mathrm{p}\) + +\(\mathrm{d}|1488 \cdot a+28-1488 \cdot a-27 \Rightarrow \mathrm{d}| 1 \Rightarrow \mathrm{d}=1\) \(1 \mathrm{p}\) Concluzie: \(\mathrm{F}\) este ireductibila + +\section*{Subiectul 4 .} + +a) Fie \(\{M\}=B D \cap C E\). + +\(\Delta \mathrm{BMC} \equiv \Delta\) BME (ULU sau CU), de unde rezultă \([\mathrm{MC}] \equiv[\mathrm{ME}],[\mathrm{BC}] \equiv[\mathrm{BE}]\) + +(Sau se folosec proprietățile triunghiului isoscel) + +\(\Delta \mathrm{DMC} \equiv \Delta\) DME (LUL sau CC), rezultă \([\mathrm{DC}] \equiv[\mathrm{DE}]\), deci \(\Delta\) DCE isoscel ................ \(2 \mathrm{p}\) (Sau foloseşte proprietatea mediatoarei) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-27.jpg?height=63&width=1505&top_left_y=386&top_left_x=302) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-27.jpg?height=57&width=1504&top_left_y=438&top_left_x=305) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebb04296bf7f2fe58ff8g-27.jpg?height=57&width=1499&top_left_y=492&top_left_x=302)``` + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1127-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1127-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..384e5e0028420ea3ababd34e514ca117ced19d1e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1127-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,804 @@ +# Ministerul Educației Naționale Inspectoratul Şcolar Județean Vrancea
Centrul Metodic Focşani I + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Faza locală -09.02.2013 + +Clasa a V-a + +## Subiectul I + +Arătați că numărul $M=3 \cdot\left(1+3^{0}+3^{2}\right) \cdot\left(1+2 \cdot 3+2 \cdot 3^{3}\right)+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2012)$ este pătratul unui număr natural. + +Prof. Gheorghe Condorovici + +Subiectul II + +Un număr de trei cifre are primele două cifre identice, iar a treia cifră este5. Acest număr se împarte la un număr de o cifră şi se obține restul 8. Să se găsească deîmpărțitul, împărțitorul şi câtul. + +Etapa locala -Dej 2012 + +Subiectul III + +Fie şirul de numere naturale: $2,3,5,9,17,33, \ldots$ + +a) Scrieți următoarele trei numere ale şirului + +b) Aflați ultima cifră a numărului de pe locul 2013 + +Prof. Marinela Suliman + +Subiectul IV + +Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere, din cele opt, se obțin rezultatele: $42,47,50,52,54,55,56,57$. Determinați cele opt numere. + +Gazeta Matematică Nr. 12/2012 + +Notă: + +Timp de lucru: 2ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect rezolvat corect primeşte 7 puncte. + +Ministerul Educației Naționale
Inspectoratul Şcolar Județean Vrancea
Centrul Metodic Focşani I + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Faza locală -09.02.2013 + +Clasa a V-a + +Barem de corectare şi notare + +# Subiectul I. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=65&width=1363&top_left_y=802&top_left_x=305) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=59&width=1352&top_left_y=865&top_left_x=305) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=54&width=1353&top_left_y=916&top_left_x=302) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=54&width=1352&top_left_y=965&top_left_x=305) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=57&width=1349&top_left_y=1015&top_left_x=304) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=52&width=1349&top_left_y=1080&top_left_x=304) + +## Subiectul II. + +$\overline{a a 5}=b \cdot c+8,8<\mathrm{b}$, b cifră $\Rightarrow b=9$ (împărțitorul) ..... $2 \mathrm{p}$ +$110 a+5=9 c+8$ ..... $1 p$ +$110 \mathrm{a}=3(3 \mathrm{c}+1)$. ..... $1 p$ +$a \in\{3,6,9\}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{c}=73$ (câtul) ..... $1 p$ +$\overline{a a 5}=665$ (deîmpărțitul). ..... $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul III. + +a) $2=2^{0}+1 ; 3=2^{1}+1 ; 5=2^{2}+1 ; 9=2^{3}+1,17=2^{4}+1 ; \ldots \ldots \ldots . \quad 2 \mathrm{p}$ + +Următorii trei termeni sunt: $65=2^{6}+1 ; 129=2^{7}+1 ; 257=2^{8}+1 \ldots \ldots \ldots . \quad 2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=57&width=1290&top_left_y=1858&top_left_x=363) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-02.jpg?height=65&width=1349&top_left_y=1908&top_left_x=304) + +## Subiectul IV. + +Notăm cu $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8} \Rightarrow$ + +$a_{1}+42=S ; \quad a_{2}+47=S ; \quad a_{3}+50=S ; \quad a_{4}+52=S$ + +$a_{5}+54=S ; \quad a_{6}+55=S ; \quad a_{7}+56=S ;$ + +$a_{8}+57=S$ + +Din relațiile de mai sus, adunându-le membru cu membru, +obținem: $S+413=8 S$ ..... 2 +$\mathrm{p}$ +$S=413: 7=59$ + +S=413.7=59........................................................................................... + +a + +a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-03.jpg?height=51&width=591&top_left_y=511&top_left_x=306) ..... 2 + +$$ +a_{7}=59-56=3 ; a_{8}=59-57=2 ; \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +$$ + +p + +MINISTERUL EDUCA IEINA IONALE
INSPECTORATUL COLAR AL JUDE ULUI VRANCEA
CENTRUL METODIC FOC ANI II
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală- 09.02.2013
Clasa a V-a + +1. Determina i numerele naturale tiind căîmpăr ite la 7 dau câtul i restul $a$. +2. Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror apte numere,din cele opt,se ob in rezultatele: $42 ; 47 ; 50 ; 52 ; 54 ; 55 ; 56$, respectiv 57. Afla i cele opt numere. + +G.M. 12/2012 + +3. Un număr natural se nume te "olimpic"dacă are trei cifre i cifra din mijloc este egală cu suma dintre prima cifră i ultima cifră. + +Exemplu:352, unde $5=3+2$; + +440 , unde $4=4+0$; + +187 , unde $8=1+7$. + +a)Care este diferen a dintre cel mai mare i cel mai mic număr "olimpic"? + +b)Câte numere "olimpice"sunt?Justifica i răspunsul. + +4. a) Care dintre numerele i este mai mare? + +Dar dintre numerele i? + +b)Se considera tabloul cu 100 de linii: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-04.jpg?height=200&width=829&top_left_y=1754&top_left_x=320) + +De câte ori apare în acest tablou numărul 19 ? + +- Fiecare subiect rezolvat corect va fi notat cu 7 puncte +- Nu se acordă puncte din oficiu + + +## MINISTERUL EDUCA IEI NA IONALE INSPECTORATUL COLAR AL JUDE ULUI VRANCEA CENTRUL METODIC FOC ANI II + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ Etapa locală- 09.02.2013 Clasa a V-a BAREM + +1. ..... $2 p$ +$1 \mathrm{p}$ +$a$ este nr. par; $a<7$ ..... $1 p$ +$.1 p$ +........................................................................................................................................ ..... $1 p$ ..... $1 p$ +2. Notez suma celor 8 numere cu $S$ ..... $2 p$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +$1 \mathrm{p}$ +Numerele sunt: $17 ; 12 ; 9 ; 7 ; 5 ; 4 ; 3$; +3. ..... $.2 p$ +4. a) Cel mai mic număr olimpic este110, cel mai mare este +990 . ..... $2 p$ +b) $\mathrm{Nr}$. are forma ..... $1 \mathrm{p}$ +$b=1 ; b=22 \mathrm{nr} ; b=33 \mathrm{nr}$ ..... $b=99 n r$ ..... $3 \mathrm{p}$ +În total sunt 45 numere +olimpice ..... $1 p$ +5. a) ; $x Centrul Metodic Gugeşti + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
CLASA A V-A
ETAPA LOCALĂ- 09.02. 2013
BAREM DE CORECTARE + +Notă : Orice alta rezolvare corectă a subiectelor, alta decat cea din barem, se punctează corespunzător + +| $1 . \mathrm{a}$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-07.jpg?height=347&width=1330&top_left_y=755&top_left_x=225) | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $1 . \mathrm{b}$ | $N=$ număr de flori
$N=6+7+8+\ldots+47$
$N=47.48: 2-(1+2+3+4+5)$
$N=1128-15=1113$
$u(N)=3$, de aici $N$ nu este pătrat perfect | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93f4e8385cb31a4065cg-07.jpg?height=583&width=1330&top_left_y=1338&top_left_x=225) | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 3.a | $A=\left(2^{2} \cdot 25\right)^{2}:\left[3^{2013}: 3^{2011}+\left(2^{1006} \cdot 2^{1007}\right): 2^{2013}\right]-110 \cdot\left[\left(5^{3}\right)^{2}: 25^{2}-2^{3} \cdot 2\right]-7=$
$=10000:\left(3^{2}+2^{0}\right)-110 \cdot\left(5^{6}: 5^{4}-2^{4}\right)-7=$
$=1000-110.9-7=$
$=1000-990-7=$
$=10-7=3$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 3.b | $2^{n} $\operatorname{dar} 2<3<4 \Leftrightarrow 2^{1}<3<2^{2}$
$n=1$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NA IONALE + +Centrul Metodic Gugeşti + +$$ +\begin{array}{l|l} +\hline 4 & 3^{n+6}+3^{n+5}+3^{n+4}+2 \cdot 3^{n+3}+4 \cdot 3^{n}=\overline{x x x x} \Leftrightarrow \\ +3^{n} \cdot 3^{6}+3^{n} \cdot 3^{5}+3^{n} \cdot 3^{4}+2 \cdot 3^{n} \cdot 3^{3}+4 \cdot 3^{n}=x \cdot 10^{3}+x \cdot 10^{2}+x \cdot 10+x \Leftrightarrow \\ +3^{n} \cdot\left(3^{6}+3^{5}+3^{4}+2 \cdot 3^{3}+4\right)=1111 \cdot x \Leftrightarrow \\ +3^{n} \cdot(729+243+81+54+4)=1111 \cdot x \Leftrightarrow \\ +3^{n} \cdot 1111=1111 \cdot x \Leftrightarrow \\ +3^{n}=x, \text { cu x cifra } \Rightarrow \\ +n \in\{0,1,2\} \Rightarrow x \in\{1,3,9\} +\end{array} +$$ + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +CentrulMetodic -Panciu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA ZONALĂ - 9 FEBRUARIE 2013 + +CLASA A V-A + +Subiectul I ( din culegere probleme) + +Compara $\square$ i numerele: + +$a=2^{3 n+2}-2^{3+1}-2^{3 n}, b=3^{2 n+1}-2 \cdot 3^{2 n}$ + +Subiectul II ( din culegere probleme) + +Afla $\square \mathrm{i}$ elementele mul $\square$ imilor A $\square \mathrm{i}$ B care îndeplinesc simultan condi $\square$ iile: +a) $A B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ +b) $A B=\{3,4\}$ +c) $A\{5,6,7\}=$ +d) $\{1,2\} \quad B \neq$ + +Subiectul III (din manual) + +Simplifica $\square \mathrm{i}$ frac $\square$ ia: + +## Subiectul IV (Gazeta matematica ) + +Andrei este cel mai mic dintre 5 fra $\square \mathrm{i} \square \mathrm{i}$ Barbu cel mai mare. Emil este mai mic decât Călin. Dumitru este mai mare decât Emil $\square$ i decât Călin. Fiecare dintre fra $\square \mathrm{i}$ diferă de următorul cu un acel $a \square$ i număr întreg de ani (se consideră ani împlini $\square \mathrm{i}$, exprima $\square \mathrm{i}$ prin numere întregi). + +1. Să se scrie în ordinea crescătoare a vârstei cei cinci fra $\square \mathrm{i}$. +2. Dacă mijlociul are 7 ani care este suma vârstelor? +3. Care este maximul vârstei pe care ar putea-o avea cel mare? + +Realizat de: Prof. Marieana Nedeloiu - $\square$ coala Gimnazială nr. 1 Străoane Prof. Stanciu lonel - $\square$ coala Gimnazială Soveja + +MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI + +INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI VRANCEA + +## CentrulMetodic -Panciu + +## CLASA a V-a + +## Barem de notare + +``` +Subiectul I +\(a=2^{3 n+2}-2^{3 n+1}-2^{3 n}=2^{3 n} \cdot 2^{2}-2^{3 n} \cdot 2-2^{3 n} \longrightarrow 1 p\) +\(=2^{3 n} \cdot\left(2^{2}-2-1\right) ـ 1 \mathrm{p}\). +\(=2^{3 n} \cdot(4-2-1)=2^{3 n} \cdot 1=2^{3 n} \square 1 \mathrm{p}\) +\(b=3^{2 n+1}-2 \cdot 3^{2 n}=3^{2 n} \cdot(3-2)\) +1 p. +\(=32 n \cdot 1=3^{2 n}\) +\(1 \mathrm{p}\). +\(a=2^{3 n}=\left(2^{3}\right)^{n}=8^{n} \square i b=3^{2 n}=\left(3^{2}\right)^{n}=9^{n}\) +\(1 \mathrm{p}\). +Finalizare: \(8 n<9 n\); deci \(a ETAPA LOCALÃ - ADJUD + +9 februarie 2013 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. a) Demonstrați inegalitatea : $(a \cdot x+b \cdot y)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right) \cdot\left(x^{2}+y^{2}\right)$, pentru orice $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \square$. + +b) Ştiind cã $x, y \in \square$ şi $x^{2}+y^{2}=25$, arãtați cã $|3 x+4 y| \leq 25$. + +Problema 2. Este posibil ca fiecare dintre ecuațiile urmãtoare : + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}-2 a \cdot x+b-\frac{1}{4}=0 \\ +& x^{2}-2 b \cdot x+c-\frac{1}{4}=0 \\ +& x^{2}-2 c \cdot x+a-\frac{1}{4}=0, a, b, c \in \square \\ +& \text { sã nu aibã rãdãcini reale? } +\end{aligned} +$$ + +(Problema 2 este din Gazeta Matematică , nr.3/2012, Suplimentul de + +exercitii) + +Problema 3. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere reale nenule definit prin $a_{1}=\frac{1}{2}$ şi + +$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=2 n+2,(\forall) n \geq 1$ + +Sã se arate cã : $a_{1} \cdot a_{3}+a_{2} \cdot a_{4}+a_{3} \cdot a_{5}+\ldots . .+a_{n} \cdot a_{n+2}<\frac{1}{18}$. + +(Problema 3 este din Gazeta Matematică , nr.3/2012, problema 26580) + +Problema 4. În triunghiul $\mathrm{ABC}$, mediana $[\mathrm{BD}], \mathrm{D} \in(\mathrm{AC})$, întâlneşte bisectoarea $[\mathrm{AF}], \mathrm{F} \in(\mathrm{BC})$ în + +punctul O. Raportul dintre aria triunghiului DOA şi aria triunghiului BOF este egalã $\mathrm{cu} \frac{3}{8}$. + +Arãtați cã $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}$. + +Subiecte propuse de : prof. Stoleru Cristian - Liceul "Emil Botta" Adjud + +## Barem de corectare -- Clasa a IX-a --
Olimpiada de Matematică
Etapa locală -9 februarie 2013 + +## Problema 1. + +a) Ridicare la pãtrat şi înmulțire. + +$$ +2 a b x y \leq a^{2} y^{2}+b^{2} x^{2} \Leftrightarrow(a y-b x)^{2} \geq 0 \text { (adevãrat). } +$$ + +............................................................. (2p) + +b) $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=4 \Rightarrow(3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y})^{2} \leq\left(3^{2}+4^{2}\right)\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)$ şi aplicând radicalul de ordin 2 rezultã concluzia (4p) + +## Problema 2. + +Calculeazã discriminanții ecuațiilor: + +$\Delta_{1}=4 \mathrm{a}^{2}-4\left(\mathrm{~b}-\frac{1}{4}\right), \Delta_{2}=4 \mathrm{~b}^{2}-4\left(\mathrm{c}-\frac{1}{4}\right), \Delta_{3}=4 \mathrm{c}^{2}-4\left(\mathrm{a}-\frac{1}{4}\right)$ + +Ecuațiile nu au rãdãcini reale dacã + +$\Delta_{1}, \Delta_{2}, \Delta_{3}<0 \Rightarrow \Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}<0 \Leftrightarrow(2 a-1)^{2}+(2 b-1)^{2}+(2 \mathrm{c}-1)^{2}<0$ ceea ce este imposibil deoarece + +$(2 \mathrm{a}-1)^{2} \geq 0, \forall \mathrm{a} \in$ + +Concluzia : nu este posibil ca toate ecuațiile sã nu aibã rãdãcinile reale + +(1p) + +## Problema 3. + +Adunã relațiile : + +$\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n-1}}=2 n, \frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n-2}}=2(n-1), \ldots . ., \frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{1}}=2 \cdot 2$ + +p) + +$a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$ şi + +$\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cdot a_{k+2}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right) \mathbf{( 3}$ + +p) + +$$ +\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{k}} \cdot \mathrm{a}_{\mathrm{k}+2}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}\right)<\frac{1}{18} +$$ + +..................... (2p) + +Problema 4. + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{DOA}}}{\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOF}}}=\frac{\frac{\mathrm{AO} \cdot \mathrm{OD} \cdot \sin \mathrm{AOD}}{2}}{\frac{\mathrm{BO} \cdot \mathrm{OF} \cdot \sin \mathrm{BOF}}{2}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OF}} \cdot \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{BO}}=\frac{3}{8} . \\ +& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .(\mathbf{2 p )} +\end{aligned} +$$ + +$\triangle \mathrm{ABC},\left(\mathrm{AF}=\right.$ bisect. $\square \mathrm{BAC} \Rightarrow \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$. + +.............. $1 p$ ) + +În $\triangle \mathrm{AFC}, \mathrm{B}-\mathrm{O}-\mathrm{D}$ transversala (Menelaos) $\Rightarrow \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BF}} \cdot \frac{\mathrm{FO}}{\mathrm{OA}}=1 \Rightarrow \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{FO}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BF}}$ + +..(1p) + +În $\triangle \mathrm{BDC}, \mathrm{F}-\mathrm{O}-\mathrm{A}$ transversala (Menelaos) $\Rightarrow \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}} \cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AD}} \cdot \frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}}=1 \Rightarrow \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}=\frac{2 \mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}$ + +$\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OF}} \cdot \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{BO}}=\frac{3}{8} \Rightarrow \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BF}} \cdot \frac{\mathrm{FC}}{2 \mathrm{BF}}=\frac{3}{8} \Rightarrow \frac{x+y}{x} \cdot \frac{y}{2 x}=\frac{3}{8} \Leftrightarrow 3 x^{2}-4 x y-4 y^{2}=0$ + +...............(1p) + +$3 x^{2}-4 x y-4 y^{2}=0 \left\lvert\, \cdot \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow 4 t^{2}+4 t-3=0\right.$, unde $\frac{y}{x}=t, \Rightarrow t=\frac{1}{2}=\frac{y}{x}=\frac{A C}{A B}$ $\qquad$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1129-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1129-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa2d287c8b34490bb2d59094706de01cd27f69fd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1129-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,94 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b87112892b53cea53dbg-1.jpg?height=290&width=217&top_left_y=251&top_left_x=1431) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - etapa locală
9.02.2013-CLASA a XII-a + +1. a) Să se determine o primitivă a funcției $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{n x^{n+1}+1}{x^{2 n+2}-2 x^{n+1}+x^{2}+1}, n \in N^{*}$. + +b) Să se calculeze $\int \frac{\sin x \cdot \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{e^{2 x}-\sin ^{2} x} d x, x \in(0, \infty)$. + +2. Fie $M=\left\{x \cdot\left(\begin{array}{ll}-3 & 1 \\ -9 & 3\end{array}\right)+I_{2} / x \in \mathbb{R}\right\}$. Să se arate că : +a) $(M ; \cdot)$ este grup comutativ ; +b) $(M ; \cdot) \cong\left(R_{+}^{*},.\right)$ +3. Fie (G, $\cdot$ ) un grup cu elementul neutru $e$. Pentru $a \in G$ şi $n \in N, n \geq 2$ se defineşte $f_{a}: G \rightarrow G$ astfel încât $f_{a}(x \cdot a)=a^{n} \cdot x(\forall) x \in G$. + +Să se arate că $f_{a}$ este automorfism de grupuri dacă si numai dacă $a^{n-1}=e$. + +4. Fie $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ o funcție continuă. Definim şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in N}$ prin $x_{0}=\frac{1}{2}$ şi $x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\int_{0}^{x_{n}} f(t) d t\right)$ pentru $n \in N$. + +Să se arate că şirul este convergent şi să se calculeze limita sa. + +( G.M.11/2012) + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE + +1.a) Pentru $x \neq 0$, + +$$ +\int f(x) d x=\int \frac{n x^{n-1}+\frac{1}{x^{2}}}{x^{2 n}-2 x^{n-1}+1+\frac{1}{x^{2}}} d x=\int \frac{\left(x^{n}-\frac{1}{x}\right)^{\prime}}{\left(x^{n}-\frac{1}{x}\right)^{2}+1} d x=\operatorname{arctg}\left(x^{n}-\frac{1}{x}\right)+\mathscr{C}=G(x)+\mathscr{R} +$$ + +O primitivă a funcției are forma : + +$$ +F(x)=\left\{\begin{array}{ccc} +G(x) & , & \mathrm{x}<0 \\ +\mathrm{c}_{1} & , & \mathrm{x}=0 \\ +\mathrm{G}(\mathrm{x})+c_{2} & , \quad \mathrm{x}>0 +\end{array}\right. +$$ + +Cum $G(0-0)=\frac{\pi}{2}$, şi $G(0+0)=-\frac{\pi}{2}+c_{2}$ se obține $c_{1}=\frac{\pi}{2}$ şi $c_{2}=\pi$. + +1.b) Integrala se poate scrie succesiv + +$\int \frac{\sin x \cdot \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{e^{2 x}-\sin ^{2} x} d x=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x}{e^{2 x}-\sin ^{2} x} d x(1 p)=$ + +$\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{\sin ^{2} x-e^{2 x}+e^{2 x}-\sin x \cdot \cos x}{e^{2 x}-\sin ^{2} x} d x(2 p)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \int d x+\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{\left(e^{2 x}-\sin ^{2} x\right)^{\prime}}{\left(e^{2 x}-\sin ^{2 x}\right)} d x=$ + +$-\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{\sqrt{2}}{4} \ln \left(e^{2 x}-\sin ^{2} x\right)+C(1 p)$ + +2. Se notează $A=\left(\begin{array}{ll}-3 & 1 \\ -9 & 3\end{array}\right)$ şi $M=\left\{A(x)=x A+I_{2} / x \in \mathbb{R}\right\}$. +a) $A^{2}=O_{2} \Rightarrow A(x) \cdot A(y)=A(x+y) \in M$ + +Asociativitatea, Comutativitatea + +(1p) + +Elementul neutru, Elementele simetrizabile + +(1p) + +b) Funcția $f: M \rightarrow \mathbb{R}, f(A(x))=x(\forall) A(x) \in M$ este izomorfism de grupuri de la $(M, \cdot) \mathrm{la}(R,+)$ + +$(R,+) \cong\left(R_{+}^{*},.\right)\left(\right.$ ex.g: $\left.\mathrm{R} \rightarrow \mathbf{R}_{+}^{*}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{x}\right)$ + +izomorfism de grupuri $(M ; \cdot) \cong\left(R_{+}^{*},.\right)$...... + +(1p) +3. $f_{a}: G \rightarrow G ; \quad f_{a}(x \cdot a)=a^{n} \cdot x(\forall) x \in G$ + +$x \rightarrow x \cdot a^{-1} \Rightarrow f_{a}(x)=a^{n} \cdot x a^{-1}$. + +$$ +\begin{aligned} +& " \Rightarrow ": f_{a} \text { automorfism } \Rightarrow f \text { morfism de grupuri } \Rightarrow \\ +& \Rightarrow f_{a}(x y)=f_{a}(x) \cdot f_{a}(y)(\forall) x, y \in G \Rightarrow a^{n} x y a^{-1}=a^{n} x a^{-1} \cdot a^{n} y a^{-1} \Rightarrow \\ +& \Rightarrow x y=x a^{n-1} \cdot y \Rightarrow a^{n-1}=e \\ +& “ \Rightarrow ”: a^{n-1}=e \Rightarrow a^{n}=a \Rightarrow f(x)=a \cdot x \cdot a^{-1} \ldots(1 \mathrm{p}) +\end{aligned} +$$ + +4. Se demonstrează că $x_{n} \geq 0, \forall n \in N$ (ind.) (1p); + +Pentru că $0 \leq f(t) \leq 1, \forall t \in[0,1] \Rightarrow \int_{0}^{x_{n}} f(t) d t \leq \int_{0}^{x_{n}} d t=x_{n}$, de unde rezultă că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in N}$ este descrecător.(2p) . Şirul fiind descrescător şi mărginit inferior este convergent.(1p) În consecinţă şirul este convergent. + +Cu teorema de medie rezultă că există $c_{n} \in\left[0, x_{n}\right]$ astfel încât $\left.\int_{0}^{x_{n}} f(t) d t=x_{n} f\left(c_{n}\right) \cdot \mathbf{( 2 p}\right)$ Înlocuind în relația din enunț, se trece apoi la limită în relația obținută.(1p) + +## Orice soluție corectă se punctează cu 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-113-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-113-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8c0eca82badad78ed736d913d1471e713cbd7d1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-113-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,139 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da9574e77798146bfdc7g-1.jpg?height=246&width=266&top_left_y=300&top_left_x=496) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE \$̦ CERCETÃRII \$TIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 + +CLASA a 11-a + +## Enunţuri + +Problema 1. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$, astfel încât + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{2}\right)=3 +$$ + +Demonstraţi că + +$$ +A^{2}\left(A^{2}+I_{2}\right)=2 I_{2} +$$ + +Problema 2. Fie matricele $A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), n \geq 2$ si $k \in \mathbb{R}$ astfel încât $A C+k B D=I_{n}$ şi $A D=B C$. Demonstraţi că $C A+k D B=I_{n}$ şi $D A=C B$. + +Problema 3. Determinaţi funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea + +$$ +f\left(x+\frac{1}{n}\right) \leq f(x)+\frac{1}{n}, \text { pentru orice } x \in \mathbb{R} \text { si } n \in \mathbb{Z}^{*} +$$ + +Problema 4. Fie $I \subset \mathbb{R}$ un interval deschis şi $f, g: I \rightarrow \mathbb{R}$ două funcţii care au proprietatea + +$$ +\frac{f(x)-g(y)}{x-y}+|x-y| \geq 0, \text { oricare ar fi } x, y \in I, x \neq y +$$ + +i) Demonstraţi că $f$ şi $g$ sunt funcţii crescătoare. + +ii) Daţi exemplu de funcţii $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \neq g$ care verifică relaţia din ipoteză. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Stiinţe Matematice din România +Ministerul Educaţiei Nationale şi Cercetării + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE \$̦ CERCETÃRII \$TIINȚIFICE + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 + +## CLASA a 11-a + +## Enunţuri şi bareme + +Problema 1. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$, astfel încât + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{2}\right)=3 +$$ + +Demonstraţi că + +$$ +A^{2}\left(A^{2}+I_{2}\right)=2 I_{2} +$$ + +Supliment Gazeta Matematică + +Soluţie. Fie $A=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right), x, y, z, t \in \mathbb{C}, \alpha=\operatorname{Tr}(A)$ si $\beta=\operatorname{det}(A)$. Atunci $A^{2}-\alpha A+\beta I_{2}=O_{2}$, de unde $A^{2}+A+I_{2}=(1+\alpha) A+(1-\beta) I_{2}$. Din $\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{2}\right)=3$ reiese $\left|\begin{array}{cc}(1+\alpha) x+1-\beta & (1+\alpha) y \\ (1+\alpha) z & (1+\alpha) t+1-\beta\end{array}\right|=3$. Din $x+t=\alpha$ şi $x t-y z=\beta$, obţinem ecuaţia $(\alpha+1)(\alpha+\beta)+(1-\beta)^{2}=3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da9574e77798146bfdc7g-2.jpg?height=60&width=1363&top_left_y=1561&top_left_x=370) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da9574e77798146bfdc7g-2.jpg?height=49&width=1298&top_left_y=1618&top_left_x=435) + +Dacă $\alpha=0$, atunci obţinem $\beta=2$ sau $\beta=-1$. Dacă $\beta=-1$ obţinem $\alpha=0$. . $2 p$ + +Avem $A^{2}-I_{2}=O_{2}$ sau $A^{2}+2 I_{2}=O_{2}$ şi de aici concluzia $1 p$ + +Problema 2. Fie $A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), n \geq 2$ şi $k \in \mathbb{R}$ astfel încât $A C+k B D=I_{n}$ şi $A D=B C$. Demonstraţi că $C A+k D B=I_{n}$ şi $D A=C B$. + +Soluţie. Pentru început considerăm $k \neq 0$. Fie $w \in \mathbb{C}$ astfel încât $w^{2}=-k$. Considerăm matricele $X=A+w B, Y=C-w D, Z=A-w B$ şi $U=C+w D$. Ipoteza conduce la $X Y=I_{n}$ şi $Z U=I_{n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3 \mathbf{m}$ + +Atunci $Y X=I_{n}$ şi $U Z=I_{n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. + +Deducem $(C A+k D B)-w(D A-C B)=I_{n}$ şi $(C A+k D B)+w(D A-$ $C B)=I_{n}$, de unde se obţine concluzia.............................................. + +Pentru $k=0$ rezultă $A C=I_{n}$, de unde $C A=I_{n}$. Din $A D=B C$ şi $C A=I_{n}$ deducem că $A D A=B$ şi apoi $D A=C B \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Problema 3. Determinaţi funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea + +$$ +f\left(x+\frac{1}{n}\right) \leq f(x)+\frac{1}{n}, \text { pentru orice } x \in \mathbb{R} \text { si } n \in \mathbb{Z}^{*} +$$ + +Soluţie: Prin inducţie se demonstrează că $f(x+r) \leq f(x)+r$, pentru + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da9574e77798146bfdc7g-3.jpg?height=49&width=1366&top_left_y=493&top_left_x=371) + +Continuitatea funcţiei $f$ şi densitatea lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$ conduc la $f(x+y) \leq$ $f(x)+y$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$ şi $y \in \mathbb{R} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$....................................... + +Se obţin funcţiile $f_{a}(x)=x+a$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$ cu $a \in \mathbb{R} \ldots \ldots .1 \mathbf{1}$ + +Se verifică faptul că aceste funcţii corespund ipotezei .................1p + +Problema 4. Fie $I \subset \mathbb{R}$ un interval deschis şi $f, g: I \rightarrow \mathbb{R}$ două funcţii care au proprietatea + +$$ +\frac{f(x)-g(y)}{x-y}+|x-y| \geq 0, \text { oricare ar fi } x, y \in I, x \neq y +$$ + +i) Demonstraţi că $f$ şi $g$ sunt funcţii crescătoare. + +ii) Daţi exemplu de funcţii $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \neq g$ care verifică relaţia din ipoteză. + +Soluţie. i) Din ipoteză rezultă $f(x)+(x-z)^{2} \geq g(z) \geq f(y)-(z-y)^{2}$, oricare ar fi $x>z>y, x, y, z \in I$; în particular, $f(x)+(x-y)^{2} \geq f(y)$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da9574e77798146bfdc7g-3.jpg?height=55&width=1369&top_left_y=1306&top_left_x=367) + +Pentru $a, b \in I, a>b$, luând $n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{k}=a-\frac{k}{n}(a-b), k \in \overline{0, n}$ obţinem $f\left(x_{k}\right)+\left(x_{k}-x_{k+1}\right)^{2} \geq f\left(x_{k+1}\right), k=\overline{0, n-1}$, iar prin adunare $f(a)+\frac{1}{n}(a-b)^{2} \geq f(b)$. Cum această inegalitate este adevărată pentru orice + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da9574e77798146bfdc7g-3.jpg?height=49&width=1366&top_left_y=1510&top_left_x=371) + +Analog, $g$ este crescătoare ................................................1p + +ii) Un exemplu cu $I=\mathbb{R}$ este $f(x)=0$ pentru $x<0, f(x)=1$ pentru $x \geq 0$ şi $g(x)=0$ pentru $x \leq 0, g(x)=1$ pentru $x>0$. . . $2 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1130-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1130-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b46a9b29b4882245580d8f7ae220eb252fe4936a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1130-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,114 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928, FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro + +website $: \underline{\text { http://isi.vs.edu.ro }}$ +MINISTERUL EDUCATTIEI CERCETĂRII TINERETULUI ŞI SPORTULUI + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ
9 februarie 2013-CLASA a XI-a + +1. Fie $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right) \in M_{2}(\mathrm{Z})$ : + +a) Calculați $A^{n}, n \in N^{*}$. + +b) Determinati $\mathrm{X} \in M_{2}(\mathrm{Z})$ astfel încat $\mathrm{AX}=\mathrm{XA}$. + +c) Daca $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{ll}a & \delta \\ b & 2\end{array}\right) \in M_{2}(\mathrm{Z})$, determinati $X^{n}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$. + +2. Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in M_{n}(R)$ cu proprietatea că oricare două dintre ele comută. + +a)Arătaţi că $\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}+\mathrm{C}^{2}-\mathrm{AB}-\mathrm{BC}-\mathrm{CA}=\left(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}+\varepsilon^{2} \mathrm{C}\right)\left(\mathrm{A}+\varepsilon^{2} \mathrm{~B}+\varepsilon \mathrm{C}\right)$, unde $\varepsilon$ este o rădăcină complexă nereală de ordinul trei a unitătii. + +b) Demonstrați că $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}+\mathrm{C}^{2}-\mathrm{AB}-\mathrm{BC}-\mathrm{CA}\right) \geq 0$. + +3. Fie sirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, x_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k}^{n}\left\{\sqrt{n^{2}+k}\right\}, \mathrm{n} \geq 1$ unde $\{x\}$ reprezinta partea fractionara a lui x. + +a) Calculati $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +b) Calculati $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x_{m}-\frac{1}{4}\right)$. + +4. Considerăm şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ de numere reale definit prin: $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+2 x_{n}}{6}, n \geq 0$. Să se arate că pentru $x_{0} \in[0,2]$ are limită finită. Determinați această limită. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE + +1.a) Calculează $A^{2}, A^{3}$. $\qquad$ ( 1p) + +Presupunem $A^{n}=\left(\begin{array}{ll}x_{n} & y_{n} \\ y_{n} & x_{m}\end{array}\right)$ si demonstrăm prin inducție matematică că $A^{n+1}=\left(\begin{array}{ll}x_{n+1} & y_{n+1} \\ y_{n+1} & x_{n+1}\end{array}\right)$, unde: $x_{n+1}=x_{n}+2 y_{n} y_{n+1}=2 x_{n}+y_{n} \Rightarrow x_{n}=\frac{3^{n}+(-1)^{n}}{2}, y_{n}=\frac{3^{n}-(-1)^{n}}{2} \ldots .(\mathbf{2}, \mathbf{5} \mathbf{p})$ + +2.b) $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ si $\mathrm{AX}=\mathrm{XA}$ se obtine $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right)$ (1p) + +2.c) Se demonstreaza prin inductie matematica : + +$$ +X^{n}=\left(\begin{array}{ll} +\frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}}{2} & \frac{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}}{n^{2}} \\ +\frac{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}}{2} & \frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}}{2} +\end{array}\right),(\forall) n \in N^{*} +$$ + +2.a) Fie $\varepsilon$ rădăcina complexă de ordin trei a unitătii. Atunci $\varepsilon^{2}+\varepsilon+1=0, \varepsilon^{3}=1$ conduc la $\varepsilon^{2}+\varepsilon=-1, \varepsilon^{4}=\varepsilon(\mathbf{1 p})$. + +Desfacerea parantezelor din membrul drept şi efectuarea calculelor, finalizare (2p) + +2.b) $\left.\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}+\mathrm{C}^{2}-\mathrm{AB}-\mathrm{BC}-\mathrm{CA}\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}+\varepsilon^{2} \mathrm{C}\right)\left(\mathrm{A}+\varepsilon^{2} \mathrm{~B}+s \mathrm{C}\right) \mathbf{( 1 p}\right)=$ $=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}+\varepsilon^{2} \mathrm{C}\right)\left(\overline{\left.\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}+a^{2} \mathrm{C}\right)}(\mathbf{1} \mathbf{p})=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}+\varepsilon^{2} \mathrm{C}\right) \cdot \operatorname{det}\left(\overline{\left.\mathrm{A}+\varepsilon \mathrm{B}+\varepsilon^{2} \mathrm{C}\right)}\right.\right.$ + +(1p) $=\left|\operatorname{det}\left(A+a B+a^{2} C\right)\right|^{2} \geq 0(1 p)$. + +3.a) $\left[\sqrt{n^{2}+k}\right]=\mathrm{n},(\mathrm{V}) 1 \leq k \leq n$, astfel + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{\sqrt{n^{2}+k}\right\}=\sqrt{m^{2}+k}-\mathrm{n} \\ +& x_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{n^{2}+k}-n\right)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{\sqrt{n^{2}+k}+n} +\end{aligned} +$$ + +$\frac{k}{\sqrt{n^{2}+n}+n} \frac{k}{\sqrt{n^{2}+k}+n} \frac{k}{\sqrt{n^{2}+1}+n}, \quad$ prin sumare si inmultire cu $\frac{1}{n}$ se obtine: $\frac{n+1}{2\left(\sqrt{n^{2}+n}+n^{2}\right)} x_{n} \frac{n+1}{2\left(\sqrt{n^{2}+1}+n\right)} \quad$ (1p) + +Se aplica criteriul clestelui si se obtine $\lim _{\mathrm{m} \rightarrow \mathrm{m}}=\frac{1}{4}$ + +(1p) + +3.b) + +$$ +n\left(x_{n}-\frac{1}{4}\right)=n x_{n}-\frac{m}{4}=\left(n x_{n}-\frac{n+1}{4}\right)+\frac{1}{4}= +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& =\Sigma_{k-1}^{n} \frac{k}{\sqrt{n^{2}+k}+n}-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{n}+\frac{1}{4}=-\sum_{k-1}^{n} \frac{k^{2}}{2 m\left(\sqrt{n^{2}}+k+n\right)^{2}}+\frac{1}{4} \quad \text { (1p) } \\ +& 2 n\left(\sqrt{n^{2}+n}+\mathrm{n}\right)^{2} \leq 2 n\left(\sqrt{n^{2}+k}+\mathrm{n}\right)^{2} \leq 2 n\left(\sqrt{n^{2}+1}+\mathrm{n}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Prin sumare se obtine: + +$$ +\frac{n(n+1)(2 n+1)}{12 m\left(\sqrt{n^{*}+n}+n\right)^{2}} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{2 m\left(\sqrt{n^{4}}+k+n\right)^{2}} \leq \frac{n(n+1)(2 n+1)}{12 m\left(\sqrt{n^{*}}+1+n\right)^{2}} \quad \text { (1p) } +$$ + +Se aplica criteriul clestelui si se obtine $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x_{n}-\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{24}$ (1p) + +4. Observăm că dacă $x_{0}=2$ rezultă imediat $x_{n}=2, n \geq 1$, şi $\quad \underset{n \rightarrow \infty}{ } x_{\mathrm{n}}=2$ (1p). + +Dacă $0 \leq x_{0} \prec 2 \quad$ calculăm diferența + +$x_{n+1}-x_{n}=\frac{x_{n}^{3}-4 x_{n}}{6}=\frac{1}{6} x_{n}\left(x_{n}-2\right)\left(x_{n}+2\right), n \geq 0$.(2p) + +Arătăm prin inducție că $x_{n} \prec 2, n \geq 1$. În adevăr $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+2 x_{n}}{6} \prec \frac{2^{3}+2.2}{6}=\frac{12}{6}=2, \forall x \geq 0$. + +(2p) + +Atunci $x_{n+1}-x_{n} \prec 0$, deci şirul este descrecător. Notând $l=\underset{W \rightarrow 1 m}{\lim } x_{\mathrm{m}}$ obținem $l=\frac{l^{3}+2 l}{4}$, de unde $l \in\{0,-2,2\}$. (1p) Cum $0 \leq x_{n} \prec x_{0} \prec 2$, rezultă $l=0$.(1p) + +Orice soluție corectă se punctează cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1131-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1131-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a71f6d79875e51f9e7327348ff81ad9a5c08cbec --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1131-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,106 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN V A S L U I + +MINISTERUL + +EDUCAȚIEI CERCETĂRII + +TINERETULUI + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro + +ŞI SPORTULUI + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37a185369aec27a543b2g-1.jpg?height=293&width=209&top_left_y=287&top_left_x=1443) + +ROMANIA + +website $:$ http://isj.vs.edu.ro + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală
9.02.2013-clasa a X-a + +1.a) Se dă funcția $f: R \rightarrow R, f(x)=12^{x}-4.3^{x}-9.4^{x}+37$. Este funcția $\mathrm{f}$ injectivă? + +b) Fie funcția $f:(0, \infty) \rightarrow R$, astfel încât: +i) $f(x y)=f(x)+f(y) \forall x, y>0$ + +ii) $f(x) \in R^{*}, \forall x \in(0, \infty)-\{1\}$. + +Să se arate că f este injectivă. + +2. Considerăm numerele reale $a, b, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in(0,1)$ astfel încât $b^{n} \leq x_{1} \cdot x_{2} \ldots x_{n}$. + +Să se arate că $\left(\log _{a} b\right)^{n} \geq \log _{a} x_{1} \cdot \log _{a} x_{2} \ldots \log _{a} x_{n}$. + +3. Se consideră $\mathrm{x}=4^{\frac{2013}{n}+1}-5.2^{\frac{2013}{n}}+1$ cu $n \in N$ și $n \geq 2$. Dacă y este numitorul fracției care + +se obține după raționalizarea fracției $\frac{1}{x}$, atunci să se arate că y este divizibil cu 7 . + +4. Fie numerele complexe distincte $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ astfel încât . $(a+b)^{3}=(b+c)^{3}=(c+a)^{3}$. Să se arate că $a^{3}=b^{3}=c^{3}$. + +(G.M. nr.9/2012) + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE + +Soluţie 1.a) Funcția $f$ se poate scrie succesiv: + +$$ +\begin{aligned} +& f(x)=12^{x}-4 \cdot 3^{x}-9 \cdot 4^{x}+37=4^{x} \cdot 3^{x}-4 \cdot 3^{x}-9 \cdot 4^{x}+36+1= \\ +& 3^{x}\left(4^{x}-4\right)-9\left(4^{x}-4\right)+1=\left(3^{x}-9\right) \cdot\left(4^{x}-4\right)+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +Se observă că $f(1)=f(2) c u 1 \neq 2$, deci funcția $\mathrm{f}$ nu este injectivă......... $0,5 \mathrm{p})$ + +Soluți 1.b) Pentru $x=y=1$ obținem $f(1)=f(1)+f(1)$ adică $f(1)=0$ + +Apoi trecând pe y în $\frac{1}{x}$ avem că $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$ + +Fie $f(x)=f(y) \mathrm{cu} x, y \in(0, \infty)$ oarecare. + +Dacă $y \rightarrow \frac{1}{y}$ rezultă $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{y}\right)$ $\qquad$ +De aici obținem că $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)=0$ $\qquad$ +$\operatorname{Dar} f(x) \in R^{*}, \forall x>0$ \&t $x \neq 1 \quad$ și $f(1)=0$ + +Cum $f\left(\frac{x}{y}\right)=0$ obținem că $\frac{x}{y}=1$ adică $x=y$ și deci funcția $\mathrm{f}$ este injectivă..... $\left.1,5 \mathrm{p}\right)$ + +Soluție2. Aplicăm în ambii membrii ai inegalităţii $b^{n} \leq x_{1} \cdot x_{2} \ldots x_{n}$. logaritmul în baza a şi ținem seama că $a \in(0,1) \ldots .(\mathbf{1 p})$ + +şi obținem: $\log _{a} b^{n} \geq \log _{a}\left(x_{1} \cdot x_{2} \ldots x_{n}\right)=\log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\ldots+\log _{a} x_{n .}(\mathbf{1} \mathbf{p}) \Leftrightarrow$ + +$n \log _{a} b \geq \log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\ldots+\log _{a} x_{n}$ + +$\Leftrightarrow \log _{a} b \geq \frac{\log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\ldots+\log _{a} x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{\log _{a} x_{1} \cdot \log _{a} x_{2} \ldots \log _{a} x_{n}}$ (3p) de unde, prin ridicare la puterea a n-a a ambilor membrii ai inegalitții anterioare se obține relația care trebuia demonstrată.(1p) Am aplicat inegalitatea mediilor posibilă, deoarece $\log _{a} x_{i} \succ 0, i \in\{1,2, \ldots, n\} .(1 p)$ + +## Soluție 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37a185369aec27a543b2g-3.jpg?height=114&width=1689&top_left_y=1103&top_left_x=240) + +Notăm $a=\sqrt[n]{2^{2018}}$ și obţinem : $x=4 a^{2}-5 a+1=(4 a-1)(a-1)$ + +După raţionalizare numitorul fracţiei devine $y=\left(4^{n} \cdot 2^{2013}-1\right) \cdot\left(2^{2018}-1\right) \ldots \ldots \ldots$ + +$2^{2013}-1=\left(2^{3}\right)^{671}-1=\left(M_{7}+1\right)-1=M_{7} \Rightarrow y \vdots 7$ + +## Soluție 4. + +$(a+b)^{3}=(b+c)^{3} \Rightarrow\left(a+b^{2}\right)+(a+b)(b+c)+(b+c)^{2}=0$ (1) + +$(b+c)^{2}=(c+a)^{2}-(b+c)^{2}+(b+c)(c+a)+(c+a)^{2}=0$ + +(2) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37a185369aec27a543b2g-4.jpg?height=57&width=1694&top_left_y=248&top_left_x=243) + +Avem $(\alpha+b)^{2}=-\xi^{2} \quad(a+\varepsilon)^{3}=-\beta^{2} \quad \quad(b+\varepsilon)^{3}=-a^{3}$ și $(a+b)^{3}=(b+c)^{3}=(c+a)^{3} \Rightarrow$ + +$a^{3}=b^{3}=c^{3}$ + +Orice altă soluție corectă se punctează cu $7 \mathbf{p}$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1132-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1132-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ffad1e5c5c0f4c19766d890ccd8da9f6b8124d06 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1132-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,99 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÄ + +## Etapa locală - 9.02.2013- Clasa a VIII-a + +1. Determinați un număr întreg care să fie soluție a ecuației + +$$ +\frac{x^{2}-x+7}{9}+\frac{x^{2}-2 x+7}{10}+\frac{x^{2}-3 x+7}{11}+\ldots+\frac{x^{2}-2013 x+7}{2021}=2013 +$$ + +2. a) Dacă $a \in(0,+\infty)$ şi $b \in(0,+\infty)$ astfel încât $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+2}$, arătați că $\frac{\sqrt{a b+1}}{a+b+1}$ este număr natural. + +b) Arătați că ecuația $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1006}}+\frac{1}{\sqrt{2012-x}+\sqrt{1006}}=\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{2012-x}}$ are 2013 soluții în mulțimea numerelor întregi. + +(G.M. nr. 9/2012) + +3. În triunghiul $\mathrm{ABC}$ cu $\mathrm{m}\left(* A=90^{\circ}\right)$, $\llbracket C D$ este bisectoarea $\Varangle A C B, \mathrm{D} \in(\mathrm{AB}), \mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$, $\mathrm{E} \in(\mathrm{BC})$ iar $\mathrm{P}$ este un punct pe perpendiculara în $E$ pe planul triunghiului. Dacă $\mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=$ $20 \mathrm{~cm}, \mathrm{PE}=6 \mathrm{~cm}$, aflați: + +a)lungimea segmentului (PD) + +b)distanța de la P la CD. + +4. În vârful $\mathrm{D}$ al pătratului $\mathrm{ABCD}$ se ridică perpendiculara pe planul $(\mathrm{ABC})$ pe care se ia un punct $\mathrm{M}, M D \neq A B$. Ducem $D P \perp M A, D Q \perp M C(P \in(M A), Q \in(M C))$. + +a) Arătați că $\mathrm{PQ} \|$ (ABD) ; + +b) Calculați $m(\angle(M B, P Q))$; + +c) Demonstrați că proiecția lui $\mathrm{D}$ pe $\mathrm{PQ}$ aparține dreptei $\mathrm{MO}$, unde $\mathrm{O}$ este centrul pătratului $\mathrm{ABCD}$ + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE + +1. Soluție: Sunt 2013 fractii. Avem + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\frac{x^{2}-x+7}{9}-1\right)+\left(\frac{x^{2}-2 x+7}{10}-1\right)+\left(\frac{x^{2}-3 x+7}{11}-1\right)+\ldots+\left(\frac{x^{2}-2013 x+7}{2021}-1\right)=0 \ldots .(\mathbf{2 p}) \\ +& \frac{x^{2}-x-2}{9}+\frac{x^{2}-2 x-3}{10}+\frac{x^{2}-3 x-4}{11}+\ldots+\frac{x^{2}-2013 x-2014}{2021}=0 \Leftrightarrow(2 p) \\ +& \frac{(x+1)(x-2)}{9}+\frac{(x+1)(x-3)}{10}+\frac{(x+1)(x-4)}{11}+\ldots+\frac{(x+1)(x-2014)}{2021}=0(2 p) \Rightarrow x=-1 \text { răd.(1p) } +\end{aligned} +$$ + +2.a) $\frac{a+b}{a b}=\frac{1}{a+b+2} \Rightarrow a b=(a+b)(a+b+2)$ + +$\frac{\sqrt{a b+1}}{a+b+1}=\frac{\sqrt{(a+b)(a+b+2)+1}}{a+b+1}=$ + +$=\frac{\sqrt{(a+b)^{2}+2(a+b)+1}}{a+b+1}=$ + +$1 p$ + +$=\frac{\sqrt{(a+b+1)^{2}}}{a+b+1}=\quad(1 \mathrm{p}) \quad=\frac{|a+b+1|}{a+b+1}=$ $1 \mathrm{p}$ $=\frac{a+b+1}{a+b+1}=1 \in \mathbb{N}$ deoarece $a \in(0,+\infty)$ şi $b \in(0,+\infty) \Rightarrow|a+b+1|=a+b+1 \ldots .1 \mathrm{p}$ + +2.b) $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{1006}}{x-1006}+\frac{\sqrt{2012-x}-\sqrt{1006}}{1006-x}=\frac{2(\sqrt{x}-\sqrt{2012-x})}{x-2012+x}$ + +$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{1006}-\sqrt{2012-x}+\sqrt{1006}}{x-1006}=\frac{2(\sqrt{x}-\sqrt{2012-x})}{2(x-1006)}$ + +$\left.\begin{array}{l}x \geq 0 \\ 2012-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2012\end{array}\right\} \Rightarrow 0 \leq x \leq 2012$ si $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow$ ecuația are 2013 soluții numere întregi. + +$1 \mathrm{p}$ + +Soluție 3 : a) (CDbisectoarea $\Varangle \mathrm{C} \Rightarrow \frac{A D}{D B}=\frac{A C}{B C}$ (Th.bis.) $\rightarrow A D=6 \mathrm{~cm}, B D=10 \mathrm{~cm}$ (1p) $\mathrm{D} \in$ bisectoarei $(\mathrm{CD} \hookrightarrow \mathrm{d}(\mathrm{D}, \mathrm{AC})=\mathrm{d}(\mathrm{D}, \mathrm{BC}) \hookrightarrow \mathrm{d}(\mathrm{D}, \mathrm{AC})=\mathrm{DE}=6 \mathrm{~cm}(\mathbf{1 p})$. Avem $\mathrm{PE} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{DE} \subset(\mathrm{ABC}) \rightarrow \mathrm{PE} \perp \mathrm{DE} \rightarrow \Delta \mathrm{PED}$ dreptunghic în $\mathrm{E} \Rightarrow \mathrm{PD}=6 \sqrt{2}$ (1p) + +b) Aplicam $\mathrm{T} 3 \perp$ : $\mathrm{PE} \perp(\mathrm{ABC})$ în $\mathrm{E}$, fie $\mathrm{EQ} \perp \mathrm{DC}$ în $\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{PQ} \perp \mathrm{CD} \rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{P}, \mathrm{CD})=\mathrm{PQ}(\mathbf{1 p}$.) $\mathrm{D} \in$ bis. $(\mathrm{CD}$ a $\Varangle \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{DE}=\mathrm{DA}=6 \mathrm{~cm}$. Aplic T.Pit. in $\triangle \mathrm{BED}$,se obț. $\mathrm{BE}=8 \mathrm{~cm}$ şi in triunghiul dr. $\mathrm{DEC} \rightarrow C D=6 \sqrt{5}$ (1p.) \}În $\triangle \mathrm{DEC}$, EQ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei a.î. + +$\mathrm{EQ}=\frac{E D . C E}{D C} \rightarrow \mathrm{CD}=\frac{12 \sqrt{5}}{5}(\mathbf{1 p .}) \quad$ Tr. $\mathrm{PEQ}$ dr. in $\mathrm{E} \quad \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{EP}^{2}+\mathrm{EQ}^{2} \rightarrow \mathrm{PQ}=\frac{18 \sqrt{5}}{5}(\mathbf{1} \mathbf{p}$. + +Soluție 4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3d4288d0f83c5029bc67g-3.jpg?height=485&width=506&top_left_y=223&top_left_x=752) + +Figura---(1p) + +a) Arătăm că $\left.\begin{array}{l}M A=M C \\ M P=M Q\end{array}\right\} \Rightarrow$ (1p) $\Rightarrow \frac{M P}{M A}=\frac{M Q}{M C} \Rightarrow$ +$\left.\Rightarrow \begin{array}{l}P Q \| A C \\ A C \subset(A B D)\end{array}\right\} \Rightarrow P Q \|(A B D)$ + +b) $\left.\left.\begin{array}{l}A C \perp B D \\ B D \cap M D=\{D\} \\ B D, M D \subset(M D B)\end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{l}A C \perp(M D B) \\ M B \subset(M D B)\end{array}\right\} \Rightarrow$ + +$\left.\Rightarrow \begin{array}{c}A C \perp M B \\ A C \| P Q\end{array}\right\} \Rightarrow M B \perp P Q \Rightarrow m[\nless(M B, P Q)]=90^{\circ}$ + +c) + +$M O, P Q \subset(M A C)$ + +$M O \cap P Q=\{N\}$ + +$\left.\begin{array}{rl}\text { Fie } & P Q \| A C \\ & O \text { mijloc }(A C)\end{array}\right\} \Rightarrow N$ mijloc $(P Q)$ + +Se arată că $P D=D Q$ şi cu $\mathrm{N}$ mijloc $(\mathrm{PQ}) \Rightarrow D N \perp P Q$ + +Orice soluție corectă se punctează cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1133-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1133-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..79bb6c52c268640069ec202b5471aa63ff1e6d61 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1133-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,112 @@ +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro + +website $:$ http://isi.vs.edu.ro + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 9.02.2013- Clasa a VII-a + +1. a) Calculați media aritmetică şi media geometrică a numerelor $3\left(a-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ şi $b$ unde: + +$$ +\begin{aligned} +a=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{\sqrt{63}} \\ +b=\left(12^{89}-8^{26} 1+4^{80} 18^{7} 2\left(-81^{6}\right)+\sqrt{(8-5 \sqrt{8})^{6}}+\sqrt{361}-\sqrt{48}\right. +\end{aligned} +$$ + +b) Fie: + +$$ +s_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\quad n \in \mathbf{N}^{2} +$$ + +Determinați valorile lui ${ }^{n}$ pentru care $\Omega_{n} * 2012$. + +2.a) Fie ecuația $2 a b-a-4 b=4$, unde $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z}$. Determinați perechile de numere $(a, b)$ care verifică ecuația şi pentru care $\sqrt{a \cdot b} \in \mathrm{N}$ + +b) Găsiți cea mai mică valoare a expresie : + +$\mathrm{E}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\sqrt{x^{2}+4 x+5}+\sqrt{y^{2}-10 y+29}$ unde $\mathrm{x}$ şi $\mathrm{y}$ sunt numere reale. + +3. Se dă triunghiul $A B C \operatorname{cu}(A B) \equiv(A C)$ şi unghiurile $A$ şi $B$ sunt direct proporționale cu numerele 2 şi 4. Fie $D$ simetricul punctului $C$ față de $A B$. Să se determine măsura unghiului $D E B$, dacă punctul $E \in A C$ şi $D E+E B$ este minimă. +4. În $\triangle A B C, m(\triangle A B C)=2 \cdot m(\triangle A C B)$ şi $A D \perp B C,(Q \in(B C))$. Punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{C}$ sunt situate de o parte şi de alta a dreptei $\mathrm{AD}$ astfel încât $B E \perp A E$ şi $E A B \equiv \_A C B$. Bisectoarea unghiului AED intersectează dreapta $\mathrm{AC}$ în $\mathrm{M}$. Dacă $\{H\}=A E \cap B C$, arătați că: +a) $\triangle B H A, \triangle A H C$ sunt isoscele; + +b) MCDE este paralelogram; + +c) perimetrul paralelogramului MCDE este egal cu perimetrul triunghiului $A B C$. + +(G.M. nr. 10/2012) + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +BAREM DE NOTARE + +1.a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_644445ec796ddb16d5b3g-2.jpg?height=246&width=1223&top_left_y=262&top_left_x=478) + +1.b + +| $S_{n}=\sqrt{n+1}-\mathbb{1}_{1}$ | $.2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $u \in\left\{1,2,3, \ldots, 2013^{2}-2\right\}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +2.a) Ecuația este echivalentă cu $a(2 b-1)-2(2 b-1)-2=4 \Leftrightarrow$ + +$(a-2) \cdot(2 b-1)=6 \Leftrightarrow$ + +$\left\{\begin{array}{l}a-2=2 \\ 2 b-1=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=2\end{array}(F)\left\{\begin{array}{l}a-2=-2 \\ 2 b-1=-3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=-1\end{array} \Rightarrow \sqrt{0 \cdot(-1)}=0 \in \mathbb{N}\right.\right.\right.\right.$ + +$\left\{\begin{array}{l}a-2=6 \\ 2 b-1=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=8 \\ b=1\end{array}(F)\left\{\begin{array}{l}a-2=-6 \\ 2 b-1=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-4 \\ b=0\end{array} \Rightarrow \sqrt{(-4) \cdot 0}=0 \in \mathbb{N}\right.\right.\right.\right.$ + +2.b) Scrie : $\mathrm{E}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\sqrt{(x+2)^{2}+1}+\sqrt{(y-5)^{2}+4} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \quad 1 \mathrm{p}$ + +Scrie: $(x+2)^{2}+1 \geq 1 \quad ;(y-5)^{2}+4 \geq 4 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +$\operatorname{Min} E(x, y)=5$ care este luat pentr $x=-2$ şi $y=5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 1 p$ + +## 3. Soluție: + +$\frac{m \angle(A)}{2}=\frac{m \angle(B)}{4}=\frac{m \angle(C)}{4}=k \Rightarrow$ + +$m \angle(A)=36^{\circ}$ şi + +$m \angle(B)=m \angle(C)=72^{\circ}$. + +(2p) + +Dacă $D$ este simetricul punctului $C$ față de $A B$, atunci $(A C) \equiv(A D) \equiv(A B)$. (1p) + +Fie $F$ simetricul lui $D$ faţă de $A C$ şi $B F \cap A C=\{E\}$. Întrucât $A C$ este mediatoarea lui $(D F)$ avem $D E=E F$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_644445ec796ddb16d5b3g-2.jpg?height=632&width=838&top_left_y=1793&top_left_x=1012) +de unde $D E+B E=E F+B E=B F$. (1p) + +Se observă că $(\forall) M \in A C$ cu $M \neq E$ avem $D M+M B=M F+M B \geq B F$. Minim dacă şi numai dacă $M=E$. + +(1p) + +Pentru că $A C$ este mediatoarea lui $(D F)$ avem $\triangle A D F$ isoscel cu $m \angle(A F D)=m \angle(A D F)=18^{0}$. + +(1p) + +Întrucât $\triangle A B F$ este isoscel cu $m \angle(A F B)=36^{\circ}$ avem $m \angle(D F E)=m \angle(E D F)=18^{\circ}$, de unde $m \angle(D E B)=36^{0}(1 \mathrm{p})$ + +## 4.Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_644445ec796ddb16d5b3g-3.jpg?height=431&width=1187&top_left_y=779&top_left_x=382) + +| a) | $m(\triangle H)=m\left(\triangle A B^{\prime} C^{\prime}\right)-m\left(\triangle B^{\prime} A H\right)=m\left(\left\{A C^{\prime} H\right)_{i}\right.$ | 1 | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\triangle A B H$ tsoscel $\triangle A H C$ trosceL | 1 | +| b) | $[E D]=\operatorname{tnde}$ mU/lecie $\operatorname{tn} \triangle A H C \rightarrow E D \backslash A C_{\downarrow}$ | 1 | +| | $\triangle A E D+2 a s c a l-E M+A D_{1} \operatorname{sum} D C \perp A D-E M \backslash D C_{1}$ | 1 | +| | MCDE paraleiogram. | 1 | +| c) | $I_{\text {MCUE }}^{2}-3-M C \\| 3-C D_{i}$ | 0.5 | +| | $\begin{aligned}\(P_{A B C} & =A C+A B+B C=A C+H E+B D+D C= \\ & =A C+H D-B D+B D+E C=A C+(H D+D C)= \\ & =2 \cdot M C+2 \cdot C D_{i}\end{aligned}$\) | 1 | +| | Finalizare. | 0.5 | + +## Orice soluție corectă se punctează cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1134-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1134-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..965c6bd813f75552d495be3710d3a95042f2ba3c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1134-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,118 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928, FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro + +website $: \underline{\text { http://isj.vs.edu.ro }}$ + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - etapa locală
9.02.2013-Clasa a VI-a + +1.a) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația: + +$$ +\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}+\ldots+\frac{x+2012}{2013}=2012 +$$ + +b) Unghiurile $A O E$ sunt adiacente suplementare, (OX şi (OY sunt respective bisectoarele lor. Dacă $m(\angle B O Y)=\frac{1}{4} m(\angle C O X)$, aflaţi $\mathrm{m}(\AA A \cap F$ ) . + +2. Împărțind numerele $a, b, c$ la numărul natural nenul $n$, obținem câturile 4,8 respectiv 16 şi resturile 1,2 respectiv 3 . + +a) Să se arate că numărul $\mathrm{N}=(a+3)(b+6)(c+13)$ se divide cu 512 . + +b) Determinați, în funcție de $n, x$ din relația $x^{3}=\mathrm{N}$. + +3. Se da triunghiul ascutitunghic $\triangle \mathrm{ABC}$. Fie $\mathrm{DA} \perp \mathrm{AC}$, astfel incat $[\mathrm{DA}]=[\mathrm{AC}]$ ( punctele $\mathrm{D}$ si $\mathrm{C}$ sunt de o parte si de alta a dreptei $\mathrm{AB}$ ) si $\mathrm{EA} \perp \mathrm{AB}$, astfel incat $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{AB}]$ ( punctele $\mathrm{E}$ si $\mathrm{B}$ sunt de o parte si de alta a dreptei $\mathrm{AC}$ ). + +a) Demonstrati ca $\triangle \mathrm{ABD} \equiv \triangle \mathrm{AEC}$. + +b) Daca [AM este bisectoarea unghiului $\overline{E A D}$, ME (BD), iar [AN este bisectoarea unghiului,$\quad \mathrm{NAE}(\mathrm{CE})$, demonstrati ca $\triangle \mathrm{AMN}$ este dreptunghic isoscel . + +4. Numerele naturale distincte $a, b$ verifica relatia: $9 \cdot[a, b]=a \cdot b \cdot(a, b)$. + +a)Aratati ca $a$ si $b$ nu sunt prime intre ele. + +b)Aratati ca diferenta numerelor $a$ si $b$ este cel putin 3 . + +( unde $[a, b]$ reprezinta cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ si $b$, iar $(a, b)$ reprezinta cel mai mare divizor comun al nurelor $a$ si $b$ ). + +(G.M nr. 9/2012) + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE CORECTARE + +## Problema nr. 1 + +a) Scrie ecuația sub forma: $\left(\frac{x+1}{2}-1\right)+\left(\frac{x+2}{3}-1\right)+\ldots+\left(\frac{x+2012}{2013}-1\right)=0 \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +Efectuând calculele obținem: $\frac{x-1}{2}+\frac{x-1}{3}+\ldots+\frac{x-1}{2013}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +Sau $(x-1) \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2013}\right)=0 \Rightarrow x=1$ rădăcina ecuaţie..................................... + +b)Foloseşte faptul că (Ox şi (OYsunt bisectoare............................................................. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-2.jpg?height=108&width=1436&top_left_y=930&top_left_x=366) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-2.jpg?height=65&width=1434&top_left_y=1079&top_left_x=362) + +## Problema 2. + +Fie $n \neq 0 \Rightarrow a=4 n+1, b=8 n+2, c=16 n+3 n \in \mathbf{N} \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +2.a) $\mathrm{N}=(a+3)(b+6)(c+13)=(4 n+1+3)(8 n+2+6)(16 n+3+13)=$ + +$=(4 n+4)(8 n+8)(16 n+16)=4 \cdot 8 \cdot 16(n+1)(n+1)(n+1)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-2.jpg?height=60&width=1057&top_left_y=1732&top_left_x=455) + +2. b) $\quad x^{3}=\mathrm{N} \leftrightarrow \quad x^{3}=512(n+1)^{3}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-2.jpg?height=60&width=870&top_left_y=1911&top_left_x=649) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-2.jpg?height=65&width=886&top_left_y=1995&top_left_x=652) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-2.jpg?height=65&width=886&top_left_y=2084&top_left_x=652) + +## Problema Nr. 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-3.jpg?height=517&width=686&top_left_y=251&top_left_x=489) + +E + +Figura. + +$1 \mathrm{p}$ +3.a) $4 \mathbf{p}$ Demonstreaza ca unghiurile $\overline{D A E}$ si $\widehat{E A C}$ sunt congruente. ..... $1 p$ +Demonstreaza congruenta celor doua +triunghiuri. ..... $1 \mathrm{p}$ +3.b) 4p Demonstreaza congruenta unghiurilor MAE si NAC ..... $1 p$ +Demonstraza ca unghiul MAT este de $90^{\circ}$ ..... $1 p$ +Demonstreaza $\triangle \mathrm{ABM} \equiv \triangle \mathrm{AEN}$. ..... $.1 p$ +Finalizare. ..... $.1 p$ + +## Problema 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-3.jpg?height=87&width=1520&top_left_y=1602&top_left_x=259) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c8ee3fc88508f3b098dg-3.jpg?height=82&width=1527&top_left_y=1707&top_left_x=298) +Obtine $\quad(a, b)^{2}=9 \Rightarrow(a, b)=3$ si finalizeaza ..... $1 p$ + +$$ +a=3 x +$$ + +4.b) $b=3 y$ + +$.1 p$ + +$$ +(x, y)=1 +$$ + +Daca $a-b=3 x-3 y \Rightarrow a-b=3(x-y)$, notez $x-y=k \Rightarrow a-b=3 k$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\operatorname{Cum}(x, y)=1 \Rightarrow x \neq y \Rightarrow x-y \geq 1 \Rightarrow k \geq 1$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +$a-b=3 k \geq 3 \cdot 1=3 \Rightarrow a-b \geq 3$ ..... $1 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1135-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1135-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3b60e80114af37fb15cd168b190b05ed6be19f01 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1135-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,84 @@ +website : $\underline{\text { http://isi.vs.edu.ro }}$ + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - etapa locală + +$$ +\text { 9.02.2013 } +$$ + +## CLASA a V-a + +1.a) Determinați perechile $(x, y)$ de numere naturale care satisfac egalitatea: + +$$ +\{25-3 \cdot[2+(3+x): 3]] \cdot\{[6 \cdot(y-2)-9]: 3-4\}=7 +$$ + +b) Calculați suma: $1+3+5+\ldots+2013$. + +2. Determinați mulțimile A şi B, ştiind că sunt îndeplinite simultan condițiile: +I) $A \cup B=\{a, b, c, d, e\}$, + +II) $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}\}$, + +III) $\operatorname{card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})<\operatorname{card}(\mathrm{B}-\mathrm{A})$. + +3. Aflați trei numere naturale cu suma 54 , ştiind că dacă îl împărțim pe al doilea la primul obținem câtul 2 şi restul 1, iar dacă îl împărțim pe al treilea la diferența primelor două, obținem tot câtul 2 şi restul 1 . +4. Se dau numerele $\mathrm{x}=\mathbf{7}^{\mathbf{2 0 1 3}}+3$ şi $\mathrm{y}=\mathbf{9}^{\mathbf{2 0 1 3}}+1$. Arătați că $\mathrm{x}$ şi $\mathrm{y}$ au cel puțin trei divizori comuni, diferitị de 1 . + +$$ +\text { (G.M.nr. } 9 \text { / } 2012 \text { ) } +$$ + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE + +Problema Nr. 1 + +| Barem de corectare orientativ | Punctaj | +| :---: | :---: | +| 1.a
Scrie prima paranteză egală cu 1 şi a doua paranteză egală cu 7 şi
reciproc! | $1 \mathrm{p}$ | +| Rezolvă ecuațiile:
$\left\{\begin{array}{l}x 5-3[2+(3+x): 3]\}=1 \\ \mathrm{x}=15, \quad \mathrm{~s}=9\end{array}\right.$. | $1,5 \mathrm{p}$ | +| Rezolvă ecuațiile:
$\{25-3[2+(3+x): 3]\}=7$ şi $\{6(y-2)-9]: 3-4\}=1$ şi găseşte
$x=9, \quad \mathrm{y}=6$. | $1,5 \mathrm{p}$ | +| 1.b
Scrie: $=1+3+5+\ldots+2013=(1+2+3+4+5+\ldots+2012+2013)-$
$(2+4+6+\ldots+2012)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Scrie : $\quad 1+2+3+4+5+\ldots+2013=(2013.2014) / 2=2013.1007$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Scrie suma: $2+4+6+\ldots+2012=2(1+2+3+\ldots+1006)=$
$=2 .(1006.1007) / 2=1006.1007$; finalizare
$\mathrm{S}=1007^{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## Problema Nr. 2 + +| Barem de corectare orientativ | Punctaj | +| :---: | :---: | +| Din II) $\Rightarrow \mathrm{a} \in \mathrm{A} ; \mathrm{a} \notin \mathrm{B} ; \mathrm{b} \in \mathrm{A} ; \mathrm{b} \notin \mathrm{B}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Din $\mathrm{I})$ şi $\mathrm{III}) \Rightarrow \operatorname{card}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=1$ şi card $(\mathrm{B}-\mathrm{A})=2(\mathrm{~A}$ şi $\mathrm{B}$
nedisjuncte)
sau card $(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0$ şi card $(\mathrm{B}-\mathrm{A})=3(\mathrm{~A}, \mathrm{~B}$ disjuncte $)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se iau pe rând cazurile $\mathrm{c} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}, \mathrm{d} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}, \mathrm{e} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}$, respectiv
$\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se obțin soluțiile
$\mathrm{A}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$
$\mathrm{A}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{d}\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$
$\mathrm{A}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{e}\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$
$\mathrm{A}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## Problema nr. 3 + +| Barem de corectare orientativ | Punctaj | +| :---: | :---: | +| Relația din teorema împărțirii cu rest
$\mathrm{D}=\mathrm{C} \cdot \mathrm{I}+\mathrm{R}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Pentru notația celor trei numere $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ :
$\mathrm{b}=2 \mathrm{a}+1$ | $1 \mathrm{p} \quad$ | +| $\mathrm{c}=2(\mathrm{~b}-\mathrm{a})+1$
unde $\mathrm{b}>\mathrm{a}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se calculează înlocuind $b$ din relația (1) în (2):
$c=2 b-2 a+1=2(2 a+1)-2 a+1$
$c=2 a+3$ | $1 \mathrm{p} \quad$ | +| Se calculează suma:
$a+b+c=a+(2 a+1)+(2 a+3)=5 a+4$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se află a din ecuația:
$5 \mathrm{a}+4=54 \Rightarrow \mathrm{a}=10$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se calculează:
$b=21 ; c=23$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## Problema nr. 4 + +| Barem de corectare orientativ | Punctaj | +| :---: | :---: | +| Calculează ultima cifră a numărului $7^{2013}:$ | $3 p$ | +| $7^{0}=1,7^{1}=7,7^{2}=\ldots 9,7^{3}=\ldots 3,7^{4}=\ldots 1$ astfel $U\left(7^{2013}\right)=7$ | | +| $\mathrm{U}(\mathrm{x})=7+3=\ldots 0 ;$ | $3 p$ | +| Calculează ultima cifră a numărului $9^{2013}$ | | +| $9^{0}=1,9^{1}=9,9^{2}=\ldots 1,9^{3}=\ldots 9$ astfel $\quad U\left(9^{2013}\right)=\ldots 9$ | $1 p$ | +| $U(x)=9+1=\ldots 0 ;$ | | +| $D_{x} \cap D_{y} \in\{2,5,10\}$ | | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1136-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1136-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da982e9a975e321206466c4821d8ac74d7dcbfce --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1136-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,128 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +9 februarie 2013-CLASA a IX-a + +1. Să se demonstreze că numerele distincte $\alpha, b, \varepsilon$ sunt în progresie aritmetică dacă și numai dacă are loc relația: + +$a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=3(a-b)(b-c)$. + +2. a) Să se arate că oricare ar fi $a \geq 0$ are loc inegalitatea: + +$$ +\|x-a\|+\|x+a\| z 2 a_{z} \forall x \in R +$$ + +b) Să se arate că $\vee \in N_{t} n \simeq 1_{\varepsilon}$ are loc inegalitatea: + +$\|x-n\|+\|x-n+1\|+\cdots+\|x-1\|+\|x+1\|+\cdots+\|x+n-1\|+\|x+n\| \mathbf{\geq} n(n+1) \quad x \in R$. + +c) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care are loc egalitate în inegalitatea de la punctul . + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir de numere reale astfel încât $a_{1}=a_{2}=1$ și $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n}}{3^{n}}, n \geq 1$. Să se arate că $a_{n}<2$, oricare ar fi $n \geq 1$. + +(G.M.Nr 11/2012) + +4. Fie triunghiul echilateral $\mathrm{ABC}$ cu centrul $\mathrm{O}$ și $\mathrm{M}$ un punct în interiorul triunghiului. Dacă $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}$ sunt proiecțiile punctului $\mathrm{M}$ pe laturi, să se arate că + +$$ +\overrightarrow{M M}_{1}+\overrightarrow{M M}_{2}+\overrightarrow{M M}_{3}=\frac{3}{2} \overrightarrow{M O}^{2} +$$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE + +1. + +$$ +\begin{gathered} +a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=3(a-b)(b-c) \Leftrightarrow a^{2}+4 b^{2}+c^{2}-4 a b-4 b c+2 c a=0 \\ +4 b^{2}-(4 a b+4 b c)+\left(a^{2}+2 a c+c^{2}\right)=0 \Leftrightarrow 4 b^{2}-4 b(a+c)+(a+c)^{2}=0 \\ +{[2 b-(a+c)]^{2}=0 \Leftrightarrow 2 b-(a+b)=0 \Leftrightarrow 2 b=a+c} +\end{gathered} +$$ + +adică numerele sunt în progresie aritmetică. + +2.a) $\quad|x-a|+\left|x+a\left\|=|a-x|+\left|x+a\|\geq \mid a-x+x+a\|=2 a_{x}\right.\right.\right.$ conform inegalității triunghiulare. + +b) În inegalitatea de la punctul precedent atribuim lui a toate valorile de la 1 la $\mathrm{n}$ şi obținem: + +$$ +\text { (*)\|x } \quad i=\|\| x \in \mid=2 E, \forall t=\overline{1, n} \text {. } +$$ + +Sumând inegalitățile precedente obținem: + +$|x-n\|+|x-n| 1|+\cdots+| x-1\|+| x|1\|+\cdots+|x+n-1|+\mid x+n\| \geq 2(1$ । $2+\cdots+n)=n(n$ । 1$) \times x \in R$. + +c) Egalitatea are loc dacă și numai dacă are loc egalitate în toate inegalitățile (*), + +adică + +$$ +|x-k|+\mid x+k \|=\mathbf{2} k, \forall k=\overline{1, n} +$$ + +Dar ecuațiile $|x-k|+\mid x+k=\mathbf{2} k$ au soluțiile $x \in[-k * k], k=1, u$. + +Prin urmare, $x \in \bigcap_{k=1}^{n}[-k, k]=[-1,1]$ + +3. + +Fie $P(n): a_{n}<2,(\forall) n \geq 1$ + +$P(1): a_{1}=1<2, P(2): a_{2}=1<2$ + +(1p) + +Presupun $P(m)$ adevărată pentru orice $m \leq k+1 \Leftrightarrow a_{m}<2,(\forall) m \leq k+1, k \geq 1$ + +(1p) + +$a_{k+2}-a_{k+1}=\frac{a_{k}}{3^{k}}$ + +$\left.a_{k+1}-a_{k}=\frac{a_{k-1}}{3^{k-1}}\right\} \Rightarrow a_{k+2}-a_{2}=\frac{a_{1}}{3}+\frac{a_{2}}{3^{2}}+\ldots+\frac{a_{k}}{3^{k}}$ + +$a_{3}-a_{2}=\frac{a_{1}}{3}$ + +(2p) + +$a_{k+2}-1<\frac{2}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\ldots+\frac{2}{3^{k}} \Leftrightarrow$ + +(2p) + +$\Leftrightarrow a_{k+2}<2-\frac{1}{3^{k}}<2$ + +Conform Principiului Inducției Matematice $a_{n}<2$, oricare ar fi $n \geq 1$. + +(1p) + +4.Fie $M M_{1} \perp B C, M_{1} \in B C, M M_{2} \perp A C, M_{2} \in A C$, $M M_{3} \perp B A, M_{3} \in B A$ + +$F G\|A C, H I\| B C, D E \| A B, F G \cap H I \cap D E=\{M\}$, + +$F, H \in A B, D, G \in B C, E, I \in A C$ + +Triunghiurile MDG, MEI, MFH sunt echilaterale iar $\mathrm{MM}_{1}, \mathrm{MM}_{2}$, $\mathrm{MM}_{3}$ sunt mediane. + +(1p) + +$\overrightarrow{M M}_{1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M G}), \overrightarrow{M M}_{2}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M I})$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d99e791aabfc8cee1957g-3.jpg?height=385&width=494&top_left_y=1572&top_left_x=1369) + +$\overrightarrow{M M}_{3}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{M H}+\overrightarrow{M F})$ + +$\overrightarrow{M M}_{1}+\overrightarrow{M M}_{2}+\overrightarrow{M M}_{3}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M H}+\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M A})=$ + +(1p) + +(triunghiul $\mathrm{ABC}$ este echilateral $\Rightarrow \mathrm{O}$ este centrul de greutate al triunghiului $\Rightarrow$ conform relației lui Leibniz) $=\frac{3}{2} \overrightarrow{M O}$ + +$(2 p)$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1137-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xii_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1137-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xii_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e9c736ec8e0939ea32c5d5fdb19033cbd053573 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1137-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xii_subiecte.md" @@ -0,0 +1,36 @@ +Inspectoratul Școlar al Județului Arad + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a XII-a + +1. Să se determine funcțiile $f: R \rightarrow(0, \infty)$ cu proprietatea că funcția $g: R \rightarrow R$, + +$$ +g(x)=\frac{f(x)}{x+1} \text { este primitiva funcției } f \text { pentru care } g(0)=1 +$$ + +2. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu proprietățile : +a) $x^{3}=1$; +b) $(x y)^{2}=(y x)^{2},(\forall) x, y \in G$. + +Să se arate că G este grup abelian . + +3. Fie $a \in R^{*}, b>0, I:(0, \infty) \rightarrow R, I(t)=\int_{0}^{t} e^{-b x} \cdot \sin a x d x$. + +a) Folosind metoda integrarii prin părți, determinați $I(t)$. + +b) Calculați $\lim _{t \rightarrow \infty} I(t)$. + +4. Fie $n$ un număr natural, $n \geq 2$. Să se arate că dacă ecuația $x+x+x+x=\hat{1}$ nu are soluții în $Z_{n}$, atunci ecuația $x+x=\hat{1}$ nu are soluții în $Z_{n}$. + +Toate subiectele sunt obligatorii . + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte . + +Timp de lucru 3 ore . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1138-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xi_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1138-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xi_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..998e8630580591517ac26d43b2ae90946904b49e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1138-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xi_subiecte.md" @@ -0,0 +1,42 @@ +Inspectoratul Școlar al județului Arad + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $a, b, c \in R$. + +Să se demonstreze egalitatea + +$$ +\left|\begin{array}{ccc} +a-b-c & 2 a & 2 a \\ +2 b & b-c-a & 2 b \\ +2 c & 2 c & c-a-b +\end{array}\right|=(a+b+c)^{3} +$$ + +2. Fie $A, B \in M_{2}(R)$ astfel încât $A B=B A$. + +Să se arate că $\operatorname{det}\left(A^{2}+A B+B^{2}\right) \geq(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. + +3. Să se calculeze : $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x-\cos ^{2} 2 x-1}{\cos ^{2} 2 x+2 \cos ^{2} x-1}$ + +4.Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir mărginit de numere reale cu proprietatea + +$$ +\sqrt{n x_{n}+n+1}-\sqrt{n x_{n}+1} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \sqrt{n x_{n}+n}-\sqrt{n x_{n}},(\forall) n \in N^{*} +$$ + +Să se arate că şirul este convergent . + +Toate subiectele sunt obligatorii . + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte . + +Timp de lucru 3 ore . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1139-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_x_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1139-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_x_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fdcde7b3a02b1a2111694bc3654b6f80c44adf84 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1139-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_x_subiecte.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +Inspectoratul Școlar al județului Arad + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a X-a + +1. Să se demonstreze inegalitatea : + +$$ +\frac{\log _{x} y}{x+y}+\frac{\log _{y} z}{y+z}+\frac{\log _{z} x}{z+x} \geq \frac{9}{2(x+y+z)},(\forall) x, y, z \in(0,1) \text { sau } x, y, z \in(1, \infty) +$$ + +2. Fie $a>0, a \neq 1$. Să se determine toate funcțiile $f:[0,1] \rightarrow R$ care verifică simultan + +condițiile : (i) $|f(x)-f(y)| \leq\left|a^{x}-a^{y}\right|,(\forall) x, y \in[0,1]$; + +(ii) $\{f(0), f(1)\}=\{1, a\}$. + +3. Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=r>0$. + +Știind că $\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot z_{1} z_{2}+\left(z_{2}+z_{3}\right) \cdot z_{2} z_{3}+\left(z_{3}+z_{1}\right) \cdot z_{3} z_{1}=z_{1} z_{2} z_{3}$, să se arate că $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=2 r$. + +4. Fie $x, y, z, b, c, d \in R$ cu proprietățile : $x \geq 0, x+y \geq 0, x+y+z \geq 0, b \geq c \geq d>1$. Să se arate că pentru orice $a>1$ au loc inegalitățile : + +(i) $b^{a^{x}} \cdot c^{a^{y}} \geq b c$; + +(ii) $b^{a^{x}} \cdot c^{a^{y}} \cdot d^{a^{2}} \geq b c d$. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-114-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-114-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c279c0a9f6523475abea30d8645961a211ded3b6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-114-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,141 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5f4bd8b782e050f8d06g-1.jpg?height=274&width=268&top_left_y=302&top_left_x=495) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE ȘI CERCETÄRII ȘTIINȚIFICE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 + +CLASA a X-a + +Problema 1. Determinaţi numerele reale $x \in(2, \infty)$ care sunt soluţii ale ecuaţiei + +$$ +\cos \left(\pi \log _{3}(x+6)\right) \cdot \cos \left(\pi \log _{3}(x-2)\right)=1 +$$ + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Fie $a, b, c \in \mathbb{C}^{*}$, distincte şi având acelaşi modul, astfel încât + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+a c+b c=0 +$$ + +Demonstraţi că $a, b, c$ reprezintă afixele vârfurilor unui triunghi dreptunghic sau echilateral. + +Problema 3. Fie $\alpha$ şi $\beta$ numere reale. Deteminaţi cea mai mare valoare a expresiei + +$$ +|\alpha x+\beta y|+|\alpha x-\beta y| +$$ + +în fiecare dintre următoarele cazuri: +a) $x, y \in \mathbb{R}$, astfel încât $|x| \leq 1$ şi $|y| \leq 1$; +b) $x, y \in \mathbb{C}$, astfel încât $|x| \leq 1$ şi $|y| \leq 1$. + +Problema 4. a) Demonstraţi că există funcţii neperiodice $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică egalitatea + +$$ +f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{5} f(x) +$$ + +pentru orice $x \in \mathbb{R}$; + +b) Demonstraţi că orice funcţie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică egalitatea + +$$ +g(x+1)+g(x-1)=\sqrt{3} g(x) +$$ + +pentru orice $x \in \mathbb{R}$, este periodică. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. +din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5f4bd8b782e050f8d06g-2.jpg?height=258&width=263&top_left_y=538&top_left_x=606) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 Martie 2016
CLASA a X-a + +## Enunţuri şi bareme + +Problema 1. Determinaţi numerele reale $x \in(2, \infty)$, care sunt soluţii ale ecuaţiei + +$$ +\cos \left(\pi \log _{3}(x+6)\right) \cdot \cos \left(\pi \log _{3}(x-2)\right)=1 +$$ + +Supliment Gazeta Matematică + +Soluţie: Ipoteza conduce la $\cos \left(\pi \log _{3}(x+6)\right)=\cos \left(\pi \log _{3}(x-2)\right)= \pm 1$, deci există $k, l \in \mathbb{Z}$, de acceaşi paritate, astfel încât $\pi \log _{3}(x+6)=k \pi$ şi $\pi \log _{3}(x-2)=l \pi$. .. 2p + +Se obţin relaţiile $x+6=3^{k}$ şi $x-2=3^{l}$. Prin scădere suntem conduşi la + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5f4bd8b782e050f8d06g-2.jpg?height=43&width=1207&top_left_y=1537&top_left_x=459) + +Egalitatea nu este posibilă dacă $k, l<0$. Atunci $3^{l}\left(3^{k-l}-1\right)=8$, de unde $3^{l}=1$, adică $l=0$ şi apoi $k=2$. La final obţinem $x=3$. ................ $\mathbf{p}$ + +Problema 2. Fie $a, b, c \in \mathbb{C}^{*}$, distincte şi având acelaşi modul, astfel încât + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+a c+b c=0 +$$ + +Demonstraţi că $a, b, c$ reprezintă afixele vârfurilor unui triunghi dreptunghic sau echilateral. + +Soluţie: Putem presupune $|a|=|b|=|c|=1$. Ipoteza devine $(a+b+c)^{2}=$ $a b+b c+c a$, de unde $(a+b+c)^{2}=a b c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ sau $(a+b+c)^{2}=a b c \overline{(a+b+c)}$. Prin trecere la modul avem $|a+b+c| \in\{0,1\}$. ......................................... + +Dacă $|a+b+c|=0$, deducem că ortocentrul triunghiului, având vârfuri de afixe $a, b, c$, coincide cu centrul cercului circumscris aceluiaşi triunghi, deci acest triunghi este echilateral. + +$1 p$ + +Dacă $|a+b+c|=1$, atunci $(a+b+c) \overline{(a+b+c)}=1$, de unde $(a+b+c)$ $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1$, adică $(a+b)(b+c)(c+a)=0$. Atunci două vârfuri ale acestui triunghi sunt diametral opuse, deci este dreptunghic. + +Problema 3. Fie $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Deteminaţi cea mai mare valoare a expresiei + +$$ +|\alpha x+\beta y|+|\alpha x-\beta y| +$$ + +în fiecare dintre următoarele cazuri: +a) $x, y \in \mathbb{R}$, astfel încât $|x| \leq 1$ şi $|y| \leq 1$; +b) $x, y \in \mathbb{C}$, astfel încât $|x| \leq 1$ şi $|y| \leq 1$. + +Soluţie: a) Deoarece pentru orice numere reale $u, v$ avem $|u+v|+|u-v| \epsilon$ $\{ \pm 2 u, \pm 2 v\}$, deducem că $|\alpha x+\beta y|+|\alpha x-\beta y| \leq \max \{2|\alpha|, 2|\beta|\} \ldots \ldots 2 \mathbf{p}$ + +Aceasta este valoarea maximă, deoarece egalitatea se obţine, de exemplu, când $x=y=1$. + +b) Avem egalitatea $|\alpha x+\beta y|^{2}+|\alpha x-\beta y|^{2}=2|\alpha x|^{2}+2|\beta y|^{2}$. Dar + +$(|\alpha x+\beta y|+|\alpha x-\beta y|)^{2} \leq 2\left(|\alpha x+\beta y|^{2}+|\alpha x-\beta y|^{2}\right)$, de unde $|\alpha x+\beta y|+$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5f4bd8b782e050f8d06g-3.jpg?height=57&width=1211&top_left_y=980&top_left_x=457) + +Valoarea maximă $2 \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}$ se poate obţine pentru $x=1$ şi $y=i . \ldots \mathbf{1 p}$ + +Problema 4. a) Demonstraţi că există funcţii neperiodice $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică egalitatea + +$$ +f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{5} f(x) +$$ + +pentru orice $x \in \mathbb{R}$ + +b) Demonstraţi că orice funcţie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică egalitatea + +$$ +g(x+1)+g(x-1)=\sqrt{3} g(x) +$$ + +pentru orice $x \in \mathbb{R}$, este periodică. + +Soluţie: a) Căutăm soluţii printre funcţiile de forma $f(x)=a^{x}$, unde $a>0$. Obţinem egalitatea $a+a^{-1}=\sqrt{5}$, de unde $a=\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$. Se verifică faptul că funcţiile $f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{1}(x)=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{x}$ şi $f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{2}(x)=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{x}$ egalitatea din ipoteză. ..................................................................... + +b) Fie $g$ o funcţie care verifică egalitatea din ipoteză. Atunci $g(x+2)+$ $g(x)=\sqrt{3} g(x+1)$, de unde $g(x+2)+g(x)=\sqrt{3}(\sqrt{3} g(x)-g(x-1))$, deci $g(x+2)=2 g(x)-\sqrt{3} g(x-1)$. Apoi $g(x+3)=2 g(x+1)-\sqrt{3} g(x)=$ $2(\sqrt{3} g(x)-g(x-1))-\sqrt{3} g(x)$, de unde $g(x+3)=\sqrt{3} g(x)-2 g(x-1)$. Apoi $g(x+4)=\sqrt{3} g(x+1)-2 g(x)=\sqrt{3}(\sqrt{3} g(x)-g(x-1))-2 g(x)$, de unde $g(x+4)=g(x)-\sqrt{3} g(x-1)$. În continuare, $g(x+5)=g(x+1)-$ $\sqrt{3} g(x)$, deci $g(x+5)=-g(x-1)$, de unde $g(x+6)=-g(x)$. Apoi $g(x+12)=$ $-g(x+6)=g(x)$, de unde obţinem concluzia. ............................. $4 \mathbf{p}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1140-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_viii_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1140-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_viii_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bf4f4da84f1d9e46859f4f284858f8f77730c9ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1140-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_viii_subiecte.md" @@ -0,0 +1,22 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a VIII-a + +1. Comparaṭi numerele a şi $\mathrm{b}$ dacă : $\mathrm{a}=1,(3)+2,(3)+\ldots+100,(3) ; \mathrm{b}=1,3+2,3+\ldots 100,3$. +2. Aflaṭi valorile întregi ale lui a pentru care $\sqrt{\frac{9 a+4}{a-6}}$ este număr raṭional. +3. Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ patru puncte necoplanare astfel încât $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$. Bisectoarele unghiurilor $\mathrm{ABC}$ şi $\mathrm{ABD}$ intersectează pe $\mathrm{AC}$ în $\mathrm{P}$ şi respectiv pe $\mathrm{AD}$ în $\mathrm{Q}$. + +a. Demonstraṭi că PQ\||(BCD). + +b. Perpendicularele duse din A pe bisectoarele BP şi respective BQ intersecteză pe BP în $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{BC}$ în $\mathrm{M}$, respective pe $\mathrm{BQ}$ în $\mathrm{F}$ şi pe $\mathrm{BD}$ în $\mathrm{N}$. Determinaṭi pozitịa dreptei $\mathrm{EF}$ faṭă de planul (ACD). + +4. Se consideră pătratul $\mathrm{ABCD}$ şi $\mathrm{P}$ un punct situat pe perpendiculara în $\mathrm{D}$ pe planul pătratului. Dacă E, F, G sunt proiecțiile lui $\mathrm{D}$ pe $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$, respective $\mathrm{PC}$ demonstraṭi că : +a. $\mathrm{DE} \perp \mathrm{PB}$; + +b. Punctele D, E, F, G sunt coplanare; +c. $\frac{E A}{E P}+\frac{G C}{G P}=\frac{F B}{F P}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1141-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vii_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1141-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vii_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9bbd91651bf9150114e84e2cf439d4e281f06c86 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1141-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vii_subiecte.md" @@ -0,0 +1,21 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a VII-a + +1. Calculaṭi : $(-2) \cdot(-1)^{n^{2}+n}+3 \cdot(-1)^{n^{2}+n+1}-(-4) \cdot(-1)^{n^{2}+n+2}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$. +2. Pentru orice număr natural $n \geq 2$ definim numerele: $a_{n}=10^{n^{3}-n+2}$. Arătați că $a_{n}$ se scrie ca sumă a patru cuburi perfecte. +3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un romb de arie 104, $\mathrm{O}$ intersecția diagonalelor sale şi punctele $\mathrm{M} \in(\mathrm{AB})$, $\mathrm{N} \in(\mathrm{AD})$. + +a. Arătaṭi că, dacă $\mathrm{O}$ este centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{CMN}$, atunci $\overline{B C M}=\overline{D C N}$; + +b. În condițiile de la punctual a), aflaṭi aria triunghiului CMN. + +4. Pe latura $(\mathrm{BC})$ a triunghiului $\mathrm{ABC}$ se consideră punctele $\mathrm{D}$ şi $\mathrm{E}$, astfel încât $\mathrm{BD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}$. Fie ( $\mathrm{B} B^{\prime}$ bisectoarea unghiului $\mathrm{ABC}, B^{\prime} \in(\mathrm{AC})$ şi $\mathrm{C} C^{\prime}$ înălṭimea din $\mathrm{C}$ pe $\mathrm{AB}, C^{\prime} \in(\mathrm{AB})$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a0afdb3799b504d6f251g-1.jpg?height=68&width=1688&top_left_y=1842&top_left_x=240) +respectiv $\left(\mathrm{CC}^{\prime}\right.$ ), calculaṭi măsurile unghiurilor triunghiului $\mathrm{ABC}$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1142-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vi_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1142-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vi_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49c704bc3276006c2e036fd8b4294478e540695f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1142-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vi_subiecte.md" @@ -0,0 +1,17 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a VI-a + +1. Două numere naturale mai mici decât 200 au cel mai mare divizor comun 28 , iar produsul lor este 32928. Aflaṭi numerele. +2. Dacă împărṭim numerele 2587 şi 5172 la numărul $\overline{a b c}$ obṭinem acelaşi rest. Determinaṭi numărul $\overline{a b c}$. +3. Unghiurile $\mathrm{AOB}$ şi BOC sunt adiacente cu $\mathrm{m}(\overline{A O} \bar{C})=120^{\circ}$, [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar [ON $\mathrm{O}_{1},\left[\mathrm{ON}_{2},\left[\mathrm{ON}_{3}\right.\right.$ sunt bisectoarele unghiurilor $\mathrm{COB}, \mathrm{CON}{ }_{1}$, respective $\mathrm{CON}_{2}$. Dacă $\mathrm{m}\left(\overline{\mathrm{MO}}_{3}\right)=75^{\circ}$, determinaṭi măsura unghiului dintre $\left[\mathrm{ON}_{2}\right.$ şi semidreapta opusă semidreptei [OA. +4. Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine, astfel încât $\mathrm{AB}+2 \cdot \mathrm{BC}$ $+3 \cdot \mathrm{CD}=2 \cdot \mathrm{AD}$. + +a. Arătaṭi că $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$; + +b. Determinaṭi punctul $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $\mathrm{AM} \cdot \mathrm{MC}=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{MD}$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1143-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_v_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1143-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_v_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea5f2252710f6115322d999877682428594552dc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1143-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_v_subiecte.md" @@ -0,0 +1,17 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a V-a + +1. Un număr natural se împarte la 2 , din rezultat se scade 10 , apoi noul rezultat se împarte la 11. Ştiind că în final obṭinem 2, aflaṭi numărul inițial. +2. Andrei are o anumită sumă de bani şi se pregăteşte pentru două evenimente : Tabăra de Matematică şi aniversarea Anei. Dacă ar câştiga premiul de 50 lei şi $n$-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câştiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiaşi număr natural. Ce sumă are Andrei ? +3. Să se calculeze suma tuturor numerelor de forma $\overline{a b a b}$, ştiind că $\overline{a b}-\overline{b a}=\mathrm{a}+3 \mathrm{~b}$. +4. Fie numărul natural $\mathrm{A}=\left[\left(3^{3} \cdot 3^{4}+3^{6} \cdot 3+3^{2012}: 3^{2005}\right) \cdot\left(27^{3}\right)^{55}\right]^{4}+1^{2012}$. + +a. Arătați că $A>9^{1006}$; + +b. Arătaṭi că $A+81^{503}$ nu este pătrat perfect. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1144-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_ix_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1144-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_ix_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c00abe950efbf760b6633e2c4f459796257f486f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1144-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_ix_subiecte.md" @@ -0,0 +1,26 @@ +Inspectoratul Școlar al Județului Arad + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +16 februarie 2013 + +## CLASA a IX-a + +1. Fie $a, b, c \in(0,1)$ astfel încât $a+b+c=1$. Demonstraţi că + +$$ +\frac{1}{\sqrt{(a+2 b)(b+2 a)}}+\frac{1}{\sqrt{(b+2 c)(c+2 b)}}+\frac{1}{\sqrt{(c+2 a)(a+2 c)}} \geq 3 +$$ + +2. Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{M}$ mijlocul lui $[A B]$ și punctele $D \in(B C), E \in(A C)$ astfel încât $\overrightarrow{B D}=k \cdot \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{A E}=k \cdot \overrightarrow{E C}$. Fie $B E \cap D M=\{F\}$. Să se demonstreze că $\overrightarrow{E M}$ și $\overrightarrow{C F}$ sunt coliniari dacă și numai dacă $k=3$. +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir de numere reale astfel încât $a_{1}=a_{2}=1$ și $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n}}{3^{n}},(\forall) n \geq 1$. Să se arate că $a_{n}<2,(\forall) n \geq 1$. +4. Să se rezolve ecuația : $3\{x\}-[x]=\frac{1}{4}$. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte . + +Timp de lucru 3ore . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1145-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.8.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1145-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.8.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..034bd09120c853a745b6ca71b0564523ee55e282 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1145-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.8.md" @@ -0,0 +1,34 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN TULCEA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## FAZA LOCALĂ 19 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a VIII-a + +1. Fie cubul ABCDA'B'C'D' cu latura de lungime $10 \mathrm{~cm}$, şi M mijlocul [B'C'] + +a) Calculaţi aria triunghiului $\triangle$ MBD; + +b) Calculaţi suma distanţelor de la A' şi C la planul (C'BD) + +2. Comparaţi numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{3}{2^{2}-1^{2}}+\frac{5}{3^{2}-2^{2}}+\frac{7}{4^{2}-3^{2}}+\cdots+\frac{4025}{2013^{2}-2012^{2}} \\ +& b=\frac{1^{2}+2}{1 \cdot 2}+\frac{2^{2}+3}{2 \cdot 3}+\frac{3^{2}+4}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{2012^{2}+2013}{2012 \cdot 2013} +\end{aligned} +$$ + +Prof. Mihalea Dumitru + +3. Să se rezolve ecuaţiile: +a) $\left|x^{2}-2 x-3\right|+\sqrt{36-24 x+4 x^{2}}+|6-2 x|=0$ +b) $(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2}-y \sqrt{2}=0$ +c) $\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$ + +Timp de lucru 2 ore + +Pentru fiecare subiect se acordă 7 puncte(total 21 puncte) + +Succes! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1146-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.7.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1146-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.7.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59ca4fcfadaff9b0032da8915aeb4119344670c0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1146-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.7.md" @@ -0,0 +1,28 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN TULCEA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## FAZA LOCALĂ 19 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a VII-a + +1. a) Demonstraţi că: $\frac{a}{k(k+a)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+a}$, a şi k sunt numere întregi $a \neq 0, k \geq 1$ + +b) Arătaţi că: + +$$ +\begin{array}{r} +1-\frac{2}{1 \cdot(1+2)}-\frac{3}{(1+2)(1+2+3)}-\frac{4}{(1+2+3)(1+2+3+4)}-\cdots \\ +\ldots-\frac{100}{(1+2+3+\cdots+99)(1+2+3+\cdots+100)}<0,0002 +\end{array} +$$ + +2. In trapezul $A B C D$, cu bazele $A B$ şi CD şi $A D=10 \mathrm{~cm}$, intersecţia bisectoarelor unghiurilor A şi D aparţine laturii [BC]. Dacă segmentul care uneşte mijloacele diagonalelor trapezului are lungimea $1 \mathrm{~cm}$, calculaţi lungimile bazelor trapezului. +3. Aranjaţi în ordine crescătore numerele: + +$\sqrt{7+\sqrt{48}}, \quad \sqrt{28}, \quad 7 \sqrt{2}-\sqrt{0.01}, \quad \sqrt{484}$ și $\quad 7 \sqrt{2}+2 \sqrt{7}$ + +Timp de lucru 2 ore + +Pentru fiecare subiect se acordă 7 puncte(total 21 puncte) + +Succes! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1147-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.6.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1147-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.6.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91928fbbf3d7af2057a030b2dcfeeca9ff565ccf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1147-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.6.md" @@ -0,0 +1,36 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN TULCEA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## FAZA LOCALĂ 19 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a VI-a + +1. Fie $a=2^{n} \cdot 5^{n+1}$ și $b=2^{n+1} \cdot 5^{n}+1, n \in N$ + +a) Determinaţi toate numerele naturale $n$ pentru care $a+b+2$ este pătrat perfect + +b) Determinaţi numerele naturale $n, k$ şi $l$ astfel încât: + +$$ +k \cdot a+l \cdot(b-1)=2000 +$$ + +Prof. Mihalea Dumitru + +2. Numerele a, b şi c sunt direct proporţionale cu numerele 3,4 şi 5 + +a) Arătaţi că $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ + +b) Determinaţi numerele $a$, b şi c dacă $5 a+4 b+3 c=92$ + +c) Ce măsuri au 3 unghiuri adiacente 2 câte 2 , cu interioarele disjuncte, formate de o parte a unei drepte, dacă masurile lor sunt direct proporţionale cu numerele $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi c. + +3. Calculaţi cât mai simplu: +a) $\left(\frac{1}{44}+\frac{1}{404}+\frac{1}{4004}+\frac{1}{40004}\right):\left(\frac{1}{22}+\frac{1}{202}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{20002}\right)$ +b) $\frac{11}{13}+\frac{1111}{1313}+\frac{111111}{131313}+\frac{11111111}{13131313}$ + +Timp de lucru 2 ore + +Pentru fiecare subiect se acordă 7 puncte(total 21 puncte) + +Succes! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1148-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.5.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1148-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.5.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa4aeea281f12e2f7f6032483219121133913f84 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1148-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.5.md" @@ -0,0 +1,28 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN TULCEA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## FAZA LOCALĂ 19 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a V-a + +1. Ştiind că: două creioane, patru caiete şi cinci pixuri costă 11 lei;. două caiete, trei pixuri şi cinci creioane costă 10 lei, iar două pixuri, trei creioane şi patru caiete costă 9 lei. + +Aflaţi: + +a) Cât costă împreună un creion, un caiet şi un pix? + +b) Cât costă un creion, dar un caiet? + +Prof. Mihalea Dumitru + +2. a) Câte numere naturale mai mici sau egale cu 1000 sunt divizibile cu 2, dar cu 5 ? + +b) Câte dintre numerele naturale mai mici sau egale cu 1000 nu sunt divizibile nici cu 2 nici cu 5 ? + +3. a) Arătaţi că numerele $2013+2(1+2+3+\ldots+2012)$ şi $2012^{2}+4024$. $2013+2013^{2}$ sunt pătrate perfecte. + +Timp de lucru 2 ore + +Pentru fiecare subiect se acordă 7 puncte(total 21 puncte) + +Succes! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1149-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_12_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1149-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_12_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02366d906ffc5dacdb505884b9ee2adcd708cc29 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1149-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_12_braila.md" @@ -0,0 +1,43 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN BRĂILA
OLIMPIADA DE MATEMATICÄ
ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +## CLASA a XII a + +1. Fie $(G, \cdot)$ un grup având elementul neutru e. Arătați că dacă există $f: G \rightarrow G$ morfism injectiv cu proprietatea $f(f(x)) \cdot f(x)=e, \forall x \in G$, atunci G este abelian. +2. Să se determine primitiva $F$ a functiei $f: R \rightarrow R$ dată de + +$$ +f(x)=\left(1+3 x^{2}\right) \cdot \ln \left(1+x^{2}\right) \operatorname{arctg} x +$$ + +cu proprietatea $F(0)=0$ + +Gazeta Matematică nr. $7 / 2007$ + +3.Să se calculeze: + +$$ +I=\int_{0}^{a} \frac{\arcsin \sqrt{\frac{x}{a}}}{x^{2}-a x+a^{2}} d x, a>0 +$$ + +Gazeta Matematică nr.6/2005 + +4. Fie $\mathbb{Z}_{30}=\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots \ldots \ldots ., \overline{29}\}$ şi + +$$ +\mathbb{Z}_{31}^{*}=\{\hat{1}, \hat{2}, \ldots \ldots \ldots, \widehat{30}\} +$$ + +a)Dacă $f:\left(\mathbb{Z}_{30},+\right) \rightarrow\left(\mathbb{Z}_{31}^{*}, \cdot\right)$ este morfism de grupuri, atunci $f(\overline{18}) \neq \hat{3}$ şi există $g:\left(\mathbb{Z}_{30},+\right) \rightarrow\left(\mathbb{Z}_{31}^{*}, \cdot\right)$ morfism astfel încât $g(\overline{18})=\hat{1}$ + +b)Să se rezolve în $\left(\mathbb{Z}_{31}^{*} \cdot \cdot\right)$ ecuația: $\widehat{X}^{2}=\hat{1}$ şi să se calculeze produsul elementelor $\operatorname{din}\left(\mathbb{Z}_{31}^{*},\right)$ + +c)Să se dea exemplu de subgrup propriu de ordin $2,3,5$ din $\left(\mathbb{Z}_{31}^{*},\right)$. Există subgrup de ordin 4 în $\left(\mathbb{Z}_{31}^{*},\right)$ ? + +## Notă. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Se acordă 7 puncte pentru fiecare subiect. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-115-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-115-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..04b02e8c7ea2e2c814c102dfd11bf0ab9b1b2d53 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-115-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,103 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice + +din România +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE Ș CERCETÄRII ȘTIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a VI-a + +Problema 1. Câte numere prime de trei cifre pot fi transformate în cuburi perfecte printr-o schimbare a ordinii cifrelor lor? + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Într-un triunghi ascuţitunghic, trei din cele şase unghiuri adiacente formate în jurul ortocentrului de dreptele care includ cele trei înălţimi au măsurile proporţionale cu numerele 5,5 şi 7 , iar suma măsurilor celorlalte trei unghiuri este egală cu $190^{\circ}$. Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului. + +Problema 3. În fiecare din cele 16 căsuţe ale unui pătrat $4 \times 4$ este scris câte unul din numerele $1,2,3, \ldots, 16$. Pe fiecare coloană se calculează suma numerelor. Dacă una din sumele obţinute este strict mai mare decât celelalte trei, aceasta se notează cu $S$. + +a) Daţi exemplu de o completare a pătratului în care $S=40$. + +b) Care este cea mai mică valoare posibilă a lui $S$ ? + +Problema 4. Numerele naturale nenule $m$ şi $n$ au proprietatea că numărul $m^{2016}+m+n^{2}$ este divizibil cu numărul $m n$. + +a) Daţi un exemplu de două numere naturale nenule $m$ şi $n, m>n$, care verifică proprietatea din enunţ. + +b) Arătaţi că $m$ este pătrat perfect. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Ştiinţe Matematice + +din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_20af74861ddd72b8d4c6g-2.jpg?height=271&width=254&top_left_y=301&top_left_x=510) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE Ș CERCETÃRII STIINȚIFICE + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a VI-a - Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Câte numere prime de trei cifre pot fi transformate în cuburi perfecte printr-o schimbare a ordinii cifrelor lor? Soluţie + +Cuburile perfecte de trei cifre sunt: $125,216,343,512$ şi $729 . \ldots \ldots \ldots .1$ p Numerele prime de trei cifre trebuie să se termine cu o cifră impară, diferită de 5 , şi să nu fie divizibile 3. Prin urmare, numerele căutate sunt printre numerele 251, 521, 433 . $3 p$ + +Se verifică şi se constată că toate aceste trei numere sunt prime. $3 p$ + +Fiecare rezultat greşit (fals număr prim găsit sau număr prim omis) este penalizat. + +Problema 2. Într-un triunghi ascuţitunghic, trei din cele şase unghiuri formate în jurul ortocentrului de dreptele care includ cele trei înălţimi au măsurile proporţionale cu numerele 5,5 şi 7 , iar suma măsurilor celorlalte trei unghiuri este egală cu $190^{\circ}$. Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului. + +## Soluţie + +Suma ms̆urilor unghiurilor proporţionale cu 5, 5, 7 este $170^{\circ}$. .........1p Măsurile lor sunt $5 x, 5 x, 7 x$, cu $5 x+5 x+7 x=170^{\circ}$, de unde $x=10^{\circ}$. În jurul ortocentrului avem trei perechi de unghiuri opuse la vârf, deci congruente. De o parte a uneia din dreptele care conţine o înălļime se află câte un unghi din fiecare pereche. Ştim că trei dintre unghiuri au măsurile $50^{\circ}, 50^{\circ}$, $70^{\circ}$, deci celelalte trei au măsurile $70^{\circ}, 60^{\circ}, 60^{\circ}$. + +$3 p$ + +Folosind măsurile acestor unghiuri, se determină măsurile unghiurilor formate de înălţimi cu laturile: $20^{\circ}, 30^{\circ}, 40^{\circ}$, deci măsurile unghiurilor triunghiului sunt $50^{\circ}, 60^{\circ}, 70^{\circ}$. $.3 p$ + +Problema 3. În fiecare din cele 16 căsuţe ale unui pătrat $4 \times 4$ este scris câte unul din numerele $1,2,3, \ldots, 16$. Pe fiecare coloană se calculează suma numerelor. Dacă una din sumele obţinute este strict mai mare decât celelalte trei, aceasta se notează cu $S$. + +a) Daţi exemplu de o completare a pătratului în care $S=40$. + +b) Care este cea mai mică valoare posibilă a lui $S$ ? + +## Soluţie + +a) Un exemplu de asemenea completare este: + +| 1 | 2 | 3 | $\mathbf{1 0}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 7 | 6 | $\mathbf{5}$ | +| 9 | 4 | 11 | $\mathbf{1 2}$ | +| 16 | 15 | 14 | $\mathbf{1 3}$ | + +$\qquad$ +b) Suma numerelor scrise în căsuţele pătratului este $1+2+3+\ldots+16=136$. Deoarece $136=4 \cdot 34$, rezultă că fie suma numerelor de pe fiecare coloană este 34 , fie există o coloană pe care suma este cel puţin 35. În primul caz nu există $S$, iar din cazul al doilea rezultă că $S$ este cel puţin 35 . . $3 p$ Pentru a demonstra că valoarea minimă a lui $S$ este 35 , rămâne să dăm un exemplu de completare a pătratului astfel încât o coloană are suma 35, iar celelalte coloane au sume mai mici. Iată o astfel de completare: + +| 1 | 2 | 3 | $\mathbf{4}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 8 | 7 | 6 | $\mathbf{5}$ | +| 9 | 10 | 11 | $\mathbf{1 2}$ | +| 16 | 15 | 13 | $\mathbf{1 4}$ | + +(Suma numerelor de pe ultima coloană este 35 , în vreme ce pe primele trei coloane sumele sunt 34,34 , respectiv 33 , deci ultima coloană este cea cu $S=35$. + +Problema 4. Numerele naturale nenule $m$ şi $n$ au proprietatea că numărul $m^{2016}+m+n^{2}$ este divizibil cu numărul $m n$. + +a) Daţi un exemplu de două numere naturale nenule $m$ şi $n, m>n$, care verifică proprietatea din enunţ. + +b) Arătaţi că $m$ este pătrat perfect. + +## Soluţie + +a) De exemplu, $m=4, n=2$. + +b) Fie $d$ cel mai mare divizor comun al numerelor $m$ si $n$, iar $a, b \in \mathbb{N}^{*}$ astfel + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_20af74861ddd72b8d4c6g-3.jpg?height=49&width=1369&top_left_y=2163&top_left_x=367) +Condiţia din enunţ revine la faptul că $d^{2016} a^{2016}+d a+d^{2} b^{2}$ este divizibil cu $d^{2} a b$. Rezultă că $d a b$ divide $d^{2015} a^{2016}+a+d b^{2}$. . . . . . . . . . . . . . . . $\mathbf{1 p}$ Cum $a$ divide $d^{2015} a^{2016}$, rezultă că $a$ divide $d b^{2}$. Dar $(a, b)=1$, deci $a$ divide d. .............................................................................................. + +Pe de altă parte, $d$ divide $d^{2015} a^{2016}$ şi $d b^{2}$, deci $d$ divide $a$. ........... 1p Din cele de mai sus rezultă că $d=a$, deci $m=d^{2}$, prin urmare $m$ este pătrat perfect. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1150-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_11_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1150-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_11_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33199fc2bd782bee2057b9da9c059d6b7ad1d002 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1150-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_11_braila.md" @@ -0,0 +1,44 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN BRĂILA
OLIMPIADA DE MATEMATICÄ
ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +## CLASA a XI a + +1. Să se determine funcțiile $f:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ care satisfac simultan condițiile: + +i) $f(x) \leq \frac{x-2}{\ln 2}, x>1$; + +ii) $f\left(x^{3}+1\right) \leq 3 f(x+1), x>0$; + +iii) $f(x)+f\left(\frac{x}{x-1}\right) \geq 0, x>1$; + +Gazeta Matematică + +2. Studiaţi convergența şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu termeni pozitivi şi proprietatea $x_{n+1}>3 x_{n}, \forall n \geq 1, x_{1}=1$, + +$x_{2}=5$, definit prin relaţia de recurență: $\log _{2}\left(x_{n+2}-3 x_{n+1}\right)+2^{x_{n+2}-3 x_{n+1}}=2+\log _{2}\left(x_{n}\right)+16^{x_{n}}$. + +Adela Dimov, Brăila + +3. Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}9 & 2 & 9 \\ 1 & 18 & 1 \\ 9 & 2 & 9\end{array}\right)$. + +a) Aflați $A^{n}, n \geq 1$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}+I_{3}$ este inversabilă, $\forall n \geq 2$. + +## Carmen şi Viorel Botea, Brăila + +4. Fie $A_{n}=\{1,5,9,13, \ldots, 4 n+1\}$ şi $a_{n}$ numărul pătratelor perfecte din mulțimea $A_{n}, \forall n \geq 1$. + +i) Să se determine $a_{503}$. + +ii) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{k}{a_{k}}\right]$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +Gabriel Daniilescu, Brăila + +Notă. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Se acordă 7 puncte pentru fiecare subiect. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1151-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_10_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1151-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_10_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a7814f4a58c07af9d4e2443c0ecdc6cedbc90d3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1151-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_10_braila.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN BRĂILA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +## CLASA a $\mathrm{X}$ a + +1.Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuația: + +$$ +5-\sin ^{2} x-2 \cos x=\left[-2 x^{2}-x+3\right] +$$ + +Narcis Gabriel Turcu + +2.Să se demonstreze inegalitatea: + +$$ +\left(3 \cdot 2^{2 a}-2 \cdot 2^{a}+1\right)\left(3 \cdot \log _{2}^{2} a+2 \cdot \log _{2} a+1\right)>8 \cdot 2^{a} \cdot \log _{2} a, \text { pentru } a>1 +$$ + +## Costel Cerchez + +3. Fie triunghiul $A B C$, unde $A\left(z_{A}\right), B\left(z_{B}\right), C\left(z_{C}\right) \in \mathrm{C}(O ; 1)$. + +Dacă $\left|k \cdot z_{A}-z_{B}-z_{C}\right|=\left|k \cdot z_{B}-z_{A}-z_{C}\right|=\left|k \cdot z_{C}-z_{A}-z_{B}\right|$, unde $k \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}, k$ fixat, atunci triunghiul $A B C$ este echilateral. + +Gheorghe Alexe + +4.a) Dacă $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$ si $z_{1}+z_{2}>0$, să se demonstreze că $z_{1} \cdot z_{2}>0$. + +b) Să se rezolve inecuaţia $z^{2}+z \leq 0, z \in \mathbb{C}$. + +## Notă. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Se acordă 7 puncte pentru fiecare subiect. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1152-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_9_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1152-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_9_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ef1e60591176583d9fcb805269c69e6b37dfc294 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1152-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_9_braila.md" @@ -0,0 +1,50 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDEȚEAN BRĂILA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +CLASA a IX a + +1. Fie $a, b, c$ numere întregi, cu $a^{2}-4 b=c^{2}$. Să se arate că numărul $a^{2}-2 b$ se scrie ca sumă de două pătrate perfecte. + +Julieta Raicu, Blaj (Gazeta matematică 2012) + +2. Se consideră triunghiul $A B C$ oarecare, având lungimile laturilor $B C=a$, $C A=b, A B=c, I$ centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$ Şi punctele $M \in(B C)$, $N \in(C A), P \in(A B)$ astfel încât + +$$ +\left(\frac{b}{c}\right)^{2} \cdot \frac{M B}{M C}=\left(\frac{c}{a}\right)^{2} \cdot \frac{N C}{N A}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2} \cdot \frac{P A}{P B}=1 +$$ + +Să se arate că: +a) $A M \cap B N \cap C P=\{K\}$ (punctul lui Lemoine); + +b) vectorii $\overrightarrow{I K}$ Şi $\overrightarrow{B C}$ sunt coliniari dacă Şi numai dacă $a=\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}$; +c) $\overrightarrow{I K}=\overrightarrow{0}$ dacă Şi numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral. + +3. Rezolvați ecuația + +Gheorghe Alexe, Brăila + +$$ +x=\frac{[x]+2012}{\{x\}+2013} +$$ + +unde $[x]$ Şi $\{x\}$ reprezintă partea întreagă şi respectiv partea fracționară pentru numărul real $x$. + +Marius Damian Şi Valentin Damian, Brăila + +4. Fie $A_{n}=\{4,11,18,25,32, \ldots, 7 n-3\}$ Ş $B_{n}=\left\{x \in A_{n} \mid x\right.$ este pătrat perfect $\}$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$. Notăm Card $A_{n}=a_{n}$ §i Card $B_{n}=b_{n}$. + +a) Să se determine $b_{288}$. + +b) Să se determine $n \in \mathbb{N}^{*}$ Ştiind că $a_{n}=120+b_{n}$. + +Gabriel Daniilescu, Brăila + +Notă. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Se acordă 7 puncte pentru fiecare subiect. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1153-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_8_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1153-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_8_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c4486fc08e3b372732d63a9c2cfae0f4d66f8169 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1153-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_8_braila.md" @@ -0,0 +1,36 @@ +# Inspectoratul Școlar Județean Brăila + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 09. 02. 2013 + +## CLASA a VIII-a + +1. Determinaţi $x \in[-3 ; 1]$ pentru care $\frac{|x|}{|x-1|+|x+3|}=0$,(5). + +Vasile Tarciniu, Vrancea + +2. Determinaţi numărul real $x$ astfel încât: + +$$ +\sqrt{22+6 x-3 x^{2}}+\sqrt{34+4 x-2 x^{2}} \geq x^{2}-2 x+12 +$$ + +Nicolae Stănică, Brăila + +3. Fie $S A B C D$ o piramidă patrulateră regulată. $A M \perp S B, M \in S B$, $B N \perp S C, N \in S C, C P \perp S D, P \in S D, D Q \perp S A, Q \in S A$ și $R$ simetricul lui $N$ față de $A C$. + +a) Demonstrați că punctele $B, R, Q, D$ sunt coplanare. + +b) Aflați măsura unghiului dintre dreptele $M P$ și $R Q$. + +Victor Nicolae, Petre Simion, București + +4. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ fie $A C \cap B D=\{S\}$, punctul $N$ mijlocul segmentului $\left[D\right.$ 'S] şi $A B=6 \mathrm{~cm}$. Dacă $C^{\prime} N \cap\left(A D D^{\prime}\right)=\{T\}$, atunci calculaţi distanţa de la punctul $T$ la planul (NSC). + +Daniela Narcisa Ivan, Brăila + +Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1154-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_7_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1154-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_7_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..785e2aa16f993f2fd3e04cb781de1d6a8a3df791 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1154-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_7_braila.md" @@ -0,0 +1,31 @@ +# Inspectoratul Școlar Județean Brăila + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 09. 02. 2013 + +## CLASA a VII-a + +1. În trapezul $A B C D$ de baze $[A B]$ şi $[C D]$ se consideră punctul $M$ mijlocul segmentului $[B C]$. Bisectoarele unghiurilor $A B C$ şi $B C D$ se intersectează în punctul $L$. Demonstraţi că dreptele $M L$ şi $A B$ sunt paralele. +2. Determinaţi numărul natural $x$, ştiind că: + +$$ +x=[\sqrt{1 \cdot 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}]+[\sqrt{3 \cdot 4}]+\ldots \ldots .+[\sqrt{2012 \cdot 2013}] +$$ + +unde $[a]$ este partea întreagă a numărului real $a$. + +3. Fie $n$ un număr natural compus. Să se arate că există numerele naturale $k>1$ și $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{k}}>1$ astfel încât + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right) +$$ + +Petre Bătrânețu, Galați + +4. Determinați măsurile unghiurilor triunghiului $A B C$ în care $m(\Varangle C)=2 \cdot m(\Varangle A)$ și $A C=2 \cdot B C$. + +Marcel Chiriță, București + +Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1155-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_6_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1155-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_6_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd6ce298caaf608e5845101ecf7ebaff03f96ba1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1155-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_6_braila.md" @@ -0,0 +1,29 @@ +# Inspectoratul Școlar Județean Brăila + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 09. 02. 2013 + +## CLASA a VI-a + +1. a) Determinaţi toţi divizorii numărului 2013. + +b) Determinaţi cel mai mic număr natural care are acelaşi număr de divizori cu 2013. + +Cerchez Daniela, Brăila + +2. Determinaţi numerele naturale nenule $a, b$ astfel încât + +$$ +(a, b)+[a, b]=52 +$$ + +Tilincă Daniela, Mihailă Adriana, Brăila + +3. Fie unghiul $x O y$ şi $A, C \in(O x, B, D \in(O y$ astfel încât $O A=O B$ şi $O C=O D$. Demonstraţi că ( $O T$ este bisectoarea unghiului $x O y$, unde $A D \cap B C=\{T\}$. +4. Să se arate că nu există cuburi perfecte de forma $\overline{x 0 y y 0 x}$, scrise în sistemul zecimal. + +Narcis Gabriel Turcu, Brăila + +Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de două ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1156-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_5_braila.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1156-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_5_braila.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1540424ccadf0e8d71e5061d92f3e3702bc87ab --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1156-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_5_braila.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# Inspectoratul Școlar Județean Brăila + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 09. 02. 2013
CLASA a V-a + +1. Demonstrați că numărul + +$$ +\overline{a b c d}+\overline{b c d a}+\overline{c d a b}+\overline{d a b c} +$$ + +este divizibil cu 11 . + +Ionuț Mazalu, Brăila + +2. Determinaţi ultimele trei cifre ale numărului + +$$ +a=5^{2009}+5^{2010}+5^{2011}+5^{2012}+5^{2013} +$$ + +Daniela Cerchez, Brăila + +3. Arătați că suma tuturor numerelor naturale nenule care împărțite la 51 dau câtul egal cu dublul restului nu este pătrat perfect. + +Daniela Tilincă, Adriana Mihăilă, Brăila + +4. Să se demonstreze că, pentru orice număr natural $n$, în secvența + +$$ +3^{n+3}, 5^{n+5}, 7^{n+7}, \ldots, 4019^{n+4019}, 4021^{n+4021} +$$ + +există doi termeni care au diferența divizibilă cu 2010. + +Narcis Gabriel Turcu, Brăila + +Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de două ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1157-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1157-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf70392578159047207a784ecea2435a096be1fa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1157-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,134 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 9 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuaţia: $[x+1]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=\frac{2 x+3}{2}$. + +Gheorghe Fianu, Perișoru + +b) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \ldots . . . x_{n} \in\{-2013 ; 2013\}$. Să se determine mulțimea numerelor naturale $n$ pentru care este adevărată egalitatea $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\ldots . . .+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}=0$. + +Lucian Ioniță, Călăraşi + +Problema 2. Dacă $a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq b$ cu proprietatea $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=2013$, demonstrați că $c^{2}(a+b)=2013$. + +Gheorghe Stoianovici, Călărași + +Problema 3. Fie $a>0$ și piramida patrulateră regulată $S A B C D$ în care muchia bazei are lungimea $a$ și lungimea înălțimii piramidei este $2 a$. Daca $M$ este mijlocul laturii $[B C]$ și măsura unghiului dintre dreapta SB și planul (SAC) este $\alpha$, aflați: + +a) distanța de la punctul $S$ la dreapta $D M$; + +b) lungimea proiectiei segmentului $[S M]$ pe dreapta $S D$; + +c) $\operatorname{tg} \alpha$. + +Sorin Furtună, Călărași și Stelică Pană, Chirnogi + +Problema 4. Dacă $\left[A B C D ; A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\right]$ este un paralelipiped dreptunghic, $O$ centrul feţei $A B C D, Q$ centrul feței $A D D_{1} A_{1}, \alpha$ măsura unghiului dintre planele $\left(D A_{1} C_{1}\right)$ și $\left(D A_{1} B\right)$ atunci: + +a) Demonstraţi că paralelipipedul dreptunghic este cub dacă şi numai dacă $Q C_{1} \perp D A_{1}$ §̧i $O A_{1} \perp B D$. + +b) Dacă $\left[A B C D ; A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\right]$ este cub calculați $\sin \alpha$. + +Gheorghe Fianu, Perișoru + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 4. a) 4 puncte; b) 3 puncte. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 9 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuaţia: $[x+1]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=\frac{2 x+3}{2}$. + +a) Ecuatia $\Leftrightarrow[2 x]=\frac{2 x+1}{2}$ + +$\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x+1}{2} \leq 2 x<\frac{2 x+3}{2} \\ \frac{2 x+1}{2}=k \in Z\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq \frac{1}{2} \\ x<\frac{3}{2} \\ x=\frac{2 k-1}{2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \leq x<\frac{3}{2} \\ x=\frac{2 k-1}{2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \leq \frac{2 k-1}{2}<\frac{3}{2} \\ k \in Z\end{array} \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}\right.\right.\right.\right.$ + +b) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \ldots . . x_{n} \in\{-2013 ; 2013\}$, să se determine mulțimea numerelor naturale $n$ pentru care este adevărată egalitatea $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\ldots \ldots .+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}=0$. + +Soluție : condiție necesară $n=2 p, p \in N$. + +p termeni din sumă sunt egali cu -2012 si $\mathrm{p}$ termeni sunt egali cu 2012 implică + +$x_{1} x_{2} \cdot x_{2} x_{3} \cdot x_{3} x_{4} \cdot \ldots \ldots . . \cdot x_{n-1} x_{n} \cdot x_{n} x_{1}=(-1)^{p} \cdot 2012^{2 n}$ + +$\Rightarrow x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} \cdot x_{3}^{2} \cdot \ldots . . \cdot x_{n}^{2}=(-1)^{p} \cdot 2012^{2 n}>0$. Deci $p=2 k, k \in N \Rightarrow n=4 k \in N$. Rezulta $n \in M_{4}$ + +Problema 2. Dacă $a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq b$ cu proprietatea $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=$ 2013 atunci demonstraţi că $c^{2}(a+b)=2013$. + +Soluție + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=2013 \Rightarrow a^{2}(b+c)-b^{2}(c+a)=0 \\ +& \Leftrightarrow a^{2} b+a^{2} c-b^{2} c-b^{2} a=0 \Leftrightarrow a b(a-b)+c\left(a^{2}-b^{2}\right)=0 \Leftrightarrow a b(a-b)+c(a+b)(a-b)=0 \\ +& \Leftrightarrow(a-b)(a b+a c+b c)=0 \Leftrightarrow a b+a c+b c=0 \text {. } \\ +& a(b+c)=-b c \Leftrightarrow a^{2}(b+c)=-a b c . \\ +& c(a+b)=-a b \Leftrightarrow c^{2}(a+b)=-a b c +\end{aligned} +$$ + +Problema 3. Fie $a>0$ și piramida patrulateră regulată $S A B C D$ în care muchia bazei are lungimea $a$ și lungimea înălțimii piramidei este $2 a$. Daca $M$ este mijlocul laturii $[B C]$ și măsura unghiului dintre dreapta SB și planul (SAC) este $\alpha$, aflați: + +a) distanța de la punctul $S$ la dreapta $D M$; + +b) lungimea proiecției segmentului $[S M]$ pe dreapta $S D$; + +c) $\operatorname{tg} \alpha$. + +Soluție + +Desen + +a) $D M=\frac{a \sqrt{5}}{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +$O N \perp D M$ şi din aria triunghiului $\Delta D O M$ scrisă în două moduri $\Rightarrow O N=\frac{a \sqrt{5}}{10}$ $1 \mathrm{p}$ + +Din teorema celor trei perpendiculare $\Rightarrow S N \perp D M$ şi d $(S, D M)=\frac{9 a \sqrt{5}}{10}$. + +b) $D S=\frac{3 a \sqrt{2}}{2}$ şi $M T \perp S D, T \in(S D) \Rightarrow M T=\frac{3 a \sqrt{2}}{4}$ + +$M S=\frac{a \sqrt{17}}{2}$ şi ST $=\frac{5 a \sqrt{2}}{4}$ + +c) Dacă proiecția segmentului $[S B]$ pe planul (SAC) este segmentul $[O B]$ unde $\{O\}=A C \cap B D$ rezultă că $\alpha=m(\measuredangle O S B)$ + +$\operatorname{tg} \alpha=\frac{O B}{S O}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ + +Problema 4. Dacă $\left[A B C D ; A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\right]$ este un paralelipiped dreptunghic, $O$ centrul feţei $A B C D, Q$ centrul feței $A D D_{1} A_{1}, \alpha$ măsura unghiului dintre planele $\left(D A_{1} C_{1}\right)$ și $\left(D A_{1} B\right)$ atunci: + +a) Demonstraţi că paralelipipedul dreptunghic este cub dacă şi numai dacă $Q C_{1} \perp D A_{1}$ şi $O A_{1} \perp B D$. + +b) Dacă $\left[A B C D ; A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\right]$ este cub calculați $\sin \alpha$. + +a) Fie $\mathrm{AB}=\mathrm{a} ; \mathrm{BC}=\mathrm{b} ; \mathrm{AA}_{1}=\mathrm{c}$; + +In $\Delta \mathrm{DA}_{1} \mathrm{C}_{1}$, în care $\left[\mathrm{C}_{1} \mathrm{Q}\right]$ este şi mediană şi înălţime, avem $\left[\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}\right] \equiv\left[\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}_{1}\right] \Rightarrow \mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}$; + +$\Rightarrow \mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2} ; \Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{c} ;(1)$ + +In $\Delta \mathrm{DA}_{1} \mathrm{~B}$, în care $\left[\mathrm{A}_{1} \mathrm{O}\right]$ este şi mediană şi înălţime, avem $\left[\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}\right] \equiv\left[\mathrm{BA}_{1}\right] \Rightarrow \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}$; + +$\Rightarrow \mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2} ; \Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{a} ;(2)$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Din (1) şi (2) avem $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) Desen.... $1 \mathrm{p}$ + +Dacă $\left[A B C D ; \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}\right]$, este cub, $\mathrm{AB}=\mathrm{a}$ + +Unghiul plan corespunzător diedrului $\left(\mathrm{DA}_{1} \mathrm{C}_{1} ; \mathrm{DA}_{1} \mathrm{~B}\right)$ este $<\left(\mathrm{C}_{1} \mathrm{QB}\right)$ + +Fie $\Delta \mathrm{C}_{1} \mathrm{QB}$ isoscel de bază $\mathrm{BC}_{1} ; \mathrm{BC}_{1}=a \sqrt{2} ; \mathrm{BQ}=\mathrm{QC}_{1}=\frac{a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$ ( ca înălţime într-un tr.echilateral). + +$$ +\mathrm{A}\left(\mathrm{C}_{1} \mathrm{QB}\right)=\frac{B C_{1} \cdot Q Q^{\prime}}{2}=\frac{Q C_{1} \cdot Q B \cdot \sin B Q C_{1}}{2} \quad \sin \alpha=\frac{a \sqrt{2} \cdot a}{\frac{a \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ebe47e5a2a47a0aaf595g-4.jpg?height=642&width=528&top_left_y=140&top_left_x=1189) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1158-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1158-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56b1ce9bbc7627a3ad1c728d77a0db99c7b67d44 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1158-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,156 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 9 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. a) Un număr natural se numește „enigmatic" dacă prima cifră a numărului este 9 și dacă se mută această cifră la sfârşitul numărului, numărul obținut este de patru ori mai mic decât numărul iniţial. Arătați că mulțimea numerelor „enigmatice" este diferită de mulțimea vidă. + +Georgeta Cioboată, Călărași + +b) Găsiți toate numerele $k \in \mathbb{Z} \backslash\{0,7\}$ cu proprietatea $\frac{1}{k-7}-\frac{1}{k}=\frac{1}{14}$. + +Eugen Predoiu și Marin Neață, Călărași + +Problema 2. Să se calculeze: + +a) $S_{1}=\sqrt{[\sqrt{1 \cdot 3}]+[\sqrt{3 \cdot 5}]+[\sqrt{5 \cdot 7}]+\cdots+[\sqrt{2011 \cdot 2013}]} ;([x]$ este partea întreagă a numărului real $x)$ Gheorghe Fianu, Perișoru + +b) $S_{2}=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$. + +Cristina Bornea, Călărași + +Problema 3. Fie un $\triangle A B C$ cu $m(\measuredangle A)=90^{\circ}$. Se construieşte pătratul $B D E C$ în semiplanul delimitat de $B C$ care nu îl conţine pe $A$. Bisectoarea unghiului $A$ intersectează laturile $[B C]$ si $[D E]$ in $F$ respectiv $G$. Dacă $|A B|=16 \mathrm{~cm}$ şi $|A C|=4 \mathrm{~cm}$, calculaţi aria patrulaterului $B D G F$. + +Cristina Bornea, Călărași + +Problema 4. a) Dacă măsurile unghiurilor $A, B, C, D$, ale patrulaterului convex $A B C D$, sunt direct proporționale cu patru numere naturale consecutive, să se demonstreze că $A B C D$ este trapez. + +b) Fie $O$ punctul de intersecție al diagonalelor $A C$ și $B D$ ale trapezului $A B C D, A B \| C D, A B>C D$. Prin punctul $O$ ducem paralela $O M$ la latura $A D, M \in A B$ și notăm cu $N$ simetricul punctului $M$ fața de mijlocul laturii $A B$. Să se demonstreze că $O N \| B C$. + +Relu Ciupea, Oltenița + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 4 puncte.[^0] + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALA - 9 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. a) Un număr natural se numește „enigmatic" dacă prima cifră a numărului este 9 și dacă se mută această cifră la sfârşitul numărului, numărul obţinut este de patru ori mai mic decât numărul iniţial. Arătați că mulțimea numerelor „enigmatice" este diferită de mulțimea vidă. + +Soluție + +$\overline{9 a}=4 \cdot \overline{a 9}$ $1 p$ + +Rezolvarea ecuației $39 \cdot \bar{a}=9 \cdot\left(10^{n}-4\right)$ $2 p$ + +Finalizare ( soluția este 923076) $1 p$ + +b) Găsiți toate numerele $k \in \mathbb{Z} \backslash\{0,7\}$ cu proprietatea $\frac{1}{k-7}-\frac{1}{k}=\frac{1}{14}$. + +Soluție + +$k(k-7)=98$ $1 \mathrm{p}$ + +$k=-7$ și $k=14$ soluții $1 \mathrm{p}$ + +$\forall k \in \mathbb{Z}-\{-7,14\}$ nu este soluție soluții + +Problema 2. Să se calculeze: + +a) $S_{1}=\sqrt{[\sqrt{1 \cdot 3}]+[\sqrt{3 \cdot 5}]+[\sqrt{5 \cdot 7}]+\cdots+[\sqrt{2011 \cdot 2013}]}$; ([x] este partea întreagă a numărului real $x$ ) Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-2.jpg?height=84&width=1767&top_left_y=1470&top_left_x=190) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-2.jpg?height=92&width=1783&top_left_y=1553&top_left_x=190) + +finalizare $S_{1}=1006$......................................................................................................... 2 p + +b) observă $\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}}=1+\frac{1}{k(k+1)}$ + +finalizare $S_{2}=2013-\frac{1}{2013}$. + +$.1 \mathrm{p}$ + +Problema 3. Fie un $\triangle A B C$ cu $m(\measuredangle A)=90^{\circ}$. Se construieşte pătratul $B D E C$ în semiplanul delimitat de $B C$ care nu îl conţine pe $A$. Bisectoarea unghiului $A$ intersectează laturile $[B C]$ şi $[D E]$ in $F$ respectiv $G$. Dacă $|A B|=16 \mathrm{~cm}$ şi $|A C|=4 \mathrm{~cm}$, calculaţi aria patrulaterului $B D G F$. + +Soluţie: + +Desen + +$1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-2.jpg?height=415&width=420&top_left_y=2275&top_left_x=1514) + +$$ +\begin{aligned} +& \Delta A B C \equiv \triangle B M D([B C] \equiv[B D], \measuredangle A B C \equiv \measuredangle B D M) \Rightarrow[A C] \equiv[B M] \text { (1) ............................................. } 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-3.jpg?height=68&width=1778&top_left_y=161&top_left_x=195) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Din (1) si (2) } \Rightarrow[A C] \equiv[N D] \text {................................................................................................................................ } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-3.jpg?height=65&width=1784&top_left_y=298&top_left_x=192) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-3.jpg?height=107&width=1781&top_left_y=364&top_left_x=194) + +$$ +\begin{aligned} +& A_{B D G F}=A_{A M N}-2 \cdot A_{A B C} \\ +& A_{B D G F}=200-64 \Rightarrow A_{B D G F}=136 \mathrm{~cm}^{2} +\end{aligned} +$$ + +Problema 4. a) Măsurile unghiurilor $A, B, C, D$ ale patrulaterului convex $A B C D$ sunt direct proporționale cu patru numere naturale consecutive. Să se demonstreze că $A B C D$ este trapez. + +b) Fie $O$ punctul de intersecție al diagonalelor $A C$ și $B D$ ale trapezului $A B C D, A B \| C D, A B>C D$. Prin punctul $O$ ducem paralela $O M$ la latura $A D, M \in A B$ și notăm cu $N$ simetricul punctului $M$ față de mijlocul laturii $A B$. Să se demonstreze că $O N \| B C$. + +Solutie : + +a) Notând cu $a, b, c, d$ măsurile celor patru unghiuri ale patrulaterului şi cu $n, n+1, n+2, n+3$ cele patru numere naturale consecutive, conform enunțului vom obține : + +$\frac{a}{n}=\frac{b}{n+1}=\frac{c}{n+2}=\frac{d}{n+3}=\frac{a+b+c+d}{n+n+1+n+2+n+3}=\frac{360}{4 n+6}=\frac{360}{2 \cdot(2 n+3)}=\frac{180}{2 n+3}(1)$ + +Pe de altă parte $\frac{b}{n+1}=\frac{c}{n+2}=\frac{b+c}{n+1+n+2}=\frac{b+c}{2 n+3}(2)$ + +$1 p$ + +Din (1) și (2) rezultă $\frac{b+c}{2 n+3}=\frac{180}{2 n+3} \Rightarrow b+c=180 \Rightarrow A B \| C D \Rightarrow A B C D=$ trapez + +b) desen + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04bd8e18437a78c4edccg-3.jpg?height=395&width=1160&top_left_y=1559&top_left_x=518) + +$O M \| A D \Rightarrow \frac{B O}{O D}=\frac{B M}{M A}$ (Teorema lui Thales î $\triangle B A D$ ) + +$\frac{B O}{O D}=\frac{A O}{O C}$ (Teorema lui Thales în $\triangle A O B$ ) + +Din cele două relaţii rezultă $\frac{A O}{O C}=\frac{B M}{M A}(1)$ $1 p$ + +Deoarece $P$ este mijlocul lui $A B$ rezultă $P A=P B$ + +Deoarece $N$ este simetricul punctului $M$ faṭ̆ de $P$ rezultă $P M=P N$ + +Prin scăderea respectiv adunarea ultimelor două egalităţi se obține : + +$P A-P M=P B-P N \Rightarrow M A=N B(2)$ + +şi $P A+P N=P B+P M \Rightarrow N A=M B(3)$ + +Din (1),(2) și (3) rezultă $\frac{A O}{O C}=\frac{A N}{N B}$ și conform reciprocei Teoremei lui Thales $\Rightarrow O N \| B C$ + + +[^0]: Str. Sloboziei, nr. 28, 910001 Mun. Călărași, Jud. Călărași + + Tel: +400242315949 + + Fax: +400242312810 + + www.isj.cl.edu.ro + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1159-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1159-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b37d634f7ab0bc18daa1ff49ef06def8fade8c1a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1159-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,121 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 9 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a VI-a + +Problema 1. Se consideră mulțimea $A=\{1,3,5, \ldots, 2013\}$. + +a) Calculați suma câturilor obținute prin împărțirea, cu rest, a fiecărui număr din mulțimea $A$ la 513. + +b) Arătați că oricum am alege două elemente ale mulțimii $A$ suma sau diferența acestora este un număr divizibil cu 4. + +Aurelia Cațaros, Călărași + +Problema 2. a) La un spectacol sunt în sală 320 elevi și 80 de profesori. Vârsta medie a spectatorilor este de 18 ani. Aflați vârsta medie a elevilor care participă la spectacol dacă se cunoaște că vârsta medie a profesorilor este de 42 ani. + +b) În figura alăturată este desenat un dreptunghi care este împărțit în 10 pătrate. Determinați lungimea laturii $\mathrm{AB}$ dacă lungimile laturilor pătratelor sunt numere naturale și au cele mai mici valori posibile. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1e518f959e9d0ab77f16g-1.jpg?height=252&width=425&top_left_y=1088&top_left_x=1533) + +Viorica Stoianovici, Călărași + +Problema 3. După ce a construit $n$ unghiuri congruente în jurul punctului $O$, $m\left(A O A_{1}\right)=m\left(A_{1} O A_{2}\right)=\ldots=m\left(A_{n-1} O A_{n}\right)=x^{0}$, un elev observă că $m\left(A_{n} O A\right)=y^{0}13$ rezulta $\mathrm{n}>25$-nu convine Numar total de perechi: 16 . + +$1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-116-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-116-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d80f067bafdc2ac4e59e7740cbdae3bce3973b3a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-116-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,108 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice + +din România +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE Ș CERCETÄRII STIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi numerele de trei cifre pentru care, suprimând cifra zecilor, obţinem un număr de 13 ori mai mic. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Determinaţi perechile $(X, Y)$ de mulţimi care au ca elemente numere naturale nenule şi care verifică simultan următoarele proprietăţi: + +(1) fiecare din mulţimile $X$ şi $Y$ are trei elemente; + +(2) $3 \in X$ sुi $5 \in Y$; + +(3) mulţimea $X \cap Y$ are exact un element; + +(4) dacă $a$ şi $b$ sunt elemente diferite ale mulţimii $X$, atunci $(a+b) \in Y$. + +Problema 3. Dacă $A$ şi $B$ sunt numere naturale nenule, atunci notăm cu $\overline{A B}$ numărul obţinut prin scrierea, în ordine, a cifrelor lui $B$ în continuarea cifrelor lui $A$. De exemplu, dacă $A=193$ şi $B=2016$, atunci $\overline{A B}=1932016$. Arătaţi că există o infinitate de pătrate perfecte de forma $\overline{A B}$ în fiecare din situaţiile: + +a) numerele $A$ şi $B$ sunt pătrate perfecte; + +b) numerele $A$ şi $B$ sunt cuburi perfecte; + +c) numărul $A$ este cub perfect, iar numărul $B$ este pătrat perfect; + +d) numărul $A$ este pătrat perfect, iar numărul $B$ cub perfect. + +Problema 4. Pe o masă sunt aşezate 31 de cartonaşe pe care sunt scrise numerele $1,2,3, \ldots, 31$. Alex şi Bogdan îşi aleg câte 15 cartonaşe şi observă că suma numerelor de pe cartonaşele lui Alex este triplul sumei numerelor de pe cartonaşele lui Bogdan. Aflaţi numărul scris pe cartonaşul rămas pe masă. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE ȘI CERCETÃRII \$TIINTุIFICE + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a V-a - Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Determinaţi numerele de trei cifre pentru care, suprimând cifra zecilor, obţinem un număr de 13 ori mai mic. + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +Fie $\overline{a b c}$ un număr cu proprietatea din enunţ. + +Condiţia dată revine la $\overline{a b c}=13 \cdot \overline{a c}$, adică la $100 a+10 b+c=130 a+13 c$, deci la $10 b=30 a+12 c$. + +Observând că 5 divide atât $10 b$ cât şi $30 a$ (sau examinând ultima cifră a acestor numere), se deduce că $12 c$ este divizibil cu 5 , deci $c \in\{0,5\}$. . 2p Dacă $c=0$, se ajunge la $b=3 a$. Cum $a$ este cifră nenulă, convin variantele: $a=1, b=3 ; a=2, b=6$ şi $a=3, b=9$, care conduc la numerele 130,260 , respectiv 390 . Dacă $c=5$, se ajunge la $b=3 a+6$. Cum $a$ este cifră nenulă, convine numai varianta $a=1, b=9$, care conduce la numărul 195. .................. 2p În concluzie, există patru numere cu proprietatea dorită: 130, 260, 390 şi 195 . + +Problema 2. Determinaţi perechile $(X, Y)$ de mulţimi care au ca elemente numere naturale nenule şi care verifică simultan următoarele proprietăţi: + +(1) fiecare din mulţimile $X$ şi $Y$ are trei elemente; + +(2) $3 \in X$ ş $5 \in Y$; + +(3) multhimea $X \cap Y$ are exact un element; + +(4) dacă $a$ şi $b$ sunt elemente diferite ale mulţimii $X$, atunci $(a+b) \in Y$. + +## Soluţie + +Dacă $X=\{a, b, c\}$, cu $a3$ şi $c>3$, prin urmare toate elementele lui $Y$ sunt mai mari decât 5 , deci nu avem soluţii în acest caz. .....................1p + +Problema 3. Dacă $A$ şi $B$ sunt numere naturale nenule, atunci notăm cu $\overline{A B}$ numărul obţinut prin scrierea, in ordine, a cifrelor lui $B$ în continuarea cifrelor lui $A$. De exemplu, dacă $A=193$ şi $B=2016$, atunci $\overline{A B}=1932016$. Arătaţi că există o infinitate de pătrate perfecte de forma $\overline{A B}$ în fiecare din situaţiile: + +a) numerele $A$ şi $B$ sunt pătrate perfecte; + +b) numerele $A$ şi $B$ sunt cuburi perfecte; + +c) numărul $A$ este cub perfect, iar numărul $B$ este pătrat perfect; + +d) numărul $A$ este pătrat perfect, iar numărul $B$ cub perfect. + +## Soluţie + +De exemplu: + +a) Pentru $A=4$ şi $B=9$ se obţine $\overline{A B}=49=7^{2}$. .................1p Completând cu un număr par de 0-uri obţinem, pornind de la exemplul de mai sus, o infinitate de soluţii: pentru $A=4$ şi $B=9 \cdot 10^{2 n}, n \in \mathbb{N}$, se obţine $\overline{A B}=(7 \underbrace{00 \ldots 0}_{n \text { cifre }})^{2}$ + +b) Pentru $A=8$ şi $B=1$ se obţine $\overline{A B}=81=9^{2}$. + +Adăugându-i lui $B$ 6n 0-uri la coadă, pentru $A=8$ şi $B=10^{6 n}, n \in \mathbb{N}$, se obţine $\overline{A B}=(9 \underbrace{00 \ldots 0}_{3 n \text { cifre }})^{2}$. + +c) Pentru $A=8$ şi $B=10^{2 n}, n \in \mathbb{N}$, se obţine $\overline{A B}=(9 \underbrace{00 \ldots 0}_{n \text { cifre }})^{2} \ldots \ldots \mathbf{1} \mathbf{p}$ + +d) Pentru $A=36$ şi $B=1$ se obţine $\overline{A B}=361=19^{2}$. . . . . . . . . 1p Pentru $A=36$ şi $B=10^{6 n}, n \in \mathbb{N}$, se obţine $\overline{A B}=(19 \underbrace{00 \ldots 0}_{3 n \text { cifre }})^{2} \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Orice alte exemple corecte conduc şi ele la acordarea punctajului prevăzut. De exemplu $A=64$ şi $B=10^{6 n}$ cu $n \geq 1$ verifică toate cazurile. + +Problema 4. Pe o masă sunt aşezate 31 de cartonaşe pe care sunt scrise numerele $1,2,3, \ldots, 31$. Alex şi Bogdan îşi aleg câte 15 cartonaşe şi observă că suma numerelor de pe cartonaşele lui Alex este triplul sumei numerelor de pe cartonaşele lui Bogdan. Aflaţi numărul scris pe cartonaşul rămas pe masă. + +## Soluţie + +$B$ este cel puţin $1+2+3+\cdots+15=120$ deci $A$ este cel puţin $3 \cdot 120=360$. 2 puncte + +Dar $A$ este cel mult $17+18+\cdots+31=360$ deci $A$ este 360 şi $B$ este 120.......................................................................... 2 puncte Deci $A$ alege $17,18, \ldots, 31$ şi $B$ alege $1,2, \ldots, 15$, aşadar $n=163$ puncte + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1160-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1160-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..394f0c475495ee2bf741954fb6a1b75adc1a2b16 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1160-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,126 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 9 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. La un concurs intitulat „Matematică distractivă" au participat cei mai buni elevi din oraş. După ce s-au afişat rezultatele, primii trei clasați au fost premiați cu o sumă de bani în valoare de 2100 lei. Algoritmul după care s-a realizat premierea celor trei elevi a fost de asemenea o metodă ,distractivă” și s-a desfăşurat astfel: fiecare elev a primit o casetă, acestea fiind notate cu $A, B, C$ iar distribuirea banilor s-a efectuat în felul următor: în caseta $A 10$ lei, în caseta $B 20$ lei, în caseta $C 30$ lei, în caseta $B 40$ lei, în caseta $A 50$ lei, în caseta $B 60$ lei, în caseta $C 70$ lei și așa mai departe . + +a) Care este suma de bani pusă în caseta $A$ imediat după ce în ea au fost distribuiți 50 de lei. + +b) În ce casetă a fost pusă cea mai mare sumă de bani? (justificaţi răspunsul) + +Relu Ciupea, Oltenița + +Problema 2. Fie careul format din 2013 linii și 2013 coloane care conține numere distribuite ca în figura alăturată: + +a) Scrieţi elementele liniei $\mathrm{L}_{5}$. + +b) Scrieţi suma elementelor liniei $\mathrm{L}_{25}$, ca sumă de două pătrate perfecte. + +c) Arătaţi că numărul care se găseşte la intersecţia coloanei $\mathrm{C}_{2011}$ cu linia $\mathrm{L}_{2013}$, nu este pătrat perfect. + +| $\mathrm{C}_{1}$ | $\mathrm{C}_{2}$ | $\mathrm{C}_{3}$ | $\mathrm{C}_{4}$ | $\mathrm{C}_{5}$ | $\mathrm{C}_{2013}$ | | | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\ldots$ | 0 | 0 | +| 3 | 5 | 0 | 0 | 0 | $\ldots$ | 0 | 0 | +| 7 | 9 | 11 | 0 | 0 | $\ldots$ | 0 | 0 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6813ecde50c598c9e7d5g-1.jpg?height=79&width=835&top_left_y=1080&top_left_x=1125) + +Gheorghe Fianu, Perișoru + +Problema 3. a) Găsiți două numere prime $p, p>10$ astfel încât numărul $2^{2013}+3^{2013}+5^{2013}+7^{2013}-p$ să fie divizibil cu 10. (justificați răspunsul) + +Florin Marcu, Călărași + +b) Ordonați crescător numerele $2^{\left(3^{2}\right)^{2}}, 5^{\left(2^{4}\right)^{2}}, 3^{\left(5^{2}\right)^{2}}$. (justificați răspunsul) + +Sorin Furtună, Călărași + +c) Dacă $A=13+13^{2}+13^{3}+\ldots+13^{2013}$ arătați că numărul $11 \cdot$ A este divizibil cu 2013 . + +Eugen Predoiu, Călărași + +Problema 4. a) În manuscrisul aritmeticii lui Boethius (invătat, filozof și om de stat din secolul al VI-lea, reprezentant al culturii romane din antichitatea târzie) este un tabel care conține numere naturale dispuse ca în figura 1.. Din tabelul original au fost șterse numerele din ultima coloană și au fost înlocuite cu $a, b, c, d$, $e$ și $f$. + +i. Care este numărul $a+f$ ? + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6813ecde50c598c9e7d5g-1.jpg?height=260&width=455&top_left_y=1689&top_left_x=930) + +figura 1 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6813ecde50c598c9e7d5g-1.jpg?height=241&width=523&top_left_y=1690&top_left_x=1430) + +figura 2 . + +ii. Care este numărul $b+c+d+e$ ? + +b) Figura 2. reprezintă o schiță a unei harți rutiere. Numerele scrise pe săgeți indică taxa (în euro) care trebuie plătită de conducătorul autoturismului care parcurge drumul respectiv. Toate drumurile sunt într-o direcție (sunt cu sens unic), așa cum este indicat de săgeți. Determinați cea mai mică suma care poate fi plătită de conducătorul unui autoturism pentru a ajunge din orașul A în oraşul B? + +Viorica Stoianovici, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 2 puncte; b) 5 puncte; Problema 2. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 3. a) 2 puncte; b) 2 puncte; c) 3 puncte; Problema 4. a) 6 puncte; b) 1 puncte. + +## Clasa a V-a + +Problema1. + +| A | B | C | +| :--- | :--- | :--- | +| 10 | 20 | 30 | +| | 40 | | +| 50 | 60 | 70 | +| | 80 | | +| 90 | 100 | 110 | +| | $„$, | | +| | ,, | | +| | 200 | | + +a) Dupa 50 lei, in A 90 lei $3 \mathrm{p}$ +b) $10+20+30+\ldots . .+n \cdot 10=2100$ rezulta $n=20$ $1 p$ + +In B : $20+40+60+\ldots . . . .200=1100$ $2 p$ + +$\mathrm{S}_{\mathrm{B}}>\mathrm{S}_{\mathrm{A}}, \mathrm{S}_{\mathrm{B}}>\mathrm{S}_{\mathrm{C}}$ + +## Problema 2 + +a) 1 + +3,5 + +$7,9,11$ + +$13,15,17,19$ + +$21,23,25,27,29$ +b) $\mathrm{L}_{\mathrm{n}}: \mathrm{n}(\mathrm{n}-1)+1, \ldots . . . . . . . .$. (n elemente) + +$S_{25}=601+603+\ldots \ldots . .+649=600 \cdot 25+25^{2}=75^{2}+100^{2}$ + +. $.2 p$ +c) $\mathrm{a}_{2013,2011}=2013 \cdot 2012+4021=$ $\qquad$ 7.. $.1 p$ $\mathrm{U}\left(\mathrm{k}^{2}\right) \in\{0,1,4,5,6,9\}$ deci $\mathrm{nr}$ nu este pp. $.1 p$ + +Problema 3 +a) $\mathrm{U}\left(2^{2013}\right)=2 \quad, \mathrm{U}\left(3^{2013}\right)=3, \mathrm{U}\left(5^{2013}\right)=5 \quad, \mathrm{U}\left(7^{2013}\right)=7 \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow U(p)=7 \Rightarrow p=17$ sau $p=37$ + +$1 \mathrm{p}$ +b) $5^{256}=25^{128}<27^{208}=3^{624}<3^{625}$ $.1 \mathrm{p}$ + +Ordinea este : $2^{81}, 5^{256}, 3^{625}$ + +## Problema 4 + +a) $\mathrm{a}=243, \mathrm{f}=1024, \mathrm{a}+\mathrm{f}=1267$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6813ecde50c598c9e7d5g-3.jpg?height=67&width=1331&top_left_y=476&top_left_x=359) + +suma 2100 ..................................................................................................1p + +b) Suma minima $=4+1+6=11$ (euro)....................................................... $1 \mathrm{p}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1161-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1161-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc0e98921110a43700c3c04cfb030ac450bd556f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1161-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,146 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 16 februarie 2013
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
CLASA a XII-a + +1. Fie $U\left(\mathbb{Z}_{49}\right)=\left\{x \in \mathbb{Z}_{49} \mid x\right.$ este simetrizabil în raport cu înmulţirea $\}$. + +a) Arătaţi că $\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$ este grup cu 42 de elemente. + +b) Determinați ordinul lui $\widehat{30}$ în grupul $\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$. + +c) Să se găsească în $\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$ un element de ordin 42 . + +Mihai Piticari şi Vladimir Cerbu, Câmpulung Moldovenesc + +Solutie, a) $x \in \mathbb{Z}_{49}, x$ inversabil $\Leftrightarrow(x, 49)=1$. Cum $\varphi(49)=7 \cdot 6=42 \Rightarrow U\left(\mathbb{Z}_{49}\right)$ are 42 de elemente. + +Deoarece $\left(\mathbb{Z}_{49}, \cdot\right)$ este monoid $\Rightarrow\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$ este grup. +b) $\widehat{30}^{2}=\widehat{18}, \widehat{30}^{3}=\hat{1} \Rightarrow \operatorname{ord}(\widehat{30})=3$ + +c) $\forall x \in U\left(\mathbb{Z}_{49}\right)$ avem ord $x \mid 42$. Conform teoremei lui Cauchy, există în $G$ elemente de ordin 2, 3, respectiv 7. Avem $\operatorname{ord}(-\hat{1})=2 \Rightarrow \operatorname{ord}(\widehat{48})=2$, iar $\operatorname{ord}(\widehat{30})=3$. + +$(7 k+1)^{7}=C_{7}^{0} \cdot(7 k)^{7}+C_{7}^{1} \cdot(7 k)^{6}+\ldots+C_{7}^{5} \cdot(7 k)^{2}+C_{7}^{6} \cdot 7 k+C_{7}^{7}=M_{49}+1 \Rightarrow \operatorname{ord}(\hat{8})=7$. + +Atunci ord $(\widehat{48} \cdot \widehat{30} \cdot \hat{8})=2 \cdot 3 \cdot 7=42 \Rightarrow \operatorname{ord}(\hat{5})=42$ + +## Barem. + +| a) $x \in \mathbb{Z}_{49}, x$ inversabil $\Leftrightarrow(x, 49)=1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $U\left(\mathbb{Z}_{49}\right)$ are 42 de elemente. | $1 \mathrm{p}$ | +| $U\left(\mathbb{Z}_{49}\right)$ este grup | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $\widehat{30}^{2}=\widehat{18}, \widehat{30}^{3}=\hat{1} \Rightarrow \operatorname{ord}(\widehat{30})=3$ | $1 \mathrm{p}$ | +| c) Găsește un element de ordin 42 | $3 \mathrm{p}$ | + +2. Fie $k$ un număr natural nenul și $(G, \cdot)$ un grup cu $n$ elemente. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente: + +i) Pentru orice subgrup $H$ al grupului $G$ avem $H=\left\{a^{k} \mid a \in H\right\}$. + +ii) $(k, n)=1$. + +Gazeta Matematică, nr. 11/2012 + +Solutie. $i) \Rightarrow$ ii) Presupunem prin absurd că există $p$ prim, $p \mid(n, k)$. Cum $G \leq G$, avem $G=\left\{a^{k} \mid a \in G\right\}$, deci funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{k}$ este surjectivă. Cum $G$ este finit, rezultă că $f$ este injectivă. + +Fie $b \in G$ un element de ordin $p$. Deoarece $p \mid k$, avem $b^{k}=e$, deci $f(b)=b^{k}=e=f(e)$. Din injectivitate rezultă $b=e$, fals! +ii) $\Rightarrow$ ) Fie $H$ un subgrup al lui $G$. Cum $\left\{a^{k} \mid a \in H\right\} \subset H$ și $H$ este finită, este suficient să arătăm că pentru $a, b \in H$ cu $a^{k}=b^{k}$ rezultă $a=b$. Deoarece $(k, n)=1$, există $u, v \in \mathbb{Z}$ astfel ca $n u+k v=1$. + +Atunci $a^{k}=b^{k} \Rightarrow a^{k \nu}=b^{k \nu} \Rightarrow a^{1-n u}=b^{1-n v} \Rightarrow a=b$, deoarece $a^{n}=b^{n}=e$. + +## Barem. + +| i) $\Rightarrow i i) \quad f: G \rightarrow G, f(x)=x^{k}$ este injectivă | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Presupunem prin absurd că există $p$ prim, $p \mid(n, k)$. Există $b \in G$ un element de ordin $p$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $b^{k}=e \Rightarrow f(b)=f(e) \Rightarrow b=e$, absurd! | $1 \mathrm{p}$ | +| $i i) \Rightarrow i)$ Pentru $H \leq G,\left\{a^{k} \mid a \in H\right\} \subset H$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Deoarece $(k, n)=1$, există $u, v \in \mathbb{Z}$ astfel ca $n u+k v=1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +3. a) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Calculați $\int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{1}{x^{2}+x+1} d x$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{x^{2}+x+1} d x$. + +Solutie. a) $\int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{1}{x^{2}+x+1} d x=\int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} d x=\left.\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right|_{\frac{1}{n}} ^{n}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\operatorname{arctg} \frac{2 n+1}{\sqrt{3}}-\operatorname{arctg} \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}+1}{\sqrt{3}}\right)$ + +b) Fie $I_{n}=\int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{x^{2}+x+1} d x$. Deoarece $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}, \quad \forall x>0$, avem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eb436281f7e263db6a33g-2.jpg?height=214&width=1607&top_left_y=1687&top_left_x=194) + +$\mathrm{Cu}$ scimbarea de variabilă $t=\frac{1}{x}$ obținem $\int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} \frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}} \cdot \frac{-1}{x^{2}} d x=\int_{n}^{\frac{1}{n}} \frac{\operatorname{arctg} t}{t^{2}+t+1} d t=-I_{n}$, deci + +$I_{n}=\frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{1}{x^{2}+x+1} d x-I_{n}$. Ținând cont de punctul a) rezultă că $I_{n}=\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\left(\operatorname{arctg} \frac{2 n+1}{\sqrt{3}}-\operatorname{arctg} \frac{\frac{2}{n}+1}{\sqrt{3}}\right)$. + +$\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}=\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi^{2}}{6 \sqrt{3}}$. + +Barem. + +| a) Calculul integralei | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| b) Calculul lui $I_{n}$ | $4 \mathrm{p}$ | +| Calculează $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă şi $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a sa. + +Dacă $f(x) \geq \operatorname{arctg}|x|, \forall x \in \mathbb{R}$, demonstraţi că există $x_{0} \in \mathbb{R}$ astfel încât $F\left(x_{0}\right)=x_{0}$. + +Anca Andrei, Suceava + +Solutie. Fie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\operatorname{arctg}|x|$. O primitivă a sa este $G(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right), & x \geq 0 \\ -x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right), & x<0\end{array}\right.$. + +Considerăm funcţia $D: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, D(x)=F(x)-G(x)$ care este derivabilă pe $\mathbb{R}$ şi $D^{\prime}(x)=f(x)-g(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Prin urmare, funcţia $D$ este crescătoare. + +Pentru $x<0 \Rightarrow D(x) \leq D(0) \Rightarrow F(x)+x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right) \leq F(0) \Rightarrow$ + +$F(x)-x \leq F(0)-x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-x$. + +Deoarece $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(F(0)-x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-x\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(\frac{F(0)}{x}-\operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x}-1\right)=-\infty$, rezultă că $\lim _{x \rightarrow-\infty}(F(x)-x)=-\infty$. (1) + +Pentru $x>0 \Rightarrow D(x) \geq D(0) \Rightarrow F(x)-x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right) \geq F(0) \Rightarrow$ $F(x)-x \geq F(0)+x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-x$ + +Deoarece $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(F(0)+x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\frac{F(0)}{x}+\operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x}-1\right)=+\infty$ rezultă că $\lim _{x \rightarrow \infty}(F(x)-x)=+\infty$. (2) + +Din (1), (2) şi din faptul că funcţia $H: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, H(x)=F(x)-x$, este continuă rezultă că $(\exists) x_{0} \in \mathbb{R}$ astfel încât $H\left(x_{0}\right)=0 \Rightarrow F\left(x_{0}\right)=x_{0}$. + +Barem. + +| Determină o primitivă a funcției $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\operatorname{arctg}\|x\|$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\lim _{x \rightarrow-\infty}(F(x)-x)=-\infty$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\lim _{x \rightarrow \infty}(F(x)-x)=+\infty$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +Notă: + +Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +16 februarie 2013 + +## CLASA a XII-a + +1. Fie $U\left(\mathbb{Z}_{49}\right)=\left\{x \in \mathbb{Z}_{49} \mid x\right.$ este simetrizabil în raport cu înmulţirea $\}$. + +a) Arătaţi că $\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$ este grup cu 42 de elemente. + +b) Determinați ordinul lui $\widehat{30}$ în grupul $\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$. + +c) Să se găsească în $\left(U\left(\mathbb{Z}_{49}\right), \cdot\right)$ un element de ordin 42 . + +2. Fie $k$ un număr natural nenul și $(G, \cdot)$ un grup cu $n$ elemente. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente: + +i) Pentru orice subgrup $H$ al grupului $G$ avem $H=\left\{a^{k} \mid a \in H\right\}$. + +ii) $(k, n)=1$. + +3. a) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Calculați $\int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{1}{x^{2}+x+1} d x$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{x^{2}+x+1} d x$. + +4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă şi $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a sa. + +Dacă $f(x) \geq \operatorname{arctg}|x|, \forall x \in \mathbb{R}$, demonstraţi că există $x_{0} \in \mathbb{R}$ astfel încât $F\left(x_{0}\right)=x_{0}$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1162-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1162-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a877b38b824db9a33aabb92db270fcb2e75eeeb5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1162-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,127 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 16 februarie 2013
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA a XI-a + +1. Fie $A, B, C$ trei matrice pătratice de ordin $n, n \geq 2$, cu elemente din mulţimea numerelor reale, care satisfac egalitatea $A B C+A+B+C=A B+A C+B C$. Arătaţi că matricea $A$ este inversabilă dacă și numai dacă matricea $B C-B-C$ este inversabilă. + +Anca Andrei, Suceava + +## $\underline{\text { Solutie. }}$ + +$A B C+A+B+C=A B+A C+B C \Leftrightarrow\left(A-I_{n}\right)\left(B-I_{n}\right)\left(C-I_{n}\right)=-I_{n} \Rightarrow \operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \neq 0$. + +Pe de altă parte $A B C+A+B+C=A B+A C+B C \Rightarrow\left(A-I_{n}\right)(B C-B-C)=-A$, de unde deducem că $\operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}(B C-B-C)=(-1)^{n} \operatorname{det} A$. Cum $\operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \neq 0$ rezultă că $\operatorname{det} A \neq 0$ dacă și numai dacă $\operatorname{det}(B C-B-C) \neq 0$. + +Barem. + +| Obține $\left(A-I_{n}\right)\left(B-I_{n}\right)\left(C-I_{n}\right)=-I_{n}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Deduce $\operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \neq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Obţine $\left(A-I_{n}\right)(B C-B-C)=-A$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Deduce det $\left(A-I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}(B C-B-C)=(-1)^{n} \operatorname{det} A$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +2. a) Aflați valoarea determinantului $\left|\begin{array}{cccc}5 & 2 & 8 & 4 \\ 10 & 7 & 13 & 8 \\ 9 & 8 & 43 & 5 \\ 91 & 12 & 48 & 85\end{array}\right|$. + +b) Notăm cu $a, b, c$ lungimile laturilor $B C, A C, A B$ ale triunghiului $A B C$. Arătați că valoarea determinantului $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}-a & a-2 c \cos B & a \\ b & -b & b-2 a \cos C \\ c-2 b \cos A & c & -c\end{array}\right|$ este zero. + +Supliment, G.M. 11/2012 + +## Solutie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6a1df5f1160688b50951g-1.jpg?height=246&width=1472&top_left_y=2029&top_left_x=283) +$=1 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 61=2013$ + +b) Înmulțind prima linie a lui $\Delta$ cu $a$, a doua cu $b$ și a treia cu $c$ obținem: + +$a b c \cdot \Delta=\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & a^{2}-2 a c \cos B & a^{2} \\ b^{2} & -b^{2} & b^{2}-2 a b \cos C \\ c^{2}-2 b c \cos A & c^{2} & -c^{2}\end{array}\right|$. + +Adunând primele două linii la a treia găsim: +$a b c \cdot \Delta=\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & a^{2}-2 a c \cos B & a^{2} \\ b^{2} & -b^{2} & b^{2}-2 a b \cos C \\ b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A-a^{2} & a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B-b^{2} & a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C-c^{2}\end{array}\right|$. + +Dar $b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=a^{2}, a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=b^{2}, a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=c^{2}$ (din teorema cosinusului). Rezultă $a b c \cdot \Delta=\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & a^{2}-2 a c \cos B & a^{2} \\ b^{2} & -b^{2} & b^{2}-2 a b \cos C \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|=0$, de unde $\Delta=0$. + +## Barem. + +| Găsește că valoarea determinantului este 2013 | $3 \mathrm{p}$ | | +| :--- | :---: | :---: | +| Scrie teorema cosinusului | $1 \mathrm{p}$ | | +| Obține $a b c \cdot \Delta=\left\|\begin{array}{ccc}-a^{2} & a^{2}-2 a c \cos B & a^{2} \\ b^{2} & -b^{2} & b^{2}-2 a b \cos C \\ c^{2}-2 b c \cos A & c^{2} & -c^{2}\end{array}\right\|$ | $2 \mathrm{p}$ | | +| Finalizare | | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie surjectivă și crescătoare. + +a) Arătați că $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f(1)+f^{2}(2)+f^{3}(3)+\ldots+f^{n}(n)}{f^{n}(n)}$. + +Dan Popescu, Suceava + +Solutie. + +a) Arătăm că pentru orice $\varepsilon>0$ există $\delta_{\varepsilon}>0$ astfel încât $f(x)>\varepsilon, \forall x \in\left(\delta_{\varepsilon}, \infty\right)$. Fie $\varepsilon>0$ arbitrar. Din ipoteza de surjectivitate există $x_{\varepsilon}$ astfel încât $f\left(x_{\varepsilon}\right)=\varepsilon+1>\varepsilon$. Notăm cu $\delta_{\varepsilon}=\max \left(1, x_{\varepsilon}\right) \geq 1>0$ şi fie $x \in\left(\delta_{\varepsilon}, \infty\right)$ oarecare. Atunci $x \geq x_{\varepsilon}$ şi cum $f$ este crescătoare deducem că $f(x) \geq f\left(x_{\varepsilon}\right)>\varepsilon$. În concluzie, $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$. + +b) Notăm cu $x_{n}=\frac{f(1)+f^{2}(2)+f^{3}(3)+\ldots+f^{n}(n)}{f^{n}(n)}$. Observăm că $x_{n} \geq \frac{f^{n}(n)}{f^{n}(n)}=1$ și $1 \leq x_{n} \leq \frac{f(n)+f^{2}(n)+f^{3}(n)+\ldots+f^{n}(n)}{f^{n}(n)}=\frac{f(n) \cdot\left(1+f(n)+f^{2}(n)+\ldots+f^{n-1}(n)\right)}{f^{n}(n)}=$ +$=\frac{f(n)}{f(n)-1} \cdot \frac{f^{n}(n)-1}{f^{n}(n)}=\frac{1}{1-\frac{1}{f(n)}} \cdot\left(1-\frac{1}{f^{n}(n)}\right)$. Ținând cont că $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$ (cf. a)) deducem că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{f(n)}} \cdot\left(1-\frac{1}{f^{n}(n)}\right)=1$. Rezultă din lema cleștelui că $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$. + +Barem. + +| Arată că $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Obține $x_{n} \geq 1$, unde $x_{n}=\frac{f(1)+f^{2}(2)+f^{3}(3)+\ldots+f^{n}(n)}{f^{n}(n)}$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| Obţine $x_{n} \leq \frac{1}{1-\frac{1}{f(n)}} \cdot\left(1-\frac{1}{f^{n}(n)}\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Fie $M$ o mulţime infinită de numere reale cu proprietatea că pentru orice submulțime finită $S \subset M$ este îndeplinită condiția $\sum_{x \in S}|x| \geq(\operatorname{card} S)^{2}$, unde $|x|$ reprezintă modulul numărului real $x$, iar card $S$ reprezintă numărul de elemente ale mulțimii $S$. + +a) Arătați că există un șir $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu elemente din $M$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=\infty$. + +b) Arătați că mulțimea $M$ este numărabilă. + +Marius Marchitan, Suceava + +Solutie. + +a) Presupunem că există $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $M \cap((-\infty,-k] \cup[k, \infty))=\varnothing$. Deducem că $M \subset(-k, k)$. Cum $M$ este infinită, putem alege o submulțime cu $k$ elemente $S=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\}$ a lui $M$. Atunci $\sum_{x \in S}|x|=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\ldots+\left|x_{k}\right| ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA
16 februarie 2013 + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $A, B, C$ trei matrice pătratice de ordin $n, n \geq 2$, cu elemente din mulţimea numerelor reale, care satisfac egalitatea $A B C+A+B+C=A B+A C+B C$. Arătaţi că matricea $A$ este inversabilă dacă și numai dacă matricea $B C-B-C$ este inversabilă. +2. a) Aflaţi valoarea determinantului $\left|\begin{array}{cccc}5 & 2 & 8 & 4 \\ 10 & 7 & 13 & 8 \\ 9 & 8 & 43 & 5 \\ 91 & 12 & 48 & 85\end{array}\right|$. + +b) Notăm cu $a, b, c$ lungimile laturilor $B C, A C, A B$ ale triunghiului $A B C$. Arătați că valoarea determinantului $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}-a & a-2 c \cos B & a \\ b & -b & b-2 a \cos C \\ c-2 b \cos A & c & -c\end{array}\right|$ este zero. + +3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie surjectivă și crescătoare. + +a) Arătați că $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f(1)+f^{2}(2)+f^{3}(3)+\ldots+f^{n}(n)}{f^{n}(n)}$. + +4. Fie $M$ o mulţime infinită de numere reale cu proprietatea că pentru orice submulțime finită $S \subset M$ este îndeplinită condiția $\sum_{x \in S}|x| \geq(\text { card } S)^{2}$, unde $|x|$ reprezintă modulul numărului real $x$, iar card $S$ reprezintă numărul de elemente ale mulțimii $S$. + +a) Arătați că există un șir $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu elemente din $M$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=\infty$. + +b) Arătați că mulțimea $M$ este numărabilă. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1163-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1163-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c5463d1a284a9c006a496c844bec6510c9e5158 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1163-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,148 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ + +## SUCEAVA, 16 februarie 2013 + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE-CLASA a X-a + +1. Fie $n \geq 3$ un număr natural fixat. Să se determine, după toate numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ reale pozitive, valoarea minimă a sumei $S=\left[\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}}\right]+\left[\frac{a_{2}+a_{3}}{a_{4}}\right]+\ldots+\left[\frac{a_{n}+a_{1}}{a_{2}}\right]$. + +Marius Marchitan, Suceava + +## Solutie. + +$\overline{\text { Cum }[x]}>x-1$, pentru orice $x$ număr real, deducem că: + +$S>\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}}-1+\frac{a_{2}+a_{3}}{a_{4}}-1+\ldots+\frac{a_{n}+a_{1}}{a_{2}}-1=\left(\frac{a_{1}}{a_{3}}+\frac{a_{2}}{a_{4}}+\ldots+\frac{a_{n}}{a_{2}}\right)+\left(\frac{a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{3}}{a_{4}}+\ldots+\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)-n \geq$ + +$\geq n \cdot \sqrt[n]{\frac{a_{1}}{a_{3}} \cdot \frac{a_{2}}{a_{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n}}{a_{2}}}+n \cdot \sqrt[n]{\frac{a_{2}}{a_{3}} \cdot \frac{a_{3}}{a_{4}} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{1}}{a_{2}}}-n=n+n-n=n$ + +Rezultă că $S>n$ și cum $S$ este număr natural, deducem că $S \geq n+1$. Pentru a arăta că valoarea minimă a sumei $S$ este $n+1$, rămâne să găsim un exemplu de numere $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ reale pozitive pentru care $S=n+1$. + +Fie $a_{1}=n^{2}-(2 n-3)$, iar următoarele $n-1$ numere le luăm consecutive: + +$a_{2}=n^{2}-(n-2), a_{3}=n^{2}-(n-3), \ldots, a_{n-1}=n^{2}-1, a_{n}=n^{2}$. În continuare avem: + +$\left[\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}}\right]=\left[\frac{n^{2}-(2 n-3)+n^{2}-(n-2)}{n^{2}-(n-3)}\right]=\left[\frac{2 n^{2}-3 n+5}{n^{2}-n+3}\right]=\left[1+\frac{n^{2}-2 n+2}{n^{2}-n+3}\right]=1$. + +Pentru orice $k=\overline{2, n-2}$ : + +$\left[\frac{a_{k}+a_{k+1}}{a_{k+2}}\right]=\left[\frac{n^{2}-(n-k)+n^{2}-(n-k-1)}{n^{2}-(n-k-2)}\right]=\left[\frac{2 n^{2}-2 n+2 k+1}{n^{2}-n+k+2}\right]=\left[1+\frac{n^{2}-n+k-1}{n^{2}-n+k+2}\right]=1$. + +Pentru penultimul termen al sumei găsim: + +$\left[\frac{a_{n-1}+a_{n}}{a_{1}}\right]=\left[\frac{n^{2}-1+n^{2}}{n^{2}-(2 n-3)}\right]=\left[\frac{2 n^{2}-1}{n^{2}-2 n+3}\right]=\left[2+\frac{4 n-7}{n^{2}-2 n+3}\right]=2$, + +deoarece $4 n-7 \geq 0$ şi $4 n-7x-1, \forall x \in \mathbb{R}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Deduce $S>\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2}+a_{3}}{a_{4}}+\ldots+\frac{a_{n}+a_{1}}{a_{2}}-n$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Obţine $S>n$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Deduce $S \geq n+1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Justifică printr-un exemplu că valoarea minimă a lui $S$ este $n+1$ | $2 \mathrm{p}$ | + +2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie impară şi crescătoare astfel încât $|f(x)| \geq|x|, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Demonstraţi că $f^{3}(x)+f^{3}(y) \geq x y(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}$ cu $x+y \geq 0$. + +Ion Bursuc, Suceava + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_faf1ebf42b08258b2b7dg-1.jpg?height=60&width=1535&top_left_y=2515&top_left_x=295) + +$$ +\begin{aligned} +& (f(x)+f(y))\left(f^{2}(x)+f^{2}(y)-f(x) f(y)\right) \geq x y(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R} \text { cu } x+y \geq 0 \\ +& \Leftrightarrow(f(x)+f(y))\left(f^{2}(x)+f^{2}(y)-f(x) f(y)-x y\right) \geq 0, \forall x, y \in \mathbb{R} \text { cu } x+y \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +Fie $x, y \in \mathbb{R}$ astfel încât $x+y \geq 0$. Deoarece funcţia $f$ este impară şi crescătoare $\Rightarrow f(x) \geq f(-y)=-f(y) \Rightarrow f(x)+f(y) \geq 0$ (1). + +$\operatorname{Cum}|f(x)| \geq|x|, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f^{2}(x) \geq x^{2}, \forall x \in \mathbb{R}$ si + +$$ +\begin{aligned} +& 2\left(f^{2}(x)+f^{2}(y)-f(x) f(y)-x y\right)=(f(x)-f(y))^{2}+f^{2}(x)+f^{2}(y)-2 x y \geq \\ +& f^{2}(x)+f^{2}(y)-2 x y \geq x^{2}+y^{2}-2 x y \geq 0, \forall x, y \in \mathbb{R} \Rightarrow \\ +& f^{2}(x)+f^{2}(y)-f(x) f(y)-x y \geq 0, \forall x, y \in \mathbb{R} . \text { (2) } +\end{aligned} +$$ + +Din (1) şi (2) rezultă inegalitatea din enunţ . + +## Barem. + +| Rescrie inegalitatea cerută $(f(x)+f(y))\left(f^{2}(x)+f^{2}(y)-f(x) f(y)-x y\right) \geq 0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Deduce $f(x)+f(y) \geq 0$ pentru $x, y \in \mathbb{R}, x+y \geq 0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\|f(x)\| \geq\|x\|,(\forall) x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f^{2}(x) \geq x^{2},(\forall) x \in \mathbb{R}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează $f^{2}(x)+f^{2}(y)-f(x) f(y)-x y \geq 0,(\forall) x, y \in \mathbb{R}$ | $2 \mathrm{p}$ | + +3. Se consideră numerele complexe $z_{1}$ şi $z_{2}, z_{2} \neq 0$. Știind că $\operatorname{Re}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=0$, să se studieze monotonia funcţiei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\left|z_{1}\right|^{x}+\left|z_{2}\right|^{x}}{\left|z_{1}-z_{2}\right|^{x}}$. + +Dan Popescu, Suceava + +Solutuie. Dacă $z_{1}=0$ atunci funcţia $f$ este constantă. Fie $z_{1} \neq 0$. + +$\operatorname{Re}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=0$ echivalează cu $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}}=\frac{z_{1} \bar{z}_{2}+\overline{z_{1}} z_{2}}{\left|z_{2}\right|^{2}}=0 \Leftrightarrow z_{1} \overline{z_{2}}+\overline{z_{1} z_{2}}=0$. + +Apoi $\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\right)=z_{1} \overline{z_{1}}-z_{1} \overline{z_{2}}-z_{2} \overline{z_{1}}+z_{2} \overline{z_{2}}=z_{1} \overline{z_{1}}+z_{2} \overline{z_{2}}=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}$. + +Deducem că $\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{1}-z_{2}\right|}, \frac{\left|z_{2}\right|}{\left|z_{1}-z_{2}\right|} \in(0,1)$. + +Atunci avem $f(x)=\frac{\left|z_{1}\right|^{x}+\left|z_{2}\right|^{x}}{\left|z_{1}-z_{2}\right|^{x}}=\left(\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{1}-z_{2}\right|}\right)^{x}+\left(\frac{\left|z_{2}\right|}{\left|z_{1}-z_{2}\right|}\right)^{x}, \forall x \in \mathbb{R}$, de unde rezultă că funcţia $\mathrm{f}$ este strict descrescătoare, fiind o sumă de funcţii strict descrescătoare. În concluzie, $\mathrm{f}$ este funcţie descrescătoare pentru orice numerele complexe $z_{1}$ şi $z_{2}, z_{2} \neq 0$. + +Barem. + +| Consideră cazul $z_{1}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Deduce $z_{1} \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}} z_{2}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează $\left\|z_{1}-z_{2}\right\|^{2}=\left\|z_{1}\right\|^{2}+\left\|z_{2}\right\|^{2}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Deduce $\frac{\left\|z_{1}\right\|}{\left\|z_{1}-z_{2}\right\|}, \frac{\left\|z_{2}\right\|}{\left\|z_{1}-z_{2}\right\|} \in(0,1)$ dacă $z_{1} \neq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare f este funcţie descrescătoare | $2 \mathrm{p}$ | + +4. Fie triunghiul $\triangle A B C$. În raport cu un reper cartezian cu originea în centrul cercului circumscris $\triangle A B C$, vârfurile $A, B, C$ au afixele $a, b$ respectiv $c$. Dacă ecuaţia $a z^{2}+b z+c=0$ are o rădăcină de modul unu, demonstraţi că $\triangle A B C$ este isoscel. + +Solutie. Din alegerea reperului rezultă că $|a|=|b|=|c|>0$. Fie $z_{1}, z_{2}$, rădăcinile ecuaţiei şi presupunem că $\left|z_{1}\right|=1$. Dar $z_{1} \cdot z_{2}=\frac{c}{a} \Rightarrow\left|z_{2}\right|=1$ şi $z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a} \Rightarrow\left|z_{1}+z_{2}\right|=1 \Rightarrow$ + +$\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\right)=1 \Rightarrow\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}\right)=1 \Rightarrow\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=z_{1} z_{2} \Rightarrow b^{2}=a c \Rightarrow b^{2}-b a=a c-b a$ + +$\Rightarrow b(b-a)=a(c-b) \Rightarrow|b| \cdot|b-a|=|a| \cdot|c-b| \Rightarrow|b-a|=|c-b| \Rightarrow$ + +$[A B] \equiv[B C] \Rightarrow \triangle A B C$ este isoscel. + +## Barem. + +| Scrie $\|a\|=\|b\|=\|c\|>0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Arăă că ambele rădăcini au modul 1 | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează că $b^{2}=a c$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare $\|b-a\|=\|c-b\| \Rightarrow \triangle A B C$ este isoscel | $2 \mathrm{p}$ | + +Notă: + +Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +16 februarie 2013 + +## CLASA a X-a + +1. Fie $n \geq 3$ un număr natural fixat. Să se determine, după toate numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ reale pozitive, valoarea minimă a sumei $S=\left[\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}}\right]+\left[\frac{a_{2}+a_{3}}{a_{4}}\right]+\ldots+\left[\frac{a_{n}+a_{1}}{a_{2}}\right]$. +2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie impară şi crescătoare astfel încât $|f(x)| \geq|x|, \forall x \in \mathbb{R}$. Demonstraţi că $f^{3}(x)+f^{3}(y) \geq x y(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}$ cu $x+y \geq 0$. +3. Se consideră numerele complexe $z_{1}$ şi $z_{2}, z_{2} \neq 0$. Ştiind că $\operatorname{Re}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=0$, să se studieze monotonia funcţiei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\left|z_{1}\right|^{x}+\left|z_{2}\right|^{x}}{\left|z_{1}-z_{2}\right|^{x}}$. +4. Fie triunghiul $\triangle A B C$. În raport cu un reper cartezian cu originea în centrul cercului circumscris $\triangle A B C$, vârfurile $A, B, C$ au afixele $a, b$ respectiv $c$. Dacă ecuaţia $a z^{2}+b z+c=0$ are o rădăcină de modul unu, demonstraţi că $\triangle A B C$ este isoscel. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1164-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1164-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..935e037c4f089e1374353edccfcb5a468f179d42 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1164-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,187 @@ +# BAREM DE CORECTARE SI NOTARE
CLASA a VIII - a + +1. Să se demonstreze că dacă $x-7 y+3=0$ și $x \in[-3 ; 4]$ atunci + +$$ +E(x, y)=\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-1)^{2}}=5 \sqrt{2} . +$$ + +## Prof. Constantin Popovici, Cajvana + +Solutie: $x-7 y+3=0=>7 y=3+x=>y=\frac{3+x}{7}$ și $x \in[-3 ; 4]=>\quad y \in[0 ; 1]$ + +Înlocuim în relația $\mathrm{E}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ pe $\mathrm{x}=7 \mathrm{y}-3$ și obținem: + +$$ +\begin{aligned} +& E(y)=\sqrt{(7 y)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(7 y-7)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{50 y^{2}}+\sqrt{7^{2}(y-1)^{2}+(y-1)^{2}}= \\ +& =\sqrt{50}|y|+\sqrt{50}|y-1|=5 \sqrt{2} y+5 \sqrt{2}(-y+1)=5 \sqrt{2} y-5 \sqrt{2} y+5 \sqrt{2}=5 \sqrt{2} +\end{aligned} +$$ + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-1.jpg?height=70&width=1608&top_left_y=771&top_left_x=100) | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| După înlocuire $E(y)=\sqrt{50 \cdot y^{2}}+\sqrt{50 \cdot(y-1)^{2}} \ldots .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-1.jpg?height=70&width=1608&top_left_y=909&top_left_x=100) | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-1.jpg?height=53&width=1608&top_left_y=978&top_left_x=100) | $2 \mathrm{p}$ | +| $E(y)=5 \sqrt{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## Barem: + +2. a) Demonstraţi inegalitatea $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$, pentru orice numere reale pozitive $\mathrm{x}, \mathrm{y}$. + +b) Deduceţi că: $\frac{\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}}{x y}+\frac{\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}}{y z}+\frac{\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}}{z x} \geq \sqrt{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$, oricare ar fi numerele reale pozitive $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$. + +Prof. Aurica Andronic, Pirteştii de Jos + +Solutie: a) Se ridică la pătrat inegalitatea $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y) \Leftrightarrow x^{2}+x y+y^{2} \geq \frac{3}{4}(x+y)^{2} \Leftrightarrow$ $4\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \geq 3\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right) \Leftrightarrow 4 x^{2}+4 x y+4 y^{2}-3 x^{2}-6 x y-3 y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2}-2 x y+y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow$ $(x-y)^{2} \geq 0$, adevărat pentru orice numere reale $\mathrm{x}, \mathrm{y}$. + +b) Din relaţia $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$ obţinem $\frac{\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}}{x y} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{x+y}{x y}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)$ analog obţinem $\frac{\sqrt{y^{2}+y z+y^{2}}}{y z} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{y+z}{y z}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ şi $\frac{\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}}{x z} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{z+x}{x z}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)$. Adunând cele trei + +| a) $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y) \Leftrightarrow x^{2}+x y+y^{2} \geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}$ | 1p | +| :---: | :---: | +| $4\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \geq 3\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right) \Leftrightarrow 4 x^{2}+4 x y+4 y^{2}-3 x^{2}-6 x y-3 y^{2} \geq 0$ | 1p | +| $x^{2}-2 x y+y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow(x-y)^{2} \geq 0 \ldots$ | 1p | + +inegalităţi obţinem $\frac{\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}}{x y}+\frac{\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}}{y z}+\frac{\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}}{z x} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\right)=\sqrt{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$. + +## Barem: + +| b) $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y) \Rightarrow \frac{\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}}{x y} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{x+y}{x y}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right) \cdots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $\frac{\sqrt{y^{2}+y z+y^{2}}}{y z} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{y+z}{y z}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}}{x z} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{z+x}{x z}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}}{x y}+\frac{\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}}{y z}+\frac{\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}}{z x} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\right)=\sqrt{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Pe planul dreptunghiului $\mathrm{ABCD}$ se ridică perpendiculara $\mathrm{PD}, \mathrm{P} \notin(\mathrm{ABC})$. + +Dacă $\mathrm{AM} \perp \mathrm{PB}, \mathrm{CN} \perp \mathrm{PB}(\mathrm{M}, \mathrm{N} \in \mathrm{PB}), \mathrm{MN}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=4 \mathrm{~cm}$, calculaţi: + +a) lungimea segmentului (PB); + +b) tangenta măsurii unghiului planelor (ABC) şi (APC). + +Prof. Petru Nicuţă, Rădăuţi + +## Solutie: + +a) - Dacă $\mathrm{PD} \perp(\mathrm{ABC})$ şi $\mathrm{DC} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow(\mathrm{T} .3 \perp) \mathrm{PC} \perp \mathrm{BC}$; analog $\mathrm{PA} \perp \mathrm{AB}$. + +Aplicând teorema catetei: - în $\triangle \mathrm{PBC}$ obţinem: $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BN} \cdot \mathrm{PB}$ + +- în $\triangle \mathrm{PAB}$ obţinem: $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{PB}$ + +Din diferenţa relaţiilor avem: $\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{PB} \cdot(\mathrm{BM}-\mathrm{BN}) \Rightarrow 48=3 \cdot \mathrm{PB}$, de unde $\mathrm{PB}=16 \mathrm{~cm}$. + +b) - Dacă $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow(\mathrm{T} .3 \perp) \mathrm{PE} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \Varangle[(\mathrm{ABC}),(\mathrm{APC})]=\Varangle(\mathrm{DE}, \mathrm{PE})=\Varangle \mathrm{DEP}$ + +- în $\triangle \mathrm{DEP}$ dreptunghic în $\mathrm{D}: \operatorname{tg} \Varangle \mathrm{DEP}=\frac{P D}{D E}$ +- Aplicând teorema lui Pitagora: - în $\triangle \mathrm{ABC}$ : $\mathrm{AC}=4 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$; + +$$ +\text { - în } \triangle \mathrm{PDB}: \mathrm{PD}=4 \sqrt{11} \mathrm{~cm} +$$ + +- În $\triangle \mathrm{DAC}: \mathrm{DE} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{DE}=\frac{D A \cdot D C}{A C}=\frac{8 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~cm}$, deci $\operatorname{tg} \Varangle \mathrm{DEP}=\frac{\sqrt{55}}{2}$ + + +## Barem: + +| a) $\mathrm{PC} \perp \mathrm{BC}$ şi $\mathrm{PA} \perp \mathrm{AB}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BN} \cdot \mathrm{PB}$ şi $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{PB}$........................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-2.jpg?height=53&width=1591&top_left_y=2337&top_left_x=113) | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $\Varangle[(\mathrm{ABC}),(\mathrm{APC})]=\Varangle(\mathrm{DE}, \mathrm{PE})=\Varangle \mathrm{DEP}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-2.jpg?height=66&width=1591&top_left_y=2436&top_left_x=113) | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-3.jpg?height=306&width=1751&top_left_y=115&top_left_x=98) + +4. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ cu laturile de lungimi $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, ce verifică simultan relaţiile: + +$x^{2}+y^{2} \leq \frac{2}{x}, y^{2}+z^{2} \leq \frac{2}{y}, z^{2}+x^{2} \leq \frac{2}{z}, x y z=1$. Pe planul lui se ridică perpendicularele $\mathrm{AM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ şi $\mathrm{BN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. + +a) Arătaţi că $\triangle \mathrm{ABC}$ este echilateral. + +b) Dacă $x=1$ calculaţi: i) măsura unghiului dintre MB şi NC; + +ii) valoarea tangentei unghiului dintre $\mathrm{CN}$ şi planul (ABM). + +Prof. Dorel Ispăşoiu, Gura Humorului + +## Solutie si barem: + +a) Însumând relaţiile obţinem: $2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2} \leq \frac{2 x y+2 y z+2 x z}{x y z}$ şi cum $\mathrm{xyz}=1 \Rightarrow \Rightarrow(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(x-z)^{2} \leq 0 \Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=1 \Rightarrow \Delta \mathrm{ABC}=$ echilateral cu $\mathrm{AB}=1$ u.m. + +b) i) Dacă punctul a) nu a fost rezolvat, din $x=1$ şi cu ajutorul relaţiilor din enunţ se poate arăta că $y=1$ şi $z=1$. Prelungim $\mathrm{AM}$ cu $\mathrm{MP}=\mathrm{BN} \Rightarrow \mathrm{AP}=\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ si $\mathrm{MBNP}=$ paralelogram $\Rightarrow \mathrm{MB} \| \mathrm{PN}$. + +PN şi $\mathrm{AB}$ coplanare, $\mathrm{PN} \cap \mathrm{AB}=\{D\}$ şi $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MB}, \mathrm{NC})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{PD}, \mathrm{NC})$. + +Din asemănarea triunghiurilor DBN şi DAP se obţine $\mathrm{DB}=\frac{3}{2}$ + +Dacă $\mathrm{E}=$ mijlocul segmentului $\mathrm{AB}$, avem $\mathrm{CE} \perp \mathrm{AB}$ şi din $\triangle \mathrm{CED}$ dreptunghic $\Rightarrow \mathrm{CD}=\frac{\sqrt{19}}{2}$ + +Din $\triangle \mathrm{CBN}$ dreptunghic $\Rightarrow \mathrm{CN}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ + +Din $\triangle \mathrm{DBN}$ dreptunghic $\Rightarrow \mathrm{DN}=\sqrt{3}$ + +Din (1),(2),(3) $\Rightarrow \triangle \mathrm{CND}$ dreptunghic cu $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{PD}, \mathrm{NC})=90^{\circ}$ + +ii) $\mathrm{CE} \perp(\mathrm{ABM})$ şi $\mathrm{N} \in(\mathrm{ABM}) \Rightarrow p r_{(A B M)} C N=\mathrm{EN} \Rightarrow \mathrm{m}[\Varangle \mathrm{CN},(\mathrm{ABM})]=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{CNE})$ + +$\mathrm{CE}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \mathrm{EN}=1$ şi din $\triangle \mathrm{CEN}$ dreptunghic: $\operatorname{tg}[\Varangle \mathrm{CN},(\mathrm{ABM})]=\frac{C E}{E N} \Rightarrow \operatorname{tg}[\Varangle \mathrm{CN},(\mathrm{ABM})]=\frac{\sqrt{3}}{2}$ + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-3.jpg?height=203&width=1751&top_left_y=2338&top_left_x=98) + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8506ae9367b2ce5a4f31g-4.jpg?height=183&width=1573&top_left_y=124&top_left_x=123) | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $\Delta \mathrm{DBN} \sim \Delta \mathrm{DAP} \Rightarrow \mathrm{DB}=\frac{3}{2} ; \mathrm{CD}=\frac{\sqrt{19}}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{CN}=\frac{\sqrt{7}}{2} ; \mathrm{DN}=\sqrt{3} \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{PD}, \mathrm{NC})=90^{\circ} \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ii) $\mathrm{CE} \perp(\mathrm{ABM})$ şi $\mathrm{N} \in(\mathrm{ABM}) \Rightarrow p r_{(A B M)} C N=\mathrm{EN} \Rightarrow \mathrm{m}[\Varangle \mathrm{CN},(\mathrm{ABM})]=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{CNE}) \ldots \ldots . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{CE}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \mathrm{EN}=1 ; \Delta \mathrm{CEN}$ dreptunghic $\Rightarrow \operatorname{tg}[\Varangle \mathrm{CN},(\mathrm{ABM})]=\frac{C E}{E N} \Rightarrow \operatorname{tg}[\Varangle \mathrm{CN},(\mathrm{ABM})]=\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +## SUCEAVA + +## 16 februarie 2013 + +CLASA a VIII - a + +1. Să se demonstreze că dacă $x-7 y+3=0$ şi $x \in[-3 ; 4]$ atunci: + +$E(x, y)=\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-1)^{2}}=5 \sqrt{2}$. + +2. a) Demonstraţi inegalitatea $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$, pentru orice numere reale pozitive $x, y$. + +b) Deduceţi că: $\frac{\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}}{x y}+\frac{\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}}{y z}+\frac{\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}}{z x} \geq \sqrt{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$, oricare ar fi numerele reale pozitive $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$. + +3. Pe planul dreptunghiului $\mathrm{ABCD}$ se ridică perpendiculara $\mathrm{PD}, \mathrm{P} \notin(\mathrm{ABC})$. + +Dacă $\mathrm{AM} \perp \mathrm{PB}, \mathrm{CN} \perp \mathrm{PB}(\mathrm{M}, \mathrm{N} \in \mathrm{PB}), \mathrm{MN}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=4 \mathrm{~cm}$, calculaţi: + +a) lungimea segmentului (PB); + +b) tangenta măsurii unghiului planelor (ABC) şi (APC). + +4. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ cu laturile de lungimi $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, ce verifică simultan relaţiile: + +$x^{2}+y^{2} \leq \frac{2}{x}, y^{2}+z^{2} \leq \frac{2}{y}, z^{2}+x^{2} \leq \frac{2}{z}, x y z=1$. Pe planul lui se ridică perpendicularele $A M=\frac{\sqrt{3}}{3}$ şi + +$\mathrm{BN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. + +a) Arătaţi că $\triangle \mathrm{ABC}$ este echilateral. + +b) Dacă $x=1$ calculaţi: i) măsura unghiului dintre MB şi NC; + +ii) valoarea tangentei unghiului dintre $\mathrm{CN}$ şi planul (ABM). + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1165-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1165-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25349713507b1bfe005b9bb5ceb424959eb241ab --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1165-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,102 @@ +# BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE CLASA a VII-a + +1. Determinaţi partea întreagă a numărului $x=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots . .+\frac{1}{2013^{2}}$. + +Prof. Andronic Aurica Mihaela + +Solutie: Se observă că fiecare termen al sumei verifică: $\frac{1}{2 \cdot 3}<\frac{1}{2^{2}}<\frac{1}{1 \cdot 2}$; + +$\frac{1}{3 \cdot 4}<\frac{1}{3^{2}}<\frac{1}{2 \cdot 3} ; \frac{1}{4 \cdot 5}<\frac{1}{4^{2}}<\frac{1}{3 \cdot 4} ; \ldots \ldots \ldots \ldots . . \frac{1}{2013 \cdot 2014}<\frac{1}{2013^{2}}<\frac{1}{2012 \cdot 2013}$. Se adună inegalităţile şi se obţine: + +$\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots . .+\frac{1}{2013 \cdot 2014}<\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots .+\frac{1}{2013^{2}}<\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots .+\frac{1}{2012 \cdot 2013}$ Deci , $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots . .+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}<\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots .+\frac{1}{2013^{2}}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots .+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}$. De unde rezultă: $\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}<\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots .+\frac{1}{2013^{2}}<1-\frac{1}{2013} \Rightarrow \frac{1006}{2014} $\frac{a^{2}}{3}+2 b \in \mathbb{N} \Rightarrow 3 / a^{2}$, iar 3 este număr prim, rezultă $a=3 k, k \in \mathbb{N}$. Avem: $a \in\{3,6,9\}$ | $1 p$ | +| :---: | :---: | +| Pentru $a=3$ avem $\sqrt{\overline{3 b 3}}=2 b+3$, iar singurele pătrate perfecte între 300 și 400 sunt
$18^{2}=324$ și $19^{2}=361$ care nu verifică | $1 \mathbf{p}$ | +| Pentru $a=6$, avem $\sqrt{6 b 6}=2 b+12$, iar pătratele perfecte între 600 și 700 sunt $25^{2}=625$
și $26^{2}=676$. Se verifică $\overline{a b a}=676$. | $1 \mathbf{p}$ | +| Pentru a=9, avem $\sqrt{\overline{9 b 9}}=2 b+27$, iar pătratul perfect între 900 și 999 este $31^{2}=961$ care
nu verifică. | $1 \mathbf{p}$ | +| b) restul împărțirii unui pătrat perfect la 5 este 0,1 sau 4 | 1 p | +| pentru $x \geq 5$, numărul $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot x)^{2}+13$ nu este pătrat perfect deoarece are restul
împărțirii la 5 egal cu 3 | $1 \mathbf{p}$ | +| Rămân de analizat cazurile $x \in\{1,2,3,4\}$. Singurul caz care verifică este $x=3$. | $1 \mathbf{p}$ | + +3. Fie trapezul $M N P Q$ cu $M N \| P Q, M N

triunghi isoscel. | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | + +4. În patrulaterul convex $A B C D,[A D] \equiv[B C], m(\Varangle B C D)=120^{\circ},(A C$ este bisectoarea $\Varangle D A B$ și $(B D$ este bisectoarea $\Varangle A B C$. Să se arate că: $A B=2 C D$. + +Prof. Boghian Stela + +Solutie: Fie $A C \cap B D=\{O\}$. În $\triangle A B D$, conform teoremei bisectoarei, avem: $\frac{B O}{O D}=\frac{A B}{A D}$ (1). În $\triangle A B C$, conform teoremei bisectoarei, avem: $\frac{A O}{O C}=\frac{A B}{B C}$ (2). Cum $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ (ip.), din (1) și (2), conform reciprocei teoremei lui Thales, avem: $\frac{B O}{O D}=\frac{A O}{O C} \Rightarrow C D \| A B$, deci ABCD este trapez isoscel. Din ip. $\Varangle D A C \equiv \Varangle C A B$ și $\Varangle A C D \equiv \Varangle C A B$ (alt. int.) rezultă $\triangle A C D$ isoscel, deci $[A D] \equiv[D C]$. Cum $m(\Varangle B C D)=120^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A B C)=60^{\circ}$, deci $m(\Varangle A B D)=30^{\circ}$. ABCD trapez isoscel $\Rightarrow m(\Varangle D A B)=m(\Varangle A B C)=60^{\circ}$. Triunghiul $A B D$ este triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ}$, de unde $A B=2 A D$, iar din (1) rezultă $A B=2 C D$. + +Barem: + +| Fie $A C \cap B D=\{O\}$. În $\triangle A B D$, conform teoremei bisectoarei, avem: $\frac{B O}{O D}=\frac{A B}{A D}$ (1). | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | +| În $\triangle A B C$, conform teoremei bisectoarei, avem: $\frac{A O}{O C}=\frac{A B}{B C}$ (2). | $1 p$ | +| Cum $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ (ip.), din (1) şi (2), conform reciprocei teoremei lui Thales, avem:
$\frac{B O}{O D}=\frac{A O}{O C} \Rightarrow C D \\| A B$, deci $\mathrm{ABCD}$ este trapez isoscel. | $2 \mathbf{p}$ | +| Din ip. $\Varangle D A C \equiv \Varangle C A B$ și $\Varangle A C D \equiv \Varangle C A B$ (alt. int.) rezultă $\triangle A C D$ isoscel, deci $[A D] \equiv[D C]$. | $1 p$ | +| Cum $m(\Varangle B C D)=120^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A B C)=60^{\circ}$, deci $m(\Varangle A B D)=30^{\circ}$. ABCD trapez isoscel | | +| $\Rightarrow m(\Varangle D A B)=m(\Varangle A B C)=60^{\circ}$. Triunghiul $\triangle A B D$ este triunghi dreptunghic cu un unghi de
$30^{\circ}$, de unde $A B=2 A D$, iar din (1) rezultă $A B=2 C D$. | $2 \mathbf{p}$ | + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA
16 februarie 2013
CLASA a VII-a + +1. Determinaţi partea întreagă a numărului $x=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots \ldots+\frac{1}{2013^{2}}$. +2. a) Determinați numerele naturale de forma $\overline{a b a}$, scrise în sistemul zecimal, $\mathrm{cu}$ proprietatea: $\sqrt{\overline{a b a}}=\frac{a^{2}}{3}+2 b$. + +b) Deteminați numărul natural nenul $x$ cu proprietatea: + +$$ +\sqrt{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot x)^{2}+13} \in \mathbb{N} +$$ + +3. Fie trapezul $M N P Q$ cu $M N \| P Q, M N

1$ şi $y=\frac{63}{97}<1$, deci $y1$ și $y=\frac{63}{97}<1$, deci $y ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +16 februarie 2013 + +## CLASA a VI-a + +1. Se consideră numerele raționale pozitive: + +$$ +x=1 \frac{1}{99}+2 \frac{2}{99}+3 \frac{3}{99}+\ldots+98 \frac{98}{99} \text { și } y=\frac{21}{97}+\frac{2121}{9797}+\frac{212121}{979797} +$$ + +a) Arătați că $x$ este pătrat perfect; + +b) Comparați numerele $x$ și $y$. + +2. Să se demonstreze că numărul $A=4 \cdot 15^{n}+4 \cdot 134^{n}+34^{2 n+1}$ este divizibil cu 7, pentru orice număr natural $n$. +3. Se consideră unghiul drept $A O B$ și semidreptele $(O M,(O N,(O P$ astfel încât $(O A$ este bisectoarea unghiului MON, ( $O B$ este bisectoarea unghiului MOP, iar (OM este bisectoarea unghiului $N O B$. Dacă $[O M] \equiv[O N] \equiv[O P] \equiv[O B]$, atunci: + +a) realizați figura corespunzătoare datelor problemei; + +b) arătați că punctele $N, O$ și $P$ sunt coliniare; + +c) arătați că $\triangle M O P \equiv \triangle N O B$; + +d) arătați că $\triangle N M Q \equiv \triangle P B Q$, unde $\{Q\}=M P \cap N B$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 2 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1167-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1167-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ba87b3d6dd9cc42588851d8c68e9f24108a8ee55 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1167-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,146 @@ +# BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +Clasa a V-a + +1.a) Aflați 11 numere naturale consecutive a căror sumă să fie 99 . + +b) Un număr natural de patru cifre are primele două cifre identice, iar cifra unităţilor 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98. Aflaţi deîmpărţitul, împărţitorul şi câtul. + +Prof. Ana Marcela Popa + +## Solutie: + +a) $\quad(a+1)+(a+2)+(a+3)+\ldots+(a+11)=99 \Leftrightarrow 11 a+66=99 \Leftrightarrow a=3$. Numerele sunt $4,5,6, \ldots, 14$ + +b) Notăm $\overline{a a b 5}, \mathrm{a} \neq 0$ numărul natural considerat. + +$\overline{a a b 5}=\overline{x y} \cdot \mathrm{q}+98,0 \leq 98<\overline{x y} \Rightarrow \overline{x y}=99$. + +$\overline{a a b 5}=99 \cdot \mathrm{q}+98 . \Rightarrow$ ultima cifră a lui $99 \cdot \mathrm{q}+98$ este 5 și deci ultima cifră a lui q este 3 . + +$1105 \leq \overline{a a b 5} \leq 9995 \Rightarrow 1105 \leq 99 \cdot \mathrm{q}+98 \leq 9995 \Rightarrow 11 \leq \mathrm{q} \leq 99$ şi, cum ultima cifră a lui q este 3 , $\Rightarrow \mathrm{q} \in\{13,23,33, \ldots, 93\}$. + +Deîmpărţitul este 3365 , împărţitorul este 99 şi câtul este 33 . + +## Barem + +| a) | $(\mathrm{a}+1)+(\mathrm{a}+2)+(\mathrm{a}+3)+\ldots+(\mathrm{a}+11)=99$ | $2 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Numerele sunt $4,5,6, \ldots, 14$ | $1 p$ | | +| b) | $\overline{a a b 5}=\mathrm{x} \cdot \mathrm{q}+98,0 \leq 98<\mathrm{x}$ | $1 p$ | +| ultima cifră a lui $99 \cdot \mathrm{q}+98$ este 5 și $\mathrm{U}(\mathrm{q})=3$ | $1 p$ | | +| Verificare pentru $\mathrm{q} \in\{13,23,33, \ldots, 93\}$ | $1 p$ | | +| Deîmpărţitul este 3365, împărţitorul este 99 şi câtul este 33 | $1 p$ | | + +2. Dacă un număr natural se citeşte la fel de la stânga la dreapta şi de la dreapta la stânga, atunci el se numeşte "număr-oglindă". + +a) Câte "numere-oglindă" cu trei cifre sunt? + +b) Calculaţi suma "numerelor-oglindă" de trei cifre pentru care cifra zecilor este egală cu suma celorlalte două cifre; + +c) Determinaţi câtul şi restul împărţirii lui $1 \underbrace{00 \ldots 0}_{2 k} 1$ la 11 , unde $k \in \mathbb{N}$; + +d) Arătaţi că orice "număr-oglindă" care are un număr par de cifre se divide la 11 . + +Prof. Stela Boghian + +## Solutie + +a) Numerele sunt de forma $\overline{a b a}$ unde a poate lua 9 valori distincte iar b 10 valori distincte. In total sunt 90 de numere. + +b) $\mathrm{b}=2 \mathrm{a}, \mathrm{b} \leq 8, \mathrm{a} \neq 0,(a, b) \in\{(1,2) ;(2,4) ;(3,6) ;(4,8)\}$. Suma este $121+242+363+484=1210$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_556e8863fe07ec64a066g-1.jpg?height=100&width=1198&top_left_y=2281&top_left_x=271) + +d) + +$\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n} \ldots a_{2} a_{1}}=a_{1} \cdot \overline{1 \underbrace{0 \ldots 0}_{2(n-1)} 1}+a_{2} \cdot \overline{1 \underbrace{0 \ldots 0}_{2(n-2)} 1}+\ldots+a_{n} \cdot 11$ si fiecare număr de forma $1 \underbrace{0000 \ldots 001}_{2 k}$ este divizibil cu 11 (conform c sau se poate arăta cu un criteriu de divizibilitate $\mathrm{cu} 11$ ). + +În concluzie, orice "număr-oglindă" care are un număr par de cifre se divide la 11. + +## Barem + +| a) | Sunt 90 de numere | $2 p$ | +| :--- | :--- | :---: | +| b) | $121+242+363+484=1210$ | $2 p$ | +| c) | Câtul este $1 \underbrace{0000 \ldots 00}_{2 k} 1: 11=\underbrace{090909 \ldots 091}_{(k-1) \text { grupe } 09} 1 ;$ restul este 0. | $1 p$ | +| | $\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n} \ldots a_{2} a_{1}}=a_{1} \cdot \overline{\underbrace{0 \ldots 0}_{2(n-1)} 1}+a_{2} \cdot \overline{1 \underbrace{0 \ldots 0}_{2(n-2)} 1}+\ldots+a_{n} \cdot 11$ | $1 p$ | +| | Fiecare termen al sumei se divide cu 11. Finalizare | $1 p$ | + +3. Fie numărul natural $\mathrm{A}=2^{2013 n}+3^{2013 n}+5^{2013 n}+7^{2013 n}$ + +a) Calculați $\mathrm{A}$ dacă $n=0$. + +b) Calculați ultima cifră a număului $\mathrm{A}$ dacă $\mathrm{n}=1$. + +c) Arătați ca A nu este pătrat perfect oricare ar fi numărul natural nenul n . + +Prof. Dorel Ispăşoiu + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +a) Dacă $\mathrm{n}=0$ atunci $\mathrm{A}=1+1+1+1=4$ + +b) Dacă $n=1$ atunci + +$$ +\mathrm{A}=2^{2013}+3^{2013}+5^{2013}+7^{2013} \Rightarrow U(A)=U\left(2^{4 \cdot 503+1}+3^{4 \cdot 503+1}+5^{2013}+7^{4 \cdot 503+1}\right)=U\left(6 \cdot 2^{1}+1 \cdot 3^{1}+5^{1}+1 \cdot 7^{1}\right) +$$ + +$$ +=U\left(2^{1}+3^{1}+5^{1}+7^{1}\right)=7 +$$ + +c) $2013 \mathrm{n}=4 \cdot 503 \mathrm{n}+\mathrm{n} \Rightarrow U(A)=U\left(2^{2013 n}+3^{2013 n}+5^{2013 n}+7^{2013 n}\right)=U\left(2^{4 \cdot 503 \mathrm{n}+\mathrm{n}}+3^{4 \cdot 503 \mathrm{n}+\mathrm{n}}+5+7^{4 \cdot 503 \mathrm{n}+\mathrm{n}}\right)=$ $=U\left(6 \cdot 2^{n}+1 \cdot 3^{n}+5+1 \cdot 7^{n}\right)=U\left(2^{n}+3^{n}+5+7^{n}\right)$ + +Cazul I: $\quad \mathrm{n}=4 \mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{U}(\mathrm{A})=\mathrm{U}\left(2^{4 k}+3^{4 k}+5+7^{4 k}\right)=\mathrm{U}(6+1+5+1)=3 \Rightarrow$ A nu este patrat perfect, + +Cazul II: $\quad \mathrm{n}=4 \mathrm{k}+1 \Rightarrow \mathrm{U}(\mathrm{A})=\mathrm{U}\left(2^{4 k+1}+3^{4 k+1}+5+7^{4 k+1}\right)=\mathrm{U}\left(2^{1}+3^{1}+5^{1}+7^{1}\right)=7 \Rightarrow$ A nu este patrat perfect, + +Cazul III: $\mathrm{n}=4 \mathrm{k}+2 \Rightarrow \mathrm{U}(\mathrm{A})=\mathrm{U}\left(2^{4 k+2}+3^{4 k+2}+5+7^{4 k+2}\right)=\mathrm{U}\left(2^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}\right)=7 \Rightarrow \mathrm{A}$ nu este patrat perfect + +Cazul IV: $\mathrm{n}=4 \mathrm{k}+3 \Rightarrow \mathrm{U}(\mathrm{A})=\mathrm{U}\left(2^{4 k+3}+3^{4 k+3}+5+7^{4 k+3}\right)=\mathrm{U}\left(2^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\right)=3 \Rightarrow \mathrm{A}$ nu este patrat perfect. + +## Barem + +| a) | $\mathrm{A}=1+1+1+1=4$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | Aflarea ultimei cifre pentru fiecare din cei patru termeni | $2 p$ | +| | $\mathrm{U}(\mathrm{A})=7$ | $1 p$ | +| c) | $U(A)=U\left(2^{2013 n}+3^{2013 n}+5^{2013 n}+7^{2013 n}\right)=U\left(2^{n}+3^{n}+5+7^{n}\right)$ | $1 p$ | +| | Aflarea ultimei cifre pentru fiecare din cele patru cazuri şi interpretare | $2 p$ | + +Notă: Orice altă soluție corectă se va puncta corespunzător + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +16 februarie 2013 + +## CLASA a V-a + +1 a) Aflați 11 numere naturale consecutive a căror sumă să fie 99. + +b) Un număr natural de patru cifre are primele două cifre identice, iar cifra unităţilor 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 . Aflaţi deîmpărţitul, împărţitorul şi câtul. + +2 Dacă un număr natural se citeşte la fel de la stânga la dreapta şi de la dreapta la stânga, atunci el se numeşte "număr-oglindă". + +a) Câte "numere-oglindă" cu trei cifre sunt? + +b) Calculaţi suma "numerelor-oglindă" de trei cifre pentru care cifra zecilor este egală cu suma celorlalte două cifre; + +c) Determinaţi câtul şi restul împărţirii lui $1 \underbrace{00 \ldots 0}_{2 k} 1$ la 11 , unde $k \in \mathbb{N}$ iar numărul cifrelor de zero este $2 \mathrm{k}$; + +d) Arătaţi că orice "număr-oglindă" care are un număr par de cifre se divide la 11 . + +3 Fie numărul natural $\mathrm{A}=2^{2013 n}+3^{2013 n}+5^{2013 n}+7^{2013 n}$ + +a) Calculați A dacă n=0. + +b) Calculați ultima cifră a număului $\mathrm{A}$ dacă $\mathrm{n}=1$. + +c) Arătați ca A nu este pătrat perfect oricare ar fi numărul natural nenul n . + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 . +3. Timp de lucru 2 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1168-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1168-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23a8b9d0167b2a90ce50f82c1d476f15cf22af04 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1168-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,119 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 16 februarie 2013
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE-CLASA a IX-a + +1. Fie numerele $a, b, x, y \in(0,+\infty)$ în relaţia de ordine $a \leq x \leq y \leq b$. Să se arate că: +a) $\frac{a}{b} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{y}{x} \leq \frac{b}{a}$ +b) $\left(a^{2}+b^{2}\right) x y \geq a b\left(x^{2}+y^{2}\right)$. + +Gheorghe Marchitan, Suceava + +Solutie. a) Avem $y \leq b \Leftrightarrow \frac{1}{b} \leq \frac{1}{y}$ şi $a \leq x$, de unde rezultă $\frac{a}{b} \leq \frac{x}{y}$ (1). + +$x \leq y \Rightarrow \frac{x}{y} \leq 1 \leq \frac{y}{x}(2)$. Din inegalitatea $a \leq x \Leftrightarrow \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a}$ şi $y \leq b$ rezultă $\frac{y}{x} \leq \frac{b}{a}$ (3). Din cele trei relaţii obţinem concluzia. + +b) Din inegalităţile de la punctul precedent avem $a y-b x \leq 0$ şi $a x-b y \leq 0$. Obţinem $(a y-b x)(a x-b y) \geq 0$, ceea ce ne conduce la $a^{2} x y-a b y^{2}-a b x^{2}+b^{2} x y \geq 0 \Leftrightarrow\left(a^{2}+b^{2}\right) x y \geq a b\left(x^{2}+y^{2}\right)$. + +Barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-1.jpg?height=366&width=1591&top_left_y=939&top_left_x=294) + +2. Să se determine funcţiile $f, g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ ştiind că: +a) $f(0)=0$ şi $f(n) \neq 0$ pentru orice număr natural nenul $n$; +b) $n^{2} f(n)+m^{2} f(m)=\left(f^{2}(n)+f^{2}(m)-f(n) \cdot f(m)\right) \cdot g(m+n)$, oricare ar fi $m, n \in \mathbb{N}$. + +## Cristian Amorăriţei, Suceava + +Solutie. În relaţia de la punctul b) luăm $m=0$ şi obţinem: + +$$ +n^{2} f(n)=f^{2}(n) g(n) \Leftrightarrow f(n)\left(n^{2}-f(n) g(n)\right)=0, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow g(n)=\frac{n^{2}}{f(n)}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}(1) +$$ + +$g(1) f(1)=1, g(1), f(1) \in \mathbb{N} \Rightarrow g(1)=f(1)=1$. + +În relaţia de la punctul b) luăm $m=1$ şi obţinem: $n^{2} f(n)+1=\left(f^{2}(n)+1-f(n)\right) \cdot g(n+1), \forall n \in \mathbb{N}$. Folosind (1) deducem: $n^{2} f(n)+1=\left(f^{2}(n)+1-f(n)\right) \cdot \frac{(n+1)^{2}}{f(n+1)}, \forall n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow$ $f(n+1)=\left(f^{2}(n)+1-f(n)\right) \cdot \frac{(n+1)^{2}}{n^{2} f(n)+1}, \forall n \in \mathbb{N}$. Se demonstrează folosind metoda inducţiei matematice că $f(n)=n, \forall n \in \mathbb{N}$. În final rezultă $g(n)=\left\{\begin{array}{l}a, n=0 \\ n, n \geq 1\end{array}, a \in \mathbb{N}\right.$. + +Barem. + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-1.jpg?height=126&width=1289&top_left_y=2225&top_left_x=315) | 2p | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-1.jpg?height=56&width=1289&top_left_y=2347&top_left_x=315) | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează $f(n+1)=\left(f^{2}(n)+1-f(n)\right) \cdot \frac{(n+1)^{2}}{n^{2} f(n)+1}, \forall n \in \mathbb{N} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. | 2p | +| Determină funcţia $f \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-2.jpg?height=60&width=1583&top_left_y=111&top_left_x=301) + +3. Fie rombul $A B C D$ de centru $O$ şi punctul $N \in(A B)$. Prin $N$ se construieşte o dreaptă paralelă cu $B C$ care intersectează dreapta $D C$ în $M$. Construim prin $N$ o paralelă la $A C$ care intersectează $M B$ în $E$ şi o paralelă la $D B$ care intersectează $M A$ în $F$. Notăm cu $S$ mijlocul segmentului $[A B]$ şi $M S \cap E F=\{G\}$. Demonstraţi că: +a) $\frac{E B}{E M}+\frac{F A}{F M}=1$; +b) G este centrul de greutate al triunghiului ABM; +c) $2 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{G N}$. + +Anca Andrei, Suceava + +Soluție. a) Deoarece $N E \| A C$ şi $A B C D$ este romb rezultă că $\Varangle B N E \equiv \Varangle M N E$. Din teorema bisectoarei avem $\frac{E B}{E M}=\frac{N B}{N M}$. Analog se demonstrează că $\Varangle A N F \equiv \Varangle M N F$ şi din + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-2.jpg?height=786&width=491&top_left_y=623&top_left_x=313) +teorema bisectoarei avem $\frac{F A}{F M}=\frac{N A}{N M}$. Adunând cele două egalităţi obţinem că $\frac{E B}{E M}+\frac{F A}{F M}=1$. + +b) Demonstrăm că dreapta $E F$ trece prin centrul de greutate al $\triangle A M B$ şi cum $E F$ intersectează mediana $[M S$ ] în punctul $G$ va rezulta că $G$ este centrul de greutate al $\triangle A M B$. Notăm $\frac{E B}{E M}=u \Rightarrow \overrightarrow{M E}=\frac{1}{1+u} \cdot \overrightarrow{M B}$ şi $\frac{F A}{F M}=v \Rightarrow \overrightarrow{M F}=\frac{1}{1+v} \cdot \overrightarrow{M A}$, iar $u+v=1$. Fie $G_{1}$ centrul de greutate al $\triangle A M B \Rightarrow \overrightarrow{M G_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B})=\frac{1+v}{3} \overrightarrow{M F}+\frac{1+u}{3} \overrightarrow{M E}$, cu $\frac{1+v}{3}+\frac{1+u}{3}=1$, de unde rezultă că punctele $F, E, G_{1}$ sunt coliniare. Prin urmare avem că $G=G_{1}$. +c) $\frac{N B}{N M}=u \Rightarrow \frac{N B}{N A}=\frac{u}{1-u} \Rightarrow \overrightarrow{O N}=u \cdot \overrightarrow{O A}+(1-u) \cdot \overrightarrow{O B}$. + +$\frac{M C}{M D}=\frac{N B}{N A}=\frac{u}{1-u} \Rightarrow \overrightarrow{O M}=u \cdot \overrightarrow{O D}+(1-u) \cdot \overrightarrow{O C}=(u-1) \cdot \overrightarrow{O A}-u \cdot \overrightarrow{O B}$. + +Deoarece $G$ este centrul de greutate al $\triangle A M B \Rightarrow 3 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+$ $(u-1) \cdot \overrightarrow{O A}-u \cdot \overrightarrow{O B}=u \cdot \overrightarrow{O A}+(1-u) \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O N} \Rightarrow 2 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{G N}$ + +Barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-2.jpg?height=304&width=1594&top_left_y=1832&top_left_x=295) + +4. Fie triunghiul neisoscel $\mathrm{ABC}, \mathrm{P}$ un punct în interiorul triunghiului, $\mathrm{AP} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{D}\}, \mathrm{BP} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{E}\}$, + +$\mathrm{CP} \cap \mathrm{AB}=\{\mathrm{F}\}$. Se consideră $D_{1} \in(A B)$ şi $D_{2} \in(A C)$ picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle \mathrm{ADB}$ şi + +$\Varangle \mathrm{ADC}, E_{1} \in(B C)$ şi $E_{2} \in(B A)$ picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle \mathrm{BEC}$ şi $\Varangle \mathrm{BEA}$, iar $F_{1} \in(C A)$ şi +$F_{2} \in(C B)$ picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle \mathrm{CFA}$ şi $\Varangle \mathrm{CFB}$. Dacă $\left\{A^{\prime}\right\}=D_{1} D_{2} \cap B C$, + +$\left\{B^{\prime}\right\}=E_{1} E_{2} \cap A C$ şi $\left\{C^{\prime}\right\}=F_{1} F_{2} \cap A C$, să se arate că $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ sunt puncte coliniare. + +Dan Popescu, Suceava + +## Solutie. + +Condiţia $\mathrm{AB} \neq \mathrm{BC} \neq \mathrm{CA} \neq \mathrm{AB}$, teorema bisectoarei şi axioma Pasch asigură determinarea punctelor $A^{\prime} \in B C-[B C], B^{\prime} \in A C-[A C]$ şi $C^{\prime} \in A B-[A B]$. Fixăm cazul $B \in\left(A^{\prime} C\right)$. Se aplică teorema Menelaus triunghiului $\mathrm{ABC}$ şi transversalei $\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{D}_{1}-\mathrm{D}_{2}$ şi se obţine $\frac{A^{\prime} B}{A^{\prime} C}=\frac{D_{2} A}{D_{2} C} \cdot \frac{D_{1} B}{D_{1} A} \stackrel{\text { th.bis. }}{=} \frac{A D}{D C} \cdot \frac{D B}{A D}=\frac{D B}{D C}$, adică A' şi $\mathrm{D}$ sunt puncte conjugate armonic în raport cu $\mathrm{B}$ şi $\mathrm{C}$. Analog mai obţinem relaţiile: $\frac{B^{\prime} C}{B^{\prime} A}=\frac{E C}{E A}$ şi $\frac{C^{\prime} A}{C^{\prime} B}=\frac{F A}{F B}$. Din teorema lui Ceva şi reciproca teoremei Menelaus, se deduce $\frac{A^{\prime} B}{A^{\prime} C} \cdot \frac{B^{\prime} C}{B^{\prime} A} \cdot \frac{C^{\prime} A}{C^{\prime} B}=1$, de unde concluzia problemei. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb3b0e17698baf178e07g-3.jpg?height=540&width=954&top_left_y=1039&top_left_x=607) + +## Barem. + +| Realizarea unui figuri corespunzătoare. | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| Aplică teorema Menelaus triunghiului $\mathrm{ABC}$ şi transversalei $\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{D}_{1}-\mathrm{D}_{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Aplică teorema bisectoarei în triunghiurile ADC, respectiv ADB........................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce $\frac{A^{\prime} B}{A^{\prime} C}=\frac{D_{2} A}{D_{2} C} \cdot \frac{D_{1} B}{D_{1} A}=\frac{A D}{D C} \cdot \frac{D B}{A D}=\frac{D B}{D C} \ldots$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Analog scrie relaţiile : $\frac{B^{\prime} C}{B^{\prime} A}=\frac{E C}{E A}$ şi $\frac{C^{\prime} A}{C^{\prime} B}=\frac{F A}{F B}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Din teorema lui Ceva $\frac{D B}{D C} \cdot \frac{E C}{E A} \cdot \frac{F A}{F B}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce $\frac{A^{\prime} B}{A^{\prime} C} \cdot \frac{B^{\prime} C}{B^{\prime} A} \cdot \frac{C^{\prime} A}{C^{\prime} B}=1$, de unde concluzia problemei. | $1 \mathrm{p}$ | + +Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +## 16 februarie 2013 + +## CLASA a IX-a + +1. Fie numerele $a, b, x, y \in(0,+\infty)$ în relaţia de ordine $a \leq x \leq y \leq b$. Să se arate că: +a) $\frac{a}{b} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{y}{x} \leq \frac{b}{a}$; +b) $\left(a^{2}+b^{2}\right) x y \geq a b\left(x^{2}+y^{2}\right)$. +2. Să se determine funcţiile $f, g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ ştiind că: +a) $f(0)=0$ şi $f(n) \neq 0$ pentru orice număr natural nenul $n$; +b) $n^{2} f(n)+m^{2} f(m)=\left(f^{2}(n)+f^{2}(m)-f(n) \cdot f(m)\right) \cdot g(m+n)$, oricare ar fi $m, n \in \mathbb{N}$. +3. Fie rombul $A B C D$ de centru $O$ şi punctul $N \in(A B)$. Prin $N$ se construieşte o dreaptă paralelă cu $B C$ care intersectează dreapta $D C$ în $M$. Construim prin $N$ o paralelă la $A C$ care intersectează $M B$ în $E$ şi o paralelă la $D B$ care intersectează $M A$ în $F$. Notăm cu $S$ mijlocul segmentului $[A B]$ şi $M S \cap E F=\{G\}$. Demonstraţi că: +a) $\frac{E B}{E M}+\frac{F A}{F M}=1$; +b) $\mathrm{G}$ este centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{ABM}$; +c) $2 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{G N}$. +4. Fie triunghiul neisoscel $\mathrm{ABC}, \mathrm{P}$ un punct în interiorul triunghiului, $\mathrm{AP} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{D}\}$, $\mathrm{BP} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{E}\}, \mathrm{CP} \cap \mathrm{AB}=\{\mathrm{F}\}$. Se consideră $D_{1} \in(A B)$ şi $D_{2} \in(A C)$ picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle \mathrm{ADB}$ şi $\Varangle \mathrm{ADC}, E_{1} \in(B C)$ şi $E_{2} \in(B A)$ picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle \mathrm{BEC}$ şi $\Varangle \mathrm{BEA}$, iar $F_{1} \in(C A)$ şi $F_{2} \in(C B)$ picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle \mathrm{CFA}$ şi $\Varangle \mathrm{CFB}$. Dacă $\left\{A^{\prime}\right\}=D_{1} D_{2} \cap B C,\left\{B^{\prime}\right\}=E_{1} E_{2} \cap A C$ şi $\left\{C^{\prime}\right\}=F_{1} F_{2} \cap A C$, să se arate că $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ sunt puncte coliniare. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1169-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1169-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f6b7be8256b9e4083558217d7641b6c6026a64c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1169-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,76 @@ +1. a) Va rezulta $f_{a}\left(f_{b}(x, y)\right)=f_{a}\left[\left((-1)^{b} x+b,(-1)^{b} y\right)\right]=\left((-1)^{a+b} x+(-1)^{a} b+\right.$ $\left.+a,(-1)^{a+b} y\right)$. Ca să verifice partea stabilă ar trebui ca $(-1)^{(-1)^{a} b+a}=(-1)^{a+b}$, care se verifică luând cazurile de paritate și imparitate pentru $a$ și $b$. + +Deci + +$$ +f_{a} \circ f_{b}=f_{(-1)^{a} b+a} \in F +$$ + +$.3 p$ + +b) Se observă că operația nu este comutativă, deoarece numărul $(-1)^{a} b+a$ poate fi diferit de numărul $(-1)^{b} a+b$ (de exemplu $a=3, b=2$ ) deci perechea $(F, \circ)$ nu poate forma grup comutativ. $4 p$ + +2. Dacă $f$ este automorfism atunci $f(X+Y)=f(X)+f(Y)$ (care se verifică) și $f$ bijectivă. Deci $f$ este surjectivă și pentru $I_{2} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ există $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $f(X)=I_{2} \Leftrightarrow A X=I_{2}$, deci $\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} X=1$ și $\operatorname{det} A \neq 0$, adică $A$ inversabilă. + +Dacă $A$ este inversabilă, atunci $f$ bijectivă (relația $f(X+Y)=f(X)+f(Y)$ se verifică) + +$f$ injectivă: $A X=A Y$ și prin înmulțire la stânga cu $A^{-1}$ rezultă $X=Y$ + +$f$ surjectivă: $\forall Y \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \exists X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $A X=Y$, deci $X=A^{-1} Y$ + +$.3 \mathrm{p}$ +3. $\mathrm{Cu}$ notația $\frac{\pi}{2}-x=\mathrm{t}$ rezultă + +$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} t+\cos t}{\cos t+\sin t+1} \mathrm{dt}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos t+\sin t-\sin ^{2} t-\sin t}{\cos t+\sin t+1} \mathrm{dt}=$ + +$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\frac{\sin ^{2} t+\sin t}{\cos t+\sin t+1}\right) d t=\frac{\pi}{2}-I$ + +Deci $2 I=\frac{\pi}{2}$ și $\mathrm{I}=\frac{\pi}{4}$ + +$.7 p$ + +4. a) Fie $f(x)=A x^{3}+B x^{2}+C x+D$ + +Conform ipotezei $0=\int_{-a}^{a} f(x) d x=\left.\frac{A}{4} x^{4}\right|_{-a} ^{a}+\left.\frac{B}{3} x^{3}\right|_{-a} ^{a}+\left.\frac{C}{2} x^{2}\right|_{-a} ^{a}+\left.D x\right|_{-a} ^{a}=$ $=\frac{2}{3} B a^{3}+2 D a$ de unde $B a^{2}+3 D=0$ + +Expresia $\quad E=f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)+f(0)+f\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)=A\left[\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{3}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{3}\right]+$ $+B\left[\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}\right]+C\left[\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)\right]+3 D=B a^{2}+3 D=0$ + +b) Funcția $\mathrm{f}$ este continuă și are deci proprietatea lui Darboux; dacă ecuația $f(x)=0$ nu are soluții pe intervalul $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a\right]$ atunci $f(x)>0$ pe acest interval sau $f(x)<$ 0 pe acest interval deci $E>0$ pe intervalul dat sau $E<0$ pe intervalul dat, + +## Barem clasa a XII-a + +fapt care contrazice rezultatul obținut la punctul a). Prin urmare ecuația are cel puțin o soluție în intervalul menționat. + +$.3 \mathrm{p}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013
Clasa a XII-a + +## Subiecte: + +1. Se consideră funcțiile $f_{n}: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}, f_{n}(x, y)=\left((-1)^{n} x+n,(-1)^{n} y\right)$, $n \in \mathbb{Z}$ și mulțimea $F=\left\{f_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\}$. + +a) Arătați că $F$ este parte stabilă față de compunerea funcțiilor. + +b) Studiați dacă perechea ( $F, \circ$ ) formează grup comutativ, unde "o" reprezintă compunerea funcțiilor. + +Burtea Marius, Alexandria, Teleorman + +2. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ și $f: \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}), f(X)=A X$. Să se arate că $f$ este automorfism al grupului $\left(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),+\right)$ dacă și numai dacă matricea $A$ este inversabilă. +3. Să se calculeze: + +$$ +I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+\sin x}{\sin x+\cos x+1} d x +$$ + +4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mathrm{f}(x)=A x^{3}+B x^{2}+C x+D$, unde $A, B, C, D \in \mathbb{R}$, cu proprietatea că există $a>0$ astfel încât + +$$ +\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 +$$ + +a) Determinați $E=f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)+f(0)+f\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)$ + +b) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a\right]$ + +Traian Ianculescu, Zimnicea, Teleorman + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-117-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-117-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..814f89ae67c32332509f696947cd00ab68bf76b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-117-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,179 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_480fb9740a7025aef4bfg-1.jpg?height=274&width=268&top_left_y=302&top_left_x=495) + +Ministerul Educaţiei Naţionale ş Cercetării Ştiinţifice ȘI CERCETARII STTIINȚTIFICE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 + +CLASA a 9 -a + +Problema 1. Fie $A B C D$ un pătrat şi $E$ un punct situat pe diagonala $B D$, diferit de mijlocul acesteia. Se notează cu $H$ ş $K$ ortocentrele triunghiurilor $A B E$, respectiv $A D E$. Arătaţi că $\overline{B H}+\overline{D K}=0$. + +Problema 2. Fie $a$ şi $n$ două numere naturale nenule, astfel încât + +$$ +\{\sqrt{n+\sqrt{n}}\}=\{\sqrt{a}\} +$$ + +Arătaţi că $4 a+1$ este pătrat perfect. + +Problema 3. Fie numerele reale pozitive $a, b, c$, astfel încât + +$$ +\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1} \leq 1 +$$ + +Demonstraţi că: + +$$ +\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq 1 +$$ + +Gazeta Matematică + +Problema 4. Fie $a \geq 2$ un număr natural. Arătaţi că afirmaţiile următoare sunt echivalente: + +a) Există numerele naturale nenule $b, c$, astfel încât $a^{2}=b^{2}+c^{2}$; + +b) Există un număr natural nenul $d$, astfel încât ecuaţiile $x^{2}-a x+d=0$ şi $x^{2}-a x-d=0$ au rădăcinile întregi. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016
CLASA a $9-\mathrm{a}$
Soluţii şi bareme + +Problema 1. Fie $A B C D$ un pătrat şi $E$ un punct situat pe diagonala $B D$, diferit de mijlocul acesteia. Se notează cu $H$ şi $K$ ortocentrele triunghiurilor $A B E$, respectiv $A D E$. Să se arate că $\overline{B H}+\overline{D K}=0$. + +Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_480fb9740a7025aef4bfg-2.jpg?height=426&width=445&top_left_y=524&top_left_x=252) + +Se observă că punctele $H$ şi $K$ se află pe diagonala $A C$, deoarece $A C$ este perpendiculară pe $B E$ şi $D E \ldots 2$ p + +De asemenea, $H$ şi $K$ se află pe înălţimile duse din $E$ în cele două triunghiuri, care sunt perpendiculare pe laturile pătratului iniţial. + +$.2 \mathrm{p}$ + +Deducem că triunghiul $E H K$ este dreptunghic isoscel, aşadar $H$ şi $K$ sunt simetrice faţă de centrul pătratului. Cum şi $B, D$ sunt simetrice faţă de centrul pătratului, obţinem concluzia dorită.................................................... + +Problema 2. Fie $a$ şi $n$ două numere naturale nenule, astfel încât $\{\sqrt{n+\sqrt{n}}\}=\{\sqrt{a}\}$. Arătaţi că $4 a+1$ este pătrat perfect. + +Soluţie. Condiţia din enunţ este echivalentă cu $\sqrt{n+\sqrt{n}}=\sqrt{a}+k, k \in \mathbb{Z}$. Rezultă că $n+\sqrt{n}=a+2 k \sqrt{a}+k^{2}$, deci $\sqrt{n}=2 k \sqrt{a}+b$, unde $b=k^{2}-n+a$. Deducem că $n=4 k^{2} a+b^{2}+4 k b \sqrt{a}$, de unde rezultă că $k b \sqrt{a}$ este raţional. + +2 puncte + +Dacă $\sqrt{a}$ este raţional, atunci $a$ este pătrat perfect, deci $n+\sqrt{n}$ e pătrat perfect; în particular, $n=m^{2}, m \in \mathbb{N}$. Rezultă că $m^{2}+m$ este pătrat perfect şi cum $m^{2} \leq m^{2}+m<(m+1)^{2}$, obţinem $m=0$, deci $n=0$ - contradicţie. + +2 puncte + +Prin urmare, $k b=0$. Pentru $b=0$, obţinem $n=k^{2}+a$ şi $n=4 k^{2} a$, de unde $a=k^{2} /\left(4 k^{2}-1\right)<1-$ contradicţie. 1 punct + +Aşadar, $k=0$, de unde $n=b^{2}$ şi $a=b+n$, deci $a=b^{2}+b$ şi $4 a+1=(2 b+1)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2$. 2 . . . . . . + +Problema 3. Fie numerele reale pozitive $a, b, c$, astfel încât + +$$ +\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1} \leq 1 +$$ + +Să se arate că + +$$ +\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq 1 +$$ + +Soluţie. Din inegalitatea dintre media aritmetică şi media armonică deducem că + +$$ +\left(\sum(b+c+1)\right) \sum \frac{1}{b+c+1} \geq 9 +$$ + +de unde + +$$ +\left(a+b+c+\frac{3}{2}\right) \sum \frac{1}{b+c+1} \geq \frac{9}{2} +$$ + +Avem însă + +$$ +\left(a+b+c+\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{1}{b+c+1}=\frac{a}{b+c+1}+1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b+c+1} +$$ + +şi analoagele, de unde rezultă + +$$ +\sum \frac{a}{b+c+1}+3+\frac{1}{2} \sum \frac{1}{b+c+1} \geq \frac{9}{2} +$$ + +şi apoi + +$$ +\frac{1}{2} \sum \frac{1}{b+c+1} \geq \frac{3}{2}-\sum \frac{a}{b+c+1} +$$ + +Dacă $\sum \frac{a}{b+c+1} \leq 1$, atunci avem + +$$ +\frac{1}{2} \sum \frac{1}{b+c+1} \geq \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} +$$ + +de unde concluzia. + +Soluţie alternativă. Fie $S=\sum \frac{1}{b+c+1}$. Din enunţ, + +$$ +\sum\left(\frac{a}{b+c+1}+1\right) \leq 4 +$$ + +de unde $(a+b+c+1) S \leq 4$. + +Din inegalitatea dintre mediile aritmetică şi armonică, rezultă + +$$ +S \geq \frac{9}{2(a+b+c+1)+1} +$$ + +deci $S \geq 9-2(a+b+c+1) S \geq 1$. + +Problema 4. Fie $a \geq 2$ un număr natural. Să se arate că afirmaţile următoare sunt echivalente: + +a) Există numerele naturale nenule $b, c$, astfel încât $a^{2}=b^{2}+c^{2}$; + +b) Există un număr natural nenul $d$, astfel încât ecuaţiile $x^{2}-a x+d=0$ şi $x^{2}-a x-d=0$ au rădăcinile întregi. + +Soluţie. Să presupunem că $a^{2}=b^{2}+c^{2}$. Numerele $b$ şi $c$ nu pot fi ambele impare (suma a două numere impare e de forma $4 k+2$ şi nu poate fi pătrat), deci cel puţin unul dintre ele este par, adică produsul $b c$ este par. . . . . 1p + +Discriminanţii celor două ecuaţii sunt $\Delta_{1}=a^{2}-4 d$ şi $\Delta_{2}=a^{2}+4 d$. Alegem $d=\frac{b c}{2}$ şi avem + +$$ +\Delta_{1}=a^{2}-4 d=b^{2}+c^{2}-4 \frac{b c}{2}=(b-c)^{2} +$$ + +iar rădăcinile primei ecuaţii sunt $x_{1,2}=\frac{a \pm(b-c)}{2}$. Se observă că $x_{1.2}$ sunt numere întregi (dacă $b, c$ sunt ambele pare, şi $a$ va fi par, iar dacă $b, c$ au parităţi diferite, $a$ va fi impar, ca şi $b-c$ ). Similar se arată că şi a doua ecuaţie are rădăcinile întregi. + +Reciproc, să presupunem că ecuaţiile au rădăcini întregi. Atunci discriminanţii acestora trebuie să fie pătrate perfecte. Fie $\Delta_{1}=u^{2}$ şi $\Delta_{2}=v^{2}$. $1 \mathrm{p}$ + +Avem, deci + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}-4 d=u^{2} \\ +& a^{2}+4 d=v^{2} +\end{aligned} +$$ + +Deducem uşor că numerele $u, v$ şi $a$ au aceeaşi paritate. + +Adunând relaţiile, obţinem + +$$ +a^{2}=\frac{u^{2}+v^{2}}{2}=\left(\frac{u+v}{2}\right)^{2}+\left(\frac{u-v}{2}\right)^{2} +$$ + +deci, alegând $b=\frac{u+v}{2}$ şi $c=\frac{u-v}{2}$, numerele $b$ şi $c$ sunt întregi şi $a^{2}=b^{2}+c^{2}$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1170-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1170-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..19168095d340410251cc5d323e2795f8cc475f92 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1170-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,116 @@ +# Barem clasa a XI-a + +1. + +$\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=\operatorname{det}\left[\left(A+i I_{2}\right)\left(A-i I_{2}\right)\right]=\operatorname{det}\left(A+i I_{2}\right) \operatorname{det}\left(A-i I_{2}\right)=0 \Rightarrow \operatorname{det}(A+$ $\left.i I_{2}\right)=0$ sau $\operatorname{det}\left(A-i I_{2}\right)=0$ $.2 \mathrm{p}$ + +Dacă $\operatorname{det}\left(A+i I_{2}\right)=0$, considerând $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ va rezulta $\left|\begin{array}{cc}a+i & b \\ c & d+i\end{array}\right|=(a d-b c-$ 1) $+i(a+d)=0 \quad$ deci $\quad a d-b c=1 \quad$ și $\quad a+d=0$, sau $\quad d=-a \quad$ şi $\quad a^{2}+b c=-1$ $.2 p$ + +Rezultă $A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & -a\end{array}\right)$ și $A^{2}=\left(\begin{array}{cc}a^{2}+b c & 0 \\ 0 & a^{2}+b c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)=-I_{2}$ + +În cazul $\operatorname{det}\left(A+i I_{2}\right)=0$ vor rezulta aceleași relații $a d-b c=1$ și $a+d=0$, apoi ...relația. + +$3 p$ + +2. a) Folosind $A \cdot A^{-1}=I_{3} \Rightarrow \operatorname{det}\left(A \cdot A^{-1}\right)=1 \quad$ și $\quad \operatorname{det} A \cdot \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1$, $\operatorname{deci}$ $\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{d}$ + +Din relația $d \cdot A^{-1}=A^{*} \Rightarrow \operatorname{det}\left(d \cdot A^{-1}\right)=\operatorname{det} A^{*} \operatorname{deci} d^{3} \operatorname{det} A^{-1}=\operatorname{det} A^{*}$, adică $\operatorname{det} A^{*}=d^{2}$ + +$2 p$ + +b) Presupunând că există matricele, trecând la determinanți ar rezulta: + +$$ +\begin{gathered} +\operatorname{det} X \cdot \operatorname{det} Y=d \\ +\operatorname{det} Y \cdot \operatorname{det} Z=d \\ +\operatorname{det} Z \cdot \operatorname{det} X=d +\end{gathered} +$$ + +Înmulțind relațiile ar rezulta: + +$(\operatorname{det} \mathrm{X} \cdot \operatorname{det} Y \cdot \operatorname{det} Z)^{2}=d^{3}<0$ (contradicție) + +$3 p$ + +3. a) Considerând expresia de sub limită sub forma: + +$$ +f(x)=\frac{\left[\left(\frac{\operatorname{tg}\left(a_{1} x\right)}{a_{1} x}\right) a_{1}+\cdots+\left(\frac{\operatorname{tg}\left(a_{n} x\right)}{a_{n} x}\right) a_{n}\right]^{2}}{\left(\frac{\operatorname{tg}\left(a_{1}^{2} x\right)}{a_{1}^{2} x}\right) a_{1}^{2}+\cdots+\left(\frac{\operatorname{tg}\left(a_{n}^{2} x\right)}{a_{n}^{2} x}\right) a_{n}^{2}} +$$ + +Atunci + +$$ +\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\frac{\left(a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} +$$ + +Cum $b_{n} \geq n \Rightarrow\left(a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}\right)^{2} \geq n\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)$ + +Pe de altă parte, în baza inegalitătii C-B-S avem relația: $\left(a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}\right)^{2} \leq$ $n\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)$ cu egalitate dacă $\frac{a_{1}}{1}=\frac{a_{2}}{1}=\ldots=\frac{a_{n}}{1}$; din dubla inegalitate rezultă + +## Barem clasa a XI-a + +$$ +\begin{aligned} +& \left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}=n\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right) \text { (cazul de egalitate), adică } a_{1}=a_{1}= \\ +& \cdots=a_{n} +\end{aligned} +$$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +4. Avem + +$$ +\begin{aligned} +& a_{n}=\prod_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{k-1}=\frac{2 \cdot 2}{1} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot \ldots \ldots . \cdot \frac{n \cdot n}{n-1}=\frac{n!\cdot n!}{(n-1)!}=n!\cdot n=n!\cdot[(n+1)-1]=(n+1)!-n! \\ +& b_{n}=\sum_{k=2}^{n}[(k+1)!-k!]=(n+1)!-2, c_{n}=\frac{(n+1)!-2}{(n+1)!}=1-\frac{2}{(n+1)!} \\ +& d_{n}=\left(1+\frac{-2}{(n+1)!}\right)^{(n+1)!} +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{gathered} +\text { Avem } \lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-2}{(n+1)!}\right)=1+0=1 \text { si } \lim _{n \rightarrow \infty} d_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-2}{(n+1)!}\right)^{(n+1)!}= \\ +=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{-2}{(n+1)!}\right)^{\frac{(n+1)!}{-2}}\right]^{\frac{-2}{(n+1)!}(n+1)!}=e^{-2}=\frac{1}{e^{2}} \quad \text {.................................................................................... } +\end{gathered} +$$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013
Clasa a XI-a + +## Subiecte: + +1. Se consideră $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=0$. Arătați că $A^{2}=-I_{2}$. +2. Fie $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{det} A=d<0$. + +a) Să se calculeze $\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)$ și $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)$ + +b) Să se arate că nu există matricele $X, Y, Z \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $X Y=Y Z=Z X=A$. + +3. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ și $a_{1}, a_{2,} \ldots \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}^{*}$. + +a) Să se calculeze: + +$$ +\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\operatorname{tg}\left(a_{1} x\right)+\ldots \ldots+\operatorname{tg}\left(a_{n} x\right)\right)^{2}}{x\left(\operatorname{tg}\left(a_{1}^{2} x\right)+\ldots \ldots .+\operatorname{tg}\left(a_{n}^{2} x\right)\right)} +$$ + +b) Să se arate că dacă $b_{n}$ este rezultatul limitei de la punctul a) și $b_{n} \geq n$, atunci $a_{1}=a_{2}=\ldots \ldots . .=a_{n}$. + +Traian Ianculescu, Zimnicea, Teleorman + +4. Considerăm șirurile de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}\left(a_{n}\right)_{n \geq 2},\left(b_{n}\right)_{n \geq 2},\left(c_{n}\right)_{n \geq 2},\left(d_{n}\right)_{n \geq 2}, \mathrm{cu}$ termenii generali definiți astfel: + +$$ +\begin{gathered} +x_{n}=\left(n+\frac{n}{n-1}\right) \\ +a_{n}=x_{2} x_{3} \ldots x_{n}, \quad b_{n}=a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}, c_{n}=\frac{b_{n}}{(n+1)!}, d_{n}=\left(c_{n}\right)^{(n+1)!} +\end{gathered} +$$ + +Să se calculeze limitele șirurilor $\left(c_{n}\right)_{n \geq 2}$ și $\left(d_{n}\right)_{n \geq 2}$. + +Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1171-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1171-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d6c1d8d51c12caae1336ea3da446cb44935ce63a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1171-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,115 @@ +1. a) + +$$ +a, b, \in(0,1) \Rightarrow \log _{a} \frac{2 a b}{a+b} \geq \log _{a} \sqrt{a b}>0 \quad \text { și } \quad \log _{b} \frac{2 a b}{a+b} \geq \log _{b} \sqrt{a b}>0 +$$ + +. $2 \mathrm{p}$ + +Prin înmulțirea inegalităților se obține $\log _{a} \frac{2 a b}{a+b} \cdot \log _{b} \frac{2 a b}{a+b} \geq \frac{1}{4}\left(\log _{a} b+\right.$ 1) $\left(\log _{b} a+1\right)=\frac{1}{4}\left(2+\log _{a} b+\log _{b} a\right) \geq \frac{1}{4}(2+2)=1$ (s-a folosit $\log _{a} b, \log _{b} a>0$, pentru $a, b \in(0,1)$ ) + +b) Folosind inegalitatea mediilor $\frac{3 a b c}{a b+a c+b c}=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{a b c} \Rightarrow$ $\log _{a} \frac{3 a b c}{a b+b c+c a} \geq \log _{a} \sqrt[3]{a b c}=\frac{1}{3}\left(1+\log _{a} b+\log _{a} c\right)$ + +Analog + +$$ +\begin{aligned} +\log _{b} \frac{3 a b c}{a b+b c+c a} \geq \frac{1}{3}\left(1+\log _{b} a+\log _{b} c\right) \\ +\log _{c} \frac{3 a b c}{a b+b c+c a} \geq \frac{1}{3}\left(1+\log _{c} a+\log _{c} b\right) +\end{aligned} +$$ + +Prin adunare și folosind $x+\frac{1}{x} \geq 2, x>0 \Rightarrow$ inegalitatea din enunt, .....1p + +2. a) + +$$ +\begin{aligned} +& \left(z_{1}-1\right)\left(z_{2}-1\right)\left(z_{3}-1\right)= \\ +& z_{1} z_{2} z_{3}-z_{1} z_{2}-z_{1} z_{3}-z_{2} z_{3}+z_{1}+z_{2}+z_{3}-1=z_{1} z_{2} z_{3}\left(1-\frac{1}{z_{1}}-\frac{1}{z_{2}}-\right. \\ +& \left.\frac{1}{z_{3}}\right)+\underbrace{z_{1}+z_{2}+z_{3}-1}_{0}=z_{1} z_{2} z_{3}\left(1-\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}-\overline{z_{3}}\right)=z_{1} z_{2} z_{3}(1- \\ +& \left.\overline{z_{1}+z_{2}+z_{3}}\right)=z_{1} z_{2} z_{3}(1-1)=0 \\ +& \text { (avem } z_{1} \cdot \overline{z_{1}}=\left|z_{1}\right|^{2}=1 \text { și celelalte } \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \quad 4 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +b) Din punctul a) rezultă că cel puțin unul din numere este egal cu 1 + +Dacă $z_{1}=1$ din $z_{1}+z_{2}+z_{3}=1 \Rightarrow z_{2}+z_{3}=0$ deci $z_{1}{ }^{2013}+z_{2}{ }^{2013}+$ $z_{3}^{2013}=1+z_{2}^{2013}+\left(-z_{2}\right)^{2013}=1$, analog cazurile $z_{2}=1$ sau $z_{3}=1$ $.2 \mathrm{p}$ +3. $20^{x}-5^{x}-4^{x}+1 \geq 0 \Leftrightarrow\left(5^{x}-1\right)\left(4^{x}-1\right) \geq 0$, adevărată deoarece pentru $x \geq 0,5^{x}-1 \geq 0$ s,i $4^{x}-1 \geq 0$ iar Pentru $x<0,5^{x}-1<0$ şi $4^{x}-1<0$ $.2 p$ +b) $f(x)=\left(5^{x}-1\right)\left(4^{x}-1\right)-1$ + +Dacă $x\left(5^{y}-1\right)\left(4^{y}-1\right) \geq 0$ deci $f(x)>$ $f(y)$ + +Dacă $0 \leq x-k-2$. + +Astfel avem că $f(k+1)=-k-1$ + +Așadar $f(-n)=-n, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a X-a + +## Subiecte: + +1. Fie $a, b, c \in(0,1)$. Să se demonstreze inegalitățile: +a) $\log _{a} \frac{2 a b}{a+b} \cdot \log _{b} \frac{2 a b}{a+b} \geq 1$ +b) $\log _{a} \frac{3 a b c}{a b+b c+c a}+\log _{b} \frac{3 a b c}{a b+b c+c a}+\log _{c} \frac{3 a b c}{a b+b c+c a} \geq 3$ +2. Se consideră numerele complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ cu proprietățile $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1$ si $z_{1}+z_{2}+z_{3}=1$. + +a) Să se calculeze $\left(z_{1}-1\right)\left(z_{2}-1\right)\left(z_{3}-1\right)$ + +b) Să se calculeze $z_{1}{ }^{2013}+z_{2}{ }^{2013}+z_{3}{ }^{2013}$ + +3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=20^{x}-5^{x}-4^{x}$ + +a) Să se arate că $f(x) \geq-1, \forall x \in \mathbb{R}$ + +b) Să se arate că $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ și strict crescătoare pe $[0, \infty)$ + +c) Să se rezolve ecuația $f(x)=359$ + +4. Să se determine funcțiile injective $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{Z}$ cu proprietatea că + +$$ +f(n)=\left[\frac{f(1)}{2}\right]+\left[\frac{f(2)}{3}\right]+\left[\frac{f(3)}{4}\right]+\ldots+\left[\frac{f(n)}{n+1}\right], \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Burtea Marius, Alexandria, Teleorman + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1172-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1172-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..242a47aed70bef9eb32c3945c4ef75dbf49a2889 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1172-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,60 @@ +1. $a b+b c+c a=a^{2} b^{2} c^{2}$ deci $a^{2} b^{2}=\frac{a b+b c+c a}{c^{2}}$ și $1+a^{2} b^{2}=\frac{a b+b c+c a+c^{2}}{c^{2}}=\frac{(a+c)(b+c)}{c^{2}}$ Analog + +$1+b^{2} c^{2}==\frac{(a+b)(a+c)}{a^{2}}, \quad 1+c^{2} a^{2}==\frac{(a+b)(b+c)}{b^{2}}$ $\qquad$ +Deci numărul se va scrie $\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+c)^{2}(b+c)^{2}}{a^{2} b^{2} c^{2}}}=\left|\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{a b c}\right| \in \mathbb{Q} \ldots \ldots \ldots \ldots .4 \mathrm{p}$ + +2. Întrucât $1952=4 \cdot 488$, folosind primele două relații ale sistemului, obținem: + +$$ +\begin{aligned} +& \quad 25 x^{2}+20 y^{2}+13 z^{2} \leq 4 \cdot(3 x y+6 y z+4 z x) \Leftrightarrow 25 x^{2}+20 y^{2}+13 z^{2}-12 x y-24 y z-16 z x \leq 0 \Leftrightarrow \\ +& \quad \Leftrightarrow\left(9 x^{2}-12 x y+4 y^{2}\right)+\left(16 y^{2}-24 y z+9 z^{2}\right)+\left(4 z^{2}-16 z x+16 x^{2}\right) \leq 0 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow(3 x-2 y)^{2}+(4 y-3 z)^{2}+(2 z-4 x)^{2} \leq 0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +De aici rezultă că $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k \Rightarrow x=2 k, y=3 k, z=4 k$. A treia relație a sistemului devine: $2 k+3 k+4 k=18$, deci $k=\frac{18}{2}=9$ şi $x=2 \cdot 9=18, y=3 \cdot 9=27, z=4 \cdot 9=36$. + +3. Notăm $S A=a, S B=b, S C=c, S D=d$, deci $a, b, c, d$ naturale nenule + +## Barem clasa a VIII-a + +a) + +Avem urmatoarele inegalități: + +- $\quad \operatorname{in} \square S A B:|a-b|<1$ si, Cum $a$, b naturale nenule, rezulta ca $a-b=0$, deci $a=b$; +- $\quad$ in $\square S B C:|b-c|<1$ si, cum $b, c$ naturale nenule rezultă $b=c$ +- $\quad$ in $\square S C D:|c-d|<1$ si, cum $c, d$ naturale nenule rezultă $c=d$ + +in $\square S D A:|d-a|<1$ deci $\quad a=d$ + +Rezultă $a=b=c=d$, deci triunghiurile $S A B, S B C, S C D, S D A$ sunt isoscele congruente, cu bazele de lungime 1 . + +b) Fie $S O \perp(A B C), O \in(A B C)$. Întrucât $S A=S B=S C=S D$, rezultă congruența triunghiurilor $S O A, S O B, S O C, S O D$ (sunt dreptunghice si au cateta $[S O]$ comună), deci $O A=O B=O C=O D$. Rezultă că rombul $A B C D$ este inscriptibil, deci este pătrat $.2 \mathrm{p}$ c)Avem $S A=S B=S C=S D=a$ si, cum $S C \perp S A$, conform teoremei lui Pitagora, avem $S A^{2}+S C^{2}=A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$, deci $2 a^{2}=2$, adică $a=1$. Așadar fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri echilaterale de latură 1 + +Considerând $M$ mijlocul lui $[B C]$ va rezulta $\sin \widehat{O M S}=\frac{S O}{S M}$, unde $S O=\frac{\sqrt{2}}{2}$ din triunghiul SOB și $S M=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Rezultă $\sin \overparen{O M S}=\sqrt{\frac{2}{3}}$. + +4. Dacă $\mathrm{Q}$ este piciorul înălțimii din $C$, din teorema celor trei perpendiculare va rezulta $M Q \perp A B$ $.2 \mathrm{p}$ + +Deci $M A^{2}-M B^{2}=M Q^{2}+A Q^{2}-M Q^{2}-B Q^{2}=A Q^{2}-B Q^{2}=\left(A C^{2}-C Q^{2}\right)-$ $\left(B C^{2}-C Q^{2}\right)=A C^{2}-B C^{2}$, deci $M A^{2}-M B^{2}=A C^{2}-B C^{2}$ de unde rezultă relaţia din enunț.. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a VIII-a + +## Subiecte: + +1. Fie $a, b, c$ numere raționale nenule astfel încât $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a b c$. Să se arate că numărul $\sqrt{\left(1+a^{2} b^{2}\right)\left(1+b^{2} c^{2}\right)\left(1+c^{2} a^{2}\right)}$ este rațional. +2. Determinați $x, y, z \in \mathbb{R}$ care verifică relațiile: $\left\{\begin{array}{l}25 x^{2}+20 y^{2}+13 z^{2} \leq 1952 \\ 3 x y+6 y z+4 z x=488 \\ x+y+z=18\end{array}\right.$ Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman +3. Fie piramida $S A B C D$, a carei bază $A B C D$ este un romb cu latura de lungime 1 , iar muchiile laterale ale piramidei au lungimile exprimate prin numere naturale nenule. + +a) Arătați că triunghiurile $S A B, S B C, S C D, S D A$ sunt congruente + +b) Arătați că $A B C D$ este pătrat; + +c) Dacă $S C \perp S A$, atunci determinați sinusul unghiului plan al unghiului diedru determinat de planele $(S B C)$ și $(A B C)$. + +Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman + +4. Pe înălțimea din $C$ a triunghiului $A B C$ se consideră un punct $D$. Dacă $M$ este un punct în spațiu astfel încât $M D \perp(A B C)$, să se arate că $M A^{2}+B C^{2}=M B^{2}+A C^{2}$. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1173-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1173-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..70e509dcc69a5924ceed65305e151da908c4df71 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1173-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,54 @@ +# Barem clasa a VII-a + +1. a) $A=1-\frac{3}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{3}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{3}{6^{2}}+\ldots \ldots \ldots . .+\frac{1}{2011^{2}}-\frac{3}{2012^{2}}=$ + +$=\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\ldots . .+\frac{1}{2012^{2}}\right)-4 \cdot\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\ldots .+\frac{1}{2012^{2}}\right)=$ + +$=\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\ldots . .+\frac{1}{2012^{2}}\right)-\left(\frac{2^{2}}{2^{2}}+\frac{2^{2}}{4^{2}}+\frac{2^{2}}{6^{2}}+\ldots .+\frac{2^{2}}{2012^{2}}\right)=$ + +$=\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\ldots . .+\frac{1}{2012^{2}}\right)-\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots .+\frac{1}{1006^{2}}\right)=$ + +$=\frac{1}{1007^{2}}+\frac{1}{1008^{2}}+\frac{1}{1009^{2}}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{2012^{2}}$. + +$.4 \mathrm{p}$ + +b) Avem $1006 \cdot \frac{1}{2012^{2}} Etapa locală, 16.02.2013
Clasa a VII-a + +## Subiecte: + +1. Se consideră numărul rațional $A=1-\frac{3}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{3}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{3}{6^{2}}+\ldots \ldots \ldots \ldots . .+\frac{1}{2011^{2}}-\frac{3}{2012^{2}}$. + +a) Să se arate că $\mathrm{A}=\frac{1}{1007^{2}}+\frac{1}{1008^{2}}+\frac{1}{1009^{2}}+\ldots \ldots \ldots .+\frac{1}{2012^{2}}$ + +b) Sa se determine primele trei zecimale ale numărului $A$. + +Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman + +2. Să se arate că dacă $n$ este un număr natural de două cifre, numărul $\sqrt{n+\sqrt{n-1}} \mathrm{nu}$ este natural. +3. Fie $A B C D$ un dreptunghi și punctele $E s ̧ i ~ F$ de o parte si de alta a dreptei AC astfel încât patrulaterele $A D E C$ și $A F B C$ să fie trapeze isoscele. Să se arate că patrulaterul $B E D F$ este dreptunghi. +4. Fie $A B C D$ un paralelogram, $E$ un punct în interiorul său astfel încât $E \notin(A C)$ si $E \notin$ $(B D)$. Dacă $E B \cap A D=\{M\}, E B \cap C D=\{N\}, E D \cap A B=\{P\}, E D \cap B C=\{Q\}$, să se arate că $M P \| N Q$ diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1174-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1174-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ef204a5fd15c79caa9ea87594c2ec0a767be46fe --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1174-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,90 @@ +1 a) $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}$ + +$S=\frac{30}{60}+\frac{10}{60}+\frac{5}{60}+\frac{3}{60}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$ + +. $.2 p$ + +b) + +$\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\ldots+\frac{1}{2+4+6+\ldots+2 n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2(1+2)}+\frac{1}{2(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{2(1+2+3+\ldots+n)}=$ $=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=$ + +$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$ + +$n=1 \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ + +$n=2 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}=\frac{2}{3}$ + +$n=3 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}=\frac{3}{4}$ + +$n=2012 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\ldots+\frac{1}{2+4+6+\ldots+4024}=\frac{2012}{2013}$ + +rezultă $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2011}{2012} \cdot \frac{2012}{2013}=\frac{1}{2013}$ + +2. a) $n=a \cdot 10^{5}+\mathrm{b} \cdot 10^{4}+c \cdot 10^{3}+d \cdot 10^{2}+a \cdot 10+b=10^{4}(10 a+b)+10^{2}(10 c+$ d) $+10 a+b=10^{4}(10 a+b)+2 \cdot 10^{2}(10 a+b)+10 a+b=(10 a+b)\left(10^{4}+2\right.$. $\left.10^{2}+1\right)=\overline{a b} \cdot 10201=\overline{a b} \cdot 101^{2}$ $4 \mathrm{p}$ + +Deci $n$ este divizibil cu 101 . + +b) $\overline{a b} \cdot 101^{2}$ pătrat perfect $\Leftrightarrow \overline{a b}$ pătrat perfect (deoarece 101 este număr prim) $2 p$ + +deci $\overline{a b} \in\{16,25,36,49,64,81\}$. Dar din $\overline{c d}=2 \overline{a b}$ deducem $10 \leq \overline{a b}<50$ deci $\overline{a b} \in\{16,25,36,49\}$ deci există patru numere pătrate perfecte cu proprietăţ̦ile din enunț. + +3.a) $\overline{a a a}=111 a=37 \cdot 3 a$ $2 \mathrm{p}$ + +b) Avem $1+2+3+\ldots . .+n=\frac{n \cdot(n+1)}{2}$ si $\overline{a a a}=111 \cdot a=3 \cdot 37 \cdot a$, deci egalitatea din enunț se scrie + +## Barem clasa a VI-a + +$\frac{n \cdot(n+1)}{2}=3 \cdot 37 \cdot a \Leftrightarrow n \cdot(n+1)=6 \cdot a \cdot 37$. Întrucât numarul 37 este prim, el divide pe $n$ sau pe $n+1$ deci $n \geq 36$.Pentru $n=36$ rezultă $a=6$, iar $n=37$ nu verifică. + +$.3 p$ + +Deoarece 37 divide pe $n$ sau pe $n+1$ următorul caz ar fi $n=73$ sau 74 , dar $6 a \cdot 37 \leq 6 \cdot 9 \cdot 37=1998$ și $73 \cdot 74=5402$, deci nu mai avem alte soluții. + +Deci $n=36, a=6$ + +4. a) Va rezulta $\mathrm{m}(\overline{A O C})=120^{\circ}$ $3 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8b4316687f77b1df35dg-2.jpg?height=237&width=491&top_left_y=1047&top_left_x=634) + +b) Deoarece $\mathrm{m}(\widehat{B O C})+\frac{\mathrm{m}(\overline{A O B})}{2}=85^{\circ} \quad$ și $\mathrm{m}(\widehat{B O C})+\mathrm{m}(\widehat{A O B})=120^{\circ}$ rezultă că $\frac{\mathrm{m}(\overline{A O B})}{2}=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8b4316687f77b1df35dg-2.jpg?height=72&width=1536&top_left_y=1409&top_left_x=243) + +Barem clasa a VI-a + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013
Clasa a VI-a + +## Subiecte: + +1. + +a) Calculați suma $\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}$ și scrieți rezultatul sub formă de fracție ireductibilă. + +b) Arătați că + +$$ +\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}\right) \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\ldots+\frac{1}{2+4+6+\ldots+4024}\right)=\frac{1}{2013} +$$ + +Septimiu Voiculet, Videle, Teleorman + +2. Fie $n=\overline{a b c d a b}$ cu proprietatea $\overline{c d}=2 \overline{a b}$. + +a) Să se arate că numerele $n$ care îndeplinesc condițiile din enunț sunt divizibile cu 101 . + +b) Câte numere care îndeplinesc condițile din enunț sunt pătrate perfecte? + +Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman + +3. a) Arătați că numerele de forma $\overline{a a a}$ sunt divizibile cu 37 . + +b) Să se determine numărul natural $n$ si cifra nenulă $a$ care verifică relația $1+2+3+\ldots+n=\overline{a a a}$. + +Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman + +4. Unghiurile $\widehat{A O B}$ şi $\widehat{B O C}$ sunt adiacente. Bisectoarea unghiului $\widehat{A O B}$ formează cu semidreapta $\left[O C\right.$ un unghi de măsură $85^{\circ}$, iar bisectoarele unghiurilor $\widetilde{A O B}$ și $\widetilde{B O C}$ formează un unghi de $60^{\circ}$. + +a) Determinați măsura unghiului $\widehat{A O C}$ + +b) Determinați măsurile unghiurilor $\overline{A O B}$ și $\widehat{B O C}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1175-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1175-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..40b89d7d76a2d986b2c6954ad162e3bb8d3935d6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1175-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,64 @@ +# Barem clasa a V-a + +1. a) A conţine numerele $45^{2}, 46^{2}, \ldots ., 54^{2}$, deci 10 pătrate perfecte................ $3 \mathrm{p}$ + +b) Elementele lui A se pot scrie: + +$11 \cdot 181+9,11 \cdot 181+10, \underbrace{11 \cdot 182}_{2002}, \ldots, 11 \cdot 183, \ldots, \underbrace{11 \cdot 272}_{2992}, 11 \cdot 272+1, \ldots$, + +$11 \cdot 272+8$ deci suma resturilor va fi $9+10+(272-182)(1+2+\ldots+10)+1+2$ $\qquad$ +$.4 \mathrm{p}$ +2. $n=2^{10} \cdot 5^{10}(2+5)-2013=10^{10} \cdot 7-2013$ + +$n=7 \underbrace{00 \ldots \ldots .0}_{10}-2013=6 \underbrace{999 \ldots .97987}_{6}$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +deci suma cifrelor este $7 \cdot 9+2 \cdot 7+8+6=91$ + +$2 \mathrm{p}$ + +3. a) $x=\left(1+3^{1}+3^{2}+3^{3}\right)+\left(3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}\right)+\ldots \ldots+\left(3^{16}+3^{17}+3^{18}+3^{19}\right)$. Sumele din paranteze au ultima cifră 0 , deci $x$ are ultima cifră 0 $1 \mathrm{p}$ + +Ultima cifră a lui y este ultima cifră a numărului $6 \cdot 11+1$, deci $7 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . .$. + +Ultima cifră a lui $x+y$ este 7 ............................................................................................. +b) $2 x=3 x-x=3+3^{2}+3^{3}+\ldots \ldots . .+3^{20}-1-3-3^{2}-\ldots-3^{19}=3^{20}-1$, analog $5 y=6 y-y=6^{12}-1$.................................................................................. + +$2 x=\left(3^{5}\right)^{4}-1$, + +$5 y=\left(6^{3}\right)^{4}-1$ şi deoarece $3^{5}=243>216=6^{3}$ rezultă $2 x>5 y$ + +$2 \mathrm{p}$ + +4. Presupunem că ar exista $\overline{a b c d}$ un număr de patru cifre distincte, in baza 10 , cu proprietatea $\overline{a b c d}=\overline{a b}+\overline{b a}+\overline{a c}+\overline{c a}+\overline{a d}+\overline{d a}+\overline{a a}+\overline{b c}+\overline{c b}+\overline{b d}+\overline{d b}+\overline{b b}+$ $\overline{c d}+\overline{d c}+\overline{c c}+\overline{d d} \Rightarrow \Rightarrow \overline{a b c d}=44 \cdot(a+b+c+d)$. Valoarea maximă a sumei a patru cifre distincte este $6+7+8+9=30$ si, cum $44 \cdot 30=1320$, deducem că $\overline{a b c d} \leq 1320 \Rightarrow a=1, b \leq 3$. Așadar valoarea maximă a sumei $a+b+c+d, c u$ respectarea inegalității, ar fi $1+2+8+9=20$, si cum $44 \cdot 20=880 \neq \overline{a b c d}$, rezultă presupunere falsă + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013
Clasa a V-a + +## Subiecte: + +1. Se dă mulțimea $A=\{2000,2001,2002$, $3000\}$ + +a) Câte pătrate perfecte conține mulțimea $\mathrm{A}$ ? + +b) Dacă toate elementele lui A se împart la 11 , să se calculeze suma resturilor obținute. + +2. Fie $n=2^{11} \cdot 5^{10}+2^{10} \cdot 5^{11}-2013$. Să se calculeze suma cifrelor numărului $n$, scris în baza 10 . +3. Se dau numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& x=1+3^{1}+3^{2}+\ldots \ldots .+3^{19} \\ +& y=1+6^{1}+6^{2}+\ldots \ldots \ldots+6^{11} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ $\qquad$ +a) Să se determine ultima cifră a numărului $x+y$ + +b) Să se compare numerele $2 x$ și $5 y$ + +4. Să se arate că nu există un număr de patru cifre distincte, în baza 10 , care să se poată scrie ca suma tuturor numerelor de două cifre, în baza 10 , care se pot forma cu cifrele sale. + +Mihai Bodan, Cosmești, Teleorman + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1176-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1176-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dd9e4272b912b90c0a23ff26f3c4a85e9aea014b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1176-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,115 @@ +1. a) $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+a c+b c, \forall a, b, c \in R, "=" \Leftrightarrow a=b=c$. + +$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c$ și împreună cu relația de mai sus obținem + +$(a+b+c)^{2} \geq 3(a b+a c+b c), \forall a, b, c \in R, "=" \Leftrightarrow a=b=c$ + +$.1 p$ + +$(a+b+c)^{2} \geq 3 \cdot 671 \Leftrightarrow \sqrt{(a+b+c)^{2}} \geq \sqrt{2013} \Leftrightarrow|a+b+c| \geq \sqrt{2013} \Leftrightarrow a+b+c \geq \sqrt{2013}$ $.1 \mathrm{p}$ + +$"=" \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a, b, c \geq 0 \\ a=b=c \\ a^{2}+a^{2}+a^{2}=671\end{array} \Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2013}}{3}\right.$ + +$1 p$ + +b) + +$\sqrt{671-a b}=\sqrt{a c+b c}=\sqrt{c(a+b)} \leq \frac{a+b+c}{2}$ + +$\sqrt{671-a c}=\sqrt{a b+b c}=\sqrt{b(a+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$ + +$\sqrt{671-b c}=\sqrt{a b+a c}=\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$ + +Adunând membru cu membru relaţiile de mai sus obținem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c942499bba2bfdd9a8eag-1.jpg?height=122&width=1499&top_left_y=1224&top_left_x=244) + +$"=" \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a, b, c \geq 0 \\ a=b+c \\ b=a+c \\ c=a+b \\ a b+a c+b c=671\end{array}\right.$ + +Sistemul nu are soluție rezultă că " $=$ " nu are loc și deci avem + +$\sqrt{671-a b}+\sqrt{671-a c}+\sqrt{671-b c}<\frac{3}{2}(a+b+c) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$ + +2. + +Din relația $a_{2013}=3102$ se obține că $a_{1}+2012 r=3102$. Se observă că rația nu poate fi decât $r=1$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +Rezultă că $a_{1}=3102-2012=1090$ și se obține că termenul general al progresiei este $a_{n}=n+1089$ $.1 \mathrm{p}$ + +Fie $m$ cu proprietatea că $a_{m}=\bar{m}$, se obține egalitatea $1089+m=\bar{m}$ + +Se observă că $m$ nu poate avea mai putin de 4 cifre, și nici mai mult de 5 . + +Luăm $m=\overline{a b c d}, a \leq d$, și avem egalitatea $\overline{d c b a}-\overline{a b c d}=1089$, de unde rezultă că $999(d-a)+90(c-b)=1089$ sau $111(d-a)+10(c-b)=121 \ldots$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +Ultima cifră a membrului stâng trebuie să fie 1 , deci trebuie ca $d-a=1, c-b=1$ și se obțin numerele de forma $\overline{a b(b+1)(a+1)}$ cu $a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ și $b \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ Pentru $m=\overline{a b c d e}$ se obține egalitatea $\overline{e d c b a}-\overline{a b c d e}=1089 \overline{d c b a}-\overline{a b c d}=1089$, de unde rezultă că $9999(e-a)+990(d-b)=1089$ sau $101(e-a)+10(d-b)=11$. Rezultă că +$e-a=1$ și $b-d=9$, iar $c \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Obținem că $d=0, b=9$. Numerele căutate sunt de forma $\overline{a 9 c 0(a+1)}$ cu $a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, c \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. $2 \mathrm{p}$ + +3. a). Din relația dată se obține că $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{A N}+\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A N}+\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M N}$ și după reduceri $\overrightarrow{M N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c942499bba2bfdd9a8eag-2.jpg?height=842&width=760&top_left_y=710&top_left_x=294) + +b). Evident $[A N]$ este mediană în triunghiul $A C N_{1}$. Din asemănarea triunghiurilor $P M N$ și $P C A$ și din relația de la a) se obține că $A P=2 P N$ și astfel că $P$ este centrul de greutate al triunghiului $A C N_{1}$. + +c). Avem că + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{N M}=2 \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{C N}= \\ +& =\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N N_{1}}=\overrightarrow{M N_{1}} +\end{aligned} +$$ + +deci punctele $A, M, N_{1}$ sunt coliniare. + +4. + +Va rezulta: + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{M A}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{M B} \\ +& \overrightarrow{N B}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{N C} \\ +& \overrightarrow{P C}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{P A} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c942499bba2bfdd9a8eag-2.jpg?height=488&width=508&top_left_y=1615&top_left_x=1045) + +$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \overrightarrow{O A}+\frac{\frac{1}{B}}{1+\frac{1}{2}} \overrightarrow{O B}=\frac{2}{3} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}$ + +$\overrightarrow{O N}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \overrightarrow{O B}+\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}} \overrightarrow{O C}=\frac{2}{3} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O C} \quad$. . . .................................... $4 \mathrm{p}$ + +$\overrightarrow{O P}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \overrightarrow{O C}+\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}} \overrightarrow{O A}=\frac{2}{3} \overrightarrow{O C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O A}$ + +de unde prin adunare obținem relația cerută + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2013
Clasa a IX-a + +## Subiecte: + +1. Fie numerele reale $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \geq 0$ care verifică relația $\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}=671$ + +a) Să se arate că $a+b+c \geq \sqrt{2013}$. În ce caz are loc egalitatea? + +b) Arătați că $\sqrt{671-a b}+\sqrt{671-a c}+\sqrt{671-b c}<\frac{3}{2}(a+b+c)$. + +Septimiu Voiculeț, Videle, Teleorman + +2. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică, $a_{1} \in N^{*}$ rația $r \in N^{*}$, cu proprietatea că $a_{2013}=3102$. Determinați numerele naturale $m$ cu proprietatea că $a_{m}=\bar{m}$, unde $\bar{m}$ este răsturnatul lui $m$. + +Burtea Marius, Alexandria, Teleorman + +3. Fie $A B C D$ un patrulater convex, $O$ punctul de intersecție a diagonalelor și punctele $M \in B C, N \in A D$ astfel încât $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{O N}$. + +a). Demonstrați că $\overrightarrow{M N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$ + +b). Fie $\{P\}=A D \cap B C$ și $N_{1}$ simetricul lui $C$ față de $N$. Demonstrați că $P$ este centrul de greutate al triunghiului $A C N_{1}$. + +c) Demonstrați că vectorii $\overrightarrow{A M}$ și $\overrightarrow{A N_{1}}$ sunt coliniari. Burtea Marius, Alexandria, Teleorman + +4. Fie $A B C$ un triunghi și punctele $M, N, P$ astfel încât $\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ și $2 \overrightarrow{C P}+\overrightarrow{A P}=\mathbf{U}^{*}$. Să se arate că pentru orice punct $O$ din plan are loc relația: $\overrightarrow{O A}+$ $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}$. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1177-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Alba (cls.V-VIII)-subiecte_bareme_olimpiada_locala_de_matematica_alba_cls.58.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1177-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Alba (cls.V-VIII)-subiecte_bareme_olimpiada_locala_de_matematica_alba_cls.58.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7fd69cf64f2b7da393399f395da81763d4ecad3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1177-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Alba (cls.V-VIII)-subiecte_bareme_olimpiada_locala_de_matematica_alba_cls.58.md" @@ -0,0 +1,492 @@ +oLimpiadA + +$$ +\begin{aligned} +& \text { DE MATEMATTCA - FAZA ZONALA } \\ +& \text { 16.02.2013 } +\end{aligned} +$$ + +Clasa a E-a + +I Fie $x=\left\{\left[\left(1^{40}\right)^{50}+\left(2 \cdot 3^{2}\right)^{2}:(2 \cdot 3)^{2}-2^{3}\right]^{67}\right\}^{30}$ + +$$ +\begin{aligned} +& y=\left(166^{10}\right)^{100}:\left(4^{20}\right)^{50} \cdot 2 \\ +& z=1326 \cdot 430-430 \cdot 1300-26 \cdot 429+486 +\end{aligned} +$$ + +a) Calculati anmerele $x, y, z$. + +b) Calculáti $(x: y-z)^{2013}$ + +c) Aflati ultima cifrà a numámului $y$. + +d) Justificati dacà $x$ este pàtrat perfect sau cub perfect. + +II 1) Determinati numāmul natural abc scis in baralo stimd că: $' \overline{62 a b c}+\overline{6 a b c 2}+\overline{2 a b c 6}+\overline{a b c 62}=235119$. + +2) Aràtati cà numàmul $x=1+3+5+\cdots+2013$ este pātrat 'perfect. + +III La impàntiva a douà numere naturale cátul este de 6'ori mai mic decát diferenta dinte deimparstit si rest, iar impanstilorul est de 3 ou mai maré decát cátul. Stind cà restul este mai mare decàt 4, aflacti deimpartitul, Empartitoul, cátul si sestùl. + +IV Fie multimea A $\subset \mathbb{N}$ astfel incāt: +a) $2 \in A^{\prime}$ si $5 \in A$; + +b) Dacà $x \in \dot{A} A$ atumci $(3 x+2) \in A$; + +c) Dacà $(7 x-4) \in A$ atumci $x \in A$. + +Arätati cä $\{3 ; 8 ; 12 ; 17\} \subset A$. + +Notă: Timp de lucue aore. + +- Toate subiectele sunt obligatrui. +- Fiecare subiect se moteaza en maxim 7puncte. SUCCES! + +OLIMPIADA DE MATEMATICA - FAZA ZONALA + +16.02. 2013 - cls. a I-a + +Barem de corectare ni nötare + +Ia) + +$$ +\begin{aligned} +& x=\left[(1+1 \cdot 9-8)^{67}\right]^{30}=2^{2010} \quad(1,5 p) \\ +& y=\left(2^{4}\right)^{1000}:\left(2^{2}\right)^{1000} \cdot 2=2^{2001}(1,5 p) \\ +& z=430(1326-1300)-26.429+486=26(430-429)+486 \\ +& =512(1 p) +\end{aligned} +$$ + +b) $(x: y-z)^{2013}=\left(2^{2010}: 2^{2001}-512\right)^{2013}=0$ (1p) +c) $U(y)=U\left(2^{2001}\right)=2^{2}$ (1p) +d) $x=\left(2^{1005}\right)^{2}$ pätrat perfect $1, x=\left(2^{670}\right)^{3}$ cub perfect (1p) + +II + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 1) } \overline{62 a b c}=62000+\overline{a b c} \cdots(1 p) \\ +& 62000+a b c+60002+10 \cdot \overline{a b c}+20006+10 \cdot a b c+100 \cdot a b c+62=235119 \text { (1p) } \\ +& 121 \cdot a b c+142070=235119 \\ +& 121 \cdot a b c=93049(1 p) +\end{aligned} \Rightarrow \overline{a b c}=769(1 p) +$$ + +2) $\mathrm{mr}$. de termeni $=(2013-1): 2+1=1007$ (1p) + +$$ +x=\frac{(1+2013) \cdot 1007}{2}=\frac{2014 \cdot 1007}{2}=1007^{2}=p p(2 p) +$$ + +$$ +\text { III } \begin{aligned} +& \Delta: \hat{\imath}=C, \text { ust } R \Rightarrow \Delta=\hat{1} \cdot C+R \text { si } R<\hat{1}(1 p)\} \Rightarrow \hat{1}=6 /(1 p) \\ +& C=(\Delta-R): 6 \Rightarrow \Delta-R=6 \cdot C \Rightarrow \Delta=6 \cdot C+R \\ +& \hat{\jmath}=3 \cdot C_{(1 p)} \\ +& R>4 \\ +& \Rightarrow 6=3 \cdot C \Rightarrow C=2)(1 p) \\ +& R>4 \text { mi } R<6 \Rightarrow R=5(1 p) \Rightarrow \Delta=17 +\end{aligned} +$$ + +IV $2 \in A \stackrel{b}{\Rightarrow} 3 \cdot 2+2=8 \in A \quad(2 p)$ + +$5 \in A \stackrel{b}{\Rightarrow} 3 \cdot 5+2=\frac{17 \in A}{c}(2 p)$ + +$17 \in A \Rightarrow 7 \cdot 3-4 \in A \stackrel{\text { c }}{\Rightarrow} 3 \in A(2 p)$ + +$8 \in A \stackrel{b}{\Rightarrow} 3 \cdot 8+2=26 \in A \stackrel{b}{\Rightarrow} 3 \cdot 26+2 \in A \Rightarrow 80 \in A$ + +$$ +80 \in A \Rightarrow 7 \cdot 12-4 \in A \stackrel{c}{\Rightarrow} 12 \in A(1 p) +$$ + +OLIMPIADA DE MATEMATICĀ + +FAZA ZONALǍ - fébruarie 2013 + +CLASA A $\underline{V I}-A$. + +1. a) Determinatí numărul natural $x$ pentru care $a=\frac{12(x-3)}{x}$ este un număr natural, pätrat perfect. + +b) Numerele naturale distincte a sib verificä relatia $g \cdot[a ; b]=a \cdot b \cdot(a ; b)$, unde $[a ; b]$ este cel mali mic multiplu comun al numerelor $a$ si, $b$, iar $(a ; b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor a sib. + +i) Arătati că a sib nu sunt prime intre ele. + +ii) Arätat, că diferenta numerelor $a$ síb este cel putin 3. + +2. Se dau numerele: + +$$ +a=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{99}{100} \quad \text { si } b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{100} +$$ + +a) Calculati $a+b$. + +b) Dacǎ ' $c=100-b$ comparati a cu c. + +3. Punctul $M$ este mijloal segmentului (AB), $C \in(A M$ ), iar $D$ este mijlocul segmentului (BCl. + +a) Sà se arate că $D \in(M B)$. + +b) Stiind că $C M=3 \mathrm{~cm}, A B=30 \mathrm{~cm}$, să se calculeze lungimea lui (MD). + +4. Se consideră unghiurile adiacente $\widehat{A O B}$ si $\widehat{B O C}$. astjel incât bisectoarele lor [OM respectiv [ON să formeze un unghi de $7-5^{\circ}$. + +a) Sá se determine $m(\widehat{A O B})$ si $m(\widehat{B O C})$. Stiind $c \vec{a}$ + +$$ +3 . m(\widehat{B O C})=2 \cdot m(\widehat{A O B}) +$$ + +b) Dacă semidreapta [OT formeazä unghi drept cu semidreapta [OM astjel incât punctele $M$ si $T$ sunt de a ceeasi parte cu punctul $B$ fată de punctul $A$, să se arate că [OT este bisectoarea \& CON. + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatoril. + +Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + +BAREM DE CORECTARE + +CLASA A VI-A + +1. a) $x 136 \Rightarrow x \in\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\} \ldots \ldots, \ldots,{ }^{1} p$ $x \in\{1,2\}$ nu convine + +$$ +\begin{aligned} +& x=3 \quad \Rightarrow a=0 \\ +& x=4 \Rightarrow a=3 \\ +& x=6 \Rightarrow a=6 \\ +& x=9 \Rightarrow a=8 \\ +& x=12 \Rightarrow a=9 p \cdot p \\ +& x=18 \Rightarrow a=10 \\ +& x=36 \Rightarrow a=11 +\end{aligned} +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { i) } a \cdot b=[a ; b] \cdot(a ; b) \ldots-\ldots-1-\ldots-1 p \\ +& g=(a ; b)^{2} \Rightarrow(a ; b)=3 \neq 1 \ldots-1 p +\end{aligned} +$$ + +ii) + +$$ +\begin{aligned} +& (a ; b)=3 \Rightarrow \begin{array}{l} +a=3 a_{1}, \text { unde }\left(a_{1} ; b_{1}\right)=1 \\ +b=3 b_{1} +\end{array} \\ +& a-b=3 a_{1}-3 b_{1}=3\left(a_{1}-b_{1}\right), a_{1} \neq b_{1} \\ +& a-b \geqslant 3-\cdots-\cdots +\end{aligned} +$$ + +2. a) $a+b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{99}{100}+\frac{1}{100} \cdots \ldots$. + +$$ +a+b=\frac{1+1+\ldots+1}{99 \text { termeni }} \Rightarrow a+b=99 \ldots-\ldots-\ldots-\ldots-2 p +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& c=100-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{100}\right)-----1 p \\ +& c=1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{4}+\ldots+1-\frac{1}{100}+1-\ldots-\cdots-1 p \\ +& c=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{99}{100}+1-\ldots-\ldots 1 p +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-04.jpg?height=119&width=1682&top_left_y=1764&top_left_x=297) + +3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-04.jpg?height=222&width=1752&top_left_y=1865&top_left_x=245) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-04.jpg?height=257&width=1740&top_left_y=2086&top_left_x=274) + +$$ +\begin{aligned} +& \begin{array}{l} +A M=M B=15 \mathrm{~cm} \\ +A C=A M-C M=12 \mathrm{~cm} \ldots \ldots-1 . \ldots-1 +\end{array} \\ +& \begin{array}{l} +C B=A B-A C=18 \mathrm{~cm} \ldots \ldots-\ldots-\ldots-\ldots, \ldots \ldots \\ +C D=D B=9 \mathrm{~cm} \ldots \ldots-\ldots \ldots +\end{array} \\ +& M D=C D-C M=6 \mathrm{~cm} \ldots \ldots-\ldots-\ldots, \ldots, \ldots +\end{aligned} +$$ + +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-05.jpg?height=677&width=457&top_left_y=0&top_left_x=284) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-05.jpg?height=151&width=1819&top_left_y=659&top_left_x=216) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-05.jpg?height=206&width=1763&top_left_y=718&top_left_x=268) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-05.jpg?height=213&width=1781&top_left_y=804&top_left_x=267) + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& m(\widehat{\operatorname{TON}})=15^{\circ} \\ +& m(\widehat{B O N})=30^{\circ} \\ +& m(\widehat{B O T})=45^{\circ}- \\ +& m(\widehat{T O C})=15^{\circ}---- \\ +& \Varangle \text { TON } \equiv \star \text { TOC } \Rightarrow[O T \text { bis. } \leftarrow \text { CON } +\end{aligned} +$$ + +OLIMPIADA DE_ NATENATICA FAZA ZONALA - februarie 2013- + +I blaca $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}, \frac{y}{6}=\frac{z}{8}$, iar media arismetica a numerebr $x, y, z$ este or $a=\frac{1}{3} \cdot\left[5+\sqrt{2 \cdot\left(\frac{1}{0,3(7)}: \frac{1}{340}-\frac{1}{0,01}\right)}\right]$, so ve fle ur. $x, y$ siz. + +I1. Se dau numerele. + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{3}{5 \cdot 8}+\frac{4}{8 \cdot 12}+\frac{5}{12 \cdot 17}+\frac{6}{17 \cdot 23}+\frac{7}{23 \cdot 30} \\ +& b=3+8+13+\ldots+10018 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-06.jpg?height=232&width=1542&top_left_y=822&top_left_x=153) + +$$ +\begin{aligned} +& p=n \cdot\left[\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{3}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n}\right)\right] \\ +& \text { numär natural peutru orice } n \in \mathbb{N} * * +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-06.jpg?height=263&width=1805&top_left_y=1105&top_left_x=153) +ücât $C N I=2 D N$ si $N E(B C)$ astfel ücát $B N=2 N C$. Stiind $C_{\triangle} A C S I N=16 \mathrm{~cm}^{2}$, aflati aria paralelogramului ABCS. + +IV. ABCD este un paralelagram, NI si IV doua puncte pe latura $[B C]$, asffel ùcat $B H=\operatorname{sNN}=N C$, iar $P$ un punct pe latura[cDJ, astfel ü cat $C P=D S$. Da cō $A M \cap C D=\{E\}, A N \cap C D=\{F\}, A P \cap B C=\{G\}$, demonstiati eo. + +a) NPII MD ं BPIIGF + +b) GE su iste paralelo en MD puret 0 . + +c) dreptele AN, BP is DXS sunt concurente ítr-u + +Vimp de lucru:3ore. + +Toate subiectel suit abligatcri + +Fiecare subriect ve natego on moxim 7 purcte. + +BAREM DE CORECTARE cLASA a VII-a + +$$ +\begin{aligned} +& a=15 \quad 3 p \\ +& x=4 k \\ +& y=6 k \\ +& z=8 k \\ +& x=10 ; \quad y=15 ; z=20 +\end{aligned} +$$ + +II 1 + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{1}{2}-\frac{1}{30}=\frac{7}{15} \\ +& b_{1}=3 \\ +& b_{2}=b_{1}+5 \\ +& b_{3}=b_{2}+5=d_{1}+2 \cdot 5 \\ +& b_{4}=b_{3}+5=d_{1}+3 \cdot 5 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-07.jpg?height=203&width=1429&top_left_y=972&top_left_x=237) + +$$ +\begin{aligned} +& A=\sqrt{15 \cdot \frac{7}{15}+\frac{1002 \cdot 10021}{1002}}=\sqrt{10028} \in R \backslash Q +\end{aligned} +$$ + +finaligor - wtime sifos $\& \Rightarrow A \in R \backslash Q$ +2) $p=m \cdot\left(\frac{x+1}{2}-\frac{1}{x}\right)=\frac{x^{2}+x-2}{2}$ + +$$ +\begin{aligned} +& I n=2 k, K \in N, \\ +& P=\frac{4 K^{2}+2 K-2}{2}=2 k^{2}+K-1 \in N, K \in N \\ +& \begin{aligned} +\text { I } m & =2 K+1,2 N \in N \\ +P & =\frac{(2 K+1)^{2}+(2 K+1)-2}{2}=K^{2}+3 K \in N, K \in N +\end{aligned} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-07.jpg?height=484&width=669&top_left_y=1732&top_left_x=157) + +$\triangle$ Notöm $\triangle N=\frac{C N}{2}=a \quad, \quad N C=\frac{B N}{2}=6$ ducem $T P \perp A B$ + +$$ +\begin{aligned} +& A B \mu D C \Rightarrow T P \perp C D \\ +& E F l . m . \bar{L} \triangle T B N \Rightarrow T X=F N \\ +& E F I T N +\end{aligned} +$$ + +$$ +\triangle E F N \equiv \triangle \operatorname{NCP}(i, U) \Rightarrow F N=N P(* *) +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& A_{\triangle C M N}=\frac{C * 1 \cdot N P}{2}=\frac{2 a \cdot N P}{2}=a \cdot N P=16\left(\mathrm{mu}^{2}\right) \\ +& A_{A B C D}=\triangle C \cdot T P=3 a \cdot 3 N P=9 a \cdot N P=9 \cdot 16=144\left(\mathrm{~cm}^{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +IV + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-08.jpg?height=610&width=1101&top_left_y=277&top_left_x=409) + +a) Bonshurtio figuni (1P) + +Zu $\triangle$ MCDS, [NP] l.me. deci NPINMD (CD + +$$ +\left.\begin{array}{l} +C N \| D A \stackrel{T . T H}{\Longrightarrow} \frac{F C}{C \Delta}=\frac{F N}{N A} \\ +C F \| A B \stackrel{T . T H}{\longrightarrow} \frac{F N}{N A}=\frac{C N}{N B}=\frac{1}{2} +\end{array}\right\} \Rightarrow \frac{F C}{C D}=\frac{1}{2} \Rightarrow F C=C P(*) +$$ + +Ais $(*) \dot{i}(* *) \Longrightarrow$ BPGF pardelogram, deci BPII GF +b) + +$$ +\left.\begin{array}{l} +C H \| \triangle A \xrightarrow{T . T H} \frac{E C}{C D}=\frac{E M}{M A} \\ +A B \| C E \xrightarrow{T . T H} \frac{E M}{M A}=\frac{C M}{M B}=2 +\end{array}\right\} \Rightarrow \frac{E C}{C A}=2 +$$ + +Sresupunônd GE\| $\triangle M \Rightarrow 2=\frac{E C}{C D}=\frac{G C}{C M}=\frac{3}{2}$ contiodiche + +c) PF\|AB, $[P F]=[A B] \Rightarrow A B P F$ pandelogram + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-08.jpg?height=154&width=1730&top_left_y=1789&top_left_x=248) +si cum de lo puuctul a) atem DMII DN, refulto é purctele $\triangle, O$ s « coliniare, deci AN $\triangle B P \cap \triangle M=\{0\}$ (2p) + +Notā: Orice salutie corcots ve puncleryo corespumzötor. + +OLIMPIADA DE MATEMATTA - FAZA ZONACA + +16. 2. 2013 . + +CLASA a VIII a + +I1. Se daue $a=\frac{(-1)^{m}}{\sqrt{2}}+\frac{(-1)^{m+1}}{\sqrt{5}}$; $b=\frac{(-1)^{m+2}}{\sqrt{2}}-\frac{(-1)^{m+1}}{\sqrt{5}}$ unde $m, n \in \mathbb{Z}$. Anätat cá $10 \cdot a b \in \mathbb{Z}$. + +2. Anätati că: dacă + +$$ +3 a^{2}+3 b^{2}-2 a-14 b+\frac{46}{3}=0 \text {, } +$$ + +unde $a, b \in \mathbb{R}$, atumei $\frac{4}{3} \leq a^{3}+b \leq 4$. + +II Sà se arate cä dacà $x$ si $y$ sunt numese reale, a satisfae simultan condithile: $x \in[-2 ; 3]$ si $x-5 y+2=0$, atunci expresia + +$\sqrt{(x+2)^{2}+2 y^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+2(y-1)^{2}}$ este constanta + +III. Fie paraleliprpedul dreptunghi. ABCdA's'C's' in care $A B=15 \mathrm{~cm}, B C=10 \mathrm{~cm} \%$ màsusa unghiului format de dreapta Bs'eu planul (ABB') este de 30: He is $\in$ (CC') astfel incait $\mathrm{Cr}=5 \mathrm{~cm}$ s $\quad N \in\left[B B^{\prime}\right]$ astfel incait perimeliul $\triangle$ AMN sá fir minom + +a) Calculati perimetrul $\triangle$ ArTN + +b) Calculati distauta de la Ní planul IS'BC, + +IV. ABed este un paralelograme um $(\not A A)=60 ; A D=6 \mathrm{cme}$, $\Delta B \angle A D$ mi ste mijlocul latersii [AB]. The punctil $P$, $\triangle B$ ser $=\{\partial\}$, se ridicà perpendiculara PQ pe planul paralelogramului ABCD, astel incat $P Q=2 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. + +a) Aflati aria paralelogramerlu $A B C \lambda$ + +b) Calculati distantele de la punctal Q la punctul e, respećtio la dreapta BC. + +NoTA: Toate subiectele sunt obligatorii + +Vimp de lucree sore + +Fiecare problemă se puncteaza u massime 7 puncte. + +BAREM + +CLASA a Vill a + +I 1. $a=(-1)^{m} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{4}{\sqrt{5}}\right) \cdots \cdots \cdots p_{p}$ + +$$ +b=(-1)^{m+1} \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \ldots \ldots \ldots 1 p +$$ + +$$ +10 a b=(-1)^{m+m+2} \cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) \cdot 10=(-1)^{m+m+2} \cdot 3 \in \mathbb{Z} \ldots \mathbb{P} +$$ + +2. + +$$ +\begin{aligned} +& 9 a^{2}-6 a+9 b^{2}-42 b+46=0 \\ +& (3 a-1)^{2}+(3 b-7)^{2}=4 \\ +& (3 a-1)^{2} \leq 4 \text { m }(3 b-7)^{2} \leq 4 \\ +& -2 \leq 3 a-1 \leq 2 \text { m }-2 \leq 3 b-7 \leq 2 \\ +& -4 \leq 3 a+3 b-8 \leq 4 +\end{aligned} +$$ + +Fimalizare + +I1 $\sqrt{(x+2)^{2}+2 y^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+2\left(\frac{x+2}{5}\right)^{2}}=\frac{3 \sqrt{3}}{5}|x+2| \ldots 2 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& y=\frac{x+2}{5} \\ +& \sqrt{(x-3)^{2}+2(y-1)^{2}}=\frac{3 \sqrt{3}}{5}|x-3| \ldots 1 \ldots \\ +& \sqrt{(x+2)^{2}+2 y^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+2(y-1)^{2}}=\frac{3 \sqrt{3}}{5}(|x+2|+|x-3|) \cdots 1 p \\ +& \text { finalizare } \\ +& =3 \sqrt{3} \cdots 1 p +\end{aligned} +$$ + +III Fi.grenä + +$$ +A M=5 \sqrt{14}-\text { corestarst } \ldots \ldots 1 p +$$ + +PDAMN miminu $\Rightarrow A R+x i M$ mimimen caind $A, N, N$ whimiane yr desfañurarea supsafetei laterale....1p $A N+N M=5 \sqrt{26} \mathrm{~cm} ; P \equiv 5(\sqrt{14}+\sqrt{26})$ cus $P . . . . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-10.jpg?height=105&width=1821&top_left_y=2254&top_left_x=259) +$N B=3$ col $\ldots \ldots \ldots$ dp Finalizare $\ldots \ldots \ldots 1 p$ + +IV 万qunä - - - - - - . . . . . . . . . . . +a) $A A B C D=6.12 \cdot \sin 60^{\circ}=36 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \ldots \ldots 2 p$ +b) $P B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ $\overline{C P}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm} ; \bar{Q} \bar{C}=6 \sqrt{2} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47163d1d466840acf8c6g-10.jpg?height=135&width=1874&top_left_y=2771&top_left_x=216) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1178-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1178-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9565fdb50f2c9e93412708ff2632231c9e367638 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1178-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,27 @@ +# Olimpiada de matematică - clasa a XII-a etapa zonală - 9 februarie 2013 + +## SUBIECTE + +1. Calculați integrala nedefinită $\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x$ +2. Determinați funcția derivabilă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dacă + +$$ +x f^{\prime}(x)+2 f(x)+x F(x)=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, +$$ + +unde $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f$. + +3. a) Arătați că mulțimea de funcții $F=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}\}$ cu compunerea funcțiilor formează un monoid. + +b) Determinați elementele continue ale mulțimii $F$. + +4. a) Arătați că mulțimea $G=(2013,+\infty)$ cu operația $x \circ y=x y-2013 x-2013 y+2013 \cdot 2014$, $\forall x, y \in G$, este grup izomorf cu grupul $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right.$, ). + +b) Dacă $H$ este un subgrup al grupului $G$ şi $G \cap \mathbb{N} \subset H$, arătați că $G \cap \mathbb{Q} \subset H$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 10 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1179-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1179-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c50a65b18511a759e393002aa4eb3d0a05498d7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1179-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,26 @@ +Olimpiada de matematică - clasa a XI-a + +etapa zonală - 9 februarie 2013 + +# SUBIECTE + +1. Calculați limita $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[n^{2} \sqrt{2}+n \sqrt{3}\right]}{\left[n^{2} \sqrt{3}+n \sqrt{2}\right]}$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. +2. Fie $z, v \in \mathbb{C}, z \neq 0$ două numere complexe, şi matricea $X=\left(\begin{array}{ll}z & v \\ 0 & z\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{C})$. + +a) Determinați $X^{\prime \prime}$ pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Determinați $z, v \in \mathbb{C}$ pentru care $X^{n}=\left(\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right), n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$. + +3. Fie irul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a+x & a & \cdots & a \\ a & a+x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & a+x\end{array}\right|$. Calculaţi limita $\lim _{n \rightarrow 2}\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a_{n+1}}{x \cdot a_{n}}\right)^{n}$. +4. Fie irul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit de relația $2 a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}}{n}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ i $a_{1}=\frac{1}{2}$. + +a) Determinați termenul general al irului $\left(a_{n}\right)_{n>1}$ + +b) Calculați limita $\lim _{n \rightarrow \rightarrow} \frac{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}}{2^{n+1} \cdot a_{n+1}}$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 10 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-118-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-118-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b394d474a15b686defab0a9f5d6333680329ec8b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-118-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,152 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice + +din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9715a9e6a53cb1c893c8g-1.jpg?height=274&width=268&top_left_y=302&top_left_x=495) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE ȘI CERCETÄRII STTIINȚTIFICE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 + +CLASA a XII-a + +Problema 1. Un inel $(A,+, \cdot)$ are proprietatea (P) dacă $A$ este finit şi grupul multiplicativ al elementelor sale inversabile este izomorf cu un subgrup diferit de $\{0\}$ al grupului aditiv $(A,+)$. Arătaţi că: + +(a) Dacă un inel are proprietatea $(\mathrm{P})$, atunci numărul elementelor sale este par. + +(b) Pentru o infinitate de numere naturale $n$, există inele cu exact $n$ elemente, care au proprietatea $(\mathrm{P})$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie continuă şi periodică. Dacă 2 este perioadă a lui $f$, arătaţi că: + +(a) $\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x \geq 2$. + +(b) $\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x=2$ dacă şi numai dacă 1 este perioadă a lui $f$. + +Problema 3. Fie $p$ un număr prim impar şi fie $G$ un grup care are exact $p+1$ elemente. Arătaţi că, dacă $p$ divide numărul automorfismelor lui $G$, atunci $p \equiv 3(\bmod 4)$. + +Problema 4. Fie $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ o funcţie crescătoare şi fie + +$$ +a_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1+(f(x))^{n}}{1+(f(x))^{n+1}} \mathrm{~d} x, \quad n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Arătaţi că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este convergent şi calculaţi limita sa. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9715a9e6a53cb1c893c8g-2.jpg?height=274&width=268&top_left_y=302&top_left_x=495) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice MINISTERUL EDUCATIEI NATIIONALE ȘI CERCETÄRII ȘTIINȚIFICE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a XII-a - Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Un inel $(A,+, \cdot)$ are proprietatea (P) dacă $A$ este finit şi grupul multiplicativ al elementelor sale inversabile este izomorf cu un subgrup diferit de $\{0\}$ al grupului aditiv $(A,+)$. Arătaţi că: + +(a) Dacă un inel are proprietatea (P), atunci numărul elementelor sale este par. + +(b) Pentru o infinitate de numere naturale $n$, există inele cu exact $n$ elemente, care au proprietatea $(\mathrm{P})$. + +Soluţie. (a) Fie $A$ un inel care are proprietatea (P) şi fie $m=|U(A)|$. Rezultă că $(-1)^{m}=1$. + +Dacă $m$ este impar, atunci $-1=1$, deci ord(1) = 2 în grupul aditiv $(A,+)$ si prin urmare $|A|$ este par. + +2 puncte + +Dacă $m$ este par, cum $m$ este un divizor al lui $|A|$, rezultă că $|A|$ este par. 2 puncte + +(b) Fie $m$ un număr natural nenul, fie $n=2^{m+2}$ şi fie $A=\underbrace{\mathbb{Z}_{2} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{2}}_{m} \times \mathbb{Z}_{4}$. Atunci grupul multiplicativ $U(A)=\{(\hat{1}, \ldots, \hat{1}, \hat{1}),(\hat{1}, \ldots, \hat{1}, \hat{3})\}$ este izomorf cu subgrupul $\{(\hat{0}, \ldots, \hat{0}, \hat{0}),(\hat{0}, \ldots, \hat{0}, \hat{2})\}$ al grupului aditiv $(A,+)$. $\qquad$ +Problema 2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie continuă şi periodică. Dacă 2 este perioadă a lui $f$, arătaţi că: + +(a) $\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x \geq 2$. + +(b) $\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x=2$ dacă şi numai dacă 1 este perioadă a lui $f$. + +Soluţie. (a) Inegalitatea rezultă din relaţiile de mai jos: + +$$ +\begin{aligned} +\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x & =\int_{0}^{1} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x \\ +& =\int_{0}^{1} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} \frac{f(x-1+2)}{f(x-1+1)} \mathrm{d} x \\ +& =\int_{0}^{1} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \frac{f(x+2)}{f(x+1)} \mathrm{d} x \\ +& =\int_{0}^{1}\left(\frac{f(x+1)}{f(x)}+\frac{f(x)}{f(x+1)}\right) \mathrm{d} x \geq \int_{0}^{1} 2 \mathrm{~d} x=2 +\end{aligned} +$$ + +.4 puncte + +(b) Dacă 1 este perioadă a lui $f$, atunci $\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x=2$. + +## 1 punct + +Invers, dacă $\int_{0}^{2} \frac{f(x+1)}{f(x)} \mathrm{d} x=2$, atunci $\int_{0}^{1}\left(\sqrt{\frac{f(x+1)}{f(x)}}-\sqrt{\frac{f(x)}{f(x+1)}}\right)^{2} \mathrm{~d} x=0$, iar din continuitatea lui $f$ rezultă că $\sqrt{\frac{f(x+1)}{f(x)}}=\sqrt{\frac{f(x)}{f(x+1)}}, 0 \leq x \leq 1$, deci $f(x+1)=f(x)$, oricare ar fi $x$ în $[0,1]$. + +Dacă $x \in[1,2]$, atunci $f(x)=f((x-1)+1)=f(x-1)=f((x-1)+2)=$ $f(x+1)$, deci $f(x+1)=f(x)$, oricare ar fi $x$ în $[0,2]$. + +În fine, dacă $x$ este un număr real oarecare, atunci $2 n \leq x<2 n+2$, pentru un unic număr întreg $n$, şi $f(x)=f(x-2 n)=f((x-2 n)+1)=$ $f((x+1)-2 n)=f(x+1)$. Prin urmare, 1 este perioadă a funcţiei $f$. + +1 punct + +Problema 3. Fie $p$ un număr prim impar şi fie $G$ un grup care are exact $p+1$ elemente. Arătaţi că, dacă $p$ divide numărul automorfismelor lui $G$, atunci $p \equiv 3(\bmod 4)$. + +Soluţie. Întrucât $p$ este un divizor prim al $|\operatorname{Aut} G|$, există un $f$ în Aut $G$ de ordin $p$. Deoarece $f$ este o permutare a mulţimii $G \backslash\{e\}$, rezultă că $f$ este un ciclu de lungime $p$, deci $G \backslash\{e\}=\left\{x, f(x), \ldots, f^{p-1}(x)\right\}$, oricare ar fi $x$ în $G \backslash\{e\}$. + +3 puncte + +Pe de altă parte, $|G|=p+1$ este par, deci $G$ are un element $x_{0}$ de ordin 2. Prin urmare, ord $f^{k}\left(x_{0}\right)=2, k=0, \ldots, p-1$. Rezultă că $x^{2}=e$, oricare ar fi $x$ în $G$, deci $p+1=2^{n}$, unde $n \geq 2$ este un număr întreg. . . 3 puncte + +Deci $p=2^{n}-1 \equiv 3(\bmod 4)$, deoarece $n \geq 2$. + +1 punct + +Remarcă. Grupurile $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ si $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ îndeplinesc condiţia din enunţ. + +Problema 4. Fie $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ o funcţie crescătoare şi fie + +$$ +a_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1+(f(x))^{n}}{1+(f(x))^{n+1}} \mathrm{~d} x, \quad n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Arătaţi că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este convergent şi calculaţi limita sa. + +Soluţie. În mod evident, $a_{n} \geq 1$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. Pe de altă parte, + +$$ +\begin{aligned} +a_{n}-a_{n+1} & =\int_{0}^{1}\left(\frac{1+(f(x))^{n}}{1+(f(x))^{n+1}}-\frac{1+(f(x))^{n+1}}{1+(f(x))^{n+2}}\right) \mathrm{d} x \\ +& =\int_{0}^{1} \frac{(f(x))^{n}(1-f(x))^{2}}{\left(1+(f(x))^{n+1}\right)\left(1+(f(x))^{n+2}\right)} \mathrm{d} x \geq 0, \quad n \in \mathbb{N}^{*} +\end{aligned} +$$ + +deci şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este descrescător. Rezultă că $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este convergent. + +2 puncte + +Fie $\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. Fără să restrângem generalitatea, putem presupune că $f(0)=0$ şi $f(1)=1$. Fie $a=\inf \{x: 0 \leq x \leq 1, f(x)=1\}$. + +Dacă $a=0$, atunci $f(x)=1$, oricare ar fi $x$ în $(0,1]$, deci $a_{n}=1$, oricare ar fi indicele $n$, si $\ell=1$. ........................................................... + +Dacă $a>0$, fie $\epsilon \in(0, a)$. Atunci + +$$ +\begin{aligned} +0 \leq a_{n}-1 & =\int_{0}^{1}\left(\frac{1+(f(x))^{n}}{1+(f(x))^{n+1}}-1\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{(f(x))^{n}(1-f(x))}{1+(f(x))^{n+1}} \mathrm{~d} x \\ +& \leq \int_{0}^{1}(f(x))^{n}(1-f(x)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x))^{n}(1-f(x)) \mathrm{d} x \\ +& \leq \int_{0}^{a}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a-\epsilon}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x+\int_{a-\epsilon}^{a}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x \\ +& \leq(a-\epsilon)(f(a-\epsilon))^{n}+\epsilon, \quad n \in \mathbb{N}^{*} +\end{aligned} +$$ + +$\operatorname{Dar}(f(a-\epsilon))^{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$, deoarece $0 \leq f(a-\epsilon)<1$, deci, prin trecere la limtă în relaţia de mai sus, $0 \leq \ell-1 \leq \epsilon$, oricare ar fi $\epsilon$ in $(0, a)$. Prin urmare, $\ell=1$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1180-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1180-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9eb6efb906e29cb5d707a17017fb5601970b847f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1180-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,42 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=51&width=354&top_left_y=788&top_left_x=1316) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=48&width=639&top_left_y=838&top_left_x=1028) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=49&width=642&top_left_y=883&top_left_x=1135) + +$$ +0 \ni f \cdot x \text { ว๐1.10 } +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=69&width=1536&top_left_y=1233&top_left_x=174) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=156&width=1323&top_left_y=1355&top_left_x=326) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=88&width=1507&top_left_y=1526&top_left_x=206) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=48&width=1385&top_left_y=1666&top_left_x=278) + +$\tau$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=49&width=217&top_left_y=1775&top_left_x=1430) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=57&width=1492&top_left_y=1810&top_left_x=156) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=55&width=1504&top_left_y=1868&top_left_x=207) + +Я.LวGIGกS + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=46&width=562&top_left_y=2235&top_left_x=667) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=49&width=705&top_left_y=2282&top_left_x=595) + +ヨTVNOILVN + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=57&width=249&top_left_y=2615&top_left_x=181) + +TกYดLSINIW + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=200&width=143&top_left_y=2555&top_left_x=471) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0be71dcc2c705fc40546g-1.jpg?height=50&width=452&top_left_y=2624&top_left_x=1184) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1181-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1181-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36a8727acfa310771273b86cb2bc7496e05828f2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1181-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,29 @@ +Olimpiada de matematică - clasa a VIII-a etapa zonală - 9 februarie 2013 + +# SUBIECTE + +1. Să se demonstreze că $\frac{1}{\sqrt{20+6 \sqrt{11}}}+\frac{\sqrt{36-10 \sqrt{11}}}{2} \in \mathbb{N}$. +2. Să se arate, că pentru oricare $a, b \in \mathbb{N}$ are loc inegalitatea: + +$\frac{a^{2}}{4 \sqrt{2}}+\frac{b^{2}}{4 \sqrt{3}} \geq \frac{a b}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$. + +3. a) Să se determine mulțimile + +$A=\{x \in \mathbb{R} \mid-3 \leq x \leq 3\}$ si $B=\left\{x \in \mathbb{Z} \left\lvert\, \frac{4 x^{2}+17}{2 x+1} \in \mathbb{Z}\right.\right\}$ + +b) Să se determine $A \cap B$ + +4. În prisma patrulateră regulată $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ avem $A B=4 \mathrm{~cm}$ şi $A A^{\prime}=3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. Fie $M$ şi $N$ mijloacele muchiilor $A B$ şi $B C$. + +a) Să se calculeze aria triunghiului $D^{\prime} M N$. + +b) Să se calculeze măsura unghiului determinat de planele ( $D^{\prime} M N$ ) şi (ABC). + +c)Să se calculeze distanța punctului $D$ de planul $D^{\prime} M N$. + +5. În rombul $A B C D$ sunt date $A B=10 \mathrm{~cm}, m(\widehat{B A D})=60^{\circ}, A C \cap B D=\{O\}, M$ şi $N$ fiind mijloacele laturilor $A B$ §i $A D$. Deasupra planului rombului construim piramidele triunghiulare regulate $P A M N$ şi $R B C D$ cu vârfurile $P$ şi $R$ în aşa fel, ca $[P A] \equiv[A M]$ şi $[R B] \equiv[B C]$. + +a) Să se calculeze lungimea segmentului $P R$. + +b) Dacă $A P \cap C R=\{S\}$, să se demonstreze, că $S O \perp(A B C)$ ! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1182-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1182-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9dd67328256176a937b9a53808ae696ca3f0d6ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1182-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,32 @@ +Olimpiada de matematică - clasa a VII-a + +etapa zonală -9 februarie 2013 + +# SUBIECTE + +1. Fie $a, b, c$ numere naturale astfel incât $a \sqrt{2+\sqrt{3}}-b \sqrt{2-\sqrt{3}}-c \sqrt{2}=0$ Să se demonstreze că $\sqrt{b c} \in \mathbb{N}$ +2. Să se determine valoarea lui $n$, dacă + +$$ +\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{4}{5 \cdot 9}+\frac{8}{9 \cdot 17}+\ldots+\frac{2^{n}}{\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n+1}+1\right)}=\frac{2}{3} \cdot \frac{2^{2012}-1}{\left(2^{2013}+1\right)} +$$ + +3. Tei persoane au cumpărat portocale dintr-un coş. Primul a cumpărat jumătatea portocalelor şi o jumătate de portocală. A1 doilea jumătate din portocalele rămase şi o jumătate de portocală. Al treilea jumătate din ce a rămas şi o jumătate de portocală. În coş au mai rămas 4 portocale. Câte portocale au fost în coş dacă nu s-a tăiat nicio portocală. Câte portocale au cumpărat fiecare? +4. În triunghiul $A B C$ unghiul format de latura $B C$ şi înălțimea $C D$ este congruent cu unghiul format de latura $A B$ şi bisectoarea $A E$ a unghiului $A$ şi $C D \cap A E=\{H\}$ + +a) Ce fel de triunghi este $A B C$ ? + +b) Să se demonstreze că $B H \perp A C$ + +5. În triunghiul $A B C$ din punctul $A$ ducem perpendicularele pe bisectoarele exterioare ale unghiurilor $B$ şi $C$. Picioarele perpendicularelelor fie $M$ respectiv $N$ şi $B M \cap C N=\{I\}$. + +a) Să se demonstreze că $A I$ este bisectoarea unghiului $A$ + +b) Să se demonstreze că $M N=\frac{A_{A B C}}{2}$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 10 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1183-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1183-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa1ef1499155ea64fa91980748dd5834d4509859 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1183-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.md" @@ -0,0 +1,20 @@ +Olimpiada de matematică - clasa a VI-a + +etapa zonală - 9 februarie 2013 + +# SUBIECTE + +1. Să se arate că dacă $a+3 b+5 c+7 d$ este divizibil cu 17, atunci şi $53 a+57 b+61 c+65 d$ este divizibil cu 17 . +2. Ştiind că $\overline{a b c}$ este cel mai mic număr natural divizibil cu 35 şi 45 , iar $\overline{a b c}-\overline{b c d}$ este divizibil cu 9 , să se determine numărul $\overline{a b c d}$. +3. Raportul dintre numerele naturale $a$ şi $b$ este $\frac{7}{12}$. + +a) Să se arate că $\frac{8 a-3 b}{b-a}$ este pătrat perfect; + +b) Să se afle numerele $a$ şi $b$, ştiind că suma pătratelor lor este 772 . + +4. Fie perechile de unghiuri adiacente $\widehat{A O B}$ şi $\widehat{B O C}$, respectiv $\widehat{B O C}$ şi $\widehat{C O D}$ astfel încât $m(\widehat{A O D})=180^{\circ}$. + +a) Ştiind că unghiul format de bisectoarele unghiurilor $\widehat{A O B}$ şi $\widehat{C O D}$ are măsura de $120^{\circ}$, să se afle $m(\widehat{B O C})$ + +b) Ştiind că $\frac{m(\widehat{A O B})}{m(\widehat{B O C})}=\frac{2}{3}$ şi $\frac{m(\widehat{B O C})}{m(\widehat{C O D})}=\frac{3}{7}$, să se afle măsurile acestor unghiuri. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1184-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1184-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9e02f2481eb81a6d3978456f6807491fa8ae23b0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1184-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.md" @@ -0,0 +1,25 @@ +# Olimpiada de matematică - clasa a V-a + +etapa zonală -9 februarie 2013 + +## SUBIECTE + +1. a) Verificați egalitatea: $7^{2} \cdot\left(1^{2}+2^{2}+6^{2}\right)=2009$. + +b) Arătați că există $a, b, c, d \in \mathbb{N}$, distincte, astfel încât + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 d^{2}=2011 +$$ + +2. Fie numărul $a=9^{12}-7^{12}$. Să se determine restul împărțirii lui , , a" la 10 . +3. Se dau mulțimile $A=\{12,2 n+1\}$ şi $B=\left\{n^{2}+n, 2 n-1\right\}$. Să se determine valoarea lui $n \in \mathbb{N}$, dacă $A \cup B$ are 3 elemente +4. Dacă aş avea de 4 ori mai mulți bani decât am, atunci averea mea ar depăşi suma de 1000 de lei, exact cu suma care lipseşte acum să am 1000 de lei. Câți bani am? +5. Vârsta lui Robert este o şesime din a unchiului său. Peste 4 ani, vârsta lui va fỉ un sfert din cea a unchiului său. Ce vârsta are Robert? + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 10 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1185-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1185-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..66afe4e82d6567ae8c8cd5ff3ab3f5a63f3f4f7d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1185-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,15 @@ +# Olimpiada de matematică - clasa a IX-a
etapa zonală -9 februarie 2013 + +## SUBIECTE + +1. Un număr întreg $K$ de trei cifre este pătratul unui număr întreg $k$. Dacă schimbăm ordinea ultimelor două cifre ale lui $K$, se obține pătratul numărului $k+1$. Determinați numărul $k$. +2. Ecuația $x^{2}-x+a=0$ are rădăcinile reale $x_{1}, x_{2}$. Dacă $\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|=1$, arătați că $\left|x_{1}{ }^{n}-x_{2}{ }^{n}\right|=1$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. +3. Arătați că orice pătrat se poate tăia în alte $n \in \mathbb{N}$ pătrate, dacă $n \geq 6$. +4. În patrulaterul $A B C D$ avem $A B \| C D$. Fie punctele $M \in[A D]$ si $N \in[B C]$ astfel încât $\frac{A M}{M D}=\frac{B N}{N C}=\frac{A B}{C D}$. Arătați că dreapta $M N$ este paralelă cu bisectoarea unghiului interior al dreptelor $A B$ şi $C D$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 10 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1186-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1186-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cd73bda1bafaffd58b551c5bdcc63899b68bcfc7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1186-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,122 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +Clasa a XII-a + +Barem de corectare și notare + +## Subiectul 1 + +$g(x)=\left\{\begin{array}{l}x \cdot f(x), x \geq 0 \\ -x \cdot f(x), x<0\end{array} ; f\right.$ admite primitive $\Rightarrow \exists F: R \rightarrow R$, derivabilă, cu $F `=f$ + +$x \cdot f(x)=[x \cdot F(x)]^{\prime}-F(x)$ + +$F$ derivabilă $\Rightarrow F$ continuă $\Rightarrow F$ admite primitive. Fie $H: R \rightarrow R$, derivabilă, cu $H=F$ + +$x \cdot f(x)=[x \cdot F(x)]^{`}-H^{`}(x)=[x \cdot F(x)-H(x)]^{`} ; \quad-x \cdot f(x)=[-x \cdot F(x)+H(x)]^{`}$ + +Definim funcţia $G: R \rightarrow R, G(x)=\left\{\begin{array}{l}x F(x)-H(x)+c, x \geq 0 \\ -x F(x)+H(x)+c^{`}, x<0\end{array} . F, H\right.$ sunt derivabile pe $R \Rightarrow G$ derivabilă pe $R^{*}$ şi $G^{`}=g$ pe $R^{*}$ + +$G$ continuă în $x_{0}=0 \Rightarrow c^{\prime}=c-2 H(0) \Rightarrow G(x)=\left\{\begin{array}{l}x F(x)-H(x)+c, x \geq 0 \\ -x F(x)+H(x)+c-2 H(0, x<0\end{array}\right.$ + +$G_{d}^{\prime}(0)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \frac{x F(x)-H(x)+c+H(0+c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\left(F(x)-\frac{H(x)-H(0}{x}\right)=F(0)-H^{`}(0)=F(0)-F(0)=0$ + +$G_{s}^{`}(0)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}} \frac{-x F(x)+H(x)+c-2 H(0)+H(0)-c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}}\left(-F(x)+\frac{H(x)-H(0)}{x}\right)=-F(0)+H^{`}(0)=-F(0)+F(0)=0$ + +$\Rightarrow G$ derivabilă în $x_{0}=0$ și $G^{`}(0)=g(0)=0$. În concluzie, $G$ e o primitivă pentru $g$, deci funçia $g$ admite primitive. + +## Subiectul 2 + +a) $I_{1}=\int \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 2 x d x=\int \operatorname{tg} x \cdot \frac{2 \operatorname{tg} x}{1-\operatorname{tg}^{2} x} d x=\int \frac{2 \operatorname{tg}^{2} x}{1-\operatorname{tg}^{2} x} \cdot \frac{1+\operatorname{tg}^{2} x}{1+\operatorname{tg}^{2} x} d x$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6637ea6f748123e0856eg-1.jpg?height=111&width=1351&top_left_y=1732&top_left_x=227) + +$1 p$ + +Deci $I_{1}=-\frac{1}{2} \ln \frac{1-\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg} x}-x+\mathcal{C}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) $I_{n+4}-I_{n}=\int\left(\operatorname{tg}^{n} x\right)\left(\operatorname{tg}^{4} x-1\right) \cdot \operatorname{tg} 2 x d x=-\int\left(\operatorname{tg}^{n} x\right) \cdot\left(1-\operatorname{tg}^{2} x\right)\left(1+\operatorname{tg}^{2} x\right) \frac{2 \operatorname{tg} x}{1-\operatorname{tg}^{2} x} d x$ + +vezi a) $=-\frac{2 \operatorname{tg}^{n+2} x}{n+2}+\mathcal{C}$ + +## Subiectul 3 + +Din comutativitate $\Rightarrow f(x)-2 x=f(y)-2 y, \forall x, y \in R \quad 1 \mathrm{p}$ + +$$ +\Rightarrow f(x)-2 x \text { este funcție constantă } \Rightarrow f(x)=2 x+a, a \in R \quad 2 \mathrm{p} +$$ + +$\begin{array}{ll}\text { Din asociativitate } \Rightarrow a=\frac{2}{3} & 2 \mathrm{p}\end{array}$ + +Funcția este: $f(x)=2 x+\frac{2}{3}$. Legea este: $x \circ y=2 x+2 y+3 x y+\frac{2}{3}$. Avem: lege internă, comutativă, asociativă + +Se determină elementul neutru $e=-\frac{1}{3}$ + +## Subiectul 4 + +a) Se găsesc 3 numere care nu verifică asociativitatea (De exemplu $(2 \circ 3) \circ 5 \neq 2 \circ(3 \circ 5)$ ) + +b) Se analizează cazurile $x=6 k, x=6 k+1, \ldots, x=6 k+5$ + +Se obțin soluțiile $x=6 k+1, x=6 k+2, x=6 k+5, k \in Z$ + +c) Se observă (din $x \bmod 3 \in\{0,1,2\}$ și $x \bmod 2 \in\{0,1\}$ ) că $x \circ y$ nu poate lua alte valori în afară de $0,1,2,3$ + +Deci $H \subseteq\{0,1,2,3\} \quad 1 \mathrm{p}$ + +Se arată că $1 \notin H$ 1p + +Folosind $1 \notin H$, se arată că $2 \notin H, 3 \notin H$, deci $H=\{0\} \quad 1 \mathrm{p}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +Clasa a XII-a + +## Subiectul 1 + +Fie $f: R \rightarrow R$ o funcţie care admite primitive. + +Să se arate că funcţia $g: R \rightarrow R, g(x)=|x| \cdot f(x)$ admite primitive. + +## Subiectul 2 + +Fie $I_{n}=\int \operatorname{tg}^{n} x \cdot \operatorname{tg} 2 x d x, x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right), n \in N^{*}$ + +a) Să se calculeze $I_{1}$. + +b) Să se găsească o relaţie de recurenţă pentru $I_{n}$. + +## Subiectul 3 + +Determinaţi numărul funcţiilor $f: R \rightarrow R$ pentru care legea de compoziţie $x \circ y=2 x+f(y)+3 x y$, determină pe $R$ o structură de monoid comutativ. + +Prof. Homentcovschi Cristina + +## Subiectul 4 + +Pe $Z$ definim legea de compoziţie $x \circ y=(x+y) \bmod 3+(x \cdot y) \bmod 2$, unde notaţia $x \bmod n$ reprezintă restul împărţirii lui $x$ la $n$. + +a) Să se arate că legea nu este asociativă. + +b) Să se determine $x \in Z$ pentru care $x \circ(5 \circ 7)=x \circ(5 \circ x)$. + +c) Să se determine $H \subset Z$ astfel încât $(H, \circ)$ să fie grup. + +Prof. Homentcovschi Cristina + +Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1187-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1187-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e3bea6dedcd8065c7ebc454135d3d4db3c328ad --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1187-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,121 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +## Clasa a XI-a + +Barem de corectare și notare + +## Subiectul 1 + +Fie $C=A B-B A$ a) ${ }^{t} C={ }^{t}(A B)-{ }^{t}(B A)={ }^{t} B^{t} A-{ }^{t} A{ }^{t} B=-B A+A B=C$ $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_82efce9427173f0d4925g-1.jpg?height=118&width=1520&top_left_y=452&top_left_x=268) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_82efce9427173f0d4925g-1.jpg?height=69&width=1585&top_left_y=568&top_left_x=201) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_82efce9427173f0d4925g-1.jpg?height=72&width=1521&top_left_y=635&top_left_x=269) + +Deducem că $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}+C\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}-C\right)=[\operatorname{det}(A+B)]^{2}+[\operatorname{det}(A+B)]^{2} \geq 0$ + +Dar $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}+C\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}-C\right)=2 \cdot\left[\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det} C\right]$ + +şi deci $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det} C \geq 0 \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right) \geq-\operatorname{det} C \geq 0$ (din punctul a)) $1 \mathrm{p}$ + +Observație. Demonstrația se poate face și prin calcul direct. + +## Subiectul 2 + +a) Presupunem că $A$ este inversabilă. Din $A B-B A=A \Rightarrow A B A^{-1}-B=I$ $1 \mathrm{p}$ + +$\operatorname{Tr}\left(A B A^{-1}-B\right)=2$ + +1p; contradicție cu $\operatorname{Tr}\left(A B A^{-1}-B\right)=\operatorname{Tr}\left(A B A^{-1}\right)-\operatorname{Tr} B=\operatorname{Tr} B-\operatorname{Tr} B=0$. + +Deci $A$ nu este inversabilă. + +b) Din punctul a) avem că det $A=0$. Cum $\operatorname{Tr} A=\operatorname{Tr}(A B-B A)=0$ rezultă, din teorema Cayley-Hamilton, că + +$A^{2}=O_{2} \ldots .2 \mathbf{2 p}$; Demonstrăm prin inducție matematică faptul că $A B^{n} A=O_{2}$ pentru orice $n \geq 1 \ldots \ldots .2 \mathbf{2 p}$ + +$n=1: A B A=(A+B A) A=A^{2}+B A^{2}=O_{2}$ Presupunem că $A B^{n} A=O_{2}$. Din + +$A B=B A+A \Rightarrow A B^{n+1}=B A B^{n}+A B^{n} \Rightarrow A B^{n+1} A=B A B^{n} A+A B^{n} A=O_{2}$. Așadar $A B^{n} A=O_{2}$ pentru orice $n \geq 1$. + +## Subiectul 3 + +Notăm $P_{n}=f\left(a_{1}\right) \cdot f\left(\frac{a_{2}}{2}\right) \cdots \cdots f\left(\frac{a_{n}}{n}\right), P_{n}>0 \Rightarrow b_{n}=\sqrt[n]{P_{n}} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{P_{n+1}}{P_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(\frac{a_{n+1}}{n+1}\right)$ + +$\frac{a_{n+1}-a_{n}}{n+1-n}=a_{n+1}-a_{n}=f\left(\frac{a}{n+1}\right) \rightarrow 0$ + +Atunci, din lema Cesaro - Stolz se obţine că $\frac{a_{n}}{n} \rightarrow 0 \Rightarrow f\left(\frac{a_{n}}{n}\right) \rightarrow 0$ + +$\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{P_{n+1}}{P_{n}}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$ + +## Subiectul 4 + +a) $\ln \frac{n+1}{x_{n+1}}=\frac{x_{n}}{n}+\ln \frac{n}{x_{n}}, \forall n \geq 2 \Rightarrow \ln \frac{n+1}{x_{n+1}}-\ln \frac{n}{x_{n}}=\frac{x_{n}}{n}>0, \forall n \geq 2 \Rightarrow \frac{n+1}{x_{n+1}}>\frac{n}{x_{n}} \forall n \geq 2$ + +Deci $\left(\frac{x_{n}}{n}\right)_{n \geq 2}$ este un șir strict descrescător și cum este format din numere strict pozitive, rezultă că este convergent. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_82efce9427173f0d4925g-1.jpg?height=161&width=1621&top_left_y=2168&top_left_x=146) + +Fie $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=x \in \mathbf{R}$. Din (1), prin trecere la limită, deducem $x=x \cdot e^{x} \Rightarrow\left(e^{x}-1\right) \cdot x=0 \Rightarrow x=0$. $\qquad$ +b) Scriem $x_{n}=\frac{n}{\frac{n}{x_{n}}}$. Cum $\frac{x_{n}}{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{x_{n}}=+\infty$ și este strict crescător, putem aplica criteriul StolzCesaro. + +$\frac{n+1-n}{\frac{n+1}{x_{n+1}}-\frac{n}{x_{n}}}=\frac{1}{e^{\frac{x_{n}}{n}} \cdot \frac{x_{n}}{n}-\frac{x_{n}}{n}}=\frac{\frac{x_{n}}{n}}{e^{\frac{x_{n}}{n}}-1} \rightarrow 1 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +Clasa a XI-a + +## Subiectul 1 + +Fie $A, B \in \mathbf{M}_{2}(\mathbf{R})$ astfel încât ${ }^{t} A=A$ și ${ }^{t} B=-B$ (s-a notat cu ${ }^{t} X$ transpusa matricei $X$ ). Arătați că: +a) $\operatorname{det}(A B-B A) \leq 0$; +b) $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right) \geq 0$. + +Nelu Chichirim + +## Subiectul 2 + +Fie $A, B \in \mathbf{M}_{2}(\mathbf{C})$ cu proprietatea că $A B-B A=A$. + +a) Arătați că $A$ nu este inversabilă. + +b) Arătați că $A B^{n} A=O_{2}$ pentru orice $n \geq 1$. + +Gazeta Matematică, enunț adaptat + +## Subiectul 3 + +Fie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$, astfel încât $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} f(x)=0$. Pentru $a \in(0, \infty)$ fie şirul $a_{n}=f(a)+f\left(\frac{a}{2}\right)+\cdots+f\left(\frac{a}{n}\right)$ pentru oricare $n \geq 1$. Studiaţi convergenţa şirului $b_{n}=\left[f\left(a_{1}\right) \cdot f\left(\frac{a_{2}}{2}\right) \cdots \cdots f\left(\frac{a_{n}}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$. + +Gabriela Constantinescu + +## Subiectul 4 + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir de numere reale strict pozitive definit prin: + +$$ +x_{1}>0 \text { și } \frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{2}+\cdots+\frac{x_{n}}{n}=\ln \frac{n+1}{x_{n+1}}, \forall n \geq 1 +$$ + +a) Arătați că $\left(\frac{x_{n}}{n}\right)_{n \geq 1}$ este un șir convergent și calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$. + +b) Arătați că $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$. + +Cătălin Zîrnă + +Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1188-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1188-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c3efb2369366a999a1b087935f84af816dbb8bf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1188-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,102 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +## Clasa a X-a + +Barem de corectare și notare + +## Subiectul 1 + +Se observă că $a_{1}, a_{2}, a_{3}>0$ şi $a_{f(1)} \cdot a_{f(2)} \cdot a_{f(3)}=a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}=1$ pentru oricare bijecţie $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\} \ldots 2 \mathrm{p}$ Avem $\left(a_{f(1)}+2 a_{f(2)}+3 a_{f(3)}\right) \cdot\left(3 a_{f(1)}+2 a_{f(2)}+a_{f(3)}\right)=$ $\left(a_{f(1)}+a_{f(2)}+a_{f(2)}+a_{f(3)}+a_{f(3)}+a_{f(3)}\right) \cdot\left(a_{f(1)}+a_{f(1)}+a_{f(1)}+a_{f(2)}+a_{f(2)}+a_{f(3)}\right) \geq$ $2 p$ + +$\geq 6 \sqrt[6]{a_{f(1)} \cdot a_{f(2)}^{2} \cdot a_{f(3)}^{3}} \cdot 6 \sqrt[6]{a_{f(1)}^{3} \cdot a_{f(2)}^{2} \cdot a_{f(3)}}=36 \sqrt[6]{\left(a_{1} a_{2} a_{3}\right)^{4}}=36$. Finalizarea + +## Subiectul 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_516a432588e4827e712fg-1.jpg?height=98&width=1634&top_left_y=740&top_left_x=278) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_516a432588e4827e712fg-1.jpg?height=104&width=1583&top_left_y=832&top_left_x=334)$\qquad$ $\log _{a} \frac{2 b}{a+b} \geq-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log _{a} b \Rightarrow \log _{a} \frac{2 b}{a+b} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{a} b-1\right), \forall a \in(0,1), b \in(0, \infty) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . .1 p$ + +b) Dacă $x \in(0,1)$, folosind inegalitatea de la punctul a), obținem relațiile: + +$$ +\begin{aligned} +& \log _{2} \frac{2 x+1}{4 x}=\log _{\frac{1}{2}} \frac{4 x}{2 x+1}=\log _{\frac{1}{2}} \frac{2 x}{x+\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{\frac{1}{2}} x-1\right)(1) \\ +& -\log _{x} \frac{2 x+1}{2}=\log _{x} \frac{2}{2 x+1}=\log _{x} \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{x} \frac{1}{2}-1\right)(2) +\end{aligned} +$$ + +Sumând (1) și (2): $0 \geq \frac{1}{2}\left(\log _{\frac{1}{2}} x+\log _{x} \frac{1}{2}-2\right) \geq \frac{1}{2}(2-2)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \in(0,1)$ realizează egalitatea în fiecare inegalitate din lanțul de inegalități folosit anterior. $1 p$ + +Dacă $x \in(1, \infty)$, atunci: $x>1 \Rightarrow x>\frac{1}{2} \Rightarrow 2 x+1<4 x \Rightarrow \frac{2 x+1}{4 x}<1 \Rightarrow \log _{2} \frac{2 x+1}{4 x}<0$ (3). + +De asemenea, avem: $x>1 \Rightarrow 2 x+1>3 \Rightarrow \frac{2 x+1}{2}>\frac{3}{2}>1 \Rightarrow \log _{x} \frac{2 x+1}{2}>0$ (4). + +Din (3) și (4) rezultă că nu există soluții $x \in(1, \infty)$ și deci $x=\frac{1}{2}$ este singura soluție a ecuației date. 1 p + +## Subiectul 3 + +$z_{n}=z_{1} \cdot q^{n-1},(\forall) n \geq 1$. + +$1 \mathrm{p}$ +Fie $z_{m}$ și $z_{p}$ astfel încât $\frac{z_{m}}{z_{p}} \in \mathbf{R}$. De aici deducem că $q^{m-p} \in \mathbf{R}$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +Fie $z_{s}$ și $z_{t}$ astfel încât $\left|z_{s}\right|=\left|z_{t}\right|$. De aici avem $\left|z_{1} q^{s-1}\right|=\left|z_{1} q^{t-1}\right| \Rightarrow|q|^{s-t}=1 \Rightarrow|q|=1$ $1 \mathrm{p}$ + +Deci $\left|q^{m-p}\right|=1$ și cum $q^{m-p} \in \mathbf{R}$ avem că $q^{m-p}= \pm 1$. $1 \mathrm{p}$ + +Așadar există $k \in \mathbf{N}^{*}$ astfel încât $q^{k}=1$ (de exemplu $k=2 \cdot|m-p|$ ). .. 2 p + +$z_{n+k}=z_{1} q^{n+k-1}=z_{1} q^{n-1} q^{k}=z_{1} q^{n-1}=z_{n}, \forall n \geq 1$ deci mulțimea $\left\{z_{n} \mid n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ este finită. + +$1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 4 + +Din relaţia din enunţ şi ţinând cont de faptul că $a, b, c$ sunt distincte, rezultă că $a+b, b+c, c+a$ sunt distincte şi nenule + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_516a432588e4827e712fg-1.jpg?height=103&width=1762&top_left_y=2491&top_left_x=217) + +Adunând membru cu membru relaţile $a+b=\varepsilon(b+c), b+c=\varepsilon(c+a), c+a=\varepsilon(a+b)$, se obţine că $a+b+c=0 \ldots . .2$ p De aici $c=-a-b, a=-b-c, b=-c-a$, de unde prin ridicare la cub rezultă concluzia. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +Clasa a X-a + +## Subiectul 1 + +Fie $a, b, c>1$ şi $a_{1}=\log _{a} b, a_{2}=\log _{b} c, a_{3}=\log _{c} a$. Arătaţi că pentru orice funcţie bijectivă $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}$, are loc inegalitatea $\left(a_{f(1)}+2 a_{f(2)}+3 a_{f(3)}\right) \cdot\left(3 a_{f(1)}+2 a_{f(2)}+a_{f(3)}\right) \geq 36$. + +Gabriela Constantinescu + +## Subiectul 2 + +a) Să se arate că: $\log _{a} \frac{2 b}{a+b} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{a} b-1\right), \forall a \in(0,1), b \in(0, \infty)$. + +b) Rezolvaţi ecuația: $\log _{2} \frac{2 x+1}{4 x}=\log _{x} \frac{2 x+1}{2}, x \in(0, \infty)-\{1\}$. + +Florian Gache + +## Subiectul 3 + +Considerăm șirul de numere complexe $\left(z_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu proprietatea că există $q \in \mathbf{C}^{*}$ astfel încât $z_{n}=z_{n-1} \cdot q,(\forall) n \geq 2$ și $z_{1} \in \mathbf{C}^{*}$. Să se arate că dacă există doi termeni cu raportul lor număr real și doi termeni cu modulele egale, atunci mulțimea $\left\{z_{n} \mid n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ este finită. + +Cătălin Zîrnă + +## Subiectul 4 + +Fie numerele complexe distincte $a, b, c$ astfel încât $(a+b)^{3}=(b+c)^{3}=(c+a)^{3}$. Să se arate că $a^{3}=b^{3}=c^{3}$. + +Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1189-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1189-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c01f01ab144740c41484a657ceba30dd79973391 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1189-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,120 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +Barem de corectare și notare + +1. a) Raţionalizarea primei fracţii cu $\sqrt{a+5}-\sqrt{a}$................................................................. 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=100&width=1507&top_left_y=493&top_left_x=363) + +Finalizare.......................................................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +b) Aplicarea formulei de la punctul a) ....................................................................................2p + +Obţinere $\mathrm{x}=\frac{3}{16}$........................................................................................................ $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=63&width=1425&top_left_y=754&top_left_x=444) + +2. a) $x=\frac{(a b-2013 b c)+\sqrt{2013}\left(a c-b^{2}\right)}{b^{2}-2013 c^{2}} \quad$.................................................................................... $2 \mathrm{p}$ + +$x \in \mathbb{Q}$ si $a, b, c$ numere naturale prime, rezultă $a c-b^{2}=0$...............................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=60&width=1493&top_left_y=941&top_left_x=384) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=71&width=1490&top_left_y=998&top_left_x=380) + +calcul $z+z^{2}+\frac{y}{z}+\frac{y^{2}}{z^{2}}=5+23=28$...................................................................... 2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=83&width=1553&top_left_y=1146&top_left_x=314) +b) $M D \perp\left(D^{\prime} D B\right), D E \perp D^{\prime} B, E \in\left(D^{\prime} B\right), D E, D^{\prime} B \subset\left(D^{\prime} D B\right) \Rightarrow M E \perp D^{\prime} B$, $d\left(M, D^{\prime} D\right)=M E$ $.1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{MD}=10 \mathrm{~cm}, D E=\frac{B D \cdot D D^{\prime}}{D^{\prime} B} \Rightarrow D E=\frac{10 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm} \quad$ …........................................................ $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare $M E=\frac{20 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm} \quad$.......................................................................................... $1 \mathrm{p}$ +a) $\left\{\mathrm{O}^{\prime}\right\}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \cap \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} ;\{\mathrm{G}\}=\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B} \cap \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{D}$ + +$\Delta D^{\prime} O^{\prime} G \sim \Delta B D G \Rightarrow \frac{D^{\prime} O^{\prime}}{D B}=\frac{D^{\prime} G}{B G}=\frac{O^{\prime} G}{G D} \quad$...................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$O^{\prime} G=\frac{5 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm}, D^{\prime} G=\frac{5 \sqrt{6}}{3} \mathrm{~cm}, D^{\prime} O^{\prime}=5 \mathrm{~cm} \Rightarrow \Delta D^{\prime} G O^{\prime}$ dreptunghic $\Rightarrow D^{\prime} B \perp O^{\prime} D \quad$.......... $1 \mathrm{p}$ + +$A_{M N B}=\frac{1}{4} A_{A^{\prime} B C^{\prime}}$ + +$.1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=155&width=1513&top_left_y=1870&top_left_x=380) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=134&width=1499&top_left_y=2012&top_left_x=381) + +$A_{M N B}=\frac{a^{2} \sqrt{7}}{8}$.................................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9f32e4f7f37ea428b489g-1.jpg?height=97&width=1511&top_left_y=2264&top_left_x=381) + +$\left(B^{\prime} C^{\prime}\right) \cap(M N B)=B C^{\prime}, B^{\prime} N \perp B C^{\prime}{ }_{\text {si }} A^{\prime} N \perp B C^{\prime}$ + +$m\left[\angle\left(B B^{\prime} C^{\prime}\right) ;(M N B)\right]=m\left(\angle A^{\prime} N B^{\prime}\right)$ + +$\sin \left(\angle A^{\prime} N B^{\prime}\right)=\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A^{\prime} N}=\frac{\sqrt{42}}{7}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 16.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +## Subiectul 1 + +a) Arătaţi că : $\quad \frac{5}{\sqrt{a(a+5)}(\sqrt{a}+\sqrt{a+5})}=\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+5}} \quad \forall a \in \mathbb{N}^{*}$ + +b) Fie $x=\frac{1}{\sqrt{6}(\sqrt{1}+\sqrt{6})}+\frac{1}{\sqrt{66}(\sqrt{6}+\sqrt{11})}+\frac{1}{\sqrt{176}(\sqrt{11}+\sqrt{16})}+\cdots \cdots \cdots+\frac{1}{\sqrt{251 \cdot 256}(\sqrt{251}+\sqrt{256})}$. + +Demonstraţi că $144 \cdot x$ este cub perfect. + +Prof. Dan Toropu + +## Subiectul 2 + +Fie mulţimea + +$\mathrm{M}=\left\{x \in \mathbb{Q} \left\lvert\, x=\frac{a-b \sqrt{2013}}{b-c \sqrt{2013}}\right., a, b, c\right.$ numere naturale prime $\}$ + +a) Determinaţi card $M$ + +b) Dacă $y \in M, z \in \mathbb{Q}$ şi $z+\frac{y}{z}=5$ calculaţi $z+z^{2}+\frac{y}{z}+\frac{y^{2}}{z^{2}}$ + +Prof. Doina Stanca + +## Subiectul 3 + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ cu $A B=5 \sqrt{2}$, notăm $A^{\prime} C^{\prime} \cap B^{\prime} D^{\prime}=\left\{O^{\prime}\right\}$. Punctul $M$ este simetricul punctului $B$ faţă de dreapta $A D$. + +a) Demonstraţi că dreapta $M D$ este perpendiculară pe planul ( $D^{\prime} D B$ ). + +b)Calculaţi distanţa de la punctul $M$ la dreapta $D^{\prime} B$. + +c)Demonstraţi că dreptele $D^{\prime} B$ şi $D O^{\prime}$ sunt perpendiculare. + +Prof. Emilia Anghel + +## Subiectul 4 + +Fie ABCDA'B'C'D' un paralelipiped dreptunghic cu $A B=a \sqrt{3}, B C=C C^{\prime}=a$, iar $M$ şi $N$ centrele feţelor $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ respectiv $\mathrm{BB}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{C}$. + +a) Calculaţi aria triunghiului MBN. + +b) Calculaţi sinusul unghiului determinat de planele (MBN) şi (ADD'). + +Prof. Ion Gogoaşă + +Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-119-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-119-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a50123b5c60c78783cb3074414d13031cddcb0f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-119-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,137 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice + +din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cff6420b550406bf9813g-1.jpg?height=271&width=254&top_left_y=304&top_left_x=510) + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE + +ȘI CERCETÁRII STTIINȚIIFICE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a VIII-a + +Problema 1. Arătaţi că într-o piramidă patrulateră regulată două feţe laterale opuse sunt perpendiculare dacă şi numai dacă unghiul dintre două feţe laterale alăturate are măsura de $120^{\circ}$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Pentru orice orice număr natural nenul $n$ notăm cu $x_{n}$ numărul numerelor naturale de $n$ cifre, divizibile cu 4 , formate cu cifrele 2 , 0,1 sau 6 . + +a) Calculaţi $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ şi $x_{4}$. + +b) Să se găsească numărul natural $n$ astfel încât + +$$ +1+\left[\frac{x_{2}}{x_{1}}\right]+\left[\frac{x_{3}}{x_{2}}\right]+\left[\frac{x_{4}}{x_{3}}\right]+\ldots+\left[\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right]=2016 +$$ + +unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Problema 3. a) Demonstraţi că pentru orice număr întreg $k$, ecuaţia $x^{3}-24 x+k=0$ are cel mult o soluţie întreagă. + +b) Arătaţi că ecuaţia $x^{3}+24 x-2016=0$ are exact o soluţie întreagă. + +Problema 4. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un paralelipiped dreptunghic şi $M$ repectiv $N$ picioarele perpendicularelor duse din $A^{\prime}$ şi $C^{\prime}$ pe $B D$. Lungimile muchiilor $A B, B C$ şi $A A^{\prime}$ sunt egale cu $\sqrt{6}, \sqrt{3}$ şi respectiv $\sqrt{2}$. + +a) Demonstraţi că $A^{\prime} M \perp C^{\prime} N$. + +b) Calculaţi măsura unghiului dintre planele $\left(A^{\prime} M C\right)$ şi $\left(A N C^{\prime}\right)$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Ştiinţe Matematice + +din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cff6420b550406bf9813g-2.jpg?height=271&width=254&top_left_y=301&top_left_x=510) + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +şi Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE ȘI CERCETÄRII ȘTIINȚIFICE + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 CLASA a VIII-a + +Problema 1. Arătaţi că într-o piramidă patrulateră regulată două feţe laterale opuse sunt perpendiculare dacă şi numai dacă unghiul dintre două feţe laterale alăturate are măsura de $120^{\circ}$. + +Gazeta Matematică + +Soluţie . Fie $V A B C D$ o piramidă patrulateră regulată cu baza $A B C D$. Notăm cu a lungimea laturii AB. Feţele $V A D$ şi $V B C$ sunt perpendiculare dacă şi numai dacă triunghiul $V M N$ este dreptunghic isoscel cu laturile $V M=V N=\frac{a \sqrt{2}}{2}$, unde $M$ şi $N$ sunt mijloacele muchiilor $A D$ respectiv $B C$ 2 puncte. + +Dacă $P$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe $V B$ (acelaşi cu piciorul perpendicularei din $C$ pe $V B$ ), atunci obţinem echivalent $P C=P A=\frac{a \sqrt{6}}{3}$ (evaluând aria triunghiului $V B C$ în două moduri) ................. 2 puncte + +Aceasta este echivalent cu faptul că triunghiul isoscel $A C P$ are măsura unghiului $\angle A P C$ de $120^{\circ}$ ( folosind eventual o funcţie trigonometrică) ...2 puncte + +Unghiul plan al diedrului căutat este $\angle A P C$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Problema 2. Pentru orice orice număr natural nenul $n$ notăm cu $x_{n}$ numărul numerelor naturale de n cifre, divizibile cu 4 , formate cu cifrele 2 , 0,1 sau 6 . + +a) Să se calculeze $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ sुi $x_{4}$. + +b) Să se găsească numărul natural $n$ astfel încât + +$$ +1+\left[\frac{x_{2}}{x_{1}}\right]+\left[\frac{x_{3}}{x_{2}}\right]+\left[\frac{x_{4}}{x_{3}}\right]+\ldots+\left[\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right]=2016 +$$ + +unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Soluţie . a) $x_{1}=1$ (0 este divizibil cu 4), $x_{2}=4$ (numerele 12, 16, 20 şi 60 sunt divizibile cu 4 ), $x_{3}=3 \cdot 5$, (pentru că prima cifră nu poate fi 0 iar ultimele două pot fi $12,16,20,60$ şi 00 ), $x_{4}=3 \cdot 4 \cdot 5=60$ (pentru că prima cifră nu poate fi 0 , pentru a 2-a avem 4 posibilităţi iar ultimele două pot fi +b) Dacă $n \geq 3$, un număr $A$ care verifică condiţiile din enunţ este de forma $A=\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n-2} p q}$ unde prima cifră poate lua 3 valori, fiecare dintre cifrele $a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n-2}$ poate fi aleasă în 4 moduri iar ultimele două pot fi 12 , $16,20,60$ sुi 00 . + +Rezultă că $x_{n}=3 \cdot 4^{n-3} \cdot 5$ pentru orice $n \geq 3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2$ puncte + +Pentru orice $n \geq 3, \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=4$, de unde $1+\left[\frac{x_{2}}{x_{1}}\right]+\left[\frac{x_{3}}{x_{2}}\right]+\left[\frac{x_{4}}{x_{3}}\right]+\ldots+$ $\left[\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right]=1+4+3+4(n-2), 4 n=2016, n=504 \ldots \ldots \ldots \ldots .2$ puncte. + +Problema 3. a) Demonstraţi că pentru orice număr întreg k, ecuaţia $x^{3}-24 x+k=0$ are cel mult o soluţie întreagă. + +b) Arătaţi că ecuaţia $x^{3}+24 x-2016=0$ are exact o soluţie întreagă. + +Soluţie . a) Presupunem prin absurd că există două numere întregi diferite $m$ şi $n$ astfel încât $m^{3}-24 m+k=0$ şi $n^{3}-24 n+k=0$. + +Prin scădere obţinem $(m-n)\left(m^{2}+m n+n^{2}-24\right)=0 \ldots \ldots .1$ punct + +$m^{2}+m n+n^{2}=24$ (m şi $\mathrm{n}$ sunt diferite) de unde $(2 m+n)^{2}+3 n^{2}=96$ 1 punct + +$n^{2} \leq 32, n^{2} \in\{0,1,4,9,16,25\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ punct $(2 m+n)^{2} \in\{96,93,84,69,48,21\}$, contradicţie ............... 1 punct +b) $x\left(x^{2}+24\right)=2016$ de unde $\mathrm{x}$ poate fi doar natural nenul. $x=12$ verifică ecuaţia .............................................................. 1 punct + +Dacă prin absurd există $x2, y>2$ rezultă $(x-2)(y-2)>0$ sau $x * y-(a+2) x-(a+2) y-a^{2}+a+6>2, \forall x, y \in H$ + +De aici $(a+2)(x+y)+a^{2}-a-6>0, \forall x, y \in H$ + +Rezultă că $a^{2}+3 a+2 \geq 0$, adică $a \in(-\infty ;-2] \cup[-1 ;+\infty)$ + +Dar $e=1-a \in(2,+\infty) \Rightarrow a<-1$ $1 p$ + +b) În condițiile de la a), se verifică uşor că asociativitatea are loc pentru $a<-1$ + +Din existența elementului simetrizabil rezultă că $x^{\prime}=\frac{-a x-a^{2}+a}{x+a}>2, \forall x>2$ relație îndeplinită dacă şi numai dacă $a=-2$. + +Prin urmare, $((2,+\infty), *)$ este grup dacă şi numai dacă $a=b=-2, c=6$ $1 \mathrm{p}$ + +c) Din b) rezultă că $x * y=x y-2 x-2 y+6, \forall x, y>2$. + +Căutăm morfisme de forma $f:((2,+\infty), *) \rightarrow\left(R_{+}^{*}, \cdot\right), f(x)=a x+b$ + +Deoarece $\quad e=3>2$ este element neutru în grupul $((2,+\infty), *)$ şi $e^{\prime}=1$ este element neutru în grupul $\left(R_{+}^{*}, \cdot\right)$ rezultă că $f(3)=1$, adică $b=1-3 a$. Rezută că $f:((2,+\infty), *) \rightarrow\left(R_{+}^{*} \cdot\right), f(x)=a x+1-3 a$. $1 \mathrm{p}$ + +Din definitia morfismului, $f\left(x^{*} y\right)=f(x) \cdot f(y), \forall x, y>2$, obținem $a=0$ sau $a=1$. + +Pentru $a=0$, obținem morfismul $f:((2,+\infty), *) \rightarrow\left(R_{+}^{*},\right), f(x)=1$, iar pentru $a=1$, obținem morfismul $f:((2,+\infty), *) \rightarrow\left(R_{+}^{*}, \cdot\right), f(x)=x-2$. + +Evident, cele două morfisme sunt derivabile. $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie $n$ un număr natural, $n \geq 2$ şi $(G, \cdot)$ ungrupcu $n^{2}-n-1$ elemente. Ştiind că funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{n}, \quad$ este endomorfism al grupului, să se arate că $(G, \cdot)$ este abelian. + +26549. /Gazeta de Matematică/ Nr. 12/2011 + +Barem de corectare + +Cum $f$ este endomorfism, rezultă succesiv + +$$ +(x y)^{n}=x^{n} y^{n}, \forall x, y \in G \Rightarrow(y x)^{n-1}=x^{n-1} y^{n-1} \quad 1 \text { punct } +$$ + +Şi înmulțind la dreapta cu $y x$ rezultă $(y x)^{n}=x^{n-1} y^{n} x \Rightarrow \quad 1$ punct +$\Rightarrow y^{n} x^{n}=x^{n-1} y^{n} x \Rightarrow y^{n} x^{n-1}=x^{n-1} y^{n}, \quad \forall x, y \in G$ +2 puncte + +Pe de altă parte, cum $|G|=n^{2}-n-1$ rezultă că $x=x^{n^{2}-n}, \forall x \in G$. (2) 1 punct + +Atunci: + +$$ +\begin{array}{rlrl} +x y & =x^{n^{2}-n} y^{n^{2}-n}=\left(x^{n-1}\right)^{n}\left(y^{n}\right)^{n-1} \stackrel{(1)}{=} & 1 \text { punct } \\ +& =\left(y^{n}\right)^{n-1}\left(x^{n-1}\right)^{n}=y^{n^{2}-n} x^{n^{2}-n} \stackrel{(2)}{=} y x & 1 \text { punct } +\end{array} +$$ + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1195-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1195-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9c837a596ee3f2923901072586e12075a17264e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1195-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,236 @@ +# SOCIETATEA DE \$TIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$
etapa locală, 9 februarie 2013
clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I + +Se consideră Ṣ irul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=n \cdot \ln n$ + +a. Calculaț i $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ + +b. Arătaț i că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}\right)=0$ + +## SUBIECTUL II + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir strict crescător de numere naturale cu proprietatea că: + +$$ +x_{x_{n}}=4 n+9, \forall n \in N^{*} +$$ + +a. Arătatii că există un astfel de şir. + +b. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n^{2}}$ + +## SUBIECTUL III + +Să se arate că nu există nicio matrice $A \in M_{2}(R)$ astfel încât $A^{5}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right)$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie $S L_{2}(\mathbf{Z})=\left\{X \in M_{2}(\mathbf{Z}) \mid \operatorname{det} X=1\right\}$. + +Arătaţi că ecuaţia $X^{2}+X^{-2}=I_{2}$ nu are soluții în $S L_{2}(Z)$. + +Nr. 26612 din Gazeta Matematică Nr. 12/2012 + +NOTÄ: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu maxim 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NATIIONAL $\breve{A}$ DE MATEMATIC $\breve{A}$ + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +## clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I + +Se consideră Ș irul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=n \cdot \ln n$ + +a. Calculaț i $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ + +b. Arătaț i că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}\right)=0$ + +selectată de către prof. Matyas Mirel din de la C.T. "Al.Papiu Ilarian" Zalău + +Barem de corectare +a) $a_{n+1}-a_{n}=(n+1) \ln (n+1)-n \ln n=\ln (n+1)+n[\ln (n+1)-\ln n]=$ $=\ln (n+1)+n \cdot \ln \frac{n+1}{n}=\ln (n+1)+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_10febc24800daa7fc9ccg-2.jpg?height=88&width=980&top_left_y=1532&top_left_x=138) + +rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=\infty$ +b) $\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}=\sqrt{(n+1) \ln (n+1)}-\sqrt{n \ln n}=$ $\frac{(n+1) \ln (n+1)-n \ln n}{\sqrt{(n+1) \ln (n+1)}+\sqrt{n \ln n}}=$ + +$=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{(n+1) \ln (n+1)}+\sqrt{n \ln n}}+\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\sqrt{(n+1) \ln (n+1)}+\sqrt{n \ln n}}=$ + +$=\frac{\sqrt{\frac{\ln (n+1)}{n+1}}}{1+\sqrt{\frac{n \ln n}{(n+1) \ln (n+1)}}}+\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\sqrt{(n+1) \ln (n+1)}+\sqrt{n \operatorname{lnn}}} \rightarrow \frac{0}{1+1}+\frac{1}{\infty}=0$ + +Am folosit următoarele rezultate: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{n+1}=0 \text { s i i } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \ln n}{(n+1) \ln (n+1)}=1 +$$ + +## SUBIECTUL II + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir strict crescător de numere naturale cu proprietatea că: + +$$ +x_{x_{n}}=4 n+9, \forall n \in N^{*} +$$ + +a. Arătați că există un astfel de şir. +b. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n^{2}}$ + +Propusă de prof. Vlaicu Liviu (C.N.S.) + +Barem de corectare + +a) Se poate căuta $x_{n}=a \cdot n+b$ şi rezultă: + +$$ +\begin{aligned} +x_{x_{n}}=a(a n+b)+b & =a^{2} n+a b+b, \quad \text { de unde } a=2 \text { şi } b=3 . \\ +x_{x_{n}} & =4 n+9, \forall n \in \mathbf{N}^{*} +\end{aligned} +$$ + +Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{n}=2 n+3, \forall n \in \mathbf{N}^{*}$ verifică condițile din enunţ. 3 puncte + +b) Din $x_{n} \geq n, \forall n \in \mathbf{N}^{*}$, + +1 punct + +rezultă $x_{x_{n}} \geq x_{n}$ + +1 punct + +sau $x_{n} \leq 4 n+9$, + +1 punct + +$$ +\text { de unde: } \frac{x_{n}}{n^{2}} \leq \frac{4 n+9}{n^{2}} +$$ + +şi folosind criteriul majorării (sau al cleştelui) rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n^{2}}=0$. + +1 punct + +Observatie: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{P(n)}=0, \quad \forall P \quad \text { polinom de grad } \geq 2 +$$ + +## SUBIECTUL III + +$$ +\text { Să se arate că nu există nicio matrice } A \in M_{2}(R) A \in M_{2}(\square) \text { astfel încât } A^{5}=\left(\begin{array}{cc} +2 & -1 \\ +4 & -2 +\end{array}\right) +$$ + +Selectată de prof. Haiduc Sorina + +Barem de corectare +Presupunem prin absurd că $A^{5}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right)$ +(1) rezultă că $\operatorname{det} A^{5}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right)=0$, $\operatorname{deci} ~ s ̧ i \operatorname{det} A=0$. $1 p$ + +Înlocuind în ecuația lui Cayley -Hamilton: + +$A^{2}-\operatorname{Tr}(A) \cdot A+\operatorname{det} A \cdot I_{2}=O_{2}$, obținem $A^{2}=\operatorname{Tr}(A) \cdot A$. + +Folosin metoda inducției matematice, $A^{n}=\operatorname{Tr}(A)^{n-1} \cdot A$ + +Pentru n=5, avem $A^{5}=\operatorname{Tr}(A)^{4} \cdot A(2)$ $2 p$ + +$$ +A \in M_{2}(\square) \text {, fie } A=\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right), a, b, c, d \in \square +$$ + +Din (1), (2) şi (3) rezultă : + +$$ +\left(\begin{array}{ll} +2 & -1 \\ +4 & -2 +\end{array}\right)=(a+d)^{4} \cdot\left(\begin{array}{ll} +a & b \\ +c & d +\end{array}\right) +$$ + +Rezolvând ecuația matriceală, obținem relațiile: + +$$ +\begin{aligned} +& (a+d)^{4} \cdot a=2(4),(a+d)^{4} \cdot b=-1,(a+d)^{4} \cdot c=4,(a+d)^{4} \cdot d=-2 \text {, de unde } \\ +& b=\frac{-a}{2}, c=2 \cdot a, d=-a(5) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +Din relațiile (4) şi (5) rezultă $0=-2$ fals. + +Prin urmare, presupunerea făcută este falsă, adică nu există matrice $A \in M_{2}(\square)$ astfel încât $A^{5}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right)$ $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie $S L_{2}(\mathbf{Z})=\left\{X \in M_{2}(\mathbf{Z}) \mid \operatorname{det} X=1\right\}$. + +Arătați că ecuația $X^{2}+X^{-2}=I_{2}$ nu are soluții în $S L_{2}(Z)$. + +26612 din Gazeta Matematică Nr. 12/2012 + +Barem de corectare + +Fie $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), a, b, c, d \in \mathbf{Z}$ 1 punct + +$\Rightarrow X^{2}=\left(\begin{array}{ll}a^{2}+b c & b(a+d) \\ c(a+d) & d^{2}+b c\end{array}\right)$ + +$$ +\begin{aligned} +X^{-2}=\left(X^{2}\right)^{-1}=\left(X^{-1}\right)^{2}=\left(\frac{1}{\operatorname{det} X} X^{*}\right)^{2} & =\left(X^{*}\right)^{2}=\left(\begin{array}{cc} +d & -b \\ +-c & a +\end{array}\right)= \\ +& =\left(\begin{array}{cc} +d^{2}+b c & -b(d+a) \\ +-c(d+a) & a^{2}+b c +\end{array}\right) +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow X^{2}+X^{-2}=\left(\begin{array}{cc} +a^{2}+2 b c+d^{2} & 0 \\ +0 & a^{2}+2 b c+d^{2} +\end{array}\right) \\ +& 1 \text { punct } \\ +& X^{2}+X^{-2}=I_{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} +a^{2}+2 b c+d^{2}=1 \\ +a^{2}+2 b c+d^{2}=1 +\end{array}\right. +\end{aligned} +$$ + +Din $\operatorname{det} X=1 \Rightarrow a d-b c=1$, deci $2 b c=2 a d-2$ + +Egalitatea $a^{2}+2 b c+d^{2}=1$ devine $a^{2}+2 a d-2+d^{2}=1 \Leftrightarrow$ + +$$ +\Leftrightarrow(a+d)^{2}=3 \quad \text { imposibilă cu } a, d \in \mathbf{Z} \text {. } +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1196-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1196-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14e0298596c8e299b48075c340b2ad5ee9356f02 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1196-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,165 @@ +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE STIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$ + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +$$ +\text { clasa a } X-a +$$ + +## SUBIECTUL I + +Arătați că pentru orice $a, b \in(0,1)$ sau $(1, \infty)$ are loc relația $\log _{a}^{2} b+\log _{b}^{2} a \geq \log _{a} b+\log _{b} a$. + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve următoarea ecuaţie logaritmică: $x^{\log _{3}(x-1)}+2 \cdot(x-1)^{\log _{3} x}=3 \cdot x^{2}$ + +## SUBIECTUL III + +Să se demonstreze că dacă $z \in C^{*}$, atunci $\left|z+\frac{1}{z}\right|^{4} \geq 4\left(1+2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)\right)$. + +## SUBIECTUL IV + +Să se determine funcțiile $\quad f, g:(0, \infty) \rightarrow R$ cu proprietatea că $f\left(\frac{x}{3}\right)+2 \leq \log _{3} x \leq g(x)-1$ şi $g\left(\frac{x}{3}\right) \leq \log _{3} x \leq f(x)+1$ oricare ar fi $x \in(0, \infty)$. + +NOTĂ: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu maxim 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore + +## SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NATIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$ + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +## clasa a $X-a$ + +## SUBIECTUL I + +Arătați că pentru orice $a, b \in(0,1)$ sau $(1, \infty)$ are loc relația $\log _{a}^{2} b+\log _{b}^{2} a \geq \log _{a} b+\log _{b} a$. + +(propusă de prof. Sîrb Vasile - C.T. ,A.P.I." Zalău) + +Barem de corectare + +Notăm $\log _{a} b=x$. Inegalitatea devine: + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \geq x+\frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x} \geq 0 \Leftrightarrow \\ +& \text {......................... } 2 \mathrm{~F} \\ +& x(x-1)+\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-1\right) \geq 0 \Leftrightarrow x(x-1)+\frac{1}{x}\left(\frac{1-x}{x}\right) \geq 0 \Leftrightarrow \\ +& \text {....................... } 2 \text { P } \\ +& x(x-1)-\frac{1}{x}\left(\frac{x-1}{x}\right) \geq 0 \Leftrightarrow(x-1)\left(x-\frac{1}{x^{2}}\right) \geq 0 \Leftrightarrow(x-1)\left(\frac{x^{3}-1}{x^{2}}\right) \geq 0 \\ +& \Leftrightarrow \frac{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}{x^{2}} \geq 0 \text {, adevărat. } +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve următoarea ecuație logaritmică: $x^{\log _{3}(x-1)}+2 \cdot(x-1)^{\log _{3} x}=3 \cdot x^{2}$ + +Selectată de către prof. Bara Lajos din „Cele mai frumoase probleme de matematică" de Dan şi Vlad Sachelarie. + +Barem de corectare + +Se pun condițile inițiale: $x>0, x>1, x \neq 1, x-1 \neq 1 \Rightarrow x>1, x \neq 2$ $\qquad$ 1 punct + +Folosind identitatea: $a^{\log _{c} b}=b^{\log _{c} a}$ + +ecuația dată devine: $x^{\log _{3}(x-1)}+2 \cdot x^{\log _{3}(x-1)}=3 \cdot x^{2}$ $\qquad$ 3 puncte + +$$ +x^{\log _{3}(x-1)}=x^{2} +$$ + +1 punct + +Din ecuația de mai sus rezultă $\log _{3}(x-1)=2$ 1 punct + +$\mathrm{Cu}$ soluția + +$$ +x_{1}=10 +$$ + +1 punct + +## SUBIECTUL III + +Să se demonstreze că dacă $z \in C^{*}$, atunci $\left|z+\frac{1}{z}\right|^{4} \geq 4\left(1+2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)\right)$. + +selectată de prof. Lucaciu Simona din culegere de probleme + +Barem de corectare + +Notăm $\left|z+\frac{1}{z}\right|=m>0$. + +$m^{2}=\left|z+\frac{1}{z}\right|^{2}=\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}\right)=z \cdot \bar{z}+\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}+\frac{1}{z \cdot \bar{z}}=|z|^{2}+\frac{1}{|z|^{2}}+\frac{2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)}{|z|^{2}}$ + +..... 3puncte + +Notăm $|z|^{2}=t$ şi obținem + +$$ +\begin{aligned} +t+\frac{1+2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)}{t} & =m^{2} \Rightarrow \\ +\Rightarrow t^{2}-m^{2} t+1+2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right) & =0 +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ +2 puncte + +Punem conditia $\Delta \geq 0$ $\qquad$ 1 punct + +$\Rightarrow m^{4} \geq 4\left(1+2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)\right) \Rightarrow$ + +$\Rightarrow\left|z+\frac{1}{z}\right|^{4} \geq 4\left(1+2 \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)\right)$ .1 punct + +## SUBIECTUL IV + +Să se determine funcțiile $\quad f, g:(0, \infty) \rightarrow R$ cu proprietatea că $f\left(\frac{x}{3}\right)+2 \leq \log _{3} x \leq g(x)-1$ şi $g\left(\frac{x}{3}\right) \leq \log _{3} x \leq f(x)+1$ oricare ar fi $x \in(0, \infty)$. + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +Barem de evaluare + +Înlocuind pe $x$ cu $3 x$ în inegalitățile $\qquad$ + +$$ +f\left(\frac{x}{3}\right)+2 \leq \log _{3} x \quad \text { şi } \quad g\left(\frac{x}{3}\right) \leq \log _{3} x +$$ + +rezultă: + +$f(x) \leq \log _{3} x-1 \quad$ şi $\quad g(x) \leq \log _{3} x+1, \forall x \in(0, \infty)$. + +2 puncte + +Cum $\quad f(x) \geq \log _{3} x-1$ + +şi $f(x) \leq \log _{3} x-1 \Rightarrow f(x)=\log _{3} x-1$ + +.2 puncte + +respectiv: + +din ipoteză $1+\log _{3} x \leq g(x)$ + +$$ +\text { şi } g(x) \leq \log _{3} x+1, \forall x \in(0, \infty) \Rightarrow g(x)=\log _{3} x+1 +$$ + +2 puncte + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1197-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1197-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..44e5e506ea83da4100ff03a5d555c45a0f9e4e4d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1197-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,170 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL DE MATEMATICA + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că $A=\frac{9}{\sqrt{23+8 \sqrt{7}}}+\sqrt{32+10 \sqrt{7}} \in \mathbf{Z}$ + +b) Demonstrați că dacă $x, y, z$ sunt numere întregi impare, atunci $y^{2}-4 x z$ nu poate fi pătrat perfect. + +## SUBIECTUL II + +Arătați că oricare ar fi n, număr rațional pozitiv nenul, astfel încât + +$\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\ldots+\frac{2013}{n+2013}=2012$, atunci $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2013}=\frac{1}{n}$ + +## SUBIECTUL III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=30 \mathrm{~cm}$ ș i $\mathrm{BC}=36 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{D}$ mijlocul laturii $\mathrm{BC}$. În punctul $\mathrm{A}$ se ridică perpendiculara $\mathrm{AM}=10 \mathrm{~cm}$,pe planul $(\mathrm{ABC}$ ). + +a)Calculaț i MB ș i MD; + +b)Fie [AE ș i [AF bisectoarele unghiurilor MAB ș i MAC , $E \in(\mathrm{MB}), \mathrm{F} \in$ (MC).Arătaț i că EF || (ABC); + +c) Calculaț i lungimea segmentului EF. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $\mathrm{SABCD}$ o piramidă patrulateră regulată $\mathrm{AM} \perp \mathrm{SB}, \mathrm{BN} \perp \mathrm{SC}, \mathrm{CP} \perp \mathrm{SD}, \mathrm{DQ} \perp \mathrm{SA}$ şi $\mathrm{R}$ simetricul lui $\mathrm{N}$ față de AC. + +a) Demonstrați că punctele B,R,Q,D sunt coplanar. + +b) Aflați măsura unghiului dintre dreptele MP şi RQ. + +G.M.(Nr.5/2012) + +NOTĂ: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu maxim 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NATIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$ + +## etapa locală, 9 februarie 2013 + +clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că $A=\frac{9}{\sqrt{23+8 \sqrt{7}}}+\sqrt{32+10 \sqrt{7}} \in \mathbf{Z}$ + +b) Demonstrați că dacă $x, y, z$ sunt numere întregi impare, atunci $y^{2}-4 x z$ nu poate fi pătrat perfect. + +Selectata de catre prof. Faluvégi Melania din Gazeta Matlap nr.10/2012 + +## Barem de corectare + +a) $\sqrt{23+8 \sqrt{7}}=\sqrt{16+2 \cdot 4 \sqrt{7}+7}=\sqrt{(4+\sqrt{7})^{2}}=|4+\sqrt{7}|=4+\sqrt{7}$ $\qquad$ + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{32+10 \sqrt{7}}=\sqrt{25+2 \cdot 5 \sqrt{7}+7}=\sqrt{(5+\sqrt{7})^{2}}=|5+\sqrt{7}|=5+\sqrt{7} \Rightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \\ +& \Rightarrow A=\frac{9}{4+\sqrt{7}}+5+\sqrt{7}=\frac{9(4-\sqrt{7})}{16-7}+5+\sqrt{7}=4-\sqrt{7}+5+\sqrt{7}=9 \in \mathbf{Z} \ldots \ldots \ldots .2 p +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ +b)Fie $x, y, z$ numere întregi impare, adică $x=2 n+1, y=2 m+1, z=2 p+1$ şi presupunem că $y^{2}-4 x z$ este pătrat perfect $\Rightarrow y^{2}-4 x z=(2 m+1)^{2}-4(2 n+1)(2 p+1)=(2 k+1)^{2}, \quad$ deci: $4 m^{2}+4 m+1-4(4 n p+2 n+2 p+1)=4 k^{2}+4 k+1 \mid-1$ $\qquad$ $2 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow 4 m^{2}+4 m-4(4 n p+2 n+2 p+1)=4 k^{2}+4 k \mid: 4 \Rightarrow m^{2}+m+-(4 n p+2 n+2 p+1)=k^{2}+k \Rightarrow$ $m(m+1)-(4 n p+2 n+2 p+1)=k(k+1)$ unde $\quad m(m+1) s ̧ i k(k+1)$ fiind numere pare $\Rightarrow 4 n p+2 n+2 p+1$ număr par, ceea ce este imposibil, deci presupunerea făcută este incorectă $\Rightarrow y^{2}-4 x z$ nu este pătrat perfect. $\qquad$ $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL II + +Arătați că oricare ar fi n, număr rațional pozitiv nenul, astfel încât + +$$ +\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\ldots+\frac{2013}{n+2013}=2012, \text { atunci } \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2013}=\frac{1}{n} +$$ + +Barem de notare + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\ldots+\frac{2013}{n+2013}=2012 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow\left(\frac{1}{n+1}-1\right)+\left(\frac{2}{n+2}-1\right)+\ldots+\left(\frac{2013}{n+2013}-1\right)=-1 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow \frac{-n}{n+1}+\frac{-n}{n+2}+\ldots+\frac{-n}{n+2013}=-1 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow n \cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2013}\right)=1 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2013}=\frac{1}{n} +\end{aligned} +$$ + +n număr rațional strict pozitiv . + +## SUBIECTUL II + +În triunghiul $\mathrm{ABC}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=30 \mathrm{~cm}$ ș i $\mathrm{BC}=36 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{D}$ mijlocul laturii $\mathrm{BC}$. În punctul $\mathrm{A}$ se ridică perpendiculara $\mathrm{AM}=10 \mathrm{~cm}$,pe planul (ABC). + +a)Calculaț i MB ș i MD; + +b)Fie [AE ș i [AF bisectoarele unghiurilor MAB ș i MAC ,E $\in$ (MB),F $\in$ (MC).Arătaț i că EF \|| (ABC); + +c) Calculaț i lungimea segmentului EF. + +Selectată de prof. POPAN TIBI VASILE Culegere de probleme -CLUBUL DE MATEMATIC $\breve{A}$ A Ed. ART + +## Barem de notare + +a)Calcularea lui $\mathrm{MB}=10 \sqrt{10}$ $1 p$ + +$$ +\mathrm{MD}=2 . +$$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3b58071461cdb3156d80g-3.jpg?height=97&width=1607&top_left_y=2550&top_left_x=130) + +$\frac{M E}{E B}=\frac{A M}{A B}=\frac{1}{3}$. + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3b58071461cdb3156d80g-4.jpg?height=201&width=1096&top_left_y=450&top_left_x=394)$\qquad$ +c) + +$\mathrm{EF}=9$ + +$1 p$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $\mathrm{SABCD}$ o piramidă patrulateră regulată $\mathrm{AM} \perp \mathrm{SB}, \mathrm{BN} \perp \mathrm{SC}, \mathrm{CP} \perp \mathrm{SD}, \mathrm{DQ} \perp \mathrm{SA}$ şi $\mathrm{R}$ simetricul lui $\mathrm{N}$ față de AC. + +a) Demonstrați că punctele $\mathrm{B}, \mathrm{R}, \mathrm{Q}, \mathrm{D}$ sunt coplanar. + +b) Aflați măsura unghiului dintre dreptele MP şi RQ. + +G.M.(Nr.5/2012) + +Barem: a) figura + +$\mathrm{QE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{NR} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{F}\} \Rightarrow[\mathrm{AQ}] \equiv[\mathrm{QN}]$ + +$[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{CF}],[\mathrm{OE}] \equiv[\mathrm{OF}]$ ş $[\mathrm{EQ}] \equiv[\mathrm{NF}], \mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\{\mathrm{O}\} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{QE}, \mathrm{NP} \subset(\mathrm{SAC})$ şi $\mathrm{QE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{NF} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{QE} \| \mathrm{NF} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$[\mathrm{QE}] \equiv[\mathrm{NF}] \equiv[\mathrm{RR}] \Rightarrow \mathrm{EQFR}$ paralelogram $\Rightarrow \mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{R}, \mathrm{Q}$ coplanare $1 \mathrm{p}$ +b) $[\mathrm{BM}] \equiv[\mathrm{DP}]$ şi $\triangle \mathrm{SDB}$ isoscel $\Rightarrow \mathrm{PM} \| \mathrm{BD}$ + +$$ +\Varangle(\mathrm{MP}, \mathrm{QR})=\Varangle(\mathrm{BD}, \mathrm{QR}) +$$ + +$\mathrm{BD} \perp$ (ASC), $\mathrm{QN} \subset$ (ASC) $\Rightarrow \mathrm{BD} \perp \mathrm{OQ}$ + +Finalizare + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1198-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1198-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72da3c037218c8c3b40e45e7610178889b3e5b55 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1198-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,130 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL DE MATEMATICA + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +## clasa a VII-a + +## SUBIECTUL I + +Fie numărul $A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{1+2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{1+2+3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{\sqrt{1+2+3+4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{1+2+3+\ldots \ldots+n}}$. + +Determinați numărul natural $n$, astfel încât valoarea lui $A$ să fie $\frac{n-5}{n+1}$. + +## SUBIECTUL II + +Să se determine toate perechile de numere naturale $(x, y)$ care satisfac conditia: $x^{3} \cdot y=1512-x^{3}$. + +## SUBIECTUL III + +Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$ şi cu $m(\frac{N M}{A N}$ + +$=\frac{D M}{A E}=\frac{1}{2}=>\mathrm{AN}=2 \mathrm{NM}$. + +$2 \mathrm{p}$. + +CumBP=2MP + +$.1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{NM}=\mathrm{MP}=>\mathrm{AN}=\mathrm{NP}=\mathrm{PB}$ $.1 \mathrm{p}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1199-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1199-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0417024c074d70e16631a3e0bfcf54b72b5ab11e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1199-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,132 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL DE MATEMATICA + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +clasa a VI-a + +## SUBIECTUL I + +Arătaț i că numărul $A=2 \cdot(1+2+3+\ldots+100) \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{100 \cdot 101}\right)$ este pătrat perfect. + +## SUBIECTUL II + +Aflați numerele naturale $a$ şi $b$ ştiind că cel mai mic multiplu comun al lor este de 15 ori mai mare decât cel mai mare divizor comun al acestora şi $5 a+3 b=150$ + +E: 14397 GM 10 / 2012 + +## SUBIECTUL III + +a)Demonstrați că numărul $\mathbf{A}=12^{2 \mathrm{n}+3}-2^{2 \mathrm{n}+1} \cdot 6^{2 \mathrm{n}+3}$ este pătrat perfect, oricare ar fi $n$, număr natural. + +b) Arătați că numărul $\mathbf{B}=2^{2013}+3^{2013}$ este divizibil cu 5 . + +## SUBIECTUL IV + +Se consider unghiul MON cu măsura de $90^{\circ}$ ș i punctele coliniare A,O,B astfel încât $\mathrm{OE}(\mathrm{AB}$ ) .Dacă (OE este bisectoarea unghiului AOM iar (OF este bisectoarea unghiului BON, arătaț i că $\mathrm{m}\left(<\mathrm{EOF}\right.$ ) $=45^{\circ}$ sau $\mathrm{m}(<\mathrm{EOF})=135^{\circ}$. + +G.M. nr. 1 - 2010 + +## NOTÄ: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu maxim 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore + +## SOCIETATEA DE \$TIINŢE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL DE MATEMATICA + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +## clasa a VI-a + +## SUBIECTUL I + +Arătaț i că numărul $A=2 \cdot(1+2+3+\ldots+100) \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{100 \cdot 101}\right)$ este pătrat perfect. + +Propusă de prof. Marius Mureşan (Manual cl. a VII-a, Ed. Teora) + +Barem de corectare ș i notare + +Calculează $1+2+3+\ldots+100$ $.2 \mathrm{p}$ + +Scrie relat ia $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \ldots \ldots .1 p$ + +Calculează a doua paranteză $.2 \mathrm{p}$ + +Finalizare $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL II + +Aflați numerele naturale $a$ şi $b$ ştiind că cel mai mic multiplu comun al lor este de 15 ori mai mare decât cel mai mare divizor comun al acestora şi $5 a+3 b=150$ + +E: 14397 GM 10 / 2012 + +Barem de notare + +$(\mathbf{a} ; \mathbf{b})=\mathbf{d} \Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{d x}, \mathbf{b}=\mathbf{d y},(\mathrm{x} ; \mathrm{y})=1 \Rightarrow[\mathbf{a} ; \mathbf{b}]=\mathbf{d x y}$ + +$[\mathbf{a} ; \mathbf{b}]=15(\mathbf{a} ; \mathbf{b}) \Leftrightarrow \mathbf{d x y}=15 \mathbf{d} \Leftrightarrow \mathrm{xy}=15$ + +$(x ; y) \in\{(1 ; 15) ;(3 ; 5) ;(5 ; 3) ;(15 ; 1)\} \quad 1 p$ + +$(\mathbf{a} ; \mathbf{b}) \in\{(\mathbf{d} ; 15 \mathbf{d}) ;(3 \mathbf{d} ; 5 \mathbf{d}) ;(5 \mathbf{d} ; 3 \mathbf{d}) ; \mathbf{( 1 5 d ; d ) \}} 1 \mathrm{p}$ + +$5 \mathbf{a}+3 \mathbf{b}=150 \Leftrightarrow \mathbf{d} \in\left\{3 ; 5 ; \frac{75}{17} ; \frac{75}{42}\right\}$, dar $\mathbf{d} \in \mathbf{N} \Rightarrow \mathbf{d} \in\{3 ; 5\} \quad$ 2p + +(a;b) $\in\{(3 ; 15) ;(15 ; 25)\} \quad 1 p$ + +a)Demonstrați că numărul $\mathbf{A}=12^{2 n+3}-2^{2 n+1} \cdot 6^{2 n+3}$ este pătrat perfect, oricare ar fi $n$, număr natural. + +b) Arătați că numărul $\mathbf{B}=2^{2013}+3^{2013}$ este divizibil cu 5 . + +autor prof.CHIS MARIA + +Barem de notare + +1. a) $\mathbf{A}=3^{2 n+3} \cdot 2^{4 n+6}-2^{2 n+1} \cdot 2^{2 n+3} \cdot 3^{2 n+3} \quad 1 p$ + +$\mathbf{A}=3^{2 \mathrm{n}+3} \cdot 2^{4 \mathrm{n}+4}\left(2^{2}-1\right) \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathbf{A}=3^{2 \mathrm{n}+4} \cdot 2^{4 \mathrm{n}+4}=\left(3^{\mathrm{n}+2} \cdot 2^{2 \mathrm{n}+2}\right)^{2} \quad 1 \mathrm{p}$ + +b) B este divizibil cu 5 dacă are ultima cifră 0 sau $5 \quad 1$ p + +$$ +\begin{array}{ll} +\mathrm{U}\left(2^{2011}\right)=\mathrm{U}\left(2^{4.503+1}\right)=\mathrm{U}\left(2^{1}\right)=2 & 1 \mathrm{p} \\ +\mathrm{U}\left(3^{2011}\right)=\mathrm{U}\left(3^{4.503+1}\right)=\mathrm{U}\left(3^{1}\right)=3 & 1 \mathrm{p} \\ +\mathrm{U}(\mathrm{B})=\mathrm{U}(2+3)=\mathrm{U}(5)=5 & 1 \mathrm{p} +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Se consider unghiul MON cu măsura de $90^{\circ} \mathrm{s}$ i punctele coliniare $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{B}$ astfel încât $\mathrm{OE}(\mathrm{AB})$.Dacă (OE este bisectoarea unghiului AOM iar (OF este bisectoarea unghiului BON, arătaț i că $\mathrm{m}\left(<\mathrm{EOF}\right.$ ) $=45^{\circ}$ sau $\mathrm{m}(<\mathrm{EOF})=135^{\circ}$. + +Selectată de prof. POPAN TIBI VASILE, G.M. nr. 1 - 2010 + +Barem de notare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fd0c8a298589cf31241cg-3.jpg?height=63&width=1099&top_left_y=2130&top_left_x=387) + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{m}(2^{2 n-3}=32 \cdot 4^{n-4}>27 \cdot 3^{n-4}=3^{n-1}$ și ajungem la o contradictie. + +$2 p$ + +Problema 2. Pe laturile $A B$ ssi AC ale triunghiului ascutitunghic $A B C$ se construiesc, $\hat{\imath}$ exteriorul acestuia, triunghiurile $A B P$ și $A C Q$ cu $\Varangle P=\Varangle Q=90^{\circ}$ ssi $\Varangle B A P \equiv \Varangle C A Q$. Notăm cu $M$ mijlocul laturii $B C$ și cu $N$ piciorul inălțimii din $A$ a triunghiului $A B C$. + +Demonstrați că punctele $M, N, P$ și $Q$ sunt conciclice. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f7b3037885ef0f887464g-2.jpg?height=691&width=905&top_left_y=1666&top_left_x=621) + +Soluţie. Notăm cu $a$ măsura unghiului $A$ şi fie $x=\widehat{B A P}=\widehat{C A Q}$. + +Cum $\widehat{A P B}=\widehat{A N B}=90^{\circ}$, punctele $A, P, B$ și $N$ sunt conciclice. Atunci $\widehat{P N A}=\widehat{P B A}=$ $90^{\circ}-x$. Analog se arată că $\widehat{Q N A}=\widehat{Q C A}=90^{\circ}-x$, prin urmare $\widehat{P N Q}=180^{\circ}-2 x . \ldots .2 \mathbf{p}$ + +Fie $D$ și $E$ mijloacele laturilor $A B$, respectiv $A C$. Patrulaterul $A D M E$ este un paralelogram, asadar $\widehat{D M E}=\widehat{A}=a . P D$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $P A B$, deci $P D=D A$. Deducem că $\widehat{P D A}=180^{\circ}-2 x$. Analog, $\widehat{A E Q}=180^{\circ}-2 x \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +În cazul în care punctele $M, D$ și $P$ sunt coliniare, avem că $\widehat{P D A} \equiv \widehat{A}$, de unde $a+2 x=180^{\circ}$. Rezultă că punctele $M, E, Q$ sunt, și ele, coliniare. Astfel, $\widehat{P M Q}=\widehat{D M E}=a=180^{\circ}-2 x=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f7b3037885ef0f887464g-3.jpg?height=63&width=1585&top_left_y=825&top_left_x=281) + +Dacă punctele $M, D$ și $P$ sunt necoliniare, atunci $a+2 x \neq 180^{\circ}$, iar punctele $M, E, Q$ sunt, și ele, necoliniare. În cele ce urmează, presupunem că $a+2 x<180^{\circ}$, cealaltă situație tratându-se similar. + +Cum $P D=\frac{1}{2} A B=M E, D M=\frac{1}{2} A C=Q E$ și $\widehat{P D M}=\widehat{M E Q}=a+2 x$, triunghiurile $P D M$ și $M E Q$ sunt congruente și, de aici, $\widehat{P M D} \equiv \widehat{M Q E}$. + +Rezultă că $\widehat{P M Q}=\widehat{P M D}+\widehat{D M E}+\widehat{E M Q}=\widehat{M Q E}+a+\widehat{E M Q}=a+180^{\circ}-\widehat{M E Q}=$ $a+180^{\circ}-(a+2 x)=180^{\circ}-2 x=\widehat{P N Q}$, deci punctele $M, N, P$ s, $Q$ sunt conciclice. $3 p$ + +Problema 3. Pe latura BC a paralelogramului $A B C D$ se consideră punctele $E$ și F. Notăm cu $G$ și H punctele în care dreapta $C D$ intersectează dreptele $A E$, respectiv $A F$, și cu I punctul de intersecție a dreptelor $E H$ ssi $F G$. + +Demonstrați că dreptele BD și CI sunt paralele. + +Soluţie. Notăm cu $a$ și $b$ lungimile laturilor $A B$, respectiv $A D$, iar $x$ și $y$ vor fi lungimile segmentelor $C G$, respectiv $C H$. Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că $x60^{\circ}$ şi $m(\widehat{C})>30^{\circ}$. In semiplanul determinat de dreapta $B C$ care nu conţine punctul $A$, se consideră punctele $D$ şi $E$ astfel încât $m(\widehat{A B E})=m(\widehat{C B D})=90^{\circ}$ şi $m(\widehat{B A E})=m(\widehat{B C D})=60^{\circ}$. Se notează cu $F$ şi $H$ mijloacele segmentelor $[A E]$, respectiv $[C D]$, iar cu $G$ intersecţia dreptelor $A C$ şi $D E$. Arătaţi că: +a) $\triangle E B D \sim \triangle A B C$; +b) $\triangle F G H \equiv \triangle A B C$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-2.jpg?height=274&width=266&top_left_y=221&top_left_x=282) + +## MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE + + ȘI CERCETARII STTIINȚTIFICE +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 19 martie 2016 + +## SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. Determinaţi numerele naturale nenule $x$ şi $y$ care verifică relaţia + +$$ +x+y=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x y} +$$ + +Gazeta Matematică + +## Soluţia 1. + +Scriind egalitatea sub forma $(x+y)-\sqrt{x}=\sqrt{x y}+\sqrt{y}$ şi ridicând la pătrat, obţinem $x^{2}+x y+y^{2}+x-y=$ $2(2 y+x) \sqrt{x}$. Cum $2 y+x \neq 0$, rezultă că $\sqrt{x} \in \mathbb{Q}$, deci $x$ este pătrat perfect. Similar, $y$ este pătrat perfect $\ldots \mathbf{2 p}$ + +Notând $\sqrt{x}=a$ şi $\sqrt{y}=b$, egalitatea $a^{2}+b^{2}=a b+a+b$ conduce la $(a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=2 \ldots \ldots \mathbf{3 p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-2.jpg?height=49&width=1737&top_left_y=1187&top_left_x=210) + +## Soluţia 2. + +Înmulţind cu 2 egalitatea din enunţ şi trecând toţi termenii în membrul stâng obţinem: + +$(x-2 \sqrt{x y}+y)+x-2 \sqrt{x}+y-2 \sqrt{y}=0$, ceea ce se scrie $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}+(\sqrt{x}-1)^{2}+(\sqrt{y}-1)^{2}=2 \ldots \ldots .3 \mathbf{p}$ + +Atunci $(\sqrt{x}-1)^{2} \leq 2$, de unde $\sqrt{x} \leq \sqrt{2}+1$, adică $x \leq 3+2 \sqrt{2}$, si, cum $x \in \mathbb{N}^{*}$, rezultă $x \in\{1,2,3,4,5\}$. Similar, $y \in\{1,2,3,4,5\}$ 2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-2.jpg?height=62&width=1737&top_left_y=1495&top_left_x=213) + +Observaţie. Prima parte a soluţiei de mai sus poate fi înlocuită cu următoarea argumentaţie: + +Deoarece $\sqrt{x y} \leq \frac{x+y}{2}$, din egalitatea din enunţ rezultă $\frac{x+y}{2} \leq \sqrt{x}+\sqrt{y} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ + +de unde $x-2 \sqrt{x}+y-2 \sqrt{y} \leq 0$, adică $(\sqrt{x}-1)^{2}+(\sqrt{y}-1)^{2} \leq 2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 p$ + +Problema 2. Se consideră mulţimea + +$$ +M=\left\{x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\ldots+2015 x_{2015} \mid x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2015} \in\{-2,3\}\right\} +$$ + +Arătaţi că $2015 \in M$ şi $2016 \notin M$. + +## Soluţie. + +Un număr întreg $n$ aparţine mulţimii $M$ dacă există submulţimile disjuncte $A$ şi $B$ ale mulţimii $S=\{1,2, \ldots, 2015\}$, cu $A \cup B=S$, astfel încât $-2 a+3 b=n$, unde $a$ este suma elementelor lui $A$ şi $b$ este suma elementelor lui $B$ (pentru mulţimea vidă se consideră că suma "elementelor" este 0 ) + +$2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-2.jpg?height=52&width=1735&top_left_y=2153&top_left_x=214) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-2.jpg?height=51&width=1738&top_left_y=2193&top_left_x=211) + +Pentru a arăta că $2015 \in M$, este suficient să găsim o submulţime $B \subset\{1,2, \ldots, 2015\}$ cu suma elementelor + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-2.jpg?height=90&width=1797&top_left_y=2275&top_left_x=153) + +Un exemplu se obţine dacă $B$ este reuniunea a 403 perechi de elemente din $S$ care au suma 2017, de pildă $(2,2015)$, $(3,2014), \ldots,(404,1613)$. + +Considerând aşadar $x_{2}=x_{3}=\ldots=x_{404}=x_{1613}=x_{1614}=\ldots=x_{2015}=3$ şi $x_{1}=x_{405}=x_{406}=\ldots=x_{1612}=-2$, obţinem $2015 \in M$ + +Problema 3. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel $A B C$ cu $m(\widehat{B A C})=90^{\circ}$. Pe dreapta perpendiculară în $B$ pe $B C$ se consideră punctul $D$ astfel încât $A D=B C$. Determinaţi măsura unghiului $\widehat{B A D}$. + +## Solutia 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-3.jpg?height=369&width=477&top_left_y=607&top_left_x=434) + +Cazul 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-3.jpg?height=341&width=564&top_left_y=648&top_left_x=1125) + +Cazul 2 + +Cazul 1. $D$ şi $A$ sunt în semiplane diferite determinate de dreapta $B C$. + +Notând $\{E\}=A C \cap D B$, rezultă că $m(\widehat{A B E})=45^{\circ}$, deci $[B A]$ este bisectoare şi înălţime în triunghiul $B E C$. Ca urmare, $[A E] \equiv[A C]$ $1 p$ + +Construind $A M \perp B E$, rezultă că $[A M]$ este linie mijlocie în triunghiul $E B C$, deci $A M=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} A D \ldots \mathbf{1 p}$ În triunghiul dreptunghic $M A D$, cateta $[A M]$ este jumătate din ipotenuza $[A D]$, deci $m(\widehat{A D B})=30^{\circ} \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ Rezultă $m(\widehat{B A D})=180^{\circ}-m(\widehat{A D B})-m(\widehat{A B D})=180^{\circ}-30^{\circ}-135^{\circ}=15^{\circ} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ + +Cazul 2. $D$ şi $A$ sunt în acelaşi semiplan determinat de dreapta $B C$. + +Notând $\{E\}=A C \cap D B$, rezultă că $m(\widehat{A B E})=45^{\circ}$, deci $[B A]$ este bisectoare şi înălţime în triunghiul $B E C$. Ca urmare, $[A E] \equiv[A C]$ + +Construind $A M \perp B E$, rezultă că $[A M]$ este linie mijlocie în triunghiul $E B C$, deci $A M=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} A D$. În triunghiul dreptunghic $M A D$, cateta $[A M]$ este jumătate din ipotenuza $[A D]$, deci $m(\widehat{A D B})=30^{\circ}$ $1 p$ + +Rezultă $m(\widehat{B A D})=180^{\circ}-m(\widehat{A D B})-m(\widehat{A B D})=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$ $1 p$ + +## Soluţia 2. + +Cazul 1. $D$ şi $A$ sunt în semiplane diferite determinate de dreapta $B C$. + +Construind dreptunghiul $B C F D$, rezultă că $[A D] \equiv[B C] \equiv[D F]$ $2 p$ + +$\triangle A B D \equiv \triangle A C F$ (L.U.L.), de unde $[A D] \equiv[A F]$ şi $\widehat{B A D} \equiv \widehat{C A F}$ $1 p$ + +Cum $[A D] \equiv[A F]$ şi $[A D] \equiv[D F]$, triunghiul $A D F$ este echilateral, deci: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-3.jpg?height=91&width=1528&top_left_y=2123&top_left_x=418) + +Cazul 2. $D$ şi $A$ sunt în acelaşi semiplan determinat de dreapta $B C$. + +Construind dreptunghiul $B C F D$, rezultă că $[A D] \equiv[B C] \equiv[D F]$ $2 p$ + +$\triangle A B D \equiv \triangle A C F$ (L.U.L.), de unde $[A D] \equiv[A F]$ si $\widehat{B A D} \equiv \widehat{C A F}$ $1 p$ + +Cum $[A D] \equiv[A F]$ şi $[A D] \equiv[D F]$, triunghiul $A D F$ este echilateral, de unde: + +$$ +m(\widehat{B A D})=\frac{1}{2}\left(360^{\circ}-m(\widehat{D A F})-m(\widehat{B A C})\right)=105^{\circ} +$$ + +Problema 4. Se consideră triunghiul $A B C$, cu $m(\widehat{A})>60^{\circ}$ şi $m(\widehat{C})>30^{\circ}$. În semiplanul determinat de dreapta $B C$ care nu conţine punctul $A$, se consideră punctele $D$ şi $E$ astfel încât $m(\widehat{A B E})=m(\widehat{C B D})=90^{\circ}$ şi $m(\widehat{B A E})=m(\widehat{B C D})=60^{\circ}$. Se notează cu $F$ şi $H$ mijloacele segmentelor $[A E]$, respectiv $[C D]$, iar cu $G$ intersecţia dreptelor $A C$ şi $D E$. Arătaţi că: +a) $\triangle E B D \sim \triangle A B C$ +b) $\triangle F G H \equiv \triangle A B C$. + +## Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-4.jpg?height=794&width=553&top_left_y=763&top_left_x=775) + +a) Din enunţ rezultă că $\triangle A B E \sim \triangle C B D$, de unde $\frac{B E}{B D}=\frac{A B}{C B}$, adică $\frac{E B}{A B}=\frac{B D}{B C} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{1 p}$ Deoarece unghiurile $A B C$ şi $E B D$ au acelaşi complement, rezultă că $\widehat{A B C} \equiv \widehat{E B D}$, deci $\triangle E B D \sim \triangle A B C$ (L.U.L.) + +$1 p$ + +b) Din $\triangle E B D \sim \triangle A B C$ avem $\widehat{A C B} \equiv \widehat{B D E}$, de unde rezultă că: + +$m(\widehat{D G C})=360^{\circ}-(m(\widehat{C B D})+m(\widehat{B D E})+m(\widehat{B C G}))=360^{\circ}-(m(\widehat{C B D})+m(\widehat{A C B})+m(\widehat{B C G}))=90^{\circ} \ldots 1 \mathbf{p}$ + +$[G F]$ este mediană în triunghiul dreptunghic $G A E$, deci $G F=\frac{1}{2} A E$. Cum $[A B]$ se opune unui unghi de $30^{\circ}$ in triunghiul dreptunghic $B A E$, rezultă $A B=\frac{1}{2} A E$, deci $[A B] \equiv[F G]$. Analog se arată că $[B C] \equiv[G H] \ldots \ldots$. $2 \mathbf{p}$ + +Din $\Delta F G H \equiv \triangle F B H$ (L.L.L.) rezultă că $m(\widehat{F G H})=m(\widehat{F B H})=90^{\circ}-m(\widehat{H B D})-m(\widehat{C B F})$. + +Având în vedere că $m(\widehat{H B D})=m(\widehat{H D B})=30^{\circ}$ şi că $m(\widehat{C B F})=m(\widehat{A B F})-m(\widehat{A B C})=60^{\circ}-m(\widehat{A B C})$, obţinem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5a629986d671ce233b02g-4.jpg?height=57&width=1797&top_left_y=2178&top_left_x=150) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1200-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1200-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..900f5a2adde95f35b0b0f2a3bb3e1493c4d6476b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1200-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,108 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAȚIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$ + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +clasa a $V$-a + +## SUBIECTUL I + +Dacă 3 caiete şi 5 pixuri costă 22 lei iar 4 caiete şi 2 pixuri costă 20 lei, cât costă 10 caiete şi 15 pixuri. + +## SUBIECTUL II + +Se dau numerele $a$ şi $b, a>b$. Dacă la împărțirea lui $a$ la diferența lor obținem câtul 2 şi restul 3, care este câtul şi restul împărțirii lui $b$ la diferența lor? + +E:14143, nr. 3/2010 + +## SUBIECTUL III + +Arătați că numărul $n=1+3+5+$ $\qquad$ $+2011+2013$ este pătrat perfect. + +## SUBIECTUL IV + +Fiind date numerele $a=2^{2000}-3 \cdot 2^{1998}-3 \cdot 2^{1996}-2^{1996}$ şi $b=2^{1995}$ să se determine ultima cifră a numărului $a+b$ + +NOTÄ: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu maxim 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore + +## SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ
OLIMPIADA NAȚIONAL $\breve{A}$ DE MATEMATICA
etapa locală, 9 februarie 2013
clasa a $V$-a + +## SUBIECTUL I + +Dacă 3 caiete şi 5 pixuri costă 22 lei iar 4 caiete şi 2 pixuri costă 20 lei, cât costă 10 caiete şi 15 pixuri. + +autor prof.Chiş Maria + +Barem de corectare + +Adunând obținem că 7 caiete şi 7 pixuri costă în total 42 lei. $(2 \mathrm{p})$ + +Aşadar 1 caiet şi 1 pix costă 42 lei : $7=6$ lei. + +Înmulțind cu 3 obținem că 3 caiete şi 3 pixuri costă 18 lei , scăzând din relația din enunțul problemei : 3 caiete şi 5 pixuri costă 22 lei, obținem pentru 2 pixuri prețul + +de 4 lei , deci 1 pix costă 4 lei:2=2 lei + +6 lei -2 lei $=4$ lei costă un caiet + +10. 4 lei +15 2lei $=40$ lei +30 lei $=70$ lei $(10$ caiete şi 15 pixuri $)$ + +(1p) + +## SUBIECTUL II + +Se dau numerele $a$ şi $b, a>b$. Dacă la împărțirea lui $a$ la diferența lor obținem câtul 2 şi restul, care este câtul şi restul împărțirii lui $b$ la diferența lor? + +E:14143, nr. 3/2010 + +Barem de corectare + +Notând $\mathrm{d}=\mathrm{a}-\mathrm{b}$ avem $\mathrm{a}=2 \mathrm{~d}+3$ + +$2 p$ + +Scăzând din ambii membri pe b obținem a-b=2d-b+3 $3 p$ + +sau $d=2 d-b+3$, de unde $b=d+3$. $1 p$ + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +Aşadar câtul şi restul împărțirii lui b la diferența a-b sunt 1, respectiv 3 + +$1 p$ + +## SUBIECTUL III + +Arătați că numărul $n=1+3+5+$ $\qquad$ $.+2011+2013$ este pătrat perfect. + +Barem de corectare + +$$ +\begin{array}{lr} +\mathrm{A}=1+2+3+4 \ldots \ldots+2012+2013-(2+4+6+\ldots . .+2012) & 2 p \\ +\mathrm{~A}=2013 *(2013+1): 2-2 *(1+2+\ldots \ldots+1006) & 2 p \\ +\mathrm{~A}=1007^{*}(2013-1006)=1007^{2} & 3 p +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Fiind date numerele $a=2^{2000}-3 \cdot 2^{1998}-3 \cdot 2^{1996}-2^{1996}$ şi $b=2^{1995}$ să se determine ultima cifră a numărului $a+b$ + +Barem de corectare ș i notare + +$\mathrm{a}=0$ $.2 \mathrm{p}$ + +calculează $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ $1 \mathrm{p}$ + +scrie condiț iile pentru ultima cifră ...1p + +finalizare, $u\left(2^{1995}\right)=\ldots 8$ $3 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1201-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1201-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..432d92e1b765e92632250632d68601e75d766936 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1201-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,153 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NATIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$ + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +## clasa a IX-a + +## SUBIECTUL I + +Să se rezolve ecuația $\frac{x-2}{x}+\frac{x-4}{x}+\frac{x-6}{x}+\ldots . . .+\frac{2}{x}=12$ + +## SUBIECTUL II + +Fie mulțimile $A=\left\{x \in R \mid x^{2}+p_{1} x+q_{1}=0, p_{1}, q_{1} \in R\right\}$ şi $B=\left\{x \in R \mid x^{2}+p_{2} x+q_{2}=0, p_{2}, q_{2} \in R\right\}$ unde $p_{1} \cdot p_{2}=2\left(q_{1}+q_{2}\right)$. Să se arate că reuniunea celor două mulțimi este nevidă. + +## SUBIECTUL III + +Dacă $[A B]$ şi $[C D]$ sunt două coarde perpendiculare ale cercului $C(O, R)$ şi $A B \cap C D=\{P\}$, arătați că $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=2 \overrightarrow{P O}$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $x, y, z$ numere reale strict pozitive cu proprietatea că $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. + +Să se arate că: + +$$ +\frac{x+y+1}{x+y+z^{2}}+\frac{y+z+1}{y+z+x^{2}}+\frac{z+x+1}{z+x+y^{2}} \leq 3 +$$ + +26612./ Gazeta de Matematică Nr. 5/2012 + +NOTÄ: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu maxim 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore + +## SOCIETATEA DE STIINȚE MATEMATICE - FILIALA SĂLAJ + +## OLIMPIADA NATIONAL $\breve{\text { DE MATEMATICA }}$ + +etapa locală, 9 februarie 2013 + +## clasa a IX-a + +## SUBIECTUL I + +Să se rezolve ecuația $\frac{x-2}{x}+\frac{x-4}{x}+\frac{x-6}{x}+\ldots . . .+\frac{2}{x}=12$ + +(propusă de prof. Sîrb Vasile C.T. „A.P.I. " Zalău) + +Barem de corectare + +punem conditia $x \neq 0$. + +Suma din membrul stâng are termenii în progresie aritmetică cu rația $r=\frac{-2}{x}$ + +Din formula termenului general $a_{n}=a_{1}+(n-1) \cdot r$ obținem $n=\frac{x-2}{2}$ + +Din suma $S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) \cdot n}{2}$ avem: $12=\frac{\left(\frac{x-2}{x}+\frac{2}{x}\right) \cdot \frac{x-2}{2}}{2}$ sau $12=\frac{x-2}{4}$ $2 p$ de unde $x=50$ $1 p$ + +## SUBIECTUL II + +Fie mulțimile $A=\left\{x \in R \mid x^{2}+p_{1} x+q_{1}=0, p_{1}, q_{1} \in R\right\}$ ş $B=\left\{x \in R \mid x^{2}+p_{2} x+q_{2}=0, p_{2}, q_{2} \in R\right\}$ unde $p_{1} \cdot p_{2}=2\left(q_{1}+q_{2}\right)$. Să se arate că reuniunea celor două mulțimi este nevidă. + +Selectată de prof. Bara Lajos din probleme OM, 1982 + +Barem de corectare + +$$ +\begin{aligned} +& A \cup B=\varnothing \Leftrightarrow \Delta_{1}<0, \Delta_{2}<0 \Rightarrow \Delta_{1}+\Delta_{2}<01 \text { punct } \\ +& \Delta_{1}=p_{1}^{2}-4 \cdot q_{1} 1 \text { punct } \\ +& \Delta_{2}=p_{2}^{2}-4 \cdot q_{2} 1 \text { punct } \\ +& \Delta_{1}+\Delta_{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}-4 \cdot\left(q_{1}+q_{2}\right)=p_{1}^{2}-2 \cdot p_{1} \cdot p_{2}+p_{2}^{2}=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2} \geq 0, \quad 3 \text { puncte } \\ +& \text { Prin urmare }: A \cup B \neq \varnothing \text {. } 1 \text { punct } +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL III + +Dacă $[A B]$ şi $[C D]$ sunt două coarde perpendiculare ale cercului $C(\mathrm{O}, \mathrm{R})$ şi $A B \cap C D=\{P\}$, arătați că $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=2 \overrightarrow{P O}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_640dd83bffe6c7bd0a5dg-3.jpg?height=417&width=511&top_left_y=854&top_left_x=133) + +C + +$\overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P O+\overrightarrow{O A}}, \quad \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O B}, \quad \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O C}, \quad \overrightarrow{P D}=\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O D} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=4 \overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ + +Fie $M$ mijlocul lui $[A B]$ şi $N$ mijlocul lui $[C D]$, atunci $O M \perp A B, \quad O N \perp D C$ şi din ipoteză $A B \perp C D \quad 2$ puncte + +$\Rightarrow O N P M$ dreptunghi $\Rightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O M}$ + +$$ +\text { şi } \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=2 \overrightarrow{O N} \quad 1 \text { punct } +$$ + +Atunci: $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=4 \overrightarrow{P O}+2(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N})=4 \overrightarrow{P O}+2 \overrightarrow{O P}=$ + +$$ +=4 \overrightarrow{P O}-2 \overrightarrow{P O}=2 \overrightarrow{P O} \quad 2 \text { puncte } +$$ + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## SUBIECTUL IV + +Fie $x, y, z$ numere reale strict pozitive cu proprietatea că $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. + +Să se arate că: + +$$ +\frac{x+y+1}{x+y+z^{2}}+\frac{y+z+1}{y+z+x^{2}}+\frac{z+x+1}{z+x+y^{2}} \leq 3 +$$ + +26612./ Gazeta de Matematică Nr. 5/2012 + +## Barem de corectare + +Rescriem inegalitatea cerută astfel: + +$$ +\begin{array}{rlr} +\frac{z^{2}-1}{x+y+z^{2}}+\frac{y^{2}-1}{x+z+y^{2}}+\frac{x^{2}-1}{y+z+x^{2}} \geq 0 & 2 \text { puncte } \\ +& \Leftrightarrow \sum \frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{y+z}{x}} \geq 0 & 1 \text { punct } +\end{array} +$$ + +Arătăm că + +$$ +\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{y+z}{x}} \geq \frac{x-\frac{1}{x}}{x+y+z} +$$ + +Într-adevăr, pentru $x \geq 1$ avem $x-\frac{1}{x} \geq 0$ şi $x+\frac{y+z}{x} \leq x+y+z$ + +1 punct + +iar pentru $x<1$ avem $x-\frac{1}{x}<0$ şi $x+\frac{y+z}{x}>x+y+z$. + +1 punct + +Cum $\sum \frac{x-\frac{1}{x}}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\left(x+y+z-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right) \geq 0$ + +inegalitatea este demonstrată. + +1 punct + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1202-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1202-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f7daf0570b36df8a0ab88322e87cb2c3b3024f52 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1202-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,106 @@ +# Olimpiada de matematică + +Etapa locală 16.02. 2013 + +Barem de notare clasa a VIII-a + +## Soluție problema 1 + +| a) $x^{2}=\|x\|^{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | + + +| Rezultă $x^{2}+8-4 \sqrt{2}\|x\|=(\|x\|-2 \sqrt{2})^{2} \geq 0$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | + +b) Deoarece $a^{2}=|a|^{2}$ şi $b^{2}=|b|^{2}$ inegalitatea din enunț se scrie $(|a|-4)^{2}+(|b|-2 \sqrt{2})^{2} \leq 0 \quad$ 2p + +Cum termenii din membrul stâng sunt nenegativi, singura posibilitate este ca $|a|-4=0$ şi $|b|-2 \sqrt{2}=0$ + +$|a|=4 \Rightarrow a= \pm 4$ ş $|b|=2 \sqrt{2} \Rightarrow b= \pm 2 \sqrt{2}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$(a, b) \in\{(4,2 \sqrt{2}),(4,-2 \sqrt{2}),(-4,2 \sqrt{2}),(-4,-2 \sqrt{2})\}$ + +$1 p$ + +Total punctaj problema 1 + +7 p + +Soluție problema 2 + +a) $a_{2}=a_{1}\left(1-\sqrt{a_{1}}\right) \Rightarrow a_{2}=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \Rightarrow a_{2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow a_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$ + +b) Dacă $a_{1}=\frac{1}{2}$, rezultă $0 Rezultă $\Varangle(((A B C), \alpha)=\Varangle A M D$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Considerând $A B=a$ obţinem $B C=a \sqrt{2}$, de unde
$B M=\frac{a \sqrt{2}}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | În $\triangle A M B$, dreptunghic în $M, \Varangle A B M=45^{\circ}$, de unde
$A M=B M=\frac{a \sqrt{2}}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | În $\triangle A M D$, dreptunghic în $D, \Varangle A M D=45^{\circ}$, de unde
$A D=D M=\frac{a}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | În $\triangle A D C$, dreptunghic în $D, A C=a$ şi $A D=\frac{a}{2}$, ceea
ce implică $\Varangle A C D=30^{\circ}$, | $1 \mathrm{p}$ | +| | relaţie echivalentă cu $\Varangle(A C, \alpha)=30^{\circ}$ | 1p | +| | Congruenţa $\triangle A D C \equiv \triangle A D B$ asigură
$\Varangle(A C, \alpha)=\Varangle(A B, \alpha)=30^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Total punctaj problema 3 | | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b36b9cd2b80e128367e7g-2.jpg?height=55&width=78&top_left_y=1537&top_left_x=1811) | +| Soluție problema 4 | | | +| Reprezentarea unui cub prin desen. | | $1 \mathrm{p}$ | +| Considerând mijloacele laturilor cul | ului obținem 8 cuburi cu latura de lungime 1 . | $1 \mathrm{p}$ | +| Atunci din cele 9 puncte cel puțin d
de lungime 1 . | uă se află în interiorul sau pe suprafața unui cub cu latura | 2p | +| Distanța maximă dintre două puncto
lungime diagonalei cubului. | situate în interiorul sau pe suprafaţa unui cub este egală cu | $1 \mathrm{p}$ | +| Diagonala unui cub cu latura de lu | ime 1 are lungimea $\sqrt{3}$, ceea ce demonstrează cerința. | $2 \mathrm{p}$ | +| Total punctaj problema 4 | | {f5d140301-cb89-4d58-a5b1-2c2665e067fa} | + +## Olimpiada de matematică + +Etapa locală 16.02. 2013 + +Subiect clasa a VIII- a + +## Problema 1: + +a) Dacă $x$ este un număr real, arătați că $x^{2}+8-4 \sqrt{2}|x| \geq 0$. + +b) Determinați numerele reale $a$ şi $b$ care verifică relaţia $a^{2}+b^{2}+24 \leq 8|a|+4 \sqrt{2}|b|$. + +## Problema 2: + +Se consideră muțimea de numere reale $M=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{10}\right\}$, unde + +$$ +a_{1}=\frac{1}{2}, a_{2}=a_{1}\left(1-\sqrt{a_{1}}\right), a_{3}=a_{2}\left(1-\sqrt{a_{2}}\right), \ldots, a_{10}=a_{9}\left(1-\sqrt{a_{9}}\right) . +$$ + +Demonsrați că: + +a) $a_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$; + +b) dacă $x \in M$, atunci $00$ inegalitatea se scrie $k1$ rezultă $a-0,99>0$. Atunci $a-0,99=|a-0,99|$. Cum $|a-0,99|=|0,99-a|$, din ultima inegalitate rezultă concluzia. + +Total punctaj problema 2 + +## Solutiie problema 3 + +a) Aria dreptunghiului $A B C D$ este de două ori aria triunghiului $A B C$. + +$1 p$ + +b) $\triangle A B C \equiv \triangle C D A$, deci înălţimile lor sunt congruente, adică $B M=D N$. + +$1 p$ + +$B M \perp A C$ şi $D N \perp A C \Rightarrow B M \| D N$. Prin urmare patrulaterul $B M D N$ este paralelogram (are două laturi opuse paralele şi congruente). + +c) Presupunem, prin reducere la absurd, că paralelogramul BMDN este un romb. Atunci $B D \perp A C$. + +Deoarece dreptunghiul $A B C D$ are diagonalele perpendiculare el este pătrat, adică $A B=B C$, ceea ce contrazice ipoteza. + +$1 p$ + +Total punctaj problema 3 + +Solutie problema 4 + +| $\triangle A M N \sim \triangle B C M$ (deoarece $\frac{M N}{B C}=\frac{1}{2}=\frac{A N}{B M}$, iar triungiurile sunt dreptunghice) $\Rightarrow \frac{M N}{C M}=\frac{1}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Rezultă relatiile: | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Varangle A M N \equiv \Varangle B C M$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Varangle A N M \equiv \Varangle B M C$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $m(\Varangle A N M)+m(\Varangle A M N)=90^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Rezultă că triunghiul $M N C$ este dreptunghic în $M$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\triangle M N C \sim \triangle A N M$ (deoarece $\frac{M N}{C M}=\frac{1}{2}=\frac{A N}{M A}$, iar triungiurile sunt dreptunghice) | $1 \mathrm{p}$ | +| Rezultă $\Varangle M N C \equiv \Varangle A N M$, de unde concluzia. | $7 \mathbf{p}$ | +| Total punctaj problema 4 | | + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală 16.02. 2013
Subiect clasa a VII- a + +## Problema 1: + +a) Să se demonstreze că $2013+\sqrt{2013}<2059$. + +b) Să rezolve în mulțimea numerelor naturale inecuația $2013 fi pătrate perfecte neprime între ele | $1 \mathrm{p}$ | +| punctaj problema 4 | $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală 16.02. 2013
Subiect clasa a VI - a + +## Problema 1: + +Numerele 1333 şi 351 dau resturile 13 şi respectiv 15 la împărţirea cu acelaşi număr natural diferit de zero. Aflaţi acest număr. + +## Problema 2: + +a) Aflați toate numerele de forma $\overline{a b c d}$ știind că $\frac{\overline{a b}+\overline{c d}}{\overline{a b}-\overline{c d}}=\frac{9}{7}$ + +b) Rezolvați în mulțimea numerelor raționale pozitive ecuația: + +$$ +\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}+\cdots+\frac{x+2013}{2014}=2013 +$$ + +## Problema 3: + +Se consideră semidreptele opuse (OA și (OB și punctele X,Y, situate in același semiplan determinat de dreapta AB. + +a) Știind că unghiurile $\Varangle$ AOX și $\Varangle X O Y$ sunt adiacente si ca $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})=3 \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{YOB})$, aflați $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})$. + +b) Găsiți măsura maximă a unghiului $\Varangle$ AOX , exprimată în grade, minute și secunde, știind că suplementul $\Varangle \mathrm{XOY}$ este mai mic decat complementul $\Varangle \mathrm{AOX}$. + +## Problema 4: + +La auzul veștii că Zmeul Zmeilor a răpit-o pe Ileana Cosânzeana, Făt-Frumos a pornit degrabă să o salveze. Înainte de a începe lupta, Făt-Frumos numără 3 capete albastre și 3 capete verzi ale zmeului. În luptă, Făt Frumos constată că, dacă îi taie zmeului un cap albastru, îi cresc la loc 3 capete albastre și 3 verzi iar dacă îi taie zmeului un cap verde, îi cresc la loc 2 capete albastre și 4 verzi. Se știe că Făt-Frumos îi poate tăia zmeului câte un cap odată. + +a) După ce Făt Frumos îi taie zmeului 5 capete, câte capete va avea zmeul? + +b) Demonstrați ca numărul de capete verzi și numărul de capete albastre nu pot fi pătrate perfecte neprime între ele. + +Timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1205-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1205-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..92fbe112ddcb0002c05abf1c385495ed93b3a46f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1205-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,41 @@ +# Olimpiada de matematică + +Etapa locală 16.02. 2013 + +Barem de notare clasa a V-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_839380cc09445a1f2309g-1.jpg?height=2276&width=1842&top_left_y=424&top_left_x=110) + +## Olimpiada de matematică + +Etapa locală 16.02. 2013 + +Subiect clasa a V-a + +## Problema 1: + +La împărțirea numărului natural $a$ la 16 obținem câtul $c$ şi restul $r$. Determinați cele trei numere ştiind că $r$ este număr prim şi $r-c=12$. + +## Problema 2: + +Determinaţi numărul $\overline{a b c}$ ştiind că $7^{a}+5^{b}+4^{c}=175$. + +## Problema 3: + +Se consideră mulțimea $A=\left\{\left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot\left(2^{x}+1\right) / x, y \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ + +a)Verificați că $2013 \in A$ + +b)Determinați numerele de trei cifre din mulțimea $A$ divizibile cu 10 . + +## Problema 4: + +Un pătrat se numeşte magic dacă suma numerelor de pe fiecare linie,coloană şi diagonale este aceeaşi. + +Determinați $x$ şi completaţi pătratul magic următor : + +| 23 | $x$ | 12 | +| :--- | :--- | :--- | +| | 13 | | +| | | | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1206-Rom\303\242n\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme (Diamantul negru)_Hunedoara-2013_romana_diamantul_negru_locala_hunedoara_clasa_a_iva_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1206-Rom\303\242n\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme (Diamantul negru)_Hunedoara-2013_romana_diamantul_negru_locala_hunedoara_clasa_a_iva_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0441371367773032d220503cfa9004f554b14532 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1206-Rom\303\242n\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme (Diamantul negru)_Hunedoara-2013_romana_diamantul_negru_locala_hunedoara_clasa_a_iva_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,212 @@ +OLIMPIADA DE LIMBA ŞI LITERATURA ROMÂNĂ
"DIAMANTUL NEGRU"
FAZA ZONALĂ
16 FEBRUARIE 2013
CLASA a IV-a + +NUMELE ŞI PRENUMELE $\qquad$ +ŞCOALA $\qquad$ +LOCALITATEA $\qquad$ + +## SUBIECTUL I - 60 puncte + + $\qquad$ +# Citeşte cu atenție textul şi rezolvă fiecare cerință: + +„E călătoare! A ieşit din muşuroi furnica şi-a pornit, cum face în fiecare dimineaţă, a pornit să vadă lumea... Ea ştia că ochii duc şi mintea întoarce; că, văzând multe, ştii destule şi ai de unde da şi la alții (...) În dimineața aceasta a luat-o spre răsărit. Încântată de frumusețea soarelui, care se prevestea prin mănunchiurile lui de raze, totuşi avu puterea să se gândească, drumeața, că, privind şi minunându-se numai, nu câştiga nimic. De aceea, îndată ce dădu, prin mirişte, de cizma unui vânător, îşi şi puse în gând să cerceteze, să cunoască mai bine făptura omenească în apucăturile ei. + +Îndrăzneață şi destoinică, se ridică pe călcâiul pe care câteva fire de nisip se prinseseră, apoi, cu iscusință, o luă încet pe cusătura carâmbului, în sus. Călătoarea îşi dete toată silința să se urce mai repede pe cizmă, căci vederea ei îi amintea, cu groază, priveliştea pe care cizma unui alt vânător i-o dăduse într-o zi: trei tovarăşe din furnicar strivite, dintr-o dată, sub talpa grea a omului. + +„Ciudat, gândi furnica în sine, s-ar zice că numai pentru ca să facă rău îşi învelesc oamenii picioarele în pielea groasă a încălțămintelor." + +Şi tot gândind astfel, furnica ajunse la pânza îmbâcsită de praf a pantalonilor vânătorului. Îi sui şi pe aceştia, în zigzag, şi, când dădu de cel dintâi buzunar al surtucului, se opri. Să se coboare, să nu se coboaren el? Din cele ce învățase dintr-atâtea călătorii, şi de la alții, ştia că pe oameni, mai ales, cu greu îi poți cunoaşte pe dinafară. Iar în buzunarul unui om, îi povestise o bunică a ei că picase odată peste un pumn de ouă furate dintr-un furnicar; bunica dăduse de veste numaidecât, întreg neamul furnicesc venise şi, în vreme ce drumețul dormea în iarbă, cât ai clipi, cărăbăniră toate ouăle, ca pe-o pradă de război. + +Aşa, furnica îşi luă inima în dinți şi, uşoară, se coborî în buzunar." + +(Emil Gîrleanu, Călătoare!...) + +## 1. Selectează din text: (8 puncte) + +a) două cuvinte care arată însuşiri ale furnicii + +b) două cuvinte care denumesc elemente ale spațiului pământesc + +2. Încercuieşte varianta corectă de despărțire în silabe a cuvintelor date: (5 puncte) + +| încântată | mănunchiurile | călcâiul | gândind | îmbâcsită | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| în-cân-ta-tă | mă-nu-nchiu-ri-le | călc-âi-ul | gâ-ndind | îm-bâ-csi-tă | +| în-cânt-a-tă | mă-nun-chiu-ri-le | căl-câ-i-ul | gân-dind | îm-bâc-sit-ă | +| în-câ-nta-tă | mâ-nun-chi-uri-le | căl-câ-iul | gând-ind | îm-bâc-si-tă | + +3. Scrie un cuvânt cu înțeles asemănător în stânga şi cu înțeles opus în dreapta: (8 puncte) + +| Cuvântul cu sens
asemănător | Cuvântul dat | Cuvântul cu sens opus | +| :---: | :---: | :---: | +| | răsărit | | +| | îndrăzneatcă | | +| | să se urce | | +| | îndată | |$\square$ + +## 4. Formulează întrebări pentru următoarele răspunsuri: (5 p) + +Călătoarea îşi dete silința să se urce mai repede pe cizmă. + +În dimineața aceasta a luat-o spre răsărit. + +5. Explică, în 2-3 rânduri, înțelesul expresiei ,Ea ştia că ochii duc şi mintea întoarce; că, văzând multe, ştii destule şi ai de unde da şi la alții...”: (2 p) +6. Înlocuieşte expresiile cu câte un cuvânt potrivit: (8 puncte) + +îşi puse în gând = $\qquad$ +îşi dete silința $=$ $\qquad$ +dăduse de veste $=$ $\qquad$ +cât ai clipi $=$ $\qquad$ +7. Construieşte un singur enunț care să respecte toate cerințele: (8 puncte) + +a) să fie propozitịie dezvoltată; + +b) să conțină o ortogramă din textul citit; + +c) să cuprindă o expresie din text, alcătuită dintr-un substantiv însoțit de un adjectiv. + +8. Selecteză din text: (6 puncte) + +-un substantiv comun, numărul plural, genul neutru + +-un verb, numărul singular, persoana a III-a + +-un pronume personal, persoana a III-a, numărul singular, genul feminin $\qquad$ +9. Motivează folosirea semnului exclamării în propoziția: ,E călătoare! A ieşit din muşuroi furnica şi-a pornit ..."(2 puncte) $\qquad$ $\qquad$ +10. Alcătuieşte câte un enunț în care cuvântul ,răsărit" să fie substantiv şi apoi verb. (8 puncte) $\qquad$ + +## SUBIECTUL al II-lea -30 puncte + +Având ca punct de pornire informațiile desprinse din textul citit, redactează o compunere, în care să vă imaginați posibile întâmplări prin care trece furnica în buzunarul vânătorului. + +În redactarea compunerii, trebuie: + +-să dai un titlu potrivit textului tău (3 puncte); + +-să respecți părțile unei compuneri (3 puncte); + +-să ai un conținut clar, logic (12 puncte); + +-să foloseşi expresii frumoase (5 puncte); + +-să respecți normele de ortografie, de punctuație şi de încadrare în pagină (7 puncte). + +Notă: Se acordă 10 puncte din oficiu. + +TIMP DE LUCRU: 90 MINUTE + +## OLIMPIADA DE LIMBA ŞI LITERATURA ROMÂNĂ + +"DIAMANTUL NEGRU" + +FAZA ZONALĂ + +BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +16 FEBRUARIE 2013 + +CLASA a IV-a + +1.Selectează din text: (2X4=8 puncte) + +Câte 2 puncte pentru fiecare variantă corect identificată: + +Ex. îndrăzneat̆ă, destoinică, călătoare + +Ex. muşuroi, iarbă, mirişte + +2. Încercuieşte varianta corectă de despărțire în silabe a cuvintelor date: (5 puncte) + +Câte 1 punct pentru fiecare variantă identificată corect + +| încântată | mănunchiurile | călcâiul | gândind | îmbâcsită | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| inn-cân-ta-tă | mă-nu-nchiu-ri-le | călc-âi-ul | gâ-ndind | îm-bâ-csi-tă | +| în-cânt-a-tă | mă-nun-chiu-ri-le | căl-câ-i-ul | gân-dind | îm-bâc-sit-ă | +| în-câ-nta-tă | mă-nun-chi-uri-le | căl-câ-iul | gând-ind | îm-bâc-si-tă | + +3. Scrie cuvinte cu înțeles asemănător în stânga şi cu înțeles opus în dreapta: + +Câte 1 punct pentru fiecare soluție corectă + +| Cuvântul cu sens
asemănător | Cuvântul dat | Cuvântul cu sens opus | +| :---: | :---: | :---: | +| est | răsărit | apus | +| curajoasă | îndrăzneaţă | fricoasă, laşă | +| să se cațere | să se urce | să se coboare | +| imediat | îndată | apoi, târziu | + +4. Formulează întrebări pentru următoarele răspunsuri: (5 puncte) + +Câte 2,5 puncte pentru redactarea unui întrebări care să respecte conținutul enunțului indicat şi să respecte normele gramaticale. + +5. Explică, în 2-3 rânduri, înțelesul expresiei ,Ea ştia că ochii duc şi mintea întoarce; că, văzând multe, ştii destule şi ai de unde da şi la alţii... ”: (2 puncte) + +- pentru o explicație pertinentă, corectă, coerentă, cu evidențierea sensului exprimat .... 2 puncte +- pentru o explicație lacunară, cu ezitări, cu evidențierea parțială a sensului exprimat .... 1 punct + +6. Înlocuieşte expresiile cu câte un cuvânt potrivit: (8 puncte) + +Câte 2 puncte pentru fiecare variantă corectă + +îşi puse în gând = se gândi, se hotărî + +îşi dete silința $=$ se strădui + +dăduse de veste $=$ vestise, anunțase + +cât ai clipi $=$ imediat + +7. Construieşte un singur enunț care să respecte toate cerințele: + +a) să fie propozitịie dezvoltată; + +b) să conțină o ortogramă din textul citit; + +c) să cuprindă o expresie din text, alcătuită dintr-un substantiv însoțit de un adjectiv. + +Câte 2 puncte pentru utilizarea corectă a fiecărui criteriu (3criterii $X 2$ puncte) la care se adaugă 2 puncte pentru corectitudinea şi coerența enunțului obținut + +Ex. Pe-o pânză îmbâcsită de praf se odihnea obosită o biată furnică. + +8. Selecteză din text: (6 puncte) + +Câte 2 puncte pentru fiecare valoare morfologică corect identificată + +-un substantiv comun, numărul plural, genul neutru: mănunchiuri + +-un verb, numărul singular, persoana a III-a: ex. a ieşit, învățase, se ridică etc. + +-un pronume personal, persoana a III-a, numărul singular, genul feminin: ex. ea, ei + +9. Motivează folosirea semnului exclamării în propoziția: ,E călătoare! A ieşit din muşuroi furnica şi-a pornit ..."(2 puncte) + +- pentru o explicație pertinentă, corectă, coerentă, cu evidențierea sensului exprimat .... 2 puncte +- pentru o explicație lacunară, cu ezitări, cu evidențierea parțială a sensului exprimat .... 1 punct + +10. Alcătuieşte câte un enunț în care cuvântul ,răsărit" să fie substantiv şi apoi verb. (8 puncte) + +Câte 2 puncte pentru utilizarea corectă a valorilor morfologice indicate + +Câte 2 puncte pentru corectitudinea şi coerența enunțului obținut + +## SUBIECTUL al II-lea -30 puncte + +Având ca punct de pornire informaţiile desprinse din textul citit, redactează o compunere, în care să vă imaginați posibile întâmplări prin care trece furnica în buzunarul vânătorului. + +În redactarea compunerii, trebuie: + +-să dai un titlu potrivit textului tău (3 puncte); + +-să respecți părțile unei compuneri (3 puncte); + +-să ai un conținut clar, logic (12 puncte); + +-să foloseşti expresii frumoase (5 puncte); + +-să respecți normele de ortografie, de punctuație şi de încadrare în pagină (7 puncte). + +Notă: Se acordă 10 puncte din oficiu + +TIMP DE LUCRU: 90 MINUTE + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1207-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1207-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f611c93874d2ab77cea927795617686a95faa0d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1207-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,29 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b3a98667e964a3fdcbbcg-1.jpg?height=266&width=200&top_left_y=44&top_left_x=128) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16 februarie 2013 + +## Clasa a X- a + +## SUBIECTUL I ( $7 p$ ) + +Să se determine $x>0$ știind că $2^{\lg x}+3^{\lg x}+6^{\lg x}=x^{\lg x 7}$. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Să se rezolve ecuaţia $z^{2013}=\bar{z}, z \in \mathbb{C}$. + +## SUBIECTUL III (7p) + +Se dă funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+4}{x^{2}-x+1}$. Să se calculeze $\operatorname{Im} f$ + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Fie numerele reale $a, b, c>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Să se arate că $a b c(a+b+c)>3 a b c+$ $+a b+a c+b c$. + +Subiecte selectate şi prelucrate de prof. Nicolai Buzdugă + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1208-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1208-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..39243b62efc729f332ddb15c3de21f1adb5cce7f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1208-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,41 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2013 + +Clasa a IX- a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I (7p) }}$ + +Fie numărul real $A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \ldots+\frac{1}{\sqrt{4048144}+\sqrt{4048143}}$. + +Calculaţi partea întreagă a numărului $A$. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL II (7p) }}$ + +Fie numerele reale $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$ diferite două câte două cu proprietatea $\frac{a_{n+1}}{3}=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{n}$ pentru $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +4p) a) Calculaţi $a_{2013}$ ştiind că $a_{1}=2$; + +3p) b) Calculaţi suma $\frac{a_{1}}{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}$. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL III (7p) }}$ + +Arătaţi că dacă $a, b, c \epsilon(0, \infty)$ şi $\sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{a c}=1$ atunci + +$$ +\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a} \geq \frac{1}{2} +$$ + +## $\underline{\text { SUBIECTUL IV (7p) }}$ + +Considerăm triunghiul $A B C$ şi $D, E, F$ intersecţiile medianelor din $A, B$, respectiv $C$ cu cercul circumscris triunghiului. Să se arate că dacă $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+$ $\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{0}$, atunci triunghiul $A B C$ este echilateral. + +Gazeta Matematică + +Subiecte selectate şi prelucrate de prof. Ciprian Apetrei şi prof. Sebastian Mihalache + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1209-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1209-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3654d67eaf15ba10ded38b2bd8422cbd290ec85f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1209-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,110 @@ +# BAREM DE CORECTARE + +etapa locală + +16 februarie 2013 + +Clasa a XII - a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }}(7 \mathrm{p})$ + +a) $(G, *)$ grup abelian......................................................................................................................................3p + +$f$ izomorfism...................................................................................................................................................... $1 p$ + +b) cum $f$ este morfism $\Rightarrow f(A)=f\left(\frac{1}{7} * \frac{1}{17} * \frac{1}{31} * \ldots * \frac{1}{2 n^{2}-1}\right)=f\left(\frac{1}{7}\right) \cdot f\left(\frac{1}{17}\right) \cdot f\left(\frac{1}{31}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(\frac{1}{2 n^{2}-1}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow f(A)=\prod_{k=2}^{n} f\left(\frac{1}{2 n^{2}-1}\right)=\prod_{k=2}^{n} \frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\frac{1 \cdot 3}{2^{2}} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^{2}} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-2) \cdot n}{(n-1)^{2}} \cdot \frac{(n-1) \cdot(n+1)}{n^{2}}=\frac{n+1}{2 n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=90&width=1480&top_left_y=844&top_left_x=390) + +## SUBIECTUL II (7p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=51&width=1529&top_left_y=1037&top_left_x=344) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=51&width=1515&top_left_y=1086&top_left_x=359) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=54&width=1504&top_left_y=1133&top_left_x=370) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=52&width=1523&top_left_y=1183&top_left_x=347) + +orice putere întreagă a lui $x^{n}$ sau $x^{m}$ comută cu $y$..............................................................................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=51&width=1501&top_left_y=1281&top_left_x=369) + +## SUBIECTUL III ( $7 \mathrm{p}$ ) + +a) $f_{1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos \frac{1}{x}+\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}, & x \in \mathbb{R}^{*} \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ şi o primitivă ar fi de forma $F_{1}(x)= \begin{cases}x \cos \frac{1}{x}+c_{1}, & x<0 \\ c, & x=0 \\ x \cos \frac{1}{x}+c_{2}, & x>0\end{cases}$ + +Din continuitatea lui $F_{1}$ în origine se obține $c_{1}=c_{2}=c$ $1 p$ + +$F_{1}$ nu este derivabilă în origine se obține deci nu poate fị primitivă pentru $F$ lp + +b) Pentru $n \geq 2$ orice primitivă este de forma $F_{n}(x)= \begin{cases}x^{n} \cos \frac{1}{x}+c, & x \neq 0 \\ c, & x=0\end{cases}$ + +$$ +F_{n}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F_{n}(x)-F_{n}(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{n-1} \cos \frac{1}{x}=0=f_{n}(0) +$$ + +$2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-1.jpg?height=43&width=309&top_left_y=2060&top_left_x=347) + +a) $I_{2}=\int_{0}^{1} x^{2} \ln (x+1) d x=\left.\frac{x^{3}}{3} \ln (x+1)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x+1} d x$ + +finalizare + +$2 p$ + +b) După integrare prin părți: $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln (x+1) d x=\frac{\ln 2}{n+1}-\frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{x+1} d x$ + +$0 \leq \frac{1}{x+1} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq J_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{x+1} d x \leq \frac{1}{n+1} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} J_{n}=0$ + +$n I_{n}=\frac{n \ln 2}{n+1}-\frac{n}{n+1} J_{n}$ şi deci $\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}=\ln 2$ + +Etapa localăa olimpia dei de MATEMATICÃ - 16 februaric 2013 +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ +etapa locală +Clasa a XII- a +16 februarie 2013 + +SUBIECTUL I ( $7 \mathrm{p}$ ) + +Fie $G=(-1,1)$. Pentru orice $x, y \in G$ notăm $x * y=\frac{x+y}{1+x y}$. + +4p) a) Arătați că $\left(G,{ }^{*}\right)$ este un grup abelian izomorf cu $\left(\mathbb{R}_{+}^{*},\right)$ prin $f: G \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}, f(x)=\frac{1-x}{1+x}$. + +3p) b) Pentru $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, calculați $A=\frac{1}{7} * \frac{1}{17} * \frac{1}{31} * \ldots * \frac{1}{2 n^{2}-1}$. + +## SUBIECTUL II ( $7 \mathrm{p}$ ) + +Fie ( $G$, .) un grup. Să se demonstreze că: + +1p) a) Dacă $x^{2} y=y x^{2}$ şi $x^{3} y=y x^{3} \quad(\forall) x, y \in G$, atunci $G$ este comutativ; + +2p) b) Dacă $x^{7} y=y x^{7}$ şi $x^{3} y=y x^{3}(\forall) x, y \in G$, atunci $G$ este comutativ; + +4p) + +c) Dacă există $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ prime între ele astfel încât $x^{n} y=y x^{n}$ şi $x^{m} y=y x^{m},(\forall) x, y \in G$, atunci $G$ este comutativ. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbe6b0717064f3474ffeg-2.jpg?height=46&width=357&top_left_y=1593&top_left_x=393) + +Fie $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^{*}, f_{n}(x)= \begin{cases}n x^{n-1} \cos \frac{1}{x}+x^{n-2} \sin \frac{1}{x}, & x \in \mathbb{R}^{*} \\ 0, & x=0\end{cases}$ + +3p) a) Demonstrați că $f_{1}$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$; + +4p) b) Arătați că pentru $n \geq 2, f_{n}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Fie $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln (x+1) d x, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +3p) a) Să se calculeze $I_{2}$; + +4p) b) Aflați $\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-121-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-121-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..05e56a9b89632957bbbc4acf7b31db43e242f282 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-121-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
Clasa a XII - a + +Problema 1. Să se calculeze $\int \frac{12 x+17}{(x+2)(2 x+3)(3 x+4)(6 x+5)+2016} \mathrm{~d} x, x \in(0 ; \infty)$. + +Problema 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup multiplicativ având elementul neutru $e$ şi $x, y \in G$. Să se arate că dacă $x^{2}=e$ şi $x y x=y^{3}$, atunci $y^{8}=e$. + +Problema 3. Să se arate că dacă $H_{1}$ şi $H_{2}$ sunt două subgrupuri ale unui grup $(G, \cdot)$, astfel încât $G=H_{1} \cup H_{2}$, atunci $H_{1}=G$ sau $H_{2}=G$. + +Problema 4. Fie $f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu proprietatea că + +$$ +(b-a) \cdot f^{\prime}(x) \leq k,(\forall) x \in[a, b] +$$ + +Să se arate că $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{k}{2}+f(a)$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a XII - a + +Problema 1. Să se calculeze $\int \frac{12 x+17}{(x+2)(2 x+3)(3 x+4)(6 x+5)+2016} \mathrm{~d} x, \quad x \in(0 ; \infty)$. + +Barem de corectare. Dacă notăm cu $I$ integrala din enunţ, avem: + +(2p) $I=\int \frac{12 x+17}{\left(6 x^{2}+17 x+10\right)\left(6 x^{2}+17 x+12\right)+2016} \mathrm{~d} x$ + +$(3 p) \quad=\int \frac{12 x+17}{\left(6 x^{2}+17 x+11\right)^{2}+2015} \mathrm{~d} x$ + +$(2 p)=\frac{1}{\sqrt{2015}} \cdot \operatorname{arctg} \frac{6 x^{2}+17 x+11}{\sqrt{2015}}+\mathcal{C}$. + +Problema 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup multiplicativ având elementul neutru $e$ şi $x, y \in G$. Să se arate că dacă $x^{2}=e$ şi $x y x=y^{3}$, atunci $y^{8}=e$. + +## Barem de corectare. + +(1p) Arătăm că $y^{9}=y$. Într-adevăr, + +(2p) $y^{9}=y^{3} \cdot y^{3} \cdot y^{3}=x y x \cdot x y x \cdot x y x$ + +(1p) $=x \cdot y^{3} \cdot x$ + +(2p) $=x \cdot x y x \cdot x=x^{2} \cdot y \cdot x^{2}=y$, + +(1p) de unde, $y^{8}=e$. + +Problema 3. Să se arate că dacă $H_{1}$ şi $H_{2}$ sunt două subgrupuri ale unui grup $(G, \cdot)$, astfel încât $G=H_{1} \cup H_{2}$, atunci $H_{1}=G$ sau $H_{2}=G$. + +## Barem de corectare. + +(1p) Presupunem contrariul. Dacă $H_{1} \neq G$ şi $H_{2} \neq G$, + +(1p) atunci $H_{1} \backslash H_{2} \neq \emptyset$ si $H_{2} \backslash H_{1} \neq \emptyset$. + +(2p) Fie $h_{1} \in H_{1} \backslash H_{2}$ şi $h_{2} \in H_{2} \backslash H_{1}$. Din $h_{1} \cdot h_{2} \in G=H_{1} \cup H_{2}$, deducem că $h_{1} \cdot h_{2} \in H_{1}$ sau $h_{1} \cdot h_{2} \in H_{2}$. + +(2p) Deoarece, ( $\left.h_{1} \cdot h_{2} \in H_{1} \Rightarrow h_{2} \in H_{1}\right)$, iar $\left(h_{1} \cdot h_{2} \in H_{2} \Rightarrow h_{1} \in H_{2}\right)$, în ambele cazuri obţinem contradicţii cu alegerea elementelor $h_{1} \in H_{1} \backslash H_{2}$ şi $h_{2} \in H_{2} \backslash H_{1}$. + +(1p) Aşadar, $H_{1}=G$ sau $H_{2}=G$. + +Problema 4. Fie $f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu proprietatea că + +$$ +(b-a) \cdot f^{\prime}(x) \leq k,(\forall) x \in[a, b] +$$ + +Să se arate că $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{k}{2}+f(a)$. + +## Barem de corectare. + +(2p) Aplicând teorema lui Lagrange funcţiei $f$ pe intervalul $[a, x]$, deducem că exstă $c_{x} \in(a, x)$ astfel ca $f(x)-f(a)=f^{\prime}\left(c_{x}\right)(x-a)$. + +(2p) Deoarece $f^{\prime}(x) \leq \frac{k}{b-a},(\forall) x \in[a, b]$, obţinem că $f(x) \leq \frac{k}{b-a} \cdot(x-a)+f(a),(\forall) x \in[a, b]$, de unde + +(1p) $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b}\left(\frac{k}{b-a}(x-a)+f(a)\right) \mathrm{d} x$ + +$(1 p) \quad=(b-a)\left(\frac{k}{2}+f(a)\right)$, adică + +(1p) $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{k}{2}+f(a)$.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1210-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1210-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..39329f9a9303bd994698b4d09a217e06ba7460d6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1210-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,113 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA + +## 16 februarie 2013 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de notare : + +Subiectul I Fie matricea de ordin $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}, \mathrm{~A}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{\mathrm{i}, \mathrm{j}=\overline{1, \mathrm{n}}}$, unde $\mathrm{a}_{\mathrm{ii}}=\mathrm{i}, \mathrm{i}=\overline{1, \mathrm{n}}, \mathrm{a}_{\mathrm{i}, \mathrm{i}+1}=$ $\mathrm{a}_{\mathrm{i}+1, \mathrm{i}}=1, \mathrm{i}=\overline{1, \mathrm{n}-1}$ si $a_{i j}=0$ in rest.Daca $\Delta_{\mathrm{n}}=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{n}}\right)$, se cere : + +a) Aratati ca $\Delta_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} \cdot \Delta_{\mathrm{n}-1}-\Delta_{\mathrm{n}-2}, \forall \mathrm{n} \geq 3$; + +b) Calculati $\Delta_{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \geq 1$. + +Rezolvare : a) ) $\Delta_{2}=1, \Delta_{3}=2, \Delta_{4}=7$ (calcul direct ).... + +b)Dezvoltă $\Delta_{n}$ dupa coloana $n$ şi obţine: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_10cd630d9bafd5609b0eg-1.jpg?height=260&width=1542&top_left_y=952&top_left_x=291) + +( cei doi determinant se dezvoltă după ultima coloană) + +$4 p$ + +## Subiectul II(7p) + +Rezolvati in $\mathrm{M}_{2}(\mathrm{R})$ ecuatia : $\mathrm{X}^{3}+3 \mathrm{X}^{2}+3 \mathrm{X}=\left(\begin{array}{cc}7 & -8052 \\ 0 & 7\end{array}\right)$. + +Rezolvare : Adunăm $I_{2}$ in ambii membrii ai ecuatiei, notăm $\mathrm{Y}=\mathrm{X}+I_{2}$ şi obţinem ecuaţia + +$Y^{3}=\left(\begin{array}{cc}8 & -8052 \\ 0 & 8\end{array}\right)=A$ ( se ţine cont că $\mathrm{X} \cdot I_{2}=I_{2} \cdot X=X$ ) .............................. $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_10cd630d9bafd5609b0eg-1.jpg?height=106&width=1582&top_left_y=1672&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_10cd630d9bafd5609b0eg-1.jpg?height=111&width=1568&top_left_y=1778&top_left_x=241) + +Gaseste $\mathrm{Y}=\left(\begin{array}{cc}2 & -2013 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ si apoi $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{cc}1 & -2013 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ + +## $\underline{\text { Subiectul III(7p) }}$ + +Fie sirul $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \in \mathrm{N}}$ definit prin $\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}_{\mathrm{n}}} \forall \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ si $\mathrm{x}_{0} \in \mathbf{R}$. Sa se arate ca + +$$ +\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}=1 +$$ + +Rezolvare: Monotonia : $x_{n+1}-x_{n}=e^{-x_{n}}>0, x_{n}-$ strict crescator + +Marginirea: Presupunem $x_{n}$ marginit superior, atunci din Teorema lui Weierstrass obtinem $x_{n}$ convergent, si trecand la limita in relatia de recurenta se obtine $\mathrm{l}=\mathrm{l}+e^{-l}$ cu $l \in R$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ $2 \mathrm{p}$ + +Aplicand repetat Lema Cesaro-Stoltz obtinem $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)}{x_{n+1}-x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} e^{x_{n}}$. + +$\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{x_{n}}}{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{x_{n+1}-e^{x_{n}}}}{n+1-n}=\lim _{n \rightarrow \infty} e^{x_{n}} \cdot\left(e^{x_{n+1}-x_{n}}-1\right)$ $=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(e^{x_{n+1}-x_{n}}-1\right)}{x_{n+1}-x_{n}}=1$ $.4 \mathrm{p}$ + +## Subiectul IV(7p) + +Se considera sirurile de numere reale nenule $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \geq 1}$ si $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \geq 1}$ care verifica relatiile + +$x_{n+1}=\frac{4+2 x_{n}+x_{n} y_{n}}{y_{n}}, y_{n+1}=\frac{4+2 y_{n}+x_{n} y_{n}}{x_{n}} \quad, n \in N^{*}$ si $x_{1}=1, y_{1}=4$. + +Sa se calculeze $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ si $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \mathrm{y}_{\mathrm{n}}$. + +Rezolvare: Deoarece $x_{1}>0$ si $y_{1}>0$, prin inductie rezulta $x_{n}>0$ si $y_{n}>0$ pentru orice $\mathrm{n} \geq 1$ $1 \mathrm{p}$ + +Cele doua siruri sunt strict crescatoare deoarece $x_{n+1}-x_{n}=\frac{4}{y_{n}}+2 \cdot \frac{x_{n}}{y_{n}}>0$ si $y_{n+1}-y_{n}=$ $\frac{4}{x_{n}}+2 \cdot \frac{y_{n}}{x_{n}}>0, \forall n \geq 1$ + +Avem : $\frac{1}{2+x_{n+1}}-\frac{1}{2+y_{n+1}}=\frac{1}{2+x_{n}}-\frac{1}{2+y_{n}}=\cdots=\frac{1}{2+x_{1}}-\frac{1}{2+y_{1}}=\frac{1}{6}, \forall \geq 1$ $1 \mathrm{p}$ + +Rezulta ca $\frac{1}{2+x_{n}}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2+y_{n}}>\frac{1}{6}$, deci $x_{n}<4, \forall n \geq 1$, de unde $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent....2p + +Fie $\mathrm{l}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \in(0 ; 4]$ si $\mathrm{L}=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} \in \bar{R}$. Daca $\mathrm{L} \in R$, trecand la limita in relatia din enunt obtinem $\mathrm{l} \cdot L=4+2 l+l L$, deci $\mathrm{l}=-2$, fals . Ramane $\mathrm{L}=+\infty$ si trecand la limita in relatia $\frac{1}{2+x_{n}}-\frac{1}{2+y_{n}}=\frac{1}{6}$, obtinem $\mathrm{l}=4$..... + +Nota : -problema 4 este din G.M.4/2011, 26449 + +-problemele 1 si 2 - prof. Teodor Trisca + +- problema 3 , *** + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
16 februarie 2013 + +## Clasa a XI- a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I (7p) }}$ + +Fie matricea de ordin $n \in N^{*}, A_{n}=\left(a_{i j}\right)_{i, j=\overline{1, n}}$, unde $a_{i i}=i, i=\overline{1, n}, a_{i, i+1}=$ $=\mathrm{a}_{\mathrm{i}+1, \mathrm{i}}=1, \mathrm{i}=\overline{1, \mathrm{n}-1}$ şi $a_{i j}=0$ în rest. Dacă $\Delta_{\mathrm{n}}=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{n}}\right)$, se cere : + +a) Calculaţi $\Delta_{2}, \Delta_{3}, \Delta_{4}$; + +$4 p$ ) + +b) Arătaţi că $\Delta_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} \cdot \Delta_{\mathrm{n}-1}-\Delta_{\mathrm{n}-2}, \forall \mathrm{n} \geq 3$. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Rezolvaţi în $M_{2}(R)$ ecuaţia: $X^{3}+3 X^{2}+3 X=\left(\begin{array}{cc}7 & -8052 \\ 0 & 7\end{array}\right)$ + +## $\underline{\text { SUBIECTUL III (7p) }}$ + +Fie şirul $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \in \mathrm{N}}$ definit prin $\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}, \forall \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ şi $\mathrm{x}_{0} \in \mathbf{R}$. Să se arate că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{x_{n}}=1 +$$ + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Se consideră şirurile de numere reale nenule $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ §̧i $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ care verifică relaţiile : $x_{n+1}=\frac{4+2 x_{n}+x_{n} y_{n}}{y_{n}}, y_{n+1}=\frac{4+2 y_{n}+x_{n} y_{n}}{x_{n}}, \forall n \in N^{*}$ şi $x_{1}=1, y_{1}=4$. Să se calculeze limita şirurilor $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)$ şi $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$ + +Subiecte selectate şi prelucrate de prof. Teodor Trişcă + +- Timp de lucru: 2 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1211-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1211-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3fdbe2a76f37994a9583a34276ff1e87062de24a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1211-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,143 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1. Fie $a>0, a \neq 1$. Calculaţi integrala + +$$ +I=\int_{0}^{1} a^{x^{3}+3 x} \cdot \ln a^{5^{5}+4 x^{3}+3 x} d x +$$ + +Titu Vîrban, Caracal + +Problema 2. Calculaţi + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot \cos x^{n} d x +$$ + +Florian Dumitrel, Slatina + +Problema 3. a) Se consideră inelele finite $A_{1}$ şi $A_{2}$ cu proprietatea că numărul elementelor inversabile din $A_{1}$ este diferit de numărul elementelor inversabile din $A_{2}$. Arătaţi că cele două inele nu sunt izomorfe. + +b) Daţi exemplu de două inele finite cu acelaşi număr de elemente inversabile. + +Mihai George, Slatina Problema 4. Fie mulţimea $Q_{0}=\left\{\left.\frac{m}{n} \right\rvert\, m, n \in \mathbb{Z}, m, n\right.$ impare $\}$ şi $G=Q_{0} \times \mathbb{Z}$. Pe $G$ se defineşute legea de compoziţie: $\left(q_{1}, k_{1}\right) *\left(q_{2}, k_{2}\right)=\left(q_{1} q_{2}, k_{1}+k_{2}\right), \forall q_{1}, q_{2} \in Q_{0}, \forall k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$. + +a) Calculaţi $(1,1) *(1,2) * \ldots *(1,10)$. + +b) Arătaţi că $(G, *)$ este grup abelian. + +c) Arătaţi că grupurile $(G, *)$ şi $\left(\mathbb{Q}^{*},\right)$ sunt izomorfe. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT + +ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1. Fie $a>0, a \neq 1$. Calculaţi integrala + +$$ +I=\int_{0}^{1} a^{x^{3}+3 x} \cdot \ln a^{x^{5}+4 x^{3}+3 x} d x +$$ + +Titu Vîrban, Caracal + +Problema 2. Calculaţi + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot \cos x^{n} d x +$$ + +Florian Dumitrel, Slatina + +Problema 3. a) Se consideră inelele finite $A_{1}$ şi $A_{2}$ cu proprietatea că numărul elementelor inversabile din $A_{1}$ este diferit de numărul elementelor inversabile din $A_{2}$. Arătaţi că cele două inele nu sunt izomorfe. + +b) Daţi exemplu de două inele finite cu acelaşi număr de elemente inversabile. + +Mihai George, Slatina + +Problema 4. Fie mulţimea $Q_{0}=\left\{\left.\frac{m}{n} \right\rvert\, m, n \in \mathbb{Z}, m, n\right.$ impare $\}$ şi $G=Q_{0} \times \mathbb{Z}$. Pe $G$ se defineşte legea de compoziţie: $\left(q_{1}, k_{1}\right) *\left(q_{2}, k_{2}\right)=\left(q_{1} q_{2}, k_{1}+k_{2}\right), \forall q_{1}, q_{2} \in Q_{0}, \forall k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$ + +a) Calculaţi $(1,1) *(1,2) * \ldots *(1,10)$. + +b) Arătaţi că $(G, *)$ este grup abelian. + +c) Arătaţi că grupurile $(G, *)$ şi $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)$ sunt izomorfe. + +S.L.T. + +Problema 1. Integrala se scrie $I=\ln a \cdot \int_{0}^{1}\left(x^{5}+4 x^{3}+3 x\right) \cdot a^{x^{3}+3 x} d x$ + +Observând că $x^{5}+4 x^{3}+3 x=\left(x^{3}+3 x\right) \cdot\left(x^{2}+1\right)=\frac{1}{3} \cdot\left(x^{3}+3 x\right) \cdot\left(x^{3}+3 x\right)^{\prime}$, cu schimbarea de variabilă $t=x^{3}+3 x$, rezultă + +$$ +I=\frac{1}{3} \cdot \ln a \cdot \int_{0}^{4} t a^{t} d t=\frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{4} t\left(a^{t}\right)^{\prime} d t=\left.\frac{t a^{t}}{3}\right|_{0} ^{4}-\frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{4} a^{t} d t=\frac{4 a^{4}}{3}-\left.\frac{a^{t}}{3 \ln a}\right|_{0} ^{4}=\frac{4 a^{4}}{3}-\frac{a^{4}-1}{3 \ln a} +$$ + +Problema 2. Notând $I_{n}=\int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot \cos x^{n} d x$, avem: + +$$ +I_{n}=\int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot \cos x^{n} d x=\int_{0}^{\pi / 4} \cos x d x-\int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot\left(1-\cos x^{n}\right) d x=\frac{\sqrt{2}}{2}-\int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot\left(1-\cos x^{n}\right) d x +$$ + +Deoarece + +$$ +\left|\int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot\left(1-\cos x^{n}\right) d x\right| \leq \int_{0}^{\pi / 4}\left|\cos x \cdot\left(1-\cos x^{n}\right)\right| d x \leq \int_{0}^{\pi / 4}\left(1-\cos x^{n}\right) d x=2 \int_{0}^{\pi / 4} \sin ^{2} \frac{x^{n}}{2} d x +$$ + +şi $\sin x \leq x$, pentru orice $x \geq 0$, rezultă + +$$ +\left|\int_{0}^{\pi / 4} \cos x \cdot\left(1-\cos x^{n}\right) d x\right| \leq 2 \int_{0}^{\pi / 4}\left(\frac{x^{n}}{2}\right)^{2} d x=\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}\right|_{0} ^{\pi / 4}=\frac{1}{2(2 n+1)} \cdot\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2 n+1} \rightarrow 0 +$$ + +deci $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. + +Problema 3. a) Presupunem că cele două inele sunt izomorfe, iar $f: A_{1} \rightarrow A_{2}$ un izomorfism. Notăm cu $U_{1}, U_{2}$ mulţimile elementelor inversabile din $A_{1}$ respectiv, $A_{2}$. + +Fie $x \in U\left(A_{1}\right)$; atunci + +$$ +1_{A_{2}}=f\left(1_{A_{1}}\right)=f\left(x \cdot x^{-1}\right)=f(x) \cdot f\left(x^{-1}\right) \text { şi } 1_{A_{2}}=f\left(1_{A_{1}}\right)=f\left(x^{-1} \cdot x\right)=f\left(x^{-1}\right) \cdot f(x) \text {, } +$$ + +de unde rezultă că $f(x) \in U_{2}$. Ca urmare, funcţia $h: U_{1} \rightarrow U_{2}, h(x)=f(x)$ este corect definită. + +Deoarece $f$ este bijectivă, rezultă că $h=f_{\mid U_{1}}$ este injectivă. Vom arăta că $h$ este şi surjectivă. Fie $y \in U_{2}$. Din surjectivitatea funcţiei $f$, rezultă că există $x \in A_{1}$ astfel încât $f(x)=y$. Este suficient să arătăm că $x \in U_{1}$. + +Avem: + +$$ +\begin{aligned} +& 1_{A_{1}}=f^{-1}\left(1_{A_{2}}\right)=f^{-1}\left(y \cdot y^{-1}\right)=f^{-1}(y) \cdot f^{-1}\left(y^{-1}\right)=x \cdot f^{-1}\left(y^{-1}\right) \\ +& \text { şi } 1_{A_{1}}=f^{-1}\left(1_{A_{2}}\right)=f^{-1}\left(y^{-1} \cdot y\right)=f^{-1}\left(y^{-1}\right) \cdot f^{-1}(y)=f^{-1}\left(y^{-1}\right) \cdot x +\end{aligned} +$$ + +deci $x$ este inversabil în $A_{1}$ şi $x^{-1}=f^{-1}\left(y^{-1}\right)$. Aşadar $x \in U_{1}$. + +În concluzie, $h$ este bijectivă, deci card $U_{1}=\operatorname{card} U_{2}$. +b) $U\left(\mathbb{Z}_{4},+, \cdot\right)=\{\hat{1}, \hat{3}\}$ şi $U\left(\mathbb{Z}_{6}\right)=\{\hat{1}, \hat{5}\}$. + +Problema 4. a) Verificarea asociativităţii şi a comutativităţii + +Elementul neutru este $(1,0)$ + +Simetricul unui element $(q, k)$ este elementul $\left(\frac{1}{q},-k\right) \in G$. +b) $(1,1) *(1,2) * \ldots *(1,10)=(1,1+2+\ldots+10)$ + +$$ +(1,1+2+\ldots+10)=(1,55) +$$ + +c) Fie funcţia $f: G \rightarrow \mathbb{Q}^{*}, f(q, k)=q 2^{k}$ + +$f$ morfism: $f\left(\left(q_{1}, k_{1}\right) *\left(q_{2}, k_{2}\right)\right)=q_{1} q_{2} 2^{k_{1}+k_{2}}=f\left(q_{1}, k_{1}\right) \cdot f\left(q_{2}, k_{2}\right), \forall\left(q_{1}, k_{1}\right),\left(q_{2}, k_{2}\right) \in G$ + +$f$ injectivă: Fie $\left(q_{1}, k_{1}\right),\left(q_{2}, k_{2}\right) \in G, q_{1}=\frac{m_{1}}{n_{1}}$ şi $q_{2}=\frac{m_{2}}{n_{2}}, m_{1}, n_{1}, m_{2}, n_{2} \in \mathbb{Z}$ impare astfel încât $f\left(q_{1}, k_{1}\right)=f\left(q_{2}, k_{2}\right)$. Dacă $k_{1} \neq k_{2}$, fără a restrânge generalitatea, putem presupune $k_{1}10 a+b=\overline{a b}$, deci $k \in\{1,2,3,4\} \ldots$ (2p) + +Pentru $k=1$ avem $10 a+b=2 a+3 b \Rightarrow b=4 a$, cu soluţiile $a=1, b=4$ şi $a=2, b=8$ + +Pentru $k=2$ avem $10 a+b=4 a+6 b \Rightarrow 5 b=6 a$, cu soluţiile $a=5, b=6$ + +Pentru $k=3$ avem $10 a+b=6 a+9 b \Rightarrow a=2 b$, cu soluţiile $a=2, b=1$; $a=4, b=2$; + +$$ +a=6, b=3 \text { şi } a=8, b=4 +$$ + +Pentru $k=4$ avem $10 a+b=8 a+12 b \Rightarrow 11 b=2 a$, pentru care nu se obţin soluţii + +În concluzie, numerele căutate sunt $14,28,56,21,42,63$ şi 84 . + +Problema 2. Folosind proprietăţile divizibilităţii, avem relaţiile + +$$ +\begin{aligned} +& 19|a \Rightarrow 19| 2 a \Rightarrow 19 \mid 2 a+19 \\ +& 17|a+1 \Rightarrow 17| 2 a+2 \Rightarrow 17|2 a+2+17 \Rightarrow 17| 2 a+19 \\ +& 15|a+2 \Rightarrow 15| 2 a+4 \Rightarrow 15|2 a+4+15 \Rightarrow 15| 2 a+19 \\ +& 13|a+3 \Rightarrow 13| 2 a+6 \Rightarrow 13|2 a+6+13 \Rightarrow 13| 2 a+19 +\end{aligned} +$$ + +Ca urmare, $2 a+19$ este divizibil cu c.m.m.m.c. al numerelor $13,15,17$ şi 19, adică cu $62985 \ldots$ (2p) Cea mai mică valoare a lui $a$ se obţine când $2 a+19=62985$, pentru care $a=31483$. Numerele căutate sunt $31483=19 \cdot 1657,31484=17 \cdot 1852$, $31485=15 \cdot 2099$ şi $31486=13 \cdot 2422$ + +Problema 3. Fie $m(\Varangle A B C)=x$; atunci $m(\Varangle B A C)=7 x$ şi $m(\Varangle M B A)=90^{\circ}-x$ (2p) Deoarece $M$ se află pe mediatoarea lui $[A B]$, rezultă că triunghiul MAB este isoscel, deci $m(\Varangle M A B)=m(\Varangle M B A)=90^{\circ}-x$ + +Deoarece $m(\Varangle M A B)+m(\Varangle B A C)=180^{\circ}$, rezultă că $90^{\circ}-x+7 x=180^{\circ}$, de unde $x=15^{\circ}$ + +Unghiurile triunghiului $A B C$ au măsurile $15^{\circ}, 105^{\circ}, 60^{\circ}$ + +(2p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dd467ce6a8dab1d765f5g-2.jpg?height=288&width=462&top_left_y=2083&top_left_x=1408) + +Problema 4. Relaţia din enunţ este echivalentă cu $\frac{1}{3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{7}+\frac{1}{z}$ + +Atunci $\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{4}{21}$, de unde $\frac{1}{x}=\frac{1}{z}-\frac{4}{21}$, adică $x=\frac{21 z}{21-4 z}$ + +Cum $x \in \mathbb{N}$, rezultă $21-4 z>0$, deci $z \in\{1,2,3,4,5\}$ + +Studiind cazurile, se obţine singura soluţie $z=5, x=105, y=7$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1217-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1217-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82cd777094e6c26596943b83cedc50726c18bd8c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1217-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,86 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. a) Diferenţa a două numere este 714. Unul dintre numere este 2341. Calculaţi suma celor două numere. Câte soluţii are problema? + +b) Produsul a două numere este 646. Mărind unul dintre numere cu 10, produsul devine 986. Aflaţi cele două numere. + +Cătălin Mî̀nescu, Bals + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale nenule care împărţite la 6 dau câtul $a$ şi restul $b$, iar împărţite la 11 dau câtul $b$ şi restul $a$. + +Valentin Rădulescu, Scorniceşti + +Problema 3. Scriind primele 2013 numere naturale pare nenule, făă să le separăm, se formează un număr natural. Aflaţi a 2013-a cifră a acestui număr natural. + +Bogdan Băbărelu, Crâmpoia + +Problema 4. Un dreptunghi cu $n$ linii şi $m$ coloane este împărțit în pătrăţele $1 \times 1$. Pe prima linie colorăm primul pătrăţel, pe a doua linie colorăm primele doua pătrăţele, pe a treia linie primele patru pătrăţele, pe a patra linie primele opt pătrăţele ş.a.m.d., până când, pe a $n$-a linie se vor colora toate pătrăţelele. Știind că numărul total de pătrăţele colorate este 127 , aflați câte linii şi câte coloane are dreptunghiul. + +Mihaela Bucătaru + +NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2 ore şi 30 de minute. + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. a) Diferenţa a două numere este 714. Unul dintre numere este 2341. Calculaţi suma celor două numere. Câte soluţii are problema? + +b) Produsul a două numere este 646. Mărind unul dintre numere cu 10, produsul devine 986. Aflaţi cele două numere. + +Cătălin Mî̀nescu, Balş + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale nenule care împărţite la 6 dau câtul $a$ şi restul $b$, iar împărţite la 11 dau câtul $b$ şi restul $a$. + +Valentin Rădulescu, Scorniceşti + +Problema 3. Scriind primele 2013 numere naturale pare nenule, fără să le separăm, se formează un număr natural. Aflaţi a 2013-a cifră a acestui număr natural. + +Bogdan Băbărelu, Crâmpoia + +Problema 4. Un dreptunghi cu $n$ linii şi $m$ coloane este împărțit în pătrăţele $1 \times 1$. Pe prima linie coloram primul pătrățel, pe a doua linie coloram primele doua pătrățele, pe a treia linie primele patru pătrăţele, pe a patra linie primele opt pătrăţele ş.a.m.d., până când, pe a $n$-a linie se vor colora toate pătrăţelele. Știind că numărul total de pătrăţele colorate este 127 , aflați câte linii şi câte coloane are dreptunghiul. + +Mihaela Bucătaru + +Problema 1. a) Numărul 2341 poate fi atât descăzut, cât şi scăzător. Problema are două soluţii: + +Dacă 2341 este descăzut, celălalt număr este $2341-714=1627$ + +Dacă 2341 este scăzător, celălalt număr este $2341+714=3055$ + +b) Fie $a$ şi $b$ cele două numere; atunci $a \cdot b=646$. Dacă $a$ se măreşte cu 10 , atunci: + +$(a+10) \cdot b=986$, de unde rezultă că $a b+10 b=986$ + +Obţinem $10 b=340$, de unde $b=34$ şi $a=19$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c476d2221661b918dbag-2.jpg?height=111&width=1214&top_left_y=1732&top_left_x=158) + +Din relaţiile de mai sus rezultă $6 a+b=11 b+a$, de unde $a=2 b$ şi $n=13 b$ + +Cum $a, b \neq 0$, avem $b \in\{1,2,3,4,5\}$, pentru care se observă că $a=2 b<11$. + +În concluzie, soluţiile problemei sunt $13,26,39,52,65$ + +Problema 3. Pentru scrierea numerelor de la 2 la 8 se folosesc 4 cifre. De la 10 la 98 sunt 45 de numere pare, pentru scrierea cărora se folosesc $2 \cdot 45=90$ cifre + +Sunt 450 de numere pare de trei cifre, pentru scrierea lor fiind nevoie de 1350 cifre + +Ca urmare, pentru a scrie toate numerele pare de la 2 la 998 este nevoie de $1350+90+4=1444$ cifre. Mai trebuie scrise numere de patru cifre pentru a acoperi restul de $2013-1444=569$ cifre Cum $569: 4=142$, rest 1 , înseamnă că cifra căutată este prima cifră a celui de-al 143-lea număr par de patru cifre (pentru că trebuie scrise 142 de numere pare de patru cifre şi încă o cifră) + +Al 143-lea număr par de patru cifre este $1000+2 \cdot 142=1284$, deci cifra căutată este 1 + +Problema 4. Pe prima linie a dreptunghiului se colorează 1 (un) pătrăţel, pe a doua 2 pătrăţele, pe a treia $2^{2}$, pe următoarea $2^{3}$ şi aşa mai departe, pe ultima linie se colorează $2^{n-1}$ pătrăţele + +Numărul total de pătrăţele colorate este $1+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1$ (cu demonstraţie!) + +Obţinem ca $2^{n}-1=127$, de unde $n=7$. Dreptunghiul are 7 linii şi $2^{6}=64$ coloane (numărul coloanelor este egal cu numărul de pătrăţele colorate ale ultimei linii) + +(2p) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1218-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1218-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2195791da02dac686bb8fe264d7de4b748773ebc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1218-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,76 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2013 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Rezolvaţi ecuaţia $13\{x\}^{2}-1013 x+2013\{x\}=0$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracţionară a numărului $x$. + +Manuela Stroie si Iulian Stroie, Bals + +Problema 2. În planul paralelogramului $A B C D$ se consideră punctele $P$ şi $Q$ astfel încât $\overrightarrow{D P}=p \cdot \overrightarrow{D C}$ ş $\overrightarrow{B Q}=q \cdot \overrightarrow{B C}$, unde $p, q \in \mathbb{R}$. + +Arătaţi că punctele $A, P$ şi $Q$ sunt coliniare dacă şi numai dacă $p q=1$. + +Titu Vîrban, Caracal + +Problema 3. Fie progresiile aritmetice $\left(x_{n}\right)_{n>1}$ §̧i $\left(y_{n}\right)_{n>1}$. Arătaţi că şirul $\left(z_{n}\right)_{n>1}$, definit prin $z_{n}=x_{n} \cdot y_{n}$, este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă cel puţin una dintre progresiile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ sau $\left(y_{n}\right)_{n>1}$ este constantă. + +Dan Brânzei + +Problema 4. Fie $H$ ortocentrul şi $O$ centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$. Se notează cu $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $H B C, H C A$, respectiv $H A B$. Arătaţi că $\overrightarrow{O O_{a}}+\overrightarrow{O_{b}}+\overrightarrow{O O_{c}}=2 \overrightarrow{O H}$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2013 - Clasa a IX-a + +Problema 1. Rezolvaţi ecuaţia $13\{x\}^{2}-1013 x+2013\{x\}=0$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracţionară a numărului $x$. + +Manuela Stroie şi Iulian Stroie, Balş + +Problema 2. În planul paralelogramului $A B C D$ se consideră punctele $P$ şi $Q$ astfel încât $\overrightarrow{D P}=p \cdot \overrightarrow{D C}$ şi $\overrightarrow{B Q}=q \cdot \overrightarrow{B C}$, unde $p, q \in \mathbb{R}$. + +Arătaţi că punctele $A, P$ şi $Q$ sunt coliniare dacă şi numai dacă $p q=1$. + +Titu Vîrban, Caracal + +Problema 3. Fie progresiile aritmetice $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$. Arătaţi că şirul $\left(z_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $z_{n}=x_{n} \cdot y_{n}$, este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă cel puţin una dintre progresiile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ sau $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este constantă. + +Dan Brânzei + +Problema 4. Fie $H$ ortocentrul şi $O$ centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$. Se notează cu $O_{a}$, $O_{b}, O_{c}$ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $H B C, H C A$, respectiv $H A B$. + +Arătaţi că $\overrightarrow{O O_{a}}+\overrightarrow{O_{b}}+\overrightarrow{O_{c}}=2 \overrightarrow{O H}$. + +Costel Anghel, Scorniceşti + +Problema 1. Avem $x=[x]+\{x\} \Rightarrow 13\{x\}^{2}+1000\{x\}=1013[x]$ + +$\{x\} \in[0,1) \Rightarrow 13\{x\}^{2}+1000\{x\} \in[0,1013) \Rightarrow 1013[x] \in[0,1013)$ + +Din $[x] \in \mathbb{Z}$ şi din relaţia anterioară rezultă $[x]=0$ + +Notând $\{x\}=t$, rezultă $13 t^{2}+1000 t=0 \Rightarrow t_{1}=0 \Rightarrow x=0$ + +$t_{2}=-\frac{1000}{13} \notin[0,1)$ nu convine + +Problema 2. Avem $\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D P}=\overrightarrow{A D}+p \cdot \overrightarrow{D C}=p \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$ + +$$ +\text { şi } \overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B Q}=\overrightarrow{A B}+q \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+q \cdot \overrightarrow{A D} +$$ + +Punctele $A, P$ şi $Q$ sunt coliniare dacă şi numai dacă vectorii $\overrightarrow{A P}$ şi $\overrightarrow{A Q}$ sunt coliniari, ceea ce este revine la faptul că vectorii $\overrightarrow{A P}$ şi $\overrightarrow{A Q}$ au coordonatele proporţionale în descompunerea după direcţiile necoliniare $\overrightarrow{A B}$ şi $\overrightarrow{A D}$ + +Ca urmare, punctele $A, P$ şi $Q$ sunt coliniare dacă şi numai dacă $\frac{p}{1}=\frac{1}{q}$, adică $p q=1$ + +Problema 3. Dacă progresia $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este constantă, se constată că $\left(z_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică + +Pentru implicaţia inversă, ne restrângem atenţia la trei termeni consecutivi ai fiecărei progresii: $(a-r, a, a+r)$, respectiv $(c-q, c, c+q)$. Pentru ca produsele să fie în progresie aritmetică, trebuie să avem $(a-r)(c-q)+(a+r)(c+q)=2 \cdot a c$, ceea ce revine imediat la $r \cdot q=0$, de unde $r=0$ sau $q=0$, adică concluzia + +Problema 4. Punctul $A$ este ortocentrul triunghiului $B C H$ + +Din relaţia lui Sylvester, rezultă că $\overrightarrow{O_{a} A}=\overrightarrow{O_{a} B}+\overrightarrow{O_{a} C}+\overrightarrow{O_{a} H}$, deci $\overrightarrow{O_{a} B}+\overrightarrow{O_{a} C}=\overrightarrow{O_{a} A}-\overrightarrow{O_{a} H}=\overrightarrow{H A}$ Dar $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O H}$, de unde $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O H}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A H}$, deci $\overrightarrow{O_{a} B}+\overrightarrow{O_{a} C}=-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$. De aici rezultă că $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O O_{a}}+\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O O_{a}}=-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$, adică $\overrightarrow{O O_{a}}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$ + +Analog obţinem $\overrightarrow{O O_{b}}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}$ şi $\overrightarrow{O O_{c}}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$, iar prin adunarea acestor trei relaţii analoage rezultă: $\overrightarrow{O O_{a}}+\overrightarrow{O O_{b}}+\overrightarrow{O O_{c}}=2(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=2 \overrightarrow{O H}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1219-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1219-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a2cc5fe027c7ca636e2bf0b6b69e134b687d203 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1219-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,83 @@ +Inspectoratul Şcolar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL I + +Pe mulțimea $\Re$ definim legea de compozitie : $x * y=(\sqrt[2013]{x}+\sqrt[2013]{y})^{2013}$. Să se arate că $(\mathcal{R}, *)$ este grup abelian şi că $(\Re, *) \cong(\Re,+)$. + +## SUBIECTUL II + +Fie $f: \Re \rightarrow \Re ; f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{2+\sin t} d t$. + +a)Să se calculeze $f(2 \pi)$. + +b)Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{2013^{x}-1}$. + +## SUBIECTUL III + +Demonstraţi că: $1 \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\cos x) d x \geq \frac{2}{\pi}$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie $G_{1}=[0,1)$. Definim pe $G_{1}$ legea de compozitie : $x * y=\{x+y\}$, unde $\{x\}$ este partea fractionară a lui $x$. + +Fie $G_{2}=\{\cos t+i \sin t t \in[0,2 \pi)\}$. Să se arate că $\left(G_{1}, *\right)$ şi $\left(G_{2}\right.$, ) sunt grupuri abeliene izomorfe. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +Stabilitatea, asociativitatea,comutativitatea + +Elementul neutru este $e=0$. + +Simetricul elementului $x$ este elementul $-x$. + +Funcția care realizează izomorfismul este $f(x)=\sqrt[2013]{x}$. + +Demonstrarea izomorfismului . + +## SUBIECTUL II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ca58d78d8e4a2c564ea3g-2.jpg?height=1003&width=1921&top_left_y=1176&top_left_x=102) + +## SUBIECTUL III + +| $1<\frac{x}{\sin x} \leq \frac{\pi}{2} ; \forall x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\frac{x}{\sin x} \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x \leq \pi \sin x$ | | +| $2 \cos x \leq \pi \sin (\cos x)$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\cos x) d x \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos x d x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\cos x) d x \geq\left. 2 \sin x\right\|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $1 \leq \frac{x}{\sin x} \Rightarrow \sin x \leq x \Rightarrow \sin (\cos x) \leq \cos x \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\cos x) d x \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x=1$. | | + +## SUBIECTUL IV + +$\left(G_{1}, *\right)$-grup abelian. + +$2 \mathrm{p}$ + +$\left(G_{2}, \cdot\right)$-grup abelian. + +$2 \mathrm{p}$ + +Funcția $f: G_{1} \rightarrow G_{2}, f(x)=\cos 2 \pi x+i \sin 2 \pi x$, este izomorfism. + +$3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-122-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-122-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..659b0e89982d8899a42270c273044cb26db95edd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-122-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,99 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
Clasa a XI - a + +Problema 1. Să se calculeze: +a) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{1}{4} x^{2}+x+2}+\sqrt{\frac{1}{4} x^{2}+2 x+5}-\sqrt{x^{2}+x+1}\right)$; +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+3}\right)$. + +Problema 2. Fie matricea $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R})$. Să se calculeze $A^{2016}$. + +Problema 3. Fie $A \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{tr} A \neq 0$ şi $\operatorname{det}\left(A^{2}+(\operatorname{det} A+x) \cdot I_{2}\right) \geq 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Arătaţi că $4 \cdot \operatorname{det} A \geq(\operatorname{tr} A)^{2}$. + +Problema 4. Arătaţi că nu există nicio funcţie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$, astfel încât + +$$ +f^{2}(x) \geq f(x+y)(f(x)+y), \quad(\forall) x, y>0 +$$[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a XI - a + +Problema 1. Să se calculeze: +a) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{1}{4} x^{2}+x+2}+\sqrt{\frac{1}{4} x^{2}+2 x+5}-\sqrt{x^{2}+x+1}\right)$; +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+3}\right)$. + +## Barem de corectare. + +a) Limita se mai scrie: + +(1p) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{1}{4} x^{2}+x+2}-\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+x+1}\right)+\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{1}{4} x^{2}+2 x+1}-\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+x+1}\right)$ + +$(2 p) \quad=\frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{5}{2}$. + +(2p) b) Deoarece, $\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+3}\right)=(-1)^{n} \cdot \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+3}-n \pi\right)$, obţinem: + +(2p) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+3}\right)=(-1)^{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+3}-n \pi\right)=0$. + +Problema 2. Fie matricea $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R})$. Să se calculeze $A^{2016}$. + +Barem de corectare. + +(2p) Matricea $A$ se poate scrie $A=I_{3}+B$, unde $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$. + +(1p) Deoarece $B^{k}=3^{k-1} \cdot B$, pentru $k \geq 1$, obţinem + +(3p) $A^{n}=\left(I_{3}+B\right)^{n}=I_{3}+\sum_{k=1}^{2016} C_{n}^{k} \cdot B^{k}=I_{3}+\left(\sum_{k=1}^{2016} C_{n}^{k} \cdot 3^{k-1}\right) \cdot B$ + +$$ +=I_{3}+\frac{1}{3}\left(\sum_{k=0}^{2016} C_{n}^{k} \cdot 3^{k}-1\right) \cdot B=I_{3}+\frac{4^{2016}-1}{3} \cdot B +$$ + +(1p) adică, $A^{2016}=\frac{1}{3} \cdot\left(\begin{array}{lll}4^{2016}+2 & 4^{2016}-1 & 4^{2016}-1 \\ 4^{2016}-1 & 4^{2016}+2 & 4^{2016}-1 \\ 4^{2016}-1 & 4^{2016}-1 & 4^{2016}+2\end{array}\right)$. + +Problema 3. Fie $A \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{tr} A \neq 0$ şi $\operatorname{det}\left(A^{2}+(\operatorname{det} A+x) \cdot I_{2}\right) \geq 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Arătaţi că $4 \cdot \operatorname{det} A \geq(\operatorname{tr} A)^{2}$. + +## Barem de corectare. + +(1p) Deoarece $A^{2}-\operatorname{tr} A \cdot A+\operatorname{det} A \cdot I_{2}=O_{2}$, + +(1p) avem $\operatorname{det}\left(A^{2}+(\operatorname{det} A+x) \cdot I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{tr} A \cdot A+x \cdot I_{2}\right)$. + +(2p) Dar cum, $\operatorname{det}\left(\operatorname{tr} A \cdot A+x \cdot I_{2}\right)=x^{2}+(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot x+(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot \operatorname{det} A$, + +(1p) condiţia din enunț este echivalentă cu $x^{2}+(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot x+(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot \operatorname{det} A \geq 0, \quad(\forall) x \in \mathbb{R}$, + +(1p) adică $\Delta=(\operatorname{tr} A)^{4}-4(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot \operatorname{det} A \leq 0$, + +(1p) de unde obţinem că $4 \operatorname{det} A \geq(\operatorname{tr}(A))^{2}$. + +Problema 4. Arătaţi că nu există nicio funcţie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$, astfel încât + +$$ +f^{2}(x) \geq f(x+y)(f(x)+y), \quad(\forall) x, y>0 +$$ + +## Barem de corectare. + +(1p) Din $f(x) \geq f(x+y)\left(1+\frac{y}{f(x)}\right)>f(x+y)$, rezultă că funcţia $f$ este strict descrescătoare. + +(1p) Pentru $y=f(x)$, obţinem $f(x+f(x)) \leq \frac{f(x)}{2}$. + +(1p) Fie $a>0$ ales arbitrar. Construim şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$, astfel: $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=a \\ x_{n+1}=x_{n}+f\left(x_{n}\right)\end{array}\right.$. + +(1p) Din $f\left(x_{n+1}\right)=f\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right) \leq \frac{f\left(x_{n}\right)}{2}$, obţinem că $f\left(x_{n}\right) \leq \frac{f\left(x_{0}\right)}{2^{n}}$, pentru $n \geq 0$. + +(1p) Aşadar, $x_{n+1}=x_{0}+f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) \leq x_{0}+f\left(x_{0}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}\right) ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I + +1) Se dau permutările $\sigma, \tau \in S_{4}$, unde $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2\end{array}\right)$ şi $\tau=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{array}\right)$. Să se arate că ecuația $x^{2} \cdot \sigma^{2013}=\tau$ nu are soluții în $S_{4}$. +2) Să se determine $X \in M_{2}(\mathbf{R})$ astfel încât $X^{2013}=\left(\begin{array}{cc}-6 & -2 \\ 21 & 7\end{array}\right)$. + +## SUBIECTUL II + +Fie $A, B \in M_{n}(I R), n \in I N^{*}$. Să se arate că este adevărată relația: $\operatorname{Tr}\left[A^{n}(A B-B A)\right]=0, \forall n \in \mathbf{N}^{*}$, unde $\operatorname{Tr}(X)$ este urma matricii $X$. + +## SUBIECTUL III + +1) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right)$. +2) Determinați $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$, unde $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{2}{k}\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)$. + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră şirul de numere reale strict pozitive $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ având proprietatea că $x_{n+1}^{2} \leq 2013\left(2 x_{n}-2013\right)$, $\forall n \in I N^{*}$. Să se arate că şirul este convergent şi să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. +olimpiada de matematica + +FAZA LOCALA + +barEm de eVaLUARE SI NOTARE CLASA a XI-a + +Subiectul $I$ + +1) $\sigma^{3}=e \Rightarrow \sigma^{2013}=e$ + +Ecratia devine $x^{2}=\zeta$ + +$\varepsilon(\bar{b})=-1<0 \Rightarrow$ ecuatio mu are solutï (1p) + +2) $\operatorname{det}\left(x^{2013}\right)=\operatorname{det}^{2013}(x)=0 \Rightarrow \operatorname{det}(x)=0$ + +Sin ecuatio (relatia) Cayley-Hamilton $\Rightarrow$ + +$\Rightarrow x^{2}=t x, t=\operatorname{tr}^{\prime}(x) \Rightarrow$ inductir, $x^{n}=t^{n-1} x, \forall n \in N^{*}\left(n_{p}\right)$ + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2013}=t^{2012} x \Rightarrow t^{2012} x=\left(\begin{array}{cc} +-6 & -2 \\ +21 & 7 +\end{array}\right) \Rightarrow \\ +& \Rightarrow \operatorname{tr}\left(t^{2012} x\right)=1 \Rightarrow t^{2013}=1 \Rightarrow t=1 \quad \text { (1p) } \\ +& x^{2013}=x=\left(\begin{array}{cc} +-6 & -2 \\ +21 & 7 +\end{array}\right) \quad(1 p) +\end{aligned} +$$ + +Subiectul II + +$$ +\begin{aligned} +& A^{n}(A B-B A)=A^{n} A B-A^{n} B A \quad(1 p) \\ +&=A\left(A^{n} B\right)-\left(A^{n} B\right) A \quad(2 p) \\ +& \operatorname{tr}(X Y-Y X)=0, \quad \forall X, Y \in \mu_{n}(R) \quad(3 p) \\ +& \operatorname{tr}\left[A^{n}(A B-B A)\right]=\operatorname{tr}\left[A\left(A^{n} B\right)-\left(A^{n} B\right) A\right]=0 \quad(1 p) +\end{aligned} +$$ + +Subiectut III + +1) Sime $y_{x}=\ln x, x \geq 2$ ste sicet crescator of nemarginit + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)}{\ln (n+1)-\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1) \ln \frac{n+1}{n}}= +$$ + +$$ +=\frac{1}{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}=\frac{1}{\ln e}=1 +$$ + +In baza criteriului Cesàno-stolz $\Rightarrow$ limita se 1 (1p) + +2) + +$$ +\begin{aligned} +& a_{n}=\sum_{n=1}^{n}[\ln (x+2)-\ln x]-\ln \left(n^{2}+1\right) \\ +& a_{n}=\ln \frac{n^{2}+3 n+2}{2 n^{2}+2} \\ +& \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\frac{1}{2} +\end{aligned} +$$ + +Subiectul IV + +$$ +\begin{aligned} +& x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2} \leqslant 2013\left(2 x_{n}-2013\right)-x_{n}^{2} \quad(1 p) \\ +& \left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n+1}+x_{n}\right) \leqslant-\left(x_{n}-20,3\right)^{2} \quad \text { (1p) } \\ +& \left(x_{n+1}-x_{n}\right)(\underbrace{\left.x_{n+1}+x_{n}\right) \leqslant 0}_{n+1} \Rightarrow x_{n+1} \leqslant x_{n}, \forall n \geq 0 \text { (1p) } \\ +& 2013\left(2 x_{n}-2013\right) \geq x_{n+1}^{2} \geq 0 \Rightarrow x_{n} \geq \frac{2013}{2}, \forall n \geq 0 \text { (1p) } \\ +& \frac{2013}{2} \leqslant x_{n} \leqslant x_{n-1} \leqslant \ldots \leqslant x_{0}, \forall n \geq 0 \text { (1p) } +\end{aligned} +$$ + +fiml ste monoton or manginit, deci convengent + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow \exists \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=l \in(0, \infty) \quad(1 p) \\ +& l^{2} \leq 2013(2 l-2013) \rightarrow(l-2013)^{2} \leqslant 0 \rightarrow l=2013(1 p) +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1221-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1221-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b3220a2c0dbeb91c59dacdf08838a1cd9c5f163 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1221-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,105 @@ +Inspectoratul Şcolar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a X-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $z_{i} \in C^{*}, i=\overline{1,2013},\left|z_{i}\right|=r, \forall i=\overline{1,2013}$. Arătați că: + +$$ +z=\left(z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{2013}\right)\left(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\ldots+\frac{1}{z_{2013}}\right) \in \mathbf{R} +$$ + +## SUBIECTUL II + +Considerăm numerele reale $a, b, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in(0,1)$ astfel încât $b^{n} \leq x_{1} x_{2} \ldots . x_{n}$. Să se arate că $\left(\log _{a} b\right)^{n} \geq \log _{a} x_{1} \log _{a} x_{2} \ldots . . \log _{a} x_{n}, \forall n \in I N, n \geq 2$. + +## SUBIECTUL III + +Pe laturile $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{n-1} A_{n}, A_{n} A_{1}$ ale unui poligon regulat de latură $a$ se consideră punctele $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$, respectiv, în acelaşi sens şi astfel încât $\left[A_{1} B_{1}\right] \equiv\left[A_{2} B_{2}\right] \equiv \ldots \equiv\left[A_{n} B_{n}\right]=x, \quad x \in(0, a)$. Să se determine $x$ astfel încât aria poligonului $B_{1} B_{2} \ldots B_{n}$ să fie minimă + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră funcția $f:\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right] \rightarrow[-2,2]$ dată de formula $f(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x$. + +a)Să se determine constantele $a$ şi $b$ astfel încât $f(x)=a \cos (x+b)$. + +b)Să se reprezinte grafic funcția $f$. + +c)Să se arate că $f$ este inversabilă . + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a X-a
BAREM DE EVALUARE S, NOTARE + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +$z_{i} \cdot \bar{z}_{i}=\left|z_{i}\right|^{2}=r^{2} \Rightarrow z_{i}=\frac{r^{2}}{\overline{z_{i}}}, \forall i=\overline{1,2013}$ + +Avem $\bar{z}=\left(\overline{z_{1}}+\bar{z}_{2}+\ldots+\overline{z_{2013}}\right)\left(\frac{1}{\overline{z_{1}}}+\frac{1}{\overline{z_{2}}}+\ldots+\frac{1}{\overline{z_{2013}}}\right)=$ + +$=\left(\frac{r^{2}}{z_{1}}+\frac{r^{2}}{z_{2}}+\ldots+\frac{r^{2}}{z_{2013}}\right)\left(\frac{z_{1}}{r^{2}}+\frac{z_{2}}{r^{2}}+\ldots+\frac{z_{2013}}{r^{2}}\right)=$ + +$=\left(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\ldots+\frac{1}{z_{2013}}\right)\left(z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{2013}\right)=z$. + +Deci, $\bar{z}=z \Rightarrow z \in \mathbf{R}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15349078b78867fbaaecg-2.jpg?height=700&width=214&top_left_y=615&top_left_x=1703) + +## SUBIECTUL II + +Se aplică logaritmul cu baza $a$ subunitară şi se obține: + +$1 \mathrm{p}$ + +$n \log _{a} b \geq \log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\ldots+\log _{a} x_{n}$ + +Toti logaritmii sunt pozitivi! + +Se aplică inegalitatea mediilor aritmetică şi geometrică şi se obține + +$n \log _{a} b \geq \log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\ldots+\log _{a} x_{n} \geq n \sqrt[n]{\log _{a} x_{1} \log _{a} x_{2} \ldots . \log _{a} x_{n}}$ + +Simplificăm cu $\mathrm{n}$ şi ridicăm la puterea $\mathrm{n}$. + +$2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Notăm $B_{1} B_{2}=l_{n}$. În $\Delta B_{1} A_{2} B_{2}$ avem $B_{1} A_{2}=a-x ; A_{2} B_{2}=x, m\left(B_{1} \hat{A}_{2} B_{2}\right)=\frac{\pi(n-2)}{n}$. + +$l_{n}^{2}=4 x^{2} \sin ^{2} \frac{\pi}{n}-4 a x \sin ^{2} \frac{\pi}{n}+a^{2}$. + +Dacă $O M$ este apotema poligonului $O M=\frac{l_{n}}{2} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}$. + +Fie $f:(0, a) \rightarrow R, f(x)=A_{\left[B_{1} B_{2} . \ldots B_{n}\right]}$ + +$f(x)=n \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} x^{2}-n a \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} x+\frac{a^{2} n}{4} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}$ + +Adică o funcție de gradul al doilea care admite minim pentru $x=\frac{n a \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n}}{2 n \sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}$. + +| $2 p$ | +| :--- | +| $1 p$ | +| $2 p$ | +| $2 p$ | + +$2 \mathrm{p}$ + +SUBIECTUL IV + +| a) | $f(x)=2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$, deci $a=2$ şi $b=-\frac{\pi}{3}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | $A\left(\frac{\pi}{3}, 2\right), B\left(\frac{5 \pi}{6}, 0\right), C\left(\frac{4 \pi}{3},-2\right)$ sunt cele trei puncte remarcabile | $\mathbf{2 p}$ | +| c) | Demonstrarea injectivitatii
Demonstrarea surjectivitatii
Finalizare | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1222-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1222-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7f957013ca8952e7f1ad50c58f46d28ceeb900dc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1222-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,96 @@ +Inspectoratul Şcolar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +Se dau numerele reale pozitive $a, b$ şi $c$ astfel încât $a+b+c=3$. Să se determine valoarea minimă a sumei $S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. + +## SUBIECTUL II + +Demonstrați că, pentru orice numere reale $a, b, x, y$ şi $z$ au loc relațiile: + +a) $x^{2}+2 a x+b=(x+a)^{2}+b-a^{2}$; + +b) $\sqrt{x^{2}+1006 x+1006^{2}}+\sqrt{y^{2}+1007 y+1007^{2}}+\sqrt{z^{2}-2013 z+2013^{2}}>x+y+z$. + +## SUBIECTUL III + +Considerăm tetraedrul $O A B C$, în care $O A \perp O B \perp O C \perp O A$ şi $M, N, P$ mijloacele laturilor $[A B][B C]$ şi respectiv $[C A]$. + +Să se arate că: + +a) $A_{\triangle O M N}^{2}+A_{\triangle O M P}^{2}+A_{\triangle O N P}^{2}+A_{\triangle M N P}^{2}=\frac{A_{\triangle A B C}^{2}}{4}$; + +b)Distanța de la punctul $O$ la planul (MNP) este egală cu distanşa de la punctul $M$ la planul (OPN). + +## SUBIECTUL IV + +Trei fețe ale unui paralelipiped dreptunghic au lungimile diagonalelor direct proporționale cu numerele $\sqrt{3}$, 2 şi $\sqrt{5}$. Ştiind că lungimea diagonalei paralelipipedului este 6 , aflați dimensiunile paralelipipedului. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +BAREM-clasa a vW + +(1). $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right) \ldots 3 p$ $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geqslant 2$ si analoagele......................................... + +$$ +\begin{gathered} +(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geqslant 9 \\ +S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqslant 3 +\end{gathered} +$$ + +$S_{\text {min }}=3$ se obfine pentru $a=b=c=1 \ldots$......................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_10486d9434531b19b700g-2.jpg?height=210&width=1920&top_left_y=596&top_left_x=72) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { b). } \sqrt{x^{2}+1006 x+1006^{2}}=\sqrt{(x+503)^{2}+3.503^{2}} \ldots \ldots \mu^{1} \\ +& \Rightarrow \sqrt{x^{2}+1006 x+1006^{2}}>|x+503| \geqslant x+503 \ldots 1 p+1 p +\end{aligned} +$$ + +Anceloagele: $\sqrt{y^{2}+1007 y+1007^{2}}>y+\frac{1007}{2}$ + +$$ +\sqrt{z^{2}-2013 z+2013^{2}}>z-\frac{2013}{2} +$$ + +(3) a) $[O M]$ medianà $\pi \triangle A O B \Rightarrow O M=\frac{A B}{2}$ if analog $O N=\frac{B C}{2}, O P=\frac{A C}{2} \ldots \ldots$ ip + +Finalizare. [MN] lime miglocie in $\triangle A B C \Rightarrow M N=\frac{A C}{2} ;$ si analog $M P=\frac{B C}{2}, N P=\frac{A B}{2} \cdots$ ' $P$ $\Rightarrow \triangle O M N \equiv \triangle M O P \equiv \triangle M P O \equiv \triangle P N M(L L L) \cdots 1 P$ + +$$ +\begin{aligned} +\Rightarrow & \triangle O M N \equiv \triangle M O P \equiv \triangle N P O \equiv \triangle P N M \\ +& \triangle N P M \sim \triangle A B C \Rightarrow \frac{A_{\triangle N P M}}{A_{\triangle A B C}}=\frac{1}{4} \ldots A_{\triangle P N M}=\frac{A_{\triangle A B C}}{4}, \text { म } \\ +\Rightarrow & A_{\triangle O M N}=A_{\triangle M O P}=A_{\triangle N P O} +\end{aligned} +$$ + +relatia se verifica. + +b). Tetraedrul [OMNP] erte echifacial (devarece are toate fetele congruente) si folosine proprietatea cunascuta cà distantele de 'la varferi'la fetele opuse suut eongruéute. + +(4). $d_{1}=\sqrt{3} k, d_{2}=2 k, d_{3}=\sqrt{5} k$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { (4). } d_{1}=\sqrt{3} k, d_{2}=2 k, d_{3}=\sqrt{5} k \\ +& d_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}=3 k^{2}, d_{2}^{2}=b^{2}+c^{2}=4 k^{2}, d_{3}^{2}=c^{2}+a^{2}=5 k^{2} \\ +& d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=2 d^{2} \Rightarrow 2 d^{2}=12 k^{2} \\ +& k^{2}=6 \\ +& a^{2}+b^{2}=18 \Rightarrow c^{2}=18 \Rightarrow c=3 \sqrt{2} \\ +& b^{2}+c^{2}=24 \Rightarrow a^{2}=12 \Rightarrow a=2 \sqrt{3} \\ +& c^{2}+a^{2}=30 \Rightarrow b^{2}=6 \Rightarrow b=\sqrt{6} +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1223-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1223-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f53391d53cd8639bf2fd03dbc9c021ab68a476ff --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1223-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,87 @@ +Inspectoratul Şcolar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL I + +Rezolvați în $\mathbf{Z}$ ecuația: $15 x y-35 x-6 y=3$. + +## SUBIECTUL II + +Numerele raționale $a, b, c$ satisfac simultan egalitățile: + +$$ +\frac{a b}{a+b}=\frac{2^{2012}}{3}, \frac{b c}{b+c}=\frac{2^{2013}}{3} \text { şi } \frac{a c}{a+c}=\frac{2^{2013}}{5} +$$ + +Să se arate că $\sqrt{3(b-a)(c-b)(c-a)} \in \mathbf{N}$. + +## SUBIECTUL III + +Se consideră triunghiul ascuțitunghic $A B C$ cu înălțimile $A A^{\prime}, B B^{\prime}$ şi $C C^{\prime}$ şi cu ortocentrul $H$. + +a)Dacă $\frac{A H}{H A^{\prime}}=x$ şi $\frac{S_{\triangle H B C}}{S_{\triangle A B C}}=y$, să se arate că $\frac{1}{y}=x+1$, unde $S_{\triangle H B C}, S_{\triangle A B C}$ reprezintă aria triunghiului $H B C$ respectiv aria triunghiului $A B C$. + +b)Dacă $A A^{\prime} \leq B B^{\prime} \leq C C^{\prime}$ să se demonstreze că $A H+B H+C H \geq 2 A A^{\prime}$. + +## SUBIECTUL IV + +Triunghiul $A B C$ are $m(\hat{B A C})=20^{\circ}$ şi $A B=A C$. Fie $M \in(A C)$ astfel încât $m(C \hat{B M})=70^{\circ}$. + +a)Dacă $N$ este piciorul perpendicularei dusă din $A$ pe dreapta $B M$, să se calculeze valoarea raportului $\frac{A N}{A M}$. b)Demonstraţi că $[A M] \equiv[B C]$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013 + +Clasa a VII-a + +## BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +| $(5 x-2)(3 y-7)=17$ | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | +| Rezolvarea cazurilor | $\mathbf{3 p}$ | +| Finalizare $x=-3$ şi $y=2$ soluție unică | $\mathbf{1 p}$ | + +## SUBIECTUL II + +| $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2^{2012}}, \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2^{2013}}, \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{5}{2^{2013}}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | +| $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{7}{2^{2013}}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $a=2^{2011}, b=2^{2012}, c=2^{2013}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $\sqrt{3(b-a)(c-b)(c-a)}=3 \cdot 2^{3017} \in \mathbf{N}$ | $\mathbf{2 p}$ | + +## SUBIECTUL III + +| a) | $\frac{1}{y}=\frac{A A^{\prime}}{H A}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\frac{A A^{\prime}}{H A}=1+\frac{A H}{H A^{\prime}}=1+x$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Finalizare $\frac{1}{y}=x+1$. | $\mathbf{p p}$ | | +| b) | $\frac{A H}{A A^{\prime}}=1-\frac{S_{\triangle H B C}}{S_{\triangle A B C}}$ şi analoagele. | $\mathbf{1 p}$ | +| $\frac{A H}{A A^{\prime}}+\frac{B H}{B B^{\prime}}+\frac{C H}{C C^{\prime}}=2$ | | | +| $\frac{A H+B H+C H}{A A^{\prime}} \geq \frac{A H}{A A^{\prime}}+\frac{B H}{B B^{\prime}}+\frac{C H}{C C^{\prime}}=2$. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Finalizare $A H+B H+C H \geq 2 A A^{\prime}$. | $\mathbf{1 p}$ | | + +## SUBIECTUL IV + +| a) | a) $m(A \hat{B M})=10^{\circ}$ | | +| :--- | :--- | :--- | +| | $m(A \hat{M} N)=30^{\circ}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\Delta A M N$ cu $m(\hat{N})=90^{\circ}$ şi $m(\hat{M})=30^{\circ} \Rightarrow \frac{A N}{A M}=\frac{1}{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | Dacă $A A^{\prime} \perp B C, \triangle A A^{\prime} C \equiv \triangle B N A \Rightarrow A N \equiv A^{\prime} C$ | $\mathbf{p p}$ | +| | $2 A N=2 A^{\prime} C \Rightarrow[A M] \equiv[B C]$ | $\mathbf{3 p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1224-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1224-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6b4bcb1bd4912cd2b8239d4354f757b00536d54 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1224-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,118 @@ +Inspectoratul Școlar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a VI-a + +## SUBIECTUL I + +Determinați toate numerele de forma $\overline{a b c}$ care au cifrele numere prime și verifică relația: + +$$ +\frac{3 a+2 b}{6}=\frac{3 b+c}{7}=\frac{a+4 c}{11} +$$ + +## SUBIECTUL II + +Fie $a, b, c \in \mathbf{N}^{*}$ astfel încât $\frac{a}{2013 a+3}=\frac{b}{2013 b+5}=\frac{c}{2013 c+7}$. Determinați $a, b, c$ ştiind că $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ divide pe 747 . + +## SUBIECTUL III + +Considerăm 2013 puncte distincte şi coliniare $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{2013}$ astfel încât $A_{1} A_{2}=1 \mathrm{~cm}$ şi $A_{2}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{1} A_{3}\right], A_{3}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{2} A_{4}\right], A_{4}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{3} A_{5}\right], \ldots, A_{2012}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{2011} A_{2013}\right]$. + +a) Calculați lungimea segmentului $\left[A_{1} A_{2013}\right]$. + +b) Calculați lungimea segmentului $\left[P_{1} P_{2}\right]$, unde $P_{1}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{3} A_{4}\right]$, iar $P_{2}$ este mijlocul segmentului $\left\lfloor A_{2010} A_{2011}\right\rfloor$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie unghiurile adiacente suplementare $A \hat{O} B$ şi $B \hat{O} D$, iar punctul $C \in \operatorname{int}(B \hat{O} D)$. Ştiind că $A \hat{O} B, B \hat{O} C, C \hat{O} D$ sunt unghiuri ascuțite şi au măsurile reprezentate prin numere naturale, iar cel mai mic dintre unghiuri este un sfert din cel mai mare unghi, aflați măsurile unghiurilor $A \hat{O O}, B \hat{O} C, C \hat{D} D$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +OLIMPIAAA DE MATEMATICA'- ETAPA LOCALA- + +$$ +16.02,2013 +$$ + +BAREN DENOTARE SI EVALUARE - CLASA OUI a + +Sutriectuf II + +Relatia resie sul forme: $\frac{2013 a+3}{a}=\frac{2013 b+5}{b}=\frac{2013 c+7}{c}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow 2013+\frac{3}{a}=2013+\frac{5}{b}=2013+\frac{7}{c} \Rightarrow \frac{3}{a}=\frac{5}{b}=\frac{7}{c}=\frac{1}{k} \\ +& \Rightarrow a=3 k, b=5 k, c=7 k \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=9 k^{2}+25 k^{2}+49 k^{2} \\ +& =83 k^{2} \\ +& \Rightarrow k^{2} p=9 \Rightarrow k^{2} \in\{1,9\} \Rightarrow k \in\{1,3\} \text { Sin } 83 k^{2} / 747 \Rightarrow \exists p \in \mathbb{A} \text { a.. } 747=83 k^{2} \cdot p +\end{aligned} +$$ + +$\Rightarrow k^{2} p=9 \Rightarrow k \in(1,9=1, b=5, c=7$, iar dacai $k=3 \Rightarrow a=9, b=15$, +Dace $k=1 \Rightarrow a=3, b=5$, $c=21$ + +subrectue - + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{3 a+2 b}{6}=\frac{3 b+c}{7}=\frac{a+4 c}{11}=k \Rightarrow \frac{3 a+2 b}{6}=k \Rightarrow 3 a+2 b=6 k \\ +& \Rightarrow 3 a=\text { m. par (2p) } \Rightarrow a=\text { warcara }=\text { m. micu } \Rightarrow a=2 \\ +& \Rightarrow \frac{6+2 b}{6}=\frac{3 b+c}{7}=\frac{2+4 c}{11} \Leftrightarrow \frac{3+b}{3}=\frac{3 b+c}{7}=\frac{2+4 c}{11} \text { (1p } \\ +& \text { sia } \frac{3+b}{3}=\frac{3 b+c}{7} \Rightarrow 2 b+3 c=21 \text { (1p) } \Rightarrow 6=3, c=5 \\ +& \Rightarrow a b c=235(1 p +\end{aligned} +$$ + +tubiectue III + +(3p) a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63163f2a4b7d57a33d52g-2.jpg?height=231&width=422&top_left_y=2604&top_left_x=352) + +(1p)desea + +$$ +\begin{aligned} +& {\left[A_{1} A_{2}\right] \equiv\left[A_{2} H_{3}\right] \equiv\left[A_{3} A_{4}\right] \equiv \ldots \equiv\left[A_{20 / 2} A_{2013}\right]=1 \mathrm{~cm}} \\ +& \Rightarrow A_{1} A_{2013}=\frac{1+1+1+\cdots+1}{t_{2012}^{1+\cdots}}=2012 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +$$ +\text { b) } \begin{aligned} +& A_{4} A_{2010}=2009-3=2006 \\ +& P_{1} P_{2}=P_{1} A_{4}+A_{4} A_{2010}+A_{2010} P_{2} \\ +& A_{4} P_{1}=A_{2010} P_{2}=\frac{1}{2} \mathrm{~cm} \text { PP } \\ +& \Rightarrow_{1} P_{2}=2006+1=2007 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +Subrectul is + +Notànd cu * mätura celui mai mic urg lì màsuril celor trei unpliuri saix is ordine crescetare sunt: $x ; 180^{\circ}-5 x ; 4 \times \bigcirc p$ + +Cum $180^{\circ}-5 x<90^{\circ} ; 4 x<90^{\circ} \Rightarrow x>18^{\circ}$ ni $x<22^{\circ} 30^{\prime} 1$ + +$\operatorname{Dar} x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in\left\{19^{\circ}, 20^{\circ}, 21^{\circ}, 22^{\circ}\right\} \upharpoonleft$ + +- Cotul I: $x=19^{\circ} \Rightarrow 180^{\circ}-5 x=85^{\circ} ; 4 x=766^{\circ}$ care nu convine + +$1 p=76$, care nu col +are rup hi +$4 x=80^{\circ}$, nu conv +$4 x=84^{\circ}$, convine +$4 x=88^{\circ}$, conorice derarece $4 \times$ nu mai rte cel wai mare wuphi + +- Cozul II: $x=20^{\circ} \Rightarrow 180^{\circ}-5 x=80^{\circ} \because 4 x=80^{\circ}$, nu convine +- Cozul III: $x=21^{\circ} \Rightarrow 180^{\circ}-5 x=75^{\circ}$ in $4 x=84^{\circ}$, conorne +- Cogul IV: $x=22^{\circ} \Rightarrow 180^{\circ}-5 x=70^{\circ}$ s $4 x=88^{\circ}$, convice + +MOTÄ: Enice acta-foletie crectà difeirtá de cee dia barem se puncteetá corenuazelor + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1225-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1225-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9eec59fe9045dd61504240dc2965a06bb611f7af --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1225-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,73 @@ +Inspectoratul Școlar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a V-a + +## SUBIECTUL I + +Dacă numărul natural $x$ verifică egalitatea $\left\lfloor(4026: 61: 33-x): 2013^{0}+3\right\rfloor \cdot 6-24=0$ $y=\left(2+2^{2}+\ldots+2^{2013}\right):\left(4^{1007}-2\right) \cdot 2013$ aflaţi $x^{y}$ şi $y^{x}$. + +## SUBIECTUL II + +a) Arătați că nu există numere naturale care împărțite la 6 să dea restul 5 și împărțite la 9 să dea restul 3 . + +b) Arătați că oricare ar fi 6 numere naturale există cel puțin două care împărțite la 5 dau acelaşi rest. + +## SUBIECTUL III + +Fie şirul de numere naturale: $5,13,21,29, \ldots$ + +a) Stabilitị daca numărul 2012 este termen al șirului. Dar 2013? + +b) Câți termeni ai şirului sunt mai mari decât 500 şi mai mici decât 1000 ? + +c) Calculați suma: $S=5+13+21+29+\ldots+2005$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $A$ multimea numerelor naturale nenule cu proprietatea ca suma cifrelor sale este divizibila cu 2 . + +a)Arătați că A conține o infinitate de cuburi perfecte. + +b)Arătați că multimea A conține o infinitate de perechi de numere naturale consecutive. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a V-a
BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +| $x=1$ | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | +| $y=2013$ | $\mathbf{3 p}$ | +| $x^{y}=1, y^{x}=2013$ | $\mathbf{1 p}$ | + +## SUBIECTUL II + +| a) | Presupunem ca exista un astfel de numar si din teorema impartirii cu rest avem
$6 c_{1}+5=9 c_{2}+3$
Membrul stang nu se divide cu 3, iar membrul drept se divide cu 3 ceea ce conduce
la o contradictie | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | Aplicam principiul cutiei
Avem 6 numere si 5 resturi posibile la impartirea cu 5, deci exista cel putin 2
numere care dau acelasi rest | $1 \mathrm{p}$ | +| $2 \mathrm{p}$ | | | + +## SUBIECTUL III + +| a) | Determinarea formei termenului general $a_{n}=8 n-3$
Verificare: 2012 nu apartine sirului, 2013 apartine sirului | $\mathbf{p p}$
$\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | Determinarea numarului de termeni care verifica conditia : 63 de termeni ai sirului | $\mathbf{2 p}$ | +| c) | Calculul sumei | $\mathbf{2 p}$ | + +## SUBIECTUL IV + +| a) | Numerele de forma $\underbrace{800 \ldots 0}_{3 n \text { ori }}$ satisfac cerintele | $4 \mathbf{p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | Numerele de forma $\underbrace{00 \ldots}_{n} 019, \underbrace{200 \ldots 020}_{n}$ satisfac cerintele | $\mathbf{3 p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1226-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1226-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2663fd8d7c2b6dac8c7eb4f441c27acacb2661a7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1226-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,79 @@ +Inspectoratul Şcolar Județean Mehedinți + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a IX-a + +## SUBIECTUL I + +a)Numerele 2 şi 19 sunt termeni ai unei progresii aritmetice crescătoare de numere naturale. Să se calculeze rația progresiei. + +b)Fie a,b,c numere întregi, cu $a^{2}-4 b=c^{2}$. Să se arate că numărul $a^{2}-2 b$ se scrie ca sumă de două pătrate perfecte ale unor numere întregi. + +## SUBIECTUL II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5ce64d4a38b650c6b05g-1.jpg?height=194&width=1736&top_left_y=1128&top_left_x=226) +demonstreze că $(x+y)(y+z)(z+x)=8 x y z$. + +## SUBIECTUL III + +Fie $\mathrm{a} \in R, n \in N, n \geq 2$. + +a)Considerăm punctele $A_{1}(1, a), A_{2}(2, a), \ldots, A_{n}(n, a)$ în reperul $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Să se calculeze $\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\ldots+\overrightarrow{O A_{n}}$. + +b) Să se demonstreze inegalitatea $\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+2^{2}}+\ldots+\sqrt{a^{2}+n^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot n(2 a+n+1)$. + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$ ascuțitunghic , cu notațiile $\mathrm{AB}=\mathrm{c}, \mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{BC}=\mathrm{a}$ şi $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{D} \in[B C]$. + +a)Să se arate că $\frac{B D}{D C}=\frac{C \cos B}{b \cos C}$. + +b)Dacă $A^{\prime}$ este un punct astfel ca $\overrightarrow{A A^{\prime}}=($ b cos $\mathrm{C}) \overrightarrow{A B}+$ (c cosB) $\overrightarrow{A C}$,să se demonstreze că punctele $A, D, A^{\prime}$ sunt coliniare. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-16 FEBRUARIE 2013
Clasa a IX-a
BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +| a) | $a_{1}+(p-1) \cdot r=2 ; a_{1}+(m-1) \cdot r=19$
$(m-p) \cdot r=17$
Cum $m>p$ resultă $m-p \in I N \Rightarrow r \in\{1,17\}$ | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | $a^{2}-c^{2}=4 b$ rezultă $a$ şi $c$ au aceeaşi paritate; $a \pm c$ pare | | +| $a^{2}-2 b=\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a-c}{2}\right)^{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | | + +## SUBIECTUL II + +| Din inegalitatea părții întregi $\Rightarrow[x+y] \leq x+y ;[y+z] \leq y+z ;[z+x] \leq z+x$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\left\{\begin{array}{l}y+z \leq x+y \\ z+x \leq y+z \\ x+y \leq z+x\end{array}\right.$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow x=y=z$ | | +| $(x+y)(y+z)(z+x)=2 x \cdot 2 y \cdot 2 z=8 x y z$ | $2 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL III + +| a) | $\overrightarrow{O A_{k}}(k, a), k=\overline{1, n}$
$\sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{O A_{k}}\left(\sum_{k=1}^{n} k, n a\right) \Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{O A_{k}}\left(\frac{n(n+1)}{2}, n a\right)$ | $1 p$
$2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b) | $\left\|\sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{O A_{k}}\right\| \leq \sum_{k=1}^{n}\left\|\overrightarrow{O A_{k}}\right\|$
$\frac{1}{2} n \sqrt{(n+1)^{2}+4 a^{2}} \leq \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k^{2}+a^{2}}$
Se verifica ca $\frac{1}{2} n \sqrt{(n+1)^{2}+4 a^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{4} n(2 a+n+1)$
Finalizare | $1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | + +## SUBIECTUL IV + +| a) | Din $\triangle A B D \Rightarrow B D=c \cdot \cos B$
Din $\triangle A D C \Rightarrow C D=b \cdot \cos C$
Finalizare | $\mathbf{1 p}$
$\mathbf{1 p}$
$\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | Notăm $\frac{B D}{D C}=k$ | | +| | $(k+1) \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+k \cdot \overrightarrow{A C}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| | $b \cdot \cos C \cdot(k+1) \overrightarrow{A D}=b \cdot \cos C \cdot \overrightarrow{A B}+c \cdot \cos B \cdot \overrightarrow{A C}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $b \cdot \cos C \cdot(k+1) \cdot \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A A^{\prime}}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $A, D, A^{\prime}$ coliniare | $\mathbf{1 p}$ | | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1227-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_12.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1227-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_12.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..95ecf530198f143afa2af0f37dd846448c1e687c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1227-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_12.md" @@ -0,0 +1,191 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 9.02.2013 + +## Barem de corectare + +## Clasa a XII-a + +## Problema 1 + +Calculati: $\int \frac{1}{x\left(x^{2012}+2013\right)} d x, x>0$. + +## Gazeta matematică + +Solutie: $\int \frac{1}{x\left(x^{2012}+2013\right)} d x=\frac{1}{2013} \int \frac{2013+x^{2012}-x^{2012}}{x\left(x^{2012}+2013\right)} d x=$ + +$$ +\begin{aligned} +& =\frac{1}{2013} \int \frac{2013+x^{2012}}{x\left(x^{2012}+2013\right)}-\frac{x^{2012}}{x\left(x^{2012}+2013\right)} d x= \\ +& =\frac{1}{2013} \int\left(\frac{1}{x}-\frac{x^{2011}}{x^{2012}+2013}\right) d x= \\ +& =\frac{1}{2013}\left(\ln x-\frac{1}{2012} \ln \left(x^{2012}+2013\right)\right)+C +\end{aligned} +$$ + +## Din oficiu: $1 \mathbf{p}$ + +## Problema 2 + +Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ si multimea: + +$G=\left\{X_{a} \in M_{2}(\mathbf{R}) \mid X_{a}=I_{2}+a A, a>-\frac{1}{2}\right\}$. + +a) Arătati că $G$ este parte stabilă a lui $M_{2}(\mathbf{R})$ în raport cu înmultirea. Stabiliti, apoi, că $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +b) Demonstrati că functia $f: G \rightarrow \mathbf{R}, f\left(X_{a}\right)=\ln (2 a+1)$ este izomorfism între grupurile $(G, \cdot)$ si $(\mathbf{R},+)$. + +c) Calculati $X_{\frac{1}{2}} \cdot X_{\frac{3}{2}} \cdot \ldots \cdot X_{\frac{2 n-1}{2}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$. + +Solutie: a) $X_{a}, X_{b} \in G, a, b>-\frac{1}{2}$. + +$$ +X_{a} \cdot X_{b}=I_{2}+a A+b A+a b A^{2}=I_{2}+(a+b+2 a b) A=X_{a+b+2 a b} +$$ + +$a+b+2 a b>-\frac{1}{2} \Leftrightarrow(2 a+1)(2 b+1)>0$ adevărat, $\forall a, b>-\frac{1}{2}$ (2) + +Din (1) si (2) $\Rightarrow G$ este parte stabilă a lui $M_{2}(\mathbf{R})$ în raport cu înmultirea. + +Se verifică axiomele grupului: + +$G_{1}$ ) Tinând cont că $\mathrm{G}$ este parte stabilă a lui $M_{2}(\mathbf{R})$ în raport cu înmultirea matricelor , iar înmultirea în $M_{2}(\mathbf{R})$ este asociativă, deducem că si înmultirea în G este asociativă; $(0,25 \mathrm{p})$ $G_{2}$ ) Întrucât $X_{a} \cdot X_{b}=X_{a+b+2 a b}=X_{b+a+2 b a}=X_{b} \cdot X_{a}$, oricare ar fi $X_{a}, X_{b} \in G$, rezultă că înmultirea în $\mathrm{G}$ este comutativă; + +$G_{3}$ ) Cum $I_{2}=X_{0} \in G$, rezultă că $I_{2}$ este elementul neutru pentru înmultirea în G; + +$\left.G_{4}\right) \forall X_{a} \in G, \exists\left(X_{a}\right)^{-1}=X_{a^{\prime}} \in G$, astfel încât $X_{a} X_{a^{\prime}}=I_{2}$. + +$X_{a} X_{a^{\prime}}=I_{2} \Leftrightarrow X_{a+a^{\prime}+2 a a^{\prime}}=X_{0} \Leftrightarrow a^{\prime}=-\frac{a}{1+2 a}>-\frac{1}{2}$. Deci, $X_{a^{\prime}}=X_{-\frac{a}{1+2 a}} \in G$, ceea ce arată că orice element din $G$ este inversabil. + +Din $\left.\left.G_{1}\right)-G_{4}\right) \Rightarrow(G, \cdot)$ este grup abelian. + +b) + +Injectivitatea: Fie $X_{a}, X_{b} \in G$ astfel încât $f\left(X_{a}\right)=f\left(X_{b}\right) \Rightarrow \ln (2 a+1)=\ln (2 b+1) \Rightarrow$ $\Rightarrow a=b \Rightarrow X_{a}=X_{b}$. Prin urmare functia $f$ este injectivă. + +Surjectivitatea: $\forall b \in \mathbf{R}, \exists X_{a} \in G$ astfel încât $f\left(X_{a}\right)=b \Leftrightarrow a=\frac{e^{b}-1}{2}>-\frac{1}{2}$. + +Deci $\exists X_{a}=X_{\frac{e^{b}-1}{2}} \in G$ astfel încât $f\left(X_{a}\right)=b$. + +Morfismul: $f\left(X_{a} \cdot X_{b}\right)=f\left(X_{a+b+2 a b}\right)=\ln (4 a b+2 a+2 b+1)=\ln (2 a+1)(2 b+1)=$ + +$$ +=\ln (2 a+1)+\ln (2 b+1)=f\left(X_{a}\right)+f\left(X_{b}\right), \forall X_{a}, X_{b} \in G +$$ + +Deci $f$ este izomorfism între grupurile $(G, \cdot)$ si $(\mathbf{R},+)$. + +c) $X_{a} \cdot X_{b}=X_{a+b+2 a b}=X_{2\left(a+\frac{1}{2}\right)\left(b+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}}$. + +Se demonstrează prin inductie matematică relatia: + +$$ +X_{a_{1}} \cdot X_{a_{2}} \cdot \ldots \cdot X_{a_{n}}=X_{2^{n-1}\left(a_{1}+\frac{1}{2}\right)\left(a_{2}+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(a_{n}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}} +$$ + +Atunci $X_{\frac{1}{2}} \cdot X_{\frac{3}{2}} \cdot \ldots \cdot X_{\frac{2 n-1}{2}}=X_{\frac{2^{n} \cdot n!-1}{2}}$. + +Obs. Se poate folosi si punctul b) + +Din oficiu: $1 \mathbf{p}$ + +## Problema 3 + +Calculati: $\int \frac{x+1-x^{2} \cdot \ln x}{x^{3}+x^{2}} \cdot \cos [\ln (x+1)] d x, x>0$. + +## Solutie: + +$$ +\int \frac{x+1-x^{2} \cdot \ln x}{x^{2}(x+1)} \cdot \cos [\ln (x+1)] d x=\int \frac{1}{x^{2}} \cdot \cos [\ln (x+1)] d x-\int \frac{\ln x}{x+1} \cdot \cos [\ln (x+1)] d x= +$$ + +Pentru orice altă rezolvare corectă se acordă punctaj maxim + +$$ +\begin{aligned} +& =\int\left(-\frac{1}{x}\right)^{\prime} \cdot \cos [\ln (x+1)] d x-\int \ln x \cdot[\sin \ln (x+1)]^{\prime} d x= \\ +& =-\frac{1}{x} \cdot \cos [\ln (x+1)]-\int \frac{1}{x} \cdot \sin \ln (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} d x- \\ +& -\ln x \cdot \sin \ln (x+1)+\int \frac{1}{x} \cdot \sin \ln (x+1) d x= \\ +& =-\frac{1}{x} \cdot \cos [\ln (x+1)]-\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) \cdot \sin \ln (x+1) d x- \\ +& -\ln x \cdot \sin \ln (x+1)+\int \frac{1}{x} \cdot \sin \ln (x+1) d x= \\ +& =-\frac{1}{x} \cdot \cos [\ln (x+1)]-\int \frac{1}{x} \cdot \sin \ln (x+1) d x+\int \frac{1}{x+1} \cdot \sin \ln (x+1) d x- \\ +& -\ln x \cdot \sin \ln (x+1)+\int \frac{1}{x} \cdot \sin \ln (x+1) d x= \\ +& =-\frac{1}{x} \cdot \cos [\ln (x+1)]-\cos [\ln (x+1)]-\ln x \cdot \sin [\ln (x+1)]+C +\end{aligned} +$$ + +Din oficiu: $1 \mathbf{p}$ + +## Problema 4 + +Determinati primitivele functiei $f:[0, \pi] \rightarrow \mathbf{R}$ primitivabilă, care verifică relatia $f(x) \sin x-f(\pi-x)=\cos ^{2} x, \forall x \in[0, \pi]$. + +## Solutie: + +Din relatia din enunt, pentru $x:=\pi-x$, deducem: $f(\pi-x) \sin x-f(x)=\cos ^{2} x$. + +Din relatia din enunt, prin înmultire cu $\sin x$ deducem: + +$$ +f(x) \sin ^{2} x-f(\pi-x) \sin x=\sin x \cos ^{2} x +$$ + +Adunând (1) si (2), deducem $[1+\sin x+f(x)] \cdot \cos ^{2} x=0$. + +Din (3), obținem: + +Caz 1. $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$. Din relatia din ipoteză se obtine $f(x)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=a$. + +Caz 2. Pentru $x \in[0, \pi] \backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}, 1+\sin x+f(x)=0$. + +Astfel: $\quad f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1-\sin x, x \in[0, \pi] \backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\} \\ a, \quad x=\frac{\pi}{2}\end{array}, a \in \mathbf{R}\right.$. + +Dacă $a \in \mathbf{R} \backslash\{-2\}, f$ are punct de discontinuitate de speta I în $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow f$ nu are proprietatea lui Darboux si deci $f$ nu admite primitive. + +Conform enuntului, $f$ admite primitive si deci $a=-2$ si prin urmare, $f(x)=-1-\sin x$ pentru orice $x \in[0, \pi]$ si deci $F(x)=-x+\cos x+C$. + +Din oficiu: $1 \mathbf{p}$ + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 9.02.2013 + +Clasa a XII-a + +## Problema 1 + +Calculaţi: $\int \frac{1}{x\left(x^{2012}+2013\right)} d x, x>0$. + +Gazeta matematică + +## Problema 2 + +Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ şi mulţimea: + +$G=\left\{X_{a} \in M_{2}(\mathbf{R}) \mid X_{a}=I_{2}+a A, a>-\frac{1}{2}\right\}$. + +a) Arătaţi că $G$ este parte stabilă a lui $M_{2}(\mathbf{R})$ în raport cu înmulţirea. Stabiliţi, apoi, că ( $G \cdot \cdot)$ este grup abelian. + +b) Demonstraţi că funcţia $f: G \rightarrow \mathbf{R}, f\left(X_{a}\right)=\ln (2 a+1)$ este izomorfism între grupurile $(G, \cdot)$ şi $(\mathbf{R},+)$. + +c) Calculaţi $X_{\frac{1}{2}} \cdot X_{\frac{3}{2}} \cdot \ldots \cdot X_{\frac{2 n-1}{2}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$. + +## Problema 3 + +Calculaţi: $\int \frac{x+1-x^{2} \cdot \ln x}{x^{3}+x^{2}} \cdot \cos [\ln (x+1)] d x, x>0$. + +## Problema 4 + +Determinaţi primitivele funcţiei $f:[0, \pi] \rightarrow \mathbf{R}$ primitivabilă, care verifică relaţia $f(x) \sin x-f(\pi-x)=\cos ^{2} x, \forall x \in[0, \pi]$. + +## Notă: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1228-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_11.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1228-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_11.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..31f380933a1ac07a18db852d5367767366713494 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1228-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_11.md" @@ -0,0 +1,137 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 9.02 .2013 + +Clasa a XI-a + +Barem de evaluare + +Problema1. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbf{C})$ astfel încât: $A B=\left(\begin{array}{cc}10 & 30 \\ 4 & 20\end{array}\right)$ si $B A=\left(\begin{array}{cc}x & 60 \\ 2 & y\end{array}\right)$ + +Aflaţi $x$ şi $y$. + +Gazeta Matematică + +## SOLUTIIE + +$\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B$......1punct, $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A) \Rightarrow x y=200$.....1punct + +Fie $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}p & q \\ r & s\end{array}\right)$. + +$\operatorname{Din} A \cdot B \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a p+b r=10 \\ c q+d s=20\end{array}\right.$, respectiv din $B A \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a p+c q=x \\ b r+d s=y\end{array} \ldots\right.$. . 1 punct + +de unde $x-10=c q-b r$ şi $20-y=c q-b r$ deci $x-10=20-y \Rightarrow x+y=30 \ldots \ldots$. 1punct + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{\begin{array}{l} +x+y=30 \\ +x y=200 +\end{array}\right. \text { 1punct } \\ +& \Rightarrow x=10, y=20, \text { sau } \quad x=20, y=10 +\end{aligned} +$$ + +## Din oficiu 1punct + +Probleme2. Fie $A, B \in M_{n}(\mathbf{R})$ astfel încât $A+B=A \cdot B$ şi $\operatorname{det}(A+B)>0$. + +Să se arate că: a) $A^{-1}+B^{-1}=I_{n} ; \quad$ b) $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0 ;$ c) $\operatorname{det}\left(A \cdot B-2 I_{n}\right) \geq 0$. + +## SOLUTIE + +a) $A+B=A \cdot B \Rightarrow \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A \cdot B)>0$. Deci $\operatorname{det} A \neq 0$ si $\operatorname{det} B \neq 0 \Rightarrow \exists A^{-1}, B^{-1} \ldots \ldots$ punct + +$$ +A^{-1} \cdot \mid A+B=A \cdot B \Rightarrow A^{-1} \cdot A+A^{-1} \cdot B=A^{-1} \cdot A \cdot B +$$ + +Pentru orice altă rezolvare corectă se acordă punctaj maxim +de unde folosind asociativitatea înmultiri matricelor obtinem $A^{-1}+B^{-1}=I_{n}$ ..1punct + +b) Demonstrăm că din $A+B=A \cdot B$ rezultă că $A \cdot B=B \cdot A$ $A+B=A \cdot B \Rightarrow A \cdot B-A-B=O_{n} \Rightarrow A \cdot B-A-B+I_{n}=I_{n} \Rightarrow A \cdot\left(B-I_{n}\right)-\left(B-I_{n}\right)=I_{n}$ de unde $\left(A-I_{n}\right) \cdot\left(B-I_{n}\right)=I_{n} \Rightarrow \operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(B-I_{n}\right)=1$, $\operatorname{deci} \operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \neq 0 \Rightarrow \exists\left(A-I_{n}\right)^{-1}$. + +Înmultim egalitatea $\left(A-I_{n}\right) \cdot\left(B-I_{n}\right)=I_{n} \mathrm{cu}\left(A-I_{n}\right)^{-1}$ din stânga si cu $\left(A-I_{n}\right)$ din dreapta. + +$\left(A-I_{n}\right)^{-1} \cdot \|\left(A-I_{n}\right) \cdot\left(B-I_{n}\right)=I_{n} \mid\left(A-I_{n}\right) \Rightarrow\left(B-I_{n}\right)\left(A-I_{n}\right)=I_{n}$ de unde $B \cdot A-B-A+I_{n}=I_{n}$ dar $A \cdot B-A-B+I_{n}=I_{n}$ deci $A \cdot B=B \cdot A$ 1punct + +Dacă $\bar{X} \in M_{n}(\mathbf{C})$ este conjugata matricei $X \in M_{n}(\mathbf{C})$, atunci se stie că det $\bar{X}=\overline{\operatorname{det} X}$ si $\operatorname{det} X \cdot \operatorname{det} \bar{X} \geq 0$. + +Fie $X=A+i B$ și $\bar{X}=A-i B$ de unde având în vedere că $A \cdot B=B \cdot A$ rezultă că $\operatorname{det}[(A+i B) \cdot(A-i B)]=\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0$ ..1punct + +c) $(A+B)^{2}=(A \cdot B)^{2} \Rightarrow A^{2}+B^{2}+2 A B=(A \cdot B)^{2}$, de unde $A^{2}+B^{2}=A B\left(A B-2 I_{n}\right)$ + +De unde $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=\operatorname{det}(A B) \cdot \operatorname{det}\left(A B-2 I_{n}\right) \geq 0$, dar $\operatorname{det}(A \cdot B)>0$ deci obtinem $\operatorname{det}\left(A \cdot B-2 I_{n}\right) \geq 0$ 1punct + +## Din oficiu 1punct + +Probleme3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit astfel: $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 x_{n}+2} \quad \forall n \in \mathbf{N}^{*}$, unde $x_{1}=a \in \mathbf{R}$. + +a) Să se arate că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi să se calculeze limita şirului. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}-n\right)$. + +## SOLUŢIE + +Din $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 x_{n}+2} \Rightarrow x_{n+1}=\sqrt{\left(x_{n}-1\right)^{2}+1} \Rightarrow x_{n} \geq 1, \forall n \geq 2 \ldots \ldots \ldots$ punct $x_{n+1}-x_{n}=\frac{2\left(1-x_{n}\right)}{\sqrt{x_{n}^{2}-2 x_{n}+2}+x_{n}} \leq 0, \forall n \geq 1 \ldots \ldots \ldots . .1$ punct + +Deci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ descrescător şi $1 \leq x_{n} \leq x_{2}, \forall n \geq 2 \Rightarrow$ şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent....1punct + +Fie $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$, din relaţia de recurenţă rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ $\qquad$ 1punct + +b) Din $x_{k+1}^{2}-x_{k}^{2}=-2\left(x_{k}-1\right), \forall k \geq 1$, dând lui $k$ valori de la 1 la $n$ şi adunând relaţile obţinute rezultă punct $x_{n+1}^{2}-x_{1}^{2}=-2\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}-n\right)$ $\qquad$ 1punct + +De unde trecâd la limită se obţine punct $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}-n\right)=\frac{a^{2}-1}{2}$ $\qquad$ .1punct + +## Din oficiu 1punct + +Problema 4. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit astfel: $x_{0}>0, x_{n}=x_{n-1} \cdot\left(2-a x_{n-1}\right), \forall n \in \mathbf{N}^{*}$, unde $a>0$ un număr fixat. Dacă $x_{1}>0$, să se calculeze limita şirului. + +## SOLUŢIE + +Din relaţia $x_{n}=x_{n-1}\left(2-a x_{n-1}\right)$, obţinem $1-a x_{n}=\left(1-a x_{n-1}\right)^{2}, \forall n \in \mathbf{N}^{*} . .2$ 2puncte + +Folosind metoda inducţiei matematice se poate demonstra că $1-a x_{n}=\left(1-a x_{0}\right)^{2^{n}}, \forall n \in \mathbf{N}$..2puncte + +Deoarece $x_{1}=x_{0}\left(2-a x_{0}\right)>0, x_{0}>0$, rezultă că $2-a x_{0}>0 \Rightarrow 1-a x_{0}>-1$; dar $1-a x_{0}<1$, deci $\left|1-a x_{0}\right|<1$. Deci $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-a x_{0}\right)^{2^{n}}=0$, de unde $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-a x_{n}\right)=0$, de unde $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent şi $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{a}$ + +## Din oficiu 1punct + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 9.02.2013 + +Clasa a XI-a + +Problema1. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbf{C})$ astfel încât: $A B=\left(\begin{array}{cc}10 & 30 \\ 4 & 20\end{array}\right)$ si $B A=\left(\begin{array}{cc}x & 60 \\ 2 & y\end{array}\right)$ + +Aflaţi $x$ şi $y$. + +Gazeta Matematică + +Probleme2. Fie $A, B \in M_{n}(\mathbf{R})$ astfel încât $A+B=A \cdot B$ şi $\operatorname{det}(A+B)>0$. + +Să se arate că: a) $A^{-1}+B^{-1}=I_{n} ; \quad$ b) $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0 ;$ c) $\operatorname{det}\left(A \cdot B-2 I_{n}\right) \geq 0$. + +Probleme3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit astfel: $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 x_{n}+2} \quad \forall n \in \mathbf{N}^{*}$, unde $x_{1}=a \in \mathbf{R}$. + +a) Să se arate că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi să se calculeze limita şirului. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}-n\right)$. + +Problema 4. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit astfel: $x_{0}>0, x_{n}=x_{n-1} \cdot\left(2-a x_{n-1}\right), \forall n \in \mathbf{N}^{*}$, unde $a>0$ un număr fixat. Dacă $x_{1}>0$, să se calculeze limita şirului. + +## Notă: + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Problemele propuse de: prof. Ilie Ştefan, prof. Matefi Istvan + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1229-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_10.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1229-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_10.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86f572995c9da7b2f9197d22e8a9f0dd947477e1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1229-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_10.md" @@ -0,0 +1,138 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică
Faza locală 9.02.2013
Clasa a X-a Barem + +## Problema 1: + +Arătaţi că $a^{\sqrt{\log _{a} b}}+b^{\sqrt{\log _{b} a}} \leq a+b$ pentru orice numere $a, b>1$. + +## Soluţia + +## Oficiu
$1 p$ + +Presupunem ca $a1$ + +Inegalitatea devine $a^{x}+a^{x} \leq a+a^{\log _{a} b}$ $.1 p$ + +Deci $2 \cdot a^{x} \leq a+a^{x^{2}} \Leftrightarrow \frac{a+a^{x^{2}}}{2} \geq a^{x}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $1 p$ + +Din inegalitatea mediilor obţinem $\frac{a+a^{x^{2}}}{2} \geq \sqrt{a \cdot a^{x^{2}}}=\sqrt{a^{x^{2}+1}}$ $\qquad$ +Avem că $\sqrt{a^{x^{2}+1}} \geq a^{x} \Leftrightarrow a^{x^{2}+1} \geq a^{2 x} \Leftrightarrow x^{2}+1 \geq 2 x \Leftrightarrow(x-1)^{2} \geq 0$. $\qquad$ $1 p$ + +## Problema 2: + +Fie $p, q \in C$ şi $q \neq 0$. Ştiind că ecuaţia $x^{2}+p x+q=0$ are rădăcinile cu acelaşi modul, să se arate ca $\frac{p^{2}}{q} \in[0 ; 4]$. + +## Soluţia + +$$ +\text { Oficiu .............1p } +$$ + +Rădăcinile ecuaţiei sunt $x_{1}=r(\cos \alpha+i \sin \alpha)$ şi $x_{2}=r(\cos \beta+i \sin \beta) \ldots \ldots . . . .1 \mathrm{p}$ + +$x_{1}+x_{2}=r[(\cos \alpha+\cos \beta)+i(\sin \alpha+\sin \beta)]=-p$, $.2 p$[^0] + +$$ +\begin{aligned} +& x_{1}+x_{2}=2 r \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+i \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1c389802d8c92425689eg-2.jpg?height=72&width=1174&top_left_y=181&top_left_x=241) + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{p^{2}}{q}=4 \cos ^{2} \frac{\alpha-\beta}{2} \in[0 ; 4] +\end{aligned} +$$ + +## Problema 3: + +Fie $a, b, c, d \in \mathbb{R}_{+} \backslash\{1\}$ și $x, y, z, t \in \mathbb{R}$ astfel încât $a^{x}=b c d, b^{y}=c d a, c^{z}=d a b, d^{t}=a b c$. Demonstrați că: + +$$ +\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}=1 +$$ + +## Soluție + +Avem $\quad x=\frac{\lg (b \circ d)}{\lg \alpha}$ $2 p$ + +$1+x=1+\frac{\lg (b a d)}{\lg \alpha}=\frac{\lg a b c d}{\lg \alpha}$ si analoagele $2 p$ + +Atunci $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}=\frac{\lg a}{\lg a b o d}+\frac{\lg b}{\lg a b o d}+\frac{\lg c}{\lg a b a d}+\frac{\lg d}{\lg a b o d}=$ $=\frac{l_{\text {g }} a b o d}{l_{\text {g } a b c d}}=1$ . $.2 p$ + +## Problema 4: + +Să se studieze bijectivitatea funcţiei $f: R \rightarrow R$ cu proprietatea + +$2 f(3-2 x)+f(2 x-2)=x, x \in R$ + +## Soluţia + +Pentru $3-2 \mathrm{x}=\mathrm{y}$ obţinem $x=\frac{3-y}{2}$ $1 p$ + +Inlocuind în relaţia din enunţ pe $x \mathrm{cu} \frac{3-y}{2}$ se obţine relaţia + +(1) $2 f(y)+f(1-y)=\frac{3-y}{2}$. $2 p$ + +Pentru orice altă rezolvare corectă se acordă punctaj maxim + +Pentru $2 x-2=y$ obţinem $x=\frac{y+2}{2}$ + +Inlocuind în relaţia din enunţ pe $\mathrm{xcu} \frac{y+2}{2}$ se obţine relaţia + +(2) $2 f(1-y)+f(y)=\frac{y+2}{2}$ + +$.2 p$ + +Rezolvând sistemul dat de relaţiile (1) şi (2) se află $f(y)=\frac{4-3 y}{6}$ (3) + +Se demonstrează ca funcţia $f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{4-3 x}{6}$ este bijectivă......... 1 p + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică
Faza locală 9.02.2013
Clasa a X-a + +## Problema 1: + +Arătaţi că $a^{\sqrt{\log _{a} b}}+b^{\sqrt{\log _{b} a}} \leq a+b$ pentru orice numere $\mathrm{a}, \mathrm{b}>1$. + +Gazeta matematică + +## Problema 2: + +Fie $\mathrm{p}, \mathrm{q} \in C$ şi $q \neq 0$. Ştiind că ecuaţia $x^{2}+p x+q=0$ are rădăcinile cu acelaşi modul, să se arate ca $\frac{p^{2}}{q} \in[0 ; 4]$. + +## Problema 3: + +Fie $a, b, c, d \in \mathbb{R}_{+} \backslash\{1\}$ şi $x, y, z, t \in \mathbb{R}$ astfel încât $a^{x}=b c d, b^{y}=c d a, c^{z}=d a b$, $d^{t}=a b c$. Demonstraţi că: + +$$ +\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}=1 +$$ + +## Problema 4: + +Să se studieze bijectivitatea funcţiei $f: R \rightarrow R$ cu proprietatea + +$$ +2 \mathrm{f}(3-2 \mathrm{x})+\mathrm{f}(2 \mathrm{x}-2)=\mathrm{x}, \mathrm{x} \in R +$$ + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Problemele propuse de: prof. Rad Ioan, prof.Blaga Cristinel, prof.Blaga Cornel, prof.Oprica Natalia, prof.Pescăruş Teodor + + +[^0]: Pentru orice altă rezolvare corectă se acordă punctaj maxim + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-123-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-123-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..88bb30767eef3ab324911dbb1371f5dc5ebb244f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-123-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,91 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
Clasa a X - a + +Problema 1. Arătaţi că $\left(\frac{\log _{4} 5+\log _{5} 6+\log _{6} 7+\ldots+\log _{2015} 2016}{2012}\right)^{2012}>5$. + +Problema 2. Fie $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$, astfel încât $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{3}$ sुi $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1$. Să se arate că $\left|z_{1}-z_{2}\right|=1$. + +Problema 3. Să se determine funcţiile $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea + +$$ +\ln (x y) \leq f(x)+f(y)-x-y \leq f(x y)-x y, \quad(\forall) x, y \in(0, \infty) +$$ + +Problema 4. Se consideră funcţia surjectivă $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ şi funcţia strict crescătoare $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, astfel încât $f(x) \geq g(x)$, pentru fiecare $x \in \mathbb{N}$. + +a) Arătaţi că $f(x)=g(x)$, $(\forall) x \in \mathbb{N}$; + +b) Calculaţi $f(1)-g(2)+f(3)-g(4)+\ldots+f(2015)-g(2016)$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a X - a + +Problema 1. Arătaţi că $\left(\frac{\log _{4} 5+\log _{5} 6+\log _{6} 7+\ldots+\log _{2015} 2016}{2012}\right)^{2012}>5$. + +Barem de corectare. Utilizând inegalitatea dintre media aritmetică şi geometrică se obţine: + +(3p) $\left(\frac{\log _{4} 5+\log _{5} 6+\ldots+\log _{2015} 2016}{2012}\right)^{2012}>\left(\sqrt[2012]{\log _{4} 5 \cdot \log _{5} 6 \cdot \ldots \cdot \log _{2015} 2016}\right)^{2012}$ + +$(2 p) \quad=\log _{4} 2016$ + +$(2 p) \quad>\log _{4} 1024=5$ + +Problema 2. Fie $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$, astfel încât $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{3}$ şi $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1$. Să se arate că $\left|z_{1}-z_{2}\right|=1$. + +## Barem de corectare. + +(2p) Se foloseşte faptul că $|z|^{2}=z \cdot \bar{z}$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$. + +(3p) Deoarece, $3=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\right)=z_{1} \bar{z}_{1}+z_{1} \bar{z}_{2}+\bar{z}_{1} z_{2}+z_{2} \bar{z}_{2}=2+\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}$, + +(2p) se obţine $\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}=-z_{1} z_{2}$, de unde rezultă că $\left|z_{1}-z_{2}\right|=1$. + +Problema 3. Să se determine funcţile $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea + +$$ +\ln (x y) \leq f(x)+f(y)-x-y \leq f(x y)-x y, \quad(\forall) x, y \in(0, \infty) +$$ + +## Barem de corectare. + +(2p) Din $\ln (x y) \leq f(x y)-x y$, rezultă $f(t)-t \geq \ln t,(\forall) t \in(0, \infty)$. + +(2p) Dacă notăm $f(x)-x=g(x)$, atunci + +$$ +\ln (x y) \leq g(x)+g(y) \leq g(x y), \quad(\forall) x, y \in(0, \infty) +$$ + +Pentru $x=y=1$ avem $0 \leq 2 g(1) \leq g(1)$, adică $g(1)=0$. + +(3p) Pentru $y=\frac{1}{x}$, obţinem: + +$$ +0 \leq g(x)+g\left(\frac{1}{x}\right) \leq 0 \Rightarrow g(x)+g\left(\frac{1}{x}\right)=0 \Rightarrow(g(x)-\ln x)+\left(g\left(\frac{1}{x}\right)-\ln \frac{1}{x}\right)=0 +$$ + +Cum $g(t) \geq \ln t$, pentru orice $t \in(0, \infty)$, rezultă că $g(x)-\ln x=g\left(\frac{1}{x}\right)-\ln \frac{1}{x}=0$, adică $f(x)=\ln x+x$. + +Problema 4. Se consideră funcţia surjectivă $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ şi funcţia strict crescătoare $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, astfel încât $f(x) \geq g(x)$, pentru fiecare $x \in \mathbb{N}$. + +a) Arătaţi că $f(x)=g(x),(\forall) x \in \mathbb{N}$; + +b) Calculaţi $f(1)-g(2)+f(3)-g(4)+\ldots+f(2015)-g(2016)$. + +## Barem de corectare. + +(3p) a) Deoarece $f$ este surjectivă, rezultă că există $n_{0} \in \mathbb{N}$, astfel încât $f\left(n_{0}\right)=0$. Rezultă $g\left(n_{0}\right) \leq 0$, de unde $g\left(n_{0}\right)=0$. Dacă $n_{0}>0$, atunci $0=g\left(n_{0}\right)>g(0) \geq 0$, absurd, deci $n_{0}=0$. Rezultă $f(0)=g(0)=0$. + +(2p) Prin inducţie, se arată că $f(n)=g(n)=n,(\forall) n \in \mathbb{N}$. + +(2p) b) Prin calcul direct avem: $f(1)-g(2)+f(3)-g(4)+\ldots+f(2015)-g(2016)=-1008$.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1230-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_9.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1230-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_9.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82524d029beef3af40a9157c5f9946b95e015b48 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1230-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_9.md" @@ -0,0 +1,147 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f71aa080be7c92788fb2g-1.jpg?height=279&width=176&top_left_y=148&top_left_x=1365) + +MINISTERUL + +EDUCAȚIEI + +NAȚIONALE + +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică
Faza locală 9.02.2013
Clasa a IX a
Barem de evaluare + +Subiectul I. + +1. a) Fie $n \in \mathbf{N}$. Să se arate că $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k}<1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}, \forall k \in N^{*}, k \leq n$. + +b) Să se aratecă $2^{n}+1<2^{n+\frac{1}{2^{n-1}}}, \forall n \in N^{*}$. + +## Solutie + +1p oficiu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f71aa080be7c92788fb2g-1.jpg?height=59&width=1561&top_left_y=1212&top_left_x=304) +b) $2^{n}+1<2^{n+\frac{1}{2^{n-1}}} \Leftrightarrow 1<2^{n}\left(2^{\frac{1}{2^{n-1}}}-1\right) \Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}}<2^{\frac{1}{2^{n-1}}}-1 \Leftrightarrow 1+\frac{1}{2^{n}}<2^{\frac{1}{2^{n-1}}} \Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2^{n-1}}<2 \ldots .2 \mathrm{p}$ Aplicând a) rezultă $\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2^{n-1}}<1+\frac{2^{n-1}}{2^{n}}+\frac{2^{2 n-2}}{2^{2 n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}<2$. $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul II. + +Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuatia + +$$ +x-1+x-2+x-3+\cdots+x-2013=2012 x-2010 +$$ + +Solutie + +## 1p oficiu + +Deoarece membrul stâng al ecuaț iei este o sumă de numere pozitive $\Rightarrow$ conditia $x-2010 \geq 0 \Rightarrow$ $x \geq 2010$, ceea ce conduce la $x-n=x-n$ pt $n \leq 2009$ $1 \mathrm{p}$ + +Se disting cazurile 1. Pentru $x<2010$ ecuatia nu are solutii..... + +$1 \mathrm{p}$ +2. $2010 \leq x \leq 2011$ cu soluț ia $x=405820,2 \notin 2010, \infty \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ +3. $2011 Faza locală
9 februarie 2013
Clasa a IX-a + +## Problema 1. + +a) Fie $n \in \mathbf{N}$. Să se arate că + +$$ +\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k}<1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}, \forall k \in N^{*}, k \leq n +$$ + +b) Să se arate că + +$$ +2^{n}+1<2^{n+\frac{1}{2^{n-1}}}, \forall n \in \mathbf{N}^{*} +$$ + +## Problema 2. + +Să se rezolve în $\mathbf{R}$ ecuația + +$$ +x-1+x-2+x-3+\cdots+x-2013=2012 x-2010 +$$ + +## Problema 3. + +Se consideră un triunghi $\mathrm{ABC}$ şi $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ intersecțiile medianelor din $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, respectiv $\mathrm{C}$ cu cercul circumscris triunghiului . Să se arate că dacă $A D+B E+C F=0$, atunci triunghiul $\mathrm{ABC}$ este echilateral. + +## Problema 4. + +În paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ fie $\mathrm{BM}=\frac{2}{3} \mathrm{BA}, \mathrm{AN}=\frac{1}{4} \mathrm{AD}, \mathrm{CM} \cap \mathrm{BN}=\mathrm{T}$. + +a. Calculaţi valoarea raportului $\frac{B T}{B N}$; + +b. Dacă $B D \cap C M=P$, demonstrați, că dreptele $\mathrm{AP}, \mathrm{BN}, \mathrm{DM}$ sunt concurente. + +## Observație + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1231-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1231-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e23e9426249f06f181a0fc0a93a9a547527f52b5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1231-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,145 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc12ffe009cc4e9c95c1g-1.jpg?height=272&width=1418&top_left_y=46&top_left_x=116) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
16 februarie 2013
Clasa a VIII-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I (7p) }}$ + +3p) + +1. Fie $x=\sqrt{47-\sqrt{2013}}-\sqrt{47+\sqrt{2013}}$. Calculaţi $x^{2}$ şi partea întreagă a numărului $x$. + +4p) + +2. Dacă numărul real pozitiv $x$ verifică egalitatea $x-\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ să se arate că numărul $a=x^{-4}+x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ este natural. + +## SUBIECTUL II (7p) + +3p) a) Fie $a$ şi $b$ două numere reale pozitive. Arătaţi că $a \sqrt{a}+b \sqrt{b} \geq a \sqrt{b}+b \sqrt{a}$. + +b) Arătaţi că, pentru orice număr natural nenul $n$, are loc inegalitatea: + +4p) $\frac{1}{2 \sqrt{2}+1 \sqrt{1}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+1}+n \sqrt{n}}<1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ + +## SUBIECTUL III (7p) + +În tetraedrul oarecare $A B C D, G_{1}, G_{2}$ şi $G_{3}$ sunt centrele de greutate ale fețelor $A B C, A B D$ şi, respectiv, $A C D$. + +4p) a) Demonstraţi că ( $\left.G_{1} G_{2} G_{3}\right) \|(B C D)$. + +3p) b) Aflaţi valoarea raportului ariilor triunghiurilor $\triangle G_{1} G_{2} G_{3}$ şi $\triangle B C D$. + +## SUBIECTUL IV ( $7 \mathrm{p}$ ) + +Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ o prismă patrulateră dreaptă, cu bazele pătrate, în care $A A^{\prime}=A B \sqrt{2}$ şi $M, N$ sunt, respectiv, mijloacele segmentelor $\left[B B^{\prime}\right],\left[D D^{\prime}\right]$. + +a) Arătaţi că $A^{\prime} B \perp(A M D)$; + +b) Arătaţi că dreapta de intersecţie a planelor (AMD) şi (ANB) este perpendiculară pe planul $\left(A^{\prime} B D\right)$. + +Subiecte selectate şi prelucrate de prof. Constantin Guriţă + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 3 ore + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013 + +Barem de corectare, + +clasa a VIII-a + +## Subiectul I + +1. Fie $x=\sqrt{47-\sqrt{2013}}-\sqrt{47+\sqrt{2013}}$. Calculaţi $x^{2}$ şi partea întreagă a numărului $x$. +2. Dacă numărul real pozitiv $x$ verifică egalitatea $x-\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ să se arate că numărul $a=x^{-4}+x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ este natural. + +## Solutie + +1. $x^{2}=66$............................................................................................. 1p + +$x$ este negativ deoarece $\sqrt{47-\sqrt{2013}}<\sqrt{47+\sqrt{2013}} \Rightarrow x=-\sqrt{66} \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ partea întreagă a lui $x$ este -9 ..................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +2. prin ridicarea egalităţii la pătrat obţinem $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc12ffe009cc4e9c95c1g-2.jpg?height=137&width=1633&top_left_y=1228&top_left_x=243) + +$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=9 \Rightarrow x+\frac{1}{x}= \pm 3$ şi cum $x$ este pozitiv $x+\frac{1}{x}=3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=18$, finalizare $a=75$ este număr natural ......................................... $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul II + +a) Fie $a$ şi $b$ două numere reale pozitive. Arătaţi că $a \sqrt{a}+b \sqrt{b} \geq a \sqrt{b}+b \sqrt{a}$. + +b) Arătaţi că, pentru orice număr natural nenul $n$, are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{1}{2 \sqrt{2}+1 \sqrt{1}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+1}+n \sqrt{n}}<1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} +$$ + +## Soluţie + +a) Relaţia din enunţ este echivalentă cu $(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \geq 0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc12ffe009cc4e9c95c1g-2.jpg?height=103&width=1645&top_left_y=2196&top_left_x=228) +finalizare $1 p$ + +b) În relaţia de la a) egalitatea are loc dacă $a=b$. + +Pentru $a \neq b$ avem $a \sqrt{a}+b \sqrt{b}>a \sqrt{b}+b \sqrt{a}$................................................1p + +$\frac{1}{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}<\frac{1}{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}}$ si aplicarea ei pentru termenii sumei ...................... 1p + +finalizare ...................................................................................................... 2p + +## Subiectul III + +În tetraedrul oarecare $A B C D, G_{1}, G_{2}$ şi $G_{3}$ sunt centrele de greutate ale feţelor $A B C$, $A B D$ şi, respectiv, $A C D$. + +a) Demonstraţi că $\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right) \|(B C D)$. + +b) Aflaţi valoarea raportului ariilor triunghiurilor $\Delta G_{1} G_{2} G_{3}$ şi $\triangle B C D$. + +## Soluţie: + +a) Fie $M$ mijlocul $(A B)$. + +$G_{1} \in(C M), G_{2} \in(D M)$ şi $\frac{M G_{1}}{M C}=\frac{M G_{2}}{M D}=\frac{1}{3}$ + +din teorema reciprocă a teoremei lui Thales obţinem $G_{1} G_{2} \| C D$ + +$1 \mathrm{p}$ +$G_{1} G_{2} \|(B C D)$, analog $G_{2} G_{3} \|(B C D)$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right) \|(B C D)$ ..... $1 p$ +b) Din teorema fundamentală a asemănării obţinem $\frac{G_{1} G_{2}}{C D}=\frac{1}{3}$ ..... $1 p$ +triunghiurile $\Delta G_{1} G_{2} G_{3}$ şi $\triangle B C D$ sunt asemenea cu raportul de asemănare $\frac{1}{3}$ ..... $1 p$ +raportului ariilor triunghiurilor $\Delta G_{1} G_{2} G_{3}$ şi $\Delta B C D$ este $\frac{1}{9}$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul IV + +Fie $A B C D A ' B$ ' $C^{\prime} D^{\prime}$ o prismă patrulateră dreaptă, cu bazele pătrate, în care $A A^{\prime}=A B \sqrt{2}$ şi $M, N$ sunt, respectiv, mijloacele segmentelor [BB'], [DD']. + +a) Arătaţi că $A^{\prime} B \perp(A M D)$; + +b) Arătaţi că dreapta de intersecţie a planelor (AMD) şi (ANB) este perpendiculară pe planul (A'BD). + +## Soluţie: + +a) $A D \perp A^{\prime} B$ + +$1 p$ + +Fie $A^{\prime} B \cap A M=\{E\}$ + +$\triangle A B M \sim \triangle A^{\prime} A B$ (LUL) $\Rightarrow \angle B A M \equiv \angle A A^{\prime} B$ şi cum $\angle A^{\prime} B A$ şi $\angle B^{\prime} A$ sunt complementare se obţine $\mathrm{m}(\angle A E B)=90^{\circ}$, deci $A M \perp A^{\prime} B$ + +2p +$A^{\prime} B \perp(A M D)$ ..... $1 p$ +b) Planele $(A M D)$ şi (ANB) au punctul A comun şi sunt diferite, deci există +dreapta $d$ de intersecţie a lor +$A^{\prime} B \perp(A M D)$ şi $d \subset(A M D)$, deci $A^{\prime} B \perp d$ ..... $1 p$ +Analog cu demonstraţia de la a) avem $A^{\prime} D \perp(A N B)$ şi deci $A^{\prime} D \perp d$ ..... $1 p$ +Finalizare ..... $1 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1232-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1232-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc6c1f893d71c690303d87806607d2019efdc389 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1232-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,116 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2013 + +Clasa a VII- a + +## SUBIECTUL I (7p) + +Fie numerele $\quad x=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \cdots \cdot \frac{2011}{2012}$ şi $y=\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \cdots \cdot \frac{2012}{2013}$. + +a) Arătaţi că $\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n+1},(\forall) n \in N, n \geq 2$; + +b) Demonstraţi că $x FAZA LOCALĂ
Botoşani, 16.02.2013 + +## Clasa a VII-a
Barem de notare + +## Subiectul 1. + +a) $\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n+1} \Leftrightarrow(n-1)(n+1)b$ astfel încât $m^{2}+n^{2}=p^{2}$ + +Alegem $r=\frac{1}{k}\left(\frac{m^{2}}{n^{2}}-2012\right) \in Q \Rightarrow \sqrt{k r+2012}=\frac{m}{n} \in \boldsymbol{Q}$ şi $\sqrt{k r+2013}=\frac{p}{n} \in \boldsymbol{Q}$ + +## Subiectul 3. + +a) MN este linie mijlocie în $\triangle \mathrm{DAC}$ deci MN || TP............................................................ $1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{MP} \cap \mathrm{NT}=\{B\}$ deci MPłNT .......................................................................................5p + +BM=BN ................................................................................................... + +Din Teorema lui Thales in $\triangle \mathrm{BMN}$ obţinem $\mathrm{PM}=\mathrm{TN}$ deci MNTP trapez isoscel.........1p + +b) P este centrul de greutate al $\triangle \mathrm{ABD}$ şi G este centrul de greutate al $\triangle \mathrm{DAC} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d9dec5ccddabff19c308g-2.jpg?height=65&width=1523&top_left_y=2399&top_left_x=320) + +Dar $\mathrm{PG} \perp \mathrm{AB}$ deci $\mathrm{AD} \perp \mathrm{AB}$ şi $\mathrm{ABCD}$ este pătrat..... $1 \mathrm{p}$ +Subiectul 4. +a) $\angle A B C$ este exterior $\triangle \mathrm{ABH}$ şi din teorema unghiului exterior avem $\angle E A B \equiv B H A$. +Deci $\triangle \mathrm{BHA}$ este isoscel ..... $1 \mathrm{p}$ +$90^{\circ}$. Notăm cu $M$ şi $N$ mijloacele laturilor $[A B]$ şi respectiv $[A C]$. + +a) Arătaţi că $[C M] \equiv[B N]$ + +b) Perpendiculara în $M$ pe dreapta $C M$ intersectează dreapta $A C$ în $E$, iar perpendiculara în $N$ pe $B N$ intersectează dreapta $A B$ în $F$. Demonstraţi că triunghiul $\triangle A F E$ este un triunghi isoscel. + +Subiecte selectate şi prelucrate de prof. Ioan Ciobanaşu şi prof. Gabriel Jîjîìe + +Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 2 ore + +| Str. N. Iorga Nr. 28, 710213, Botoşani | Str. General Berthelot Nr. 28-30 | +| :--- | ---: | +| Tel:+40 231584050 | Sector 1, 010168, Bucuresti | +| Fax: +40231584052 | Tel: $+40(0) 214055706$ | +| Email: office.isjbt@gmail.com | Fax: $+40(0) 213103205$ | +| www.isjbotosani.ro | www.edu.ro | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a + +Barem de corectare + +## $\underline{\text { Subiectul I ( } 7 \text { p) }}$ + +a) Arătaţi că $\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{2011 \cdot 2013}<\frac{1}{2}$; + +b) Calculaţi produsul numerelor $A$ şi $B$ unde: + +$$ +\begin{aligned} +& A=\left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{6}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{1}{2012}\right) \\ +& B=\left(1-\frac{1}{3}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{5}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{1}{2013}\right) +\end{aligned} +$$ + +## Solutie: + +a) $2 S=\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{2}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{2}{2011 \cdot 2013}$ + +$$ +2 S=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013} +$$ + +Finalizare $S=\frac{1006}{2013}<\frac{1}{2}$. + +b) $A \cdot B=\left(1-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdot \ldots . .\left(1-\frac{1}{2013}\right)$ + +$A \cdot B=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2012}{2013}$ + +Finalizare $A \cdot B=\frac{1}{2013}$ + +## $\underline{\text { Subiectul II (7p) }}$ + +Pe dreapta d se consideră punctele A, B, C, D, E, F, în această ordine astfel încât, $A B=B C, B D=D E, C E=E F$ şi $A F=48 \mathrm{~cm}$. + +a) Calculaţi lungimea segmentului $[D E]$. + +b) Dacă în plus, mijlocul lui $[D E]$ coincide cu mijlocul lui $[A F]$, calculaţi lungimile segmentelor $[A B]$ şi $[E F]$. + +## Solutie: + +a) Dacă $A B=x$ şi $C D=y$ atunci $D E=x+y$ ..... $.1 p$ +$A F=48 \Rightarrow 4 x+4 y=48$ ..... $2 p$ +Finalizare: $D E=12 \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ +b) $\mathrm{M}$ mijlocul lui $[D E]$ şi $[A F]$ obţinem $A D=E F=18$....... ..... $1 p$ +$A D=E F \Rightarrow 2 x+y=x+2 y \Rightarrow x=y$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Finalizare $A B=x=6 \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ + +## $\underline{\text { Subiectul III (7p) }}$ + +Aflaţi numerele naturale $a$ şi $b$ ştiind că $[a, b]$ este de 15 ori mai mare decât $(a, b)$ §i $5 a+3 b=150$. + +Am notat $\mathrm{cu}[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi $\mathrm{cu}(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ şi $b$. + +## Solutie: + +$(a, b)=d$ atunci $a=d \cdot x, b=d \cdot y, x, y \in \square \mathrm{cu}(x, y)=1$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Din $a \cdot b=(a, b) \cdot[a, b]$ şi $[a, b]=15 \cdot d$ obținem $d \cdot x \cdot d \cdot y=15 \cdot d^{2} \ldots \ldots . . . . . . . . . . . .2 p$ $x \cdot y=15 \Rightarrow(x, y) \in\{(1,5),(15,1),(3,5),(5,3)\}$ + +$1 p$ + +Prin înlocuire în relaţia $5 a+3 b=150$ obţinem $d \in\{3,5\}$.................................2p + +Finalizare $(a, b) \in\{(3,45),(15,25)\}$.......................................................................... + +## $\underline{\text { Subiectul IV (7p) }}$ + +Se consideră un triunghi isoscel $\square A B C$ cu $[A B] \equiv[A C]$ şi $m(\square A)>90^{\circ}$. Notăm cu $M$ şi $N$ mijloacele laturilor $[A B]$ şi respectiv $[A C]$. + +a) Arătaţi că $[C M] \equiv[B N]$ + +b)Perpendiculara în $M$ pe dreapta $C M$ intersectează dreapta $A C$ în $E$ iar perpendiculara în $N$ pe $B N$ intersectează dreapta $A B$ în $F$. Demonstraţi că triunghiul $\square A F E$ este un triunghi isoscel. + +## Solutie: + +a) $\square A M C \equiv A N B$........................................................................................ $2 \mathrm{p}$ + +Finalizare: $[C M] \equiv[B N]$........................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +b) $\square A M C \equiv \triangle A N B \Rightarrow \square M C A \equiv \square N B A$........................................................... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_36da94b211ec3369b465g-3.jpg?height=84&width=1331&top_left_y=2275&top_left_x=473) + +Finalizare: $[A F] \equiv[A E] \Rightarrow \square A E F$ isoscel ................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Notă: Orice altă soluţie corectă va fi notată corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1234-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1234-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3e202b83d8ba961e0db2004c3b121a9576d0918f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1234-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,131 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_85a406c918e68a324855g-1.jpg?height=268&width=1418&top_left_y=46&top_left_x=116) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
16 februarie 2013 + +## Clasa a V-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I (7p) }}$ + +Să se determine restul împărţirii numărului $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots . .69 \cdot 70+1234$ la 2013. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere din cele opt, se obţin rezultatele: $42,47,50,52,54,55,56,57$. Determinaţi cele opt numere. + +Gazeta Matematică + +## SUBIECTUL III (7p) + +Un număr natural de forma $\overline{a b c d}$ se numeşte superb dacă $4 \cdot \overline{a b}=\overline{c d}$ + +a). Câte numere superbe există? + +b). Arătaţi că orice număr superb se divide cu 13. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Se consideră numerele $1,2,3, \ldots$ aşezate în următoarea schemă de joc tip DARTS (joc cu săgeţi la ţintă) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_85a406c918e68a324855g-1.jpg?height=411&width=437&top_left_y=1508&top_left_x=867) + +a) Desenaţi următorul cerc cu numerele corespunzătoare. Pe al câtelea cerc se găseşte numărul 2013? + +b) Să se calculeze suma numerelor pe verticală până la al 10-lea cerc inclusiv, numărând din interior spre exterior. (numărul 1 nu se află pe nici un cerc, este în interiorul primului cerc). + +c) Dacă o săgeată DARTS nimereşte între doua cercuri consecutive definim scorul ei ca fiind diferenţa dintre suma numerelor de pe cercul mare şi de 4 ori suma numerelor de pe cercul mai mic. Să se precizeze poziția unei săgeţi cu scor 128. + +Subiecte selectate şi prelucrate de prof. Mariana Ciobanaşu şi prof. Geanina Tudose + +Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 2 ore + +| Str. N. Iorga Nr. 28,710213, Botoşani | Str. General Berthelot Nr. 28-30 | +| :--- | ---: | +| Tel:+40 231584050 | Sector 1,010168, Bucureşti | +| Fax:+40 231584052 | Tel: $+40(0) 214055706$ | +| Email: office.isjbi@gmail.com | Fax: $+40(0) 213103205$ | +| www.isjbotosani.ro | www.edu.ro | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
16 Februarie 2013 + +## CLASA a V a
BAREM DE CORECTARE + +Subiectul I +Să se determine restul împărţirii numărului $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots . . \cdot 69 \cdot 70+1234$ la 2013. +Solutie: +$2013=3 \cdot 11 \cdot 61$ 2puncte +$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots .69 \cdot 70=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 11 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 61 \cdot 62 \cdot \ldots \cdot 69 \cdot 70=$ +$=2013 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 10 \cdot 12 \cdot \ldots .60 \cdot 62 \cdot \ldots \cdot 69 \cdot 70$ +2puncte +$1234<2013$ 1 punct +$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$. +$69 \cdot 70+1234=2013 \cdot(1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot$ +$10 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 60 \cdot 62$ ..... 1 punct +conform Teoremei Împărţirii cu Rest, restul cerut este 1234 1 punct +Subiectul II + +Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere, din cele opt, se obţin rezultatele: $42,47,50,52,54,55,56,57$. Determinaţi cele opt numere. +Gazeta matematică +Solutie: + +Notăm cu $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}$ cele opt numere. +Adunând termen cu termen cele opt sume, se obţine +$7 \cdot\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}\right)=413$ ..... 2 puncte +$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}=59$ ..... 2 puncte +Numerele sunt: $2,3,4,5,7,9,12,17$ ..... 3 puncte +Subiectul III +Un număr natural de forma $\overline{a b c d}$ se numeşte superb dacă $4 \cdot \overline{a b}=\overline{c d}$. +a) Câte numere superbe există? + +b) Arătaţi că orice număr superb se divide cu 13. +Solutie: +a) $4 \cdot 10 \leq 4 \cdot \overline{a b} \leq 99$ 2 puncte +$10 \leq \overline{a b} \leq 24$ 1 punct +Sunt 15 numere ..... 1 punct +b) $\overline{a b c d}=100 \cdot \overline{a b}+\overline{c d}=100 \cdot \overline{a b}+4 \cdot \overline{a b}=104 \cdot \overline{a b}$ ..... 1 punct +$104 \cdot \overline{a b}=13 \cdot 8 \cdot \overline{a b}$ ..... 1 punct +Finalizare ..... 1 punct +Subiectul IV + +Se consideră numerele 1, 2, 3, ...aşezate în următoarea schemă de joc tip DARTS (joc cu săgeţi la ţintă) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_85a406c918e68a324855g-3.jpg?height=411&width=437&top_left_y=203&top_left_x=772) + +a). Desenaţi următorul cerc cu numerele corespunzătoare. Pe al catelea cerc se găseşte numărul 2013? + +b). Să se calculeze suma numerelor pe verticală până la al -10-lea cerc inclusiv, numărând din interior spre exterior. + +c). Dacă o săgeată DARTS nimereşte între doua cercuri consecutive definim scorul ei ca fiind diferenta dintre suma numerelor de pe cercul mare si de 4 ori suma numerelor de pe cercul mai mic. Să se precizeze poziţia unei săgeţi cu scor 128. + +## Solutie: + +a). Pe următorul cerc se găsesc numerele $16,17,18,19, \ldots .31$ 1punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_85a406c918e68a324855g-3.jpg?height=508&width=551&top_left_y=1165&top_left_x=730) + +Observăm că pe verticală, primul cerc are cel mai mic număr pe $2^{1}$, cercul al doilea pe $2^{2}$, cercul al treilea pe $2^{3}$, etc. + +Cum $2^{10}=1024$ şi $2^{10}<2013<2^{11}=2048$, numărul 2013 se găseşte pe al -10-lea cerc. + +1punct + +b) + +Pe verticală avem două sume $1+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{10}$ şi $3 \cdot 1+3 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+\ldots+3 \cdot 2^{9}$ + +$S_{1}=1+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{10}=2^{11}-1$, iar $S_{2}=3 \cdot 1+3 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+\ldots+3 \cdot 2^{9}=3 \cdot\left(2^{10}-1\right)$ + +Suma cerută este $2^{11}-1+3\left(2^{10}-1\right)=2^{10}(2+3)-1-3=5 \cdot 2^{10}-4$ (poate fi lăsat $-1-3$ ) 1 punct + +c). + +Observăm următoarea regulă: numerele scrise pe al-n-lea cerc între două numere ale cercului al(n-1)-lea sunt egale cu suma acestor numere de pe cercul al-(n-1)-lea. Exemplu $9=4+5,11=5+6$, $13=6+7$, etc, cu excepţia ultimului număr $15=7+8=7+4+4$ + +1punct + +Constatăm ca suma numerelor de pe cercul al-3-lea este de 4 ori suma de pe cercul al-2-lea şi încă $4=2^{2}$. În general, suma de pe cercul al-n-lea va fi cu $2^{n-1}$ mai mare ca de 4 ori suma de pe cercul al-(n-1)-lea. + +$S_{n}=2^{n}+2^{n}+1+2^{n}+2+\ldots 2^{n}+2^{n}-1$, iar $S_{n-1}=2^{n-1}+2^{n-1}+1+2^{n-1}+2+\ldots 2^{n-1}+2^{n-1}-1$ $2^{n}=2^{n-1} \cdot 2,2^{n}+1=2^{n-1}+2^{n-1}+1, \ldots, 2^{n}+2^{n}-1=2^{n-1}+2^{n-1}-1+2^{n-1}+2^{n-1} \quad$ Deci $S_{n}-4 S_{n-1}=2^{n-1}$ Cum $128=2^{7}$, săgeata va ajunge între cercul 7 şi cercul 8 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1235-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1235-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11bf3a41767815dcc356eb461a70c37bb3f7fcb9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1235-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,118 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALÄ-CLASA a VIII-a + +1. Numerele reale strict pozitive $x$ şi $y$ verifică inegalitatea: $2 \sqrt{x}+\sqrt{y} \geq \sqrt{(x+1)(y+4)}$. Calculați media geometrică a numerelor $x$ şi $y$. +2. Dacă $x \in[-3 ; 5]$ şi $y \in[-1 ; 6]$, arătați că $a=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x y-22 x-22 y+121}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x y+8 x+8 y+16}$ este număr natural. +3. Fie $S A B C$ o piramidă triunghiulară regulată, cu baza $A B C, M$ mijlocul laturii $A C, m(0, b>0)$. + +a) Găsiți o relaţie între $a$ şi $b$. + +b) Calculați distanța de la punctul $C$ la planul $(S A B)$. + +c) Calculați sinusul unghiului format de planele $(S A B)$ ssi $(S M B)$. + +Barem de notare şi corectare-Olimpiada națională de matematică + +Faza locală, 16 februarie 2013 + +Clasa a VIII-a + +## Subiectul I + +Numerele reale strict pozitive $x$ și $y$ verifică inegalitatea: + +$2 \sqrt{x}+\sqrt{y} \geq \sqrt{(x+1)(y+4)}$. Calculaţi media geometrică a numerelor $x$ și $y$. + +Supliment, decembrie 2012 + +Ridicând la pătrat relația + +$2 \sqrt{x}+\sqrt{y} \geq \sqrt{(x+1)(y+4)}$ obținem $4 x+4 \sqrt{x y}+y \geq x y+4 x+y+4 \Leftrightarrow 4 \sqrt{x y} \geq x y$ + +4 + +......................................................... $2 \mathrm{p})$ + +$x y-4 \sqrt{x y}+4 \leq 0 \Leftrightarrow(\sqrt{x y}-2)^{2} \leq 0$ + +(2p) + +$\operatorname{Dar}(\sqrt{x y}-2)^{2} \geq 0$ + +Avem $\sqrt{x y}-2=0$ + +Deci $\sqrt{x y}=2=m_{g}$ + +(1p) + +## Subiectul II + +## Dacă $x \in[-3 ; 5]$ și $y \in[-1 ; 6]$, arătați că + +$a=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x y-22 x-22 y+121}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x y+8 x+8 y+16}$ este număr natural. + +$$ +\begin{aligned} +& a=\sqrt{(x+y)^{2}-2 \cdot 11 \cdot(x+y)+11^{2}}+\sqrt{(x+y)^{2}+2 \cdot 4 \cdot(x+y)+4^{2}} \\ +& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots(2 p) \\ +& a=\sqrt{(x+y-11)^{2}}+\sqrt{(x+y+4)^{2}}=|x+y-11|+|x+y+4| +\end{aligned} +$$ + +Din $x \in[-3 ; 5] \Rightarrow-3 \leq x \leq 5$ + +$$ +\Rightarrow-4 \leq x+y \leq 11 +$$ + +$y \in[-1 ; 6] \Rightarrow-1 \leq y \leq 6$ + +$-4 \leq x+y \Leftrightarrow 0 \leq x+y+4$ și din $x+y \leq 11 \Rightarrow x+y-11 \leq 0$ ......................... $1 \mathrm{p})$ + +$a=|x+y-11|+|x+y+4|=-x-y+11+x+y+4=15 \in N$ .................. $1 \mathrm{p})$ + +## Subiectul III + +Fie $S A B C$ o piramidă triunghiulară regulată, cu baza $A B C, M$ mijlocul laturii $A C, m(0, b>0)$. + +a) Găsiți o relație între $\boldsymbol{a}$ și $\boldsymbol{b}$. + +b) Calculați distanța de la punctul $C$ la planul (SAB). + +c) Calculați sinusul unghiului format de planele (SAB) și (SMB). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d72a4577ac3eb2a3c11bg-4.jpg?height=1168&width=939&top_left_y=1004&top_left_x=1004) + +a) În $\triangle B S M$ dreptunghic în $S \stackrel{T . P .}{\Rightarrow} B S^{2}+S M^{2}=B M^{2}$ + +$B M=\frac{b \sqrt{3}}{2}$ (înălțime în $\triangle$ echilateral $A B C$ ) + +.$(0,5 p)$ + +$$ +\begin{aligned} +& S M^{2}=S C^{2}-M C^{2}=a^{2}-\frac{b^{2}}{4} \\ +& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(1 \mathrm{p}) \\ +& a^{2}+a^{2}-\frac{b^{2}}{4}=\frac{3 b^{2}}{4} \Rightarrow 2 a^{2}=\frac{4 b^{2}}{4} \Rightarrow 2 a^{2}=b^{2} \Rightarrow b=a \sqrt{2} \\ +& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(1 \mathrm{p}) \\ +& \text { b) În } \Delta B S C, \text { avem } S C^{2}=a^{2} \\ +& S B^{2}=a^{2}, B C^{2}=b^{2}=2 a^{2} \Rightarrow S C^{2}+S B^{2}=B C^{2} \Rightarrow C S \perp S B +\end{aligned} +$$ + +(1p) + +Analog $C S \perp S A ; S B, S A \subset(S A B), S B \cap S A=\{S\} \Rightarrow C S \perp(A B S)$ + +................. $1 \mathrm{p})$ +c) $\quad(\mathrm{SAB}) \cap(\mathrm{SMB})=\mathrm{SB}$ + +$M S \perp S B, M S \subset(S M B)$ + +$A S \perp S B, A S \subset(A S B) \quad(0,5 p)$ + +Deci $[<(S A B),(S M B)]=( 16 februarie 2013
clasa a VII-a + +## SUBIECTUL + +1. Determinați numărul $\overline{\mathrm{ab}}$ ştiind că $3 \sqrt{\mathrm{ab}}=2(a+b)$. + +S: E12.404, februarie 2012 + +## SUBIECTUL 2 + +2. În paralelogramul $\mathrm{ABCD} \mathrm{cu} \mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AC} \cap B D=\{0\}$, notăm cu $\mathrm{P}$ simetricul punctului $\mathrm{B}$ față de dreapta $\mathrm{AC}$ şi cu $\mathrm{Q}$ simetricul punctului $\mathrm{P}$ față de mijlocul segmentului [AC]. + +a) Demonstrați că patrulaterul $\mathrm{ABQD}$ este trapez dreptunghic. + +b) Arătați că $\mathcal{A}_{\mathrm{ABQD}}=6 \mathcal{A}_{\mathrm{OCQ}}$. + +## SUBIECTUL 3 + +Dacă $a=\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{2^{n+1}}}}}}$, determinați numărul natural $n$, astfel încât numărul $\mathrm{b}=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{a}}}$ să fie rațional. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează cu $0-7$ puncte $\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +Timp efectiv de lucru 2 ore + +## Olimpiada Nationala de Matematica
Etapa locala- 16.02.2013
Clasa a VII-a + +## Solutii si Barem de corectare: + +## PROBLEMA 1 + +$2(a+b)$ număr natural par + +$2 p$ $\underline{3 \sqrt{a b}}$ număr natural par 1 p + +$\overline{a b}$ pătrat perfect par $\overline{a b} \in\{16,36,64\}$ $1 p$ + +$3 \mid 2(a+b)$ şi $3 \nmid 2 \Rightarrow 3 \mid(a+b)$ $1 p$ $\overline{a b}=36$ + +## PROBLEMA 3 + +Prin amplificare cu $2^{n+1}$ obţinem că $1+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}}$ şi $\frac{1}{\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}}}=\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}+1}$ de unde $a=\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}+1}}}}$ + +Amplificând apoi cu $2^{n+1}+1$ avem $1-\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}+1}=\frac{1}{2^{n+1}+1}$ + +$\operatorname{iar} \frac{1}{\frac{1}{2^{n+1}+1}}=2^{n+1}+1$ deci $a=\frac{1}{1-\frac{1}{2^{n+1}+2}}$ + +În final obţinem că $a=\frac{2^{n+1}+2}{2^{n+1}+1}$ + +Înlocuind pe a, avem că $1-\frac{1}{a}=1-\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}+2}$, de unde prin amplificare cu $2^{n+1}+2$ obţinem în final că $b=\sqrt{2^{n+1}+2}$ + +Dacă $n=0$ atunci $b=2 \in \mathbb{Q}$ + +Dacă $n \neq 0$ atunci $2 \mid 2^{n+1}+2$ si $4 \nmid 2^{n+1}+2$ deci $b \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ $2 p$ + +Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN + +BISTRIȚA - NĂSĂUD + +## PROBLEMA 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e8a37b565bac05998fa9g-4.jpg?height=811&width=763&top_left_y=485&top_left_x=475) + +## a) + +Punctele $P, A$ și $B$ sunt coliniare și $[A P] \equiv[A B]$ de unde obţinem că $A B \| C Q$ şi +$[A B] \equiv[C Q]$, prin urmare $A B Q C$ paralelogram + +$A B \| C Q$ şi $A B \| C D$ deci punctele $D, C$ şi $Q$ sunt coliniare + +$A B \| D Q, A D \nvdash B Q$ ( în caz contrar dreptele $B Q$ şi $B C$ ar fi identice în contadicţie cu coliniaritatea punctelor $D, C$ şi $Q$ ) $\Rightarrow A B Q D$ - trapez + +b) + +Punctul C este mijlocul segmentului [QD] şi obţinem că $\mathcal{A}_{O C Q}=\mathcal{A}_{C O D}=\frac{\mathcal{A}_{A C D}}{2} \quad$ 1p $\mathrm{ABCD}$ şi $\mathrm{ABQC}$ fiind paralelograme $\Rightarrow \mathcal{A}_{A B Q D}=3 \mathcal{A}_{A C D}=6 \mathcal{A}_{O C Q}$ $1 p$ + +INSPECTORATUL S,COLAR JUDET,EAN BISTRIȚA - NĂSĂUD + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1237-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1237-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9ea7e19dafb7327ef8a15972ba979ef747186139 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1237-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,139 @@ +# Olimpiada națională de matematică clasa aVI-a
Etapa locală- 16.02.2013 + +## Subiectul 1 + +a) Arătați că numărul $n=2^{2013}+3^{2013}$ este divizibil cu 5 . + +b) Aflați numerele prime $x, y, z$ astfel încât $5 x+10 y+2 z=50$. + +## Subiectul 2 + +Aflați numerele naturale $a, b, c$, ştiind că suma lor este 255 şi că $a-14, b-4, c+9$ sunt numere consecutive, din care $c+9$ este cel mai mic. + +Supliment cu exercitiii + +Gazeta matematica, octombrie, 2012 + +## Subiectul 3 + +Fie punctele coliniare $A, O, D$ unde $O \in(A D)$ şi unghiurile $\Varangle A O B$ ş $\Varangle B O C$ adiacente, iar semidreapta $(O C$ este interioară unghiului $\Varangle B O D$. Dacă $m(\Varangle B O C)=5 \cdot m(\Varangle A O B)$, $m(\Varangle B O C)=\frac{5}{3} \cdot m(\Varangle C O D)$ şi $[O M$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A O C$ iar $Q$ punct interior unghiului $\Varangle B O D$ astfel încât $m(\Varangle M O Q)=90^{\circ}$, se cere : +a) $m(\Varangle A O B), m(\Varangle B O C), m(\Varangle C O D)$ + +b) Să se arate că $[O Q$ este bisectoarea unghiului $\Varangle C O D$. + +## NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii
Fiecare subiect se notează cu 0 - 7 puncte
Nu se acordă puncte din oficiu
Timp efectiv de lucru 2 ore + +## Olimpiada nationala de matematica- Barem - clasa aVI-a Etapa locală- 16.02.2013 + +## Subiectul 1 + +## Soluție: a) + +| | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | | | | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1aec5418afc838c53325g-2.jpg?height=483&width=1744&top_left_y=632&top_left_x=226) | | | | +| | | | | + +Notă: pentru orice altă soluție corectă, se acordă punctajul maxim + +## Subiectul 2 + +## Soluţie: + +$\left.1^{0}\right)$ Dacă $a-14 Etapa locală- 16.02.2013 + +## Subiectul 1 + +Fie numerele naturale: $a=1236: 12+7^{2} \cdot 103-50 \cdot 101$ şi $b=2^{n} \cdot 5^{n+1}-2^{n+2} \cdot 5^{n}$, unde $n$ este un numar natural. + +a) Să se compare numerele $a$ şi $b$. + +b) Determinați numărul natural $n$, astfel încât numărul $b$ să aibă 2014 cifre. + +## Subiectul 2 + +Notăm cu $A$ mulțimea tuturor resturilor care se pot obține prin împărțirea numerelor naturale pare la 2012. + +a) Să se arate că suma elementelor mulțimii $A$ nu este pătrat perfect. + +b) Trei numere naturale $a, b$ şi $c$ au suma egală cu suma elementelor mulţimii $A$. Se poate termina produsul abc în 2013 (adică ultimele patru cifre ale produsului abc formează numărul 2013) ? Justificaţi răspunsul. + +## Subiectul 3 + +Să se demonstreze că pentru orice număr natural $n$, cel puțin două dintre numerele: $3^{n+3}, 5^{n+5}, 7^{n+7}, \ldots, 4021^{n+4021}, 4023^{n+4023}$ au diferența un multiplu al lui 2010. + +SGM-septembrie 2012 + +## NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează cu 0 - 7 puncte + +Nu se acordă puncte din oficiu + +Timp efectiv de lucru 2 ore + +BAREM CLASA A Va + +## SUBIECTUL I + +| 1 a) | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6c882640fbaff1c378b6g-2.jpg?height=465&width=1348&top_left_y=521&top_left_x=340) | $1 p$
$1,5 p$
$1 p$
$0,5 p$
$1 n$ | +| :---: | :---: | :---: | +| $1 \mathrm{~b})$ | Pentru orice $n \in \square$, numărul $b=10^{n}$ are $n+1$ cifre .
Finalizare: $n=2013$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL al II-lea + +| a) | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6c882640fbaff1c378b6g-2.jpg?height=474&width=1403&top_left_y=1196&top_left_x=333) | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b) | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6c882640fbaff1c378b6g-2.jpg?height=328&width=1403&top_left_y=1688&top_left_x=333) | 1p | +| $\mathbf{U}$ | IT al UII Io. | | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6c882640fbaff1c378b6g-2.jpg?height=538&width=1403&top_left_y=2061&top_left_x=333) | $2 p$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1239-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1239-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ebb7a1c022dcb8df29349756b55522ec366f7cbb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1239-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,171 @@ +# Olimpiada nationala de matematica- clasa a IVa Etapa locală- 16.02.2013 + +## SUBIECTUL I + +Dacă $\mathbf{a}=[(7+7: 7): 8+(72: 9)-(50: 10)]$ + +$\mathbf{b}=[(452-275): 3+(107 \times 4-25 \times 4-9$ x 3) 4 + +De câte ori este mai mic ,a" decât ,,",? + +## SUBIECTUL II + +Suma a două numere este 330 . Jumătatea primului număr este cu 3 mai mare decât sfertul celui de-al doilea număr. + +Care sunt cele două numere? + +## SUBIECTUL III + +La un concurs de matematică fiecare elev are de rezolvat 10 probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte, iar pentru fiecare problemă nerezolvată sau rezolvată greşit se scad 2 puncte. + +Câte probleme nerezolvate sau rezolvate greşit au avut primii trei clasați şi, dacă ei au obținut respectiv 61,43 şi 34 de puncte? + +G.M. - octombrie 2012[^0] + +## Olimpiada Nationala de Matematica
Barem clasa a IV-a + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{aligned} +\mathrm{a}= & {[(7+7: 7): 8+(72: 9)-(50: 10)]=7 \times 0,4 \mathrm{p}=2,8 \mathrm{p} } \\ +& =[(7+1): 8+8-5]= \\ +& =(8: 8+8-5)= \\ +& =1+8-5= \\ +& =9-5 \\ +& =4 +\end{aligned} +$$ + +$$ +\mathrm{a}=4 +$$ + +$$ +\begin{aligned} +\mathrm{b} & =[(452-275): 3+(107 \times 4-25 \times 4-9 \times 3)]= \\ +& =[177: 3+(428-100-27)]= \\ +& =[59+(328-27)]= \\ +& =(59+301)= \\ +& =360 +\end{aligned} +$$ + +$$ +\text { b = } 360 +$$ + +$360: 4=90$ + +$$ +\text { Total: } \quad 2,8 p+3,2 p+1 p=7 p +$$ + +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDET,EAN + +BISTRIȚA - NĂSĂUD + +## SUBIECTUL II + +Reprezentare grafică: ..... $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_adce3be5d0c9fe0dfb80g-3.jpg?height=317&width=1048&top_left_y=892&top_left_x=230) + +1. Egalarea părț ilor: ..... $1 \mathrm{p}$ + +$$ +330-(3+3)=324 +$$ + +2. Numărul părț ilor egale: ..... $1 \mathrm{p}$ + +$$ +2+4=6 +$$ + +3. Aflăm sfertul celui de-al doilea număr: ..... $1 \mathrm{p}$ + +$$ +324: 6=54 +$$ + +4. Aflăm al doilea număr: ..... $1 \mathrm{p}$ +$54 \times 4=216$ +5. Aflăm primul număr: ..... $1 \mathrm{p}$ + +$$ +330-216=114 \quad \text { sau }(54+3) \times 2=114 +$$ + +Total : ..... $7 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_adce3be5d0c9fe0dfb80g-3.jpg?height=240&width=414&top_left_y=2404&top_left_x=593) + +## SUBIECTUL III + +1. Câte puncte ar primi un elev dacă ar rezolva toate problemele corect? + +$$ +10 \times 7=70 \text { (puncte) } +$$ + +2. Câte puncte ar pierde pentru o problemă rezolvată greș it sau nerezolvată? + +$$ +7+2=9 \text { (puncte) } +$$ + +3. Câte puncte a pierdut primul clasat? + +$$ +70-61=9 \text { (puncte) } +$$ + +4. Câte probleme a greș it primul clasat? + +$$ +9: 9=1 \text { (problemă) } +$$ + +5. Câte puncte a pierdut al doilea clasat? + +$$ +70-43=27 \text { (puncte) } +$$ + +6. Câte probleme a greș it al doilea clasat? + +$$ +27: 9=3 \text { (probleme) } +$$ + +$$ +0,5 \mathrm{p} +$$ + +7. Câte puncte a pierdut al treilea clasat? + +$$ +70-34=36 \text { (puncte) } +$$ + +1. Câte probleme a greș it al treilea clasat? + +$$ +36: 9=4 \text { (probleme) } +$$ + +$0,5 \mathrm{p}$ +Total: ..... $7 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_adce3be5d0c9fe0dfb80g-4.jpg?height=254&width=511&top_left_y=2363&top_left_x=470) + + +[^0]: NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii + + Fiecare subiect se notează cu 0 - 7 puncte + + Nu se acordă puncte din oficiu + + Timp efectiv de lucru 2 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-124-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-124-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c21663b607ffaa0a7e787ce76d9ade1cd5448e6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-124-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,117 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03.2016
Clasa a VIII - a + +PROBLEMA 1. Să se arate că, dacă inversul sumei a trei numere reale nenule, este egal cu suma inverselor lor, atunci cel puţin două dintre numere au acelaşi modul (se presupune că suma celor trei numere este nenulă). + +PROBLEMA 2. Dacă $x, y>0$ sunt două numere reale care verifică relaţia + +$$ +2 \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{(x+1)(y+4)} +$$ + +calculaţi media geometrică a numerelor $x$ şi $y$. + +PROBLEMA 3. Se consideră piramida patrulateră regulată $V A B C D$, cu $A B=12$. Fie $A C \cap B D=\{O\}, M$ mijlocul segmentului $[B C]$ şi $P$ mijlocul segmentului $[A B]$. Dacă cosinusul unghiului diedru format de planele $(V B C)$ şi $(A B C)$ este egal cu $\frac{3}{4}$, să se determine: + +a) distanța de la punctul $P$ la planul $(V B C)$; + +b) distanţa de la punctul $O$ la planul (VPM); + +c) tangenta unghiului format de planele $(V A C)$ şi $(V B C)$. + +PROBLEMA 4. Pe semidreptele $(O A,(O B$ şi ( $O C$, perpendiculare două câte două, se consideră punctele $A^{\prime}, B^{\prime}$ şi $C^{\prime}$, astfel încât $A^{\prime} \in(O A), B^{\prime} \in(O B)$ şi $C^{\prime} \in(O C)$. Ştiind că patrulaterele $A^{\prime} B^{\prime} B A$ şi $B^{\prime} C^{\prime} C B$ sunt inscriptibile, să se arate că: +a) $A^{\prime} C^{\prime} C A$ este patrulater inscriptibil; + +b) Dacă $O H \perp(A B C), H \in(A B C)$, atunci $H$ este ortocentrul triunghiului $A B C$; + +c) Dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, atunci $O G \perp(A B C)$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a VIII - a + +PROBLEMA 1. Să se arate că, dacă inversul sumei a trei numere reale nenule, este egal cu suma inverselor lor, atunci cel puţin două dintre numere au acelaşi modul (se presupune că suma celor trei numere este nenulă). + +## Barem de corectare. + +(1p) Din $\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, obţinem succesiv: + +(1p) $\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ + +(1p) $\frac{-(b+c)}{a(a+b+c)}=\frac{b+c}{b \cdot c}$ + +$(1 p) \quad(b+c)\left(a^{2}+a b+a c+b c\right)=0$ + +$(2 p)(b+c)(a+b)(a+c)=0$ + +(1p) de unde, $|a|=|b|$ sau $|b|=|c|$ sau $|a|=|c|$. + +PROBLEMA 2. Dacă $x, y>0$ sunt două numere reale care verifică relaţia + +$$ +2 \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{(x+1)(y+4)} +$$ + +calculaţi media geometrică a numerelor $x$ şi $y$. + +Barem de corectare. Avem: + +(2p) $2 \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{(x+1)(y+4)} \Leftrightarrow 4 x+y+4 \sqrt{x y}=(x+1)(y+4)$ + +$(2 p) \Leftrightarrow x y+4-4 \sqrt{x y}=0$ + +$(2 p) \Leftrightarrow(\sqrt{x y}-2)^{2}=0$ + +$(1 p) \Leftrightarrow \sqrt{x y}=2$. + +PROBLEMA 3. Se consideră piramida patrulateră regulată $V A B C D$, cu $A B=12$. Fie $A C \cap B D=\{O\}, M$ mijlocul segmentului $[B C]$ şi $P$ mijlocul segmentului $[A B]$. Dacă cosinusul unghiului diedru format de planele $(V B C)$ şi $(A B C)$ este egal cu $\frac{3}{4}$, să se determine: + +a) distanța de la punctul $P$ la planul $(V B C)$; + +b) distanţa de la punctul $O$ la planul (VPM); + +c) tangenta unghiului format de planele (VAC) şi (VBC). + +Barem de corectare. Notăm cu $\alpha$, măsura unghiului diedru format de planele $(V B C)$ si $(A B C)$. + +(1p) a) Deoarece $\alpha=m(\widehat{V M O})$, si $\cos \alpha=\frac{3}{4}$, se obţine $V M=8$ şi $V O=2 \sqrt{7}$. + +(2p) Cum $P O \| B C$ rezultă că $P O \|(V B C)$, de unde $d(P ;(V B C))=d(O ;(V B C))=\frac{3 \sqrt{7}}{2}$. + +(1p) b) Dacă $O B \cap P M=\{E\}$, atunci $O E=3 \sqrt{2}, V E=\sqrt{46}$ + +$(1 p)$ şi $d(O ;(V P M))=d(O ; V E)=\frac{6 \sqrt{161}}{23}$. + +(1p) c) Dacă $S \in(V C)$, astfel încât $O S \perp V C$, atunci măsura unghiului diedru format de planele $(V A C)$ ş $(V B C)$ este $\beta=m(\widehat{B S O})$. + +(1p) Din $O B=6 \sqrt{2}$ §ुi $O S=\frac{6 \sqrt{14}}{5}$ se obţine $\operatorname{tg} \beta=\frac{O B}{O S}=\frac{5 \sqrt{7}}{7}$. + +PROBLEMA 4. Pe semidreptele $(O A,(O B$ şi ( $O C$, perpendiculare două câte două, se consideră punctele $A^{\prime}, B^{\prime}$ şi $C^{\prime}$, astfel încât $A^{\prime} \in(O A), B^{\prime} \in(O B)$ şi $C^{\prime} \in(O C)$. Ştiind că patrulaterele $A^{\prime} B^{\prime} B A$ §̧ $B^{\prime} C^{\prime} C B$ sunt inscriptibile, să se arate că: +a) $A^{\prime} C^{\prime} C A$ este patrulater inscriptibil; + +b) Dacă $O H \perp(A B C), H \in(A B C)$, atunci $H$ este ortocentrul triunghiului $A B C$; + +c) Dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, atunci $O G \perp(A B C)$. + +## Barem de corectare. + +(2p) a) Deoarece patrulaterul $A^{\prime} B^{\prime} B A$ este inscriptibil, rezultă că $m\left(\widehat{O A^{\prime} B^{\prime}}\right)=m(\widehat{O B A})$, de unde obţinem că $\triangle O A^{\prime} B^{\prime} \sim \triangle O B A$. Deci $O A^{\prime} \cdot O A=O B^{\prime} \cdot O B$. + +Analog, se obţine $O B^{\prime} \cdot O B=O C^{\prime} \cdot O C$. + +(1p) Aşadar, $O A^{\prime} \cdot O A=O C^{\prime} \cdot O C \Rightarrow \triangle O A^{\prime} C^{\prime} \sim \triangle O C A \Rightarrow m\left(\widehat{O A^{\prime} C^{\prime}}\right)=m(\widehat{O C A})$, adică patrulaterul $A^{\prime} C^{\prime} C A$ este inscriptibil. + +(2p) b) Deoarece $B C \perp O H$ şi $B C \perp O A$ rezultă că $B C \perp(A O H)$, adică $B C \perp A H$. Analog, se obţine $A B \perp C H$, adică $H$ este ortocentrul triunghiului $A B C$. + +(1p) c) Fie $H$ ca la punctul $b), A H \cap B C=\{D\}$ şi $O D \cap B^{\prime} C^{\prime}=\left\{D^{\prime}\right\}$. In triunghiul dreptunghic $O B C, m(\widehat{B O D})=m(\widehat{O C B})$. Cum $B C C^{\prime} B^{\prime}$ este inscriptibil, $m(\widehat{B C O})=m\left(\widehat{O B^{\prime} D^{\prime}}\right) \cdot$ Deci $B^{\prime} D^{\prime}=O D^{\prime}$. Analog se obţine $O D^{\prime}=D^{\prime} C^{\prime}$, de unde $B^{\prime} D^{\prime}=D^{\prime} C$, adică $A^{\prime} D^{\prime}$ este mediană în $\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. + +(1p) $O H$ intersectează mediana $A^{\prime} D^{\prime}$ a triunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Analog se arată că $O H$ mai intersectează şi o altă mediană a triunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, de unde rezultă că $G \in(O H)$.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1240-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1240-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..83959ac86c454da62cb4b7980c9028abc67e1696 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1240-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.md" @@ -0,0 +1,127 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a VIII-a + +1.a) Es sei $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$ reelle Zahlen so, dass : $9 x^{2}+25 y^{2}-6 x \sqrt{3}-10 y \sqrt{5}+8=0$. + +$$ +\text { Zeigt, dass: } x^{2}-y^{2}=2 x^{2} y^{2} \text {. } +$$ + +prof.Gheorghe Moldovan, Medieşu Aurit + +b) Wenn $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, t \in \mathrm{R}$, zeigt dass : $x y\left(z^{2}-t^{2}\right)^{2} \geq\left(x z^{2}-y t^{2}\right)\left(y z^{2}-x t^{2}\right)$. + +prof. Ovidiu Pop, C.N. 'M.Eminescu" + +2 .a) Zeigt, dass : $x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}} \in N$ + +prof. Monica Amic, Ac⪠+ +b) i) Zeigt, dass das Produkt zweier nachfolgenden Quadratzahlen kann man als die Summe zweier Quadratzahlen schreiben. + +ii) Eventuel mit Hilfes von i) zeigt dass $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right) \geq 2(a b-1)(a+b)$, für jedwelche nichtnullen natürlichen Zahlen a und $\mathrm{b}$. + +prof. Bud Adrian, Negreşti-Oaş + +3. Auf die Ebene des Quadrates $\mathrm{ABCD}$, mit $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$ errichtet man die Senkrechten MD und NC die in derselbe Halbebene sind so, dass $\mathrm{MD}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{NC}=9 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\{0\}$. + +a) Zeigt, dass der Punkten A,B,M,N nicht kopplanar zind; + +b) Bestimmt die Abstand von der Punkt M zu AC; + +c) Beweist dass $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MO}$ und finde die Flächeninhalt des Dreiecks OMN. + +prof. Adriana Boros, Livada + +4. Es sei $\mathrm{SABCD}$ ein regelmäßige vierseitige Pyramide. AM steht senkrecht auf $\mathrm{SB}, \mathrm{M} \in \mathrm{SB}, \mathrm{BN}$ steht senkrecht auf $\mathrm{SC}, \mathrm{N} \in \mathrm{SC}, \mathrm{CP}$ steht senkrecht auf $\mathrm{SD}, \mathrm{P} \in \mathrm{SD}, \mathrm{DQ}$ steht senkrecht auf $\mathrm{SA}, \mathrm{Q} \in \mathrm{SA}$ und $\mathrm{R}$ ist die symmetrische Punkt des Punktes N in Bezug von AC. + +a) Beweist dass die Punkten B, R, Q, D koplanar sind; + +b) Berechnet die Maßzahl des Winkels zwischen die Geraden MP und RQ. + +Gazeta Matematică nr. 11/2012 + +Str. General Berthelot nr. 28-30, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df5726ed719f913a2c24g-2.jpg?height=254&width=283&top_left_y=141&top_left_x=224) + +## Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df5726ed719f913a2c24g-2.jpg?height=325&width=1466&top_left_y=956&top_left_x=169) +Finalizare ..... $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df5726ed719f913a2c24g-2.jpg?height=65&width=1602&top_left_y=1304&top_left_x=176) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Echivalent cu } z^{2} t^{2}\left(x-y x^{3} z 0\right. \\ +& 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +2. a) $x-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$ + +- după raționalizarea numitorilor obținem + +$$ +\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+\cdots+\frac{\sqrt{2024}-\sqrt{2025}}{2024-2025}= +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& =-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\cdots-\sqrt{2024}+\sqrt{2025}= \\ +& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ +& =-1+45=44 \in \mathbb{N} \quad(\sqrt{2025}=45) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +$1 p$ +b) i) $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)=a^{2} b^{2}+a^{2}+b^{2}+1$ ..... $1 p$ +$=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2}$ ..... $1 p$ +ii) $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2} \geq 2 \sqrt{(a b-1)^{2}(a+b)^{2}}$ ..... 1 p +$=2(a b-1)(a+b)$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +3. a) Presupunem prin absurd că $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{B}$ sunt coplanare. Obținem că $\mathrm{MN} \| \mathrm{AB}$, contradicție.......................................... $2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df5726ed719f913a2c24g-3.jpg?height=257&width=283&top_left_y=140&top_left_x=224) +b) Folosind teorema celor trei perpendiculare, se obține d $(\mathrm{M}, \mathrm{AC})=\mathrm{MO}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MDO obținem $\mathrm{MO}=3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +c)Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\mathrm{NCO}$ obținem $\mathrm{NO}=3 \sqrt{11} \mathrm{~cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +In trapezul dreptunghic MNCD se obține $\mathrm{MN}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df5726ed719f913a2c24g-3.jpg?height=341&width=358&top_left_y=966&top_left_x=381) + +Conform reciprocii teoremei lui Pitagora triunghiul MON este dreptunghic deci $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MO}$. Daca triunghiul MON este dreptunghic, atunci $\mathrm{A}_{\mathrm{MON}}=\frac{M N \cdot M O}{2}=\frac{9 \sqrt{30}}{2} \mathrm{~cm}^{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +4. a)SABCD - piramidă patrulateră regulată $\stackrel{\mathrm{E}}{\Rightarrow} \mathrm{AQ} \equiv \mathrm{NC}$ + +Fie $\mathrm{QE}$ perpendicular pe $\mathrm{AC}$, deci $\mathrm{AE} \equiv \mathrm{CF}, \mathrm{OE} \equiv \mathrm{OF}, \mathrm{EQ} \equiv \mathrm{NF}$, + +$\mathrm{NF}$ este perpendicular pe $\mathrm{AC}, \mathrm{QE} \| \mathrm{NF}$, $1 \mathrm{p}$ + +Deci EQFR este + +paralelogram + +$1 p$ + +$\operatorname{RQ} \cap \mathrm{EF}=\{\mathrm{O}\}, \mathrm{QR} \cap \mathrm{BD}=\{\mathrm{O}\}$ deci $\mathrm{B}, \mathrm{R}, \mathrm{Q}, \mathrm{D}$ sunt coplanare..................................................................... + +b)BM三 DP, SBD triunghi isoscel, deci PM $\| \mathrm{BD}$ $1 p$ + +Unghiului dintre dreptele MP şi RQ este congruent cu unghiului dintre dreptele BD şi RQ.....1p + +BD este perpendicular pe planul (ASC) şi OQ inclusă în planul (ASC), deci BD este perpendicular pe $\mathrm{OQ}$ + +$1 \mathrm{p}$ +Deci, măsura unghiului dintre dreptele MP şi RQ este $90^{\circ}$ ..... $1 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1241-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1241-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ddc5608fa1a304da9d22b4eab60102a2925f2cb8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1241-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.md" @@ -0,0 +1,131 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013
Clasa a VII-a + +1) Ein Trapez $A B C D, m(\hat{A})=90^{\circ} ; A B \| C D$ und $C DClasa a VII-a
Barem de corectare + +Problema 1. $\mathrm{CD}=x_{2} \mathrm{P}_{\mathrm{AECD}}=4 \mathrm{x}+6$ + +(1 punct) + +$\mathrm{x}=3$ + +(1 punct) + +$A_{A B C D}=18 \mathrm{sm}^{2}$ + +(1 punct) + +$A_{A B C}=\frac{B C \cdot h_{1}}{2}=\frac{A B \cdot h_{2}}{2}=12$ + +(1 punct) + +$d(A, B C)=\frac{24}{5}$ + +(1 punct) + +$S$ centru de greutate in triunghiul $P A B$. + +(1 punt) + +$\frac{A_{\mathrm{ASM}}}{\mathrm{A}_{\mathrm{ASP}}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}$ + +(1 punct) + +Problema 2. $a+1=2^{2014}$ + +(3 puncte) + +$\sqrt{a+2 \sqrt{a+1}+2}=2^{1007}+1$ + +(2 puncte) + +Restul împărțirii lui $a$ la 14 este 1. + +(1 punct) + +$k=148+13,8 \in \mathbb{N}$ + +(1 punct) + +## Problema 3. + +După 6 zile călătorul ajunge în $M_{2}$. + +După 30 de zile călătorul ajunge în $M_{4}$. + +După $2^{n+1}-2$ zile călătorul ajunge în $M_{n}$. + +(2 puncte) + +După 98 de zile călătorul ajunge la $1 \mathrm{~km}$ de punctul $C$. + +(1 punct) + +Dacă $A B=d$, în $k$ zile călătorul va parcurge distanța + +$A S_{k}=\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) d=\frac{k}{2 k k+2)} d \quad A S_{k} \geq A C \Rightarrow \frac{k}{2(k+2)} \geq \frac{1}{2}$ + +relație imposibilă. + +(1 punct) + +Problema 4. $\frac{\mathrm{CN}}{A \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{NY}}{Y A}=\frac{\mathrm{MX}}{X A}=\frac{\mathrm{BM}}{\triangle \mathrm{B}}$ + +(3 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& A \mathrm{~N}=A \mathrm{M} \\ +& m(B A C)=120^{\circ} +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1242-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1242-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4a17f520914c105a288d010ba85afabac5e2659f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1242-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.md" @@ -0,0 +1,76 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a VI-a + +1. a) Löse auf die Menge der Primzahlen folgende Gleichung: $2 m+3 p+4 t=56$. + +prof. Tempfli Gabriella, Şcoala Gimnazială "Bălcescu-Petofi", Satu Mare + +b) Es sei $n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2010$ und $m=1+2+3+\cdots+2010$. Findet die Rest der Division $n+m$ durch 2010 . + +Gazeta Matematică, seria B, supliment cu exerciții, februarie 2012 + +2. a) Bestimmt die natürlichen Zahlen der Form $\overline{a b}$ für welche folgende Gleichheit erfüllt ist: + +$$ +\overline{1 a b}+\overline{a b 2}=(\overline{a b})^{2} +$$ + +Prof. Csáki Francisc, Şcoala Gimnazială "Petöfi Sandor" Livada + +b) Bestimmt die Ziffer $\mathrm{b}$ so, dass die natürliche Zahl $\overline{a b b a}$, die in Zehnersystem geschrieben ist, ist teilbar : + +iii) durch 7 für jedwelche a. Wie viele solche Zahlen gibt es? + +iv) durch 11 für jedwelche a. Wie viele solche Zahlen gibt es? + +Prof. Pal Rita, Şcoala Gimnazială Constantin Brâncoveanu Satu Mare + +3. Es seien die Winkeln $\Varangle A O B$ und $\Varangle B O C$, die supplementär sind; $[O M \subset$ Int $\Varangle A O B$ so, dass $m(\Varangle A O B)=2 \cdot m(\approx B O C) ;[O N-$ Winkelhalbierende des Winkels $\Varangle B O C$ und $[O P$ ist entgegengesetzte Strahl des Strahles [ON. + +Wenn [OA Winkelhalbierende des Winkels $\approx M O P$ ist, + +a) bestimmt $m(\varangle A O B)$ und $m(\approx P O B)$; + +b) zeigt, dass die Winkelhalbierende des Winkels $\Varangle M O N$ senkrecht auf $A C$ steht. + +Prof. Bud Adrian, Liceul Teoretic Negreşti Oaş + +## Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VI-a + +## Barem de corectare + +| Nr. probl. | Rezolvare | Pct. | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.a) | În ecuatiaa $2 m+3 p+4 t=56$, unde $m, p$, $t$ numere prime | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2 m, 4 t$ și 56 se divid cu $2 \Rightarrow 3 p$ trebuie să se dividă cu 2 , dar $p$ este prim $\Rightarrow p=2$ | | +| | Înlocuim $p$ și obținem: $2 m+4 t=50$
Împărțind ecuația cu 2 avem: $m+2 t=25$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $m=3 \Rightarrow 3+2 t=25 \Rightarrow t=11$
$m=5 \Rightarrow t=10$ nu este prim
$m=7 \Rightarrow t=9$ nu este prim
$m=11 \Rightarrow t=7$
$m=13 \Rightarrow t=6$ nu este prim
$m=17 \Rightarrow t=4$ nu este prim
$m=19 \Rightarrow t=3$
$m=23 \Rightarrow t=1$ nu este prim
$m=29 \geq 25$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Rezultatele sunt: $m=3, \quad p=2, t=11$
$m=11, p=2, t=7$
$m=19, p=2, t=3$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1.b) | $\mathrm{n}: 2010$
Calculul sumei $\mathrm{n}=1005 \cdot \mathbf{2 0 1 1}=\mathbf{2 0 2 1 0 5 5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Aflarea restului 1005 | $1 \mathrm{p}$ | +| 2.a) | Obs. că $\mathrm{a} \neq 0$. Relația din enunț devine:
$100+\overline{\mathrm{ab}}+10 \cdot \overline{\mathrm{ab}}+\mathbf{2}=(\overline{\mathrm{ab}})^{2}$ de unde, | $1 \mathrm{p}$ | +| | $11 \cdot \overline{a b}+102=(a b)^{2}$
$(\overline{a h})^{2}-11 \cdot \overline{a h}=102$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $a b(\overline{a b}-11)=102$ | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_480e1aac9c0d1196bf59g-3.jpg?height=254&width=283&top_left_y=141&top_left_x=224) + +| | Asadar, soluția problemei sunt:
$\qquad \overline{\mathrm{ab}}=17, \overline{\mathrm{ab}}=11=6$
De unde, $\overline{\mathrm{ab}}=17$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2b) | $\overline{a b b a}=1001 \mathrm{a}+110 \mathrm{~b}$
$1001=3 \cdot 7 \cdot 11$
$110=2 \cdot 5 \cdot 11$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\begin{aligned} a) \(7 / 1001\) deci \(7 / 1001 \mathrm{a} \quad \forall \mathrm{a} \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) şi \\ \(7 /\) divide \(\overline{a b b a}\) daca \(7 / 110 \mathrm{~b}\). Cum 7 nu divide pe 110 trebuie să dividă \\ pe \(\mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{b} \in\{0,7\} \\ \) Deci, 18 numere. \end{aligned}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | b) $11 / 1001$ deci $11 / 1001 \mathrm{a}, \quad \forall \mathrm{a} \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$11 / 110$ deci $11 / 110 \mathrm{~b}$
$\forall \mathrm{b} \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Deci, 90 de numere. | $1 \mathrm{p}$ | +| 3. a) | Se notează $\mathrm{x}=\mathrm{m}(\Varangle A O P)$
$[O A$ este bisectoare $\Rightarrow \mathrm{m}(a \mathrm{MOA})=x \quad \Rightarrow \mathrm{m}(\pi \mathrm{MUB})=2 \mathrm{x}$ | $1 p$ | +| | $\mathrm{m}(\Varangle A \cup P)$ şi $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{N} \cup U)$ opuse la vârf $\Rightarrow \mathrm{m}(\mathbb{N} \cup U)=x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $[O N-$ bisectoare $\Rightarrow \mathrm{m}(x \mathrm{BON})=x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_480e1aac9c0d1196bf59g-3.jpg?height=128&width=1366&top_left_y=1777&top_left_x=412) | $1 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_480e1aac9c0d1196bf59g-3.jpg?height=128&width=1366&top_left_y=1932&top_left_x=412) | $1 \mathrm{p}$ | +| 3b) | Din $[O R-$ bisectoarea $\# M O N \Rightarrow \operatorname{minMOR})=\frac{\operatorname{moN}(* \mathrm{MON}]}{2}$
$\Rightarrow \operatorname{m}(\pi \mathrm{MOR})=\frac{3 x}{2}=54^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\Rightarrow m(A A O R)=m(\$ A O M)+m(\$ M O R)=90^{\circ} \Rightarrow O R \perp A C$ | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1243-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1243-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d4f02a51c0d1ce8bee6417a1a8c74e3fa138a4bc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1243-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.md" @@ -0,0 +1,107 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a V-a + +4. Es sei die Zahlen: + +$a=503 \cdot\left[2013^{0} \cdot\left(4+4 \cdot 5^{2}\right)-(1212: 12-1)\right]+1$ + +$b=2015 \cdot 1009+2015 \cdot 1004-2013 \cdot 2$ + +e) Berechnet die Zahlen $a$ und $b$. + +(5p) + +f) Überpruft die Gleichheit $a^{2}=b$. + +Prof. Danci Natalia, Şcoala Gimnazială Doba + +5. a) Berechnet: $1+2+3+4+\ldots+2010+2011$. + +(4p) + +c) Die Summe mehrer verschiedene natürlichen Zahlen ist gleich 2023067. Zeigt dass, wenigsten eine von diesen großer als 2011 ist. + +(3p) + +6. Die Summe des Alters seines Vaters und ihrer Zwillingen ist im Alter von 40 Jahren. Nach16 Jahren ist der Vater gleich mit die Summe des Alters der Zwillingen . Wie alt ist jeder jetzt? + +(7p) + +GM. 2011 + +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a V-a + +Barem de corectare + +1 . +a) + +$a=503 \cdot[1 \cdot(4+100)-(101-1)]+1$ + +$a=503 \cdot[104-100]+1$ + +$a=503 \cdot 4+1 \quad 3 p$ + +$a=2012+1$ + +$a=2013$ + +$b=2015 \cdot(1009+1004)-2013 \cdot 2=2015 \cdot 2013-2013 \cdot 2=2013 \cdot 2013=4052169 \quad 2 \mathrm{p}$ +b) + +$2013^{2}=2013 \cdot 2013$ + +$$ +2013^{2}=2013^{2} \quad 2 p +$$ + +2. + +a) + +$S=2011 \cdot(2012: 2)=2023066$ + +$4 \mathrm{p}$ +b) + +$1+2+3+\ldots .+2011=2023066$ + +## $1 \mathrm{p}$ + +rezultă $2023066<2023067, \quad 1 p$ + +rezultă unul din numere poate să fie mai mare decât 2011 . 1p + +3. + +$\mathrm{t}$ - vârsta tatălui + +$\mathrm{g}$ - vârsta unuia dintre gemeni + +rezultă $\mathrm{t}+2 \mathrm{~g}=40 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{t}+16=2 \mathrm{~g}+32 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{t}=2 \mathrm{~g}+32-16$ + +$\mathrm{t}=2 \mathrm{~g}+16 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$2 g+16+2 g=40$ + +$4 g=40-16 \quad 0,5 p$ + +$4 g=24 \quad g=6 \quad 0,5 p$ + +$\mathrm{t}=28 \quad 0,5 \mathrm{P}$ + +Răspuns: Vârsta tatălui 28 ani, vârsta unui copil 6 ani. 0,5p + +(Se acceptă oricare altă metodă corectă de rezolvare) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1244-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._germana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1244-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._germana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4a74791bcaaae34cd09eab4418bb89a58999f384 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1244-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._germana.md" @@ -0,0 +1,95 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Es sei $a, b \in \mathbf{R}, a Clasa a IX-a
Barem de corectare + +1. a. Demonstrarea proprietăţii - 2p. b. Găsirea relației de recurență şi a primilor trei termeni ai şirurilor $-1 p$. + +$x_{4}=\frac{2}{3}, y_{4}=\frac{1}{3}, x_{5}=\frac{8}{9}, y_{5}=\frac{4}{9}, x_{6}=\frac{23}{27}, y_{6}=\frac{16}{27}-2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1135fcaa65481130b1acg-2.jpg?height=97&width=705&top_left_y=1131&top_left_x=367) + +Demonstrarea prin inducție $-\mathbf{1 p}$. + +2. a) $a_{2}=\frac{1}{2 \cdot 3}$ şi $a_{8}=\frac{1}{3 \cdot 4}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +$P(n): \quad a_{n}=\frac{1}{n \cdot(n+1)}$ + +## $1 p$ + +Demonstrația prin inductie + +$2 p$ + +$$ +=\sum_{1}^{n} \frac{2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}} \times 1 +$$ + +3. A,I,G coliniare dacă şi numai dacă $\exists \infty \in \mathbb{R}, \overrightarrow{\mathbb{R}}=\infty \overrightarrow{\mathrm{AI}} \quad \mathbf{1 p}$ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{b}{b+c} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{c}{b+c} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ + +$\overrightarrow{A L}=\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{A C} \quad, A I \cap B C=\left\{\frac{1}{1}\right\}$ + +1p + +Notăm $\mathrm{AQ}=\mathrm{x}, \overrightarrow{A G}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \quad \mathbf{1 p}$ + +$\overrightarrow{A G}=\kappa \overrightarrow{A I}$ devine $\quad \frac{1}{2}\left(\frac{x}{c} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\right)=\frac{\kappa b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{\propto c}{a+b+c} \overrightarrow{A C}$ + +$\frac{\mathrm{x}}{2 \mathrm{c}}=\frac{\alpha b}{a+b+c} \quad$ si $\frac{1}{2}=\frac{\propto c}{a+b+c}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +Deci raportul lor va fi $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{c}}=\frac{b}{c}$ adică $\mathrm{x}=\mathrm{b}, \mathrm{AQ}=\mathrm{AC}$. + +4. Fixarea reperului $\overrightarrow{A D}-\vec{a}, \overrightarrow{A B}-\vec{v}-1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{C N}{\mathrm{ND}}=k_{1}, \frac{A M}{M D}=k_{2} ; \text { punctele } \mathrm{G}, \mathrm{M} \text { si } N \text { sunt coliniare dacă şi numai dacă } \\ +& \overrightarrow{A M}=\propto \overrightarrow{A G}+(1-\infty) \overrightarrow{A N}-1 \mathrm{p} \\ +& \overrightarrow{A M}=\frac{k_{2}}{1-k_{2}}-1 \mathrm{p} ; \overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{v}}-1 \mathrm{p} ; \overrightarrow{A N}=\frac{\overrightarrow{A C}-k_{1} \overrightarrow{A D}}{1-k_{1}}=\vec{u}+\frac{1}{1-k_{1}} \vec{v}-1 \mathrm{p} \\ +& k_{1}-k_{2}=\frac{1}{2}-2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +Dreiecks $A B C$, bzw Mitellpunkt des Rechtecks MQNC sind, beweist dass die Punkten A, I, G kollinear sind wenn und nur wenn $\mathrm{AQ}=\mathrm{AC}$. + +Prof. Alexandru Blaga + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1245-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1245-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c4b93abf3d5c01566af62d4c394e383933185fa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1245-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,100 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a XII-a + +I) Adott a következő halmaz: $M=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 7 b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in Z\right\}$ + +a) Bizonyítsuk be, hogy $(M, \cdot)$ monoid. + +b)Legyen $A \in M$ és $X \in M_{2}(Z)$. Ha $\quad A X=X A$, akkor igazoljuk, hogy $X \in M$ vagy létezik $\alpha \in Z$ úgy, hogy $A=\alpha \cdot I_{2}$. + +c) Igazoljuk, hogy $\mathrm{M}$-nek végtelen sok invertálható eleme van. + +G.M. $10 / 2012$ + +II) Legyen $\left(G\right.$, ) csoport, melynek semleges eleme e, és $x, y \in G$, úgy, hogy $x^{2}=y^{2}=(x y)^{2}$. Igazoljuk, hogy: +a) $y^{4}=e$ +b) $x^{2013}+y^{2013}=x+y$. +c) $(x y)^{2012}=e$. + +Prof. Traian Tămîian + +III) a) Ellenörizzük a következö azonosságot : $\left(\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)^{\prime}=-\frac{\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}}, \forall x \in(1, \infty)$. + +b) Számítsuk ki: $\int \frac{x^{2}-x-\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}} \cdot e^{x} d x, \quad x \in(1, \infty)$. + +Prof.Adrian Bud + +IV) Legyen $a>0$ és az $f:[0, a] \rightarrow R$ a $[0, a]$-n kétszer deriválható függvény, melynek a másodrendú deriváltja folytonos a $[0, a]$ intervallumon, és $f(a)=f^{\prime}(a)=0$. Mutassuk ki, hogy bármely $k \in\{1,2\}$ esetén fennállnak az alábbi összefüggések: + +а) $\int_{0}^{a} f(x) d x=\frac{(-1)^{k}}{k!} \cdot \int_{0}^{a} x^{k} f^{(k)}(x) d x$ + +b) $\left(\int_{0}^{a} f(x) d x\right)^{2} \leq \frac{a^{2 k+1}}{(2 k+1)(k!)^{2}} \cdot \int_{0}^{a}\left(f^{(k)}(x)\right)^{2} d x$. + +Prof. Gigel Buth és Gelu Râmbu matematikus + +## Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013
Clasa a XII-a
Barem de corectare + +I. + +a) Demonstreaza ca este monoid + +3 puncte + +b) + +.3 puncte + +c) Exemplu 1 punct + +II. + +a) Din $x^{2}=(x y)^{2} \Rightarrow x x=x y x y \Rightarrow x=y x y$ + +Din $y^{2}=(x y)^{2} \Rightarrow y y=x y x y \Rightarrow y=x y x$ + +Din (1) §̧i (2) $\Rightarrow x y=y x y x y x \Rightarrow x y=y(x y)^{2} x \Rightarrow x y=y y^{2} x \Rightarrow x y=y^{3} x \quad$ şi folosind (1) + +$\Rightarrow x y=y^{3}(y x y) \Rightarrow x y=y^{4} x y \Rightarrow x=y^{4} x \Rightarrow e=y^{4}$ + +.3 puncte + +$\Rightarrow y^{2013}=\left(y^{4}\right)^{503} \cdot y=e \cdot y=y$ + +.1 punct + +Din (1) §̧i (2) $\Rightarrow y x=x y x y x y \Rightarrow y x=(x y)^{2} x y \Rightarrow y x=x^{2} x y \Rightarrow y x=x^{3} y$ şi folosind (1) + +$\Rightarrow y x=x^{3}(x y x) \Rightarrow y x=x^{4} y x \Rightarrow y=x^{4} y \Rightarrow e=x^{4}$ + +.1 punct + +$\Rightarrow x^{2013}=\left(x^{4}\right)^{503} \cdot x=e \cdot x=x$ + +b) $\operatorname{Din}$ (3) şi (4) $\Rightarrow x^{2013} y^{2013}=x y$. + +1 punct + +c) Folosind ipoteza avem: $(x y)^{2012}=\left[(x y)^{2}\right]^{1006}=\left(x^{2}\right)^{1006}=\left(x^{4}\right)^{503}=e^{503}=e$ 1 punct + +III. + +a) Verificare $\quad$........................ 3 puncte + +b) Descompune integrala in $I=\int \frac{(x+\sqrt{x})(x-\sqrt{x})}{(x-\sqrt{x})^{2}} e^{x} d x-\int \frac{\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}} e^{x} d x$ 1punct Integreaza prin parti 1punct + +Finalizare 2 puncte + +IV. +a) Calculeaza integrand prin parti pentru $k \in\{1,2\}$ +4 puncte +b) Aplica inegalitatea Cauchy-Schwarz, forma integrala +3 puncte[^0] + + +[^0]: Str. 1 Decembrie $1918 \mathrm{nr} .6$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1246-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1246-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4afafb2a1055d5911f1613fcfc84fe0b3de652b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1246-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,106 @@ +# Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a XI-a + +I) Adott a következö halmaz: $M=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 7 b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in Z\right\}$ + +a) Bizonyítsuk be, hogy $(M, \cdot)$ monoid. + +b)Legyen $A \in M$ és $X \in M_{2}(Z)$. Ha $\quad A X=X A$, akkor igazoljuk, hogy $X \in M$ vagy létezik $\alpha \in Z$ úgy, hogy $\quad A=\alpha \cdot I_{2}$. + +c) Igazoljuk, hogy $\mathrm{M}$-nek végtelen sok invertálható eleme van. + +G.M. $10 / 2012$ + +II) Legyen $\left(G\right.$, ) csoport, melynek semleges eleme e, és $x, y \in G$, úgy, hogy $x^{2}=y^{2}=(x y)^{2}$. Igazoljuk, hogy: +a) $y^{4}=e$ +b) $x^{2013}+y^{2013}=x+y$. +c) $(x y)^{2012}=e$. + +Prof. Traian Tămûian + +III) a) Ellenőrizzük a következö azonosságot : $\left(\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)^{\prime}=-\frac{\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}}, \forall x \in(1, \infty)$. + +b) Számítsuk ki: $\int \frac{x^{2}-x-\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}} \cdot e^{x} d x, \quad x \in(1, \infty)$. + +Prof.Adrian Bud + +IV) Legyen $a>0$ és az $f:[0, a] \rightarrow R$ a $[0, a]$-n kétszer deriválható függvény, melynek a másodrendú deriváltja folytonos a $[0, a]$ intervallumon, és $f(a)=f^{\prime}(a)=0$. Mutassuk ki, hogy bármely $k \in\{1,2\}$ esetén fennállnak az alábbi összefüggések: + +a) $\int_{0}^{a} f(x) d x=\frac{(-1)^{k}}{k!} \cdot \int_{0}^{a} x^{k} f^{(k)}(x) d x$, + +b) $\left(\int_{0}^{a} f(x) d x\right)^{2} \leq \frac{a^{2 k+1}}{(2 k+1)(k!)^{2}} \cdot \int_{0}^{a}\left(f^{(k)}(x)\right)^{2} d x$. + +Prof. Gigel Buth és Gelu Râmbu matematikus + +## Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013
Clasa a XI-a
Barem de corectare + +1.) a.) se arată prin calcul direct că: $\operatorname{det}\left(A-\mathrm{xI}_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A$. + +.3 puncte + +b.) Din teorema Hamilton-Cayley rezultă $\mathrm{A}^{2}-2 \mathrm{~A}+3 \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2}$, de unde $\mathrm{A}^{2}+3 \mathrm{I}_{2}=2 \mathrm{~A}$ (1)...1 punct se arată că $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+3 \mathrm{I}_{2}\right)=\operatorname{det}(2 \mathrm{~A})=2^{2} \operatorname{det} \mathrm{A}=12$ 1 punct $\operatorname{din} \mathrm{A}^{2}+\mathrm{I}_{2}=2\left(\mathrm{~A}-\mathrm{I}_{2}\right)$, se obține $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{I}_{2}\right)=2^{2} \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=2^{2} \cdot 2=8$ 1 punct + +Din (2) şi (3) obținem: $2 \cdot \operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)-\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=2 \cdot 8-12=4$. 1 punct + +2.) a.) se folosesc relațiile: + +(1) $\operatorname{det}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})+\operatorname{det}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})=2 \cdot(\operatorname{det} \mathrm{X}+\operatorname{det} \mathrm{Y})$ + +(2) $\operatorname{det}(\mathrm{X} \cdot \mathrm{Y})=\operatorname{det}(\mathrm{Y} \cdot \mathrm{X})=\operatorname{det} \mathrm{X} \cdot \operatorname{det} \mathrm{Y} \quad$ pentru scrierea lor.... 2 puncte punând în relatia (1) $\mathrm{X}=\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{Y}=\mathrm{BA}$ şi folosind (2) se obtine (3) $\operatorname{det}(\mathrm{AB}+\mathrm{BA})+\operatorname{det}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=4 \operatorname{det} \mathrm{A}^{\cdot} \operatorname{det} \mathrm{B}$. 1 punct + +Din (3) si identitatea din enunt se obtine cerința punctului a) 1punct + +b.) se folosește relația $\mathrm{X}^{2}-(\operatorname{Tr} X)^{\cdot} \mathrm{X}+(\operatorname{det} X)^{\prime} \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2}$, oricare ar fi $\mathrm{X}, \mathrm{Y}=\mathrm{M}_{2}$ 1 punct în care se pune $\mathrm{X}=\mathrm{AB}-\mathrm{BA}$ si avem + +$$ +(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})^{2}-(\operatorname{Tr}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}))(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})+\operatorname{det}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}) \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2} +$$ + +dar $\operatorname{Tr}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=0$ si tinand seama rezultatul de la a), din (3) rezulta b). ..... 2 puncte + +3.) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bdd083f980f3cb6478d3g-2.jpg?height=113&width=1508&top_left_y=1611&top_left_x=242) + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{a}_{2 k+2}=\mathrm{a}_{2 k+1}+\frac{2}{2 \mathrm{k}+1}=\frac{\mathrm{a}_{2 k}}{2 \mathrm{k}}+2+\frac{2}{2 k+1} \\ +& 1 \text { punct } \\ +& \mathrm{a}_{2}=3, \mathrm{a}_{3}=\overline{\mathbf{7}}, \mathrm{a}_{4}=\frac{23}{6} +\end{aligned} +$$ + +se arată prin inducție că $\mathrm{a}_{2 \mathrm{k}} \in\{0,5)$ + +2 puncte + +$$ +\text { cum } \mathrm{a}_{2 \mathrm{k}+1}=\frac{\mathrm{a}_{2 k}}{2 \mathrm{k}}+2 \text {, rezulta c } \triangle \text { 目 EMBED Equation, } 3 \text { 国国 } +$$ + +1 + +punct + +de unde + +E EMBED Equatton. 3 园 $\frac{a_{n}+1}{a_{n}}=1$ + +punct +4.) a.) se arată prin inducție că $a_{n}=\frac{n+1}{n!}$ 2 puncte +demonstrarea că şirul este descrescător. 1 punct +$\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ strict pozitiv, deci mărginit inferior, +Prin urmare șirul este convergent +1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bdd083f980f3cb6478d3g-3.jpg?height=254&width=280&top_left_y=141&top_left_x=223) + +b.) Înlocuim $a_{n} c u \frac{n+1}{n!}$. Limita devine: + +$\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \left[(n-1)!a_{n}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \frac{n+1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\ln e=1 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots . \quad 3$ puncte + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1247-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1247-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f78aad2c638167748bc4cf45c0483a379d559dbb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1247-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,80 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a X-a + +I. a. Igazold, hogy $\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a} \geq 6, \quad \forall a, b, c \in(0, \infty)$ + +b. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget: $18^{x}+12^{x}+9^{x}+3^{x}+4^{x}+2^{x} \leq 6 \cdot 6^{x}$ + +Prof. Galambosi Csaba, Satu Mare + +II. a. Adott az $f: \Re \rightarrow \Re$ függvény, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: $f(f(x))+2012 \cdot f(x)=x^{2013}, \quad \forall x \in \Re$. + +Igazold, hogy $f$ injektiv. + +b. Léteznek olyan $f:(0, \infty) \rightarrow \Re$ injektiv függvények, melyekre + +$$ +f(x)+f\left(2^{x}\right)+f\left(\log _{2} x\right)=2013, \quad \forall x \in(0, \infty) ? +$$ + +Prof. Tămîian Traian, Carei + +III. Adottak az $a, b, c, d$ különbözö komplex számok úgy, hogy $a+b+c+d=0$ és $|a|=|b|=|c|=|d|$. + +Igazold, hogy + +a). $(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)=0$ + +b). Ha $\{\alpha, \beta, \gamma, \delta\}=\{a, b, c, d\}$ és $\alpha+\beta=0$ mutasd meg, hogy $a, b, c, d$ az $z^{4}+(\alpha \beta+\gamma \delta) \cdot z^{2}+\alpha \beta \gamma \delta=0$ egyenlet gyökei. + +Prof. Pop Ovidiu, Satu Mare + +IV. Adott az $A B C D$ körbeírható négyszög, melynek oldalainak hossza $a, b, c, d$ és + +átlóinak hossza $d_{1}$ és $d_{2}$. Igazold, hogy $\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c d}+\frac{1}{d a} \geq 4\left(\frac{1}{d_{1}^{2}}+\frac{1}{d_{2}^{2}}\right)$. + +Prof. Buth Gigel, Satu Mare + +Matematician. Râmbu Gelu, Baia Mare + +## Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013
Clasa a X-a
Barem de corectare + +I. a. (3 puncte) + +Aplicăm inegalitatea $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2, \forall x, y>0$. + +## b. (4 puncte) + +Folosim inegalitatea de la punctul a. pentru $a=3^{x}, b=2^{x}, c=1$. + +II. a. (3 puncte) + +Luăm $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ rezultă $f\left(f\left(x_{1}\right)\right)=f\left(f\left(x_{2}\right)\right)$, exploatând acest lucru rezultă $x_{1}=x_{2}$. Deci $f$ este injectivă. + +b. (4 puncte) + +Presupunem că există o astfel de funcție, apoi dând lui $x$ valorile 2 şi 4 , obținem contradicția cu injectivitatea. Deci nu există funcții cu proprietatea cerută. + +III. a. (4 puncte) + +Notăm $|a|=r$ şi avem $a \cdot \bar{a}=r^{2}$ şi analoagele. Ţinând seama de ipoteză şi de acest lucru obținem $(a+c)(a+b)(b+c)=0$, am folosit că $d=-a-b-c, a+b=-(c+d)$, $a+c=-(b+d), b+c=-(a+d)$ şi obține concluzia problemei. + +b. (3 puncte) + +Ecuația este echivalentă cu $\left(z^{2}+\alpha \beta\right)\left(z^{2}+\gamma \delta\right)=0$. Presupunem că $\alpha=a, \beta=b$, deci $a+b=0$, din $a+b+c+d=0$ rezultă $c+d=0$. Deci cele două ecuații vor avea soluțiile $a$ şi $b$ respectiv $c$ şi $d$. + +## IV. (4 puncte) + +Aplicăm teorema lui Pitagora generalizată în triunghiurile $\triangle A B C$ şi $\triangle A D C$ exprimând $\cos B$ şi $\cos D$, apoi însumândule cu notațiile adecvate obținem $\frac{1}{a d}+\frac{1}{b c} \geq \frac{4}{d_{1}^{2}}$. Am ținut cont că patrulaterul este inscriptibil şi că $\cos B=-\cos D$. + +## (3 puncte) + +Analog obținem $\frac{1}{a b}+\frac{1}{c d} \geq \frac{4}{d_{2}^{2}}$, apoi însumând inegalitățile se obține concluzia problemei. + +Egalitate se obține atunci când patrulaterul este pătrat. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1248-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1248-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9fb21c1af9704526887b37e6063fe5f860f2ed17 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1248-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,119 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a VIII-a + +1.a)Legyenek $x$, y valós számok úgy, hogy $9 x^{2}+25 y^{2}-6 x \sqrt{3}-10 y \sqrt{5}+8=0$. Igazoljátok, hogy: $x^{2}-y^{2}=2 x^{2} y^{2}$. + +prof. Gheorghe Moldovan, Medieşu Aurit + +b) Ha $x, y, z, t \in R$, mutassuk ki, hogy $x y\left(z^{2}-t^{2}\right)^{2} \geq\left(x z^{2}-y t^{2}\right)\left(y z^{2}-x t^{2}\right)$. + +prof. Ovidiu Pop, C.N. 'M.Eminescu" + +2 .a) Igazoljuk, hogy $\quad x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}} \in N$ + +prof. Monica Amic, Acâş + +b) i) Igazoljuk, hogy két, teljes négyzet után következő szám szorzata felírható két négyzet összegeként. + +ii) Felhasználva esetleg az i) alpontot, mutassuk ki, hogy $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right) \geq 2(a b-1)(a+b)$, bármilyen a és b nullától különböző természetes számok esetén. + +prof. Bud Adrian, Negreşti-Oaş + +3. $\mathrm{Az} \mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$ oldalhosszúságú $\mathrm{ABCD}$ négyzet síkjára emeljük az MD és NC merölegeseket, a sík ugyanazon oldalán, úgy, hogy $\mathrm{MD}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{NC}=9 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\{0\}$. + +a) Mutasd ki, hogy A,B,N,M nem koplanaris pontok; + +b) Határozzuk meg az M pont AC egyenestől mért távolságát; + +c) Igazoljuk, hogy $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MO}$ és számítsuk ki az OMN háromszög területét. + +prof. Adriana Boros, Livada 4.Legyen $\mathrm{SABCD}$ szabályos négyoldalú gúla. AM merőleges az $\mathrm{SD}$ egyenesre, $\mathrm{M} \in \mathrm{SB}, \mathrm{BN}$ merőleges az SC egyenesre, $\mathrm{N} \in \mathrm{SC}$, $\mathrm{CP}$ merőleges az SD egyenesre, $\mathrm{P} \in \mathrm{SD}$, DQ merőleges az SA egyenesre, $\mathrm{Q} \in \mathrm{SA}$ és $\mathrm{R}$ az $\mathrm{N}$ pont AC egyenes szerinti szimmetrikusa. + +a) Igazoljuk, hogy B, R, Q, D koplanárisak. + +b) Határozzuk meg MP és RQ egyenesek szögének mértékét. + +Gazeta Matematică nr.11/2012 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e321d49460ac0c7b3b47g-2.jpg?height=254&width=283&top_left_y=141&top_left_x=224) + +## Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e321d49460ac0c7b3b47g-2.jpg?height=325&width=1466&top_left_y=956&top_left_x=169) +Finalizare ..... $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e321d49460ac0c7b3b47g-2.jpg?height=65&width=1602&top_left_y=1304&top_left_x=176) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Echivalent cu } z^{2} t^{2}\left(x-y x^{3} z 0\right. \\ +& 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +2. a) $x-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$ + +- după raționalizarea numitorilor obținem + +$$ +\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+\cdots+\frac{\sqrt{2024}-\sqrt{2025}}{2024-2025}= +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& =-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\cdots-\sqrt{2024}+\sqrt{2025}= \\ +& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ +& =-1+45=44 \in \mathbb{N} \quad(\sqrt{2025}=45) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +$1 p$ +b) i) $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)=a^{2} b^{2}+a^{2}+b^{2}+1$ ..... $1 p$ +$=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2}$ ..... $1 p$ +ii) $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2} \geq 2 \sqrt{(a b-1)^{2}(a+b)^{2}}$ ..... 1 p +$=2(a b-1)(a+b)$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +3. a) Presupunem prin absurd că $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{B}$ sunt coplanare. Obținem că $\mathrm{MN} \| \mathrm{AB}$, contradicție.......................................... $2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e321d49460ac0c7b3b47g-3.jpg?height=257&width=283&top_left_y=140&top_left_x=224) +b) Folosind teorema celor trei perpendiculare, se obține d $(\mathrm{M}, \mathrm{AC})=\mathrm{MO}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MDO obținem $\mathrm{MO}=3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +c)Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\mathrm{NCO}$ obținem $\mathrm{NO}=3 \sqrt{11} \mathrm{~cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +In trapezul dreptunghic MNCD se obține $\mathrm{MN}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e321d49460ac0c7b3b47g-3.jpg?height=341&width=358&top_left_y=966&top_left_x=381) + +Conform reciprocii teoremei lui Pitagora triunghiul MON este dreptunghic deci $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MO}$. Daca triunghiul MON este dreptunghic, atunci $\mathrm{A}_{\mathrm{MON}}=\frac{M N \cdot M O}{2}=\frac{9 \sqrt{30}}{2} \mathrm{~cm}^{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +4. a)SABCD - piramidă patrulateră regulată $\stackrel{\mathrm{E}}{\Rightarrow} \mathrm{AQ} \equiv \mathrm{NC}$ + +Fie $\mathrm{QE}$ perpendicular pe $\mathrm{AC}$, deci $\mathrm{AE} \equiv \mathrm{CF}, \mathrm{OE} \equiv \mathrm{OF}, \mathrm{EQ} \equiv \mathrm{NF}$, + +$\mathrm{NF}$ este perpendicular pe $\mathrm{AC}, \mathrm{QE} \| \mathrm{NF}$, $1 \mathrm{p}$ + +Deci EQFR este + +paralelogram + +$1 p$ + +$\operatorname{RQ} \cap \mathrm{EF}=\{\mathrm{O}\}, \mathrm{QR} \cap \mathrm{BD}=\{\mathrm{O}\}$ deci $\mathrm{B}, \mathrm{R}, \mathrm{Q}, \mathrm{D}$ sunt coplanare..................................................................... + +b)BM三 DP, SBD triunghi isoscel, deci PM $\| \mathrm{BD}$ $1 p$ + +Unghiului dintre dreptele MP şi RQ este congruent cu unghiului dintre dreptele BD şi RQ.....1p + +BD este perpendicular pe planul (ASC) şi OQ inclusă în planul (ASC), deci BD este perpendicular pe $\mathrm{OQ}$ + +$1 \mathrm{p}$ +Deci, măsura unghiului dintre dreptele MP şi RQ este $90^{\circ}$ ..... $1 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1249-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1249-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f95c431dc74b19b88e1e0ad516cea801a3a36684 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1249-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,129 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013
Clasa a VII-a + +1) Az $A B C D$ trapézban, $m(\hat{A})=90^{\circ} ; A B \| C D$ şi $C DClasa a VII-a
Barem de corectare + +Problema 1. $\mathrm{CD}=x_{2} \mathrm{P}_{\mathrm{AECD}}=4 \mathrm{x}+6$ + +(1 punct) + +$\mathrm{x}=3$ + +(1 punct) + +$A_{A B C D}=18 \mathrm{sm}^{2}$ + +(1 punct) + +$A_{A B C}=\frac{B C \cdot h_{1}}{2}=\frac{A B \cdot h_{2}}{2}=12$ + +(1 punct) + +$d(A, B C)=\frac{24}{5}$ + +(1 punct) + +$S$ centru de greutate in triunghiul $P A B$. + +(1 punt) + +$\frac{A_{\mathrm{ASM}}}{\mathrm{A}_{\mathrm{ASP}}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}$ + +(1 punct) + +Problema 2. $a+1=2^{2014}$ + +(3 puncte) + +$\sqrt{a+2 \sqrt{a+1}+2}=2^{1007}+1$ + +(2 puncte) + +Restul împărțirii lui $a$ la 14 este 1. + +(1 punct) + +$k=148+13,8 \in \mathbb{N}$ + +(1 punct) + +## Problema 3. + +După 6 zile călătorul ajunge în $M_{2}$. + +După 30 de zile călătorul ajunge în $M_{4}$. + +După $2^{n+1}-2$ zile călătorul ajunge în $M_{n}$. + +(2 puncte) + +După 98 de zile călătorul ajunge la $1 \mathrm{~km}$ de punctul $C$. + +(1 punct) + +Dacă $A B=d$, în $k$ zile călătorul va parcurge distanța + +$A S_{k}=\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) d=\frac{k}{2 k k+2)} d \quad A S_{k} \geq A C \Rightarrow \frac{k}{2(k+2)} \geq \frac{1}{2}$ + +relație imposibilă. + +(1 punct) + +Problema 4. $\frac{\mathrm{CN}}{A \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{NY}}{Y A}=\frac{\mathrm{MX}}{X A}=\frac{\mathrm{BM}}{A \mathrm{~B}}$ + +(3 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& A \mathrm{~N}=A \mathrm{M} \\ +& m(B A C)=120^{\circ} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-125-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-125-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75f7c5a0d2c0e0f16f7a3598e56719375622b818 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-125-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016 + +Clasa a VII - a + +PROBLEMA 1. Se consideră numerele raţionale distincte $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, astfel încât din oricare patru dintre ele există două care au produsul -1 . + +a) Daţi un exemplu de 6 astfel de numere; + +b) Aflaţi valoarea maximă a lui $n$. + +PROBLEMA 2. Să se arate că dacă numerele strict pozitive $a, b, c \in \mathbb{Q}$ verifică relaţia $\frac{a}{b+c}=$ $\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}$, atunci: +a) $\sqrt{\frac{a+b}{a+2 b+3 c}+\frac{b+c}{b+2 c+3 a}+\frac{c+a}{c+2 a+3 b}} \in \mathbb{Q}$; +b) $\sqrt{\frac{a b}{c(2 a-b)}+\frac{b c}{a(2 b-c)}+\frac{c a}{b(2 c-a)}} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +PROBLEMA 3. Fie triunghiul $A B C$ şi $M$ mijlocul laturii [ $B C]$. Daca $N$ este mijlocul segmentului $[A M]$ şi $B N \cap A C=\{P\}$, determinaţi raportul dintre aria patrulaterului $M C P N$ şi aria triunghiului $A B C$. + +PROBLEMA 4. În triunghiul $A B C$, fie $M$ mijlocul lui $[B C]$ si $P$ un punct pe $B C, P \neq M$. Paralela prin $P$ la $A C$ intersectează drepta $A M$ în $E$, iar paralela prin $P$ la $A B$ intersectează dreapta $A M$ în $F$. Să se demonstreze că punctele $E$ şi $F$ sunt simetrice faţă de $M$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a VII - a + +PROBLEMA 1. Se consideră numerele raţionale distincte $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, astfel încât din oricare patru dintre ele există două care au produsul -1 . + +a) Daţi un exemplu de 6 astfel de numere; + +b) Aflaţi valoarea maximă a lui $n$. + +## Barem de corectare. + +$(3 p)$ + +a) De exemplu, numerele $2,3,4,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{4}$ verifică cerinţele din enunţ; în general, putem lua numerele $a, b, c,-\frac{1}{a},-\frac{1}{b},-\frac{1}{c}$, unde $a, b$ şi $c$ sunt numere distincte din $\mathbb{Q}^{*}$. + +(3p) b) Dacă $n \geq 7$, atunci cel puţin 4 dintre cele $n$ numere au acelaşi semn. Aşadar, în acest caz, există 4 numere dintre care nu putem alege două a căror produs să fie -1 . + +(1p) Deci, valoarea maximă a lui $n$ este 6 . + +PROBLEMA 2. Să se arate că dacă numerele strict pozitive $a, b, c \in \mathbb{Q}$ verifică relaţia $\frac{a}{b+c}=$ $\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}$, atunci: +a) $\sqrt{\frac{a+b}{a+2 b+3 c}+\frac{b+c}{b+2 c+3 a}+\frac{c+a}{c+2 a+3 b}} \in \mathbb{Q}$; +b) $\sqrt{\frac{a b}{c(2 a-b)}+\frac{b c}{a(2 b-c)}+\frac{c a}{b(2 c-a)}} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +## Barem de corectare. + +(2p) Din ipoteză, obţinem că $\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$. + +(3p) Deci $\left\{\begin{array}{l}2 a=b+c \\ 2 b=a+c \\ 2 c=a+b\end{array}\right.$, de unde rezultă că $a=b=c$. + +Aşadar, avem: + +(1p) $\sqrt{\frac{a+b}{a+2 b+3 c}+\frac{b+c}{b+2 c+3 a}+\frac{c+a}{c+2 a+3 b}}=\sqrt{\frac{2 a}{6 a}+\frac{2 a}{6 a}+\frac{2 a}{6 a}}=1 \in \mathbb{Q}$ + +(1p) $\sqrt{\frac{a b}{c(2 a-b)}+\frac{b c}{a(2 b-c)}+\frac{c a}{b(2 c-a)}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{3} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +PROBLEMA 3. Fie triunghiul $A B C$ şi $M$ mijlocul laturii $[B C]$. Daca $N$ este mijlocul segmentului $[A M]$ şi $B N \cap A C=\{P\}$, determinaţi raportul dintre aria patrulaterului $M C P N$ şi aria triunghiului $A B C$. + +Barem de corectare. Fie $M R \| B P(R \in P C)$ şi $S=A_{A N P}$. + +(1p) Deoarece $M R=\frac{B P}{2}$, + +(2p) obţinem că $N P=\frac{M R}{2}=\frac{B P}{4}$, de unde $A_{A B N}=3 A_{A N P}=3 S$. + +(1p) Dar cum $A_{A B N}=A_{B M N}=3 S$ + +(1p) şi $A_{A B M}=A_{A M C}=6 S$, rezultă că $A_{A B C}=12 S$ + +(1p) şi $A_{M C P N}=A_{A M C}-A_{A N P}=5 S$. + +(1p) Aşadar, $\frac{A_{M C P N}}{A_{A B C}}=\frac{5}{12}$. + +PROBLEMA 4. În triunghiul $A B C$, fie $M$ mijlocul lui $[B C]$ şi $P$ un punct pe $B C, P \neq M$. Paralela prin $P$ la $A C$ intersectează drepta $A M$ în $E$, iar paralela prin $P$ la $A B$ intersectează dreapta $A M$ în $F$. Să se demonstreze că punctele $E$ şi $F$ sunt simetrice faţă de $M$. + +## Barem de corectare. + +(1p) Fie $F D \| A C, D \in B C$. + +(1p) Deoarece $P F \| A B$, rezultă că $\frac{M P}{M B}=\frac{M F}{M A}$, + +(1p) iar $\operatorname{din} F D \| A C$ rezultă că $\frac{M D}{M C}=\frac{M F}{M A}$ + +(1p) de unde, $M P=M D$. + +(2p) Deoarece $\triangle P M E \equiv \triangle D M F$, obţinem $F M=M E$, + +(1p) adică, punctele $E$ şi $F$ sunt simetrice faţă de $M$.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1250-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1250-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f959f4364cf9d85d37b8326a16e1de82f597ebb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1250-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,76 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a VI-a + +1. a) Oldd meg a prímszámok halmazán a következő egyenletet: $2 m+3 p+4 t=56$. + +prof. Tempfli Gabriella, Şcoala Gimnazială "Bălcescu-Petofi", Satu Mare + +b) Legyen $n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2010$ és $m=1+2+3+\cdots+2010$. Határozd meg a 2010 számnak az $n+m$ számmal való osztási maradékát. + +(3p) + +Gazeta Matematică, seria B, supliment cu exercitiii, februarie 2012 + +2. a) Határozd meg az $\overline{a b}$ alakú természetes számokat, amelyekre fennáll a következő egyenlőség: + +$\overline{1 a b}+\overline{a b 2}=(\overline{a b})^{2}$ + +Prof. Csáki Francisc, Şcoala Gimnazială " Petöfi Sandor" Livada + +b) Határozd meg a $b$ számjegyet úgy, hogy az $\overline{a b b a}$ szám osztható legyen: + +i) 7-tel, bármely $a$ esetén. Hány ilyen szám létezik? + +ii) 11-tel, bármely $a$ esetén. Hány ilyen szám létezik? + +Prof. Pal Rita, Şcoala Gimnazială Constantin Brâncoveanu Satu Mare + +3. Adottak az $A O B$ ฬ és $B O C$ kiegészítő szögek; legyen [OM félegyenes az AOB szög belsejében úgy, hogy $m(A O B \star)=2 \cdot m(B O C \star)$; [ON - a BOC szög szögfelezője és [OP félegyenes az [ON félegyenes ellentétes félegyenese. + +Tudva, hogy [OA az MOP szög szögfelezője, + +a) határozd meg $m(A O B \star)$ és $m(P O B \star)$; + +b) Mutasd ki, hogy az MON szög szögfelezője merőleges az AC egyenesre. + +Prof. Bud Adrian, Liceul Teoretic Negreşti Oaş + +## Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VI-a + +## Barem de corectare + +| Nr. probl. | Rezolvare | Pct. | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.a) | În ecuatiaa $2 m+3 p+4 t=56$, unde $m, p$, $t$ numere prime | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2 m, 4 t$ și 56 se divid cu $2 \Rightarrow 3 p$ trebuie să se dividă cu 2 , dar $p$ este prim $\Rightarrow p=2$ | | +| | Înlocuim $p$ și obținem: $2 m+4 t=50$
Împărțind ecuația cu 2 avem: $m+2 t=25$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $m=3 \Rightarrow 3+2 t=25 \Rightarrow t=11$
$m=5 \Rightarrow t=10$ nu este prim
$m=7 \Rightarrow t=9$ nu este prim
$m=11 \Rightarrow t=7$
$m=13 \Rightarrow t=6$ nu este prim
$m=17 \Rightarrow t=4$ nu este prim
$m=19 \Rightarrow t=3$
$m=23 \Rightarrow t=1$ nu este prim
$m=29 \geq 25$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Rezultatele sunt: $m=3, \quad p=2, t=11$
$m=11, p=2, t=7$
$m=19, p=2, t=3$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1.b) | $\mathrm{n}: 2010$
Calculul sumei $\mathrm{n}=1005 \cdot \mathbf{2 0 1 1}=\mathbf{2 0 2 1 0 5 5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Aflarea restului 1005 | $1 \mathrm{p}$ | +| 2.a) | Obs. că $\mathrm{a} \neq 0$. Relația din enunț devine:
$100+\overline{\mathrm{ab}}+10 \cdot \overline{\mathrm{ab}}+\mathbf{2}=(\overline{\mathrm{ab}})^{2}$ de unde, | $1 \mathrm{p}$ | +| | $11 \cdot \overline{a b}+102=(a b)^{2}$
$(\overline{a h})^{2}-11 \cdot \overline{a h}=102$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $a b(\overline{a b}-11)=102$ | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_757faf1d8cdd2b34118eg-3.jpg?height=254&width=283&top_left_y=141&top_left_x=224) + +| | Asadar, soluția problemei sunt:
$\qquad \overline{\mathrm{ab}}=17, \overline{\mathrm{ab}}=11=6$
De unde, $\overline{\mathrm{ab}}=17$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2b) | $\overline{a b b a}=1001 \mathrm{a}+110 \mathrm{~b}$
$1001=3 \cdot 7 \cdot 11$
$110=2 \cdot 5 \cdot 11$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\begin{aligned} a) \(7 / 1001\) deci \(7 / 1001 \mathrm{a} \quad \forall \mathrm{a} \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) şi \\ \(7 /\) divide \(\overline{a b b a}\) daca \(7 / 110 \mathrm{~b}\). Cum 7 nu divide pe 110 trebuie să dividă \\ pe \(\mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{b} \in\{0,7\} \\ \) Deci, 18 numere. \end{aligned}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | b) $11 / 1001$ deci $11 / 1001 \mathrm{a}, \quad \forall \mathrm{a} \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$11 / 110$ deci $11 / 110 \mathrm{~b}$
$\forall \mathrm{b} \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Deci, 90 de numere. | $1 \mathrm{p}$ | +| 3. a) | Se notează $\mathrm{x}=\mathrm{m}(\Varangle A O P)$
$[O A$ este bisectoare $\Rightarrow \mathrm{m}(a \mathrm{MOA})=x \quad \Rightarrow \mathrm{m}(\pi \mathrm{MUB})=2 \mathrm{x}$ | $1 p$ | +| | $\mathrm{m}(\Varangle A \cup P)$ şi $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{N} \cup U)$ opuse la vârf $\Rightarrow \mathrm{m}(\mathbb{N} \cup U)=x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $[O N-$ bisectoare $\Rightarrow \mathrm{m}(x \mathrm{BON})=x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_757faf1d8cdd2b34118eg-3.jpg?height=128&width=1366&top_left_y=1777&top_left_x=412) | $1 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_757faf1d8cdd2b34118eg-3.jpg?height=128&width=1366&top_left_y=1932&top_left_x=412) | $1 \mathrm{p}$ | +| 3b) | Din $[O R-$ bisectoarea $\# M O N \Rightarrow \operatorname{minMOR})=\frac{\operatorname{moN}(* \mathrm{MON}]}{2}$
$\Rightarrow \operatorname{m}(\pi \mathrm{MOR})=\frac{3 x}{2}=54^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\Rightarrow m(A A O R)=m(\$ A O M)+m(\$ M O R)=90^{\circ} \Rightarrow O R \perp A C$ | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1251-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1251-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..962b22fafe94b5ec326124c13917bb7c10a6294e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1251-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,109 @@ +# Olimpiada de matemartică + +etapa locală + +16.02.2013 + +## Clasa a V-a + +1. Adottak a következő számok: + +$a=503 \cdot\left[2013^{0} \cdot\left(4+4 \cdot 5^{2}\right)-(1212: 12-1)\right]+1$ + +$b=2015 \cdot 1009+2015 \cdot 1004-2013 \cdot 2$ + +c) Számítsd ki az $a$ şi $b$ számokat. + +d) Ellenőrízd az $a^{2}=b$ egyenlőséget . + +(2p) + +Prof. Danci Natalia, Şcoala Gimnazială Doba + +2. a) Számítsd ki: $1+2+3+4+\ldots+2010+2011$. + +## (4p) + +b) Több, különböző természetes szám összege 2023067. Mutasd ki, hogy ezek közül legalább az egyik szám nagyobb, mint 2011. + +(3p) + +3. Az apa életkora és két ikerfiának életkorainak összege 40 év. 16 év múlva az apa életkora egyenlő lesz az ikrek életkorának összegével. Hány évesek most az apa és a gyermekei különkülön? + +(7p) + +GM. 2011 + +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a V-a + +Barem de corectare + +1 . +a) + +$a=503 \cdot[1 \cdot(4+100)-(101-1)]+1$ + +$a=503 \cdot[104-100]+1$ + +$a=503 \cdot 4+1 \quad 3 p$ + +$a=2012+1$ + +$a=2013$ + +$b=2015 \cdot(1009+1004)-2013 \cdot 2=2015 \cdot 2013-2013 \cdot 2=2013 \cdot 2013=4052169 \quad 2 \mathrm{p}$ +b) + +$2013^{2}=2013 \cdot 2013$ + +$$ +2013^{2}=2013^{2} \quad 2 p +$$ + +2. + +a) + +$S=2011 \cdot(2012: 2)=2023066$ + +$4 \mathrm{p}$ +b) + +$1+2+3+\ldots .+2011=2023066$ + +## $1 \mathrm{p}$ + +rezultă $2023066<2023067, \quad 1 p$ + +rezultă unul din numere poate să fie mai mare decât 2011 . 1p + +3. + +$\mathrm{t}$ - vârsta tatălui + +$\mathrm{g}$ - vârsta unuia dintre gemeni + +rezultă $\mathrm{t}+2 \mathrm{~g}=40 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{t}+16=2 \mathrm{~g}+32 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{t}=2 \mathrm{~g}+32-16$ + +$\mathrm{t}=2 \mathrm{~g}+16 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$2 g+16+2 g=40$ + +$4 g=40-16 \quad 0,5 p$ + +$4 g=24 \quad g=6 \quad 0,5 p$ + +$\mathrm{t}=28 \quad 0,5 \mathrm{P}$ + +Răspuns: Vârsta tatălui 28 ani, vârsta unui copil 6 ani. 0,5p + +(Se acceptă oricare altă metodă corectă de rezolvare) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1252-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1252-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..278c8cde916b3ef2582ee6058eacd40ef036c53c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1252-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.md" @@ -0,0 +1,91 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Legyenek $a z a, b \in \mathbf{R}, a Clasa a IX-a
Barem de corectare + +1. a. Demonstrarea proprietăţii - 2p. b. Găsirea relației de recurență şi a primilor trei termeni ai şirurilor $-1 p$. + +$x_{4}=\frac{2}{3}, y_{4}=\frac{1}{3}, x_{5}=\frac{8}{9}, y_{5}=\frac{4}{9}, x_{6}=\frac{23}{27}, y_{6}=\frac{16}{27}-2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7cf275a52ec5bfb45211g-2.jpg?height=97&width=705&top_left_y=1131&top_left_x=367) + +Demonstrarea prin inducție $-\mathbf{1 p}$. + +2. a) $a_{2}=\frac{1}{2 \cdot 3}$ şi $a_{8}=\frac{1}{3 \cdot 4}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +$P(n): \quad a_{n}=\frac{1}{n \cdot(n+1)}$ + +## $1 p$ + +Demonstrația prin inductie + +$2 p$ + +$$ +=\sum_{1}^{n} \frac{2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}} \times 1 +$$ + +3. A,I,G coliniare dacă şi numai dacă $\exists \infty \in \mathbb{R}, \overrightarrow{\mathbb{R}}=\infty \overrightarrow{\mathrm{AI}} \quad \mathbf{1 p}$ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{b}{b+c} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{c}{b+c} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ + +$\overrightarrow{A L}=\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{A C} \quad, A I \cap B C=\left\{\frac{1}{1}\right\}$ + +1p + +Notăm $\mathrm{AQ}=\mathrm{x}, \overrightarrow{A G}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \quad \mathbf{1 p}$ + +$\overrightarrow{A G}=\kappa \overrightarrow{A I}$ devine $\quad \frac{1}{2}\left(\frac{x}{c} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\right)=\frac{\kappa b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{\propto c}{a+b+c} \overrightarrow{A C}$ + +$\frac{\mathrm{x}}{2 \mathrm{c}}=\frac{\alpha b}{a+b+c} \quad$ si $\frac{1}{2}=\frac{\propto c}{a+b+c}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +Deci raportul lor va fi $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{c}}=\frac{b}{c}$ adică $\mathrm{x}=\mathrm{b}, \mathrm{AQ}=\mathrm{AC}$. + +4. Fixarea reperului $\overrightarrow{A D}-\vec{a}, \overrightarrow{A B}-\vec{v}-1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{C N}{\mathrm{ND}}=k_{1}, \frac{A M}{M D}=k_{2} ; \text { punctele } \mathrm{G}, \mathrm{M} \text { si } N \text { sunt coliniare dacă şi numai dacă } \\ +& \overrightarrow{A M}=\propto \overrightarrow{A G}+(1-\infty) \overrightarrow{A N}-1 \mathrm{p} \\ +& \overrightarrow{A M}=\frac{k_{2}}{1-k_{2}}-1 \mathrm{p} ; \overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{v}}-1 \mathrm{p} ; \overrightarrow{A N}=\frac{\overrightarrow{A C}-k_{1} \overrightarrow{A D}}{1-k_{1}}=\vec{u}+\frac{1}{1-k_{1}} \vec{v}-1 \mathrm{p} \\ +& k_{1}-k_{2}=\frac{1}{2}-2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1253-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1253-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8fb1739b2fb6c35a35e7799b404237d90026711e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1253-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,102 @@ +# Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a XII-a + +I) Fie mulțimea $M=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 7 b & a\end{array}\right) a, b \in Z\right\}$ + +a) Demonstrați ca $(M, \cdot)$ este monoid. + +b)Fie $A \in M$ si $X \in M_{2}(Z)$. Arătați că dacă $A X=X A$, atunci $X \in M$ sau există $\alpha \in Z$ astfel încât $A=\alpha \cdot I_{2}$. + +c) Demonstrați că M are o infinitate de elemente inversabile. + +G.M. 10/2012 + +II) Fie ( $G$, ) un grup cu e elementul neutru şi $x, y \in G$, astfel încât $x^{2}=y^{2}=(x y)^{2}$. + +Arătați că: +a) $y^{4}=e$ +b) $x^{2013} \cdot y^{2013}=x y$ +c) $(x y)^{2012}=e$. + +Prof. Traian Tămîian + +III) a) Verificaţi identitatea : $\left(\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)^{\prime}=-\frac{\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}}, \forall x \in(1, \infty)$. + +b) Calculați $\int \frac{x^{2}-x-\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}} \cdot e^{x} d x, \quad x \in(1, \infty)$. + +Prof.Adrian Bud + +IV) Fie $a>0$ si functia $f:[0, a] \rightarrow R$, de doua ori derivabila pe $[0, a]$, cu derivate a doua continuă pe $[0, a]$ si $f(a)=f^{\prime}(a)=0$. Să se arate că pentru orice $k \in\{1,2\}$ au loc relațiile + +a) $\int_{0}^{a} f(x) d x=\frac{(-1)^{k}}{k!} \cdot \int_{0}^{a} x^{k} f^{(k)}(x) d x$, + +b) $\left(\int_{0}^{a} f(x) d x\right)^{2} \leq \frac{a^{2 k+1}}{(2 k+1)(k!)^{2}} \cdot \int_{0}^{a}\left(f^{(k)}(x)\right)^{2} d x$. + +Prof. Gigel Buth şi matematician Gelu Râmbu + +## Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013
Clasa a XII-a
Barem de corectare + +I. + +a) Demonstreaza ca este monoid + +3 puncte + +b) + +.3 puncte + +c) Exemplu 1 punct + +II. + +a) Din $x^{2}=(x y)^{2} \Rightarrow x x=x y x y \Rightarrow x=y x y$ + +Din $y^{2}=(x y)^{2} \Rightarrow y y=x y x y \Rightarrow y=x y x$ + +Din (1) §̧i (2) $\Rightarrow x y=y x y x y x \Rightarrow x y=y(x y)^{2} x \Rightarrow x y=y y^{2} x \Rightarrow x y=y^{3} x \quad$ şi folosind (1) + +$\Rightarrow x y=y^{3}(y x y) \Rightarrow x y=y^{4} x y \Rightarrow x=y^{4} x \Rightarrow e=y^{4}$ + +.3 puncte + +$\Rightarrow y^{2013}=\left(y^{4}\right)^{503} \cdot y=e \cdot y=y$ + +.1 punct + +Din (1) §̧i (2) $\Rightarrow y x=x y x y x y \Rightarrow y x=(x y)^{2} x y \Rightarrow y x=x^{2} x y \Rightarrow y x=x^{3} y$ şi folosind (1) + +$\Rightarrow y x=x^{3}(x y x) \Rightarrow y x=x^{4} y x \Rightarrow y=x^{4} y \Rightarrow e=x^{4}$ + +.1 punct + +$\Rightarrow x^{2013}=\left(x^{4}\right)^{503} \cdot x=e \cdot x=x$ + +b) $\operatorname{Din}$ (3) şi (4) $\Rightarrow x^{2013} y^{2013}=x y$. + +1 punct + +c) Folosind ipoteza avem: $(x y)^{2012}=\left[(x y)^{2}\right]^{1006}=\left(x^{2}\right)^{1006}=\left(x^{4}\right)^{503}=e^{503}=e$ 1 punct + +III. + +a) Verificare $\quad$........................ 3 puncte + +b) Descompune integrala in $I=\int \frac{(x+\sqrt{x})(x-\sqrt{x})}{(x-\sqrt{x})^{2}} e^{x} d x-\int \frac{\sqrt{x}}{(x-\sqrt{x})^{2}} e^{x} d x$ 1punct Integreaza prin parti 1punct + +Finalizare 2 puncte + +IV. +a) Calculeaza integrand prin parti pentru $k \in\{1,2\}$ +4 puncte +b) Aplica inegalitatea Cauchy-Schwarz, forma integrala +3 puncte[^0] + + +[^0]: Str. 1 Decembrie $1918 \mathrm{nr} .6$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1254-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1254-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a92b360e958549e13e35fa1efc670bb6e4510ebb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1254-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,115 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a XI-a + +1. a) Fie $A \in M_{2}(C)$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A$, pentru orice $x \in C$. + +3puncte + +b) Dacă $A \in M_{2}(C)$ cu $\operatorname{Tr} A=2$ şi $\operatorname{det} A=3$ demonstraţi că: + +$$ +2 \cdot \operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)-\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=4 +$$ + +prof. Traian Tămüian, Carei + +2. Dacă $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in \boldsymbol{M}_{2}(\boldsymbol{C})$ astfel încât $\operatorname{det}(\mathrm{AB}+\mathrm{BA})-\operatorname{det}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=4 \cdot \operatorname{det} \mathrm{A} \cdot \operatorname{detB}$, să se arate că: +a.) $\operatorname{det}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=0$ +b.) $(A B-B A)^{2}=O_{2}$ + +4 puncte + +3 puncte + +prof. Ovidiu Pop, Satu Mare + +3. Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ unde $a_{1}=1$ și $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{c}\frac{a_{n}}{n}+2 \text {, daca } \text { este par } \\ a_{n}+\frac{2}{n}, \text { daca } n \text { este impar }\end{array}\right.$. + +$$ +\text { Arătați că } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1 +$$ + +7 puncte + +$R M T$ + +4. Se consideră şirul de numere naturale $\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \geq 1}$, unde $\mathrm{a}_{1}=2$ şi $\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\frac{2 n+3-n!a_{n}}{(n+1)!}, n \geq 1$. +a.) Arătați că şirul este convergent. +4 puncte +b.) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \left[(n-1) \cdot a_{n}\right]$ +3 puncte + +prof. Bud Adrian, Negreşti-OaŞ + +## Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013
Clasa a XI-a
Barem de corectare + +1.) a.) se arată prin calcul direct că: $\operatorname{det}\left(A-\mathrm{xI}_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A$. + +.3 puncte + +b.) Din teorema Hamilton-Cayley rezultă $\mathrm{A}^{2}-2 \mathrm{~A}+3 \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2}$, de unde $\mathrm{A}^{2}+3 \mathrm{I}_{2}=2 \mathrm{~A}$ (1)...1 punct se arată că $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+3 \mathrm{I}_{2}\right)=\operatorname{det}(2 \mathrm{~A})=2^{2} \operatorname{det} \mathrm{A}=12$ 1 punct $\operatorname{din} \mathrm{A}^{2}+\mathrm{I}_{2}=2\left(\mathrm{~A}-\mathrm{I}_{2}\right)$, se obține $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{I}_{2}\right)=2^{2} \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=2^{2} \cdot 2=8$ 1 punct + +Din (2) şi (3) obținem: $2 \cdot \operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)-\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=2 \cdot 8-12=4$. 1 punct + +2.) a.) se folosesc relațiile: + +(1) $\operatorname{det}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})+\operatorname{det}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})=2 \cdot(\operatorname{det} \mathrm{X}+\operatorname{det} \mathrm{Y})$ + +(2) $\operatorname{det}(\mathrm{X} \cdot \mathrm{Y})=\operatorname{det}(\mathrm{Y} \cdot \mathrm{X})=\operatorname{det} \mathrm{X} \cdot \operatorname{det} \mathrm{Y} \quad$ pentru scrierea lor.... 2 puncte punând în relatia (1) $\mathrm{X}=\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{Y}=\mathrm{BA}$ şi folosind (2) se obtine (3) $\operatorname{det}(\mathrm{AB}+\mathrm{BA})+\operatorname{det}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=4 \operatorname{det} \mathrm{A}^{\cdot} \operatorname{det} \mathrm{B}$. 1 punct + +Din (3) si identitatea din enunt se obtine cerința punctului a) 1punct + +b.) se folosește relația $\mathrm{X}^{2}-(\operatorname{Tr} X)^{\cdot} \mathrm{X}+(\operatorname{det} X)^{\prime} \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2}$, oricare ar fi $\mathrm{X}, \mathrm{Y}=\mathrm{M}_{2}$ 1 punct în care se pune $\mathrm{X}=\mathrm{AB}-\mathrm{BA}$ si avem + +$$ +(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})^{2}-(\operatorname{Tr}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}))(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})+\operatorname{det}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA}) \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2} +$$ + +dar $\operatorname{Tr}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=0$ si tinand seama rezultatul de la a), din (3) rezulta b). ..... 2 puncte + +3.) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ed57f98016eb6b2986cg-2.jpg?height=113&width=1508&top_left_y=1611&top_left_x=242) + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{a}_{2 k+2}=\mathrm{a}_{2 k+1}+\frac{2}{2 \mathrm{k}+1}=\frac{\mathrm{a}_{2 k}}{2 \mathrm{k}}+2+\frac{2}{2 k+1} \\ +& 1 \text { punct } \\ +& \mathrm{a}_{2}=3, \mathrm{a}_{3}=\overline{\mathbf{7}}, \mathrm{a}_{4}=\frac{23}{6} +\end{aligned} +$$ + +se arată prin inducție că $\mathrm{a}_{2 \mathrm{k}} \in\{0,5)$ + +2 puncte + +$$ +\text { cum } \mathrm{a}_{2 \mathrm{k}+1}=\frac{\mathrm{a}_{2 k}}{2 \mathrm{k}}+2 \text {, rezulta c } \triangle \text { 目 EMBED Equation, } 3 \text { 国国 } +$$ + +1 + +punct + +de unde + +E EMBED Equatton. 3 园 $\frac{a_{n}+1}{a_{n}}=1$ + +punct +4.) a.) se arată prin inducție că $a_{n}=\frac{n+1}{n!}$ 2 puncte +demonstrarea că şirul este descrescător. 1 punct +$\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ strict pozitiv, deci mărginit inferior, +Prin urmare șirul este convergent +1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ed57f98016eb6b2986cg-3.jpg?height=254&width=280&top_left_y=141&top_left_x=223) + +b.) Înlocuim $a_{n} c u \frac{n+1}{n!}$. Limita devine: + +$\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \left[(n-1)!a_{n}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \frac{n+1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\ln e=1 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots . \quad 3$ puncte + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1255-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1255-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3bbcb6d2a6639ed9b840891c66bb387052a47d66 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1255-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,70 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a X-a + +I. a. Arătați că $\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a} \geq 6, \quad \forall a, b, c \in(0, \infty)$ + +b. Rezolvați inecuația $18^{x}+12^{x}+9^{x}+3^{x}+4^{x}+2^{x} \leq 6 \cdot 6^{x}$ + +Prof. Galambosi Csaba, Satu Mare + +II. a. Fie $f: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R}$ o funcție cu proprietatea $f(f(x))+2012 \cdot f(x)=x^{2013}, \quad \forall x \in \Re$. + +Demonstrați că $f$ este injectivă. + +b. Există funcții $f:(1 ; \infty) \rightarrow \Re$, injective, astfel încât $f(x)+f\left(2^{x}\right)+f\left(\log _{2} x\right)=2013$, pentru orice $x \in(1 ; \infty)$ ? + +Prof. Tămîian Traian, Carei + +III. Fie numerele complexe distincte $a, b, c, d$ cu $a+b+c+d=0$ şi $|a|=|b|=|c|=|d|$. Să se arate că: a). $(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)=0$ + +b). Dacă $\{\alpha, \beta, \gamma, \delta\}=\{a, b, c, d\}$ si $\alpha+\beta=0$ să se arate că $a, b, c, d$ sunt rădăcinile ecuației $z^{4}+(\alpha \beta+\gamma \delta) \cdot z^{2}+\alpha \beta \gamma \delta=0$ + +Prof. Pop Ovidiu, Satu Mare + +IV. Fie patrulaterul $A B C D$ inscriptibil cu laturile de lungimi $a, b, c, d$ şi diagonalele de lungimi $d_{1}$ §i $d_{2}$. Să se demonstreze că $\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c d}+\frac{1}{d a} \geq 4\left(\frac{1}{d_{1}^{2}}+\frac{1}{d_{2}^{2}}\right)$. + +Prof. Buth Gigel, Satu Mare + +Matematician. Râmbu Gelu, Baia Mare + +## Olimpiada de matematică + +## etapa locală, 16.02.2013
Clasa a X-a
Barem de corectare + +I. a. (3 puncte) + +Aplicăm inegalitatea $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2, \forall x, y>0$. + +## b. (4 puncte) + +Folosim inegalitatea de la punctul a. pentru $a=3^{x}, b=2^{x}, c=1$. + +II. a. (3 puncte) + +Luăm $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ rezultă $f\left(f\left(x_{1}\right)\right)=f\left(f\left(x_{2}\right)\right)$, exploatând acest lucru rezultă $x_{1}=x_{2}$. Deci $f$ este injectivă. + +b. (4 puncte) + +Presupunem că există o astfel de funcție, apoi dând lui $x$ valorile 2 şi 4 , obținem contradicția cu injectivitatea. Deci nu există funcții cu proprietatea cerută. + +III. a. (4 puncte) + +Notăm $|a|=r$ şi avem $a \cdot \bar{a}=r^{2}$ şi analoagele. Ţinând seama de ipoteză şi de acest lucru obținem $(a+c)(a+b)(b+c)=0$, am folosit că $d=-a-b-c, a+b=-(c+d)$, $a+c=-(b+d), b+c=-(a+d)$ şi obține concluzia problemei. + +b. (3 puncte) + +Ecuația este echivalentă cu $\left(z^{2}+\alpha \beta\right)\left(z^{2}+\gamma \delta\right)=0$. Presupunem că $\alpha=a, \beta=b$, deci $a+b=0$, din $a+b+c+d=0$ rezultă $c+d=0$. Deci cele două ecuații vor avea soluțiile $a$ şi $b$ respectiv $c$ şi $d$. + +## IV. (4 puncte) + +Aplicăm teorema lui Pitagora generalizată în triunghiurile $\triangle A B C$ şi $\triangle A D C$ exprimând $\cos B$ şi $\cos D$, apoi însumândule cu notațiile adecvate obținem $\frac{1}{a d}+\frac{1}{b c} \geq \frac{4}{d_{1}^{2}}$. Am ținut cont că patrulaterul este inscriptibil şi că $\cos B=-\cos D$. + +## (3 puncte) + +Analog obținem $\frac{1}{a b}+\frac{1}{c d} \geq \frac{4}{d_{2}^{2}}$, apoi însumând inegalitățile se obține concluzia problemei. + +Egalitate se obține atunci când patrulaterul este pătrat. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1256-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1256-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6281c2f438891b37274b9179236634e7d6218612 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1256-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,123 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a VIII-a + +1.a) Fie $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$ numere reale astfel încât $9 x^{2}+25 y^{2}-6 x \sqrt{3}-10 y \sqrt{5}+8=0$. + +Arătați că: $x^{2}-y^{2}=2 x^{2} y^{2}$. + +prof. Gheorghe Moldovan, Medieşu Aurit + +b) Dacă $x, y, z, t \in R$, să se arate că $x y\left(z^{2}-t^{2}\right)^{2} \geq\left(x z^{2}-y t^{2}\right)\left(y z^{2}-x t^{2}\right)$. + +prof. Ovidiu Pop, C.N. 'M.Eminescu" + +2 .a) Arătați că: $\quad x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}} \in N$ + +prof. Monica Amic, Acâş + +b) i)Arătați că produsul succesorilor a două pătrate perfecte se poate scrie ca suma a două pătrate perfecte. + +ii) Folosind eventual i) arătați că $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right) \geq 2(a b-1)(a+b)$, oricare ar fi a şi b numere naturale nenule. + +prof. Bud Adrian, Negreşti-Oaş + +3. Pe planul pătratului $\mathrm{ABCD}, \mathrm{cu} \mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$ se ridică perpendicularele $\mathrm{MD}$ şi $\mathrm{NC}$ situate în acelaşi semiplan astfel încât $\mathrm{MD}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{NC}=9 \mathrm{~cm}$. + +a) Demonstrați cǎ punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{N}$ şi $\mathrm{M}$ sunt necoplanare; + +b) Determinați distanța de la punctul $\mathrm{M}$ la $\mathrm{AC}$; + +c) Dacă O este punctul de intersecție a diagonalelor pătratului $\mathrm{ABCD}$, demonstrați că $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MO}$ şi aflați aria triunghiului OMN. + +prof. Adriana Boroş, Livada + +4. Fie $\mathrm{SABCD}$ o piramidă patrulateră regulată. AM este perpendiculară pe $\mathrm{SB}, \mathrm{M} \in \mathrm{SB}, \mathrm{BN}$ este perpendiculară pe $\mathrm{SC}, \mathrm{N} \in \mathrm{SC}, \mathrm{CP}$ este perpendiculară pe $\mathrm{SD}, \mathrm{P} \in \mathrm{SD}, \mathrm{DQ}$ este perpendiculară pe $\mathrm{SA}, \mathrm{Q}$ $\in \mathrm{SA}$ şi $\mathrm{R}$ este simetricul lui $\mathrm{N}$ faţă de $\mathrm{AC}$. + +a) Demonstrați că punctele B, R, Q, D sunt coplanare + +b) Aflați măsura unghiului dintre dreptele MP şi RQ. + +Gazeta Matematică $n r .11 / 2012$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed4afe987efd912fbf6cg-2.jpg?height=254&width=283&top_left_y=141&top_left_x=224) + +## Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed4afe987efd912fbf6cg-2.jpg?height=325&width=1466&top_left_y=956&top_left_x=169) +Finalizare ..... $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed4afe987efd912fbf6cg-2.jpg?height=65&width=1602&top_left_y=1304&top_left_x=176) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Echivalent cu } z^{2} t^{2}\left(x-y x^{3} z 0\right. \\ +& 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +2. a) $x-\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$ + +- după raționalizarea numitorilor obținem + +$$ +\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+\cdots+\frac{\sqrt{2024}-\sqrt{2025}}{2024-2025}= +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& =-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\cdots-\sqrt{2024}+\sqrt{2025}= \\ +& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ +& =-1+45=44 \in \mathbb{N} \quad(\sqrt{2025}=45) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +$1 p$ +b) i) $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)=a^{2} b^{2}+a^{2}+b^{2}+1$ ..... $1 p$ +$=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2}$ ..... $1 p$ +ii) $\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2} \geq 2 \sqrt{(a b-1)^{2}(a+b)^{2}}$ ..... 1 p +$=2(a b-1)(a+b)$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +3. a) Presupunem prin absurd că $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{B}$ sunt coplanare. Obținem că $\mathrm{MN} \| \mathrm{AB}$, contradicție.......................................... $2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed4afe987efd912fbf6cg-3.jpg?height=257&width=283&top_left_y=140&top_left_x=224) +b) Folosind teorema celor trei perpendiculare, se obține d $(\mathrm{M}, \mathrm{AC})=\mathrm{MO}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MDO obținem $\mathrm{MO}=3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +c)Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\mathrm{NCO}$ obținem $\mathrm{NO}=3 \sqrt{11} \mathrm{~cm}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +In trapezul dreptunghic MNCD se obține $\mathrm{MN}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed4afe987efd912fbf6cg-3.jpg?height=341&width=358&top_left_y=966&top_left_x=381) + +Conform reciprocii teoremei lui Pitagora triunghiul MON este dreptunghic deci $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MO}$. Daca triunghiul MON este dreptunghic, atunci $\mathrm{A}_{\mathrm{MON}}=\frac{M N \cdot M O}{2}=\frac{9 \sqrt{30}}{2} \mathrm{~cm}^{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +4. a)SABCD - piramidă patrulateră regulată $\stackrel{\mathrm{E}}{\Rightarrow} \mathrm{AQ} \equiv \mathrm{NC}$ + +Fie $\mathrm{QE}$ perpendicular pe $\mathrm{AC}$, deci $\mathrm{AE} \equiv \mathrm{CF}, \mathrm{OE} \equiv \mathrm{OF}, \mathrm{EQ} \equiv \mathrm{NF}$, + +$\mathrm{NF}$ este perpendicular pe $\mathrm{AC}, \mathrm{QE} \| \mathrm{NF}$, $1 \mathrm{p}$ + +Deci EQFR este + +paralelogram + +$1 p$ + +$\operatorname{RQ} \cap \mathrm{EF}=\{\mathrm{O}\}, \mathrm{QR} \cap \mathrm{BD}=\{\mathrm{O}\}$ deci $\mathrm{B}, \mathrm{R}, \mathrm{Q}, \mathrm{D}$ sunt coplanare..................................................................... + +b)BM三 DP, SBD triunghi isoscel, deci PM $\| \mathrm{BD}$ $1 p$ + +Unghiului dintre dreptele MP şi RQ este congruent cu unghiului dintre dreptele BD şi RQ.....1p + +BD este perpendicular pe planul (ASC) şi OQ inclusă în planul (ASC), deci BD este perpendicular pe $\mathrm{OQ}$ + +$1 \mathrm{p}$ +Deci, măsura unghiului dintre dreptele MP şi RQ este $90^{\circ}$ ..... $1 p$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1257-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1257-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8eeeca5529299756a65066ada12784e2ae627f86 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1257-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,129 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013
Clasa a VII-a + +1) Un trapez $A B C D$ cu $m(\hat{A})=90^{\circ} ; A B \| C D$ şi $C DClasa a VII-a
Barem de corectare + +Problema 1. $\mathrm{CD}=x_{2} \mathrm{P}_{\mathrm{AECD}}=4 \mathrm{x}+6$ + +(1 punct) + +$\mathrm{x}=3$ + +(1 punct) + +$A_{A B C D}=18 \mathrm{sm}^{2}$ + +(1 punct) + +$A_{A B C}=\frac{B C \cdot h_{1}}{2}=\frac{A B \cdot h_{2}}{2}=12$ + +(1 punct) + +$d(A, B C)=\frac{24}{5}$ + +(1 punct) + +$S$ centru de greutate in triunghiul $P A B$. + +(1 punt) + +$\frac{A_{\mathrm{ASM}}}{\mathrm{A}_{\mathrm{ASP}}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}$ + +(1 punct) + +Problema 2. $a+1=2^{2014}$ + +(3 puncte) + +$\sqrt{a+2 \sqrt{a+1}+2}=2^{1007}+1$ + +(2 puncte) + +Restul împărțirii lui $a$ la 14 este 1. + +(1 punct) + +$k=148+13,8 \in \mathbb{N}$ + +(1 punct) + +## Problema 3. + +După 6 zile călătorul ajunge în $M_{2}$. + +După 30 de zile călătorul ajunge în $M_{4}$. + +După $2^{n+1}-2$ zile călătorul ajunge în $M_{n}$. + +(2 puncte) + +După 98 de zile călătorul ajunge la $1 \mathrm{~km}$ de punctul $C$. + +(1 punct) + +Dacă $A B=d$, în $k$ zile călătorul va parcurge distanța + +$A S_{k}=\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) d=\frac{k}{2 k k+2)} d \quad A S_{k} \geq A C \Rightarrow \frac{k}{2(k+2)} \geq \frac{1}{2}$ + +relație imposibilă. + +(1 punct) + +Problema 4. $\frac{\mathrm{CN}}{A \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{NY}}{Y A}=\frac{\mathrm{MX}}{X A}=\frac{\mathrm{BM}}{\triangle \mathrm{B}}$ + +(3 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& A \mathrm{~N}=A \mathrm{M} \\ +& m(B A C)=120^{\circ} +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1258-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1258-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c24509b4b8d2093d6d7a3aa1ca4b4620212573d2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1258-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,74 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VI-a + +1. a) Rezolvati in mulțimea numerelor prime următoarea ecuaţie: $2 m+3 p+4 t=56$. + +prof. Tempfli Gabriella, Şcoala Gimnazială "Bălcescu-Petofi", Satu Mare + +b) Fie $n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2010$ şi $m=1+2+3+\cdots+2010$. Aflați restul împărțirii lui $n+m$ la 2010 . + +Gazeta Matematică, seria B, supliment cu exercitiii, februarie 2012 + +2. a) Determinați numerele naturale de forma $\overline{a b}$ pentru care are loc egalitatea: + +$$ +\overline{1 a b}+\overline{a b 2}=(\overline{a b})^{2} +$$ + +Prof. Csáki Francisc, Şcoala Gimnazială "Petöfi Sandor" Livada + +b)_Determinați cifra $\mathrm{b}$ astfel încât numărul natural $\overline{a b b a}$, scris în baza 10 este divizibil: + +i) cu 7 oricare ar fi a. Câte numere de acest fel există? + +ii) cu 11 oricare ar fi a. Câte numere de acest fel există? + +Prof. Pal Rita, Şcoala Gimnazială Constantin Brâncoveanu Satu Mare + +3. Se consideră unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$ suplementare; $[O M \subset$ Int $\Varangle A O B$ astfel încât $m(\Varangle A O B)=2 \cdot m(\Varangle B O C) ;[O N-$ bisectoarea unghiului $\Varangle B O C$ şi [OP semidreapta opusă lui $[O N$. Ştiind că $[O A$ este bisectoarea unghiului $\Varangle M O P$, + +a) aflați $m(\star A O B)$ şi $m(\star P O B)$; + +b) arătați că bisectoarea $\$ M O N$ este perpendiculară pe $A C$. + +Prof. Bud Adrian, Liceul Teoretic Negreşti Oaş + +## Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a VI-a + +## Barem de corectare + +| Nr. probl. | Rezolvare | Pct. | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.a) | În ecuatiaa $2 m+3 p+4 t=56$, unde $m, p$, $t$ numere prime | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2 m, 4 t$ și 56 se divid cu $2 \Rightarrow 3 p$ trebuie să se dividă cu 2 , dar $p$ este prim $\Rightarrow p=2$ | | +| | Înlocuim $p$ și obținem: $2 m+4 t=50$
Împărțind ecuația cu 2 avem: $m+2 t=25$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $m=3 \Rightarrow 3+2 t=25 \Rightarrow t=11$
$m=5 \Rightarrow t=10$ nu este prim
$m=7 \Rightarrow t=9$ nu este prim
$m=11 \Rightarrow t=7$
$m=13 \Rightarrow t=6$ nu este prim
$m=17 \Rightarrow t=4$ nu este prim
$m=19 \Rightarrow t=3$
$m=23 \Rightarrow t=1$ nu este prim
$m=29 \geq 25$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Rezultatele sunt: $m=3, \quad p=2, t=11$
$m=11, p=2, t=7$
$m=19, p=2, t=3$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1.b) | $\mathrm{n}: 2010$
Calculul sumei $\mathrm{n}=1005 \cdot \mathbf{2 0 1 1}=\mathbf{2 0 2 1 0 5 5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Aflarea restului 1005 | $1 \mathrm{p}$ | +| 2.a) | Obs. că $\mathrm{a} \neq 0$. Relația din enunț devine:
$100+\overline{\mathrm{ab}}+10 \cdot \overline{\mathrm{ab}}+\mathbf{2}=(\overline{\mathrm{ab}})^{2}$ de unde, | $1 \mathrm{p}$ | +| | $11 \cdot \overline{a b}+102=(a b)^{2}$
$(\overline{a h})^{2}-11 \cdot \overline{a h}=102$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $a b(\overline{a b}-11)=102$ | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bd7f2c5a373e3465c7ag-3.jpg?height=254&width=283&top_left_y=141&top_left_x=224) + +| | Asadar, soluția problemei sunt:
$\qquad \overline{\mathrm{ab}}=17, \overline{\mathrm{ab}}=11=6$
De unde, $\overline{\mathrm{ab}}=17$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2b) | $\overline{a b b a}=1001 \mathrm{a}+110 \mathrm{~b}$
$1001=3 \cdot 7 \cdot 11$
$110=2 \cdot 5 \cdot 11$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\begin{aligned} a) \(7 / 1001\) deci \(7 / 1001 \mathrm{a} \quad \forall \mathrm{a} \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) şi \\ \(7 /\) divide \(\overline{a b b a}\) daca \(7 / 110 \mathrm{~b}\). Cum 7 nu divide pe 110 trebuie să dividă \\ pe \(\mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{b} \in\{0,7\} \\ \) Deci, 18 numere. \end{aligned}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | b) $11 / 1001$ deci $11 / 1001 \mathrm{a}, \quad \forall \mathrm{a} \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$11 / 110$ deci $11 / 110 \mathrm{~b}$
$\forall \mathrm{b} \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Deci, 90 de numere. | $1 \mathrm{p}$ | +| 3. a) | Se notează $\mathrm{x}=\mathrm{m}(\Varangle A O P)$
$[O A$ este bisectoare $\Rightarrow \mathrm{m}(a \mathrm{MOA})=x \quad \Rightarrow \mathrm{m}(\pi \mathrm{MUB})=2 \mathrm{x}$ | $1 p$ | +| | $\mathrm{m}(\Varangle A \cup P)$ şi $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{N} \cup U)$ opuse la vârf $\Rightarrow \mathrm{m}(\mathbb{N} \cup U)=x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $[O N-$ bisectoare $\Rightarrow \mathrm{m}(x \mathrm{BON})=x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bd7f2c5a373e3465c7ag-3.jpg?height=128&width=1366&top_left_y=1777&top_left_x=412) | $1 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bd7f2c5a373e3465c7ag-3.jpg?height=128&width=1366&top_left_y=1932&top_left_x=412) | $1 \mathrm{p}$ | +| 3b) | Din $[O R-$ bisectoarea $\# M O N \Rightarrow \operatorname{minMOR})=\frac{\operatorname{moN}(* \mathrm{MON}]}{2}$
$\Rightarrow \operatorname{m}(\pi \mathrm{MOR})=\frac{3 x}{2}=54^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\Rightarrow m(A A O R)=m(\$ A O M)+m(\$ M O R)=90^{\circ} \Rightarrow O R \perp A C$ | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1259-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1259-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c5d978cba6c16b6341d5814b9f565bb3794675c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1259-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,111 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală + +16.02.2013 + +## Clasa a V-a + +1. Fie numerele: + +$a=503 \cdot\left[2013^{0} \cdot\left(4+4 \cdot 5^{2}\right)-(1212: 12-1)\right]+1$ + +$b=2015 \cdot 1009+2015 \cdot 1004-2013 \cdot 2$ + +a) Calculați numerele $a$ şi $b$. + +(5p) + +b) Verificați egalitatea $a^{2}=b$. + +(2p) + +Prof. Danci Natalia, Şcoala Gimnazială Doba + +2. a) Să se calculeze: $1+2+3+4+\ldots+2010+2011$. + +(4p) + +b) Suma mai multor numere naturale distincte este egală cu 2023067. Să se arate că cel puțin unul dintre aceste numere este mai mare decât 2011. + +(3p) + +3. Suma dintre vârsta tatălui şi vârstele gemenilor săi este 40 de ani. Peste 16 ani vârsta tatălui va fi egalăcu suma vârstelor gemenilor. Câti i ani are fiecare în prezent? + +(7p) + +G.M. 2011 + +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +Clasa a V-a + +Barem de corectare + +1 . +a) + +$a=503 \cdot[1 \cdot(4+100)-(101-1)]+1$ + +$a=503 \cdot[104-100]+1$ + +$a=503 \cdot 4+1 \quad 3 p$ + +$a=2012+1$ + +$a=2013$ + +$b=2015 \cdot(1009+1004)-2013 \cdot 2=2015 \cdot 2013-2013 \cdot 2=2013 \cdot 2013=4052169 \quad 2 \mathrm{p}$ +b) + +$2013^{2}=2013 \cdot 2013$ + +$$ +2013^{2}=2013^{2} \quad 2 p +$$ + +2. + +a) + +$S=2011 \cdot(2012: 2)=2023066$ + +$4 \mathrm{p}$ +b) + +$1+2+3+\ldots .+2011=2023066$ + +## $1 \mathrm{p}$ + +rezultă $2023066<2023067, \quad 1 p$ + +rezultă unul din numere poate să fie mai mare decât 2011 . 1p + +3. + +$\mathrm{t}$ - vârsta tatălui + +$\mathrm{g}$ - vârsta unuia dintre gemeni + +rezultă $\mathrm{t}+2 \mathrm{~g}=40 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{t}+16=2 \mathrm{~g}+32 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{t}=2 \mathrm{~g}+32-16$ + +$\mathrm{t}=2 \mathrm{~g}+16 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$2 g+16+2 g=40$ + +$4 g=40-16 \quad 0,5 p$ + +$4 g=24 \quad g=6 \quad 0,5 p$ + +$\mathrm{t}=28 \quad 0,5 \mathrm{P}$ + +Răspuns: Vârsta tatălui 28 ani, vârsta unui copil 6 ani. 0,5p + +(Se acceptă oricare altă metodă corectă de rezolvare) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-126-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-126-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7780881eecc5f658f5ef84cf3cbd99e66fbb764a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-126-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,125 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03.2016
Clasa a VI - a + +PROBLEMA 1. În triunghiul $A B C$ se iau mijloacele $M, N$ şi $P$ ale laturilor $[A B],[B C]$, respectiv $[A C]$. Se consideră punctul $E \in(N P$ astfel încât $[N P] \equiv[P E]$ şi punctul $D \in(C M$ astfel încât $[C M] \equiv[M D]$. Să se arate că: +a) $A E=N C$; +b) $A D=2 \cdot A E$. + +PROBLEMA 2. Fie mulţimea $A=\left\{n \mid n=2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}\right.$, unde $\left.a, b, c \in \mathbb{N}\right\}$. + +a) Arătaţi că $81 \in A$; + +b) Determinaţi elementele din mulţimea $A$ care au exact 6 divizori. + +PROBLEMA 3. Se consideră unghiul ascuţit $\widehat{X O Y}$. În semiplanul determinat de $O X$ şi în care nu se află semidreapta $[O Y$, se duc semidreptele $[O A$ şi $[O B$, perpendiculare pe $[O X$ şi respectiv, pe $[O Y$. Se notează cu $[O C$ bisectoarea unghiului $\widehat{B O X}$. + +a) Dacă măsura unghiului $\widehat{A O C}$ este cu $16^{\circ}$ mai mare decât măsura unghiului $\widehat{X O Y}$, determinaţi $m(\widehat{X O Y})$; + +b) Arătaţi că dacă $[O B$ este bisectoarea $\widehat{A O C}$, atunci $[O X$ este bisectoarea $\widehat{C O Y}$. + +PROBLEMA 4. Spunem că un număr de forma $\overline{0, a b c d e}$ are proprietatea $(P)$, dacă cifrele $a, b, c, d, e$ aparţin mulţimii $\{4,6\}$. + +a) Arătaţi că soluţia ecuaţiei $x+0,46646=1,1111$ are proprietatea $(P)$; + +b) Determinaţi câte numere diferite de forma $\overline{0, a b c d e}$ au proprietatea $(P)$; + +c) Arătaţi că din oricare 17 numere diferite de forma $\overline{0, a b c d e}$ care au proprietatea $(P)$, se pot alege două a căror sumă să fie 1,1111 .[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a VI - a + +PROBLEMA 1. În triunghiul $A B C$ se iau mijloacele $M, N$ şi $P$ ale laturilor $[A B],[B C]$, respectiv $[A C]$. Se consideră punctul $E \in(N P$ astfel încât $[N P] \equiv[P E]$ şi punctul $D \in(C M$ astfel încât $[C M] \equiv[M D]$. Să se arate că: +a) $A E=N C$; +b) $A D=2 \cdot A E$. + +## Barem de corectare. + +(1p) a) Din congruenţa triunghiurilor $\triangle A P E \equiv \triangle C P N$, + +(2p) obţinem că $A E=N C$. + +(1p) b) Din congruenţa triunghiurilor $\triangle A M D \equiv \triangle B M C$, + +(1p) obţinem $A D=B C$. + +(1p) Din punctul $a$ ), avem $A E=\frac{B C}{2}$. + +(1p) Deci $A D=2 \cdot A E$. + +PROBLEMA 2. Fie mulţimea $A=\left\{n \mid n=2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}\right.$, unde $\left.a, b, c \in \mathbb{N}\right\}$. + +a) Arătaţi că $81 \in A$; + +b) Determinaţi elementele din mulţimea $A$ care au exact 6 divizori. + +## Barem de corectare. + +(4p) a) Din $81=2^{0} \cdot 3^{4} \cdot 5^{0}$, rezultă că $81 \in A$. + +$(1 p) b)$ Deoarece numărul divizorilor unui număr de forma $n=2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$ este $(a+1)(b+1)(c+1)$, + +(2p) avem următoarele cazuri: + +| $a$ | $b$ | $c$ | $n$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 0 | 0 | 5 | 3125 | +| 0 | 5 | 0 | 243 | +| 5 | 0 | 0 | 32 | +| 0 | 1 | 2 | 75 | +| 0 | 2 | 1 | 45 | +| 1 | 2 | 0 | 18 | +| 1 | 0 | 2 | 50 | +| 2 | 1 | 0 | 12 | +| 2 | 0 | 1 | 20 | + +PROBLEMA 3. Se consideră unghiul ascuţit $\widehat{X O Y}$. În semiplanul determinat de $O X$ şi în care nu se află semidreapta $[O Y$, se duc semidreptele $[O A$ si $[O B$, perpendiculare pe $[O X$ şi respectiv, pe $[O Y$. Se notează cu $[O C$ bisectoarea unghiului $\widehat{B O X}$. + +a) Dacă măsura unghiului $\widehat{A O C}$ este cu $16^{\circ}$ mai mare decât măsura unghiului $\widehat{X O Y}$, determinaţi $m(\widehat{X O Y})$; + +b) Arătaţi că dacă $[O B$ este bisectoarea $\widehat{A O C}$, atunci $[O X$ este bisectoarea $\widehat{C O Y}$. + +## Barem de corectare. + +(1p) a) Din $m(\widehat{A O B})=90^{\circ}-m(\widehat{X O B})=m(\widehat{X O Y})$ + +(1p) sुi $m(\widehat{A O C})=m(\widehat{A O B})+m(\widehat{B O C})=m(\widehat{X O Y})+m(\widehat{B O C})$ + +(1p) obţinem că $m(\widehat{B O C})=m(\widehat{A O C})-m(\widehat{X O Y})=16^{\circ}$ şi $m(\widehat{X O B})=2 \cdot m(\widehat{B O C})=32^{\circ}$. + +(1p) Deci $m(\widehat{X O Y})=90^{\circ}-m(\widehat{X O B})=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}$. + +$(3 p)$ + +b) Deoarece, $m(\widehat{A O B})=m(\widehat{B O C}), m(\widehat{B O C})=m(\widehat{X O C})$ si $m(\widehat{A O B})=m(\widehat{X O Y})$, rezultă că $m(\widehat{X O C})=m(\widehat{X O Y})$. + +PROBLEMA 4. Spunem că un număr de forma $\overline{0, a b c d e}$ are proprietatea $(P)$, dacă cifrele $a, b, c, d, e$ aparţin mulţimii $\{4,6\}$. + +a) Arătaţi că soluţia ecuaţiei $x+0,46646=1,1111$ are proprietatea $(P)$; + +b) Determinaţi câte numere diferite de forma $\overline{0, a b c d e}$ au proprietatea $(P)$; + +c) Arătaţi că din oricare 17 numere diferite de forma $\overline{0, a b c d e}$ care au proprietatea $(P)$, se pot alege două a căror sumă să fie 1,1111 . + +## Barem de corectare. + +(2p) a) Soluţia ecuaţiei este $x=1,1111-0,46646=0,64464$, care are proprietatea $(P)$; + +$(2 p)$ b) Pentru fiecare cifră $a, b, c, d, e$ sunt două posibilităţi de alegere; fiind 5 cifre, avem $2^{5}=32$ numere cu proprietatea $(P)$; + +$(3 p) c$ ) Numerele cu proprietatea $(P)$ pot fi grupate în perechi de forma $\overline{0, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}}$ si $\overline{0, b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} b_{5}}$ astfel încât + +$$ +a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}=\ldots=a_{5}+b_{5}=10 +$$ + +Suma a două astfel de numere din cele 16 perechi este 1,1111 ; deci fiind 17 numere, există două numere care formează o astfel de pereche.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 2 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1260-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._romana.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1260-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._romana.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad4bb8a3b8b13f52877011f67d36030bd190a1e7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1260-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._romana.md" @@ -0,0 +1,93 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală, 16.02.2013 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Fie $a, b \in \mathbf{R}, a Clasa a IX-a
Barem de corectare + +1. a. Demonstrarea proprietăţii - 2p. b. Găsirea relației de recurență şi a primilor trei termeni ai şirurilor $-1 p$. + +$x_{4}=\frac{2}{3}, y_{4}=\frac{1}{3}, x_{5}=\frac{8}{9}, y_{5}=\frac{4}{9}, x_{6}=\frac{23}{27}, y_{6}=\frac{16}{27}-2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e162efc6578447fa2f8bg-2.jpg?height=97&width=705&top_left_y=1131&top_left_x=367) + +Demonstrarea prin inducție $-\mathbf{1 p}$. + +2. a) $a_{2}=\frac{1}{2 \cdot 3}$ şi $a_{8}=\frac{1}{3 \cdot 4}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +$P(n): \quad a_{n}=\frac{1}{n \cdot(n+1)}$ + +## $1 p$ + +Demonstrația prin inductie + +$2 p$ + +$$ +=\sum_{1}^{n} \frac{2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}} \times 1 +$$ + +3. A,I,G coliniare dacă şi numai dacă $\exists \infty \in \mathbb{R}, \overrightarrow{\mathbb{R}}=\infty \overrightarrow{\mathrm{AI}} \quad \mathbf{1 p}$ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{b}{b+c} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{c}{b+c} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ + +$\overrightarrow{A L}=\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{A C} \quad, A I \cap B C=\left\{\frac{1}{1}\right\}$ + +1p + +Notăm $\mathrm{AQ}=\mathrm{x}, \overrightarrow{A G}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \quad \mathbf{1 p}$ + +$\overrightarrow{A G}=\kappa \overrightarrow{A I}$ devine $\quad \frac{1}{2}\left(\frac{x}{c} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\right)=\frac{\kappa b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{\propto c}{a+b+c} \overrightarrow{A C}$ + +$\frac{\mathrm{x}}{2 \mathrm{c}}=\frac{\alpha b}{a+b+c} \quad$ si $\frac{1}{2}=\frac{\propto c}{a+b+c}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +Deci raportul lor va fi $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{c}}=\frac{b}{c}$ adică $\mathrm{x}=\mathrm{b}, \mathrm{AQ}=\mathrm{AC}$. + +4. Fixarea reperului $\overrightarrow{A D}-\vec{a}, \overrightarrow{A B}-\vec{v}-1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{C N}{\mathrm{ND}}=k_{1}, \frac{A M}{M D}=k_{2} ; \text { punctele } \mathrm{G}, \mathrm{M} \text { si } N \text { sunt coliniare dacă şi numai dacă } \\ +& \overrightarrow{A M}=\propto \overrightarrow{A G}+(1-\infty) \overrightarrow{A N}-1 \mathrm{p} \\ +& \overrightarrow{A M}=\frac{k_{2}}{1-k_{2}}-1 \mathrm{p} ; \overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{v}}-1 \mathrm{p} ; \overrightarrow{A N}=\frac{\overrightarrow{A C}-k_{1} \overrightarrow{A D}}{1-k_{1}}=\vec{u}+\frac{1}{1-k_{1}} \vec{v}-1 \mathrm{p} \\ +& k_{1}-k_{2}=\frac{1}{2}-2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +triunghiului $A B C$, respectiv centrul dreptunghiului MQNC, demonstrați că punctele $\mathrm{A}, \mathrm{I}, \mathrm{G}$ sunt coliniare dacă şi numai dacă $\mathrm{AQ}=\mathrm{AC}$. + +Prof. Alexandru Blaga + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1261-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1261-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37416a94015696980f967d532273f9f085bffb55 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1261-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,44 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A XII-A + +Subiecte + +1. Fie $a>0$ şi mulţimea $I=[\sqrt{a}, \sqrt{3 a}]$. Pe $\mathbb{R}$ se defineşte operaţia " ${ }^{\circ}$ astfel : + +$$ +x \circ y=\sqrt{2 a-\frac{\left(2 a-x^{2}\right)\left(2 a-y^{2}\right)}{a}}, x, y \in \mathbb{R} +$$ + +a) Demonstraţi că $(I, \circ)$ este monoid comutativ. + +b) Rezolvaţi ecuaţia $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{n}=\sqrt{a}, n \in \mathbb{N}^{+}$par. + +Prof. Claudiu Militaru, Ploieşti + +2. a) Să se demonstreze inegalitatea $e^{t} \geq 1+t+\frac{t^{2}}{2}$, pentru orice $t \geq 0$. + +b) Arătaţi că $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\operatorname{tgx}} \cos x d x>\frac{17}{16}$. + +Prof. Cormeliu Mănescu-Avram, Ploieşi + +3. Pentru orice grup ( $G, \circ)$ şi orice număr natural $n$ nenul, notăm $A_{n}=\{x \in G \mid$ ord $x=n\}$. + +a)Daţi un exemplu de grup $G$ astfel încât $A_{n} \neq \Phi$ pentru orice număr natural $n$ nenul. + +b) Găsiti $G^{\prime}$ astfel încât $A_{2 n-1} \neq \Phi$ pentru orice număr natural $n$ nenul şi $G^{\prime}=\bigcup_{n=1} A_{2 n-1}$. + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + +4. Determinaţi funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ integrabilă pe $\mathbb{R}$, care admite primitive şi îndeplineşte conditiile: +a) $f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y$, oricare ar fi $x, y \in \mathbb{R}$. +b) $\int_{0}^{6} f(x) d x=90$. + +Prof.dr. Cătălin Năchilă, Ploieşti + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1262-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1262-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ed724ff9e963e7002a08ad7e9e6e49299338587 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1262-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,49 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## - ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A XI-A + +## Subiecte + +1. Fie matricele $A, B \in M_{2}(\mathbb{R}), A=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1\end{array}\right)$. Determinaţi matricele $X, Y \in M_{2}(\mathbb{R})$ care verifică relaţille : $X+A Y=2 I_{2}$ şi $B X Y X+Y^{2} X=2 B$. + +Prof. Gabriel Necula, Breaza + +2. a) Fie a un număr real. Arătaţi că, pentru orice număr natural $n>|a|,\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n} \geq 1+a$ + +b) Arătaţi că, pentru orice număr real $x, e^{x} \geq 1+x$. + +Gazeta Matematică + +3. Fie şirurile: $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{1} \in\left(0, \frac{1}{2}\right), x_{n+1}=x_{n}-a x_{n}^{2}$, unde $a \geq 2$ şi $y_{n}=n x_{n}, n \geq 1$. + +Determinatị limitele şirurilor $\left(x_{n}\right)_{n=1}$ si $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$. + +Prof. Petre Năchilă, Ploieşti + +4. Considerăm şirurile: $\left(a_{n}\right)_{n=1}, a_{n}=[\ln n]$ şi $\left(\Delta_{n}\right)_{n=1}$ definit prin determinantul + +$$ +\Delta_{n}=\left|\begin{array}{cccc} +a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \\ +a_{n+1} & a_{n+2} & \ldots & a_{2 n} \\ +\cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ +a_{n^{2}-n+1} & a_{n^{2}-n+2} & \ldots & a_{n^{2}} +\end{array}\right| +$$ + +a) Arătaţi că există un rang $k \in \mathbb{N}$ astfel încât pentru orice număr $n$ natural, $n>k$, să avem $a_{n^{2}}-a_{n} \leq \frac{n-3}{2}$. + +b) Arătaţi că $\lim _{n \rightarrow \infty} \Delta_{n}=0$. + +(am notat cu $[t]$ - partea intreagă a lui $t$ ) + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1263-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1263-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8b2b7c51ddd178c1a5f38549ff5235bb09ada602 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1263-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,32 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A X-A + +Subiecte + +1. a. Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}+a x+b, a, b \in \mathbb{R}$. Demonstraţi că $f$ e injectivă dacă şi numai dacă $a \geq 0$. + +b. Fie funcţia $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x^{4}+a x+b$. Demonstraţi că $g$ nu poate fi nici injectivă, nici surjectivă, oricare ar fi $a, b \in \mathbb{R}$. + +Prof. Claudiu Militaru, Ploieşti + +2. Fie $a, b, c>0$ cu $a b^{2} c^{3}=64$. Determinaţi $a, b, c$ ştiind că $\left(a^{a} \cdot b^{b} \cdot c^{c}\right)^{3} \leq(a b c)^{a+b+c}$. + +Prof. Petre Năchilă, Ploieşti + +3. Se dau mulţimile $A=\left\{x+\dot{x}^{2} \mid x \in \mathbb{R}\right\}, B=\{x+i(x-1) \mid x \in \mathbb{R}\}$. Determinaţi + +$a \in A, b \in B$ astfel încât $\left|z_{1}-z_{2}\right| \geq|a-b|$ pentru orice $z_{1} \in A, z_{2} \in B$. + +Prof. Emil Vasile, Ploieşi + +4. Fie $a, b, c$ trei numere complexe distincte de acelaşi modul $r$. Ştiind că numerele $a-b c, b-a c, c-a b$ sunt reale, determinaţi valoarea lui $r$. + +Gazeta Matematică, 2012 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1264-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1264-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..250924f30111d04b22fe38bf8dc5effdb3b444e7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1264-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,34 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A VIII-A + +## Subiecte + +1. Fie $E(x)=\frac{1}{(x-2)(x+2)}, x \in \mathbb{R} \backslash\{-2 ; 2\}$.Determinaţi $x$ pentru care $E(x)=-\frac{3+2 \sqrt{6}}{30}$. + +Prof. Maria Negrilă şi prof. Anton Negrilă, Ploieşti + +2. a. Demonstraţi că $\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ pentru orice $a, b \in[0 ; \infty)$. + +b. Fie $a, b \in\left[\frac{1}{11} ; 1\right]$ cu proprietatea că $a+b=\frac{12}{11}$. Demonstraţi că $\frac{72}{121} \leq a^{2}+b^{2} \leq \frac{122}{121}$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +3. Se consideră triunghiul $A B C$ şi planul $\alpha$ astfel încât $B C \subset \alpha, A \notin \alpha$. Fie $\mathrm{D}$ şi $\mathrm{E}$ mijloacele segmentelor $(A B)$, respectiv $(A C)$.Prin $\mathrm{D}$ şi $\mathrm{E}$ se duc două drepte paralele între ele care intersectază planul $\alpha$ î punctele $N$, respectiv $P$. + +Demonstraţi că dreptele $B N$ şi $C P$ sunt concurente. + +Prof. Petre Năchilă, prof.dr. Cătălin Năchilă + +4. Paralelogramul $A B C D$ cu $A B=16 \mathrm{~cm}, B C=8 \mathrm{~cm}, m(A)=60^{\circ}$ şi trapezul dreptunghic $C D E F, C D \| E F, m(D)=90^{\circ}, m(C)=30^{\circ}, D E=8 \mathrm{~cm}$, sunt situate în plane diferite astfel încât $D E \perp A C$. Dacă M este mijlocul lui $[A B]$, aflaţi distanţa de la M la dreapta FC. + +Prof. Ion Tomescu, prof. Ion Lupea + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1265-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1265-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8b3092aa4e5be1b51ab016e89b522573779c82cd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1265-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,30 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A VII-A + +Subiecte + +1. a. Scrieți numărul 100 ca suma a patru cuburi perfecte. + +b. Pentru fiecare număr natural $n \geq 2$ definim numărul $a_{n}=10^{n^{3}-n+2}$. Arătaţi că $a_{n}$ se scrie ca suma a patru cuburi perfecte. + +Gazeta Matematică, 2012 + +2. Demonstraţi că $\sqrt{2012 \cdot 2013+\sqrt{2012 \cdot 2013+\sqrt{2012 \cdot 2013}}}<2013$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +3. Se consideră triunghiul $A B C$ cu $m(C)=30^{\circ}$ şi $D \in(B C)$ astfel încât $A D=A B+C D$. Ştiind că unghiurile $C A D$ şi $A B C$ sunt complementare, aflaţi măsura unghiului $B A C$. + +Prof. Silvia Brabeceanu şi prof. Ionel Brabeceanu, Plopeni + +4. În patrulaterul $A B C D$ diagonala (BD) trece prin mijlocul diagonalei (AC) şi $m(D A C)=m(A B C)=90^{\circ}$. Arătaţi că $\frac{A D}{B C}=\frac{B D}{A B}$. + +Prof. Gheorghe Bumbăcea, Buşteni + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1266-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1266-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c20f291d151ea9794dd11d549afea8091374b567 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1266-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md" @@ -0,0 +1,30 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A VI-A + +## Subiecte + +1. Un robinet umple un bazin în 4 ore, iar alt robinet umple acelaşi bazin in 10 ore. în cât timp se va umple $42 \%$ din bazin dacă cele două robinete vor curge în acelaşi timp? + +Prof. Ioana Crăciun şi prof. Gh. Crăciun, Ploieşti + +2. Fie fracţia $F=\frac{4 n+7}{11 n+18}$, cu $n$ număr natural impar. Ştiind că $F$ este reductibilă, aflaţi ultima cifră a lui $n$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +3. Fie segmentul $[A B]$ şi punctele $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \ldots, M_{2013}$ mijloacele segmentelor $[A B]$, $\left[A M_{1}\right],\left[A M_{2}\right], \ldots,\left[A M_{2012}\right]$.Arătaţi că $A M_{1}+A M_{2}+\ldots+A M_{2013}$ nu depăşeşte lungimea segmentului $[A B]$. + +Prof. Ion Lupea, Ploieşti şi prof. Ion Tomescu, Mizil + +4. Fie unghiul $M O N$ un unghi cu masura de $90^{\circ}$ şi punctele $A, O, B$ coliniare cu $O \in(A B)$. Fie $[O E$ bisectoarea unghiului $A O M$ şi $[O F$ bisectoarea unghiului $B O N$. Arătaţi că $m(\nless E O F) \in\left\{45^{\circ}, 135^{\circ}\right\}$. + +Gazeta Matematică + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1267-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1267-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3d1610820dc56fb9a3f3b34385d2395b93e5c8e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1267-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A V-A + +Subiecte + +1. Determinaţi numărul elementelor mulţimii $A=\{\overline{a b c} \mid \overline{a b c}-\overline{c b a}=495\}$ + +Prof. Roxana Soare, Ploieşti + +2. Arătaţi că numărul $a=4^{n^{2}-n+2012}+9^{m^{2}-m+2014}+6^{2013 m m}$ nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi $m, n$ numere naturale $\mathrm{cu} m>1, n>1$. + +Prof. Maria Negrilă şi prof. Anton Negrilă, Ploieşti + +3. Fie numărul natural $P, 2 \leq P \leq 1000$ care la împărţirea cu 9 , respectiv 10 , dă restul 1 . + +a) Pentru fiecare număr $\mathrm{P}$ care indeplineşte condițiile problemei, determinaţi suma cifrelor . + +b) Aflati toate numerele $P$ care sunt pătrate perfecte. + +Prof. Petre Nachilă, Ploieşti + +4. Aflaţi intersecţia mulţimilor $A=\left\{2006^{n}+2005^{n} \cdot 2013+2012, n \in \mathbb{N}\right\}$ şi + +$$ +B=\left\{x^{2}+1910, x \in \mathbb{N}\right\} +$$ + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1268-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1268-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6bbd2cb2d28673d6061d4e21563c962ea7b326e5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1268-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,44 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN PRAHOVA + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 16.02.2013 - + +CLASA A IX-A + +## Subiecte + +1. a. Arătaţi că pentru oricare numere reale $a, b$ strict pozitive are loc inegalitatea : + +$$ +\frac{a b-1+\sqrt{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)}}{a+b} \leq \frac{a+b}{2} +$$ + +b. Dacă $x, y, z$ sunt numere reale strict pozitive şi $\sqrt{x y}+\sqrt{y z}+\sqrt{2 x}=1$ arătaţi că: + +$$ +\frac{\sqrt{z(x+1)(y+1)}}{1-\sqrt{x y}}+\frac{\sqrt{x(y+1)(z+1)}}{1-\sqrt{y z}}+\frac{\sqrt{y(z+1)(x+1)}}{1-\sqrt{2 x}} \leq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) +$$ + +Prof. Gabriel Necula, Breaza + +2. Fie $a \in\left(0 ; \frac{3}{4}\right]$. Demonstraţi că $\left[\frac{1}{2}+\sqrt{n}\right]=\left[\frac{1}{2}+\sqrt{n-a}\right]$ pentru orice $n \in \mathbb{N} *$. + +Prof. Cezar Stoica, Ploieşti + +3. Fie $A^{\prime} \in(B C), B^{\prime} \in(A C), C^{\prime} \in(A B)$ punctele de tangenţă ale cercului înscris in triunghiul $A B C$ cu laturile sale. + +a. Arătaţi că $\mathrm{AA}^{\prime}, \mathrm{BB}^{\prime}, \mathrm{CC}$ ' sunt concurente. + +b. Arătaţi că dacă punctul $\mathrm{M}$ verifică egalitatea $a \cdot \overline{M A^{\prime}}+b \cdot \overline{M B^{\prime}}+c \cdot \overline{M C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$, atunci $\mathrm{M}$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$. + +Prof. Vasile Stănescu, Ploieşti + +4. Se consideră punctele $A, B, C, D, E$ astfel încât $\overrightarrow{D C}=k \cdot \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{E C}=\frac{1}{k-1} \cdot \overrightarrow{D E}, C \notin A B$, $k \in \mathbb{R}, k>1$. Fie $A C \cap B E=\{O\}$ şi $[A T$ bisectoarea unghiului $D A E, T \in D E$. Dacă $\overrightarrow{O T}$ şi $\overrightarrow{B D}$ sunt coliniari, demonstraţi că $A D=B C$. + +Prof. Claudiu Militaru, Ploieşti + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolşvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1269-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1269-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dd56176e9d3df4e946205b4463054aed3be4c83f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1269-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,113 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013 + +## CLASA a XII-a + +PROBLEMA 1.Fie G multimea matricilor de forma + +$$ +A x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\begin{array}{ccc} +1 & 0 & x \\ +0 & \sqrt{1-x^{2}} & 0 \\ +x & 0 & 1 +\end{array}\right), x \in-1,1 +$$ + +Demonstrati ca: +a) $A x A y=A\left(\frac{x+y}{1+x y}\right), \forall x, y \in-1,1$. + +b)G are o structura de grup multiplicativ abelian. +c) $f: G \rightarrow \mathbb{R}, f$ A $x=\ln \frac{x+1}{1-x}$ este un izomorfism de la $G$.. + +la $\mathbb{R},+$. + +PROBLEMA 2.Fie $M$, un monoid comutativ finit si e elementul neutru. Fie $A=f: M \rightarrow M \mid f x y=f x f y, \forall x, y \in M$. Sa se arate ca daca pentru orice $f \in A$ avem $f e=e$, atunci monoidul este grup. + +$$ +\text { G.M.11/2012 } +$$ + +PROBLEMA 3. Sa se calculeze: + +$$ +\begin{aligned} +\lim _{x \rightarrow 0+} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t \sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{t^{2} t+1^{2}}+t+1 \sqrt[3]{t}} \\ +\text { Prof.Gorgota Vasile } +\end{aligned} +$$ + +PROBLEMA 4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o functie continua si $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitiva a sa. Daca + +$$ +f x \geq \operatorname{arctg}|x|,(\forall) x \in \mathbb{R} +$$ + +demonstrati ca exista $x_{0} \in \mathbb{R}$ astfel incat $F x_{0}=x_{0}$. + +Prof.Anca Andrei + +Subiect selectat de prof. Vasile Gorgotă + +NOTA: Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza cu puncte de la 0 la 7 . + +## Barem clasa a XII-a + +Problema 1. + +a) Verificarea cerintei. ( 2 p) + +b) Verificarea axiomelor grupului.(2p) + +c) Verificarea injectivitatii,surjectivitatii si morfismului.(3p) + +Problema 2. + +(i) $M=e$ evident $M$,. este grup.(1p) + +(ii) $|M| \geq 2$, alegem a oarecare din $M-e \cdot M$, monoid comutativ finit,obtine $\exists p \in \mathbb{N}$ astfel incat $\mathrm{a}^{p}=a^{2 p}(2 \mathrm{p})$ + +(iii) Considera functia $f: M \rightarrow M, f \quad x=a^{p} x$.(1p) + +(iv) Arata ca $f \in A(2 \mathrm{p})$ + +(v) Din $f e=e \Rightarrow a^{p}=e \Rightarrow a$ inversabil,deci monoidul este grup.(1p) + +Problema 3. + +Folosind factor fortat,amplificarea cu conjugatul , integrarea si trecerea la limita se obtine $\frac{3}{2} 2-\sqrt[3]{4} \cdot(7 p)$ + +Problema 4. + +Solutie. Fie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g \quad x=\operatorname{arctg}|x|$. O primitivă a sa este + +$G \quad x=\left\{\begin{array}{lc}x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln 1+x^{2}, & x \geq 0 \\ -x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln 1+x^{2}, & x<0\end{array}\right.$. Considerăm funcția $D: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, + +$D x=F x-G x$ care este derivabilă pe $\mathbb{R}$ şi $D^{\prime} x=f x-g x \geq 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$. + +Prin urmare, funcția $D$ este crescătoare. + +Pentru $x<0 \Rightarrow D x \leq D 0 \Rightarrow F x+x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln 1+x^{2} \leq F 0 \Rightarrow$ + +$F \quad x-x \leq F \quad 0-x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln 1+x^{2}-x$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013 + +$\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(F \quad 0-x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln 1+x^{2}-x\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(\frac{F 0}{x}-\operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln 1+x^{2}}{x}-1\right)=$ + +$-\infty$, rezultă că $\lim _{x \rightarrow-\infty} F x-x=-\infty$. (1) + +Pentru $x>0 \Rightarrow D x \geq D 0 \Rightarrow F x-x \operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \ln 1+x^{2} \geq F 0 \Rightarrow$ + +$F x-x \geq F \quad 0+x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln 1+x^{2}-x$. + +Deoarece + +$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(F 0+x \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln 1+x^{2}-x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\frac{F 0}{x}+\operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln 1+x^{2}}{x}-1\right)=+\infty$ + +rezultă că $\lim _{x \rightarrow \infty} F x-x=+\infty$. (2) + +Din (1), (2) şi din faptul că funcția $H: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, H \quad x=F \quad x-x$, este continuă rezultă că $\exists x_{0} \in \mathbb{R}$ astfel încât $H x_{0}=0 \Rightarrow F x_{0}=x_{0}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-127-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-127-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3471abd1e7fd8238a5433aba0e0c6c950ebd1105 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-127-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03.2016
Clasa a V - a + +PROBLEMA 1. Radu şi Alexandra au împreună 11 lei. Ei hotărăsc să cumpere împreună o carte, participând cu sume egale de bani. Radu este nevoit să împrumute de la Alexandra 1 leu, iar după cumpărarea cărţii Alexandra rămâne cu 5 lei. + +a) Aflaţi preţul cărţii; + +b) Câţi lei a avut Alexandra iniţial? + +PROBLEMA 2. Arătaţi că dintre oricare 5 puteri ale lui 3, există cel puţin două, a căror diferenţă este divizibilă cu 5. + +PROBLEMA 3. Mulţimea $A$ de numere naturale are proprietăţile: + +(i) $2 \in A$; + +(ii) dacă $x \in A$, atunci $4 x \in A$; + +(iii) dacă $9 x+11 \in A$, atunci $x \in A$. + +Arătaţi că $13 \in A$. + +PROBLEMA 4. Pe o tablă sunt desenate 20 de cercuri albe, 21 de cercuri roşii şi 22 de cercuri verzi. Se şterg două cercuri de culori diferite şi se desenează în loc un cerc de a treia culoare. Această operaţie se repetă astfel încât pe tablă să rămână un singur cerc. Precizaţi culoarea cercului rămas pe tablă. Justificaţi răspunsul.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a V - a + +PROBLEMA 1. Radu şi Alexandra au împreună 11 lei. Ei hotărăsc să cumpere împreună o carte, participând cu sume egale de bani. Radu este nevoit să împrumute de la Alexandra 1 leu, iar după cumpărarea cărţii Alexandra rămâne cu 5 lei. + +a) Aflaţi preţul cărţii; + +b) Câţi lei a avut Alexandra iniţial? + +Barem de corectare. Metoda algebrică (alternativ, metoda figurativă): + +(2p) a) Preţul cărţii este $11-5=6$ lei. + +$(3 p)$ b) Fie $R$ suma de bani pe care o are Radu şi fie $A$ suma de bani pe care o are Alexandra. Deoarece $R+A=11$ şi $R+1=A-1-5$, + +(2p) obținem $A=R+7$, de unde găsim că $R=2$ şi $A=9$. + +PROBLEMA 2. Arătaţi că dintre oricare 5 puteri ale lui 3, există cel puţin două, a căror diferenţă este divizibilă cu 5 . + +## Barem de corectare. + +(2p) Deoarece ultima cifră a numărului $3^{x}$ poate fi $1,3,9$ sau 7 , + +$(3 p)$ din cele cinci puteri ale lui 3 , vor fi cel puţin două având aceeaşi ultima cifră. + +$(2 p)$ Diferenţa acestora are ultima cifră 0 , deci este divizibilă cu 5 . + +PROBLEMA 3. Mulţimea $A$ de numere naturale are proprietăţile: + +(i) $2 \in A$ + +(ii) dacă $x \in A$, atunci $4 x \in A$; + +(iii) dacă $9 x+11 \in A$, atunci $x \in A$. + +Arătați că $13 \in A$. + +## Barem de corectare. + +(2p) Pentru a obţine $13 \in A$, este suficient să arătăm că $9 \cdot 13+11=128 \in A$. + +(2p) Din fapul că $2 \in A$, obţinem $4 \cdot 2=8 \in A$ + +$(2 p) \Rightarrow 4 \cdot 8=32 \in A$ + +$(1 p) \Rightarrow 4 \cdot 32=128 \in A$. + +PROBLEMA 4. Pe o tablă sunt desenate 20 de cercuri albe, 21 de cercuri roşii şi 22 de cercuri verzi. Se şterg două cercuri de culori diferite şi se desenează în loc un cerc de a treia culoare. Această operaţie se repetă astfel încât pe tablă să rămână un singur cerc. Precizaţi culoarea cercului rămas pe tablă. Justificaţi răspunsul. + +Barem de corectare. Vom ilustra modificările ce intervin odată cu efectuarea unei operaţii, astfel: + +$(2 p)$ + +Iniţial: par impar par + +(2p) După prima operaţie: impar par impar + +După a doua operaţie: par impar par + +e.t.c. + +(3p) Pentru a rămâne un cerc pe tablă, este necesar să avem $0,0,1$ (nu neapărat în această ordine), adică două numere pare şi unul impar. În concluzie, cercul rămas este unul roşu.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 2 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1270-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1270-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a88bc1d0668bae22392894411c0508599707adb4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1270-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,111 @@ +# CLASA a XI-a + +## Problema 1. + +a) Să se arate că det $I_{2}+A B=\operatorname{det} I_{2}+B A, \forall A, B \in M_{2} \mathbb{C}$. + +b) Fie $A \in M_{2} \mathbb{C}$ astfel încât $A^{2013}=O_{2}$, demonstraț i că det $I_{2}+A X A=1, \forall X \in M_{2} \mathbb{C}$. + +## Prof.Mihai Piticari + +## Problema 2. + +Fie A,B,C trei matrice patratice de ordin $\mathrm{n}$ cu elemente reale astfel incat $B A+B C+A C=I_{n}$ si $\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{B})=0$. Sa se arate ca: + +$$ +\operatorname{det}(A+B+C-B A C)=0 +$$ + +G,M. 10/2012 + +## Problema 3. + +Fie sirul de numere reale $x_{n}$ definit prin + +$$ +\begin{aligned} +& x_{0}=a \\ +& x_{n+1}=x_{n}^{2}-3 x_{n}+4, \forall n \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +Studiati convergenta sirului in functie de $a \in \mathbb{R}$ si determinati limita sirului. + +Manual Stănăşilă + +## Problema 4. + +Se considera functia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definite prin + +$$ +f x=x+2 x+\ldots+2013 x +$$ + +unde $a$ reprezinta partea fractionara a lui a. + +Sa se determine supremumul functiei $f$. + +Prof.Mihai Piticari + +Subiect selectat de Inspector de specialitate, prof. Liviu Vlădescu + +NOTA:Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 . + +## BAREM CLASA a XI-a + +## Problema1. + +a)Se poate verifica prin calcul direct.(3p) + +b) $A^{2013}=0_{2}$ implica $A^{2}=0_{2}$. (2p) si demonstrarea cerintei folosind a) + +siimplicatia (2p) + +Problema 2. + +Prin inmultirea relatiei cu matricea C si adunarea in ambii termini ai + +egalitatii a matricelor A si B obtinem $A+B+C-B A C=A+B \quad I_{n}+C^{2}$ + +Aplicam determinantul acestei relatii si folosind ipoteza ,rezulta concluzia.(3p) + +Problema 3. + +Deoarece $f t=t^{2}-3 t+4>0, \forall t \in \mathbb{R}$ atunci $x_{1}=f \quad a>0, \forall a \in \mathbb{R}$ (1p) + +Sirul este crescator, deci are limita finite s-au infinita.(2p) +i) $x_{1}=2 \Rightarrow x_{n}=2 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=2$ + +Obtinem : + +ii) $x_{1} \in 2, \infty$ sirul este nemarginit, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$; + +$$ +\begin{aligned} +& \text { iii) } x_{1} \in 1,2 \Rightarrow x_{n} \leq 2 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=2 \\ +& \text { iv) } x_{1} \in 0,1 \Rightarrow x_{2}=f \quad x_{1}>2 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty +\end{aligned} +$$ + +## Problema 4. + +Deoarece $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ avem $0 \leq \alpha<1$, rezultă imediat că $f x0$ cu $2 x y z=1$. Demonstrati ca + +$$ +\frac{x y^{2}}{x^{3}+1}+\frac{y z^{2}}{y^{3}+1}+\frac{z x^{2}}{z^{3}+1} \geq 1 +$$ + +Olimpiada Rusia 2012 + +PROBLEMA 2.Fie a,b reale positive astfel incat ecuatiile + +$$ +\begin{aligned} +a+b-x^{2} & =a-b, \text { cu radacinile reale } \mathrm{x}_{1}1$ (3p) + +Finalizare $x_{1}=x_{3} .(1 \mathrm{p})$ + +Problema3 + +Pentru orice punct $\mathrm{X}$ din plan notam cu $\overrightarrow{r_{X}}$ vectorul de pozitie asociat. Avem + +$\overrightarrow{r_{M}}=\frac{\overrightarrow{r_{A}}+\overrightarrow{r_{B}}}{2}$,etc (1p) si $\overrightarrow{r_{A_{1}}}=\frac{\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{D}}+\overrightarrow{r_{E}}}{4}$ si analoage (1p) + +a) Scriem $\overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{A}}=\frac{\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{D}}+\overrightarrow{r_{E}}-4 \overrightarrow{r_{A}}}{4}$,etc si verifica ca suma vectoriala este 0 . (2p) + +b) $\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B A}$, deci $A_{1} B_{1}=\frac{1}{4} A B$. (1p) + +Pentagoanele au laturile paralele si finalizare . (2p) + +Problema 4 + +Calculeaza $a_{3}=\frac{4}{3}=2-\frac{18}{3^{3}}$ (1p) + +Inductie matematica : $P$ n:an $<2-\frac{18}{3^{n}}$ (6p) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1273-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1273-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e914c9f390bc7a01731b5838bb1f9edcd8af9a03 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1273-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,220 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-1.jpg?height=241&width=220&top_left_y=64&top_left_x=302) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Fie $x, y, z \in \mathbb{R}$. Arătaţi că: + +$(x+y+z)^{2}+(x+y-z)^{2}+(x-y+z)^{2}+(-x+y+z)^{2}=4 x^{2}+4 y^{2}+4 z^{2}$ + +b) Demonstraţi că numărul $4024^{2}+4026^{2}+4028^{2}$ se poate scrie ca o sumă de patru numere naturale pătrate perfecte. + +c) Dacă $a=2^{2013}, b=3^{2013}$ şi $c=6^{-2013}$, atunci arătaţi că: + +$$ +\frac{1}{a b+a+1}+\frac{1}{b c+b+1}+\frac{1}{c a+c+1}=1 +$$ + +## SUBIECTUL al II-lea + +a) Să se demonstreze că $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a, \forall a, b, c \in \mathbb{R}$. + +b) Demonstraţi că $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$ şi $\forall a, b \in \mathbb{R}_{+}$. + +c) Arătaţi că $\frac{x^{3}}{y^{2}(x+2 z)}+\frac{y^{3}}{z^{2}(y+2 x)}+\frac{z^{3}}{x^{2}(z+2 y)} \geq 1, \forall x, y, z \in \mathbb{R}_{+}$. + +## SUBIECTUL al III-lea + +Pe planul dreptunghiului $A B C D$ se ridică perpendiculara $M A$. Distanţele $A M, A B$ şi $A D$ sunt direct proporţionale cu numerele $\sqrt{2}, \sqrt{3}$, respectiv $\sqrt{6}$, iar distanţa de la punctul $M$ la dreapta $B D$ este egală cu $8 \mathrm{~cm}$. + +a) Aflaţi măsura unghiului dintre planele $(M B D)$ şi $(A B C)$. + +b) Demonstraţi că dreapta $B D$ şi $(M A D) \cap(M B C)$ sunt drepte necoplanare. + +c) Aflaţi distanţa de la punctul $C$ la planul $(M B D)$. + +## SUBIECTUL al IV-lea + +În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ notăm cu $M, N$, respectiv $P$, proiecțiile punctului $C$ pe dreptele $A B^{\prime}, A D^{\prime}$, respectiv $B^{\prime} D^{\prime}$. Demonstraţi că: + +a) $A C^{\prime}, B D^{\prime}$ şi $A^{\prime} C$ sunt concurente. + +b) $B M \perp A B^{\prime}$. + +c) Dreptele $A P, B^{\prime} N$ şi $D^{\prime} M$ sunt concurente. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii şi se notează cu puncte de la 0 la 7. Timp de lucru: 3 ore. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-2.jpg?height=248&width=1526&top_left_y=62&top_left_x=298) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VIII-a + +# SUBIECTUL I + +a) Fie $x, y, z \in \mathbb{R}$. Arătaţi că: + +$$ +(x+y+z)^{2}+(x+y-z)^{2}+(x-y+z)^{2}+(-x+y+z)^{2}=4 x^{2}+4 y^{2}+4 z^{2} +$$ + +b) Demonstraţi că numărul $4024^{2}+4026^{2}+4028^{2}$ se poate scrie ca o sumă de patru numere naturale pătrate perfecte. + +c) Dacă $a=2^{2013}, b=3^{2013}$ şi $c=6^{-2013}$, atunci arătaţi că: + +$$ +\frac{1}{a b+a+1}+\frac{1}{b c+b+1}+\frac{1}{c a+c+1}=1 +$$ + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y+2 y z+2 x z$ şi + +$(x+y-z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z-2 x z$ $\qquad$ +Finalizare .1 punct + +b) $4024^{2}+4026^{2}+4028^{2}=4\left(2012^{2}+2013^{2}+2014^{2}\right)$ 1 punct + +Conform subpunctului a) + +$$ +\begin{aligned} +& 4\left(2012^{2}+2013^{2}+2014^{2}\right)=(2012+2013+2014)^{2}+(2012+2013-2014)^{2}+ \\ +& +(2012-2013+2014)^{2}+(-2012+2013+2014)^{2}=6039^{2}+2011^{2}+2013^{2}+2015^{2} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ +c) $a b c=2^{2013} \cdot 3^{2013} \cdot 6^{-2013}=1$ $\qquad$ +Amplifică prima fracţie cu $c$ şi obţine + +$$ +\frac{1}{a b+a+1}+\frac{1}{b c+b+1}+\frac{1}{c a+c+1}=\frac{c}{a b c+a c+c}+\frac{1}{b c+b+1}+\frac{1}{c a+c+1} +$$ + +$\qquad$ +Amplifică a doua fracţie cu $a c$ şi obţine + +$$ +\frac{c}{1+a c+c}+\frac{a c}{c+a b c+a c}+\frac{1}{c a+c+1}=\frac{c a+c+1}{c a+c+1}=1 +$$ + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-3.jpg?height=244&width=234&top_left_y=60&top_left_x=295) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL al II-lea + +a) Să se demonstreze că $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a, \forall a, b, c \in \mathbb{R}$. + +b) Demonstraţi că $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$ şi $\forall a, b \in \mathbb{R}_{+}$. + +c) Arătaţi că $\frac{x^{3}}{y^{2}(x+2 z)}+\frac{y^{3}}{z^{2}(y+2 x)}+\frac{z^{3}}{x^{2}(z+2 y)} \geq 1, \forall x, y, z \in \mathbb{R}_{+}$. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a \Leftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2} \geq 2 a b+2 b c+2 c a \Leftrightarrow$ $\qquad$ +$\Leftrightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0$, cu egalitate pentru $a=b=c$. $\qquad$ +b) $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b} \Leftrightarrow b(a+b) x^{2}+a(a+b) y^{2} \geq a b(x+y)^{2} \Leftrightarrow$ $\qquad$ +$\Leftrightarrow(b x-a y)^{2} \geq 0$, cu egalitate pentru $b x=a y$. $\qquad$ +c) Conform subpunctului b), avem: $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}+\frac{z^{2}}{c}$ + +Tot, conform subpunctului b): $\frac{(x+y)^{2}}{a+b}+\frac{z^{2}}{c} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$ + +1 punct + +Am obţinut astfel inegalitatea: $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c} \quad \forall x, y, z \in \mathbb{R}$ şi $\forall a, b, c \in \mathbb{R}_{+}$ şi aplicând-o, obţinem: + +$\frac{x^{3}}{y^{2}(x+2 z)}+\frac{y^{3}}{z^{2}(y+2 x)}+\frac{z^{3}}{x^{2}(z+2 y)}=\frac{x^{4}}{x y^{2}(x+2 z)}+\frac{y^{4}}{y z^{2}(y+2 x)}+\frac{z^{4}}{z x^{2}(z+2 y)} \geq \frac{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}{(x y+y z+z x)^{2}} \quad . .1$ punct Conform rezultatului enunţat la subpunctul a), $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y+x z+y z} \geq 1, \forall x, y, z \in \mathbb{R}_{+}$şi finalizăm: + +$$ +\frac{x^{3}}{y^{2}(x+2 z)}+\frac{y^{3}}{z^{2}(y+2 x)}+\frac{z^{3}}{x^{2}(z+2 y)} \geq\left(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y+x z+y z}\right)^{2} \geq 1, \forall x, y, z \in \mathbb{R}_{+} +$$ + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-4.jpg?height=254&width=1532&top_left_y=60&top_left_x=298) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL al III-lea + +Pe planul dreptunghiului $A B C D$ se ridică perpendiculara $M A$. Distanţele $A M, A B$ şi $A D$ sunt direct proporţionale cu numerele $\sqrt{2}, \sqrt{3}$, respectiv $\sqrt{6}$, iar distanţa de la punctul $M$ la dreapta $B D$ este egală cu $8 \mathrm{~cm}$. + +a) Aflaţi măsura unghiului dintre planele $(M B D)$ şi $(A B C)$. + +b) Demonstraţi că dreapta $B D$ şi $(M A D) \cap(M B C)$ sunt drepte necoplanare. + +c) Aflaţi distanţa de la punctul $C$ la planul $(M B D)$. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $\frac{M A}{\sqrt{2}}=\frac{A B}{\sqrt{3}}=\frac{A D}{\sqrt{6}}=k$, unde $k \in \mathbb{R}_{+} \Rightarrow M A=k \sqrt{2} ; A B=k \sqrt{3} ; A D=k \sqrt{6}$; + +Fie $A E \perp B D$, cu $E \in B D$. Din $M A \perp(A B C), A E \perp B D, A E, B D \subset(A B C) \Rightarrow M E \perp B D$ $\qquad$ $(M B D) \cap(A B C)=B D$ + +$M E \perp B D$ şi $M E \subset(M B D)\} \Rightarrow \Varangle[(M B D),(A B C)]=\Varangle(M E, A E)=\Varangle M E A$. $A E \perp B D$ şi $A E \subset(A B C)$ + +$\left.\begin{array}{l}\triangle M A E \text { e } d r . \text { in } A \\ M E=A E=k \sqrt{2}\end{array}\right\} \Rightarrow m(\nless M E A)=45^{\circ}$. + +b) $M \in(M B C) \cap(M A D) \Rightarrow \exists g$, a.̂.. $(M B C) \cap(M A D)=g$, cu condiţia $M \in g$; + +$A D\|B C, A D \subset(M A D), B C \subset(M B C),(M B C) \cap(M A D)=g \Rightarrow g\| A D \| B C$ $g\|A D, A D \subset(A B C), g \not \subset(A B C) \Rightarrow g\|(A B C) \Rightarrow g \cap(A B C)=\varnothing \Rightarrow g \cap B D=\varnothing \Rightarrow$ $\Rightarrow g \| B D$ sau $g$ şi $B D$ sunt drepte necoplanare ; Dar $D \notin g, A D\|g \Rightarrow B D\| g$. Deci $g$ şi $B D$ sunt drepte necoplanare ; $\qquad$ +c) $k=4 \Rightarrow M A=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm} ; A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm} ; A D=4 \sqrt{6} \mathrm{~cm} \Rightarrow A C=B D=12 \mathrm{~cm}$. Fie $A C \cap B D=\{O\}$. + +În semispaţiul opus determinat de $(A B C)$ şi $M$, prin $C$ construim, $C T \| M A$, a.î. $[C T] \equiv[M A] \ldots 1$ punct Se arată că $M A T C$ este paralelogram cu $M T \cap A C=\{O\}$. Din $M O \subset(M B D)$ şi $T \in M O \Rightarrow T \in(M B D)$. Construim $C F \perp B D$, cu $F \in B D$, şi cu teorema celor trei perpendiculare, $T F \perp B D$. + +Construim $C G \perp T F, c u G \in T F$ şi cu reciproca a II-a a teoremei celor trei perpendiculare, $C G \perp(M B D) \Rightarrow d[C,(M B D)]=C G$. + +$C T=C F=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm} ; T F=8 \mathrm{~cm}$ şi $C G=4 \mathrm{~cm}$. + +1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-5.jpg?height=230&width=1193&top_left_y=64&top_left_x=127) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-5.jpg?height=247&width=260&top_left_y=61&top_left_x=1580) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63987044544eacd1db6bg-6.jpg?height=252&width=1532&top_left_y=60&top_left_x=298) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL al IV-lea + +În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ notăm cu $M, N$, respectiv $P$, proiecţiile punctului $C$ pe dreptele $A B^{\prime}, A D^{\prime}$, respectiv $B^{\prime} D^{\prime}$. Demonstraţi că: + +a) $A C^{\prime}, B D^{\prime}$ şi $A^{\prime} C$ sunt concurente. + +b) $B M \perp A B^{\prime}$. + +c) Dreptele $A P, B^{\prime} N$ şi $D^{\prime} M$ sunt concurente. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $A B C^{\prime} D^{\prime}$ este paralelogram $\Rightarrow \exists O$ a.î. $A C^{\prime} \cap B D^{\prime}=\{O\}$, cu $O$ mijlocul diagonalei $\left[B D^{\prime}\right]$ .... 1 punct $B C D^{\prime} A^{\prime}$ este paralelogram $\Rightarrow A^{\prime} C$ trece prin $O$, mijlocul diagonalei $\left[B D^{\prime}\right]$ + +b) Din $C B \perp\left(A B B^{\prime}\right), A B^{\prime} \subset\left(A B B^{\prime}\right) \Rightarrow C B \perp A B^{\prime}$ + +Din $A B^{\prime} \perp B C, A B^{\prime} \perp C M$ şi $B C \cap C M=\{C\} \Rightarrow A B^{\prime} \perp(B C M)$ + +$A B^{\prime} \perp(B C M)$ şi $B M \subset(B C M) \Rightarrow A B^{\prime} \perp B M \Leftrightarrow B M \perp A B^{\prime}$ + +## sau, direct: + +Aplicând reciproca $\mathrm{I}$ a teoremei celor trei perpendiculare, din + +$C B \perp\left(A B A^{\prime}\right), C M \perp A B^{\prime}, B M, A B^{\prime} \subset\left(A B B^{\prime}\right) \Rightarrow B M \perp A B^{\prime}$ + +c) Analog, aplicând reciproca I a teoremei celor trei perpendiculare, obţinem $D N \perp A D^{\prime}$ si $C^{\prime} P \perp B^{\prime} D^{\prime}$. + +Fie $A B=a, B C=b B B^{\prime}=c$. + +Obţinem $A B^{\prime}=\sqrt{a^{2}+c^{2}}, A D^{\prime}=\sqrt{b^{2}+c^{2}}, B^{\prime} D^{\prime}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ + +Cu teorema catetei, în $\triangle A B B^{\prime}, A B^{2}=A M \cdot A B^{\prime} \Rightarrow A M=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$ şi $\qquad$ +$B^{\prime} M=\frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$, de unde $\frac{A M}{B^{\prime} M}=\frac{a^{2}}{c^{2}}$ $\qquad$ +Analog $\frac{B^{\prime} P}{D^{\prime} P}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$ si $\frac{D^{\prime} N}{A N}=\frac{c^{2}}{b^{2}}$. In $\triangle A B^{\prime} D^{\prime}$ avem $\frac{A M}{B^{\prime} M} \cdot \frac{B^{\prime} P}{D^{\prime} P} \cdot \frac{D^{\prime} N}{A N}=1$. Conform reciprocei + +Teoremei lui Ceva, deducem că dreptele $A P, B^{\prime} N$ şi $D^{\prime} M$ sunt concurente. $\qquad$ + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1274-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1274-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..704b9ca05c5bc6bd7111c80098a47334fbe29fb6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1274-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,217 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f783c1fcde9590a92f4fg-1.jpg?height=241&width=214&top_left_y=64&top_left_x=305) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că $\frac{2 k-1}{2 k}<\frac{2 k}{2 k+1}$, oricare ar fi $k$ număr natural nenul. + +b) Fie $p=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 99}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 100}$. Aflaţi zecimea din scrierea zecimală a numărului $p$. + +c) Arătaţi că $\frac{1}{2 \sqrt{2013}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{4025}{4026}<\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{4026}}$. + +## SUBIECTUL al II-lea + +a) Determinaţi numărul real $a$, ştiind că $\sqrt{5(a-6)^{2}}=20$. + +b) Calculaţi $\sqrt{8-2 \sqrt{15}}+\sqrt{8+2 \sqrt{15}}$. + +c) Determinaţi numerele raţionale $x$ şi $y$, astfel încât + +$$ +\frac{\sqrt{25(x-6)^{2}}-10 \sqrt{1006009}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{9(y+2)^{2}}-30 \sqrt{40401}}{\sqrt{3}}=\sqrt{8-2 \sqrt{15}} +$$ + +## SUBIECTUL al III-lea + +Fie patrulaterul convex $A B C D$ cu $A C \cap B D=\{O\}$ şi punctele $E, F, M, N, P, R$ mijloacele segmentelor $[A B],[B C],[C D],[D A],[A C]$, respectiv, $[B D]$. Demonstraţi că: + +a) Patrulaterul $M N E F$ este paralelogram. + +b) Dreptele $M E, N F, P R$ sunt concurente. +c) $O N+O F=\frac{A D+B C}{2} \Leftrightarrow O E+O M=\frac{A B+C D}{2}$. + +## SUBIECTUL al IV-lea + +În triunghiul $A B C$ cu $\Varangle B \equiv \Varangle C,[A D]$ este mediană cu $D \in(B C)$ şi $E \in(A B)$, astfel încât $C E \perp A B$. Fie $A D \cap C E=\{T\}$ şi $B T \cap A C=\{F\}$. Pe latura $[A C]$ există un punct $G$ egal depărtat de $A B$ şi $B C$. Să se arate că: + +a) $B C=2 \cdot D F$; + +b) $D E^{2}=\frac{B E \cdot A B}{2}$ + +c) $\frac{1}{C G}-\frac{1}{B C}=\frac{1}{A C}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii şi se notează cu puncte de la 0 la 7. + +Timp de lucru: 3 ore. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f783c1fcde9590a92f4fg-2.jpg?height=240&width=1012&top_left_y=64&top_left_x=298) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că $\frac{2 k-1}{2 k}<\frac{2 k}{2 k+1}$, oricare ar fi $k$ număr natural nenul. + +b) Fie $p=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 99}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 100}$. Aflaţi zecimea din scrierea zecimală a numărului $p$. + +c) Arătaţi că $\frac{1}{2 \sqrt{2013}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{4025}{4026}<\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{4026}}$. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) Deoarece $2 k>0$ şi $2 k+1>0$, $\frac{2 k-1}{2 k}<\frac{2 k}{2 k+1} \Leftrightarrow(2 k-1)(2 k+1)<2 k \cdot 2 k \Leftrightarrow$ $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f783c1fcde9590a92f4fg-2.jpg?height=247&width=246&top_left_y=66&top_left_x=1579) +$\Leftrightarrow 4 k^{2}-1<4 k^{2}$, ceea ce este evident adevărat. + +Conform subpunctului a), putem scrie succesiv: + +$$ +\frac{1}{2}<\frac{2}{3} ; \frac{3}{4}<\frac{4}{5} ; \frac{5}{6}<\frac{6}{7} ; \ldots ; \frac{99}{100}<\frac{100}{101} +$$ + +Înmulțind inegalitățile, membru cu membru, obținem: + +$$ +\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{99}{100}<\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{100}{101} +$$ + +$\qquad$ +$p<\frac{1}{p} \cdot \frac{1}{101} \Leftrightarrow p^{2}<\frac{1}{101}<\frac{1}{100}$ si cum $p>0 \Rightarrow p<\frac{1}{10} \Leftrightarrow p<0,1$ + +Zecimea din scrierea zecimală a numărului $p$ este 0 . + +c) Fie $a=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{4025}{4026}$ şi $b=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{4024}{4025}$. Se arată că $a>b$. + +Din $a>b \Rightarrow a^{2}>a b \Leftrightarrow a^{2}>\frac{1}{4 \cdot 2013} \Rightarrow a>\frac{1}{2 \sqrt{2013}}$ + +Fie $c=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{4024}{4025}$ + +Obţinem $a ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL al II-lea + +a) Determinaţi numărul real $a$, ştiind că $\sqrt{5(a-6)^{2}}=20$. + +b) Calculaţi $\sqrt{8-2 \sqrt{15}}+\sqrt{8+2 \sqrt{15}}$. + +c) Determinaţi numerele raţionale $x$ şi $y$, astfel încât + +$$ +\frac{\sqrt{25(x-6)^{2}}-10 \sqrt{1006009}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{9(y+2)^{2}}-30 \sqrt{40401}}{\sqrt{3}}=\sqrt{8-2 \sqrt{15}} +$$ + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $\sqrt{5(a-6)^{2}}=20 \Leftrightarrow|a-6| \sqrt{5}=20 \Leftrightarrow$ $\qquad$ $|a-6|=4 \sqrt{5} \Rightarrow a-6=4 \sqrt{5}$ sau $a-6=-4 \sqrt{5} \Rightarrow a \in\{6-4 \sqrt{5} ; 6+4 \sqrt{5}\} \subset \mathbb{R}$. $\qquad$ +b) $\sqrt{8-2 \sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ $\qquad$ 1 punct + +$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$. Suma este egală cu $2 \sqrt{5}$. $\qquad$ +c) $\frac{5|x-6|-10 \cdot 1003}{\sqrt{5}}-\frac{3|y+2|-30 \cdot 201}{\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3} \Leftrightarrow$ + +$|x-6| \sqrt{5}-2007 \sqrt{5}=|y+2| \sqrt{3}-2011 \sqrt{3}$ + +$|x-6| \sqrt{15}-2007 \sqrt{15}=3|y+2|-2011 \cdot 3$; + +$\left.\begin{array}{l}(|x-6|-2007) \sqrt{15}=3(|y+2|-2011) \\ \forall y \in \mathbb{Q} \Rightarrow 3(|y+2|-2011) \in \mathbb{Q}\end{array}\right\} \Rightarrow(|x-6|-2007) \sqrt{15} \in \mathbb{Q}$ $\qquad$ +$\left.\begin{array}{l}(|x-6|-2007) \sqrt{15} \in \mathbb{Q} \\ \forall x \in \mathbb{Q} \Rightarrow(|x-6|-2007) \in \mathbb{Q}\end{array}\right\} \Rightarrow|x-6|-2007=0 \Rightarrow x \in\{-2001 ; 2013\} \subset \mathbb{Q}$ $\qquad$ + +$$ +\left.\begin{array}{l} +(|x-6|-2007) \sqrt{15}=3(|y+2|-2011) \\ +(|x-6|-2007)=0 +\end{array}\right\} \Rightarrow|y+2|-2011=0 \Rightarrow y \in\{-2013 ; 2009\} \subset \mathbb{Q} +$$ + +Problema admite 4 soluţii: $(x ; y) \in\{(-2001 ;-2013),(-2001 ; 2009),(2013 ;-2013),(2013 ; 2009)\} \ldots 1$ punct + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f783c1fcde9590a92f4fg-4.jpg?height=252&width=1532&top_left_y=64&top_left_x=298) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL al III-lea + +Fie patrulaterul convex $A B C D$ cu $A C \cap B D=\{O\}$ şi punctele $E, F, M, N, P, R$ mijloacele segmentelor $[A B],[B C],[C D],[D A],[A C]$, respectiv, $[B D]$. Demonstraţi că: + +a) Patrulaterul $M N E F$ este paralelogram. + +b) Dreptele $M E, N F, P R$ sunt concurente. + +c) $O N+O F=\frac{A D+B C}{2} \Leftrightarrow O E+O M=\frac{A B+C D}{2}$. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $[M N]$ este linie mijlocie în $\triangle A C D \Rightarrow M N \| A C$ şi $M N=\frac{1}{2} A C$ $\qquad$ +Patrulaterul $M N E F$ este paralelogram. + +b) $M N E F$ este paralelogram $\Rightarrow \exists O$ a.t. $M E \cap N F=\{O\}$, cu $O$ mijlocul segmentului $[N F]$ .... 1 punct $F R N P$ este paralelogram $\Rightarrow P R$ trece prin $O$, mijlocul segentului $[N F]$ + +c) $" \Rightarrow$ " + +1) Dacă $m(\nless A O D)<90^{\circ}$. Fie $T \in(N O$ a.î. $N T=N A$; + +$[T N]$ este mediană în $\triangle A T D$ + +Din $T N=\frac{1}{2} A D \Rightarrow \triangle A T D$ este dreptunghic in $T$ + +$m(\Varangle A T D)=90^{\circ}=m(\Varangle A T N)+m(\Varangle D T N)>m(\Varangle A O T)+m(\Varangle D O T)=m(\Varangle A O D) \Rightarrow T \in(O N)$ + +Analog, fie $Q \in\left(F O\right.$ a.î. $O F=F B$; Obţinem $Q \in(O F)$ şi $m(\Varangle B Q C)=90^{\circ}$; + +Atunci $O N+O F>T N+Q F=\frac{A D}{2}+\frac{B C}{2}=\frac{A D+B C}{2}$, ceea ce reprezintă o contracţie. $\qquad$ +2) Dacă $m(\nless A O D)>90^{\circ}$., ajungem la aceeaşi contradicţie. + +Deci $m(\nless A O D)=90^{\circ} \Rightarrow \triangle D O C$ şi $\triangle A O B$ sunt dreptunghice cu $[O M]$, respectiv $[O E]$ mediane. + +Atunci $O M+O E=\frac{1}{2} D C+\frac{1}{2} A B=\frac{A B+C D}{2}$. $\qquad$ +$" \Leftarrow "$ + +Se tratează analog $\qquad$ +Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f783c1fcde9590a92f4fg-5.jpg?height=248&width=746&top_left_y=60&top_left_x=298) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL al IV-lea + +În triunghiul $A B C$ cu $\Varangle B \equiv \Varangle C,[A D]$ este mediană cu $D \in(B C)$ şi $E \in(A B)$, astfel încât $C E \perp A B$. Fie $A D \cap C E=\{T\}$ şi $B T \cap A C=\{F\}$. Pe latura $[A C]$ există un punct $G$ egal depărtat de $A B$ şi $B C$. + +Să se arate că: +a) $B C=2 \cdot D F$; +b) $D E^{2}=\frac{B E \cdot A B}{2}$; +c) $\frac{1}{C G}-\frac{1}{B C}=\frac{1}{A C}$ + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $\triangle A B C$ este isoscel de bază $[B C]$ cu $[A D]$ mediană $A D$ este înălţime în $\triangle A B C$ + +AD este inălţime în $\triangle A B C$ + +CE este inălļime în $\triangle A B C\} \Rightarrow T$ este ortocentrul $\triangle-l u i \quad A B C$ + +$A D \cap C E=\{T\}$ + +Atunci $B F$ este înălțime în $\triangle A B C \Rightarrow \triangle B F C$ este dreptunghic în $F$ + +$\left.\begin{array}{l}\triangle B F C d r \text {. in } F \\ {[F D] \text { este mediană }}\end{array}\right\} \Rightarrow F D=\frac{1}{2} B C \Leftrightarrow B C=2 F D$. $\qquad$ +b) $\triangle A D B \sim \triangle C E B(U . U.) \Rightarrow \frac{A D}{C E}=\frac{B D}{B E}=\frac{A B}{B C}$ $\qquad$ +$[D E]$ este mediană în $\triangle E B C$ dr. în $E \Rightarrow D E=B D$ + +$\frac{D E}{B E}=\frac{A B}{B C} \Rightarrow \frac{D E}{B E}=\frac{A B}{2 B D} \Rightarrow \frac{D E}{B E}=\frac{A B}{2 D E} \Rightarrow D E^{2}=\frac{A B \cdot B E}{2}$ $\qquad$ +c) Pe latura $[A C]$ există un punct $G$ egal depărtat de $A B$ şi $B C \Rightarrow(B G$ este este bisectoare în $\triangle A B C$; .1 punct + +$\left[B G\right.$ este bisectoare în $\triangle A B C \Rightarrow \frac{C G}{G A}=\frac{B C}{A B}$ + +$\frac{C G}{G A}=\frac{B C}{A B} \Rightarrow \frac{C G}{G A+C G}=\frac{B C}{A B+B C} \Rightarrow \frac{C G}{A C}=\frac{B C}{A B+B C} \Rightarrow \frac{A C}{C G}=\frac{A B+B C}{B C} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow \frac{A C}{C G}=\frac{A B+B C}{B C} \Rightarrow \frac{A C}{C G}=\frac{A B}{B C}+\frac{B C}{B C} \Rightarrow \frac{A C}{C G}-\frac{A C}{B C}=1 \Rightarrow \frac{1}{C G}-\frac{1}{B C}=\frac{1}{A C}$. + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1275-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1275-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea9dd2594f815e6eb37316fe794de467ff9d09bd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1275-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,186 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dee27f17c94b95434e21g-1.jpg?height=250&width=239&top_left_y=62&top_left_x=1591) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VI-a + +# SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că produsul tuturor divizorilor naturali ai numărului 2013 este pătrat perfect. + +b) Fie un număr natural $p$ care se divide cu 6, dar nu se divide cu 4 şi nu se divide cu 9 . + +1) Arătaţi că $p$ nu este pătrat perfect. +2) Arătaţi că produsul tuturor divizorilor naturali ai numărului $p$ este pătrat perfect. + +## SUBIECTUL al II-lea + +Fie $A, C, D, B$, coliniare în această ordine, astfel încât, $[A D] \equiv[C B]$, iar $M$ mijlocul segmentului $[C D]$. Construim $F C \perp A B$ şi $E D \perp A B$, astfel încât, $[F C] \equiv[E D]$, iar $F$ şi $E$ sunt situate în semiplane opuse determinate de dreapta $A B$. Fie $C S \perp F B$, cu $S \in F B$ şi $D R \perp A E$, cu $R \in A E$. Să se arate că: + +a) Segmentele $[A B]$ şi $[D C]$ au acelaşi mijloc; + +b) $[R E] \equiv[S F]$; + +c) Punctele $S, M, R$ sunt coliniare. + +## SUBIECTUL al III-lea + +Fie un triunghi $V A L$, dreptunghic în $V$, cu $V A ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că produsul tuturor divizorilor naturali ai numărului 2013 este pătrat perfect. + +b) Fie un număr natural $p$ care se divide cu 6 , dar nu se divide cu 4 şi nu se divide cu 9 . + +1) Arătaţi că $p$ nu este pătrat perfect. +2) Arătaţi că produsul tuturor divizorilor naturali ai numărului $p$ este pătrat perfect. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $2013=3 \cdot 11 \cdot 61$ $\qquad$ +$D_{2013}=\{1 ; 3 ; 11 ; 61 ; 3 \cdot 11 ; 3 \cdot 61 ; 11 \cdot 61 ; 3 \cdot 11 \cdot 61\}$. $\qquad$ +$P_{d i v}=3^{4} \cdot 11^{4} \cdot 61^{4}=\left(3^{2} \cdot 11^{2} \cdot 61^{2}\right)^{2} \Rightarrow P_{d i v}$ este pătrat perfect $\qquad$ +b) $p \vdots 2$ şi $p \succsim 2^{2}$ $\qquad$ +$p \vdots 2$ + +$\left.\begin{array}{l}p \% 2^{2} \\ 2 \text { e nr. prim }\end{array}\right\} \Rightarrow p$ nu este pătrat perfect. $\qquad$ +c) Fie $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots, d_{k}$, toţi divizorii naturali ai numărului natural $p$, astfel încât $1=d_{1}ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VI-a + +# SUBIECTUL al II-lea + +Fie $A, C, D, B$, coliniare în această ordine, astfel încât, $[A D] \equiv[C B]$, iar $M$ mijlocul segmentului $[C D]$. Construim $F C \perp A B$ şi $E D \perp A B$, astfel încât, $[F C] \equiv[E D]$, iar $F$ şi $E$ sunt situate în semiplane opuse determinate de dreapta $A B$. Fie $C S \perp F B$, cu $S \in F B$ şi $D R \perp A E$, cu $R \in A E$. Să se arate că: + +a) Segmentele $[A B]$ şi $[D C]$ au acelaşi mijloc; +b) $[R E] \equiv[S F]$; + +c) Punctele $S, M, R$ sunt coliniare. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $[A C] \equiv[B D]$ $\qquad$ +$[A M] \equiv[B M] \Rightarrow M$ este mijlocul segmentului $[A B]$ $\qquad$ +b) $\triangle A D E \equiv \triangle B C F(C . C.) \Rightarrow \Varangle E \equiv \Varangle F$ $\qquad$ $\triangle D R E \equiv \triangle C S F(C . C.) \Rightarrow[R E] \equiv[S F]$ $\qquad$ +c) $\Varangle R D E \equiv \Varangle S C F$ $\qquad$ +$\triangle R D M \equiv \triangle S C M(L . U . L) \Rightarrow \Varangle D M R \equiv \Varangle C M S$ $\qquad$ +$\Varangle D M R \equiv \Varangle C M S$ + +$\left.\begin{array}{l}C, M, D \text { sunt coliniare } \\ C D \text { separă punctele } R \text { şi } S\end{array}\right\} \Rightarrow R, M, S$ sunt coliniare. + +1 punct + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dee27f17c94b95434e21g-4.jpg?height=250&width=1526&top_left_y=62&top_left_x=298) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL al III-lea + +Fie un triunghi $V A L$, dreptunghic în $V$, cu $V AETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a VI-a + +# SUBIECTUL al IV-lea + +Spunem că o mulţime $X$ de numere naturale are proprietatea $(P)$, dacă suma oricăror trei elemente din $X$ este un număr prim. + +a) Arătaţi că mulţimea $\{11 ; 29 ; 49 ; 59\}$ nu are proprietatea $(P)$. + +b) Daţi un exemplu de mulţime cu proprietatea $(P)$, de forma $A=\{5 ; 7 ; a ; b\}$. + +c) Arătaţi că nu există mulțimi $X$ cu proprietatea $(P)$, astfel încât card $X \geq 5$. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +a) De exemplu: $11+29+59$ 1 punct + +$11+29+59=99: 3 \Rightarrow 99$ nu este prim $\Rightarrow$ mulţimea $\{11 ; 29 ; 49 ; 59\}$ nu are proprietatea $(P)$. ....1 punct + +Observaţie: Nu este singurul exemplu! + +b) Un exemplu de mulţime cu proprietatea $(P)$, de forma $A=\{5 ; 7 ; a ; b\}$ este $\{5 ; 7 ; 11 ; 25\}$. $\qquad$ 1 punct + +$5+7+11=23$, este prim; + +$5+7+25=37$, este prim; + +$5+11+25=41$, este prim; + +$11+7+25=43$, este prim; + +Deci $\{5 ; 7 ; 11 ; 25\}$ are proprietatea $(P)$ 1 punct + +c) Fie $A$ o mulţime cu cel puţin 5 elemente. Împărţind elementele din $A$ la 3 , obţinem un rest, $r$, cu $r \in\{0 ; 1 ; 2\}$. Aplicând principiul cutiei, există cel puţin 3 elemente care dau acelaşi rest la împărţirea cu 3 sau există 3 elemente care dau resturi diferite două câte două la împărţirea cu 3 . 1 punct + +Dacă există 3 elemente care dau acelaşi rest la împărţirea cu 3, atunci suma lor este mai mare ca 3 , este divitibilă cu 3, deci nu este număr prim. 1 punct + +Dacă există 3 elemente care dau resturi diferite două câte două la împărţirea cu 3 , atunci suma lor este mai mare ca 3 , este divitibilă cu 3 , deci nu este număr prim. În cocluzie, nu există o mulţime $X$ cu proprietatea $(P)$, astfel încât card $X \geq 5$. + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1276-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1276-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbbccbe9869928c469bdce8ed8ab235aa14193dd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1276-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,185 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d2be95496902970eb0bg-1.jpg?height=254&width=1512&top_left_y=60&top_left_x=314) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a V-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $A=\{3 ; 9 ; 15 ; \ldots ; 2013\}$. + +a) Arătaţi că $597 \in A$ şi $727 \notin A$. + +b) Calculaţi suma elementelor din mulţimea $A$. + +c) Arătaţi că oricare ar fi $n$ număr natural nenul, suma primelor $n$ elemente din $A$, luate în ordine crescătoare, nu este pătrat perfect. + +## SUBIECTUL al II-lea + +a) Să se compare numerele $2^{497}$ cu $5^{213}$ + +b) Arătaţi că $10^{24}<2^{80}<10^{25}$. + +c) Câte cifre are numărul $A=2^{320} \cdot 5^{240}$ ? + +## SUBIECTUL al III-lea + +Pe o tablă, într-un tabel, sunt scrise iniţial numerele $3 ; 0 ; 1 ; 2$, iar la fiecare pas, se măreşte cu 4 cel mai mic număr scris la pasul anterior, ca în modelul de mai jos: + +| Numerele iniţiale | 3 | $\mathbf{0}$ | 1 | 2 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Pasul 1 | $3 ;$ | 4 | 1 ; | 2; | +| Pasul 2 | 3 | 4 | 5 | $2 ;$ | +| Pasul 3 | $\ldots$ | | | | + +a) Determinaţi $n$, ştiind că la pasul $n$ se scriu 4 numere care au suma egală cu 258 . + +b) După câţi paşi apare în tabel numărul 2013? Justificaţi. + +c) După 2013 paşi, câte numere scrise în a $4-a$ coloană a tabelului sunt pătrate perfecte? Justificaţi! + +## SUBIECTUL al IV-lea + +Se dau mulţimile: $A=\{\overline{a b c} \mid \overline{a b c}$ împărţite la 35 dau restul 10$\}$ şi + +$B=\{\overline{a b c} \mid \overline{a b c}: 5$ şi $\overline{a b c}$ împărţite la 7 dau restul 3$\}$. + +a) Determinaţi cel mai mic şi, respectiv, cel mai mare element din mulţimea $A$. + +b) Demonstraţi că $A=B$. + +c) Arătaţi că oricum am alege 16 elemente din $A$, există 2 elemente a căror diferenţă este divizibilă cu 11 . + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii şi se notează cu puncte de la 0 la 7. Timp de lucru: 2 ore. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d2be95496902970eb0bg-2.jpg?height=248&width=1530&top_left_y=60&top_left_x=297) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a V-a + +# SUBIECTUL I + +Fie $A=\{3 ; 9 ; 15 ; \ldots ; 2013\}$. + +a) Arătaţi că $597 \in A$ şi $727 \notin A$. + +b) Calculaţi suma elementelor din mulţimea $A$. + +c) Arătaţi că oricare ar fi $n$ număr natural nenul, suma primelor $n$ elemente din $A$, luate în ordine crescătoare, nu este pătrat perfect. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +a) Elementele mulţimii A sunt de forma $6 k+3, k \in \mathbf{N}$ $\qquad$ +$597=6 \cdot 99+3 \Rightarrow 597 \in A$ $\qquad$ +$727=6 \cdot 121+1 \Rightarrow 727 \notin A$ 1 punct + +b) $3+9+15+\ldots+2013=(6 \cdot 0+3)+(6 \cdot 1+3)+\ldots+(6 \cdot 335+3)=6 \cdot(1+2+\ldots+335)+3 \cdot 336=$ $\qquad$ 1 punct $=6 \cdot 335 \cdot 336: 2+1008=338688$ $\qquad$ +c) Fie $S=(6 \cdot 0+3)+(6 \cdot 1+3)+\ldots+[6 \cdot(n-1)+3]=6 \cdot(n-1) \cdot n: 2+3 n=3 n^{2}$ $\qquad$ $\left.\begin{array}{l}S=3 n^{2} \\ n^{2} \text { este pătrat perfect }\end{array}\right\} \Rightarrow S$ nu e pătrat perfect $\qquad$ +Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d2be95496902970eb0bg-3.jpg?height=248&width=1528&top_left_y=60&top_left_x=297) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a V-a + +# SUBIECTUL II + +a) Să se compare numerele $2^{497} \mathrm{cu} 5^{213}$. + +b) Arătaţi că $10^{24}<2^{80}<10^{25}$. + +c) Câte cifre are numărul $A=2^{320} \cdot 5^{240}$ ? + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $2^{497}=2^{7.71}=\left(2^{7}\right)^{71}=128^{71}$ $\qquad$ +$5^{213}=5^{3.71}=\left(5^{3}\right)^{71}=125^{71}$ $\qquad$ 1 punct + +Concluzie: $2^{497}>5^{213}$ $\qquad$ 1 punct + +b) $\left.\begin{array}{c}10^{24}=10^{3.8}=\left(10^{3}\right)^{8}=1000^{8} \\ 2^{80}=2^{10.8}=\left(2^{10}\right)^{8}=1024^{8}\end{array}\right\} \Rightarrow 10^{24}<2^{80}$ + +$\left.\begin{array}{l}2^{80}=2^{16 \cdot 5}=\left(2^{16}\right)^{5}=65536^{5} \\ 10^{25}=10^{5.5}=\left(10^{5}\right)^{5}=10000^{5}\end{array}\right\} \Rightarrow 2^{80}<10^{25}$ $\qquad$ +c) $A=2^{320} \cdot 5^{240}=2^{80} \cdot 2^{240} \cdot 5^{240}=2^{80} \cdot 10^{240}$ $\qquad$ +Conform subpunctului a) $10^{24}<2^{80}<10^{25} \Rightarrow 10^{24} \cdot 10^{240}<2^{80} \cdot 10^{240}<10^{25} \cdot 10^{240}$ Avem $10^{264}ETAPA LOCALĂ
16.02.2013
CLASA a V-a + +# SUBIECTUL III + +Pe o tablă, într-un tabel, sunt scrise iniţial numerele $3 ; 0 ; 1 ; 2$, iar la fiecare pas, se măreşte cu 4 cel mai mic număr scris la pasul anterior, ca în modelul de mai jos: + +| Numerele iniţiale | 3 | $\mathbf{0}$ | 1 | 2 ; | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Pasul 1 | $3 ;$ | 4; | $1 ;$ | $2 ;$ | +| Pasul 2 | 3 | 4 | 5 | 2; | +| Pasul 3 | $\ldots$ | | | | + +a) Determinaţi $n$, ştiind că la pasul $n$ se scriu 4 numere care au suma egală cu 258 . + +b) După câţi paşi apare în tabel numărul 2013? Justificaţi. + +c) După 2013 paşi, câte numere scrise în a $4-a$ coloană a tabelului sunt pătrate perfecte? Justificaţi! + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) Suma numerelor iniţiale este 6 + +După fiecare pas suma numerelor este cu 4 mai mare decât suma numerelor anterioare 1 punct + +După $n$ paşi suma noilor numere va fi $S=6+4 n$ 1 punct + +$S=258 \Rightarrow 4 n+6=258 \Rightarrow 4 n=252 \Rightarrow n=63$ 1 punct + +b) La pasul $p_{i}$ noul număr care apare este $i+3$ $\qquad$ + +$$ +i+3=2013 \Rightarrow i=2010 \text {, deci } 2013 \text { apare la pasul } 2012 +$$ + +$\qquad$ 1punct + +c) Pe coloana a 4-a apar doar numere de forma $4 k+2, k \in \mathbf{N}$ $\qquad$ Deci nu există pătrate perfecte pe coloana a 4-a ...... +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d2be95496902970eb0bg-5.jpg?height=252&width=1530&top_left_y=60&top_left_x=297) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
16.02 .2013
CLASA a V-a + +# SUBIECTUL IV + +Se dau mulţimile: $A=\{\overline{a b c} \mid \overline{a b c}$ împărţite la 35 dau restul 10$\}$ şi + +$$ +B=\{\overline{a b c} \mid \overline{a b c}: 5 \text { şi } \overline{a b c} \text { împărţite la } 7 \text { dau restul } 3\} . +$$ + +a) Determinaţi cel mai mic şi, respectiv, cel mai mare element din mulţimea $A$. + +b) Demonstraţi că $A=B$. + +c) Arătaţi că oricum am alege 16 elemente din $A$, există 2 elemente a căror diferenţă este divizibilă cu 11 . + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +a) $115=35 \cdot 3+10 \Rightarrow 115$ este cel mai mic element din mulţimea $\mathrm{A}$ 1 punct + +$990=35 \cdot 28+10 \Rightarrow 990$ este cel mai mare element din mulţimea $\mathrm{A}$ + +b) Fie $\left.\begin{array}{l}\overline{a b c} \in A \Rightarrow \overline{a b c}=35 k+10=5(7 k+2) \vdots 5 \\ \overline{a b c} \in A \Rightarrow \overline{a b c}=35 k+10=7(5 k+1)+3\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{a b c} \in B \Rightarrow A \subseteq B$ $\qquad$ +1 punct + +Fie $\overline{a b c} \in B \Rightarrow \overline{a b c}=5 k$ şi $\overline{a b c}=7 p+3 \Rightarrow 5 k=7 p+3 \Rightarrow 5 k=5 p+2 p+3 \Rightarrow(2 p+3) \vdots 5$ + +$2 p+3=5 t \Rightarrow 2 p+2=4 t+t-1 \Rightarrow(t-1) \vdots 2 \Rightarrow t=2 n+1 \Rightarrow \overline{a b c}=35 n+10 \in A \Rightarrow B \subseteq A$ + +Cum $A \subseteq B$ şi $B \subseteq A \Rightarrow A=B$ + +1 punct + +c) Construim submulţimile $A_{1}=\{35 \cdot 3+10\}, A_{2}=\{35 \cdot 4+10\}, A_{3}=\{35 \cdot 5+10\}, A_{4}=\{35 \cdot 6+10\}$, $A_{5}=\{35 \cdot 7+10 ; 35 \cdot 18+10\}, A_{6}=\{35 \cdot 8+10 ; 35 \cdot 19+10\}, \ldots, A_{15}=\{35 \cdot 17+10 ; 35 \cdot 28+10\}$ + +1punct + +Aplicând principiul cutiei, printre cele 16 elemente vom găsi două elemente din mulţimea $A_{5}$ sau $A_{6}$ sau $A_{7} \ldots$. sau $A_{15}$ 1 punct + +Diferenţa acestor două numere este divizibilă cu 11 1 punct + +## Notă: Orice altă soluţie se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1277-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1277-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5bbd3f340a725f13a7aca3e46310c7a655655ee7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1277-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md" @@ -0,0 +1,47 @@ +# Clasa a XII-a + +1. a) Demonstrați că arctg $x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$, oricare ar fi $x>0$. + +b) Pentru $a>1$, calculați $\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{\operatorname{arctg} x}{x} d x$. + +2. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție continuă şi $M=\left\{\left.A(x)=\left(\begin{array}{cc}x & f(x) \\ 0 & x\end{array}\right) \right\rvert\, x \in(0, \infty)\right\}$. Determinați funcțiile $f$ pentru care $M$ este grup î raport cu înmulțirea matricelor. +3. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ periodică, neconstantă şi care admite primitive. + +a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ se poate scrie ca sumă dintre o funcție periodică şi o funcție de tipul $G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, G(x)=a x$, unde $a \in \mathbb{R}$. + +b) Dacă $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f$, calculați $L=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{F(x)}{x}$. + +c) Arătați cǎ nu existǎ limita $\lim _{x \rightarrow \infty}(F(x)-L x)$. + +Radu Gologan + +4. Fie $G$ un grup de ordin $n, n \geq 4$, cu proprietatea că există $m \in \mathbb{N}, 10$, este nulă, aşadar $f$ este constantă pe $(0, \infty) . \operatorname{Cum} f(1)=\frac{\pi}{2}$, rezultă că $f(x)=\frac{\pi}{2}, \forall x>0$. + +b) Dacă $I=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{\operatorname{arctg} x}{x} d x$, cu schimbarea de variabilă $\frac{1}{x}=t$ obținem că $I=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{\operatorname{arctg} \frac{1}{t}}{t} d t$, deci $I=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}}{x} d x=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{\pi}{2 x} d x=\left.\frac{\pi}{2} \ln x\right|_{\frac{1}{a}} ^{a}=\pi \ln a$, prin urmare $I=\frac{\pi \ln a}{2}$. + +2. Se observă că $A(x) \cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}x y & x f(y)+y f(x) \\ 0 & x y\end{array}\right)$. Cum $A(x) \cdot A(y)=A(x y)$, rezultă că $f(x y)=x \cdot f(y)+y \cdot f(x), \forall x \in(0, \infty)$. + +$\mathrm{Cu}$ notația $g(x)=\frac{f(x)}{x}, x>0$, obținem că funcția continuă $g$ verifică ecuația funcțională $g(x y)=g(x)+g(y), \forall x \in(0, \infty)$. Atunci $g(x)=k \log _{a} x$, aşadar $f(x)=k x \log _{a} x$, $\forall x \in(0, \infty)$, unde $k \in \mathbb{R}, a \in(0,1) \cup(1, \infty)$. + +Pentru funcțiile $f$ de această formă, se verifică imediat axiomele grupului. + +3. a) Fie $F$ o primitivă a lui $f$; căutăm $a \in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $H(x)=F(x)-a x$ să fie periodică. Observăm întâi că funcția $g(x)=F(x+T)-F(x)$ are derivata nulă, deci este constantă, adică $F(x+T)-F(x)=k, \forall x \in \mathbb{R}$. Condiția $H(x+T)=H(x), \forall x \in \mathbb{R}$ revine la $a T=k$, unde $k=\frac{F(T)-F(0)}{T}$, deci este suficient să luăm $a=\frac{k}{T}$. + +b) Aplicând regula lui l'Hospital (cazul de nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ ) şi ținând seama de punctul a), obținem că $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{F(x)}{x}=k$. +c) $H$ este periodică şi neconstantă, deci nu există $\lim _{x \rightarrow \infty} H(x)$. + +4. Considerăm submulțimile lui $G$ care conțin elementul neutru $e$ şi îcă $m-1$ elemente din $G \backslash\{e\}$. Numărul acestor submulțimi este $C_{n-1}^{m-1}$, deci toate aceste submulțimi sunt subgrupuri ale lui $G$. + +Dacă, prin absurd, $m>2$, atunci există $x, y \in G \backslash\{e\}, x \neq y$; cum $n-3 \geq m-2 \geq 1$, putem alege $m-2$ elemente distincte din $G \backslash\{e\}$, fie acestea $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m-2}$. Notăm +$H_{1}=\left\{e, x, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m-2}\right\}$ şi $H_{2}=\left\{e, y, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m-2}\right\}$. Avem că $x a_{1} \in H_{1}$ (deoarece $H_{1}$ este sugrup), $\quad x a_{1} \neq e \quad$ (altfel $x=a_{1}^{-1} \in H_{2}$ ), $\quad x a_{1} \neq x \quad$ (în caz contrar, $\quad a_{1}=e$ ) şi $x a_{1} \neq a_{i}, i=\overline{2, m-2}$ (altfel $x=a_{i} a_{1}^{-1} \in H_{2}$ ). + +Contradicția la care am ajuns arată că $m=2$, deci $a^{2}=e, \forall a \in G$. Această condiție conduce la comutativitatea lui $G$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1278-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1278-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6036a63d5931c153abc33ddbee8d4ac28f5236fa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1278-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.md" @@ -0,0 +1,52 @@ +# Clasa a XI-a + +1. Dacă $\alpha$ este un număr real oarecare, arătați că există un şir de numere reale, având oricare doi termeni distincti, convergent la $\alpha$. +2. Se consideră şirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite recurent prin $x_{1}=4, y_{1}=1$, + +$$ +x_{n+1}=\frac{2 x_{n}+y_{n}}{3}, y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Demonstrați că şirurile date sunt convergente şi determinați limitele lor. + +3. Fie $A$ o matrice pătratică de ordin 3 , cu toate elementele din mulțimea $\{-1,1\}$. + +a) Determinați valorile posibile ale determinantului matricei $A$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, are toate elementele nenule. + +4. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$ cu proprietatea că $A B-B A=A$. Demonstrați că $A B A=A B^{2} A=O_{2}$. + +Marian Cucoanes, Gazeta Matematică 11/2012 Subiect elaborat de prof. Cristian Lazăr + +## Clasa a XI-a + +1. Este suficient să considerăm şirul $x_{n}=\alpha+\frac{1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. +2. Din prima relație obținem că $y_{n}=3 x_{n+1}-2 x_{n}$, prin urmare $y_{n+1}=3 x_{n+2}-2 x_{n+1}$. Înlocuind în a doua relație, deducem că $6 x_{n+2}-7 x_{n+1}+x_{n}=0$. + +Ecuația caracteristică a acestei recurențe este $6 r^{2}-7 r+1=0$, cu rădăcinile $r_{1}=1, r_{2}=\frac{1}{6}$, aşadar $x_{n}=A+B \cdot \frac{1}{6^{n}}$. Cum primii termeni sunt $x_{1}=4, x_{2}=3$, rezultă că $A=\frac{14}{5}, B=\frac{36}{5}$ şi astfel este evident că $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este şir convergent, cu limita $\frac{14}{5}$. + +Apoi, $y_{n}=\frac{14}{5}+\frac{1}{50} \cdot \frac{1}{6^{n-2}}$, prin urmare şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, având aceeaşi limită. + +3. a) Dacă adunăm prima linie la liniile 2 şi 3 , pe aceste linii vor fi numai numere pare. Scoatem factor 2 de pe fiecare dintre ele şi obținem că determinantul matricei $A$, care este număr întreg, se divide cu 4. + +Însă $\operatorname{det} A$ este sumă de şase termeni, fiecare egal cu 1 sau cu -1 , prin urmare are valoarea cuprinsă între -6 şi 6 . Rezultă că det $A \in\{-4,0,4\}$ şi se constată imediat că toate cele trei valori sunt posibile. + +b) Se demonstrează uşor, prin inducție matematică, faptul că matricea $A^{n}$ are toate elementele impare, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. În particular, toate elementele lui $A^{n}$ vor fi nenule. + +4. Cum matricele $A B$ şi $B A$ au aceeaşi urmă, rezultă că $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr}(A B-B A)=0$. Ecuația caracteristică a matricei $A$ conduce la $A^{2}=-(\operatorname{det} A) I_{2}$, prin urmare matricea $A^{2}$ comută cu oricare altă matrice; astfel, $A^{2} B=B A^{2}$. + +Înmulțind relația din enunț cu $A$, la stânga, apoi la dreapta, şi ținând seama de cele anterioare, deducem că $A^{2}=-A^{2}$, deci $A^{2}=O_{2}$. De aici, + +$$ +A B A=(A+B A) A=\left(I_{2}+B\right) A^{2}=O_{2} +$$ + +Ridicăm acum la pătrat ambii membri ai relației din enunț; obținem că + +$$ +(A B A) B-A B^{2} A-B A^{2} B+B(A B A)=A^{2} +$$ + +Deoarece $A B A=A^{2}=O_{2}$, rezultă că $A B^{2} A=O_{2}$, ceea ce încheie rezolvarea. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1279-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1279-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e090fcfd48f3033daa348281032ec86c0b27f3c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1279-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.md" @@ -0,0 +1,46 @@ +# Clasa a X-a + +1. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție cu proprietatea că $(f \circ f)(x)=-x, \forall x \in \mathbb{R}$. Demonstrați că: + +a) funcția $f$ este bijectivă; + +b) funcția $f$ nu este strict monotonă; +c) $f(0)=0$. + +2. Pentru $a, b \in(0,1)$, arătați că are loc inegalitatea $\log _{a} \frac{2 a b}{a+b} \cdot \log _{b} \frac{2 a b}{a+b} \geq 1$. +3. Fie $A B C$ un triunghi echilateral înscris intr-un cerc de rază 1 , iar $M$ un punct oarecare pe cerc. Demonstrați că $M A^{2}+M B^{2}+M C^{2}=6$. + +www.viitoriolimpici.ro + +4. Dacă $m, n$ sunt numere naturale cel puțin egale cu 2 , demonstrați că + +$$ +\frac{1}{2 \sqrt[m]{1}}+\frac{1}{3 \sqrt[m]{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt[m]{n}} Etapa locală - 5.03. 2016 + +## Clasa a IX - a + +Problema 1. Să se arate că, pentru orice $x \in \mathbb{R}$ şi orice $a, n \in \mathbb{N}^{*}$, au loc: +a) $|x+a|+\left|x-a^{2}\right| \geq a^{2}+a$; +b) $|x+1|+|x+2|+\ldots+|x+n|+\left|x-1^{2}\right|+\left|x-2^{2}\right|+\ldots+\left|x-n^{2}\right| \geq \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. + +Problema 2. Fie $A=\{x \in \mathbb{R} \mid[x] \cdot\{x\}=1\}$. Demonstraţi că: + +a) dacă $x \in A$, atunci $x^{2}=[x]^{2}+\{x\}^{2}+2$; + +b) dacă $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2016} \in A$ şi $x_{1} Etapa locală - 5.03. 2016
BAREM DE CORECTARE - Clasa a IX - a + +Problema 1. Să se arate că, pentru orice $x \in \mathbb{R}$ şi orice $a, n \in \mathbb{N}^{*}$, au loc: +a) $|x+a|+\left|x-a^{2}\right| \geq a^{2}+a$; +b) $|x+1|+|x+2|+\ldots+|x+n|+\left|x-1^{2}\right|+\left|x-2^{2}\right|+\ldots+\left|x-n^{2}\right| \geq \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. + +## Barem de corectare. + +(2p) $a$ ) $|x+a|+\left|x-a^{2}\right| \geq\left|x+a+a^{2}-x\right|=a^{2}+a$; + +b) Membrul stâng al relaţiei se scrie: + +(2p) $\quad \sum_{k=1}^{n}\left(|x+k|+\left|x-k^{2}\right|\right) \geq \sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+k\right)=\sum_{k=1}^{n} k^{2}+\sum_{k=1}^{n} k$ + +$(2 p) \quad=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$ + +$(1 p) \quad=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ + +Problema 2. Fie $A=\{x \in \mathbb{R} \mid[x] \cdot\{x\}=1\}$. Demonstraţi că: + +a) dacă $x \in A$, atunci $x^{2}=[x]^{2}+\{x\}^{2}+2$; + +b) dacă $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2016} \in A$ şi $x_{1}0$, ar fi destu1 să demonstrăm că $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$. Această din urmă inegalitate se obține din binecunoscuta $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+y z+z x$, in care considerăm $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1282-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectesolutii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1282-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectesolutii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3ef5b9c4a2e1e668b3807ced85fea53c46e31c9f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1282-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectesolutii.md" @@ -0,0 +1,46 @@ +# Clasa a VI-a + +1. Măsurile unghiurilor formate în jurul unui punct $O$ sunt exprimate (în grade) prin puteri ale numărului 5. Aflați numărul minim de unghiuri în condițile date. +2. Pe o dreaptă se iau, în această ordine, punctele $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{20}$, astfel încât $A_{1} A_{2}=6 \mathrm{~cm}$, $A_{2} A_{3}=12 \mathrm{~cm}, A_{3} A_{4}=18 \mathrm{~cm}$ ş.a.m.d. + +a) Ce lungime are segmentul $\left[A_{1} A_{20}\right]$ ? Dar segmentul $\left[A_{15} A_{20}\right]$ ? + +b) Determinaţi $i \in \mathbb{N}^{*}$ pentru care $M \in\left[A_{i} A_{i+1}\right]$, unde $M$ este mijlocul lui $\left[A_{1} A_{20}\right]$. + +3. a) Fie $p$ un număr prim mai mare decât 5. Determinați ultima cifră a lui $p^{4}$. + +b) Aflați numerele prime $p$ şi $q$, ştiind că $p^{4}+q^{4}=29186$. + +4. a) Determinați numerele naturale $a$ şi $b$, dacă $[a, b]-(a, b)=34$. + +b) Scrieți mulțimea $A=\{1,2,3, \ldots, 1000\}$ ca reuniune de 500 de submulțimi disjuncte două câte două, astfel încât suma elementelor fiecărei submulțimi să fie pătrat perfect. + +Subiect elaborat de prof. Valentina Blendea + +## SOLUTII + +## Clasa a VI-a + +1. Pentru a avea un număr cât mai mic de unghiuri, trebuie ca măsurile acestora să fie cât mai mari. Putem lua cel mult două unghiuri de măsură $125^{\circ}$ (şi vom lua chiar două!), cel mult patru unghiuri de măsură $25^{\circ}$ (şi vom lua exact patru) şi, în final, încă două unghiuri cu măsura de $5^{\circ}$. Numărul minim de unghiuri în conditiile problemei este, deci, opt. +2. a) $A_{1} A_{20}=6 \cdot(1+2+\ldots+19)=1140 \mathrm{~cm}$, iar $A_{15} A_{20}=6 \cdot(15+16+\ldots+19)=510 \mathrm{~cm}$. + +b) Conform punctului a), avem că $A_{1} M=570 \mathrm{~cm}$; atunci + +$$ +M \in\left[A_{i} A_{i+1}\right] \Leftrightarrow A_{1} A_{i} \leq A_{1} M \leq A_{1} A_{i+1} \Leftrightarrow 6 \cdot \frac{(i-1) i}{2} \leq 570 \leq 6 \cdot \frac{i(i+1)}{2} +$$ + +iar acest lucru se întâmplă doar pentru $i=14$. + +3. a) Cum $p$ se poate termina doar in $1,3,7$ sau $9, p^{2}$ se va termina in 1 sau in 9 , deci $p^{4}$ va avea întotdeauna ultima cifră 1 . + +b) Dacă $p$ şi $q$ ar fi ambele mai mari decât 5 , suma din membrul stâng ar avea ultima cifră 2 , contradicție. Presupunând că $p$ este numărul mai mic, el nu poate fi 2 , din considerente de paritate, nici 3 , din cauza ultimei cifre. Rămâne că $p=5$ şi atunci $q^{4}=28561$, de unde $q=13$. + +4. a) Fie $d=(a, b)$; atunci $a=d x, b=d y$, cu $x, y \in \mathbb{N},(x, y)=1$, iar $[a, b]=d x y$. Evident, $d$ trebuie să fie divizor al lui 34 , adică $d \in\{1,2,17,34\}$. Considerând fiecare caz in parte, obținem soluțiile: $\quad(a, b) \in\{(1,35),(5,7),(7,5),(35,1) ;(2,36),(4,18),(18,4),(36,2)$; $(17,51),(51,17) ;(34,68),(68,34)\}$. + +b) De exemplu, putem considera următoarea partiție a lui $A$ : + +$$ +\{1,224\},\{2,223\}, \ldots,\{112,113\},\{225,1000\},\{226,999\}, \ldots,\{612,613\} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1283-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectesolutii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1283-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectesolutii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fedd64a2bf04bfe78792b6f3e14890c209696998 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1283-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectesolutii.md" @@ -0,0 +1,47 @@ +# Clasa a V-a + +1. Se consideră mulțimile $A=\left\{x_{n} \mid x_{n}=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n+57, n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ şi $B=\left\{y^{4} \mid y \in \mathbb{N}\right\}$. + +a) Demonstrați că $x_{9} \notin B$. + +b) Determinați mulțimea $A \cap B$. + +2. Se consideră numărul natural $a=1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{2009}$. + +a) Demonstrați că numărul $a$ este par. + +b) Demonstrați că numărul $a$ este divizibil cu 13. + +c) Aflați restul împărțirii numărului $b$ prin 13 , unde $b=a+3^{2010}+3^{2011}$. + +3. a) Determinați restul împărțirii unui număr natural prin 42 , ştiind că prin împărțire la 6 dă restul 5 iar prin împărțire la 7 dă restul 3 . + +b) Arătați că numărul $21^{33} \cdot 33^{77} \cdot 77^{21}$ este pătrat perfect. + +4. Determinați numerele naturale $a, \overline{b c d}$ şi $e$, ştiind că $4 \cdot\left(2^{2 a} \cdot 3^{a}+\overline{b c d}\right)+2^{e}=2013$. + +## SOLUTII + +## Clasa a V-a + +1. a) Ultima cifră a numărului $x_{9}$ este 7 , deci $x_{9}$ nu este pătrat perfect. Cum $B$ conține numai pătrate perfecte, înseamnă că $x_{9} \notin B$. + +b) Dacă $n \geq 5$, atunci $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n+57=\overline{7} \neq y^{4}, \forall y \in \mathbb{N}$. Pentru $n \in\{1,2,3,4\}, x_{n}$ are, corespunzător, valorile $58,59,63$ şi 81 . Singurul dintre aceste numere care aparține lui $B$ este 81 , prin urmare $A \cap B=\{81\}$. + +2. a) Suma dată are număr par de termeni impari, deci este număr par. + +b) Grupând câte trei termenii sumei, obținem: + +$$ +a=\left(1+3+3^{2}\right)+\left(3^{3}+3^{4}+3^{5}\right)+\ldots+\left(3^{2007}+3^{2008}+3^{2009}\right)=13\left(1+3^{3}+3^{6}+\ldots+3^{2007}\right): 13 +$$ + +c) Avem că $b=1+3+\left(3^{2}+3^{3}+3^{4}\right)+\ldots+\left(3^{2009}+3^{2010}+3^{2011}\right)=4+13\left(3^{2}+3^{5}+\ldots+3^{2009}\right)$, deci $b=13 c+4, \mathrm{cu} 4<13$. Rezultă că restul cerut este 4 . + +3. a) Folosind teorema împărțirii cu rest deducem că $n=6 a+5$, respectiv $n=7 b+3$. Atunci $7 n=42 a+35$, iar $6 n=42 b+18$. Prin scădere, obținem că $n=42 c+17$, cu $17<42$, deci restul căutat este 17 . + +$$ +\text { b) } 21^{33} \cdot 33^{77} \cdot 77^{21}=3^{110} \cdot 7^{54} \cdot 11^{98}=\left(3^{55} \cdot 7^{27} \cdot 11^{49}\right)^{2} +$$ + +4. Întrucât $4 \cdot\left(2^{2 a} \cdot 3^{a}+\overline{b c d}\right)$ este par şi 2013 este impar, rezultă că $2^{e}$ este impar, aşadar $e=0$. Atunci $2^{2 a} \cdot 3^{a}+\overline{b c d}=503$, adică $12^{a}+\overline{b c d}=503$. Deducem că $a \leq 2$ şi, considerând cele trei situații, găsim soluțiile $(a, \overline{b c d}) \in\{(0,502),(1,491),(2,359)\}$. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1284-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1284-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce9055c3e45b302a955455f33805a97eb974772a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1284-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md" @@ -0,0 +1,36 @@ +# Clasa a IX-a + +1. Calculaţi suma $S=\lfloor\sqrt{1 \cdot 2}\rfloor+\lfloor\sqrt{2 \cdot 3}\rfloor+\ldots+\lfloor\sqrt{n \cdot(n+1)}\rfloor$, funcție de $n \in \mathbb{N}^{*}$. +2. Arătați că punctele $A, B$ şi $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă pentru orice punct $M$ din plan, există numerele reale $a, b, c$, nu toate nule, având suma zero, astfel încât + +$$ +a \cdot \overrightarrow{M A}+b \cdot \overrightarrow{M B}+c \cdot \overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0} +$$ + +3. Fie $a=2+2 \sqrt{3}, b=2-2 \sqrt{3}$ şi $S_{n}=a^{n}+b^{n}$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$. Arǎtați că: +a) $S_{n+2}=4 S_{n+1}+8 S_{n}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$; +b) $S_{n} \in \mathbb{N}^{*}, 2^{3 n-1}$ divide $S_{2 n-1}$ si $2^{3 n+1}$ divide $S_{2 n}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. +4. Fie $\triangle A B C$ şi punctele $A^{\prime} \in(B C), B^{\prime} \in(A C), C^{\prime} \in(A B)$ astfel încât cevienele $A A^{\prime}, B B^{\prime}$ şi $C C^{\prime}$ sunt concurente in $M$. Arǎtați că: +a) $\frac{M A}{M A^{\prime}} \cdot \frac{M B}{M B^{\prime}} \cdot \frac{M C}{M C^{\prime}} \geq 8$; +b) $M$ este centrul de greutate al triunghiului dacă şi numai dacă $\frac{M A}{M A^{\prime}} \cdot \frac{M B}{M B^{\prime}} \cdot \frac{M C}{M C^{\prime}}=8$. + +Subiect elaborat de prof. Sergiu Prisacariu + +## Clasa a IX-a + +1. Întrucât $n^{2} Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie $a \in \mathbb{R}$ şi legea de compoziţie "o" definită pe $\mathbb{R}$ prin relaţia $x \circ y=x y-a x-a y+a^{2}+a$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. + +a) Demonstraţi că $(\mathbb{R}, \circ)$ este monoid comutativ; + +b) Determinaţi numerele reale $x$ cu proprietatea $\underbrace{x \circ X \circ X}_{\text {de } 2013 \circ \text { oride } x}=x$. + +2. a) Calculaţi $\int \frac{\sin x+2 \cos x}{2 \sin x+\cos x} d x$, pentru $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$; + +b) Calculaţi $\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x$. + +3. Fie $(G, \cdot)$ un grup finit comutativ şi notăm cu e elementul său neutru. Fie $M=\left\{x \in G \mid x^{2}=e\right\}$. + +a) Demonstraţi că $M$ reprezintă un subgrup a grupului $(G, \cdot)$; + +b) Arătaţi că $\prod_{x \in G} x=\prod_{x \in M} x$; + +c) Spunem că un element $a \in G$ are proprietatea ,A”, dacă există un subgrup $H$ a lui $(G, \cdot)$ astfel încât $\prod_{x \in H} x=a$. Demonstraţi că mulţimea $\{a \in G \mid a$ are proprietatea "A" $\}$ este subgrup a grupului $(G, \cdot)$. + +Gazeta Matematică - nr.9/2012 (enunţ modificat) + +4. Fie funcţiile $f:[0,1] \rightarrow[0, \infty)$ şi $g:[0,1] \rightarrow(0, \infty)$ integrabile. Definim şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ prin $a_{n}=\int_{0}^{1} f^{n}(x) g(x) d x, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Dacă $f$ este continuă, demonstraţi că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este convergent, dacă şi numai dacă $f(x) \leq 1$; + +b) Demonstraţi că există $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a XII-a - barem + +1. a) Se verifică axiomele monoidului + +b) Avem $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{2013 \text { ori }}=(x-a)^{2013}+a$; + +Se obţine $x \in\{a-1, a, a+1\}$. + +2. a) $\int \frac{\sin x+2 \cos x}{2 \sin x+\cos x} d x=\frac{4}{5} \int \frac{2 \sin x+\cos x}{2 \sin x+\cos x} d x+\frac{3}{5} \int \frac{2 \cos x-\sin x}{2 \sin x+\cos x} d x=\frac{4}{5} x+\frac{3}{5} \ln |2 \sin x+\cos x|+C$; + +b) Se foloseşte schimbarea de variabilă $y=-x$. + +3. a) Verificare. + +$2 p$ + +b) Verificare. + +c) Dacă $a=\prod_{x \in H} x$ deducem din punctul b) că a este element de ordin 2 , deci mulţimea din enunț coincide cu mulţimea $M=\left\{x \in G \mid x^{2}=e\right\}$ şi de aici concluzia. + +4. a) Dacă $f(x) \leq 1$, atunci $a_{n+1}-a_{n}=\int_{0}^{1} f^{n}(x)(f(x)-1) g(x) d x \leq 0$, deci şirul este descrescător şi fiind pozitiv , este apoi convergent. + +Dacă $f(x)>1$ şi $f$ continuă, există $a \in[0,1]$ astfel încât minf $=f(a)>1$. Atunci $a_{n} \geq f^{n}(a) \int_{0}^{1} g(x) d x$, deci şirul nu poate fi convergent. + +$2 p$ + +b) Din inegalitatea mediilor deducem că $f^{n+1}(x)+f^{n-1}(x) \geq 2 f^{n}(x)$, deci $f^{n+1}(x)-f^{n}(x) \geq f^{n}(x)-f^{n-1}(x)$, de unde $a_{n+1}-a_{n} \geq a_{n}-a_{n-1}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Dacă $a_{n+1}-a_{n} \leq 0$, atunci şirul este descrescător, deci are limită, iar dacă există $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $a_{k+1}-a_{k}>0$, atunci $a_{n+1}-a_{n}>0$ pentru orice $n>k$, deci şirul va fi crescător şi din nou are limită. + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1286-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1286-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7055731e0985cf657d0c36d624d175f1cec601e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1286-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,76 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a XI-a + +1. Pentru orice $x, y \in[0, \infty)$ considerăm determinantul $\Delta(x, y)=\left|\begin{array}{lll}x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x\end{array}\right|$. + +a) Demonstraţi că $\Delta(x, y) \geq 0$ pentru orice $x, y \in[0, \infty)$; + +b) Calculaţi $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\Delta(x, 1)}{\ln \left(x^{3}-3 x+3\right)}$. + +2. a) Daţi exemplu de două şiruri de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ şi $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=2$, dar $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$. + +b) Daţi exemplu de două şiruri de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ şi $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=2$, dar $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$ nu există. + +3. a) Fie $X \in M_{2}(\mathbb{C})$. Demonstraţi că $\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ există $a_{n}, b_{n} \in \mathbb{C}$ astfel încât $X^{n}=a_{n} X+b_{n} I_{2}$; + +b) Fie matricele $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$ astfel îccât $A B-B A=A$. Demonstraţi că $A^{2}=O_{2}$ şi $A B^{n} A=O_{2}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Gazeta Matematică - nr.11/2012 + +4. Considerăm numerele reale $a, b>0$. Definim şirurile $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ şi $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ prin relaţilile: + +$$ +a_{0}=a, b_{0}=b, a_{n+1}=\frac{a_{n}+\sqrt{a_{n} b_{n}}}{2}, \quad b_{n+1}=\frac{b_{n}+\sqrt{a_{n} b_{n}}}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +a) Demonstraţi că şirurile sunt convergente şi au aceeaşi limită; + +b) Calculaţi limita celor două şiruri. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a XI-a - barem + +1. a) Se obţine $\Delta=(x+2 y)(x-y)^{2} \geq 0$ + +b) Avem $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\Delta(x, 1)}{\ln \left(x^{3}-3 x+3\right)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x+2)(x-1)^{2}}{\ln \left(x^{3}-3 x+3\right)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{\ln \left(x^{3}-3 x+3\right)}=1$ + +2. a) De exemplu $a_{n}=2-\frac{1}{n}$ şi $b_{n}=\frac{1}{n}$. Se demonstrează că îndeplinesc condiţiile din enunţ. + +$3 p$ + +b) De exemplu $a_{n}=1-(-1)^{n}$ şi $b_{n}=1+(-1)^{n}$. Se demonstrează că îndeplinesc condițile din enunţ. + +3. a) Din teorema Hamilton-Cayley, avem $X^{2}=\operatorname{Tr}(X) X-\operatorname{det}(X) I_{2}$, care verifică ipoteza pentru $n=2$. + +$1 p$ Apoi se aplică inducţia matematică. + +b) Din ipoteză obţinem $\operatorname{Tr}(A)=0$, iar $\operatorname{din} A B=A\left(B+I_{2}\right)$ obţinem $\operatorname{det}(A)=0$. Teorema Hamilton-Cayley conduce al concluzia $A^{2}=\mathrm{O}_{2}$. + +Folosind punctul anterior, avem $B^{n}=a_{n} B+b_{n} I_{2}$ şi atunci $A B^{n} A=a_{n} A B A+b_{n} A^{2}=a_{n} A(A+A B)=O_{2}$. + +4. a) Cazul $a=b$ este banal. Analizăm doar cazul $a Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a X-a + +1. Determinaţi toate soluţille reale ale următoarelor ecuatţi: +a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt{x+1}=2$; +b) $\frac{x^{2}+1}{x}=2^{x(2-x)}$. +2. Fie $a, b, c \in(0,1)$ şi $x, y, z \in(0, \infty)$ astfel încât $a=(b c)^{x}, b=(c a)^{y}$ şi $c=(a b)^{z}$. Demonstraţi că: +a) $x, y, x>0$; +b) $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2$; +c) $\frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{y+z+2}+\frac{1}{z+x+2} \leq 1$. +3. Fie $a, b, c \in \mathbb{C}$ distincte, astfel încât $(a+b)^{3}=(b+c)^{3}=(c+a)^{3}$. Demonstraţi că $a^{3}=b^{3}=c^{3}$. + +Gazeta Matematică - nr.9/2012 + +4. Fie $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie care îndeplineşte condiţiile: +i) $f(x) f(y)=f(x+y)+f(x-y)$, pentru orice $x, y \in \mathbb{Z}$; + +ii) $f(0) \neq 0$ şi $f(1)=\frac{5}{2}$. + +a) Demonstraţi că funcţia $f$ este pară; + +b) Determinaţi funcţia $f$. + +NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a X-a - barem + +1. a) Se observă că $x=0$ este soluţie şi pe baza monotoniei funcţie radical se demonstrează că este unică. + +$3 p$ + +b) Ipoteza conduce la concluzia $x>0$. + +$1 p$ + +Avem $\frac{x^{2}+1}{x} \geq 2$ şi $2^{x(2-x)} \leq 2$ pentru orice $x>0$, de unde $x=1$. + +$3 p$ + +2. a) Se obţine prin logaritmare + +$1 p$ +b) $\sum \frac{1}{x+1}=\sum \frac{1}{\log _{b c} a+1}=\sum \frac{\lg b+\lg c}{\lg a+\lg b+\lg c}=2$. + +$2 p$ + +c) Avem $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} \geq \frac{4}{x+y+2}$ şi atunci $\sum \frac{1}{x+y+2} \leq \frac{1}{4} \sum\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\right)=1$. + +$4 p$ + +3. Fie $z \in \mathbb{C}$ astfel încât $z=(a+b)^{3}=(b+c)^{3}=(c+a)^{3}$. Deoarece $a+b, a+c$ şi $b+c$ sunt distincte, ele sunt rădăcinile de ordin trei ale numărului $z$. Dacă $w \in \mathbb{C}$ este una dintre ele atunci avem de exemplu $a+b=w$, şi $a=-w \varepsilon^{2}$ şi $b+c=w \varepsilon^{2}$, unde $\varepsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$. + +$4 p$ + +Obţinem $a+b+c=0$.Apoi $c=-w, b=-w \varepsilon$ şi $a=-w \varepsilon^{2}$, de unde concluzia . + +$3 p$ + +4. a) Schimbăm pe $x$ cu $y$ şi deducem $f(x+y)+f(x-y)=f(y+x)+f(y-x)$ şi apoi alegem $y=0$. + +b) Din $x=y=0$ obţinem $f(0)=2$. Pentru $y=1$, avem $f(x+1)=\frac{5}{2} f(x)-f(x-1)$, iar prin inducţie obţinem $f(n)=2^{n}+2^{-n}$, pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$. Folosind paritatea obţinem $f(x)=2^{x}+2^{-x}$, pentru orice $x \in \mathbb{Z}$. Această funcţie verifică ipotezele problemei. + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1288-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1288-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec40cc99800ea2e9f4a707ffecc30e55ad153ad2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1288-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,91 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VIII-a + +1. Pe planul triunghiului dreptunghic $A B C, \mathrm{cu} A B=A C=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$, în punctul $A$ se ridică perpendiculara, pe care se consideră punctele $E$ şi $F$, astfel încât $A E=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ şi $A F=4 \sqrt{15} \mathrm{~cm}$. Arătaţi că aria triunghiului $E B C$ este media geometrică a ariilor triunghiurilor $A B C$ şi $F B C$. + +Supliment Gazeta Matematică - nr.9/2012 + +2. a) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ un pătrat perfect. Demonstraţi că restul împărţirii sale la 4 este 0 sau 1 . + +b) Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care lungimile muchiilor $A B, A D$ şi $A A^{\prime}$ sunt exprimate prim numere naturale impare. Demonstraţi că lungimea diagonalei $A C^{\prime}$ este exprimată printr-un număr iraţional. + +3. a) Fie $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $a^{2}+b^{2} \leq 2 a b$. Demonstraţi că $a=b$. + +b) Fie $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $9^{x-2}+9^{y+2} \leq 2 \cdot 3^{x+y}$. Demonstraţi că numărul $3^{x}+3^{y}$ se divide cu 41 . + +Gazeta Matematică - nr.6-7-8/2012 + +4. Se consideră tetraedrul $A B C D$ în care $A B \perp C D$. Fie $M$ mijlocul muchiei $B C$ şi $N$ mijlocul muchiei $B D$. $\mathrm{Pe}$ semidreapta ( $D M$ alegem punctul $E$ astfel încât $D E=2 D M$, iar pe semidreapta ( $C N$ alegem punctul $F$ astfel încât $C F=2 C N$ + +a) Demonstraţi că punctele $F, B, E$ sunt coliniare; + +b) Demonstraţi că triunghiul $\triangle A E F$ este isoscel. + +NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza Zonală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VIII-a - barem + +1. $B C=8 \mathrm{~cm} \Rightarrow A M \perp B C \Rightarrow A M=\frac{B C}{2}=4 \mathrm{~cm}$ + +Din $\mathrm{T} .3 \perp \Rightarrow E M \perp B C, E M=8 \mathrm{~cm}$ şi obţinem $A_{E B C}=\frac{8 \cdot 8}{2}=32\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$, + +Din T. $3 \perp \Rightarrow F M \perp B C, F M=16 \mathrm{~cm}$, deci $A_{F B C}=\frac{8 \cdot 16}{2}=64\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ + +Cum $A_{A B C}=16\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ se obţine concluzia. + +2. a) Se analizează cazurile $n=2 k$ şi $n=2 k+1$. + +$2 p$ +b) $A C^{\prime 2}=A B^{2}+A D^{2}+A A^{\prime 2}$ + +$1 p$ + +Numerele $A B^{2}, A D^{2}, A A^{\prime 2}$ sunt de forma $4 k+1$. + +Suma lor este de forma $4 k+3$ deci nu este pătrat perfect şi apoi concluzia. + +3. a) Ipoteza conduce la $(a-b)^{2} \leq 0 \Rightarrow a=b$. + +b) Cu notaţia $a=3^{x-2}$ şi $b=3^{y+2}$ ipoteza devine $a^{2}+b^{2} \leq 2 a b$ de unde $a=b \Rightarrow 3^{x-2}=3^{y+2}$ + +$\Rightarrow 3^{x}=3^{y+4}$ + +$1 p$ + +$\Rightarrow 3^{x}+3^{y}=3^{y} \cdot 82$ şi concluzia. + +$2 p$ + +4. a) Patrulaterele $C D F B$ şi $C D B E$ sunt paralelograme. + +$2 p$ + +$B F$ şi $B E$ sunt paralele cu $D C$, deci $F, B, E$ sunt coliniare. + +$1 p$ + +b) Beste mijlocul lui $E F$. + +$A B \perp C D \Rightarrow A B \perp E F$; + +$1 p$ + +Finalizare. + +$2 p$ + +$1 p$ + +NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1289-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1289-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcfc406490affd5dd5ea5350a1a7c3bb77f50f5b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1289-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,66 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VII-a + +1. a) Fie $a, b, c \in \mathbb{Q}^{*}$ direct proporţionale cu 3,4 şi respectiv 5 . Demonstraţi că numărul $\frac{10 a+b+4 c}{a+b-c}$ este cub perfect. + +b) Demonstraţi că numărul $\sqrt{2012^{2013}+2013^{2012}}$ este iraţional. + +2. Fie triunghiul $\triangle A B C$ în care $A BB C-A D$; +b) $A B+A C>D B+D C$. + +NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza Zonală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VII-a - barem + +1. a) Cu notaţia $a=3 k, b=4 k$ şi $c=5 k$, numărul $\frac{10 a+b+4 c}{a+b-c}$ devine egal cu $27=3^{3} \quad 3 p$ +b) $u\left(2012^{2013}\right)=2, u\left(2013^{2012}\right)=1$, deci numărul de sub radical nu e pătrat perfect. $\quad 4 p$ +2. a) Figura 1p + +Triunghiul $\triangle A B F$ este isoscel deoarece bisectoarea din $A$ este şi înălţime. $3 \mathrm{p}$ + +b) Analog şi triunghiul $\triangle A D G$ este isoscel şi atunci $[F G] \equiv[B D] \equiv[C E]$. 3p + +3. Notăm cu $k$ valoarea comună a celor 5 module. 1p + +Avem $a-b= \pm k$ şi analoagele. 2p + +Adunând toate cele 5 relaţii se obţine $0= \pm k \pm k \pm k \pm k \pm k$, de unde singura posibilitate este $k=0$ şi apoi concluzia. + +4. a) Construim înălţimea $C M$ + +Avem $M B>B C-A D \Rightarrow A B-C D>B C-A D$. + +$2 p$ + +b) Patrulaterul $A B C M$ este dreptunghi $\Rightarrow D M=A C$. + +$D M+M B>B D$. + +$1 p$ + +Finalizare . + +## NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-129-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-129-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53cd5ed563ea175045eb8edfbb56f18594598b1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-129-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA
21 februarie 2016 + +## CLASA a XII-a + +1. Se consideră mulțimea $G=\left\{x \in \mathbb{Q}^{*} / x=a^{2}+b^{2}, a, b \in \mathbb{Q}\right\}$. Arătați că operaţia de înmulțire a numerelor raționale determină pe $G$ o structură de grup abelian. +2. Demonstraţi că orice element inversabil din inelul $\left(\mathbb{Z}_{2016},+\right.$, ) este puterea a 2017-a a unui element inversabil din $\mathbb{Z}_{2016}$. +3. Calculați $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\operatorname{tg} x) d x$. +4. Fie $a>0$ și $f:[0, a] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu proprietatea că $f(0)=f(a)=1$. Fie $I=\int_{0}^{a} f(x) d x$. Dacă $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1, \forall x \in(0, a)$ să se demonstreze că $|I-a| \leq \frac{a^{2}}{2}$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
SUCEAVA, 21 februarie 2016
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
CLASA a XII-a + +1. Se consideră mulțimea $G=\left\{x \in \mathbb{Q}^{*} / x=a^{2}+b^{2}, a, b \in \mathbb{Q}\right\}$. Arătați că operația de înmulțire a numerelor raționale determină pe $G$ o structură de grup abelian. + +Solutie. Oricare ar fi elementele $x, y \in G$ avem $x, y \in \mathbb{Q}^{*}$ și $x=a^{2}+b^{2}, y=c^{2}+d^{2}$ cu $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$. Evident $x y \in \mathbb{Q}^{*}$ și $x y=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}$, adică $x y \in G$. + +Înmulțirea numerelor raționale este asociativă și comutativă, iar $G \subset \mathbb{Q}$, prin urmare operația ". " este asociativă și comutativă pe $G$. + +$1=1^{2}+0^{2} \Rightarrow 1 \in G$, deci 1 este element neutru în $(G, \cdot)$. + +Fie $x=a^{2}+b^{2} \in G$. Căutăm un element $y=c^{2}+d^{2} \in G$ astfel încât $x y=1$. Rezolvând, de exemplu, sistemul $\left\{\begin{array}{l}a c+b d=1 \\ a d-b c=0\end{array}\right.$ obținem $c=\frac{a}{a^{2}+b^{2}} \in \mathbb{Q}, d=\frac{b}{a^{2}+b^{2}} \in \mathbb{Q}$ și $c^{2}+d^{2}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}} \neq 0$. Rezultă că orice element $x=a^{2}+b^{2} \in G$ este inversabil cu $x^{-1}=\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2} \in G$. În concluzie $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +## Barem. + +| $\forall x, y \in G \Rightarrow x y \in G$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Operația “. ” este asociativă și comutativă pe $G$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1 este element neutru în $(G, \cdot)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Orice element $x=a^{2}+b^{2} \in G$ este inversabil | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +2. Demonstraţi că orice element inversabil din inelul $\left(\mathbb{Z}_{2016},+\cdot \cdot\right)$ este puterea a 2017-a a unui element inversabil din $\mathbb{Z}_{2016}$. + +Mihai Piticari, Vladimir Cerbu + +Solutie. Avem de demonstrat că $\forall y \in U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right) \exists x \in U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right)$ astfel încât $y=x^{2017}$, adică funcția $f: U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right) \rightarrow U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right), f(x)=x^{2017}$ este surjectivă. + +Deoarece $U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right)$ este mulțime finită, este suficient să demonstrăm că $f$ este injectivă. + +Fie $x, y \in U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right)$ cu $f(x)=f(y)$. Avem $x^{2017}=y^{2017} \Rightarrow\left(x y^{-1}\right)^{2017}=1 \Rightarrow$ ord $\left(x y^{-1}\right) / 2017$ + +Dar ordinul unui element divide ordinul grupului, deci ord $\left(x y^{-1}\right) / \operatorname{ord}\left(U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right)\right)=\phi(2016)$. Cum $2016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7 \Rightarrow \phi(2016)=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)=2^{6} \cdot 3^{2}$, deci ord $\left(x y^{-1}\right) / 2^{6} \cdot 3^{2}$ + +Deoarece 2017 și $2^{6} \cdot 3^{2}$ sunt prime între ele, din relațiile (1) și (2) deducem că ord $\left(x y^{-1}\right)=1$, iar de aici rezultă că $x y^{-1}=1$, adică $x=y$. În concluzie $f$ este injectivă. + +## Barem. + +| Scrie cerința sub forma “ funcția $f: U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right) \rightarrow U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right), f(x)=x^{2017}$ este surjectivă ” | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $U\left(\mathbb{Z}_{2016}\right)$ este mulțime finită, deci $f$ surjectivă $\Leftrightarrow f$ injectivă | $1 \mathrm{p}$ | +| Stabilește relația (1) | $1 \mathrm{p}$ | +| Stabilește relația (2) | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Calculați $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\operatorname{tg} x) d x$. + +Solutie. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\operatorname{tg} x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(1+\frac{\sin x}{\cos x}\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x+\cos x) d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) d x$ + +Avem $\sin x+\cos x=\sin x+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \Rightarrow$ $\ln (\sin x+\cos x)=\ln \sqrt{2}+\ln \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)$ și atunci + +$$ +\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\operatorname{tg} x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sqrt{2} d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) d x +$$ + +Cu schimbarea de variabilă $t=\frac{\pi}{4}-x$ obținem + +$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x=\int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \ln (\cos t) \cdot(-1) d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos t) d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) d x$ şi înlocuind în relația (2) rezultă $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\operatorname{tg} x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sqrt{2} d x=\left.x \ln \sqrt{2}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi \ln 2}{8}$. + +## Barem. + +| Stabilește relația (1) | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Obține $\sin x+\cos x=\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Stabilește relația (2) | $1 \mathrm{p}$ | +| $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) d x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Fie $a>0$ și $f:[0, a] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu proprietatea că $f(0)=f(a)=1$. Fie $I=\int_{0}^{a} f(x) d x$. Dacă $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1, \forall x \in(0, a)$ să se demonstreze că $|I-a| \leq \frac{a^{2}}{2}$. + +Anca Andrei + +## Solutie. + +Considerăm $x \in(0, a)$ şi aplicăm terema lui Lagrange funcţiei $f$ pe intervalele $[0, x],[x, a]$. Deci $\exists c_{1} \in(0, x), \exists c_{2} \in(x, a)$ astfel încât $f(x)=1+x f^{\prime}\left(c_{1}\right)$ și $f(x)=1+(x-a) f^{\prime}\left(c_{2}\right)$. Rezultă că avem relaţiile: + +$$ +\begin{aligned} +1-x & \leq f(x) \leq 1+x, \forall x \in(0, a) \\ +1+x-a & \leq f(x) \leq 1-x+a, \forall x \in(0, a) +\end{aligned} +$$ + +Deoarece $f$ este continuă rezultă că inegalităţile (1) si (2) au loc pentru $\forall x \in[0, a]$. + +$\operatorname{Din} \int_{0}^{a} f(t) d t=\int_{0}^{x} f(t) d t+\int_{x}^{a} f(t) d t$ și din relațiile (1), (2) avem că + +$\int_{0}^{x}(1-t) d t+\int_{x}^{a}(1+t-a) d t \leq \int_{0}^{a} f(t) d t \leq \int_{0}^{x}(1+t) d t+\int_{x}^{a}(1-t+a) d t$, iar de aici obţinem + +$x-\frac{x^{2}}{2}+a-x-a(a-x)+\frac{a^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2} \leq I \leq x+\frac{x^{2}}{2}+a-x+a(a-x)-\frac{a^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2} \Rightarrow$ + +$-x^{2}+a+a x-\frac{a^{2}}{2} \leq I \leq x^{2}+a-a x+\frac{a^{2}}{2} \Rightarrow-x^{2}+a x-\frac{a^{2}}{2} \leq I-a \leq x^{2}-a x+\frac{a^{2}}{2}$. + +Deoarece $x^{2}-a x+\frac{a^{2}}{2} \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ și $\forall a \in \mathbb{R}$ va rezulta că $|I-a| \leq x^{2}-a x+\frac{a^{2}}{2}$. + +Dar $x(x-a) \leq 0, \forall x \in[0, a]$ și prin urmare $|I-a| \leq \frac{a^{2}}{2}$. + +## Barem. + +| Obține inegalităţile (1) si (2) $\forall x \in[0, a]$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\int_{0}^{x}(1-t) d t+\int_{x}^{a}(1+t-a) d t \leq \int_{0}^{a} f(t) d t \leq \int_{0}^{x}(1+t) d t+\int_{x}^{a}(1-t+a) d t$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează $-x^{2}+a x-\frac{a^{2}}{2} \leq I-a \leq x^{2}-a x+\frac{a^{2}}{2}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +## Notă: + +Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1290-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1290-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4d9d68ca68c548fadc43abe5ed46c2dac16e20b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1290-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,87 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a + +1. a) Efectuaţi: $[0,(6)+3,(63)+0,2(37)]:\left(\frac{2}{3}+\frac{40}{11}+\frac{47}{198}\right)$. + +b) Determinaţi valoarea numărului natural $a$ ştiind că numărul $B=\frac{2}{a}+\frac{1}{3}$ este natural. + +2. Aflaţi numerele naturale $a$ şi $b$ ştiind că $[a, b]$ este de 15 ori mai mare decât $(a, b)$ şi $5 a+3 b=150$. + +( $\mathrm{S}$-a notat cu $[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi cu $(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor a s şi $b$.) + +Gazeta Matematică - nr.10/2012 + +3. Fie unghiurile adiacente suplimentare $A O B$ şi $B O C$. + +a) Dacă $m(B O C)$ este cu $45^{0}$ mai mare decât dublul măsurii unghiului $A O B$, aflaţi măsurile celor două unghiuri. + +b) Dacă ( $O E$ este bisectoarea unghiului $A O B$ şi $O D \perp O E, D$ fiind în acelaşi semiplan cu $E$ faţă de dreapta $A C$, demonstraţi că (OD este bisectoarea unghiului BOC . + +4. Într-un punct $R$ al unei drepte se găseşte un robot care se deplasează pe această dreaptă la stânga sau la dreapta după cum doreşte. El este programat ca la prima mutare să facă 2 paşi, la a doua mutare să facă 4 paşi, la a treia mutare să facă 6 paşi şi în general la a $n$-a mutare să facă $2 n$ paşi. + +a) Descrieţi o variantă de mişcare a robotului prin care să pornească din punctul $R$ şi să îşi încheie deplasarea tot în punctul $R$ după exact 4 mutări. + +b) Care este numărul minim de mutări care trebuie parcurs de robot astfel încât să pornească din punctul $R$, iar la finalul deplasării să ajungă din nou în $R$ ? + +c) Demonstraţi că există o variantă de deplasare a robotului astfel încât să pornească din $R$ şi să ajungă după 179 de mutări tot în $R$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Faza Zonală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a - barem + +1. a) $\left(\frac{2}{3}+3 \frac{7}{11}+\frac{235}{990}\right):\left(\frac{2}{3}+\frac{40}{11}+\frac{47}{198}\right)=\left(\frac{2}{3}+\frac{40}{11}+\frac{47}{198}\right):\left(\frac{2}{3}+\frac{40}{11}+\frac{47}{198}\right)=1$ + +$3 p$ + +b) Avem $B=\frac{a+6}{3 a}$, deci $3 a$ divide pe $a+6$. + +Se obţine $a=3$ + +$2 p$ + +2. Fie $d=(a, b) \Rightarrow a=d a^{\prime}, b=d b^{\prime}, a^{\prime}, b^{\prime}$ prime între ele. Cum $[a, b]=d a^{\prime} b^{\prime} \Rightarrow d a^{\prime} b^{\prime}=15 d \Rightarrow a^{\prime} b^{\prime}=15$ + +$3 p$ + +Avem de studiat 4 cazuri: + +1) $a^{\prime}=1, b^{\prime}=15 \Rightarrow a=3, b=45$ +2) $a^{\prime}=3, b^{\prime}=5 \Rightarrow a=15, b=25$ +3) $a^{\prime}=5, b^{\prime}=3$ nu convine +4) $a^{\prime}=15, b^{\prime}=1$ nu convine + +$4 p$ + +3. Fie unghiurile adiacente suplimentare $A O B$ şi $B O C$. + +a) Notăm $m A O B=x \Rightarrow m B O C=2 x+45^{\circ} \Rightarrow x=45^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O B)=45^{\circ}, m(B O C)=135^{\circ}$ + +$4 p$ + +b) Fie $m(B O E)=m(E O A)=y \Rightarrow m(D O B)=90-y$ şi $m(C O D)=90-y$. + +$3 p$ + +4. a) Dacă $S$ reprezintă deplasare spre stânga şi $D$ spre dreapta atunci o variantă ar fi S-D-D-S + +$2 p$ + +b) Numărul minim de mutări este 3 , de exemplu S-S-D + +$2 p$ + +c) Ideea este că 4 mutări consecutive pe sensul S-D-D-S lasă robotul pe loc. 173 dă restul 3 la împărţirea cu 4, deci primele trei mutări le face ca la punctul b), iar apoi tot câte patru pe schema de mai sus. + +NOTĂ + +- Orice solutulie corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1291-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1291-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..79053c55e3ff661fe0f1e1897da17aa66f387f05 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1291-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,96 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a V-a + +1. Se dau numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& x=\left[\left(2^{7}\right)^{4}+125^{3}-7^{25}: 7^{15}\right]:\left(5^{9}-49^{5}+4^{14}\right) \cdot 3^{26} \\ +& y=2^{100}:\left[\left(6^{17}: 6^{16}-4\right)^{97}+2^{104}:\left(2^{4} \cdot 2^{3}\right)+\left(2^{2}\right)^{49}\right] \cdot 2^{38} +\end{aligned} +$$ + +a) Arătaţi că $x=3^{26}$ şi $y=2^{39}$; + +b) Care dintre numerele $x$ şi $y$ de mai sus este mai mare? + +2. La un concurs de matematică, din 40 de elevi, 25 au rezolvat prima problemă, 30 a doua problemă, 35 a treia problemă, iar 33 a patra problemă. Arătaţi că cel puţin 3 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme. +3. Determinaţi toate numerele naturale de forma $\overline{a b c}$ care împărţite la $\overline{b c}$ dau câtul 4 şi restul $\overline{b c}-8$. + +Gazeta Matematică - nr.10/ 2012 + +4. La un meci de fotbal, echipa câştigătoare primeşte 3 puncte, iar cea învinsă primeşte 0 puncte. Dacă meciul se termină egal, fiecare echipă primeşte câte 1 punct. Cu aceste reguli de punctaj se organizează un turneu la care participă patru echipe, fiecare echipă jucând câte două meciuri cu fiecare dintre celelalte trei. La final se realizează un clasament în funcţie de punctajul acumulat de fiecare echipă. + +a) Determinaţ̧i câte meciuri se joacă în total în acest turneu; + +b) Dacă suma tuturor punctelor acumulate de către cele 4 echipe este 34 puncte, determinaţi numărul de meciuri încheiate la egalitate. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Faza Zonală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a V-a - barem + +1. a) $x=\left(2^{28}+5^{9}-7^{10}\right):\left(5^{9}-7^{10}+2^{28}\right) \cdot 3^{26}=3^{26}$ + +$$ +\begin{aligned} +y & =2^{100}:\left[(6-4)^{97}+2^{104}: 2^{7}+2^{98}\right] \cdot 2^{38}=2^{100}:\left(2^{97}+2^{97}+2^{98}\right) \cdot 2^{38}= \\ +& =2^{100}:\left(2^{97} \cdot 4\right) \cdot 2^{38}=2^{100}: 2^{99} \cdot 2^{38}=2^{39} +\end{aligned} +$$ + +b) $\left.\begin{aligned} x & =9^{13} \\ y & =8^{13}\end{aligned} \right\rvert\, \Rightarrow x>y$ + +2. $25+30+35+33=123$ rezolvări + +Dacă din cei 40 de elevi, fiecare ar fi rezolvat cel mult trei probleme, am avea cel mult 120 rezolvări. + +$123-120=3$ elevi neapărat au rezolvat toate problemele (principiul cutiei). + +Finalizare + +3. $\overline{a b c}=\overline{b c} \cdot 4+\overline{b c}-8, a, b \neq 0$. + +$100 a+\overline{b c}=5 \overline{b c}-8$ + +$100 a=4 \overline{b c}-8 /: 4$ + +$25 a=\overline{b c}-2$ + +Observăm că $\overline{b c}-2 \leq 97 \Rightarrow a \leq 3$. + +Pentru: $a=3 \Rightarrow \overline{b c}=79$ + +$$ +\begin{aligned} +& a=2 \Rightarrow \overline{b c}=52 \\ +& a=1 \Rightarrow \overline{b c}=27 +\end{aligned} +$$ + +4. a) Fiecare echipă joacă câte 6 meciuri, deci în total sunt (6.4):2=12 meciuri. 2p + +b) Punctajul total pe un meci este 3 p puncte când o echipă câştigă şi 2 puncte la meci egal. + +$2 p$ + +La egal se pierde un punct din maximul posibil. + +$1 p$ + +Punctajul maxim este 36 , deci s-au pierdut 2 puncte, deci au fost 2 meciuri egale. + +## NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1292-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1292-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..913f9605afd3fd416d831d9314f5a8a4a4457865 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1292-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,78 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Demonstraţi că $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Determinaţi şirurile $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ având termenii strict pozitivi cu proprietatea $\frac{a_{1}+2 a_{2}+\ldots+n a_{n}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}=\frac{2 n+1}{3}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2. a) Demonstraţi că $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+y z+z x$, pentru orice $x, y, z \in \mathbb{R}$; + +b) Să se arate că $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(x y+y z+z x) \geq 0$, oricare ar fi $x, y, z \in \mathbb{R}$ şi oricare ar fi $t \in[-1,2]$. + +## Gazeta Matematică - nr.9/2012 + +3. Se consideră un triunghi $A B C$ şi $M$ un punct interior. Notăm $c u G_{A}, G_{B}$, respectiv $G_{C}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $\triangle M B C, \triangle M A C$ şi, respectiv $\triangle M A B$. + +a) Demonstraţi că triunghiurile $\triangle A B C$ şi $\triangle G_{A} G_{B} G_{C}$ sunt asemenea; + +b) Demonstraţi că triunghiurile $\triangle A B C$ şi $\Delta G_{A} G_{B} G_{C}$ au acelaşi centru de greutate, dacă şi numai dacă $M$ este centrul de greutate al triunghiului $\triangle A B C$. + +4. a) Fie $x, y \in \mathbb{R}$ astfel încât $|x-y|<\frac{1}{n}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Demonstraţi că $x=y$. + +b) Considerăm $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ o progresie aritmetică cu termenii strict pozitivi şi raţ̧ia nenulă. Fie $x, y \in \mathbb{R}$, astfel încât $\left[x a_{n}\right]=\left[y a_{n}\right]$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Demonstraţi că $x=y .(\mathrm{cu}[z]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $z$ ) + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Etapa locală - 16 februarie 2013 + +## Clasa a IX-a - barem + +1. a) Verificare prin inducţie matematică 3p + +b) Pentru $n=2$ obţinem $a_{2}=2 a_{1}$, iar pentru $n=3$ obţinem $a_{3}=3 a_{1}$ + +$1 p$ + +Prin inducţie se demonstrează că $a_{n}=n a_{1}$, deci şirurile căutate sunt de forma $a_{n}=n a$ c $a>0$ + +2. a) Verificare + +b) Dacă $x y+y z+z x \geq 0$ atunci + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(x y+y z+z x)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z\right)+(t+1)(x y+y z+z x) \geq 0 +$$ + +oricare ar fi $x, y, z \in \mathbb{R}$ şi oricare ar fi $t \in[-1,2]$. + +Dacă $x y+y z+z x<0$ atunci + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(x y+y z+z x)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z\right)+(t-2)(x y+y z+z x) \geq 0 +$$ + +oricare ar fi $x, y, z \in \mathbb{R}$ şi oricare ar fi $t \in[-1,2]$. + +3. a) Avem $\overrightarrow{G_{A} G_{B}}=\overrightarrow{M G_{B}}-\overrightarrow{M G_{A}}=\frac{\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}}{3}-\frac{\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}}{3}=\frac{\overrightarrow{B A}}{3}$ şi analoagele. Se obţine concluzia. + +$4 p$ + +b) Fie $G$ şi $G^{\prime}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $\triangle A B C$ şi respectiv $\triangle G_{A} G_{B} G_{C}$. Atunci avem $\overrightarrow{M G^{\prime}}=\frac{\overrightarrow{M G_{A}}+\overrightarrow{M G_{B}}+\overrightarrow{M G_{C}}}{3}=\frac{2(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C})}{9}=\frac{2}{9} \overrightarrow{M G}$ şi apoi concluzia. + +4. a) Presupunem prin reducere la absurd că $x \neq y$. Fie $a>0, a=|x-y|$. Axioma lui Arhimede asigură existenţa unui număr $m \in \mathbb{N}^{*}$ pentru care $m a>1$, adică $|x-y|>\frac{1}{m}$. + +b) Ipoteza conduce la $\left|x a_{n}-y a_{n}\right| \in[0,1)$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Echivalent cu $|x-y|<\frac{1}{a_{n}}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Concluzia se obţine asemănător cu punctul anterior. + +## NOTĂ + +- Orice soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1293-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1293-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f944cceb98177a9deb5c8759e1bebd8c069dc56b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1293-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,41 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-GIURGIU-16.02.2013 + +## CLASA a XII-a + +1.Pe mulțimea $K-(5, \infty)$ definim legile de compozitie + +$$ +\begin{aligned} +& x * y=(x-5)(y-5)+5 \\ +& x \circ y=5+(x-5)^{\lg (y-5)}, \forall x, y \in K +\end{aligned} +$$ + +a) Aratati ca legile sunt ascociative si $\mathrm{K}$ are elemente neutre in raport cu ele + +b) Verificati relatia: $x \circ(y * z)-(x \circ y) *(x \circ z), \forall x, y, z \in K$ + +2. Se consideră o matrice $A \in M_{2}(C)$ cu proprietățile $A^{3}=I_{2}, A \neq I_{2}$. + +a) Să se arate că mulțimea $M=\left\{B \in M_{2}(C) \mid A B=B A\right.$, $\left.\operatorname{det} B \neq 0\right\}$ este grup în raport cu înmulțirea matricilor. + +b) Să se demonstreze că matricea $A+I_{2}$ este inversabilă şi să se afle inversa ei. + +3. Să se calculeze: + +$$ +\int \frac{2 \varepsilon^{2 x}+2 e^{x} \cos x+\cos 2 x}{2 \varepsilon^{2 x}+2 e^{x}(\sin x+\cos x)+\sin 2 x} d x, x>0 . +$$ + +Paul Batatu, Giurgiu + +4.Se consideră funcția $f: R \rightarrow R$, $f(x)=4 \sin ^{3} x \cos 3 x+4 \cos ^{3} x \sin 3 x$. + +## Calculati: + +a) $f^{\prime}(x)$; +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_48636b86bf7b9084d22bg-2.jpg?height=244&width=1688&top_left_y=66&top_left_x=274) +b) $\int(x) d x$. + +Ionel Tudor, Calugäreni + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1294-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1294-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..640139a66ba83412d4bac6f21eec6de696be0760 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1294-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,33 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ-GIURGIU-16.02.2013 + +## CLASA a XI-a + +1. Pentru $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ calculați determinantul matricei + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df16985dad6ffd6e1cb7g-1.jpg?height=324&width=1316&top_left_y=666&top_left_x=450) + +Paul Băiatu, Giurgiu + +2. Se consideră matricile $A, B \in M_{2}(Q)$ cu proprietățile: + +$\mathrm{AB}=\mathrm{BA} ; \operatorname{det} \mathrm{A}=2 ; \operatorname{det}(\mathrm{A}+\sqrt{2} \mathrm{~B})=0$. + +Să se calculeze: $\operatorname{det}\left(A^{4}+A^{2} B^{2}+B^{4}\right)$. + +Gazeta Matematică + +3. Să se calculeze : + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\operatorname { l i m } _ { x \rightarrow 1 } \left[1+\arcsin ^{2}(x+1)+\arcsin ^{2} 2(x+1)+\cdots+\right.\right. \\ +& \left.\left.+\arcsin ^{2} n(x+1)\right]^{\frac{1}{(x+1)^{2}}}\right]^{\frac{1}{n}} +\end{aligned} +$$ + +4. Calculați: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{4 n^{2}+2 n+3}\right) +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1295-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1295-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..431df24492425d49e2525ca4bcc2fb0106fc0ea3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1295-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,27 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-GIURGIU-16.02.2013 + +## CLASA a X-a + +1. Să se determine mulțimea + +$\mathrm{M}=\left\{(x, y) \in R^{2} \ell \frac{x+y i}{x-y i}<\ln a, x^{2}+y^{2}+0, a>0\right\}$ + +Stelian Piscan, Giurgiu + +2. Arătați că: + +$\log _{x y}\left(\frac{x^{2 n}}{1+y^{n}}+\frac{y^{2 n}}{1+x^{n}}\right) \geq 0, \forall x, y \in(0,1)$ si $\forall \forall n \in N^{*}$ + +Madalina Felicia Mocanu, Giurgiu + +3. Se consideră numerele complexe nenule şi distincte $a, b, c$ care verifică relația + +$\left(\frac{a-b}{a}\right)^{n}+\left(\frac{\sqrt{a}}{a}\right)^{n}=2$, unde $n \in N^{\prime \prime}$. + +Determinati $n$ astfel in cat triunghiul cu vârfurile de afixe $a, b, c$ sa㐅̀ fie echilateral. + +Ionel Tudor , + +## Călugăreni + +4. Fie $A B C D$ un patrulater convex şi $M$ un punct în interiorul său.Să se determine locul geometric al punctelor $\mathrm{P}$ situate în interiorul poligonului cu proprietatea că suma distanțelor de la $\mathrm{P}$ la laturile poligonului este egală cu suma distanțelor de la $\mathrm{M}$ la laturile poligonului. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1296-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1296-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1edf13ebda7a90236bcf256bc8d227c3388176f1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1296-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,28 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ GIURGIU
CLASA a VIII-a
16.02.2013 + +1. Determinați toate numerele întregi $x$, pentru care $\frac{x^{3}+1}{2 x-1} \in Z$. + +Gazeta Matematică + +2. Fie $A B C D$ un pătrat cu latura de $7 \mathrm{~cm}$. În punctul $D$ se ridică + +perpendiculara pe planul pătratului pe care se ia punctul $\mathrm{M}$ astfel încât + +$\mathrm{MD}=7$. Fie $\mathrm{E} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $|\mathrm{BE}|=\frac{7 \sqrt{3}}{3}$. + +Să se determine distanța de la M la AE. + +3. a) Să se arate că $\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}} \in \mathrm{Q}, \forall k \in N^{*}$. + +b) Să se rezolve în R, ecuația: + +$$ +\frac{3}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\ldots . . \sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}=x+\frac{2012}{2013} +$$ + +4. Să se arate că dacă un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $n, n+2$ şi $\mathrm{n}+4$, unde $\mathrm{n} \in \mathbf{N}^{*}$, atunci nici una din fețele paralelipipedului nu este echivalentă cu un pătrat. + +Dumitru Preoteasa,Giurgiu + +Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează cu 10 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1297-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1297-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..240c7efa2a01448f4fce3c4c6c3c07f23dfcdccc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1297-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,27 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ GIURGIU
CLASA a VII-a + +16.02.2013 + +1. Demonstrați că dacă $x$ şi y sunt numere întregi, iar $x+3 y$ este divizibil cu 2013, atunci şi + +numărul $2014 x-4023 y$ este divizibil cu 2013. + +Dumitru Preoteasa, Giurgiu + +2. Fie patrulaterul convex $\mathrm{ABCD}$, astfel încât bisectoarea unghlui A este paralelă cu BC. Bisectoarea unghiului $\mathrm{A}$ intersectează pe $\mathrm{BD}$ în E şi pe CD în F. Arătați că: +a) $\frac{A D}{A B}=\frac{D F}{F C}$; +b) $\frac{C D}{D F}-\frac{A B}{A D}=1$ +3. Determinați numărul natural $x$ astfel încât: + +$$ +\frac{x-1}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+2013}}=\frac{2014}{2013} +$$ + +Gabriela şi Viorel Dincă,Giurgiu + +4. În triunghiul $\mathrm{ABC}$, avem[ $\mathrm{BM}]$ mediană şi $[\mathrm{CD}]$ înălțime, $\mathrm{CD} \cap \mathrm{BM}=\{\mathrm{P}\}$. Dacă $[\mathrm{CD}] \equiv[\mathrm{BM}]$ să se arate că $\mathrm{PD}=1 / 2 \mathrm{BP}$. + +Radu Stănică,Frăteşti + +Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează cu 10 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1298-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1298-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..407b9625ba5259b37eadef24955a04b4dabd1562 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1298-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.md" @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ GIURGIU
CLASA a VI-a
16.02.2013 + +1. a) Determinați cifrele $\mathbf{x}$ şi $\mathbf{y}$ din relația $\overline{x y 6}=6^{x+y}$; + +b) Determinați cifrele $\mathbf{x}$ şi $\mathbf{y}$ din relația $\overline{x y}^{2}+\overline{x y}=110$. + +2. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine) situate pe dreapta d, astfel încât + +$[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{CD}]$. De aceeaşi parte a dreptei $\mathrm{d}$ se consideră punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{F}$ astfel încât + +$[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}], \angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ şi $[\mathrm{BF} \subset \operatorname{Int} \angle \mathrm{EBC}$. Să se demonstreze că: +a) $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{DF}]$; +b) $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. + +Nicolae Stănică,Brăila + +3. Dacă $a+b+c=4$ (unde $a, b, c \in \mathbf{N}$ ), iar $2^{a}+2^{b}+2^{c}$ este număr prim, arătați că numărul $\frac{a \cdot b \cdot c}{2013}$ este natural. + +Dumitru Preoteasa, Giurgiu + +4. Fie cinci unghiuri în jurul unui punct $O: ETAPA LOCALĂ GIURGIU
CLASA a $V$-a
16.02.2013 + +1. Dacă $\overline{a b}+9 b=5 \cdot \overline{b a}$ arătați că $\overline{a b}=(a+b)^{2}$. + +Gazeta matematică + +2. Se dă numărul $A=2^{0}+2^{4}+2^{6}+\ldots+2^{2012}$. Cercetați: + +a) dacă A este divizibil cu 2 ; + +b) dacă A este divizibil cu 5; + +c) câți termeni are A? + +3. Să se afle câte numere naturale de două cifre împărțite la 28 dau restul un cub perfect. + +Dumitru Preoteasa, Giurgiu + +4. Trei frați, Andrei, Daniel şi Victor au avut anul trecut împreună 19 ani. Dacă Andrei este cu 2 ani mai mic decât Daniel şi Victor este cu 3 ani mai mare decât Daniel, să se afle vârstele lor în prezent. + +Radu Stănică,Frăteşti + +Notă: Timp de lucru 2 ore. Fiecare subiect se notează cu 10 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-13-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl VI-cl6_nationala.md b/Romania_Olympiad/md/ro-13-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl VI-cl6_nationala.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5aead6d559d3c9732df3b03391569bb2d63c5706 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-13-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl VI-cl6_nationala.md @@ -0,0 +1,113 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d420bab782f8a7cbdd19g-1.jpg?height=274&width=268&top_left_y=129&top_left_x=858) + +# Olimpiada Națională de Matematică Etapa Națională, Constanța, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a VI-a + +Problema 1. Câte numere naturale $n$ au proprietatea $P(n)=S(n)=8$, unde $P(n)$ și $S(n)$ reprezintă produsul, respectiv suma cifrelor numărului $n$ (scris în baza 10)? Justificați răspunsul! + +Problema 2. O mulțime $M$ va fi numită specială dacă îndeplinește simultan conditiile: + +- este nevidă și are ca elemente doar numere naturale; +- dacă $x \in M$ și $x$ este par, atunci $\frac{x}{2} \in M$; +- dacă $x \in M$ și $x$ este impar, atunci $3 \cdot x+1 \in M$. + +a) Arătați că, dacă $M$ este o mulțime specială și $12 \in M$, atunci $M$ are cel puțin 10 elemente. + +b) Arătați că există o infinitate de mulțimi speciale care au exact două elemente impare. + +Problema 3. Ana are 200 de monede, având respectiv valorile 1, 2, $2^{2}, \ldots, 2^{199}$. Ea le împarte în 100 de grupe de câte două monede, calculează sumele $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{100}$ ale valorilor monedelor din fiecare grupă și află cel mai mare divizor comun $D$ al numerelor $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{100}$. + +a) Arătați că $D$ este impar. + +b) Determinați valoarea maximă a lui $D$ pe care o poate obține Ana. + +Problema 4. a) Arătați că orice triunghi poate fi împărțit în trei triunghiuri cu interioarele disjuncte, unul fiind dreptunghic, unul isoscel și unul ascuțitunghic. + +b) Arătați că orice triunghi neisoscel poate fi împărțit în cinci triunghiuri cu interioarele disjuncte: unul isoscel, unul echilateral, unul ascuțitunghic, unul dreptunghic și unul obtuzunghic. + +Timp de lucru 2 ore. Se adaugă 30 minute pentru ı̂ntrebări + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d420bab782f8a7cbdd19g-2.jpg?height=276&width=274&top_left_y=141&top_left_x=904) + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa Națională, Constanța, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a VI-a - soluții și bareme + +Problema 1. Câte numere naturale $n$ au proprietatea $P(n)=S(n)=8$, unde $P(n)$ şi $S(n)$ reprezintă produsul, respectiv suma cifrelor numărului $n$ (scris în baza 10)? Justificaţi răspunsul! + +Soluție. Sunt posibile numere de trei tipuri. + +I. Numere cu o cifră 4 , o cifră 2 și două cifre 1. Cifra 4 poate ocupa oricare dintre cele 4 poziții posibile, iar pentru fiecare alegere a poziției lui 4 există câte 3 alegeri a poziției lui 2 , restul cifrelor fiind 1. Obținem astfel 12 numere de acest tip + +$3 \mathbf{p}$ + +II. Numere cu trei cifre 2 și două cifre 1. Pozițiile celor două cifre 1 se pot alege în 10 moduri, restul cifrelor fiind 2. Obținem astfel 10 numere de acest tip . $3 p$ + +III. Numărul 8. În total obținem 23 de numere $1 p$ + +Problema 2. O mulțime $M$ va fi numită specială dacă îndeplinește simultan condițiile: + +- este nevidă și are ca elemente doar numere naturale; +- dacă $x \in M$ și $x$ este par, atunci $\frac{x}{2} \in M$; +- dacă $x \in M$ și $x$ este impar, atunci $3 \cdot x+1 \in M$. + +a) Arătați că, dacă $M$ este o mulțime specială și $12 \in M$, atunci $M$ are cel puțin 10 elemente. + +b) Arătați că există o infinitate de mulțimi speciale care au exact două elemente impare. + +Soluție. a) Din $12 \in M$ reiese că $M$ conține elementele $6,3,10,5,16,8,4,2,1 \ldots \ldots \ldots 3 \mathbf{p}$ + +b) Dacă $n$ este număr natural nenul, atunci $2^{2 n}=\mathcal{M}_{3}+1$, deci $x_{n}=\frac{2^{2 n}-1}{3}$ este număr natural + +$2 p$ + +Pentru $n>1$, mulțimea $M=\left\{x_{n}, 2^{2 n}, 2^{2 n-1}, 2^{2 n-2}, \ldots, 1\right\}$ este specială și are exact două elemente impare: $x_{n}$ și 1. Obținem astfel o infinitate de mulțimi speciale care au exact două elemente impare + +$2 p$ + +Problema 3. Ana are 200 de monede, având respectiv valorile $1,2,2^{2}, \ldots, 2^{199}$. Ea le împarte în 100 de grupe de câte două monede, calculează sumele $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{100}$ ale valorilor monedelor din fiecare grupă și află cel mai mare divizor comun $D$ al numerelor $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{100}$. + +a) Arătați că $D$ este impar. + +b) Determinați valoarea maximă a lui $D$ pe care o poate obține Ana. + +Soluție. a) Una dintre grupe este de forma $\left\{1,2^{n}\right\}$, cu $n \geq 1$, deci suma $s$ atașată ei este impară. Deoarece $D$ divide $s$, rezultă că $D$ este impar + +$2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d420bab782f8a7cbdd19g-2.jpg?height=51&width=1526&top_left_y=2322&top_left_x=343) + +Dacă Ana formează grupele $\left\{2^{n}, 2^{n+100}\right\}$, cu $0 \leq n \leq 99$, atunci se obțin sumele $2^{n}\left(1+2^{100}\right)$ iar în acest caz $D=1+2^{100}$ + +$.2 \mathbf{p}$ + +Pe de altă parte, dacă $2^{100}$ este grupat cu $2^{n}, n>100$, atunci $D \mid 2^{n}+2^{100}=2^{100}\left(1+2^{n-100}\right)$ și $D$ impar duce la $D \leq 1+2^{n-100} \leq 1+2^{99}$, iar dacă $2^{100}$ este grupat cu $2^{n}, n<100$, atunci +$D \mid 2^{n}+2^{100}=2^{n}\left(1+2^{100-n}\right)$ și $D$ impar duce la $D \leq 1+2^{100-n} \leq 1+2^{100}$, deci nu putem obține $D>1+2^{100}$. + +Problema 4. a) Arătați că orice triunghi poate fi împărțit în trei triunghiuri cu interioarele disjuncte, unul fiind dreptunghic, unul isoscel și unul ascuțitunghic. + +b) Arătați că orice triunghi neisoscel poate fi împărțit în cinci triunghiuri cu interioarele disjuncte: unul isoscel, unul echilateral, unul ascuțitunghic, unul dreptunghic și unul obtuzunghic. + +Soluție. a) Un triunghi oarecare $A B C$ are cel puțin două unghiuri ascuțite. Dacă, de exemplu, acestea sunt $\angle B$ și $\angle C$, atunci înălțimea $A D$ împarte $\triangle A B C$ în triunghiurile dreptunghice $A B D$ și $A C D \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Ducând în $\triangle A B D$ și $\triangle A C D$ medianele $D E$, respectiv $D F$, obținem triunghiurile isoscele $A D E, B D E, A D F$ și $C D F \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathbf{1}$ + +Dacă unul dintre ele este ascuțitunghic, problema este rezolvată. În caz contrar avem $\angle D E A=\angle D E B=\angle D F A=\angle D F C=90^{\circ}$, deci $\triangle A B C$ este dreptunghic isocel. In acest caz putem lua $G$ pe $B C$ astfel încât $\angle C A G>45^{\circ}$ și $G H \perp A B, H \in A B$ pentru a obține $\triangle A C G$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d420bab782f8a7cbdd19g-3.jpg?height=254&width=333&top_left_y=743&top_left_x=1514) +ascutitunghic, $\triangle B G H$ isoscel și $\triangle A G H$ dreptunghic... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d420bab782f8a7cbdd19g-3.jpg?height=217&width=317&top_left_y=992&top_left_x=1533) + +b) Fără a pierde generalitatea, putem presupune $\angle A>\angle B>\angle C$. + +Atunci $\angle A>60^{\circ}$ și putem lua $D$ pe segmentul $B C$ astfel încât $\angle C A D=60^{\circ}$. Deoarece $\angle A D C>\angle B>\angle C$, avem $A C>A D$, deci putem lua punctul $E$ pe segmentul $A C$ astfel încât $A E=A D$. Obținem astfel $A D E$ echilateral, situat în interiorul $\triangle A B C$ $2 p$ + +Deoarece $\angle D E C=120^{\circ}, \triangle D C E$ este obtuzunghic. Apoi, conform a), $\triangle A B D$ poate fi împărțit într-un triunghi dreptunghic, un triunghi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d420bab782f8a7cbdd19g-3.jpg?height=247&width=320&top_left_y=1297&top_left_x=1531) +ascuțitunghic și un triunghi isoscel... $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-130-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-130-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc3d07619014ace1948f18d2100a5c46545de806 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-130-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,153 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +21 februarie 2016 + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $A$ și $B$ două matrice distincte din $M_{n}(\mathbb{C})$ astfel încât $A^{2}=B^{2}$. + +a) (4p) Dacă $A B=B A$ demonstraţi că det $(A+B)=0$. + +b) (3p) Rămâne valabilă concluzia de la punctul a) dacă matricele $A$ și $B$ nu comută? Justificați răspunsul! + +2. (7p) Fie $S_{5}$ mulțimea permutărilor de gradul 5 și $e$ permutarea identică din $S_{5}$. + +Demonstrați că $\sigma^{60}=e, \forall \sigma \in S_{5}$. + +3. (7p) Se consideră şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ cu $x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3$ și $x_{n+3}=x_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$. +4. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ un şir de numere reale cu proprietatea că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n}\right)=0$. + +a) (5p) Dacă şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ este monoton, demonstrați că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +b) (2p) Rămâne adevărată concluzia de la punctul a) în situația când șirul $\left(a_{n}\right)_{n \because 1}$ nu este monoton? Justificați răspunsul! + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA, 21 februarie 2016 + +BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $A$ și $B$ două matrice distincte din $M_{n}(\mathbb{C})$ astfel încât $A^{2}=B^{2}$. + +a) (4p) Dacă $A B=B A$ demonstraţi că det $(A+B)=0$. + +b) (3p) Rămâne valabilă concluzia de la punctul a) dacă matricele $A$ și $B$ nu comută? Justificați răspunsul! + +Solutie. a) Deoarece $A B=B A$ avem $O_{n}=A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$. Dacă $\operatorname{det}(A+B) \neq 0$, matricea $A+B$ este inversabilă și atunci $(A-B)(A+B)=O_{n} \quad / \cdot(A+B)^{-1} \Rightarrow A-B=O_{n}$, adică $A=B$, absurd! În concluzie $\operatorname{det}(A+B)=0$. + +b) Concluzia de la punctul a) nu mai rămâne valabilă atunci când matricele $A$ și $B$ nu comută. Probăm acest fapt prin următorul contraexemplu: + +Considerăm $A, B \in M_{2}(\mathbb{C}), A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$. Avem $A \neq B, A^{2}=B^{2} \quad\left(=O_{2}\right)$, $A B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, deci $A B \neq B A$ și $\operatorname{det}(A+B)=\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right|=-1 \neq 0$. + +Barem. + +| a) $A B=B A \Rightarrow(A-B)(A+B)=O_{n}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| det $(A+B) \neq 0 \Rightarrow \ldots \Rightarrow A=B$, absurd! | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Concluzia de la punctul a) nu mai rămâne valabilă atunci când $A$ și $B$ nu comută | $1 \mathrm{p}$ | +| Construiește un contraexemplu | $2 \mathrm{p}$ | + +2. (7p) Fie $S_{5}$ mulțimea permutărilor de gradul 5 și $e$ permutarea identică din $S_{5}$. + +Demonstrați că $\sigma^{60}=e, \forall \sigma \in S_{5}$. + +Solutie. Vom folosi următoarele rezultate teoretice: + +P1. Orice permutare se descompune ca produs de permutări ciclice disjuncte. + +P2. Dacă $\tau$ este un ciclu de lungime $k$ atunci $\tau^{k}=e$. + +P3. Dacă $\sigma=c_{1} c_{2} \ldots c_{s}$, unde $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{s}$ sunt cicli disjuncți de lungimi $l_{1}, l_{2}, \ldots$, respectiv $l_{s}$ și $m=$ c.m.m.m.c. $\left(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{s}\right)$ atunci $\sigma^{m}=e$. + +Fie $\sigma \in S_{5}$. În raport cu descompunerea lui $\sigma$ ca produs de permutări ciclice disjuncte (P1) avem următoarele situații posibile: +i) $\sigma=e \Rightarrow \sigma^{60}=e$ + +ii) $\sigma=$ ciclu de lungime $2 \stackrel{P 2}{\Rightarrow} \sigma^{2}=e \Rightarrow \sigma^{60}=\left(\sigma^{2}\right)^{30}=e^{30}=e$ + +iii) $\sigma=$ ciclu de lungime $3 \stackrel{P 2}{\Rightarrow} \sigma^{3}=e \Rightarrow \sigma^{60}=\left(\sigma^{3}\right)^{20}=e^{20}=e$ + +iv) $\sigma=$ ciclu de lungime $4 \stackrel{P 2}{\Rightarrow} \sigma^{4}=e \Rightarrow \sigma^{60}=\left(\sigma^{4}\right)^{15}=e^{15}=e$ + +v) $\sigma=$ ciclu de lungime $5 \stackrel{P 2}{\Rightarrow} \sigma^{5}=e \Rightarrow \sigma^{60}=\left(\sigma^{5}\right)^{12}=e^{12}=e$ + +vi) $\sigma=$ produs de doi cicli disjuncți de lungime $2 \stackrel{P 3}{\Rightarrow} \sigma^{2}=e \Rightarrow \sigma^{60}=\left(\sigma^{2}\right)^{30}=e^{30}=e$ + +vii) $\sigma=$ produs de doi cicli disjuncți unul de lungime 2 și unul de lungime $3 \stackrel{P 3}{\Rightarrow} \sigma^{6}=e \Rightarrow$ $\Rightarrow \sigma^{60}=\left(\sigma^{6}\right)^{10}=e^{10}=e$ + +În toate situațiile am obținut $\sigma^{60}=e$. + +## Barem. + +| Enunță și/sau utilizează P1, P2, P3 | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| cazul i) | $1 \mathrm{p}$ | +| cazurile ii) ....v) | $1 \mathrm{p}$ | +| cazul vi) | $1 \mathrm{p}$ | +| cazul vii) | $1 \mathrm{p}$ | + +3. (7p) Se consideră şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \circledast 1}$ cu $x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3$ și $x_{n+3}=x_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$. + +Solutie. Cum $x_{n+3}=x_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ deducem că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ este periodic de perioadă 3. Mai precis avem $x_{3 n-2}=1, x_{3 n-1}=2$ și $x_{3 n}=3, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Notăm $y_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$. Grupând termenii câte trei (la număăator!) avem: + +$y_{3 n}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{3 n}}{3 n}=\frac{(1+2+3) \cdot n}{3 n}=2, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} y_{3 n}=2$ + +$y_{3 n+1}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{3 n}+x_{3 n+1}}{3 n+1}=\frac{(1+2+3) \cdot n+x_{3 n+1}}{3 n+1}=\frac{6 n+1}{3 n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} y_{3 n+1}=2$ + +$y_{3 n+2}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{3 n+2}}{3 n+2}=\frac{(1+2+3) \cdot n+x_{3 n+1}+x_{3 n+2}}{3 n+2}=\frac{6 n+3}{3 n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} y_{3 n+2}=2$ + +Cum șirul $\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ are trei subșiruri complementare cu limita 2, rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=2$. + +## Barem. + +| $x_{3 n-2}=1, x_{3 n-1}=2$ și $x_{3 n}=3, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{3 n}=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{3 n+1}=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{3 n+2}=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $2 \mathrm{p}$ | + +4. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale cu proprietatea că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n}\right)=0$. + +a) (5p) Dacă șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ este monoton, demonstrați că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +b) (2p) Rămâne adevărată concluzia de la punctul a) în situația când șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ nu este monoton? Justificați răspunsul! + +Mihai Piticari, Vladimir Cerbu + +Solutie. a) Notăm $b_{n}=a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Din ipoteză avem $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$. + +Deoarece șirul $\left(a_{n}\right)_{n \gtrsim}$ este monoton, rezultă că $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ are limită. Fie $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \in \overline{\mathbb{R}}$. + +Dacă $l=+\infty$ deducem că $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este crescător, deci $a_{2 n+1}-a_{2 n} \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ şi atunci $b_{n}=a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n} \geq a_{2 n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+2}=+\infty$ obținem $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$, absurd! Dacă $l=-\infty$ deducem că $\left(a_{n}\right)_{n \otimes 1}$ este descrescător, deci $a_{2 n+1}-a_{2 n} \leq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ și atunci $b_{n}=a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n} \leq a_{2 n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+2}=-\infty$ obținem $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=-\infty$, absurd! + +Rămâne că $l \in \mathbb{R}$. Deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+2}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=l \in \mathbb{R}$ putem scrie: + +$0=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n}\right)=l+l-l=l$, adică $l=0$. + +b) Concluzia de la punctul a) nu mai rămâne valabilă atunci când șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ nu este monoton. Justificăm acest fapt prin următorul contraexemplu: + +Considerăm șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ cu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}0, \text { dacă } n=\text { impar } \\ 1, \text { dacă } n=\text { par }\end{array}\right.$. + +Evident $\left(a_{n}\right)_{n \ni 1}$ nu este monoton, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n+2}+a_{2 n+1}-a_{2 n}\right)=0$ și $\left(a_{n}\right)_{n \because 1}$ nu are limită! + +Barem. + +| a) Există $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \in \overline{\mathbb{R}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Demonstrează $l \in \mathbb{R}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează $l=0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Construiește un contraexemplu | $2 \mathrm{p}$ | + +## Notă: + +Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1300-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1300-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1d15cb87bcfdf35790e3bbf8cf1a27aa4e44fcd2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1300-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,35 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - GIURGIU - 16.02.2013 + +## CLASA a IX-a + +1. a) Să se arate că : $\frac{1}{2 \sqrt{n}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<\frac{1}{2 \sqrt{n-1}}, \forall n \in N \backslash\{0,1\}$; + +b) Comparați numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{503}} \\ +& b=\frac{1}{\sqrt{504}}+\frac{1}{\sqrt{505}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2013}} +\end{aligned} +$$ + +Ionel Tudor, Calugăreni + +2. Rezolvați ecuația: + +$$ +\left[\frac{2 x-1}{5}\right]+\left[\frac{6 x+2}{15}\right]+\left[\frac{6 x+7}{15}\right]=2 x-6 +$$ + +Ion Staicu , Giurgiu + +3. Fie triunghiul $A B C$ cu centrul de greutate $G$ şi în care $P$ este mijlocul lui [AG].Alegem punctul $Q \in A C$ astfel ca $\overrightarrow{A Q}=\frac{1}{2} \overrightarrow{Q C}$. + +Prin punctul $B$ se duce paralela la $A C$ pe care se alege un punct $R$ astfel ca $\overrightarrow{B R}=\overrightarrow{C Q}$. Demonstrați că punctele $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ şi $\mathrm{R}$ sunt coliniare. + +Daniela Boanță ,Giurgiu + +4. Se consideră hexagonul ABCDEF şi fie $G_{1,} G_{2}, G_{2}, G_{4}, G_{5}$ sit $G_{0}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $A B C, D E F, A B D, C E F, A C D$ repectiv $B E F$. Arătați că dreptele $G_{1} G_{2}, G_{3} G_{4} i G_{5} G_{6}$ sunt concurente. + +Paul Băiatu , Giurgiu + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1301-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1301-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c37fbdb04ca7e72ff98a504ffa9cec4943e2ff10 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1301-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,67 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2013 + +## Clasa a XII-a + +## Problema 1. + +a) Să se determine $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât funcţia $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, + +$F(x)=(a \cdot x+1) \cdot e^{b \cdot x+2}$ să fie o primitivă a funcţiei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{2 \cdot x+2} \cdot(4 \cdot x+4)$. + +b) Să se calculeze $\int \sqrt{4-x^{2}} d x, \quad x \in[-2 ; 2]$. + +## Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +Problema 2. Se notează $E=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ şi pentru orice $t \in \mathbb{R}$ se consideră $f_{t}: E \rightarrow E$, $f_{t}(x, y)=\left(x+t \cdot y+\frac{t^{2}}{2}, y+t\right)$, pentru orice $(x ; y) \in E$. Considerând mulţimea $G=\left\{f_{t} \mid t \in \mathbb{R}\right\}$, să se demonstreze că : +a) $G$ are o structură de grup comutativ în raport cu operaţia de compunere a funcţiilor. +b) $G$ este izomorf cu grupul $(\mathbb{R},+)$. + +## Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +Problema 3. Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, derivabilă, cu derivata continuă pe $\mathbb{R}$ care satisface proprietatea $f^{\prime}(x)-f(x)=x^{2}+x+1,(\forall) x \in \mathbb{R}$. + +a). Să se determine funcţia $f$ pentru $f(0)=0$. + +b). Să se demonstreze că $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{e^{x}}=4$. + +Ioan Toderiţă, profesor, Galaţi + +Problema 4. Fie $p$ un număr prim de forma $4 \cdot k+3, k \in \mathbb{N}$. + +a). Să se arate că ecuaţ̧ia $x^{2}+\hat{1}=\hat{0}$ nu are soluţii în $\mathbb{Z}_{p}$. + +b). Să se arate că dacă $x^{2}+y^{2}=\hat{0}, x, y \in \mathbb{Z}_{p}$, atunci $x=\hat{0}$ şi $\mathrm{y}=\hat{0}$. + +c). Să se rezolve în $\mathbb{Z}$ ecuaţia $x^{2}+y^{2}=12005$. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galați + +16 februarie 2013 + +## Clasa a XII-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice solutie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :--- | :--- | :--- | +| | a) Trebuie să avem că $F^{\prime}(x)=f(x)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$ | | +| | Prin calcul, deducem că $F^{\prime}(x)=(a \cdot b \cdot x+a+b) \cdot e^{b \cdot x+2}$, pentru orice
$x \in \mathbb{R}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din relaţiile $F^{\prime}(0)=f(0) \Leftrightarrow(a+b) \cdot e^{2}=4 \cdot e^{2} \Leftrightarrow a+b=4$ şi
$F^{\prime}(-1)=f(-1) \Leftrightarrow(-a \cdot b+a+b) \cdot e^{-b+2}=0 \Leftrightarrow-a \cdot b+a+b=0$, obţinem
sistemul $\left\{\begin{array}{l}a+b=4 \\ a \cdot b=a+b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=4 \\ a \cdot b=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2\end{array}\right.\right.\right.$
Observăm că pentru $a=b=2$ obţinem că $F(x)=(2 \cdot x+1) \cdot e^{2 \cdot x+2}$, pentru
orice $x \in \mathbb{R}$, funcţie care verifică relaţia $F^{\prime}(x)=f(x)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
Răspuns: $a=b=2$. | 2p | + + +| b) Mai întâi calculăm $I=\int \sqrt{4-x^{2}} d x$, pentru $x \in(-2 ; 2)$.
Avem că
$I=\int \sqrt{4-x^{2}} d x=\int \frac{4-x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}} d x=4 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} d x+\int \frac{-x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}} d x=$
$4 \cdot \arcsin \frac{x}{2}+\int x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x=$
$=4 \cdot \arcsin \frac{x}{2}+\int x \cdot\left(\sqrt{4-x^{2}}\right)^{\prime} d x=4 \cdot \arcsin \frac{x}{2}+x \cdot \sqrt{4-x^{2}-\int} \sqrt{4-x^{2}} d x=4 \cdot$ ar
$\cdot$ Deci, $I=\int \sqrt{4-x^{2}} d x=2 \cdot \arcsin \frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{4-x^{2}}+c$, unde $c \in \mathbb{R}$ şi
$x \in(-2 ; 2)$. | +| :---: | +| Funcţia $f:[-2 ; 2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{4-x^{2}}$ este continuă, deci admite
primitive. Notăm cu $F:[-2 ; 2] \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a lui $f$. Mai sus am
determinat primitivele funcţiei $f$ pe intervalul $(-2 ; 2)$ şi am obţinut că
$F(x)=2 \cdot \arcsin \frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{4-x^{2}}+c$, pentru orice $x \in(-2 ; 2)$, unde
$c \in \mathbb{R}$. Deoarece $F$ este derivabilă pe $[-2 ; 2]$, rezultă că $F$ este continuă
pe $[-2 ; 2]$.
Obţinem că $F(2)=\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ x<2}} F(x)=\pi+c$ şi $F(-2)=\underset{\substack{x \rightarrow-2 \\ x>-2}}{\lim _{2}} F(x)=-\pi+c$. Prin
urmare, primitivele funcţiei $f$ sunt de forma $F:[-2 ; 2] \rightarrow \mathbb{R}$ şi
$F(x)=2 \cdot \arcsin \frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{4-x^{2}}+c$, pentru orice $x \in[-2 ; 2]$. | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_122675c99d00d6aa8cdfg-4.jpg?height=1971&width=1654&top_left_y=231&top_left_x=201) + +| 3. | Înmulţim egalitatea cu $e^{-x}$ şi se obţine:
$\left(e^{-x} \cdot f(x)\right)^{\prime}=e^{-x} \cdot\left(x^{2}+x+1\right)$
$\int\left(e^{-x} \cdot f(x)\right)^{\prime} d x=\int e^{-x} \cdot\left(x^{2}+x+1\right) d x \Leftrightarrow$
$e^{-x} \cdot f(x)=-e^{-x} \cdot\left(x^{2}+x+1\right)-e^{-x} \cdot(2 \cdot x+1)-e^{-x} \cdot 2+C$.
$x=0 \Rightarrow f(0)=-1-1-2+C=0 \Rightarrow C=4$
$f(x)=4 \cdot e^{x}-\left(x^{2}+3 \cdot x+4\right), f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ | $1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | b). $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{e^{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 \cdot e^{x}-\left(x^{2}+3 \cdot x+4\right)}{e^{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 \cdot e^{x}-(2 \cdot x+3)}{e^{x}}$
$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 \cdot e^{x}-2}{e^{x}}=4$ | 3p | +| 4 | a). Aplicăm Mica teoremă a lui Fermat: dacă
$(x, p)=1, x \in \mathbb{Z} \Rightarrow p / x^{p-1}-1 \Rightarrow p / x^{4 k+2}-1$.
Presupunem că există $x \in \mathbb{Z}_{p}$ astfel încât
$x^{2}+\hat{1}=\hat{0} \Leftrightarrow x^{2}=-\hat{1} \Rightarrow x^{2 \cdot(2 k+1)}=(-\hat{1})^{2 k+1} \Rightarrow \hat{1}=-\hat{1}($ fals $)$. | $2 p$ | +| | b). Presupunem că $(\exists) x, y \in \mathbb{Z}_{p}^{*}$ astfel
încât $x^{2}+y^{2}=\hat{0} \Leftrightarrow\left(x y^{-1}\right)^{2}+\hat{1}=\hat{0}($ fals $)$. În concluzie singura soluţie este
$x=y=\hat{0}$. | $2 p$ | +| | c). Ecuaţia se mai scrie $x^{2}+y^{2}=2401 \cdot 5 . \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=7^{4} \cdot 5$. Reducând
ecuaţia în $\mathbb{Z}_{7} \Rightarrow x^{2}+y^{2}=\hat{0}, x, y \in \mathbb{Z} 7 x=y=\hat{0}$.
Deci $x=7 \cdot a, y=7 \cdot b, a, b \in \mathbb{Z}$.
Ecuaţia devine
$a^{2}+b^{2}=49 \cdot 5 ;$
La fel $a=7 m, b=7 n \Rightarrow m^{2}+n^{2}=5 \Leftrightarrow$
$(m, n) \in\{(2,1),(2,-1),(-2,1),(-2,-1)(1,2),(-1,2)(1,-2),(-1,-2)\} \Rightarrow$
$(x, y) \in\{(98,49),(08,-49),(-98,49),(-98,-49),\} \cup$
$\{(49,98),(-49,98),(49,-98),(-49,-98)\}$. | 3p | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1302-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1302-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b74ddb781f894c7d9006b0587723f0086340ea09 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1302-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,83 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2013 + +## Clasa a XI-a + +## Problema 1. + +Fie $E(x, k)=\left|\begin{array}{ccc}\sqrt[3]{x} & \sqrt[3]{k} & \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{k} \\ \sqrt[3]{k} & \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{k} & \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{k} & \sqrt[3]{x} & \sqrt[3]{k}\end{array}\right|, x, k \in \mathbb{R}$, + +a) Să se calculeze $E(-k, k)$ şi $E\left(\sin ^{2} \alpha, \cos ^{2} \alpha\right), \alpha \in \mathbf{R}$. + +b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia $\sum_{k=1}^{2013} E(x, k) \geq 0$. + +Milu Cârmaciu, profesor, Galaţi + +## Problema 2. + +a) Să se calculeze $\mathrm{E}(\mathrm{k})=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[k]{x}-\sqrt[k+2]{x}}{\sqrt[k+1]{x}-\sqrt[k+3]{x}}, \mathrm{k} \geq 2, \mathrm{k} \in \mathbf{N}$. + +b) Fie $\mathrm{P}=\prod_{k=2}^{2 n+1} E(k)$. Să se demonstreze că $P \in \mathbf{N},(\forall) n \in \mathbf{N}^{*}$. + +Milu Cârmaciu, profesor, Galaţi + +Problema 3. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir mărginit de numere reale pozitive cu proprietatea că $\sqrt{n \cdot x_{n}+n+1}-\sqrt{n \cdot x_{n}+1} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \sqrt{n \cdot x_{n}+n}-\sqrt{n \cdot x_{n}},(\forall) n \geq 1$. Să se demonstreze că şirul este convergent. + +Problemă selectată de Vasile Popa, profesor, Galaţi din G.M.nr.11,2012 + +Problema 4. Fie $A$ şi $B$ două matrice pătratice de ordinul doi cu elemente numere complexe, cu proprietatea $A \cdot B-B \cdot A=A$. Să se arate că $A \cdot B^{n} \cdot A=O_{2},(\forall) n \in \mathbb{N}, n \geq 1$. + +Problemă selectată de + +Vasile Popa, profesor, Galaţi + +din G.M.nr. 11,2012 + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +16 februarie 2013 + +Clasa a XI-a + +Barem de evaluare + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d7103394476873605ca9g-2.jpg?height=1676&width=1650&top_left_y=847&top_left_x=203) + +2. + +a) Metoda 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d7103394476873605ca9g-3.jpg?height=268&width=991&top_left_y=383&top_left_x=401) + +$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{2}{(k+2) \cdot k}}-1}{x^{\frac{2}{(k+1) \cdot(k+3)}}-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{\frac{1}{(k+2) \cdot k}}\right)^{2}-1}{\left(x^{\frac{1}{(k+1) \cdot(k+3)}}\right)^{2}-1}=$ + +$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{\frac{1}{(k+2) \cdot k}}-1\right) \cdot\left(x^{\frac{1}{(k+2) \cdot k}}+1\right)}{\left(x^{\frac{1}{(k+1) \cdot(k+3)}}-1\right) \cdot\left(x^{\frac{1}{(k+1) \cdot(k+3)}}+1\right)}=$ + +$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{1}{(k+2) \cdot k}}-1}{x^{\frac{1}{(k+1) \cdot(k+3)}}-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{1}{(k+2) \cdot k}}-1}{x^{\frac{1}{(k+1) \cdot(k+3)}}-1}=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d7103394476873605ca9g-3.jpg?height=143&width=856&top_left_y=1425&top_left_x=403) + +$\frac{1}{(k+2) \cdot k} \cdot \frac{(k+1) \cdot(k+3)}{1}=\frac{(k+1) \cdot(k+3)}{(k+2) \cdot k}$. + +Metoda 2. + +Folosind $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[m]{x}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)}{(x-1)\left(\sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}+\ldots+\sqrt[m]{x}+1\right)}=\frac{1}{m}, \mathrm{~m} \geq 2$, se obţine: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d7103394476873605ca9g-3.jpg?height=220&width=763&top_left_y=2094&top_left_x=401) + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{2}{k(k+2)} \cdot \frac{(k+1)(k+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+3)}{k(k+2)} +\end{aligned} +$$ + +| | b) $\begin{aligned} & \(\mathrm{P}=\mathrm{E}(2) \cdot \mathrm{E}(3) \cdot \mathrm{E}(4) \cdot \ldots \cdot \mathrm{E}(2 \mathrm{n}) \cdot \mathrm{E}(2 \mathrm{n}+1)= \\ &=\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot 6}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 6} \cdot \ldots \cdot \frac{(2 n+1)(2 n+3)}{2 n(2 n+2)} \cdot \frac{(2 n+2)(2 n+4)}{(2 n+1)(2 n+3)}= \\ &=\frac{(2 n+2)(2 n+4)}{2 \cdot 4}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{2 m}{2}=m \in \mathbf{N}^{*}, m \in \mathbf{N}^{*} \\ &\), deoarece \end{aligned}$
$(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)=2 \mathrm{~m}=\mathrm{nr}$. par $($ fiind produs de două numere naturale
consecutive $).$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3. | $\sqrt{n \cdot x_{n}+n+1}-\sqrt{n \cdot x_{n}+1} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \sqrt{n \cdot x_{n}+n}-\sqrt{n \cdot x_{n}},(\forall) n \geq 1 . \Leftrightarrow$
$\frac{n}{\sqrt{n \cdot x_{n}+n+1}+\sqrt{n \cdot x_{n}+1}} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \frac{n}{\sqrt{n \cdot x_{n}+n}+\sqrt{n \cdot x_{n}}} \Leftrightarrow$
$\sqrt{x_{n}+1}+\sqrt{x_{n}} \leq 2 \leq \sqrt{x_{n}+\frac{n+1}{n}}+\sqrt{x_{n}+\frac{1}{n}}$
Fie funcţia $f:[0 . \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$.
Relaţia (1) se scrie: $f\left(x_{n}\right) \leq f\left(\frac{9}{16}\right) \leq f\left(x_{n}+\frac{1}{n}\right)$
Funcţia $f$ este strict crescătoare pe
$\quad[0, \infty) \Rightarrow x_{n} \leq \frac{9}{16} \leq x_{n}+\frac{1}{n} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{9}{16}-x_{n} \leq \frac{1}{n} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{9}{16}$. | $1 p$
$1 p$ | + + +| 4. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d7103394476873605ca9g-5.jpg?height=1376&width=1120&top_left_y=303&top_left_x=387) | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1303-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1303-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd3d536dafa50e8580719154326a0c17f740d570 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1303-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,72 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2013 + +## Clasa a X-a + +## Problema 1. + +a). Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia $(11+6 \sqrt{2})^{x}=6 \cdot(3+\sqrt{2})^{x}-7$. + +b). Să se determine numerele naturale $n$ pentru care are loc egalitatea: + +$$ +\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{n}=2 +$$ + +Problemă selectată de Viorica Bujor, profesor, Galaţi + +Problema 2. Fie $z_{A}, z_{B} \in \mathbb{C}$, afixele punctelor $A$ respectiv $B$, de forma: $z_{A}=a+b \cdot i, z_{B}=b+a \cdot i, a, b \in \mathbb{R}^{*}, b problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fc6b35dbc66d934571e9g-2.jpg?height=735&width=1241&top_left_y=936&top_left_x=430) | $1 p$ | + + +| | $\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right)^{n}=\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{n}=\cos \frac{2 n \pi}{3}+i \sin \frac{2 n \pi}{3}$
$\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{n}=\left(\cos \frac{4 \pi}{3}+i \sin \frac{4 \pi}{3}\right)^{n}=\cos \frac{4 n \pi}{3}+i \sin \frac{4 n \pi}{3}$
$\cos \frac{2 n \pi}{3}+i \sin \frac{2 n \pi}{3}+\cos \frac{4 n \pi}{3}+i \sin \frac{4 n \pi}{3}=$
$2 \cos (n \pi) \cdot \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)+2 i \sin (n \pi) \cdot \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)=2 \cdot(-1)^{n} \cdot \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)$
$2 \cdot(-1)^{n} \cdot \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)=2 \Leftrightarrow(-1)^{n} \cdot \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)=1 \Rightarrow$
$\cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)=(-1)^{n} \Rightarrow \frac{n \pi}{3}=k \pi \Rightarrow n=3 k, k \in \mathbb{Z}$ | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2. | a).
Fie $\left\|z_{A}\right\|=\left\|z_{A}-z_{B}\right\|=\left\|z_{B}\right\| \Leftrightarrow\|a+i b\|=\|(a-b) \cdot(1+i)\| \Leftrightarrow$
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\|a-b\| \cdot \sqrt{2} \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-4 a b=0 \Leftrightarrow(a-2 b)^{2}=3 b^{2} \Leftrightarrow$
$\|a-2 b\|=b \sqrt{3} \Leftrightarrow a=2 b \pm b \sqrt{3} \Leftrightarrow a=b \cdot(2 \pm \sqrt{3})$.
Există două relaţii ce satisfac condiţia $a>b$.
1. $a=b \cdot(2+\sqrt{3}) \Rightarrow z_{A}=b \cdot(2+\sqrt{3}+i)$ sau $z_{A}=2 \cdot\|b\| \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)$;
$\left\|z_{A}\right\|=\|b\| \cdot \sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1}=2 \cdot\|b\| \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
2. $a=b \cdot(2-\sqrt{3}) \Rightarrow z_{A}^{\prime}=b \cdot(2-\sqrt{3}+i) \operatorname{sau} z_{A}^{\prime}=2 \cdot\|b\| \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot\left(\cos \frac{7 \pi}{12}+i \sin \frac{7 \pi}{12}\right)$;
$\left\|z_{A}^{\prime}\right\|=\|b\| \cdot \sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1}=2 \cdot\|b\| \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Analog, $z_{B}=b \cdot(1+(2+\sqrt{3}) \cdot i) \operatorname{si} z_{B}^{\prime}=b \cdot(1+(2-\sqrt{3}) \cdot i)$.
Există 2 triunghiuri echilaterale. | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fc6b35dbc66d934571e9g-4.jpg?height=1899&width=1654&top_left_y=227&top_left_x=201) + +| 3 | $\left.\begin{array}{l}b^{n} \leq x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{n} \\ a \in(0,1)\end{array}\right\} \Rightarrow \log _{a} b^{n} \geq \log _{a}\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right) \Leftrightarrow$ | 3p | +| :---: | :--- | :--- | +| $\log _{a} b^{n} \geq \log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\log _{a} x_{3}+\ldots+\log _{a} x_{n} \Rightarrow$ | | | +| $\log _{a} b \geq \frac{\log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\log _{a} x_{3}+\ldots+\log _{a} x_{n}}{n}$. | | | +| $\log _{a} x_{i}>0=\log _{a} 1,(\forall) i=\overline{1, n}$, deoarece numerele $a, x_{i} \in(0,1),(\forall) i=\overline{1, n}$ | | | +| Se aplică inegalitatea mediilor: | | | +| $\log _{a} b \geq \frac{\log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\ldots+\log _{a} x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{\log _{a} x_{1} \cdot \log _{a} x_{2} \cdot \ldots \log _{a} x_{n}} \Rightarrow$ | 1p | | +| $\log _{a} b \geq \sqrt[n]{\log _{a} x_{1} \cdot \log _{a} x_{2} \cdot \log _{a} x_{3} \cdot \ldots \log _{a} x_{n}}$ | | | +| $R_{\text {Ridicând ambii membri la puterea a n-a, se obţine inegalitatea cerută. }}$ | 1p | | + + +| 4 . | Metoda 1.
Deoarece $f(1)=2$, vom lua $y=1,(\forall) x \in \mathbb{Z}$.
Se obţine:
$f(x+1)+f(x)=f(x) \cdot f(1)+1,(\forall) x \in \mathbb{Z} \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1,(\forall) x \in \mathbb{Z}$.
Demonstrăm prin inducţie matematică
$P(n): f(x+n)=f(x)+n,(\forall) n \in \mathbb{N}^{*},(\forall) x \in \mathbb{Z}$
$P(1)$ este adevărată;
Presupunem $\mathrm{P}(n)$ adevărată;
Dar $\mathrm{f}(x+n+1)=f((x+n)+1)=f(x+n)+1=f(x)+n+1 \Rightarrow$
$P(n+1)$ adevărată ;
În concluzie $\mathrm{f}(x+n)=f(x)+n,(\forall) n \in \mathbb{N} *,(\forall) x \in \mathbb{Z}$
În această relaţie $x \Rightarrow x-n \Rightarrow f(x)=f(x-n)+n \Rightarrow$
$f(x-n)=\mathrm{f}(x)-n \quad(2)$
Din $(1)$ si $(2) \Rightarrow \mathrm{f}(x+k)=f(x)+k,(\forall) k \in \mathbb{Z},(\forall) x \in \mathbb{Z}$.
Luând $\mathrm{x}=0 \Rightarrow \mathrm{f}(k)=f(0)+k ;$
Pentru $k=1 \Rightarrow f(1)=f(0)+1 \Rightarrow f(0)=1$.
În concluzie $\mathrm{f}(x)=x+1,(\forall) x \in \mathbb{Z}$
Verificăm condiţiile problemei
$f(x+y)+f\left(x \cdot y^{2}\right)=f(x) \cdot f\left(y^{3}\right)+1,(\forall) x, y \in \mathbb{Z}$ pentru funcţia găsită:
$f(x)=x+1, x \in \mathbb{Z}$
Egalitatea devine:
$x+y+1+y^{2} x+1=(x+1) \cdot\left(y^{3}+1\right)+1 \Leftrightarrow y+y^{2} x=x y^{3}+y^{3}$.
Pentru $\mathrm{x}=0$ şi $\mathrm{y}=2$, obţinem $2=8(f$ fals $) \Rightarrow \mathrm{nu}$ există funcţii care să
verifice condiţile problemei. | +| :---: | :---: | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fc6b35dbc66d934571e9g-7.jpg?height=734&width=1648&top_left_y=230&top_left_x=204) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1304-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1304-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4d0bc60ad1cd8f694462fd8bd7edd287dd838e38 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1304-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,62 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2013
Clasa a VIII-a + +Problema 1. Să se demonstreze că: +a) $\sqrt{11+6 \cdot \sqrt{2}}-\sqrt{3-2 \cdot \sqrt{2}} \in \mathbb{N}$. +b) $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{1}+1 \cdot \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \cdot \sqrt{2}+2 \cdot \sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{100 \cdot \sqrt{99}+99 \cdot \sqrt{100}}<\frac{19}{20}$. +c) $\sqrt{x^{2}-8 \cdot x+25}+\sqrt{4 \cdot x^{2}+12 \cdot x+25}>7$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +Problema 2. Se consideră rombul $A B C D$ cu $A B=8 \mathrm{~cm}$ şi $m(\Varangle A)=60^{\circ}$. Pe planul rombului $A B C D$, în punctul $A$, se ridică perpendiculara $M A$ cu $M A=6 \mathrm{~cm}$. + +a) Să se calculeze distanţa dintre punctele $M$ şi $D$. + +b) Să se calculeze distanţa de la $A$ la planul (MBD). + +c) Să se calculeze distanţa de la $M$ la dreapta $B C$. + +Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +Problema 3. Fie $a, b>0$. Să se demonstreze inegalităţile: + +a). $\left(a^{3}+1\right) \cdot\left(b^{3}+1\right) \geq\left(a^{2} \cdot b+1\right) \cdot\left(b^{2} \cdot a+1\right)$. + +b). $a^{3} \cdot b^{3}+1 \geq a \cdot b \cdot(a+b)$, pentru $a, b \geq 1$ sau $a, b \leq 1$. + +Vasile Popa, profesor, Galaţi + +Problema 4. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ o prismă patrulateră dreaptă, cu bazele pătrate, în care $A A^{\prime}=A B \cdot \sqrt{2}$ şi $M, N, O$ sunt, respectiv, mijloacele segmentelor $\left[B B^{\prime}\right],\left[D D^{\prime}\right],[B D]$. + +a). Să se demonstreze că $A^{\prime} B \perp(A M D)$. + +b). Dacă $\{G\}=A^{\prime} O \cap(A M N)$, să se demonstreze că punctul $\mathrm{G}$ este centrul de greutate atât pentru triunghiul $A M N$ cât şi pentru triunghiul $A^{\prime} B D$. + +c). Să se demonstreze că dreapta de intersecţie a planelor $(A M D)$ şi (ANB) este perpendiculară pe planul $\left(A^{\prime} B D\right)$. + +Problemă selectată de Ioana Lefteriu, profesor, Galaţi + +G.M.nr.10, 2012 + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +16 februarie-2013 + +## Clasa a VIII-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fc4396a88cbc3c77d71g-2.jpg?height=1744&width=1648&top_left_y=807&top_left_x=204) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fc4396a88cbc3c77d71g-3.jpg?height=1891&width=1648&top_left_y=271&top_left_x=204) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fc4396a88cbc3c77d71g-4.jpg?height=1645&width=1650&top_left_y=271&top_left_x=203) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fc4396a88cbc3c77d71g-5.jpg?height=1733&width=1671&top_left_y=264&top_left_x=198) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fc4396a88cbc3c77d71g-6.jpg?height=1619&width=1656&top_left_y=264&top_left_x=200) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fc4396a88cbc3c77d71g-7.jpg?height=1482&width=1656&top_left_y=267&top_left_x=200) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1305-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1305-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8ebdebf3272c42083079f96cbd936ede38413217 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1305-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,68 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2013
Clasa a VII-a + +Problema 1. Fie numerele + +$a=\sqrt{176}-\sqrt{288}+\sqrt{4032}$ + +$b=-\sqrt{275}+\sqrt{450}-\sqrt{6300}$ + +$c=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{\sqrt{45}}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{\sqrt{117}}+\frac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{\sqrt{221}}+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{17}}{\sqrt{357}}+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{21}}{\sqrt{525}}$. + +Să se demonstreze că $c+a: b \in \mathbb{N}$. + +Visilina Guiţă, profesor, Galaţi + +Problema 2. Fie trapezul $A B C D$ cu $A D \| B C, m(\measuredangle A)=90^{\circ}$ şi $A C \cap B D=\{O\}$. Paralela prin punctul $O$ la $A D$ intersectează pe $(A B)$ în punctul $E$ şi pe $(D C)$ în punctul $F$. Să se demonstreze că: + +a). $\triangle A E D \sim \triangle B E C$. + +b). $[E O$ este bisectoarea unghiului $\measuredangle D E C$. + +c). $[E O] \equiv[O F]$. + +Problemă selectată de + +Visilina Guiţă, profesor, Galaţi + +## Problema 3 + +a). Să se indice un număr natural nenul $n$ pentru care numărul $\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n+1}$ este raţional. + +b). Să se justifice că numărul $\sqrt{1+3+5+\ldots+2013}$ este număr natural. + +c). Numărul $\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2013+1994}$ este număr natural?(Justificare). + +Constantin Ursu, profesor, Galaţi + +Problema 4. În triunghiul $A B C, m(\measuredangle A B C)=2 \cdot m(\measuredangle A C B)$ şi $A D \perp B C, D \in B C$. Punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{C}$ sunt situate de o parte şi de alta a dreptei $\mathrm{AB}$ astfel încât $A E \perp B E$ şi $\measuredangle E A B \equiv \measuredangle A C B$. Bisectoarea unghiului $\measuredangle A E D$ intersectează dreapta $A C$ în $\mathrm{M}$. Dacă $\{H\}=A E \cap B C$, arătaţi că: + +a). Triunghiurile $B H A$ şi $A H C$ sunt isoscele. + +b). Patrulaterul MCDE este paralelogram. + +c). Perimetrul paralelogramului MCDE este egal cu perimetrul triunghiului $A B C$. + +Problemă selectată de + +Visilina Guiţă, profesor, Galaţi din G.M.nr.10, 2012 + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 16 februarie 2013 + +## Clasa a VII-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | $a=\sqrt{176}-\sqrt{288}+\sqrt{4032}=4 \cdot \sqrt{11}-12 \cdot \sqrt{2}+24 \sqrt{7}=4 \cdot(\sqrt{11}-3 \cdot \sqrt{2}+6 \cdot \sqrt{7})$.
$b=-\sqrt{275}+\sqrt{450}-\sqrt{6300}=-5 \cdot \sqrt{11}+15 \cdot \sqrt{2}-30 \cdot \sqrt{7}=$
$-5 \cdot(\sqrt{11}-3 \cdot \sqrt{2}+6 \cdot \sqrt{7})$.
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{\sqrt{45}}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{\sqrt{117}}+\frac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{\sqrt{221}}+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{17}}{\sqrt{357}}+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{21}}{\sqrt{525}}=$
$=1-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{45}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}+\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{117}}-\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{117}}+\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{221}}-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{221}}+$
$+\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{357}}-\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{357}}+\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{525}}-\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{525}}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.
$c+a: b=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}=0 \in \mathbb{N}$. | $2 p$
$1 p$ | +| 2. | a).
$B C \\| A D \stackrel{\text { T.E.A }}{\Rightarrow} \Delta B O C \sim \triangle D O A \stackrel{\text { def }}{\Rightarrow} \frac{B C}{A D}=\frac{C O}{A O}=\frac{B O}{O D}(1)$.
$E O \\| B C \stackrel{\text { T.Th. }}{\Rightarrow} \frac{C O}{A O}=\frac{B E}{E A}(2)$
Din (1) şi (2) $\Rightarrow \frac{B C}{A D}=\frac{B E}{E A}$.
$\left\{\begin{array}{l}m(\measuredangle E A D)=m(\measuredangle E B C))_{L . U . L}^{\Rightarrow} \Delta B E C \sim \triangle A E D . \\ \frac{B E}{E A}=\frac{B C}{A D}\end{array}\right.$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e242cf77af65c54ca701g-3.jpg?height=2079&width=1650&top_left_y=268&top_left_x=203) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e242cf77af65c54ca701g-4.jpg?height=1257&width=1650&top_left_y=268&top_left_x=203) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1306-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1306-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cfee1a92971ace59d9a927f9ceb3d423e70f5ef7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1306-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,71 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2013
CLASA a VI-a + +## Problema 1. + +a) Să se calculeze cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale 2016, 2160 şi 2376. + +b) Numerele naturale 2041, 2178 şi 2390 împărţite la acelaşi număr natural dau resturile 25,18 respectiv 14. Să se determine împărţitorul. + +## Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +## Problema 2. + +Se consideră unghiurile adiacente $\widehat{A O B}$ şi $\widehat{B O C}$ astfel încât $m(\widehat{A O B})=23^{\circ} 25^{\prime} 45^{\prime \prime}$ şi $m(\widehat{B O C})=33^{0} 45^{\prime} 34^{\prime \prime}$. Să se calculeze: +a) $m(\widehat{A O C})$. +b) $m(\widehat{C O M})$, ştiind că $[O M$ este bisectoarea unghiului $\widehat{B O C}$ +c) $m(\widehat{B O C})-m(\widehat{A O B})$. + +## Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +## Problema 3. + +a). Să se determine numerele naturale prime $a, b, c, c u a \leq b \leq c$, astfel încât $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{59}{70}$ + +## Popa Vasile, profesor, Galați + +b). Să se determine $n \in \mathbb{N}, n \geq 3$, ştiind că toate numerele de forma $n-1, n+5, n+11, n+17, n+23$ sunt numere prime pentru aceeaşi valoare a lui $n, n \geq 3$. + +Manea Maricel, profesor, Galaţi + +## Problema 4. + +Pe o dreaptă $d$ se consideră punctele diferite $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{10}$, în această ordine, astfel încât lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{1}\right]$ este o treime din lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{2}\right]$, lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{2}\right]$ este o treime din lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{3}\right]$, lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{3}\right]$ este o treime din lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{4}\right], \ldots$, lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{9}\right]$ este o treime din lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{10}\right]$. Fie $M_{0}, M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{9}$ respectiv mijloacele segmentelor $\left[A_{0} A_{1}\right],\left[A_{1} A_{2}\right],\left[A_{2} A_{3}\right], \ldots,\left[A_{9} A_{10}\right]$. Ştiind că lungimea segmentului $\left[A_{9} A_{10}\right]$ este $118098 \mathrm{~cm}$, să se calculeze: + +a). lungimile segmentelor $\left[A_{0} A_{1}\right],\left[A_{4} A_{5}\right],\left[A_{5} A_{6}\right]$. + +b). distanţa dintre punctele $M_{4}$ şi $M_{7}$. + +## Viorica Bujor, profesor, Galaţi + +Notă Toate problemele sunt obligatorii + +Timp efectiv de lucru 2 ore + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 0 la 7 + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +16 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluție, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | a)
2016 $=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$,
$2160=2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 5$
$2376=2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 11$
$d=(2016,2160,2376)=2^{3} \cdot 3^{2}=72$
şi $m=[2016,2160,2376]=2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ | $2 p$
$1 p$
$1 p$ | +| | b).Fie $x$ împărţitorul, $x \neq 0$. Din teorema împărţirii cu rest deducem că
există numerele naturale $a, b$ şi $c$ astfel încât
2041 $=x \cdot a+25,2178=x \cdot b+18$ şi $2390=x \cdot c+14, x>25$.
Avem că $2016=x \cdot a, 2160=x \cdot b, 2376=x \cdot c$,
de unde obţinem că $x$ este divizor comun pentru numerele 2016, 2160
si 2376, deci $x$ divide cel mai mare divizor al numerelor 2016, 2160
ş 2376, adică $x$ divide numărul 72. Cum $x>25$ şi $x$ divide numărul 72,
deducem $x=36$ sau $x=72$. | $1 p$
$1 p$ | +| 2. | a) $m(\Varangle A O C)=57^{\circ} 11^{\prime} 19^{\prime \prime}$ | $2 p$ | +| | b) $m(\Varangle C O M)=16^{0} 52^{\prime} 47^{\prime \prime}$ | $2 p$ | +| | c). $10^{\circ} 19^{\prime} 49^{\prime \prime}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| 3. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_da6c7988bcd9844dafa4g-2.jpg?height=374&width=1229&top_left_y=2127&top_left_x=431) | $2 p$
$2 p$ | + + +| | Cazul 1. $n=5 \cdot k, k \in \mathbb{N}^{*}$. Atunci $n+5=5 \cdot(k+1) \vdots 5($ nu convine)
Cazul 2. $n=5 \cdot k+1, k \in \mathbb{N}^{*}$. Atunci $n-1=5 \cdot k$. Numărul $5 \cdot k$
este prim pentru $k=1 \Rightarrow n=6 ;$
Aşadar, pentru $n=6$, numerele prime sunt : $5,11,17,23,29$..
Cazul 3. $n=5 \cdot k+2, k \in \mathbb{N}^{*}$.Atunci $n+23=5 \cdot(k+5) \vdots 5(\mathrm{nu}$
convine) Cazul 4. $n=5 \cdot k+3, k \in \mathbb{N}$.Atunci $n+17=5 \cdot(k+4) \vdots 5(\mathrm{nu}$
convine) Cazul 5. $n=5 \cdot k+4, k \in \mathbb{N}$.Atunci $n+11=5 \cdot(k+3) \vdots 5(\mathrm{nu}$
convine)
Singura soluţie este $n=6$. | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4. | Fie $x>0$ lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{1}\right]$. Atunci:
segmentul $\left[A_{0} A_{2}\right]$ are lungimea $3 \cdot x$,
segmentul $\left[A_{0} A_{3}\right]$ are lungimea $9 \cdot x=3^{2} \cdot x$
segmentul $\left[A_{0} A_{4}\right]$ are lungimea $3 \cdot 9 \cdot x=3^{3} \cdot x$
$\vdots$
segmentul $\left[A_{0} A_{10}\right]$ are lungimea $3^{9} \cdot x$
Atunci lungimea segmentului $\left[A_{9} A_{10}\right]$ este $3^{9} \cdot x-3^{8} \cdot x=2 \cdot 3^{8} \cdot x$.
$2 \cdot 3^{8} \cdot x=118098 \Leftrightarrow 2 \cdot 3^{8} \cdot x=2 \cdot 59049 \Leftrightarrow$
$3^{8} \cdot x=3^{10} \Leftrightarrow x=9 \mathrm{~cm}$.
Lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{1}\right]$ este $9 \mathrm{~cm}$,
Lungimea segmentului $\left[A_{4} A_{5}\right]$ este $3^{4} \cdot x-3^{3} \cdot x=2 \cdot 3^{3} \cdot x$. Inlocuind pe
$x$ cu $9 \mathrm{~cm}$, se obţine $486 \mathrm{~cm}$.
Lungimea segmentului $\left[A_{5} A_{6}\right]$ este $3 \cdot 486=1458 \mathrm{~cm}$. | $1 p$ | +| | Lungimea segmentului $A_{0} M_{0}$ este $\frac{x}{2}$
Lungimea segmentului $A_{0} M_{1}$ este $2 \cdot x$;
Lungimea segmentului $A_{0} M_{2}$ este $6 \cdot x=3 \cdot(2 \cdot x)$;
Lungimea segmentului $A_{0} M_{3}$ este $18 \cdot x=3^{2} \cdot(2 \cdot x)$
Lungimea segmentului $A_{0} M_{4}$ este $54 \cdot x=3^{3} \cdot(2 \cdot x)$
Lungimea segmentului $A_{0} M_{7}$ este $3^{6} \cdot(2 \cdot x)$;
Lungimea segmentului $M_{4} M_{7}$ este $3^{6} \cdot(2 \cdot x)-3^{3} \cdot(2 \cdot x)=3^{3} \cdot 2 \cdot x \cdot\left(3^{3}-1\right)$.
Înlocuind pe $\mathrm{x} \mathrm{cu} 9 \mathrm{~cm}$, se obţine $3^{5} \cdot 2 \cdot\left(3^{3}-1\right)=486 \cdot 26=12636 \mathrm{~cm}$. | $1 p$
$1 p$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1307-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1307-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb88fd314369ef30ff1b92e2d623f63d198a4086 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1307-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,73 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 16 februarie 2013 + +Clasa a V-a + +## Problema 1. + +Să se calculeze: +a) $2012+2013 \cdot 2012-2014 \cdot 2011$ +b) $3+5+7+\ldots+2013-2-4-6-\ldots-2012$ +c) $\left[\left(2^{8}\right)^{3}: 2^{5} \cdot\left(2^{8}+2^{8}\right)+4-4^{8}: 2^{14}\right]: 2^{27}+9$ + +Romeo Zamfir, profesor, Galaţi + +## Problema 2. + +Fie numărul natural $A=\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n}}$ cu $n$ cifre , $n \geq 2$. Să se demonstreze că numărul natural $A-s(A)$ este multiplu al lui 9. ( $s(n)$ este suma cifrelor numărului natural $n$ ). + +Visilina Guiţă, profesor, Galaţi + +## Problema 3. + +a) Să se determine valorile naturale ale lui $\mathrm{n}$ şi cifra nenulă $\mathrm{x}$ pentru care $3^{n+6}+3^{n+5}+3^{n+4}+2 \cdot 3^{n+3}+4 \cdot 3^{n}=\overline{x x x x}$. + +G.M.nr. 10.2012 + +b) Să se determine toate numerele naturale $\mathrm{n}$, care împărţite la 9 dau câtul c şi restul $\mathrm{r}$, iar împărţite la 5 dau câtul $\mathrm{r}$ şi restul c. + +G.M.nr. 10.2012 + +Problema 4. Fie X cel mai mare număr natural format cu cifre nenule a căror sumă este 2013. + +Să se determine câtul şi restul împărţirii lui X la numărul 1001. + +Visilina Guiţă, profesor, Galați + +## Notă Toate problemele sunt obligatorii + +Timp efectiv de lucru 2 ore + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 0 la 7 + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 16 februarie 2013 + +## Clasa a V-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| lemei | Soluţie, rezolvare | Puncta | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | a) Calcul corect si complet. Rezultat calcul $=2014$ | 2p | +| | b) Calcul corect si complet.Rezultat calcul $=1006$ | 3p | +| | c) Calcul corect si complet.Rezultat calcul $=11$ | 2p | +| 2. | $\mathrm{A}=\overline{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{3} \ldots \mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{a}_{n}}=\mathrm{a}_{1} \cdot 10^{\mathrm{n}-1}+\mathrm{a}_{2} \cdot 10^{\mathrm{n}-2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-2} \cdot 10^{2}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \cdot 10+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$
$\mathrm{s}(\mathrm{A})=\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-2}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ | 2p | +| | $A=[a_{1} \cdot \underbrace{99 \ldots 9}_{(n-1) \text { cifre }}+a_{2} \cdot \underbrace{999 \ldots 99}_{(n-2) \text { cifire }}+\ldots+a_{n-2} \cdot 99+a_{n-1} \cdot 9+\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)] \ddot{x}$ | 2p | +| | $A-s(A)=a_{1} \cdot \underbrace{999 \ldots 99}_{(n-1) \text { cifre }}+a_{2} \cdot \underbrace{999 \ldots 99}_{(n-2) \text { cifire }}+\ldots+a_{n-2} \cdot 99+a_{n-1} \cdot 9 \Rightarrow$
$A-s(A)=9 \cdot[a_{1} \cdot \underbrace{111 \ldots 11}_{(n-1) \text { cifire }}+a_{2} \cdot \underbrace{111 \ldots 11}_{(n-2) \text { cifre }}+\ldots+a_{n-2} \cdot 11+a_{n-1} \cdot 1]$
9 divide pe $A-s(A)$ | 2p | +| 3. | a) Avem $3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{6}+3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{5}+3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{4}+2 \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{3}+4 \cdot 3^{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{xxxx}}$.
Dând factor comun pe $3^{\mathrm{n}}$, se obţine $3^{\mathrm{n}} \cdot 1111=\overline{\mathrm{xxxx}}$.
Astfel, pentru $\mathrm{n}=0 \Rightarrow \mathrm{x}=1 ; \mathrm{n}=1 \Rightarrow \mathrm{x}=3 ; \mathrm{n}=2 \Rightarrow \mathrm{x}=9$.
Pentru $\mathrm{n} \geq 3$ nu convine deoarece se obţine $3^{\mathrm{n}} \cdot \overline{1111}$ este număr natural de
5 sau mai multe cifre. | $2 \mathbf{2 p}$ | +| | b) Conform teoremei împărţirii cu rest în mulţimea $\mathrm{N}$ avem:
$\mathrm{n}=9 \cdot \mathrm{c}+\mathrm{r} \quad, 0 \leq \mathrm{r}<9, \mathrm{r}, \mathrm{c} \in \mathbb{N}$ (1) şi $\mathrm{n}=5 \cdot \mathrm{r}+\mathrm{c} \quad, 0 \leq \mathrm{c}<5, \mathrm{r}, \mathrm{c} \in \mathbb{N}(2)$
Din cele două egalităţi rezultă că $8 \cdot \mathrm{c}=4 \cdot \mathrm{r} \Rightarrow \mathrm{r}=2 \cdot \mathrm{c}$ | 2p | +| | Înlocuind în relaţia (1) obţinem $\mathrm{n}=11 \cdot \mathrm{c} \Rightarrow 11 \mid \mathrm{n}$.
Cum $0 \leq \mathrm{c}<5, \mathrm{c} \in \mathbb{N} \Rightarrow 0 \leq 11 \cdot \mathrm{c}<55 \Rightarrow \mathrm{n} \in\{0,11,22,33,44\}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| 4. | Numărul $X$ fiind cel mai mare număr natural cu cifre nenule $\Rightarrow$ trebuie ca $X$
sa aibă număr maxim de cifre nenule de valoare minimă $\Rightarrow X=\underbrace{111 \ldots 1}_{2013 \text { cifre }}$. | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\mathrm{X}=10^{2012}+10^{2011}+10^{2010}+10^{2009}+\ldots+10^{3}+10^{2}+10^{1}+1$ si $10^{3}+1=1001 \Rightarrow$ | $2 \mathbf{2 p}$ | + + +| că vom împărți cei 2013 termeni ai sumei în grupe de câte şase termeni şi în fiecare din
acestea îi grupăm câte 2 termeni | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | +| $\mathrm{X}=1001 \cdot\left[\left(10^{2009}+10^{2008}+10^{2007}\right)+\left(10^{2003}+10^{2002}+10^{2001}\right)+\ldots+\left(10^{5}+10^{4}+10^{3}\right)\right]+111$.
Catul impartirii
$\mathrm{c}=\underbrace{111000111000 \ldots 11000111}_{2010 \text { cifire }}$
şi restul împărţirii este $\mathrm{r}=111$ | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1308-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1308-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a44789d553e8a568e7b96ad0d2c6144ab91a57f3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1308-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,49 @@ +# Olimpiada de Matematică - etapa locală- Galaţi
16 februarie 2016 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +\left[\frac{x-1}{2}\right]+\left[\frac{x+1}{2}\right]+\left[\frac{x+3}{2}\right]=\left[\frac{x+7}{3}\right]+\left[\frac{x+4}{3}\right]+\left[\frac{x+1}{3}\right] +$$ + +Problemă prelucrată de + +Viorica Bujor, profesor, Galaţi + +Problema 2. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{1}=\frac{1}{3}, a_{2}=\frac{5}{6}$ şi $(n+1) \cdot a_{n+1}=(n-1) \cdot a_{n},(\forall) n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Să se demonstreze că $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}<2,(\forall) n \geq 1$. + +Problemă selectată de + +Viorica Bujor,profesor, Galaţi din G.M.nr. 6-7-8, 2012 + +Problema 3. Fie numărul natural $a=\underbrace{111 \ldots}_{(n-1) c \text { cifre }} \underbrace{222 \ldots .22}_{n \text { cifre }}+x$, unde $x \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. + +Să se determine $x \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, ştiind că numărul $a$ este pătrat perfect. + +Ioan Toderiţă, profesor, Galaţi + +Problema 4. În triunghiul $A B C$ cu $B C=4, C A=6, A B=3$, notăm centrul de greutate $\mathrm{cu} \mathrm{G}$, iar centrul cercului înscris în triunghi cu I. Dacă $G I \cap A B=\{M\}$ şi $G I \cap A C=\{N\}$, să se calculeze valoarea rapoartelor $\frac{M B}{M A}, \frac{N C}{N A}$. + +Iuliana Duma, profesor, Galaţi + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +16 februarie-2013 + +## Clasa a IX-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
nroblemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| $\mathbf{1}$ | $\left.\begin{array}{l}{\left[\frac{x-1}{2}\right]+\left[\frac{x+1}{2}\right]+\left[\frac{x+3}{2}\right]=\left[\frac{x+7}{3}\right]+\left[\frac{x+4}{3}\right]+\left[\frac{x+1}{3}\right] \Leftrightarrow} \\ {\left[\frac{x-1}{2}\right]=\left[\frac{x+1}{3}\right] \Rightarrow\left\|\frac{x-1}{2}-\frac{x+1}{3}\right\|<1 \Leftrightarrow\|x-5\|<6 \Leftrightarrow-6 ETAPA LOCALĂ
CLASA a XII-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(40 puncte ) + +Pe mulțimea $G=(1, \infty)$ se consideră legea de compoziție $x * y=\sqrt{(x y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)+2}, \forall x, y \in G$. + +a) Determinați elementul neutru al legii de compoziție; + +b) Rezolvați ecuația $\lg (x * 3)=\frac{1}{2}+\log _{100} x$; + +c) Dacă notăm $A(x, n)=\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {den ori }}$ şi cu $B$ simetricul lui $A(2,2013)$ în raport cu legea ,"* ", aflați $B$. + +prof. Cristian Petru Pop, ISJ Cluj + +## Subiectul II.(20 puncte) + +Să se determine $n \in \mathbb{N}$, astfel încât $I_{n} \in \mathbb{Q}$, unde $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{6 x^{3}-9 x^{2}+7 x-2}{\left(3 x^{2}-3 x+2\right)^{n}} d x$ + +prof. Eugen Jecan, Colegiul Național „Andrei Mureşanu”Dej + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Calculați $I=\int \frac{\operatorname{ctg} x}{\sin ^{n} x+a^{n}} d x$, unde $x \in\left(0, \frac{\Gamma}{2}\right), a \geq 0$ şi $n \in \mathbb{N}^{*}$ + +prof. Ilie Diaconu, Liceul Teoretic "Avram Iancu" Cluj-Napoca + +## Subiectul IV.(10 puncte ) + +Fie $f:[0 ; 1] \rightarrow \mathbf{R}$ o funcție continuă având proprietatea $\int_{0}^{1} x f(x) d x \geq \ln 2$. Să se arate că există $a \in(0,1)$ astfel încât $a^{2} f(a)+a f(a)-1=0$. + +prof. Gheorghe Lobonț, Colegiul Național ,,Mihai Viteazul"Turda + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 3 ore.[^0] + +(OLM 2013-etapa locală) + +Of. $10 p$ + +Subiectul I +a) $e=\sqrt{2} \in G$ + +(10 puncte) +b) $x * 3=\sqrt{8 x^{2}-7} \Rightarrow x_{1}=-\frac{1}{2} \notin G, x_{2}=\frac{7}{4} \in G$ + +(10 puncte) +c) $x^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \in G$ + +(5 puncte) + +Se dem prin inducție că $A(x, n)=\sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{n}+1}, \forall x \in(1, \infty)$ + +(10 puncte) + +$\Rightarrow B=\sqrt{1+\frac{1}{3^{2013}}}$ + +(5 puncte) + +## Subiectul II. + +Avem: $6 x^{3}-9 x^{2}+7 x-2=(2 x-1)\left(3 x^{2}-3 x+2\right)=\frac{1}{4}(2 x-1)\left[3(2 x-1)^{2}+5\right]$, iar + +$\left(3 x^{2}-3 x+2\right)^{n}=\frac{1}{4^{n}}\left(12 x^{2}-12 x+8\right)^{n}=\frac{1}{4^{n}}\left[3(2 x-1)^{2}+5\right]^{n} ;$ prin urmare, integrala devine + +$$ +I_{n}=4^{n-1} \int_{0}^{1} \frac{(2 x-1)\left[3(2 x-1)^{2}+5\right] d x}{\left[3(2 x-1)^{2}+5\right]^{n}}=4^{n-1} \int_{0}^{1} \frac{(2 x-1) d x}{\left[3(2 x-1)^{2}+5\right]^{n-1}} +$$ + +(10 puncte) + +Făcând schimbarea de variabilă $2 x-1=t$, aceasta devine: $I_{n}=4^{n-1} \int_{-1}^{1} \frac{t d t}{2\left(3 t^{2}+5\right)^{n-1}}$. + +Cum funcția $f:[-1,1] \rightarrow R, f(t)=\frac{t}{\left(3 t^{2}+5\right)^{n-1}}$ este impară, rezultă că $I_{n}=0 \in \mathbb{Q} \quad \forall n \in N$. + +## Subiectul III. + +$\mathrm{Cu}$ substituţia $\sin \mathrm{x}=\mathrm{t}>0, \cos \mathrm{xdx}=\mathrm{dt}$ obţinem: $I^{\prime}=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{n}}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}}\right)}$. + +$1^{\circ}$. dacă $\mathrm{a}=0$, atunci $I^{\prime}=\int \frac{1}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+1}} d t=-\frac{1}{n \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}+\mathcal{C}$, deci $I=-\frac{1}{\mathrm{n} \sin ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}}+\mathcal{C}$; + +(10 puncte) + +2. dacă $\mathrm{a}>0$, atunci $I^{\prime}=\int \frac{d t}{t\left(t^{n}+a^{n}\right)}=\frac{1}{a^{n}} \int \frac{\left(\mathrm{t}^{n}+a^{n}\right)-t^{n}}{t\left(\mathrm{t}^{n}+a^{n}\right)} d t=$ + +$=\frac{1}{a^{n}} \int\left(\frac{1}{t}-\frac{t^{n-1}}{t^{n}+a^{n}}\right) d t=\frac{1}{a^{n}} \int \frac{1}{t} d t-\frac{1}{n a^{n}} \int \frac{\left(t^{n}+a^{n}\right)^{\prime}}{t^{n}+a^{n}} d t=$ +$=\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}}} \ln \mathrm{t}-\frac{1}{\mathrm{na}^{\mathrm{n}}} \ln \left(\mathrm{t}^{\mathrm{n}}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}}\right)+\mathcal{C}$, deci + +$$ +\mathrm{I}=\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}}} \ln \sin \mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{na}^{\mathrm{n}}} \ln \left(\sin ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}}\right)+\mathcal{C} +$$ + +(10 puncte) + +## Subiectul IV + +Se consideră funcția $g:[0 ; 1] \rightarrow \mathbf{R}, g(x)=x \cdot f(x)-\frac{1}{x+1}$; are loc $\int_{0}^{1} g(x) d x=\int_{0}^{1} x \cdot f(x) d x-\ln 2 \geq 0\left(^{*}\right)$. Din teorema de medie avem că $\exists c \in(0,1)$ astfel încât $\int_{0}^{1} g(x) d x=g(c)>0 ; g(0)=-1, g(c)>0 \Rightarrow \exists a \in(0, c) \subset(0,1)$ astfel ca $g(a)=0$. Prin urmare se obține $a \cdot f(a)-\frac{1}{1+a}=0$ adică $a^{2} f(a)+a f(a)-1=0$. + +(10 puncte) + + +[^0]: P-ța Ştefan cel Mare nr. 4, Cluj - Napoca + + Tel: $\quad+40(0) 264590778$ + + Fax: +40 (0) 264592832 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-131-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-131-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a92552730ae9ef5d6eaeb49f8909ca12bcd8e98 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-131-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ SUCEAVA
21 februarie 2016 + +## CLASA a X-a + +1. Determinați funcțiile $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ care verifică relația: $f\left(\frac{x}{f(y)}\right)=\frac{x}{f(x \sqrt{y})}$, pentru orice $x, y \in(0, \infty)$ +2. Dacă $a \in(0,1) \cup(1, \infty)$ și $x, y, z \in \mathbb{R}$ satisfac $a^{x}+a^{y}+a^{z}+a^{-x}+a^{-y}+a^{-z}=10$, să se demonstreze că $1 \leq a^{x}+a^{y}+a^{z} \leq 9$. Precizaţi când se realizează egalităţile. +3. Fie $a, b, c \in(0,1)$ sau $a, b, c \in(1, \infty)$. Demonstrați că: + +$$ +\log _{b c^{3}}\left(a^{3} b^{2}\right)+\log _{c a^{3}}\left(b^{3} c^{2}\right)+\log _{a b^{3}}\left(c^{3} a^{2}\right) \geq \frac{15}{4} +$$ + +4. Dacă $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1, z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0$ și $z_{1}+z_{2}+z_{3} \neq 0$, calculați $\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|$. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
SUCEAVA, 21 februarie 2016
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE-CLASA a X-a + +1. Determinați funcțiile $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ care verifică relația: $f\left(\frac{x}{f(y)}\right)=\frac{x}{f(x \sqrt{y})}$, pentru orice $x, y \in(0, \infty)$. + +Supliment G.M. 11/2015 + +Solutie: $f(1) \stackrel{\text { not }}{=} a, y=1 \Rightarrow f\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{x}{f(x)}$ + +$x=a \Rightarrow f(1)=\frac{a}{f(a)} \Rightarrow f(a)=1$. + +Luăm $y=a$ în relația din ipoteză și avem $f(x)=\frac{x}{f(x \sqrt{a})}, \forall x \in(0, \infty)$ + +În relația (2) luăm, pe rând, $x=\sqrt{a} \Rightarrow f(\sqrt{a})=\frac{\sqrt{a}}{f(a)} \Rightarrow f(\sqrt{a})=\sqrt{a}$ și $x=1 \Rightarrow a=\frac{1}{f(\sqrt{a})} \Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{a}} \Rightarrow a=1$. + +Ne întoarcem în relaţia (1) și obținem $f(x)=\frac{x}{f(x)} \Leftrightarrow f^{2}(x)=x \Leftrightarrow f(x)=\sqrt{x}, \forall x \in(0, \infty)$, funcție care verifică relația din enunț. + +Barem: + +| $f(1)=a, y=1 \Rightarrow f\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{x}{f(x)}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $x=a \Rightarrow f(1)=\frac{a}{f(a)} \Rightarrow f(a)=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $f(x)=\frac{x}{f(x \sqrt{a})}, \forall x \in(0, \infty)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Determină $f(1)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare: determină funcția | $2 \mathrm{p}$ | + +2. Dacă $a \in(0,1) \cup(1, \infty)$ și $x, \mathrm{y}, \mathrm{z} \in \mathbb{R}$ satisfac $a^{x}+a^{y}+a^{z}+a^{-x}+a^{-y}+a^{-z}=10$, să se demonstreze că $1 \leq a^{x}+a^{y}+a^{2} \leq 9$. Precizatị când se realizează egalitătile. + +Dan Popescu, Suceava + +Soluție. Notând $u=a^{x}+a^{y}+a^{z}$ şi $v=a^{-x}+a^{-y}+a^{-z}$, din $u+v=10$ şi $u \cdot v \geq 9$, se deduce $u(10-u) \geq 9$, ceea ce revine la $u \in[1,9]$. S-a folosit inegalitatea mediilor $(\alpha+\beta+\gamma)\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right) \geq 9, \forall \alpha, \beta, \gamma \in(0, \infty)$. Egalitatea se obține când $a^{x}=a^{y}=a^{z}$, adică pentru $x=y=z$ şi $x \in\left\{-\log _{a} 3, \log _{a} 3\right\}$. + +Barem. + +| Scrie inegalitatea dintre media armonică şi media aritmetică a trei numere reale pozitive | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Demonstrează $1 \leq a^{x}+a^{y}+a^{z} \leq 9$ | $5 \mathrm{p}$ | +| Precizează cazurile de egalitate | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Fie $a, b, c \in(0,1)$ sau $a, b, c \in(1, \infty)$. Demonstrați că: + +$$ +\log _{b c^{3}}\left(a^{3} b^{2}\right)+\log _{c a^{3}}\left(b^{3} c^{2}\right)+\log _{a b^{3}}\left(c^{3} a^{2}\right) \geq \frac{15}{4} +$$ + +Cristian Amorăriței, Suceava + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_abadef4c0df516f9f3bbg-2.jpg?height=87&width=1480&top_left_y=2434&top_left_x=260) + +$$ +S+3=\sum_{c y c}\left(1+\log _{b c^{c^{3}}}\left(a^{3} b^{2}\right)\right)=\sum_{c y c}\left(\log _{b c^{3}}\left(a^{3} b^{3} c^{3}\right)\right)==3 \sum_{c c c}\left(\log _{b c^{3}}(a b c)\right) \Rightarrow 3 \sum_{c y c}\left(\frac{1}{\log _{a b c}\left(b c^{3}\right)}\right) +$$ + +Folosim inegalitatea CBS în forma Titu Andreescu și obținem: +$\sum_{c y c}\left(\frac{1}{\log _{a b c}\left(b c^{3}\right)}\right) \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{\sum_{c y c}\left(\log _{a b c}\left(b c^{3}\right)\right)}=\frac{9}{\log _{a b c}\left(a^{4} b^{4} c^{4}\right)}=\frac{9}{4}$, deci $S+3 \geq \frac{27}{4} \Rightarrow S \geq \frac{15}{4}$. Egalitatea are loc pentru $a=b=c$. + +Barem. + +| $\sum_{c y c} \log _{b c^{3}}\left(a^{3} b^{2}\right)+3=3 \sum_{c y c}\left(\frac{1}{\log _{a b c}\left(b c^{3}\right)}\right)$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| $\sum_{c y c}\left(\frac{1}{\log _{a b c}\left(b c^{3}\right)}\right) \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{\sum_{c y c}\left(\log _{a b c}\left(b c^{3}\right)\right)}=\frac{9}{\log _{a b c}\left(a^{4} b^{4} c^{4}\right)}=\frac{9}{4}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Dacă $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1, z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0$ și $z_{1}+z_{2}+z_{3} \neq 0$, calculatii $\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|$. R.M.T. $4 / 2015$ + +Solutie. $\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right)^{2}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+2 z_{1} z_{2}+2 z_{2} z_{3}+2 z_{1} z_{3}=2 z_{1} z_{2}+2 z_{2} z_{3}+2 z_{1} z_{3} \Rightarrow$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|^{2}=2\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{1} z_{3}\right| +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_abadef4c0df516f9f3bbg-3.jpg?height=65&width=1501&top_left_y=976&top_left_x=274) + +$$ +\begin{aligned} +& =3+\overline{z_{1}} z_{3}+z_{1} \overline{z_{3}}+\overline{z_{2}} z_{1}+z_{2} \overline{z_{1}}+\overline{z_{2} z_{3}}+z_{2} \overline{z_{3}}(2) \\ +& \left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|^{2}=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\left.|| z_{3}\right|^{2}+\overline{z_{1} z_{3}}+z_{1} \overline{z_{3}}+\overline{z_{2}} z_{1}+z_{2} \overline{z_{1}}+\overline{z_{2} z_{3}}+z_{2} \overline{z_{3}}=3+\overline{z_{1} z_{3}}+z_{1} \overline{z_{3}}+\overline{z_{2} z_{1}}+z_{2} \overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} z_{3}+z_{2} \overline{z_{3}} +\end{aligned} +$$ + +Din relațiile (1), (2), (3) și $z_{1}+z_{2}+z_{3} \neq 0$ rezultă $\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|=2$. + +## Barem. + +| Deduce relația (1) | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Deduce relația (2) | $2 \mathrm{p}$ | +| Deduce relația (3) | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare $\left\|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right\|=2$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1310-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1310-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26f4dd8c346e38c4d725558e641d58bcdacd83a4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1310-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,113 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a XI-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +Fie $M \subset M_{3}\left(R_{+}^{*}\right)$ mulțimea matricelor care au pe diagonala principală toate elementele egale, iar produsul elementelor de pe fiecare linie şi fiecare coloană egal cu 1. + +a) Dați un exemplu de matrice din $M$ care nu are toate elementele numere raționale; + +b) Demonstrați că $\operatorname{det}(A) \geq 0, \forall A \in M$. + +prof. Viorel Lupşor, L.T. „O. Ghibu” Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Fie $A, B, C \in M_{4}(\mathbf{C})$ cu $A$ inversabilă şi $C \cdot(A-B)=A^{-1} \cdot B$. Să se arate că $(A-B) \cdot C=B \cdot A^{-1}$. prof. Gheorghe Lobonț, Colegiul Național „Mihai Viteazul”Turda + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Se consideră şirurile $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}: a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \quad$ şi + +$\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}: b_{n}=n^{\alpha}\left(1-a_{n}\right), \alpha \in R$ +a) Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1$; +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$. + +prof. univ. dr. Dorian Popa, U.T. Cluj-Napoca prof. Viorel Lupşor, L.T. „O. Ghibu” Cluj-Napoca + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Se consideră şirurile $\left(a_{n}\right)_{n>1}$ şi $\left(b_{n}\right)_{n>1}$, unde: $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}$ şi $b_{n}=\sum_{k=1}^{n} k!(k+2)$ + +Se cere: +a) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$; +b) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 a_{n}\right)^{b_{n}}$. + +prof. Alb Nicolae, Lic. T. “O. Goga” Huedin + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a XI-a + +(OLM 2013-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +Subiectul I. $\quad$ a) De exemplu, $\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} & 1 \\ 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2}\end{array}\right) \in M$. + +(10 puncte) + +b) Fie $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & a & e \\ f & g & a\end{array}\right) \in M$. Deoarece produsul elementelor de pe fiecare linie şi fiecare coloană este 1 , deducem că $e=f=b$ şi $c=d=g=\frac{1}{a b}$. + +(10 puncte) + +Prin urmare $A=\left(\begin{array}{ccc}a & b & \frac{1}{a b} \\ \frac{1}{a b} & a & b \\ b & \frac{1}{a b} & a\end{array}\right)$ şi $\operatorname{det}(A)=\left(a+b+\frac{1}{a b}\right)\left(a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2} b^{2}}-a b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$. În conditiiile problemei $a+b+\frac{1}{a b}>0$. Pentru a demonstra că $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2} b^{2}}-a b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \geq 0$, putem folosi inegalitatea $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+x z+y z, \forall x, y, z \in \square$. + +(10 puncte) + +## Subiectul II. + +$C \cdot(A-B)=A^{-1} \cdot B \Leftrightarrow C \cdot A-C \cdot B-A^{-1} \cdot B=O_{4} \mid+I_{4} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow C \cdot A-C \cdot B-A^{-1} \cdot B+A^{-1} \cdot A=I_{4} \Leftrightarrow\left(C+A^{-1}\right) \cdot(A-B)=I_{4} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow(A-B) \cdot\left(C+A^{-1}\right)=I_{4} \Leftrightarrow A \cdot C-B \cdot C-B \cdot A^{-1}+A \cdot A^{-1}=I_{4} \Leftrightarrow \Leftrightarrow(A-B) \cdot C=B \cdot A^{-1}$. + +(20 puncte) + +## Subiectul III. + +a) Avem $\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}, \forall k=\overline{1, n}$. Însumând, rezultă $\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}} \leq a_{n} \leq \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}$. Aplicând teorema „cleştelui", obținem egalitatea cerută. + +(10 puncte) + +b) + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\alpha}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}-\ldots-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\alpha}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right) +$$ + +$=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\alpha}\left(\frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{n \sqrt{n^{2}+1}}+\frac{\sqrt{n^{2}+2}-n}{n \sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{\sqrt{n^{2}+n}-n}{n \sqrt{n^{2}+n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\alpha-1}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}\left(\sqrt{n^{2}+1}+n\right)}+\right.$ + +$\left.+\frac{2}{\sqrt{n^{2}+2}\left(\sqrt{n^{2}+2}+n\right)}+\ldots+\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)}\right)$. + +$\operatorname{Fie}\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}: c_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}\left(\sqrt{n^{2}+1}+n\right)}+\frac{2}{\sqrt{n^{2}+2}\left(\sqrt{n^{2}+2}+n\right)}+\ldots+\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)}$. + +Deoarece $\frac{k}{\sqrt{n^{2}+n}\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)} \leq \leq \frac{k}{\sqrt{n^{2}+k}\left(\sqrt{n^{2}+k}+n\right)} \leq \frac{k}{\sqrt{n^{2}+1}\left(\sqrt{n^{2}+1}+n\right)}, \forall k=\overline{1, n}$, + +însumând,rezultă $\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\sqrt{n^{2}+n}\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right)} \leq \leq c_{n} \leq \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\sqrt{n^{2}+1}\left(\sqrt{n^{2}+1}+n\right)}$. Aplicând teorema „cleştelui", + +obținem $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{4} . \quad$ Prin urmare, $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\left\{\begin{array}{l}\infty, \text { dacă } \alpha>1 \\ \frac{1}{4}, \text { dacă } \alpha=1 . \\ 0, \text { dacă } \alpha<1\end{array}\right.$ + +(10 puncte) + +## Subiectul IV + +a) $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k![1+k+1+(k+1)(k+2)]}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!(k+2)}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!(k+2)}=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!}\right]=\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+2)!} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\frac{1}{2}$. + +(10 puncte) + +b) Evident $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ şi astfel cu limita cerută ne situăm in cazul $1^{\infty}$. + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 a_{n}\right)^{b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[1-\frac{2}{(n+2)!}\right]^{b_{n}}=e^{\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{2}{(n+2)!} \cdot b_{n}\right]} . \\ +& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{(n+2)!}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k!(k+2)}{(n+2)!} \stackrel{\text { Stolcz } C}{=} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)!(n+3)}{(n+3)!-(n+2)!}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)!(n+3)}{(n+2)!(n+2)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+3)}{(n+2)^{2}}=0 . +\end{aligned} +$$ + +Astfel: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 a_{n}\right)^{b_{n}}=e^{0}=1$ + +(10 puncte) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1311-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1311-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4baf1bdace877485cf0ed214d7aa3b69653a083a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1311-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,83 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a X-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +Fie funcția $f: R \rightarrow(0, \infty), f(x)=\frac{21^{x}+1}{3^{x}+7^{x}}$. + +a) Să se studieze injectivitatea funcției; + +b) Este funcția f surjectivă? + +c) Care este numărul soluțiilor ecuației $f(x)+f(-x)=1$ ? + +Prof. Eugen Jecan, Colegiul Național „,Andrei Mureşanu" Dej + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Să se determine numerele reale $x, y, z, t$ care satisfac relațiile: + +$$ +x-\sqrt{y}=y-\sqrt{z}=z-\sqrt{t}=t-\sqrt{x}=2 . +$$ + +prof. Gheorghe Lobonț, Colegiul Național ,,Mihai Viteazul"Turda + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Să se arate că există o infinitate de numere reale $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ astfel încât $\sqrt[3]{3^{a}+5^{b}+7^{c}} \in N^{*}$. + +prof. Ilie Diaconu,Liceul Teoretic "Avram Iancu" Cluj Napoca + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +a) Demonstraţi că $\frac{p q}{p+q} \leq \frac{p+q}{4}, \forall p, q>0$; + +b) Fie numerele $a, b, c \in(0,1)$ şi $x, y, z \in(0, \infty)$ astfel încât $a=(b c)^{x}, b=(c a)^{y}, c=(a b)^{z}$. Arătați că $\frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{y+z+2}+\frac{1}{z+x+2} \leq 1$. + +Gazeta matematică, nr. 7-8-9/2011 + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a X-a + +(OLM 2013-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +## Subiectul I. + +a) Avem $f(-x)=\frac{\frac{1}{21^{x}}+1}{\frac{1}{3^{x}}+\frac{1}{7^{x}}}=\frac{1+21^{x}}{7^{x}+3^{x}}=f(x),(\forall) x \in R$. Prin urmare funcţia este pară şi deci neinjectivă. (10 puncte) + +b) Vom arăta că $f(x) \geq 1,(\forall) x \in R$. Avem $f(x) \geq 1 \Leftrightarrow \frac{21^{x}+1}{3^{x}+7^{x}} \geq 1 \Leftrightarrow\left(3^{x}-1\right)\left(7^{x}-1\right) \geq 0$, inegalitate adevărată pentru orice $x$ număr real. Deci imaginea funcției este $[1, \infty)$ şi deci nu este surjectivă. + +(10 puncte) + +c) Cum $f(-x)=f(x)$, avem $2 f(x)=1 \Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}$, care nu are soluţii, deoarece $f(x) \geq 1,(\forall) x \in R$. + +(10 puncte) + +## Subiectul II. + +a) Dacă $xy$ se procedează după ideea de la punctul a) şi obținem : $x>y>z>t>x$ prin urmare un şir de inegalități care nu poate să aibă loc. Rezultă că $x=y=z=t$ şi avem $x-\sqrt{y}=2 \Leftrightarrow x-\sqrt{x}=2 \Leftrightarrow x-2=\sqrt{x}$. Condițiile de existenṭă sunt $\left\{\begin{array}{c}x-2 \geq 0 \\ x \geq 0\end{array}\right.$ adică $x \in[2,+\infty)$. Efectuând calculele se obține ecuația $x^{2}-5 \cdot x+4=0$, ecuație ce admite soluțiile $x_{1}=1$ şi $x_{2}=4$. Avănd în vedere că $x \in[2,+\infty)$ rămâne că numai $x=4$ este soluție a ecuației iraționale. Soluția problemei este $x=y=z=t=4$. + +(10 puncte) + +Subiectul III. Cum $\frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{3}}{3}=k^{3}, k \in N^{*}$, rezultă că pentru $a=\log _{3} \frac{k^{3}}{3}, b=\log _{5} \frac{k^{3}}{3}$ şi $c=\log _{7} \frac{k^{3}}{3}$, obținem: $\sqrt[3]{3^{a}+5^{b}+7^{c}}=\sqrt[3]{3^{\log 3 \frac{k^{3}}{3}}+5^{\log 5 \frac{k^{3}}{3}}+7^{\log 7 \frac{k^{3}}{3}}}=\sqrt[3]{\frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{3}}{3}}=k \in N^{*}, \quad$ de unde rezultă concluzia. + +(20 puncte) + +Subiectul IV + +## a) Demonstrarea egalității + +(10 puncte) +b) $x=\frac{-\lg a}{-\lg b-\lg c}, y=\frac{-\lg b}{-\lg a-\lg c}, z=\frac{-\lg c}{-\lg a-\lg b}$. Notăm numitorii acestor fracții cu $\mathrm{p}>0, \mathrm{q}>0, \mathrm{r}>0$ $\Rightarrow x=\frac{-p+q+r}{2 p}, y=\frac{p-q+r}{2 q}, z=\frac{p+q-r}{2 r}$. Folosind punctul a $\Rightarrow \frac{1}{x+y+2}=\frac{2 p q}{(p+q+r)(p+q)} \leq \frac{p+q}{2(p+q+r)} \quad$ Adunând această inegalitate cu analoagele ei, avem $\frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{y+z+2}+\frac{1}{z+x+2} \leq \frac{p+q+q+r+r+p}{2(p+q+r)}=1$ + +(10 puncte) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1312-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1312-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fe13448f2c7caecae6a7d60d016c0831d054f06 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1312-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,110 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VIII-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Să se demonstreze : $\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{13}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}}+\ldots+\sqrt{n(n+1)+\frac{1}{2}}>\frac{n(n+2)}{2},(\forall), n \in N^{*}$. + +Prof. Grigore Tarța, Lic. T. "Ana Ipătescu" Gherla + +## Subiectul II.(30 puncte ) + +Fie $p$ partea întreagă a oricărui număr din intervalul $[-4 ;-3)$, iar $q$ element al mulțimii $A \cap B$ unde $A=\left\{a \in \mathbb{Z}^{*} / \frac{a(\sqrt{7+4 \sqrt{3}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}})}{2 a-1} \in \mathbb{Z}\right\}$ si $B=\{x \in \mathbb{R} /|2 x-1|<3\}$. + +Determinaţi valorile $x \in R$ pentru care : $-p x^{2}+\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}\right) \cdot x+q=0$. + +Prof. Măgdaş Elena, Școala Gimnazială "Horea" Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Pe planul paralelogramului $A B C D$ se ridică perpendiculara $A P$. Fie $M$ mijlocul segmentului $[A B]$, iar $N$ mijlocul segmentului $[D M]$. Arătați că $P N \perp D M$ dacă şi numai dacă $D M \perp M C$. + +prof. Bodea Florica-Daniela, Lic. T.Gelu Voievod Gilău + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Se consideră triunghiurile $A B C$ şi $D B C$ în plane diferite. Fie punctele $E, F, P, M$ astfel încât $P$ este mijlocul lui $[A B], F$ este mijlocul lui $[D C]$, iar $M \in[A C], E \in[B D]$ şi verifică relația $\frac{A M}{A C}=\frac{D E}{D B}=\frac{1}{3}$. Dacă $E F \cap(A B C)=\{G\}, M P \cap(B C D)=\{N\}$ şi distanțele de la punctele $D$ şi $A$ la dreapta $B C$ sunt egale, să se arate că $A_{\triangle A M P}=\frac{1}{18} \cdot A_{\triangle D N G}$. + +prof.Poenaru Teodor, Liceul teoretic ,Nicolae Bălcescu”Cluj-Napoca + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a VIII-a + +(OLM 2013-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +Subiectul I. Inegalitatea din enunțul problemei se scrie astfel: + +$\sqrt{\frac{1^{2}+2^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{2^{2}+3^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{3^{2}+4^{2}}{2}}+\ldots+\sqrt{\frac{2 n^{2}+2 n+1}{2}}>\frac{n(n+2)}{2},(\forall), n \in N^{*}$. + +Pornim de la inegalitatea evidentă : $\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geq \frac{a+b}{2},(\forall), a, b \in N$,cu egalitate dacă $\mathrm{a}=$ b.avem: + +(10 puncte) + +$\sqrt{\frac{1^{2}+2^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{2^{2}+3^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{3^{2}+4^{2}}{2}}+\ldots+\sqrt{\frac{n^{2}+(n+1)^{2}}{2}}>\frac{1+2}{2}+\frac{2+3}{2}+\frac{3+4}{2}+\ldots+\frac{n+n+1}{2}=$ + +$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+\frac{4}{2}+\ldots+\frac{n}{2}+\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{2(2+3+4+\ldots+n)}{2}+\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}+2+3+4+\ldots+n+\frac{1}{2}+\frac{n}{2}==$ $1+2+3+4+\ldots+n+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+2)}{2}$. De aici urmează că propoziția este adevărată. + +(10 puncte) + +## Subiectul II. + +$p=-4 \quad$ şi $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=5$ + +(10 puncte) + +$\left.\frac{5 a}{2 a-1} \in \mathbb{Z} \quad 2 a-1\right)|5 a \Rightarrow(2 a-1)| 10 a \Rightarrow a \in\{-2,0,1,3\} \quad A=\{-2,1,3\}$ + +$-3<2 x-1<3 \quad B=(-1,2) \quad A \cap B=\{1\}$ + +(10 puncte) + +$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\cdots \frac{\sqrt{24}-\sqrt{25}}{-1}=4$ + +$4 x^{2}+4 x+1=0 \quad(2 x+1)^{2}=0 \quad x=-\frac{1}{2}$ + +(10 puncte) + +Subiectul III. Desen corect + +(5 puncte) + +Arătăm că dacă $P N \perp D M$ atunci $D M \perp M C$. + +Deoarece $A P \perp(A B C), P N \perp D M, D M \subset(A B C)$, conform reciprocei teoremei celor trei perpendiculare, obținem $A N \perp D M$, iar deoarece $N$ este mijlocul segmentului $[D M]$, triunghiul $A D M$ este isoscel, de unde $A M=A D=\frac{A B}{2}$. Notăm cu T mijlocul segmentului $[D C]$ şi obținem AMTD paralelogram, şi atunci $M T=A D=\frac{A B}{2}=\frac{D C}{2}$ + +, deci triunghiul $D M C$ este dreptunghic în $M$, adică $D M \perp M C$. + +(5 puncte) + +Arătăm că dacă $D M \perp M C$ atunci $P N \perp D M$. + +Notăm cu T mijlocul segmentului $[D C]$ şi obținem $A M T D$ paralelogram, şi atunci $M T=A D$. Cum triunghiul $D M C$ este dreptunghic în $M$ cu $M T$ mediana din vârful unghiului drept, obținem $M T=\frac{D C}{2}=\frac{A B}{2}=A M$ Deci triunghiul ADM este isoscel şi atunci $A N \perp D M$, + +(5 puncte) + +iar folosind teorema celor trei perpendiculare obținem concluzia dorită. + +(5 puncte) + +Subiectul IV. Desen corect + +(5 puncte) + +$\left.\begin{array}{l}A_{\triangle A M P}=\frac{1}{3} A_{\triangle A C P} \\ A_{\triangle A C P}=\frac{1}{2} A_{\triangle A B C}\end{array}\right\} \Rightarrow A_{\triangle A M P}=\frac{1}{6} A_{\triangle A B C}$ + +Aplicăm teorema lui Menelaus + +$$ +\Delta A B C,(M, P, N) \quad \frac{M A}{M C} \cdot \frac{N C}{N B} \cdot \frac{P B}{P A}=1 \Rightarrow \quad N C=2 N B +$$ + +$$ +\Delta D B C,(E, F, G) \quad \frac{E D}{E B} \cdot \frac{G B}{G C} \cdot \frac{F C}{F D}=1 \Rightarrow G B=2 G C +$$ + +Din (1) şi (2) $\Rightarrow N B=B C=G C \quad A_{\triangle D N G}=3 \cdot A_{\triangle D B C}=3 \cdot A_{\triangle A B C}$, deci $A_{\triangle A M P}=\frac{1}{18} A_{\triangle D N G}$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1313-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1313-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e7e23447abb69b01fa31a0d11387825f02659626 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1313-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,110 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VII-a + +16.02.2013 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Demonstrați că $\{\sqrt{122}\}+\{\sqrt{123}\}+\ldots+\{\sqrt{132}\}<3$. (S-a notat cu $\{x\}$ partea fracționară a numărului real $x$ ). + +prof. Adrian Magdaş, Colegiul Naţional „Emil Racoviţă" Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(30 puncte ) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3dc84d5b8c64faa0eb9dg-1.jpg?height=114&width=1588&top_left_y=917&top_left_x=177) + +prof. Sorin Borodi, Liceul Teoretic "Alexandru Papiu Ilarian" Dej + +b) Se consideră mulțimea $A=\left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{15}, \frac{1}{35}, \ldots, \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\right\}$ cu $n \in N^{*}$. Demonstrați că oricare ar fi $B$ o submulțime nevidă a mulțimii $A$, suma elementelor mulțimii $B$ nu poate fi număr natural. + +prof. Vasile Şerdean, Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Fie paralelogramul $A B C D$ cu $A B>A D$ şi $A D=15 \mathrm{~cm}$. Bisectoarele unghiurilor $\langle A D C$ şi $\langle B C D$ se intersectează într-un punct $M \in(A B)$ şi $A C \cap B D=\{O\}$. + +a) Calculați perimetrul paralelogramului $A B C D$; + +b) Dacă $A C \cap D M=\{E\}$ determinaţi raportul $\frac{O E}{A C}$; + +c) Fie $P$ piciorul perpendicularei din punctul $A$ pe dreapta $D M$ şi $Q$ piciorul perpendicularei din $B$ pe dreapta $C M$, demonstrați că punctele $P, O, Q$ sunt coliniare. + +prof. Ioan Groza, Şcoala Gimnazială Avram Iancu Turda + +Subiectul IV.(20 puncte) + +Se consideră triunghiul isoscel $A B C$ cu $(A B)=(A C)$ şi punctele $E, P$ cu $E \in(A B)$ şi $P \in(B C)$ astfel încât $A B=6 \cdot A E$ şi $B P=\frac{5}{12} \cdot B C$. Să se arate că $E P \perp B C$. + +prof. Vasile Şerdean, Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a VII-a
(OLM 2013-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +## Subiectul I. + +$\left\{\sqrt{11^{2}+k}\right\}=\sqrt{11^{2}+k}-11=\frac{k}{\sqrt{11^{2}+k}+11}<\frac{k}{22}$, unde $k=\overline{1,11}$. Rezultă + +(10 puncte) + +că $\{\sqrt{122}\}+\{\sqrt{123}\}+\ldots+\{\sqrt{132}\}<\frac{1+2+\ldots+11}{22}=\frac{66}{22}=3$. + +(10 puncte) + +## Subiectul II. + +a) Deoarece 2013:4=503 rest 1 , grupa de 4 cifre ,2013” se repetă de 503 ori, deci $n=\underbrace{2013 \text { cifre }}_{\underline{2013} \underline{2013 \ldots 2013 a}}$ (10 puncte) + +Numărul 20132013 este divizibil cu 137, deoarece $20132013=10001 \cdot 2013$, iar 10001 137 + +Deoarece 2013:8=251 rest 5, înseamnă că este necesar ca numărul format din ultimele 5 cifre să se dividă cu 137, deci să avem $\overline{2013 a} \vdots 137$, de unde se obține $a=9$. + +(5 puncte) + +b) Suma elementelor mulțimii A este : + +$$ +\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{n}{2 n+1}<1 +$$ + +O submulțime nevidă a lui A, diferită de A, are suma elementelor pozitivă şi mai mică decât $\frac{n}{2 n+1}<1$, Deci nu poate fi număr natural. + +(5 puncte) + +Subiectul III. Desen corect + +(5 puncte) + +a) Se dem că triunghiurile $\mathrm{ADM}$ şi $\mathrm{BCM}$ sunt isoscele $\Rightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{MB} \Rightarrow \mathrm{AB}=2 \mathrm{AD}=30 \mathrm{~cm} \Rightarrow \mathrm{P}=90 \mathrm{~cm}$. (5 puncte) + +b) E este centru de greutate în triunghiul $\mathrm{ABD} \Rightarrow \frac{O E}{A O}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{O E}{A C}=\frac{1}{6}$ + +(5 puncte) + +c) $\mathrm{OP}$ linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{BMD} \Rightarrow \mathrm{OP} \| \mathrm{AB}$ + +$\mathrm{OQ}$ linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{AMC} \Rightarrow \mathrm{OQ} \| \mathrm{AB} \quad \Rightarrow \mathrm{P}, \mathrm{O}, \mathrm{Q}$ sunt coliniare + +(5 puncte) + +Subiectul IV. Desen corect + +(5 puncte) + +Ducem înălțimea $A D \perp B C$, + +$A D$ mediană $\quad \Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{DC}$ + +(5 puncte) + +$B E=5 \cdot A E \Rightarrow \frac{B E}{A B}=\frac{5}{6}$ + +(5 puncte) + +$B C=2 \cdot B D \Rightarrow \frac{B P}{B D}=\frac{5}{6} \quad \Rightarrow \mathrm{EP} \| \mathrm{AD}$, dar $A D \perp B C \Rightarrow E P \perp B C$ + +(5 puncte) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1314-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1314-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea1667eba0ef0b392064a048be02ccd43f72b3df --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1314-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,115 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VI-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Fie fracția: $\frac{2^{2 n} \cdot 25^{n} \cdot 7^{n} \cdot 13+2^{2 n+8} \cdot 5^{2 n+1} \cdot 7^{n}+28^{n+1} \cdot 25^{n+1}+4^{n+1} \cdot 5^{2 n+1} \cdot 7^{n}}{3^{n} \cdot 7^{n+2} \cdot 11^{n+1}+21^{n+1} \cdot 11^{n+2}-1067 \cdot 231^{n}}$. + +a) Simplificați fracția pentru $n=1$. + +b) Arătați că fracția se poate simplifica cu $2013,(\forall) \mathrm{n} \in \mathbf{N}$. + +prof. Mihai Mărcuş, Lic. T. Nicolae Bălcescu Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +a) Determinați numerele naturale $a$ şi $b$ ştiind că $b$ este prim şi că $a^{2}+a^{4}+b^{6}=20944$; + +b) Determinați numerele $x, y, z$ ştiind că $x+y, y+z, z+x$ sunt direct proporționale cu $5 ; 9 ; 12$ şi că $\frac{5 x y-2 y z}{z+y-x}=36$. + +prof. Vasile Şerdean, Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Numerele naturale $1,2,3, \ldots, 2013$ sunt scrise pe cartonaşe, cu fața scrisă în jos. Spunem că un cartonaş este "cu noroc" dacă numărul scris pe el este divizibil cu 20 sau cu 13. Care este cel mai mic număr de cartonaşe pe care trebuie să le întoarcem, fără a privi, pentru a fi siguri că cel puțin unul dintre ele este "cu noroc"? + +prof. Sorin Borodi, Liceul Teoretic "Alexandru Papiu Ilarian" Dej + +## Subiectul IV.(30 puncte) + +În jurul unui punct $O$ se construiesc $n$ unghiuri, primul având măsura $x^{0}$, al doilea $(2 x)^{0}$, al treilea $(3 x)^{0}$, şi aşa mai departe, al $n$-lea având măsura $120^{0} .\left(n, x \in \mathbf{N}^{*}\right)$ + +a) Determinați numărul unghiurilor construite; + +b) Calculați măsura penultimului unghi construit. + +prof.Ioan Balica,Lic.de Informatică Tiberiu Popoviciu Cluj-Napoca + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 2 ore. + +## Barem clasa a VI-a
(OLM 2013-etapa locală) + +Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +a) $\quad \frac{100 \cdot(13+256 \cdot 5+700+20)}{3 \cdot 11^{2} \cdot(49+231-97)}=\frac{100 \cdot 2013}{3 \cdot 11^{2} \cdot 183}=\frac{100 \cdot 2013^{(2013}}{33 \cdot 2013}=\frac{100}{33}$ + +(10 puncte) +b) $\quad \frac{2^{2 n} \cdot 5^{2 n} \cdot 2013}{3^{n} \cdot 11^{n+1} \cdot 183}=\frac{2^{2 n} \cdot 5^{2 n} \cdot 2013^{(2013}}{3^{n} \cdot 11^{n} \cdot 2013}=\frac{2^{2 n} \cdot 5^{2 n}}{3^{n} \cdot 11^{n}}$ + +(10 puncte) + +Subiectul II. +a) $a^{2} \cdot\left(a^{2}+1\right)+b^{6}=20944$ + +$$ +a^{2} \cdot\left(a^{2}+1\right) \text { şi } 20944 \text { sunt pare } \Rightarrow b \text { este prim şi par } \Rightarrow b=2 \quad \text { ( } 5 \text { puncte) } +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow a^{2} \cdot\left(a^{2}+1\right)=20944-2^{6} \Leftrightarrow a^{2} \cdot\left(a^{2}+1\right)=20880 \Leftrightarrow \\ +& a^{2} \cdot\left(a^{2}+1\right)=12^{2} \cdot\left(12^{2}+1\right) \Leftrightarrow a=12 +\end{aligned} +$$ + +(5 puncte) +b) $x+y+z=13 k \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 k \\ y=k \\ z=8 k\end{array} \Rightarrow k=45 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=180 \\ y=45 \\ z=360\end{array}\right.\right.$ + +(10 puncte) + +## Subiectul III. + +Multiplii lui 20 mai mici ca 2013 sunt $20 \cdot 1,20 \cdot 2, \ldots ., 20 \cdot 100$, adică 100 numere. + +Multiplii lui 13 mai mici ca 2013 sunt $13 \cdot 1,13 \cdot 2, \ldots ., 13 \cdot 154$, adică 154 numere. + +Deoarece 20 şi 13 sunt prime între ele $\Rightarrow[20 ; 13]=20 \cdot 13=260$. + +(10 puncte) + +Multiplii lui 260 mai mici ca 2013 sunt $260 \cdot 1,260 \cdot 2, \ldots ., 260 \cdot 7$, adică 7 numere. + +În consecinţă, numărul de cartonaşe "cu noroc" este $100+154-7=247$. + +Numărul de cartonaşe care nu sunt "cu noroc" va fi $2013-247=1766$. + +În situația extremă, cea mai "ghinionistă", se poate întâmpla ca primele 1766 de cartonaşe întoarse să fie chiar cele care nu sunt "cu noroc"; chiar şi în această situație, următorul cartonaş întors va fi "cu noroc". + +În concluzie, răspunsul este 1767 . + +(10 puncte) + +## Subiectul IV. + +a) Ultimul unghi construit are măsura $(n x)^{0}$, deci $n x=120$.(1) + +(5 puncte) Suma măsurilor unghiurilor construite este $360^{\circ}$, deci + +$$ +x+2 x+3 x+\ldots+n x=360 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} \cdot x=360 \Rightarrow n(n+1) \cdot x=720 +$$ + +(10 puncte) + +Împărțind relația (2) la relația (1) se obține $n+1=6 \Rightarrow n=5$. + +(5 puncte) +b) $n x=120 \Rightarrow 5 x=120 \Rightarrow x=24$ + +În total sunt 5 unghiuri, penultimul va avea măsura $(4 x)^{0}=96^{\circ}$. + +(10 puncte) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1315-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1315-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..67ae3a479992eb1ea4d7139e2b715cf48511af57 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1315-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,125 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a $V$-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +Fie numerele : $\quad x=2^{101} \cdot 2^{102} \cdot 2^{103} \cdot \ldots \cdot 2^{150} \quad, \quad y=1+2+2^{2}+\ldots+2^{6274}$ şi + +$$ +z=2^{6275}-2^{6274}-2^{6273}-\ldots-2^{3}-2^{2}-2 +$$ + +a) Comparați numerele $x$ şi $y+1$; + +b) Arătați că $2 z(x+y+1)$ este pătrat perfect. + +prof. Măgdaş Elena, Şcoala Gimnazială "Horea" Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Aida are o problemă: + +Dacă împarte numărul de bomboane pe care le are la 11 îi rămân 9 , dacă împarte la 5 îi rămân 2. Câte bomboane îi rămân dacă împarte la 55 ? + +prof. Anca Cristina Hodorogea, ISJ Cluj + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Sapte este unul dintre numerele considerate magice de-a lungul istoriei omenirii : există 7 minuni ale lumii antice, 7 minuni ale Evului Mediu, 7 continente, 7 mări, curcubeul are 7 culori, 7 zile ale săptămânii denumite după cei 7 zei romani care la rândul lor au fost numiți după cele 7 planete ce se puteau observa cu ochiul liber, buburuza are şapte puncte, 7 note muzicale, etc. + +Scrieți numărul $a=1+6+6 \cdot 7+6 \cdot 7^{2}+\ldots+6 \cdot 7^{776}$ folosind doar patru cifre de 7. Aflați ultima cifră a acestui număr. + +prof. Vasile Şerdean, Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Amaya şi Keiko sunt două fetițe din Osaka. Ele locuiesc la acelaşi etaj într-un bloc cu două scări, cu câte 5 apartamente la fiecare etaj. La parterul blocului sunt magazine. + +Apartamentele sunt numerotate în ordine crescătoare, începând de la etajul I. Amaya locuieşte la apartamentul 28, iar Keiko la apartamentul 164. Câte etaje are blocul? + +prof. Sorin Borodi, Liceul Teoretic "Alexandru Papiu Ilarian" Dej + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 2 ore. + +## Barem clasa a V-a (OLM 2013-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$ + +## Subiectul I. + +a) + +$$ +x=2^{6275} +$$ + +(10 puncte) + +$$ +y+1=2^{6275} \Rightarrow x=y+1 +$$ + +(10 puncte) +b) + +$$ +\begin{aligned} +& z=2^{6275}-2^{6274}-2^{6273}-\cdots-2=2 \\ +& 2 \cdot z(x+y+1)=2 \cdot 2 \cdot\left(2^{6275}+2^{6275}\right)=\left(2^{3139}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul II. + +$$ +\begin{gathered} +\text { T. împ. cu rest } \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } +{ x = 1 1 \cdot c _ { 1 } + 9 } \\ +{ x = 5 \cdot c _ { 2 } + 2 } +\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} +x+2=11 \cdot\left(c_{1}+1\right) \\ +x+3=5 \cdot\left(c_{2}+1\right) +\end{array}\right.\right. \\ +\left\{\begin{array}{l} +10 \cdot x+20=55 \cdot 2 \cdot\left(c_{1}+1\right) \\ +11 \cdot x+33=55 \cdot\left(c_{2}+1\right) +\end{array} \Rightarrow x+55=55 \cdot c_{3}+42 \Rightarrow x=55 \cdot\left(c_{3}-1\right)+42 \Rightarrow r=42\right. +\end{gathered} +$$ + +(10 puncte) + +Subiectul III. + +$$ +\begin{aligned} +& a=1+6 \cdot\left(1+7+7^{2}+\ldots+7^{776}\right)=7^{777} \\ +& u\left(7^{777}\right)=7 +\end{aligned} +$$ + +(5 puncte) + +## Subiectul IV. + +Evident, fetițele locuiesc pe scări diferite. + +(5 puncte) + +Pe prima scară, apartamentul 28 este la etajul 6. + +Pe a doua scară primul apartament de la etajul 6 este 161 . + +(5 puncte) + +Rezultă că pe a doua scară, primul apartament este $161-25=136$. + +Înseamnă ca pe prima scară, ultimul apartament este 135 + +(5 puncte) + +$135: 5=27$ de etaje + +(5 puncte) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1316-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1316-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..70da8da17aeeded0512ef2ac26af5ac3571ac70b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1316-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,84 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a IX-a
16.02.2013 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi oarecare. Dacă $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ sunt punctele de tangență ale cercului înscris în triunghiul $\mathrm{ABC}$ cu laturile, să se arate că are loc relația : $a \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}+b \cdot \overrightarrow{B B^{\prime}}+c \cdot \overrightarrow{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$. + +prof.Camelia Magdaş, Colegiul Național "Andrei Mureşanu" Dej + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Fie $a_{k}=\sqrt{4 n^{4}+k}, n \in \mathbb{N}^{*}, k \in \mathbb{N}^{*}$ si $a=\sum_{k=1}^{8 n^{2}}\left[a_{k}\right]$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +a) Să se arate că $a$ nu poate fi pătrat perfect $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Dacă $4 n^{2}+1<2013<8 n^{2}$ şi $a=\sum_{k=1}^{2013}\left[a_{k}\right]$, să se afle $n$ astfel încât + +$$ +a-2013=2011 \cdot 800 +$$ + +prof.Gorcea Violin, Liceul Teoretic "Avram Iancu",Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Fie $x, y, z>0$. Să se arate că : $\frac{x+335 \cdot y+335 \cdot z}{x}+\frac{y+335 \cdot x+335 \cdot z}{y}+\frac{z+335 \cdot x+335 \cdot y}{z} \geq 2013$ prof. Gheorghe Lobonț, Colegiul Național ,,Mihai Viteazul" Turda + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +a) Arătați că $\{t\}+\{-t\}=0 \Leftrightarrow t \in Z$; + +b) Rezolvați în R ecuația: $\left\{\frac{1-3 x}{x+2}\right\}+\left\{\frac{2 x-3}{x+2}\right\}=0$. Câte rădăcini întregi are ecuațiia? + +prof. Ilie Diaconu, Liceul Teoretic "Avram Iancu" Cluj-Napoca + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a IX-a
(OLM 2013-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +Subiectul I. Dacă a,b, c sunt lungimile laturilor triunghiului $\mathrm{ABC}$, notând $B A^{\prime}=B C^{\prime}=x, C B^{\prime}=C A^{\prime}=z, A C^{\prime}=A B^{\prime}=y$ avem $x+y=c, x+z=a, y+z=b$ de unde prin adunarea celor 3 relații şi înlocuirile corespunzătoare obținem $x=\frac{a-b+c}{2}, y=\frac{b+c-a}{2}, z=\frac{a+b-c}{2}$. + +(10 puncte) + +Obținem astfel că $\frac{B A^{\prime}}{C A^{\prime}}=\frac{a-b+c}{a+b-c}, \frac{B C^{\prime}}{A C^{\prime}}=\frac{a-b+c}{b+c-a}$ şi $\frac{C B^{\prime}}{A B^{\prime}}=\frac{a+b-c}{b+c-a}$. Folosind vectorii de poziție, avem $\overrightarrow{r_{A^{\prime}}}=\frac{a+b-c}{2 a} \overrightarrow{r_{B}}+\frac{a-b+c}{2 a} \overrightarrow{r_{C}} \quad \overrightarrow{r_{B^{\prime}}}=\frac{a+b-c}{2 b} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{b+c-a}{2 b} \overrightarrow{r_{C}} \quad \overrightarrow{r_{C^{\prime}}}=\frac{a-b+c}{2 c} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{b+c-a}{2 c} \overrightarrow{r_{B}}$ + +(10 puncte) Din cele 3 relații avem : $2 a \cdot \overrightarrow{r_{A^{\prime}}}+2 b \cdot \overrightarrow{r_{B^{\prime}}}+2 c \cdot \overrightarrow{r_{C^{\prime}}}=2 a \cdot \overrightarrow{r_{A}}+2 b \cdot \overrightarrow{r_{B}}+2 c \cdot \overrightarrow{r_{C}}$, adică $a \cdot\left(\overrightarrow{r_{A}}-\overrightarrow{r_{A}}\right)+b \cdot\left(\overrightarrow{r_{B^{\prime}}}-\overrightarrow{r_{B}}\right)+c \cdot\left(\overrightarrow{r_{C^{\prime}}}-\overrightarrow{r_{C}}\right)=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow a \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}+b \cdot \overrightarrow{B B^{\prime}}+c \cdot \overrightarrow{C C}=\overrightarrow{0}$. + +(10 puncte) + +## Subiectul II. + +a).Pentru $1 \leq k \leq 4 n^{2}$ avem $\sqrt{4 n^{4}}<\sqrt{4 n^{4}+k}<\sqrt{4 n^{4}+4 n^{2}+1} \Rightarrow 2 n^{2}<\sqrt{4 n^{4}+k}<2 n^{2}+1 \Rightarrow\left[\sqrt{4 n^{4}+k}\right]=2 n^{2}$ + +Pentru $4 n^{2}+1 \leq k \leq 8 n^{2}$ avem + +$\sqrt{4 n^{4}+4 n^{2}+1} \leq \sqrt{4 n^{4}+k} \leq \sqrt{4 n^{4}+8 n^{2}}<\sqrt{4 n^{4}+8 n^{2}+4} \Rightarrow 2 n^{2}+1 \leq \sqrt{4 n^{4}+k}<2 n^{2}+2 \Rightarrow\left[\sqrt{4 n^{4}+k}\right]=2 n^{2}+1$. Obținem $\quad a=\sum_{k=1}^{4 n^{2}}\left[a_{k}\right]+\sum_{k=4 n^{2}+1}^{8 \mathrm{n}^{2}}\left[a_{k}\right]=4 \mathrm{n}^{2} \cdot 2 \mathrm{n}^{2}+4 \mathrm{n}^{2}\left(2 \mathrm{n}^{2}+1\right)=4 \mathrm{n}^{2}\left(4 \mathrm{n}^{2}+1\right)$ Numărul $a$ reprezintă produsul a 2 numere naturale, consecutive nenule, deci $a$ nu este pătrat perfect. + +(10 puncte) + +b). $a=\sum_{k=1}^{2011}\left[a_{k}\right]=\sum_{k=1}^{4 n^{2}}\left[a_{k}\right]+\sum_{4 n^{2}+1}^{2013}\left[a_{k}\right]=4 n^{2} \cdot 2 n^{2}+\left(2013-4 n^{2}\right)\left(2 n^{2}+1\right)=2 n^{2} \cdot 2011+2013$. + +Avem $a-2013=2 n^{2} \cdot 2011 \Rightarrow 2 n^{2} \cdot 2011=2011 \cdot 800 \Rightarrow n^{2}=400 \Rightarrow n=20$. + +(10 puncte) + +Subiectul III. În rezolvarea exercițiului se ține cont de inegalitatea : $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2, \forall x, y>0$. + +(10 puncte) + +Suma este $=3+335 \cdot\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right) \geq 3+335 \cdot 6=2013$ + +(10 puncte) + +Subiectul IV. + +a) , $\Rightarrow$ " Presupunem că $t \notin Z$, atunci $[t]0$, fals. ,,$\Leftarrow "$ Fie $t \in Z \Rightarrow-t \in Z \Rightarrow\{t\}=0,\{-t\}=0 \Rightarrow\{t\}+\{-t\}=0$ + +(10 puncte) + +b) Ecuația dată este echivalentă cu $\left\{\frac{-3(x+2)+7}{x+2}\right\}+\left\{\frac{2(x+2)-7}{x+2}\right\}=0$ sau $\left\{-3+\frac{7}{x+2}\right\}+\left\{2-\frac{7}{x+2}\right\}=0$ sau încă $\left\{\frac{7}{x+2}\right\}+\left\{-\frac{7}{x+2}\right\}=0$. Conform punctului a) rezultă $\frac{7}{x+2}=k \in Z^{*}$, de unde $x=\frac{7-2 k}{k} \in R$, $k \in Z^{*}$. Deoarece $x=\frac{7-2 k}{k}=\frac{7}{k}-2$, rezultă că $x \in Z$ dacă $\frac{7}{k} \in Z$ adică pentru $k \in\{ \pm 1, \pm 7\}$ ecuația are patru soluții întregi şi anume $x \in\{-9,-3,-1,5\}$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1317-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1317-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2fb4ec0b91c86f51c7dd67c8c7f39b341aa271d8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1317-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,73 @@ +# Olimpiada Nationala de Matematica
etapa locala- 16 februarie 2013
Clasa a XII-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1. Un şir este definit prin relația de recurență $a_{n}=40-4 a_{n-1} \mathrm{cu} a_{0}=-4$. Se ştie că există constantele reale $r, s$ şi $t$ astfel încât $a_{i}=r \times s^{i}+t$, pentru orice număr natural $i$. Aflați $r^{2}+s^{2}+t^{2}$. +2. Se consider polinomul $f(x)=17 x^{4}+21 x^{3}+60 x^{2}+A x+B$. Să presupunem că pentru orice rădăcină $x$ a ecuației $\mathrm{f}(x)=0$, şi $\frac{1}{x}$ este rădăcină a acelei ecuaţii. Calculați $A+B$. +3. Calculați $\int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 x-\cos 4 a}{\cos x-\cos \alpha} d x$. +4. Găsiți limita $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \Pi_{j-1}^{n}\left(n^{2}+j^{2}\right)^{1 / n}$. + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## Olimpiada Naţionala de Matematică + +Etapa locală, 16 februarie 2013 + +## Județul Arges + +Barem clasa a XII - a + +1. Determinarea formei generale a sirului, utilizand ipotezele ... $2 \mathrm{p}$ + +Aflarea constantelor $r, s$ si $t$.....3p + +Calculul lui $r^{2}+s^{2}+t^{2} \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +2. Aflarea lui $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \ldots .1 \mathrm{p}$ + +Determinarea lui $x_{1}+x_{2}+x_{8}+x_{4} 1 \mathrm{p}$ + +Folosirea rela iilor lui Viete în determinarea lui $A$....2p + +Acelea i rela ii i pentru B .... 2p + +Finalizare ..... 1 p + +3. Folosirea rela iei $\cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1 \ldots .2 \mathrm{p}$ + +Determinarea efectivă a formei func iei de integrat .... $2 \mathrm{p}$ + +Folosirea rela iei $\int_{0}^{\pi} \cos ^{2 k+1} x d x=0 \ldots 2 \mathrm{p}$ + +Finalizare ....1p + +4. Găsirea rela iilor + +$\left.x_{n}=\prod_{j=1}^{n}\left(\frac{\left(n^{2}+j^{2}\right)}{n^{(2 n)}}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{j^{2}}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\left(\prod_{j=1}^{n}\left(1+\frac{j^{2}}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ + +.... 2 p + +Prin logaritmare se ob ine + +$$ +\ln x_{n}=\ln \left(\prod_{j=1}^{n}\left(1+\frac{j^{2}}{n^{2}}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{\left(\sum_{j=1}^{n} \ln \left(1+\frac{j^{2}}{n^{2}}\right)\right)}{n} +$$ + +...2p + +Se determină integrala + +$$ +\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{2}\right) d x +$$ + +Finalizare ..... 1 p + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1318-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1318-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75e5f5b76b6444d49e74384c2e445f9b1ce07b8c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1318-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,112 @@ +# Olimpiada Nationala de Matematica
etapa locala- 16 februarie 2013
Clasa a XI-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1.Fie $A, B \in M_{2}(C)$ astfel încât: $A B=\left(\begin{array}{cc}10 & 30 \\ 4 & 20\end{array}\right)$ și $B A=\left(\begin{array}{cc}x & 60 \\ 2 & y\end{array}\right)$. Aflaţi $x$ și $y$. + +2.Se dă șirul (Fibonnaci) $f_{1}=f_{2}=1$ și $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$. + +a) Să se demonstreze egalitatea: + +$f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{n}^{2}=f_{n} \cdot f_{n+1}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{f_{n+1}^{2}}{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots f_{n}^{2}}}$. + +prof. Stefan Tudosie + +3..Se dă şirul $\left(x_{n}\right)_{m=1}, x_{1}=x_{2}=1$ şi $x_{n+1}=\sqrt{n x_{m}+x_{m-1}}, \mathrm{n} \geq 2 . \mathrm{A}=\left\{\mathrm{n} \in N \mid x_{n} \in N\right\}$. + +Să se calculeze : a) $\mathrm{A} \cap N$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$. + +Prof.Ion Călinescu CNDG Câmpulung + +4.Să se rezolve în $M_{3}[Z]$ ecuaţia : + +$$ +X^{n}-X=\left(\begin{array}{ccc} +0 & 1 & k \\ +0 & 0 & 2 \\ +0 & 0 & 0 +\end{array}\right), \mathrm{k} \in Z +$$ + +Prof.Ion Călinescu CNDG Câmpulung + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2013 + +## Clasa a XI-a + +## BAREM DE CORECTARE: + +1. $\left.\begin{array}{ll}\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B=\operatorname{det}(A \cdot B) & 1 p \\ \operatorname{det}(B \cdot A)=\operatorname{det} B \cdot \operatorname{det} A & 1 p\end{array}\right\} \Rightarrow x y=200$ + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A) \Rightarrow x+y=30 \\ +& \left\{\begin{array} { l } +{ x + y = 3 0 } \\ +{ x y = 2 0 0 } +\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { l } +{ x = 2 0 } \\ +{ y = 1 0 } +\end{array} \text { sau } \left\{\begin{array}{l} +x=10 \\ +y=20 +\end{array}\right.\right.\right. +\end{aligned} +$$ + +2. a) Dem prin inducție (2p) + +b) Notăm $x_{n}=\frac{f_{n+1}^{2}}{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\ldots+f_{n}^{2}} \quad$ (1p) + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} \quad(1 p) +$$ + +Calcul $\frac{x_{n+1}}{x_{n}} \quad(1 p)$ + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}} \quad(2 p) +$$ + +## SUBIECTUL 3 : + +$X_{n}>n-2, n \geq 3$,inductie $X_{3}=\sqrt{3}>1$ şi $X_{4}=\sqrt{1+3 \sqrt{3}}>2, P(k-1)$ si $P(k) \Rightarrow P(k+1) \ldots \ldots .2 p$ + +$X_{n} Clasa a X-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1.a)Determinaşi numerele reale $x$ şi $y$ astfel încât $3^{x}+3^{y}=30$ şi $\log _{3} x-\log _{3} y=-1$. + +b)Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției : " Dacă numerele reale $x$ şi $y$ verifică egalitățile de la punctul anterior şi $\log _{y}(x+2)+\log _{y}(x+10)+\log _{y}(x+60)=\log _{y}(N)$ atunci $N=2013$ “. + +(prelucrare G.M. 9/2012) + +2.Sã se rezolve în $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ecuația : + +$$ +9^{\sqrt{x}}+9^{\sqrt{y}}+9^{\frac{1}{\sqrt{x y}}}=\frac{81}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x y}}} +$$ + +3.Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C^{*}$ astfel încât $z_{1}+z_{3} \neq 0$ şi $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{1}\right|$. + +Să se calculeze valoarea expresiei $\frac{Z_{1}}{z_{2}+z_{3}}$. + +4. Fie $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \ldots . . \mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ un poligon regulat, înscris în cercul $\mathrm{C}(\mathrm{O}, \mathrm{R})$ şi $\mathrm{M}$ un punct în planul acestuia. Să se arate ca: $\mathrm{nR} \leq \mathrm{MA}_{1}+\mathrm{MA}_{2}+\ldots . .+\mathrm{MA}_{\mathrm{n}} \leq \mathrm{n}(\mathrm{R}+\mathrm{OM})$. + +(G.M.volum 1 (CIX), 2012 seria A -2012) + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## Olimpiada Naţionala de Matematică + +Etapa locală, 16 februarie 2013 + +## Județul Arges + +## Clasa a -X a + +## Barem de corectare V3 + +1. A. Condiții de existență $x>0, y>0$. +(1 p.) + +Din $\log _{3} x-\log _{3} y=\log _{3} \frac{x}{y}=-1 \Rightarrow 3 x=y \quad a, b \in R$. + +(2 p.) + +Cum $f(x)=3^{x}+3^{3 x}$ este o fumcție m.s.c ( deci injectivă) iar $f(1)=30$ + +(1 p.) + +Se trage concluzia $x=1$ și $y=3$ soluție unică. + +(1 p.) +a) Cum +$2013=3 \cdot 11 \cdot 61$ +se +verifică +imediat +că $\log _{3}(1+2)+\log _{3}(1+10)+\log _{3}(1+60)=\log _{3} 2013 \mathrm{deci}$ +enunțul este adevărat. (2 p.) + +TOTAL $7 p$ + +Barem de corectare problema nr.2_V3 (prelucrare manual M. Ganga) + +$x, y>0$ $.1 p$ + +$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x y}} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \cdot \frac{1}{\sqrt{x y}}}=3$ $.1 p$ + +$\frac{81}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x y}}} \leq 27$ + +$9^{\sqrt{x}}+9^{\sqrt{y}}+9^{\frac{1}{\sqrt{x y}}} \geq 3 \sqrt[3]{9^{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x y}}}} \geq 3 \sqrt[3]{9^{3}}=27$ + +$1 p$ + +$\Rightarrow \quad 9^{\sqrt{x}}+9^{\sqrt{y}}+\frac{1}{9^{\sqrt{x y}}}=\frac{81}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x y}}}=27$ + +Egalitatea are loc pentru $9^{\sqrt{x}}=9^{\sqrt{y}}=9^{\frac{1}{\sqrt{x y}}}$ $\qquad$ $1 \mathrm{p}$ + +TOTAL $7 p$ + +Barem de corectare problema nr. 3_V3 + +Fie $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=a+i b, a, b \in R$ + +Egalitatea $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|$ se scrie : + +$$ +\left|\left(z_{2}+z_{3}\right)\left(\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right)\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right| \Leftrightarrow\left|z_{2}+z_{3}\right| \cdot\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right| \text { (2 p.) } +$$ + +$$ +\text { şi cum }\left|z_{2}+z_{3}\right| \neq 0 \text {, rezultă }\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right|=1 \Leftrightarrow|a+1+b i|=1 \text { de unde }(a+1)^{2}+b^{2}=1 +$$ + +Avem $\left|z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{1}\right| \Leftrightarrow\left|\frac{z_{1}+z_{3}}{z_{1}}\right|=1 \Leftrightarrow|a+b i|=1$, adică $a^{2}+b^{2}=1$. (2) (2 p.) + +Din (1) rezultă $b^{2}=1-(a+1)^{2}$ (1 p.) + +şi înlocuind în (2) obţinem $a^{2}+1-(a+1)^{2}=1 \Leftrightarrow 2 a+1=0$, (1 p.) + +deci $a=-\frac{1}{2}$ iar $b= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. + +Aşadar, există două soluţii : $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}$ şi $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}$. + +TOTAL + +$7 p$ + +## Barem de corectare problema nr. 4_V3 + +Fie $x O y$ un sistem de coordonate cu originea în centrul $O$ al cercului $C(O, R)$ astfel încât $A_{1}$ să aparţină axei $O x$. + +Notăm cu $Z, z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ afixele punctelor $M, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$. (1 p.) + +În acest caz $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ sunt radacinile ecuaţiei $z^{n}=R$, deci $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=0$. (2 p.) + +Avem: + +$$ +\begin{gathered} +\sum_{k=1}^{n} M A_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \frac{z-z_{k}}{z_{k}}\left|=\sum_{k=1}^{n}\right| z_{k}|| \frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{z_{k} \cdot z_{k}}-1\left|=\sum_{k=1}^{n}\right| z|| \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1\right|= \\ +\left.=R \sum_{k=1}^{n} \frac{Z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1|\geq R| \sum_{k=1}^{n} \frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}\right) \left.-1|=R| \frac{z}{R^{2}} \sum_{k=1}^{n} \overline{z_{k}}-n \right\rvert\,=n R +\end{gathered} +$$ + +Pe de altă parte, putem scrie : $\sum_{k=1}^{n} M A_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}|z|+\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|=n(R+O M)$. (2 p.) + +TOTAL 7p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-132-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-132-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0caf233d600120563dfd3d625d7dc8dcf38f85fa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-132-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,129 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA
21 februarie 2016 + +## CLASA a VIII-a + +1. a) (3p) Demonstraţi că: $\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{2}$, oricare ar fi $n$ număr natural. + +b) (4p) Arătați că: + +$$ +(\sqrt{1 \cdot 2}-1)(\sqrt{2 \cdot 3}-2)(\sqrt{3 \cdot 4}-3) \ldots(\sqrt{2015 \cdot 2016}-2015)<\frac{1}{2^{2015}} +$$ + +2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: $x^{2}+2[x] \cdot\{x\}=3\left(3-\{x\}^{2}\right)$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$, iar $\{x\}$ reprezintă partea fracționară a lui $x$. +3. Fie punctele necoplanare $A, B, C, D$ asfel încât $A C=A D=B C=B D, E$ mijlocul lui $(A B)$, iar $F$ mijlocul lui $(C D)$. + +a) (2p) Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele $A B$ și $C D$; + +b) (2p) Dacă $A A^{\prime} \perp(B C D)$, demonstrați că punctel $B, A^{\prime}, F$ sunt coliniare; + +c) (3p) Dacă $G$ este este piciorul perpendicularei din $A$ pe bisectoarea $\Varangle A C D$, demonstrați că $E G$ este paralelă cu planul (BCD). + +4. Fie piramida patrulateră regulată $V A B C D,\{O\}=A C \cap B D$ și $P, Q \in(V O)$. Dacă $\{E\}=A P \cap C V,\{F\}=C P \cap A V,\{S\}=B Q \cap D V$ și $\{T\}=D Q \cap B V$, arătați că măsura unghiului dintre dreptele $E F$ și $S T$ nu depinde de alegerea punctelor $P$ și $Q$ pe segmentul $(\mathrm{VO})$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 . +3. Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA a VIII-a + +1. a) (3p) Demonstraţi că: $\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{2}$, oricare ar fi $n$ număr natural. + +b) (4p) Arătați că: + +$$ +(\sqrt{1 \cdot 2}-1)(\sqrt{2 \cdot 3}-2)(\sqrt{3 \cdot 4}-3) \ldots(\sqrt{2015 \cdot 2016}-2015)<\frac{1}{2^{2015}} +$$ + +Prof. Dorel Ispăşoiu, Gura Humorului + +Solutie: a) $\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{n(n+1)} $(\sqrt{1 \cdot 2}-1)(\sqrt{2 \cdot 3}-2)(\sqrt{3 \cdot 4}-3) \ldots(\sqrt{2015 \cdot 2016}-2015)<\frac{1}{2^{2015}}$ | 1p | + +2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: $x^{2}+2[x] \cdot\{x\}=3\left(3-\{x\}^{2}\right)$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$, iar $\{x\}$ reprezintă partea fracționară a lui $x$. + +Prof. Tamara Brutaru, Suceava + +Solutie. Cum $\{x\}=x-[x]$, notând $[x]=k, k \in \mathbb{Z}$, ecuația devine: $x^{2}+2 k(x-k)+3(x-k)^{2}=9$. + +Efectuând calculele obținem: $4 x^{2}-4 x k+k^{2}=9 \Leftrightarrow(2 x-k)^{2}=9$. Rezultă $2 x-k=-3$ sau $2 x-k=3$. + +Cum $2 x-k=2 x-[x]=2([x]+\{x\})-[x]=[x]+2\{x\}$, avem: $[x]+2\{x\}=-3$ sau $[x]+2\{x\}=3$. + +Din $[x]+2\{x\}=-3$ si $i[x] \in \mathbb{Z} \Rightarrow\{x\} \in\{0 ; 0,5\} \Rightarrow x \in\{-3 ;-3,5\}$, iar din $[x]+2\{x\}=3$ și $[x] \in \mathbb{Z} \Rightarrow$ $\{x\} \in\{0 ; 0,5\} \Rightarrow x \in\{3 ; 2,5\}$ + +## Barem. + +| $\{x\}=x-[x]$, oricare ar fi numărul real $x$. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| Notând $[x]=k, k \in \mathbb{Z}$ ecuatia devine: $x^{2}+2 k(x-k)+3(x-k)^{2}=9$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Efectuând calculele obținem: $4 x^{2}-4 x k+k^{2}=9 \Leftrightarrow(2 x-k)^{2}=9$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Rezultă $2 x-k=-3$ sau $2 x-k=3$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $2 x-k=2 x-[x]=2([x]+\{x\})-[x]=[x]+2\{x\}$, avem: $[x]+2\{x\}=-3$ sau $[x]+2\{x\}=3$. | $\mathbf{1 p}$ | +| $[x]+2\{x\}=-3$ și $[x] \in \mathbb{Z} \Rightarrow\{x\} \in\{0 ; 0,5\} \Rightarrow x \in\{-3 ;-3,5\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $[x]+2\{x\}=3$ și $[x] \in \mathbb{Z} \Rightarrow\{x\} \in\{0 ; 0,5\} \Rightarrow x \in\{3 ; 2,5\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + +3. Fie punctele necoplanare $A, B, C, D$ asfel încât $A C=A D=B C=B D$, $E$ mijlocul lui (AB), iar $F$ mijlocul lui $(C D)$. + +a) Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele $A B$ și $C D$; + +b) Dacă $A A^{\prime} \perp(B C D)$, demonstrați că punctele $B, A^{\prime}, F$ sunt coliniare; + +c) Dacă $G$ este este piciorul perpendicularei din $A$ pe bisectoarea $\Varangle A C D$, demonstrați că $E G$ este paralelă cu planul (BCD). + +prof. Larionescu Corina ,Suceava + +Solutie. a) În $\triangle \mathrm{ACD}$ isoscel, (AF) este mediană $\Rightarrow A F \perp C D(1)$. În $\triangle \mathrm{BCD}$ isoscel, (BF) este mediană $\Rightarrow B F \perp C D(2)$. Din (1), (2) și $A F \cap B F=\{F\} \Rightarrow \mathrm{CD} \perp(A B F)$. Cum $A B \subset(A B F)$, avem $\mathrm{CD} \perp A B \Rightarrow$ măsura unghiului dintre dreptele $A B$ și $C D$ este $90^{\circ}$. + +b) Cum $A A^{\prime} \perp(B C D)$ şi $A F \perp C D, C D, A^{\prime} F \subset(B C D)$, conform reciprocei 1 a teoremei celor trei perpendiculare rezultă $A^{\prime} F \perp C D$. Dar $B F \perp C D$, deci $B, A^{\prime}, F$ sunt coliniare. + +c) Fie $A G \cap C D=\{I\}$. În $\triangle \mathrm{ACI}$, (CG este bisectoare, $\mathrm{CG}$ este înălțime, deci $\Delta \mathrm{ACI}$ este isoscel, rezultă G este mijlocul (AI). Cum E este mijlocul (AB) și G este mijlocul (AI), avem (EG) linie mijlocie în $\Delta \mathrm{ABI}$, rezultă $E G \| B I$. Din $E G\|B I, B I \subset(B C D) \Rightarrow E G\|(B C D)$. + +## Barem. + +| a) În $\triangle \mathrm{ACD}$ isoscel, (AF) este mediană $\Rightarrow A F \perp C D(1)$. În $\triangle \mathrm{BCD}$ isoscel, $(\mathrm{BF})$ este mediană $\Rightarrow B F \perp C D(2)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | + +Din (1), (2) și $A F \cap B F=\{F\} \Rightarrow \mathrm{CD} \perp(A B F)$. Cum $A B \subset(A B F)$, avem $\mathrm{CD} \perp A B \Rightarrow$ măsura unghiului +dintre dreptele $A B$ și $C D$ este $90^{\circ}$. b) Cum $A A^{\prime} \perp(B C D)$ și $A F \perp C D, C D, A^{\prime} F \subset(B C D)$, conform reciprocei 1 a teoremei celor trei 1p perpendiculare rezultă $A^{\prime} F \perp C D$. + +Dar $B F \perp C D$, deci $B, A^{\prime}, F$ sunt coliniare + +c) Fie $A G \cap C D=\{I\}$. În $\Delta \mathrm{ACI}$, (CG este bisectoare, $\mathrm{CG}$ este înăltime, deci $\Delta$ ACI este isoscel, rezultă G este mijlocul (AI). + +Cum E este mijlocul (AB) și G este mijlocul (AI), avem (EG) linie mijlocie în $\triangle \mathrm{ABI}$, rezultă $E G \| B I$. $E G\|B I, B I \subset(B C D) \Rightarrow E G\|(B C D)$. + +4. Fie piramida patrulateră regulată $V A B C D,\{O\}=A C \cap B D$ și $P, Q \in(V O)$. Dacă $\{E\}=$ $A P \cap C V,\{F\}=C P \cap A V,\{S\}=B Q \cap D V$ și $\{T\}=D Q \cap B V$, arătați că măsura unghiului dintre dreptele $E F$ şi $S T$ nu depinde de alegerea punctelor $P$ și $Q$ pe segmentul (VO). + +Gazeta Matematică Nr.11/2014 + +Solutie. Cum $A B C D$ pătrat, $\{O\}=A C \cap B D \Rightarrow A O=O C$ (1), $B O=O D$ (2), $A C \perp B D$ (3). În $\triangle \mathrm{VAC}, A E \cap C F \cap$ $V O=\{P\}$, aplicând teorema lui Ceva avem: $\frac{V E}{E C} \cdot \frac{C O}{O A} \cdot \frac{A F}{F V}=1$, iar din (1) obținem: $\frac{V E}{E C}=\frac{F V}{A F}$ si conform teoremei lui Thales rezultă $F E \| A C$. Analog, în $\triangle \mathrm{VDB}, D S \cap D T \cap V O=\{P Q\}$, aplicând teorema lui Ceva avem: $\frac{V T}{T B} \cdot \frac{B O}{O D} \cdot \frac{S D}{V S}=$ 1, iar din (2) obținem: $\frac{V T}{T B}=\frac{V S}{S D}$ și conform teoremei lui Thales rezultă $S T \| D B$. Cum $F E\|A C, S T\| D B, A C \perp$ $B D \Rightarrow E F \perp S T \Rightarrow m(\Varangle E F, S T)=90^{\circ}$, deci nu depinde de alegerea $P, Q \in(V O)$. + +Barem: + +| Cum $A B C D$ pătrat, $\{O\}=A C \cap B D \Rightarrow A O=O C(1), B O=O D(2), A C \perp B D(3)$. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| În $\triangle \mathrm{VAC}, A E \cap C F \cap V O=\{P\}$, aplicând teorema lui Ceva avem: $\frac{V E}{E C} \cdot \frac{C O}{O A} \cdot \frac{A F}{F V}=1$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Din (1) obținem: $\frac{V E}{E C}=\frac{F V}{A F}$ și conform teoremei lui Thales rezultă $F E \\| A C$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Analog, în $\triangle$ VDB, $D S \cap D T \cap V O=\{P Q\}$, aplicând teorema lui Ceva avem: $\frac{V T}{T B} \cdot \frac{B O}{O D} \cdot \frac{S D}{V S}=1$, iar din (2)
obținem: $\frac{V T}{T B}=\frac{V S}{S D}$ și conform teoremei lui Thales rezultă $S T \\| D B$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Cum $F E\\|A C, S T\\| D B, A C \perp B D \Rightarrow E F \perp S T \Rightarrow m(\Varangle E F, S T)=90^{\circ}$,
deci nu depinde de alegerea $P, Q \in(V O)$. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Notă: + +Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1320-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1320-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48d7a977be36d85969c6fbf0454715f9fac7cb82 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1320-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,172 @@ +# Olimpiada Nationala de Matematica
etapa locala- 16 februarie 2013
Clasa a VIII-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1. a) Ştiind că $x^{2}+y^{2}-8 x \sqrt{3}-6 y \sqrt{2}+66=0, x, y \in R$, comparaţi numerele $z$ şi $t$, unde $z=\frac{[x]-[y]}{[-x]-[-y]}$ si $t=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ + +b) Ştiind că $x+\frac{1}{x}=10$, calculaţi valoarea expresiei $E(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}$ + +2. Determinați $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}-\{1\}$ astfel încât numărul $a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$ să fie element al mulțimii $A=\{x \in R /|x|<\sqrt{11-6 \sqrt{2}}\}$. +3. Triunghiurile $\mathrm{ABC}$ şi $\mathrm{ADE}$ sunt în plane diferite şi au mediana AM comună. Considerăm punctele $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}, \mathrm{S}$ situate respectiv pe segmentele [AB], [AC], [AD], [AE] astfel încât $\frac{A P}{P B}=\frac{A Q}{Q D}=\frac{A R}{R C}=\frac{A S}{S E}$. + +a) Să se arate că PRQS este paralelogram. + +b) Dacă $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AE}^{2}$, atunci PRQS este dreptunghi. + +4. Fie triunghiul dreptunghic $\left.\mathrm{ABC}(\mathrm{m}<\mathrm{A})=90^{\circ}\right) \mathrm{cu} \mathrm{AB}=30 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=40 \mathrm{~cm}$. În punctul $\mathrm{A}$ se ridică perpendiculara $\mathrm{AM}$ pe planul $(\mathrm{ABC}), \mathrm{AM}=24 \mathrm{~cm}$. + +a) Determinați măsura unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (MBC) şi (ABC) + +b) Arătați că piciorul perpendicularei din A pe planul (MBC) este ortocentrul triunghiului MBC. + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +Olimpiada Națională de Matematică + +- etapa locală - 16 februarie 2013 + +Județul Argeş + +Clasa a VIII-a + +Varianta 3 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +1. a) Ştiind că $x^{2}+y^{2}-8 x \sqrt{3}-6 y \sqrt{2}+66=0$, x, y $\in \mathrm{R}$, comparaţi numerele $z$ şi $\mathrm{t}$, unde $z=\frac{[x]-[y]}{[-x]-[-y]}$ si $t=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ + +(3p) + +## SOLUTIE + +$(x-4 \sqrt{3})^{2}+(y-3 \sqrt{2})^{2}=0 \Rightarrow x=4 \sqrt{3}$ şi $y=3 \sqrt{2}$ + +(2p) + +$z=\frac{[4 \sqrt{3}]-[3 \sqrt{2}]}{[-4 \sqrt{3}]-[-3 \sqrt{2}]} \Rightarrow z=\frac{6-4}{-7-(-5)}=\frac{2}{-2}=-1 \Rightarrow z Clasa a VII-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1.Aflatii valoarea minimă a sumei: + +$$ +|x y-2 x+y-2|+|-x y+x-y+1|+|3 x+3| +$$ + +2.Arătați că + +$$ +8 \leq \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}} \leq 12 +$$ + +3.Fie $A B C D$ un pătrat şi $M$ mijlocul lui $[A B]$. Dacă + +$\{N\}=D M \cap A C,\{P\}=D M \cap B C,\{O\}=A C \cap B D$ şi $\{E\}=P O \cap A B$ demonstrați că 18. $\operatorname{aria}[N O E]=\operatorname{aria}[A B C D]$. + +Fie ABCD un trapez dreptunghic în care $\triangleleft A \equiv \triangleleft D$ şi $M \in[A D]$. Construim $A E \perp M C, E \in M C$ şi $D F \perp M B, F \in M B$. Fie $A E \cap D F=\{G\}$ si $M N \perp B C$. Arătați că punctele $G, M, N$ sunt coliniare + +4.Fie $\mathrm{ABCD}$ un trapez dreptunghic în care $\triangleleft A \equiv \triangleleft D$ şi $M \in[A D]$. Construim $A E \perp M C, E \in M C$ şi $D F \perp M B, F \in M B$. Fie $A E \cap D F=\{G\}$ şi $M N \perp B C$. Arătați că punctele $G, M, N$ sunt coliniare + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VII-a + +VARIANTA 3 + +## BAREM DE CORECTARE: + +I. $|x y-2 x+y-2|+|-x y+x-y+1|+|3 x+3|=$ + +$=|(x+1)(y-2)|+|(1-y)(x+1)|+3|x+1|$ + +2 pcte + +$=|x+1| \cdot(|y-2|+|1-y|+3)$ + +2 pcte + +Deoarece $|x+1| \geq 0$ şi $|y-2|+|1-y|+3>0$ + +2 pcte + +valoarea minimă a expresiei este 0 se realizeză pt $x+1=0$ deci pentru $x=-1$. + +1 pet + +II. Din $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y} \Rightarrow \frac{x+y}{\sqrt{x y}} \geq 2 \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{1+2}{\sqrt{1 \cdot 2}} \geq 2$ + +2 pcte + +$\frac{5}{\sqrt{6}} \geq 2, \frac{9}{\sqrt{20}} \geq 2$, adunăm relațiile $\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}} \geq 8$ + +(1) 1 pet + +Pentru a doua inegalitate folosim relația $n(n+1) \geq n^{2}$ pentru $n \in \mathrm{N} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}<\frac{1}{n} \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{2}}<\frac{3}{1} ; \frac{5}{\sqrt{6}}<\frac{5}{2} ; \frac{7}{\sqrt{12}}<\frac{7}{3}$ ş $\frac{9}{\sqrt{20}}<\frac{9}{4}$ + +2 pcte + +$\Rightarrow \frac{9}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}}<\frac{3}{1}+\frac{5}{2}+\frac{7}{3}+\frac{9}{4}<12$ (2) + +2 pcte + +Din (1) şi (2) $\Rightarrow$ relația cerută. + +III. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73965370278b12411a95g-2.jpg?height=477&width=357&top_left_y=1726&top_left_x=587) + +$A[A B C D]=18 \cdot A[N O E]$ + +În $\triangle B D A$ cu $A O$ şi $\mathrm{DM}$ mediană $\Rightarrow \mathrm{N}$ centru de greutate $\Rightarrow \frac{O N}{O A}=\frac{1}{3}$ (1) 2 pete + +În $\triangle D B P, \mathrm{PO}$ şi $\mathrm{BM}$ sunt mediane, rezultă $E$ este centrul de greutate al triunghiului şi atunci $\frac{B E}{B M}=\frac{2}{3}$. + +De aici $\frac{B E}{2 \cdot B M}=\frac{1}{3}$, adică $\frac{B E}{B A}=\frac{1}{3}(2)$ + +2 pcte + +Din (1) si (2), cu teorema reciprocă a lui Thales deducem că $N E \| O B$ şi cum $O B \perp O A$ rezultă $N E \perp N O$. + +$\mathrm{Cu}$ aceasta avem $A \triangle N O E=\frac{N E \cdot O N}{2}$. + +1 pct + +Din $\triangle A N E$ dreptunghic isoscel obținem $N E=A N=\frac{2}{3} \cdot A O$ şi cum din (1) + +$N O=\frac{1}{3} \cdot A O$ deducem că + +$A \triangle N O E=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot A O \cdot \frac{1}{3} \cdot A O=\frac{1}{9} \cdot A O^{2}=\frac{1}{9} \cdot\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}=\frac{1}{18} \cdot \frac{A C^{2}}{2}=\frac{1}{18} \cdot A_{A B C D}$. + +2 pcte. + +IV. Din $\triangle E A M \sim \triangle D C M$ (sunt dreptunghice şi $\triangleleft E M A \equiv \triangleleft D M C$ ) obținem + +$\frac{A M}{M C}=\frac{E M}{M D},(1)$ + +1 pct + +Analog, $\triangle F M D \sim \triangle A M B$, de unde $\frac{F M}{A M}=\frac{M D}{M B}$, (2) 1 pct Înmulțind relațiile (1) şi (2) rezultă $\frac{F M}{M C}=\frac{E M}{M B}$. Cum $\triangleleft E M F \equiv \triangleleft B M C$ deducem că $\triangle F M E \sim \triangle C M B$, de unde $\triangleleft M F E \equiv \triangleleft B C M$ (3) 1 pct + +Deoarece patrulaterul EGFM este inscriptibil(are două unghiuri opuse de $90^{\circ}$ ) + +rezultă $\triangleleft M F E \equiv \triangleleft M G E$, (4). 1 pct + +Din (3) şi (4) avem $\triangleleft B C M \equiv \triangleleft M G E$ (5) $\quad 1$ pct + +Din $\triangle N M C$ avem $m(\triangleleft N M C)=90^{\circ}-m(\triangleleft B C M)$, iar din $\triangle E M G$ avem $m(\triangleleft E M G)=90^{\circ}-m(\triangleleft M G E)$. + +Folosind (5) rezultă $\triangleleft N M C \equiv \triangleleft E M G$ si din teorema reciproca a unghiurilor opuse la varf rezultă că punctele $\mathrm{G}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ sunt coliniare. 2 pct. + +## NOTĂ: + +Orice solutie corecta se punctează corespunzator. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1322-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1322-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bfb7a7151c40a972667bf1edc09e2cec1e509046 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1322-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,48 @@ +# Olimpiada Nationala de Matematica etapa locala- 16 februarie 2013
Clasa a VI-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1) Să se determine numerele $A=\overline{a b c c}$ divizibile cu 12 ştiind că $B=\overline{a c b}+\overline{b a c}+\overline{c b a}$ se divide cu 51 . +2) a) Aratati ca numarul $\mathrm{A}=5^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}}+11^{\mathrm{n}}+19^{\mathrm{n}}$, $\mathrm{n}$ numar natural nenul impar, este divizibil cu 6 . + +b) Sa se determine toate numerele prime impare $\mathrm{p}$, astfel incat numerele $\mathrm{p}^{2}+1 ; 2 \mathrm{p}^{2}$ $-1 ; 3 \mathrm{p}^{2}+1 ; 5 \mathrm{p}^{2}-1$ sa fie simultan prime. + +3) În interiorul unghiului $\mathrm{AOB}$, cu masura de $140^{\circ}$, se consideră punctele $\mathrm{C}$ si $\mathrm{D}$ astfel încât $\mathrm{C}$ apartine interiorului unghiului AOD. Dacă $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ sunt numere prime cu proprietatea că $\mathrm{a}+10 \mathrm{~b}+6 \mathrm{c}=62, \mathrm{a} \cdot \mathrm{m}(<\mathrm{COD})=\mathrm{b} \cdot \mathrm{m}(<\mathrm{AOC})$ si $\mathrm{b} \cdot \mathrm{m}(\angle \mathrm{BOC})=\mathrm{c} \cdot \mathrm{m}(\angle \mathrm{COD})$, aflati masurile unghiurilor AOC, COD si DOB. + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a + +## BAREM DE CORECTARE: + +1) $\mathrm{B}=111(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})=3 \cdot 37(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})$ ..... $1 p$ +$51 / B=>3 \cdot 17 / 3 \cdot 37(a+b+c)=>17 /(a+b+c)=>a+b+c=17$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +$3 / A=>A=3(333 a+33 b+3 c)+(a+b+2 c)=>3 /(a+b+2 c)$ ..... $2 p$ +$3 /(\mathrm{a}+17)=>c \in\{1,4,7\}, 4 / \mathrm{A}=>\mathrm{c}=4$ ..... $.1 p$ +$\mathrm{a}+\mathrm{b}=13=>(\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \in\{(4,9),(5,8),(6,7),(7,6),(8,5),(9,4)\}=>$ +$\overline{a b c c} \in\{4944,5844,6744,7644,8544,9444\}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +2) a) $\mathrm{A}=$ suma de 4 numere impare $=>\mathrm{A} \vdots 2$ ..... $1 p$ +$A=(6-1)^{n}+(6+1)^{n}+(6 \cdot 2-1)^{n}+(6 \cdot 3+1)^{n}=M_{3}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +$\mathrm{A} \vdots 2$ si $\mathrm{A} \vdots 3=>\mathrm{A} \vdots 6$ ..... $1 p$ +b) Daca $\mathrm{p}$ prim, $\mathrm{p} \neq 2=>\mathrm{p}$ impar $=>\mathrm{p}^{2}+1=$ par $\neq$ prim ..... $.2 \mathrm{p}$ +Daca $\mathrm{p}=2$ => numerele $5,7,13,19$ prime ..... $1 p$ +3) $a+10 b+6 c=62$, a,b, c numere prime $=>a=2 \quad b=3 \quad c=5$ ..... $2 \mathrm{p}$ +$2 \cdot \mathrm{m}\left(<\mathrm{COD}=3 \cdot \mathrm{m}\left(<\mathrm{AOC}=>\mathrm{m}(<\mathrm{AOC})=\frac{2 * m(\Varangle C O D)}{3}\right.\right.$ +$3 \cdot \mathrm{m}\left(<\mathrm{BOC}=5 \cdot \mathrm{m}\left(<\mathrm{COC}=>\mathrm{m}(<\mathrm{BOC})=\frac{5 * m( Clasa a V-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1. Fie numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{a}=27^{2^{3}}: 81^{6}+2013^{0^{2013}}-2 \\ +& \mathrm{~b}=\left(2^{1+2+3+\ldots+20}+3 \cdot 2^{210}\right): 2^{210} \\ +& \mathrm{c}=\left(2^{5} \cdot 2^{8}\right)^{4}: 32^{10}-1^{2013} +\end{aligned} +$$ + +Aflaţi a, b, c şi apoi stabiliți: + +i) câte numere naturale de trei cifre se pot forma $\mathrm{cu} \mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi c; + +ii) câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma $\mathrm{cu} \mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi c. + +Codeci Daniel + +2. Fie $\mathrm{S}$ suma numerelor naturale $\overline{a b c}$ pentru care: $\overline{a b c}=11(a+b+c)+\overline{c b a}$. Justificați dacă $\mathrm{S}$ este pătrat perfect. + +## Vucan Laura şi Molea F. Gheorghe + +3. Se dau numerele naturale $a$ şi $b, a>b$. Dacă la împărțirea lui $a$ la diferența lor obținem câtul 2 şi restul 3, care este câtul şi cât este restul împărțirii lui $b$ la diferența numerelor? + +(Gazeta matematică Nr. 3- 2011) + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 februarie 2013 + +## Clasa a V-a + +VARIANTA 3 + +## BAREM DE CORECTARE: + +1. $\mathrm{a}=0$ +$\mathrm{b}=4$ $1 p$ +$\mathrm{c}=3$ $1 \mathrm{p}$ +i) Dacă numărul este $\overline{x y z}, x \in\{3 ; 4\}$, iar $y$ şi $z \in\{0 ; 3 ; 4\} \Rightarrow$ $1 \mathrm{p}$ +se pot forma $2 \cdot 3 \cdot 3=18$ numere. +$1 \mathrm{p}$ +ii) Se formează numai numerele: $304 ; 340 ; 403$ şi $430 \Rightarrow 4$ numere distincte. $2 \mathrm{p}$ +2. a) Pentru a obține suma minimă Luca trebuie să cumpere $5 \mathrm{~kg}$ cu prețul de 4 lei şi câte un $\mathrm{kg}$ din celelalte. Atunci suma minimă este $5 \cdot 4+5+6=31$ lei. + +$2 \mathrm{p}$ + +Pentru a obține suma maximă Luca trebuie să cumpere $5 \mathrm{~kg}$ cu prețul de 6 lei şi câte un $\mathrm{kg}$ din celelalte. Atunci suma maximă este $5 \cdot 6+5+4=39$ lei + +b) Pentru a cumpăra cel mai mare număr de kilograme cu suma de 47 de lei, trebuie cumpărate cât mai multe kg din cele cu prețul mai mic. Atunci se poate cumpăra un kg de 6 lei, un kg de 5 lei, iar de restul, adică 36 de lei se cumpără $36: 4=9 \mathrm{~kg}$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Deci numărul maxim de kg este 11 . + +$1 \mathrm{p}$ +3. $\overline{a b c}=11(a+b+c)+\overline{c b a} \Leftrightarrow$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e5806c5ee9079984c0c0g-2.jpg?height=65&width=1550&top_left_y=2052&top_left_x=276) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e5806c5ee9079984c0c0g-2.jpg?height=60&width=1548&top_left_y=2123&top_left_x=277) + +$a=2 \Rightarrow \overline{c b}=16 \Rightarrow \overline{a b c}=261 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +Analog, pentru $a \in\{3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\}$ se obțin numerele + +$\overline{a b c} \in\{342,423,504,684,765,846,927\} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots 2 \mathrm{~m}$ + +Suma acestor numere este $S=4752$. .............................................. + +Deoarece cifra unităţilor este 2 , rezultă că $S$ nu este un pătrat perfect. ................................ 1 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e5806c5ee9079984c0c0g-2.jpg?height=49&width=1585&top_left_y=2694&top_left_x=270) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1324-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1324-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d21a916611e783fcb03bf70c540d372b1fa34240 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1324-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,103 @@ +# Olimpiada Nationala de Matematica etapa locala- 16 februarie 2013
Clasa a IX-a + +Subiecte + +Varianta 3 + +1. a) Să se rezolve ecuația $[x] \cdot\{x\}=x$ + +b) Fie $n>3$ un număr natural. Se consideră n mulțimi, fiecare având câte două elemente, astfel încât intersecția oricăror două din ele este o mulțime cu un singur element. Să se arate că intersecția tuturor celor $\mathrm{n}$ mulțimi este nevidă. + +Severius Moldoveanu, București + +2. Fie $a, b, c>0$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Arătați că: + +$$ +\frac{a}{a+3}+\frac{b}{b+3}+\frac{c}{c+3} \simeq \frac{3}{4} +$$ + +Marin Chiroiu, Piteşti + +3. Fie $M$ un punct pe cercul circumscris triunghiului $A B C$, diferit de vârfurile triunghiului și $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ ortocentrele triunghiurilor MBC, MAC si respectiv $M A D$. + +a) Arătați că triunghiurile $A B C$ și $H_{1} H_{2} H_{3}$ sunt congruente și au laturile respectiv paralele. + +b) Arătați că $M$ este centrul de greutate al triunghiului $H_{1} H_{2} H_{3}$ dacă și numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral. + +Nicolae Papacu, Slobozia și Sorin Ulmeanu, Pitești + +4. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir de numere reale astfel încât $\alpha_{1}=\alpha_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n}}{2^{n}}$ pentru orice $n \geq 1$. Arătati că $a_{n}<3$ pentru orice număr natural $n \geq 1$ + +NOTA : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se va redacta pe o foaie separată. + +## Olimpiada Naţionala de Matematică + +Etapa locală, 16 februarie 2013 + +## Județul Arges + +Barem clasa a IX-a + +1. a) 1) $\operatorname{Cazul}[x]=1$ $1 p$ +2) Obținerea afirmației $[x] \leq 0$ + +$2 \mathrm{p}$ + +3) Obținerea - scrierea $x=k+\frac{k}{k-1}=\frac{k^{2}}{k-1}$, cu $\quad k \in \mathbb{Z}-\mathbb{N}^{*} \quad 1 p \quad$ sau $\quad 2 p$ + +(Se acordă 1 p dacă s-a luat doar cu " $\Rightarrow$ " și 2 p dacă s-a luat cu " $\Leftrightarrow$ ") + +4) Verificare (dacă nu s-a lucrat cu echivalențe) + +$1 p$ + +b) Considerarea a 2 mulțime $A=\{a, b\} \quad$ si $B=\{a, c\}$ și afirmația că o a treia este de forma $C=\{a, d\} \quad$ sau $C=\{b, c\} \quad 1 \mathrm{p}$ + +Excluderea cazului $C=\{b, c\} \ldots \ldots . \ldots . . . .1 p$ + +Finalizare: Orice mulțime din restul de $n-3$ trebuie să-1 conțină pe $a \ldots . . . .1$ p + +2. Aplicarea C-B-S pentru $(a+b+c) \leq \sqrt{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}=3$ $.2 p$ + +Scrierea (obținerea) inegalității echivalente + +$$ +\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \geq \frac{9}{4} +$$ + +(sau obținerea membrului stâng) + +Aplicarea ineg. mediilor, C-B-S sau Bergström și finalizare $2 \mathrm{p}$ + +Cazul de egalitate $1 \mathrm{p}$ + +3. a) Obținerea relației vectoriale + +$\overrightarrow{\mathrm{H}_{1} \mathrm{H}_{2}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ sau $\overrightarrow{\mathrm{H}_{2} \mathrm{H}_{3}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ sau $\overrightarrow{\mathrm{H}_{3} \mathrm{H}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} \quad 1 \mathrm{p}$ + +Demonstrarea tuturor .............................. $2 \mathrm{p}$ + +Demonstrarea congruenței .........................1p + +Demonstrarea paralelismului..........................1p + +b) Obținerea condiției $\overrightarrow{\mathrm{OH}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{OH}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{OH}_{3}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}$.................... $2 \mathrm{p}$ + +Finalizare..................................................1p + +4. Calculul termenilor $\mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{4}$, eventual $\mathrm{a}_{5} \quad 2 p$ + +Observația $\mathrm{a}_{1}<3, \mathrm{a}_{2}<3, \mathrm{a}_{3}<3, \mathrm{a}_{4}<3 \quad 1 \mathrm{p}$ + +Inducția pentru: $a_{n} \leq 3-\frac{12}{2^{n}}, \quad n \geq 3 \quad 4 p$ + +$$ +\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \leq 3-\frac{3}{2^{\mathrm{n}-2}}\right) +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1325-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1325-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3f35b00ddded73f11bfbf33ce2e5eee33856f9a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1325-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,86 @@ +Olimpiada de matematicǎ + +Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +# Clasa a XII-a + +## Problema 1: + +a) Arătaţi că $\operatorname{arctg} A-\operatorname{arctg} \mathrm{B}=\operatorname{arctg} \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{1+\mathrm{AB}}, \forall A, B \in \mathbb{R}$. + +b) Determinaţi $\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arctg} x}{\operatorname{arctg} \frac{1}{x^{2}-x+1}} d x$. + +Gazeta Matematică 1987 + +## Problema 2: + +Fie mulţimea $Q_{0}=\left\{\left.\frac{m}{n} \right\rvert\, m, n \in \mathbb{Z}, m\right.$ şi $n$ impare $\}$ şi $G=Q_{0} \times \mathbb{Z}$. Pe $G$ definim legea de compoziţie $\left(q_{1}, k_{1}\right) *\left(q_{2}, k_{2}\right)=\left(q_{1} q_{2}, k_{1}+k_{2}\right), \forall q_{1}, q_{2} \in Q_{0}, \forall k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$. Să se arate că funcţia $f: G \rightarrow \mathbb{Q}^{*}, f((q, k))=q \cdot 2^{k}$ este un izomorfism între grupurile $\left(G,{ }^{*}\right)$ şi $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)$, unde "$\cdot$" este operaţia de înmulţire a numerelor raţionale. + +Variante Bac 2009 + +## Problema 3: + +Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ şi $F$ o primitivă a sa cu proprietatea că $e^{x \mp(x)}=F(x)$, oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$. Calculaţi $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$. + +Gazeta Matematică 2 / 2012 + +## Problema 4: + +a) Este posibil ca într-un grup $(G, \cdot)$ să existe exact două elemente distincte $a, b \in G \backslash\{e\}$ astfel încât : + +b) Este posibil ca într-un grup ( $G, \cdot$ ) să existe exact două elemente distincte $a, b \in G \backslash\{e\}$ astfel încât : $a b=b a \neq e$ ? + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare problemă se punctează cu 7 puncte. + +## Olimpiada de matematică Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +## Clasa a XII-a
BAREME + +## Problema 1: + +a)Demonstrează formula $\operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}$ + +b)Foloseşte a) si deduce $a+b=\operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}\right)$......... + +Consideră $a=\operatorname{arctg} x, b=\operatorname{arctg}(1-x)$ şi ajunge la identitatea $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}(1-x)=\operatorname{arctg} \frac{1}{x^{2}-x+1} \ldots \ldots . .1$ pct + +Foloseşte schimbarea de variabilă $t=1-x, I=\int_{1}^{0} \frac{\operatorname{arctg}(1-t)}{\operatorname{arctg} t+\operatorname{arctg}(1-t)}(-1) d t \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arctg}(1-t)}{\operatorname{arctg} t+\operatorname{arctg}(1-t)} d t=J \ldots 1 \mathrm{pct}$ Observăm că $I+J=2 I=1 \Rightarrow I=\frac{1}{2}$ + +.2pct + +## Problema 2: + +Definiţia izomorfismului......................................................................................................................... 2 pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9774b61bffb7b4a15386g-2.jpg?height=57&width=1733&top_left_y=1445&top_left_x=184) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9774b61bffb7b4a15386g-2.jpg?height=58&width=1739&top_left_y=1493&top_left_x=181) + +Se arată f surjectivă...................................................................................................................................................... + +Problema 3: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9774b61bffb7b4a15386g-2.jpg?height=68&width=1733&top_left_y=1642&top_left_x=184) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9774b61bffb7b4a15386g-2.jpg?height=74&width=1733&top_left_y=1708&top_left_x=184) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9774b61bffb7b4a15386g-2.jpg?height=63&width=1739&top_left_y=1779&top_left_x=181) + +Obţine limita $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$..................................................................................................................................... + +Problema 4: + +a) Da,de exemplu $G=\{e, a, b\}$ cu $a^{2}=b, b^{2}=a$ şi alcătuieşte tabla operaţiei.........................................2pct + +Presupune prin (RA) că există exact două elem. cu prop. din enunţ; deduce $a b \neq a, a b \neq b, a b \neq e(\ldots)$...........1pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9774b61bffb7b4a15386g-2.jpg?height=58&width=1733&top_left_y=2104&top_left_x=184) + +Dacă unul dintre elementele $a b a$ sau bab este $e$, celălalt este diferit de $e$.......................................................1pct + +Există aşadar cel puţin trei elemente $a, b, a b$ cu proprietatea din enunţ,absurd................................................2pct + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1326-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1326-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..762911f7752d93e8ff628dc1c433bb982b46889f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1326-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,81 @@ +Olimpiada de matematicǎ
Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +# Clasa a XI-a + +## Problema 1: + +Fie $A, B, C$ matrice pătratice de ordinul $n$ cu elemente reale astfel încât $A C=C(B+C)$ şi $A B+C^{2}=I_{n}$ + +a) Arătaţi că $(A+\varepsilon C)(B-\varepsilon C)=I_{n}$, unde $\varepsilon$ este rădăcina complexă cubică a unităţii. + +b) Demonstraţi că $A B=B A$. + +Gazeta Matematică 5 / 2012 + +## Problema 2: + +a) Studiaţi dacă există un şir $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ nemonoton cu $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$. + +b) Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \nexists 1}$ pentru care $x_{n}^{2}-2 n x_{n}+n^{2}-1 \leq 0, \forall n \geq 1$. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$. + +RMCS 36 + +## Problema 3: + +Fie $A$ şi $B$ două matrice pătratice de ordinul $n$ cu elemente complexe, cu rang $A=n-1$ şi $\operatorname{det}\left(B+A^{*}\right)=\operatorname{det}\left(B-A^{*}\right)=1$. Calculaţi det $B$. + +Gazeta Matematică 3/2012 + +## Problema 4: + +a) Daţi exemplu de două matrice $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}), A \neq I_{2}, B \neq I_{2}$ cu $A B=I_{2}$ + +b) Daţi exemplu de o matrice $B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ cu $B^{2}=A$, unde $A=\left(\begin{array}{lll}5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5\end{array}\right)$ + +c) Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$ care satisfac $A^{2}=B^{2}=I_{2}$ şi det $A=\operatorname{det} B=-1$. + +Demonstraţi că există $\lambda \in \mathbb{C}$ astfel încât $A B+B A=\lambda I_{2}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare problemă se punctează cu 7 puncte. + +## Olimpiada de matematicǎ
Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +## Clasa a XI-a
BAREME + +## Problema 1: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bfb04b6b9bc5d95a49bfg-2.jpg?height=66&width=1733&top_left_y=841&top_left_x=184) + +Cum $A, B, C$ matrici elementare reale, rezultă $C A-B C-C^{2}=O_{n}$ ş $B A+C^{2}+\frac{1}{2} O_{n}=I_{n} \ldots \ldots \ldots \ldots . . . .2$ pct $\qquad$ +Problema 2: + +Din $\left(x_{n}-n\right)^{2} \leq 1$ deducem $n-1 \leq x_{n} \leq n+1$ .3pct + +Aplică teorema cleştelui şi obţine $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=1$ .4pct + +## Problema 3: + +Deoarece det $A=0$, obţine $A A^{*}=O_{n}$.............................................................................................1pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bfb04b6b9bc5d95a49bfg-2.jpg?height=69&width=1736&top_left_y=1439&top_left_x=183) + +Consideră funç̧ia $f(x)=\operatorname{det}\left(B+x A^{*}\right)=\operatorname{det} B+x \sum_{i, j=1}^{n} A_{j i} B_{i j}, A_{j i} ; B_{i j}$ complemenţi algebrici..................2pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bfb04b6b9bc5d95a49bfg-2.jpg?height=60&width=1739&top_left_y=1632&top_left_x=181) + +## Problema 4: + +exemplu de matrici A şi B, verificare.............................................................................................1pct + +exemplu de matrice B, verificare....................................................................................................1pct + +Foloseşte relaţia $\mathrm{HC}$ şi deduce $\operatorname{trA}=\operatorname{tr} B=0$..................................................................................... 2 pct + +Apoi $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr} A+\operatorname{tr} B$......................................................................................................... 2 pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bfb04b6b9bc5d95a49bfg-2.jpg?height=63&width=1716&top_left_y=1982&top_left_x=181) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1327-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1327-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..751459165acc7bd64d479a81456a3e8515ae4d6b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1327-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,90 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN CARAŞ-SEVERIN + +Olimpiada de matematicǎ + +Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +## CLASA A X-A + +## Problema 1: + +a) Arătaţi că: $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{1}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{(a+b+c+1)^{2}}{2 b c+a b+a c+2 a+b+c}, \quad \forall a, b, c>0$. + +b) Detereminaţi numerele $x, y \in(1, \infty)$ pentru care + +$$ +\log _{2 y} x+\lg y+\log _{5 x} 2+\log _{x y} 5=2 +$$ + +Gazeta Matematică 5 / 2012 + +## Problema 2: + +Arătaţi că, dacă $x, y, z \in(0, \infty)$ şi $x y z=1$, atunci: $\frac{1+x y}{1+z}+\frac{1+y z}{1+x}+\frac{1+x z}{1+y} \geq 3$. + +RMCS 41 + +## Problema 3: + +Fie $a, b, c, d \in \mathbb{C}^{*}$ afixele vârfurilor unui patrulater convex $A B C D$ în care $a \cdot \bar{c}=\bar{a} \cdot c, b \cdot \bar{d}=\bar{b} \cdot d$ şi $a+b+c+d=0$. Arătaţi că $A B C D$ este paralelogram. + +RMCS 38 + +## Problema 4: + +Determinaţi funcţiile $f, g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că: + +$f\left(\frac{x}{3}\right)+2 \leq \log _{3} x \leq g(x)-1$ şi $g\left(\frac{x}{3}\right) \leq \log _{3} x \leq f(x)+1$, oricare ar fi $x \in(0, \infty)$. + +Gazeta Matematică 4 / 2012 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare problemă se punctează cu 7 puncte. + +## Olimpiada de matematicǎ Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +## Clasa a X-a
BAREME + +## Problema 1: + +Aplică Cauchy Schwarz $\frac{a^{2}}{a b+a}+\frac{b^{2}}{b c+b}+\frac{1^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a c+c b} \geq \frac{(a+b+c+1)^{2}}{2 b c+a b+a c+2 a+b+c} \ldots \ldots . . . . . . . . . . .1 \mathrm{pct}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d2b47b3b67070d597e58g-2.jpg?height=132&width=1719&top_left_y=845&top_left_x=180) + +Notăm şi obţinem $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{1}{c+a}+\frac{c}{a+b}=2$.......................................................................1pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d2b47b3b67070d597e58g-2.jpg?height=125&width=1739&top_left_y=1071&top_left_x=181) + +Ceea ce este echivalent cu $(a-1)^{2}+(b-c)^{2} \leq 0$............................................................................ 2 pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d2b47b3b67070d597e58g-2.jpg?height=68&width=1739&top_left_y=1251&top_left_x=181) + +## Problema 2: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d2b47b3b67070d597e58g-2.jpg?height=154&width=1719&top_left_y=1388&top_left_x=180) + +Foloseşte inegalitatea mediilor şi obţine $S \geq 3 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x y z}}=3$....................................................................... 4 pct + +Problema 3: + +Foloseşte ipoteza şi obţine $\frac{a}{c}=\overline{\left(\frac{a}{c}\right)}$, deci $\frac{a}{c} \in \mathbb{R} \Rightarrow A, C, O$ coliniare....................................................... + +Analog obține că $B, D, O$ coliniare, deci $O$ este intersecţia diagonalelor patrulaterului $A B C D$.......................1pct + +Deduce $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}$ are direcţia diagonalei $A C$, iar suma $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}$ are direcţia diagonalei $B D \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{pct}$ + +Egalitatea $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ este posibilă dacă $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$................................ + +Deduce că $O$-mij fiecărei diagonale, aşadar $A B C D$ este paralelogram............................................2pct + +## Problema 4: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d2b47b3b67070d597e58g-2.jpg?height=66&width=1739&top_left_y=2097&top_left_x=181) + +Observă că $f(x) \geq \log _{3} x-1$ şi $g(x) \geq \log _{3} x+1, \forall x \in(0, \infty)$..............................................................3pct + +Obţine că $f(x)=\log _{3} x-1$ şi $g(x)=\log _{3} x+1$.............................................................................2pct + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1328-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1328-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1b8203e3e906d9a633fdcb948869a604e4288fc7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1328-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viiia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,65 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Clasa a VIII-a, etapa locală
16.02.2013 + +1. Determinaţi numerele întregi $x$ şi $y$ pentru care $x^{2}-5^{y}=8$ + +Ovidiu Bădescu, RMCS Nr.40/2012 + +2. a) Calculaţi: $S=\frac{1}{1 \sqrt{2}+2 \sqrt{1}}+\frac{1}{2 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{n \sqrt{n+1}+(n+1) \sqrt{n}}, \quad n \in \mathbb{N}^{*}$ + +b) Arătaţi că $\sqrt{1 \cdot 2}+\sqrt{2 \cdot 3}+\ldots+\sqrt{n(n+1)} Clasa a VIII-a, etapa locală 16.02.2013 + +1. Ecuaţia este echivalentă cu $\quad x^{2}-8=5^{y}$ +$x \in Z \Rightarrow x-8 \in Z$ şi deci $\left.\quad 5^{y} \in Z \quad\right\} \Rightarrow y \in N$ ..... $1 p$ +$\operatorname{dar} y \in Z$ +$U_{c}\left(8+5^{y}\right)=3$ oricare ar fi $y \in N^{*}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +Ecuaţia dată este imposibilă oricare ar fi $y \in N^{*}$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +Dacă $y=0$ atunci $x^{2}=9$ +$x \in Z \quad\} \Rightarrow x \in\{-3,3\}$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +Finalizare, $(x, y) \in\{(-3,0) ;(3,0)\}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +2. a) Se arată că $\frac{1}{n \sqrt{n+1}+(n+1) \sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +Prin scrierea fiecărui termen al sumei de această formă şi însumarea lor se obţine + +$$ +S=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \text {.......... ................................................................................... } +$$ + +Finalizare $S=\frac{n-\sqrt{n+1}+1}{n+1}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +b) Se foloseşe inegalitatea mediilor pentru fiecare termen al sumei, +$\sqrt{a b}<\frac{a+b}{2}$, oricare ar fi $\mathrm{a}, \mathrm{b} \geq 0, a \neq b$. ..... $1 \mathrm{p}$ +Prin însumare se arată că $S<1+2+3+\cdots+n+\frac{n}{2}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Finalizare, $S ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +21 februarie 2016 + +## CLASA a VII-a + +1. a) (4p) Numerele naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2016}$ sunt invers proporţionale cu numerele $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{2016}$ şi $a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2015}=2016^{2}$. Calculaţi suma $S=\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}}+\frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{2015} \cdot a_{2016}}$. + +b) (3p) Se dă şirul de numere raționale: $\frac{n^{2}-1}{n}, n, \frac{n^{2}+1}{n}, \frac{n^{2}+2}{n}, \ldots$. , unde $n \in N^{*}$. Calculați suma primilor $n$ termeni ai șirului. + +2. a) (3p) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care: + +$\frac{\sqrt{2^{1980}-2^{1979}-\ldots-2^{1002}}+\sqrt{4+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{999}}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{32^{200}\left(x^{2}-1\right)}$. + +b) (4p) Să se determine numerele naturale scrise în baza 10 cu proprietatea că fiecare este de 47 de ori mai mare decât suma cifrelor sale. + +3. Se consideră patrulaterul convex $\mathrm{ABCD}$ cu $A B / / C D$ şi un punct $\mathrm{M}$ interior lui prin care se construiesc paralelele MP//AB și BP//AM. Se știe că aria patrulaterului BMCP este jumătate din aria patrulaterului ABCD. + +a) (5p) Să se arate că $[M D] \equiv[P C]$. + +b) (2p) Dacă punctele B, M și $\mathrm{D}$ sunt coliniare, determinați poziția punctului $\mathrm{M}$ pe diagonala $\mathrm{BD}$ dacă aria triunghiului MAB este $\frac{1}{5}$ din aria patrulaterului ABCD. + +4. (7p) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$ cu $m(\varangle A)=90^{\circ}$. Dacă $D \in(B A$ și $E \in(C A$ astfel încât $[B D] \equiv[C E] \equiv[B C]$ și $B E \cap C D=\{T\}$, arătați că patrulaterul TEID este paralelogram. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +## 2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. + +3. Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +CLASA a VII-a + +1. a) (4p) Numerele naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2016}$ sunt invers proporţionale cu numerele $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{2016}$ şi $a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2015}=2016^{2}$. Calculaţi suma $S=\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}}+\frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{2015} \cdot a_{2016}}$. + +Prof. Elena Ciobîcă + +b) (3p) Se dă şirul de numere raţionale: $\frac{n^{2}-1}{n}, n, \frac{n^{2}+1}{n}, \frac{n^{2}+2}{n}, \ldots$. , unde $n \in N^{*}$. Calculaţi suma primilor $n$ termeni ai șirului. + +Prof. Luminița Corocăescu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a2173bc0e987b6886a65g-2.jpg?height=106&width=1764&top_left_y=836&top_left_x=164) +$\frac{a_{1}}{1}=\frac{a_{2}}{2}=\frac{a_{3}}{3}=\ldots=\frac{a_{2016}}{2016}=k \Rightarrow a_{j}=j \cdot k, j \in\{1,2,3, \ldots, 2016\}$. + +$a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2015}=k+3 \cdot k+5 \cdot k+\ldots+2015 \cdot k=k \cdot(1+3+5+\ldots+2015)=k \cdot 1008^{2}=2016^{2} \Rightarrow k=4$ Deci $a_{1}=4, a_{2}=8, \ldots ., a_{2016}=8064$. + +$S=\frac{1}{4 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 12}+\ldots+\frac{1}{8060 \cdot 8064}=\frac{1}{16} \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{2015 \cdot 2016}\right)=$ + +$=\frac{1}{16} \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\right)=\frac{1}{16} \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2016}\right)=\frac{2015}{32256}$ + +b) Termenii șirului se pot scrie: $\frac{n^{2}-1}{n}=n-\frac{1}{n}, \frac{n^{2}+1}{n}=n+\frac{1}{n}, \frac{n^{2}+2}{n}=n+\frac{2}{n} \ldots$ + +$S_{n}=\left(n-\frac{1}{n}\right)+n+\left(n+\frac{1}{n}\right)+\left(n+\frac{2}{n}\right)+\ldots .+\left(n+\frac{n-2}{n}\right)=n^{2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}(1+2+\ldots .+n-2)=n^{2}-\frac{1}{n}+$ $\frac{(n-2)(n-1)}{2 n}=n^{2}+\frac{n-3}{2}=\frac{2 n^{2}+n-3}{2}$ + +## Barem: + +| a) $a_{j}=j \cdot k, j \in\{1,2,3, \ldots, 2016\}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| :--- | :--- | +| $a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2015}=k \cdot(1+3+5+\ldots+2015)=k \cdot 1008^{2}=2016^{2} \Rightarrow k=4$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| $a_{1}=4, a_{2}=8, \ldots ., a_{2016}=8064$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Calculează suma $\mathrm{S}=\frac{2015}{32256}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| b) Determinarea termenului de ordinul $n$ al șirului: $\left(n+\frac{n-2}{n}\right)$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left(n-\frac{1}{n}\right)+n+\left(n+\frac{1}{n}\right)+\left(n+\frac{2}{n}\right)+\ldots .+\left(n+\frac{n-2}{n}\right)=n^{2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}(1+2+\ldots .+n-2)$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Finalizare: $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=n^{2}-\frac{1}{n}+\frac{(n-2)(n-1)}{2 n}=n^{2}+\frac{n-3}{2}=\frac{2 n^{2}+n-3}{2}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | + +2. a) (3p) Determinaţi valorile reale ale lui $x$ pentru care + +$\frac{\sqrt{2^{1980}-2^{1979}-\ldots-2^{1002}}+\sqrt{4+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{999}}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{32^{200}\left(x^{2}-1\right)}$. + +Prof. Zanfirica Boiciuc + +b) (4p) Să se determine numerele naturale scrise în baza 10 cu proprietatea că fiecare este de 47 de ori mai mare decât suma cifrelor sale. + +Gazeta Matematică Nr.1/2014 + +## Solutie: + +a) $2^{1980}-2^{1979}-2^{1978}-\ldots-2^{1002}=2^{1980}-2^{1002}\left(2^{977}+2^{976}+\ldots+2^{2}+2+1\right)=2^{1980}-2^{1002} \cdot\left(2^{978}-1\right)=2^{1002}$ + +$4+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{999}=1+2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{999}=1+2^{1000}-1=2^{1000}$ + +$2^{501}+2^{500}=32^{100} \sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \Leftrightarrow 2^{500} \cdot 3=2^{500} \cdot\left|x^{2}-1\right| \Leftrightarrow\left|x^{2}-1\right|=3 \quad$ și folosind condiția $x^{2}-1>0 \Rightarrow x= \pm 2$. + +b) Fie $n$ numărul căutat și notăm cu $s(n)$ suma cifrelor sale. Evident $n \geq 1 \cdot 47$, deci $n$ are cel puțin două cifre. Fie $\mathrm{n}=\overline{a_{1} a_{2} \ldots . a_{k}}, \mathrm{k} \geq 2$. Vom avea $10^{k-1} \leq n=47 \mathrm{~s}(n) \leq 47 \cdot 9 k=423 k$. Inegalitatea $10^{k-1} \leq 423 k$ are loc pentru $\mathrm{k}<5$, deci $\mathrm{k} \in\{2,3,4\}$. Plecând de la faptul că $\mathrm{n}$ și $\mathrm{s}(\mathrm{n})$ au același rest la împărțirea cu 9 , obținem că $n-s(n)=46 \cdot s(n)$ se divide cu 9 și cum $(46,9)=1$ rezultă că $s(n)$ se divide cu 9 , deci și n se divide cu 9 . Cum $n \in M_{47}$ și $(47,9)=1 \Rightarrow n \in M_{423}$. Prin urmare n este un număr de 3 sau 4 cifre, multiplu al lui 423. Cum s(n) $\in\{9,18,27,36\} \Rightarrow \mathrm{n} \in\{423,846,1269,1692\}$. Concluzia este verificată pentru $n \in\{423,846\}$. + +## Barem: + +| a) $2^{1980}-2^{1979}-2^{1978}-\ldots-2^{1002}=2^{1980}-2^{1002}\left(2^{977}+2^{976}+\ldots+2+1\right)=2^{1980}-2^{1002} \cdot\left(2^{978}-1\right)=2^{1002}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :---: | +| $4+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{999}=1+2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{999}=1+2^{1000}-1=2^{1000}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $2^{501}+2^{500}=32^{100}\left\|\mathrm{x}^{2}-1\right\| \Leftrightarrow 2^{500} \cdot 3=2^{500}\left\|\mathrm{x}^{2}-1\right\|$ de unde $\left\|\mathrm{x}^{2}-1\right\|=3$ și cum $x^{2}-1>0 \Rightarrow x= \pm 2$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| b) Demonstrează că numărul căutat poate avea 2,3 sau 4 cifre | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Demonstrează că n se divide cu 9 | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Demonstrează că $\mathrm{n} \in \mathrm{M}_{423}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| $\mathrm{n} \in\{423,846\}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | + +3. Se consideră patrulaterul convex $A B C D$ cu $A B / / C D$ şi un punct $M$ interior lui prin care se construiesc paralelele MP//AB și BP//AM. Se știe că aria patrulaterului BMCP este jumătate din aria patrulaterului ABCD. + +a) (5p) Să se arate că $[M D] \equiv[P C]$. + +b) (2p) Dacă punctele B, M și D sunt coliniare, determinați poziția punctului M pe diagonala BD dacă aria triunghiului MAB este $\frac{1}{5}$ din aria patrulaterului $\mathrm{ABCD}$. + +## Prof. Florea Andrei + +Solutie: a) Se construiește prin $\mathrm{M}$ perpendiculara EF pe $\mathrm{AB}$ și $\mathrm{CD}, \mathrm{E} \in \mathrm{AB}$ și $\mathrm{F} \in \mathrm{CD}$. Cum $A B / / M P$ și $A B / / C D \Rightarrow M P / / C D$ deci $\mathrm{d}(\mathrm{C}, \mathrm{MP})=\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{DC})$. + +Cum patrulaterul $A B P M$ este paralelogram $\Rightarrow S_{A B M}=S_{B P M}=\frac{A B \cdot E M}{2}$. + +Din ipoteză avem $S_{A B C D}=2 S_{B M C P} \Leftrightarrow \frac{(A B+C D) \cdot E F}{2}=2 \cdot \frac{A B \cdot E M}{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a2173bc0e987b6886a65g-3.jpg?height=374&width=349&top_left_y=2266&top_left_x=1517) +$+2 \cdot \frac{P M \cdot M F}{2}$ și cum $[P M] \equiv[A B]$, obținem $[C D] \equiv[A B]$. Deci $A B C D$ +este paralelogram ceea ce implică MPCD paralelogram deci $[M D] \equiv[P C]$. + +b) Dacă $\mathrm{M} \in(\mathrm{BD})$, folosind teorema lui Thales, obținem $\frac{M B}{M D}=\frac{M E}{M F}$. + +Cum $S_{\triangle M A B}=\frac{1}{5} \cdot S_{A B C D} \Leftrightarrow \frac{M E \cdot A B}{2}=\frac{E F \cdot A B}{5}$ deci $\frac{M E}{E F}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{M E}{M F}=\frac{2}{3}$, adică $\frac{M B}{M D}=\frac{2}{3}$ + +## Barem: + +| a) Demonstrează că $A B P M$ este paralelogram $\Rightarrow S_{A B M}=S_{B P M}=\frac{A B \cdot E M}{2}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| :--- | :---: | +| $\mathrm{AB} / / \mathrm{MP}$ și $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD} \Rightarrow \mathrm{MP} / / \mathrm{CD}$ deci d(C, MP $)=\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{DC})$. | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| $S_{A B C D}=2 S_{B M C P} \Leftrightarrow \frac{(A B+C D) \cdot E F}{2}=2 \cdot \frac{A B \cdot E M}{2}+2 \cdot \frac{P M \cdot M F}{2}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Arată că ABCD este paralelogram | $\mathbf{1}$ p | +| MPCD paralelogram deci $[\mathrm{MD}]$ \#PC] | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| b) $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{MAB}}=\frac{1}{5} \cdot S_{A B C D} \Leftrightarrow \frac{M E \cdot A B}{2}=\frac{E F \cdot A B}{5}$, deci $\frac{M E}{E F}=\frac{2}{5}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Utilizează teorema lui Thales și obțin că $\frac{M B}{M D}=\frac{M E}{M F}=\frac{2}{3}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | + +4. (7p) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul $\mathrm{ABC}$ cu $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{A})=90^{\circ}$. Dacă $\mathrm{D} \in(\mathrm{BA}$ şi $E \in(C A$ astfel încât $[B D] \equiv[C E] \equiv[B C]$ și $B E \cap C D=\{T\}$, arătați că patrulaterul TEID este paralelogram. + +Gazeta Matematică Nr.10/2014 + +## Solutie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a2173bc0e987b6886a65g-4.jpg?height=79&width=1269&top_left_y=1419&top_left_x=168) +respectiv (BE). Cum BI este bisectoare în triunghiul $\mathrm{BCD} \Rightarrow \mathrm{BI} \perp \mathrm{CD}$ (1). CI este bisectoare în triunghiul $\mathrm{CBE} \Rightarrow \mathrm{CI} \perp \mathrm{BE}$ (2). + +Cum I este centrul cercului înscris triunghiului dreptunghic ABC $\Rightarrow m(\Varangle B I C)=135^{\circ}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a2173bc0e987b6886a65g-4.jpg?height=355&width=377&top_left_y=1340&top_left_x=1492) + +Se demonstrează că $\triangle B C I \equiv \triangle B D I$ și $\triangle B C I \equiv \triangle E C I$ (cazul LUL) de unde $m(\Varangle B I D)=m(\Varangle B I C)=135^{\circ}$ și $m(\Varangle C I E)=m(\nless B I C)=135^{\circ}$. Deci $m(\Varangle D I E)=135^{\circ} .3-360^{\circ}=45^{\circ}$ și $m(\Varangle B I E)=m(\Varangle$ BID $)-m(\Varangle D I E)=135^{\circ} \quad 45^{\circ}=90^{\circ} \Rightarrow$ BI $\perp$ IE (3) și analog $m(\Varangle C I D)=m(\Varangle C I E)-m(\Varangle D I E)=90^{\circ} \Rightarrow$ CI $\perp$ ID (4). Din relațiile 1 și 3 obținem CD // IE și cum C $\mathrm{D}-\mathrm{T} \Rightarrow \mathrm{DT} / /$ IE. Analog, din 2 și 4 obținem DI // TE. Deci patrulaterul TEID este paralelogram. + +Barem: + +| Figura | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :---: | +| Demonstrează că BI $\perp \mathrm{CD}$ și CI $\perp \mathrm{BE}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Calculează $m(\Varangle B I C)=135^{\circ}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Demonstrează congruența triunghiurilor $\triangle B C I \equiv \triangle B D I \quad$ și $\quad \triangle B C I \equiv \triangle E C I \quad$ de unde calculează
$m(\Varangle B I D)=m(\Varangle B I C)=m(\Varangle C I E)=135^{\circ}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Calculează $m(\Varangle D I E)=135^{\circ} \cdot 3-360^{\circ}=45^{\circ}$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Arată că BI $\perp \mathrm{IE}$ și CI $\perp \mathrm{ID}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Finalizare: $\mathrm{CD} / / \mathrm{IE}$ și cum C-D-T $\Rightarrow \mathrm{DT} / /$ IE. Analog, DI//TE de unde patrulaterul TEID este paralelogram | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1330-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_via_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1330-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_via_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d08898e5a73c038071033132cf758c212dbf619 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1330-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_via_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,50 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - 16.02.2013 + +## CLASA a VI-a + +7 p 1. Aflaţi numerele naturale $a$ şi $b$ ştiind că $[a, b]$ este de 15 ori mai mare decât $(a, b)$ şi $5 a+3 b=150$. Am notat cu $[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi cu $(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ şi $b$. + +GM.10.2012 + +de-al treilea unghi este egală cu suma măsurilor primelor două, al celui de-al patrulea este suma măsurilor primelor trei şi al celui de-al cincilea suma primelor patru, arătaţi că printre ele există cel puţin un unghi drept şi unul alungit. Realizaţi un desen corespunzător enunţului. + +Prof. Avramescu Irina, Reşiţa + +7p 4. Fie $d$ o dreaptă şi $A$ şi $B$ două puncte fixe, de o parte şi de alta a dreptei $d$. Spunem că un punct $M \in d$ are proprietatea $p$ dacă $[A M] \equiv[M B]$. Demonstraţi că dacă pe dreapta $d$ există două puncte cu proprietatea $p$, atunci toate punctele dreptei au proprietatea $p$. + +Gazeta Matematică + +$4 / 2009$ + +- TIMP DE LUCRU 2 ORE. +- TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII. + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - 13.02.2010
BAREM DE CORECTARE
CLASA a VI-a + +1. + +Fie $(\mathrm{a}, \mathrm{b})=\mathrm{d} \Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{dk} ; \mathrm{b}=\mathrm{dp},(\mathrm{k}, \mathrm{p})=1, \mathrm{~d}, \mathrm{k}, \mathrm{p} \in \mathrm{N}$. ..... $1 p$ +$[a, b]=d k p$ ..... $1 p$ +$\mathrm{kp}=15$ ..... $1 p$ +Dacă $\mathrm{k}=5, \mathrm{p}=3$, imposibil ..... $1 p$ +Dacă $k=3, p=5$, avem $a=25, b=15$. ..... $1 p$ +Dacă $\mathrm{k}=1, \mathrm{p}=15$, avem $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=45$. ..... $1 p$ +Dacă $k=15, p=1$, imposibil ..... $1 p$ +2. $61 \mid(6 x+5 y)$, atunci $6 x+5 y=61 k$ ..... $1 p$ +$5 y=61 k-6 x$, deci $30 y=366 k-36 x$. ..... $2 p$ +$5(6 y-5 x)=30 y-25 x=366 k-36 x-25 x=366 k-61 x$, care se divide $\mathrm{cu}$ ..... 3p +61 . +cum 5 nu se divide cu 61, (6y-5x)se divide cu 61 ..... $1 p$ +3. Fie $x$ şi y măsurile primelor două ..... $1 p$ +$x+y, 2 x+2 y, 4 x+4 y$ măsurile celorlalte ..... $1 \mathrm{p}$ +Avem $8 x+8 y=360^{\circ} \Rightarrow x+y=45^{\circ}$ ..... $2 p$ +.Finalizare ..... $1 \mathrm{p}$ +Desen ..... $.2 p$ +4. Fie $M, N \in d$ a.î. $M A \equiv M B$ şi $N A=N B$. ..... $1 p$ +$\triangle \mathrm{MAN} \equiv \triangle \mathrm{MBN}$ ..... $2 p$ +Fie $P \in d$ un punct arbitrar ales. ..... $1 p$ +$P \hat{N} A \equiv P \hat{N} B$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +$\triangle \mathrm{PNA} \equiv \triangle \mathrm{PNB} \Rightarrow$ finalizare ..... $2 p$ +NOTĂ: orice altă soluţie se puncteza corespunzător + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1331-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1331-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eba938dc5affb32254d98e4623bac9d2885cf34e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1331-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,51 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 + +## Clasa a V-a + +7p 1. În grădina Mariei au înflorit ghioceii. Numărându-i în fiecare zi observă că a doua zi au înflorit jumătate din cei înfloriţi în prima zi şi s-a ofilit un ghiocel, iar în a treia zi au înflorit jumătate din câţi au rămas înfloriţi după primele două zile, dar s-au mai ofilit doi ghiocei. Maria culege toţi ghioceii înfloriţi şi dăruieşte mamei buchetul cules de 19 ghiocei. Câţi ghiocei au înflorit în prima zi în grădină? + +Pîrvu Camelia, Oraviţa + +2. Determinaţi cifrele $a$ şi $b$ ştiind că $\overline{\mathrm{ab}}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b}-1)$. + +Gazeta matematică, nr. 9/2012 + +3. Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere, din cele opt, se obţin rezultatele: $42,47,50,52,54,55,56,57$. Determinaţi cele opt numere. + +Gazeta matematică, $n r .3 / 2012$ + +4. Se consideră mulţimea $A=\{3 n+1 / n \in \mathbb{N}, 0 16.02.2013
BAREM DE CORECTARE
CLASA A V-A + +| 1. | 19+2=21 ghiocei înfloriţi | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Determina numarul de ghiocei infloriti in ziua treia ( 21:3=7) | $2 \mathrm{p}$ | +| | Determina numarul de ghiocei infloriti in primele doua zile $(14+1=15)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Determina numarul de ghiocei infloriti in prima zi (10 ghiocei) | $2 \mathrm{p}$ | +| 2. | Observă că a+b şi a+b-1 sunt numere consecutive, deci corespund produsele $4 \cdot 3$,
$5 \cdot 4,6 \cdot 5,7 \cdot 6,8 \cdot 7,9 \cdot 8,10 \cdot 9$ | $3 \mathrm{p}$ | +| | Relaţia care verifică condiţile date este $9 \cdot 8=72=(7+2)(7+2-1)$ | $4 \mathrm{p}$ | +| 3. | Fie $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{8}$ numerele cerute.
Scrie corespunzător cele 7 sume egale $\mathrm{cu} 42,47,50,52,54,55,56,57$ | 2p | +| | Adunând cele şapte relaţii obţine $7\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{8}\right)=413 \Rightarrow \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{8}=59$ | $3 \mathrm{p}$ | +| | Determină numerele cerute: $2,3,4,5,7,9,12,17$ | $2 \mathrm{p}$ | +| 4. | a) Dă exemple de cel puţin trei numere prime, de ex: $13,19,31$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Dă exemple de cel puţin trei două pătrate perfecte, de ex: 4, 25 | $1 \mathrm{p}$ | +| | Dă exemple de cel puţin un cub perfect, de ex: 64 | $1 \mathrm{p}$ | +| | b) Alege patru numere din mulţimea A de forma $3 a+1,3 b+1,3 c+13 d+1$ cu suma
$3 a+1+3 b+1+3 c+1+3 d+1=2012$, de unde deduce şi justifică că 2008 nu este divizibil cu
3
Alternativa: arata ca daca se iau cele mai mari numere din A se obtine suma 2014 iar
daca se micsoreaza unul dintre ele se obtine suma 2011 | $4 \mathrm{p}$ | + +NOTĂ: Orice altă soluție se punctează corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1332-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1332-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45ea250c915f7dc8bba3d25dbdefe0e2fb29c3e0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1332-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,89 @@ +# Clasa a IX-a + +## Problema 1: + +a) Daţi un exemplu de patru numere reale nenule şi distincte $a, b, c, d$ pentru care + +$$ +a+b=c+d \text { şi } a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2} +$$ + +b) Fie $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ astfel încât $a+b=c+d$ şi $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$. + +Arătaţi că, pentru orice $n \in \mathbb{N}$, este adevărată egalitatea $a^{n}+b^{n}=c^{n}+d^{n}$. + +## Problema 2: + +Se consideră numerele reale strict pozitive $x, y, z$. + +a) Arătaţi că: $\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{y+z}{x}} \geq \frac{x-\frac{1}{x}}{x+y+z}$ + +b) Dacă, în plus, $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, demonstraţi că: + +$$ +\frac{x+y+1}{x+y+z^{2}}+\frac{y+z+1}{y+z+x^{2}}+\frac{z+x+1}{z+x+y^{2}} \leq 3 +$$ + +Gazeta Matematică 5 / 2012 + +## Problema 3: + +Se consideră un triunghi $A B C$. + +Folosind notaţiile uzuale, arătaţi că $I G \| B C$ dacă şi numai dacă $A B+A C=2 B C$. + +## Problema 4: + +Se consideră punctele $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ pe un cerc de centru $O$ şi rază 1 , cu $\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\ldots+\overrightarrow{O A_{n}}=\vec{O}$. Demonstraţi că $M A_{1}+M A_{2}+\ldots+M A_{n} \geq n$, oricare ar fi punctul $M$ din planul cercului. + +Gazeta Matematică 1 / 2012 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare problemă se punctează cu 7 puncte. + +## Olimpiada de matematicǎ + + Etapa locală, Caraş-Severin, 16.02.2013 +## Clasa a IX-a, BAREME + +## Problema 1: + +orice exemplu corect + +Demonstraţie .3 pct + +Problema 2: + +Arată că $\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{y+z}{x}} \geq \frac{x-\frac{1}{x}}{x+y+z}$ pentru $x \geq 1$ şi pentru $x<1$ + +Rescrie inegalitatea sub forma $\frac{z^{2}-1}{x+y+z^{2}}+\frac{y^{2}-1}{x+z+y^{2}}+\frac{x^{2}-1}{z+y+x^{2}} \geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}-1}{x^{2}+y+z} \geq 0$. + +$\sum \frac{x-\frac{1}{x}}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\left(x+y+z-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right) \geq 0$. + +## Problema 3: + +Obţine pentru orice punct $M$ relaţia $a \overrightarrow{M A}+b \overrightarrow{M B}+c \overrightarrow{M C}=(a+b+c) \overrightarrow{M I}$ $1 \mathrm{pct}$ + +Obţine $\overrightarrow{G A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{A P}, \overrightarrow{G B}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{B R}$ si $\overrightarrow{G C}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{C S}$, unde $P, R, S$ mij lat $(B C),(A C),(A B)$ 2pct + +Inlocuieşte relaţiile de mai sus şi obţine $(a+b+c) \overrightarrow{G I}=-\frac{2}{3}(a \overrightarrow{A P}+b \overrightarrow{B R}+c \overrightarrow{C S})$ + +Foloseşte $2 \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ şi ajunge la $(a+b+c) \overrightarrow{G I}=-\frac{1}{3}[(2 a-b-c \overrightarrow{A B})+(b+a-2 c) \overrightarrow{B C}]$ + +$I G \| B C \Leftrightarrow \overrightarrow{I G}$ şi $\overrightarrow{B C}$ au aceeaşi direcţie $\Leftrightarrow 2 a-b-c=0$ sau $b+c=2 a$ $1 \mathrm{pct}$ + +Problema 4: + +$$ +\begin{aligned} +& \sum_{k=1}^{n} M A_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left|\overrightarrow{O A_{k}}-\overrightarrow{O M}\right| \\ +& \text {.2pct } \\ +& \sum_{k=1}^{n}\left|\overrightarrow{O A_{k}}-\overrightarrow{O M}\right| \cdot\left|\overrightarrow{O A_{k}}\right| \geq \sum_{k=1}^{n}\left(\overrightarrow{O A_{k}}-\overrightarrow{O M}\right) \cdot \overrightarrow{O A_{k}}=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O A_{k}}\right) \\ +& \text { 2pct } \\ +& \sum_{k=1}^{n}\left(1-\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O A_{k}}\right)=n-\overrightarrow{O M} \cdot \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{O A_{k}}=n +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1333-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Gorj (cls.V-VIII)-gorj_subiecte_matematica_faza_locala_vviii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1333-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Gorj (cls.V-VIII)-gorj_subiecte_matematica_faza_locala_vviii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0e59b38c70f4c3e0a4eefe30df8794d520df2aa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1333-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Gorj (cls.V-VIII)-gorj_subiecte_matematica_faza_locala_vviii.md" @@ -0,0 +1,112 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN GORJ
OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA
Og FEBRUARIE 2013
CLASA A V-A + +## SUBIECTUL I + +a) Rezolvați exercițiul: $\left[2^{48}: 2^{18}+\left(3^{2}\right)^{10}+6^{47}: 6^{37}\right]-\left[2^{10} \cdot 3^{10}+\left(2^{5}\right)^{6}+3^{13} \cdot 3^{7}\right]$ + +b) Să se determine $x$ astfel încât $2^{x+1}+2^{x}=48$. + +## SUBIECTUL II + +Se considera multimile $A=\left\{x \in N, x \geq 2, \frac{12}{2 x-3}\right.$, sup raunitara $\}$ si $B=\left\{x \in N, \frac{x+6}{10}\right.$, subunitara $\}$. + +Determinati $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}, \mathrm{A} \cap \mathrm{B}, \mathrm{A}-\mathrm{B}, \mathrm{B}-\mathrm{A}$. + +## SUBIECTUL III + +a) Determinati $\quad x \in N$ cu proprietatea: + +$$ +2 \cdot 1+2 \cdot 2+\ldots \ldots .+2 \cdot 2012 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
09 FEBRUARIE 2013 + +CLASA A VI-A + +## SUBIECTUL I + +Să se afle toate perechile de numere naturale (a,b) cu a și b numere prime astfel încât numărul $X=a^{b}+b^{a}$ să fie numar prim. + +## SUBIECTUL II + +Să se afle cel mai mic număr natural nenul care împarțit, pe rând, la2,7,11, să dea resturile 1,6, respectiv 10 și să fie multiplu de 5 . + +## SUBIECTUL III + +Fie unghiurile $\measuredangle A_{1} O A_{2}, A_{2} O A_{3}, \ldots, A_{14} O A_{15}, A_{15} O A_{1}$, î jurul punctului $O$, astfel încât $m\left(\measuredangle A_{1} O A_{2}\right)=x^{*}, m\left(A_{2} O A_{3}\right)=2 \cdot x^{*}, \ldots, m\left(A_{14} O A_{15}\right)=14 \cdot x^{*}, m\left(A_{15} O A_{1}\right)=45$ + +a) Aflaţi $m\left(A_{3} O A_{13}\right)$ + +b) Arătați că printre semidreptele care formează cele 15 unghiuri în jurul lui $O$ există semidrepte opuse şi precizați-le. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $A, B, C \in d$, în această ordine, astfel încât $A B=20 \mathrm{~cm}$ și $7 \cdot B C=5 \cdot A C$ (d este 0 dreaptă). + +a) Aflați lungimile $\mathrm{BC}$ și $\mathrm{AC}$ + +b) Aflați distanța dintre mijloacele segmentelor $[\mathrm{AC}]$ şi $[\mathrm{BC}]$. + +Timp de lucru 2 ore. Toate subiectele sunt obligatorii.Fiecare subiect se notează cu 7 puncte. + +## INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN GORJ
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
09 FEBRUARIE 2013
CLASA A VII-A + +Subiectul 1. a) Dați exemplu de doua numere iraționale astfel încât suma, produsul și raportul lor să fie, simultan, numere raționale. + +b) Dacă a, b, c, d $\in Q^{*}$ şi $\frac{a+b \sqrt{2}}{c+d \sqrt{2}}=\sqrt{2}$, demonstrați că $\frac{a-b \sqrt{2}}{c-d \sqrt{2}}=-\sqrt{2}$ + +Subiectul 2. a) Rezolvați ecuația $\sqrt{\overline{a,(a)}+\overline{b,(b)}}=3,(3)$, unde a ți $\mathrm{b}$ sunt cifre, diferite de 0 şi 9 . + +b) Demonstrați că $\sqrt{\overline{a, a}+\overline{b, b}}$ este irațional, oricare ar cifrele nenule a şi $b$. + +Subiectul 3 Se consideră triunghiul $A B C$ şi punctele $N, P, E, F$ - mijloacele segmentelor $[A C],[A B]$, $[B N]$, respectiv [CP]. Daca $\{G\}=B N \cap C P,\left\{B_{1}\right\}=A F \cap P N,\left\{C_{1}\right\}=A E \cap N P$, demonstrați că: +a) $B_{1}$ si $C_{1}$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $P C A$, respectiv $N A B$. +b) $P C_{1}=C_{1} B_{1}=B_{1} \mathrm{~N}$. + +c) Perimetrul triunghiului $G B_{1} C_{1}$ este $1 / 6$ din perimetrul triunghiului $\mathrm{ABC}$. + +Subiectul 4. Se dă trapezul $A B C D, c u A B \| C D, A B>C D, m(A)=90^{\circ}$ şi $[A B] \equiv[A C]$. Dacă E este mijlocul lui $[B C],[C F$ este bisectoarea $\widehat{A C D}, F \in A D$ şi $\{G\}=A E \cap B F$, demonstrați că: + +a) Patrulaterul $A E C F$ este trapez. + +b) Există un punct cgal depărtat de vârfurıle patrulaterului $A B C F$. + +## Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect este notat cu $7 p$. + +## SUBIECTULI + +a) (4p) Fie $x, y \in R$, astfel încît: $y=\frac{x+1}{3}$ şi $x \in[-1,2)$. Demonstrați că numărul $a$, unde $\mathrm{a}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x+1}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5}$, are valoare constantă. + +b) (3p) Aflati $x, y \in R$ astfel incat : + +$\sqrt{x-1936}+\sqrt{y-1936}=\frac{x+y}{88}$ + +SUBIECTUL II + +Fie $n \in N^{*}$ si $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ numere întregi , astfel încât: $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=0$. Să se arate că $a_{1}{ }^{5}+a_{2}^{5}+\ldots+a_{n}^{5}$ se divide prin 15 . + +## SUBIECTUL III + +Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care notăm cu $Q$ centrul pătratului $B C C^{\prime} B^{\prime}$. Notăm cu $P$ mijlocul lui $[A B]$ şi cu $S$ mijlocul lui $[B C]$.Dacă $D S \cap C P=\{M\}$, aflați măsura unghiului format de dreptele QM şi PC. + +## SUBIECTULIV + +Pe planul triunghiului dreptunghic $A B C, m(0, \forall n \in \Phi(10) \Rightarrow x_{0}^{2}<1, \frac{1}{\sqrt{1-n x_{2}^{2}}} +$$ + +$$ +\Rightarrow x_{0}^{2}<\frac{1}{x}, \operatorname{tn} \in \mathbb{N} \rightarrow x_{0} \rightarrow 0(1 p) +$$ + +SUBIEGUL 4 + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(2 x))=0(1 p) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(x))=0(1 p +$$ + +Prin inductie $\lim _{* \rightarrow \infty}\left(f\left(2^{n} x\right)-f(x)\right)=0\left(2 p\right.$ Pentru $x \rightarrow \frac{*}{2^{n}}$, obt $\lim _{* \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{*}{2^{n}}\right)-f(*)\right)=0$ 1p. + +Fie $k \in \mathbb{Z}$ a. . $\quad 2^{k} \leq a<2^{k+1}$, forex $\Rightarrow$ + +$$ +\left.f\left(2^{k} x\right)-f(x) \leq f(a x)-f(x)\right) \leq f\left(2^{k+1} x\right)-f(x) +$$ + +Finalizare, ou $* \rightarrow \infty$ (1p. + +BAREM CIASAA XII A + +SubiecTuL 1. Aunctia $h(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin \frac{1}{*}, * \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ Haca $H \in \int h$, atumi. $\left.H(\operatorname{arctg} *)\right), 0, *=0$ a.p. (2p $=f(*), 2 p$ dec. Hoarctg $)^{\prime}=h(\operatorname{arctg} *) \cdot(\operatorname{arctg} *)^{\prime}$ + +$\frac{\text { Subrectul } 2}{\pi / 6} I=\frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}} \int_{0}^{\pi / 6} \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}-x\right)}{\sin x \cos \left(x \frac{\pi}{6}\right)} d x$ (2p $=2 \int_{0}^{\pi / 6}\left(\operatorname{tg}\left(*+\frac{\pi}{6}\right)-\operatorname{tg} x\right) d x(1 p)$ in finalifare $y=\frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}} \int_{\pi / 6}^{\pi / 4} \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}-x\right)}{\sin x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x=2 \int_{\pi / 6}^{\pi / 4}\left(\operatorname{ctg} x-\operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x\right.$ ri finalifore (1p + +SubieजTU 3. $a b \notin\{e, a, b\}$ (2p) $H^{\prime}=\{e, a, b, a b\}$ este grup (2) G=HUH', unde $H, H^{\prime} G \sin t$ subgrupuri, deci $G=H \operatorname{san} G=H^{\prime}$. (1p $\operatorname{Cim} G \neq H$, ryalfa- $G=H^{\prime} \simeq K$ + +$\frac{\text { SUBIECTUL 4. }}{b x=b y}$ \&ncä $b x=b y$, atuma: $x=y$ $(b x=b y \Rightarrow a b x=a b y \Rightarrow x=y$ ). (2) Fime ria $f: M \rightarrow M$. $f(x)=b x$ este injectioa, $M$ finita $\Rightarrow f$ suy 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_97ce7f727be4c912ee30g-8.jpg?height=272&width=1444&top_left_y=1874&top_left_x=236) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1335-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.V-VIII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_vviii_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1335-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.V-VIII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_vviii_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7f8b9f6666bddecf6390600280abc03152a62aac --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1335-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.V-VIII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_vviii_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,449 @@ +SUBIECTUL 1 + +Comparaţi numerele: $\mathrm{x}=2^{222}+2^{202}$ şi $\mathrm{y}=2^{221}+2^{220}+2^{212}$. + +VARIANTA 1 DE NOTARE: + +| În baza 2, $x$ are 223 cifre, | $3 p$ | +| :--- | :--- | + + +| iar $y$ are 222 cifre, | $3 p$ | +| :--- | :--- | + +rezultă $x>y$. + +VARIANTA 2 DE NOTARE: + +| $x=2^{212.1024+2^{202},}$ | $3 p$ | +| :--- | :--- | + + +| iar $y=2^{212}\left(2^{9}+2^{8}+1\right)=2^{212} \cdot 769$, | $3 p$ | +| :--- | :--- | + +rezultă $x>y$. + +VARIANTA 3 DE NOTARE: + +| $x=2^{221}+2^{221}+2^{202}$ | $3 p$ | +| :--- | :--- | +| $=2^{221}+2^{220}+2^{220}+2^{202}$. | $2 p$ | +| Cum $2^{220}+2^{202}>2^{212}$, rezultă $x>y$. | $2 p$ | + +# SUBIECTUL 2 + +Fie numărul $A=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2511$. + +a) Arătaţi că numărul $\mathrm{A}+1$ este divizibil cu 512 . + +b) Aflaţi restul împărţirii numărului A - 1 la 512 . + +## VARIANTA 1 DE NOTARE: + +a) + +| Calculând $2 A-A=2^{512}-1$, rezultă $A+1=2^{512}$. | $2 p$ | +| :--- | :--- | + +Cum $512=2^{9}$ şi $A+1=2^{503} \cdot 2^{9}$, se obţine $A+1$ este divizibil cu 512 . +b) + +| $\mathrm{A}-1=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{511}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $=2+2^{2}+\ldots+2^{8}+2^{9}\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{502}\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $=510+512\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{502}\right)$, rezulă restul este 510. | $1 \mathrm{p}$ | + +## VARIANTA 2 DE NOTARE: + +a) + +| $\mathrm{A}+1=2+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{511}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $2+2=2^{2}, 2^{2}+2^{2}=2^{3}, \ldots, 2^{511}+2^{511}=2^{512}$ | | +| Cum $512=2^{9}$ şi $A+1=2^{503} \cdot 2^{9}$, se obţine $A+1$ este divizibil cu 512. | $1 \mathrm{p}$ | + +b) + +| $\mathrm{A}-1=\mathrm{A}+1-2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $=\mathcal{M}_{512}-2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $=\mathcal{M}_{512}+510$, rezultă restul este 510. | $2 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 3 + +a) Daţi un exemplu de triplet $(a, b, c)$, unde $a, b, c$ şi $(a+b+c): 3$ sunt patru pătrate perfecte diferite. + +b) Arătaţi că există o infinitate de triplete $(a, b, c)$, unde $a, b, c$ şi $(a+b+c): 3$ sunt patru pătrate perfecte diferite. +a) + +| Pentru un singur exemplu: $(1,25,121)$ sau $(25,49,289)$. | 1 p | +| :--- | :---: | +| Calculează $(1+25+121): 3=49 \operatorname{sau}(25+49+289): 3=121$, pătrat perfect. Numai pentru unul se acordă cele 2 p. | 2 p | + +b) + +Un exemplu de forma ( $\mathrm{k}^{2}, 25 \mathrm{k}^{2}, 121 \mathrm{k}^{2}$ ), unde $\mathrm{k} \in \mathbb{N}^{*}$ + +2p + +Şi $\left(k^{2}+25 k^{2}+121 k^{2}\right): 3=49 k^{2}=(7 k)^{2}$, arată că există o infinitate de triplete $(a, b, c)$, unde $a, b, c$ şi $(a+b+c): 3$ sunt patru pătrate perfecte diferite. + +SUBIECTUL 4 + +a) Aflaţi numerele de forma $\overline{\mathrm{abc}}$, ştiind că $\overline{\mathrm{abc}}$ împărţit la $\overline{\mathrm{bc}}$ dă câtul 3 şi restul 4 . + +b) Aflaţi numerele de forma $\mathrm{abcd}$, ştiind că $\mathrm{abcd}$ împărţit la bcd dă câtul 33 şi restul 32 . +a) + +| $\overline{a b c}=3 \cdot \overline{b c}+4$, de unde $100 a+\overline{b c}=3 \cdot \overline{b c}+4$. | $1 p$ | +| :--- | :--- | +| $100 a=2 \cdot \overline{b c}+4$ sau $50 a=\overline{b c}+2$. | $1 p$ | +| Cu solutuilile: $a=1, \overline{b c}=48$ şi $a=2, \overline{b c}=98$. Numerele sunt: 148 şi 298. | $1 p$ | + +b) + +| $\overline{\mathrm{abcd}}=33 \cdot \overline{\mathrm{bcd}}+32$, | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| de unde $1000 a+\overline{b c d}=33 \cdot \overline{b c d}+32, a p o i 1000 a=32 \cdot \overline{b c d}+32$ | $1 p$ | +| şi de aici $125 a=4 \cdot \overline{b c d}+4$ sau $125 a=4(\overline{b c d}+1)$ | $1 p$ | +| Cu soluţile: $a=4, \overline{b c d}=124$ şi $\quad a=8, \overline{b c d}=249$. Numerele sunt: 4124 şi 8249. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 1 + +Determinaţi cel mai mic număr natural $n$, de patru cifre, ştiind că $n-19$ este divizibil cu 28 şi $n-31$ este divizibil cu 36 . + +VARIANTA 1 DE NOTARE: + +| $n=28 k+19$ şi $n=36 p+31$, | $1 p$ | +| :--- | :--- | +| rezultă $28 k+19=36 p+31$, | $1 p$ | +| $28 k=36 p+12 ; 7 k=9 p+3$. | $1 p$ | +| Cea mai mică valoare a lui $p$ pentru care ecuaţia are soluţie este 2 şi atunci $p=7 q+2$. | $1 p$ | +| Se obţine $n=36(7 q+2)+31=252 q+103$. | $2 p$ | +| Cel mai mic număr de patru cifre este 1111. | $1 p$ | + +## VARIANTA 2 DE NOTARE: + +| Numerele de forma $28 \mathrm{k}+19$ sunt: $19,47,75,103, \ldots$. | | +| :--- | :---: | +| Numerele de forma $36 \mathrm{p}+31$ sunt: $31,67,103, \ldots$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Cum 103 este cel mai mic număr comun ambelor forme, rezultă $\mathrm{n}=[28,36] \cdot q+103$, | $\mathbf{2 p}$ | +| $\mathrm{n}=252 \cdot q+103$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Cel mai mic număr de patru cifre este 1111. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 2 + +Aflaţi numerele prime $a, b, c$, ştiind că $a+b=380$ şi $6 a+15 b+29 c=b^{4}$. + +| Din a $I l-a$ condiţie $6 a$ şi $b^{4}-15 b$ sunt numere pare, rezultă $29 c$ este par, | $2 p$ | +| :--- | :--- | +| c fïnd prim, de unde $c=2$. | $2 p$ | +| După înlocuire şi cu prima relaţie se obține $2280+9 b+58=b^{4}$ sau $b\left(b^{3}-9\right)=2338$. | $1 p$ | +| $b \mid 2338=2 \cdot 7 \cdot 167$. Singura valoare $b$, număr prim, care verifică este $b=7$. | $1 p$ | +| Numerele sunt: $a=373, b=7, c=2$. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 3 + +a) Aflaţi măsura unui unghi, ştiind că măsura complementului său este cu $55^{\circ}$ mai mică decât două treimi din măsura suplementului său. + +b) Unghiurile $A O B$ şi BOC sunt neadiacente suplementare. Aflaţi măsurile lor, ştiind că bisectoarea unghiului $B O C$ formează cu $\left[O A\right.$ un unghi având măsura cu $5^{\circ}$ mai mare decât măsura unghiului BOC. +a) + +Dacă c reprezintă măsura complementului şi $s$ măsura suplementului unui unghi, atunci $c=s-90^{\circ}$ şi $c=\frac{2}{3} s-55^{\circ}$. + +Se obţine ecuaţia: $s-90^{\circ}=\frac{2}{3} s-55^{\circ}$, + +de unde $\frac{1}{3} s=350$. Rezultă $s=105^{\circ}$ şi de aici măsura unghiului este de $180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$. +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec91234cec256b40f746g-03.jpg?height=525&width=1882&top_left_y=2233&top_left_x=138) + +SUBIECTUL 4 + +Triunghiurile isoscele $\mathrm{ABC}$ şi DBC au aceeaşi bază [BC] şi interioarele disjuncte. + +Dacă $M \in(A B), N \in(A C)$, astfel încât $A M=A N$, iar $M D \cap B C=\{E\}, N D \cap B C=\{F\}$, demonstraţi că $M E=N F$ şi $\varangle F M N \equiv \varangle E N M$. + +| | $\Delta M B D \equiv \triangle N C D(L U L) \Rightarrow \varangle B M E \equiv \varangle C N F$. | $2 p$ | +| :--- | :--- | :---: | +| $\Delta M B E \equiv \triangle C N F(U L U) \Rightarrow M E=N F$ şi $B E=C F$. | $2 p$ | | +| $\Delta M B F=\triangle N C E(L U L) \Rightarrow \varangle B M F \equiv \varangle C N E(1)$, | $1 p$ | | +| dar din $A M=A N$, avem $\varangle A M N \equiv \varangle A N M(2)$. | $1 p$ | | +| Din (1) şi (2), rezultă $\varangle F M N \equiv \varangle E N M$. | $1 p$ | | + +(Variantă: $\triangle M N E \equiv \triangle N M F(L L L) \Rightarrow \varangle F M N \equiv \varangle E N M$. Varianta este pentru ultimele $2 p$ ). + +## CLASA a VII-a + +SUBIECTUL 1 + +Rezolvaţi ecuaţia: $\frac{1}{1}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{3}{4}\right)+\ldots+\frac{1}{2012}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{2012}{2013}\right)=\frac{\mathrm{x}}{2013}$. + +| Ecuaaţia este echivalentă cu: $\frac{x}{2012}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}\right)+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \ldots+\frac{1}{2013}=\frac{x}{2013}$ | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| $\frac{x}{2012}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}\right)+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}=\frac{x}{2013}-\frac{1}{2013}+1$ | $1 p$ | +| $\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}\right)\left(\frac{x}{2012}+1\right)=\frac{x+2012}{2013}$ | $1 p$ | +| $(x+2012)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}-\frac{2012}{2013}\right)=0$ | $1 p$ | +| $(x+2012)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2013}\right)=0$ | $1 p$ | +| Cum $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2013}>0$, rezultă soluţia ecuaţiei este -2012. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 2 + +a) Scrieţi numărul $\frac{1}{2013}$ ca sumă de două fracţii cu numărătorul 1 şi numitori diferiţi. + +b) Arătaţi că numărul $\frac{1}{2013}$ se scrie ca suma a 2013 fracţii cu numărătorul 1 şi numitori diferiţi. + +VARIANTA 1 DE NOTARE: +a) + +| $\frac{1}{2013}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}+\frac{1}{2014}$ | $2 p$ | +| :--- | :--- | +| $=\frac{1}{2013 \cdot 2014}+\frac{1}{2014}$. | $1 p$ | + +b) + +| $\frac{1}{2013}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}+\ldots-\frac{1}{4025}+\frac{1}{4025}=$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | +| $\frac{1}{2013 \cdot 2014}+\frac{1}{2014 \cdot 2015}+\ldots+\frac{1}{4024 \cdot 4025}+\frac{1}{4025}$ | | + +## VARIANTA 2 DE NOTARE: + +a) + +| Scrie ecuaţ̧ia: $\frac{1}{2013}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ în $\mathbb{N}^{*}$ şi exprimă o necunoscută în funcţie de cealaltă. | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Obţinerea unei soluţii. | $2 \mathrm{p}$ | + +b) + +| $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{2012 \cdot 2013}=\frac{2012}{2013}$, rezultă | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2012}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 2012}+\ldots+\frac{1}{2012 \cdot 2013 \cdot 2012}=\frac{1}{2013}$ | $2 p$ | +| Fiind numai 2012 fracţii, de mai scrie prima ca suma a două: $\frac{1}{4024}=\frac{1}{4024 \cdot 4025}+\frac{1}{4025}$ | $1 p$ | + +SUBIECTUL 3 + +În rombul $A B C D, m(A \hat{A})=60^{\circ}, M$ şi $N$ sunt mijloacele laturilor $[A B]$, respectiv $[B C]$. Dacă $A N \cap B D=\{P\}$ şi + +$A N \cap D M=\{Q\}$, arătaţi că rapoartele $\frac{P Q}{P N}$ şi $\frac{D Q}{D M}$ au aceeaşi valoare şi să se determine această valoare. + +VARIANTA 1 DE NOTARE: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec91234cec256b40f746g-06.jpg?height=686&width=1849&top_left_y=311&top_left_x=166) + +VARIANTA 2 DE NOTARE: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec91234cec256b40f746g-06.jpg?height=603&width=411&top_left_y=1029&top_left_x=160) + +| Triunghiurile $A B D$ şi $B C D$ sunt echilaterale, [DP este bisectoare în $\triangle D N Q$
$\frac{P Q}{P N}=\frac{D Q}{D N}=\frac{D Q}{D M}$. | $3 p$ | +| :--- | :--- | +| Pentru calculul valorii se poate utiliza şi că $P$ este centru de greutate în $\triangle A B C$. | | +| $P N=\frac{1}{2} A P$ | $1 p$ | +| şi cu teorema bisectoarei $\frac{P Q}{A Q}=\frac{D P}{A D}=\frac{D P}{B D}=\frac{2}{3}\left(\right.$ deoarece $\left.\frac{D P}{B P}=\frac{A D}{B N}=2\right)$, | $1 p$ | +| de unde $\frac{P Q}{A P}=\frac{2}{5}$ sau $P Q=\frac{2}{5} A P$. | $1 p$ | +| Şi atunci $\frac{P Q}{P N}=\frac{2}{5} \cdot 2=\frac{4}{5}$. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 4 + +În triunghiul $A B C, m(\hat{A})=120^{\circ}, A B=42 \mathrm{~cm}, A C=56 \mathrm{~cm}$, iar $[A D$ este bisectoare, $D \in(B C)$. + +Aflaţi lungimea segmentului [AD]. + +VARIANTA 1 DE NOTARE: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec91234cec256b40f746g-06.jpg?height=917&width=1854&top_left_y=1866&top_left_x=158) + +SUBIECTUL 1 + +Rezolvaţi în numere întregi ecuaţia: $\frac{1}{x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{1}{x+y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{1}{2}$. + +| $\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}}}+\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{y}-\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}}}=\frac{2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}}{(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}-\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)}=\frac{2(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{2 \mathrm{xy}}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Şi atunci ecuaţia devine: $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-\frac{1}{2} ; \mathrm{x}$ şi y numere întregi nenule. | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=-\frac{2 y}{y+2}$ şi atunci | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=-2+\frac{4}{y+2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| de unde $y+2 \in\{ \pm 1 ;-2 ; \pm 4\}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Se obţine mulţimea soluţilor: $S=\{(-6,-3) ;(-3,-6) ;(-4,-4) ;(-1,2) ;(2,-1)\}$. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 2 + +Fie $a \geq b>0, m_{a}, m_{g}$ media aritmetică, respectiv media geometrică a numerelor $a$ şi $b$, atunci $\frac{m_{a}}{m_{g}}+\frac{m_{g}}{m_{2}} \leq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$. + +| Dacă se notează $\frac{m_{a}}{m_{9}}=x$ | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| şi având $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}=\frac{(a+b)^{2}-2 a b}{a b}=\frac{4 m_{s}^{2}}{m_{9}^{2}}-2$ | $2 p$ | +| se obţine inegalitatea: $x+\frac{1}{x} \leq 4 x^{2}-2$. | $1 p$ | +| Această inegalitate devine: $4 x^{3}-x^{2}-2 x-1 \geq 0$ | $1 p$ | +| sau $(x-1)\left(4 x^{2}+3 x+1\right) \geq 0$, inegalitate adevărată, deoarece $x \geq 1$ şi $4 x^{2}+3 x+1>0$. | $2 p$ | + +## SUBIECTUL 3 + +Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' şi M, N, P, Q mijloacele segmentelor [BC], [AA'], [DD'], [BC']. + +a) Aflaţi măsura unghiului dintre D'Q şi A'B. + +b) Demonstraţi că planele (D'NQ) şi (AMP) sunt paralele, iar dacă lungimea muchiei cubului este de $12 \mathrm{~cm}$, determinaţi distanţa dintre ele. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec91234cec256b40f746g-07.jpg?height=565&width=600&top_left_y=1945&top_left_x=160) + +a) A'B \|| D'C, rezultă $m\left(\varangle\left(D^{\prime} Q, A^{\prime} B\right)\right)=m\left(\varangle\left(D^{\prime} Q, D^{\prime} C\right)\right)$. $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec91234cec256b40f746g-07.jpg?height=58&width=1236&top_left_y=2007&top_left_x=750) + +b) AM \|| NQ, AP \|| ND' şi AM $\cap A P=\{A\}$, rezultă (AMP) \|| (D'NQ). + +Distanţa dintre plane este egală cu distanţa oricărui punct dintr-un plan la celălalt plan. + +Să luăm $d(N,(A M P))$. Avem: AAMP $d(N,(A M P))=$ AANP $\cdot d(M,(A N P))$. $1 p$ $\triangle$ AMP este isoscel de laturi $6 \sqrt{5}, 6 \sqrt{5}, 6 \sqrt{6}$, se obţine AAMP $=18 \sqrt{21}$. $18 \sqrt{21} \cdot d(N,(A M P))=36 \cdot 12$, de unde $d(N,(A M P))=\frac{8 \sqrt{21}}{7}$. + +$1 p$ + +## SUBIECTUL 4 + +În prisma triunghiulară regulată $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, M$ este mijlocul segmentului $\left[A^{\prime} B^{\prime}\right], A B=A A^{\prime}=12 \mathrm{~cm}$. + +a) Aflaţi distanţa de la punctul $B^{\prime}$ la dreapta de intersecţie a planelor (AMC') şi (ABC). + +b) Dacă $\{\mathrm{N}\}=B B^{\prime} \cap\left(A M C^{\prime}\right)$ şi $\{P\}=B C \cap\left(A M C^{\prime}\right)$, determinaţi aria triunghiului ANP. + +| | a) $A M \cap B B^{\prime}=\{N\}$, unde $B N=24 \mathrm{~cm}, N C^{\prime} \cap B C=\{P\}$, unde $B P=24 \mathrm{~cm}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | În $\triangle A P C, m(\varangle C)=120^{\circ}$ şi $A C=P C$, rezultă $m(\varangle A)=30^{\circ}$ şi atunci
$m(\varangle B A P)=90^{\circ}$. | $1 p$ | +| $\mathrm{A}^{\prime}$ | Cum AP este dreapta de intersecţie a planelor, cu teorema celor trei
perpendiculare, rezultă că B'A reprezintă distanţa de la B' la $A P$.
$B^{\prime} A=12 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. (Sau calculând laturile $\Delta B^{\prime} A P$ ). | $1 p$ | +| | b) $\mathrm{NB} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{BA} \perp \mathrm{AP}, \mathrm{BA}, \mathrm{AP} \subset(\mathrm{ABC})$, rezultă $N A \perp A P$ şi atunci
$\triangle \mathrm{ANP}$ este dreptunghic în $\mathrm{A}$. (Sau calculând laturile $\triangle \mathrm{ANP}$. | $1 p$ | +| | $A N=\sqrt{A B^{2}+B N^{2}}=\sqrt{12^{2}+24^{2}}=12 \sqrt{5}$,
$A P=\sqrt{B P^{2}-A B^{2}}=\sqrt{24^{2}-12^{2}}=12 \sqrt{3}$ | $2 p$ | +| | $\mathcal{A A N P}_{\mathrm{An}}=72 \sqrt{15}$. | $1 p$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 9.02 .2013 + +## CLASA a V-a + +## SUBIECTUL 1 + +Comparaţi numerele: $x=\mathbf{2}^{222}+\mathbf{2}^{202}$ şi $y=\mathbf{2}^{221}+\mathbf{2}^{220}+\mathbf{2}^{212}$. + +RMT 4/2008 + +SUBIECTUL 2 + +Fie numărul $A=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2511$. + +a) Arătaţi că numărul $\mathrm{A}+1$ este divizibil cu 512 . + +b) Aflaţi restul împărţirii numărului A - 1 la 512. + +## SUBIECTUL 3 + +a) Daţi un exemplu de triplet $(a, b, c)$, unde $a, b, c$ şi $(a+b+c): 3$ sunt patru pătrate perfecte diferite. + +b) Arătaţi că există o infinitate de triplete $(a, b, c)$, unde $a, b, c$ şi $(a+b+c): 3$ sunt patru pătrate perfecte diferite. + +## SUBIECTUL 4 + +a) Aflaţi numerele de forma $\overline{a b c}$, ştiind că $\overline{a b c}$ împărţit la $\overline{b c}$ dă câtul 3 şi restul 4 . + +b) Aflaţi numerele de forma $a b c d$, ştiind că $a b c d$ împărţit la bcd dă câtul 33 şi restul 32 . + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 9.02 .2013 + +## CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL 1 + +Determinaţi cel mai mic număr natural $n$, de patru cifre, ştiind că $n-19$ este divizibil cu 28 şi $\mathrm{n}-31$ este divizibil cu 36. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 2}$ + +Aflaţi numerele prime $a, b, c$, ştiind că $a+b=380$ şi $6 a+15 b+29 c=b^{4}$. + +## SUBIECTUL 3 + +a) Aflaţi măsura unui unghi, ştiind că măsura complementului său este cu $55^{\circ}$ mai mică decât două treimi din măsura suplementului său. + +b) Unghiurile AOB şi BOC sunt neadiacente suplementare. Aflaţi măsurile lor, ştiind că bisectoarea unghiului BOC formează cu [OA un unghi având măsura cu $5^{\circ}$ mai mare decât măsura unghiului BOC. + +## SUBIECTUL 4 + +Triunghiurile isoscele $A B C$ şi DBC au aceeaşi bază [BC] şi interioarele disjuncte. Dacă $M \in(A B), N \in(A C)$, astfel încât $A M=A N$, iar $M D \cap B C=\{E\}, N D \cap B C=\{F\}$, demonstraţi că ME $=N F$ şi $\varangle F M N \equiv \varangle E N M$. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 9.02.2013 + +# CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL 1 + +Rezolvaţi ecuaţia: $\frac{1}{1}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{3}{4}\right)+\ldots+\frac{1}{2012}\left(\frac{\mathrm{x}}{2012}+\frac{2012}{2013}\right)=\frac{\mathrm{x}}{2013}$. + +RMT 1/2009(ENUNTT ACTUALIZAT) + +## SUBIECTUL 2 + +a) Scrieţi numărul $\frac{1}{2013}$ ca sumă de două fracţii cu numărătorul 1 şi numitori diferiţi. + +b) Arătaţi că numărul $\frac{1}{2013}$ se scrie ca suma a 2013 fracţii cu numărătorul 1 şi numitori diferiţi. + +## $\underline{S U B I E C T U L ~} 3$ + +În rombul $A B C D, m(A)=60^{\circ}, M$ şi $N$ sunt mijloacele laturilor $[A B]$, respectiv [BC]. Dacă $A N \cap B D=\{P\}$ şi $A N \cap D M=\{Q\}$, arătaţi că rapoartele $\frac{P Q}{P N}$ şi $\frac{D Q}{D M}$ au aceeaşi valoare şi să se determine această valoare. + +## SUBIECTUL 4 + +În triunghiul $A B C, m(A \hat{A})=120^{\circ}, A B=42 \mathrm{~cm}, A C=56 \mathrm{~cm}$, iar $[A D$ este bisectoare, $D \in(B C)$. Aflaţi lungimea segmentului [AD]. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 9.02 .2013 + +CLASA a VIII-a + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ + +Rezolvaţi în numere întregi ecuaţia: $\frac{1}{x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{1}{x+y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{1}{2}$. + +RMT 4/2009 + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 2}$ + +Fie $a \geq b>0, m_{a}, m_{g}$ media aritmetică, respectiv media geometrică a numerelor $a$ şi $b$, atunci $\frac{m_{a}}{m_{g}}+\frac{m_{g}}{m_{a}} \leq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$. + +RMT 4/2010 + +## SUBIECTUL 3 + +Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' şi M, N, P, Q mijloacele segmentelor [BC], [AA'], [DD'], [BC']. + +a) Aflaţi măsura unghiului dintre $D^{\prime} Q$ şi $A^{\prime} B$. + +b) Demonstraţi că planele (D'NQ) şi (AMP) sunt paralele, iar dacă lungimea muchiei cubului este de $12 \mathrm{~cm}$, determinaţi distanţa dintre ele. + +## SUBIECTUL 4 + +În prisma triunghiulară regulată $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, M$ este mijlocul segmentului [ $\left.A^{\prime} B^{\prime}\right], A B=A A^{\prime}=12 \mathrm{~cm}$. + +a) Aflaţi distanţa de la punctul B' la dreapta de intersecţie a planelor (AMC') şi (ABC). + +b) Dacă $\{N\}=B B^{\prime} \cap\left(A M C^{\prime}\right)$ şi $\{P\}=B C \cap\left(A M C^{\prime}\right)$, determinaţi aria triunghiului ANP. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1336-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1336-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a4478e498d76096a91581bf06ff4a5d635b3a49 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1336-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,118 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - IALOMIȚA
FAZA LOCALĂ, 09 februarie 2013
CLASA a VIII a
Soluții şi barem de corectare + +## Subiectul I. + +1. Să se arate că $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$, oricare ar fi $a, b, x, y \in(0, \infty)$. +2. Dacă $a, b \in(0, \infty)$ şi $a+b=2$, să se arate că $\frac{a^{4}}{3 a+b}+\frac{b^{4}}{3 b+a} \geq \frac{2}{3}$. +3. Dacă $a, b, c \in(0, \infty)$ şi $a+b+c=3$, să se arate că $\frac{a^{4}}{2 a+b+c}+\frac{b^{4}}{2 b+c+a}+\frac{c^{4}}{2 c+a+b} \geq \frac{3}{4}$. + +Nicolae Papacu, Slobozia + +## Soluție. + +1. Efectuarea calculelor duce la: $(a y-b x)^{2} \geq 0 \ldots$ (2p) +2. Folosind 1. avem: $a^{2}+b^{2} \geq \frac{(a+b)^{2}}{1+1}=2, \frac{a^{4}}{2 a+b}+\frac{b^{4}}{2 b+a} \geq \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{3(a+b)} \geq \frac{4}{6}=\frac{2}{3} \ldots$ +3. Folosind 1. avem: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{1+1+1}=3$ $\qquad$ +$\frac{a^{4}}{2 a+b+c}+\frac{b^{4}}{2 b+c+a}+\frac{c^{4}}{2 c+a+b} \geq \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{3 a+3 b+2 c}+\frac{c^{4}}{2 c+a+b} \ldots$ + +$\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{3 a+3 b+2 c}+\frac{c^{4}}{2 c+a+b} \geq \frac{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{4(a+b+c)} \geq \frac{3^{2}}{12}=\frac{3}{4} \ldots \ldots$ + +## Subiectul II. + +Fie $x, y, z$ numere reale astfel încât $\frac{x y z}{x+y}=-1, \frac{x y z}{y+z}=1$ şi $\frac{x y z}{z+x}=a$, unde $a>\frac{1}{2}$ este un număr real. Determinați produsul $x y z$. + +Marin Chirciu, G.M. nr. 11/2012 + +## Soluție. + +Din $\frac{x y z}{x+y}=-1$, rezultă $\frac{x+y}{x y z}=-1$, adică $\frac{1}{y z}+\frac{1}{x z}=-1$ (1) + +Analog se obțin: $\frac{1}{x z}+\frac{1}{x y}=1$ (2) şi $\frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}=\frac{1}{a}$ (3) $\qquad$ +Adunând (1), (2) şi (3) rezultă $\frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}+\frac{1}{z x}=\frac{1}{2 a}$ + +(4) $\qquad$ +Din (1) şi (4), rezultă $\frac{1}{x y}=\frac{2 a+1}{2 a}$ (5) $\qquad$ (1p) + +Din (2) şi (4) rezultă $\frac{1}{y z}=-\frac{2 a-1}{2 a}$ (6), iar din (3) şi (4) avem $\frac{1}{z x}=-\frac{1}{2 a}$ (7) $\qquad$ Înmulțind relaţiile (5), (6) şi (7) se obține $\left(\frac{1}{x y z}\right)^{2}=\frac{4 a^{2}-1}{8 a^{3}}$ şi deci $x y z= \pm \frac{2 a \sqrt{2 a}}{\sqrt{4 a^{2}-1}} \ldots$ + +## Subiectul III. + +Pentru $n$ un număr natural se consideră numerele naturale $a=4 n+5$ şi $b=5 n+11$. + +1. Să se arate că $a^{2}+b^{2} \neq 2013$, oricare ar fi $n$ număr natural. +2. Să se determine numerele naturale $n$ pentru care $a$ şi $b$ sunt pătrate perfecte consecutive. + +Nicolae Papacu, Slobozia + +## Soluție. + +1. Folosind teorema împărțirii cu rest, un număr natural $c$ este de forma $c=M_{3}+r$, $r \in\{0,1,2\}$ ( $M_{3}$ înseamnă multiplu de 3 ). (1p) + +Atunci $c^{2}=M_{3}+p$ cu $p \in\{0,1\}$. Dacă $a^{2}+b^{2}=2013$, atunci $\left(a^{2}+b^{2}=M_{3}+p+q\right) \vdots 3$, unde $p, q \in\{0,1\}$. (1p) + +Imediat $p=q=0$ şi deci $a, b=M_{3}$, adică $a^{2}+b^{2}=M_{9} \neq 2013$ + +2. Deoarece $a JUDEȚUL IALOMIȚ,A
FAZA LOCALĂ
09.02.2010 + +## CLASA a VIII a + +## Subiectul I. + +1. Să se arate că $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$, oricare ar fi $a, b, x, y \in(0, \infty)$. +2. Dacă $a, b \in(0, \infty)$ şi $a+b=2$, să se arate că $\frac{a^{4}}{2 a+b}+\frac{b^{4}}{2 b+a} \geq \frac{2}{3}$. +3. Dacă $a, b, c \in(0, \infty)$ şi $a+b+c=3$, să se arate că $\frac{a^{4}}{2 a+b+c}+\frac{b^{4}}{2 b+c+a}+\frac{c^{4}}{2 c+a+b} \geq \frac{3}{4}$. Nicolae Papacu, Slobozia + +## Subiectul II. + +Fie $x, y, z$ numere reale astfel încât $\frac{x y z}{x+y}=-1, \frac{x y z}{y+z}=1$ şi $\frac{x y z}{z+x}=a$, unde $a>\frac{1}{2}$ este un număr real. Determinați produsul $x y z$. + +Marin Chirciu, G.M. nr. 11/2012 + +## Subiectul III. + +Pentru $n$ un număr natural se consideră numerele naturale $a=4 n+5$ şi $b=5 n+11$. + +1. Să se arate că $a^{2}+b^{2} \neq 2013$, oricare ar fi $n$ număr natural. +2. Să se determine numerele naturale $n$ pentru care $a$ şi $b$ sunt pătrate perfecte consecutive. + +Nicolae Papacu, Slobozia + +## Subiectul IV. + +Fie paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ şi $H$ ortocentrul triunghiului $A C D^{\prime}$. + +1. Dacă $A B C D$ este pătrat, să se arate că dreptele $D B^{\prime}$ şi $A C$ sunt perpendiculare +2. Să se demonstreze că dreapta $D H$ este perpendiculară pe planul $\left(A C D^{\prime}\right)$. +3. Să se arate că centrul de greutate al triunghiului $A C D^{\prime}$ se găseşte pe dreapta $D B^{\prime}$. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul pentru fiecare problemă este de la 0 la 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1337-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1337-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..849c058776f8479917e3ceec8da22f6394398312 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1337-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,111 @@ +# BAREM CLASA AVII-A + +1) Ecuatia $\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}=n(n+3) \quad n \in Z \quad$, are solutii numere intregi. + +Aflati $n$. + +## Profesor Constantin Paunescu + + Colegiul National Grigore Moisil Urziceni$$ +\begin{aligned} +& x+3 \geq 0 \text { si } 5-x \geq 0 \Rightarrow x \in[-3,5] \\ +& \left.\begin{array}{c} +x \in[-3,5] \\ +x \in Z +\end{array} \right\rvert\, \Rightarrow X \in\{-3,-2, \ldots .4,5\} \quad \text { (1 pct) } +\end{aligned} +$$ + +$-3,-2,-1,0,2,3,4,5 \quad$ nu pot fi solutii ale inecuatiei $\Rightarrow$ (2 pct) + +$\Rightarrow n(n+3)=4 \Rightarrow n^{2}+3 n-4=0 \Rightarrow n^{2}-n+4 n-4=0 \Rightarrow(n-1)(n+4)=0 \Rightarrow n=1$ sau $n=-4$ (2 pct) + +$\Rightarrow x=1$ solutie + +(1 pct) + +2) Pe latura $\mathrm{BC}$ a $\triangle \mathrm{ABC}$ se considera punctele $\mathrm{D}$ si $\mathrm{E}$ astfel incat $\mathrm{BD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}$. Mediana BB' (B' $\in \mathrm{AC}$ ) intersecteaza pe $\mathrm{AD}$ in $\mathrm{M}$, iar mediana $\mathrm{CC}^{\prime}\left(\mathrm{C}^{\prime} \in \mathrm{AB}\right)$ intersecteaza pe AE in N. Aratati ca : + +a. BMNC este trapez +b. $\mathrm{MN}=\frac{1}{4} \mathrm{BC}$ + +Gazeta matematica nr.6/2012 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6ada6dc70a6605639e11g-1.jpg?height=391&width=737&top_left_y=1481&top_left_x=474) + +$\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ linie mijlocie in $\triangle \mathrm{ABC} \Rightarrow \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \| \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{BCB}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ trapez (2 pct) $B^{\prime} E$ linie mijlocie in $\triangle \mathrm{ADC} \Rightarrow \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{E} \| \mathrm{AD}$; in $\triangle \mathrm{BB}$ 'E, D mijlocul lui $\mathrm{BE}$, $\mathrm{DM} \| \mathrm{B}$ ' $\mathrm{E} \Rightarrow$ M mijlocul lui BB'. Analog $\mathrm{N}$ mijlocul lui $\mathrm{CC}$ ' In trapezul BC'B'C $\mathrm{M}$ si N mijloace de diagonale $\Rightarrow \mathrm{MN}\|\mathrm{BC}\| \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \Rightarrow$ $\Rightarrow$ 1) MNCB trapez + +(1 pct) +2) $\mathrm{MN}=\frac{B C-B^{\prime} C^{\prime}}{2}=\frac{B C-\frac{B C}{2}}{2}=\frac{B C}{4}$ + +(2 pct) + +3) Rezolvati in $Z$ ecuatia : $2 x y=3(x+32)$ + +$$ +2 x y-3 x=96 \Leftrightarrow x(2 y-3)=96 +$$ + +$$ +x=\frac{96}{2 y-3} \left\lvert\, \Rightarrow \underset{x \in Z}{\frac{96}{2 y-3} \in Z} \Rightarrow \begin{gathered} +2 Y-3= \pm 1 \\ +2 Y-3 \quad \text { IMPAR } +\end{gathered} \quad \begin{gathered} +\text { sau pct) } \\ +2 y-3= \pm 3 +\end{gathered}\right. +$$ + +$$ +\text { Finalizare (2 pct) } +$$ + +4) In patrulaterul $A B C D$ punctele $\mathrm{M}, \mathrm{Q}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ sunt mijloacele laturilor $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ respectiv DA. + +$$ +\text { Demonstrati ca: } \frac{A C+B D}{2}M Q=\frac{A C}{2}\) +\(O M+O P>P M=\frac{D B}{2}\) +2 pect. +\(O P+O N>P N=\frac{A C}{2}\) +\(O N+O Q>Q N=\frac{D B}{2}\) +\(2(O M+O N+O P+O Q)>A C+B D\) +\(M N+P Q>\frac{A C+B D}{2}\) +2 nct. +Se obtine egalitatea daca \(M, R, N\) coliniare 1 pct. +``` + +$\sqrt{b}$ + +FieR mijlocul lui $D B$ $M N<\frac{A D}{2}+\frac{B C}{2}$ Ana $\log P Q<\frac{A B}{2}+\frac{C D}{2}$ + +Finalizare + +1 pct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6ada6dc70a6605639e11g-2.jpg?height=452&width=688&top_left_y=1710&top_left_x=544) + +1) Ecuatia $\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}=n(n+3) \quad n \in Z \quad$, are solutii numere intregi. Aflati $n$. + +## Profesor Constantin Paunescu + + Colegiul National Grigore Moisil Urziceni2) Pe latura $\mathrm{BC}$ a $\triangle \mathrm{ABC}$ se considera punctele $\mathrm{D}$ si $\mathrm{E}$ astfel incat $\mathrm{BD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}$. Mediana $\mathrm{BB}^{\prime}\left(\mathrm{B}^{\prime} \in \mathrm{AC}\right.$ ) intersecteaza pe AD in M, iar mediana CC' (C' $\in \mathrm{AB}$ ) intersecteaza pe AE in N. Aratati ca : + +a) BMNC este trapez +b) $\mathrm{MN}=\frac{1}{4} \mathrm{BC}$ + +Gazeta matematica nr.6/2012 + +3) Rezolvati in Z ecuatia : $2 x y=3(x+32)$ +4) In patrulaterul $\mathrm{ABCD}$ punctele $\mathrm{M}, \mathrm{Q}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ sunt mijloacele laturilor $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ respectiv DA. + +Demonstrati ca: $\frac{A C+B D}{2} problemei | Solutie/ rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_29d6a808fd01ef982388g-1.jpg?height=492&width=174&top_left_y=693&top_left_x=235) | a) $N=\underbrace{a 0 \ldots 0 b}_{n}-\overline{a b}=\overline{a \underbrace{00 \ldots 0}_{n+1}}+b-10 a-b=10^{n+1} a-10 a$
$=10 a\left(10^{n}-1\right)=10 \cdot a \cdot \underbrace{99 \ldots 9}_{n} \Rightarrow N \vdots 9$ si $N \vdots 5$
Cum $(5,9)=1 \Rightarrow N \vdots 45$
b) Din $3 a+b \vdots 7$ si
$7 a+7 b \vdots 7 \Rightarrow 4 a+6 b \vdots 7$
$\Rightarrow 2(2 a+3 b) \vdots 7 \Rightarrow 2 a+3 b \vdots 7 \Rightarrow$ fractia se simplifica prin 7 | $1 p$
$1 p$
$2 p$ | +| 2 | Din $\frac{3 a+2 b}{6}=\frac{3 b+c}{7} \Rightarrow 21 a=2(2 b+3 c) \Rightarrow 2 / 21 a$
Cum $(21,2)=1 \Rightarrow 2 / a$
Dar a este numar prim deci a $=2$
Din $\frac{3 a+2 b}{6}=\frac{a+4 c}{11}$ si $\mathrm{a}=2 \Rightarrow 11 b=3(4 c-9) \Rightarrow 3 / 11 b$
Cum $(3,11)=1 \Rightarrow 3 / b$
Dar b este numar prim deci $\mathrm{b}=3$
Din relatia $21 a=2(2 b+3 c) \Rightarrow \mathrm{c}=5$ | $\mathbf{1 p}$
$\mathbf{2 p}$ | +| 3 | a) Fie $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=\mathrm{a}$ si $\mathrm{BC}=\mathrm{DE}=\mathrm{FG}=\mathrm{b} \Rightarrow 3 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}=24 \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=8 \mathrm{~cm}$
Atunci $\mathrm{BF}=2 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=16 \mathrm{~cm}$
$\mathrm{EG}=\mathrm{a}+\mathrm{b}=8 \mathrm{~cm}$
$\frac{a+b}{2}+a+\frac{2 b+a}{2}=13,5 \Rightarrow$
b)
$a+3(a+b)=27 \Rightarrow a+24=27 \Rightarrow a=3 \mathrm{~cm}$ | $1 \mathrm{p}$
$\mathbf{1 p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| 4 | Fie $m(\Varangle A O X)=m(\Varangle X O D)=a$ si $m(\Varangle C O Y)=m(\Varangle Y O B)=b$
$m(\Varangle A O C)=180^{\circ}-2 b$
$m(\Varangle D O B)=180^{\circ}-2 a$
$\Rightarrow 90^{\circ}=360^{\circ}-2(a+b) \Rightarrow a+b=135^{\circ}$
$\Rightarrow m(\varangle X O Y)=180^{\circ}-(a+b) \Rightarrow m(\Varangle X O Y)=45^{\circ}$ | $2 p$
$1 p$
$2 p$
$2 p$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALA
CLASA a VI-a + +## Subiectul 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_29d6a808fd01ef982388g-2.jpg?height=88&width=1357&top_left_y=584&top_left_x=435) +divizibil cu 45. + +b) Să se arate că dacă $(3 a+b) \vdots 7$, atunci fracția $\frac{3 a+b}{2 a+3 b}$ nu este ireductibilă. + +## Subiectul 2 + +Determinați numerele naturale prime $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi $\mathrm{c}$ ştiind că $\frac{3 a+2 b}{6}=\frac{3 b+c}{7}=\frac{a+4 c}{11}$. + +## Subiectul 3 + +Se consideră punctele A, B, C, D, E, F, G în această ordine, situate pe o dreaptă, astfel încât $[\mathrm{AB}]=[\mathrm{CD}]=[\mathrm{EF}],[\mathrm{BC}]=[\mathrm{DE}]=[\mathrm{FG}]$ şi $\mathrm{AG}=24 \mathrm{~cm}$. + +a) Să se calculeze lungimile segmentelor $[\mathrm{BF}]$ şi [EG]. + +b) Determinați lungimea segmentului $[\mathrm{AB}]$ astfel încât distanța de la mijlocul segmentului $[\mathrm{AC}]$ la mijlocul segmentului $[\mathrm{DG}]$ să fie $13,5 \mathrm{~cm}$. + +## Subiectul 4 + +Se consideră punctul $\mathrm{O}$ situat pe dreapta $\mathrm{AB}$. De aceeaşi parte a dreptei se construiesc Semidreptele (OC şi (OD astfel încât $m(\Varangle C O D)=90^{\circ}$ şi (OC $\in \operatorname{int}(\Varangle A O D)$. Dacă (OX şi (OY sunt bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O D$, respectiv $\Varangle C O B$, arătați că masura unghiului $\Varangle X O Y$ este constantă. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1339-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1339-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d6365c587464f0f7e39c97bda6cfaf774629a86 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1339-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,88 @@ +# BAREM -CLASA AV-A + +Rezolvare : + +1)Se noteaza cu a,b,c,d,e,f,g,h cele 8 numere naturale nenule si S- suma lor. + +Din ipoteza avem : S-a $=42$; S-b $=47$; S-c $=50$; S-d $=52$; S-e = 54 ; S-f =55 ; S-g = 56 ; + +S-h $=57$ .2p. + +Adunand relatiile de mai sus se obtine : $8 \mathrm{~S}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}+\mathrm{g}+\mathrm{h})=413$. + +$1 \mathrm{p}$. + +Deci : $8 \mathrm{~S}-\mathrm{S}=413 \Rightarrow 7 \mathrm{~S}=413 \Rightarrow \mathrm{S}=59$. .2p. + +Inlocuind S in relatiile de mai sus , se obtin : $a=17, b=12, c=9, d=7, e=5, f=4, g=3$ si $\mathrm{h}=2$ $.2 \mathrm{p}$. + +## Rezolvare : + +2)Notam cu n numarul natural cautat . + +Din ipoteza, folosind teorema de impartire cu rest, avem : $\quad \mathrm{n}=11 \mathrm{c}+\mathrm{r} \quad$ cu $0 \leq r<11 \ldots . . \quad 1 \mathrm{p}$. Stiind ca r este patrat perfect nenul $\Rightarrow r \in\{1,4,9\}$ $1 \mathrm{p}$. + +Din ipoteza , catul c este patrat perfect nenul, mai mic decat restul $r$. + +1) Daca $\mathrm{r}=1 \Rightarrow \mathrm{c}=0$ ( contradictie cu ipoteza ) $\qquad$ $1 \mathrm{p}$. +2) Daca $\mathrm{r}=4 \Rightarrow \mathrm{c}=1$ $1 \mathrm{p} . \Rightarrow \mathrm{n}=15$ $1 \mathrm{p}$. +3) Daca $\mathrm{r}=9 \Rightarrow c \in\{1,4\}$ 1 p. $\Rightarrow \mathrm{n}=20$ sau $\mathrm{n}=53$ $1 \mathrm{p}$. + +In concluzie : $n \in\{15,20,53\}$ + +Rezolvare : + +3)Scriind in baza 10 numerele din egalitatea de mai sus, se obtine : +$100 a+10 b+c=19(10 b+c) . \Leftrightarrow 100 a+10 b+c=190 b+19 c$ +1p. $\Leftrightarrow$ +$100 a=180 b+18 c . \Leftrightarrow 100 a=18(10 b+c)$ $\qquad$ $1 \mathrm{p}$. + +Cum 9 divide $18 \Rightarrow 9$ divide 18( 10b $+\mathrm{c}$ ) $\Rightarrow 9$ divide 100a + +1 . + +Deoarece numerele 9 si 100 nu au divizori comuni diferiti de 1 (sunt prime intre ele ) + +$\Rightarrow 9$ divide a $\qquad$ 1p. Din ipoteza $a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \Rightarrow a=9$ $\qquad$ $1 \mathrm{p}$. + +Inlocuind, se obtine : $900=18(10 b+c) \Rightarrow 10 b+c=50$. + +$\Rightarrow \mathrm{c}=10$ ( 5-b ) .Cum $c \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \Rightarrow c=0$ $\qquad$ 1p. $\Rightarrow b=5$ $\qquad$ $1 \mathrm{p}$. + +In concluzie : $\mathrm{a}=9 ; \mathrm{b}=5$; c $=0$. + +Rezolvare : + +4)Avem : + +$819=7 \cdot 9 \cdot 13$ $\qquad$ $1 \mathrm{p}$. + +Pe de alta parte : $63^{n}+7^{n+1} \cdot 3^{2 n+1}-21^{n} \cdot 3^{n+2}=(7 \cdot 9)^{n}+7^{n} \cdot 7 \cdot 3^{2 n} \cdot 3-(3 \cdot 7)^{n} \cdot 3^{n} \cdot 9$ $\qquad$ +$=7^{n} \cdot\left(3^{2}\right)^{n}+21 \cdot 7^{n} \cdot 3^{2 n}-3^{n} \cdot 7^{n} \cdot 3^{n} \cdot 9 \ldots \ldots \ldots .1 p$. + +$=7^{n} \cdot 3^{2 n}+21 \cdot 7^{n} \cdot 3^{2 n}-9 \cdot 7^{n} \cdot 3^{2 n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$. + +$=3^{2 n} \cdot 7^{n}(1+21-9)=3^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot 13 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 p$ + +Pentru orice numar natural nenul $n$, avem : + +$3^{2 n}=\left(3^{2}\right)^{n}=9^{n}: 9$ + +$7^{n} \vdots 7$ + +$\Rightarrow 3^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot 13: 9 \cdot 7 \cdot 13 \Rightarrow A: 819 \quad \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$. + +## SUBIECTE-OLIMPIADA LOCALA + +FEBRUARIE-2013 + +MATEMATICA -CLASA A V-A + +1) Se considera opt numere naturale distincte. Efectuand toate sumele oricaror 7 numere , dintre cele opt , se obtin rezultatele : $42,47,50,52,54,55,56,57$. + +Determinati cele opt numere . (7p.) + +2)Aflati numerele naturale care impartite la 11 dau catul si restul patrate perfecte nenule , iar catul este mai mic ( strict ) decat restul . (7p.) + +3) Determinati cifrele $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ stiind ca $\overline{a b c}=19 \cdot \overline{b c} \quad$ (7p.) +4) Aratati ca numarul $A=63^{n}+7^{n+1} \cdot 3^{2 n+1}-21^{n} \cdot 3^{n+2}$ se divide cu 819 , pentru orice $n$ numar natural nenul. (7p.) diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-134-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-134-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..450e3a5ce3d4f32009921308aa0ca1a44db7d5d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-134-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,129 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
SUCEAVA
21 februarie 2016
CLASA a VI-a + +1. a) (3p) Fie fracţia : $\frac{1+2+3+\ldots+n}{650-649+648-647+\ldots+4-3+2-1}, n \in N^{*}$. Să se determine $n \in N^{*}$ astfel încât fracţia să fie echiunitară. + +b) (4p) Determinaţi numerele naturale $m, n$ şi $p$, nenule şi distincte, ştiind că: + +$$ +\frac{4}{1+m}+\frac{9}{m+n}+\frac{30}{m+n+p} \geq 10 +$$ + +2. (7p) Numerele naturale $a, b, m$ verifică relația $2 a+6 b-5 m=0$. + +Arătați că $a^{2}+b^{2}$ se divide cu 5 . + +3. Fie unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}, \Varangle \mathrm{BOC}, \Varangle \mathrm{COD}, \Varangle \mathrm{DOA}$ unghiuri în jurul punctului $\mathrm{O}$ astfel încât $\Varangle \mathrm{AOB} \equiv \Varangle \mathrm{COD}$, iar $\Varangle \mathrm{AOM} \equiv \Varangle \mathrm{BOC}$, unde $\mathrm{M}$ este un punct pe bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{AOD}$ și fie [ON semidreapta opusă semidreptei [OM. + +a) (3p) Arătaţi că [ON este bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{BOC}$. + +b) (4p) Determinaţi măsurile unghiurilor $\Varangle$ AOB şi $\Varangle$ AOD ştiind că $m(\Varangle \mathrm{DON})=102^{\circ}$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 2 ore. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA a VI-a + +1. a) (3p) Fie fracţia : $\frac{1+2+3+\ldots+n}{650-649+648-647+\ldots+4-3+2-1}, n \in N^{*}$. Să se determine $n \in N^{*}$ astfel încât fracţia să fie echiunitară. + +## Prof. Constantin Ciobîcă + +b) (4p) Determinaţi numerele naturale $m, n$ şi $p$, nenule şi distincte, ştiind că: + +$$ +\frac{4}{1+m}+\frac{9}{m+n}+\frac{30}{m+n+p} \geq 10 +$$ + +Prof. Dorel Ispăşoiu + +## Solutie: + +a) $650-649+648-647+\ldots+4-3+2-1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\text {de } 325 \text { ori }}=325$ + +$1+2+3+\ldots+n=\frac{n \cdot(n+1)}{2}$ + +Fracţia devine $\frac{n \cdot(n+1)}{650}$. Ea este echiunitară dacă $n \cdot(n+1)=650$. + +$650=2 \cdot 13 \cdot 5^{2}=25 \cdot 26 \Rightarrow n=25$. + +b) Avem $m, n, p \in N^{*}, m+1 \geq 2$, deci $\frac{4}{1+m} \leq \frac{4}{2}=2$. De asemenea $m+n \geq 3$, deci $\frac{9}{m+n} \leq \frac{9}{3}=3$; + +$m+n+p \geq 6$, deci $\frac{30}{m+n+p} \leq \frac{30}{6}=5$ + +Adunând membru cu membru cele trei relaţii obţinem: + +$\frac{4}{1+m}+\frac{9}{m+n}+\frac{30}{m+n+p} \leq 10$, deci $\frac{4}{1+m}+\frac{9}{m+n}+\frac{30}{m+n+p}=10$ + +Înseamnă că, în fiecare caz, trebuie îndeplinite egalităţile. Rezultă că $m=1, n=2$ şi $p=3$. + +## Barem: + +| Calculul numitorului | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| Calculul numărătorului | $\mathbf{1 p}$ | +| Determinarea lui $n$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $m+1 \geq 2$, deci $\frac{4}{1+m} \leq \frac{4}{2}=2$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $m+n \geq 3$, deci $\frac{9}{m+n} \leq \frac{9}{3}=3$ | | + + +| $m+n+p \geq 6$, deci $\frac{30}{m+n+p} \leq \frac{30}{6}=5$ | | +| :--- | :--- | +| Adunând membru cu membru cele trei relaţii obţinem: | | +| $\frac{4}{1+m}+\frac{9}{m+n}+\frac{30}{m+n+p} \leq 10$, deci $\frac{4}{1+m}+\frac{9}{m+n}+\frac{30}{m+n+p}=10$ | $\mathbf{1} \mathbf{~ p}$ | +| Finalizare | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | + +2. (7p) Numerele naturale $a, b, m$ verifică relația $2 a+6 b-5 m=0$. Arătați că $a^{2}+b^{2}$ se divide cu 5 . + +Gazeta Matematică nr. 3 / 2014 + +## Solutie: + +Relația dată se scrie: $2 a+b+5 b=5 m$ de unde deducem că $5 \mid(2 a+b)$ sau $5 \mid\left(2 a b+b^{2}\right)$ + +Relația inițială se mai scrie: + +$5 a-3 a+6 b=5 m$ sau $5 a-3(a-2 b)=5 m$, de unde $5 \mid(a-2 b)$ sau $5 \mid\left(a^{2}-2 a b\right)$ (2) + +Din (1) și (2) deducem că $5 \mid\left(a^{2}-2 a b\right)+\left(2 a b+b^{2}\right)$, adică $5 \mid\left(a^{2}+b^{2}\right)$. + +## Barem: + +| Scrierea relatiei sub forma $2 a+b+5 b=5 m$ și deducerea 5 $\left(2 a b+b^{2}\right)$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e96e06df3c2294bbac4fg-3.jpg?height=61&width=53&top_left_y=1273&top_left_x=1660) | +| :---: | :---: | +| Scrierea relației sub forma $5 a-3 a+6 b=5 m$ și deducerea $5 \mid\left(a^{2}-2 a b\right)$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e96e06df3c2294bbac4fg-3.jpg?height=53&width=53&top_left_y=1325&top_left_x=1660) | +| Finalizare: $5 \mid\left(a^{2}-2 a b\right)+\left(2 a b+b^{2}\right)$, adică $5 \mid\left(a^{2}+b^{2}\right)$. | 1p | + +3. Fie unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}, \Varangle \mathrm{BOC}, \Varangle \mathrm{COD}, \Varangle \mathrm{DOA}$ unghiuri în jurul punctului $\mathrm{O}$ astfel încât $\Varangle \mathrm{AOB} \equiv \Varangle \mathrm{COD}$, iar $\Varangle \mathrm{AOM} \equiv \Varangle \mathrm{BOC}$, unde $\mathrm{M}$ este un punct pe bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{AOD}$ și fie [ON semidreapta opusă semidreptei [OM. + +a) (3p) Arătaţi că [ON este bisectoarea unghiului $\Varangle$ BOC. + +b) (4p) Determinaţi măsurile unghiurilor $\Varangle \mathrm{AOB}$ şi $\Varangle \mathrm{AOD}$ ştiind că $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{DON})=102^{\circ}$. + +Prof. Gheorghe Iacoviţă + +## Solutie: + +a) Notăm: $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BON})=a$ şi $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{CON})=b$; + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{DOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=x$, $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})=y$. + +Cum [OM şi [ON sunt semidrepte opuse, avem: $x+y+a=180^{\circ}$ și $x+y+b=180^{\circ}$, de unde $a=b$, deci [ON este bisectoarea unghiului $\Varangle$ BOC. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e96e06df3c2294bbac4fg-3.jpg?height=314&width=371&top_left_y=1892&top_left_x=1343) + +b) Din ipoteza problemei, unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}, \Varangle \mathrm{BOC}, \Varangle \mathrm{COD}, \Varangle \mathrm{DOA}$ sunt unghiuri în jurul punctului $\mathrm{O}$, deci $y+x+y+x+x=360^{\circ}$, adică $3 x+2 y=360^{\circ}(\mathbf{1})$; $y+\frac{x}{2}=102^{\circ}$, de unde $2 y+x=204^{\circ} \Leftrightarrow 2 y=204^{\circ}-x$ (2); înlocuind (2) în (1), obținem: $3 x+204^{\circ}-x=360^{\circ} ; 2 x=360^{\circ}-204^{\circ} ; 2 x=156^{\circ} ; x=78^{\circ} \Rightarrow y=63^{\circ}$. + +În concluzie: $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=63^{\circ}$ şi $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOD})=2 x=156^{\circ}$. + +Barem: + +| a) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BON})=a$ şi $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{CON})=b ;$
$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{DOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=x, \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{AOB})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})=y$.
Cum $\left[\mathrm{OM}\right.$ şi $\left[\mathrm{ON}\right.$ sunt semidrepte opuse: $x+y+a=180^{\circ}$ și $x+y+b=180^{\circ}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :---: | +| Deduce că $a=b$, deci [ON este bisectoarea unghiului $\Varangle$ BOC. | $\mathbf{1 p}$ | +| b) Scrie: $3 x+2 y=360^{\circ}$ și $y+\frac{x}{2}=102^{\circ}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Găsește $x$ și $y$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Finalizare | $\mathbf{1 p}$ | + +Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1340-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1340-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..683650355dd41dc77a7e62f4f451977f0f1444aa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1340-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,69 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 09.02.2013 + +## Barem + +## Clasa a 12-a + +1. a) Verifică axiomele grupului + +b) Determină pe a din condițiile de izomorfism +c) $E=\frac{n-1}{3 n+1}$ + +2. + +a) $I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x, J=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x$ + +Calculează I $+\mathrm{J}$ și I-J și determină I și $\mathrm{J}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +b) Face substituția cox $=\mathrm{t}$ și ajunge la integrala $\int \frac{1}{1-\mathrm{t}^{2}} \mathrm{dt}$ $1 \mathrm{p}$ + +Finalizează + +$1 \mathrm{p}$ + +c) Demonstrează că f nu are proprietatea lui Darboux $1 \mathrm{p}$ Finalizează + +$1 \mathrm{p}$ + +3. a) Demonstrează relațiile $\mathrm{f}(\mathrm{e})=e^{\prime}$ și $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{\prime}\right)=(\mathrm{f}(\mathrm{x}))^{\prime} \quad 3 \mathrm{p}$ + +b) Demonstrează că Imf este subgrup $2 \mathrm{p}$ + +c) Demonstrează că Kerf este subgrup + +4. a)Explicitează partea întreagă și scrie funcția pe ramuri 1p Justifică integrabilitatea funcției pe $[0,1] \quad 1 \mathrm{p}$ Utilizează teorema de aditivitate şi calculează integrala 1p b)Calculul integralei $2 \mathrm{p}$ c)Aplică metoda integrării prin părți pentru + +$$ +f(x)=\frac{x}{1-x \ln x}, g^{\prime}(x)=e^{-x}(1-x \ln x) +$$ + +Finalizează + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JỦDEŢEAN TIMIŞ + +OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 09.02.2013 + +## SUBIECTE - clasa a XII-a: + +| 1. | Se consideră mulţimea $\mathrm{G}=(-1 ; 1)$. Pentru orice $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{G}$ definim $\mathrm{x} * \mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}$.
a) Arătaţi că $(\mathrm{G}, *)$ este o structură algebrică de grup abelian.
b) Determinaţi numărul real a dacă există un izomorfism de la grupul $(\mathrm{G}, *)$ la grupul
$\left(\mathrm{R}_{+}^{*},+\right)$ de forma $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}$.
c) Pentru orice $\mathrm{n}$ număr natural, $\mathrm{n} \geq 2$, calculaţi valoarea expresiei
$\mathrm{E}(\mathrm{n})=\frac{1}{7} * \frac{1}{17} * \frac{1}{31} * \ldots * \frac{1}{2 \mathrm{n}^{2}-1}$. | +| :---: | :---: | +| 2. | a) Calculaţi $\int \frac{\sin \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx}, \mathrm{x} \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
b) Calculaţi $\int \frac{1}{\sin \mathrm{x}} \mathrm{dx}, \mathrm{x} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
c) Studiaţi dacă $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{x} \text { daca } \mathrm{x} \in \mathrm{Q} \\ \frac{1}{\mathrm{x}} \text { daca } \mathrm{x} \in \mathrm{R}-\mathrm{Q}\end{array}\right.$ admite primitive pe $\mathrm{R}$. | +| 3. | $\begin{aligned} & Fie \(\mathrm{f}: \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}^{\prime}\) un morfism intre grupurile \((\mathrm{G}, \mathrm{o})\) și \(\left(\mathrm{G}^{\prime}, *\right)\). Arătați că: \\ & a) \(\mathrm{f}(\mathrm{e})=\mathrm{e}^{\prime}\), e și e' reprezintă elementul neutru din grupul \((\mathrm{G}, \mathrm{o})\) și respectiv \(\left(\mathrm{G}^{\prime}, *\right)\). \\ & \(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{\prime}\right)=(\mathrm{f}(\mathrm{x}))^{\prime}, x^{\prime}\) și \((\mathrm{f}(\mathrm{x}))^{\prime}\) reprezintă simetricul elementului \(x\) respectiv \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\). \\ & b) \(\operatorname{Imf}=\left\{\mathrm{y} \in \mathrm{G}^{\prime} \mid \mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x} \in \mathrm{G}\right\}\) este subgrup al lui \(\mathrm{G}^{\prime}\). \\ & c) \(\operatorname{Kerf}=\left\{\mathrm{x} \in \mathrm{G} \mid \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\prime}\right\}\) este subgrup al lui \(G\end{aligned}$\). | +| 4. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7d692e0a6dba87df370ag-2.jpg?height=456&width=1558&top_left_y=1781&top_left_x=335) | + +## NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 1 la 10 puncte. + +## งリ』と巳! + +prof.Zeno Blajovan, inspector de specialitate - I.S.J. Timiş + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1341-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1341-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9157791c66ed6c5c9ca5b623f32dc6b12623856d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1341-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,104 @@ +# MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ -09.02 .2013\) + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLASA A XI-A MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +## Subiectul 1: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-1.jpg?height=69&width=1596&top_left_y=865&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-1.jpg?height=57&width=1570&top_left_y=974&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-1.jpg?height=49&width=1570&top_left_y=1072&top_left_x=243) + +b) Aduna linia intai la celelalte linii ..........................................................................................1p + +Deduce ca elementele liniilor 2, 3, ..., n sunt numere pare ..................................................................1p + +Scoate factor comun pe 2 din aceste linii si finalizeaza ....................................................................1p + +## Subiectul 2: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-1.jpg?height=49&width=1582&top_left_y=1512&top_left_x=243) + +Inmulteste la stanga si la dreapta relatia anterioara cu A ........................................................................ + +Deduce AB=BA ....................................................................................................................... + +b) Inmulteste $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{\mathrm{n}}$ la stanga $\mathrm{cu} \mathrm{A}, \mathrm{A}^{2}+\mathrm{AB}=\mathrm{A}$ la dreapta cu $\mathrm{A}$ si obtine + +$\mathrm{ABA}=\mathrm{O}_{\mathrm{n}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-1.jpg?height=51&width=1582&top_left_y=1899&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-1.jpg?height=100&width=1122&top_left_y=1983&top_left_x=244) + +Finalizeaza $\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{\mathrm{n}}+\mathrm{AB}\right)$ + +$\neq 0$ + +$1 p$ + +## Subiectul 3: + +a) Scrie $a_{n+1}-a_{n}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}<0$ + +Observa $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{k}+1}}<2 \sqrt{\mathrm{k}+1}-2 \sqrt{\mathrm{k}}<\frac{1}{\sqrt{\mathrm{k}}}, \mathrm{k}=\overline{1, \mathrm{n}-1}$ + +Prin adunare obtine $-2<\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}$, pentru orice $\mathrm{n}>1$ si deduce convergenta sirului + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-2.jpg?height=163&width=1599&top_left_y=324&top_left_x=226) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-2.jpg?height=109&width=1600&top_left_y=528&top_left_x=228) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-2.jpg?height=137&width=1602&top_left_y=660&top_left_x=227) + +Finalizeaza $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 4: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-2.jpg?height=74&width=1599&top_left_y=1071&top_left_x=226) + +Demonstreaza prin inductie matematica marginirea sirului ................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90e840e1d0812c4f30e0g-2.jpg?height=63&width=1596&top_left_y=1259&top_left_x=230) + +Deduce monotonia sirului...................................................................................................................... + +Trece la limita in relatia de recurenta si obtine $x=1$ sau $x=2$, unde $x=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ + +Daca $\mathrm{x}_{0}=\mathrm{a}=2$ atunci $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=2$ pentru orice $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$ si + +$x_{n} \rightarrow 2$....................................................... + +Daca $x_{0}=\mathrm{a} \in[1,2)$ atunci $\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in[1,2)$ si cum ( $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ) este descrescator avem + +$x_{n} \rightarrow 1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{~m}$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 09.02.2013 + +## SUBIECTE - clasa a XI-a matematică-informatică: + +| 1. | a) Fie matricea $A \in M_{2}(R), A=\left(\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 6 & -4\end{array}\right)$.
Să se rezolve ecuaţia $X^{3}=A, X \in M_{2}(R)$;
b) Fie $\Delta_{n}$ un determinant de ordinul $n, n \in N^{*}$ cu elemente numere întregi impare. Să se
demonstreze că $\Delta_{n} \vdots 2^{n-1}, n \in N^{*}$ | +| :---: | :---: | +| 2. | Fie $A, B \in M_{n}(R)$ astfel încat $A+B=I_{n}$ si $A^{2}=A^{3}$. Să se arate că:
a) $A B=B A$;
b) $I_{n}+A B$ este inversabilă. | +| 3. | Se consideră şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, cu $a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$.
a) Să se arate că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent;
b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$, unde $x_{n}=\sqrt{n}\left(a_{n}-\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\right)$. | +| 4. | Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin relaţia de recurenţă:
$x_{0}=a, a \in[1 ; 2], \quad x_{n+1}=x_{n}^{2}-2 x_{n}+2$.
Să se studieze convergenţa şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ şi în caz de convergenţă să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. | + +## NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +## sリEces! + +prof.Zeno Blajovan, inspector de specialitate - I.S.J. Timiş + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1342-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1342-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5cd50ca590f1f0a3537f676476ddb072b50dada5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1342-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,81 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 09.02 .2013 + +## Barem
Clasa a 10-a + +1. a) Scrie $z=a+b i$ și rescrie egalitatea dată de problemă $1 p$ + +Scrie și rezolvă sistemul + +$2 \mathrm{p}$ + +b) Aplică proprietățile logaritmilor + +$1 \mathrm{p}$ + +Ajunge la ecuația $10 \mathrm{t}^{2}-7 \mathrm{t}+1=0 \quad \mathrm{t}=\mathrm{y} / \mathrm{x}$ și finalizează + +$1 \mathrm{p}$ + +c) Fie $x_{0}$ soluția reală a ecuației + +$1 \mathrm{p}$ + +Deduce parametrul $\mathrm{m}$ + +2. a) $z \in R \Leftrightarrow z=\bar{z}$ + +$1 p$ + +Aplică proprietatea de mai sus în contextul problemei + +și ajunge la relația $(z-\bar{z})(1-z \bar{z})=0$ + +$2 \mathrm{p}$ + +Finalizează + +$1 \mathrm{p}$ + +b) Fie $\mathrm{m}<\mathrm{n}$ şi $\mathrm{z}_{0}$ soluția ecuației $\mathrm{z}^{\mathrm{2}^{\mathrm{m}}}=-1$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $\mathrm{z}_{0}$ este soluție comună atunci obține contradicția + +$-1=z_{0}{ }^{2^{n}}=z_{0}^{2^{m} \cdot 2^{n-m}}=(-1)^{2^{n-m}}=1$ + +$2 \mathrm{p}$ + +3. a) Aplică de două ori inegalitatea mediilor și finalizează $4 p$ + +b) Aplică de două ori inegalitatea mediilor și finalizează + +$3 \mathrm{p}$ +4. $\mathrm{z}_{3}=\mathrm{z}_{1}-\mathrm{z}_{2}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Ajunge la ecuația $z_{1}^{2}+z_{1} z_{2}+z_{2}^{2}=0 \quad 2 p$ + +Deduce că $\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{Z}_{2}}=\varepsilon$ unde $\varepsilon^{2}+\varepsilon+1=0 \quad 2 \mathrm{p}$ + +Deduce $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right| \quad 1 p$ + +Finalizare $1 \mathrm{p}$ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 09.02.2013 + +## SUBIECTE - clasa a X-a: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e7b8a5ff9263c8e49e8ag-2.jpg?height=860&width=1744&top_left_y=792&top_left_x=173) + +## NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 1 la 10 puncte. + +## งリยEอง! + +prof.Zeno Blajovan, inspector de specialitate - I.S.J. Timis + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1343-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1343-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e1066ff38f8fd4de9fda3e4ea2c49159122afeb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1343-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,67 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA A VII-A + +SOLUȚIE ŞI BAREM DE CORECTARE: + +| Subiectul I | Punctaj | +| :---: | :---: | +| $\frac{3 a+4 b+5 c}{2 a+3 b}=\frac{3 b+4 c+5 a}{2 b+3 c}=\frac{3 c+4 a+5 b}{2 c+3 a}=\frac{12 a+12 b+12 c}{5 a+5 b+5 c}=\frac{12}{5}$
$A=\sqrt{\left(\frac{-2}{5}+\frac{12}{5}+\frac{12}{5}\right) \cdot \frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$ | $4 p$
$3 p$ | + + +| Subiectul II | Punctaj | +| :--- | :--- | +| $U\left(2013^{2012}\right)=U\left(5^{2012}\right)=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $U\left(2012^{2018}\right)=U\left(2^{2018}\right)=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\left.I \Rightarrow U(2013]{ }^{2012}+2012^{2018}\right)=3 \Rightarrow 2013^{2012}+2012^{2018}$ nu este pătrat | $1 \mathrm{p}$ | +| perfect $\Rightarrow \sqrt{2013^{2012}+2012^{2018}} \nRightarrow Q$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Pentru $\mathrm{n}=0,6^{0}+2013=2014$, care nu este pătrat perfect. | $2 \mathrm{p}$ | +| Pentru $\mathrm{n}>0,6^{\mathrm{n}}+2013$ este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 9 | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow 6^{\mathrm{n}}+2013$ nu este pătrat perfect $\Rightarrow \sqrt{6^{3}+2013} \nRightarrow Q$ | | + + +| Subiectul III | Punctaj | +| :--- | :--- | +| $\mathrm{BC}=2 \mathrm{AD} \Rightarrow \triangle \mathrm{ABC}$ este dreptunghic în $\mathrm{A}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{DE} \\| \mathrm{AB}$. Dar $\mathrm{DE}=\frac{A B}{2} \Rightarrow \mathrm{FE}=\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{FE} \\| \mathrm{AB}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow \mathrm{ABFE}$ dreptunghi $\Rightarrow \mathrm{EC} \\| \mathrm{FH}$ şi $[\mathrm{EC}] \equiv[\mathrm{FH}]($ din $\triangle \mathrm{FGH} \equiv \Delta \mathrm{GCE})$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow$ EFHC dreptunghi $\Rightarrow \mathrm{ABHC}$ dreptunghi a cărui diagonală $[\mathrm{AH}]$ trece prin | $1 \mathrm{p}$ | +| mijlocul $\mathrm{D}$ al diagonalei $[\mathrm{BC}]$. | $1 \mathrm{p}$ | + + +| Subiectul IV | Puncta | +| :---: | :---: | +| Fie MN mediatoarea laturii $[\mathrm{AB}] \Rightarrow \triangle \mathrm{ANB}$ este isoscel $\Rightarrow[\mathrm{AN}] \equiv[\mathrm{BN}]$
Aplicând teorema bisectoarei pentru $\star \mathrm{ABC}$ şi 1 NAC, obținem:
$\frac{A B}{B N}=\frac{A E}{\mathrm{BN}} s 1 \frac{A C}{A N}=\frac{C L}{L N}$
$\mathrm{Cum}[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AC}]$ si $[\mathrm{AN}] \equiv[\mathrm{BN}]$
$\Rightarrow \frac{A R}{\mathrm{AN}}=\frac{A \mathrm{C}}{\mathrm{AN}}=\frac{A \mathrm{R}}{\mathrm{EN}}=\frac{C \mathrm{CI}}{\mathrm{LN}}$ | $1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA A VII-A + +## SUBIECTE + +I. Fie a, b, c $\in \mathbf{Q}^{*}$ astfel încât + +$$ +\frac{3 a+4 b+5 c}{2 a+3 b}=\frac{3 b+4 c+5 a}{2 b+3 c}=\frac{3 c+4 a+5 b}{2 c+3 a} +$$ + +Aflaţi + +$$ +A=\sqrt{\left(\frac{3 a+4 b+5 c}{2 a+3 b}+\frac{3 b+4 c+5 a}{2 b+3 c}+\frac{3 c+4 a+5 b}{2 c+3 a}\right) \cdot \frac{1}{5}} +$$ + +II. Arătaţi că $\sqrt{2013^{2012}+2012^{2013}} \notin \mathbf{Q}$ şi $\sqrt{6^{\mathrm{n}}+2013} \notin \mathbf{Q}$ pentru orice număr natural n. + +III. În triunghiul $\mathrm{ABC}, \mathrm{D}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{BC}$ şi $2 \cdot \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$. Fie $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$, $\mathrm{E} \in(\mathrm{AC}), \mathrm{F}$ simetricul lui $\mathrm{E}$ faţă de punctul $\mathrm{D}$, $\mathrm{G}$ mijlocul segmentului $\mathrm{FC}$ şi $\{\mathrm{H}\}=\mathrm{BF} \cap \mathrm{EG}$. Demonstraţi că punctele $\mathrm{A}, \mathrm{D}, \mathrm{H}$ sunt coliniare. + +(G.M. nr. 7-8-9/2011) + +IV. În triunghiul ascuţitunghic $\mathrm{ABC}, \mathrm{cu}[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AC}]$, mediatoarea laturii $[\mathrm{AB}]$ intersectează BC în N. Bisectoarea $\Varangle \mathrm{ABC}$ intersectează AN în E, iar bisectoarea $\Varangle \mathrm{NAC}$ intersectează BC în L. Demonstraţi că patrulaterul LEAC este trapez. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: trei ore + +Pentru fiecare problemă rezolvată correct se acordă 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1344-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1344-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3eb08ec0283ba194691653e6e0f0f6e65aabe26 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1344-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,97 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +CLASA A VI-A + +## BAREM + +1. $(2+4+6+8+\ldots+84) \cdot\left(\frac{2}{7 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 11}+\frac{2}{11 \cdot 13}+\ldots+\frac{2}{19 \cdot 21}\right)=$ $=4(1+2+3+\ldots+42)\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{19}-\frac{1}{19}\right) \ldots 2 \mathbf{p}$ $4 \cdot 42 \cdot 43: 2 \cdot \frac{2}{21} \ldots 3 \mathbf{p}$ + +Finalizare .... $2 \mathrm{p}$ + +2.a. $1+8+64=73 \ldots \mathbf{p}$ + +b. $S=\left(1+8+8^{2}\right)+8^{3}\left(1+8+8^{2}\right)+\ldots+8^{57}\left(1+8+8^{2}\right)=\ldots 1$ p $=73\left(1+8^{3}+\ldots+8^{57}\right) \Rightarrow 73 \mid S \ldots \mathbf{1 p}$ + +c. $S=1+8+8^{2}(1+8)+\ldots+8^{59}(1+8)=\ldots 1 p$ + +$=9\left(1+8^{2}+8^{3}+\ldots+8^{58}\right) \ldots 1 p$ + +$(73,9)=1 \Rightarrow 657 \mid S \ldots \mathbf{p}$. + +3. Notăm $m(\varangle A P N)=x, m(\varangle C N M)=y, m(\varangle B M P)=z$ + +Punctele B,M,C sunt coliniare rezultă $x+z+m(\varangle N M P)=180$ + +Punctele A,N,C sunt coliniare rezultă $y+z+m(\varangle M N P)=180$ + +Punctele A,P,B sunt coliniare rezultă $x+y+m(\varangle N P M)=180 \ldots 2 \mathbf{p}$ + +Adunand cele trei relatii obtinem : + +$2(x+y+z)+m(\varangle N M P)+m(\varangle M N P)+m(\varangle N P M)=540 \Rightarrow$ $\Rightarrow x+y+z=180 \ldots 1 \mathbf{p}$ + +$m(\varangle B A C)=y, m(\varangle A B C)=x, m(\varangle B C A)=z$ + +şi $m(\varangle M P N)=z, m(\varangle M N P)=x, m(\varangle P M N)=y \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Considerăm triunghiurile $\triangle A P N$ şi $\triangle M N P$ + +$\varangle A P N \equiv \varangle P M N$ + +$[P N] \equiv[P N]$-latură comună +$\varangle A N P \equiv \varangle M P N \Rightarrow \triangle A P N \equiv \triangle M N P \ldots \mathbf{2 p}$ + +Analog $\triangle B P M \equiv \triangle M N P$ si $\triangle C M N \equiv \triangle M N P \Rightarrow$ punctele M,N,P sunt mijloacele laturilor triunghiului...1p + +4. $(a, a+7) \cdot[a, a+7]=a \cdot(a+7) \Rightarrow$ $\Rightarrow[a, a+7]=\frac{a \cdot(a+7)}{(a, a+7)} \ldots \mathbf{p}$ + +Analog pentru $\mathrm{b} \Rightarrow[b, b+7]=\frac{b \cdot(b+7)}{(b, b+7)} \Rightarrow \frac{a(a+7)}{(a, a+7)}=\frac{b(b+7)}{(b, b+7)}(\mathbf{1}) \ldots \mathbf{1} \mathbf{p}$ $(a, a+7) \mid a$ si $(a, a+7)|a+7 \Rightarrow(a, a+7)| 7 \Rightarrow(a, a+7) \epsilon\{1,7\} \ldots 1 p$ + +Similar $(b, b+7) \epsilon\{1,7\}$ + +$\bullet$ Dacă $(a, a+7)=(b, b+7)$ si inlocuind in relatia $(1) \Rightarrow a(a+7)=b(b+7) \ldots \mathbf{p}$ Vom arata că $a=b$ + +Dacă $ab \Rightarrow a+7>b+7 \Rightarrow a(a+7)>b(b+7)$ - nu convine $\Rightarrow a=b \ldots 1 \mathbf{p}$ + +- Dacă $(a, a+7)=7$ si $(b, b+7)=1$ + +Avem $7 \mid a$ si $7|a+7 \Rightarrow 49| a(a+7) \Rightarrow 7 \left\lvert\, \frac{a(a+7)}{(a, a+7)}\right.$ + +Din relaţia $\left.(1) \Rightarrow 7\left|\frac{b(b+7)}{(b, b+7)} \Rightarrow 7\right| b(b+7) \Rightarrow 7 \right\rvert\, b$ sau $7|b+7 \Rightarrow 7| b$ şi $7 \mid b+7$ ce contrazice $(b, b+7)=1 \ldots 1 \mathbf{p}$ + +- Dacă $(a, a+7)=1$ si $(b, b+7)=7$ + +Avem $7 \mid b$ si $7|b+7 \Rightarrow 49| b(b+7) \Rightarrow 7 \left\lvert\, \frac{b(b+7)}{(b, b+7)}\right.$ + +Din relaţia $\left.(1) \Rightarrow 7\left|\frac{(a+7)}{(a, a+7)} \Rightarrow 7\right| a(a+7) \Rightarrow 7 \right\rvert\, a$ sau $7|a+7 \Rightarrow 7| a$ si $7 \mid a+7$ ce contrazice $(a, a+7)=1 \ldots \mathbf{1 p}$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ, 09.02.2013 + +## CLASA A VI-A + +## SUBIECTE + +1. Calculaţi: $(2+4+6+\ldots+84) \cdot\left(\frac{2}{7 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 11}+\frac{2}{11 \cdot 13}+\ldots+\frac{2}{19 \cdot 21}\right)$. +2. Se consideră suma $S=1+8+8^{2}+8^{3}+\ldots+8^{59}$. + +a. Calculaţi suma $1+8+8^{2}$. + +b. Arataţi că $73 \mid S$ şi $657 \mid S$. + +3. Punctele $M, N, P$ sunt respectiv pe laturile $[B C],[C A],[A B]$ ale triunghiului ABC. Ştiind că $\varangle A P N \equiv \varangle N M C, \varangle C N M \equiv \varangle M P B$, $\varangle B M P \equiv \varangle P N A$ şi suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi este $180^{\circ}$, demonstraţi că punctele $M, N, P$ sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC. +4. Dacă a şi b sunt numere naturale astfel încât $[a, a+7]=[b, b+7]$ arătaţi că $a=b$. + +NOTĂ: + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1345-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1345-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1274b638d7f8015a539e7e3f1eae1a6ef3bdc89 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1345-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,86 @@ +# MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ -09.02 .2013\) + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLASA A IX-A MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +## Subiectul 1: + +a) Notează $\frac{x-n-1}{n}=k, k \in Z$ + +Obține $\left[\frac{k n+1}{n+1}\right]=k$ + +Obține $k \in(-n ; 1]$, deci sunt $n+1$ soluții. + +b) Deduce că $x \in Z$ + +Ecuaţia devine: $\left[\frac{x+1}{3}\right]+\left[\frac{x+2}{3}\right]+\left[\frac{x+3}{3}\right]=x+1$ + +Foloseşe identitatea lui Hermite. + +Finalizare $x \in Z$ + +## Subiectul 2: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b73179ae836118c5a6eg-1.jpg?height=72&width=1560&top_left_y=1843&top_left_x=228) + +Obține $(a-b)^{2}(a+b) \geq 0$ + +Finalizare. + +$.1 p$ + +b) Foloseşte inegalitatea de mai sus pentru $a \rightarrow \sqrt{a}, b \rightarrow \sqrt{b}$ + +Obține $a \sqrt{a}+b \sqrt{b}+\sqrt{a b c} \geq a \sqrt{b}+b \sqrt{a}+\sqrt{a b c}$ + +$1 p$ + +Deduce că $\frac{1}{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}+\sqrt{a b c}} \leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a b c}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$ + +## Subiectul 3: + +a) foloseşte inducția matematică. Verificare...................................................................................... + +Scrie relația în forma $x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=\left(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)-\left(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +Finalizare........................................................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b73179ae836118c5a6eg-2.jpg?height=74&width=1573&top_left_y=680&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b73179ae836118c5a6eg-2.jpg?height=117&width=1554&top_left_y=792&top_left_x=228) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b73179ae836118c5a6eg-2.jpg?height=49&width=1556&top_left_y=952&top_left_x=227) + +## Subiectul 4: + +a) Demonstrează relaţia ....................................................................................................................... + +b) Aplică teorema lui Menelaus in triunghiul $B E C$ si transversala $E-F-C \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .3$. ................. + +Obține $\alpha=-\frac{3}{4}$ + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 09.02.2013
SUBIECTE - clasa a IX-a matematică-informatică: + +| 1. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b73179ae836118c5a6eg-3.jpg?height=611&width=1657&top_left_y=544&top_left_x=232) | +| :---: | :---: | +| 2. | a) Să se demonstreze inegalitatea:
$\qquad a^{3}+b^{3} \geq a^{2} b+a b^{2}, \forall a, b>0$;
b) Folosind eventual subpunctul a) demonstraţi inegalitatea:
$\frac{1}{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}+\sqrt{a b c}}+\frac{1}{b \sqrt{b}+c \sqrt{c}+\sqrt{a b c}}+\frac{1}{c \sqrt{c}+a \sqrt{a}+\sqrt{a b c}} \leq \frac{1}{\sqrt{a b c}}, \forall a, b, c>0$ | +| 3. | a) Să se demonstreze că dacă $x \in R^{*}$ si $x+\frac{1}{x} \in Z$ atunci $x^{n}+\frac{1}{x^{n}} \in Z, \forall n \in N$;
b) Să se demonstreze că $(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n} \in Z, \forall n \in N$. | +| 4. | Fie triunghiul $A B C$ si $D \in(B C)$ astfel încat $B D=2 D C$. Notăm cu $E$ mijlocul segmentului $A B$, iar cu
$F$ mijlocul medianei din $C$.
a) Să se arate că dacă $M \in(B C)$ astfel încat $\frac{B M}{M C}=k$, atunci are loc relaţia:
$\qquad \overrightarrow{A M}=\frac{1}{1+k} \overrightarrow{A B}+\frac{k}{1+k} \overrightarrow{A C}$;
b) Să se demonstreze că punctele $A, F, D$ sunt coliniare şi să se determine $\alpha \in R$ astfel încat $\overrightarrow{A F}=\alpha \overrightarrow{D A}$. | + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b73179ae836118c5a6eg-3.jpg?height=126&width=434&top_left_y=2464&top_left_x=662) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1346-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1346-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51e3db336a28e495568b71cd07b7478ede0f7f79 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1346-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,109 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
9 FEBRUARIE 2013
CLASA a VIII-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +Fie numerele reale $a, b, x, y$ ce verifică relațiile $x+y=a+b$ și $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$. Arătați că $x^{2013}+y^{2013}=a^{2013}+b^{2013}$. + +## Barem: + +Ridicând prima relație la pătrat și combinând cu a doua obținem $2 x y=2 a b$ $\ldots 2 \mathrm{p}$ + +Combinând această relaţie cu a doua din ipoteză obținem $(x-y)^{2}=(a-b)^{2}$ + +Obținem astfel $|x-y|=|a-b|$, deci $x-y= \pm(a-b)$ + +În unul din cazuri obținem (combinând cu prima relație) $x=a$ și $y=b \quad . .1 p$ În celălalt $\operatorname{caz} x=b$ și $y=a$ + +Concluzia + +## Subiectul 2. + +Se consideră $E(m ; n)=\sqrt{3 \cdot 5^{m}+25^{n}}$, unde $m, n \in \mathbb{N}$. + +a) Să se arate că $E(2013 ; 1006) \in \mathbb{Q}$ şi $E(1006 ; 2013) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +b) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{Q}$. + +c) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +## Barem: + +a) $E(2013 ; 1006)=\sqrt{3 \cdot 5^{2013}+25^{1006}}=\sqrt{5^{2012}(3 \cdot 5+1)}=\sqrt{16 \cdot 5^{2012}}=4 \cdot 5^{1006} \in \mathbb{Q} \ldots 1 \mathrm{p}$ $E(1006 ; 2013)=\sqrt{3 \cdot 5^{1006}+25^{2013}}=\sqrt{5^{1006}\left(3+5^{3020}\right)}=5^{503} \sqrt{3+5^{3020}}$ $U\left(3+5^{3020}\right)=8 \Rightarrow 3+5^{3020}$ nu este pătrat perfect deci $E(1006 ; 2013) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \quad \ldots 2 \mathrm{p}$ + +b) Considerând $m=2 n+1$ obţinem + +$E(m ; n)=\sqrt{3 \cdot 5^{2 n+1}+5^{2 n}}=\sqrt{5^{2 n}(3 \cdot 5+1)}=5^{n} \cdot 4 \in \mathbb{Q}$. + +Există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, cu $m=2 n+1$ +c) Fie $m=2 k<2 n, k \in \mathbf{N}$ şi obţinem $E(m ; n)=\sqrt{5^{2 k}\left(3+5^{2 n-2 k}\right)}=5^{k} \sqrt{3+5^{2 n-2 k}}$ $U\left(3+5^{2 n-2 k}\right)=8 \Rightarrow 3+5^{2 n-2 k}$ nu este pătrat perfect. + +Există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \mathrm{cu} m=2 k<2 n, k \in \mathbf{N}$ + +## Subiectul 3. + +Fie trapezul isoscel $A B C D, A B \| C D, A B=12 \mathrm{~cm}, C D=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~m}(\mathrm{~A})=60^{\circ}$ şi înălţimea $C E, E \in A B$. Îndoim trapezul după $C E$, astfel încât planul $(A C D)$ devine perpendicular pe planul (BEC). Determinaţi tangenta unghiului format de planele (ABD) şi (EBC). + +## Barem: + +Găsirea dreptei de intersecţie BM ... 2p. + +Construirea unghiului plan asociat diedrului: AFE + +$\ldots 2$ p. + +Calculul tangentei unghiului . . 3 p. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d946080c9d776b7da80bg-2.jpg?height=425&width=879&top_left_y=958&top_left_x=974) + +## Subiectul 4. + +Putem aşeza numerele $6,19,21,27,34,43,59$ şi 76 în vârfurile unui cub astfel încât fiecare sumă obţinută prin adunarea numerelor situate la capătul unei laturi a cubului să fie un număr divizibil cu 5? Justificaţi. + +## Barem: + +Fiecare vârf este legat de alte 3 vârfuri, deci pentru oricare dintre numerele din şir trebuie să găsesc alte 3 numere astfel încât sumele obţinute să fie divizibile cu 5 . ...3p + +Pentru 27 doar numărul 43 este convenabil. + +3 p. + +Concluzie: nu putem aşeza + +$1 \mathrm{p}$. + +Obs. O demonstraţie mai generală se referă la faptul că din cele 8 numere 4 trebuie să fie de forma $5 k+1$ şi 4 de forma $5 k+4$ sau 4 trebuie să fie de forma $5 k+2$ şi 4 de forma $5 k+3$ (sau toate divizibile $\mathrm{cu} 5$ ). + +Obs. O demonstraţie care face referire la faptul că suma celor 8 numere este un număr divizibilă cu 5 , deci s-ar putea aşeza cele 8 numere în vârfurile cubului nu se punctează. + +Notă: Orice altă soluţie corectă se punctează corespunzător. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d946080c9d776b7da80bg-3.jpg?height=194&width=291&top_left_y=80&top_left_x=563) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
9 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a VIII-a + +## Subiectul 1. + +Fie numerele reale $a, b, x, y$ ce verifică relațiile $x+y=a+b$ și $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$. Arătați că $x^{2013}+y^{2013}=a^{2013}+b^{2013}$. + +## Subiectul 2. + +Se consideră $E(m ; n)=\sqrt{3 \cdot 5^{m}+25^{n}}$, unde $m, n \in \mathbb{N}$. + +a) Să se arate că $E(2013 ; 1006) \in \mathbb{Q}$ şi $E(1006 ; 2013) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +b) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{Q}$. + +c) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +## Subiectul 3. + +Fie trapezul isoscel $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~m}(\mathrm{~A})=60^{\circ}$ şi înălţimea $\mathrm{CE}, \mathrm{E} \in \mathrm{AB}$. Îndoim trapezul după CE, astfel încât planul (ACD) devine perpendicular pe planul (BEC). Determinaţi tangenta unghiului format de planele (ABD) şi (EBC). + +## Subiectul 4. + +Putem aşeza numerele $6,19,21,27,34,43,59$ şi 76 în vârfurile unui cub astfel încât fiecare sumă obţinută prin adunarea numerelor situate la capătul unei laturi a cubului să fie un număr divizibil cu 5? Justificaţi. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru: 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1347-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1347-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bed646747a2a982f63786eee5b370e6817b79bc9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1347-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,153 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
9 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a VII-a + +Bareme + +## Subiectul 1. + +1. a) $b=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2014}$ + +$a+b=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{2013}{2014}+\frac{1}{2014}\right)=1+1+\ldots+1=1007$ + +$\frac{a+b}{2}=\frac{1007}{2}$ + +b) $x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3})}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}=1+\sqrt{3}$ + +Obţinem $x$ este între 2 şi 3 + +$1 p$ + +## Subiectul 2. + +Se consideră $E(m ; n)=\sqrt{3 \cdot 5^{m}+25^{n}}$, unde $m, n \in \mathbb{N}$. + +a) Să se arate că $E(2013 ; 1006) \in \mathbb{Q}$ şi $E(1006 ; 2013) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +b) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{Q}$. + +c) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. +a) $E(2013 ; 1006)=\sqrt{3 \cdot 5^{2013}+25^{1006}}=\sqrt{5^{2012}(3 \cdot 5+1)}=\sqrt{16 \cdot 5^{2012}}=4 \cdot 5^{1006} \in \mathbb{Q} \ldots 1 \mathrm{p}$. $E(1006 ; 2013)=\sqrt{3 \cdot 5^{1006}+25^{2013}}=\sqrt{5^{1006}\left(3+5^{3020}\right)}=5^{503} \sqrt{3+5^{3020}}$ $U\left(3+5^{3020}\right)=8 \Rightarrow 3+5^{3020}$ nu este pătrat perfect deci $E(1006 ; 2013) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \quad \ldots 2$ p. + +b) Considerând $m=2 n+1$ obţinem $E(m ; n)=\sqrt{3 \cdot 5^{2 n+1}+5^{2 n}}=\sqrt{5^{2 n}(3 \cdot 5+1)}=5^{n} \cdot 4 \in \mathbb{Q}$. + +Există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, cu $m=2 n+1$ + +c) Fie $m=2 k<2 n, k \in \mathbf{N}$ şi obţinem $E(m ; n)=\sqrt{5^{2 k}\left(3+5^{2 n-2 k}\right)}=5^{k} \sqrt{3+5^{2 n-2 k}}$ $U\left(3+5^{2 n-2 k}\right)=8 \Rightarrow 3+5^{2 n-2 k}$ nu este pătrat perfect. + +Există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, cu $m=2 k<2 n, k \in \mathbf{N}$ + +## Subiectul 3 + +Fie patrulaterul $A B C D$ cu $B D \cap A C=\{O\}$, $O$ fiind mijlocul segmentului $[B D]$. Paralelele duse prin $\mathrm{O}$ la $\mathrm{BC}$ si $\mathrm{CD}$ intersectează pe $\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{AD}$ in punctele $\mathrm{P}$ si respectiv $\mathrm{Q}$. + +a. Demonstraţi că patrulaterul $\mathrm{ABCD}$ este paralelogram daca si numai daca $\mathrm{BD}=2 \mathrm{PQ}$. + +b. Arătaţi că, orice 4 numere naturale, nedivizibile cu 7 , am pune în vârfurile patrulaterului, există întotdeauna cel puţin o latură sau o diagonală pentru care suma sau diferenţa numerelor de la capetele ei să fie un număr divizibil cu 7. + +a. + +"=>" ABCD paralelogram $=>[A D] \equiv[B C]$. + +In $\triangle \mathrm{ABC}$ si $\triangle \mathrm{ADC},[\mathrm{OP}]$ si, respectiv [OQ] sunt linii mijlocii + +$=>$ in $\triangle \mathrm{ABD},[\mathrm{QP}]$ linie mijlocie $=>\mathrm{BD}=2 \mathrm{PQ}$ + +$\ldots 2$ p. + +" $<=$ " Aplicând teorema lui Thales in $\triangle \mathrm{ABC}$ si $\triangle \mathrm{ADC}$, avem: + +$\frac{A P}{P B}=\frac{A O}{O C}$, respective $\frac{A Q}{Q D}=\frac{A O}{O C}=>\frac{A P}{P B}=\frac{A Q}{Q D}=>P Q \| B D$. + +Cum $\mathrm{BD}=2 \mathrm{PQ}=>[\mathrm{PQ}]$ linie mijlocie $=>\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QD}}=\frac{A O}{O C}=1 \Rightarrow[\mathrm{AO}] \equiv[\mathrm{OC}]$ + +Din $[B O] \equiv[O D]$ si $[A O] \equiv[O C]=>$ ABCD paralelogram + +$\ldots 1 \mathrm{p}$. + +b. + +Fiecare număr este legat de celelalte 3 numere ori prin latură, ori prin diagonală. + +Considerăm: + +A mulţimea ce conţine numerele naturale de forma $7 \mathrm{k}+1$ şi $7 \mathrm{k}+6$ + +B mulţimea ce conţine numerele naturale de forma $7 \mathrm{k}+2$ şi $7 \mathrm{k}+5$ + +C mulţimea ce conţine numerele naturale de forma $7 \mathrm{k}+3$ şi $7 \mathrm{k}+4$ + +.. 1 p. + +Fiind 4 numere (nedivizibile cu 7), există cel puțin 2 dintre ele care sunt din aceeași mulțime. Dacă sunt de același tip atunci diferența lor este divizibilă cu 7, dacă nu atunci suma lor este divizibilă cu 7. + +## Subiectul 4 + +In trapezul dreptunghic $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{m}(\prec \mathrm{A})=90^{\circ}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{DC}$, diagonala $\mathrm{BD}$ intersectează înălțimea $\mathrm{CE}$ în punctul $\mathrm{O}$. Dacă $\mathrm{M} \in(\mathrm{OB})$, paralela prin $\mathrm{O}$ la $\mathrm{AB}$ intersectează dreapta $\mathrm{CM}$ în $\mathrm{P}$, iar dreptele ME și AD se intersectează în N demonstrați că: + +a) triunghiul CEP este isoscel; + +b) semidreapta CE este bisectoarea unghiului NCM. + +Prof. Ivan Ion şi Mihuţ Ioan Piatra Neamţ + +a) $\triangle \mathrm{OEB} \equiv \triangle \mathrm{OCD}$ + +$1 p$ + +OP mediatoarea segmentului CE $.1 \mathrm{p}$ + +Finalizare $\triangle \mathrm{MCD}$ : OP $\| \mathrm{DC} \Rightarrow \frac{M O}{O D}=\frac{M P}{P C}$ + +$\triangle \mathrm{MDN}: \mathrm{OE} \| \mathrm{DN} \Rightarrow \frac{O M}{O D}=\frac{M E}{E N}$ $.1 \mathrm{p}$ + +In $\triangle \mathrm{MCN} \operatorname{din} \frac{M P}{P C}=\frac{M E}{E N} \Rightarrow \mathrm{PE} \| \mathrm{CN}$ $1 \mathrm{p}$ + +$\prec \mathrm{PEC} \equiv \prec \mathrm{ECN}, \prec \mathrm{PEC} \equiv \prec \mathrm{ECP}$ și finalizare $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_33f37a2a8e4ac5ef94e0g-3.jpg?height=202&width=291&top_left_y=76&top_left_x=514) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
9 FEBRUARIE 2013
CLASA a VII-a + +## Subiectul 1. + +a. Se consideră numerele: $a=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{6}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ şi $b=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{1007}}{2}$. + +Calculaţi media aritmetică a numerelor a şi b. + +b. Aflaţi între ce numere întregi consecutive este numărul + +$$ +x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}} +$$ + +## Subiectul 2. + +Se consideră $E(m ; n)=\sqrt{3 \cdot 5^{m}+25^{n}}$, unde $m, n \in \mathbb{N}$. + +a) Să se arate că $E(2013 ; 1006) \in \mathbb{Q}$ şi $E(1006 ; 2013) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +b) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{Q}$. + +c) Arătaţi că există o infinitate de perechi $(m ; n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ astfel încât $E(m ; n) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +## Subiectul 3. + +Fie patrulaterul $\mathrm{ABCD}$ cu $\mathrm{BD} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{O}\}$, O fiind mijlocul segmentului [BD]. Paralelele duse prin $\mathrm{O}$ la $\mathrm{BC}$ si $\mathrm{CD}$ intersectează pe $\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{AD}$ in punctele $\mathrm{P}$ si respectiv $\mathrm{Q}$. + +a. Demonstraţi că patrulaterul $\mathrm{ABCD}$ este paralelogram daca si numai daca $\mathrm{BD}=2 \mathrm{PQ}$. + +b. Arătaţi că, orice 4 numere naturale, nedivizibile cu 7 , am pune în vârfurile patrulaterului, există întotdeauna cel puţin o latură sau o diagonală pentru care suma sau diferenţa numerelor de la capetele ei să fie un număr divizibil cu 7. + +## Subiectul 4. + +In trapezul dreptunghic $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{m}(\prec \mathrm{A})=90^{\circ}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{DC}$, diagonala $\mathrm{BD}$ intersectează înălțimea $C E$ în punctul $O$. Dacă $M \in(O B)$, paralela prin $O$ la $A B$ intersectează dreapta $\mathrm{CM}$ în $\mathrm{P}$, iar dreptele $\mathrm{ME}$ și $\mathrm{AD}$ se intersectează în $\mathrm{N}$ demonstraţi că: + +a)triunghiul CEP este isoscel; + +b)semidreapta CE este bisectoarea unghiului NCM. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1348-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1348-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56683074b1d1adfabb184fa758a3c85d664a2cd2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1348-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,122 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
9 FEBRUARIE 2013
CLASA a VI-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +$$ +\text { a. } \begin{aligned} +\mathrm{a} & =2^{2 n+2} \cdot 7^{n+3}+11 \cdot 2^{2 n+5} \cdot 7^{n}+2^{2 n} \cdot 7^{n+3}-27 \cdot 2^{2 n+1} \cdot 7^{n} \\ +& =2^{2 n} \cdot 2^{2} \cdot 7^{n} \cdot 7^{3}+11 \cdot 2^{2 n} \cdot 2^{5} \cdot 7^{n}+2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot 7^{3}-27 \cdot 2^{2 n} \cdot 2^{1} \cdot 7^{n} \\ +& =2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot\left(2^{3} \cdot 7^{3}+11 \cdot 2^{5}+7^{3}-27 \cdot 2^{1}\right) \\ +& =2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot(4 \cdot 343+11 \cdot 32+343-54) \\ +& =2^{2 n} \cdot 7^{n} \cdot 2013 +\end{aligned} +$$ + +Deci a se divide cu 2013 + +$3 \mathrm{p}$. +b. + +Fie d - divizor comun al nr. a si b + +$\mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}} \cdot 3+4 \Rightarrow \mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}+1}+28$ + +$\mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}} \cdot 7+6 \Rightarrow \mathrm{d} / 21^{\mathrm{n}+1}+18 \Rightarrow \mathrm{d} / 10 \Rightarrow \mathrm{d} \in\{1,2,5,10\}$ $2 p$ + +$u(a)=7, u(b)=3 \Rightarrow d=1$ $2 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 2. + +Notez cu x lungimea de drum pe care prima echipă o lucrează în plus în fiecare zi faţă de ziua precedentă. + +Echipa 1 construieşte: $1 \mathrm{~km}$ în prima zi, $(1+\mathrm{x}) \mathrm{km}$ a doua zi, $(1+2 \mathrm{x}) \mathrm{km}$ în a treia $z i, \ldots$, $(1+59 \mathrm{x}) \mathrm{km}$ în a 60 -a zi $\Rightarrow 1+59 x=3 \Rightarrow x=\frac{2}{59} \mathrm{~km}$ + +Lungimea de drum construită de prima echipă este: + +$$ +1+1+\frac{2}{59}+1+2 \cdot \frac{2}{59}+\cdots+1+59 \cdot \frac{2}{59}=60+\frac{2}{59}(1+2+\cdots+59) +$$ + +$=60+\frac{2}{59} \cdot 59 \cdot 60: 2=120 \mathrm{~km}$ 3 p. + +Notez cu y lungimea de drum pe care a doua echipă o lucrează în minus în fiecare zi faţă de ziua precedentă. + +Echipa 2 construieşte: $4 \mathrm{~km}$ în prima zi, $(4-\mathrm{x}) \mathrm{km}$ a doua zi, $(4-2 \mathrm{x}) \mathrm{km}$ în a treia zi, $(4-59 x) \mathrm{km}$ în a 60 -a zi. $\Rightarrow 4-59 x=1 \Rightarrow x=\frac{3}{59} \mathrm{~km}$ + +Lungimea de drum construită de a doua echipă este: + +$$ +4+4-\frac{3}{59}+4-2 \cdot \frac{3}{59}+\cdots+4-59 \cdot \frac{3}{59}=4 \cdot 60-\frac{3}{59}(1+2+\cdots+59) +$$ + +$=4 \cdot 60-\frac{3}{59} \cdot 59 \cdot 60: 2=150 \mathrm{~km}$ + +## Subiectul 3. + +Consider că pe $\left[\mathrm{BA}-[\mathrm{AB}]\right.$ sunt situate $k$ puncte notate $\mathrm{M}_{\mathrm{k}}$, iar pe $[\mathrm{AB}-[\mathrm{AB}]$ sunt situate 2013 - k puncte notate $\mathrm{M}_{2013-\mathrm{k}}$. + +Notam cu S suma distantelor de la A la cele 2013 puncte. + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{S}_{1}=\mathrm{AM}_{1}+\mathrm{AM}_{2}+\ldots . .+\mathrm{AM}_{\mathrm{k}}+\mathrm{AM}_{\mathrm{k}+1}+\mathrm{AM}_{\mathrm{k}+2}+\ldots . .+\mathrm{AM}_{2013} \\ +& \mathrm{~S}_{1}=\mathrm{AM}_{1}+\mathrm{AM}_{2}+\ldots . .+\mathrm{AM}_{\mathrm{k}}+\mathrm{AB}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+1}+\mathrm{AB}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+2}+\ldots . .+\mathrm{AB}+\mathrm{BM}_{2013} \ldots .2 \mathrm{p} \\ +& \mathrm{S}_{1}=\mathrm{AM}_{1}+\mathrm{AM}_{2}+\ldots . .+\mathrm{AM}_{\mathrm{k}}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+1}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+2}+\ldots . .+\mathrm{BM}_{2013}+(2013-\mathrm{k}) \cdot \mathrm{AB} \ldots .2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +Notam cu $\mathrm{S}_{2}$ suma distantelor de la B la cele 2013 puncte. + +$\mathrm{S}_{2}=\mathrm{BM}_{1}+\mathrm{BM}_{2}+\ldots . .+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+1}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+2}+\ldots . .+\mathrm{BM}_{2013}$ si analog $\mathrm{S}_{2}=\mathrm{AM}_{1}+\mathrm{AM}_{2}+\ldots . .+\mathrm{AM}_{\mathrm{k}}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+1}+\mathrm{BM}_{\mathrm{k}+2}+\ldots . .+\mathrm{BM}_{2013}+\mathrm{k} \cdot \mathrm{AB}$ $2 \mathrm{p}$ + +Daca $\mathrm{S}_{1}=\mathrm{S}_{2} \Rightarrow(2013-\mathrm{k}) \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{AB} \Rightarrow 2 \mathrm{k}=2013$ imposibil $\Rightarrow \mathrm{S}_{1} \neq \mathrm{S}_{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 4. + +a) $-\Varangle \mathrm{BAM} \equiv \Varangle \mathrm{CAM} \equiv \Varangle \mathrm{CAP} \equiv \Varangle \mathrm{PAD}$ $.2 p$ + +$-[A M] \equiv[A P]$ $.1 p$ + +$-\mathrm{ME} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{PQ} \perp \mathrm{AD}, \mathrm{ME}=\mathrm{PQ}$ + +b) $-\mathrm{MP} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{O}\}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_33b2d5f3c12b31bddfc6g-2.jpg?height=74&width=1528&top_left_y=1556&top_left_x=207) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_33b2d5f3c12b31bddfc6g-2.jpg?height=71&width=1513&top_left_y=1638&top_left_x=206) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_33b2d5f3c12b31bddfc6g-3.jpg?height=204&width=296&top_left_y=75&top_left_x=560) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
9 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a VI-a + +## Subiectul 1. + +a. Să se arate că numărul $a=2^{2 n+2} \cdot 7^{n+3}+11 \cdot 2^{2 n+5} \cdot 7^{n}+2^{2 n} \cdot 7^{n+3}-27 \cdot 2^{2 n+1} \cdot 7^{n}$ este divizibil cu 2013, oricare ar fi $n \in \mathbf{N}$. + +b. Aflaţi cel mai mare divizor comun al numerelor $a=3^{\mathrm{n}+1} \cdot 7^{\mathrm{n}}+4$ şi $b=3^{\mathrm{n}} \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+6$, unde $\mathrm{n}$ este număr natural. + +( G.M. 11- 2012) + +## Subiectul 2. + +Autostrada dintre localitățile A și B a fost construită de două echipe de muncitori în 60 de zile. Prima echipă începe din A și execută în prima zi $1 \mathrm{~km}$, apoi zilnic cu o aceeaşi lungime mai mult decât ziua precedentă, până în ultima zi când execută $3 \mathrm{~km}$. A doua echipă începe din $\mathrm{B}$, face în prima zi $4 \mathrm{~km}$ apoi zilnic cu o aceeaşi lungime mai puțin decât ziua precedentă, până în ultima zi când execută $1 \mathrm{~km}$. Care este lungimea autostrăzii? + +## Subiectul 3. + +Pe dreapta d se iau punctele A şi B, iar pe AB-[AB] se consideră 2013 puncte distincte. Să se arate că suma distanţelor de la punctul A la cele 2013 puncte este diferită de suma distanţelor de la punctul B la cele 2013 puncte. + +( G.M. 9- 2009) + +## Subiectul 4. + +Triunghiurile $\mathrm{ABC}$ şi $\mathrm{ADC}$ sunt situate în semiplane diferite faţă de dreapta $\mathrm{AC}$. Fie punctele $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{P}, \mathrm{M} \in(\mathrm{BC}), \mathrm{P} \in(\mathrm{DC})$. Fiecare dintre măsurile unghiurilor $\Varangle \mathrm{BAM}, \Varangle \mathrm{MAC}, \Varangle \mathrm{CAP}, \Varangle \mathrm{PAD}$ este media aritmetică a măsurilor celorlalte trei unghiuri, iar AC $\perp$ MP. Demonstraţi că: + +a) Distanța de la $\mathrm{M}$ la $\mathrm{AB}$ este egală cu distanța de la $\mathrm{P}$ la $\mathrm{AD}$. +b) $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AD}]$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1349-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1349-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fee7b6a3bcb9a4e568336b3170acce39f774754c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1349-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,103 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
9 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a V-a + +Bareme + +## Subiectul 1. + +a)Aflarea numerelor $\mathrm{a}=2013, \mathrm{~b}=5$ și $\mathrm{c}=401$ + +(5p) $(2+2+1)$ + +b)Verificare + +c)Justificarea falsității relației $(r<5)+$ aflarea restului adevărat $(r=3)$ + +## Subiectul 2. + +Găsirea relației de recurență $x_{n}=4 n+1, n \geq 0$ + +a)Aflarea ordinului termenului 2013 ( $\mathrm{n}=504$ ) + +b)Aflarea termenului $x_{2013}=4 \cdot 2012+1=8048$ (1p) +c) $U\left(x_{n}\right)=1,5,9$, 3sau 7 + +Din cei 6 termeni ai șirului cel puțin doi au aceeași ultima cifra (1p) + +Cei doi termeni cu aceeași cifra au diferența cu ultima cifra 0 , deci divizibilă cu 10 + +## Subiectul 3. + +Scrierea in baza $10, \overline{a b c}+\overline{b c a}+\overline{c a b}=111(a+b+c)$ + +$M_{a}=[111(a+b+c)]: 3=37(a+b+c)$ + +Scrierea în baza $10, \overline{a a b}+\overline{b b a}=111(a+b)$ + +$M_{a}=111(a+b): 2$ + +$[111(a+b)]: 2=37 \cdot(a+b+c) \Leftrightarrow 2 \cdot 37 \cdot(a+b+c)=111(a+b) \Leftrightarrow a+b=2 c$ + +$c=5$ (pentru că $\mathrm{c}=0$ nu permite existenta numărului $\overline{c a b}$ ), deci $\mathrm{a}+\mathrm{b}=10$ + +Găsirea tuturor perechilor (a,b) și a numerelor 195, 285,375 ,465, 645,735, 825, 915 + +## Subiectul 4. + +Notez cu $x$ vârsta fiicei mici, cu $\mathrm{m}$ vârsta mamei și cu $t$ vârsta tatălui. + +Vârstele celorlalte două fiice vor fi $\mathrm{x}+2$, respectiv $\mathrm{x}+4$. + +Din relațiile: $\quad t+m+x+(x+2)+(x+4)=88$ + +$x+(x+2)+(x+4)=m-10$ și + +$t=m+x$ + +obținem că $\mathrm{x}=5$, adică: + +fetele au 5,7 , respectiv 9 ani + +mama are 31 de ani + +tatăl are 36 de ani. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f98a9d6c106196fc3d80g-2.jpg?height=212&width=310&top_left_y=68&top_left_x=496) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 9 FEBRUARIE 2013 + +## CLASA a V-a + +## Subiectul 1. + +Fie numerele $a=2013^{4}-2012 \cdot 2013^{3}-2012 \cdot 2013^{2}-2012 \cdot 2013$, $b=\left(5 \cdot 5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4} \cdot \ldots \cdot 5^{10}\right): 125^{18}$ şi $c=401-401 \cdot\left[\left(2^{2} \cdot 3^{2}\right)^{5}:\left(2 \cdot 3^{2}\right)^{5}-(3312: 16-2800: 16)\right]$. + +a. Calculați a, b și c. + +b. Verificați dacă $a=b \cdot c+8$. + +c. Egalitatea de la punctul b. reprezintă formula teoremei împărțirii cu rest, pentru împărțirea numărului $a$ la numărul $b$ ? Justificați . + +## Subiectul 2 . + +Se consideră șirul de numere $1,5,9,13,17, \ldots \ldots$ + +a. Aflați al câtelea termen al șirului este numărul 2013. + +b. Aflați al 2013-lea termen al șirului. + +c. Arătați că oricum am alege 6 termeni din șir există doi dintre ei ce au diferența divizibilă cu 10 . + +## Subiectul 3. + +Să se găsească toți multiplii lui 5 de forma $\overline{a b c}$ astfel încât media aritmetică a numerelor + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f98a9d6c106196fc3d80g-2.jpg?height=60&width=1271&top_left_y=1929&top_left_x=198) + +## Subiectul 4. + +Suma vârstei tatălui, mamei și a celor trei fiice este de 88 ani. Suma vârstelor celor trei fete este cu 10 ani mai mică decât vârsta mamei. Vârsta tatălui este cât vârsta mamei și vârsta fiicei mai mici la un loc. Una dintre fete este cu doi ani mai tânără decât o alta și cu doi ani mai în vârstă decât cea de-a treia. Ce vârstă are fiecare? + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru: 3 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-135-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-135-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa8acd0f7ddb1b7677f7639312e3a3609d09620c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-135-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA
21 februarie 2016
CLASA a V - a + +1. Fie numerele $m=(1+2+3)^{4}+5 \cdot 6 \cdot(7+8+9)$ și $n=1+2+3+\ldots+63$. + +a) (3p) Calculați $2016^{m-n}$. + +b) (4p) Determinați cel mai mare și cel mai mic număr natural nenul care împărtitit la $n$ dă câtul egal cu un sfert din rest. + +2. Pătratul unui număr natural $N$ de două cifre este un număr natural de trei cifre, care are cifra zecilor dată de suma dintre cifra unităţilor şi cea a sutelor. + +a) (3p) Arătaţi că cifra sutelor este egală cu cifra unitătịilor. + +b) (4p) Determinaţi toate numerele naturale $N$ cu proprietatea din enunţ. + +3. (7p) Se dau mulțimile $A=\left\{x / x=11 a-3 ; a \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ și $B=\{y / y=103-2 b ; b \in \mathbb{N}\}$. + +Determinați $A \cap B$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 2 ore. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## Clasa a V-a + +1. Fie numerele $m=(1+2+3)^{4}+5 \cdot 6 \cdot(7+8+9)$ și $n=1+2+3+\ldots+63$. + +a) (3p) Calculați $2016^{m-n}$. + +b) (4p) Determinați cel mai mare și cel mai mic număr natural nenul care împărțit la $n$ dă câtul egal cu un sfert din rest. + +Prof. Stela Boghian + +## Solutie: + +a) $m=6^{4}+5 \cdot 6 \cdot 24=1296+720=2016$ și $n=63 \cdot 64: 2=2016 \Rightarrow 2016^{m-n}=2016^{0}=1$. + +b) Din teorema împărțirii cu rest avem $d=2016 \cdot c+r ; r<2016$; cum $c=\frac{r}{4} \Rightarrow r$ trebuie să fie multiplu de 4. Cel mai mare număr se obține pentru $r=2012$, iar cel mai mic număr nenul pentru $r=4$. Numerele căutate sunt 1016060 și 2020. + +## Barem + +| a) | $m=6^{4}+5 \cdot 6 \cdot 24=1296+720=2016$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | $n=63 \cdot 64: 2=2016$ | $1 p$ | +| b) | Din teorema împărțirii cu rest avem $d=2016 \cdot c+r ; r<2016 ;$ cum $c=\frac{r}{4}$
$r$ trebuie să fie multiplu de 4. | $1 p$ | +| | Cel mai mare număr se obține pentru $r=2012$, acesta este 1016060. | $2 p$ | +| | iar cel mai mic număr nenul pentru $r=4$; acesta este 2020. | $1 p$ | + +2. Pătratul unui număr natural $N$ de două cifre este un număr natural de trei cifre, care are cifra zecilor dată de suma dintre cifra unităţilor şi cea a sutelor. + +a) (3p) Arătaţi că cifra sutelor este egală cu cifra unităților. + +b) (4p) Determinaţi toate numerele naturale $N$ cu proprietatea din enunţ. + +Prof. Liliana Timofti + +## Solutie: a) + +$N^{2}=\overline{a(a+b) b}=100 a+10(a+b)+b=100 a+10 a+10 b+b=11(10 a+b)=11 \cdot \overline{a b} \Rightarrow N^{2}$ : 11 . Cum + +11 este număr prim, $\overline{a b}: 11$, de unde $a=b$. + +b) Aşadar: $N^{2}=11(10 a+a)=11^{2} a \Rightarrow a=k^{2}$ + +Deoarece $a$ este cifră nenulă şi pătratul unui număr natural, rezultă $a \in\{1,4,9\}$. + +Cum $N^{2}=\overline{a(a+b) b}=\overline{a(2 a) a}, 2 a$ este cifră şi $a=9 \Rightarrow 2 a=18$ care nu convine. + +Aşadar $a=1 \Rightarrow N=11$ sau $a=4 \Rightarrow N=22$. + +## Barem + +| | | | +| :--- | :--- | :---: | +| | $\Rightarrow N^{2}: 11$. Cum 11 este număr prim, $\overline{a b} \vdots 11$, de unde $a=b$. | $1 p$ | +| b) | $N^{2}=11(10 a+a)=11^{2} a \Rightarrow a=k^{2}$ | $1 p$ | +| | Deoarece $a$ este cifră nenulă şi pătratul unui număr natural, rezultă $a \in\{1,4,9\}$. | $1 p$ | +| | Cum $N^{2}=\overline{a(a+b) b}=\overline{a(2 a) a}, 2 a$ este cifră şi $a=9 \Rightarrow 2 a=18$ care nu convine. | $1 p$ | +| | Aşadar $a=1 \Rightarrow N=11$ sau $a=4 \Rightarrow N=22$ | $1 p$ | + +3. (7p) Se dau mulțimile $A=\left\{x / x=11 a-3 ; a \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ și $B=\{y / y=103-2 b ; b \in \mathbb{N}\}$. Determinați $A \cap B$. + +G.M. nr. 11/2015 + +Soluție: $\quad A \cap B$ conține elementele comune, deci $x=y \Rightarrow 11 a-3=103-2 b \Rightarrow 11 a+2 b=106$. Cum $2 b$ și 106 sunt numere pare, rezultă că și $11 a$ este număr par, adică $a$ este număr par. El fiind și nenul, rezultă că $a \in\{2,4,6,8\}$, pentru valori mai mari relația $11 a+2 b=106$ nu poate fi îndeplinită în $\mathbb{N}$. În concluzie $A \cap B=\{19,41,63,85\}$. + +## Barem + +| $A \cap B$ conține elementele comune,
deci $x=y \Rightarrow 11 a-3=103-2 b \Rightarrow 11 a+2 b=106$. | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| Cum $2 b$ și 106 sunt numere pare, rezultă că și $11 a$ este număr par, adică $a$ este
număr par | $2 p$ | +| El fiind și nenul, rezultă că $a \in\{2,4,6,8\}$, pentru valori mai mari
relația $11 a+2 b=106$ nu poate fi îndeplinită. | $2 p$ | +| În concluzie $A \cap B=\{19,41,63,85\}$. | $1 p$ | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1350-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1350-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a44e20516e64be3aa7a089eacdc80894b003e210 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1350-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,112 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +Etapa locală a Olimpiadei nationale de matematică Clasa a XII-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Barem de corectare + +# Problema 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7fa7403e5df6bc1f287eg-1.jpg?height=199&width=944&top_left_y=754&top_left_x=593) + +## Problema 2. + +Oficiu + +Presupunere prin absurd $3 \mathrm{p}$ + +Există $a \in R$ astfel ca $f(a)=-1 \ldots 2 \mathrm{p}$ + +$a=0$ + +$1=-1$, absurd $\longrightarrow 2 \mathrm{p}$ + +Total + +$2 \mathrm{p}$ + +Problema 3. + +Oficiu + +Identitatea $\sin x \cos x \cos (2 x) \ldots \cos \left(2^{2013} x\right)=\frac{\sin \left(2^{2014} x\right)}{2^{2014}} 1 \mathrm{p}$ + +Finalizare __ $4 \mathrm{p}$ + +Total $10 \mathrm{p}$ + +Problema 4. + +Oficiu_ + +$$ +g(x)= \begin{cases}\sin \frac{1}{x}, & x \in[-1,0) \cup(0,1] \\ 0, & x=0\end{cases} +$$ + +admite primitive + +$f=g+h \mathrm{cu}$ + +$$ +h(x)= \begin{cases}a, & x \in[-1,0) \\ 0, & x=0 \\ b, & x \in(0,1]\end{cases} +$$ + +$f$ admite primitive dacă şi numai dacă $h$ admite primitive_ + +$\_2 p$ + +3 p + +$f$ admite primitive dacă şi numai dacă $a=b=0$ + +Total + +$10 \mathrm{p}$ + +Etapa locală a Olimpiadei nationale de matematică Clasa a XII-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Problema 1. Pe $Z$ considerăm legea de compoziţie internă, , o" definită pentru $x, y \in Z$ prin + +$$ +x \circ y=a x y+b(x+y)+c +$$ + +unde $a, b, c \in Z$. + +Să se arate că: + +(i) Legea de compoziţic ,, o" este asociativă dacă şi numai dacă + +$$ +b^{2}-b-a c=0 +$$ + +(ii) Dacă $b^{2}-b-a c=0$, atunci legea de compoziţie,, o" admite element neutru dacă şi numai dacă $b$ divide $c$. + +Problema 2. Să se arate că grupurile $(R,+)$ şi $\left(R^{*}, \cdot\right)$ nu sunt izomorfe. + +Problema 3. Să se calculeze $\int \sin x \cos x \cos (2 x) \ldots \cos \left(2^{2013} x\right) d x$. + +Problema 4. Să se determine numerele reale $a$ şi $b$ astfel încât $f:[-1,1] \rightarrow R$, + +$$ +f(x)= \begin{cases}a+\sin \frac{1}{x}, & x \in[-1,0) \\ 0, & x=0 \\ b+\sin \frac{1}{x}, & x \in(0,1]\end{cases} +$$ + +să admită primitive pe $[-1,1]$. + +(Gazeta Matematică) + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 1 la 10; + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1351-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1351-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bee6c72f581a86271c101bdb2a46fd6ecdac7ddc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1351-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,176 @@ +Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului
şi Sportului
Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj
Filiala Craiova a SSMR + +# Etapa locală a
Olimpiadei naţionale de matematică
Clasa a XI-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Barem de corectare +Problema 1. +Existenţa unui şir $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, strict crescător şi nemărginit superior ..... $4 p$ +Divergenţa şirului $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +Construcţia lui $n_{1}(\varepsilon)$ ..... 2p +Convergenţa şirului $\left(a_{k(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Oficiu ..... $1 p$ +Total ..... $10 p$ +Problema 2. +$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a x^{2}+b}{\sqrt{1+x^{4}}}=a$ ..... $5 p$ +$\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=\frac{1}{b^{3}} \cdot \lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty$ ..... $3 p$ +$\stackrel{x \rightarrow+\infty}{N e m a ̆ r g i n i r e a ~ l u i ~} g$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Oficiu ..... $1 p$ +Total ..... $10 \mathrm{p}$ +Problema 3. +$x_{n+1}^{2}+x_{n}^{2}-4 x_{n} x_{n+1}-2 x_{n+1}-2 x_{n}=0$ ..... $3 p$ +$x_{n+2}=4 x_{n+1}-x_{n}-2$ ..... $4 p$ +Inductia matematică ..... 2p +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +Total ..... $10 \mathrm{p}$ +Problema 4. +$A=2011 I_{3}+B$ ..... $4 p$ +$B^{3}=O_{3}$ ..... $3 \mathrm{p}$ +$A^{n}=\left(2011 I_{3}+B\right)^{n}=2011^{n} I_{3}+n 2011^{n-1} B+\frac{n(n-1)}{2} 2011^{n-2} B^{2}$ ..... 2p +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +Total ..... $10 \mathrm{p}$ + +Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului
şi Sportului
Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj
Filiala Craiova a SSMR + +# Etapa locală a
Olimpiadei nationale de matematică
Clasa a XI-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Soluţii + +Problema 1. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ un şir de numere reale convergent la $a$, având toţi termenii diferiţi de $a$, şi fie $k: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ o funcţie. Demonstraţi că următoarele afirmatii sunt echivalente: + +(a) $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{k(n)}=a$; + +(b) pentru orice $y \in \mathbb{N}$ mulţimea $\{x \in \mathbb{N} \mid k(x)=y\}$ este finită (mulţimea vidă este finită, având zero elemente). + +Soluţie. $(a) \Longrightarrow(b)$ Dacă pentru un $y_{0} \in \mathbb{N}$ mulţimea $\left\{x \in \mathbb{N} \mid k(x)=y_{0}\right\}$ ar fi infinită, ea ar include un şir strict crescător şi nemărginit superior, notat cu $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. Atunci, şirul $\left(a_{k\left(u_{n}\right)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, unde $a_{k\left(u_{n}\right)}=a_{y_{0}} \neq a$, este un subşir constant al şirului $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. În concluzie, acesta din urmă nu mai poate converge la $a$. + +$(b) \Longrightarrow(a)$ Oricare ar fi $\varepsilon>0$ există $n(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ astfel încât $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ pentru orice $n \geq n(\varepsilon)$. Mulţimile $\left(M_{i}\right)_{0 \leq i \leq n(\varepsilon)}$, unde $M_{i}=\{x \in \mathbb{N} \mid k(x)=i\}$, fiind finite, există $n_{1}(\varepsilon)$ astfel încât $n \notin \underset{0 \leq i \leq n(\varepsilon)}{\bigcup} M_{i}$ pentru orice $n \geq n_{1}(\varepsilon)$. Aceasta ne conduce la $k(n)>n(\varepsilon)$ pentru orice $n \geq n_{1}(\varepsilon)$. Deci $\left|a_{k(n)}-a\right|<\varepsilon$ pentru orice $n \geq n_{1}(\varepsilon)$. + +Problema 2. Fie $a, b>0$ şi funcţiile $f, g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b^{3}$ şi + +$$ +f\left(\frac{a x^{2}+b}{\sqrt{1+x^{4}}}\right) \cdot g(x)=x \quad \text { pentru orice } x>0 +$$ + +Să se arate că funcţia $g$ nu este mărginită. + +Soluţie. Observăm că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a x^{2}+b}{\sqrt{1+x^{4}}}=a$, de unde rezultă că + +$$ +\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=\frac{1}{b^{3}} \cdot \lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty +$$ + +Am obţinut că $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=+\infty$, deci $g$ nu poate fi mărginită. + +Problema 3. Demonstraţi că toţi termenii şirului definit prin relaţiile + +$$ +x_{1}=0, \quad x_{n+1}=1+2 x_{n}+\sqrt{3 x_{n}^{2}+6 x_{n}+1}, n \geq 0 +$$ + +sunt numere naturale. + +Solutie. Observăm că şirul este strict crescător. Ridicând la pătrat relaţia de recurenţă, obţinem + +$$ +x_{n+1}^{2}+x_{n}^{2}-4 x_{n} x_{n+1}-2 x_{n+1}-2 x_{n}=0 +$$ + +Din această relaţie scădem relaţia omoloagă obţinută prin înlocuirea $n \rightarrow$ $n+1$ şi ajungem la + +$$ +x_{n+2}=4 x_{n+1}-x_{n}-2, \quad n \geq 1 +$$ + +Cum $x_{1}=0$ şi $x_{2}=2$, concluzia rezultă prin inducţie matematică. + +Problema 4. Fie matricea + +$$ +A=\left(\begin{array}{rcc} +2011 & 2012 & 2013 \\ +2013 & 2011 & 0 \\ +-2012 & 0 & 2011 +\end{array}\right) +$$ + +Să se calculeze $A^{n}$, unde $n \in \mathbb{N}$. + +Soluţie. Observăm că $A=2011 \cdot I_{3}+B$, unde + +$$ +B=\left(\begin{array}{ccc} +0 & 2012 & 2013 \\ +2013 & 0 & 0 \\ +-2012 & 0 & 0 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} +0 & a & a+1 \\ +a+1 & 0 & 0 \\ +-a & 0 & 0 +\end{array}\right) +$$ + +şi + +$$ +B^{2}=\left(\begin{array}{ccc} +0 & 0 & 0 \\ +0 & a(a+1) & (a+1)^{2} \\ +0 & -a^{2} & -a(a+1) +\end{array}\right), \quad B^{3}=O_{3} +$$ + +Astfel, $A^{n}=\left(2011 \cdot I_{3}+B\right)^{n}=2011^{n} \cdot I_{3}+n \cdot 2011^{n-1} B+\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2011^{n-2} B^{2}$, unde $n \geq 2$. + +Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +# Etapa locală a Olimpiadei naționale de matematică Clasa a XI-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Problema 1. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ un şir de numere reale convergent la $a$, având toţi termenii diferiţi de $a$, şi fie $k: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ o funcţie. Demonstraţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: + +(a) $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{k(n)}=a$; + +(b) pentru orice $y \in \mathbb{N}$ mulţimea $\{x \in \mathbb{N} \mid k(x)=y\}$ este finită (mulţimea vidă este finită, având zero elemente). + +Problema 2. Fie $a, b>0$ şi funcţiile $f, g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b^{3}$ si + +$$ +f\left(\frac{a x^{2}+b}{\sqrt{1+x^{4}}}\right) \cdot g(x)=x \quad \text { pentru orice } x>0 +$$ + +Să se arate că funcţia $g$ nu este mărginită. + +Problema 3. Demonstraţi că toţi termenii şirului definit prin relaţiile + +$$ +x_{1}=0, \quad x_{n+1}=1+2 x_{n}+\sqrt{3 x_{n}^{2}+6 x_{n}+1}, n \geq 0 +$$ + +sunt numere naturale. + +Problema 4. Fie matricea + +$$ +A=\left(\begin{array}{rcc} +2011 & 2012 & 2013 \\ +2013 & 2011 & 0 \\ +-2012 & 0 & 2011 +\end{array}\right) +$$ + +Să se calculeze $A^{n}$, unde $n \in \mathbb{N}$. + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Fiecare problemă se notează cu puncte de la 1 (din oficiu) la 10 . +3. Timp de lucru: 3 ore. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1352-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1352-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c166ef0d80adc1f4e5e9570d44af00e1f7345e53 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1352-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,192 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică + +Clasa a X-a
Craiova, 9 februarie 2013
Soluţii + +# Problema 1. + +Fie $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ astfel încât $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$. Deducem că $g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)$, iar cum $g \circ f$ cste injectivă avem că $x_{1}=x_{2}$. Aşadar, $f$ este injectivă. + +Fie $y \in \mathbb{R}$. Din faptul că $f \circ g$ este surjectivă obţincm că există $x^{\prime} \in \mathbb{R}$ astfel încât $f\left(g\left(x^{\prime}\right)\right)=y$. Aşadar, există $x=g\left(x^{\prime}\right) \in \mathbb{R}$ astfel încât $f(x)=y$, deci $f$ este surjectivă. In concluzie, $f$ este bijectivă. + +Fie $y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}$ astfel încât $g\left(y_{1}\right)=g\left(y_{2}\right)$. Folosind faptul că $f$ este surjectivă, deducem că există $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ astfel încât $f\left(x_{1}\right)=y_{1}$ si $f\left(x_{2}\right)=y_{2}$. Astfcl, avem că $g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)$, deci $x_{1}=x_{2}$ şi $y_{1}=y_{2}$. Am demonstrat astfel că $g$ este injectivă. + +Fie $x \in \mathbb{R}$ şi fie $y=f(x) \in \mathbb{R}$. Cum $f \circ g$ este surjectivă avem că există $x_{1} \in \mathbb{R}$ astfel încât $f\left(g\left(x_{1}\right)\right)=y$, deci $f\left(g\left(x_{1}\right)\right)=f(x)$. Folosind injectivitatea lui $f$ obţinem că $g\left(x_{1}\right)=x$, adică $g$ este surjectivă. In concluzie, $f$ este bijectivă. + +## Problema 2 . + +Pentru că $a b c=1$, avem că două dintre numerele $a, b, c$ sunt la fel aşezate faţă de 1 , fie acestea $a$ şi $b$. Obţinem astfel că $(a-1)(b-1) \geq 0$, adică + +$$ +a b+1 \geq a+b +$$ + +Inmulțind ultima inegalitate cu $c$ deducem că + +$$ +1+c \geq a c+b c +$$ + +In concluzie, va fi suficient să arătăm că + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 1+c+a b+a+b+c +$$ + +Demonstraţie se incheie pentru că ultima inegalitate se poate rescrie astfel + +$$ +\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{b-1}{2}\right)^{2}+(c-1)^{2} \geq 0 +$$ + +## Problema 3. + +Dacă vom nota prin $t=(\sqrt{5+2 \sqrt{6}})^{x}$ ecuaţia + +$$ +(\sqrt{5+2 \sqrt{6}})^{x}+(\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^{x}=10 +$$ + +devine + +$$ +t+\frac{1}{t}=10 +$$ + +Obţinem rădăcinile + +$$ +t_{1,2}=5 \pm 2 \sqrt{6} +$$ + +deci avem rădăcinile $x_{1,2}= \pm 2$. + +## Problema 4. + +Rezolvând ccuaţia $z+\frac{1}{z}=2 \cos (x)$ obţinem că + +$$ +z_{1,2}=\cos (x) \pm i \sin (x) +$$ + +Deducem astfel că + +$$ +z^{n}+z^{-n}=\cos (n x)+i \sin (n x)+\cos (n x)-i \sin (n x)=2 \cos (n x) +$$ + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +Etapa locală a Olimpiadei nationale de matematică + +Clasa a X-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Barem de corectare + +Problema 1. + +## Problema 1. + +Oficiu + +Demonstrarea fapului c⿱口⿰ $f$ este injectivă $1 p$ + +Demonstrarea fapului că $f$ este surjectivă $2 \mathrm{p}$ + +Demonstrarea fapului că $g$ este injectivă 2 2p + +Demonstrarea fapului că $g$ este surjectivă __ 3p + +Total 10p + +Problema 2. + +Oficiu 1 1p + +Alegerea a două numere $a$ şi $b$ astfel încât $(a-1)(b-1) \geq 0 \_2 p$ + +Deducerea inegalităţii $1+c \geq a c+b c \quad 2 \mathrm{p}$ + +Reducerea inegalităf̧ii la forma $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 1+c+a b+a+b+c 2$ p + +Scrierea inegalităţii sub forma $\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{b-1}{2}\right)^{2}+(c-1)^{2} \geq 0 \_3$ p + +Total + +Problema 3. + +10 p + +Oficiu 1 1p + +Considerarea notaţiei $t=(\sqrt{5+2 \sqrt{6}})^{x} 2 \mathrm{p}$ + +Rescrierea ecuaţ̧iei sub forma $t+\frac{1}{t}=10$ 3p + +Rezolvarca ecuaţiei $t+\frac{1}{t}=10 \longrightarrow$ 2p + +Deducerea rădăcinilor $x_{1,2}= \pm 2 \_2 \mathrm{p}$ + +Total + +$10 \mathrm{p}$ + +## Problema 4. + +Oficiu $1 p$ + +Rezolvarea ecuaţiei şi deducerea soluţiilor $z_{1,2}=\cos (x) \pm i \sin (x) \_\quad 5 \mathrm{p}$ + +Deducerca faptului că $z^{n}+z^{-n}=2 \cos (n x)$ + +Total $4 \mathrm{p}$ + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +Etapa locală a Olimpiadei nationale de matematică Clasa a X-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +## Problema 1. + +Fie $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $g \circ f$ este funcţie injectivă şi $f \circ g$ este funcţie surjectivă. Să se arate că $f$ şi $g$ sunt funcţii bijective. + +## Problema 2. + +Fie $a, b, c>0$, numere reale $c u a b c=1$. Să se arate că + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq a b+b c+a c+a+b+c +$$ + +G. M. C: 2697 + +## Problema 3. + +Rezolvaţi in $\mathbb{R}$ ecuatia + +$$ +(\sqrt{5+2 \sqrt{6}})^{x}+(\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^{x}=10 +$$ + +## Problema 4. + +Dacă $z+\frac{1}{z}=2 \cos (x), x \in \mathbb{R}$, să se calculeze $z^{n}+z^{-n}, \forall n \in \mathbb{N}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 1 la 10; + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1353-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1353-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d538e0a113339912702b9045a7ee193eccbd493b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1353-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,125 @@ +# Olimpiada de matematică-Etapa locală
Craiova, 9 februarie 2013 Clasa a VIII-a
Soluţii + +Problema 1. Egalitatea din enunţ se scrie $\frac{1}{\sqrt{10 x+y}-1}=\frac{10 x+y}{100}$. Notând $z=\sqrt{10 x+y}$, rezultă $\frac{1}{z-1}=\frac{z^{2}}{100}$. Cum $z^{3}-z^{2}-100=\left(z^{3}-125\right)-\left(z^{2}-25\right)=$ $(z-5)\left(z^{2}+4 z+20\right)$ şi $z^{2}+4 z+20>0$ pentru orice $z$ număr real, deducem cá $z=5$. Atunci $\sqrt{10 x+y}=5$ de unde $10 x+y=25$. Aşadar $\overline{x y}=25$. + +## Problema 2. + +a) Fie $O=A C \cap B D$. Deoarece piramida $S A B C D$ este regulată $\triangle S A C$ este isoscel, deci $\widehat{Q A O} \equiv \widehat{N C O}$. Cum $A B C D$ este pătrat, vom avea $[A O] \equiv$ $[O C]$. Pe de altă parte, cum $\triangle S B C \equiv \triangle S D A$, vom avea $[B C] \equiv[D A]$, $\widehat{B C N} \equiv \widehat{D A Q}, \widehat{C N B} \equiv \widehat{D Q A}=90^{\circ}$, deci $\triangle B C N \equiv \triangle D A Q$. De aici obţinem că $[N C] \equiv[A Q]$, şi prin urmare $\triangle A Q O \equiv \triangle C N O$. De aici rezultă $\widehat{Q O A} \equiv \widehat{N O C}$. Se observă că $(S A C) \perp(A B C D)$ şi fie $F \in A C, N F \perp A C$, $R \in N F$. Avem $[N F] \equiv[F R]$ şi $O F \perp N R$, deci $\triangle N O R$ este isoscel si $\widehat{N O C} \equiv \widehat{R O C}$ deci $\widehat{Q O A} \equiv \widehat{R O C}$. Cum $R \in N F \subset(S A C)$, va rezulta $Q, O$, $R$ coliniare, deci $\{O\}=Q R \cap D B$, in consecinţă $B, R, Q, D$ sunt coplanare. + +b) Analog ca mai sus se arată că $[M B] \equiv[P D]$, deci $[S P] \equiv[S M]$. Din reciproca teoremei lui Thales rezultă că $P M \| D B$. Dar $A B C D$ pătrat, deci $D O \perp A C$. De asemenea $S O \perp D O$, deci $D O \perp(S A C)$. Cum $Q R \subset(S A C)$, vom avea $Q R \perp D O$, deci $D B \perp Q R$. Atunci $P M \perp Q R$ §i $m \widehat{(\widehat{M P, R} Q)=}$ $90^{\circ}$. + +Problema 3. Din enunt deducem că $9 a^{2}-6 a+9 b^{2}-42 b+46=0$. Prin urmare $(3 a-1)^{2}+(3 b-7)^{2}=4$. De aici obținem $(3 a-1)^{2} \leq 4$ si $(3 b-7)^{2} \leq 4$. Aşadar, $-2 \leq 3 a-1 \leq 2$ şi $-2 \leq 3 b-7 \leq 2$. Adunând ultimele două relaţii rezultă $-4 \leq 3 a+3 b-8 \leq 4$, de unde $4 \leq 3 a+3 b \leq 12$, care prin impărtire la 3 devine $\frac{4}{3} \leq a+b \leq 4$. + +## Problema 4. + +Fie $E \in B A, C E \perp B A$. Avem $[B C] \equiv[B D], \widehat{C B E} \equiv \widehat{D B E}$ iar latura $B E$ este comună, deci $\triangle C B E \equiv \triangle D B E$. In consecinţă $m(\widehat{B E D})=$ $m(\widehat{B E C})=90^{\circ}$, deci $B E \perp E D$. In $\triangle B E C$ avem $m(\widehat{B E C})=90^{\circ}$ si $m(\widehat{E B C})=45^{\circ}$, deci triunghiul este isoscel şi $[B E] \equiv[E C]$. Analog $[B E] \equiv$ $[E D]$. In $\triangle B E C$ şi $\triangle C E D$ avem $[B E] \equiv[E C],[E C] \equiv[E D]$ si $[B C] \equiv[C D]$. In concluzie $\triangle B E C \equiv \triangle C E D$, deci $m(\widehat{C E D})=m(\widehat{B E C})=90^{\circ}$. Aşadar $C E \perp E D$ şi $C E \perp B A$, prin urmare $C E \perp(B A D)$. De aici rezultă $(A B C)$ $\perp(A B D)$. + +## Olimpiada de matematică-Etapa locală
Craiova, 9 februarie 2013
Clasa a VIII-a + +Barem + +## Problema 1. + +Oficiu.......................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=84&width=1019&top_left_y=842&top_left_x=542) + +$z=\sqrt{10 x+y}, \frac{1}{z-1}=\frac{z^{2}}{100} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +$z^{3}-z^{2}-100=\left(z^{3}-5^{3}\right)-\left(z^{2}-5^{2}\right)=(z-5)\left(z^{2}+4 z+20\right) \ldots \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +$z^{2}+4 z+20>0$ pentru orice $z$ număr real $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 2 \mathrm{~m}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=55&width=1017&top_left_y=1062&top_left_x=543) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=44&width=1016&top_left_y=1103&top_left_x=545) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=47&width=1019&top_left_y=1142&top_left_x=542) + +Problema 2. + +Oficiu.......................................................................... + +$\{O\}=A C \cap B D, \triangle A Q O \equiv \triangle C N O \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$ + +$\widehat{Q O A} \equiv \widehat{R O C}$ si $Q, O, A, R, C$ coplanare, deci $Q, O, R$ coliniare .....2p + +$\{O\}=Q R \cap D B$; punctele $B, R, Q, D$ sunt coplanare ............ $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=46&width=1008&top_left_y=1385&top_left_x=556) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=46&width=1008&top_left_y=1424&top_left_x=556) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=70&width=1008&top_left_y=1461&top_left_x=556) + +Problema 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=47&width=1008&top_left_y=1562&top_left_x=556) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=46&width=1011&top_left_y=1603&top_left_x=557) + +$(3 a-1)^{2}+(3 b-7)^{2}=4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=46&width=1009&top_left_y=1685&top_left_x=558) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=52&width=1009&top_left_y=1713&top_left_x=558) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=46&width=1009&top_left_y=1755&top_left_x=558) + +$4 \leq 3(a+b) \leq 12$; se împarte la $3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.............................. + +Problema 4. + +Oficiu...................................................................................... + +$E \in B A, C E \perp B A, B E \perp E D \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots$ + +$[B E] \equiv[E C] \equiv[E D] \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{~m}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=43&width=1017&top_left_y=1998&top_left_x=562) + +$m(\widehat{C E D})=m(\widehat{B E C})=90^{\circ} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=49&width=1016&top_left_y=2084&top_left_x=560) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e69d34755a0d2beb210g-2.jpg?height=54&width=1013&top_left_y=2122&top_left_x=564) + +## Olimpiada de matematică-Etapa locală
Craiova, 9 februarie 2013
Clasa a VIII-a + +Problema 1. Determinaţi numărul natural $\overline{x y}$ pentru care: + +$$ +\frac{1}{\sqrt{\overline{x y}}-1}=\overline{0, x y} +$$ + +in sistemul zecimal. + +GM $6 / 2010$ + +Problema 2. Fie $S A B C D$ o piramidă patrulateră regulată, $A M \perp S B$, $M \in S B, B N \perp S C, N \in S C, C P \perp S D, P \in S D, D Q \perp S A, Q \in S A$ ş $R$ simetricul lui $N$ faţă de $A C$. + +a) Demonstraţi că punctele $B, R, Q, D$ sunt coplanare. + +b) Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele $M P$ şi $R Q$. + +GM $5 / 2012$ + +Problema 3. Arătaţi că dacă + +$$ +3 a^{2}+3 b^{2}-2 a-14 b+\frac{46}{3}=0 +$$ + +unde $a, b \in \mathbb{R}$, atunci + +$$ +\frac{4}{3} \leq a+b \leq 4 +$$ + +Problema 4. Fie $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare astfel íncât triunghiul $B C D$ să fie echilateral iar $m(\widehat{A B C})=m(\widehat{A B D})=45^{\circ}$. Demonstraţi că planele $(A B C)$ şi $(A B D)$ sunt perpendiculare. + +## Notă: + +1. Timp de lucru: 3 ore +2. Toate subiectele sunt obligatorii +3. Fiecare problemă se va nota cu puncte de la 1 la 10 (un punct din oficiu) diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1354-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1354-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3581d73db699a08478617e93bba2e73d2ee35baa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1354-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,163 @@ +Etapa locală a Olimpiadei nationale de matematică + +Clasa a VII-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Soluţii + +Problema 1. $\sqrt{2012-2 \sqrt{2011}}=\sqrt{2011}-1, \sqrt{2015-4 \sqrt{2011}}=\sqrt{2011}-2$, Determinăm $a \in Q$ astfel încât $a(\sqrt{2011}-1)+\sqrt{2011}-2 \in Q \Leftrightarrow \sqrt{2011}(a+$ 1) $-a-2 \in Q$. + +Deoarece 2011 este numar prim $\Rightarrow \sqrt{2011} \in R \backslash Q$ + +Deducem $a=-1$. + +# Problema 2. + +Deoarece $|x-1|,|2-x|,|x-3|,|4-x|, \ldots,|2012-x|,|x-2013| \geq 0$ + +$\Rightarrow|x-1|+|2-x|+|x-3|+|4-x|+\ldots+|2012-x|+|x-2013| \geq 0 \Rightarrow$ $2014(x-2014) \geq 0 \Rightarrow x \geq 2014$. + +Deducem că $|x-1|=x-1,|2-x|=x-2,|x-3|=x-3,|4-x|=$ $x-4, \ldots,|2012-x|=x-2012,|x-2013|=x-2013$. + +Ecuaţia dată devine $2013 x-2013 \cdot 1007=2014 x-2014^{2} \Rightarrow x=1007 \cdot 2015$. + +Problema 3. $A_{A B C}=\frac{d(A, B C) \cdot B C}{2}, A_{B D C}=\frac{d(D, B C) \cdot B C}{2}$. Deoarece $A_{A B C}=$ $A_{B D C} \Rightarrow d(A, B C)=d(D, B C) \Rightarrow A D ॥ B C$ (deoarece $A, D$ apartin aceluiasi semiplan determinat de $B C$ ); + +$A_{A C D}=\frac{d(A, C D) \cdot C D}{2}, A_{B D C}=\frac{d(B, C D) \cdot C D}{2}$. Deoarece $A_{A C D}=A_{B D C} \Rightarrow$ $d(A, D C)=d(B, D C) \stackrel{2}{\Rightarrow} A B \|_{1} C D$ (deoarece $A, B$ apartin aceluiasi semiplan determinat de $D C$ ); + +Deducem că $A B C D$ este paralelogram. + +Dacă î plus, $P_{A B C}=P_{B D C} \Rightarrow A B+B C+C A=D B+B C+C D \Rightarrow$ $C A=D B$ (deoarece din $A B C D$ este paralelogram $\Rightarrow A B=C D$ ). + +Deducem că $A B C D$ este dreptunghi. + +Problema 4. a) Deducem că $N Q=2 B C$ şi $N Q \| B C$; + +Deoarece $A B C D$ paralelogram $\Rightarrow N Q=2 A D$ si $N Q{ }_{\|} A D$. + +Cum $A$ este mijocul lui $M N \Rightarrow D$ este mijlocul segmentului $M Q$. +b) $M P$ şi $N Q$ nu pot fi paralele ître ele. + +Pentru ca $M N \| P Q, M$ se va afla pe dreapta $A C^{\prime}$, unde $C^{\prime}$ este simetricul lui $C$ faţă de $B$. + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +Etapa locală a Olimpiadei nationale de matematică + +Clasa a VII-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Barem de corectare + +## Problema 1. + +Oficiu_ $1 \mathrm{p}$ + +$\sqrt{2012-2 \sqrt{2011}}=\sqrt{2011}-1 ـ 2 p$ + +$\sqrt{2015-4 \sqrt{2011}}=\sqrt{2011}-2 ـ 2 \mathrm{p}$ + +$\sqrt{2011}(a+1)-a-2 \in Q$ + +$2 \mathrm{p}$ + +$2011 \mathrm{nr}$ prim $\Rightarrow \sqrt{2011} \in R \backslash Q$ $1.5 \mathrm{p}$ + +$a=-1$ + +Total $1.5 \mathrm{p}$ + +$\_10 \mathrm{p}$ + +Problema 2. + +Oficiu 1p + +$|x-1|,|2-x|,|x-3|,|4-x|, \ldots,|2012-x|,|x-2013| \geq 0 \Rightarrow$ + +$|x-1|+|2-x|+|x-3|+|4-x|+\ldots+|2012-x|+|x-2013| \geq 0 \_1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow 2014(x-2014) \geq 0 \Rightarrow x \geq 2014$ + +$|x-1|=x-1,|2-x|=x-2,|x-3|=x-3,|4-x|=x-4, \ldots,|2012-x|=$ $x-2012,|x-2013|=x-2013$ 2p + +Ecuaţia dată devine $2013 x-2013 \cdot 1007=2014 x-2014^{2} \_$3p + +$\Rightarrow x=1007 \cdot 2015$ + +Total $1 \mathrm{p}$ + +Problema 3. + +Oficiu ${ }_{d}(A, B C) \cdot B C, 1 p$ + +$A_{A B C}=\frac{d(A, B C) \cdot B C}{2}, A_{B D C}=\frac{d(D, B C) \cdot B C}{2}$. Deoarece $A_{A B C}=A_{B D C} \Rightarrow$ $d(A, B C)=d(D, B C) \Rightarrow A D \| B C \_2 \mathrm{2}$ + +$A_{A C D}=\frac{d(A, C D) \cdot C D}{2}, A_{B D C}=\frac{d(B, C D) \cdot C D}{2}$. Deoarece $A_{A C D}=A_{B D C} \Rightarrow$ $d(A, D C)=d(B, D C) \Rightarrow A B \| C D \_{ }^{2} \quad 2 \mathrm{p}$ + +$A D\|B C, A B\| C D \Rightarrow A B C D$ este paralelogram $1 \mathrm{p}$ + +$P_{A B C}=P_{B D C} \Rightarrow A B+B C+C A=D B+B C+C D \_$2p + +$\Rightarrow C A=D B \Rightarrow A B C D$ este dreptunghi_ $2 \mathrm{p}$ + +Total $10 \mathrm{p}$ + +Problema 4. + +Oficiu_ + +$1 \mathrm{p}$ +a) $N Q=2 B C$ şi $N Q \| B C ; \square 1 \mathrm{p}$ + +$A B C D$ paralelogram $\Rightarrow N Q=2 A D$ şi $N Q \| A D$.__ $1 \mathrm{p}$ + +$A$ este mijocul lui $M N \Rightarrow D$ este mijlocul segmentului $M Q$ 2p +b) $M P$ şi $N Q$ nu pot fi paralele intre ele__ $2 \mathrm{p}$ + +Pentru ca $M N \| P Q, M$ se va afla pe dreapta $A C^{\prime}$, unde $C^{\prime}$ este simetricul + +lui $C$ faţă de $B \_$3p + +Total _10p + +Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Clasa a VII-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Problema 1. Determinaţi $a \in Q$ astfel încât + +$$ +a \sqrt{2012-2 \sqrt{2011}}+\sqrt{2015-4 \sqrt{2011}} \in Q +$$ + +(Gazeta Matematică) + +Problema 2. Aflaţi numerele reale $x$, pentru care $|x-1|+|2-x|+|x-3|+$ $|4-x|+\ldots+|2012-x|+|x-2013|=2014(x-2014)$. + +(Gazeta Matematică) + +Problema 3. Fie $A B C D$ un patrulater convex în care triunghiurile $A B C, A C D$ şi $B D C$ au arii egale. Să se arate că $A B C D$ este paralelogram. + +Dacă triunghiurile $A B C$ si $B D C$ au si perimetre egale, atunci $A B C D$ este dreptunghi. + +Problema 4. Se consideră un punct $M$ în planul paralelogramului $A B C D$. Fie $N$ simetricul lui $M$ faţă de $A, P$ simetricul lui $N$ faţă de $B$ şi $Q$ simetricul lui $P$ faţă de $C$. + +a) Să se arate că dreapta $M Q$ trece prin punctul $D$ şi că $D$ este mijlocul segmentului $[M Q]$; + +b) Unde trebuic să se afle punctul $M$ pentru ca $M N Q P$ să fic trapez ? + +(Gh. Ţiţeica, Culegere de probleme) + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 1 la 10; + +Timp de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1355-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1355-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0cb3ef4c178585cf02dfcf822c634f7b48af8f6d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1355-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,185 @@ +# Etapa locală, Craiova, 9 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a + +## Problema 1 + +Oficiu + +$p=(a, b) \Rightarrow a=p a_{1}, b=p b_{1},\left(a_{1}, b_{1}\right)=1, a_{1}S_{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +c). $M_{1}, \ldots, M_{i}(1 \leq i \leq 2012)$ la stânga lui $A$ şi $M_{i+1}, \ldots, M_{2013}$ la dreapta lui $B$ + +$S_{1}=A M_{1}+A M_{2}+\cdots+A M_{i}+B M_{i+1}+B M_{i+2}+\cdots+B M_{2013}+(2013-i) A B \ldots 1.5 \mathrm{p}$ + +$S_{2}=A M_{1}+A M_{2}+\cdots+A M_{i}+B M_{i+1}+B M_{i+2}+\cdots+B M_{2013}+i \cdot A B \ldots \ldots \ldots 1.5 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5e89d34df7808a435bc2g-1.jpg?height=41&width=1157&top_left_y=2050&top_left_x=468) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5e89d34df7808a435bc2g-1.jpg?height=51&width=1168&top_left_y=2083&top_left_x=457) + +Total..................................................................................................................... + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Craiova, 9 februarie 2013
Clasa a VI-a + +## Problema 1. + +Să se determine toate numerele naturale $a$ respectiv $b, aS_{2}$. + +c). Considerăm că $M_{1}, \ldots, M_{i}(1 \leq i \leq 2012)$ sunt la stânga lui $A$ şi $M_{i+1}, \ldots$, $M_{2013}$ sunt la dreapta lui $B$. + +Atunci $S_{1}=A M_{1}+A M_{2}+\cdots+A M_{2013}=A M_{1}+A M_{2}+\cdots+A M_{i}+(A B+$ $\left.B M_{i+1}\right)+\left(A B+B M_{i+2}\right)+\cdots+\left(A B+B M_{2013}\right)=A M_{1}+A M_{2}+\cdots+A M_{i}+$ $B M_{i+1}+B M_{i+2}+\cdots+B M_{2013}+(2013-i) A B$ şi + +$S_{2}=B M_{1}+B M_{2}+\cdots+B M_{2013}=\left(B A+A M_{1}\right)+\cdots+\left(B A+A M_{i}\right)+B M_{i+1}+$ $B M_{i+2}+\cdots+B M_{2013}=A M_{1}+A M_{2}+\cdots+A M_{i}+B M_{i+1}+B M_{i+2}+\cdots+B M_{2013}+$ $i \cdot A B$. + +Dacă $S_{1}=S_{2} \Rightarrow(2013-i) A B=i \cdot A B$, adică $i=\frac{2013}{2}$ imposibil, deci $S_{1} \neq S_{2}$. + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Craiova, 9 februarie 2013
Clasa a VI-a + +## Problema 1. + +Să se determine toate numerele naturale $a$ respectiv $b, a Clasa a V-a + +## Problema 1. + +a) Câţi multipli de 6 sunt mai mici sau egali cu 610 ? + +b) Precizaţi care dintre aceştia sunt multipli de 96 şi determinaţi numărul lor. + +Problema 2. Să se determine numerele $\overline{a b}$ astfel încât numărul $\overline{a a a}+37 \cdot(a+b)$ să fie un pătrat perfect. + +## Problema 3. + +a) Arătaţi cǎ $10^{24}<2^{80}<10^{25}$. + +b) Câte cifre are numărul $A=2^{320} \cdot 5^{240}$ ? + +Problema 4. Fie $n$ un număr natural nenul. Notăm cu $S(n)$ suma cifrelor lui $n$. Arătaţi cǎ dacǎ $S(n)=S(2 \cdot n)$, atunci $n$ se divide cu 9 . + +## Notă: + +Timp de lucru: 2 ore; + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect va fi notat cu puncte între 1 şi 10 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1357-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_solutii_solutiibarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1357-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_solutii_solutiibarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eefc6dfa85251dce079af4e1b414e74d9e8cc0a4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1357-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_solutii_solutiibarem.md" @@ -0,0 +1,100 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală, 9 Februarie 2013 + +Clasa a IX-a + +Soluţii şi Barem de notare + +Problema 1. Se observă că pentru $x=0$ condiţia este verificată................................................. + +Dacă $x \in(0,1)$, atunci $[x]=0,\{x\}=x$ şi elementele $0, x, x$, cu $x \neq 0$, nu pot forma o progresie geometrică... $.1 \mathrm{p}$ Fie $x \geq 1$. Atunci $\{x\}<[x] \leq x$, iar elementele mulţimii $\{x,\{x\},[x]\}$ formează o progresie geometrică dacă şi numai dacă avem $x\{x\}=[x]^{2}$ $\qquad$ +Oficiu ................................................................................................................................... + +Total.................................................................................................. + +Problema 2. a) Avem $\left(x_{n-1}-1\right)^{2}=x_{n}-x_{n-1}$, de unde rezultă $x_{n}=1-x_{n-1}+x_{n-1}^{2}$, oricare ar fi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-1.jpg?height=41&width=1279&top_left_y=1145&top_left_x=415) + +Se demonstrează că propoziţia $P(n): x_{n}=1+x_{1} x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1}$ este adevărată oricare ar fi $n \geq 2$ prin inducţie matematică după $n$........................................................................................................ Pentru $n=2$, avem $x_{2}=1-2+4=3$, deci $x_{2}=1+x_{1}$, prin urmare $P(2)$ este adevărată. . 1 p Presupunem că $P(n)$ este adevărată pentru un $n \geq 2$, deci $x_{n}=1+x_{1} x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1}$. + +Deducem $x_{n+1}=1-x_{n}+x_{n}^{2}=1+\left(x_{n}-1\right) x_{n}=1+\left(x_{1} x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1}\right) x_{n}$, adică propoziţia $P(n+1)$ este adevărată. $.2 \mathrm{p}$ + +b) Se observă că termenii şirului sunt nenuli. Atunci, prin împărţire cu $x_{1} x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} x_{n}$ propoziţia de la a) este echivalentă cu propozitia $\frac{1}{x_{1} x_{2} \ldots \cdot x_{n-1}}=\frac{1}{x_{1} x_{2} \ldots \cdot x_{n-1} x_{n}}+\frac{1}{x_{n}}$ este adevărată oricare ar fi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-1.jpg?height=35&width=1279&top_left_y=1473&top_left_x=415) +Deducem succesiv $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}+\frac{1}{x_{1} x_{2} \cdots \cdot x_{n-1} x_{n}}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n-1}}+\frac{1}{x_{1} x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1}}=\ldots$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-1.jpg?height=51&width=1268&top_left_y=1541&top_left_x=426) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-1.jpg?height=43&width=1236&top_left_y=1586&top_left_x=455) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-1.jpg?height=41&width=1222&top_left_y=1621&top_left_x=469) +Total . $10 \mathrm{p}$ + +Problema 3. a) Din $\overline{Q A}+\overline{Q B}=\overline{Q D}$ deducem că $\overline{Q D}$ este diagonală î paralelogramul $A D B Q$, de unde rezultă că $\overline{Q B}=\overline{A D}$. . . ............................................................................................. Din $\overline{M A}+\overline{M B}=\overline{D B}$, folosind regula triunghiului de adunare a vectorilor liberi, deducem $\overline{M A}+$ $(\overline{M A}+\overline{A B})=\overline{D A}+\overline{A B}$, de unde $2 \overline{M A}=\overline{D A}$, sau $2 \overline{A M}=\overline{A D}$. Cum $\overline{A D}=\overline{B C}$, rezultă egalitatea $2 \overline{A M}=\overline{B C}$. În particular, deducem că punctul $M$ este mijlocul segmentului $[A D] \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{p}$ + +b) Stabilirea configuraţiei geometrice, eventual figura ............................................ $1 \mathrm{p}$ + +Punctul $P$ este intersecţia a două mediane ale triunghiului $A D Q$, deci este centrul de greutate al triunghiului $A D Q$. + +Concluzia: $P$ centrul de oreutate al triunghiului $A D Q$ implică $\overline{P A}+\overline{P D}+\overline{P Q}=\overline{0}$ + +Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + +Total...................................................................................................... 10 p + +Problema 4. Fie $A A^{\prime}, B B^{\prime}$, cu $A^{\prime} \in[B C], \dot{B}^{\prime} \in[A C]$, două dintre bisectoarele interne ale triunghiului $A B C$. + +Aplicând teorema bisectoarei se obţine $\overline{B A^{\prime}}=\frac{c}{b+c} \overline{B C}, \overline{A B^{\prime}}=\frac{c}{a+c} \overline{A C} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +Se obţine apoi $\overline{A A^{\prime}}=\frac{b}{b+c} \overline{A B}+\frac{c}{b+c} \overline{A C}, \overline{B B^{\prime}}=-\overline{A B}+\frac{c}{a+c} \overline{A C} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots \mathrm{p}$ + +Cum $I \in\left(A A^{\prime}\right)$, există un număr real $x \in(0,1)$ astfel încât $\overline{A I}=x \overline{A A^{\prime}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-2.jpg?height=54&width=1239&top_left_y=450&top_left_x=454) +Vectorii $\overline{B I}$ şi $\overline{B B^{\prime}}$ fiind coliniari, rezultă $\frac{\frac{x b}{b+c}-1}{-1}=\frac{\frac{x c}{b+c}}{a+c}$, de unde se obţine $x=\frac{b+c}{a+b+c} \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbcda53cad315f842934g-2.jpg?height=46&width=1236&top_left_y=562&top_left_x=455) +Deducem apoi $a \overline{I A}+b \overline{I B}+c \overline{I C}=(a+b+c) \overline{I A}+b \overline{A B}+c \overline{A C}=(-b \overline{A B}-c \overline{A C})+b \overline{A B}+c \overline{A C}=\overline{0}$. Prin urmare centrul cercului înscris î triunghiul $A B C$ verifică relaţia din enunţ................ $1 \mathrm{p}$ + +Reciproc, fie $I^{\prime}$ un punct care verifică relaţia dată. Deducem că $(a+b+c) \overline{I I^{\prime}}=\overline{0}$, şi cum $a+b+c \neq$ 0 , rezultă că $\overline{I I^{\prime}}=\overline{0}$, adică punctele $I$ şi $I^{\prime}$ coincid. ...................................................... $\qquad$ +Total....................................................................................... 10 p + +Observaţie. Soluţia trebuie să includă o demonstraţie a expresiei vectorului de poziţie al centrului cercului înscris în triunghi. + +Notă:Orice rezolvare corectă, completă sau parţială, va fi notată cu punctajul corespunzător. + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică + +## Clasa a IX-a + +Craiova, 9 februarie 2013 + +Problema 1. Să se determine numerele reale pozitive $x$ pentru care elementele mulţimii $\{x,\{x\},[x]\}$ formează o progresie geometrică. + +Problema 2. Şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ verifică $x_{1}=2$ sुi $x_{n-1}=1+\sqrt{x_{n}-x_{n-1}}, n \geq 2$. Să se arate că: +a) $x_{n}=1+x_{1} x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1}$, oricare ar fi $n \geq 2$. +b) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}<1$, oricare ar fi $n \geq 2$. + +G.M.-B nr. $11 / 2009$ + +Problema 3. Fie $A B C D$ un paralelogram şi fie $Q, M$ puncte în planul său astfel încât $\overline{Q A}+\overline{Q B}=\overline{Q D}$ şi $\overline{M A}+\overline{M B}=\overline{D B}$. + +a) Arătaţi că $\overline{Q B}=\overline{A D}$ şi $2 \overline{A M}=\overline{B C}$. + +b) Dacă $P$ este punctul de intersecţie al dreptelor $A B$ şi $Q M$, demonstraţi că $\overline{P A}+\overline{P D}+\overline{P Q}=\overline{0}$. + +G.M.-B nr. 11/2012 + +Problema 4. Fie $a, b, c$ respectiv lungimile laturilor $B C, C A, A B$ ale triunghiului $A B C$. Să se arate că punctul $I$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$ dacă şi numai dacă + +$$ +a \overline{I A}+b \overline{I B}+c \overline{I C}=\overline{0} +$$ + +## Notă: + +- Timp de lucru: 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Fiecare subiect va fi notat cu puncte între 1 şi 10 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1358-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1358-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6538453a1a1db43c6b68fefc1a332b805b588fd4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1358-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,30 @@ +# Clasa a VIII-a + +## Subiectul I. + +Se dă expresia $E(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}, x \in \mathbf{R} \backslash\{-1\}$. + +a) Să se arate că: $(k+1)^{2}-(k+1)+1=k^{2}+k+1, \forall k \in \mathbf{N}$. + +b) Arătaţi că $\frac{3}{2} \cdot E(2) \cdot E(3) \cdot \ldots \cdot E(n) \in(1 ; 2), \forall n \in \mathbf{N}$ + +## Subiectul II. + +Fie $A, B, C, D$ puncte necoplanare, $M \in(A B), N \in(B C), P \in(C D)$ şi $Q \in(A D)$ astfel încât $\frac{A M}{M B}=\frac{B N}{N C}=\frac{C P}{P D}=\frac{1}{k}$ si $\frac{A Q}{Q D}=\frac{1}{k^{3}}, k \in R_{+}$. Să se arate că $M, N, P$ si $Q$ sunt coplanare. + +## Subiectul III. + +Fie $x, z, y \in R_{+}^{*}$ numere distincte două câte două, astfel încât $x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$. Arătaţi că $|x y z|=1$ + +## Subiectul IV. + +a) Demonstraţi că nu există numere naturale $x, y, z$ pentru care $x+3 y+5 z=2012$ şi $x^{2}+y^{2}+3 z^{2}=2013$. + +b) În patrulaterul convex $\mathrm{ABCD}$ avem $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}^{2}$. + +Să se arate că $\mathrm{ABCD}$ este trapez sau paralelogram. + +(Gazeta matematica 2012) + +Propunători: prof. Danciu Alin, prof. Botez Radu, prof. Ginta Vasile, prof. Bálint Attila Sándor + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1359-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1359-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e047a0faa2d3ee0ffdf31c9f849373d309d4471 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1359-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 9.02 .2013 + +## Subiectul I. + +Clasa a VII-a + +Să se determine toate numerele naturale de forma $\overline{x y z}$, pătrate perfecte, ştiind că + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8dcbc55b6d403f270bf6g-1.jpg?height=78&width=998&top_left_y=579&top_left_x=344) + +## Subiectul II. + +a) Calculaţi suma $S=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots . .+\frac{1}{2012 \cdot 2013}$. + +b) Determinaţi $x$ astfel încât $\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{6}\right|+\left|x-\frac{1}{12}\right|+\left|x+\frac{1}{20}\right|=\frac{4}{5}$ + +c) Demonstraţi că pentru orice număr raţional $x$, are loc inegalitatea: + +$$ +\left|x-\frac{1}{1 \cdot 2}\right|+\left|x+\frac{1}{2 \cdot 3}\right|+\left|x-\frac{1}{3 \cdot 4}\right|+\ldots \ldots .+\left|x-\frac{1}{2011 \cdot 2012}\right|+\left|x+\frac{1}{2012 \cdot 2013}\right| \geq \frac{2012}{2013} +$$ + +## Subiectul III. + +Prin punctul $\mathrm{E}$ situat pe diagonala $\mathrm{AC}$ a paralelogramului $\mathrm{ABCD}$ se duce o paralelă la $\mathrm{BD}$ care intersectează dreptele $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}, \mathrm{DA}$ în punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$. Demonstraţi că: +a) $\mathrm{MQ}+\mathrm{PN}=$ constant +b) $\mathrm{AM} \cdot \mathrm{CN}=\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{CP}$ + +## Subiectul IV. + +Demonstraţi că nu există numere naturale $x, y, z$ pentru care $x+3 y+5 z=2012$ si $x^{2}+y^{2}+3 z^{2}=2013$. + +Propunători: prof.Gînţa Vasile, Căpuṣan Cornelia, Ștefan Cornel, Crăciun Hajnal + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-136-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-136-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..483116d78e5066ad16627b93d809a408a636a90b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-136-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,99 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +21 februarie 2016 + +## CLASA a IX-a + +1. Să se determine funcțiile $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$, dacă + +$$ +f(1)-2 f(2)+3 f(3)-4 f(4)+\ldots+(-1)^{n-1} n f(n)=\frac{(-1)^{n-1} n f(n+1)}{2} +$$ + +pentru orice număr natural $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixat. Rezolvați ecuația: $\left\{x+\frac{1}{2 n}\right\}+\left\{x+\frac{3}{2 n}\right\}+\ldots+\left\{x+\frac{2 n-1}{2 n}\right\}=\frac{n(2 x-1)}{2}$. +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir strict crescător de numere reale. Să se arate că dacă pentru orice număr natural $k \geq 3$, mulțimea $A_{k}=\left\{a_{j}-a_{i} \mid 1 \leq i ETAPA LOCALÄ
SUCEAVA, 21 februarie 2016
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE-CLASA a IX-a + +1. Să se determine funcțiile $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$, dacă $f(1)-2 f(2)+3 f(3)-4 f(4)+\ldots+(-1)^{n-1} n f(n)=\frac{(-1)^{n-1} n f(n+1)}{2}$, pentru orice număr natural $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Dan Popescu, Suceava + +Solutie: Dacă $f(1)=a \in \mathbb{N}^{*}$, pentru $n=1$ în enunț, se deduce că $f(2)=2 a$. + +Cum și $f(1)-2 f(2)+3 f(3)-4 f(4)+\ldots+(-1)^{n-2}(n-1) f(n-1)=\frac{(-1)^{n-2}(n-1) f(n)}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, cu relația din enunț, + +se deduce că $\frac{(-1)^{n-1} n f(n+1)}{2}=(-1)^{n-1} n f(n)+\frac{(-1)^{n-2}(n-1) f(n)}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Găsim $(n+1) f(n)=n f(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Așa că, în ipoteza inductivă $f(n)=a n$, ultima relație asigură $f(n+1)=a(n+1)$, ceea ce conduce la $f(n)=a n$, + +$\forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$. + +Barem: + +| Deduce $f(2)$ în funcție de $f(1)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Găsește relația între $f(n)$ și $f(n+1)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează inductiv că $f(n)=n f(1), \forall n \in \mathbb{N}$ | $4 \mathrm{p}$ | + +2. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixat. Rezolvați ecuația: $\left\{x+\frac{1}{2 n}\right\}+\left\{x+\frac{3}{2 n}\right\}+\ldots+\left\{x+\frac{2 n-1}{2 n}\right\}=\frac{n(2 x-1)}{2}$. + +Supliment G.M.12/2015 + +Solutie. Ecuația este echivalentă cu: $n x+\frac{1+3+\ldots+(2 n-1)}{2 n}-\left(\left[x+\frac{1}{2 n}\right]+\left[x+\frac{3}{2 n}\right]+\ldots+\left[x+\frac{2 n-1}{2 n}\right]\right)=n x-\frac{n}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow\left[x+\frac{1}{2 n}\right]+\left[x+\frac{3}{2 n}\right]+\ldots+\left[x+\frac{2 n-1}{2 n}\right]=n$. Dacă notăm cu $f(x)=\left[x+\frac{1}{2 n}\right]+\left[x+\frac{3}{2 n}\right]+\ldots+\left[x+\frac{2 n-1}{2 n}\right]$, atunci $f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)+1, \forall x \in \mathbb{R}$ și $f(x)=n, \forall x \in\left[\frac{2 n-1}{2 n}, \frac{2 n+1}{2 n}\right)$, deci $f$ este constantă pe fiecare interval de lungime $\frac{1}{n}$ de forma $I_{n}=\left[\frac{2 n-1}{2 n}, \frac{2 n+1}{2 n}\right), n \geq 1$. Cum $f$ este funcție crescătoare, rezultă că mulțimea soluțiilor ecuației este $I_{n}$. + +Barem. + +| Deduce $\left[x+\frac{1}{2 n}\right]+\left[x+\frac{3}{2 n}\right]+\ldots+\left[x+\frac{2 n-1}{2 n}\right]=n$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Rezolvă și găseste mulțimea soluțiilor | $4 \mathrm{p}$ | + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \unlhd 1}$ un șir crescător de numere reale. Să se arate că dacă pentru orice număr natural $k \geq 3$, mulțimea $A_{k}=\left\{a_{j}-a_{i} \mid 1 \leq i Faza locală 9.02 .2013
Clasa a V-a + +## Subiectul I. + +Comparați numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& \left.A=\left\{2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{095}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right) \\ +& \left.B=2^{100}: 2^{40} \cdot 2^{56}+\left(2^{12} \cdot 2^{13}\right)^{5}: 2^{29}+\left(5^{35}: 5^{34}-1\right)^{45} \cdot 2^{6}+\left(2^{32}\right)^{3}\right\} +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul II. + +Arătați că nu există numere naturale $x, y$ astfel încât $5 x^{2}+3 y^{2}=2013^{2012}$ + +Subiectul III. + +Aflaţi numărul maxim de pagini ale unei cărţi, știind că cifra 3 s-a folosit la numerotarea paginilor sale de 71 de ori. + +## Subiectul IV. + +(Gazeta Matematică) + +Un elev trebuie să rezolve 24 de probleme în patru zile. În fiecare zi rezolvă mai multe probleme decât în ziua precedentă. În ziua a patra rezolvă de cinci ori mai multe probleme decât în prima zi. Care este numărul maxim de probleme pe care le poate rezolva în ziua a treia? + +(Gazeta Matematică, 2012) + +Propunători: prof.Suciu Sorin, prof.Danciu Alin, prof.Gînţa Vasile, prof.Botez Radu. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1362-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1362-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..255d3e840d21e3c093f8bb0219e709599fa1237a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1362-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,98 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 -
CLASA A XII-A
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +Prof. Mihaela Berindeanu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :---: | :---: | +| $\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{1}{x^{2}} \sin x \mathrm{~d} x+6 \int_{\pi}^{2 \pi} \frac{1}{x^{4}} \sin x \mathrm{~d} x$ | 1 punct | +| $=\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x^{2}} \mathrm{~d} x-2 \int_{\pi}^{2 \pi}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\prime} \sin x \mathrm{~d} x=\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x^{2}} \mathrm{~d} x-\left.\frac{2 \sin x}{x^{3}} \sin x\right\|_{\pi} ^{2 \pi}+2 \int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\cos x}{x^{3}} \mathrm{~d} x=$ | 3 puncte | +| $=\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x^{2}} \mathrm{~d} x-\int_{\pi}^{2 \pi}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime} \cos x \mathrm{~d} x=\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x^{2}} \mathrm{~d} x-\left.\frac{\cos x}{x^{2}}\right\|_{\pi} ^{2 \pi}-\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{\cos x}{x^{2}}\right\|_{\pi} ^{2 \pi}=$ | 3 puncte | +| $=-\frac{5}{4 \pi^{2}}$ | | + +Subiectul 2. + +Prof. Marcel Tena, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| a) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x, y \in H_{n}$. Cum $(x y)^{n}=x^{n} y^{n}=e \cdot e=e$, rezultă că $x y \in H_{n}$ | 2 puncte | +| Dacă $x \in H_{n}$, atunci $\left(x^{-1}\right)^{n}=\left(x^{n}\right)^{-1}=e^{-1}=e$, deci $x^{-1} \in H_{n}$ | 2 puncte | +| b) Fie $H$ un subgrup finit cu $n$ elemente al lui $G$. Cum $x^{n}=e, \forall x \in H$, rezultă că $x \in H_{n}$, deci | 2 puncte | +| $H \subset H_{n}$ | | +| Deoarece $n=\|H\| \leq\left\|H_{n}\right\| \leq n$, rezultă $\left\|H_{n}\right\|=n$ şi $H=H_{n}$ | 1 punct | + +Subiectul 3. + +Gazeta Matematică nr. 10/2012, prof. Marian Andronache, Bucureşti + +## Detalii rezolvare + +a) Fie $a \in G \backslash Z(G)$ şi $C(a)=\{x \in G \mid a x=x a\}$. Cum $C(a)$ este subgrup al lui $G$ şi $C(a) \neq G$ (în caz contrar $a \in Z(G)$, fals), rezultă din teorema lui Lagrange că $|C(a)| \leq|G| / 2$ + +Deoarece $Z(G)$ este subgrup al lui $C(a)$ şi $Z(G) \neq C(a)$ (în caz contrar $a \in Z(G)$, fals), rezultă că $|Z(G)| \leq|C(a)| / 2$, deci $|Z(G)| \leq|G| / 4$ + +b) Fie grupul $G=\left\{\left.\left(\begin{array}{lll}\hat{1} & a & b \\ \hat{0} & \hat{1} & c \\ \hat{0} & \hat{0} & \hat{1}\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{Z}_{2}\right\} \mathrm{cu}|G|=8$ + +Atunci $Z(G)=\left\{I_{3}, A\right\}$, unde $A$ se obţine pentru $a=c=\hat{0}, b=\hat{1}$, deci $|Z(G)|=2$. + +## Subiectul 4 . + +Prof. Dan Marinescu, Hunedoara + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| a) $0 \leq \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin ^{n} x}{\cos ^{n-1} x} d x=\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{tg}^{n} x \cos x d x \leq \int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{tg}^{n} x d x=$ | 1 punct | +| $=\int_{0}^{1} \frac{t^{n}}{t^{2}+1} d t \leq \int_{0}^{1} t^{n} d t=\frac{1}{n+1}$, deci limita cerută este 0 | $\mathbf{2}$ puncte | +| b) Fie $M=\max \{f(x) \mid x \in[a, b]\}$ şi $P=\min \{g(x) \mid x \in[a, b]\}$. Dacă $M \in(0,1]$, atunci, pentru | | +| $n \geq 1, c_{n+1}-c_{n}=\int_{a}^{b} f^{n}(x) g(x)(f(x)-1) d x \leq 0$, deci şirul este descrescător | 1 punct | +| Cum $c_{n} \geq 0, n \geq 1$, rezultă că şirul este convergent | $\mathbf{1}$ punct | +| Dacă $M>1$, alegem $\alpha \in(1, M)$. Din continuitatea funcţiei $f$ există $u, v \in[a, b], u încât $f(x) \geq \alpha, x \in[u, v]$. | $\mathbf{1}$ punct | +| Atunci $c_{n} \geq \int_{u}^{0} f^{n}(x) g(x) d x \geq \alpha^{n} P(v-u)$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$ | $\mathbf{1}$ punct | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 CLASA A XII-A
SUBIECTELE + +Problema 1. Să se calculeze + +$$ +\int_{\pi}^{2 \pi} \frac{x^{2}+6}{x^{4}} \sin x \mathrm{~d} x +$$ + +Problema 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup abelian cu elementul neutru $e$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$ considerăm mulţimea $H_{n}=\left\{x \in G \mid x^{n}=e\right\}$. Să se arate că: +a) $H_{n}$ este subgrup al lui $G$, oricare ar fi numărul natural nenul $n$. + +b) Dacă pentru fiecare număr natural nenul $n$ mulţimea $H_{n}$ are cel mult $n$ elemente, atunci subgrupurile finite ale lui $G$ sunt mulţimile $H_{n}$, cu $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Problema 3. Pentru un grup $(G, \cdot)$, notăm + +$$ +Z(G)=\{a \in G \mid a x=x a, \forall x \in G\} +$$ + +a) Să se arate că, dacă $(G, \cdot)$ este un grup finit necomutativ, atunci + +$$ +|Z(G)| \leq \frac{1}{4}|G| +$$ + +b) Să se dea exemplu de grup finit $G$ pentru care $|Z(G)|=\frac{1}{4}|G|$. + +Notă. $|M|$ reprezintă numărul elementelor mulţimii finite $M$. + +Problema 4. a) Să se calculeze + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin ^{n} x}{\cos ^{n-1} x} d x +$$ + +b) Se consideră funcţiile continue $f, g:[a, b] \rightarrow(0, \infty)$, cu $a, b \in \mathbb{R}, a - ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 -
CLASA A XI-A
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +Prelucrare prof. Ovidiu Şontea, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| a) $\left\|c_{n+1}-\sqrt{2}\right\|=\left\|\frac{a_{n}+2 b_{n}-a_{n} \sqrt{2}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right\|=(\sqrt{2}-1)\left\|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right\|$ | 2 puncte | +| $\left\|c_{n+1}-\sqrt{2}\right\|=(\sqrt{2}-1) \frac{b_{n}}{a_{n}+b_{n}}\left\|c_{n}-\sqrt{2}\right\| \leq \frac{1}{2}\left\|c_{n}-\sqrt{2}\right\|$ | 2 puncte | +| b) Calculul de la a) arată că dacă $c_{n}-\sqrt{2} \neq 0$, atunci $c_{n}-\sqrt{2}$ şi $c_{n+1}-\sqrt{2}$ au semne opuse.
Astfel, dacă $c_{1}-\sqrt{2} \neq 0$, atunci termenii şirului $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ se află alternativ de o parte şi de cealaltă
a lui $\sqrt{2}$, deci şirul nu este monoton; în cazul $c_{1}-\sqrt{2}=0$ şirul este constant (deci monoton) | 3 puncte | + +Subiectul 2. + +Prof. George Stoica, Canada + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| a) $A_{n}=2 n^{2}$ pentru $n$ par şi $A_{n}=2(n-1)^{2}$ pentru $n>1$ impar | 1 punct | +| $A_{n} x_{n}=1 / n \rightarrow 0$ pentru $n$ par şi $A_{n} x_{n}=(1-1 / n)^{2} \rightarrow 1$ pentru $n$ impar, deci $\left(A_{n} x_{n}\right)$ nu este
convergent | 2 puncte | +| b) Şirul $\left(A_{n}\right)_{n}$ este crescător, deci are o limită $l>-\infty$ | 1 punct | +| Dacă $l$ este finită, atunci concluzia este evidentă | 1 punct | +| Dacă $l=+\infty$, atunci relatiile $i_{1}=1, i_{n+1}=\min \left\{k \mid a_{k}>a_{i_{n}}\right\}$ definesc un şir strict crescător de | 2 puncte | +| numere naturale. În plus, dacă $i_{m} \leq n $\operatorname{sau}\left(x_{2}=20, y_{2}=10\right)$ | 2 puncte | +| Se obţin ambele perechi: $A_{1}=\left(\begin{array}{cc}10 & 30 \\ 2 & 10\end{array}\right), B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right) ; A_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{cc}5 & 5 \\ 2 & 10\end{array}\right)$ | 2 puncte | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| Permutarea $\left(\begin{array}{llllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 & 6\end{array}\right)$ aplicată liniilor şi apoi coloanelor transformă determinantul | 2 puncte | +| matricei iniţiale într-un determinant egal, de forma $D^{\prime}=\left\|\begin{array}{cc}D & O_{3} \\ O_{3} & D^{t}\end{array}\right\|$, unde $D=\left\|\begin{array}{lll}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{array}\right\|$ sुi $O_{3}$ | | +| este matricea nulă | | +| $D^{\prime}=D D^{t}=D^{2}$ | | +| $D=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c>0$, conform inegalităţii mediilor, deci matricea are determinantul nenul | 3 puncte | + +Observaţie. Existenţa inversei se poate argumenta şi dovedind că există o matrice $X$ de aceeaşi formă cu cea iniţială, astfel încât $A X=X A=I_{6}$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 CLASA A XI-A SUBIECTELE + +Problema 1. Se consideră şirurile de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite prin + +$$ +a_{1}>0, b_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}} +$$ + +oricare ar fi $n$ natural nenul. + +a) Să se arate că $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right| \leq \frac{1}{2}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right|$, oricare ar fi $n$ natural nenul. + +b) Să se arate că dacă şirul $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ este monoton, atunci el este constant. + +Problema 2. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale şi $A_{n}=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se studieze convergenţa şirului $\left(A_{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$ în cazul + +$$ +a_{n}=n^{2}+n+(-1)^{n}\left(n^{2}-n\right), \quad x_{n}=\frac{1}{n a_{n}}, \forall n \geq 1 +$$ + +b) Să se arate că, dacă $\left(x_{n}\right)_{n}$ este un şir descrescător astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} x_{n}=0$, atunci $\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n} x_{n}=0$. + +Problema 3. a) Să se arate că, dacă $n$ este un număr natural nenul, atunci pentru orice două matrice $A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$ are loc relaţia $\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$, unde $\operatorname{tr}(X)$ desemnează suma elementelor de pe diagonala prinicipală a matricei pătrate $X$ (urma matricei $X$ ). + +b) Determinaţi toate perechile de numere reale $(x, y)$ pentru care există două matrice $A, B \in M_{2}(\mathrm{R})$ astfel încât + +$$ +A B=\left(\begin{array}{cc} +x & 60 \\ +2 & y +\end{array}\right) \quad \text { ş } \quad B A=\left(\begin{array}{cc} +10 & 30 \\ +4 & 20 +\end{array}\right) +$$ + +Problema 4. Fie $a, b, c$ numere reale strict pozitive şi nu toate egale. Să se arate că matricea + +$$ +A=\left(\begin{array}{cccccc} +a & 0 & b & 0 & c & 0 \\ +0 & a & 0 & c & 0 & b \\ +c & 0 & a & 0 & b & 0 \\ +0 & b & 0 & a & 0 & c \\ +b & 0 & c & 0 & a & 0 \\ +0 & c & 0 & b & 0 & a +\end{array}\right) +$$ + +este inversabilă. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1364-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1364-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..675adaabd83ca916fd7c4bdb43328f44c9ea947c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1364-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,86 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 -
CLASA A X-A
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :---: | :---: | +| Avem de arătat că $0<\sqrt[3]{1+2^{x}}+\sqrt[3]{1-2^{x}}<2$ | 2 puncte | +| $\sqrt[3]{1+2^{x}}+\sqrt[3]{1-2^{x}}>0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{1+2^{x}}>\sqrt[3]{2^{x}-1} \Leftrightarrow 2^{x}+1>2^{x}-1$, evident | 2 puncte | +| $\sqrt[3]{1+2^{x}}+\sqrt[3]{1-2^{x}}<2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{1+2^{x}}-1<1+\sqrt[3]{2^{x}-1}$
$\Leftrightarrow \frac{2^{x}}{\sqrt[3]{\left(1+2^{x}\right)^{2}}+\sqrt[3]{1+2^{x}}+1}<\frac{2^{x}}{\sqrt[3]{\left(2^{x}-1\right)^{2}}-\sqrt[3]{2^{x}-1}+1}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\left(1+2^{x}\right)^{2}}+\sqrt[3]{1+2^{x}}>\sqrt[3]{\left(2^{x}-1\right)^{2}}-\sqrt[3]{2^{x}-1}-$ adevărat: $\left(2^{x}+1\right)^{2}>\left(2^{x}-1\right)^{2}$ şi $2^{x}+1>1-2^{x}$ | 3 puncte | + +## Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| Inegalitatea este echivalentă cu $\frac{\lg ^{2} x}{\lg a}+\frac{\lg ^{2} y}{\lg b} \geq \frac{\lg ^{2}(x y)}{\lg (a b)}$ | 2 puncte | +| Aceasta se scrie $\frac{t^{2}}{\alpha}+\frac{u^{2}}{\beta} \geq \frac{(t+u)^{2}}{\alpha+\beta}$, unde $t, u, \alpha, \beta>0$ | $\mathbf{2}$ puncte | +| Ea este adevărată, fiind echivalentă cu $(\beta t-\alpha u)^{2} \geq 0$ | $\mathbf{3}$ puncte | + +## Subiectul 3. + +Gazeta Matematică nr. 12/2012, prof. Marian Cucoaneş, Mărăşeşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| Numărul $\frac{a-b}{\bar{a}-\bar{b}}$ are modulul 1 şi argumentul $2 \arg (a-b)$ | 2 puncte | +| Suma a trei numere complexe de modul 1 este nulă dacă şi numai dacă argumentele lor sunt de
forma $\alpha, \alpha+2 \pi / 3, \alpha+4 \pi / 3$ | 2 puncte | +| Condityia precedentă se realizează dacă şi numai dacă $A=B=\pi / 3$ (adică triunghiul $A B C$ este
echilateral $), \operatorname{deoarece} \arg (b-c)=\arg (a-b)+(\pi-B) \arg (c-a)=\arg (a-b)+(\pi+A)$ sau
$\arg (b-c)=\arg (a-b)-(\pi-B), \arg (c-a)=\arg (a-b)-(\pi+A)$ | 3 puncte | + +## Subiectul 4 . + +Prof. Eugen Radu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| $f(z)=f(y) \Leftrightarrow z^{2}-y^{2}=2(\bar{z}-\bar{y})$ | $\mathbf{1}$ punct | +| Luând module reiese $\|z-y\|(\|z+y\|-2)=0$ | $\mathbf{1}$ puncte | +| În cazul $\|z-y\|=0$ obţinem $z=y$, iar în cazul $\|z+y\|=2 \geq\|z\|+\|y\|$ obţinem $\|z\|=\|y\|=1$ şi
$z=x y, x \in \mathbb{R}_{+}$, deci, în toate cazurile, $f(y)=f(z)$ implică $y=z$ | $\mathbf{2}$ puncte | +| $g(n)=[n \sqrt[3]{3}]-n+1$, deoarece cel mai mare cub perfect din intervalul dat este $[n \sqrt[3]{3}]$ | $\mathbf{1}$ punct | +| $g(n+1)-g(n)=[n \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}]-[n \sqrt[3]{3}]-1 \in\{0,1\}$ arată că şirul $(g(n))_{n}$ este crescător şi dife-
renţa oricăror doi termeni consecutivi este cel mult 1, iar $g(n)>n(\sqrt[3]{3}-1)$ arată că şirul este
nemărginit, deci mulţimea valorilor termenilor şirului este $\mathbb{N}^{*}$ | $\mathbf{2}$ puncte | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 -
CLASA A X-A + +## SUBIECTELE + +Problema 1. Să se arate că imaginea funcţiei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dată prin + +$$ +f(x)=\sqrt[3]{1+2^{x}}+\sqrt[3]{1-2^{x}} +$$ + +este inclusă în intervalul $(0,2)$. + +Problema 2. Fie $a, b, x, y$ numere reale din intervalul $(1, \infty)$. Să se demonstreze că + +$$ +(\lg x) \cdot\left(\log _{a} x\right)+(\lg y) \cdot\left(\log _{b} y\right) \geq(\lg x y)\left(\log _{a b} x y\right) +$$ + +Problema 3. Fie $A, B, C$ trei puncte distincte în planul complex şi $a, b, c$ afixele acestora. Să se arate că triunghiul $A B C$ este echilateral dacă şi numai dacă + +$$ +\frac{a-b}{\bar{a}-\bar{b}}+\frac{b-c}{\bar{b}-\bar{c}}+\frac{c-a}{\bar{c}-\bar{a}}=0 +$$ + +Problema 4. a) Considerăm mulţimea $D=\{z \in \mathbb{C}|| z \mid \leq 1\}$. Să se arate că funcţia $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ dată prin + +$$ +f(z)=z^{2}-2 \bar{z} +$$ + +este injectivă. + +b) Să se arate că funcţia $g: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ dată prin + +$$ +g(n)=\text { numărul cuburilor perfecte din intervalul }\left[n^{3}, 3 n^{3}\right] +$$ + +este surjectivă. + +Toate subiectele sunt obligatorii şi se notează cu puncte de la 0 la 7 + +Timp de lucru: 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1365-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1365-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d1a276926b66252eb336be0f419c5053bf11f609 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1365-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,86 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 - + +## CLASA A VIII-A + +## SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +## Subiectul 1. + +a) Arătați că $(\sqrt{2}-1,42) \cdot(\sqrt{12}-3,48) \cdot(\sqrt{6}-2,46)<0$; + +b) Determinați cel mai mic număr natural $a$ astfel încât, pentru oricare numere naturale distincte şi nenule $m, n$ şi $p$, are loc inegalitatea $\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{p}+\sqrt{m n}+\sqrt{n p}+\sqrt{p m} asociat | +| :---: | :---: | +| a) Se aproximează numerele $\sqrt{2}, \sqrt{6}$ şi $\sqrt{12}$ cu eroare de o sutime prin adaos şi se
constată că toți factorii produsului sunt negativi. | $3 \mathbf{p}$ | +| b) Împărțim ambii membri ai inegalității din enunț cu $\sqrt{m n p}$ şi obținem inegalitatea
echivalentă $\frac{1}{\sqrt{m}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{\sqrt{m n}}+\frac{1}{\sqrt{n p}}+\frac{1}{\sqrt{p m}} $\frac{1}{\sqrt{m}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{\sqrt{m n}}+\frac{1}{\sqrt{n p}}+\frac{1}{\sqrt{p m}} \leq 1+\sqrt{2}+\frac{2 \sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{6}$ | 1p | +| Deoarece $3<1+\sqrt{2}+\frac{2 \sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{6}<1+1,42+1,16+0,41=3,99<4$, rezultă $a=4$. | 1p | + +## Subiectul 2. + +Se consideră expresia $E(x)=a x^{2}+b x+c$, unde $a, b, c \in \mathbb{R}$. Determinaţi numerele $a, b$ şi $c$ ştiind că $E(x) \in \mathbb{Q}$, oricare ar fi $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ şi $E(2013)=2013$. + +Prof.Cosmin Nitu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $E(\sqrt{2})=2 a+b \sqrt{2}+c$ şi $E(-\sqrt{2})=2 a-b \sqrt{2}+c$, deci $E(\sqrt{2})-E(\sqrt{2})=2 b \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, | 3p | +| deci $b \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Analog, $b \sqrt{3} \in \mathbb{Q}$. Dacă $b \neq 0$, obţinem $\frac{b \sqrt{3}}{b \sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}} \in \mathbb{Q}$, fals. Deci $b=0$. | pp | +| $E(2 \sqrt{2})=8 a+c$ şi $E(2 \sqrt{2})-4 \cdot E(2)=-3 c \in \mathbb{Q}$, deci $c \in \mathbb{Q}$ şi $a \in \mathbb{Q}$. | 2p | + + +| Cum $E(\sqrt{2}+1)=3 a+c+2 a \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, rezultă $a \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Deoarece $a \in \mathbb{Q}$, obținem $a=0$. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| Cum $E(2013)=c$, rezultă $c=2013$. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 3. + +Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care $A B=12, B C=9$ şi $A A^{\prime}=4$. Determinați minimul sumei $M A+M B+M C+M D$, unde $M$ este un punct variabil pe fața $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. + +Prof. Cosmin Nițu , Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Fie $A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}, C^{\prime \prime}, D^{\prime \prime}$ simetricele punctelor $A, B, C, D$ față de $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$.
În triunghiul $M A A^{\prime \prime}, M A^{\prime}$ este mediană şi inățime, deci triunghiul este isoscel.
Prin urmare, $M A=M A^{\prime \prime}$ şi, analog, $M B=M B^{\prime \prime}, M C=M C^{\prime \prime}$ şi $M D=M D^{\prime \prime}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Avem $M A+M B+M C+M D=\frac{1}{2}\left(M A+M B+M C+M D+M A^{\prime \prime}+M B^{\prime \prime}+M C^{\prime \prime}+M D^{\prime \prime}\right)$. | $\mathbf{1 p}$ | +| $M A+M B+M C+M D=\frac{1}{2}\left[\left(M A+M C^{\prime \prime}\right)+\left(M A^{\prime \prime}+M C\right)+\left(M B+M D^{\prime \prime}\right)+\left(M B^{\prime \prime}+M D\right)\right]$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Avem $M A+M C^{\prime \prime} \geq A C^{\prime \prime}, M C+M A^{\prime \prime} \geq A^{\prime \prime} C, M B+M D^{\prime \prime} \geq B D^{\prime \prime} ; M B^{\prime \prime}+M D \geq D B^{\prime \prime}$.
Egalitățile au loc atunci când $M \in A C^{\prime \prime}$, etc. Deoarece $A C^{\prime \prime}=A^{\prime \prime} C=B D^{\prime \prime}=B^{\prime \prime} D=17$,
rezultă că $M A+M B+M C+M D \geq 34$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Deoarece dreptele $A C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime} A, B D^{\prime \prime}, B^{\prime \prime} D$ sunt concurente în punctul $O^{\prime}$, centrul feței
$A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, egalitatea se obține pentru $M=O^{\prime}$. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 4. + +a) Dacă $x, y$ şi $z$ sunt numere raționale strict pozitive şi $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \in \mathbb{Q}$, arătaţi că $\sqrt{x}, \sqrt{y}$ si $\sqrt{z}$ sunt numere raționale. + +b) Se consideră numerele naturale nenule $a, b$ şi $c$ astfel încât numerele $x=(a+1)^{2}-4 b$, $y=(b+1)^{2}-4 c$ şi $z=(c+1)^{2}-4 a$ sunt naturale nenule. Dacă $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2013$, determinați numerele $a, b$ şi $c$. + +prof. Crisian Mangra, Bucureşti, prof. Lucian Petrescu, Tulcea, prof. Mircea Fianu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Notăm $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=p \in \mathbb{Q}+$, deci $\sqrt{x}+\sqrt{y}=p-\sqrt{z}$.
Prin ridicare la pătrat, relaţia este echivalentă cu
$\sqrt{x y}=r-p \sqrt{z}(1)$, unde $r=\frac{p^{2}+z-x-y}{2} \in \mathbb{Q}$. | 2p | +| Dacă $r=0$, atunci $\sqrt{x y}=-p \sqrt{z}<0$, fals. | $\mathbf{1 p}$ | +| Ridicând relația $(1)$ la pătrat, se obține $2 p r \sqrt{z} \in \mathbb{Q}$, deci $\sqrt{z} \in \mathbb{Q}$. Analog, $\sqrt{x}, \sqrt{y} \in \mathbb{Q}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| b) Cum 2013 este număr rațional, conform a) obținem că $x, y, z$ sunt pătrate perfecte.
Deoarece $(a+1)^{2}$ şi $(a+1)^{2}-4 b$ sunt pătrate perfecte de aceeaşi paritate, deducem că
$(a+1)^{2}-4 b \leq(a-1)^{2}$, de unde $4 a \leq 4 b$. Procedând analog obținem $a \leq b \leq c \leq a$.
Prin urmare, $a=b=c$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Deducem că $x=y=z=(a-1)^{2}$. Avem $3\|a-1\|=2013$, de unde $a=b=c=672$. | | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 - + +CLASA A VIII-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. a) Arătați că $(\sqrt{2}-1,42) \cdot(\sqrt{12}-3,48) \cdot(\sqrt{6}-2,46)<0$; + +b) Determinați cel mai mic număr natural $a$ astfel încât, pentru oricare numere naturale distincte şi nenule $m$, $n$ şi $p$, are loc inegalitatea $\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{p}+\sqrt{m n}+\sqrt{n p}+\sqrt{p m} SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. + + Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. +## Subiectul 1. + +Se consideră triunghiul $A B C$ în care $m(\hat{C})=2 \cdot m(\hat{A})$ şi $A C=2 \cdot B C$. Determinați măsurile unghiurilor triunghiului $A B C$. + +colecția Gazeta Matematică, seria B + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Considerăm bisectoarea $(C D, D \in A B$, a unghiului $\hat{C}$ şi punctul $M$, mijlocul segmentului
$[A C]$.
Triunghiul $D A C$ este isoscel cu baza $[A C]$, deci $D M \perp A C$. | 3p | +| Triunghiurile $D M C$ şi $D B C$ sunt congruente ( L.U.L.), deci $m(\widehat{D B C})=m(\widehat{D M C})=90^{\circ}$. | $\mathbf{3 p}$ | +| Obținem $m(\widehat{A})=30^{\circ}$ şi $m(\widehat{C})=60^{\circ}$. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 2. + +a) Determinaţi numerele naturale $a$ care au proprietatea că $|a-\sqrt{2}|+|a-2 \sqrt{2}|+a-3 \sqrt{2} \mid \in \mathbb{Q}$; + +b) Demonstrați că numărul $N=|a-\sqrt{2}|+|a-2 \sqrt{2}|+|a-3 \sqrt{2}|+\ldots+|a-2013 \sqrt{2}|$ este iraţional pentru orice număr rațional $a$. + +Prof. Traian Preda, Bucuresti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Fie $\|a-\sqrt{2}\|+a-2 \sqrt{2}\|+\| a-3 \sqrt{2} \mid=x \in \mathbb{Q}$
Avem $x \in\{ \pm(a-\sqrt{2}) \pm(a-2 \sqrt{2}) \pm(a-3 \sqrt{2}) \mid a \in \mathbb{N}\}$ | $2 p$ | +| Numărul $x$ este rațional dacă suma termenilor care conțin pe $\sqrt{2}$ este egală cu 0 . | | +| Acest lucru se întâmplă dacă numerele $(a-\sqrt{2})$ şi $(a-2 \sqrt{2})$ au semne contrare
numărului $(a-3 \sqrt{2})$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Deducem că $2 \sqrt{2} $A= \pm 1 \pm 2 \pm . . \pm 2013$ este egal cu 0. | $\mathbf{1 p}$ | +| Dar numărul $A$ este impar, deci nenul, pentru orice combinație de semne.
Rezultă că numărul $N$ este irațional. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 3. + +Se consideră triunghiul $A B C$ în care $m(\widehat{A B C})=30^{\circ}$ şi $m(\widehat{A C B})=15^{\circ}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $[B C]$. Determinați măsura unghiului $\widehat{A M B}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Considerăm semidreapta (Cx astfel încât semidreapta ( $C A$ este bisectoarea unghiului
$\widehat{B C x}$. Fie $\{F\}=A B \cap(C x$
Triunghiul $F B C$ este isoscel cu baza $[B C]$, deci $F M \perp B C$ şi
$m(\widehat{B F M})=m(\widehat{C M F})=m(\widehat{B F x})=60^{\circ}$. | $\mathbf{3 p}$ | +| Pentru triunghiul $C M F$, semidreapta (CA este bisectoare interioară, iar semidreapta $(F A$
este bisectoare exterioară. Deducem că şi semidreapta (MA este bisectoare exterioară
pentru triunghiul $C M F$. | $\mathbf{3 p}$ | +| Rezultă că $m(\widehat{A M B})=45^{\circ}$. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 4. + +Se consideră mulțimea $A=\{k \in \mathbb{N} \mid 501 \leq k \leq 1000\}$. Pentru oricare element $k \in A$, notăm cu $d_{k}$ cel mai mare divizor impar al numărului $k$. + +Arătați că numărul $p=d_{501}+d_{502}+\ldots+d_{1000}$ este pătrat perfect. + +prof. Cristian Mangra, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Pentru orice număr natural $n$ există, şi sunt unice, numerele $x \in \mathbb{N}$ şi $y$ impar astfel încât
$n=2^{x} \cdot y$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Considerăm $i, j \in\{501 ; 502 ; \ldots ; 1000\}, i sunt numere naturale impare mai mici decât 1000.
Dacă $d_{i}=d_{j}$, atunci $x_{i} asociat | +| :---: | :---: | +| Dacă $a=b$, rezultă $\frac{p}{q}=2$, deci $q=1$, contradicție.
Înseamnă că una dintre fracțiile $\frac{a}{b}$ şi $\frac{b}{a}$ este supraunitară, rezultă că $\frac{p}{q}>1$, deci $p>q$. | 1p | +| Putem considera $(a ; b)=1$, atunci $\frac{p}{q}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}$.
Fracția $\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}$ este ireductibilă, deci $q=a b$ şi $p=a^{2}+b^{2}$. Deducem că $a=1$ sau $b=1$. | $3 \mathbf{p}$ | +| Dacă, de exemplu, $a=1$, obținem $q=b$ şi $p=b^{2}+1$. Cum $p$ şi $q$ au parităţi diferite şi
$p>q$, rezultă $q=b=2$ şi $p=5$. Într-adevăr, $\frac{5}{2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{1}$. | $3 \mathbf{p}$ | + +## Subiectul 2. + +Determinați numerele $a \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}^{*}$ şi cifra $b$ astfel încât să aibă loc egalitatea $6^{a}+1=\underbrace{\overline{b b . . . b}}_{n \text { ori }}$. + +Colecția Gazeta Matematică, Seria B + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Pentru $a=0$, obținem $b=2, n=1$. Pentru $a=1$, obținem $b=7, n=1$.
Pentru $a=\overline{2,4}$, nu avem soluții. Pentru $a=5$, obținem $b=7, n=4$ şi $6^{5}=7776$. | $\mathbf{4 p}$ | +| Dacă $a \geq 6$, avem $b=7$. Numărul $6^{a}$ se divide cu $2^{6}$, dar numărul $\ldots . .77776$
cu $2^{6}$, deci nu mai găsim soluții. | $3 \mathbf{p}$ | + +## Subiectul 3. + +Se consideră numărul natural prim $p$. Numărul natural $n$ este divizibil cu $p^{3}$ dar nu este divizibil cu $p^{4}$. Numerele $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}, k \in \mathbb{N}^{*}$, sunt divizorii numărului $n$ şi $1=d_{1} asociat | +| :--- | :---: | +| a) Dacă descompunerea numărului $n$ în factori primi este $n=p^{3} \cdot p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{m}^{a_{m}}$, | | +| numărul de divizori ai lui $n$ este $k=4 \cdot\left(a_{1}+1\right) \cdot\left(a_{2}+1\right) \cdot \ldots \cdot\left(a_{m}+1\right)$. | 3p | +| Cea mai mică valoare a lui $k$ este 4 şi se obține pentru $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{m}=0$. | | +| b) Avem $d_{i} \cdot d_{k+1-i}=n, i=\overline{1, k}$, deci $P^{2}=n^{k}$. | 3p | +| Cum $k=4 q, q \in \mathbb{N}^{*}$, obținem $P^{2}=n^{4 q}=\left(n^{2 q}\right)^{2}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Deducem că $P=n^{2 q}=\left(n^{q}\right)^{2}$, deci $P$ este pătrat perfect. | | + +## Subiectul 4. + +Se consideră numerele naturale nenule $m$ şi $n$ şi un unghi alungit $\overline{A_{0} O A_{m+n}}$. De aceeaşi parte a dreptei $A_{0} A_{m+n}$ se consideră, în sensul mişcării acelor de ceasornic, semidreptele $\left(O A_{1},\left(O A_{2}, \ldots,\left(O A_{m+n-1}\right.\right.\right.$, care formează unghiurile $\widehat{A_{0} O A_{1}}, \widehat{A_{1} O A_{2}}, \widehat{A_{2} O A_{3}}, \ldots, \overline{A_{m+n-1} O A_{m+n}}$. Se ştie că un număr de $m$ unghiuri dintre cele menționate au măsura egală cu $3^{\circ}$, iar celelalte $n$ unghiuri au măsura egală cu $5^{\circ}$. + +a) Determinați cea mai mică valoare a sumei $m+n$; + +b) Dacă $m=5$, arătați că există $i, j \in\{0,1,2, \ldots, m+n\}$ astfel încât $m\left(\widehat{A_{i} O A_{j}}\right)=30^{\circ}$. + +prof. Mircea Fianu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Avem $m \cdot 3^{\circ}+n \cdot 5^{\circ}=180^{\circ}$. Deducem că $m$ este divizibil cu 5.
Pentru ca numărul $m+n$ să fie minim trebuie ca $m$ să fie minim. | $\mathbf{2 p}$ | +| Pentru $m=5$, obținem $n=33$, deci valoarea minimă a sumei $m+n$ este 38. | $\mathbf{1 p}$ | +| b) Cele 5 unghiuri de $3^{\circ}$ determină cel mult 6 sectoare acoperite numai de unghiuri de $5^{\circ}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Prin urmare, există un sector în care se află o secvență de cel puțin 6 unghiuri de
$5^{\circ}$ alăturate. Rezultă concluzia. | $\mathbf{2 p}$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 - + +## CLASA A VI-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Determinați numerele prime $p$ şi $q$ ştiind că $\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$, unde $a$ şi $b$ sunt numere naturale nenule. +2. Determinaţi numerele $a \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}^{*}$ şi cifra $b$ astfel încât să aibă loc egalitatea $6^{a}+1=\underbrace{\overline{b b \ldots b}}_{n \text { ori }}$. +3. Se consideră numărul natural prim $p$. Numărul natural $n$ este divizibil cu $p^{3}$ dar nu este divizibil cu $p^{4}$. Numerele $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}, k \in \mathbb{N}^{*}$, sunt divizorii numărului $n$ şi $1=d_{1}SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +## Subiectul 1. + +Mama lui Ionel a cumpărat bulbi de ghiocei, de zambile şi de lalele, cel puțin câte unul din fiecare fel de flori. Tatăl lui Ionel a mai cumpărat 3 bulbi de ghiocei, 6 bulbi de zambile, iar bulbi de lalele de 4 ori mai mulți decât a cumpărat mama. Ionel observă că numărul bulbilor de lalele este de trei ori mai mare decât numărul bulbilor de ghiocei şi, în total, sunt 30 de bulbi de flori. + +Câți bulbi din fiecare fel de flori au cumpărat, în total, părinții lui Ionel? + +Prof. Victor Nicolae, Simion Petre, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Notăm cu $g, z$ şi respectiv $l$ numărul de bulbi de ghiocei,
zambile şi de lalele cumpărați de mamă.
Tatăl a cumpărat $4 l$ bulbi de lalele.
( Vezi figura alăturată! )
Numărul total de bulbi de ghiocei este egal cu $g+3$,
numărul total de bulbi de zambile este egal cu $z+6$, iar numărul total de bulbi de lalele
este egal cu $5 l$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Dar $5 l=(g+3) \cdot 3=3 g+9$, deci numărul total de bulbi de flori este
$(g+3)+(z+6)+(3 g+9)=30$. Prin urmare, $4 g+z=12$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Înseamnă că $z$ se divide cu 4 . Deoarece $z$ nu este egal cu 0 , rezultă că $z \in\{4 ; 8\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Dacă $z=8$, atunci $g=1$ şi numărul total de bulbi de lalele ar fi egal cu
$5 l=3 \cdot 1+9=12$, fals. | $\mathbf{1 p}$ | +| Deci $z=4, g=2$ şi $5 l=3 \cdot 2+9=15$, adică $l=3$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Numărul total de bulbi de ghiocei este egal cu 5, numărul total de bulbi de zambile este
egal cu 10, numărul total de bulbi de lalele este egal cu 15. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 2. + +Se consideră toate împărțirile posibile în care deîmpărțitul este cu 2013 mai mare decât restul. + +a) Determinați numărul de valori pe care le poate lua deîmpărțitul; + +b) Arătați că suma tuturor valorilor pe care le poate lua deîmpărțitul este divizibilă cu 2013. + +Prof. Victor Nicolae, Simion Petre , Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Notăm cu $D, I, C$ şi $R$, deîmpărțitul, împărțitorul, câtul şi respectiv restul fiecărei împărțiri. | 2p | +| Avem $D=C \cdot I+R, 0 \leq R care este număr divizibil cu 2013. | $\mathbf{2 p}$ | + +## Subiectul 3. + +Determinați câte numere naturale de forma $\overline{x y z}$ au proprietatea că numărul $\overline{x y z}-\overline{x y}-z$ este cub perfect. + +Colecția Gazeta Matematică, seria B + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Avem $\overline{x y z}-\overline{x y}-z=10 \cdot \overline{x y}+z-\overline{x y}-z=9 \cdot \overline{x y}$. | 1p | +| Deoarece $9=3^{2}$, rezultă că $\overline{x y}=3^{3 k+1} \cdot m^{3}=3 \cdot\left(3^{k} \cdot m\right)^{3}$, unde $k \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}^{*}$. | $2 p$ | +| Cum $10 \leq \overline{x y}=3 \cdot\left(3^{k} \cdot m\right)^{3} \leq 99$, rezultă că $4 \leq\left(3^{k} \cdot m\right)^{3}<33$, deci $1<3^{k} \cdot m \leq 3$
Obținem $k=0, m=2$, cu $\overline{x y}=24$ sau $k=0, m=3$ cu $\overline{x y}=81$.
Pentru $k=0, m=1$ avem $\overline{x y}=81$. | $3 \mathbf{p}$ | +| Avem $\overline{x y z} \in\{\overline{24 z} \mid z=\overline{0,9}\} \cup\{\overline{81 z} \mid z=\overline{0,9}\}$, în total 20 de numere. | $1 \mathbf{p}$ | + +## Subiectul 4. + +Se consideră mulțimile $A=\{a, b, c, d\} \subset \mathbb{N}$ şi $S=\{s \in \mathbb{N} \mid s=x+y, x \in A, y \in A, x \neq y\}$. + +Se ştie că $S=\{82,96,104,112,126\}$. + +a) Calculați suma elementelor din mulțimea $A$; + +b) Determinați elementele mulțimii $A$. + +prof. Mircea Fianu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Putem considera $a număr din $S$, deci $c+d=126$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Suma elementelor din $A$ este egală cu $(a+b)+(c+d)=82+126=208$. | $\mathbf{1 p}$ | +| b) Deoarece adunând elementele diferite din $A$ două câte două obținem 6 sume, iar
mulțimea $S$ are 5 elemente înseamnă că două dintre cele 6 sume sunt egale. | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $a+b sì $b+d=112$. | $\mathbf{1 p}$ | +| În final, $a=37, b=45, c=59, d=67$. | $\mathbf{2 p}$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + + - ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 - +## CLASA A V-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Mama lui Ionel a cumpărat bulbi de ghiocei, de zambile şi de lalele, cel puțin câte unul din fiecare fel de flori. Tatăl lui Ionel a mai cumpărat 3 bulbi de ghiocei, 6 bulbi de zambile, iar bulbi de lalele de 4 ori mai mulți decât a cumpărat mama. Ionel observă că numărul bulbilor de lalele este de trei ori mai mare decât numărul bulbilor de ghiocei şi, în total, sunt 30 de bulbi de flori. Câți bulbi din fiecare fel de flori au cumpărat, în total, părinții lui Ionel? +2. Se consideră toate împărțirile posibile în care deîmpărțitul este cu 2013 mai mare decât restul. + +a) Determinați numărul de valori pe care le poate lua deîmpărțitul; + +b) Arătați că suma tuturor valorilor pe care le poate lua deîmpărțitul este divizibilă cu 2013. + +3. Determinați câte numere naturale de forma $\overline{x y z}$ au proprietatea că numărul $\overline{x y z}-\overline{x y}-z$ este cub perfect. +4. Se consideră mulțimile $A=\{a, b, c, d\} \subset \mathbb{N}$ şi $S=\{s \in \mathbb{N} \mid s=x+y, x \in A, y \in A, x \neq y\}$. Se ştie că $S=\{82,96,104,112,126\}$. + +a) Calculați suma elementelor din mulțimea $A$; + +b) Determinați elementele mulțimii $A$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1369-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1369-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8fe8075ead1c3cb177ff06d50a33b9341b328403 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1369-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,87 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 -
CLASA A IX-A
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1 . + +Prelucrare prof. Ovidiu Sुontea, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :---: | :---: | +| a) $a_{1}=S_{1}=3, a_{2}=S_{2}-S_{1}=5-3=2, a_{3}=S_{3}-S_{2}=9-5=4$ | 1 punct | +| $\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{3} \neq \frac{4}{2}=\frac{a_{3}}{a_{2}}$ | 1 punct | +| Şirul nu este progresie geometrică. | 1 punct | +| b) Să presupunem că lungimea primei sărituri este $s$ şi că după $n$ sărituri se întoarce în punctul
initial. Drumul parcurs de lăcustă va fi o linie frântă închisă $A_{1} A_{2} \ldots A_{n} A_{1}$ cu segmentele de
lungimi $s, 2 s, 4 s, \ldots 2^{n-1} s$. | 1 punct | +| Suma lungimilor primilor $n-1$ segmente este $s+2 s+4 s+\ldots+2^{n-2} s=\left(2^{n-1}-1\right) s$ | 1 punct | +| $2^{n-1} s=\left\|\overrightarrow{A_{n} A_{1}}\right\|=\left\|\overrightarrow{A_{1} A_{2}}+\overrightarrow{A_{2} A_{3}}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1} A_{n}}\right\| \leq\left\|\overrightarrow{A_{1} A_{2}}\right\|+\ldots+\left\|\overrightarrow{A_{n-1} A_{n}}\right\|=\left(2^{n-1}-1\right) s$. Fals. | 1 punct | +| Nu poate. | 1 punct | + +Subiectul 2. + +Prof. Marcel Ţena, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| Se observă că $1 \notin A$. Dacă $x \in A$ atunci $\frac{1}{x} \in A$ şi $1-x \in A$. De aici $\frac{1}{1-x} \in A, 1-\frac{1}{x} \in A$ şi | $\mathbf{3}$ puncte | +| $1-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1} \in A$ | $\mathbf{1}$ punct | +| Mulţimea căutată are cel mult cinci elemente, deci cel puţin două numere dintre cele 6 de mai
sus sunt egale. | $\mathbf{1}$ punct | +| Analizarea tuturor cazurilor posibile ce trebuie să fie îndeplinite pentru ca mulţimea să nu
depăşească cinci elemente. | $\mathbf{2}$ puncte | +| Mulţimea este $\left\{2, \frac{1}{2},-1\right\}$ | | + +## Subiectul 3. + +Prelucrare Gazeta Matematică nr. 4/2012, prof. Vasile Berghea, Avrig + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| Din inegalitatea Cauchy $\frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{n+x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}=\frac{n}{2}$ | $\mathbf{3}$ puncte | +| Folosind relaţia din ipoteză obţinem $\frac{4 n-6}{n} \geq \frac{n}{2}$ | $\mathbf{1}$ punct | +| $n \in\{2,3,4,5,6\}$ | $\mathbf{1}$ punct | +| $n_{\max }=6$, întrucât pentru $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{6}=1$ se verifică relaţiile din enunţ | $\mathbf{2}$ puncte | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| a) Luând originea în $O$, vectorii de poziţie verifică $\vec{r}_{H_{1}}=\vec{r}_{A}+\vec{r}_{B}+\vec{r}_{C}$ şi analoagele | 2 puncte | +| $\frac{1}{2}\left(\vec{r}_{H_{1}}+\vec{r}_{D}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec{r}_{H_{2}}+\vec{r}_{A}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec{r}_{H_{3}}+\vec{r}_{B}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec{r}_{H_{4}}+\vec{r}_{C}\right)=\vec{r}_{P}$ | 2 puncte | +| b) Mijlocul $Q$ al lui $[M N]$ are vectorul de poziţie $\frac{1}{2}\left(\vec{r}_{M}+\vec{r}_{N}\right)=\frac{1}{4}\left(\vec{r}_{A}+\vec{r}_{C}+\vec{r}_{B}+\vec{r}_{D}\right)$ | 1 punct | +| Din $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{O Q}$ rezultă că $O, P, Q$ sunt coliniare | 2 puncte | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 09.02.2013 -
CLASA A IX-A + +## SUBIECTELE + +Problema 1. a) Un şir de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are proprietatea + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=2^{n}+1 +$$ + +pentru orice $n \geq 1$. Stabiliţi dacă şirul $\left(a_{n}\right)_{n>1}$ este progresie geometrică. + +b) Fie $A_{1}, A_{2}$ două puncte distincte într-un plan. $\mathrm{O}$ lăcustă sare pe acest plan $\operatorname{din} A_{1}$ în $A_{2}$, apoi continuă să sară, astfel încât lungimea fiecărei sărituri este de două ori mai mare decât cea precedentă. Poate să se întoarcă lăcusta vreodată în punctul $A_{1}$ ? (Justificare) + +Problema 2. Să se determine mulţimile nevide $A \subset \mathbb{R}^{*}$ cu proprietăţile: + +a) mulţimea $A$ are cel mult cinci elemente; +b) $x \in A \Rightarrow \frac{1}{x} \in A$ sुi $1-x \in A$. + +Problema 3. Să se determine cel mai mare număr natural $n$ pentru care există numerele reale strict pozitive $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ astfel încât + +$$ +x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=n +$$ + +şi + +$$ +\frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+x_{n}}=\frac{4 n-6}{n} +$$ + +Problema 4. Fie $A B C D$ un patrulater înscris într-un cerc de centru $O$. Notăm cu $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ortocentrele triunghiurilor $A B C, B C D, C D A$, respectiv $D A B$ şi cu $M, N$ mijloacele diagonalelor $[A C]$, respectiv $[B D]$. + +a) Să se arate că segmentele $\left[D H_{1}\right],\left[A H_{2}\right],\left[B H_{3}\right],\left[C H_{4}\right]$ au acelaşi mijloc $P$. + +b) Să se arate că punctele $O, P$ şi mijlocul segmentului $[M N]$ sunt coliniare. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-137-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-137-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0543ef545028fa82d6e1ed314afc4d0cfa142da6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-137-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 28 FEBRUARIE 2016 + +## CLASA A XII -A + +1. Se consideră grupurile $\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ și $(G, \cdot)$ unde $G=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}, a^{2}+b^{2} \neq 0\right\}$. + +a) Să se arate că grupurile $\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ și $(G, \cdot)$ sunt izomorfe. + +b) Arătați că, pentru fiecare $n$ număr natural nenul, există un subgrup cu $n$ elemente al grupului $(G, \cdot)$ și să se determine acest subgrup. + +2. Fie $a>0, a \neq 1$. Calculați integrala $I=\int_{0}^{1} a^{x^{3}+3 x} \cdot \ln a^{x^{5}+4 x^{3}+3 x} d x$. + +S.G.M 12/2015 + +3. a) Să se determine primitivele funcției $f:(0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\arcsin x}{x^{2}}$. + +b) Fie $I \subseteq \mathbb{R}$ un interval neredus la un singur punct și $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție strict descrescătoare pe $I$ și care admite primitive pe $I$. Există funcții $g: I \rightarrow I$ care admit primitive pe $I$ astfel încât $g(g(x))=f(x), \forall x \in I$ ? + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: prof. Boroica Gheorghe, C.N. "Gh. Șincai" prof. Bob Robert, C.N. "V. Lucaciu" + +prof. Ocean Cristina, L.T. "E. Racoviţă". + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 28 FEBRUARIE 2016 + +BAREM DE CORECTARE + +CLASA A XII -A + +1.a) Functia $f: C^{*} \rightarrow G, f(a+b i)=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right)$ este izomorfism de grupuri. + +- Definitia lui $\mathrm{f}$ (sau a lui $f^{-1}$ ) + +1p + +- f bijectivă + +$1 p$ + +- $\mathrm{f}$ morfism + +1p + +b) Singurul subgrup $\mathrm{H}$ al lui $\left(C^{*},\right)$ și care are $\mathrm{n}$ elemente este cel al rădăcinilor de ordinul $\mathrm{n}$ ale unității + +Folosind a), rezultă că și G are un subgrup cu n elemente + +Din $H=U_{n}=\left\{z \in \mathbf{C}^{*} \mid \mathrm{z}^{\mathrm{n}}=1\right\}$, deducem că $f(H)=\left\{\left.f\left(\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n}\right) \right\rvert\, k \in \overline{0, n-1}\right\}=$ $\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2 k \pi}{n} & \sin \frac{2 k \pi}{n} \\ -\sin \frac{2 k \pi}{n} & \cos \frac{2 k \pi}{n}\end{array}\right) \right\rvert\, k \in \overline{0, n-1}\right\}$ este subgrupul căutat. + +2. + +$$ +\begin{aligned} +& I=\int_{0}^{1} a^{x^{8}+3 x} \cdot\left(x^{5}+4 x^{3}+3 x\right) \ln a d x=\int_{0}^{1} a^{x^{8}+3 x}\left[x^{3}\left(x^{2}+1\right)+3 x\left(x^{2}+1\right)\right] \ln a d x= \\ +& \int_{0}^{1} a^{x^{5}+3 x} \cdot\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}+3 x\right) \ln a d x= \\ +& 2 p \\ +& =\frac{1}{3} \int_{0}^{1}\left(a^{x^{8}+3 x}\right)^{\prime} \cdot\left(x^{3}+3 x\right) d x \\ +& 2 \mathbf{p} \\ +& =\left.\frac{1}{3} a^{x^{8}+3 x} \cdot\left(x^{3}+3 x\right)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} a^{x^{8}+3 x} \cdot\left(x^{2}+1\right) d x \\ +& 1 \mathbf{p} \\ +& =\frac{4 a^{4}}{3}-\left.\frac{1}{3 \ln a} \cdot a^{x^{8}+3 x}\right|_{0} ^{1} \\ +& \text { 1p } \\ +& =\frac{4 a^{4}}{3}-\frac{a^{4}}{3 \ln a}+\frac{1}{3 \ln a}=\frac{1}{3 \ln a}\left(4 a^{4} \ln a-a^{4}+1\right) +\end{aligned} +$$ + +3. a) Funcția $\mathrm{f}$ fiind continuă are primitive pe $(0,1]$. Pentru $x \in(0,1)$ avem: + +$\int \frac{\arcsin x}{x^{2}} d x=-\int\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime} \cdot \arcsin x d x=-\frac{1}{x} \arcsin x+\int \frac{1}{x \cdot \sqrt{1-x^{2}}} d x=$ + +$2 \mathbf{p}$ + +$=-\frac{1}{x} \arcsin x+\int \frac{1}{x^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}} d x=-\frac{1}{x} \arcsin x-\int \frac{\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}} d x$ + +$=-\frac{1}{x} \cdot \arcsin x-\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}\right)+C$ + +$\mathbf{1 p}$ + +Atunci funcția $F:(0,1] \rightarrow R, F(x)=-\frac{1}{x} \cdot \arcsin x-\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}\right)$ este o primitivă pentru $\mathrm{f}$ chiar pe $(0,1]$,deci $\int f(x) d x=F(x)+C$ +b) Presupunem că $\exists \mathrm{g}$ cu proprietatea cerută. Atunci $g$ are Proprietatea lui Darboux pe $\mathrm{I}$. + +Fie a,b $\in I$ astfel încât $g(a)=g(b) \Rightarrow g(g(a))=g(g(b)) \Rightarrow f(a)=f(b) \underset{\text { finj }}{\Longrightarrow} a=b$, deci g este injectivă. + +$1 p$ + +Din $g$ injectivă și g are P.D $\Rightarrow \mathrm{g}$ e strict monotonă + +$1 p$ + +$\Rightarrow g \circ g$ strict crescătoare $\stackrel{i p}{\Rightarrow} \mathrm{f}$ strict crescătoare, contradicție + +$\mathbf{1 p}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1370-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1370-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e70aad123dd3a7300b47c3c04e84cd9099987d8f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1370-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,46 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală 09.02.2013
CLASA a XII-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +Fie $G=\left\{\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{array}\right) / a, b, c \in R\right\}$. + +a) Să se arate că G este parte stabilă în raport cu operația de înmulțire a matricilor. + +b) Să se arate că dacă $a, b, c \in R$ atunci există $x, y, z \in R$ astfel încât: + +$$ +\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c\right)^{n}=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z +$$ + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +Fie $I_{n}=\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos n x d x, n \in N^{*}$ + +a) Să se calculeze $I_{1}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ + +Gazeta Matematică nr. 1/2012 + +Subiectul $3 \quad$ (7 puncte) + +Să se determine funcțiile $f: R \rightarrow R$, care admit primitive şi au proprietatea că $(f \circ f)(x)=-x^{3}, \forall x \in R$. + +## Subiectul $4 \quad$ (7 puncte) + +Să se calculeze integrala: + +$$ +\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{x^{n}}{x^{3 n+1}+x^{2 n+2}+x^{2 n}+x^{n+1}+x^{n-1}+1} d x +$$ + +unde $a>0, n \in N^{*}$. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa județeană a + +olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1371-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1371-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b8c348e59549e7be426052e129e39ba116ba2ef --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1371-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +Etapa locală 09.02.2013 + +## CLASA a XI-a + +$\underline{\text { Subiectul } 1 \text { (7 puncte) }}$ + +$$ +\text { Să se calculeze: } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}}\right) +$$ + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +Se dă matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$. Să se calculeze $A^{n}, n \in N^{*}$. + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +Fie $\chi_{n} \prod_{m a x}$ un şir de numere reale strict pozitive astfel încât $(n+1) x_{n+1}-n x_{n}<0,\left(\mathfrak{n} \in \mathbf{N}^{-}\right.$. Să se arate că şirul este monoton şi mărginit şi are imita 0 . + +## Subiectul $4 \quad$ (7 puncte) + +Să se calculeze: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{C_{n}^{1}+\frac{1}{2} C_{n}^{2}+\ldots+\frac{1}{n} C_{n}^{n}}{2^{2}+\frac{1}{2} 2^{3}+\ldots+\frac{1}{n} 2^{n+1}} +$$ + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeteană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1372-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1372-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c55288c411e73a88d5efc0045a264dede4d4f6a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1372-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,45 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +Etapa locală 09.02.2013 + +## CLASA a X-a + +## $\underline{\text { Subiectul } 1 \text { (7 puncte) }}$ + +Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul: + +$$ +\begin{aligned} +& 3^{x}-2^{y}=19 \\ +& 3^{y}-2^{x}=19 +\end{aligned} +$$ + +Supliment Gazeta Matematică 11/2012 + +## Subiectul 2 ( 7 puncte) + +a) Fie $z_{1}$ şi $z_{2}$ două numere complexe diferite astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$. Să se arate că $\forall \alpha \in R$ avem $\left|z_{1}+\alpha z_{2}\right|=\left|z_{2}+\alpha \alpha_{1}\right|$. + +b) Fie $\quad z_{1}$ şi $z_{2}$ două numere complexe diferite. Să se arate că dacă există $\alpha \in R \backslash\{-1,1\}$ astfel încât $\left|z_{1}+\infty z_{2}\right|=\left|z_{2}+\infty z_{1}\right|$ atunci $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$. + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +Dacă $z_{1} \mathbf{C}, i \in\{1,2,3,4\}$ sunt distincte si au proprietatile $z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}$ si $\mathrm{z}_{1}+\mathrm{iz} \mathrm{z}_{2}=\mathrm{z}_{3}+\mathrm{iz}$, atunci $\exists z \in C$ astfel incat $\left|z-z_{1}\right|=\left|z-z_{2}\right|=\left|z-z_{3}\right|=\left|z-z_{4}\right|$. + +## Subiectul $4 \quad$ (7 puncte) + +Fie $a>1$ şi $b \geq 0$. Să se rezolve ecuația: + +$$ +\log _{a^{*}+b} x=\log _{a^{*}+b} n +$$ + +unde $n \in N^{*}$. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeteană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1373-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1373-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c446f7c343e646f584447124da9e53871d1c9760 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1373-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# CLASA a VIII -a + +Subiectul I + +## (7 puncte) + +a) Sá se arate câ dacâ $aa y+b x$. + +b) Comparaf̧i numerele: $a=200^{101}+243^{101}$ si $b=216^{101}+225^{101}$. + +Gazeta matematicā 5/2006-E. 13198 + +## Subiectul II + +(7 puncte) + +a) Demonstraf̧i că ecuafia $(x+1)(x+2)=y(y+2)$ nu are solutii in $\mathbf{N x N}$. + +b) Demonstraţi că ecuaţia $(x+1)(x+2)=(y+2)(y+3)$ are o infinitate de soluţii in $\mathbf{N x N}$. + +Gazeta matematicả 3/2008-E. 13627 + +## Subiectul III + +Pe planul pătratului $\mathrm{ABCD}$ cu latura de $2 \mathrm{~cm}$, se duce perpendiculara in $\mathrm{A}$ pe care se ia punctul $\mathrm{E}$ astfel incat $\mathrm{AE}=2 \sqrt{2}$. Să se calculeze distanṭa dintre $\mathrm{EC}$ și $\mathrm{BD}$. + +## Subiectul IV + +Triunghiurile $\mathrm{ABC}$ si $\mathrm{BCD}$ sunt situate in plane diferite, iar (CM) si (CN) sunt medianele corespunzătoare laturilor $\mathrm{AB}$ respectiv $\mathrm{BD}$. + +a) Arătaţi cả MN II (ACD). + +b) Dacả $\mathrm{T}$ și $\mathrm{S}$ sunt centrele de greutate ale celor două triunghiuri, araltałi ca TS \|l (ACD). + +Culegere de probleme + +Notā. Timp de hucru efectiv 3 ore + +Punctajul minim de calificare la etapa urmâtoare a olimpiadei de matematica 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1374-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1374-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d89c52c61ff617c18d5941bf50bd34259f26a4f2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1374-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÄ - Etapa localı̌ 9.02 .2013 + +## CLASA a VII $-\pi$ + +## Sablectul I + +Comparaji numerele: + +$$ +a=3^{0} \div 3^{1} \div \ldots \div 3^{1+t}+3^{1+9} \text { si } b=5^{0} \div 5^{1}+\ldots+5^{\infty}+5^{\infty} \text {. } +$$ + +Gazeta matematica 5/2009-E. 13194 + +Subiectul II + +$$ +\text { Calculafi } x+y+z \text { stiind cã: } \frac{x+1}{x}=\frac{y+2}{y}=\frac{z+3}{z} \text { si } \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=54 \text {. } +$$ + +Sublectal III + +Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$ in care $m(4 \mathrm{~A})=20^{\circ}$ și $m(\not \subset \mathrm{C})=40^{\circ}$. Mediatoarca laturi (BC) intersecteazal dreapta $\mathrm{AB}$ in $\mathrm{N}$, iar mediatoarea segmentului (AN) intersecteazi pe $\mathrm{AC}$ in $\mathrm{E}$. Sà se determine $m$ ( $\_\mathrm{BEN}$ ). + +Gazeta matematica 5/2006-E. 13197 + +Subiectui TV + +In triunghiul $\mathrm{ABC} m(\measuredangle \mathrm{A})=80^{\circ}, m(\Varangle \mathrm{B})=40^{\circ}$, fie $\mathrm{AA}^{\prime}$ inailfime, $\mathrm{BB}^{\prime}$ bisectoare si $\mathrm{CC}^{\prime}$ inaltime. Arătati ca triunghiul determinat de intersecfiile dreptelor $\mathrm{AA}^{\prime}, \mathrm{BB}^{\prime}, \mathrm{CC}^{\prime}$ este isoscel. Culegere de probleme + +NotE. Timp de fucru efectiv 3 ore + +Punctajul minim de calificare la etaps urmâtoare a olimpiadei de matematicä 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1375-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1375-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b30dbee57e61ecb59308bf7abfb82e7238027b8c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1375-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiecte.md" @@ -0,0 +1,28 @@ +# CL.ASA a VI-a + +-Sshlenar-1 ${ }^{2}$ + +(7 puncte) + +Punctele $\mathrm{M}_{0}, \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots . \mathrm{M}_{00}, \mathrm{M}_{50}$ se afla pe dreapta $d$ ( in aceastâ ordinc), astfel incat $\mathrm{M}_{0} \mathrm{M}_{1}=1 \mathrm{~cm}, \mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{2}=2 \mathrm{~cm}, \ldots, \mathrm{M}_{69} \mathrm{M}_{50}=50 \mathrm{~cm}$. Sa㐅 se afle lungimea segmentului $\mathrm{M}_{40} \mathrm{M}_{50}$. $+* *$ + +## Subiectul II + +(7 puncte) + +Fie unghiurile $\angle \mathrm{AOB}$ şi $\angle \mathrm{BOC}$ adiacente si suplementare. Stiind ca㐅̌ suplemental complementului unghiului $\angle \mathrm{AOB}$ este cu $100^{\circ}$ mai mare decât complemental suplementului $\Varangle \mathrm{BOC}$, sà se determine măsurile unghiurilor $\angle \mathrm{AOB}$ si $\angle \mathrm{BOC}$. + +Gazeta matematica $12 / 2009$ + +Subiectul III + +Un numâr natural impărtit la 5 dã restul 2 si impärtit la 7 dâ restul 3. Aflati restul impärfiri] numärului la 35 . + +## Subiectul IV + +## Comparati numereie $31^{11} \mathrm{cu} 17^{14}$. + +Nota. Timp de lucru efectiv 2 ore + +Punctajul minim de calificare la etapa urm3̃toare a olimpiadei de matematical 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1376-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1376-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e2868851cdef62b2d81832fa1dc0d4992f3bcecc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1376-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiecte.md" @@ -0,0 +1,42 @@ +# INSFECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI BUZÃU + +## OLIMPLADA DE MATEMATICÃ - Etapa localā 9.02 .2013 + +CLASA a V -a + +Subiectul I + +(7 puncte) + +Aflati cifrele $a$ şi $b$ din egalitatea: $3 \cdot \overline{a b}+3(a+b)=\overline{1 b 8}$. + +Gazeta matematica 7/2005- E.12.585 + +Subiectul II + +(7 puncte) + +Fie mulfimea $\mathrm{A}=\{3,7,11,15, \ldots\}$ si card $\mathrm{A}=100$. + +a) Sunt numerele $123,321,399$ şi 435 elemente ale muljimii A? + +b) Aflaţi cel mai mare element al multimii și suma elementelor din A. + +Subiectul III + +(7 puncte) + +O excursie costa 310 \$. Ionel a achitat costul excursiei folosind bancnote de 5 \$ și de $20 \$$, in total 23 bancnote. Câte bancnote de fiecare fel a folosit lonel? + +e $\rightarrow+$ + +Subiectul IV + +(7 puncte) + +Aflaṭi $x, y, z \in N$ dacă $64^{x}+16^{y}+4^{t}=321$ + +Not3. Timp de lucru efectiv 2 ore + +Punctajul minim de calificare la etapa urmātoare a olimpiadei de matematică 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1377-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1377-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..177c0a9be9ef55c4fe00ce627a14f7f942db9ab7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1377-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +Etapa locală 09.02.2013 + +## CLASA a IX-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +Să se determine toate perechile de numere intregi $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ care verifică relația: + +$$ +x^{3}+y^{3}=(x+y)^{2} +$$ + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +Se consideră 24 de numere prime mai mari sau egale cu 5 . Să se arate că suma pătratelor lor este divizibilă cu 24 . + +$$ +\text { E: 26526/ Gazeta Matematică nr.11/2011 } +$$ + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +Fie $\triangle \mathrm{ABC}$ şi punctele $\mathrm{E}, \mathrm{F} ; \mathrm{E}=$ (AB) şi $\in$ (AC), astfel încât $\frac{A E}{E B}=\frac{F C}{A F}=\frac{1}{4}$ Dacă $\mathrm{M}$ este mijlocul lui $\mathrm{AB}, \mathrm{N}$ mijlocul lui $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{R}$ mijlocul lui $\mathrm{EF}$ să se arate că punctele M, R şi N sunt coliniare. + +## $\underline{\text { Subiectul } 4 \text { (7 puncte) }}$ + +Determinaţi numerele reale nenule $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$, astfel încât: + +$$ +\frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}=\frac{2 n+1}{3}, \forall \mathrm{n} \geq 2 +$$ + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeteană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1378-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1378-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a47e245a894370c4396b00f8afd2e75493efdc5f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1378-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A VIII-A + +1.) M-am gândit la un număr, l-am adunat $\mathrm{cu} 3$, rezultatul l-am ridicat la pătrat, noul rezultat l-am împărţit la 4 , din rezultatul obţinut am scăzut numărul cu 2 mai mare decât numărul la care m-am gândit, din rezultatul astfel obţinut am extras rădăcină pătrată şi am obţinut ca rezultat final 8 . La ce număr mam gândit? + +2.) Să se rezolve în $Z$ ecuaţia: $\sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+17}+\sqrt{z^{2}-2 z+2}=3$. + +3.) În triunghiul $A B C, A B=13 \mathrm{~cm}, B C=20 \mathrm{~cm}, A C=21 \mathrm{~cm}$ şi $P \in(A C)$ astfel, încât $\frac{A P}{P C}=\frac{2}{5}$. Dacă $E P$ este perpendicular pe planul $(A B C)$ şi $E P=12 \mathrm{~cm}$, calculaţi distanţa punctului $E$ la dreapta $B C$. + +4.) În trapezul dreptunghic $A B C D, A B \| C D, m(\Varangle A)=90^{\circ}$ şi $A D \subset \alpha$. Proiecţia perpendiculară a trapezului pe planul $\alpha$ este patrulaterul $A D F E$. + +a) Arătaţi, că $A D F E$ este trapez dreptunghic, + +b) Dacă $A B=12 \mathrm{~cm}, C D=4 \mathrm{~cm}, A D=6 \mathrm{~cm}$ şi $m[\Varangle((A B C),(A F E))]=60^{\circ}$, calculaţi aria patrulaterului $E F C B$ ! + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1379-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1379-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51e147bd4283d4755ec705aa3c0dac29379b46f9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1379-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A VII-A + +1.) Rezolvaţi pe mulţimea numerelor reale ecuaţia: + +$$ +\sqrt{3^{2}+4^{2}}+\sqrt{(3+4)^{2}}-|x-2001|=(\sqrt{3})^{20}-3^{10} +$$ + +2.) Din trei florării, în prima s-au vândut jumătate din cantitatea vândută în a doua florărie. În a treia s-au vândut cu $150 \%$ mai mult, decât în prima, astfel au încasat cu 171 de lei mai mult, decât în a doua florărie. Câte fire de flori s-au vândut în prima, în a doua, respectiv în a treia florărie, dacă un fir costă 9 lei? + +3.) Pe latura $[B C]$ a unui paralelogram $A B C D$ se ia un punct $T$. Dreapta $A T$ taie diagonala $[B D]$ în punctul $E$. Să se arate că triunghiurile $A E B$ şi $D T E$ sunt echivalente. + +4.) În paralelogramul $A B C D$ se consideră un punct $M$ pe latura $A B$, pentru care aria triunghiului $M B C$ este de $8 \mathrm{~cm}^{2}$ şi aria triunghiului $M D C$ este de $20 \mathrm{~cm}^{2}$. + +a) Să se calculeze aria triunghiului $A M D$. + +b)Dacă simetricul punctului $M$ faţă de punctul $C$ este $E$ şi simetricul punctului $E$ faţă de punctul $D$ este $S$, să se determine valoarea raportului $\frac{S A}{A M}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-138-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-138-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..626f870ec0ebc884ddfdb3f7b74399e852209f81 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-138-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - 28 februarie 2016 + +CLASA a XI - a + +1. Se consideră determinantul $D_{n}=\left|\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & \ldots & n-2 & n-1 & n \\ n & 1 & 2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 \\ n-1 & n & 1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & 1\end{array}\right|, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Calculați $\mathrm{D}_{4}$ şi $\mathrm{D}_{5}$; + +b) Demonstrați că există o infinitate de valori $n \in \mathbb{N}^{*}$ pentru care $D_{n}<0$. + +2. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{1}=1, x_{2}=3$ și $x_{n+2}=2 x_{n+1}+\sqrt{x_{n+1}^{2}-3 x_{n+1} \cdot x_{n}+2 \cdot x_{n}^{2}}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Demonstrați că funcția $\mathrm{f}:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\sqrt{(\mathrm{x}-1)(2 \mathrm{x}-1)}}{\mathrm{x}}$ este crescătoare; + +b) Arătați că şirul $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \geq 1}, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}}{2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}}}$ este convergent; + +c) Calculați $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}^{2016}}$. + +## Dana Heuberger + +3. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{1} \in(1,2)$ şi $2 x_{n+1}+x_{n}^{2}=2\left(x_{n}+1\right), n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Demonstrați că $\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \in(1,2), \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Considerând șirul convergent, calculați limita sa; + +c) Demonstrați că șirul este convergent. + +G.M. 1 / 2016 - 27175 (modificată) + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Dana Heuberger, Colegiul Naţional ,,Gheorghe Sincai” Baia Mare. + +prof. Gheorghe Sfara, Colegiul Național ,,Vasile Lucaciu” Baia Mare prof. Cristian Heuberger, Colegiul Naţional ,,Gheorghe Şincai" Baia Mare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5135f1ddea3ac6d09bf3g-2.jpg?height=249&width=225&top_left_y=79&top_left_x=126) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - 28 februarie 2016 + +## CLASA a XI - a + +(Barem) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 1. a) } \mathrm{D}_{4}=-160 \text { și } \mathrm{D}_{5}=1875 \\ +& 4 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5135f1ddea3ac6d09bf3g-2.jpg?height=474&width=1661&top_left_y=820&top_left_x=297) + +$$ +\begin{aligned} +& =\frac{n(n+1)}{2}\left|\begin{array}{ccccccc} +1 & 2 & 3 & \ldots & n-2 & n-1 & n \\ +1 & 1 & 2 & \ldots & n-3 & n-2 & n-1 \\ +1 & n & 1 & \ldots & n-4 & n-3 & n-2 \\ +\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ +1 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & 1 +\end{array}\right| \stackrel{\substack{c_{2}: c_{2}-2 c_{1} \\ +c_{0}: c_{0}-3 c_{1} \\ +c_{n}: c_{n}-n c_{1}}}{n} \frac{n(n+1)}{2}\left|\begin{array}{ccccccc} +1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ +1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & -1 & -1 \\ +1 & n-2 & -2 & \ldots & -2 & -2 & -2 \\ +\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ +1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1-n +\end{array}\right|= +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5135f1ddea3ac6d09bf3g-2.jpg?height=244&width=1496&top_left_y=1705&top_left_x=369) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5135f1ddea3ac6d09bf3g-2.jpg?height=294&width=1410&top_left_y=1989&top_left_x=368) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5135f1ddea3ac6d09bf3g-2.jpg?height=103&width=1517&top_left_y=2331&top_left_x=369) + +Evident că pentru toate valorile naturale nenule pare are loc $\mathrm{D}_{\mathrm{n}}<0 \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +2. a) $f(x)=\sqrt{\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-3 \cdot \frac{1}{x}+2}=\sqrt{x} \circ\left(x^{2}-3 x+2\right) \circ \frac{1}{x}$. Funcția $f$ este o compunere de trei funcții, prima strict crescătoare, a doua strict descrescătoare pe $(0,1)$ (adică acolo unde se află $\frac{1}{\mathrm{x}}$ ) și a treia strict descrescătoare pe $(1,+\infty)$. Rezultă că $\mathrm{f}$ este strict crescătoare. + +$2 p$ + +b) Se arată uşor că $\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \geq 1, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$. De asemenea $\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}>2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$, ceea ce înseamnă că toți termenii șirului $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} 11}$ sunt supraunitari. Împărțind relația de recurență cu $2 \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}$ obținem + +$\mathrm{y}_{\mathrm{n}+1}=1+\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{y_{n}}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y_{n}^{2}}}=1+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 y_{n}^{2}-3 y_{n}+1}}{y_{n}}=1+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot f\left(y_{n}\right)$. + +$x_{1}=1 ; x_{2}=3 \Rightarrow x_{3}=6+\sqrt{2}$. Rezultă $y_{1}=\frac{3}{2}$ și $y_{2}=\frac{6+\sqrt{2}}{6}$. Evident $y_{1}>y_{2}$. + +Funcția $\mathrm{f}$ fiind strict crescătoare avem $\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2} \Rightarrow f\left(\mathrm{y}_{1}\right)>f\left(\mathrm{y}_{2}\right)$ și coroborat cu relația (*) se obține $\mathrm{y}_{2}>\mathrm{y}_{3}$. Continuând raționamentul deducem că șirul $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \geq 1}$ este strict descrescător. + +Fiind mărginit inferior de 1 , șirul este convergent. $3 p$ +c) $\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \geq 2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}-1} \geq 2 \cdot 2 \mathrm{x}_{\mathrm{n}-2} \geq \ldots \geq 2^{\mathrm{n}-1} \cdot \mathrm{x}_{1}=2^{\mathrm{n}-1}$. + +Rezultă $\frac{x_{n}}{\mathrm{n}^{2016}} \geq \frac{2^{\mathrm{n}-1}}{\mathrm{n}^{2016}} \rightarrow+\infty$ + +Conform teoremei comparației $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n^{2016}}=+\infty$. + +3. a) Fie $\mathrm{L} \in \mathbb{R}$ limita șirului. Trecând la limită în relația de recurență obținem $2 \mathrm{~L}+\mathrm{L}^{2}=2(\mathrm{~L}+1)$. Cum $\mathrm{L} \in[1,2]$, rezultă $\mathrm{L}=\sqrt{2}$. $1 \mathrm{p}$ + +b) Dacă $\mathrm{x}_{1}=\sqrt{2}$ șirul este constant $\sqrt{2}$, fiind aşadar convergent la $\sqrt{2}$. + +Dacă $x_{1} \in(1, \sqrt{2})$, atunci $x_{2}=\frac{1}{2}(3-\underbrace{\left(x_{1}-1\right)^{2}}_{\in(0,3-2 \sqrt{2})}) \in\left(\sqrt{2}, \frac{3}{2}\right) \subset(\sqrt{2}, 2)$. $x_{3}=\frac{1}{2}(3-\underbrace{\left(x_{2}-1\right)^{2}}_{\in(3-2 \sqrt{2}, 1)}) \in(1, \sqrt{2})$. + +Evident că, inductiv, toți termenii de rang impar sunt în $(1, \sqrt{2})$ și toți cei de rang par sunt în $(\sqrt{2}, 2)$. + +$$ +x_{n+2}=-\frac{1}{2} x_{n+1}^{2}+x_{n+1}+1=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} x_{n}^{2}+x_{n}+1\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2} x_{n}^{2}+x_{n}+1\right)+1 +$$ + +Obținem $\quad x_{n+2}=-\frac{1}{8} x_{n}^{4}+\frac{1}{2} x_{n}^{3}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}+\frac{3}{2}$ + +$$ +x_{n+2}-x_{n}==-\frac{1}{8} x_{n}^{4}+\frac{1}{2} x_{n}^{3}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}-x_{n}+\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}\left(x_{n}-\sqrt{2}\right) \underbrace{\left(x_{n}+\sqrt{2}\right)\left(x_{n}^{2}-4 x_{n}+6\right)}_{>0} +$$ + +Se deduce imediat că subșirul termenilor de rang impar este strict crescător, iar subșirul termenilor de rang par este strict descrescător. Cum ambele sunt mărginite, rezultă că ambele subșiruri sunt convergente. + +Dacă a și b reprezintă limitele celor două subșiruri, trecând la limită în relația de recurență $\left(^{*}\right)$ obținem $a=-\frac{1}{8} a^{4}+\frac{1}{2} a^{3}-\frac{1}{2} a^{2}+\frac{3}{2}$ și similar pentru $b$. + +Rezultă $\frac{1}{8}(a-\sqrt{2}) \underbrace{(a+\sqrt{2})\left(a^{2}-4 a+6\right)}_{>0}=0 \quad$ și deci $a=\sqrt{2}$. Analog $b=\sqrt{2}$. + +Așadar șirul $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \geq 1}$ este convergent la $\sqrt{2}$. + +Similar pentru cazul în care $\mathrm{x}_{1} \in(\sqrt{2}, 2)$. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1380-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1380-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da68411c7bcca295c158dc52e97880947caf3c6a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1380-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiecte.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A VI-A + +1.) Arătaţi că numărul + +$$ +N=2^{111}+3^{222}+4^{333}+5^{444}+6^{555}+7^{666}+8^{777}+9^{888} \quad \text { este divizibil cu } 5 \text {. } +$$ + +2.) Fie numerele $a=6 \cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right), b=\frac{0,(4)+0,(5)}{0,0(4)+0,0(5)}$ şi $c=\left[\frac{1}{2}-0,(3)\right]: 0,(2)+0,5^{2}$ + +a) Determinaţi numerele raţionale $a, b$ şi $c$. + +b) Calculaţi media ponderată a numerelor rationale $a, b$ şi $c$, dacă ponderile sunt 5,3 respectiv 7 . + +3.) Vârsta medie a 110 persoane este de 41 de ani. Primii 80 de persoane au vârsta medie de 38 de ani. Cât este vârsta medie a ultimilor 30 de persoane? + +4.) Unghiurile $\Varangle A O B, \Varangle B O C, \Varangle C O D$ şi $\Varangle D O A$ sunt unghiuri formate în jurul punctului $O$, astfel încât $m(\Varangle B O C)=2 \cdot m(\Varangle A O B), m(\Varangle C O D)=3 \cdot m(\Varangle A O B)$ și $m(\Varangle A O D)=2 \cdot m(\Varangle B O C)$ + +a) Să se afle măsurile unghiurilor situate în jurul punctului $O$. + +b) Arătaţi că punctele $B, O, D$ sunt coliniare. + +c) Calculaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $A O B$ şi $A O D$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 2 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1381-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1381-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a99bc431b90cd717e18c52774123c4a69199bfbf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1381-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiecte.md" @@ -0,0 +1,26 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +# CLASA A V-A + +1.) Într-un număr natural de două cifre, cifra unităţilor este cu 2 mai mare decât cifra zecilor. Suma dintre acest număr şi răsturnatul său este 176. Aflaţi numărul. + +2.) Arătaţi că numărul: $n=2013+1 \cdot 2+2 \cdot 2+3 \cdot 2+\ldots+2012 \cdot 2$ este pătrat perfect. + +3.) Se dau mulţimile $A=\left\{2^{3}, p-1,1^{75}, p+1\right\}$ şi $B=\{x \mid x \in \mathbb{N}, x \leq 5$ şi $x$ este par $\}$, unde $p \in \mathbb{N}^{*}$. Determinaţi valoarea lui $p$ astfel încât să fie îndeplinită condiţia $A \cap B=\{4\}$. + +4.) a) Să se arate că numărul $5^{2012}$ poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte. + +b) Media aritmetică a trei numere este 2014. Primul este cu 9 mai mare decât al doilea număr, iar media aritmetică a celui de al doilea şi al treilea număr este 2015. Determinaţi cele trei numere. + +Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 2 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1382-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia__subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1382-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia__subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56b8fe11081648505f1480a9ed1b0813ede5bc8b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1382-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia__subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,158 @@ +OLIMPADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +BAREM + +CLASA A XII-A + +Programa M1 + +| 1. | Din oficiu | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | Verificarea axiomelor. | $4 \mathbf{p}$ | +| b) | $\alpha * \alpha=\frac{2 \alpha(1+a)^{2}}{\alpha^{2}+(1+a)^{2}}=\frac{4(1+a)^{3}}{5(1+a)^{2}}=\frac{4}{5}(1+a)=\frac{8}{10}(1+a)$ | 1p | +| | $\alpha * \alpha * \alpha=\frac{\left[\frac{4}{5}(1+a)+\frac{1}{2}(1+a)\right](1+a)^{2}}{\frac{4}{5}(1+a) \cdot \frac{1}{2}(1+a)+(1+a)^{2}}=\frac{\frac{13}{10}(1+a)^{3}}{\frac{7}{5}(1+a)^{2}}=\frac{13}{14}(1+a)=\frac{26}{28}(1+a)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Demonstrare prin metoda inducţiei $\alpha * \alpha * \ldots . . * \alpha=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1} \cdot(1+a)$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Dacă $f: Z \rightarrow Z$ este un automorfism al grupului $(Z, \circ)$, avem
$f(x+y-1)=f(x)+f(y)-1, \forall x, y \in Z$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Pentru $x=y=1$ obţinem $f(1)=1$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Notând $f(2)=a \in Z$, obţinem $f(x)=(x-1) a-x+2, \forall x \in Z$. | $\mathbf{5 p}$ | +| | Din surjectivitatea lui $f$ rezultă că $\exists b \in Z$ astfel ca $f(b)=2$, de unde avem
$a=0$ sau $a=2$ şi deci $f(x)=x$ sau $f(x)=2-x$. | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $F_{a} * F_{b}=F_{a b-a-b+2}=F_{(a-1)(b-1)+1} \in G$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | demonstrarea asociativităţii şi a comutativităţii | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $F(x)=\int x e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C, F_{0}(0)=-1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow F_{0}(x)=x e^{x}-e^{x}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $F_{2}(x)=x e^{x}-e^{x}+2,\left(F_{2} \circ F_{2}\right)(1)=e^{2}+2$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\left(F_{c} * F_{c}\right)(1)=F_{(c-1)^{2}+1}(1)=(c-1)^{2}+1$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | deci ecuaţia $(c-1)^{2}+1=e^{2}+2$, a cărei soluţii sunt $c=1 \pm \sqrt{e^{2}+1}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Înmulțind cu $e^{-x}$ relația din enunț obținem $e^{-x} \cdot F(x)-e^{-x} \cdot f(x)=e^{-x} \cdot \sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$
de unde avem $\left(e^{-x} \cdot F(x)\right)^{\prime}=-e^{-x} \cdot \sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ | $2 p$ | +| | Prin integrare: $e^{-x} \cdot F(x)=\int-e^{-x} \cdot \sin ^{2} x d x=e^{-x} \cdot \sin ^{2} x+\frac{1}{5} e^{-x} \cdot(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+C$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | De unde $F(x)=\sin ^{2} x+\frac{1}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+C e^{x}$ | $1 p$ | +| | Din $x=0$ și $f(0)=1$ avem $F(0)=1$ de unde obținem $C=\frac{3}{5}$ | $1 p$ | +| | Deci $F(x)=\sin ^{2} x+\frac{1}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+\frac{3}{5} e^{x}$ | 1p | +| | Cum pentru $\forall x \in \mathbb{R} F(x)-f(x)=\sin ^{2} x$ se obține funcția căutată
$\qquad f(x)=\frac{1}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+\frac{3}{5} e^{x}$ | $1 p$ | + +## OLIMPADA DE MATEMATICA + +## ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A XII-A + +## Programa M1 + +1.) În mulţimea $G=(-1-a, 1+a), a>0$ definim operaţia $x * y=\frac{(x+y)(1+a)^{2}}{x y+(1+a)^{2}}$. + +a) Să se demonstreze că $(G, *)$ este grup abelian. + +b) Dacă $\alpha=\frac{1+a}{2}$ să se calculeze valoarea lui $\alpha * \alpha * \ldots . . * \alpha$ (de $n$-ori $\alpha$ ). + +2.) Să se determine automorfismele grupului $(Z, \circ), x \circ y=x+y-1, \forall x, y \in Z$. + +3.) Se dă funcţia $f: R \rightarrow R, f(x)=x e^{x}$ şi $F_{0}: R \rightarrow R$ aceea primitivă a lui $f$ a cărei grafic trece prin punctul $(0,-1)$. În mulţimea $G=\left\{F_{c}: R \rightarrow R, F_{c}=F_{0}+c, c \in R \backslash\{1\}\right\}$ definim operaţia * astfel: $F_{a} * F_{b}=F_{a b-a-b+2}$. + +a) Să se demonstreze că $\left(G,{ }^{*}\right)$ este grup abelian. + +b) Să se determine numărul real c pentru care $\left(F_{2} \circ F_{2}\right)(1)=\left(F_{c} * F_{c}\right)(1)$, unde ${ }^{\circ}$ înseamnă compunerea funcţiilor. + +4.) Să se determine funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care $f(0)=1$ și care admit primitive $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $F(x)-f(x)=\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ ,ADOLF HAIMOVICI" ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +BAREM + +CLASA A XII-A + +Programa M2 + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $f^{\prime}(x)=0, \forall x \in(-1,1)$. | $\mathbf{4 p}$ | +| | Rezultă $f(x)=c \in R, \forall x \in(-1,1)$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deoarece $f(0)=0$, deducem $f(x)=0, \forall x \in(-1,1)$. | $\mathbf{2 p}$ | +| | Prin urmare $F(x)=k \in R, \forall x \in(-1,1)$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Primitiva vizată este $F(x)=\frac{\pi}{2}, \forall x \in(-1,1)$ | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 2. | Din oficiu | +| :--- | :--- | :--- | +| Verificarea continuităţii. | $\mathbf{1 p}$ | +| Calculul primitivelor restricţiilor. | | +| $F: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}, F(x)= \begin{cases}\frac{\ln ^{3} x}{3}+c_{1} \quad, \quad x \geq 1 \\ x e^{x}-e^{x}-e x+c_{2}, x<1\end{cases}$ | $\mathbf{4 p}$ | +| Condiția de continuitate $\Rightarrow \quad c_{1}=c_{2}-e=c$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Determinarea primitivelor. | | +| $F: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}, F(x)= \begin{cases}\frac{\ln ^{3} x}{3}+c \quad, x \geq 1 \quad, \boldsymbol{R} \\ x e^{x}-e^{x}-e x+e+c, \quad x<1\end{cases}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Descompunerea $\frac{x+5}{(x-1)\left(x^{2}+2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+2}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | Determinarea coeficienților $A=2, B=-2, C=-1$. | $\mathbf{2 p}$ | +| | Calculul integralelor funcților elementare. | $\mathbf{6 p}$ | + +4. Din oficiu + +a.) + +$A=\left(\begin{array}{lll}\hat{2} & \hat{3} & \hat{0} \\ \hat{3} & \hat{0} & \hat{1} \\ \hat{0} & \hat{1} & \hat{2}\end{array}\right), A^{2}=\left(\begin{array}{lll}\hat{1} & \hat{2} & \hat{3} \\ \hat{2} & \hat{2} & \hat{2} \\ \hat{3} & \hat{2} & \hat{1}\end{array}\right), A^{3}=\left(\begin{array}{lll}\hat{0} & \hat{2} & \hat{0} \\ \hat{2} & \hat{0} & \hat{2} \\ \hat{0} & \hat{2} & \hat{0}\end{array}\right), A^{4}=\left(\begin{array}{lll}\hat{2} & \hat{0} & \hat{2} \\ \hat{0} & \hat{0} & \hat{0} \\ \hat{2} & \hat{0} & \hat{2}\end{array}\right), A^{5}=O_{3}$, deci +$G=\left\{A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, A^{5}=O_{3}\right\}$ şi $|G|=5$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ee785ad68032d2524410g-5.jpg?height=604&width=1839&top_left_y=229&top_left_x=134) + +## CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ
"ADOLF HAIMOVICI" + +## ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A XII-A + +## Programa M2 + +1.) Fie funcţia $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}-2 \operatorname{arctg} x$. Să se calculeze $f^{\prime}(x)$ şi să se determine primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=\frac{\pi}{2}$. + +2.) Să se demonstreze că funcţia $f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln ^{2} x}{x} & , x \geq 1 \\ x e^{x}-e, & x<1\end{array}\right.$ este primitivabilă pe $\boldsymbol{R}$ şi să se determine primitivele ei. + +3.) Să se calculeze integrala $\int \frac{x+5}{(x-1)\left(x^{2}+2\right)} d x$. + +4.) Se dau matricile $A, B \in M_{3}\left(Z_{4}\right)$ astfel: $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq j \leq i \leq 3}, a_{i j}=\hat{i}+\hat{j}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ee785ad68032d2524410g-6.jpg?height=120&width=1270&top_left_y=1544&top_left_x=427) + +a) Determinaţi numărul elementelor mulţimilor $G, H$ şi $G \cap H$. + +b) Dintre structurile $(G$,$) şi (H,+)$ care este grup abelian? Care dintre proprietăţile de comutativitate, asociativitate, existenţa elementului neutru şi simetrizabilitatea fiecărui element este valabilă în structura cealaltă? Motivaţi amănunţit răspunsurile date la cele două întrebări! + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1383-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia__subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1383-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia__subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5d0f24ee4ac18c21d0d4aedbcb8306d2d10bb00 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1383-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia__subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,154 @@ +# OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +## 26 ianuarie 2013 + +## BAREM + +## CLASA A XI-A + +## Programa M1 + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | În cazurile $\mathrm{a}=0$ şi $\mathrm{a}<0$ limita este infinită | $\mathbf{2 p}$ | +| | Se impune $\mathrm{a}>0$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Amplificând cu conjugata avem $\lim _{n \rightarrow \infty} n \frac{\left(a^{2}-1\right) n^{2}-b n-c}{a n+\sqrt{n^{2}+b n+c}}$ sir rezultă $a=1, b=0, c$ arbitrar | $\mathbf{6 p}$ | + + +| 2 | iu | +| :---: | :---: | +| a.) | Observăm că $x_{1}, x_{5}, \ldots, x_{4 k+1}, \ldots, x_{2013}, \ldots$ determină o progresie aritmetică de raţie 4.
Deci $\quad x_{2013}=x_{1}+\frac{2013-1}{4} \cdot r=2+\frac{2013-1}{4} \cdot 4=2+2012=2014$ | +| b.) | Şirul dat este format din 4 subşiruri fiecare de raţia 4 . Fie $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ un astfel de subşir şi vom
avea:
$a_{n}=2013$
$a_{1}+(n-1) r=2013, r=4, a_{1} \in\{2,4,1,3\}$
$n=\frac{2013-a_{1}}{4}+1$
$n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(2013-a_{1}\right) \vdots 4 \Rightarrow a_{1}=1=x_{3}$
$\Rightarrow n=504$
adică 2013 este termen al subşirului $x_{3}, x_{7}, \ldots, x_{4 k+3}, \ldots$ deci termen al șirul dat şi $x_{2015}=2013$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1752e85a88f0fb86e25g-1.jpg?height=934&width=1807&top_left_y=1868&top_left_x=158) + +| | Caz ii. det $X=-1$
$t \cdot X=X^{2}-I_{2} \Rightarrow t \cdot X=\left(\begin{array}{ll}2013 & 1 \\ 2012 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \Rightarrow t \cdot X=\left(\begin{array}{ll}2012 & 1 \\ 2012 & 0\end{array}\right) \Rightarrow$
$\Rightarrow \operatorname{tr}(t \cdot X)=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{ll}2012 & 1 \\ 2012 & 0\end{array}\right) \Rightarrow t^{2}=2012 \Rightarrow t= \pm \sqrt{2012} \Rightarrow X= \pm \frac{1}{\sqrt{2012}}\left(\begin{array}{ll}2012 & 1 \\ 2012 & 0\end{array}\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b.) | Observăm că soluţiile sunt opuse două câte două. Fie $X_{1}=-X_{2}$ şi $X_{3}=-X_{4}(1 p)$
$X_{1}^{2013}+X_{2}^{2013}+X_{3}^{2013}+X_{4}^{2013}=\left(-X_{2}\right)^{2013}+X_{2}^{2013}+\left(-X_{4}\right)^{2013}+X_{4}^{2013}=$
$-X_{2}^{2013}+X_{2}^{2013}-X_{4}^{2013}+X_{4}^{2013}=O_{2}$ | $3 p$ | + + +| 4. | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| a.) | Evident dacă $\mathrm{A} \in \mathcal{M} \mathcal{M}_{3}(\mathbb{Z})$, atunci şi $\mathrm{A}^{*}$ are elementele numere întregi. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1752e85a88f0fb86e25g-2.jpg?height=56&width=73&top_left_y=803&top_left_x=1860) | +| | Pe de altă parte $\mathrm{A} \in \mathrm{M} \Rightarrow(\operatorname{det} \mathrm{A})^{3}=\operatorname{det} \mathrm{A}$ şi det $\mathrm{A} \neq 0 \Rightarrow(\operatorname{det} \mathrm{A})^{2}=1 \Rightarrow(\operatorname{det} \mathrm{A})= \pm 1$
Astfel $\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} \cdot \mathrm{A}^{*}= \pm \mathrm{A}^{*} \in \mathcal{M}_{3}(\mathrm{Z})$ | | +| | Înmulţind la dreapta şi la stânga egalitatea $\mathrm{A}^{3}=\mathrm{A} \mathrm{cu} \mathrm{A}^{-1}$ obţinem $\mathrm{A}^{2}=\mathrm{I}_{3}$. Astfel $\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A}$,
însă $\mathrm{A}^{-1}= \pm \mathrm{A}^{*}$ deci rezultă că $\mathrm{A}^{*}= \pm \mathrm{A} \in \mathrm{M}$. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1752e85a88f0fb86e25g-2.jpg?height=123&width=73&top_left_y=981&top_left_x=1860) | +| b.) | Evident $\mathrm{O}_{3}, \mathrm{I}_{3},-\mathrm{I}_{3} \in \mathrm{M}$ | 1p | +| | Aplicând teorema Cayley-Hamilton şi folosind relaţia $\mathrm{A}^{3}-\mathrm{A}=\mathrm{O}_{3}$ obţinem matricea | $\mathbf{1 p} \quad$ | +| | $\mathrm{A}_{0}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \in M$ | | +| c.) | Observăm că $\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right) \cdot\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+2 \cdot \mathrm{I}_{3}\right)=2 \cdot\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right)$, deoarece $\mathrm{A} \in \mathrm{M}$.
Rezultă că det $\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right) \cdot \operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+2 \cdot \mathrm{I}_{3}\right)=\operatorname{det}\left[2 \cdot\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right)\right]=2^{3} \cdot \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right)$ | $2 p$ | +| | $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right) \neq 0$ implică $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+2 \cdot \mathrm{I}_{3}\right)=2^{3}=8$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ
26 ianuarie 2013
CLASA A XI-A
Programa M1 + +1.) Ştiind că limita $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a n-\sqrt{n^{2}+b n+c}\right)$ este finită, să se determine $a, b, c \in R$. + +2.) Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}: 2,4,1,3,6,8,5,7,10,12,9,11, \ldots$ + +a) Aflaţi al 2013-lea termen al şirului. + +b) Decideţi dacă 2013 este termen al şirului. + +3.) Fie ecuaţia $X^{2}=\left(\begin{array}{ll}2013 & 1 \\ 2012 & 1\end{array}\right), X \in M_{2}(\mathbb{C})$ + +a) Să se rezolve ecuaţia. + +b) Dacă $X_{1,2,3,4}$ sunt soluţiile ecuaţiei să se calculeze $X_{1}^{2013}+X_{2}^{2013}+X_{3}^{2013}+X_{4}^{2013}$. + +4.) Fie mulţimea de matrici $\mathrm{M}=\left\{\mathrm{A} \in \mathcal{M} \mathcal{M}_{3}(\mathbb{Z}) / \mathrm{A}^{3}-\mathrm{A}=\mathrm{O}_{3}\right\}$. + +a) Să se demonstreze că dacă $A \in M$ şi $\operatorname{det} A \neq 0$, atunci $A^{*} \in M$, unde $A^{*}$ este adjuncta matricei A. + +b) Să se demonstreze că mulţimea $M$ are cel puţin patru elemente. + +c) Să se demonstreze că dacă $A \in M$ şi $\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right) \neq 0$, atunci $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+2 \cdot \mathrm{I}_{3}\right)=8$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ ,ADOLF HAIMOVICI"
ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +BAREM + +CLASA A XI-A + +Programa M2 + +| 1. | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a.) | $A^{2}=3 A \Rightarrow a=3$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b.) | dacă $B=A-A^{t} \Rightarrow B^{4}=I_{2} \Rightarrow B^{4 k}=I_{2}, k \in N^{*}$ | $2 p$ | +| | $\Rightarrow B^{2013}=B$ | $1 \mathbf{p}$ | +| c.) | Fie $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$
$X^{5}=A \Rightarrow \operatorname{det}\left(X^{5}\right)=\operatorname{det} A, \operatorname{dar} \operatorname{det} A=0$ și $\operatorname{det}\left(X^{5}\right)=(\operatorname{det} x)^{5} \operatorname{de}$ unde obținem $\operatorname{det} X=0$ | $1 p$ | +| | Din relația lui Cayley-Hamilton avem: $X^{2}-\operatorname{tr}(X) \cdot X+\operatorname{det} X \cdot I_{2}=O_{2}$ rezultă $X^{2}=(a+d) X$ | 1p | +| | De unde prin înmulțiri succesive obținem $X^{5}=(a+d)^{4} X \Leftrightarrow\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)=(a+d)^{4} X$ | $1 p$ | +| | $\operatorname{Din} \operatorname{tr}\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\operatorname{tr}\left((a+d)^{4} X\right)$ obținem $3=(a+d)^{5} \Leftrightarrow a+d=\sqrt[5]{3}$ | | +| | Deci $X=\frac{1}{(a+d)^{4}}\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\frac{1}{(\sqrt[5]{3})^{4}}\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ de unde $X=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt[5]{81}} & \frac{2}{\sqrt[5]{81}} \\ \frac{1}{\sqrt[5]{81}} & \frac{1}{\sqrt[5]{81}}\end{array}\right)$ | $1 \mathbf{p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| determinare domeniului | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{3 p}$ | | +| $y=-x$ asimptotă oblică spre $-\infty$ | $\mathbf{3 p}$ | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1752e85a88f0fb86e25g-4.jpg?height=793&width=1806&top_left_y=2030&top_left_x=176) + +| 4. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| Coordonatele punctelor sunt: $A\left(x_{1}, 0\right), B\left(x_{2}, 0\right), V\left(-\frac{b}{2 a},-\frac{\Delta}{4 a}\right)$, unde $x_{1}, x_{2}$ sunt soluţiile ecuaţiei | | | +| $f(x)=0$, iar $\Delta=b^{2}-4 a c$ | 3p | | +| Aria triunghiului este $S=\|d\| / 2$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| cu d $=\left\|\begin{array}{ccc}x_{1} & 0 & 1 \\ x_{2} & 0 & 1 \\ \frac{-b}{2 a} & \frac{-\Delta}{4 a} & 1\end{array}\right\|==\frac{\Delta}{4 a}\left(x_{1}-x_{2}\right) \Rightarrow S=\frac{1}{2}\left\|\frac{\Delta}{4 a}\right\| \cdot\left\|x_{1}-x_{2}\right\|=\frac{1}{8} \frac{\Delta}{\|a\|} \cdot\left\|x_{1}-x_{2}\right\|$ | $3 p$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | + +## CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ ,ADOLF HAIMOVICI" + +## ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A XI-A + +## Programa M2 + +1.) Fie $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right) \in M_{2}(R)$ o matrice. + +a) Să se demonstreze că există $a \in R$ astfel încât $A^{2}=a A$ ! + +b) Să se calculeze matricea $\left(A-A^{t}\right)^{2013}$ ! + +c) Să se rezolve ecuaţia $X^{5}=A, X \in M_{2}(R)$ ! + +2.) Se consideră funcţia $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$. Să se determine domeniul maxim de definiţie şi asimptotele funcţiei $f$. + +3.) Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale următoarea ecuaţie: + +$$ +\left|\begin{array}{ccc} +n! & (n+1)! & (n+2)! \\ +(n+1)! & (n+2)! & (n+3)! \\ +(n+2)! & (n+3)! & (n+4)! +\end{array}\right|=(n!)^{3} \cdot\left(n^{2}+3 n+2\right) \cdot(n+12) +$$ + +4.) Fie funcţia $f: R \rightarrow R, f(x)=a x^{2}+b x+c, a, b, c \in R, a \neq 0, b^{2}-4 a c>0$. + +Să se calculeze, în funcţie de $a, b, c$ aria triunghiului $A V B$, unde $A$ şi $B$ sunt punctele de intersecţie ale graficului funcţiei $f$ cu axa $O x$, iar $V$ este vârful parabolei reprezentând funcţia $f$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1384-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa__subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1384-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa__subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..52154868dff7e2266f2b9cada1828b5823e7c6c2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1384-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa__subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,179 @@ +CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ ,ADOLF HAIMOVICI" ETAPA LOCALĂ + +# 26 ianuarie 2013
BAREM + +CLASA A X-A + +Programa TC + CD(3 ore/săpt) + +| 1. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | Folosind formula $(A-B)^{3}=A^{3}-B^{3}-3 A B(A-B)$ obţinem: | 2p | +| | $a^{3}=\sqrt{50}+7-\sqrt{50}+7-3 \sqrt[3]{(\sqrt{50}+7)(\sqrt{50}-7)}(\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7})$ | 1p | +| | $a^{3}=14-3 a \Rightarrow a^{3}+3 a-14=0 \Rightarrow(a-2)\left(a^{2}+2 a+7\right)=0 \Rightarrow a=2 \in \mathbb{N}$ | $3 p$ | +| b) | $x^{3}+3 x-14=0 \Leftrightarrow(x-2)\left(x^{2}+2 x+7\right)=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2,3}=-1 \pm i \sqrt{6}$ | $3 p$ | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\sqrt{x^{2}+1}+x=m \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=m-x$
$x=\frac{m^{2}-1}{2 m}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 3. | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | Condiţia de existenţă a logaritmului: $\frac{1-x}{x+6}>0 \Leftrightarrow x \in(-6,1)(*)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Condiţia de existenţă a radicalului:
$\log _{\frac{1}{2}} \frac{1-x}{x+6} \geq 0 \stackrel{\log _{\frac{1}{2}}^{2}}{\Leftrightarrow} \frac{1-x}{x+6} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{-2 x-5}{x+6} \leq 0 \Leftrightarrow x \in(-\infty,-6] \cup\left[-\frac{5}{2},+\infty\right)\left({ }^{* *}\right)$ | $2 p$ | +| | $\operatorname{Din}(*)$ şi $(* *)$ avem: $x \in(-6,1) \cap\left\{(-\infty,-6] \cup\left[-\frac{5}{2},+\infty\right)\right\}=\left[-\frac{5}{2}, 1\right)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | Dacă $x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$ atunci $2^{x}+3^{y}+4^{z}$ este impar şi 2050 este par, deci ecuaţia nu
are soluţii în $\mathbb{N}$. Rezultă că $x=0$ sau $y=0$ sau $z=0$. | $1 \mathbf{p}$ | + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN COVASNA + +| Dacă $x=0 \Rightarrow 3^{y}+4^{z}=2049 \Leftrightarrow 3^{y}+4^{z}=1+2^{11}$ ecuaţie ce nu are soluţie în $\mathbb{N}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| :--- | :--- | :--- | +| Dacă $y=0 \Rightarrow 2^{x}+4^{z}=2049 \Leftrightarrow 2^{x}+4^{z}=1+2^{11} \Rightarrow x=11, z=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dacă $z=0 \Rightarrow 2^{x}+3^{y}=2049 \Leftrightarrow 2^{x}+3^{y}=1+2^{11} \Rightarrow x=11, y=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | Deci soluţia ecuaţiei este: $x=11, y=0, z=0$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4 | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Transformând logaritmii în baza 10 şi utilizând proprietăţile logaritmilor se obţine:
$\log _{\sin x} \cos x+\log _{\cos x} \operatorname{tg} x+\log _{\operatorname{tgx}} \frac{1}{\cos x}+\log _{\operatorname{ctg} x} \frac{1}{\sin x}+\log _{\frac{1}{\sin x}} \cos x+\log _{\frac{1}{\cos x}} \sin x=$
$\frac{\lg \cos x}{\lg \sin x}+\frac{\lg \operatorname{tg} x}{\lg \cos x}+\frac{\lg \frac{1}{\cos x}}{\lg \operatorname{tg} x}+\frac{\lg \frac{1}{\sin x}}{\lg \operatorname{ctg} x}+\frac{\lg \cos x}{\lg \frac{1}{\sin x}}+\frac{\lg \sin x}{\lg \frac{1}{\cos x}}=$ | $2 p$ | +| | $\frac{\lg \cos x}{\lg \sin x}+\frac{\lg \operatorname{tg} x}{\lg \cos x}-\frac{\lg \cos x}{\lg \operatorname{tg} x}-\frac{\lg \sin x}{\lg \operatorname{ctg} x}-\frac{\lg \cos x}{\lg \sin x}-\frac{\lg \sin x}{\lg \cos x}=$ | $2 p$ | +| | $\frac{\lg \frac{\sin x}{\cos x}}{\lg \cos x}-\frac{\lg \cos x}{\lg \frac{\sin x}{\cos x}}-\frac{\lg \sin x}{\lg \frac{\cos x}{\sin x}}-\frac{\lg \sin x}{\lg \cos x}=$
$\frac{\lg \sin x-\lg \cos x}{\lg \cos x}-\frac{\lg \cos x}{\lg \sin x-\lg \cos x}-\frac{\lg \sin x}{\lg \cos x-\lg \sin x}-\frac{\lg \sin x}{\lg \cos x}=$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $\frac{\lg \sin x-\lg \cos x-\lg \sin x}{\lg \cos x}+\frac{-\lg \cos x+\lg \sin x}{\lg \sin x-\lg \cos x}=-1+1=0$
Deci expresia nu depinde de $\mathrm{x}$ | 2p | + +## CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ
„ADOLF HAIMOVICI” + +## ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A X-A + +Programa TC+CD (3 ore/săpt) + +1.) a) Demonstrați că $a=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7} \in \mathbb{N}$. + +b) Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $x^{3}+3 x-14=0$. + +2.) Arătați că ecuația $\sqrt{x^{2}+1}+x=m$ are exact o rădăcină pentru orice $m \in \mathbb{R}, m>0$. Pentru ce valori ale lui $m$ are ecuația soluție negativă? + +3.) a) Determinați domeniul maxim de definiție pentru funcția $f(x)=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}} \frac{1-x}{x+6}}$. + +b) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $2^{x}+3^{y}+4^{z}=2050$. + +4.) Arătați că expresia + +$$ +\log _{\sin x} \cos x+\log _{\cos x} \operatorname{tg} x+\log _{\operatorname{tg} x} \frac{1}{\cos x}+\log _{\operatorname{ctgx}} \frac{1}{\sin x}+\log _{\frac{1}{\sin x}} \cos x+\log _{\frac{1}{\cos x}} \sin x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) +$$ + +nu depinde de $x$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## BAREM + +## CLASA A X-A + +## Programa TC+CD (4 ore/săpt) + +| 1.) | Din oficiu | $1 p$ | +| :--- | :--- | :---: | +| Presupunem $z_{2}=0 \Rightarrow\left\|z_{2}\right\|=0 \Rightarrow\left\|z_{1}\right\|=0 \Rightarrow z_{1}=0$ contradicție deoarece $z_{1} \neq Z_{2}$
deci $z_{2} \neq 0$ şi $z_{1} \neq 0$. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Împărţim egalităţile din enunţ prin $\left\|z_{2}\right\| \neq 0$ și vom obţine: $\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right\|=\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}}+1\right\|=1$. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Notăm $\frac{z_{1}}{z_{2}}=u \in \mathbb{C} \Rightarrow\|u\|=\|u+1\|=1$,
$u=a+b i, \quad a, b \in \mathbb{R} \Rightarrow\|a+b i\|=\|a+b i+1\|=1 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=(a+1)^{2}+b^{2}=1$
$\Rightarrow 2 a+1=0 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}, b^{2}=\frac{3}{4} \Rightarrow b= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ | 3p | | +| | $\underline{\text { deci }} u \in\left\{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right\}$ adică rădăcini cubice ale unităţii, de unde | 2p | +| | $u^{3}=1 \Rightarrow u^{3 k}=1, k \in \mathbb{N} \Rightarrow u^{2013}=1$ | $1 p$ | +| | $\Rightarrow\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2013}=\left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)^{2013}=1 \Rightarrow E=\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2013}+\left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)^{2013}=2$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | Avem: $\log _{a} b c=\frac{\lg b c}{\lg a}=\frac{\lg b+\lg c}{\lg a}=\frac{\lg b}{\lg a}+\frac{\lg c}{\lg a}$
Analog $\log _{b} c a=\frac{\lg c}{\lg b}+\frac{\lg a}{\lg b}$ şi $\log _{c} a b=\frac{\lg a}{\lg c}+\frac{\lg b}{\lg c}$ | $1 p$ | +| | Din $a, b, c \in(1, \infty) \Rightarrow \lg a, \lg b, \lg c>0$ | 1p | +| | Utilizând inegalitatea: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2, \forall x, y>0$ se obţine:
$\log _{a} b c+\log _{b} c a+\log _{c} a b=\frac{\lg b}{\lg a}+\frac{\lg c}{\lg a}+\frac{\lg c}{\lg b}+\frac{\lg a}{\lg b}+\frac{\lg a}{\lg c}+\frac{\lg b}{\lg c} \geq 2+2+2=6$ | $2 \mathbf{p}$ | +| b) | Utilizând inegalitatea mediilor obţinem: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}$ | 1p | +| | Cum $a>1 \Rightarrow \log _{a} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq \log _{a} \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}=\frac{1}{3} \log _{a} a^{2} b^{2} c^{2}=\frac{2}{3} \log _{a} a b c=\frac{2}{3}\left(1+\log _{a} b c\right)$ | 1p | +| | Analog $b, c>1 \Rightarrow \log _{b} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq \frac{2}{3}\left(1+\log _{b} c a\right)$ şi $\log _{c} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq \frac{2}{3}\left(1+\log _{c} a b\right)$ | 1p | + + +| Însumând inegalităţile obținute, avem: | | +| :--- | :--- | :--- | +| $\log _{a} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}+\log _{b} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}+\log _{c} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq$ | | +| $\frac{2}{3}\left(3+\log _{a} b c+\log _{b} c a+\log _{c} a b\right) \geq \frac{2}{3}(3+6)=6$ | 2p | + + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | Înlocuim în relaţia dată soluţiile ecuaţiei: $x^{2}-x-1=0, x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$, | $\mathbf{2 p}$ | +| | Pentru $x_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow f\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{1}{2}$, pentru $x_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow f\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{1}{2}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deci există $x_{1} \neq x_{2}$ pentru care $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ de unde rezultă că funcţia nu este injectivă | $\mathbf{1 p}$ | +| $\mathbf{b})$ | Partea dreaptă a egalităţii fiind o expresie de gradul 4, căutăm funcţia sub forma
$f(x)=a x^{2}+b x+c ; a, b, c \in \mathbb{R}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Înlocuind în relaţia dată şi efectuând calculele se obţine: $a=1 ; b=-3 ; c=\frac{3}{2}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Se obţine funcţia: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-3 x+\frac{3}{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4.
a) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $A_{0}=\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow\left\|z_{1}-z_{0}\right\|^{2}+\left\|z_{2}-z_{0}\right\|^{2}=\left\|z_{2}-z_{1}\right\|^{2}$ din care obţinem | $1 p$ | +| | $(2 \cos t-1)^{2}+(2 \sin t)^{2}+(4 \cos 2 t-1)^{2}+(4 \sin 2 t)^{2}=(4 \cos 2 t-2 \cos t)^{2}+(4 \sin 2 t-2 \sin t)^{2}$ | 1p | +| | Ecuaţia se reduce astfel: $4 \cos 2 t-6 \cos t-1=0$ | 1p | +| | cu soluţiile $\cos t=\frac{5}{4}$ care nu convine şi $\cos t=-\frac{1}{2}$ din care rezultă că $t=\frac{2 \pi}{3}$ | $1 p$ | +| b) | $z_{n}=2^{n}\left(\cos \frac{2(n+1) \pi}{3}+i \sin \frac{2(n+1) \pi}{3}\right), z_{n+1}=2^{n+1}\left(\cos \frac{2(n+2) \pi}{3}+i \sin \frac{2(n+2) \pi}{3}\right)$
$z_{n+2}=2^{n+2}\left(\cos \frac{2(n+3) \pi}{3}+i \sin \frac{2(n+3) \pi}{3}\right)$ | 1p | +| | În triunghiul $A_{n} O A_{n+1}$ avem: $O A_{n}=2^{n}, O A_{n+1}=2^{n+1}, m\left(A_{n} \hat{O} A_{n+1}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ de unde rezultă
că $A_{n} A_{n+1}^{2}=\left(2^{n}\right)^{2}+\left(2^{n+1}\right)^{2}-2 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n+1} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=7 \cdot 2^{2 n}$ | 1p | +| | În triunghiul $A_{n+2} O A_{n+1}$ avem: $O A_{n+2}=2^{n+2}, O A_{n+1}=2^{n+1}, m\left(A_{n+1} \hat{O} A_{n+2}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ de unde
rezultă că $A_{n+2} A_{n+1}^{2}=\left(2^{n+2}\right)^{2}+\left(2^{n+1}\right)^{2}-2 \cdot 2^{n+2} \cdot 2^{n+1} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=7 \cdot 2^{2 n+2}=28 \cdot 2^{2 n}$ | 1p | +| | iar în triunghiul $A_{n} O A_{n+2}$ avem: $O A_{n}=2^{n}, O A_{n+2}=2^{n+2}, m\left(A_{n+2} \hat{O} A_{n}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ de unde
rezultă că $A_{n} A_{n+2}^{2}=\left(2^{n}\right)^{2}+\left(2^{n+2}\right)^{2}-2 \cdot 2^{n} \cdot 2^{n+2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=21 \cdot 2^{2 n}$ | 1p | +| | Însă $7 \cdot 2^{2 n}+21 \cdot 2^{2 n}=28 \cdot 2^{2 n}$ de unde rezultă că triunghiul $A_{n} A_{n+1} A_{n+2}$ este dreptunghic în
$A_{n}$. Astfel $A_{A_{n} A_{n+1} A_{n+2}}=\frac{A_{n} A_{n+1} \cdot A_{n} A_{n+2}}{2}=2^{2 n-1} \cdot 7 \cdot \sqrt{3}$ | $1 p$ | + +## OLIMPADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +## 26 ianuarie 2013 + +## CLASA A X-A + +## Programa TC+CD (4 ore) + +1.) Fie $Z_{1}$ şi $Z_{2}$ numere complexe distincte, astfel încât $\left|Z_{1}\right|=\left|Z_{1}+Z_{2}\right|=\left|Z_{2}\right|$. + +Calculaţi valoarea expresiei: $E=\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{2013}+\left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)^{2013}$ + +2.) Fie $a, b, c \in(1, \infty)$. Arătaţi că: +a) $\log _{a} b c+\log _{b} c a+\log _{c} a b \geq 6$ +b) $\log _{a} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}+\log _{b} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}+\log _{c} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq 6$ + +3.) Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care, verifică relaţia $f\left(x^{2}\right)+f(x+1)=x(x+1)\left(x^{2}-x-1\right)+1$ pentru $\forall x \in \mathbb{R}$. + +a) Arătaţi că funcţia $f$ nu este injectivă. + +b) Daţi un exemplu pentru funcţia $f$, care verifică realţia dată. + +4.) În planul compex se dau punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, \ldots$ ale căror afixuri sunt numerele complexe $z_{0}=1, z_{1}=2(\cos t+i \sin t), z_{2}=2^{2}(\cos 2 t+i \sin 2 t), z_{n}=2^{n}(\cos n t+i \sin n t), \ldots$ + +a) Determinaţi valoarea $t \in[0, \pi]$ pentru care triunghiul $A_{0} A_{1} A_{2}$ este dreptunghic în $A_{0}$. + +b) Pentrut $=\frac{2 \pi}{3}$ calculaţi în funcţie de $n$ aria triunghiului $A_{n} A_{n+1} A_{n+2}$ + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1385-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa__subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1385-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa__subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9257a2b98dd317b9545acd107005e9a00dac207d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1385-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa__subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,152 @@ +# CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ „ADOLF HAIMOVICI" ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +BAREM + +CLASA A IX-A + +Programa TC+CD (3 ore/săpt) + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a.) | Deoarece $x=\frac{x-2013}{x+2013}=1-\frac{4026}{x+2013} \in \mathbb{N}$, rezultă $\frac{4026}{x+2013} \leq 1$, | $\mathbf{2 p}$ | +| | deci $x \geq 2013$ şi $x+2013$ divide 4026 | $\mathbf{1 p}$ | +| Ca urmare $x+2013 \in\{2013,4026\}$, de unde $x \in\{0,2013\}$
dar $x=0$ nu convine $\Rightarrow M=\{2013\}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| b.) | $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y} \Rightarrow \frac{a^{2} y+b^{2} x}{x y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\frac{a^{2} x y+b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}+b^{2} x y \geq a^{2} x y+2 a b x y+b^{2} x \chi}{}$ | | +| $b^{2} x^{2}-2 a b x y+a^{2} y^{2} \geq 0 \Rightarrow(b x-a y)^{2} \geq 0 \quad(A)$ | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $a_{n+1}=3 n+5$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $a_{n+1}-a_{n}=3 \Rightarrow\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ progresie aritmetică | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | $S_{100}=15350$ | $\mathbf{2 p}$ | +| c) | Utilizând egalitatea $\frac{1}{a_{k} a_{k+1}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)$, pentru $k=\overline{1, n-1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Obţinem $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1} a_{n}}=\frac{n-1}{a_{1} a_{n}}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | Cum $\frac{n-1}{a_{1} a_{n}}=\frac{n-1}{a_{1} \cdot\left(a_{1}+(n-1) 3\right)}=\frac{n-1}{25+15(n-1)}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Obţinem ecuaţia $\frac{n-1}{25+15(n-1)}=\frac{2012}{30205}$ de unde $n=2013 \in \mathbb{N}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | Coordonatele punctelor sunt: $A(1, a+b), B(0, b), C(0, a)$ | $\mathbf{3 p}$ | +| Lungimile laturilor sunt: $A B=\sqrt{1+a^{2}}, A C=\sqrt{1+b^{2}}, B C=a-b$ | $\mathbf{3 p}$ | | +| Avem relaţiile $A B>A C$ şi $A B>B C$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Presupunând că triunghiul este dreptunghic, ajungem la $a=b$, fals | $\mathbf{1 p}$ | | +| Aria triunghiului este $A_{A B C}=\frac{B C \cdot d(A, O y)}{2}=\frac{a-b}{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 4. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | În triunghiul $D E F$, din $B F=2 F D$ rezultă $\frac{F D}{F B}=\frac{1}{2}, \overrightarrow{E F}=\frac{\overrightarrow{E B}+2 \overrightarrow{E D}}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow{F E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B E}+\frac{2}{3} \overrightarrow{D E}$ (1) | 3p | +| b) | Analog din triunghiurile $A B C$ şi $A D C$ exprimăm vectorii $\overrightarrow{B E}$ şi $\overrightarrow{D E}$ | | +| obţinem: $\overrightarrow{B E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B A}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$ şi $\overrightarrow{D E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D A}+\frac{2}{3} \overrightarrow{D C}$ | $4 \mathbf{p}$ | | +| | Înlocuind aceste relaţii în (1), obţinem: $\overrightarrow{F E}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{B A}+2 \overrightarrow{B C})+\frac{2}{9}(\overrightarrow{D A}+2 \overrightarrow{D C})$ | | +| echivalent cu $9 \overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B A}+2 \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{D A}+4 \overrightarrow{D C}$ | 2p | | + +## CONCURSUL DE MATEMATICA APLICATĂ
,ADOLF HAIMOVICI" + +## ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +## CLASA A IX-A + +## Programa TC+CD (3 ore/săpt) + +1.) a) Să se determine mulţimea $M=\left\{x \in \mathbb{N} \left\lvert\, \frac{x-2013}{x+2013} \in \mathbb{N}\right.\right\}$. + +b) Arătați că: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}, \forall a, b \in \mathbb{R}$ și $\forall x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ + +2.) Considerăm șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}, a_{n}=3 n+2$. + +a) Să se arate că șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este o progresie aritmetică! + +b) Să se calculeze suma primilor 100 termeni! + +c) Să se determine $n \in \mathbb{N}$ astfel încât: $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1} a_{n}}=\frac{2012}{30205}$ + +3.) Se consideră funcţiile $f, g: R \rightarrow R, f(x)=a x+b, g(x)=b x+a$, cu $a, b \in N, a>b \geq 1$ În sistemul de coordonate $x O y$ fie punctul $A$ intersecţia graficelor celor două funcţii. Dacă graficul funcţiei $f$ taie axa $O y$ în punctul $B$, iar graficul funcţiei $g$ în punctul $C$, să se arate că triunghiul $A B C$ nu este dreptunghic şi să se calculeze aria triunghiului. + +4.) Fie patrulaterul $A B C D$ şi $E \in(A C), F \in(B D)$, astfel încât $A E=2 E C$ şi $B F=2 F D$. + +Să se arate că: +a) $\overrightarrow{F E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B E}+\frac{2}{3} \overrightarrow{D E}$ +b) $9 \overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B A}+2 \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{D A}+4 \overrightarrow{D C}$ + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +OLIMPADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +## 26 ianuarie 2013 + +## BAREM + +CLASA A IX-A + +## Programa TC+CD (4 ore/săpt) + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :--- | :---: | +| a) | Efectuând calculele și ținând cont de condiţia dată se obţine:
$(1-a)(1-b)(1-c)+a b c=a b+b c+c a$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0, \forall a, b, c \in \mathbb{R}$ rezultă $a b+b c+c a \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | De unde $3(a b+b c+c a) \leq(a+b+c)^{2}=1$ şi $a b+b c+c a<\frac{1}{3}$. Finalizare | $\mathbf{2 p}$ | +| $\mathbf{b}$ | Observăm că $0 \notin M$ şi dacă $x \in M$, atunci şi $-x \in M$, deci este suficient să determinăm
elementele pozitive ale mulţimii | $\mathbf{1 p}$ | +| | Pentru $x \in M, x>0$ există $k \in \mathbb{N}$ astfel încât $x^{2}+2013=k^{2}$, adică $(k-x)(k+x)=2013$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Descompunerea $2013=1 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 61$ coduce la $x \in\{14,86,334,1006\}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | În consecinţă $M=\{-1006,-334,-86,-14,14,86,334,1006\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8dcaa24a4d9d11cfd81ag-4.jpg?height=982&width=1841&top_left_y=1410&top_left_x=153) + +| 3. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a.) | $\vec{w}_{n}=a_{n} \vec{i}+a_{n}^{\prime} \vec{j}=\left[a_{1}+(n-1) r\right] \vec{j}+\left[a_{1}^{\prime}+(n-1) r `\right] \vec{j}=a_{1} \vec{i}+a_{1}^{\prime} \vec{j}+(n-1)\left(r \vec{i}+r^{\prime} \vec{j}\right)=\vec{u}+(n-1) \vec{v}$ | 2p | +| | Dacă vectorii $\vec{u}$ şi $\vec{v}$ nu sunt coliniari, atunci vectorii $\vec{w}_{n}$ ş $\vec{w}_{k}$ sunt coliniari atunci şi numai | 1p | +| | atunci, dacă $\frac{1}{1}=\frac{n-1}{k-1} \Leftrightarrow n=k$, adică fiecare vector este coliniar doar cu el însuşi, deci | | + +| | printre vectorii $\vec{w}_{n}, n \in N^{*}$ nu există vectori coliniari diferiţi. | | +| :---: | :---: | :---: | +| | Dacă vectorii $\vec{u}$ şi $\vec{v}$ sunt coliniari, atunci există $\lambda \in R$ astfel încât $\vec{u}=\lambda \vec{v}$. Atunci
$\vec{w}_{n}=\lambda \vec{v}+(n-1) \vec{v}=(\lambda+n-1) \vec{v}$, deci toţi vectorii $\vec{w}_{n}, n \in N^{*}$ sunt coliniari.
În acest caz avem: $a_{1} \vec{i}+a_{1}^{{fb6bccb90-4449-41cd-8dbc-0d63f626a519}} \breve{j}\right)$ adică $a_{1}=\lambda r$ şi $a_{1}^{\prime}=\lambda r^{{fc55d411b-44c6-4f68-b75f-1d20666e5130}}}{r^{{f896241b6-ac25-4828-938e-94b5ed9103ce}} \vec{j}=a_{1} q^{n-1} \vec{i}+a_{1}^{{fc45cd7f4-40ba-445a-82c2-799e0a091a4a}} q^{{fab2014d5-e138-4a9e-a6b9-1b39de6fbbfa}} q^{k-1}}$ adică $\frac{q^{n-1}}{q^{k-1}}=\frac{q^{n-1}}{q^{k-1}} \Leftrightarrow q^{n-k}=q^{n-k} \Leftrightarrow\left(\frac{q}{q^{{f026c7a78-b72b-4c82-9a9e-fa3ce191daa4}}^{\prime}$, iar dacă $n-k$ este par, atunci din $\left(^{*}\right)$
rezultă că $q= \pm q^{{fa0493d51-b6b2-4b91-a248-f6bf70497380} atunci toţi vectorii \(\vec{w}_{n}, n \in N^{*}$ sunt coliniari, iar dacă $q=-q^{{f95237fbc-4f26-4a22-b887-eb572fa7b154}şi \(q \neq-q$ atunci printre vectorii $\vec{w}_{n}, n \in N^{*}$ nu există vectori coliniari
diferiţi. | $1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8dcaa24a4d9d11cfd81ag-5.jpg?height=1347&width=1844&top_left_y=1116&top_left_x=148) + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +26 ianuarie 2013 + +CLASA A IX-A + +Programa TC+CD (4 ore) + +1.) a) Să se demonstreze inegalitatea $(1-a)(1-b)(1-c)+a b c \leq \frac{1}{3}$ dacă $a, b, c \in \mathbb{R}$ şi $a+b+c=1$ + +b) Să se determine mulţimea $M=\left\{x \in Z \mid \sqrt{x^{2}+2013} \in Z\right\}$. + +2.) Să se rezolve ecuaţia $[x+\{x\}]=[x+[x]], x \in \mathbb{R}$, unde $[x],\{x\}$ reprezintă partea întreagă, respective partea fracţionară al numărului real $x$. + +3.) Considerăm vectorii $\vec{w}_{n}=a_{n} \vec{i}+a_{n}^{\prime} \vec{j}, n \in N^{*}$. + +a) Dacă $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(a_{n}^{`}\right)_{n \geq 1}$ sunt progresii aritmetice neconstante cu raţiile $r$ respectiv $r^{\prime}$, în ce condiţie există printre vectorii $\vec{w}_{n}, n \in N^{*}$ vectori coliniari diferiţi? În acest caz care sunt vectorii coliniari? + +b) Aceleaşi întrebări dacă $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(a_{n}^{`}\right)_{n \geq 1}$ sunt progresii geometrice cu raţiile $q$ respectiv $q_{`}^{`}$. + +4.) Pe laturile $A B$ şi $A C$ ale triunghiului $A B C$ se iau punctele $M$ şi $N$ astfel încât $\frac{M A}{M B}=k, \frac{N A}{N C}=l, k, l \in Q_{+}^{*}, k0}} x \ln (\operatorname{tg} x)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \frac{\frac{2}{\operatorname{sxc}^{2} \operatorname{tog} x}}{-\frac{2}{x^{2}}}=0$ + +Rezultă că $\lim _{x \rightarrow \infty} F_{x}(x)=0-G(0)+c \in \mathbb{R}$. + +## Problema 4 + +Fie $\mathrm{x}, \mathrm{y} \quad$ G. Cum $\mathrm{f}$ surjectivă rezultă că există $\mathrm{a}, \mathrm{b} \quad$ G a. î. $\mathrm{x}=\mathrm{a}^{2}, \mathrm{y}=\mathrm{b}^{2}$. + +Deci $x y=a^{2} b^{2}=f(a) f(b)=f(a b)=(a b)^{2}=\left[(a b)^{-1}\right]^{-2}=g\left((a b)^{-1}\right)=g\left(b^{-1} a^{-1}\right)=g\left(b^{-1}\right) g\left(a^{-1}\right)=b^{2} a^{2}=y x$ + +$\Rightarrow(\mathrm{G}, \cdot)$ este grup abelian + +(2p) + +$e^{p^{p}}=e \Rightarrow s \in G_{m}$ + +## (1p) + +x, y $\quad \mathrm{G}_{\mathrm{r}} \Rightarrow \exists m, n \in \mathbb{N}$ a. î. $x^{r^{n}}=\mathrm{e} s, i x^{r^{m}}=\mathrm{e}$ + +$\operatorname{Cum}(\mathrm{G}, \cdot)$ abelian, rezultă $(x y)^{r^{r a a+n}}=\left(x^{\mu^{r n}}\right)^{r^{m}}\left(y^{r^{r a n}}\right)^{r^{n}}=\mathrm{e} \cdot \mathrm{e}=\mathrm{e}$. Deci xy $\quad \mathrm{G}_{\mathrm{r}} \quad$ (2p) + +$\mathrm{x} \quad \mathrm{G}_{\mathrm{r}}$ rezultă $\exists \mathrm{n} \quad \mathbb{N}$ astfel încât $x^{r^{n}}=\mathrm{e} \Rightarrow\left(x^{-1}\right)^{r^{n}}=\left(x^{r^{n}}\right)^{-1}=\varepsilon^{-1}=\varepsilon$ + +$\Rightarrow \mathrm{x}^{-1} \quad \mathrm{G}_{\mathrm{r}} \quad$. deci $\mathrm{G}_{\mathrm{r}}$ subgrup + +(2p) + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +Clasa a XII-a + +## Problema 1 + +Să se arate că: + +a) $\ln (x+1) \leq x, \forall x>-1$; + +b) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \ln (\operatorname{tg} x) \mathrm{dx} \leq \frac{1}{2} \ln 2-\frac{\pi}{12}$. + +## Problema 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f51bb2d2a037677222d3g-3.jpg?height=65&width=1742&top_left_y=1338&top_left_x=134) + +$\left(\mathbf{Z}_{4},+\right.$. + +## Problema 3 + +Considerăm $f:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln (\operatorname{tg} x)$ și F o primitivă a sa. Să se arate că există $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} F(x) \in \mathbf{R}$ + +## Problema 4 + +Fie (G,') un grup cu proprietatea că $f, g: G \rightarrow G, f(x)=x^{2}, g(x)=x^{-2}$ sunt morfisme surjective. Să se + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f51bb2d2a037677222d3g-3.jpg?height=74&width=1668&top_left_y=2073&top_left_x=134) + +Probleme selectate de Prof. Sadoveanu Viorel + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1387-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1387-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..224e337fc9702addb8aec656a5b045d8af5980f1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1387-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,130 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +Înlocuind pe n în relația de recurență obținem : + +$a_{2}=\frac{1}{3} a_{1}+2$ + +$a_{8}=\frac{1}{3} a_{2}+2$ + +$a_{4}=\frac{1}{3} a_{8}+2$ + +$a_{n}=\frac{1}{3} a_{n-1}+2 .(2 \mathbf{p})$ + +Înmulțim relațiile anterioare cu $1,3,3^{2}, \ldots$, respectiv $3^{\text {n-2 }}$ și le adunăm. Obținem : + +$3^{n-2} a_{n}=\frac{1}{3}+2\left(1+3+3^{2}+\cdots+3^{n-2}\right) \cdot(2 p)$ + +Efectuăm calculele și în final obținem $a_{\mathrm{n}}=3-\frac{2}{\mathrm{y}^{\pi-6}} \forall n \in \mathbb{N}^{n}$. (2p) + +Ca urmare limita șirului este 3. (1p) + +## Problema 2 + +a) Evident $A^{k} B=E A^{k} \quad \forall k \in \mathbb{N}^{*}$ (1)(1p) + +Inducție matematică după $p \in \mathbb{N}^{*}: \mathrm{p}=1$ evident + +Dacă $(A B)^{k}=A^{k} B^{k}$ atunci $(A B)^{k+1}=(A B)(A B)^{k}=A B A^{k} B^{k}$.(1p) + +Folosind relația (1) rezultă $(A E)^{k+1}=A A^{k} B B^{k}=A^{k+1} B^{k+1}$ (2p) + +b) Din ipoteză rezultă $A^{2013} B=O_{n} .(1 p)$ + +Din a) avem $\left(A B^{\prime}\right)^{2013}=A^{2013} B^{2013}=$ + +(1p) + +$=A^{2013} B B^{2012}=O_{\mathrm{n}} \cdot(1 \mathrm{p})$ + +## Problema 3 + +Din ipoteză rezultă $A^{2} B^{2}=I_{n}, A^{2} B=A, A B^{2}=B$ + +Ca urmare $\left(A^{2}+A+I_{n}\right)\left(B^{2}+B+I_{n}\right)=A^{2}+B^{2}+2 A+2 B+3 I_{n}$. (2p) + +$\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}+2 A+2 B+3 I_{n}\right)=\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(B^{2}+B+I_{n}\right) \quad$ (1) (1p) + +Știm că $\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{n}\right)=\operatorname{det}\left[\left(A+\frac{1}{2} I_{n}\right)^{2}+\frac{3}{4} I_{n}\right]=$ + +$=\operatorname{det}\left(A+\frac{1}{2} I_{n}+t \frac{\gamma \sqrt{2}}{2} I_{n}\right) \cdot \overline{\operatorname{det}\left(A+\frac{1}{2} I_{n}+\varepsilon \frac{\gamma \sqrt{3}}{2} I_{n}\right)}=$ + +$=\left|d e r\left(A+\frac{1}{2} I_{n}+t \frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{2} I_{n}\right)\right|^{2} \geq 0$ + +(2) (2p) + +Din relaţiile (1) și (2) rezultă concluzia. (1p) + +## Problema 4 + +a) f neconstantă $\Rightarrow \exists \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R} \mathrm{cu} f(\mathrm{a}) \neq \mathrm{f}(\mathrm{b})$ + +Alegem șirurile $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+\mathrm{nT}, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}+\mathrm{nT}, \forall u \in \mathbb{N}^{*}$, unde $\mathrm{T}>0$ este perioada lui $\mathrm{f}$ + +Avem $x_{n} \rightarrow \infty, f\left(x_{n}\right)=f(a) \rightarrow f(a)$ + +$y_{n} \rightarrow \infty, f\left(y_{n}\right)=f(b) \rightarrow f(b) \quad(\mathbf{1 p})$ + +Deci nu există $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$. + +(1p) + +b) Fie $T_{1}>0$ și $T_{2}$ perioade pentru $f$, respectiv $g$ + +$\forall x \in \mathbb{R}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}\right)-\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}+\mathrm{nT}_{1}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}+\mathrm{nT} 1\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}+\mathrm{nT} 1\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{nT} \mathrm{T}_{1}\right)=$ + +$=\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}+\mathrm{nT} \mathrm{T}_{1}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}+\mathrm{nT} 1\right)\right]+\left[\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{nT}_{1}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{nT} \mathrm{T}_{1}\right)\right]$ + +(2p) + +Trecând la limită pentru $\mathrm{n} \rightarrow \infty$ și folosind ipoteza obținem $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{T}_{2}\right)-\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 \forall x \in \mathbb{R} \quad$ (1p) + +În concluzie $\mathrm{f}$ și $\mathrm{g}$ au aceeași perioadă și conform punctului $\mathrm{a}) \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{g}(\mathrm{x})=$ constant $=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$. (1p) + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +Clasa a XI-a + +## Problema 1 + +Aflați limita șirului definit prin relația de recurență $a_{n+1}=\frac{1}{3} a_{n}+2, \forall n \in \mathbf{N}$ știind că $a_{1}=\mathbb{1}$. + +## Problema 2 + +Fie $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ si $B=A^{8}+A^{2}+A+E_{n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +a) Arătați că $(A B)^{\mathfrak{v}}=A^{p} B^{p} \quad \forall p \in \mathbb{N}^{*}$; + +b) Dacă $A^{2018}+A^{2014}+A^{2018}+A^{2016}=Q_{n}$ atunci $(A B)^{2018}=Q_{n}$. + +## Problema 3 + +Să se arate că dacă $A, B \in M_{n}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}{ }_{r} n \geq 2$ astfel încât $A B=I_{\mathrm{N}}$ atunci + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}+2 A+2 B+3 I_{n}\right) \geq 0 +$$ + +## Problema 4 + +a) Arătați că dacă funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este periodică și neconstantă, atunci nu există $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$. + +b) Fie $f: g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ periodice cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-g(x)]=0$. Să se arate că cele două funcții au perioade egale și $f(x)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}$. + +Probleme selectate de Prof. Nicoară Corina + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1388-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1388-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..824b2bded148d649413cca6b4d8fa3f3902ea521 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1388-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,106 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a X-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +Condiții de existență $\mathrm{x} \in(27,+\infty)$ + +$\log _{\frac{1}{3}}(\sqrt[3]{x}-3)=\mathrm{a} \Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{a}=\sqrt[3]{x}-3$ + +şi $\lg (\sqrt[3]{x}+4)=b \Rightarrow 10^{b}=\sqrt[3]{x}+4$ + +$\operatorname{Din}(1)$ și $(2) \Rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{a}-10^{b}=-7$ + +(1 p) + +$\mathrm{Cu}$ notațiile făcute, ecuația din enunț devine: $\left(\frac{1}{10}\right)^{a}-3^{b}=7$ + +Adunând relațiile (3) şi (4) se obține: $\left(\frac{1}{3}\right)^{a}-3^{b}+\left(\frac{1}{10}\right)^{a}-10^{b}=0 \Leftrightarrow\left(3^{-a}-3^{b}\right)+\left(10^{-a}-10^{b}\right)=0$. + +(1 p) + +Dacă $-\mathrm{a}<\mathrm{b}, 3^{-\mathrm{a}}<3^{\mathrm{b}}, 10^{-\mathrm{a}}<10^{\mathrm{b}}$ şi $\left(3^{-\mathrm{a}}-3^{\mathrm{b}}\right)+\left(10^{-\mathrm{a}}-10^{\mathrm{b}}\right)<0 \quad(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +Dacă $-\mathrm{a}>\mathrm{b}, 3^{-\mathrm{a}}>3^{\mathrm{b}}, 10^{-\mathrm{a}}>10^{\mathrm{b}}$ şi $\left(3^{-\mathrm{a}}-3^{\mathrm{b}}\right)+\left(10^{-\mathrm{a}}-10^{\mathrm{b}}\right)>0 \quad$ (1 p) + +Deci $-\mathrm{a}=\mathrm{b}$. Ecuația (4) devine: $\left(\frac{1}{10}\right)^{-\mathrm{b}}-3^{\mathrm{b}}=7$ sau $10^{\mathrm{b}}-3^{\mathrm{b}}=7$. + +Se observă că $\mathrm{b}=1$ este soluție . + +(1 p) + +$10^{\mathrm{b}}-3^{\mathrm{b}}=7 \Rightarrow 7+3^{b}=10^{b} \Rightarrow 7 \cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{b}+\left(\frac{3}{10}\right)^{b}=1$ + +Funcția $\mathrm{f}:(\lg 7,+\infty) \rightarrow(0,+\infty), f(b)=7 \cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{b}+\left(\frac{3}{10}\right)^{b}$ este strict descrescătoare, deci injectivă şi ecuația $f(b)=1$ va avea soluția unică $b=1$. + +Pentru $\mathrm{b}=1$ avem $\sqrt[3]{\mathrm{x}}=10^{\mathrm{b}}-4=10-4=6, x=6^{3}=216 \in(27,+\infty) \quad$ (1 p) + +Problema 2. $z^{2}-\sqrt{3} z+1=0$ și $z=\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{t}{2}=\cos \frac{\Pi}{6} \pm i \sin \frac{\Pi}{6} \quad(\mathbf{2} \mathbf{p})$ + +$$ +\frac{1}{Z}=\cos \frac{\pi}{6} \mp i \sin \frac{\pi}{6}(\mathbf{2} \mathbf{p}) +$$ + +$z^{2013}+\frac{1}{z^{2013}}=\cos \frac{2013 \pi}{6} \pm \mathrm{i} \sin \frac{2013 \pi}{6}+\cos \frac{2013 \pi}{6} \mp \mathrm{i} \sin \frac{2013 \pi}{6}=2 \cos \frac{2013 \pi}{6}$ + +În concluzie $z^{2013}+\frac{1}{z^{2018}}=0$ + +## Problema 3 + +Notăm $\mathrm{x}=\log _{a} b, \mathrm{y}=\log _{b} c, \mathrm{z}=\log _{c} a$, de unde obținem că x,y,z $>0$ și $\mathrm{xyz}=1$ + +$\frac{1}{2+\log _{a} b}+\frac{1}{2+\log _{b} c}+\frac{1}{2+\log _{c} a} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z} \leq 1 \Leftrightarrow \mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{xz} \geq 3$ + +Ultima inegalitate se poate demonstra cu inegalitatea mediilor. (2p) + +## Problema 4 + +$\mathrm{x}=1$ soluție a ecuației + +(1 p) + +Rezultă că $x=1$ este soluție unică pentru ecuația $f(x)=1 \quad$ (2p) + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a X-a + +## Problema 1 + +Să se rezolve ecuaţia $\left(\frac{1}{10}\right)^{\log _{\frac{1}{3}}(\sqrt[3]{x}-3)}-3^{\lg (\sqrt[3]{x}+4)}=7$. + +## Problema 2 + +Fie $z \in$ Castfel încât $z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$, calculați $z^{2013}+\frac{1}{z^{2018}}$. + +Probleme selectate de Prof. Moisin Monica + +## Problema 3 + +Să se arate că dacă $a, b, c \in(0,1)$ atunci $\frac{1}{2+\log _{a} b}+\frac{1}{2+\log _{b} c}+\frac{1}{2+\log _{c} a} \leq 1$. + +Problemă selectată de Prof. Nicoară Florin + +## Problema 4 + +Determinați soluțiile reale ale ecuației $2^{x}+3^{x}+5^{x}=10^{x}$. + +Problemă selectată de Prof. Moisin Monica + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1389-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1389-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9146ec92bdf9baafc2be4fe280eacee87324e4cb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1389-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,102 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a VIII-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +a) Scrie expresia sub forma $E(x)=\frac{1}{(x-2012)^{2}+2012}$ + +$\mathrm{E}(\mathrm{x})$, fiind pozitivă, ia valoarea maximă dacă numitorul ia valoarea minimă; (1p) $(x-2012)^{2}=0 \Rightarrow \mathrm{x}=2012$ (1p) + +$E(2012)=\frac{1}{2012}$ este valoarea maximă a expresiei (1p) + +b) + +$\frac{1}{1+x+x y}+\frac{{ }_{x}^{x} 1}{1+y+y z}+\frac{1}{1+z+z x}=\frac{1}{1+x+x y}+\frac{x}{x+x y+x y z}+\frac{1}{1+z+z x}=$ + +$\frac{{ }^{z)} 1+x}{1+x+x y}+\frac{1}{1+z+z x}=\quad$ (1p) + +$\frac{z+x z}{z+x z+x y z}+\frac{1}{1+z+z x}=\frac{z+x z+1}{z+x z+x y z}=1 \quad$ (1p) + +## Problema 2 + +a) $a+\frac{1}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2}+1}{a} \geq \frac{2 a}{a} \Leftrightarrow(a-1)^{2} \geq 0$ (adevărat) $\Rightarrow$ c.c.t.d. (2p) + +Egalitate avem dacă $\mathrm{a}=1 \quad$ (1p) + +b) Din a) $\Rightarrow \frac{C A}{C B}+\frac{C B}{C A}+\frac{D A}{D B}+\frac{D B}{D A} \geq 4$. Egalitate avem doar dacă $\frac{C A}{C B}=1$ ş $\frac{D A}{D B}=1$. (1p) + +Deci $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}$ şi $\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$. (1p) + +În $\triangle \mathrm{CAB}$-isoscel, mediana $\mathrm{CM}$ este şi înălțime $\Rightarrow \mathrm{CM} \perp \mathrm{AB}$ + +În $\triangle \mathrm{DAB}$-isoscel, mediana $\mathrm{DM}$ este şi înălţime $\Rightarrow \mathrm{DM} \perp \mathrm{AB} \quad$ (1p) + +Deci $\mathrm{AB} \perp(\mathrm{CMD}) \Rightarrow \mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$ pentru $\mathrm{A}, \mathrm{BC}, \mathrm{D}$ necolpanare s,i $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$ pentru $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ coplanare. (1p) Problema 3 + +a) Fie $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$. Conform teoremei celor trei perpendiculare $\mathrm{MD} \perp \mathrm{BC}$ şi $A_{M B C}=\frac{B C \cdot M D}{2}$. $\mathrm{Dar} \mathrm{BC}=50$ $\mathrm{cm}$ din triunghiul dreptunghic $\mathrm{ABC}$, iar $[M D]$ este ipotenuză în triunghiul dreptunghic ADM, în care $A D=\frac{30 \cdot 40}{50}=24 \mathrm{~cm}$. Deci $M D=26 \mathrm{~cm} . A_{M B C}=650 \mathrm{~cm}^{2}$. (4p) + +b) Din $A D \perp B C$ şi $M D \perp B C$ rezultă (MBC) $\perp$ (AMD), deoarece $(M B C)$ conţine pe $B C \perp$ (AMD). Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul AMD este perpendiculară pe planul MBC şi are lungimea $\frac{120}{13} \mathrm{~cm}$. (3p) + +## Problema 4 + +Resturile posibile la împărțirea celor $2^{2013}+2$ numere prime la $2^{2014}$ sunt $1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; \ldots ; 2^{2014}-1$, în total $2^{2013}+1$ valori $(3 p)$ + +Împărțind cele $2^{2013}+2$ la $2^{2014}$ se obțin $2^{2013}+2$ resturi (1p) + +Conform principiului cutiei cel puțin două dintre resturi sunt egale $\quad \mathbf{( 2 p})$ + +Diferența numerelor care dau același rest la împărțirea prin $2^{2014}$ se divide cu $2^{2014}$ (1p) + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +Clasa a VIII-a + +## Problema 1 + +a) Determinați valoarea numărului real , $\mathrm{x} "$ pentru care raportul $E(x)=\frac{1}{x^{2}-4024 x+2013 \cdot 2012}$ are cea mai mare valoare şi găsiți care este aceasta. + +b) Demonstrați că dacă $x \cdot y \cdot z=1$, atunci $\frac{1}{1+x+x y}+\frac{1}{1+y+y z}+\frac{1}{1+z+z x}=1$ + +## Problema 2 + +a) Demonstrați că suma dintre un număr real strict pozitiv şi inversul lui este mai mare sau egală cu 2. + +Când avem egalitate? + +b) Se consideră două segmente distincte $\mathrm{AB}$ şi $\mathrm{CD}$ în spațiu, astfel încât să fie adevărată relația: + +$\frac{C A}{C B}+\frac{C B}{C A}+\frac{D A}{D B}+\frac{D B}{D A}=4$. Demonstrați că $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$. + +## Problema 3 + +Pe planul triunghiului dreptunghic $\mathrm{ABC}$ cu $\mathrm{m}(\angle \mathrm{A})=90^{\circ}$ se ridică perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se ia $A M=10 \mathrm{~cm}$. Ştiind că $\mathrm{AB}=40 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{AC}=30 \mathrm{~cm}$, să se calculeze: + +a) aria triunghiului $\mathrm{MBC}$, + +b) distanţa de la punctul A la planul MBC. + +Probleme selectate de Prof. Bercovici Crina + +## Problema 4 + +Se consideră $2^{2013}+2$ numere prime. Să se arate că există printre ele două care au diferența multiplu de $2^{2014}$. + +Problemă propusă de Prof. Nicoară Florin + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-139-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-139-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6e3a65ae1fbb42c3c6673f9e63af62037b9aee03 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-139-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,56 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 28 FEBRUARIE 2016 + +## CLASA A X-A + +1. Se consideră funcţia injectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică relaţia + +$f(x) \cdot f(1-x)=f(a x+2016), \forall x \in \mathbb{R}$, unde $a \in \mathbb{R}$. Demonstraţi că : +a) $a=0$ +b) $f(-2015)=1$ +c) $f$ nu este surjectivă. + +2. + +a) Să se arate că $x-2+\frac{4}{\sqrt[4]{x-2}} \geq 5, \forall x \in(2, \infty)$. + +b) Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuaţ̧ia $10+\log _{3}\left(\frac{x}{x^{3}+54}\right)=x+\frac{4}{\sqrt[4]{x-2}}$. + +3. Fie $S$ aria triunghiului $A B C$ şi $a, b, c$ lungimile laturilor sale. + +a) Folosind eventual, faptul că funcţia $f:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\cos x}$ este convexă, să se arate că $\frac{1}{\cos \frac{A}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{B}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{C}{2}} \geq 2 \sqrt{3}$ + +b) Să se demonstreze că $\quad b c \cdot \sin \frac{A}{2}+c a \cdot \sin \frac{B}{2}+a b \cdot \sin \frac{C}{2} \geq 2 \sqrt{3} \cdot S$. + +(Prelucrare, problema 27173, G.M. 1/2016) + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu note de la 0 la 7. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Boroica Gabriela- Colegiul Naţional ,,Vasile Lucaciu”, Baia Mare + +prof. Fărcaş Natalia - Colegiul Național ,,Vasile Lucaciu”, Baia Mare + +prof. Muşuroia Nicolae- Colegiul Naţional ,,Gheorghe Şincai" Baia Mare + +prof. Pop Radu - Seminarul Teologic Liceal ,,Sf. Iosif Mărturisitorul”, Baia Mare + +## Barem - Clasa a X-a + +1. a) $\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow f(0) f(1)=f(2016) \\ x=1 \Rightarrow f(1) f(0)=f(a+2016)\end{array} \Rightarrow f(2016)=f(a+2016) \Rightarrow a=0\right.$ +b) $x=2016 \Rightarrow f(2016) f(-2015)=f(2016) \Rightarrow f(2016)[f(-2015)-1]=0$ + +Dacă $f(2016)=0 \Rightarrow f(x) f(1-x)=0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ există cel puţin două numere reale distincte pentru care $\mathrm{f}$ se anulează, deci contradicţie cu injectivitatea funcţiei $\mathrm{f}$. + +Rămâne $f(-2015)=1$. + +c) Demonstrăm că $0 \notin \operatorname{Im} f$. Presupunem că $\exists t \in \mathbb{R}$ astfel încât $f(t)=0$. Din relaţia dată rezultă $f(t) f(1-t)=f(2016) \Rightarrow f(2016)=0$, fals. Deci $0 \notin \operatorname{Im} f$ şi prin urmare $f$ nu este surjectivă. + +2. a) Aplicăm inegalitatea mediilor: $x-2+\frac{4}{\sqrt[4]{x-2}} \geq 5 \sqrt[5]{(x-2)\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x-2}}\right)^{4}}=5$. +b) $8+\log _{3}\left(\frac{x}{x^{3}+54}\right) \geq 5 \Leftrightarrow \log _{3}\left(\frac{x}{x^{3}+54}\right) \geq-3 \Leftrightarrow \frac{x}{x^{3}+54} \geq \frac{1}{27}$. Pentru $x>2 \Rightarrow(x+6)(x-3)^{2} \leq 0$. Egalitatea are loc pentru $x-2=\frac{1}{\sqrt[4]{x-2}} \Leftrightarrow x=3$. Deci $x=3$. +3. a) Din convexitatea funcţiei $f$ rezultă: $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\cos \frac{A}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{B}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{C}{2}}\right) \geq \frac{1}{\cos \left(\frac{A+B+C}{6}\right)}$, deci $\frac{1}{\cos \frac{A}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{B}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{C}{2}} \geq 2 \sqrt{3}$ +b) $b c \cdot \sin \frac{A}{2}+c a \cdot \sin \frac{B}{2}+a b \cdot \sin \frac{C}{2}=b c \cdot \sin A \frac{\sin \frac{A}{2}}{\sin A}+a c \cdot \sin B \frac{\sin \frac{B}{2}}{\sin B}+b a \cdot \sin C \frac{\sin \frac{C}{2}}{\sin C}$ $=S\left[\frac{1}{\cos \frac{A}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{B}{2}}+\frac{1}{\cos \frac{C}{2}}\right] \geq 2 \sqrt{3} \cdot S$. diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1390-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1390-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..44fcd31428353d46a36561783648c7d98107c88b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1390-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,96 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a VII-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +a) + +$A=\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{\sqrt{4}}{5}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\cdots+\left(\frac{\sqrt{2012}}{2013}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\right)=-\frac{1}{3 \sqrt{2}}-\frac{1}{5 \sqrt{4}}-\cdots-\frac{1}{2013 \sqrt{2012}}$ + +$B=\left(\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{4 \sqrt{2}}{3}\right)+\left(\frac{5}{\sqrt{4}}-\frac{6 \sqrt{4}}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{2013}{\sqrt{2012}}-\frac{2014 \sqrt{2012}}{2013}\right)=\frac{1}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{5 \sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{2013 \sqrt{2012}}$ + +$(\mathbf{2} \mathbf{p})$ + +Deci $A=-B(\mathbf{1} \mathbf{p})$, de unde rezultă $|A-1-x|=|-B+1-x|=|E-x| \cdot(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +b) Din $|x-1|+|x-2|+\cdots+|x-2012| \geq 0$ rezultă $x-2013 \geq 0 .(1$ p) + +Ecuația se scrie sub forma $x-1+x-2+\cdots+x-2012=2013 x-2013^{2}(\mathbf{1}$ p) şi are soluția $x=2013 \cdot 1007(1 \mathbf{p})$. + +## Problema 2 + +a) Din inegalitățile $n(n-1)m(\Varangle A O B)=3 x$. + +Notăm cu [OM bisectoarea unghiului AOB și [ON bisectoarea unghiului BOC + +Avem 2 eazurt: Cazul 1. [OB $\in \operatorname{Int}(\$ A O C)$. +a) $m(5 M O N)=m(\$ M O B)+m(4 B O N)=2 x$, de unde $x=20^{\circ}$ $2 p$. +$\Rightarrow m(\triangle A O B)=60^{\circ} m(s B O C)=20^{\circ}, m(5 A O C)=80^{\circ}$ +$1 p$ +b) $m(x A O B)=120^{\circ}$ +$1 p$. + +## Cazul 2. $[O C \in \operatorname{Int}(6 A O B)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e9780f5cdb103f8786e8g-2.jpg?height=60&width=1448&top_left_y=884&top_left_x=138) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e9780f5cdb103f8786e8g-2.jpg?height=58&width=1460&top_left_y=979&top_left_x=138) +b) $m\left(\$ A O B^{\prime}\right)=60^{\circ}$ + +10 . + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +Clasa a VI-a + +## Problema 1 + +Se consideră numărul $n=2013^{2}-2013$ - 2012 . Să se afle $x \in \mathbb{Q}$ din relația: + +$$ +\frac{\frac{7 x}{2012}}{4}=\frac{503}{5 \cdot \mathrm{n} \cdot\left(\frac{3^{2012}+3^{2011}}{3^{2011}+3^{2010}}\right)} +$$ + +Problemă propusă de Prof. Negru Ciprian + +## Problema 2 + +Determinați numerele naturale de forma $\overline{a b c}$ divizibile cu 17 , știind că $12 \mathrm{a}-6 \mathrm{~b}+\mathrm{c}$ este număr natural divizibil cu 17. + +Problemă selectată de Prof. Ursan Rodica + +## Problema 3 + +a) Punctele A,B,C sunt coliniare, iar M este mijlocul segmentului AB. Aflați lungimea segmentului MC știind că $\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}$ și că $\mathrm{BC}=6 \mathrm{~cm}$. + +b) Dați un exemplu de număr natural a pentru care numerele $a, a+1, a+2, \ldots, a+2013$ sunt simultan compuse. Justificați. + +Problemă propusă de Prof. Nicoară Florin + +## Problema 4 + +Se dau unghiurile $\mathrm{AOB}$ și $\mathrm{BOC}$ astfel încât $m(\langle A O B)=3 m(\langle B O C)$. Știind că bisectoarele unghiurilor AOB și BOC formează un unghi cu măsura de $40^{\circ}$, se cere: + +a)Calculați măsurile unghiurilor $\mathrm{AOB}, \mathrm{BOC}$ și AOC. + +b) Dacă [OB' este semidreapta opusă semidreptei [OB , calculați $m\left(\left\langle A O B^{\prime}\right)\right.$ + +Problemă selectată de Prof. Ursan Rodica + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1392-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1392-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82ed78e0630e1f8eb4bf33a55567624ba3e63ad8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1392-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,100 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a V-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +$\overline{a b c}=\overline{b c} \cdot 4+\sqrt{b c}-8 \quad$ (1p) + +$100 \mathrm{a}+\overline{b c}=\overline{b c} \cdot 4+\overline{b c}-8$ (1p) + +$25 \mathrm{a}=\Xi_{c}-2$ (1p) + +$\mathrm{a} \in\{1,2,3\}$ (1p) + +$\mathrm{a}=1 \Rightarrow \overline{\sigma c}=27 \Rightarrow \overline{a b c}=127$ (1p) + +$\mathrm{a}=2 \Rightarrow \overline{b c}=52 \Rightarrow \overline{a b c}=252$ (1p) + +$\mathrm{a}=3 \Rightarrow>\overline{b c}=77=>\overline{a b c}=377$ (1p) + +## Problema 2 + +a) $2^{7 \mathrm{n}+8}=2^{7 \mathrm{n}} \cdot 2^{8}=128^{\mathrm{n}} \cdot 256$ (1p) + +$3^{4 \mathrm{n}+3}=3^{4 \mathrm{n}} \cdot 3^{3}=81^{\mathrm{n}} \cdot 27$ (1p) + +$5^{3 \mathrm{n}+3}=5^{3 \mathrm{n}} \cdot 5^{3}=125^{\mathrm{n}} \cdot 125(1 \mathbf{p})$ + +$3^{4 \mathrm{n}+3}<5^{3 \mathrm{n}+3}<2^{7 \mathrm{n}+8}$ (1p) + +b) $3^{671}=3^{5} \cdot 3^{666}=243 \cdot 9^{333}$ (1p) + +$7^{335}=7^{2} \cdot 7^{333}=49 \cdot 7^{333}$ (1p) + +$7^{335}<3^{671}(\mathbf{1 p})$ + +## Problema 3 + +$3^{1}+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{2012}=\left(3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}\right)+3^{4}\left(3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}\right)+\ldots+3^{2008}\left(3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}\right)=$ (1p) $120+120 \cdot 3^{4}+\ldots 120 \cdot 3^{2008}=(\mathbf{1 p})$ + +$120\left(1+3^{4}+\ldots+3^{2008}\right)$ (1p) + +Este suficient sã aflãm ultima cifrã a numãrului $1+3^{4}+\ldots+3^{2008}$ (1p) + +Ultima cifrã a numerelor $1,3^{4}, \ldots, 3^{2008}$ este 1 (1p) + +Ultima cifrã a numãrului $1+3^{4}+\ldots+3^{2008}$ se obține adunând 1 de 503 ori, adica este 3 (1p) + +Ultimele douã cifre ale numãrului sunt 60 (1p) + +## Problema 4 + +$\mathrm{A}=\mathrm{n} \cdot(1+4+7+\ldots+58)(\mathbf{2 p})$ + +$\mathrm{A}=\mathrm{n} \cdot 590$ (2p) + +$\mathrm{A}=\mathrm{n} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 59$ (2p) + +$\mathrm{n}=2 \cdot 5 \cdot 59=590(1 \mathbf{p})$ + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a V-a + +## Problema 1 + +Determinați toate numerele naturale de forma $\overline{a b c}$ care împărțite la $\overline{b c}$ dau câtul 4 şi restul $\overline{b c}-8$. + +## Problema 2 + +a) Ordonați crescător numerele: $2^{7 \mathrm{n}+8}, 3^{4 \mathrm{n}+3}$ şi $5^{3 \mathrm{n}+3}$, pentru $\mathrm{n}$ număr natural. + +b) Comparați numerele: $3^{671}$ şi $7^{335}$. + +## Problema 3 + +Aflați ultimele două cifre ale numărului $3^{1}+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{2012}$. + +## Problema 4 + +Să se determine cel mai mic număr natural $n$, nenul, pentru care numărul $A=n \cdot 1+n \cdot 4+n \cdot 7+\ldots+n \cdot 58$ este pătrat perfect. + +Probleme selectate de Prof. Petruța Gelu + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1393-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1393-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4564036e902b108eafffe3d39ae3c25e7501212e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1393-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,132 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +## Clasa a IX-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1 + +1. Folosim : $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ pentru sumele şi ajungem la egalitatea: + +$S=1+\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{2}{n \cdot(n+1)}+\frac{2}{n+1} \mathbf{( 1 p )} ; S={ }_{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}+\frac{1}{n+1}\right)=$ $2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\right)$ (1p); $S=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=2 \in \mathbf{N} \quad$ (1p). + +2. Demonstăm cu inducţie matematică: $\mathrm{P}(\mathrm{n}): \frac{\mathrm{n}^{3}}{3}+\frac{\mathrm{n}^{2}}{2}+\frac{n}{6} \in \mathbf{N}$ + +$\mathrm{P} 1: \mathrm{P}(0): \frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{2}}{2}+\frac{0}{6} \in \mathbf{N} \quad$ (1p). + +$\mathrm{P} 2: P(k) \Rightarrow P(k+1), P(k): \frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{2}}{2}+\frac{k}{6} \in \mathbb{N}$, + +$P(k+1): \frac{(k+1)^{3}}{3}+\frac{(k+1)^{2}}{2}+\frac{(k+1)}{6}=(k+1)\left(\frac{(k+1)^{2}}{3}+\frac{(k+1)}{2}+\frac{1}{6}\right)=$ (1p) + +$=(k+1)\left(\frac{k^{2}+2 k+1}{3}+\frac{k+1}{2}+\frac{1}{6}\right)=(k+1)\left(\frac{k^{2}+2 k}{3}+\frac{k}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)=$ (1p) + +$=\underbrace{\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+2)}{3}}_{\in \mathbf{N}}+\underbrace{\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)}{2}}_{\in \mathbf{N}}+\underbrace{k+1}_{\in \mathbf{N}} \in \mathrm{N}$ + +(1p). + +## Problema 2 + +a). Ducem toţi termenii în partea stângă şi grupăm în mod convenabil: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{x+z}{(y+z)^{2}}+\frac{y+z}{(x+z)^{2}}-\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z}=\frac{x+z}{(y+z)^{2}}+\frac{y+z}{(x+z)^{2}}-\frac{x+z}{(x+z)^{2}}-\frac{y+z}{(y+z)^{2}}= \\ +& =\frac{x-y}{(y+z)^{2}}-\frac{x-y}{(x+z)^{2}}=\frac{(x-y)\left(x^{2}+2 x z+z^{2}-y^{2}-2 y z-z^{2}\right)}{(y+z)^{2}(x+z)^{2}}= \\ +& =\frac{(x-y)^{2}(x+y+2 z)}{(y+z)^{2}(x+z)^{2}} \geq 0 . +\end{aligned} +$$ + +Se observă că avem egalitate doar când $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$. + +(1p). + +b). Permutând circular numere $x, y$ și $z$ între ele, scriem inegalitatea demonstrată în punctul a), pentru cele 3 cazuri. (1p); Adunăm şi găsim imediat inegalitatea de demonstrat. (1p). + +## Problema 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4a941707f54b319e1309g-2.jpg?height=430&width=941&top_left_y=607&top_left_x=295) + +Fie $\mathrm{O}$ un punct oarecare al planului, putem scrie: $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B M}$. + +$\operatorname{Dar} \quad \overrightarrow{B M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{B F})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} \overrightarrow{A B}+\frac{k+1}{k} \overrightarrow{B C}\right)$. + +Analog găsim şi celelalte relaţii: $\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C N}$, unde $\overrightarrow{C N}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} \overrightarrow{B C}+\frac{k+1}{k} \overrightarrow{C A}\right)$, + +Respectiv $\quad \overrightarrow{O K}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A K}$, unde $\overrightarrow{A K}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} \overrightarrow{C A}+\frac{k+1}{k} \overrightarrow{A B}\right)$ + +(3p) + +Fie $T$ centrul de greutate al triunghiului $A B C$, avem relaţia: $\overrightarrow{O T}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})$ + +Fie $T^{\prime}$ centrul de greutate al triunghiului $M N K$. + +Avem $\overrightarrow{O T^{\prime}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O K})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A K})=$ + +$=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O B}+\frac{1}{2 k} \overrightarrow{A B}+\frac{k+1}{2 k} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2 k} \overrightarrow{B C}+\frac{k+1}{2 k} \overrightarrow{C A}+\frac{1}{2 k} \overrightarrow{C A}+\frac{k+1}{2 k} \overrightarrow{A B}\right)=$ + +$=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O B}+\frac{k+2}{2 k}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A})\right]=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O B})=\overrightarrow{O T}$, adică cele două centre de greutate coincid. (2p). + +Problema 4 + +Considerăm că termenii șirului sunt: $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<\mathrm{x}_{3}<\ldots$ + +$s_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{n} \quad$ (1p) + +Presupunem că $a^{2}$ este cel mai mare pătrat perfect mai mic decât $s_{n}$ + +Avem $s_{n} \leq n \cdot x_{n}-n(n-1)$ + +Obținem $x_{n+1} \geq \frac{s_{n}}{n}+n+1 \quad$ (1p) + +$(a+1)^{2}<\left(\sqrt{s_{n}}+1\right)^{2}=s_{n}+2 \sqrt{s_{n}}+1 \leq s_{n}+\frac{s_{n}}{n}+n+1 \leq s_{n}+x_{n+1}=s_{n+1} \quad$ (2p) + +Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. + +b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 09.02.2013 + +Clasa a IX-a + +## Problema 1 + +1. Demostraţi că pentru $\forall \mathrm{n} \in \mathbf{N}^{*}, 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+\mathrm{n}}+\frac{2}{\mathrm{n}+1} \in \mathbf{N}$. + +Problemă selectată de Prof. Bathori Eva + +2. Demostraţi că pentru $\forall \mathrm{n} \in \mathbf{N}, \frac{\mathrm{n}^{3}}{3}+\frac{\mathrm{n}^{2}}{2}+\frac{n}{6} \in \mathbf{N}$. + +Problemă selectată de Prof. István Zoltán + +## Problema 2 + +Dacă $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ şi $\boldsymbol{z}$ sunt numere reale strict pozitive, arătaţi că următoarele inegalităţi sunt adevărate: + +a) $\frac{x+z}{(y+z)^{2}}+\frac{y+z}{(x+z)^{2}} \geq \frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}$. + +b) $\frac{x+2 y+z}{(x+z)^{2}}+\frac{x+y+2 z}{(x+y)^{2}}+\frac{2 x+y+z}{(y+z)^{2}} \geq 2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)$. + +Problemă selectată de Prof. Pálhegyi Farkas László + +## Problema 3 + +Fie $A B C$ un triunghi oarecare şi considerăm pe prelungirile laturilor $A B, B C$ şi $C A$ punctele $E, F$ şi $G$ $(B \in[A E], C \in[B F], A \in[C G])$, astfel încât să avem $\frac{A B}{B E}=\frac{B C}{C F}=\frac{C A}{A G}=k$. Fie $M, N, K$ mijloacele segmentelor EF, FG şi GE. Demonstraţi că centrele de greutate a triunghiurilor $A B C$ şi MNK coincid. + +Problemă selectată de Prof. Pálhegyi Farkas László + +## Problema 4 + +Se dă un șir strict crescător de numere naturale pare. Arătați că în intervalul $\left[s_{n} ; s_{n+1}\right]$ există cel puțin un pătrat perfect, unde $s_{n}$ este suma primilor $n$ termeni ai șirului dat și $n>0$. + +Problemă selectată de Prof. Nicoară Florin + +Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. + +b) Toate problemele sunt obligatorii. + +c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1394-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1394-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..835fd35e1442988e6d8378aeb25a71b01d12cb92 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1394-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,84 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a XII-a, 2013 + +1. $(f(x)-a)(f(x)-b) \leq 0$ + +(3p) + +Împărțind cu $f(x)>0$ se obține $f(x)-(a+b)+\frac{a b}{f(x)} \leq 0$ + +Integrând pe $[0,1]$ se obține $a b \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} d x \leq a+b-\int_{0}^{1} f(x) d x \leq a+b-k$ + +Finalizare. + +(1p) + +2. Integrând pe $[0,1]$ se obține $\int_{0}^{1} F(x) f^{\prime}(x) d x=\left.F(x) f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=-\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x$ + +$\int_{0}^{1} x f\left(x^{2}\right) d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(t) d t=\frac{1}{2}(F(1)-F(0))=0$ + +Scăzând relațiile şi folosind (ii) se obține $\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=0$ + +$(2 p)$ + +Finalizare, $f$ este funcția identic nulă + +(1p) + +3. a) Din condiția $\operatorname{det}(A)=\hat{1}$, rezultă ecuația $a^{2}+\hat{5} b^{2}=\hat{1}$ î $Z_{6}$ + +cu soluțiile $(\hat{1}, \hat{0}),(\hat{2}, \hat{3}),(\hat{4}, \hat{3}),(\hat{5}, \hat{0})$ + +Se face tabla înmulțirii matricelor pe $G$, de unde rezultă concluzia. + +b) $G$ conține matricea unitate şi trei matrice de ordin 2, prin urmare $G$ este grup Klein, avâmd cele două subgrupuri improprii şi cele 3 generate de elementele de ordin 2 + +(3p) + +4. a) Asociativitate, demonstrație. + +Elementul neutru $e=-1$, demonstrație (1p) + +Găsirea elementului neinversabil, $x=1$ (1p) + +b) $\left(Z_{p}\right.$, ) cu $p$ prim (2p) + +c) Se arată că dacă $a$ este un element neinversabil şi $x$ este un element arbitrar, atunci produsul $a x$ este neinversabil. Presupunem contrariul, $a x$ inversabil, atunci există $b$, astfel încât $(a x) b=e$, unde $e$ elementul neutru. Din asociativitate şi comutativitate $e=(a x) b=a(x b)=(x b) a$, adică $a$ este inversabil, contradicție. + +Cum $a$ este singurul element neinversabil, notând cu $x$ produsul celorlalte elemente, atunci $a x=a$, deci produsul cerut este $a$ + +(1p) + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 9.02.2013
Clasa a XII-a + +1. (7p) Se consideră funcția continuă $f:[0,1] \rightarrow[a, b], a>0$, astfel încât $\int_{0}^{1} f(x) d x \geq k>0$. Demonstraţi că $\int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} d x \leq \frac{a+b-k}{a b}$. + +Petru Vlad + +2. (7p) Determinați funcțiile $f:[0,1] \rightarrow R$ derivabile, cu derivata continuă, care admit o primitivă $F$, satisfăcând condițiile: + +(i) $F(0)=F(1)=0$; + +(ii) $x f\left(x^{2}\right)=F(x) f^{\prime}(x)$, pentru orice $x$ din $[0,1]$. + +GMB2012 + +3. Se consideră $G=\left\{\left.A_{a, b}=\left(\begin{array}{cc}a+\hat{3} b & b \\ \hat{4} b & a+\hat{3} b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in Z_{6}, \operatorname{det}(A)=\hat{1}\right\}$. + +(4p) a) Arătați că $(G, \cdot)$ este grup abelian de ordin patru, în care fiecare element coincide $\mathrm{cu}$ inversul său. + +(3p) b) Determinați subgrupurile lui $(G, \cdot)$. + +4. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $a * b=\frac{1}{2}(a+b-a b+1), a, b \in R$ + +(3p) a) Arătați că $(R, *)$ este un monoid comutativ cu un singur element neinversabil. + +(2p) b) Dați exemplu de monoid comutativ finit cu un singur element neinversabil. + +(2p) c) Dacă $(M, \cdot)$ este un monoid comutativ, finit, cu un singur element neinversabil $a$, calculați produsul elementelor din $M$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1395-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1395-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c027b54fb1d3d5f8593f93c984ef6ccb5536af93 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1395-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,83 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a XI-a, 2013 + +1. a) $\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{x} \\ y=\frac{x^{2}}{4}\end{array}\right.$ are soluțiile $x_{1}=0, y_{1}=0$ şi $x_{2}=\sqrt[3]{16}, y_{2}=\sqrt[3]{4}$ + +b) $A=\frac{1}{2}|d|$, unde $\mathrm{d}=d=\left|\begin{array}{lll}a & \sqrt{a} & 1 \\ b & \frac{b^{2}}{4} & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=\frac{a b^{2}}{4}-b \sqrt{a}$. + +Notăm $t=b \sqrt{a} \in[0,4]$ si obținem $A=\frac{1}{8}\left(4 t-t^{2}\right)$ + +Maximul ariei se obține pentru $t=2$ şi este $A_{\max }=\frac{1}{2}$ + +2. Din $z^{2}+z+1=0$ obținem $z^{3}=1$ + +$A=I_{3}+B$, unde $B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ z^{2} & 0 & 0 \\ z & z^{2} & 0\end{array}\right)$ + +$I_{3} B=B I_{3} \Rightarrow A^{n}=\left(I_{3}+B\right)^{n}=I_{3}+C_{n}^{1} B+C_{n}^{2} B^{2}+\cdots+B^{n}$ + +$B^{2}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ z & 0 & 0\end{array}\right)$ şi $B^{k}=O_{3}$, oricare ar fi $k \geq 3$. + +$A^{n}=I_{3}+n B+\frac{n(n-1)}{2} B^{2}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ n z^{2} & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} z & n z^{2} & 1\end{array}\right)$. + +3. Din $\sqrt{n x_{n}+n+1} \leq \sqrt{n x_{n}+1}+\frac{\sqrt{n}}{2}$, prin ridicare la pătrat, obținem: + +$n x_{n}+n+1 \leq n x_{n}+1+\sqrt{n\left(n x_{n}+1\right)}+\frac{n}{4} \Leftrightarrow \frac{3 \sqrt{n}}{4} \leq \sqrt{n x_{n}+1} \Leftrightarrow \frac{9}{16}-\frac{1}{n} \leq x_{n}$ + +Din $\frac{\sqrt{n}}{2}+\sqrt{n x_{n}} \leq \sqrt{n x_{n}+n}$, prin ridicare la pătrat, obținem: + +$\frac{n}{4}+n \sqrt{x_{n}}+n x_{n} \leq n x_{n}+n \Leftrightarrow x_{n} \leq \frac{9}{16}$ + +Aşadar, $\frac{9}{16}-\frac{1}{n} \leq x_{n} \leq \frac{9}{16}$. Utilizând teorema cleştelui rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{9}{16}$ + +4. $3 x=\left(x-\frac{2}{3}\right)+(x+1)+\left(x-\frac{1}{3}\right)$, de unde + +$$ +\begin{aligned} +& L=\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}+a x+b}-\left(x-\frac{2}{3}\right)\right)+\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}+\alpha x+\beta}-(x+1)\right)+ \\ +& +\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}+m x+n}-\left(x-\frac{1}{3}\right)\right)=L_{1}+L_{2}+L_{3} +\end{aligned} +$$ + +Prin amplificare cu expresia conjugată se vor reduce la fiecare termenii $x^{3}$ şi $x^{2}$ şi se obține + +$$ +\begin{aligned} +& L_{1}=\lim _{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{x^{3}-2 x^{2}+a x+b-x^{3}+2 x^{2}-\frac{4}{3} x+\frac{8}{27}}{\left(\sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}+a x+b}\right)^{2}+\left(x-\frac{2}{3}\right) \sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}+a x+b}+\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}= \\ +& =\frac{\left(a-\frac{4}{3}\right) x^{2}+\left(b+\frac{8}{27}\right) x}{\ldots}=\frac{a-\frac{4}{3}}{3} +\end{aligned} +$$ + +Analog + +$L_{2}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\alpha-3) x^{2}+(\beta-1) x}{\ldots}=\frac{\alpha-3}{3}$ şi $L_{3}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(m-\frac{1}{3}\right) x^{2}+\left(n+\frac{1}{27}\right) x}{\ldots}=\frac{m-\frac{1}{3}}{3}$, de unde + +$L=\frac{3 a+3 \alpha+3 m-14}{9}$ + +(3p) + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETุEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 9.02.2013 + +Clasa a XI-a + +1. Se consideră funcțiile $f, g:[0,+\infty) \rightarrow R, f(x)=\sqrt{x}, g(x)=\frac{x^{2}}{4}$. + +(2p) a) Determinați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor $f$ şi $g$. + +(5p) b) Dacă $a, b \in[0, \sqrt[3]{16}], A(a, \sqrt{a}) \in G_{f}$ şi $B\left(b, \frac{b^{2}}{4}\right) \in G_{g}$, aflaţi maximul ariei triunghiului $O A B$. + +Liana Agnola + +2. (7p) Se consideră $z \in C$ cu proprietatea $z^{2}+z=-1$ şi matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ z^{2} & 1 & 0 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right) \in M_{3}(C)$. Calculați $A^{n}$, unde $n$ este număr natural nenul. +3. (7p) Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale cu proprietatea că pentru orice număr natural nenul avem $\sqrt{n x_{n}+n+1}-\sqrt{n x_{n}+1} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \sqrt{n x_{n}+n}-\sqrt{n x_{n}}$. Demonstrați că şirul este convergent. + +GMB2012 + +4. (7p) Calculați $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}+a x+b}+\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}+\alpha x+\beta}+\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}+m x+n}-3 x\right)$, unde $a$, $b, \alpha, \beta, m, n$ sunt numere reale. + +Livia Băcilă + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1396-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1396-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e9a3a6566901bdcb6a7c37444ba326a0d8687838 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1396-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,80 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a X-a, 2013 + +1. a) $z_{1}=a_{1}+b_{1} i, z_{2}=a_{2}+b_{2} i, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in R$ + +$\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right| \Rightarrow\left\{a_{1}, b_{1}\right\} \square\left\{a_{2}, b_{2}\right\} \quad$ i + +$a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2} \geq 0 \Rightarrow \exists \lambda \geq 0, z_{1}=\lambda z_{2}$ + +(2p) + +$z_{1}=\lambda z_{2}, \lambda \geq 0 \Rightarrow\left|\lambda z_{2}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{2}\right|(\lambda+1)=\left|z_{1}+z_{2}\right|$ + +b) $\left|z^{3}\right|+\left|z^{3}-1\right| \geq\left|z^{3}+1-z^{3}\right|=1$ + +$\exists \lambda \geq 0, z^{3}=\lambda\left(1-z^{3}\right) \Rightarrow z^{3}=\frac{\lambda}{\lambda+1} \in \square$ şi din $\left|z^{3}\right|+\left|1-z^{3}\right|=1 \Rightarrow z^{3} \in[0 ; 1]$ + +$z^{3} \in \square \Leftrightarrow z^{3}=\overline{z^{3}} \Leftrightarrow(z-\bar{z})\left(z^{2}+z \bar{z}+\overline{z^{2}}\right)=0 \Rightarrow z=\bar{z}$ sau $z=x \pm i \sqrt{3} x, x \in \square$ + +Dacă $z=\bar{z}, z^{3} \in[0 ; 1] \Rightarrow z \in[0 ; 1]$, iar dacă $z=x \pm i \sqrt{3} x, x \in \square, z^{3} \in[0 ; 1] \Rightarrow x \in\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$ + +$S=[0 ; 1] \bigcup\left\{x \pm i \sqrt{3} x \left\lvert\, x \in\left[-\frac{1}{2} ; 0\right]\right.\right\}$ + +2. Fie $n_{1}, n_{2} \in R$ şi $f\left(n_{1}\right)=f\left(n_{2}\right)$. Atunci + +$6 n_{1}+5=(f \circ f)\left(n_{1}\right)=f\left(f\left(n_{1}\right)\right)=f\left(f\left(n_{2}\right)\right)=(f \circ f)\left(n_{2}\right)=6 n_{2}+5 \Rightarrow n_{1}=n_{2}$ + +În relația dată în locul lui $n$ punem $f(n)$ şi obținem + +$(f \circ f)(f(n))=6 f(n)+5, f(6 n+5)=6 f(n)+5$ + +$n=15 \Rightarrow f(95)=11$ + +$n=95 \Rightarrow f(575)=71$ + +$n=575 \Rightarrow f(3455)=431$ + +3. Pentru $x<0 \Rightarrow 9^{x}<1,9^{\frac{1}{x}}<1 \Rightarrow 18<2$.... + +Din inegalitatea mediilor pentru $x>0 \Rightarrow 18=9^{x}+9^{\frac{1}{x}} \geq 2 \sqrt{9^{x+\frac{1}{x}}} \geq 2 \sqrt{9^{2}}=18$ + +Egalitate pentru $x=\frac{1}{x}$ + +cu soluția unică 1 + +4. Din inegalitatea mediilor pentru numerele pozitive $\log _{a} x_{k}$ avem $\log _{a} x_{1} \log _{a} x_{2} \cdots \log _{a} x_{n} \leq\left(\frac{\log _{a} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}{n}\right)^{n}=\left[\log _{a}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right]^{n}$ + +Din ipoteză avem $\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}} \geq b$ şi pentru $a \in(0,1) \Rightarrow \log _{a}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}} \leq \log _{a} b$ $\left(\log _{a}\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)^{n} \leq\left(\log _{a} b\right)^{n}$ + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 9.02.2013 + +Clasa a X-a + +1. a) (3p) Arătați că, pentru orice numere complexe $z_{1}, z_{2}$, egalitatea $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|$ are loc dacă şi numai dacă există $\lambda$ număr real pozitiv, astfel încât $z_{1}=\lambda z_{2}$. + +b) (4p) Rezolvați în mul imea numerelor complexe ecuația: $\left|z^{3}\right|+\left|1-z^{3}\right|=1$. + +Ileana Otooiu + +2. (7p) Se consideră funcția $f: R \rightarrow R$ cu proprietatea $(f \circ f)(n)=6 n+5$. Demonstrați că $f$ este injectivă pe mulțimea numerelor reale şi, dacă $f(15)=1$, calculați $f(3455)$. + +Petru Vlad + +3. (7p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: + +$$ +9^{x}+9^{\frac{1}{x}}=18 +$$ + +4. (7p) Se consideră numerele reale $a, b, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in(0,1)$, astfel încât $b^{n} \leq x_{1} x_{2} \ldots x_{n}$. Demonstrați că: + +$$ +\left(\log _{a} b\right)^{n} \geq \log _{a} x_{1} \log _{a} x_{2} \ldots \log _{a} x_{n} +$$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1397-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1397-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e22f79d3fb918240b292de404d1dec0e3069f620 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1397-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,97 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a VIII-a, 2013 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15f9bdb74ec02c8e7d73g-1.jpg?height=63&width=1551&top_left_y=277&top_left_x=298) + +Grupând termenii convenabil rezultă: $(x-1)(y-1)(z-1)=2013=3 \cdot 11 \cdot 61 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$. (1p) + +Soluții sunt toate permutările tripletelor + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15f9bdb74ec02c8e7d73g-1.jpg?height=62&width=1539&top_left_y=443&top_left_x=310) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15f9bdb74ec02c8e7d73g-1.jpg?height=80&width=1551&top_left_y=508&top_left_x=298) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15f9bdb74ec02c8e7d73g-1.jpg?height=77&width=1539&top_left_y=590&top_left_x=310) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15f9bdb74ec02c8e7d73g-1.jpg?height=51&width=1531&top_left_y=674&top_left_x=314) + +2. $G(a, H(a, b))=a \sqrt{\frac{2 b}{a+b}}, H(a, G(a, b))=\frac{2 a \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \ldots$ + +$\frac{a \sqrt{2 b}}{\sqrt{a+b}} \leq \frac{2 a \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a+b}} \leq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ + +$\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)} \Rightarrow a+b+2 \sqrt{a b} \leq 2(a+b) \Rightarrow a+b-2 \sqrt{a b} \geq 0$ + +$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \geq 0 \Rightarrow G(a, H(a, b)) \leq H(a, G(a, b))$ + +3. Fie E mijlocul segmentului (AC). + +(1p) + +În $M E=\frac{B C}{2}, N E=\frac{A D}{2}$ (linii mijlocii în triunghiuri). + +(1p) + +$M E+N E=\frac{B C}{2}+\frac{A D}{2}=M N$ + +(2p) + +$\Rightarrow M, E, N$ coliniare + +Din $M E\|B C, E N\| A D$ avem $B C \| A D$, deci $A, B, C, D$ coliniare (2p) + +4. a) $\triangle A B C$ este echilateral... + +(1p) + +$\triangle D O C \sim \triangle B O A \Rightarrow O C=\frac{10}{3}$ + +$\triangle C A T(A T \perp B C), O P \perp B C \Rightarrow \frac{O P}{A T}=\frac{1}{3}, A T=5 \sqrt{3} \Rightarrow O P=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ + +$\triangle M O P$ dreptunghic $\Rightarrow M P=10$ + +b) Perpendiculara din $\mathrm{O}$ pe $\mathrm{MC}$ (în $\triangle \mathrm{MOP}$ ) este distanța căutată. + +(2p) + +$$ +O S=\frac{M O \cdot O P}{M P} \Rightarrow O S=\frac{5 \sqrt{11}}{6} +$$ + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 9.02.2013
Clasa a VIII-a + +1. (3p) a) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația: + +$$ +x y z-x y-x z-y z+x+y+z=2014 +$$ + +(4p) b) Demonstrați că există $a, b, c, d$ numere naturale nenule şi distincte, astfel ca + +$$ +2013=a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2} +$$ + +Petru Vlad + +2. (7p) Pentru $a>0$ şi $b>0$ notăm $G(a, b)=\sqrt{a b}, H(a, b)=\frac{2 a b}{a+b}$. Arătaţi că: + +$$ +G(a, H(a, b)) \leq H(a, G(a, b)) +$$ + +GMB2012 + +3. (7p) Considerăm în spaţiu punctele $A, B, C, D$ şi $M, N$ mijloacele segmentelor $[A B]$, respectiv $[C D]$. Demonstraţi că, dacă $M N=\frac{B C+A D}{2}$, atunci punctele $A, B, C, D$ sunt coplanare. +4. Se consideră trapezul dreptunghic $A B C D$, având $m(\square A)=m(\square D)=90^{\circ}, m(\square B)=60^{\circ}$. În punctul $\mathrm{O}$, intersecția diagonalelor, se ridică perpendiculara $\mathrm{OM}$ pe planul trapezului. Dacă $O M=\frac{5 \sqrt{33}}{3}, A B=2 D C, D C=5$, calculați: + +(4p) a) distanța de la punctul $\mathrm{M}$ la latura (BC). + +(3p) b) distanța de la punctul O la planul (MCB). + +Gheorghe Floarea + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1398-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1398-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a290173b34767ee3608b9f304a7dad3f2cac7489 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1398-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,124 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a VII-a, 2013 + +1. a) $E(\sqrt{3})=\sqrt{3}+3 ; E(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}+3$ + +$m_{a}=\frac{E(\sqrt{3})+E(-\sqrt{3})}{2}$ + +$m_{a}=3 \in \mathrm{N}$ + +(1p) + +b) $E(n)=n+3, E(n \sqrt{3})=n \sqrt{3}+3$ + +$3 \sqrt{3}-E(n)>3-E(n \sqrt{3}) \Leftrightarrow \sqrt{3}(n+3)>n+3 \Leftrightarrow(n+3)(\sqrt{3}-1)>0$. + +$\sqrt{3}-1>0 \Rightarrow n+3>0 \Rightarrow n \in\{-2,-1\}$ + +2. a) $1+3+5+\ldots+2013=\frac{2014 \cdot 1007}{2}=1007^{2}$ + +$1+3+5+\ldots+105=\frac{106 \cdot 53}{2}=53^{2}$ + +Ecuaţia este echivalentă cu: $\frac{1007^{2}}{x}=53^{2} \Rightarrow x=\left(\frac{1007}{53}\right)^{2} \Rightarrow x=19^{2} \Rightarrow x=361$ + +b) $x=361 \Rightarrow(361-1): 10=y^{2} \Rightarrow y^{2}=36$ + +$S=\{-6,6\}$ + +3. Figura corectă. + +$$ +D M \stackrel{\text { not }}{=} a, N C \stackrel{\text { not }}{=} b \Rightarrow M C=2 a, N B=2 b, P T \perp A B, N \in P T, T \in A B, P \in C D +$$ + +$B T \| P C \stackrel{T . T h a l e s}{\Rightarrow} \frac{N P}{P T}=\frac{N C}{B C} \Rightarrow \frac{N P}{P T}=\frac{1}{3} \Rightarrow P T=3 N P$ + +$\mathrm{A}_{\triangle C M N}=16 \mathrm{~cm}^{2} \Rightarrow \frac{N P \cdot M C}{2}=16 \Rightarrow a \cdot N P=16$ + +$\mathrm{A}_{A B C D}=D C \cdot P T=3 a \cdot 3 N P=9 a N P \Rightarrow \mathrm{A}_{A B C D}=144 \mathrm{~cm}^{2} \ldots$ + +(Soluția cu raportul de asemănare se punctează corespunzător) + +4. a) Figura completă + +$\triangle A B E \stackrel{\text { (C.C.) }}{\equiv} \triangle A D F \Rightarrow m(B \hat{A} E)=m(F \hat{A} D)$ + +$m(B \hat{A} E)+m(E \hat{A} D)=90^{\circ} \Rightarrow m(F \hat{A} D)+m(E \hat{A} D)=90^{\circ} \Rightarrow m(F \hat{A} E)=90^{\circ}$ + +b) Metoda I: $F C \cap E H=\{P\}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\Delta H P F \stackrel{\text { U.U.) }}{\sim} \Delta C P E \Rightarrow \frac{P H}{P C}=\frac{P F}{P E} \Rightarrow \begin{array}{l} +\frac{P H}{P F}=\frac{P C}{P E} \\ +F \hat{P E} \equiv H \hat{P} C +\end{array} \right\rvert\, \Rightarrow \Delta P H C \stackrel{(L . U . L .)}{\sim} \Delta P F E \Rightarrow \\ +& m(P \hat{C} H)=m(P \hat{E} F)=45^{\circ} \Rightarrow m(F \hat{C} H)=45^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Metoda a II-a: $Q$ centrul pătratului $A E H F$, deci $m(H \hat{Q} E)=90^{\circ}$ şi $H Q=\frac{F E}{2}$ + +$\left.\begin{aligned} & \triangle F C E, m(\hat{C})=90^{\circ} \\ & {[F Q] \equiv[Q E]}\end{aligned} \right\rvert\, \Rightarrow C Q=\frac{F E}{2} \Rightarrow[H Q] \equiv[C Q] \Rightarrow \triangle H Q C$ isoscel + +$m(Q \hat{F} C)=m(Q \hat{C} F)=x \Rightarrow m(C \hat{Q} E)=2 x, m(H \hat{Q} C)=90^{\circ}-2 x \Rightarrow m(H \hat{C} Q)=45^{\circ}+x$, + +$\Rightarrow m(F \hat{C} H)=45^{\circ}$. + +(2p) + +c) $m(B \hat{D} C)=m(D \hat{C} H)=45^{\circ}$ (alterne interne) $\Rightarrow B D \| C H$ + +..(1p) + +$O$ centrul pătratului $A B C D,[Q O]$ linie mijlocie în $\triangle A C H \Rightarrow Q O \| C H \Rightarrow Q, O, B$ coliniare $\Rightarrow A H, F E$ şi $B D$ concurente în $Q$.. + +(1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_44c6d0702ecb8e126c7eg-2.jpg?height=520&width=545&top_left_y=838&top_left_x=541) + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETุEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 09.02.2013
Clasa a VII-a + +1. Se consideră expresia $E(x)=x+3$, unde $x$ este un număr real. + +(3p) a) Arătaţi că media aritmetică a numerelor $E(\sqrt{3})$ şi $E(-\sqrt{3})$ este un număr natural. + +(4p) b) Dacă $n$ este un număr întreg strict negativ, determinaţi valorile lui $n$ pentru care + +$$ +3 \sqrt{3}-E(n)>3-E(n \sqrt{3}) +$$ + +2. (4p) a) Aflați numărul rațional nenul $x$, care verifică egalitatea: + +$$ +\frac{1}{x}+\frac{3}{x}+\frac{5}{x}+\ldots+\frac{2013}{x}=1+3+5+\ldots+105 +$$ + +(3p) b) Pentru $x$ determinat anterior, rezolvați în mulțimea numerelor raționale ecuatia + +$$ +(x-1): 10=y^{2} +$$ + +Doina Negrilă + +3. (7p) În paralelogramul $A B C D$ alegem $M \in[D C]$, astfel încât $C M=2 D M$ şi $N \in[B C]$, astfel încât $B N=2 N C$. Ştiind că aria triunghiului $C M N$ este egală cu $16 \mathrm{~cm}^{2}$, aflaţi aria paralelogramului $A B C D$. + +GMB2012 + +4. Se consideră pătratul $A B C D$ şi punctele $E \in[B C]$ şi $F \in D C$ ( $D$ este între $F$ şi $C$ ), astfel încât $[B E] \equiv[F D]$. Demonstrați că: + +(3p) a) $m(\square F A E)=90^{\circ}$. + +(2p) b) dacă $F A E H$ este pătrat, atunci $m(\square F C H)=45^{\circ}$. + +(2p) c) dreptele $A H, F E$ şi $B D$ sunt concurente. + +Simona Dumitrescu + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1399-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1399-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..895f049a725c339828295f3ff4c5fc141f26b040 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1399-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,106 @@ +# Barem de corectare OLM - 2013 Clasa a VI-a, 2013 + +1. Fie $\mathrm{d}=(a, b)$ şi $m=[a, b]$ avem: + +$a=d x, b=d y,(x, y)=1$ şi $5 d x+3 d y=150$ şi $m=15 d$. + +Dar $d m=a b$, deci $m=d x y$ şi cum $m=15 d$, rezultă $x y=15$. + +Avem $(x, y) \in\{(1,15) ;(15,1) ;(3,5) ;(5,3)\}$ + +Pentru $(x, y) \in\{(15,1) ;(5,3)\} \Rightarrow d \notin \mathbb{N}$. + +Pentru $(x, y)=(1,15)$, rezultă $d=3, a=3, b=45$ + +Pentru $(x, y)=(3,5)$, rezultă $d=5, a=15, b=25$ + +2. a) $S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{106}-\frac{1}{121}=\frac{1}{1}-\frac{1}{121}=\frac{120}{121}$ + +Pentru $S \cdot a \in \mathbb{N} \Rightarrow a \in M_{121}$ şi cum $a$ este de trei cifre, avem $a \in\{121,242,363,484,605,726,847,968\}$ + +b) $\overline{5 b}: 5 \Rightarrow b \in\{0,5\}$, pentru $b=0 \Rightarrow \overline{5 b}=50=2 \cdot 5^{2}$ + +deci $a \notin\{0,2,4,5,6,8\} \Rightarrow a \in\{1,3,7,9\}$ + +Avem fracțiile ireductibile $\frac{15051}{50}, \frac{15053}{50}, \frac{15057}{50}, \frac{15059}{50}$ + +pentru $b=5 \Rightarrow \overline{5 b}=55=5 \cdot 11$, + +deci $a \notin\{0,5,9\} \Rightarrow a \in\{1,2,3,4,6,7,8\}$ + +Avem fracțiile ireductibile $\frac{15051}{55}, \frac{15052}{55}, \frac{15053}{55}, \frac{15054}{55}, \frac{15056}{55}, \frac{15057}{55}, \frac{15059}{55}$ + +3. a) Din $B$ mijlocul lui $(A C)$ rezultă $A B=B C$. + +$M D=D C=C A=2 B C$ + +$B D=B C+C D=B C+2 B C=3 B C$, deci $B C=2 \mathrm{~cm}$. + +b) $A M=3 A C=3 \cdot 2 B C=12 \mathrm{~cm}$ + +4. + +Figura. + +(1p) + +$\mathrm{m}(\Varangle A O C)+\mathrm{m}(\Varangle C O B)=180^{\circ}$ + +$\frac{2}{7} \mathrm{~m}(\Varangle C O B)+\mathrm{m}(\Varangle C O B)=180^{\circ}$ (1p) + +$\mathrm{m}(\Varangle C O B)=140^{\circ}$ + +(1p) + +$\mathrm{m}(\Varangle A O C)=40^{\circ}$ + +(1p) + +$\mathrm{m}(\Varangle A O E)=\mathrm{m}(\Varangle C O D)-\mathrm{m}(\Varangle A O C)-\mathrm{m}(\Varangle D O E)=$ + +$=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}=50^{\circ}$ + +(1p) + +$\Varangle H O B \equiv \Varangle A O F$, unghiuri opuse la vârf + +(1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15f15d0e7c6211d8be30g-1.jpg?height=457&width=537&top_left_y=1990&top_left_x=1342) + +E + +Deci $\mathrm{m}(\Varangle H O B)=\mathrm{m}(\Varangle A O F)=\mathrm{m}(\Varangle A O E): 2=50^{\circ}: 2=25^{\circ}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 9.02.2013
Clasa a VI-a + +1. (7p) Determinați numerele naturale $a$ şi $b$ al căror cel mai mic multiplu comun este de 15 ori mai mare decât cel mai mare divizor comun şi $5 a+3 b=150$. + +GMB2012 + +2. (3p) a) Aflați numărul natural $a$ de trei cifre, ştiind că $S \cdot a$ este număr natural, unde + +$$ +S=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{2}{2 \cdot 4}+\frac{3}{4 \cdot 7}+\frac{4}{7 \cdot 11}+\cdots+\frac{15}{106 \cdot 121} +$$ + +Monica Guita + +(4p) b) Determinați fracțiile ireductibile de forma $\frac{\overline{1505 a}}{\overline{5 b}}$, ştiind că $\overline{5 b} \vdots 5$. + +Adina Oancea + +3. Pe o dreaptă se consideră punctele distincte $A, B, C, D, M$, în această ordine, astfel încât $B$ este mijlocul segmentului $[A C],[M D] \equiv[D C] \equiv[A C]$ şi $[B D]=6 \mathrm{~cm}$. + +(5p) a) Calculați distanța de la $A$ la $D$. + +(2p) b) Aflați lungimea segmentului $[A M]$. + +4. (7p) Se consideră dreptele $A B$ şi $C D$ concurente în $O$, astfel încât $m(\square A O C)=\frac{2}{7} m(\square B O C)$, iar punctul $E$ în acelaşi semiplan cu $D$ faţă de dreapta $A B$, astfel încât $m(\square D O E)=90^{\circ}$. Dacă $[O F$ este bisectoarea unghiului $A O E$ şi $[O H$ este semidreapta opusă semidreptei $[O F$, determinați măsura unghiului $B O H$. + +Monica Guita + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 2 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-14-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. V-cl5_nationala.md b/Romania_Olympiad/md/ro-14-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. V-cl5_nationala.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9804e14efa1cee1652956758bb7ff781977ff77a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-14-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. V-cl5_nationala.md @@ -0,0 +1,98 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_af3c0808b1fd4eefa8c9g-1.jpg?height=270&width=1034&top_left_y=130&top_left_x=858) + +# Olimpiada Națională de Matematică Etapa Națională, Constanța, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a V-a + +Problema 1. Determinați numerele naturale de forma $\overline{a b}$, care au proprietatea că restul împărțirii lui $\overline{a b}$ la $a+b$ este $a \cdot b$. + +Problema 2. a) Fie $n$ un număr natural. Demonstrați că, dacă numerele $9 \cdot n+1$ și $11 \cdot n+1$ sunt simultan pătrate perfecte, atunci $n$ este divizibil cu 5 . + +b) Determinați cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care numerele $9 \cdot n+1$ și $11 \cdot n+1$ sunt simultan pătrate perfecte. + +Problema 3. a) Determinați numerele prime $a, b, c$, cu $a Etapa Naţională, Constanța, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a V-a - soluții și bareme + +Problema 1. Determinaţi numerele naturale de forma $\overline{a b}$, care au proprietatea că restul împărțirii lui $\overline{a b}$ la $a+b$ este $a \cdot b$. + +Soluție. Avem conditia $a \cdot b3$, atunci $b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=\mathcal{M}_{3}+1 \neq 2018$. În concluzie nu există numere cu proprietatea cerută. $.1 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale nenule care au proprietatea că $2 \cdot b+1$ divide $3 \cdot a-1$ și $2 \cdot a+1$ divide $3 \cdot b-1$. + +Soluție. Dacă perechea $(a, b)$ convine, atunci numerele $x=\frac{3 a-1}{2 b+1}$ s, $y=\frac{3 b-1}{2 a+1}$ sunt naturale + +$1 p$ + +Avem $x \cdot y<\frac{3 a}{2 b} \cdot \frac{3 b}{2 a}=\frac{9}{4}=2 \frac{1}{2}$ și, cum $x$ și $y$ sunt numere naturale, deducem că sunt posibile + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_af3c0808b1fd4eefa8c9g-3.jpg?height=54&width=1589&top_left_y=1206&top_left_x=279) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_af3c0808b1fd4eefa8c9g-3.jpg?height=54&width=1529&top_left_y=1250&top_left_x=339) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_af3c0808b1fd4eefa8c9g-3.jpg?height=51&width=1529&top_left_y=1297&top_left_x=339) + +În cazul $x=2, y=1$ obținem $a=17, b=12 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{1 p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-140-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-140-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b97edccf149234f6bf6b66a0a5982cc4a9d54bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-140-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,129 @@ +Olimpiada de Matematică - Etapa Locală + +Maramureş - 28 februarie 2016 + +Clasa a VIII - a + +1. Fie $a, b, c \in \mathbb{N}$ care satisfac relația: + +$$ +a+2 b+3 c+21=4(\sqrt{a+1}-1)+6(\sqrt{2 b+1}-1)+10(\sqrt{3 c+1}-1) +$$ + +a) Determinați numerele $a, b$ şi $c$. + +b) Demonstrați că $\overline{a b c}^{2016}+\overline{a c b}^{2016}$ nu este pătrat perfect. + +2. Fie $x$ şi $y$ numere reale astfel încât $4 x^{2}+4 y^{2}+16 x-12 y+21=0$. + +Arătaţi că $|2 x-2 y+7| \leq 4$. + +(Supliment Gazeta Matematică nr. 12/2015) + +3. a) Demonstraţi că $\sqrt{2 n+\sqrt{4 n^{2}-1}}=\frac{\sqrt{2 n+1}+\sqrt{2 n-1}}{\sqrt{2}}$ pentru orice număr natural $n$ nenul . + +b) Fie $A_{n}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{15}}}+\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{35}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2 n+\sqrt{4 n^{2}-1}}}$, unde $n \in N^{*}$. + +Determinaţi $n \in N^{*}$ pentru care $\sqrt{7} \cdot A_{n}=\sqrt{2016}$. + +4. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Considerăm punctele $E \in(B D)$ astfel încât $B D=4 \cdot D E$ şi $E^{\prime} \in\left(B^{\prime} D^{\prime}\right.$ astfel încât $D^{\prime} E^{\prime}=3 \cdot B^{\prime} E^{\prime}$. Dacă $M, N, P$ şi $Q$ sunt mijloacele muchiilor $A B, B C$, $D^{\prime} C^{\prime}$, respectiv $A^{\prime} D^{\prime}$, arătaţi că: + +a) planele $(E P Q)$ şi ( $\left.E^{\prime} M N\right)$ sunt paralele; + +b) dacă $B D^{\prime} \cap\left(E^{\prime} M N\right)=\{T\}$ şi $B D^{\prime} \cap(E Q P)=\left\{T^{\prime}\right\}$, atunci $T T^{\prime}=2 \cdot B T$. + +(Gazeta Matematică nr. 12/2015) + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte + +Timp de lucru 3 ore + +## Problema 1 + +Fie a,b,c $\in \mathbb{N}$ care satisfac relaţia: + +$$ +a+2 b+3 c+21=4(\sqrt{a+1}-1)+6(\sqrt{2 b+1}-1)+10(\sqrt{3 c+1}-1) +$$ + +a) Determinaţi numerele $a, b$ şi $c$. + +b) Demonstraţi că $\overline{a b c}^{2016}+\overline{a c b}^{2016}$ nu este pătrat perfect. + +## Soluţie: + +a) $(\sqrt{a+1}-2)^{2}+(\sqrt{2 b+1}-3)^{2}+(\sqrt{3 c+1}-5)^{2}=0$ $2 p$ + +$a=3, b=4, c=8$ +b) $U\left(348^{2016}+384^{2016}\right)=U\left(8^{2016}+4^{2016}\right)=U(6+6)=2 \neq p p$ + +## Problema 2 + +Fie $x$ şi $y$ numere reale astfel încât $4 x^{2}+4 y^{2}+16 x-12 y+21=0$. + +Arătaţi că $|2 x-2 y+7| \leq 4$. + +Soluţie. Se aduce la forma $(2 x+4)^{2}+(2 y-3)^{2}=4$. $2 \mathrm{p}$ + +Se deduce $(2 x+4)^{2} \leq 4$. şi $(2 y-3)^{2} \leq 4$. $1 \mathrm{p}$ + +Se obţine $|2 x+4| \leq 2$. şi $|2 y-3| \leq 2$. $1 \mathrm{p}$ + +Deducem $-2 \leq 2 x+4 \leq 2$ şi $-2 \leq 2 y-3 \leq 2$ + +şi avem $-2 \leq 2 x+4 \leq 2$ (1) şi $-2 \leq-2 y+3 \leq 2$ (2) 2 p + +Însumând (1) şi (2), $-4 \leq 2 x-2 y+7 \leq 4$ + +şi se finalizează $|2 x-2 y+7| \leq 4$ + +$1 \mathrm{p}$ + +## Problema 3 + +a) Demonstraţi că $\sqrt{2 n+\sqrt{4 n^{2}-1}}$. $=\frac{\sqrt{2 n+1}+\sqrt{2 n-1}}{\sqrt{2}}$ pentru orice număr natural $n$ nenul . + +b) Fie $A_{n}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{15}}}+\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{35}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2 n+\sqrt{4 n^{2}-1}}}$, unde $n \in N^{*}$. + +Determinaţi $n \in N^{*}$ pentru care $\sqrt{7} \cdot A_{n}=\sqrt{2016}$. + +## Solutie + +a) Se ridică la pătrat $2 n+\sqrt{4 n^{2}-1}=\frac{2 n+1+2 \sqrt{(2 n+1)(2 n-1)}+2 n-1}{2}$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Finalizare + +$1 \mathrm{p}$ + +b) Se obţine $A_{n}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 n+1}+\sqrt{2 n-1}}$ + +Deducem $A_{n}=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{3-1}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{15}}{7-5}+\ldots+\frac{\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}}{2 n+1-(2 n-1)}\right)$ + +Deci $\sqrt{7} \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2 n+1}-1)=\sqrt{2016}$, de unde $\sqrt{2 n+1}-1=24$, astfel $n=312$. + +## Problema 3 + +Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Considerăm punctele $E \in(B D)$ astfel încât $B D=4 \cdot D E$ şi $E^{\prime} \in\left(B^{\prime} D^{\prime}\right.$ astfel încât $D^{\prime} E^{\prime}=3 \cdot B^{\prime} E^{\prime}$. Dacă $M, N, P$ şi $Q$ sunt mijloacele muchiilor $A B, B C$, $D^{\prime} C^{\prime}$, respectiv $A^{\prime} D^{\prime}$, arătaţi că: + +a) planele $(E P Q)$ şi $\left(E^{\prime} M N\right)$ sunt paralele; + +b) dacă $B D^{\prime} \cap\left(E^{\prime} M N\right)=\{T\}$ şi $B D^{\prime} \cap(E Q P)=\left\{T^{\prime}\right\}$, atunci $T T^{\prime}=2 \cdot B T$. + +## Soluţie. + +a) Se demonstrează că $M N / / P Q$. + +Se obţine $H E^{\prime} / / J E$, unde $H$ mijlocul lui (MN) şi $J$ este mijlocul lui (PQ) (sau $M E^{\prime} / / P E$ sau $N E ' / / Q E$ ) + +(calcul sau congruenţe de triunghiuri) + +Finalizare + +$1 \mathrm{p}$ + +b) Deducem $3 B T=D^{\prime} T$ sau analoage . + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1400-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1400-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34bab7fb283710cae44cf2d82a8f04c21e2aaea9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1400-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,62 @@ +1. $n=9 \cdot \overline{a b}+(a+b)$, unde $a+b<9$. + +$\overline{a b}$ este pătrat perfect şi $a+b<9 \Rightarrow \overline{a b} \in\{16 ; 25\}$......................... + +$\Rightarrow n \in\{151 ; 232\}$ + +# 2. Metoda figurativă: + +Reprezentarea grafică a etapelor de parcurgere a drumului: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_252db2bbe90579f138bcg-1.jpg?height=188&width=1036&top_left_y=777&top_left_x=453) + +5 părti egale $=210 \mathrm{~km}$ + +3. a) $\left(3^{3 n+2}: 9^{n}\right)^{2}+\left(19 \cdot 2^{2 n} \cdot 81^{n}\right):\left(4^{n} \cdot 3^{2 n}\right)=$ $\left(3^{3 n+2}: 3^{2 n}\right)^{2}+\left(19 \cdot 2^{2 n} \cdot 3^{4 n}\right):\left(2^{2 n} \cdot 3^{2 n}\right)=$ (1p) + +$\left(3^{n+2}\right)^{2}+19 \cdot 3^{2 n}=3^{2 n+4}+19 \cdot 3^{2 n}=$. .(1p) + +$3^{2 n}\left(3^{4}+19\right)=3^{2 n}(81+19)=3^{2 n} \cdot 100=\left(3^{n} \cdot 10\right)^{2} \ldots$ + +b) $9=1+8=1^{3}+2^{3}$ + +$$ +9^{2011}=9^{2010} \cdot 9=9^{2010} \cdot\left(1^{3}+2^{3}\right)= +$$ + +$\left(9^{670}\right)^{3} \cdot\left(1^{3}+2^{3}\right)=\left(9^{670}\right)^{3} \cdot 1^{3}+\left(9^{670}\right)^{3} \cdot 2^{3}=\left(9^{670}\right)^{3}+\left(9^{670} \cdot 2\right)^{3}$ + +4. Fie $A=$ mulțimea bilelor roşii, $B=$ mulțimea bilelor galbene, $C=$ mulțimea bilelor verzi, unde $A, B, C$ sunt disjuncte două câte două. + +Avem: $\operatorname{card} A+\operatorname{cardB}=17, \operatorname{cardB}+\operatorname{card} C=29$ (2p) + +Scădem prima relație din a doua şi obținem cardC - cardA $=12$. .(1p) + +Dar $\operatorname{cardC}=2 \cdot \operatorname{card} A \Rightarrow \operatorname{card} A=12, \operatorname{cardB}=5, \operatorname{card} C=24$ (3p) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 09.02.2013
Clasa a V-a + +1. (7p) Determinați numerele naturale care, împărțite la 9 , dau câtul $\overline{a b}$ pătrat perfect, iar restul $a+b$. + +Maria Ghiță + +2. (7p) Un biciclist îşi propune să parcurgă drumul Sibiu-Târgu Jiu în 3 zile. În prima zi a parcurs un sfert din drum, iar a doua zi jumătate din rest, străbătând astfel $210 \mathrm{~km}$ în două etape. Aflați câți kilometri mai are de parcurs în ultima zi. + +Felicia Brodețchi + +3. (4p) a) Demonstrați că numărul $\left(3^{3 n+2}: 9^{n}\right)^{2}+\left(19 \cdot 2^{2 n} \cdot 81^{n}\right):\left(4^{n} \cdot 3^{2 n}\right)$ este pătrat perfect. + +Diana Făgețan + +(3p) b) Scrieți numărul $9^{2011}$ ca o sumă de două cuburi perfecte. + +GMB2011 + +4. (7p) Într-o cutie sunt bile roşii, galbene şi verzi. Numai 17 dintre ele nu sunt verzi şi numai 29 nu sunt roşii. Cele roşii sunt de două ori mai puține decât cele verzi. Determinați numărul bilelor de fiecare culoare. + +Liviu Cocariu-Ardelean + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 2 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1401-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1401-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..32622b14f82251391b508a36fe8e12a6541479a6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1401-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,70 @@ +# Barem de corectare OLM Clasa a IX-a, 2013 + +1. Din $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 9,(\forall) a, b, c>0$ obținem. + +$\sum \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y z+3}} \geq \frac{9}{\sqrt{x^{2}+y z+3}+\sqrt{y^{2}+z x+3}+\sqrt{z^{2}+x y+3}}$ + +Este suficient să arătăm că: $\sqrt{x^{2}+y z+3}+\sqrt{y^{2}+z x+3}+\sqrt{z^{2}+x y+3} \leq 9$.... + +$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3(a+b+c)},(\forall) a, b, c \geq 0$ şi $x y+y z+z x \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9$, de unde. + +$\sqrt{x^{2}+y z+3}+\sqrt{y^{2}+z x+3}+\sqrt{z^{2}+x y+3} \leq \sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x+9\right)} \leq 9$ + +2. $\mathrm{P}(n): 5^{2 \mathrm{n}+1} 2^{\mathrm{n}+2}+3^{\mathrm{n}+2} 2^{2 \mathrm{n}+1}: 19 ; \mathrm{P}(0): 38 \vdots 19$, adevărat. + +Pentru $n \geq 0$ presupunem $\mathrm{P}(n)$ adevărată, deci $5^{2 n+1} 2^{n+2}+3^{n+2} 2^{2 n+1}=19 k, k \in N$ şi. + +$5^{2 n+1} 2^{n+2}=-3^{n+2} 2^{2 n+1}+19 k, k \in N$ + +$5^{2 n+3} 2^{n+3}+3^{n+3} 2^{2 n+3}=50 \cdot 5^{2 n+1} 2^{n+2}+3^{n+3} 2^{2 n+3}=50\left(19 k-3^{n+2} \cdot 2^{2 n+1}\right)+3^{n+3} \cdot 2^{2 n+3}=$ + +$=19 \cdot 50 k-50 \cdot 3^{n+2} \cdot 2^{2 n+1}+3^{n+3} \cdot 2^{2 n+3}=19 \cdot 50 k-3^{n+2} \cdot 2^{2 n+1}(50-12) \vdots 19 \Rightarrow \mathrm{P}(n+1)$ adev + +$\Rightarrow \mathrm{P}(n)$ adevărată pentru orice $n$ natural + +3. $x_{p}=x_{p+1} \Leftrightarrow a^{2 p}+b^{2 p}+c^{2 p}=a^{2 p+2}+b^{2 p+2}+c^{2 p+2} \Rightarrow \sum a^{2 p}\left(a^{2}-1\right)=0$ + +$x_{p+1}=x_{p+2} \Leftrightarrow \sum a^{2 p+2}\left(a^{2}-1\right)=0$ + +Scăzând relaţiile se deduce că $\sum \mathrm{a}^{2 \mathrm{p}}\left(\mathrm{a}^{2}-1\right)^{2}=0$.......... + +$\Rightarrow a, b, c \in\{-1,0,1\}$ de unde rezultă concluzia....... + +4. a) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O C}=3 \overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=3 \overrightarrow{P O}$ + +b) Ducem prin $P$ paralele la laturile triunghiului şi notăm cu $M, N, Q, R, S, T$ intersecțiile acestora cu laturile $(A B),(B C)$, respectiv (CA). Triunghiurile $P M N, P Q R, P S T$ sunt echilaterale şi patrulaterele $P N B Q, P R C S, ~ P T A M$ sunt paralelograme. + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P E}+\overrightarrow{P F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P R})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{P S}+\overrightarrow{P T})=\ldots \ldots . . . . . . . . . . . \\ +& =\frac{1}{2}[(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P T})+(\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{P Q})+(\overrightarrow{P R}+\overrightarrow{P S})]=\frac{1}{2}(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C})=\frac{3}{2} \overrightarrow{P O} +\end{aligned} +$$ + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 09.02.2013
Clasa a IX-a + +1. (7p) Fie $x, y, z$ trei numere reale cu proprietatea că $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9$. Arătați că: + +$$ +\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y z+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}+z x+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}+x y+3}} \geq 1 +$$ + +GMB2012 + +2. (7p) Demonstraţi că numărul $5^{2 n+1} \cdot 2^{n+2}+3^{n+2} \cdot 2^{2 n+1}$ este divizibil cu 19 , pentru orice număr natural $n$. +3. (7p) Pentru numerele reale $a, b, c$ se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin relația $x_{n}=a^{2 n}+b^{2 n}+c^{2 n}$, pentru orice $n$ număr natural nenul. Demonstrați că, dacă există $p \in N^{*}$, astfel încât $x_{p}=x_{p+1}=x_{p+2}$, atunci $x_{n}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$, pentru orice $n$ număr natural nenul. + +Alin Pop + +4. Se consideră $P$ un punct în interiorul triunghiului echilateral $A B C$ cu centrul în $O$. Dacă $D$, $E, F$ sunt proiecțiile lui $P$ pe laturile $(A B),(B C)$, respectiv $(A C)$ ale triunghiului, arătaţi că: + +(3p) a) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=3 \overrightarrow{P O}$. + +(4p) b) $\overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P E}+\overrightarrow{P F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P O}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1402-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1402-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d409983b20a3286fb9d7ae6be1edcedbcf19a203 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1402-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,57 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013
Barem, clasa a XII- a + +1. a) Facem substituţia $t=\frac{1}{u} \Rightarrow d t=-\frac{1}{u^{2}} d u$ şi notând integrala cu $I$ avem $I=-\int_{x}^{\frac{1}{x}} \frac{\operatorname{arctg} \frac{1}{u}}{\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{u}+1} \frac{d u}{u^{2}}=\int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{\operatorname{arctg} \frac{1}{t}}{t^{2}+t+1} d t, \ldots(1 \mathrm{p})$, deci $2 I=\int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{\operatorname{arctg} t+\operatorname{arctg} \frac{1}{t}}{t^{2}+t+1} d t \ldots(1 \mathrm{p})$, iar folosind identitatea $\operatorname{arctg} t+\operatorname{arctg} \frac{1}{t}=\frac{\pi}{2}, \forall t>0$ obţinem $I=\frac{\pi}{4} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{d t}{\left.t+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}=\left.\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2 t+1}{\sqrt{3}}\right|_{\frac{1}{x}} ^{x}=$ $=\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\left(\operatorname{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}-\operatorname{arctg} \frac{\frac{2}{x}+1}{\sqrt{3}}\right) \ldots(2 \mathrm{p})$ + +b) Fie $I(x)=\int_{0}^{x} \frac{\operatorname{arctg} t}{t^{2}+t+1} d t=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{\operatorname{arctg} t}{t^{2}+t+1} d t+\int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{\operatorname{arctg} t}{t^{2}+t+1} d t=I_{1}(x)+I_{2}(x), \forall x>0 \ldots(1 \mathrm{p})$ $I_{1}(x)=\frac{1}{x} \frac{\operatorname{arctg} c_{x}}{c_{x}^{2}+c_{x}+1} \quad$ cu $\quad c_{x} \in\left(0, \frac{1}{x}\right), \quad$ deci $\quad \lim _{x \rightarrow \infty} I_{1}(x)=0 \ldots .(1 \mathrm{p}) . \quad$ Atunci $\lim _{x \rightarrow \infty} I(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} I_{2}(x) \underset{\text { conf } . a)}{=} \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\left(\operatorname{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}-\operatorname{arctg} \frac{\frac{2}{x}+1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi^{2}}{6 \sqrt{3}} \ldots . .(1 \mathrm{p})$ 2. Observăm că $\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}, \forall x>-1 \ldots$ (1p). + +Notând integrala cu $I$ avem + +$I=\int \frac{e^{x} \cos x}{x+1} d x-\int \frac{e^{x} \cos x}{(x+1)^{2}} d x+\int \frac{e^{x} \cos x}{(x+1)^{3}} d x=I_{1}-I_{2}+I_{3} \ldots(1 \mathrm{p}) . \quad$ In continuare aplicăm integrarea prin părţi, astfel pentru $I_{1}$ luăm $f(x)=\frac{1}{x+1}, g(x)=\frac{1}{2} e^{x}(\cos x+\sin x) \ldots(2 \mathrm{p})$, iar pentru $I_{3}$ luăm $f(x)=e^{x} \cos x, g(x)=-\frac{1}{2(x+1)^{2}} \ldots . .(2 \mathrm{p})$. După aplicare se va reduce $I_{2}$, deci $I=\frac{e^{x}(\cos x+\sin x)}{2(x+1)}+\frac{1}{2} \int \frac{e^{x}(\cos x+\sin x)}{(x+1)^{2}} d x-I_{2}-\frac{e^{x} \cos x}{2(x+1)^{2}}+\frac{1}{2} \int \frac{e^{x}(\cos x-\sin x)}{(x+1)^{2}} d x=$ $=\frac{e^{x}(\cos x+\sin x)}{2(x+1)}-\frac{e^{x} \cos x}{2(x+1)^{2}}+C, C \in \mathbb{R}$. Finalizare...(1p). + +3. a) Verificarea axiomelor grupului abelian.....(3p) + +b) Din $f$ morfism avem $f(x+y)=f(x) \circ f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}$, iar prin inducţie matematică se demonstrează relaţia (1) $\underbrace{f(x) \circ f(x) \circ \ldots \circ f(x)}_{\text {nori }}=f(n x), \forall n \in N^{*} \ldots$ (1p). Aflarea inversei funcţiei $f^{-1}: G \rightarrow R, f^{-1}(x)=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}, \forall x \in G \ldots(1 \mathrm{p})$. Inlocuind $x$ cu $f^{-1}(x)$ în + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3bd97ccb0963831d2fa5g-2.jpg?height=288&width=1668&top_left_y=56&top_left_x=228) +problemei prin înlocuirea lui $n=2013 \ldots .(1 \mathrm{p})$. + +4. a) Inlocuind $x=a$ în relaţie se obţine $a^{2}=e \Leftrightarrow a=a^{-1} \ldots(1 p)$, unde $e$ este elementul neutru al grupului G. Relaţia din enunţ devine (1) $x^{3}=a x a, \forall x \in G$. Inlocuind în (1) $x=a x \in G$ avem $(a x)^{3}=a(a x) a \Leftrightarrow(a x)(a x)(a x)=\operatorname{aaxa} \Leftrightarrow x(a x a) x=a x a \Leftrightarrow x \cdot x^{3} \cdot x=x^{3} \Leftrightarrow x^{2}=e, \forall x \in G \Leftrightarrow G$ este grup comutativ. Finalizare...(2p) + +b) Deoarece $(n, 2013)=1$ atunci există $l, p \in Z$ astfel încăt $n l+2013 p=1 \ldots .(1 \mathrm{p})$. Atunci avem $x y=x^{n l+2013 p} y^{n l+2013 p}=\left(x^{n}\right)^{l}\left(x^{p}\right)^{2013}\left(y^{n}\right)^{i}\left(y^{p}\right)^{2013} \ldots(1 \mathrm{p})$. + +Deoarece ord $G=n \Rightarrow x^{n}=e, \forall x \in G \ldots(1 \mathrm{p}) \quad$ atunci + +$x y=\left(x^{p}\right)^{2013}\left(y^{p}\right)^{2013} \underset{\text { ipoteza }}{=}\left(y^{p}\right)^{2013}\left(x^{p}\right)^{2013}=y^{2013 p}\left(y^{n}\right)^{i} x^{2013 p}\left(x^{n}\right)^{p}=y^{2013 p+n i} x^{2013 p+n i}=y x$, deci grupul este comutativ....(1p) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013
CLASA a XII- a + +1. a) Calculaţi $\int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{\operatorname{arctg} t}{t^{2}+t+1} d t, x>0$. + +b) Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{x} \frac{\operatorname{arctg} t}{t^{2}+t+1} d t$. + +2. Să se calculeze $\int \frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{3}} \cdot e^{x} \cos x d x, x>-1$. + +Giurgi Vasile + +3. Fie $G=(-1,1)$ şi aplicaţia $x \circ y=\frac{x+y}{1+x y}, \forall x, y \in G$, iar $f: \mathbb{R} \rightarrow G, f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$. + +a) Arătaţi că $(G, \circ)$ este grup abelian. + +b) Admitem că $f$ este un izomorfism între grupurile $(\mathbb{R},+)$ şi $(G, \circ)$ să se calculeze $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{d e 2013 \text { ori }}$, unde $x \in G$. + +4. a) Fie $(G, \cdot)$ un grup cu proprietatea că există $a \in G$ astfel încât $a x=x^{3} a, \forall x \in G$. Să se demonstreze că $(G, \cdot)$ este un grup abelian. + +b) Fie $(G, \cdot)$ un grup finit de ordin $n>2$ cu $(n, 2013)=1$. Să se arate că, dacă $x^{2013} y^{2013}=y^{20103} x^{2013}, \forall x, y \in G$, atunci grupul $(G, \cdot)$ este comutativ. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Tomoiagă Ioan, Colegiul Naţional „Dragoş Vodă”, Sighetu Marmaţiei. + +prof. Giurgi Vasile, Colegiul Naţional „Dragoş Vodă”, Sighetu Marmaţiei. + +## SUCCES! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1403-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1403-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..414347214328b1cfde29fb61eeb860225203d87a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1403-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,146 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 9 februarie 2013
Barem, clasa a XI- a + +1. Fie $A$ şi $B$ două matrice pătratice de ordinul doi cu elemente complexe cu proprietatea că + +$A B-B A=A$. Să se arate că $A B^{n} A=O_{2}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +G.M. $11 / 2012$ + +Soluţie: Din $A B-B A=A$ obţinem $\operatorname{tr}(A)=0$ şi $A^{2}=-\Delta \cdot I_{2}$, unde $\Delta=\operatorname{det}(A)$.... + +$A B-B A=A \Rightarrow A B A-B A^{2}=A^{2}$, deci $A B A=B A^{2}+A^{2}=-\Delta \cdot B-\Delta \cdot I_{2}$. + +$A B-B A=A \Rightarrow A^{2} B-A B A=A^{2}$, deci $A B A=A^{2} B-A^{2}=-\Delta \cdot B+\Delta \cdot I_{2}$. + +Aşadar $\Delta=0$, deci $A^{2}=O_{2}=A B A$. + +Afirmaţia se demonstrează prin inducţie după $n$. + +Am demonstrat că $A B^{1} A=O_{2}$ deci $P(1)$ e o propoziţie adevărată. + +Fie $k \in \mathbb{N}^{*}$. Presupunem că $A B^{k} A=O_{2}$ şi demonstrăm că $A B^{k+1} A=O_{2}$. $1 \mathrm{p}$ + +$A B-B A=A\left|\cdot B^{k} \quad \Rightarrow \quad A B^{k+1}-B A B^{k}=A B^{k}\right| \cdot A, \quad \Rightarrow \quad A B^{k+1} A-B A B^{k} A=A B^{k} A$ $2 \mathrm{p}$ $\stackrel{\text { ip ind }}{\Leftrightarrow} A B^{k+1} A-B(\underbrace{A B^{k} A}_{O_{2}})=O_{2} \Leftrightarrow \quad A B^{k+1} A=O_{2} \quad$ şi din primul principiu de inducţie rezultă concluzia $1 \mathrm{p}$ + +2. a) Să se găsească un exemplu de matrice distincte $A, B, C \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, astfel încât + +$$ +\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(C)=-1 \quad \text { şi } \quad \operatorname{det}(A+B)>\operatorname{det}(B+C) +$$ + +b) Fie matricele $A, B, C \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$ cu $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(C)$ si $\operatorname{det}(A+B)>\operatorname{det}(B+C)$ + +Dacă $\operatorname{det}(A+i \cdot B)=\operatorname{det}(B+i \cdot C)$, să se demonstreze că + +$$ +\operatorname{det}(A+\sqrt{3} B)+\operatorname{det}(B+\sqrt{2} C)>\operatorname{det}(A+\sqrt{2} B)+\operatorname{det}(B+\sqrt{3} C) +$$ + +Dana Heuberger + +Soluţie: a) De exemplu $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rrrr}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. + +Avem $\operatorname{det}(A+B)=0>-8=\operatorname{det}(B+C)$. Orice exemplu corect + +b) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{det}(A+x \cdot B)-\operatorname{det}(B+x \cdot C)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e$ + +si $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\operatorname{det}(x \cdot A+B)-\operatorname{det}(x \cdot B+C)=e x^{4}+d x^{3}+c x^{2}+b x+a$ + +Avem $\quad a=g(0)=\operatorname{det}(B)-\operatorname{det}(C)=0$ şi $e=f(0)=\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B)=0$ + +deci $f(x)=b x^{3}+c x^{2}+d x$ + +Din ipoteză, $f(i)=\operatorname{det}(A+i \cdot B)-\operatorname{det}(B+i \cdot C)=0$, deci $b \cdot i^{3}+c \cdot i^{2}+d \cdot i=0$ + +adică $-b \cdot i-c+d \cdot i=0$, de unde rezultă $b=d$ şi $c=0$. Obţinem $f(x)=b \cdot\left(x^{3}+x\right)$ + +Din ipoteză avem $f(1)=\operatorname{det}(A+B)-\operatorname{det}(B+C)=2 b>0$, deci funcţia $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. + +Rezultă că $f(\sqrt{3})>f(\sqrt{2})$, adică $\operatorname{det}(A+\sqrt{3} B)+\operatorname{det}(B+\sqrt{2} C)>\operatorname{det}(A+\sqrt{2} B)+\operatorname{det}(B+\sqrt{3} C)$ + +3. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, cu $x_{1}=\frac{24}{5}$, astfel încât $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 5 x_{n+1}=13 x_{n}+12 \sqrt{x_{n}^{2}+4}$. + +a) Să se demonstreze că $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad x_{n}=5^{n}-5^{-n}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n}}{5^{n}}\right)^{x_{n}^{2}}$. + +Cristina Ocean + +Indicaţie: a) Demonstraţia prin inducţie + +$4 \mathrm{p}$ + +b) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n}}{5^{n}}\right)^{x_{n}^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-1}{5^{2 n}}\right)^{5^{2 n}-2+5^{-2 n}}=e^{\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{2 n}-2+5^{-2 n}}{-5^{2 n}}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$ + +4. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$, cu $x_{0} \in(0, \infty)$, astfel încât $\forall n \in \mathbb{N},\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n}+1\right)=1$. + +a) Să se arate că şirul este crescător. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +c) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}}$. + +Indicaţie: a) Demonstraţia prin inducţie a faptului că $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}>x_{n}>0$ + +b) Deoarece şirul e crescător, există $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. + +Dacă am avea că $\ell \in \mathbb{R}$, trecând la limită în relaţia de recurenţă din enunţ am obţine $(\ell-\ell)(\ell+1)=1$, fals. + +Aşadar $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ + +c) Din ipoteză obţinem $x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}+1}$ deci $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\frac{1}{x_{n} \cdot\left(x_{n}+1\right)} \rightarrow 1$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{2}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}}{(n+1)-n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n+1}+x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}+x_{n}}{1+x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x_{n+1}}{x_{n}}+1}{\frac{1}{x_{n}}+1}=2 \ldots$ + +Rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA a XI- a + +1. Fie $A$ şi $B$ două matrice pătratice de ordinul doi cu elemente complexe cu proprietatea că $A B-B A=A$. Să se arate că $A B^{n} A=O_{2}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +G.M. $11 / 2012$ + +2. a) Să se găsească un exemplu de matrice distincte $A, B, C \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, astfel încât $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(C)=-1 \quad$ şi $\operatorname{det}(A+B)>\operatorname{det}(B+C)$. + +b) Fie matricele $A, B, C \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$ cu $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(C)$ şi $\operatorname{det}(A+B)>\operatorname{det}(B+C)$. Dacă $\operatorname{det}(A+i \cdot B)=\operatorname{det}(B+i \cdot C)$, să se demonstreze că $\operatorname{det}(A+\sqrt{3} B)+\operatorname{det}(B+\sqrt{2} C)>\operatorname{det}(A+\sqrt{2} B)+\operatorname{det}(B+\sqrt{3} C)$. + +Dana Heuberger + +3. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, cu $x_{1}=\frac{24}{5}$, astfel încât $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$, + +$$ +5 x_{n+1}=13 x_{n}+12 \sqrt{x_{n}^{2}+4} +$$ + +a) Să se demonstreze că $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad x_{n}=5^{n}-5^{-n}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n}}{5^{n}}\right)^{x_{n}^{2}}$. + +Cristina Ocean + +4. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$, cu $x_{0} \in(0, \infty)$, astfel încât + +$$ +\forall n \in \mathbb{N}, \quad\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n}+1\right)=1 +$$ + +a) Să se arate că şirul este crescător. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +c) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de: + +prof. Gabriela Boroica, Colegiul Naţional „Vasile Lucaciu”, Baia Mare + +prof. Dana Heuberger, Colegiul Naţional „Gheorghe Şincai”, Baia Mare + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1404-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-0_2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1404-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-0_2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..780b27a3bd9ff2d7268349de6b4f11b370547920 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1404-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-0_2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013
Barem, clasa a XI- a + +1. Logaritmăm relaţia dată: $\mathrm{n} \log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}=\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}_{1}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}_{2}+\cdots+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \ldots \ldots \ldots \quad 2 \mathrm{p}$. Aplicăm inegalitatea mediilor ........................................................... $1 \mathrm{p}$. + +Ţinând cont că expresiile care intervin sunt strict pozitive obţinem: + +$$ +\log _{a} x_{1}+\log _{a} x_{2}+\cdots+\log _{a} x_{n} \geq n \cdot \sqrt[n]{\log _{a} x_{1} \cdot \log _{a} x_{2} \cdots \cdots \log _{a} x_{n}} \cdots \cdots . \quad 2 p +$$ + +Finalizare..................................................................................... $2 p$. + +2. a) Aplicăm inegalitatea lui Bernoulli pentru un $\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}, \mathrm{n} \geq 2$ :............ $1 \mathrm{p}$ + +$$ +\begin{gathered} +\left(1+\frac{k-1}{n}\right)^{n} \geq 1+n \cdot \frac{k-1}{n} \Leftrightarrow\left(1+\frac{k-1}{n}\right)^{n} \geq k \Leftrightarrow \frac{n+k-1}{n} \geq \sqrt[n]{k} \Leftrightarrow \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . \\ +\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[n]{\mathrm{k}}} \geq \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}-1} . +\end{gathered} +$$ + +Altfel: $\sqrt[n]{k}=\sqrt[n]{k \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{k-1-\operatorname{ser}}} \leq \frac{k+n-1}{n} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[n]{\mathrm{k}}} \geq \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}-1}$. +b) + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{\sqrt[n]{\mathrm{k}}} \geq \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}-1} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[n]{\mathrm{k}} \cdot(\mathrm{n}+\mathrm{k})} \geq \frac{\mathrm{n}}{(\mathrm{n}+\mathrm{k}-1) \cdot(\mathrm{n}+\mathrm{k})} \Leftrightarrow \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \quad 2 \mathrm{p} \\ +& \frac{1}{\sqrt[n]{\mathrm{k}} \cdot(\mathrm{n}+\mathrm{k})} \geq \mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}+\mathrm{k}-1}-\frac{1}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\right) \\ +& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt[n]{k} \cdot(n+k)} \geq n \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n+k-1}-\frac{1}{n+k}\right)=n \cdot\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n}\right)=\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_77bcf1cfee3c75aa2ccfg-1.jpg?height=111&width=1531&top_left_y=1732&top_left_x=177) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_77bcf1cfee3c75aa2ccfg-1.jpg?height=129&width=1384&top_left_y=1840&top_left_x=336) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_77bcf1cfee3c75aa2ccfg-1.jpg?height=66&width=1454&top_left_y=1960&top_left_x=221) + +Punem $z_{3}=-z_{1}-z_{2}$, obţinem: $16 z_{1}^{2}+9 z_{2}^{2}=0$. ................................... $2 \mathrm{p}$. + +4. a) Ecuaţia $\sqrt{x}+3 x=4 x^{2}$, are cel mult 2 soluţii, membrul stâng fiind o funcţie concavă, iar membrul drept o funcţie strict convexă. ....................... $1 \mathrm{p}$ Obţinem soluţiile: $x_{1}=0$ şi $x_{2}=1$. .................................................. $1 \mathrm{p}$. + +b) Injectivitate ............................................................................ $2 \mathrm{p}$ + +Surjectivitate ............................................................................... $1 \mathrm{p}$. + +c) Considerand funcţia bijectivă $h:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), h(x)=4 x^{2}$, relaţia dată devine: + +$$ +g \circ f=h +$$ + +Atunci $f=g^{-1} \circ h$, este bijecţie ca o compusă a două bijecţii. $1 \mathrm{p}$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013
CLASA a $\mathrm{X}-\mathbf{a}$ + +1. Considerăm numerele reale $a, b, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(0,1)$ astfel încât $b^{n}=x_{1} \cdot x_{2} \cdots \cdots x_{n}$. Să se arate că $\left(\log _{a} b\right)^{n} \geq \log _{a} x_{1} \cdot \log _{a} x_{2} \cdots \cdots \log _{a} x_{n}$. G.M. $11 / 2012$ +2. a) Să se arate că $\frac{1}{\sqrt[n]{\mathrm{k}}} \geq \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}-1}, \quad \forall n, k \in \mathbb{N}^{*}, \mathrm{n} \geq 2$. + +b) Să se demonstreze că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ avem că: + +$$ +\frac{1}{n+1}+\frac{1}{\sqrt[n]{2} \cdot(n+2)}+\frac{1}{\sqrt[n]{3} \cdot(n+3)}+\ldots+\frac{1}{\sqrt[n]{n} \cdot(n+n)} \geq \frac{1}{2} +$$ + +Mastan Eliza, Longaver Ludovic + +3. Se consideră numerele complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ având proprietățile $\left|z_{1}\right|=3,\left|z_{2}\right|=4,\left|z_{3}\right|=5$ şi $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$. + +a) Să se calculeze $\frac{9}{z_{1}}+\frac{16}{z_{2}}+\frac{25}{z_{3}}$. + +b) Să se calculeze $16 z_{1}^{2}+9 z_{2}^{2}$. + +4. Se consideră funcţia $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ care verifică relaţia + +$$ +\sqrt{f(x)}+3 \cdot f(x)=4 x^{2}, \forall x \geq 0 +$$ + +a) Să se rezolve ecuaţia $\sqrt{x}+3 x=4 x^{2}$. + +b) Să se arate că funcţia $g:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), g(x)=\sqrt{x}+3 x$ este bijectivă. + +c) Să se arate că funcţia $f$ este bijectivă. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Longaver Ludovic, Liceul Teoretic „Nemeth Laszlo”, Baia Mare. prof. Muşuroia Nicolae, Colegiul Naţional „Gheorghe Șincai”, Baia Mare. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1405-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1405-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..747f835b112a4da59ba99824b74d87063e50a911 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1405-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,157 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ Etapa locală - 9 februarie 2013
CLASA a VIII- a
Barem de corectare + +## Subiectul 1. + +a ) Fie a şi $b$ două numere naturale. Ştiind că mulţimea $(a, b) \cap N$ conţine un singur element arătaţi că $\sqrt{a \cdot b+1}$ este un număr raţional. + +b) Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi c trei numere naturale nenule. Ştiind că $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \cap N$ conţine 5 elemente şi că $(\mathrm{c}, \mathrm{b}) \cap \mathrm{N}$ conţine 3 elemente. Arătaţi ca $\sqrt{a^{b}+a^{c}}$ este iraţional. +a) $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \cap \mathrm{N}$ conţine un singur element $\Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{a}+2$ + +Atunci $\sqrt{a \cdot b+1}=\sqrt{a \cdot(a+2)+1}=\sqrt{(a+1)^{2}}=|a+1|$ +b) $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \cap \mathrm{N}$ conţine 5 elemente $\Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{a}+6$, iar $(\mathrm{c}, \mathrm{b}) \cap \mathrm{N}$ conţine 3 elemente $\Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{c}+4, \mathrm{c}=\mathrm{a}+2 \ldots$ + +$\sqrt{a^{b}+a^{c}}=\sqrt{a^{a+2}+a^{a+6}}=\sqrt{a^{a+2}\left(1+a^{4}\right)}$ + +Pentru $\mathrm{a}=1 \Rightarrow \sqrt{a^{b}+a^{c}}=\sqrt{2}$ + +Pentru $\mathrm{a} \geq 2 \Rightarrow \sqrt{a^{b}+a^{c}}=\sqrt{a^{a+2}+a^{a+6}}=\sqrt{a^{a-2} \cdot a^{4}\left(1+a^{4}\right)}$ + +$a^{4}\left(1+a^{4}\right)$ produs de două numere consecutive $\Rightarrow \sqrt{a^{b}+a^{c}}$ iraţional + +## Subiectul 2. + +a) Dacă $x, y>0$, să se arate că $\frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$. + +b) Dacă $a, b, c>0$, să se arate că: + +$$ +\frac{1}{(a+b)^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}+(b+a)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}+(c+b)^{2}} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right) +$$ + +a) Avem + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{x+y}{2} \geq \frac{2 x y}{x+y}\left(m_{a} \geq m_{h}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ +& \frac{2}{x+y} \leq \frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 y} \Leftrightarrow \frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\end{aligned} +$$ + +b) Din a) avem $\frac{4}{(a+b)^{2}+(a+c)^{2}} \leq \frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}$ (şi analoagele) + +Prin însumare se obţine: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{4}{(a+b)^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{4}{(b+c)^{2}+(b+a)^{2}}+\frac{4}{(c+a)^{2}+(c+b)^{2}} \leq 2\left[\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\right] \\ +& \operatorname{Dar} \sum \frac{1}{(a+b)^{2}} \leq \sum \frac{1}{4 a b}\left(\frac{1}{(a+b)^{2}} \leq \frac{1}{4 a b} \operatorname{din} a\right) \\ +& \frac{1}{(a+b)^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}+(b+a)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}+(c+b)^{2}} \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \cdots +\end{aligned} +$$ + +$$ +\frac{1}{a b} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)\left(m_{a} \geq m_{g}\right) \text { şi analoagele, finalizare. } +$$ + +## Subiectul 3. + +Fie $\mathrm{ABCD}$ un romb cu $A B=6 \mathrm{~cm}$ şi $m(\hat{A})=45^{\circ}$. În punctul $\mathrm{O}$, centrul cercului circumscris triunghiului $\mathrm{ABD}$, se ridică perpendiculara $\mathrm{OM}$ pe planul rombului, $O M=4 \mathrm{~cm}$. Aflaţi: + +a) Distanţa de la punctul O la planul (MBC). + +b) Cosinusul unghiului dintre planele (MBC) şi (ABC). + +a) Fie d mediatoarea laturii (AD), iar $\{O\}=d \cap A C$ centrul cercului circumscris + +triunghiului $\mathrm{ABD},\{N\}=d \cap A D,\{P\}=d \cap B C,\{R\}=d \cap A B$. + +Figura geometrică. + +Justificarea $M P \perp B C, d(O,(M B C))=O Q$ + +$\triangle A N R$ dreptunghic şi isoscel, $A N=N R=3, A R=3 \sqrt{2} ; \triangle B P R$ dreptunghic şi isoscel, $R B=A B-A R=3(2-\sqrt{2}), R P=P B=3(\sqrt{2}-1)$ + +$\triangle A O N \sim \triangle C O P \Rightarrow \frac{N O}{O P}=\frac{A N}{C P} \Leftrightarrow \frac{N O}{O P}=\frac{1}{1+\sqrt{2}} \Leftrightarrow O P=3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +$\triangle M O P$ dreptunghic, $M P=5, O Q=\frac{O M \cdot O P}{M P}=\frac{12}{5}$ + +$\mathbf{1 p}$ + +b) Unghiul dintre planele (MBC) şi (ABC) este $\angle O P M$ (justificare) + +$$ +\cos (\angle O P M)=\frac{3}{5} +$$ + +## Subiectul 4. + +Fie $A B C A$ ' $B^{\prime} C^{\prime}$ o prismă triunghiulară regulată dreaptă, $\mathrm{cu} \mathrm{AB}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \mathrm{AA}$ ' $=12 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{P}$ un punct pe CC'. + +a) Determinati poziţia punctului $\mathrm{P}$ pe $\mathrm{CC}$ ' ştiind că aria triunghiului $\mathrm{PAB}$ este $12 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}$ + +b) Determinaţi sinusul unghiului dintre $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{M}$ unde $\mathrm{M}$ este mijlocul lui $\mathrm{AB}$. + +a) figura $1 p$ + +Ducem $\mathrm{CM} \perp \mathrm{AB} \Rightarrow$ conform teoremei celor trei perpendiculare $\mathrm{PM} \perp \mathrm{AB} \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \quad 1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e86eea26c228d6427eag-2.jpg?height=109&width=1517&top_left_y=1847&top_left_x=338) + +b) Ducem $\mathrm{MQ} \perp \mathrm{AC}$ şi cum $\mathrm{AA}^{`} \perp(\mathrm{ABC}) \Rightarrow \mathrm{AA}^{`} \perp \mathrm{MQ} \Rightarrow \mathrm{MQ} \perp\left(\mathrm{ACC}^{\prime}\right)$ + +Ducem $\mathrm{QT} \perp \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Confrom teoremei celor trei perpendiculare avem că $\mathrm{MT} \perp \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e86eea26c228d6427eag-2.jpg?height=120&width=1520&top_left_y=2036&top_left_x=336) + +$M T=3 \sqrt{17} C^{\prime} M=6 \sqrt{5}$ + +$\sin ( CLASA a VIII- a + +1. a) Fie $a$ şi $b$ două numere naturale. Ştiind că mulţimea $(a, b) \cap \mathbb{N}$ conţine un singur element arătaţi că $\sqrt{a \cdot b+1}$ este un număr raţional. + +b) Fie $a, b$ şi $c$ trei numere naturale nenule. Ştiind că mulțimea $(a, b) \cap \mathbb{N}$ conţine 5 elemente şi că mulțimea $(c, b) \cap \mathbb{N}$ conţine 3 elemente. Arătaţi ca $\sqrt{a^{b}+a^{c}}$ este iraţional. + +prof. Zetea Bogdan + +2. a) Dacă $x, y>0$, să se arate că $\frac{4}{x+y} \leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$. + +b) Dacă $a, b, c>0$, să se arate că: + +$$ +\frac{1}{(a+b)^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}+(b+a)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}+(c+b)^{2}} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right) +$$ + +GM. 11/2012 + +3. Fie $A B C D$ un romb cu $A B=6 \mathrm{~cm}$ şi $m(\hat{A})=45^{\circ}$. În punctul $O$, centrul cercului circumscris triunghiului $A B D$, se ridică perpendiculara $O M$ pe planul rombului, $O M=4 \mathrm{~cm}$. Aflaţi: + +a) Distanţa de la punctul $O$ la planul $(M B C)$. + +b) Cosinusul unghiului dintre planele $(M B C)$ şi $(A B C)$. + +prof. Marinela Mihali + +4. Fie $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ o prisma triunghiulară regulată dreaptă, cu $A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ $A A^{\prime}=12 \mathrm{~cm}$ şi $P$ un punct pe $C C^{\prime}$. + +a) Determinaţi poziţia punctului $P$ pe $C C^{\prime}$ ştiind că aria triunghiului $P A B$ este $12 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Determinaţi sinusul unghiului dintre $A C$ şi $C^{\prime} M$ unde $M$ este mijlocul lui $A B$. + +prof. Zetea Bogdan + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de: + +prof. Marinela Mihali, Liceul Borşa. + +prof. Bogdan Zetea, Şcoala Gimnazială ,George Coşbuc", Sighetu Marmaţiei + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1406-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1406-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc9e34359caf940408f27f086f9a48f4ca927770 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1406-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,84 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 9 februarie 2013 + +## CLASA a VII- a
BAREM DE CORECTARE + +1. a) numitor comun $(k-1) \cdot k \cdot(k+1)$ ..... $1 p$, +finalizare ..... $2 \mathrm{p}$. +b) +$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1) \cdot(n+2)}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3}-\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}-\frac{1}{(n+1) \cdot(n+2)}\right)$ ..... $2 \mathrm{p}$, +$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1) \cdot(n+2)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{101 \cdot 102}\right)$ ..... $1 \mathrm{p}$, +$n=100$ ..... $1 p$. +2. a) $U_{c}\left(8^{n}\right) \in\{8,4,2,6\}$ ..... $1 \mathrm{p}$, +$U_{s}\left(7^{m}\right) \in\{7,9,3,1\}$. ..... $1 p$. +b) a: $5=>U_{c}(a) \in\{0,5\}$ demonstrăm că $U_{c}(b) \in\{0,5\}$, +1) dacă $n=4 k+1$, atunci $m=4 l+1=>U_{c}(a)=5=>U_{c}(b)=5$, adică $b$ : 5 . ..... $1 p$, +2) daca $n=4 k+2$,atuncl $m=4 l=>U_{c}(a)=5=>U_{c}(b)=5$, adical $b: 5$. ..... $1 \mathrm{p}$, +3) dacă $n=4 k+3$, atunci $m=4 l+3=>U_{c}(a)=5=>U_{c}(b)=5$, adică $b: 5$. ..... $1 p$, +4) dacă $n=4 k$, atunci $m=4 l+2=>U_{c}(a)=5=>U_{c}(b)=5$, adica $b: 5$. ..... $.1 \mathrm{p}$, +Analog, $U_{c}(b) \in\{0,5\}=>U_{c}(a) \in\{0,5\}$ ..... $1 p$. +3. Desen ..... $1 \mathrm{p}$, +a) $m(\& B O E)=m(\Varangle C O F)=90^{\circ}-m(\& E O C)$. ..... $.1 p$, +$m(\varangle E B O)=m(\varangle O C F),[O B] \equiv[O C] \stackrel{U, L U}{\Longrightarrow} \triangle O B E \equiv \triangle O C F$. ..... $1 p$, +$[O E] \equiv[O F]$ ..... $1 p$, +b) Construim $O M \perp B C$ ..... $1 p$, +$\triangle O M F$ dreptunghic, $m(\triangle F)=30^{\circ} \stackrel{T * * 30^{\circ}}{\Longrightarrow} O M=\frac{O F}{2}$. ..... $1 \mathrm{p}$, +$O M=\frac{A B}{2}=>O F=A B$, dar $O F=O E=>(O E) \equiv(A B)$ ..... $1 \mathrm{p}$, +4. Desen $1 p$ +a) $D M=\frac{D C}{2}$ ..... $1 \mathrm{p}$, +$D C=A B, D C \| A B=D M$ este linie mijlocie î $\triangle N A B$ ..... $1 \mathrm{p}$, +b) $D N \| B C, D N=B C(\triangle D M N \equiv \triangle B M C)=>B D N C$ paralelogram ..... $1 \mathrm{p}$, +$C D \| B P, D C=B P(\triangle B C D \equiv \triangle D A B \equiv \triangle C B P)=>B P C D$ paralelogram ..... $1 \mathrm{p}$, +c) În $\triangle N A P, A C$ şi $N B$ sunt mediane $\Rightarrow T$ este centrul de greutate al triunghiului. ..... $1 \mathrm{p}$, +$D$ este mijlocul laturii $[N A]=>P D$ este mediană, deci $D, T, P$ sunt coliniare. ..... $1 \mathbf{1 p}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ Etapa locală - 9 februarie 2013
CLASA a VII- a + +1. a) Arătaţi că: + +$$ +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k \cdot(k+1)}-\frac{1}{(k+1) \cdot(k+2)}\right)=\frac{1}{k \cdot(k+1) \cdot(k+2)}, \forall k \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +b) Aflaţi numărul natural nenul $n$ astfel încât: + +$$ +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{n \cdot(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{101 \cdot 102}\right) +$$ + +2. Fie $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ și definim numerele $a=8^{n}+7^{m}$ și $b=8^{m}+7^{n}$. + +a) Aflaţi ultima cifră a numerelor $8^{n}$ şi $7^{m}, m, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se arate că numărul $a$ se divide cu 5 dacă şi numai dacă numărul $b$ se divide cu 5. + +3. Se consideră pătratul $A B C D$ de centru $O$. Pe dreapta $A B$ se consideră un punct $E$ astfel încât $B \in(A E)$ și $m(\Varangle O E B)=30^{\circ}$. Perpendiculara în $O$ pe $O E$ intersectează dreapta $B C$ în $F$. Arătaţi că: + +a) Triunghiul $E O F$ este isoscel. +b) $(O E) \equiv(A B)$. + +4. În paralelogramul $A B C D, M$ este mijlocul laturii $D C, B M \cap A D=\{N\}$, $C N \cap A B=\{P\}$ iar $B M \cap A C=\{T\}$. Arătaţi că: + +a) Segmentul $[D M]$ este linie mijlocie în $\triangle N A B$. + +b) patrulaterele $B D N C$ şi $B D C P$ sunt paralelograme. + +c) punctele $D, T, P$ sunt coliniare. + +Prelucrare, S.G.M. 11/2012 + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Gheorghe Sfara, Colegiul Naţional „Vasile Lucaciu", Baia Mare. + +prof. Nadina Neaga, Şcoala Gimnazială „Dr. Victor Babeş”, Baia Mare. + +## SUCCES! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1407-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1407-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..816226aa8a06d0422ae59cf0ac58405e8535c325 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1407-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,103 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 9 februarie 2013
CLASA a VI- a
BAREM + +Problema 1. a) Fie numerele $x, y, z$ şi $t \in \mathbb{N}$ care îndeplinesc condiţia : + +$7 x+5 y-2 z-2 t=0$. Să se arate că numărul $n=(11 x+9 y) \cdot(z+t-x)$ este divizibil cu 10 . + +Soluţie. Din relaţia dată avem că : $7 x+5 y=2(z+t) \Rightarrow(7 x+5 y): 2$ + +Dar $4 x+4 y=4(x+y) \vdots 2$, şi atunci adunând obtinem $(11 x+9 y) \vdots 2 \Rightarrow n \vdots 2 \ldots$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Din nou $2 x+5 x+5 y-2 z-2 t=0 \Rightarrow 5(x+y)=2(z+t-x) \Rightarrow 2(z+t-x): 5 \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6b23f7230df04ff03783g-1.jpg?height=60&width=1699&top_left_y=1092&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6b23f7230df04ff03783g-1.jpg?height=63&width=1714&top_left_y=1168&top_left_x=228) + +b) Să se arate că fracţia : + +$\frac{n^{2}+3}{2 n^{4}+7 n^{2}+4}$, este ireductibilă, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$ + +Soluţie. Arăăam că $\left(n^{2}+3,2 n^{4}+7 n^{2}+4\right)=1$. Fie $d$ un divizor comun al celor două numere. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6b23f7230df04ff03783g-1.jpg?height=120&width=1811&top_left_y=1573&top_left_x=151) +Înmultim primul număr cu $2 n^{2}$ şi avem că : $\left\{\begin{array}{c}d \mid 2 n^{4}+6 n^{2} \\ d \mid 2 n^{4}+7 n^{2}+4\end{array}\right.$ si prin diferenţă avem că $d l n^{2}+4 \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +Din nou $\left\{\begin{array}{l}d \mid n^{2}+4 \\ d \mid n^{2}+3\end{array}\right.$ si prin diferenţă obţinem că $d \mid 1 \Rightarrow d=1$, de unde fracţia este ireductibilă. ...............1p + +Problema 2. a) Punctul $C$ este mijlocul segmentului $(A B), D$ este mijlocul lui $(B C), E$ este mijlocul lui $(C D), \operatorname{iar} F$ este un punct situat pe semidreapta ( $E B$ astfel încât $(E B) \equiv(B F)$. Dacă $E B=3 \mathrm{~cm}$ calculaţi $A F$. + +Soluţie. Se poate nota $E D=x$ şi avem succesiv că $C D=B D=2 x$ şi $E B=B F=3 x$. Cum $E B=3$ $\mathrm{cm}$ avem că $x=1 \mathrm{~cm}$ $.1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6b23f7230df04ff03783g-1.jpg?height=66&width=1719&top_left_y=2423&top_left_x=228) + +Atunci $A F=4 \mathrm{~cm}+2 \mathrm{~cm}+2 \mathrm{~cm}+3 \mathrm{~cm}=11 \mathrm{~cm}$ $1 \mathrm{p}$ +b) Se consideră două unghiuri adiacente $\angle A O B$ şi $\angle B O C$ de măsuri $108^{\circ}$, respectiv $68^{\circ}$. Semidreptele [ $O M,[O N,[O P$ sunt bisectoarele unghiurilor $\angle A O B, \angle B O C$, respectiv $\angle M O N$. Pe semidreapta opusă lui [ $O P$ se consideră punctul $D$, iar în interiorul unghiului $\angle A O D$ alegem punctul $E$ astfel încât $m(\angle E O D)=10^{\circ}$. Arătaţi că punctele $B, O, E$ sunt coliniare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6b23f7230df04ff03783g-2.jpg?height=68&width=1714&top_left_y=523&top_left_x=228)$\qquad$ $\qquad$ +Dar $P, O, D$ sunt coliniare şi $\angle B O P \equiv E O D \Rightarrow B, O, E$ coliniare. .................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Problema 3. Se consideră pe un cerc 100 de puncte, iar în fiecare punct se scrie la întâmplare câte un număr natural de la 1 la 100. Este posibil ca suma oricăror 4 numere scrise în 4 puncte consecutive de pe cerc să fie mai mică decat 203 ? Justificaţi răspunsul ! + +Solutie. Notăm cele 100 de numere naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100}$ eventual în altă ordine, corespunzătoare celor 100 de puncte de pe cerc. + +Presupunem că suma oricăror 4 numere aflate în 4 puncte consecutive de pe cerc au suma mai mică decât 203 $1 \mathrm{p}$ + +Atunci au loc relaţiile : + +$$ +\left\{\begin{array}{c} +a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \leq 202 \\ +a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \leq 202 \\ +a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6} \leq 202 \\ +a_{99}+a_{100}+a_{1}+a_{2} \leq 202 \\ +a_{100}+a_{1}+a_{2}+a_{3} \leq 202 +\end{array}\right. +$$ + +Adunând cele 100 de relaţii obţinem că + +$4\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}\right) \leq 20200 \Rightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100} \leq 5050$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Dar suma $1+2+3+\cdots+100=5050$ $1 \mathrm{p}$ + +Atunci în cele 100 de relaţii trebuie să avem egalitate, fiecare fiind egală cu 202. $1 \mathrm{p}$ + +Cum $\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \Rightarrow a_{1}=a_{5}$, ceea ce contrazice faptul că numerele sunt distincte. $1 \mathrm{p}$ + +În concluzie cerinţa problemei nu poate fi îndeplinită. $.1 \mathrm{p}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 9 februarie 2013 + +## CLASA a VI- a + +1. a) Fie numerele $x, y, z, t \in \mathbb{N}$ care îndeplinesc condiţia : + +$7 x+5 y-2 z-2 t=0$. Să se arate că numărul $n=(11 x+9 y) \cdot(z+t-x)$ este divizibil cu 10 . + +b) Să se arate că fracția $\frac{n^{2}+3}{2 n^{4}+7 n^{2}+4}$ este ireductibilă $\forall n \in \mathbb{N}$. + +2. a) Punctul $C$ este mijlocul segmentului $(A B), D$ este mijlocul lui $(B C)$, $E$ este mijlocul lui $(C D)$, iar $F$ este un punct situat pe semidreapta ( $E B$ astfel încât $(E B) \equiv(B F)$. Dacă $E B=3 \mathrm{~cm}$ calculaţi lungimea segmentului $(A F)$. + +b) Se consideră două unghiuri adiacente $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$ de măsuri $108^{\circ}$, respectiv $68^{\circ}$. Semidreptele $[O M,[O N,[O P$ sunt bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O B, \Varangle B O C$ respectiv $\Varangle M O N$. Pe semidreapta opusă lui $[O P$ se consideră punctul $D$, iar în interiorul unghiului $\Varangle A O D$ alegem punctul $E$ astfel încât $m(\nless E O D)=10^{\circ}$. Arătaţi că punctele $B, O, E$ sunt coliniare. + +3. Se consideră pe un cerc 100 de puncte, iar în fiecare punct se scrie la întâmplare câte un număr natural de la 1 la 100. Este posibil ca suma oricăror 4 numere scrise în 4 puncte consecutive de pe cerc să fie mai mică decât 203 ? Justificaţi răspunsul! + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Andrei Bretan, Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga“, Baia Mare. + +prof. Cosmin Pop, Şcoala Gimnazială „George Coşbuc“, Baia Mare. + +## SUCCES + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1408-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1408-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b86c91979f3b24d7602ae8010afb56dcd66458ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1408-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,114 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ- Etapa locală - 9 februarie 2013 BAREM - CLASA a V-a + +1 Fie numărul $a=\left(1+2+2^{2}\right)^{14}: 49^{5}-(1+2+3+\ldots+96): 12$ + +a) Arătaţi că $a \leq 2013$. + +b) Verificaţi dacă numărul $T=a^{2}+a^{3}+a^{4}+\ldots+a^{2012}+a^{2013}$ este multiplu al lui 10 . +a) $1+2+2^{2}=7$ + +$1+2+3+\ldots+96=4656$ + +$49^{5}=7^{10}$ $0,5 \mathrm{p}$ + +$\left(1+2+2^{2}\right)^{14}: 49^{5}=7^{4}$ + +$(1+2+3+\ldots+96): 12=388$ + +$7^{4}=2401$ + +$a=2013 \geq 2013$ +b) $u(T)=u\left(3^{2}+3^{3}+3^{4}+\ldots+3^{2012}+3^{2013}\right)$ + +T are 2012, termeni, 2012 $\vdots$, + +2 Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere, din cele opt, se obţin rezultatele $42,47,50,52,54,55,56,57$. Determinaţi cele opt numere. + +## METODA ALGEBRICĂ + +Notează numerele $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \ldots, \mathrm{h}$ (şi suma $\mathrm{S}$ ) $1 \mathrm{p}$ + +$1,5 \mathrm{p}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$2 \mathrm{p}$ $S-a=42, S-b=47, \ldots, S-h=42 \quad 1,5 \mathrm{p} \quad$ de 7 ori suma $=59 \quad 2 \mathrm{p}$ + +## METODA FIGURATIVĂ + +Figura + +$2 \mathrm{p}$ + +$8 S-S=413$ sau $8 S=S+413$ + +$S=59$ + +Numerele sunt $17 ; 12 ; 9 ; 7 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2$ suma este 59 + +Numerele sunt $17 ; 12 ; 9 ; 7 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2$ $1 \mathrm{p}$ + +$2 \mathrm{p}$ a) Determinaţi numerele naturale de forma $\overline{a b c d}$ care împărţite la $\overline{b c d}$ dau câtul 3 şi restul $\overline{b c d}-368$. + +TIR: $\overline{a b c d}=3 \overline{b c d}+\overline{b c d}-368$ + +$\overline{a b c d}=4 \overline{b c d}-368$ + +$\overline{a 000}=3 \overline{b c d}-368$ $0,5 \mathrm{p}$ + +$a \in\{1 ; 2\}$ $0,5 \mathrm{p}$ + +$a=1$ $0,5 \mathrm{p}$ + +Finalizare: $\overline{a b c d}=1476$ $0,5 \mathrm{p}$ + +b) Aflaţi câte numere patru cifre sunt divizibile cu 18 sau cu 45 . $3 \mathrm{p}$ + +Numerele divizibile cu 18 sunt $1008=18 \cdot 56,1026=18 \cdot 57, \ldots, 9990=18 \cdot 555 \quad 0,5 \mathrm{p}$ + +Numerele divizibile cu 45 sunt $1035=45 \cdot 26,1080=45 \cdot 27, \ldots, 9990=45 \cdot 255 \quad 0,5 \mathrm{p}$ + +Numerele divizibile cu 18 şi 45 sunt $1080=90 \cdot 12,1170=90 \cdot 13, \ldots, 9990=90 \cdot 111 \quad 0,5 \mathrm{p}$ + +Sunt 500 divizibile cu 18, 200 divizibile cu 45 şi 100 divizibile cu $90 \quad 1 \mathrm{p}$ + +Finalizare: 600 numere + +$0,5 \mathrm{p}$ + +Se acordă punctaje corespunzătoare pentru alte variante corecte de rezolvare. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA a $V-\mathbf{a}$ + +1. Fie numărul $a=\left(1+2+2^{2}\right)^{14}: 49^{5}-(1+2+3+\ldots+96): 12$. + +a) Arătaţi că $a \leq 2013$. + +b) Verificaţi dacă numărul $T=a^{2}+a^{3}+a^{4}+\ldots+a^{2012}+a^{2013}$ este multiplu al lui 10 . + +## Iulian Bunu + +2. Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere, din cele opt, se obţin rezultatele $42,47,50,52,54,55,56,57$. Determinaţi cele opt numere. + +G.M. $12 / 2012$ + +3. a) Determinaţi numerele naturale de forma $\overline{a b c d}$ care împărţite la $\overline{b c d}$ dau câtul 3 şi restul $\overline{b c d}-368$. + +prelucrare din GM 10 /2012 -Vasile Ienuţaş + +b) Aflaţi câte numere de patru cifre sunt divizibile cu 18 sau cu 45 . + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Vasile Ienuţaş, Şcoala Gimnazială " George Coşbuc", Baia Mare. prof. Iulian Bunu, Liceul de Arte, Baia Mare. + +## SUCCES! + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1409-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1409-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8af1ceb30408ec5501234127588a0f2cc20b93b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1409-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.md" @@ -0,0 +1,98 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 9 februarie 2013
CLASA a IX- a + +## BAREM + +1.a) Pentru $x=y=z=1 \Rightarrow m \geq 3$ + +Demonstreaza ca $m=3$ convine,deci $m=3$ e numarul cautat +b) $\operatorname{Cum}(x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \Rightarrow(5-t)^{2} \leq 3\left(43-t^{2}\right)$, + +deci $4 t^{2}-10 t-104 \leq 0 \Leftrightarrow t \in\left[-4, \frac{13}{2}\right]$ si $t$ este minim,vom verifica daca $t=-4$ ne convine.(1p) Pentru $t=-4$ avem ca $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3(x+y+z)=27$, de unde $x=y=z=3$ este unica solutie Asadar,solutia problemei este data de $x=y=z=3, t=-4$. + +2. a) Avem ca $a_{n+2}=(n+4)(n+6)(n+8) \cdot \ldots \cdot 3 n(3 n+2)(3 n+4)(3 n+6)=$ + +$a_{n+2}=\frac{a_{n}}{n+2} \cdot(3 n+2)(3 n+4)(3 n+6)=3 a_{n}(3 n+2)(3 n+4)$ + +de unde se obtine concluzia. + +b) Vom folosi metoda inductiei matematice.Avem: + +$a_{1}=3 \vdots 3, a_{2}=4 \cdot 6 \vdots 3, a_{3}=5 \cdot 7 \cdot 9 \vdots 3^{2}, a_{4}=6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \vdots 3^{2}$. + +Presupunem ca $a_{2 k-1} \vdots 3^{k}$ si $a_{2 k} \vdots 3^{k}, k \in \mathbb{N}^{*}$. Atunci rezulta ca: + +$a_{2 k+1}=3 a_{2 k-1} \cdot(6 k-1)(6 k+1) \vdots 3^{k+1}$ si $a_{2 k+2}=3 a_{2 k} \cdot(6 k+2)(6 k+4) \vdots 3^{k+1}$. + +Finalizare. + +(1p) + +3.a) Scrie teorema bisectoarei + +Deduce relatia ceruta + +b) " $\Leftarrow$ " Din $\triangle A B C$ echilateral $\Rightarrow \overrightarrow{A A^{\prime}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ si analoagele. + +Stabileste relatia ceruta + +$$ +\begin{aligned} +& " \Rightarrow \text { "Relatia } \sum \overrightarrow{A A}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \sum \frac{b \overrightarrow{A B}+c \overrightarrow{A C}}{b+c}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \sum\left(\frac{b}{b+c}-\frac{a}{a+c}\right) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0} \\ +& \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-1\right)+\overrightarrow{A C}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}-1\right)=\overrightarrow{0} +\end{aligned} +$$ + +$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-1=0 \\ \frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}-1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b^{2}=a c \\ c^{2}=a b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b^{3}=a b c \\ c^{3}=a b c\end{array} \Rightarrow b=c, b=a \Rightarrow \triangle A B C\right.\right.\right.$ echilateral + +4. Avem $a^{2}-2 b=a^{2}-\frac{a^{2}-c^{2}}{2}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2}=$ + +$=\frac{(a+c)^{2}+(a-c)^{2}}{4}=$ + +$=\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a-c}{2}\right)^{2}$ + +(1p) + +Din $a^{2}=c^{2}+4 b \Rightarrow$ a si $\mathrm{c}$ au aceeasi paritate + +(1p) + +Atunci $\frac{a+c}{2}, \frac{a-c}{2} \in \mathbb{Z}$ si folosind (*) se obtine concluzia. + +(1p) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală -9 februarie 2013 + +## CLASA a IX- a + +1. a) Să se determine cel mai mic numar real $m$ știind că $(x+y+z)^{2} \leq m\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$. + +b) Să se determine numerele reale $x, y, z, t$ știind că $x+y+z+t=5$ și $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=43$, iar $t$ este minim. + +Gheorghe Boroica + +2. Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{n}=(n+2) \cdot(n+4) \cdot(n+6) \cdot \ldots \cdot 3 n$. + +a) Să se arate ca $a_{n}$ divide pe $a_{n+2}$, pentru $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se arate că $3^{\left[\frac{n+1}{2}\right]}$ divide pe $a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +3. Fie triunghiul $A B C$ și $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ picioarele bisectoarelor din $A, B$ respectiv $C$. + +a) Să se arate că $\overrightarrow{A A^{\prime}}=\frac{b \overrightarrow{A B}+c \overrightarrow{A C}}{b+c}$, unde $b=A C, c=A B$. + +b) Să se arate că $\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \triangle A B C$ este echilateral . + +4. Fie $a, b, c$ numere întregi, cu $a^{2}-4 b=c^{2}$. Să se arate că numărul $a^{2}-2 b$ se scrie ca sumă de două pătrate perfecte . + +G.M $9 / 2012$ + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Boroica Gheorghe, Colegiul Naţional „Gheorghe Sincai”, Baia Mare. prof. Zlampareț Horia, Colegiul Naţional „Vasile Lucaciu”, Baia Mare. + +## SUCCES! + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-141-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-141-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8b22104b43ef7ecc2a8bc5fcde8eebbd5a0c1179 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-141-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,66 @@ +# Olimpiada de Matematică - Etapa Locală
Maramureş - 28 februarie 2016
Clasa a VII - a + +1. a) Să se arate că $\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n-1)}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ +2. b) Să se demonstreze că: $\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots+\frac{1}{2016^{2}}<1$. +3. a) Determinați valorile întregi ale lui $n$ pentru care $\frac{n-3}{n-2} \in \mathbb{Z}$. + +b) Determinați numerele raționale $x$ pentru care $\frac{3 x+1}{2 x+1}$ și $\frac{3 x+2}{x+1}$ sunt simultan numere întregi. + +(G.M. 11/2015) + +3. a) Se dă un triunghi oarecare $A B C$ și $M N$ linie mijlocie ( $M \in A B, N \in A C$ ). Ducem perpendiculare din $M$ și $N$ pe latura $B C$ care intersectează latura $B C$ în punctele $D$ respectiv $E$. Știind că $M N E D$ este un pătrat cu perimetrul $8 \mathrm{~cm}$ aflați cât la sută reprezintă aria pătratului $M N E D$ din aria triunghiului $A B C$ ? + +b) Fie dreptunghiul $A B C D$ și punctele $E \in(B C), F \in(D C)$ astfel încât $m(1$. + +## SUBIECTUL II + +Fie $a, b$ numere reale astfel încât $00, \forall x \Rightarrow c>\frac{1}{4}$ + +(2pct)Din $F(x) F(1-x)=x^{2}-x+c$, prin inmultire cu $f(x)$ avem $\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-x+c}$; + +$$ +\begin{aligned} +& \text { adica } \frac{F^{\prime}(x)}{F(x)}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-x+c} \text { deci } \\ +& \ln F(x)=\ldots=x+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}-x+c\right)+\frac{3-2 c}{\sqrt{4 c-1}} \operatorname{arctg} \frac{2 x-1}{\sqrt{4 c-1}}+l, l \in R(3 \mathrm{pct}) \\ +& F(x)=k e^{x} \sqrt{x^{2}-x+c} \cdot e^{\frac{3-2 c}{\sqrt{4 c-1}} \operatorname{arctg} \frac{2 x-1}{\sqrt{4 c-1}}}, k=e^{l}(2 \mathrm{pct}) +\end{aligned} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1411-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1411-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f0f6aa480b396092d1207a72afa7f8bc36e0357 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1411-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,81 @@ +# CLASA A XI-A + +1. $\mathrm{Cu}$ notațiile obişnuite într-un triunghi $A B C$, arătați că: + +$$ +\left|\begin{array}{ccc} +-a & a-2 c \cos B & a \\ +b & -b & b-2 a \cos C \\ +c-2 b \cos A & c & -c +\end{array}\right|=0 +$$ + +Benedict G. Niculescu, Bucureşti + +Supliment Gazeta Matematică, nr.11/2012 + +2. Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$. + +a) Arătați că pentru orice $n$ natural nenul există $x_{n}, y_{n} \in Z$ astfel încât $A^{n}=x_{n} A+y_{n} I_{2}$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$. + +3. Se consideră şirurile $e_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ şi $f_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$, unde $n \in N^{*}$. + +a) Arătați că $\left(e_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător şi $\left(f_{n}\right)_{n \geq 1}$ strict descrescător. + +b) Ştiind că cele două şiruri au limita $e$, arătați că $\frac{1}{n+1}<\ln (n+1)-\ln (n)<\frac{1}{n}$, $\forall n \geq 1$. + +c) Studiați convergența şirului $c_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln (n)$. + +4. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[3]{a n^{3}+n^{2}+2 n+1}-\sqrt{4 n^{2}-n+2}$. Discuție după parametul real $a$. + +## BAREME + +## CLASA A XI-A + +## SUBIECTUL 1 + +Soluție: Din teorema cosinusului avem $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$, deci + +$c-2 b \cos A=c-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{c}=\frac{a^{2}-b^{2}}{c}$. + +Analog celelalte expresii şi determinantul devine $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}-a & \frac{b^{2}-c^{2}}{a} & a \\ b & -b & \frac{c^{2}-a^{2}}{b} \\ \frac{a^{2}-b^{2}}{c} & c & -c\end{array}\right|$ (2p) + +Se calculează determinantul şi se obține $\Delta=0$. + +(3p) + +SUBIECTUL 2 Soluție: a) Demonstrăm prin inducție după $n$ propoziția $\forall n \in N^{*}, p(n): \exists x_{n}, y_{n} \in Z . . a . i . . A^{n}=x_{n} A+y_{n} I_{2}$. + +Avem $p(1): \exists x_{1}, y_{1} \in Z . . a . i . . A=x_{1} A+y_{1} I_{2}$ adevarata pentru $x_{1}=1, y_{1}=0$ + +Din relația Cayley-Hamilton avem $A^{2}=4 A+5 I_{2}$. + +Presupunem $p(k)$ adevărată şi demonstrăm $p(k+1)$. Pentru aceasta calculăm $A^{k+1}=A^{k} \cdot A=\left(x_{k} A+y_{k} I_{2}\right) A=x_{k} A^{2}+y_{k} A=x_{k}\left(4 A+5 I_{2}\right)+y_{k} A=\left(4 x_{k}+y_{k}\right) A+5 x_{k} I_{2}$. Deci există $x_{k+1}=4 x_{k}+y_{k}, y_{k+1}=5 x_{k}$, ambele din Z, astfel îccât $p(k+1)$ adevărată. (2p) + +b) Înlocuind pe $y_{k}=5 x_{k-1}$ î prima recurență obținem $x_{k+1}=4 x_{k}+5 x_{k-1}$. Folosind ecuația ataşată deducem $x_{n}=\frac{5^{n}-(-1)^{n}}{6}, y_{n}=\frac{5^{n}+5(-1)^{n}}{6}$. Se deduce $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=1$. + +SUBIECTUL 3 Soluție: +a) + +Calculăm + +$\frac{e_{n+1}}{e_{n}}=\left(\frac{n^{2}+2 n}{n^{2}+2 n+1}\right)^{n} \cdot \frac{n+2}{n+1}=\left(1+\frac{-1}{n^{2}+2 n+1}\right)^{n} \cdot \frac{n+2}{n+1} \stackrel{\text { Berroulli }}{\geq}\left(1-\frac{n}{n^{2}+2 n+1}\right) \cdot \frac{n+2}{n+1}>1$, deci şirul $\left(e_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător. + +Analog se demonstrează că şirul $\left(f_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict descrescător + +b) Avem $e_{n}8 \\ -\infty, . . \text { daca.. } a<8 \\ \infty \cdot 0, . . \text { daca.. } a=8\end{array}\right.$ + +Pentru a=8 avem $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{8 n^{3}+n^{2}+2 n+1}-2 n\right)+\left(2 n-\sqrt{4 n^{2}-n+2}\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$, după ce amplificăm fiecare diferență cu conjugate. + +(3p) + +Notă: Fiecare subiect este notat cu 7 p. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1412-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1412-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec3925581beba1f4bb231effd5793252ec6889ad --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1412-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,61 @@ +# CLASA A X-A + +1. a) Să se demonstreze că $x^{3}-3 x+2 \geq 0$ pentru orice $x \geq-2$. + +b) Fie $a, b, c>1$. Să se arate că $\log _{a}\left(b^{2013}-2 b+2\right)+\log _{b}\left(c^{2013}-2 c+2\right)+\log _{c}\left(a^{2013}-2 a+2\right) \geq 3$. + +2. Se consideră mulțimea $A=\{z \in \square /|z|=1\}$. + +a) Să se arate că $\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{2013} \in A$. + +b) Să se arate că pentru orice $z_{1}, z_{2} \in A$ avem $z_{1} \cdot z_{2} \in A$. + +c) Să se determine $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in A$ astfel încât $z_{1}+z_{2}+z_{3}=3$. + +3. a) Fie $f: \square \rightarrow \square, f(n)=n+(-1)^{n}$. Să se arate că $f(f(n))=n$, pentru orice $n \in \square$. Este $f$ bijectivă ? Justificare. + +b) Să se arate că $g: \square \rightarrow \square, g(n)=[n \sqrt{2}]$ este injectivă dar nu este surjectivă, unde $[n \sqrt{2}]$ + +reprezintă partea întreagă a numărului $n \sqrt{2}$. + +4. Fie $A$ o mulțime de numere reale care verifică simultan condițiile: + +(i) $2013 \in A$ + +(ii) $2 x \in A$ pentru orice $x \in A$ + +(iii) $\left[\log _{2} x\right] \in A$ pentru orice $x \in A$, + +unde $\left[\log _{2} x\right]$ reprezintă partea întreagă a numărului $\log _{2} x$. + +a) Să se arate că $1 \in A$. + +b) Să se arate că $n \in A$ pentru orice număr natural $n$. + +NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect rezolvat complet se punctează cu 7 puncte. + +## BAREME + +## CLASA A X-A + +1. a) se ajunge la $(x-1)^{2}(x+2) \geq 0$ (3p) +b) $\log _{a}\left(b^{2013}-2 b+2\right)+\log _{b}\left(c^{2013}-2 c+2\right)+\log _{c}\left(a^{2013}-2 a+2\right) \geq$ + +$\log _{a}\left(b^{3}-2 b+2\right)+\log _{b}\left(c^{3}-2 c+2\right)+\log _{c}\left(a^{3}-2 a+2\right) \geq \log _{a} b+\log _{b} c+\log _{c} a \geq 3$. (4p) + +2. a) $(2 p)$ + +b) (2p) + +c) fie $z_{i}=\cos \alpha_{i}+i \sin \alpha_{i}, i \in\{1,2,3\}$. Se ajunge la $\cos \alpha_{1}+\cos _{2}+\cos \alpha_{3}=3$, deci $\cos \alpha_{1}=\cos \alpha_{2}=\cos \alpha_{3}=1$, deci $z_{1}=z_{2}=z_{3}=1$. (3p) + +3. a) $f(f(n))=n, n \in \square$ (2p), deci $f$ este inversabilă cu $f^{-1}=f$, deci $f$ este bijectivă. (2p) + +b) dacă $g$ nu ar fi injectivă, ar exista $n, m \in \square, n>m$ cu $[n \sqrt{2}]=[m \sqrt{2}]$, deci $n \sqrt{2}-m \sqrt{2}<1$, fals (2p) ; ecuaț̣ia $g(n)=3$ (de exemplu) nu are soluții (1p) + +4. a) $\left[\log _{2} 2013\right]=10 \in A \Rightarrow\left[\log _{2} 10\right]=3 \in A \Rightarrow\left[\log _{2} 3\right]=1 \in A$ (3p) + +b) inductiv $2^{n} \in A$ pentru orice $n \in \square$ (2p); de aici $n=\left[\log _{2} 2^{n}\right] \in A$ pentru orice $n \in \square$ + +(2p) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1413-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1413-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3bb116da83ed11076c2a93edc46b7cc95c2ff7e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1413-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md" @@ -0,0 +1,65 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN GORJ + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +MATE-INFO + +## FEBRUARIE 2013 + +CLASA A IX-A + +Subiectul I. a) Demonstrați, prin inducție matematică, după numarul de cifre ale numarului $n$ natural, că produsul cifrelor lui, $p(n)$, este mai mic sau cel mult egal cu $n$. b) Determinați numărul $n$ dacă $p(n)=n^{2}-42 n+440$. + +Subiectul II. Triunghiului $A B C$ i se circumscrie cercul cu centrul $O$ şi diametrul său [A $\left.A_{1}\right]$ este paralel cu latura[ $B C]$. Fie $\mathrm{H}$ ortocentrul triunghiului $A B C$. Demonstrați că dreapta $B C$ împarte segmentul $[\mathrm{OH}]$ în două segmente congruente. + +Subiectul III. Demonstrați că : +a) $\left[x^{3}+(x+y)^{2}\right] \cdot\left[y^{3}+(x+y)^{3}\right] \leq 4 \cdot(x+y)^{2}, \forall x, y \in \mathbf{R}$. + +b) Găsiți numerele naturale n pentru care $2^{n}-1$ se divide cu 7 . + +Subiectul IV. Fie ABCDE un pentagon convex şi $P \in(D E)$. Notăm $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ centrele de greutate ale triunghiurilor ADE, APB, ABC şi respectiv APC. Să se arate că $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ este paralelogram dacă şi numai dacă $P$ este mijlocul segmentului (DE). + +## BAREME + +## CLASA A IX-A + +1a) Pentru numerele de o singura cifra exista egalitate. (1pct) + +Presupunem ca $\mathrm{p}(\mathrm{n}) \leq \mathrm{n}$ pentru orice numar natural cu mai putin de $\mathrm{k}$ cifre si fie $\mathrm{n}=$ $\overline{\alpha_{1} \ldots \ldots \alpha_{k} \alpha_{k+1}}$ + +un numar arbitrar cu $\mathrm{k}+1$ cifre. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81f3dc213d09a3742e06g-2.jpg?height=62&width=1328&top_left_y=869&top_left_x=304) + +b) trebuie $n^{2}-42 n+440 \leq n$ care conduce la $n \in[16,26] .(1 \mathrm{pct})$ + +Prin verificari se deduce $\mathrm{n} \in\{18,20,24\}$ (3pct) + +2. $\overline{O A_{1}}=-\overline{O A}$ (1pct) deci: + +$\frac{\bar{\Phi}+\overrightarrow{D E}}{2}=\frac{\overline{D A}+\overline{D E}+\overline{\sigma C}-\overline{D A}}{2}=\frac{\overline{D E}+\bar{ब}}{2}$ (3pct) adica mijlocul segmentului $A_{1} \mathrm{H}$ coincide cu cel al lui BC. (1pct) + +Deoarece $\mathrm{BC}$ este paralela $\mathrm{cu} \mathrm{AA}_{1}$, atunci linia mijlocie a triunghiului $\mathrm{O} A_{1} \mathrm{H}$ este inclusa in dreapta $\mathrm{BC}$ (1pct), deci mijlocul lui HO este situat pe BC.(1pct) + +3.a) Pentru $x, y \geq 0$ se face calculul si se verifica(1pct) + +Pentru $\mathrm{x}, \mathrm{y}<0$, notam $\mathrm{x}=-\mathrm{a}, \mathrm{y}=-\mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{b}>0$ si se reduce la cazul precedent.(1pct) + +Pentru $\mathrm{x}>0$ si $\mathrm{y}<0$ notam $\mathrm{x}+\mathrm{y}=$ S si $\mathrm{x} \mathrm{y}=P$; avem de demonstrat ca $p^{3}+S^{3}\left(\zeta^{3}-3 \mathrm{SP}\right) \leq 4 \zeta^{6}$ sau $3 S^{5}+3 S^{4} \mathrm{P}-p^{3} \geq 0$; impart prin $p^{3}(<0)$ si avem $3 u^{3}$ $+3 u^{2}-1 \leq 0$ unde + +$\mathrm{u}=\frac{s^{2}}{p}<0 ;$ notam $\mathrm{u}=-\mathrm{a}(\mathrm{a}>0)$ si avem $3 a^{3}-3 a^{2}+1 \geq 0$ (2pct)adevarata pentru ca $a^{3}$ $>0$ si $2 a^{3}+1-3 a^{2}=$ + +$a^{3}+a^{3}+\mathbb{1}^{3}-3 \cdot a \cdot a \cdot \mathbb{1}=(\mathrm{a}+\mathrm{a}+1)\left(a^{2}+\mathrm{a}+\mathrm{a}\right)>0 .(1 \mathrm{pct})$ + +b) $\mathrm{P}(\mathrm{n}): 2^{\mathrm{s}}-1=7 \mathrm{~m}, \mathrm{~m} \in \mathrm{Z}$ + +Deoarece $2^{k+2}-1=8 \cdot 2^{k}-1=7.2^{k}+\left(2^{k}-1\right)$, avem $\mathrm{P}(\mathrm{k}) \Leftrightarrow \mathrm{P}(3)$ + +$\mathrm{P}(0)$ adevarata si $\mathrm{P}(1), \mathrm{P}(2)$ false, deducem ca $\mathrm{n} \in\{0,3,6, \ldots, 3 \mathrm{k}, \ldots\}(2 \mathrm{pct})$ + +4. Fie $\mathrm{S}$ un punct oarecare din plan. $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ paralelogram $\Leftrightarrow G_{1} G_{8}$ si $G_{2} G_{4}$ au acelasi mijloc (1pct) $\Leftrightarrow$ + +$\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{S G_{1}}+\overrightarrow{S G_{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{S G_{2}}+\overrightarrow{S G_{4}}\right)(1)(1 \mathrm{pct}) ; \overrightarrow{\Im G_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{S A}+\overrightarrow{S D}+\overrightarrow{S E})$ şi încă trei analoage (4pct)care înlocuite în (1) şi, după reduceri, avem $\frac{1}{2}(\overrightarrow{S D}+\overrightarrow{S E})=\overrightarrow{S E} \Leftrightarrow \mathrm{P}$ este mijlocul segmentului (DE).(1pct) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1414-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1414-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b94d10a7900b14b084d9b2f6ef28e6e4c4cdc9e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1414-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a XII-a + +## Subiectul I + +Calculați $\int \frac{2 x+3}{(x-3)(x-2)(x+7)(x+8)+a} \mathrm{~d} x$. Discuție după $a \in \mathbb{R}$. + +Mihaly Bencze + +## Subiectul II + +Arătați că şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 0}, I_{n}$ definit prin: $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{n x^{n}}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ este monoton şi are limita $\ln 2$. + +Gazeta Matematică + +## Subiectul III + +Fie $G$ un grup cu $2 n$ elemente, $n \geq 2$. Dacă $G$ are două subgrupuri $H_{1}$ şi $H_{2}$, fiecare cu câte $n$ elemente, astfel încât $H_{1} \cap H_{2}=\{e\}$, să se arate că: + +a) pentru orice $x_{1} \in H_{1} \backslash\{e\}$ si orice $x_{2} \in H_{2} \backslash\{e\}$ avem $x_{1} x_{2}=c$, unde $\{c\}=G \backslash\left(H_{1} \cap H_{2}\right)$, + +b) $n=2$ şi $G$ este izomorf cu grupul lui Klein. + +## Subiectul IV + +Se consideră grupul $\left(\mathbb{Z}_{n},+\right), n \geq 2$. + +a) Arătați că ecuația $\hat{2} x=\hat{0}$ are cel mult două soluții. + +b) Demonstrați că, oricum am alege trei subgrupuri ale lui $\left(\mathbb{Z}_{n},+\right)$, cel puțin două dintre ele au aceeaşi sumă a elementelor. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1415-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1415-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27c8e7750368d5f55792f6bd4fbe7fc38a699ddb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1415-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,46 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a XI-a + +## Subiectul I + +Se consideră matricea $A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1,2013} \in \mathcal{M}_{2013}(\mathbb{R}) ; a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { pentru } i=j \\ -1 & \text { pentru } i \neq j\end{array}\right.$. O mutare în matricea $A$ constă din alegerea unei linii sau coloane şi schimbarea semnelor elementelor ei. Este posibil ca după 2013 mutări să obținem două linii sau coloane identice? + +Gazeta Matematică, enunț adaptat + +## Subiectul II + +Rezolvaţi ecuația $X^{3}=\left(\begin{array}{cc}19 & 30 \\ -45 & -71\end{array}\right), X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +Mihaly Bencze + +## Subiectul III + +Se consideră şirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=e^{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}} \sqrt[n]{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2 n}}$. + +a) Arătați că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=e^{\gamma}$, unde $\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ este constanta lui Euler. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. + +c) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$. + +Gabriela Boeriu + +## Subiectul IV + +Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{0} \in(0, \infty)$ şi $a_{n+1}=\frac{9 a_{n}^{3}+8 a_{n}}{9}, \forall n \in \mathbb{N}$. + +a) Arătați că, pentru $a_{0} \in\left(0, \frac{1}{3}\right]$, şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent şi calculaţi limita sa. + +b) Arătați că, pentru $a_{0} \in\left(\frac{1}{3}, \infty\right)$, şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este divergent. + +Aurel Aldea + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1416-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1416-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab3394d96055a7de26bfdd3b9958348ee6d1238e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1416-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a X-a + +1. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuaţia: + +$$ +\log _{3}(x+\sqrt{3+\sqrt{x}})+x^{2}+2 x \sqrt{3+\sqrt{x}}+\sqrt{x}=7 +$$ + +Mihaly Bencze + +2. Dacă $a, b, c \in(1, \infty)$, demonstrați inegalitatea: + +$$ +\log _{a} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\log _{b} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}+\log _{c} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c} \geq 3 +$$ + +Gabriela Boeriu + +3. Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ numere complexe nenule astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|$ şi $z_{1}+z_{3}=z_{2}$. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $z_{1}^{n}+z_{2}^{n}+z_{3}^{n}=0$. + +Ioana Maşca + +4. Fie $a$ şi $b$ două numere reale strict pozitive. Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuația: + +$$ +\left(a^{x}+b^{x}\right)^{2013}=\left(a^{2013}+b^{2013}\right)^{x} +$$ + +Aurel Bârsan + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1417-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1417-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37c7ba0988c20dc5d55b93dcbd3ccb1a509c5c40 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1417-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,48 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a VIII - a + +1. Să se afle numărul natural $n$ care verifică egalitatea + +$$ +\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{\sqrt{n+2}}{1+\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}}=\frac{\sqrt{2}+8}{2} +$$ + +Aurel Aldea + +2. a) Să se arate că: $\frac{a b}{a+b} \leq \frac{a+b}{4}, a, b>0$. + +b) Fie $x, y, z$ lungimile laturilor unui triunghi al cărui perimetru este $P$. Demonstrați inegalitatea: + +$$ +\frac{x y-P z+2 P^{2}}{3 P-z}+\frac{y z-P x+2 P^{2}}{3 P-x}+\frac{x z-P y+2 P^{2}}{3 P-y} \leq 2 P +$$ + +Ioana Maşca + +3. $V A B C D$ este o piramidă patrulateră regulată în care toate muchiile sunt egale cu $a$. Fie $E \in B C$ astfel încât $E B=B C$. + +a) Aflați distanța de la punctul $A$ la dreapta $V E$. + +b) Demonstrați că planele (VAE) şi (VCE) sunt perpendiculare. + +c) Aflați distanța de la punctul $D$ la planul (VAE). + +Dorina Rapcea + +4. Fie prisma patrulateră regulată $A L G E B R I C$ cu muchia bazei $A L$ de lungime $a$ şi muchia laterală $A B$ de lungime $a \sqrt{2}$, iar $M$, $N$, sunt respectiv mijloacele muchiilor laterale $[C E]$ şi $[R L]$. + +a) Calculați sinusul unghiului dintre dreptele $E I$ şi $R G$. + +b) Arătați că triunghiurile $B E L$ şi $M A N$ au acelaşi centru de greutate. + +Dorina Bocu + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1418-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1418-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77b4eb1c314f36678076d078689b3eceab7e9160 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1418-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiecte.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a VII-a + +1. Pentru fiecare număr natural n, notăm: + +$$ +S_{n}=\frac{n-1}{2}+\frac{n-3}{4}+\frac{n-7}{8}+\ldots+\frac{n-2047}{2048} +$$ + +a) Determinați cel mai mic număr n pentru care $S_{n}$ este număr natural. + +b) Demonstrați că $S_{n}B C$, se notează cu $E$ simetricul lui $A$ fața de $B D$. Arătați că patrulaterul $B C E D$ este trapez isoscel. + +Gazeta Matematică + +4. În triunghiul $A B C$ cu $A B=4$ şi $A C=12, A D$ este bisectoarea unghiului $A, D \in[B C]$. Sã se demonstreze cã $A D<6$. + +Aurel Aldea + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1419-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1419-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5ca9eafec76c033d80e3fe0017efb2767dfd2a37 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1419-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiecte.md" @@ -0,0 +1,35 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a VI-a + +1. Fie numărul $N=\overline{a a b a}+\overline{b b c b}+\overline{c c a c}$, unde $a, b, c$ sunt cifre nenule în baza zece. Să se afle numărul minim şi numărul maxim de divizori ai numărului $N$. + +Emanuel Munteanu + +2. Se dau numerele naturale $a, b, c$, astfel încât $19 a+4 b=15 c$. Arătați că numărul $(a+b)(b+c)(c+a)$ este divizibil cu 570 . + +Camelia Postolache + +3. Se dau punctele coliniare $A, O, B$, cu $O \in(A B)$. De aceeaşi parte a dreptei $A B$ se consideră punctele $C$ şi $D$ astfel încât unghiurile $A O C$ şi $C O D$ să fie adiacente. Fie [ $O M$ bisectoarea unghiului $A O C$ şi [ $O N$ bisectoarea unghiului $B O D$. Se ştie că măsura unghiului $M O D$ este de $105^{\circ}$ si măsura unghiului $N O C$ este de $120^{\circ}$. + +a) Arătați că unghiul $C O D$ este drept. + +b) Dacă în interiorul unghiului $C O D$ se construiesc 12 semidrepte distincte cu originea $O$ astfel încât cele 13 unghiuri formate (cu interioarele disjuncte două câte două) au măsurile exprimate prin numere naturale nenule, demonstrați că printre acestea există cel puțin două unghiuri congruente. + +Dorina Bocu + +4. Se dau segmentele $[A B]$ si $[C D]$, concurente în punctul $M$, astfel încât $A B=24 \mathrm{~cm}, 3 A M=A B, M D=$ $2 M C$ şi $M C=8 \mathrm{~cm}$. Fie $\{E\}=A D \cap B C$. Demonstrați că: +a) $\angle A D M \equiv \angle C B M$ +b) $[E D] \equiv[E B]$ +c) $[E M$ este bisectoarea unghiului DEB + +Gazeta Matematică + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 2 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-142-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-142-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9584bd56228ca3e4e049510844b0042cbc7a9535 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-142-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,128 @@ +# Olimpiada de Matematică - Etapa Locală
Maramureş - 28 februarie 2016 + +Clasa a VI - a + +1. a) Arătați că numărul + +$$ +N=(2+4+6+\cdots+4032) \cdot\left(\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{2}{2015 \cdot 2017}\right) +$$ + +este un pătrat perfect. + +b) Fie $\widehat{A O B}$ un unghi alungit, $D \notin A B$ și $[O C$ bisectoarea unghiului $\widehat{D O A}$. Știind că măsura unghiului $\widehat{C O D}$ este $\frac{2}{5}$ din măsura unghiului $\widehat{D O B}$, calculați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\widehat{B O D}$ şi $\widehat{C O D}$. + +2. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ și $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ puncte coliniare în aceasta ordine astfel încât $A_{1} A_{2}=x$, $A_{2} A_{3}=2 x, A_{3} A_{4}=3 x, \ldots, A_{n-1} A_{n}=(n-1) x$, unde $x \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Dacă $M$ este mijlocul segmentului $\left(A_{9} A_{10}\right)$ și $N$ este mijlocul segmentului $\left(A_{24} A_{25}\right)$, aflați lungimea segmentului ( $M N$ ) știind că $x=2 \mathrm{~cm}$. + +b) Aflaţi $x$ și $n$ astfel încât $A_{1} A_{n}=870 \mathrm{~cm}$. + +3. Se dă fracția $\frac{2 x+3}{2 x-7}$, cu $x \in \mathbb{N}, x \geq 4$. Fie $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1000}$ primele 1000 de numere naturale pentru care fracția se simplifică. + +a) Calculați $x_{1000}$. + +b) Arătați că $x_{p}+x_{q}-x_{p+q}=1$ oricare ar fi $p, q \in\{1,2, \ldots, 1000\}$. + +## Notă : Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte + +Timp de lucru 2 ore + +Problemele au fost propuse și selectate de către: + +Conf.univ.Horvat Marc Andrei- Centrul Universitar Nord Baia Mare + +Prof. Darolți Erica- Colegiul naţional,,V.Lucaciu" Baia Mare + +Prof. Serasz Maria- Școala Gimnazială ,,D. Cantemir” Baia Mare + +BAREME - clasa a VI a + +## Soluţie. 1 . + +a) $2+4+6+\cdots+4032=2016 \cdot 2017$ + +1 punct + +$\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{2}{2015 \cdot 2017}=\frac{2016}{2017}$ + +2 puncte + +$N=2016^{2}$ pătrat perfect + +1 punct + +b) Fie $x=m(\widehat{C O D})$. Atunci $x=\frac{2}{5}(180-2 x)$ + +1 punct + +$x=40^{\circ}$ + +1 punct + +Fie $[O M$ bisectoarea unghiului $\widehat{C O D}$ și $[O N$ bisectoarea unghiului $\widehat{B O D}$ + +$m(\widehat{M O D})=20^{\circ}, m(\widehat{D O N})=50^{\circ}$ + +$m(\widehat{M O N})=70^{\circ}$ + +. .1 punct + +## Soluţie. 2. + +a) $A_{9} A_{10}=18 \mathrm{~cm}, A_{9} M=M A_{10}=9 \mathrm{~cm}$ +0,5 puncte +$A_{24} A_{25}=48 \mathrm{~cm}, A_{24} N=N A_{25}=24 \mathrm{~cm}$ +0,5 puncte +$M N=M A_{10}+A_{10} A_{11}+\cdots+A_{23} A_{24}+A_{24} N$ +1 punct +$M N=9+(20+22+\cdots+46)+24$ +1 punct +$M N=495 \mathrm{~cm}$ +1 punct +b) $A_{1} A_{n}=x+2 x+\cdots+(n-1) x=x \cdot \frac{(n-1) n}{2}$ +1 punct +$n(n-1) \cdot x=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29$ +0,5 puncte +$n(n-1) \mid 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \Rightarrow n \in\{2,3,4,5,6,30\}$ +0,5 puncte + +$$ +\begin{gathered} +n=2 \Rightarrow x=870 \\ +n=3 \Rightarrow x=290 \\ +n=4 \Rightarrow x=145 \\ +n=5 \Rightarrow x=87 \\ +n=6 \Rightarrow x=58 \\ +n=30 \Rightarrow x=2 +\end{gathered} +$$ + +Soluţie. 3. + +a) Fracţia $\frac{2 x+3}{2 x-7}$ este reductibilă dacă există $d \in \mathbb{N}^{*}, d \neq 1$ astfel încât $d \mid 2 x+3$ și $d \mid 2 x-7 \quad \mathbf{1}$ punct Cum $d \in\{2,5,10\}$ și $2 x+3,2 x-7$ numere impare, rezultă $d=5$ + +1 punct + +$2 x+3=5 k, k$ număr impar + +1 punct + +$k=2 p+1, x_{p}=5 p+1, p \geq 1$ + +1 punct + +$x_{1000}=5001$ + +1 punct + +b) $x_{p}=5 p+1, x_{q}=5 q+1, x_{p+q}=5(p+q)+1$ + +1 punct + +Verifică relaţia + +1 punct + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1420-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1420-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c030ce82bc2779f190bb0da7238c657580d668c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1420-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiecte.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a V-a + +1. Răspunzând unei întrebări referitoare la vârsta fiului său, tatăl a răspuns: Fiul meu s-a născut după anul 2000 şi în anul 2013 va avea vârsta egală cu dublul sumei cifrelor anului naşterii. În ce an s-a născut fiul şi ce vârstă va avea acesta în anul 2013? + +Aurel Aldea + +2. Fie $a$ un număr natural. Arătați că, printre numerele $n, n+a$, şi $n+2 a$ există unul divizibil cu 3 , oricare ar fi numărul natural $n$, dacă şi numai dacă $a$ nu este divizibil cu 3 . + +Cosmin Manea, clasa a VII - a, C. N. Dr. Ioan Meşotă + +3. Aflați câte numere naturale de 2013 cifre au atât suma cât şi produsul cifrelor numere prime. + +Aurel Bârsan + +4. Se consideră mulțimile : + +$$ +A_{1}=\{1\}, A_{2}=\{2,3\}, A_{3}=\{4,5,6\}, \ldots +$$ + +a) Să se determine cel mai mic element al mulțimii $A_{5}$. + +b) Să se determine cel mai mare element al mulțimii $A_{100}$. + +c) Să se determine mulțimea care conține numărul 2013 . + +Gazeta Matematică + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timpul de lucru este de 2 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1421-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiecte.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1421-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiecte.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5802fbab632a21dd5dbd359e446f9018f925ac8c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1421-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiecte.md" @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 9 februarie 2013 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Arătaţi că $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$, oricare ar fi numerele reale pozitive $x$ şi $y$. + +b) Dacă, $a, b, c \in(0, \infty)$, demonstrați inegalitatea: + +$$ +\frac{a^{4}}{b}+\frac{b^{4}}{c}+\frac{c^{4}}{a} \geq a b^{2}+b c^{2}+c a^{2} +$$ + +Gabriela Boeriu + +2. Arătați că numerele reale $a_{1}1$ este un număr întreg pozitiv, atunci un user este un $n$-cel-mai-bun-prieten dacă a fost desemnat ca cel-mai-bun-prieten de către cineva care este el însuşi un $(n-1)$-cel-mai-bun-prieten. O persoană care este un $k$-cel-mai-bun-prieten pentru toate numerele întregi pozitive $k$ este numită populară. + +(a) Demonstraţi că fiecare persoană populară este cel-mai-bun-prieten al (măcar) unei alte persoane populare. + +(b) Demonstraţi că dacă persoanele ar fi putut avea infinit de mulţi prieteni, atunci ar fi fost posibil ca o persoană populară să nu fi fost cel-mai-bun-prieten al niciunei alte persoane populare. + +Problema 7. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic înscris în cercul $\Gamma$ şi având ortocentrul $H$. Fie $K$ un punct pe cercul $\Gamma$, de cealaltă parte a lui $B C$ decât $A$. Fie $L$ simetricul lui $K$ faţă de dreapta $A B$, şi fie $M$ simetricul lui $K$ faţă de dreapta $B C$. Fie $E$ al doilea punct de intersecţie al cercului $\Gamma$ cu cercul circumscris triunghiului $B L M$. Demonstraţi că dreptele $K H, E M$ şi $B C$ sunt concurente. (Ortocentrul unui triunghi este punctul de intersecţie a înălţimilor sale.) + +Problema 8. Un cuvânt este o secvenţă finită de litere dintr-un anume alfabet. Un cuvânt se zice repetitiv dacă este o concatenare de cel puţin două sub-cuvinte identice (de exemplu, ababab şi $a b c a b c$ sunt repetitive, dar $a b a b a$ şi $a a b b$ nu sunt). Demonstraţi că dacă un cuvânt are proprietatea că orice transpoziţie a două litere adiacente îl transformă într-un cuvânt repetitiv, atunci toate literele sale sunt identice. (O transpoziţie a două litere adiacente identice, care lasă cuvântul neschimbat, este şi ea a fi considerată.) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1423-Matematica, 2010, OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA 2010 JUD MURES-2010_Matematic\304\203_Etapa locala_Subiecte_Clasa a VII-a_0.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1423-Matematica, 2010, OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA 2010 JUD MURES-2010_Matematic\304\203_Etapa locala_Subiecte_Clasa a VII-a_0.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcab7f5922ffe004b09acaaa77aeb3f3289cb3a9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1423-Matematica, 2010, OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA 2010 JUD MURES-2010_Matematic\304\203_Etapa locala_Subiecte_Clasa a VII-a_0.md" @@ -0,0 +1,45 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN MURES SOCIETATEA DE STIINTE MATEMATICE DIN ROMANIA FILIALA MURES + +OLIMPIADA DE MATEMATICA
FAZA LOCALA
23.01.2010
Clasa a VII-a + +## Subiectul I + +a) Să se demonstreze că $\sqrt{\overline{a b c}+\overline{b c a}+\overline{c a b}} \notin Q$ + +b) Să se calculeze numerele naturale de forma $\overline{a b c}$, pentru care + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7e87a7f5e0644340114ag-1.jpg?height=89&width=543&top_left_y=955&top_left_x=608) + +## Subiectul II + +În exteriorul triunghiului $A B C$ se construiesc pătratele $A B D E$ şi $A C F G$. Să se arate că: + +a) înălțimea $A A^{\prime}$ din triunghiul $A E G$ şi paralele duse prin $E$ şi $G$ respectiv la $A C$ şi $A B$ sunt concurente + +b) punctele $B$ şi $C$ sunt egal depărtate de $A A$ ' +c) $A A^{\prime}$ este mediană în triunghiul $A B C$. + +## Subiectul III + +În triunghiul $A B C$ notăm $M, N, P$ mijloacele laturilor $B C, A C, A B$ si $D, E, F$ picioarele înălțimilor duse din $A, B, C$, respectiv cu $H$ ortocentrul triunghiului şi cu $T$ mijlocul segmentului $[A H]$. + +Să se demonstreze: + +a). $P D M N$ este un trapez isoscel + +b). $P T \perp P M$ + +## Subiectul IV + +Determinați numerele naturale $x, y$ şi $z$ ştiind că: + +$$ +\frac{2^{2 x+y}-11}{4^{2 x}-9}=\frac{2 y+1}{3 y+1}=\frac{z^{2}+1}{3 z+1} +$$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se evaluează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1424-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (liceu)-2010_Matematic\304\203__Programa__2.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1424-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (liceu)-2010_Matematic\304\203__Programa__2.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0dd5b47865225f6474743105a7fdc4cc11dea905 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1424-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (liceu)-2010_Matematic\304\203__Programa__2.md" @@ -0,0 +1,286 @@ +R O M ÂN I A + +MINISTERUL EDUCAT,IEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII + +DIRECŢIA GENERALĂ EDUCAŢIE TIMPURIE, S, COLI, PERFORMANT Ă S, I + +PROGRAME + +CONSILIUL NATIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂTद̆MÂNTUL PREUNIVERITAR + +# PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ
An şcolar 2009/2010 + +- $\quad$ Pentru fiecare clasă, în programa de olimpiadă sunt incluse în mod implicit conținuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare. +- Cunoştințele suplimentare faţă de programa şcolară, ce apar in acest text, pot fi folosite în rezolvarea problemelor de olimpiadă fără demonstraţii. + + +## CLASA a IX-a + +- Etapa județeană(municipiul Bucureşti): + + +## ALGEBRĂ + +1. Elemente de logică şi teoria mulțimilor +2. Funcții definite pe mulțimea numerelor naturale +3. Funcți . Lecturi grafice +4. Funcția de gradul întâi +5. Funcția de gradul al doilea + +Următoarele noţiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa + +județeană: + +$>$ Ecuații în numere întregi : $a x+b y=c ; x^{2}+y^{2}=z^{2}$, ecuația lui Pell + +$>$ Teorema împărțirii cu rest în mulțimea numerelor întregi + +$>$ Algoritmul lui Euclid + +$>$ Indicatorul lui Euler $(\phi(\mathrm{n})=$ numărul numerelor prime cu n, mai mici decat $\mathrm{n})$ + +$>$ Congruențe modulo $n$ + +$>$ Teoremele : Euler, Fermat, Wilson. + +> Mulțimi. Funcția caracteristică de mulțime.Principiul includerii şi excluderii + +> Inegalitatea mediilor. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski. Inegalitatea lui Holder. Inegalitatea lui Bernoulli. Inegalitatea lui Cebîşev. + +$>$ Funcții injective, surjective, bijective. + +$>$ Recurențe liniare de ordinul I şi II , recurențe omografice. + +## GEOMETRIE şi TRIGONOMETRIE + +1. Vectori în plan +2. Coliniaritate, concurență, paralelism- calcul vectorial în geometria plană +3. Elemente de trigonometrie + +Următoarele noțiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa județeană: + +Teoreme de geometrie clasică. Teorema lui Stewart. Teorema lui Van-Aubel. Teorema lui Steiner. Dreapta lui Euler. Drepte de tip Simson, etc. + +$>$ Puncte şi linii importante + +$>$ Teoreme de concurenț̆ şi coliniaritate + +$>$ Relații metrice + +- Etapa naţională: + + +## ALGEBRĂ + +Toată materia + +Următoarele noṭiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa naţională: + +$>$ Mulțimi numărabile şi nenumărabile $(\boldsymbol{N}, Z, \boldsymbol{Q}$ sunt numărabile şi $\boldsymbol{R}$ este nenumărabilă). + +$>$ Densitatea î $\boldsymbol{R}$ a mulțimilor $\boldsymbol{Q}$ şi $\boldsymbol{R} / \boldsymbol{Q}$. (orice interval deschis de numere reale conține atât numere iraționale cât și numere raționale). Teorema de densitate a lui Kronecker (dacă a este irațional, mulțimea valorilor șirului $\left\{a_{n}\right\}$ este densă în $[0,1]$. + +## GEOMETRIE şi TRIGONOMETRIE + +Toată materia + +## Notă + +Folosirea corectă de către elevi, în redactarea soluției, a unor teoreme fără demonstrație din cadrul programei de olimpiadă conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de evaluare. + +## CLASA a X-a + +În programa de olimpiadă pentru clasa a $\mathrm{X}$-a sunt incluse în mod implicit conținuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare şi din etapele anterioare . + +## - Etapa județeană(municipiul Bucureşti): + +## ALGEBRĂ + +1. Mulțimi de numere +2. Funcții şi ecuaţii +3. Metode de numărare + +Următoarele noțiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa județeană : + +$>$ Convexitate în sensul lui Jensen + +## GEOMETRIE + +1. Toată materia + +- Etapa națională: + + +## ALGEBRĂ + +Toată materia + +## Următoarele noţiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentară pentru etapa + +natională : + +Polinoame + +$>$ C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. şi algoritmul lui Euclid pentru polinoame + +$>$ Teorema fundamentală a algebrei + +$>$ Teorema lui Bezout. + +> Rădăcini multiple, polinomul lui Taylor, derivata formală a unui polinom, conditii necesare și suficiente pentru ca o rădăcină să fie multiplă + +$>$ Polinoame ireductibile, numere algebrice, polinom minimal + +$>$ Relații între rădăcini și coeficienți + +$>$ Polinoame simetrice, teorema fundamentală a polinoamelor simetrice, sumele lui Newton. + +## GEOMETRIE + +1. Toată materia +2. Elemente de geometrie în spațiu: Geometria tetraedrului, Poliedre + +Următoarele noțiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentară pentru etapa natională : + +$>$ Produs vectorial şi produs mixt. Aplicații în geometrie. + +$>$ Locuri geometrice clasice. Pol și polară la cerc. Mulțimi convexe, înfăşurătoarea convexă. Teorema lui Helly. + +## Notă + +Folosirea corectă de către elevi, în redactarea soluției, a unor teoreme fără demonstrație din cadrul programei de olimpiadă conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de evaluare. + +## CLASA a XI-a + +În programa de olimpiadă pentru clasa a XI-a sunt incluse în mod implicit conținuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare şi din etapele anterioare . + +- Etapa județeană(municipiul Bucureşti): + + +## ALGEBRĂ ŞI GEOMETRIE + +1. Elemente de algebră liniară şi geometrie analitică (până la rezolvarea sistemelor liniare - exclusiv) + +Următoarele noţiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa județeană: + +$>$ Descompunerea unei permutări în produs de cicli disjuncți, respectiv transpoziții + +$>$ Determinantul de ordin $\mathrm{n}$ + +$>$ Regula lui Laplace de dezvoltare a unui determinant + +$>$ Teorema Hamilton-Cayley + +$>$ Rangul unei matrice din $M_{n . m} C$. + +$>$ Inegalitatea lui Sylvester asupra rangului produsului a două matrice + +1. Mulțimea numerelor reale +2. Şiruri de numere reale +3. Limite de funcții +4. Funcții continue + +Următoarele noţiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa județeană: + +$>$ Mulțimi deschise, închise, compacte, densitate în $\boldsymbol{R}$, lema intervalelor închise + +$>$ Numărabilitate, numărabilitatea lui $\mathbf{Q}$, nenumărabilitatea lui $\boldsymbol{R}$ + +$>$ Puncte limită pentru şiruri. + +> Limita superioară şi limita inferioară la şiruri. + +$>$ Oscilația unei funcții pe o mulțime, discontinuități de prima şi a doua speță. + +$>$ Continuitate uniformă + +$>$ Funcții cu proprietatea valorii intermediare (proprietatea lui Darboux). + +- Etapa națională: + + +## ALGEBRĂ ŞI GEOMETRIE + +## 1. Toată materia + +Următoarele noţiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa naţională : + +$>$ Polinom caracteristic, valori proprii + +$>$ Sisteme liniare de $m$ ecuații cu $n$ necunoscute + +## ANALIZĂ MATEMATICĂ + +## 1. Toată materia + +Următoarele noţiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentara pentru etapa naţională: + +$>$ Teorema lui Darboux + +$>$ Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange + +## Notă + +Folosirea corectă de către elevi, în redactarea soluției, a unor teoreme fără demonstrație din cadrul programei de olimpiadă conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de corectare. + +## CLASA a XII-a + +În programa de olimpiadă pentru clasa a XII-a sunt incluse în mod implicit conținuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare şi din etapele anterioare . + +- Etapa județeană(municipiul Bucureşti): + + +## ALGEBRĂ + +1. Elemente de algebră (până la Corpuri - inclusiv) Următoarele noțiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentară pentru etapa județeană : +$>$ Grupuri finite. Teorema lui Lagrange. Teorema lui Cauchy. + +$>$ Produs direct de structuri. + +$>$ Morfisme de structuri (semigrup, monoizi, etc) + +$>$ Grupuri finit generate + +> Grupul permutărilor, cicluri, descompunerea în produs de cicluri disjuncte + +$>$ Subgrupuri clasice (centrul unui grup, centralizatorul unei mulțimi, nucleul şi imaginea unui morfism). + +Elemente nilpotente şi elemente idempotente + +Orice corp finit este comutativ + +## ANALIZĂ MATEMATICĂ + +1. Elemente de analiză matematică (până la Centre de greutate - + +inclusiv) + +Următoarele noțiuni şi rezultate fac parte din programa suplimentară pentru etapa + +judeţeană: + +$>$ Sume Darboux, sume Riemann, integrabilitate + +$>$ Mulțimi neglijabile Lebesgue. Criteriul lui Lebesgue + +- Etapa națională: + +ALGEBRĂ + +## 1. Toată materia + +## ANALIZĂ MATEMATICĂ + +## 1. Toată materia + +## Notă + +Folosirea corectă de către elevi, în redactarea soluției, a unor teoreme fără demonstrație din cadrul programei de olimpiadă conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de corectare. + +| Direcția Generală Educație
Timpurie, Școli, Performanţă
și Programe | Preşedintele Comisiei
Centrale de Evaluare | Consiliul Naţional pentru
Curriculum şi Evaluare în
Învăăâmântul Preuniversitar | +| :--- | :---: | :---: | +| Director General, | Preşedinte, | Director General, | +| Liliana Preoteasa | Radu Nicolae Gologan | Cristian Mirescu | +| Inspector general, | Consilier, | | +| Cristian Alexandrescu | | Florica Banu | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1425-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (gimnaziu)-2010_Matematic\304\203__Programa__1.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1425-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (gimnaziu)-2010_Matematic\304\203__Programa__1.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..97941e96f0caf993030264954de5dbd6d45827b6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1425-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (gimnaziu)-2010_Matematic\304\203__Programa__1.md" @@ -0,0 +1,230 @@ +# R O M Â N I A
MINISTERUL EDUCATTIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI
DIRECT,IA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂŢĂMÂNT
PREUNIVERSITAR
CONSILIUL NATIONAL PENTRU CURRICULUM SII EVALUARE ÎN
ÎNVĂTĂMÂNTUL PREUNIVERITAR + +## Programa olimpiadei de matematică
clasele V - VIII
An şcolar 2009 / 2010 + +- Pentru fiecare clasă, în programa de olimpiadă sunt incluse în mod implicit conținuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare. +- Cunoştințele suplimentare față de programa şcolară, pot fi folosite în rezolvarea problemelor de olimpiadă. + + +## Clasa a V-a + +## - Etapa locală + +Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică. + +Metoda comparației. Metoda grafică. Metoda falsei ipotezei. Metoda mersului invers. Probleme de mişcare. Probleme de perspicacitate şi de numărare. Principiul cutiei (Principiul lui Dirichlet). Metoda reducerii la absurd. + +Numere naturale + +Factorul comun. Teorema împărțirii cu rest. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Sisteme de numerație. Divizibilitatea în N. Numere prime. Descompunerea numerelor naturale în produs de factori primi. + +## - Etapa județeană (municipiul Bucureşti)/națională + +Mulțimi. Submulțimi. Cardinalul unei mulțimi. Operaţii cu mulțimi: reuniunea, intersecția, diferența, produsul cartezian. + +Numere raționale pozitive + +Ecuații în $\mathbf{Q}$. Fracții zecimale. Operații. Inecuații în $\mathbf{N}$ şi $\mathbf{Q}$. Media aritmetică. Probleme. Elemente de geometrie şi unități de măsură. + +## Clasa a VI-a + +## - Etapa locală + +## ALGEBRĂ + +## 1. Numere naturale + +Proprietățile divizibilității î $\mathbf{N}$. + +Criteriile de divizibilitate cu: $2 ; 5 ; 10 ; 2^{n} ; 5^{n} ; 3 ; 9 ; 7 ; 11 ; 13$. Numere prime şi numere compuse. + +Teorema fundamentală a aritmeticii. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. ; $[a ; b] \cdot(a ; \mathrm{b})=a \cdot b$. Numere prime între ele. $a / b c$ şi $(a ; b)=1 \Rightarrow a / c$ (teorema lui Gauss). Dacă $(a ; b)=d \Rightarrow \exists x, y \in \mathbf{N}$ astfel încât $(x ; y)=1$ şi $a=x d ; b=y d$. Dacă $[a ; b]=m \Rightarrow \exists x, y \in \mathbf{N}$ astfel încât $(x ; y)=1$ şi $m=a x ; m=b y$. + +## 2. Rapoarte şi Proporții. + +Rpoarte. Proporții. Procente. Mărimi direct proporționale. Mărimi invers proporționale. Şir de rapoarte egale. Proporționalitate directă. Proporționalitate inversă. + +## GEOMETRIE + +1. Punct. Dreaptă. Semidreaptă. Segment (conținutul programei școlare). +2. Unghi (conținutul programei școlare şi, în plus, teorema directă şi teorema reciprocă a unghiurilor opuse la vârf). +3. Congruența triunghiurilor (conținutul programei şcolare şi cazul L.U.U.) + +## - Etapa județeană (municipiul Bucureşti)/etapa națională + +## ALGEBRĂ + +## 1. Numere întregi + +Operații în $\mathbf{Z}$. Modulul unui număr întreg. Puterea unui număr întreg cu exponent număr natural. Reguli de calcul cu puteri. + +Proprietăți ale divizibilității în $\mathbf{Z}$. + +1) $a / a, \quad \forall a \in \mathbf{Z}$ +2) $a / b$ şi $b / c \Rightarrow a / c$ +3) $a / b$ şi $b / a \Rightarrow a=b$ sau $a=-b$ +4) $1 / a$ şi $-1 / a, \forall a \in \mathbf{Z}$ +5) $a / 1$ sau $a /-1 \Rightarrow|a|=1$ +6) $a / 0, \forall a \in \mathbf{Z}$ +7) $0 / a \Rightarrow a=0$ +8) $a / b \Leftrightarrow(-a) / b \Leftrightarrow a /(-b) \Leftrightarrow(-a) /(-b)$ +9) $a / b \Rightarrow a / b \cdot c, \forall c \in \mathbf{Z}$ +10) $a / b_{1}$ şi $a / b_{2} \Rightarrow a /\left(b_{1} \pm b_{2}\right)$ +11) $a / b_{1}$ şi $a / b_{2} \Rightarrow a /\left(b_{1} c_{1} \pm b_{2} c_{2}\right)$, unde $c_{1}, c_{2} \in \mathbf{Z}$ +12) $a / b \Rightarrow a \cdot c / b \cdot c, \forall c \in \mathbf{Z}$ +13) $a \cdot c / b \cdot c, c \neq 0 \Rightarrow a / b$ +14) $a_{1} / b_{1}$ şi $a_{2} / b_{2} \Rightarrow a_{1} a_{2} / b_{1} b_{2}$ + +## 2. Numere raționale + +Periodicitate. Operații (inclusiv puterea unui număr rațional cu exponent număr natural). Ecuații şi inecuații î $\mathbf{N}, \mathbf{Z}, \mathbf{Q}$. + +3. Rapoarte şi Proporții. Probabilități. + +## Geometrie + +1. Perpendicularitate (conținutul programei şcolare). +2. Paralelism (conținutul programei şcolare şi, în plus, teorema directă şi teorema reciprocă a liniei mijlocii a unui triunghi). +3. Proprietăți ale triunghiurilor (conținutul programei şcolare) şi următoarele teoreme: + +- Într-un triunghi dreptunghic, lungimea catetei care se opune unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din lungimea ipotenuzei. Teorema reciprocă. +- Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din lungimea ipotenuzei. Teorema reciprocă. + + +## Clasa a VII-a + +## - Etapa județeană (municipiul Bucureşti) + +## ALGEBRĂ + +1. Mulțimea numerelor întregi; Mulțimea numerelor raționale; Mulțimea numerelor reale; +2. Modulul unui număr real. Proprietăţi: a) $|x| \geq 0, \forall x \in \mathbf{R}$; b) $|x|=\max (-x ; x), \forall x \in \mathbf{R}$; + +c) $\left.|x y|=|x||y|, \forall x, y \in \mathbf{R} ; \mathrm{d})\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}, \forall x \in \mathbf{R}, \forall y \in \mathbf{R}^{*} ; \mathrm{e}\right)|x+y| \leq|x|+|y|, \forall x, y \in \mathbf{R}$; + +f) $|x| \leq a(a>0), a, x \in \mathbf{R} \Leftrightarrow-a \leq x \leq a ; \mathrm{g})|x| \geq a(a>0), a, x \in \mathbf{R} \Leftrightarrow x \geq a$ sau $x \leq-a$; + +h) $\sqrt{x^{2}}=|x|, \forall x \in \mathbf{R}$. + +3. Partea întreagă şi partea fracționară a unui număr real; Reguli de calcul cu radicali (conținutul programei şcolare). + +a) Dacă $a \in \mathbf{N}$ şi $\sqrt{a} \in \mathbf{Q}$, atunci $\sqrt{a} \in \mathbf{N}$; b) Dacă $a, b \in \mathbf{N}$ şi $\sqrt{a}+\sqrt{b} \in \mathbf{Q}$, atunci $\sqrt{a} \in \mathbf{N}$ şi $\sqrt{b} \in \mathbf{N}$; + +c) Dacă $a$ şi $b$ nu sunt pătrate ale unor numere raționale, atunci $\sqrt{a}+\sqrt{b} \notin \mathbf{Q}$; d) Dacă $a, b \in \mathbf{Q}^{*}$ şi $\alpha, \beta \in \mathbf{Q}^{*}$ astfel încât, atunci $\alpha \sqrt{a}+\beta \sqrt{b} \in \mathbf{Q}^{*}$, atunci $\sqrt{a} \in \mathbf{Q}$ şi $\sqrt{b} \in \mathbf{Q}$; e) Dacă $a, b \in \mathbf{Q}^{*}$ astfel încât $\sqrt{b} \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$, atunci $a \pm \sqrt{b} \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$ şi $a \sqrt{b} \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$; f) Dacă $a \in \mathbf{Q}^{*}$ şi $b \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$, atunci $a+b \in$ $\mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$ şi $a b \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q} ; \mathrm{g}) \sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a-c}{2}}$, unde $a, b, c \in \mathbf{R}^{*}$ şi $c^{2}=a^{2}-b$ (formula radicalilor dubli). + +4. Calcul algebric; Calcule cu numere reale reprezentate prin litere (conținutul programei şcolare); + +$a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+\ldots+b^{n-1}\right), \quad \forall a, b \in \mathbf{R}$ şi $n \in \mathbf{N}$; + +$a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+\ldots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right), \forall a, b \in \mathbf{R}$ şi $n \in \mathbf{N}, n$ impar; + +$(a+b)^{n}=\mathbf{M}_{a}+b^{n}$, unde $a, b \in \mathbf{Z}$, şi $n \in \mathbf{N}^{*} ;\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}$ (identitatea lui Lagrange) + +## GEOMETRIE + +1. Patruletere (conținutul programei şcolare). +2. Probleme de coliniaritate. Probleme de concurență. +3. Asemănarea triunghiurilor + +Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistante. Teorema paralelelor neechidistante. Linia mijlocie în triunghi; proprietăți. Centrul de greutate al unui triunghi; proprietăți. Linia mijlocie în trapez; proprietăți. Teorema fundamentală a asemănării. Criterii de asemănare a triunghiurilor. Teorema bisectoarei (interioare, exterioare) şi teorema reciprocă. Teorema lui Menelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă. + +## - Etapa naţională + +## ALGEBRĂ + +1. Inegalități. Sume. Probleme de maxim şi de minim. +a. $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b, \forall a, b \in \mathbf{R}$; b. $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+a c+b c, \forall a, b, c \in \mathbf{R} ; \mathbf{c}$. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$; $\forall a, b \in \mathbf{R}_{+}^{*} ;$ + +d. $\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}} \leq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}} \leq \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n} \leq \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}{n}}, \forall a_{i} \in \mathbf{R}_{+}^{*}, i=\overline{1, n}$ şi + +$\forall n \in \mathbf{N}^{*}$ (inegalitatea mediilor); +f. $\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots+b_{n}^{2}\right) \geq\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots+a_{n} b_{n}\right)^{2}, \forall a_{i}, b_{i} \in \mathbf{R}, i=\overline{1, n}$ şi + +$\forall n \in \mathbf{N}^{*}$ (inegalitatea Cauchy - Buniakovski - Schwarz). + +## 2. Ecuații. Probleme. + +## GEOMETRIE + +1. Relaţii metrice în triunghi. În triunghiul dreptunghic: teorema înălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora; teoreme reciproce. Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg. + +Teorema lui Pitagora generalizată. Teorema cosinusului. Teorema sinusurilor. Teorema medianei: + +$$ +\begin{aligned} +& m_{a}^{2}=\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}{4} \text {. Arii. } A_{\Delta}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ; A_{\Delta}=\frac{a b \sin C}{2} ; A_{\Delta}=p r ; A_{\Delta}=\frac{a b c}{4 S} \\ +& A_{\text {patrulatconvex }}=\frac{d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin \left[\angle\left(d_{1}, d_{2}\right)\right]}{2} +\end{aligned} +$$ + +## 2. Pentru baraj, în plus: Cercul + +Definiție. Elemente în cerc. Unghi la centru. Măsura arcelor. Coarde şi arce; proprietăţi. Teorema unghiului înscris în cerc. Cerc înscris, cerc circumscris unui triunghi. Patrulater ortodiagonal. Patrulater inscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Condiţii de inscriptibilitate, condiții de circumscriptibilitate. Cercul lui Euler. Pozițile relative ale unei drepte față de un cerc. Poziţiile relative a două cercuri.Teorema arcului capabil de un unghi dat. Poligoane regulate. Lungimea cercului şi a arcului de cerc. Aria discului şi a sectorului de cerc. + +## Clasa a VIII-a + +## - Etapa județeană(municipiul Bucureşti) + +## ALGEBRĂ + +## 1. Numere reale + +Partea întreagă şi partea fracționară a unui număr real. Ecuați. Modulul unui număr real. Ecuații. Intervale. Intersecția şi reuniunea intervalelor. Raționalizarea numitorului de forma $a \sqrt{b}$ şi $a \pm \sqrt{b}$, $a, b \in \mathbf{N}$. Formulele de calcul prescurtat: + +$(a \pm b)^{2}=a^{2} \pm 2 a b+b^{2} ;(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} ;(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c$. + +$(a \pm b)^{3}=a^{3} \pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} \pm b^{3} ;(a \pm b)\left(a^{2} \mp a b+b^{2}\right)=a^{3} \pm b^{3}$. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Operații. + +## GEOMETRIE + +## 1. Cercul + +Definiție. Elemente în cerc. Unghi la centru. Măsura arcelor. Coarde şi arce; proprietăţi. Teorema unghiului înscris în cerc. Cerc înscris, cerc circumscris unui triunghi. Patrulater ortodiagonal. Patrulater inscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Condiţii de inscriptibilitate, condiţii de circumscriptibilitate. Cercul lui Euler. Pozițile relative ale unei drepte față de un cerc. Pozițile relative a două + +cercuri.Teorema arcului capabil de un unghi dat. Poligoane regulate. Lungimea cercului şi a arcului de cerc. Aria discului şi a sectorului de cerc. + +2. Inegalități geometrice. Probleme de maxim şi de minim. + +Inegalitatea triunghiului. Într-un triunghi, la latura mai mare se opune unghiul mai mare, şi reciproc. Teorema perpendicularelor şi a oblicelor. + +3. Construcții simple cu rigla negradată şi cu compasul. +4. Probleme elementare de loc geometric. +5. Puncte, drepte, plane. Paralelism. + +La conținutul programei şcolare se adaugă: teoreme de paralelism; teorema lui Menelaos în spațiu; teorema reciprocă teoremei lui Menelaos; teorema lui Thales în spațiu; axe de simetrie ale paralelipipedului dreptunghic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria faț̆a de un plan; secțiuni axiale în corpurile care admit axe de simetrie. + +## 6. Proiecții ortogonale pe un plan + +La conținutul programei școlare se adaugă: perpendiculara comună a două drepte; reciprocele teoremei celor trei perpendiculare; plan mediator; plan bisector. + +## - Etapa națională + +## ALGEBRA + +1. Funcții- conținutul programei şcolare. + +## GEOMETRIE + +1. Calcul de arii şi volume (prisma, piramida, trunchiul de piramidă)-conținutul programei şcolare + +Notă: + +1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, județeană, națională), autorul problemelor din concurs va utiliza conținutul prezentei programe pentru olimpiadă. +2. Temele propuse vor cuprinde atât conținuturile obligatorii pentru toți elevii, cât şi conținuturile suplimentare. +3. Folosirea corectă de către elevi, în redactarea soluției, a unor teoreme (fără demonstrație): teorema lui Steiner, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi principiul inducției matematice etc. conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de corectare. + +Direcția Generală Management Învățământ Preunversitar + +Director General, + +Liliana Preoteasa + +Preşedintele Comisiei
Centrale de Evaluare + +Preşedinte, + +Radu Nicolae Gologan +Consiliul Național pentru Curriculum şi Evaluare în Învățământul Preuniversitar + +Diector General, Cristian Mirescu + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1426-Matematic\304\203, 2010, Preciz\304\203ri olimpiad\304\203-2010_Matematic\304\203__Programa__0.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1426-Matematic\304\203, 2010, Preciz\304\203ri olimpiad\304\203-2010_Matematic\304\203__Programa__0.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..976bff86dd1781c54bd606c4f81dd2771ff09012 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1426-Matematic\304\203, 2010, Preciz\304\203ri olimpiad\304\203-2010_Matematic\304\203__Programa__0.md" @@ -0,0 +1,117 @@ +# Precizări privind desfăşurarea Olimpiadei de Matematică în anul şcolar 2009-2010 + +## I. Prezentare generală + +La matematică, olimpiada se desfą̧̧oară la clasele V-XII ( etapa pe şcoală, etapa locală/pe sector in Municipiul București, etapa județeană/ a municipiului București și etapa naţională). Participarea la această olimpiadă este individuală. Pot participa elevii de la toate formele de învăţământ: zi, seral, cu frecvenţă redusă, inclusiv elevii de la învăţământul particular. + +Elevii pot participa la olimpiada de matematică la anul de studii în curs, de la faza pe școală până la faza naţională inclusiv. Nu se admite participarea elevilor de la clasele superioare la clasele inferioare. În cazul în care un elev doreşte să participe la o clasã superioară celei în care este înmatriculat, o poate face fără a mai participa și la clasa sa. + +La fiecare an de studiu se elaborează o programă a olimpiadei de matematică. Temele propuse vor cuprinde atât conţinuturile din programa şcolară obligatorie pentru toţi elevii, cât și conţinuturi suplimentare . + +Pentru fiecare an de studiu, în programa de olimpiadă sunt incluse în mod implicit conţinuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare. + +Cunoştinţele suplimentare faţă de programa școlară pot fi folosite în rezolvarea problemelor de olimpiadă. Folosirea corectă de către elevi, în redactarea unei soluţii, a unor teoreme din programa de olimpiadă, fără a prezenta demonstraţile acestora, conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de corectare. + +## II. Selecţionarea elevilor + +Etapa pe școală, la clasele V-XII, se desfăşoara într-o perioadă fixată de Inspectoratele Scolare Județene/ al Municipiului Bucureşti, la propunerea inspectorilor şcolari de specialitate, cu subiecte elaborate de profesorii de matematică din şcoală. + +Pentru etapa locală, la clasele V-XII, graficul de desfâşurare, limitele materiei, subiectele de concurs şi criteriile de selecţie, punctajul minim şi numărul elevilor +calificaţi sunt stabilite de Inspectoratele Sccolare Judeţene/al Municipiului Bucureşti, la propunerea inspectorilor şcolari de specialitate. + +## Pentru clasele V-VI: + +Faza judeţeană/a municipiului Bucureşti pentru clasele V-VI se va organiza in perioada martie - aprilie în fiecare judeţ/municipiul Bucureşti la o dată stabilită de comisia județeană/a municipiului București, în funcție de fazele județene la alte discipline. Subiectele vor fi elaborate de comisia județeană/a mun. Bucureşti. + +Rezultatele la etapa judeţeană, lotul judeţului, precum și numărul elevilor care solicită traducerea lucrării în limba maternă vor fi transmise prin fax la numărul 021.313.5547 şi în format electronic prin e-mail la M.Ed.C.I., pe adresa acristi2004@yahoo.com şi prin e-mail la judeţul care găzduiește faza naţională (Călăraşi, pentru clasele V-VI, pe adresa ghs1502@yahoo.com, până la data de 10 mai 2010). + +Pentru raportare vor fi folosite machetele utilizate în anul școlar 2008-2009. + +Pentru etapa naţională a olimpiadei, la clasele V-VI, fiecare judet/ municipiul Bucureşti va beneficia de un număr de locuri, după cum urmează : + +a) Se alocă, din oficiu, câte $1 \mathrm{loc}$ pentru fiecare din clasele $V$, respectiv VI (pentru Municipiul București se acordă câte 6 locuri pentru fiecare clasă); + +b) Se alocă suplimentar un număr de locuri egal cu numărul de premii ale SSMR obţinute de elevii participanţi la clasa a VI-a la ultima fază a Olimpiadei Naţionale de Matematică (Slatina - 2009). Aceste locuri se alocă pe clase prin decizia Comisiei Judeţene/mun. Bucureşti; + +c) Se alocă suplimentar pentru clasa a VI-a un număr de locuri egal cu numărul de medalii SSMR obținut, la clasa a V-a, la ultima fază a Olimpiadei Naționale de Matematică (Slatina- 2009). De exemplu, dacă un judeţ a avut în anul 2009 două medalii la clasa a V-a, va primi în anul 2010 două locuri la clasa a VI-a. + +Însumarea numărului de locuri menţionate mai sus reprezintă numărul de locuri alocat, de către M.Ed.C.I. , fiecărui judeţ/mun. Bucureşti. + +## Pentru clasele VII-XII: + +Pentru etapa judeţeană/municipiul Bucureşti la clasele VII - XII, subiectele pentru olimpiadă sunt unice, întocmite de o comisie special constituită pentru selectarea problemelor propuse din teritoriu, comisie coordonată de către inspectorul general de matematică din M.Ed.C.I. Traducerea subiectelor în limba maghiară se va face de către aceeași comisie. Subiectele vor fi transmise judeţelor, î format electronic, in dimineataa zilei de concurs, inclusiv variantele in limba maghiară. + +Pentru etapa naţională a olimpiadei, la clasele VII - XII, fiecare judeţ/ municipiul București va beneficia de un număr de locuri, după cum urmează : + +a) Se alocă, din oficiu, un număr de 6 locuri pentru fiecare judeţ, respectiv 24 de locuri pentru Municipiul Bucureşti. Aceste locuri se alocă pe clase prin decizia Comisiei Judetene/mun. Bucureşti; + +b) Se alocă suplimentar un număr de locuri egal cu numărul de premii ale SSMR obţinute de elevii participanţi la clasa a XII-a la ultima fază a Olimpiadei + +Naţionale de Matematică (Constanţa-Neptun - 2009). Aceste locuri se alocă pe clase prin decizia Comisiei Judeţene/mun. București; + +c) Se alocă suplimentaŗ pentru fiecare clasă VIII - XII, un număr de locuri egal cu numărul de medalii SSMR obținut la ultima fază a Olimpiadei Naţionale de Matematică (Constanţa-Neptun - 2009). De exemplu, dacă un judeţ a avut în anul 2009 trei medalii la clasa a VIII-a, va primi în anul 2010 trei locuri la clasa a IX-a. Aceste locuri se pot redistribui la alte clase numai dacă numarul elevilor care au obtinut punctajul minim de calificare este mai mic decât numărul locurilor alocate acestei clase. Redistribuirile se fac prin decizia Comisiei Județene/mun. Bucureşti; + +Însumarea numărului de locuri menţionate mai sus reprezintă numărul de locuri alocat, de către M.Ed.C.I. , fiecărui judet/mun. Bucureşti. + +La etapa județeană şi la etapa naţională a Olimpiadei de Matematică, evaluarea se va face în conformitate cu Regulamentul de desfăşurare a Olimpiadei Internationale de Matematică, respectiv fiecărei probleme din concurs i se acordă un număr de minim 0 puncte şi maxim 7 puncte. + +Eventualele contestaţii se vor face pentru subiectele probei de concurs. Ele vor fi admise doar dacă diferenţa între nota acordată iniţial şi nota obţinută după contestaţie pentru un subiect al probei de concurs este de cel puţin 1 punct, cu excepţia situaţiei în care elevul are cel puțin 6,5 puncte la un subiect al probei de concurs, caz î care poate primi 7 puncte la acel subiect. Decizia Comisiei Județene/mun București de contestaţii este finală şi nu poate fi schimbată. Alături de subiecte şi barem vor fi afişate şi aceste precizări privind contestaţiile. + +Un elev se poate califica la etapa naţională a Olimpiadei de Matematică numai dacă a obţinut cel puţin jumătate din punctajul maxim posibil care se poate acorda Iucrării la etapa judeţeană. + +Criteriile de repartizare şi departajare a elevilor care au obținut aceleaşi punctaje şi se află în situaţia de a se califica la faza naţională a Olimpiadei de Matematică, depăşind numărul de locuri alocat clasei, vor fi consemnate în procesul -verbal al întâlnirii de lucru a comisiei şi vor fi afişate la avizierul unităţii şcolare unde se desfaşoară etapa judeţeană a Olimpiadei de Matematică, înainte de începerea probei de concurs. + +În cazul î care elevii calificaţi la faza naţională a olimpiadei de matematică optează pentru participarea la faza naţională la o altă disciplină, locul acestora în echipa judeţului va fi luat de către elevii aflaţi pe locul următor în clasamentul pe judeţ, la clasa respectivă. + +Locurile rămase libere la un județ nu se distribuie altui județ. + +Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării nu admite suplimentarea locurilor faţă de cele stabilite conform algoritmului cuprins în prezentele precizări. + +Rezultatele la faza judeţeană, lotul judeţului precum şi numărul elevilor care solicită traducerea lucrării în limba maternă vor fi transmise prin fax la numărul 021.313.5547 și în format electronic prin e-mail la M.Ed.C.I., pe adresa acristi2004@yahoo.com și prin e-mail la judeţul care găzduieşte faza naţională (Iaşi), pe adresa nicumiron2005@yahoo.com, până la data de 30 martie 2010. + +Pentru raportare vor fi folosite machetele utilizate în anul școlar 2008-2009. + +Transmiterile tardive (după data de 30 martie 2010) sau incomplete ale datelor, în absenţa unor cauze obiective, pot duce la neparticiparea reprezentanţilor județului/mun. București la faza finală a olimpiadei. În această situaţie, inspectorul general din M.Ed.C.I. +va informa inspectorul școlar general, consecinţele acestei situaţii urmând să fie asumate integral de către Comisia județeană/a municipiului București de organizare a olimpiadei. + +Calificarea elevilor în loturile lărgite de seniori, respectiv de juniori se va face in funcţie de rezultatele obţinute la probele de baraj susţinute în cadrul etapei naţionale a olimpiadei de matematică, cumulate cu rezultatele obţinute la proba pe clase la etapa naţională. + +Calificarea elevilor în loturile restrânse de seniori, respectiv de juniori și calificarea elevilor în echipele naţionale care vor reprezenta România la concursurile internaţionale de matematică se va face pe baza tuturor rezultatelor obţinute la probele de baraj, cumulate cu punctajele obținute pentru prezența activă la stagiile de pregătire, punctajele obţinute pentru pregătirea individuală. + +Premierea de către M.Ed.C.I. a elevilor cu rezultate deosebite la competitiile matematice interne și internaţionale, precum și înscrierea în lista absolvenților de liceu, premiaţi la olimpiadele naţionale și internaţionale, care pot participa la admiterea făă examen în învăţământul superior, în conformitate cu Legea Învăţământului nr. 84/1995, republicată cu modificările și completările ulterioare, art. 59 se face doar pentru acei elevi care au participat la toate etapele olimpiadei de matematică și la selecția organizată de către M.Ed.C.I. a loturilor reprezentative. + +Calendarul olimpiadei 2009-2010 + +## 1. Etapa pe școală- Luna ianuarie 2010 + +## 2. Etapa locală/pe sector al municipiului București
- 30 ianuarie sau 13 februarie 2010 + +3. Etapa județeană/a municipiului București + +- 13 martie 2010 ( pentru clasele VII-XII) +- martie-aprilie 2010 ( pentru clasele V-VI) + + +## 4. Etapa naţională + +- 05 -11 aprilie 2010 ( pentru clasele VII-XII) +- 28 mai -30 mai 2010 ( pentru clasele V-VI) + + +## III. Dispoziţii finale + +La etapa națională, atât la clasele V-VI cât și la clasele VII-XII, elevii participanți vor primi după desfășurarea probelor (cu excepția probelor de baraj) copii xerografiate ale lucrărilor. Cadrele didactice însoțitoare, au datoria de a discuta cu elevii participanți din județul (Municipiul București) pe care îl reprezintă modul de rezolvare a problemelor din concurs, înaintea perioadei de depunere a contestațiilor. + +Toţi profesorii care participă la elaborarea subiectelor de olimpiadă, baremelor de corectare şi notare şi la evaluarea lucrărilor vor da o declaraţie scrisă în care vor menţiona că asigură secretul subiectelor şi al baremelor de evaluare și notare întocmite. Comisia județeană/mun. Bucureşti şi comisia Naţională sunt obligate să distribuie profesorii corectori pe clase astfel încât să nu existe profesori care să fi avut elevi din clasa respectivă participanţi la faza judeană/naţională a Olimpiadei de Matematică. Potrivit Regulamentului de organizare și desfășurare a olimpiadelor şi concursurilor școlare, +aprobat cu OM Nr. 3109/28.01.2002, art. 52, prezentele precizări fac parte din regulament, iar nerespectarea lor atrage sancţionarea conform legislaţiei în vigoare. + +## Director General,
Hinetioures Liliana Preoteasa + +## Director, + +Mariea Stefan + +Qe sher + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2d72a25ae32ddd8529beg-5.jpg?height=155&width=434&top_left_y=996&top_left_x=1233) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1427-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaiva_microsoftwordolimpiadadematematicacls.a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1427-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaiva_microsoftwordolimpiadadematematicacls.a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..439c5287cb15f740411ca1193bd8a2b5a5f05bd5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1427-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaiva_microsoftwordolimpiadadematematicacls.a.md @@ -0,0 +1,25 @@ +Olimpiada de matematica
Etapa locala _Teleorman_2007
clasa a IV-a + +# SUBIECTE + +1. Calculati: + +$$ +10-10:\{1+3 \times[(57-60: 4 \times 2): 3+21: 10\}= +$$ + +2. Determinati numarul"a": + +$$ +5 \times[326-\mathrm{a} \times(54: 9)]+845=1995 +$$ + +3. Catul a doua numere este 6 , iar restul este 21 . Stiind ca suma dintre deimpartit, impartitor , cat si rest este 328 , sa se afle cele doua numere. +4. Intr-o lada era o cantitate de mere de 7 ori mai mare decat in alta lada. Se transfera $210 \mathrm{~kg}$ de mere din prima lada in a doua si atunci in cele doua laza raman cantitati egale de mere. + +Cate kilograme de mere erau la inceput in ficare lada? + +Nota.: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1428-Olimpiada de matematica Teleorman-0matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1428-Olimpiada de matematica Teleorman-0matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..195076f2a476b9b833712662508045ca5ba4c11f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1428-Olimpiada de matematica Teleorman-0matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.md @@ -0,0 +1,29 @@ +# Olimpiada de matematica + +Etapa locala_Teleorman_2007 + +clasa a VIII-a + +## SUBIECTE + +1. Sa se demonstreze ca pentru orice numere rationale nenule $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ astfel incat $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$, numarul + +$$ +\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}} \text { este rational. } +$$ + +2. a) Sa se arate ca: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2,(\forall) \mathrm{x}, \mathrm{y}>0$. + +b) Sa se determine $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0$ astfel incat : $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=6 \sqrt{\mathrm{abc}}$. + +2. Pe planul patratului $A B C D$ se ridica perpendiculara $C M$, iar $[C M] \equiv[A B]$. Sa se determine masura unghiului format de dreptele $\mathrm{AC}$ si $\mathrm{BM}$. +3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un dreptunghi $\mathrm{AB}=3 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{BC}=4 \mathrm{~cm}$ si $\mathrm{AM} \perp(\mathrm{ABC})$, unde $\mathrm{AM}=\frac{12 \sqrt{3}}{5} \mathrm{~cm} . \quad$ Sa se calculeze : + +a) Distanta de la punctul A la planul (BDM) ; + +b) Distanta de la punctul C la planul (BDM). + +Nota.: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-1429-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-1429-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..195076f2a476b9b833712662508045ca5ba4c11f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-1429-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.md @@ -0,0 +1,29 @@ +# Olimpiada de matematica + +Etapa locala_Teleorman_2007 + +clasa a VIII-a + +## SUBIECTE + +1. Sa se demonstreze ca pentru orice numere rationale nenule $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ astfel incat $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$, numarul + +$$ +\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}} \text { este rational. } +$$ + +2. a) Sa se arate ca: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2,(\forall) \mathrm{x}, \mathrm{y}>0$. + +b) Sa se determine $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0$ astfel incat : $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=6 \sqrt{\mathrm{abc}}$. + +2. Pe planul patratului $A B C D$ se ridica perpendiculara $C M$, iar $[C M] \equiv[A B]$. Sa se determine masura unghiului format de dreptele $\mathrm{AC}$ si $\mathrm{BM}$. +3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un dreptunghi $\mathrm{AB}=3 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{BC}=4 \mathrm{~cm}$ si $\mathrm{AM} \perp(\mathrm{ABC})$, unde $\mathrm{AM}=\frac{12 \sqrt{3}}{5} \mathrm{~cm} . \quad$ Sa se calculeze : + +a) Distanta de la punctul A la planul (BDM) ; + +b) Distanta de la punctul C la planul (BDM). + +Nota.: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-143-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-143-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86809bc0e71a79b50e1ddd8c255c0e57f260ed4e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-143-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +Olimpiada de Matematică - Etapa Locală
Maramureş - 28 februarie 2016
Clasa a V - a + +1. a) Calculați numărul $n=a+5 b-5 c-d^{2}-1^{2016}$, dacă: + +$$ +\begin{gathered} +a=2^{3^{2}}:\left(2^{3}\right)^{2} \\ +b-c=3^{3}+3^{10}: 3^{8} \cdot 3+3 \cdot 3^{7}: 3^{5}+2 \cdot 3^{10}:\left(5 \cdot 3^{5}+3^{5}\right)+9 \cdot 3^{3} \\ +d=\left[\left(9^{2}-2^{4} \cdot 5\right): 2016^{0}+5^{9}:\left(5^{2}\right)^{4}\right] \cdot 2^{2}: 6 +\end{gathered} +$$ + +b) Determinați numerele $\overline{a b c}$ astfel încât: + +$$ +2 \cdot(\overline{a b}+\overline{b a})+2^{c}=67 +$$ + +2. Se consideră șirul: $3,7,11,15, \ldots, 99, \ldots$ + +a) Calculați suma primilor 2016 termeni ai șirului. + +b) Arătați că suma oricăror doi termeni ai șirului nu poate fi pătrat perfect. + +3. Suma a 29 de numere naturale este egală cu 2016. Împărțind fiecare dintre aceste numere la numărul natural $n$ obținem resturile egale cu 3 sau cu 4 . Suma tuturor acestor resturi este egală cu 92 . + +a) Câte resturi, dintre cele 29 sunt egale $\mathrm{cu} 3$ ? + +b) Determinați cel mai mic număr natural $n$ care satisface conditiia din problemă. + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte + +Timp de lucru 2 ore + +Subiectele au fost propuse și selectate de către: + +Prof. Caltea Amalia-Școala Gimnazială ,,Al.I. Cuza" Baia Mare + +Prof. Covaciu Traian- Colegiul Național „V. Lucaciu” Baia Mare + +Prof. Nagy Anamaria- Școala Gimnazială „L. Blaga” Baia Mare + +Prof. Neaga Nadina- Școala Gimnazială „Dr. V. Babeș" Baia Mare + +## BAREM DE CORECTARE- clasa a V a + +1. a) $a=8 \ldots . . . . . . .1$ punct + +$b-c=405 . . . .1$ punct + +$d=4 \ldots . . .1$ punct + +Rezultatul calculului este 2016........ 1 punct +b) $2^{c}$ este impar ...... 1 punct + +$c=0 . . . . . . .0,5$ puncte + +$22 \cdot(a+b)=66 \ldots . . . .0,5$ puncte + +$a+b=3 . \ldots . . . . .0,5$ puncte + +$\overline{a b c} \in\{120,210\} \ldots \ldots . .0,5$ puncte + +2. a) $a_{1}+\cdots+a_{29}=2016$ + +$a_{1}=n \cdot c_{1}+r_{1}$ + +..... + +$a_{29}=n \cdot c_{29}+r_{29}, r_{i} \in\{3 ; 4\} \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +Fie $a, b$ numărul numerelor care dau la împărţirea cu $n$ restul 4 , respectiv $3, b=29-a \ldots . .0,5$ puncte + +$4 a+3(29-a)=92 \ldots . .0,5$ puncte + +Rezolvarea ecuaţiei .... 1 punct + +Finalizare $a=5, b=24 \ldots . . .1$ punct +b) $n \cdot c_{1}+r_{1}+\cdots+n \cdot c_{29}+r_{29}=2016 \ldots . .0,5$ puncte + +$n \cdot\left(c_{1}+\cdots+c_{29}\right)+92=2016 \ldots 0,5$ puncte + +$n \cdot\left(c_{1}+\cdots+c_{29}\right)=1924 \ldots 0,5$ puncte + +$n \geq 5 \ldots .0,5$ puncte + +$1924=2^{2} \cdot 13 \cdot 37 \ldots . .0,5$ puncte + +$n_{\text {minim }}=13 \ldots . .0,5$ puncte + +3. a) $t_{k}=4 \cdot(k-1)+3 . . . . .1$ punct + +$t_{2016}=4 \cdot 2015+3=8063 \ldots . .1$ punct + +$S_{2016}=\frac{8066 \cdot 2016}{2}$...... 1 punct + +$S_{2016}=8130528 \ldots .1$ punct +b) $t_{k}+t_{i}=4 \cdot(k+i-2)+6 \ldots .1$ punct + +$t_{k}+t_{i}=4 \cdot(k+i)+2=4 \cdot a+2 . . . .1$ punct + +Finalizare. + +.1 punct + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1430-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 2-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_1.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1430-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 2-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_1.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eecafe794199304ca44c018107bedb71e2fc532b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1430-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 2-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_1.md" @@ -0,0 +1,18 @@ +# 53. BULGARIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD + +FINAL ROUND + +## Second day, May 16, 2004 + +Problema 4. Într-un cuvânt format din literele $a$ şi $b$ sunt posibile schimbările $a b a \rightarrow b, \quad b \rightarrow a b a, \quad b b a \rightarrow a, a \rightarrow b b a$. Dacă începem de la cuvântul $\underbrace{a a \ldots a}_{2003} b$, este posibil de obținem cuvântul $b \underbrace{a a \ldots a}_{2003}$ ? + +Problema 5. Fie $a, b, c, d$ numere naturale nenule astfel încât numărul perechilor $(x, y), x, y \in(0,1)$, cu proprietatea că $a x+b y$ şi $c x+d y$ sunt întregi, este egal cu 2004. Dacă $\operatorname{cmmdc}(a, c)=6$, aflați $\operatorname{cmmdc}(b, d)$. + +Problema 6. Fie $p$ un număr prim şi $0 \leq a_{1}p$, atunci $k=p$; + +(b) dacă $m+n \leq p$, atunci $k \geq m+n-1$. + +Timp de lucru: 4 ore şi 30 minute. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1431-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 1-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_0.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1431-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 1-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_0.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fdef84a6491cc6a48496bf1a354e21563c01689b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1431-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 1-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_0.md" @@ -0,0 +1,18 @@ +# 53. BULGARIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD + +FINAL ROUND + +First day, May 15, 2004 + +Problema 1. Fie $I$ centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$ şi $A_{1}, B_{1}$ şi $C_{1}$ puncte arbitrare pe segmentele $(A I),(B I)$, respectiv $(C I)$. Mediatoarele segmentelor $A A_{1}$, $B B_{1}$ şi $C C_{1}$ se intersectează în $A_{2}, B_{2}$ şi respectiv $C_{2}$. Arătați că centrul cercului circumscris triunghiului $A_{2} B_{2} C_{2}$ coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$ dacă şi numai dacă $I$ este ortocentrul triunghiului $A_{1} B_{1} C_{1}$. + +Problema 2. Pentru orice număr natural nenul $n$, suma $1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ se scrie sub forma $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ unde $p_{n}$ şi $q_{n}$ sunt numere naturale prime între ele. + +(a) Arătați că $p_{67}$ nu se divide cu 3 . + +(b) Determinați toate numerele naturale nenule $n$, pentru care $p_{n}$ este divizibil cu 3. + +Problema 3. Un grup este format din $n$ turişti. Oricum am alege 3 turişti, există 2 dintre ei care nu se cunosc. Pentru orice partiție a turiştilor în două autobuze putem găsi doi turişti care se cunosc şi sunt în acelaşi autobuz. Demonstrați că în grupul de turişti există un turist care are cel mult $\frac{2}{5} n$ cunoscuți. + +Timp de lucru: 4 ore şi 30 minute. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-1432-Subiecte date la Olimpiada Balcanic\304\203 de Matematic\304\203, Bulgaria 2004-2004_Matematica_Balcanica_Subiecte_Clasa a XII-a_0.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-1432-Subiecte date la Olimpiada Balcanic\304\203 de Matematic\304\203, Bulgaria 2004-2004_Matematica_Balcanica_Subiecte_Clasa a XII-a_0.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..88df33413ee7c62b1dfe5aae8549a0da7e0c9367 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-1432-Subiecte date la Olimpiada Balcanic\304\203 de Matematic\304\203, Bulgaria 2004-2004_Matematica_Balcanica_Subiecte_Clasa a XII-a_0.md" @@ -0,0 +1,40 @@ +# PROBLEM FORM + +## BMO 2004 Country Code: ROM + +Plevna, 7 Mai, 2004 + +1. Şirul de numere reale $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}, \ldots$ satisface relaţia + +$$ +a_{m+n}+a_{m-n}-m+n-1=\frac{1}{2}\left(a_{2 m}+a_{2 n}\right) +$$ + +pentru orice numere naturale $m$ şi $n, m \geq n$. + +Dacă $a_{1}=3$, aflaţi $a_{2004}$. + +2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor prime ecuaţia + +$$ +x^{y}-y^{x}=x y^{2}-19 +$$ + +3. Fie $O$ un punct interior triunghiului ascuţitunghic $A B C$. Cercurile centrate în mijloacele laturilor triunghiului şi care trec prin $O$, se intersectează a doua oară în $K, L$ şi $M$. + +Demonstraţi că $O$ este centrul cercului înscris în triunghiul $K L M$ dacă şi numai dacă $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$. + +4. O mulţime finită de drepte, oricare trei neconcurente, partiţionează planul într-un număr de regiuni. Două regiuni se numesc "vecine" dacă frontierele lor au în comun mai mult decât un segment nedegenerat. + +În fiecare regiune trebuie scris un număr întreg astfel încât: + +(i) produsul numerelor scrise în oricare două regiuni vecine este strict mai mic decât suma lor; + +(ii) pentru fiecare dintre dreptele date, suma numerelor scrise în regiunile aflate de aceeaşi parte a ei este egală cu 0 . + +Demonstraţi că acesta este posibil dacă şi numai dacă nu toate dreptele sunt paralele. + +Timp de lucru: 4 ore şi 30 minute. + +Fiecare problemă este notată cu 10 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-144-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-144-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f3583e167f11e14355a934c9ea35e145cab9670 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-144-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 28 FEBRUARIE 2016 + +## CLASA A IX -A + +1. + +a. Demonstrați că $x^{2} \geq \frac{2}{3} x-\frac{1}{9}, \forall x \in \mathbb{R}$. + +b. Dacă $a, b, c>0$ și $a+b+c=1$, demonstrați că $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1} \leq \frac{9}{10}$. + +2. Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația + +$$ +\{x\}^{2}+22\{x\}=10 x-9 +$$ + +G.M. $12 / 2015$ + +3. Pe laturile $B C, C A$ și $A B$ ale triunghiului $A B C$ se consideră punctele $M, N$ și $P$. Fie $A^{\prime}, B^{\prime}$ și $C^{\prime}$ simetricele punctelor $A, B$ respectiv $C$ față de punctele $M, N$ și $P$. Arătaţi că punctele $C \in\left(A^{\prime} B^{\prime}\right), A \in\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$ și $B \in\left(A^{\prime} C^{\prime}\right)$ dacă și numai dacă $\frac{B M}{M C}=\frac{C N}{N A}=\frac{A P}{P B}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Gherasin Gheorghe , Lic. „Regele Ferdinand", Sighetu Marmației prof. Giurgi Vasile, Colegiul Național „Dragoș Vodă”, Sighetu Marmației prof. Bojor Florin, Colegiul Național „Gheorghe Șincai”, Baia Mare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a2e0e77c0c4a050a1c62g-2.jpg?height=195&width=206&top_left_y=133&top_left_x=1228) + +## MINISTERUL
EDUCAŢIEI NATIONALE
ŞI CERCETĂRII
ŞTIINŢIFICE + +## BAREM DE CORECTARE Clasa a XII-a M1 + +1. a. Inecuația este echivalentă cu $(3 x-1)^{2} \geq 0$ $\qquad$ +b. Din a. rezultă că $a^{2}+1 \geq \frac{2}{3} a+\frac{8}{9} \Leftrightarrow \frac{a}{a^{2}+1} \leq \frac{9 a}{6 a+8}$ si analoagele. $\qquad$ Rămâne să demonstrăm că $\frac{9 a}{6 a+8}+\frac{9 b}{6 b+8}+\frac{9 c}{6 c+8} \leq \frac{9}{10} \Leftrightarrow \frac{1}{3 a+4}+\frac{1}{3 b+4}+\frac{1}{3 c+4} \geq \frac{3}{5}$ care este adevărată din inegalitatea lui T. Andreescu: + +$\frac{1^{2}}{3 a+4}+\frac{1^{2}}{3 b+4}+\frac{1^{2}}{3 c+4} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{3(a+b+c)+12}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ + +$3 \mathbf{p}$ + +2. Ecuația se scrie $\{x\}^{2}+22\{x\}=10([x]+\{x\})-9 \Leftrightarrow\{x\}^{2}+12\{x\}=10[x]-9 \ldots \mathbf{1 p}$ + +Deoarece $\{x\} \in[0,1) \Rightarrow\{x\}^{2}+12\{x\} \in[0,13) \Rightarrow 10[x]-9 \in[0,13) \Rightarrow[x] \in\left[\frac{9}{10}, \frac{22}{10}\right)$ + +adică $[x]=1$ sau $[x]=2$ $\qquad$ . 3 p + +Pentru $[x]=1$ se obține $\{x\}^{2}+12\{x\}-1=0$ cu soluția admisibilă $\{x\}=-6+\sqrt{37}$ adică $x=-5+\sqrt{37}$ iar pentru $[x]=2$ se obține $\{x\}^{2}+12\{x\}-11=0$ cu soluția admisibilă $\{x\}=-6+\sqrt{47}$ adică $x=-5+\sqrt{47}$ + +..3p + +3. Notăm $\frac{B M}{M C}=k, \frac{C N}{N A}=p, \frac{A P}{P B}=q$. + +Atunci $\overrightarrow{A M}=\frac{\overrightarrow{A B}+k \overrightarrow{A C}}{1+k}=\overrightarrow{M A^{\prime}}$ + +$\overrightarrow{M C}=\frac{1}{k+1} \overrightarrow{B C} \Rightarrow \overrightarrow{C M}=\frac{1}{k+1}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B})$ + +$1 p$ + +Deci $\overrightarrow{C A^{\prime}}=\overrightarrow{C M}+\overrightarrow{M A^{\prime}}=\frac{2 \overrightarrow{A B}+(k-1) \overrightarrow{A C}}{k+1}$ + +$.1 p$ + +$\overrightarrow{N B^{\prime}}=\overrightarrow{B N}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A N}=-\overrightarrow{A B}+\frac{1}{p+1} \overrightarrow{A C}$ + +$\overrightarrow{C B^{\prime}}=\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{N B^{\prime}}=-\overrightarrow{A B}+\frac{1-p}{p+1} \overrightarrow{A C}$ + +$.2 p$ + +## EDUCAȚIEI NATIONALE ŞI CERCETĂRII
ŞTIINŢIFICE + +Dar $C \in\left(A^{\prime} B^{\prime}\right) \Leftrightarrow \overrightarrow{C A^{\prime}}, \overrightarrow{C B^{\prime}}$ sunt coliniari + +$$ +\Leftrightarrow \frac{\frac{2}{1+k}}{-1}=\frac{\frac{k-1}{k+1}}{\frac{1-p}{p+1}} \Leftrightarrow \frac{2}{p+1}=\frac{k-1}{p-1} \Leftrightarrow p k-3 p+k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{3 p-1}{p+1} \ldots \ldots . . .2 \mathbf{2} +$$ + +Analog $A \in\left(B^{\prime} C^{\prime}\right), B \in\left(C^{\prime} A^{\prime}\right) \Leftrightarrow p=\frac{3 q-1}{q+1}, q=\frac{3 k-1}{k+1}$. + +Substituind avem $p=\frac{2 k-1}{k} \Rightarrow k=\frac{5 k-3}{3 k-1} \Leftrightarrow(k-1)^{2}=0 \Leftrightarrow k=1 \Rightarrow p=q=1 . .1 \mathbf{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-145-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-145-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b90eb33894fead54eaaf19062c994c9a2484bd09 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-145-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a XII-a + +1. Se consideră funcţia $f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}$. + +a) Calculaţi $f^{\prime}(x), x>-1$. + +b) Calculaţi $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+3 x}{(x+1)^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x$. + +2. Arătaţi că mulţimea $G=\left\{A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=I_{2}\right.$, $\left.\operatorname{det}(A)=1\right\}$ este un subgrup comutativ al grupului multiplicativ al matricelor pătratice reale nesingulare de ordinul doi. + +Cătălin Ciupală + +3. Fie $\mathcal{P}$ mulţimea matricelor reale de ordinul 3 , care au pe fiecare linie şi pe fiecare coloană un singur element egal cu 1 , iar celelalte sunt egale cu 0 . + +a) Arătaţi că $\mathcal{P}$ este grup necomutativ în raport cu înmulţirea matricelor. + +b) Calculaţi $S=\sum_{A \in \mathcal{P}}(\operatorname{det}(A))^{2}$. + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii, decembrie 2015, enunţ modificat + +4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă si $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a funcţiei $f$. Să se demonstreze că nu există $a, b \in \mathbb{R}^{*}$, astfel încât $f(a x+b F(x))=a x+b, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Romeo Ilie + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 26 februarie 2016 + +Soluţii + +## Clasa a XII-a + +1. Se consideră funcţia $f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}$. + +a) Calculaţi $f^{\prime}(x), x>-1$. + +b) Calculaţi $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+3 x}{(x+1)^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x$. + +## Soluţie. + +a) Pentru $x>-1$, avem $f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{(x+1)^{2} \sqrt{x^{2}+1}}$. (2p) + +b) Avem + +$$ +\begin{aligned} +\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+3 x}{(x+1)^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x & =\int_{0}^{1} \frac{(x+1)^{2}+(x-1)}{(x+1)^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x(\mathbf{p}) \\ +& =\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} d x+\int_{0}^{1}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}\right)^{\prime} d x(\mathbf{p} \mathbf{)} \\ +& =\left.\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right|_{0} ^{1}+\left.\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}\right|_{0} ^{1}(\mathbf{1} \mathbf{p}) \\ +& =\ln (1+\sqrt{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}-1 .(\mathbf{1} \mathbf{p}) +\end{aligned} +$$ + +2. Arătaţi că mulţimea $G=\left\{A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=I_{2}\right.$, $\left.\operatorname{det}(A)=1\right\}$ este un subgrup comutativ al grupului multiplicativ al matricelor pătratice reale nesingulare de ordinul doi. + +Solutie. Avem $A^{2}-\operatorname{Tr}(A) A+\operatorname{det}(A) I_{2}=O_{2}, \forall A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. (1p) Pentru $A \in G$, obţinem $2 I_{2}-\operatorname{Tr}(A) A=O_{2}$, deci $\exists a \in \mathbb{R}^{*}$ astfel ca $A=a I_{2}$. (3p) Din condiţia $\operatorname{det}(A)=1$, obţinem $a= \pm 1$. Rezultă $G=\left\{I_{2},-I_{2}\right\}$. (2p) + +În mod elementar, verificăm că $(G, \cdot)$ este grup abelian. (1p) + +3. Fie $\mathcal{P}$ mulţimea matricelor reale de ordinul 3, care au pe fiecare linie şi pe fiecare coloană un singur element egal cu 1 , iar celelalte sunt egale cu 0 . + +a) Arătaţi că $\mathcal{P}$ este grup necomutativ în raport cu înmulţirea matricelor. + +b) Calculaţi $S=\sum_{A \in \mathcal{P}}(\operatorname{det}(A))^{2}$. + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii, decembrie 2015, enunţ modificat + +## Soluţie. + +a) Fie ( $S_{3}, \circ$ ) grupul permutărilor de ordinul 3 si funcţia $f: S_{3} \rightarrow \mathcal{P}, f(\sigma)=A_{\sigma}$, unde matricea $A_{\sigma}=\left(a_{i j}^{(\sigma)}\right)_{i, j=\overline{1,3}}$ este definită prin $a_{i j}^{(\sigma)}=\left\{\begin{array}{l}1, j=\sigma(i) \\ 0, j \neq \sigma(i)\end{array} \quad, i=\overline{1,3}\right.$. Funcţia $f$ este corect definită şi bijectivă, deci $\mathcal{P}=\left\{A_{\sigma} \mid \sigma \in S_{3}\right\}$. (1p) Pentru $A_{\sigma} \in \mathcal{P}$, avem $\operatorname{det}\left(A_{\sigma}\right)=\operatorname{sgn}(\sigma) \in\{-1,1\}$. (1p) + +Fie $A_{\sigma}, A_{\tau} \in \mathcal{P}$. Avem $A_{\sigma} A_{\tau}=\left(c_{i j}\right)_{i, j=\overline{1,3}}$, unde + +$c_{i j}=\sum_{k=1}^{3} a_{i k}^{(\sigma)} a_{k j}^{(\tau)}=a_{\sigma(i) j}^{(\tau)}=\left\{\begin{array}{l}1, j=\tau(\sigma(i)) \\ 0, j \neq \tau(\sigma(i))\end{array} \quad=a_{i j}^{(\tau \circ \sigma)}\right.$. Deci $A_{\sigma} A_{\tau}=A_{\tau \circ \sigma} \in \mathcal{P}$. + +Astfel $\mathcal{P}$ este parte stabilă finită a grupului multiplicativ al matricelor reale nesingulare de ordinul 3. (2p) + +Rezultă că $(\mathcal{P}, \cdot)$ este grup. (1p) + +Cum $\left(S_{3}, \circ\right.$ ) este grup necomutativ, $(\mathcal{P}, \cdot)$ este de asemenea grup necomutativ. (1p) + +b) Avem $S=\sum_{\sigma \in S_{3}}\left(\operatorname{det}\left(A_{\sigma}\right)\right)^{2}=\sum_{\sigma \in S_{3}} 1=\left|S_{3}\right|=3!=6$. + +4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă şi $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a funcţiei $f$. Să se demonstreze că nu există $a, b \in \mathbb{R}^{*}$, astfel încât $f(a x+b F(x))=a x+b, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Romeo Ilie + +## Soluţie. + +Presupunem, prin absurd, $\exists a, b \in \mathbb{R}^{*}$ a.î. $f(a x+b F(x))=a x+b, \forall x \in \mathbb{R}$. Considerăm funcţiile $g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definite prin $g(x)=a x+b F(x)$ şi $h(x)=a x+b$. Conform presupunerii, avem $f \circ g=h$. (1p) + +Funcţia $h$ este bijectivă, deci $g$ este injectivă şi $f$ este surjectivă. (2p) + +Cum $g$ este continuă şi injectivă, $g$ este strict monotonă pe $\mathbb{R}$. (1p) + +Dar $g$ este şi derivabilă, cu $g^{\prime}(x)=a+b f(x), x \in \mathbb{R}$. (1p) + +$g$ fiind strict monotonă, avem $g^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ sau $g^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. (1p) + +Deci $a+b f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$, sau $a+b f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. In ambele cazuri $f \mathrm{nu}$ este surjectivă. Contradicţie. (1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-146-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-146-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c273f39fcd757c8ec1514450d7ec79714dc90935 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-146-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a XI-a + +1. Fie matricea $A_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2} & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \cos \alpha & 2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2} & \cos \alpha \\ \cos \alpha & \cos \alpha & 2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}), \quad \alpha \in[0,2 \pi)$. + +a) Arătaţi că $A_{\alpha}^{n}=\frac{1}{3}\left[(3 \cos \alpha+1)^{n}-1\right] \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)+I_{3},(\forall) n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +b) Fie $S\left(A_{\alpha}^{n}\right)$ suma elementelor matricei $A_{\alpha}^{n}$. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S\left(A_{\alpha}^{n}\right)}{4^{n}}$. Discuţie în funcţie de $\alpha$. + +Ioana Maşca + +2. Arătaţi că există o infinitate de matrice $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ pentru care $A^{3}=I_{2}$. + +Cătălin Ciupală + +3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{n}=\left\{(2+\sqrt{3})^{n}\right\}^{\frac{a n}{(2-\sqrt{3})^{n}}}, n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $a \in \mathbb{R}^{*}$, iar $\{t\}$ desemnează partea fracţionară numărului real $t$. + +a) Arătaţi că $(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N} *$. + +b) Precizaţi valorile parametrului $a$ pentru care şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +Florica Zubaşcu-Andreica + +4. Fie $\mathcal{P}$ mulţimea matricelor de ordinul $n, n \geq 2$, care au pe fiecare linie şi pe fiecare coloană un singur element egal cu 1 , iar celelalte sunt egale cu 0 . + +a) Să se demonstreze că există o funcţie bijectivă $\varphi: S_{n} \longrightarrow \mathcal{P}$, unde $S_{n}$ este mulţimea permutărilor de ordinul $n$. + +b) Calculaţi $S=\sum_{A \in \mathcal{P}}(\operatorname{det}(A))^{2}$. + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii, decembrie 2015, enunţ modificat + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 26 februarie 2016 + +## Soluţii + +## Clasa a XI-a + +1. Fie matricea $A_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2} & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \cos \alpha & 2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2} & \cos \alpha \\ \cos \alpha & \cos \alpha & 2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}), \alpha \in[0,2 \pi)$. + +a) Arătaţi că $A_{\alpha}^{n}=I_{3}+\frac{(3 \cos \alpha+1)^{n}-1}{3} \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Fie $S\left(A_{\alpha}^{n}\right)$ suma elementelor matricei $A_{\alpha}^{n}$. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S\left(A_{\alpha}^{n}\right)}{4^{n}}$. Discuţie în funcţie de $\alpha$. + +Ioana Maşca + +## Soluţie. + +a) Fie $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$. Din $2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=1+\cos \alpha$, obţinem $A_{\alpha}=I_{3}+\cos \alpha \cdot B$. (1p) Avem $B^{k}=3^{k-1} B, k \in \mathbb{N}^{*}$ (demonstraţie prin inducţie). (1p) + +Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Aplicând formula binomului lui Newton, obţinem + +$$ +A_{\alpha}^{n}=I_{3}+\sum_{k=1}^{n}\left(C_{n}^{k} \cos ^{k} \alpha\right) B^{k}=I_{3}+\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} 3^{k-1} \cos ^{k} \alpha\right) B=I_{3}+\frac{(3 \cos \alpha+1)^{n}-1}{3} B +$$ + +b) $S\left(A_{\alpha}^{n}\right)=3+9 \cdot \frac{(3 \cos \alpha+1)^{n}-1}{3}=3(3 \cos \alpha+1)^{n}$. (1p) + +Dacă $\alpha \in(0,2 \pi)$, atunci $|3 \cos \alpha+1|<4$. Rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S\left(A_{\alpha}^{n}\right)}{4^{n}}=0$. (1p) + +Dacă $\alpha=0$, atunci $S\left(A_{\alpha}^{n}\right)=3 \cdot 4^{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S\left(A_{\alpha}^{n}\right)}{4^{n}}=3$. (1p) + +2. Arătaţi că există o infinitate de matrice $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ pentru care $A^{3}=I_{2}$. + +Cătălin Ciupală + +## Soluţie. + +Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$. Dacă $A^{2}+A+I_{2}=O_{2}$, atunci $A^{3}=I_{2}$. (1p) + +Pentru a avea $A^{2}+A+I_{2}=O_{2}$, este suficient ca $\operatorname{Tr}(A)=-1$ şi $\operatorname{det}(A)=1$. (2p) + +Astfel, matricele $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ de forma $\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -c & -a-1\end{array}\right)$, cu $b c=a^{2}+a+1$, au proprietatea $A^{3}=I_{2}$. $(2 \mathbf{p})$ + +De exemplu, familia infinită de matrice $A_{k}=\left(\begin{array}{cc}k & k^{2}+k+1 \\ -1 & -k-1\end{array}\right), k \in \mathbb{Z}$, satisface cerinţa. ( 2 p) + +3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{n}=\left\{(2+\sqrt{3})^{n}\right\}^{\frac{a n}{(2-\sqrt{3})^{n}}}, n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $a \in \mathbb{R}^{*}$, iar $\{t\}$ desemnează partea fracţionară numărului real $t$. + +a) Arătaţi că $(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Precizaţi valorile parametrului $a$ pentru care şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +Florica Zubaşcu-Andreica + +## Soluţie. + +a) Avem $(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}=2 \sum_{k=0}^{[n / 2]} C_{n}^{2 k} 2^{n-2 k} 3^{k} \in \mathbb{N}$, $\forall n \in N^{*}$. + +b) Din a) şi $(2-\sqrt{3})^{n} \in(0,1)$, deducem $\left[(2+\sqrt{3})^{n}\right]=(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}-1$. Rezultă $\left\{(2+\sqrt{3})^{n}\right\}=1-(2-\sqrt{3})^{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. (2p) + +Astfel, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1-(2-\sqrt{3})^{n}\right)^{-\frac{1}{(2-\sqrt{3})^{n}}}\right]^{-n a}=\left\{\begin{array}{ll}0, & a>0 \\ \infty, & a<0\end{array}\right.$. + +Deci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent pentru $a>0$. (3p) + +4. Fie $\mathcal{P}$ mulţimea matricelor de ordinul $n, n \geq 2$, care au pe fiecare linie şi pe fiecare coloană un singur element egal cu 1 , iar celelalte sunt egale cu 0 . + +a) Să se demonstreze că există o funcţie bijectivă $\varphi: S_{n} \longrightarrow \mathcal{P}$, unde $S_{n}$ este mulţimea permutărilor de ordinul $n$. + +b) Calculaţi $S=\sum_{A \in \mathcal{P}}(\operatorname{det}(A))^{2}$. + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii, decembrie 2015, enunţ modificat + +## Soluţie. + +a) Definim $\varphi: S_{n} \longrightarrow \mathcal{P}, \varphi(\sigma)=\left(a_{i j}\right)_{i, j=\overline{1, n}}$, cu $a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}1, j=\sigma(i) \\ 0, j \neq \sigma(i)\end{array} \quad, \sigma \in S_{n}(\mathbf{2 p})\right.$ + +Funţia $\varphi$ este inversabilă, cu inversa $\varphi^{-1}: P \rightarrow S_{n}$ definită prin $\varphi^{-1}\left(\left(a_{i j}\right)_{i, j=\overline{1, n}}\right)=\sigma$, unde $\sigma(i)=j$, pentru $j \in\{1,2, \cdots, n\}$ astfel ca $a_{i j}=1$. Deci $\varphi$ este bijectivă. (2p) + +b) Pentru $A=\varphi(\sigma) \in \mathcal{P}$, avem $\operatorname{det}(A)=\operatorname{sng}(\sigma) \in\{-1,1\}$. (1p) + +Astfel, $S=\sum_{A \in \mathcal{P}}(\operatorname{det}(A))^{2}=\sum_{\sigma \in S_{n}} 1=\left|S_{n}\right|=n$ !. (2p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-147-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-147-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cffcdc05d6817ad6a44be08b0f63cc9b06d575bc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-147-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,139 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a X-a + +1. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-2[x]$. Arătaţi că funcţia $f$ este bijectivă. (prin $[x]$ am notat partea întreagă a numărului real $x$ ) + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii, martie 2015 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_301a1283b2dbd5b8c744g-1.jpg?height=131&width=1497&top_left_y=1008&top_left_x=291) + +Ioana Maşca + +3. Se consideră numerele complexe distincte $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, de modul egal cu 1 , astfel încât $z_{1}+z_{2}+z_{3}=1$. + +a) Arătaţi că $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt afixele vârfurilor unui triunghi dreptunghic. + +b) Calculaţi $z_{1}^{2015}+z_{2}^{2015}+z_{3}^{2015}$. + +Cătălin Ciupală + +4. Să se determine valoarea minimă a expresiei $E(a, b)=a+b+\frac{1}{a b}$, unde $a, b>0$ şi $a+b \leq 1$. + +Romeo Ilie + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 26 februarie 2016 + +Soluţii + +## Clasa a X-a + +1. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-2[x]$. Arătaţi că funcţia $f$ este bijectivă. (prin $[x]$ am notat partea întreagă a numărului real $x$ ) + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii, martie 2015 + +## Soluţie. + +Metoda 1. + +Avem $f(x)=\{x\}-[x], \forall x \in \mathbb{R}$. (1p) + +Fie $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ astfel ca $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$. Atunci $\left\{x_{1}\right\}-\left\{x_{2}\right\}=\left[x_{1}\right]-\left[x_{2}\right] \in \mathbb{Z}$. (1p) Cum $\left\{x_{1}\right\},\left\{x_{2}\right\} \in[0,1)$, avem $\left\{x_{1}\right\}-\left\{x_{2}\right\} \in(-1,1)$. Prin urmare $\left\{x_{1}\right\}-\left\{x_{2}\right\}=0$, de unde $\left[x_{1}\right]-\left[x_{2}\right]=0$, deci $x_{1}=x_{2}$. Rezultă că funcţia $f$ este injectivă. ( $2 \mathbf{p}$ ) + +Fie $y \in \mathbb{R}$. Ecuaţia $f(x)=y, x \in \mathbb{R}$, se reduce la $\{x\}-\{y\}=[x]+[y]$. (1p) + +Deoarece $[x]+[y] \in \mathbb{Z}$, obţinem $\{x\}=\{y\}$, de unde $[x]=-[y]$. Astfel, ecuaţia $f(x)=y$ are soluţia $x=\{y\}-[y]$. Rezultă că $f$ este surjectivă. (2p) + +## Metoda 2. + +$(f \circ f)(x)=x-2[x]-2[x-2[x]]=x-2[x]-2([x]-2[x])=x, \forall x \in \mathbb{R}$. (5p) + +Prin urmare, $f \circ f=1_{\mathbb{R}}$. Rezultă că $f$ este inversabilă, deci bijectivă. (2p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_301a1283b2dbd5b8c744g-2.jpg?height=117&width=1497&top_left_y=1666&top_left_x=291) + +Ioana Maşca + +## Soluţie. + +Ecuaţia este definită pentru $x>0$. + +$$ +\text { Avem } a^{\log _{a}^{k} x}=a^{\log _{a} x \cdot \log _{a}^{k-1} x}=\left(a^{\log _{a} x}\right)^{\log _{a}^{k-1} x}=x^{\log _{a}^{k-1} x}, k \in\{1,2, \cdots, n\} +$$ + +Ecuaţia devine $\sum_{k=1}^{n} x^{\log _{a}^{k-1} x}=n \cdot x^{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log _{a}^{k-1} x}$. + +Conform inegalităţii mediilor, avem + +$\sum_{k=1}^{n} x^{\log _{a}^{k-1} x} \geq n \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} x^{\log _{a}^{k-1} x}}=n \cdot x^{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log _{a}^{k-1} x}$. + +Inegalitatea mediilor devine egalitate dacă şi numai dacă toţi termenii sunt egali. Atunci $x^{\log _{a}^{n-1} x}=\cdots=x^{\log _{a} x}=x$. Obţinem soluţiile $x_{1}=1$ şi $x_{2}=a$. + +3. Se consideră numerele complexe distincte $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, de modul egal cu 1 , astfel încât $z_{1}+z_{2}+z_{3}=1$. + +a) Arătaţi că $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt afixele vârfurilor unui triunghi dreptunghic. + +b) Calculaţi $z_{1}^{2015}+z_{2}^{2015}+z_{3}^{2015}$. + +Cătălin Ciupală + +## Soluţie. + +a) + +Metoda 1. Fie $A\left(z_{1}\right), B\left(z_{2}\right), C\left(z_{3}\right)$ imaginile geometrice ale numerelor complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$. $\triangle A B C$ este înscris în cercul de rază 1 , cu centrul în origine. (1p) + +Fie $G$ centrul de greutate si $H$ ortocentrul triunghiului $A B C$. Afixul lui $G$ este $\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}=\frac{1}{3}$. Din relaţia $\overrightarrow{O H}=3 \overrightarrow{O G}$ rezultă că afixul lui $H$ este 1. (2p) + +Rezultă că $H$ aparţine cercului circumscris $\triangle A B C$, deci $\triangle A B C$ este dreptunghic, cu un vârf de afix egal cu 1. (1p) + +Metoda 2. Dacă $z_{3}=1$, atunci $z_{1}+z_{2}=0$. (1p) + +Dacă $z_{3} \neq 1$, atunci $z_{1}+z_{2}=1-z_{3} \neq 0 .\left(^{*}\right)$ + +Prin conjugare, deducem $\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}=1-\bar{z}_{3} \neq 0$. Deoarece $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ au modulul egal cu 1, obţinem $\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}=1-\frac{1}{z_{3}}$, deci $\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1} z_{2}}=\frac{1-z_{3}}{-z_{3}}$. (1p) + +Din $\left({ }^{*}\right)$ rezultă $z_{1} z_{2}=-z_{3}$. Înlocuind pe $-z_{3}$ în relaţia $\left({ }^{*}\right)$, găsim $z_{1}+z_{2}=1+z_{1} z_{2}$, sau $\left(z_{1}-1\right)\left(z_{2}-1\right)=0$. Atunci $z_{1}=1$ şi $z_{2}+z_{3}=0$ sau $z_{2}=1$ şi $z_{3}+z_{1}=0$. + +Deducem că $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt afixele vârfurilor unui triunghi dreptunghic. (2p) + +b) Conform a), avem $z_{1}+z_{2}=0$ şi $z_{3}=1$ (sau relaţiile analoage). (1p) + +Rezultă $z_{1}^{2015}+z_{2}^{2015}+z_{3}^{2015}=z_{1}^{2005}-z_{1}^{2015}+1=1$. (2p) + +4. Să se determine valoarea minimă a expresiei $E(a, b)=a+b+\frac{1}{a b}$, unde $a, b>0$ şi $a+b \leq 1$. + +Romeo Ilie + +## Soluţie. + +Metoda 1. $E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=5$. (1p) + +$$ +\begin{aligned} +& a+b+\frac{1}{a b}=(a+b)+\frac{1}{4 a b}+\frac{1}{4 a b}+\frac{1}{4 a b}+\frac{1}{4 a b}(\mathbf{2 p}) \\ +& \geq 5 \cdot \sqrt[5]{\frac{a+b}{4^{4}(a b)^{4}}}(\mathbf{1} \mathbf{p}) \\ +& \geq 5 \cdot \sqrt[5]{\frac{(a+b)^{8}}{4^{4}(a b)^{4}}}=5 \cdot \sqrt[5]{\left[\frac{(a+b)^{2}}{4(a b)}\right]^{4}} \\ +& \geq 5 .(1 p) +\end{aligned} +$$ + +Rezultă $\min _{a, b>0, a+b \leq 1} E(a, b)=5 .(1 \mathbf{p})$ + +Metoda 2. $E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=5$. (1p) + +Fie $a, b>0$, cu $a+b \leq 1$. Notăm $S=a+b \in(0,1]$. Deoarece $\left.00, a+b \leq 1} E(a, b)=5 .(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-148-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-148-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..068f4d5bd9f105cdff78282b38844a942384da49 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-148-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a VIII-a + +1. (a) Arătaţi că $\left|\frac{x}{x^{2}+1}\right| \leq \frac{1}{2},(\forall) x \in \mathbb{R}$. + +(b) Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ ecuaţia $\left[\frac{x}{x^{2}+1}\right]=\left[\frac{2 x+1}{3}\right]$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +Ioana Maşca + +2. Fie $x, y, z$ numere reale pentru care sunt adevărate relaţiile: $x=\sqrt{1-2 y z}, y=$ $\sqrt{1-2 z x}, z=\sqrt{1-2 x y}$. Calculaţi $x+y+z$. + +Gazeta Matematică 11/2015. + +3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +x+y+z=2 \sqrt{x-2}+2 \sqrt{y-8}+10 \sqrt{z-4}-13 +$$ + +Ioana Ciocirlan + +4. Considerăm o piramidă patrulateră regulată $S M N P Q$, cu vârful $S$ şi centrul bazei $O$, având toate muchiile de lungime $l$. Fie $T$ simetricul lui $M$ faţă de dreapta $N P$. + +a) Calculaţi distanţa dintre dreptele $S O$ şi $P T$. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul $M$ la planul (SNP). + +c) Aflaţi tangenta unghiului format de planele (SMT) şi (MPS). + +d) O furnică porneşte din $S$, se deplasează pe faţa $S M N$, atinge muchia $[M N]$ într-un punct $A$, iar apoi se deplasează pe baza $M N P Q$ până ajunge în punctul $F$, mijlocul muchiei $[N P]$. Calculaţi $N A$ ştiind că drumul parcurs de furnică din $S$ până în $F$ are lungimea minimă. + +Dorina Bocu + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 26 februarie 2016 + +Soluţii + +## Clasa a VIII-a + +1. a) Arătaţi că $\left|\frac{x}{x^{2}+1}\right| \leq \frac{1}{2}, \forall x \in \mathbb{R}$. + +b) Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ ecuaţia $\left[\frac{x}{x^{2}+1}\right]=\left[\frac{2 x+1}{3}\right]$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$. + +Ioana Maşca + +## Soluţie. + +a) Pentru orice număr real, avem $\left|\frac{x}{x^{2}+1}\right| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2|x| \leq x^{2}+1 \Leftrightarrow(|x|-1)^{2} \geq 0$. (3p) + +b) Dacă $x<0$, atunci $\frac{x}{x^{2}+1} \in\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$, deci $\left[\frac{x}{x^{2}+1}\right]=-1$. Ecuaţia devine $-1=\left[\frac{2 x+1}{3}\right]$, echivalentă cu $-1 \leq \frac{2 x+1}{3}<0$. Obţinem $x \in\left[-2,-\frac{1}{2}\right) \subset(-\infty, 0)$. (2p) + +Dacă $x \geq 0$, atunci $\frac{x}{x^{2}+1} \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$, deci $\left[\frac{x}{x^{2}+1}\right]=0$. Ecuaţia devine $0=\left[\frac{2 x+1}{3}\right]$, echivalentă cu $0 \leq \frac{2 x+1}{3}<1$. Obţinem $x \in\left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cap[0, \infty)=[0,1)$. (1p) + +În concluzie, mulţimea soluţiilor ecuaţiei este $S=\left[-2,-\frac{1}{2}\right) \cup[0,1)$. (1p) + +2. Fie $x, y, z$ numere reale pentru care sunt adevărate relaţiile: $x=\sqrt{1-2 y z}, y=$ $\sqrt{1-2 z x}, z=\sqrt{1-2 x y}$. Calculaţi $x+y+z$. + +Gazeta Matematică 11/2015. + +## Soluţie. + +Fie $x, y, z \in \mathbb{R}$ cu proprietătile din enunţ. Atunci $x, y, z \geq 0$, deci $x+y+z \geq 0 . \mathbf{( 2 p )}$. + +Din ipoteză, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(1-2 y z)+(1-2 z x)+(1-2 x y)=3-2(x y+y z+z x)$. (1p Atunci $(x+y+z)^{2}=3$, de unde $x+y+z \in\{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$. (3p) + +Din $x+y+z \geq 0$, rezultă $x+y+z=\sqrt{3}$. (1p) + +3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +x+y+z=2 \sqrt{x-2}+2 \sqrt{y-8}+10 \sqrt{z-4}-13 . +$$ + +Ioana Ciocirlan + +## Soluţie. + +Ecuaţia este definită pentru $x \in[2, \infty), y \in[8, \infty), z \in[4, \infty)$. (1p) + +Ecuaţia este echivalentă cu $(\sqrt{x-2}-1)^{2}+(\sqrt{y-8}-1)^{2}+(\sqrt{z-4}-5)^{2}=0 .(3 p)$ O sumă de pătrate de numere reale este nulă numai dacă fiecare număr este nul. (1p) Se obţine soluţia unică: $x=3, y=9, z=29$. (2p) + +4. Considerăm o piramidă patrulateră regulată $S M N P Q$, cu vârful $S$ şi centrul bazei $O$, având toate muchiile de lungime $l$. Fie $T$ simetricul lui $M$ faţă de dreapta $N P$. + +a) Calculaţi distanţa dintre dreptele $S O$ şi $P T$. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul $M$ la planul (SNP). + +c) Aflaţi tangenta unghiului format de planele $(S M T)$ şi (MPS). + +d) O furnică porneşte din $S$, se deplasează pe faţa $S M N$, atinge muchia $[M N]$ într-un punct $A$, iar apoi se deplasează pe baza $M N P Q$ până ajunge în punctul $F$, mijlocul muchiei $[N P]$. Calculaţi $N A$ ştiind că drumul parcurs de furnică din $S$ până în $F$ are lungimea minimă. + +Dorina Bocu + +## Soluţie. + +a) $\triangle P M N$ şi $\triangle P N T$ sunt triunghiuri dreptunghice isoscele. Rezultă $O P \perp P T$. Dar $S O \perp(M N P)$, deci $O P \perp S O$. Atunci $O P$ este perpendiculara comună a dreptelor $S O$ şi $P T$. Ca urmare, $d(S O, P T)=O P=\frac{l \sqrt{2}}{2}$. (1p) + +b) Fie $E$ şi $F$ mijloacele muchiilor $[M Q]$ şi $[N P] . M Q \| N P$, cu $N P \subset(S N P)$, de unde $M Q \|(S N P)$. Rezultă $d(M,(S N P))=d(E,(S N P))$. + +Construim $E H \perp S F, H \in S F$. Atunci, din $S F \perp N P, E F \perp N P$ şi $S F, N P \in(S N P)$, rezultă $E H \perp(S N P)$, deci $d(E,(S N P))=E H$. Din $\triangle S O M$ obţinem $S O=l / \sqrt{2}$. + +$$ +\mathcal{A}_{S E F}=\frac{E F \cdot S O}{2}=\frac{S F \cdot E H}{2}, \text { de unde } E H=\frac{E F \cdot S O}{S F}=l \cdot \frac{l \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{l \sqrt{3}}=\frac{l \sqrt{6}}{3} \cdot(\mathbf{2} \mathbf{p}) +$$ + +c) $P T \perp M P$ sुi $P T \perp S O$, de unde $P T \perp(S M P)$. $\triangle S M P \equiv \triangle N M P$ (L.L.L.), deci $m(\overline{M S P})=90^{\circ}$. Cf. Teoremei celor 3 perpendiculare, $P T \perp(S M P), P S \perp M S$ sुi $S P, M S \subset$ $(S M P)$ implică $T S \perp M S$. $(S M T) \cap(M S P)=M S, S T \perp M S, S T \subset(S T M), S P \perp M S$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6e5542fea3c43ef4ac06g-3.jpg?height=72&width=1033&top_left_y=1803&top_left_x=243) + +Triunghiul $\triangle S P T$ este dreptunghic în $P$, deci $\operatorname{tg}(\widehat{P S T})=\frac{P T}{P S}=\frac{l \sqrt{2}}{l}=\sqrt{2}$. $(2 \mathbf{p})$ + +d) Fie $S^{\prime} \in(M N P)$, astfel ca $\triangle S^{\prime} M N$ să fie echilateral, iar $S^{\prime}$ şi $F$ să fie în semiplane opuse faţă de $M N$. Lungimea drumului minim parcurs de furnică este lungimea segmentului $\left[S^{\prime} F\right]$ Astfel, $\{A\}=\left[S^{\prime} F\right] \cap[M N]$. Fie $B$ mijlocul lui $[M N]$. Avem $S^{\prime} B=\frac{l \sqrt{3}}{2}$. $S B \| N F$ implică $\triangle N A F \sim \triangle B A S$, de unde $\frac{N A}{B A}=\frac{N F}{S^{\prime} B}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Atunci $\frac{N A}{N B}=\frac{1^{2}}{1+\sqrt{3}}$. Obtinem $N A=\frac{l(\sqrt{3}-1)}{4}$. (2p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-149-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-149-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2dc553ca784f78bc3c731a4a3fa1d3f29c5031d2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-149-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a VII-a + +1. Se dau numerele: + +$$ +\begin{aligned} +a & =\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{2016}} \\ +b & =3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{2016} \\ +c & =\frac{b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}-1 +\end{aligned} +$$ + +Arătaţi că $c$ este pătrat perfect. + +Gazeta Matematică. Supliment cu exerciţii, aprilie 2015 + +2. Determinaţi numerele $\overline{a b}$ pentru care există un număr prim $k$ astfel încât + +$$ +a \cdot b=k(a+b) +$$ + +Cătălin Ciupală + +3. În triunghiul $A B C$, cu $m(\widehat{A})=60^{\circ}$ şi $A B=\frac{2}{3} A C$, construim mediana $[C M]$. + +a) Arătaţi că $C M=B C$. + +b) Fie $P \in(A B)$, astfel ca $2 A P=A C$, iar $S$ simetricul punctului $C$ faţă de punctul $P$. Arătaţi că patrulaterul $C B S M$ este romb. + +c) Fie $T \in(A C)$, astfel ca $3 T C=2 A C$. Paralela prin $A$ la $B C$ intersectează $B T$ în $V$. Arătaţi că patrulaterul $A B C V$ este un trapez ortodiagonal neisoscel. + +Dorina Bocu +4. $A B C D$ este un paralelogram în care $A C=2 A D$. Fie $E$ simetricul lui $A$ faţă de $B$ şi $\{F\}=E O \cap B C$, unde $\{O\}=A C \cap B D$. Construim $F M \| A C$, cu $M \in(A B)$. + +a) Arătaţi că $C M \perp B D$. + +b) Calculaţi $\mathcal{A}_{A B C D}$ ştiind că $B D=5 \mathrm{~cm}$ şi $C M=4 \mathrm{~cm}$. + +Dorina Rapcea + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 26 februarie 2016 + +Soluţii + +## Clasa a VII-a + +1. Se dau numerele: + +$$ +\begin{aligned} +a & =\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{2016}} \\ +b & =3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{2016} \\ +c & =\frac{b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}-1 +\end{aligned} +$$ + +Arătaţi că $c$ este pătrat perfect. + +Gazeta Matematică. Supliment cu exerciţii, aprilie 2015 + +## Soluţie. + +$$ +\begin{aligned} +a & =\sqrt{3}+3+3 \sqrt{3}+3^{2}+\cdots+3^{1007} \sqrt{3}+3^{1008} \\ +& =3\left(1+3+\cdots+3^{1007}\right)+\sqrt{3}\left(1+3+\cdots+3^{1007}\right) \\ +& =\left(1+3+\cdots+3^{1007}\right)(3+\sqrt{3}) \cdot(\mathbf{p} \mathbf{p}) \\ +b & =3\left(1+3+\cdots+3^{2015}\right) \cdot(\mathbf{p}) \\ +\frac{b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} & =\frac{1+3+\cdots+3^{2015}}{1+3+\cdots+3^{1007}}(\mathbf{2} \mathbf{p}) \\ +c & =\frac{3^{1008}+3^{1009}+\cdots+3^{2015}}{1+3+\ldots+3^{1007}}=3^{1008}=\left(3^{504}\right)^{2} \cdot(\mathbf{2} +\end{aligned} +$$ + +2. Determinaţi numerele $\overline{a b}$ pentru care există un număr prim $k$ astfel încât + +$$ +a \cdot b=k(a+b) +$$ + +Cătălin Ciupală + +## Soluţie. + +Relaţia din ipoteză poate fi scrisă $(a-k)(b-k)=k^{2}$. (2p) + +Atunci, deoarece $a \geq 1$ şi $k$ este număr prim, rezultă $(a-k) \in\left\{1, k, k^{2}\right\}$. (2p) + +Dacă $a-k=1$, atunci $a=k+1$ şi $b=k^{2}+k$. Cum $k$ este prim şi $b \leq 9$, deducem $k=2$. Obţinem numărul 36. (1p) + +Dacă $a-k=k$, atunci $a=b=2 k$. Cum $k$ este prim şi $a, b \leq 9$, deducem $k \in\{2,3\}$. Obţinem numerele 44 şi 66. (1p) + +Dacă $a-k=k^{2}$, atunci $a=k^{2}+k$ şi $b=k+1$. Cum $k$ este prim şi $a \leq 9$, deducem $k=2$. Obţinem numărul 63 . (1p) + +3. În triunghiul $A B C$, cu $m(\widehat{A})=60^{\circ}$ si $A B=\frac{2}{3} A C$, construim mediana $[C M]$. + +a) Arătaţi că $C M=B C$. + +b) Fie $P \in(A B)$, astfel ca $2 A P=A C$, iar $S$ simetricul punctului $C$ faţă de punctul $P$. Arătaţi că patrulaterul $C B S M$ este romb. + +c) Fie $T \in(A C)$, astfel ca $3 T C=2 A C$. Paralela prin $A$ la $B C$ intersectează $B T$ în $V$. Arătaţi că patrulaterul $A B C V$ este un trapez ortodiagonal neisoscel. + +Dorina Bocu + +## Soluţie. + +a) Notăm $A C=b$. Atunci $A B=\frac{2 b}{3}$, iar $A M=M B=\frac{b}{3}$. Pe semidreapta ( $A B$ considerăm punctul $D$ astfel încât $A D=A C$. Cum $m(\widehat{A})=60^{\circ}, \triangle A D C$ este echilateral. Din $D B=\frac{b}{3}=A M$, rezultă $\triangle A M C \equiv \triangle D B C$ (LUL), de unde $C M=B C$. (3p) + +b) Avem $M P=A P-A M=\frac{b}{2}-\frac{b}{3}=\frac{b}{6}$ si $P B=A B-A P=\frac{2 b}{3}-\frac{b}{2}=\frac{b}{6}$. Rezultă $M P=P B$. Dar $S P=P C$. Deducem că $B C M S$ este paralelogram. (2p) $C P \perp A D$, ca mediană în triunghiul echilateral $\triangle A D C$. Atunci $B C M S$ este romb. (1p) +c) $A V \| B C$, cu $A VB T$, deci $A B C V$ este trapez neisoscel. (1p) +4. $A B C D$ este un paralelogram în care $A C=2 A D$. Fie $E$ simetricul lui $A$ faţă de $B$ şi $\{F\}=E O \cap B C$, unde $\{O\}=A C \cap B D$. Construim $F M \| A C$, cu $M \in(A B)$. + +a) Arătaţi că $C M \perp B D$. + +b) Calculaţi $\mathcal{A}_{A B C D}$ ştiind că $B D=5 \mathrm{~cm}$ şi $C M=4 \mathrm{~cm}$. + +Dorina Rapcea + +## Soluţie. + +a) În $\triangle A C E, C B$ şi $E O$ sunt mediane concurente în $F$, deci $F$ este centrul de greutate al triunghiului. Rezultă $\frac{B F}{C F}=\frac{1}{2}$. + +În $\triangle A B C, M F \| A C$; conform teoremei lui Thales, avem $\frac{B F}{C F}=\frac{B M}{A M}$. Obţinem $\frac{B M}{A M}=\frac{1}{2}$. În $\triangle A B C, \frac{C B}{C A}=\frac{A D}{C A}=\frac{1}{2}=\frac{B M}{A M}$. Atunci, conform reciprocei teoremei bisectoarei, ( $C M$ este bisectoarea unghiului $\widehat{A C B}$. Cum $\triangle B O C$ este isoscel, deducem $C M \perp B D$. (4p) + +b) Fie $B D \cap C M=\{N\}$. Conform T.F.A., $\triangle C N D \sim \triangle M N B$, de unde $\frac{C N}{M N}=\frac{C D}{M B}$. Dar $\frac{C D}{M B}=\frac{A B}{M B}=3$. Obţinem $\frac{C N}{C M}=\frac{C N}{C N+M N}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$, de unde $C N=3 \mathrm{~cm}$. Atunci $\mathcal{A}_{A B C D}=2 \mathcal{A}_{B C D}=B D \cdot C N=15 \mathrm{~cm}^{2}$. (3p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-15-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 2 de selectie seniori-baraj2_seniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-15-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 2 de selectie seniori-baraj2_seniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..173b148eb5ac5b5376d2f9ddc4398a18703075a7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-15-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 2 de selectie seniori-baraj2_seniori.md @@ -0,0 +1,24 @@ +TESTUL 2, 2022 + +Problema 1. Fie $A B C$ un triunghi scalen ascuţitunghic şi fie $\omega$ cercul său Euler. Tangenta $t_{A}$ a lui $\omega$, prin piciorul înălţimii din $A$ a triunghiului $A B C$, intersectează a doua oară cercul de diametru $A B$ în punctul $K_{A}$. Dreapta determinată de picioarele înălţimilor $\operatorname{din} A$ şi $C$ ale triunghiului $A B C$, intersectează dreptele $A K_{A}$ şi $B K_{A}$ în punctele $L_{A}$, respectiv $M_{A}$, iar dreptele $t_{A}$ şi $C M_{A}$ se intersectează în punctul $N_{A}$. Punctele $K_{B}, L_{B}, M_{B}, N_{B}$ şi $K_{C}, L_{C}$, $M_{C}, N_{C}$ sunt definite în mod analog, pentru tripletele $(B, C, A)$, respectiv $(C, A, B)$. Arătaţi că dreptele $L_{A} N_{A}, L_{B} N_{B}$ şi $L_{C} N_{C}$ sunt concurente. + +Problema 2. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic şi fie $B^{\prime}$ şi $C^{\prime}$ picioarele înălţimilor sale $\operatorname{din} B$, respectiv $C$. Fie $B_{A}^{\prime}$ si $B_{C}^{\prime}$ simetricele lui $B^{\prime}$ în raport cu dreptele $B C$, respectiv $A B$. Cercul $B B_{A}^{\prime} B_{C}^{\prime}$, centrat în $O_{B}$, intersectează a doua oară dreapta $A B$ în $X_{B}$. Punctele $C_{A}^{\prime}$, $C_{B}^{\prime}, O_{C}, X_{C}$ sunt definite în mod analog, prin înlocuirea perechii $\left(B, B^{\prime}\right)$ cu perechea $\left(C, C^{\prime}\right)$. Arătaţi că $O_{B} X_{B}$ şi $O_{C} X_{C}$ sunt paralele. + +Problema 3. Fixăm un număr întreg $n \geq 2$ şi considerăm $n^{2}$ numere reale strict pozitive $a_{i j}$, $i, j=1, \ldots, n$, care îndeplinesc simultan următoarele două condiţii: + +(1) $a_{i i}=1, i=1, \ldots, n$; şi + +(2) Pentru fiecare $j=2, \ldots, n$, numerele $a_{i j}, i=1, \ldots, j-1$, formează o permutare a numerelor $\frac{1}{a_{j i}}, i=1, \ldots, j-1$. + +Fie $s_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}, i=1, \ldots, n$. Determinaţi valoarea maximă a sumei $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s_{i}}$. + +Problema 4. Orice număr întreg $N$, care este suma a trei pătrate perfecte, este evident exprimabil sub forma + +$$ +N=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{1+a b c d} +$$ + +unde $a, b, c, d$ sunt numere naturale. Este adevărată afirmaţia reciprocă? + +Problema 5. Fixăm două numere întregi $m \geq 2$ şi $n \geq 2$. Fie $S$ o mulţime de puncte laticiale situate în dreptunghiul cartezian $[1, m] \times[1, n]$; un punct laticial este un punct care are ambele coordonate întregi. Arătaţi că, dacă $|S| \geq m+n+\left\lfloor\frac{1}{4} m+\frac{1}{4} n-\frac{1}{2}\right\rfloor$, atunci există un cerc care trece prin cel puţin patru puncte din $S$, distincte două câte două. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-150-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-150-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94891889e4c664eb2893b703189d79b404308753 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-150-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,111 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a VI-a + +1. Se dă proporţia $\frac{x-13}{y}=\frac{x}{y+14}$, în care $x$ şi $y$ sunt numere naturale nenule. Arătaţi că 13 divide pe $x$ sुi 14 divide pe $y$. + +Gazeta Matematică 11/2015. + +2. Să se determine tripletele $(x, y, z)$ de numerele naturale care verifică relaţia + +$$ +\left(2^{x}+1\right) \cdot\left(3^{y}+4\right) \cdot\left(4^{z}-3\right)=2015 +$$ + +Ciocîrlan Ioana + +3. Imaginea de mai jos reprezintă un evantai japonez cu 10 nervuri. Unghiul dintre două nervuri alăturate (pe care le vom presupune fără grosime) are măsura de $15^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ce85c4bb4de565e05ebdg-1.jpg?height=425&width=622&top_left_y=1261&top_left_x=774) + +a) Câte nervuri are un evantai japonez cu proprietatea că, la aceeaşi deschidere (acelaşi unghi dintre nervurile extreme) cu evantaiul din imagine, măsura unghiului dintre două nervuri alăturate este de $11^{\circ} 15^{\prime}$ ? + +b) Câte tipuri de evantaie japoneze au proprietatea că, la o deschidere în semicerc (unghiul dintre nervurile extreme alungit), măsura unghiului dintre două nervuri alăturate, exprimată în grade, este un număr întreg cuprins între 16 şi 32 ? + +Dorina Rapcea + +4. Fie trei naturale nenule $x, y$ şi $z$, cu $x>z$. + +a) Dacă $7 x-5 y+28 z=0$, atunci numărul $y(x-z)$ este divizibil cu 35 . + +b) Să se determine $x, y$ şi $z$ ştiind că sunt numere prime mai mici decât 20 , astfel încât numărul $y(x-z)$ este divizibil cu 35 . + +Dorina Bocu + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016
Soluţii + +## Clasa a VI-a + +1. Se dă proporţia $\frac{x-13}{y}=\frac{x}{y+14}$, in care $x$ şi $y$ sunt numere naturale nenule. Arătaţi că 13 divide pe $x$ şi 14 divide pe $y$. + +Gazeta Matematică 11/2015. + +## Soluţie. + +Avem $x y=(x-13)(y+14)$, sau $13 y+13 \cdot 14=14 x$. (1p) + +Din $13 \mid(13 y)$ şi $13 \mid(13 \cdot 14)$ rezultă că $13 \mid(14 x)$. Cum $(13,14)=1$, obţinem $13 \mid x$. (3p) Din $14 \mid(14 x)$ şi $14 \mid(13 \cdot 14)$ rezultă că $14 \mid(13 y)$. Dar $(13,14)=1$, deci $14 \mid y$. (3p) + +2. Să se determine tripletele $(x, y, z)$ de numerele naturale care verifică relaţia + +$$ +\left(2^{x}+1\right) \cdot\left(3^{y}+4\right) \cdot\left(4^{z}-3\right)=2015 +$$ + +Ciocîrlan Ioana + +## Soluţie. + +Numărul 2015 se descompune în factori primi astfel: $2015=5 \cdot 13 \cdot 31$. (1p) + +Fie $x, y, z \in \mathbb{N}$ astfel ca $\left(2^{x}+1\right) \cdot\left(3^{y}+4\right) \cdot\left(4^{z}-3\right)=2015$. + +Urmărind mulţimea divizorilor lui 2015 , deducem $2^{x}+1=5$ sau $2^{x}+1=65$. (2p) + +1) Dacă $2^{x}+1=5$, atunci $x=2$ şi $\left(3^{y}+4\right) \cdot\left(4^{z}-3\right)=13 \cdot 31=403$. Atunci, unica posibilitate este ca $4^{z}-3=13$. Rezultă $z=2$ şi $y=3$. Deci tripletul $(2,3,2)$ verifică relaţia din enunţ. ( $2 \mathbf{p}$ ) +2) Dacă $2^{x}+1=65$, atunci $x=6$ şi $\left(3^{y}+4\right) \cdot\left(4^{z}-3\right)=31 \cdot 31$. Obţinem $z=1$ şi $y=3$, deci tripletul $(6,3,1)$ verifică relaţia din enunţ. ( $2 \mathbf{p}$ ) +3. Imaginea de mai jos reprezintă un evantai japonez cu 10 nervuri. Unghiul dintre două nervuri alăturate (pe care le vom presupune fără grosime) are măsura de $15^{\circ}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ce85c4bb4de565e05ebdg-2.jpg?height=420&width=619&top_left_y=2183&top_left_x=730) +a) Câte nervuri are un evantai japonez cu proprietatea că, la aceeaşi deschidere (acelaşi unghi dintre nervurile extreme) cu evantaiul din imagine, măsura unghiului dintre două nervuri alăturate este de $11^{\circ} 15^{\prime}$ ? + +b) Câte tipuri de evantaie japoneze au proprietatea că, la o deschidere în semicerc (unghiul dintre nervurile extreme alungit), măsura unghiului dintre două nervuri alăturate, exprimată în grade, este un număr întreg cuprins între 16 şi $32 ?$ + +Dorina Rapcea + +## Soluţie. + +a) Deschiderea evantaiului, măsurată în grade, este de $15^{\circ}(10-1)=135^{\circ}$. (1p) Evantaiul cu proprietatea că, la aceeaşi deschidere cu cel din imagine, măsura unghiului dintre două nervuri alăturate este de $11^{\circ} 15^{\prime}$, are $\frac{135^{\circ}}{11^{\circ} 15^{\prime}}+1=13$ nervuri. + +b) Deoarece unghiul alungit are măsura $180^{\circ}$, măsura în grade a unghiului dintre două nervuri alăturate ar trebuie să fie un divizor al numărului 180. (1p) + +Mulţimea divizorilor lui 180 cuprinşi între 16 şi 32 este $\{18,20,30\}$. (2p) + +Deci există 3 tipuri de evantaie japoneze au proprietatea din enunţ. (1p) + +4. Fie trei naturale nenule $x, y$ şi $z$, cu $x>z$. + +a) Dacă $7 x-5 y+28 z=0$, atunci numărul $y(x-z)$ este divizibil cu 35 . + +b) Să se determine $x, y$ şi $z$ ştiind că sunt numere prime mai mici decât 20 , astfel încât numărul $y(x-z)$ este divizibil cu 35 . + +Dorina Bocu + +## Soluţie. + +a) Din $7(x+4 z)=5 z$ rezultă $7 \mid(5 y)$. Dar $(5,7)=1$, deci $7 \mid y$. (1p) + +Avem $5(y-7 z)=7(x-z)$, de unde $5 \mid[7(x-z)]$. Dar $(5,7)=1$, deci $5 \mid(x-z)$. (1p) + +Din cele două relaţii rezultă că $y(x-z)$ :35. (1p) + +b) Deoarece, pe baza ipotezei, $x-z<35$, trebuie ca $5 \mid y$ sau $7 \mid y$. Cum $y$ este prim, rezultă $y \in\{5,7\}$. (1p) + +Dacă $y=5$, atunci $7 \mid(x-z)$, de unde $(x-z) \in\{7,14\}$. Obţinem soluţiile $(17,5,3)$ şi $(19,5,5)$. + +Dacă $y=7$, atunci $5 \mid(x-z)$, de unde $(x-z) \in\{5,10,15\}$. Obţinem soluţiile $(7,7,2),(17,7,7)$ şi $(17,7,2)$. (3p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-151-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-151-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d66747d64340b6c53c13040a2ddfee4e085f3b15 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-151-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,133 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a V-a + +1. Într-o clasă sunt băieţi şi fete, astfel încât numărul băieţilor divide numărul fetelor. Florin împarte elevilor clasei, în mod egal, 1000 de bomboane. Ştiind că în clasă sunt cel puţin 10 băieţi, iar dacă ar mai veni încă 10 elevi, Florin ar putea, iarăşi, împărţi în mod egal elevilor cele 1000 de bomboane, aflaţi câte bomboane primeşte fiecare elev din clasă. + +Romeo Ilie + +2. Pentru fiecare număr natural $n \geq 2$, considerăm numărul natural $S(n)$ definit prin + +$$ +S(n)=\underbrace{\overline{1 \ldots 1}}_{n \text { ori }}+\underbrace{\overline{2 \ldots 2}}_{n \text { ori }}+\ldots+\underbrace{\overline{9 \ldots 9}}_{n \text { ori }}+10^{n} +$$ + +a) Calculaţi $S(3)$. + +b) Determinaţi restul împărţirii lui $S(n)$ la 3 . + +c) Notăm cu $Q(n)$ câtul împărţirii lui $S(n)$ la 3. Găsiţi câtul împărţirii sumei cifrelor lui $Q(n)$ la 9 . + +Emanuel Munteanu + +3. a) Calculaţi $1^{2}+2^{2}+5^{2}+10^{2}+27^{2}+34^{2}$. + +b) Arătaţi că numărul $2015^{2015}$ poate fi scris ca o sumă de 6 pătrate perfecte. + +Gazeta Matematică. Supliment cu exerciţii, noiembrie 2015 + +4. Aflaţi ultima cifră a numărului $A=12^{12}+22^{22}+32^{32}+\cdots+(10 \cdot 2016+2)^{10 \cdot 2016+2}$. + +Andrei Caţaron + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. Timp de lucru 2 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016
Soluţii + +## Clasa a V-a + +1. Într-o clasă sunt băieţi şi fete, astfel încât numărul băieţilor divide numărul fetelor. Florin împarte elevilor clasei, în mod egal, 1000 de bomboane. Stiind că în clasă sunt cel puţin 10 băieţi, iar dacă ar mai veni încă 10 elevi, Florin ar putea, iarăşi, împărţi în mod egal elevilor cele 1000 de bomboane, aflaţi câte bomboane primeşte fiecare elev din clasă. + +Romeo Ilie + +## Soluţie. + +Fie $b$ numărul băieţilor, $f$ numărul fetelor şi $n=b+f$ numărul elevilor clasei. Conform datelor problemei, $n \mid 1000$. (1p) + +Din $b \mid f$ şi $b \geq 10$ rezultă $n=b+f \geq 2 b \geq 20$. (1p) + +Ca urmare, $n \in\{20,25,40,50,100,125,200,250,500,1000\}$. (1p) + +Din $(n+10) \mid 1000$, rezultă $n=40$. (2p) + +Atunci fiecare elev primeşte $1000: 40=25$ de bomboane. (1p) + +Rămâne să arătam că situaţia indicată de problemă este posibilă. Astfel, din $b \mid f$ şi $b+f=n=40$ deducem $b \mid 40$. Cum $b \geq 10$, obţinem două variante posibile: a) $b=10$ şi $f=30$; b) $b=20$ ş $f=20$. (1p) + +2. Pentru fiecare număr natural $n \geq 2$, considerăm numărul natural $S(n)$ definit prin + +$$ +S(n)=\underbrace{\overline{1 \ldots 1}}_{n \text { ori }}+\underbrace{\overline{2 \ldots 2}}_{n \text { ori }}+\ldots+\underbrace{\overline{9 \ldots 9}}_{n \text { ori }}+10^{n} +$$ + +a) Calculaţi $S(3)$. + +b) Determinaţi restul împărţirii lui $S(n)$ la 3 . + +c) Notăm cu $Q(n)$ câtul împărţirii lui $S(n)$ la 3. Găsiţi câtul împăŗ̧irii sumei cifrelor lui $Q(n)$ la 9 . + +Emanuel Munteanu + +## Solutie. + +a) $S(3)=111 \cdot(1+2+\ldots+9)+10^{3}=111 \cdot 45+1000=5995$. (2p) + +b) Notăm $a=\underbrace{\overline{1 \ldots 1}}_{n \text { ori }}$. Avem $S(n)=a \cdot(1+2+\ldots+9)+9 a+1=54 a+1=3 \cdot 18 a+1$. + +Deci, restul împărţirii lui $S(n)$ la 3 este 1. (3p) + +c) Din b), $Q(n)=18 a=18 \cdot \underbrace{\overline{1 \ldots 1}}_{n \text { ori }}=\overline{1 \underbrace{9 \ldots 9}_{n-1 \text { ori }} 8}$. Suma cifrelor lui $Q(n)$ este atunci $9 n$. + +Deci câtul cerut este $n$. (2p) + +3. a) Calculaţi $1^{2}+2^{2}+5^{2}+10^{2}+27^{2}+34^{2}$. + +b) Arătaţi că numărul $2015^{2015}$ poate fi scris ca o sumă de 6 pătrate perfecte. + +Gazeta Matematică. Supliment cu exerciţii, noiembrie 2015 + +## Soluţie. + +a) $1+4+25+100+729+1156=2015$. (2p) +b) + +$$ +\begin{aligned} +2015^{2015} & =2015 \cdot 2015^{2014} \cdot(\mathbf{2 p}) \\ +& =\left(1^{2}+2^{2}+5^{2}+10^{2}+27^{2}+34^{2}\right) \cdot\left(2015^{2}\right)^{1007}(1 \mathbf{p}) \\ +& =\left(1 \cdot 2015^{1007}\right)^{2}+\left(2 \cdot 2015^{1007}\right)^{2}+\ldots+\left(34 \cdot 2015^{1007}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +4. Aflaţi ultima cifră a numărului $A=12^{12}+22^{22}+32^{32}+\cdots+(10 \cdot 2016+2)^{10 \cdot 2016+2}$. + +Andrei Caţaron + +## Soluţie. + +Termenii sumei $A$ sunt de tipul $(10 n+2)^{10 n+2}$, cu $n \in\{1,2,3, \cdots, 2016\}$. (1p) + +Notăm cu $u(a)$ ultima cifră a unui număr natural $a$ reprezentat in baza 10. + +Pentru $a, m \in \mathbb{N}^{*}$, astfel ca $u(a)=2$, avem + +$$ +u\left(a^{m}\right)=u\left(2^{m}\right)=\left\{\begin{array}{l} +6, \text { dacă } m=4 k \\ +2, \text { dacă } m=4 k+1 \\ +4, \text { dacă } m=4 k+2 \\ +8, \text { dacă } m=4 k+3 +\end{array}, k \in \mathbb{N} .(2 p)\right. +$$ + +Astfel, + +$$ +u\left((10 n+2)^{10 n+2}\right)=u\left(2^{2(5 n+1)}\right)=\left\{\begin{array}{l} +6, \text { dacă } n \text { este impar } \\ +4, \text { dacă } n \text { este par } +\end{array}\right. +$$ + +Cum $n$ ia 1008 valori pare şi 1008 valori impare, obţinem $u(A)=u(1008(6+4))=0$. (2p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-152-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-152-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5cc6a0918cd775299cc79c37f511fd84d2a5a429 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-152-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,102 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 26 februarie 2016 + +## Clasa a IX-a + +1. Arătaţi că numărul $a=2 n^{2}+\left[\sqrt{4 n^{2}+n}\right]+1$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$, poate fi scris ca suma a două pătrate perfecte. ( $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$ ) + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii + +2. În dreptunghiul $A B C D$, fie $M \in(A B)$ şi $N \in(B C)$, astfel încât $\frac{A M}{M B}=4$ şi $\frac{C N}{N B}=2$. Notăm $\{P\}=D N \cap C M$. Arătaţi că $17 \overrightarrow{A P}=15 \overrightarrow{A B}+7 \overrightarrow{A D}$. +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu raţia $r$. Să se demonstreze + +$$ +\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{2 n}\right| \geq n|r|, \quad \forall n \geq 1 +$$ + +Când are loc egalitatea pentru un număr natural nenul $n$, fixat? + +Cătălin Ciupală + +4. Fie $a, b, c \in \mathbb{R}^{*}$. Să se demonstreze că dacă $a b-1=b c=a c+1 \in \mathbb{N}$, atunci $a b c \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +Romeo Ilie + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 26 februarie 2016 + +Soluţii + +## Clasa a IX-a + +1. Arătaţi că numărul $a=2 n^{2}+\left[\sqrt{4 n^{2}+n}\right]+1$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$, poate fi scris ca suma a două pătrate perfecte. ( $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$ ) + +Gazeta Matematică: Supliment cu Exerciţii + +## Soluţie. + +Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Avem $(2 n)^{2}<4 n^{2}+n<(2 n+1)^{2}$. Rezultă $\left[\sqrt{4 n^{2}+n}\right]=2 n$. (4p) Deci $a=2 n^{2}+2 n+1=n^{2}+(n+1)^{2}$. (3p) + +2. În dreptunghiul $A B C D$, fie $M \in(A B)$ si $N \in(B C)$, astfel încât $\frac{A M}{M B}=4$ şi $\frac{C N}{N B}=2$. Notăm $\{P\}=D N \cap C M$. Arătaţi că $17 \overrightarrow{A P}=15 \overrightarrow{A B}+7 \overrightarrow{A D}$. + +Ioana Maşca + +## Soluţie. + +Notăm $\vec{a}=\overrightarrow{A B}$ si $\vec{b}=\overrightarrow{A D}$. Avem $\overrightarrow{D N}=\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C N}=\vec{a}-\frac{2}{3} \vec{b}$. + +Vectorii $\overrightarrow{D P}$ şi $\overrightarrow{D N}$ sunt coliniari, deci există $\lambda \in \mathbb{R}$ astfel ca $\overrightarrow{D P}=\lambda \overrightarrow{D N}$. + +Rezultă $\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{D P}-\overrightarrow{D C}=(\lambda-1) \vec{a}-\frac{2 \lambda}{3} \vec{b}$. + +Apoi $\overrightarrow{C M}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B M}=-\vec{b}-\frac{1}{5} \vec{a}$. Deoarece vectorii $\overrightarrow{C P}$ si $\overrightarrow{C M}$ sunt coliniari, există $\mu \in \mathbb{R}$ astfel ca $\overrightarrow{C P}=\mu \overrightarrow{C M}$. Atunci $(\lambda-1) \vec{a}-\frac{2 \lambda}{3} \vec{b}=\mu\left(-\vec{b}-\frac{1}{5} \vec{a}\right)$, de unde $\left(\lambda-1+\frac{\mu}{5}\right) \vec{a}+\left(-\frac{2 \lambda}{3}+\mu\right) \vec{b}=\overrightarrow{0}$. + +Deoarece $\vec{a}$ şi $\vec{b}$ sunt necoliniari, obţinem sistemul $\left\{\begin{array}{l}\lambda-1+\mu / 5=0 \\ -2 \lambda / 3+\mu=0\end{array}\right.$, de unde $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{15}{17} \\ \mu=\frac{10}{17}\end{array} \quad\right.$. Rezultă $\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D P}=\vec{b}+\frac{15}{17}\left(\vec{a}-\frac{2}{3} \vec{b}\right)=\frac{15}{17} \vec{a}+\frac{7}{17} \vec{b}$. Ca urmare, $17 \overrightarrow{A P}=15 \overrightarrow{A B}+7 \overrightarrow{A D}$. (3p) + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu raţia $r$. Să se demonstreze + +$$ +\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{2 n}\right| \geq n|r|, \quad \forall n \geq 1 +$$ + +Când are loc egalitatea pentru un număr natural nenul $n$, fixat? + +Cătălin Ciupală + +## Soluţie. + +Folosind proprietăţile modulului, avem + +$$ +\begin{gathered} +\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{2 n}\right|=\left|a_{1}\right|+\left|-a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{2 n-1}\right|+\left|-a_{2 n}\right| \geq \\ +\geq\left|a_{1}-a_{2}+\ldots+a_{2 n-1}-a_{2 n}\right|=|-n r|=n|r| +\end{gathered} +$$ + +pentru oricare $n \in \mathbb{N}^{*}$. (4p) + +Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$, fixat. + +Egalitatea are loc dacă şi numai dacă $a_{1},-a_{2}, \cdots, a_{2 n-1},-a_{2 n}$ au acelaşi semn. + +Dacă $n=1$, atunci $a_{1}$ şi $a_{2}$ au semne contrare, deci $a_{1}\left(a_{1}+r\right) \leq 0$. (1p). + +Dacă $n \geq 2$, atunci, din $a_{1} a_{2} \leq 0, a_{2} a_{3} \leq 0, a_{3} a_{4} \leq 0$, obţinem $a_{1}=r=0$. (2p). + +4. Fie $a, b, c \in \mathbb{R}^{*}$. Să se demonstreze că dacă $a b-1=b c=a c+1 \in \mathbb{N}$, atunci $a b c \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +Romeo Ilie + +## Soluţie. + +Fie $a b-1=b c=a c+1=k \in \mathbb{N}$. Atunci, $a b=k+1, a c=k-1, b c=k$ ş $(a b c)^{2}=k\left(k^{2}-1\right)$, iar $a b c= \pm \sqrt{k\left(k^{2}-1\right)}$. (3p) + +Presupunem prin absurd că $a b c \in \mathbb{Q}^{*}$. Atunci, $k\left(k^{2}-1\right)$ este pătrat perfect (nenul), deci $k \geq 2$. $\operatorname{Cum}\left(k, k^{2}-1\right)=1$, rezultă că numerele naturale $k$ şi $k^{2}-1$ sunt pătrate perfecte. ( 2 p) + +Deoarece $k>1$, avem $(k-1)^{2}0$ este adevărată relația: + +$$ +a^{2}+2 \geq 2 a \sqrt{2} +$$ + +b. Fie $x, y, z$ numere reale strict pozitive. Arătați că: $\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2} \leq \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ + +SUBIECTUL II: Fie $x, y$ numere reale astfel încât: $x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+11=0$. Arătați că: + +$$ +|y-x-5| \leq 2 \sqrt{2} +$$ + +## SUBIECTUL III: + +Fie $V A B C D$ o piramidă patrulateră regulată. Punctul $M$ este mijlocul înălțimii $V O$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $B M$, iar $P \in[A O]$ astfel încât $A P=3 \cdot P O$. + +Demonstrați că $P N \|(V D C)$. + +SUBIECTUL IV: + +Pe muchiile ( $D H)$ şi $(B F)$ ale paralelipipedului dreptunghic $A B C D E F G H$ cu $A D=6 \mathrm{~cm}$ și $A E=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ se consideră punctele $I$, respectiv $J$ astfel încât semidreapta (AI să fie bisectoarea $\Varangle H A D$ și $A[B C G J]=5 A[G F J]$ + +a. Arătați că punctele $A, I, G, J$ sunt vârfurile unui paralelogram. + +b. Determinați unghiul format de dreapta $G J$ cu planul (ABCD) . + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016
Clasa a VIII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a. } a^{2}+2 \geq 2 a \sqrt{2} \Leftrightarrow a^{2}-2 a \sqrt{2}+2 \geq 0 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow a^{2}-2 a \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2} \geq 0 \Leftrightarrow(a-\sqrt{2})^{2} \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +2p + +b. Din punctul a. rezultă: $x^{2}+2 \geq 2 x \sqrt{2} \Rightarrow \frac{x^{2}+2}{x} \geq 2 \sqrt{2} \Rightarrow \frac{x}{x^{2}+2} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ + +Analog: $\frac{y}{y^{2}+2} \leq \frac{\sqrt{2}}{4} ; \frac{z}{z^{2}+2} \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Prin adunare: + +$\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2} \leq \frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ + +## SUBIECTUL II + +| Relaṭia se scrie: $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=2 \Rightarrow(x+2)^{2} \leq 2 \Rightarrow$ | $1 p$ | +| :---: | :--- | +| $\Rightarrow-\sqrt{2} \leq x+2 \leq \sqrt{2} \quad(1)$ | $2 p$ | +| $(y-3)^{2} \leq 2 \Rightarrow-\sqrt{2} \leq y-3 \leq \sqrt{2} \quad(2)$ | $1 p$ | +| Înmulṭim (1) cu $-1 \Rightarrow-\sqrt{2} \leq-x-2 \leq \sqrt{2}$ | $1 p$ | +| ṣi adunăm cu (2) $\Rightarrow-2 \sqrt{2} \leq y-x-5 \leq 2 \sqrt{2},\|y-x-5\| \leq 2 \sqrt{2}$ | $2 p$ | + +## SUBIECTUL III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eef00b961e34ed4cdf93g-2.jpg?height=1090&width=1761&top_left_y=1570&top_left_x=136) +a. $A[B C G J]=5 A[G J F], \frac{(B J+G C) \cdot B C}{2}=5 \cdot \frac{G F \cdot F J}{2}, B J+G C=5 F J \Rightarrow 2 B J+F J=5 F J$ + +$$ +\Rightarrow B J=2 F J ; F J=2 \sqrt{3} ; B J=4 \sqrt{3} +$$ + +În $\triangle A H E: A H^{2}=E H^{2}+E A^{2}=6^{2}+(6 \sqrt{3})^{2}=144 ; A H=12$ + +Din teorema bisectoarei: $\frac{H I}{I D}=\frac{A H}{A D}=\frac{12}{6}=2$ + +$$ +\frac{H I}{H I+I D}=\frac{2}{2+1} \Rightarrow \frac{H I}{6 \sqrt{3}}=\frac{2}{3} \Rightarrow H I=\frac{12 \sqrt{3}}{3}=4 \sqrt{3} +$$ + +$$ +\begin{gathered} +H I=B J=4 \sqrt{3} \\ +A B=H G \Rightarrow \Delta I G \equiv \Delta A B J \\ +\Rightarrow A J=I G(1) +\end{gathered} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& I D=F J=2 \sqrt{3}\} \Rightarrow \Delta A D I \equiv \Delta F G J \\ +& \left.\begin{array}{c} +A D=F G +\end{array}\right\} \Rightarrow G J=A I \text { (2) } \\ +& \text { Din (1); (2) } \Rightarrow A J G I \text { - paralelogram } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eef00b961e34ed4cdf93g-3.jpg?height=502&width=1168&top_left_y=1139&top_left_x=341) +b. + +$$ +\begin{gathered} +\frac{\Delta L J B \sim \Delta L G C \rightarrow \frac{J B}{G C}=\frac{L B}{L C}}{6 \sqrt{3}}=\frac{L B}{L B+B C} \rightarrow \frac{2}{3}=\frac{L B}{L B+6} \rightarrow 2 L B+12=3 L B \rightarrow L B=12 \\ +\operatorname{tg}(\Varangle J L B)=\frac{J B}{L B}=\frac{4 \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3} \rightarrow m(\Varangle J L B)=30^{\circ} +\end{gathered} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-154-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-154-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9a1385e7d3c9f9bee754a7501286b5d7fcdd9785 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-154-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1c24201afec21eb0e32eg-1.jpg?height=236&width=912&top_left_y=218&top_left_x=239) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016 + +Clasa a VII-a + +SUBIECTUL I: Să se arate că: + +$$ +0,9<\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{6^{2}}+\frac{7}{12^{2}}+\cdots+\frac{2013}{1013042^{2}}<1 +$$ + +SUBIECTUL II: Fie $a, b, c$ numere raționale nenule, astfel încât oricare două sunt diferite între ele. Știind că $c=a+b$ calculați: $\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right) \cdot\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)$. + +SUBIECTUL III: Se consideră un triunghi $A B C$ și punctele $M, N, P$ pe laturile $[B C],[A C]$, respectiv $[A B]$ astfel încât: $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{CA}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{3}$. Dacă $E$ este mijlocul lui $[N P]$ şi $F$ mijlocul lui $[B C]$, demonstrați că $E F$ este paralelă cu $A M$ și $E F=\frac{1}{2} A M$. + +SUBIECTUL IV: În pătratul $A B C D$ punctele $E, F, G, H$ aparțin laturilor $[A B],[B C],[C D]$ respectiv $[D A]$ astfel încât $E G \perp F H$. Arătați că: $E G=F H$. + +Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016 + +Clasa a VII-a + +BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{array}{c|c} +\hline S=\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{6^{2}}+\frac{7}{12^{2}}+\cdots+\frac{2013}{1013042^{2}} & \\ +S=\frac{2^{2}-1^{2}}{1^{2} \cdot 2^{2}}+\frac{3^{2}-2^{2}}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{4^{2}-3^{2}}{3^{2} \cdot 4^{2}}+\cdots+\frac{1007^{2}-1006^{2}}{1006^{2} \cdot 1007^{2}} & 2 p \\ +S=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)+\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1006^{2}}-\frac{1}{1007^{2}}\right) & 2 p \\ +S=1-\frac{1}{1007^{2}}<1 & 1 p \\ +0,9=1-\frac{1}{10}<1-\frac{1}{1007^{2}}=S & 2 p \\ +\hline +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL II + +$$ +\begin{gathered} +\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right) \cdot\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)= \\ +=\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-a-b}{a}+\frac{a+b-a}{b}\right) \cdot\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{b}{b-a-b}+\frac{b}{a+b-a}\right)= \\ +=\left(\frac{a-b}{a+b}-1+1\right)\left(\frac{a+b}{a-b}-1+1\right)=\frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b}=1 +\end{gathered} +$$ + +## SUBIECTUL III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1c24201afec21eb0e32eg-2.jpg?height=457&width=879&top_left_y=1878&top_left_x=491) + +Fie $T \in(B C) ; C T=\frac{1}{3} C B \Rightarrow T N A P$ paralelogram deoarece $\frac{N C}{A C}=\frac{C T}{C B}=\frac{1}{3}$ si $\frac{A B}{A B}=\frac{C T}{C B}=\frac{1}{3}$ + +Din TNAP paralelogram rezultă $A T$ trece prin mijlocul lui $P N \Rightarrow A, E, T$ coliniare și $E$ + +mijlocul lui $A T, F$ mijlocul lui $M T\left(M F=F T=\frac{1}{6} B C\right)$ + +$E F$ linie mijlocie î $\triangle A M T \Rightarrow E F \| A M$ ṣi $E F=\frac{1}{2} A M$ + +SUBIECTUL IV + +Fie $H H^{\prime} \perp B C, E E^{\prime} \perp D C, H H^{\prime} \cap E E^{\prime}=\{P\}, H F \cap E E^{\prime}=\{Q\}, E G \cap H F=\{S\}$ + +$m(\Varangle H Q P)=m(\Varangle S Q E)$ (opuse la vârf $) \Rightarrow m(\Varangle P H Q)=m(\Varangle Q E S)$ + +(același complement)(1) + +$E E^{\prime}=H H^{\prime}=A B=B C=C D=A D(2)$ + +$\operatorname{Din}(1),(2) \stackrel{C U}{\rightrightarrows} \Delta H H^{\prime} F \equiv \Delta E E^{\prime} G \Rightarrow E G=F H$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-155-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-155-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..623c954aa2c245f30d46983000d0f3e7b62c44b6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-155-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,100 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a8c17bc662e6b2c8fa4fg-1.jpg?height=216&width=181&top_left_y=239&top_left_x=240) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016 + +# Clasa a VI-a + +SUBIECTUL I: Fie numărul $A=\frac{5^{2 n}+5^{n+2}+114}{4 \cdot 5^{n}+24}, n$-număr natural. + +a. Să se arate că: $A=\frac{5^{n}+19}{4}$ + +b. Să se arate că $A \in \mathbb{N}$. + +SUBIECTUL II: Determinați numerele prime $a, b, c$ pentru care: + +$$ +15 a+35 b+91 c=2015 +$$ + +SUBIECTUL III: Se consideră punctele distincte $A, B, C, D$ astfel încât $B$ este mijlocul lui $(A C)$ și $C$ este mijlocul segmentului $(B D)$. Să se arate că: + +$$ +a \cdot B C=\frac{A C+B D}{4} \quad \text { b. } \frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}<\frac{4}{A D} +$$ + +SUBIECTUL IV: Pe dreapta $d$ se consideră punctele $A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{50}$, în această ordine, astfel încât $A_{0} A_{1}=1 \mathrm{~cm}, A_{1} A_{2}=3 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=5 \mathrm{~cm}, \ldots, A_{49} A_{50}=99 \mathrm{~cm}$. Fie $O$ mijlocul segmentului $\left[A_{0} A_{50}\right]$. + +a. Determinaţi $p \in \mathbb{N}$ pentru care $O \in\left[A_{p} A_{p+1}\right]$ + +b. Există două numere naturale $m$ și $n, 0 ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016
Clasa a VI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{array}{c|c} +\text { a. } \frac{5^{2 n}+5^{n+2}+114}{4 \cdot 5^{n}+24}=\frac{5^{2 n}+5^{n \cdot 5^{2}+114}}{4 \cdot 5^{n}+24}= \\ +=\frac{5^{2 n}+5^{n}(6+19)+114}{4 \cdot 5^{n}+24}=\frac{5^{2 n}+5^{n} \cdot 6+5^{n} \cdot 19+114}{4 \cdot 5^{n}+24}= & 2 p \\ +=\frac{5^{n}\left(5^{n}+6\right)+19\left(5^{n}+6\right)}{4\left(5^{n}+6\right)}=\frac{\left(5^{n}+6\right)\left(5^{n}+19\right)}{4 \cdot\left(5^{n}+6\right)}=\frac{5^{n}+19}{4} & 2 p \\ +\text { b. } 5^{n}+19=(4+1)^{n}+19=M 4+1+19=M_{4}+20=M_{4} & 2 p \\ +\text { Rezultă } 4 \left\lvert\, 5^{n}+19 \Rightarrow \frac{5^{n}+19}{4} \in \mathbb{N}\right. & 1 p \\ +\hline +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL II + +| $5\|15 a ; 5\| 35 b ; 5 \mid 2015$ Rezultă $5 \mid 91 c$ de unde $c=5$ | $2 p$ | +| :---: | :---: | +| $15 a+35 b+455=2015$ | | +| $15 a+35 b=1560$ | $2 p$ | +| $3 a+7 b=312$ | | +| Dar $3\|3 a ; 3\| 312$. Rezultă $3 \mid 7 b \Rightarrow b=3,3 a+21=312,3 a=291$ | | +| $a=97$ | | + +## SUBIECTUL III + +$$ +\begin{array}{c|c} +a \cdot B D=2 B C \Rightarrow \frac{A C+B D}{4}=\frac{2 B C+2 B C}{4}=B C & 3 \mathrm{p} \\ +b \cdot \frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}=\frac{1}{2 B C}+\frac{1}{2 B C}=\frac{1}{B C}(1) & 2 \mathrm{p} \\ +\frac{4}{A D}=\frac{4}{3 B C}=\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{B C}(2) & 2 \mathrm{p} \\ +\text { Din }(1),(2) \Rightarrow \frac{1}{B C}<\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{B C} \Rightarrow \frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}<\frac{4}{A D} & 1 \mathrm{p} +\end{array} +$$ + +2p +1p + +## SUBIECTUL IV + +$$ +\begin{array}{c|c} +\hline \text { a. } A_{0} A_{p}=p^{2} \Rightarrow A_{0} A_{50}=1+3+5+\cdots+99=50^{2}=2500 & 1 p \\ +O-\text { mijlocul lui }\left[A_{0} A_{50}\right] \Rightarrow A_{0} O=1250 & 1 p \\ +O \in\left[A_{p} A_{p+1}\right] \Leftrightarrow p^{2}<1250<(p+1)^{2} \Rightarrow p=35 \Rightarrow O \in\left[A_{35} A_{36}\right] & 1 p \\ +\text { b. } O-\text { mijlocul lui }\left[A_{m} A_{n}\right] \text { dacă } A_{m} O=O A_{n} & \\ +\left.\begin{array}{c} +A_{m} O=1250-m^{2} \\ +O A_{n}=n^{2}-1250 +\end{array}\right\} \Rightarrow 1250-m^{2}=n^{2}-1250 & \mathbf{1 p} \\ +\Rightarrow n^{2}+m^{2}=\mathbf{2 5 0 0}, n^{2}+m^{2}=\mathbf{2 5} \cdot \mathbf{1 0 0}=\mathbf{1 6} \cdot \mathbf{1 0 0}+\mathbf{9} \cdot \mathbf{1 0 0}=\mathbf{4 0}^{2}+\mathbf{3 0}^{2} & \mathbf{1 p} \\ +\Rightarrow O \text { este mijlocul segmentului }\left[A_{30} A_{40}\right] & +\end{array} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-156-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-156-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dadd26ebf892b9537683e6c8ba0d9e2bf059d7d1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-156-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,86 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0e5af9c3676ca4d4b9a2g-1.jpg?height=217&width=170&top_left_y=236&top_left_x=251) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016 + +## Clasa a V-a + +## SUBIECTUL I: + +Se consideră numerele naturale: $x=12^{n}-4^{n+1}$ și $y=3^{n+1}-12, n \in \mathbb{N}^{*}$. Determinați numărul natural $n$ știind că $x-y=65$. + +SUBIECTUL II: + +Determinaţi numerele prime $p$ și $q$ pentru care: $p^{2}-q^{2}=10+5 p$. SUBIECTUL III: + +a. Determinați mulțimile A și B pentru care sunt îndeplinite simultan condițiile: + +$$ +A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad A / B=\{1,3,5\}, \quad B / A=\{2,6\} +$$ + +b. Să se scrie numărul 5005 ca o sumă de numere naturale al căror produs să fie 5005 . + +## SUBIECTUL IV : + +Aflați toate numerele naturale $\overline{\mathbf{a b c}}$ scrise în baza zece, care împărțite la $\mathbf{3 0}$ dau restul 17, iar prin împărțirea la 36 dau restul 5. + +Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-21 FEBRUARIE 2016
Clasa a V-a
BAREM DE EVALUARE ŞI NOTARE + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem . + + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{array}{c|c} +x=4^{n}\left(3^{n}-4\right), y=3\left(3^{n}-4\right), x-y=\left(3^{n}-4\right)\left(4^{n}-3\right) \\ +65=5 \cdot 13 +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL II + +$$ +p^{2}-5 p=10+q^{2}, \quad p(p-5)=10+q^{2} +$$ + +## SUBIECTUL III + +$$ +\begin{aligned} +& a .1,3,5 \in A, 1,3,5 \notin B, 2,6 \in B, 2,6 \notin A \\ +& A \cap B=\{4\}, A=\{1,3,4,5\}, B=\{2,4,6\} +\end{aligned} +$$ + +$$ +\text { b. } 5005=5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13=5+7+11+13+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text {de } „ 469^{\prime \prime} \text { ori }} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{\begin{array} { c } +{ n = 3 0 c _ { 1 } + 1 7 } \\ +{ n = 3 6 c _ { 2 } + 5 } +\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} +6 n=180 c_{1}+102 \\ +5 n=180 c_{2}+25 +\end{array} \Rightarrow\right.\right. \\ +& \Rightarrow n=180\left(c_{1}-c_{2}\right)+77 \Rightarrow \\ +& \Rightarrow \boldsymbol{n} \in\{257,437,617,797,977\} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-157-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-157-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d10afff1924e6fca4d45db3aa2cb8c2c4d96def --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-157-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 21 FEBRUARIE 2016
CLASA A VIII-A, SUBIECTE + +1. Dacă $m, a, b \in \mathbb{R}, m \neq 1, m \neq-1$ și $|m a+b|=|a+m b|$, arătați că $|a|=|b|$. +2. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ se consideră punctele $M$ şi $P$ mijloacele muchiilor $\left[D^{\prime} C^{\prime}\right]$ şi $[B C]$. Dacă $A C \cap B D=\left\{O_{1}\right\}, A D^{\prime} \cap A^{\prime} D=\left\{O_{2}\right\}$ şi punctele $S, T$ mijloacele segmentelor $\left[O_{1} M\right],\left[P O_{2}\right]$, atunci determinaţi măsura unghiului dintre dreptele $S T$ şi $B^{\prime} C^{\prime}$. + +Nicolae Stănică, Brăila + +3. Fie tetraedrul $A B C D$, punctele $K, L, M, N$ mijloacele segmentelor $[B C],[C D],[A K]$ și respectiv $[A L]$, iar punctul $P$ este intersecția dreptelor $B L$ și $D K$. Demonstraţi că dreapta de intersecție a planelor $(B M P)$ și $(D N P)$ este paralelă cu planul $(A B D)$. + +Marius Damian, Brăila + +4. Un număr natural $n=\overline{a b c d}$ este pătrat perfect. Mărim cifra miilor cu 3 , a sutelor cu 1 , pe cea a zecilor o micşorăm cu 2, iar pe cea a unităţ̧ilor o păstrăm neschimbată şi obţinem astfel un alt pătrat perfect. Determinaţi numărul natural $n$. + +Carmen şi Viorel Botea, G.M. + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +2. Listele cu elevii calificați la etapa județeană şi baremele vor fi afişate la avizierul unităţilor şcolare şi pe site-ul matematicabr.weebly.com. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 21 FEBRUARIE 2016 + +## CLASA A VIII-A, SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +1. Dacă $m, a, b \in \mathbb{R}, m \neq 1, m \neq-1$ și $|m a+b|=|a+m b|$, arătaţi că $|a|=|b|$. + +## Soluţia 1 . + +Prin ridicare la pătrat, din egalitatea $|m a+b|=|a+m b|$ obținem $(m a+b)^{2}=(a+m b)^{2}$ $.3 \mathrm{p}$ + +$$ +\left(m^{2}-1\right) a^{2}=\left(m^{2}-1\right) b^{2} \Rightarrow a^{2}=b^{2} \Rightarrow|a|=|b| +$$ + +## Soluţia 2. + +$$ +|m a+b|=|a+m b| \Rightarrow m a+b=a+m b \text { sau } m a+b=-(a+m b) +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5136213dcad5b053f003g-2.jpg?height=71&width=1579&top_left_y=1558&top_left_x=244) +$m a+b=-(a+m b) \Rightarrow(a+b)(m+1)=0 \Rightarrow a=-b$ ..... $2 \mathrm{p}$ + +2. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ se consideră punctele $M$ şi $P$ mijloacele muchiilor $\left[D^{\prime} C^{\prime}\right]$ şi $[B C]$. Dacă $A C \cap B D=\left\{O_{1}\right\}, A D^{\prime} \cap A^{\prime} D=\left\{O_{2}\right\}$ şi punctele $S, T$ mijloacele segmentelor $\left[O_{1} M\right],\left[P O_{2}\right]$, atunci determinaţi măsura unghiului dintre dreptele $S T$ şi $B^{\prime} C^{\prime}$. + +Nicolae Stănică, Brăila + +## Soluţie. + +$D^{\prime} M P O_{1}$ paralelogram $\Rightarrow D^{\prime}, S, P$ coliniare şi $D^{\prime} S=S P$ $.3 p$ + +Din $D^{\prime} S=S P$ şi $O_{2} T=T P \Rightarrow(S T)$ linie mijlocie în $\Delta D^{\prime} O_{2} P \Rightarrow$ $.2 p$ + +$\Rightarrow S T \| D^{\prime} O_{2} \Rightarrow m\left(\Varangle S T, B^{\prime} C^{\prime}\right)=m\left(\Varangle D^{\prime} O_{2}, A^{\prime} D^{\prime}\right)=45^{\circ}$ $.2 \mathrm{p}$ + +3. Fie tetraedrul $A B C D$, punctele $K, L, M, N$ mijloacele segmentelor $[B C],[C D],[A K]$ și respectiv $[A L]$, iar punctul $P$ este intersecția dreptelor $B L$ și $D K$. Demonstraţi că dreapta de intersecție a planelor $(B M P)$ și $(D N P)$ este paralelă cu planul $(A B D)$. + +Marius Damian, Bräila + +## Soluţie. + +Fie $\{S\}=B M \cap A C,\{Q\}=C P \cap B D$ și $T$ mijlocul segmentului $[S C]$. + +$P$ este centrul de greutate al triunghiului $B C D$, deci $\frac{P Q}{P C}=\frac{1}{2}$ $.1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5136213dcad5b053f003g-3.jpg?height=551&width=525&top_left_y=1078&top_left_x=754) + +$[T K]$ linie mijlocie în $\triangle C S B, T K\|S B \Rightarrow S M\| T K$ și $M$ mijlocul lui $[A K] \Rightarrow[S M]$ linie mijlocie în $\triangle A T K$. În consecință, $S$ mijlocul lui $[A T]$, deci $A S=S T=T C \Rightarrow \frac{S A}{S C}=\frac{1}{2} . .2 \mathrm{p}$ + +Din $A S=S T$ și $A N=N L \Rightarrow[S N]$ linie mijlocie în $\triangle A T L$, deci $S N \| T L$. Simultan, din $S T=T C$ și $D L=L C \Rightarrow[T L]$ linie mijlocie în $\triangle C S D$, deci $S D \| T L$. Dar în planul $(A C D)$ paralela dusă prin punctul $S$ la dreapta $T L$ este unică, lucru care spune că punctele $S, N, D$ sunt coliniare. $S$ și $P$ sunt puncte comune planelor distincte (BMP) și (DNP), deci $(B M P) \cap(D N P)=S P$ $.2 \mathrm{p}$ + +În plus, $\frac{P Q}{P C}=\frac{S A}{S C}=\frac{1}{2} \Rightarrow S P\|A Q \Rightarrow S P\|(A B D)$ $.2 \mathrm{p}$ + +4. Un număr natural $n=\overline{a b c d}$ este pătrat perfect. Mărim cifra miilor cu 3 , a sutelor cu 1 , pe cea a zecilor o micşorăm cu 2, iar pe cea a unităţilor o păstrăm neschimbată şi obţinem astfel un alt pătrat perfect. Determinaţi numărul natural $n$. + +Carmen şi Viorel Botea, G.M. + +## Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5136213dcad5b053f003g-4.jpg?height=78&width=1565&top_left_y=772&top_left_x=240) + +$\overline{(a+3)(b+1)(c-2) d}-\overline{a b c d}=k^{2}-x^{2}=(k-x)(k+x)=3080 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +1. $\left\{\begin{array}{l}k-x=14 \\ k+x=220 \Rightarrow x=103 \text { fals }\end{array}\right.$ +2. $\left\{\begin{array}{l}k-x=20 \\ k+x=154 \Rightarrow x=67 \Rightarrow n=4489\end{array}\right.$ +3. $\left\{\begin{array}{l}k-x=22 \\ k+x=140 \Rightarrow x=59 \Rightarrow n=3481\end{array}\right.$ +4. $\left\{\begin{array}{l}k-x=10 \\ k+x=308 \Rightarrow x=149 \text { fals }\end{array}\right.$ +5. $\left\{\begin{array}{l}k-x=28 \\ k+x=110 \Rightarrow x=41 \Rightarrow n=1681\end{array}\right.$ +6. $\left\{\begin{array}{l}k-x=44 \\ k+x=70\end{array} \Rightarrow x=13\right.$ fals + +deci $\overline{a b c d} \in\{1681,3481,4489\}$ $.1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-158-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-158-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..678fe0154f18099db3f3bf0c5251d7774dbad038 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-158-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 21 FEBRUARIE 2016 + +## CLASA A VII-A, SUBIECTE + +1. Determinaţi $n \in \mathbb{N} *$ astfel încât $\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)+8} \in \mathbb{N}$. + +Narcis Gabriel Turcu, Brăila + +2. Comparaţi numerele $a$ şi $b$ ştiind că: + +$$ +a=\frac{1}{2015} \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2015}\right) \text { si } b=\frac{1}{2016} \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2016}\right) +$$ + +Daniela Cerchez, Brăila + +3. În paralelogramul $A B C D$ se consideră $P \in(B C)$. Dacă $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $A P B, A P D$ şi $D P C$, atunci demonstraţi că aria triunghiului $G_{1} G_{2} G_{3}$ este a noua parte din aria paralelogramului $A B C D$. + +Nicolae Stănică, Brăila + +4. Se consideră punctele $A, B, C, D$ astfel încât $m(\Varangle C A D)=m(\nless C B D)=90^{\circ}$. Să se arate că: + +a) $A B \leq C D$; + +b) $A B=C D$ dacă şi numai dacă cele patru puncte sunt vârfurile unui dreptunghi. + +Dan Negulescu, G.M. + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +2. Listele cu elevii calificaţi la etapa județeană şi baremele vor fi afişate la avizierul unităţilor şcolare şi pe site-ul matematicabr.weebly.com. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 21 FEBRUARIE 2016 + +## CLASA A VII-A, SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +1. Determinaţi $n \in \mathbb{N} *$ astfel încât $\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)+8} \in \mathbb{N}$. + +Narcis Gabriel Turcu, Brăila + +## Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fb875762c504876c3fd8g-2.jpg?height=518&width=1567&top_left_y=1024&top_left_x=229) +Pentru $n=2 \Rightarrow \sqrt{16}=4 \in \mathbb{N}$ ..... $1 p$ +Pentru $n=3 \Rightarrow \sqrt{56} \notin \mathbb{N}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Pentru $n=4 \Rightarrow \sqrt{392} \notin \mathbb{N}$ ..... $1 p$ +Pentru $n \geq 5 \Rightarrow U(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)+8)=8 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)+8} \notin \mathbb{N}$ ..... $.3 p$ + +2. Comparaţi numerele $a$ şi $b$ ştiind că: + +$$ +a=\frac{1}{2015} \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2015}\right) \text { ş } b=\frac{1}{2016} \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2016}\right) +$$ + +Daniela Cerchez, Brăila + +## Soluţie. + +Fie $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2015}=x, x>1 \Rightarrow a=\frac{1}{2015} \cdot x$ şi $b=\frac{1}{2016} \cdot\left(x+\frac{1}{2016}\right)$ $3 p$ + +$a-b=\frac{2016 x-2015}{2015 \cdot 2016^{2}}>0 \Rightarrow a>b$ $.4 p$ + +3. În paralelogramul $A B C D$ se consideră $P \in(B C)$. Dacă $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $A P B, A P D$ şi $D P C$, atunci demonstraţi că aria triunghiului $G_{1} G_{2} G_{3}$ este a noua parte din aria paralelogramului $A B C D$. + +Nicolae Stănică, Brăila + +## Soluţie. + +Fie $S$, $T$ mijloacele $[A P],[D P]$ si $A C \cap B D=\{O\}$ + +Din R.T. Thales $\Rightarrow G_{1} G_{2} \| B D \stackrel{\text { T.F.A. }}{\Rightarrow} \Delta G_{1} S G_{2} \sim \Delta B S D \stackrel{\text { def. }}{\Rightarrow} \frac{G_{1} G_{2}}{B D}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{G_{1} G_{2}}{B O}=\frac{2}{3}(1) \ldots \ldots \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +Din R.T. Thales $\Rightarrow G_{2} G_{3} \| A C \stackrel{\text { T.F.A. }}{\Rightarrow} \Delta G_{2} T G_{3} \sim \Delta A T C \stackrel{\text { def. }}{\Rightarrow} \frac{G_{2} G_{3}}{A C}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{G_{2} G_{3}}{O C}=\frac{2}{3}(2) \ldots \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fb875762c504876c3fd8g-3.jpg?height=65&width=1531&top_left_y=1184&top_left_x=248) + +$\operatorname{Din}(1)$, (2) §̧ (3) $\stackrel{\text { L.U.L. }}{\Rightarrow} \Delta G_{1} G_{2} G_{3} \sim \Delta B O C \Rightarrow \Rightarrow \frac{A_{G_{1} G_{2} G_{3}}}{A_{B O C}}=\left(\frac{G_{1} G_{2}}{B O}\right)^{2}=\frac{4}{9} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fb875762c504876c3fd8g-3.jpg?height=106&width=1536&top_left_y=1469&top_left_x=243) + +4. Se consideră punctele $A, B, C, D$ astfel încât $m(\Varangle C A D)=m(\Varangle C B D)=90^{\circ}$. Să se arate că: + +a) $A B \leq C D$; + +b) $A B=C D$ dacă şi numai dacă cele patru puncte sunt vârfurile unui dreptunghi. + +Dan Negulescu, G.M. + +## Soluţie. + +a) Fie $M$ mijlocul segmentului $[C D]$ + +Cazul I: $A B \cap C D \neq \varnothing$ 2p + +Dacă $M \in(A B) \Rightarrow A B=A M+B M=\frac{C D}{2}+\frac{C D}{2}=C D$ + +Dacă $M \notin(A B) \Rightarrow$ în triunghiul $A M B$ : $A B ETAPA LOCALĂ, 21 FEBRUARIE 2016
CLASA A VI-A, SUBIECTE + +1. Suma a patru numere naturale este 2598 . Determinaţi cele patru numere naturale ştiind că unul dintre ele este număr prim, iar celelalte trei numere sunt consecutive. + +Ionuţ Mazalu, Brăila + +2. Fie unghiurile adiacente suplementare $\Varangle A O B, \Varangle B O C$ şi $[O M,[O P,[O T$ bisectoarele unghiurilor $\Varangle B O C, \Varangle A O M, \Varangle M O C$. Dacă [OB' este semidreapta opusă semidreptei [OB şi $m\left(\Varangle T O B^{\prime}\right)=120^{\circ}$, atunci determinaţi $m(\Varangle P O M)$. + +Ciprian Dobranis, Brăila + +3. Fie punctele $O, A, B, C$ coliniare, în această ordine. Punctele $S, T, Q$ sunt mijloacele segmentelor $[O A],[O B]$ şi $[O C]$. Dacă lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor $[S T]$ şi $[T Q]$ este egală cu $12 \mathrm{~cm}$, atunci determinaţi lungimea segmentului $[A C]$. + +Daniela Stănică, Brăila + +4. Determinați numărul de forma $\overline{a b c}$ astfel încât $10 \cdot\left(\frac{\overline{a b}}{c}-1\right)+\frac{\overline{b c}}{a}=82$. + +Nicolae Stănică, G.M. + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. Timpul efectiv de lucru este de două ore. + +2. Listele cu elevii calificaţi la etapa judeţeană şi baremele vor fi afişate la avizierul unităţilor şcolare şi pe site-ul matematicabr.weebly.com. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 21 FEBRUARIE 2016
CLASA A VI-A, SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +1. Suma a patru numere naturale este 2598 . Determinaţi cele patru numere naturale ştiind că unul dintre ele este număr prim, iar celelalte trei numere sunt consecutive. + +Ionuţ Mazalu, Brăila + +## Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fcab45b555ec28e8536dg-2.jpg?height=226&width=1588&top_left_y=1024&top_left_x=236) +$3 \cdot a \vdots 3,2595 \vdots 3 \Rightarrow p \vdots 3, p$ prim $\Rightarrow p=3$ +$3 \cdot a=2592 \Rightarrow a=864, a+1=865, a+2=866$ ..... $2 \mathrm{p}$ + +2. Fie unghiurile adiacente suplementare $\Varangle A O B, \Varangle B O C$ şi [OM, [OP, [OT bisectoarele unghiurilor $\Varangle B O C, \Varangle A O M, \Varangle M O C$. Dacă $[O B '$ este semidreapta opusă semidreptei $[O B$ şi $m(\Varangle T O B ')=120^{\circ}$, atunci determinaţi $m(\Varangle P O M)$. + +Ciprian Dobraniş, Brăila + +## Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fcab45b555ec28e8536dg-2.jpg?height=309&width=1582&top_left_y=1735&top_left_x=237)$\qquad$ +3. Fie punctele $O, A, B, C$ coliniare, în această ordine. Punctele $S, T, Q$ sunt mijloacele segmentelor $[O A],[O B]$ şi $[O C]$. Dacă lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor $[S T]$ şi $[T Q]$ este egală cu $12 \mathrm{~cm}$, atunci determinaţi lungimea segmentului $[A C]$. + +Daniela Stănică, Brăila + +## Soluţie. + +Fie $O A=x, A B=y, B C=z \Rightarrow O S=S A=\frac{x}{2}, O T=T B=\frac{x+y}{2}, O Q=Q C=\frac{x+y+z}{2} \ldots \ldots .3 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fcab45b555ec28e8536dg-3.jpg?height=262&width=1552&top_left_y=246&top_left_x=280) + +4. Determinați numărul de forma $\overline{a b c}$ astfel încât $10 \cdot\left(\frac{\overline{a b}}{c}-1\right)+\frac{\overline{b c}}{a}=82$. + +Nicolae Stănică, G.M. + +## Soluţie. + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{10 \cdot \overline{a b}}{c}+\frac{\overline{b c}}{a}=92 \text { sau } \frac{\overline{a b 0}}{c}+\frac{\overline{b c}}{a}=92 \text { sau } \frac{\overline{a b c}-c}{c}+\frac{\overline{a b c}-100 a}{a}=92 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .3 \mathrm{~m} \\ +& \frac{\overline{a b c}}{c}-1+\frac{\overline{a b c}}{a}-100=92 \text { sau } \overline{a b c} \cdot\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=193 \text { sau } \overline{a b c} \cdot(a+c)=193 \cdot a \cdot c \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +Deoarece 193 este numar prim, obţinem că $\overline{a b c}: 193$ ..... $1 p$ +Deci $\overline{a b c} \in\{193 ; 386 ; 579 ; 772 ; 965\}$ şi doar 386 verifică relaţia din enunţul problemei. ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-16-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 1 de selectie seniori-baraj1_seniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-16-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 1 de selectie seniori-baraj1_seniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90ef3876915fe614fa054bf68d4a94e9cb93d535 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-16-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 1 de selectie seniori-baraj1_seniori.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# TESTUL 1 + +Problema 1. Fixăm un număr întreg $n \geq 2$. Determinaţi valoarea minimă a expresiei + +$$ +\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} +$$ + +când $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ parcurg mulţimea numerelor reale strict pozitive, supuse condiţiei + +$$ +\frac{1}{1+x_{1}^{2}}+\frac{1}{1+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{1}{1+x_{n}^{2}}=1 +$$ + +Determinaţi şi valorile $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ care realizează acest minimum. + +Problema 2. Fixăm un număr întreg $n \geq 3$. Pentru fiecare submulţime nevidă a mulţimii $\{1,2, \ldots, n\}$, considerăm media aritmetică a elementelor sale. Fie $S$ mulţimea valorilor distincte ale acestor medii aritmetice. Determinaţi cea mai mica valoare absolută $|a-b|$, când $a$ şi $b$ parcurg mulţimea $S$ şi $a \neq b$. + +Problema 3. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic, $A B $\frac{\sqrt{1008}-\sqrt{1007}}{\sqrt{1007 \cdot 1008}}=\frac{1}{\sqrt{1007}}-\frac{1}{\sqrt{1008}}$
$S=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1007}}-\frac{1}{\sqrt{1008}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{1008}}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.b) | $\mathrm{S}^{2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{\sqrt{2016}}+\frac{1}{1008}$
$S^{2}+\frac{2}{\sqrt{2016}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{1008} \in Q$ | $1 p$ | +| 2. | 2016-a $\geq 0$
$2016-\mathrm{b} \geq 0$
$2016-\mathrm{c} \geq 0$
$(2016-\mathrm{a})(2016-\mathrm{b})(2016-\mathrm{c}) \geq 0$
$\left(2016^{2}-2016(a+b)+a \cdot b\right)(2016-c) \geq 0$
$2016^{3}-2016^{2}(a+b+c)+2016(a b+a c+b c)-a b c \geq 0$
$2016^{3}-2016^{2}(a+b+c)+2016(a b+a c+b c) \geq a b c \geq 0$
$2016\left(2016^{2}-2016(a+b+c)+(a b+a c+b c)\right) \geq 0$
$2016^{2}+(a b+a c+b c) \geq 2016(a+b+c)$ | $1 p$
$1 p$
$2 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$7 n$ | +| 3. | Din ipoteza avem $[B C] \equiv[B D]$.
Deoarece E este simetricul lui B față de $[D C] \Rightarrow$
$[E B]$ se găsește pe mediatoarea lui $[D C] \Rightarrow$
si $\triangle E C B \equiv \triangle E D B(L . U . L.) \Rightarrow E C=C B=B D=D E$
Deci $C B D E$ este romb
Din $E C \\| D B \Rightarrow E C \perp A B$
Din $F A\\|E D\\| C B \Rightarrow F A B C$ paralelogram chiar romb
$\left.\begin{array}{l}F C \\| A B \\ E C \perp A B\end{array}\right\} \Rightarrow F C \perp E C \Rightarrow F C \perp B D$ | 3p
$2 \mathbf{p}$
$2 \mathbf{p}$ | +| | TOTAL Subiectul 3 | $7 \mathbf{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_11c2101c32afa207a506g-3.jpg?height=1002&width=1550&top_left_y=467&top_left_x=336) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-163-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-163-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..043ae5f7f9bb134a3ad1932f954b83e1cb27e100 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-163-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +05.03.2016 + +## Clasa a VI-a + +1. Demonstrați că dacă $13 \mid a+3 b$, unde $a, b \in N \backslash\{0\}$, atunci fracția $\frac{a+3 b}{6 a+5 b}$ este reductibilă. + +Gazeta Matematică, supliment + +2. Fie $a, b$ și $c$ trei numere raționale pozitive astfel încât $a \cdot b \cdot c=1$. Calculați valoarea fracției $\frac{a+2016}{a+a \cdot b+1}+\frac{b+2016}{b+b \cdot c+1}+\frac{c+2016}{c+a \cdot c+1}$. +3. Două unghiuri suplementare au o latură comună și bisectoarele lor formează un unghi de $60^{\circ}$. Determinaţi măsurile celor două unghiuri. +4. Pe o dreaptă $d$ se consideră punctele $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{8}$ în această ordine şi un punct $O$ nesituat pe $d$ astfel încât $\left[O A_{2}\right.$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A_{1} O A_{3},\left[O A_{3}\right.$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A_{1} O A_{4},\left[O A_{6}\right.$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A_{5} O A_{7}$, $\left[O A 7\right.$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A_{6} O A_{8}, O A_{2} \perp O A_{5}$ şi $O A_{3} \perp O A_{8}$. Se ştie că $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{1} O A_{2}\right)$ şi $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{7} O A_{8}\right)$ se exprimă prin numere naturale și că $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{4} O A_{5}\right)$ este egală cu cea mai mică din cele două măsuri. Determinați $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{1} O A_{2}\right)$ şi $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{7} \mathrm{OA}_{8}\right)$. + +prof. Adrian BUD, Liceul Teoretic Negrești Oaş + +## BAREM de corectare + +| 1. | Avem $(a+3 b)+2(6 a+5 b)=13(a+b)$
$13 /(a+3 b)+2(6 a+5 b)$
$(2,13)=1 \Rightarrow 13 / 6 a+5 b$
finalizare: fracția se simplifică cu 13 | $2 p$
$2 p$
$2 p$
$1 p$
$7 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2. | $E=\frac{a+2016}{a+a \cdot b+1}+\frac{a(b+2016)}{a(b+b \cdot c+1)}+\frac{a b(c+2016)}{a b(c+a \cdot c+1)}$
$E=\frac{a+2016}{a+a \cdot b+1}+\frac{a b+2016 a}{a b+a b c+a}+\frac{a b c+2016 a b}{a b c+a b a c+a b}$
$E=\frac{a+2016}{a+a \cdot b+1}+\frac{a b+2016 a}{a b+1+a}+\frac{1+2016 a b}{1+a+a b}$
$\mathrm{E}=2017$ | $2 p$
$2 p$ | +| 3. | Notăm măsurile celor două unghiuri cu $2 x$ și respectiv
$2 y$
$2 x+2 y=180^{\circ}, x-y=60^{\circ}$
$x=75^{\circ}, y=15^{\circ}$ | $4 p$
$3 p$
$7 p$ | +| 4 | Notăm $x=\mathrm{m}\left(\Varangle A_{1} O A_{2}\right)$ și $y=\mathrm{m}\left(\Varangle A_{7} O A_{8}\right) ;$
dacă $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{4} O A_{5}\right)=x$, rezultă ecuația $x+2 x+x=90^{\circ}$, deci
$x=22,5^{\circ} \notin N$
dacă $\mathrm{m}\left(\Varangle A_{4} O A_{5}\right)=y$, rezultă ecuațile $y+2 y+y+2 x=90^{\circ}$ și $x+2 x+y$
$=90^{\circ}$, deci $x=27^{\circ}$ și $y=9^{\circ}$
TOTAL Subiectul 4 | $3 p$
$4 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-164-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-164-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08e7998b52d900e9406e432103fa5c1e1e428061 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-164-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +05.03.2016 + +## Clasa a V-a + +1. Determinati numerele $\overline{a b c}$ astfel încât are loc egalitatea: + +$$ +2(\overline{a b}+\overline{b a})+2^{c}=67 +$$ + +Gazeta Matematica 10/ 2015 + +2. a) Calculați : + +$$ +N=2+3 \cdot\left\{4+5 \cdot\left[\left(2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5\right)^{2}:\left(2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}\right)-6\right]\right\} +$$ + +b) Comparați numerele naturale a şi $b$ unde: + +$$ +\begin{gathered} +a=\left(2^{0}+8^{21}: 16^{15}+6 \cdot 27^{10}: 81^{7}\right)^{63} \text { şi } \\ +b=\left(2^{2^{5}}: 4^{13}-1\right)^{54} +\end{gathered} +$$ + +c) Determinati numerele naturale $x$, $y$ şi $z$ ştiind cǎ: + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{x}+2^{y}+2^{z}=67 \text {. } \\ +& \text { prof. Delia Olari, Școala Gimnazială ,, Vasile Lucaciu" Apa } +\end{aligned} +$$ + +3. Arătatii că suma tuturor numerelor naturale nenule care împărțite la 51 dau câtul egal cu dublul restului nu este pătrat perfect. +4. Trei numere naturale nenule $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ se numesc triolimpice dacă au aceeaşi suma a divizorilor lor naturali. + +a) Arătați că numerele $33 ; 35$ şi 47 sunt triolimpice. + +b) Verificați că numerele 66 ; 70 şi 94 sunt triolimpice. + +c) Demonstrați ca există o infinitate de triplete de numere naturale triolimpice. + +prof. Petru Braica, Scoala Gimnazială ,, Grigore Moisil" Satu Mare + +## BAREM de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b32116d079c97d9223a1g-2.jpg?height=1896&width=1579&top_left_y=700&top_left_x=318) + +| b) | $\mathrm{D}_{66}=\{1 ; 3 ; 11 ; 33 ; 2 ; 2 \times 3 ; 2 \times 11 ; 2 \times 33\}$
$\mathrm{S}_{66}=(1+3+11+33)+2(1+3+11+33)=(1+2)(1+3$
$+11+33)=3 \times 48$
$\mathrm{D}_{70}=\{1 ; 5 ; 7 ; 35 ; 2 ; 2 \times 5 ; 2 \times 7 ; 2 \times 35\}$
$\mathrm{S}_{70}=(1+5+7+35)+2(1+5+7+35)=(1+2)(1+5+$
$7+35)=3 \times 48$
$\mathrm{D}_{94}=\{1 ; 47 ; 2 ; 2 \times 47\}$
$\mathrm{S}_{94}=(1+47)+2(1+47)=(1+2)(1+47)=3 \times 48$, deci
avem numere triolimpice | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| c) | Fie p un numǎr prim mai mare decât 47. Vom arǎta cǎ
numerele $\mathrm{px} 33, \mathrm{px} 35$ şi $\mathrm{px} 47$ sunt triolimpice.
$\mathrm{D}_{\mathrm{p} \times 33}=\{1 ; 3 ; 11 ; 33 ; \mathrm{p} ; \mathrm{px} 3 ; \mathrm{px} 11 ; \mathrm{px} 33\}$
$\mathrm{S}_{\mathrm{p} \times 33}=(1+3+11+33)+\mathrm{p}(1+3+11+33)=(1+\mathrm{p})(1+$
$3+11+33)=(1+\mathrm{p}) \mathrm{x} 48$
$\mathrm{D}_{\mathrm{p} \times 35}=\{1 ; 5 ; 7 ; 35 ; \mathrm{p} ; \mathrm{px} 5 ; \mathrm{px} 7 ; \mathrm{px} 35\}$
$\mathrm{S}_{\mathrm{p} \times 35}=(1+5+7+35)+\mathrm{p}(1+5+7+35)=(1+\mathrm{p})(1+5$
$+7+35)=(1+\mathrm{p}) \mathrm{x} 48$
$\mathrm{D}_{\mathrm{p} 47}=\{1 ; 47 ; \mathrm{p} ; \mathrm{px} 47\}$
$\mathrm{S}_{\mathrm{p} 47}=(1+47)+\mathrm{p}(1+47)=(1+\mathrm{p})(1+47)=(1+\mathrm{p}) \mathrm{x} 48$.
Cum existǎ o infinitate de numere prime mai mare decât 47
rezultǎ cǎ va exista o infinitate de triplete de numere
triolimpice | 2p | +| | TOTAL Subiectul 4 | $7 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-165-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-165-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73c6a8103e9c7099e5e527bf69d25deba7881f32 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-165-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 28 februarie 2016 + +## Clasa a X-a + +Problema 1: Rezolvați ecuația: + +$\left[\frac{7 \log _{2016} x}{3}\right]+\left[\frac{1+7 \log _{2016} x}{3}\right]+\left[\frac{2+7 \log _{2016} x}{3}\right]=5 \log _{2016} x^{2}-3$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Mădălina Mocanu, Giurgiu + +## Problema 2: + +Fie funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care satisface proprietatea: + +$2 f\left(x^{2}\right)-(f(3 x-2))^{2} \geq 1 \forall x \in \mathbb{R}$. Este $f$ strict monotonă? + +Daniel Bănaru, student Universitatea din București + +## Problema 3: + +Calculați $z^{2016}$, știind că $z=1+\cos \frac{2015 \pi}{2016}+i \sin \frac{2015 \pi}{2016}$. + +Elena Țincu, Giurgiu + +Problema 4: Arătați că în orice triunghi $\triangle A B C$ are loc inegalitatea: + +$\sqrt{A \sin A}+\sqrt{B \sin B}+\sqrt{C \sin C} \leq \sqrt{\frac{3 \sqrt{3}}{2} \pi}$. + +Șerban Olteanu, Giurgiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-166-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-166-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d9b9f6ebda2f92f324c84d6477bac8d5b9a3d34 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-166-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,23 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală-GIURGIU-28.02.2016 + +## Clasa a V-a + +1. Aflaţi suma numerelor naturale de două cifre care împărţite la 7 dau restul 1. + +Câte dintre acestea sunt pătrate perfecte? + +Dar cuburi perfecte? + +## Dumitru Preoteasa , Giurgiu + +2. a) Să se determine numerele naturale $a, b, c$ ştiind că : + +$2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 7^{c}=2016$ + +b) Să se determine valorile minime ale numerelor naturale nenule $k$ şi $p$, care verifică : $p^{2}=2016 . k$ + +## Radu Stănică , Frăteşti + +3. Arătaţi că numărul $2^{2014}+3^{2016}+7^{2015}+5^{n}$, nu este pătrat perfect, oricare ar fi numărul natural nenul $n$. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-167-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-167-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bab315102fbb2dfe1e98ddad1a016afac8d4e4ab --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-167-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 28 februarie 2016, + +Clasa a XII-a + +Problema 1: Să se calculeze: + +$\int \frac{x^{3 p+5}+x^{3 p+1}+x^{p+5}+x^{p+1}+x^{6}+1}{\left(x^{p+7}+x^{p+1}\right)\left(x^{2 p}+1\right)} d x$, cu $x>0$ și $p \in \mathbb{N}^{*}$. + +## Paul Băiatu, Giurgiu + +Problema 2: Se consideră funcția $f:\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{(\cos x+\sin x)^{n}}{(\cos x-\sin x)^{n+2}}$ unde $n \in$ $\mathbb{N}^{*}$. Să se determine primitiva $F:\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $f$ cu proprietatea că $F(0)=\frac{1}{2(n+1)}$. Calculați, apoi, imaginea funcției $F$. + +## Stelian Piscan, Giurgiu + +Problema 3: a) Fie $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ un morfism de grupuri și $\operatorname{Ker}(f)=\{x \in$ $\left.G_{1} \mid f(x)=e_{2}\right\}$, unde am notat cu $e_{2}$ elementul neutru al grupului $G_{2}$. Demonstrați că $f$ este morfism injectiv dacă și numai dacă $\operatorname{Ker}(f)=\left\{e_{1}\right\}$, unde am notat cu $e_{1}$ elementul neutru al grupului $G_{1}$. + +b) Fie $f:\left(Z_{p},+\right) \rightarrow G$ un morfism neinjectiv de grupuri, unde $p$ este un număr prim. Demonstrați că $|\operatorname{Im}(f)|=1$. (S-a notat cu $\operatorname{Im}(f)$ imaginea morfismului f) + +## Daniel Bănaru, student Universitatea București + +## Problema 4: + +Pe mulțimea $G=(7, \infty)$ se definește legea $x \circ y=7+(x-7)^{\lg (y-7)}$. Arătați că legea este asociativă, comutativă și că admite element neutru. Precizați elementele nesimetrizabile în raport cu legea dată. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-168-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-168-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3d32bddfd7990e18033c0279cd03ad1ddfb6d8d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-168-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,46 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 28 februarie 2016 + +## Clasa a XI-a + +Problema 1: Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 2}$ unde: + +$$ +a_{n}=\lg (p+\sin 1)^{n}+n \sum_{\mathrm{k}=2}^{n} \lg \frac{p+\sin \frac{1}{\mathrm{k}}}{p+\sin \frac{1}{\mathrm{k}-1}}, p>0, n \in \mathbb{N}, n \geq 2 +$$ + +Calculați: $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. Discuţie după $p$. + +## Stelian Piscan, Giurgiu + +Problema 2: $\quad$ Pentru $x \in(0,1)$ se consideră suma: + +$$ +S_{n}(x)=\sqrt{1-x}+x \sqrt{1-x}+x^{2} \sqrt{1-x}+\cdots+x^{n-1} \sqrt{1-x} +$$ + +a) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)$. + +b) Determinați numărul $x \in(0,1)$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=\frac{1}{3 \sqrt{10} x}$. + +## Elena Ţincu, Giurgiu + +Problema 3: Se consideră ecuația: $x^{2}-6 x+m=0, m$ fiind număr real, cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}$. Să se afle $m$ știind că: + +$$ +\left|\begin{array}{ccc} +x_{1} & x_{2} & x_{1}+x_{2} \\ +x_{1}+x_{2} & x_{1} & x_{2} \\ +x_{2} & x_{1}+x_{2} & x_{1} +\end{array}\right|=144 +$$ + +Problema 4: Se consideră șirul $\left(A_{n}\right)_{n \geq 0}$ de matrice pătratice de ordinul $p, p$ număr natural, $p \geq 2$, definit astfel: $A_{0}=I_{p}, A_{1}=A$ ( $A$ fixată) și relația de recurență $A_{n+2}=3 A_{n+1}-2 A_{n}$, pentru orice număr natural $n$. Dacă notăm cu $\operatorname{Tr}(X)$ urma matricei pătrate $X$, adică suma elementelor de pe diagonala principală, să se calculeze: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{Tr}\left(A_{n+1}\right)}{\operatorname{Tr}\left(A_{n}\right)} \text { si } \lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty}\left(\operatorname{Tr}\left(A_{n+1}\right)-\operatorname{Tr}\left(A_{n}\right)\right) +$$ + +Şerban Olteanu, Giurgiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-169-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-169-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..98262e56c65e45c6c48443266cefdb274102d70f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-169-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală-GIURGIU-28.02.2016 + +## Clasa a VIII-a + +1. a) Arătaţi că numărul $x=30 \sqrt{5}$ verifică egalitatea: + +$\sqrt{75+x}+\sqrt{75-x}=\sqrt{150+x}$ + +b) demonstraţi că $n=6 \sqrt{5}+\sqrt{150+30 \sqrt{5}}+6 \sqrt{30-10 \sqrt{5}}-$ $\sqrt{75+30 \sqrt{5}}-\sqrt{75-30 \sqrt{5}}$ este număr natural. + +## Ionel Tudor, Călugăreni + +2. Dacă $a, b, c$ sunt numere reale pozitive, să se arate că : + +$$ +\left(\frac{a}{b c}+4\right)\left(\frac{b}{a c}+4\right)\left(\frac{c}{a b}+4\right) \geq 64 / \sqrt{a b c} +$$ + +## Dumitru Preoteasa, Giurgiu + +3. Fie triunghiul isoscel $A B C$ cu $A B=A C=10 \mathrm{~cm}, B C=12 \mathrm{~cm}$ şi I centrul cercului înscris. În punctul I se ridică perpendiculara $I D=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ pe planul (ABC).Se cere: + +a) lungimea segmentului [DB]; + +b) distanţa de la punctul D la dreapta AC; + +c) măsura unghiului diedru format de planele (ABC) şi (DAC). + +## Ion Staicu , Giurgiu + +4. Se consideră cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ cu muchia $2 a$. + +a) Dacă O este centrul feţei $A B C D$, calculaţi cosinusul unghiului format de dreptele BC şi $D^{\prime} O$; + +b) calculaţi distanţa de la punctul $C^{\prime}$ la planul $\left(A^{\prime} D^{\prime} O\right)$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-17-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al patrulea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj4_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-17-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al patrulea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj4_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99a62e780c739c0847279fc5a058e8e1b315586a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-17-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al patrulea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj4_juniori.md @@ -0,0 +1,30 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6717dea2b5f389db29c5g-1.jpg?height=274&width=1034&top_left_y=129&top_left_x=858) + +# Al patrulea baraj de selecție pentru OBMJ
Bucureşti, 29 mai 2022 + +## Problema 1. + +Arătați că, pentru orice număr natural prim $p$, există numerele naturale $x, y, z$ și $t$, nu toate nule, astfel încât $t0, a \neq 1, M$ un punct situat pe $B D$. Fie $x=\frac{M D}{M B}, x>$ $0, x \neq 1 ; x \neq b$. Să se afle $x$, știind că punctele $A, M, N$ sunt coliniare. + +Stelian Piscan, Giurgiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-173-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-173-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cdbf02cb15109efddc9653b4fd12249427f41333 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-173-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,184 @@ +# OLTMPADA DE MATEMATICA - ETAPA PE MUNICIPUU SMARTIE 2016-CLASA aVII-a + +## Subiectull $(7 p)$ + +Determinati intervalul $[a ; b] \subset \mathrm{R}$ ştiond că sunt indeplinite simultan condiţile: +a) $[a ; b] \cap Z=\varnothing$; +b) $|b-a-1|=a^{2}+b^{2}+\frac{a}{2}-2 b+\frac{21}{16}$ + +Subiectul II $(7 p)$ + +a) Un număr se numește special dacă există $m, n \in Z^{*}$ astfel încât $S=m^{2}+2 n^{2}$. + +Demonstraţi că produsul a două numere speciale este un număr special. + +b) Numerele $a, b \in R^{*}, a^{2} \neq b^{2}$ verifică relaţia: $\frac{2 a}{a+b}+\frac{b}{a-b}=2$. + +$$ +\text { Demonstraţi că } \frac{668 a+b}{a-2 b} \in N^{*} +$$ + +Subiectul III $(7 p)$ + +Se dă pătratul $A B C D$ si pătratul $\mathrm{CDEF}$ situate in plane perpendiculare $\mathrm{cu} \mathrm{AB}=\mathrm{a}$, iar $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ sunt mijloacele segmentelor $[\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{AD}]$ respectiv [EF]. + +a) Să se arate că $M Q \perp N P$ şi MP $\perp \mathrm{PQ}$. + +b) Determinatii tg $\alpha$ unde $\alpha$ este măsura unghiului dintre planele (MPQ) si (CDF). + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA PE MUNICIPIU 5 MARTIE 2016 - CLASA aVIII-a + +Subiectul I $(7 p)$ + +Determinați intervalul $[a ; b] \subset \mathrm{R}$ știind că sunt îndeplinite simultan condițile: +a) $[a ; b] \cap Z=\varnothing$; +b) $|b-a-1|=a^{2}+b^{2}+\frac{a}{2}-2 b+\frac{21}{16}$ + +Subiectul II $(7 p)$ + +a) Un număr se numește special dacă există $m, n \in Z^{*}$ astfel încât $S=m^{2}+2 n^{2}$. + +Demonstraţi că produsul a două numere speciale este un număr special. + +b) Numerele $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}^{*}, \mathrm{a}^{2} \neq \mathrm{b}^{2}$ verifică relaţia: $\frac{2 a}{a+b}+\frac{b}{a-b}=2$. + +Demonstraţi că $\frac{668 a+b}{a-2 b} \in N^{*}$. + +Subiectul III (7p) + +Se dă pătratul $\mathrm{ABCD}$ și pătratul $\mathrm{CDEF}$ situate în plane perpendiculare $\mathrm{cu} \mathrm{AB}=\mathrm{a}$, iar $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ sunt mijloacele segmentelor $[\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{AD}]$ respectiv [EF]. + +3. .a) Să se arate că $\mathrm{MQ} \perp \mathrm{NP}$ şi $\mathrm{MP} \perp \mathrm{PQ}$. + +3 b) Determinaţi tg $\alpha$ unde $\alpha$ este măsura unghiului dintre planele (MPQ) şi (CDF). fig. 1p. + +Bareur rezolvare clasa aVIII ${ }^{a}$. + +Subiectul I + +$$ +\begin{aligned} +& \sin [a ; b] \cap z=\phi \Rightarrow b-a<1 \Rightarrow \\ +& =|b-a-1|=-b+a+1 \ldots +\end{aligned} +$$ + +$\operatorname{Sin} b) \Rightarrow a^{2}+b^{2}-\frac{a}{2}-b+\frac{5}{16}=0$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^{2}=0 \Rightarrow \begin{array}{l} +a=\frac{1}{4} \\ +b=\frac{1}{2} +\end{array}\right\} \cdots-3 p \\ +& \text { Inter valul este }\left[\frac{1}{4} ; \frac{1}{2}\right] +\end{aligned} +$$ + +Subiectul II. + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) }\left(m^{2}+2 n^{2}\right)\left(a^{2}+2 b^{2}\right)=m^{2} a^{2}+2 u^{2} b^{2}+2 u^{2} a^{2}+4 u^{2} b^{2}-1 p \\ +& =m^{2} a^{2}+2 m^{2} b^{2}+2 u^{2} a^{2}+4 n^{2} b^{2}+4 m a b n-4 m a b n-4 p \\ +& m^{2} a^{2}+4 m a b n+4 n^{2} b^{2}+2\left(m^{2} b^{2}+n^{2} a^{2}-2 m a b n\right)-4 p \\ +& (m a+\underbrace{2 u b)^{2}+2(m b}_{\text {Wr. Special. }}-n a)^{2} +\end{aligned} +$$ + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& \sin \frac{2 a}{a+b}+\frac{b}{a-b}=2 \Rightarrow a=3 b \ldots 1 p \\ +& \frac{668 a+b}{a-2 b}=2005 \in \pi \ldots +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_25e7cc97db7ce76e62e1g-4.jpg?height=1466&width=1679&top_left_y=0&top_left_x=273) + +(3p a) dem. Ca \&MIIFB ... + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\left.\begin{array}{c} +C \triangle \perp(F \subset B) \\ +F B \subset(F C B) +\end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{l} +C \triangle \perp F B \\ +M P \| C D +\end{array}\right\} \Rightarrow \\ +& \left.\Rightarrow \begin{aligned} +& M P \perp F B \\ +& F B \| Q M +\end{aligned} \right\rvert\, \Rightarrow M P \perp Q M +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_25e7cc97db7ce76e62e1g-4.jpg?height=271&width=1800&top_left_y=1975&top_left_x=207) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_25e7cc97db7ce76e62e1g-4.jpg?height=382&width=1874&top_left_y=2253&top_left_x=196) + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow \triangle F C B \text {-olreptanglic is } \Rightarrow F B=a \sqrt{2}=Q M \\ +& M P=\frac{a \sqrt{2}}{2} \text { (linie mijlocie in } \triangle B A B \text { ) } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_25e7cc97db7ce76e62e1g-5.jpg?height=284&width=1492&top_left_y=29&top_left_x=214) + +Deei $Q$ Q - droptungluic + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{Din} \triangle P \triangle E d r \stackrel{T . P}{\Rightarrow} P E=\sqrt{\frac{5 a^{2}}{4}} \\ +& \sin \triangle Q E P d r . \Rightarrow P Q=\sqrt{\frac{5 a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{6 a^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{6}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Sin R.T.P. in $\triangle Q M P \Rightarrow \triangle Q P M$-droptunghic + +$$ +m(\hat{P})=90^{\circ} \Rightarrow Q P \perp M P \text {. } +$$ + +(3). b) Arat. + +$$ +\left.\begin{aligned} +& Q S=S Q \\ +& S Q=\frac{a \sqrt{2}}{2} +\end{aligned} \right\rvert\, \Rightarrow Q G=a \sqrt{2} +$$ + +Arât. + +$$ +\begin{aligned} +& M P=P Q \mid \Rightarrow M G=a \sqrt{2} \\ +& \left.M P=\frac{a \sqrt{2}}{2} \right\rvert\, \text { Stinca } M Q=a \sqrt{2}(3) +\end{aligned} +$$ + +$\operatorname{Sin}(1)$ (2) $\operatorname{ri}(3) \Rightarrow \triangle M G Q$-eehilateral. + +Airgumentare $m((M Q P),(C D F))=m(\widehat{T S M}) \ldots$ + +$$ +\operatorname{Fg} T S M=\sqrt{2} \cdots \cdots +$$ + +La subiectul III: + +figera -... $1 p$. + +a) Bemoustrara MQ $\triangle$ MP . . MP + +$$ +M Q \perp M P \cdots M P +$$ + +b) $\triangle$ Q GM - echilateral -... ip Seleutificarea \& plau .... ip. +calcul másura \& .... ip + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-174-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-174-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c595a64906621dd1d6bf79f123477735468e16d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-174-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,36 @@ +OLIMPIAIA DE MATEMATICA + +- localá- + +5 maRTIE 2016 - TUCEA + +Subiectul 1 tourctel CLASA a VII a + +a) Stabilit daca $a=\sqrt{19-\sqrt{37}}-\sqrt{19+\sqrt{37}}$ este nuevar + +o) Hratati soritir sau vegativ. + +c) Calculati $(a+\sqrt{2})^{2016}$ + +Subiectul 2. Tpencte) + +Fie $E_{n}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\cdots+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}, n \in \mathbb{N}$ + +a) Care este valoarea de adevar a propozifiei + +$$ +E_{2024} \in Q +$$ + +b) Care suet valorite dui $n \leq 15$ peutrer ware $E_{n} \in Q$ + +Subiectal 3 -(7puncte) + +In tringhicet $A B C$ obturunglic esoscel cu baza $B C$, construin $A M \perp A B, M \in[B C], C P \perp A M, P \in A M, M N \perp A C$ $N \in[A C], \subseteq Q \perp A B, Q \in A B$. + +a) Denonstrat a- MC uste Risectrarea unghunlui NMP. + +e) Sekoustratí cá $[A Q] \equiv[C N]$. + +c) Aratati cá MN. AC $=P C \cdot A M$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-175-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-175-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..102b35ac98319beab85aad0730d8bc940b31be34 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-175-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,22 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÄ
ETAPA LOCALÄ, 2016
CLASA a VI-a + +## Subiectull (7 puncte) + +a) Aflaţi numerele prime $a, b, c$ știind că verifică simultan relațile: $c-a b=15$ ș $c-a^{2}$ $=49$. + +b) Ana, Bogdan și Cristina locuiesc pe aceeaşi stradă (în aceeași ordine). La jumătatea distantel dintre casa Anel si casa lui Bogdan este o cofetărie, lar la jumătatea distanței dintre casa Anei si cea a Cristinel este o librărie. Știind că̆ distanța dintre cofetărie și librărie este de $100 \mathrm{~m}$, să se afle distanța dintre casa lui Bogdan și cea a Cristinel. + +## Subiectul II (7 puncte) + +Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuațile: + +a) $\frac{x-2+3^{2}}{3}+\frac{x-2+5^{2}}{5}=8$ + +b) $\frac{x-2+3^{2}}{3}+\frac{x-2+5^{2}}{5}+\frac{x-2+7^{2}}{7}+\cdots+\frac{x-2+197^{2}}{197}+\frac{x-2+199^{2}}{199}=9999$ + +## Subiectul III (7 puncte) + +Se consideră unghiurile adiacente $\overline{A O B}, \overline{B O C}, \overline{C O D}, \overline{D O E}$ astfel încât $E, O$ și A să fie coliniare. Stiind că $4 m(\overline{A O B})=m(\overline{B O C}), m(\overline{B O C})=\frac{4}{5} m(\overline{C O D}) \operatorname{si} \frac{m(\overline{D O E})}{8}=$ $\frac{m(C O D)}{5}$. Determinati măsurile unghiurilor $\angle \overline{A O B}, \overline{B O C}, \overline{C O D}$ si $\overline{D O E}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2eaf6720025fdb0b2616g-1.jpg?height=152&width=685&top_left_y=2117&top_left_x=203) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-176-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-176-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a0c4b9a9a632a7470991d66a387c4825b6486db5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-176-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,72 @@ +# Olimpiada de Matematică - faza locală
Subiecte clasa a V-a + +## Subiectul nr. 1 + +a). Aflați numerele consecutive a,b și c care verifică relația: + +$$ +\overline{\mathrm{abc}}+\overline{\mathrm{bca}}+\overline{\mathrm{cab}}=1332 +$$ + +b). Calculați $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ cu a, b și c determinați la punctul a) și găsiți (și justificați) care dintre cele două relații este adevărată: + +$$ +\begin{gathered} +\overline{\mathrm{aa}}^{3}+\overline{\mathrm{bb}}^{3}+\overline{\mathrm{cc}}^{3}=66^{3} \quad \mathrm{sau} \\ +\mathrm{a} \cdot 11^{3}+\mathrm{b} \cdot 11^{3}+\mathrm{c} \cdot 11^{3}=6 \cdot 11^{3} +\end{gathered} +$$ + +## Subiectul nr. 2 + +a). Să se afle numărul maxim de numere naturale distincte, nenule, a căror sumă este 2016. + +b). Să se calculeze câte perechi de numere (a,b), cu a și b naturale, a numere naturale distincte | $1 \mathrm{p}$ | +| | $1+2+3+\ldots+\mathrm{n}=2016=\frac{n(n+1)}{2}$ | | +| | $\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)=4032=63 \cdot 64, \mathrm{n}=63$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b). | $2016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$, numărul divizorilor este
$(5+1)(2+1)(1+1)=36$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2016=1 \cdot 2016=2 \cdot 1008=3 \cdot 504=\cdots \cdot=42 \cdot 48$
Produsul dintre a și b este produsul dintre divizorii ai lui
2016; dacă aceștia sunt așezati în ordine crescătoare, a și b
au aceeași poziție față de capete. | $2 \mathrm{p}$ | +| | Sunt $18=36: 2$ perechi de numere $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ | $1 \mathrm{p}$ | +| c). | Din descompunerea în factori primi a lui 2016 , putem găsi
ca pătrate perfecte $1,2^{2}, 3^{2}, 2^{4},(2 \cdot 3)^{2},\left(2^{2} \cdot 3\right)^{2}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| | Întrucât 2016 nu este pătrat perfect rezultă că doar unul
dintre a și b poate fi pătrat perfect, deci sunt 6 perechi. | $1 \mathrm{p}$ | +| Subiectul nr. 3 | | | +| a). | $7+7^{2}=56,7+7^{2}+7^{3}=399,7+7^{2}+7^{3}+7^{4}=50 \cdot 56=$
2800. Prin urmare cel mai mic n este n=4. | 2p | +| b). | N se poate grupa în paranteze de câte 4 termeni pentru că
2016 este multiplu de 4 :
$\mathrm{N}=\left(7+7^{2}+7^{3}+7^{4}\right)+7^{4}\left(7+7^{2}+7^{3}+7^{4}\right)+$
$\cdots+7^{2012}\left(7+7^{2}+7^{3}+7^{4}\right)=2800\left(1+7^{4}+\cdots+7^{2012}\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | N este multiplu de 100, deci ultimele două cifre ale sale
sunt egale cu zero. | $1 \mathrm{p}$ | +| c). | $\mathrm{N}=7+7^{2}+7^{2}\left(7+7^{2}+7^{3}+7^{4}\right)+7^{6}\left(7+7^{2}+7^{3}+\right.$
$\left.7^{4}\right)+\ldots+7^{2014}\left(7+7^{2}+7^{3}+7^{4}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\mathrm{N}=56+2800\left(7^{2}+7^{6}+\cdots+7^{2014}\right)$. Ultimele două cifre
ale lui $\mathrm{N}$ sunt date de restul împărțirii lui $\mathrm{N}$ la 100 , adică
56 . | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-177-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-177-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f44fd80b44e6914b4b01cd94af789374d773789d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-177-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,149 @@ +Str. Lacului Nr. 19,Slobozia Ialomiţa + +# Olimpiada de matematică + +## Etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a VIII-a + +1) Fie numărul real $\mathrm{a}=\left(\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\right)^{-2}:(1+\sqrt{3,5})^{-2}$. + +Stabiliţi căreia din mulţimile $\mathbb{N}, \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}, \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}, \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ aparţine numărul a. + +2) a) Aflaţi numerele raţionale $x$ şi $y$ dacă $x \sqrt{2}+2 x-2 y \sqrt{2}+y=10$. + +b) Aflaţi numerele reale $x$ şi y dacă $x^{2}+4 y^{2}+10=6 x-4 y$. + +3) Fie $O$ un punct pe latura $A B$ a triunghiului echilateral $A B C$ astfel încât $\mathrm{AO}=2 \mathrm{BO}$ şi MO perpendiculara în $\mathrm{O}$ pe planul ( $\mathrm{ABC}$ ). + +Dacă $\mathrm{OM}=\mathrm{BC}=18 \mathrm{~cm}$, calculaţi: + +a) distanţa de la punctul $\mathrm{M}$ la dreapta $\mathrm{AC}$; + +b) distanţa de la punctul O la planul ( MAC ); + +c) măsura unghiului diedru format de planele ( $A B C$ ) şi ( MAC ). + +4) Se dă expresia $\mathrm{E}(x)=\left(\frac{2}{x+3}+\frac{x}{3-x}-\frac{x-5}{x^{2}-9}\right): \frac{2 x^{2}+x-1}{9-x^{2}}$. + +a) Aflați valorile reale ale lui $x$ pentru care expresia $\mathrm{E}(x)$ are sens. + +b) Aduceți expresia $\mathrm{E}(x)$ la forma cea mai simplă. + +c) Aflați valorile raționale ale lui $x$ pentru care $\mathrm{E}(x)$ este număr întreg. + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect are 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru 3 ore. + +## Barem de corectare și notare + +## Olimpiada de matematică, etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a VIII-a + +Notă : Orice soluţie corectă, diferită de cea din barem, se notează cu punctajul corespunzător. + +1) Fie numărul real $\mathrm{a}=\left(\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\right)^{-2}:(1+\sqrt{3,5})^{-2}$. + +Stabiliţi căreia din mulţimile $\mathbb{N}, \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}, \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}, \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ aparţine numărul a. Soluție: + +Amplificăm fracțiile din prima paranteză cu conjugatul numitorului + +Apoi simplificăm și reducem termenii asemenea, avem $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ în prima paranteză + +Scriem 3,5 sub formă de fracție ordinară și aducem la același numitor, în a doua paranteză avem $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$. . . . . . $1 p$ Avem $a=\left(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}\right)^{-2}=(\sqrt{2})^{-2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2} \quad 3 p$ (câte 1p pentru fiecare pas) + +Finalizare: $a \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}$. . . . . $1 p$ Total: $7 p$ + +2) a) Aflaţi numerele raţionale $x$ şi $y$ dacă $x \sqrt{2}+2 x-2 y \sqrt{2}+y=10$. + +b) Aflaţi numerele reale $x$ şi y dacă $x^{2}+4 y^{2}+10=6 x-4 y$. + +Soluție: + +a) Avem $(x-2 y) \sqrt{2}+(2 x+y-10)=0$ (1) . . . $1 p$ + +Pentru că $x$ și y sunt numere raționale, rezultă că și numerele $x-2 y$ și $2 x+y-10$ sunt tot raționale (2) + +$1 p$ + +Din relațiile (1) și (2) obținem $x-2 y=0$ și $2 x+y-10=0$. . 1 p + +Finalizare: $x=4$ și $y=2$. . . . . $1 p$ + +b) Relația din enunț se scrie $(x-3)^{2}+(2 y+1)^{2}=0$. . $1 \mathrm{p}$ + +Pentru că o sumă de termeni pozitivi este egală cu zero, dacă toți termenii sumei sunt egali cu zero, avem $x-3=0$ și $2 y+1=0$ + +Finalizare: $x=3$ și $y=-0,5$ + +Total: $7 p$ + +3) Fie $O$ un punct pe latura $A B$ a triunghiului echilateral $A B C$ astfel încât $A O=2 B O$ şi MO perpendiculara în O pe planul ( $A B C$ ). + +Dacă $\mathrm{OM}=\mathrm{BC}=18 \mathrm{~cm}$, calculaţi: + +a) distanţa de la punctul $M$ la dreapta $\mathrm{AC}$; + +b) distanţa de la punctul O la planul ( MAC ); + +c) măsura unghiului diedru format de planele ( ABC ) şi ( MAC ). + +Soluție: + +a) Observăm că $O A=12 \mathrm{~cm}$ și $O B=6 \mathrm{~cm}$ + +Fie $O D \perp A C, D \in A C$, cum $O M \perp(A B C)$ rezultă cu teorema celor trei perpendiculare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5169711da38fbd87db05g-3.jpg?height=65&width=1542&top_left_y=2060&top_left_x=237) + +Din $\triangle A O D$ avem $O D=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ și din $\triangle M O D$ avem $M D=12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ (2), deci + +$d(M, A C)=12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. . . . . . $1 p$ + +b) Fie $O E \perp M D, E \in M D$ cu teorema a doua a înălțimii în $\triangle M O D$ + +Avem $O D \perp A C, A C \subset(M A C), M D \perp A C, M D \subset(M A C), O E \perp M D, E \in M D$ aplicând reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare obținem că $\mathrm{OE} \perp$ (MAC), deci $d(O,(M A C))=O E=9 \mathrm{~cm}$ + +$1 p$ + +c) În $\triangle M O D$ avem $m(\Varangle M D O)=60^{\circ}$, pentru că avem cateta alăturată OD egală cu jumătate din ipotenuza MD. + +$1 p$ + +Avem $(\mathrm{MAC}) \cap(A B C)=A C, O D \perp A C, O D \subset(A B C), M D \perp A C, M D \subset(M A C)$, deci + +$m[\Varangle((M A C),(A B C))]=m(\Varangle M D O)=60^{\circ}$. . . $1 p$ + +Total: $7 p$ + +4) Se dă expresia $\mathrm{E}(x)=\left(\frac{2}{x+3}+\frac{x}{3-x}-\frac{x-5}{x^{2}-9}\right): \frac{2 x^{2}+x-1}{9-x^{2}}$. + +a) Aflați valorile reale ale lui $x$ pentru care expresia $\mathrm{E}(x)$ are sens. + +b) Aduceți expresia $\mathrm{E}(x)$ la forma cea mai simplă. + +c) Aflați valorile raționale ale lui $x$ pentru care $\mathrm{E}(x)$ este număr întreg. + +Soluție: + +a) Expresia are sens dacă numitorii sunt diferiți de zero, deci + +$$ +x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ \pm 3,-1, \frac{1}{2}\right\} +$$ + +$1 p$ + +b) Observăm că $2 x^{2}+x-1=(2 x-1)(x+1)$ + +$1 p$ + +Descompunem în factori numitorii, aducem la același numitor fracțiile din paranteză și obținem $\mathrm{E}(x)=\left(\frac{-x^{2}-2 x-1}{(x+3)(x-3)}\right): \frac{2 x^{2}+x-1}{9-x^{2}}$ + +Descompunem în factori numitorii și numărătorii ambelor fracții, apoi înmulțim prima fracție cu inversul celei de-a doua și obținem $\mathrm{E}(x)=\frac{x+1}{2 x-1}$. + +c) Fie $\mathrm{E}(x)=\frac{x+1}{2 x-1}=k, k \in \mathbb{Z}(1)$ și $x \in \mathbb{R} \backslash$ +Exprimăm $x$ în funcție de $k$ și obținem $x=\frac{k+1}{2 k-1}$ (3) + +Finalizare: Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă că $x \in\left\{\left.\frac{k+1}{2 k-1} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}, k \neq 0\right\}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-178-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-178-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3171b5037651394aa86eca8304ca2fb9a61ad41 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-178-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# Olimpiada de matematică + +## Etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a VII-a + +1) Fie numărul real $\mathrm{a}=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$. + +Stabiliţi căreia din mulţimile $\mathbb{N}, \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}, \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}, \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ aparţine numărul a. + +2) a) Aflaţi toate numerele naturale pătratele perfecte de forma $\overline{6 x y z 6}$. + +b) Arătați că $x=\sqrt{73+40 \sqrt{3}}+\sqrt{97-56 \sqrt{3}}$ este număr natural. + +3) Pe laturile $A B$ și $B C$ ale pătratului $A B C D$ se iau punctele $M$ și $N, M \in(A B)$, $N \in(B C)$ astfel încât $A M=B N$. Arătați că: + +a) dreptele MD și NA sunt perpendiculare; + +b) triunghiul ADP și patrulaterul convex MBNP au arii egale, unde $P$ este punctul de intersecție al dreptelor MD și NA. + +4) Fie punctul $P$ pe prelungirea diagonalei $A C$ a patrulaterului $A B C D, C$ între $A$ și $P$. Paralela prin $P$ la $B C$ intersectează dreapta $A B$ în punctul $M$. Paralela prin $P$ la $C D$ intersectează dreapta $A D$ în punctul N. Arătați că: +a) $\mathrm{MN}$ || BD; +b) $\frac{A B}{A M}+\frac{D N}{A N}=1$. + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect are 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru 3 ore. + +## Barem de corectare și notare + +## Olimpiada de matematică, etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a VII-a + +Notă : Orice soluţie corectă, diferită de cea din barem, se notează cu punctajul corespunzător. + +1) Fie numărul real $a=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$. + +Stabiliţi căreia din mulţimile $\mathbb{N}, \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}, \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}, \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ aparţine numărul a. + +Soluție: + +Amplificăm fiecare fracție cu conjugatul numitorului . $2 p$ $a=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{100}-\sqrt{99} \quad . \quad 2 p$ + +După reducerea termenilor asemenea obținem $\mathrm{a}=\sqrt{100}-\sqrt{1}$. $1 p$ + +Deci $a=10-1=9$. . . . 1p + +Finalizare: $a \in \mathbb{N}$. . . . . $1 p$ + +Total: 7p + +2) a) Aflaţi toate numerele naturale pătratele perfecte de forma $\overline{6 x y z 6}$. + +b) Arătați că $x=\sqrt{73+40 \sqrt{3}}+\sqrt{97-56 \sqrt{3}}$ este număr natural. + +Soluție: + +a) Avem: $60006 \leq \overline{6 x y z 6} \leq 69996$, deci $\sqrt{60006} \leq \sqrt{6 x y z 6} \leq \sqrt{69996}, \quad 1 p$ + +Cum $\sqrt{60006}=244,9 \ldots$ și $\sqrt{69996}=264,5 \ldots$. . 1p +rezultă că $245 \leq \sqrt{\overline{6 y z 6}} \leq 264$. + +Ṭinând cont și de ultima cifră avem $\sqrt{6 x y z 6} \in\{246,254,256,264\} \quad 1 p$ + +Finalizare: $\overline{6 x y z 6} \in\{60516,64516,65536,69696\}$. . 1p + +b) Folosind formula radicalilor dubli ( compuși ), obținem + +$$ +\sqrt{73+40 \sqrt{3}}=5+4 \sqrt{3} \text { și } \sqrt{97-56 \sqrt{3}}=7-4 \sqrt{3} \quad . \quad 1 p +$$ + +Finalizare: după reducerea termenilor asemenea, avem $x=12 \in \mathbb{N} \quad 1 p$ Total: $7 p$ + +3) Pe laturile $A B$ și $B C$ ale pătratului $A B C D$ se iau punctele $M$ și $N, M \in(A B)$, $N \in(B C)$ astfel încât $A M=B N$. Arătați că: + +a) dreptele MD și NA sunt perpendiculare; + +b) triunghiul ADP și patrulaterul convex MBNP au arii egale, unde $P$ este punctul de intersecție al dreptelor MD și NA. + +Soluție: + +a) Avem $\triangle D A M=\triangle A B N$ în cazul LUL . . . . 1p + +rezultă că $\Varangle A D M=\Varangle B A N(1)$. . . . 1p + +$\Varangle D P N=$ ext $\triangle A P D$, rezultă că $m(\Varangle D P N)=m(\Varangle P A D)+m(\Varangle A D M)(2) \quad 1 p$ + +Din relațiile (1) și (2) rezultă că $m(\Varangle D P N)=m(\Varangle P A D)+m(\Varangle B A N)=$ + +$=m(\Varangle D A B)=90^{\circ}$, deci $M D \perp N A$. . . . 1p + +b) De la puctul a) știm că $\triangle \mathrm{DAM}=\triangle \mathrm{ABN}$, deci $\mathcal{A}_{\triangle D A M}=\mathcal{A}_{\triangle A B N}$ (3) . 1p + +Scădem din ambii membri ai relației (3) $\mathcal{A}_{\triangle A P M}$. . 1p + +Finalizare: obținem că $\mathcal{A}_{\triangle A D P}=\mathcal{A}_{\triangle M B N P}$. . . $1 \mathrm{p}$ + +Total: $7 p$ + +4) Fie punctul $P$ pe prelungirea diagonalei $A C$ a patrulaterului $A B C D, C$ între $A$ și $P$. Paralela prin $P$ la $B C$ intersectează dreapta $A B$ în punctul $M$. Paralela prin $P$ la CD intersectează dreapta $A D$ în punctul N. Arătați că: +a) $\mathrm{MN}|| \mathrm{BD}$; +b) $\frac{A B}{A M}+\frac{D N}{A N}=1$. + +Soluție: + +a) Figura . . . . . . . 1 p + +Aplicând teorema lui Thales pentru $\triangle \mathrm{ABC}$ și $\mathrm{BC} \| \mathrm{MP}$, obținem $\frac{A B}{A M}=\frac{A C}{A P}$ (1) $1 \mathrm{p}$ Aplicând teorema lui Thales pentru $\triangle A D C$ și $D C \| N P$, obținem $\frac{A D}{A N}=\frac{A C}{A P}$ (2) $1 \mathrm{p}$ Din relațiile (1) și (2) rezultă că $\frac{A B}{A M}=\frac{A D}{A N}$. . . . . $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare: conform reciprocei teoremei lui Thales în $\triangle A B D$ avem MN || BD. 1p + +b) Aplicând teorema lui Thales pentru $\triangle \mathrm{ADC}$ și $\mathrm{DC} \| N P$, obținem $\frac{D N}{A N}=\frac{C P}{A P}$ (3) $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare: Adunând membru cu membru relațiile (1) și (3) și ținând cont că + +$\mathrm{AC}+\mathrm{CP}=\mathrm{AP}$, obținem $\frac{A B}{A M}+\frac{D N}{A N}=1$. . . . . $1 \mathrm{p}$ + +Total: $7 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_336994e5fe9657d89812g-4.jpg?height=225&width=206&top_left_y=1758&top_left_x=1203) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-179-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-179-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a979774296f2b6dd9df6c9ebd730b2986b1ccd80 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-179-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,148 @@ +# Olimpiada de matematică + +## Etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a VI-a + +1) Fie numărul natural $X=1+7+7^{2}+7^{3}+\ldots+7^{2015}$. + +a) Aflați ultima cifră a lui $X$. + +b) Arătați că $6 X=7^{2016}-1$. + +c) Demonstrați că X este divizibil cu 19. + +2) a) Aflați numere prime a, b, c, dacă $5 a+10 b+52 c=5184$. + +b) Numerele 8000, 7930 și 8070 împărțite la același număr natural n, dau resturile 8,10 și respectiv 6 . Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a lui n. + +3) Fie unghiurile AOB, BOC, COD şi DOA formate în jurul punctului O care nu au puncte interioare comune astfel încât + +$2 \cdot m(A O B)=3 \cdot m(\quad B O C)=4 \cdot m(\quad C O D)=6 \cdot m(D O A)$. + +a) Aflați măsurile unghiurilor $A O B, B O C, C O D$ și DOA. + +b) Dacă [OM şi [ON sunt bisectoarele unghiurilor AOB şi BOC, stabiliți dacă unghiul MON este ascuțit, drept sau obtuz. + +4) Aflați valorile numărului natural $n$ pentru care numerele $n+1, n+7$, $n+13, n+15$ și $n+19$ sunt simultan numere prime. + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect are 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru 2 ore și 30 de minute. + +## Barem de corectare și notare + +## Olimpiada de matematică, etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a VI-a + +Notă : Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se notează cu punctajul corespunzător. + +2) Fie numărul natural $X=1+7+7^{2}+7^{3}+\ldots+7^{2015}$. + +a) Aflați ultima cifră a lui $X$. + +b) Arătați că $6 X=7^{2016}-1$. + +c) Demonstrați că X este divizibil cu 19. + +## Soluție: + +a) Observăm că ultima cifră a sumei a patru puteri consecutive ale lui 7 este 0 $1 p$ + +și că X are 2016 termeni, deci putem să-i grupăm câte patru (2016 4): + +$X=\left(1+7+7^{2}+7^{3}\right)+\left(7^{4}+7^{5}+7^{6}+7^{7}\right)+\ldots+\left(7^{2012}+7^{2013}+7^{2014}+7^{2015}\right)$, deci ultima cifră a lui $X$ este 0 . $1 p$ + +b) Înmulțim cu 7 egalitatea din enunț și obținem: + +$$ +7 X=7+7^{2}+7^{3}+\ldots+7^{2016} \quad . \quad . \quad . \quad 1 p +$$ + +Adunăm 1 în ambii membri ai egalității de mai sus și obținem: + +$7 X+1=1+7+7^{2}+\ldots+7^{2015}+7^{2016}$, cum $X=1+7+7^{2}+7^{3}+\ldots+7^{2015}$ avem $7 X+1=X+7^{2016}$, deci $6 X=7^{2016}-1$. . . . 1p + +c) Observăn că: $1+7+7^{2}=57=19 \cdot 3 \quad 19$. . 1p + +X are 2016 termeni, deci putem să-i grupăm câte 3 (2016 3) și avem: + +$$ +\begin{aligned} +& X=\left(1+7+7^{2}\right)+\left(7^{3}+7^{4}+7^{5}\right)+\ldots+\left(7^{2013}+7^{2014}+7^{2015}\right)= \\ +& =57+57 \cdot 7^{3}+\ldots+57 \cdot 7^{2013} . \quad . \quad . \quad . \quad 1 p +\end{aligned} +$$ + +Finalizare: X 19, pentru că toți termenii sunt divizibili cu 19. . 1p Total: $7 p$ + +2) a) Aflați numere prime a, b, c, dacă $5 a+10 b+52 c=5184$. + +b) Numerele 8000, 7930 și 8070 împărțite la același număr natural n, dau resturile 8,10 și respectiv 6. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a lui n. + +Soluție: + +a) Studiind paritatea termenilor relației din enunț observăm că a este par, cum a este și prim, rezultă că $a=2$. + +$1 p$ + +Înlocuim a cu 2, separăm și reducem termenii asemenea, apoi împărțim la 2 și obținem egalitatea $5 b+26 c=2587$, cum 2613 și 258713 , rezultă că $5 b 13$ cum $(5 ; 13)=1$, rezultă că b 13 , dar b este prim, deci $b=13$. $1 p$ + +Înlocuim b cu 13 și obținem c = 97 care este număr prim . . 1p + +b) Din conditia restului avem $\mathrm{n}>10$ (1) . . . $1 \mathrm{p}$ + +n divide diferența dintre deîmpărțit și rest, deci $\mathrm{n} \mid(7992$; 7920; 8064) 1p + +Cum (7992; 7920; 8064) $=72$, rezultă că n + +$D_{72}=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18$, $24,36,72\}(2)$ + +$1 p$ + +Finalizare: din (1) și (2), avem cea mai mare valoare a lui $n$ este 72 și cea mai mică este 12. . + +$1 p$ + +Total: $7 p$ + +3) Fie unghiurile $A O B, B O C, C O D$ şi DOA formate în jurul punctului $O$ care nu au puncte interioare comune astfel încât + +$2 \cdot m(A O B)=3 \cdot m(\quad B O C)=4 \cdot m(\quad C O D)=6 \cdot m(D O A)$. + +a) Aflați măsurile unghiurilor AOB, BOC, COD și DOA. +b) Dacă [OM şi [ON sunt bisectoarele unghiurilor AOB şi BOC, stabilitii dacă unghiul MON este ascuțit, drept sau obtuz. + +Soluție: + +a) Notăm $12 x=2 \cdot m(A O B)=3 \cdot m(\quad B O C)=4 \cdot m(C O D)=6 \cdot m($ DOA $), x>0$ . . . . . . . . . 1 p + +Avem $m(A O B)=6 x, m($ BOC $)=4 x, m(C O D)=3 x$ și $m($ DOA $)=2 x$ p Cum suma unghiurilor din jurul unui punct este $360^{\circ}$, obținem ecuația + +$$ +6 x+4 x+3 x+2 x=360^{\circ} \text {. . . . . . . } 1 p +$$ + +cu soluția $x=24^{\circ}$. . . . . . . 1 p + +Deci $m(A O B)=144^{\circ}, m(\quad B O C)=96^{\circ}, m(C O D)=72^{\circ}$ și $m($ DOA $)=48^{\circ} . \quad 1 p$ b)Avem $m($ MON $)=m($ MOB $)+m(B O N)=[m(A O B)+m(B O C)]: 2=$ $=\left(144^{\circ}+96^{\circ}\right): 2=120^{\circ}$. . . . . $1 p$ Finalizare: MON este obtuz. . . . . . . $1 p$ Total: $7 p$ + +4) Aflați valorile numărului natural $n$ pentru care numerele $n+1, n+7, n+$ $13, n+15$ și $n+19$ sunt simultan numere prime. + +Soluție: + +La împărțirea cu 5 se obțin 5 resturi: $0,1,2,3,4$, deci n este de forma $5 k, 5 k$ $+1,5 k+2,5 k+3$ sau $5 k+4, k$. . . . $1 p$ + +Dacă $n=5 k$, atunci $n+15=5(k+3)=$ număr compus, $k+3>1 . \quad 1 p$ + +Dacă $\mathrm{n}=5 \mathrm{k}+1$, atunci $\mathrm{n}+19=5(k+4)=$ număr compus, $k+4>1 \quad 1 p$ + +Dacă $n=5 k+2$, atunci $n+13=5(k+3)=$ număr compus, $k+3>1 \quad 1 p$ + +Dacă $n=5 k+3$, atunci $n+7=5(k+2)=$ număr compus, $k+2>1 \quad 1 p$ + +Dacă $n=5 k+4$, atunci $n+1=5(k+1)=$ număr prim numai dacă $k+1=1$ deci $k=0$ și $n=4$ + +Dacă $n=4$, atunci $n+1=5, n+7=11, n+13=17, n+15=19$ și $n+19==$ 23 , cum $5,11,17,19$ și 23 sunt numere prime rezultă că $n=4$ este soluția problemei + +Total: $7 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-18-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al treilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj3_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-18-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al treilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj3_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e7b222205d4e1bc46b4b169daedff45b593b426 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-18-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al treilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj3_juniori.md @@ -0,0 +1,44 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c96a07d005c820190a1g-1.jpg?height=274&width=268&top_left_y=129&top_left_x=858) + +# Al treilea baraj de selecție pentru OBMJ
București, 28 mai 2022 + +## Problema 1. + +Fie $a \geqslant b \geqslant c \geqslant d$ numere reale cu proprietatea că + +$$ +(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=-3 +$$ + +a) Dacă $a+b+c+d=6$, demonstrați că $d<0,36$ + +b) Dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=14$, arătați că $(a+c)(b+d) \leqslant 8$. Precizați cazurile de egalitate. + +## Problema 2. + +Se consideră două cercuri $\mathcal{C}_{1}$ și $\mathcal{C}_{2}$ tangente interior în punctul $P$ (cercul $\mathcal{C}_{2}$ este interior cercului $\mathcal{C}_{1}$ ). + +O coardă $A B$ din cercul $\mathcal{C}_{1}$ este tangentă cercului $\mathcal{C}_{2}$ în punctul $C$. Fie $D$ al doilea punct de intersectie dintre dreapta $C P$ și cercul $\mathcal{C}_{1}$. O tangentă dusă din $D$ la $\mathcal{C}_{2}$ intersectează a doua oară cercul $\mathcal{C}_{1}$ in $E$ și cercul $\mathcal{C}_{2}$ în $F$. + +Arătați că punctul $F$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B E$. + +## Problema 3. + +Fie $p_{i}\left(i \in \mathbb{N}^{*}\right)$ al $i$-ulea număr prim (în ordine crescătoare). Pentru fiecare număr natural nenul $k$, notăm cu $a_{k}$ numărul de numere naturale nenule $i$ cu proprietatea că produsul $p_{i} p_{i+1}$ divide numărul $k$. + +Dacă $n$ este un număr natural nenul, arătați că + +$$ +a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}<\frac{n}{3} +$$ + +## Problema 4. + +Fie $n \geqslant 2$ un număr natural și $M=\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \ldots \times \mathbb{N}$ (de $n$ ori $\mathbb{N}$ ) mulțimea $n$ uplelor de numere naturale. Pentru fiecare $a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \in M$ notăm cu $d_{a}$ numărul perechilor $(i, j), i, j \in\{1,2, \ldots n\}$, pentru care $a_{i}-a_{j}=1$. + +Determinați valoarea maximă a numărului $d_{a}$ când $a$ parcurge mulțimea $M$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-180-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-180-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..016c249839ad1c3b8e7ca6b9938e6f5fcf96a2d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-180-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,164 @@ +# Olimpiada de matematică + +## Etapa locală, 21 februarie 2016 + +## Clasa a V-a + +1. Se dau numerele naturale: + +$a=2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)-2016$ + +$b=1+1 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 3+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4+\ldots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2016$. + +Arătati că: + +a) a este pătrat perfect; + +b) b nu este pătrat perfect. + +2. Fie numărul natural $X=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2015}$. + +a) Aflați ultima cifră a lui $2^{2016}$. + +b) Arătați că $X=2^{2016}-1$. + +c) Arătați că $X$ este un număr natural divizibil cu 7 . + +3. La un magazin au fost aduse bomboane cu 13 lei/Kg în 50 de cutii de 10 Kg și $13 \mathrm{Kg}$. Câte cutii sunt de $10 \mathrm{Kg}$, dacă după vânzarea bomboanelor s-au încasat 7007 lei? +4. Suma a trei numere naturale este 3053. Dacă împărțim primul număr la jumătatea celui de al doilea obținem câtul 3 şi restul 5, iar dacă împărțim al treilea număr la sfertul celui de al doilea obținem câtul 5 şi restul 3 . + +Aflați numerele. + +Notă : Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect are 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru 2 ore și 30 de minute. + +## Barem de corectare și notare + +## Olimpiada de matematică, etapa locala, 21 februarie 2016 + +## Clasa a V-a + +Notă : Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se notează cu punctajul corespunzător. + +2. Se dau numerele naturale: + +$$ +\begin{aligned} +& a=2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)-2016 \\ +& b=1+1 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 3+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4+\ldots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2016 +\end{aligned} +$$ + +Arătati că: + +b) a este pătrat perfect; + +b) b nu este pătrat perfect. + +Soluție: + +a) Folosim formula $1+2+3+\ldots+n=[n \cdot(n+1)]: 2 . . .1 p$ + +$a=2016 \cdot 2017-2016$. . . . 1p + +$a=2016(2017-1)$. . . . . 1p + +Finalizare: $\mathrm{a}=2016^{2}=$ p. p. . . . . . 1p + +b) Dacă un număr natural se termină cu una din cifrele $2,3,7$ sau 8 nu este pătrat perfect. + +$1 p$ + +Scriem încă un termen al lui b și obținem: + +$b=1+1 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 3+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \ldots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2016 . \quad 1 p$ + +Finalizare: $u(b)=u(1+2+6+4+0+\ldots+0)=3$, deci b nu este p. p. 1 p + +Total: $7 p$ + +2. Fie numărul natural $X=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2015}$. + +a) Aflați ultima cifră a lui $2^{2016}$. + +b) Arătați că $X=2^{2016}-1$. + +c) Arătați că $X$ este un număr natural divizibil cu 7 . + +Soluție: + +a) Dacă baza se termină cu cifra 2, ultima cifră a puterilor se repetă din 4 în 4. $1 p$ + +Finalizare: $u\left(2^{2016}\right)=u\left(2^{4 \cdot 504}\right)=u\left(2^{4}\right)=u(16)=6$ $1 p$ + +b) Avem: $2 X=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2016}$. $1 \mathrm{p}$ + +Adunăm 1 în fiecare membru al egalității de mai sus și obținem: + +$2 X+1=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2015}+2^{2016}$. . . $1 p$ + +Cum $X=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2015}$, egalitatea de mai sus devine: + +$2 X+1=X+2^{2016}$, deci $X=2^{2016}-1$. . . . $1 p$ + +c) Observăm că: $1+2+2^{2}=7$ și că X are 2016 termeni, deci putem să-i grupăm câte trei, pentru că 20163 $1 p$ + +Avem: $X=\left(1+2+2^{2}\right)+\left(2^{3}+2^{4}+2^{5}\right)+\ldots+\left(2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}\right)=$ $=\left(1+2+2^{2}\right)+2^{3}\left(1+2+2^{2}\right)+\ldots+2^{2013}\left(1+2+2^{2}\right)=$ + +$=7 \cdot\left(1+2^{3}+\ldots+2^{2013}\right)$, deci $X 7$, pentru că unul din factorii produsului este 7. + +$1 p$ + +Total: $7 p$ + +3. La un magazin au fost aduse bomboane cu 13 lei/Kg în 50 de cutii de $10 \mathrm{Kg}$ și $13 \mathrm{Kg}$. Câte cutii sunt de $10 \mathrm{Kg}$, dacă după vânzarea bomboanelor s-au încasat 7007 lei? + +Soluție: + +Mai întâi aflăm câte kilograme de bomboane s-au cumpărat: + +7007 lei : 13 lei $/ \mathrm{Kg}=539 \mathrm{Kg}$. . . . $1 \mathrm{p}$ + +Folosim metoda falsei ipoteze: + +Presupunem că sunt numai cutii de $10 \mathrm{Kg}$. . . 1 p + +Greutatea totală ar fi $50 \cdot 10 \mathrm{Kg}=500 \mathrm{Kg}$. . . $1 \mathrm{p}$ + +Avem $539 \mathrm{Kg}-500 \mathrm{Kg}=39 \mathrm{Kg}$, diferența totală . . . $1 p$ + +și $13 \mathrm{Kg}-10 \mathrm{Kg}=3 \mathrm{Kg}$, diferența pentru fiecare cutie de $13 \mathrm{Kg} . \quad 1 p$ + +Aflăm numărul cutiilor de $13 \mathrm{Kg}$ : + +$39 \mathrm{Kg}$ : $3 \mathrm{Kg}=13$ cutii de $13 \mathrm{Kg}$. . . . $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare: avem $50-13=37$ cutii de $10 \mathrm{Kg}$. . . 1 p + +Total: $7 p$ + +4. Suma a trei numere naturale este 3053. Dacă împărțim primul număr la jumătatea celui de al doilea obținem câtul 3 şi restul 5 , iar dacă împărțim al treilea număr la sfertul celui de al doilea obținem câtul 5 şi restul 3. + +Aflați numerele. + +Soluție: + +Notăm al doilea număr cu $4 x$. . . . 1p + +Primul număr va fi $3 \cdot 2 x+5=6 x+5$. . . $1 p$ + +Al treilea număr va fi $5 x+3$. . . . 1 p + +Obținem ecuația: $15 x+8=3053$, cu soluția $x=203$. $1 p$ + +Finalizare: + +Primul număr va fi $6 \cdot 203+5=1223$. . . . 1p + +Al doilea număr va fi $4 \cdot 203=812$. . . . 1 p + +Al treilea număr va fi $5 \cdot 203+3=1018$ + +$1 p$ + +## Total: $7 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-181-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-181-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ca84aabef66f6f188a8120ca92edf7db2bce933 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-181-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# Barem de notare - clasa a XII-a + +Problema 1. Să se arate că există o singură funcţie derivabilă + +$$ +f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text {, astfel încât } f^{\prime}\left(x^{3}+2 x+1\right)=4 x, \forall x \in \mathbb{R} \text { şi } f(1)=0 \text {. } +$$ + +Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, să se calculeze $F(1)-F(-2)$. + +Soluţie: + +Din relaţia $f^{\prime}\left(x^{3}+2 x+1\right)=4 x, \forall x \in \mathbb{R}$ obţinem $\left(3 x^{2}+2\right) f^{\prime}\left(x^{3}+2 x+1\right)=12 x^{3}+8 x$ $f\left(x^{3}+2 x+1\right)=3 x^{4}+4 x^{2}+C, \forall x \in \mathbb{R} \quad(1,5 \mathbf{p})$ + +şi cum $f(1)=0$ rezultă $\mathrm{C}=0$ + +$(0,5$ p) + +Fie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x^{3}+2 x+1$ + +$g^{\prime}(x)=3 x^{2}+2, g^{\prime}(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}$, deci $g$ este strict crescătoare şi astfel $g$ este injectivă $\lim _{x \rightarrow-\infty} g(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty, g$ continuă, deci $g$ este surjectivă $(\mathbf{1 , 5} \mathbf{p})$ + +Funcţia $\mathrm{f}$ este bine determinată, deoarece $g(x)=x^{3}+2 x+1$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$. + +Observăm că $\left(3 x^{2}+2\right) f\left(x^{3}+2 x+1\right)=\left(3 x^{2}+2\right)\left(3 x^{4}+4 x^{2}\right)$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left(3 x^{2}+2\right) f\left(x^{3}+2 x+1\right)=9 \mathrm{x}^{6}+18 \mathrm{x}^{4}+8 x^{2} \\ +& F\left(x^{3}+2 x+1\right)=\frac{9 \mathrm{x}^{7}}{7}+\frac{18 \mathrm{x}^{5}}{5}+\frac{8 x^{3}}{3}+C_{1} +\end{aligned} +$$ + +$(1,5$ p) + +Pentru $x=0$ avem $\quad F(1)=C_{1}$ şi pentru $x=-1$ avem $F(-2)=-\frac{9}{7}-\frac{18}{5}-\frac{8}{3}+C_{1} \quad(\mathbf{0 , 5} \mathbf{p})$ + +$$ +F(-2)-F(1)=-\frac{9}{7}-\frac{18}{5}-\frac{8}{3}=-\frac{793}{105} \quad(\mathbf{0 , 5} \mathbf{p}) +$$ + +Problema 2. Se consideră mulţimea $G=(2 ; \infty)$ şi funcţia $f: G \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln (x-2)$. Să se determine o lege de compoziţie * pe $G$, astfel încât $\left(G,{ }^{*}\right)$ să fie grup, iar funcția $\mathrm{f}$ să fie izomorfism de la grupul $\left(G,{ }^{*}\right)$ la grupul aditiv $(\mathbb{R},+)$. + +Soluţie: + +Deoarece funcția $\mathrm{f}$ este izomorfism de la grupul $\left(G,{ }^{*}\right)$ la grupul aditiv $(\mathbb{R},+)$, obținem că f este bijectivă, deci inversabilă (1 p) + +și relația $f(x * y)=f(x)+f(y)$, pentru orice $x, y \in G$. (1 p) + +$$ +\begin{aligned} +& f^{-1}(f(x * y))=f^{-1}(f(x)+f(y)), \text { pentru orice } x, y \in G \\ +& x * y=f^{-1}(f(x)+f(y)) +\end{aligned} +$$ + +Se arată că $f^{-1}: \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow G, f^{-1}(x)=e^{x}+2(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +și relația de mai sus devine + +$$ +\begin{aligned} +& x * y=e^{f(x)+f(y)}+2=e^{\ln (x-2)+\ln (y-2)}+2=e^{\ln (x-2)(y-2)}+2 \quad(1 \mathbf{p}) \\ +& =(x-2)(y-2)+2 \\ +& x * y=x y-2 x-2 y+6, \text { pentru orice } x, y \in(2 ; \infty) \quad \text { (1 p) } +\end{aligned} +$$ + +Se arată că * este lege de compoziție pe G şi că $\left(G,{ }^{*}\right)$ este grup. + +Problema 3. Fie A un inel cu element unitate astfel încât $x^{3}=x^{2}, \forall x \in A$. Să se arate că +a) $x^{2}=x, \forall x \in A$ + +b) A este un inel comutativ. + +Soluţie: +a) $x \rightarrow-x \quad-x^{3}=x^{2}$, pentru $\forall x \in A \quad$ (1 p) + +$$ +\begin{gathered} +x \rightarrow x+1 \quad(x+1)^{3}=(x+1)^{2} \quad x^{3}+3 x^{2}+3 x+1=x^{2}+2 x+1 \\ +x^{2}+x=0 \quad x^{2}=-x \\ +x^{3}=x, \text { dar ştim că } x^{3}=x^{2}, \text { ceea ce înseamnă că } x=-x +\end{gathered} +$$ + +Se deduce imediat că $x^{2}=x \quad(\mathbf{0 , 5} \mathbf{p})$ +b) $x \rightarrow x+y \quad(x+y)^{2}=x+y \quad$ (1 p) + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}+x y+y x+y^{2}=x+y \\ +& x y+y x=0 \quad(\mathbf{1} \mathbf{p )} \\ +& x y=-y x=y x, \text { pentru orice } x, y \in A +\end{aligned} +$$ + +Problema 4. Să se calculeze $\lim _{y \geq 0} \int_{y}^{1}\left(\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{x}+\frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}\right) d x$. + +## Gazeta matematicǎ + +Soluţie: + +$\operatorname{arctg} \mathrm{x}+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$, pentru orice $x>0$ + +$\int\left(\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{x}+\frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}\right) d x=\int\left(\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} \mathrm{x}\right)+(\operatorname{arctg} \mathrm{x})^{\prime} \ln \left(1+x^{2}\right)\right) d x$ + +$=\int \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{arctg} \mathrm{x} d x-\int \operatorname{arctg}^{2} \mathrm{x} d x+\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot \ln \left(1+x^{2}\right)-\int \frac{2 x}{1+x^{2}} \cdot \operatorname{arctg} \mathrm{x} d x$ + +$=\frac{\pi}{2} \int x^{\prime} \cdot \operatorname{arctg} \mathrm{x} d x-\int \operatorname{arctg}^{2} \mathrm{x} d x+\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot \ln \left(1+x^{2}\right)-\int x \cdot\left(\operatorname{arctg}^{2} \mathrm{x}\right)^{\prime} d x$ + +$=\frac{\pi}{2} x \cdot \operatorname{arctg} x-\frac{\pi}{2} \int \frac{x}{1+x^{2}} d x-\int \operatorname{arctg}^{2} \mathrm{x} d x+\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot \ln \left(1+x^{2}\right)-x \cdot\left(\operatorname{arctg}^{2} \mathrm{x}\right)+\int \operatorname{arctg}^{2} \mathrm{x} d x$ + +$=\frac{\pi}{2} x \cdot \operatorname{arctg} x-\frac{\pi}{4} \ln \left(1+x^{2}\right)+\operatorname{arctg} x \cdot \ln \left(1+x^{2}\right)-x \cdot\left(\operatorname{arctg}^{2} x\right)+C$ + +$\lim _{y \geq 0} \int_{y}^{1}\left(\operatorname{arctg} \mathrm{x} \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{x}+\frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}\right) d x$ + +$=\lim _{y \geq 0}\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{4} \ln 2+\frac{\pi}{4} \cdot \ln 2-\frac{\pi^{2}}{16}-\left(\frac{\pi}{2} y \cdot \operatorname{arctg} y-\frac{\pi}{4} \ln \left(1+y^{2}\right)+\operatorname{arctg} \mathrm{y} \cdot \ln \left(1+y^{2}\right)-y \cdot\left(\operatorname{arctg}^{2} y\right)\right)\right)$ + +$=\frac{\pi}{8}-\frac{\pi^{2}}{16} \quad(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-182-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-182-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f7d1bfc22aa88132ddfe072a24a9532a9856751 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-182-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# Barem de notare - clasa a XI-a + +Problema 1. a) Arătaţi că $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos (\operatorname{tg} x)}{x(\operatorname{tg} x-\sin x)}=1$; + +b)Demonstraţi că $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{2016}{x}\right]$ nu există, unde [a] reprezintă partea întreagă a numărului real a. + +Soluţie: + +a) Scrie formula $\cos p-\cos q=-2 \sin \frac{p+q}{2} \sin \frac{p-q}{2}$ sau o aplică direct $\left.\mathbf{( 0 , 5 p}\right)$ + +$$ +\begin{aligned} +& l=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos (\operatorname{tg} x)}{x(\operatorname{tg} x-\sin x)}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[-2 \frac{\sin \frac{\sin x+\operatorname{tg} x}{2} \sin \frac{\sin x-\operatorname{tg} x}{2}}{x(\operatorname{tg} x-\sin x)}\right] +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bead15460b6ad73a402fg-1.jpg?height=198&width=1128&top_left_y=1403&top_left_x=431) + +Obţinem : $l=-2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{x}+\frac{\operatorname{tg} x}{x}\right) \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=1 \quad(\mathbf{1 , 5 p})$ +b) $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{2016}{x}\right]=\infty(\mathbf{0 , 5 p})$ deoarece $\frac{2016}{x}-1<\left[\frac{2016}{x}\right] \mathbf{( 0 , 5 p )}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\lim _{x \rightarrow 0_{x>0}}\left(\frac{2016}{x}\right)=\infty \mathbf{( 0 , 5 p}\right) \\ +& \left.\left.\lim _{x \rightarrow 0_{x<0}}\left[\frac{2016}{x}\right]=-\infty \mathbf{( 0 , 5 p}\right) \text { deoarece }\left[\frac{2016}{x}\right] \leq \frac{2016}{x} \mathbf{( 0 , 5 p}\right) \\ +& \left.\lim _{x \rightarrow 0_{x<0}}\left(\frac{2016}{x}\right)=-\infty \mathbf{( 0 , 2 5 p}\right) +\end{aligned} +$$ + +Cum $\lim _{x \rightarrow 0_{x>0}}\left[\frac{2016}{x}\right] \neq \lim _{x \rightarrow 0_{x<0}}\left[\frac{2016}{x}\right]$ rezultă că nu există $\left.\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{2016}{x}\right] \mathbf{( 0 , 2 5 p}\right)$ + +Problema 2. Fie matricele $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in M_{3}(\mathbf{R})$ cu $A \cdot A^{t}=\mathrm{B} \cdot \mathrm{B}^{\mathrm{t}}=\mathrm{I}_{3}$. Să se arate că $\operatorname{det}((A-B)(A+B))=0$. + +Gazeta matematică + +Soluţie: + +Dacă $X \in M_{3}(R)$, atunci $\operatorname{det}\left(X-X^{t}\right)=0$. + +Atunci $\operatorname{det}((A-B)(A+B))=\operatorname{det}(A-B) \cdot \operatorname{det}(A+B)=$ $\qquad$ (1p) + +$=\operatorname{det}(A-B) \cdot \operatorname{det}\left((A+B)^{t}\right)=$ $\qquad$ +$=\operatorname{det}\left(A \cdot A^{t}+A \cdot B^{t}-B \cdot A^{t}-B \cdot B^{t}\right)=\operatorname{det}\left(I_{3}+A B^{t}-B A^{t}-I_{3}\right)=$ + +$=\operatorname{det}\left(A B^{t}-\left(A B^{t}\right)^{t}\right)=0$ $\qquad$ +Problema 3. Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right)$. + +a) Să se arate că există o infinitate de matrici $X \in M_{3,1}(\mathbf{R})$, astfel încât $A \cdot X=O_{3}$. + +b) Să se arate că $A^{n} \neq I_{3}, \forall n \in \mathbf{N}^{*}$. + +c) Să se arate că pentru $\forall r \in \boldsymbol{Q}-\boldsymbol{Z}$ avem $\operatorname{det}\left(A+r I_{3}\right) \neq 0$. + +Soluţie: + +a) Ecuaţia $A \cdot X=O_{3}$ este echivalentă cu un sistem liniar omogen, în care $A$ este matricea sistemului. Cum $\operatorname{det}(A)=0$, alegem un minor $\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right|=-1 \neq 0$, deci rang $A=2$. Notăm $z=\alpha, \alpha \in \mathbf{R}$ și obţinem $X=\left(\begin{array}{c}\propto \\ -2 \propto \\ \propto\end{array}\right), \alpha \in \mathbf{R}$ $\qquad$ +b) $\operatorname{det} A=0$, atunci $\operatorname{det} A^{n}=0$. Cum $\operatorname{det} I_{3}=1$ rezultă că $A^{n} \neq I_{3}, \forall n \in \mathbf{N}^{*}$ $\qquad$ +c) $\operatorname{det}\left(A+r I_{3}\right)=r\left(r^{2}+9 r-6\right)(*)$. Ecuaţia (*) are o rădăcină + +$r_{1}=0 \in \mathbf{Z}$ și rădăcinile iraţionale $r_{2,3}=\frac{-9 \pm \sqrt{105}}{2}$. + +Așadar $\forall r \in \boldsymbol{Q}-\boldsymbol{Z}$ avem $\operatorname{det}\left(A+r I_{3}\right) \neq 0$ $\qquad$ +(2p). + +Problema 4. Fie $\alpha \in \boldsymbol{N}, \boldsymbol{\alpha} \geq 3$. Se consideră șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ cu proprietățile $a_{0} \in(0,1)$ și $a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{\alpha}, \forall n \in \boldsymbol{N}$. + +a) Arătați că șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ este convergent și are limita 0 . + +b) Determinaţi $\beta \in N, \beta \geq 2$ astfel încât șirul $\left(b_{n}\right)_{n \in N}$ dat prin $b_{n}=\sqrt[\beta]{n} \cdot a_{n}, \forall n \in N$ să fie convergent și să aibă limita în $(0,+\infty)$. + +Soluţie:a)Se deduce imediat, prin inducţie după $n$, că $a_{n} \in(0,1), \forall n \in \boldsymbol{N}$.deci șirul este mărginit. + +Pe de altă parte, $a_{n+1}-a_{n}=-a_{n}^{\alpha}<0, \forall n \in \mathbf{N}$, adică şirul este strict descrescător.. (1p) + +Deducem astfel că $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ este convergent și are limita în $[0,1)$. Trecând la limită în relaţia de recurenţă, obţinem $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$. + +b) Folosind criteriul Cesaro-Stolz, avem: + +$$ +\begin{aligned} +& l=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[\beta]{n}}{\frac{1}{a_{n}}}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[\beta]{n+1}-\sqrt[\beta]{n}}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}}=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[\beta]{(n+1)^{\beta-1}}+\ldots+\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}} \cdot \frac{a_{n+1} a_{n}}{a_{n}-a_{n+1}}\right)= \\ +& =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[\beta]{(n+1)^{\beta-1}}+\ldots+\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}} \cdot \frac{a_{n}^{2}\left(1-a_{n}^{\alpha-1}\right)}{a_{n}^{\alpha}}\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}}{\sqrt[\beta]{(n+1)^{\beta-1}}+\ldots+\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}} \cdot \frac{1-a_{n}^{\alpha-1}}{\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}} \cdot a_{n}^{\alpha-2}}\right)= \\ +& =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}}{\sqrt[\beta]{(n+1)^{\beta-1}}+\ldots+\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}} \cdot\left(1-a_{n}^{\alpha-1}\right) \cdot \frac{(\sqrt[\beta]{n})^{\alpha-2}}{\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}} \cdot\left(\sqrt[\beta]{n} \cdot a_{n}\right)^{\alpha-2}}\right)= \\ +& =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}}{\sqrt[\beta]{(n+1)^{\beta-1}}+\ldots+\sqrt[\beta]{n^{\beta-1}}} \cdot\left(1-a_{n}^{\alpha-1}\right) \cdot n^{\frac{\alpha-\beta-1}{\beta}} \cdot \frac{1}{\left(\sqrt[\beta]{n} \cdot a_{n}\right)^{\alpha-2}}\right) \in(0,+\infty) +\end{aligned} +$$ + +Deducem că $\alpha-\beta-1=0$, adică $\beta=\alpha-1$ și mai mult: + +$$ +l=\frac{1}{\beta \cdot l^{\alpha-2}} \Rightarrow l^{\alpha-1}=\frac{1}{\alpha-1} \Rightarrow l=\frac{1}{\sqrt[\alpha-1]{\alpha-1}} .(\mathbf{1} \mathbf{p}) +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-183-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-183-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a50da080d8bfda504cb97e86dd0cbc57c96d7ab5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-183-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,85 @@ +# Barem de notare - clasa a X-a + +Problema 1. Rezolvaţi î mulţimea numerelor reale: +a) $4^{x} \cdot 9^{\frac{1}{x}}+9^{x} \cdot 4^{\frac{1}{x}}+6^{x+\frac{1}{x}}=108$ +b) $13 \cdot\left(3^{\lg x^{2}}+x^{\lg 4}\right) \leq\left(3 \cdot x^{\lg 3}+2^{1+\lg x}\right)^{2}$ + +Soluţie: + +a) Condiţie de existenţă: $x \neq 0$ + +Pentru $x<0$, membrul stâng este mai mic decât 3 . .... + +$1 p$ + +Dacă $x>0$, membrul stâng se scrie $6^{x+\frac{1}{x}} \cdot\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{x-\frac{1}{x}}+\left(\frac{3}{2}\right)^{x-\frac{1}{x}}+1\right]$. + +Dar $x+\frac{1}{x} \geq 2 \Rightarrow 6^{x+\frac{1}{x}} \geq 36$. + +Cum $\left(\frac{2}{3}\right)^{x-\frac{1}{x}}+\left(\frac{3}{2}\right)^{x-\frac{1}{x}} \geq 2$, deducem că membrul stâng este mai mare sau egal cu 108.(2p) + +Egalitatea se obține pentru $x=1$. + +$1 p$ +b) $\left(3 \cdot x^{\lg 3}+2^{\operatorname{l1} \lg x}\right)^{2}=\left(3 \cdot 3^{\lg x}+2 \cdot 2^{\lg x}\right)^{2} \leq 13 \cdot\left(3^{\lg x}+2^{2 \lg x}\right)$ conform C.B.S $1 p$ + +Dar $3^{2 \lg x}+2^{2 \lg x}=3^{\lg x^{2}}+x^{\lg 4}$. + +Rezultă conditia $\frac{3}{3^{\lg x}}=\frac{2}{2^{\lg x}} \Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^{\lg x}=\frac{3}{2}$. + +Deci $x=10$ + +Problema 2. Se consideră mulţimea $A$ şi funcţia $f: A \rightarrow A$. Ştiind că $|A|=2015$ şi $f \circ f \circ f=1_{A}$, demonstraţi că $\{x \in A \mid f(x)=x\}$ are cel puţin două elemente. + +Soluţie: + +Din $f$ of of $=1_{A}$ rezultă că $f$ este bijectivă. + +$1 p$ + +Presupunând că $f$ nu are niciun punct fix, rezultă $f(x) \neq x, \forall x \in A$, apoi $f(f(x)) \neq f(x)$ şi în final că $x, f(x), f(f(x))$ sunt distincte două câte două, Rezultă că $A$ se poate scrie ca o reuniune finită de triplete de această formă, deci $|\mathrm{A}|$ este multiplu de 3. Contradicţie! $3 p$ + +Dacă presupunem că $f$ are un singur punct fix $x_{0}$, rezultă analog că $\left|\mathrm{A}-\left\{x_{0}\right\}\right|$ este multiplu de 3.Contradicţie! . $.2 p$ + +Deci $f$ are cel puţin două puncte fixe. $1 p$ + +Problema 3. Fie a,b,c $\in \mathbb{C}^{*}$ astfel încât $|b|^{2}=3|a| \cdot|c|$ iar arg $a$, arg $b$, arg $c$ sunt în progresie aritmetică. Dacă $z_{1}$ §̧i $z_{2}$ sunt rădăcinile ecuaţiei $a z^{2}+b z+c=0$, demonstraţi că punctele $M_{1}\left(z_{1}\right), M_{2}\left(z_{2}\right)$ şi $\mathrm{O}$ (originea axelor de coordonate), sunt vârfurile unui triunghi echilateral. + +Soluţie: + +Considerăm: $a=R(\cos \alpha+i \sin \alpha), c=r(\cos \beta+i \sin \beta), b=\sqrt{3 R r}\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+i \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ + +unde $r, R>0$ şi $\alpha, \beta \in[0,2 \pi)$. + +Se obţine $\Delta=-\operatorname{Rr}[\cos (\alpha+\beta)+i \sin (\alpha+\beta)]=(\sqrt{R r})^{2} i^{2}\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}+i \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^{2}$ + +si $z_{1,2}=-\sqrt{\frac{r}{R}} \cdot \frac{-\sqrt{3} \pm i}{2} \cdot\left(\cos \frac{\beta-\alpha}{2}+i \sin \frac{\beta-\alpha}{2}\right)$ + +Atunci $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\frac{-\sqrt{3}-i}{2}}{\frac{-\sqrt{3+i}}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}$ + +Deci $z_{1}=z_{2}\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)$ sau $z_{1}-0=\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \cdot\left(z_{2}-0\right)$, adică $M_{1}\left(z_{1}\right), M_{2}\left(z_{2}\right)$ şi $O(0)$ sunt vârfurile unui triunghi echilateral. + +Problema 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale + +$$ +\sqrt[3]{x \sqrt{x}}-\sqrt[7]{x \sqrt{x \sqrt{x}}}=6 \sqrt[12]{x \sqrt{x}} +$$ + +Gazeta matematică + +Soluţie: + +Condiţia de existenţă a radicalului: $x \geq 0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5409dda2413c1d8c519ag-3.jpg?height=93&width=1607&top_left_y=1054&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5409dda2413c1d8c519ag-3.jpg?height=65&width=1602&top_left_y=1174&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5409dda2413c1d8c519ag-3.jpg?height=68&width=1602&top_left_y=1283&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5409dda2413c1d8c519ag-3.jpg?height=71&width=1631&top_left_y=1393&top_left_x=239) + +Sau $t^{2}+2 t+3=0 \Rightarrow \Delta_{t}=-8<0 \Rightarrow$ ecuaţia nu are soluţii reale. ..........................5p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5409dda2413c1d8c519ag-3.jpg?height=62&width=1631&top_left_y=1606&top_left_x=239) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-184-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-184-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b53f0db1881b111ea9d6f2f6e2a30907446e16be --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-184-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,156 @@ +# Barem de notare - clasa a VIII-a + +Problema 1. a) Determinaţi numerele reale a,b,c ştiind că $a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$ şi $2 a+4 b+6 c=28$. + +b) Fie $t=(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot(a \sqrt{2}+b \sqrt{3})$, unde a şi b sunt numere întregi. Dacă $t$ este număr raţional calculaţi $x=a|b|+b|a|$. + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e3d15057ad6f2c4f2a36g-1.jpg?height=62&width=1515&top_left_y=1080&top_left_x=305) + +Relaţia de mai sus se scrie: $\left(a^{2}-2 a+1\right)+\left(b^{2}-4 b+4\right)+\left(c^{2}-6 c+9\right)=0$. $1 \mathrm{p}$ + +Rezultă: $(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}=0$ $1 p$ + +Cum fiecare termen al sumei este nenegativ $\Rightarrow a-1=b-2=c-3=0$. + +$.0,5 p$ + +Deci: $a=1, b=2, c=3$. + +$.0,5 p$ + +b) Numărul dat se scrie: $t=(2 a+3 b)+\sqrt{6}(a+b)$ + +$.0,5 p$ + +Rezultă: $\sqrt{6}(a+b)=t-(2 a+3 b)$ + +$.0,5 p$ + +Deoarece membrul drept al egalită̆ţi este număr raţional $\Rightarrow \sqrt{6}(a+b) \in \mathbb{Q}$ + +$.0,5 p$ + +Cum $(a+b) \in \mathbb{Z}$ si $\sqrt{6} \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \Rightarrow a+b=0 \Rightarrow b=-a$ + +$1 p$ + +Obţinem $x=a|-a|-a|a|=0$ + +Problema 2. Rezolvaţi ecuaţia: + +$$ +\frac{x^{2}+1}{2}+\frac{2 x^{2}+1}{3}+\frac{3 x^{2}+1}{4}+\cdots+\frac{2015 x^{2}+1}{2016}=2015 +$$ + +Soluţie: + +Ecuaţia dată este echivalentă cu: + +$\left(\frac{x^{2}+1}{2}-1\right)+\left(\frac{2 x^{2}+1}{3}-1\right)+\left(\frac{3 x^{2}+1}{4}-1\right)+\cdots+\left(\frac{2015 x^{2}+1}{2016}-1\right)=0$ + +$.2 p$ + +După efectuarea calculelor în fiecare paranteză obţinem: + +$\frac{x^{2}-1}{2}+\frac{2 x^{2}-2}{3}+\frac{3 x^{2}-3}{4}+\cdots+\frac{2015 x^{2}-2015}{2016}=0$ + +Scoatem factor comun la număratori, unde este cazul, şi obţinem: + +$\frac{x^{2}-1}{2}+\frac{2\left(x^{2}-1\right)}{3}+\frac{3\left(x^{2}-1\right)}{4}+\cdots+\frac{2015\left(x^{2}-1\right)}{2016}=0$ + +$1 p$ + +Scoatem $x^{2}-1$ factor comun şi avem: + +$\left(x^{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2015}{2016}\right)=0$ + +1p + +Dar al doilea factor este un număr pozitiv, fiind o sumă de numere strict pozitive. $.1 p$ + +Deci $x^{2}-1=0 \Rightarrow x= \pm 1$ + +Obţinem: $\quad S=\{1 ;-1\}$ 1p + +Problema 3. În vârful $\mathrm{D}$ al dreptunghiului $\mathrm{ABCD}$ se duce perpendiculara pe planul acestuia, pe care se ia un punct M. Fie $\mathrm{AC} \cap B D=\{O\}$ şi $[O N$ este bisectoarea $\Varangle M O C, \mathrm{~N} \in(\mathrm{MC})$. Considerăm un punct $\mathrm{P} \in(\mathrm{MA})$ astfel încât proiecţia lui $\mathrm{P}$ pe dreapta $\mathrm{ON}$ este punctul $\mathrm{O}$. + +Dacă $\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{AC})=\frac{12}{5} \sqrt{2}$ determinanţi: + +a) măsura unghiului dintre PN și planul (ABC); + +b) distanţa de la punctul D la planul (MAC). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e3d15057ad6f2c4f2a36g-3.jpg?height=811&width=848&top_left_y=733&top_left_x=671) + +Soluţie: +a) $m(\Varangle A O P)=180^{\circ}-90^{\circ}-m(\Varangle N O C)=90^{\circ}-m(\Varangle N O M)=m(\Varangle P O M) \Rightarrow[O P$ bisectoarea $\Varangle M O A$.... + +$1 p$ + +Aplicând teorema bisectoarei în triunghiurile $M O C$ respectiv $M O A$ obţinem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e3d15057ad6f2c4f2a36g-3.jpg?height=118&width=1541&top_left_y=1925&top_left_x=308) + +$\operatorname{Dar} O C=O A \Rightarrow \frac{M N}{N C}=\frac{M P}{P A} \xrightarrow{\text { T.R.Th }} P N \| A C$ + +Cum $P N\|A C, A C \subset(A B C) \Rightarrow P N\|(A B C) \Rightarrow m \Varangle[P N,(A B C)]=0^{\circ}$ +b) Fie $D Q \perp A C$. Cum $M D \perp(A B C), D Q \cap A C=\{Q\} \xrightarrow{T_{3 \downarrow}} M Q \perp A C$ $.1 p$ + +Avem $D Q \perp A C, M Q \perp A C$ şi fie $D S \perp M Q, M Q \cap A C=\{Q\} \xrightarrow{T . R . T_{3} \perp} D S \perp(M A C)$ + +Rezultă că $d[D,(M A C)]=D S$ + +În $\triangle A D C$ folosind $T . P$ şi $T . h_{2}$ obţinem: $A C=5$ şi $D Q=\frac{12}{5}$ + +În $\triangle M D Q \Rightarrow \cos Q=\frac{D Q}{M Q} \Rightarrow \cos Q=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow m \Varangle(M Q D)=45^{\circ}$ + +$.0,5 p$ + +$\triangle M D Q$ dreptunghic isoscel în $\mathrm{D}$ şi cum $[D S]$ înălţime $\Rightarrow[D S]$ mediană. + +Deci $D S=\frac{M Q}{2}=\frac{6 \sqrt{2}}{5}$ + +$.0,5 p$ + +Problema 4. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Considerăm punctele $E \in(B D)$ astfel încât $B D=4 D E$ şi $E^{\prime} \in\left(B^{\prime} D^{\prime}\right.$ astfel încât $D^{\prime} E^{\prime}=3 B^{\prime} E^{\prime}$. Dacă $M, N, P, Q$ sunt mijloacele muchiilor $A B, B C, D^{\prime} C^{\prime}$, respectiv $A^{\prime} D^{\prime}$, arătaţi că: + +a) Planele $(E P Q)$ şi $\left(E^{\prime} M N\right)$ sunt paralele; + +b) Dacă $\mathrm{B} D^{\prime} \cap\left(E^{\prime} M N\right)=\{T\}$ şi $B D^{\prime} \cap(E P Q)=\left\{T^{\prime}\right\}$, atunci $T T^{\prime}=2 B T$. + +## Gazeta matematică + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e3d15057ad6f2c4f2a36g-5.jpg?height=843&width=851&top_left_y=1123&top_left_x=323) + +a) Fie $M N \cap B D=\{F\}, Q P \cap B^{\prime} D^{\prime}=\left\{F^{\prime}\right\}, A C \cap B D=\{O\}, A^{\prime} C^{\prime} \cap B^{\prime} D^{\prime}=\left\{O^{\prime}\right\}$. + +În $\triangle A B C,[M N]$ linie mijlocie $\Rightarrow M N \| A C(1)$. Analog în $\triangle A^{\prime} D^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow Q P \| A^{\prime} C^{\prime}(2) \ldots . . . . . . . . . . .1 p$ + +Din relaţiile (1),(2) şi cum $A C\left\|A^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow Q P\right\| M N(3)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e3d15057ad6f2c4f2a36g-6.jpg?height=78&width=1569&top_left_y=411&top_left_x=300) + +Analog în $\triangle A^{\prime} D^{\prime} C^{\prime}$ obţinem $F^{\prime}$ mijlocul segmentului $D^{\prime} O^{\prime}$ + +$.0,5 p$ + +Din $B^{\prime} E^{\prime}=\frac{D^{\prime} E^{\prime}}{3} \Rightarrow B^{\prime} E^{\prime}=\frac{B^{\prime} D^{\prime}}{4}=\frac{O^{\prime} B^{\prime}}{2} \Rightarrow E^{\prime}$ mijlocul lui $\left[B^{\prime} O^{\prime}\right]$ + +Cum $D E=\frac{B D}{4}=\frac{2 D O}{4}=\frac{D O}{2} \Rightarrow E$ mijlocul lui $[D O]$ + +Obţinem $E F=E^{\prime} F$ 'şi cum $E F \| E^{\prime} F^{\prime} \Rightarrow E F E^{\prime} F^{\prime}$ paralelogram $E F^{\prime} \| E^{\prime} F$ (4). + +Din relaţiile (3) şi (4), obţinem conform teoremei planelor paralele că $(E P Q) \|\left(E^{\prime} M N\right) \ldots . .0,5 \mathbf{p}$ + +b) Avem : $\quad B D^{\prime} \cap E^{\prime} F=\{T\}, E^{\prime} F \subset\left(E^{\prime} M N\right) \Rightarrow T \in\left(E^{\prime} M N\right)$ + +$$ +B D^{\prime} \cap E F^{\prime}=\left\{T^{\prime}\right\}, E F^{\prime} \subset(E P Q) \Rightarrow T^{\prime} \in(E P Q) +$$ + +În $\triangle B E T^{\prime}, T F \| T^{\prime} E \xrightarrow{T . T h} \frac{B T}{T T^{\prime}}=\frac{B F}{F E}=\frac{B F}{2 B F}=\frac{1}{2} \Rightarrow B T=2 T T^{\prime}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-185-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-185-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7238fd4cfbf4a3b580e276f490099ff71734e9c0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-185-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# Barem de notare - clasa a VII-a + +Problema 1. a) Determinaţi numerele naturale $n$, de patru cifre, astfel încât $\sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{n}}} \in \mathbb{N}$. + +b) Comparaţi numerele $\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$ şi $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$. + +Soluţie: +a) $\sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{n}}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{3^{4} \cdot 2^{2} \cdot n}}} \in \mathbb{N}$ $1 p$ + +Numărul obţinut se poate scrie şi sub forma $\sqrt[8]{3^{4} \cdot 2^{2} \cdot n} \in \mathbb{N}$ + +Obţinem $n=3^{4 a} \cdot 2^{8 b-2}$, a număr natural impar şi $b \in \mathbb{N}^{*}$..... $1 p$ + +Pentru $a=b=1$ obţinem $n=3^{4} \cdot 2^{6}=81 \cdot 64=5184$ - soluţie. $.0,5 p$ + +Dacă $a=1, b=2$ obţinem $n=3^{4} \cdot 2^{14}>\overline{x y z t}$ + +Dacă $a=3, b=1$ obţinem $n=3^{12} \cdot 2^{6}>\overline{x y z t}$ + +Deci unica soluţie este $n=5184$. + +b) Fie $x=\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$ şi $y=\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$, atunci avem: + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}=\left(\sqrt{2}^{\sqrt{3}}\right)^{2}=\sqrt{2}^{2 \sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}} \text { şi } y^{2}=\left(\sqrt{3}^{\sqrt{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{3}^{2}\right)^{\sqrt{2}}=3^{\sqrt{2}} \\ +& \left(x^{2}\right)^{\sqrt{2}}=\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{6}}<2^{3}=8 \text { şi }\left(y^{2}\right)^{\sqrt{2}}=\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=3^{2}=9 \ldots +\end{aligned} +$$ + +Obţinem $x^{2}C D)$, pe latura $[A D]$ se ia un punct $P$, iar pe latura $[B C]$ un punct $Q$, astfel încât $A Q \| P C$. Demonstraţi că $P B \| D Q$. + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89594922cfcd69e1e12bg-3.jpg?height=501&width=805&top_left_y=823&top_left_x=281) + +Fie $A D \cap C B=\{E\}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89594922cfcd69e1e12bg-3.jpg?height=127&width=1529&top_left_y=1563&top_left_x=233) + +În $\triangle E A Q, P C \| A Q \xrightarrow{T . T h} \frac{E P}{E A}=\frac{E C}{E Q}(2)$. + +$.2 p$ + +Împărţind relaţiile (1) şi (2) membru cu membru obţinem: + +$\frac{E D}{E P}=\frac{E Q}{E B} \xrightarrow{\text { T.R.Th }} D Q \| P B$. + +Problema 4. Fie $\triangle A B C$ cu $m(\nless A)=90^{\circ}, D \in(B C), A D \perp B C$ şi punctele $M \in(A B), N \in(A C)$ astfel încât $M A \cdot N A=M B \cdot N C$. + +Demonstraţi că $m(\Varangle M D N)=90^{\circ}$. + +## Gazeta matematică + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89594922cfcd69e1e12bg-4.jpg?height=391&width=764&top_left_y=737&top_left_x=732) + +Soluţie: + +D + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89594922cfcd69e1e12bg-4.jpg?height=119&width=1645&top_left_y=1290&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89594922cfcd69e1e12bg-4.jpg?height=109&width=1629&top_left_y=1447&top_left_x=237) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89594922cfcd69e1e12bg-4.jpg?height=109&width=1645&top_left_y=1599&top_left_x=240) + +$\operatorname{Din}(1),(2),(3) \Rightarrow \frac{A D}{C D}=\frac{D B}{D A}(4)$ care trebuie demonstrată. .........................................1p + +Dar $\triangle A D B \sim \triangle C D A(U . U) \Rightarrow \frac{A D}{C D}=\frac{D B}{D A} \Rightarrow$ presupunerile făcute sunt adevărate, ţinând cont şi de unicitatea punctelor $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ care împart interior un segment în acelaşi raport + +$2 \mathbf{p}$ + +Obţinem $m(\Varangle M D N)=90^{\circ}$. + +$0,5 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-186-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-186-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aaefba915778f814f394bf46df28cb68b7e7af47 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-186-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,108 @@ +Problema 1. Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ două numere naturale nenule astfel încât 7 divide $2 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}$. Arătați că + +7 divide $4 a^{2}+5 b^{2}$. + +# Gazeta matematică + +Soluție: + +$7 / 2 a+3 b \Rightarrow 2 a+3 b=7 k, k \in N^{*}$ + +$4 a^{2}=(2 a)^{2}=(7 k-3 b)^{2}=M 7+9 b^{2}$ + +$4 a^{2}+5 b^{2}=M_{7}+9 b^{2}+5 b^{2}=M_{7}+14 b^{2}=M_{7} \Rightarrow 7 / 4 a^{2}+5 b^{2}$. + +$2 p$ + +Problema 2. a) Arătați că: $\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}, n, k \in N^{*}$. + +b) Comparați numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{4}{1 \cdot 5}+\frac{4}{5 \cdot 9}+\frac{4}{9 \cdot 13}+\cdots+\frac{4}{2013 \cdot 2017} \\ +& b=\frac{5}{1 \cdot 6}+\frac{5}{6 \cdot 11}+\frac{5}{11 \cdot 16}+\cdots+\frac{5}{2011 \cdot 2016} +\end{aligned} +$$ + +Soluţie:a) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{n+k-n}{n(n+k)}=\frac{k}{n(n+k)}$ + +$2 p$ + +b) a $=\frac{1}{1}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2017}$ + +$$ +\begin{aligned} +& a=1-\frac{1}{2017} \\ +& b=\frac{1}{1}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2016} +\end{aligned} +$$ + +$$ +b=1-\frac{1}{2016} +$$ + +Problema 3. Punctele A, B, C, D aparțin dreptei d, astfel încât $3 A B=2 B C, A B+B C=15 \mathrm{~cm}$, iar $[\mathrm{BC}] \equiv[\mathrm{BD}]$. Calculați distanța dintre mijlocul segmentului $[\mathrm{AD}]$ și mijlocul segmentului $[\mathrm{BC}]$. + +Soluţie: Cazul I. Ordinea punctelor este D-A-B-C. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d398d67eb6fae8dcc1fdg-2.jpg?height=154&width=1163&top_left_y=644&top_left_x=234) + +$3 \mathrm{AB}=2 \mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{AB}=2 \mathrm{k}, \mathrm{BC}=3 \mathrm{k}, \mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}$ + +Cum $A B+B C=15 \mathrm{~cm} \Rightarrow k=3$, deci $A B=6 \mathrm{~cm}$ şi $B C=9 \mathrm{~cm}$ + +$[\mathrm{BC}] \equiv[\mathrm{BD}] \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{BD}=9 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}-\mathrm{AB}=9 \mathrm{~cm}-6 \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{M}$ mijlocul $[\mathrm{AD}] \Rightarrow A M=M D=\frac{A D}{2}=1,5 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{N}$ mijlocul $[\mathrm{BC}] \Rightarrow B N=N C=\frac{B C}{2}=4,5 \mathrm{~cm}$ + +Cazul II. Ordinea punctelor este C-A-B-D + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d398d67eb6fae8dcc1fdg-2.jpg?height=157&width=1114&top_left_y=1751&top_left_x=275) + +$$ +\mathrm{AD}=\mathrm{AB}+\mathrm{BD}=15 \mathrm{~cm} +$$ + +$\mathrm{M}$ mijlocul $[\mathrm{AD}] \Rightarrow A M=M D=\frac{A D}{2}=7,5 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{N}$ mijlocul $[\mathrm{BC}] \Rightarrow B N=N C=\frac{B C}{2}=4,5 \mathrm{~cm}$ + +Problema 4. În jurul punctului $\mathrm{O}$ se construiesc $\mathrm{n}$ unghiuri, astfel încât $\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{0} \mathrm{OA}_{1}\right)=1^{\circ}$, $\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{OA}_{2}\right)=2^{\circ}, \mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{2} \mathrm{OA}_{3}\right)=3^{\circ}, \ldots, \mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{OA}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{n}^{\circ}$. + +a) Care este valoarea cea mai mare posibilă a lui $\mathrm{n}$ ? + +b) Pentru n maxim posibil, demonstraţi că $\Varangle \mathrm{A}_{5} \mathrm{OA}_{14}$ este unghi drept. + +c) Calculați, pentru acelaşi $\mathrm{n}$, măsura unghiului format de bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{A}_{2} \mathrm{OA}_{3}$ și bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{A}_{13} \mathrm{OA}_{14}$. + +Soluţie: + +a) $1^{\circ}+2^{\circ}+3^{\circ}+\ldots+\mathrm{n}^{\circ}<360^{\circ} \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2}<360^{\circ} \Rightarrow \mathrm{n}=26^{\circ}$ + +$2 p$ + +b) $\mathrm{n}=26^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{5} \mathrm{OA}_{14}\right)=\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{5} \mathrm{OA}_{6}\right)+\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{6} \mathrm{OA}_{7}\right)+\ldots+\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{13} \mathrm{OA}_{14}\right)=6^{\circ}+7^{\circ}+\ldots+14^{\circ}=90^{\circ}$ + +$\Rightarrow \Varangle \mathrm{A}_{5} \mathrm{OA}_{14}$ este unghi drept. + +$2 p$ + +c) $\left[\mathrm{OM}\right.$ bisectoarea $\Varangle \mathrm{A}_{2} \mathrm{OA}_{3} \Rightarrow \mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{2} \mathrm{OM}\right)=\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{MOA}_{3}\right)=1^{\circ} 30^{\prime}$ + +1p + +[ON bisectoarea $\Varangle \mathrm{A}_{13} \mathrm{OA}_{14} \Rightarrow \mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{13} \mathrm{ON}\right)=\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{NOA}_{14}\right)=7^{\circ}$ + +$1 p$ + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MON})=\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{MOA}_{3}\right)+\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{3} \mathrm{OA}_{4}\right)+\ldots+\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{12} \mathrm{OA}_{13}\right)+\mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{A}_{13} \mathrm{ON}\right)$ + +$=1^{\circ} 30^{\prime}+4^{\circ}+\ldots+13^{\circ}+7^{\circ}=93^{\circ} 30^{\prime}$. + +$1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-187-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-187-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..379605086f7edfd66fa1db608a44ed9895dd39c5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-187-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,91 @@ +# Barem de notare - clasa a V-a + +Problema 1. Aflați ultimele trei cifre ale numărului nenul $n$, știind că prin împărțirea lui $29 \cdot n$ la 250 obținem restul 67 , iar prin împărțirea lui $23 \cdot n$ la 200 obținem restul 29 . + +Gazeta matematică + +Soluţie: + +Din teorema împărțirii cu rest avem relațiile: + +$$ +\begin{cases}29 n=250 x+67 \\ 23 n=200 y+29\end{cases} +$$ + +$1 p$ + +Înmulțind relația (1) cu 4 si relația (2) cu5 obținem: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +116 n=1000 x+268 \\ +115 n=1000 y+145 +\end{array}\right. +$$ + +$2 p$ + +Scăzând membru cu membru relațiile (3) si (4) obținem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_22cfa7b831b4c749126cg-1.jpg?height=76&width=1538&top_left_y=1506&top_left_x=246) + +$U_{3}(n)=U_{3}(1000(x-y)+123)=\underline{123}$ + +$.2 p$ + +Problema 2. Să se determine $n \in N^{*}$ si cifrele $a, b, c$ știind că are loc relația: + +$\overline{a b c}+2 \cdot \overline{a b c}+2^{2} \cdot \overline{a b c}+\ldots+2^{n} \cdot \overline{a b c}=2^{2 n+1}-2^{n}$. + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_22cfa7b831b4c749126cg-1.jpg?height=60&width=1526&top_left_y=1973&top_left_x=251) + +$$ +\begin{aligned} +& 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 +\end{aligned} +$$ + +$1 p$ +$\overline{a b c}=2^{n}$ ..... $1 p$ +$n \in\{7,8,9\} \Rightarrow(a, b, c) \in\{(1,2,8) ;(2,5,6) ;(5,1,2)\}$ ..... $2 p$ + +Problema 3. Fie $A$ o mulţime de numere naturale care îndeplineşte simultan condiţiile: +a) $2 \in A, 3 \in A$; + +b) Dacă $x \in A$, atunci $4 x \in A$; + +c) Dacă $5 x-2 \in A$, atunci $x \in A$. + +Arătaţi că $26 \in A$ şi $154 \in A$. + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_22cfa7b831b4c749126cg-2.jpg?height=46&width=1569&top_left_y=931&top_left_x=251) + +$$ +\begin{aligned} +& 128=5 \cdot 26-2 \in A \Rightarrow 26 \in A \text {........................................................................................................5p } \\ +& 3 \in A \Rightarrow 4 \cdot 3=12 \in A \Rightarrow 4 \cdot 12=48 \in A \Rightarrow 4 \cdot 48=192 \in A \Rightarrow 4 \cdot 192=768 \in A \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p} \\ +& 768=5 \cdot 154-2 \in A \Rightarrow 154 \in A +\end{aligned} +$$ + +Problema 4. Să se arate că următoarele numere nu sunt pătrate perfecte: + +$$ +a=2^{n} \cdot 3^{n+1}+2^{n+1} \cdot 3^{n}, n \in \mathbb{N} \quad \text { şi } \quad b=5^{34}+5^{17} +$$ + +Soluţie: $\qquad$ +$a$ se divide cu 5 dar nu se divide cu $5^{2}$ + +$1,5 p$ +Deci $a$ nu este pătrat perfect. ..... $.0,5 p$ +$u(b)=0$ ..... $\mathbf{0 , 5 p}$ +$b=5^{17} \cdot\left(5^{17}+1\right)$ ..... $.0,5 p$ +Observăm că $5^{17} \cdot 5^{17}<5^{17} \cdot\left(5^{17}+1\right)<\left(5^{17}+1\right) \cdot\left(5^{17}+1\right)$ deoarece $5^{17}<5^{17}+1$ ..... $2 p$ +Deci $\left(5^{17}\right)^{2}16$ + +Pașii sunt ilustrați în tabelul de mai jos: + +| Pași | Cutia I | | | Cutia II | | | $3] \equiv[A C]$. Fie B' simetricul | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | galben | verde | albastru | galben | verde | albastru | | | | +| | 3 | - | $\overline{-} \quad-$ | Z | 3 | $-\quad$ | - | $-p u c t$ | utui $\frac{3}{3}$ faṭ̆ de dreapta $A C, C^{\prime}$ simetricul puctului $B^{\prime}$ fatcă de | +| 1. | - | - | - | 2 | 3 | - | 1 | - dred | pta A 3 , iat $A^{\prime}$ simetricul puctului $C^{\prime}$ faţă de dreapta $B C$. Fie | +| 2. | - | 1 | - | 2 | - | - | 1 | $2^{A C}$ | e demonstreze, ca: | +| 3. | - | 1 | 2 | 2 | - | 1 | 1 | 2 | a. triunghiurile $A B B^{\prime}$ şi $A B C^{\prime}$ sunt echilaterale | +| 4. | - | - | - | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | | +| 5. | - | - | 1 | 2 | - | - | 1 | 3 | D. ACC Sil ABC sunt triunghiurl dreptunghice, isoscele
\%onariente. | +| 6. | - | - | 3 | 3 | - | - | - | 3 | triunghiul A'C'C este echilateral; | + +Fiecare pas 1,5 puncte + +d........bosp $E$ sunt puncte coliniare, + +e. A', C és B' sunt puncte coliniare. + +7. Să se determine acele numere raţionale pozitive, care satisfac simultan următoarele conditiii: +a. $a+b+c=77$; +b. $\frac{(a+4)^{2}+4}{8}=\frac{(b+6)^{2}+9}{18}=\frac{(c+12)^{2}+36}{72}$. + +## Rezolvare + +$\frac{(a+4)^{2}}{8}+\frac{4}{8}=\frac{(b+6)^{2}}{18}+\frac{9}{18}=\frac{(c+12)^{2}}{72}+\frac{36}{72}$ + +Scădem $\frac{1}{2}$ din fiecare membru $\Rightarrow \frac{(a+4)^{2}}{8}=\frac{(b+6)^{2}}{18}=\frac{(c+12)^{2}}{72}$ + +Înmulțim cu $2 \Rightarrow \frac{(a+4)^{2}}{4}=\frac{(b+6)^{2}}{9}=\frac{(c+12)^{2}}{36}$ + +$\Rightarrow\left(\frac{a+4}{2}\right)^{2}=\left(\frac{b+6}{3}\right)^{2}=\left(\frac{c+12}{6}\right)^{2} \Rightarrow$ + +$\frac{a+4}{2}=\frac{b+6}{3}=\frac{c+12}{6} \Rightarrow \frac{a}{2}+2=\frac{b}{3}+2=\frac{c}{6}+2$ + +$\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=\frac{a+b+c}{2+3+6}=\frac{77}{11}=7$ + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_970f0cd5ff20ede6f439g-4.jpg?height=678&width=642&top_left_y=921&top_left_x=1834) + +$A^{\prime}$ + +a) Fie $B B^{\prime} \cap A C=\{F\}, B^{\prime} C^{\prime} \cap A B=\{D\}$ şi $A^{\prime} C^{\prime} \cap B C=\{O\}$ (figura) $A B F \square \equiv A B^{\prime} F \square \Rightarrow m\left(B A B^{\prime}\right)=60^{\circ}$ și $[A B] \equiv\left[A B^{\prime}\right] \Rightarrow A B B^{\prime} \square$ isoscel AB ëstë mëediätöarè p pui $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right) \Rightarrow\left[A C^{\prime}\right] \equiv\left[A B^{\prime}\right]$ și $\left[B C^{\prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right] \Rightarrow$ $A B C \square$ isoscel.... +b) $m\left(C A C^{\prime}\right)=90^{\circ}$ și $[A C] \equiv\left[A C^{\prime}\right] \Rightarrow A C C^{\prime}$ este triunghi dreptunghic + +## isoscel + +$m(A B C)=75^{\circ}$ și $m\left(A B C^{\prime}\right)=60^{\circ} \Rightarrow m\left(O B C^{\prime}\right)=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ} \Rightarrow$ $m\left(A^{\prime} B C^{\prime}\right)=90^{\circ}$ + +$\left[A^{\prime} B\right] \equiv\left[C^{\prime} B\right] \Rightarrow A^{\prime} B C^{\prime}$ este triunghi dreptunghic isoscel. + +$\left[A C^{\prime}\right] \equiv\left[C^{\prime} B\right] \Rightarrow A C C \square \equiv A^{\prime} B C \square$ + +c) $m\left(A C C^{\prime}\right)=45^{\circ}$ și $m(A C B)=75^{\circ} \Rightarrow m\left(O C C^{\prime}\right)=30^{\circ}$ + +$m\left(A^{\prime} C O\right)=m\left(C^{\prime} C O\right)=30^{\circ} \Rightarrow m\left(A^{\prime} C C^{\prime}\right)=60^{\circ}$, dar $\left[C C^{\prime}\right] \equiv\left[C A^{\prime}\right] \Rightarrow A^{\prime} C^{\prime} C$ + +triunghi echilateral. + +d) $E$ este ortocentru în triunghiul echilateral $A B B^{\prime} \Rightarrow(B E$ bisectoare $\Rightarrow$ + +$m(A B E)=30^{\circ}$ + +$m\left(A^{\prime} B E\right)=m\left(A^{\prime} B C^{\prime}\right)+m\left(C^{\prime} B A\right)+m(A B E)=90^{\circ}+60^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ}$ + +Punctele $A^{\prime}, B$ și $E$ sunt coliniare + +e) $m\left(A^{\prime} C B^{\prime}\right)=m\left(A^{\prime} C C^{\prime}\right)+m\left(C^{\prime} C A\right)+m\left(A C B^{\prime}\right)=60^{\circ}+45^{\circ}+75^{\circ}=180^{\circ}$ + +Punctele $A^{\prime}, C$ și $B^{\prime}$ sunt coliniare. + +9. În dreptunghiul $A B C D A B=2 \cdot B C, E$ este mijlocul segmentului $[A B]$, + +$F \in[D C]$ astfel ca $\frac{D F}{F C}=\frac{1}{3}$. + +Se şie că $A C=20 \mathrm{~cm}$. + +i) Arătați, că $A C \perp E F$. + +ii) Calculați aria patrulaterului $A E C F$. + +iii) Cât este aria dreptunghiului $A B C D$ ? + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_970f0cd5ff20ede6f439g-5.jpg?height=369&width=575&top_left_y=1635&top_left_x=350) + +a). Fie $M$ mijlocul. $\ \mathbf{1 i} \mathbf{\Phi} D C] \Rightarrow F$ mijlocul lui $[D M] . A C \cap M E=\{O\} \Rightarrow$ $O$ mijlocul lui $[M E]$. + +Fie $F E \cap A C=\{L\}$ (figura) + +$A E O \square=E M F \square$ (саzu c-c). + +$\Rightarrow E A L \equiv L E O, \operatorname{de}_{1} 1(L E O)+m(A E L)=90^{\circ}$ + +$\Rightarrow m(E A L)+m(A E L)=90^{\circ}$ + +$m(A L E)=90^{\circ} \Rightarrow A C \perp E F$ + +b) $\cdots A_{A E C F}=A_{A E F}+A_{C E F}^{2} \mathbf{p}=\frac{E F \cdot A L}{2}+\frac{E F \cdot C L}{2}=\frac{E F}{2} \cdot(A L+C L)=\frac{E F \cdot A C}{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_970f0cd5ff20ede6f439g-5.jpg?height=86&width=906&top_left_y=703&top_left_x=1598) + +Deci. A.................... $10: 20^{2} \mathbf{p}$ + +c) $A_{A D D}=\frac{1}{A_{A B C D}, \hat{5}, 5} \mathbf{p}^{\mathrm{p}} \mathrm{A}_{\mathrm{BEC}}=\frac{1}{4} A_{A B C D} \Rightarrow A_{A D F}+A_{B E C}=\frac{3}{8} A_{A B C D} \Rightarrow$ $A_{A E C F}=\frac{5}{8} A_{A B C D}$ + +$A_{A B C D}=\frac{8}{5} A_{A E C F}=\frac{8}{5} \cdot 100=\frac{800}{5}=160 \mathrm{~cm}^{2}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-19-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al doilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj2_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-19-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al doilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj2_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f851e8a62267cba58ea4759395400987a057c540 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-19-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al doilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj2_juniori.md @@ -0,0 +1,230 @@ +# Al doilea baraj de selecție pentru OBMJ
Bucureşti, 14 mai 2022 + +## Problema 1. + +Fie $M, N$ și $P$ mijloacele laturilor $B C, C A$, respectiv $A B$, ale triunghiului ascuțitunghic $A B C$. Notăm cu $A^{\prime}, B^{\prime}$ și $C^{\prime}$ punctele diametral opuse vârfurilor $A, B$, respectiv $C$ în cercul circumscris triunghiului $A B C$. Pe segmentele deschise $M A^{\prime}, N B^{\prime}$ și $P C^{\prime}$ se consideră punctele $X, Y$, respectiv $Z$, astfel încât $\frac{M X}{X A^{\prime}}=\frac{N Y}{Y B^{\prime}}=\frac{P Z}{Z C^{\prime}}$. + +a) Demonstrați că dreptele $A X, B Y$ și $C Z$ sunt concurente într-un punct $S$. + +b) Arătați că $O S Bucureşti, 14 mai 2022
Soluții și bareme + +## Problema 1. + +Fie $M, N$ și $P$ mijloacele laturilor $B C, C A$ respectiv $A B$ ale triunghiului ascuțitunghic $A B C$. Notăm cu $A^{\prime}, B^{\prime}$ și $C^{\prime}$ punctele diametral opuse vârfurilor $A, B$, respectiv $C$, în cercul circumscris triunghiului $A B C$. Pe segmentele deschise $M A^{\prime}, N B^{\prime}$ si $P C^{\prime}$ se consideră punctele $X, Y$, respectiv $Z$, astfel încât $\frac{M X}{X A^{\prime}}=\frac{N Y}{Y B^{\prime}}=\frac{P Z}{Z C^{\prime}}$. + +a) Demonstrați că dreptele $A X, B Y$ și $C Z$ sunt concurente într-un punct $S$. + +b) Arătați că $O S2 O S$, deci $O S<\frac{O H}{3}=O G . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Soluție alternativă pentru punctul a). + +$A B A^{\prime} B^{\prime}$ este dreptunghi, deci $A^{\prime} B^{\prime}=A B \stackrel{\text { not. }}{=} c$. + +$M N$ este linie mijlocie în triunghiul $A B C$, deci $M N\|A B\| A^{\prime} B^{\prime}$, așadar $M N B^{\prime} A^{\prime}$ este trapez. Deoarece $\frac{M X}{X A^{\prime}}=\frac{N Y}{Y B^{\prime}}$, rezultă că $X Y\|M N\| A^{\prime} B^{\prime} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +Fie $E \in A^{\prime} B^{\prime}$, astfel încât $M E \| N B^{\prime}$ și $\{F\}=M E \cap X Y$. + +Deoarece $M N B^{\prime} E$ este paralelogram s,i $F Y \| M N$, avem $E B^{\prime}=F Y=M N=\frac{c}{2}$. + +Din asemănarea triunghiurilor $M X F$ și $M A^{\prime} E$ obținem $\frac{X F}{A^{\prime} E}=\frac{M X}{M A^{\prime}} \stackrel{\text { not. }}{=} t$, așadar $X F=t \cdot A^{\prime} E=t \cdot \frac{c}{2}$ si $X Y=X F+F Y=\frac{(t+1) \cdot c}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{m}$ + +Deoarece $X Y\left\|A^{\prime} B^{\prime}\right\| A B$, rezultă că $A B X Y$ este trapez. Fie $\{S\}=A X \cap B Y$. Din asemănarea triunghiurilor $A S B$ și $X S Y$ obținem $\frac{S X}{S A}=\frac{S Y}{S B}=\frac{X Y}{A B}=\frac{t+1}{2} \ldots \ldots \ldots \mathbf{p}$ + +Analog rezultă că patrulaterul $B C Y Z$ este trapez. Fie $\left\{S^{\prime}\right\}=B Y \cap C Z$. + +Ca mai înainte, deducem că $\frac{S^{\prime} Y}{S^{\prime} B}=\frac{t+1}{2}$, deci $S=S^{\prime}$, aşadar dreptele $A X, B Y$ și $C Z$ sunt concurente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_358793f0e2c2b567ccf8g-4.jpg?height=271&width=268&top_left_y=130&top_left_x=858) + +## Al doilea baraj de selecție pentru OBMJ
București, 14 mai 2022 + +Soluții și bareme + +## Problema 2. + +Determinați cel mai mare număr natural $n$ pentru care este adevărată afirmația: + +Există $n$ numere naturale nenule distincte $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ cu proprietatea că oricare ar $f$ numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in\{-1,0,1\}$, nu toate nule, numărul $n^{3}$ nu divide numărul $a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\ldots+a_{n} x_{n}$. + +Solutie. Pentru $n=9$ alegem $x_{1}=2^{0}, x_{2}=2^{1}, \ldots, x_{9}=2^{8}$. Oricare ar fi numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in\{-1,0,1\}$, avem: + +$$ +\left|a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\ldots+a_{n} x_{n}\right| \leq 1+2+\ldots+2^{8}=2^{9}-1<9^{3} +$$ + +Dacă $9^{3}$ divide $a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\ldots+a_{n} x_{n}$, rezultă că $a_{1} \cdot 1+a_{2} \cdot 2+\ldots+a_{n} \cdot 2^{8}=0$. Din considerente de paritate obținem că $a_{1}=0$. Simplificând cu 2 și urmărind din nou paritatea, vom avea $a_{2}=0$ etc. Obținem că numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sunt toate nule, contradicție. Ca urmare, $n=9$ are proprietatea din enunț. ........................... 3p + +Dacă $n \geqslant 10$, atunci $2^{n}>n^{3}$. + +Fie $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$ o mulțime de $n$ numere naturale nenule (distincte) și $\mathcal{P}(A)$ mulțimea părților sale. Cum $|\mathcal{P}(A)|=2^{n}>n^{3}$, folosind principiul lui Dirichlet obținem două submulțimi diferite $B$ și $C$ ale lui $A$ astfel încât + +$$ +\sum_{x \in B} x \equiv \sum_{x \in C} x \quad\left(\bmod n^{3}\right) +$$ + +Alegând $a_{i}=1$ pentru elementele lui $B \backslash C, a_{j}=-1$ pentru elementele lui $C \backslash B$ și $a_{k}=0$ pentru celelalte elemente ale lui $A$, găsim o combinație $a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\ldots+a_{n} x_{n}$ care se divide cu $n^{3}$. Așadar, numerele $n \geqslant 10 \mathrm{nu}$ au proprietatea din enunț, deci numărul căutat este $n=9$. + +Observații. + +(O1) Pentru simpla scriere, fără nicio justificare, a unui exemplu corect în cazul $n=9$ nu s-a acordat niciun punct. + +(O2) Pentru nedemonstrarea faptului că pentru $n \geq 10$ are loc inegalitatea $2^{n}>n^{3}$ s-a scăzut un punct din cele 4 aferente. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_358793f0e2c2b567ccf8g-5.jpg?height=286&width=976&top_left_y=122&top_left_x=150) + +## Al doilea baraj de selecție pentru OBMJ
București, 14 mai 2022 + +Soluții și bareme + +## Problema 3. + +Se consideră o rețea formată din 49 de puncte, ce reprezintă vârfurile a 36 de pătrate de latură 1 în care este descompus un pătrat de latură 6 . + +Spunem că un pătrat cu vârfurile în punctele rețelei este bun, dacă laturile și diagonalele sale nu sunt pe laturile pătratelor rețelei. + +a) Aflați numărul de pătrate bune care se pot forma cu vârfurile rețelei. + +b) Arătați că există două pătrate bune disjuncte și necongruente, astfel încât cea mai mică distanță dintre punctele lor este $\frac{\sqrt{5}}{5}$. + +Soluție. a) Spunem că un pătrat este normal, dacă are vârfurile în punctele rețelei și laturile sale se află pe drepte ale rețelei paralele cu laturile pătratului $6 \times 6$, sau pe laturile pătratului $6 \times 6$. Orice pătrat bun are vârfurile pe laturile unui pătrat normal, a cărui lungime a laturii poate fi egală cu $3,4,5$ sau 6 . Fie un pătrat normal de latură $x \in\{3,4,5,6\}$. Latura unui pătrat bun înscris în acesta are lungimea de forma $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, unde $a, b \in\{1,2, \ldots, x-1\}, a \neq b$, astfel încât $a+b=x$. + +Într-adevăr, dacă $a=0$, sau $b=x$, atunci laturile pătratului bun sunt pe laturile pătratelor rețelei, iar dacă $a=b$, atunci laturile pătratului bun sunt paralele cu diagonalele pătratului mare, deci diagonalele sale sunt pe dreptele suport ale rețelei, fals. . ..................................... 1p + +Dacă $a, b \in\{1,2, \ldots, x-1\}$, cu $a \neq b$ și $a+b=x$, fiecare pătrat normal de latură $x$ conține exact două pătrate bune generate de perechea $(a, b)$, având latura de lungime $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_358793f0e2c2b567ccf8g-5.jpg?height=439&width=439&top_left_y=1556&top_left_x=1250) +și ale căror vârfuri sunt pe laturile acestuia, ca în figura alăturată. ............................. 1p + +Pentru $x=3=1+2$, în fiecare pătrat normal de latură 3 sunt înscrise exact două pătrate bune, generate de $(a, b) \in\{(1,2),(2,1)\}$. De aici, în fiecare bandă orizontală de forma $6 \times 3$ există $2 \cdot 4=8$ pătrate bune de latură $\sqrt{5}$. Deoarece sunt 4 benzi orizontale de lătime 3 , în total există $8 \cdot 4=32$ pătrate bune de latură $\sqrt{5}$. + +Analog se arată că există: + +- 18 pătrate bune de latură $\sqrt{10}$, generate de $(a, b) \in\{(1,3),(3,1)\}$, +- 8 pătrate bune de latură $\sqrt{17}$, generate de $(a, b) \in\{(1,4),(4,1)\}$, +- 2 pătrate bune de latură $\sqrt{26}$, generate de $(a, b) \in\{(1,5),(5,1)\}$, +- 8 pătrate bune de latură $\sqrt{13}$, generate de $(a, b) \in\{(2,3),(3,2)\}$ +- 2 pătrate bune de latură $\sqrt{20}$, generate de $(a, b) \in\{(2,4),(4,2)\}$. + +Numărul tuturor pătratelor bune este: $32+18+8+4+2+4+2=70$. + +b) Alegem pătratele bune $A B C D$ și $M N P Q$ ca în figura alăturată, cu $A B=$ $\sqrt{5}$ și $M N=\sqrt{10}$, astfel încât $A, D, M$ și $N$ sunt pe laturile pătratului mare. + +Fie dreapta $d$ care trece prin $Q$ și este paralelă cu $B C$. Deoarece $M N P Q$ este inclus în semiplanul $[d M$, rezultă că distanța căutată este cea de la $Q$ la $A B C D$. Alegem punctele $R$ și $F$ astfel încât $Q$ este mijlocul segmentului $B R$, triunghiul $B F Q$ este dreptunghic in $B$, cu $B F=2$, iar $F$ si $M$ sunt de o parte și de alta a dreptei $d$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_358793f0e2c2b567ccf8g-6.jpg?height=675&width=697&top_left_y=535&top_left_x=1039) + +Deoarece triunghiurile $B Q F$ și $R C B$ sunt congruente, rezultă că dreptele $B C$ și $F Q$ sunt perpendiculare, iar distanța căutată este egală cu lungimea segmentului $Q E$, unde $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $B C$ și $F Q$. Cu teorema catetei, rezultă că $E Q=\frac{\sqrt{5}}{5}$ + +Observații. 1) Dacă $a, b \in\{1,2, \ldots, x-1\}$, cu $a+b=x$, în fiecare bandă orizontală de forma $6 \times(a+b)$ există $2 \cdot(7-(a+b))$ pătrate bune de latură $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Deoarece sunt $7-(a+b)$ benzi orizontale de lătime $a+b$, în total există $2 \cdot(7-a-b)^{2}$ pătrate bune de latură $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, generate de perechile $(a, b)$ și $(b, a)$. + +2. Se poate arăta că singurele tipuri de pătrate bune necongruente care nu au vârfuri comune și au interioarele disjuncte sunt cele de mai înainte. + +## Al doilea baraj de selecție pentru OBMJ București, 14 mai 2022 Soluții și bareme + +## Problema 4. + +Fie $a, b$ și $c$ trei numere reale pozitive cu suma 3. Arătați că: + +$$ +\frac{a b}{a b+a+b}+\frac{b c}{b c+b+c}+\frac{c a}{c a+c+a}+\frac{1}{9}\left(\frac{(a-b)^{2}}{a b+a+b}+\frac{(b-c)^{2}}{b c+b+c}+\frac{(c-a)^{2}}{c a+c+a}\right) \leqslant 1 +$$ + +Soluţia 1. Avem $\frac{a b}{a b+a+b}+\frac{(a-b)^{2}}{9(a b+a+b)}=\frac{a^{2}+7 a b+b^{2}}{9(a b+a+b)}$ + +Vom arăta că + +$$ +\frac{a^{2}+7 a b+b^{2}}{a b+a+b} \leqslant a+b+1 +$$ + +Această inegalitate se scrie echivalent + +$$ +a^{2}+7 a b+b^{2} \leqslant a^{2}+3 a b+b^{2}+a^{2} b+a b^{2}+a+b \Leftrightarrow a^{2} b+a b^{2}+a+b \geqslant 4 a b . +$$ + +Din inegalitatea mediilor avem $a^{2} b+b \geqslant 2 a b$ și $a b^{2}+a \geqslant 2 a b$, deci inegalitatea (1) este adevărată. + +Scriind și inegalitățile analoage, deducem că: + +$$ +\sum \frac{a b}{a b+a+b}+\frac{1}{9} \sum \frac{(a-b)^{2}}{a b+a+b} \leqslant \frac{1}{9} \sum(a+b+1)=1 +$$ + +Soluția 2. Avem $a b+a+b=a b+(a+b) \cdot \frac{a+b+c}{3}=\frac{a^{2}+b^{2}+5 a b+a c+b c}{3} \ldots 1 \mathbf{p}$ Prin urmare, + +$$ +\begin{aligned} +\frac{a b}{a b+a+b}+\frac{(a-b)^{2}}{9(a b+a+b)}-\frac{1}{3} & =\frac{9 a b+\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\right)-\left(a^{2}+b^{2}+5 a b+a c+b c\right)}{9(a b+a+b)} \\ +& =\frac{b(a-c)}{9(a b+a+b)}+\frac{a(b-c)}{9(a b+a+b)} +\end{aligned} +$$ + +$2 p$ + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +& \sum \frac{a b}{a b+a+b}+\frac{1}{9} \sum \frac{(a-b)^{2}}{a b+a+b}-1=\sum\left(\frac{b(a-c)}{9(a b+a+b)}+\frac{a(b-c)}{9(a b+a+b)}\right)= \\ +& =\sum\left(\frac{b(a-c)}{9(a b+a+b)}+\frac{b(c-a)}{9(b c+b+c)}\right)=\sum \frac{-b(a-c)^{2}(b+c)}{9(a b+a+b)(b c+b+c)} \leq 0 +\end{aligned} +$$ + +Observație. Egalitatea se obține pentru $a=b=c=1$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-190-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-190-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..913d0a23c200d7d1ec67be169e1bcbad0b3a1370 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-190-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte_barem.md @@ -0,0 +1,229 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita + +Olimpiada de matematică - clasa a VI-a + +etapa zonală - 27 februarie 2016 + +Varianta 1 $\backslash$ + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Harghita + +Olimpiada de matematică - clasa a VI-a etapa zonală - 27 februarie 2016 + +Varianta 2 + +1. 70 de persoane participă la o excursie. La un moment dat se despart în două grupuri. În treimea primului grup sunt mai mulți decât în grupa a doua, unde numărul băieților este de șapte ori mai mare decât numărul fetelor. Câți au fost în fiecare grupă? + +2.Determinaţi acel numărul raţional pozitiv cu care împărţind fracţiile $\frac{10}{9}$ şi $\frac{8}{7}$ se obţin două numere naturale consecutive. + +3. a) Fie $a$ şi $b$ două numere naturale, care nu sunt divizibile cu 5 şi pentru care $a>b$. Demonstraţi că $\left(a^{4}-b^{4}\right): 5$ + +b) Dacă $n$ este un număr natural nenul, determinaţi restul împărţirii prin 5 al numărului $n^{6}-n^{2}+1$. + +4. Determinaţi numerele naturale de două cifre pentru care restul împărţirri prin 13 este egal cu câtul împărţirii prin 11, iar restul împărţirii prin 11 este egal cu câtul împărţirii prin 13. +5. Fie $A O B, B O C$ şi $B O C, C O D$ unghiuri adiacente două câte două. Suma măsurilor celeo trei unghiuri este de $150^{\circ}$ şi $3 \cdot m(A O B)=2 \cdot m(B O C)$, + +$7 \cdot m(B O C)=3 \cdot m(C O D)$. Dacă (OM şi (ON sunt bisectoarele unghiurilor $B O C$ şi $C O D$ calculaţi măsura unghiului $M O N$. + +1. Să se demonstreze că pentru orice număr natural $n$ + +a) numărul $N=7^{n} \cdot 9^{n}+21^{n+1} \cdot 3^{n}-9 \cdot 63^{n}$ este divizibil cu 13 ; + +b) numărul $a=8^{n} \cdot 5^{3 n+1}+1$ nu este prim. + +2. Aflaţi numerele naturale $a$ și $b$ știind că $[a, b]$ este de 15 ori mai mare decât $(a, b)$ şi $5 a+3 b=150$. Am notat cu $[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi cu $(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ şi $b$. +3. Determinaţi numerele prime $a, b, c$ pentru care are loc egalitatea $2 a+3 b+6 c+6 c^{2}=348$. + +4.Un număr natural de trei cifre format din trei cifre distincte este de cinci ori mai mare decât produsul cifrelor sale. Care este acest număr? + +5.În jurul unui punct $\mathrm{O}$ se construiesc $n$ unghiuri, primul având măsura $x^{0}$, al doilea $(2 x)^{0}$, al treilea $(3 x)^{0}$, şi aşa mai departe, al $n$-lea având măsura $120^{\circ}\left(n, x \in \mathbf{N}^{*}\right)$ + +a) Determinaţi numărul unghiurilor construite în jurul punctului $\mathrm{O}$; + +b) Calculaţi măsura penultimului unghi construit. + +## Varianta 1 + +1. 70 de persoane participă la o excursie. La un moment dat se despart în două grupuri. În treimea primului grup sunt mai mulți decât în grupa a doua, unde numărul băieților este de șpte ori mai mare decât numărul fetelor. Câți au fost î fiecare grupă? + +## Rezolvare + +Notăm $x$ numărul persoanelor din prima grupă și cu $y$ numărul persoanelor din grupa a doua. Atunci avem $x=3 k$ şi $y=8 l$ unde $k, l \in \mathbf{N}^{*}$ + +| $u(n)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $u\left(n^{2}\right)$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | +| $u\left(n^{6}\right)$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | +| $u\left(n^{6}-n^{2}\right)$ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow 8 l16$ + +2. Determinaţi acel numărul raţional pozitiv cu care împărţind fracţiile $\frac{10}{9}$ şi $\frac{8}{7}$ se obţin două numere + +naturale consecutive.. + +## Rezolvare + +$\frac{10}{9}>\frac{8}{7}$ + +Fie $\frac{n}{m}$ numărul rațional cu care împărțim cele două fracții. Atunci $\frac{10}{9} \cdot \frac{m}{n}=k$ + +sii $\frac{8}{7} \cdot \frac{m}{n}=k+1$ + +$\Rightarrow \frac{8}{7} \cdot \frac{m}{n}=\frac{10}{9} \cdot \frac{m}{n}+1 \Rightarrow \frac{8}{7} \cdot \frac{m}{n}-\frac{10}{9} \cdot \frac{m}{n}=1 \Rightarrow \frac{72 m-70 m}{63 n}=1$ + +$\Rightarrow \frac{2 m}{63 n}=1 \Rightarrow \frac{n}{m}=\frac{2}{63}$ +3. a) Fie $a$ şi $b$ două numere naturale, care nu sunt divizibile cu 5 şi pentru care $a>b$. Demonstraţi + +$$ +c a ̆\left(a^{4}-b^{4}\right) \vdots 5 +$$ + +b) Dacă $n$ este un număr natural nenul, determinaţi restul împărţirii prin 5 al numărului $n^{6}-n^{2}+1$. + +## Rezolvare + +Fie $u(n)$ ultima cifră a numărului $n$ + +a) dacă $a$ și $b$ nu sunt divizibile cu 5 , atunci $u(a), u(b) \in\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ rezultă $\cdots u\left(a^{4} \cdot\right) ; u\left(b^{4}\right) \in\left\{\{, \mathscr{B}\}\right.$ de unde $u\left(a^{4}-b^{4}\right) \in\{0,5\}$ + +dëci $\left(a^{4}-b^{4}\right): 5$ + +b)... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_72ac9d95b5aeb4bf11ddg-2.jpg?height=97&width=1189&top_left_y=1018&top_left_x=1521) + +4. Determinaţi numerele naturale de două cifre pentru care restul împărţirri prin 13 este egal cu câtul + +̂̂mpărţirii prin 11, iar restul împărţirii prin 11 este egal cu câtul împărţirii prin 13. + +Rezolvare................. + +.1 p + +Fie x numărul căutat. Avem $x=13 a+b$ și $x=11 b+a$ + +Atunci $13 a+b=11 b+a$ și obținem $6 a=5 b$ + +Deoarece $a$ este divizibil cu 5 și $a<8$, numărul căutat se obține pentru .a.न.5.şi.. $b .=.6 . . . . . . . . . . . . .3 . p$. + +Deci $x=13 \cdot 5+6=11 \cdot 6+5=71$ + +$3 \mathbf{p}$ + +5. Fie $A O B, B O C$ şi BOC, COD unghiuri adiacente două câte două. .Suma.măsur.ilor.çlpr trei unghiuri +este de $150^{\circ}$ şi $3 \cdot m(A O B)=2 \cdot m(B O C), 7 \cdot m(B O C)=3 \cdot m(C O D)$. Dacă (OM şi (ON sunt + +bisectoarele unghiurilor BOC şi COD calculaţi măsura unghiului MON . + +## Rezolvare + +Fie $x=m(A O B), y=m(B O C)$ și $z=m(C O D)$. Atunci + +$x+y+z=150^{\circ} \Rightarrow x+z=150^{\circ}-y$ + +$3 x=2 y, 7 y=3 z$, deci $9 y=3(x+z) \Rightarrow 3 y=x+z$ + +$\Rightarrow 3 y=150^{\circ}-y$ + +Obținem $y=\frac{150^{\circ}}{4}=37^{\circ} 30^{\prime}, x=\frac{2 y}{3}=25^{\circ}, z=\frac{7 y}{3}=87^{\circ} 30^{\prime}$ + +Rezultă $m(M O N)=\frac{y+z}{2}=62^{\circ} 30^{\prime}$ $\qquad$ + +## Varianta 2 + +6. Să se demonstreze că pentru orice număr natural $n$ + +a) numărul $N=7^{n} \cdot 9^{n}+21^{n+1} \cdot 3^{n}-9 \cdot 63^{n}$ este divizibil cu 13 ; + +b) numărul $a=8^{n} \cdot 5^{3 n+1}+1$ nu este prim. + +## Rezolvare + +a) $N=7^{n} \cdot 9^{n}+21^{n+1} \cdot 3^{n}-9 \cdot 63^{n}=7^{n} \cdot 3^{2 n}+3^{n+1} \cdot 7^{n+1} \cdot 3^{n}-3^{2} \cdot 7^{n} \cdot 3^{2 n}=$ $=7^{n} \cdot 3^{2 n}\left(1+3 \cdot 7-3^{2}\right)=$ $=7^{n} \cdot 3^{2 n} \cdot 13$. + +b) $a=8^{n} \cdot 5^{3 n+1}+1=2^{3 n} \cdot 5^{3 n} \cdot 5+1=$ + +$$ +=10^{3 n} \cdot 5+1 +$$ + +$\Rightarrow$ suma cifrelor lui $a$ este $6 \Rightarrow a: 3$ deci $a$ nu este prim +7. Aflaţi numerele naturale a şi b ştiind că [a,b] este de 15 ori mai mare decât $(a, b)$ şi $5 a+3 b=150$. + +Am notat cu $[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi cu $(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b. + +## Rezolvare + +$5 a+3 b=150 \Rightarrow a: 3, b: 5$ + +Fie $a=3 l$ és $b=5 k$, atunci $\Rightarrow l+k=10$ + +Se obține două soluții: 1 + +$a=3, b=45$ și $a=15, b=2=25$ + +$1 \mathrm{p}$ + +8. Determinați numerele prime $a, b, c$ pentru care are loc egalitatea $2 a+3 b+6 c+6 c^{2}=348!$ + +## Rezolvare + +$.2 \mathrm{p}$ + +$2 a+3 b+6 c+6 c^{2}=348 \Rightarrow b=2$ + +Înlocuind, se obține $2 a+6 c+6 c^{2}=342 \Rightarrow a+3 c+3 c^{2}=171 \Rightarrow a=3$ + +Înlocuind, se obține $\Rightarrow 3 c+3 c^{2}=168 \Rightarrow c+c^{2}=56$ + +$$ +\Rightarrow c(1+c)=56 \Rightarrow c=7 +$$ + +$\qquad$ +9. Un număr natural de trei cifre format din trei cifre distincte este de cinci ori mai mare decât produsul + +cifrelor sale. Care este acest număr? + +## Rezolvare + +Conform.ipotezei. $\overline{a b 3}-p 5 \cdot a \cdot b \cdot c$. Dacă una dintre cifrela $a, b, c$ ar fi par, atunci.є. $=0 \cdot \cdots::::: 2$. . + +A.r.rezulta. $\cdot \overline{a b 0} \cdot \mathbf{m} \cdot \mathbf{d}$, $b, c$ sunt cifre impare, deci $c=5$ + +$\overline{a b 5} \because 25 \because a b \because a b 5 \vdots 25 \rightrightarrows \mathbf{p}_{b=7}$ + +$\ddot{a} 75 \because 175: a \cdots a \cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +10. În jurul unui punct $O$ se construiesc $n$ unghiuri, primul având măsura $x^{\circ}$, al doilea $(2 x)^{o}$, al treilea $(3 x)^{o}$, şi aşa mai departe, al n-lea având măsura $120^{\circ}\left(n, x \in \mathbf{N}^{*}\right)$ + +a) Determinaţi numărul unghiurilor construite în jurul punctului $O$; + +b) Calculaţi măsura penultimului unghi construit. + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_72ac9d95b5aeb4bf11ddg-4.jpg?height=71&width=1894&top_left_y=442&top_left_x=86) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_72ac9d95b5aeb4bf11ddg-4.jpg?height=109&width=1897&top_left_y=505&top_left_x=85) + +$\Rightarrow \frac{120 \cdot(n+1)}{2}=360 \Rightarrow n+1=6 \Rightarrow n=5$ + +b) $x=24 \Rightarrow$ măsura penultimului unghi este $96^{\circ}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-191-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-191-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a2febcfc9596dd4b3798faa2c852a723883df2f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-191-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte_barem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita + +## Olimpiada de matematică - clasa a V-a + +etapa zonală - 27 februarie 2016 + +Varianta 1 + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Harghita + +# Olimpiada de matematică - clasa a V-a + + etapa zonală - 27 februarie 20161. Arătaţi că numărul $23^{27}+27^{23}$ este divizibil cu 10 . +2. La un număr natural format din patru cifre se adună numărul format din ultimele trei cifre, numărul format din ultimele două cifre și ultima cifră a numărului inițial și se obține 3042. Care este numărul de patru cifre? Câte soluții are problema? +3. Două eleve de clasa a V-a au cumpărat portocale şi banane. Una dintre ele a plătit 35 de lei pentru $5 \mathrm{~kg}$ de portocale şi $4 \mathrm{~kg}$ de banane, iar cealaltă a plătit 31 de lei pentru $7 \mathrm{~kg}$ de portocale şi $2 \mathrm{~kg}$ de banane.Ce sumă ar trebui plătită pentru $4 \mathrm{~kg}$ de portocale şi $5 \mathrm{~kg}$ de banane ? +4. Să se găsească mulţimile A şi B care au fiecare câte 3 elemente, numere naturale, ştiind că ele satisfac următoarele condiţii : +a) $4 \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ +b) $x \in A \Rightarrow x^{2} \in B$; + +c) suma elementelor mulţimii B este triplul sumei elementelor mulţimii A . + +5. Vrem să pavăm pardoseala unei bucătării de forma pătratică, cu plăci de faianță de formă pătrată, de aceași mărime, fără să tăiem plăcile și fără spațiu între ele. La început am lipit plăcile de-a lungul pereților bucătăriei. Pentru asta am folosit 20 de plăci, exact jumătatea plăcilor cumpărate. Va fi suficientă cantitatea cumpărată pentru pavarea bucătăriei? +6. Câte numere naturale de patru cifre există în sistemul zecimal cu prorieteatea că dacă scădem din numărul respectiv suma cifrelor sale rezultatul va fi 2016 ? +7. Tatăl are 52 de ani, fiul său 24 . Cu câtii ani în urmă era tatăl de cinci ori mai în vârstă decât fiul său? +8. Numărul $10^{2016}-2014$ este pătrat perfect? Justificați răspunsul. +9. La o grădiniță s-au cumpărat caiete și creioane, numărul creioanelor fiind de două ori mai mare decât cel al caietelor. La începutul primului semestru sau distribuit copiilor câte 3 caiete s,i 7 creioane la fiecare, iar 50 de caiete s,i 52 de creioane au rămas pentru semestrul următor. Câți copii st în grădiniță? +10. Arătați că dublul sumei numerelor naturale care împărțite la 2016 dau câturi și resturi egale, se poate scrie ca produs de trei numere naturale consecutive. + +## Varianta 2 + + scădem din numărul respectiv suma cifrelor sale rezultatul va fi 2016? +## Rezolvare + +Conform ipotezei $\overline{a b c d}-a-b-c-d=2016$ + +$1000 a+100 b+10 c+d-a-b-c-d=999 a+99 b+9 c=2016 \Rightarrow 111 a+11 b+c=224$ Numărul creioanelor cumpărate este $7 n+52$ Câtic copii are grădinița? + +## Rezolvare + +Fie $n$ numărul copiilor din grădiniță + +Numărul caietelor cumpărate este $3 n+50$ + +1. Câte numere naturale de patru cifre există cu prorieteate ca dacă + +semestru s-au distribuit copiilor câte 3 caiete și 7 creioane la fiecare, iar 50 de caiete și 52 de creioane au rămas pentru semestrul următor. + +Avem atunci ecuatia $2633+50)=7 n+52$ + +$\Rightarrow a \in\{1,2\}$ + +Rezultă. $n=48$...Numălupcopiilor din grădiniță este 48 + +Dacă $a=1 \Rightarrow 11 b+c=113$, dar $11 b+c \leq 11 \cdot 9+9=108<113$ $.2 \mathrm{p}$ + +Dacă $a=2 \Rightarrow 11 b+c=2 \Rightarrow b=0$ și $c=2$ + +Deoarece $d \in\{1,2, \ldots, 9\}$ sunt 10 numere care satisfac condițiile problemei $\qquad$ +5. Arătați că dublul sumei numerelor naturale care împărțite la 2016 dau câturi si resturi egabe, se poate scrie ca produs de trei numere naturale consecutive. +2. Tatăl are 52 de ani, fiul lui 24. Cu câtị ani in urmă era tatăl de cinci ori mai î vârstă decât fiul lui? + +## Rezolvare + +$\mathrm{Cu} x$ ani în urmă tatăl era de cinci ori mai vârstnic decât fiul lui + +Atunci $52-x=5 \cdot(24-x) \Rightarrow 52-x=120-5 x$ + +Rezultă $4 x=68$ și obținem $x=17$ + +3. Numărul $10^{2016}-2014$ este pătrat perfect? Justificați răspunsul. + +## Rezolvare + +$10^{2016}-2014=999 \ldots 997986$ cu 2012 cifre de 9 + +Suma cifrelor numărului este 2012-9+30 + +Această sumă se divide cu 3 dar nu se divide cu pătratul său 9 , deci numărul nu este pătrat perfect. + +4. La o grădiniț̆ s-au cumpărat caiete și creioane, numărul creioanelor fiind de două ori mai mare decât cel al caietelor. La inceputul primului diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-192-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-192-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ce2798b33c455f657757d7c50e8c3b74f02278e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-192-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Inspectoratul Şcolar Județean
Harghita + +## Olimpiada de matematică - clasa a XII-a + +etapa zonală - 27 februarie 2016 + +1. Calculați: Ò $\arcsin (\cos x) d x$, dacă $x$ Î $[0,2 p]$ +2. Dați exemplu de monoid comutativ cu 4 elemente astfel încât interiorul tablei operației să conțină elementele monoidului de câte $1,2,3$ respectiv 10 ori. +3. Să se arate că nu există funcție $f:$ ® $;$ care admite o primitivă $F:$ i $B^{1}$, astfel încât $x f(x)=x+F(x)$, pentru orice $x$ Î $i$. +4. Cel puțin câte elemente trebuie să alegem arbitrar din grupul ( $\phi_{2016},+$ ) astfel încât printre acestea să fie sigur trei elemente (nu neapărat distincte) ale căror sumă este $\hat{0}$ ? + +## Inspectoratul Şcolar Județean + +Harghita + +## Olimpiada de matematică - clasa a XII-a etapa zonală - 27 februarie 2016
Soluții și bareme + +1. Calculați: Ò $\arcsin (\cos x) d x$, dacă $x$ Î $[0,2 p]$ + +## Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf04f506e879809b58f0g-2.jpg?height=235&width=1026&top_left_y=606&top_left_x=91) + +$\Rightarrow$ Ò $\arcsin (\cos x) d x=\frac{\frac{1}{1} \frac{p x-x^{2}}{2}+c, x \hat{\mathrm{I}}[0, p]}{\frac{1}{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}-3 p x}{2}+p^{2}+c, x \hat{\mathrm{I}}(p, 2 p]}$, unde $c \hat{\mathrm{I}}$; + +2. Dați exemplu de monoid comutativ cu 4 elemente astfel încât interiorul tablei operației să conțină elementele monoidului de câte $1,2,3$ respectiv 10 ori. + +## Soluție + +Fie $M=\{e, a, b, c\}$, unde $e$ este elementul neutru, acesta fiind elementul care apare o singură dată (toate celelalte apar în produsele ex și xe . + +Fie $a$ elementul care apare de două ori, deci în produsele $e a=a e$ și $b$ elementul care apare de 3 ori, deci în produsele $e b=b e$ și încă un element pe diagonală, deoarece monoidul este comutativ. + +Următorul tabel de operație corespunde cerinței: + +| | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ | +| $a$ | $a$ | $b$ | $c$ | $c$ | +| $b$ | $b$ | $c$ | $c$ | $c$ | +| $c$ | $c$ | $c$ | $c$ | $c$ | + +Trebuie verificată asociativitatea. Dacă $\{e, c\} C ̧\{x, y, z\}^{1}$ Æ , atunci evident $x(y z)=(x y) z$. Dacă $\{e, c\}$ Ç $\{x, y, z\}=Æ$, avem de verificat cazurile $(a a) b=a(a b),(a b) b=a(b b)$ și perumtările acestora, care din comutativitate sunt echivalente cu acestea, toate acestea sunt adevărate, deci este asociativă. + +3. Să se arate că nu există funcție $f:$; $\mathbb{B}$ care admite o primitivă $F:$ i $\mathbb{i}$, astfel încât $x f(x)=x+F(x)$, pentru orice $x \hat{\mathrm{I}}$ i . + +## Solutie + +Din relaţia din enunț rezultă $F(0)=0$. + +Dacă $x^{1} 0$, avem $f(x)=1+\frac{F(x)}{x}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cf04f506e879809b58f0g-2.jpg?height=112&width=1245&top_left_y=742&top_left_x=1514) + +Din teorema lui Lagrang $\left.\mathbf{p}_{x \circledR 0} F(x)=F \notin 0\right)$, deci $\lim _{x \circledast 0} f(x)=f(0)$ + +Pe de altă parte $\left.\lim _{x \circledast 0} \frac{F(x)}{x}=\lim _{x \circledast 0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F \notin 0\right)=f(0)$. + +Relația (1) devine $f(0)=1+f(0)$ contradicție, deci nu există astfel de funcție. + +4. Cel puțin câte elemente trebuie să alegem arbitrar din grupul $\left(\phi_{2016},+\right)$ astfel încât printre acestea să fie sigur trei elemente (nu neapărat distincte) ale cărör süüă ëste...̣̂ ?....... 1p + +## Soluție + +Dacă alegem toate elementele.................................... impare, atunci oricare trei dintre acestea are suma impară, adică nu poate fi $2016 k=\hat{0}$. Deci trebuie să alegem cel puțin 1009 de elemente. + +În continuare vom arăta că acesta este suficient. Dacă $A=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{1008}\right\}$ cu $x_{0} Soluții și bareme + +1. Definim şirul $\left(x_{n}\right)_{n^{3} 1}$ astfel încât $x_{1}=1-\frac{1}{x}$ şi $x_{n+1}=1-\frac{1}{x_{n}}$, " $n$ Î ¥ ${ }^{*}$, unde $x$ Î $i \backslash\{0,1\}$. Să se determine valoarea lui $x$ pentru care +2. Considerăm șirul $\left(a_{n}\right)_{n \mathfrak{1} \Psi}$, definit prin $a_{n+1}^{2}=a_{n-1} \times a_{n}, " n^{3} 1, a_{0}=1$ $x_{2014}+x_{2015}+x_{2016}=\frac{3}{2}$. și $a_{1}=9$. Calculați limita $\lim _{n \otimes \mathcal{Y}} a_{n}$ + +Soluție. Din definiție $a_{n}>0, " n$ Î ¥ + +Logaritmând în baza 3 P + +$2 \log _{3} a_{n+1}=\log _{3} a_{n-1}+\log _{3} a_{n} \mathrm{P} 2 b_{n+1}=b_{n-1}+b_{n}$ și $b_{0}=0, b_{1}=2$ unde + +am notat $b_{n}=\log _{3} a_{n}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0359ea0afd7fef5d3ef2g-2.jpg?height=146&width=1241&top_left_y=561&top_left_x=1512) + +$" n$ Î ¥ + +Soluție. Avem $x_{2}=\frac{1}{1-x}, x_{3}=x, x_{4}=1-\frac{1}{x}=x_{1}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0359ea0afd7fef5d3ef2g-2.jpg?height=119&width=883&top_left_y=772&top_left_x=1512) + +Prin inducție matematică avem $x_{3 k+1}=x_{1}, x_{3 k+2}=x_{2}, x_{3 k}=x_{3}$, + +Soluția2: Avem $a_{2}=3, a_{3}=3^{\frac{3}{2}}, a_{4}=3^{\frac{5}{4}}$. Presupunem + +$" k$ Î ¥ ${ }^{*} \mathrm{~b} \quad x_{2014}=x_{1}, x_{2015}=x_{2}, x_{2016}=x_{3}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0359ea0afd7fef5d3ef2g-2.jpg?height=104&width=1297&top_left_y=962&top_left_x=1514) + +P $1-\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}+x=\frac{3}{2} \mathrm{P} 2 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 \mathrm{P}$ + +$(x+1)\left(2 x^{2}-5 x+2\right)=0$ $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0359ea0afd7fef5d3ef2g-2.jpg?height=142&width=310&top_left_y=1223&top_left_x=91)$\qquad$ +2. Fie $A, B$ Î $M_{n}(£)$ astfel încât $A+B=I_{n}$ si $A^{2}=A^{3}$. Să se demonstreze că $\operatorname{det}\left(I_{n}+A B\right)^{1} 0$. + +Soluție. $B=I_{n}-A \mathrm{P} A B=A-A^{2}=B A \mathrm{P} \quad A B A=A^{2}-A^{3}=O_{n}$ $\qquad$ +4. Întindem pe masă un pachet de cărți și le amestecăm după o anumită regulă. Apoi amestecăm iar aplicând aceeași regulă (i. e. dacă la prima äṁëstècärè cärè̈̈ä dë pë pozitia $i$ a ajuns pe poziția $j$, atunci la următoarea amestecare moua carte de pe pozitia $i$ ajunge pe poziția $j$ ). Arătați că dacă amestecäm aplicầnd de ơ1 de câte ori aceeași regulă, la un anumit număr de pași, obținem ordinea inițială. + +Soluție. Dacă pachetul conține $k$ cărți, atunci fiecare amestecare este o permutare $s$ Î $S_{k}$ a cărților. + +Dacă elemental neutru $e$ este ordinea initiaă̆, atunci după $n$ amestecări + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0359ea0afd7fef5d3ef2g-2.jpg?height=67&width=458&top_left_y=1540&top_left_x=1516) + +De aici $(A B)^{2}=A B A B=O_{n}$. Dacă ord $(s)=l$, atun!̣j după $l$ amestecări obținem ordinea inițială. + +Folosim egalitatea $I_{n}=I_{n}-(A B)^{2}=\left(I_{n}-A B\right)\left(I_{n}+A B\right)$. + +(Sau: există un număr finit de permutări de rang $k$, deci în șirul + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0359ea0afd7fef5d3ef2g-2.jpg?height=67&width=909&top_left_y=1711&top_left_x=1514) + +Avem det $\left(I_{n}-A B\right)\left(I_{n}+A B\right)_{\text {ù }}^{\text {ù }}=\operatorname{det}\left(I_{n}-A B\right) \operatorname{det}\left(I_{n}+A B\right)=1$, deci $\operatorname{det}\left(I_{n}+A B\right)^{1} 0$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-194-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-194-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fad47c92e1f5c96d79e0d467d81782477d94ebe3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-194-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# Inspectoratul Şcolar Judetean + +Harghita + +## Olimpiada de matematică - clasa a X-a etapa zonală - 27 februarie 2016 + +1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: $(x-1)^{x+2}=(x-1)^{x^{2}+x}$. +2. Arătați că $\lg ^{2} 2+\lg ^{2} 5>\frac{5}{9}$ +3. Arătați că dacă $z$ Î $£ \backslash\{ \pm i\},|z|=1$ și $\operatorname{Im}(z)>0$, atunci + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-1.jpg?height=170&width=774&top_left_y=888&top_left_x=351) + +4. Arătați că dacă $M$ este un punct în planul triunghiului echilateral $A B C$ de centru $O$, atunci proiecțiile punctului $M$ pe dreptele $B C, A C$ și $A B$ formează un triunghi al cărui centrul de greutate este mijlocul segmentului $O M$ + +## Inspectoratul Şcolar Județean Harghita + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-2.jpg?height=178&width=759&top_left_y=94&top_left_x=1783) + +## Soluţie + +Folosind relația $|z|^{2}=z \times \bar{Z}$, obținem + +1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: $(x-1)^{x+2}=(x-1)^{x^{2}+x}$. Soluție + +Dacă $x-1=-1$, avem $x=0$ și $(-1)^{2}=(-1)^{0}$ adevărat. $\qquad$ +Dacă $x-1=0$, avem $x=1$ și $0^{3}=0^{2} \quad$ adevărat. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-2.jpg?height=179&width=1405&top_left_y=410&top_left_x=1512)$\qquad$ +Dacă $x-1=1$, avem $x=2$ și $1^{4}=1^{6} \quad$ adevărat. + +$1 p$ + +Dacă $x-1$ Ï $\{-1,0,1\}$, atunci $x+2=x^{2}+x$ P $\quad x= \pm \sqrt{2}$ $\qquad$ +Dacă $x=-\sqrt{2}$, atunci $x-1<0$ și $x+2$ Ï $\phi$, deci nu există $(x-1)^{x+2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-2.jpg?height=204&width=1338&top_left_y=638&top_left_x=1516)$\qquad$ +Dacă $x=\sqrt{2}$, atunci $x-1>0$, deci există $(x-1)^{x+2}$ $\qquad$ +$1 p$ + +Astfel mulțimea soluțiilor este $\{0,1,2, \sqrt{2}\}$. $\qquad$ +Dacă $z=a+b i, a, b \hat{I}$. continuare + +2. Arătați că $\lg ^{2} 2+\lg ^{2} 5>\frac{5}{9}$ + +$A=\frac{4+2\left|z^{2}-1\right|}{2+2 b}+\frac{4-2\left|z^{2}-1\right|}{2-2 b}=\frac{4-2 b\left|z^{2}-1\right|}{1-b^{2}}=\frac{4-2 b\left|a^{2}-b^{2}-1+2 a b i\right|}{a^{2}}=$ + +## Soluţie + +Notăm $\lg 2=x$, atunci $\lg 5=1-x$ $\qquad$ Inegalitatea de demonstrat devine $x^{2}+(1-x)^{2}>\frac{5}{9}$, echivalent cu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-2.jpg?height=145&width=1380&top_left_y=1195&top_left_x=1517) +$9 x^{2}-9 x+2>0$, echivalent cu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-2.jpg?height=118&width=474&top_left_y=1462&top_left_x=89) +$\lg 2<\frac{1}{3}$ deoarece $2<\sqrt[3]{10}$, deci inegalitatea din enunț este adevărată. + +4. Arătați că dacă $M$ este un punct în planul triunghiului echilateral $A B C$ $\qquad$ de centru $O$, atunci promectiile punctului $M$ pe dreptele $B C, A C$ și $A B$ formează un triunghi al cărui centrul de greutate este mijlocul segmentului $O M$. + +S.alutie $\qquad$ +$1 \mathbf{1 p}$ + +3. Arătați că dacă $z$ Î $£ \backslash\{ \pm i\},|z|=1$ și $\operatorname{Im}(z)>0$, atunci + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-3.jpg?height=604&width=537&top_left_y=86&top_left_x=89) + +$\Delta x$ + +Fie punctul $O$ originea sistemului dreptunghic cartezian, $O C=O x$, $e=\cos \frac{2 p}{3}+i \sin \frac{2 p}{3}$ una dintre rădăcini de ordinul trei ale unităţii, iar unitatea de măsură a sistemului fie lungimea segmentului $[O C$ ]. + +Astfel afixele punctelor $C, A$ şi $B$ sunt $c=1, a=e$ respectiv $b=e^{2}$. + +$m_{3}=-\frac{1}{2}+i \times \operatorname{Im} m=-\frac{1}{2}+\frac{m-\bar{m}}{2}$ $\qquad$ +Prin rotirea figurei cu $120^{\circ}$, punctul de afix $m$ va avea afixul $m \phi=m \times e$, iar punctul cu afix $m_{2}$ va avea afixul $m_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{m e-\bar{m} \times \bar{e}}{2}$. + +Printr-o nouă rotaţie cu $240^{\circ}$ a figurei, punctul cu afixul $m_{2}^{\ell}$ ajunge în + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-3.jpg?height=134&width=1085&top_left_y=1473&top_left_x=91) + +Se roteşte încă o dată figura $c u 240^{\circ}$, în urma căruia $m$ ajunge în punctul $m e^{2}$, iar $m_{1}$ în $m_{1} \notin=-\frac{1}{2}+\frac{m e^{2}-\bar{m} \times \bar{e}}{2}$. +Printr-o ultimă rotaţie cu $120^{\circ}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6471d89924ab72f11e5ag-3.jpg?height=149&width=842&top_left_y=168&top_left_x=1514) + +În urma acestor rotaţii $m_{1}=-\frac{e}{2}+\frac{m-\bar{m} e^{2}}{2}, \quad m_{2}=-\frac{e^{2}}{2}+\frac{m-\bar{m} e}{2}$ şi + +$m_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{m-\bar{m}}{2}$ + +Obţinem + +$G_{M_{1} M_{2} M_{3}}=\frac{m_{1}+m_{2}+m_{3}}{3}=-\frac{1}{6}\left(e^{2}+e+1\right)+\frac{m}{2}-\frac{\bar{m}}{6}\left(e^{2}+e+1\right)=\frac{m}{2}$ + +deci $G_{M}$ este mijlocul segmentului $O M$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-195-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-195-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7df14679b4a7df047270e061a593e756886e2da --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-195-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,231 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita +Olimpiada de matematică - clasa a VIII-a + +etapa zonală - 27 februarie 2016 +Olimpiada de matematică - clasa a VIII-a etapa zonală - 27 februarie 2016 + +1. a) Fie $a, b \in \mathbf{R}$, astfel încât $a^{2}+b^{2} \leq 2 a b$. Demonstraţi că $a=b$. + +b) Fie $x, y \in \mathbf{N}^{*}$, astfel încât $9^{x-2}+9^{y+2} \leq 2 \cdot 3^{x+y}$. Demonstraţi că numărul $3^{x}+3^{y}$ se divide cu 41 . + +2. Demonstraţi că, dacă $x-7 y+3=0$ şi $x \in[-3 ; 4]$, atunci: + +$$ +E(x, y)=\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-1)^{2}}=5 \sqrt{2} +$$ + +3. Lungimiile muchiilor aparținând aceluiași vârf al unui paraleliped dreptunghic exprimate în centimetru sunt numere întregi diferite. Unul dintre muchii este $6 \mathrm{~cm}$. Cât este suma celorlalte două muchii, dacă aria totală și volumul paralalipedului sunt exprimate cu același număr? +4. Se consideră tetraedrul $\mathrm{ABCD}$ în care $A B \perp C D$. Fie $\mathrm{M}$ mijlocul muchiei $\mathrm{BC}$ şi $\mathrm{N}$ mijlocul muchiei BD . Pe semidreapta (DM alegem punctul $\mathrm{E}$ astfel încât $\mathrm{DE}=2 \mathrm{DM}$, iar pe semidreapta (CN alegem punctul $\mathrm{F}$ astfel încât $\mathrm{CF}=$ 2CN + +a) Demonstraţi că punctele $\mathrm{F}, \mathrm{B}, \mathrm{E}$ sunt coliniare; + +b) Demonstraţi că triunghiul AEF este isoscel. + +5. Pe planul paralelogramului $A B C D$ se ridică perpendiculara $A P$. Fie $M$ mijlocul segmentului $[A B]$, iar $N$ mijlocul segmentului $[D M]$. Arătaţi că $P N \perp D M$ dacă şi numai dacă $D M \perp M C$. +6. Fie $x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ şi $y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Să se arate că $x^{n}+y^{n} \geq 2$ oricare ar fi $n \in \mathbf{N}$. +7. Să se demonstreze că: +a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \in \square$; +b) $\frac{2}{4 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 14}+\frac{2}{14 \cdot 19}+\ldots+\frac{2}{2009 \cdot 2014} \in\left(0 ; \frac{1}{10}\right)$. +8. Lungimile muchiilor aparținând aceluiași vârf al unui paraleliped dreptunghic exprimate în centimetru sunt numere întregi diferite. Una dintre muchii este de $6 \mathrm{~cm}$. Cât este suma celorlalte două muchii, dacă aria totală și volumul paralalipedului sunt exprimate cu același număr? +9. Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi dreptunghic. Luăm punctul $\mathrm{P}$ pe cateta $\mathrm{AB}$ și punctul $\mathrm{Q}$ pe cateta $\mathrm{BC}$ astfel încât $\mathrm{AP}=\mathrm{CB}$ și $\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}$. Să se demonstreze că unghiul format de segmentele AQ și CP este de $45^{0}$. +10. În piramida patrulateră regulată $V A B C D$ se dă înălţimea $V O=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$. Să se calculeze : + +a) Tangenta unghiului format de dreptele VA şi DC + +b) Măsura unghiului format de dreapta VA şi proiecţia dreptei VA pe planul bazei + +c) Distanţa de la punctul O la planul (VBC). + +## Varianta 1 + +1. a) Fie $a, b \in \mathbf{R}$, astfel încât $a^{2}+b^{2} \leq 2 a b$. Demonstraţi că $a=b$. + +b) Fie $x, y \in \mathbf{N}^{*}$, astfel încât $9^{x-2}+9^{y+2} \leq 2 \cdot 3^{x+y}$. Demonstraţi că numărul $3^{x}+3^{y}$ se divide cu 41 . + +## Rezolvare + +a) avem $(a-b)^{2} \geq 0$, deci $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$ + +rezultă $a^{2}+b^{2}=2 a b \Rightarrow(a-b)^{2}=0 \Rightarrow a=b$ + +b) fie $a^{2}=9^{x-2}=\frac{9^{x}}{9^{2}}=\left(\frac{3^{x}}{9}\right)^{2}$ si $b^{2}=9^{y+2}=9^{2} \cdot 9^{y}=\left(9 \cdot 3^{y}\right)^{2}$ + +$2 a b=2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{y}$ și din punctul $a$ ) rezultă $\frac{3^{x}}{9}=9 \cdot 3^{y} \Rightarrow 3^{x}=81 \cdot 3^{y}$ + +$\Rightarrow 3^{x}+3^{y}=81 \cdot 3^{y}+3^{y}=3^{y}(81+1)=2 \cdot 41 \cdot 3^{y}$..... $\qquad$ +deci $3^{x}+3^{y}$ se divide cu 41 $\qquad$ +Rezolvare $\cdots \ldots . . . .1 \mathrm{p}$ + +2. Demonstraţi că, dacă $x-7 y+3=0$ şi $x \in[-3 ; 4]$, atunci: + +$$ +E(x, y)=\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-1)^{2}}=5 \sqrt{2} +$$ + +## Rezolvare + +Din $x-7 y+3=0$ avem $x=7 y-3$ + +$$ +E(x, y)=\sqrt{(7 y-3+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(7 y-3-4)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{50 y^{2}}+\sqrt{50(y-1)^{2}} +$$ + +$x \in[-3 ; 4] \Rightarrow y \in[0 ; 1]$ + +Deci $E(x, y)=5 y \sqrt{2}+5(1-y) \sqrt{2}=5 \sqrt{2}$ + +## Rezolvare + + +#### Abstract + +3. Lungimiile muchiilor aparținând aceluiaşi vârf al unui paraleliped dreptunghic exprimate în centimetru sunt numere întregi diferite. Unul dintre muchii este $6 \mathrm{~cm}$. Cât este suma celorlalte două muchii, dacă aria totală și volumul paralalipedului sunt exprimate cu acelaşi питăr?. + + +Notăm cu $a$ respectiv $b$ lungimea celor două muchii aparținând vârfului cu o muchie de $6 \mathrm{~cm}$. + +Atunci $A_{t}=2(6 a+a b+6 b)$ și $V=6 a b$ + +Avem $6 a b=2(6 a+a b+6 b)$ adică $6 a-2 a b+6 b=0$ + +$\Rightarrow(a-3)(b-3)=9$ de unde. + +$a=4$ și $b=12$ sau $a=6$ și $b=6$ + +A doua soluție nu satisface conditiile problemei, deci $a+b=16$ + +4. Se................. $1 \mathrm{p}$ +5. Se consider müchiei BC S $\mathrm{S}$ N mijlocul muchiei $B D$. + +Pe semidreapta ( $D M$ alegem punctul $E$ astfel încât $D E=2 D M$, ï̈̈r pë së sè ìídPeapta (CN alegem punctul + +$F$ astfel încât $C F=2 C N$ + +a) Demonsfratic că punctele $F, B, E$ sunt coliniare; + +b) Demonstraţi că triunghiul AEF este isoscel. + +## $\mathbf{p}$ + +- + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b2503da13b9d6059dcc9g-2.jpg?height=682&width=846&top_left_y=979&top_left_x=1695) + +Desen + +a) $\mathrm{BC}$ și $\mathrm{DE}$ se înjumătățesc $\Rightarrow B E C D$ este paralelogram $\Rightarrow C D \square E B$ și $(C D) \equiv(E B)$... $2 \mathrm{p}$ + +Analog $C D \square F B$ și $(C D) \equiv(F B)$ + +$\Rightarrow E B=B F$ deci $\mathrm{E}, \mathrm{B}, \mathrm{F}$ sunt coliniare. +b) $A B \perp C D, C D \square E F \Rightarrow A B \perp E F$ (1) + +$(C D) \equiv(E B),(C D) \equiv(F B) \Rightarrow(E B) \equiv(F B)(2)$.... + +(1), (2) $\Rightarrow \mathrm{AB}$ este mediatoarea segmentului $\mathrm{EF}$ deci triunghiul $A E F$ + +este isoscel + +5. Pe planul paralelogramului $A B C D$ se ridică perpendiculara $A P$. Fie $M$ mijlocul segmentului [AB], iar $N$ mijlocul segmentului [DM]. Arătaţi că $P N \perp D M$ dacă şi numai dacă $D M \perp M C$. + +## Rezolvare + +Desen $\qquad$ +$P N \perp D M \Rightarrow A N \perp D M$, dar $A N \square M C$ deci $M C \perp D M$ $D M \perp M C\}$ $\left.\begin{array}{c}D M \perp M C \\ A N \square M C\end{array}\right\} \Rightarrow A N \perp D M$, dar $P A \perp(A B C)$ deci $P N \perp D M$ + +## Rezolvare......... $1 \mathrm{p}$ + + $\qquad$a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}=1 \in \square$ + +$$ +\frac{2}{4 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 14}+\frac{2}{14 \cdot 19}+\ldots+\frac{2}{2009 \cdot 2014}=\frac{2}{5} \cdot\left(\frac{5}{4 \cdot 9}+\frac{5}{9 \cdot 14}+\frac{5}{14 \cdot 19}+\ldots+\frac{}{200}\right. +$$ + +$=\frac{2}{5} \cdot\left(\frac{9-4}{4 \cdot 9}+\frac{14-9}{9 \cdot 14}+\ldots+\frac{2014-2009}{2009 \cdot 2014}\right)=$ + +$=\frac{2}{5} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{p}{4}+\ldots+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2014}\right)=$ + +$=\frac{2}{5} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2014}\right)=\frac{201}{2014} \in\left(0 ; \frac{1}{10}\right)$ + +## Varianta 2 + +6. Fie $x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ şi $y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Să se arate că $x^{n}+y^{n} \geq 2$ oricare ar + +$$ +\text { fin } \in \mathbf{N} \text {. } +$$ + +## Rezolvare + +$x \cdot y=1$ + +$\Rightarrow y=\frac{1}{x}$ + +... + +$x^{n}+y^{n}=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} \geq 2$ deoarece $\frac{a}{b}=\frac{b}{a} \geq 2, \forall a, b \in \mathbf{R}_{+}^{*}$ + +7. Să se demonstreze că: +i) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \in \square$; +ii) $\frac{2}{4 \cdot 9}+\frac{2}{9 \cdot 14}+\frac{2}{14 \cdot 19}+\ldots+\frac{2}{2009 \cdot 2014} \in\left(0 ; \frac{1}{10}\right)$. +8. Lungimiile muchiilor aparținând aceluiaşi vârf al unui paraleliped dreptunghic exprimate în centimetru sunt numere îtregi diferite. Unul dintre muchii este $6 \mathrm{~cm}$. Cât este suma celorlalte două muchii, dacă aria totală şi volumul paralalipedului sunt exprimate cu același număr?. + +## Rezolvare + +Netăm$\cdot$etr $\mathbf{r r e s p}$ fdiv $b$ lungimea celor două muchii aparținând vârfului cu o mughie de $6 \mathrm{~cm}$. + +Ätunci Ä $=2(6 ั a+a b+6 b)$ și $V=6 a b$ + +Avem $6 a b=2(6 a+a b+6 b)$ adică $6 a-2 a b+6 b=0$ + +$\Rightarrow(a-3)(b-3)=9$ de unde. + +$a=4$ și $b=12$ sau $a=6$ și $b=6$ + +A doua soluție nu satisface condițile problemei, deci $a+b=16$ + +9. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic. Luăm punctul $P$ pe cateta $A B$ şi punctul $Q$ pe cateta BC astfel încât +$A P=C B$ şi $B P=C Q$. Să se demonstreze că unghiul format de segmentele $A Q$ si CP este de $45^{\circ}$. + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b2503da13b9d6059dcc9g-4.jpg?height=633&width=511&top_left_y=321&top_left_x=386) + +Desen + +Fie D a.î. ABCD să fie dreptunghi și $E \in(C D): A E \square C P$ + +Atunci APCE este paralelogram $\Rightarrow(A P) \equiv(E C) \Rightarrow(E D) \equiv(B P) \equiv(C Q)$ + +$\Rightarrow A D E_{\Delta} \equiv E C Q_{\Delta} \Rightarrow(A E) \equiv(E Q)$ și $m(A E Q)=90^{\circ}$ + +Rezultă $m(A Q, C P)=m(E A Q)=45^{\circ}$ $\qquad$ +10. În piramida patrulateră regulată $V A B C D$ se dă inălţimea $V O=$ $3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, A B=6 \mathrm{~cm}$. Să se calculeze : + +a) Tangenta unghiului format de dreptele VA şi DC + +b) Măsura unghiului format de dreapta VA şi proiecţia dreptei VA pe planul bazei + +c) Distanţa de la punctul O la planul (VBC). + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b2503da13b9d6059dcc9g-4.jpg?height=622&width=775&top_left_y=114&top_left_x=1935) + +## Desen + +a). Deoarece $\mathrm{DG}$. $\mathrm{AB}$ tangenta unghiului format de dreptele VA şi De este $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b2503da13b9d6059dcc9g-4.jpg?height=160&width=634&top_left_y=1076&top_left_x=1640) + +b). Măsura.unghiullipformat de dreapta VA şi proiecţia dreptei VA pe planul bazei este + +$m(V A O)=45^{\circ}$, deoarece $A O=V O=3 \sqrt{2}$ + +c) $V P \perp B C, O Q \perp V P$ și $d(O,(V B C))=O Q=\frac{3 \sqrt{2} \cdot 3}{3 \sqrt{3}}=\sqrt{6}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-196-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-196-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49f6f13aa3ae53d706f625883774bce3fb171b72 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-196-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +# Inspectoratul Şcolar Județean
Harghita + +## Olimpiada de matematică - clasa a IX-a etapa zonală - 27 februarie 2016 + +1. Arătați că dacă $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt soluțiile ecuației $x^{2}-2016 x+1=0$, atunci $x_{1}^{n}+x_{2}^{n} \hat{\mathrm{I}} \notin$ pentru orice $n \hat{\mathrm{I}} ¥$. +2. Determinați cel mai mare număr natural $k$ pentru care (2013!+ 2014!+ 2015!)Л015 ${ }^{k}$ +3. Pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ considerăm un punct $A_{0}$ și pe $A A_{0}$ un punct $M$. Notăm cu $C_{1}$ și $B_{1}$ punctele de intersecție $B M$ Ç $A C$ și $C M$ ÇAB . Dreapta paralelă la $B C$ prin punctul $A$-intersectează dreptele $A_{0} B_{1}$ și $A_{0} C_{1}$ în punctele $B_{2}$ și $C_{2}$. Arătați că punctul $A$ este mijlocul segmentului $\left[B_{2} C_{2}\right]$. +4. Un ceas mecanic are un defect de fabricație. Astfel secundarul funcționează corect (sare una la o secundă), iar minutarul sare una la 90 de secunde, orarul sare una la fiecare 12 sărituri ale minutarului (ceasul are 60 de gradatii). + +a) De câte ori se suprapune secundarul și minutarul în decursul a 90 de minute? + +b) În trei zile câte momente există în care și acest ceas și unul fără defect are cele trei ace de ceasornic suprapuse? + +## Inspectoratul Şcolar Judeţean Harghita + +## Olimpiada de matematică - clasa a IX-a etapa zonală - 27 februarie 2016 Soluții si bareme + +1. Arătați că dacă $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt soluțiile ecuației $x^{2}-2016 x+1=0$, atunci $x_{1}^{n}+x_{2}^{n} \hat{I} \notin$ pentru orice $n \hat{I} ¥$. + +## Soluție + +$\mathrm{D}=2016^{2}-4>0 \mathrm{P} \$ x_{1,2} \hat{I} \quad i$. Notăm cu $S_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n} \cdot S_{0}=2 \hat{I} \phi$. + +Din relațiile lui $S=x_{1}+x_{2}=2016$ și $P=x_{1} x_{2}=1$, deci $S_{1}=S$ Î $\phi$, $S_{2}=S^{2}-2 P \hat{I} 申$ + +$S \times S_{n}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\right)=x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1}+x_{1} x_{2}\left(x_{1}^{n-1}+x_{2}^{n-1}\right)=S_{n+1}+P \times S_{n-1}$ + +Dacă $S_{n-1}, S_{n} \hat{I} \notin$, atunci $S_{n+1}=S \times S_{n}-P \times S_{n-1} \hat{I} \notin$. $\qquad$ +$3 p$ + +Deoarece $S_{1}, S_{2} \hat{I} \notin$, rezultă prin inducție că $S_{n} \hat{I} \notin$ pentru orice $n$ Î $¥$ $\qquad$ +Solutie + +$1 p$ + +Deci $k=66+2=68$ segmentului $\left[B_{2} C_{2}\right]$. + +## (2013!+ 2014!+ 2015!)N015 + +## Solutie + +$A=2013!(1+2014+2014 \times 2015) \mathrm{P} \quad A=2013!\times 2015^{2}$ + +Deoarece $2015=5 \times 13 \times 31$, numărul 2015 ca divizor, apare din produsul numerelor prime $5,13,31$ din produsul + +$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \mathrm{K} \times 13 \times \mathrm{K} \times 25 \times 26 \times \mathrm{K} \times 31 \times \mathrm{K} \times 62 \times \mathrm{K} \times 2013$. + +Trebuie să numărăm doar numărul de multiplicitate al factorului 31 pentru că aceasta apare de cele mai puține ori. + +$2013=64 \times 31+29$ P în produsul 2013! sunt 64 multipli de 31 și 31 mai apare încă de două ori în multiplul $31 \times 31=961$ și + +$2 \times 31 \times 31=62 \times 31=1922$, deci în total de 66 ori. + +Observație : în general numărul prim $p$ apare ca factor în numărul $n$ !de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_badf881153529274089ag-2.jpg?height=127&width=1293&top_left_y=772&top_left_x=1516) +$p^{m} £ n$ și éé̀ + +3. Pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ considerăm un punct $A_{0}$ și pe $A A_{0}$ un punct $M$. Notăm cu $C_{1}$ și $B_{1}$ punctele de intersecție $B M$ ÇAC și $C M$ Ç $A B$. Dreapta paralelă la $B C$ prin punctul $A$-intersectează dreptele $A_{0} B_{1}$ și $A_{0} C_{1}$ în punctele $B_{2}$ și $C_{2}$. Arătați că punctul $A$ este mijlocul + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_badf881153529274089ag-2.jpg?height=455&width=555&top_left_y=1316&top_left_x=1900) + +Din teorema lui Ceva există $k_{1}, k_{2}, k_{3} \hat{I} \quad i_{+}^{*}$ astfel încât $\frac{A B_{1}}{B_{1} B}=\frac{k_{2}}{k_{1}}, \frac{B A_{0}}{A_{0} C}=\frac{k_{3}}{k_{2}}$ + +și $\frac{C C_{1}}{C_{1} A}=\frac{k_{1}}{k_{3}}$, + +atunci $A C_{2}=\frac{k_{2} k_{3}}{k_{1}\left(k_{2}+k_{3}\right)} \stackrel{\text { uuur }}{B C}$ şi $\underset{A}{\text { uunum }}{ }_{2}=\frac{k_{2} k_{3}}{k_{1}\left(k_{2}+k_{3}\right)} \stackrel{\text { uum }}{C B}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_badf881153529274089ag-3.jpg?height=71&width=325&top_left_y=434&top_left_x=91) + +Deci egalitatea 䓡 $90 n+k$ ù adică la ore fixe $:$ :........ 2 ? + +Orarul pe un ceas făă defect este la poziția " 12.00 " de două ori pe zi, la 12.00. şi.la.24.00..Orarul 4 p un ceas defect este la poziția 12.00 din 18 în 18 ore. Deci pe cele două ceasuri cele trei ace se suprapun simultan la fiecare 36 de.ore. Decci în.decursul. 4prrei zile există 3 astfel de momente, dacă în momentul inițial sunt suprapuse, altfel sunt două astfel de momente + +4. Un ceas mecanic are un defect de fabricație. Astfel secundarul funcționează corect (sare una la o secundă), iar minutarul sare una la 90 de secunde, orarul sare una la fiecare 12 sărituri ale minutarului (ceasul are 60 de gradații). + +a) De câte ori se suprapune secundarul și minutarul în decursul a 90 de minute? + +b) În trei zile câte momente există în care și acest ceas și unul fără defect are cele trei ace de ceasornic suprapuse? + +## Soluție + +a) Minutarul î 90 de minute face o singură rotație. La fiecare rotaţie a secundarului, acesta se suprapune cu minutarul exact o singură dată, deci în total de 90 ori. + +b) Determinăm unghiul format de acele ceasului la $m$ ore, $n$ minute şi $k$ secunde, cu poziţia acelor la ora 12,00 . + +Secundarul formează un unghi de măsură $k \times \frac{2 p}{60}$. + +Minutarul formează un unghi de măsură 兔 $90+k$ 茾 $0 \frac{2 p}{60}$. + +Cele două ace se suprapun, dacă ếcon+k ừ + +La un ceas fără defect cele două ace se suprapun dacă $n=k$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-197-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-197-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08ef16dfd0a0ed745b9ea24103795a4bad8b5cbb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-197-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,20 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b46af92018bf66f11cedg-1.jpg?height=194&width=194&top_left_y=480&top_left_x=200) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 21 FEBRUARIE 2016 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1. Fie ( $G, \cdot)$ un grup finit cu proprietatea că funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{2}$ este automorfism de grupuri. Arătați că mulțimea $G$ are un număr impar de elemente. + +Problema 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup care are elementul neutru $e$ şi mulțimea $Z(G)=\{x \in G \mid x y=y x,(\forall) x \in G\}$. Demonstrați că dacă $x^{2}=e,(\forall) x \in G \backslash Z(G)$, atunci grupul $G$ este comutativ. + +Problema 3. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow(0,+\infty)$. Dacă $f(0)=2016$ și $f$ admite o primitivă $F$ cu proprietatea $f(x)=2016 \cdot F(x),(\forall) x \in \mathbb{R}$, atunci calculaţi $\int_{0}^{1} f(x) \cdot F(x) d x$. + +Problema 4. Dacă $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ este o funcție continuă cu proprietatea că $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f\left(\operatorname{tg}^{2} x\right) \cdot\left(1+\operatorname{tg}^{2} x\right) d x=1$, atunci să se calculeze $\int_{-1}^{1} \frac{f\left(x^{2}\right)}{e^{x}+1} d x$ + +## SUCCES! + +Subiectele au fost selectate de prof. Gheorghe Stoianovici + +Baremul de notare este : Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. a) 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-198-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-198-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..853e74a6756c978bb619b1911104073a4b35cf5e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-198-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,28 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 21 FEBRUARIE 2016 + +## Clasa a XI-a + +Problema 1. Să se arate că oricare două matrice $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{ll}2014 & 2015 \\ 2016 & 2017\end{array}\right) \mathrm{nu}$ comută între ele. + +Problema 2. Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$. Arătați că $X^{3} \neq A,(\forall) X \in M_{3}(\mathbb{C})$. + +Problema 3. Fie şirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$, definite prin $x_{n}=\frac{1}{2^{1^{2}}}+\frac{1}{2^{2^{2}}}+\frac{1}{2^{3^{2}}}+\ldots+\frac{1}{2^{n^{2}}}$ şi $y_{n}=x_{n}+\frac{1}{2 n \cdot 2^{n^{2}}}$, $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. Arată că: + +a) șirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict descrescător; + +b) șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent; + +c) limita șirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este un număr irațional. + +Problema 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şirul cu termenul general $x_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{n-2+\ldots+\sqrt{1}}}}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se arate că: + +a) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}}=1$; + +b) $\quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{2}$. + +## SUCCES! + +Subiectele au fost selectate de prof. Gheorghe Stoianovici + +Baremul de notare este : Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. a) 2 puncte; b) 2 puncte; c)3 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 4 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-199-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-199-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c445adbfa1d9b291f450fb4fece37e0521a42040 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-199-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,38 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_35a7455efbdb678ced9cg-1.jpg?height=180&width=188&top_left_y=475&top_left_x=200) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 21 FEBRUARIE 2016 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: + +a) $\quad a^{x}-x^{a}=1$, unde $a \in(0,1)$, $a$ fixat; + +b) $7^{2 x}+30^{x}=3^{2 x}+70^{x}$; + +c) $2^{5 x}+3^{2 x}+7^{x}=3 \cdot 2016^{\frac{x}{3}}$. + +Problema 2. Se consideră propozițile $P_{1}:,(\exists) x, y \in(0,+\infty)$ asfel încât $5\left[(x+y)^{2}+\log _{2}^{2} y\right]=\left[x+\log _{2}\left(2^{y} \cdot y^{2}\right)\right]^{2} "$ şi $P_{2}:,(\exists) x \in \mathbb{R}$ și $y \in(0,+\infty)$ astfel încât $4^{y}=4 y(3 x+4)$ ". + +a) Să se demonstreze că $P_{1}$ este falsă. + +b) Să se demonstreze că $P_{2}$ este adevărată. + +Problema 3. Se consideră $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}^{*}$. Să se arate că: + +a) dacă $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1, z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0$ și $z_{1}+z_{2}+z_{3} \neq 0$, atunci $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=2$; + +b) dacă $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt distincte douã câte douã și $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=\left(z_{2}+z_{3}\right)^{3}=\left(z_{3}+z_{1}\right)^{3}$, atunci $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}-z_{3}\right|=\left|z_{3}-z_{1}\right|$. + +Problema 4. Se consideră funcția $f: \mathbb{N} \rightarrow[0,1), f(n)=\left\{2^{n+\frac{1}{2}}\right\}$, unde $\{x\}$ este partea fracționară a numărului real $x$, demonstrați că: + +a) funcția $f$ este injectivă; + +b) funcția $f$ nu este surjectivă. + +## SUCCES! + +Subiectele au fost selectate de prof. Gheorghe Stoianovici + +Baremul de notare este : Problema 1. a) 2 puncte; b) 2 puncte; c)3 puncte; Problema 2. a) 5 puncte; b) 2 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 4 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-2-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. X-cls_10_loc.md b/Romania_Olympiad/md/ro-2-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. X-cls_10_loc.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d1155c20ca86a7441a8d29415640a42a0f1252d8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-2-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. X-cls_10_loc.md @@ -0,0 +1,226 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_983f30ea2ef136716a79g-1.jpg?height=140&width=140&top_left_y=33&top_left_x=1072) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 26 februarie 2022 + +CLASA a X-a - enunţuri + +## Timp de lucru 180 de minute
Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Dacă $x \in \mathbb{R}$ şi $\sqrt[8 x-1]{16 x}=\sqrt[4-4 x]{8 x}$, stabiliţi care dintre următoarele numere este pătratul unui număr natural: +A $2 x^{2}$ +B $8 x^{3}$ +C $4 x^{4}$ +D $6 x^{2}$ +E $12 x^{3}$ +2. Ştiind că $a=\log _{3} 120$ şi $b=\log _{3} 2$, numărul $c=\log _{3} 90$ este egal cu: +A $1+a-2 b$ +B $a-2 b-1$ +C $2+a-b$ +D $1-a-2 b$ +$\mathbf{E} 1+a-b$ +3. Se consideră expresia $E(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x$ şi numărul $w=2-\sqrt[3]{2}$. Numărul $E(w)$ este egal cu: +A 6 +$\mathrm{B}-4$ +C $8 \sqrt[3]{2}$ +D $\sqrt[3]{16}$ +E 7 +4. Se consideră numerele $x_{k}=(\sqrt[5]{4})^{80-k} \cdot(\sqrt[3]{2})^{k}, k=\overline{0,80}$. Numărul numerelor raţionale, din mulţimea $M=\left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{80}\right\}$, este egal cu: +A 6 +B 38 +C 39 +D 7 +E 12 +5. Partea întreagă a numărului $a=\log _{2} 5+\log _{25} 256$ este egală cu: +A 2 +B 3 +C 4 +D 5 +E 6 +6. Se consideră o funcţie injectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că există un număr real $a$ astfel încât: $f(x) \cdot f(1-x)=f(a \cdot x-1), \forall x \in \mathbb{R}$. Numărul $a$ este egal cu: +A -2 +$\mathrm{B}-1$ +C 0 +D 1 +$\mathbf{E} \frac{1}{2}$ +7. (SGM 9/2021, enunţ modificat/adaptat) Cel mai mic număr întreg $m$ pentru care inegalitatea $4^{x}+(m-1) \cdot 2^{x+1}+m-1 \geq 0$ este adevărată pentru orice număr real $x$, este egal cu: +A 0 +B 1 +C 2 +D -2 +$\mathrm{E}-1$ +8. Ordinea crescătoare a numerelor $m=\sqrt[6]{6400}, n=5 \cdot \sqrt[3]{3}, p=3 \cdot \sqrt[3]{2}$ este: +A $p, m, n$ +B $m, n, p$ +C $m, p, n$ +D $p, n, m$ +$\mathbf{E} n, p, m$ +9. Dacă $a, b \in \mathbb{R}, a1$ este număr real astfel încât $a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=\frac{6817}{1296}$, atunci numărul $b=a-\frac{1}{a}$ este egal cu: +A $\frac{1}{6}$ +B $\frac{2}{3}$ +C $\frac{7}{6}$ +$\mathrm{D} \frac{5}{6}$ +E $\frac{7}{12}$ + +13.(SGM 11/2021) Dacă $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ este o soluţie a sistemului de ecuaţii: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\log _{3}\left(1+x_{1}\right)=\log _{7}\left(3+x_{2}+x_{3}\right) \\ +\log _{3}\left(1+x_{2}\right)=\log _{7}\left(3+x_{3}+x_{1}\right) \\ +\log _{3}\left(1+x_{3}\right)=\log _{7}\left(3+x_{2}+x_{1}\right) +\end{array}\right. +$$ + +pentru care $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3}$, atunci numărul $T=x_{1}+2 \cdot x_{2}-4 \cdot x_{3}$ aparţine intervalului: +A $\left(-\frac{8}{3}, \frac{1}{7}\right)$ +B $\left(-\frac{5}{3},-\frac{2}{7}\right)$ +C $\left(\frac{1}{7}, \frac{7}{3}\right)$ +$\mathbf{D}\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{7}\right)$ +$\mathbf{E}\left(-\frac{11}{7},-\frac{1}{3}\right)$ + +14.(SGM 10/2021, enunţ modificat) Dacă $(a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, a \leq b$, este soluţie a sistemului de ecuaţii $\left\{\begin{array}{l}9^{x}+7 x=5 y+4 \\ 9^{y}+7 y=5 x+4\end{array}\right.$, atunci numărul $M=\frac{a+b}{a \cdot b}$ este egal cu: +A $\frac{1}{2}$ +B 2 +C $\frac{1}{4}$ +D 4 +E 1 + +15. Produsul soluţiilor reale ale ecuaţiei $4+4^{x} \cdot \log _{2} x=2^{2 x+1}+\log _{2}\left(x^{2}\right)$ este egal cu: +A $\frac{1}{2}$ +B 2 +C $\frac{9}{2}$ +D 8 +E 4 +16. Cel mai mare număr întreg $k$, pentru care inegalitatea $\log _{\frac{k-1}{k+1}}\left(x^{2}+3\right) \geq 1$ este adevărată pentru orice număr real $x$, este egal cu: +A -4 +B -3 +$\mathbf{C}-2$ +D 0 +E 3 +17. Dacă $a, b, c \in(1,+\infty)$ şi $a+b+c=4$, atunci valoarea minimă a expresiei $E=\frac{\log _{a} b}{a+b}+\frac{\log _{b} c}{b+c}+\frac{\log _{c} a}{c+a}$ este egală cu: +A $\frac{3}{2}$ +B $\frac{3}{4}$ +$\mathbf{C} \frac{4}{3}$ +D $\frac{9}{8}$ +$\mathbf{E} \frac{9}{16}$ + +18.(GM 6-7-8/2021) Dacă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este o funcţie crescătoare cu proprietatea că $f(f(x))+f(x)=2 x-3, \forall x \in \mathbb{R}$, atunci numărul $P=f\left(\frac{3}{2}\right) \cdot f\left(\frac{4}{3}\right) \cdot f\left(\frac{5}{4}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(\frac{2022}{2021}\right)$ este egal cu: +A $1011 \cdot 2023$ +B 1011 +C $\frac{1}{2021!}$ +D $\frac{1}{2022!}$ +E 2022 ! + +19. Funcţia bijectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow(7,+\infty), f(x)=81^{x}+9^{x}+7$, are inversa $g$. Numărul $s=g(19)+g(97)$ este egal cu: +A -1 +B $\frac{1}{2}$ +$\mathrm{C}-\frac{1}{4}$ +$\mathbf{D} \frac{3}{2}$ +$\mathbf{E} \frac{3}{4}$ +20. Se consideră mulţimea $\mathcal{S}(a)=\left\{x \in \mathbb{Z} \left\lvert\, \log _{a} x-\log _{a^{2}} x+\log _{a^{4}} x \geq \frac{3}{4}\right.\right\}$. Numărul elementelor mulţimii $\mathcal{D}=S(2022) \backslash S(2048)$ este egal cu: +A 27 +B 26 +C 0 +D 1026 +E 13 +21. Numărul elementelor mulţimii $\mathcal{A}=\left\{n \in \mathbb{Z} \left\lvert\, 1+\log _{2}(n+1)=n+\cos \frac{n \pi}{6}\right.\right\}$ este egal cu: +A 1 +B 2 +C 3 +D 4 +E 6 +22. Se consideră funcţiile $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definite prin: + +$$ +f_{1}(x)=2^{x}-1, \quad f_{2}(x)=2022+x^{2021}, \quad f_{3}(x)=\log _{2}\left(1+x^{4}\right), \quad f_{4}(x)=\left\{\begin{array}{cc} +x+3, & x \leq 1 \\ +4^{x}, & x>1 +\end{array}\right. +$$ + +Dintre cele considerate, funcţiile surjective sunt: +A $f_{1}, f_{3}$ +B $f_{2}, f_{4}$ +$\mathrm{C} f_{1}, f_{4}$ +$\mathbf{D} f_{2}, f_{3}$ +$\mathbf{E} f_{1}, f_{2}$ + +23. Se consideră funcţiile $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definite prin: + +$$ +f_{1}(x)=2^{x}-1, \quad f_{2}(x)=2022+x^{2021}, \quad f_{3}(x)=\log _{2}\left(1+x^{4}\right), \quad f_{4}(x)=\left\{\begin{array}{cc} +x+3, & x \leq 1 \\ +4^{x}, & x>1 +\end{array}\right. +$$ + +Dintre cele considerate, funcţiile injective sunt: +A $f_{1}, f_{2}, f_{4}$ +B $f_{1}, f_{3}, f_{4}$ +$\mathbf{C} f_{1}, f_{2}, f_{3}$ +$\mathbf{D}$ doar $f_{2}, f_{3}$ +E doar $f_{1}, f_{3}$ + +24. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-x+\sqrt{x^{2}-x+2}$ si mulţimea $T=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=4\}$. Numărul $w=\sum_{x \in T} \frac{1}{x^{2}}$ este egal cu: +A $\frac{5}{2}$ +B 2 +C $\frac{5}{4}$ +D $\frac{1}{2}$ +$\mathbf{E} \frac{3}{4}$ + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală - 26 februarie 2022 + +CLASA a X-a + +Grila de răspunsuri + +1. B +2. A +3. A +4. A +5. C +6. C +7. $\mathrm{B}$ +8. A +9. $\mathrm{E}$ +10. $\mathrm{E}$ +11. E +12. D +13. A +14. D +15. B +16. C +17. D +18. C +19. D +20. B +21. B +22. B +23. A +24. C diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-20-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Primul baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj1_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-20-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Primul baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj1_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3f0e8a6086530baa6344c3f8f275597141fb053 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-20-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Primul baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj1_juniori.md @@ -0,0 +1,240 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc89f2f54d84ee4a810cg-1.jpg?height=271&width=268&top_left_y=130&top_left_x=858) + +# Primul baraj de selecție pentru OBMJ
Iaşi, 19 aprilie 2022 + +## Problema 1. + +Un număr natural $n \geqslant 2$ se numește liber de pătrate dacă nu se divide cu niciun pătrat perfect mai mare decât 1 . + +Determinați numerele naturale $n \geqslant 2$, libere de pătrate, cu proprietatea că numărul + +$$ +\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\ldots+\frac{1}{d_{k}} +$$ + +este natural, unde $\left\{d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}\right\}$ este mulțimea divizorilor naturali ai numărului $n$. + +## Problema 2. + +Se consideră triunghiul $A B C, \mathrm{cu} \Varangle A=30^{\circ}$ și $\Varangle B=80^{\circ}$. Pe laturile $A C$ și $B C$ se consideră punctele $D$, respectiv $E$, astfel încât $\Varangle A B D \equiv \Varangle D B C$ și $D E \| A B$. Determinați măsura unghiului $\Varangle E A C$. + +## Problema 3. + +Aflați câte numere naturale $k \in\{1,2,3, \ldots, 2022\}$ au proprietatea că, dacă pe un cerc se scriu 2022 numere reale astfel încât suma oricăror $k$ numere aflate pe poziții consecutive este egală cu 2022, atunci toate cele 2022 de numere sunt egale. + +## Problema 4. + +Se consideră triunghiul ascuțitunghic $A B C(A B Iaşi, 19 aprilie 2022
Soluții și bareme + +Problema 1. Un număr natural $n \geqslant 2$ se numește liber de pătrate dacă nu se divide cu niciun pătrat perfect mai mare decât 1 . + +Determinați numerele naturale $n \geqslant 2$, libere de pătrate, cu proprietatea că numărul + +$$ +\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\ldots+\frac{1}{d_{k}} +$$ + +este natural, unde $\left\{d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{k}\right\}$ este mulțimea divizorilor naturali ai numărului $n$. + +Solutie. Fie $n=p_{1} p_{2} \ldots p_{j}$ descompunerea în factori primi a numărului $n$. Dacă $S=\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\ldots+\frac{1}{d_{k}}$, atunci + +$$ +\begin{aligned} +S=\frac{1}{n}\left(1+\sum p_{1}\right. & \left.+\sum p_{1} p_{2}+\ldots+\sum p_{1} p_{2} \ldots p_{j-1}+p_{1} p_{2} \ldots p_{j}\right) \\ += & \frac{\left(1+p_{1}\right)\left(1+p_{2}\right) \ldots\left(1+p_{j}\right)}{p_{1} p_{2} \ldots p_{j}} +\end{aligned} +$$ + +................................................................................................ + +Cum $\left(p_{j}, 1+p_{j}\right)=1$, înseamnă că $p_{j}$ divide produsul $\left(1+p_{1}\right)\left(1+p_{2}\right) \ldots\left(1+p_{j-1}\right)$. Fiind număr prim, $p_{j}$ va divide unul dintre factorii acestui produs. ..................1p + +Presupunem că $p_{1} Iaşi, 19 aprilie 2022
Soluții și bareme + +## Problema 2. + +Se consideră triunghiul $A B C$ cu $\Varangle A=30^{\circ}$ și $\Varangle B=80^{\circ}$. Pe laturile $A C$ și $B C$ se consideră punctele $D$, respectiv $E$, astfel încât $\Varangle A B D \equiv \Varangle D B C$ și $D E \| A B$. + +Determinați măsura unghiului $\Varangle E A C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc89f2f54d84ee4a810cg-3.jpg?height=376&width=662&top_left_y=1010&top_left_x=688) + +Soluție. Fie $A M \perp B C$ și $A F$ bisectoarea unghiului $\Varangle M A C$, punctele $M$ și $F$ fiind situate pe latura $B C$. Evident că $\Varangle B A M=\Varangle M A F=10^{\circ}$, deci $A M$ este atât înălțime, cât și bisectoare în triunghiul $A B F$. Deducem că $B M=M F$. .................. 1p + +Aplicând teorema bisectoarei în triunghiul $A B C$ obținem că $\frac{C D}{D A}=\frac{B C}{A B} \ldots \ldots \ldots \mathbf{p}$ + +Aplicând teorema bisectoarei în triunghiul $A M C$ obținem că $\frac{C F}{M F}=\frac{A C}{A M}$. Rezultă + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc89f2f54d84ee4a810cg-3.jpg?height=109&width=1577&top_left_y=1840&top_left_x=228) + +$\operatorname{Dar} \frac{1}{2} \frac{A C}{A M}=\frac{1}{2} \frac{A C \cdot A B}{A M \cdot A B}=\frac{A C \cdot A B \cdot \sin 30^{\circ}}{A M \cdot A B}=\frac{2 S_{A B C}}{A M \cdot A B}=\frac{A M \cdot B C}{A M \cdot A B}=\frac{B C}{A B} . \quad \mathbf{3 p}$ + +Astfel, $\frac{C D}{D A}=\frac{C F}{F B}$, prin urmare dreptele $D F$ s,i $A B$ sunt paralele. + +Înseamnă că punctele $E$ și $F$ coincid, deci $\Varangle E A C=10^{\circ}$. 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc89f2f54d84ee4a810cg-4.jpg?height=271&width=268&top_left_y=130&top_left_x=858) + +## Primul baraj de selecție pentru OBMJ
Iași, 19 aprilie 2022
Soluții și bareme + +## Problema 3. + +Aflați câte numere naturale $k \in\{1,2,3, \ldots, 2022\}$ au proprietatea că, dacă pe un cerc se scriu 2022 numere reale astfel încât suma oricăror $k$ numere aflate pe poziții consecutive este egală cu 2022, atunci toate cele 2022 de numere sunt egale. + +Solutie. Fie $k \in\{1,2,3, \ldots, 2022\}$ un număr cu proprietatea că, date fiind numerele reale $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{2022}$ scrise pe un cerc, suma oricăror $k$ numere aflate pe poziții consecutive este egală cu 2022. Pentru orice $n \in \mathbb{N}$, definim $x_{n}=x_{r}$, unde $r \in\{1,2,3, \ldots, 2022\}$, astfel încât $n \equiv r(\bmod 2022)$. + +(A) Pentru orice $i \in \mathbb{N}$, avem + +$$ +x_{i}+x_{i+1}+\ldots+x_{i+k-1}=x_{i+1}+x_{i+2}+\ldots+x_{i+k}=2022 +$$ + +de unde rezultă că $x_{i}=x_{i+k}$ + +$2 p$ + +(B) Dacă $(2022, k)=d \geqslant 2$, notând $x=\frac{2022 \cdot d}{k}$ și scriind pe cerc, în ordine, numerele + +$$ +x, \underbrace{0,0, \ldots, 0}_{d e d-1 \text { ori }} x, \underbrace{0,0, \ldots, 0, \ldots x}_{\text {de } d-1 \text { ori }}, \underbrace{0,0, \ldots, 0}_{\text {de } d-1 \text { ori }} +$$ + +observăm că suma oricăror $k$ numere aflate pe poziții consecutive este egală cu 2022, fără ca numerele să fie egale. + +Ca urmare, numerele $k$ pentru care $(2022, k) \neq 1 \mathrm{nu}$ sunt soluții. + +(C) Arătam că toate numerele $k \in\{1,2,3, \ldots, 2022\}$ pentru care $(2022, k)=1$ sunt soluții. $\operatorname{Cum}(k, 2022)=1$, există $u, v \in \mathbb{N}$, astfel încât $k \cdot u=2022 v+1$. Atunci, pentru orice $m \in \mathbb{N}$, avem: + +$$ +x_{m}=x_{m+k \cdot u}=x_{m+2022 v+1}=x_{m+1} +$$ + +deci toate cele 2022 de numere sunt egale. $2 p$ + +(D) În total sunt $\varphi(2022)=672$ de soluții. $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc89f2f54d84ee4a810cg-5.jpg?height=271&width=268&top_left_y=130&top_left_x=858) + +## Primul baraj de selecție pentru OBMJ
Iaşi, 19 aprilie 2022
Soluții și bareme + +## Problema 4. + +Se consideră triunghiul ascuțitunghic $A B C(A B Iaşi, 19 aprilie 2022
Soluții și bareme + +## Problema 5. + +Spunem că o mulțime $A \subset \mathbb{R}$ cu cel puțin trei elemente este liberă de progresii aritmetice dacă pentru orice $a, b, c \in A$ distincte, avem $a+b \neq 2 c$. + +Arătați că mulțimea $\left\{0,1,2, \ldots, 3^{8}-1\right\}$ conține o submulțime $A$ cu cel puțin 256 elemente, liberă de progresii aritmetice. + +Soluție. Avem $6560=3^{8}-1$. + +Orice număr din mulțimea $\{0,1,2, \ldots, 6560\}$ se scrie în baza 3 cu 8 cifre ( 0,1 sau 2 ). Definim mulțimea $A$ ca mulțimea numerelor care au doar cifrele 0 și 1 , numărul lor find $2^{8}=256$ și arătăm că ea este liberă de progresii aritmetice. + +Dacă prin absurd ar exista $a, b, c \in A$ astfel ca $a+b=2 c$, fie + +$$ +\begin{aligned} +& a=\overline{a_{7} a_{6} a_{5} \ldots a_{1} a_{0}} \\ +& b=\overline{b_{7} b_{6} b_{5} \ldots b_{1} b_{0}} \\ +& c=\overline{c_{7} c_{6} c_{5} \ldots c_{1} c_{0}} +\end{aligned} +$$ + +cu $a_{i}, b_{i}, c_{i} \in\{0,1\}, i=\overline{0,7}$. Cifrele lui $a+b$ sunt, în ordine, $a_{7}+b_{7}, a_{6}+b_{6}, \ldots a_{1}+b_{1}$, $a_{0}+b_{0}$, iar cele ale lui $2 c$ sunt $2 c_{7}, 2 c_{6}, \ldots, 2 c_{1}, 2 c_{0}$. Egalitatea are loc dacă și numai dacă: + +$$ +a_{i}+b_{i}=2 c_{i} \text { (par), } i=\overline{0,7} +$$ + +şi atunci $a_{i}=b_{i}=1$, sau $a_{i}=b_{i}=0$, adică $a=b$, contradicție. + +Soluție alternativă. Demonstrăm prin inducție matematică după $n \geq 2$ că: mulțimea $\left\{0,1,2, \ldots, 3^{n}-1\right\}$ conține o submulțime cu $2^{n}$ elemente, liberă de progresii aritmetice. + +Etapa de verificare. Pentru $n=2$ submulțimea $A=\{1,2,4,5\}$ cu 4 elemente a lui $\{0,1, \ldots, 8\}$ este liberă de progresii aritmetice. ......................................................... + +Etapa de demonstrație. Presupunem afirmația adevărată pentru $n$ și o demonstrăm pentru $n+1$. + +Fie $X=\left\{a_{1}, \ldots, a_{2^{n}}\right\} \subset\left\{0,1, \ldots, 3^{n}-1\right\}$ o submulțime liberă de progresii aritmetice, $\mathrm{cu} a_{1}<\cdots ETAPA LOCALA - 21 FEBRUARIE 2016 + +Clasa a VI-a + +Problema 1. Ana își pregătește în fiecare dimineață o băutură miraculoasă în felul următor: toarnă într-un vas gradat, care are capacitatea de $350 \mathrm{ml}, 100 \mathrm{ml}$ de miere de albine, după care toarnă $200 \mathrm{ml}$ de ceai din plante de pădure, amestecă bine, apoi completează cu $50 \mathrm{ml}$ dintrun lichid care este ingredientul secret și amestecă din nou (vezi desenul alăturat). În această dimineață nu a fost atentă când a adăugat ceaiul și a turnat până s-a umplut vasul, dar fără să verse pe jos. Bună matematiciană, a calculat rapid ce cantitate trebuie să verse din amestec și care este cantitatea de miere care trebuie adăugată pentru ca, la final, după ce toarnă $50 \mathrm{ml}$ din ingredientul secret să obțină băutura + +| $50 \mathrm{ml}$ ingredient secret | +| :---: | +| $200 \mathrm{ml}$ ceai din
plante de pădure | +| $100 \mathrm{ml}$ miere de albine | + +după rețeta stabilită, singura care are efect. + +a) Dacă băutura miraculoasă conține $p \%$ ingredient secret, arată că $14,2 ETAPA LOCALA - 21 FEBRUARIE 2016 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Se consideră șirurile de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$. Dacă $3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{n}\right)=n x_{n+1}$ și $x_{n}=n y_{n},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$, atunci demonstrați că $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este un șir progresie aritmetică. + +Problema 2. Dacă notăm cu $[x]$ partea întreagă a numărului real $x$, atunci demonstraţi că: + +a) $[\sqrt{4 n+1}]=[\sqrt{4 n+2}],(\forall) n \in \mathbb{N}$; + +b) $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4 n+1}],(\forall) n \in \mathbb{N}$. + +Problema 3. Dacă $a, b, c, d \in[0,+\infty)$ și $a+b+c+d=4$, atunci demonstrați că $a \sqrt{b}+b \sqrt{c}+c \sqrt{d}+d \sqrt{a} \leq 4$. + +Problema 4. Se consideră triunghiul $\triangle A B C$ și punctele $M \in(B C), N \in(C A), P \in(A B)$. Dacă $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+$ $+\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{0}$, atunci arătați că: + +a) triunghiurile $\triangle A B C$ și $\triangle M N P$ au același centru de greutate; + +b) ( $\exists) \alpha \in(0,1)$ astfel încât $\overrightarrow{B M}=\alpha \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C N}=\alpha \overrightarrow{C A}, \overrightarrow{A P}=\alpha \overrightarrow{A B}$. + +## SUCCES! + +Subiectele au fost selectate de prof. Gheorghe Stoianovici + +Baremul de notare este : Problema 1. 7 puncte; Problema 2. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 4 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-205-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-205-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcae50efa6afcc66287cf225338d37fa448e7e16 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-205-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,36 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN MUREŞ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3fe0d73af05455c127c7g-1.jpg?height=173&width=271&top_left_y=236&top_left_x=233) + +# S.S.M.R - FILIALA MURES
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALÄ
26.02.2016
Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Calculează: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\left(3+x^{2}\right)\left(3^{x}+1\right)} d x$. + +b) Calculează: $\int \frac{1}{\sqrt{2015 x^{2}+1} \cdot\left(2016 x^{2}+1\right)} d x, x \in R$. + +## SUBIECTUL II + +Determină funcția derivabilă $f:[1 ; \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care $f(1)=0$ şi $y(f(x y)-$ $f(x))=F(y)+y$, unde $F$ este o primitivă oarecare a funcției $f$. + +## SUBIECTUL III + +Fie $G=\left\{A(a)=\left(\begin{array}{cc}\widehat{1} & \widehat{2} a \\ \widehat{3} a & \widehat{1}\end{array}\right): a \in Z_{6}\right\}$ + +a) Arată, că $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +b) Demonstrează, că: $(G, \cdot) \cong\left(Z_{6},+\right)$. + +c) Determină toate automorfismele grupului $\left(Z_{6},+\right)$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $\left.(G ;)^{\prime}\right)$ un grup și $a, b \in G$. Arată, că dacă există $n \in \mathbb{N}^{*}$ pentru care $\left(a b a^{-1}\right)^{n}=e$, atunci $b^{n}=e$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se evaluează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-206-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-206-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e444b3558ee73dbece7225b4c81d0ecebc81bfcf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-206-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,35 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEŢEAN MURES +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_db469c1b31829606b583g-1.jpg?height=476&width=1632&top_left_y=230&top_left_x=211) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +FAZA LOCALA + +26.02.2016 + +Clasa a XI-a + +## Subiectul I + +Fie $A, B \in M_{n}(\mathbf{C})$, astfel încât $(A+B)^{2}=A^{2}+B^{2}$ și $(A+B)^{4}=A^{4}+B^{4}$. + +Arătați că $(A B)^{2}=O_{n}$. + +## Subiectul II + +Să se rezolve în $M_{n}(\mathbf{R})$ ecuația $X^{n}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right), n \in \mathbf{N}^{*}$ fixat. + +## Subiectul III + +Să se arate că orice șir $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ de numere reale cu proprietatea că $x_{0}>0$ și $x_{n+1} \cdot x_{n}-2 x_{n}=3$, pentru orice $n \in \mathbf{N}$, este convergent și determinați limita șirului. + +## Subiectul IV + +Să se calculeze limita şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+\sqrt[3]{(k+1)^{2}\left(k^{2}+1\right)^{2}}},(\forall) n \geq 1$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se evaluează cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-207-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-207-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b35214c4d16fb8f45765ca99cef28495e4d2dca5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-207-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES
Olimpiada de matematică
Faza locală 26.02.2016
Clasa a X-a + +## SUBIECTUL I + +Fie numărul complex $z=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}$. Să se calculeze produsul: + +$$ +P=(1+z)\left(1+z^{2}\right) \ldots\left(1+z^{1008}\right) +$$ + +## SUBIECTUL II + +a) Să se demonstreze că pentru orice $z_{1}, z_{2}$ numere complexe, are loc relaţia + +$$ +\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right) +$$ + +b) Ştiind că $z_{1}, z_{2} \in \square$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1$ şi $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{2}$, să se calculeze $\left|z_{1}+z_{2}\right|$. + +## SUBIECTUL III + +a) Demonstrați inegalitatea $2016^{\log _{2015} 2014}>2014^{\log _{2016} 2017}$. + +b) Fie $x, y \in(-1,2)$ astfel încât $\log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{2-x}{3}\right) \cdot \log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{1+y}{3}\right)=1$. + +Aflați minimul expresiei $K=x y+x-2 y$. + +## SUBIECTUL IV + +Rezolvaţi ecuaţia: $\sqrt[5]{(x+1)^{2}}+\sqrt[5]{(x-1)^{2}}=\frac{5}{2} \cdot \sqrt[5]{x^{2}-1}$. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-208-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-208-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f83428ce7f557f15441e613a540c90da0b7a2b2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-208-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MUREȘ
Olimpiada de matematică
Faza locală 26.02.2016
Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Dacă $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$, să se arate că $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(b-a)=1$. + +b) Să se rezolve în mulțimea numerelor raționale ecuația: + +$$ +x-1+\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+\frac{x-\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}}+\ldots+\frac{x-\frac{1}{2015}}{\frac{1}{2015}}=2016 +$$ + +## SUBIECTUL II + +Să se arate că: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) } \sqrt{\frac{2 n^{2}+2 n+1}{2}}>n+\frac{1}{2}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*} \\ +& \text { b) } \sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{13}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}}+\ldots+\sqrt{\frac{2 n^{2}+2 n+1}{2}}>\frac{n(n+2)}{2} +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL III + +Se proiectează un punct $M$ exterior planului unui triunghi pe laturile acestuia $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ în punctele F, D, si E unde $F \in A B, D \in B C, E \in C A$ + +a) Să se arate ca $A F^{2}+B D^{2}+C E^{2}=A E^{2}+B F^{2}+C D^{2}$ + +b) Dacă punctul $\mathrm{M}$ este egal depărtat de laturile triunghiului, atunci $A C \perp B M$ dacă şi numai + +$$ +\text { dacă }[A B] \equiv[B C] +$$ + +## SUBIECTUL IV + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \quad A B=4 \mathrm{~cm}$. Fie M mijlocul laturii $[A B]$ şi $\left(M C^{\prime} D\right) \cap B B^{\prime}=\{N\}$. + +a) Demonstrați că $A B^{\prime} \|\left(M C^{\prime} D\right)$. + +b) Să se determine pozitiia punctuluiN. + +c) Determinați aria patrulaterului $M N C^{\prime} D$. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-209-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-209-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..78621f038b124062a5eda7f3db15a35ef2a8bd14 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-209-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,49 @@ +# Olimpiada de matematică
Faza locală 26.02.2016
Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Calculaţi media aritmetică a numerelor : + +$\mathrm{A}=(-1)^{0} \cdot 1+(-1)^{1} \cdot 2+(-1)^{2} \cdot 3+\ldots+(-1)^{2013} 2014+(-1)^{2014} 2015$ + +$B=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{10}+1$ + +(Supliment G.M. nr.10/2014) + +b) Fie $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ și $\mathrm{z}$ numere reale, astfel încât + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_afde8e2005ae1c580e59g-1.jpg?height=109&width=779&top_left_y=902&top_left_x=326) + +Calculați $\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2} \cdot \mathrm{y}^{2} \cdot \mathrm{z}^{2}$ + +## SUBIECTUL II + +Calculaţi : +a) $a=\left[(5+2 \sqrt{6})^{2016}+\frac{1}{(5-2 \sqrt{6})^{2016}}\right] \frac{(15-6 \sqrt{6})^{2016}}{3^{2016}}$ + +b) Aflaţi $\mathrm{n} \in N$,astfel încât : + +$$ +\sqrt{\frac{1}{1 \cdot 8}+\frac{1}{2 \cdot 12}+\ldots .+\frac{1}{n(4 n+4)}}=\frac{3 \sqrt{10}}{19} +$$ + +## SUBIECTUL III + +Paralela la bazele unui trapez dusă prin punctul $\mathrm{N}$ de intersecție a diagonalelor, intersectează laturile neparalele în M și P. + +a) Să se arate că $[\mathrm{MN}] \equiv[\mathrm{NP}]$ + +b) Calculați lungimea segmentului $\mathrm{MN}$, în funcție de bazele trapezului + +## SUBIECTUL IV + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$ isoscel, cu $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AC}]$ şi $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BAC})=120^{\circ}$, fie Mşi $\mathrm{N}$ mijloacele laturilor $[\mathrm{AC}]$ şi respectiv [BC].Fie MP $\perp \mathrm{BC}, \mathrm{P} \in(\mathrm{BC})$ şi $\mathrm{MP} \cap A B=\{Q\}$.Demonstraţi că $A Q M N$ este romb. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-21-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl VI-subiectclasa_a_via_ongm_et_iii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-21-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl VI-subiectclasa_a_via_ongm_et_iii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..63a40eafe58eceb3e4e7d639128aa7029a1d00bd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-21-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl VI-subiectclasa_a_via_ongm_et_iii.md" @@ -0,0 +1,114 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3d42bfe368f85413399cg-1.jpg?height=277&width=276&top_left_y=51&top_left_x=206) + +# Olimpiada Națională
GAZETA MATEMATICĂ
Subiect Etapa III
Satu Mare - 22 mai 2021
Clasa a VI-a + +## Timp de lucru: 120 minute. + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct. + +## Alegeți varianta corectă de răspuns. $\mathrm{O}$ singură variantă este corectă. + +1. Fie numărul $N=33^{n+2}+3^{n+1} \cdot 11^{n}-66^{n+1}: 2^{n+1}$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$. Care afirmaţie nu este adevărată? +A. $N \div 33 ;$ +B. $N \vdots 3$; +C. $N: 353$; +D. $N: 535$; +E. $N \vdots 99$. + +2.Dacă grupăm câte 3 , câte 4 sau câte 7 elevi ai unei școli, rămân de fiecare dată 2 elevi pe dinafară. Dacă numărul de elevi din școală este divizibil cu 5 , atunci numărul minim de elevi care pot fi grupați în acest fel este egal: +A. 590 ; +B.200; +C. 350 ; +D. 480; +E. 170 + +3. Se consideră numerele naturale $a, b, c, d$, astfel încât $a, b-5$ și $c$ sunt direct proporționale cu 3 , 4 , respectiv 6 , iar $c+3$ și $d-2$ invers proporționale cu 2 și $\frac{1}{3}$. Dacă $2 a+3 b+4 c-d=85$ atunci d este egal cu: +A.560; +B.650; +C.45; +D.54; +E.65. +4. Se consideră două urne identice. În fiecare urnă sunt 6 bile albe, numerotate de la 1 la 6 și 10 bile verzi numerotate de la 1 la 10. Extragem din fiecare urnă câte o bilă. Probabilitatea ca suma numerelor înscrise pe cele două bile extrase să fie 12 este egală cu: +A. $\frac{5}{16}$; +B. $\frac{5}{32}$; +C. $\frac{5}{64}$; +D. $\frac{5}{128}$; +E. $\frac{5}{8}$. + +Pentru problemele $\mathbf{5}$ și $\mathbf{6}$ se folosește următorul enunț: + +În triunghiul $A B C$, paralela prin $B$ la bisectoarea $[A D, D \in(B C)$, intersectează pe $A C$ în $E$, iar paralela prin C la bisectoarea $\left[A D\right.$ intersectează pe $\mathrm{AB}$ în $\mathrm{F}$. Se știe că $m(\Varangle B A C)=80^{\circ}$ și $m(\Varangle A C B)=40^{\circ}$. + +5. Măsura unghiului $\Varangle A E B$ este egală cu: +A. $80^{\circ}$; +B. $40^{\circ}$; +C. $120^{0}$; +D. $60^{\circ}$; +E. $50^{\circ}$. +6. Triunghiul ACF este un triunghi: +A. dreptunghic; +B. oarecare; +C. isoscel; +D. echilateral; +E. ascuțitunghic. +7. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul oarecare $\mathrm{ABC}$. Dacă $\mathrm{m}(\Varangle B A C)=80^{\circ}$, atunci măsura unghiului $\Varangle$ BIC este egală cu: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3d42bfe368f85413399cg-2.jpg?height=282&width=273&top_left_y=49&top_left_x=205) + +## Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ Subiect Etapa III
Satu Mare - 22 mai 2021
Clasa a VI-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3d42bfe368f85413399cg-2.jpg?height=277&width=272&top_left_y=51&top_left_x=1680) +A. $80^{\circ}$; +B. $180^{\circ}$; +C. $130^{0}$; +D. $100^{\circ}$; +E. $50^{\circ}$. + +8. Se consideră punctele coliniare $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ și $\mathrm{B}$ (în această ordine). Punctele $\mathrm{M}$ și $\mathrm{N}$ sunt situate în același semiplan determinat de dreapta $\mathrm{AB}$, astfel încât $\mathrm{M}$ este situat în interiorul unghiului $\mathrm{NCB}$, $\mathrm{m}(\Varangle M C N)=60^{\circ}$ și $\triangle C B M \equiv \triangle C N A$. Măsura unghiului BCM este egală cu: +A. $120^{\circ}$; +B. $80^{\circ}$; +C. $60^{\circ}$; +D. $180^{\circ}$; +E. $50^{\circ}$. +9. Suma măsurilor unghiurilor exterioare ale unui triunghi este egală cu: +A. $360^{0 ;}$ +B. $180^{\circ}$; +C. dublul măsurii celui mai mare unghi al triunghiului; +D. $720^{\circ}$; +E. $540^{\circ}$. +10. Se consideră ecuaţia $\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=1$. Numărul soluțiilor întregi ale ecuaţiei este egal cu: +A. 5; +B. 6; +C. 7 ; +D. 8 ; +E. 9 . +11. Se consideră numerele naturale $a$ și $b(a \neq b, a Olimpiada de matematică
Faza locală 26.02.2016
Clasa a V-a + +## SUBIECTUL I + +Se dau numerele $a=2+4+6+\ldots . .+2016$ şi $b=2+2^{2}+2^{3}+\ldots . .+2^{2015}$. + +Dacă $\mathrm{x}=\mathrm{a}+1009$ şi $\mathrm{y}=\mathrm{b}+2$ demonstrați că $\mathrm{xy}$ este pă trat perfect. + +## SUBIECTUL II + +a) Determinati multimile $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, si $\mathrm{C}$ care indeplinesc simultan conditiile: + +$\mathrm{A} U$ B U C $=\{1,2,3,4,5,6,7\}, \mathrm{A} \quad \mathrm{B}=\{3,6\}, \mathrm{B} \quad \mathrm{C}=\{3,7\}, \mathrm{C} \backslash \mathrm{A}=\{4,7\}, \mathrm{B} \backslash \mathrm{A}=\{2,7\}$, $C \backslash B=\{4,5\}$. + +b)Fie A o mulțime de numere naturale cu urmă toarele proprietă ți: + +i) Dacă , atunci + +ii) Dacă atunci + +iii) 5 + +Arătați că numerele 8 şi 50 se gă sesc în mulțimea A. + +( Gazeta matematică nr.4/2015) + +## SUBIECTUL III + +Î mpărț ind un număr natural de trei cifre la 84 obț inem restul 56.Să se determine acel număr ș tiind că împărṭ it la 13 dă câtul egal cu restul. + +## SUBIECTUL IV + +Pe un cerc este scris, în ordinea mersului acelor unui ceas, un şir de 2016 numere naturale în care niciun termen nu este mai mic decat predecesorul să u. Dacă al şaptelea termen al şirului este 13 , să se arate ca produsul oricaror trei termeni consecutivi este mai mic decât 2016+2$\cdot$7・13. + +(prof.Constantin Bozdog, Reghin) + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-212-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-212-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c0a5d6cd007c271a5ef53aeee26e29193e6cc62 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-212-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,52 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN MURES + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a221425ff2d428d3be65g-1.jpg?height=173&width=271&top_left_y=236&top_left_x=217) + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 26.02.2016 + +Clasa a IX-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi şi paralelogramele AMNB, BNPC. + +a) Arătaţi că CPMA este paralelogram. + +b) Dacă $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ sunt centrele de simetrie ale celor trei paralelograme, arătaţi că centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3}$ este mijlocul segmentului determinat de centrele de greutate ale triunghiurilor $\mathrm{ABC}, \mathrm{MNP}$. + +G.M.1/2016 + +## SUBIECTUL II + +Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir neconstant pentru care $\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{3}, \forall n \in \mathbf{N}^{*}$. Demonstrați că şirul definit prin $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}, n \geq 1$ este o progresie aritmetică. + +## SUBIECTUL III + +Se consideră mulţimea $M=\{1,2,3, \ldots, 2016\}$ şi mulţimile: + +$$ +A=\{2 x+1 \mid x \in N\} \cap M, B=\{3 x+2 \mid x \in N\} \cap M, C=\{5 x+4 \mid x \in N\} \cap M +$$ + +a) Determinaţi numărul elementelor mulţimilor $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ şi $\mathrm{C}$. + +b) Determinaţi numărul elementelor mulţimii $A \cap B \cap C$. + +## SUBIECTUL IV + +Să se rezolve în $\square$ ecuația : $\left[\frac{2 x+1}{x^{2}+1}\right] \cdot\left\{\frac{x^{2}+2 x+2}{x^{2}+1}\right\}=\frac{2 x-x^{2}}{x^{2}+1}$, unde $[a],\{a\}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului $a \in \square$. + +G.M. 8/2006 + +Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-213-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-213-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f5169ed544c3049ea5d3f85f34aedd5d5745774d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-213-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,122 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_db10151b2bb7cf77684cg-1.jpg?height=203&width=260&top_left_y=321&top_left_x=171) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a XII-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_db10151b2bb7cf77684cg-1.jpg?height=244&width=242&top_left_y=287&top_left_x=1733) + +# PROBLEMA 1 + +$$ +\text { Să se calculeze } \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{2}-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{-n x}} d x\right) \text {. } +$$ + +(Gazeta matematică) + +## Soluție: + +$$ +\frac{1}{2}-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{-n x}} d x=\int_{0}^{1} x d x-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{-n x}} d x=\int_{0}^{1} \frac{x d x}{1+e^{n x}} \text {. Avem .......................... 2p } +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_db10151b2bb7cf77684cg-1.jpg?height=122&width=1260&top_left_y=1115&top_left_x=449) + +Rezultă $\quad 0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{n x}} \leq \int_{0}^{1} x e^{-n x} d x=\int_{0}^{1} x\left(-\frac{e^{-n x}}{n}\right)^{1} d x=-\left.x \frac{e^{-n x}}{n}\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} \frac{e^{-n x}}{n} d x$ + +$$ +=-\left.x \frac{e^{-n x}}{n}\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} \frac{e^{-n x}}{n} d x=-\frac{e^{-n}}{n}-\left.\frac{e^{-n x}}{n^{2}}\right|_{0} ^{1}=-\frac{e^{-n}}{n}-\frac{e^{-n}}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}} . \quad 2 \mathrm{p} +$$ + +Atunci $\quad 0 \leq \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{2}-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{-n x}} d x\right) \leq \lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{e^{n}}-\frac{1}{e^{n} n}+\frac{1}{n}\right)=0$, deci + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{2}-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+e^{-n x}} d x\right)=0 +$$ + +$1 p$ + +## PROBLEMA 2 + +Calculați $\int x \operatorname{arctg} \frac{1}{x^{2}+x+1} d x, \quad x \in(0, \infty)$. + +## Solutie: + +Se știe că $\quad \operatorname{arctg} \frac{1}{x^{2}+x+1}=\operatorname{arctg} \frac{1}{x}-\operatorname{arctg} \frac{1}{x+1}$ și $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}, \quad \forall x \in(0, \infty) . \quad 2 \mathrm{p}$ + +Rezultă $\int x \operatorname{arctg} \frac{1}{x^{2}+x+1} d x=\int\left(x \operatorname{arctg} \frac{1}{x}-x \operatorname{arctg} \frac{1}{x+1}\right) d x=$ + +$$ +\begin{aligned} +& =\int\left[x\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} x\right)-x\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(x+1)\right)\right] d x= \\ +& \begin{array}{l} +=-\int x \operatorname{arctg} x d x+\int x \operatorname{arctg}(x+1) d x= \\ +=\int\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime} \operatorname{arctg}(x+1) d x-\int\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime} \operatorname{arctg} x d x= +\end{array} \\ +& =\frac{x^{2}}{2} \operatorname{arctg}(x+1)-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1+(x+1)^{2}} d x-\frac{x^{2}}{2} \operatorname{arctg} x+\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} d x= \\ +& =\frac{x^{2}}{2}(\operatorname{arctg}(x+1)-\operatorname{arctg} x)+\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} d x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}+x+2-x-2}{x^{2}+x+2} d x=1 \mathrm{p} \\ +& =\frac{x^{2}}{2}(\operatorname{arctg}(x+1)-\operatorname{arctg} x)+\frac{1}{2} x-\operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \int \frac{x+2}{x^{2}+x+2} d x= \\ +& =\frac{x^{2}}{2}(\operatorname{arctg}(x+1)-\operatorname{arctg} x)-\operatorname{arctg} x+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2 x+1+3}{x^{2}+x+2} d x= \\ +& =\frac{x^{2}}{2}(\operatorname{arctg}(x+1)-\operatorname{arctg} x)-\operatorname{arctg} x+\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+x+2\right)+\frac{3}{4} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}}= \\ +& =\frac{x^{2}}{2}(\operatorname{arctg}(x+1)-\operatorname{arctg} x)-\operatorname{arctg} x+\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+x+2\right)+\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} \operatorname{arctg} \frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}= \\ +& =\frac{x^{2}}{2}(\operatorname{arctg}(x+1)-\operatorname{arctg} x)-\operatorname{arctg} x+\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+x+2\right)+\frac{3}{2 \sqrt{7}} \operatorname{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{7}}+C +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 3 + +Fie $G=(-k, k)$ unde $k>0$ şi operaţia $x * y=\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}$. + +a) Arataţi că G este parte stabilă în raport cu operaţia * . + +b) Fie $f: R \rightarrow G, f(x)=\frac{1}{2 k} \ln \frac{x+k}{x-k}$. Arataţi că f este izomorfism între grupurile $(R,+)$ şi $(G, *)$ + +## Soluție: + +a) $-k0$ si $x-k<0 ;-k0$ si $y-k<0$ + +$$ +(x+k)(y+k)>0 \Rightarrow x y+k^{2}>-k(x+y) \Rightarrow-1<\frac{k(x+y)}{k^{2}+x y y} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& (x-k)(y-k)>0 \Rightarrow x y+k^{2}>k(x+y) \Rightarrow 1>\frac{k(x+y)}{k^{2}+x y}, \quad k^{2}+x y>0 \quad \ldots . . . . . . . .1 \mathrm{p} \\ +& -1<\frac{k(x+y)}{k^{2}+x y}<1 \Rightarrow-k<\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}0 \Rightarrow G \text { parte stabila .........................1p } +\end{aligned} +$$ + +b) Demonstrarea bijectivităţii funcţiei $\mathrm{f}$ $\qquad$ +$2 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{f}(\mathrm{x})$ este continuă şi derivabilă pe $(-\mathrm{k}, \mathrm{k}) \mathrm{cu} f^{v}(x)=\frac{1}{2 k} \cdot \frac{x-k}{x+k} \cdot \frac{(x-k)-(x+k)}{(x-k)^{2}}=\frac{1}{k^{2}-x^{2}}$ + +$$ +f^{\prime}(x)>0, \forall x \in(-k, k) \Rightarrow f-\text { strict crescătoare } +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{x \rightarrow k} f(x)=\infty \quad \lim _{x \rightarrow-k} f(x)=-\infty \\ +& \Rightarrow f(x) \text { - funcţie bijectivă } +\end{aligned} +$$ + +Demonstrarea că funcţia $\mathrm{f}$ este morfism, adică $f(x * y)=f(x)+f(y)$ $\qquad$ +$f(x * y)=\frac{1}{2 k} \ln \frac{\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}+k}{\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}-k}=\frac{1}{2 k} \ln \frac{k(x+y)+k^{2}+x y}{k(x+y)-\left(k^{2}+x y\right)}$ + +$f(x)+f(y)=\frac{1}{2 k}\left(\ln \frac{x+k}{x-k}+\ln \frac{y+k}{y-k}\right)=\frac{1}{2 k} \ln \frac{k(x+y)+k^{2}+x y}{k(x+y)-\left(k^{2}+x y\right)}$ +c) $\Rightarrow f(x * y)=f(x)+f(y) \Rightarrow f$ - morfism între grupurile $(\mathbb{R},+)$ si $\left(G_{*} *\right)$ + +## PROBLEMA 4 + +Fie G un grup multiplicativ cu proprietățile : $(x y)^{3}=x^{3} y^{3},(x y)^{4}=x^{4} y^{4},(x y)^{5}=x^{5} y^{5}, \forall x, y \in G$ + +Să se arate că grupul G este comutativ. + +## Solutie: + +Ținând cont de egalitățile din enunț, avem : $x^{4} y^{4}=(x y)^{4}=(x y)^{3} x y=x^{3} y^{3} x y$ de unde $x y^{3}=y^{3} x$. + +Deci $x$ comută cu $y^{3}$ și, ca urmare, $x$ comută cu orice putere întreagă a lui $y^{3}$. Rezultă $x y^{3 n}=y^{3 n} x \forall n \in Z \ldots 1 \mathrm{p}$ Analog obținem $x^{5} y^{5}=(x y)^{5}=(x y)^{4} x y=x^{4} y^{4} x y$ de unde $x y^{4}=y^{4} x$. Deci $x y^{4 k}=y^{4 k} x \forall k \in Z$. + +Numerele 3 și 4 sunt prime între ele și deci există $n, k \in Z$ astfel încât $3 n+4 k=1$. Putem scrie $x y=x y^{3 n+4 k}=\left(x y^{3 n}\right) y^{4 k}=\left(y^{3 n} x\right) y^{4 k}=y^{4 k}\left(y^{3 n} x\right)=y^{3 n+4 k} x=y x$. Deci grupul G este comutativ. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-214-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-214-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..441c9f5f10b7383bffdac2175dc7124b12a20f96 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-214-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a XI-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a915ae762011d49b1d20g-1.jpg?height=244&width=242&top_left_y=287&top_left_x=1733) + +## PROBLEMA 1 + +Fie $A$ o matrice pătratică de ordinul $n$ care verifică relația $A^{3}=A+I_{n}$. Să se arate că $\operatorname{det} A>0$. + +(Gazeta matematică) + +Soluție: Din relația $\mathrm{A}^{3}=\mathrm{A}+I_{n}$ rezultă + +$\left(A-I_{n}\right)\left(A^{2}+A+I_{n}\right)=A$ de unde $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{n}\right)$ (1) .................... 2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a915ae762011d49b1d20g-1.jpg?height=122&width=1588&top_left_y=1126&top_left_x=255) + +Deoarece matricile $\mathrm{B}$ și $\mathrm{C}$ comută , rezultă că $\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{n}\right)=\operatorname{det}\left(B^{2}+C^{2}\right)>0 \quad$ (2) ......1p + +Din (1) și (2) obținem $\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}\left(A-I_{n}\right)>0$ (3) ...............................................................1p + +Însă $\quad A^{3}-A=I_{n} \operatorname{deci} \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}\left(A+I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A-I_{n}\right)=1 \quad$ (4) + +Din (3) și (4) rezultă și $\operatorname{det}\left(A+I_{n}\right)>0 \quad$ (5) .......................................................................1p + +De asemenea din $A^{3}=A+I_{n}$ rezultă $(\operatorname{det}(A))^{3}=\operatorname{det}\left(A+I_{n}\right)$, și ținând cont $\operatorname{de}(5)$, avem în final $\operatorname{det}(A)>0$. + +## PROBLEMA 2 + +Fie $X, Y \in M_{n}(\square)$ şi $a, b \in \square^{*}$ astfel încât $X Y=a X+b Y$. Arătaţi că $X Y=Y X$. + +Soluție: XY-aX-bY+abIn $=\mathrm{abI}_{\mathrm{n}} \Rightarrow\left(\mathrm{X}-\mathrm{bI}_{\mathrm{n}}\right)\left(\mathrm{Y}-\mathrm{aI}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{abI} \quad\left({ }^{*}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p$ $\qquad$ +Prin calcul elementar folosind relaţia $\left({ }^{*}\right)$ se ajunge la $\mathrm{YX}=\mathrm{aX}+\mathrm{bY}$, deci $X Y=Y X \ldots . . . . . .3 \mathrm{3}$ + +## PROBLEMA 3 + +Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $\ln \left(\frac{x_{n-1}-1}{x_{n-1}}+\frac{1}{x_{n}}\right)=\frac{1}{n}, n \geq 2, x_{1}=1$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n} \ln (n+1)}$. + +Soluție: Relația dată este echivalentă cu $1-\frac{1}{x_{n-1}}+\frac{1}{x_{n}}=e^{\frac{1}{n}}$, de unde + +$$ +\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n-1}}=e^{\frac{1}{n}}-1, \quad n \geq 2 +$$ + +Însumând primele $n-1$ egalități se obține: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n-1}}+\frac{1}{x_{n-1}}-\frac{1}{x_{n-2}}+\ldots+\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=e^{\frac{1}{n}}-1+e^{\frac{1}{n-1}}-1+\ldots+e^{\frac{1}{2}}-1 \\ +& \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{1}}=e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{1}{3}} \ldots+e^{\frac{1}{n}}-(n-1), \text { deci } \frac{1}{x_{n}}=e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{1}{3}} \ldots+e^{\frac{1}{n}}-n+2 +\end{aligned} +$$ + +Atunci $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n} \ln (n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{1}{3}} \ldots+e^{\frac{1}{n}}-n+2}{\ln (n+1)}=\mathrm{L}$. + +Șirul $a_{n}=\ln (n+1), n \geq 1$ este strict crescător și nemărginit superior, deci se poate aplica teorema Stolz - Cesàro: $\mathrm{L}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{n+1}}-1}{\ln (n+2)-\ln (n+1)}=$. + +$$ +=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{n+1}}-1}{\frac{1}{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+1) \ln \frac{n+2}{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}=\frac{1}{e} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . .2 \mathrm{p} +$$ + +PROBLEMA 4 + +Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0},\left(b_{n}\right)_{n \geq 0},\left(c_{n}\right)_{n \geq 0}$ trei șiruri de numere reale, cu proprietatea că pentru orice număr natural $n$ are lor relația $a_{n}+b_{n}+c_{n}=1$. Dacă $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}\right)=\frac{1}{3}$, arătați că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{3} +$$ + +Soluție: Avem că $\left(a_{n}-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(b_{n}-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(c_{n}-\frac{1}{3}\right)^{2}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}-\frac{2}{3}\left(a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)+3 \cdot \frac{1}{9}=$ + +$$ +=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}-\frac{1}{3} . +$$ + +Rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(a_{n}-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(b_{n}-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(c_{n}-\frac{1}{3}\right)^{2}\right)=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-\frac{1}{3}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-\frac{1}{3}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(c_{n}-\frac{1}{3}\right)=0$ + +$$ +\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{3} . +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-215-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-215-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..54af0a206ff65c4e9407037fd1fbe529e4eb9b0a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-215-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,95 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cae8cf52fe9d0f2a10f2g-1.jpg?height=200&width=260&top_left_y=323&top_left_x=171) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală februarie 2016 SUBIECT si BAREM Clasa a X-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cae8cf52fe9d0f2a10f2g-1.jpg?height=250&width=248&top_left_y=284&top_left_x=1730) + +## PROBLEMA 1 + +Rezolvaţi în $R$ ecuația: + +$$ +54^{x}+27^{x}+9^{x}+3^{x}=2^{x} +$$ + +## Soluție: + +Împărțim ecuația cu $2^{\mathrm{x}}$ și obținem $27^{x}+\left(\frac{27}{2}\right)^{x}+\left(\frac{9}{2}\right)^{x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=1$. + +Fie funcția $f(x)=27^{x}+\left(\frac{27}{2}\right)^{x}+\left(\frac{9}{2}\right)^{x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{x}-1$. $3 p$ + +Funcția este crescătoare pe $R$, rezultă $f(x)=0$ admite cel mult o soluție $2 p$ + +Observam că $x=-1$ este soluție, deci $x=-1$ este soluție unică. $2 p$ + +## PROBLEMA 2 + +Să se rezolve ecuația + +$$ +\log _{4}\left(5^{x}-1\right)=\log _{5}\left(4^{x}+1\right) +$$ + +Soluție: Condiție: $5^{x}-1>0 \Rightarrow x \in(0, \infty)$ + +Notăm $\quad \log _{4}\left(5^{x}-1\right)=t \Rightarrow 5^{x}-1=4^{t}$. + +$\log _{5}\left(4^{x}+1\right)=t \Rightarrow 4^{x}+1=5^{t}$. + +Adunând cele două relaţii de mai sus rezultă $4^{x}+5^{x}=4^{t}+5^{t}$ $1 p$ + +Deoarece funcția $f: \square \rightarrow(0, \infty), f(x)=4^{x}+5^{x}$ este strict crescătoare, deci injectivă, rezultă $x=t$. + +Atunci $\quad 5^{x}-1=4^{x}$, de unde $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}+\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=1$. (1) $1 p$ + +Funcția $g: \square \rightarrow(0, \infty), \quad g(x)=\left(\frac{4}{5}\right)^{x}+\left(\frac{1}{5}\right)^{x}$ este strict descrescătoare, prin urmare $g$ este injectivă, deci ecuația (1) are cel mult o soluție, rezultă $x=1$ este soluție unică. + +## PROBLEMA 3 + +Să se arate că dacă $a, b, c \in(0,1)$, atunci $\frac{1}{2+\log _{a} b}+\frac{1}{2+\log _{b} c}+\frac{1}{2+\log _{c} a} \leq 1$. + +Soluție: Notăm $x=\log _{a} b, y=\log _{b} c$ şi $z=\log _{c} a$ şi avem + +$$ +x, y, z>0 \quad \text { și } \quad x y z=\log _{a} b \cdot \log _{b} c \cdot \log _{c} a=1 +$$ + +Inegalitatea cerută se transformă în $\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z} \leq 1$ care, + +după efectuarea calculelor, este echivalentă cu $x y+y z+z x \geq 3$ + +Aplicând inegalitatea mediilor obținem: $x y+y z+z x \geq 3 \sqrt[3]{x^{2} y^{2} z^{2}}=3 \cdot 1=3$. + +## PROBLEMA 4 + +Fie numerele complexe $z_{1}=r_{1}\left(\cos _{1}+i \sin t_{1}\right) \quad$ și $\quad z_{2}=r_{2}\left(\cos t_{2}+i \sin t_{2}\right)$, cu $t_{1}, t_{2} \in[0,2 \pi)$ și $r_{1}, r_{2} \geq 1$. Să se arate că + +$$ +\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}+2 r_{1} r_{2}+z_{1} \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}} z_{2} \geq 4 +$$ + +Soluție: $\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\right)=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+z_{1} \overline{z_{2}}+z_{2} \overline{z_{1}}=$ + +$=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\left(\cos t_{1}+i \sin t_{1}\right)\left(\cos t_{2}-i \sin t_{2}\right)+r_{1} r_{2}\left(\cos t_{2}+i \sin t_{2}\right)\left(\cos t_{1}-i \sin t_{1}\right)$. + +Avem: + +$$ +\begin{aligned} +& \left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\left[\cos \left(t_{1}-t_{2}\right)+i \sin \left(t_{1}-t_{2}\right)+\cos \left(t_{2}-t_{1}\right)+i \sin \left(t_{2}-t_{1}\right)\right] \\ +& =r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(t_{1}-t_{2}\right) \\ +& =\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+2 r_{1} r_{2}\left[1+\cos \left(t_{1}-t_{2}\right)\right] \\ +& =\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+4 r_{1} r_{2} \cos ^{2} \frac{t_{1}-t_{2}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Deoarece $r_{1} r_{2} \geq 1 \Rightarrow\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2} \geq\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+4 \cos ^{2} \frac{t_{1}-t_{2}}{2}$. + +Avem $\sin ^{2} x \leq x^{2}$, de unde rezultă $\cos ^{2} x \geq 1-x^{2}$...... + +Atunci $\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2} \geq\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+4\left[1-\left(\frac{t_{1}-t_{2}}{2}\right)^{2}\right]=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+4-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}$ + +$\Leftrightarrow r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+z_{1} \overline{z_{2}}+z_{2} \overline{z_{1}} \geq r_{1}^{2}-2 r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}+4-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}$, deci + +$\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}+2 r_{1} r_{2}+z_{1} \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}} z_{2} \geq 4$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-216-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-216-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1587dff5669124e3388c75729ee767e689f979c4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-216-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,117 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cef02a64d6663bee741bg-1.jpg?height=203&width=260&top_left_y=321&top_left_x=171) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a VIII-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cef02a64d6663bee741bg-1.jpg?height=244&width=242&top_left_y=287&top_left_x=1733) + +# PROBLEMA 1 + +a)Arătați că: $A=\sqrt{1+3+5+\ldots+2015} \in Q$ + +b)Dacă numerele reale a și $b$ verifica relația : $a^{2}+b^{2}-4 \sqrt{3} a-6 \sqrt{2} b+30=0$ atunci calculați: + +$$ +\mathrm{E}=\left(2 \mathrm{a}^{-1}+3 \mathrm{~b}^{-1}\right)\left(\frac{1}{b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1}}\right) +$$ + +## Solutie: + +a) $1+3+5+\ldots+2015=(1+2+3+4+\ldots .+2015)-(2+4+6+\ldots+2014)=$ $\qquad$ +$=2015 \cdot 1008-1007 \cdot 1008=1008^{2}$ + +$A=\sqrt{1+3+5+\ldots+2015}=1008 \in Q \ldots \ldots . . . . . . .1$ punct +b) $(a-2 \sqrt{3})^{2}+(b-3 \sqrt{2})^{2}=0 \quad$................ 1 punct +$a-2 \sqrt{3}=0 \Rightarrow a=2 \sqrt{3}, \quad b-3 \sqrt{2}=0 \Rightarrow b=3 \sqrt{2}$ $\qquad$ 1 punct + +$E=\left(2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3}}+3 \cdot \frac{1}{3 \sqrt{2}}\right)(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})$ $\qquad$ 1 punct + +$E=1$ + +1 punct + +## PROBLEMA 2 + +a) Fie $\mathrm{r}, \mathrm{s} \in \mathrm{Q}$. Arătaţi că numărul $(r+\sqrt{2})(s+\sqrt{3})$ nu este rațional. + +b) Fie numerele reale pozitive $a, b, c$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+a c=6$. Arătaţi că $a+b+c \leq 2 \sqrt{3}$. (Gazeta Matematica) + +## Solutie: + +a) $A=(r+\sqrt{2})(s+\sqrt{3}) \in Q \Rightarrow \frac{1}{A}=\frac{1}{(r+\sqrt{2})(s+\sqrt{3})} \in Q \ldots \ldots .1$ punct + +$\frac{(r-\sqrt{2})(s-\sqrt{3})}{\left(r^{2}-2\right)\left(s^{2}-3\right)} \in Q \Rightarrow B=(r-\sqrt{2})(s-\sqrt{3}) \in Q$ + +Din $A+B \in Q \Rightarrow 2 r s+2 \sqrt{6} \in Q \Rightarrow \sqrt{6} \in Q$ fals $\qquad$ 1 punct +b) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+a c=6 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}=12$ + +2 puncte + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow(a+b+c)^{2} \leq 12 \text {.......................................................................................................................................................... } \\ +& \Rightarrow a+b+c \leq 2 \sqrt{3} \text {.......... } +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 3 + +Se consideră $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare astfel ca $A B \perp A C, D B \perp A B, D C \perp A C$, iar $M$ şi $N$ mijloacele segmentelor $[A D]$, respectiv $[B C]$. + +a)Să se demonstreze că $M N \perp(A B C)$. + +b)Dacă $A B=30 \mathrm{~cm}, B D=40 \mathrm{~cm}$ şi $B C=48 \mathrm{~cm}$, să se calculeze $d(D,(A B C))$. + +## Solutie: + +a) $\square A B D, m(\square A B D)=90^{\circ}, B M$ mediană $\Rightarrow B M=\frac{D A}{2}$ + +.1 punct + +$\square D C A, m(\square D C A)=90^{\circ}, C M$ mediană $\Rightarrow C M=\frac{D A}{2}$. + +1 punct + +$\Rightarrow \square B M C$ isoscel, $M N$ mediană $\Rightarrow M N \perp B C$ + +1 punct + +Dacă $P$ mijlocul $[A B] \Rightarrow M P$ linie mijlocie $\Rightarrow M P \square D B \Rightarrow M P \perp A B$. Analog, $N P \perp A B$. + +Rezultă că $\quad A B \perp(M N P) \Rightarrow A B \perp M N \Rightarrow M N \perp(A B C)$ + +.1 punct + +b) $B M=\frac{D A}{2}=25 \mathrm{~cm}$..................................................................................................... punct + +$$ +\begin{aligned} +& M N=7 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cef02a64d6663bee741bg-2.jpg?height=60&width=1618&top_left_y=1694&top_left_x=199) + +## PROBLEMA 4 + +Fie planul pătratului $\mathrm{ABCD}$ se ridică perpendiculara $\mathrm{BM}$ cu $\mathrm{BM}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Ştiind că triunghiul MAC este echilateral, calculaţi: + +a) latura pătratului $\mathrm{ABCD}$; + +b) distanţa dintre dreptele AC si MD. + +## Solutie: + +a) Notam cu l- lungimea laturii patratului, $\triangle M A C \equiv \triangle M B C$ (C.C.) $\Rightarrow[M C] \equiv[M A]$. Deoarece $\triangle M A C$-este echilateral $=>\mathrm{AC}=\mathrm{MC}=\mathrm{MA}=\mathrm{l} \sqrt{2}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Utilizand Teorema lui Pitagora in $\triangle M B C$ obtinem $\mathrm{l}=2 \sqrt{3}$ $1 \mathrm{p}$ + +Asadar $\mathrm{AB}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ $1 \mathrm{p}$ + +b) Fie $\{\mathrm{O}\}=\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}$. Construim $\mathrm{OP} \perp M D(1)$ + +Din $A C \perp B D, A C \perp M B \Rightarrow A C \perp(M B D) \Rightarrow A C \perp O P(2)$ $.1 \mathrm{p}$ + +Din relatiile (1) si (2) obinem ca OP este perpendiculara comuna a dreptelor MD si AC, deci $\mathrm{d}(\mathrm{MD}, \mathrm{AC})=\mathrm{OP} \Rightarrow>$ Din $\triangle D P O \sim \triangle D B M \Rightarrow O P=\frac{3 \sqrt{2}}{2}=\mathrm{d}(\mathrm{MD}, \mathrm{AC}) \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-217-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-217-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b12eac9f41ce38af9e7bc2a1cc7b1795dca9486 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-217-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_040574fbd6a04c293e66g-1.jpg?height=195&width=246&top_left_y=325&top_left_x=175) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a VII-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_040574fbd6a04c293e66g-1.jpg?height=238&width=242&top_left_y=293&top_left_x=1733) + +# PROBLEMA 1 + +Este dat următorul şir de numere: $a_{1}=1+1^{-1}, a_{2}=1+2^{-1}, a_{3}=1+3^{-1}, \ldots, a_{2016}=1+2016^{-1}$. + +a) Comparați $a_{2016} \mathrm{cu} a_{2011}$. + +b) Aratați că produsul $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{2016}$ este un număr natural. + +c) Determinaţi numărul $n \in \mathbb{N}^{*}$, pentru care $a_{n} \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \in \mathbb{N}$. + +## Solutie: + +a) $a_{2011}=1+2011^{-1}=1+\frac{1}{2011}>1+\frac{1}{2016}=1+2016^{-1}=a_{2016} \Rightarrow a_{2011}>a_{2016}$ +b) $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{2016}=(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{2016}\right)=$. + +$=2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{2017}{2016}=2017 \in \mathbb{N}$ +c) $a_{n} \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+2}\right)=\frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n+3}{n+2}=\frac{n+3}{n}=1+\frac{3}{n} \in \mathbb{N}$ + +$\Rightarrow n \in\{1,3\}$ + +$.2 p$ + +## PROBLEMA 2 + +Rezolvați in mulțimea numerelor întregi ecuația : $5(x-1)+7(y+3)=6(x-1)(y+3)$. + +(Gazeta Matematică) + +## Solutie: + +$$ +\begin{aligned} +& 5 x-5+7 y+21=6(x y+3 x-y-3) \\ +& 13 x-13 y+6 x y=34 \\ +& 2 \mathrm{p} \\ +& x=\frac{34+13 y}{6 y+13} \\ +& x \in Z \Rightarrow \frac{34+13 y}{6 y+13} \in Z \ldots \cdot 6 \\ +& 1 \mathrm{p} \\ +& 13+\frac{45}{6 y+13} \in \mathrm{Z}, 13 \in \mathrm{Z} \Rightarrow 6 y+13 \in \mathrm{D}_{45} . +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& y \in\{-2,-3\} \\ +& 1 \mathrm{p} \\ +& x \in\{8,-1\} \\ +& 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 3 + +În triunghiul dreptunghic $A B C\left(m(\angle A)=90^{\circ}\right)$ şi $A B>A C$ considerăm $A D$ bisectoarea $\angle B A C,(D \in(B C))$ şi $C E \perp A D,(E \in(A B))$. Ştiind că $[C E] \equiv[B E]$ se cere: + +a) Demonstraţi că $[D C] \equiv[D E]$. + +b) Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului $A B C$. + +## Solutie: + +a) Desen ..... $1 \mathrm{p}$ +In $\triangle A C E$ avem AD bisectoarea si inaltime, deci $\triangle A C E$ este isoscel cu $[A C] \equiv[A E]$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Acum $\triangle A D C \equiv \triangle A D E$ ..... $1 \mathrm{p}$ +De aici $[D E] \equiv[D C]$ ..... $1 \mathrm{p}$ +b) $\triangle A C E$ fiind dreptunghic si isoscel rezulta ca $m(\angle A E C)=45^{\circ}$ ..... $1 p$ +dar $\angle A E C$ este un unghi exterior triunghiului isoscel $B E C$ rezulta ca +$m(\angle E B C)=22^{\circ} 30^{\prime}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Atunci $m(\angle A C B)=67^{\circ} 30^{\prime}$ ..... $1 \mathrm{p}$. + +## PROBLEMA 4 + +Fie ABCD un dreptunghi ale cărui diagonale se intersectează in punctul O.Pe diagonala BD se consideră punctele R,T astfel încât $[B R] \equiv[T D]$.Arătați că: + +a) O este mijlocul [RT] + +b) ARCT este paralelogram. + +## Solutie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_040574fbd6a04c293e66g-2.jpg?height=65&width=1724&top_left_y=2163&top_left_x=211) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_040574fbd6a04c293e66g-2.jpg?height=59&width=1699&top_left_y=2250&top_left_x=213) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_040574fbd6a04c293e66g-2.jpg?height=62&width=1713&top_left_y=2365&top_left_x=214) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_040574fbd6a04c293e66g-2.jpg?height=62&width=1713&top_left_y=2430&top_left_x=214) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-218-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-218-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..63f767964bbd90f784be2ff2f8d84f7175fed68a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-218-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0f4990310dcf01b29672g-1.jpg?height=209&width=263&top_left_y=318&top_left_x=172) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a VI-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0f4990310dcf01b29672g-1.jpg?height=246&width=242&top_left_y=289&top_left_x=1733) + +# PROBLEMA 1 + +Fie şirul de fracţii: $\frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{2}{2 \cdot 4}, \frac{3}{4 \cdot 7}, \frac{4}{7 \cdot 11}, \frac{5}{11 \cdot 16}, \ldots .$. + +a) Completaţi şirul cu următoarele două fracţii; + +b) Calculaţi suma primelor 10 fracţii din şir; + +c) Care este a 100 -a fracţie a şirului? + +## Solutie: + +a) $\frac{6}{16 \cdot 22}, \frac{7}{22 \cdot 29}$ 2p +b) $S=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{2}{2 \cdot 4}+\ldots+\frac{10}{46 \cdot 56}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\ldots+\frac{1}{46}-\frac{1}{56}=1-\frac{1}{56}=\frac{55}{56} \quad$ 3p +c) $T_{100}=\frac{100}{a \cdot b}$ cu $a=b-100$ + +$1 p$ + +$b=1+1+2+3+4+\ldots .+100=1+\frac{100 \cdot 101}{2}=5051$ + +$1 \mathrm{p}$ + +## PROBLEMA 2 + +Știind că suma $S=\overline{x 45 y}+2016$ se divide cu 18 și $x \neq y$, determinați diferența dintre valoarea maximă și minimă a lui $\mathrm{S}$. + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Suma $S=\overline{x 45 y}+2016$ se divide cu 18 dacă $\overline{x 45 y}$ și 2016 se divid cu 18 , deci cu 2 și cu 9 . + +Atunci $y \in\{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8\}$ și $x+4+5+y$ trebuie să fie multiplu de 9 + +$1 \mathrm{p}$ $2 \mathrm{p}$ rezultă $x+y=9$, $1 \mathrm{p}$ + +deci $y=0, x=9 \quad S=9450+2016=11466$ valoare maximă + +$1 \mathrm{p}$ $y=8, x=1 \quad S=1458+2016=3474 \quad$ valoare minimă + +$1 \mathrm{p}$ + +diferența 7992 + +$1 \mathrm{p}$ + +## PROBLEMA 3 + +Fie semidreptele $[\mathrm{OA},[\mathrm{OB},[\mathrm{OC}$ şi $[\mathrm{OD}$, astfel ca unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$ sunt adiacente, respectiv unghiurile $\Varangle B O C$ şi $\Varangle C O D$ de asemenea sunt adiacente. Se consideră semidreapta [OE bisectoarea $\Varangle A O B$, semidreapta [OF bisectoare $\Varangle C O D$ şi semidreapta [OS în prelungirea semidrepte [OA. Ştiind că unghiurile $\Varangle A O C$ şi $\Varangle B O D$ sunt suplementare: + +a) Determinaţi măsura unghiului $\Varangle E O F$. + +b) Demonstraţi că unghiurile $\Varangle D O S$ şi $\Varangle B O C$ sunt congruente. + +## Solutie: + +``` +figură +``` + +$1 p$ +$m(\Varangle A O B)+2 m(\Varangle B O C)+m(\Varangle C O D)=180^{\circ}$ +$.1 \mathrm{p}$ +$2 m(\Varangle B O E)+2 m(\Varangle B O C)+2 m(\Varangle C O F)=180^{\circ}$ ..... $.1 p$ +$m(\Varangle E O F)=m(\Varangle B O E)+m(\Varangle B O C)+m(\Varangle C O F)=90^{\circ}$ +$1 p$ +$m(\Varangle A O S)=180^{\circ}$ +$1 \mathrm{p}$ +$m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)+m(\Varangle C O D)+m(\Varangle D O S)=180^{\circ}$ ..... $1 p$ +$m(\Varangle A O B)+2 m(\Varangle B O C)+m(\Varangle C O D)=180^{\circ}$ +$m(\Varangle B O C)-m(\Varangle D O S)=0 \rightarrow m(\Varangle B O C)=m(\Varangle D O S)$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +## PROBLEMA 4 + +Fie punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ situate in aceasta ordine pe o dreaptă d astfel incat $\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1}=1 \mathrm{~cm}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~A}_{2}=2 \mathrm{~cm}$, $\mathrm{A}_{2} \mathrm{~A}_{3}=2^{2} \mathrm{~cm}, \ldots, \mathrm{A}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~A}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}-1} \mathrm{~cm}$. + +a)Determinati numarul natural $\mathrm{p}$ astfel incat $\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{\mathrm{p}}=2047 \mathrm{~cm}$. + +b)Daca $\mathrm{M}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{A}_{2} \mathrm{~A}_{12}$ si $\mathrm{N}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{A}_{4} \mathrm{~A}_{10}$ determinati lungimea segmentului MN. + +(Gazeta Matematica) + +## Solutie: + +a) $\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{\mathrm{p}}=\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1}+\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}+\ldots+\mathrm{A}_{\mathrm{p}-1} \mathrm{~A}_{\mathrm{p}} \Rightarrow \mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{\mathrm{p}}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{\mathrm{p}-1}=2^{\mathrm{p}}-1$ +$1 \mathrm{p}$ + +$2^{\mathrm{p}}-1=2047 \Rightarrow 2^{\mathrm{p}}=2^{11} \Rightarrow \mathrm{p}=11$ +b) $\mathrm{M}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{A}_{2} \mathrm{~A}_{12} \Rightarrow \mathrm{A}_{2} \mathrm{M}=\frac{\mathrm{A}_{2} \mathrm{~A}_{12}}{2} \Rightarrow \mathrm{A}_{2} \mathrm{M}=2046 \mathrm{~cm}$ si $\mathrm{A}_{0} \mathrm{M}=2049 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{N}$ este mijlocul segmentului $\mathrm{A}_{4} \mathrm{~A}_{10} \Rightarrow \mathrm{A}_{4} \mathrm{~N}=\frac{\mathrm{A}_{4} \mathrm{~A}_{10}}{2} \Rightarrow \mathrm{A}_{4} \mathrm{~N}=504 \mathrm{~cm}$ si $\mathrm{A}_{0} \mathrm{~N}=519 \mathrm{~cm}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-219-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-219-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99cca02a7522cd6ae9888bff03b198cc0546fc60 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-219-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_586ef55f110c0469ea02g-1.jpg?height=198&width=257&top_left_y=324&top_left_x=262) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a V-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_586ef55f110c0469ea02g-1.jpg?height=236&width=228&top_left_y=294&top_left_x=1832) + +## PROBLEMA 1 + +Un număr de trei cifre are primele doua cifre identice, iar a treia cifră este 5. Acest număr se împarte la un număr de o cifră şi se obţine restul 8. Să se găsească deîmpărţitul, împărţitorul şi câtul. + +## Solutie: + +$$ +\begin{aligned} +& \overline{a a 5}=b \cdot c+8,8<\mathrm{b}, \mathrm{b} \text { cifra } \Rightarrow b=9 \text { (impartitorul)...................... } 2 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_586ef55f110c0469ea02g-1.jpg?height=54&width=1122&top_left_y=960&top_left_x=263) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 110a=3(3c+1) ............................................................................... } 1 p +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_586ef55f110c0469ea02g-1.jpg?height=63&width=1111&top_left_y=1058&top_left_x=260) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { c = } 73 \text { (catul)................................................................................1p } \\ +& \overline{a a 5}=665 \text { (deimpartitul) ...........................................................1p } +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 2 + +Ştiind că $3^{6 n+12}+9^{3 n+6}+27^{2 n+4}=3^{4(n+3)+255}, n \in I N$. + +Aflaţi restul împărţirii lui A la 5 , unde $A=2^{n}+3^{n}+4^{n}+7^{n}$. + +## Solutie: + +Aplicănd regului de calcul cu puteri obţinem $\mathrm{n}=127$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +$A=2^{n}+3^{n}+4^{n}+7^{n}$ + +$U\left(2^{127}\right)=8$ $1 \mathrm{p}$ + +$U\left(3^{127}\right)=7$ $1 p$ + +$U\left(4^{127}\right)=4$ $1 \mathrm{p}$ + +$U\left(7^{127}\right)=3$ $1 \mathrm{P}$ + +ultima cifra a lui A, adică $U(A)=2$, deci restul împărtirii lui A la 5 este 2 . $1 \mathrm{p}$. + +## PROBLEMA 3 + +Un elev își propune și reușește să rezolve într-o săptămâna 70 de probleme, rezolvând zilnic un număr natural de probleme. În primele două zile rezolvă 4 probleme. Arătați că există o zi a săptămânii în care elevul rezolvă peste 13 probleme. + +## Solutie: + +Cum în primele două zile elevul rezolvă 4 probleme îi rămân de rezolvat 66 de probleme în 5 zile + +Dar $13 * 5=65$,deci conform principiului cutiei va exista cel puțin o zi în care elevul va rezolva peste 13 probleme. $.3 \mathrm{p}$ + +## PROBLEMA 4 + +Se consideră numărul $N=a+3+15+b+35$, unde cei cinci termeni ai sumei sunt scrişi în ordine crescătoare. + +Determinaţi $a$ şi $b$ pentru care $N$ este pătrat perfect. + +## Gazeta Matematica + +## Solutie: + +``` +Daca \(\mathrm{a}<3\) (1) şi \(15<\mathrm{b}<35\) (2), atunci \(15<\mathrm{a}+\mathrm{b}<38\) (3). +\(.2 \mathrm{p}\) + +\(\mathrm{N}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+53\) + +Adunănd la relatia (3) 53 , obţinem \(68<\mathrm{a}+\mathrm{b}+53<91\), deci \(68<\mathrm{N}<91\). + +\(1 \mathrm{p}\) +Cum \(\mathrm{N}\) este patrat perfect, avem \(\mathrm{N}=81\), deci \(\mathrm{a}+\mathrm{b}=28\). ..... \(1 p\) +Din relaţiile (1) şi (2), avem solutiile +1) \(a=0\) şi \(b=28\). ..... \(1 p\) +2) \(a=1\) şi \(b=27\)......... ..... \(1 p\) +3) \(a=2\) şi \(b=26\). ..... \(1 p\)``` + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-22-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl V-subiectclasa_a_va_ongm_et._iii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-22-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl V-subiectclasa_a_va_ongm_et._iii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c425dfadf10eb797219229bff4f8567e7aafd1e1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-22-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl V-subiectclasa_a_va_ongm_et._iii.md" @@ -0,0 +1,123 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ff177d99ffb55f57a65g-1.jpg?height=282&width=273&top_left_y=49&top_left_x=205) + +Olimpiada Națională
GAZETA MATEMATICĂ
Subiect Etapa III
Satu Mare - 22 mai 2021
Clasa a V-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ff177d99ffb55f57a65g-1.jpg?height=277&width=282&top_left_y=54&top_left_x=1670) + +# Timp de lucru: 120 minute.
Fiecare problemă se punctează cu 1 punct. + +## Alegeți varianta corectă de răspuns. $O$ singură variantă este corectă. + +1. Cifrele a şi b astfel încât numărul $\overline{a 123456789987654321 b}$ este divizibil cu 72 sunt: +$\mathrm{A}\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=6\end{array}\right.$ +$\mathrm{B}\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=8\end{array}\right.$ +$C\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=3\end{array}\right.$ +$\mathrm{D}\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=0\end{array}\right.$ +$\mathrm{E}\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=6\end{array}\right.$ + +Compilație GM 3/2021, problema E:15903, pag. 159. + +2. Zecimala de pe poziția 2021 a numărului $\frac{2}{3}+\frac{2}{7}$ este +A 5 +B 6 +C 7 +D 8 +E 9 + +Compilație Supliment GM/martie 2021, problema S:E21.82, pag. 5. + +3. Dacă numerele naturale $\mathrm{m}$ și $\mathrm{n}$ verifică relația: + +$n!+2024=2^{m}$, unde $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$, atunci $n^{3}+2(m+n)+m^{2}$ are valoarea: +A. 155 +B. 215 +C. 113 +D. 92 +E. 152 + +Compilație GM 3/2021, problema E:15907, pag. 160. + +4. Calculând $\left(\frac{47-43-1}{43 \cdot 1}+\frac{47+43+1}{1 \cdot 47}+\frac{47-43+1}{43 \cdot 47}\right) \cdot \frac{47^{2} \cdot 43^{2} \cdot 1^{2}}{47^{2}+43^{2}+1^{2}}$ obținem: +A. $47+43$ +B. $\frac{43}{47}$ +C. $\frac{47}{43}$ +D. $47 \cdot 43$ +E. $47-43$ + +Compilație Supliment GM/martie 2021, problema S:E21.86, pag. 5. + +5. Câte numere naturale $\overline{a b}$ sunt divizibile cu $4 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}$ ? +A. 0 +B. 1 +C. 2 +D. 3 +E. 4. + +Compilație GM 2/2021, problema E:15876, pag. 102. + +6. Fie $\overline{2021 \ldots \text { lmn... } 2021}$ cel mai mic număr posibil de această formă în care suma cifrelor este 2021. Cât poate fi suma maximă a două cifre distincte din acest număr ? +A. 11 +B. 13 +C. 16 +D. 17 +E. 18 +7. Calculați a-b , știind că $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in N^{*}$ și $\frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1}+\frac{a+2}{b+2}+\ldots+\frac{a+2021}{b+2021}=2022$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ff177d99ffb55f57a65g-2.jpg?height=282&width=276&top_left_y=49&top_left_x=206) + +## Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ Subiect Etapa III
Satu Mare - 22 mai 2021
Clasa a V-a + +A. 2022 +B. 2021.2023 +C. 0 +D. 2021 +E.2020.2022. + +8. Avem 18 bancnote de 5 lei și 10 lei . Dacă schimbăm bancnotele de 5 lei în bancnote de 10 lei, iar bancnotele de 10 lei în bancnote de 5 lei, atunci suma de bani va crește cu 20 lei. Care a fost suma inițială de bani? +A. 90 +B. 100 +C. 125 +D. 120 +E. 127 +9. Pe ecranul unui calculator este scris numărul 71. După fiecare minut, numărul este înlocuit cu un altul, care este mai mare cu răsturnatul numărului 71 decât produsul cifrelor numărului înlocuit. Ce număr va apărea pe ecran după 71 de minute? +A. 17 +B. 20 +C. 24 +D. 31 +E. 71 +10. Restul împărțirii numărului $3003^{2021}-10$ la 63 este: +A. 10 +B. 33 +C. 46 +D. 53 +E. 63 +11. Un număr natural împărțit pe rând cu 5,7 și 9 dă rest 0,1 respectiv 6. Câte astfel de numere naturale, mai mici decât 2021, sunt? +A. 3 +B. 5 +C. 7 +D. 9 +E. 11 +12. Se consideră numărul $\mathrm{A}=3^{3}+13^{7}+23^{11}+33^{15}+\cdots+243^{99}+31978$. Restul împărțirii numărului A la 5 este: +A. 0 +B. 1 +C. 2 +D. 3 +E. 4 +13. Ana cumpără 7 cărți, 3 caiete și 2 penare și plătește 175 lei. Mihai cumpără 9 cărți și 5 penare și plătește 230 lei. George cumpără 8 caiete și 10 penare și plătește 140 lei. Toți cumpără același tip de cărți, caiete respectiv penare. Atunci o carte, un caiet și un penar de acest tip costă în total: +A. 25 +B. 30 +C. 35 +D. 20 +E. 40 +14. Cel mai mic număr natural de forma $\overline{3401 a}-\overline{1750 b}$ divizibil cu 3 este: +A. 16521 +B. 15612 +C. 16152 +D. 16513 +E. 16512 +15. Fie numărul natural $\mathrm{A}=5^{3}+5^{7}+5^{11}+5^{15}+\cdots+5^{2031}$. Numărul A este divizibil cu: +A. 520 +B. 624 +C. 1252 +D. 2133 +E. 3125 diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-220-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-220-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8eb2a67fb49ead5272d75ab5994c288fa44b3c5a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-220-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,106 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_02c50911413b9b6d72e6g-1.jpg?height=203&width=260&top_left_y=321&top_left_x=171) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală februarie 2016
SUBIECT si BAREM Clasa a IX-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_02c50911413b9b6d72e6g-1.jpg?height=242&width=227&top_left_y=291&top_left_x=1746) + +## PROBLEMA 1 + +Să se determine numerele reale strict positive $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, cu $a_{1}=1$, pentru care este adevărată egalitatea: + +$$ +\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{8}}+\frac{1}{a_{8}+a_{4}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+a_{n+1}}=a_{n+1}-1,(\forall) n \in \mathbb{N}^{8} +$$ + +## Barem de notare: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_02c50911413b9b6d72e6g-1.jpg?height=90&width=1502&top_left_y=909&top_left_x=211) + +$n=2 \Rightarrow \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+a_{\mathrm{a}}}=a_{3}-1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}+a_{\mathrm{s}}}=a_{3}-\sqrt{2} \Rightarrow a_{3}=\sqrt{3} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +Presupunem $a_{k}=\sqrt{k}$ şi demonstrăm că $a_{k+1}=\sqrt{k+1}$............................................ $2 p$ + +Din ipoteză avem $a_{k}-1+\frac{1}{a_{k}+a_{k+1}}=a_{k+1}-1 \Rightarrow a_{k+1}^{2}=a_{k}^{2}+1$. ....................1p + +$a_{k+1}=\sqrt{a_{k}^{2}+1}=\sqrt{k+1} . \quad$......................................................................................... + +În concluzie $a_{n}=\sqrt{n}$, pentru orice $n$ număr natural nenul. ..........................................1p + +PROBLEMA 2 Fie $M, N, P$ mijloacele laturilor unui triunghi $A B C, G$ centrul său de greutate şi $O$ un punct în planul triunghiului. Să se arate că $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}=3 \overrightarrow{O G}$ + +şi $\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G N}+\overrightarrow{G P}=\overrightarrow{0}$. + +## Barem de notare: + +Dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ atunci + +$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=3 \overrightarrow{O G}$ + +$G$ este centrul de greutate al triunghiului $M N P$ atunci + +$\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}=3 \overrightarrow{O G}$ $2 p$ + +Pentru partea a doua a problemei avem + +$\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G N}+\overrightarrow{G P}=\overrightarrow{(O M}-\overrightarrow{O G})+(\overrightarrow{O N}-\overrightarrow{O G})+(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O G})=$ $=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}-3 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{0}$ $3 p$ + +## PROBLEMA 3 + +Să se rezolve pe mulțimea numerelor reale ecuația $\left[\frac{3 x-1}{4}\right]+\left[\frac{3 x+1}{4}\right]=0$, unde $[a]$ este partea întreagă a numărului real $a$. + +## Barem de notare: + +Notăm $\frac{3 x-1}{4}=t \Rightarrow \frac{3 x+1}{4}=\frac{3 x-1}{4}+\frac{1}{2}=t+\frac{1}{2}$ + +Înlocuind în ecuație, obținem + +$$ +[t]+\left[t+\frac{1}{2}\right]=0 +$$ + +ținând cont de relația lui Hermite: $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2 x]$ + +ecuația devine: + +$$ +\begin{gathered} +{[2 t]=0 \text {, de unde } 2 t \in[0,1) \Rightarrow t \in\left[0, \frac{1}{2}\right) \ldots . .} \\ +\text { adică } \frac{3 x-1}{4} \in\left[0, \frac{1}{2}\right) \Rightarrow 0 \leq \frac{3 x-1}{4}<\frac{1}{2} \Rightarrow x \in\left[\frac{1}{3}, 1\right) +\end{gathered} +$$ + +## PROBLEMA 4 + +Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţ̧ia: + +$$ +(x y-7)^{2}=x^{2}+y^{2} +$$ + +G.M. 4/2015 + +## Barem de notare: + +Ecuaţia se scrie succesiv: + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2} y^{2}-14 x y+49=x^{2}+y^{2} \Leftrightarrow x^{2} y^{2}-12 x y+36+13=x^{2}+2 x y+y^{2} \Leftrightarrow \\ +& (x y-6)^{2}+13=(x+y)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Notând $x+y=a$ şi $x y-6=b$, avem + +$b^{2}+13=a^{2} \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=13 \Leftrightarrow(a-b)(a+b)=13$ + +Pe mulţimea numerelor întregi sunt posibile cazurile: + +(1) $\left\{\begin{array}{l}a-b=1 \\ a+b=13\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=7 \\ b=6\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=7 \\ x y=12\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=4\end{array}\right.\right.\right.\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4 \\ \mathrm{y}=3\end{array}\right.$ + +(2) $\left\{\begin{array}{l}a-b=-1 \\ a+b=-13\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-7 \\ b=-6\end{array} \Rightarrow(x, y) \in\{(0,-7) ;(-7,0)\}\right.\right.$ + +(3) $\left\{\begin{array}{l}a-b=13 \\ a+b=1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=7 \\ b=-6\end{array} \Rightarrow(x, y) \in\{(0,7) ;(7,0)\}\right.\right.$ + +(4) $\left\{\begin{array}{l}a-b=-13 \\ a+b=-1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-7 \\ b=6\end{array} \Rightarrow(x, y) \in\{(-3,-4) ;(-4,-3)\}\right.\right.$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-221-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-221-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb33f39e777bea98c6bb334d0c57633c6a757ab0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-221-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 20.02.2016 + +## Clasa a XII-a + +1) Fie mulţimea $\mathrm{M}=\left\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f\right.$ admite primitive şi $\left.f^{2}(x)=x^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\right\}$. + +a) Să se arate că mulţimea $M$ are 4 elemente ; + +b) Să se determine mulţimea $\mathrm{A}=\left\{\int f(x) d x \mid f \in M\right\}$. + +Prelucrare GMB , supliment, nr. 10/2015 + +2) Se consideră grupul abelian $\mathrm{G}=(-1,1)$ cu legea de compoziţie „*" definită astfel : $\mathrm{x} * \mathrm{y}=\frac{x+y}{1+x y}, \forall x, y \in(-1,1)$. + +a) Demonstraţi că $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1+x}{1-x}$ este izomorfism între grupurile $(G, *)$ şi $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}, \cdot\right) ;$ + +b) Calculaţi $\mathrm{A}=\frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \frac{1}{4} * \ldots * \frac{1}{2016}$. + +3) Să se calculeze $\mathrm{I}=\int \frac{\cos ^{2} x+\cos x}{\sin x+\cos x+1} d x$, unde $\mathrm{x} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. + +4)Fie $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow G, f(x)=\frac{1-e^{k x}}{1+e^{k x}},\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)$ un izomorfism între grupurile $(\mathbb{R},+)$ şi $(G, \mathrm{o})$. + +a) Să se determine mulţimea G; + +b) Să se determine legea de compoziţie o + +Subiectele au fost propuse de: + +Prof. Alexandrov Eugen - C. Ec. „M. Kogălniceanu" Focşani + +Prof. Preda Cătălin - C. N. „Unirea” Focşani + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 20.02.2016 + +## Clasa a XII-a + +## Barem de corectare şi notare + +## Subiectul 1: + +a) $\mathrm{M}=\left\{1_{\mathbb{R}},-1_{\mathbb{R}}, f_{3}, f_{4}\right\}$, unde $f_{3}, f_{4}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{3}(x)=|x|, f_{4}(x)=-|x|$ $\qquad$ 2 p + +Demonstraţia acestui fapt......................................................................................... + +b) Fie $F_{1}, F_{2}, F_{3}, F_{4}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ primitivele celor patru funcţii . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_353d10ee8cc3ea926bfag-2.jpg?height=315&width=1657&top_left_y=1338&top_left_x=224) +$F_{3}(x)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{x^{2}}{2} & , x<0 \\ \frac{x^{2}}{2} & , x \geq 0\end{array}+\mathrm{C} ; F_{4}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}}{2}, & x<0 \\ -\frac{x^{2}}{2}, & x \geq 0\end{array}+\mathrm{C}\right.\right.$ + +## Subiectul 2: + +a) Injectivitatea .... $\mathbf{1 p}$ +Surjectivitatea +$1 p$ +Morfismul +2p +b) $\mathrm{f}(\mathrm{A})=f\left(\frac{1}{2}\right) \cdot f\left(\frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(\frac{1}{2016}\right)$ ..... 1p +$\mathrm{f}(\mathrm{A})=\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{2016}{2014} \cdot \frac{2017}{2015}=\frac{2016 \cdot 2017}{2}$ ..... 1p +$\frac{1+A}{1-A}=1008 \cdot 2017 \Rightarrow A=\frac{1008 \cdot 2017-1}{1008 \cdot 2017+1}$ ..... 1p +Subiectul 3: +Considerăm integrala $\mathrm{J}=\int \frac{\sin ^{2} x+\sin x}{\cos x+\sin x+1} d x$ ..... $2 p$ +$\mathrm{I}+\mathrm{J}=\mathrm{x}+\mathrm{C}$ ..... 2p +$I-J=\int \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x+\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x+1} d x=\int(\cos x-\sin x) d x=\sin x+\cos x+$ +C ..... 2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_353d10ee8cc3ea926bfag-3.jpg?height=89&width=1592&top_left_y=361&top_left_x=291) + +## Subiectul 4: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_353d10ee8cc3ea926bfag-3.jpg?height=65&width=1593&top_left_y=567&top_left_x=286) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_353d10ee8cc3ea926bfag-3.jpg?height=103&width=1450&top_left_y=651&top_left_x=426) + +$$ +\text { Rezolvăm inecuaţia şi obţinem } \mathrm{G}=(-1,1) \text {............................................................................. } +$$ + +b) Inversa lui $\mathrm{f}$ este izomorfism . + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Pentru } \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{G} \text {, avem } f^{-1}(x \circ y)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ +& \underline{1 p} +\end{aligned} +$$ + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-222-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-222-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4d9d3ee6591f0fbb769b87f7770ab4583b27bb69 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-222-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,36 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 20.02.2016 + +## Clasa a XI-a + +1. Se consideră matricea $A \in M_{3}(\mathbb{R})$. Dacă suma tuturor elementelor matricei $A \cdot A^{t}$ este zero, demonstrați că $\operatorname{det}(A)=0$. +2. Dacă $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ și $A^{3}=A+I_{n}$, demonstrați că $\operatorname{det}(A)>0$. +3. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ definit astfel $x_{1}=1$ și $x_{n+1}=x_{n}+n$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{x_{k}-1}$. +4. Demonstrați că dacă o funcție $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este periodică și are limită la $+\infty$, atunci ea este o funcție constantă. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 20.02.2016 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de corectare și notare + +1. Calcul $A \cdot A^{t}$ ..... $3 p$ +Suma elementelor pe fiecare coloană în matricea $A$ este nulă. ..... $.3 p$ +$\operatorname{det}(A)=0$ ..... $1 p$ +2. $\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{n}\right)>0$ ..... $1 p$ +$\operatorname{det}\left(A-I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}(A)>0$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +$\operatorname{det}\left(A+I_{n}\right)>0$ ..... $2 p$ +$\operatorname{det}(A)>0$ ..... $2 p$ +3. $x_{n}=1+\frac{n(n-1)}{2}$ ..... $.3 p$ +$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{x_{k}-1}=2\left(1-\frac{1}{n}\right)$ ..... $.3 p$ +$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{x_{k}-1}=2$ ..... $1 p$ +4. Există $\alpha \neq \beta$ astfel ca $f(\alpha) \neq f(\beta)$ ..... $.2 p$ +$f\left(x_{n}\right)=f(\alpha+n T)=f(\alpha) \rightarrow f(\alpha)$ ..... $2 p$ +$f\left(y_{n}\right)=f(\beta+n T)=f(\beta) \rightarrow f(\beta)$ ..... $.2 p$ +Finalizare. ..... $1 p$ + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-223-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-223-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c02cd8efbea57d85c72e20561a8c6e024bdd7c05 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-223-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,56 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 20.02.2016
Clasa a X-a + +1. Fie $z=1+i$. Să se arate că oricare ar fi numărul natural $n$, există $a_{n}, b_{n}$ numere reale, astfel încăt $z^{n}=a_{n} z^{2}+b_{n}$. + +Pătraşcu Enache + +2. Fie $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\frac{x^{3}+3 x^{2}-4+\left(x^{2}+2 x\right) \sqrt{x^{2}+2 x-3}}{x^{3}+3 x^{2}+\left(x^{2}+2 x\right) \sqrt{x^{2}+2 x-3}}$. + +a) Să se determine numărul real $x$ pentru care expresia $E(x)$ are sens. + +b) Să se simplifice $E(x)$. + +Pătraşcu Enache + +3. Fie a, b numere reale pozitive, cu proprietatea $\sqrt[5]{1+a^{5}}=b$. + +Să se rezolve ecuaţia: $1+x^{\log _{b} a}=x, x$ număr pozitiv. + +Pătraşcu Enache + +4. Să se determine funcţiile $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, cu proprietatea $\ln (x y) \leq f(x)+f(y)-x-y \leq f(x y)-x y$, oricare ar fi $x, y$. + +G.M. 12/2015 + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 20.02.2016 + +Clasa a X-a + +## Soluţii cu barem + +| Nr.crt | Rezolvarea problemei | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $z^{2}=2 i$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | $\sqrt{2}^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \sin \frac{n \pi}{4}\right)=2 i a_{n}+b_{n}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| | $a_{n}=\sqrt{2}^{n-2} \sin \frac{n \pi}{4}, b_{n}=\sqrt{2}^{n} \cos \frac{n \pi}{4}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 2. a | $x^{2}+2 x-3 \geq 0$ şi $x^{3}+3 x^{2}+\left(x^{2}+2 x\right) \sqrt{x^{2}+2 x-3} \neq 0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | $x \in(-\infty,-3) \cup[1, \infty)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| b | $x \geq 1 \Rightarrow E(x)=\frac{(x+2) \sqrt{x-1}}{x \sqrt{x+3}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $x<-3 \Rightarrow E(x)=-\frac{(x+2) \sqrt{1-x}}{x \sqrt{-3-x}}$ | 2p | +| 3. | $\sqrt[5]{1+a^{5}}>1 \Rightarrow b>1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\sqrt[5]{1+a^{5}}>a \Rightarrow b>a$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Dacă $\log _{b} \mathrm{x}=\mathrm{y}$, ecuaţia se scrie $1+\mathrm{a}^{\mathrm{y}}=\mathrm{b}^{\mathrm{y}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\left(\frac{1}{b}\right)^{y}+\left(\frac{a}{b}\right)^{y}=1, \mathrm{~b}>1, \mathrm{~b}>\mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{y}=5$ soluţie unică. | $3 \mathrm{p} \quad$ | +| | Deci $\mathrm{x}=\mathrm{b}^{5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 4. | $x=y=1 \Rightarrow f(1)=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $y=1 / x \Rightarrow f(x)+f(1 / x)=x+1 / x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | $y=1 \Rightarrow f(x) \geq \ln x+x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\mathrm{f}(1 / \mathrm{x}) \geq 1 / \mathrm{x}-\ln \mathrm{x}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $f(x)+f(1 / x) \geq x+1 / x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\operatorname{Deci} f(x)=x+\ln x$ | $1 \mathrm{p}$ | + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-224-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-224-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e01fc61ebaa1c8b1f5afe9f756a934a4860fe2a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-224-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 20.02.2016 + +## Clasa a VIII-a + +1. Se consideră numărul $a=\sqrt{7+\sqrt{13}}-\sqrt{7-\sqrt{13}}$. + +a) Demonstrați că numărul $a^{2}$ este număr natural. + +b) Calculați $\left(a^{3}-2 a-1\right)^{2016}$. + +2. Determinați numerele reale $x, y, z$ știind că $x+y+z=\frac{3}{2}$ si $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{3}{4}$ + +7 puncte + +Gazeta Matematică 10/2015 + +3. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ dreptunghic în $\mathrm{A}$, iar punctul $\mathrm{M}$ este exterior planului $\mathrm{ABC}$ astfel încât $M B \perp A B$ și $M C \perp A C$. Fie $\mathrm{N}, \mathrm{P}$, E mijloacele segmentelor [MA], [BC] şi respectiv [AC]. Demonstrați că : +a) $\mathrm{PN} \perp(\mathrm{ABC})$ +4 puncte +b) $4 \cdot P N^{2}=M B^{2}-A C^{2}$. +3 puncte +4. Pe planul dreptunghiului $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{cu} \mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{BC}=8 \mathrm{~cm}$, se ridică perpendiculara EA. Fie $B M \perp E C$ şi $D N \perp E C, M, N \in(E C)$. Dacă $M N=3 \mathrm{~cm}$, să se calculeze lungimea segmentului $E C$. + +7 puncte + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 20.02.2016 + +## Clasa a VIII-a + +## Barem de corectare şi notare + +1.a) $a^{2}=(\sqrt{7+\sqrt{13}}-\sqrt{7-\sqrt{13}})^{2}=7+\sqrt{13}-2 \cdot \sqrt{7+\sqrt{13}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{13}}+7-\sqrt{13}=\ldots .1$ punct $=14-2 \cdot \sqrt{7^{2}-\sqrt{13}^{2}}=14-2 \cdot 6=2 \in \mathbb{N}$............................................................ 2 puncte + +b) $a^{3}-2 \cdot a=a \cdot\left(a^{2}-2\right)=a \cdot 0=0$....................................................................... 2 puncte + +Deci $\left(a^{3}-2 \cdot a-1\right)^{2016}=(-1)^{2016}=1$................................................................. 2 puncte + +2. $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \cdot(x y+x z+y z)$...................................................... 1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_492c19969e04b7199800g-3.jpg?height=112&width=1494&top_left_y=1463&top_left_x=241) + +$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z=0$....................................................................... 1 punct + +$\Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x y-2 x z-2 y z=0$......................................................... 2 puncte + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_492c19969e04b7199800g-3.jpg?height=57&width=1488&top_left_y=1802&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_492c19969e04b7199800g-3.jpg?height=103&width=1488&top_left_y=1893&top_left_x=244) + +3.a) $\triangle M B A, m(\Varangle M B A)=90^{\circ}$ și $B N-$ mediană $\Rightarrow B N=\frac{M A}{2}$. Analog $\triangle M C A \Rightarrow C N=\frac{M A}{2}$. + +Deci $\triangle B N C$ - isoscel, $\mathrm{NP}$ - mediană $\Rightarrow \mathrm{NP}$ - înălțime $\Rightarrow N P \perp B C$ 1 punct + +$\triangle M C A, \mathrm{NE}$ - linie mijlocie $\Rightarrow N E \| M C \Rightarrow N E \perp A C$ (1) + +Analog $\triangle A B C \Rightarrow P E \perp A C$ (2) + +1 punct + +Din (1) și (2) se obține $A C \perp(P N E)$ și $\mathrm{PN} \subset(\mathrm{PNE}) \Rightarrow \mathrm{AC} \perp \mathrm{PN}$ 1 punct + +Deci $N P \perp B C, \mathrm{NP} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{NP} \perp(\mathrm{ABC})$ + +1 punct +b) $\triangle N P B, m(\Varangle N P B)=90^{\circ}$ (teorema lui Pitagora) $\Rightarrow P N^{2}=B N^{2}-B P^{2}$................. 1 punct + +$\Rightarrow P N^{2}=\frac{A M^{2}}{4}-\frac{B C^{2}}{4}$.................................................................................. 1 punct + +$\Rightarrow 4 \cdot N P^{2}=\left(M B^{2}+A B^{2}\right)-\left(A B^{2}+A C^{2}\right)=M B^{2}-A C^{2}$.................................... 1 punct + +4. $\mathrm{EA} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{AB} \perp \mathrm{BC} \Rightarrow(\mathrm{T} 3 \perp) \Rightarrow \mathrm{EB} \perp \mathrm{BC}$....................................................... 1 punct + +Analog ED $\perp \mathrm{DC}$................................................................................................. 1 punct + +$\triangle E B C$ ( teorema catetei $) \Rightarrow B C^{2}=C M \cdot E C$.................................................... 1 punct + +$\triangle E D C$ ( teorema catetei ) $\Rightarrow C D^{2}=C N \cdot E C$...................................................... 1 punct + +$B C^{2}-C D^{2}=E C \cdot(C M-C N)=E C \cdot M N$......................................................... 2 puncte + +$48=3 \cdot E C \Rightarrow E C=16 \mathrm{~cm}$................................................................................ 1 punct + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-225-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-225-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2f910949561071e14c5a27cd0ca4b70eb4463cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-225-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 20.02.2016
Clasa a VII-a + +1) a) Calculaţi : $A=\sqrt{a^{4}}-\sqrt{16 a^{2}}-\left|a^{2}+5\right|-\sqrt{(-a)^{2}}+\sqrt{(5 a-5)^{2}}$, ştiind că $|a|+a=0$ şi $a \in \mathbf{R}$. + +b) Arătaţi că numărul $N$ este pătrat perfect pentru orice $n \in \mathbf{N}$, unde + +$$ +N=\left[(8+3 \sqrt{7})^{2 n+1}+\frac{7}{(8-3 \sqrt{7})^{2 n+1}}\right] \cdot \frac{(16-6 \sqrt{7})^{2 n+2}}{2^{2 n+3}}-4 \cdot\left(1 \frac{3}{4}-\sqrt{63}\right) +$$ + +2) a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: $\frac{1}{x}+\frac{2}{3 y}=-1$. + +b) Calculaţi partea întreagă a numărului $a=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}} \ldots+\frac{1}{2016^{2}}$. + +3) Pe laturile triunghiului oarecare $A B C$ se construiesc triunghiurile echilaterale $A B D$ ( $D$ şi $C$ de o parte şi de alta a dreptei $A B$ ), $A C E$ ( $E$ şi $B$ de o parte şi de alta a dreptei $A C$ ) şi $B C F$ ( $F$ şi $A$ de aceeaşi parte a dreptei $B C$ ). Notăm cu $M, N, P$ mijloacele segmentelor $[A B],[A C]$, respectiv $[D E]$. + +a) Arătaţi că punctele $A, P, F$ sunt coliniare. + +b) Demonstraţi că triunghiul MNP este echilateral. + +Gazeta Matematică 10/2015 + +4) În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ se duce înălţimea $A D, D \in(B C)$. Fie $P \in(A D)$ şi $Q \in(D C)$ încât $\frac{A P}{P D}=\frac{Q C}{Q D}$. Demonstraţi că $B P \perp A Q$. + +Subiectele au fost propuse de: Prof. Gicuţa Dochioiu - Şc. "Duiliu Zamfirescu " Focşani Prof. Ioan Ciucur - Şc. Gimnazială „Mareşal Averescu" Adjud + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 20.02.2016
Clasa a VII-a
Barem de corectare şi notare + +1. a) $|a|=-a \Rightarrow a \leq 0$..................................................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_48f4cae80a97bd0b9f12g-2.jpg?height=84&width=1718&top_left_y=896&top_left_x=209) +b) $N=\frac{8}{(8-3 \sqrt{7})^{2 n+1}} \cdot \frac{2^{2 n+2} \cdot(8-3 \sqrt{7})^{2 n+2}}{2^{2 n+3}}-4 \cdot\left(\frac{7}{4}-3 \sqrt{7}\right)=$. + +$=4 \cdot(8-3 \sqrt{7})-7+12 \sqrt{7}=25=5^{2}=$ pătrat perfect + +2. a) Condiţii: $x, y \neq 0$ + +$1 p$ + +$$ +y=\frac{-2 x}{3 x+3}, x \neq-1\left(\text { sau } x=\frac{-3 y}{3 y+2}\right) +$$ + +$x, y \in \mathbf{Z}^{*} \Rightarrow x=-3$ şi $y=-1$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_48f4cae80a97bd0b9f12g-2.jpg?height=114&width=1694&top_left_y=1515&top_left_x=253) + +$$ +a<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} \Rightarrow a<1-\frac{1}{2016}<1 \text {......................................................... } 1 \mathrm{p} +$$ + +$0$ sau $<60^{\circ}$; dacă este egală cu $60^{\circ}$, atunci punctele $A, F, C$ sunt coliniare). + +$\triangle A B C \equiv \triangle D B F(L U L) \Rightarrow A C=D F$ şi $A C=A E \Rightarrow A E=D F(2)$ + +$.1 \mathrm{p}$ + +Din (1) şi (2) avem $A E F D$ paralelogram $\Rightarrow$ diagonalele $A F$ şi $D E$ se înjumătăţesc în $P$ rezultă punctele $A, P, F$ sunt coliniare + +Cazul II. $m(\measuredangle A)=60^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle D A E)=180^{\circ}$ + +Din congruenţele de la primul caz avem: $\Varangle E F C \equiv \Varangle A B C, \Varangle D F B \equiv \Varangle A C B \Rightarrow$ +$m(\Varangle D F E)=180^{\circ} \Rightarrow D, F, E$ coliniare; dar $D, A, E$ sunt coliniare şi cum $P$ este mijlocul lui $D E$ $\Rightarrow A, P, F$ sunt coliniare. + +b) $M N, N P, P M$ sunt linii mijlocii $\Rightarrow M N=\frac{B C}{2}, N P=\frac{F C}{2}, P M=\frac{B F}{2}$ $1 p$ + +Cum $\triangle B F C$ este echilateral $\Rightarrow \triangle M N P$ este echilateral. + +4) Deoarece $\frac{A P}{P D}=\frac{C Q}{Q D}$, conform reciprocei teoremei lui Thales rezultă că $P Q / / A C$ $.2 \mathrm{p}$ + +Dar $A C \perp A B$ de unde rezultă că şi $Q P \perp A B$.... $.2 \mathrm{p}$ + +Deoarece şi $A P \perp B C \Rightarrow P$ este ortocentrul triunghiului $A B Q$ $.2 \mathrm{p}$ + +Finalizare : $B P \perp A Q$. $1 \mathrm{p}$ + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-226-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-226-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bbdeafb1b95201938ff4761402a23814b818790b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-226-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,51 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală-20.02.2016
Clasa a VI-a + +1) Aflați cel mai mic număr natural care, împărțit la 24,36 și 72 dă același rest 11 și câturi diferite de zero. +2) Arătați că numărul $b=\frac{1}{12} \cdot\left(x+6 y+6 y^{2}\right)$ este natural dacă y si $\frac{x}{12}$ sunt numere naturale. + +(Supliment Gazeta matematică decembrie 2015) + +3) Unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}$ și $\Varangle \mathrm{BOC}$ sunt adiacente suplementare și au raportul măsurilor egal cu $\frac{1}{3}$. Daca (OD este semidreaptă interioară unghiului $\Varangle$ BOC și $\Varangle B O D$ este unghi drept, atunci: + +a) Calculați $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})$ și $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})$ + +b) Arătați că : $\Varangle \mathrm{AOB} \equiv \Varangle \mathrm{COD}$ + +4) Fie $\mathrm{B}$ un punct situat în interiorul segmentului [AC] și M mijlocul segmentului [AC]. Știind că $\mathrm{AB}=\mathrm{p}, \mathrm{BC}=\mathrm{q}$, unde $\mathrm{p}$ și q sunt numere prime astfel încât $\mathrm{p}<\mathrm{q}$, iar $\mathrm{BM}=4,5 \mathrm{~cm}$, calculați lungimea segmentului AC. + +Subiectele au fost propuse de: Profesor Dorneanu Angela - Liceul Teoretic "Emil Botta "- Adjud Profesor Fănel Lipan - Școala Gimnazială "Al. Vlahuță" - Focșani + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală-20.02.2016
Clasa a VI-a + +Barem de corectare şi notare + +1) $D=I \cdot C+R, R Etapa locală - 20.02.2016
Clasa a V-a + +1. Aflaţi numerele $\overline{a b c}$ cu proprietatea că $\overline{a b c}=9 \cdot \overline{a c}$. +2. Aflaţi ultimele trei cifre ale unui număr natural $n$ ştiind că prin împărţirea lui 29 la 250 se obţine restul 67, iar prin împărţirea lui 23 la 200 se obţine restul 29. + +Gazeta Matematică 2015 + +3. a) Să se arate că numărul 153 se poate scrie ca sumă de 3 cuburi perfecte. + +b) Se poate scrie $153^{2016}$ ca sumă de 3 cuburi perfecte? + +c) Se poate scrie $153^{2017}$ ca sumă de 3 cuburi perfecte? + +4. Se consideră numerele $A=1+2+3+\ldots+2016^{2}$ şi $B=2+4+6+\ldots+2016^{2}$. + +a) Să se afle ultima cifră pentru fiecare din numerele $A$ şi $B$. + +b) Să se arate că $A-B$ este pătrat perfect. + +Subiectele au fost propuse de: Prof. Mariana Guzu, Şcoala "D. Zamfirescu" Prof. Marius Mohonea, C.N. "Unirea" + +NOTĂ: Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 20.02.2016 + +Clasa a V-a + +Barem de corectare şi notare + +1. $5(a+b)=4 c$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +$c \in\{0,5\}$ ..... $2 p$ +$a+b=0 \Rightarrow a=b=0$ imposibil ..... $1 p$ +$\overline{a b c} \in\{405,315,225,135\}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +2. $29 n=250 x+67$ şi $23 n=200 y+29$ ..... $2 p$ +$116 n=1000 x+268$ ..... $1 p$ +$115 n=1000 y+145$ ..... $1 p$ +$n=116 n-115 n=1000(x-y)+123$ ..... $2 p$ +$n=\overline{\ldots 123}$ ..... $1 p$ +3. $153=125+27+1=5^{3}+3^{3}+1^{3}$ ..... $2 p$ +$153^{2016}=\left(153^{672}\right)^{3}+0^{3}+0^{3}$ ..... $2 p$ +$153^{2017}=\left(153^{672}\right)^{3}\left(5^{3}+3^{3}+1^{3}\right)=\left(153^{672} \cdot 5\right)^{3}+\left(153^{672} \cdot 3\right)^{3}+\left(153^{672} \cdot 1\right)^{3}$ ..... $.3 p$ +4. a) $A=1008 \cdot 2016 \cdot\left(2016^{2}+1\right)$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$A=\overline{\ldots 8} \cdot \overline{\ldots 6} \cdot \bar{\ldots} \bar{\ldots}=\overline{\ldots 6}$ ..... $1 p$ +$B=1008 \cdot 2016 \cdot(1008 \cdot 2016+1)$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$B=\overline{\ldots 8} \cdot \overline{\ldots 6} \cdot \overline{\ldots 9}=\overline{\ldots 2}$ ..... $1 p$ +b) $\quad A-B=(1008 \cdot 2016)^{2}$ ..... $3 \mathrm{p}$ + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-228-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-228-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dd6735a68c102da7ab86e394a3897c4fd758e34d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-228-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,123 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 20.02.2016
Clasa a IX-a + +Subiectul 1 + +Arătați că numerele $\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ nu pot fi termenii unei progresii aritmetice. + +Subiectul 2 + +Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuația : $\frac{1}{\{x\}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fractionara a lui $\mathrm{x}$ si $[x]$ reprezintă partea întreaga a lui $\mathrm{x}$. + +## Subiectul 3 + +Se consideră în interiorul unui triunghi ascuțitunghic $\mathrm{ABC}$ un punct $\mathrm{M}$. Bisectoarele interioare ale unghiurilor $<\mathrm{BMC},<\mathrm{AMC},<\mathrm{AMB}$ intersectează laturile $\mathrm{BC}, \mathrm{AC}$, respectiv $\mathrm{AB}$ în punctele D, E , F . Demonstrați că dreptele AD , BE , CF sunt concurente . + +## Subiectul 4 + +Pe laturile unui triunghi $\mathrm{ABC}$ se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale $\mathrm{ABM}, \mathrm{BCN}$ și CAP cu centrele $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{~A}_{1}$, respectiv $\mathrm{B}_{1}$. Notăm cu $\mathrm{G}, \mathrm{G}^{\prime}, \mathrm{G}^{\prime \prime}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $\mathrm{ABC}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$, respectiv MNP. Să se arate că $\overline{\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{G}^{\prime \prime}}=2 \overrightarrow{\mathrm{GG}^{\prime}}$ + +G.M. nr. $5 / 2015$ + +Subiectele au fost propuse de: Prof. Tiberiu Oprea - C.N. „Al. I. Cuza” Focșani Prof. Marian Cucoaneș - Lic. Teh. „E. Grigorescu" Mărăşești + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 20.02.2016 + +Clasa a IX-a + +## Solutii cu barem + +Subiectul 1 + +Arătați că numerele $\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ nu pot fi termenii unei progresii aritmetice. + +Soluție + +Fie $\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n}}$ progresie aritmetică de rație $\mathrm{r}$ + +$\mathrm{a}_{m}=\sqrt{2}$ + +$\mathrm{a}_{n}=\sqrt{5}$ + +$\mathrm{a}_{p}=\sqrt{7} \quad \mathrm{~m}, \mathrm{n}, \mathrm{p} \in \mathbb{N}, \mathrm{m} \neq \mathrm{n} \neq \mathrm{p} \neq \mathrm{m}$ + +$\sqrt{5}=\sqrt{2}+(n-m) r$ + +$4 p$. + +$\sqrt{7}=\sqrt{2}+(p-m) r \Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{n-m}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{p-m} \Rightarrow$ + +$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{7}(n-m)-\sqrt{5}(p-m)}{n-m}$ + +$1 \mathrm{p}$. + +$2=\frac{7(n-m)^{2}+5(p-m)^{2}-2 \sqrt{35}(n-m)(p-m)}{(m-p)^{2}}$ + +$\sqrt{35}=\frac{7(n-m)^{2}+5(p-m)^{2}-2(m-p)^{2}}{2(n-m)(p-m)} \in \mathbb{Q}$ Fals + +$\Rightarrow \sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ nu pot fi termenii unei progresii aritmetice. + +Subiectul 2 + +Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuația : $\frac{1}{\{x\}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}$, + +unde $\{x\}$ reprezintă partea fractionara a lui $\mathrm{x}$ si $[x]$ reprezintă partea întreaga a lui $\mathrm{x}$. + +Soluție + +Dacă $\mathrm{x}<0 \Rightarrow \frac{1}{\{x\}}>0$ si $\frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}<0$ + +Dacă $x>2 \Rightarrow[x] \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}<1$ si $\frac{1}{\{x\}}>1$ + +$2 \mathrm{p}$. + +$x \in(1 ; 2) \Rightarrow[x]=1 \Rightarrow \frac{1}{x-1}=\frac{1}{x}+1$ + +$2 \mathrm{p}$. + +$x^{2}-x-1=0, x \in(1 ; 2) \Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ + +1p. + +## Subiectul 3 + +Se consideră în interiorul unui triunghi ascuțitunghic $\mathrm{ABC}$ un punct $\mathrm{M}$. Bisectoarele interioare ale unghiurilor $<\mathrm{BMC},<\mathrm{AMC},<\mathrm{AMB}$ intersectează laturile $\mathrm{BC}, \mathrm{AC}$, respectiv $\mathrm{AB}$ în punctele $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$. Demonstrați că dreptele $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ sunt concurente . + +Soluție + +Teorema bisectoarei în triunghiurile BMC, AMC, AMB + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}}, \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MA}}, \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}} \\ +& \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}} \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}} \frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MA}} \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=1 +\end{aligned} +$$ + +Reciproca teorema lui Ceva $\Rightarrow \mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ sunt concurente. $\quad 2 \mathrm{p}$. + +## Subiectul 4 + +Pe laturile unui triunghi $\mathrm{ABC}$ se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale $\mathrm{ABM}, \mathrm{BCN}$ și CAP cu centrele $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{~A}_{1}$, respectiv $\mathrm{B}_{1}$. Notăm cu $\mathrm{G}, \mathrm{G}^{\prime}, \mathrm{G}^{\prime \prime}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $\mathrm{ABC}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$, respectiv MNP. Să se arate că $\overrightarrow{\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{G}^{\prime \prime}}=2 \overrightarrow{\mathrm{GG}^{\prime}}$ + +Soluție + +$$ +\begin{aligned} +& \quad \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0} \\ +& 3 \overrightarrow{G G^{\prime}}=\overrightarrow{G A_{1}}+\overrightarrow{G B_{1}}+\overrightarrow{G C_{1}}= \\ +& =\frac{1}{3}(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G N}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G P})= \\ +& =\frac{1}{3}(\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G N}+\overrightarrow{G P})=\overrightarrow{G G^{\prime \prime}} \\ +& 3 \overrightarrow{G G^{\prime}}=\overrightarrow{G G^{\prime \prime}} \Rightarrow \overrightarrow{G^{\prime} G^{\prime \prime}}=2 \overrightarrow{G^{\prime}} +\end{aligned} +$$ + +NOTĂ. Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-229-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-229-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc565d56f02f3e2c6667c8ea8db5a9b4f9932791 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-229-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 27.02.2016 + +## Clasa a V-a + +1. (4p) a) Determinați cifrele $a, b, c$ nenule, care îndeplinesc simultan condițiile: +(i) $\overline{a b}+\overline{b a}=\overline{c c}$; +(ii) $\overline{a b}-\overline{b a}=c$; +(iii) $(\overline{c c}-c-c): c=c$. + +(3p) b) Determinați numărul $\overline{a b}$, care verifică egalitatea: $\overline{a b c d}-4 \cdot \overline{a b}-\overline{c d}=2016$. + +Liviu Cocariu-Ardelean + +2. (7p) Se consideră numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& A=0^{1}+1^{0}+2^{3}+3^{2}+4^{5}+5^{4}+349 \\ +& B=2^{2000} \cdot\left[3^{10}: 3^{7}-\left(5^{4}\right)^{5}: 25^{9}\right]^{15}+16^{250} \cdot 8^{250} \cdot 4^{250}: 2^{235} \\ +& C=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots .+2^{2015} +\end{aligned} +$$ + +Stabilitịi care dintre numerele $A, B$ şi $C$ sunt pătrate perfecte. + +Felicia Brodețchi + +3. Se consideră mulțimile: + +$$ +A=\left\{x \in N^{*} \mid x=k^{2}+k, k<8\right\}, B=\left\{y \in N \mid(y+3) \cdot 2016^{2} \leq 12^{6} \cdot 7^{2}\right\} \text {. } +$$ + +(4p) a) Determinați elementele mulțimiilor $A$ și $B$. + +(3p) b) Determinați toate submulțimile de câte două elemente ale mulțimii $A$, care sunt și submulțimi ale mulțimii $B$. + +Diana Făgețan + +4. Cinci prieteni participă la un concurs de matematică, unde au de rezolvat 4 probleme. Pentru o problemă rezolvată corect și complet se primesc 7 puncte. Pentru o problemă rezolvată aproape corect se primesc 6 sau 4 puncte, în funcție de cât de mult s-a apropiat elevul de soluția corectă. Pentru obținerea doar a unui rezultat corect, fără valorificarea sa ulterioară, se primesc 2 puncte, iar pentru o rezolvare greșită sau consideraţii nerelevante nu se primește niciun punct. + +(3p) a) Dacă Alin a obținut exact 23 de puncte, arătați că a rezolvat corect cel puțin o problemă. + +(4p) b) Dacă Bogdan și Daniel au obținut împreună 48 de puncte, iar Cristi și Emil au obținut împreună tot 48 de puncte, fiecare dintre ei având alt punctaj, arătați că cel puțin unul dintre ei a rezolvat corect cel puțin 3 probleme. + +GM3/2015 + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 2 ore. + +## Barem de corectare OLM 2016 Clasa a V-a + +1. a) Din (iii) $(\overline{c c}-c-c): c=c \Rightarrow c=9$ ..... (1p) +Din (i) $\overline{a b}+\overline{b a}=\overline{c c} \Rightarrow 11 a+11 b=99 \Rightarrow a+b=9$ ..... (1p) +Din (ii) $\overline{a b}-\overline{b a}=c \Rightarrow 9 a-9 b=9 \Rightarrow a-b=1$ ..... (1p) +Finalizare $a=5$ ș $b=4$ ..... (1p) +b) $\overline{a b c d}-4 \cdot \overline{a b}-\overline{c d}=2016 \Leftrightarrow \overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}-4 \cdot \overline{a b}-\overline{c d}=2016 \Leftrightarrow 96 \cdot \overline{a b}=2016$ ..... (2p) +Finalizare $\overline{a b}=21$ ..... (1p) +2. $A=2016$ se află între $44^{2}$ și $45^{2}$, deci nu este pătrat perfect ..... (2p) +$B=2^{2015}+2^{2015}=2^{2016}=\left(2^{1008}\right)^{2}$ este pătrat perfect ..... (2p) +$C=2^{2016}-1$ ..... (2p) +$C$ este precedentul lui $\left(2^{1008}\right)^{2}$, deci nu este pătrat perfect ..... (1p) +3. a) $A=\{2,6,12,20,30,42,56\}$ ..... (1p) +După calcule se obține $y \leq 33$ ..... (2p) +$B=\{0,1,2,3,4, . ., 33\}$ ..... (1p) +b) Submulțimile căutate sunt submulțimile de 2 elemente ale mulțimii +$A \cap B=\{2,6,12,20,30\}$ ..... (1p) +Deci, $\{2,6\} ;\{2 ; 12\} ;\{2 ; 20\} ;\{2 ; 30\} ;\{6 ; 12\} ;\{6 ; 20\} ;\{6 ; 30\} ;\{12,20\} ;\{12,30\}\{20,30\}$ ..... (2p) +4. a) Presupunem că Alin nu a rezolvat nici o problemă corect ..... (1p) +Atunci punctajul obținut de Alin ar fi trebuit să fie un număr par (toate punctajele parțiale +sunt numere pare) ..... (1p) +Cum punctajul obținut de Alin este un număr impar, rezultă că a rezolvat corect cel puțin o +problemă. (situații posibile: $7,6,6,4$ sau $7,7,7,2$ ) ..... (1p) +b) Punctajul total al celor 4 copii este $48+48=96(*)$ ..... (1p) +Presupunem că fiecare rezolvă corect cel mult două probleme. Deoarece punctajele sunt +diferite, cele patru punctaje ar putea fi cel mult 7, 7, 6, 6; 7, 7, 6, 4; 7, 7, 6, 2; 7, 7, 4, 4. Astfel, +suma lor ar fi cel mult 94 + +(2p) +Contradicție cu (*), deci, cel puțin unul dintre ei a rezolvat corect 3 probleme ..... (1p) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-23-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. VI Etapa_III-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_6enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-23-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. VI Etapa_III-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_6enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9ea272a7fee04b8af60c203fd302438ac303e2b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-23-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. VI Etapa_III-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_6enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.md" @@ -0,0 +1,286 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e3000f5a53642b98606cg-1.jpg?height=634&width=1376&top_left_y=231&top_left_x=340) + +# Enunţuri + soluții (idei, indicații) + +1. O mulţime $A$ de numere întregi este formată din trei numere întregi. Adunând în toate modurile posibile câte două elemente din mulţimea $A$ se obţin următoarele sume: 3,6 şi 13 . Produsul elementelor mulţimii $A$ este egal cu: +A. 96 +B. -56 +C. -80 +D. -120 +E. -60 + +Indicaţie: Dacă $A=\{a, b, c\}$, atunci avem: + +$a+b=3, b+c=6, c+a=13 \Rightarrow a+b+c=11 \Rightarrow A=\{-2,5,8\}$ + +2. Cuiele cu ajutorul cărora se fixează potcoavele se numesc caiele. Pentru potcovirea cailor unei ferme se folosesc, la fiecare copită, acelaşi număr $n$ de caiele, $2 \leq n \leq 6$. Se constată că, după ce au fost potcoviţi $25 \%$ din caii fermei, au fost folosite 516 de caiele. Numărul $n$ este egal $\mathrm{cu}:$ +A. 3 +B. 2 +C. 4 +D. 6 +E. 5 + +Idei: Dacă $x$ este numărul cailor, atunci 4 divide $x$ şi avem + +$4 n x \cdot \frac{25}{100}=516 \Rightarrow n x=516=3 \cdot 4 \cdot 43 \Rightarrow n=3$. + +3. O carte este ciudată dacă toate paginile sale sunt numerotate cu numere formate numai cu cifre impare (aşadar, de exemplu, a şasea pagină este numerotată cu 11). Numărul care se află pe pagina 79 a unei cărţi ciudate este: + +Idei: Pe pagina 10 este scris numărul 19, pe pagina 20 este numărul 59, ..., pe pagina 70 este numărul 359, pe pagina 79 este scris numărul 397. +A. 377 +B. 407 +C. 391 +D. 405 +E. 397 + +4. Mulţimea numerelor naturale impare se împarte în submulţimi astfel: $A_{1}=\{1\}, A_{2}=\{3,5\}$, $A_{3}=\{7,9,11\}, \ldots$, aşadar în mulţimea $A_{k}$ sunt $k$ numere impare consecutive. Numărul $n$ pentru care $2021 \in A_{n}$ este: +A. 44 +B. 46 +C. 47 +D. 43 +E. 45 + +Idei: Primul element din mulţimea $A_{k}$ este $a_{k}=(k-1) k+1$, iar ultimul este $b_{k}=k(k+1)-1$; din $(k-1) k+1 \leq 2021 \leq k(k+1)-1$, se ajunge la $k=45$. + +5. Numărul numerelor naturale de 5 cifre, divizibile cu 5 şi care au suma primelor două cifre egală cu 5, este: +A. 1000 +B. 3200 +C. 1600 +D. 400 +E. 800 + +Soluţie : Notăm $A=\{0,1,2, \ldots, 9\}$. Numerele căutate sunt de forma $\overline{a b c d e}$; $\overline{a b} \in\{14,23,32,41,50\}, c, d \in A, e \in\{0,5\} ;$ cu principiul produsului obţinem $5 \cdot 10^{2}=1000$ numere. + +6. O submulţime $B=\{a, b, c, d\}$ a mulţimii $A=\{1,2,3, \ldots, 30\}$ se numeşte interesantă dacă $a+b=c+d=30$. Numărul submulţimilor interesante este egal cu: +A. 91 +B. 182 +C. 78 +D. 156 +E. 87 + +Idei (soluţie): Putem considera $a ETAPA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa a XII-a + +1. (7p) Se consideră $n \in N^{*}$ şi $f:(0, \infty) \rightarrow R, f(x)=\frac{1}{x+x^{n+1}+x^{2 n+1}+x^{3 n+1}}$. Determinaţi primitivele funcţiei $f$. + +Petru Vlad + +2. (7p) $(G, \cdot)$ este un grup pentru care există un număr natural $n, n \geq 3$, astfel încât $\forall x, y \in G,(x y)^{n}=x^{n} \cdot y^{n},(x y)^{n+1}=x^{n+1} \cdot y^{n+1},(x y)^{n+2}=x^{n+2} \cdot y^{n+2}$. Arătaţi că grupul este comutativ. +3. (7p) Se consideră numerele reale $a, b$ şi funcţia continuă $f: R \rightarrow R$ cu proprietatea că $\int_{a t}^{b t} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x$, oricare ar fi $t \in(0,2)$. Demonstrați că $a f(a)=b f(b)$. + +GM10/2014 + +4. Pe mulţimea $G=(0, \infty) \backslash\{1\}$ se defineşte legea $x * y=x^{\ln y}$. Se ştie că $(G, *)$ este grup comutativ cu elementul neutru $e$, baza logaritmului natural. + +(4p) a) Dacă $H=\left\{e^{\alpha} \mid \alpha \in Q^{*}\right\}$, arătaţi că $H$ este subgrup al grupului $(G, *)$. + +(3p) b) Considerând grupul $\left(R^{*}, \cdot\right)$, arătaţi că $f: G \rightarrow R^{*}, f(x)=\ln x$ este un izomorfism de grupuri. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM 2016 Clasa a XII-a + +1. $x+x^{n+1}+x^{2 n+1}+x^{3 n+1}=x\left(1+x^{n}\right)\left(1+x^{2 n}\right)$ + +(1p) + +$$ +\begin{aligned} +& I=\int \frac{d x}{x\left(1+x^{n}\right)\left(1+x^{2 n}\right)}, \quad J=\int \frac{x^{n} d x}{x\left(1+x^{n}\right)\left(1+x^{2 n}\right)} \\ +& I+J=\int \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}\left(1+x^{2 n}\right)} d x=\frac{1}{2 n} \ln \frac{1+x^{2 n}}{x^{2 n}}+c_{1}, c_{1} \in R +\end{aligned} +$$ + +(1p) + +$\frac{1-x^{n}}{x\left(1+x^{n}\right)\left(1+x^{2 n}\right)}=\frac{1}{x+x^{n+1}}-\frac{x^{n-1}}{1+x^{2 n}}$ + +$I-J=\int \frac{x^{n-1}}{x^{n}\left(1+x^{n}\right)} d x-\int \frac{x^{n-1}}{1+\left(x^{n}\right)^{2}} d x=\frac{1}{n} \ln \frac{1+x^{n}}{x^{n}}-\frac{1}{n} \operatorname{arctg}\left(x^{n}\right)+c_{2}, c_{2} \in R$ + +Finalizare $I=\frac{1}{4 n} \ln \frac{\left(1+x^{2 n}\right)\left(1+x^{n}\right)^{2}}{x^{4 n}}-\frac{1}{2 n} \operatorname{arctg}\left(x^{n}\right)+c, c \in R$ + +Sau + +$I=\int \frac{x^{n-1}}{x^{n}\left(1+x^{n}\right)\left(1+x^{2 n}\right)} d x, x^{n}=t \Rightarrow I_{t}=\frac{1}{n} \int \frac{d t}{t(1+t)\left(1+t^{2}\right)}$ + +Rezolvarea integralei + +2. $(x y)^{n+1}=x^{n+1} \cdot y^{n+1} \Leftrightarrow(x y)^{n} x y=x^{n+1} \cdot y^{n+1} \Leftrightarrow x^{n} y^{n} x y=x^{n+1} \cdot y^{n+1} \Leftrightarrow y^{n} x=x y^{n}$ $\qquad$ +(2p) + +$(x y)^{n+2}=x^{n+2} \cdot y^{n+2} \Leftrightarrow(x y)^{n+1} x y=x^{n+2} \cdot y^{n+2} \Leftrightarrow x^{n+1} y^{n+1} x y=x^{n+2} \cdot y^{n+2} \Leftrightarrow y^{n+1} x=x y^{n+1} \cdots$ + +(2p) $\qquad$ +$y \cdot x y^{n}=x y^{n+1} \Leftrightarrow y x=x y$ + +3. $f$ continuă $\Rightarrow f$ admite primitive pe $R$; fie $F: R \rightarrow R$ o primitivă pentru $f$. Din relaţia dată avem $F(b t)-F(a t) \leq F(b)-F(a), \forall t \in(0,2)$ + +Notăm $F(b t)-F(a t)=G(t), G:(0,2) \rightarrow R, G$ derivabilă $\Rightarrow G(t) \leq G(1), \forall t \in(0,2)$ + +$t=1$ punct de maxim pentru funcţia $G$ + +Din teorema lui Fermat rezultă că $G^{\prime}(1)=0$ + +(1p) + +$G^{\prime}(t)=F^{\prime}(b t) \cdot b-F^{\prime}(a t) \cdot a=f(b t) \cdot b-f(a t) \cdot a$ $\qquad$ +$G^{\prime}(1)=f(b) \cdot b-f(a) \cdot a=0 \Leftrightarrow a f(a)=b f(b)$ + +4. a) $\forall x, y \in H, x * y \in H$ + +$\forall x \in H, x^{\prime} \in H$ + +(2p) + +b) Se ştie că $f$ este bijectivă + +$f$ este morfism deoarece $f(x * y)=f\left(x^{\ln y}\right)=\ln \left(x^{\ln y}\right)=\ln x \cdot \ln y=f(x) \cdot f(y)$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-231-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-231-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b4514c56819a77cd87fe8bd88b2794fd0e10ac22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-231-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,113 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa a XI-a + +1. (7p) Aflaţi numerele $a, b, c \in R, a>0$, ştiind că $\lim _{x \rightarrow-\infty} x \cdot\left(\sqrt{a x^{2}+2 x+3}-b x-c\right)=-1$. +2. Se consideră numerele reale $a, b, c$ distincte două câte două și următorul sistem de ecuaţ̧ii în mulţimea numerelor reale: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x+y+z=1 \\ +a x+b y+c z=1 \\ +a^{3} x+b^{3} y+c^{3} z=1 +\end{array}\right. +$$ + +(3p) a) Arătați că sistemul are o soluţie unică dacă şi numai dacă $a+b+c \neq 0$. + +(4p) b) Rezolvați sistemul în cazul $a+b+c=0$. Discuție. + +3. (7p) Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in N}$ cu $x_{0} \geq 0, a \in(0,1)$ şi $x_{n+1}=a x_{n} e^{-x_{n}}, n \in N$. Calculați + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \ln \left(1+n^{3}\right) +$$ + +GM10/2015 + +4. (2p) a) Daţi un exemplu de matrice $A \in M_{3}(R)$, astfel încât $A \neq O_{3}, A^{2} \neq O_{3}$ şi $A^{3}=O_{3}$. + +(5p) b) Dacă matricea $B \in M_{3}(R)$ are proprietatea $B^{6}=O_{3}$, arătați că matricele $B-I_{3}$ şi $B^{2}+B+I_{3}$ sunt inversabile. ( $\mathrm{Cu} \mathrm{O}_{3}$ s-a notat matricea nulă şi cu $I_{3}$ matricea unitate din $\left.M_{3}(R).\right)$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM 2016 Clasa a XI-a + +1. Dacă notăm $E=x \cdot\left(\sqrt{a x^{2}+2 x+3}-b x-c\right)$, pentru ca $\lim _{x \rightarrow-\infty} E$ să fie finită, trebuie ca $b<0$ + +(1p) + +Se obţine $E=\frac{\left(a-b^{2}\right) x^{2}+(2-2 b c) x+\left(3-c^{2}\right)}{-\sqrt{a+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+b+\frac{c}{x}}$ + +(2p) + +$\lim _{x \rightarrow-\infty} E=-1 \Leftrightarrow a-b^{2}=0$ (2), $1-b c=0$ (3), $3-c^{2}=\sqrt{a}-b$ (4) + +(1), (2) $\Rightarrow \sqrt{a}=-b$; (4) $\Rightarrow 3-c^{2}=-2 b$; (3) $\Rightarrow c^{3}-3 c-2=0 \Rightarrow c \in\{-1,2\}$ + +Dacă $c=2$, atunci $b=\frac{1}{2}>0$. Dacă $c=-1$, atunci $b=-1, a=1$ + +2. Fie $A$ matricea sistemului; + +a) $\operatorname{det} A=(c-a)(c-b)(b-a)(a+b+c)$ + +(2p) + +Cum $c-a \neq 0, c-b \neq 0, b-a \neq 0$, avem soluţie unică $\Leftrightarrow a+b+c \neq 0$ + +b) Cum $\operatorname{det} A=0$ şi $\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ a & b\end{array}\right|=b-a \neq 0$, rezultă că rang $A=2$ + +$\Delta_{\text {car }}=(1-a)(1-b)(b-a)(a+b+1)$ $\qquad$ + +## (1p) + +Sistemul are soluţii $\Leftrightarrow a=1$ sau $b=1$ sau $c=1$, adică $1 \in\{a, b, c\}$ + +(1p) + +Dacă $1 \in\{a, b, c\}$, fie $z=\lambda \in R$. Rezolvând sistemul format din primele două ecuaţii, se obţine $x=\frac{\lambda(c-b)+b-1}{b-a}, y=\frac{\lambda(a-c)+1-a}{b-a}, z=\lambda ;$ cu $\lambda \in R$ + +Observaţie. Se poate rezolva întreaga problemă folosind metoda lui Gauss. + +3. Notăm $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \ln \left(1+n^{3}\right)=l$ (dacă limita există) + +Dacă $x_{0}=0$, atunci $x_{n}=0, \forall n \in N$, deci $l=0$ + +Fie $x_{0}>0$; atunci (prin inducţie) $x_{n}>0, \forall n \in N$ + +Avem $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=a \cdot e^{-x_{n}} FAZA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa a X-a + +1. (7p) Se consideră numărul real $t=\frac{3 \sin x \sin y \sin z}{\sin x+\sin y+\sin z}, x, y, z \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Demonstraţi că + +$$ +\log _{\sin x} t+\log _{\sin y} t+\log _{\sin z} t \geq 6 +$$ + +Doriana Dorca + +2. (7p) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia: $\log _{3}\left(x^{6}+x^{4}\right)=\log _{3} x \cdot \log _{3} 810$. + +Petru Vlad + +3. (7p) Numerele complexe $z_{1}$ şi $z_{2}$ verifică relaţiile $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$ şi $3\left|z_{1}+z_{2}\right| \geq\left|5 z_{1}+z_{2}\right|$. Demonstrați că $z_{1}=z_{2}$. + +GM6-7-8/2015 + +4. (7p) Determinați funcțiile injective $f:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow\{1,2, \ldots, n\}$, știind că + +$$ +\frac{f(1)}{1}=\frac{f(2)}{2}=\cdots=\frac{f(n)}{n} +$$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM 2016 Clasa a X-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5053bd3e1cf20ec61125g-2.jpg?height=245&width=1588&top_left_y=346&top_left_x=248) + +Folosind monotonia funcției logaritmice de bază subunitară și proprietătile logaritmilor avem $\log _{\sin x} t \geq \frac{2}{3} \log _{\sin x}(\sin x \sin y \sin z)=\frac{2}{3}\left(1+\log _{\sin x} \sin y+\log _{\sin x} \sin z\right)$ şi analoagele. + +(2p) + +$$ +\log _{\sin x} \sin y+\log _{\sin y} \sin x \geq 2, \forall x, y \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) +$$ + +Prin însumare $\log _{\sin x} t+\log _{\sin y} t+\log _{\sin z} t \geq \frac{2}{3}(3+6)=6$ + +2. Pentru $x>0$ avem $\log _{3} x^{4}\left(x^{2}+1\right)=\log _{3} x \cdot \log _{3}\left(3^{4} \cdot 10\right)$ + +$4 \log _{3} x+\log _{3}\left(x^{2}+1\right)=4 \log _{3} x+\log _{3} x \cdot \log _{3} 10, \log _{3}\left(x^{2}+1\right)=\log _{3} x \cdot \log _{3} 10$ + +Dacă $\log _{3} x=a$, atunci $x=3^{a}$ și ecuația devine $\log _{3}\left(3^{2 a}+1\right)=\log _{3} 10^{a}$ + +$9^{a}+1=10^{a},\left(\frac{9}{10}\right)^{a}+\left(\frac{1}{10}\right)^{a}=1$ cu soluția unică $1 \Rightarrow x=3$ + +3. Dacă $z_{2}=0$ atunci $\left|z_{1}\right|=0 \Rightarrow z_{1}=0$ și verifică $3\left|z_{1}+z_{2}\right| \geq\left|5 z_{1}+z_{2}\right|$, deci $z_{1}=z_{2}=0$ + +Dacă $z_{2} \neq 0$, prin împărţirea relaţiilor cu $\left|z_{2}\right|$ se obţine $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=1$ şi $3\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}+1\right| \geq\left|5 \frac{z_{1}}{z_{2}}+1\right|$ + +Pentru $\frac{z_{1}}{z_{2}}=z$ avem $\left|z_{1}\right|=1,|3 z+3| \geq|5 z+1|$ + +Prin ridicare la pătrat se obţine $(3 z+3)(3 \bar{z}+3) \geq(5 z+1)(5 \bar{z}+1)$ + +Folosind faptul că $|z|=1$ avem: $18+9 z+9 \bar{z} \geq 26+5 z+5 \bar{z}$ sau $z+\bar{z} \geq 2$ + +Dacă $z=a+b i, a, b \in R$, relaţia devine $a \geq 1$ + +Cum $|z|=1 \Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$, de unde $a=1$ şi $b=0$, deci $z=1 \Rightarrow z_{1}=z_{2}$ + +4. Din $f$ injectivă se obține că $\{1,2, \ldots, n\}=\{f(1), f(2), \ldots, f(n)\}$ (3p) + +$\frac{f(1)}{1}=\frac{f(2)}{2}=\cdots=\frac{f(n)}{n}=\frac{f(1)+f(2)+\ldots+f(n)}{1+2+\ldots+n}=1$ + +Rezultă că $f(n)=n$ pentru orice $n \in N^{*}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-233-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-233-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c71e22cfd18b20a713e9fdfc45fbee79c1c40803 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-233-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa a VIII-a + +1. Se consideră expresia $E(x, y)=6 x^{2}+6 y^{2}+13 x y$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. + +(4p) a) Arătați că $E(x, y) \geq 25 x y, \forall x, y \in R$. + +(3p) b) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: $E(x, y)=9$. + +Petru Vlad + +2. (7p) Se consideră numerele reale $x, y, z$. Arătați că + +$$ +\frac{x(x+y)}{4 x^{2}+x y+y^{2}}+\frac{y(y+z)}{4 y^{2}+y z+z^{2}}+\frac{z(z+x)}{4 z^{2}+z x+x^{2}} \leq 1 +$$ + +GM11/2015 + +3. În tetraedrul $A B C D$ punctele $M$ și $N$ sunt picioarele perpendicularelor duse din $A$ pe bisectoarele interioare ale unghiurilor $A B C$, respectiv $A C D$. + +(3p) a) Dacă $A B \cdot C D=B C \cdot A C, B M \cap A C=\{E\}$ și $C N \cap A D=\{F\}$, arătați că $E F \square C D$. (4p) b) Demonstraţi că $M N \square(B C D)$. + +4. Se consideră trapezul isoscel $A B C D$ cu $A B \square C D, A C \cap B D=\{O\}, A B=40 \mathrm{~cm}$, $C D=\frac{1}{4} A B$ şi diagonalele perpendiculare. Pe planul trapezului se ridică perpendiculara $O M$, astfel încât $O M=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. + +(3p) a) Calculați aria triunghiului $M C D$. + +(4p) b) Determinaţi $\sin (\square(B M, A D))$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +1. a) $E(x, y) \geq 25 x y \Leftrightarrow 6 x^{2}+6 y^{2}-12 x y \geq 0$ + +(2p) + +$6(x-y)^{2} \geq 0, \forall x, y \in R$ + +(2p) + +b) $E(x, y)=6 x^{2}+4 x y+6 y^{2}+9 x y=(3 x+2 y)(2 x+3 y)$ + +(1p) + +Se rezolvă sistemele corespunzătoare divizorilor lui 9 și se obțin soluțiile: $(-5,3),(3,-5),(5,-3),(-3,5)$ + +(2p) + +2. $4 x^{2}+x y+y^{2}=\left(2 x+\frac{1}{2} y\right)^{2}+\frac{3}{4} y^{2}>0, \quad \forall x, y \in R$ + +(2p) + +$3 x^{2}+3 x y \leq 4 x^{2}+x y+y^{2}$, deoarece $(x-y)^{2} \geq 0, \quad \forall x, y \in R$ + +(2p) + +$\frac{x(x+y)}{4 x^{2}+x y+y^{2}} \leq \frac{1}{3}, \quad \forall x, y \in R$ + +(2p) + +Scriind inegalităţ̦ile analoage pentru celelalte două fracții și însumându-le se obține inegalitatea cerută + +(1p) + +3. a) Conform teoremei bisectoarei $\frac{A B}{B C}=\frac{A E}{E C}$ și $\frac{A C}{C D}=\frac{A F}{F D}$ + +(1p) + +Deoarece $\frac{A B}{B C}=\frac{A C}{C D}$ se obține $\frac{A E}{E C}=\frac{A F}{F D}$ + +(1p) + +Folosind reciproca teoremei lui Thales avem $E F \square C D$ + +(1p) + +b) $B M$ bisectoare și înălțime $\Rightarrow \triangle A B S$ isoscel, unde $A M \cap B C=\{S\}$ + +(1p) + +Deci $M$ mijlocul lui $[A S]$ + +(1p) + +Analog $N$ mijlocul lui $[A T]$, unde $A N \cap C D=\{T\}$, de unde $[M N]$ linie mijlocie în $\triangle A S T$, deci $M N \square S T$ + +(1p) + +$[S T] \subset(B C D) \Rightarrow M N \square(B C D)$ + +(1p) + +4. a) $O Q \perp C D$; conform $\mathrm{T} 3 \perp \Rightarrow M Q \perp C D$ + +(1p) + +Se calculează $C D=10 \mathrm{~cm}, O Q=5 \mathrm{~cm}$, iar în $\triangle M O Q$ dr. în $O \Rightarrow M Q=5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \ldots \ldots$. (1p) + +$$ +A_{M C D}=\frac{C D \cdot M Q}{2}=25 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} +$$ + +(1p) + +b) $B S \square A D, S \in C D \Rightarrow \square(B M, A D)=\square M B S$ + +(1p) $A O=B O=20 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, D O=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, A D=B S=5 \sqrt{34} \mathrm{~cm}, O S=25 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + +(1p) + +În $\triangle M O B$ dr. în $O \Rightarrow M B=5 \sqrt{34} \mathrm{~cm}$, iar în $\triangle M O S$ dr. în $O \Rightarrow M S=10 \sqrt{13} \mathrm{~cm}$... + +(1p) + +În $\triangle B M S$ isoscel $d(B, M S)=5 \sqrt{21} \mathrm{~cm}$, apoi din $A_{B M S}=\frac{M S \cdot d(B, M S)}{2}=$ $\frac{B M \cdot B S \cdot \sin (\square M B S)}{2} \Rightarrow \sin (\square M B S)=\frac{\sqrt{273}}{17}$ + +(1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-234-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-234-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa75d6ec71f5a6446982d3e9217e007daa26d3e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-234-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa a VII-a + +1. (7p) Se consideră mulţimile $A=\{n \in N \mid \sqrt{50-5 \sqrt{n+5}} \in N\}$ şi $B=\left\{\overline{a b} \left\lvert\, \sqrt{\overline{a b}-a b}=\frac{n}{5}\right., n \in A\right\}$. Determinaţi mulţimile $A$ şi $B$. + +Simona Dumitrescu + +2. (7p) Se consideră numerele reale pozitive $a, b, c, d$, astfel încât $a b c d=1$. Calculaţi + +$$ +E=\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{7+c}{1+c+c d+c d a}+\frac{7+d}{1+d+d a+d a b} +$$ + +GM11/2015 + +3. Pe laturile $[A D]$ şi $[D C]$ ale pătratului $A B C D$ se construiesc triunghiurile echilaterale $A E D$ şi $D F C$, astfel încât $E$ este în interiorul pătratului, iar $F$ este în exteriorul pătratului. Demonstraţi că: + +(4p) a) punctele $B$, $E$ şi $F$ sunt coliniare. + +(3p) b) punctul $E$ este mijlocul segmentului $[B M]$, unde $\{M\}=B F \cap D C$. + +4. Punctele $A, D, C$ şi $B$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $[A D] \equiv[D C] \equiv[C B]$. Punctul $E$ este exterior dreptei $A B$, $O$ este mijlocul segmentului $[A B]$, iar $F$ este simetricul punctului $E$ faţă de $O$. Dacă $F C \cap E B=\{M\}, M D \cap A F=\{N\}$ şi $N C \cap E B=\{P\}$, arătaţi că: + +(4p) a) $E B=8 P B$. + +(3p) b) $A_{A F B E}=48 A_{C P B}$. + +Dan Vulc + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM 2016 Clasa a VII-a + +1. $50-5 \sqrt{n+5}$ este pătrat perfect şi multiplu de 5 , deci $50-5 \sqrt{n+5} \in\{0,25\}$ (1p) + +Rezultă $n \in\{20,95\}$, deci + +$A=\{20,95\}$ (2p) + +$n=95 \Rightarrow \overline{a b}-a b=361$, ceea ce este fals $\qquad$ +(0,5p) + +$n=20 \Rightarrow \overline{a b}-a b=16$ şi cum $b \neq 10 \Rightarrow a=\frac{16-b}{10-b}, a \in N$ + +$(1,5 p)$ + +$b \in\{4,7,8,9\}$, + +deci + +$B=\{24,37,48,79\}$ + +(2p) + +2. Amplificând al doilea raport cu $a$, al treilea cu $a b$ și al patrulea cu $a b c$ se obține: + +$E=\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{(7+b) a}{a+a b+a b c+1}+\frac{(7+c) a b}{a b+a b c+1+a}+\frac{(7+d) a b c}{a b c+1+a+a b}$ $\qquad$ +(4p) + +$E=8$ + +(3p) + +3. a) Triunghiul $A B E$ este isoscel cu $m(\square B A E)=30^{\circ}$, + +deci $m(\square A E B)=75^{\circ}$ + +$(1,5 p)$ + +Triunghiul $D E F$ este isoscel cu $m(\square E D F)=90^{\circ}$, deci $m(\square D E F)=45^{\circ}$ $\qquad$ $(1,5 p)$ + +$m(\square B E F)=m(\square A E B)+m(\square A E D)+m(\square D E F)=180^{\circ}$ $\qquad$ (1p) + +b) Construim înălţimea $[E H]$ în triunghiul echilateral $A E D$ $\qquad$ $\qquad$ +$A B M D$ este trapez, $H$ este mijlocul laturii $[A D]$, $H E$ este paralelă cu bazele, deci [HE] este linia mijlocie a trapezului + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_411c4ebc001f35e38af1g-2.jpg?height=632&width=396&top_left_y=1424&top_left_x=1583)$\qquad$ + +## 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_411c4ebc001f35e38af1g-2.jpg?height=477&width=1156&top_left_y=2201&top_left_x=539) +a) Deoarece $A O=O B$ şi $F O=O E$ rezultă $A F B E$ paralelogram În triunghiul $E F B$ punctul $C$ este centru de greutate (1p) + +$A N \| P B \Rightarrow \triangle P B C \sim \triangle N A C \Rightarrow \frac{P B}{A N}=\frac{1}{2}$ (1) + +(0,5p) + +$A N \| M B \Rightarrow \triangle A N D \sim \triangle B M D \Rightarrow \frac{A N}{M B}=\frac{1}{2}$ (2) ... + +(0,5p) + +$[F M]$ este mediană în triunghiul $B E F$, deci $\frac{M B}{E B}=\frac{1}{2}$ (3) + +(0,5p) + +Înmulţind relaţiile (1), (2) şi (3) rezultă $\frac{P B}{E B}=\frac{1}{8}$ + +## (0,5p) + +b) În triunghiul $E C B, \frac{P B}{E B}=\frac{A_{P C B}}{A_{E C B}}$, deci $A_{P C B}=\frac{A_{E C B}}{8}$ + +$$ +\text { ............................................................1p) } +$$ + +Din proprietăţile centrului de greutate, $A_{E C B}=\frac{A_{E F B}}{3}$ + +## (1p) + +$\triangle B E F \equiv \triangle A F E \Rightarrow A_{E F B}=\frac{A_{A F B E}}{2}$ (6) + +(0,5p) + +Din (4), (5) şi (6) rezultă $A_{P C B}=\frac{A_{A F B E}}{48}$ + +(0,5p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-235-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-235-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff01b7f9f015e4c129209055a49501b14d569998 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-235-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,59 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETุEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa aVI-a + +1. (7p) Determinați numărul $\overline{a b}$ pentru care $\frac{\overline{a,(b)}+\overline{b,(a)}}{a+b}=\frac{a+b}{3 a}$. + +GM12/2015 + +2. (3p) a) Se consideră numerele $a=4 n+7$ și $b=3 n+5, n \in N$. Arătați că $[a, b]=a \cdot b$, pentru orice număr natural $n$, unde $[a, b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$. + +(4p) b) Arătați că numărul $n=2017^{2015}+2015^{2015}$ admite cel puțin 3 divizori numere prime. + +Daniela Cismas + +3. (7p) Pe o dreaptă se consideră punctele distincte $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, în această ordine, astfel încât $A_{0} A_{1}=10 \mathrm{~cm}, A_{1} A_{2}=2 \cdot A_{0} A_{1}, A_{2} A_{3}=3 \cdot A_{0} A_{1}, \ldots, A_{n-1} A_{n}=n \cdot A_{0} A_{1}$. Aflați numărul natural $n$, astfel încât $A_{0} A_{n}=2016 \cdot 10085$. + +Monica Guita + +4. Se consideră unghiurile adiacente complementare $\square A O B$ și $\square B O C$, punctele $D, E \in \operatorname{Int}(\square A O B$ ), astfel încât $\square A O D \equiv \square D O E \equiv \square E O B$, iar (OF bisectoarea unghiului $\square B O C$. Ştiind că $\mathrm{m}(\square E O F)=39^{\circ}$, determinați: + +(4p) a) $\mathrm{m}(\square A O B)$ și $\mathrm{m}(\square B O C)$. + +(3p) b) m( $\square D O M$ ), unde ( $O M$ este bisectoarea unghiului $\square E^{\prime} O C$, iar ( $O E$ și ( $O E^{\prime}$ sunt semidrepte opuse. + +Adina Oancea + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 2 ore. + +1. $\overline{a,(b)}+\overline{b,(a)}=a+\frac{a}{9}+b+\frac{b}{9}=\frac{10(a+b)}{9}$ ..... (2p) +$\frac{10}{9}=\frac{a+b}{3 a}$ ..... (1p) +$7 a=3 b$ ..... (2p) +$a$ și $b$ cifre, deci $a=3$ și $b=7$, adică $\overline{a b}=37$ ..... (2p) +2. a) Fie $d$ cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$, deci $d \mid(4 n+7) \cdot 3$ și $d \mid(3 n+5) \cdot 4$ + +## (1p) + +obținem $d \mid(12 n+21-12 n-20)$, deci $d=1$ ..... (1p) +$\operatorname{Dar}(a, b) \cdot[a, b]=a \cdot b$ și cum $(a, b)=1$, rezultă $[a, b]=a \cdot b$, ..... (1p) +b) $2017^{2015}=(2016+1)^{2015}=M 2016+1^{2015}$ +(1p) $2015^{2015}=(2016-1)^{2015}=M 2016-1^{2015}$ +(1p) +$n=M 2016$ ..... (1p) +$n=2016 \cdot k=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 48 \cdot k, k \in \square$ și cum $2,3,7$ sunt numere prime, rezultă că $n$ are cel puțin +3 divizori numere prime ..... (1p) +3. $A_{0} A_{n}=A_{0} A_{1}+A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+\ldots A_{n-1} A_{n}$ ..... (2p) +$A_{0} A_{1}+A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+\ldots A_{n-1} A_{n}=A_{0} A_{1} \cdot(1+2+3+\ldots+n)=10 \cdot \frac{n(n+1)}{2}=5 n(n+1)$ ..... (3p) +$A_{0} A_{n}=2016 \cdot 2017 \cdot 5$ ..... (1p) +$n=2016$ ..... (1p) +4. a) $\mathrm{m}(\square E O B)+\mathrm{m}(\square B O F)=39^{\circ}$ ..... $(0,5 p)$ +$\mathrm{m}(\square A O B)+\mathrm{m}(\square B O C)=90^{\circ}$ ..... $(0,5 p)$ +$\square A O D \equiv \square D O E \equiv \square E O B$ și $\square B O F \equiv \square F O C \Rightarrow 3 \mathrm{~m}(\square E O B)+2 \mathrm{~m}(\square B O F)=90^{\circ}$ ..... (1p) +$\Rightarrow \mathrm{m}(\square E O B)=12^{\circ}$, deci $\Rightarrow \mathrm{m}(\square A O B)=3 \mathrm{~m}(\square E O B)=36^{\circ}$ ..... (1p) +$\Rightarrow \mathrm{m}(\square B O C)=54^{\circ}$ ..... (1p) +b) $\mathrm{m}\left(\square E O E^{\prime}\right)=180^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}\left(\square E^{\prime} O C\right)=180^{\circ}-\mathrm{m}(\square E O B)-\mathrm{m}(\square B O C)=114^{\circ}$ ..... (1p) +$\mathrm{m}\left(\square E^{\prime} O M\right)=\mathrm{m}(\square M O C)=57^{\circ}$ ..... (1p) +$\mathrm{m}(\square D O M)=2 \mathrm{~m}(\square E O B)+\mathrm{m}(\square B O C)+\mathrm{m}(\square C O M)=135^{\circ}$ ..... (1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-236-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-236-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c42e7e4e1669fc4642a7caa3c414d2499f5435b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-236-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN SIBIU + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, 27.02.2016
Clasa a IX-a + +1. (7p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: + +$$ +\{x\}^{2}+22\{x\}=10 x-9 +$$ + +unde prin $\{a\}$ s-a notat partea fracționară a numărului real $a$. + +GM 12/2015 + +2. (7p) Dacă $a, b, c$ sunt numere reale strict pozitive, astfel încât $a^{3}+b^{3}+c^{3}=a b+b c+c a$, arătați că: + +(3p) a) $a+b+c \leq 3$. + +(4p) b) $a^{3}+b^{3}+c^{3} \leq 3$. + +Alin Pop + +3. (7p) Arătați că șirul de numere reale strict pozitive $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este o progresie geometrică dacă și numai dacă $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=\sqrt{\left(a_{1} a_{n}\right)^{n}},(\forall) n \geq 3$. +4. (7p) Se consideră patrulaterul convex $A B C D$ și $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $B C D, A C D, A B D$, respectiv $A B C$. Demonstrați că dreptele $A G_{1}, B G_{2}, C G_{3}, D G_{4}$ sunt concurente. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru: 3 ore. + +## Barem de corectare OLM Clasa a IX-a 2016 + +1. Notăm $[x]=a \in Z,\{x\}=b$ deci $x=a+b$ și ecuația devine : + +$b^{2}+12 b=10 a-9$ + +$b \in[0,1)$, deci $0 \leq 10 a-9 \leq 13$, de unde $a \in\{1,2\}$ + +Pentru $a=1$ se obține $b=\sqrt{37}-6$, deci $x=\sqrt{37}-5$ + +Pentru $a=2$ se obține $b=\sqrt{47}-6$, deci $x=\sqrt{47}-5$ + +2. a) Presupunem $a \leq b \leq c$, deci $a^{2} \leq b^{2} \leq c^{2}$. Folosind inegalitatea lui Cebâşev obținem: + +$$ +\begin{aligned} +& a^{3}+b^{3}+c^{3}=a \cdot a^{2}+b \cdot b^{2}+c \cdot c^{2} \geq \frac{1}{3}(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq \\ +& \geq \frac{1}{3}(a+b+c)(a b+a c+b c)=\frac{1}{3}(a+b+c)\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right) \ldots \ldots . . . . +\end{aligned} +$$ + +(1p) + +Rezultă $a+b+c \leq 3$ + +b) Folosind rezultatul de la punctul precedent avem: + +$9 \geq(a+b+c)^{2} \geq 3(a b+a c+b c)=3\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)$ + +Rezultă $a^{3}+b^{3}+c^{3} \leq 3$ + +3. , $\Rightarrow$ " Dacă $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este progresie geometrică atunci: $a_{1} a_{n}=a_{2} a_{n-1}=\ldots=a_{n} a_{1}$ + +(2p) + +Dacă $P=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$, atunci $P^{2}=\underbrace{\left(a_{1} a_{n}\right)\left(a_{2} a_{n-1}\right) \ldots . .\left(a_{1} a_{n}\right)}_{n}=\left(a_{1} a_{n}\right)^{n} \Rightarrow P=\sqrt{\left(a_{1} a_{n}\right)^{n}}$ + +$\Longrightarrow \Leftarrow "$ Notăm $\frac{a_{2}}{a_{1}}=r$ și $P(n): a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ în progresie geometrică de rație $r$ + +(1p) + +Scriind egalitatea din enunț pentru $n=3$ se obține $a_{2}^{2}=a_{1} a_{3} \Rightarrow a_{1}, a_{2}, a_{3}$ sunt în progresie geometrică de rație $r$, deci $P(3)$ este adevarată + +Pentru $n \geq 3$ presupunem $P(n)$ adevarată, deci $a_{n}=a_{1} r^{n-1}$. Împărțim egalitatea din ipoteză pentru $n+1$ termeni la cea pentru $n$ termeni și obținem $a_{n+1}=a_{n} r=a_{1} r^{n}$, deci $P(n+1)$ este adevarată. Astfel, $P(n)$ este adevarată $\forall n \in N, n \geq 3$, deci $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este progresie geometrică + +4. $G$ este centrul de greutate al patrulaterului $A B C D$, deci $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$ + +$\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=3 \overrightarrow{G G_{1}}$ + +$\overrightarrow{G A}+3 \overrightarrow{G G_{1}}=\overrightarrow{0}$ + +Rezultă că vectorii $\overrightarrow{G A}$ și $\overrightarrow{G G}_{1}$ sunt coliniari, deci $G \in G_{1} A$ + +Analog se arată că și celelalte drepte trec prin $G$, deci cele patru drepte sunt concurente ... (1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-237-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-237-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..47833c14e8adf60aab00bf153c5620abe3e5e7a8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-237-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,48 @@ +MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE ŞI CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI TIMIŞ + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA - FILIALA TIMIŞ + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
CLASA A XII-A (M 4 ore)
- ETAPA LOCALĂ -18.02.2016 - + +## SUBIECTUL I + +a) Fie $H_{1}$ și $H_{2}$ subgrupuri ale grupului (G,$\cdot$). Arătați că $H_{1} \cap H_{2}$ este subgrup al grupului (G, $\mathrm{r}$ ). + +b) Dacă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, este o funcție bijectivă cu $f^{-1}(1)=2$, să se determine elementul neutru al legii de compoziție definite prin: + +$$ +x * y=f\left(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)-2\right),(\forall) x, y \in \mathbb{R} +$$ + +SUBIECTUL II + +Se dă mulțimea $M=\left\{\left.A(a)=\left(\begin{array}{cc}1+6 a & 4 a \\ -9 a & 1-6 a\end{array}\right) \right\rvert\, a \in \mathbb{R}\right\}$. + +Se presupune cunoscut faptul că ( $M_{s}^{*}$ ) este grup. + +a) Arătați că $\left(M_{s}^{*}\right)$ este grup comutativ. + +b) Rezolvaţi ecuația $A\left((2 x-3)^{2}\right) \cdot A(3)=A(2) \cdot A^{2}(3 x-2)$. + +c) Arătați că $\left(M_{s}^{*}\right)$ este izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive. + +SUBIECTUL III + +Calculați: +a) $I_{1}=\int(\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x) d x$ +b) $I_{2}=\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x \sqrt{x^{4}+1}} d x$ + +SUBIECTUL IV + +Să se calculeze $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{x \sqrt{2}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x^{2}}} d x$ + +G.M. $5 / 2012$ + +NOTĂ : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este punctat cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-238-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-238-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..52715a9c908e3646c6c54ed56e8c4d0d04f66203 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-238-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE ŞI CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI TIMIŞ + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA - FILIALA TIMIŞ + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
CLASA A XI-A (M 4 ore)
- ETAPA LOCALĂ -18.02.2016 - + +## SUBIECTUL I + +Se dau numerele $a, b, c \in \mathbb{C}$. Calculați, scriind rezultatul sub formă de produs: +a) $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right|$ +b) $\left|\begin{array}{ccc}a+b & b+c & c+a \\ a-b & b-c & c-a \\ a^{2}-b^{2} & b^{2}-c^{2} & c^{2}-a^{2}\end{array}\right|$ + +SUBIECTUL II + +Rezolvaţi în $M_{2}(\mathbb{R})$ ecuaţia: $X^{n}=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 6 & 2\end{array}\right), n \in N^{*}$ + +SUBIECTUL III + +Calculaţi : $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}+k}{n^{3}+k}$ + +SUBIECTUL IV + +Fie $a, b, c \in \mathbb{R}, a>0$. Calculaţi : $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n!)^{2 a}}{(n+b)^{a n+c}}$ + +G.M. 5/2014 + +NOTĂ : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este punctat cu 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-239-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-239-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..882700b905dd12713731f27ad8f97e56c9751ecd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-239-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,41 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
CLASA A X-A (M 4 ore) + +- ETAPA LOCALÄ -18.02.2016 - + + +## SUBIECTE + +1. a) Comparaţi numerele $A=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{13}$ şi $B=\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{8}$. + +b) Demonstraţi că $\log _{2} 3+\log _{3} 4 \in(2,3)$. + +2. a) Fie $z$ un număr complex. Demonstraţi că dacă $w$ este o rădăcină de ordinul trei a lui $z$, atunci numerele $\varepsilon \cdot w$ şi $\varepsilon^{2} \cdot w$ sunt celelalte rădăcini de ordinul trei ale lui $z$, unde $\varepsilon=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}$. + +b) Fie $a, b, c \in \mathbf{C}$, distincte două câte două, astfel încât $(a+b)^{3}=(b+c)^{3}=(c+a)^{3}$. Demonstraţi că $a^{3}=b^{3}=c^{3}$. + +3. Se consideră funcţia $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ cu proprietatea că + +$$ +f(x y)=f(x)+f(y) \text { pentru orice } x, y \in(0, \infty) +$$ + +a) Arătaţi că $f(1)=0$ şi $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$ pentru orice $x \in(0, \infty)$; + +b) Arătaţi că dacă 1 este singura soluţie a ecuaţiei $f(x)=0$, atunci funcţia $f$ este injectivă. + +4. Fie $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ afixele vârfurilor triunghiului $A B C$. Fie $J$, de afix $z_{J}$ un punct interior triunghiului $A B C$ şi $S_{a}, S_{b}, S_{c}$ ariile triunghiurilor $J B C, J A C$, respectiv $J A B$. + +a) Demonstraţi că $z_{J}=\frac{S_{a} z_{A}+S_{b} z_{B}+S_{c} z_{C}}{S}$, unde $S$ este aria triunghiului $A B C$. + +b) Demonstraţi că $J$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$ dacă şi numai dacă $\left(2 S_{a}-a r\right) z_{A}+\left(2 S_{b}-b r\right) z_{B}+\left(2 S_{c}-c r\right) z_{C}=0$, unde $r$ este raza cercului înscris în triunghiul $A B C$, iar $a, b, c$ sunt lungimile laturilor $[B C],[A C]$, respectiv $[A B]$. + +(G.M., 2014 - enunţ modificat) + +NOTĂ: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de trei ore. + +Fiecare subiect se punctează cu 7 puncte. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-24-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. V Etapa_III_Clasa_5-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_5enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-24-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. V Etapa_III_Clasa_5-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_5enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d01766bd04ff59a0bd163e3e30e6b3c5de174e2b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-24-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. V Etapa_III_Clasa_5-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_5enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.md" @@ -0,0 +1,315 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_866e17450f5fa0b5508dg-1.jpg?height=212&width=209&top_left_y=130&top_left_x=210) + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România - regiunea sud-vest + +Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ + +Etapa a III-a - 15 mai 2021 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_866e17450f5fa0b5508dg-1.jpg?height=200&width=241&top_left_y=133&top_left_x=1647) + +# Clasa a V-a + +## Timp de lucru 180 de minute + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este corect. + +1. Suma tuturor numerelor naturale mai mici sau egale cu 100, dar nedivizibile cu 10, este egală cu +A. 5050 +B. 4950 +C. 4050 +D. 4500 +E. 5000 + +Răspuns: $\mathbf{D}$ + +Indicaţie: Avem $1+2+3+\ldots+99+100=5050$ şi $10+20+\ldots+90+100=550$, deci rezultatul este $5050-550=4500$. + +2. Un număr natural format din cel puţin două cifre se numeşte palindrom dacă este egal cu răsturnatul său. De exemplu $22,343,5115$ sau 3333 sunt palindroame. Câte palindroame mai mici decât 10000 există? +A. 90 +B. 99 +C. 189 +D. 243 +E. 111 + +Răspuns: $\mathbf{C}$ + +Indicaţie: Sunt 9 palindroame două cifre, 90 cu trei cifre şi 90 cu patru cifre, deci 189 în total. + +3. Ceasul din piaţa centrală a oraşului are un defect şi avansează câte 5 minute la fiecare oră. În fiecare zi, la ora 8.00 , ceasornicarul vine şi reglează ceasul şi îl pune să arate ora exactă. În data de 7 mai 2021, la ora 8.00 , ceasornicarul a venit şi a reglat ceasul. În data de 8 mai 2021, tot la ora 8.00 ceasornicarul a venit şi a observat că ceasul este oprit şi arată ora 3.30. De cât timp nu mai funcţionează acest ceas? (Ceasul indică timpul folosind afişaj numeric, începând cu ora 00.00 şi terminând cu 23.59 , apoi reia de la 00.00.) +A. 4 ore şi 30 minute +B. 6 ore +C. 3 ore şi 30 minute +D. 8 ore +E. 4 ore + +Răspuns: B + +Indicaţie: Ceasul avanseză 30 minute la 6 ore, deci arată 14.30 în loc de 14 , 21 în loc de 20 şi 3.30 în loc de 2.00. Aşadar s-a oprit la 2.00, deci de 6 ore. + +4. Numărul natural $n$ din egalitatea $2^{2020}+2^{2023}=36 \cdot 2^{n}$ este: +A. 2022 +B. 2021 +C. 2020 +D. 2019 +E. 2018 + +Răspuns: $\mathbf{E}$ + +Indicaţie: Avem $2^{2020}+2^{2023}=2^{2020} \cdot 9=36 \cdot 2^{2018}$, deci $n=2018$. + +5. Un număr natural se numeşte olimpic dacă este format din patru cifre a căror sumă este egală cu 11 . De exemplu numerele 3125 sau 4412 sunt olimpice. Diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr olimpic este egală cu: +A. 7992 +B. 8082 +C. 8091 +D. 8181 + +E. Alt răspuns + +Răspuns: $\mathbf{D}$ + +Indicaţie: Cel mai mare număr olimpic este 9200 iar cel mai mic este 1019, deci diferenţa este 8181. + +6. Numerele naturale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{20}$ dau resturi diferite la împărţirea cu 21. Suma celor 20 de resturi astfel obţinute este egală cu 193. Printre cele 20 resturi obţinute nu se regăseşte numărul +A. 17 +B. 7 +C. 13 +D. 3 + +E. Nu se poate determina cu exactitate + +Răspuns: A + +Indicaţie: Suma tuturor celor 21 de resturi la împărţirea cu 21 ar fi 210 . Cum $210-193=17$, rezultă că nu există restul 17 . + +7. Pe şosea, traseul Timişoara-Deva-Bucureşti are $550 \mathrm{~km}$, dintre care $150 \mathrm{~km}$ de la Timişoara la Deva. Dimineaţa pleacă, simultan pe acest traseu, spre Bucureşti, un automobil din Timişoara şi un camion din Deva. Automobilul parcuge $120 \mathrm{~km}$ într-o oră, iar camionul $70 \mathrm{~km}$ într-o oră. La ce distanţă de Bucureşti automobilul va ajunge camionul? +A. $220 \mathrm{~km}$ +B. $210 \mathrm{~km}$ +C. $200 \mathrm{~km}$ +D. $190 \mathrm{~km}$ +E. $180 \mathrm{~km}$ + +Răspuns: $\mathbf{D}$ + +Indicaţie: Automobilul recuperează $50 \mathrm{~km}$ într-o oră, deci are nevoie de 3 ore să ajungă camionul. În acest timp face $360 \mathrm{~km}$, adică este la $190 \mathrm{~km}$ de Bucureşti. + +8. La un banchet au fost prezenţi băieţi şi fete, 38 în total. Marius a adus flori pentru 5 fete, Radu pentru 6 fete, Şerban a adus flori pentru 7 fete şi aşa mai departe, ultimul băiat a adus flori pentru toate fetele. Numărul fetelor care au participat la acest banchet este egal cu +A. 15 +B. 17 +C. 19 +D. 23 +E. 21 + +Răspuns: E + +Indicaţie: $\mathrm{Al} n$-lea băiat a adus $38-n$ flori. Atunci $38-n-n=4$, de unde $n=17$. Atunci sunt 21 fete + +9. La un concurs de matematică au participat 40 de elevi. dintre aceşia 25 au rezolvat prima problemă, 30 au rezolvat a doua problemă, 35 au rezolvat a treia problemă, iar 33 au rezolvat a patra problemă. Despre numărul de elevi care au rezolvat toate cele patru probleme putem spune că este + +A. Exact 25 +B. 0 + +C. Cel puţin egal cu 3 + +D. Cel mult egal cu 2 + +E. Exact 1 + +Răspuns: C + +Indicaţie: Minim 15 au rezolvat primele două probleme, minim 10 pe primele trei şi minim 3 pe toate patru. + +10. La un meci de fotbal, echipa câştigătoare primeşte 3 puncte, iar cea învinsă primeşte 0 puncte. Dacă meciul se termină egal, fiecare echipă primeşte câte 1 punct. $\mathrm{Cu}$ aceste reguli de punctaj se organizează un turneu la care participă patru echipe, fiecare echipă jucând câte două meciuri cu fiecare dintre celelalte trei. La final se realizează un clasament în funcţie de punctajul acumulat de fiecare echipă. Dacă suma tuturor punctelor acumulate de către cele 4 echipe este 32 puncte, determinaţi numărul de meciuri încheiate la egalitate. +A. 8 +B. 0 +C. 6 +D. 2 +E. 4 + +Răspuns: E + +Indicaţie: Sunt 12 meciuri, deci maxim 36 puncte. La egal se pierde un punct. Sunt 4 puncte diferenţă, deci patru meciuri egale. + +11. Folosind o singură dată cifra 5 şi o singură dată cifra 3 , precum şi una singură dintre operaţiile adunare, scădere, înmulţire, ridicare la putere, cel mai mare rezultat pe care îl putem obţine este: +A. 8 +B. 125 +C. 53 +D. 625 + +E. Alt răspuns + +Răspuns: E + +Indicaţie: Cel mai mare este $3^{5}=243$. + +12. Restul împărţirii numărului $N=14^{27}+27^{40}+40^{14}$ la 13 este egal cu: +A. 3 +B. 1 +C. 0 +D. 11 +E. 9 + +Răspuns: A + +Indicaţie: Fiecare număr este de forma $M_{13}+1$ deci restul va fi 3 . + +13. Cinci turişti au plecat în excursie în Turcia de unde au cumpărat plăcuţe de aur. Plăcuţele au fie $8 \mathrm{~g}$, fie $20 \mathrm{~g}$. La revenirea în ţară au fost întrebaţi la vamă despre cantitatea de aur pe care o deţin. + +Primul a spus că are $1240 \mathrm{~g}$, al doilea $432 \mathrm{~g}$, al treilea $896 \mathrm{~g}$, al patrulea $538 \mathrm{~g}$ sुi al cincilea $1284 \mathrm{~g}$. Vameşii au fost atenţi şi au realizat imediat că unul dintre turişti cu siguranţă minte şi i-au confiscat aurul. Care este turistul mincinos? + +A. Primul + +B. Al doilea + +C. Al treilea + +D. Al patrulea +E. $\mathrm{Al}$ cincilea + +Răspuns: D + +Indicaţie: Deoarece plăcutele au $8 \mathrm{~g}$ sau $20 \mathrm{~g}$, deducem că obligatoriu cantitatea de aur trebuie să se dividă cu 4. Cum 538 nu se divide cu 4, deducem că turistul al patrulea era cel mincinos. + +14. Câte numere naturale de patru cifre au produsul cifrelor egal cu 30 ? +A. 24 +B. 6 +C. 28 +D. 36 +E. 30 + +Răspuns: D + +Indicaţie: Avem $30=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5=1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 6$. Sunt 24 numere formate cu cifrele $1,2,3,5$ şi 12 numere formate cu cifrele $1,1,5,6$, deci în total 36 . + +15. Câte numere naturale de forma $\overline{a b c}$ satisfac egalitatea $\overline{a b}+\overline{b c}+\overline{c a}=44$ ? +A. 10 +B. 8 +C. 5 +D. 3 +E. 1 + +Răspuns: $\mathbf{D}$ + +Indicaţie: Ipoteza conduce la $a+b+c=4$, cu $a, b, c \neq 0$. Avem în total 3 numere, adică: $211,121,112$. + +16. Patru kg mere, $5 \mathrm{~kg}$ pere şi 12 nuci costă 35 lei. Şase $\mathrm{kg}$ mere, $2 \mathrm{~kg}$ pere şi 18 nuci costă 36 lei. Care este preţul unui $\mathrm{kg}$ de pere? +A. 3 lei +B. 2 lei +C. 1 leu +D. 4 lei +E. 5 lei + +Răspuns: A + +Indicaţie: Din prima informaţie obţinem că $12 \mathrm{~kg}$ mere, $15 \mathrm{~kg}$ pere şi 36 nuci costă 105 lei, iar din a doua obţinem $12 \mathrm{~kg}$ mere, $4 \mathrm{~kg}$ pere şi 36 nuci costă 72 lei. Diferenţa de 33 lei provin de la $11 \mathrm{~kg}$ pere, deci costul unui kg este 3 lei. + +17. Câte perechi de numere naturale prime $(x, y)$ verifică relaţia $3 x+5 y=1621$ ? +A. 5 +B. 3 +C. 2 +D. 1 +E. 0 + +Răspuns: E + +Indicaţie: Evident $x, y$ nu pot fi simultan impare, deci unul dintre ele este par. Dacă $x=2$ obţinem $y=323=17 \cdot 19$, iar dacă $y=0$ obţinem $x=537=3 \cdot 179$. Prin urmare nu există numere care să corespundă cerinţei. + +18. Patru cercetători, pe nume Bill, Cash, Don şi Max, trebuie să treacă dintr-o parte în cealaltă a unui tunel. Din păcate drumul este foarte întunecat şi nu au la dispoziţie decât o lanternă. Mai mult, prin tunel nu pot circula simultan decât doi oameni şi obligatoriu având lanterna la ei. Atunci stabilesc să meargă câte doi, iar apoi unul se reîntoarce cu lanterna, apoi merg iar doi prin tunel, iar unul se întoarce şi care îl aduce şi pe cel de la patrulea în cealaltă parte a tunelului. Din păcate nu merg la fel de repede, iar când merg câte doi se vor deplasa în ritmul celui care se mişca mai încet. Bill poate parcurge tunelul în 2 minute, Cash în 4 minute, Don în 8 minute şi Max în 20 minute deoarece este accidentat. Care este timpul minim necesar pentru ca toţi cei patru cercetători să ajungă cu bine în cealaltă parte a tunelului. +A. 36 minute +B. 38 minute +C. 34 minute +D. 40 minute +E. 32 minute + +Răspuns: C + +Indicaţie: Merg Bill cu Cash, se întoarce Bill, apoi Don cu Max, se întoarce Cash şi la final Bill cu Cash. În total $4+2+20+4+4=34$ minute. + +19. În oraşul Timişoara, pe o stradă se găsesc cinci case numerotate în ordine cu $11,12,13,14,15$. Pe această stradă locuiesc un român, un maghiar, un german, un sârb şi un croat. Se ştie că românul are număr impar la casă, cu cifre diferite, iar maghiarul are număr divizibil cu 3. De asemenea, germanul stă la una din primele două case de pe stradă, iar sârbul sigur nu locuieşte la una dintre ultimele două case. Care este numărul casei în care locuieşte croatul? +A. 11 +B. 12 +C. 13 +D. 14 +E. 15 + +Răspuns: $\mathbf{D}$ + +Indicaţie: Dacă românul stă la 13, sârbul şi germanul sunt la 11 şi 12, deci maghiarul la stă 15 şi atunci croatul la 14. Dacă romănul stă la 15 , atunci maghiarul este la 12, germanul la 11 şi sârbul la 13. Deci croatul este tot la 14 . + +20. Un grup de trei numere naturale nenule $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ se numeşte complet dacă $x_{1} ETAPA LOCALĂ - 18.02.2016 + +## clasa a VIII-a
SUBIECTE + +1. Arătaţi că $(2 a-3)^{2}+(2 b-3)^{2}+(2 c-3)^{2} \leq 3$, oricare ar fi a, b, c $\in[1 ; 2]$. Când are loc egalitatea? + +( G.M. $5 / 2015$ ) + +2. a) Aflaţi numerele reale $x$ şi y pentru care $\left(4 x^{2}+4 x+10\right)\left(y^{2}-10 y+249\right)=2016$ + +b) Aflaţi numerele reale $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{2016}$ care verifică $1+x_{1}^{2}=2 x_{2}, 1+x_{2}^{2}=2 x_{3}, 1+$ $x_{3}^{2}=2 x_{4}, \ldots 1+x_{2015}^{2}=2 x_{2016}, 1+x_{2016}^{2}=2 x_{1}$ + +3. Se consideră un unghi $\Varangle \mathrm{XOY}$ cu măsura de $120^{\circ}$ şi $[\mathrm{OZ}$ bisectoarea sa.Punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ se găsesc ,respectiv ,pe semidreptele $\left[\mathrm{OX},\left[\mathrm{OZ},\left[\mathrm{OY}\right.\right.\right.$ astfel încât $\frac{1}{O B}=\frac{1}{O A}+\frac{1}{O C}$. Dacă $\mathrm{P}$ este un punct exterior planului (XOY), să se demonstreze că punctele $\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ sunt coplanare. +4. Fie rombul $\mathrm{ABCD} \mathrm{cu} \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{B})=60^{\circ}$.Pe perpendiculara în $\mathrm{A}$ pe planul rombului se ia un punct $\mathrm{M}$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle(\mathrm{MB},(\mathrm{ABC})))=60^{\circ}$, iar $\mathrm{AM}=4 \sqrt{3}$. + +a) Dacă P este mijlocul lui [MB], aflaţi d(P,BC). + +b)Determinaţi $\sin (\Varangle(\mathrm{ABC}),(\mathrm{PDC})$ ). + +(RMT-Nr.2/2011) + +NOTĂ : + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + +Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-241-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-241-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4ab0768552e8ef4e69001de0e3dd28c9d91af2ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-241-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ etapa locală - 18 februarie 2016 + +## CLASA A VII-A + +SUBIECTE + +1. a) Arătați că $\sqrt{n^{2016}+2015 n^{2}+2015 n+2012}$ este iraţional oricare ar fí $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$. + +b) Determinați $[\mathrm{x}]$ unde $\mathrm{x}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{2016^{2}}$ si $[\mathrm{x}]=$ partea întreagă a lui $\mathrm{x}$. + +2. Dacă a și b sunt numere naturale nenule și $\frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1}+\frac{a+2}{b+2}+\cdots+\frac{a+2015}{b+2015}=2016$. Demonstrați că $\mathrm{a}=\mathrm{b}$. + +Prelucrare Supliment G. M. Nr. 9/2015 + +3. a) Arătați că într-un trapez isoscel ortodiagonal, înălțimea este egală cu linia mijlocie. + +b) Arătați că într-un trapez isoscel, dreapta paralelă cu bazele și care trece prin intersecția diagonalelor este bisectoarea unghiului format de diagonale. + +4. În $\triangle \mathrm{ABC}$ avem $\mathrm{m}(\Varangle C)=90^{\circ}$. Bisectoarea $\Varangle \mathrm{ABC}$ intersectează latura $\mathrm{AC}$ în punctul $\mathrm{L}$, iar perpendiculara în punctul $\mathrm{A}$ pe latura $\mathrm{AB}$ în punctul T. Arătați că mijloacele segmentelor [LT], $[\mathrm{AB}]$ ș $[\mathrm{AC}]$ sunt coliniare. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + +Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-242-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-242-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0e8aed81571f3ea490915fd4579871e7c26047ed --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-242-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ etapa locală - 18 februarie 2016 + +## CLASA A VI-A
SUBIECTE + +1. a) Numerele naturale $x$ și $y$ verifică relațiile $[x, 2016]=[y, 2016]$ şi $(x, 2016)=(y, 2016)$. Arătați că $x=y$. (prin $[x, y]$ se înțelege c.m.m.m.c., iar prin $(x, y)$ se înțelege c.m.m.d.c.) + +b) Aflați numerele $\overline{x y z}$ cu proprietatea că : $[\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}]^{3}=\overline{x y z}$ + +R. M. T. + +2. Arătați că $\mathrm{A}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2016}\right)+\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\cdots+\frac{2}{2016}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\cdots+\frac{3}{2016}\right)+\cdots+$ $\left(\frac{2014}{2015}+\frac{2014}{2016}\right)+\frac{2015}{2016}$ este număr natural. +3. Fie punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ situate în această ordine pe o dreaptă d astfel încât $A_{0} A_{1}=1 \mathrm{~cm}$, $A_{1} A_{2}=2 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=3 \mathrm{~cm}, \ldots, A_{n-1} A_{n}=\mathrm{n} \mathrm{cm}$. + +a) Determinați numărul natural $\mathrm{n}$ astfel încât $A_{0} A_{n}=2016 \mathrm{~cm}$. + +b) Arătați că lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{24}\right]$ este triplul lungimii segmentului $\left[A_{8} A_{16}\right]$. + +4. În jurul punctului $O$ se consideră unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}, ~ \Varangle B O C, ~ \Varangle C O D, ~ \Varangle D O E, ~ \Varangle E O A$ astfel încât + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81511b21f3d3da7e2f2dg-1.jpg?height=63&width=1665&top_left_y=1867&top_left_x=230) +$\mathrm{m}(\overline{E O A})=2 \cdot \mathrm{m}(\overline{A O B})$. + +Arătați că punctele $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{D}$ sunt coliniare. + +## NOTĂ : + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de 2 ore. + +Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-243-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-243-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d8193ee6d0be1f8dabab5c40cd5d9f63a26cb339 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-243-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,23 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ etapa locală - 18 februarie 2016 + +## CLASA A V-A
SUBIECTE + +1. a) Calculaţi suma cifrelor numărului $100^{2016}+10^{2016}-1$. + +b)Demonstraţi că $\mathrm{A}=1 \cdot 2^{2020}+2 \cdot 2^{2018}+3 \cdot 2^{2017}+4 \cdot 2^{2016}-5 \cdot 2^{2015}$ este divizibil cu 2016. + +2. Să se găsească numerele naturale nenule $n$ care împărţite la 7 dau câtul c şi restul $r$, iar împărţite la 11 dau câtul $\mathrm{r}$ şi restul c. + +( Prelucrare G.M.) + +3. Aflaţi numerele naturale $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ştiind că $\mathrm{a}+\mathrm{b}: 2+\mathrm{c}: 2=45, \mathrm{a}: 2+\mathrm{b}+\mathrm{c}: 2=48$, $\mathrm{a}: 2+\mathrm{b}: 2+\mathrm{c}$ $=51$. +4. Ionel şi Cristian hotărăsc să înveţe noţiuni de divizibilitate într- un mod atractiv.Pe o tablă sunt scrise toate numerele naturale de la 1 la 2016 şi ei şterg pe rând, începând cu Ionel, câte un număr care nu este divizibil nici cu 2 şi nici cu 5. Pierde jocul cel care nu mai poate şterge un număr.Cine câştigă jocul? + +NOTĂ : + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de 2 ore. + +Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-244-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-244-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0db627f40c8fab8f5171ff88ec44b93a4feaf9aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-244-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,29 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
CLASA A IX-A (M $\mathbf{1}_{1} 4$ ore)
- ETAPA LOCALĂ -18.02.2016 - + +## SUBIECTE + +1. a) Demonstraţi că $\frac{2 a}{a b+1} \leq \sqrt{\frac{a}{b}}$ pentru orice $a, b \in(0, \infty)$. + +b) Dacă $a, b, c>0$ astfel încât $a b c=1$, demonstraţi că + +$$ +\frac{2 a}{a b+1}+\frac{2 b}{b c+1}+\frac{2 c}{a c+1} \leq a \sqrt{\mathrm{c}}+b \sqrt{a}+c \sqrt{b} +$$ + +2. a) Demonstraţi că $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}$ pentru orice $n \in \mathbf{N}^{*}$. + +b) Demonstraţi că $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2 \sqrt{n-1}$, pentru orice $n \in \mathbf{N}, n \geq 2$. + +3. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia $\frac{1}{\{x\}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}$, unde $[\mathrm{x}]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$, iar $\{x\}$ reprezintă partea fracţionară a numărului real $x$. +4. În triunghiul $A B C$ se consideră punctele $M \in(A B), N \in(B C), P \in(C A)$ astfel încât $A M=B N=C P$. Dacă $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor $A M P, B M N$, respectiv $C N P$, să se arate că triunghiurile $A B C$ şi $G_{1} G_{2} G_{3}$ au acelaşi centru de greutate dacă şi numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral. + +(G.M., 2012) + +NOTĂ: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de trei ore. + +Fiecare subiect se punctează cu 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-245-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-245-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..528e26e857b783c283911b09e7e58d7e2e37eb59 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-245-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1 . + +a). Fie $\mathrm{a}>0$ şi $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{6}+4 \cdot x^{3}+a \cdot x^{2}+4}$. Să se determine o primitivă $\mathrm{F}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a funcţiei $f, \operatorname{cu~} \mathrm{F}(0)=0$ + +b). Fie funcţia $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}} \cdot \cos \frac{1}{x}, \text { dacă } x \neq 0 \\ 0 \quad \text {, dacă } x=0\end{array}\right.$. + +Să se arate că $\mathrm{f}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, este mărginită dar nu îşi atinge marginile. + +Problema 2. + +Fie $\varepsilon=\frac{1+i \sqrt{3}}{2}$ şi $\mathbb{Z}[\varepsilon]=\{a+b \cdot \varepsilon / a, b \in \mathbb{Z}\}$. + +a) Să se demonstreze că $\mathbb{Z}[\varepsilon]$ este monoid în raport cu înmulţirea numerelor complexe. + +b) Să se determine elementele inversabile ale monoidului. + +c) Dacă notăm cu $U(\mathbb{Z}[\varepsilon])$ grupul elementelor inversabile, să se demonstreze că $(\mathrm{U}(\mathbb{Z}[\varepsilon]), \cdot)$ este izomorf cu $\left(\mathbb{Z}_{6},+\right)$. + +Problema 3. + +Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă cu proprietatea că $\mathrm{e}^{f(x)}+f(x) \leq x,(\forall) x \in \mathbb{R}$. + +Să se demonstreze că $\int_{1}^{e+1} f(x) d x \leq \frac{3}{2}$. + +Problema 4. + +Fie $(G, \cdot)$ un grup şi $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$. Dacă funcţ̧ile $f, g: \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}, f(x)=x^{2 \cdot n}$ şi $g(x)=x^{3 \cdot n}$ sunt morfisme surjective, atunci grupul $(G, \cdot)$ este comutativ.[^0] + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a XII-a + +Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
nroblemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d6bbde31f6da6642981g-2.jpg?height=1232&width=1314&top_left_y=772&top_left_x=409) | $3 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d6bbde31f6da6642981g-3.jpg?height=1944&width=1778&top_left_y=112&top_left_x=171) + +| | Pentru mărginire, observăm că $\|f(x)\| \leq\left\|\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}}\right\|$
Fie $\varphi(x)=\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}}, x \in \mathbb{R}$ care este derivabilă, $\varphi^{\prime}(x)=\frac{3}{4 \cdot\left(\sqrt{x^{2}+x+1}\right)^{3}}>0 \Rightarrow \varphi$ este strict
crescătoare pe $\mathbb{R}$. Cum $\lim _{x \rightarrow-\infty} \varphi(x)=-1$ şi $\lim _{x \rightarrow \infty} \varphi(x)=1$.
Observăm că $\|\varphi(x)\|<1$. Deci $\|f(x)\|<1 \Leftrightarrow-1 $-1=\inf f(x)$ pentru că $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1 ;$
$1=\sup f(x)$ pentru că $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1$.
Deci $f$ nu îşi atinge marginile pe $\mathbb{R}$. | $\mathbf{1 F}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | a). $\varepsilon=\frac{1}{2}+\frac{i \cdot \sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{3}+i \cdot \sin \frac{\pi}{3} \Rightarrow \varepsilon^{3}=-1$ si $\varepsilon^{2}-\varepsilon+1=0$
$\mathbb{Z}[\varepsilon]$ este parte stabilă în raport cu înmulţirea dacă:
$(\forall) z_{1}=a_{1}+b_{1} \cdot \varepsilon, \quad z_{2}=a_{2}+b_{2} \cdot \varepsilon \in \mathbb{Z}[\varepsilon] \Rightarrow z_{1} \cdot z_{2} \in \mathbb{Z}[\varepsilon]$
$z_{1} \cdot z_{2}=a_{1} \cdot a_{2}+\left(a_{1} \cdot b_{2}+a_{2} \cdot b_{1}\right) \cdot \varepsilon+b_{1} \cdot b_{2} \cdot \varepsilon^{2}=a_{1} \cdot a_{2}+\left(a_{1} \cdot b_{2}+a_{2} \cdot b_{1}\right) \cdot \varepsilon+b_{1} \cdot b_{2} \cdot(\varepsilon-1)=$
$\left(a_{1} \cdot a_{2}-b_{1} \cdot b_{2}\right)+\left(a_{1} \cdot b_{2}+a_{2} \cdot b_{1}+b_{1} \cdot b_{2}\right) \cdot \varepsilon \in \mathbb{Z}[\varepsilon]$, unde $a_{i}, b_{i} \in \mathbb{Z}, \mathrm{i}=\overline{1,2}$.
Cum înmulţirea este asociativă pe $\mathbb{C}$ şi $\mathbb{Z}[\varepsilon] \subset \mathbb{C} \Rightarrow$ înmulţirea este asociativă pe $\mathbb{Z}[\varepsilon]$.
$1=1+0 \cdot \varepsilon \in \mathbb{Z}[\varepsilon]$ si $\mathrm{z} \cdot 1=1 \cdot \mathrm{z}=\mathrm{z},(\forall) z \in \mathbb{Z}[\varepsilon]$. | 31 | +| 2. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6d6bbde31f6da6642981g-4.jpg?height=917&width=1297&top_left_y=1477&top_left_x=414) | $2 \mathrm{~F}$ | + + +| | c) $\mathrm{U}(\mathbb{Z}[\varepsilon])=\{1,-1, \varepsilon,-\varepsilon,-1+\varepsilon, 1-\varepsilon\}$
Din $\varepsilon^{2}-\varepsilon+1=0 \Rightarrow \varepsilon^{2}=\varepsilon-1, \varepsilon^{3}=-1, \varepsilon^{4}=-\varepsilon, \varepsilon^{5}=-\varepsilon^{2}=1-\varepsilon$;
$\mathrm{U}(\mathbb{Z}[\varepsilon])=\left\{1, \varepsilon, \varepsilon^{2}, \varepsilon^{3}, \varepsilon^{4}, \varepsilon^{5}\right\}$;
Definim funcţia $\mathrm{f}: \mathrm{U}(\mathbb{Z}[\varepsilon]) \rightarrow \mathbb{Z}_{6}, \mathrm{f}\left(\varepsilon^{\mathrm{k}}\right)=\hat{\mathrm{k}},(\forall) \mathrm{k} \in\{0,1,2,3,4,5\}$.
Evident, funcţia $\mathrm{f}$ este bijectivă ( $\mathrm{f}$ este surjectivă, iar domeniul de definiţie
şi codomeniul au acelaşi cardinal).
$\mathrm{f}\left(\varepsilon^{\mathrm{k}} \cdot \varepsilon^{\mathrm{h}}\right)=\mathrm{f}\left(\varepsilon^{\mathrm{k}+\mathrm{h}}\right)=\mathrm{f}\left(\varepsilon^{(\mathrm{k}+\mathrm{h}) \text { mod } 6}\right)=\mathrm{k}+\mathrm{h}=\hat{\mathrm{k}}+\hat{\mathrm{h}}=\mathrm{f}\left(\varepsilon^{\mathrm{k}}\right)+\mathrm{f}\left(\varepsilon^{\mathrm{h}}\right)$,
$(\forall) \mathrm{k}, \mathrm{h} \in\{0,1,2,3,4,5\}$.
Metoda 2. Grupurile $(\mathrm{U}(\mathbb{Z}[\varepsilon])$.$) şi \left(\mathbb{Z}_{6},+\right)$ sunt grupuri ciclice finite, cu acelaşi cardinal $\Rightarrow$
ele sunt izomorfe. | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3. | Fie $\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(t)=e^{t}+t$ funcţie continuă, strict crescătoare.
Pentru că $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(e^{t}+t\right)=-\infty$ şi $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{t}+t\right)=\infty \Rightarrow g$ este bijectivă.
$(g$ este strict monotonă $\Rightarrow \mathrm{g}$ este injectivă şi $\mathrm{g}(\mathbb{R})=\mathbb{R} \Rightarrow g$ surjectivă $)$.
$g^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este strict crescătoare ( fie $\mathrm{y}_{1} Din $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}_{1}\right)<\mathrm{g}\left(\mathrm{x}_{2}\right) \Leftrightarrow \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2} \Leftrightarrow g^{-1}\left(y_{1}\right) Din ipotež $\mathrm{g}(f(x)) \leq x,(\forall) x \in \mathbb{R}$ şi folosind $\mathrm{g}^{-1}$ strict crescătoare $\Rightarrow \mathrm{f}(x) \leq g^{-1}(x)$.
Integrând pe $[1, e+1]$, obţinem $\int_{1}^{1+e} f(x) d x \leq \int_{1}^{1+e} g^{-1}(x) d x$. | $4 p$ | +| | Calculăm $\int_{1}^{1+e} g^{-1}(x) d x$ prin schimbare de variabilă: $g^{-1}(x)=t \Rightarrow x=g(t)$.
Pentru $\mathrm{x}=1 \Rightarrow \mathrm{t}=0$
pentru $\mathrm{x}=1+\mathrm{e} \Rightarrow \mathrm{t}=1$.
$g^{\prime}(t) d t=d x$
$\int_{1}^{1+e} g^{-1}(x) d x=\int_{0}^{1} t \cdot g^{\prime}(t) d t=\left.t \cdot g(t)\right\|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} g(t) d t=e+1-\int_{0}^{1}\left(e^{t}+t\right) d t=e+1-\left.e^{t}\right\|_{0} ^{1}-\left.\frac{t^{2}}{2}\right\|_{0} ^{1}=$
$e+1-e+1-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. | 3p | + + +| 4. | Vom arăta că $x^{2 n-1} \cdot y=y \cdot x^{2 n-1},(\forall) x, y \in G$
$x^{2 n-1} \cdot y=x^{2 n} \cdot\left(x^{-1} \cdot y\right) ;$
Pentru că $f$ este surjectivă $\Rightarrow(\exists) u \in G, f(u)=x^{-1} \cdot y \Leftrightarrow u^{2 n}=x^{-1} \cdot y$
$x^{2 n} \cdot\left(x^{-1} \cdot y\right)=x^{2 n} \cdot u^{2 n}=(x \cdot u)^{2 n}=x \cdot(u \cdot x)^{2 n-1} \cdot u=x \cdot(u \cdot x)^{2 n} \cdot(u \cdot x)^{-1} \cdot u=$
$x \cdot u^{2 n} \cdot x^{2 n} \cdot x^{-1} \cdot u^{-1} \cdot u=x \cdot x^{-1} \cdot y \cdot x^{2 n} \cdot x^{-1} \cdot u^{-1} \cdot u=y \cdot x^{2 n-1}$
Deci $x^{2 n-1} \cdot y=y \cdot x^{2 n-1},(\forall) x, y \in G ;$
Analog, se arată că $x^{3 n-1} \cdot y=y \cdot x^{3 n-1},(\forall) x, y \in G$ | $4 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Fie $\mathrm{d}=(2 n-1,3 n-1) \Rightarrow \mathrm{d} \mid(2 n-1)$ şi $d \mid(3 n-1)$, deci $\mathrm{d}\|(3 n-1)-(2 n-1) \Rightarrow \mathrm{d}\| n$;
Cum $\mathrm{d} \mid 2 n$ şi $\mathrm{d} \mid 2 n-1$, rezultă că $\mathrm{d} \mid 1$, adică $(2 n-1,3 n-1)=1$.
Din caracterizarea celui mai mare divizor comun a două numere întregi, rezultă că există $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}$
astfel încât $(2 n-1) \cdot a+(3 n-1) \cdot b=1$;
Fie $x, y \in G \cdot x \cdot y=x^{(2 n-1) \cdot a+(3 n-1) \cdot b} \cdot y=\left(x^{a}\right)^{2 n-1} \cdot\left(x^{b}\right)^{3 n-1} \cdot y=\left(x^{a}\right)^{2 n-1} \cdot y \cdot\left(x^{b}\right)^{3 n-1}$
$=y \cdot\left(x^{a}\right)^{2 n-1} \cdot\left(x^{b}\right)^{3 n-1}=y \cdot x^{(2 n-1) \cdot a+(3 n-1) \cdot b}=y \cdot x$. | 3p | + + +[^0]: Notă: Toate problemele sunt obligatorii + + Timp efectiv de lucru 3 ore + + Fiecare problemă se notează cu puncte de la 0 la 7 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-246-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-246-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7bbe691e43ff480187429f068b86f0c2daaa67c3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-246-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,57 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 28 februarie 2016 + +## Clasa a XI-a + +Problema 1. Fie $\varepsilon \in \mathbb{C}$ o soluţie a ecuaţiei $x^{2}+x+1=0$. Să se calculeze suma de matrice: + +$$ +\mathrm{S}=\sum_{k=1}^{3 \cdot n+1}\left(\begin{array}{ccc} +1 & \varepsilon^{k} & \varepsilon^{2 \cdot k} \\ +k & k \cdot(k+1) & k!\cdot k +\end{array}\right) +$$ + +Problema 2. + +a) Fie matricea $\mathrm{X} \in M_{2}(\mathbb{Z})$, $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$. Să se calculeze $\mathrm{X}^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Fie matricele $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in M_{2}(\mathbb{Z})$ cu proprietatea $\mathrm{A} \cdot \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2016 \\ 0 & 1\end{array}\right)$. Să se demonstreze că există o matrice $\mathrm{D} \in M_{2}(\mathbb{Z})$, astfel încât $\mathrm{D}^{2016}=\mathrm{B} \cdot \mathrm{A}$. + +Problema 3. + +Fie funcţiile $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(x-1)=-4 \cdot x^{3}+12 \cdot x^{2}-9 \cdot x+1$ şi $\mathrm{g}_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g_{n}(x)=\underbrace{(f \circ f \circ f \circ \ldots \circ f)}_{\text {de } n \text { ori }}(\sin x),(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se calculeze: +a) $a_{n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g_{n}(x)}{x}$ +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot \sin \frac{\pi}{a_{n}}$ + +Problema 4. + +a) Fie $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b} \neq 0$, numere date, iar $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir neconstant, definit prin $x_{1}=b$, $x_{n+1} \cdot x_{n}=x_{n}^{2}-a \cdot x_{n}+a^{2},(\forall) n \geq 1$. Să se studieze convergenţa şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$. + +b) Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir monoton, $x_{1}>0$, astfel încât $x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\ldots+x_{2 \cdot n-1}-x_{2 \cdot n}=x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+\ldots+x_{2 \cdot n},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d84eaf6360758d26aba1g-2.jpg?height=1384&width=1314&top_left_y=834&top_left_x=414) | $1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d84eaf6360758d26aba1g-3.jpg?height=2209&width=1699&top_left_y=191&top_left_x=213) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d84eaf6360758d26aba1g-4.jpg?height=1808&width=1691&top_left_y=188&top_left_x=217) + +| b) $x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\ldots+x_{2 \cdot n-1}-x_{2 \cdot n}=x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+\ldots+x_{2 \cdot n}(1)$
Egalitatea are loc şi pentru $n+1$ :
$x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\ldots+x_{2 \cdot n+1}-x_{2 \cdot n+2}=x_{n+2}+x_{n+3}+\ldots+x_{2 \cdot n+2}(2)$;
Scăzând din 2 pe $1 \Rightarrow x_{2 n+1}-x_{2 n+2}=x_{2 n+1}+x_{2 n+2}-x_{n+1} \Rightarrow x_{n+1}=2 \cdot x_{2 n+2} \Rightarrow x_{n}=2 \cdot x_{2 n},(\forall) n \geq 1$.
Deci $x_{1}=2 \cdot x_{2}=2^{2} \cdot x_{4}=2^{3} \cdot x_{8}=\ldots=2^{n} \cdot x_{2^{n}}$, adică $x_{2^{n}}=\frac{x_{1}}{2^{n}}<1$.
Cum $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este monoton şi $x_{1}>0 \Rightarrow\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este descrescător.
$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}}{2^{n}}=0$;
Fie $k=\left[\log _{2} n\right] \Rightarrow 2^{k} \leq n<2^{k+1}$. $\Rightarrow x_{2^{k+1}} $\left\{\begin{array}{l}\left(x_{n}\right)_{n \geq 1} \text { este descrescător } \\ 2^{k} \leq n<2^{k+1} \\ \text { Din teorema cleştelui } \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ | 1p | +| :---: | :---: | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-247-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-247-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91e3e1d3b9491269d1e17c99ae1eea9726222128 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-247-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 28 februarie 2016 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. + +a) Să se rezolve ecuaţia: $z^{n+1}=\bar{z}, z \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}$. + +b) Să se rezolve sistemul de ecuaţii: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x^{2}-y^{2}=\log _{2} \frac{y}{x} \\ +3^{x^{2}+y^{2}-1}-4 \cdot 3^{x \cdot y}+9=0 +\end{array}\right. +$$ + +Problema 2. + +Fie punctele $\mathrm{A}(1,1)$ şi $\mathrm{B}(4,2)$. Să se determine coordonatele celorlalte vârfuri ale pătratelor, astfel încât $\mathrm{A}$ şi B să fie vârfuri. + +Problema 3. + +Fie A o mulţime finită de numere reale strict pozitive. Să se determine funcţiile $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{A}$ care îndeplinesc condiţia: $(f \circ f)(x)=2 \cdot f(x)-x,(\forall) x \in \mathrm{A}$. + +Problema 4. + +Fie $p, n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 3$. Să se demonstreze inegalitatea: + +$\left(p-\frac{p-1}{n}\right) \cdot\left(p-\frac{2 \cdot p-1}{n}\right) \cdot \ldots \cdot\left(p-\frac{n \cdot p-1}{n}\right)>\frac{1}{n!}$, apoi să se deducă inegalitatea: $(n!)^{2}>n^{n}$, unde $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a X-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18b609e04935ba800a1ag-2.jpg?height=1429&width=1695&top_left_y=733&top_left_x=215) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_18b609e04935ba800a1ag-3.jpg?height=1805&width=1699&top_left_y=111&top_left_x=213) + +| | Dar $f\left(x_{1}\right) \in \mathrm{A} \Rightarrow f\left(x_{1}\right) \geq x_{1} ;$
Dacă presupunem că $f\left(x_{1}\right)>x_{1}$, atunci şirul $\left(a_{n}\right)$ este strict crescător, şi cum termenii
şirului $\left(a_{n}\right) \in A \Rightarrow$ că mulţimea A ar conţine o infinitate de elemente-fals.
Atunci $f\left(x_{1}\right)=x_{1} ;$
Funcţia $\mathrm{f}$ este injectivă pentru că: din $f(x)=f(y) \Rightarrow f(f(x))=f(f(y)) \Rightarrow$
$2 \cdot f(x)-x=2 \cdot f(y)-y \Rightarrow x=y$
Din $\mathrm{f}$ injectivă $\Rightarrow \mathrm{f}\left(x_{2}\right)>x_{1}$.
Aplicând procedeul de mai sus pentru $x_{2}$, obţinem $\mathrm{f}\left(x_{2}\right)=x_{2} ;$
Continuând, prin aplicarea procedeului, obţinem că $\mathrm{f}(x)=x,(\forall) x \in A$. | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4. | Vom demonstra că $p-\frac{k p-1}{n}>\frac{1}{k}, 2 \leq k \leq n-1,(1)$
Avem $(1) \Leftrightarrow p \cdot k \cdot n-k^{2} \cdot p+k>n \Leftrightarrow k \cdot p \cdot(k-n)-(k-n)<0 \Leftrightarrow(k-n) \cdot(k p-1)<0$;
pentru $2 \leq k \leq n-1$, această ultimă inegalitate este adevărată.
Din (1) obţinem:
$p-\frac{2 \cdot p-1}{n}>\frac{1}{2}$
$p-\frac{3 \cdot p-1}{n}>\frac{1}{3}$
.................
$p-\frac{(n-1) p-1}{n}>\frac{1}{n-1}$
$p-\frac{n p-1}{n}=\frac{1}{n}$
$p-\frac{p-1}{n} \geq 1$ (deoarece $n \cdot p-p+1 \geq n \Leftrightarrow(p-1) \cdot(n-1) \geq 0-$ adevărat $)$
Înmulţind aceste inegalităţi membru cu membru, obţinem inegalitatea din enunţ. | $3 \mathbf{p}$ | +| | Pentru $\mathrm{p}=1$, obţinem $\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{n}>\frac{1}{n!}$ sau $(n!)^{2}>n^{n}$.
Această inegalitate se demonstrează şi prin inducţie matematică, folosind inegalitatea
$\mathrm{n}+1>\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}, n \geq 3$ | $2 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-248-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-248-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3babe1ebbe42a1fe3f4ab9b38f82f4c369fc594 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-248-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,63 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi
28 februarie 2016
Clasa a VIII-a + +Problema 1. + +Să se compare numerele $-\sqrt{n}$ si $-\pi$, unde + +$n=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}}{2 \cdot \sqrt{6}-(-\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{4}) \cdot(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})}: \frac{(\sqrt{2015}-\sqrt{2016})^{2}-(\sqrt{2015}+\sqrt{2016})^{2}}{(2015 \cdot \sqrt{2016}-2016 \sqrt{2015}) \cdot(\sqrt{2015}+\sqrt{2016})} \cdot 0,5^{-2}$. + +Problema 2. + +Să se demonstreze că numărul $a=2 \cdot n^{2}+\left[\sqrt{4 \cdot n^{2}+n}\right]+1, n \in \mathbb{N}^{*}$, poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte. ( S-a notat cu $[x]$ partea întreagă a numărului real $x$ ). + +Problema 3. + +În interiorul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, se consideră $n^{3}+1$ puncte distincte. Să se demonstreze că există cel puţin două puncte cu proprietatea că distanţa dintre acestea este mai mică sau egală cu $\frac{1}{\mathrm{n}} \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. + +Problema 4. + +Pe planul pătratului $\mathrm{ABCD}$ se ridică perpendicularele $\mathrm{AM}$ şi $\mathrm{CN}$, astfel încât punctele $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ sunt situate de aceeaşi parte a planului pătratului. + +a) Să se demonstreze că planele $(M B D)$ şi (NBD) sunt perpendiculare pe planul (MAC). + +b) Să se demonstreze că proiecţia punctului A pe planul (MBD) este ortocentrul triunghiului $\triangle \mathrm{BMD}$, iar proiecţia punctului $\mathrm{C}$ pe planul $(N B D)$ este ortocentrul triunghiului $\triangle \mathrm{BDN}$. + +c) Fie punctele $E, F \in(A C)$ astfel încât $\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}$ şi $\frac{A F}{A C}=\frac{3}{4}$. Să se demonstreze că suma $P E+Q F=$ constantă, unde punctul $\mathrm{P}$ este ortocentrul triunghiului $\triangle \mathrm{MBD}$, iar punctul $\mathrm{Q}$ este ortocentrul triunghiului $\triangle \mathrm{NBD}$. + +Notă: Toate problemele sunt obligatorii + +Timp efectiv de lucru 3 ore + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 0 la 7 + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a VIII-a + +Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
nroblemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}=2+3+5+2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=$
$10+2 \cdot \sqrt{6}+2 \cdot \sqrt{10}+2 \cdot \sqrt{15} ;$
$(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}=2+3+5-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=$
$10-2 \cdot \sqrt{6}-2 \cdot \sqrt{10}+2 \cdot \sqrt{15} ;$
$(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}=2+3+5-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}-2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=$
$10-2 \cdot \sqrt{6}+2 \cdot \sqrt{10}-2 \cdot \sqrt{15} ;$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}=2+3+5+2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}-2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=$
$10+2 \cdot \sqrt{6}-2 \cdot \sqrt{10}-2 \cdot \sqrt{15} ;$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}=40$ | $2 p$ | +| | $2 \cdot \sqrt{6}-(-\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{4}) \cdot(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})=$
$2 \cdot \sqrt{6}-(-1+\sqrt{2}+\sqrt{3}-2) \cdot(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)=$
$2 \cdot \sqrt{6}-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-3) \cdot(\sqrt{2}+\sqrt{3}+3)=2 \cdot \sqrt{6}-\left[(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-9\right]=$
$2 \cdot \sqrt{6}-(2+3+2 \cdot \sqrt{6}-9)=2 \cdot \sqrt{6}-2 \cdot \sqrt{6}+4=4$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $(\sqrt{2015}-\sqrt{2016})^{2}-(\sqrt{2015}+\sqrt{2016})^{2}=$
$(\sqrt{2015}-\sqrt{2016}-\sqrt{2015}-\sqrt{2016}) \cdot(\sqrt{2015}-\sqrt{2016}+\sqrt{2015}+\sqrt{2016})=$
$-2 \cdot \sqrt{2016} \cdot 2 \cdot \sqrt{2015}=-4 \cdot \sqrt{2016} \cdot \sqrt{2015}$ | 1p | +| | $(2015 \cdot \sqrt{2016}-2016 \sqrt{2015}) \cdot(\sqrt{2015}+\sqrt{2016})=$
$\sqrt{2016} \cdot \sqrt{2015} \cdot(\sqrt{2015}-\sqrt{2016}) \cdot(\sqrt{2015}+\sqrt{2016})=$
$\sqrt{2016} \cdot \sqrt{2015} \cdot(2015-2016)=-\sqrt{2016} \cdot \sqrt{2015}$ | $1 \mathbf{p}$ | + + +| | $0,5^{-2}=\left(\frac{5}{10}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^{2}=4$ | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $n=\frac{40}{4}: 4 \cdot 4=10 ;$
Se calculează $\sqrt{10}=3,16 \ldots$
$-\sqrt{10}=-3,16 \ldots ;$
$-\pi=-3,14 \ldots ;$
Asadar, $-\sqrt{10}<-\pi$. | $1 \mathbf{p}$ | +| 2. | $[x]=k, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k \leq x $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow n>0 \Rightarrow 4 \cdot n^{2}+n>4 \cdot n^{2} ; \quad$ (1)
$(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow 4 \cdot n^{2}+n<4 \cdot n^{2}+4 \cdot n+1 ; \quad$ (2)
Din 1 şi $2 \Rightarrow 4 \cdot n^{2}<4 \cdot n^{2}+n<4 \cdot n^{2}+4 \cdot n+1 \Leftrightarrow$
$2 \cdot n<\sqrt{4 n^{2}+n}<2 \cdot n+1 \Leftrightarrow$
$\left[\sqrt{4 n^{2}+n}\right]=2 n$
$a=2 \cdot n^{2}+2 \cdot n+1=(n+1)^{2}+n^{2}$ | $3 p$
$1 p$ | +| 3. | Se împarte fiecare muchie a paralelipipedului dreptunghic în $n$ părţi egale, obţinându-se
astfel $n^{3}$ paralelipipede dreptunghice de dimensiuni: $\frac{a}{n}, \frac{b}{n}, \frac{c}{n}$.
Diagonala unui astfel de paralelipiped dreptunghic este $\frac{1}{n} \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.
Aplicăm principiul lui Dirichlet celor $n^{3}+1$ puncte distincte şi celor $n^{3}$ paralelipipede dreptunghice.
Rezultă că există cel puțin 2 puncte într-un paralelipiped din cele $n^{3}$ paralelipipede dreptunghice.
Atunci distanţa dintre cele două puncte este mai mică sau egală cu diagonala acestui paralelipiped
dreptunghic, care este $\frac{1}{n} \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. | $3 \mathbf{p}$
$1 \mathbf{p}$
$2 p$
$1 \mathbf{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8358f42e47d6416d6be1g-4.jpg?height=2217&width=1699&top_left_y=149&top_left_x=213) + +| c) $A E=\frac{1}{4} A C=\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot A O=\frac{1}{2} \cdot A O \Rightarrow A E=E O ; A P \perp M O \Rightarrow \triangle A P O: \mathrm{m}(\measuredangle A P O)=90^{\circ} ;$ | | +| :--- | :--- | :--- | +| $\left\{\begin{array}{l}\triangle A P O: \mathrm{m}(\measuredangle A P O)=90^{\circ} \Rightarrow P E=O E=E A=\frac{1}{4} \cdot A C ; \\ P E \text { mediană } \\ A F=\frac{3}{4} \cdot A C \Rightarrow A C-C F=\frac{3}{4} \cdot A C \Rightarrow C F=\frac{1}{4} \cdot A C ; C Q \perp N O \Rightarrow \triangle C Q O: \mathrm{m}(\measuredangle C Q O)=90^{\circ} ; \\ \left\{\begin{array}{l}\triangle C Q O: \mathrm{m}(\measuredangle C Q O)=90^{\circ} \\ Q F \text { mediană }\end{array} \Rightarrow Q F=O F=C F=\frac{1}{4} \cdot A C ;\right. \\ P E+Q F=\frac{1}{2} \cdot A C=\text { constant. }\end{array}\right.$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-249-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-249-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9c06f83bce4937cf38c9d847ccf959369299fc6b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-249-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,67 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 28 februarie 2016 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. + +Fie numerele: $\mathrm{a}=\frac{4}{3^{n}+3^{n+1}}, n \in \mathbb{N}^{*}$; + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{b}=\frac{13}{3^{n}+3^{n+1}+3^{n+2}}, n \in \mathbb{N}^{*} \\ +& \mathrm{c}=\frac{3^{n}+(-3)^{n}-9^{n}-(-9)^{n}}{3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{n}}, n \in \mathbb{N}^{*} +\end{aligned} +$$ + +a) Să se compare numerele a şi b. + +b) Să se demonstreze că numărul $(-6 \cdot c) \cdot(a+b)$ este pătrat perfect, $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Problema 2. + +Fie numerele a, b, c, $d \in \mathbb{R}_{+}$, astfel încât $\mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \cdot \mathrm{c} \cdot \mathrm{d}=1$. Să se calculeze: + +$$ +\mathrm{E}=\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{7+c}{1+c+c d+c d a}+\frac{7+d}{1+d+a d+d a b} +$$ + +Problema 3. + +În paralelogramul $\mathrm{ABCD}$, bisectoarele unghiurilor $\measuredangle \mathrm{DAB}$ şi $\measuredangle \mathrm{ABC}$ se intersectează în punctul $\mathrm{F}, \mathrm{F} \in(C D)$, iar aria triunghiului $\triangle \mathrm{AFB}$ este $25 \mathrm{~cm}^{2}$. Să se calculeze: + +a) aria triunghiului $\triangle \mathrm{ADF}$ şi aria paralelogramului $\mathrm{ABCD}$. + +b) dacă $\mathrm{AF} \cap \mathrm{BD}=\{P\}$ şi $\mathrm{BF} \cap \mathrm{AC}=\{Q\}$, să se demonstreze că $\mathrm{PQ} \| \mathrm{DC}$. + +Problema 4. + +Fie patrulaterul convex $\mathrm{ABCD}, m(\measuredangle A) \neq m(\measuredangle B), \mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{T\}$ si punctele $\mathrm{M} \in(B C)$, $N \in(A D)$, astfel încât $[A N] \equiv[M B]$. Să se demonstreze că dreapta determinată de mijloacele segmentelor $[M N]$ si $[A B]$ este paralelă cu bisectoarea unghiului $\measuredangle A T B$. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie-2016 + +## Clasa a VII-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| | a) $\mathrm{a}=\frac{4}{3^{n}+3^{n+1}}=\frac{4}{3^{n}+3^{n} \cdot 3}=\frac{4}{3^{n} \cdot(1+3)}=\frac{4}{3^{n} \cdot 4}=\frac{1}{3^{n}}$
$\mathrm{~b}=\frac{13}{3^{n}+3^{n+1}+3^{n+2}}=\frac{13}{3^{n} \cdot\left(1+3+3^{2}\right)}=\frac{13}{3^{n} \cdot 13}=\frac{1}{3^{n}}$
$a=b$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1. | b)Calculăm $\mathrm{S}=3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{n} / \cdot 3 \Rightarrow 3 \cdot \mathrm{S}=3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{n}+3^{n+1} ;$
$\left.\begin{array}{l}\mathrm{S}=3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{n} \\ 3 \cdot \mathrm{S}=3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{n}+3^{n+1}\end{array}\right\} \uparrow \Rightarrow{ }^{n} \cdot \mathrm{S}=3^{n+1}-3 \Rightarrow \mathrm{S}=\frac{3 \cdot\left(3^{n}-1\right)}{2} ;$
$3^{n}+(-3)^{n}-9^{n}-(-9)^{n}=3^{n} \cdot\left(1+(-1)^{n}\right)-9^{n} \cdot\left(1+(-1)^{n}\right)=-3^{n} \cdot\left(1+(-1)^{n}\right) \cdot\left(3^{n}-1\right)$
$\mathrm{c}=\frac{-3^{n} \cdot\left(1+(-1)^{n}\right) \cdot\left(3^{n}-1\right)}{3 \cdot \frac{3^{n}-1}{2}}=-3^{n} \cdot\left(1+(-1)^{n}\right) \cdot\left(3^{n}-1\right) \cdot \frac{2}{3 \cdot\left(3^{n}-1\right)}=-2 \cdot 3^{n-1} \cdot\left(1+(-1)^{n}\right)=$
$=\left\{\begin{array}{l}0, n=2 k+1, k \in \mathbb{N} \\ -2^{2} \cdot 3^{n-1}, n=2 k, k \in \mathbb{N}^{*} \\ 1 . n=2 k, k \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow(-6 \cdot c) \cdot(a+b)=(-6) \cdot\left(-2^{2}\right) \cdot 3^{n-1} \cdot \frac{2}{3^{n}}=2^{4}=16=p \cdot p \cdot\end{array}\right.$
2. $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1, \mathrm{k} \in \mathbb{N} \Rightarrow(-6 \cdot c) \cdot(a+b)=0=p \cdot p$. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2. | $\mathrm{E}=\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{7+c}{1+c+c d+c d a}+\frac{7+d}{1+d+a d+d a b}$
$b \cdot c \cdot d) \quad \frac{7+a}{1+a+a b+a b c}=\frac{7 b c d+1}{b c d+a b c d+a b^{2} c d+a b^{2} c^{2} d}=\frac{7 b c d+1}{b c d+1+b+b c} ;$
b) $\frac{7+c}{1+c+c d+c d a}=\frac{7 b+c b}{b+b c+b c d+1} ;$
bcc) $\frac{7+d}{1+d+a d+d a b}=\frac{7 b c+b c d}{b c+b c d+a b c d+a b^{2} c d}=\frac{7 b c+b c d}{b c+b c d+1+b}$
$\frac{7 b c d+1}{b c d+1+b+b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{7 b+c b}{b+b c+b c d+1}+\frac{7 b c+b c d}{b c+b c d+1+b}=\frac{8+8 \cdot b+8 \cdot b c+8 b c d}{1+b+b c+b c d}=8$ | $2 p$
$2 p$ | + + +| 3. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dc4d32fab46ea9bf6e11g-3.jpg?height=1073&width=1292&top_left_y=146&top_left_x=435) | 1p
1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | b) $A B C D$ paralelogram, fie $\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\{O\}, A O=O C, B O=O D ;$
În triunghiul $\triangle \mathrm{ADC}$ : $[\mathrm{AF}]$ mediană, $[\mathrm{DO}]$ mediană, $\mathrm{AF} \cap \mathrm{DO}=\{P\} \Rightarrow P$ este centrul de greutate al $\triangle \mathrm{ADC} \Rightarrow$
$\frac{A P}{P F}=\frac{2}{1} ;(1)$
În triunghiul $\triangle \mathrm{BDC}:[\mathrm{BF}]$ mediană, $[\mathrm{CO}]$ mediană, $\mathrm{BF} \cap C O=\{Q\} \Rightarrow Q$ este centrul de greutate al $\triangle \mathrm{BDC} \Rightarrow$
$\frac{B Q}{Q N}=\frac{2}{1} ;(2)$
Din 1 ş $2 \Rightarrow \frac{A P}{P N}=\frac{B Q}{Q N} \stackrel{\text { R.T.Th }}{\Rightarrow} P Q\\|A B\\| D C$. | $1 p$
$1 p$ | + + +| 4. | Fie $\mathrm{P} \in(A B),[A P] \equiv[P B] ;$
Fie $\mathrm{Q} \in(M N),[M Q] \equiv[Q N] ;$
Fie $\mathrm{AE} \\| \mathrm{NQ}$ şi $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{NQ}] \Rightarrow A E Q N$ este paralelogram $\Rightarrow[\mathrm{EQ}] \equiv[A N](1)$
Fie $\mathrm{BF} \\| M \mathrm{MQ}$ ş $[B F] \equiv[\mathrm{MQ}] \Rightarrow B M Q F$ este paralelogram $\Rightarrow[B M] \equiv[F Q](2)$
Dar $[B M] \equiv[A N](3)$
Din 1,2 ş $3 \Rightarrow[F Q] \equiv[\mathrm{EQ}] \Rightarrow \triangle Q E F$ este isoscel;
$\left\{\begin{array}{l}{[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{NQ}]} \\ \mathrm{AE} \\| \mathrm{NQ} \\ \mathrm{BF} \\| M \mathrm{Q} \\ {[B F] \equiv[\mathrm{MQ}]} \\ {[\mathrm{MQ}] \equiv[\mathrm{NQ}]}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\triangle Q E F \text { este isoscel } \\ {[E P] \equiv[P F]}\end{array} \Rightarrow[Q P\right.$ este bisectoarea $\measuredangle \mathrm{EQF} ;$
$\left\{\begin{array}{l}E Q \\| A N \\ F Q \\| B M \\ E Q \cap B T=\{U\} \\ F Q \cap A T=\{V\}\end{array}\right.$
$Q P$ este paralelă cu bisectoarea $\measuredangle A T B$. | $\mathbf{1 p}$
$\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-25-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. VI-baremclasaa6aetapa_iii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-25-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. VI-baremclasaa6aetapa_iii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c22b172a7f3e13970ffaa89c4be92fda1cd6e62 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-25-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. VI-baremclasaa6aetapa_iii.md" @@ -0,0 +1,74 @@ +Societatea de Științe Matematice din România + +# Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ + +Etapa a III-a, 23 mai 2021 + +## Barem - Clasa a VI-a + +1. a) Scrieți numărul 2021 ca sumă de puteri distincte cu baza (-2). + +b) Arătați că numărul 2021 nu se poate scrie ca sumă de puteri distincte cu baza (-3). + +| a) $2021=(-2)^{12}+(-2)^{11}+(-2)^{5}+(-2)^{2}+(-2)^{0}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :---: | +| b) $(-3)^{\mathrm{k}}=\mathrm{M}_{3}$, pentru orice $\mathrm{k} \geq 1$ | $\mathbf{1 p}$ | +| O sumă de puteri distincte cu baza $(-3)$ ar putea avea ca termen pe $(-3)^{0}$ sau nu.
Prin urmare, o suma de puteri distincte cu baza (-3) poate avea următoarele forme:
$M_{3}$ sau $M_{3}+(-3)^{0}=M_{3}+1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Cum $2021=M_{3}+2 \Rightarrow 2021$ nu se poate scrie ca sumă de puteri distincte cu baza (-3) | $\mathbf{1 p}$ | + +2. Pe o tablă sunt scrise numerele de forma $n(n+1)$, cu $n=1,2,3, \ldots, 2020$. Un copil alege trei numere $a, b$ și $c$ de pe tablă, le șterge și scrie pe tablă numărul $\frac{a b c}{a b+a c+b c}$. + +După 1009 astfel de operații, unul dintre numerele rămase pe tablă este 47. + +a) Calculați suma inverselor numerelor scrise inițial pe tablă. + +b) Aflați celelalte numere rămase pe tablă. + +| $a) \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{2020 \cdot 2021}=\frac{2-1}{1 \cdot 2}+\frac{3-2}{2 \cdot 3}+\frac{4-3}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{2021-2020}{2020 \cdot 2021}$ | 2p | +| :--- | :---: | +| $=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}=1-\frac{1}{2021}=\frac{2020}{2021}$ | | +| $b)$ La fiecare operație se șterg 3 numere și se adaugă 1, deci după 1009 operații se pierd
$1009 \cdot 2=2018$ numere din cele 2020 scrise inițial $\Rightarrow$ pe tablă rămân 2 numere | $\mathbf{1 p}$ | +| Deoarece $\frac{a b+a c+b c}{a b c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \Rightarrow$ inversul numărului scris pe tablă
după ștergerea numerelor $a, b, c$ este egal cu suma inverselor celor 3 numere $\Rightarrow$ | $\mathbf{2 p}$ | +| suma inverselor numerelor scrise pe tablă în orice moment este constantă, | | +| fiind egală cu suma inverselor numerelor scrise inițial și anume cu $\frac{2020}{2021}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| În concluzie, obținem că $\frac{1}{47}+\frac{1}{x}=\frac{2020}{2021}$, unde $x$ este celălalt număr rămas pe tablă $\Rightarrow$ | | +| $43 x+2021=2020 x \Rightarrow x=\frac{2021}{1977}$, deci pe tablă au rămas numerele 47 și $\frac{2021}{1977}$. | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2ec66ad93d1eb28e1f8g-2.jpg?height=232&width=1374&top_left_y=131&top_left_x=454) + +Societatea de Științe Matematice din România + +3. Fie $\triangle A B C$ cu $\boldsymbol{m}(\Varangle A)>90^{\circ}$. Considerăm ( $B E$ bisectoarea $\Varangle A B C, E \in A C$ și (CF bisectoarea $\Varangle A C B, F \in A B, B E \cap \boldsymbol{F}=\{\boldsymbol{I}\}$. Știind că $\boldsymbol{I E}=\boldsymbol{I F}$ arătați că $\triangle A B C$ este isoscel. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2ec66ad93d1eb28e1f8g-2.jpg?height=320&width=660&top_left_y=591&top_left_x=424) + +| Fie $I N \perp A B$ și $I M \perp A C$
Deoarece $I$ este centrul cercului înscris $\triangle A B C \Rightarrow(A I$ bisectoarea $\Varangle B A C \Rightarrow I N=I M$ | $2 p$ | +| :---: | :---: | +| $[I F] \equiv[I E]$ și $[I N] \equiv[I M] \stackrel{I . C .}{\Rightarrow} \Delta I F N \equiv \Delta I E M \Rightarrow \Varangle I F N \equiv \Varangle I E M \Rightarrow \Varangle I F B \equiv \Varangle I E C$ | $2 p$ | +| $\left\{\begin{array}{c}\Varangle \mathrm{IFB} \equiv \Varangle \mathrm{IEC} \\ {[\mathrm{IF}] \equiv[\mathrm{IE}]} \\ \Varangle \mathrm{FIB} \equiv \Varangle \mathrm{EIC}\end{array}\right\} \stackrel{\text { U.L.U. }}{\Longrightarrow} \Rightarrow \Delta I F B \equiv \Delta I E C \Rightarrow$ | $2 p$ | +| $\Rightarrow[I B] \equiv[I C] \Rightarrow[B E] \equiv[C F] \Rightarrow \triangle A B C$ isoscel | $1 p$ | + +4. Se consideră $n$ unghiuri în jurul unui punct având măsurile în grade exprimate prin $n$ numere prime distincte. Știind că unghiurile formate de bisectoarele oricăror două unghiuri adiacente dintre cele $n$ unghiuri date inițial au măsurile în grade exprimate prin numere prime, să se determine valorile posibile ale lui $n$. + +| Notăm $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}, \ldots . ., \mathrm{p}_{\mathrm{n}}$ cele $n$ măsuri care sunt numere prime distincte $\Rightarrow$
$\frac{p_{1}+p_{2}}{2}, \frac{p_{2}+p_{3}}{2}, \ldots, \frac{p_{n}+p_{1}}{2}$ sunt numere prime | $1 p$ | +| :---: | :---: | +| Dacă $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}=2 \Rightarrow \mathrm{p}_{\mathrm{i}+1}$ impar (pentru că numerele sunt distincte) $\Rightarrow \frac{p_{i}+p_{i+1}}{2} \notin \mathbf{N}$, deci $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}>2$,
iar toate $\frac{p_{i}+p_{i+1}}{2}>2$ şi sunt prime, deci impare | 1p | +| Numerele prime impare sunt fie 3 , fie de forma $M_{12}+r$, unde $r \in\{1,5,7,11\}$
Dacă există două numere $p_{i}=M_{12}+r_{1}$ si $p_{i+1}=M_{12}+r_{2}, r_{1} \neq r_{2}$, cu $r_{1}, r_{2} \in\{1,5,7,11\}$
atunci $\frac{M_{12}+r_{1}+M_{12}+r_{2}}{2} \in\left\{M_{12}+2 ; M_{12}+3\right\}$ contradicție $\Rightarrow$ toate numerele
$p_{i}$ sunt de forma $M_{12}+r, \operatorname{cu} r \in\{1,5,7,11\}$ sau, eventual, unul dintre numere este 3 . | 1p | +| Dacă toate numerele prime sunt diferite de $3 \Rightarrow 360=M_{12}+n r \Rightarrow n \vdots 12$
Dar cea mai mică sumă a 12 numere distincte de forma $M_{12}+r$, cu $r \in\{1,5,7,11\}$
este $12+12 \cdot(0+1+\cdots+11)=12 \cdot 67>360$, ceea ce nu se poate | 1p | +| Dacă unul dintre numerele prime $p_{i}$ este 3 , atunci, deoarece $\frac{3+1}{2}=2$ și $\frac{5+1}{2}=3$,
$\Rightarrow r \in\{7,11\}$, iar $3+M_{12}+(n-1) r=360 \Rightarrow n-1 \vdots 3$ și $n$ par $\Rightarrow n \in\{4,10, \ldots\}$ | $1 p$ | +| Dacă $n \geq 10$, cea mai mică sumă a 9 numere distincte de forma $M_{12}+r$, cu $r \in\{7,11\}$
este $63+12 \cdot(0+1+\cdots+8)=495>357$, nu se poate $\Rightarrow n$ poate fi doar 4 | 1p | +| Pentru $n=4$ avem, de exemplu, unghiurile cu măsurile de $3,59,167$ și 131 , iar măsurile
unghiurilor formate de bisectoare vor fi de $31,113,149$, respectiv 67 de grade. | $1 p$ | + +Societatea de Științe Matematice din România + +Barem alternativ + +| Notăm $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots ., p_{n}$ cele $n$ măsuri care sunt numere prime distincte $\Rightarrow$
$\frac{p_{1}+p_{2}}{2}, \frac{p_{2}+p_{3}}{2}, \ldots, \frac{p_{n}+p_{1}}{2}$ sunt numere prime | $1 p$ | +| :---: | :---: | +| Dacă $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}=2 \Rightarrow \mathrm{p}_{\mathrm{i}+1}$ impar (pentru că numerele sunt distincte) $\Rightarrow \frac{p_{i}+p_{i+1}}{2} \notin \mathbf{N}$, deci $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}>2$, iar
$\frac{p_{i}+p_{i+1}}{2}>2$ și prim, deci impar $\Rightarrow p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots ., p_{n}$ sunt fie toate $\mathrm{M}_{4}+1$, fie toate $\mathrm{M}_{4}+3$ | $1 p$ | +| Cum $\mathrm{p}_{1}+\mathrm{p}_{2}+\mathrm{p}_{3}+\ldots . .+\mathrm{p}_{\mathrm{n}}=360^{\circ}=\mathrm{M}_{4} \Rightarrow n$ trebuie să fie $\mathrm{M}_{4}$ | $1 p$ | +| Cum $\frac{p_{i}+p_{i+1}}{2} \neq 3$, prim $\Rightarrow p_{i}$ și $p_{i+1}$ trebuie să aibă fie amândouă aceeași formă
$\left(M_{3}+1\right.$ sau $\left.M_{3}+2\right)$, fie unul dintre ele să fie $M_{3}$, adică 3 , iar celălalt $M_{3}+1$ sau $M_{3}+2$ | $1 p$ | +| Cele mai mici 12 numere prime distincte de forma $M_{4}+1$ au suma
$5+13+17+29+37+41+53+61+73+89+97+101>360$,
iar suma celor mai mici nr. prime distincte de forma $M_{4}+3$ este
$3+7+11+19+23+31+43+47+59+67+71+79>360 \Rightarrow n \leq 8$. | $1 p$ | +| Dacă $n=8$, atunci putem avea fie unul dintre numerele $p_{i}=3$, iar toate celelalte de aceeași
formă $\left(M_{3}+1\right.$ sau $\left.M_{3}+2\right)$, fie toate cele 8 numere de aceeași formă $\left(M_{3}+1\right.$ sau
$\left.M_{3}+2\right) \Rightarrow$ suma celor 8 numere este de forma $M_{3}+1$ sau $M_{3}+2$
Cum $360=M_{3} \Rightarrow$ nu se poate $\Rightarrow n=4$ este singura variantă posibilă. | $1 p$ | +| Pentru $n=4$ avem, de exemplu, unghiurile cu măsurile de $3,59,167$ ș 131 , iar măsurile
unghiurilor formate de bisectoare vor fi de $31,113,149$, respectiv 67 de grade. | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-250-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-250-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1b387b9966761b75f8a47922a9d28c9d972a162 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-250-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a VI-a + +Problema 1. + +a) Să se determine numerele prime a, b, c pentru care $15 \cdot a+35 \cdot b+91 \cdot c=2015$. + +b) Câte numere prime de trei cifre se transformă în cuburi perfecte dacă schimbăm ordinea cifrelor lor? + +Problema 2. + +Fie punctele A, O, B coliniare în această ordine, iar de aceeaşi parte a dreptei AB se consideră semidreptele $[O E$ şi $[O F, \mathrm{OE} \perp \mathrm{OF}$, astfel ca $m(\measuredangle A O E) proble
mei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| | a) Fiecare din numerele $15 \cdot \mathrm{a} ; 35 \cdot \mathrm{b}$; 2015 se divide $\mathrm{cu} 5 \Rightarrow(91 \cdot \mathrm{c}): 5 \Rightarrow c=5$ (număr prim).
Egalitatea devine:15 $\mathrm{a}+35 \cdot \mathrm{b}+455=2015 \Rightarrow 15 \cdot \mathrm{a}+35 \cdot \mathrm{b}=1560 \Rightarrow 3 \cdot a+7 \cdot b=312 \Rightarrow(7 \cdot b) \vdots 3 \Rightarrow b=3$;
Înlocuind pe $b=3$ în egalitatea $3 \cdot a+7 \cdot b=312 \Rightarrow 3 \cdot a=291 \Rightarrow a=97$.
Aşadar, $\mathrm{a}=97$; b=3; c=5 | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 1 | b) Numerele de trei cifre, cuburi perfecte, sunt: $5^{3}=125,6^{3}=216,7^{3}=343,8^{3}=512,9^{3}=729$.
Le analizăm pe rând şi vedem care permutare a cifrelor formează numere prime.
1) $5^{3}=125 \Rightarrow$ numerele prime sunt: 521 si 251 (celelalte variante sunt numere compuse);
2) $6^{3}=216 \Rightarrow$ nici un număr prim (suma cifrelor se divide cu3);
3) $7^{3}=343 \Rightarrow 433$ este număr prim;
4) $8^{3}=512 \Rightarrow$ numerele prime sunt:521, 251 (soluţie de la punctul 1);
5) $9^{3}=729 \Rightarrow$ nici un număr prim (suma cifrelor se divide cu3).
Aşadar, există trei numere prime: $521,251,433$. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | Fie $m(\measuredangle F O X)=m(\measuredangle B O X)=a ; m(\measuredangle F O E)=90^{\circ}, m(\measuredangle A O E)=90^{\circ}-2 \cdot a$ | 3p | +| | Condiţia din ipoteză se scrie: $90^{\circ}-2 \cdot a+15=90^{\circ}-a \Rightarrow a=15^{\circ}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| | Aşadar, $m(\measuredangle A O E)=60^{\circ}, m(\measuredangle X O E)=105^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\overline{a b c}=n \cdot(17 \cdot \mathrm{a}+2 \cdot \mathrm{b}+2 \cdot \mathrm{c}), n \in \mathbb{N}^{*}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Observăm că $\mathrm{n} \leq 5$ deoarece pentru $n \geq 6$, membrul drept este mai mare decât cel stâng; | $1 \mathrm{p}$ | + + +| 3 | 1) $n=5 \Rightarrow 100 \cdot \mathrm{a}+10 \cdot \mathrm{b}+\mathrm{c}=85 \cdot \mathrm{a}+10 \cdot \mathrm{b}+10 \cdot \mathrm{c} \Rightarrow 15 \cdot \mathrm{a}=9 \cdot \mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{a}=3, \mathrm{c}=5 \Rightarrow$
numerele: $305,315,325, \ldots, 395$
2) $n=4 \Rightarrow 100 \cdot \mathrm{a}+10 \cdot \mathrm{b}+\mathrm{c}=68 \cdot \mathrm{a}+8 \cdot \mathrm{b}+8 \mathrm{c} \Rightarrow 32 \cdot \mathrm{a}+2 \cdot \mathrm{b}=7 \cdot \mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{c} \vdots 2 \Rightarrow 7 \cdot \mathrm{c} \geq 32 \Rightarrow \mathrm{c} \in\{6,8\} ;$
Dacă $c=6 \Rightarrow a=1, b=5 \Rightarrow 156$
Dacă $c=8 \Rightarrow a=1, b=12-\mathrm{nu}$ convine
3) $n=3 \Rightarrow 100 \cdot \mathrm{a}+10 \cdot \mathrm{b}+\mathrm{c}=51 \cdot \mathrm{a}+6 \cdot \mathrm{b}+6 \cdot \mathrm{c} \Rightarrow 49 \cdot \mathrm{a}+4 \cdot \mathrm{b}=5 \cdot \mathrm{c} \Rightarrow$ imposibil;
4) $n \in\{1,2\} \Rightarrow$ nu se obţin soluţii, membrul stâng este prea mare.
Numerele căutate sunt: $305,315,325, \ldots, 395,156$. | 3p
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | a) $\frac{7}{21}$
$\frac{14}{35}$ | 2p
$1 \mathrm{p}$ | +| 4 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b7a184df0d82c0d38b4cg-3.jpg?height=511&width=1332&top_left_y=870&top_left_x=545) | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$

$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-251-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-251-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0716996289047eb5334f3badb9d82f0f81da5825 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-251-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 28 februarie 2016 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. + +a) Să se demonstreze că numărul $2017+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)$ este pătrat perfect. + +b) Să se determine numărul natural $n$ pentru care se verifică egalitatea: $9^{n}+9^{n+1}=30 \cdot 3^{2015}$. + +Problema 2. + +Să se determine numerele de forma $\overline{a b c d}$, ştiind că: + +$\overline{a b c d}+\overline{a b} \cdot \overline{c d}-98 \cdot \overline{a b}+2 \cdot \overline{c d}=2085$. + +Problema 3. + +Se consideră pătratul din figura 1, unde în vârful A s-a pus numărul 1, în vârful B s-a pus numărul 2, în vârful C s-a pus numărul 3, iar în D s-a pus numărul 4. La fiecare etapă se alege o latură dintre cele patru şi se măresc ambele numere de la capetele ei cu câte 5 unităţi fiecare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7c0d7733c107d6a4d460g-1.jpg?height=405&width=714&top_left_y=1088&top_left_x=500) + +a) Să se calculeze suma celor patru numere din vârfurile pătratului din figura 1, după 150 etape. + +b) Să se explice dacă după un număr natural de etape se poate ajunge la figura 2. + +$\mathrm{A}(2011$ ) B(2017) + +Figura 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7c0d7733c107d6a4d460g-1.jpg?height=380&width=605&top_left_y=1752&top_left_x=657) + +Problema 4. + +Un număr natural se numeşte cub bipătratic dacă este cub perfect şi se scrie ca suma a două numere pătrate perfecte nenule diferite. Un număr natural se numeşte pătrat bicubic dacă este pătrat perfect şi se scrie ca suma a două numere cuburi perfecte nenule diferite. + +a) Daţi un exemplu de un număr cub bipătratic şi un exemplu de număr pătrat bicubic. + +b) Să se demonstreze că există o infinitate de numere cuburi bipătrate şi o infinitate de numere pătrate bicubice. + +Notă: Toate problemele sunt obligatorii. + +Timp efectiv de lucru 2 ore. + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 0 la 7. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a V-a + +Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
nroblemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7c0d7733c107d6a4d460g-2.jpg?height=251&width=986&top_left_y=731&top_left_x=438) | 3p | +| | $2017+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)=2017+2 \cdot 2017 \cdot 2016: 2=$
$2017+2017 \cdot 2016=2017 \cdot(2016+1)=$
$2017^{2}=$ pătrat perfect. | 2p | +| | $9^{n}+9^{n+1}=30 \cdot 3^{2015}$
$9^{n}+9^{n} \cdot 9=30 \cdot 3^{2015}$
$9^{n} \cdot(1+9)=30 \cdot 3^{2015}$
$9^{n} \cdot 10=30 \cdot 3^{2015}$ | 1p | +| | $9^{n}=3 \cdot 3^{2015}$
$9^{n}=3^{2016}$
$3^{2 n}=3^{2016}$
$2 n=2016$
$n=1008$ | 1p | + + +| 2. | $\overline{a b c d}+\overline{a b} \cdot \overline{c d}-98 \cdot \overline{a b}+2 \cdot \overline{c d}=2085$
$100 \cdot \overline{a b}+\overline{c d}+\overline{a b} \cdot \overline{c d}-98 \cdot \overline{a b}+2 \cdot \overline{c d}=2085 \Rightarrow$
$2 \cdot \overline{a b}+3 \cdot \overline{c d}+\overline{a b} \cdot \overline{c d}=2085$
$2 \cdot \overline{a b}+\overline{a b} \cdot \overline{c d}+3 \cdot \overline{c d}+6=2085+6$
$\overline{a b} \cdot(2+\overline{c d})+3 \cdot(2+\overline{c d})=2091$
$(\overline{a b}+3) \cdot(2+\overline{c d})=2091$
$2091=51 \cdot 41$
$(\overline{a b}+3) \cdot(2+\overline{c d})=51 \cdot 41$
I. $\left\{\begin{array}{l}\overline{a b}+3=51 \\ 2+\overline{c d}=41\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overline{a b}=48 \\ \overline{c d}=39\end{array} \Rightarrow \overline{a b c d}=4839\right.\right.$
$2 \cdot\left\{\begin{array}{l}\overline{a b}+3=41 \\ 2+\overline{c d}=51\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overline{a b}=38 \\ \overline{c d}=49\end{array} \Rightarrow \overline{a b c d}=3849\right.\right.$ | $2 p$
$1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7c0d7733c107d6a4d460g-3.jpg?height=675&width=1279&top_left_y=984&top_left_x=447) | $3 p$
$\mathbf{2 p}$
$1 \mathbf{p}$ | +| 4. | a) $5^{3}=5^{2}+10^{2} \Rightarrow 125$ este cub bipătratic;
$3^{2}=1^{3}+2^{3} \Rightarrow 9$ este pătrat bicubic; | $\mathbf{2 p}$
$\mathbf{1 p}$ | +| | b)Fie a,b $\in \mathbb{N}^{*}, a \neq b$ si $a^{2}+b^{2}=k, k \in \mathbb{N}^{*} ;$
$a^{2}+b^{2}=k / \cdot k^{2} \Rightarrow a^{2} \cdot k^{2}+b^{2} \cdot k^{2}=k^{3} \Rightarrow(a \cdot k)^{2}+(b \cdot k)^{2}=k^{3} \Rightarrow k^{3}$ este cub bipătratic cu
conditia ca numărul $\mathrm{k} \in \mathbb{N}^{*}$ să fie suma a două pătrate perfecte, nenule, diferite.
Cum a,b $\in \mathbb{N}^{*}, a \neq b$ şi oarecare $\Rightarrow$ există $k=a^{2}+b^{2}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}^{*}$, cu proprietatea $k^{3}=(a \cdot k)^{2}+(b \cdot k)^{2} \Rightarrow$
există o infinitate de numere cuburi bipătrate. | $2 p$ | +| | Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{N}^{*}, a \neq b$ şi $a^{3}+b^{3}=t, t \in \mathbb{N}^{*} ;$
$a^{3}+b^{3}=t / \cdot t^{3} \Rightarrow(a \cdot t)^{3}+(b \cdot t)^{3}=\left(t^{2}\right)^{2} \Rightarrow t^{4}$ este pătrat bicubic cu condiţia
ca numărul $t$ să fie suma a două cuburi perfecte, nenule, diferite. | 2p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-252-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-252-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91e680a7c6fde4be27ce6307559d32e4a29955e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-252-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie 2016 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. + +Să se demonstreze că numărul $13^{n}+7^{n}-2$ este divizibil cu $9,(\forall) n \in \mathbb{N}$. + +Problema 2. + +Să se demonstreze că numerele $\sqrt{11}, \sqrt{13}, \sqrt{15}$ nu se pot găsi printre termenii unui şir $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, unde $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică. + +Problema 3. + +Să se determine numerele reale $x, y$ care verifică egalitatea $|x+y| \cdot\left[\frac{6 \cdot x}{x^{2}+9}\right]=2016$, unde prin $[a]$ s-a notat partea întreagă a numărului real a. + +Problema 4. + +Se consideră pătratul $\mathrm{ABCD}$ şi un punct $\mathrm{E}$ pe diagonala $\mathrm{BD}$. Fie $\mathrm{P}$ centrul cercului circumscris triunghiului ADE şi S ortocentrul triunghiului AEB. Dacă O este simetricul punctului $\mathrm{P}$ faţă de $\mathrm{AE}$, să se demonstreze că $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O S}$. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +28 februarie-2016 + +## Clasa a IX-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Puncta | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | Demonstrăm prin inductie matematică:
$\mathrm{P}(n):\left(13^{n}+7^{n}-2\right): 9,(\forall) n \in \mathbb{N}$
I. $\mathrm{P}(0): 13^{0}+7^{0}-2=0: 9(A) ;$
II.P $(n) \rightarrow \mathrm{P}(n+1),(\forall) n \in \mathbb{N} ;$
$\mathrm{P}(n+1):\left(13^{n+1}+7^{n+1}-2\right) \vdots 9$
$13^{n+1}+7^{n+1}-2=13^{n} \cdot 13+7^{n} \cdot 13-26-7^{n} \cdot 6+24=13 \cdot \underbrace{\left(13^{n}+7^{n}-2\right)}_{: 9}-6 \cdot\left(7^{n}-4\right) ;$
$6 \cdot\left(7^{n}-4\right) \vdots 3(1)$
$7^{n}-4=(6+1)^{n}-4=M_{3}+1-4=M_{3}-3=M_{3} \Rightarrow\left(7^{n}-4\right) \vdots 3,(\forall) n \in \mathbb{N}(2)$
Din 1 şi $2 \Rightarrow 6 \cdot\left(7^{n}-4\right): 9,(\forall) n \in \mathbb{N} ;$
Aşadar $\mathrm{P}(n+1)$ este adevărată;
Conform principiului inducţiei matematice $\Rightarrow \mathrm{P}(n)$ este propoziţie adevărată, $(\forall) n \in \mathbb{N}$ | $2 p$
$1 p$
$1 p$ | +| 2. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_160ade4acfe53d88d9d6g-2.jpg?height=623&width=1297&top_left_y=1613&top_left_x=438) | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_160ade4acfe53d88d9d6g-3.jpg?height=1477&width=1699&top_left_y=80&top_left_x=213) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-253-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-253-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b843032bd3271e8233946c70465673d58a5cf29 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-253-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 26 februarie 2016
Clasa a VIII-a
Subiecte + +1. Rezolvați în $\Re$ ecuația: + +$$ +\frac{x^{2}-2004}{12}+\frac{x^{2}-2012}{4}=\frac{x^{2}-4}{2012}+\frac{x^{2}-12}{2004} +$$ + +2. Se consideră numărul $a=\sqrt{n^{2}+7 n+7}$, unde $n$ este un număr natural impar. Arătați că numărul $a$ este irațional și aflați partea sa întreagă. +3. Fie $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ o prismă triunghiulară regulată $\mathrm{cu} A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, A A^{\prime}=12 \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{P}$ un punct pe muchia CC'. + +a) Aflați lungimea segmentului $C P$, știind că aria triunghiului $P A B$ este egală cu $12 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Determinați sinusul unghiului dintre dreptele $A C$ și $C^{\prime} M$, unde $M$ este mijlocul lui $A B$. + +Supliment G.M. 2015 + +## NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + + +## OLIMPLADA NATIONALĂ DE MATEMATICÄ
Etapa locală -26 februarie 2016
Clasa a VIII-a + +Soluţii și bareme + +1. Ecuaţia se poate scrie sub forma: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{x^{2}-2016+12}{12}+\frac{x^{2}-2016+4}{4}=\frac{x^{2}-2016+2012}{2012}+\frac{x^{2}-2016+2004}{2004} \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow \frac{x^{2}-2016}{12}+1+\frac{x^{2}-2016}{4}+1=\frac{x^{2}-2016}{2012}+1+\frac{x^{2}-2016}{2004}+1 \Leftrightarrow +\end{aligned} +$$ + +Din $\frac{1}{12}>\frac{1}{2012}, \frac{1}{4}>\frac{1}{2004}$ deducem că $\frac{1}{12}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2012}-\frac{1}{2004}>0$ + +deci $x= \pm \sqrt{2016}= \pm 12 \sqrt{14}$ + +2. Avem $n^{2}+7 n+7(n+3)^{2}$ + +(1) $\Leftrightarrow n>2$. Deci, pentru $n>2$, avem $(n+3)^{2} ETAPA LOCALĂ- Clasa a VII-a
26 februarie 2016
Subiecte + +1. a) Dacă $1y$ și $n=\frac{\sqrt{x y}}{3 \sqrt{2}} \in \mathbf{N}^{*}$, aflaṭi valoarea lui $n^{2}+n+1$ + +2. Se dau numerele: $a=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\cdots+\sqrt{3^{2016}}$, $b=3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2016}$ ṣi $c=\frac{b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}-1$. Arătați că $c$ este pătrat perfect. + +S:E 15.144 Supliment G.M. nr.4/ 2015 + +3. În dreptunghiul $A B C D$ perpendiculara din $C$ pe diagonala $B D$ intersectează pe $(A B)$ în $M$ ṣi pe $A D$ în $P$. Să se arate că: +a) $D M \perp P B$; +b) $D B \cdot D C=D A \cdot P C$ + +## NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDET,EAN + +BISTRIȚA - NĂSĂUD + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - 26.02.2016
Clasa a VII-a
-barem- + +1. a) Dacă $1y$ și $n=\frac{\sqrt{x y}}{3 \sqrt{2}} \in \mathbf{N}^{*}$, aflaṭi valoarea lui $n^{2}+n+1$ + +## SOLUTIIE SII BAREM DE NOTARE: + +a) $E=|a-\sqrt{2}|+|2 a-\sqrt{3}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{2}-a+2 a-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=a \Rightarrow E=a$ (2p) + +b) Din $n=\frac{\sqrt{10 x+y}}{\sqrt{18}} \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow n^{2}=\frac{10 x+y}{18}$ + +Cum în plus $10 x+y<99$ şi $x>y$ singura posibilitate este $n^{2}=4$ + +$10 x+y=72 \Rightarrow x=7$ s $i \quad y=2$ deci $n=2 \quad$ (1p) + +Aṣadar $n^{2}+n+1=4+2+1=7 \quad$ (1p) + +2. Se dau numerele: $a=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\cdots+\sqrt{3^{2016}}$, $b=3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2016}$ ṣi $c=\frac{b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}-1$. Arătaṭi că $c$ este pătrat perfect. + +S:E 15.144 Supliment G.M. nr.4/ 2015 + +## SOLUTIIE SII BAREM DE NOTARE: + +$\sqrt{3} \cdot a=\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\sqrt{3^{4}}+\cdots+\sqrt{3^{2016}}+\sqrt{3^{2017}}$ + +$a=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\sqrt{3^{4}}+\cdots+\sqrt{3^{2016}}$ + +Scăzând cele două relații obținem: + +$a \cdot(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\sqrt{3^{4}}+\cdots+\sqrt{3^{2016}}+\sqrt{3^{2017}}-\sqrt{3}-\sqrt{3^{2}}-\sqrt{3^{3}}-\sqrt{3^{4}}-\cdots-$ + +(1p) + +$a \cdot(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3^{2017}}-\sqrt{3} \Rightarrow a=\frac{\sqrt{3^{30 \pi T}}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ + +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDET, BISTRIȚA - NĂSĂUD + +$3 \cdot b=3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{2016}+3^{2017} ; b=3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2016}$ + +Scăzând cele două relații obținem: $b=\frac{3^{2017}-3}{2}$ + +$(0,5 p)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0c465669f8f65c93d54fg-3.jpg?height=143&width=1627&top_left_y=431&top_left_x=223) +$\frac{3 \cdot\left(3^{2016}-1\right)}{\sqrt{3} \cdot\left(\sqrt{3^{2016}}-1\right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}-1=\frac{3^{2016}-1}{\sqrt{3^{2016}}-1}-1$ + +(2p) + +$c=\frac{1+3^{2016}-1-\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}}-1}=\frac{3^{2016}-3^{1008}}{3^{1008}-1}=3^{1008}=\left(3^{504}\right)^{2} \Rightarrow c$ este pătrat perfect + +3. În dreptunghiul $A B C D$ perpendiculara din $C$ pe diagonala $B D$ intersectează pe $(A B)$ în $M$ și pe $A D$ în $P$. Să se arate că: +a) $D M \perp P B$; +b) $D B \cdot D C=D A \cdot P C$ + +În $\triangle B D P, B A \perp P D$ ， + +$P M \perp B D \quad(2 p) \quad \Rightarrow M$ este ortocentrul triunghiului $\triangle B D P \Rightarrow D M \perp$ + +$P B$ + +(1p) + +Din asemănarea triunghiurilor $\triangle A B D$ si $\triangle D P C$ (2p) $\Rightarrow \frac{A D}{D C}=\frac{B D}{p C} \Rightarrow B D \cdot D C=A D \cdot P C$ (1p) Se acordă (1p) pe desenul corect. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0c465669f8f65c93d54fg-3.jpg?height=928&width=802&top_left_y=1683&top_left_x=844) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-255-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-255-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..450caca1c4b35a73dace6dffb0cddba17ea5736f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-255-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +FAZA LOCALĂ - 26.02.2016 + +## Clasa a VI-a + +-subiect- + +1) Să se arate că: + +a) numărul $A=5+5^{2}+5^{3}$ este divizibil cu 31 ; + +b) numărul $B=5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{2017}$ este divizibil cu 775 . + +2) Fie $a, b, c$ numere raţionale pozitive, astfel încât $\frac{7}{a+11}+\frac{21}{3 b+39}+\frac{35}{5 c+85}+\frac{49}{7 d+133}=1,75$. + +Să se arate că numărul $\frac{a+7}{a+11}+\frac{b+9}{b+13}+\frac{c+13}{c+17}+\frac{d+15}{d+19}$ este natural. + +3) Unghiurile $A O B$ şi $B O C$ sunt adiacente suplementare şi $m(\Varangle A O B)=150^{\circ}$. În semiplanul opus semiplanului determinat de dreapta $\mathrm{AC}$ şi punctul $\mathrm{B}$ se iau semidreptele [OD astfel încât $m(\Varangle D O B)=120^{\circ}$, [OE astfel încât $m(\Varangle E O C)=2 \cdot m(\Varangle B O C)$ şi [OF astfel încât $\Varangle F O D \equiv \Varangle E O C$. Calculaţi măsurile unghiurilor $E O B, D O C$ şi $B O F$. + +Supliment GM, noiembrie 2015 + +## NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN + +BISTRIȚA - NĂSĂUD + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - 26.02.2016
Clasa a VI-a
-barem- + +1) Să se arate că: + +a) numărul $A=5+5^{2}+5^{3}$ este divizibil cu 31 ; + +b) numărul $B=5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{2017}$ este divizibil cu 775 . + +## Soluţie: + +a) $A=5 \cdot\left(1+5+5^{2}\right)$ $1 \mathrm{p}$ + +$A=5 \cdot 31 \Rightarrow A \vdots 31$ $1 \mathrm{p}$ + +b) $B=5 \cdot\left(5+5^{2}+\ldots+5^{2016}\right)$ $1 \mathrm{p}$ + +în paranteză putem grupa câte trei termeni, 2016 este divizibil cu 3 $1 \mathrm{p}$ + +obţinem, $B=5 \cdot\left[5 \cdot\left(1+5+5^{2}\right)+5^{4} \cdot\left(1+5+5^{2}\right)+\ldots+5^{2014} \cdot\left(1+5+5^{2}\right)\right]$ $1 p$ + +din factor comun $\Rightarrow B=5^{2} \cdot\left(1+5+5^{2}\right) \cdot\left(1+5^{3}+\ldots+5^{2013}\right)$ $1 p$ + +adică $B=25 \cdot 31 \cdot\left(1+5^{3}+\ldots+5^{2013}\right)=775 \cdot\left(1+5^{3}+\ldots+5^{2013}\right)$ + +2) Fie $a, b, c$ numere raţionale pozitive, astfel încât $\frac{7}{a+11}+\frac{21}{3 b+39}+\frac{35}{5 c+85}+\frac{49}{7 d+133}=1,75$. + +Să se arate că numărul $\frac{a+7}{a+11}+\frac{b+9}{b+13}+\frac{c+13}{c+17}+\frac{d+15}{d+19} \quad$ este natural. + +Soluţie: + +$\Rightarrow \frac{7}{a+11}+\frac{7}{b+13}+\frac{7}{c+17}+\frac{7}{d+19}=\frac{7}{4}, \frac{1}{a+11}+\frac{1}{b+13}+\frac{1}{c+17}+\frac{1}{d+19}=\frac{1}{4} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +$\frac{a+7}{a+11}=\frac{a+11-4}{a+11}=\frac{a+11}{a+11}-\frac{4}{a+11}=1-\frac{4}{a+11}$ + +analog $\frac{b+9}{b+13}=1-\frac{4}{b+13}, \frac{c+13}{c+17}=1-\frac{4}{c+17}$ şi $\frac{d+15}{d+19}=1-\frac{4}{d+19}$ + +obţinem $\frac{a+7}{a+11}+\frac{b+9}{b+13}+\frac{c+13}{c+17}+\frac{d+15}{d+19}=4-4 \cdot\left(\frac{1}{a+11}+\frac{1}{b+13}+\frac{1}{c+17}+\frac{1}{d+19}\right)$ + +deci $\frac{a+7}{a+11}+\frac{b+9}{b+13}+\frac{c+13}{c+17}+\frac{d+15}{d+19}=3 \in \mathbb{N}$ + +$1 p$ + +3) Unghiurile $A O B$ şi $B O C$ sunt adiacente suplementare şi $m(\Varangle A O B)=150^{\circ}$. În semiplanul opus semiplanului determinat de dreapta $\mathrm{AC}$ şi punctul B se iau semidreptele [OD astfel încât $m(\Varangle D O B)=120^{\circ}$, [OE astfel încât $m(\Varangle E O C)=2 \cdot m(\Varangle B O C)$ şi [OF astfel încât $\Varangle F O D \equiv \Varangle E O C$. Calculaţi măsurile unghiurilor $E O B, D O C$ şi $B O F$. + +Supliment GM, noiembrie 2015 + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=65&width=1513&top_left_y=630&top_left_x=206) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=66&width=1511&top_left_y=704&top_left_x=204) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=69&width=1513&top_left_y=771&top_left_x=206)$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=69&width=1513&top_left_y=888&top_left_x=206) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=662&width=808&top_left_y=988&top_left_x=430)$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=62&width=1522&top_left_y=1776&top_left_x=187) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65a69941695941bc9e59g-3.jpg?height=739&width=851&top_left_y=1869&top_left_x=428) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-256-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-256-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..30f38656049f11ed1e849a2c314030c1e28ce200 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-256-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-Clasa a V-a
26 februarie 2016
Subiecte + +1. a) Comparaţi numerele: + +$$ +a=4^{1+3+5+\ldots+29+31} \quad \text { și } b=(3+6+9+\ldots+33+36)^{64} +$$ + +b) Să se afle trei numere naturale nenule $a, b$ și $c$ astfel încât: $5^{344}=a^{3}+b^{3}+c^{2}$ + +2. Numărul 137 se împarte la un număr natural nenul, obţinându-se un cât egal cu jumătate din împărţitor şi restul un număr de o cifră. Să se determine împărţitorul, cătul şi restul. +3. Determinaţi numărul $\overline{a b}$ ştiind că $\overline{b a}^{2}-3 \cdot \overline{a b}=2556$ + +(Supliment Gazeta Matematică nr.5/2015) + +## NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - 26.02.2016
Clasa a V-a
-barem- + +1. a) Comparaţi numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& a=4^{1+3+5+\ldots+29+31} \quad \text { şi } b=(3+6+9+\ldots+33+36)^{64} \\ +& \text { Soluţie: } \\ +& 1+3+5+\ldots+29+31=256 \quad \text {....................................................................................... } \\ +& 3+6+9+\ldots+33+36=234 \\ +& 5^{344}=5^{2} \times 5^{342}=(1+8+16) \times 5^{342}=\left(1^{3}+2^{3}+4^{2}\right)=5^{342} \\ +& .1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +$$ +b=234^{64}, a=4^{256}=\left(2^{2}\right)^{4 \bullet 64}=\left(2^{8}\right)^{64}=256^{64} \quad \text { atunci } a>b +$$ ..... $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d766fac6ab9b7974d6c0g-2.jpg?height=91&width=1308&top_left_y=1071&top_left_x=297) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d766fac6ab9b7974d6c0g-2.jpg?height=75&width=1322&top_left_y=1176&top_left_x=298) + +2. Numărul 137 se împarte la un număr natural nenul, obţinându-se un cât egal cu jumătate din împărţitor şi restul un număr de o cifră. Să se determine împărţitorul, cătul şi restul. +``` +Soluţie: +\(\mathrm{d}=\hat{1}^{\circ} \mathrm{c}+\mathrm{r} \quad\)................................................................................................................................... + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d766fac6ab9b7974d6c0g-2.jpg?height=61&width=1125&top_left_y=1660&top_left_x=357) + +``` + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d766fac6ab9b7974d6c0g-2.jpg?height=60&width=1136&top_left_y=1706&top_left_x=346) + +``` +r impar, număr de o cifră.......................................................................... +Singurul caz care verifică \(r=9, c=8, \hat{\imath}=16 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3 p\) +``` + +3. Determinaţi numărul $\overline{a b}$ ştiind că $\overline{b a}^{2}-3 \cdot \overline{a b}=2556$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Soluţie: } \\ +& \left.\begin{array}{l} +2556: 3 \\ +3 \cdot \overline{a b} \vdots 3 +\end{array}\right\} \Rightarrow \overline{b a}^{2}: 3 \Rightarrow \overline{b a} \vdots 3 \text { și } \overline{a b} \vdots 3 +\end{aligned} +$$ + +$\overline{b a}^{2}=2556+3 \cdot \overline{a b}$ +Dar $36 \leq 3 \cdot \overline{a b} \leq 297 \Rightarrow 2592 \leq 2556+3 \cdot \overline{a b} \leq 2853$ ..... $2 p$ +$50^{2}=2500<2592 \leq \overline{b a}^{2} \leq 2853<2916=54^{2}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\Rightarrow \overline{b a}=51 \Rightarrow \overline{a b}=15$ ..... $1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-257-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-257-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb238fd5870256f32bc862d1918983faafa56b43 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-257-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,137 @@ +Inspectoratul Şcolar al Judeţului Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice + +Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică
faza locală
21 februarie 2016 + +## Clasa a XII-a + +1. Calculaţi + +$$ +\int\left(3 x^{10}+2 x^{7}\right) \sqrt[3]{x^{3}+1} d x +$$ + +2. Pe o mulţime $M$ este definită o lege de compoziţie asociativă, cu proprie-tatea + +$$ +(x y)^{2016}=y x +$$ + +pentru orice $x, y$. Arătaţi că legea este comutativă. + +3. Arătaţi că dacă integrala + +$$ +\int_{0}^{a} \cos ^{3}(\pi x+\pi t) d t +$$ + +nu depinde de $x \in \mathbb{R}$, atunci $a$ este un număr întreg par. + +4. Fie $G$ un grup finit. Arătaţi că pentru orice elemente $x, y \operatorname{din} G$ are loc + +$$ +\operatorname{ord}(x y)=\operatorname{ord}(y x) +$$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada de matematică + +faza locală + +21 februarie 2016 + +Soluţii şi bareme + +Clasa a XII-a + +1. Calculaţi + +$$ +\int\left(3 x^{10}+2 x^{7}\right) \sqrt[3]{x^{3}+1} d x +$$ + +Soluţie. Avem + +$$ +\begin{aligned} +\int\left(3 x^{10}+2 x^{7}\right) \sqrt[3]{x^{3}+1} d x & =\int\left(3 x^{8}+2 x^{5}\right) \sqrt[3]{x^{6}\left(x^{3}+1\right)} d x \\ +& =\int\left(3 x^{8}+2 x^{5}\right) \sqrt[3]{x^{9}+x^{6}} d x +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ab5ecdbd9a0bc926ff6g-2.jpg?height=40&width=1642&top_left_y=976&top_left_x=282) + +Dacă notăm $x^{9}+x^{6}=t$, avem $\left(9 x^{8}+6 x^{5}\right) d x=d t$, sau $\left(3 x^{8}+2 x^{5}\right) d x=\frac{1}{3} d t \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{p}$ Integrala devine + +$$ +\frac{1}{3} \int \sqrt[3]{t} d t=\frac{1}{4} t^{\frac{4}{3}}+\mathcal{C} +$$ + +de unde + +$$ +\int\left(3 x^{10}+2 x^{7}\right) \sqrt[3]{x^{3}+1} d x=\frac{1}{4}\left(x^{9}+x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}+\mathcal{C} +$$ + +2. Pe o mulţime $M$ este definită o lege de compoziţie asociativă, cu proprie-tatea + +$$ +(x y)^{2016}=y x +$$ + +pentru orice $x, y$. Arătaţi că legea este comutativă. + +Soluţie. Punem $n$ în loc de 2016. Avem $(x y)^{n}=y x$, de unde $\left((x y)^{n}\right)^{n}=(y x)^{n}=x y$ + +Pe de altă parte, $\left((x y)^{n}\right)^{n}=\left((x y)^{n-1}(x y)\right)^{n}=(x y)(x y)^{n-1}=(x y)^{n}=y x$, de unde concluzia + +3. Arătaţi că dacă integrala + +$$ +\int_{0}^{a} \cos ^{3}(\pi x+\pi t) d t +$$ + +nu depinde de $x \in \mathbb{R}$, atunci $a$ este un număr întreg par. + +Soluţie. Facem schimbarea de variabilă $x+t=u$. Obţinem + +$$ +\int_{0}^{a} \cos ^{3}(\pi x+\pi t) d t=\int_{x}^{x+a} \cos ^{3}(\pi u) d u +$$ + +Fie $F(u)$ o primitivă a funcţiei $f(u)=\cos ^{3}(\pi u)$. Atunci + +$$ +\int_{x}^{x+a} \cos ^{3}(\pi u) d u=F(x+a)-F(x) +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ab5ecdbd9a0bc926ff6g-2.jpg?height=46&width=1648&top_left_y=2304&top_left_x=276) + +Dacă integrala nu depinde de $x$, atunci $(F(x+a)-F(x))^{\prime}=0$ (derivarea se face după variabila $x$ ), de unde + +$$ +\cos ^{3}(\pi x+\pi a)=\cos ^{3}(\pi x) +$$ + +pentru orice $x$ + +Pentru $x=0$, obţinem $\cos ^{3}(\pi a)=1$, deci $\cos (\pi a)=1$, de unde $\pi a=2 k \pi$, cu $k$ întreg + +4. Fie $G$ un grup finit. Arătaţi că pentru orice elemente $x, y \operatorname{din} G$ are loc + +$$ +\operatorname{ord}(x y)=\operatorname{ord}(y x) +$$ + +Soluţie. Deoarece $G$ este finit, orice element are ordin finit. Fie $x, y \in G$ şi $n=\operatorname{ord}(x y), m=\operatorname{ord}(y x)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ab5ecdbd9a0bc926ff6g-3.jpg?height=49&width=1651&top_left_y=431&top_left_x=275) +Dar $x(y x)^{n-1} y=e$ implică $(y x)^{n-1}=x^{-1} y^{-1}=(y x)^{-1}$, de unde $(y x)^{n}=e$, ceea ce implică ord $(y x) \leq n$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ab5ecdbd9a0bc926ff6g-3.jpg?height=44&width=1650&top_left_y=520&top_left_x=281) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ab5ecdbd9a0bc926ff6g-3.jpg?height=46&width=1656&top_left_y=562&top_left_x=272) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-258-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-258-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3ff96eae245ccc765093e43fca37bc864c178575 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-258-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,164 @@ +Inspectoratul Şcolar al Judeţului Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice + +Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică
faza locală + +21 februarie 2016 + +## Clasa a XI-a + +1. a) Fie $A \in M_{3,1}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A A^{t}\right)=0$. + +b) Fie $B \in M_{3,2}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(B B^{t}\right)=0$. + +c) Fie $C \in M_{3,3}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(C-C^{t}\right)=0$. + +2. Se consideră şirul definit astfel: $x_{1}=1$, + +$$ +x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2 x_{n}} +$$ + +pentru orice $n$. + +a) Aflaţi limita şirului. + +b) Calculaţi + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}} +$$ + +3. Fie $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $2 A+3 B=6 A B$. Arătaţi că $A B=B A$. +4. Arătaţi că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right)=\infty +$$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada de matematică + +## faza locală + +21 februarie 2016 + +Soluţii şi bareme + +Clasa a XI-a + +1. a) Fie $A \in M_{3,1}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A A^{t}\right)=0$. + +b) Fie $B \in M_{3,2}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(B B^{t}\right)=0$. + +c) Fie $C \in M_{3,3}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(C-C^{t}\right)=0$. + +Soluţie. a) În matricea $A A^{t}$, oricare 2 linii sunt proporţionale . . + +b) Dacă + +$$ +B=\left(\begin{array}{ll} +b_{11} & b_{12} \\ +b_{21} & b_{22} \\ +b_{31} & b_{32} +\end{array}\right) +$$ + +atunci $B \cdot B^{t}=\bar{B} \cdot \bar{B}^{t}$, unde + +$$ +\bar{B}=\left(\begin{array}{lll} +b_{11} & b_{12} & 0 \\ +b_{21} & b_{22} & 0 \\ +b_{31} & b_{32} & 0 +\end{array}\right) +$$ + +Atunci $\operatorname{det}\left(B B^{t}\right)=\operatorname{det}(\bar{B}) \operatorname{det}\left(\bar{B}^{t}\right)=0$ + +c) Determinantul oricărei matrice este egal cu determinantul transpusei, deci + +$$ +\operatorname{det}\left(C-C^{t}\right)=\operatorname{det}\left(\left(C-C^{t}\right)^{t}\right)=\operatorname{det}\left(C^{t}-C\right)=\operatorname{det}\left(-\left(C-C^{t}\right)\right)=-\operatorname{det}\left(C-C^{t}\right) +$$ + +de unde concluzia. + +2. Se consideră şirul definit astfel: $x_{1}=1$, + +$$ +x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2 x_{n}} +$$ + +pentru orice $n$. + +a) Aflaţi limita şirului. + +b) Calculaţi + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{n}} +$$ + +Soluţie. a) Şirul este strict crescător Dacă ar fi mărginit, ar converge către un număr real $L$, şi am obţine prin trecere la limită $L=L+\frac{1}{2 L}$, absurd, deci limita este $\infty$ + +b) Calculăm, cu Stolz Cesaro, + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{2}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}}{n+1-n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(x_{n}+\frac{1}{2 x_{n}}\right)^{2}-x_{n}^{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{4 x_{n}^{2}}\right)=1 +$$ + +deci limita cerută este 1 + +3. Fie $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $2 A+3 B=6 A B$. Arătaţi că $A B=B A$. + +Soluţie. Egalitatea dată este echivalentă cu + +$$ +I_{n}-2 A-3 B+6 A B=I_{n} +$$ + +sau + +$$ +\left(I_{n}-2 A\right)\left(I_{n}-3 B\right)=I_{n} +$$ + +Deducem că matricele $I_{n}-2 A$ şi $I_{n}-3 B$ sunt inverse una celeilalte, deci avem şi + +$$ +\left(I_{n}-3 B\right)\left(I_{n}-2 A\right)=I_{n} +$$ + +$\qquad$ + +4. Arătaţi că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right)=\infty +$$ + +Soluţie. Fie + +$$ +h_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} +$$ + +Şirul este strict crescător. Dacă nu ar avea limita $\infty$, ar fi convergent. Fie în acest caz $H$ limita sa.......2p Atunci + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(h_{2 n}-h_{n}\right)=H-H=0 +$$ + +$\qquad$ dar + +$$ +h_{2 n}-h_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2 n}>\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2 n}+\ldots+\frac{1}{2 n}=\frac{n}{2 n}=\frac{1}{2} +$$ + +contradicţie. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-259-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-259-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..962ee489e60c98d913924f938eb5a729b811486d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-259-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +Inspectoratul Şcolar al Judeţului Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice + +Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică + +faza locală + +21 februarie 2016 + +Clasa a X-a + +1. Fie $a, b, c$ numere pozitive, diferite de 1. Notăm + +$$ +x=\log _{a} b c, \quad y=\log _{b} a c, \quad z=\log _{c} a b +$$ + +Arătaţi că + +$$ +x+y+z+2=x y z +$$ + +2. Să se rezolve ecuaţia + +$$ +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+4}=\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} +$$ + +3. Să se arate că nu există funcţii injective $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, astfel încât + +$$ +f\left(3^{x}\right)+f\left(5^{x}\right)=8 +$$ + +pentru orice $x$ real. + +4. Fie $u, v, w$ numere complexe astfel ca + +$$ +u+v+w=u^{2}+v^{2}+w^{2}=0 +$$ + +Arătaţi că $|u|=|v|=|w|$. + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada de matematică + +faza locală + +21 februarie 2016 + +Soluţii şi bareme + +Clasa a X-a + +1. Fie $a, b, c$ numere pozitive, diferite de 1. Notăm + +$$ +x=\log _{a} b c, \quad y=\log _{b} a c, \quad z=\log _{c} a b +$$ + +Arătaţi că + +$$ +x+y+z+2=x y z +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=62&width=1659&top_left_y=847&top_left_x=274) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=54&width=1654&top_left_y=897&top_left_x=276) + +Concluzia ............................................................................................................................ + +2. Să se rezolve ecuaţia + +$$ +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+4}=\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} +$$ + +Soluţie. Observăm că $10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}=(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=57&width=1656&top_left_y=1213&top_left_x=278) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=52&width=1659&top_left_y=1259&top_left_x=274) + +Soluţia e unică deoarece membrul stâng e funcţie strict crescătoare............................................................ + +3. Să se arate că nu există funcţii injective $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, astfel încât + +$$ +f\left(3^{x}\right)+f\left(5^{x}\right)=8 +$$ + +pentru orice $x$ real. + +Soluţie. Presupunând că există $f$ injectivă, pentru $x=1$ obţinem $f(3)+f(5)=8$. Pentru $x=\log _{3} 5$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=55&width=1654&top_left_y=1607&top_left_x=276) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=57&width=1656&top_left_y=1652&top_left_x=278) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=51&width=1656&top_left_y=1693&top_left_x=278) + +4. Fie $u, v, w$ numere complexe astfel ca + +$$ +u+v+w=u^{2}+v^{2}+w^{2}=0 +$$ + +Arătaţi că $|u|=|v|=|w|$. + +Soluţie. Avem $w=-u-v$ şi apoi $u^{2}+v^{2}+(-u-v)^{2}=0$, de unde $u^{2}+v^{2}+u v=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. . . . . . . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=57&width=1656&top_left_y=1999&top_left_x=278) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bc5d5a920bece27c4d6g-2.jpg?height=52&width=1654&top_left_y=2045&top_left_x=276) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-26-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. V-baremclasaa5aetapa_iii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-26-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. V-baremclasaa5aetapa_iii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..88690e534c6ac9d191eb6fcae82d5d24210d1c44 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-26-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. V-baremclasaa5aetapa_iii.md" @@ -0,0 +1,97 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-1.jpg?height=236&width=1352&top_left_y=126&top_left_x=474) + +Societatea de Științe Matematice din România + +# Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ + +Etapa a III-a, 23 mai 2021 + +Barem - Clasa a V-a + +1. Aflaţi ultima cifră a numărului natural $n$ ştiind că penultima cifră a lui $\boldsymbol{n}^{2}$ este 9 . + +| Ultima cifră a lui $n^{2}$ nu poate fi $2,3,7,8$, astfel încât ultimele două cifre ale lui $n^{2}$ ar
putea fi $90,91,94,95,96$ sau 99 | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :---: | +| $n^{2}$ nu poate avea ultimele 2 cifre 95 pentru că un pătrat perfect impar, divizibil cu 5,
trebuie să se termine în 25 (sau $5 \mid n$ și $25 \nmid n \Rightarrow n^{2}$ nu este pătrat perfect) | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $90=\mathrm{M}_{4}+2,94=\mathrm{M}_{4}+2 \Rightarrow n^{2}=\mathrm{M}_{4}+2$, dar un pătrat perfect nu poate fi $\mathrm{M}_{4}+2$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $91=\mathrm{M}_{4}+3$ și $99=\mathrm{M}_{4}+3 \Rightarrow n^{2}=\mathrm{M}_{4}+3$, dar un pătrat perfect nu poate fi $\mathrm{M}_{4}+3$ | $\mathbf{1 p}$ | +| În concluzie rămâne singura variantă ca $n^{2}$ să aibă ultimele 2 cifre $96 \Rightarrow$ ultima cifră a
lui $n$ poate fi 4 sau 6 | $\mathbf{1 p}$ | +| Ambele variante sunt corecte, de exemplu $14^{2}=196$ și $36^{2}=1296$ | $\mathbf{2 p}$ | + +Obs. 1: Pentru justificarea „ $95=M_{4}+3 \Rightarrow n^{2}$ nu este pătrat perfect” se acordă $1 p$. + +La fel pentru $2 \mid n$ și $4 \nmid n \Rightarrow n^{2}$ nu este pătrat perfect, în situațiile în care ultimele două cifre ale lui $n^{2}$ sunt 90 , respectiv 94 se acordă tot $1 p$ + +Obs. 2 + +Dacă elevii obțin ultimele două cifre posibile ale lui $n^{2}$ prin analiza ultimei cifre a lui $n$ se acordă 1p. + +2. Dacă numărul natural $a$ are $n$ cifre, iar numărul natural $a^{4}$ are $m$ cifre, arătați că suma $m+n$ nu poate fi egală cu 2021. + +| $a$ are $n$ cifre $\Leftrightarrow 10^{n-1} \leq a<10^{n}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :---: | +| Atunci $10^{4 n-4} \leq a^{4}<10^{4 n} \Rightarrow$ | $\mathbf{1 p}$ | +| numărul $a^{4}$ poate avea $4 n-3,4 n-2,4 n-1$ sau $4 n$ cifre | $\mathbf{1 p}$ | +| Deci $m+n$ este egal cu $5 n-3,5 n-2,5 n-1$ sau $5 n$, | $\mathbf{1 p}$ | +| adică este de forma $M_{5}+2, M_{5}+3, M_{5}+4$ sau $M_{5}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $2021=M_{5}+1 \Rightarrow$ suma $m+n$ nu poate fi egală cu 2021 | $\mathbf{2 p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-2.jpg?height=236&width=1374&top_left_y=127&top_left_x=455) + +Societatea de Științe Matematice din România + +3. Se poate pava o tablă dreptunghiulară de 48 de pătrățele ( $m \times n$, unde $m$ și $n$ sunt numere naturale mai mari sau egale cu 2 ), utilizând piese de 4 pătrățele, +de forma +număr egal + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-2.jpg?height=180&width=132&top_left_y=567&top_left_x=608) +(tip 1), respectiv de piese din + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-2.jpg?height=177&width=125&top_left_y=571&top_left_x=1111) +(tip 2), astfel incât să folosim un fiecare tip? + +Prin pavare înțelegem acoperirea completă, cu piese, a tuturor pătrățelelor tablei, astfel încât să nu existe piese care se suprapun sau care ies parțial în afara tablei. + +48:4=12 (piese de ambele tipuri), deci trebuie folosite 6 piese de tipul 1 și 6 piese de tipul 2 . + +O tablă dreptunghiulară cu 48 de pătrățele poate avea următoarele dimensiuni: $8 \times 6,12 \times 4,16 \times 3$ sau $24 \times 2$, deci avem de analizat următoarele 4 cazuri: + +I. Pentru tabla de forma $8 \times 6$ răspunsul este DA și se punctează orice exemplu corect. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-2.jpg?height=289&width=394&top_left_y=1072&top_left_x=1071) + +II. Pentru tabla de forma $12 \times 4$ răspunsul este DA și se punctează orice exemplu corect. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-2.jpg?height=226&width=601&top_left_y=1395&top_left_x=956) + +III. Pentru tabla de forma $16 \times 3$, vom demonstra că NU se poate. Colorăm tabla în felul următor: prima linie cu negru, a doua cu alb și cea de-a treia tot cu negru. Vom avea astfel 32 de pătrățele negre și 16 albe. + +O piesă de tipul 1 poate acoperi fie 3 pătrățele albe și una neagră, fie 3 pătrățele negre și una albă, iar o piesă de tipul 2, indiferent cum este așezată, va acoperi 2 pătrățele albe și 2 pătrățele negre. + +Cele 6 piese de tipul 1 pot acoperi cel mult 18 pătrățele negre, iar cele 6 piese de tipul 2 acoperă 12 pătrățele negre, deci, în total, putem acoperi cel mult 30 de pătrățele negre. Cum noi avem de acoperit 32 de pătrățele negre, rezultă că tabla nu se poate pava. + +IV. Pentru tabla de forma $24 \times 2$, putem începe fie cu o piesă de tipul 1, după cum urmează $\square$, fie cu o piesă de tipul 2, situație în care va rămâne o pătrățică neacoperită: $\square \square$ (sau analog). Dacă am început cu piesa de tipul 1 și continuăm cu o piesă de tipul 2, iarăși rămâne o pătrățică neacoperită: $\square \square$ (sau analog). Dacă vom continua tot cu o piesă de tipul 1, de la început. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-2.jpg?height=63&width=168&top_left_y=2444&top_left_x=1041) + +revenim în situația + +În concluzie, nu putem pune pe tablă piese de tipul 2 fără să rămână pătrățele neacoperite, prin urmare tabla nu se poate pava. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ce9652ad85015a70b79g-3.jpg?height=234&width=1350&top_left_y=128&top_left_x=474) + +Societatea de Științe Matematice din România + +4. Aflați numerele naturale $x vor avea aceleași cifre (dar în altă ordine) $\Rightarrow$ numerele vor avea același rest la
împărțirea cu $3 \Rightarrow$ suma numerelor va fi divizibilă cu 3 .
Cum $3 \nmid 2021 \Rightarrow$ nu se poate $\Rightarrow$ exact 2 numere vor fi de 3 cifre. | $2 p$ | +| Deoarece $98+897+987<2021 \Rightarrow$ cele două numere de 3 cifre trebuie să aibă
amândouă prima cifră egală cu 9 | $1 p$ | +| Avem de rezolvat ecuația $x+\overline{9 b c}+\overline{9 c b}=2021$, unde $b $\Leftrightarrow 11(b+c)+x=221$
Cum $x \leq 98 \Rightarrow 11(b+c) \geq 123 \Rightarrow b+c \geq 12 \Rightarrow b+c \in\{12,13,14,15\}$ | $1 p$ | +| $b+c=12 \Rightarrow x=89 \Rightarrow c=8 \Rightarrow b=4 \Rightarrow 89+948+984=2021$
deci avem soluția $x=89, y=948, z=984$ | $1 p$ | +| $b+c=13 \Rightarrow x=78, \operatorname{dar} 7+8 \neq 13$
$b+c=14 \Rightarrow x=67$, dar $6+7 \neq 14$
$b+c=15 \Rightarrow x=56$, dar $5+6 \neq 15$, deci soluția găsită anterior este unică | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-260-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-260-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f12b637c3627efc612b357ab6404cf2e4f77404b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-260-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,66 @@ +Inspectoratul Şcolar al Judeţului Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice + +Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică + +faza locală + +21 februarie 2016 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Daţi un exemplu de numere iraţionale $a, b$, astfel încât numerele $a+b$ şi $a b$ să fie numere raţionale nenule. + +b) Fie $a, b$ numere reale. Arătaţi că există un număr iraţional $c$ astfel încât numerele $a+c$ şi $b+c$ să fie iraţionale. + +2. Fie $\left(a_{n}\right)_{n>1}$ o progresie aritmetică. Pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$, notăm cu $S_{n}$ suma primilor $n$ termeni. Fie $p, q$ numere naturale nenule, diferite. Sुtiind că $S_{p}=q$ şi $S_{q}=p$, calculaţi $S_{p+q}$. +3. Vectorii $\overline{v_{1}}, \overline{v_{2}}, \overline{v_{3}}, \overline{v_{4}}$ au lungimile egale şi suma zero. Arătaţi că sunt doi câte doi vectori opuşi. +4. O dreaptă care trece prin centrul de greutate al triunghiului $A B C$ intersectează laturile $A B$ şi $A C$ în punctele $M$ şi $N$. Arătaţi că + +$$ +\frac{A M}{M B} \cdot \frac{A N}{N C} \geq 4 +$$ + +## Olimpiada de matematică faza locală + +21 februarie 2016 + +Soluţii şi bareme + +Clasa a IX-a + +1. a) Daţi un exemplu de numere iraţionale $a, b$, astfel încât numerele $a+b$ şi $a b$ să fie numere raţionale nenule. b) Fie $a, b$ numere reale. Arătaţi că există un număr iraţional $c$ astfel încât numerele $a+c$ şi $b+c$ să fie iraţionale. + +Soluţie. a) Exemplu corect + +b) Presupunând contrariul, pentru orice $x$ iraţional, unul dintre numerele $a+x, b+x$ este raţional. Alegem $x$ iraţional şi apoi perechile $(a+x, b+x),(a+2 x, b+2 x),(a+3 x, b+3 x)$. Cel puţin 2 perechi vor avea o aceeaşi componentă număr raţional. Prin scădere, deducem $x \in \mathbb{Q}$ sau $2 x \in \mathbb{Q}$, absurd + +$3 \mathrm{p}$ + +2. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică. Pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$, notăm cu $S_{n}$ suma primilor $n$ termeni. Fie $p, q$ numere naturale nenule, diferite. Ştiind că $S_{p}=q$ şi $S_{q}=p$, calculaţi $S_{p+q}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1725451ec3e36c7db5bag-2.jpg?height=46&width=1648&top_left_y=888&top_left_x=279) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1725451ec3e36c7db5bag-2.jpg?height=51&width=1654&top_left_y=934&top_left_x=276) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1725451ec3e36c7db5bag-2.jpg?height=57&width=1654&top_left_y=974&top_left_x=276) + +3. Vectorii $\overline{v_{1}}, \overline{v_{2}}, \overline{v_{3}}, \overline{v_{4}}$ au lungimile egale şi suma zero. Arătaţi că sunt doi câte doi vectori opuşi. + +Soluţie. Deoarece suma vectorilor este nulă, ei reprezintă laturile unui patrulater + +Deoarece au lungimi egale, patrulaterul este romb, laturile opuse fiind egale şi paralele, de unde concluzia $4 \mathrm{p}$ + +4. O dreaptă care trece prin centrul de greutate al triunghiului $A B C$ intersectează laturile $A B$ şi $A C$ în punctele $M$ şi $N$. Arătaţi că + +$$ +\frac{A M}{M B} \cdot \frac{A N}{N C} \geq 4 +$$ + +Soluţie. Dacă $M N \| B C$, atunci $\frac{A M}{M B}=\frac{A N}{N C}=2$ şi inegalitatea devine egalitate $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{~m}$ Dacă nu, fie $P$ intersecţia dintre $M N$ şi $B C$ şi $D$ mijlocul lui $B C$. Aplicând Menelaus în $A B D$ şi $A C D$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1725451ec3e36c7db5bag-2.jpg?height=56&width=1654&top_left_y=1479&top_left_x=276) +Inegalitatea cerută rezultă acum din inegalitatea mediilor .......................................................................... + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-261-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-261-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a318f72d4076ef476c4d5cdfe54039937ef5e93f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-261-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xii.md @@ -0,0 +1,73 @@ +# Olimpiada de matematică + +Etapa locală, 21.02.2016 + +## Clasa a XII- a + +## Subiecte : + +1. Se consideră mulțimea $G=(1, \infty)$ și funcția $f: G \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}, f(x)=x-1$. + +Determinați o lege de compoziție ,,*' definită pe $G$ astfel încât $(G, *)$ să fie grup, iar funcția $f$ să fie izomorfism de la grupul $(G, *)$ la grupul $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}, \cdot\right)$. + +2. Să se calculeze $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+\sin x}{\sin x+\cos x+1} d x$. +3. Să se determine submulțimile $A$ ale lui $\mathbb{Z}_{6}$ cu proprietatea că $A$ are trei elemente și există o funcție $f: A \rightarrow A, f(x)=x+a, a \in \mathbb{Z}_{6} \backslash\{\hat{0}\}$. + +Prof. Bene Marius, Alexandria + +4. Fie $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\int_{0}^{1} \frac{t^{x}}{2 t+1} d t$. + +a) Calculați $f(1)$. + +b) Arătați că $2 f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1}$, pentru orice $x \in[1, \infty)$. + +c) Calculați $\lim _{x \rightarrow \infty} x f(x)$. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru : 3 ore . + +La fiecare subiect se acordă de la 0 la 7 puncte. + +## Barem cls. a XII-a + +Notă. Pentru orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim din barem pentru enunțul respectiv . + +1. $f$ bijectivă deci inversabilă. Din $f(x * y)=f(x) f(y)=x y-x-y+1$ rezultă $x * y=f^{-1}(x y-x-y+1)$. + +Din $f(x)=x-1$ rezultă $f^{-1}(x)=x+1$ și $x * y=x y-x-y+2, x, y \in G$ $.2 \mathrm{p}$ + +Se verifică faptul că $(G, *)$ este grup. + +2. Notând $\frac{\pi}{2}-x=t$ şi $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+\sin x}{\sin x+\cos x+1} d x$ rezultă $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} t+\cos t}{\cos t+\sin t+1} d t=$ + +$$ +=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin ^{2} t-\sin t+\cos t+\sin t}{\cos t+\sin t+1} d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos t+\sin t-\sin ^{2} t-\sin t}{\cos t+\sin t+1} d t +$$ + +Deci $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos t+\sin t-\sin ^{2} t-\sin t}{\cos t+\sin t+1} d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\frac{\sin ^{2} t+\sin t}{\sin t+\cos t+1}\right) d t=\frac{\pi}{2}-I$, + +$2 I=\frac{\pi}{2}, I=\frac{\pi}{4}$ +3. $A=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}, f: A \rightarrow A, f(x)=x+a$ este injectivă + +$A$ finită rezultă $f$ bijectivă și $f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)=x_{1}+x_{2}+x_{3}$ + +$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\hat{3} a=x_{1}+x_{2}+x_{3}$, deci $\widehat{3} a=\hat{0}, a \in \mathbb{Z}_{6} \backslash\{\hat{0}\}$, + +rezultă $a \in\{\hat{2}, \hat{4}\}$. Pentru $a=\hat{2}, f(x)=x+\hat{2}$, va rezulta $A=\{\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}\}$ și + +$A=\{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}\}$, iar pentru $a=\hat{4}, f(x)=x+\hat{4}$, va rezulta $A=\{\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}\}$ s, + +$A=\{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}\}$ + +4. a) $f(1)=\int_{0}^{1} \frac{t}{2 t+1} d t=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2 t}{2 t+1} d t=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{2 t+1}\right) d t=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \ln 3$ +b) $2 f(x+1)+f(x)=\int_{0}^{1} \frac{2 t^{x+1}+t^{x}}{2 t+1} d t=\int_{0}^{1} t^{x} d t=\frac{1}{x+1}$ + +c) Funcția $g(x)=\frac{t^{x}}{2 t+1}, t \in(0,1)$ este strict descrescătoare pe $[1, \infty)$ + +Va rezulta $f(x+1)f(x)$ rezultă $\frac{1}{x}>3 f(x)$, + +$$ +\frac{1}{3(x+1)} Etapa locală, 21.02.2016 + +## Clasa a X- a + +## Subiecte : + +1. Arătați că numerele $a, b, c \in(1, \infty)$ verifică relația + +$$ +\log _{a} \frac{b+c}{2}+\log _{b} \frac{a+c}{2}+\log _{c} \frac{a+b}{2} \geq 3 +$$ + +2. Fie $z \in \mathbb{C},|z|=1$. Arătați că : +a) $|u-z|=|1-\bar{u} z|$, pentru orice $u \in \mathbb{C}$. +b) $|1+z|+\left|1+z^{2}\right| \geq|1-z|$. +3. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=[x \sqrt{2}]-[x]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului $a$. + +a) Să se calculeze $f(\sqrt{2})$. + +b) Să se arate că $f$ nu este injectivă. + +c) Să se arate că $f$ este surjectivă. + +4. Fie $z=\cos \frac{2 \pi}{7}+i \sin \frac{2 \pi}{7}$ şi $u=z+z^{2}+z^{4}, v=z^{3}+z^{5}+z^{6}$. + +a) Să se calculeze $z^{7}$. + +b) Să se arate că $u+v=-1$. + +c) Să se arate că $u v=2$. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru : 3 ore . + +La fiecare subiect se acordă de la 0 la 7 puncte. + +Barem cls. a X-a + +Notă. Pentru orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim din barem pentru enunțul respectiv . + +1. Folosind inegalitatea $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ rezultă $\log _{a} \frac{b+c}{2} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{a} b+\log _{a} c\right)$ + +Scriind celelalte două inegalități , adunându-le și folosind inegalitatea $\log _{b} a++\log _{a} b \geq 2$ rezultă + +$$ +\begin{aligned} +& \log _{a} \frac{b+c}{2}+\log _{b} \frac{a+c}{2}+\log _{c} \frac{a+b}{2} \geq \frac{1}{2}\left(\log _{a} b+\log _{b} a+\log _{b} c+\log _{c} b+\log _{c} a+\right. \\ +& \left.+\log _{a} c\right) \geq 3 +\end{aligned} +$$ + +2. a) $|u-z|=|z-u|=|\overline{z-u}|=|\bar{z}-\bar{u}|=\left|\frac{1}{z}-\bar{u}\right|=\left|\frac{1-z \bar{u}}{z}\right|=\frac{|1-z \bar{u}|}{|z|}=$ $|1-z \bar{u}|$, unde am folosit că $z \bar{z}=|z|^{2}=1$ + +b) Folosind inegalitatea $|a-b| \leq|a|+|b|,|1+z|+\left|1+z^{2}\right| \geq$ + +$\geq\left|(1+z)-\left(1+z^{2}\right)\right|=\left|z-z^{2}\right| \geq|z(1-z)|=|z| \cdot|1-z|=|1-z|$. + +3. a) $f(\sqrt{2})=2-[\sqrt{2}]=1$ $2 \mathrm{p}$ + +b) De exemplu, $f(\sqrt{3})=[\sqrt{6}]-[\sqrt{3}]=2-1=1$ sii $f(\sqrt{2})=f(\sqrt{3}) \ldots \ldots .3 \mathrm{p}$ + +c) Pentru $n \in \mathbb{Z}, f(x)=n \Leftrightarrow[x \sqrt{2}]=[x]+n=[x+n]$. Pentru $x \sqrt{2}=x+n$ se verifică, adică $x(\sqrt{2}-1)=n$ s,i $x=\frac{n}{\sqrt{2}-1}=n(\sqrt{2}+1)$ + +$2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2e73298e32f8e4a83690g-2.jpg?height=66&width=1616&top_left_y=1989&top_left_x=300) +b) $z^{7}-1=0,(z-1)\left(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)=0, z \neq 1$, deci $z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$, sau $u+v+1=0$. + +$3 \mathrm{p}$ +c) $u v=z^{4}+z^{5}+z^{6}+3 z^{7}+z^{8}+z^{9}+z^{10}$ și din $z^{7}=1$ rezultă $u v=z^{4}+z^{5}+z^{6}+3+z+z^{2}+z^{3}=u+v+3=-1+3=2 \ldots$ $.2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-264-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.viii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-264-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.viii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09deae5b7afe7e396c961b6daa10b4a9975d7a03 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-264-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.viii.md @@ -0,0 +1,66 @@ +Olimpiada de matematică + +Etapa locală, 21.02.2016 + +Clasa a VIII-a + +# Subiecte : + +1. Fie $A(n)=1+2+\cdots+n+\frac{1}{(-1)^{1}}+\frac{2}{(-1)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(-1)^{n}}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Dacă $n$ este număr par, arătați că $2 A(n)+1$ este pătrat perfect. + +b) Dacă $a=\frac{A(2016)}{2}$, arătați că $2 \sqrt{a}<2017$. + +2. Se consideră expresia $E(x, y)=\frac{(2 x-y)(x-2 y)}{1+x^{2} y^{2}}, x, y \in \mathbb{R}$. + +a) Să se găsească un exemplu de numere reale $x$ și $y$ care verifică egalitatea $E(x, y)=-\frac{1}{2}$. + +b) Să se arate că $E(x, y) \geq-\frac{1}{2}$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. + +3. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic, $m(\nless B A C)=90^{\circ}$. În mijlocul lui $[B C]$ se ridică perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se consideră punctul $D$,iar $M$ este mijlocul lui $[A D]$. Știind că $A D \perp B C$ și $[A D] \equiv[B C]$, să se arate că : +a) $[A B] \equiv[A C]$. + +b) Măsura unghiului plan al diedrului format de planele $(D B C)$ și $(M B C)$ este de $30^{\circ}$. + +Prof. Negreanu Pantelimon, Alexandria + +4. Pe planul pătratului $A B C D$ se ridică perpendicularele $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ astfel încât $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ se află de aceeași parte a planului pătratului și $\left[A A^{\prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right] \equiv\left[C C^{\prime}\right]$. Să se arate că planele $\left(A B^{\prime} C\right)$ și $\left(A^{\prime} D C^{\prime}\right)$ sunt paralele. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru : 3 ore . La fiecare subiect se acordă de la 0 la 7 puncte. + +Barem cls. a VIII-a + +Notă. Pentru orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim din barem pentru enunțul respectiv . + +1. + +a) $A(n)=A(2 k)=1+2+\cdots+2 k+(-1+2-3+4-\cdots-(2 k-1)+2 k)=$ $\frac{2 k(2 k+1)}{2}+k=k(2 k+1)+k=2 k^{2}+2 k$, deci $2 A(n)+1==4 k^{2}+4 k+$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_90ec524ecca9afd95c6dg-2.jpg?height=65&width=1514&top_left_y=864&top_left_x=314) + +b) Din a), pentru $n=2 k, A(n)=2 k(k+1)$, deci $A(2016)=2 \cdot 1008 \cdot 1009$ și $a=1008 \cdot 1009,2 \sqrt{a}=2 \sqrt{1008 \cdot 1009}<1008+1009=2017$ ( folosind inegalitatea $2 \sqrt{x y}7^{672}=a^{672}$ $.2 \mathrm{p}$ + +4. Dacă $n$ este cel mai mic număr cu proprietatea dată, $n$ trebuie să aibă cât mai puține cifre....3p $2016=9 \cdot 224=\underbrace{9+9+\cdots+9}_{\text {de } 224 \text { ori } 9}$ $2 \mathrm{p}$ + +$$ +\text { Numărul căutat este } \quad \begin{gathered} +n=\underbrace{999 \ldots 9}_{\text {de } 224 \text { ori } 9} +\end{gathered} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-268-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.ix.md b/Romania_Olympiad/md/ro-268-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.ix.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5eb6f4e6f5852322202598ead53574cea14adafb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-268-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.ix.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Clasa a IX- a + +## Subiecte : + +1. Numerele $x, y, z \in(0, \infty)$ verifică relația $x+y+z=a$. Arătați că : +a) $x y+y z+x z \leq \frac{a^{2}}{3}$. +b) $\sqrt{x y+x z}+\sqrt{x y+y z}+\sqrt{x z+y z}<\frac{3 a}{2}$. +2. a) Arătați că numerele $1, \sqrt{n}, \sqrt{n+1}$ nu pot fi termenii consecutivi ai unei progresii geometrice, pentru orice $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +b) Arătați că numerele $1, \sqrt{n}, \sqrt{n+1}$ nu pot fi printre termenii unei progresii aritmetice, pentru orice $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +3. Fie $A B C D$ un paralelogram, $m, n, p, q \in(0,1)$ și punctele $E(A B), F \in(B C), G \in(C D), H \in(A D)$ astfel încât $\overrightarrow{A E}=m \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B F}=n \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C G}=p \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{D H}=q \overrightarrow{D A}$. Știind că vectorii $\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{H G}$ și $\overrightarrow{A C}$ sunt coliniari, să se arate că $m+n+p+q=2$. +4. Se consideră $A B C D$ un patrulater convex și $M, N, P$ mijloacele laturilor $[A B],[B C]$ respectiv $[C D]$. Fie $Q$ mijlocul lui $[M P], E$ mijlocul lui $[A Q]$ şi $F$ mijlocul lui $[E N]$. Să se arate că : +a) $4 \overrightarrow{D Q}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}$. + +b) Punctele $D, Q, F$ sunt coliniare. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru : 3 ore. La fiecare subiect se acordă de la 0 la 7 puncte. + +Barem cls. a IX-a + +Notă. Pentru orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim din barem pentru enunțul respectiv . + +1. + +a) Folosind inegalitatea cunoscută $x y+y z+x z \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ rezultă $x y+$ $+y z+x z \leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=\frac{a^{2}}{3}$ +b) $\sqrt{x(y+z)}+\sqrt{y(x+z)}+\sqrt{z(x+y)}<\frac{x+(y+z)}{2}+\frac{y+(x+z)}{2}++\frac{z+(x+y)}{2}=$ $\frac{3(x+y+z)}{2}=\frac{3 a}{2}$ (egalitatea ar avea loc dacă $x=y+z, y=x+z, z=x+y$, adică $x=y=z=0$, fals) + +$.4 \mathrm{p}$ + +2. a) Ar rezulta $\sqrt{n}^{2}=1 \cdot \sqrt{n+1}$, adică $n=\sqrt{n+1}$ sau $n^{2}-n-1=0$, care nu are soluții numere naturale $3 \mathrm{p}$ + +b) Ar rezulta $\sqrt{n+1}=1+k r, \sqrt{n}=1+p r, k, p \in \mathbb{Z}^{*}, r \in \mathbb{R}^{*}$ s,i + +$$ +\begin{gathered} +\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n}-1}=\frac{k}{p} \in \mathbb{Q}^{*}, \frac{(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+1)}{n-1} \in \mathbb{Q}^{*}, \text { adică }(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+1) \in \mathbb{Q}^{*} \\ +(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+1)=\frac{n+1-1}{\sqrt{n+1}+1} \cdot \frac{n-1}{\sqrt{n}-1} +\end{gathered} +$$ + +Dacă $(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+1)$ ar fi raţional, atunci și $(\sqrt{n+1}+1)(\sqrt{n}-1)$ ar fi raţional + +Ar rezulta că $(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+1)+(\sqrt{n+1}+1)(\sqrt{n}-1)$ este rațional, adică $2 \sqrt{n(n+1)}-2$ rațional, fals, deoarece $n^{2}90^{\circ}$. Considerăm ( $B E$ bisectoarea $\Varangle A B C, E \in A C$ și (CF bisectoarea $\Varangle A \boldsymbol{C}, \boldsymbol{F} \in \boldsymbol{A B}, \boldsymbol{B E} \cap \boldsymbol{C F}=\{\boldsymbol{I}\}$. Știind că $\boldsymbol{I E}=\boldsymbol{I F}$, arătați că $\triangle A B C$ este isoscel. + +## Problema 4 + +Se consideră $n$ unghiuri în jurul unui punct având măsurile în grade exprimate prin $n$ numere prime distincte. Știind că unghiurile formate de bisectoarele oricăror două unghiuri adiacente dintre cele $n$ unghiuri date inițial au măsurile în grade exprimate prin numere prime, să se determine valorile posibile ale lui $n$. + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect valorează 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-270-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-270-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2028a5ba0bb509166e54c4a05599eb3692ec85d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-270-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xi.md @@ -0,0 +1,137 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21 februarie 2016 + +## Clasa a XI - a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }}$ ( $7 p$ ) + +Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}>0$ şi $a_{n+1}=a_{n} \sqrt{\frac{n}{n+a_{n}^{4}}}, n \geq 1$. Să se arate că şirul este convergent şi să se calculeze limita sa. + +Florin Rotaru, Focșani - GM. 11/2015. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL II (7p) }}$ + +$(2 p)$ + +a) Să se arate că dacă functio $F: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}$ este periodică și există $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=l$, atunci $l \in \boldsymbol{R}$ și $F$ este constantă. + +$(5 p)$ b) Determinați funcțiile $f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}$ care verifică condițile: + +i) există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-x)=a \in \boldsymbol{R}$; + +ii) $f(x+2)+f(x)=2 f(x+1),(\forall) x \in \boldsymbol{R}$. + +## SUBIECTUL III (7p) + +Considerăm matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 4\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\boldsymbol{R})$. + +$(1 p)$ a) Determinați toate matricele $B \in \mathcal{M}_{2}(\boldsymbol{R})$ pentru care $A B=B A$; + +$(3 p)$ b) Rezolvați în $\mathcal{M}_{2}(\boldsymbol{R})$ ecuatia $X^{2}=A$; + +$(1 p)$ c) Arătați că $A^{2}=2 \cdot 3 \cdot A-3^{2} \cdot I_{2}$ și $A^{3}=3 \cdot 3^{2} \cdot A-2 \cdot 3^{3} \cdot I_{2}$; + +(2p) d) Calculați $A^{2016}$. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +(2p) a) Să se demonstreze că $(\forall) A, B \in \mathcal{M}_{n}(\boldsymbol{R})$ cu $A B=B A$, avem $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0$. + +$(5 p)$ b) Fie $A \in \mathcal{M}_{n}(\boldsymbol{R})$ astfel încât $A+{ }^{t} A=O_{n}$. Să se arate că $(\forall) \lambda \in \boldsymbol{R}$, avem $\operatorname{det}\left(I_{n}+\lambda A^{2}\right) \geq 0$. + +NOTĂ: Timp de lucru -3 ore + +## BAREM DE CORECTARE
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21 februarie 2016 + +## Clasa a XI - a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }}(7 p$ ) + +Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}>0$ și $a_{n+1}=a_{n} \sqrt{\frac{n}{n+a_{n}^{4}}}, n \geq 1$. Să se arate că şirul este convergent și să se calculeze limita sa. + +Florin Rotaru, Focşani - GM. 11/2015. + +Prin inducție se obține $a_{n}>0,(\forall) n \geq 1$ deci șirul este mărginit inferior + +$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\sqrt{\frac{n}{n+a_{n}^{4}}}<1,(\forall) n \geq 1$ deci șirul este strict descrescător + +Din teorema lui Weierstrass se obține convergența șirului cu limita $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \geq 0$ + +Relația de recurență devine $a_{n+1}^{2}=\frac{n a_{n}^{2}}{n+a_{n}^{4}} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}^{2}}=\frac{n+a_{n}^{4}}{n a_{n}^{2}} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}^{2}}=\frac{1}{a_{n}^{2}}+\frac{a_{n}^{2}}{n} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}^{2}}-\frac{1}{a_{n}^{2}}=\frac{a_{n}^{2}}{n}$ + +Sumând relațiile anterioare $\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}^{2}}=\frac{1}{a_{1}^{2}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{k}$ și cum $a_{k}^{2}>l^{2} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}^{2}}>\frac{1}{a_{1}^{2}}+l^{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ + +Dacă prin absurd $l>0$, deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=\infty$, trecând la limită în inegalitatea anterioară deducem că + +$\frac{1}{l^{2}} \geq \frac{1}{a_{1}^{2}}+l^{2} \cdot \infty \Rightarrow \frac{1}{l^{2}} \geq \infty$ ceea ce este absurd + +În concluzie, rămâne $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l=0$ + +## SUBIECTUL II (7p) + +a) Să se arate că dacă funcția $F: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}$ este periodică și există $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=l$, atunci $l \in \boldsymbol{R}$ și $\boldsymbol{F}$ este constantă. + +$(5 p)$ b) Determinați funcțiile $f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}$ care verifică condițiile: + +i) există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-x)=a \in \boldsymbol{R}$; + +ii) $f(x+2)+f(x)=2 f(x+1),(\forall) x \in \boldsymbol{R}$. + +a) Fie $T$ o perioadă $(T>0)$ a funcției și presupunem prin absurd că $(\exists) x_{1} \neq x_{2}$ cu $F\left(x_{1}\right) \neq F\left(x_{2}\right)$. + +Dacă $x_{n}^{\prime}=x_{1}+n T \rightarrow \infty, F\left(x_{n}^{\prime}\right)=F\left(x_{1}+n T\right)=F\left(x_{1}\right) \rightarrow F\left(x_{1}\right)$ iar dacă + +$x_{n}^{\prime \prime}=x_{2}+n T \rightarrow \infty, F\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)=F\left(x_{2}+n T\right)=F\left(x_{2}\right) \rightarrow F\left(x_{2}\right)$ deci $F$ nu are limită la $\infty$, contradicție ..... + +Așadar funcția este constantă $(F(x)=c)$ iar $l=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=c \in \boldsymbol{R}$ + +b) Notăm $g(x)=f(x)-x$ şi condiția ii) se scrie $g(x+2)+g(x)=2 g(x+1) \Leftrightarrow$ + +$g(x+2)-g(x+1)=g(x+1)-g(x) \Leftrightarrow h(x+1)=h(x),(\forall) x \in \boldsymbol{R}$ unde $h(x)=g(x+1)-g(x) \ldots \ldots$ + +$\lim _{x \rightarrow \infty} h(x)=\lim _{x \rightarrow \infty}(g(x+1)-g(x))=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-(x+1)-(f(x)-x)]=a-a=0$ +$h(x+1)=h(x),(\forall) x \in \boldsymbol{R} \Rightarrow h$ este periodică + +Ultimele două observaţii, utilizând a) $\Rightarrow h$ este funcție constantă și $h(x)=0,(\forall) x \in \boldsymbol{R}$ + +$\Rightarrow g(x+1)=g(x),(\forall) x \in \boldsymbol{R} \Rightarrow g$ este periodică și $\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=a \Rightarrow g$ este constantă $g(x)=a \Rightarrow f(x)=x+a$ (care verifică ipotezele) + +## $\underline{\text { SUBIECTUL III (7p) }}$ + +Considerăm matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 4\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\boldsymbol{R})$. + +$(1 p)$ a) Determinați toate matricele $B \in \mathscr{M}_{2}(\boldsymbol{R})$ pentru care $A B=B A$; + +$(3 p)$ b) Rezolvaţi în $\mathscr{M}_{2}(\boldsymbol{R})$ ecuația $X^{2}=A$; + +$(1 p)$ c) Arătați că $A^{2}=2 \cdot 3 \cdot A-3^{2} \cdot I_{2}$ și $A^{3}=3 \cdot 3^{2} \cdot A-2 \cdot 3^{3} \cdot I_{2}$; + +$(2 p) \quad$ d) Calculați $A^{2016}$. + +a) Se caută $B=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ s,i se obține $B=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a-2 b\end{array}\right)$ cu $a, b \in \boldsymbol{R}$ +b) $X^{3}=X^{2} \cdot X=X \cdot X^{2} \Rightarrow X^{2} \cdot A=A \cdot X^{2}$, așadar $X^{2}$ comută cu $A$ și (pct. a)) căutând matricea $X$ de forma $X=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a-2 b\end{array}\right)$ se obține sistemul $\left\{\begin{array}{l}a^{2}-b^{2}=2 \\ 2 b^{2}-2 a b=1 \\ a^{2}-4 a b+3 b^{2}=4\end{array}\right.$ + +$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a^{2}-b^{2}=2 \\ -4 b^{2}+4 a b=-2\end{array} \Rightarrow a^{2}+4 a b-5 b^{2}=0 \Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+4 \cdot \frac{a}{b}-5=0\right.$, etc. Se obțin soluțiile $a= \pm \frac{5}{2 \sqrt{3}}$ și + +$b=\mp \frac{1}{2 \sqrt{3}}$ care verifică şi ultima ecuație a sistemului $\Rightarrow X \in\left\{\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{2 \sqrt{3}} & -\frac{1}{2 \sqrt{3}} \\ \frac{1}{2 \sqrt{3}} & \frac{7}{2 \sqrt{3}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{2 \sqrt{3}} & \frac{1}{2 \sqrt{3}} \\ -\frac{1}{2 \sqrt{3}} & -\frac{7}{2 \sqrt{3}}\end{array}\right)\right\} \ldots \ldots$ + +c) verificare directă + +d) se arată prin inducție că $A^{n}=n \cdot 3^{n-1} \cdot A-(n-1) \cdot 3^{n} \cdot I_{2} \Rightarrow A^{2016}=2016 \cdot 3^{2015} A-2015 \cdot 3^{2016} I_{2}$ + +## SUBIECTUL IV (7p) + +$(2 p)$ a) Să se demonstreze că $(\forall) A, B \in \mathcal{M}_{n}(\boldsymbol{R})$ cu $A B=B A$, avem $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0$. + +$(5 p) \quad$ b) Fie $A \in \mathscr{M}_{n}(\boldsymbol{R})$ astfel încât $A+{ }^{t} A=O_{n}$. Să se arate că $(\forall) \lambda \in \boldsymbol{R}$, avem $\operatorname{det}\left(I_{n}+\lambda A^{2}\right) \geq 0$. +a) $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=\operatorname{det}((A+i B)(A-i B))=\operatorname{det}(A+i B) \operatorname{det}(A-i B)=\operatorname{det}(A+i B) \operatorname{det}(\overline{A+i B})=$ $=\operatorname{det}(A+i B) \overline{\operatorname{det}(A+i B)}=|\operatorname{det}(A+i B)|^{2} \geq 0$ + +b) Dacă $\lambda>0$ se utilizează a): $\operatorname{det}\left(I_{n}+\lambda A^{2}\right)=\operatorname{det}\left(I_{n}^{2}+(\sqrt{\lambda} A)^{2}\right) \geq 0$ ( $I_{n}$ și $\sqrt{\lambda} A$ comută $)$ + +Dacă $\lambda=0$ inegalitatea este evidentă + +Dacă $\lambda<0$, fie $\lambda=-\alpha, \alpha>0$ și $\operatorname{det}\left(I_{n}+\lambda A^{2}\right)=\operatorname{det}\left(I_{n}-\alpha A^{2}\right)=\operatorname{det}\left(I_{n}-\sqrt{\alpha} A\right) \cdot \operatorname{det}\left(I_{n}+\sqrt{\alpha} A\right) \ldots$ + +$=\operatorname{det}\left({ }^{t} I_{n}+\sqrt{\alpha}\left({ }^{t} A\right)\right) \cdot \operatorname{det}\left(I_{n}+\sqrt{\alpha} A\right)=\operatorname{det}{ }^{t}\left(I_{n}+\sqrt{\alpha} A\right) \cdot \operatorname{det}\left(I_{n}+\sqrt{\alpha} A\right)=\left(\operatorname{det}\left(I_{n}+\sqrt{\alpha} A\right)\right)^{2} \geq 0$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-271-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.x.md b/Romania_Olympiad/md/ro-271-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.x.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b69e72bc37bf4c70b66dbad67ad9e288ebafc1df --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-271-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.x.md @@ -0,0 +1,140 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală
Clasa a X- a + +21 Februarie 2016 + +## SUBIECTUL I (7p) + +a) Demonstrați că: + +2p + +$$ +\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k}<1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}, \forall k, n \in \mathbb{N}^{*}, k \leq n +$$ + +$5 p$ + +b) Ordonați crescător numerele: + +$1+\frac{1}{n}, \log _{n}(n+1), \log _{n+1}(n+2)$, pentru $n \geq 3$. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Fie mulțimea $A=\left\{a+b \sqrt{3} / a, b \in Z, a^{2}-3 b^{2}=1\right\}$. Demonstrați că: + +$1 \mathrm{p}$ +a) $x \in A \Rightarrow \frac{1}{x} \in A$; + +$2 p$ +b) $x \in A \Rightarrow x^{n}+\frac{1}{x^{n}} \in Z, \forall n \in N$; + +c) există numere din $A$ care au primele 100 de zecimale egale cu 9 . + +## SUBIECTUL III (7p) + +Fie $z \in \mathbb{C}$ care satisface ecuația $(z+i)^{10}+i(z-i)^{10}=0$. Să se arate că: + +$1 \mathrm{p}$ +a) $|z+i|=|z-i|$; + +$2 p$ +b) $z \in \mathbb{R}$ + +$4 p$ + +c) Să se rezolve ecuaţia. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Fie $z, z^{\prime} \in \mathbb{C}$ cu $|z|=\left|z^{\prime}\right|=1$. Să se arate că: + +7p) $\left(\frac{z+z^{\prime}}{1+z z^{\prime}}\right)^{2 n}+\left(\frac{z-z^{\prime}}{1-z z^{\prime}}\right)^{2 n} \geq \frac{1}{2^{n-1}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, z z^{\prime} \neq \pm 1$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, februarie 2016 + +Clasa a X-a + +Barem de evaluare şi notare + +## SUBIECTUL I (7p) + +a) Demonstrați că: + +$$ +\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k}<1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}, \forall k, n \in \mathbb{N}^{*}, k \leq n +$$ + +b) Ordonați crescător numerele: + +$$ +1+\frac{1}{n}, \log _{n}(n+1), \log _{n+1}(n+2), \text { pentru } n \geq 3 +$$ + +a) Demonstratia prin inductie a inegalitatii + +$2 p$ + +b) $\log _{n}(n+1)<1+\frac{1}{n} \Leftrightarrow(n+1)^{n}1$ si $x^{n} \notin \square$. Exista $n \in N$, de exemplu, $n=\left[\frac{100}{\lg x}\right]+1$ astfel ca $\frac{1}{x^{n}}<\frac{1}{10^{100}}$ 2p + +Cum ,din b), $x^{n}+\frac{1}{x^{n}}=p \in N \Rightarrow\left[x^{n}\right]=p-1 \operatorname{si}\left\{x^{n}\right\}=1-\frac{1}{x^{n}}>\frac{10^{100}-1}{10^{100}}=\underset{100}{0,99 \ldots . . . .2 p}$ + +## SUBIECTUL III (7p) + +Fie $z \in \mathbb{C}$ care satisface ecuația $(z+i)^{10}+i(z-i)^{10}=0$. Să se arate că: +a) $|z+i|=|z-i|$; +b) $z \in \mathbb{R}$ + +c) Să se rezolve ecuația. + +a) Se separa termenii si se trece la module. $1 p$ + +b) Se foloseste a) sau ca, imaginea lui $z$ este egal departata de imaginea lui i si (-i)........ 2 p + +c) Ecuatia este echivalenta $\mathrm{cu}\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{n}=-i$............................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Forma trigonometrica a lui i $1 p$ + +Multimea solutiilor este $\left\{\operatorname{ctg} \frac{4 k \pi+3 \pi}{40} / k \in\{0,1,2, \ldots, 9\}\right\}$. $.3 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Fie $z, z^{\prime} \in \mathbb{C}$ cu $|z|=\left|z^{\prime}\right|=1$. Să se arate că: + +$$ +\left(\frac{z+z^{\prime}}{1+z z^{\prime}}\right)^{2 n}+\left(\frac{z-z^{\prime}}{1-z z^{\prime}}\right)^{2 n} \geq \frac{1}{2^{n-1}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, z z^{\prime} \neq \pm 1 +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& z=\cos a+i \sin a, z^{\prime}=\cos b+i \sin b \ldots \ldots \ldots . .1 p \\ +& A=\frac{z+z^{\prime}}{1+z z^{\prime}}=\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}, B=\frac{z-z^{\prime}}{1-z z^{\prime}}=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \text {, unde } \alpha=\frac{a-b}{2}, \beta=\frac{a+b}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{2 p} \\ +& A^{2 n}+B^{2 n} \geq 2\left(\frac{A^{2}+B^{2}}{2}\right)^{n} \geq \frac{2}{2^{n}}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta\right)=\frac{1}{2^{n-1}} +\end{aligned} +$$ + +Orice alta solutie se ia in considerare. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-272-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.viii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-272-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.viii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e0a8bc005e31ebf2576eee8d400972eee5460f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-272-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.viii.md @@ -0,0 +1,138 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21 februarie 2016 + +Clasa a VIII- a + +## SUBIECTUL I (7p) + +a) Să se arate că $\frac{n^{2}-1}{(n+1)^{2}}<\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}<\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}-1},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +(3p) + +b) Arătați că numărul $a=\frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot 2015}{4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 2016} \in\left(\frac{\sqrt{2}}{45} ; \frac{\sqrt{3}}{44}\right)$. + +## SUBIECTUL 2 (7p) + +a) Determinați valoarea minimă a expresiei $E(x, y)=x^{4}+y^{4}+\frac{2}{x^{2} y^{2}}, x, y \in \mathbb{R}$. Precizați valorile lui $x$ și y pentru care se realizează acest minim. (4p) + +b) Determinați numerele reale $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ știind că: $x+y+z=\frac{3}{2}$ și $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{3}{4}$. + +(G.M. nr.10/2015) + +## SUBIECTUL $3(7 p)$ + +Considerăm în spațiu punctele $A, B, C, D$ și $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ mijloacele segmentelor $[A B]$, respectiv [CD]. Demonstrați că, dacă $M N=\frac{B C+A D}{2}$, atunci punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ sunt coplanare. + +## SUBIECTUL 4 (7p) + +Fie un cub $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, de latură $4 \mathrm{~cm}$ și $P$ un punct interior cubului. + +a) Demonstrați că suma distanțelor de la $\mathrm{P}$ la fețele cubului este constantă. + +b) Demonstrați că suma distanțelor de la $P$ la vârfurile cubului este mai mare sau egală cu $16 \sqrt{3}$. + +c) Dacă $P \in\left[B D^{\prime}\right]$ astfel încât $\mathrm{BP}=3 P D^{\prime}$ calculați suma distanțelor la muchiile laterale $\mathrm{AA}^{\prime}, \mathrm{BB}^{\prime}, C C^{\prime}, \mathrm{DD}^{\prime}$. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ- CLASA VIII
21 februarie 2016
BAREM DE NOTARE SI CORECTARE + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }(7 p=3 p+4 p))}$ + +a) Să se arate că $\frac{n^{2}-1}{(n+1)^{2}}<\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}<\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}-1}$, $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Arătați că numărul $a=\frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \ldots 2015}{4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdots \cdot 2016} \in\left(\frac{\sqrt{2}}{45} ; \frac{\sqrt{3}}{44}\right)$. + +## Soluție: + +a) $\operatorname{Cum}(\mathrm{n}+1)^{2}>0, \operatorname{din} \mathrm{n}^{2}-1<\mathrm{n}^{2} \Rightarrow \frac{n^{2}-1}{(n+1)^{2}}<\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}$. + +iar $\operatorname{din}(n+1)^{2}>(n+1)^{2}-1 \Rightarrow \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}<\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}-1}$ + +finalizare + +b) $a \in\left(\frac{\sqrt{2}}{45} ; \frac{\sqrt{3}}{44}\right) \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{45}\frac{3^{2}-1}{4^{2}} \cdot \frac{5^{2}-1}{6^{2}} \cdot \ldots \frac{2015^{2}-1}{2016^{2}} \frac{2 \cdot 4}{4^{2}} \cdot \frac{4 \cdot 6}{6^{2}} \cdot \frac{6 \cdot 8}{8^{2}} \cdot \ldots \cdot \frac{2014 \cdot 2016}{2016^{2}}$ + +$=\frac{2}{4} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{6}{8} \cdot \ldots \frac{2014}{2016}=\frac{2}{2016}>\frac{2}{2025}$. + +$\mathrm{a}^{2}=\frac{3^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{5^{2}}{6^{2}} \cdot \frac{7^{2}}{8^{2}} \cdot \ldots \cdot \frac{2015^{2}}{2016^{2}}<\frac{3^{2}}{4^{2}-1} \cdot \frac{5^{2}}{6^{2}-1} \cdot \frac{7^{2}}{8^{2}-1} \cdot \frac{2015^{2}}{2016^{2}-1}=\frac{3^{2}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5^{2}}{5 \cdot 7} \cdot \frac{7^{2}}{7 \cdot 9} \cdot \ldots \cdot \frac{2015^{2}}{2015 \cdot 2017}$ + +$=\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{9} \cdot \ldots \cdot \frac{2015}{2017}=\frac{3}{2017}<\frac{3}{1936}$ + +(1p) + +$\left\{\begin{array}{l}a^{2}>\frac{2}{2025} \\ a^{2}<\frac{3}{1936}\end{array} \Rightarrow \frac{2}{2025}0$, atunci $a<2$ şi $b<2$. + +b) Să se arate că $x=\frac{5 k-3}{4}$ și $y=\frac{7 k-2}{6}$ nu pot fi ambele numere întregi, oricare ar fi k număr întreg. + +## SUBIECTUL II (7 puncte) + +Sǎ se determine cifrele $\mathrm{a}$ şi $\mathrm{b}$ ( din baza 10) ştiind cǎ numărul raţional $r=\overline{a, 2(b)}+\overline{b, 3(a)}$ se poate scrie sub formǎ de fracţie zecimală finitǎ. + +## SUBIECTUL III ( 7 puncte) + +Într-un triunghi ascuțitunghic, o înălțime și o mediană construite din vârfuri diferite formează un unghi cu masura de $60^{\circ}$. Arătați că înălțimea și mediana au aceeaşi lungime. + +(Gazeta Matematică nr.9/2015) + +## SUBIECTUL IV (7 puncte) + +Printr-un punct oarecare $\mathrm{D}$ situat pe latura (BC) a triunghiului $\mathrm{ABC}$, diferit de mijlocul laturii, se duce paralela la mediana [AM], $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$, care intersectează dreptele $\mathrm{AB}$ și $\mathrm{AC}$ în punctele $\mathrm{E}$, respectiv $\mathrm{F}$. + +Demonstrați că: +a) $\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AF}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AE}$ +b) $\mathrm{DE}+\mathrm{DF}=$ constant + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.
Timp de lucru: 3 ore + +## Bareme de corectare-cl.a VII-a + +## Etapa locală, Botoṣani, 21 februarie 2016 + +## Subiectul I (7 puncte) + +a) Arătaţi că, dacă numerele raţionale $a$ şi $b$ îndeplinesc simultan condiţiile: $a$ + b $<4$ şi ab $-2 a-2 b+4>0$, atunci $a<2$ şi $b<2$. + +## Soluţie: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{ab}-2 \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+4>0 \Leftrightarrow(a-2)(b-2)>0 \\ +& \text { Rezultă cazurile: } +\end{aligned} +$$ + +i) a $-2>0$ şi $b-2>0 \Rightarrow a+b>4$ (fals) + +ii) a $-2<0$ şi $b-2<0 \Rightarrow a+b<4$ + +Din $a-2<0$ şi $b-2<0$, rezultă $a<2$ şi $b<2$ + +b) Să se arate că $\mathrm{x}=\frac{5 k-3}{4}$ și $\mathrm{y}=\frac{7 k-2}{6}$ nu pot fi ambele numere întregi, oricare ar fi k număr întreg. + +## Soluție: + +Dacă $\mathrm{x} \in \mathrm{Z} \Rightarrow 4|5 \mathrm{k}-3 \Rightarrow 4| 4 \mathrm{k}+\mathrm{k}-3 \Rightarrow 4|\mathrm{k}-3 \Rightarrow 2| \mathrm{k}-3$ + +Dacă y $\in \mathrm{Z} \Rightarrow 6|7 \mathrm{k}-2 \Rightarrow 6| 6 \mathrm{k}+\mathrm{k}-2 \Rightarrow 6|\mathrm{k}-2 \Rightarrow 2| \mathrm{k}-2$ + +$2 \mid \mathrm{k}-3$ și $2 \mid \mathrm{k}-2$ (contradicție), de unde rezultă concluzia. + +## Subiectul II (7 puncte) + +Să se determine cifrele $\mathrm{a}$ şi $\mathrm{b}$ ( din baza 10) ştiind că numărul raţional $\quad r=\overline{a, 2(b)}+\overline{b, 3(a)}$ se poate scrie sub formǎ de fracţie zecimală finită. + +## Soluție: + +Avem $\mathrm{r}=\overline{a, 2(b)}+\overline{b, 3(a)}=\frac{\overline{a 2 b}-\overline{a 2}}{90}+\frac{\overline{b 3 a}-\overline{b 3}}{90}=\frac{90 \cdot a+b+18}{90}+\frac{a+90 \cdot b+27}{90}=\frac{91 \cdot a+91 \cdot b+45}{90}$ (2p) + +(1p) + +Dar $\mathrm{r}$ este fracţie zecimală finită numai dacă 9 divide $91 \cdot a+91 \cdot b+45$ $9 /(91(a+b)+45) \Rightarrow 9 /(91(a+b)) \Rightarrow 9 /(a+b)$ + +Dar a, b $\in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\} \Rightarrow 0 \leq \mathrm{a}+\mathrm{b} \leq 16 \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$ sau a+b=9 + +$\Rightarrow($ a;b) $\in\{(0 ; 0) ;(1 ; 8) ;(2 ; 7) ;(3 ; 6) ;(4 ; 5) ;(5 ; 4) ;(6 ; 3) ;(7 ; 2) ;(8 ; 1)\}$ + +## Subiectul III ( 7 puncte) + +Într-un triunghi ascuțitunghic, o înălțime și o mediană construite din vârfuri diferite formează un unghi cu masura de $60^{\circ}$. Arătați că înălțimea și mediana au aceeaşi lungime. + +(Gazeta Matematică nr.9/2015) + +Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b6c29abd43fd1da088a1g-3.jpg?height=403&width=474&top_left_y=178&top_left_x=194) + +$\Delta \mathrm{ABC}$ ascuțitunghic: construim înălțimea $[\mathrm{AD}]$ și mediana $[B M]$. + +$\mathrm{AD} \cap \mathrm{BM}=\{\mathbf{P}\} ; \mathrm{m}(<(\mathrm{AD}, \mathrm{BM}))=\mathrm{m}(<\mathrm{BPD})=60^{\circ}$ + +Construim $\mathrm{MN} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{N} \in(\mathrm{BC}) \Rightarrow \mathrm{MN} \| \mathrm{AD}$ + +(2p) + +$\triangle B D P: m(<\mathrm{D})=90^{\circ}$ și $\mathrm{m}(<\mathrm{P})=60^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}(<\mathrm{PBD})=30^{\circ}$ ( 1p) + +$\triangle \mathrm{BNM}: \mathrm{m}(<\mathrm{N})=90^{\circ}$ si $\mathrm{m}(<\mathrm{MBN})=30^{\circ} \Rightarrow \mathrm{MN}=\frac{B M}{2}$ ( i) + +(1p) + +$\Delta \mathrm{ADC}$ : Dacă $\mathrm{M}$ este mijlocul lui $[\mathrm{AC}]$ și $\mathrm{MN} \| \mathrm{AD} \Rightarrow[\mathrm{MN}]$ este linie mijlocie + +$\Rightarrow \mathrm{MN}=\frac{A D}{2}$ + +( 2p) + +Din (i) și ( ii) $\Rightarrow A D=B M$ + +( 1p) + +## Subiectul IV (7 puncte) + +Printr-un punct oarecare D situat pe latura (BC) a triunghiului $\mathrm{ABC}$ diferit de mijlocul laturii, se duce paralela la mediana [AM], $\mathrm{M} \in$ (BC), care intersectează dreptele $\mathrm{AB}$ și $\mathrm{AC}$ în punctele $\mathrm{E}$, respectiv F. + +Demonstrați că: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b6c29abd43fd1da088a1g-3.jpg?height=417&width=392&top_left_y=1114&top_left_x=1346) +a) $\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AF}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AE}$ +(3p) +b) $\mathrm{DE}+\mathrm{DF}=$ constant +(4p) + +Soluţie: Aplicăm Teorema lui Thales în triunghiurile: + +$\triangle \mathrm{CFD}: \mathrm{AM} \| \mathrm{FD} \Rightarrow \frac{A F}{A C}=\frac{D M}{M C}$ + +( 1p ) + +$\Delta$ BAM:ED $\| \mathrm{AM} \Rightarrow \frac{A E}{A B}=\frac{D M}{B M}$ + +(1p) + +Deoarece $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$, din (1) și (2) $\Rightarrow \frac{A F}{A C}=\frac{A E}{A B} \Rightarrow \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AF}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AE}$ + +a) Aplicăm teorema fundamentală a asemănării în aceleași triunghiuri și obținem: + +$$ +\begin{aligned} +& \Delta \mathrm{MAC} \sim \Delta \mathrm{DFC} \Rightarrow \frac{M A}{D F}=\frac{M C}{D C} \Rightarrow \mathrm{DF}=\frac{M A \cdot D C}{M C} \\ +& \Delta \mathrm{DBE} \sim \Delta \mathrm{MBA} \Rightarrow \frac{D E}{M A}=\frac{B D}{B M} \Rightarrow \mathrm{DE}=\frac{M A \cdot B D}{B M} +\end{aligned} +$$ + +Deoarece $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$, avem: $\mathrm{DE}+\mathrm{DF}=\frac{M A \cdot B D}{B M}+\frac{M A \cdot D C}{M C}$ + +$\mathrm{DE}+\mathrm{DF}=\frac{M A \cdot(B D+D C)}{B M}=\frac{M A \cdot B C}{B M}=\frac{M A \cdot 2 B M}{B M}=2 \mathrm{AM}=$ constant + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-274-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-274-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f122d3acd8fcd626a387ea5705b03954ae5193b0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-274-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vi.md @@ -0,0 +1,131 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21 februarie 2016 + +Clasa a VI- a + +## SUBIECTUL I (7p) + +Se consideră numerele naturale $a=3 n+2, b=2 n+1$ s,i $c=n+1, n \in \mathbb{N}$. + +3p) a) Demonstraţi că a și b sunt prime între ele. + +b) Arătaţi că numărul $[a, b]+[a, c]$ este pătrat perfect, pentru orice număr 4p) natural $\mathrm{n}$ (s-a notat cu $[x, y]$ cel mai mic multiplu comun al numerelor $\mathrm{x}$ și y ). + +## SUBIECTUL II (7p) + +Arătați că : + +$7 \mathrm{p})$ + +$$ +\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots . .+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2016}<\frac{2016}{2017} +$$ + +## SUBIECTUL III (7p) + +Fie $\mathrm{A}=\{(a ; b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 10 a+b$ se divide cu 19$\}$ şi + +$7 p)$ + +$\mathrm{B}=\{(a ; b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 2015 a+2 b$ se divide cu 19$\}$. + +Arătați că AつB. + +Gazeta Matematică + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Fie punctele coliniare $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ și $\mathrm{B}, \mathrm{cu} \mathrm{O} \in(A B)$. De aceeaşi parte a dreptei $\mathrm{AB}$ se consideră punctele $\mathrm{C}$ și $\mathrm{D}$ astfel încât unghiurile $\Varangle \mathrm{AOC}$ și $\Varangle \mathrm{COD}$ să fie adiacente. Fie [OM bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{AOC}$ și $[O N$ bisectoarea unghiului $\Varangle B O D$. Se știe că $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOD})=115^{\circ}$ și $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{NOC})=110^{\circ}$ + +3p) a) Arătați că unghiul $\Varangle$ COD este drept. + +2p) b) Aflați $m(\Varangle A O C)$ și $m(\Varangle D O B)$. + +2p) c) În interiorul unghiului $\Varangle$ COD se construiesc 12 semidrepte distincte cu originea în $\mathrm{O}$, astfel încât cele 13 unghiuri formate, cu interioarele disjuncte două câte două, au măsurile exprimate prin numere naturale nenule. Demonstrați că cel puțin două dintre aceste unghiuri sunt congruente. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 2 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
etapa locală- 21.02.2016 + +## Clasa a VI- a + +Barem de evaluare şi notare + +## Subiectul I + +Se consideră numerele naturale $a=3 n+2, b=2 n+1$ și $c=n+1, n \in \mathbb{N}$. + +a) Demonstraţi că a și b sunt prime între ele. + +b) Arătaţi că numărul $[a, b]+[a, c]$ este pătrat perfect, pentru orice număr natural $\mathrm{n}$ (s-a notat cu $[x, y]$ celmaimicmultiplu comun al numerelor $\mathrm{x}$ și $\mathrm{y}$ ). + +Soluție: + +a) Fie $\mathrm{d} \epsilon \mathbb{N}, d / a$ și $d / b \Rightarrow d / 2 a$ și $d / 3 b$..................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{d} / 2 \mathrm{a}-3 \mathrm{~b}, 2 \mathrm{a}-3 \mathrm{~b}=1 \Rightarrow \mathrm{d} / 1 \Rightarrow d=1 \Rightarrow(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1$....................................... 2p + +b) Din a) avem $(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1 \Rightarrow[a, b]=\mathrm{ab}$...................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$(\mathrm{a}, \mathrm{c})=1 \Rightarrow[a, c]=\mathrm{ac}$........................................................................ 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_30b041a70334e613c4eeg-2.jpg?height=54&width=1322&top_left_y=1018&top_left_x=367) + +Subiectul II + +Arătați că : + +$$ +\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots .+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2016}<\frac{2016}{2017} +$$ + +## Soluție: + +$1+2+3+\ldots .+2016=\frac{2016 \cdot 2017}{2}$............................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_30b041a70334e613c4eeg-2.jpg?height=82&width=1477&top_left_y=1541&top_left_x=238) + +$\mathrm{S}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots . .+\frac{1}{1+2+3+\cdots \cdot+2016}=\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\frac{2}{4 \cdot 5}+\cdots+\frac{2}{2016 \cdot 2017} \ldots \ldots .2 p$ + +$\mathrm{S}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2017}\right)=\frac{2015}{2017}<\frac{2016}{2017} \ldots \ldots . . \quad \ldots \ldots \ldots .3 p$ + +## Subiectul III + +Fie $A=\{(a ; b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 10 a+b \vdots 19\}$ și $B=\{(a ; b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 2015 a+2 b ： 19\}$. + +Arătați că AつB. + +Soluție: + +Arătăm că daca $(\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \in B$ atunci $(\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \in A$ + +$$ +\begin{gathered} +>\text { Fie }(\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \in B \Rightarrow 19 / 2015 a+2 b, \text { cum } 19 / 1995 a \Rightarrow 19 / 20 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b} \\ +20 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=2(10 \mathrm{a}+\mathrm{b}) \text { și }(19,2)=1 \text {, rezultă că } 19 / 10 \mathrm{a}+\mathrm{b}, \operatorname{deci}(\mathrm{a} ; \mathrm{b}) \in A \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 p +\end{gathered} +$$ + +## Subiectul IV + +Fie punctele coliniare $A, 0$ și $B$, cu $O \in(A B)$. De aceeași parte a dreptei $A B$ se consideră punctele $C$ și $D$ astfel încât unghiurile $\Varangle A O C$ și $\Varangle C O D$ să fie adiacente. Fie [OM bisectoarea unghiului $\Varangle A O C$ și $[O N$ bisectoarea unghiului $\Varangle B O D$. Se știe că $m(\Varangle M O D)=115^{\circ}$ si $m(\Varangle$ NOC $)=110^{\circ}$ + +a) Arătați că unghiul $\Varangle$ COD este drept. + +b) Aflați m( $\Varangle A O C)$ și $m(\Varangle D O B)$. +c) În interiorul unghiului $\Varangle$ COD se construiesc 12 semidrepte distincte cu originea în 0 , astfel încât cele 13 unghiuri formate, cu interioarele disjuncte două câte două, au măsurile exprimate prin numere naturale nenule. Demonstrați că cel puțin două dintre aceste unghiuri sunt congruente. + +Soluție: +a) Pentru figură corectă +Notăm $x=m(\Varangle A O M)=m(\Varangle$ MOC) și cu $y=m(\Varangle B O N)=m(\Varangle$ NOD $)$. +Din relațiile $2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})=180^{\circ}, \mathrm{x}+\mathrm{m}(\Varangle C O D)=115^{\circ}$ și $\mathrm{y}+\mathrm{m}(\Varangle C O D)=110^{\circ}$, se obține că $m(\Varangle \mathrm{COD})=90^{\circ}$ +b) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOC})=115^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$. +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOC})=2 \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{MOC})=2 \cdot 25^{\circ}=50^{\circ}$ $1 p$ +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{DOB})=40^{\circ}$ +$1 p$ +c) Suma măsurilor celor 13 unghiuri este $90^{\circ}$. +$1+2+3+\ldots . . . .+13=91>90$, de unde concluzia cerută. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-275-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.v.md b/Romania_Olympiad/md/ro-275-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.v.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a9ead129cab1d55339f46fa905830f5837fc069 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-275-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.v.md @@ -0,0 +1,139 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - 21 februarie 2016 Clasa a V- a + +## Subiectul I (7 p) + +a) Determinaţi dacă numărul de mai jos este pătrat perfect $n=\left[\left(2^{7}\right)^{2} \cdot\left(2^{2}\right)^{8}+5^{50}: 5^{5}-\left(7^{16}\right)^{2}\right]:\left[\left(8^{5}\right)^{2}+(125)^{15}-\left(7^{4^{2}}\right)^{2}\right]$. + +b) Arătaţi că diferenţa dintre jumătatea lui $8^{48}$ şi sfertul lui $4^{71}$ este divizibilă cu 14 . + +## Subiectul II (7 p) + +Aflaţi patru numere naturale, ştiind că suma lor este 55 , primul număr este jumătate din cel de-al doilea, al treilea număr este media aritmetică a primelor două, iar al patrulea număr este dublul diferenţei dintre al doilea şi al treilea. + +Gazeta Matematică + +## Subiectul III (7 p) + +Fie mulţimea $A=\{\overline{a b c d}, \overline{a b}=\overline{c d}+4\}$ + +a) Determinaţi dacă 2016 şi respectiv 2024 aparţin mulţimii A. + +b) Aflaţi restul împărţirii unui număr oarecare din A la 101. + +c) Daca $\mathrm{S}$ este suma tuturor numerelor din $\mathrm{A}$, arătaţi că $\mathrm{S}$ nu este pătrat perfect. + +## Subiectul IV (7 puncte) + +Se consideră mulţimea numerelor formate numai din cifrele 1 şi 2, cu cel mult 2016 cifre. + +a) Să se calculeze câte numere sunt cu 5 cifre. + +b) Să se calculeze câte numere sunt în mulţime. + +c) Să se arate că există în mulţime un număr divizibil cu $3^{6}$. + +Notă : + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +## Barem de notare si corectare Clasa a V a + +## Subiectul I. + +a) Determinaţi dacă numărul de mai jos este pătrat perfect. $\left[\left(2^{7}\right)^{2} \cdot\left(2^{2}\right)^{8}+5^{50}: 5^{5}-\left(7^{16}\right)^{2}\right]:\left[\left(8^{5}\right)^{2}+\left(5^{3}\right)^{15}-\left(7^{4^{2}}\right)^{2}\right]$. + +b) Arătaţi că diferenţa dintre jumătatea lui $8^{48}$ şi sfertul lui $4^{71}$ este divizibilă cu 14 . + +## Solutie + +a) $n=\left(2^{14} \cdot 2^{16}+5^{45}-7^{32}\right):\left(8^{10}+5^{45}-\left(7^{16}\right)^{2}\right)=\left(2^{30}+5^{45}-7^{32}\right):\left(2^{30}+5^{45}-7^{32}\right)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4434138339131baed822g-2.jpg?height=51&width=1559&top_left_y=797&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4434138339131baed822g-2.jpg?height=62&width=1542&top_left_y=840&top_left_x=243) + +b) $8^{48}: 2-4^{71}: 4=\left(2^{3}\right)^{48}: 2-4^{70}=2^{144}: 2-\left(2^{2}\right)^{70}=2^{143}-2^{140}=2^{140}\left(2^{3}-1\right) \ldots \ldots \ldots . .2 p$ + +Dar $2^{140}\left(2^{3}-1\right)=2^{139} \cdot 2 \cdot 7=2^{139} \cdot 14$, deci divizibil cu 14...................................... 2 p + +## Subiectul II + +Aflaţi patru numere naturale, ştiind că suma lor este 55 , primul număr este jumătate din cel deal doilea, al treilea număr este media aritmetică a primelor două, iar al patrulea număr este dublul diferenţei dintre al doilea şi al treilea. + +Gazeta Matematica + +## Solutie + +Notăm numerele cu a, b, c, d. Avem urmatoarele relaţii $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=55, \mathrm{a}=\mathrm{b}: 2, \mathrm{c}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}): 2$ si $\mathrm{d}=2$ (b-c).......... $.1 p$ + +Înlocuim pe $\mathrm{b}=2 \mathrm{a}$ in relaţia a treia şi obţinem $\mathrm{c}=3 \mathrm{a}: 2$, pe care de asemenea le substituim în ultima relaţie. $.2 p$ + +$d=2(b-c)=2(2 a-3 a: 2)=4 a-3 a=a$ $1 p$ + +Avem toate necunoscutele exprimate în funcţie de $a$ şi le înlocuim în suma lor $\mathrm{a}+2 \mathrm{a}+3 \mathrm{a}: 2+\mathrm{a}=55$. Înmulţind cu 2 , obţinem $11 a=110$, de unde $a=10$. . $.2 p$ + +Celelalte numere sunt $b=20, c=15$ şi $d=10$. $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul III + +Fie mulţimea $A=\{\overline{a b c d}, \overline{a b}=\overline{c d}+4\}$ + +a). Determinaţi dacă 2016 si respectiv 2024 aparţin mulţimii A. + +b). Aflaţi restul împărţirii unui număr oarecare din $\mathrm{A}$ la 101. + +c). Daca $\mathrm{S}$ este suma tuturor numerelor din $\mathrm{A}$, arătaţi că $\mathrm{S}$ nu este pătrat perfect. + +## Soluţie + +a). 2016 are $20=16+4$, iar $2024 \mathrm{nu}$ verifica $20=24+4$. Deci 2016 aparţine mulţimii, iar $2024 \mathrm{nu}$ aparţine $1 p$ +b). $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=(\overline{c d}+4) \cdot 100+\overline{c d}=\overline{c d} \cdot 101+400$ $.2 p$ +Cum primul termen este divizibil cu 101, atunci restul împărţirii acestui numar la 101 este restul impărţirii lui 400 la 101, adica 97. $1 p$ + +Este mai usor să scriem $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{a b}-4=\overline{a b} \cdot 101-4$. Deoarece $a$ nu poate fi 0 avem în total 90 de numere, şi asfel suma este: +$S=10 \cdot 101-4+11 \cdot 101-4+\ldots+99 \cdot 101-4=101 \cdot(10+11+\ldots+99)-4 \cdot 90=$ $101 \cdot(99 \cdot 100: 2-9 \cdot 10: 2)-360=101 \cdot(45 \cdot 110-45)-360=45 \cdot(101 \cdot 110-101-$ 8). $.2 p$ + +Observăm că numărul din ultima paranteză are ultima cifră 1 , deci nu este divizibil cu 5 . Cum S este divizibil cu 5 , dar nu este divizibil cu 25 , concluzionăm că $\mathrm{S}$ nu este pătrat perfect. + +## Subiectul IV + +Se consideră mulţimea numerelor formate numai din cifrele 1 şi 2, cu cel mult 2016 cifre. + +a). Să se calculeze câte numere sunt cu 5 cifre. + +b). Să se calculeze câte numere sunt în mulţime. + +c). Să se arate că există în mulţime un numar divizibil cu $3^{6}$. + +## Soluţie + +a) Un numar de 5 cifre de forma are pentru fiecare cifra 2 posibilităţi, 1 şi 2 , deci ele sunt $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{5}=32$ numere $2 p$ + +b) Pentru fiecare numar $1 \leq k \leq 2016$, avem că în mulţime sunt $2^{k}$ numere cu $k$ cifre. + +Deci numărul de elemente din mulţime este + +$N=2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2016}$ + +$.1 p$ + +Adunăm 2 şi obţinem + +$N+2=(2+2)+2^{2}+\ldots+2^{2016}=2^{2}+2^{2}+2^{3}+\ldots 2^{2016}=\left(2^{3}+2^{3}\right)+\ldots+2^{2016}=\ldots$ + +$$ +=2^{2016}+2^{2016}=2^{2017} +$$ + +Deci $\mathrm{N}=2^{2017}-2$. + +$.2 p$ + +c).Considerăm cele 2016 numere formate numai cu cifra 1. Deoarece $2016=2^{5} \cdot 9 \cdot 7>3^{3} \cdot 3^{2} \cdot 3=3^{6}$, cel puţin două dintre numere dau acelaşi rest la împărţirea cu $3^{6}$ + +$1 p$ + +Diferenţa acestor numere este de forma $111 \ldots 11000 \ldots 0=11 \ldots 1 \cdot 10^{t}$ şi este divizibilă cu $3^{6}$. Cum 3 si 10 nu au divizor comuni, $3^{6}$ divide numărul format numai din cifre de 1 , care apaţine lui A. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-276-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.ix.md b/Romania_Olympiad/md/ro-276-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.ix.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53aa6dff060a36c4222daaf6b23d5bd13bf75dc8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-276-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.ix.md @@ -0,0 +1,139 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016 + +## CLASA A IX-A + +## SUBIECTUL I (7p) + +Fie $n$ un număr natural compus și $1=d_{1} ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A X- A + +## SUBIECTUL I + +a) Să se rezolve ecuația $x^{\log _{2} 9}=x^{2} \cdot 3^{\log _{2} x}-x^{\log _{2} 3}$. + +b) Dacă $x \in[2, \infty)$ să se calculeze $\left[\log _{[x]} x\right]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a lui $a$. + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve ecuația $2 \sqrt[3]{2 x-1}=x^{3}+1$. + +## SUBIECTUL III + +Numerele distincte $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}, \mathrm{z}_{3} \in C^{*}$ au modulele egale. Considerăm numerele $a=\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}, b=\frac{z_{2}+z_{3}}{z_{2}-z_{3}}$, $c=\frac{z_{3}+z_{1}}{z_{3}-z_{1}}$. Să se arate că dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-1$ atunci $a=b=c$. + +## SUBIECTUL IV + +Determinaţi numerele $a, b, c \in[-2,2]$ şi $n \in \mathbf{N}^{*}$ ştiind că $a+b+c=-3, a^{3}+b^{3}+c^{3}=-15, a \leq b \leq c$ şi $a^{n}+b^{n}+c^{n}=8 n+1$. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-28-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. V-subiecte_clasa_a_5aetapa_iii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-28-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. V-subiecte_clasa_a_5aetapa_iii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f99016310d3a46efd140a80abe3cc9f0d381079d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-28-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. V-subiecte_clasa_a_5aetapa_iii.md" @@ -0,0 +1,46 @@ +# Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ + +Etapa a III-a, 23 mai 2021
Subiect - Clasa a V-a + +## Problema 1 + +Aflaţi ultima cifră a numărului natural $n$, ştiind că penultima cifră a lui $n^{2}$ este 9 . + +## Problema 2 + +Dacă numărul natural $a$ are $n$ cifre, iar numărul natural $a^{4}$ are $m$ cifre, arătați că suma $m+n$ nu poate fi egală cu 2021. + +## Problema 3 + +Se poate pava o tablă dreptunghiulară de 48 de pătrățele ( $m \times n$, unde $m$ și $n$ sunt numere naturale mai mari sau egale cu 2), utilizând piese de 4 pătrățele, +de forma + +| $\square$ | +| :--- | +| | +| | + +(tip 1), respectiv + +| | | +| :--- | :--- | +| | | + +(tip 2), astfel încât să folosim un + +număr egal de piese din fiecare tip? + +Prin pavare înțelegem acoperirea completă, cu piese, a tuturor pătrățelelor tablei, astfel încât să nu existe piese care se suprapun sau care ies parțial în afara tablei. + +## Problema 4 + +Aflați numerele naturale $x ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A VIII-A + +## Subiectul I + +Se consideră numărul $\mathrm{a}=\sqrt{7+\sqrt{33}}-\sqrt{7-\sqrt{33}}$. + +a) Arătați că $a^{2}$ este număr natural; + +b) Dacă $\mathrm{b}=(a-2)^{2016}$, aflați partea întreagă a numărului $\mathrm{b}$; + +c) Știind că $c=\left(a^{4}+a^{3}-6 a^{2}-6 a-1\right)^{2016}$, stabiliți dacă c $\in(0,2)$. + +## Subiectul II + +Fie numerele $a, b, c \in R$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Arătaţi că: + +а) $\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}+c^{4}}+\sqrt{4 a^{2}+4 c^{2}+b^{4}}+\sqrt{4 c^{2}+4 b^{2}+a^{4}}=5$; +b) $-\sqrt{3} \leq a+b+c \leq \sqrt{3}$. + +## Subiectul III + +În cubul ABCDA'B'C'D' se notează cu $\mathrm{P}$ proiecția punctului C' pe diagonala A'C. Demonstrați că dreptele AP și D'P sunt perpendiculare. + +## Subiectul IV + +Fie $\mathrm{ABCD}$ un trapez dreptunghic $\mathrm{cu} \mathrm{m}(\angle \mathrm{D})=90^{\circ}, \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}, \mathrm{DC}=6 \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{AD}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Pe perpendiculara în $D$ pe planul $(\mathrm{ABC})$ se consideră punctul $\mathrm{E}$ astfel încât $\mathrm{DE}=8 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât BM $=2 \mathrm{~cm}$. + +a) Demonstrați că $\mathrm{AM} \perp(\mathrm{EDM})$; + +b) Calculați distanța de la punctul D la planul (AEM). + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-281-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-281-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3f4695f4d0b7bfa378af41b294c34e3246e1877 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-281-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vii.md @@ -0,0 +1,42 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A VII-A + +## Subiectul I + +a) Să se arate că există numere iraționale $x$ pentru care $\sqrt{3-x^{2}}$ este număr rațional. + +b) Există numere raționale $x$ pentru care numărul $\sqrt{3-x^{2}}$ să fie rațional? Justificați răspunsul dat. + +## Subiectul II + +Se consideră numerele: $S_{1}=[\sqrt{1 \cdot 2}], S_{2}=[\sqrt{1 \cdot 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}], \ldots$, + +$S_{n}=[\sqrt{1 \cdot 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}]+[\sqrt{3 \cdot 4}]+\cdots+[\sqrt{n \cdot(n+1)}]$, unde prin $[a]$ am notat partea întragă a numărului $a$ și $n$ este un număr natural nenul. + +a) Calculați $S_{63}$. + +b) Demonstrați că numărul $A=\sqrt{2 \cdot S_{n}+n}$ nu este rațional, oricare ar fi numărul natural nenul $n$. + +## Subiectul III + +Fie $A B C D$ un paralelogram cu $B C>2 \cdot A B$. Bisectoarea unghiului $A B C$ intersectează diagonala $A C$ în punctul $E$, iar bisectoarea unghului $D C B$ intersectează diagonala $B D$ în punctul $F$. + +a) Arătați că aria triunghului $A E B$ este egală cu aria triunghiului $C F D$. + +b) Demonstrați că dreapta $E F$ este paralelă cu dreapta $B C$. + +## Subiectul IV + +Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic cu $m(\Varangle A)=90^{\circ}, A D \perp B C, D \in(B C)$. Bisectoarea unghiului $A C B$ intersectează dreapta $A D$ în punctul $G$ și latura $A B$ în punctul $E$. Se notază cu $F$ piciorul perpendicularei din $E$ pe latura $B C$. + +a) Arătați că patrulaterul $A E F G$ este romb. + +b) Dacă triunghiul $A E G$ este echilateral, aflați raportul dintre aria patrulaterului $A E F G$ și aria triunghiului + +$A B C$. + +## Timp de lucru 3ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-282-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-282-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e406beca528df79625141ca236ad72136fbd679 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-282-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vi.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21.02.201 + +CLASA A VI-A + +## Subiectul I + +Aflați numerele prime $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, știind că verifică simultan relațiile $c-a b=15$ și $c-a^{2}=49$. + +## Subiectul II + +a) Descompuneți în factori primi numărul 2015. + +b) Arătaţi că fracția $\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2014+1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2014 \cdot 2016+1}$ este ireductibilă. + +## Subiectul III + +Se dau unghiul $\Varangle A O B$ cu măsura de $150^{\circ}$ și unghiul $\Varangle C O D$ drept, astfel încât punctele $C$ și $D$ se află în semiplane opuse faţă de dreptele $O A$ și $O B$. Aflați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O C$ și $\Varangle B O D$. + +## Subiectul IV + +Fie A,B,C,D pe dreapta d astfel încât $[C D] \subset[A B]$ și $[A C] \equiv[B D]$. Arătați că: + +a) Segmentele $[\mathrm{AB}]$ și $[\mathrm{CD}]$ au acelaşi mijloc. + +b) Dacă se colorează punctele dreptei cu două culori, alb și roșu, atunci există 3 puncte de aceiași culoare astfel încât unul este mijlocul segmentului determinat de celelalte două. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-283-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.v.md b/Romania_Olympiad/md/ro-283-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.v.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b1668634cdccb9ea256e572ae2ce09adb1806ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-283-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.v.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21.02.201 + +## CLASA A V-A + +## Subiectul I + +a) Calculaţi: $13^{5}: 13^{2}+\left\{\left(17^{3}\right)^{5}: 17^{14}+2 \cdot\left[\left(2^{3} \cdot 5^{2}\right)^{4}: 100^{4}+253: 23\right]\right\}-\left(2^{8}-2^{2}\right)$. + +b) Arătaţi că numărul $x=\overline{74 \mathrm{a}}+\overline{4 \mathrm{a} 7}+\overline{\mathrm{a} 74}$ este divizibil cu 37 , oricare ar fi cifra nenulă $a$. + +## Subiectul II + +a) Aflaţi restul împărţirii numărului $a=2017+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)$ la 2016. + +b) Arătaţi că suma primelor 2017 numere impare este pătrat perfect. + +c) Scrieţi numărul $2017^{2}$ ca sumă de 2017 numere naturale consecutive. + +## Subiectul III + +Să se determine numerele naturale $a$ şi $b$ a căror sumă este egală cu 323 , ştiind că împărţindu-1 pe $a$ la $b$ se obţine câtul 16 şi restul nenul. + +## Subiectul IV + +Un număr natural se numeşte cub bipătratic dacă este cub perfect şi se scrie ca suma a două pătrate perfecte nenule diferite. Un număr natural se numeşte pătrat bicubic dacă este pătrat perfect şi se scrie ca suma a două cuburi perfecte nenule diferite. + +a) Daţi un exemplu de cub bipătratic şi un exemplu de pătrat bicubic. + +b) Arătaţi că există o infinitate de cuburi bipătratice şi o infinitate de pătrate bicubice. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-284-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.ix.md b/Romania_Olympiad/md/ro-284-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.ix.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..515656dd2618491b89a3e39ac4160de7eca1bf94 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-284-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.ix.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A IX-A + +## Subiectul I. + +a) Arătaţi că $n^{4}>(n-2) \cdot(n-1) \cdot n \cdot(n+1)$, unde $\mathrm{n}$ este un număr natural nenul. + +b) Calculaţi $[S]$, unde $S=1+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\ldots+\frac{1}{2016^{4}}$, unde $[S]$ reprezintă partea întreagă a lui $\mathrm{S}$. + +## Subiectul II. + +a) Arătaţi că în orice triunghi $\mathrm{ABC}$ are loc relaţia $\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$, unde $\mathrm{O}$ este centrul cercului circumscris triunghiului iar $\mathrm{H}$ este ortocentrul triunghiului. + +b) Fie $\mathrm{ABCD}$ un patrulater înscris în cercul de centru $\mathrm{O}$ şi care are diagonalele $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}$ perpendiculare. Dacă $H_{1}$ şi $H_{2}$ sunt ortocentrele triunghiurilor ACD şi $\mathrm{ABC}$, arătaţi că $\overrightarrow{B H_{2}}=\overrightarrow{D H_{1}}$. + +## Subiectul III + +a) Câte progresii aritmetice de numere naturale există cu primul termen 1 şi care conţin numărul 45001 ? + +b) Arătaţi că nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii pătrate perfecte. + +## Subiectul IV. + +Fie a,b,c numere reale strict pozitive. Demonstraţi că : + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{a^{2}}{(b+c)^{4}}+\frac{b^{2}}{(a+c)^{4}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{4}} \geq \frac{3}{2} +$$ + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-285-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_4.md b/Romania_Olympiad/md/ro-285-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_4.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..70c787761ac7a1527848cdf185f0167f6392172a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-285-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_4.md @@ -0,0 +1,105 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + + +## CLASA A VIII-A + +## SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Fie $a \in \mathbb{R}$. Demonstrați că dacă $a^{18} \in \mathbb{Q}$ și $a^{11} \in \mathbb{Q}$, atunci $a \in \mathbb{Q}$. + +## Soluţie: + +Pentru $a \neq 0$ avem: + +- $a^{11} \in \mathbb{Q} \Rightarrow\left(a^{11}\right)^{5} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a^{55} \in \mathbb{Q},(1)$ +- $a^{18} \in \mathbb{Q} \Rightarrow\left(a^{18}\right)^{3} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a^{54} \in \mathbb{Q}$, (2); + +$\operatorname{Din}(1)$ și (2) $\Rightarrow a^{55}: a^{54} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a \in \mathbb{Q}$. + +Pentru $a=0 \Rightarrow a \in \mathbb{Q}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5dba17adea0b2d4d33dcg-1.jpg?height=202&width=1567&top_left_y=1460&top_left_x=185) | $2 p$
$2 p$
$2 p$ | +| $\operatorname{cazul} a=0 \Rightarrow a \in \mathbb{Q} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. Determinați valorile întregi ale lui $x$ și $y$ astfel încât + +$$ +x-3 y+4=0 \quad \text { și } \quad \sqrt{x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4} \in \mathbb{Q} +$$ + +## Soluție: + +Din $x-3 y+4=0 \Rightarrow x+4=3 y$ + +Din $x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4=x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4+12-12=x^{2}+8 x+16+7 y^{2}+8 y-12=$ + +$$ +\begin{aligned} +& =(x+4)^{2}+7 y^{2}+8 y-12=(3 y)^{2}+7 y^{2}+8 y-12=9 y^{2}+7 y^{2}+8 y-12= \\ +& =16 y^{2}+8 y+1-13=(4 y+1)^{2}-13 +\end{aligned} +$$ + +Din $\sqrt{x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4} \in \mathbb{Q}$ avem că $(4 y+1)^{2}-13=k^{2}$, pentru k $\in \mathbb{Q}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Face substituția $x+4=3 y \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5dba17adea0b2d4d33dcg-1.jpg?height=69&width=1576&top_left_y=2581&top_left_x=185) | $2 \mathrm{p}$ | + +Cum $(4 y+1)^{2}-k^{2}=13 \Leftrightarrow(4 y+1-k)(4 y+1+k)=13 \mathrm{cu} x$ și $y$ din $\mathbb{Z}$. Analizând cazurile posibile obținem soluția $x=-10$ și $y=-2$. + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5dba17adea0b2d4d33dcg-2.jpg?height=129&width=1585&top_left_y=226&top_left_x=189) | | +| :---: | :---: | +| Analizează cazurile pc | | + +Subiectul 3. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, considerăm $Q$ proiecția lui $D^{\prime}$ pe $A^{\prime} C$ și $S$ proiecția lui $D^{\prime}$ pe $A C$ ' . Arătați că: +a) $A^{\prime} C \perp\left(D^{\prime} Q B^{\prime}\right)$; +b) $Q S \|(A B C)$. + +## Solutie: + +a) $D^{\prime} B^{\prime} \perp\left(A C C^{\prime}\right) \Rightarrow D^{\prime} B^{\prime} \perp A^{\prime} C$, Din $A^{\prime} C \perp D^{\prime} Q, A^{\prime} C \perp D^{\prime} B^{\prime}, D^{\prime} Q \cap D^{\prime} B=\left\{D^{\prime}\right\} \Rightarrow A^{\prime} C \perp\left(D^{\prime} Q B^{\prime}\right)$. +b) $\triangle D^{\prime} A^{\prime} C \equiv \triangle D^{\prime} C^{\prime} A \Rightarrow \Varangle D^{\prime} A^{\prime} C \equiv \Varangle D^{\prime} C^{\prime} A$ + +$\Delta D^{\prime} A^{\prime} Q \equiv \Delta D^{\prime} C^{\prime} S \Rightarrow\left[A^{\prime} Q\right] \equiv\left[C^{\prime} S\right]$ + +Din $A^{\prime} Q=C^{\prime} S$ și $A^{\prime} O=C^{\prime} O$ unde $\{O\}=A^{\prime} C=A C^{\prime}$ rezultă că $\Leftrightarrow Q S \| A^{\prime} C^{\prime}$ + +Cum $A^{\prime} C^{\prime} \| A C$ și $A C \subset(A B C)$ avem $Q S \|(A B C)$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Figura corespunzătoare problemei ...................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5dba17adea0b2d4d33dcg-2.jpg?height=74&width=1567&top_left_y=1283&top_left_x=194) | $1 \mathrm{p}$ | +| $A^{\prime} C \perp D^{\prime} Q, A^{\prime} C \perp D^{\prime} B^{\prime}, D^{\prime} Q \cap D^{\prime} B=\left\{D^{\prime}\right\} \Rightarrow A^{\prime} C \perp\left(D^{\prime} Q B^{\prime}\right)$. | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $\triangle D^{\prime} A^{\prime} C \equiv \triangle D^{\prime} C^{\prime} A \Rightarrow \Varangle D^{\prime} A^{\prime} C \equiv \Varangle D^{\prime} C^{\prime} A$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Delta D^{\prime} A^{\prime} Q \equiv \Delta D^{\prime} C^{\prime} S \Rightarrow\left[A^{\prime} Q\right] \equiv\left[C^{\prime} S\right]$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Din $A^{\prime} Q=C^{\prime} S$ și $A^{\prime} O=C^{\prime} O$ unde $\{O\}=A^{\prime} C=A C^{\prime}$ rezultă că $\Leftrightarrow Q S \\| A^{\prime} C^{\prime} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce că $Q S \\|(A B C) \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 4. Fie $V A B C D$ o piramida patrulateră regulată. Punctul $M$ este mijlocul înălțimii $V O$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $B M$, iar $P \in[A O]$ astfel încât $A P=3 \cdot P O$. Demonstraţi că $P N \|(V D C)$. + +## Soluţie: + +Fie $Q \in(O B)$ astfel încât $P Q \| A B$ și $R$ mijlocul lui $(D O)$. Din $P Q \| A B$ obținem $\frac{O Q}{Q B}=\frac{O P}{P A}=\frac{1}{3}$. Dacă $O Q=a$, atunci $B Q=3 a, O B=O D=4 a, O R=2 a, R Q=3 a$, adică $R Q=Q B$. În $\triangle B M R, N Q$ este linie mijlocie, prin urmare $N Q \| M R$. În $\triangle V O D, M R$ este linie mijlocie, prin urmare $M R \| V D$. Rezultă așadar că $N Q \| V D$ și cum $P Q \| C D$ din construcție, rezultă (PQN)\|(VDC). Dar $N P \subset(P Q N)$, deci $P N \|(V D C)$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Figura corespunzătoare problemei . | $1 \mathrm{p}$ | +| Notează $Q \in(O B)$ astfel încât $P Q \\| A B$ și $R$ mijlocul lui $(D O) \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Din $P Q \\| A B$ deduce că $\frac{O Q}{Q B}=\frac{O P}{P A}=\frac{1}{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Notează $O Q=a$ și deduce că $R Q=Q B$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Demonstrează că $N Q$ este linie mijlocie în $\triangle B M R$ de unde rezultă că $N Q \| M R$ + +Demonstrează că $M R$ este linie mijlocie în $\triangle V O D$ de unde rezultă că $M R \| V D$...... $1 \mathrm{p}$ Arată că $(P Q N) \|(V D C)$ și deduce că $P N \|(V D C)$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-286-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_3.md b/Romania_Olympiad/md/ro-286-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..325d69240645a1ec599eb13736235be2449a27a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-286-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_3.md @@ -0,0 +1,90 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + + +## CLASA A VII-A + +SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Enumerați elementele mulțimilor: + +$$ +A=\left\{a \in \mathbb{Q} \left\lvert\, a=\sqrt{\frac{2-x}{4}}\right., x \in \mathbb{N}^{*}\right\} \text { și } B=\left\{x \in \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, a=\sqrt{\frac{2-x}{9}}\right., a \in \mathbb{Q}\right\} +$$ + +Determinați $A \cup B, A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$. + +## Solutie: + +Din $a=\sqrt{\frac{2-x}{4}}=\frac{\sqrt{2-x}}{2}$ și $a \in \mathbb{Q}$ avem că $2-x$ este pătrat perfect şi $2-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2, x \in \mathbb{N}^{*}$. Pentru $x=1$ avem $a=\frac{\sqrt{2-1}}{2}=\frac{1}{2}$ iar pentru $x=2$ avem $a=\frac{\sqrt{2-2}}{2}=0$, de unde $A=\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$. + +Din $a=\sqrt{\frac{2-x}{9}}=\frac{\sqrt{2-x}}{3}$ și $a \in \mathbb{Q}$ avem că $2-x$ este pătrat perfect şi $2-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2, x \in \mathbb{N}^{*}$. Pentru $x=1$ avem $a=\frac{\sqrt{2-1}}{3}=\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$, și pentru $x=2$ avem $a=\frac{\sqrt{2-2}}{3}=0 \in \mathbb{Q}$, de unde $B=\{1,2\}$. Avem $A \cup B=\left\{0, \frac{1}{2}, 1,2\right\}, A \cap B=\emptyset, A \backslash B=A, B \backslash A=B$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a684d521ffd8f96e2d2dg-1.jpg?height=351&width=1785&top_left_y=1732&top_left_x=158) + +Subiectul 2. Fie $x \neq 1, \quad y \neq-2, \quad z \neq-3$ numere raționale, astfel încât $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$. Calculaţi $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$. + +## Solutie: + +Din $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$, împărțind egalitatea la 2015 avem $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=\frac{2014}{2015}$. + +Cum $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}=\frac{x+1-2}{x+1}+\frac{y+2-2}{y+2}+\frac{z+3-2}{z+3}=1-\frac{2}{x+1}+1-\frac{2}{y+2}+1-\frac{2}{z+3}=$ + +$$ +=3-2\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\right)=3-2 \cdot \frac{2014}{2015}==\frac{2017}{2015} +$$ + +| Detalii rezolvare | | | Barem
asociat | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| Arată că - | $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=\frac{2014}{2015}$ | ................... | 2p | +| Calcule | $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3} \cdot=3-2$ | $\left.\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\right)=\frac{2017}{2015} \ldots$ | p | + +Subiectul 3. În triunghiul oarecare $A B C$, se consideră $M$ şi $N$ mijloacele segmentelor $[B C]$, respectiv $[A M]$, punctul $D$ simetricul punctului $C$ faţă de $A, B N \cap A C=\{S\}, D M \cap A B=\{T\}$ și punctul $P$ mijlocul segmentului $[S C]$. + +a) Demonstrați că $A C=3 P C$. + +b) Demonstrați că dreptele $S T$ și $B C$ sunt paralele. + +c) Calculați aria triunghiului $A N S$, știind că aria triunghiului $A B C$ este egală cu $48 \mathrm{~cm}^{2}$. + +## Solutie: + +a) În $\triangle S B C,[M P]$ este linie mijlocie de unde avem $M P \| B S$. În $\triangle A M P$ avem $N S \| M P$ și $N$ mijloacele segmentelor $[A M]$ avem din reciproca teoremei liniei mijlocii că $S$ este mijlocul segmentelor $[A P]$. Prin urmare avem $A S=S P=P C=\frac{A C}{3}$, deci $A C=3 \cdot P C$. + +b) În $\triangle D B C,[D M]$ și $[B A]$ sunt mediane și $D M \cap A B=\{T\}$ de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a684d521ffd8f96e2d2dg-2.jpg?height=460&width=557&top_left_y=1312&top_left_x=1338) + +unde rezultă că $T$ este centrul de greutate a $\triangle D B C$. Avem că $\frac{A T}{A B}=\frac{1}{3}$. Din $A S=\frac{A C}{3}$ avem $\frac{A S}{A C}=\frac{1}{3}$. Cum $\frac{A T}{A B}=\frac{A S}{A C}$, din reciproca teoremei lui Thales se obține că $S T \| B C$. + +c) Dacă $A S=a \Rightarrow S C=2 a, A D=3 a$. Deoarece $[A M]$ este linie mijlocie în $\triangle D B C$ avem $A M \| B D$, ceea ce înseamnă că $A N \| B D$. Aplicând teorema lui Thales în $\triangle S B D$ avem: $\frac{S N}{S B}=\frac{S A}{S D}=\frac{1}{4}$, deci $\frac{A_{\triangle A N S}}{A_{\triangle A B S}}=\frac{1}{4}$, (1). Deoarece $\frac{A S}{A C}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{A_{\triangle A B S}}{A_{\triangle A B C}}=\frac{1}{3}$, (2). Înmulțind relațiile (1) și (2) obținem $\frac{A_{\triangle A N S}}{A_{\triangle A B S}}=\frac{1}{12}$, deci $A_{\triangle A N S}=4 \mathrm{~cm}^{2}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a684d521ffd8f96e2d2dg-2.jpg?height=74&width=1567&top_left_y=2430&top_left_x=196) | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Demonstrați că $S T \\| B C$ | $3 \mathrm{p}$ | +| c) Notează $A S=a, S C=2 a, A D=3 a$ și arată că $\frac{A_{\triangle A N S}}{A_{\triangle A B S}}=\frac{1}{4}$ și $\frac{A_{\triangle A B S}}{A_{\triangle A B C}}=\frac{1}{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Obține prin înmulțire că $\frac{A_{\triangle A N S}}{A_{\triangle A B S}}=\frac{1}{12}$ şi deduce că $A_{\triangle A N S}=4 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Subiectul 4. Fie $A B C D$ un trapez dreptunghic cu $m(\Varangle A)=m(\Varangle D)=90^{\circ}$ și $P$ un punct variabil pe $[A D]$. Arătați că suma $P B+P C$ este minimă dacă și numai dacă $\frac{A P}{D P}=\frac{A B}{C D}$. + +## Solutie: + +Fie $E$ simetricul lui $C$ față de punctul $D$. Cum $P D$ este mediană și înălțime în $\triangle P E C$ avem $\triangle P E C$ isoscel de unde $P C=P E$ şi $P B+P C=P B+P E$. Suma $P B+P E$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a684d521ffd8f96e2d2dg-3.jpg?height=254&width=691&top_left_y=615&top_left_x=1205) +este minimă dacă punctele $E, P, B$ sunt coliniare. Aceasta este echivalentă cu a spune că $\triangle P D E \sim \triangle P A B$, de unde $\frac{A P}{D P}=\frac{A B}{D C}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Construieste $E$ simetricul lui $C$ față de punctul $D$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a684d521ffd8f96e2d2dg-3.jpg?height=65&width=1549&top_left_y=1239&top_left_x=187) | 2p | +| Precizează că suma $P B+P E$ este minimă dacă punctele $E, P, B$ sunt coliniare ................ | $2 \mathrm{p}$ | +| Precizează echivalenta cu a faptul că $\triangle P D E \sim \triangle P A B$, de unde $\frac{A P}{D P}=\frac{A B}{D C}$. | 2p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-287-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-287-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d69e637f5483fc9f1369437e9bb97e7cb1c6f8f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-287-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_2.md @@ -0,0 +1,135 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + +CLASA A VI-A + +SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +# Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Demonstrați că numerele naturale, care împărțite în $\mathbb{N}$ la 102 dau restul 78, sunt divizibile cu 3. + +## Soluţie: + +Fie $n \in \mathbb{N}, n: 102=c$ rest 78 . + +Aplicând teorema împărțirii cu rest obținem $n=102 c+78=3 \cdot(34 c+26)$, de unde numărul $n$ este divizibil cu 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Notează cu $n \in \mathbb{N}, n: 102=c$ rest 78 | $1 \mathrm{p}$ | +| Aplică teorema împărțirii cu rest și obține $n=102 c+78$........................................................................ | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce că $n=3 \cdot(34 c+26)$ | $4 \mathrm{p}$ | +| Precizează că numerele $n$ sunt divizibile cu 3 | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. Fie unghiurile adiacente suplementare $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O C$ astfel încât raportul măsurilor să fie $\frac{1}{4}$. Fie $[O D$ semidreapta opusă bisectoarei unghiului $\Varangle B O C$. În interiorul unghiului $\Varangle C O D$ șe consideră punctele $M$ și $N$ astfel încât $m(\Varangle C O N)=m(\Varangle D O M)=2 \cdot m(\Varangle M O N)>45^{\circ}$. + +a) Aflați măsura unghiului $\Varangle C O D$. + +b) Demonstrați că punctele $B, O, M$ sunt coliniare. + +## Soluție: + +a) Notăm $m(\Varangle A O B)=x$. + +Avem $m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)=180^{\circ}$ de unde se deduce că $m(\Varangle B O C)=180^{\circ}-x$. Cum + +$$ +\frac{m(\Varangle A O B)}{m(\Varangle B O C)}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{x}{180^{\circ}-x}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow 4 x=180^{\circ}-x \Rightarrow 5 x=180^{\circ} \Leftrightarrow x=36^{\circ} +$$ + +obținem $m(\Varangle A O B)=36^{\circ}$ și $m(\Varangle B O C)=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$. + +Fie $\left[O X\right.$ bisectoarea $\Varangle B O C$. Avem $m(\Varangle B O X)=m(\Varangle X O C)=144^{0}: 2=72^{0}$. Cum $[O X$ și $[O D$ sunt semidrepte opuse avem $m(\Varangle X O D)=180^{\circ}$ de unde avem + +$$ +m(\Varangle C O D)=180^{\circ}-m(\Varangle X O C)=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ} +$$ + +b) Se discută pe cazuri: + +## Cazul $[O N \subset \operatorname{Int}(\Varangle \operatorname{COM})$ + +Notăm $m(\Varangle M O N)=a \Rightarrow m(\Varangle D O M)=m(\Varangle C O N)=2 a$ + +$$ +m(\Varangle C O D)=m(\Varangle D O N)+m(\Varangle N O M)+m(\Varangle M O C) \Rightarrow 5 a=108^{0} \Rightarrow a=21^{0} 36^{\prime} +$$ + +Cum $m(\Varangle C O D)=2 a=43^{0} 12^{\prime}<45^{\circ}$, acest caz nu convine. + +## Cazul $[O M \subset \operatorname{Int}(\Varangle \operatorname{CON})$ + +Notăm $m(\Varangle M O N)=a$ Avem $m(\Varangle D O M)=m(\Varangle C O N)=2 a \Rightarrow m(\Varangle C O M)=2 a-a=a$. + +$$ +m(\Varangle C O D)=m(\Varangle D O M)+m(\Varangle M O C) \Leftrightarrow 3 a=108^{0} \Leftrightarrow a=36^{\circ} +$$ + +Deci $m(\Varangle C O N)=m(\Varangle D O M)=2 a=72^{\circ}>45^{\circ}$, convine. +$m(\Varangle B O M)=m(\Varangle B O C)+m(\Varangle C O M)=144^{0}+36^{0}=180^{\circ} \Rightarrow B, O, M$ coliniare. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Figura corespunzătoare problemei. | $1 \mathrm{p}$ | +| a) Notăm $m(\Varangle A O B)=x$ și deduce că $m(\Varangle B O C)=180^{\circ}-x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Determină $x=36^{\circ}$ de unde obține $m(\Varangle A O B)=36^{\circ}$ și $m(\Varangle B O C)=144^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Studiază cazul $[\boldsymbol{O N} \subset \operatorname{Int}(\Varangle \boldsymbol{C O M})$
Notează $m(\Varangle M O M)=a \Rightarrow m(\Varangle D O M)=m(\Varangle C O N)=2 a$
Deduce că $a=21^{0} 36^{\prime}$ și cum $m(\Varangle C O D)=2 a=43^{0} 12^{\prime}<45^{\circ}$, acest caz nu convine. | 2p | +| Studiază cazul $[\boldsymbol{O M} \subset \operatorname{Int}(\Varangle \boldsymbol{C O N})$
Notează $m(\Varangle M O M)=a \Rightarrow m(\Varangle C O N)=2 a \Rightarrow m(\Varangle C O M)=2 a-a=a$.
Deduce că $a=36^{\circ}$ și $m(\Varangle C O N)=m(\Varangle D O M)=2 a=72^{0}>45^{\circ}$, acest caz convine.
Arată că $m(\Varangle B O M)=180^{\circ} \Rightarrow B, O, M$ coliniare. | $2 p$ | + +Subiectul 3. Se consideră unghiurile adiacente $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O C$, astfel încât bisectoarele lor [OM și $\left[O N\right.$ să formeze un unghi de $75^{\circ}$. + +a) Să se determine $m(\Varangle A O B)$ și $m(\Varangle B O C)$ știind că $3 \cdot m(\Varangle A O B)=2 \cdot m(\Varangle B O C)$. + +b) Dacă semidreapta [OT formează unghi drept cu semidreapta [OM astfel încât punctele $M$ și $T$ sunt de aceeași parte cu punctul $B$ faţă de punctul $A$. Calculați: $m(\Varangle T O N), m(\Varangle B O N)$ și $m(\Varangle B O T)$ și $m(\Varangle C O T)$. + +## Soluţie: + +a) Notăm $m(\Varangle A O B)=\alpha$ și $m(\Varangle B O C)=\beta$. Avem: + +$\left[O M\right.$ bisectoarea $\Varangle A O B \Rightarrow m(\Varangle A O M)=m(\Varangle M O B)=\frac{\alpha}{2}$; + +$\left[O N\right.$ bisectoarea $\Varangle B O C \Rightarrow m(\Varangle B O N)=m(\Varangle N O C)=\frac{\beta}{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e90d71b69e1f57c0219g-2.jpg?height=334&width=654&top_left_y=1386&top_left_x=1272) + +Cum $m(\Varangle M O N)=75^{\circ}$ avem că $\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=75^{\circ} \Leftrightarrow \alpha+\beta=150^{\circ} \Rightarrow \alpha=150^{\circ}-\beta$, (1). + +Dar $3 \cdot m(\Varangle A O B)=2 \cdot m(\Varangle B O C) \Rightarrow 3 \alpha=2 \beta$, (2). + +Din (1) și (2) avem $3\left(150^{\circ}-\beta\right)=2 \beta \Leftrightarrow 450^{\circ}=5 \beta \Leftrightarrow \beta=90^{\circ}$ și $\alpha=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$. + +Avem $m(\Varangle A O B)=60^{\circ}$ si $m(\Varangle B O C)=90^{\circ}$. + +b) Avem $m(\Varangle M O T)=90^{\circ}$ de unde avem: $m(\Varangle T O N)=90^{\circ}-[m(\Varangle N O B)+m(\Varangle M O B)]=15^{\circ}$; + +$m(\Varangle \mathrm{BON})=\frac{\beta}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ} ; m(\Varangle B O T)=m(\Varangle B O N)+m(\Varangle T O N)=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}$. + +$m(\Varangle C O T)=m(\Varangle C O N)-m(\Varangle T O N)=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Figura corespunzătoare problemei. | $1 \mathrm{p}$ | +| a) Notăm $m(\Varangle A O B)=\alpha$ și $m(\Varangle B O C)=\beta$ și deduce că $\alpha+\beta=150^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Determină $m(\Varangle A O B)=60^{\circ}$ și $m(\Varangle B O C)=90^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Precizează că $m(\Varangle M O T)=90^{\circ}$ si calculează $m(\Varangle T O N)=15^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $m(\Varangle B O N)=45^{\circ}$ | $1 \mathrm{p} \quad$ | +| $m(\Varangle B O T)=60^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $m(\Varangle C O T)=30^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 4. Determinați numerele naturale $n$ știind că fracția $\frac{3 n+1}{2 n-7}$ este reductibilă. + +## Soluţie: + +Dacă fracția este reductibilă atunci există $d \neq 1$ astfel încât $d \mid 3 n+1$ și $d \mid 2 n-7$. De aici avem $d \mid 2(3 n+1)-3(2 n-7)$, adică $d \mid 23$, prin urmare $d=23$. Acum $23 \mid 3 n+1$ și $23 \mid 2 n-7$ deducem că $23 \mid n+8$, adică $n+8=23 k$, pentru $k \in \mathbb{N}^{*}$. Se verifică pentru $n=23 k-8, k \in \mathbb{N}^{*}$, fracția este reductibilă. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Precizează că există $d \neq 1$ astfel încât $d \mid 3 n+1$ și $d \mid 2 n-7 \ldots$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce că $d\|2(3 n+1)-3(2 n-7) \Rightarrow d\| 23 \Rightarrow d=23$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Din $23 \mid 3 n+1$ și $23\|2 n-7 \Rightarrow 23\| n+8$ adică $n+8=23 k$, pentruk $\in \mathbb{N}^{*}$. | 2p | +| Precizează că fracția este ireductibilă pentru $n=23 k-8, k \in \mathbb{N}^{*}$ | $2 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-288-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-288-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..07a921ed2152ae8cc14924cb9e3a631f1d668e20 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-288-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_1.md @@ -0,0 +1,97 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPALOCALĂ 19.02.2016 - + + +## CLASA A V-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte.
Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Produsul a două numere este 540 . Dacă primul număr s-ar mări cu 5 , atunci produsul lor ar fi 600. Aflați numerele. + +## Solutie: + +Notăm $a$ și $b$ cele două numere. Avem $a \cdot b=540,(1)$ și $(a+5) \cdot b=600$, (2). + +Din (1) și (2) avem $a \cdot b+5 \cdot b=600 \Leftrightarrow 540+5 \cdot b=600 \Leftrightarrow 5 \cdot b=60 \Leftrightarrow b=12$ + +Cum $a \cdot 12=540 \Leftrightarrow a=45$. Numerele căutate sunt 45 și 12 . + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Notează $a$ și $b$ cele două numere | $1 \mathrm{p}$ | +| Scrie relațiile: $a \cdot b=540$ și $(a+5) \cdot b=600$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Obține $b=12$ și $a=45 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . .$. | $4 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. Fie numărul natural $n=\overline{11 \ldots 1}+\overline{22 \ldots 2}+\ldots \ldots+\overline{88 \ldots 8}+\overline{99 \ldots 9}$, fiecare număr de forma $\overline{a a \ldots a}$ conținând câte 2015 cifre de $a$. Determinați câte cifre de 9 conține numărul $n$. + +## Solutie: + +$n=1 \cdot \overline{11 \ldots 1}+2 \cdot \overline{11 \ldots 1}+3 \cdot \overline{11 \ldots 1}+\ldots .+8 \cdot \overline{11 \ldots 1}+9 \cdot \overline{11 \ldots 1}$ + +$=(1+2+3+\ldots \ldots+8+9) \cdot \overline{11 \ldots 1}=45 \cdot \overline{11 \ldots 1}$. + +Obținem $n=\overline{499 \ldots 95}$, număr ce are 2016 cifre. Deci $n$ conține 2014 de 9 . + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| $. .+8+9) \cdot \overline{11 \ldots 1}=45 \cdot \overline{11 \ldots 1}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Obține că $n=\overline{499 \ldots 95}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Precizează că numărul $n$ are 2016 cifre de unde deduce că $n$ | $2 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 3. Se consideră 5 numere naturale cu media aritmetică egală cu 24. Împărțind pe rând primul număr la suma dintre al doilea și al treilea, apoi al doilea număr la suma dintre al treilea și al patrulea, iar la final pe al treilea la suma dintre al patrulea și al cincilea se obține de fiecare dată câtul 2 și restul 1. Știind că ultimele două numere sunt consecutive, aflați numerele. + +## Solutie: + +Notăm primul număr cu $x$, al doilea număr cu $y$, al treilea număr cu $z$, al patrulea număr $\mathrm{cu} t$, al cincilea număr cu $u$. + +Avem $(x+y+z+t+u): 5=24$ de unde avem suma $x+y+z+t+u=5 \cdot 24=120$, (1) + +Folosind teorema împărțirii cu rest obținem: + +$$ +\begin{array}{ll} +x:(y+z)=2 \text { rest } 1 \Rightarrow x=2(y+z)+1, & 1 asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_62ba5c7a5ea058b319eag-2.jpg?height=110&width=1585&top_left_y=583&top_left_x=185) | $1 \mathrm{p}$ | +| $\operatorname{Din}(x+y+z+t+u): 5=24$ deduce $x+y+z+t+u=120$, (1) | $1 \mathrm{p}$ | +| Folosește teorema împărțirii și obține relațiile:
$x=2(y+z)+1, y=2(z+t)+1, z=2(t+u)+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Precizează că $u=t+1$ și deduce că $z=4 t+3, y=10 t+7$ și $x=28 t+21$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Folosește în (1) relațiile obținute și determină $t=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Calculează $x=77, y=27, z=11$ și $u=3 \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Cazul $u=t-1$ nu convine . | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 4. Determinați numerele $\overline{a b}$ pentru care $\overline{b a}+\overline{a b}$ și $\overline{b a}-\overline{a b}$ sunt pătrate perfecte. + +## Solutie: + +Avem $\overline{b a}+\overline{a b}=11(a+b)$ și $\overline{b a}-\overline{a b}=9(b-a)$. Pentru ca $\overline{b a}+\overline{a b}$ și $\overline{b a}-\overline{a b}$ să fie pătrate perfecte trebuie ca $b+a=11$ şi $b-a \in\{1,4,9\}$. Avem cazurile: + +1) $\left.\begin{array}{l}b+a=11 \\ b-a=1\end{array}\right\} \Rightarrow 2 b=12 \Rightarrow b=6$ și $a=11-6=5$. +2) $\left.\begin{array}{l}b+a=11 \\ b-a=4\end{array}\right\} \Rightarrow 2 b=15 \Rightarrow b \notin \mathbb{N}$, cazul nu convine. +3) $\left.\begin{array}{l}b+a=11 \\ b-a=9\end{array}\right\} \Rightarrow 2 b=20 \Rightarrow b=10$, cum b este cifră acest caz nu convine. + +Singura variantă este $a=5$ și $b=6$ de unde avem $\overline{a b}=56$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Deduce că $\overline{b a}+\overline{a b}=11(a+b)$ şi $\overline{b a}-\overline{a b}=9(b-a)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Precizează că $b+a=11$ și $b-a \in\{1,4,9\}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează că singura variantă este $a=5$ și $b=6$ de unde $\overline{a b}=56$ | $3 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-289-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_4.md b/Romania_Olympiad/md/ro-289-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_4.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e6a04a7db72ee45a49a9d5e91f542185764541e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-289-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_4.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + +## CLASA A VIII-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Fie $a \in \mathbb{R}$. Demonstrați că dacă $a^{18} \in \mathbb{Q}$ și $a^{11} \in \mathbb{Q}$, atunci $a \in \mathbb{Q}$. + +Manual Matematică pentru clasa a VIII-a, Dana Radu şi Eugen Radu, Editura Teora + +2. Determinați valorile întregi ale lui $x$ și $y$ astfel încât + +$$ +x-3 y+4=0 \quad \text { și } \quad \sqrt{x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4} \in \mathbb{Q} +$$ + +Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +3. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ considerăm $Q$ proiecția lui $D^{\prime}$ pe $A^{\prime} C$ și $S$ proiecția lui $D^{\prime}$ pe $A C^{\prime}$. Arătați că: +a) $A^{\prime} C \perp\left(D^{\prime} Q B^{\prime}\right)$; +b) $Q S \|(A B C)$. + +Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +4. Fie $V A B C D$ o piramidă patrulateră regulată. Punctul $M$ este mijlocul înălțimii $V O$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $B M$, iar $P \in[A O]$ astfel încât $A P=3 \cdot P O$. Demonstrați că $P N \|(V D C)$. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-29-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XII subiecte-subiecte_cl_12.md b/Romania_Olympiad/md/ro-29-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XII subiecte-subiecte_cl_12.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a914cdff44d11963762be2069af90900d3cfb46 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-29-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XII subiecte-subiecte_cl_12.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa a 3 -a - 24 aprilie 2021
Subiectele - clasa a XII-a + +## Problema 1. + +Determinaţi funcţiile continue $f:[0,1] \longrightarrow[0, \infty)$ care verifică relaţia + +$$ +\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \cdots \cdot \int_{0}^{1} f^{2020}(x) \mathrm{d} x=\left(\int_{0}^{1} f^{2021}(x) \mathrm{d} x\right)^{1010} +$$ + +## Problema 2. + +Să se determine inelele nenule finite, cu unitate, în care suma tuturor elementelor este un element inversabil. + +## Problema 3. + +Fie $a \in \mathbb{N}, a>2$. Să se arate că + +a) Există un număr $n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}$, care nu este prim, astfel încât $a^{n} \equiv 1(\bmod n)$. + +b) Dacă $p$ este cel mai mic număr din $\mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}$ pentru care $a^{p} \equiv 1(\bmod p)$, atunci $p$ este prim. + +c) Nu există numere $n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}$ pentru care $2^{n} \equiv 1(\bmod n)$. + +## Problema 4. + +Fie $f:[0,1] \longrightarrow[0,1]$ o funcţie continuă si bijectivă, cu proprietatea că $f(0)=0$. Arătaţi că pentru orice $\alpha \geq 0$ are loc inegalitatea + +$$ +(\alpha+2) \cdot \int_{0}^{1} x^{\alpha}\left(f(x)+f^{-1}(x)\right) \mathrm{d} x \leq 2 +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-290-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_3.md b/Romania_Olympiad/md/ro-290-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3fcc000797647c6c98ee3525706738c3d514ebb6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-290-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_3.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + +## CLASA A VII-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Enumerați elementele mulțimilor: + +$$ +A=\left\{a \in \mathbb{Q} \left\lvert\, a=\sqrt{\frac{2-x}{4}}\right., x \in \mathbb{N}^{*}\right\} \text { și } B=\left\{x \in \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, a=\sqrt{\frac{2-x}{9}}\right., a \in \mathbb{Q}\right\} +$$ + +Determinați $A \cup B, A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$. + +Manual Matematică pentru clasa a VII-a, Editura Teora + +2. Fie $x \neq-1, \quad y \neq-2, \quad z \neq-3$ numere raționale, astfel încât $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$. Calculați $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$ + +Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +3. În triunghiul oarecare $A B C$, se consideră $M$ şi $N$ mijloacele segmentelor $B C$, respectiv $A M$, punctul $D$ simetricul punctului $C$ faţă de $A, B N \cap A C=\{S\}, D M \cap A B=\{T\}$ și punctul $P$ mijlocul segmentului $[S C]$. + +a) Demonstrați că $A C=3 P C$. + +b) Demonstrați că dreptele $S T$ și $B C$ sunt paralele. + +c) Calculați aria triunghiului $A N S$, știind că aria triunghiului $A B C$ este egală cu $48 \mathrm{~cm}^{2}$. + +Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +4. Fie $A B C D$ un trapez dreptunghic cu $m(\Varangle A)=m(\Varangle D)=90^{\circ}$ și $P$ un punct variabil pe $[A D]$. Arătați că suma $P B+P C$ este minimă dacă și numai dacă $\frac{A P}{D P}=\frac{A B}{C D}$. + +Ion Voicu, Rădulești, Ialomița, problema E:14791, GM 2/2015 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-291-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-291-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fba5702582763f97c88d08be2767215300c77f6b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-291-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_2.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + +## CLASA A VI-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Demonstrați că numerele naturale, care împărțite în $\mathbb{N}$ la 102 dau restul 78 , sunt divizibile cu 3 . + +Manual Matematică pentru clasa a 6-a, Editura Radical + +2. Fie unghiurile adiacente suplementare $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O C$ astfel încât raportul măsurilor să fie $\frac{1}{4}$. Fie $[O D$ semidreapta opusă bisectoarei unghiului $\Varangle B O C$. În interiorul unghiului $\Varangle C O D$ șe consideră punctele $M$ și $N$ astfel încât $m(\Varangle C O N)=m(\Varangle D O M)=2 \cdot m(\Varangle M O N)>45^{\circ}$. + +a) Aflați măsura unghiului $\Varangle C O D$. + +b) Demonstrați că punctele $B, O, M$ sunt coliniare. + +Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +3. Se consideră unghiurile adiacente $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O C$, astfel încât bisectoarele lor $[O M$ și $[O N$ să formeze un unghi de $75^{\circ}$. + +a) Să se determine $m(\Varangle A O B)$ și $m(\Varangle B O C)$ știind că $3 \cdot m(\Varangle A O B)=2 \cdot m(\Varangle B O C)$. + +b) Dacă semidreapta [OT formează unghi drept cu semidreapta [OM astfel încât punctele $M$ și $T$ sunt de aceeași parte cu punctul $B$ față de $\mathrm{OA}$. Calculați: $m(\Varangle T O N), m(\Varangle B O N), m(\Varangle B O T)$ și $m(\Varangle C O T)$. + +Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +4. Determinați numerele naturale $n$ știind că fracția $\frac{3 n+1}{2 n-7}$ este reductibilă. + +Horațiu Morar, Bistrița, problema E:14832, GM 5/2015 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-292-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-292-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c146ffaf809516c6139bbffdc7d83649087adf4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-292-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_1.md @@ -0,0 +1,22 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 19.02.2016 - + +CLASA A V-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Produsul a două numere este 540 . Dacă primul număr $\mathrm{s}$-ar mări cu 5 , atunci produsul lor ar fi 600. Aflați numerele. + +Manual Matematică pentru clasa a 5-a, Editura Radical + +2. Fie numărul natural $n=\overline{11 \ldots 1}+\overline{22 \ldots 2}+\ldots+\overline{88 \ldots 8}+\overline{99 \ldots 9}$, fiecare număr de forma $\overline{a a \ldots a}$ conținând câte 2015 cifre de $a$. Determinați câte cifre de 9 conține numărul $n$. + +Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +3. Se consideră 5 numere naturale cu media aritmetică egală cu 24. Împărtind pe rând primul număr la suma dintre al doilea și al treilea, apoi al doilea număr la suma dintre al treilea și al patrulea, iar la final pe al treilea la suma dintre al patrulea și al cincilea se obține de fiecare dată câtul 2 și restul 1. Știind că ultimele două numere sunt consecutive, aflați numerele. + +Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2015, Editura Bîrchi + +4. Determinați numerele $\overline{a b}$ pentru care $\overline{b a}+\overline{a b}$ și $\overline{b a}-\overline{a b}$ sunt pătrate perfecte. + +George Florin Șerban, Brăila, problema E14813, GM 4/2015 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-293-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_viiia_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-293-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_viiia_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..93f52eb5ac874787206e05a3d883ca2b656c3306 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-293-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_viiia_barem.md @@ -0,0 +1,91 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ
21.02.2016 + +BAREM + +CLASA a VIII a + +## Subiectul I + +$n=(x-2 y)^{2}+2(x-2)^{2}-12$ +$2 \mathrm{p}$ +$\mathrm{x} \in[-1 ; 0]$ și $\mathrm{y} \in[-1 ; 1] \Rightarrow(x-2 y)^{2} \in[0 ; 9]$ +(1) $2 \mathrm{p}$ +$x \in[-1 ; 0] \Rightarrow 2(x-2)^{2} \in[8 ; 18]$ +$1 \mathrm{p}$ +Din 1 și 2 rezultă că $(x-2 y)^{2}+2(x-2)^{2} \in[8 ; 27]$ +$1 \mathrm{p}$ +$\mathrm{n} \in[-4 ; 15]$ +$1 \mathrm{p}$ +Total +$7 p$ + +## Subiectul II + +a) Evident $a+b \pm \sqrt{a^{2}+b^{2}}>0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fda24428ac6f4b6acd21g-1.jpg?height=90&width=1526&top_left_y=1251&top_left_x=271) +b) $S=1-\frac{1}{\sqrt{2016}}$ + +c) Conform punctului a) rămân pe tablă numere pozitive cu suma inverselor neschimbata, adică această sumă este un invariant. Dacă unul din numere ar fi mai mic decât 1 , atunci suma inverselor celor patru numere va fi mai mare ca 1 . Cum suma inverselor numerelor scrise inițial pe tablă este mai mică decât 1 și ea este invariantă, am ajuns la contradicție. Deci răspunsul este nu. + +$2 \mathrm{p}$ + +Total: + +## Subiectul III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fda24428ac6f4b6acd21g-1.jpg?height=402&width=420&top_left_y=1798&top_left_x=818) + +$\mathrm{BC}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6 \mathrm{~cm}$. + +a) ACC'A' pătrat $\Rightarrow A^{\prime} C \perp A C^{\prime}(1)$. Din relațiile (1) și (2) rezultă că $A^{\prime} C \perp\left(A B C^{\prime}\right)$. $A B \perp\left(A C C^{\prime}\right) \Rightarrow A B \perp A^{\prime} C$ (2) + +Construim MN $\perp B C^{\prime}$. Din $A^{\prime} C \perp\left(A B C^{\prime}\right)$, rezultă că $A^{\prime} C \perp M N$. + +Deci, distanța este MN. + +Din asemănarea triunghiurilor $\triangle C^{\prime} M N$ și $\triangle C^{\prime} B A$, rezultă că : + +$$ +\frac{C^{\prime} M}{C^{\prime} B}=\frac{M N}{A B}=\frac{C^{\prime} N}{C^{\prime} A}=\frac{3 \sqrt{2}}{6 \sqrt{3}}=\frac{M N}{6} +$$ + +$$ +\mathrm{MN}=\sqrt{6} \mathrm{~cm} +$$ + +b) $p r_{\left(A B C^{\prime}\right)}^{B}=B, B \in\left(A B C^{\prime}\right) ; p r_{\left(A B C^{\prime}\right)}^{C}=M, C M \perp\left(A B C^{\prime}\right)$. + +Rezultă că $p r_{(A B C)}^{[B C]}=[B M]$ + +$\mathrm{BM}=3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ (teorema lui Pitagora î $\triangle A M B$ ). +c) $B M=B C \cdot \cos u^{0}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$3 \sqrt{6}=6 \sqrt{2} \cdot \cos u^{0}$. Deci, $\operatorname{tg} u^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. + +Total: + +## Subiectul IV + +Pe prelungirea semidreptei $\left(C C^{\prime}\right.$, se consideră punctul $N^{\prime}$ astfel încât + +$$ +N C^{\prime} \equiv N^{\prime} C^{\prime} +$$ + +3p + +Din congruența triunghiurilor $N P C^{\prime}$ și $N^{\prime} P C^{\prime}$ rezultă $N P \equiv N^{\prime} P$. $2 p$ + +Suma $M P+N P$ este minimizată atunci când suma $M P+N^{\prime} P$ este minimizată, de unde rezultă $P=N^{\prime} M \cap B^{\prime} C^{\prime}$. + +$.2 p$ + +Total: + +$7 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fda24428ac6f4b6acd21g-2.jpg?height=605&width=482&top_left_y=828&top_left_x=1324) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-294-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_vii_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-294-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_vii_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f4e55cafb81c04e345d51c88d181c68334f2891 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-294-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_vii_barem.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
21.02.2016 + +BAREM + +CLASA A VII-A + +## Subiectul I + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_093585266011aa9c31dag-1.jpg?height=355&width=1454&top_left_y=682&top_left_x=224) + +Finalizare $a=2016$ $.1 \mathrm{p}$ + +$b=\sqrt{350+2 \cdot(1+2+3+\ldots+349)}$ + +$b=\sqrt{350+349 \cdot 350}$ $1 p$ + +Finalizare $b=350$ $1 p$ + +$m g=\sqrt{a \cdot b}$ +$m g=840 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ +b) $\left(\sqrt{\frac{x-5}{10}}-\sqrt{\frac{x-10}{5}}\right)+\left(\sqrt{\frac{x-6}{9}}-\sqrt{\frac{x-9}{6}}\right)=0$ + +Dacă $10 \leq x<15$ parantezele sunt strict pozitive. Dacă $x>15$, parantezele sunt strict negative. Deci $x=15$. + +.. + +## Subiectul II + +a) Aplicând inegalitatea $m g \leq m a$ pentru numerele $\mathrm{a}$ şi $\mathrm{b}+\mathrm{c}, \mathrm{b}$ şi $\mathrm{a}+\mathrm{c}$, respective $\mathrm{c}$ şi $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ obţinem: $\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}=1008, \sqrt{b(a+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}=1008, \sqrt{c(a+b)} \leq \frac{a+b+c}{2}=1008 \ldots 2 \mathrm{p}$ + +Adunând inegalităţile obţinute, membru cu membru, se gaseşte inegalitatea cerută. $1 \mathrm{p}$ + +b) După calcule, numărul se scrie ca $1000(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}) / 9$ + +Folosind scrierea anterioară, pentru ca numărul să fie raţional, trebuie ca $10(a+b+c)$ sa fie pătrat perfect, adică $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ să fie de forma $10 k^{2}$. $1 \mathrm{p}$ + +Cum a,b,c sunt cifre, $a+b+c=10$. Tripletele ca in cerință sunt $(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,3,5)$. Deci sunt 4 numere: $127,136,145$ și 235 $2 p$ + +## Subiectul III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_093585266011aa9c31dag-2.jpg?height=494&width=369&top_left_y=341&top_left_x=912) + +## Desen + +Deoarece MC $\perp \mathrm{NP}$ iar $\mathrm{NE} \perp \mathrm{PM}$ rezultă că E este ortocentrul triunghiului MNP şi prin urmare $\mathrm{PE} \perp$ $\mathrm{MN}$, adică $\mathrm{AP} \perp \mathrm{MN}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Notăm cu $\{\mathrm{F}\}=\mathrm{AP} \cap \mathrm{MN}$. + +$\Delta \mathrm{ABN} \equiv \triangle \mathrm{AFN}([\mathrm{AN}] \equiv[\mathrm{AN}], \angle \mathrm{NAB} \equiv \angle \mathrm{NAF})($ i.u) prin urmare $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AF}]$ şi cum $[\mathrm{AB}]$ $\equiv[\mathrm{AD}]$ rezultă că $[\mathrm{AF}] \equiv[\mathrm{AD}]$.... $.2 \mathrm{p}$ + +$\Delta \mathrm{ADM} \equiv \Delta \mathrm{AFM}([\mathrm{AM}] \equiv[\mathrm{AM}],[\mathrm{AD}] \equiv[\mathrm{AF}])$ (i.c) de unde $\angle \mathrm{DAM} \equiv \angle \mathrm{FAM}$ adică AM este bisectoarea unghiului DAF. $2 p$ + +## Subiectul IV + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_093585266011aa9c31dag-2.jpg?height=443&width=762&top_left_y=1349&top_left_x=704) + +## Desen + +Deoarece $[\mathrm{AM}] \equiv[\mathrm{MF}]$ iar $[\mathrm{DM}] \equiv[\mathrm{ME}]$ rezultă că $\mathrm{ADFE}$ este paralelogram, prin urmare $[\mathrm{AD}] \equiv[\mathrm{EF}],[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{AD}], \angle \mathrm{ADF} \equiv \angle \mathrm{AEF}$ şi cum $\mathrm{m}(\angle \mathrm{ADB})=\mathrm{m}(\angle \mathrm{AEC})=60^{\circ}$ rezultă că $\angle \mathrm{FDB}$ $\equiv \angle \mathrm{FEC}$. $1 \mathrm{p}$ + +$\Delta \mathrm{FDB} \equiv \Delta \mathrm{CEF}([\mathrm{FD}] \equiv[\mathrm{CE}], \angle \mathrm{FDB} \equiv \angle \mathrm{CEF},[\mathrm{DB}] \equiv[\mathrm{EF}])$ aşadar [FB] $\equiv[\mathrm{FC}]$ (1). + +Din paralelogramul $\mathrm{ADFE}$ avem că $\mathrm{m}(\angle \mathrm{DAE})+\mathrm{m}(\angle \mathrm{ADF})=180^{\circ}$, relatie care se mai scrie sub forma: + +$$ +\mathrm{m}(\angle \mathrm{DAB})+\mathrm{m}(\angle \mathrm{BAC})+\mathrm{m}(\angle \mathrm{CAE})+\mathrm{m}(\angle \mathrm{ADF})=180^{\circ} \text { şi cum } +$$ + +$\mathrm{m}(\angle \mathrm{DAB})=60^{\circ}$ iar $\mathrm{m}(\angle \mathrm{CAE})=60^{\circ}$ vom obţine că: + +$\mathrm{m}(\angle \mathrm{BAC})+\mathrm{m}(\angle \mathrm{ADF})=60^{\circ}$ + +Dar şi $\mathrm{m}(\angle \mathrm{BDF})+\mathrm{m}(\angle \mathrm{ADF})=60^{\circ}$, ceea ce arată că $\angle \mathrm{BAC} \equiv \angle \mathrm{BDF}$ + +$\triangle \mathrm{BAC} \equiv \Delta \mathrm{BDF}([\mathrm{BA}] \equiv[\mathrm{BD}], \angle \mathrm{BAC} \equiv \angle \mathrm{BDF},[\mathrm{AC}] \equiv[\mathrm{DF}])$, aşadar $[\mathrm{BC}] \equiv[\mathrm{BF}]$ (2). + +Din (1) şi (2) rezultă că $[\mathrm{BC}] \equiv[\mathrm{BF}] \equiv[\mathrm{CF}]$ ceea ce demonstrează că triunghiul FBC este isoscel.... $1 \mathrm{p}$ + +Orice rezolvare corectă se punctează complet. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-295-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_via_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-295-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_via_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..564fefe080d663dbcb84ae40de57b3697610842e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-295-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_via_barem.md @@ -0,0 +1,162 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
21.02.2016 + +CLASA a VI-a + +Problema 1. Se consideră punctele coliniare $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{10}$ în această ordine astfel încât $A_{1} A_{2}=2 \cdot A_{0} A_{1}, A_{2} A_{3}=2 \cdot A_{1} A_{2}, A_{3} A_{4}=2 \cdot A_{2} A_{3}, \ldots \ldots ., A_{9} A_{10}=2 \cdot A_{8} A_{9}$. Ştiind că distanța dintre mijloacele segmentelor $\left[A_{1} A_{3}\right]$ şi $\left[A_{3} A_{5}\right]$ este de $15 \mathrm{~cm}$ să se determine lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{10}\right]$. + +## Barem: + +Fie $A_{0} A_{1}=x \Rightarrow A_{1} A_{2}=2 x, A_{2} A_{3}=2^{2} x, A_{3} A_{4}=2^{3} x, \ldots \ldots, A_{9} A_{10}=2^{9} x$ + +$.1 p$ + +$$ +A_{1} A_{3}=A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}=6 x +$$ + +Fie $M$ mijlocul segmentului $\left[A_{1} A_{3}\right] \Rightarrow A_{1} M=M A_{3}=3 x$ + +$A_{3} A_{5}=A_{3} A_{4}+A_{4} A_{5}=24 x$ + +Dacă $\mathrm{N}$ este mijlocul segmentului $\left[A_{3} A_{5}\right] \Rightarrow A_{3} N=N A_{5}=12 x$............................ $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_88b75a1c1d0e477f2233g-1.jpg?height=63&width=1399&top_left_y=1259&top_left_x=243) + +$M N=15 \mathrm{~cm} \Rightarrow x=1 \mathrm{~cm}$..................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_88b75a1c1d0e477f2233g-1.jpg?height=60&width=1382&top_left_y=1375&top_left_x=246) + +$A_{0} A_{10}=1023 \mathrm{~cm}$............................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Problema 2. În interiorul unghiului $\Varangle A O B$ se consideră semidreptele $(O C$ şi (OD . Ştiind că unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle C O D$ sunt suplementare şi $m(\Varangle A O B)=4 \cdot m(\Varangle C O D)$ determinați măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O C$ şi $\Varangle B O D$. + +## Barem: + +$$ +\begin{aligned} +& m(\Varangle A O B)+m(\Varangle C O D)=180^{\circ} \text { şi } m(\Varangle A O B)=4 \cdot m(\Varangle C O D) \Rightarrow m(\Varangle C O D)=36^{\circ} \\ +& \text { şi } m(\Varangle A O B)=144^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Fie ${ }^{(O M}$ şi $(O N$ bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O B$ şi $\Varangle C O D$. + +Cazul I : Dacă $(O C \subset \operatorname{Int}(\Varangle A O D)$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Notăm } m(\Varangle A O C)=a_{\text {şi }} m(\Varangle D O B)=b \\ +& a+b=m(\Varangle A O B)-m(\Varangle C O D)=108^{\circ} \\ +& m(\Varangle M O N)=m(\Varangle M O C)+m(\Varangle C O D)+m(\Varangle D O N)=\frac{a}{2}+36^{\circ}+\frac{b}{2}=36^{\circ}+\frac{a+b}{2}= \\ +& =36^{\circ}+\frac{108^{\circ}}{2}=90^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +Cazul II : Dacă $(O D \subset \operatorname{Int}(\Varangle A O C)$ + +Notăm $m(\Varangle A O D)=a$ şi $m(\Varangle C O B)=b \Rightarrow a+b=m(\Varangle A O B)-m(\Varangle C O D)=108^{\circ}$ + +$$ +\begin{aligned} +& m(\Varangle A O M)=m(\Varangle M O C)=\frac{a+36^{\circ}}{2} m(\Varangle D O N)=m(\Varangle N O B)=\frac{b+36^{\circ}}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 1 \mathrm{~m} \\ +& m(\Varangle M O N)=m(\Varangle A O B)-m(\Varangle A O M)-m(\Varangle N O B) \\ +& m(\Varangle M O N)=144^{\circ}-\frac{a+36^{\circ}}{2}-\frac{b+36^{\circ}}{2}=144^{\circ}-\frac{a+b+72^{\circ}}{2}=144^{\circ}-90^{\circ}=54^{\circ} \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +## Problema 3. + +Să se arate că pătratul produsului tuturor divizorilor naturali ai numărului 2016 este $2016^{36}$. + +## Barem: + +Descompunerea numărului $2016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$ + +$1 p$ +Numărul divizorilor numărului 2016 este $(1+5) \cdot(1+2) \cdot(1+1)=36$ ..... $1 p$ + +Fie $d_{1}, d_{2}, \ldots . . . ., d_{36}$ divizorii distincți ai lui 2016 ordonați crescător. + +Numerele $\frac{2016}{d_{36}}, \frac{2016}{d_{35}}, \ldots . ., \frac{2016}{d_{1}}$ sunt deasemenea divizori distincți ai lui 2016 şi ordonaţi crescător. $.2 \mathrm{p}$ + +$$ +\text { Obținem } d_{1}=\frac{2016}{d_{36}}, d_{2}=\frac{2016}{d_{35}}, \ldots \ldots \ldots ., d_{36}=\frac{2016}{d_{1}} +$$ + +$$ +\left(d_{1} \cdot d_{2} \cdot \ldots \ldots \cdot d_{36}\right)^{2}=d_{1} \cdot d_{2} \cdot \ldots \cdot d_{36} \cdot \frac{2016}{d_{36}} \cdot \frac{2016}{d_{35}} \cdot \ldots \ldots \cdot \frac{2016}{d_{1}}=2016^{36} +$$ + +Problema 4. Se dau şase numere naturale nenule,distincte cu suma egală cu 26 . + +a) Să se arate că produsul celor şase numere este divizibil cu 12 . + +b) Să se arate că dacă produsul celor şase numere nu este divizibil cu 24 atunci este divizibil cu 36 . + +Barem: + +a) Dacă toate numerele ar fi impare atunci suma lor este mai mare sa egală cu $1+3+5+7+9+11=36$. Contradicție. + +Prin urmare printre cele şase numere există cel puțin un număr par. ...1p. + +Dacă printre cele şase numere unul singur este par atunci suma lor este număr impar . Contradicție. În concluzie există cel puțin două numere pare printre cele şase numere $.1 \mathrm{p}$ + +Dacă avem două numere pare printre cele şase numere produsul acestora se divide cu 4... ..1p + +Dacă printre cele şase numere nu există nici un multiplu de 3 atunci suma celor şase numere este mai mare sau egală cu $1+2+4+5+7+8=27$.Contradicție. + +Obținem deci că printre cele şase numere există un multiplu de 3 şi atunci produsul numerelor este divizibil cu 3 + +$1 \mathrm{p}$ + +Deoarece produsul este divizibil cu 4 şi 3 va fi divizibil cu 12 . + +b) Folosind concluzia de subpunctul a) şi ipoteza de la b) obținem că printre cele şase numere există exact două numere pare ambele nedivizibile cu 4 + +$1 p$ + +Dacă produsul celor şase numere nu este divizibil cu 9 atunci suma celor şase numere este mai mare sau egală cu $1+2+3+5+7+10=28$. + +Contradicție. Vom avea deci produsul celor şase numere divizibil cu 9. $.1 \mathrm{p}$ + +În ipoteza subpunctului b) produsul numerelor este divizibil cu 9 şi cu 4 (de la a)) deci divizibil cu 36 ...1p + +Soluție alternativă + +Fie $a, b, c, d, e, f$ cele şase numere ordonate crescător $\mathrm{S}$ suma lor. + +Dacă $a \geq 2$ atunci $S \geq 2+3+4+5+6+7=27$. Rezultă deci $a=1$ + +Dacă $f \geq 12$ atunci $S \geq 1+2+3+4+5+12=27$. Rezultă deci că $f \leq 11$ + +I. Pentru $f=11$ avem $1+b+c+d+e+11=26$ de unde $b=2, c=3, d=4, e=5$ + +II.Pentru $f=10$ avem $b+c+d+e=15$ şi $b+c+d \geq 2+3+4$ prin urmare $e \leq 6$ se obțin numerele $1,2,3,4,6.10$ + +III.Pentru $f=9$ avem $b+c+d+e=16, b+c+d \geq 2+3+4$ prin urmare $e \leq 7$ + +Dacă $e=7$ obținem numerele $1,2,3,4,7,9$ dacă $e=6$ obținem numerele $1,2,3,5,6,9$ dacă $e=5$ nu avem soluții. + +IV. Pentru $f=8$ avem $b+c+d+e=17,5 \leq e ETAPA LOCALĂ + +21.02.2016 + +CLASA A V-A + +## Subiectul I + +| Etapa de rezolvare ..................................................................................... | | +| :--- | :--- | :--- | +| $\left(1+7^{13}: 7^{12}\right)=8$ | 1 | +| $8^{7}: 4^{8}=32$ | 1 | +| $\mathrm{a}=2016$ | 1 | +| $\mathrm{x}=117$ | 1 | +| $(x+234936: x-5123: 47)=2016$ | 2 | +| $\mathrm{b}=2016$ | 1 | + +## Subiectul II + +| Etapa de rezolvare ........................................................................................................... | 2 | +| :--- | :---: | +| $\overline{a b c}+\overline{x y z}=1110$ | 1 | +| $\overline{a b c}=3 \cdot \overline{x y z}+14$ | 2 | +| $\overline{a b c}=3(1110-\overline{a b c})+14$ | 2 | +| $\overline{a b c}=836$ | | + +## Subiectul III + +| | Etapa de rezolvare ......................................................................................................... | | +| :--- | :--- | :--- | +| $\mathrm{a})$ | $\mathrm{a}+\mathrm{b}<\mathrm{m}+\mathrm{t}$ | 1 | +| $\mathrm{b})$ | $\mathrm{a}+\mathrm{m}<\mathrm{b}+\mathrm{t}$ implica $\mathrm{a}+\mathrm{t}=\mathrm{b}+\mathrm{m}$ | 1 | +| | $\mathrm{t}-\mathrm{m}=\mathrm{b}-\mathrm{a}=7$ | 1 | +| $\mathrm{c})$ | $\mathrm{t}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{m}-10$ | 1 | +| | $17=\mathrm{a}+\mathrm{b}$ | 1 | +| | $\mathrm{a}=5, \mathrm{~b}=12$ | 2 | + +Subiectul IV + +| | Etapa de rezolvare.............................................................................. Punctaj | | +| :--- | :--- | :---: | +| cazul 1 | $\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{19}+210\right): 20=20$ | 1 | +| | $\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{19}\right)=190$ | 1 | +| | $1+2+3+\ldots 19=190$ | 1 | +| | $\mathrm{A}=\{1,2,3, \ldots 19,210\}$ | 2 | +| cazul 2 | $\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20}+210\right): 21=20 \rightarrow\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20}\right)=210$ | 1 | +| | $\mathrm{A}=\{1,2,3, \ldots 19,20,210\}$ | 1 | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-297-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_viii_enunturi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-297-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_viii_enunturi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e5ad0021dee811a2d0e7aa92b717e53b3913a7cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-297-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_viii_enunturi.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
21.02.2016 + +CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $n=3 x^{2}+4 y^{2}-4 x y-8 x-4, x \in[-1 ; 0]$ și $y \in[-1 ; 1]$. Să se arate că $n \in[-4 ; 15]$. + +## SUBIECTUL II + +Pe o foaie de hârtie sunt scrise numerele $2 \sqrt{1}+1 \sqrt{2} ; 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3} ; \ldots ; 2016 \sqrt{2015}+2015 \sqrt{2016}$. Orice pereche de numere $(a, b)$ de pe foaia de hârtie se poate înlocui cu perechea de numere $\left(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}, a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)$. + +a) Demonstrați că $\frac{1}{a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{1}{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$, unde $a, b>0$ + +b) Demonstrați că $\frac{1}{2 \sqrt{1}+1 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{2016 \sqrt{2015}+2015 \sqrt{2016}}<1$ + +c) Efectuând operaţia precizată mai sus, poate fí scris pe foaie un număr mai mic decât 1 ? Justificați răspunsul. + +## SUBIECTUL III + +Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel $\mathrm{ABC}$ cu ipotenuza $\mathrm{BC}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$, se ridică perpendiculara $\mathrm{AA}^{\prime}$, cu $\mathrm{AA}^{\prime}=6 \mathrm{~cm}$. Considerăm $C C^{\prime} \perp(\mathrm{ABC}), C C^{\prime}=6 \mathrm{~cm}$, astfel ca $A C \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$ pătrat. + +a) Calculați distanța dintre dreptele $A^{\prime} C$ și $B C^{\prime}$. + +b) Determinați lungimea proiecției segmentului $[B C]$ pe planul $\left(A B C^{\prime}\right)$. + +c) Aflaţi $\operatorname{tg} \mathrm{u}^{0}$, unde $\left.\mathrm{u}^{0}=m\left[B C, \overline{(A B} C^{0}\right)\right]$. + +## Subiectul IV + +Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' și M, N mijloacele muchiilor BC respectiv C'D'. Găsiți poziția punctului $\mathrm{P}$ pe muchia $\mathrm{B}$ ' $\mathrm{'}^{\prime}$ astfel încât suma $\mathrm{MP}+\mathrm{NP}$ să fie minimă. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; + +Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-298-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vii_enunturi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-298-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vii_enunturi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5ca668abfd4388f52a5b3d045a4c45d9cb55eaea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-298-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vii_enunturi.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
21.02.2016 + +## Clasa a VII-a + +## Subiectul I + +a) Calculaţi media geometrică a numerelor $a=\frac{403}{\frac{1}{1 \cdot 6}+\frac{1}{6 \cdot 11}+\frac{1}{11 \cdot 16}+\ldots+\frac{1}{2011 \cdot 2016}}$ si $b=\sqrt{350+2+4+6+\ldots+698}$. (5p) + +b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: + +$$ +\sqrt{\frac{x-5}{10}}+\sqrt{\frac{x-6}{9}}=\sqrt{\frac{x-10}{5}}+\sqrt{\frac{x-9}{6}} \cdot(2 p) +$$ + +## Subiectul II + +a) Ştiind că $a, b, c \in R_{+}^{*}$ şi $a+b+c=2016$, arătaţi că $\sqrt{a b+a c}+\sqrt{a b+b c}+\sqrt{a c+b c} \leq 3024$ (3p) + +b) Determinați numerele $\overline{a b c}$ cu $a\mathrm{m}(\angle \mathrm{C})>60^{\circ}$ se construiesc în, exterior, triunghiurile echilaterale $\mathrm{ABD}$ şi $\mathrm{ACE}$ şi fie $\mathrm{F}$ simetricul punctului $\mathrm{A}$ fată de $\mathrm{M}$, mijlocul segmentului $\mathrm{DE}$. Să se demonstreze că triunghiul $\mathrm{BCF}$ este echilateral. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte + +Timp de lucru 3 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-299-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vi_enunturi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-299-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vi_enunturi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac8a37ce952d956eef8c62d0ac3c82e1b8527ea9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-299-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vi_enunturi.md @@ -0,0 +1,28 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
21.02.2016 + +CLASA a VI-a + +## Subiectul 1. + +Se consideră punctele coliniare $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{10}$ în această ordine astfel încât $A_{1} A_{2}=2 \cdot A_{0} A_{1}, A_{2} A_{3}=2 \cdot A_{1} A_{2}, A_{3} A_{4}=2 \cdot A_{2} A_{3}, \ldots . ., A_{9} A_{10}=2 \cdot A_{8} A_{9}$. Ştiind că distanța dintre mijloacele segmentelor $\left[A_{1} A_{3}\right]$ şi $\left[A_{3} A_{5}\right]$ este de $15 \mathrm{~cm}$ să se determine lungimea segmentului $\left[A_{0} A_{10}\right]$. + +## Subiectul 2. + +În interiorul unghiului $\Varangle A O B$ se consideră semidreptele ( $O C$ şi ( $O D$. Ştiind că unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle C O D$ sunt suplementare şi $m(\Varangle A O B)=4 \cdot m(\Varangle C O D)$ determinați măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O C$ şi $\Varangle B O D$. + +## Subiectul 3. + +Să se arate că pătratul produsului tuturor divizorilor naturali ai numărului 2016 este $2016^{36}$. + +## Subiectul 4. + +Se dau şase numere naturale nenule,distincte cu suma egală cu 26 . + +a) Să se arate că produsul celor sase numere este divizibil cu 12 . + +b) Să se arate că dacă produsul celor şase numere nu este divizibil cu 24 atunci este divizibil cu 36 . + +## Notă: Timp de lucru efectiv 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-3-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. IX-cls_9_loc.md b/Romania_Olympiad/md/ro-3-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. IX-cls_9_loc.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86fb21a1606fec4cf2f316298c8cbfd94c967da9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-3-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. IX-cls_9_loc.md @@ -0,0 +1,232 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_02d1fb94b68451152194g-1.jpg?height=137&width=137&top_left_y=31&top_left_x=1074) + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Locală - 26 februarie 2022
CLASA a IX-a - enunţuri + +## Timp de lucru 180 de minute
Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Inegalitatea $2^{n} \geq n^{2}$ este adevărată pentru orice număr natural $n \geq n_{0}$. Cea mai mică valoare a numărului natural $n_{0}$ este: +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 +2. Scrisă ca interval, mulțimea $A=\{x \in \mathbb{R} \mid[x] \leq-2\}$ este: +A $(-\infty,-1)$ +B $(-\infty,-1]$ +$\mathbf{C}[-2,2]$ +D $(-\infty,-2]$ +$\mathbf{E}(-\infty,-3)$ +3. Suma soluțiilor ecuației $2|x+1|-|x-2|=x+2$ este: +A 0 +B 2 +C -2 +D $-\frac{3}{2}$ +E $\frac{5}{4}$ +4. Numerele $a+\sqrt{2}$ și $a \sqrt{2}$, unde $a \in \mathbb{R}$, sunt rationale. Numărul $a^{2}+2$ este egal cu: +A 2 +B 4 +C $2+\sqrt{2}$ +D $2-\sqrt{2}$ +E 0 +5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(3,-4)$ și $B(a, b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a^{2}+b^{2}-6 a+8 b+21=0$. Distanța dintre punctele $A$ și $B$ este egală cu: +A 1 +B $\sqrt{2}$ +C 2 +D $2 \sqrt{2}$ +E 4 +6. Se consideră trapezul $A B C D$ cu bazele $A B=14$ și $C D=7$. Notăm cu $M$ sis $N$ mijloacele bazelor $A B$, respectiv $C D$ si cu $O$ punctul de intersectie a diagonalelor trapezului. + +Dacă $\overrightarrow{O N}=k \cdot \overrightarrow{N M}$, atunci numărul real $k$ este egal cu: +A $\frac{1}{2}$ +B $-\frac{1}{3}$ +C $\frac{1}{3}$ +D $-\frac{1}{2}$ +$\mathbf{E}-1$ + +7. Fie $A B C D E F$ un hexagon regulat cu latura de lungime 12. Modulul vectorului $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}$ este: +A 6 +B $6 \sqrt{3}$ +C $12 \sqrt{3}$ +D 24 +E 36 +8. Pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ se consideră punctele $M$ și $N$ astfel încât $B M=M N=N C$, iar pe latura $A B$ se consideră punctul $P$ astfel încât $3 A P=P B$. Notăm cu $Q$ punctul de intersectie a dreptelor $A M$ și $P N$. Valoarea raportului $\frac{A Q}{A M}$ este: +A $\frac{1}{2}$ +B $\frac{2}{5}$ +C $\frac{1}{3}$ +$\mathbf{D} \frac{3}{8}$ +$\mathbf{E} \frac{2}{3}$ +9. Numărul perechilor $(a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ pentru care + +$$ +x^{4}-20 x^{2}+16=\left(x^{2}+a x+b\right)\left(x^{2}-a x+b\right) +$$ + +oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$ este: +A 0 +B 1 +C 2 +D 4 +E 8 + +10. Ecuația $x^{4}-20 x^{2}+16=0$ are patru soluții reale $x_{1} Etapa III - 24 aprilie 2021
Subiectele - clasa a XI-a + +## Problema 1. + +Fie $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie cu proprietatea lui Darboux astfel ca $f(a) \cdot f(b)<0$. Arătaţi că există $\alpha, \beta$ astfel ca $a<\alpha<\betaETAPA LOCALĂ
21.02.2016
CLASA a V-a + +# Subiectul I + +Dacă numărul x este cel mai mic număr de trei cifre nenule, având suma 9 , arătați că numerele a și $\mathrm{b}$ sunt egale, unde $a=2^{8} \cdot\left(1+7^{13}: 7^{12}\right)-8^{7}: 4^{8}$ și + +$$ +b=(x+234936: x-5123: 47) \cdot 1900-1899 \cdot 2016 +$$ + +## Subiectul II + +Numărul $\overline{a b c}$ are o pereche $\overline{x y z}$ dacă $a+x=b+y=c+z=10$. Aflați numărul $\overline{a b c}$ știind că dă câtul 3 și restul 14 la împărțirea cu perechea sa. + +## Subiectul III + +Ana, Bob și părinții lor stau la o masă de 4 persoane, astfel încât suma vârstelor celor care stau față în față să fie aceeași. Ana este cu 7 ani mai mică decât fratele ei, Bob. + +a) Arătați că Ana și Bob nu pot sta față în față + +b) Cu câți ani este mai vârstnic tatăl decât mama? + +c) Aflați vârsta fiecărui copil, știind că vârsta tatălui este egală cu suma vârstelor celorlalți micşorată cu 10 . + +## Subiectul IV + +Mulțimea A este formată cu 20 sau 21 numere naturale nenule, unul din ele fiind numărul 210. Aflați mulțimea A, știind că media aritmetică a elementelor mulțimii este 20 . + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte + +Timp de lucru 2 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-301-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu8.md b/Romania_Olympiad/md/ro-301-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu8.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4bf15793e94aed2294f4a3f412de8786f8cd0fb3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-301-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu8.md @@ -0,0 +1,44 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEṬEAN ILFOV + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a VIII-a Soluții și bareme + +1. a) $x=\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}\right) \cdot(\sqrt{2016}+1)=$ $=(\sqrt{2016}-1)(\sqrt{2016}+1)=2015 \in N$ 3p +b) $\left(a^{2}+1\right) \cdot\left(b^{2}+1\right)=a^{2} b^{2}+a^{2}+b^{2}+1=(a b-1)^{2}+(a+b)^{2} \geq$ + +$\geq 2 \sqrt{(\mathrm{ab}-1)^{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}}=2(a b-1)(a+b)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_541dcb9fc9d3419557e6g-1.jpg?height=78&width=1518&top_left_y=1018&top_left_x=211) +finalizare ............................ 1p +b) $\left(\sqrt{x^{2}-4 x+4+200^{2}}+\sqrt{y^{2}-6 y+9+16^{2}}=2016 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{m}\right.$ + +$\left(\sqrt{(x-2)^{2}+200^{2}}+\sqrt{(y-3)^{2}+16^{2}}=2016 \quad \ldots \quad \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}\right.$ + +finalizare + +3. a) Se calculează laturile şi se demonstrează că $\Delta$ nu este dr. + +$3 p$ + +b) Aflarea dreptei de intersecţie + +$2 p$ + +Calculul distanţei. + +2p + +4. a) $\mathrm{BC} \perp\left(\mathrm{ABB}^{\prime}\right), \mathrm{PN} \subset\left(\mathrm{ABB}^{\prime}\right) \Rightarrow \mathrm{BC} \perp \mathrm{PN}$ + +$\mathrm{PN} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{PN} \perp \mathrm{MN} \Rightarrow \mathrm{PN} \perp(\mathrm{BMN}) \Rightarrow \mathrm{PN} \perp \mathrm{BN}$. + +$4 p$ +b) $\triangle \mathrm{PNB}=\Delta \mathrm{dr}$. Not: $\mathrm{AP}=\mathrm{x} . \quad(18-\mathrm{x})^{2}+243+351=\mathrm{x}^{2}+432$. + +2p + +$\mathrm{AP}=13,5 \mathrm{~cm}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Observatie. Se puncteaza corespunzator orice alta metoda corecta. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-302-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu7.md b/Romania_Olympiad/md/ro-302-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu7.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d4893c3d8fcde198eb1332ca5b7b0cb1f22e65ec --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-302-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu7.md @@ -0,0 +1,91 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN ILFOV + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală -20.02.2016 + +aite 10 firoro + +Clasa a VII-a + +Soluții și bareme + +# Subiectul 1. + +a) (4 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81cdd505b4957eac2591g-1.jpg?height=103&width=1497&top_left_y=653&top_left_x=257) + +$\mathrm{a}<0$, deci nu există $\sqrt{a}$...............................................................................................1p + +b) ( 3 puncte) + +Însumậnd zecimalele astfel încật să ne apropiem de numărul 2016 şi observậnd că + +$1+2+3+\ldots+63=2016$, deducem că pentru 63 cifre de 1 se adaugă 2016 cifre de 2 , deci ar trebui să avem 62 de 1 , ceea ce ar însemna $62+62 \cdot 63: 2$ zecimale, adică 2015 în total (cifre de 1 si de 2) $2 p$ + +$\mathrm{b}=1 \underbrace{2}_{1} 1 \underbrace{22}_{2} 1 \underbrace{222}_{3} 1 \ldots \ldots .1 \underbrace{22 \ldots 2}_{62} 1 \ldots$. + +Prin urmare, a 2016-a zecimală va fi 1 . + +$1 p$ + +Subiectul 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81cdd505b4957eac2591g-1.jpg?height=68&width=1570&top_left_y=1278&top_left_x=207) + +b) Aducậnd la acelaşi numitor fracţiile de sub radical se obţine rezultatul $1 / 2^{\text {n }}$ + +$.2 p$ + +Pentru n număr par, $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ reprezintă un număr raţional, deci fiecare termen al sumei este raţional, aşadar $\mathrm{A}_{2}+\mathrm{A}_{4}+\mathrm{A}_{6}+\ldots+\mathrm{A}_{2016} \in \mathbf{Q}$ + +. $.2 p$ + +## Subiectul 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81cdd505b4957eac2591g-1.jpg?height=563&width=765&top_left_y=1643&top_left_x=192) +a) $\mathrm{ABCD}$ fiind paralelogram rezultă $\mathrm{AD}$ \|| $\mathrm{BC}$ şi $[\mathrm{AD}] \equiv[\mathrm{BC}]$, iar din simetria punctelor $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{C}$ faţă de B obținem $[B E] \equiv[B C]$, de unde rezultă $[A D] \equiv[B E]$ şi cum $A D \| B$, patrulaterul ADBE va fi paralelogram $2 p$ + +## INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN ILFOV + +Cum $[\mathrm{AD}] \equiv[\mathrm{DB}]$ din ipoteză, deducem că $\mathrm{ADBE}$ este romb, deci $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$. $1 p$ + +Dar AB\| DC, deci DE $\perp C D$ + +$1 p$ + +b) Din $\mathrm{ADEB}$ romb $\Rightarrow \mathrm{DB} \| \mathrm{AE}$ şi [DB] $[\mathrm{AE}]$ (1) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81cdd505b4957eac2591g-2.jpg?height=195&width=518&top_left_y=382&top_left_x=1302) + +Cum $\mathrm{F}=\operatorname{sim}_{\mathrm{A}} \mathrm{E} \Rightarrow[\mathrm{AF}] \equiv[\mathrm{AE}]$ şi $\mathrm{F} \in \mathrm{AB}$ + +$1 p$ + +Din (1) şi (2) se obţine $\mathrm{DB} \| \mathrm{AF}$ şi $[\mathrm{DB}] \equiv[\mathrm{AF}]$, deci ABDF este paralelogram $\Rightarrow F D \| A B$ + +$1 p$ + +Prin punctul $D$, exterior dreptei $A B$, trec dreptele $D C \| A B$ (ABCD este paralelogram) şi $\mathrm{DF} \| \mathrm{AB}$ (ABDF paralelogram). Conform axiomei lui Euclid, prin $\mathrm{D}$ trece o singură paralelă la $\mathrm{AB}$, deci dreptele $\mathrm{DC}$ şi $\mathrm{DF}$ coincid, aşadar punctele $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{F}$ sunt coliniare....1p + +## Subiectul 4. + +a) Fie P mijlocul lui $[B D]$. În $\triangle A B D$, [MP] este linie mijlocie, deci MP\| $A D$ şi MP $=\mathrm{AD} / 2$ $2 p$ + +Cum $E D=A D / 4$, rezultă $E D=M P / 2$ şi din $E D \| M P$, deducem că $[E D]$ este linie mijlocie în triunghiul MNP $1 p$ + +Atunci E este mijlocul lui $[\mathrm{MN}] \Rightarrow[\mathrm{ME}] \equiv[\mathrm{EN}]$ $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81cdd505b4957eac2591g-2.jpg?height=528&width=696&top_left_y=1498&top_left_x=300) + +b) [ED] este linie mijlocie în $\triangle \mathrm{MPN} \Rightarrow[\mathrm{PD}] \equiv[\mathrm{DN}]$ + +$1 p$ + +$\mathrm{PD}=\mathrm{BD} / 2=\mathrm{DC} / 2$, deci $\mathrm{DN}=\mathrm{DC} / 2$. $1 p$ + +Rezultă că N este mijlocul lui [DC], deci [DN]三[NC] $1 p$ + +Observatie. Se puncteaza corespunzator orice alta metoda corecta. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-303-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu6.md b/Romania_Olympiad/md/ro-303-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu6.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bfeab7bd5e3980a5c0fddbbb3b3a025f8c53f1de --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-303-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu6.md @@ -0,0 +1,83 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN ILFOV + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală -20.02.2016 + +Clasa a VI-a + +Soluții și bareme + +# Problema 1 + +a) 4 puncte + +$1 \mathrm{p}$ scrierea sumei $S_{3}=1+3+3^{2}+3^{3}$ + +$1 \mathrm{p} \quad$ calcul $S_{3}=40$ + +$1 \mathrm{p} \quad$ scrierea tuturor divizorilor lui 40 + +$1 \mathrm{p}$ calculul sumei $1+2+4+5+8+10+20+40=90$ +b) 3 puncte + +1p $\quad S_{99}=1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{96}+3^{97}+3^{98}+3^{99}$ + +$S_{99}=40 \cdot\left(1+3^{4}+\cdots+3^{96}\right) \vdots 40$ + +$1 \mathrm{p} \quad(1960 ; 6800)=40$ + +$1 \mathrm{p} \quad S_{99}$ are 100 de termeni; $100 \vdots 4 \Rightarrow$ se pot forma grupe de câte 4 termeni. + +## Problema 2 + +a) 4 puncte + +$1 \mathrm{p} \quad 9^{2 x} \cdot 9^{1}+9^{2 x}+9^{2 x} \cdot 9^{2}=7371$; + +$1 \mathrm{p} \quad 9^{2 x} \cdot\left(9^{1}+1+9^{2}\right)=7371 \Rightarrow 9^{2 x}=7371: 91$ + +$1 \mathrm{p} \quad 9^{2 x}=81 \Rightarrow 9^{2 x}=9^{2}$ + +$1 \mathrm{p}$ +b) 3 puncte + +$h=2^{5}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_62f799a78f03d123f765g-1.jpg?height=483&width=645&top_left_y=1886&top_left_x=171) + +Problema 3 + +1p desen realizat corect + +$1 \mathrm{p} \quad[M T] \equiv[A E]$ si $|M A|-|T A|=1 \mathrm{~cm} \Rightarrow|M T|=|E A|=1 \mathrm{~cm}$ + +$1 \mathrm{P} \quad \mathrm{P}$ mijlocul $[M A] \Rightarrow|M P|=|P A|=|M T|+|T P|=1 \mathrm{~cm}+3,5 \mathrm{~cm}=$ $4,5 \mathrm{~cm} ;$. + +1p $\quad|P E|=|P A|-|E A|=4,5 \mathrm{~cm}-1 \mathrm{~cm}=3,5 \mathrm{~cm}$ + +$1 \mathrm{p} \quad|T E|=7 \mathrm{~cm}$ + +$1 p \quad$ finalizare + +## Problema 4 + +## a) 4 puncte + +1p desen realizat corect + +$1 p \quad m(\Varangle B O C)=100^{\circ} ; m(\Varangle A O C)=180^{0}$ + +$1 p \quad m(\Varangle A O B)=80^{\circ}$ + +$1 \mathrm{p} \quad m(\Varangle E O B)=140^{0}$ +a) 3 puncte + +$1 p$ pentru aflarea $m(\Varangle B O P)=50^{\circ}$ + +$1 \mathrm{p}$ pentru aflarea $m(\Varangle P O D)=90^{\circ}$ + +1p finalizare $P O \perp D E$ + +Observatie. Se puncteaza corespunzator orice alta metoda corecta. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-304-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu5.md b/Romania_Olympiad/md/ro-304-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu5.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77c6c53f6c54f84fffc23064b6c69d3f8f097083 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-304-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu5.md @@ -0,0 +1,59 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_91729af3bb2c09372b9ag-1.jpg?height=187&width=512&top_left_y=291&top_left_x=140) + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală -20.02.2016 + +Clasa a V-a + +Soluţii și bareme + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_91729af3bb2c09372b9ag-1.jpg?height=309&width=1536&top_left_y=537&top_left_x=197) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_91729af3bb2c09372b9ag-1.jpg?height=76&width=1501&top_left_y=897&top_left_x=209) +b) $2016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7=2016=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 2=12^{2} \cdot 14=$ + +$=12^{2} \cdot\left(3^{2}+2^{2}+1^{2}\right)=12^{2} \cdot 3^{2}+12^{2} \cdot 2^{2}+12^{2} \cdot 1^{2}=$ + +$=(12 \cdot 3)^{2}+(12 \cdot 2)^{2}+(12 \cdot 1)^{2}=36^{2}+24^{2}+12^{2}$ + +$.4 p$ + +3. a) $u\left(2016^{2015}\right)=6, u\left(2015^{2014}\right)=5, u\left(2014^{2016}\right)=6$ + +$u(x)=u\left[u\left(2016^{2015}\right)+u\left(2015^{2014}\right)+u\left(2014^{2016}\right)\right]=7 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \ldots$ + +Dacă ultima cifră a unui număr este $2,3,7$ sau 8 , atunci numărul sigur nu este pătrat perfect $.1 \mathrm{p}$ +b) $\mathrm{A}=21^{\mathrm{n}} \cdot 126+7^{\mathrm{n}} \cdot 7 \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{4}+7^{\mathrm{n}} \cdot 7^{2} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 3^{3}=$ $1 p$ + +$=21^{\mathrm{n}}(126+7 \cdot 81+49 \cdot 27)=21^{\mathrm{n}} \cdot 2016$. 2p + +A divizibil cu 2016. + +$1 \mathrm{p}$ +4. $3 \in B \backslash A \Rightarrow 3 \in B$ şi $3 \notin A$. + +$(\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) \not \subset\{2,4\} \Rightarrow$ există cel puţin un element + +$x \in(A \backslash B)$ şi $x \notin\{2,4\}, x \in A$ şi $x \notin B$. + +$\mathrm{x}=1 \in \mathrm{A}$ şi $1 \notin \mathrm{B}$. + +(B $\backslash A) \not \subset\{2,3\} \Rightarrow$ există cel puţin un element y astfel încât $y \in(B \backslash A)$ + +şi $\mathrm{y} \notin\{2,3\}$. + +$\mathrm{y}=4 \in \mathrm{B}$ şi $4 \notin \mathrm{A}$. + +$1 p$ + +$\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \neq \varnothing \Rightarrow 2 \in \mathrm{A}$ şi $2 \in \mathrm{B}$. + +2p + +$A=\{1,2\}, B=\{2,3,4\}$. + +$1 p$ + +Observatie. Se puncteaza corespunzator orice alta metoda corecta. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-305-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-305-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55bf36ee209d228223b439e26abd63c43bc137c4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-305-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xii.md @@ -0,0 +1,32 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, CLASA A -XII-A + +21 februarie 2016 + +1. Să se determine: +a) $\int \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) d x, x>0$. +b) $\int x^{5} \cdot \sqrt[3]{x^{3}+1} d x, \quad x \in \square$ +c) $\int_{-1}^{1} \frac{x^{2016}}{e^{x}+1} d x$ +2. a) Să se arate că șirul $a_{n}=\int_{0}^{n} e^{-x^{2}} d x, n \in \square$, este convergent. + +b) Dacă $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ este o funcție continuă cu $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$, rezultă în mod necesar că șirul $x_{n}=\int_{0}^{n} f(x) d x, n \in \square$, este convergent? Justificare. + +3. Fie mulțimea $G=(-k, k), k>0$ și $x * y=\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}, x, y \in G$. Arătați că: + +a) $(G, *)$ este grup abelian. + +b) $\frac{k}{3} * \frac{k}{5} * \ldots * \frac{k}{2 n+1}<\frac{k}{2} * \frac{k}{4} * \ldots * \frac{k}{2 n}, n \in \square^{*}$. (Supliment G.M. nr. 10/2015) + +4. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel (unitar) comutativ și $U(A)$ mulțimea elementelor inversabile ale inelului. + +a) Dacă $x \in A$ și $x^{2}=0$ să se arate că $1+x \in U(A)$. + +b) Fie $x \in A$ pentru care există $n \in \square^{*}$ astfel încât $x^{n}=0$ și fie $u \in U(A)$. Să se arate că $u+x \in U(A)$. + +Notă. Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-306-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-306-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e0c7e1080d1c25b66c0b0a7715134083589bf24 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-306-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xi.md @@ -0,0 +1,36 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA A -XI-A + +21 februarie 2016 + +## Subiectul I + +Fie $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ cu proprietatea că suma elementelor de pe fiecare linie este pozitivă și suma elementelor de pe fiecare coloană este negativă. + +Calculați $\operatorname{det}(A)$. + +## Subiectul II + +Fie $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ astfel încât $\operatorname{det}(A B) \neq 0$. + +a) Arată că $\operatorname{det}(A+B)+\operatorname{det}(A-B)=2(\operatorname{det} A+\operatorname{det} B)$. + +b) Arată că $\operatorname{Tr}\left(\operatorname{det}(A B+B A) I_{2}-(A B-B A)^{2}\right) \vdots 8$. + +## Subiectul III + +Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ un șir de numere reale astfel încât $a_{0} \in \mathbb{R}$ și $a_{n+1}=a_{n}^{2}-8 a_{n}+18, \forall n \geq 0$. + +a) Să se arate că dacă șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent atunci $\exists p \in \mathbb{N}$ astfel încât $a_{n+1}=$ $a_{n}, \forall n \geq p$. + +b) Determinați mulțimea valorilor naturale ale lui $a_{0}$ pentru care șirul $a_{n}$ este convergent. + +## Subiectul IV + +Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{k}}-1\right)$ + +Notă:Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-307-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_x.md b/Romania_Olympiad/md/ro-307-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_x.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd936dfa994d58fa88126d230a3923a4780b709c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-307-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_x.md @@ -0,0 +1,22 @@ +# Inspectoratul Școlar Județean Gorj + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA a -X-a + +21 februarie 2016 + +1. a) Arătaţi că numărul $\log _{2015} 2016$ este număr iraţional; + +b) Comparaţi numerele $\log _{5} 6$ şi $\log _{6} 7$; + +c) Calculaţi $E=\lg ^{3} 5+\lg ^{3} 20+\lg 8 \cdot \lg (0,25)$. + +2. Determinaţi valorile lui $x \in Z$ pentru care $\sqrt[3]{x^{3}-6 x^{2}+12 x+29} \in Q$. +3. Fie $a, b, c$ numere complexe astfel încât $|a-1|=|b-2|=|c+3|$ şi $a+b+c=0$. Arătaţi că $|a-b+1|=|a-c-4|=|b-c-5|$. +4. a) Fie A o mulţime finită, nevidă şi $f: A \rightarrow A$ o funcţie injectivă. Arătaţi că $\mathrm{f}$ este surjectivă. + +b) Fie $f:\{1,2,3, \ldots, 63\} \rightarrow\{1,2,3, \ldots, 63\}$ o funcţie astfel încât $f(1)+f(2)+$ $f(3)+\cdots+f(63)-1=2016$. Arătaţi că $\mathrm{f}$ nu este injectivă. + +Notă-Timp de lucru 3 ore + +Toate subiectele sunt notate cu 7 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-308-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_ix.md b/Romania_Olympiad/md/ro-308-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_ix.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0762a725da7d806f5fbea6c29c42550a28a8a0a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-308-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_ix.md @@ -0,0 +1,30 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA A -IX-A-GORJ
21 februarie 2016 + +1) Să se rezolve sistemul: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x+[y]+\{z\}=1,2 \\ +y+[z]+\{x\}=2,3 \\ +z+[x]+\{y\}=3,5 +\end{array} \quad \text { unde } x, y, z \in \mathbf{R}\right. +$$ + +2) Fie numerele reale strict pozitive $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, $\mathrm{c}$ astfel încât $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1} \leq 1$. + +Să se arate că $\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq 1$. + +( G. M. 10/2015). + +3) Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$ și fie punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ pe laturile $[\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}]$ respectiv $[\mathrm{CA}]$ astfel încât $\mathrm{AM}=2 \mathrm{MB}, \mathrm{BN}=2 \mathrm{NC}, \mathrm{CP}=2 \mathrm{PA}$. În planul triunghiului se consideră punctele $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ astfel încât $\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{N E}+\overrightarrow{P F}=\overrightarrow{0}$ + +Să se demonstreze că triunghiurile $\mathrm{ABC}$ și DEF au același centru de greutate. + +4) Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi și punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ pe laturile $[\mathrm{AB}]$ respectiv $[\mathrm{BC}]$ astfel încât $\frac{A M}{M B}=\frac{m}{n}$ și $\frac{B N}{N C}=\frac{n}{p}$, unde $m, n, p$ sunt numere reale pozitive cu proprietatea $p^{2}=m n$. Notăm cu $\mathrm{P}$ intersecția dreptelor $\mathrm{CM}$ și AN. Arătați că $n \overrightarrow{P A}+m \overrightarrow{P B}+p \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$. + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat cu punctaj de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-309-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-12_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-309-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-12_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3e6e8e29e762cc2469444d1c8e6a1f9b2481ec8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-309-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-12_bareme.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# Soluții și barem de notare-clasa a XII a + +1. a) $\int \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) d x=x \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right)+\int \frac{x}{x^{2}+1} d x=x \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+C$ (2p) + +b) $\int x^{5} \cdot \sqrt[3]{x^{3}+1} d x=\int x^{2}\left(x^{3}+1\right) \sqrt[3]{x^{3}+1} d x-\int x^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3}+1} d x=\frac{\sqrt[3]{\left(x^{3}+1\right)^{7}}}{7}-\frac{\sqrt[3]{\left(x^{3}+1\right)^{4}}}{4}+C$ (2p) + +c) folosind schimbarea de variabilă $x=-t$ rezultă $I=\int_{-1}^{1} \frac{x^{2016}}{e^{x}+1} d x=\int_{-1}^{1} \frac{x^{2016} e^{x}}{e^{x}+1} d x=J$. Cum + +$I+J=\frac{2}{2017}$, rezultă $I=\frac{1}{2017}(3 p)$ + +2. a) șirul este crescător (1p) + +$a_{n}=\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x+\int_{1}^{n} e^{-x^{2}} d x \leq \int_{0}^{1} 1 d x+\int_{1}^{n} e^{-x} d x<1+\frac{1}{e}$, deci șirul este mărginit, deci convergent (3p) + +b) Nu. De exemplu, $f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), f(x)=\frac{1}{x+1}$ verifică faptul că $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$, dar $x_{n}=\int_{0}^{n} f(x) d x=\ln (n+1)$ nu este convergent (3p) + +3. a) "*" este lege de compoziție pe G (1p) + +$(G, *)$ este grup abelian $(3 p)$ + +b) Se arată că dacă $x, a, b \in G$ și $a Etapa a III-a - 24 aprilie 2021
Subiectele - clasa a X-a + +## Problema 1. + +Determinaţi numerele complexe $x, y, z$, de acelaşi modul, ştiind că numerele $x+y+z$ şi $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ sunt reale. + +## Problema 2. + +Fie $a, b, c, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$ şi fie funcţia $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, definită prin + +$$ +f(n)=\left[\frac{a n+b}{c n+d}\right] \text {, oricare ar fi } n \in \mathbb{N} +$$ + +unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. Demonstraţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: + +$1^{\circ} f$ este surjectivă. + +$2^{\circ} c=0, bn_{0}$ avem $\left|a_{n}+a_{n-1}-8\right|>1,5$ $.1 p$ + +Atunci $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=\left|a_{n}-a_{n-1}\right|\left|a_{n}+a_{n-1}-8\right|>1,5\left|a_{n}-a_{n-1}\right|>1,5^{2}\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|>$ $\ldots>1,5^{n-n_{0}}\left|a_{n 0+1}-a_{n 0}\right| \ldots$ + +Deci $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|>1,5^{n-n 0}\left|a_{n 0+1}-a_{n 0}\right| \forall n>n_{0}$. + +Prin trecere la limită $\Rightarrow 0>\infty$ fals. $\exists p \in \mathbb{N}$ ai $a_{p+1}=a_{p} \Rightarrow a_{p+1}^{2}-8 a_{p+1}+18=a_{p}^{2}-$ $8 a_{p}+18 \Rightarrow a_{p+2}=a_{p+1} \Rightarrow a_{n+1}=a_{n} \forall n \geq p$ (prin inducție). + +b) Dacă $a_{n}=$ convergent $\Rightarrow$ conform $\left.a\right) \exists p \in \mathbb{N}$ ai $a_{n+1}=a_{n} \forall n \geq p$. + +Dacă $a_{p}=k \Rightarrow a_{n}=k \forall n \geq p \Rightarrow a_{n} \rightarrow k \Rightarrow k \in\{3,6\}$. + +1) $k=3 \Rightarrow a_{p}=3 \Rightarrow a_{p-1}^{2}-8 a_{p-1}+18=3 \Rightarrow a_{p-1}^{2}-8 a_{p-1}+15=0$ + +$$ +\Delta=4 \Rightarrow a_{p-1} \in \text { dacă } a_{p-1}=5 \Rightarrow a_{p-2}^{2}-8 a_{p-2}+18=5 \Rightarrow a_{p-2}^{2}-8 a_{p-2}+13=0 +$$ + +$$ +c u \Delta=12 a_{p-2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} +$$ + +2) $k=6 \Rightarrow a_{p}=6 \Rightarrow a_{p-1}^{2}-8 a_{p-1}+18=6 \Rightarrow a_{p-1}^{2}-8 a_{p-1}+12=0$ + +$\Delta=64-48=16 \Rightarrow a_{p-1} \in\{2,6\}$ + +$a_{p-1}=2 \Rightarrow a_{p-2}^{2}-8 a_{p-2}+16=0 \Rightarrow a_{p-2}=4 \Rightarrow a_{p-3}^{2}-8 a_{p-3}+14=0$ + +$\Rightarrow \Delta=8 \Rightarrow a_{p-3} \notin \mathbb{Q}$ + +Plecăm de la $\{2,3,4,5$ sau 6$\} \Rightarrow$ deci se poate ajunge la $a_{p} \in\{3,6\}$. + +## Subiectul I + +Obs. că $x_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{k}}-1\right)>0$. + +Avem $\sqrt[k+1]{\left(1+\frac{1}{k}\right) \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{k \text { ori }}}<\frac{1+\frac{1}{k}+k}{k+1}=\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)} \Rightarrow \sqrt[k+1]{1+\frac{1}{k}}-1<\frac{1}{k(k+1)} \Rightarrow$ + +$\prod_{k=1}^{n}\left(\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{k}}-1\right)<\prod_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{(n!)^{2}(n+1)}$ + +Deci avem inegalitatea $0 BAREM DE CORECTARE
clasa a IX-a
Etapa locală, 21 februarie 2016 + +1) Adunăm ecuațiile sistemului și obținem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e061b052f4a9e9189649g-1.jpg?height=70&width=1756&top_left_y=665&top_left_x=269) + +Din această relație scădem prima ecuație și avem $[z]+\{y\}=2,3$. Deci $[z]=2$ și $\{y\}=0,3 \quad 1$ p. Analog procedăm cu celelalte două ecuații ale sistemului și obținem: + +$[x]=1 ;\{z\}=0,2 ;[y]=0 ;\{x\}=0$ + +Finalizare: $x=1 ; y=0,3$ și $z=2,2$ + +2) Este cunoscută inegalitatea: + +* $\frac{x^{2}}{\alpha}+\frac{y^{2}}{\beta}+\frac{z^{2}}{\gamma} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\alpha+\beta+\gamma} \quad$ unde $x, y, z \in \mathbf{R}$ şi $\alpha, \beta, \gamma>0$ + +( Este o consecință imediată a inegalității lui Cauchy) + +Folosind această inegalitate avem: + +$$ +\begin{aligned} +& 1 \geq \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}=\frac{a^{2}}{a b+a c+a}+\frac{b^{2}}{a b+b c+b}+\frac{c^{2}}{a c+b c+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a b+b c+c a)+a+b+c} \\ +& \Leftrightarrow a+b+c \geq a^{2}+b^{2}+c^{2} +\end{aligned} +$$ + +Din inegalitatea lui Cauchy obținem: $(a+b+c)^{2} \leq 3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \leq 3(a+b+c)$ + +Deci $a+b+c \leq 3$ + +Acum folosind din nou inegalitatea * avem: + +$$ +\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}+\frac{1}{a+b+1} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)+3}=\frac{9}{2(a+b+c)+3} \geq \frac{9}{2 \cdot 3+3}=1 +$$ + +3) Fie $O$ un punct arbitrar în planul triunghiului $A B C$. Notăm cu $X, Y, Z$ centrele de greutate ale triunghiurilor $\mathrm{ABC}$, MNP respectiv DEF. + +$$ +\overrightarrow{O X}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{O Y}=\frac{\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}}{3}=\frac{\frac{\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}}{3}+\frac{\overrightarrow{O B}+2 \overrightarrow{O C}}{3}+\frac{\overrightarrow{O C}+2 \overrightarrow{O A}}{3}}{3}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}=\overrightarrow{O X} \Rightarrow X=Y \ldots \\ +& \overrightarrow{O Z}=\frac{\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}}{3}=\frac{\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{N E}+\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P F}}{3}=\frac{\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}+(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{N E}+\overrightarrow{P F})}{3}= +\end{aligned} +$$ + +$$ +=\overrightarrow{O Y} \Rightarrow Y=Z +$$ + +Deci $X=Y=Z$ + +## INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ + +4) Avem $n \overrightarrow{A M}=m \overrightarrow{M B}, \overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M B}$................................................... 2 p. $n \overrightarrow{P A}+m \overrightarrow{P B}+p \overrightarrow{P C}=n \overrightarrow{P M}+n \overrightarrow{M A}+m \overrightarrow{P M}+m \overrightarrow{M B}+p \overrightarrow{P C}=(m+n) \cdot \overrightarrow{P M}+p \cdot \overrightarrow{P C} \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . \quad 2$ p. + +Aplicând teorema lui Menelaus în triunghiul MBC cu transversala A-P-N obținem: $\frac{P M}{P C} \cdot \frac{N C}{N B} \cdot \frac{A B}{A M}=1$, de unde rezultă: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e061b052f4a9e9189649g-2.jpg?height=124&width=1789&top_left_y=518&top_left_x=236) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e061b052f4a9e9189649g-2.jpg?height=73&width=1787&top_left_y=636&top_left_x=234) + +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN GORJ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-313-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-viii_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-313-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-viii_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d6a3e3a6eaed8e18454321d6b596535e7da8ca49 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-313-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-viii_barem.md @@ -0,0 +1,63 @@ +# Barem clasa a VIII -a + +Olimpiada locală de matematică -21 februarie 2016 + +1a) Ridicând la pătrat relația $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$ obținem $(a-b)^{2} \geq 0$. + +3p + +b) Aplicând a) $\sqrt{\frac{1+x^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{1+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{1+z^{2}}{2}} \geq \frac{1+x}{2}+\frac{1+y}{2}+\frac{1+z}{2}=2$ de unde obținem relația din enunț. + +$4 p$ + +2. Notăm cu $N$ mijlocul [VA], Q mijlocul $[\mathrm{AD}]$, P mijlocul $[\mathrm{BC}]$ și $V Q \cap M N=\{S\}$. + +Demonstrăm că : + +$\triangle V Q P$ echilateral + +2p + +S mijlocul $[\mathrm{VQ}]$ + +$1 p$ + +$V S \perp(B C M)$ + +$3 p$ + +$d(V,(B C M))=V S=3 \mathrm{~cm}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +3. ||$|x-2|-3|-4|+\sqrt{4 y(y+1)+3 z(3 z+10)+35} \leq 3 \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}|||x-2|-3|-4|=0 \\ \sqrt{(2 y+1)^{2}+(3 z+5)^{2}+9}=3\end{array} \quad 4 p\right.$ + +Obținem tripletele $\left(9,-\frac{1}{2},-\frac{5}{3}\right)$ si $\left(-5,-\frac{1}{2},-\frac{5}{3}\right)$. + +3p + +4.a) (AI bisectoarea $\square \mathrm{HAD} \stackrel{\mathrm{TB} \text { Bisectorei }}{\Rightarrow} H I=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm} ; I D=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ + +$1 p$ + +$$ +A_{B C G J}=5 \cdot A_{G F J} \Rightarrow B J=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm} ; \mathrm{FJ}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm} +$$ + +AIGJ paralelogram + +$1 p$ + +b) Construim + +$$ +\begin{aligned} +& \left.\begin{array}{c} +J S \perp E A, S \in E A \Rightarrow J S \perp(A E D) \\ +S M \perp A I, M \in A I +\end{array}\right\} \Rightarrow J M \perp A I \\ +& A_{B C G J}=40 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \Rightarrow J M=10 \mathrm{~cm} ; \quad S M=6 \mathrm{~cm} \\ +& A B=8 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-314-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vii_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-314-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vii_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa0654144fd951850d74a2ae691296f325ba42bf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-314-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vii_barem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# BAREME SUBIECTE-O.N.M.-FEBRUARIE 2016 + +-FAZA LOCALA- + +1. a) Rezolvati in $Z$ ecuatia : $5 \cdot(2 \cdot|3 x-4|+4)-30=10$ + +Solutie : $5(2|3 x-4|+4)=40 \rightarrow 2|3 x-4|+4=8 \rightarrow|3 x-4|=2 \rightarrow x=2 \in \mathbb{Z}$ si $x=\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$ (2 puncte) + +b) Daca $x=\sqrt{2010+(2+4+6+\cdots+4018)}$, sa se arate ca $x \in \mathbf{N}$. + +Solutie : $x=\sqrt{2010+2(1+2+\cdots 2009)}=\sqrt{2010+2009 \cdot 2010}=\sqrt{2010 \cdot 2010}=$ + +$2010 \in \mathbb{N}$ + +(3 puncte) + +c) Fie a,b,c,d numere reale pozitive astfel incat abcd=1.Calculati : + +$\mathrm{E}=\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{7+c}{1+c+c d+c d a}+\frac{7+d}{1+d+d a+d a b}$. + +Solutie : + +d) + +$\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{b)}{1+c+c d+c d a}+\frac{7+c}{1+d+d a+d a b}={ }^{b c)}$ +$\frac{7 b+b c+7+b}{1+b+b c+b c d}=\frac{8+8 b+8 b c+8 b c d}{1+b+b c+b c d}=8$. +2. Se considera numarul $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=18 \underbrace{77 \ldots 7}_{\text {de nori }} 889$, cu n numar natural, si $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ catul impartirii + +numarului an la 13. + +a) Sa se arate ca $a_{n}$ se divide cu 13 pentru oricare $n$. + +b) Sa se determine $n$ pentru care $s\left(a_{n}\right)=2 s\left(c_{n}\right)$, unde $s(m)$ reprezinta suma cifrelor numarului m. + +Solutie : + +a) $a_{n}=18 \cdot 10^{n+3}+7 \cdot 10^{3} \cdot\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10+1\right)+889=13 \cdot 10^{n+3}+13 \cdot 68+$ + +$7 \cdot 10^{3} \cdot \frac{10^{n}-1}{9}+5 \cdot 10^{n+3}+5$. + +Dar, $7 \cdot 10^{3} \cdot \frac{10^{n}-1}{9}+5 \cdot 10^{n+3}+5=\frac{52 \cdot 10^{n+3}-6955}{9}=\frac{13 \cdot\left(4 \cdot 10^{n+3}-535\right)}{9}=\frac{13}{9} \cdot \overline{\underbrace{399 \ldots 9465}_{n+4 \text { clfre }}}=$ + +$13 \cdot \underbrace{44 \ldots 4385}_{n+3 \text { clfre }}$. Deci $a_{n}=13 \cdot(10^{n+3}+68+\underbrace{\overline{44 \ldots 485}}_{n+3 \text { clfre }})$, avem ca an: 13. + +4 puncte + +b) $s\left(a_{n}\right)=1+8+7 n+8+8+9=7 n+34$ + +$\mathrm{C}_{n}=\underbrace{\overline{144 \ldots 4453}}_{n+4 \text { clfre }} \Rightarrow \mathrm{s}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{n}}\right)=9+4 \cdot(n+1)=4 n+13 \Rightarrow 7 n+34=2 \cdot(4 n+13) \Rightarrow n=8$ + +3 puncte + +3.Fie $A B C$ un triunghi echilateral, $M$ mijlocul laturii $[B C]$ si $D \in(A M)$ astfel incat $\mathrm{AM}+\mathrm{MD}=\mathrm{AB}$. Sa se determine masura unghiului $\varangle D B M$. + +Solutie : + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b45b7a772eefec2dc8bdg-2.jpg?height=563&width=594&top_left_y=278&top_left_x=228) + +Fie $\mathrm{E} \in($ AM astfel incat $A E=A B \Rightarrow A M+M E=A B=A M+M D \Rightarrow M E=M D$. + +$\triangle A B E$ isoscel $(A B=A E), m(\nless B A E)=30^{\circ} \Rightarrow m(\nless A B E)=\frac{180-30}{2}=75^{\circ} \Rightarrow m(\nless M B E)$ + +$$ +=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ} . \triangle B D M \equiv \triangle B E M(\text { cazul C.C. }) \Rightarrow m(\nless D B M)=15^{\circ} +$$ + +4. Fie $A B C D$ paralelogram in care $A B>B C,[A E$ bsectoarea unghiului $A,[B F$ bisectoarea unghiului $B$ ( $E, F \in(D C)$ ), $X$ mijlocul segmentului $[A E]$, iar $Y$ mijlocul segmentului $[B F]$. + +a) Demonstrati ca DXYF este paralelogram . + +b) Daca $5 A D=3 A B$ si $X Y=24 \mathrm{~cm}$, aflati perimetrul paralelogramului $A B C D$. + +Solutie : +a) $\triangle \mathrm{ADE}$ si $\triangle \mathrm{BCF}$ isoscele $\rightarrow \mathrm{DE}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{CF} \rightarrow \mathrm{DF}=E C$. + +$\mathrm{ABEF}$ trapez si $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ mijloace $\rightarrow \mathrm{XY}\|\mathrm{AB}\| \mathrm{DF} \rightarrow \mathrm{XY}=\frac{A B-E F}{2}=\frac{D C-E F}{2}=D F$. + +$D E=A D=C F=A B \rightarrow D F=E C \rightarrow D X Y F$ parallelogram . + +(4 puncte ) + +b) Notam $E F=x \rightarrow D F=E C=24 \rightarrow A B=48+x, A D=24+x$ + +$5(24+x)=3(48+x) \rightarrow x=12 \rightarrow P_{A B C D}=192 \mathrm{~cm}$. + +(3 puncte) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-315-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vi_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-315-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vi_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6dbc4bb58fdcd1245d61c7d7fc1251978eb1f9cf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-315-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vi_barem.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# BAREME-SOLUŢII-PROBLEME OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ-CLASA a VI-a21 FEBRUARIE 2016 + +1. + +a) $\overline{\mathrm{xyz}}=15 \mathrm{c}_{1}+\mathrm{r}, \mathrm{r}<15$ şi $\overline{\mathrm{xyz}}=25 \mathrm{c}_{1}+\mathrm{r}, \mathrm{r}<25$ ..... $1 p$ +$\overline{\mathrm{xyz}}-\mathrm{r} \in \mathrm{M}_{15} \cap \mathrm{M}_{25}$ ..... $1 p$ +$[15,25]=75 \Rightarrow \overline{x y z}-r \in M_{75}$ ..... $1 p$ +$\overline{\mathrm{xyz}}=975+\mathrm{r}_{\max }=975+14=989$ ..... $1 p$ +b) Numărătorul şi numitorul trebuie să se dividă cu 5 şi cu 9 ..... $1 p$ +Pentru numărător se obţin valorile 3780 şi 3285 , iar pentru numitor 1170 şi 1575 ..... ..... $1 p$ +Înseamnă că, cea mai mare fracţie este $\frac{3780}{1170}$, iar cea mai mică este $\frac{3285}{1575}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Total. ..... $.7 p$ +2. a) +$2 a+5 b=3 c \Rightarrow 5(a+b)=3(a+c) \Rightarrow 5 \mid(a+c)$ şi $3 \mid(a+b)$. ..... $1 p$ +$2 a+5 b=3 c \Rightarrow 2(a+4 b)=3(b+c) \Rightarrow 2 \mid(b+c)$.... ..... $1 p$ +$2 \cdot 3 \cdot 5=30 \Rightarrow 30 \mid(a+b)(b+c)(a+c)$. ..... $1 \mathrm{1p}$ +b) +Dacă S este suma celor şapte numere și $x$ şi $y$ două numere dintre acestea, din $S-x$ şi $S-y$ +divizibile cu 7, rezultă că $(S-x)-(S-y)=y-x$ este divizibil cu 7. ..... $2 \mathrm{p}$ +Cele şapte numere dau acelaşi rest $r$ la împărţirea cu 7 .... ..... $1 p$ +Suma a şase numere dintre ele va fi de forma $7 k+6 r$, care este multiplu de 7 numai pentru $r=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c66ec5f7077c8c1fb2f8g-1.jpg?height=63&width=1566&top_left_y=1622&top_left_x=239) +Total. ..... $.7 p$ +3.i)Demonstrarea faptului că unghiurile nu pot fi adiacente. ..... $3 \mathrm{p}$ +ii) Unghiurile nu sunt adiacente. Se obţin măsurile $65^{\circ}$ şi $25^{\circ}$ ..... $.4 \mathrm{p}$ +Total. ..... $.7 p$ +4.a) $M_{1} M_{2}=4 \mathrm{~cm}, M_{2} M_{3}=4^{2} \mathrm{~cm}, M_{3} M_{4}=4^{3} \mathrm{~cm}, \ldots . ., M_{2015} M_{2016}=4^{2015} \mathrm{~cm}$.... ..... $1 \mathrm{p}$ +$M_{1} M_{2016}=M_{1} M_{2}+M_{2} M_{3}+\cdots+M_{2015} M_{2016}=\frac{4^{2016}-4}{3} \mathrm{~cm}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +b) $M_{1} M_{100}=\frac{4^{100}-4}{3} \mathrm{~cm}, \quad M_{100} M_{150}=\frac{4^{150}-4^{100}}{3} \mathrm{~cm}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$4^{100}-4<4^{150}-4^{100}$ deoarece $2^{300}-2^{201}+4>0$. Rezultă $M_{1} M_{100}$ ii) $3 \cdot 2+2=8 \in A \quad 2 p$ + +Din $8 \in A \Rightarrow$ i) $4 \cdot 8+1=33 \in A \quad 2 p$ + +$33=2 \cdot 16+1 \in \mathrm{A}=>$ ii) $3 \cdot 16+2=50 \in \mathrm{A} 3 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-317-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-bareme_clasa_a_ix_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-317-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-bareme_clasa_a_ix_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3be55842008f716b94e68ff4a89d5a06598427cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-317-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-bareme_clasa_a_ix_a.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALA - 21.02.2016 + +CLASA A IX A + +## SOLUȚII ȘI BAREME + +## Subiectul 1. + +a) Arătaţi că $n^{4}>(n-2) \cdot(n-1) \cdot n \cdot(n+1)$, unde n este un număr natural nenul. $2 p$ + +b) Calculaţi $[S]$, unde $S=1+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\ldots .+\frac{1}{2016^{4}}$, unde $[S]$ reprezintă partea întreagă a lui S. + +$.5 p$ + +Prof. Drugan Constantin, Constantinescu Dragoş + +C.N. ,Alexandru Lahovari ',,Rm. Vâlcea + +## Barem : + +a) După calcule se ajunge la $2 \cdot n^{2}+n>2, n \geq 1$ evident....................... $2 p$ + +b) Din a) avem că $\frac{1}{n^{4}}<\frac{1}{(n-2) \cdot(n-1) \cdot n \cdot(n+1)}=$ + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{(n-2) \cdot(n-1) \cdot n}-\frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot(n+1)}\right), n \geq 3 \text {, natural } \\ +& \text { Avem } 1 ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A XI- A + +## SOLUȚII ȘI BAREME + +## Subiectul 1. + +$$ +\text { Determinaţi matricea } A \in M_{3}(C) \text {, dacă } A^{*}=\left(\begin{array}{ccc} +-5 & 7 & 1 \\ +1 & -5 & 7 \\ +7 & 1 & -5 +\end{array}\right) \text {. } +$$ + +G.M. $12 / 2015$ + +## Soluţie: + +Scrie relația $A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=I_{3}$, det $A \neq 0$, iar $A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} \cdot A^{*}$ $\qquad$ (1p). + +Justifică $A^{*}$ inversabilă, det $A^{*}=324$, şi calculează inversa sa $\left(A^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{18}\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \ldots \ldots .$. (3p). + +Arată că $A=(\operatorname{det} A) \cdot\left(A^{*}\right)^{-1}$ (1p). + +Arată $\operatorname{det} A^{*}=(\operatorname{det} A)^{2}, \operatorname{det} A= \pm 18$ (1p). + +Finalizare $A= \pm\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)$ + +## Problema 2. + +Se consideră matricea $X(a)=\left(\begin{array}{cc}1+k a & k a \\ a & 1+a\end{array}\right), a \in C^{*}, k \in N^{*}$. Să se calculeze $(X(a))^{n}, n \in N^{*}$ prof. Dicu Florentina, Rm. Vâlcea + +## Soluție: + +Scrie $X(a)=\left(\begin{array}{cc}1+k a & k a \\ a & 1+a\end{array}\right)=I_{2}+a A, A=\left(\begin{array}{ll}k & k \\ 1 & 1\end{array}\right), k \in N^{*}$ + +Calculează $A^{2}=(k+1)\left(\begin{array}{ll}k & k \\ 1 & 1\end{array}\right)=(k+1) A$, iar apoi + +$X(a) \cdot X(b)=I_{2}+a A+b A+(k+1) a b A=X((k+1) a b+a+b)$ + +$$ +X(a) \cdot X(b)=X\left((k+1)\left(a+\frac{1}{k+1}\right)\left(b+\frac{1}{k+1}\right)-\frac{1}{k+1}\right) +$$ + +Deci $(X(a))^{2}=X\left((k+1)\left(a+\frac{1}{k+1}\right)^{2}-\frac{1}{k+1}\right),(X(a))^{3}=X\left((k+1)^{2}\left(a+\frac{1}{k+1}\right)^{3}-\frac{1}{k+1}\right)$ + +$$ +(X(a))^{n}=X\left((k+1)^{n-1}\left(a+\frac{1}{k+1}\right)^{n}-\frac{1}{k+1}\right) +$$ + +Finalizare inducție matematică + +## Problema 3. + +Fie șirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin + +$$ +\begin{aligned} +& x_{0}=0 \\ +& x_{n}=1+\sin \left(x_{n-1}-1\right),(\forall) n \geq 1 +\end{aligned} +$$ + +Studiați convergenta șirului și apoi determinați limita sa. + +## Soluție: + +Cum $x_{n}-1=\sin \left(x_{n-1}-1\right),(\forall) n \geq 1$ + +Dacă notăm $a_{n}=x_{n}-1,(\forall) n \geq 1$, atunci $a_{n}=\sin a_{n-1},(\forall) n \geq 1$. + +Deoarece $a_{0}=-1$, deducem că $a_{n}<0,(\forall) n \geq 1$. + +$\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este crescător + +Deci convergent și există limita sa $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, a \in R$ + +Rezultă $a=\sin a$, (1p). + +Deci $a=0$, iar $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ .(1p). + +## Problema 4. + +$$ +\text { Să se calculeze } \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x \cos 2 x \cos 4 x \ldots \cos 2^{n} x}{(x-\pi)^{2}} +$$ + +prof. Dicu Florentina, Rm. Vâlcea + +## Soluție: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x \cos 2 x \cos 4 x \ldots \cos 2^{n} x}{(x-\pi)^{2}} \text { se gasește în cazul de nedetreminare } \frac{0}{0} +$$ + +Se face substituția $y=x-\pi, y \rightarrow 0$ și limita devine $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y \cos 2 y \cos y x \ldots \cos 2^{n} y}{y^{2}} \ldots$ (1p). + +La numărător facem artificiu de calcul: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y \cos 2 y \cos y x \ldots \cos 2^{n} y}{y^{2}}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y+\cos y-\cos y \cos 2 y \cos y x \ldots \cos 2^{n} y}{y^{2}}= \\ +& \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{y^{2}}+\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\cos y\left(1-\cos 2 y \cos y x \ldots \cos 2^{n} y\right)}{y^{2}}=\ldots=\sum_{k=0}^{n} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2^{k} y}{y^{2}}= \\ +& =\sum_{k=0}^{n} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^{2} 2^{k-1} y}{y^{2}}=\sum_{k=0}^{n} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^{2} 2^{k-1} y}{\left(2^{k-1} y\right)^{2}} \cdot \frac{2^{2 k-2} y^{2}}{y^{2}}=2 \sum_{k=0}^{n} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{2^{2 k-2} y^{2}}{y^{2}}=2 \sum_{k=0}^{n} 2^{2(k-1)}= \\ +& =\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n} 2^{2 k}=\frac{2^{2 n+2}-1}{2 \cdot 3}=\frac{2^{2 n+2}-1}{6} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-319-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_x_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-319-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_x_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f08bf7eff6662376eaf68c3a2076aaeaab9138af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-319-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_x_a.md @@ -0,0 +1,78 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=348&width=1782&top_left_y=109&top_left_x=114) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
BAREM DE CORECTARE
CLASA A X-A + +## SUBIECTUL I + +a) Să se rezolve ecuația $x^{\log _{2} 9}=x^{2} \cdot 3^{\log _{2} x}-x^{\log _{2} 3}$ + +b) Dacă $x \in[2, \infty)$ să se calculeze $\left[\log _{[x]} x\right]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a lui $a$. + +Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=66&width=1656&top_left_y=1235&top_left_x=223) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=63&width=1590&top_left_y=1325&top_left_x=290) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=52&width=1582&top_left_y=1393&top_left_x=297) + +Soluție unică $x=2$.............................................................................1p + +b) Fie $[x]=k, k \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=65&width=1730&top_left_y=1598&top_left_x=163) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=66&width=1722&top_left_y=1663&top_left_x=173) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-1.jpg?height=77&width=1730&top_left_y=1732&top_left_x=163) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-2.jpg?height=300&width=797&top_left_y=113&top_left_x=127) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
BAREM DE CORECTARE
CLASA A X-A + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve ecuația $2 \sqrt[3]{2 x-1}=x^{3}+1$. + +Soluţie: +Notăm $\sqrt[3]{2 x-1}=t$ și avem că $t^{3}=2 x-1$ ..... $1 p$ +$2 t=x^{3}+1 \Leftrightarrow x^{3}=2 t-1$ ..... $1 p$ +$t^{3}-x^{3}=2 x-2 t$ ..... $1 p$ +$x_{1}=1, x_{2,3}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ ..... $.4 p$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
BAREM DE CORECTARE
CLASA A X-A + +## SUBIECTUL III + +Numerele distincte $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}^{*}$ au modulele egale. Considerăm numerele $a=\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}, b=\frac{z_{2}+z_{3}}{z_{2}-z_{3}}$, $c=\frac{z_{3}+z_{1}}{z_{3}-z_{1}}$. Să se arate că dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-1$ atunci $a=b=c$. + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65693c76e450f9300622g-3.jpg?height=326&width=1717&top_left_y=1619&top_left_x=158) + +Deoarece $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ și $x y+y z+z x=1$ rezultă că $x=y=z$, adică $a=b=c \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
BAREM DE CORECTARE
CLASA A X-A + +## SUBIECTUL IV + +Determinați numerele $a, b, c \in[-2,2]$ cu $a \leq b \leq c$ și $n \in \mathbb{N}^{*}$ știind că $a+b+c=-3, a^{3}+b^{3}+c^{3}=-15$, $a \leq b \leq c$ și $a^{n}+b^{n}+c^{n}=8 n+1$. + +Soluţie: + +Considerăm numerele reale $x, y, z$ a.î. $\sin x=\frac{a}{2}, \sin y=\frac{b}{2}, \sin z=\frac{c}{2}$. + +$a+b+c=-3 \Leftrightarrow \sin x+\sin y+\sin z=-\frac{3}{2}$ + +$a^{3}+b^{3}+c^{3}=-15 \Leftrightarrow \sin ^{3} x+\sin ^{3} y+\sin ^{3} z=-\frac{15}{8}$ + +$\sin 3 x+\sin 3 y+\sin 3 z=3(\sin x+\sin y+\sin z)-4\left(\sin ^{3} x+\sin ^{3} y+\sin ^{3} z\right)=3$ $1 p$ + +Cum $\sin 3 x, \sin 3 y, \sin 3 z \in[-1,1]$ rezultă că $\sin 3 x=\sin 3 y=\sin 3 z=1$ $1 p$ + +$\sin 3 x=1 \Leftrightarrow 4 \sin ^{3} x-3 \sin x+1=0$ cu soluțiile $\sin x=-1, \sin x=\frac{1}{2}$ + +Deci $a, b, c \in\{-2,1\}$ și din condițiile impuse avem că $a=b=-2$ și $c=1$ $1 p$ + +$a^{n}+b^{n}+c^{n}=8 n+1 \Leftrightarrow(-2)^{n}=4 n$ cu soluția unică $n=4$ $1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-32-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. IX subiecte-subiecte_cl_9.md b/Romania_Olympiad/md/ro-32-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. IX subiecte-subiecte_cl_9.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4545a84a0d2673f8b660f94cd747d92f3f492d23 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-32-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. IX subiecte-subiecte_cl_9.md @@ -0,0 +1,30 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4a5637a574f9c976c0bdg-1.jpg?height=220&width=229&top_left_y=181&top_left_x=1553) + +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa a III-a - 24 aprilie 2021
Subiecte - clasa a IX-a + +## Problema 1. + +Se consideră triunghiul ascuţitunghic $A B C$. Fie $O$ centrul cercului circumscris acestuia şi $D$ piciorul înălţimii din $A$. Ştiind că $O D \| A B$, arătaţi că $\sin 2 B=\operatorname{ctg} C$. + +## Problema 2. + +Fie $P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{2021}$ puncte pe cercul trigonometric, de centru $O$ şi rază 1 , astfel încât, pentru orice $n \in\{1,2, \ldots, 2021\}$, lungimea arcului de cerc parcurs în sens trigonometric de la $P_{n-1}$ la $P_{n}$ aparţine intervalului $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$. + +Aflaţi lungimea maximă a vectorului + +$$ +\overrightarrow{O P}_{0}+\overrightarrow{O P}_{1}+\cdots+\overrightarrow{O P}_{2021} +$$ + +## Problema 3. + +Fie $a, b, c$ numere strict pozitive, astfel încât $a+b+c=1$. Arătaţi că + +$$ +\frac{1}{a b c}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \geq \frac{13}{a b+b c+c a} +$$ + +## Problema 4. + +Fie $A$ o mulţime finită de numere naturale. Determinaţi toate funcţile $f: \mathbb{N} \rightarrow A$ cu proprietatea că $f(|x-y|)=|f(x)-f(y)|$, pentru orice $x, y \in \mathbb{N}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-320-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_viiia.md b/Romania_Olympiad/md/ro-320-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_viiia.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..432708591893f4489457c481af114d302fb56e8b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-320-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_viiia.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016 + +CLASA A VIII-A + +## SOLUȚII ȘI BAREME + +1. Se consideră numărul $\mathrm{a}=\sqrt{7+\sqrt{33}}-\sqrt{7-\sqrt{33}}$. + +a) Arătați că $a^{2}$ este număr natural; + +b) Dacă $\mathrm{b}=(a-2)^{2016}$, aflaţi partea întreagă a numărului $\mathrm{b}$; + +c) Știind că $c=\left(a^{4}+a^{3}-6 a^{2}-6 a-1\right)^{2016}$, stabiliți dacă c $\in(0,2)$. + +## Barem de corectare + +a) $a^{2}=(\sqrt{7+\sqrt{33}}-\sqrt{7-\sqrt{33}})^{2}=7+\sqrt{33}-2 \sqrt{49-33}+7-\sqrt{33}=6 \in N \quad$............. 2p + +b) Avem: $2<\sqrt{6}<3 \mid-2 \Rightarrow 0<\sqrt{6}-2<1 \Rightarrow 0^{2016}<(\sqrt{6}-2)^{2016}<1^{2016} \ldots \ldots . .1$ p + +$\Rightarrow 0<\mathrm{b}<1 \Rightarrow[\mathrm{b}]=0$ $1 p$ +c) $c=\left(a^{4}+a^{3}-6 a^{2}-6 a-1\right)^{2016}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eaf8225fec8b8147904dg-1.jpg?height=97&width=1367&top_left_y=1659&top_left_x=453) + +$$ +\begin{aligned} +& =(-1)^{2016}=1 \in(0,2) \text {.................................................................................... } +\end{aligned} +$$ + +2. Fie numerele $a, b, c \in R$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Arătaţi că : +а) $\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}+c^{4}}+\sqrt{4 a^{2}+4 c^{2}+b^{4}}+\sqrt{4 c^{2}+4 b^{2}+a^{4}}=5$; +b) $-\sqrt{3} \leq a+b+c \leq \sqrt{3}$. + +## Barem de corectare + +a) $4 a^{2}+4 b^{2}+4 c^{2}=4 \Leftrightarrow 4 a^{2}+4 b^{2}=4-4 c^{2}$. Analog celelalte. $1 \mathrm{p}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}+c^{4}}+\sqrt{4 a^{2}+4 c^{2}+b^{4}}+\sqrt{4 c^{2}+4 b^{2}+a^{4}}= \\ +& =\sqrt{4-4 c^{2}+c^{4}}+\sqrt{4-4 b^{2}+b^{4}}+\sqrt{4-4 a^{2}+a^{4}}= \\ +& =\sqrt{\left(2-c^{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(2-b^{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(2-a^{2}\right)^{2}}=\left|2-c^{2}\right|+\left|2-b^{2}\right|+\left|2-a^{2}\right| \ldots \ldots .2 \mathrm{p} \\ +& =6-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=6-1=5 \text {. } +\end{aligned} +$$ + +b) Din inegalitatea $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+a c$ rezultă: $a b+b c+a c \leq 1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eaf8225fec8b8147904dg-2.jpg?height=65&width=1462&top_left_y=1281&top_left_x=363) + +$$ +\begin{aligned} +& \Leftrightarrow|\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}| \leq \sqrt{3} \Leftrightarrow-\sqrt{3} \leq a+b+c \leq \sqrt{3} \\ +& 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +3. În cubul $A B C D A$ 'B'C'D' se notează cu $\mathrm{P}$ proiectia punctului $\mathrm{C}^{\prime}$ pe diagonala $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}$. + +Demonstrați că dreptele AP și D'P sunt perpendiculare. + +## Barem de corectare + +Notează $\mathrm{AB}=\mathrm{a}$ şi calculează: $\mathrm{AC}=a \sqrt{2}, \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{C}=a \sqrt{3}, \mathrm{PC}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$ si $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{P}=\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ + +Notează cu S și T proiecțiile lui P pe AC și respectiv A' D' + +Din asemănarea triunghiurilor $\triangle \mathrm{CPS}$ și $\Delta \mathrm{C} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}$ calculează $\mathrm{PS}=\frac{a}{3}$ și $\mathrm{AS}=\frac{2 a \sqrt{2}}{3}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Calculează $\mathrm{AP}=\mathrm{a}$ în triunghiul dreptunghic $\triangle \mathrm{PSA}$ + +Din asemănarea triunghiurilor $\Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{PT}$ și $\Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{CD}^{\prime}$ calculează $\mathrm{PT}=\frac{2 a \sqrt{2}}{3}$ și TD'= $\frac{a}{3}$ $1 p$ + +Calculează D'P = a în triunghiul dreptunghic $\Delta \mathrm{PTD}$ ' $1 p$ + +Finalizează folosind Reciproca Teoremei lui Pitagora $.1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eaf8225fec8b8147904dg-3.jpg?height=548&width=608&top_left_y=1482&top_left_x=718) + +4. Fie $\mathrm{ABCD}$ un trapez dreptunghic cu $\mathrm{m}(\angle \mathrm{D})=90^{\circ}$, $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}$, $\mathrm{DC}=6 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{AD}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Pe perpendiculara î $\mathrm{D}$ pe planul $(\mathrm{ABC})$ se consideră punctul $\mathrm{E}$ astfel încât $\mathrm{DE}=8 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $\mathrm{BM}=2 \mathrm{~cm}$. + +a) Demonstrați că AM $\perp$ (EDM); + +b) Calculați distanța de la punctul D la planul (AEM). + +## Barem de corectare + +a) Calculează $B C=8 \mathrm{~cm}$ și arată că $\triangle \mathrm{DMC}$ este echilateral ................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Prin calcul găsește $\mathrm{m}(\angle \mathrm{ADM})=30^{\circ}$ și $\mathrm{m}(\angle \mathrm{DAM})=60^{\circ}$.................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow \mathrm{AM} \perp \mathrm{DM}$...................................................................................................................... + +AM $\perp \mathrm{DE}$ și finalizare .....................................................................................................1p + +b) Fie DF $\perp \mathrm{EM}, \mathrm{F} \in \mathrm{ME}$, + +$\mathrm{EM} \perp \mathrm{AM}, \mathrm{DM} \perp \mathrm{AM}$ și EM, AM $\subset(\mathrm{AEM}) \Rightarrow$ cu R2 $\mathrm{T} 3 \perp \Rightarrow \mathrm{DF} \perp$ (AEM) ...................... $2 \mathrm{p}$ + +Calculează DF $=4,8 \mathrm{~cm}$ + +.1p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-321-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_vii_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-321-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_vii_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bec8d7a0b98a766eae30c69e68d27c74c1807b68 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-321-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_vii_a.md @@ -0,0 +1,176 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ 21.02.2016 + +CLASA a VII-a + +## SOLUŢII ŞI BAREME + +## Subiectul 1 + +a) Să se arate că există numere iraționale $x$ pentru care $\sqrt{3-x^{2}}$ este număr rațional. + +b) Există numere raționale $x$ pentru care numărul $\sqrt{3-x^{2}}$ să fie rațional? Justificați răspunsul dat. + +G.M. nr. 4/2015 - Ion Băetu, Botoșani + +## BAREM + +a) De exemplu $x=\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{3-\sqrt{2}^{2}}=1 \in \mathbb{Q}$ sau oricare alt exemplu bun $3 \mathrm{P}$ + +b) Presupunem că există numere raționale $x$ pentru care $\sqrt{3-x^{2}}$ este rațional. + +Notăm cu $\frac{m}{n}$ şi $\frac{p}{q}$ fracțiile ireductibile care reprezintă numerele raționale $x$, respectiv $\sqrt{3-x^{2}}$, cu $m, n, p, q \in \mathbb{N}^{*},(m, n)=1,(p, q)=1$. + +Avem $\sqrt{3-\left(\frac{m}{n}\right)^{2}}=\frac{p}{q}$ și ridicând la pătrat obținem: $3 n^{2} q^{2}=m^{2} q^{2}+n^{2} p^{2}$ + +Din $\left.\begin{array}{c}n^{2} \mid m^{2} q^{2}+n^{2} p^{2} \\ n^{2} \mid n^{2} p^{2}\end{array}\right\} \Rightarrow n^{2}\left|m^{2} q^{2} \Rightarrow n\right| m q$. Având $(m, n)=1 \Rightarrow n \mid q$ + +Din $\left.\begin{array}{c}q^{2} \mid m^{2} q^{2}+n^{2} p^{2} \\ q^{2} \mid m^{2} q^{2}\end{array}\right\} \Rightarrow q^{2}\left|n^{2} p^{2} \Rightarrow q\right| n p$. Având $(q, p)=1 \Rightarrow q \mid n$ + +Din (2) și (3) rezultă $n=q$. Relația (1) devine $3 n^{2}=m^{2}+p^{2} \Leftrightarrow m^{2}+p^{2}=\mathcal{M}_{3}$ (4). ..... $0,5 p$ Un pătrat perfect poate avea una din formele $\mathcal{M}_{3}$ sau $\mathcal{M}_{3}+1$. Dacă suma a două pătrate perfecte este multiplu de 3, atunci fiecare este multiplu de 3. Avem deci $m=3 a$ şi $p=3 b\left(a, b \in \mathbb{N}^{*}\right) \quad(5)$ $1 \mathrm{p}$ + +Din (4) și (5) avem: $3 n^{2}=9 a^{2}+9 b^{2} \Leftrightarrow n^{2}=3\left(a^{2}+b^{2}\right) \Rightarrow 3\left|n^{2} \Rightarrow 3\right| n \Rightarrow n=3 c, c \in \mathbb{N}^{*}$. + +Din $m=3 a$ și $n=3 c$ avem, deci, $(m, n) \neq 1$ - contradicție! $.0,5 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 2 + +Se consideră numerele: $S_{1}=[\sqrt{1 \cdot 2}], S_{2}=[\sqrt{1 \cdot 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}], \ldots$, $S_{n}=[\sqrt{1 \cdot 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}]+[\sqrt{3 \cdot 4}]+\cdots+[\sqrt{n \cdot(n+1)}]$, unde prin $[a]$ am notat partea întragă a numărului $a$ și $n$ este un număr natural nenul. + +a) Calculați $S_{63}$. + +b) Demonstrați că numărul $A=\sqrt{2 \cdot S_{n}+n}$ nu este rațional, oricare ar fi numărul natural nenul $n$. + +## BAREM + +a) Pentru $i \in N, i \geq 1$ avem $i^{2}2 \cdot A B$. Bisectoarea unghiului $A B C$ intersectează diagonala $A C$ în punctul $E$, iar bisectoarea unghului $D C B$ intersectează diagonala $B D$ în punctul $F$. + +a) Arătați că aria triunghului $A E B$ este egală cu aria triunghiului $C F D$. + +b) Demonstrați că dreapta $E F$ este paralelă cu dreapta $B C$. + +BAREM + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3ae2fc11f73e9c0bcceg-3.jpg?height=309&width=968&top_left_y=685&top_left_x=932) + +a) $\frac{A_{A E B}}{A_{A B C}}=\frac{A E}{A C}$ (1) + +$.0,5 p$ + +$\frac{A_{C F D}}{A_{D B C}}=\frac{D F}{B D}$ + +(2) + +$.0,5 p$ + +Din teorema bisectoarei avem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3ae2fc11f73e9c0bcceg-3.jpg?height=226&width=1573&top_left_y=1269&top_left_x=244) + +Din $A B=C D$ (laturi opuse în paralelogram), (4), (3), (2) și (1), rezultă + +$$ +\frac{A E}{A C}=\frac{D F}{B D} \quad(5) \Rightarrow \frac{A_{A E B}}{A_{A B C}}=\frac{A_{C F D}}{A_{D B C}} \text { (6) } +$$ + +Din $A D \| B C \Rightarrow d(A, B C)=d(D, B C)=d(A D, B C) \Rightarrow$ $.0,5 p$ + +$$ +A_{A B C}=\frac{B C \cdot d(A D, B C)}{2}=A_{D B C} \text { (7). ................................................................................ } +$$ + +Din (6) și (7) găsim $A_{A E B}=A_{C F D}$ ..... $0,5 p$ + +b) Fie $A C \cap B D=\{O\}$. Avem $A C=2 A O=2(O E+A E)$ și $B D=2 D O=2(O F+D F)$ + +( diagonalele paralelogramului se înjumătățesc). + +$.0,5 \mathrm{p}$ + +Din relația (5) avem: + +$$ +\frac{A E}{A C}=\frac{D F}{B D} \Leftrightarrow \frac{A E}{2(O E+A E)}=\frac{D F}{2(O F+D F)} \Leftrightarrow \frac{A E}{O E+A E}=\frac{D F}{O F+D F} \Leftrightarrow \frac{A E}{O E}=\frac{D F}{O F} +$$ + +$\Leftrightarrow \frac{O E}{E A}=\frac{O F}{F D} \Leftrightarrow E F \| A D$ (reciproca teoremei lui Thales). Din $B C\|A D \Rightarrow E F\| B C$ + +## Subiectul 4 + +Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic cu $m(\Varangle A)=90^{\circ}, A D \perp B C, D \in(B C)$. Bisectoarea unghiului $A C B$ intersectează dreapta $A D$ în punctul $G$ și latura $A B$ în punctul $E$. Se notază cu $F$ piciorul perpendicularei din $E$ pe latura $B C$. + +a) Arătați că patrulaterul $A E F G$ este romb. + +b) Dacă triunghiul $A E G$ este echilateral, aflați raportul dintre aria patrulaterului $A E F G$ și aria triunghiului $A B C$. + +## BAREM + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3ae2fc11f73e9c0bcceg-4.jpg?height=383&width=814&top_left_y=722&top_left_x=995) + +a) Din proprietatea bisectoarei avem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3ae2fc11f73e9c0bcceg-4.jpg?height=239&width=1585&top_left_y=1227&top_left_x=239) +$m(\Varangle A E G)=90^{\circ}-m(\Varangle A C E)=90^{\circ}-m(\Varangle G C D)=m(\Varangle D G C)=m(\Varangle A G E)$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +Din (1) și (2) avem $(E F) \equiv(G A)(3)$. + +Avem $\left.\begin{array}{l}G A \perp B C \\ E F \perp B C\end{array}\right\} \Rightarrow E F \| G A$ (4) $.0,5 \mathrm{p}$ + +Din (3) și (4) avem AEFG paralelogram și din (2) rezultă că este romb. + +$.1 \mathrm{p}$ + +b) $A E F G$ romb $\Rightarrow C E \perp A F$, deci $C E$ este bisectoare și înălțime în triunghiul $A F C$ + +$\Rightarrow \triangle A F C$ este isoscel. (5) + +$.0,5 \mathrm{p}$ + +$$ +m(\Varangle A C F)=m(\Varangle A C D)=90^{\circ}-m(\Varangle D A C)=90^{\circ}-\left[90^{\circ}-m(\Varangle E A G)\right]=60^{\circ} +$$ + +Din (5) și (6) $\Rightarrow \triangle A F C$ este echilateral. + +$.0,5 p$ + +În $\triangle A F C$,echilateral, înălțimile $A D$ și $C E$ sunt și mediane, deci $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A F C \Rightarrow A G=\frac{2}{3} A D \quad$ (7) $.0,5 p$ + +$m(\Varangle B)=90^{\circ}-m(\Varangle A C B)=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ} \Rightarrow$ $F D=\frac{1}{2} F C=\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} B C=\frac{1}{4} B C$ (teorema unghiului de $30^{\circ}$ ) + +$.0,5 p$ + +Din (7) și (8) avem: + +$A_{A E F G}=A G \cdot F D=\frac{2}{3} A D \cdot \frac{1}{4} B C=\frac{1}{3} \cdot \frac{A D \cdot B C}{2}=\frac{1}{3} A_{A B C}$. Raportul cerut este $\frac{1}{3}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-322-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_via.md b/Romania_Olympiad/md/ro-322-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_via.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b351b3b5c9e304d284eb21a41f238b85216bffcb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-322-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_via.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# BAREM EVALUARE
Clasa a VI-a + +## Etapa locală 21.02.2016 + +## Subiectul I + +$a b-a^{2}=34$ ..... $.2 p$ +$a(b-a)=34$ ..... $1 p$ +$a \in D_{34}$ ..... $1 p$ +$a \in\{2,17\}$ ..... $1 p$ +$a=2 \Rightarrow b=19 ; c=53$. ..... $1 p$ +$a=17 \Rightarrow b=19 ; c=338$ nu convine. ..... $1 p$ + +## Subiectul II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4d5ec104712f9f0babcfg-2.jpg?height=63&width=1513&top_left_y=451&top_left_x=297) + +b) Fie d=c.m.m.d.c. al numărătorului și numitorului + +$$ +\mathrm{d} \mid 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2014+1 \text { și d } \mid 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2014 \cdot 2016+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . .1 p +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4d5ec104712f9f0babcfg-2.jpg?height=74&width=1465&top_left_y=677&top_left_x=358) + +d|2015............................................................................................................................. + +$d=2015$ imposibil ............................................................................... $2 \mathrm{p}$ + +$d=1 \Rightarrow$ fracția este ireductibilă.................................................................1p + +## Subiectul III + +Caz I. (OC se află în interiorul unghiului AOB. $.3 p+0,5 p$ + +1. $\Varangle \boldsymbol{B O D}$ ascuṭit. Notez $m(\Varangle B O D) \mathrm{cu} 2 \mathrm{x}$. + +$m(\Varangle B O C)=90^{\circ}-2 x$ și $m(\Varangle A O C)=60^{\circ}+2 x$ + +Măsura unghiului format de bisectoare $=120^{\circ}$ + +2. $\Varangle$ BOD obtuz. Notez $m(\Varangle A O C)$ cu $2 x$. + +$m(\Varangle A O D)=90^{\circ}-2 x$ și $m(\Varangle B O D)=120^{\circ}+2 x$ + +Măsura unghiului format de bisectoare $=150^{\circ}$ + +Caz II. (OD se află în interiorul unghiului $A O B$ + +$3 p+0,5 p$ + +1. $\Varangle \boldsymbol{B O D}$ ascuțit. Notez $m(\Varangle B O D) \mathrm{cu} 2 \mathrm{x}$. + +$m(\Varangle A O C)+90^{\circ}+150^{\circ}-2 x=360^{\circ}$ + +$m(\Varangle A O C)=120^{\circ}+2 x$ și $m(\Varangle B O C)=90^{\circ}-2 x$ + +Măsura unghiului format de bisectoare $=150^{\circ}$ + +2. $\Varangle$ BODobtuz. Notez $m(\Varangle A O C)$ cu $2 x$. + +$m(\Varangle A O D)=90^{\circ}-2 x \sin m(\Varangle B O D)=60^{\circ}+2 x$ + +Măsura unghiului format de bisectoare $=120^{\circ}$ + +## Subiectul IV + +Fie $\mathbf{A ; B} ; \mathbf{C} ; \mathbf{D}$ pe dreapta d astfel încât $[\mathbf{C D}] \subset[\mathbf{A B}]$ și $[\mathbf{A C}] \equiv[\mathbf{B D}]$. Arătați că: a) $[\mathbf{A B}]$ și $[\mathbf{C D}]$ au același mijloc. + +b) Dacă se colorează punctele dreptei cu 2 culori alb și roșu, atunci există 3 puncte de aceiași culoare astfel încât unul este mijlocul segmentului determinat de celelalte 2 . + +Fie $\mathrm{M}$-mij. $[\mathrm{CD}] \Rightarrow \begin{gathered}\mathrm{MC}=\mathrm{MD} \\ \text { dar } \mathrm{AC}=\mathrm{DB}\end{gathered}\left|\Rightarrow \begin{array}{c}M A=M B \\ M \in[A B]\end{array}\right| \Rightarrow$ M mijlocul $[A B] \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +Fiind date 5 punctepedreapta conform principiuluicutieiexista2 punctecolorate cuaceiașiculoare. $1 \mathrm{p}$ + +Fără a restrângegeneralitateapresupunem A;Balbeși C;D roșii. Alegemconvenabil o unitate de măsurăastfelîncât $\mathrm{A}(0) ; \mathrm{B}(1) ; \mathrm{C}(2) ; \mathrm{D}(3)$ $1 p$ + +Deci $\mathrm{AC}=\mathrm{DB}$ și $[\mathrm{CD}] \subset[\mathrm{AB}]$ $1 p$ + +Fie $M-$ mij. $[C D] \Rightarrow M-$ mij. $[A B]$ + +1 p + +Dacă M-rosu $\Rightarrow \mathrm{C}-\mathrm{M}-\mathrm{D}$ verifícă $1 p$ + +Dacă $\mathrm{M}-\mathrm{alb} \Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{M}-\mathrm{D}$ verifică $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-323-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_va.md b/Romania_Olympiad/md/ro-323-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_va.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3220c7e7007618a188d7aa133b74235988ed82aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-323-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_va.md @@ -0,0 +1,86 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
21.02.2016
CLASA a V-a + +# SOLUŢII ŞI BAREME + +## Subiectul 1 + +a) Calculaţi: $13^{5}: 13^{2}+\left\{\left(17^{3}\right)^{5}: 17^{14}+2 \cdot\left\{\left(2^{3} \cdot 5^{2}\right)^{4}: 100^{4}+253: 23\right]\right\}-\left(2^{8}-2^{2}\right)$. + +b) Arătaţi că numărul $x=\overline{74 \mathrm{a}}+\overline{4 \mathrm{a} 7}+\overline{\mathrm{a} 74}$ este divizibil cu 37 , oricare ar fi cifra nenulă $a$. + +## Soluţie + +a) $13^{5}: 13^{2}=13^{3}=2197$ ..... $0,5 p$ +$\left(17^{3}\right)^{5}: 17^{14}=17$ ..... $1 p$ +$\left(2^{3} \cdot 5^{2}\right)^{4}: 100^{4}=2^{4}=16$ ..... $1 p$ +$2^{8}-2^{2}=256-4=252$ ..... $0,5 p$ +Răspuns final: 2016 ..... $1 p$ +b) $x=740+a+407+10 a+100 a+74$ ..... $1 p$ +$x=1221+111 a$ ..... $1 p$ +$x=37 \cdot(33+3 a) \vdots 37$ ..... $1 p$ + +## Subiectul 2 + +a) Aflaţi restul împărţirii numărului $a=2017+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)$ la 2016. + +b) Arătaţi că suma primelor 2017 numere impare este pătrat perfect. + +c) Scrieţi numărul $2017^{2}$ ca sumă de 2017 numere naturale consecutive. + +## Soluţie + +a) $1+2+3+\ldots+2016=2016 \cdot 2017: 2$............................................................................... 1p $\qquad$ +Finalizare: $\mathrm{R}=1$............................................................................................................. 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08cb0ea5173bce88a9c5g-2.jpg?height=51&width=1623&top_left_y=1270&top_left_x=305) + +$\mathrm{S}=1+3+5+\ldots+4033=2017^{2}$ este pătrat perfect ................................................... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08cb0ea5173bce88a9c5g-2.jpg?height=54&width=1623&top_left_y=1559&top_left_x=305) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08cb0ea5173bce88a9c5g-2.jpg?height=63&width=1545&top_left_y=1649&top_left_x=369) + +## Subiectul 3 + +Să se determine numerele naturale $a$ şi $b$ a căror sumă este egală cu 323 , ştiind că împărţindu-l pe $a$ la $b$ se obţine câtul 16 şi restul nenul. + +## Soluţie + +$a+b=323$................................................................................................................. 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08cb0ea5173bce88a9c5g-3.jpg?height=48&width=1580&top_left_y=903&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_08cb0ea5173bce88a9c5g-3.jpg?height=59&width=1566&top_left_y=1041&top_left_x=239) + +$17 b+17 k=17 \cdot 19 \Rightarrow b+k=19$.......................................................................... 1p + +$r ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A XI- A + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect este punctat de la 0 la 7 puncte Toate subiectele sunt obligatorii + +## Problema 1. + +$$ +\text { Determinați matricea } A \in M_{3}(C) \text {, dacă } A^{*}=\left(\begin{array}{ccc} +-5 & 7 & 1 \\ +1 & -5 & 7 \\ +7 & 1 & -5 +\end{array}\right) +$$ + +G.M. 12/2015 + +## Problema 2. + +Se consideră matricea $X(a)=\left(\begin{array}{cc}1+k a & k a \\ a & 1+a\end{array}\right), a \in C^{*}, k \in N^{*}$. Să se calculeze $(X(a))^{n}, n \in N^{*}$ + +prof. Dicu Florentina, Rm. Vâlcea + +## Problema 3. + +Fie șirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin + +$$ +\begin{aligned} +& x_{0}=0 \\ +& x_{n}=1+\sin \left(x_{n-1}-1\right),(\forall) n \geq 1 +\end{aligned} +$$ + +Studiați convergenta șirului și apoi determinați limita sa. + +## Problema 4. + +$$ +\text { Să se calculeze } \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x \cos 2 x \cos 4 x \ldots \cos 2^{n} x}{(x-\pi)^{2}} +$$ + +prof. Dicu Florentina, Rm. Vâlcea + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-325-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xa.md b/Romania_Olympiad/md/ro-325-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xa.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0dcf9ab4359a2e5417ebab32e397dce37f8ec22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-325-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xa.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A X-A + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect este punctat de la 0 la 7 puncte + +Toate subiectele sunt obligatorii + +## SUBIECTUL I + +a) Să se rezolve ecuația $x^{\log _{2} 9}=x^{2} \cdot 3^{\log _{2} x}-x^{\log _{2} 3}$. + +b) Dacă $x \in[2, \infty)$ să se calculeze $\left[\log _{[x]} x\right]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a lui $a$. + +Prof. dr. Cătălin Pană, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL II + +Să se rezolve ecuația $2 \sqrt[3]{2 x-1}=x^{3}+1$. + +## SUBIECTUL III + +Numerele distincte $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}, \mathrm{z}_{3} \in C^{*}$ au modulele egale. Considerăm numerele $a=\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}, b=\frac{z_{2}+z_{3}}{z_{2}-z_{3}}$, $c=\frac{z_{3}+z_{1}}{z_{3}-z_{1}}$. Să se arate că dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-1$ atunci $a=b=c$. + +Prof. Sfetcu Traian, G.M. nr.5/2015 + +## SUBIECTUL IV + +Determinaţi numerele $a, b, c \in[-2,2]$ şi $n \in \mathbf{N}^{*}$ știind că $a+b+c=-3, a^{3}+b^{3}+c^{3}=-15, a \leq b \leq c$ şi $a^{n}+b^{n}+c^{n}=8 n+1$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-326-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_vi_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-326-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_vi_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b88041f987599aec87a8fbc9a52a638b449c51a7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-326-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_vi_a.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21.02.201 + +CLASA A VI-A + +1. Aflați numerele prime $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, știind că verifică simultan relațiile $c-a b=15$ și $c-a^{2}=49$. + +S.G.M. 12/2015 + +2. a) Descompuneți în factori primi numărul 2015. + +b) Arătați că fracția $\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2014+1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2014 \cdot 2016+1}$ este ireductibilă. + +Statie Ileana, Rm.Vâlcea + +3. Se dau unghiul $\Varangle A O B$ cu măsura de $150^{\circ}$ și unghiul $\Varangle C O D$ drept, astfel încât punctele $C$ și $D$ se află în semiplane opuse față de dreptele $O A$ și $O B$. Aflați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\Varangle A O C$ și $\Varangle B O D$. + +Statie Alexandru, Rm.Vâlcea + +4. Fie A,B,C,D pe dreapta d astfel încât $[C D] \subset[A B]$ și $[A C] \equiv[B D]$. Arătați că: + +a) Segmentele $[\mathrm{AB}]$ şi $[\mathrm{CD}]$ au același mijloc. + +b) Dacă se colorează punctele dreptei cu două culori, alb și roşu, atunci există 3 puncte de aceiași culoare astfel încât unul este mijlocul segmentului determinat de celelalte două. + +Burlan Adrian, Rm.Vâlcea + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-327-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_v_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-327-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_v_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac5be6d63261b9c04a2ecd09ae996bfc47228482 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-327-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_v_a.md @@ -0,0 +1,46 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 21.02.201 + +CLASA A V-A + +## Subiectul 1 + +a) Calculaţi: $13^{5}: 13^{2}+\left\{\left(17^{3}\right)^{5}: 17^{14}+2 \cdot\left(\left(2^{3} \cdot 5^{2}\right)^{4}: 100^{4}+253: 23\right\}\right\}-\left(2^{8}-2^{2}\right)$. + +b) Arătaţi că numărul $x=\overline{74 \mathrm{a}}+\overline{4 \mathrm{a} 7}+\overline{\mathrm{a} 74}$ este divizibil cu 37 , oricare ar fí cifra nenulă $a$. + +Delia Badea, Râmnicu Vâlcea + +## Subiectul 2 + +a) Aflaţi restul împărţirii numărului $a=2017+2 \cdot(1+2+3+\ldots+2016)$ la 2016. + +b) Arătaţi că suma primelor 2017 numere impare este pătrat perfect. + +c) Scrieţi numărul $2017^{2}$ ca sumă de 2017 numere naturale consecutive. + +Cristina Pîrvuţă, Râmnicu Vâlcea + +## Subiectul 3 + +Să se determine numerele naturale $a$ şi $b$ a căror sumă este egală cu 323 , ştiind că împărţindu-l pe $a$ la $b$ se obţine câtul 16 şi restul nenul. + +Dumitru Dobre, Râmnicu Vâlcea + +## Subiectul 4 + +Un număr natural se numeşte cub bipătratic dacă este cub perfect şi se scrie ca suma a două pătrate perfecte nenule diferite. Un număr natural se numeşte pătrat bicubic dacă este pătrat perfect şi se scrie ca suma a două cuburi perfecte nenule diferite. + +a) Daţi un exemplu de cub bipătratic şi un exemplu de pătrat bicubic. + +b) Arătaţi că există o infinitate de cuburi bipătratice şi o infinitate de pătrate bicubice. + +Cătălin Cristea, Craiova, G.M. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-328-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_xii_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-328-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_xii_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c80e7427dfc171ef24f0eb42eb7212063cc4840 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-328-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_xii_a.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A XII- A + +## SUBIECTUL I + +Fie în $M_{3}(\mathbb{R})$ matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$ si $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ și pentru fiecare $t \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ definim matricea $M_{t}=\frac{t}{3} A+\frac{1}{3 t^{2}} B$. + +(i) Să se arate că mulțimea de matrice $G=\left\{M_{t} \mid t \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\right\}$ este un grup în raport cu înmulțirea matricelor. + +(ii) Să se arate că funcția $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow G, f(t)=M_{t}$ este un izomorfism de grupuri. + +(Problemă de admitere facultatea de matematică) + +## SUBIECTUL II + +Fie $(G, \cdot)$ și $a, b \in G$ diferite cu proprietătile $a \neq e, b \neq e, a^{7}=e, a b a^{-1}=b^{2}$ unde e este elementul neutru al grupului G.Să se determine ordinele elementelor a și b. + +## SUBIECTUL III + +Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{l}k+\sin x \cdot \cos \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ k \quad, x=0\end{array}\right.$ și $J_{n}=\int_{-\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}}\left[n+\left(\frac{1}{n}-n\right) \chi(x)\right] \cdot f(x) d x$, unde $\chi(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in\left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right] \\ 0, \text { în rest. }\end{array}\right.$ Gorgotă Vasile și Ulmeanu Sorin + +## SUBIECTUL IV + +Fie funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție continuă cu proprietatea $e^{f(x)}+f(x) \leq x, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Să se arate că $\int_{1}^{e+1} f(x) d x \leq \frac{3}{2}$. + +Florin Nicolaescu-G.M.11\2015 + +NOTA: Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se noteaza cu puncte de la 0 la 7 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-329-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viii_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-329-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viii_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6bbe71ff26d47c715ed794362515912a336ecf25 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-329-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viii_a.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ - 21.02.2016
CLASA A VIII-A + +## Timp de lucru 3 ore. + +## Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +1. Se consideră numărul $\mathrm{a}=\sqrt{7+\sqrt{33}}-\sqrt{7-\sqrt{33}}$. + +a) Arătați că $a^{2}$ este număr natural; + +b) Dacă $\mathrm{b}=(a-2)^{2016}$, aflați partea întreagă a numărului b; + +c) Știind că $c=\left(a^{4}+a^{3}-6 a^{2}-6 a-1\right)^{2016}$, stabiliți dacă c $\in(0,2)$. + +Prof. Duță Elena Mihaela, Lic.Tehn. "G-ral Magheru" Rm. Vâlcea + +2. Fie numerele $a, b, c \in R$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Arătați că: +a) $\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}+c^{4}}+\sqrt{4 a^{2}+4 c^{2}+b^{4}}+\sqrt{4 c^{2}+4 b^{2}+a^{4}}=5$; +b) $-\sqrt{3} \leq a+b+c \leq \sqrt{3}$. + +Prof. Gheorghe Radu, C.N.I. "Matei Basarab" Rm. Vâlcea + +3. În cubul $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ se notează cu $\mathrm{P}$ proiecția punctului $\mathrm{C}^{\prime}$ pe diagonala $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}$. + +Demonstrați că dreptele AP și D'P sunt perpendiculare. + +G.M. Nr. 10 / 2015, Prof. Ion Voicu, Ialomita + +4. Fie $\mathrm{ABCD}$ un trapez dreptunghic cu $\mathrm{m}(\angle \mathrm{D})=90^{\circ}, \mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}, \mathrm{DC}=6 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{AD}=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Pe perpendiculara în $\mathrm{D}$ pe planul $(\mathrm{ABC})$ se consideră punctul $\mathrm{E}$ astfel încât $\mathrm{DE}$ $=8 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{M} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $\mathrm{BM}=2 \mathrm{~cm}$. + +a) Demonstrați că $A M \perp(E D M)$; + +b) Calculați distanța de la punctul D la planul (AEM). + +Prof. Marin Mazilu, C.N.I. "Matei Basarab" Rm. Vâlcea + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-33-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VIII subiecte-subiecte_cl_8.md b/Romania_Olympiad/md/ro-33-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VIII subiecte-subiecte_cl_8.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e9cac141ed8f72238cacb1c5cc0b21e10bc6add7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-33-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VIII subiecte-subiecte_cl_8.md @@ -0,0 +1,39 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3aa5f5d07e8133dd476bg-1.jpg?height=217&width=229&top_left_y=183&top_left_x=1553) + +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa III - 24 aprilie 2021
Subiectul - clasa a VIII-a + +## Problema 1. + +În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ cu dimensiunile $A B=a, A D=$ $b, A A^{\prime}=c$, unde $a>b>c>0, E$ şi $F$ sunt proiecţile lui $A$ pe $A^{\prime} D$, respectiv pe $A^{\prime} B$, iar $M$ şi $N$ sunt proiecţiile lui $C$ pe $C^{\prime} D$, respectiv pe $C^{\prime} B$. Fie $D F \cap B E=\{G\}$ şi $D N \cap B M=\{P\}$. + +a) Demonstraţi că planele $\left(A^{\prime} A G\right)$ şi $\left(C^{\prime} C P\right)$ sunt paralele şi aflaţi distanţa dintre cele două plane. + +b) Demonstraţi că dreapta $G P$ este paralelă cu planul $(A B C)$ şi aflaţi distanţa de la dreapta $G P$ la planul $(A B C)$. + +## Problema 2. + +Arătaţi că, pentru orice numere reale $a, b, c>0$, are loc inegalitatea + +$$ +(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq \frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{a b+b c+c a}+7 +$$ + +Când are loc egalitatea? + +## Problema 3. + +Determinaţi numerele reale $x$ şi $y$ care verifică relaţiile + +$$ +\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)=2022 \text { sु } x+y=\frac{2021}{\sqrt{2022}} +$$ + +## Problema 4. + +Elevii dintr-o clasă de $n \geq 2$ elevi au avut de rezolvat $2^{n-1}$ probleme ca temă de vacanţă. La verificare, profesorul constată că, pentru orice pereche de probleme diferite: + +- există cel puţin un elev care le-a rezolvat pe amândouă şi +- există cel puţin un elev care a rezolvat una dintre ele, dar nu şi pe cealaltă. + +Arătaţi că există o problemă rezolvată de toţi elevii clasei. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-330-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viia.md b/Romania_Olympiad/md/ro-330-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viia.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c25d2885feec933ef2af85ed3474135de1b99807 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-330-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viia.md @@ -0,0 +1,54 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A VII-A + +## - Timp de lucru 3ore + +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7 + + +## Subiectul I + +a) Să se arate că există numere iraționale $x$ pentru care $\sqrt{3-x^{2}}$ este număr rațional. + +b) Există numere raționale $x$ pentru care numărul $\sqrt{3-x^{2}}$ să fie rațional? Justificați răspunsul dat. + +G.M. nr. 4/2015 - Ion Băetu, Botoșani + +## Subiectul II + +Se consideră numerele: $S_{1}=[\sqrt{1 \cdot 2}], S_{2}=[\sqrt{1 \cdot 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}], \ldots$, $S_{n}=[\sqrt{1 * 2}]+[\sqrt{2 \cdot 3}]+[\sqrt{3 \cdot 4}]+\cdots+\left[\sqrt{n^{*}(n+1)}\right]$, unde prin $[a]$ am notat partea întragă a numărului $a$ și $n$ este un număr natural nenul. + +a) Calculați $S_{63}$. + +b) Demonstrați că numărul $A=\sqrt{2 \cdot S_{n}+n}$ nu este raţional, oricare ar fi numărul natural nenul $n$. + +Prof. Constantin Popescu, Șc. Gim. „Take Ionescu” Râmnicu Vâlcea + +## Subiectul III + +Fie $A B C D$ un paralelogram cu $B C>2 \cdot A B$. Bisectoarea unghiului $A B C$ intersectează diagonala $A C$ în punctul $E$, iar bisectoarea unghului $D C B$ intersectează diagonala $B D$ în punctul $F$. + +a) Arătați că aria triunghului $A E B$ este egală cu aria triunghiului $C F D$. + +b) Demonstrați că dreapta $E F$ este paralelă cu dreapta $B C$. + +Prof. Constantin Popescu, Șc. Gim. „Take Ionescu” Râmnicu Vâlcea + +## Subiectul IV + +Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic cu $m(\Varangle A)=90^{\circ}, A D \perp B C, D \in(B C)$. Bisectoarea unghiului $A C B$ intersectează dreapta $A D$ în punctul $G$ și latura $A B$ în punctul $E$. Se notază cu $F$ piciorul perpendicularei din $E$ pe latura $B C$. + +a) Arătați că patrulaterul $A E F G$ este romb. + +b) Dacă triunghiul $A E G$ este echilateral, aflați raportul dintre aria patrulaterului $A E F G$ și aria triunghiului $A B C$. + +Prof. Tiberiu Pigui, Liceul „Antim Ivireanu”, Râmnicu Vâlcea + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4985be935d1e31ce2ed1g-2.jpg?height=366&width=831&top_left_y=0&top_left_x=218) + +SOCIETATEA + +DE ŞTIINŢE + +MATEMATICE DIN ROMÂNIA + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-331-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_ix_a.md b/Romania_Olympiad/md/ro-331-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_ix_a.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9cdbe2ce3d7a71b4c18c042abb30b6fe08615676 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-331-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_ix_a.md @@ -0,0 +1,49 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2016
CLASA A IX-A + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Subiectul I. + +a) Arătaţi că $n^{4}>(n-2) \cdot(n-1) \cdot n \cdot(n+1)$, unde $n$ este un număr natural nenul. + +b) Calculaţi $[S]$, unde $S=1+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\ldots .+\frac{1}{2016^{4}}$, unde $[S]$ reprezintă partea întreagă a lui $S$. + +Prof. Drugan Constantin, Constantinescu Dragoş + +C.N. ,Alexandru Lahovari ' ',Rm. Vâlcea + +## Subiectul II. + +a) Arătaţi că în orice triunghi $\mathrm{ABC}$ are loc relaţia $\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$, unde $\mathrm{O}$ este centrul cercului circumscris triunghiului iar $\mathrm{H}$ este ortocentrul triunghiului. + +b) Fie $\mathrm{ABCD}$ un patrulater înscris în cercul de centru $\mathrm{O}$ şi care are diagonalele $\mathrm{AC}$ şi BD perpendiculare. Dacă $H_{1}$ şi $H_{2}$ sunt ortocentrele triunghiurilor ACD şi ABC ,arătaţi că $\overrightarrow{\mathrm{BH}_{2}}=\overrightarrow{\mathrm{DH}_{1}}$. + +## Prof. Drugan Constantin, Constantinescu Dragoş
C.N. ,Alexandru Lahovari ' ${ }^{,}$Rm. Vâlcea + +## Subiectul III + +a) Câte progresii aritmetice de numere naturale există cu primul termen 1 şi care conţin numărul 45001 ? + +b) Arătaţi că nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii pătrate perfecte. + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Prof. Drugan Constantin, Constantinescu Dragoş } \\ +& \text { C.N. „Alexandru Lahovari ‘ ,,Rm. Vâlcea } +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul IV. + +Fie a,b,c numere reale strict pozitive. Demonstraţi că : + +$$ +a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{a^{2}}{(b+c)^{4}}+\frac{b^{2}}{(a+c)^{4}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{4}} \geq \frac{3}{2} +$$ + +G.M. Nr 5/2015 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-332-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-332-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..05a498b86aa46460db3a888a3eae958107c4d175 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-332-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,46 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016 + +Clasa a VIII-a + +## Problema 1. + +a) Arătaţi că $x=\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}\right) \cdot(\sqrt{2016}+1)$ este număr natural. + +b) Arătaţi că $\left(a^{2}+1\right) \cdot\left(b^{2}+1\right) \geq 2 \cdot(a b-1) \cdot(a+b)$, oricare ar fi a şi $b$ numere naturale. + +## Problema 2. + +a) Determinaţi numerele naturale $x, y, z$ pentru care + +$x+y+z-21=2 \sqrt{x-4}+4 \sqrt{y-9}+6 \sqrt{z-22}$. + +SGM 11/2014 + +b) Să se afle $x$ şi y astfel încât + +$\sqrt{x^{2}-4 x+4000004}+\sqrt{y^{2}-6 y+265}=2016$. + +## Problema 3. + +$\mathrm{O}$ cameră in formă de paralelipipedul dreptunghic $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ are dimensiunile $\mathrm{AB}=2 \mathrm{~m}, \mathrm{BC}=3 \mathrm{~m}, \mathrm{AA}^{\prime}=2,4 \mathrm{~m}$, iar $\mathrm{N}$ este mijlocul lui [CC']. În punctele $\mathrm{D}^{\prime}, \mathrm{A}$ şi $\mathrm{N}$ se prinde o prelată care are forma triunghiului $\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{AN}$. + +a) Să se verifice dacă prelata reprezintă $\Delta \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{AN}$ dreptunghic. + +b) Să se afle distanţa de la punctul $\mathrm{D}^{\prime}$ la dreapta de intersecţie dintre planul prelatei şi planul podelei (ABC). + +## Problema 4. + +În paralelipipedul dreptunghic $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{cu} A B=12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, $\mathrm{BC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AA}^{\prime}=18 \mathrm{~cm}$ se consideră pe muchia $\left[\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right]$ punctul $\mathrm{N}$, astfel încât $A^{\prime} N=3 \cdot B^{\prime} \mathrm{N}, \mathrm{P} \in\left(\mathrm{AA}^{\prime}\right)$ şi. $\mathrm{M} \in[\mathrm{BC}]$ triunghiul MNP să fie dreptunghic în $\mathrm{N}$. + +a) Demonstraţi că $\mathrm{PN} \perp \mathrm{BN}$. + +b) Determinaţi lungimea AP. + +(Gazeta Matematică) + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-333-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-333-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab2dce9919357dbd039b3562947b2f1f3f374018 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-333-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,35 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a VII-a + +## Problema 1. + +a) Stabiliţi dacă numărul $\sqrt{a}$ este real, unde $\mathrm{a}=\left(-\frac{7}{8}\right): 0,125+\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$ + +b) Determinaţi a 2016-a zecimală a numărului $b$, unde $\mathrm{b}=0,12122122212222 \ldots$ + +## Problema 2. + +Fie $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{3}}-\cdots-\frac{1}{2^{n}}}, \mathrm{n} \in \boldsymbol{N}$. + +a) Calculaţi $2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2-1$ + +b) Arătaţi că $\mathrm{A}_{2}+\mathrm{A}_{4}+\mathrm{A}_{6}+\ldots+\mathrm{A}_{2016} \in \mathbf{Q}$. + +## Problema 3. + +Fie paralelogramul ABCD cu $[\mathrm{AD}] \equiv[\mathrm{DB}]$, punctul $\mathrm{E}$ simetricul lui $\mathrm{C}$ faţă de $\mathrm{B}$ şi punctul $F$ simetricul lui $E$ faţă de $\mathrm{A}$. Arătaţi că: +a) $\mathrm{DE} \perp \mathrm{CD}$ + +b) punctele C, D, F sunt coliniare. + +## Problema 4 + +Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi oarecare, iar $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{D}$ mijloacele segmentelor [AB], respectiv $[B C]$. Dacă $E \in(A D)$ astfel încật $A D=4 \cdot E D$, iar $\{N\}=M E \cap B C$, să se demonstreze că : +a) $[\mathrm{ME}] \equiv[E N]$ +b) $[\mathrm{DN}] \equiv[N C]$ + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-334-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-334-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b33e3a8eb6a41fb03bc2c09c7aab7c2502151db2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-334-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016 + +Clasa a VI-a + +## Problema 1 + +Se consideră suma: $S_{n}=1+3+3^{2}+\cdots+3^{n}$ + +a) Calculaţi suma divizorilor naturali ai numărului $S_{3}$. + +b) Pentru $n=99$ arătaţi că suma se divide cu cel mai mare divizor comun al numerelor 1960 şi 6800 . + +## Problema 2 + +a) Să se rezolve ecuaţia: $9^{2 x+1}+9^{2 x}+9^{2 x+2}=7371$ + +b) De la ce înălţime cade o minge care atinge de 4 ori pământul şi de fiecare dată se ridică la o înălţime egală cu jumătatea înălţimii de la care a căzut anterior, iar ultima oară se ridică la $2 \mathrm{~m}$ ? + +## Problema 3 + +Pe segmentul $[M A]$, astfel încât $[M T] \equiv[A E]$ şi $|M A|-|T A|=1 \mathrm{~cm}$. Dacă $P$ este mijlocul segmentului $[M A]$ şi $|T P|=3,5 \mathrm{~cm}$; arătaţi că raportul segmentelor $[M P]$ şi $[T E]$ este subunitar. + +## Problema 4 + +Fie unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$ adiacente suplementare, astfel încât + +$m(\Varangle B O C)-m(\Varangle A O B)=20^{\circ},(O D$ este bisectoarea $\Varangle A O B$ şi (OE este semidreapta opusă lui $(O D$. + +a) Calculaţi $m(\Varangle E O B)$. + +b) Demonstraţi că $P O \perp D E$, unde $(O P$ este bisectoarea $\Varangle B O C$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-335-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-335-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0311f1182f984ee85018cf1cb0e5123665558ff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-335-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,28 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a V-a + +## Problema 1 + +Determinaţi numărul de forma $\overline{4 a b c 3}$ care , împăţit la 2016 , dă restul 65 . + +## Problema 2 + +a) Se ştie că $2016=a^{5} \cdot b^{2} \cdot c, a \neq b \neq c$. Sa se afle $a, b, c$. + +b) Să se scrie numărul 2016 ca sumă de trei pătrate perfecte. + +## Problema 3 + +a) Să se arate că numărul $\mathrm{x}=2016^{2015}+2015^{2014}+2014^{2016}$ nu este pătrat perfect. + +b) Arătaţi că numărul : $\mathrm{A}=21^{\mathrm{n}} \cdot 126+7^{\mathrm{n}+1} \cdot 3^{\mathrm{n}+4}+7^{\mathrm{n}+2} \cdot 3^{\mathrm{n}+3}$ este divizibil cu 2016. + +## Problema 4 + +Determinaţi mulţimile A şi B, ştiind că $A \cup B=\{1,2,3,4\}, 3 \in B \backslash A, A \backslash B \not \subset$ $\{2,4\}, B \backslash A \not \subset\{2,3\}$ şi $A \cap B \neq \varnothing$.Justificaţi răspunsul. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-336-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-336-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b3fd19034210a1141803225e250f8697b2c679f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-336-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiecte.md @@ -0,0 +1,37 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală -20.02.2016
Clasa a XII-a M + +## Problema 1 + +Arătați că valoarea integralei $\int_{0}^{1} \frac{(1+x)^{2009}+(1-x)^{2009}}{1+x^{2}} d x$ este un număr iraţional. + +## Problema 2 + +Să se calculeze integralele $I=\int \frac{e^{x}+4 x^{2}+10 x+4}{e^{x}+8 x^{2}+4 x+4} d x \quad$ si $\quad J=\int \frac{4 x^{2}-6 x}{e^{x}+8 x^{2}+4 x+4} d x$. + +## Problema 3 + +Fie $a>0$ și $G=(-a, a)$.Pe G se definește legea de compoziție $x * y=\frac{a^{2} \cdot(x+y)}{a^{2}+x y}$. + +a) Arătați că $(G, *)$ este grup abelian. + +b) Se definește funcțiaf: $G \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathrm{F}(\mathrm{t})-\mathrm{F}(0),(\forall) x \in \mathbb{R}$, unde $\mathrm{F}$ este primitiva a funcției + +$$ +\begin{aligned} +& g: G \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{1}{a^{2}-x^{2}},(\forall) x \in G . \text { Demonstrați că } \mathrm{f} \text { este izomorfism între grupurile }(G, *) \\ +& \text { și }(\mathbb{R},+) . +\end{aligned} +$$ + +## Problema 4 + +Fie $H=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{t} \cdot A=I_{2}\right\}$,unde $A^{t}$ este transpusa matricei $A$. Demonstrați că : +a) $(\forall) A \in H \Rightarrow \operatorname{det} A \in\{-1,1\}$. +b) $(H, \cdot)$ este subgrup al grupului $(M, \cdot)$, unde $M=\left\{X \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{det} A \neq 0\right\}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-337-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-337-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..10a4a46397581ddab19877e2ddd1c542ecbba9a2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-337-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiecte.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a XII-a M + +## Problema 1 + +Fie $\mathrm{M}=(0, \infty)$ și $a, b \in \mathrm{M}$. Definim legea de compozitie $\mathrm{a} \circ \mathrm{b}=\ln \left(\mathrm{e}^{\mathrm{a}}+\mathrm{e}^{\mathrm{b}}-1\right)$. + +a) Să se arate că $M$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\circ$. + +b) Arătați că legea $\circ$ este asociativă. + +## Problema 2 + +Fie. $G=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}2 x & 3 y \\ y & 2 x\end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}, 4 x^{2}-3 y^{2}=1\right\}$ + +Să se arate că G este grup comutativ în raport cu înmulţirea matricelor. + +## Problema 3 + +Fie $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{x^{2}+1} d x, n \in \mathbb{N}^{*}$ + +a) Calculați $I_{1}$ și $I_{2}$. + +b) Arătați că $I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{n+1},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$ + +## Problema 4 + +a) Determinați $a, b \in \mathbb{R}$, astfel încât funcția $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+a x+1 \quad, x \leq 1 \\ x^{3}+x^{2}-4 x+b, x>1\end{array}\right.$ să fie o primitivă pentru o funcție $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ + +b) Aflați funcția $f$. + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-338-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-338-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d53fe5dcb1a1f9951193b643fda257ab357821e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-338-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiecte.md @@ -0,0 +1,36 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a XI-a $\mathbf{M}_{2}$ + +## Problema 1 + +Determinați numerele reale a și b astfel încât să avem: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-a x-b\right)=\frac{3}{2} +$$ + +## Problema 2 + +Să se calculeze determinantul: $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{1} & a_{1} & a_{1}\end{array}\right|$, știind că numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}$ sunt în progresie aritmetică. + +## Problema 3 + +Fie funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}}{a x^{2}+b x+1}, a, b \in \mathbb{R}$ + +a) Determinați $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}$, astfel încât dreapta de ecuaţie $y=x-2$ să fie asimptota spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. + +b) Pentru $a=1$ și $b=2$, stabiliți dacă graficul funcției admite și alte asimptote. + +## Problema 4 + +Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right), a \in \mathbb{R}$ + +a) Determinați matricele $A^{2}(1)$ și $A^{3}(1)$. + +b) Determinați inversa matricei $C=A(1)$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-339-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-339-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..68eec52234965fabb5f165ea00dc2870e37ec75b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-339-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiecte.md @@ -0,0 +1,36 @@ +INSPECTORATUL ṢCOLAR JUDEȚEAN ILFOV + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a XI-a $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +În sistemul cartezian de coordonate $x O y$ se consideră punctele $A_{n}\left(n+1, n^{2}+1\right), n \in \mathbb{N}$ și $O(0,0)$. + +a) Calculați aria triunghiului $O A_{n} A_{n+1}$. + +b) Notăm cu $f(n)$ aria triunghiului $O A_{n} A_{n+1}$. Să se determine $n \in \mathbb{N}^{*}$ pentru care $f(n)$ este minimă. + +## Problema 2 + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\sqrt{n^{2}+n+1}\right\}$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracţionară a numărului real $x$. + +## Problema 3 + +Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -a\end{array}\right)$ §i $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -a & -1 \\ -a & a^{2} & a \\ -1 & a & 1\end{array}\right)$. + +a) Calculați $A B$ și $B A$. + +b) Arătaţi că $(A+B)^{n}=A^{n}+B^{n},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $(\forall) a \in \mathbb{R}$. + +## Problema 4 + +Să se studieze monotonia și mărginirea șirului $\left(x_{n}\right)_{n}$, definit prin: + +$x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right), n \in \mathbb{N}^{*}, a>0$ şi să se determine limita şirului (dacă aceasta există). + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-34-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VII subiecte-subiecte_cl_7.md b/Romania_Olympiad/md/ro-34-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VII subiecte-subiecte_cl_7.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..762e67471752e99bbb95db18fb54af7b530f20d7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-34-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VII subiecte-subiecte_cl_7.md @@ -0,0 +1 @@ +{"error":"Unknown conversion 2024_06_07_7f88d59182ec82aaf66dg","error_info":{"id":"cnv_unknown_id","message":"Unknown conversion 2024_06_07_7f88d59182ec82aaf66dg","conversion_id":"2024_06_07_7f88d59182ec82aaf66dg"}} \ No newline at end of file diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-340-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-340-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7921e9cf5e061cea25038d0a62281724cc05a99c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-340-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiecte.md @@ -0,0 +1,30 @@ +INSPECTORATUL ṢCOLAR JUDEȚEAN ILFOV + +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a X-a M + +## Problema 1 + +Arătați că funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2[x]+\{x\}$ este injectivă, unde $[x],\{x\}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului real $x$. + +## Problema 2 + +Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$, cu $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1$ şi $z_{1} z_{2} z_{3} \neq-1$. Să se arate că: + +$z=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}+z_{2} z_{3}}{1+z_{1} z_{2} z_{3}} \in \mathbb{R}$ + +## Problema 3 + +a). Să se verifice egalitatea: $\log _{a_{1}} a_{2} \cdot \log _{a_{2}} a_{3} \cdot \log _{a_{3}} a_{4} \cdot \ldots \cdot \log _{a_{n}} a_{1}=1$, unde $a_{i} \in \mathbb{R}_{+}^{*} \backslash\{1\}, \mathrm{i}=\overline{1, n}$, $\mathrm{n} \in \mathbb{N}, \mathrm{n} \geq 2$ + +b). Să se demonstreze că: $\frac{1}{\log _{a_{1}} a_{2}}+\frac{1}{\log _{a_{2}} a_{3}}+\ldots+\frac{1}{\log _{a_{n}} a_{1}} \geq n$, unde $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(0,1)$ sau $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(1, \infty)$. + +## Problema 4 + +Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuaţia: $\sqrt{-x^{2}+4 x-3}+2^{x+1}+4^{x-1}=5$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-341-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-341-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33b87fc73d8a30dabb980f4207ab35f5a549bb6b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-341-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a X-a M + +## Problema 1 + +a) Arătați că numerele $p=\log _{9} 25-\log _{3} 10+\log _{3} 18$ și $q=8^{\log _{2} \sqrt[3]{5}}$ sunt întregi. + +b) Să se arate că următoarea expresie este constantă : + +$$ +A=\frac{1}{\log _{x} 2 \cdot \log _{x} 4}+\frac{1}{\log _{x} 4 \cdot \log _{x} 8}-\frac{2}{3\left(\log _{x} 2\right)^{2}} +$$ + +## Problema 2 + +a) Determinați numărul real $m$ pentru care numărul $z=5 i^{5}+4 m i^{4}+3 m i^{3}+2 i^{2}+m i$ este real. + +b) Să se determine $z \in \mathbb{C}$ știind că $\frac{\bar{z}+7 i}{z}=6$. + +## Problema 3 + +a) Fie funcțile $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-3 x+9$ și $g(x)=(2 m+1) x+3$. + +Să se determine $m \in \mathbb{R}$, astfel încât $g=f^{-1}$, unde $f^{-1}$ este inversa funcției $f$. + +b) Să se determine funcția putere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{n}$ unde $n \in \mathbb{N}^{*}$, știind că $f(4)+f(2)=20$. + +## Problema 4 + +a) Arătați că dacă $p \in \mathbb{R}$ și $\sqrt{2 p+6}=4$, atunci $\sqrt[3]{5 p+2} \in \mathbb{R}$ + +b) Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuatia irațională : $\sqrt[3]{x-3}+\sqrt[3]{11-x}=2$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-342-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-342-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe902f61d779ea4fcd3f0530b5691e699999a93e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-342-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiecte.md @@ -0,0 +1,36 @@ +INSPECTORATUL ṢCOLAR JUDEṬEAN ILFOV + +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a IX-a $\mathrm{M}_{2}$ + +## Problema 1 + +Rezolvați sistemul : $\left\{\begin{array}{l}2|x-y|+3|x+1|=7 \\ 3|x-y|+2|x+1|=8\end{array}\right.$. + +## Problema 2 + +a) Demonstraţi că numerele $\sqrt{5}, \sqrt{13}, \sqrt{21}$ nu pot fi termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. + +b) Să se determine progresia aritmetică, cu proprietatea că suma primilor $n$ termeni ai săi este dată de formula : $S_{n}=5 n^{2}+6 n$. + +## Problema 3 + +a) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției :" Numărul $n^{2}+n+41$ este prim pentru $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. Justificați răspunsul. + +b)Demonstrați prin inducție matematică următoarea egalitate : + +$$ +1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +## Problema 4 + +Se consideră paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ și punctele $\mathrm{E}$ și $\mathrm{F}$ astfel încat $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{E B}, \overrightarrow{D F}=2 \overrightarrow{F E}$. + +Să se demonstreze că punctele A, F si C sunt coliniare. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-343-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-343-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..341d75fbda9f6a22ab19747b9d6a932c182d1712 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-343-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a IX-a M + +## Problema 1 + +Fie $a, b, c \in\left[\frac{1}{6}, \infty\right)$ şi $a+b+c=1$. + +Să se arate că $\sqrt{6 a-1}+\sqrt{6 b-1}+\sqrt{6 c-1} \leq 3$. + +## Problema 2 + +Să se rezolve ecuaţia: $|x-1|+|x-2|+\ldots+|x-2015|=2016(x-2016)$. + +## Problema 3 + +În $\Delta \mathrm{ABC}$ se consideră punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ şi $\mathrm{P}$ pe laturile $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ respectiv $\mathrm{BC}$ astfel încât $\overrightarrow{M A}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{M B}, \overrightarrow{N C}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{N A}, \overrightarrow{P C}=\frac{2}{9} \overrightarrow{P B}$. + +a) Exprimaţi $\overrightarrow{B N}$ in funcţie de $\overrightarrow{B A} s ̧ i \overrightarrow{B C}$ + +b) Arătaţi că punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ şi $\mathrm{P}$ sunt coliniare + +## Problema 4 + +Arătaţi că: + +$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n}, n \in \square^{*}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-344-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-344-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a5d100f1ad78ba4e9d7fa7af8cac18aff12a35a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-344-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,151 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a IV-a + +## Problema 1 + +Calculează triplul numărului de trei cifre $\overline{a b c}$, ştiind că: + +$$ +\begin{gathered} +a \times 4=84: 7 \\ +b \times 2=60: 10 \times 3 \\ +c=(a+b): 2 +\end{gathered} +$$ + +Problema 2 + +De 8 Martie, 6 copii culeg 30 de ghiocei pentru mama, în 10 secunde. În câte secunde 7 copii culeg 140 ghiocei? + +Problema 3 + +De pe un platou de fursecuri Ana a mâncat a cincea parte din ele. Dan a mâncat un sfert din ce a rămas, iar Mara a mâncat jumătate din fursecurile rămase pe platou. Acum mai sunt 9 fursecuri. + +Câte fursecuri au fost la început? + +## Problema 4 + +Tatăl, mama, fiul şi fiica au împreună 85 de ani . Peste 15 ani mama va avea suma vârstelor copiilor. Ştiind că mama e mai mică cu 4 ani decât tatăl, iar fiul este cu 3 ani mai mare decât sora sa, să se afle vârsta fiecăruia. + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. + +Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -20.02.2016
Clasa a IV-a
Soluții și bareme + +## Problema 1 + +$\mathbf{a} \times 4=84: 7$ + +$$ +\mathrm{a}=3 +$$ + +b $\times 2=60: 10 \times 3$ + +$$ +b=9 +$$ + +$$ +\mathbf{c}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}): 2 +$$ + +$$ +\mathrm{c}=6 +$$ + +$3 x a b c=3 x 396$ + +$3 \times 396=1188$ + +(1p) + +## Problema 2 + +6 copii +30 ghiocei +$10 \mathrm{~s}$ +7 copii +.210 ghiocei +?s +$1 p$ +6 copii $\qquad$ +30 ghiocei +$10 \mathrm{~s}$ +1 copil $\qquad$ +30 ghiocei $\qquad$ $6 \times 10 s=60 s$ $2 \mathrm{p}$ +1 copil $\qquad$ +1 ghiocel $\qquad$ $\qquad$ +$60 \mathrm{~s}: 30=2 \mathrm{~s}$ $2 p$ +1 copil +140 ghiocei $\qquad$ +$140 \times 2 s=280 \mathrm{~s}$ +$1 p$ +7 copii $\qquad$ +140 ghiocei +$280 \mathrm{~s}: 7=40 \mathrm{~s}$ $2 p$ + +## Problema 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96faebe7bcd5e4245112g-3.jpg?height=52&width=429&top_left_y=278&top_left_x=479)$\qquad$ +1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96faebe7bcd5e4245112g-3.jpg?height=56&width=139&top_left_y=281&top_left_x=1096) + +I +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96faebe7bcd5e4245112g-3.jpg?height=378&width=1348&top_left_y=126&top_left_x=627) + +$3 p$ + +Mara -9 fursecuri $\qquad$ $1 p$ + +$9+9=18$ + +$18: 3=6$ fursecuri (Dan) $1 p$ + +Ana -6 fursecuri $1 p$ + +$5 \times 6=30$ fursecuri $1 p$ + +## Problema 4 + +Prezent +$\mathrm{T}$ $\qquad$ I 4 I +M I $\qquad$ I +Fiul I $\qquad$ | 3 | +Fiica $\mathrm{I}$ $\qquad$ I + +Peste 15 ani: + +``` +Fiul +fiica 1 \(\qquad\) \(\qquad\) +I I +I 3 I \(\qquad\) +M I \(\qquad\) +\(1 \quad 15\) +\(\mathrm{T}\) I \(\qquad\) +15 +I 4 I ...............1p +\(85+4\) x 15= 145 ani( suma vârstelor peste 15 ani) +\(145-4\) = 141ani +\(141: 3\) = 47ani (vârsta mamei peste 15 ani / suma vârstelor celor 2 copii peste 15 +ani) +\(1 \mathrm{p}\) +\(47-3=44 a n i\) +\(44: 2\) = 22ani (vârsta fiicei peste 15 ani) +\(22+3\) = 25ani (vârsta fiului peste 15 ani) +În prezent: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96faebe7bcd5e4245112g-4.jpg?height=514&width=1674&top_left_y=214&top_left_x=260) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96faebe7bcd5e4245112g-4.jpg?height=46&width=1567&top_left_y=233&top_left_x=282) + +\(25-15=10\) ani - fiul \(\quad\).......................................................................................1p + +\(47-15\) = 32 ani -mama..................................................................................1p + +32 + 4 = 36 ani - tatăl.........................................................................................1p``` + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-345-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-345-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b72fc221833d9ab4db098b5a38511c1fadb3515d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-345-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Locală Dâmboviţa - 21 Februarie 2016 + +## CLASA A XII-A + +Sublectul 1. Demonstraţi că mulțimea + +$$ +G=\left\{A_{x} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \left\lvert\, A_{x}=\left(\begin{array}{cc} +2-x & 1-x \\ +2(x-1) & 2 x-1 +\end{array}\right)\right., \quad x \in \mathbb{R}^{*}\right\} +$$ + +înzestrată cu operaţia de înmulțire a matricelor, este grup. Este izomorf cu ( $\left.\mathbb{R}^{*} ;\right)$ ? + +Sublectul 2. Demonstraţi că funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definită pentru orice număr real $x$ prin formula $f(x)=x^{5}+x$, este bijectivă, apoi calculați: + +$$ +\int_{0}^{2} f^{-1}(x) d x +$$ + +Sublectul 3. Calculați: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{n^{2}}{k^{2}}\right)} +$$ + +Subiectul 4. Fie ( $G$, ) un grup și mulțimea $Z(G)=\{x \in G \mid x y=y x, \forall y \in G\}$. Arătaţi că, dacă $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G \backslash Z(G)$, atunci grupul $G$ este comutativ. + +CLASA A XII-A - BARETI + +SUBIECTH 1 + +$A_{*} \cdot A_{y}=A_{x y}$, cu xyキo, dea $G$ este parte riabili a lidi $M_{2}(\mathbb{R})(2$ pruncte) + +A, elew. neutrur (1omect), A1/x simetricul $\operatorname{lni} A_{*}(1$ punct $) y: x^{*} G, f(*)=A_{*}$ este bijectisi-(2pructe),$f(x y)=f(x) f(y)(1$ pruct $)$ + +SUBIECTUL 2 + +F injection (2puacte), surjectis-(Rprencte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1ce3e6bc26f64d601682g-2.jpg?height=273&width=1535&top_left_y=1642&top_left_x=355) +$*=f(t), t \in[0,1]$ schicubore de vorialila$(1$ preuct) $)$ deci $I=413$ (1pruct) + +SUBIECTUL 3 + +Solutie. Avem 2 pructe + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1ce3e6bc26f64d601682g-3.jpg?height=374&width=1880&top_left_y=492&top_left_x=100) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1ce3e6bc26f64d601682g-3.jpg?height=346&width=1928&top_left_y=754&top_left_x=0) + +Pe de altă parte, cum $\ln b_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}\right)$, rezultă că + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty} \ln b_{n}=\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left.x \ln \left(1+x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x= \\ +& =\ln 2-\left.2(x-\operatorname{arctg} x)\right|_{0} ^{1}=\ln 2+\frac{\pi}{2}-2 +\end{aligned} +$$ + +2 pructe + +Î consecintsa $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\mathrm{e}^{2} \cdot \mathrm{e}^{\ln 2+\frac{\pi}{2}-2}=2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}$. 1 prenct + +SUBSECTUL 4 + +4 pruacte Solutie. Fie $a \in Z(G)$ si $b \in G \backslash Z(G)$. Atunci $a b \in G \backslash Z(G)$, deci $(a b)^{2}=e$, de unde $a b a b=e$, adică $a a b b=e$. Cum $b^{2}=e$, obţinem $a^{2}=e$, adic $x^{2}=e$, 3 prencte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-346-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-346-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af8437f7f74e75b2c31f018146e98d3e1d6fe079 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-346-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,73 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Locală Dâmboviţa - 21 Februarie 2016 + +## CLASA A XI-A + +Subioctul 1. Se consideră matricele: + +$$ +A=\left(\begin{array}{cc} +3-\cos 2 \alpha & \sin 2 \alpha \\ +\sin 2 \alpha & 3+\cos 2 \alpha +\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} +\cos \alpha & -\sin -\alpha \\ +\sin \alpha & \cos \alpha +\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ll} +2 & 0 \\ +0 & 4 +\end{array}\right) +$$ + +unde $\alpha \in \mathbb{R}$. Demonstrați că $A=B^{-1} C B$, apoi calculați $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Subiectul 2. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit, pentru orice număr natural $n \geq 1$, prin relaţia: + +$$ +x_{n}^{3}+x_{n}=2-\frac{1}{n} +$$ + +Demonstraţi că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este monoton, mărginit, apoi aflaţi limita sa. + +Subiectull 3. Fie $f, g, u, v:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ funcții continue, astfel încât pentru orice $x \in[a, b]$, $f(x) \leq u(x)$ şi $g(x) \geq v(x)$. În plus, $f(a)=u(a)$ şi $g(b)=v(b)$. Demonstraţi că există $c \in[a, b]$ astfel încât $f(c)+g(c)=u(c)+v(c)$. + +Subiectul 4. Fie $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ două matrice astfel încât $(A-B)^{2}=0_{2}$. + +a) Arătați că: $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det} A-\operatorname{det} B)^{2}$. + +b) Demonstrați echivalența: $\operatorname{det}(A B-B A)=0 \Leftrightarrow \operatorname{det} A=\operatorname{det} B$. + +CIASA A XI-A-BARENI + +SubIECTIL $1 \quad A=B^{-1} C B(\operatorname{san} B A=C B$, cu Binwersabili) (3pructe + +$A^{n}=B^{-1} C^{n} B$ (2pructe) + +$=\left(\begin{array}{ll}2^{n}+\left(4^{n}-2^{n}\right) \sin ^{2} \alpha & \left(4^{n}-2^{n}\right) \sin \cos \alpha \\ \left(4^{n}-2^{n}\right) \min \alpha \cos \alpha & 2^{n}+\left(4-2^{n}\right) \cos \alpha\end{array}\right)(2$ pructe $)$ + +Susiectul 2 + +(* ) uscátor (2pructe), märginit (2pructi) $l^{3}+l=2$ (1 pruct) de unde deduce $l=1$ (2purct) + +SUBSECRPC 3 + +$$ +\begin{aligned} +& \varphi(*)=f(*)+g(*)-u(*)-V(*) \text { st satinua } \\ +& (2 \text { puucte }) \varphi \varphi(a)=g(a)-V(a) \geqslant 0 \text { (2pruct }) \\ +& \varphi(b)=f(b)-\mu(b) \leq 0(2 \text { pruct }) +\end{aligned} +$$ + +Fralizre (1 punct) + +SIBIECTIL + +1 punct + +Solutie. Cum $(A-B)^{2}=O_{2}$ obţinem $\operatorname{det}(A-B)=0$ si $\operatorname{Tr}(A-B)=0$. + +2 prencle a) Fie $a=\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} B$ si $b=\operatorname{det} A-\operatorname{det} B$. Din relaţia lui Cayley obtinem $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=\operatorname{det}\left(a(A-B)-b I_{2}\right)=\operatorname{det}(a(A-B))-\operatorname{tr}(a(A-B)) b+b^{2}=b^{2}$. + +2 pue ctob) Fie functia $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ dată de $f(x)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}+x(A B-B A)\right)$. Avem $f(x)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+c x+\operatorname{det}(A B-B A) x^{2}$. + +Pe de alta parte, $f(1)=f(-1)=\operatorname{det}(A-B) \operatorname{det}(A+B)=0$, de unde reiese $c=0$ si $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det}(A B-B A)=0$. Folosind punctul anterior reiese cerinţa. 2 pructe + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-347-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-347-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..97d7592e91693f37959eb8655b7e7f3ec37af470 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-347-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Locală Dâmboviţa - 21 Februarie 2016 + +## CLASA A X-A + +Subiectul 1. Fie $a \in(0, \infty) \backslash\{1\}$ si $x=\lg a, y=\log _{6} a, z=\log _{15} a$. Demonstrați că: + +$$ +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{\log _{2} a}+\frac{1}{\log _{3} a}+\frac{1}{\log _{5} a} +$$ + +Sublectul 2. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ astfel încât $f(f(x))=x^{2}$, oricare ar fi $x \in(0, \infty)$. + +a) Demonstraţi că funcția $f$ este bijectivă. + +b) Arătaţi că: $\sqrt{f(x)}=f(\sqrt{x})$, oricare ar fi $x \in(0, \infty)$. + +c) Calculaţi $f(1)$. + +Subiectull 3. Demonstraţi că, pentru orice numere reale $x, y, z \geq 1$, avem: + +$$ +x \log _{2}\left(2^{y}+2^{z}\right)+y \log _{2}\left(2^{z}+2^{x}\right)+z \log _{2}\left(2^{x}+2^{y}\right) \leq 2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) +$$ + +Subioctul 4. Se consideră trei numere distincte $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}^{*}$ cu modulele egale şi definim: + +$$ +a=\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}, \quad b=\frac{z_{2}+z_{3}}{z_{2}-z_{3}}, \quad c=\frac{z_{3}+z_{1}}{z_{3}-z_{1}} +$$ + +Demonstrați că, dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-1$, atunci $a=b=c$. + +CLASA A X-A-BAREM DE CORECTHRE + +SuBIECTUL 1 + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2}=\log _{a} 10+\log _{a} 6+\log _{a} 15(2 \text { preuct }) \\ +& =\log _{a} 900(2 \text { pructe })=2 \log _{a} 30(1 \text { puuct }) \\ +& \frac{1}{\log _{2} a}+\frac{1}{\log _{3} a}+\frac{1}{\log _{5} a}=\log _{a} 2+\log _{a} 3+\lg _{a} 5 \\ +& =\log _{a} 30 \text { (2pructe) } +\end{aligned} +$$ + +SUBIECTUL 2 + +- Finjectivé (2pructe) + +f nurjecture (2pruch) + +$\sqrt{f(x)}=f(\sqrt{x})$ (2 puncte) + +$f(1)=1$ (1 truct) + +SOBIECTIL 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_36866b2ed7b7f629aab7g-3.jpg?height=174&width=1776&top_left_y=425&top_left_x=216) + +Obtijem $2^{y}+2^{z} \leq 2^{y+z}$, de unde $\log _{2}\left(2^{y}+2^{x}\right) \leq y+z$ si celelalte. Atunci $\sum x \log _{2}\left(2^{y}+2^{z}\right) \leq \sum x(y+z)=2 \sum x y \leq 2 \sum x^{2}$. 3 functe + +SubIECTL 4 + +Soluţie. Fie $r=\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|$. Avem $\bar{a}=\frac{\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}}{\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}}=\frac{\frac{r^{2}}{z_{1}}+\frac{r^{2}}{z_{2}}}{\frac{r^{2}}{r^{2}}}=\frac{z_{2}+z_{1}}{z_{2}-z_{1}}=$ 3 puncte + +$=-a$, deci $a, b, c$ sunt numere pur imaginare. $\sqrt{\text { Fie } x, y, z \in \mathbb{R}_{1} \mathbf{c u} a}=\mathrm{i} x, b=\mathrm{i} y$ $2=\mathrm{i} z$. Atunci $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1+\mathrm{i} x}{-1+\mathrm{i} x}, \frac{z_{2}}{z_{3}}=\frac{1+\mathrm{i} y}{-1+\mathrm{i} y}, \frac{z_{3}}{z_{1}}=\frac{1+\mathrm{i} z}{-1+\mathrm{i} z}$, de unde, prin inmulthire oftinem $(-1+\mathrm{i} x)(-1+\mathrm{i} y)(-1+\mathrm{i} z)=(1+\mathrm{i} x)(1+\mathrm{i} y)(1+\mathrm{i} z)$ si apoi $x y+y z+z x=1$ + +Pe de altă parte, din $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-1$ rezultă $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, adic $\sum(x-y)^{2}=0$ şi deci $x=y=z$. Atunci $a=b=c$, ceea ce trebuia demonstrat. + +2 priucte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-348-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-348-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cffb8ac743fcfbfc5df6046b90f4d90462c4199a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-348-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,103 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 21.02 .2016 + +## CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Scrieţi trei numere reale $x, y, z$, unul să fie raţional negativ, iar celelalte două să fie iraţionale, astfel încât $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. + +b) Fie $x, y, z$ numere reale, astfel încât $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. Arătaţi că $|x+y+z| \leq 9$. + +## G.M. + +SUBIECTUL 2 + +a) Dacă $x$ este număr realşi $x(x+1)=12$, calculaţi valoarea expresiei $E(x)=x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+x$. + +b) Arătaţi că $A=\sqrt{a^{4}+2 a^{3}+2 a^{2}+a}$ este iraţional, oricare arfi a număr natural nenul. + +$$ +\text { S.G.M. } +$$ + +SUBIECTUL 3 + +Fie cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de lungime $10 \mathrm{~cm}$. Dacă M este mijlocul muchiei [B'C'], iar N este mijlocul muchiei [C'D'], aflaţi distanţa de la punctul C' la planul (ABM) şi cosinusul unghiului format de dreptele AM şi BN. + +## SUBIECTUL 4 + +Într-o prismă triunghiulară regulată $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ raportul dintre latura bazei şi înălţime este $\sqrt{2}$. Se notează cu M mijlocul muchiei $[B C]$. Arătaţi că $B^{\prime} C \perp C^{\prime} A$ şi (B'AC) $\perp$ (AMC'). + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## CLASA a VIII-a + +SUBIECTUL 1 + +a) Scrieţi trei numere reale $x, y, z$, unul să fie raţional negativ, iar celelalte două să fie iraţionale, astfel încât $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. + +b) Fie $x, y, z$ numere reale, astfel încât $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. Arătaţi că $|x+y+z| \leq 9$. + +| a) Un exempluscris astfel: $x=-4 \in \mathbb{Q}-, y=\sqrt{5} \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}, z=\sqrt{6} \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$. | $3 p$ | +| :--- | :--- | + +b) Se ştie că $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+y z+z x$, oricare ar fi $x, y, z \in \mathbb{R}$. $\quad 2 p$ + +| De unde $x y+y z+z x \leq 27,2 x y+2 y z+2 z x \leq 54$ şi $(x+y+z)^{2} \leq 81$. | $1 p$ | +| :--- | :--- | + +rezultă $|x+y+z| \leq 9$. + +$1 \mathrm{p}$ + +OBS: Dacă alege metoda reducerii la absurd se utilizează aceeaşi inegalitate de $2 p$ : $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+y z+z x$. + +SUBIECTUL 2 + +a) Dacă $x$ este număr real şi $x(x+1)=12$, calculaţi valoarea expresiei $E(x)=x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+x$. + +b) Arătaţi că $A=\sqrt{a^{4}+2 a^{3}+2 a^{2}+a}$ este iraţional, oricare ar fi a număr natural nenul. + +| a) $E(x)=x^{4}+x^{3}+x^{3}+x^{2}+x^{2}+x=x^{3}(x+1)+x^{2}(x+1)+x(x+1)$ (sau altă grupare) | | +| :---: | :---: | +| $=x(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)=12(12+1)=156$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2543a31e59990b7d1ba3g-2.jpg?height=55&width=92&top_left_y=799&top_left_x=1881) | +| că rezolvă ecuaţia $x^{2}+x-12=0(1 p)$ şi câte $1 \mathrm{p}$ pentru fiecare înlocuire. | | +| b) Conform descompunerii de la punctul a) avem $\mathrm{a}^{4}+2 a^{3}+2 a^{2}+a=\left(a^{2}+a\right)\left(a^{2}+a+1\right)$. | 2p | +| Dacă $a^{2}+a=n$, atunci $n^{2} este pătrat perfect deoarece este cuprins între două pătrate perfecte consecutive. | | + +SUBIECTUL 3 Fie cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de lungime $10 \mathrm{~cm}$. Dacă $M$ este mijlocul muchiei [B'C'], iar N este mijlocul muchiei [C'D'], aflaţi distanţa de la punctul C' la planul (ABM) şi cosinusul unghiului format de dreptele AM şi BN. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2543a31e59990b7d1ba3g-2.jpg?height=543&width=617&top_left_y=1188&top_left_x=180) + +| $A B \perp\left(B C C^{\prime}\right)$ şi $A B \subset(A B M) \Rightarrow(A B M) \perp\left(B C C^{\prime}\right)$ şi atunci
$d\left(C^{\prime},(A B M)\right)=d\left(C^{\prime}, B M\right)$, unde $B M=(A B M) \cap\left(B C C^{\prime}\right)$. | 1p | +| :---: | :---: | +| $C^{\prime} P$ este înăltime în $\triangle C^{\prime} M B, C^{\prime} P=2 \sqrt{5}$ | $2 p$ | +| OBS: Dacă obține distanta, fără a arăta care este, primește 3p. | | +| Fie $A Q \\| B N, Q \in D^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow m[\varangle(A M, B N)]=m[\varangle(A M, A Q)]=m(\varangle M A Q)$ | | +| Se obţine triunghiul isoscel $A M Q$ cu $A M=A Q=15 \mathrm{~cm}$ şi $M Q=5 \sqrt{10}$ | 2p | +| $\cos (\varangle M A Q)=\frac{4}{9}$ | $2 p$ | + +## SUBIECTUL 4 + +Într-o prismă triunghiulară regulată $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ raportul dintre latura bazei şi înălţime este $\sqrt{2}$. Se notează cu M mijlocul muchiei $[B C]$. Arătaţi că $B^{\prime} C \perp C^{\prime} A$ şi (B'AC) $\perp$ (AMC'). + +| A' | Fie $C^{\prime} N \\| B^{\prime} C, N \in B C$, rezultă $m\left[\varangle\left(B^{\prime} C, C^{\prime} A\right)\right]=m\left[\varangle\left(C^{\prime} N, C^{\prime} A\right)\right]$. | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Dacă a este înălḑimea prismei, atunci latura bazei este $a \sqrt{2}$,
$C^{\prime} N=B^{\prime} C=C^{\prime} A=a \sqrt{3}, A N=\sqrt{B N^{2}-A B^{2}}=a \sqrt{6}$. | 1p | +| | Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă $m\left(\varangle A C^{\prime} N\right)=90^{\circ}$
$\Rightarrow B^{\prime} C \perp C^{\prime} A$. | 1p | +| | Dacă demonstrează că B'C este perpendiculară pe AM sau C'M. | $2 p$ | +| | Avem $B^{\prime} C \perp C^{\prime} A, B^{\prime} C \perp A M, C^{\prime} A \cap A M=\{A\} \Rightarrow B^{\prime} C \perp\left(A M C^{\prime}\right)$. | $1 p$ | +| | $\mathrm{B}^{\prime} C \perp\left(\mathrm{AMC} C^{\prime}\right), \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C} \subset\left(\mathrm{B}^{\prime} A C\right) \Rightarrow\left(\mathrm{B}^{\prime} A C\right) \perp\left(A M C^{\prime}\right)$ | p | + +PENTRU CELE $2 p$ din barem unde-i cere să demonstreze că $B^{\prime} C$ este perpendiculară pe $A M$ sau C'M: + +VARIANTA 1 AM $\perp B C, A M \perp C C^{\prime}, B C \cap C C^{\prime}=\{C\} \Rightarrow A M \perp\left(B^{\prime} C^{\prime}\right), B^{\prime} C \subset\left(B C C^{\prime}\right) \Rightarrow B^{\prime} C \perp A M$. + +VARIANTA 2 Notează $B^{\prime} C \cap C^{\prime} M=\{P\}$. Calculează $P M=\frac{1}{3} C^{\prime} M=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}=\frac{a \sqrt{6}}{6}, P C=\frac{1}{3} B^{\prime} C=\frac{a \sqrt{3}}{3}$ şi cu reciproca teoremei lui Pitagora rezultă $m(\varangle M P C)=90^{\circ} \Rightarrow B^{\prime} C \perp C^{\prime} M$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-349-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-349-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1c9a619623ea5993ee9dc953fd60d472658695e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-349-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ 21.02.2016 + +## CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Arătaţi că egalitatea $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+2}=\frac{1}{10}$ este verificată pentru $x=14$ şi $y=58$. + +Daţi alt exemplu de numere naturale pentru care egalitatea este verificată. + +b) Dacăx şi y sunt numere raţionale pozitive şi $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+2}=\frac{1}{10}$, calculaţi valoarea expresiei $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+2}$. + +## SUBIECTUL 2 + +Se consideră ecuatţia: $9^{\mathrm{x}}+27^{\mathrm{y}}=\mathrm{z}(\mathrm{z}+1)$ unde $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ sunt numere naturale. + +a) Găsiţi trei soluţii ale ecuaţiei date. + +b) Arătaţi că ecuaţia dată are o infinitate de soluţii. + +S.G.M. + +## SUBIECTUL 3 + +Fie M mijlocul laturii [BC] a paralelogramului ABCD. Demonstraţi că dacă $\varangle M D C \equiv \varangle M A B$, atunci $A B C D$ este dreptunghi. + +## R.M.T. + +## SUBIECTUL 4 + +Fie triunghiul $A B C \mathrm{cu} A B=27 \mathrm{~cm}, B C=30 \mathrm{~cm}, A C=33 \mathrm{~cm}$ şi $[A D$ bisectoarea unghiului $A$, $D \in(B C)$. + +a) Aflaţi BD şi DC. + +b) Dacă $M \in(A D)$, astfel încât $\frac{A M}{M D}=\frac{5}{6}$ şi $B M \cap A C=\{N\}$, aflaţi $A N$. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## CLASA a VII-a + +SUBIECTUL 1 + +a) Arătaţi că egalitatea $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+2}=\frac{1}{10}$ este verificată pentru $x=14$ şi $y=58$. Daţi alt exemplu de numere naturale pentru care egalitatea este verificată. + +b) Dacă $x$ şi $y$ sunt numere raţionale pozitive şi $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+2}=\frac{1}{10}$, calculaţi valoarea expresiei $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+2}$ + +| a) Verificare | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| Un exemplu | $2 p$ | +| Exemple:
(10, 218), (11, 118), (13, 68), (14, 58), (17, 43), (19, 38), (29, 28), (34, 26), (49, 23), (59, 22), (109, 20),
$(209 ; 19)$. | | +| b) $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+2}=\frac{x+1-1}{x+1}+\frac{y+2-2}{y+2}$ | $2 p$ | +| $=2-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+2}\right)$ | $1 p$ | +| $=2-\frac{1}{10}=\frac{19}{10}$. | $1 p$ | + +OBS: Dacă alege să adune în ambii membri ai egalităţii $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y+2}=\frac{1}{10}$ pe $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+2}(2 p)$. + +Apoi dacă scrie $2=\frac{1}{10}+\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+2}(1 p)$ şi $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+2}=\frac{19}{10}(1 p)$. + +## SUBIECTUL 2 + +Se consideră ecuaţia: $9 x+27 y=z(z+1)$ unde $x, y, z$ sunt numere naturale. + +a) Găsiţi trei soluţii ale ecuaţiei date. + +b) Arătaţi că ecuaţia dată are o infinitate de soluţii. + +| a) Fiecare exemplu 1p. Exemple de soluții: $(0,0,1),\left(3,1,3^{3}\right),\left(6,2,3^{6}\right)$. | $3 p$ | +| :--- | :---: | +| b) Ecuaţia dată se mai scrie: $3^{2 x}+3^{3 y}=z(z+1)$. | $2 p$ | +| Pentru a scrie membrul stâng ca produs de două numere naturale consecutive luăm $2 x=2 \cdot 3 y$ sau 3y $=2 \cdot 2 x$. | $1 p$ | +| Din prima relaţie obținem tripletele $(3 n, n, 33 n), n \in \mathbb{N}$, iar din a doua $(3 m, 4 m, 36 m), m \in \mathbb{N}$.(Suficient o formă). | $1 p$ | + +SUBIECTUL 3 Fie $M$ mijlocul laturii [BC] a paralelogramului $A B C D$. Demonstraţi că dacă $\varangle M D C \equiv \varangle M A B$, atunci ABCD este dreptunghi. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_640fbe9716167b416218g-2.jpg?height=331&width=620&top_left_y=2194&top_left_x=181) + +| $\frac{\text { BAREM 1: Dacă N este mijlocul laturii }[A D]}{\varangle M D C .} \Rightarrow \varangle A M N \equiv \varangle M A B$ şi $\varangle D M N \equiv$ | $3 p$ | +| :---: | :---: | +| MN este mediană şi bisectoare, rezultă $M N \perp A D$. | $3 p$ | +| Cum MN $\\| A B$, se obţine $m(\hat{A})=90^{\circ}$ şi atunci $A B C D$ este dreptunghi. | $1 \mathrm{p}$ | +| BAREM 2: Dacă $\{P\}=D M \cap A B$, atunci $\triangle M A P$ este isoscel din
$\varangle M A P \equiv \varangle M D C \equiv \varangle M P A$. | $3 p$ | +| MB este mediană în $\triangle M A P$ isoscel de bază $\mathrm{AP}$, rezultă $\mathrm{MB} \perp \mathrm{AB}$. | $3 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{ABCD}$ find paralelogram cu $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{B})=90$ | $1 \mathrm{p}$ | + +SUBIECTUL 4 Fie triunghiul $A B C \mathrm{cu} A B=27 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=30 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=33 \mathrm{~cm}$ şi ( $A D$ bisectoarea unghiului $A$, $D \in(B C)$. + +a) Aflaţi BD şi DC. + +b) Dacă $M \in(A D)$, astfel încât $\frac{A M}{M D}=\frac{5}{6}$ şi $B M \cap A C=\{N\}$, aflaţi $A N$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_640fbe9716167b416218g-3.jpg?height=746&width=1851&top_left_y=507&top_left_x=183) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-35-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VIII enunturi si raspunsuri-cl_8_enunturiraspunsuri2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-35-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VIII enunturi si raspunsuri-cl_8_enunturiraspunsuri2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e0c9dd449ee9f2f8f701cfad1f0f9fd449ea1d84 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-35-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VIII enunturi si raspunsuri-cl_8_enunturiraspunsuri2.md @@ -0,0 +1,232 @@ +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa II - 20 martie 2021 + +## Timp de lucru 120 de minute + +## Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +## Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +## Tip I + +1. Considerăm $x$ soluţia ecuaţiei + +$$ +\frac{x}{1 \cdot 2}+\frac{x}{2 \cdot 3}+\frac{x}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{x}{2020 \cdot 2021}=\frac{2020}{43} +$$ + +Suma cifrelor lui $x$ este: +A 5 +B 8 +C 11 +D 12 +E 21 + +Răspuns $\mathbf{C}$ + +2. Fie $x$ şi $y$ numere reale care satisfac ecuaţia $5 x^{2}+y^{2}+20=2 x+3 x y+6 y$. Atunci $x+y$ este egal cu: +A 5 +B 8 +C 9 +D 14 +E 16 + +## Răspuns B + +3. Notăm cu $[x]$ partea întreagă a numărului $x$. Mulţimea $A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid[x]^{2}-5[x]+6=0\right\}$ este egală cu: +A $[2,4]$ +B $(2,4)$ +$\mathbf{C}(2,3) \cup(3,4)$ +$\mathbf{D}[2,3) \cup(3,4)$ +$\mathbf{E}[2,4)$ + +Răspuns $\mathbf{E}$ + +4. Dacă $a, b \in \mathbb{N}$ astfel încât $a+b=101$, iar valoarea sumei $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ este maximă, atunci $a \cdot b$ este egal cu: +A 1050 +B 2500 +C 2000 +D 2550 +E 1010 + +## Răspuns $\mathbf{D}$ + +5. Numărul elementelor mulţimii $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid x^{4}+x^{2}+1=2^{y}\right\}$ este: +A 0 +B 1 +C 2 +D 4 +E 8 + +## Răspuns B + +6. Fie $V A B C$ un tetraedru regulat de muchie $l=\sqrt{3}+\sqrt{6}-3, M$ mijlocul segmentului $B C, V O \perp$ $(A B C), O \in(A B C)$ şi $P$ mijlocul segmentului $V O$. Perimetrul triunghiului $A P M$ este egal cu: +A $\sqrt{6}$ +B $\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{6}-3)}{3}$ +C $\sqrt{3}+\sqrt{6}+3$ +D $\sqrt{2}$ +$\mathbf{E} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}+3}{2}$ + +Răspuns : A + +7. În tetraedrul regulat $A B C D$ notăm cu $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ şi $D_{1}$ centrele de greutate ale feţelor $B C D, A C D$, $A B D$, respectiv $A B C$. Atunci măsura unghiului dintre dreptele $A_{1} C_{1}$ si $B_{1} D_{1}$ este: +A $0^{\circ}$ +B $60^{\circ}$ +C $90^{\circ}$ +D $30^{\circ}$ +E $75^{\circ}$ + +Răspuns : C + +8. Pentru $n \in \mathbb{N}$, definim $A_{n}=\{x \in \mathbb{R}|| x+n+4 \mid \leq 3 n-4\}$. Numărul natural $n$ pentru care mulţimea $A_{n}$ conţine exact 323 numere întregi este: +A 20 +B 60 +C 55 +D 120 +E 64 + +Răspuns : C + +9. Numărul perechilor $(x, y)$ de numere naturale, care sunt soluţii ale ecuaţ̧iei $2^{x}-5^{y}=39$ este: +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 + +Răspuns : B + +10. Cel mai mare divizor comun al numerelor $2^{2^{2019}}-1$ şi $2^{2^{2021}}-4$ este: +A 1 +B 2 +C 3 +D 2021 +E $2^{2021}$ + +Răspuns : C + +11. Se consideră un plan $\alpha$, o dreaptă $d \| \alpha$, cinci puncte $A, B, C, D, E$, oricare 3 necoliniare, situate în planul $\alpha$ şi punctele $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{20}$, distincte două câte două, situate pe $d$. Care este numărul maxim de plane distincte determinate de câte trei dintre cele 25 de puncte, exceptând planul $\alpha$ ? +A 1150 +B 205 +C 206 +D 201 +E 200 + +## Răspuns : B + +12. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un paralelipiped dreptunghic şi $H$ ortocentrul triunghiului $A^{\prime} B D$. Valoarea expresiei $\sin ^{2} \widehat{H A B}+\sin ^{2} \widehat{H A D}+\sin ^{2} \widehat{H A A^{\prime}}$ este: +A 0 +B $\frac{1}{2}$ +C 1 +$\mathbf{D} \frac{3}{2}$ +E 2 + +Răspuns : $\mathbf{E}$ + +13. Dacă $x>0$ este număr real şi $x+\frac{1}{x} \leq 7$, atunci valoarea maximă a expresiei $x^{2}-\frac{1}{x^{2}}$ este: +A $7 \sqrt{5}$ +B 45 +C $21 \sqrt{5}$ +D 47 +E 0 + +Răspuns : C + +14. Fie $A=\left\{\frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 5}, \ldots, \frac{1}{2021 \cdot 2022}\right\}$ si $B=\left\{\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \ldots, \frac{1}{2020 \cdot 2022}\right\}$. Cardinalul mulţimii $A \cup B$ este: +A 0 +B 2020 +C 2021 +D 4039 +E 4040 + +## Răspuns : E + +15. Suma a trei numere raţionale strict pozitive $x, y, z$ este 3 , iar suma inverselor lor este 5 . Stiind că unul dintre numere este întreg, atunci numărul tripletelor $(x, y, z)$ ce satisfac condiţiile de mai sus este: +A 1 +B 2 +C 3 +D 4 +E 6 + +## Răspuns : $\mathbf{E}$ + +16. Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, си $A B=a, B C=b, A A^{\prime}=c$, astfel încât $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{1}{\sqrt{a b}}+\frac{1}{\sqrt{a c}}+\frac{1}{\sqrt{b c}}$. Fie $u$ unghiul dreptei $B D^{\prime}$ cu planul $\left(A C C^{\prime}\right)$. Atunci sinusul unghiului $u$ este egal cu: +A 0 +B $\frac{1}{2}$ +$\mathrm{C} \frac{\sqrt{3}}{2}$ +D $\frac{\sqrt{6}}{3}$ +$\mathbf{E} \frac{1}{3}$ + +Răspuns : D + +17. Notăm partea fracţionară a numărului $x$ cu $\{x\}$. Suma soluţiilor ecuaţiei $25\{x\}^{2}-10 x+1=0$ este: +A $\frac{1}{5}$ +B $\frac{6+\sqrt{5}}{5}$ +C $\frac{7+\sqrt{5}}{5}$ +D $\frac{18+3 \sqrt{5}}{5}$ +E 3 + +Răspuns : C + +18. Dacă $n$ este număr natural, notăm cu $a_{n}$ numărul întregilor din intervalul $[n \sqrt{2}, n \sqrt{3}]$. Cel mai mic element al mulţimii $\left\{a_{n} \mid n \geq 7\right\}$ este +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 + +Răspuns : C + +19. Se consideră triunghiul dreptunghic $A B C$ cu catetele $A B=40 \mathrm{~cm}$ ş $A C=30 \mathrm{~cm}$. Pe planul $(A B C)$ se ridică perpendicularele $A A^{\prime}$ şi $C C^{\prime}$, de aceeaşi parte a planului, astfel încât $A A^{\prime}=A B$ şi $C C^{\prime}=\frac{5}{4} B C$. Tangenta unghiului planelor $(A B C)$ §i $\left(A^{\prime} B C^{\prime}\right)$ este egală cu: +A $\frac{5}{4}$ +B $\frac{3}{2}$ +C $\frac{4}{3}$ +D $\frac{6}{5}$ +E $\frac{7}{6}$ + +Răspuns : A + +20. Pe un cerc sunt dispuse 2014 numere reale, fiecare având modulul 1. Se face suma celor 2014 produse de câte patru numere dispuse consecutiv pe cerc. Atunci suma poate fi: +A -100 +B 1606 +C 2018 +D -8 +E -51 + +## Răspuns : B + +21. Se consideră mulţimea $A=\{1,2, \ldots, 2021\}$. Numărul maxim de submulţimi ale lui $A$ ce pot fi alese, astfel încât intersecţia oricăror două submulţimi distincte să aibă exact 2019 elemente este: +A 3 +B 4042 +C 2019 +D 1011 +E 2021 + +Răspuns : $\mathbf{E}$ + +22. Fie $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei $A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ şi înăļ̧imea $A A^{\prime}=1 \mathrm{~cm}$. Dacă $M$ este un punct din planul triunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, atunci valoarea minimă a sumei pătratelor distanţelor de la $M$ la dreptele $A B, A C$ şi $B C$ este: +A 2 +B 4 +C 6 +D 8 +E 12 + +Răspuns : C + +23. Fie $a$ un număr natural şi $A(a)=\left\{\sqrt{a^{2}+1}, \sqrt{a^{2}+2}, \sqrt{a^{2}+3}, \ldots, \sqrt{a^{2}+29 a+201}\right\}$. Valoarea lui $a$ pentru care suma elementelor mulţimii $A(a) \cap \mathbb{N}$ este 203 este: +A 2 +B 5 +C 7 +D 9 +E 11 + +Răspuns : C + +24. Pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ se consideră punctele $D$ şi $E$ astfel încât $B D=D E=E C$. Fie $M$ mijlocul segmentului $A D, B M \cap A E=\{P\}, C M \cap A E=\{Q\}$. Se construiesc $R M$ si $T D$ perpendiculare pe planul $(A B C)$, de aceeaşi parte a acestuia, astfel încât $T D=2 R M$. Raportul dintre aria triunghiului $P R Q$ şi aria triunghiului $E T A$ are valoarea: +A $\frac{1}{2}$ +B $\frac{1}{3}$ +C $\frac{1}{4}$ +D $\frac{2}{3}$ +E $\frac{1}{6}$ + +Răspuns : $\mathbf{E}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-350-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-350-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8358b2c90dc638017545e8feda05f1a4835d1ab8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-350-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 21.02 .2016 + +## CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Arătaţi că numărul 53361 este pătrat perfect şi se divide cu 33. + +b) Câte numere de forma abcde sunt pătrate perfecte şi se divid cu 33 ? + +S.G.M. + +$\underline{S U B I E C T U L ~} 2$ + +a) Calculaţi $\frac{9^{5}+8 \cdot 3^{5}+12}{3^{6}+6}$. + +b) Arătaţi că pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $\frac{9^{n}+8 \cdot 3^{n}+12}{3^{n+1}+6}$ este natural. + +R.M.T. + +## SUBIECTUL 3 + +Fie unghiurile AOB, BOC, COD, DOE, EOA în jurul punctului O, astfel încât $1 \cdot m(\varangle A O B)=2 \cdot m(\varangle B O C), 3 \cdot m(\varangle C O D)=4 \cdot m(\varangle D O E), 5 \cdot m(\varangle D O E)=6 \cdot m(\varangle E O A)$. Dacă semidreapta [OA şi bisectoarea unghiului COD formează un unghi alungit, aflaţi măsurile celor cinci unghiuri. + +## SUBIECTUL 4 + +Se consideră triunghiul obtuzunghic isoscel $\mathrm{ABC}$ de bază [BC]. + +Pe bisectoarea unghiului $C$ se ia punctul $M$, iar pe bisectoarea unghiului $B$ se ia punctul $N$, astfel încât $m(\varangle B M C)=m(\varangle B N C)=90^{\circ}$. Dacă $B M \cap A C=\{Q\}, C N \cap A B=\{P\}, B M \cap C N=\{D\}$, iar E este mijlocul laturii [BC], demonstraţi: +a) $[B P] \equiv[B C] \equiv[Q C]$. + +b) Punctele D, A, E sunt coliniare. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Arătaţi că numărul 53361 este pătrat perfect şi se divide cu 33. + +b) Câte numere de forma abcde sunt pătrate perfecte şi se divid cu 33 ? +a) $53361=3^{2} \cdot 7^{2} \cdot 11^{2}=(3 \cdot 7 \cdot 11)^{2}$, este pătrat perfect şi se divide cu 33 . + +| b) Dacă abcde este pătrat perfect şi se divide cu 33 , atunci el se divide cu $33^{2}=1089$. | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| Numerele de cinci cifre abcde
$1089 \cdot 4^{2}, 1089 \cdot 5^{2}, \ldots, 1089 \cdot 9^{2}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Sunt 6 numere. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 2 + +a) Calculaţi $\frac{9^{5}+8 \cdot 3^{5}+12}{3^{6}+6}$. + +b) Arătaţi că pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $\frac{9^{n}+8 \cdot 3^{n}+12}{3^{n+1}+6}$ este natural. + +| a) Calcul numărător(61005). | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Calcul numitor(735). | $1 \mathrm{p}$ | +| Rezultat 83. | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $\frac{9^{n}+8 \cdot 3^{n}+12}{3^{n+1}+6}=\frac{3^{2 n}+2 \cdot 3^{n}+6 \cdot 3^{n}+12}{3 \cdot 3^{n}+6}$ | $1 p$ | +| $=\frac{3^{n}\left(3^{n}+2\right)+6\left(3^{n}+2\right)}{3\left(3^{n}+2\right)}$ | $1 p$ | +| $=\frac{\left(3^{n}+2\right)\left(3^{n}+6\right)}{3\left(3^{n}+2\right)}$ | $1 p$ | +| $=\frac{3^{n}+6}{3}=3^{n-1}+2 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. | $1 p$ | + +OBS: Dacă rezolvă direct b) şi înlocuieşte $n=5$, obţinând $3^{4}+2=83$, obţine punctaj maxim. + +SUBIECTUL 3 + +Fie unghiurile $A O B, B O C, C O D, D O E, E O A$ în jurul punctului 0 , astfel încât $\quad 1 \cdot m(\varangle A O B)=2 \cdot m(\varangle B O C)$, $3 \cdot m(\varangle C O D)=4 \cdot m(\varangle D O E), 5 \cdot m(\varangle D O E)=6 \cdot m(\varangle E O A)$. Dacă semidreapta [OA şi bisectoarea unghiului COD formează un unghi alungit, aflaţi măsurile celor cinci unghiuri. + +| A' | Se poate nota $m(\varangle B O C)=x, m(\varangle A O B)=2 x, m(\varangle C O D)=4 y, m(\varangle D O E)=3 y$,
$m(\varangle E O A)=\frac{5}{2} y$. lar dacă $\left[O A^{\prime}\right.$ este bisectoarea unghiului $C O D$, atunci
$m\left(\varangle C O A^{\prime}\right)=m\left(\varangle D O A^{\prime}\right)=2 y$.
Sau scrie $m(\varangle C O D)=\frac{4}{3} \cdot m(\varangle D O E)$ şi $m(\varangle E O A)=\frac{5}{6} \cdot m(\varangle D O E)$. | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Avem: $2 y+3 y+\frac{5}{2} y=180^{\circ}$. Sau $\frac{2}{3} \cdot m(\varangle D O E)+m(\varangle D O E)+\frac{5}{6} \cdot m(\varangle D O E)=180^{\circ}$ | $2 p$ | +| | $y=24^{0}$ şi de aici $m(\varangle C O D)=96^{\circ}, . m(\varangle D O E)=72^{\circ}, . m(\varangle E O A)=60^{\circ}$. | $2 p$ | +| | $m(\varangle A O C)=180^{\circ}-48^{\circ}=132^{\circ}=3 x,$. de unde $x=44^{\circ}=m(\varangle B O C)$ şi $m(\varangle A O B)=88^{\circ}$. | | + +## SUBIECTUL 4 + +Se consideră triunghiul obtuzunghic isoscel $A B C$ de bază $[B C]$. Pe bisectoarea unghiului $C$ se ia punctul $M$, iar pe bisectoarea unghiului $B$ se ia punctul $N$, astfel încât $m(\varangle B M C)=m(\varangle B N C)=900$. + +Dacă $\mathrm{BM} \cap \mathrm{AC}=\{\mathrm{Q}\}, \mathrm{CN} \cap \mathrm{AB}=\{\mathrm{P}\}, \mathrm{BM} \cap \mathrm{CN}=\{\mathrm{D}\}$, iar $\mathrm{E}$ este mijlocul laturii $[B C]$, demonstraţi: +a) $[B P] \equiv[B C] \equiv[Q C]$. + +b) Punctele D, A, E sunt coliniare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ca88b890f8f2be71bcag-3.jpg?height=688&width=1897&top_left_y=496&top_left_x=160) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-351-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-351-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53a5a90fdaff3ad61f7a002b7f9ad936a8a2375b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-351-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ 21.02.2016 + +## CLASA a V-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ + +Determinaţi toate numerele naturale nenule care împărţite la 17 dau câtul egal cu restul şi împărţite la 23 dau, de asemenea, câtul egal cu restul. + +G.M. + +## $\underline{S U B I E C T U L ~} 2$ + +a) Fie numerele: $a=7^{7}+7^{7}+77$ şi $b=7+7$. Aflaţi restul împărţirii numărului $a$ la $b$. + +b) Se poate scrie numărul $\mathrm{N}=1+6+6 \cdot 7+6 \cdot 7^{2}+\ldots+6 \cdot 7^{76}$ folosind numai trei cifre de 7 ? + +R.M.T. + +SUBIECTUL 3 + +a) Arătaţi că egalitatea $x^{2}+y^{3}=z^{5}$ este verificată pentru $x=2^{12}, y=2^{8}, z=2^{5}$. + +b) Arătaţi că existăo infinitate de numere naturale $x, y, z$ pentru care $x^{2}+y^{3}=z^{5}$. + +$\underline{S U B I E C T U L ~} 4$ + +a) Scrieţi trei numere de forma abca divizibile cu 13. + +b) Câte numere de forma abca sunt divizibile cu 13 ? + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## CLASA a V-a + +## SUBIECTUL 1 + +Determinaţi toate numerele naturale nenule care împărţite la 17 dau câtul egal cu restul şi împărţite la 23 dau, de asemenea, câtul egal cu restul. + +| Dacă $\mathrm{n}$ este un număr cu proprietăţile date, atunci $\mathrm{n}=17 \cdot \mathrm{C}_{1}+\mathrm{c}_{1}=18 \mathrm{c}_{1}, \mathrm{C}_{1}<17$ şi $\mathrm{n}=23 \cdot \mathrm{c}_{2}+\mathrm{c}_{2}=24 \mathrm{c}_{2}, \mathrm{C}_{2}<23$. | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $18 \mathrm{C}_{1}=24 \mathrm{c}_{2}$, de unde $3 \mathrm{c}_{1}=4 \mathrm{c}_{2}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Ceea ce înseamnă că $\mathrm{c}_{1}$ este multiplu de 4 şi $\mathrm{c}_{1}<17$, atunci $\mathrm{c}_{1} \in\{4,8,12,16\}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| De unde $\mathrm{n} \in\{72,144,216,288\}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 2 + +a) Fie numerele $a=7^{7}+7^{7}+77$ şi $b=7+7$. Aflaţi restul împărţirii numărului $a$ la $b$. + +b) Se poate scrie numărul $\mathrm{N}=1+6+6 \cdot 7+6 \cdot 7^{2}+\ldots+6 \cdot 7^{76}$ folosind numaitrei cifre de 7 ? + +| a) $7^{7}+7^{7}+77=2 \cdot 7^{7}+77=14 \cdot 7^{6}+70+7=14\left(7^{6}+5\right)+7$, restul este 7. | $3 p$ | +| :--- | :--- | +| b) $\mathrm{N}=1+6+6 \cdot 7+6 \cdot 7^{2}+\ldots+6 \cdot 7^{76}=7+(7-1) \cdot 7+(7-1) \cdot 7^{2}+\ldots+(7-1) \cdot 7^{76}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $=7+7^{2}-7+7^{3}-7^{2}+\ldots+7^{77}-7^{76}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $=777$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 3}$ + +a) Arătaţi că egalitatea $x^{2}+y^{3}=z^{5}$ este verificată pentru $x=2^{12}, y=2^{8}, z=2^{5}$. + +b) Arătaţi că există o infinitate de numere naturale $x, y, z$ pentru care $x^{2}+y^{3}=z^{5}$. + +| a) $\left(2^{12}\right)^{2}+\left(2^{8}\right)^{3}=\left(2^{5}\right)^{5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| $2^{24}+2^{24}=2^{25}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $2^{24} \cdot 2=2^{25}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Dacă luăm exemplul dat la a) exponentul lui 2 se poate lua de forma $30 \mathrm{n}+24$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Şi atunci $x=2^{15 n+12}, y=2^{10 n+8}, z=2^{6 n+5}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Egalitatea $2^{30 n+24}+2^{30 n+24}=2^{30 n+25}$ arată că există o infinitate de numere naturale $x, y, z$ pentru care $x^{2}+y^{3}=z^{5}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 4 + +a) Scrieţi trei numere de forma abca divizibile cu 13. + +b) Câte numere de forma abca sunt divizibile cu 13? + +| a) Pentru fiecare exemplu 1p. | $3 p$ | +| :--- | :---: | +| b) $\overline{\mathrm{abca}}=1001 \mathrm{a}+10 \cdot \overline{\mathrm{bc}}$. Cum 1001a : 13 , oricare ar fi cifra de la 1 la 9 , rezultă că $\overline{\mathrm{bc}}$ sunt multiplii lui 13 de
două cifre, inclusiv 00 , î total 8. | $2 p$ | +| Şi atunci există $9 \cdot 8=72$ numere de forma abca divizibile cu 13. | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-352-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-352-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d276a5943d9593f875585b0a942c521aac1ffac3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-352-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Locală Dâmboviţa - 21 Februarie 2016 + +## CLASA A IX-A + +Subiectul 1. Demonstrați că, pentru orice număr natural $n \geq 1$, are loc inegalitatea: + +$$ +\sqrt{1 \cdot 2}+\sqrt{2 \cdot 3}+\cdots+\sqrt{n(n+1)}<\frac{n(n+2)}{2} +$$ + +Subiectul 2. Într-o progresie geometrică, termenii de rang $m, n, p$ sunt respectiv $a, b, c$ (nenuli). Demonstrați că: $a^{n-p} \cdot b^{p-m} \cdot c^{m-n}=1$. + +Subiectul 3. Rezolvaţi în numere reale sistemul: + +$$ +\frac{x y}{-4 x+3 y}=\frac{y z}{4 z-3 y}=\frac{z x}{2 z-3 x}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{14} +$$ + +Sublectul 4. Pe laturile unui triunghi $A B C$ se construiesc in exterior triunghiurile echilaterale $A B M, B C N, C A P$ cu centrele $C_{1}, A_{1}$, respectiv $B_{1}$. Notăm cu $G, G^{\prime}, G^{\prime \prime}$ centrele de greutate ale + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_de9c15d3798f416172d6g-1.jpg?height=97&width=1299&top_left_y=2207&top_left_x=250) + +$$ +\text { CUASA A IX-A - BAREM. } +$$ + +SumiecTuc 1) $n=1$ (1punct) $\sqrt{(m+n)(n+2)}+\frac{n(n+2)}{2}<$ + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{(n+1)(n+3)}{2} \text { (2pruccte) } \int \sqrt{\sqrt{(n+1)(n+2)}0$. Demonstrați că $(x+y)^{4} \geq 8 x y\left(x^{2}+y^{2}\right)$. + +b) Fie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2016}>0$ astfel încât $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{2016}^{2} \geq 1$. Demonstrați că: + +$$ +\frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{4}}{a_{1} a_{2}}+\frac{\left(a_{2}+a_{3}\right)^{4}}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{\left(a_{2015}+a_{2016}\right)^{4}}{a_{2015} a_{2016}}+\frac{\left(a_{2016}+a_{1}\right)^{4}}{a_{2016} a_{1}} \geq 16 +$$ + +4. a) Demonstrați că oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$ și $a \in(-1,+\infty)$ are loc inegalitatea $(1+a)^{n} \geq 1+n a$. + +b) Determinați $x \in\left(-\frac{1}{5},+\infty\right)$ pentru care + +$$ +\frac{\lg (1+2 x)}{2}+\frac{\lg (1+3 x)}{3}+\frac{\lg (1+4 x)}{4}+\frac{\lg (1+5 x)}{5}=4 \lg (1+x) +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-356-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-356-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eaad7143004d5fd458e501338cb2b4ee686f8437 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-356-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,17 @@ +# Clasa a VIII-a + +1. Pe perpendiculara în $A$ pe planul dreptunghiului $A B C D$ se consideră punctul $M$ astfel încât $M B, B D$ și $M D$ sunt direct proporționale $\mathrm{cu} \sqrt{34}, 5$ și respectiv $\sqrt{41}$, iar $M C=15 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. Calculați dimensiunile dreptunghiului și lungimea segmentului $M A$. +2. Fie $M, N, P, Q$ patru puncte necoplanare pentru care $M P=M Q=N P=N Q$. Notăm cu $S$ mijlocul segmentului $M N$. + +a) Demonstrați că $M N \perp(S Q P)$. + +b) Calculați măsura unghiului determinat de dreptele $M N$ și $P Q$. + +3. a) Arătați că $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{3}-x+1\right)=x^{5}+x^{4}+1$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +b) Să se determine numerele reale $x$ și $y, x ETAPA LOCALĂ, 2016
Clasa a V-a + +1. Comparați numerele $x$ și $y$ dacă: + +$$ +x=2^{1004}-2^{1003}-2^{1002}-2^{1001}-2^{1000} \text { și } y=\left(3^{598} \cdot 111+3^{598} \cdot 222+\cdots+3^{598} \cdot 999\right): 555 +$$ + +2. Determinați numerele $\overline{a b}$ pentru care $10 \cdot(a+b)^{2}=\overline{a b 0}$. +3. Aflați deîmpărțitul, știind că între împărțitor, cât și rest există relația $\hat{\imath}^{2}+c^{2}+r^{2}=37$. +4. La ora de matematică, fiecare dintre cei 25 de elevi ai clasei a $V$-a primește câte un cartonaș pe care este scris un număr natural nenul. Fiecare elev împarte numărul de pe cartonaș la 24 și comunică profesorului restul obținut la împărțire. Suma resturilor obținute este 288. Elevul Daniel constată că resturile obținute de colegii săi sunt diferite, iar câtul și restul obținute de el sunt egale. + +a) Ce număr este scris pe cartonaşul lui Daniel? + +b) Aflați suma numerelor scrise pe cele 25 de cartonașe, știind că fiecare elev, în afara lui Daniel, a obținut câtul cu 1 mai mare decât restul. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-36-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VII enunturi si raspunsuri-cl_7_enunturiraspunsuri3.md b/Romania_Olympiad/md/ro-36-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VII enunturi si raspunsuri-cl_7_enunturiraspunsuri3.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..677856f5f63a004d84b6c9eae44ee2817ff68336 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-36-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VII enunturi si raspunsuri-cl_7_enunturiraspunsuri3.md @@ -0,0 +1,216 @@ +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa II - 20 martie 2021
Clasa a VII-a + +## Timp de lucru 120 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Valoarea sumei $|\pi-\sqrt{10}|+|\pi+\sqrt{10}|$ este egală cu: +A $2 \sqrt{10}$ +B 0 +C $2 \pi$ +D $\pi$ +E $\pi-10$ + +R: A + +2. Soluţia ecuaţiei $\frac{x+2}{1011}+\frac{x}{1010}+\frac{x-2}{1009}+\frac{x-4}{1008}+\ldots+\frac{x-2016}{2}=2020$ este egală cu: +A 2021 +B 2020 +C 2019 +D 2022 +E 1011 + +## $\mathrm{R}: \mathrm{B}$ + +3. Partea întreagă a numărului $a=\sqrt{2}-3 \sqrt{3}$ este egală cu: +A -6 +B -5 +C -4 +D -3 +E -2 + +R: C + +4. Dacă $a=1+3+5+7+\ldots+2021$, atunci rădăcina pătrată a lui $a$ este egală cu: +A 2021 +B 2020 +C 1010 +D 1011 +E 1012 + +## R: D + +5. Doi biciclişti pornesc, în acelaşi moment, din două oraşe A şi B, situate la o distanţă de $165 \mathrm{de} \mathrm{km}$ unul de celălalt. Un biciclist merge din A spre $\mathrm{B}$ cu viteza constantă de 30 de $\mathrm{km}$ pe oră, iar celălalt biciclist merge din B spre A cu viteza constantă de 25 de km pe oră. Distanţa dintre cei doi biciclişti, cu 12 minute înainte de a se întâlni, este egală cu: +A $12 \mathrm{~km}$ +B $9 \mathrm{~km}$ +C $11 \mathrm{~km}$ +D $10 \mathrm{~km}$ +E $13 \mathrm{~km}$ + +R: C + +6. Laturile $A B, B C, C D, D A$ ale unui patrulater convex au mijloacele $M, N, P$, respectiv $R$. Atunci : +A $M P$ şi $N R$ au acelaşi mijloc +B $M P \perp N R$ +$\mathrm{C} M P=N R$ +D $M P \perp A B$ +E $M P \| B C$ + +R: A + +7. Un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare are lungimea liniei mijlocii egală cu $a$. Aria trapezului este egală cu: +A $a^{2} \sqrt{2}$ +B $2 a^{2}$ +C $a^{2}$ +D $\frac{a^{2}}{4}$ +$\mathrm{E} a^{2} \sqrt{5}$ + +R: C + +8. Fie triunghiul $A B C$ cu $\angle B A C=60^{\circ}$ şi $A I=4 \mathrm{~cm}$, unde $I$ este centrul cercului înscris în triunghi. Distanţa de la $I$ la dreapta $B C$ este egală cu: +A $4 \mathrm{~cm}$ +B $2 \mathrm{~cm}$ +C $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$ +D $4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ +E $\sqrt{5} \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{R}: \mathrm{B}$ + +9. Considerăm mulţimea $A=\left\{\left.\frac{a}{b} \right\rvert\, a, b \in \mathbb{N}^{*}, a+b=2021\right\}$. Numărul fracţiilor din $A$, ireductibile şi supraunitare, este egal cu: +A 1923 +B 2020 +C 1932 +D 1011 +E 966 + +## $\mathrm{R}: \mathbf{E}$ + +10. Numărul perechilor de numere naturale nenule $(a, b)$, prime între ele, cu proprietatea că $\frac{13 a-12 b}{a+b}$ este un număr întreg, este egal cu: +A 20 +B 24 +C 28 +D 22 +E 26 + +## $\mathrm{R}: \mathrm{B}$ + +11. Cel mai mic număr real $x>0$, pentru care $x \cdot(3 \sqrt{5}-4 \sqrt{3})$ este număr întreg, este egal cu: +A $\frac{4}{3} \sqrt{3}+\sqrt{5}$ +B $3 \sqrt{5}+4 \sqrt{3}$ +C $-3 \sqrt{5}+4 \sqrt{3}$ +D $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ +E $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ + +## $\mathrm{R}: \mathbf{A}$ + +12. Se consideră expresia $E=[\{x\}+\{2 x\}+\{3 x\}]$, unde $x$ este un număr real $(\{a\}$ şi $[a]$ reprezintă partea fracţionară, respectiv partea întreagă a numărului real $a$ ). Mulţimea valorilor posibile ale lui $E$ este egală cu: +A $\{0,2\}$ +B $\{0,1\}$ +C $\{1,2\}$ +D $\{0,1,2\}$ +$\mathbf{E}\{0,1,2,3\}$ + +## R: D + +13. Intr-un triunghi oarecare $A B C$ considerăm punctele $D \in(A B)$ şi $E \in(A C)$, astfel încât $3 A D=$ $2 A B$ şi $D E \| B C$. Dacă $M$ este mijlocul lui $(A C), F$ este simetricul punctului $E$ faţa de $M$, iar $\{Q\}=B M \cap D E$, atunci punctul $Q$ este: +A centrul cercului înscris în $\triangle A B C$ +B centrul cercului circumscris $\triangle A B C$ +C centrul cercului înscris în $\triangle B E F$ +D centrul de greutate al $\triangle D C F$ +E centrul de greutate al $\triangle B E F$ + +## $\mathrm{R}: \mathrm{E}$ + +14. Fie $A B C$ un triunghi oarecare şi $D \in(B C)$ piciorul bisectoarei din $A$. Atunci: +A $A D<\sqrt{A B \cdot A C}$ +$\mathbf{B} A D=\frac{A B+A C}{2}$ +$\mathrm{C} A D=\frac{A B^{2}}{2 \cdot A C}+\frac{A C^{2}}{2 \cdot A B}$ +D $A D=\sqrt{\frac{A B^{2}+A C^{2}}{2}}$ +$\mathrm{E} A D^{2}=A B \cdot A C$ + +## R: A + +15+16. Considerăm pătratul $A B C D$ şi punctele $E$ pe $(B C)$ şi $F$ pe $(C D)$, astfel încât triunghiul $A E F$ să fie echilateral. Notăm cu $M, N, P$ mijloacele segmentelor $(A E),(C E)$, şi respectiv $(D F)$. Atunci: +A $\angle A E B=70^{\circ}$ +B $F E \| P M$ +C $F E=M N$ +D $F E \perp M N$ +E $P M \perp A E$ +A $P M=A F$ +B $P N=N B$ +C $P M=P N$ +D $F E=A B$ +$\mathrm{E} F N=A E$ + +## R1: D R2: C + +17. Numărul soluţiilor în $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ ale ecuaţiei $x^{2} \cdot(y-1)+y^{2} \cdot(x-1)=1$ este: +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 + +## $\mathrm{R}: \mathrm{E}$ + +18. Cel mai mare număr natural $n$, pentru care există $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in\{1,2, \ldots, 1000\}$, numere naturale distincte, astfel încât suma oricăror trei dintre ele să fie divizibilă cu 15 , este: +A 66 +B 67 +C 68 +D 111 +E 200 + +R: B + +19. Numerele reale nenule $a, b, c$ satisfac relaţiile $a2$ +B $a+c<2$ +C $\frac{1}{2} ETAPA LOCALĂ, 2016 + +Clasa a IX-a + +1. a) Să se arate că $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor=\lfloor 2 x\rfloor, \forall x \in \mathbb{R}$. + +b) Să se rezolve ecuația $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor=\frac{x+3}{2}, x \in \mathbb{R}$. + +2. a) Să se demonstreze că $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se arate că, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}, 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n}$ nu este număr natural. + +3. Fie $A B C$ un triunghi ascuțitunghic înscris în cercul de centru $O$ și rază $R$, iar $P$ și $Q$ simetricele ortocentrului și vârfului $A$ față de mijlocul laturii $B C$. + +a) Arătați că $P$ este punctul diametral opus lui $A$ în $\mathscr{C}(O, R)$. + +b) Demonstrați că $\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P}$. + +4. a) Fie $x, y$ numere reale cu $x \cdot y \geq 0$. Să se arate că $|x+z|+|y+z| \leq|x+y+z|+|z|, \forall z \in \mathbb{R}$. + +b) Demonstrați că $|x|+|y|+|z|+|x+y+z| \geq|x+y|+|y+z|+|z+x|, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-361-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-361-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7ac169888a46881a25bbcb70e24ab83048efb65 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-361-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
21 februarie 2016 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie $M=\left\{A(x) \left\lvert\, A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1-x & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \\ x & 0 & 1-x\end{array}\right)\right., x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\}\right\}$. + +a) Să se arate că $(M, \cdot)$ este grup abelian. + +b) Să se calculeze simetricul elementului $A(2016)$. + +c) Să se calculeze $A^{n}(x), n \in \mathbf{N}^{*}$. + +2. a) Fie (G,.) un grup comutativ cu 2015 elemente, iar $e$ elementul său neutru. + +Să se arate că dacă $x \in G$ și $x^{2}=e$ atunci $x=e$. + +b) Fie $G$ și $G^{\prime}$ două grupuri cu 2016 respectiv 2015 elemente. Să se determine toate morfismele de grup de la $G$ la $G^{\prime}$. + +3. Fie $a>1$ și $f:\left[\frac{1}{a}, a\right] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție cu proprietatea că: $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=k, \forall x \in\left[\frac{1}{a}, a\right]$. Calculați: +a) $\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{(x+1) \cdot f(x)}{x \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x$; +b) $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{(x+1) \cdot \operatorname{arctg} x}{x \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x$; + +c) Fie $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ si $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a} \sqrt[n]{\operatorname{tg} x} d x$. + +4. Determinați primitivele funcției $f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{1+|\cos x|} \cdot e^{x}$. + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Timp de lucru: 3 ore. + + +## Soluţii clasa a XII-a: + +1.a) $A(x) \cdot A(y)=A(x+y-2 x y)$. Pentru $x \neq \frac{1}{2}$ și $y \neq \frac{1}{2}$ rezultă că $x+y-2 x y \neq \frac{1}{2}$. + +Se verifică asociativitatea și comutativitatea. + +Se arată că elementul neutru este $A(0)$. + +Se arată că elementul simetric este: $A\left(x^{\prime}\right)=A\left(\frac{x}{2 x-1}\right), x \neq \frac{1}{2}$. + +b) Simetricul lui $A(2016)$ este $A\left(\frac{2016}{4031}\right)$. + +c) $A^{2}(x)=A\left(\frac{1-(1-2 x)^{2}}{2}\right), A^{3}(x)=A\left(\frac{1-(1-2 x)^{3}}{2}\right)$; + +Prin inducție matematică se arată că $A^{n}(x)=A\left(\frac{1-(1-2 x)^{n}}{2}\right)$. + +2. a) Dacă $x \neq e \Rightarrow \operatorname{ord}(x)=2$. Cum $|G|=2015$, din teorema lui Lagrange rezultă $2 / 2015$, fals. + +b) Fie $(G, *)$ și $\left(G^{\prime}, \circ\right)$ cele două grupuri, $e$-elementul neutru al lui $G, e^{\prime}$ - elementul neutru al lui $G^{\prime}$ și $f: G \rightarrow G^{\prime}$ un morfism de grupuri. Atunci, pentru orice + +$$ +x \in G: \underbrace{f(x) \circ f(x) \circ \ldots \circ f(x)}_{\text {de } 2015 \text { ori }}=e^{\prime} \text { și } e^{\prime}=f(e)=f(\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } 2016 \text { ori }})=\underbrace{f(x) \circ f(x) \circ \ldots \circ f(x)}_{\text {de } 2016 \text { ori }}, +$$ + +de unde $f(x)=e^{\prime}, \forall x \in G$. + +3. a) Se notează integrala cu I și folosind substituția $x=\frac{1}{t}$ se obține: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{I}=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{(t+1) \cdot f\left(\frac{1}{t}\right)}{t \cdot \sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{~d} t=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{(t+1) \cdot(k-f(t))}{t \cdot \sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{~d} t \Rightarrow \\ +& \mathrm{I}=\frac{k}{2} \cdot\left(\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{~d} t+\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{t \cdot \sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{~d} t\right)=\left.k \cdot \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right|_{\frac{1}{a}} ^{a} +\end{aligned} +$$ + +b) Deoarece $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}, \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{(x+1) \cdot \operatorname{arctg} x}{x \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=$ $=\left.\frac{\pi}{2} \cdot \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right|_{\frac{1}{2}} ^{2}$. + +c) Pentru $\forall x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \operatorname{tg} x>x \Rightarrow \int_{0}^{a} \sqrt[n]{\operatorname{tg} x} \mathrm{~d} x>\int_{0}^{a} \sqrt[n]{x} \mathrm{~d} x=$ $=a^{\frac{n+1}{n}}$. + +Dar pentru $\forall x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sqrt[n]{\operatorname{tg} x}=\sqrt[n]{\underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} \operatorname{tg} x} \leq \frac{n-1+\operatorname{tg} x}{n}$. + +Limita cerută este $a$. + +4. Fie $I_{1}=\int \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \cdot e^{x} d x, x \in(0, \pi)$ și $I_{2}=\int \frac{\sin x-\cos x}{1-\cos x} \cdot e^{x} d x, x \in(0, \pi)$. Avem: + +$\frac{1}{2}\left(I_{1}+I_{2}\right)=\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot e^{x} d x=\int \frac{e^{x}}{\sin x} d x+\int\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\prime} \cdot e^{x} d x=\frac{e^{x}}{\sin x}+C$ (1) și + +$\frac{1}{2}\left(I_{2}-I_{1}\right)=\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot \cos x \cdot e^{x} d x=\int e^{x} \frac{\cos x}{\sin x} d x+\int\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\prime} \cdot e^{x} \cos x d x=\int e^{x} \frac{\cos x}{\sin x} d x+e^{x} \frac{\cos x}{\sin x}-$ $-\int \frac{\mathrm{e}^{x} \cos x-e^{x} \sin x}{\sin x} d x=e^{x} \cdot \frac{\sin \mathrm{x}+\cos x}{\sin x}+\mathrm{C}$. (2) + +Din (1) și (2) rezultă că o primitivă a lui f este de forma: + +$$ +F(x)= \begin{cases}\frac{e^{x}}{\sin x} \cdot(1-\cos x-\sin x)+C_{1}, & x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \\ C_{2}, & x=\frac{\pi}{2} \\ \frac{e^{x}}{\sin x} \cdot(1+\cos x+\sin x)+C_{3}, & x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\end{cases} +$$ + +Din condiția ca $\mathrm{F}$ să fie continuă în $x=\frac{\pi}{2}$ se obține $\mathrm{C}_{1}=C_{2}=C_{3}+e^{\frac{\pi}{2}}$ și imediat se verifică derivabilitatea lui $\mathrm{F}$ în $x=\frac{\pi}{2}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-362-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-362-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dee5b1059204a0bfc9754148f93556ab85b76a80 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-362-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,136 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
21 februarie 2016 + +## Clasa a XI-a + +1. a) Se consideră matricea $A=\left(a_{i j}\right), i, j=\overline{1,4}$, definită astfel: + +$a_{i j}=\max (i, j)$ oricare ar fi $i, j=\overline{1,4}$. Să se calculeze $\operatorname{det} A$. + +b)Fie $A, B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{Z})$ cu $A B=B A$ și $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=0$. Să se arate că $\operatorname{det}\left(A^{3}+B^{3}\right)$ este sumă a două cuburi de numere întregi. + +2. a) Dați exemplu de matrice $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $(A+B)^{2016}=(A-B)^{2016}=O_{2}$, $\operatorname{tr} A=\operatorname{trB}=0$ și $\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B \neq 0$. + +b) Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $(A+B)^{2016}=(A-B)^{2016}=O_{2}$. + +Demonstrați că $\operatorname{tr} A=\operatorname{trB}=0$ sau $\operatorname{det} A=\operatorname{detB}=0$. + +3. a) Fie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2016} \in \mathbb{R}, a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2016}=0$. Calculaţi + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} \sqrt{n+a_{1}}+a_{2} \sqrt{n+a_{2}}+\ldots+a_{2016} \sqrt{n+a_{2016}}\right) +$$ + +b) Demonstrați că există șiruri $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, \mathrm{cu} a_{n} \in\{-1,1\}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}$, astfel + +$$ +\text { încât } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n+a_{1}}+\sqrt{n+a_{2}}+\ldots+\sqrt{n+a_{n}}-n \sqrt{n+a_{0}}\right)=\frac{1}{2} \text {. } +$$ + +4. a)O funcție $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, periodică și neconstantă, nu are limită la $+\infty$. + +b) Determinați funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică condițiile: + +i) există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-x)=a \in \mathbb{R}$; + +ii) $f(x+2)+f(x)=2 f(x+1), \forall x \in \mathbb{R}$. + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Timp de lucru: 3 ore. + + +## Soluţii clasa a XI-a: + +1.a) $\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right|=-4$. + +b)Fie $P(X)=\operatorname{det}(A+X B)=(\operatorname{det} B) X^{3}+a X^{2}+b X+\operatorname{det} A, a, b \in \mathbb{Z}$. Cum $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=0$ se obține $P(X)=\operatorname{det}(A+X B)=a X^{2}+b X, a, b \in \mathbb{Z}$. Dar $\operatorname{det}\left(A^{3}+B^{3}\right)=\operatorname{det}(A+B)(A+\mathcal{E} B)\left(A+\mathcal{E}^{2} B\right)=$ + +$=\left(\operatorname{det}(A+B)\left(\operatorname{det}(A+\varepsilon B)\left(\operatorname{det}\left(A+\varepsilon^{2} B\right)\right)=P(1) P(\mathcal{E}) P\left(\mathcal{\varepsilon}^{2}\right)=\right.\right.$ + +$=(a+b)\left(a \varepsilon^{2}+b \mathcal{E}\right)\left(a \mathcal{E}^{4}+b \varepsilon^{2}\right)=(a+b)\left(a \varepsilon^{2}+b \mathcal{E}\right)\left(a \mathcal{E}+b \mathcal{E}^{2}\right)=$ + +$=(a+b)\left(a^{2} \varepsilon^{3}+a b\left(\varepsilon^{2}+\mathcal{\varepsilon}\right)+b^{2} \varepsilon^{3}\right)=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=\left(a^{3}+b^{3}\right)$, + +unde $\mathcal{E} \in \mathbb{C}-\mathbb{R}, \mathcal{E}^{2}+\mathcal{E}+1=0, \mathcal{E}^{3}=1$, adică rădăcina de ordinul 3 a unitătii. + +În concluzie: $\operatorname{det}\left(A^{3}+B^{3}\right)=a^{3}+b^{3}, a, b \in \mathbb{Z}$, adică $\operatorname{det}\left(A^{3}+B^{3}\right)$ este sumă a două cuburi de numere întregi. + +2. a) Luăm de exemplu $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$. Rezultă + +$A+B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ de unde găsim $(A+B)^{2}=O_{2}$, deci $(A+B)^{2016}=O_{2}$. + +$A-B=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ de unde găsim $(A-B)^{2}=O_{2}$, deci $(A-B)^{2016}=O_{2}$. + +$\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} B=0$, det $A \cdot \operatorname{det} B=-1 \neq 0$. + +b) Folosim faptul că dacă $X \in M_{2}(\mathbb{C}), X^{n}=O_{2}, n \geq 2$, atunci $X^{2}=O_{2}$. + +$$ +\begin{aligned} +& \left(X^{n}=O_{2} \Rightarrow \operatorname{det} X=0 \Rightarrow X^{2}=(\operatorname{tr} X) \cdot X \Rightarrow X^{n}=(\operatorname{tr} X)^{n-1} \cdot X=O_{2} \Rightarrow \operatorname{tr} X=0\right. \text { sau } \\ +& \left.X=O_{2} \Rightarrow X^{2}=O_{2} .\right) +\end{aligned} +$$ + +Revenim la problemă: + +Din $(A+B)^{2016}=O_{2}$ rezultă $(A+B)^{2}=O_{2} \Leftrightarrow A^{2}+A B+B A+B^{2}=O_{2}$. + +Din $(A-B)^{2016}=O_{2}$ rezultă $(A-B)^{2}=O_{2} \Leftrightarrow A^{2}-A B-B A+B^{2}=O_{2}$. + +Prin adunare obținem $A^{2}+B^{2}=O_{2}$. + +Folosind relaţia Cayley - Hamilton avem: $A^{2}=(\operatorname{tr} A) \cdot A-(\operatorname{det} A) \cdot I_{2}$ și $B^{2}=(\operatorname{tr} B) \cdot B-(\operatorname{det} B) \cdot I_{2}$ + +Obținem: $(\operatorname{tr} A) \cdot A+(\operatorname{tr} B) \cdot B=(\operatorname{det} A+\operatorname{det} B) \cdot I_{2} \cdot(1)$ + +$\operatorname{Dar}(A+B)^{2016}=O_{2}$ implică $\operatorname{det}(A+B)=0$ iar $(A-B)^{2016}=O_{2}$ implică $\operatorname{det}(A-B)=0$. + +Cum $\operatorname{det}(A+B)+\operatorname{det}(A-B)=2 \cdot(\operatorname{det} A+\operatorname{det} B)$ obținem $\operatorname{det} \mathrm{A}+\operatorname{detB}=0 .(2)$ + +Din relațiile (1) și (2) obținem că $(\operatorname{tr} A) \cdot \mathrm{A}+(\operatorname{tr} B) \cdot \mathrm{B}=\mathrm{O}_{2} \Leftrightarrow(\operatorname{tr} A) \cdot \mathrm{A}=-(\operatorname{tr} B) \cdot \mathrm{B}$. + +Trecând la determinant avem: + +$$ +(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot \operatorname{det} \mathrm{A}=(\operatorname{tr} B)^{2} \cdot \operatorname{det} \mathrm{B} \Leftrightarrow(\operatorname{tr} A)^{2} \cdot \operatorname{det} \mathrm{A}=-(\operatorname{tr} B)^{2} \cdot \operatorname{det} \mathrm{A} \Leftrightarrow \operatorname{det} \mathrm{A} \cdot\left[(\operatorname{tr} A)^{2}+(\operatorname{tr} B)^{2}\right]=0 +$$ + +Dacă $\operatorname{det} \mathrm{A}=0 \Rightarrow \operatorname{det} \mathrm{B}=0$. + +Dacă $(\operatorname{tr} A)^{2}+(\operatorname{tr} B)^{2}=0$, cum $\operatorname{tr} A, \operatorname{tr} B \in \mathbb{R}$ rezultă $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} B=0$. + +3. a) Avem succesiv: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} \sqrt{n+a_{1}}+a_{2} \sqrt{n+a_{2}}+\ldots+a_{2016} \sqrt{n+a_{2016}}\right)= \\ +& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} \sqrt{n+a_{1}}+a_{2} \sqrt{n+a_{2}}+\ldots a_{2015} \sqrt{n+a_{2015}}-a_{1} \sqrt{n+a_{2016}}-a_{2} \sqrt{n+a_{2016}}-\ldots-a_{2015} \sqrt{n+a_{2016}}\right)= \\ +& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left[a_{1}\left(\sqrt{n+a_{1}}-\sqrt{n+a_{2016}}\right)+a_{2}\left(\sqrt{n+a_{2}}-\sqrt{n+a_{2016}}\right)+\ldots+a_{2015}\left(\sqrt{n+a_{2015}}-\sqrt{n+a_{2016}}\right)\right]= \\ +& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} \cdot \frac{a_{1}-a_{2016}}{\sqrt{n+a_{1}}+\sqrt{n+a_{2016}}}+a_{2} \cdot \frac{a_{2}-a_{2016}}{\sqrt{n+a_{2}}+\sqrt{n+a_{2016}}}+\ldots+a_{2015} \cdot \frac{a_{2015}-a_{2016}}{\sqrt{n+a_{2015}}+\sqrt{n+a_{2016}}}\right)=0 +\end{aligned} +$$ + +b) Notăm $x_{n}=\sqrt{n+a_{1}}+\sqrt{n+a_{2}}+\ldots+\sqrt{n+a_{n}}-n \sqrt{n+a_{0}}$ și alegem $a_{0}=-1$. Pentru fiecare $n \geq 1$, notăm $k_{n}$ numărul de termeni egali $\mathrm{cu}+1$ din secvența $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, restul fiind egali $\mathrm{cu}$ -1. Obținem că $x_{n}=k_{n} \sqrt{n+1}-k_{n} \sqrt{n-1}=\frac{2 k_{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$. Rămâne să construim șirul $\left(a_{n}\right)$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{k_{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2}$. Pentru aceasta alegem $a_{n}=+1 \Leftrightarrow n=(2 m)^{2}, m \in \mathbb{N}^{*}$. Rezultă $\left(2 k_{m}\right)^{2} \leq n<\left(2\left(k_{m}+1\right)\right)^{2}$, de unde obținem $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{k_{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2}$. + +## NN + +4. a) Deoarece funcţia $f$ este periodică, atunci există $T>0$ astfel încât $f(x+T)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$. Dar funcția $f$ este neconstantă, deci există $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ astfel încât $f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$. + +Definim șirurile $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{n}=x_{1}+n T, \forall n \geq 0$ și $\left(b_{n}\right)_{n \geq 0}, b_{n}=x_{2}+n T, \forall n \geq 0$. + +Evident $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\infty$. Dar $f\left(a_{n}\right)=f\left(x_{1}+n T\right)=f\left(x_{1}\right)$ şi $f\left(b_{n}\right)=f\left(x_{2}+n T\right)=f\left(x_{2}\right)$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(b_{n}\right)$, deci funcția $f$ nu are limită la $+\infty$. + +b) Fie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=f(x)-x$, atunci se obține $g(x+2)+g(x)=2 g(x+1), \forall x \in \mathbb{R}$, ceea ce implică $g(x+2)-g(x+1)=g(x+1)-g(x), \forall x \in \mathbb{R}$. + +Notăm $h(x)=g(x+1)-g(x), h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, atunci $h(x+1)=h(x), \forall x \in \mathbb{R}$, de unde rezultă că funcția $h$ este periodică. + +Dar, + +$\lim _{x \rightarrow \infty} h(x)=\lim _{x \rightarrow \infty}(g(x+1)-g(x))=\lim _{x \rightarrow \infty}[(f(x+1)-(x+1))-(f(x)-x)]=a-a=0$. + +Conform punctului a) se obține că funcția $h$ este constantă și $h(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Atunci $g(x+1)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}$, adică și funcția $g$ este periodică și are limită la $+\infty$, deoarece $\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-x)=a$, atunci funcția $g$ este constantă și $g(x)=a, \forall x \in \mathbb{R}$. Deci, $f(x)=x+a, \forall x \in \mathbb{R}$, este funcția căutată. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-363-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-363-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fcd45ea7bf6422353d8475f1b48ebcd98ce90612 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-363-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,137 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
21 februarie 2016 + +Clasa a X-a + +1. a) Se consideră $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție strict concavă. Să se arate că nu există patru puncte pe graficul funcției $f$ care să formeze un paralelogram. + +b)Să se arate că: + +$$ +\left(\frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}+\lambda_{2} \cdot x_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right)^{3} \leq \frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}{ }^{3}+\lambda_{2} \cdot x_{2}^{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}, \forall x_{1}, x_{2} \in[0, \infty), \forall \lambda_{1}, \lambda_{2} \in[0, \infty) +$$ + +Generalizați inegalitatea. + +2. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n} \in \mathbb{C}$ astfel încât + +$$ +\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\cdots=\left|z_{n}\right|=1 \text { și } z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}=0 \text {. } +$$ + +a) Arătaţi că: $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n|z|^{2}+n, \forall z$ număr complex. + +b) Demonstraţi că: + +$\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\cdots+\left|z-z_{n}\right| \leq n \sqrt{2}$, pentru orice $z \in \mathbb{C},|z| \leq 1$. + +3. Fie $A$ și $B$ imaginile soluţiilor ecuației: $z^{2}-13 z+\mathbf{7 2}+\mathbf{3 0} i=0$. + +a) Să se calculeze aria triunghiului $\boldsymbol{A O B}$, unde $\boldsymbol{O}$ este originea planului complex. + +b) Cât la sută din suprafața triunghiului $\boldsymbol{A O B}$ acoperă mulțimea soluțiilor inecuației $|z| \leq 4$ ? + +4.a) Să se rezolve ecuația: $3^{x}=2^{x}+1$. + +b) Să se rezolve în $(1, \infty)$ ecuația: $x^{\log _{3} 2}+1=(x-1)^{\log _{2} 3}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Timp de lucru: 3 ore. + +## Soluţii clasa aX-a: + +1.a) Să presupunem că graficul funcției $f$ conține patru puncte $A, B, C, D$ care formează un paralelogram. Coordonatele punctelor sunt: $A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, f(c)), D(d, f(d))$. Cum $A B C D$ paralelogram, au loc relațiile: $a+c=b+d, f(a)+f(c)=f(b)+f(d)$, cu $a\lambda \cdot f(a)+(1-\lambda) \cdot f(c)(2)$. Analog, există $\eta \in(0,1)$ astfel încât $d=\eta \cdot a+(1-\eta) \cdot c(3)$ și $f(d)>\eta \cdot f(a)+(1-\eta) \cdot f(c)$ (4). Adunând relațiile (2), (4), obținem: + +$f(b)+f(d)>(\lambda+\eta) \cdot f(a)+(2-\lambda-\eta) \cdot f(c)(*)$, iar din (1), (3) rezultă că $b+d=(\lambda+\eta) \cdot a+(2-\lambda-\eta) \cdot c=a+c$, de unde + +$(\lambda+\eta-1) \cdot(c-a)=0$. Cum $a \neq c \Rightarrow \lambda+\eta=1$, atunci relația $(*)$ + +devine : $f(b)+f(d)>f(a)+f(c)$. Așadar nu există patru puncte pe graficul funcției care să formeze un paralelogram. + +b) Funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}$ este convexă pentru $[0, \infty)$ (interval), atunci are loc inegalitatea: + +$$ +\begin{gathered} +f\left(\frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}+\lambda_{2} \cdot x_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right) \leq \frac{\lambda_{1} \cdot f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} \cdot f\left(x_{2}\right)}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}, \\ +\forall x_{1}, x_{2} \in[0, \infty), \forall \lambda_{1}, \lambda_{2} \in[0, \infty) \Leftrightarrow \\ +\left(\frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}+\lambda_{2} \cdot x_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right)^{3} \leq \frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}^{3}+\lambda_{1} \cdot x_{2}^{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}, \forall x_{1}, x_{2} \in[0, \infty), \forall \lambda_{1}, \lambda_{2} \in[0, \infty) +\end{gathered} +$$ + +Generalizarea inegalității: + +$$ +\begin{gathered} +\left(\frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}+\lambda_{2} \cdot x_{2}+\ldots+\lambda_{n} \cdot x_{n}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}}\right)^{3} \leq \frac{\lambda_{1} \cdot x_{1}{ }^{3}+\lambda_{2} \cdot x_{2}{ }^{3}+\ldots+\lambda_{n} \cdot x_{n}{ }^{3}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}} \\ +\forall x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in[0, \infty), \forall \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n} \in[0, \infty) +\end{gathered} +$$ + +2.a) $\left|z-z_{i}\right|^{2}=\left(z-z_{i}\right)\left(\bar{z}-\bar{z}_{i}\right)=|z|^{2}-z \bar{z}_{i}-z_{i} \bar{z}+\left|z_{i}\right|^{2}=$ $=|z|^{2}+1-\left(z \bar{z}_{i}+z_{i} \bar{z}\right), i=\overline{1, n}$. + +Atunci : $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n|z|^{2}+n-$ $-\left(z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\right) \bar{z}-z\left(\overline{z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}}\right)=n|z|^{2}+n$. + +b) Aplicăm inegalitatea Cauchy- Buniakowski-Schwartz: + +$$ +\begin{gathered} +\left(\left|z-z_{1}\right| \cdot 1+\left|z-z_{2}\right| \cdot 1+\cdots+\left|z-z_{n}\right| \cdot 1\right)^{2} \\ +\leq\left(\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|z-z_{n}\right|^{2}\right) \cdot n \\ +=n^{2}\left(|z|^{2}+1\right) \leq 2 n^{2} \Rightarrow\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\cdots+\left|z-z_{n}\right| \leq n \sqrt{2} +\end{gathered} +$$ + +b) Folosind inegalitatea mediilor obținem: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right|}{n} \leq \sqrt{\frac{\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}}{n}},(\forall) z \in \mathbb{C} \\ +& \Rightarrow\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right| \leq n \sqrt{\frac{n|z|^{2}+n}{n}} \leq n \sqrt{\frac{n+n}{n}}=n \sqrt{2} +\end{aligned} +$$ + +( $\forall) z \in \mathbb{C},|z| \leq 1$. + +3.a) $\Delta=(5-12 \mathrm{i})^{2}$, de unde $z_{1}=9-6 i, z_{2}=4+6 i$. + +Atunci $A B=\left|z_{1}-z_{2}\right|=13, A O=\left|z_{1}\right|=3 \sqrt{13}, B O=\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{13}$ + +Se observă că $O A^{2}+O B^{2}=A B^{2}$, deci $\triangle A O B$ este dreptunghic cu unghiul drept în $O$, iar aria triunghiului este: + +$$ +A_{\triangle A O B}=\frac{A O \cdot B O}{2}=39 +$$ + +b) Deoarece $\triangle A O B$ este dreptunghic cu unghiul drept în $O$ rezultă că un sfert din cercul ce constituie reprezentarea grafică a inecuației $|z| \leq 4$ acoperă triunghiul. + +$$ +A_{\text {sect }}=\frac{16 \pi}{4}=4 \pi \cong 12,56 \cong 32,2 \% A_{\triangle A O B} +$$ + +4.a) $3^{x}=2^{x}+1 \Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=1$. + +Se observă că $x=1$ este soluție a ecuației. Arătăm că această soluție este unică. + +Funcţia $g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), g(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$, este strict descrescătoare, deci injectivă şi atunci soluţia unică este $x=1$. +b) $x^{\log _{3} 2}=2^{\log _{3} x}$ Şi $(x-1)^{\log _{2} 3}=3^{\log _{2}(x-1)}$. + +Notăm $a=\log _{3} x$ şi $b=\log _{2}(x-1) \Rightarrow x=3^{a}$ şi $x=2^{b}+1$, + +De aici obţinem: $3^{a}=2^{b}+1$. + +Ecuaţia dată este echivalentă cu: $2^{a}+1=3^{b}$. + +Din cele două relaţii, obţinem: + +$$ +3^{a}-2^{b}=3^{b}-2^{a} \Leftrightarrow 3^{a}+2^{a}=3^{b}+2^{b} +$$ + +Considerăm funcţia: $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), f(x)=3^{x}+2^{x}$, care este strict crescătoare şi deci este şi injectivă, rezultă $a=b$. + +Atunci: $3^{a}=2^{a}+1 \Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{a}+\left(\frac{1}{3}\right)^{a}=1$. + +Funcţia $g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), g(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$, este strict descrescătoare, deci injectivă şi atunci soluţia unică este $a=1 \Rightarrow x=3$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-364-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-364-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09e76e80e1b6e71c447e8a1bf2146840c119ecf5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-364-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,146 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapalocală
21februarie 2016 + +Clasa a VIII-a + +1.a) Să se arate că pentru orice număr natural $n \geq 10$ are loc inegalitatea: + +$$ +9 \cdot n^{3}>5 \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3) +$$ + +b) Să se aratecă: + +$$ +\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}, \forall a, b, c \in(0 ; \infty) +$$ + +2.a) Să se calculeze: + +$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$. + +b) Să se determine $n \in \mathbb{N}^{*}$ pentru care numărul: + +$\frac{1-a_{1}(1-\sqrt{2})}{a_{1}+1+\sqrt{2}}+\frac{1-a_{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{a_{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1-a_{n}(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})}{a_{n}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \in \mathbb{N}, \forall a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n} \in \mathbb{Q}_{+}^{*}$. + +3. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un paralelipiped dreptunghic. Fie $G$ mijlocul segmentului $\left(A B^{\prime}\right) \operatorname{s} \mathrm{i}\{E\}=A^{\prime} C \cap\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right)$. Dacă $E G \perp A^{\prime} C, E G \perp A B^{\prime}$, arătați că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. +4. Fie $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare și $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale $\triangle B C D, \triangle A C D$, respectiv $\triangle A B D$. + +a) Arătați că planul $\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right)$ este paralel cu planul $(A B C)$. + +b) Demonstrați că dreptele $\mathrm{A} G_{1}, \mathrm{~B} G_{2}, \mathrm{C} G_{3}$ sunt concurente. + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Timp de lucru: 3 ore. + + +## Soluţii clasa a VIII-a: + +1. a) Inegalitatea din enunț se mai scrie: + +$9 \cdot n^{3}>5 \cdot\left(n^{3}+6 \cdot n^{2}+11 \cdot n+6\right), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 10 \Leftrightarrow$ + +$$ +\frac{4}{5} \cdot n^{3}>6 \cdot n^{2}+11 \cdot n+6, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 10 \mid: n^{3} \Leftrightarrow +$$ + +$\frac{4}{5}>\frac{6}{n}+\frac{11}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 10$. + +Dar pentru $n \geq 10$ se obțin inegalitățile: $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{10}$, + +$$ +\begin{gathered} +\frac{6}{n} \leq \frac{6}{10}(1) \\ +\frac{11}{n^{2}} \leq \frac{11}{100}(2) \\ +\frac{6}{n^{3}} \leq \frac{6}{1000}(3) +\end{gathered} +$$ + +Adunând relațiile (1), (2), (3) obținem: + +$$ +\begin{gathered} +\frac{6}{n}+\frac{11}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}<\frac{6}{10}+\frac{11}{100}+\frac{6}{1000}=\frac{600+110+6}{1000}=\frac{716}{1000}<\frac{800}{1000}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow \\ +\frac{6}{n}+\frac{11}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}<\frac{4}{5}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 10 +\end{gathered} +$$ + +b) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 \quad \left\lvert\, \cdot a^{2} \Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+a b \geq 2 a^{2}\right.$ însumând cu analogele + +$$ +\begin{gathered} +\frac{a^{3}}{b}+a b+\frac{b^{3}}{c}+b c+\frac{c^{3}}{a}+c a \geq 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \\ +\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-(a b+a b+b c) +\end{gathered} +$$ + +Rămâne de arătatcă2 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-(a b+a b+b c) \geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+a c+b c \Leftrightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0$. + +2. a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=$ + +$$ +=\sum_{k=1}^{n} \frac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}) \cdot(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{k+1-k}=\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})= +$$ + +$=\sqrt{n+1}-1$; + +b) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1-a_{k}(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})}{a_{k}+\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left[1-a_{k}(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})\right](\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}{\left(a_{k}+\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\right)(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}=$ + +$=\sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}+a_{k}}{\left(a_{k}+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\right)(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}=\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=$ + +$=\sqrt{n+1}-1$; + +$\sqrt{n+1}-1 \in \mathbb{N} \Rightarrow n=k^{2}-1, k \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}$. + +3. Fie $F$ punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. + +$A \in\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right), F \in\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right)$ + +$A \in\left(A A^{\prime} C\right), F \in\left(A A^{\prime} C\right)$ +$\Rightarrow\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right) \cap\left(A A^{\prime} C\right)=A F, A F \cap A^{\prime} C=\{E\}$. + +Deoarece $E \in A^{\prime} C, E \in A F \subset\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right) \Rightarrow\{E\}=A^{\prime} C \cap\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right)$. + +Deoarece $A B B^{\prime} A^{\prime}$ este dreptunghi și $G$ este mijlocul lui $A B^{\prime}$ este și mijlocul $A^{\prime} B$. + +$B C \perp\left(A B B^{\prime}\right) \Rightarrow B C \perp A B^{\prime}$, rezulta $A B^{\prime} \perp B C$ + +$\left.A B^{\prime} \perp E G\right) \Rightarrow A B^{\prime} \perp\left(A^{\prime} B C\right) \Rightarrow A^{\prime} B \perp A B^{\prime} \Rightarrow A B B^{\prime} A^{\prime}$ pătrat (1). + +$A B^{\prime} \perp B C$ + +$A G \perp\left(A^{\prime} B C\right)$ + +$\left.\begin{array}{c}A G \perp(A B C) \\ E G \perp A^{\prime} C \\ A^{\prime} C \subset\left(A^{\prime} B C\right)\end{array}\right\} \Rightarrow A E \perp A^{\prime} C$ (Conform teoremei celor trei perpendiculare) + +$\Rightarrow \widetilde{E A^{\prime} A} \equiv \widetilde{A_{F E}} \equiv \widetilde{A A^{\prime} E} \Rightarrow \triangle F A^{\prime} A \sim \triangle A^{\prime} A C \Rightarrow \frac{A^{\prime} F}{A A^{\prime}}=\frac{A A^{\prime}}{A C} \Rightarrow \frac{A C}{2 A A^{\prime}}=\frac{A A^{\prime}}{A C} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow A C^{2}=2 A A^{\prime 2}=2 A B^{2} \Rightarrow A C=A B \sqrt{2}$ (2). + +Din $A B C D$ este dreptunghi și (2) rezultă că $A B C D$ este pătrat (3). + +Din $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ paralelipiped dreptunghic și din (1), (3) rezultă că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93db544e8d4cec78d712g-3.jpg?height=677&width=1127&top_left_y=1161&top_left_x=310) + +4.a)Fie (BM), (AM), (BN) mediane în $\triangle B C D, \triangle A C D$, respectiv $\triangle A B D$, iar $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale $\triangle B C D, \triangle A C D$, respectiv $\triangle A B D$. Avem: + +$\frac{B G_{1}}{B M}=\frac{2}{3} \cdot B M \cdot \frac{1}{B M}=\frac{2}{3}$ și $\frac{A G_{2}}{A M}=\frac{2}{3} \cdot A M \cdot \frac{1}{A M}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{B G_{1}}{B M}=\frac{A G_{2}}{A M} \stackrel{\text { R.T.Thales }}{\Longrightarrow} G_{1} G_{2} \| A B$ + +şicum $A B \subset(A B C) \Rightarrow G_{1} G_{2} \|(A B C)$ (1) + +Analog: $\frac{B G_{1}}{B M}=\frac{B G_{3}}{B N}=\frac{2}{3} \stackrel{\text { R.T.Thales }}{=} G_{1} G_{3} \| M N$ și $M N$ linie mijlocie în $\triangle A C D \Rightarrow M N \| A C \Rightarrow$ $\Rightarrow G_{1} G_{3}\left\|A C, A C \subset(A B C) \Rightarrow G_{1} G_{3}\right\|(A B C)$ (2). Dar $G_{1} G_{2}, G_{1} G_{3}$ sunt drepte concurente din planul $\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right) \Rightarrow\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right) \|(A B C)$. + +b) În $\triangle A M B, A G_{1} \cap B G_{2}=\{P\}, \frac{G_{2} P}{P B}=\frac{1}{3}$. + +Fie $\triangle B C N$. Presupunem că $B G_{2} \cap C G_{3}=\left\{P^{\prime}\right\}$. + +În $\triangle B C N, \frac{G_{2} P^{\prime}}{B P^{\prime}}=\frac{1}{3} \Rightarrow$ există două puncte în interiorul $\left(B G_{2}\right)$ care îl împart în raportul $\frac{1}{3}$, + +absurd. Deci, presupunerea făcută este falsă, iar $B G_{2} \cap C G_{3}=\{P\}$. + +Rezultă $\mathrm{A} G_{1}, \mathrm{~B} G_{2}, \mathrm{C} G_{3}$ sunt concurente în $P$ astfel încât $\frac{G_{2} P}{P B}=\frac{1}{3}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93db544e8d4cec78d712g-4.jpg?height=1168&width=1220&top_left_y=290&top_left_x=378) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-365-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-365-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..245441cad79b51c645f5f377e7153fb53c39f528 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-365-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,98 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
21februarie 2016 + +## Clasa a VII-a + +1.a) Determinaţi $x \in \mathbb{Q}^{*}$ pentru care $x+\frac{1}{x}+2 \in \mathbb{Z}$. + +Pentru $x$ determinat la punctul a), să se arate că: +b) $\left(x^{2016}+\frac{1}{x^{2016}}+2014\right) \vdots 2016$; + +c) $\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}+2014\right) \vdots 4, \forall n \in \mathbb{N}$. + +2.a) Demonstrați că $\left[1+\frac{1}{k(k+1)}\right]^{2}=1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Notăm cu $S_{n}$ suma : $S_{n=} \sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}$. + +Arătați că $S_{10}=\frac{120}{11}$. + +c) Câți termeni trebuie să aibă $S_{n}$, astfel încât $\left[S_{n}\right]=2016$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +3. Fie $A B C D$ un dreptunghi, $A B>B C$, în care bisectoarea unghiului $\measuredangle A C B$ intersectează dreapta $A D$ în punctul $E$, iar perpendiculara în $A$ pe $A C$ intersectează dreapta $B C$ în punctul $F$. Fie $C E \cap A B=\{M\}$ și $C E \cap A F=\{N\}$. Știind că triunghiul $A M N$ este echilateral, demonstraţi că $[A C] \equiv[E F]$. +4. Fie dreptunghiul $A B C D$. Perpendiculara $A M$ pe $B D(M \in B D)$ intersectează $B C$ şi $D C$, respectiv în $E$ și $F$. Arătați că $\frac{1}{A M}=\frac{1}{A F}+\frac{1}{A E}$. + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 3 ore + + +## Soluţii clasa aVII-a: + +1. a)Deoarece $x+\frac{1}{x}+2 \in \mathbb{Z}$, iar $2 \in \mathbb{Z}$, deducem că $x+\frac{1}{x} \in \mathbb{Z}$. Fie $x \in \mathbb{Q}^{*} \Rightarrow$ + +$$ +x=\frac{m}{n}, m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0,(m, n)=1 +$$ + +Evaluăm $x+\frac{1}{x}=\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^{2}+n^{2}}{m \cdot n} \in \mathbb{Z}$ + +$\left.\Rightarrow \quad \begin{array}{c}m \cdot n /\left(m^{2}+n^{2}\right) \\ (m, n)=1\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m /\left(m^{2}+n^{2}\right)(1) \\ \text { si } \\ n /\left(m^{2}+n^{2}\right)(2)\end{array}\right.$. + +Din (1), (2) obținem $m / n$ și $n / m \Rightarrow m=n$ saum $=-n$.Deci $x=1$ sau $x=-1$. +b) $\left(x^{2016}+\frac{1}{x^{2016}}+2014\right)=( \pm 1)^{2016}+( \pm 1)^{2016}+2014=$ $=1+1+2014=2016 \vdots 2016$; + +c) Cazul I: $x=-1$; + +$x^{n}+\frac{1}{x^{n}}+2014=\left\{\begin{array}{l}2016, \quad n=\mathrm{par} \\ 2012, \quad n=\text { impar }\end{array} ;\right.$ + +Cazul II: $x=1$; + +$x^{n}+\frac{1}{x^{n}}+2014=2016$. + +În ambele cazuri rezultatele sunt divizibile cu 4. În concluzie: + +$\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}+2014\right): 4, \forall n \in \mathbb{N}$. + +2. a) Pentru orice $k \in \mathbb{N}^{*}$ avem: + +$\left[1+\frac{1}{k(k+1)}\right]^{2}=1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}} \Leftrightarrow 1+\frac{2}{k(k+1)}+\frac{1}{k^{2}(k+1)^{2}}=1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}} \Leftrightarrow$ + +$\frac{2 k(k+1)}{k^{2}(k+1)^{2}}+\frac{1}{k^{2}(k+1)^{2}}=\frac{(k+1)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}+\frac{k^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}} \Leftrightarrow \frac{2 k(k+1)+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=\frac{(k+1)^{2}+k^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow \frac{2 k^{2}+2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=\frac{2 k^{2}+2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}$. + +b) Din a) obținem: $\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}}=1+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}, \forall \mathrm{k} \in \mathbb{N}^{*}$, iar $S_{10}$ este de forma: $S_{10}=\left(1+1-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(1+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\right)=11-\frac{1}{11}=\frac{120}{11}$ +c) $S_{n}=\left(1+1-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}\right)=(n+1)-\frac{1}{n+1}$. Deoarece $S_{n}=n+1-\frac{1}{n+1}=n+\frac{n}{n+1}>n$. Dar $\frac{n}{n+1}<1 \Rightarrow S_{n} Etapa locală
21februarie2016 + +## Clasa a V-a + +1.Cel mai mare număr $\overline{a b c d}$, scris în baza 10 , reprezintă anul de naştere al "Domnului Problemă", care verifică relația: $\overline{(c+1) d}=5 \cdot \overline{a(b-1)}$. Să se determine vârsta acestuia. + +2.a)Găsiț idouă numere naturale care împărțite dau câtul 49, iar restul este strict mai mare decât 4 și cu 294 mai mic decât deîmpărțitul. + +b)Fie $A=n^{2016}+(n+1)^{2016}+(n+2)^{2016}+\ldots+(n+9)^{2016}$, unde $n \in \mathbb{N}$. Să se determine restul împărțirii lui $A$ la 10 . + +3.Fie $a, b, c, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că: + +$\mathrm{A}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+b^{n}\right)\left(a^{n}+c^{n}\right)$, este divizibil cu 2. + +b)Să se arate că: $4^{A}-1 \vdots 15$. + +4.Să se determine numerele $\overline{a b c}$ astfel încât: + +$$ +2 \cdot(\overline{a b}+\overline{b a})+2^{c}=67 +$$ + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Timp de lucru: 2 ore. + + +## Soluţii clasa a V-a: + +1.Relaţia din enunţ se mai scrie: + +$10 \cdot(c+1)+d=5 \cdot(10 a+b-1)(*)$. + +Rezultă că $d \vdots 5$, deci $d=0$ sau $d=5$. + +Cazul I: $d=0$. + +Egalitatea $(*)$ devine10 $(c+1)=5 \cdot(10 a+b-1)$ sau + +$2 \cdot(c+1)=10 a+b-1$. Din enunţ se deduce2 $\cdot(c+1) \leq 18$, iar $a=\overline{1,9}$, rezultă $a=1$. Se obţine $2 \cdot(c+1)=b+9$. Din ultimarelaţie se deduce căcifra $b$ este impară, iar cum numărul $\overline{a b c d}$ este cel mai mare, dar în aşa fel încât $b+9 \leq 18$, se obţine $b=9$. Rezultă $c=8$, iar anul de naştere, pentru acest caz este 1980 . + +Cazul II: $d=5$. + +Egalitatea (*) devine10 $(c+1)+5=5 \cdot(10 a+b-1)$ sau + +$2 \cdot(c+1)+1=10 a+b-1$. Altfel $2 \cdot(c+1)=10 a+b-2$. Din proprietatea 2 . se deduce $2 \cdot(c+1) \leq 18$, iar $a=\overline{1,9}$, rezultă $a=1$. Se obţine $2 \cdot(c+1)=b+8$. Din ultima relaţie se deduce că cifra $b$ este pară, iar cum număr $\overline{a b c d}$ este cel mai mare, dar în aşa fel încât $b+8 \leq 18, b=\overline{0,9}$, se obţine $b=8$. Rezultă $c=7$, iar anul de naştere, pentru acest caz este 1875 . + +Comparând numerele găsite în cazurile enumerate mai sus, se constată că cel mai mare dintre ele este 1980, care reprezintă anul de naştere al "Domnului Problemă". + +Vârsta "Domnului Problemă" este: 2016 -1980 = 36 ani. + +2.a)Fie $a$ și $b$ cele două numere. Presupunem $a>b$. + +Condițiile din enunț se mai scriu : + +$a=49 b+r(1) ;$ + +$r>4 \quad$ (2) + +$r=a-294$ (3). + +Din relațiile (1) și (3) rezultă că $a=49 b+a-294$, de unde $49 b=294$ + +$\Rightarrow b=6$. Atunci $r \in\{0,1,2,3,4,5\}$. + +Cum $r>4 \Rightarrow r=5$. + +Atunci $a=299$. + +Deci numerele căutate sunt 299 și 6 . + +b) Restul împărțirii lui $A$ la 10 este identic cu ultima cifră a lui $A$. + +Numerele $n, n+1, n+2, \ldots, n+9$ au ultima cifră $0,1,2, \ldots, 9$, într-o ordine aleatorie. + +Deci $u c(A)=u c\left(0^{2016}+1^{2016}+2^{2016}+\ldots+9^{2016}\right)=$ + +$=u c(0+1+6+1+6+5+6+1+6+1)=3$. + +Rezultă că restul împărțirii lui $A$ la 10 este 3 . + +3.a) Numerele $a^{n}, b^{n}, c^{n}$ sunt ori pare ori impare. Deoarece sunt 3 numere, conform principiului ,,cutiei” cel puțin două dintre ele sunt la fel:pare sau impare, atunci suma lor este număr par și atunci numărul A este par,deci divizibil cu 2. + +b)A $=2 k \Rightarrow 4^{\mathrm{A}}-1=16^{k}-1=(15+1)^{k}-1=M 15+1-1=M 15$. + +4.Dacă $\mathrm{c}=0$ atunci $2 \cdot(\overline{a b}+\overline{b a})=66 \Rightarrow \overline{a b}+\overline{b a}=33 \Rightarrow$ + +$\Rightarrow 11(a+b)=33 \Rightarrow a+b=3$. + +Cum $a$ și $b$ sunt nenule obținem: $a=1$ și $b=2$ sau $a=2$ și $b=1$. + +Deci numerele sunt: 120 și 210 . + +Dacă $c \neq 0$, atunci $2^{c}$ este număr par și cum și $2 \cdot(\overline{a b}+\overline{b a})$ este tot număr par, suma lor nu poate fi 67 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-368-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-368-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d1090eaa5d9402362ce2f5439601033053ba562 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-368-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
21 februarie 2016 + +## Clasa a IX-a + +1. Fie șirul $\left(d_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit descriptiv, astfel: + +$$ +d_{1}=0,1 ; d_{2}=0,11 ; d_{3}=0,111 ; \ldots ; d_{n}=0, \underbrace{11 \ldots 1}_{n \text { ori }} +$$ + +a) Să se găsească primele 2016 zecimale ale numărului $\sqrt{d_{4032}}$. + +b) Să se găsească suma: $\sum_{k=1}^{n} 10^{k} \cdot d_{k}$. + +2. Fie numerele $x, a, b \in(0 ;+\infty)$ astfel încât $a+b=2$. Demonstraţi că: + +$$ +\sqrt{x+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{x+\frac{1}{b^{2}}} \geq 2 \sqrt{x+1} +$$ + +3. Fie $A B C D$ un patrulater convex, $M$ mijlocul lui $A B, N$ mijlocul lui $B C, E$ punctul de intersecţie a dreptelor $A N$ şi $B D$, iar $F$ punctul de intersecţie a dreptelor $D M$ şi $A C$. Arătaţi că dacă $B E=\frac{1}{3} B D$ şi $A F=\frac{1}{3} A C$, atunci $A B C D$ este paralelogram. +4. Se consideră hexagonul convex $A B C D E F$ și se notează cu $G_{A}, G_{B}, G_{C}, G_{D}, G_{E}, G_{F}$ centrele de greutate pentru pentagoanele $B C D E F, A C D E F, A B D E F, A B C E F, A B C D F, A B C D E$. + +a) Să se demonstreze că se poate construi un hexagon cu vectorii: + +$$ +\overrightarrow{A G_{A}}, \overrightarrow{B G_{B}}, \overrightarrow{C G_{C}}, \overrightarrow{D G_{D}}, \overrightarrow{E G_{E}}, \overrightarrow{F G_{F}} +$$ + +b) Să se determine raportul ariilor hexagoanelor $G_{A} G_{B} G_{C} G_{D} G_{E} G_{F}$ și ABCDEF . + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Timp de lucru: 3 ore + + +## Soluţii clasa a IX-a: + +1.a) Deoarece $x \in(0,1) \Rightarrow x<\sqrt{x}<1(*)$. Considerăm + +$x=0, \underbrace{99 \ldots 9}_{4032 \text { ori }}=1-\frac{1}{10^{4032}}$. Folosind relația $\left({ }^{*}\right)$, deducem că primele 2016 zecimale ale lui $\sqrt{x}$ vor fi egale cu 9. Cum $d_{4032}=\frac{x}{9}, \sqrt{d_{4032}}=\frac{\sqrt{x}}{3}=0, \underbrace{33 \ldots 3}_{2016 \text { ori }} \ldots$. În concluzie primele 2016 zecimale ale numărului $\sqrt{d_{4032}}$ sunt egale cu 3. +b) $\sum_{k=1}^{n} 10^{k} \cdot d_{k}=1+11+111+\cdots+\underbrace{111 \ldots 1}_{n \text { ori }}=$ + +$=\frac{1}{9} \cdot(10-1)+\frac{1}{9} \cdot\left(10^{2}-1\right)+\ldots+\frac{1}{9} \cdot\left(10^{n}-1\right)=\frac{1}{9} \cdot\left(\frac{10 \cdot\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\right)=$ $=\frac{10}{81} \cdot\left(10^{n}-1\right)-\frac{n}{9}$. + +2. Din $a+b=2 \Rightarrow 1=\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$, de unde rezultă $\sqrt{a b} \leq 1$. + +Prin ridicare la pătrat a inegalității date obținem: + +$$ +x+\frac{1}{a^{2}}+x+\frac{1}{b^{2}}+2 \sqrt{\left(x+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(x+\frac{1}{b^{2}}\right)} \geq 4 x+4 +$$ + +Dar $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{b^{2}}}=\frac{2}{a b} \geq 2$ (1) și $\sqrt{\left(x+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(x+\frac{1}{b^{2}}\right)}=\sqrt{x^{2}+x\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\frac{1}{a^{2} b^{2}}} \Rightarrow$ $\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\frac{1}{a^{2} b^{2}}} \geq \sqrt{x^{2}+2 x+1} \Rightarrow \sqrt{\left(x+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(x+\frac{1}{b^{2}}\right)} \geq x+1$ + +Din relațiile (1) și (2) rezultă inegalitatea cerută. + +3. $A B C D$ este paralelogram $\Leftrightarrow \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B A}$. Fie $\overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{B C}=\vec{v}, \overrightarrow{C D}=a \vec{u}+b \vec{v}$, cu $a$ şi $b$ numere reale. Rezultă: + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=(a+1) \vec{u}+(b+1) \vec{v} \\ +& \overrightarrow{A N}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\vec{u}+\frac{1}{2} \vec{v}, \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=a \vec{u}+(b+1) \vec{v}, \overrightarrow{B E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B D}=\frac{a}{3} \vec{u}+\frac{b+1}{3} \vec{v} \\ +& \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\frac{a+3}{3} \vec{u}+\frac{b+1}{3} \vec{v} \\ +& \overrightarrow{D F}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A F}=-(a+1) \vec{u}-(b+1) \vec{v}+\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v})=-\left(a+\frac{2}{3}\right) \vec{u}-\left(b+\frac{2}{3}\right) \vec{v} \\ +& \overrightarrow{D M}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A M}=-(a+1) \vec{u}-(b+1) \vec{v}+\frac{1}{2} \vec{u}=-\left(a+\frac{1}{2}\right) \vec{u}-(b+1) \vec{v} +\end{aligned} +$$ + +Din $\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A N}$ coliniari deducem: $a-2 b+1=0$. Analog din $\overrightarrow{D F}, \overrightarrow{D M}$ coliniari urmează că $2 a+b+2=0$. Rezultă $a=-1 ; b=0$. În concluzie, $\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B A}$. + +4. Pentru orice punct $X$ din plan notăm cu $\overrightarrow{r_{X}}$ vectorul de pozitiie asociat, iar $\mathrm{cu}$ $\vec{r}=\overrightarrow{r_{A}}+\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{D}}+\overrightarrow{r_{E}}+\overrightarrow{r_{F}}$. Avem: + +$\overrightarrow{r_{G_{A}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{A}}}{5}, \overrightarrow{r_{G_{B}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{B}}}{5}, \overrightarrow{r_{G_{C}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{C}}}{5}, \overrightarrow{r_{G_{D}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{D}}}{5}, \overrightarrow{r_{G_{E}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{E}}}{5}, \overrightarrow{r_{G_{F}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{F}}}{5}$. + +a)Cu vectorii $\overrightarrow{A G_{A}}, \overrightarrow{B G_{B}}, \overrightarrow{C G_{C}}, \overrightarrow{D G_{D}}, \overrightarrow{E G_{E}}, \overrightarrow{F G_{F}}$ se poate construi un hexagon dacă și numai dacă $\overrightarrow{A G_{A}}+\overrightarrow{B G_{B}}+\overrightarrow{C G_{C}}+\overrightarrow{D G_{D}}+\overrightarrow{E G_{E}}+\overrightarrow{F G_{F}}=\overrightarrow{0}$. + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{A G_{A}}+\overrightarrow{B G_{B}}+\overrightarrow{C G_{C}}+\overrightarrow{D G_{D}}+\overrightarrow{E G_{E}}+\overrightarrow{F G_{F}}=\overrightarrow{0} \\ +& =\left(\overrightarrow{r_{G_{A}}}-\overrightarrow{r_{A}}\right)+\left(\overrightarrow{r_{G_{B}}}-\overrightarrow{r_{B}}\right)+\left(\overrightarrow{r_{G_{C}}}-\overrightarrow{r_{C}}\right)+\left(\overrightarrow{r_{G_{D}}}-\overrightarrow{r_{D}}\right)+\left(\overrightarrow{r_{G_{E}}}-\overrightarrow{r_{E}}\right)+\left(\overrightarrow{r_{G_{F}}}-\overrightarrow{r_{F}}\right)= \\ +& =\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{A}}}{5}-\overrightarrow{r_{A}}\right)+\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{B}}}{5}-\overrightarrow{r_{B}}\right)+\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{C}}}{5}-\overrightarrow{r_{C}}\right)+\left(\frac{\vec{r}}{5} \overrightarrow{r_{D}}-\overrightarrow{r_{D}}\right)+\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{E}}}{5}-\overrightarrow{r_{E}}\right)+\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{F}}}{5}-\overrightarrow{r_{F}}\right)= \\ +& =\frac{6}{5}\left(\vec{r}-\left(\overrightarrow{r_{A}}+\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{D}}+\overrightarrow{r_{E}}+\overrightarrow{r_{F}}\right)\right)=\frac{6}{5}(\vec{r}-\vec{r})=\overrightarrow{0} +\end{aligned} +$$ + +b) $\overrightarrow{G_{A} G_{B}}=\overrightarrow{r_{G_{B}}}-\overrightarrow{r_{G_{A}}}=\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{B}}}{5}-\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r_{A}}}{5}=\frac{\overrightarrow{r_{A}}-\overrightarrow{r_{B}}}{5}=\frac{1}{5} \overrightarrow{B A}$. Analog: + +$$ +\overrightarrow{G_{B} G_{C}}=\frac{1}{5} \overrightarrow{C B}, \overrightarrow{G_{C} G_{D}}=\frac{1}{5} \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{G_{D} G_{E}}=\frac{1}{5} \overrightarrow{E D}, \overrightarrow{G_{E} G_{F}}=\frac{1}{5} \overrightarrow{F E}, \overrightarrow{G_{F} G_{A}}=\frac{1}{5} \overrightarrow{A F} +$$ + +Hexagoanele $G_{A} G_{B} G_{C} G_{D} G_{E} G_{F}$ și $A B C D E F$ au laturile paralele, deci sunt asemenea, raportul de asemănare fiind $\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{A_{\left[G_{A} G_{B} G_{C} G_{D} G_{E} G\right]}}{A_{\lfloor A B C D E F]}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-369-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-369-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94648682b1dbe1a896387d1fcb7ea323001c1214 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-369-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,78 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A XII-A + +1.) Arătaţi că funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, x \leq 0 \\ 1+x, x>0\end{array}\right.$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. + +2.) Determinaţi primitiva $F$ a funcției $f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x \sin ^{3} x+\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot e^{\cos x}$ pentru care $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}-1$ + +3.) Pe mulțimea $G=(-1,1)$ definim operația $x \circ y=\frac{a x+b y}{1+x y}, \forall x, y \in G$. + +Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(G, \circ)$ este grup. + +4.) Fie $R_{n}$ mulțimea resturilor obținute prin împăr̦ire la $n, n \in N, n \geq 2$. + +Pe $R_{n}$ definim operația " $\otimes$ " astfel: $a \otimes b=a b(\bmod n)$, adică restul obținut prin împărțirea produsului la $n$. Fie $S_{n}$ suma elementelor din tabla operației “ $\otimes$ ", de exemplu pentru $n=4$ avem : + +| $\otimes$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{3}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | +| $\mathbf{0}$ | 0 | 0 | 0 | 0 | +| $\mathbf{1}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | +| $\mathbf{2}$ | 0 | 2 | 0 | 2 | +| $\mathbf{3}$ | 0 | 3 | 2 | 1 | + +și $S_{4}=16$. Calculați valoarea lui $S_{24}$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +BAREM + +## CLASA A XII-A + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a558104290c278d6a54cg-2.jpg?height=728&width=1676&top_left_y=572&top_left_x=224) + +| 2.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | $F(x)=\int x \sin x \cdot e^{\cos x} d x+\int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot e^{\cos x} d x$ | 1p | +| | Fie $I_{1}=\int x \sin x \cdot e^{\cos x} d x$ și $I_{2}=\int \frac{\cos x}{\sin x} \cdot e^{\cos x} d x$ | 1p | +| | Utilizând metoda integrării prin părți obținem:
$I_{1}=\int x \sin x \cdot e^{\cos x} d x=\int x\left(-e^{\cos x}\right)^{\prime} d x=-x \cdot e^{\cos x}+\int e^{\cos x} d x$ | 2p | +| $I_{2}=\int \frac{\cos x}{\sin ^{2} x} \cdot e^{\cos x} d x=\int\left(-\frac{1}{\sin x}\right) \cdot e^{\cos x} d x=-\frac{e^{\cos x}}{\sin x}-\int e^{\cos x} d x$ | 2p | | +| | Avem: $F(x)=I_{1}+I_{2}=-x \cdot e^{\cos x}+\int e^{\cos x} d x-\frac{e^{\cos x}}{\sin x}-\int e^{\cos x} d x=-x \cdot e^{\cos x}-\frac{e^{\cos x}}{\sin x}+C$ | 1p | +| | Din $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}-1$ obținem $C=0$ și $F:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=-\frac{x \sin x+1}{\sin x} e^{\cos x}$ | 2p | + + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Dacă $e$ este elementul neutru al grupului $x \circ e=e \circ x=x, \forall x \in G$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dar pentru $b=0$ avem $a x=x+e x^{2}, \forall x \in G$ ceea ce este imposibil, deci $e=0$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| Astfel pentru $e=0$ avem $a x=x, \forall x \in G$ de unde $a=1$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Din $0 \circ x=x, \forall x \in G$ obținem $b x=x, \forall x \in G$ de unde $b=1$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Pentru $a=1$ și $b=1$ se verifică axiomele grupului | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 4.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Obţinem sume diferite pe anumite rânduri în funcţie de c.m,m.d.c. al numărului din
faţa liniei şi 24. Notăm cu $a$ numărul din faţa unui rând. | $\mathbf{1 p}$ | +| Dacă $(24, a)=1$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi $1+2+\ldots+23=276$,
şi avem 8 astfel de rânduri: $1,5,7,11,13,17,19,23$. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dacă $(24, a)=2$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi
$(0+2+4+\ldots+22) \cdot 2=264$, şi avem 4 astfel de rânduri: $2,10,14,22$. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dacă $(24, a)=3$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi
$(0+3+6+\ldots+21) \cdot 3=252$, şi avem 4 astfel de rânduri: $3,9,15,21$. | | | +| Dacă $(24, a)=4$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi
$(0+4+8+16+20) \cdot 4=240$, şi avem 2 astfel de rânduri: 4 şi 20. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dacă $(24, a)=6$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi
$(0+6+12+18) \cdot 6=216$, şi avem 2 astfel de rânduri: 6 şi 18. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dacă $(24, a)=8$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi $(0+8+16) \cdot 8=192$,
şi avem 2 astfel de rânduri: 8 şi 16. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Dacă $(24, a)=12$, atunci suma elementelor de pe acest rând va fi $(0+12) \cdot 12=144$,
şi avem un singur astfel de rând: 12. | $\mathbf{1 p}$ | | +| Alte posibilităţi nu sunt, deci
$S_{24}=8 \cdot 276+4 \cdot 264+4 \cdot 252+2 \cdot 240+2 \cdot 216+2 \cdot 192+144=5712$ | | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-37-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VI enunturi si raspunsuri-cl_6_enunturiraspunsuri2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-37-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VI enunturi si raspunsuri-cl_6_enunturiraspunsuri2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..24f8990d5eef17bb70386e19977413c731f933c6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-37-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VI enunturi si raspunsuri-cl_6_enunturiraspunsuri2.md @@ -0,0 +1,228 @@ +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa II - 20 martie 2021
clasa a VI-a + +## Timp de lucru 120 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +## Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Într-o şcoală de muzică sunt 45 de elevi. Dintre aceştia, 10 elevi studiază numai flautul, 29 elevi studiază vioara şi 18 elevi studiază pianul. Câţi elevi studiază şi pianul şi vioara? +A 11 +B 16 +C 21 +D 6 +E 12 + +R: $\mathbf{E}$. + +2. Într-un grup de elevi, raportul dintre numărul fetelor şi numărul băieţilor este $\frac{6}{5}$. Dacă numărul fetelor este cu 4 mai mare decât numărul băieţilor, aflaţi câţi elevi sunt în grup. +A 44 +B 48 +C 55 +D 56 +E 66 + +$\mathrm{R}: \mathbf{A}$. + +3. Un obiect se scumpeşte cu $25 \%$. Cu cât la sută ar trebui să se ieftinească, pentru a ajunge la preţul iniţial? +A $25 \%$ +B $10 \%$ +C $24 \%$ +D $20 \%$ +E $22 \%$ + +R: D. + +4. În interiorul unghiului $\angle A O B$ cu măsura de $75^{\circ}$ este inclusă semidreapta $O C$, iar punctul $D$ nu aparţine interiorului unghiului $\angle A O B$. Dacă măsura unghiului $\angle A O C$ este egală cu $30^{\circ}$, semidreapta $O B$ este bisectoarea unghiului $\angle C O D, O E$ este semidreapta opusă semidreptei $O A$ şi $O F$ este semidreapta opusă semidreptei $O D$, atunci măsura unghiului $\angle E O F$ este egală cu: +A $75^{\circ}$ +B $90^{\circ}$ +C $120^{\circ}$ +D $135^{\circ}$ +E $45^{\circ}$ + +## $\mathrm{R}: \mathrm{C}$. + +5. În triunghiul ascuţitunghic $A B C$, punctul $H$ este ortocentrul său. Dacă măsura unghiului $\angle B H C$ este $130^{\circ}$, iar $\frac{\angle A B C}{5}=\frac{\angle A C B}{8}$, atunci măsura unghiului $\angle A B C$ este: +A $40^{\circ}$ +B $50^{\circ}$ +C $90^{\circ}$ +D $80^{\circ}$ +E $130^{\circ}$ + +R: B. + +6. La un concurs de matematică participă elevi din clasele a IV-a, a V-a şi a VI-a. Dacă $60 \%$ nu sunt în clasa a IV-a şi $65 \%$ nu sunt în clasa a V-a, atunci procentul elevilor de clasa a VI-a care participă la concurs este egal cu: +A $65 \%$ +B $35 \%$ +C $40 \%$ +D $25 \%$ +E $60 \%$ + +## R: D. + +7. Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B=A C$ şi $\angle B A C=120^{\circ}$. Dacă $A P \perp B C$, punctul $P$ aparţine laturii $B C, C Q \perp A B$ şi punctul $Q$ aparţine dreptei $A B$, atunci măsura unghiului $\angle A P Q$ este egală cu: +A $30^{\circ}$ +B $60^{\circ}$ +C $90^{\circ}$ +D $120^{\circ}$ +E $15^{\circ}$ + +## $\mathrm{R}: \mathbf{A}$. + +8. Care este cel mai mare număr natural $n$, pentru care $3^{n}$ divide numărul $19 \cdot 18 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1-18 \cdot 17 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ ? +A 8 +B 10 +C 12 +D 6 +E 2 + +R: B. + +9. Fie mulţimea $M=\left\{\overline{a b c} \left\lvert\, \frac{a+b}{b+c}=\frac{a-b}{c-b}\right., a>b, c>b\right\}$. Numărul de elemente ale mulţimii $M$ este: +A 36 +B 126 +C 45 +D 117 +E 153 + +R: D. + +10. Mulţimea numerelor naturale impare se împarte în grupe, astfel: + +$$ +\underbrace{\{1\},}_{\text {grupa }} \underbrace{\{3,5\}}_{\text {grupa } 2}, \underbrace{\{7,9,11\}}_{\text {grupa } 3}, \underbrace{\{13,15,17,19\}}_{\text {grupa } 4}, \cdots +$$ + +Grupa 100 începe cu numărul: +A 9901 +B 101 +C 4951 +D 5051 +E 10101 + +$\mathrm{R}: \mathbf{A}$. + +11. Determinaţi numărul mulţimilor de patru elemente $\{a, b, c, d\}$, care sunt submulţimi ale mulţimii $\{1,2,3, \ldots, 2021\}$ şi au proprietatea $a+b=c+d=2021$. +A $2020 \cdot 2021$ +C $1010 \cdot 2021$ +B $1010 \cdot 1011$ +D $1009 \cdot 1010$ +E $505 \cdot 1009$ + +R: E. + +12. Mulţimea $A$ este inclusă în mulţimea numerelor întregi şi produsul elementelor sale este 330 . Numărul maxim de elemente ale mulţimii $A$ este egal cu: +A 4 +B 5 +C 6 +D 11 +E 22 + +R: C. + +13. Pe segmentul $A B$ se consideră punctele $C$ şi $D$ astfel încât $A C=C D=D B$. Dacă cercurile cu centrele în punctele $C$ şi $D$ şi lungimea razei egală cu $\frac{A B}{3}$ se intersectează în punctele $E$ şi $F$, atunci măsura unghiului $\angle E A F$ este egală cu: +A $30^{\circ}$ +B $60^{\circ}$ +C $90^{\circ}$ +D $120^{\circ}$ +E $150^{\circ}$ + +## $\mathrm{R}: \mathrm{B}$. + +14. Numerele naturale $x, y, z$ sunt direct proporţionale cu numerele prime $p, q, r$. Dacă $p \cdot q \cdot r=30$ şi $x+y+z=100$, atunci suma ultimelor 2021 de cifre ale numărului $A=x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}$ este egală cu: +A 2021 +B 2020 +C 6 +D 4 +E 2 + +R: $\mathrm{E}$. + +15. Câte perechi de numere întregi $(n, k)$ au proprietatea $\frac{4}{n^{2}+2}=\frac{k^{2}}{51}$ ? +A 2 +B 4 +C 6 +D 8 +E 16 + +## $\mathrm{R}: \mathrm{B}$. + +16. Câte fracţii reductibile sunt în şirul $\frac{100}{1}, \frac{102}{3}, \frac{104}{5}, \frac{106}{7}, \ldots, \frac{160}{61}$ ? +A 10 +B 12 +C 13 +D 9 +E 14 + +R: B. + +17. Ana îşi pregăteşte în fiecare dimineaţă o băutură miraculoasă în felul următor: toarnă într-un vas gradat, care are capacitatea de $350 \mathrm{ml}, 100 \mathrm{ml}$ de miere de albine, după care toarnă $200 \mathrm{ml}$ de ceai, apoi completează cu $50 \mathrm{ml}$ dintr-un lichid care este ingredientul secret şi amestecă. Într-o dimineaţă nu a fost atentă când a adăugat ceaiul şi a turnat până s-a umplut vasul, dar fără să verse pe jos. Care este cantitatea minimă de amestec ceai - miere care trebuie vărsată astfel ca, după ce va adăuga cantitatea de miere conţinută în amestecul aruncat, ceai şi $50 \mathrm{ml}$ din ingredientul secret, să obţină $350 \mathrm{ml}$ de băutură după reţeta stabilită? +A $50 \mathrm{ml}$ +B $55 \mathrm{ml}$ +C $65 \mathrm{ml}$ +D $70 \mathrm{ml}$ +E $75 \mathrm{ml}$ + +## R: D. + +18. Vom spune că un număr natural se numeşte interesant dacă suma pătratelor cifrelor sale este un pătrat perfect. Dacă $N$ este cel mai mic număr interesant de 4 cifre distincte atunci: +A $N<1010$ +B $1010 \leq N<2000$ +C $2000 \leq N<3000$ +D $3000 \leq N<4000$ +$\mathbf{E} N \geq 4000$ + +## $\mathrm{R}: \mathrm{B}$ + +19. Fie muļ̧imea $A=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}+y^{2}}{26}=\frac{x \cdot y}{[x, y]}\right., x, y \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ unde $[x, y]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $x$ si $y$. Numărul de elemente ale mulţimii $A$ este: +A 2 +B 6 +C 3 +D 4 +E 5 + +## R: E. + +20. Dacă $s$ este suma numerelor naturale nenule $n$ cu proprietatea că numărul $n^{2}$ are exact $n$ divizori numere naturale, atunci: +A $3 \leq s \leq 5$ +B $51000$ + +R: A. + +21. O firmă intenţionează să construiască, de aceeaşi parte a unei străzi, 8 case care vor purta numerele $1,2,3, \ldots, 8$. Casele pot fi din cărămidă sau din lemn. Normele prevăd că se pot construi oricâte case din lemn, dar nu pot exista mai mult de trei case de lemn cu numere consecutive. Dacă $n$ este numărul de variante pe care le are la dispoziţie firma de construcţii pentru a construi cele 8 case, atunci $n$ este egal cu: +A 256 +B 232 +C 208 +D 156 +E 128 + +R: C. + +22. Cel mai mare număr natural $p$ pentru care există numerele naturale consecutive $a_{1} ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A XI-A + +1.) Se consideră matricea $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 2016 \\ 0 & 2\end{array}\right)$. Determinați matricea $X \in M_{2}\left(\mathbb{R}_{+}\right)$pentru care au loc relațiile $A \cdot X=X \cdot A$ și $X^{2016}+X=A$. + +2.) Fie $a, b, c$ respectiv $A, B, C$ lungimile laturilor, respectiv măsurile unghiurilor unui triunghi. Arătați că: $\left|\begin{array}{lll}b \cos C & c \cos B & \sin A \\ c \cos A & a \cos C & \sin B \\ a \cos B & b \cos A & \sin C\end{array}\right|=0$. + +3.) Se consideră șirul recurent $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ pentru care $a_{0}=2$ și $a_{n+1}$ este egal cu modulul soluțiilor complexe ale ecuației de gradul doi cu coeficienți numere reale $z^{2}-a_{n} z+a_{n}=0$. + +a) Determinați în funcție de $n$ formula termenului general al șirului. + +b) Calculaţi limita șirului $\left(b_{n}\right)_{n \in N}$, unde $b_{n}=2^{n}\left(a_{n}-1\right)$. + +4.) Pentru fiecare mulțime din mulțimile $A_{n}=\{1,2, \ldots, n\}$, se consideră mulțimea $B_{n} \subset A_{n}$ după următoarea regulă: pentru orice $x, y \in B_{n}, x \leq y$ avem $x y \notin B_{n}$ și $B_{n}$ conține cele mai multe elemente posibile. Formăm șirul $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1} \mathrm{cu} b_{n}=\left|B_{n}\right|$ (cardinalul mulțimii $B_{n}$ ), pentru orice $n \in N^{*}$. + +a) Determinați mulțimea $B_{2016}$ și calculați valoarea lui $b_{2016}$. + +b) Determinați formula termenului general al șirului $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ în funcție de $n$. + +c) Determinaţi termenul general al șirului $c_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n^{2}-1} b_{i}}{n^{4}}$ și calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$ în cazul în care există, sau arătați că această limită nu există. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +BAREM + +CLASA A XI-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Fie $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}\left(\mathbb{R}_{+}\right)$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | Din $A \cdot X=X \cdot A$ obținem $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & a\end{array}\right)$ | $2 p$ | +| | Demonstrăm cu inducție matematică că $X^{n}=\left(\begin{array}{cc}a^{n} & n a^{n-1} b \\ 0 & a^{n}\end{array}\right), n \in \mathbb{N}^{*}$ | $2 p$ | +| | Din egalitatea $X^{2016}+X=A$ obținem ecuațiile $a^{2016}+a=2$ și
$2016 a^{2015} \cdot b+b=2016$ | $2 p$ | +| | Din ecuaţia $a^{2016}+a=2 \Rightarrow a=1$ singura soluție reală pozitivă
și din ecuația $2016 a^{2015} \cdot b+b=2016 \Rightarrow b=\frac{2016}{2017}$
Soluția ecuației este: $X=\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{2016}{2017} \\ 0 & 1\end{array}\right)$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7067d180dcf06a56b7a7g-2.jpg?height=1019&width=1678&top_left_y=1586&top_left_x=220) + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | a) Ecuația de gradul doi cu coeficienți numere reale $z^{2}-a_{n} z+a_{n}=0$ are soluții
numere complex dacă $\Delta<0 \Leftrightarrow a_{n}^{2}-4 a_{n}<0 \Rightarrow a_{n} \in(0 ; 4)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Fie $z_{1}, z_{2}$ rădăcinile complexe ale ecuației, atunci $\left\|z_{1}\right\|^{2}=\left\|z_{2}\right\|^{2}=z_{1} \cdot z_{2}$
Deoarece $z_{1} \cdot z_{2}=a_{n}$ obținem $a_{n+1}=\left\|z_{1}\right\|=\sqrt{z_{1} \cdot z_{2}}=\sqrt{a_{n}}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Din $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}$ și $a_{0}=2$ obținem: $a_{1}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}, a_{2}=\sqrt{2^{\frac{1}{2}}}=2^{\frac{1}{2^{2}}}$ | $2 p$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7067d180dcf06a56b7a7g-3.jpg?height=328&width=1384&top_left_y=722&top_left_x=332) | $2 p$ | +| | b.) $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2^{n}\left(2^{\frac{1}{2^{n}}}-1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{\frac{1}{2^{n}}}-1}{\frac{1}{2^{n}}}=\ln 2$ | $2 \mathbf{p}$ | + +## 4.) Din oficiu + + $1 \mathbf{p}$a) Deoarece $\sqrt{2016}=44,89 \ldots$, obținem că pentru elementele mulțimii $B_{2016}=\{45,46, \ldots, 2016\}$ are loc relația $x y \notin B_{2016}, \forall x, y \in B_{2016}, x \leq y$. + +Dacă am completa cu orice alt element $x$ din mulțimea $A_{2016}=\{1,2, \ldots, 2016\}$, elementul $45 x$ aparține mulțimii $B_{2016}=\{45,46, \ldots, 2016\}$. Deci numărul elementelor mulțimii $B$ nu poate fi mărit. + +$b_{2016}=\left|B_{2016}\right|=2016-45+1=1972$ + +b) Generalizând rezultatul obținut la punctul a) obținem: $b_{n}=n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor$. + +c) Deoarece $b_{i}=i-k$, pentru $\forall i \in \underbrace{\left\{k^{2}, k^{2}+1, \ldots,(k+1)^{2}-1\right\}}_{2 k+1 \text { elemente }}$, avem + +$\sum_{i=1}^{n^{2}-1} b_{i}=\sum_{i=1}^{n^{2}-1}(i-[\sqrt{i}])=\sum_{i=1}^{n^{2}-1} i-\sum_{k=1}^{n-1} k(2 k+1)=\frac{\left(n^{2}-1\right) n^{2}}{2}-\left[2 \frac{(n-1) n(2 n-1)}{6}+\frac{n(n-1)}{2}\right]=$ $=\frac{3 n^{4}-4 n^{3}+3 n^{2}}{6}$. + +Limita căutată este: $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{4}-4 n^{3}+3 n^{2}}{6 n^{4}}=\frac{1}{2}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-371-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-371-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c77c1fa970a1a4edc5183816161d8b9966b9c932 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-371-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A X-A + +1.) Rezolvați ecuațiile de mai jos: +a) $3^{n}+2^{n}=9^{\log _{2} n}+n^{2}, n \in \mathbb{N}^{*}$ +b) $\left(625^{x}+5^{\frac{1}{x}}\right)\left(81^{x}+3^{\frac{1}{x}}\right)=900, x \in \mathbb{R}^{*}$. + +2.) Dacă $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \in[2,3]$, arătați că: + +$\log _{a_{1}}\left(5 a_{2}-6\right)+\log _{a_{2}}\left(5 a_{3}-6\right)+\ldots+\log _{a_{n-1}}\left(5 a_{n}-6\right)+\log _{a_{n}}\left(5 a_{1}-6\right) \geq 2 n$ + +3.) Se consideră funcția $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, astfel încât $f(f(x))=4 x, \forall x \in \mathbb{Z}$. Demonstrați că: +a) $f(0)=0$ +b) $f\left(4^{n}\right)=4^{n} f(1), \forall n \in \mathbb{N}$ + +4.) a) Determinați elementele mulțimii: $M=\left\{z \in \mathbb{C}|| z \mid=1\right.$ és $\left.\left|\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right|=1\right\}$. + +b) Fie $\alpha$ și $\beta$ soluțiile ecuației $z^{2}-z+1=0$. + +Calculați valoarea expresiei: $(\alpha-1)^{2016}+(\beta-1)^{2016}$. + +c) Arătați că pentru $z \in \mathbb{C},|z|=1$ are loc inegalitatea: $|z+1|+\left|z^{2}+1\right|+\left|z^{3}+1\right| \geq 2$ + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +BAREM + +CLASA A X-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | a) $3^{n}+2^{n}=9^{\log _{2} n}+n^{2} \Leftrightarrow 3^{\log _{2} 2^{n}}+2^{n}=3^{\log _{2} n^{2}}+n^{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Fie $f: N \rightarrow R, f(x)=3^{\log _{2} x}+x \Rightarrow$ ecuaţia de mai sus este echivalentă cu
$f\left(2^{n}\right)=f\left(n^{2}\right)$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Funcţia $f$ este strict crescătore, deci injectivă adică $f\left(2^{n}\right)=f\left(n^{2}\right) \Leftrightarrow 2^{n}=n^{2}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | Soluţiile naturale ecuaţiei sunt $n_{1}=2, n_{2}=4$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | b) Dacă $x<0$, atunci fiecare factor din membrul stâng este mai mic decât 2 , deci
produsul fiind mai mic decât 4 , nu poate fi egal cu 900 . | $\mathbf{1 p}$ | +| | Pentru sumele din paranteze aplicăm inegalitatea mediilor:
$\left(625^{x}+5^{\frac{1}{x}}\right)\left(81^{x}+3^{\frac{1}{x}}\right) \geq 2 \sqrt{625^{x} \cdot 5^{\frac{1}{x}}} \cdot 2 \sqrt{81^{x} \cdot 3^{\frac{1}{x}}}=2 \cdot 25^{x} \cdot 5^{\frac{1}{2 x}} \cdot 2 \cdot 9^{x} \cdot 3^{\frac{1}{2 x}}=$
$=4 \cdot 5^{2 x+\frac{1}{2 x}} \cdot 3^{2 x+\frac{1}{2 x}}=4 \cdot 15^{2 x+\frac{1}{2 x}} \geq 4 \cdot 15^{2}=900$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Avem egalitate atunci şi numai atunci, dacă $2 x+\frac{1}{2 x}=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_021a6e0b922fa2ab55c3g-2.jpg?height=625&width=1667&top_left_y=1691&top_left_x=226) + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| a) Înlocuind $f(x)$ în relația $f(f(x))=4 x$ obținem $f(f(f(x)))=4 f(x)$
pe de altă parte $\left(f^{\circ} f^{\circ} f\right)(x)=f(4 x)$ | 2p | | +| | Din cele două relații rezultă că $f(4 x)=4 f(x)$ și pentru $x=0$ se obține $f(0)=0$. | 2p | + + +| | b) Din $f(4 x)=4 f(x)$, pentru $x=1,4,4^{2}, \ldots, 4^{n-1}$. Rezultă că $f\left(4^{n}\right)=4^{n} f(1)$. | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Demonstrația se face prin inducție matematică. | $3 \mathbf{p} \quad$ | +| 4.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| | a) $z \in \mathbb{C} \Rightarrow z=a+i b, a, b \in \mathbb{R}$. Din $\|z\|=1 \Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $\left\|\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{\bar{z}}\right\|=1 \Leftrightarrow \frac{\left\|z^{2}+\bar{z}^{2}\right\|}{\|z \bar{z}\|}=1 \Leftrightarrow\left\|z^{2}+\bar{z}^{2}\right\|=1 \Rightarrow\left\|a^{2}-b^{2}\right\|=\frac{1}{2}$ | $2 p$ | +| | Rezolvând sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}=1 \\ \left\|a^{2}-b^{2}\right\|=\frac{1}{2}\end{array}, a, b \in \mathbb{R}\right.$ obținem soluțiile:
$z= \pm \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \quad$ şi $z= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i \frac{1}{2}$ | $2 \mathbf{p} \quad$ | +| | b) Deoarece $\alpha$ și $\beta$ sunt soluțiile ecuației $z^{2}-z+1=0$
$\Rightarrow \alpha^{2}-\alpha+1=0, \beta^{2}-\beta+1=0 \Rightarrow \alpha-1=\alpha^{2}, \beta-1=\beta^{2}$ | 1p | +| | Înmulțind ecuațiile cu $\alpha+1$, respectiv $\beta+1 \Rightarrow \alpha^{3}=-1, \beta^{3}=-1$ de unde obținem:
$(\alpha-1)^{2016}+(\beta-1)^{2016}=\left(\alpha^{3}\right)^{1344}+\left(\beta^{3}\right)^{1344}=2$ | $2 \mathbf{p} \quad$ | +| | c) $2=2\|z\|=\|2 z\|=\left\|(z+1)+z\left(z^{2}+1\right)+\left(-z^{3}-1\right)\right\| \leq\|z+1\|+\|z\| \cdot\left\|z^{2}+1\right\|+\left\|z^{3}+1\right\|$ | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-372-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-372-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae4da4b120600b43fc047b266c3af945e6cdd4bc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-372-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,83 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A VIII-A + +1.) Decideţi dacă sunt adevărate următoarele propoziţii: + +$\left(P_{1}\right):(\sqrt{14}-\sqrt{6}) \cdot \sqrt{5+\sqrt{21}}$ este număr natural. + +$\left(P_{2}\right): 5^{27} \in\left(2^{63} ; \infty\right)$ + +$\left(P_{3}\right):(-1)^{n}+(-1)^{m+n}+(-1)^{m}+(-1)^{m \cdot n}$ se divide cu 4 pentru orice $m, n \in \mathbb{N}$, unde $n$ este număr par. + +2.) Calculaţi valoarea expresiei $\frac{a^{8}+a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1}{a^{4}}$, dacă $a+\frac{1}{a}=5$. + +3.) Fie $A B C D$ un romb, astfel încât $A B \subset \alpha$ şi măsura unghiului dintre planul rombului şi planul $\alpha$ este de $45^{\circ}$. Calculaţi sinusul unghiurilor dintre diagonalele rombului şi planul $\alpha$, ştiind că diagonalele rombului sunt de $6 \mathrm{~cm}$ şi de $8 \mathrm{~cm}$. + +4.) Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ сu $A B=A A^{\prime}=2 a$ şi $B C=a$. Fie $M, N, P$ mijloacele muchiilor $A B, D D^{\prime}$ respectiv $D^{\prime} C^{\prime}$. + +a) Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele $A N$ şi $M C$. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul $P$ la planul ( $D D^{\prime} B^{\prime}$ ). + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +BAREM + +CLASA A VIII-A + +1.) Din oficiu + +$\sqrt{5+\sqrt{21}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}^{2}+\sqrt{7}^{2}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ + +$(\sqrt{14}-\sqrt{6})=\sqrt{2} \cdot(\sqrt{7}-\sqrt{3})$ + +$(\sqrt{14}-\sqrt{6}) \cdot \sqrt{5+\sqrt{21}}=\sqrt{2} \cdot\left(\sqrt{7}^{2}-\sqrt{3}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=7-3=4 \in \mathbb{N}$. Deci, prima propoziţie este adevărată. + +$\left.\begin{array}{l}2^{63}=\left(2^{7}\right)^{9}=128^{9} \\ 5^{27}=\left(5^{3}\right)^{9}=125^{9}\end{array}\right\} \Rightarrow 5^{27}<2^{63} \Rightarrow 5^{27} \notin\left(2^{63} ; \infty\right)$ Aşadar, a doua propozitie nu este adevărată. + +## $n$ este număr par. + +Dacă $m$ este par atunci, atunci $m+n$ este par şi $m \cdot n$ este par, deci + +$(-1)^{n}+(-1)^{m+n}+(-1)^{m}+(-1)^{m \cdot n}=1+1+1+1=4$, ceea ce se divide cu 4. + +Dacă $m$ este impar atunci $m+n$ este impar şi $m \cdot n$ este par, deci + +$(-1)^{n}+(-1)^{m+n}+(-1)^{m}+(-1)^{m \cdot n}=1-1-1+1=0$, ceea ce se divide cu 4. + +Deci, a treia propoziţie este adevărată. + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\frac{a^{8}+a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1}{a^{4}}=a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{4}}=$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| $=\left(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\right)+\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)+\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)+\left(a+\frac{1}{a}\right)+1$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}=25-2=23$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| $a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)^{2}-2 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{a^{2}}=529-2=527$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| Cum $\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)=a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+a+\frac{1}{a}$, rezultă că | | | +| $a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)-\left(a+\frac{1}{a}\right)=23 \cdot 5-5=110$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $\left(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\right)+\left(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\right)+\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)+\left(a+\frac{1}{a}\right)+1=527+110+23+5+1=666$ | | | + + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Desen | $\mathbf{1 p}$ | | +| Fie $D T \perp \alpha, T \in \alpha$ şi $T P \perp A B, P \in A B$. | | | +| $D T \perp \alpha, T \in \alpha, A B \subset \alpha, T P \perp A B, P \in A B \stackrel{T .3 p .}{\Rightarrow} D P \perp A B$ | $\mathbf{2 p}$ | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65cf78d7f6141a08b2b0g-3.jpg?height=2555&width=1699&top_left_y=161&top_left_x=224) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-373-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-373-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dd5b0286ca2f5a92aff671743ccfad30407b1d9e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-373-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A VII-A + +1.) Comparaţi numerele $A=\frac{(-1)^{n}}{3 \cdot(-1)^{3}+6 \cdot(-1)^{6}+9 \cdot(-1)^{9}+\ldots+2016 \cdot(-1)^{2016}}$ si $B=(-1)^{n} \cdot \frac{1}{288}+(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{1008}+(-1)^{n+2} \cdot \frac{1}{2016}$, ştiind că $n$ este număr natural. + +2.) Să se determine numărul $\overline{a a b b a}, a$ şi $b$ fiind cifre scrise în sistemul zecimal, dacă $\sqrt{\overline{a a b b a}}=\overline{a a b}-b-a$. + +3.) Se consideră trapezul $A B C D(A B \| C D, A B>C D)$ şi se notează cu $E$ mijlocul laturii $A D$. Se construieşte $E P \perp B C, P \in(B C)$. + +a) Să se arate că $A_{[A B C D]}=E P \cdot B C$. + +b) Dacă $A B=3 \cdot D C$ şi $A_{[E A B]}=6 \mathrm{~cm}^{2}$, calculaţi aria trapezului $A B C D$. + +4.) În paralelogramul $A B C D$, bisectoarele unghiurilor $\hat{A}$ şi $\hat{D}$ se intersectează în punctul $M$, iar bisectoarele unghiurilor $\hat{B}$ şi $\hat{C}$ în punctul $N$. + +a) Calculaţi măsura unghiului $A \hat{M} D$. + +b) Dacă $A D ETAPA LOCALĂ
30 ianuarie 2016
BAREM
CLASA A VII-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | $A=\frac{(-1)^{n}}{3 \cdot(-1)^{3}+6 \cdot(-1)^{6}+9 \cdot(-1)^{9}+\ldots+2016 \cdot(-1)^{2016}}=\frac{(-1)^{n}}{-3+6-9+\ldots+2016}$ | | +| $A=\frac{(-1)^{n}}{(-3+6)+(-9+12)+\ldots+(-2013+2016)}=\frac{(-1)^{n}}{3 \cdot \frac{2016}{6}}=\frac{(-1)^{n}}{1008}$ | 4p | | +| | $B=(-1)^{n} \cdot \frac{1}{288}+(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{1008}+(-1)^{n+2} \cdot \frac{1}{2016}=\frac{(-1)^{n} \cdot 7+(-1)^{n+1} \cdot 2+(-1)^{n+2}}{2016}$ | 1p | +| Dacă $n$ este par, atunci $A=\frac{1}{1008}$
În acest caz $A În acest caz $A>B$. | 2p | | + + +| 2.) | Din oficiu | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\overline{a a b}-b-a=a \cdot 100+a \cdot 10+b-b-a=a \cdot 109$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Deşi $\sqrt{\overline{a a b b a}}=\overline{a a b}-b-a$, obţinem că $\sqrt{\overline{a a b b a}}=109 \cdot a$.
Atunci $\overline{a a b b a}=(109 \cdot a)^{2}=11881 \cdot a^{2}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $a$ este o cifră nenulă
Dacă $a=1$, atunci $\overline{a a b b a}=11881 \cdot a^{2} \Leftrightarrow \overline{11 b b 1}=11881 \cdot 1 \Rightarrow b=8$. | $2 \mathbf{p}$ | +| | Dacă $a=2 \Rightarrow 11881 \cdot a^{2}=11881 \cdot 4=47524$ nu este de forma $\overline{a a b b a}$.
Dacă $a \geq 3$, atunci $11881 \cdot a^{2} \geq 11881 \cdot 9=106929>\overline{a a b b a}$.
Deci, $a=1$ şi $b=8$. | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| Desen | | | +| | | 1p | + +$$ +\begin{array}{l|l} +\hline A_{[A B C D]}=A_{[E C B]}+\frac{A_{[A B C D]}}{2} \Rightarrow A_{[E C B]}=\frac{A_{[A B C D]}}{2} \Rightarrow A_{[A B C D]}=2 \cdot A_{[E C B]} \\ +A_{[E C B]}=\frac{B C \cdot E P}{2}, \text { deci } A_{[A B C D]}=2 \cdot \frac{B C \cdot E P}{2}=B C \cdot E P & \mathbf{2 p} \\ +\hline \text { b) } A_{[E A B]}=\frac{A B \cdot \frac{D H}{2}}{2}=\frac{3 C D \cdot \frac{D H}{2}}{2}=3 \cdot A_{[E D C]} \\ +A_{[E A B]}=6 \mathrm{~cm}^{2}, \operatorname{deci} A_{[E D C]}=\frac{A_{[E A B]}}{3}=2 \mathrm{~cm}^{2} \\ +A_{[E D C]}+A_{[E A B]}=\frac{A_{[A B C D]}}{2}, \text { deci } A_{[A B C D]}=2 \cdot\left(A_{[E D C]}+A_{[E A B]}\right)=16 \mathrm{~cm}^{2} & \mathbf{4 p} \\ +\hline +\end{array} +$$ + +4.) Din oficiu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb2607a73bbe288aa6e3g-3.jpg?height=386&width=676&top_left_y=806&top_left_x=541) +a) $A B C D$ este paralelogram $\Rightarrow m(\hat{A})+m(\hat{D})=180^{\circ}$ + +$[A M$ este bisectoarea unghiului $\hat{A},[D M$ este bisectoarea unghiului $\hat{D} \Rightarrow$ $\Rightarrow m(\hat{D A M})+m(\hat{A D M})=\frac{m(\hat{A})}{2}+\frac{m(\hat{D})}{2}=\frac{m(\hat{A})+m(\hat{D})}{2}=90^{\circ}$ + +În $\triangle A D M, m(\hat{D A M})+m(A \hat{D M})+m(\hat{A M D})=180^{\circ}$ + +Deci $m(\hat{A M D})=180^{\circ}-(m(\hat{A D M})+m(\hat{D A M}))=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. +b) $A B C D$ este paralelogram $\Rightarrow m(\hat{A})=m(\hat{C})$ şi $m(\hat{D})=m(\hat{B})$ + +Fie $A M \cap D C=\{T\}$. + +$A B \| D C \Rightarrow m(\hat{A T D})=m(\hat{B A T})=\frac{m(\hat{A})}{2}$ + +$m(\hat{A T D})=\frac{m(\hat{A})}{2}=\frac{m(\hat{C})}{2}=m(N \hat{C D}) \Rightarrow M T \| N C$ + +$m(\hat{A T D})=\frac{m(\hat{A})}{2}=m(\hat{D A T}) \Rightarrow D T=A D$ + +$A B C D$ este paralelogram $\Rightarrow A D=B C$, deci $D T=B C$ + +Deoarece $m(\hat{M D T})=\frac{m(\hat{D})}{2}=\frac{m(\hat{B})}{2}=m(N \hat{B C})$ şi $m(\hat{M T D})=\frac{m(\hat{C})}{2}=m(N \hat{C} B)$, iar $D T=B C$, rezultă că $\triangle M D T \equiv \triangle N B C$, de unde rezultă că $M T=N C$ $M T \| N C, M T=N C \Rightarrow M N C T$ este paralelogram $\Rightarrow M N \| T C$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-374-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-374-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad060d86b251370cc9407ffbdfa7dae31bfef14f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-374-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A VI-A + +1.) Produsul a trei numere impare consecutive este o cincime din numărul de şase cifre $\overline{A B A B A B}$. Aflaţi valorile cifrelor $A$ şi $B$. + +2.) Fie $A=\frac{6}{1} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{12}{3} \cdot \frac{15}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{5961}{1986} \cdot \frac{5964}{1987} \cdot \frac{5967}{1988} \cdot \frac{1}{1989}$. Să se aducă la forma cea mai simplă numărul $A$ şi să se precizeze ultima cifră a lui. + +3.) Unghiul format de bisectoarele unghiurilor adiacente $A \hat{O} B$ şi $B \hat{O} C$ are măsura de $115^{\circ}$. + +a) Să se determine $m(A \hat{O} C)$. + +b) Dacă semidreapta opusă bisectoarei unghiului $A \hat{O C}$ formează cu $[O B$ un unghi cu măsura de $57^{\circ}$ şi $m(\hat{A O B})>m(\hat{B O} C)$, să se determine $m(A \hat{O B})$ şi $m(\hat{B O} C)$. + +4.) Se dau punctele coliniare $A, B, C, D$ distincte, în această ordine, astfel încât $\frac{B C}{5}=\frac{C D}{3}$ şi $B D=16 \mathrm{~cm}$. + +a) Să se afle lungimile segmentelor $B C$ şi $C D$. + +b) Dacă $P$ este mijlocul segmentului $A D$ şi $P \in(B C)$, aflaţi valoarea în $\mathrm{cm}$ (exprimat cu număr natural) a lungimii segmentului $A D$, pentru care segmentele $A D, B C$ şi $P D$ pot fi laturile unui triunghi. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +BAREM + +## CLASA A VI-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Deoarece produsul a trei numere impare consecutive este o cincime din numărul
$\overline{A B A B A B}$, rezultă că $\overline{A B A B A B}$ este de 5 ori produsul celor trei numere impare
consecutive, de unde rezultă că $\overline{A B A B A B}$ este divizibil cu 5 şi $\overline{A B A B A B}$ este
număr impar.
Deci, $B=5$. | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\overline{A 5 A 5 A 5}=\overline{A 5} \cdot 10000+\overline{A 5} \cdot 100+\overline{A 5}=\overline{A 5} \cdot 10101$ | 1p | +| | $10101=3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37$
$\overline{A 5 A 5 A 5}=\overline{A 5} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37$ | 2p | +| | Deoarece
$\overline{A 5 A 5 A 5}=\overline{A 5} \cdot 7 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 37=(10 A+5) \cdot 7 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 37=5 \cdot(2 A+1) \cdot 7 \cdot 37 \cdot 3 \cdot 13$
este de 5 ori produsul a trei numere impare consecutive, rezultă că
$(2 A+1) \cdot 7 \cdot 37 \cdot 3 \cdot 13$ este produsul a trei numere impare consecutive.
Unul dintre cele trei numere impare consecutive este divizibil cu 37 . Dacă acel
număr ar fi $37 \cdot 3=111$ atunci celelalte două ar fi mai mari decât 100 , iar produsul
celor trei numere ar fi mai mare decât 1000000 , ceea ce nu este posibil.
Deci unul dintre cele trei numere impare consecutive este 37 .
Al doilea număr este divizibil cu 13 , deci poate fi numai 39 , care este egal cu $3 \cdot 13$.
Al treilea număr este divizibil cu 7 , deci poate fi numai 35 . Atunci
$(2 A+1) \cdot 7=35 \Rightarrow 2 A+1=5 \Rightarrow A=2$. | $4 \mathbf{p} \quad$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| $A=\frac{6}{1} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{12}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{5964}{1987} \cdot \frac{5967}{1988} \cdot \frac{1}{1989}=\frac{2 \cdot 3}{1} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot \frac{3 \cdot 4}{3} \cdot \ldots . \cdot \frac{3 \cdot 1988}{1987} \cdot \frac{3 \cdot 1989}{1988} \cdot \frac{1}{1989}$ | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $A=3^{1988}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $A=3^{1988}=\left(3^{4}\right)^{497}=81^{497}$
Ultima cifră a numărului $81^{497}$ este 1, deci ultima cifră a numărului $A$ este 1. | $\mathbf{2 p}$ | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba9c5033183b7cae957dg-2.jpg?height=546&width=1672&top_left_y=2142&top_left_x=223) + +``` +a) Fie \([O M\) bisectoarea unghiului \(A \hat{O} B\) şi \([O N\) bisectoarea unghiului \(B \hat{O} C\). +Atunci \(m(\hat{M O N})=115^{\circ}\). +\(m(\hat{A O B})+m(\hat{B O C})=2 \cdot m(\hat{M O B})+2 \cdot m(\hat{B O N})=2 \cdot(m(\hat{M O B})+m(\hat{B O N}))=\) +\(=2 \cdot m(\hat{M O N})=2 \cdot 115^{\circ}=230^{\circ}>180^{\circ}\) +\(m(\hat{A O B})+m(\hat{B O} C)+m(\hat{A O C})=360^{\circ}\) (unghiuri formate în jurul unui punct) +\(m(A \hat{O} C)=360^{\circ}-230^{\circ}=130^{\circ}\) +b) Fie \([O P\) bisectoarea unghiului \(A \hat{O} C\) şi \([O S\) semidreapta opusă semidreptei \([O P\). +\(m(\hat{A O P})=m(\hat{P O C})=\frac{m(\hat{A O C})}{2}=65^{\circ}\) +\(m(\hat{A O S})=180^{\circ}-m(\hat{A O P})=115^{\circ}\) +\(m(\hat{A O B})>m(\hat{B O} C)\) şi \(m(\hat{A O B})+m(\hat{B O} C)=230^{\circ} \Rightarrow m(A \hat{O B})>\frac{230^{\circ}}{2} \Rightarrow\) +``` + +$\Rightarrow m(\hat{A O B})>115^{\circ}$, şi cum $m(\hat{A O S})=115^{\circ}$, iar $S \in[A O ; B$, rezultă că +$S \in \operatorname{Int} A \hat{O B}$. +$m(\hat{A O B})=m(\hat{A O S})+m(\hat{S O B})=115^{\circ}+57^{\circ}=172^{\circ}$ +$m(\hat{B O} C)=230^{\circ}-m(\hat{A O B})=58^{\circ}$ + +| | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4.) | Fie $\frac{B C}{5}=\frac{C D}{3}=x$, atunci $B C=5 x$ şi $C D=3 x$
$B D=B C+C D=8 x$
$8 x=16 \Rightarrow x=2$
$B C=5 \cdot 2=10(\mathrm{~cm})$ şi $C D=3 \cdot 2=6(\mathrm{~cm})$ | | +| | | | +| | | | +| | | | +| | | | +| | | | +| | | | +| | $A D=2 P D$
$B \in(A D) \Rightarrow A D>B D \Rightarrow A D>16 \mathrm{~cm}$ | $2 p$ | +| | | | +| | $A D, B C$ şi $P D$ sunt laturile unui triunghi, dacă: $A D+B C>P D, A D+P D>B C$
şi $P D+B C>A D$.
$A D+B C>P D$, pentru că $A D>P D$ şi $B C>0$.
$A D+P D>B C$, pentru că $A D>B C$ şi $P D>0$.
$P D+B C>A D \Leftrightarrow P D+10>2 P D \Leftrightarrow P D<10$, deci a treia condiţie este îndeplinită
numai dacă $P D<10 \mathrm{~cm}$
$P D<10 \mathrm{~cm} \Rightarrow A D<20 \mathrm{~cm}$ | $2 p$ | +| | | | +| | | | +| | | | +| | | | +| | | | +| | $A D>16 \mathrm{~cm} \Rightarrow P D>8 \mathrm{~cm} \Rightarrow P D>C D$, iar din $P D<10 \mathrm{~cm} \Rightarrow P D îndeplinită condiţia: $P \in(B C)$
$A D>16 \mathrm{~cm}$ şi $A D<20 \mathrm{~cm} \Rightarrow A D=17 \mathrm{~cm} \mathrm{sau} A D=18 \mathrm{~cm}$ sau $A D=19 \mathrm{~cm}$ | 2p | +| | | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-375-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-375-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a50f6fffe802134a49566eedb49a1275ce5b18b9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-375-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A V-A + +1.) Să se determine numărul natural de forma $\overline{a b a c}, a \neq b \neq c$, ştiind că suma cifrelor acestui număr este egală cu numărul format din ultimele două cifre. Câte soluţii există? + +2.) Într-o cutie sunt bile roşii, galbene şi verzi. Numai 17 dintre ele nu sunt verzi şi numai 29 nu sunt roşii. Cele roşii sunt de două ori mai puţine decât cele verzi. Determinaţi numărul bilelor de fiecare culoare. + +3.) Paul a scris pe tablă toate numerele naturale de la 1 până la 2016. Apoi, Mihai a şters de pe tablă toate numerele care au ultima cifră 0 sau 5 şi 1-a întrebat pe Paul: + +- Crezi că poţi afla ultima cifră a produsului tuturor numerelor rămase pe tablă? +- Cu siguranţă, a răspuns Paul şi i-a explicat lui Mihai cum a procedat. + +Cum putea proceda Paul şi care a fost cifra găsită? + +4.) Ştefan va împlini $x$ ani în anul $x^{2}$. Care este anul de naştere al lui Ştefan, dacă se ştie că s-a născut între anii 1900 şi 2000 ? + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +30 ianuarie 2016 + +BAREM + +CLASA A V-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $a+b+a+c=\overline{a c}$ | 1p | +| | $2 a+b+c=10 a+c \Leftrightarrow 2 a+b=10 a$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $b=8 a \quad$ | 1p | +| | $a, b, c$ cifre $\Rightarrow a=1 \quad(a>1 \Rightarrow b>9)$ | $1 p$ | +| | $b=8 \quad$ | 1p | +| | $c \in\{0,2,3,4,5,6,7,9\} \quad(a \neq b \neq c \Rightarrow c \notin\{1,4\})$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\overline{a b a c} \in\{1810,1812,1813,1814,1815,1816,1817,1819\}$, deci există 8 soluții | $2 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| Dacă 17 dintre bile nu sunt verzi, atunci suma dintre numărul bilelor roşii şi numărul
bilelor galbene este 17.
Dacă 29 dintre bile nu sunt roşii, atunci suma dintre numărul bilelor verzi şi numărul
bilelor galbene este 29. | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| Numărul bilelor galbene este $29-24=5$. | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Produsul $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9$ se termină cu 6. | $\mathbf{2 p}$ | +| | Aşadar, şi produsele $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19, \ldots$, | | +| | | | +| | | | +| | $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9) \cdot \ldots \cdot(2001 \cdot 2002 \cdot 2003 \cdot 2004 \cdot 2006 \cdot 2007 \cdot 2008 \cdot 2009)$ | | +| este egal cu ultima cifră a produsului $6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6$, care este 6. | $4 p$ | | +| | Produsul $2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014 \cdot 2016$ are ultima cifră 4. | | +| | Iar $6 \cdot 4=24$, deci cifra găsită de Paul este 4. | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Din condiţile problemei rezultă că $x^{2}>1900$.
Deoarece $40^{2}=1600<1900, \ldots, 43^{2}=1849<1900,44^{2}=1936,45^{2}=2025$,
$46^{2}=2116$, rezultă că $x \geq 44$. | $3 \mathbf{p} \quad$ | +| | Anul naşerii este egal cu $x^{2}-x$, deci valoarea lui $x^{2}-x$ trebuie să fie între
numerele 1900 şi 2000 . | $2 \mathbf{p}$ | +| | $44^{2}-44=1936-44=1892,1892<1900$
$45^{2}-45=2025-45=1980,1980$ este între 1900 şi 2000
$46^{2}-46=2116-46=2070,2070>2000$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Deci, anul naşterii este 1980 . | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-376-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-376-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eeccc2494ad794e946536430dda1aa2de7df83b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-376-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,68 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +30 ianuarie 2016 + +## CLASA A IX-A + +1.) Dacă $x \in[-3,1]$ și $x-2 y+3=0$, calculaţi partea întreagă a expresiei + +$$ +K=\sqrt{x^{2}+y^{2}+6 x+9}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5} +$$ + +2.) Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ și relația $\frac{2 n}{a_{n}}=\frac{n+1}{a_{n+1}}+\frac{n-1}{a_{n-1}}$ unde $a_{1}=\frac{1}{3}, a_{2}=\frac{3}{7}$. + +a) Arătați că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, x_{n}=\frac{n}{a_{n}}$ este o progresie aritmetică și determinații rația progresiei, respectiv formula termenului general. + +b) Determinați subșirul $\left(y_{k}\right)_{k \geq 0}$ al șirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, care are termenii numere întregi. + +3.) a) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{\{x\}-\{x\}^{2}}$, unde $\{x\}$ este partea fracționară a numărului real $x$. + +Calculați suma: $f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(-\frac{3}{2}\right)+f\left(-\frac{5}{2}\right)+\ldots+f\left(-\frac{2015}{2}\right)$. + +b) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuația $\left[\sqrt{\frac{x+5}{3}}\right]=\frac{x+2}{3}$, unde cu $[a]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $a$. + +4.) În triunghiul $A B C$ se consideră punctele $M \in[B C], N \in[A C], P \in[A B]$ astfel încât $\frac{B M}{M C}=\frac{C N}{N A}=\frac{A P}{P B}$. Arătați că: + +a) cu segmentele $A M, B N, C P$ se poate construi un triunghi. + +b) Pentru orice punct $O$ din planul triunghiului $A B C$ are loc relația: + +$$ +\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} +$$ + +c) centrele de greutate ale triunghiurilor $A B C$ și $M N P$ coincid. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 ianuarie 2016
BAREM
CLASA A IX-A + +| 1.) | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $x \in[-3,1] \Rightarrow 0 \leq x+3 \leq 4 \Rightarrow\|x+3\|=x+3,-4 \leq x-1 \leq 0 \Rightarrow\|x-1\|=-x+1$ | $2 p$ | +| | $x \in[-3,1]$ si $x-2 y+3=0 \Rightarrow y=\frac{x+3}{2} \in[0,2]$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $K=\sqrt{x^{2}+6 x+9+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-2 x+1+y^{2}-4 y+4}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $K=\sqrt{(x+3)^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}}$ | 1p | +| | $\Rightarrow K=\|x+3\| \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}+\|x-1\| \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}(\|x+3\|+\|x-1\|)$ | $2 p$ | +| | $\Rightarrow K=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+3-x+1)=2 \sqrt{5}$ | $1 p$ | +| | $\Rightarrow[K]=\lfloor 2 \sqrt{5}\rfloor=4$ | $\mathbf{1 p}$ | +| 2.) | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| | a) $\frac{2 n}{a_{n}}=\frac{n-1}{a_{n-1}}+\frac{n+1}{a_{n+1}} \Rightarrow \frac{n}{a_{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{a_{n-1}}+\frac{n+1}{a_{n+1}}\right) \Leftrightarrow x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+x_{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ de
unde rezultă că $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie algebrică | $2 p$ | +| | Rația progresiei este $r=x_{2}-x_{1}=\frac{2}{a_{2}}-\frac{1}{a_{1}}=\frac{14}{3}-3=\frac{5}{3}$ | $\overline{1,5 p}$ | +| | $x_{n}=x_{1}+(n-1) r=3+(n-1) \frac{5}{3}=\frac{5 n+4}{3}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ | 1,5p | +| | b) $x_{n}=\frac{5 n+4}{3} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x_{n}=2 n+1-\frac{n-1}{3} \in \mathbb{Z} \stackrel{n \in \mathbb{N}^{*}}{\Rightarrow} \frac{n-1}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n-1=3 k, k \in \mathbb{N}$
de unde obținem $n=3 k+1, k \in \mathbb{N}$ | $3 p$ | +| | Subșirul cu termenii numere întregi este: $\left(y_{k}\right)_{k \geq 0}, y_{k}=x_{3 k+1}=5 k+3, k \in \mathbb{N}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| | a) $x=[x]+\{x\}, \forall x \in \mathbb{R}$ unde $\{\mathrm{x}\} \in[0,1)$ și $\{x+n\}=\{x\}, \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}$ | 1p | +| | $-\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2},-\frac{3}{2}=-2+\frac{1}{2}, \ldots,-\frac{2015}{2}=-1008+\frac{1}{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\Rightarrow f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\ldots=f\left(-\frac{2015}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow$
Suma cerută este: $1008 \cdot \frac{1}{2}=504$ | $2 \mathbf{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c81dcd469662e2db8fb8g-3.jpg?height=1673&width=1689&top_left_y=157&top_left_x=206) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-377-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-377-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1da0e89214d27a566fb2e45fe6a88e713cbe96fe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-377-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanţa 21.02.2016 + +## Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL 1 + +Fie $f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{1}{e^{2 x}+1}$. + +a) Calculaţi $\int e^{x} f(x) d x$. + +b) Determinaţi primitiva F a lui $\mathrm{f}$ cu $\mathrm{F}(0)=1$. + +c) Calculaţi $\int(f(x)+f(-x)) d x$. + +GMB + +## SUBIECTUL 2 + +Fie $(G, \circ)$ şi $\left(G,{ }^{*}\right)$ două grupuri definite pe aceeaşi mulţime G, care au acelaşi element neutru şi care verifică $x * y=(x \circ x) \circ(x \circ y),(\forall) x, y \in G$. Să se arate că cele două legi de compoziţie coincid şi că grupul definit este comutativ. + +## SUBIECTUL 3 + +Fie (G,.) un grup şi $f: G \rightarrow G$ o funcţie cu proprietatea : $f(x \cdot f(y))=y \cdot f(x), \forall x, y \in G$. + +a) Arătaţi că $\mathrm{f}$ este bijectivă şi că $f(x \cdot y)=f(y) \cdot f(x), \forall x, y \in G$. + +b) Daţi un exemplu de funcţie $\mathrm{f}$ care verifică proprietatea din enunţ. + +prof. Nelu Chichirim + +## SUBIECTUL 4 + +Să se arate că $\int_{1}^{n}\left[\log _{2} x\right] d x=n\left[\log _{2} n\right]-2^{\left[\log _{2} n\right]+1}+2$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real a. + +prof. Constantin Caragea + +## Notă: + +Timp de lucru 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanţa 21.02.2016 + +## Clasa a XII-a + +## Barem de corectare și notare + +## SUBIECTUL 1 + +a) Cu schimbarea de variabilă $t=e^{x}$ obţinem $\int e^{x} f(x) d x=\operatorname{arctg}\left(e^{x}\right)+C$ + +b) Cu schimbarea de variabilă $t=e^{x}$ şi $\int \frac{1}{e^{2 x}+1} d x=\int \frac{e^{x}}{e^{3 x}+e^{x}} d x$, calculăm + +$\int \frac{d t}{t^{3}+t}=\ln (t)-\frac{1}{2} \ln \left(t^{2}+1\right)+C$, revenind în substituţie avem $\int \frac{1}{e^{2 x}+1} d x=\ln \left(e^{x}\right)-\frac{1}{2} \ln \left(e^{2 x}+1\right)+C$, cum $F(0)=1$ avem $c=1+\ln \sqrt{2}$ ..3p. Am folosit că $\frac{1}{t^{3}+t}=\frac{1}{t}-\frac{t}{t^{2}+1}$. + +c) Avem succesiv $\int\left(\frac{1}{e^{2 x}+1}+\frac{1}{e^{-2 x}+1}\right) d x=\int\left(\frac{1}{e^{2 x}+1}+\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}\right) d x=\int 1 d x=x+C$ + +## SUBIECTUL 2 + +Dacă alegem $y=e \Rightarrow \mathrm{x} * \mathrm{e}=(x \circ x) \circ(x \circ e), x=(x \circ x) \circ x, \forall x \in G$ $.2 p$ + +deci $x \circ x=e, \forall x \in G$ $.2 p$ + +Obţinem că $\mathrm{x} * \mathrm{y}=\mathrm{e} \circ(\mathrm{x} \circ \mathrm{y})=\mathrm{x} \circ \mathrm{y}, \forall x, y \in G$, deci legile coincid $1 p$ + +Cum grupul are proprietatea $\mathrm{x} \circ \mathrm{x}=\mathrm{e}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{G}$ rezultă comutativitatea $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL 3 + +a) Pentru $x=e$, element neutru avem $f(f(y))=y \cdot f(e), \forall y \in G$, dar $g: G \rightarrow G, g(y)=y \cdot a$ este bijectivă pentru a din $\mathrm{G}$, avem că $f \circ f$ este bijectivă şi obţinem şi $f$ bijectivă + +b) exemplu $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{-1}$ verifică. $1 p$ + +## SUBIECTUL 4 + +Scriem $I=\int_{1}^{n}\left[\log _{2} x\right] d x=\int_{1}^{2}\left[\log _{2} x\right] d x+\int_{2}^{2^{2}}\left[\log _{2} x\right] d x+\ldots+\int_{2^{k-1}}^{2^{k}}\left[\log _{2} x\right] d x+\int_{2^{k}}^{n}\left[\log _{2} x\right] d x$, unde $k \in N$ şi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bc91a54b7d8da014a986g-2.jpg?height=63&width=1282&top_left_y=2104&top_left_x=244) + +Obţinem că $I=1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+\ldots+(k-1) \cdot 2^{k-1}+k \cdot\left(n-2^{k}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.................. + +$I=n\left[\log _{2} n\right]-2^{\left[\log _{2} n\right]+1}+2$, folosind eventual + +$1+2 x+3 x^{2}+\ldots+n x^{n-1}=\left(x+x^{2}+\ldots+x^{n}\right)^{\prime}=\frac{n x^{n+1}-(n+1) x^{n}+1}{(x-1)^{2}}, x \neq 1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p}$ + +Notă : Orice altă soluție corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-378-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-378-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f7c2e546130b57cdc7ca6e5f9366deaa17017ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-378-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 21.02.2016 + +Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL 1 + +Fie $A, B \in M_{n}(C)$ simetrice si $C=A B-B A$. Să se arate că: + +a) Pentru $n=2 k+1 \quad, \operatorname{Det} C=0$, unde $\mathrm{k} \in \mathbf{N}$. + +b) Daca $P(x)=\operatorname{Det}\left(C+x I_{n}\right)$, atunci are loc relatia: $P(x)=(-1)^{n} P(-x)$, (o matrice egală cu transpusa sa se numește matrice simetrică) + +prof. Adriana Gurgui + +## SUBIECTUL 2 + +Fie $A, B \in \mathrm{M}_{2}(R)$ cu proprietatea că $\operatorname{Tr}\left(A^{2} B^{2}\right)=(\operatorname{Tr}(A B))^{2}$. Să se arate că $\operatorname{det}(A B-B A)=2 \cdot \operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B$. (S-a notat cu $\operatorname{Tr}(\mathrm{X})$ urma matricei X) + +prof. Cătălin Zîrnă + +## SUBIECTUL 3 + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left\{\sqrt{n^{2}+1}\right\}+\left\{\sqrt{n^{2}-1}\right\}\right)^{n}$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracționară a numărului $x \in R$. + +prof. Alexandru Cărnaru + +## SUBIECTUL 4 + +Fie şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, dat prin $x_{1}=\alpha$, cu $\alpha \in \mathrm{R}^{*}, \alpha \neq 2$ și $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+2 x_{n}+2}{x_{n}^{2}+1},(\forall) n \geq 1$. Să se calculeze: +a) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$, +b) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-1\right)^{n}$. + +prof. Dorin Arventiev + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 21.02.2016 + +Clasa a XI-a + +## Barem de corectare si notare + +## SUBIECTUL 1. + +a) Transpunând matricea C obtinem: + +$C^{t}=(A B-B A)^{t}=(A B-B A)^{t}=(A B)^{t}-(B A)^{t}=B^{t} A^{t}-A^{t} B^{t}==B A-A B=-C$ + +$3 p$ + +Asadar $C$ este o matrice antisimetrica de ordin impar si drept urmare + +$\operatorname{Det} C=\operatorname{Det}\left(-C^{t}\right)=(-1)^{n} \operatorname{DetC} C^{t}=(-1)^{2 k+1} \operatorname{Det} C=-\operatorname{Det} C_{\text {s }}$ de unde $\operatorname{Det} C=0$ + +b) $P(-x)=\operatorname{Det}\left(C-x I_{n}\right)=\operatorname{Det}\left(C-x I_{n}\right)^{t}=\operatorname{Det}\left(C^{t}-x I_{n}\right)=\operatorname{Det}\left(-C-x I_{n}\right)=$ $=(-1)^{n} \operatorname{Det}\left(C+x I_{n}\right)$ + +$.4 p$ + +## SUBIECTUL 2. + +Folosim Cayley-Hamilton pentru matricea (AB-BA) + +Cum $\operatorname{Tr}(\mathrm{AB}-\mathrm{BA})=0$ + +$1 p$ + +$(A B-B A)^{2}+\operatorname{det}(A B-B A) \cdot I_{2}=O_{2}$ (1) .............................................................................. $\mathbf{1 p}$ + +Folosim $\operatorname{Tr}(X Y)=\operatorname{Tr}(Y X)$ și $\operatorname{Tr}(a X+b Y)=a \operatorname{Tr} X+b \operatorname{Tr} Y$ și trecând la urmă în relația (1), + +obținem: $2 \operatorname{Tr}\left((A B)^{2}\right)-2 \operatorname{Tr}\left(A^{2} B^{2}\right)+2 \operatorname{det}(A B-B A)=0 \quad$ (2). + +$2 p$ + +$\operatorname{Dar}(A B)^{2}-\operatorname{Tr}(A B) \cdot A B+\operatorname{det}(A B) \cdot I_{2}=O_{2}$ $1 p$ + +şi prin trecere la urmă obținem $\operatorname{Tr}\left((A B)^{2}\right)-(\operatorname{Tr}(A B))^{2}+2 \operatorname{det}(A B)=0 \quad$ (3) $1 p$ + +$\operatorname{Cum}(\operatorname{Tr}(A B))^{2}=\operatorname{Tr}\left(A^{2} B^{2}\right)$, folosind relațiile (2) și (3), avem + +$\operatorname{det}(A B-B A)=2 \cdot \operatorname{det}(A B)=2 \operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B$ + +$1 p$ + +## SUBIECTUL 3 + +$\left\{\sqrt{n^{2}+1}\right\}=\sqrt{n^{2}+1}-\left[\sqrt{n^{2}+1}\right]$, dar $\sqrt{n^{2}+1}=\mathrm{n}$ pentru că $n \leq \sqrt{n^{2}+1}<\left(n+\frac{1}{2}\right)$ și $\left[\sqrt{n^{2}-1}\right]=n-1$ pentru că $n-1 \leq \sqrt{n^{2}-1}n_{\varepsilon}>1$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+1}-n+\sqrt{n^{2}-1}-n+1=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}+1-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+1}+n}+\frac{n^{2}-1-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-1}+n}+1\right)=0+1$ + +$2 p$ + +Avem limită de tip Euler + +$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left\{\sqrt{n^{2}+1}\right\}+\left\{\sqrt{n^{2}-1}\right\}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}-2 n\right)^{n}=e^{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}-2 n\right)}=\mathrm{e}^{0}=1$ + +$2 p$ + +## SUBIECTUL 4 + +a) $x_{n+1}-2=\frac{2 x_{n}-x_{n}^{2}}{x_{n}^{2}+1}=\frac{x_{n}}{x_{n}^{2}+1}\left(2-x_{n}\right)$, + +$\Rightarrow\left|x_{n+1}-2\right|=\left|x_{n}-2\right| \cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}^{2}+1}\right| \leq \frac{1}{2}\left|x_{n}-2\right|$ + +$1 p$ + +$\Rightarrow\left|x_{n}-2\right| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\left|x_{1}-2\right| \rightarrow 0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=2$ + +$1 p$ + +b) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-1\right)^{n^{1^{\infty}}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+x_{n}-2\right)^{\frac{1}{x_{n}-2}}\right]^{n\left(x_{n}-2\right)}=1$ + +$1 p$ + +$\left|n\left(x_{n}-2\right)\right| \leq \frac{n}{2^{n-1}}\left|x_{1}-2\right| \rightarrow 0 \Rightarrow n\left(x_{n}-2\right) \rightarrow 0$ + +$2 p$ + +Dacă $\alpha \in R^{*} \backslash\{1\}, \mathrm{x}_{n} \notin\{0,2\} \quad(\forall) n \in N^{*}$. + +Notă : Orice altă soluție corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-379-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-379-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..124ab575c6a8d19fe237a72ea8052e4d7597d7bd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-379-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanţa 21.02.2016 + +Clasa a X-a + +## SUBIECTUL 1 + +Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in(1 ; \infty), \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=9$. + +Arătaţi că $\sqrt{\log _{3} a^{b}+\log _{3} a^{c}}+\sqrt{\log _{3} b^{c}+\log _{3} b^{a}}+\sqrt{\log _{3} c^{a}+\log _{3} c^{b}} \leq 3 \sqrt{6}$. + +prof. Gabriela Constantinescu + +## SUBIECTUL 2 + +Fie $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$ cu $|\mathrm{x}-1| \leq \frac{1}{5}$. Determinaţi $x$ dacă $\sqrt[3]{(6-5 x)(4 x-3)}+\sqrt[3]{(5 x-4)(5-4 x)}=2$. prof. Alexandru Cărnaru + +## SUBIECTUL 3 + +Rezolvaţi ecuaţia $2 \cdot \log _{3}\left(x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right)=\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}$. + +prof. Niculae Cavachi + +## SUBIECTUL 4 + +Fie $z \in \mathbf{C}-\mathbf{R}$ astfel încât $z^{3}+z+1=0$. Arătaţi că $|z| \in(1, \sqrt{2})$. + +prof. Dorin Arventiev + +## Notă: + +Timp de lucru 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanţa 21.02.2016 + +## Clasa a X-a + +Barem de corectare și notare + +## SUBIECTUL 1 + +$\left(\sqrt{(b+c) \log _{3} a}+\sqrt{(a+c) \log _{3} b}+\sqrt{(b+a) \log _{3} c}\right)^{2} \leq(2 a+2 b+2 c) \log _{3}(a b c)=18 \cdot 3 \log _{3} \sqrt[3]{a b c} .3 \mathbf{p}$ $\leq 18 \cdot 3 \log _{3} \frac{a+b+c}{3}=54$. + +3 p, de unde concluzia + +$.1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL 2 + +Cum $|\mathrm{x}-1| \leq \frac{1}{5}$ sau $x \in\left[\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right]$ obținem că toate parantezele sunt pozitive + +și aplicăm inegalitatea mediilor + +$\sqrt[3]{(6-5 x)(4 x-3) \cdot 1}+\sqrt[3]{(5 x-4)(5-4 x) \cdot 1} \leq \frac{6-5 x+4 x-3+1}{3}+\frac{5 x-4+5-4 x+1}{3}=2$ $3 p$ + +cu egalitate când toate parantezele sunt egale cu 1 , obținem $x=1$ soluție unică + +$.2 p$ + +## SUBIECTUL 3 + +Domeniul este $[1 ; \infty)$. Avem $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=\frac{4}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}} \leq 2$, deoarece $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \geq 2, \forall x \geq 1$ ca funcție strict crescătoare $.3 p$ $\log _{3}\left(x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right) \leq 1 \Leftrightarrow x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \leq 3$ $1 p$ + +Notez $\sqrt[3]{x}=u, u \geq 1 \Rightarrow u^{4}-3 u+2 \leq 0 \Rightarrow(u-1)\left(u^{3}+u^{2}+u-2\right) \leq 0$ $.2 p$ + +dar $u^{3}+u^{2}+u-2 \geq 1$ și deci $(u-1) \leq 0 \Leftrightarrow u \leq 1 \Rightarrow u=1 \Rightarrow x=1$ soluție unică $.1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL 4 + +Fie $z=a+i b, a, b \in R, b \neq 0$, obținem $a^{3}+3 a^{2} b i-3 a b^{2}-b^{3} i+a+b i+1=0$ și avem + +$$ +\left\{\begin{array}{c} +a^{3}-3 a b^{2}+a+1=0(*) \\ +3 a^{2} b-b^{3}+b=0 \Leftrightarrow 3 a^{2}-b^{2}+1=0 +\end{array}\right. +$$ + +(dacă $a=0$ din (*) obținem $1=0$ fals ..........................2p. Deci $|z|>1$, din ecuația inițială obținem succesiv $|z|^{3}=|z+1| \leq|z|+1$ sau $|z|\left(|z|^{2}-1\right) \leq 1$. dar $|z|>1$ și $\left(|z|^{2}-1\right)>0$ implică $\left(|z|^{2}-1\right)<1$, deci $|z|<\sqrt{2}$ de unde concluzia $|z| \in(1, \sqrt{2})$ $3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-38-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. V enunturi si raspunsuri-cl_5_enunturiraspunsuri2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-38-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. V enunturi si raspunsuri-cl_5_enunturiraspunsuri2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2bd29edf281d04fc6bdc07e9f3de047671a22b0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-38-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. V enunturi si raspunsuri-cl_5_enunturiraspunsuri2.md @@ -0,0 +1,221 @@ +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Etapa II - 20 martie 2021 + +## Timp de lucru 120 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Fie $\overline{a b c}$ cel mai mic număr natural format cu trei cifre distincte, pentru care pătratul unei cifre este egal cu suma pătratelor celorlalte două cifre. Atunci suma $a+b+c$ este egală cu: +A 12 +B 8 +C 16 +D 19 +E 14 + +R: A. + +2. Dacă restul împărţirii numărului natural $n$ la 9 este 7 , iar restul împărţirii numărului natural $n$ la 8 este 5 , atunci restul împărţirii lui $n$ la 72 este egal cu: +A 13 +B 11 +C 31 +D 61 +E 36 + +## R: $\mathrm{D}$ + +3. Câte numere naturale de patru cifre conţin cifrele 2 ş 3 alăturate, în această ordine? +A 280 +B 279 +C 300 +D 243 +E 100 + +## $\mathrm{R}: \mathrm{B}$ + +4. Zece numere naturale consecutive se împart la 6 şi se adună resturile obţinute. Cea mai mare valoare posibilă a sumei acestor resturi este egală cu: +A 26 +B 27 +C 28 +D 29 +E 50 + +## $\mathrm{R}: \mathbf{D}$ + +5. Ordinea crescătoare a numerelor $a=2^{85}, b=3^{51}$ şi $c=5^{34}$ este: +A $ay$ şi $p=x^{2 n}+y$. Numărul numerelor naturale speciale, mai mici ca 1000, este +A 5 +B 4 +C 3 +D 2 +E 1 +R: D. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-380-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-380-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..704141ee63d208deb2d7d592f6ac5fda18faf477 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-380-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,125 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 21.02.2016 + +Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Fie $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{R},\left|x-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{3}{2},\left|y-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{3}{2}$. Ştiind că $\sqrt{(2-x)(y+1)}+\sqrt{(2-y)(x+1)}=3$, arătați că $\mathrm{x}+\mathrm{y}=1$. + +b) Se dau numerele $\mathrm{a}=1+\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots . .+\sqrt{2^{2015}}$ și $\mathrm{b}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}-\ldots .+\sqrt{2^{2015}}$. Arătați că $c=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ este număr natural. + +## SUBIECTUL 2 + +Aflați cardinalul mulțimii: + +$$ +A=\left\{\overline{a b c} / \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{b \sqrt{3}}{\sqrt{1}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}-\frac{2 c \sqrt{8}}{\sqrt{4}+\sqrt{8}+\sqrt{12}}=\frac{-3}{\sqrt{2}} ; a \neq b \neq c\right\} +$$ + +prof. Nicolae Jurubiță + +## SUBIECTUL 3 + +Fie pătratele $\mathrm{ABCD}$ şi $\mathrm{ABEF}$ cu $\mathrm{AB}=1 \mathrm{~m}$, astfel încât $\mathrm{EC}=\sqrt{2} m$. Se consideră cercul $\mathcal{C}(\mathrm{O}, r)$, circumscris patrulaterului CDFE şi se trasează diametrul cercului HI, H,IE $\mathcal{C}(\mathrm{O}, r), \mathrm{HI} \perp \mathrm{CD}$ şi $\mathrm{OI} \cap \mathrm{CD}=\{\mathrm{M}\}$. Dacă $\mathrm{HG} \perp(\mathrm{ABC})$ şi $\mathrm{IQ} \perp(\mathrm{ABC})$, unde $\mathrm{G}, \mathrm{Q} \in(\mathrm{ABC})$, să se determine lungimea razei $r$ şi aria poligonului AGBCQD. + +prof Mihai Pîrvu + +## SUBIECTUL 4 + +Fie triunghiul echilateral $A B C$ și punctele $M, N, D$ astfel încât $M \in(A B), N \in(A C), D \notin(A B C)$ și $A M=C N$ $=\frac{1}{3} \mathrm{BC}$ iar $\mathrm{AD} \perp(\mathrm{ABC})$. Arătați că $\mathrm{BN} \perp \mathrm{PD}$ unde $\{\mathrm{P}\}=\mathrm{NB} \cap \mathrm{MC}$. + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 21.02.2016 + +## Clasa a VIII-a + +$\underline{\text { Barem de corectare si notare }}$ + +## SUBIECTUL 1 + +a) $\left|\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{3}{2} \Rightarrow-1 \leq x \leq 2 \Rightarrow 2-x \geq 0, x+1 \geq 0$ $\left|\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{3}{2} . \Rightarrow-1 \leq y \leq 2 \Rightarrow 2-y \geq 0, y+1 \geq 0$ + +Din inegalitatea mediilor rezultă $\sqrt{(2-x)(y+1)}+\sqrt{(2-y)(x+1)} \leq \frac{2-x+y+1}{2}+\frac{2-y+x+1}{2}$ $\frac{2-x+y+1}{2}+\frac{2-y+x+1}{2} \geq 3$ + +$1 p$ + +Egalitatea are loc pentru $2-x=y+1,2-y=x+1 \Rightarrow x+y=1$. $.1 p$ + +b) $\mathrm{a}=1+\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots+\sqrt{2^{2015}} \mid \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} \mathrm{a}=\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2015}}+\sqrt{2^{2016}}$ Scădem cele două relații și obținem: $a=\frac{2^{1008}-1}{\sqrt{2}-1}$. $1 \mathbf{1 p}$ $\mathrm{b}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2015}} \mid(-\sqrt{2}) \Rightarrow-b \sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2015}}-\sqrt{2^{2016}}$ Scădem cele două relații și obținem $b=\frac{2^{1008}-1}{\sqrt{2}+1}$. $.1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2aeee1df30a437c1f6afg-2.jpg?height=75&width=1353&top_left_y=1002&top_left_x=160) +$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=6 \in \mathbb{N}$ $1 \mathbf{1 p}$ + +## SUBIECTUL 2 + +Raționalizând obținem $a(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})-b(\sqrt{3}-1)-c(2+2 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})=-3 \sqrt{2} \ldots \ldots \ldots \ldots .3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2aeee1df30a437c1f6afg-2.jpg?height=60&width=1465&top_left_y=1238&top_left_x=158) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2aeee1df30a437c1f6afg-2.jpg?height=57&width=1465&top_left_y=1288&top_left_x=158) + +$a+b-2 c=0$ și $a-2 c=-3 \Rightarrow b=3$ + +$2 c=a+3$, a impar, $a \in\{1,3,5,7\}$ + +$1 p$ + +Strudierea cazurilor și aflarea $A=\{132,534,735,936\}$ si $\operatorname{card} A=4$. $\qquad$ +SUBIECTUL 3 + +Dacă $\mathrm{ABCD}$ şi $\mathrm{ABEF}$ sunt pătrate cu $\mathrm{AB}=1 \mathrm{~m} \Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{EF}=\mathrm{CD}$ $1 \mathrm{~m}, \mathrm{AB}|| \mathrm{EF}|| \mathrm{CD}$ şi $\mathrm{AB} \perp(\mathrm{BCE})$. (1) $1 p$ + +Deoarece $B E=B C=1 m$ şi $E C=\sqrt{2} m$,atunci $\mathrm{BE} \perp \mathrm{BC}$ (2) + +Din (1) şi (2) rezultă CDFE dreptunghi, deci există $\mathcal{C}(O, r)$, astfel încât $C F \cap D E=\{O\}$ şi $r=\frac{1}{2} D E$. (3)...............1p Se calculează $\mathrm{DE}=\sqrt{3}$ şi din (3), rezultă $r=\frac{\sqrt{3}}{2} m \ldots \ldots \ldots . .1 \mathbf{p}$ + +Fie $\mathrm{HI} \perp \mathrm{CD}$ şi $\mathrm{OI} \cap \mathrm{CD}=\{\mathrm{M}\}$ şi cum $\mathrm{H}, \mathrm{I} \in \mathcal{C}(\mathrm{O}, r)$, atunci $\mathrm{H} \in(\mathrm{MO}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2aeee1df30a437c1f6afg-2.jpg?height=643&width=742&top_left_y=1429&top_left_x=1205) +astfel încât $H I=D E=\sqrt{3} m$ și $O H=O I=\frac{\sqrt{3}}{2} m$, iar + +$C M=M D=\frac{1}{2} m$ + +$1 p$ + +Notăm $H I \cap E F=\{P\}$ și cum $H I \perp C D$, CDFE dreptunghi şi (4), atunci $E P=P F=\frac{1}{2} m$. + +Fie G, N, şi Q proiecţiile punctelor $\mathrm{H}, \mathrm{P}$ şi respectiv I pe planul (ABC). + +$.1 p$ + +Se demonstreză că $\mathrm{N} \in(\mathrm{GM})$ şi $\mathrm{Q} \in(\mathrm{NM}$, astfel încât pe mediatoarea $\mathrm{MN}$ a segmentului [CD] se pot determina $N M=1 m$ și $G N=M Q=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} m$. + +Se justifică natura poligonului şi se calculează aria cerută adică, $A_{A G B C Q D}=\frac{2+\sqrt{6}}{4} m^{2}$. + +## SUBIECTUL 4 + +Demonstează că $\triangle A M C \equiv \triangle C N B$............................................................................1p $\mathrm{m}(\widehat{A C M})=\mathrm{m}(\widehat{N B C})=\mathrm{x}$ și $\mathrm{m}(\widehat{B P C})=120^{\circ}$ + +$\mathrm{m}(\widehat{B P C})=\mathrm{m}(\widehat{M P N})=120^{\circ}$. + +$.1 p$ + +$\mathrm{m}(M \widehat{A N})+\mathrm{m}(\widehat{M P N})=180^{\circ}=>$ AMPN patrulater inscriptibil,............................... $\mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2aeee1df30a437c1f6afg-3.jpg?height=82&width=1305&top_left_y=313&top_left_x=153) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2aeee1df30a437c1f6afg-3.jpg?height=66&width=1305&top_left_y=375&top_left_x=156) + +Din T. $3 \perp=>$ DP $\perp$ BN.......................................................................................... + +Notă : Orice altă soluție corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-381-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-381-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fdabacbffef16e40cc607922ab599774a8ad3dcc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-381-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 21.02.2016 + +Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a, b$ avem $|a|+|b| \geq|a-b|$. + +b) Demonstraţi că oricare ar fi numărul real $\mathrm{x},|x+1|+|x+2|+|x+3|+$ $\qquad$ $+|x+2016| \geq 1008^{2}$ + +## SUBIECTUL 2 + +Se dau numerele $a=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+$ $\qquad$ $+\sqrt{3^{2016}}$ şi $b=3+3^{2}+3^{3}+$ $\qquad$ $+3^{2016}$ + +a) Calculați numărul $a$. + +b) Dacă $c=\frac{b}{a} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}-1$, arătați că numărul $c$ este pătrat perfect. + +## SUBIECTUL 3 + +Fie triunghiul isoscel $A B C$ cu $m(\Varangle B A C)=120^{\circ}$. In exteriorul lui se construiește triunghiul obtuzunghic isoscel $A B E$ de bază $[A B]$. Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[A B], F$ este simetricul lui $M$ faţă de $B C$, iar $A F \cap B C=\{P\}$, se cere : + +a) Demonstrați că punctele $P, M$ şi $E$ sunt coliniare. + +b) Știind că $M P=a(\mathrm{~cm})$, iar $E M \cap A C=\{D\}$, demonstrați că $[A F] \equiv[M D]$. + +## SUBIECTUL 4 + +În pătratul $A B C D$ se construiesc pătratele $A L E P$ şi BLIT, cu $A LA B$ + +$$ +\frac{x+y+z}{2}>x \Rightarrow x0, k \neq \frac{1}{2}$. Atunci MNPQ paralelogram $\Leftrightarrow$ ABCD paralelogram. + +prof. Dorin Arventiev + +## Notă: + +Timp de lucru 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanţa 21.02.2016 + +Clasa a IX -a + +$\underline{\text { Barem de corectare si notare }}$ + +## SUBIECTUL 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0faeb188ae535db9d977g-2.jpg?height=74&width=1396&top_left_y=477&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0faeb188ae535db9d977g-2.jpg?height=63&width=1396&top_left_y=551&top_left_x=244) + +$x \in[1, \sqrt{2}) \Rightarrow x^{2} \in[1,2) \Rightarrow 1+1=2 \Rightarrow x \in\lfloor 1, \sqrt{2})$ este soluţie............................................ + +$x \in\lfloor\sqrt{2}, 2) \Rightarrow x^{2} \in[2,4) \Rightarrow[x]+\left\lfloor x^{2}\right\rfloor \geq 1+2=3(\mathrm{~F})$. Deci soluţia este $x \in\lfloor 1, \sqrt{2}) \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +## SUBIECTUL 2 + +a) Prin calcul direct + +b) Pentru $x<0,4^{x}-2^{x} \geq-\frac{1}{4} ; \quad 6 x \leq-6 \Rightarrow$ ecuaţia nu are soluţii în $Z \backslash N \ldots \ldots$. . $\mathbf{2 p}$ $x \in N . \mathrm{x}=0$ e soluţie, $\mathrm{x}=1 \mathrm{nu}$ convine, $\mathrm{x}=2$ e soluţie............................1p Inducţie matematică pentru $4^{n}-2^{n} \succ 6 n, \forall n \geq 3, n \in N \Rightarrow S=\{0,2\} \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{2}$ + +## SUBIECTUL 3 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0faeb188ae535db9d977g-2.jpg?height=77&width=1345&top_left_y=1224&top_left_x=298) + +Finalizare $1 p$ +b) $\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3 \cdot \frac{1+x^{2}+y^{2}}{3}} \leq \frac{3+\frac{1+x^{2}+y^{2}}{3}}{2}=\frac{10+x^{2}+y^{2}}{6}$ + +$$ +\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \geq \frac{6}{10+x^{2}+y^{2}} \text { si analoagele .................................... } 2 \mathbf{p} +$$ + +$$ +S \geq \frac{6}{10+x^{2}+y^{2}}+\frac{6}{10+y^{2}+z^{2}}+\frac{6}{10+z^{2}+x^{2}} \geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{6})^{2}}{30+2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \geq \frac{54}{30+2 \cdot 12}=1 +$$ + +Egalitate pentru $\pm 2$ + +$2 p$ + +## SUBIECTUL 4 + +$\frac{A M}{A B}=k \Rightarrow \frac{M B}{A B}=1-k$ şi_analoagele. + +$\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B N}=(1-k) \overrightarrow{A B}+k \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{Q P}=\overrightarrow{Q D}+\overrightarrow{D P}=k \overrightarrow{A D}+(1-k) \overrightarrow{D C} \ldots \ldots \ldots \mathbf{p}$ + +MNPQ paralelogram $\Leftrightarrow \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{Q P} \Leftrightarrow(1-k) \overrightarrow{A B}+k \overrightarrow{B C}=k \overrightarrow{A D}+(1-k) \overrightarrow{D C} \ldots \ldots .2$ p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0faeb188ae535db9d977g-2.jpg?height=74&width=1374&top_left_y=2139&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0faeb188ae535db9d977g-2.jpg?height=69&width=1374&top_left_y=2210&top_left_x=244) + +$\Leftrightarrow(1-2 k)(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B})=\overrightarrow{0,1}-2 k \neq 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$ deci ABCD paralelogram........ $1 \mathbf{p}$ + +Notă : Orice altă soluţie corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-385-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-385-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..019567bdd7c28978342a0568b223a846c719e364 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-385-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a XII-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecaresubiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1. Fie $\mathrm{g}:(1, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=e^{x}+\cos x$ + +a) Să se calculeze $g^{\prime}(x)$, $g^{\prime \prime}(x)$. + +b) Să se determine o primitivă a funcției + +$$ +\mathrm{f}:(1, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-2 \cdot e^{x} \sin x}{e^{2 x}+(\cos x-\sin x) \cdot e^{x}+\sin x \cos x} +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| $g^{\prime}(x)=e^{x}-\sin x, g^{\prime \prime}(x)=e^{x}-\cos x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Numitorul fracției $f(x)$ este $g(x) \cdot g^{\prime}(x)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Numărătorul fracției $f(x)$ este $\left(\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})\right)^{2}-g(x) \cdot g^{\prime \prime}(x)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $f(x)=\frac{\left.g^{\prime}(x)\right)^{2}-\mathrm{g}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{g}^{\prime \prime}(\mathrm{g})}{\mathrm{g}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})}=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}-\frac{g^{\prime \prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\left(\ln \left(g(x)-\ln \left(g^{\prime}(x)\right)^{\prime}\right.\right.$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{F}:(1, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, \mathrm{F}(\mathrm{x})=\ln \left(\frac{g(x)}{g^{\prime}(x)}\right)+\mathrm{C}=\ln \left(\frac{e^{x}+\operatorname{cosx}}{\mathrm{e}^{x}-\sin x}\right)+\mathrm{C}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiect 2 Să se determine funcțiile continue $\mathrm{f}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, cu proprietatea că există o primitivă $F: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, a sa astfel încât $F(x+y)=f(x) f(y)$, oricare ar fi $x, y \in \mathbf{R}$. + +Prof. Ion Nedelcu, Ploiești, GM nr 2, 2015, problema 27038. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Dacă există y astfel încât $\mathrm{f}(\mathrm{y})=0$, atunci $\mathrm{F}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=0, \forall \mathrm{x} \in \mathbf{R}$, deci $\mathrm{F}(\mathrm{x})=0, \forall \mathrm{x} \in \mathbf{R}$, de
unde $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$, adică f este funcția identic nulă.
Dacă nu e funcția identic nulă, obținem că $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq 0, \forall \mathrm{x} \in \mathbf{R}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $y=0 \Rightarrow F(x)=f(x) f(0)$, deci $f$ este o functie derivabilă.
Avem $f(x)=f(0) f^{\prime}(x)$, sau $f^{\prime}(x)-1 / f(0) f(x)=0, \forall x \in \mathbf{R}$. Fie $a=-1 / f(0) \neq 0$
Deci $f^{\prime}(x)+\operatorname{af}(x)=0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Prin înmultire cu $e^{a x}$, avem $\left(e^{a x} \mathrm{f}(\mathrm{x})\right)^{\prime}=0$, deci $e^{a x} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{c}$ (constant), deci $\mathrm{f}(\mathrm{x})=$
$\mathrm{c} e^{-a x}, \mathrm{c} \neq 0$. | 2p | +| $f(0)=$ c. Dar $f(0)=-1 / a$, deci c $=-1 / a$ | | +| Fie $\alpha=1 / \mathrm{c} . \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\alpha} e^{\alpha x}, \alpha \neq 0$, şi F $\left.\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\alpha^{2}} e^{\alpha x}$. | $2 \mathrm{2p} \quad$ | + +Subiect 3. Fie (G, $\cdot$) un grup finit cu $n$ elemente, $n \geq 3, n \in \mathbf{N}$. Notăm cu $p(G)$ numărul perechilor ordonate (a,b), cu a, b $\in \mathrm{G}$ și $\mathrm{ab}=\mathrm{ba}$ + +a) Să se determine $\mathrm{p}(\mathrm{G})$ pentru $\mathrm{G}=Z_{3}$, respectiv $\mathrm{G}=S_{3}$. + +b) Să se arate că $p(G) \geq 3 n$. + +prof. Marian Andronache + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) $Z_{3}$ este un grup abelian,deci orice pereche ordonată $(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{cu} a, \mathrm{~b} \in \mathrm{G}$ verifică ab =
ba,deci $\mathrm{p}(\mathrm{G})=3^{2}=9$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Prin calcul direct, $\mathrm{p}\left(S_{3}\right)=18$ | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Perechile (e,e), (e, $\mathrm{x})$, ( $\mathrm{x}, \mathrm{e}),(\mathrm{x}, \mathrm{x})$, cu $\mathrm{x} \in \mathrm{G} \backslash\{\mathrm{e}\}$ sunt formate din elemente care, evident,
comutã. Deoarece $\mathrm{x}$ se poate alege în $\mathrm{n}-1$ moduri, avem cel puțin $1+3(\mathrm{n}-1)=3 \mathrm{n}-2$ astfel
de perechi. | $2 \mathrm{p}$ | +| Dacã, $\mathrm{x}=x^{-1}$ pentru orice $\mathrm{x}$ din $\mathrm{G}$, grupul G este abelian, deci $\mathrm{p}(\mathrm{G})=n^{2}$.
Deoarece $\mathrm{n} \geq 3$, avem $n^{2} \geq 3 \mathrm{n}$, deci $\mathrm{p}(\mathrm{G}) \geq 3 \mathrm{n}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă există $x$ din $G$ astfel încât $x \neq x^{-1}$, atunci perechile $\left(x, x^{-1}\right),\left(x^{-1}, x\right)$ sunt formate din
elemente care comutã, sunt diferite de perechile anterioare, deci avem cel puțin $3 n-2+2=3 n$
perechi care comutã, deci $p(G) \geq 3 n$. | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiect 4. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup finit cu elementul neutru e şi $f: G \rightarrow G$ un endomorfism cu proprietăţile + +$\mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq \mathrm{x}$, pentru orice $\mathrm{x} \in \mathrm{G} \backslash\{\mathrm{e}\}$. + +$f^{n}(x)=e$, pentru orice $x \in G$. Atunci + +a) Să se arate că $F: G \rightarrow G, F(x)=x^{-1} \cdot f(x)$ este o funcție bijectivă. + +b) Să se arate că $x \cdot f(x) \cdot f^{2}(x) \cdot \ldots f^{n-1}(x)=e$, pentru orice $x \in G$. + +(Notăm $f^{k}=\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{k}$, iar ,, " reprezintă compunerea funcţiilor) + +prof. Marian Andronache + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :---: | :---: | +| a)Dacă $F(x)=F(y)$, atunci $x^{-1} \cdot f(x)=y^{-1} \cdot f(y)$, deci $f(x) \cdot(f(y))^{-1}=x \cdot y^{-1}$.
Fie $z=x \cdot y^{-1}$. Avem $f(z)=z$, deci $z=x \cdot y^{-1}=e$, de unde $x=y$.
Deci funcţia $F$ este injectivă. | $3 \mathrm{p} \quad$ | +| G e mulţime finită, prin urmare F este o funcţie bijectivă. | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Fie $x \in G$. Atunci există $\mathrm{a} \in \mathrm{G}$ astfel încât $F(a)=x$, adică $\mathrm{a}^{-1} \cdot f(\mathrm{a})=\mathrm{x}$.
Avem $x \cdot f(x) \cdot f^{2}(x) \cdot \ldots \mathrm{f}^{n-1}(\mathrm{x})=$
$=\mathrm{a}^{-1} \cdot f(\mathrm{a}) \cdot f\left(\mathrm{a}^{-1}\right) \cdot \mathrm{f}^{2}(\mathrm{a}) \cdot \mathrm{f}^{2}\left(\mathrm{a}^{-1}\right) \cdot \ldots \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{a}^{-1} \cdot f(\mathrm{a})\right)=\mathrm{a}^{-1} \cdot \mathrm{a}=\mathrm{e}$ | {fca9ee2e6-b449-4361-883b-317040935aa7}\begin{tabular}{llll} +\end{tabular} | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-386-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-386-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9289c7ea2e989df2a751d6b1e941f47c6a2b5263 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-386-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a 11-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1. Matricea $A \in M_{2}(\mathbb{R})$ are proprietatea $\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=0$. Demonstraţi că $A^{2}=-I_{2}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Fie $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(\left(A+\mathrm{i} I_{2}\right)\left(A-\mathrm{i} I_{2}\right)\right)=(x+\mathrm{i} y)(x-\mathrm{i} y)$, unde $\operatorname{det}\left(A+\mathrm{i} I_{2}\right)=x+\mathrm{i} y$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Avem $x=a d-b c-1=0$ şi $y=a+d=0$ | 2p | +| Din $\operatorname{det}(A)=1$ şi $a+d=0$ rezultă $A^{2}=(a+d) A-\operatorname{det}(A) I_{2}=-I_{2}$ | $\mathbf{2 p}$ | + +Subiect 2. Fie matricea $A \in M_{3}(\mathbb{C})$ şi $A^{*}$ matricea ei adjunctă. + +a) Demonstraţi că $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=(\operatorname{det}(A))^{2}$. + +b) Determinaţi $A$, dacă $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}-5 & 7 & 1 \\ 1 & -5 & 7 \\ 7 & 1 & -5\end{array}\right)$. + +Prof.Aurel Doboşan, Supliment GM 11/2015 + +| Detalii rezolvare | Barem
sasociat | +| :--- | :--- | +| a) $A A^{*}=\operatorname{det}(A) I_{3} \operatorname{implică~} \operatorname{det}(A) \operatorname{det}\left(A^{*}\right)=(\operatorname{det}(A))^{3}$, deci $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=(\operatorname{det}(A))^{2}$ în
cazul $\operatorname{det}(A) \neq 0$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă det $(A)=0$ atunci det $\left(A^{*}\right)=0$, deoarece în caz contrar $A^{*}$ ar fi inversabilă şi
egalitatea $A A^{*}=O_{3}$ ar implica $A=O_{3}$, în contradicţie cu det $\left(A^{*}\right)=0$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=324 \Rightarrow \operatorname{det}(A)= \pm 18$ | 1p | +| $A= \pm 18 I_{3}\left(A^{*}\right)^{-1}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $A= \pm\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ | 2p | + +Subiect 3. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale strict pozitive şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ şirul dat de + +$$ +y_{n}=\frac{x_{n}}{\left(1+x_{1}\right)\left(1+x_{2}\right)\left(1+x_{3}\right) \ldots\left(1+x_{n}\right)}, \forall n \geq 1 +$$ + +Demonstraţi că: + +a) dacă şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este descrescător, atunci şirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict descrescător; + +b) dacă şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, atunci şirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +Prof.Traian Preda + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) $y_{n+1} / y_{n}=\left(x_{n+1} / x_{n}\right) \cdot 1 /\left(1+x_{n+1}\right)<1$ | 3p | +| b) Sirul dat de $z_{n}=1 /\left(\left(1+x_{1}\right)\left(1+x_{2}\right) \ldots\left(1+x_{n}\right)\right)$ este descrescător şi mărginit, deci
convergent | 2p | +| Rezultă că $y_{n}=z_{n} x_{n}$ este convergent | 2p | + +Subiect 4. Fie $f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ o funcţie cu proprietatea $f(x+1)-f(x)>1, \forall x \geq 0$. + +a) Demonstraţi că $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$. + +b) Calculaţi $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\ln \left(f(x)+\mathrm{e}^{f(x)}\right)-\sqrt{f^{2}(x)+4 f(x)}\right)$. + +Prof.Eugen Radu + +## Detalii rezolvare + +| a) $f(x)>1+f(x-1)>\ldots>[x]+f(\{x\}) \geq[x]$ | 2p | +| :--- | :--- | +| Din $\lim _{x \rightarrow+\infty}[x]=+\infty$ rezultă $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ | 1p | +| b) $\lim _{y \rightarrow \infty}\left(\ln \left(y+\mathrm{e}^{y}\right)-y\right)=\lim _{y \rightarrow \infty}\left(\ln \mathrm{e}^{y}\left(y / \mathrm{e}^{y}+1\right)-y\right)=\lim _{y \rightarrow \infty} \ln \left(y / \mathrm{e}^{y}+1\right)=0$ | 2p | +| $\lim _{y \rightarrow \infty}\left(y-\sqrt{y^{2}+4 y}\right)=-2$, deci limita cerută este -2. | 2p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-387-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-387-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..64a9a32924fdda24a0f44dcdb5999446566fea7b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-387-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a 10-a SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje + + întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului.Subiect 1. a) Demonstraţi că dacă $a, b, c \in(0,+\infty)$ şi $b \neq 1$, atunci $a^{\log _{b} c}=c^{\log _{b} a}$. + +b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\sqrt{2^{\log _{5} x}-1}+\sqrt{5-x^{\log _{5} 4}}=2$. + +Prof.Camelia Macsut, Supliment Gazeta Matematică 3/2015 + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) Relaţia rezultă prin logaritmare | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Dacă $2^{\log _{5} x}=y$, atunci $x^{\log _{5} 4}=y^{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Notând $\sqrt{y-1}=t$, după eliminarea celuilalt radical ecuaţia devine $t^{4}+3 t^{2}-4 t=0$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $t_{1}=0$ duce la $x_{1}=1$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Ecuaţia $t^{3}+3 t=4$ are soluţia unică $t_{2}=1$, care duce la $x_{2}=5$ | $\mathbf{2 p}$ | + +Subiect 2. a) Demonstraţi că, dacă $\alpha, \beta$ sunt numere reale, $0 asociat | +| :--- | :--- | +| a) Dacă $0 asociat | +| :--- | :--- | +| $\|a+2 b\|^{2}=(a+2 b)(\bar{a}+2 \bar{b})=r^{2}+2(a \bar{b}+\bar{a} b)+4 r^{2}=5 r^{2}+2 r^{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)$ | 2p | + + +| Ipoteza duce la $a / b+b / a=b / c+c / b$, de unde $(a-c)\left(b^{2}-a c\right)=0$, deci $b^{2}=a c$ | 2p | +| :--- | :--- | +| Rezultă $b^{3}=a b c$ şi, analog, $a^{3}=a b c, c^{3}=a b c$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Astfel $a, b, c$ sunt rădăcinile de ordinul trei ale numărului $a b c$, de unde concluzia | 2p | + +Subiect 4. Se consideră o mulţime nevidă $A$ de numere reale şi o funcţie $f: A \rightarrow A \mathrm{cu}$ proprietatea + +$$ +f(f(x))+2 f(x)=3 x +$$ + +a) Demonstraţi că funcţia $f$ este injectivă. + +b) Demonstraţi că dacă $A$ este finită, atunci $f$ este funcţia identică. + +c) Rămâne valabilă concluzia de la punctul b) dacă mulţimea $A$ este infinită ? + +Prof. Eugen Radu + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) Dacă $f(x)=f(y)$, atunci $f(f(x))=f(f(y))$, deci $x=y$ | 2p | +| b) Fie $a=\min A$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Atunci $f(a) \geq a, f(f(a)) \geq a$ şi $f(f(a))+2 f(a)=3 a$, deci $f(a)=a$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum $f$ este injectivă putem restricţiona $f$ la $A_{1}=A \backslash\{a\}$ şi continuăm inductiv | $\mathbf{1 p}$ | +| c) Nu; pentru $A=\mathbb{R}$ putem lua, de exemplu, funcţia dată de $f(x)=-3 x$ | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-388-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-388-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6db2f9704227290041f03251148437ab7cbd2283 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-388-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016 - + +## CLASA A VIII-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Se consideră două numere reale, $x$ şi $y$, care verifică egalitatea $4 x^{2}+4 y^{2}+16 x-12 y+21=0$. Arătaţi că $|2 x-2 y+7| \leq 4$. + +Daţi exemplu de o pereche de numere reale, $(x, y)$, pentru care inegalitatea din concluzie devine egalitate. + +Suplimentul Gazetei Matematice + +2. Pentru fiecare $a \in \mathbb{Z}$ se consideră mulţimea $S_{a}=\left\{\left.x \in \mathbb{R}\left|\frac{1}{x^{2}-a^{2}} \in \mathbb{Z},\right| x|\neq| a \right\rvert\,\right\}$. + +a) Determinaţi valorile lui $a$ pentru care mulţimea $S_{a}$ conţine numărul $\sqrt{2}$; + +b) Determinaţi $a \in \mathbb{Z}$ pentru care $S_{a} \cap \mathbb{Q} \neq \varnothing$. + +3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia $x^{2}+16 x+55=3^{y^{2}-2 y}$. +4. Se consideră cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care punctul $O$ este centrul feței $A D D^{\prime} A^{\prime}$, punctul $N$ este mijlocul muchiei $\left[C^{\prime} D^{\prime}\right]$, punctul $M$ este mijlocul muchiei $[A D]$, iar $P \in(M B)$ astfel încât $m\left(\overline{D^{\prime} P,(A B C)}\right)=45^{\circ}$. Arătaţi că $O B^{\prime} \perp(C P N)$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016 - + +## CLASA A VIII-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Se consideră două numere reale, $x$ şi $y$, care verifică egalitatea + +$4 x^{2}+4 y^{2}+16 x-12 y+21=0$. Arătaţi că $|2 x-2 y+7| \leq 4$. + +Daţi exemplu de o pereche de numere reale, $(x, y)$, pentru care inegalitatea din concluzie devine egalitate. + +prof. Vasile Scurtu, Bistritta + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Egalitatea din enunţ se scrie echivalent $4(x+2)^{2}+(2 y-3)^{2}=4$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Deducem că $4(x+2)^{2} \leq 4$, echivalent cu $\|x+2\| \leq 1$ sau $-1 \leq x+2 \leq 1$.
Prin urmare, $-2 \leq 2 x+4 \leq 2 .(1)$
Deasemenea obţinem $(2 y-3)^{2} \leq 4$, echivalent cu $\|2 y-3\| \leq 2$ sau $-2 \leq 2 y-3 \leq 2$, de
unde, înmulţind cu -1 , avem $-2 \leq-2 y+3 \leq 2 .(2)$ | $\mathbf{3 p}$ | +| Din $(1)$ şi (2), prin adunare membru cu membru, obţinem $-4 \leq 2 x-2 y+7 \leq 4$, echivalent
cu $\|2 x-2 y+7\| \leq 4$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Exemplu $(x, y)=\left(-2, \frac{1}{2}\right)$ | $\mathbf{1 p}$ | + +Subiectul 2. Pentru fiecare $a \in \mathbb{Z}$ se consideră mulţimea $S_{a}=\left\{\left.x \in \mathbb{R}\left|\frac{1}{x^{2}-a^{2}} \in \mathbb{Z},\right| x|\neq| a \right\rvert\,\right\}$. + +a) Determinaţi valorile lui $a$ pentru care mulţimea $S_{a}$ conţine numărul $\sqrt{2}$; + +b) Determinaţi $a \in \mathbb{Z}$ pentru care $S_{a} \cap \mathbb{Q} \neq \varnothing$. + +prof. Petre Simion şi prof. Victor Nicolae, Bucuressti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) Avem $\sqrt{2} \in S_{a}$ echivalent cu faptul că există $k \in \mathbb{Z}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{2-a^{2}}=k$. | | +| Deducem că $a^{2}+\frac{1}{k}=2 \in \mathbb{Z}$. Înseamnă că $\frac{1}{k} \in \mathbb{Z}$, deci $k \in\{ \pm 1\}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Pentru $k=-1$, obţinem $a^{2}=3$, contradicţie. | | +| Pentru $k=1$, obţinem $a^{2}=1$, de unde obçinem $a \in\{ \pm 1\}$ | | +| b) Dacă $a \neq 0$, presupunem că $a^{2}+\frac{1}{k}=\frac{a^{2} k+1}{k}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$, unde $m$ şi $n$ sunt numere naturale | $\mathbf{3 p}$ | + + +| relativ prime. Cum şi numerele $k$ şi $a^{2} k+1$ sunt relativ prime, rezultă că $n^{2}=k$ şi | | +| :--- | :--- | +| $a^{2} k+1=m^{2}$, adică $(a n)^{2}+1=m^{2}$, contradicţie. Pentru $a \neq 0$ avem $S_{a} \cap \mathbb{Q}=\varnothing$. | | +| Pentru $a=0$, obţinem $x= \pm \sqrt{\frac{1}{k}}, k \in \mathbb{Z}_{+}$. De exemplu, pentru $x=\frac{1}{2}$, obţinem $k=4$, | $\mathbf{2 p}$ | +| deci $\frac{1}{2} \in S_{0} \cap \mathbb{Q}$. Prin urmare, $a=0$. | | + +Subiectul 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia $x^{2}+16 x+55=3^{y^{2}-2 y}$. + +Prof. Mihaela Berindeanu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Ecuaţia se mai scrie $(x+5)(x+11)=3^{y^{2}-2 y}$. Cum $(x+5)(x+11) \in \mathbb{Z}$, rezultă că | | +| $3^{y^{2}-2 y} \in \mathbb{N}^{*}$, deci $y^{2}-2 y \in \mathbb{N}^{*}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Înseamnă că numerele $x+5$ şi $x+11$ sunt numere întregi simultan pozitive sau simultan | | +| negative. Deducem că $\|x+11\|-\mid x+5 \\|=6$. | | +| Cum numerele $\|x+5\|$ si $\|x+11\|$ sunt numere întregi simultan pozitive avem | | +| $\|x+5\|=3^{a}, a \in \mathbb{N}$ şi $\|x+11\|=3^{b}, b \in \mathbb{N}$, unde $a+b=y^{2}-2 y$. Dacă, de exemplu, $b>a$, | | +| atunci $3^{b}-3^{a}=6$, echivalent cu $3^{a}\left(3^{b-a}-1\right)=6$. Deducem că $3^{a} \mid 6$, deci $a \in\{0,1\}$. | 2p | +| Convine numai $a=1$, de unde $b=2$. | | +| Ca urmare, $y^{2}-2 y=3$ cu soluţiile $y=3, y=-1$. | | +| Deci $(x+5)(x+11)=27$ Din $x+5=3, x+11=9$ obţinem $x=-2 /$
Dacă $x+5=-9, x+11=-3$ obținem $x=-14$.
În final, $(x, y) \in\{(-2,3),(-2,-1),(-14,3),(-14,-1)\}$. | | + +Subiectul 4. Se consideră cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ în care punctul $O$ este centrul feţei $A D D^{\prime} A^{\prime}$, punctul $N$ este mijlocul muchiei [ $C^{\prime} D^{\prime}$ ], punctul $M$ este mijlocul muchiei $[A D]$, iar $P \in(M B)$ astfel încât $m\left(\widehat{D^{\prime} P,(A B C)}\right)=45^{\circ}$. Arătaţi că $O B^{\prime} \perp(C P N)$. + +Prof. Mircea Fianu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Planul $\left(O B^{\prime} C^{\prime}\right)$ intersectează planul $\left(A D D^{\prime}\right)$ după dreapta $O Q, Q \in\left(D D^{\prime}\right)$. Rezultă că | | +| $O Q \\|\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$. Deducem că $Q$ este mijlocul muchiei $\left(D D^{\prime}\right)$. Din congruenţa triunghiurilor | $\mathbf{3 p}$ | +| $C C^{\prime} N$ şi $C^{\prime} D^{\prime} Q$ (C.C.), deducem că $C N \perp C^{\prime} Q$. Cum $C N \perp B^{\prime} C^{\prime}$, rezultă că | | +| $C N \perp\left(B^{\prime} C^{\prime} Q\right)$. Dar $O B^{\prime} \subset\left(B^{\prime} C^{\prime} Q\right)$. Înseamnă că $O B^{\prime} \perp C N$. (1) | | +| Deoarece $p r_{(A B C)} D^{\prime} P=D P$, rezultă că $m\left(\widehat{D^{\prime} P D}\right)=45^{\circ}$, prin urmare triunghiul $D^{\prime} D P$ | $\mathbf{1 p}$ | +| este dreptunghic isoscel cu $D P=D D^{\prime}$. | | +| Fie $\{R\}=B M \cap C D$. Atunci $[M D]$ este linie mijlocie în triunghiul $R B C$, deci | | +| $R D=D C=D P$. Cum $[P D]$ este mediană în triunghiul $R P C$, deducem că $m(\widehat{C P R})=90^{\circ}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| , deci $C P \perp M B$. Dar $C P \perp B B^{\prime} \\| O M$. Deducem că $C P \perp\left(M B B^{\prime}\right)$ şi, cum | | +| $O B^{\prime} \subset\left(M B B^{\prime}\right)$, rezultă că $O B^{\prime} \perp C P$. (2) Din (1) şi (2) rezultă $O B^{\prime} \perp(P C N)$. | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-389-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-389-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e3c5c55c12e2b298574295bf06016e98a97625d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-389-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016 + +## CLASA a VII-a + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Se consideră numerele raționale $a=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\ldots . .+\frac{1}{2015 \cdot 2016}$ + +$$ +b=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{6 \cdot 7}+\ldots \ldots . .+\frac{1}{2016 \cdot 2017} +$$ + +a) Comparați numerele a și b. + +b) Rezolvați î mulțimea numerelor raționale pozitive ecuațiia $|x-b|=a$. + +c) Stabiliți dacă : i) există $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ astfel încât nb și na să fie simultan numere naturale ? + +ii) există $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ astfel încât nb și na să fie numere naturale consecutive? + +2. Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: $\sqrt{x^{2}-1900}=\left|\frac{x}{4}-4\right|-\sqrt{2017-x^{2}}$. + +( Gazeta Matematică) + +3. Fie $\triangle \mathrm{ABC}$ cu $\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$, G și I centrul de greutate, respectiv centrul cercului înscris în $\triangle \mathrm{ABC}$ astfel încât GI || BC. + +a) Dacă $\mathrm{AF}$ este bisectoarea unghiului $\mathrm{A}, \mathrm{F} \in(\mathrm{BC})$, demonstrați că $\mathrm{AI}=2 \mathrm{IF}$; + +b) Demonstrați că $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=2 \mathrm{BC}$. + +4. Fie $\mathrm{ABCD}$ un paralelogram, $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ mijloacele laturilor $\mathrm{AB}$, respectiv $\mathrm{BC}$. + +Notăm $\mathrm{AC} \cap \mathrm{DM}=\{\mathrm{E}\}$ si $\mathrm{MN} \cap \mathrm{BE}=\{\mathrm{T}\}$. Știind că $\mathrm{DM} \perp \mathrm{AC}$ și $\mathrm{DA} \perp \mathrm{AT}$ : + +a) Determinați $\mathrm{m}(\nless \mathrm{ADM})$. + +b) Demonstraţi că $\triangle$ ANB este isoscel. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a VII-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1: Se consideră numerele raționale $a=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\ldots \ldots+\frac{1}{2015 \cdot 2016}$ + +$$ +b=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{6 \cdot 7}+\ldots \ldots+\frac{1}{2016 \cdot 2017} +$$ + +a) Comparați numerele a și b. + +b) Rezolvați în mulțimea numerelor raţionale pozitive ecuația $|x-b|=a$. + +c) Stabiliți dacă : i) există $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ astfel încât nb și na să fie simultan numere naturale ? + +ii) există $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ astfel încât $\mathrm{nb}$ și na să fie numere naturale consecutive? + +Autor: prof.Preda Traian + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) a şi b au câte 1008 termeni | | +| $\frac{1}{1 \cdot 2}>\frac{1}{2 \cdot 3} ; \frac{1}{3 \cdot 4}>\frac{1}{4 \cdot 5} ; \ldots \ldots ; \frac{1}{2015 \cdot 2016}>\frac{1}{2016 \cdot 2017} \Rightarrow a>b$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $x-b \in\{-a ; a\} \Rightarrow x \in\{b-a ; b+a\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=b+a=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\ldots+\frac{1}{2015 \cdot 2016}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{6 \cdot 7}+\ldots+\frac{1}{2016 \cdot 2017}=$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots . .+\frac{1}{2016 \cdot 2017}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| c) i) Pentru un număr ce verifică cerinţa. | | +| $\mathrm{De}$ Dexemplu $\mathrm{n}=2017!$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ii) a>b $\Rightarrow \mathrm{na}=\mathrm{k}+1, \mathrm{nb}=\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{na}+\mathrm{nb}=2 \mathrm{k}+1 \Rightarrow \mathrm{n}(\mathrm{a}+\mathrm{b})=2 \mathrm{k}+1$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2: Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: + +$$ +\sqrt{x^{2}-1900}=\left|\frac{x}{4}-4\right|-\sqrt{2017-x^{2}} +$$ + +Autor: Gazeta Matematica nr 11/ 2015 + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $\sqrt{a}+\sqrt{b} \in Q ; a ; b \in \mathrm{N} \Rightarrow$ a,b pătrate perfecte | $1 \mathrm{p}$ | +| $x^{2}-1900$ si $2017-x^{2}$ pătrate perfecte | $1 \mathrm{p}$ | +| $1900 \leq x^{2} \leq 2017$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x^{2}=1936$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x \in\{-44 ; 44\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=44$ nu verifică | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=-44$ soluție unică | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 3 : Fie $\triangle \mathrm{ABC}$ cu $\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$, G și I centrul de greutate, respectiv centrul cercului înscris în $\triangle \mathrm{ABC}$ astfel încât GI || BC. + +a) Dacă AF este bisectoarea unghiului $\mathrm{A}, \mathrm{F} \in(\mathrm{BC})$, demonstrați că $\mathrm{AI}=2 \mathrm{IF}$; + +b) Demonstrați că $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=2 \mathrm{BC}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ee8fac65a1adf204d2g-3.jpg?height=631&width=1240&top_left_y=1552&top_left_x=405) + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) În $\triangle \mathrm{AMF}, \mathrm{GI} \\| \mathrm{MF} \Rightarrow$ conform Thales $\frac{A I}{I F}=\frac{A G}{G M}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| G centrul de greutate $\Rightarrow \frac{A I}{I F}=2 \Rightarrow \mathrm{AI}=2 \mathrm{IF}$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| b) Folosind teorema bisectoarei în $\triangle \mathrm{ABF}$ și $\Delta \mathrm{AFC} \Rightarrow \frac{A B}{B F}=\frac{A I}{I F}=2$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| si $\frac{A C}{C F}=\frac{A I}{I F}=2$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{AB}=2 \mathrm{BF} ; \mathrm{AC}=2 \mathrm{CF}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=2(\mathrm{BF}+\mathrm{FC})=2 \mathrm{BC}$ | | + +Subiectul 4 : Fie $\mathrm{ABCD}$ un paralelogram, $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ mijloacele laturilor $\mathrm{AB}$, respectiv $\mathrm{BC}$. Notăm $\mathrm{AC} \cap \mathrm{DM}=\{\mathrm{E}\}$ şi $\mathrm{MN} \cap \mathrm{BE}=\{\mathrm{T}\}$. Știind că $\mathrm{DM} \perp \mathrm{AC}$ și $\mathrm{DA} \perp \mathrm{AT}$ : + +a) Determinaţi $\mathrm{m}$ ( $\Varangle$ ADM ) . + +b) Demonstrați că $\triangle$ ANB este isoscel. + +Autor: Prof. Preda Traian + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b1ee8fac65a1adf204d2g-4.jpg?height=654&width=1602&top_left_y=1015&top_left_x=341) + +$\left.\begin{array}{|l|c|}\hline \text { Detalii rezolvare } & \begin{array}{l}\text { Barem } \\ \text { asociat }\end{array} \\ \hline \text { Notăm } \mathrm{AC} \cap \mathrm{DN}=\{\mathrm{F}\} \Rightarrow \frac{C F}{F A}=\frac{C N}{A D}=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathrm{CF}=\frac{1}{3} A C ; \quad \frac{\mathrm{E}}{E C}=\frac{A M}{C D}=\frac{1}{2} & 2 \mathrm{p} \\ \Rightarrow \mathrm{AE}=\frac{1}{3} A C \Rightarrow \mathrm{AE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}\end{array}\right]$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-39-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 3 pentru SENIORI 13 iunie 2021-b3_seniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-39-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 3 pentru SENIORI 13 iunie 2021-b3_seniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4817a38fc321ed8c8416eadc203f582eddd4fcfd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-39-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 3 pentru SENIORI 13 iunie 2021-b3_seniori.md @@ -0,0 +1,34 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7cec8686a64fb0bd61d1g-1.jpg?height=220&width=214&top_left_y=181&top_left_x=1566) + +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Barajul 3, 13 iunie 2021 + +## Subiecte - seniori + +## Problema 4. + +În triunghiul isoscel fix $A B C$, punctul $M$ este mijlocul bazei $B C$. Punctul $P$ este variabil în interiorul triunghiului, astfel încât $\angle C B P=\angle P C A$. Arătaţi că suma măsurilor unghiurilor $\angle B P M$ şi $\angle A P C$ este constantă. + +## Problema 5. + +Fie $N \geq 4$ un număr natural fixat. + +Doi jucători, A şi B, formează o mulţime ordonată $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$, adaugând alternativ elemente: A alege $x_{1}$ egal cu 1 sau cu -1 , apoi B îl adaugă pe $x_{2}$ egal cu 2 sau cu -2 , apoi A îl adaugă pe $x_{3}$ egal cu 3 sau cu -3 , ş.a.m.d.; la pasul $k$, elementul adăgat este $k$ sau $-k$, pentru orice $k \geq 1$. Câştigător este cel care reuşeşte primul să facă să apară o secvenţă de elemente consecutive având suma divizibilă cu $N$ (secvenţa poate avea şi un singur termen). + +Pentru fiecare $N$, stabiliţi care dintre jucători are o strategie de câştig. + +## Problema 6. + +Fie $\alpha$ un număr din intervalul $(0,1)$. Arătaţi că există un şir de numere $\left(\varepsilon_{n}\right)_{n>1}$, cu valori 0 sau 1 , astfel încât şirul $\left(s_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin + +$$ +s_{n}=\frac{\varepsilon_{1}}{n(n+1)}+\frac{\varepsilon_{2}}{(n+1)(n+2)}+\ldots+\frac{\varepsilon_{n}}{(2 n-1) 2 n} +$$ + +să verifice inegalitatea + +$$ +0 \leq \alpha-2 n s_{n} \leq \frac{2}{n+1} +$$ + +pentru orice $n \geq 2$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-390-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-390-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9de7050f2ae56386718b2a129b4a5ec333a1a5ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-390-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,79 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016 + +## CLASA a VI-a + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Fie $n$ cel mai mic număr natural nenul care împărtit la numerele naturale $a, b, c$ dă câturile $c_{1}, c_{2}$, respectiv $c_{3}$ și resturile $a-1, b-1$, respectiv $c-1$. Dacă $a, b, c$ sunt două câte două prime între ele, arătați că $c_{1}+c_{2}+c_{3}+3=a b+b c+c a$. +2. Fie $M$ mijlocul segmentului $A B$. De aceeași parte a dreptei $A B$ se consideră semidreptele $[M N$ și [ $M P$ astfel încât [ $M N$ este bisectoarea unghiului $B M P$ și [ $M P$ este bisectoarea unghiului $A M N$. Dacă $[M N] \equiv[M P]$, arătați că $\triangle A B P \equiv \triangle B A N$. +3. Pe o dreaptă $d$ considerăm punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, \ldots, A_{n}$, în această ordine, astfel încât $A_{0} A_{1}=1 \mathrm{~cm}, A_{1} A_{2}=2 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=2^{2} \mathrm{~cm}, A_{3} A_{4}=2^{3} \mathrm{~cm}, \ldots, A_{n-1} A_{n}=2^{n-1} \mathrm{~cm}$. Arătaţi că nu există $p \in\{0,1,2, \ldots, n\}$ astfel încât $A_{p}$ să fie mijlocul segmentului $A_{i} A_{j}$, oricare ar fi $i, j \in\{0,1,2, \ldots, n\}, iETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a VI-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +# Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +## Subiectul 1 + +Fie $n$ cel mai mic număr natural nenul care împărtit la numerele naturale $a, b, c$ dă câturile $c_{1}, c_{2}$, respectiv $c_{3}$ și resturile $a-1, b-1$, respectiv $c-1$. Dacă $a, b, c$ sunt două câte două prime între ele, arătați că $c_{1}+c_{2}+c_{3}+3=a b+b c+c a$. + +Autor: Ion Voicu, Rădulești, Ialomița + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Din teorema împărțirii cu rest avem $n=a c_{1}+a-1, \quad n=b c_{2}+b-1, n=c c_{3}+c-1$ sau
$n+1=a\left(c_{1}+1\right), n+1=b\left(c_{2}+1\right), n+1=c\left(c_{3}+1\right)$. | $2 \mathrm{p}$ | +| De aici deduce că $n+1$ este multiplu comun pentru numerele $a, b, c$ și cum $n$ trebuie să
fie cel mai mic avem $n+1=[a, b, c]$ unde $[a, b, c]$ este cel mai mic multiplu comun al
numerelor $a, b, c$. Prin urmare $n=[a, b, c]-1$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Pe de altă parte, $a, b, c$ fiind două câte două prime între ele rezultă $[a, b, c]=a b c$
stunci $n=a b c-1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Înlocuind în $n=a c_{1}+a-1$ obținem $a b c-1=a c_{1}+a-1$, de unde $c_{1}+1=b c$. Analog
$c_{2}+1=a c \quad$ și celații obținem
$c_{1}+c_{2}+c_{3}+3=a b+b c+c a$. | $2 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 2 + +Fie $M$ mijlocul segmentului $A B$. De aceeași parte a dreptei $A B$ se consideră semidreptele $[M N$ și [ $M P$ astfel încât [ $M N$ este bisectoarea unghiului $B M P$ și [ $M P$ este bisectoarea unghiului $A M N$. Dacă $[M N] \equiv[M P]$, arătați că $\triangle A B P \equiv \triangle B A N$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| | | + +## Subiectul 3 + +Pe o dreaptă $d$ considerăm punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, \ldots, A_{n}$, în această ordine, astfel încât $A_{0} A_{1}=1 \mathrm{~cm}, A_{1} A_{2}=2 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=2^{2} \mathrm{~cm}, A_{3} A_{4}=2^{3} \mathrm{~cm}, \ldots, A_{n-1} A_{n}=2^{n-1} \mathrm{~cm}$. Arătați că nu există $p \in\{0,1,2, \ldots, n\}$ astfel încât $A_{p}$ să fie mijlocul segmentului $A_{i} A_{j}$, oricare ar fi $i, j \in\{0,1,2, \ldots, n\}, i asociat | +| :---: | :---: | +| $\overleftarrow{A_{0} \quad A_{1}}$ | | +| Lungimea unui segment $A_{0} A_{k}$ este $A_{0} A_{k}=A_{0} A_{1}+A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+\ldots+A_{k-1} A_{k}$ adică
$A_{0} A_{k}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{k-1}=2^{k}-1$, iar lungimea unui segment $A_{k} A_{m}$ cu $k $A_{k} A_{m}=A_{0} A_{m}-A_{0} A_{k}=2^{m}-2^{k}$. | $4 p$ | +| Presupunem că există $p \in\{0,1,2, \ldots, n\}$ astfel încât $A_{p}$ să fie mijlocul segmentului $A_{i} A_{j}$,
pentru $i, j \in\{0,1,2, \ldots, n\}, i cu $i egal cu un număr par. Contradicție. Prin urmare presupunerea facută este falsă. În concluzie
nu există $p \in\{0,1,2, \ldots, n\}$ astfel încât $A_{p}$ să fie mijlocul segmentului $A_{i} A_{j}$, oricare ar fi
$i, j \in\{0,1,2, \ldots, n\}, i ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016 + +## CLASA a V-a + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Se aranjează numerele naturale impare astfel: +Linia 1: +1 + +Linia 2: + +3,5 + +Linia 3: + +$7,9,11$ + +Linia 4: + +$13,15,17,19$ + +a) Scrieți numerele de pe linia a șaptea. + +b) Găsiți primul și ultimul număr de pe linia 101. + +c) Arătați că suma numerelor din primele 101 linii este un pătrat perfect. + +2. Un număr natural se numește " $p$ norocos" dacă are $p$ cifre și este divizibil cu $p$. + +a) Care este cel mai mic număr "13 norocos" ? (Justificați răspunsul dat) + +b) Care este cel mai mare număr "13 norocos"? (Justificați răspunsul dat) + +3. Aflați ultimele trei cifre ale numărului natural nenul $n$, știind că prin împărțirea lui $29 n$ la 250 obținem restul 67 , iar prin împărțirea lui $23 n$ la 200 obținem restul 29 . + +(Gazeta Matematica) + +4. a) Pe un cerc sunt scrise în ordine numerele naturale de la 1 la 20 în sensul acelor de ceasornic. Prin pas înțelegem să schimbăm locurile a două numere arbitrare din cele 20 de numere scrise pe cerc. Care este numărul minim de pași prin care putem să rearanjăm aceste numere succesiv în sensul contrar acelor de ceasornic? + +b) Care este răspunsul la întrebarea pusă la a) dacă pe cerc sunt scrise 21 de numere în sensul acelor de ceasornic de la 1 la 21 ? + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a V-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1, autor. *** + +Se aranjează numerele naturale impare astfel: +Linia 1: +1 +Linia 2: +3,5 +Linia 3: +$7,9,11$ + +a) Scrieți numerele de pe linia a șaptea. + +b) Găsitii primul și ultimul element de pe linia 101. + +c) Arătați că suma elementelor din primele 101 linii este un pătrat perfect. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a)Primele 6 linii conțin $1+2+\ldots+6=21$ numere impare . Linia a 7 -a este 43, 45, ... 55 | 1 | +| b)Primele 100 linii contin $(1+2+3+\ldots+100)=5050$ numere | 1 | +| Linia 101începe cu al 5051 lea număr impar 2 $2 \cdot 5050+1=10101$ | 2 | +| Linia 101 se termină cu $2 \cdot 5150+1=10301$ | 1 | +| c) $1+3+5+\ldots 10301=10302 \cdot 5151: 2=5151 \cdot 5151=5151^{2}$ | 2 | + +Subiectul 2, autor prof. Dana Radu + +Un număr natural se numește " $p$ norocos " dacă are $p$ cifre și este divizibil cu $p$. + +a) Care este cel mai mic număr "13 norocos" ? + +b) Care este cel mai mare număr "13 norocos"? + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) A= $\overline{a b c a b c}=\overline{a b c} \cdot 1001=\overline{a b c} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13: 13$ | 1 | +| $\mathrm{B}=999999999999=\left(999999 \cdot 10^{6}+999999\right): 13(\mathrm{~B}$ are 12 cifre $)$ | 1 | +| Cel mai mic număr 13 norocos este $\mathrm{B}+13=100000000012$ | 2 | +| b) $10 \cdot \mathrm{B}+13$ are 14 cifre | 1 | +| Cel mai mare număr norocos este deci $10 \mathrm{~B}=9999999999990$ | 2 | + +Subiectul 3, autor Gazeta Matematica + +Aflați ultimele trei cifre ale numărului natural nenul $n$, știind că prin împărțirea lui 29 n la 250 obținem restul 67 , iar prin împărțirea lui 23 n la 200 obținem restul 29 . + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $29 \mathrm{n}=250 \cdot \mathrm{K}+67$ și $23 \mathrm{n}=200 \cdot \mathrm{Q}+29$ | 1 | +| $29 \mathrm{n} \cdot 4=1000 \mathrm{~K}+268 \Rightarrow 116 \mathrm{n}=1000 \mathrm{~K}+268(1)$ | 2 | +| $23 \mathrm{n} \cdot 5=1000 \mathrm{Q}+145 \Rightarrow 115 \mathrm{n}=1000 \mathrm{Q}+145(2)$ | 2 | +| Scăzând relaţiile (1) și (2) obținem $\mathrm{n}=1000(\mathrm{~K}-\mathrm{Q})+123$ | 1 | +| Restul împărțirii lui $\mathrm{n}$ la 1000 este 123. | 1 | + +Subiectul 4, autor *** + +a) Pe un cerc sunt scrise în ordine numerele naturale de la 1 la 20 în sensul acelor de ceasornic. Prin pas înţelegem să schimbăm locurile a două numere arbitrare din cele 20 de numere scrise pe cerc. Care este numărul minim de pași prin care putem să rearanjăm aceste numere în ordine, în sensul contrar acelor de ceasornic? + +b) Care este răspunsul la întrebarea pusă la a) dacă pe cerc sunt scrise 21 de numere în sensul acelor de ceasornic de la 1 la 21 ? + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| A)Lăsăm numerele 1 şi 11 pe loc şi schimbăm între ele $(2,20),(3,19),(4,18)$,
$(5,17),(6,16),(7,15),(8,14),(9,13),(10,12)$ | 2 | +| Numărul minim de schimbări este 9, deoarece în cazul a 8 schimbări rămân în ordine
crescătoare 4 numere în sensul acelor de ceasornic | 2 | +| B) Lăsăm fixat un număr de exemplu pe 1. Schimbăm între ele $(2,21),(3,20),(4,19),(5$,
18), (6, 17), (7, 16), (8, 15), (9, 14),(10,13), (11,12) | 2 | +| Numărul minim de schimbări este 10, deoarece în cazul a 9 schimbări rămân în ordine
crescătoare 3 numere în sensul acelor de ceasornic. | 1 | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-392-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-392-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75abd2b97ec48cd2686abe0f73c58cc677189826 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-392-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,55 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 21.02.2016
CLASA a 9-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1. Rezolvaţi ecuaţia $3[x]=\left[x^{2}\right]+2$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Avem $3[x] \geq 2$, deci $[x] \geq 1$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $[x]=a \geq 3$, atunci $\left[x^{2}\right]-3[x] \geq a^{2}-3 a=a(a-3) \geq 0$, deci ecuaţia nu are soluţii
în acest caz | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $[x]=1$ obținem $\left[x^{2}\right]=1$ şi avem mulţimea de soluţii $[1, \sqrt{2})$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Dacă $[x]=2$ obţinem $\left[x^{2}\right]=4$ şi avem mulţimea de soluţii $[2, \sqrt{5})$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Mulţimea soluţilor este $[1, \sqrt{2}) \cup[2, \sqrt{5})$ | $\mathbf{1 p}$ | + +Subiect 2. Determinaţi numerele întregi $a, b, c$ pentru care $\left\{x \in \mathbb{R} \mid a x^{2}+b x+c=0\right\}=\{a, b\}$. (În notaţia $\{x, y\}$ se înţelege că elementele $x$ şi $y$ sunt distincte). + +Prof.Dan Negulescu, Supliment GM 10/2015 + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Cerinţa este echivalentă cu $a^{3}+a b+c=0$ şi $a b^{2}+b^{2}+c=0$, cu $a \neq b$ | 2p | +| Prin scădere rezultă $(a-b)\left(a^{2}+a b+b\right)=0$ | 2p | +| $b=-\frac{a^{2}}{a+1}=1-a-\frac{1}{a+1}$, cu $a \in \mathbb{Z} \backslash\{-1\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Obținem $a=-2, b=4, \quad c=16$ sau $a=0$, care nu convine | 2p | + +Subiect 3. a) Se consideră punctele arbitrare $A, B, C, D, E$. Verificaţi dacă există puncte $P$ pentru care $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P E}$. În caz afirmativ, precizaţi-le poziţia. + +b) Demonstraţi că dacă laturile triunghiului $A B C$ sunt paralele cu medianele triunghiului $M N P$, atunci laturile triunghiului $M N P$ sunt paralele cu medianele triunghiului $A B C$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=3 \overrightarrow{P G}$, unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului (eventual
degenerat) $A B C$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $\overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P E}=2 \overrightarrow{P M}$, unde $M$ este mijlocul segmentului $D E$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Egalitatea se obține dacă şi numai dacă $\overrightarrow{P M}=3 \overrightarrow{G M}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| Dacă $A B$ este paralelă cu mediana din $P$, atunci $\overrightarrow{A B}=x(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{P N})$; analog
$\overrightarrow{B C}=y(\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{N M}), \overrightarrow{C A}=z(\overrightarrow{M P}+\overrightarrow{M N})$, cu $x, y, z \in \mathbb{R}^{*}$ | $2 p$ | +| :---: | :---: | +| Din $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{P N}-\overrightarrow{P M}$ si $\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{C A}$ rezultă
$x \overrightarrow{P M}+x \overrightarrow{P N}=(2 y-z) \overrightarrow{P M}+(2 z-x) \overrightarrow{P N}$, deci $x=y=z$ | $1 \mathrm{p}$ | +| În acest caz, mediana din $A$ are direcţia $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 x \overrightarrow{P M}+x(\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N M})=3 x \overrightarrow{P M}$
deci este paralelă cu $P M$; analog pentru celelalte mediane | $1 \mathbf{p}$ | + +Subiect 4. Demonstraţi că dacă $n$ este un număr natural nenul, atunci produsul + +$$ +(n+1)(n+2)(n+3) \ldots(3 n) +$$ + +este divizibil cu $3^{n}$, dar nu este divizibil cu $3^{n+1}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Procedăm prin inducție. Pentru $n=1$ concluzia se verifică | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă notăm cu $P_{n}$ produsul dat, atunci $P_{n+1}=3(3 n+1)(3 n+2) P_{n}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă este $P_{n}$ divizibil cu $3^{n}$, dar nu este divizibil cu $3^{n+1}$, atunci $P_{n+1}$ este divizibil cu
$3^{n+1}$, dar nu este divizibil cu $3^{n+2}$, deoarece $3 n+1$ şi $3 n+2$ nu sunt divizibile cu 3 | $\mathbf{3 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-393-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-393-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f10078d799ad4ef8abc2e6c8a09a2dc9d3f5029 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-393-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală a județului Alba, 19 februarie 2016 SOLUTII ȘI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VIII-a + +Problema 1. a) Arătați că: $\sqrt{x-\sqrt{8 x}+6} \geq 2$, ( $\forall) x \in \mathbb{R}_{+}$ + +b) Determinaţi a și $b$ astfel încât: $\frac{4}{\sqrt{a-\sqrt{8} \bar{a}}+6+\sqrt{b-\sqrt{12 b}+7}} \in \mathbb{N}$. + +Soluție: + +a) $x-\sqrt{8 x}+6=(\sqrt{x}-\sqrt{2})^{2}+4 \geq 4$ $2 p$ + +de unde $\Rightarrow \sqrt{\mathrm{x}-\sqrt{8 \mathrm{x}}+6} \geq 2,(\forall) x \in \mathbb{R}_{+}$ $1 p$ + +b) Analog $\sqrt{a-\sqrt{8 a}+6}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{2})^{2}+4} \geq 2$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bf27fcfa0090340395c5g-1.jpg?height=107&width=1532&top_left_y=1008&top_left_x=306) +$\Rightarrow \sqrt{a-\sqrt{8 x}+6}+\sqrt{b-\sqrt{12 b}+7} \geq 4$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Pentru ca fracția să fie nr. natural $\Leftrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{2}=\sqrt{b}-\sqrt{3}=0 \Rightarrow x=2$ și $y=3$ ..... $1 p$ + +Problema 2. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, lungimea diagonalei unei fețe este de $10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. + +Punctul $M$ aparține dreptei $A B$ astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $[M B]$. Calculați: + +a) distanța de la punctul $M$ la planul $\left(D^{\prime} B D\right)$ + +b) măsura unghiului $\therefore \quad \Varangle\left[A B^{\prime},\left(B D D^{\prime}\right)\right]$. + +c) tangenta unghiului diedru determinat de planele (MA'C) și (BCB'). + +Soluție: + +a) În $\triangle B M D$ : AD - înălțime și mediană, $m[\Varangle(D B A)]=45^{\circ} \Rightarrow \triangle M D B-d r . i s . \Rightarrow M D \perp D B$ (1) .... 1p $\operatorname{dar} M D \perp D D^{\prime} \stackrel{(1)}{\Rightarrow} M D \perp\left(D^{\prime} D B\right) \Rightarrow d\left[M,\left(D^{\prime} D B\right)\right]=M D=B D=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bf27fcfa0090340395c5g-1.jpg?height=60&width=1673&top_left_y=1780&top_left_x=137) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bf27fcfa0090340395c5g-1.jpg?height=83&width=1687&top_left_y=1831&top_left_x=138) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bf27fcfa0090340395c5g-1.jpg?height=54&width=1673&top_left_y=1908&top_left_x=137) + +$M B \perp\left(B C C^{\prime}\right) ;$ fie $B Q \perp C P ; B Q, C P \subset\left(B C C^{\prime}\right) \stackrel{T_{3} \perp}{\Rightarrow} M Q \perp C P$ + +Cum $\left(M A^{\prime} C\right) \cap\left(B C C^{\prime}\right)=P C \Rightarrow \Varangle\left[\left(M A^{\prime} C\right),\left(B C B^{\prime}\right)\right]=\Varangle(B Q M)$ + +Se calculează $C P=10 \sqrt{5} \mathrm{~cm}, B Q=4 \sqrt{5} \mathrm{~cm}, \Rightarrow \operatorname{tg} \widehat{B Q M}=\frac{M B}{B Q}=\sqrt{5}$ $1 p$ + +Problema 3. Fie $x, y, z$ numere reale strict pozitive. Să se arate că: + +a) $\frac{x^{2}}{y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \geq \frac{2 x-y}{3 x y}$ +b) $\frac{x^{2}}{y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)}+\frac{y^{2}}{z\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)}+\frac{z^{2}}{x\left(z^{2}+x z+x^{2}\right)} \geq \frac{x y+y z+x z}{3 x y z}$. + +## Soluţie: + +a) $\frac{x^{2}}{y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \geq \frac{2 x-y}{3 x y} \left\lvert\, \cdot y \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}} \geq \frac{2 x-y}{3 x}\right.$ + +$3 x^{3} \geq(2 x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \Leftrightarrow x^{3}-x^{2} y-x y^{2}+y^{3} \geq 0 \Leftrightarrow(x-y)^{2}(x+y) \geq 0$............... 1p $\operatorname{Cum}(x-y)^{2} \geq 0 ; x+y \geq 0,(\forall) x, y \in \mathbb{R}_{+} \Rightarrow(x-y)^{2}(x+y) \geq 0$........................................ 1p b) folosim rezultatul de la punctul a) ṣi obținem: + +$\frac{x^{2}}{y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} \geq \frac{2 x-y}{3 x y} ; \frac{y^{2}}{z\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)} \geq \frac{2 y-z}{3 y z} ; \frac{z^{2}}{x\left(z^{2}+x z+x^{2}\right)} \geq \frac{2 z-x}{3 z x}$ $2 p$ + +Adunăm membru cu membru cele trei inegalităţi: + +$\frac{x^{2}}{y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)}+\frac{y^{2}}{z\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)}+\frac{z^{2}}{x\left(z^{2}+x z+x^{2}\right)} \geq \frac{2 x-y}{3 x y}+\frac{2 y-z}{3 y z}+\frac{2 z-x}{3 z x}$ $1 p$ Aducem la același numitor și obținem: + +$\frac{x^{2}}{y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)}+\frac{y^{2}}{z\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)}+\frac{z^{2}}{x\left(z^{2}+x z+x^{2}\right)} \geq \frac{x z+x y+y z}{3 x y z}$ + +Problema 4. Fie prisma triunghiulară regulată dreaptă $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \mathrm{cu} A B=2 a$ și $A A^{\prime}=a$. + +a) Arătați că perimetrul triunghiului $A C B^{\prime}$ este mai mare decât perimetrul patrulaterului $B C C^{\prime} B^{\prime}$. + +b) Demonstrați că suprafețele $A C$ B $^{\prime}$ și $B C C^{\prime} B^{\prime}$ sunt echivalente. + +c) Dacă $B^{\prime} E$ este bisectoarea unghiului $A^{\prime} B^{\prime} B, E \in A B$ și M este mijlocul lui $[B C]$, demonstraṭi că $A^{\prime} C^{\prime} \|\left(B^{\prime} M E\right)$. + +## Soluție: + +a) $\triangle B^{\prime} B A \equiv \triangle B^{\prime} B C$ (C.C. $) \Rightarrow\left[B^{\prime} A\right] \equiv\left[B^{\prime} C\right] \Rightarrow \triangle B^{\prime} A C-$ isoscel + +$$ +\text { în } \triangle B^{\prime} B A: m(\Varangle B)=90^{\circ} \stackrel{T . P .}{\Rightarrow} B^{\prime} A=a \sqrt{5} \Rightarrow P_{\triangle A C B^{\prime}}=2(1+\sqrt{5}) a \text { (1) și } P_{B C C^{\prime} B^{\prime}}=6 a \quad \text { (2) ...... } 1 \mathrm{p} +$$ + +Avem $2<\sqrt{5}<3 \Rightarrow 1+\sqrt{5}>3 \Rightarrow 2(1+\sqrt{5})>6 \stackrel{(1)+(2)}{\Longrightarrow} P_{\triangle A C B^{\prime}}>P_{B C C^{\prime} B^{\prime}}$ + +b) Din $T_{3} \perp \Rightarrow B^{\prime} F \perp A C, \mathrm{~F} \in(\mathrm{AC}) \Rightarrow B^{\prime} \mathrm{F}=2 \mathrm{a}$ (T.P. în $\triangle A F B^{\prime}$ ) + +$A_{\triangle A C B^{\prime}}=\frac{A C \cdot B^{\prime} F}{2}=2 a^{2}$ + +$A_{B C C^{\prime} B^{\prime}}=B C \cdot C C^{\prime}=2 a^{2} \quad(4) \stackrel{(3)+(4)}{\Longrightarrow} A_{\triangle A C B^{\prime}}=A_{B C C^{\prime} B^{\prime}}$ $2 p$ + +c) Fie (B'E - bisectoarea $\Varangle A^{\prime} B^{\prime} A \Rightarrow \mathrm{m}\left(\Varangle A^{\prime} B^{\prime} E\right)=\mathrm{m}\left(\Varangle E B^{\prime} B\right)=45^{\circ} \Rightarrow \triangle E B B^{\prime}-$ dr. is. $\Rightarrow E B=B B^{\prime}=\mathrm{a}$ + +$A B=2 a \Rightarrow A E=A B-B E=a \Rightarrow A E=E B \Rightarrow E-$ mijlocul lui $[A B]$ + +$M$-mijlocul lui $[B C] \Rightarrow E M$ - linie mijlocie î $\triangle A B C$ $\qquad$ +Notă: Orice altă soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-394-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-394-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33fb5963d9695763f52e3cffa3c6fa5e951c870d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-394-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,98 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală a județului Alba, 19 februarie 2016 SOLUȚII ȘI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. Se consideră numerele: + +$$ +x=1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+2015^{2} \text { si } y=2^{2}+4^{2}+6^{2}+\cdots+2016^{2} +$$ + +Folosind, eventual, relația $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$, calculaţi numărul: $A=(y-x)[y+x-(1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+2015 \cdot 2016)]$ + +## Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=57&width=1692&top_left_y=819&top_left_x=153) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=57&width=1698&top_left_y=871&top_left_x=156) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=57&width=1698&top_left_y=919&top_left_x=150) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=60&width=1692&top_left_y=963&top_left_x=153) + +$y+x=1 \cdot(2-1)+2 \cdot(3-1)+3 \cdot(4-1)+\cdots+2016 \cdot(2017-1)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=49&width=1690&top_left_y=1066&top_left_x=154) + +notăm: $p=1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+2015 \cdot 2016$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=49&width=1692&top_left_y=1157&top_left_x=153) + +$A=2017 \cdot 1008:(2016 \cdot 2017-2016 \cdot 1008)=1$.............................................................................................. + +Problema 2. Se consideră trapezul $A B C D$ cu $A B \| C D, A B>C D$ și $A C \perp B D$. Fie $E$ mijlocul diagonalei [AC]. Paralela prin $E$ la $B D$ intersectează PEAB în $M$. Demonstraţi că: +a) $\triangle A M C$ este isoscel; +b) $M E=\frac{B D}{2}$ ṣi $C M=\frac{A B+C D}{2}$; + +Soluţie: + +a) În $\triangle A M C: M E$ - mediană și înălțime $\Rightarrow \triangle A M C$ - isoscel cu $[A M] \equiv[M C] \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=71&width=1641&top_left_y=1643&top_left_x=207) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=78&width=1692&top_left_y=1708&top_left_x=153) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=60&width=1692&top_left_y=1780&top_left_x=153) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-1.jpg?height=83&width=1692&top_left_y=1831&top_left_x=153) + +Problema 3. a) Arătaţi că are loc relația: $\frac{1}{2^{k}+1}-\frac{1}{2^{k+1}+1}=\frac{2^{k}}{\left(2^{k}+1\right) \cdot\left(2^{k+1}+1\right)} ;(\forall) k \in \mathbb{N}$. + +b) Aflați $n \in \mathbb{N}$, astfel încât: $\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{4}{5 \cdot 9}+\frac{8}{9 \cdot 17}+\cdots+\frac{2^{n}}{\left(2^{n}+1\right) \cdot\left(2^{n+1}+1\right)}=\frac{2}{3} \cdot \frac{2^{2015}}{2^{2015}+1}$; + +Soluție: + +a) aducerea la același numitor ..................................................................................................................1p + +finalizare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-2.jpg?height=97&width=1692&top_left_y=260&top_left_x=153) + +după simplificare se obține: $\frac{1}{3}-\frac{1}{2^{n+1}+1}=\frac{2}{3} \cdot \frac{2^{2015}-1}{2^{2016}+1}$ + +C + +$1 p$ + +aducerea la același numitor $\frac{2\left(2^{n}-1\right)}{3\left(2^{n+1}+1\right)}=\frac{2}{3} \cdot \frac{2^{2015}-1}{2^{2016}+1}$ + +$2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-2.jpg?height=60&width=1686&top_left_y=517&top_left_x=148) + +Problema 4. În triunghiul isoscel $\mathrm{ABC}, \mathrm{cu}[A B] \equiv[A C]$, se consideră bisectoarele (AD, respectiv (CE cu $D \in(B C), E \in(A B)$ și punctul $F$, mijlocul lui $(A C)$, astfel încât $E F \perp A C$, + +a) Aflați măsurile unghiurilor triunghiului $A B C$. + +b) Arătați că triunghiul $A B P$ este isoscel, unde $A D \cap E F=\{P\}$. + +Gazeta matematică, nr. $9 / 2015$ + +## Soluție: + +figura corespunzătoare enunțului ......................................................................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-2.jpg?height=68&width=1673&top_left_y=1025&top_left_x=151) + +notăm $m(\Varangle B A C)=m(\Varangle A C E)=a$ și $(C E-b i s . \Varangle B C A \Rightarrow m(\Varangle A C B)=m(\Varangle A B C)=2 a \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-2.jpg?height=62&width=1679&top_left_y=1185&top_left_x=151) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-2.jpg?height=68&width=1685&top_left_y=1256&top_left_x=148) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ba2c17359679d8926f12g-2.jpg?height=89&width=1696&top_left_y=1343&top_left_x=137) + +$\triangle A M P \equiv \triangle B M P$ (C.C.) $\Rightarrow[A P] \equiv[B P] \Rightarrow \triangle A B P$ - isoscel ............................................................1p + +Notă: Orice altă soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-395-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-395-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b33d794679ea64711aa55e00f47a91430079c3b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-395-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,83 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=162&width=174&top_left_y=153&top_left_x=652) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală a județului Alba, 19 februarie 2016 SOLUȚII ȘI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VI-a + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=534&width=1679&top_left_y=578&top_left_x=131) + +Problema 2. Resturile împărțirilor unui număr natural n la 3,4 și 5 sunt 1, 2, respectiv 3. + +a). Aflați resturile posibile ale împărțirii lui $\mathrm{n}$ la 120. + +b). Calculați suma primelor 20 de numere cu proprietatea din enunț. + +## Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=63&width=1621&top_left_y=1313&top_left_x=180) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=63&width=1662&top_left_y=1364&top_left_x=128) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=63&width=1662&top_left_y=1413&top_left_x=128) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=51&width=1658&top_left_y=1473&top_left_x=130) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=54&width=1662&top_left_y=1523&top_left_x=128) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_910c7425b774fea1d86bg-1.jpg?height=60&width=1604&top_left_y=1571&top_left_x=183) + +Problema 3. Punctele $C, D$ ṣi $E$ sunt situate în interiorul segmentului $[A B]$ astfel încât $|A C|=\frac{|B C|}{3}$, $|A D|=\frac{|A B|}{3}$ si $|A E|=\frac{|A C|}{2}$. + +a). Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[B D]$ arătaţi că $D$ este mijlocul segmentului $[A M]$. b). Știind că $|D E|=40 \mathrm{~cm}$ calculați lungimea segmentului $[A B]$. + +Soluție: +a) $|A B|=3 \cdot|A D|,|B D|=|A B|-|A D|=2 \cdot|A D| \Rightarrow|A D|=\frac{|B D|}{2}$ + +$1 p$ + +$M-$ mijlocul $[B D] \Rightarrow|B M|=|M D|=\frac{|B D|}{2} \Rightarrow|A D|=|M D|=\frac{|B D|}{2} \Rightarrow \mathrm{D}-$ mijlocul $[A M]$ + +$1 p$ + +b) notăm $|A E|=a,|A E|=\frac{|A C|}{2} \Rightarrow|A C|=2 a$ + +$|A C|=\frac{|B C|}{3} \Rightarrow|B C|=3 \cdot 2 a=6 a$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$|A B|=|A C|+|B C|=2 a+6 a=8 a \Rightarrow|A D|=\frac{|A B|}{3}=\frac{8 a}{3}$ + +$1 p$ + +$|D E|=|A D|-|A E|=\frac{8 a}{3}-a=\frac{5 a}{3}$ + +$1 p$ + +$|D E|=40 \mathrm{~cm} \Rightarrow \frac{5 a}{3}=40 \mathrm{~cm} \Rightarrow a=24 \mathrm{~cm} \Rightarrow A B=192 \mathrm{~cm}$ $1 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Fie $\Varangle X O Y$ un unghi ascuțit și [OZ bisectoarea acestuia. În semiplanele opuse față de dreapta ce conține semidreapta [ $O Z$ considerăm punctele $A$ și $B, B$ fïnd în acelaṣi semiplan cu $X$, astfel încât $\Varangle B O X \equiv \Varangle A O Y$ și $\Varangle A O B$ este alungit. + +a). Dacă $m(\Varangle Y O Z)=\frac{m(\Varangle B O X)}{8}$, aflaţi $m(\Varangle X O Y)$. + +b). Fie punctele $T \in[O Z, L \in[O X$ și $R \in[O Y$ astfel încât [OL] $\equiv[O R]$. Arătaţi că $\triangle T L R$ este isoscel. + +c). Dacă $T L \cap A B=\{E\}$ șì $T R \cap A B=\{C\}$, arătaţi că $\triangle T E C$ este isoscel. + +## Soluție: + +a) $\left[O Z-\right.$ bisectoarea $\Varangle X O Y \Rightarrow m(\Varangle X O Z)=m(\Varangle Y O Z)=\frac{m(\Varangle X O Y)}{2}$ + +$\Varangle A O B$ este alungit $\Rightarrow m(\Varangle A O B)=180^{\circ}$ + +$m(\Varangle Y O Z)=\frac{m(\Varangle B O X)}{8} \Rightarrow m(\Varangle B O X)=8 \cdot m(\Varangle Y O Z)$ + +$m(\Varangle B O X)+m(\Varangle X O Y)+m(\Varangle A O Y)=180^{\circ}$ + +$2 \cdot m(\Varangle B O X)+2 \cdot m(\Varangle Y O Z)=180^{\circ}$ + +$2 \cdot 8 \cdot m(\Varangle Y O Z)+2 \cdot m(\Varangle Y O Z)=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle Y O Z)=10^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle X O Y)=20^{\circ} \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . .1 p$ +b) $\triangle L O T \equiv \triangle R O T$ (L.U..L.) ..................................................................................................... 1P + +$[L T] \equiv[R T] \Rightarrow \triangle T L R$ este isoscel ........................................................................................ 1p +c) $\Varangle O T L \equiv \Varangle O T R \Rightarrow(T O-$ bisectoarea $\Varangle C T E]$. $\quad \triangle T O E \equiv \Varangle T O C \Rightarrow T O \perp E C$. $\Rightarrow T E C$ este isoscel ....................... $2 p$ + +Notă: Orice altă soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-396-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-396-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f78aff423826dd00396376637dfd02f1b3fbd6a8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-396-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,75 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală a județului Alba, 19 februarie 2016 SOLUȚII ȘI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. a) Aflați ultima cifră a numărului $x=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots n+2^{2016}$ b) Fie $n=1+3+5+\cdots+2015$. Arătaţi că $n$ este pătrat perfect. + +## Soluție: + +a) $\operatorname{uc}\left(2^{n}\right) \in\{2 ; 4 ; 6 ; 8\}, n \in \mathbb{N}^{*}$ + +$1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=68&width=1619&top_left_y=791&top_left_x=272) + +$u c\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right)=\operatorname{uc}\left(2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}\right)=\ldots=u c\left(2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}+2^{2016}\right)=0 \ldots \ldots 1 p$ + +$u c\left(2^{0}\right)=1 \Rightarrow \operatorname{uc}(x)=1$ + +$1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=66&width=1684&top_left_y=943&top_left_x=208) + +Finalizare, $\mathrm{n}=1008^{2}$ + +Problema 2. Aflaţi numerele de forma $\overline{a b c}$, ştiind că împărţind pe $\overline{a b c}$ la $\overline{b c}$ obţinem câtul 6 şi restul 5 . Soluție: + +Conform T.I.R. a numerelor naturale avem $\overline{a b c}=6 \cdot \overline{b c}+5$ $1 p$ + +$100 \mathrm{a}+\overline{b c}=6 \cdot \overline{b c}+5$ $1 \mathrm{p}$ + +$5 \cdot \overline{b c}=100 a-5$ $1 p$ + +$\overline{b c}=20 a-1$ + +Condiția a $\leq 5$ $1 p$ + +$a \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\} \Rightarrow \overline{a b c} \in\{119 ; 239 ; 359 ; 479 ; 599\}$ $1 p$ + +$2 p$ + +Problema 3. a) Determinaţi toate numerele naturale de forma $\overline{a b c d}$ ştiind că $24 a+39 b+\overline{c d}=61$. + +b) Determinaţi numărul natural a care verifică egalitatea: + +$$ +2015^{0}+a+3 a+5 a+\ldots+99 a+2016=17+2 a+4 a+\ldots+100 a +$$ + +## Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=63&width=1693&top_left_y=1644&top_left_x=184) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=68&width=1647&top_left_y=1690&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=67&width=1645&top_left_y=1742&top_left_x=228) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=66&width=1645&top_left_y=1794&top_left_x=228) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=71&width=1690&top_left_y=1840&top_left_x=183) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=64&width=1641&top_left_y=1895&top_left_x=227) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=61&width=1641&top_left_y=1942&top_left_x=230) + +Problema 3. a) Scrieți numărul 2016 ca sumă de trei pătrate perfecte. + +b) Arătați că numărul $2016^{2015}$ poate fi scris ca suma a trei pătrate perfecte nenule. + +Soluție: +a) $2016=1600+400+16=40^{2}+20^{2}+4^{2} \ldots \ldots 2+4^{2}-36^{2}+12^{2}+b^{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_46238a177f184c489daag-1.jpg?height=71&width=1675&top_left_y=2187&top_left_x=183) + +$N=\left(40^{2}+20^{2}+4^{2}\right) \cdot\left(2016^{1007}\right)^{2}=\left(40 \cdot 2016^{1007}\right)^{2}+\left(20 \cdot 2016^{1007}\right)^{2}+\left(4 \cdot 2016^{1007}\right)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots .3 p$ + +Notă: Orice altă soluţie corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-397-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_viii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-397-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_viii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fded5c57b072ea7d9544bcc935a57480067f28e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-397-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_viii.md @@ -0,0 +1,29 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA A -VIII-A + +21 februarie 2016 + +1. a) Demonstrați că $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$, oricare ar fi $a, b$ numere reale pozitive ; + +b) Folosind eventual a) demonstrați că dacă $x, y, z$ sunt numere reale pozitive cu proprietatea că $x+y+z=1$, atunci $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}} \geq 2 \sqrt{2}$. + +2. Se consideră piramida patrulateră regulată $V A B C D$, având baza $A B C D$, cu latura bazei de lungime $6 \mathrm{~cm}$, muchia laterală cu lungimea de $3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ și fie $M$ mijlocul muchiei [VD]. Determinați distanța de la punctul $V$ la planul $(B C M)$. +3. Determinați tripletele de numere raționale $(x, y, z)$ cu proprietatea că + +$$ +|| x-2|-3|-4 \mid+\sqrt{4 y(y+1)+3 z(3 z+10)+35} \leq 3 +$$ + +4. Pe muchiile $(D H)$ și $(B F)$ ale paralelipipedului dreptunchic $A B C D E F G H$ cu $A D=6 \mathrm{~cm}$ și $A E=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, se consideră punctele $I$, respectiv $J$, astfel încât semidreapta ( $A I$ să fie bisectoarea unghiului $\square H A D$ și $A_{B C G J}=5 \cdot A_{G F J}$. + +a) Arătați că punctele $A, I, G$ și $J$ sunt vârfurile unui paralelogram; + +b) Determinați lungimea segmentului $[A B]$ astfel ca aria paralelogramului $A I G J$ să fie egală cu $40 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$. + +## Supliment GM 9/2015 + +Notă-Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-398-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-398-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c52a895c2e47b663c1d0686b4eb4c68ecd671d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-398-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vii.md @@ -0,0 +1,31 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA A -VII-A
21 februarie 2016 + +1.a) Rezolvati in $Z$ ecuatia : $5 \cdot(2 \cdot|3 x-4|+4)-30=10$. + +b) Daca $x=\sqrt{2010+(2+4+6+\cdots+4018)}$, sa se arate ca $x \in N$. + +c) Fie $a, b, c, d$ numere reale pozitive astfel incat abcd=1.Calculati : + +$$ +\mathrm{E}=\frac{7+a}{1+a+a b+a b c}+\frac{7+b}{1+b+b c+b c d}+\frac{7+c}{1+c+c d+c d a}+\frac{7+d}{1+d+d a+d a b} +$$ + +2. Se considera numarul $a_{n}=18 \underbrace{77 \ldots 77}_{\text {de nori }} 889$, cu $\mathrm{n}$ numar natural, si $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ catul impartirii numarului an la 13. + +a) Sa se arate ca an se divide cu 13 pentru oricare $n$. + +b) Sa se determine $n$ pentru care $s\left(a_{n}\right)=2 s\left(c_{n}\right)$, unde $s(m)$ reprezinta suma cifrelor numarului $m$. + +(supliment gazeta matematica) + +3. Fie $A B C$ un triunghi echilateral, $M$ mijlocul laturii $[B C]$ si $D \in(A M)$ astfel incat $\mathrm{AM}+\mathrm{MD}=\mathrm{AB}$. Sa se determine masura unghiului $\varangle D B M$. +4. Fie $A B C D$ paralelogram in care $A B>B C,[A E$ bsectoarea unghiului $A,[B F$ bisectoarea unghiului $B$ ( $E, F \in(D C)$ ), $X$ mijlocul segmentului $[A E]$, iar $Y$ mijlocul segmentului $[B F]$. + +a) Demonstrati ca DXYF este paralelogram . + +b) Daca $5 A D=3 A B$ si $X Y=24 \mathrm{~cm}$, aflati perimetrul paralelogramului $A B C D$. + +Nota : - Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-399-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-399-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c0d46cb64c1286c374621d18a681cd7d37106e8a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-399-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vi.md @@ -0,0 +1,29 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean Gorj + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA a VI-a + +21 februarie 2016 + +1. a) Găsiţi cel mai mare număr natural de trei cifre (în baza 10) ştiind că, dacă îl împărţim la 15 sau la 25 , obţinem de fiecare dată acelaşi rest. + +b) Aflaţi cea mai mare şi cea mai mică fracţie de forma $\frac{\overline{3 a 8 b}}{\overline{1 x 7 y}}$ care se simplifică prin 45 . + +2. a) Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, c numere naturale cu proprietatea că $2 a+5 b=3 c$. + +Demonstrați că produsul $(a+b)(b+c)(a+c)$ este divizibil cu 30 . + +b) Şapte numere naturale au proprietatea că suma oricăror şase dintre ele este un multiplu de 7. Demonstrați că toate numerele sunt divizibile cu 7. + +3. Două unghiuri complementare au o latură comună şi bisectoarele lor determină un unghi cu măsura de $20^{\circ}$. Determinaţi măsurile celor două unghiuri. +4. Se consideră punctele coliniare $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \ldots, M_{2016}$, în această ordine, astfel încât $M_{1} M_{2}=4 \mathrm{~cm}, M_{2} M_{3}=4 M_{1} M_{2}, M_{3} M_{4}=4 M_{2} M_{3}, \ldots, M_{2015} M_{2016}=4 M_{2014} M_{2015}$ + +a) Calculaţi lungimea segmentului $\left[M_{1} M_{2016}\right.$ ]. + +b) Comparaţi lungimile segmentelor [ $M_{1} M_{100}$ ] şi [ $M_{100} M_{150}$ ]. + +c) Demonstraţi că pentru orice numere naturale $a, b, c, d$, cu $1 \leq a Etapa locală - 26 februarie 2022
CLASA a VIII-a - enunţuri + +## Timp de lucru 180 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Fie $x$ şi $y$ numere reale cu proprietatea că $|x-3|+\sqrt{y^{2}+6 y+9}=0$. Atunci $x^{y}$ este: +A 27 +B $\frac{1}{27}$ +C - 27 +D $-\frac{1}{27}$ +E 3 +2. Cel mai apropiat întreg de numărul $a=\sqrt{2021 \cdot 2023}$ este: +A 2020 +B 2021 +C 2022 +D 2023 +E 2024 +3. Numărul 0,2022 se află în intervalul: +A $\left[0, \frac{1}{10}\right]$ +B $\left[\frac{1}{10}, \frac{1}{5}\right]$ +C $\left[\frac{1}{5}, \frac{1}{4}\right]$ +D $\left[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right]$ +$\mathbf{E}\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right]$ +4. Se consideră piramida regulată $V A B C$, unde $G_{1}$ este centrul de greutate al triunghiului $V A B$, iar $G_{2}$ este centrul de greutate al triunghiului $V A C$. Dacă $G_{1} G_{2}=2 \mathrm{~cm}$, atunci aria triunghiului $A B C$ este: +A $\frac{9 \sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}$ +B $9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$ +C $\frac{9 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}^{2}$ +D $\frac{9}{4} \mathrm{~cm}^{2}$ +E $\frac{9}{2} \mathrm{~cm}^{2}$ +5. Suma cifrelor $a$ şi $b$ pentru care numărul $\sqrt{2,(a)}+\overline{3,(b)}$ este raţional, este: +A 2 +B 3 +C 4 +D 5 +E 6 +6. Dacă $x \in[-3,1]$ §i $\frac{|x|}{|x-1|+|x+3|}=0$, (5), atunci $-\frac{1}{x}$ se află în intervalul: +A $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ +$\mathbf{B}\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ +C $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ +$\mathbf{D}\left(0, \frac{1}{2}\right)$ +$\mathbf{E}\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ +7. Se consideră punctele distincte $A, B, C, D, E, F$, oricare trei necoliniare, situate într-un plan $\alpha$ şi un punct $P$ în afara planului $\alpha$. Dacă $a$ este numărul dreptelor determinate de câte două dintre cele şapte puncte şi $b$ este numărul planelor determinate de câte trei dintre cele şapte puncte, atunci $a+b$ este: +A 22 +B 23 +C 36 +D 37 +E 56 +8. Dacă $x^{2}+5 y^{2}-2 x y-12 y+9=0$, atunci $x+y$ este: +A 4 +B 3 +C 5 +D 2,5 +E 1,5 +9. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Atunci cosinusul unghiului format de dreptele $A B$ si $A^{\prime} C$ este: +A $\frac{\sqrt{3}}{3}$ +B $\frac{1}{3}$ +C $\frac{\sqrt{5}}{3}$ +D $\frac{\sqrt{6}}{3}$ +$\mathrm{E} \frac{\sqrt{2}}{3}$ +10. Valoarea numărului real $\sqrt{4+\sqrt{8}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ este egală cu: +A 2 +$\mathrm{B} \sqrt{2}$ +C 1 +D 4 +E $2 \sqrt{2}$ +11. Fie intervalul $I=(a, b)$, unde $a, b \in \mathbb{R}$. Dacă $I \cap \mathbb{Z}=\{2021,2022\}$ si $E=|a-2020|+\mid b-$ $2023|+| a-b \mid$, atunci expresia $E$ este egală cu: +A 0 +B 1 +C 2 +D 4 +E 3 +12. Fie mulţimea $A=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}$ şi $|x-2 y+3|+|x+2 y-3|<2\}$. Cardinalul mulţimii $A$ este egal cu: +A 1 +B 4 +C 2 +D 3 +E 0 +13. Câte numere întregi $n$ există, pentru care $4 n^{4}+1$ este număr prim? +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 +14. Se consideră pătratul $A B C D$ şi un punct $P$ situat pe perpendiculara în $D$ pe planul pătratului. + +Dacă $E, F$ şi $G$ sunt proiecţiile lui $D$ pe $P A, P B$, respectiv $P C$, atunci $\left(\frac{E A}{E P}+\frac{G C}{G P}\right) \cdot \frac{F P}{F B}$ este egal cu: +A 1 +B 2 +C $\frac{1}{2}$ +D $\sqrt{2}$ +$\mathbf{E} \frac{3}{2}$ + +15. Câte elemente are mulţimea $A=\{\overline{a b} \mid \sqrt{\overline{a b}+\sqrt{b}} \in \mathbb{N}\}$ ? +A 1 +B 2 +C 3 +D 4 +E 5 +16. În tetraedrul regulat $A B C D$, notăm cu $M$ mijlocul muchiei $B D$. Atunci cosinusul unghiului format de dreptele $C M$ şi $A D$ este: +A $\frac{\sqrt{3}}{6}$ +B $\frac{1}{2}$ +C $\frac{\sqrt{3}}{3}$ +D $\frac{\sqrt{2}}{3}$ +$\mathrm{E} \frac{\sqrt{3}}{2}$ +17. Trei feţe ale unui paralelipiped dreptunghic au lungimile diagonalelor direct proporţionale $\mathrm{cu}$ numerele $\sqrt{3}, 2, \sqrt{5}$. Ştiind că lungimea diagonalei paralelipipedului este $6 \mathrm{~cm}$, produsul celor trei dimensiuni ale paralelipipedului, în $\mathrm{cm}^{3}$, este: + +A un număr B un număr natu- C un număr natu- D un număr E un număr natuiraţional ral cub perfect ral prim raţional neîntreg ral pătrat perfect + +18. Fie $x, y \in \mathbb{R}$ cu $y \in[-1,3)$ şi $x-y+1=0$. Cel mai apropiat număr întreg de numărul $\sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+13}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+4 x+2 y+5}$ este: +A 3 +B 4 +C 5 +D 6 +E 7 +19. O furnică porneşte din punctul $A$ şi se deplasează pe baza $A B C D$ a unei piramide patrulatere regulate $V A B C D$, apoi pe faţa laterală $V B C$, intersectând muchia $B C$ în punctul $M$, diferit de $B$ şi $C$ şi se opreşte în vârful $V$. Dacă toate muchiile piramidei au lungimea de $4 \mathrm{dm}$, iar lungimea drumului parcurs de furnică este minimă, lungimea segmentului $B M$ este: +A $8-4 \sqrt{3} \mathrm{dm}$ +B $2+\sqrt{3} \mathrm{dm}$ +C $2 \mathrm{dm}$ +D $4-\sqrt{3} \mathrm{dm}$ +$\mathbf{E} \frac{4+\sqrt{3}}{2} \mathrm{dm}$ +20. Maximul expresiei $E(x)=\frac{2 x^{2}-8 x+17}{x^{2}-4 x+7}$, unde $x \in \mathbb{R}$, este: +A 5 +B 4 +C 1 +D 3 +E 2 +21. Fie $S A B C$ o piramidă triunghiulară regulată, cu baza $A B C$ sुi $M$ mijlocul muchiei $A C$. Dacă măsura unghiului $\varangle B S M$ este $90^{\circ}$, atunci unghiul format de planele $(S A B)$ şi (SMB) este egal cu: +A $30^{\circ}$ +B $45^{\circ}$ +C $60^{\circ}$ +D $90^{\circ}$ +E $15^{\circ}$ +22. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Atunci măsura unghiului format de dreptele $A C^{\prime}$ şi $A^{\prime} B$ este: +A $30^{\circ}$ +B $45^{\circ}$ +C $60^{\circ}$ +D $90^{\circ}$ +E $15^{\circ}$ +23. Fie $x, y, z$ numere reale pozitive pentru care $[x] \cdot y \cdot z=\frac{5 \sqrt{6}}{6}, x \cdot[y] \cdot z=\frac{\sqrt{15}}{2}, x \cdot y \cdot[z]=\frac{\sqrt{10}}{2}$, unde $[b]$ este partea întreagă a numărului $b$. Atunci $\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]$ este: +A 1 +B 3 +C 4 +D 7 +E 5 +24. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ şi $M, N, P$ mijloacele muchiilor $A B, A D$, respectiv $A A^{\prime}$. Atunci măsura unghiului format de dreapta $A^{\prime} C^{\prime}$ cu dreapta de intersecţie a planelor $\left(M N P\right.$ ) şi ( $\left.B C C^{\prime}\right)$ este: +A $30^{\circ}$ +B $45^{\circ}$ +C $60^{\circ}$ +D $90^{\circ}$ +E $15^{\circ}$ + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa locală - 26 februarie 2022 + +CLASA a VIII-a + +Grila de răspunsuri + +| Problema | Răspuns | +| :---: | :---: | +| 1. | $\mathrm{~B}$ | +| 2. | $\mathrm{C}$ | +| 3. | $\mathrm{C}$ | +| 4. | $\mathrm{~B}$ | +| 5. | $\mathrm{C}$ | +| 6. | $\mathrm{D}$ | +| 7. | $\mathrm{D}$ | +| 8. | $\mathrm{~B}$ | +| 9. | $\mathrm{~A}$ | +| 10. | $\mathrm{~A}$ | +| 11. | $\mathrm{E}$ | +| 12. | $\mathrm{E}$ | +| 13. | $\mathrm{C}$ | +| 14. | $\mathrm{~A}$ | +| 15. | $\mathrm{~B}$ | +| 16. | $\mathrm{~A}$ | +| 17. | $\mathrm{E}$ | +| 18. | $\mathrm{D}$ | +| 19. | $\mathrm{~A}$ | +| 20. | $\mathrm{D}$ | +| 21. | $\mathrm{~B}$ | +| 22. | $\mathrm{D}$ | +| 23. | $\mathrm{E}$ | +| 24. | $\mathrm{C}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-40-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al treilea test de selectie pentru juniori-b3_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-40-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al treilea test de selectie pentru juniori-b3_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f2d1591dd0971d1789e61eadd348945054375745 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-40-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al treilea test de selectie pentru juniori-b3_juniori.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# Al treilea test de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 6 iunie 2021 + +## Problema 1. + +Arătaţi că pentru orice $a, b, c>0 \mathrm{cu} a+b+c=1$ are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{1}{a+b c}+\frac{1}{b+c a}+\frac{1}{c+a b} \geqslant \frac{7}{1+a b c} +$$ + +## Problema 2. + +În triunghiul ascuţitunghic $A B C$ se notează cu $O$ centrul cercului circumscris şi cu $D$ piciorul înăltyimii din $A$. + +Fie $M, N, P, Q$ mijloacele segmentelor $A B, A C, B D$, respectiv $C D$. Arătaţi că unul dintre punctele de intersectie ale cercurilor circumscrise triunghiurilor $A M N$ şi $P O Q$ este situat pe înălţimea $A D$. + +## Problema 3. + +Fie $p, q$ numere naturale nenule. Pentru fiecare $a, b \in \mathbb{R}$ definim mulţimile + +$$ +P(a)=\left\{\left.a_{n}=a+n \cdot \frac{1}{p} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}, \quad Q(b)=\left\{\left.b_{n}=b+n \cdot \frac{1}{q} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\} +$$ + +Numim distanţa de la $P(a)$ la $Q(b)$ valoarea minimă a diferenţei $|x-y|$, си $x \in P(a)$, $y \in Q(b)$. + +Determinaţi distanţa maximă între mulţimile $P(a)$ şi $Q(b)$, când $a$ şi $b$ parcurg mulţimea $\mathbb{R}$. + +## Problema 4. + +Fie $M$ o mulţime formată din 13 numere naturale de trei cifre. + +Arătaţi că există o submulţime nevidă $S \subset M$ şi o combinaţie de operaţii aritmetice elementare (adunare, scădere, înmulţire, împărţire - făă a utiliza parantezele) între elementele lui $S$, astfel încât valoarea expresiei rezultate să fie un număr raţional din intervalul $(3,4)$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-400-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_v.md b/Romania_Olympiad/md/ro-400-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_v.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d21896b00931eb2218503eaa527d1e13ca58fe4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-400-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_v.md @@ -0,0 +1,41 @@ +Inspectoratul Școlar Judetean Gorj + +OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, CLASA a -V-a + +21 februarie 2016 + +Problema 1 + +Calculați: +a) $\left[9^{108}:\left(3^{2}\right)^{100}+5^{2^{3}} \cdot 5^{9}\right]:\left[25^{4} \cdot 125^{3}+27^{4} \cdot 81\right]$ + +b) Un elev scrie pe tablă numerele de la 1 la 116, adică : $1234567891011 \ldots 114115116$. + +Câte cifre a folosit? Care cifră se află pe locul 106 ? + +Problema 2 + +Câte numere naturale de trei cifre dau prin împărtirea la 8 restul 5? Aflați suma câturilor acestor numere. + +# Problema 3 + +Se dă un șir de numere naturale în care nu se cunoaște primul termen al său iar oricare termen începând cu al doilea este dublu termenului precedent. Știind că suma primilor 100 de termeni ai șirului este $2^{101}-2$, să se calculeze primul termen al șirului și suma termenilor de pe locurile 1,5 și 9 din acest șir. + +Problema 4 + +Fie A o mulțime de numere naturale cu următoarele proprietăti: + +i) Dacă $\mathrm{x} \in \mathrm{A}$ atunci $4 \mathrm{x}+1 \in \mathrm{A}$ + +ii) Daca $2 y+1 \in$ A atunci $3 y+2 \in A$ + +iii) $\quad 5 \in \mathrm{A}$ + +Arătați că numerele 8 și 50 se găsesc în mulțimea A. + +Notă : Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-401-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_12_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-401-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_12_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6eae10e26d56d712c182118e32f4daad39b04ca2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-401-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_12_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# Barem clasa a XII-a
(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +Înmulţind egalitatea dată cu $e^{-x}$ obţinem $f(x) e^{-x}-F(x) e^{-x}=|x-1| e^{-x}$, + +(1 punct) + +care se mai poate scrie $\left(F(x) \cdot e^{-x}\right)^{\prime}=\left\{\begin{array}{c}(-x+1) e^{-x}, x<1 \\ (x-1) e^{-x}, x \geq 1\end{array}\right.$. + +(2 puncte) + +Integrând, ajungem la $F(x) e^{-x}=\left\{\begin{array}{c}x e^{-x}+c_{1}, x<1 \\ -x e^{-x}+c_{2}, x \geq 1\end{array}\right.$. Condiţia de continuitate este $c_{2}=\frac{2}{e}+c_{1}$. + +(2 puncte) + +Obţinem: $F(x)=\left\{\begin{array}{l}x+c e^{x}, x<1 \\ -x+\left(\frac{2}{e}+c\right) e^{x}, x \geq 1\end{array}\right.$, care prin derivare ne conduce la $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+c e^{x}, x>1 \\ -1+\left(\frac{2}{e}+c\right) e^{x}, x \geq 1\end{array}\right.$ + +(2 puncte) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +a) Presupunem că $x^{2} \neq e, \forall x \in G, x \neq e$, Dar $\quad x^{2} \neq e \Leftrightarrow x \neq x^{-1}$ + +(2 puncte) Grupăm elementele lui $G \backslash\{e\}$ în perechi $\left(x, x^{-1}\right)$ și cum $x \neq x^{-1}$ pentru $x \neq e$, deducem că $G \backslash\{e\}$ are un număr par de elemente, fals, deci există $x \in G, x \neq e, x^{2}=e$ + +(1 punct) +b) $\int \frac{1}{x^{2016}+x} d x=\int \frac{x^{2014}}{x^{2015}\left(x^{2015}+1\right)} d x=\int \frac{1}{x} d x-\int \frac{x^{2014}}{x^{2015}+1} d x=\ln x-\frac{1}{2015} \ln \left(x^{2015}+1\right)+c$ + +(4 puncte) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +$$ +I_{n}=\int_{0}^{2} f_{n}(x) d x+\int_{2}^{4} f_{n}(x) d x, f_{n}(x)=\sqrt[n]{x^{n}+(4-x)^{n}} +$$ + +Notăm: $I_{1}=\int_{0}^{2} f_{n}(x) d x$ şi $I_{2}=\int_{2}^{4} f_{n}(x) d x$. + +(1 punct) + +$I_{2}=\int_{2}^{4} f_{n}(x) d x=-\int_{2}^{0} \sqrt[n]{(4-u)^{n}+u^{n}} d u=\int_{0}^{2} \sqrt[n]{u^{n}+(4-u)^{n}} d u=I_{1},(u=4-x)$. + +(2 puncte) + +Acum, dacă $x \in[0,2] \Rightarrow 0 \leq x \leq 2$ şi + +$0 \leq \frac{x}{4-x} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq\left(\frac{x}{4-x}\right)^{n} \leq 1, \forall x \in[0,2] \Leftrightarrow 1 \leq\left(\frac{x}{4-x}\right)^{n}+1 \leq 2, \forall x \in[0,2] \Leftrightarrow 4-x \leq(4-x)$. + +$\sqrt[n]{\left(\frac{x}{4-x}\right)^{n}+1} \leq \sqrt[n]{2} \cdot(4-x)$ + +Integrăm: $\int_{0}^{2}(4-x) d x \leq I_{1} \leq \sqrt[n]{2} \cdot \int_{0}^{2}(4-x) d x \Leftrightarrow 6 \leq \lim _{n \rightarrow \infty} I_{1} \leq 1 \cdot 6$ + +(2 puncte) + +Astfel, $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 \cdot I_{1}\right)=12$. + +(2 puncte) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& (y x)^{2}=y x y x=y \cdot y^{3} x \cdot x=x^{2} \\ +& (y x)^{6}=x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2}=x^{6}=x^{3} \cdot x^{3}=e \\ +& (y x)^{3}=y x(y x)^{2}=y x \cdot x^{2}=y, y^{2}=e \\ +& x y=y^{2} \cdot y x=e \cdot y x=y x +\end{aligned} +$$ + +(2 puncte) + +$$ +\text { (2 puncte) } +$$ + +(1 punct) + +(2 puncte) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-402-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_11_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-402-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_11_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..47af94b8f1cdc362695dbc65878c42ff6fb75b1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-402-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_11_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,83 @@ +# Barem clasa a XI-a + +(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +a) $\operatorname{det} A=5 \neq 0 \rightarrow \exists A^{-1} \rightarrow A^{2}-3 A=-5 I_{2} \rightarrow A\left(A-3 I_{2}\right)=-5 I_{2} \rightarrow A^{-1}=-\frac{1}{5}\left(A-3 I_{2}\right)$ + +(4 puncte) + +b) $\left\{\begin{array}{l}A^{2}-I_{2}=\left(A-I_{2}\right)\left(A+I_{2}\right) \\ A^{2}+A=A\left(A+I_{2}\right) \\ A^{2}+2 I_{2}=3 A-3 I_{2}=3\left(A-I_{2}\right)\end{array} \quad\right.$ si $f(x)=\operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=x^{2}-3 x+5$. Atunci + +$\left(\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(\left(A-I_{2}\right)\left(A+I_{2}\right)\right)=f(1) \cdot f(-1)=3 \cdot 9=27\right.$ + +$\left\{\operatorname{det}\left(A^{2}+A\right)=\operatorname{det}\left(A\left(A+I_{2}\right)\right)=5 \cdot f(-1)=5 \cdot 9=45\right.$ + +(1 punct) + +$\operatorname{det}\left(A^{2}+2 I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(3\left(A-I_{2}\right)\right)=9 \cdot f(1)=9 \cdot 3=27$ + +(1 punct) + +$\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+A\right)-\operatorname{det}\left(A^{2}+2 I_{2}\right)=45$ + +(1 punct) + +Subiectul II. (7 puncte) + +Relația de recurență se poate scrie sub forma $\frac{1}{x_{n}}=a n+\frac{1}{x_{n-1}}, n \geq 2$ + +(2 puncte) + +Notăm $y_{n}=\frac{1}{x_{n}}$, obținem $y_{n}=y_{n-1}+a n$ și deci $y_{n}=\frac{a}{2} n(n+1), \forall n \in N$ + +(2 puncte) + +$x_{n}=\frac{1}{y_{n}}=\frac{2}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in N \Rightarrow x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=\frac{2}{a} \frac{n}{n+1}, \forall n \in N$ + +(2 puncte) + +$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)=\frac{2}{a}$ + +(1 punct) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +In relaţia de recurenţă, împărţind cu $(n+1)$ !, avem $\frac{x_{n+1}}{(n+1)!}-\frac{x}{n!}=\frac{n+1}{3^{n+1}}$. + +(1 punct) + +Dând valori lui $\mathrm{n}$, obţinem că $\frac{x_{n}}{n!}-\frac{x_{1}}{1!}=\frac{2}{3^{2}}+\ldots+\frac{n}{3^{n}}$, deci $\frac{x_{n}}{n!}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\ldots+\frac{n}{3^{n}}$. + +(2 puncte) + +Se arata că $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\ldots+\frac{n}{3^{n}}=\frac{3}{4}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)-\frac{3}{2} \cdot \frac{n}{3^{n+1}}$, de unde $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n!}=\frac{3}{4}$. + +(2 puncte) + +Putem scrie $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{x_{n}}{n!}-\frac{3}{4}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x_{n}}{n!}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{n}} \stackrel{\text { Stolz Cesaro }}{=} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x_{n+1}}{(n+1)!}-\frac{x_{n}}{n!}}{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{-\frac{1}{n(n+1)}}=-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)^{2}}{3^{n+1}}=0$. + +(2 puncte) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +a) Fie $E(n)=\left(\frac{n^{2}+3}{n^{2}+2}\right)\left(\frac{n^{2}+5}{n^{2}+4}\right) \cdot \cdots \cdot\left(\frac{n^{2}+2 n+2017}{n^{2}+2 n+2016}\right)=\left(1+\frac{1}{n^{2}+2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}+4}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}+2 n+2016}\right)$. + +(1 punct) Aplicăm criteriul cleştelui pentru a calcula limita + +$\cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}+2 n+2016}\right)^{n+1008} \leq\left(1+\frac{1}{n^{2}+2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}+4}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}+2 n+2016}\right) \leq\left(1+\frac{1}{n^{2}+2}\right)^{n+1008}$ + +Deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}+2}\right)^{n+1008}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}+2 n+2016}\right)^{n+1008}=e^{0}=1$, conform criteriului clestelui + +(1 punct) $\left.\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+3\right) \cdot\left(n^{2}+5\right) \cdot \ldots \cdot\left[(n+1)^{2}+2016\right.}{\left(n^{2}+2\right) \cdot\left(n^{2}+4\right) \cdot \ldots \cdot\left[(n+1)^{2}+2015\right]}\right]=1$ + +(1 punct) +b) Observăm nedeteminarea $1^{\infty}, l=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\sqrt[n]{4}+\sqrt[n]{504}-2}{2}\right)^{2 n}, l=e^{\lim _{n \rightarrow \infty} 2 n\left(\frac{4^{\frac{1}{n}}-1+50 \mathbb{4}^{\frac{1}{4}-1}}{2}\right)}$ + +(2 puncte) + +Aplicăm limita remarcabilă $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=\ln a, a \succ 0$, de unde obł̧inem: $l=e^{\ln 4+\ln 504}=e^{\ln 2016}=2016$. + +(2 puncte) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-403-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_10_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-403-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_10_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f70e9b3eae0b58b327d4d1bfe725e919fe3f833 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-403-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_10_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# Barem clasa a X-a
(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +$\operatorname{Din}|z|=|z-a| \Rightarrow|z|^{2}=|z-a|^{2} \Rightarrow z \bar{z}=(z-a)(\bar{z}-a) \Rightarrow z+\bar{z}=a \Rightarrow \operatorname{Re}(z)=\frac{a}{2}, \quad z=\frac{a}{2}+b i, b \in R$ + +(3 puncte) + +$|z|=\left|\frac{a}{z}\right| \Rightarrow|z|^{2}=a \Rightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}=a \Rightarrow b= \pm \sqrt{a-\frac{a^{2}}{4}}$ + +(2 puncte) + +S-a folosit $a \in(0,4) \quad$ (1 punct) $\quad$ Deci, $z_{1,2}=\frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{4 a-a^{2}}}{2} i$ + +(1 punct) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu $\log _{2016} \frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2016}+a_{1}\right)}{a_{1} a_{2} \ldots a_{2016}} \geq \log _{2016} 2^{2016}$, + +(3 puncte) $\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2016}+a_{1}\right) \geq 2^{2016} a_{1} a_{2} \ldots a_{2016}$ + +(1 punct) + +Din inegalitatea mediilor avem: + +$\frac{a_{1}+a_{2}}{2} \geq \sqrt{a_{1} a_{2}} \quad \frac{a_{2}+a_{3}}{2} \geq \sqrt{a_{2} a_{3}}, \ldots, \quad \frac{a_{2016}+a_{1}}{2} \geq \sqrt{a_{1} a_{2016}}$ + +(2 puncte) + +care, prin înmulţire dau relaţia de mai sus. Egalitatea are loc dacă $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{2016}$ + +(1 punct) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Folosind inegalitatea mediilor, avem: + +$\frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a+b) \geq \frac{4 a b}{2}+\frac{1}{4}(a+b)=\frac{(4 a b+a)+(4 a b+b)}{4} \geq \frac{2 \sqrt{4 a^{2} b}+2 \sqrt{4 a b^{2}}}{4}=a \sqrt{b}+b \sqrt{a}$ + +(4 puncte) + +b) Inegalitatea se poate demonstra prin ,spargere" în trei inegalităţi deduse din inegalitatea de la punctul a) în care luăm $a=\operatorname{tg} x, b=\operatorname{tg} y, c=\operatorname{tg} z$ + +(3 puncte) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +a) Inegalitatea se poate scrie sub forma $\frac{\sqrt{4^{x}-1}}{4^{x}}+\frac{\sqrt{2^{x}-1}}{2^{x}}<1$. + +(2 punct) + +Vom arăta că $\frac{\sqrt{4^{x}-1}}{4^{x}}<\frac{1}{2}$ şi $\frac{\sqrt{2^{x}-1}}{2^{x}}<\frac{1}{2}$, de unde prin adunare se obţine inegalitatea ceruta. + +(1 punct) + +pentru $\forall x>1$ se verifică că $\frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2}, \quad \frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{x-1} \leq x \Leftrightarrow 4(x-1) \leq x^{2} \Leftrightarrow(x-2)^{2} \geq 0$ + +(1 punct) + +b) Funcția $\mathrm{f}$ este bijectivă $\Rightarrow \exists!a \in R$ astfel încât $f(a)=0\left(^{*}\right)$ + +Fie $x, y \in R$ astfel încât $f(y)=\frac{x-f(x)}{3}$ + +Înlocuind în relaţia din ipoteză obținem $f\left(2 x+f(x)+3 \cdot \frac{x-f(x)}{3}\right)=f(3 x)+f(3 y) \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow f(3 x)=f(3 x)+f(3 y) \Rightarrow f(3 y)=0 \stackrel{(*)}{\Rightarrow} 3 y=a \Rightarrow y=\frac{a}{3}$ + +Atunci, $f\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{x-f(x)}{3} \Rightarrow f(x)=x-3 f\left(\frac{a}{3}\right) \Rightarrow f(x)=x-\propto, \propto \in R$ + +(2 puncte) + +Relația dată este echivalentă cu $[2 x+(x-\infty)+3(y-\propto)]-\propto=(3 x-\propto)+(3 y-\propto) \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow 3 x+3 y-5 \propto=3 x+3 y-2 \propto \Rightarrow \propto=0$ + +În concluzie, singura funcție cu proprietatea cerută este $f: R \rightarrow R f(x)=x$ + +(1 punct) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-404-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_9_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-404-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_9_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..67fd54817d6e1b88c568d0e445ec437eddf1ad40 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-404-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_9_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# Barem clasa a IX-a
(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +Dacă $x \in R$, + +$$ +[x]+[-x]=\left\{\begin{array}{l} +0, \quad x \in Z \\ +-1, \quad x \in R \backslash Z +\end{array}\right. +$$ + +(2 puncte) + +1) $\mathrm{x} \in R \backslash Z$ + +$$ +\begin{aligned} +& \sum_{k=1}^{2 n}\left([x]+\left[(-1)^{k} x+k\right]\right)=\sum_{k=1}^{2 n}[x]+\sum_{k=1}^{2 n}\left[(-1)^{k} x\right]+\sum_{k=1}^{2 n} \mathrm{k}= \\ +& =2 n[x]+\underbrace{[-x]}_{-1}+[x]+\underbrace{[-x]}_{-1}+[x]+\ldots+\underbrace{[-x]+[x]}_{-1}+n(2 n+1) \\ +& =2 n[x]-n+2 n^{2}+n=2 n[x]+2 n^{2} \\ +& 2 n[x]+2 n^{2}=2 n^{2}+4 n \Leftrightarrow[x]=2 \Leftrightarrow \mathrm{x} \in(2,3) +\end{aligned} +$$ + +(2 puncte) + +(1 punct) +2) $\mathrm{x} \in \mathrm{Z}, \quad 2 n[x]+n=4 n \Leftrightarrow[x]=\frac{3}{2}$ imposibil. + +(2 puncte) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Avem $x y+z-3=x y+(4-x-y)-3=x y-x-y+1=(x-1)(y-1)$ şi analoagele. + +(3 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +E & =\frac{1}{(x-1)(y-1)}+\frac{1}{(y-1)(z-1)}+\frac{1}{(z-1)(x-1)}=\frac{x+y+z-3}{(x-1)(y-1)(z-1)}= \\ +& =\frac{1}{x y z-(x y+y z+z x)+(x+y+z)-1}=\frac{1}{a+3-(x y+y z+z x)} +\end{aligned} +$$ + +Cum $x y+y z+z x=\frac{1}{2}\left[(x+y+z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right]=\frac{1}{2}(16-6)=5$, obţinem $E=\frac{1}{a-2}$. + +(2 puncte) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Notăm: $\frac{M A}{M A}=\frac{N B}{N C}=\frac{P C}{P D}=\frac{Q D}{Q A}=k$, cu O intersecţia dintre $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}, \mathrm{cu} \alpha$ raportul dintre $\mathrm{OC}$ şi $\mathrm{OA}$ şi cu $\beta$ raportul dintre OD şi OB. + +$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{1+k} \cdot \overrightarrow{O A}+\frac{k}{1+k} \cdot \overrightarrow{O B}$ + +(1 punct) + +$\overrightarrow{O P}=\frac{1}{1+k} \cdot \overrightarrow{O C}+\frac{k}{1+k} \cdot \overrightarrow{O D}=\frac{1}{1+k} \cdot \alpha \overrightarrow{O A}+\frac{k}{1+k} \cdot \beta \overrightarrow{O B}$ + +(2 puncte) + +MP, $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}=$ concurente $\Leftrightarrow O \in M P \Leftrightarrow \overrightarrow{O M}_{\text {şi }} \overrightarrow{O P}=$ coliniari $\Leftrightarrow \frac{1}{1+k} \cdot \frac{1+k}{\alpha}=\frac{k}{1+k} \cdot \frac{1+k}{k \cdot \beta} \Leftrightarrow \alpha=\beta$. + +$\operatorname{Dar} \alpha=\beta \Leftrightarrow \frac{O C}{O A}=\frac{O D}{O B} \Leftrightarrow C D \| A B$. + +(2 puncte) + +Analog se arată că $A D \| B C$.Astfel, cerinţa este demonstrată. + +(2 puncte) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Din relaţia lui Sylvester avem: $\overrightarrow{O H_{1}}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O H_{2}}=\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O H_{3}}=\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}$, + +$\overrightarrow{O H_{4}}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}$, O fiind centru cercului circumscris hexagonului. + +(2 puncte) + +Arătăm că $H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}$ este paralelogram. Astfel $\overrightarrow{H_{1} H_{2}}=\overrightarrow{O_{2}}-\overrightarrow{O_{1}}=\overrightarrow{A D}$ şi $\overrightarrow{H_{4} H_{3}}=\overrightarrow{O_{3}}-\overrightarrow{O_{4}}=\overrightarrow{A D}$, de unde + +$\overrightarrow{H_{1} H_{2}}=\overrightarrow{H_{4} H_{3}}$ adica $H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}$ este paralelogram. + +(2 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_07b4a76c56c3b27a7319g-1.jpg?height=73&width=1374&top_left_y=2446&top_left_x=88) + +(1 punct) + +Avem $\overrightarrow{H_{1} M}=\overrightarrow{S M}-\overrightarrow{S H_{1}}, \overrightarrow{H_{2} N}=\overrightarrow{S N}-\overrightarrow{S H_{2}}, \overrightarrow{H_{3} P}=\overrightarrow{S P}-\overrightarrow{S H_{3}}, \overrightarrow{H_{4} Q}=\overrightarrow{S Q}-\overrightarrow{S H_{4}}$. + +(1 punct) + +Tinând cont de relaţia din enunţ şi relatia (1), obţinem că $\overrightarrow{S M}+\overrightarrow{S P}=\overrightarrow{S N}+\overrightarrow{S Q}$, deci MNPQ paralelogram. (1 punct) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-405-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_8_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-405-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_8_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de1617de67aca81e8cd0b59b95b3c0a5dc5e30c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-405-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_8_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,98 @@ +# Barem clasa a VIII-a + +(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +a) Se arată prin calcul direct; + +(2 puncte) + +b) Din a) avem relația $(a+b+c) \cdot\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c\right)=0$ + +(1 punct) + +Cum a,b,c sunt cifre ale unui număr natural de trei cifre $\Rightarrow a+b+c \neq 0$ + +(1 punct) + +Atunci $\quad a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0 \Leftrightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0 \Leftrightarrow a=b=c$ + +(2 puncte) + +Numerele de trei cifre, cu cifre egale sunt $111,222,333,444, \ldots, 999$. + +Dar $111=3 \cdot 37$, deci toate numerele de trei cifre, cu cifre egale se divid cu 37 + +(1 punct) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +a) Observăm că fiecare termen al sumei este de forma $\frac{k^{4}+3 k^{2}+1}{k^{3}+k}$ şi avem: + +(1 punct) $\frac{k^{4}+3 k^{2}+1}{k^{3}+k}=\frac{k^{4}+2 k^{2}+1}{k^{3}+k}+\frac{k^{2}}{k^{3}+k}=\frac{\left(k^{2}+1\right)^{2}}{k\left(k^{2}+1\right)}+\frac{k^{2}}{k\left(k^{2}+1\right)}=\frac{k^{2}+1}{k}+\frac{k}{k^{2}+1}>2$,pentru $k \in\{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \ldots, \sqrt{1008}\}$ + +(1 punct) + +Deci $S>2 \cdot 1008$, adică $S>2016$. + +(1 punct) +b) $(x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{2}, y=\sqrt{3} \Rightarrow I=[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$ + +(2 puncte) + +$\sqrt{2} \leq \frac{n}{100} \leq \sqrt{3} \Leftrightarrow n \in[100 \sqrt{2}, 100 \sqrt{3}]$, Dar $n \in N \Rightarrow n \in\{142,143, \ldots, 173\}$, Deci card A $\cap I=32$ + +(2 puncte) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +a) $\mathrm{AA}_{1}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}=\ldots=\mathrm{A}_{99} \mathrm{C}=\frac{3}{25}$ + +$\mathrm{EF} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{EM} \perp \mathrm{AC} ; \quad \mathrm{FM}, \mathrm{AC} \subset(\mathrm{ABC}) \Rightarrow \mathrm{FM} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{m}(\angle \mathrm{EMF})=60^{\circ}$ + +$\mathrm{MF}=\frac{5 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}, \mathrm{AM}=\frac{5}{2}$ + +(2 puncte) + +$\mathrm{n} \cdot \frac{3}{25}<\frac{5}{2}<(\mathrm{n}+1) \cdot \frac{3}{25} \Leftrightarrow \mathrm{n}<20 \frac{5}{6}<\mathrm{n}+1 \Rightarrow \mathrm{n}=20 \Rightarrow \mathrm{M} \in\left[\mathrm{A}_{20} \mathrm{~A}_{21}\right]$ + +(2 puncte) + +b) $\mathrm{PF} \perp \mathrm{EF}, \mathrm{PF} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{AB} \cap \mathrm{EF}=\{\mathrm{F}\} \Rightarrow P F \perp(\mathrm{ABE})$ + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{AP}=2 \mathrm{AF}=10 \mathrm{~cm}, \\ +& n=83,(3) \Rightarrow \quad \mathrm{M} \in\left[\mathrm{A}_{83} \mathrm{~A}_{84}\right] +\end{aligned} +$$ + +(2 puncte) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Folosim inegalitatea mediilor $\sqrt{a \cdot 1} \leq \frac{a+1}{2}, \sqrt{b \cdot 1} \leq \frac{b+1}{2}, \sqrt{c \cdot 1} \leq \frac{c+1}{2}$ + +(2 puncte) + +$$ +A=\sqrt{a} \cdot(b+c)+\sqrt{b} \cdot(a+c)+\sqrt{c} \cdot(a+b) \leq \frac{a+1}{2} \cdot(b+c)+\frac{b+1}{2} \cdot(a+c)+\frac{c+1}{2} \cdot(a+b)= +$$ + +Avem $=a b+a c+b c+a+b+c=\frac{(a+b+c)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{2}+(a+b+c)=$ + +(2 puncte) + +$$ +=\frac{(a+b+c)^{2}+2 \cdot(a+b+c)-d^{2}}{2} +$$ + +$\operatorname{Din}(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 \cdot(a b+a c+b c)$ şi $a b+a c+b c \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ + +(2 puncte) + +Rezultă că $(a+b+c)^{2} \leq 3 \cdot\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=3 \cdot d^{2}=9, a+b+c \leq 3$. Deci $A \leq \frac{3^{2}+2 \cdot 3-3}{2}=6$. + +(1 punct) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-406-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_7_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-406-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_7_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..154822d7c45f128812fe1ab0a7d78554780a46a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-406-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_7_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,66 @@ +# Barem clasa a VII-a
(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +a) $\overline{14 a_{1} b_{1} c_{1}} \vdots 196, \overline{14 a_{2} b_{2} c_{2}} \vdots 196, \overline{14 a_{3} b_{3} c_{3}} \vdots 196$ + +(1 punct) + +$14112=196 \cdot 72,14308=196 \cdot 73,14504=196 \cdot 74$ + +(1 punct) + +$\sqrt{14112+14308+14504}=\sqrt{196 \cdot 219}=14 \sqrt{219}$ + +(1 punct) + +$\overline{a_{1} b_{1} c_{1}}=112, \overline{a_{2} b_{2} c_{2}}=308, \overline{a_{3} b_{3} c_{3}}=504$ + +(1 punct) +b) + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{\frac{1}{9}\left(10+\frac{11}{2}+\frac{12}{3}+\cdots+\frac{73}{64}\right)-\frac{1}{9}\left(9+\frac{9}{2}+\cdots+\frac{9}{64}\right)}= \\ +& \sqrt{\frac{1}{9}\left(10+\frac{11}{2}+\frac{12}{3}+\cdots+\frac{73}{64}-9-\frac{9}{2}-\cdots-\frac{9}{64}\right)}=\sqrt{\frac{1}{9}(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{64})}=\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{8}{3} +\end{aligned} +$$ + +(3 puncte) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +a) Calcul direct + +(3 puncte) + +b) Folosim $1-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n-1}{n} \frac{n+1}{n}$ și $1-\frac{1}{n^{k}} \geq 1-\frac{1}{n^{2}}, \forall n \geq 2$ + +(2 puncte) + +$$ +\left(1-\frac{1}{2^{k}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{k}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{2016^{k}}\right) \geq\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{2016^{2}}\right)=\frac{2017}{2016 \cdot 2}=\frac{2017}{4032}>\frac{2017}{4034}=\frac{1}{2} +$$ + +(2 puncte) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b7d8558f2c950c67412cg-1.jpg?height=566&width=1805&top_left_y=1468&top_left_x=125) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +a) Din ipoteză $\Rightarrow m(\Varangle E F P)=75^{\circ}, \mathrm{m}(\Varangle E P F)=15^{\circ}$, ducând mediana în triunghiul EFP, EM este jumătate din mediană, care este jumătate din ipotenuză $\Rightarrow E M=\frac{1}{4} \cdot F P \Rightarrow \frac{E M}{F P}=\frac{1}{4}$. (1). + +(4 puncte) + +b) Fie $B N \perp A D, N \in A D$. Avem $\triangle D N B \sim \triangle D M E$ (cazul UU) $\Rightarrow \frac{E M}{B N}=\frac{E D}{B D}$. + +(1 punct) + +Din ipoteză deducem că $\frac{E D}{B D}=\frac{1}{4}$. Ultimele două egalități şi 1), ne dau $\frac{E M}{F P}=\frac{E M}{B N} \Rightarrow \mathrm{FP}=\mathrm{BN}$ + +(1 punct) $\Rightarrow \mathrm{A}_{\text {romb }}=A D \cdot B N=A B \cdot F P$ + +(1 punct) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-407-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_6_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-407-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_6_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..782102d790283a77d45d19d20e7c5c49ae5db240 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-407-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_6_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,104 @@ +# Barem clasa a VI-a
(OLM 2016-etapa locală) + +## Subiectul I. (7 puncte) + +$a+b+c=888$ (1) + +$a:(b+c)=15$ rest $8 \Rightarrow a=15(b+c)+8$ şi $b+c>8$. + +(1 punct) + +Înlocuind în (1), se obţine $16(b+c)+8=888 \Rightarrow b+c=55$ (2) + +Se obţine $a=833$ + +(2 puncte) + +$(b, c)=11 \Rightarrow \exists x, y \in \mathbb{N}^{*},(x, y)=1$, astfel încât $b=11 x, c=11 y$ + +(2 puncte) + +Înlocuind în (2), rezultă $11 x+11 y=55 \Rightarrow x+y=5$ + +Se obţine: $x=1, y=4 \Rightarrow b=11, c=44$ + +$x=2, y=3 \Rightarrow b=22, c=33$ + +$x=3, y=2 \Rightarrow b=33, c=22$ + +$x=4, y=1 \Rightarrow b=44, c=11$ + +(2 puncte) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Notăm suplementul complementului cu $x$ + +$x: \frac{7}{15}=x \cdot \frac{15}{7} \in \mathbb{N} \Longrightarrow x: 7$ + +$x: \frac{9}{11}=x \cdot \frac{11}{9} \in \mathbb{N} \Rightarrow x: 9 \Rightarrow x \in \mathcal{M}_{[7,9,6]} \Rightarrow x \in \mathcal{M}_{126}=\{0,126,252, \ldots\}$ + +(3 puncte) + +$x: \frac{6}{23}=x \cdot \frac{23}{6} \in \mathbb{N} \Rightarrow x: 6$ + +Notăm măsura unghiului cu $y \Rightarrow 180^{\circ}-\left(90^{\circ}-y\right)=\left\{0^{\circ}, 126^{\circ}, 252^{\circ}, \ldots\right\} \Rightarrow$ + +(2 puncte) + +$180^{\circ}-\left(90^{\circ}-y\right)=0 \Rightarrow\left(90^{\circ}-y\right)=180^{\circ}$ imposibil + +(1 punct) + +$180^{\circ}-\left(90^{\circ}-y\right)=126^{\circ} \Rightarrow 90^{\circ}-y=54^{\circ} \Rightarrow y=36^{\circ}$ + +(1 punct) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +a) $\left.\left.\begin{array}{c}a \cdot b=15 \cdot 360=5400 \\ a=15 \cdot x, b=15 \cdot y\end{array}\right\} \Rightarrow x \cdot y=24 \Rightarrow \begin{array}{c}x=8 \\ y=3\end{array}\right\} \Rightarrow \begin{gathered}a=120 \\ b=45\end{gathered}$ + +$m \Varangle(A O B)=120^{\circ}, m \Varangle(B O C)=45^{\circ}$. + +(3 puncte) + +b) Construcția figurii + +(1 punct) + +$m \Varangle(A O C)=165^{\circ} \Rightarrow m \Varangle(A O X)=m \Varangle(X O Y)=m \Varangle(Y O C)=55^{\circ}$ + +(1 punct) + +$\left.\begin{array}{c}m \Varangle(E O X)=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}, m \Varangle(E O Y)=110^{\circ}-90^{\circ}=20^{\circ} \\ m \Varangle(E O F)=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}, m \Varangle(F O X)=35^{\circ}-15^{\circ}=20^{\circ}\end{array}\right\} \Rightarrow \Varangle(F O X) \equiv \Varangle(E O Y)$ + +(2 puncte) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +$\operatorname{Notăm~} m\left(\overline{\mathrm{A}_{0} \mathrm{OA}_{1}}\right)=x,\left(\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{OA}}\right)=2 \cdot x, m\left(\overline{\mathrm{A}_{2} \mathrm{OA}}\right)=2 \cdot 3 \mathrm{x}, \mathrm{m}\left(\overline{\mathrm{A}_{3} \mathrm{OA}_{4}}\right)=2 \cdot 3^{2} x, \ldots, m\left(\overline{A_{n-1} \mathrm{OA}}\right)=2 \cdot 3^{\mathrm{n}-2} \mathrm{x}$. + +(2 puncte) + +Astfel avem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dda5e7ffa92c0b5eb25g-1.jpg?height=68&width=1913&top_left_y=2275&top_left_x=87) + +$\left[1+2\left(1+3+3^{2}+\cdots+3^{\mathrm{n}-2}\right)\right] \cdot \mathrm{x}=180^{\circ}$ + +(1 punct) + +$\left(1+3^{\mathrm{n}-1}-1\right) \cdot \mathrm{x}=180^{\circ} ; 3^{\mathrm{n}-1} \cdot \mathrm{x}=180^{\circ}$. + +(2 puncte) + +Cum $x \in \mathbb{N} \Longrightarrow 3^{n-1} / 180 ; 3^{n-1} / 3^{2} \cdot 4 \cdot 5$, de unde $n-1=1$ sau $n-1=2$, adica $n=2$ sau $n=3$. + +Pentru $\mathrm{n}=2 \Rightarrow \mathrm{x}=60^{\circ}$ şi măsurile sunt: $60^{\circ}, 120^{\circ}$. + +(1 punct) + +Pentru $\mathrm{n}=3 \Rightarrow \mathrm{x}=20^{\circ}$ şi măsurile sunt: $20^{\circ}, 40^{\circ}, 120^{\circ}$. + +(1 punct) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-408-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_5_etapa_locala_2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-408-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_5_etapa_locala_2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c69acf362bbd8d901cd1a05a107c68e7c2388810 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-408-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_5_etapa_locala_2016.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# Barem clasa a V-a
(OLM 2016-etapa locală) + +Subiectul I. (7 puncte) + +$\overline{a b c}=\overline{c b a} \cdot 5+36$, deci $a>c, \mathrm{a}-\mathrm{b}=1$, deci $\mathrm{a}=\mathrm{b}+1, \quad a \neq 0, c \neq 0$ + +(2 puncte) + +$55 \cdot b+59=499 \cdot c$, deci $\mathrm{u}(55 \cdot b+59)=9$ sau 4 + +(3 puncte) + +a) dacă $\mathrm{u}(55 \cdot b+59)=9$, atunci $\mathrm{b}$ este par și $\mathrm{c}=1$, deci $55 \cdot b=440, b=8, a=9$ s,i $\overline{a b c}=981$ + +(1 punct) + +b) dacă $u(55 \cdot b+59)=4$, atunci c=6, deci $55 \cdot b=2935,11 \cdot b=587$ și b nu e cifră. + +(1 punct) Singura soluție este $\overline{a b c}=981$ + +(Se punctează orice altă justificare că 981 este singura soluție) + +## Subiectul II. (7 puncte) + +$A=1+1 \cdot 2-1+1 \cdot 2 \cdot 3-1 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4-1 \cdot 2 \cdot 3+\cdots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots(n-1) \cdot n-1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdots(n-1)$ + +$A=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=n!$ + +(1 punct) + +a) Dacă $\mathrm{n}=9$ ultima cifră a numărului A este 0 , deci $\mathrm{A}+2$ are ultima cifră 2 și nu este pătrat perfect. + +b) Dacă $\mathrm{n}=50$ numărul A are 12 zerouri, determinate de numărul aparitiiilor lui 5 în produs. + +(2 puncte) + +## Subiectul III. (7 puncte) + +a) Dacă $x \in A$ și $x=11 \Rightarrow 11^{2}=121 \Rightarrow 1+2+1=4 \in A$ + +Dacă $4 \in A \Rightarrow 4^{2}=16 \Rightarrow 1+6=7 \in A$ + +(1 punct) + +Dacă $7 \in A \Rightarrow 7^{2}=49 \Rightarrow 4+9=13 \in A$ (1 punct) + +Dacă $13 \in A \Rightarrow 13^{2}=169 \Rightarrow 1+6+9=16 \in A$ (1 punct) + +Dacă $16 \in A \Rightarrow 16^{2}=256 \Rightarrow 2+5+6=13 \in A$ (1 punct) + +Dar știm că $13 \in A$. Atunci $A=\{4 ; 7 ; 11 ; 13 ; 16\}$ + +b) De exemplu: $A=\{9\}$ + +c) De exemplu: $y=12 \Rightarrow 12^{2}=144 \Rightarrow 1+4+4=9 \in A$ + +$$ +9 \in A \Rightarrow 9^{2}=81 \Rightarrow 8+1=9 \in A \text { Atunci } A=\{12 ; 9\} +$$ + +(1 punct) + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +a) Aflăm ultimul număr de pe rândul 48-lea: + +$1+2+3+\ldots+48=49 \cdot 24=1176 \Rightarrow$ ultimul număr de pe rândul al 48 -lea este $1176 \cdot 2=2352$ + +(2 puncte) + +În rândul al 49-lea vor fi 49 de numere, deci în mijloc este al 25-lea număr, adică 2402; + +(2 puncte) + +b) Toate numerele fiind pare, adică 132 de numere, resturile la împărțirea cu 12 aparțin mulțimii $\{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10\}$. + +(2 puncte) + +Fiind șase resturi posibile și considerând 7 numere, conform principiului cutiei(al lui Dirichlet) rezultă că cel puțin două dau același rest la împărțirea cu 12, deci diferența lor se împarte exact la 12 . + +(1 punct) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-409-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_12_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-409-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_12_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7746585d379f8ec2c53bda12b4b4313d66991fc5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-409-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_12_olm2016.md @@ -0,0 +1,31 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a XII-a
19.02.2016 + +# Subiectul I. (7 puncte) + +Determinaţi funcţia $f: R \rightarrow R$ care admite primitive şi verifică pentru orice număr real $x$, egalitatea: $f(x)-F(x)=|x-1|$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$. + +Prof. Jecan Eugen, Colegiul Naţional ,,Andrei Mureşanu” Dej + +## Subiectul II. (7 puncte) + +a) Fie $(G$,$) un grup abelian cu 2016$ elemente. Demonstrați că există $x \in G \backslash\{e\}$ astfel încât $x^{2}=e$ (e este elementul neutru din $G$ ). + +b) Calculați: $\int \frac{1}{x^{2016}+x} d x, x>0$. + +Prof. Pop Simona Maria, Colegiul de Comunicații 'Augustin Maior" Cluj-Napoca + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Se consideră $I_{n}=\int_{0}^{4} \sqrt[n]{x^{n}+(4-x)^{n}} d x, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$. + +Prof. Alb Nicolae, Liceul Teoretic "Octavian Goga" Huedin + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Fie ( $G$;) un grup și $x, y \in G$ cu proprietatea că ord $(x)=3, y^{4}=e, x y=y^{3} x$. Să se arate că dacă $y \in G \backslash\{e\}$ atunci ord $(y)=2$ și $x y=y x$. + +Prof. Anca Cristina Hodorogea, Inspectoratul școlar Județean Cluj[^0] + + +[^0]: P-ţa Ştefan cel Mare nr. 4, Cluj - Napoca + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-41-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 2 pentru SENIORI 12 iunie 2021-b2_seniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-41-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 2 pentru SENIORI 12 iunie 2021-b2_seniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..daa6b76745cd6831dcf6a6180919ca4d95029df6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-41-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 2 pentru SENIORI 12 iunie 2021-b2_seniori.md @@ -0,0 +1,20 @@ +# Olimpiada Naţională GAZETA MATEMATICĂ
Barajul 2, 12 iunie 2021
Subiecte - seniori + +## Problema 1. + +Determinaţi toate perechile $(m, n)$ de numere naturale impare pentru care + +$$ +n \mid 3 m+1 \text { şi } m \mid n^{2}+3 \text {. } +$$ + +## Problema 2. + +Considerăm mulţimea $M=\{1,2,3, \ldots, 2019,2020\}$. Găsiţi cel mai mic număr natural nenul $k$ ce verifică următoarea proprietate: + +pentru orice submulţime $A$, cu $k$ elemente, a mulţimii $M$, există trei numere $a, b, c$ din $M$, distincte două câte două, astfel încât $a+b, b+c$ si $c+a$ aparţin mulţimii $A$. + +## Problema 3. + +Se consideră un patrulater convex $\mathcal{P}$ şi un punct $X$ în interiorul lui $\mathcal{P}$. Fie $M, N$, $P, Q$ proiecţile lui $X$ pe laturile lui $\mathcal{P}$. Se ştie că $M, N, P, Q$ se află pe un cerc de centru $L$. Arătaţi că $L$ şi mijloacele $J, K$ ale diagonalelor lui $\mathcal{P}$ sunt pe o dreaptă. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-410-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_11_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-410-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_11_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3546e9432a2d6e8ca5e382c63683946e56385509 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-410-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_11_olm2016.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a XI-a
19.02.2016 + +## Subiectul I. (7 puncte) + +Fie $A \in M_{2}(\mathbb{C})$ și $A^{2}-3 A+5 I_{2}=O_{2}$. + +a) Aflaţi inversa matricei $A$. + +b) Calculaţi $\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+A\right)-\operatorname{det}\left(A^{2}+2 I_{2}\right)$. + +prof. Mirela Blaga, Liceul Teoretic "Alexandru Papiu Ilarian" Dej + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Fie $a>0$ și $\left(x_{n}\right)_{n \in N}$ șirul care verifică relațiile $x_{1}=\frac{1}{a}, x_{n}=\frac{x_{n-1}}{1+a n x_{n-1}}$, oricare ar fi $n \geq 2$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)$. + +Prof. univ. emerit dr. Dorel I. Duca, Facultatea de Matematică şi Informatică, Universitatea "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, în care $x_{1}=\frac{1}{3}$ şi $x_{n+1}=(n+1) x_{n}+\frac{(n+1)(n+1)!}{3^{n+1}}, \forall n \in N^{*}$. + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{x_{n}}{n!}-\frac{3}{4}\right)$. + +Prof.Camelia Maria Magdaş Colegiul Naţional "Andrei Mureşanu" Dej + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +a) Calculati $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+3\right) \cdot\left(n^{2}+5\right) \cdot \ldots \cdot\left[(n+1)^{2}+2016\right]}{\left(n^{2}+2\right) \cdot\left(n^{2}+4\right) \cdots \cdot\left[(n+1)^{2}+2015\right]}$; + +b) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{4}+\sqrt[n]{504}}{2}\right)^{2 n}$. + +Prof. Raul Domşa, Liceul Teoretic "Petru Maior" Gherla + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-411-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_10_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-411-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_10_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ef2c9761630440a73baa0f52624ffacdc76d68f8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-411-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_10_olm2016.md @@ -0,0 +1,43 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a X-a
19.02.2016 + +## Subiectul I.(7 puncte) + +Fie $a \in(0,4)$, a fixat. Determinați $z$ din $C$ știind că $|z|=\left|\frac{a}{z}\right|=|z-a|$. + +Prof. Buju Aura, Liceul Teoretic ,,Petru Maior', Gherla + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Demonstraţi că + +$\log _{2016} \sqrt[2016]{1+\frac{a_{2}}{a_{1}}}+\log _{2016} \sqrt[2016]{1+\frac{a_{3}}{a_{2}}}+\cdots+\log _{2016} \sqrt[2016]{1+\frac{a_{1}}{a_{2016}}} \geq \frac{1}{5+\log _{2} 63}$ + +pentru orice $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2016}$ numere reale strict pozitive. + +Prof. Faiciuc Marilena-Anca Colegiul Naţional Pedagogic "Gh. Lazăr” Cluj-Napoca + +## Subiectul III. (7 puncte) + +a) Să se demonstreze că $\quad \frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a+b) \geq a \sqrt{b}+b \sqrt{a}, a, b \geq 0$ + +b) Să se arate că pentru $\forall x, y, z \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$, are loc inegalitatea: + +$$ +\begin{aligned} +& (\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} y)^{2}+(\operatorname{tg} y+\operatorname{tg} z)^{2}+(\operatorname{tg} z+\operatorname{tg} x)^{2}+\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} y+\operatorname{tg} z \geq \\ +& \geq 2(\operatorname{tg} x \sqrt{\operatorname{tg} y}+\operatorname{tg} y \sqrt{\operatorname{tg} x}+\operatorname{tg} y \sqrt{\operatorname{tg} z}+\operatorname{tg} z \sqrt{\operatorname{tg} y}+\operatorname{tg} z \sqrt{\operatorname{tg} x}+\operatorname{tg} x \sqrt{\operatorname{tg} z}) +\end{aligned} +$$ + +Prof. Jecan Eugen, Colegiul Naţional ,,Andrei Mureşanu" Dej + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +a) Să se arate că $\forall x>1$, are loc inegalitatea: $2^{x} \cdot \sqrt{4^{x}-1}+4^{x} \cdot \sqrt{2^{x}-1}<8^{x}$. + +Prof.Camelia Maria Magdaş Colegiul Naţional "Andrei Mureşanu" Dej + +b) Să se determine funcțiile bijective $f: R \rightarrow R$ astfel încât $\forall x, y \in R$ are loc relația: $f(2 x+f(x)+3 f(y))=f(3 x)+f(3 y)$. + +Elev Paul Helmer, clasa XII-a, Liceul Teoretic Avram Iancu Cluj-Napoca (component al lotului județean la ONM) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-412-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_9_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-412-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_9_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3df2920869c5201c43c730c21af1d78b5a81315 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-412-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_9_olm2016.md @@ -0,0 +1,31 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a IX-a
19.02.2016 + +# Subiectul I.(7 puncte) + +Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia: $\sum_{k=1}^{2 n}\left([x]+\left[(-1)^{k} x+k\right]\right)=2 n(n+2)$. Am notat cu $[x]$ partea întreagă a numărului real $x$. + +Prof. Poenaru Teodor, Liceul Teoretic ,,Nicolae Bălcescu 'Cluj-Napoca + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Fie $x, y, z \in R-\{1\}$ numere reale astfel incât $x+y+z=4, x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ şi $x y z=a, a \in R-\{2\}$ + +Calculaţi valoarea expresiei $\quad E=\frac{1}{x y+z-3}+\frac{1}{y z+x-3}+\frac{1}{z x+y-3}$. + +Prof. Jecan Eugen, Colegiul Naţional ,,Andrei Mureşanu” Dej + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Fie ABCD un patrulater convex. Punctele M, N, P şi Q impart segmentele [AB], [BC], [CD] şi respectiv [DA] in acelaşi raport. Demonstraţi că dreptele AC, BD, MP şi NQ sunt concurente dacă şi numai dacă ABCD este paralelogram. + +Prof. Alb Nicolae, Lic. Teoretic ,,Octavian Goga” Huedin + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Se consideră hexagonul inscriptibil ABCDEF şi $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ortocentrele triunghiurilor ABC, BCD, DEF, FAE. Să se arate că pentru orice puncte $M, N, P$ şi $Q$ din plan care satisfac relaţia $\overrightarrow{H_{1} M}+\overrightarrow{H_{3} P}=\overrightarrow{H_{2} N}+\overrightarrow{H_{4} Q}$, MNPQ este paralelogram. + +Prof.Camelia Maria Magdaş Colegiul Naţional "Andrei Mureşanu" Dej[^0] + + +[^0]: P-ţa Ştefan cel Mare nr. 4, Cluj - Napoca Tel: $\quad+40$ (0) 264590778 Fax: +40 (0) 264592832 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-413-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_8_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-413-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_8_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e1659dd1804bb546de6e9db5414422fcb12c51f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-413-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_8_olm2016.md @@ -0,0 +1,36 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VIII-a
19.02.2016 + +## Subiectul I. (7 puncte) + +a) Dacă $a, b, c$ sunt numere reale, să se arate că: + +$(a+b+c) \cdot\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$; + +b) Să se arate că toate numerele naturale de trei cifre, $\overline{a b c}$, ale căror cifre verifică relația: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c$, se divid cu 37. + +Prof. Vasile Șerdean, Școala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul II. (7 puncte) + +a) Arătaţi că: $\frac{1^{2}+3 \cdot 1+1}{\sqrt{1}^{3}+\sqrt{1}}+\frac{2^{2}+3 \cdot 2+1}{\sqrt{2}^{3}+\sqrt{2}}+\frac{3^{2}+3 \cdot 3+1}{\sqrt{3}^{3}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1008^{2}+3 \cdot 1008+1}{\sqrt{1008}^{3}+\sqrt{1008}}>2016$ + +Prof. Bodea Florica-Daniela, Liceul Teoretic "Gelu Voievod" Gilău + +b) Determinaţi x,y din $\boldsymbol{R}$ pentru care : $x^{2}+y^{2}-2(x \sqrt{2}+y \sqrt{3})+5=0 . \quad$ Dacă $I=[x . y]$, cu $x$ și y determinate anterior și $A=\left\{\frac{n}{100} / n \in N^{*}\right\}$, precizați numărul elementelor mulțimii $A \cap I$. + +Prof. Buju Aura, Liceul Teoretic Petru Maior Gherla + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Se consideră triunghiul $A B C$ cu măsura unghiului $\hat{A}$ de $60^{\circ}$ şi $A C=12 \mathrm{~cm}$. Pe latura $[A C]$ se iau punctele $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{99}$ si se obţin segmentele: $\left[A A_{1}\right] \equiv\left[A_{1} A_{2}\right] \equiv \cdots \equiv\left[A_{98} A_{99}\right] \equiv\left[A_{99} C\right]$. Pe planul triunghiului se duce o perpendiculară $E F$, unde $F$ este mijlocul laturii $[A B]$ şi $E F=7,5 \mathrm{~cm}$. Se ştie că măsura unghiului dintre planele (ABC) şi (AEC) este de $60^{\circ}$. Aflaţi pe care dintre segmentele laturii [AC] se află punctele $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{P}$, dacă : +a) $\mathrm{d}(\mathrm{E}, \mathrm{AC})=\mathrm{EM}$; +b) $\mathrm{PF} \perp(\mathrm{AEB})$. + +Prof. Poenaru Teodor, Liceul Teoretic ,,Nicolae Bălcescu "Cluj-Napoca + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Fie $a, b$, c dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic cu diagonala de $\sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Să se demonstreze că $\sqrt{a} \cdot(b+c)+\sqrt{b} \cdot(a+c)+\sqrt{c} \cdot(a+b) \leq 6$; + +Prof. Alb Nicolae Liceul Teoretic "Octavian Goga" Huedin + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-414-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_7_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-414-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_7_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab317ea5336a45de7cef2ef31e5440361f665c1f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-414-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_7_olm2016.md @@ -0,0 +1,41 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VII-a
19.02.2016 + +## Subiectul I. (7 puncte) + +a) Determinaţi numerele $\overline{a_{i} b_{i} c_{i}}, 1 \leq i \leq 3$, ştiind că $\sqrt{14 a_{1} b_{1} c_{1}}+\overline{14 a_{2} b_{2} c_{2}}+\overline{14 a_{3} b_{3} c_{3}}=14 \sqrt{219}$; + +Prof. Poenaru Teodor, Liceul Teoretic ,,Nicolae Bălcescu"Cluj-Napoca + +b) Calculați: $\sqrt{\frac{10}{9}+\frac{11}{18}+\frac{12}{27}+\cdots+\frac{73}{576}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{64}\right)}$; + +Prof. Copaciu Emilia, Colegiul Tehnic ,Ana Aslan"Cluj-Napoca + +## Subiectul II. (7 puncte) + +a) Demonstrați că: $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$; + +b) Arătați că : $\left(1-\frac{1}{2^{k}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{k}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{k}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{2016^{k}}\right)>\frac{1}{2}$, pentru orice $k \geq 2, k \in N$ + +Prof. Galea Gavril Sorin, Colegiul Tehnic „Ana Aslan,Cluj-Napoca + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Fie $P$, un punct oarecare în interiorul triunghiului ABC. La fiecare din laturile triunghiului se construiește câte o paralelă prin punctul $P$. Triunghiurile formate de câte două din cele trei paralele cu câte o latură a triunghiului au arivle egale cu $S_{1}, S_{2}, S_{3}$. Să se determine aria triunghiului $A B C$, in funcție de $S_{1}, S_{2}, S_{3}$. + +$$ +\text { prof. Dinu Popa Costel, Colegiul Național "Emil Racoviţă" Cluj-Napoca } +$$ + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Fie $A B C D$ un romb cu $m(\Varangle A)<90^{\circ}$, pentru care avem punctele $E \in(A D), F \in(B D)$, astfel încât $m(\Varangle B F E)=105^{\circ}, E D=\frac{1}{4} \cdot B D$. Dacă $E P \perp E F, P \in(B D$, arătaṭi că : + +a) Lungimea înălțimii $E M, M \in(F P)$ este un sfert din lungimea laturii $F P$. + +b) Aria rombului $A B C D$ este egală си $A B \cdot F P$. + +Prof. Grigore Tarța, Liceul Teoretic „Ana Ipătescu" Gherla[^0] + + +[^0]: P-ţa Ştefan cel Mare nr. 4, Cluj - Napoca + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-415-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_6_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-415-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_6_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0608aea2249fed25b4f22daf01952d3f216169ff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-415-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_6_olm2016.md @@ -0,0 +1,33 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETุEAN CLUJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VI-a
19.02.2016 + +## Subiectul I.(7 puncte) + +Suma a trei numere naturale este 888. Împărţind primul număr la suma ultimelor două se obţine câtul 15 şi restul 8. Ştiind că cel mai mare divizor comun al ultimelor două numere este 11, să se determine cele trei numere. + +prof. Ioan Balica, Școala Gimnazială "Ion Agârbiceanu" Cluj-Napoca + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Determinaţi măsura celui mai mic unghi propriu pentru care suplementul complementului lui împărţit la fracţiile $\frac{7}{15}, \frac{9}{11}, \frac{6}{23}$ dă de fiecare dată număr natural. + +Prof. Ioana Luduşan, Liceul Teoretic "Gheorghe Şincai", Cluj-Napoca + +## Subiectul III. (7 puncte) + +Fie unghiurile $\Varangle(A O B)$ și $\Varangle(B O C)$ adiacente, cu măsura de $a^{\circ}$ respectiv $b^{\circ}, a, b \in \mathbb{N}^{*}$. Numerele a şi b verifică relațiile: $(a, b)=15 ;[a, b]=360$ și $\frac{a}{2}=\frac{4 b}{3}$. In interiorul unghiului $\Varangle(A O C)$ se construiesc patru semidrepte: $[O X$ și $[O Y$ care împart unghiul $\Varangle(A O C)$ în trei unghiuri adiacente congruente, iar $[O E$ şi $[O F$ sunt perpendiculare pe $[O A$ respectiv $[O C$. + +a) Determinați măsurile unghiurilor $\Varangle(A O B)$ și $\Varangle(B O C)$. + +b) Arătaṭi că unghiurile $\Varangle(X O F)$ si $\Varangle(Y O E)$ sunt congruente. + +Prof. Măgdaș Elena, Școala Gimnazială "Horea" Cluj-Napoca + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Fie d o dreaptă, $\quad O \in d, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi punctele $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, astfel încât $A_{0}, A_{n} \in d$ си $O \in\left(A_{0}, A_{n}\right)$, iar $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n-1}$ se află de aceeaşi parte a dreptei $d$ cu $\left[O A_{k} \subset\right.$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1299cbfa7b23511d892bg-1.jpg?height=80&width=1745&top_left_y=2219&top_left_x=87) +$m\left({\widehat{A_{2} O A_{3}}}_{3}\right)=2 \cdot m\left(\widehat{A_{0} O A_{2}}\right), \ldots, m\left(A_{n-1} \bar{O} A_{n}\right)=2 \cdot m\left(A_{0} \widehat{O A_{n-1}}\right)$ să se afle $n$ şi măsurile celor $n$ unghiuri, ştiind că acestea sunt exprimate prin numere naturale. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-416-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_5_olm2016.md b/Romania_Olympiad/md/ro-416-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_5_olm2016.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..545dea3943c7e8428e940df1f131ea8cdf74985a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-416-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_5_olm2016.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a V-a
19.02.2016 + +## Subiectul I.(7 puncte) + +Aflați numărul natural $\overline{a b c}$ știind că dacă îl împărțim la numărul cba obținem câtul 5 și restul 36, iar diferența dintre cifra sutelor și cifra zecilor este 1 . + +Prof.Suciu Otilia, Liceul Teoretic"Avram Iancu" Cluj-Napoca + +## Subiectul II. (7 puncte) + +Fie numărul natural + +$A=1+1 \cdot(2-1)+1 \cdot 2 \cdot(3-1)+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot(4-1)+\cdots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot(n-1) \cdot(n-1)$, unde $n$ este un număr natural. + +a) Dacă $n=9$, stabiliți dacă $A+2$ este pătrat perfect; + +b) Dacă $n=50$, stabiliți în câte zerouri se termină numărul A. + +Prof.Pervain Ileana, Liceul Teoretic "Mihai Eminescu" Cluj-Napoca + +## Subiectul III. (7 puncte) + +O submulțime A a mulțimii numerelor naturale se numește "jucăușă" dacă are proprietatea că "oricare ar fi un element $x \in A$, numărul obținut prin însumarea cifrelor numărului $x^{2}$ este tot $\operatorname{din} A$ '". + +a) Dacă $x=11 \in A$, să se determine mulțimea $A$; + +b) Dați exemplu de mulțime ,,jucăușă" cu un singur element; + +c) Dați exemplu de număr natural $y \in A$ astfel încât să obținem o mulțime "jucăuşă" си doar două elemente. prof. Cristian Petru Pop, Inspectoratul Școlar Județean Cluj + +## Subiectul IV. (7 puncte) + +Se consideră tabloul de numere naturale: + +``` +2 + 4 6 + 8 + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_75ab09f4b2ee44a1b0f9g-1.jpg?height=49&width=260&top_left_y=2100&top_left_x=652) + +``` +22 24 +``` + +a) Aflați numărul care se află pe poziția din mijloc în rândul al 49-lea; + +b) Arătați că oricum am alege 7 dintre numerele de pe primele 11 rânduri există cel puţin două numere a căror diferență se împarte exact la 12. + +prof. Cristian Petru Pop, Inspectoratul Școlar Județean Cluj + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-417-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-417-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c817897046c4e78ddf5e36c10ade5a74f469f00 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-417-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,56 @@ +PRAHOVA + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A X-A + +## Subiecte + +1. Fie $a, b \in \mathbb{C}$ și funcția $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ definită prin $f(z)=z^{2}+a|z|+b$ + +i) Determinați $a, b \in \mathbb{C}$ astfel încât $f(1)=f(2)=0$. + +ii) Pentru $a=-3, b=2$, aflați toate numerele complexe $z$ cu $f(z)=0$. + +Gazeta Matematică + +2. Arătați că dacă $a, b, c>1$ astfel încât $a+b+c=6$, atunci are loc inegalitatea : + +$$ +\frac{\log _{a+b}^{2}(b+c)}{c+a}+\frac{\log _{b+c}^{2}(c+a)}{a+b}+\frac{\log _{c+a}^{2}(a+b)}{b+c} \geq \frac{3}{4} +$$ + +Prof. Roxana Soare, Ploiești + +3. Fie functia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietățile : + +(i) $f$ impară; + +(ii) $f$ injectivă; + +(iii) $f_{3}(x)=f_{2}(x)-f(x)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, unde $f_{n}(x)=\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{\text {de } n \text { ori }}(x)$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a. Arătaţi că $\mathbf{f}_{6}(\mathbf{x})=\mathbf{x}$, oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$. + +b. Demonstrați că $f$ este surjectivă. + +c. Demonstrați că $\exists \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ astfel încât $\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot f^{-1}(x)=x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +Prof. Vasile Coman, Vălenii de Munte + +4. Se consideră funcția $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, f(a+i b)=[a]+i[b]$, pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui numărului real $x$. + +a) Fie $A B C$ un triunghi în planul complex și $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ afixele vărfurilor, iar $G$ centrul de greutate de afix $z_{G}$. Arătați că, dacă $f\left(z_{A}\right)=f\left(z_{B}\right)=f\left(z_{C}\right)$, atunci $f\left(z_{G}\right)=f\left(z_{A}\right)$. + +b) Calculați $f\left(z_{1}\right)+f\left(z_{2}\right)+\ldots+f\left(z_{2016}\right)$, unde $z_{1}, z_{2}, \ldots z_{2016}$ sunt rădăcinile de ordin 2016 ale unității. + +Prof. Emil Vasile, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-418-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-418-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..58b23160ec5e126cf79e3fee8969807671508dd0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-418-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A V-A + +## Subiecte + +1. În relația $1^{*} 2^{*} 3^{*} 4^{*} . . . * 2014=2016$ putem înlocui o parte dintre steluțe cu semnul + , iar cele rămase cu semnul - astfel încât să obținem o propozitịe adevărată? Justificați răspunsu!! + +Prof. Gh. Crăciun, Ploiești + +2. Arătați că numărul $N=13^{997}+13^{998}+13^{999}+\ldots+13^{2016}$ se divide cu 427 . + +Prof. Adelina Apostol, Ploieşti + +3. Aflați câtul și restul împărțirii numărului $5 \cdot 2^{2016}$ la numărul $3 \cdot 2^{2015}$. + +Prof. Gh Achim, Mizil + +4. Fie numărul $A=57 \cdot 7^{2016}$. + +a) Arătați că există numerele naturale $x, y$ și $z$ astfel încât $A=7^{x}+7^{y}+7^{z}$. + +b) Aflați restul împărțirii numărului $A$ la 342 . + +Prof. Gh. Bumbăcea, Bușteni + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 2 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-419-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-419-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd871eebe56be7903dbe073f8e5d31a5c779e39f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-419-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,33 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A XII-A + +## Subiecte + +1. Calculați: $\int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+2} d x, \quad x>0$ +2. Fie (G,) un grup, de element neutru $e$, cu proprietatea că există $a, b \in G$ astfel încât $a^{2}, b^{2} \neq e$ si $x^{2}=e,(\forall) x \in G \backslash\{a, b\}$. + +a) Arătați ca $a^{3}=b^{3}=e$ sau $a^{4}=b^{4}=e$; + +b) Dați un exemplu de un grup finit cu proprietatea din enunț pentru care $a^{3}=b^{3}=e$, respectiv pentru care $a^{4}=b^{4}=e$. + +Prof. Cezar Apostolescu, Ploiești + +3. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sqrt{[x]}+\sqrt{\{x\}}}{\sqrt{x}}$, unde $[x],\{x\}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului real $x$. Cercetați existența primitivelor pe domeniul de definitịie al funcției $f$. + +Prof. Dan Isbășoiu, U.P.G. Ploiesti + +4. a)Considerăm funcțile $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ diferite, care admit primitive. Fie $F, G$ primitive ale funcțiilor $f$, respectiv $g$ și $\bar{f}(x)=[F(x)], \bar{g}(x)=[G(x)], \bar{f}, \bar{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Arătați că dacă $\{f(x)\}=\{g(x)\}$, atunci $\bar{f}$ și $\bar{g}$ sunt diferite ( $[x],\{x\}$ reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului real $x$ ). + +b)Dacă $H$ este o primitivă a funcției $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu $[H(x)]=\left[x^{2}\right]$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$, arătați că există $\alpha \in \mathbb{R} \operatorname{cu} h(\alpha)=2 \alpha$. + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + +## SUCCES! + +Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-42-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al doilea test de selectie pentru juniori-b2_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-42-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al doilea test de selectie pentru juniori-b2_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d779ef9e3808ad7014469c58b9ec0e9c9edf5e58 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-42-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al doilea test de selectie pentru juniori-b2_juniori.md @@ -0,0 +1,27 @@ +# Al doilea test de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 5 iunie 2021 + +## Problema 1. + +Alina şi Bogdan scriu pe rând, începând cu Alina, un 0 sau un 1, până când fiecare a scris 2021 de cifre (fiecare adaugă o cifră la dreapta celor deja existente). + +Alina este câştigătoare dacă reprezentarea zecimală a numărului obţinut (în baza 2) se poate scrie ca suma a două pătrate perfecte; în caz contrar, câştigă Bogdan. + +Stabiliţi care dintre cei doi are o strategie de câştig. + +## Problema 2. + +Pentru orice submulţime nevidă $X$ a mulţimii $M=\{1,2,3, \ldots, 2021\}$, notăm cu $a_{X}$ suma dintre cel mai mare şi cel mai mic element al mulţimii $X$. + +Determinaţi media aritmetică a tuturor numerelor $a_{X}$ obţinute. + +## Problema 3. + +Se consideră patrulaterul convex $A B C D$ în care unghiurile $A$ şi $C$ nu sunt ascuţite. Pe laturile $A B, B C, C D$ şi $D A$ se iau punctele $K, L, M$, respectiv $N$. Demonstraţi că perimetrul patrulaterului $K L M N$ este cel puţin egal cu dublul lungimii diagonalei $A C$. + +## Problema 4. + +Arătaţi că, pentru orice număr natural $n \geqslant 2$, există un multiplu $m$ al său, nenul, cu următoarele proprietăţi: +a) $m0$ și $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+a^{2}}-a, n \geq 0$, unde $a \geq \frac{1}{2}$. Fie $b_{n}=n a_{n}$. Determinați $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$. + +Prof. Petre Năchilă, Ploieşti + +4. Pentru $a, b \in \mathbb{R}^{*}$ considerăm șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit astfel: $x_{1}=a, x_{2}=b$ și $x_{n}=\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{3}+\ldots+x_{n-2}, n \text { impar }, n \geq 3 \\ x_{2}+x_{4}+\ldots+x_{n-2}, n \text { par, } n \geq 4\end{array}\right.$. + +Determinați $\frac{a}{b}$ știind că șirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, unde $y_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{\sqrt{2}^{n}}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-421-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-421-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8505105c2f77515feb1a99eca91c86ba143cc3b4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-421-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A VIII-A + +## Subiecte + +1. Fie $x, y$ două numere rationale pentru care avem $2 \leq x \leq 6$ și $-6 \leq y \leq 2$. + +Arătați că valoarea numărului $a=\sqrt{(3 x+2 y-22)^{2}}+|x-y|+\sqrt{(2 x+3 y+14)^{2}}$ este pătratul unui număr rational care nu depinde de $x$ și $y$. + +Prof. Maria și Anton Negrilă, Ploiești + +2. Fie fracțiile de forma $\frac{x+2016}{2016 x+1}, x \in \mathbb{N}$.Determinați cel mai mic număr $x$ pentru care fracția dată se simplifică prin 2015. + +Prof. Gheorghe Achim , Mizil + +3. Fie paralelogramul $A B E F \mathrm{cu} A F=\frac{32 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm}$ și $m(\measuredangle A F E)=60^{\circ}$ și trapezul $A B C D$ situate în plane diferite. Știind că $A B \| C D, A C \cap B D=\{O\}$, $A B=21 \mathrm{~cm}, C D=7 \mathrm{~cm}, B C=15 \mathrm{~cm}, A D=13 \mathrm{~cm}$ și înălțimea trapezului este perpendiculară pe $A F$, aflați distanța de la $O$ la planul (DEF). + +Prof. Ion Lupea, Ploieşti și prof. Ion Tomescu, Mizil + +4. Fie tetraedrul regulat $A B C D$ de latură $3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ și punctele $M, N, P, Q$ pe muchiile $A B, B C, C D, D A$ astfel încât $A M=B N=C P=D Q=\sqrt{3} \mathrm{~cm}$.Știind că $M N \| A A^{\prime}$, unde $A^{\prime}$ este mijlocul lui $\mathrm{BC}$, rezolvați cerințele : + +a. arătați că $M N=M Q$; + +b. demonstrați că $N Q \perp(M O P)$, unde $O$ este mijlocul lui $N Q$; + +c. calculați distanța de la punctul $N$ la planul $(M O P)$. + +Prof . Bilciurescu Ion , Boldești-Scăeni + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-422-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-422-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d47a3683e05566cb5cd3f56a549f3bf033b23902 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-422-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,37 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A VII-A + +## Subiecte + +1. Rezolvați în mulțimea numerelor raționale ecuația: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{2 x-1}{2016}+\frac{2 x-3}{2014}+\frac{2 x-5}{2012}+\frac{2 x-7}{2010}+\ldots+\frac{2 x-2011}{6}+\frac{2 x-2013}{4}+\frac{2 x-2015}{2}= \\ +& =\frac{2 x-2016}{1}+\frac{2 x-2014}{3}+\frac{2 x-2012}{5}+\frac{2 x-2010}{7}+\ldots+\frac{2 x-6}{2011}+\frac{2 x-4}{2013}+\frac{2 x-2}{2015} +\end{aligned} +$$ + +Prof. Maria și Anton Negrilă, Ploiești + +2. a)Aflați numărul întreg $n$, știind că fracția $\frac{5 n-1}{4 n+9}$ și inversa sa sunt simultan numere întregi. + +b)Fie mulțimea $A=\left\{\frac{2019}{3}, \frac{2020}{4}, \frac{2021}{5}, \ldots, \frac{3015}{999}\right\}$. Aflați cardinalul mulțimii $A \cap \mathbb{N}$. + +3. Fie triunghiul dreptunghic $A B C$ cu $m(\measuredangle A)=90^{\circ}$ și $O$ un punct pe înălțimea $A D$. Paralela prin $O$ la $\mathrm{AB}$ intersectează $\mathrm{BC}$ în punctul $\mathrm{M}$. Dacă $N \in A B$, cu A între $\mathrm{N}$ și $\mathrm{B}$, arătați că AMON este paralelogram dacă și numai dacă $C O \perp O N$. + +Prof. Ion Lupea, Ploieşti și prof. Ion Tomescu, Mizil + +4. Se consideră triunghiul $A B C$ isoscel $c u A B=A C$ şi $m(\measuredangle B A C)=20^{\circ}$ si se construieşte triunghiul $B C D$ isoscel cu $B C=C D$ şi $m(\measuredangle C B D)=20^{\circ}$. Demonstraţi că $A B=B C+B D$. + +Prof. Silvia şi lonel Brabeceanu, Plopeni + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-423-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-423-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b17204aec11823bbcf3874b3000b08476578141 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-423-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A VI-A + +Subiecte + +1. Fie $A=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 10 a+b$ se divide cu 19 $\}$ și $B=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 2015 a+2 b$ se divide cu 19$\}$. Arătați că $A=B$. + +Gazeta Matematică + +2. Determinați $n \in \mathbb{N}^{*}, n \leq 2016$ cu proprietatea că numărul + +$$ +N=3^{n+2}+2 \cdot 3^{n}+2 \cdot 3^{n-1}+\cdots+2 \cdot 3+3 \text { este pătrat perfect } . +$$ + +Prof Soare Roxana, Ploiești + +3. a. Arătați că numerele naturale care au exact trei divizori sunt pătrate perfecte. + +b. Determinați numărul natural care are numai trei divizori , știind că suma divizorilor săi este 1723 . + +Prof. Achim Gheorghe, Mizil + +4. a. Aflați unghiul format de orarul și minutarul unui ceas mecanic la ora 10:00. + +b. Aceeași cerintă pentru ora 10:05. + +Prof.T,aga Gabriel, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 2 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-424-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-424-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..70ba6a320fea0f9d1d11de33a9128114163664ee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-424-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,42 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.01.2016 - + +CLASA A IX-A + +## Subiecte + +1. Fie $a \in(0, \infty)$ și ecuatia $[x]+\{a x\}=2 \quad(x \in R)$. + +a. Rezolvați ecuația din enunț pentru $a=\sqrt{2}$; + +b. Arătați că ecuația din enunț are soluție dacă și numai dacă $a \in\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] \cup\left(\frac{2}{3}, \infty\right)$. + +Prof. Cezar Apostolescu,Ploiești + +2. Determinaţi $a, b, c \in \mathbb{R}$ știind că $a^{4}+20 \leq 7 b^{2}+4 c, \mathrm{~b}^{4}+20 \leq 7 c^{2}+4 a$, $c^{4}+20 \leq 7 a^{2}+4 b$. + +Prof. Petre Năchilă, Ploiești + +3. Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătați că : + +$$ +\frac{4}{3}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2 +$$ + +Prof. Emil Vasile ,Ploiești + +4. Se consideră triunghiul $A B C, G$ - centrul său de greutate şi $T$ un punct interior oarecare. Se notează cu $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ și $G_{T}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $T B C, T A C$, TAB respectiv $G_{1} G_{2} G_{3}$. Arătați că : + +a. Dacă $T=G$, atunci $T=G_{T}$ + +b. Dacă $T \neq G$, atunci $T, G_{T}$ și $G$ sunt coliniare și $T G_{T}=2 G G_{T}$. + +Prof. Claudiu Militaru , Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-425-Matematica, 2015, Subiecte-2015_matematica_internationala_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-425-Matematica, 2015, Subiecte-2015_matematica_internationala_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a15e2580a6cd77fc0830088f9c0fade628b0d2db --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-425-Matematica, 2015, Subiecte-2015_matematica_internationala_subiecte.md @@ -0,0 +1,50 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_691d78781c1df30f4a22g-1.jpg?height=291&width=403&top_left_y=80&top_left_x=124) + +Problem 1. We say that a finite set $\mathcal{S}$ of points in the plane is balanced if, for any two different points $A$ and $B$ in $\mathcal{S}$, there is a point $C$ in $\mathcal{S}$ such that $A C=B C$. We say that $\mathcal{S}$ is centre-free if for any three different points $A, B$ and $C$ in $\mathcal{S}$, there is no point $P$ in $\mathcal{S}$ such that $P A=P B=P C$. + +(a) Show that for all integers $n \geqslant 3$, there exists a balanced set consisting of $n$ points. + +(b) Determine all integers $n \geqslant 3$ for which there exists a balanced centre-free set consisting of $n$ points. + +Problem 2. Determine all triples $(a, b, c)$ of positive integers such that each of the numbers + +$$ +a b-c, \quad b c-a, \quad c a-b +$$ + +is a power of 2 . + +(A power of 2 is an integer of the form $2^{n}$, where $n$ is a non-negative integer.) + +Problem 3. Let $A B C$ be an acute triangle with $A B>A C$. Let $\Gamma$ be its circumcircle, $H$ its orthocentre, and $F$ the foot of the altitude from $A$. Let $M$ be the midpoint of $B C$. Let $Q$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle H Q A=90^{\circ}$, and let $K$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle H K Q=90^{\circ}$. Assume that the points $A, B, C, K$ and $Q$ are all different, and lie on $\Gamma$ in this order. + +Prove that the circumcircles of triangles $K Q H$ and $F K M$ are tangent to each other. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_691d78781c1df30f4a22g-2.jpg?height=291&width=403&top_left_y=80&top_left_x=124) + +Problem 4. Triangle $A B C$ has circumcircle $\Omega$ and circumcentre $O$. A circle $\Gamma$ with centre $A$ intersects the segment $B C$ at points $D$ and $E$, such that $B, D, E$ and $C$ are all different and lie on line $B C$ in this order. Let $F$ and $G$ be the points of intersection of $\Gamma$ and $\Omega$, such that $A, F$, $B, C$ and $G$ lie on $\Omega$ in this order. Let $K$ be the second point of intersection of the circumcircle of triangle $B D F$ and the segment $A B$. Let $L$ be the second point of intersection of the circumcircle of triangle $C G E$ and the segment $C A$. + +Suppose that the lines $F K$ and $G L$ are different and intersect at the point $X$. Prove that $X$ lies on the line $A O$. + +Problem 5. Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers. Determine all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying the equation + +$$ +f(x+f(x+y))+f(x y)=x+f(x+y)+y f(x) +$$ + +for all real numbers $x$ and $y$. + +Problem 6. The sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots$ of integers satisfies the following conditions: + +(i) $1 \leqslant a_{j} \leqslant 2015$ for all $j \geqslant 1$; + +(ii) $k+a_{k} \neq \ell+a_{\ell}$ for all $1 \leqslant k<\ell$. + +Prove that there exist two positive integers $b$ and $N$ such that + +$$ +\left|\sum_{j=m+1}^{n}\left(a_{j}-b\right)\right| \leqslant 1007^{2} +$$ + +for all integers $m$ and $n$ satisfying $n>m \geqslant N$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-426-Matematica, 2015, Subiecte_Belgrad (Juniori)-2015_matematica_balcaniada_de_juniori_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-426-Matematica, 2015, Subiecte_Belgrad (Juniori)-2015_matematica_balcaniada_de_juniori_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d10ab84d6cd9af421063438bd1ffba541ce8e162 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-426-Matematica, 2015, Subiecte_Belgrad (Juniori)-2015_matematica_balcaniada_de_juniori_subiecte.md @@ -0,0 +1,36 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f747d4ec64c9096e3d01g-1.jpg?height=370&width=518&top_left_y=365&top_left_x=291) + +$19^{\text {th }}$ Junior Balkan Mathematical Olympiad + +June 24-29, 2015, Belgrade, Serbia + +1. Determinaţi toate numerele prime $a, b, c$ şi numerele naturale nenule $k$ care satisfac egalitatea + +$$ +a^{2}+b^{2}+16 c^{2}=9 k^{2}+1 +$$ + +2. Fie $a, b, c$ numere reale pozitive astfel încât $a+b+c=3$. Determinaţi valoarea minimă a expresiei + +$$ +A=\frac{2-a^{3}}{a}+\frac{2-b^{3}}{b}+\frac{2-c^{3}}{c} +$$ + +3. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic. Dreptele $\ell_{1}$ şi $\ell_{2}$ sunt perpendiculare pe dreapta $A B$ în punctele $A$, respectiv $B$. Perpendicularele duse din mijlocul $M$ al segmentului $[A B]$ pe dreptele $A C$ sुi $B C$ intersectează $\ell_{1}$ şi $\ell_{2}$ în punctele $E$ sुi respectiv $F$. + +Dacă $D$ este punctul de intersecţie a dreptelor $E F$ şi $M C$, arătaţi că $\angle A D B \equiv \angle E M F$. + +4. O ,,formă L" este oricare din următoarele patru piese, fiecare constând din trei pătrăţele unitate: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f747d4ec64c9096e3d01g-1.jpg?height=111&width=502&top_left_y=1685&top_left_x=817) + +Se dau: o tablă $5 \times 5$, constând din 25 de pătrăţele unitate, un număr natural nenul $k \leq 25$ şi o colecţie nelimitată de ,,forme L". + +Doi jucători, A şi B, joacă următorul joc: începând cu A, ei marchează, alternativ, câte un pătrăţel care nu era marcat anterior, până când pe tablă sunt $k$ pătrăţele marcate. + +O aşezare a unor ,,forme L" pe pătrăţelele rămase nemarcate pe tablă se numeşte bună dacă fiecare piesă acoperă exact trei pătrăţele unitate nemarcate şi oricare două piese nu se suprapun. + +Jucătorul B câştigă dacă orice aşezare bună a unor ,forme L" lasă neacoperite cel puţin trei pătrăţele unitate nemarcate. Determinaţi valoarea minimă a lui $k$ pentru care $\mathrm{B}$ are strategie câştigătoare. + +Timp de lucru: 4 ore şi 30 de minute Fiecare problemă valorează 10 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-427-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Atena-2015_matematica_balcaniada_atena_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-427-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Atena-2015_matematica_balcaniada_atena_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc32cce554b26271631ffb87a957e60d1bf835f1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-427-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Atena-2015_matematica_balcaniada_atena_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,164 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_649b429e637ada7c0fccg-1.jpg?height=469&width=466&top_left_y=234&top_left_x=797) + +# $32^{\text {th }}$ BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD Athens, Hellas (May 5, 2015) + +English version + +Problem 1. Let $a, b$ and $c$ be positive real numbers. Prove that + +$$ +a^{3} b^{6}+b^{3} c^{6}+c^{3} a^{6}+3 a^{3} b^{3} c^{3} \geq a b c\left(a^{3} b^{3}+b^{3} c^{3}+c^{3} a^{3}\right)+a^{2} b^{2} c^{2}\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right) +$$ + +Problem 2. Let $A B C$ be a scalene triangle with incentre $I$ and circumcircle ( $\omega$ ). The lines $A I, B I, C I$ intersect $(\omega)$ for the second time at the points $D, E, F$, respectively. The lines through $I$ parallel to the sides $B C, A C, A B$ intersect the lines $E F, D F, D E$ at the points $K, L, M$, respectively. Prove that the points $K, L, M$ are collinear. + +Problem 3. A jury of 3366 film critics are judging the Oscars. Each critic makes a single vote for his favourite actor, and a single vote for his favourite actress. It turns out that for every integer $n \in\{1,2, \ldots, 100\}$ there is an actor or actress who has been voted for exactly $n$ times. Show that there are two critics who voted for the same actor and for the same actress. + +Problem 4. Prove that among any 20 consecutive positive integers there exists an integer $d$ such that for each positive integer $n$ we have the inequality + +$$ +n \sqrt{d}\{n \sqrt{d}\}>\frac{5}{2} +$$ + +where $\{x\}$ denotes the fractional part of the real number $x$. The fractional part of a real number $x$ is $x$ minus the greatest integer less than or equal to $x$. + +Time allowed: 4 hours and 30 minutes. + +Each Problem is worth 10 points. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_649b429e637ada7c0fccg-2.jpg?height=282&width=276&top_left_y=233&top_left_x=900) + +## $32^{\text {th }}$ BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD Athens, Hellas (May 5, 2015) + +Problem 1. Let $a, b$ and $c$ be positive real numbers. Prove that + +$$ +a^{3} b^{6}+b^{3} c^{6}+c^{3} a^{6}+3 a^{3} b^{3} c^{3} \geq a b c\left(a^{3} b^{3}+b^{3} c^{3}+c^{3} a^{3}\right)+a^{2} b^{2} c^{2}\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right) +$$ + +Solution. After dividing both sides of the given inequality by $a^{3} b^{3} c^{3}$ it becomes + +$$ +\left(\frac{b}{c}\right)^{3}+\left(\frac{c}{a}\right)^{3}+\left(\frac{a}{b}\right)^{3}+3 \geq\left(\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c}+\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \cdot \frac{a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{c}+\frac{b}{a} \cdot \frac{b}{c}+\frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b}\right) +$$ + +Set + +$$ +\frac{b}{a}=\frac{1}{x}, \quad \frac{c}{b}=\frac{1}{y}, \quad \frac{a}{c}=\frac{1}{z} +$$ + +Then we have that $x y z=1$ and by substituting (2) into (1), we find that + +$$ +x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 \geq\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right) +$$ + +Multiplying the inequality (3) by $x y z$, and using the fact that $x y z=1$, the inequality is equivalent to + +$$ +x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 x y z-x y^{2}-y z^{2}-z x^{2}-y x^{2}-z y^{2}-x z^{2} \geq 0 +$$ + +Finally, notice that by the special case of Schur's inequality + +$$ +x^{r}(x-y)(x-z)+y^{r}(y-x)(y-z)+z^{r}(z-y)(z-x) \geq 0, \quad x, y, z \geq 0, r>0 +$$ + +with $r=1$ there holds + +$$ +x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-y)(z-x) \geq 0 +$$ + +which after expansion actually coincides with the congruence (4). + +Remark 1. The inequality (5) immediately follows by supposing (without loss of generality) that $x \geq y \geq z$, and then writing the left hand side of the inequality (5) in the form + +$$ +(x-y)(x(x-z)-y(y-z))+z(y-z)(x-z) +$$ + +which is obviously $\geq 0$. + +Remark 2. One can obtain the relation (4) using also the substitution $x=a b^{2}, y=b c^{2}$ and $z=c a^{2}$. + +Problem 2. Let $A B C$ be a scalene triangle with incentre $I$ and circumcircle ( $\omega$ ). The lines $A I, B I, C I$ intersect $(\omega)$ for the second time at the points $D, E, F$, respectively. The lines through $I$ parallel to the sides $B C, A C, A B$ intersect the lines $E F, D F, D E$ at the points $K, L, M$, respectively. Prove that the points $K, L, M$ are collinear. + +Solution. First we will prove that $K A$ is tangent to $(\omega)$. + +Indeed, it is a well-known fact that $F A=F B=F I$ and $E A=E C=E I$, so $F E$ is the perpendicular bisector of $A I$. It follows that $K A=K I$ and + +$$ +\angle K A F=\angle K I F=\angle F C B=\angle F E B=\angle F E A +$$ + +so $K A$ is tangent to $(\omega)$. Similarly we can prove that $L B, M C$ are tangent to $(\omega)$ as well. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_649b429e637ada7c0fccg-3.jpg?height=1090&width=1028&top_left_y=840&top_left_x=516) + +Let $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ the intersections of $A I, B I, C I$ with $B C, C A, A B$ respectively. From Pascal's Theorem on the cyclic hexagon $A A C D E B$ we get $K, C^{\prime}, B^{\prime}$ collinear. Similarly $L, C^{\prime}, A^{\prime}$ collinear and $M, B^{\prime}, A^{\prime}$ collinear. + +Then from Desargues' Theorem for $\triangle D E F, \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ which are perspective from the point $I$, we get that points $K, L, M$ of the intersection of their corresponding sides are collinear as wanted. + +Remark (P.S.C.). After proving that $K A, L B, M C$ are tangent to ( $\omega$ ), we can argue as follows: + +It readily follows that $\triangle K A F \sim \triangle K A E$ and so $\frac{K A}{K E}=\frac{K F}{K A}=\frac{A F}{A E}$, thus $\frac{K F}{K E}=\left(\frac{A F}{A E}\right)^{2}$. In a similar way we can find that $\frac{M E}{M D}=\left(\frac{C E}{C D}\right)^{2}$ and $\frac{L D}{L F}=\left(\frac{B D}{B F}\right)^{2}$. Multiplying we obtain $\frac{K F}{K E} \cdot \frac{M E}{M D} \cdot \frac{L D}{L F}=1$, so by the converse of Menelaus theorem applied in the triangle $D E F$ we get that the points $K, L, M$ are collinear. + +Problem 3. A jury of 3366 film critics are judging the Oscars. Each critic makes a single vote for his favourite actor, and a single vote for his favourite actress. It turns out that for every integer $n \in\{1,2, \ldots, 100\}$ there is an actor or actress who has been voted for exactly $n$ times. Show that there are two critics who voted for the same actor and for the same actress. + +Solution. Let us assume that every critic votes for a different pair of actor and actress. We'll arrive at a contradiction proving the required result. Indeed: + +Call the vote of each critic, i.e his choice for the pair of an actor and an actress, as a double-vote, and call as a single-vote each one of the two choices he makes, i.e. the one for an actor and the other one for an actress. In this terminology, a double-vote corresponds to two single-votes. + +For each $n=34,35, \ldots, 100$ let us pick out one actor or one actress who has been voted by exactly $n$ critics (i.e. appears in exactly $n$ single-votes) and call $S$ the set of these movie stars. Calling $a, b$ the number of men and women in $S$, we have $a+b=67$. + +Now let $S_{1}$ be the set of double-votes, each having exactly one of its two corresponding singlevotes in $S$, and let $S_{2}$ be the set of double-votes with both its single-votes in $S$. If $s_{1}, s_{2}$ are the number of elements in $S_{1}, S_{2}$ respectively, we have that the number of all double-votes with at least one single-vote in $S$ is $s_{1}+s_{2}$, whereas the number of all double-votes with both single-votes in $S$ is $s_{2} \leq a b$. + +Since all double-votes are distinct, there must exist at least $s_{1}+s_{2}$ critics. But the number of all single-votes in $S$ is $s_{1}+2 s_{2}=34+35+\cdots+100=4489$, and moreover $s \leq a b$. So there exist at least $s_{1}+s_{2}=s_{1}+2 s_{2}-s_{2} \geq 4489-a b$ critics. + +Now notice that as $a+b=67$, the maximum value of $a b$ with $a, b$ integers is obtained for $\{a, b\}=$ $\{33,34\}$, so $a b \leq 33 \cdot 34=1122$. A quick proof of this is the following: $a b=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}=$ $\frac{67^{2}-(a-b)^{2}}{4}$ which is maximized (for not equal integers $a, b$ as $a+b=67$ ) whenever $|a-b|=1$, thus for $\{a, b\}=\{33,34\}$. + +Thus there exist at least $4489-1122=3367$ critics which is a contradiction and we are done. + +Remark. We are going here to give some motivation about the choice of number 34 , used in the above solution. + +Let us assume that every critic votes for a different pair of actor and actress. One can again start by picking out one actor or one actress who has been voted by exactly $n$ critics for $n=k, k+1, \ldots, 100$. Then $a+b=100-k+1=101-k$ and the number of all single-votes is $s_{1}+2 s_{2}=k+k+1+\cdots+100=$ $5050-\frac{k(k-1)}{2}$, so there exist at least $s_{1}+s_{2}=s_{1}+2 s_{2}-s_{2} \geq 5050-\frac{k(k-1)}{2}-a b$ and + +$$ +a b=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}=\frac{(101-k)^{2}-(a-b)^{2}}{4} \leq \frac{(101-k)^{2}-1}{4} +$$ + +After all, the number of critics is at least + +$$ +5050-\frac{k(k-1)}{2}-\frac{(101-k)^{2}-1}{4} +$$ + +In order to arrive at a contradiction we have to choose $k$ such that + +$$ +5050-\frac{k(k-1)}{2}-\frac{(101-k)^{2}-1}{4} \geq 3367 +$$ + +and solving the inequality with respect to $k$, the only value that makes the last one true is $k=34$. + +Problem 4. Prove that among any 20 consecutive positive integers there exists an integer $d$ such that for each positive integer $n$ we have the inequality + +$$ +n \sqrt{d}\{n \sqrt{d}\}>\frac{5}{2} +$$ + +where $\{x\}$ denotes the fractional part of the real number $x$. The fractional part of a real number $x$ is $x$ minus the greatest integer less than or equal to $x$. + +Solution. Among the given numbers there is a number of the form $20 k+15=5(4 k+3)$. We shall prove that $d=5(4 k+3)$ satisfies the statement's condition. Since $d \equiv-1(\bmod 4)$, it follows that $d$ is not a perfect square, and thus for any $n \in \mathbb{N}$ there exists $a \in \mathbb{N}$ such that $a+1>n \sqrt{d}>a$, that is, $(a+1)^{2}>n^{2} d>a^{2}$. Actually, we are going to prove that $n^{2} d \geq a^{2}+5$. Indeed: + +It is known that each positive integer of the form $4 s+3$ has a prime divisor of the same form. Let $p \mid 4 k+3$ and $p \equiv-1(\bmod 4)$. Because of the form of $p$, the numbers $a^{2}+1^{2}$ and $a^{2}+2^{2}$ are not divisible by $p$, and since $p \mid n^{2} d$, it follows that $n^{2} d \neq a^{2}+1, a^{2}+4$. On the other hand, $5 \mid n^{2} d$, and since $5 \nmid a^{2}+2, a^{2}+3$, we conclude $n^{2} d \neq a^{2}+2, a^{2}+3$. Since $n^{2} d>a^{2}$ we must have $n^{2} d \geq a^{2}+5$ as claimed. Therefore, + +$$ +n \sqrt{d}\{n \sqrt{d}\}=n \sqrt{d}(n \sqrt{d}-a) \geq a^{2}+5-a \sqrt{a^{2}+5}>a^{2}+5-\frac{a^{2}+\left(a^{2}+5\right)}{2}=\frac{5}{2} +$$ + +which was to be proved. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-428-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Seniori-2015_matematica_nationala_seniori_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-428-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Seniori-2015_matematica_nationala_seniori_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c358fea1ecfda63d01c8e7b9b3e4255573b12760 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-428-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Seniori-2015_matematica_nationala_seniori_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,139 @@ +# Test 1 - Solutions + +Problem 1. Let $A B C$ be a triangle, let $O$ be its circumcentre, let $A^{\prime}$ be the orthogonal projection of $A$ on the line $B C$, and let $X$ be a point on the open ray $A A^{\prime}$ emanating from $A$. The internal bisectrix of the angle $B A C$ meets the circumcircle of $A B C$ again at $D$. Let $M$ be the midpoint of the segment $D X$. The line through $O$ and parallel to the line $A D$ meets the line $D X$ at $N$. Prove that the angles $B A M$ and $C A N$ are equal. + +Solution 1. Choose a point $Y$ such that $A O N Y$ is a parallelogram. Since the lines $A D$ and $O N$ are parallel, this point lies on the line $A D$ (see Fig. 1). We prove that the triangles $A O Y$ and $A X D$ are similar. Since the line $A N$ bisects the segment $O Y$ the conclusion follows. + +It is well known that the internal bisectrix $A D$ of the angle $A B C$ is also the internal bisectrix of the angle $O A A^{\prime}$. Next, the corresponding sides of the triangles $O N D$ and $A D X$ are parallel, so these triangles are similar. Hence $O N / O D=A D / A X$. Since $O D=O A$ and $O N=A Y$, this shows that $A Y / A O=A D / A X$. Along with the equality of the angles $O A Y$ and $D A X$, this proves the required similarity of the triangles $A O Y$ and $A X D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7024176c2a111d18150cg-1.jpg?height=620&width=552&top_left_y=945&top_left_x=754) + +Fig. 1 + +Solution 2. Since the angle $B A C$ is internally bisected by $A D$, it is sufficient to prove that so is the angle $M A N$. + +Let $P, Q, R, S$ be the points of intersection of the pairs of lines $A M$ and $O D, O A$ and $X D$, $A N$ and $O D$, and $A D$ and $Q R$, respectively (see Fig. 2). Since the angles $M A N$ and $P A R$ are the same, we show that $A D$ is the internal bisectrix of the latter. + +Apply Menelaus' theorem to both triangles $D M P$ and $D R S$ and the transversal $A O Q$ to write + +$$ +\frac{A M}{A P} \cdot \frac{O P}{O D} \cdot \frac{Q D}{Q M}=1 +$$ + +and + +$$ +\frac{A D}{A S} \cdot \frac{O R}{O D} \cdot \frac{Q S}{Q R}=1 +$$ + +respectively. Since $O D \| A X$ and $D M=M X$, we have $A M=M P$. In triangle $A Q D$, the line $O N$ is parallel to $A D$, so $R$ lies on its median from $Q$, and hence $A S=S D$. Thus $M S \| P D$, which yields $\frac{Q M}{Q D}=\frac{Q S}{Q R}$. Combining the obtained relations we get + +$$ +\frac{O P}{O D}=\frac{Q M}{Q D} \cdot \frac{A P}{A M}=\frac{Q S}{Q R} \cdot \frac{A D}{A S}=\frac{O D}{O R} +$$ + +or $O D^{2}=O P \cdot O R$. Thus, $O A^{2}=O P \cdot O R$. This shows that the triangles $O A R$ and $O P A$ are similar, and $\angle O A R=\angle O P A$. Finally, by $O A=O D$ we obtain + +$$ +\angle R A D=\angle O A D-\angle O A R=\angle O D A-\angle O P A=\angle D A P +$$ + +as required. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7024176c2a111d18150cg-2.jpg?height=897&width=732&top_left_y=473&top_left_x=664) + +Fig. 2 + +Remark. The conclusion is that $A M$ and $A N$, and $A B$ and $A C$ are pairs of isogonal lines. This is still true if $A$ separates $A^{\prime}$ and $X$, but in this case $A D$ is the external bisectrix of the angle MAN, and the angles BAM and $C A N$ are supplementary. + +Problem 2. Let $A B C$ be a triangle, and let $r$ denote its inradius. Let $R_{A}$ denote the radius of the circle internally tangent at $A$ to the circle $A B C$ and tangent to the line $B C$; the radii $R_{B}$ and $R_{C}$ are defined similarly. Show that $1 / R_{A}+1 / R_{B}+1 / R_{C} \leq 2 / r$. + +Solution. We shall prove that $1 / R_{A}=(a / \Delta) \cos ^{2}(B / 2-C / 2)$, where $\Delta$ denotes the area of the triangle $A B C$. Similar formulae hold for $R_{B}$ and $R_{C}$, and the conclusion follows at once; in addition, this shows that equality holds if and only if the triangle $A B C$ is equilateral. + +To prove the above formula for $R_{A}$, let $\gamma_{A}$ be the circle tangent at $A$ to the circle $A B C$ and tangent at $T$ to the line $B C$, assume the triangle $A B C$ has unit circumradius, and invert from $A$ with unit power. In what follows, $X^{\prime}$ will denote the image of the point $X \neq A$ under this inversion. + +Under this inversion, the line $B C$ is transformed into a circle $A B^{\prime} C^{\prime}$ centred at some point $\Omega$; the circle $A B C$ is transformed into the line $B^{\prime} C^{\prime}$; and $\gamma_{A}$ is transformed into a line $\ell$ through $T^{\prime}$ and parallel to $B^{\prime} C^{\prime}$. + +Let $D$ be the orthogonal projection of $A$ on the line $B C$. Then $A D^{\prime}=1 / A D=1 / h_{A}$, where $h_{A}$ is the length of the altitude from $A$ in the triangle $A B C$, and $\Omega T^{\prime}=\Omega A=1 /\left(2 h_{A}\right)$. + +Next, let $A_{1}$ be the antipode of $A$ in $\gamma_{A}$, so $A_{1}^{\prime}$ is the orthogonal projection of $A$ on $\ell$, and $A A_{1}^{\prime}=1 / A A_{1}=1 /\left(2 R_{A}\right)$. + +Finally, let $O$ denote the circumcentre of the triangle $A B C$ and notice that the angles $O A D$ and $\Omega A A_{1}^{\prime}$ are both congruent to the absolute value of the difference of the internal angles of the triangle $A B C$ at $B$ and $C$, to obtain + +$$ +\cos (B-C)=\frac{A A_{1}^{\prime}-\Omega T^{\prime}}{\Omega A}=\frac{\frac{1}{2 R_{A}}-\frac{1}{2 h_{A}}}{\frac{1}{2 h_{A}}}=\frac{h_{A}}{R_{A}}-1=\frac{2 \Delta}{a R_{A}}-1 +$$ + +whence the desired formula via obvious standard transformations. + +Remarks. (1) Instead of the inversion from $A$, we could equally well have considered a homothecy centred at $A$ transforming the circle $A B C$ into $\gamma_{A}$. + +(2) We may also consider the circles externally tangent at $A, B, C$, respectively, to the circle $A B C$, and tangent to the lines $B C, C A, A B$, respectively. Letting $R_{A}^{\prime}, R_{B}^{\prime}, R_{C}^{\prime}$ denote their radii, the corresponding inequality now reads $1 / R_{A}^{\prime}+1 / R_{B}^{\prime}+1 / R_{C}^{\prime}<1 /(2 r)$. Notice that if the triangle $A B C$ is isosceles, say $A B=A C$, then the circle corresponding to the apex $A$ degenerates into the parallel through $A$ to $B C$, so $R_{A}^{\prime}=\infty$ and $1 / R_{A}^{\prime}=0$, and the inequality is still valid. + +Problem 3. A Pythagorean triple is a solution of the equation $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ in positive integers such that $x1$, splitting $n_{i}$ into 1 and $n_{i}-1$ increases length by 1 , and $s$ by at least 1 if $k$ is odd, and preserves it otherwise; in either case, $s$ does not decrease. + +If the number of unit entries in the partition exceeds $\lfloor(k+1) / 2\rfloor$, i.e., the upper half has at least two unit entries, replacing two 1's by one 2 increases $s$ by 1 if $k$ is odd, and preserves it otherwise; in either case, $s$ does not decrease, and since $N>3$ the resulting partition has length at least three. (In fact, the length of the resulting partition would be less than three only in case $N=3$, and the partition we start with is $1,1,1$ - the unique partition of 3 into three positive integers. This is, however, ruled out by hypothesis.) + +Consequently, a partition of $N$ into at least three positive integers can be transformed into another such whose lower half is all 1, and the upper half has at most one unit entry; moreover, $s$ does not decrease in the process, and the lengths of the partitions involved are at least three. Henceforth, all partitions are assumed to have such a structure. + +If the upper half has no unit entry, but has some odd entry $n_{i}>1$, splitting $n_{i}$ into 1 and $n_{i}-1$ increases length by 1 , and $s$ by 1 if $k$ is odd, and preserves it otherwise; in either case, $s$ does not decrease, and the outcome is a partition into at least three positive integers, whose lower half is all 1 , and the upper half has exactly one unit entry and fewer odd entries exceeding 1. + +If the upper half has exactly one unit entry and some odd entry $n_{i}>1$, replacing that unit entry and $n_{i}$ by 2 and $n_{i}-1$ preserves length, increases $s$ by 1 , and the resulting partition has length at least three, an all 1 lower half, and the upper half has fewer odd entries exceeding 1 and no unit entry. + +Consequently, every partition of $N$ into at least three positive integers can be transformed into another such with an all 1 lower half, and an all even upper half except possibly one unit entry; +moreover, at each stage, the length of the partition is at least three, and $s$ does not decrease. Henceforth, all partitions are assumed to have such a structure. + +If the upper half has no unit entry, but has some entry $n_{i}>2$, splitting $n_{i}$ into 1,1 and $n_{i}-2$ increases length by 2 , preserves $s$ and yields a partition into at least three positive integers, whose lower half is all 1 , and the upper half is all even except for exactly one unit entry and has fewer entries exceeding 2 . + +Finally, if the upper half is all even except for exactly one unit entry, and has some entry $n_{i}>2$, splitting $n_{i}$ into 2 and $n_{i}-2$ increases length by 1 , and $s$ by 1 if $k$ is odd, and preserves it otherwise; in either case, $s$ does not decrease, and the outcome is a partition of length at least three, whose lower half is all 1 , and the upper half is all even with fewer entries exceeding 2 . + +Consequently, any given partition of $N$ into at least three positive integers can be transformed into another such whose lower half is all 1, and the upper half is all 2 except for at most one unit entry; moreover, the transformation does not decrease $s$, and all partitions have length at least three. For this 'standard' partition, it is readily checked that $s=2\lfloor N / 3\rfloor+\epsilon$, where $\epsilon=1$ if $N$ is divisible by 3 , and $\epsilon=2$ otherwise. The conclusion follows. + +Remark. Maximising partitions are not necessarily unique. For instance, if $m$ is an integer greater than 1 , then + +$$ +\underbrace{2, \ldots, 2}_{m+1}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{m} \text { and } 4, \underbrace{2, \ldots, 2}_{m-1}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{m} +$$ + +are both maximising partitions of $3 m+2$ into at least three positive integers; the former is 'standard', whereas the latter is not. Similarly, if $m>2$, then + +$$ +\underbrace{2, \ldots, 2}_{m}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{m} \text { and } 4, \underbrace{2, \ldots, 2}_{m-1}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{m-2} \text {. } +$$ + +are both maximising partitions of $3 \mathrm{~m}$ into at least three positive integers; again, the former is 'standard', whereas the latter is not. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-429-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Juniori-2015_matematica_nationala_juniori_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-429-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Juniori-2015_matematica_nationala_juniori_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ba9691d83a1febe93ee8a35f93157842322cad4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-429-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Juniori-2015_matematica_nationala_juniori_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,85 @@ +Societatea de Ştiinţe + +Matematice din România +Ministerul Educaţiei şi + +Cercetării Ştiinţifice + +# Primul test de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 9 aprilie 2015 + +Problema 1. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic cu $A B \neq A C, M$ mijlocul laturii $[B C], H$ ortocentrul triunghiului $A B C, O_{1}$ mijlocul lui $[A H]$, iar $O_{2}$ centrul cercului circumscris triunghiului $B C H$. Demonstraţi că $O_{1} A M O_{2}$ este paralelogram. + +Soluţie. Cercul circumscris triunghiului este simetricul cercului circumscris triunghiului $A B C$ faţă de $B C$, prin urmare $O_{2}$ este simetricul lui $O$ faţă de $B C$. Se ştie că $A O_{1}=M O=M O_{2}$ şi, cum $A O_{1} \| M O_{2}$, rezultă concluzia. + +Problema 2. Determinaţi cel mai mic număr natural $n$ pentru care, oricum am colora în roşu $n$ dintre vârfurile unui cub, există un vârf al cubului care are cele trei vârfuri alăturate roşi. + +Soluţie. Vom demonstra că numărul căutat este 5 . + +Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un cub. Colorând în roşu cele 4 vârfuri ale unei feţe a cubului, fie ele de exemplu $A, B, C, D$, nu există niciun vârf care să aibă cele trei vârfuri alăturate roşii, deci $n \geq 5$. + +Acum, pentru $n=5$, oricum am colora $n$ vârfuri cu roşu, unul din planele $(A B C D)$ §̧i $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right)$ va avea cel puţin trei vârfuri roşii. Putem presupune că $A, B, C$ sunt roşii. Dacă şi $D$ este roşu, atunci avem un singur vârf roşu în planul $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right)$. Dacă $X^{\prime}$ este vârful roşu, cu $X \in\{A, B, C, D\}$, atunci vârful $X$ are toţi vecinii roşii. + +Dacă $D$ nu este roşu, atunci 'in planul $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\right)$ avem două vârfuri roşii. Dacă $B^{\prime}$ sau $D^{\prime}$ este roşu, atunci $B$, respectiv $D$, are toţi vecinii roşii. În caz contar, $A^{\prime}$ şi $C^{\prime}$ sunt roşi şi atunci $B^{\prime}$ are toţi vecinii roşii. + +În concluzie, oricum am colora 5 dintre vârfuri cu roşu, va exista cel puţin un vârf care are toţi vecinii roşii, deci minimul căutat este $n=5$. + +Problema 3. Fie $x, y, z>0$. Arătaţi că $\frac{x^{3}}{z^{3}+x^{2} y}+\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{2} z}+\frac{z^{3}}{y^{3}+z^{2} x} \geq \frac{3}{2}$. + +Soluţie. $\mathrm{Cu}$ inegalitatea mediilor avem $x^{2} y \leq \frac{x^{3}+x^{3}+y^{3}}{3}$, de unde rezultă că + +$$ +\frac{x^{3}}{z^{3}+x^{2} y} \geq \frac{x^{3}}{z^{3}+\frac{x^{3}+x^{3}+y^{3}}{3}}=\frac{3 x^{3}}{2 x^{3}+y^{3}+3 z^{3}} +$$ + +şi analoagele. + +Sumând şi notând $x^{3}=a, y^{3}=b, z^{3}=c$, este suficient să demonstrăm că + +$$ +\frac{a}{2 a+b+3 c}+\frac{b}{3 a+2 b+c}+\frac{c}{a+3 b+2 c} \geq \frac{1}{2} +$$ + +ceea ce se obţine din + +$$ +\sum \frac{a}{2 a+b+3 c}=\sum \frac{a^{2}}{2 a^{2}+a b+3 a c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c\right)}=\frac{1}{2} +$$ + +Problema 4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale ecuaţia $21^{x}+4^{y}=z^{2}$. + +Soluţie. Avem $\left(z-2^{y}\right)\left(z+2^{y}\right)=21^{x}$ şi, notând $d=\left(z-2^{y}, z+2^{y}\right)$, rezultă că $d \mid\left(z+2^{y}\right)-\left(z-2^{y}\right)$, deci $d \mid 2^{y+1}$. Intrucât $d \mid z+2^{y}$ şi $z+2^{y} \mid 21^{x}$, rezultă $d \mid\left(2^{y+1}, 21^{x}\right)$, deci $d=1$. + +Ca urmare, avem de analizat două cazuri: $z-2^{y}=1$ şi $z+2^{y}=21^{x}$, respectiv $z-2^{y}=3^{x}$ şi $z+2^{y}=7^{x}$. + +În primul caz obţinem $21^{x}-1=2^{y+1}$, egalitate care nu poate avea loc, deoarece divide $5 \mid 21^{x}-1$ si $5 \nmid 2^{y+1}$. + +In al doilea caz avem $7^{x}-3^{x}=2^{y+1}$, pentru care se observă că $x=0$ nu convine, iar $x=1$ conduce la soluţia $(1,1,5)$. Studiem în continuare cazul $x \geq 2$. + +Dacă $x$ este impar putem scrie: + +$$ +2^{y-1}=7^{x-1}+7^{x-2} \cdot 3+7^{x-3} \cdot 3^{2}+\ldots+7 \cdot 3^{x-2}+3^{x-1} +$$ + +contradicţie, deoarece membrul drept este o suma unui număr impar de numere impare. + +Pentru $x$ par, $x=2 s, s \geq 1$, rezultă $49^{s}-9^{s}=2^{y+1}$, egalitate care nu poate avea loc deoarece $5 \mid 49^{s}-9^{s}$. + +În concluzie, singura soluţie este $(1,1,5)$. + +Problema 5. Se consideră patrulaterul $A B C D$ cu diagonalele neperpendiculare şi laturile $A B$ şi $C D$ neparalele. Fie $O$ punctul de intersecţie a diagonalelor, $H_{1}$ ortocentrul triunghiului $A O B$ şi $H_{2}$ ortocentrul triunghiului $C O D$. Se notează cu $M$ mijlocul laturii $[A B]$ şi cu $N$ mijlocul laturii $[C D]$. Arătaţi că $H_{1} H_{2}$ este paralelă cu $M N$ dacă şi numai dacă $A C=B D$. + +Soluţie. Fie $A^{\prime}$ şi $B^{\prime}$ picioarele înalţimilor $\operatorname{din} A$, respectiv $\operatorname{din} B$ în triunghiul $A O B$, şi $C^{\prime}, D^{\prime}$ picioarele înalţimilor din $C$, respectiv $D$ în triunghiul $C O D$. + +Evident, $A^{\prime}$ şi $D^{\prime}$ aparţin cercului $\mathcal{C}_{1}$ de diametru $A D$, iar $B^{\prime}$ şi $C^{\prime}$ aparţin cercului $\mathcal{C}_{2}$ de diametru $B C$. + +Se observă că triunghiurile $H_{1} A B$ si $H_{1} A^{\prime} B^{\prime}$ sunt asemenea, de unde $H_{1} A \cdot H_{1} A^{\prime}=$ $H_{1} B \cdot H_{1} B^{\prime}$. Atunci $H_{1}$ are aceeaşi putere în raport cu cercurile $\mathcal{C}_{1}$ şi $\mathcal{C}_{2}$, deci $H_{1}$ (si analog, $H_{2}$ ) se află pe axa radicală a celor două cercuri. + +Întrucat axa radicală este perpendiculară pe linia centrelor, rezultă că $H_{1} H_{2}$ este perpendiculară pe dreapta $P Q$, unde $P$ şi $Q$ sunt mijloacele laturilor $A D$, respectiv $B C$ ( $P$ şi $Q$ sunt centrele cercurilor $\mathcal{C}_{1}$ şi $\mathcal{C}_{2}$ ). + +Condiţia $H_{1} H_{2} \| M N$ este echivalentă cu $M N \perp P Q$. Cum $M P N Q$ este paralelogram, avem: + +$$ +H_{1} H_{2} \| M N \Leftrightarrow M N \perp P Q \Leftrightarrow M P N Q \text { este romb } \Leftrightarrow M P=M Q \Leftrightarrow A C=B D \text {. } +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-43-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - primul test de selectie pentru juniori-b1_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-43-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - primul test de selectie pentru juniori-b1_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7127d77d353338edc4d73d51343bdf9f4e35cbb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-43-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - primul test de selectie pentru juniori-b1_juniori.md @@ -0,0 +1,39 @@ +# Primul test de selecţie pentru OBMJ + + Bucureşti, 15 mai 2021 +## Problema 1. + +Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele reale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in[0,1]$. Aflaţi valoarea maximă a celui mai mic dintre numerele: + +$$ +a_{1}-a_{1} a_{2}, a_{2}-a_{2} a_{3}, \ldots, a_{n}-a_{n} a_{1} +$$ + +## Problema 2. + +Aflaţi numerele naturale nenule $x, y$ cu proprietatea că $x \leq y$, astfel încât + +$$ +\frac{(x+y)(x y-1)}{x y+1}=p +$$ + +unde $p$ este un număr prim. + +## Problema 3. + +Cercul de centru $I$, înscris în triunghiul $A B C$, este tangent laturilor $A B, A C$ şi $B C$ în punctele $M, N$ şi respectiv $K$. Mediana $A D$ a triunghiului $A B C$ intersectează $M N$ în punctul $L$. Demonstraţi că punctele $K, I$ şi $L$ sunt coliniare. + +## Problema 4. + +Fie $n \geq 2$ un număr natural. Pe o tablă $n \times n$ se aşază $n$ turnuri astfel încât să nu existe două care să se atace. Toate turnurile se mişcă simultan o dată şi au voie să se mişte doar într-un pătrat adiacent celui în care se află. + +Determinaţi toate valorile lui $n$ pentru care există o aşezare a turnurilor astfel încât, după o mutare, turnurile, în continuare, să nu se atace. + +Notă: Două pătrăţele sunt adiacente dacă au o latură comună. + +## Problema 5. + +Fie $I$ centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$. Cercul de centru $A$ şi rază $A I$ intersectează cercul circumscris triunghiului $A B C$ în punctele $M$ şi $N$. + +Demonstraţi că dreapta $M N$ este tangentă la cercul înscris în triunghiul $A B C$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-430-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-430-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8819b11db86c3142a9f4ab63789a7e1c560df48d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-430-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,148 @@ +Societatea de Ştiinţe + +Matematice din România +Ministerul Educaţiei şi + +Cercetării Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI \$I + +CERCETÄRII \$TIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Bucureşti, 7 aprilie 2015 + +## CLASA a XII-a - Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Fie $(R,+, \cdot)$ un inel cu proprietatea că, pentru orice element $x \in R$, există două elemente $e_{1}$ şi $e_{2}$ din $R$, astfel încât $e_{1}^{2}=e_{1}, e_{2}^{2}=e_{2}$ si $x=e_{1} e_{2}$. Arătaţi că: + +(a) 1 este singurul element inversabil al inelului $R$; şi + +(b) $x^{2}=x$, oricare ar fi $x \in R$. + +Soluţie. (a) Fie $x \in U(R)$ şi $e_{1}, e_{2} \in I(R)=\left\{e \in R \mid e^{2}=e\right\}$, cu $x=e_{1} e_{2}$. Atunci + +$$ +1-e_{1}=\left(1-e_{1}\right) \cdot 1=\left(1-e_{1}\right) e_{1} e_{2} x^{-1}=\left(e_{1}-e_{1}^{2}\right) e_{2} x^{-1}=0 +$$ + +deci $e_{1}=1$ şi $x^{2}=e_{2}^{2}=e_{2}=x$. Cum $x$ este inversabil, rezultă că $x=1$ şi deci $U(R)=\{1\}$. + +3 puncte + +(b) $R$ nu conţine elemente nilpotente nenule, deoarece pentru orice nilpotent $x \in R$, elementul $1-x$ este inversabil $\left(x^{k}=0\right.$, deci $\left.(1-x)\left(1+x+\cdots+x^{k-1}\right)=1\right)$, deci $1-x=1$ şi $x=0$. 1 punct + +Arătăm că $I(R) \subseteq Z(R)$. Fie $e \in I(R)$ şi $x \in R$ oarecare. Atunci + +$$ +(e x-e x e)^{2}=e x e x-e x e x e-e x e e x+\text { exeexe }=\text { exex }- \text { exex }- \text { exexe }+ \text { exexe }=0 +$$ + +deci $e x=e x e$. Analog obţinem $x e=e x e$ şi deci $e x=e x e=x e$, oricare ar fi $e \in I(R)$ şi oricare ar fi $x \in R$. + +Fie $x \in R$ şi $e_{1}, e_{2} \in I(R)$, cu $x=e_{1} e_{2}$. Atunci $x^{2}=\left(e_{1} e_{2}\right)^{2}=e_{1}^{2} e_{2}^{2}=e_{1} e_{2}=x$. + +Problema 2. Fie $(K,+, \cdot)$ un corp finit cu cel puţin patru elemente. Arătaţi că mulţimea $K^{*}$ poate fi partiţionată în două submulţimi nevide $A$ şi $B$, cu proprietatea că + +$$ +\sum_{x \in A} x=\prod_{y \in B} y +$$ + +Soluţie. Deoarece $\prod_{x \in K^{*}} x=-1$, dacă $A$ şi $B$ formează o partiţie a lui $K^{*}$, atunci $\left(\prod_{x \in A} x\right)\left(\prod_{x \in B} x\right)=$ -1 , deci $\sum_{x \in A} x=\prod_{y \in B} y$ dacă şi numai dacă + +$$ +\left(\sum_{x \in A} x\right) \cdot\left(\prod_{x \in A} x\right)=-1 +$$ + +Fie $q=|K|$. Cum toate rădăcinile polinomului $f=X^{q-1}-1 \in K[X]$ sunt distincte şi situate în $K^{*}$, rezultă că orice divizor al lui $f$ are aceeaşi proprietate. + +1 punct + +Dacă char $K=2$, atunci $1=-1$ şi mulţimea $A=\{1\}$ are proprietatea $(*)$. .......... 1 punct + +Fie acum char $K>2$. Dacă $q \equiv 1(\bmod 4)$, atunci $X^{4}-1 \mid X^{q-1}-1$. Cum $X^{2}+1 \mid X^{4}-1$, rezultă că $X^{2}+1 \mid X^{q-1}-1$, deci există $a \in K^{*}$, astfel încât $a^{2}=-1$. Mulţimea $A=\{a\}$ are proprietatea (*). + +2 puncte + +Dacă $q \not \equiv 1(\bmod 4)$, cum $q-1$ este un număr par mai mare sau egal cu 6 , rezultă că $q-1$ are un divizor impar $t>1$. Cum $g=X^{t-1}+X^{t-2}+\cdots+X+1$ divide $f$, polinomul $g$ are toate rădăcinile $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{t-1}$ distincte şi în $K^{*}$. Deoarece $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{t-1}=-1$, iar $a_{1} \cdot a_{2} \cdots \cdots a_{t-1}=(-1)^{t-1}=1$, mulţimea $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots a_{t-1}\right\}$ are proprietatea (*). + +2 puncte + +Problema 3. Fie $\mathcal{C}$ mulţimea funcţiilor $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, de două ori derivabile pe $[0,1]$, care au cel puţin două zerouri, nu neapărat distincte, în $[0,1]$ şi $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, oricare ar fi $x$ în $[0,1]$. Determinaţi valoarea maximă pe care o poate lua integrala + +$$ +\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x +$$ + +când $f$ parcurge mulţimea $\mathcal{C}$, şi funcţiile care realizează acest maximum. + +(O funcţie derivabilă $f$ are două zerouri într-un acelaşi punct $a$, dacă $f(a)=f^{\prime}(a)=0$.) + +Soluţie. Dacă există $a \in[0,1]$, astfel încât $f(a)=f^{\prime}(a)=0$, considerăm $x \in[0,1], x \neq a$. Atunci $f(x)=\frac{1}{2}(x-a)^{2} f^{\prime \prime}(\theta)$, pentru un anumit $\theta$ între $a$ şi $x$. Deoarece $\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \leq 1$, oricare ar fi $t$ în $[0,1]$, rezultă că $|f(x)| \leq \frac{1}{2}(x-a)^{2}$, relaţie evident adevărată şi în $x=a$, deci + +$$ +\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{6}(1-3 a(1-a)) \leq \frac{1}{6} +$$ + +## 2 puncte + +Dacă există $a Etapa Naţională, Bucureşti, 7 aprilie 2015 + +## CLASA a XI-a - Soluţi şi bareme orientative + +Problema 1. Să se determine funcţile derivabile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică simultan condiţiile: +i) $f^{\prime}(x)=0$, pentru orice $x \in \mathbb{Z}$; + +ii) pentru $x \in \mathbb{R}$, dacă $f^{\prime}(x)=0$, atunci $f(x)=0$. + +Soluţie. Funcţia identic nulă verifică condiţiile din enunţ. + +1 punct + +Presupunem că există o funcţie derivabilă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, neidentic nulă, care satisface $(i)$ şi (ii). + +Atunci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, cu $f(x)=f^{\prime}(x)=0, \forall x \in \mathbb{Z}$. + +1 punct + +Există $x_{0} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ astfel încât $f\left(x_{0}\right) \neq 0$. Fie $k=\left[x_{0}\right] \in \mathbb{Z}$. + +1 punct + +Conform Teoremei lui Weierstrass, $f$ este mărginită pe intervalul $[k, k+1]$ şi există $x_{1}, x_{2} \in[k, k+1]$ astfel ca + +$$ +f\left(x_{1}\right) \leq f(x) \leq f\left(x_{2}\right), \forall x \in[k, k+1] +$$ + +2 puncte + +Dacă $f\left(x_{0}\right)>0$, atunci $f\left(x_{2}\right)>0$. Deci $x_{2} \in(k, k+1)$ este un punct de maxim local pentru $f$, de unde, conform Teoremei lui Fermat, $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$. Atunci, conform (ii), $f\left(x_{2}\right)=0$. Contradicţie. Dacă $f\left(x_{0}\right)<0$, atunci $f\left(x_{1}\right)<0$. Dar $x_{1} \in(k, k+1)$ este un punct de minim local pentru $f$, deci $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$, de unde $f\left(x_{1}\right)=0$. Contradicţie. + +Deci funcţia identic nulă este unica funcţie care satisface condiţiile din enuntु. + +2 puncte + +Problema 2. Fie $A \in \mathcal{M}_{5}(\mathbb{C})$ o matrice cu $\operatorname{tr}(\mathrm{A})=0$ şi cu proprietatea că $I_{5}-A$ este inversabilă. Să se arate că $A^{5} \neq I_{5}$. + +Soluţie. Presupunem prin reducere la absurd că $A^{5}=I_{5}$. Fie $\lambda \in \mathbb{C}$ o valoare proprie a matricei $A$ (o soluţie a ecuaţiei $\operatorname{det}\left(x I_{5}-A\right)=0$ ). Cum $\lambda^{5}$ este o valoare proprie a matricei $A^{5}$, obţinem $\lambda^{5}=1$. + +Matricea $I_{5}-A$ este inversabilă, deci $\operatorname{det}\left(I_{5}-A\right) \neq 0$. In consecinţă, valorile proprii ale matricei $A$ se găsesc în mulţimea $\left\{\varepsilon, \varepsilon^{2}, \varepsilon^{3}, \varepsilon^{4}\right\}$, unde $\varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}$. + +1 punct Atunci, din condiţia $\operatorname{tr}(A)=0$, deducem că există numerele naturale $a, b, c$ şi $d$ cu proprietăţile + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a+b+c+d=5 \\ +a \varepsilon+b \varepsilon^{2}+c \varepsilon^{3}+d \varepsilon^{4}=0 +\end{array}\right. +$$ + +2 puncte Din ultima relaţie obţinem $a+b \varepsilon+c \varepsilon^{2}+d \varepsilon^{3}=0$. Rezultă că $\varepsilon$ este o rădăcină a polinomului cu coeficienţi întregi, de grad cel mult $3, d X^{3}+c X^{2}+b X+a$. Dacă $d \neq 0$, atunci polinomul are rădăcinile $\varepsilon, \bar{\varepsilon} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ şi $\alpha \in \mathbb{R}$. Dar, din relaţile lui Viète, obţinem $\alpha=-a / d \in \mathbb{Q}$ şi $\alpha=-(c / d+2 \cos (2 \pi / 5)) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. Contradicţie. Deci $d=0$. + +2 puncte În mod analog analog arătăm $c=b=a=0$. Atunci $a+b+c+d=0$, în contradicţie cu $a+b+c+d=5$. + +Observaţie. Argumentul din finalul demonstraţiei se poate obţine §̧ folosind proprietatea că polinomul nenul de grad minim, cu coeficienţi întregi, care are ca rădăcină pe $\varepsilon$ este polinomul ciclotomic $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$ + +Problema 3. Fie $a \geq 0$ şi $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale. Să se arate că dacă şirul $\left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n^{a}}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit, atunci şirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $y_{n}=\frac{x_{1}}{1^{b}}+\frac{x_{2}}{2^{b}}+\cdots+\frac{x_{n}}{n^{b}}$, este convergent pentru orice $b>a$. + +Soluţie. Notăm $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Conform ipotezei, există $c>0$ astfel ca $\left|S_{n}\right| \leq c n^{a}, \forall n \in$ $\mathbb{N}^{*}$. Pentru $n, p \in \mathbb{N}^{*}$, avem: + +$$ +\begin{gathered} +\left|y_{n+p}-y_{n}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{x_{k}}{k^{b}}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{S_{k}-S_{k-1}}{k^{b}}\right|= \\ +=\left|\frac{S_{n+p}}{(n+p+1)^{b}}-\frac{S_{n}}{(n+1)^{b}}+\sum_{k=n+1}^{n+p} S_{k}\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right)\right| \leq \\ +\leq \frac{\left|S_{n+p}\right|}{(n+p+1)^{b}}+\frac{\left|S_{n}\right|}{(n+1)^{b}}+\sum_{k=n+1}^{n+p}\left|S_{k}\right|\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right) \leq \\ +\leq c\left[\frac{2}{n^{b-a}}+\sum_{k=n+1}^{n+p} k^{a}\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right)\right] +\end{gathered} +$$ + +.2 puncte + +Aplicând Teorema lui Lagrage funcţiei $f(x)=x^{-\alpha}, x>0$ pe $[i, i+1]$, unde $\alpha, i>0$, obţinem inegalitatea dublă + +$$ +\frac{\alpha}{(i+1)^{\alpha+1}}<\frac{1}{i^{\alpha}}-\frac{1}{(i+1)^{\alpha}}<\frac{\alpha}{i^{\alpha+1}} +$$ + +## 1 punct + +În particular, cum $b, b-a>0$, avem + +$$ +\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}<\frac{b}{k^{b+1}} \text { si } \frac{b-a}{k^{b-a+1}}<\frac{1}{(k-1)^{b-a}}-\frac{1}{k^{b-a}}, \forall k \in \mathbb{N}, k \geq 2 +$$ + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +\sum_{k=n+1}^{n+p} k^{a}\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right)<\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{b k^{a}}{k^{b+1}}=\frac{b}{b-a} \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{b-a}{k^{b-a+1}}< \\ +<\frac{b}{b-a} \sum_{k=n+1}^{n+p}\left(\frac{1}{(k-1)^{b-a}}-\frac{1}{k^{b-a}}\right)=\frac{b}{b-a}\left(\frac{1}{n^{b-a}}-\frac{1}{(n+p)^{b-a}}\right)<\frac{b}{(b-a) n^{b-a}} +\end{aligned} +$$ + +Rezultă + +$$ +\left|y_{n+p}-y_{n}\right| Etapa Naţională, Bucureşti, 7 aprilie 2015 + +## CLASA a XI-a - Soluţi şi bareme orientative + +Problema 1. Să se determine funcţile derivabile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică simultan condiţiile: +i) $f^{\prime}(x)=0$, pentru orice $x \in \mathbb{Z}$; + +ii) pentru $x \in \mathbb{R}$, dacă $f^{\prime}(x)=0$, atunci $f(x)=0$. + +Soluţie. Funcţia identic nulă verifică condiţiile din enunţ. + +1 punct + +Presupunem că există o funcţie derivabilă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, neidentic nulă, care satisface $(i)$ şi (ii). + +Atunci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, cu $f(x)=f^{\prime}(x)=0, \forall x \in \mathbb{Z}$. + +1 punct + +Există $x_{0} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ astfel încât $f\left(x_{0}\right) \neq 0$. Fie $k=\left[x_{0}\right] \in \mathbb{Z}$. + +1 punct + +Conform Teoremei lui Weierstrass, $f$ este mărginită pe intervalul $[k, k+1]$ şi există $x_{1}, x_{2} \in[k, k+1]$ astfel ca + +$$ +f\left(x_{1}\right) \leq f(x) \leq f\left(x_{2}\right), \forall x \in[k, k+1] +$$ + +2 puncte + +Dacă $f\left(x_{0}\right)>0$, atunci $f\left(x_{2}\right)>0$. Deci $x_{2} \in(k, k+1)$ este un punct de maxim local pentru $f$, de unde, conform Teoremei lui Fermat, $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$. Atunci, conform (ii), $f\left(x_{2}\right)=0$. Contradicţie. Dacă $f\left(x_{0}\right)<0$, atunci $f\left(x_{1}\right)<0$. Dar $x_{1} \in(k, k+1)$ este un punct de minim local pentru $f$, deci $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$, de unde $f\left(x_{1}\right)=0$. Contradicţie. + +Deci funcţia identic nulă este unica funcţie care satisface condiţiile din enuntु. + +2 puncte + +Problema 2. Fie $A \in \mathcal{M}_{5}(\mathbb{C})$ o matrice cu $\operatorname{tr}(\mathrm{A})=0$ şi cu proprietatea că $I_{5}-A$ este inversabilă. Să se arate că $A^{5} \neq I_{5}$. + +Soluţie. Presupunem prin reducere la absurd că $A^{5}=I_{5}$. Fie $\lambda \in \mathbb{C}$ o valoare proprie a matricei $A$ (o soluţie a ecuaţiei $\operatorname{det}\left(x I_{5}-A\right)=0$ ). Cum $\lambda^{5}$ este o valoare proprie a matricei $A^{5}$, obţinem $\lambda^{5}=1$. + +Matricea $I_{5}-A$ este inversabilă, deci $\operatorname{det}\left(I_{5}-A\right) \neq 0$. In consecinţă, valorile proprii ale matricei $A$ se găsesc în mulţimea $\left\{\varepsilon, \varepsilon^{2}, \varepsilon^{3}, \varepsilon^{4}\right\}$, unde $\varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}$. + +1 punct Atunci, din condiţia $\operatorname{tr}(A)=0$, deducem că există numerele naturale $a, b, c$ şi $d$ cu proprietăţile + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a+b+c+d=5 \\ +a \varepsilon+b \varepsilon^{2}+c \varepsilon^{3}+d \varepsilon^{4}=0 +\end{array}\right. +$$ + +2 puncte Din ultima relaţie obţinem $a+b \varepsilon+c \varepsilon^{2}+d \varepsilon^{3}=0$. Rezultă că $\varepsilon$ este o rădăcină a polinomului cu coeficienţi întregi, de grad cel mult $3, d X^{3}+c X^{2}+b X+a$. Dacă $d \neq 0$, atunci polinomul are rădăcinile $\varepsilon, \bar{\varepsilon} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ şi $\alpha \in \mathbb{R}$. Dar, din relaţile lui Viète, obţinem $\alpha=-a / d \in \mathbb{Q}$ şi $\alpha=-(c / d+2 \cos (2 \pi / 5)) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. Contradicţie. Deci $d=0$. + +2 puncte În mod analog analog arătăm $c=b=a=0$. Atunci $a+b+c+d=0$, în contradicţie cu $a+b+c+d=5$. + +Observaţie. Argumentul din finalul demonstraţiei se poate obţine §̧ folosind proprietatea că polinomul nenul de grad minim, cu coeficienţi întregi, care are ca rădăcină pe $\varepsilon$ este polinomul ciclotomic $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$ + +Problema 3. Fie $a \geq 0$ şi $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale. Să se arate că dacă şirul $\left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n^{a}}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit, atunci şirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $y_{n}=\frac{x_{1}}{1^{b}}+\frac{x_{2}}{2^{b}}+\cdots+\frac{x_{n}}{n^{b}}$, este convergent pentru orice $b>a$. + +Soluţie. Notăm $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Conform ipotezei, există $c>0$ astfel ca $\left|S_{n}\right| \leq c n^{a}, \forall n \in$ $\mathbb{N}^{*}$. Pentru $n, p \in \mathbb{N}^{*}$, avem: + +$$ +\begin{gathered} +\left|y_{n+p}-y_{n}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{x_{k}}{k^{b}}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{S_{k}-S_{k-1}}{k^{b}}\right|= \\ +=\left|\frac{S_{n+p}}{(n+p+1)^{b}}-\frac{S_{n}}{(n+1)^{b}}+\sum_{k=n+1}^{n+p} S_{k}\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right)\right| \leq \\ +\leq \frac{\left|S_{n+p}\right|}{(n+p+1)^{b}}+\frac{\left|S_{n}\right|}{(n+1)^{b}}+\sum_{k=n+1}^{n+p}\left|S_{k}\right|\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right) \leq \\ +\leq c\left[\frac{2}{n^{b-a}}+\sum_{k=n+1}^{n+p} k^{a}\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right)\right] +\end{gathered} +$$ + +.2 puncte + +Aplicând Teorema lui Lagrage funcţiei $f(x)=x^{-\alpha}, x>0$ pe $[i, i+1]$, unde $\alpha, i>0$, obţinem inegalitatea dublă + +$$ +\frac{\alpha}{(i+1)^{\alpha+1}}<\frac{1}{i^{\alpha}}-\frac{1}{(i+1)^{\alpha}}<\frac{\alpha}{i^{\alpha+1}} +$$ + +## 1 punct + +În particular, cum $b, b-a>0$, avem + +$$ +\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}<\frac{b}{k^{b+1}} \text { si } \frac{b-a}{k^{b-a+1}}<\frac{1}{(k-1)^{b-a}}-\frac{1}{k^{b-a}}, \forall k \in \mathbb{N}, k \geq 2 +$$ + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +\sum_{k=n+1}^{n+p} k^{a}\left(\frac{1}{k^{b}}-\frac{1}{(k+1)^{b}}\right)<\sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{b k^{a}}{k^{b+1}}=\frac{b}{b-a} \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{b-a}{k^{b-a+1}}< \\ +<\frac{b}{b-a} \sum_{k=n+1}^{n+p}\left(\frac{1}{(k-1)^{b-a}}-\frac{1}{k^{b-a}}\right)=\frac{b}{b-a}\left(\frac{1}{n^{b-a}}-\frac{1}{(n+p)^{b-a}}\right)<\frac{b}{(b-a) n^{b-a}} +\end{aligned} +$$ + +Rezultă + +$$ +\left|y_{n+p}-y_{n}\right|0$ cu $a+b+c=3$ are loc inegalitatea: + +$$ +2(a b+b c+c a)-3 a b c \geq a \sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+b \sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}+c \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} +$$ + +Soluţie. Folosind eventual faptul că $\frac{b+c}{2} \leq \sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}$, se arată că: + +$\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}} \leq \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}=b+c-\frac{2 b c}{b+c}$ sु analoagele + +Atunci + +$$ +a \sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+b \sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{2}}+c \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \leq 2(a b+b c+c a)-2 a b c\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) +$$ + +$2 p$ + +Inegalitatea din enunţ se obţine observând că + +$$ +\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2} +$$ + +$2 p$ + +Problema 2. Fie $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ un trunchi de piramidă triunghiulară. Se consideră punctele $D \in$ $\left(A A^{\prime}\right), E \in\left(B B^{\prime}\right)$ şi $F \in\left(C C^{\prime}\right)$ astfel încât planele $(A E F)$ şi $\left(D B^{\prime} C^{\prime}\right)$ să fie paralele. Demonstraţi că planele $\left(A^{\prime} E F\right)$ şi $(D B C)$ sunt paralele. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ca587972f056340ae96cg-1.jpg?height=819&width=666&top_left_y=1683&top_left_x=144) + +## Soluţie. + +Notăm cu $V$ vârful piramidei din care provine trunchiul. + +Paralelismul planelor $(A E F)$ şi $\left(D B^{\prime} C^{\prime}\right)$ conduce la $E F \| B^{\prime} C^{\prime}$ şi $D B^{\prime} \| A E$. + +$\mathrm{Cu}$ teorema lui Thales, $\operatorname{din} D B^{\prime} \| A E$ şi $A^{\prime} B^{\prime} \| A B$, rezultă: + +$$ +\frac{V D}{V A}=\frac{V B^{\prime}}{V E}, \quad \text { respectiv } \quad \frac{V A^{\prime}}{V A}=\frac{V B^{\prime}}{V B} +$$ + +Împărţind cele două egalităţi de mai sus, obţinem $\frac{V D}{V A^{\prime}}=\frac{V B}{V E}$, de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ca587972f056340ae96cg-1.jpg?height=68&width=1198&top_left_y=2232&top_left_x=840) + +Din $E F\left\|B^{\prime} C^{\prime}\right\| B C$ şi $A^{\prime} E \| D B$ rezultă $\left(A^{\prime} E F\right) \|(D B C)$. 1p + +Problema 3. Se notează cu $p(a)$ prima cifră a numărului natural $a$. Arătaţi că fiecare dintre mulţimile + +$$ +A=\left\{n \in \mathbb{N} \mid p\left(5^{n}\right)-p\left(2^{n}\right)>0\right\} \quad \text { şi } \quad B=\left\{n \in \mathbb{N} \mid p\left(5^{n}\right)-p\left(2^{n}\right)<0\right\} +$$ + +conţine o infinitate de elemente. + +Soluţie. Pentru orice $k \in \mathbb{N}^{*}$ există $n_{k} \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $2^{n_{k}}<10^{k}<2^{n_{k}+1}$, deoarece $10^{k}<2^{4 k}$ §i $n_{k}+1$ este cel mai mic element din mulţimea $\left\{m \in \mathbb{N}^{*} \mid 10^{k}<2^{m}\right\}$ + +Din $2^{n_{k}}<10^{k}<2^{n_{k}+1}$, inmulţind prima inegalitate cu 2 , rezultă $10^{k}<2^{n_{k}+1}<2 \cdot 10^{k}(\mathbf{1})$, deci $p\left(2^{n_{k}+1}\right)=1$ + +Înmulţind inegalităţile (1) cu $5^{n_{k}+1}$, obţinem $10^{k} \cdot 5^{n_{k}+1}<10^{n_{k}+1}<2 \cdot 10^{k} \cdot 5^{n_{k}+1}$, de unde împărţind prima inegalitate cu $10^{k}$ şi a doua cu $2 \cdot 10^{k}$, obţinem $5 \cdot 10^{n_{k}-k}<5^{n_{k}+1}<10^{n_{k}-k+1}$, deci $p\left(5^{n_{k}+1}\right) \geq 5>$ $p\left(2^{n_{k}+1}\right)$ + +Din $2^{n_{k}}<10^{k}<2^{n_{k}+1}$, împărţind a doua inegalitate cu 2 , rezultă rezultă $5 \cdot 10^{k-1}<2^{n_{k}}<10^{k} \mathbf{( 2 )}$, deci $p\left(2^{n_{k}}\right) \geq 5$ + +Înmulţind inegalităţile (2) cu $5^{n_{k}}$, obţinem $10^{k-1} \cdot 5^{n_{k}+1}<10^{n_{k}}<10^{k} \cdot 5^{n_{k}}$, de unde împărţind prima inegalitate cu $5 \cdot 10^{k-1}$ şi a doua cu $10^{k}$, obţinem $10^{n_{k}-k}<5^{n_{k}}<2 \cdot 10^{n_{k}-k}$, deci $p\left(5^{n_{k}}\right)=10,2$, $\operatorname{dar} \frac{1}{p q r s}<\frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11}<0,006$. In concluzie $p=2$. + +Relaţia din enunţ devine $\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{r}+\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{2 q r s}$. + +Presupunând $q \geq 5$ rezultă $\frac{1}{q}+\frac{1}{r}+\frac{1}{s} \leq \frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}<0,44$, de unde $\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{q}+\frac{1}{r}+\frac{1}{s}\right)>0,06$. Dar $\frac{1}{2 q r s}<\frac{1}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11}<0,001$. Deducem $q=3$. + +Relaţia din enunţ devine $\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{6 r s}$ echivalentă cu $r s-6 r-6 s-1=0$, de unde obţinem $(r-6)(s-6)=37$. + +Deducem $r=7, s=43$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-435-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-435-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..727f5aa9128292f301ab2067065f31a4680d05a9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-435-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,86 @@ +Societatea de Ştiinţe + +Matematice din România +Ministerul Educaţiei şi + +Cercetării Ştiinţifice +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_837f595e8c38d4769148g-1.jpg?height=230&width=640&top_left_y=148&top_left_x=405) + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Naţională, Bucureşti, 7 aprilie 2015 + +# CLASA a VI-a - Soluţi şi bareme orientative + +Problema 1. Determinaţi numerele naturale care au proprietatea că admit exact 8 divizori pozitivi, dintre care trei sunt numere prime de forma $a, \overline{b c}$ şi $\overline{c b}$ şi $a+\overline{b c}+\overline{c b}$ este pătrat perfect, unde $a, b$ şi $c$ sunt cifre cu $b\frac{1}{3}$. + +Pentru $a=8$ rezultă $S=\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}$, iar $\frac{1}{4}<\frac{3}{11}\frac{1}{12}+\frac{24}{144}=\frac{1}{4}$. + +Soluţiile sunt $a=8, a=9$ şi $a=10$......................................................... $2 \mathbf{p}$ + +b) Pentru $a_{1}=p^{2}+1, a_{2}=p^{2}+2, \ldots, a_{p}=p^{2}+p$, avem $S=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{p}}=\frac{1}{p^{2}+1}+$ $\frac{1}{p^{2}+2}+\cdots+\frac{1}{p^{2}+p}$ şi cum $\frac{1}{p^{2}+1}>\frac{1}{p^{2}+2}>\cdots>\frac{1}{p^{2}+p}$, rezultă că $\frac{p}{p^{2}+p} Etapa Naţională, Bucureşti, 7 aprilie 2015 + +## CLASA a V-a - Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Patru familii prietene au fiecare câte doi copii şi toţi copiii s-au născut după anul 1989. Anul naşterii mezinilor este acelaşi, având suma cifrelor egală cu produsul cifrelor nenule. Diferenţa de vârstă dintre fraţii aceleiaşi familii este un număr natural de ani exprimat printr-un pătrat perfect nenul. Aflaţi anul naşterii fraţilor cei mari din fiecare familie, ştiind că aceştia nu pot avea vârste egale. + +Soluţie. Arătăm că anul naşterii mezinilor nu poate fi de forma $\overline{199 a}$. Presupunând că anul naşterii are forma $\overline{199 a}$ trebuie ca $1+9+9+a=1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot a$, adică $19+a=81 \cdot a$; relaţie imposibilă în condiţiile în care $a$ este cifră. Prin urmare anul naşterii mezinilor are una dintre formele $\overline{200 a}$ sau $\overline{201 a}$ + +Dacă are forma $\overline{200 a}$, din condiţia $2+a=2 \cdot a$ deducem $a=2$, iar dacă are forma $\overline{201 a}$, din + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_508ca543eac9ae0c7436g-1.jpg?height=54&width=1781&top_left_y=1355&top_left_x=232) + +Cazurile 1990, 2000 şi 2010 nu convin. ................................................................ 1p + +Diferenţa de vârstă dintre fraţi este aceeaşi cu diferenţa dintre anii naşterii fiecăruia Pentru 2002 aceste diferenţe sunt: $2002-x, 2002-y, 2002-z, 2002-t$, în care $x, y, z, t$ sunt anii de naştere ai fraţilor mai mari. + +Diferenţele trebuie să fie egale cu $1,4,9$, respectiv 16. Presupunând $x \geq 16$ obţinem $2002-x \leq$ 1986. Dar toţi copiii sunt născuţi după anul 1989, prin urmare acest caz nu este posibil.......... 2p + +Pentru 2013 aceste diferenţe sunt: $2013-x, 2013-y, 2013-z, 2013-t$, în care $x, y, z, t$ sunt anii de naştere ai fraţilor mai mari. + +Diferenţele trebuie să fie egale cu 1, 4, 9, 16. Presupunând $x \geq 25$ obţinem $2013-x \leq 1988$, dar toţi copiii sunt născui̧ după anul 1989. + +Aşadar putem avea $2013-x=1,2013-y=4,2013-z=9,2013-t=16$, de unde $x=2012$, $y=2009, z=2004, t=1997$ + +Problema 2. Determinaţi cel mai mic număr natural care are exact 2015 divizori. + +Soluţie. Dacă un număr natural se descompune în $p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{n}^{a_{n}}$, unde $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ sunt numere prime diferite, atunci numărul divizorilor săi naturali este egal cu $\left(a_{1}+1\right)\left(a_{2}+1\right) \ldots\left(a_{n}+1\right)$. + +Cum $2015=1 \cdot 2015=5 \cdot 403=13 \cdot 155=31 \cdot 65=5 \cdot 13 \cdot 31$ rezultă că numărul căutat are una dintre formele $a=2^{2014}, b=2^{402} \cdot 3^{4}, c=2^{154} \cdot 3^{12}, d=2^{64} \cdot 3^{30}$ sau $e=2^{30} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4}$, deoarece pentru a obţine numere cât mai mici trebuie ca exponenţii cei mai mari să corespundă celor mai mici numere prime $4 p$ + +Avem $a>e$ deoarece din $2^{2014}>2^{30} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4}$ obţinem $2^{1984}>3^{12} \cdot 5^{4}$ care este evident adevărată. Avem $b>e$ deoarece din $2^{402} \cdot 3^{4}>2^{30} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4}$ obţinem $2^{372}>3^{8} \cdot 5^{4}$ care este evident adevărată. Avem $c>e$ deoarece $\operatorname{din} 2^{154} \cdot 3^{12}>2^{30} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4}$ obţinem $2^{124}>5^{4}$ care este evident adevărată. + +Avem $d>e$ deoarece din $2^{64} \cdot 3^{30}>2^{30} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4}$ obţinem $2^{34} \cdot 3^{18}>5^{4}$ care este evident adevărată + +Prin urmare, cel mai mic număr natural cu exact 2015 divizori este $2^{30} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4} \ldots$ + +Problema 3. Se spune că numărul natural $n \geq 2$ este norocos dacă numărul $n^{2}$ se poate scrie ca suma a $n$ numere naturale nenule consecutive. Să se arate că: + +a) numărul 7 este norocos; + +b) numărul $10 \mathrm{nu}$ este norocos; + +c) produsul oricăror două numere norocoase este un număr norocos. + +Soluţie. a) Trebuie găsite 7 numere consecutive, $a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6$ astfel încât $7^{2}=a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5+a+6$. Obţinem $49=7 a+21$, de unde $a=4$. Aşadar $7^{2}=4+5+6+7+8+9+10$, deci 7 este norocos + +b) Trebuie găsite 10 numere consecutive, $a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6, a+7, a+8, a+9$ astfel încât $10^{2}=a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5+a+6+a+7+a+8+a+9$. Obţinem $100=10 a+45$, de unde $10 a=55$, care nu are soluţie număr natural. Prin urmare $10 \mathrm{nu}$ este norocos. + +c) Vom arăta că un număr este norocos dacă şi numai dacă este număr impar. + +Demonstrăm că orice număr norocos este număr impar. Fie $m$ un număr norocos, atunci $m^{2}=$ $(a+1)+(a+2)+(a+3)+\ldots+(a+m)$, unde $a$ este număr natural. Obţinem $m^{2}=m \cdot a+(1+2+3+\ldots+m)$ sau $m^{2}=m \cdot a+\frac{m \cdot(m+1)}{2}$. Din ultima relaţie rezultă $2 \cdot m^{2}=2 \cdot m \cdot a+m^{2}+m$ sau $2 \cdot m=2 \cdot a+m+1$, de unde $m=2 \cdot a+1$, adică $m$ este număr impar.... $2 p$ + +Demonstrăm că orice număr impar este norocos. Trebuie arătat că există un $x$ număr natural astfel încât $m^{2}=(x+1)+(x+2)+(x+3)+\ldots+(x+m)$, pentru orice $m=2 \cdot k+1, k$ număr natural. Ultima relaţie conduce la $m=2 \cdot x+1$. Înlocuind $m$ cu $2 \cdot k+1$ obţinem $2 \cdot k+1=2 \cdot x+1$, de unde $x=k$. Deducem aşadar, că orice număr impar este norocos. + +Revenim la problemă. Dacă $p$ şi $q$ sunt numere norocoase, atunci $p$ şi $q$ sunt numere impare. Cum produsul a două numere impare este un număr impar obţinem $p \cdot q$ este număr impar, prin urmare este norocos. + +$1 p$ + +Problema 4. Pe tablă sunt scrise, unul după altul, opt numere egale cu 0 . Numim operaţie modificarea a patru dintre cele opt numere, astfel: două numere se măresc cu 3 , un număr se măreşte cu 2, iar cel de al patrulea număr se măreşte cu 1. + +a) Care este numărul minim de operaţii pe care trebuie să le efectuăm pentru a obţine pe tablă opt numere naturale consecutive. + +b) Este posibil ca, după un număr de operaţii, toate numerele scrise pe tablă să fie egale cu 2015 ? + +c) Este posibil ca, în urma unei succesiuni de operaţii, produsul numerelor de pe tablă să fie 2145 ? + +## Soluţie. + +a) La fiecare operaţie suma numerelor se măreşte cu 9. Asta înseamnă că după $k$ operaţii suma numerelor aflate pe tablă va fi $9 \cdot k$. Suma celor mai mici opt numere naturale consecutive este $0+1+2+\ldots+7=28$, care nu se divide cu 9 , iar $1+2+3+\ldots+8=36$. Cum $9 \cdot 4=36$, deducem că numărul minim de operaţii pentru obţinerea a opt numere consecutive este 4. Iată mai jos o astfel de posibilitate: + +| Initial | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Operaţia 1 | 1 | 2 | | | | | 3 | 3 | +| Operaţia 2 | | | 2 | 1 | | | 3 | 3 | +| Operaţia 3 | | | | | 3 | 3 | 1 | 2 | +| Operaţia 3 | | | 1 | 3 | 2 | 3 | | | +| Total | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | + +....................................................................................................... 2 p + +b) Aşa cum am observat la punctul a), după $k$ operaţii, suma celor 8 numere este $9 \cdot k$. Presupunând că după un număr de operaţii toate cele 8 numere sunt egale cu 2015, atunci suma lor este $8 \cdot 2015$. Cum $8 \cdot 2015$ nu se divide cu 9 , deducem că nu este posibil ca după un număr de operaţii toate numerele scrise pe tablă să fie egale cu 2015 .................................................... 2p + +c) Avem $2145=3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$. Dacă numerele de pe tablă sunt $3,5,11,13,1,1,, 1,1$, atunci $3+5+11+13+1+1+1+1=36$, ceea ce înseamnă că sunt necesare 4 operaţii pentru a ajunge la aceste opt numere. Cum, din 4 operaţii nu putem obţine 13 deducem că această variantă nu este posibilă. + +Pe tablă nu putem avea 6 sau mai mult numere egale cu 1, deoarece la orice alegere trei dintre numere sunt mai mari decât 1 . Dacă pe tablă sunt 5 numere egale cu 1 , înseamnă că s-au efectuat 5 operaţii. Rezultă că $a+b+c+1+1+1+1+1=45$, unde $a$ este produsul a două dintre numerele $3,5,11$ sau 13 , iar $b$ şi $c$ sunt cele două numere rămase. În niciuna dintre situaţi suma $a+b+c$ nu este 40. Prin urmare nici această variantă nu este posibilă. In concluzie nu este posibil ca în urma unei succesiuni de operaţi produsul numerelor de pe tablă să fie 2145 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-437-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-437-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..66b176b299073e34e22fd7a7c2c1e7c36fe51922 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-437-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,68 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice din România +Ministerul Educaţiei şi + +Cercetării Ştiinţifice +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_69728047018a9895b92dg-1.jpg?height=202&width=568&top_left_y=172&top_left_x=496) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Bucureşti, 7 aprilie 2015 + +## CLASA a IX-a - soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Arătaţi că nu putem alege 45 de elemente distincte ale mulţimii $\{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}$, $, \sqrt{2015}\}$, astfel încât numerele selectate să fie în progresie aritmetică. + +Soluţie. Dacă $m, n, p \in \mathbb{N}^{*}$ §i $\sqrt{m}, \sqrt{n}, \sqrt{p}$ sunt trei numere în progresie aritmetică, atunci $p+m+$ $2 \sqrt{p m}=4 n$, deci $\sqrt{p m}$ este raţional. Rezultă $m=a^{2} d, p=c^{2} d, n=2 b^{2} d$, cu $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ şi $a+c=2 b 4 \mathbf{p}$ + +Astfel, dacă am putea alege 45 de numere în progresie aritmetică, atunci ele ar fi de forma $a_{1} \sqrt{d}, a_{2} \sqrt{d}, \ldots, a_{45} \sqrt{d}$, си $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{45}, d \in \mathbb{N}^{*}$ §i $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{45}$ în progresie aritmetică + +$2 p$ + +În acest caz, cel mai mare număr ales ar fi cel puţin $\sqrt{45^{2} d} \geq \sqrt{2025}$ - contradicţie $1 p$ + +Problema 2. O funcţie $f$ de gradul al doilea are proprietatea: pentru orice interval $I$ de lungime 1, intervalul $f(I)$ are lungimea cel puţin 1 . + +Arătaţi că, pentru orice interval $J$ de lungime 2 , intervalul $f(J)$ are lungimea cel puţin 4 . + +Soluţie. Dacă $f(x)=a x^{2}+b x+c$ si $v$ este abscisa vârfului parabolei atunci, pentru intervalul $I=$ $[v-1 / 2, v+1 / 2]$, intervalul $f(I)$ are lungimea $\frac{|a|}{4}$, deci $|a| \geq 4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots$ + +Pentru un interval $J$ de lungime 2 există $x, y \in J$ astfel încât $x-y=1$ şi $v \notin(y, x) \ldots \ldots . \ldots . .2 \mathbf{2 p}$ + +Avem $|f(x)-f(y)|=\left|a(x-y)\left(x+y+\frac{b}{a}\right)\right| \geq 4|x+y-2 v| \geq 4$, deci intervalul $f(J)$ conţine două puncte la distanţă cel puţin 4 , de unde concluzia + +$2 p$ + +Problema 3. Punctul $P$ este în interiorul triunghiului $A B C$, iar dreptele $A P, B P, C P$ taie laturile $B C, A C, A B$ în $A_{1}, B_{1}$, respectiv $C_{1}$. Se ştie că + +$$ +s\left(P B A_{1}\right)+s\left(P C B_{1}\right)+s\left(P A C_{1}\right)=\frac{1}{2} s(A B C) +$$ + +unde cu $s(X Y Z)$ s-a notat aria triunghiului $X Y Z$. Arătaţi că $P$ se află pe o mediană a triunghiului $A B C$. + +Solutie. Avem $\frac{s\left(P B A_{1}\right)}{s\left(A B A_{1}\right)}=\frac{P A_{1}}{A A_{1}}=\frac{s(B P C)}{s(B A C)}$ + +$2 p$ + +Notând $s(B P C)=s_{a}$ şi analoagele, rezultă $\frac{s\left(P B A_{1}\right)}{s_{c}+s\left(P B A_{1}\right)}=\frac{s_{a}}{s}$, unde $s=s(A B C)$, deci $s\left(P B A_{1}\right)=$ $\frac{s_{a} s_{c}}{s-s_{a}}=\frac{s_{a} s_{c}}{s_{b}+s_{c}}$ + +$2 p$ + +Ipoteza devine $\frac{s_{a} s_{c}}{s_{b}+s_{c}}+\frac{s_{b} s_{a}}{s_{c}+s_{a}}+\frac{s_{c} s_{b}}{s_{a}+s_{b}}=\frac{s_{a}+s_{b}+s_{c}}{2}$, ceea ce se reduce după calcule la $s\left(s_{a}-\right.$ $\left.s_{b}\right)\left(s_{b}-s_{c}\right)\left(s_{c}-s_{a}\right)=0$. Rezultă $s_{a}=s_{b}$ sau $s_{a}=s_{c}$ sau $s_{b}=s_{c}$, de unde concluzia + +$3 p$ + +Problema 4. Fie $a, b, c, d \geq 0$ numere reale astfel încât $a+b+c+d=1$. Arătaţi că + +$$ +\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{6}+\frac{(c-d)^{2}}{6}+\frac{(d-b)^{2}}{6}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d} \leq 2 +$$ + +Soluţie. Observăm că $(b-c)^{2} \leq 2(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}$, ceea ce rezultă din relaţia $(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}=b+c+2 \sqrt{b c} \leq$ $2 b+2 c \leq 2$ $3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_69728047018a9895b92dg-1.jpg?height=84&width=1827&top_left_y=2425&top_left_x=87) + +Pentru a proba inegalitatea, este suficient ca $S+\sqrt{1-S^{2} / 3} \leq 2$, unde $S=\sum \sqrt{b} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_69728047018a9895b92dg-1.jpg?height=52&width=1827&top_left_y=2549&top_left_x=87) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_69728047018a9895b92dg-1.jpg?height=57&width=1825&top_left_y=2601&top_left_x=85) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-438-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-438-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2598c7b56388b986f75f02de428d1b0022b15849 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-438-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,114 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e87d675532ec8fd0243ag-1.jpg?height=271&width=254&top_left_y=298&top_left_x=510) + +Ministerul Educaţiei şi Cercetării Stiinţifice MINISTERUL EDUCATIEI SI CERCETÃRII ȘTIINȚIIIICE + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2015. március 14.
XII. OSZTÁLY + +1. feladat (a) Oldd meg az $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$ egyenletet, ha $x \in \mathbb{Z}_{7}$. + +(b) Határozd meg azokat az $n \geq 2$ természetes számokat, amelyekre az $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$ egyenletnek egyetlen megoldása van $x \in \mathbb{Z}_{n}$-ben! + +Gazeta Matematică + +2. feladat (a) Számítsd ki: + +$$ +\int_{0}^{1} x \sin \left(\pi x^{2}\right) \mathrm{d} x +$$ + +(b) Számítsd ki: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} k \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \sin \left(\pi x^{2}\right) \mathrm{d} x +$$ + +3. feladat. Határozd meg azokat a folytonos és növekvő $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ függvényeket, amelyekre + +$$ +\int_{0}^{x+y} f(t) \mathrm{d} t \leq \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d} t +$$ + +bármely $x, y \in[0, \infty)$ esetén! + +4. feladat. Adottak az $m$ és $n$ természetes számok $(n \geq 2)$. Az $A$ gyürünek pontosan $n$ eleme van és $a$ egy olyan eleme $A$-nak, amelyre $1-a^{k}$ invertálható, bármely $k \in\{m+1, m+2, \ldots, m+n-1\}$ esetén. Igazold, hogy $a$ nilpontens (azaz létezik olyan nem nulla $p$ természetes szám, amelyre $\left.a^{p}=0\right)$. + +Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015 + +## CLASA a XII-a + +Problema 1. (a) Rezolvaţi ecuaţia $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}, x \in \mathbb{Z}_{7}$. + +(b) Determinaţi numerele naturale $n \geq 2$, pentru care ecuaţia $x^{2}-x+\hat{2}=\hat{0}$, $x \in \mathbb{Z}_{n}$, are soluţie unică. + +Gazeta Matematică + +Soluţie. (a) Cum 4 şi 7 sunt coprime, iar $\left(\mathbb{Z}_{7},+, \cdot\right)$ este corp, ecuaţia dată este echivalentă cu $\hat{4} x^{2}-\hat{4} x+\hat{1}=\hat{0}$, adică, $(\hat{2} x-\hat{1})^{2}=\hat{0}$, deci $\hat{2} x=\hat{1}$, de unde $x=\hat{4}$. + +2 puncte + +(b) Fie $n \geq 2$ un număr natural pentru care ecuaţia dată are soluţie unică şi fie $a \in \mathbb{Z}_{n}$ soluţia respectivă. Atunci $(\hat{1}-a)^{2}-(\hat{1}-a)+\hat{2}=a^{2}-a+\hat{2}=\hat{0}$, deci $\hat{1}-a$ este soluţie a ecuaţiei date. ................................... 3 puncte Prin urmare, $a=\hat{1}-a$, deci $\hat{2} a=\hat{1}$. În particular, $\hat{2}$ este inversabil în inelul $\mathbb{Z}_{n}$ şi $a=\hat{2}^{-1}$. Rezultă că $\hat{2}^{-2}-\hat{2}^{-1}+\hat{2}=\hat{0}$, de unde $\hat{1}-\hat{2}+\hat{8}=\hat{0}$, i.e., $\hat{7}=\hat{0}$. Prin urmare, $n$ este un divizor al lui 7 , deci $n=7$. ................. 2 puncte + +Problema 2. (a) Calculaţi + +$$ +\int_{0}^{1} x \sin \left(\pi x^{2}\right) \mathrm{d} x +$$ + +(b) Calculaţi + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} k \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \sin \left(\pi x^{2}\right) \mathrm{d} x +$$ + +Soluţie. (a) Făcând substituţia $t=\pi x^{2}$, integrala devine + +$$ +\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \sin t \mathrm{~d} t=\left.\frac{1}{2 \pi}(-\cos t)\right|_{0} ^{\pi}=\frac{1}{\pi} +$$ + +## 2 puncte + +(b) Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin \left(\pi x^{2}\right)$, si $F:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$. Atunci + +$$ +\begin{aligned} +\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} k \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(x) \mathrm{d} x & =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(k F\left(\frac{k+1}{n}\right)-k F\left(\frac{k}{n}\right)\right) \\ +& =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left((k+1) F\left(\frac{k+1}{n}\right)-k F\left(\frac{k}{n}\right)-F\left(\frac{k+1}{n}\right)\right) \\ +& =\frac{1}{n}\left(n F(1)-\sum_{k=1}^{n} F\left(\frac{k}{n}\right)\right)=F(1)-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} F\left(\frac{k}{n}\right) +\end{aligned} +$$ + +Limita cerută este + +$$ +F(1)-\int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} +$$ + +2 puncte + +Problema 3. Determinaţi funcţiile continue şi crescătoare $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, care îndeplinesc condiţia + +$$ +\int_{0}^{x+y} f(t) \mathrm{d} t \leq \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d} t +$$ + +oricare ar fi $x, y \in[0, \infty)$. + +Soluţie. Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu $\int_{x}^{x+y} f(t) \mathrm{d} t \leq \int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d} t$, de unde $\int_{0}^{y} f(t+x) \mathrm{d} t \leq \int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d} t$, oricare ar fi $x \geq 0$ şi $y \geq 0$. ... 2 puncte Cum $f(t+x) \geq f(t)$, oricare ar fi $t \in[0, y]$ şi oricare ar fi $x \geq 0$, rezultă că $\int_{0}^{y} f(t+x) \mathrm{d} t \geq \int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d} t$, deci $\int_{0}^{y} f(t+x) \mathrm{d} t=\int_{0}^{y} f(t) \mathrm{d} t$, oricare ar fi $x \geq 0$ sुi $y \geq 0$. + +2 puncte + +Din continuitatea lui $f$ deducem că $f(x+y)=f(y)$, oricare ar fi $x \geq 0$ şi oricare ar fi $y \geq 0$. In particular, $f(x)=f(0)$, oricare ar fi $x \geq 0$, deci $f$ este constantă. + +.2 puncte + +Evident, orice funcţie constantă verifică condiţiile din enunţ. + +1 punct + +Problema 4. Fie $m$ şi $n$ două numere naturale, $n \geq 2$, fie $A$ un inel care are exact $n$ elemente şi fie $a$ un element al lui $A$, astfel încât $1-a^{k}$ este inversabil, oricare ar fi $k \in\{m+1, m+2, \ldots, m+n-1\}$. Arătaţi că $a$ este nilpotent (i.e., există un număr natural nenul $p$, astfel încât $a^{p}=0$ ). + +Soluţie. Fie $k \in\{1,2, \ldots, n-1\}$. Există $p \in\{1,2, \ldots, n-1\}$, astfel încât $m+p$ este divizibil cu $k$, deci $m+p=k \ell$. Cum $1-a^{m+p}=\left(1-a^{k}\right)\left(1+a^{k}+\right.$ $\left.\cdots+a^{k(\ell-1)}\right)$ şi $1-a^{m+p} \in U(A)$, rezultă că $1-a^{k} \in U(A)$. ..... 2 puncte Din $1-a^{k}=(1-a)\left(1+a+\cdots+a^{k-1}\right), k=1,2, \ldots, n-1$, cu convenţia $a^{0}=1$, rezultă că $b_{k}=1+a+\cdots+a^{k-1} \in U(A), k=1,2, \ldots, n-1$. $\ldots 2$ puncte Dacă $b_{k}$-urile ar fi distincte două câte două, atunci $A$ ar fi corp, deci $a^{n-1}=1$ si $0=1-a^{n-1} \in U(A)-$ contradicţie. 1 punct Prin urmare, există $1 \leq p0$ esetén létezik $x \in[0,1]$ úgy, hogy $|f(x)-y|<\varepsilon$. + +a) Igazold, hogy ha $f$ folytonos a $[0,1]$ intervallumon, akkor $f$ szürjektív! + +b) Adj példát olyan $f$ függvényre, ami teljesíti a feladatbeli feltételt és nem szürjektív! + +2. feladat. Adottak az $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ mátrixok úgy, hogy $(A-B)^{2}=$ $\mathrm{O}_{2}$. + +a) Igazold, hogy $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. + +b) Bizonyítsd be, hogy $\operatorname{det}(A B-B A)$ akkor és csak akkor egyenlő 0 -val, ha $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)$. + +Gazeta Matematică + +3. feladat. Határozd meg az összes olyan $k \geq 1$ és $n \geq 2$ természetes számot, amelyre létezik $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ úgy, hogy $A^{3}=O_{n}$ és $A^{k} B+B A=I_{n}$. +4. feladat. Adott az $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ valós számsorozat, amelynek tagjai az $[1, \infty)$ halmazból vannak. Ha az $\left(y_{n}^{(k)}\right)_{n \geq 1}, y_{n}^{(k)}=\left[x_{n}^{k}\right], n \geq 1$, sorozat konvergens minden $k \in \mathbb{N}^{*}$ szám esetén, bizonyítsd be, hogy az $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ sorozat konvergens! ( $[a]$ az $a$ valós szám egészrészét jelöli.) + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 Martie 2015 + +## CLASA a XI-a
Soluţii şi bareme + +Problema 1. Fie $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ o funcţie cu proprietatea că pentru oricare $y \in[0,1]$ şi oricare $\varepsilon>0$ există $x \in[0,1]$ astfel încât $|f(x)-y|<\varepsilon$. + +a) Demonstraţi că dacă $f$ este continuă pe $[0,1]$ atunci $f$ este surjectivă. + +b) Daţi un exemplu de funcţie $f$ cu proprietatea din enunţ, care să nu fie surjectivă. + +Soluţie. + +a) Considerăm o funcţie continuă $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ având proprietatea din enunţ. Fie $y \in[0,1]$. Din ipoteză deducem că există un şir $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, \mathrm{cu}$ termenii în $[0,1]$, astfel încât $\left|f\left(x_{n}\right)-y\right|<1 / n, \forall n \geq 1$. (2 puncte) + +Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit, deci admite un subşir convergent $\left(x_{i_{n}}\right)_{n \geq 1}$, cu $x:=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{i_{n}} \in[0,1]$. (1 punct) + +Prin trecere la limită în inegalitatea $\left|f\left(x_{i_{n}}\right)-y\right|<1 / i_{n}, \forall n \geq 1$, obţinem (pe baza continuităţii lui $f$ în punctul $x)|f(x)-y| \leq 0$, deci $f(x)=y$. Rezultă că $f$ este surjectivă. (1 punct) + +b) Definim funcţia $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$, + +$$ +f(x)=\left\{\begin{array}{ll} +x, & x \in[0,1] \cap \mathbb{Q} \\ +0, & x \in[0,1] \backslash \mathbb{Q} +\end{array} . \quad \text { (2 puncte }\right) +$$ + +$f([0,1])=[0,1] \cap \mathbb{Q}$, deci $f$ nu este surjectivă. + +Avem $|f(y)-y|=0, \forall y \in[0,1] \cap \mathbb{Q}$. Pentru $y \in[0,1] \backslash \mathbb{Q}$ şi $\varepsilon>0$, există $x \in[0,1] \cap \mathbb{Q}$ astfel ca $|x-y|<\varepsilon$, sau $|f(x)-y|<\varepsilon$. (1 punct) + +Problema 2. Fie două matrice $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $(A-B)^{2}=O_{2}$. + +a) Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. + +b) Demonstraţi că $\operatorname{det}(A B-B A)=0$ dacă şi numai $\operatorname{dacă~} \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)$. Soluţie. +a) $\operatorname{Din}(A-B)^{2}=O_{2}$ obţinem $\operatorname{det}(A-B)=0$. (1 punct) + +De asemenea, deducem $\operatorname{Tr}(A-B)=0$, deci $\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(B)=: a$. (1 punct) Notăm $b=\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B)$. Conform relaţiei lui Cayley, avem + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +A^{2}-a A+\operatorname{det}(A) I_{2}=O_{2} \\ +B^{2}-a B+\operatorname{det}(B) I_{2}=O_{2} +\end{array}\right. +$$ + +de unde $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=\operatorname{det}\left(a(A-B)-b I_{2}\right)$. (1 punct) + +Dar $\operatorname{det}\left(a(A-B)-b I_{2}\right)=a^{2} \operatorname{det}(A-B)-a b \operatorname{Tr}(A-B)+b^{2}=b^{2}$. + +Rezultă $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. (1 punct) + +b) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funcţia definită prin + +$$ +f(x)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}+x(A B-B A)\right), x \in \mathbb{R} +$$ + +Funcţia $f$ se poate reprezenta sub forma + +$$ +f(x)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+c x+\operatorname{det}(A B-B A) x^{2}, x \in \mathbb{R} +$$ + +unde $c$ este o constantă reală. (1 punct) + +Din $f(1)=f(-1)=\operatorname{det}(A-B) \operatorname{det}(A+B)=0$ obţinem $c=0$ şi + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det}(A B-B A)=0 . \quad(1 \text { punct }) +$$ + +Atunci, conform a), $(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}=-\operatorname{det}(A B-B A)$, de unde concluzia. (1 punct) + +Problema 3. Determinaţi toate numerele naturale $k \geq 1$ şi $n \geq 2 \mathrm{cu}$ proprietatea că există $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ si $A^{k} B+B A=I_{n}$. + +Soluţie. Fie $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ şi $A^{k} B+B A=I_{n}$. + +Dacă $k \geq 3$, atunci $B A=I_{n}$ (deoarece $A^{k}=O_{n}$ ), deci $A$ este inversabilă, în contradicţie cu $A^{3}=O_{n}$. (1 punct) + +Dacă $k=2$ atunci din $A^{2} B+B A=I_{n}$, prin înmulţire la stânga cu $A$ si apoi la dreapta cu $A^{2}$, rezultă $A B A=A$ şi $A^{2} B A^{2}=A^{2}$. Scriind ultima egalitate sub forma $A(A B A) A=A^{2}$, obţinem $A^{3}=A^{2}$, deci $A^{2}=O_{n}$. Atunci $B A=I_{n}$, în contradicţie cu $A^{3}=O_{n}$. (1 punct) + +Prin urmare, dacă există $k$ şi $n$ ca în enunţ, atunci $k=1$. Din $\operatorname{Tr}(A B)=$ $\operatorname{Tr}(B A) \in \mathbb{Z}$ şi $A B+B A=I_{n}$ rezultă $2 \operatorname{Tr}(A B)=n$, deci $n$ este un număr natural par. (1 punct) + +Arătăm în continuare că, pentru orice număr natural par $n \geq 2$, există $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ si $A B+B A=I_{n}$. + +Pentru $n=2$, putem alege matricele $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ §i $B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, care satisfac condiţiile $A B+B A=I_{2}$ şi $A^{2}=B^{2}=O_{2}$. (2 puncte) + +Pentru $n=2 k$, cu $k \geq 2$, matricele bloc diagonale $A$ şi $B$, de dimensiune $2 k$, care au pe diagonala principală $k$ matrice $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ şi respectiv $k$ matrice $\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, iar restul coeficienţilor nuli, satisfac relaţiile $A B+B A=I_{n}$ şi $A^{2}=B^{2}=O_{n}$. (2 puncte) + +Problema 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale din intervalul $[1, \infty)$. Presupunem că şirul $\left(y_{n}^{(k)}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $y_{n}^{(k)}=\left[x_{n}^{k}\right], n \geq 1$, este convergent pentru oricare $k \in \overline{\mathbb{N}}^{*}$. Să se demonstreze că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. (Prin $[a]$ se notează partea întreagă a numărului real a.) + +Solutie. Pentru $k \in \mathbb{N}^{*},\left(y_{n}^{(k)}\right)_{n \geq 1}$ este un şir convergent de numere naturale nenule. Atunci există $n_{k}, a_{k} \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $y_{n}^{(k)}=a_{k}, \forall n \geq n_{k}$. $\mathrm{Ca}$ urmare, $x_{n}^{k} \in\left[a_{k}, a_{k}+1\right), \forall n \geq n_{k}$. (2 puncte) + +În particular, $x_{n} \in\left[a_{1}, a_{1}+1\right), \forall n \geq n_{1}$. Rezultă că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit. (1 punct) + +Presupunem, prin reducere la absurd, că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ admite două puncte +limită $a$ şi $b$, cu $1 \leq a Bucureşti, 17 mai 2018 + +Problema 1. Fie $p$ un număr prim mai mare ca 5 şi $S=\left\{p-n^{2} \mid n \in \mathbb{N}, n^{2}1$ ), deci $m^{2}+12$. + +a) Arătaţi că pentru orice numere pozitive $x, y$ şi $z$ are loc inegalitatea + +$$ +\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}>2 \sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x y+y z+z x}} +$$ + +b) Demonstraţi că există numere pozitive $x, y$ şi $z$ pentru care + +$$ +\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}2 \sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x y+y z+z x}} \Leftrightarrow$ + +$x+y+z+\sqrt{x^{2}+x y+y z+z x}+\sqrt{y^{2}+x y+y z+z x}+\sqrt{z^{2}+x y+y z+z x}>$ + +$2 \cdot \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x y+y z+z x}$. Dar + +$\sqrt{x^{2}+x y+y z+z x}>x, \sqrt{y^{2}+x y+y z+z x}>y$ ş $\sqrt{z^{2}+x y+y z+z x}>z$, de unde $x+y+z+\sqrt{x^{2}+x y+y z+z x}+\sqrt{y^{2}+x y+y z+z x}+$ $\sqrt{z^{2}+x y+y z+z x}>2(x+y+z)$. Este suficient să arătăm că + +$$ +x+y+z \geq \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x y+y z+z x} +$$ + +adică + +$$ +(x+y+z)(x y+y z+z x) \geq(x+y)(y+z)(z+x) +$$ + +Efectuând calculele se ajunge la $x y z \geq 0$, ceea ce este evident adevărat. + +b) Fie $z=1$. Căutăm $x, y>0$ cu $y=x$ astfel încât + +$$ +\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}0$, condiţia de mai sus este îndeplinită de orice $x>0$ dacă $t \geq 2$, iar dacă $t<2$ ea revine la $x<\frac{t}{2-t}$. Deoarece $\frac{t}{2-t}>0$, există numere $x, y, z$ care satisfac condiţiile din enunţ. + +Problema 3. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic în care $A Ba_{2}>\ldots>a_{99}$ §ु $b_{1}0 \text { esetén. } +$$ + +Bizonyítsd be, hogy + +$$ +f(x y)=f(x) f(y) \text { és } f(x+y)=f(x)+f(y) +$$ + +bármely $x, y>0$ esetén. + +Munkaidö 4 óra. + +Minden feladatra 7 pont szerezhetö. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
CLASA a X-a
Soluţii şi barem de notare + +Problema 1. Să se arate că pentru orice $n \geq 2$ natural, are loc inegalitatea + +$$ +\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt[k]{(2 k)!}} \geq \frac{n-1}{2 n+2} +$$ + +Soluţie. Demonstrăm inegalitatea prin inducţie. În cazul $n=2$ avem egalitate + +. Gazeta Matematică + +Să observăm că, la pasul de inducţie, în trecerea de la $n-1$ la $n$, membrul drept creşte cu + +$$ +\frac{n-1}{2 n+2}-\frac{n-2}{2 n}=\frac{1}{n(n+1)} +$$ + +deci e suficient să demonstrăm că + +$$ +\frac{1}{\sqrt[n]{(2 n)!}} \geq \frac{1}{n(n+1)} +$$ + +ceea ce rezultă imediat prin înmulţirea inegalităţilor + +$$ +k(2 n-k+1) \leq n(n+1) +$$ + +pentru $k=1,2, \ldots, n$ + +Problema 2. Să se determine numerele întregi $x, y$, pentru care + +$$ +5^{x}-\log _{2}(y+3)=3^{y} \text { şi } 5^{y}-\log _{2}(x+3)=3^{x} +$$ + +Soluţie. Scăzând egalităţile, se obţine + +$$ +5^{x}+3^{x}+\log _{2}(x+3)=5^{y}+3^{y}+\log _{2}(y+3) +$$ + +Cum funcţia $f(t)=5^{t}+3^{t}+\log _{2}(t+3)$ este strict crescătoare, rezultă $x=y$. + +Pentru rezolvarea în $Z$ a ecuaţiei + +$$ +5^{x}=3^{x}+\log _{2}(x+3) +$$ + +se observă că $x \in\{-2,-1,0\}$ nu verifică, iar $x=1$ este soluţie. + +Pentru $x \geq 2$, se arată că + +$$ +5^{x} \geq 3^{x}+4^{x} +$$ + +folosind monotonia funcţiei $g(t)=\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$ + +iar apoi se demonstrează prin inducţie matematică inegalitatea + +$$ +4^{x}>\log _{2}(x+3) +$$ + +Problema 3. Să se determine numerele complexe $z$ pentru care are loc relaţia + +$$ +|z|+|z-5 i|=|z-2 i|+|z-3 i| +$$ + +Soluţie. Avem + +$$ +|z-2 i|=\left|\frac{2}{5}(z-5 i)+\frac{3}{5} z\right| \leq \frac{2}{5}|z-5 i|+\frac{3}{5}|z| +$$ + +Analog + +$$ +|z-3 i|=\left|\frac{3}{5}(z-5 i)+\frac{2}{5} z\right| \leq \frac{3}{5}|z-5 i|+\frac{2}{5}|z| +$$ + +de unde + +$$ +|z|+|z-5 i| \geq|z-2 i|+|z-3 i| +$$ + +Egalitatea are loc atunci când există $\lambda \geq 0$ astfel ca $z-5 i=\lambda z$, de unde deducem că $z=a i$, cu $a \in(-\infty, 0] \cup[5,+\infty)$. $(3 \mathrm{p})$ + +Problema 4. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie neconstantă care are proprietatea + +$$ +f\left(x^{y}\right)=(f(x))^{f(y)} +$$ + +pentru orice $x, y>0$. Să se arate că + +$$ +f(x y)=f(x) f(y) \text { sु } f(x+y)=f(x)+f(y) +$$ + +pentru orice $x, y>0$. + +Soluţie. Fie $a>0$ astfel ca $f(a) \neq 1$. Avem, pentru $x, y$ arbitrari, + +$$ +f\left(a^{x y}\right)=f(a)^{f(x y)} +$$ + +dar + +$$ +f\left(a^{x y}\right)=f\left(\left(a^{x}\right)^{y}\right)=f\left(a^{x}\right)^{f(y)}=\left(f(a)^{f(x)}\right)^{f(y)}=f(a)^{f(x) f(y)} +$$ + +de unde $f(x y)=f(x) f(y)$ + +Apoi + +$$ +f\left(a^{x+y}\right)=f(a)^{f(x+y)} +$$ + +dar + +$$ +f\left(a^{x+y}\right)=f\left(a^{x} a^{y}\right)=f\left(a^{x}\right) f\left(a^{y}\right)=f(a)^{f(x)} f(a)^{f(y)}=f(a)^{f(x)+f(y)} +$$ + +deci $f(x+y)=f(x)+f(y)$ + +Observaţie. Se poate arăta că singura funcţie neconstantă care verifică condiţia din enunţ este identitatea. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-441-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-441-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d72d7d026c6c2d23f38dbc2496d4400eeef52b6d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-441-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,128 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_12110a3e25efa51e3115g-1.jpg?height=271&width=254&top_left_y=298&top_left_x=510) + +Ministerul Educaţiei şi Cercetării Stiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI SI CERCETÃRII \$TIINȚIFIICE + +# Matematika tantárgyverseny + + Megyei szakasz, 2015. március 14.VIII. OSZTÁLY + +1. feladat. Igazold, hogy ha $a, b, c$ egy háromszög oldalainak hosszai, akkor: + +$$ +\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a-b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}} \geq 3 +$$ + +2. feladat. Minden $a$ természetes szám esetén értelmezzük a következő halmazt: + +$$ +A_{a}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \sqrt{n^{2}+a n} \in \mathbb{N}\right\} +$$ + +a) Igazold, hogy az $A_{a}$ halmaz akkor és csak akkor véges, ha $a \neq 0$. + +b) Határozd meg az $A_{40}$ halmaz legnagyobb elemét! + +3. feladat. Határozd meg az + +$$ +M=\left\{(x, y) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2016}}\right.\right\} +$$ + +halmaz elemeinek számát! + +4. feladat. Adott az $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ téglatest és $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{O\}$. A $[B C]$ élen felvesszük az $N$ pontot úgy, hogy $A C^{\prime} \|\left(B^{\prime} A N\right)$. Ha tudjuk, hogy $D^{\prime} O \perp\left(B^{\prime} A N\right)$, bizonyítsd be, hogy $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ kocka! + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_12110a3e25efa51e3115g-2.jpg?height=265&width=266&top_left_y=125&top_left_x=385) + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VIII-a + +Problema 1. Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătaţi că are loc inegalitatea: + +$$ +\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a-b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}} \geq 3 +$$ + +## Soluţie + +Deoarece $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, numerele $-a+b+c, a-b+c$ şi $a+b-c$ sunt strict pozitive. Aplicând inegalitatea dintre media geometrică şi media armonică avem + +$$ +\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}}=\sqrt{1 \cdot \frac{a}{-a+b+c}} \geq \frac{2}{1+\frac{a}{-a+b+c}}=\frac{2 a}{b+c} +$$ + +şi analoagele + +Este suficient să demonstrăm că $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$. + +Notând $b+c=x, a+c=y, b+c=z$, obţinem $a=\frac{-x+y+z}{2}, b=\frac{x-y+z}{2}$ si $c=\frac{x+y-z}{2}$, iar inegalitatea de demonstrat se scrie echivalent: + +$$ +\frac{-x+y+z}{2 x}+\frac{x-y+z}{2 y}+\frac{x+y-z}{2 z} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1 \geq 3 +$$ + +care este adevărată, deoarece $u+\frac{1}{u} \geq 2$, pentru orice $u>0$ + +Problema 2. Pentru orice număr natural $a$ definim mulţimea + +$$ +A_{a}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \sqrt{n^{2}+a n} \in \mathbb{N}\right\} +$$ + +a) Arătaţi că mulţimea $A_{a}$ este finită dacă şi numai dacă $a \neq 0$. + +b) Determinaţi cel mai mare element al mulţimii $A_{40}$. + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +a) Dacă $a=0$ atunci $A=\mathbb{N}$, care este infinită + +Dacă $a \neq 0$ atunci există $p \in \mathbb{N}$ astfel încât $n^{2}+a n=p^{2}$ $1 p$ + +Obţinem $4 n^{2}+4 a n+a^{2}=4 p^{2}+a^{2}$, de unde $(2 n+a-2 p)(2 n+a+2 p)=a^{2}$ + +Ca urmare, $2 n+a+2 p$ este divizor al lui $a^{2}$ (care este nenul), deci $2 n<2 n+a+2 p \leq a^{2}$, de unde rezultă că $n$ poate lua un număr finit de valori, adică $A$ este finită + +b) Trebuie să găsim cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n^{2}+40 n$ este pătrat perfect. Fie $p \in \mathbb{N}$ astfel încât $p^{2}=n^{2}+40 n$. + +Obţinem $p^{2}+400=(n+20)^{2}$, de unde $(n+20-p)(n+20+p)=400$. Numerele $p-n-20$ şi $p+n+20$ au aceeaşi paritate, deci vor fi pare. Avem $2 \cdot 200=4 \cdot 100=8 \cdot 50=400$, de unde $n \in\{81,32,9\}$. Elementul căutat este 81 . + +Problema 3. Determinaţi numărul de elemente ale mulţimii + +$$ +M=\left\{(x, y) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2016}}\right.\right\} +$$ + +Soluţie Fie $(x, y) \in M$. Cum $\sqrt{2016}=12 \sqrt{14}$, avem + +$$ +\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{12 \sqrt{14}} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{14 x}}-\frac{1}{\sqrt{14 y}}=\frac{1}{2016} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{14 x}}=\frac{1}{\sqrt{14 y}}+\frac{1}{2016} +$$ + +Prin ridicare la pătrat obţinem $\frac{1}{14 x}=\frac{1}{14 y}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{1008 \sqrt{14 y}}$, de unde $\sqrt{14 y} \in \mathbb{Q}$ şi, ca urmare $\sqrt{14 x} \in \mathbb{Q}$. + +Atunci există numerele naturale nenule $a, b$ pentru care $x=14 a$ şi $y=14 b$. + +Înlocuind în relaţia $\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{12 \sqrt{14}}$, obţinem $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{12}$, de unde $a=\frac{12 b}{b+12}$. + +Din $\frac{12 b}{b+12} \in \mathbb{N}$ rezultă $b+12 \mid 144$, deci $b \in\{4,6,12,24,36,60,132\}$, de unde $a \in\{3,4,6,8,9,10,11\}$. + +În concluzie, mulţimea $M$ admite 7 elemente. + +Problema 4. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un paralelipiped dreptunghic şi $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{O\}$. Pe muchia $[B C]$ se consideră un punct $N$ astfel încât $A^{\prime} C \|\left(B^{\prime} A N\right)$. Sुtiind că $D^{\prime} O \perp\left(B^{\prime} A N\right)$ demonstraţi că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. + +## Soluţie + +Din $D^{\prime} A^{\prime} \perp\left(A B B^{\prime}\right)$ şi $D^{\prime} O \perp A B^{\prime}$ obţinem $A^{\prime} O \perp A B^{\prime}$, deci $A B B^{\prime} A^{\prime}$ este pătrat. + +Apoi $A^{\prime} C \|\left(A N B^{\prime}\right)$ şi $\left(A N B^{\prime}\right) \cap\left(A^{\prime} B C\right)=O N$, deci $A^{\prime} C \| O N$. Cum $O$ este mijlocul segmentului $\left[A^{\prime} B\right]$ atunci $N$ este mijlocul segmentului $[B C]$ + +În dreptunghiul $A^{\prime} B C D^{\prime}$, avem $m\left(\Varangle D^{\prime} O N\right)=90^{\circ}$, de unde $\Delta D^{\prime} A^{\prime} O \sim \triangle O B N$. Atunci $\frac{D^{\prime} A^{\prime}}{A^{\prime} O}=\frac{O B}{O N}$, ceea ce conduce la $\frac{A^{\prime} B^{2}}{4}=\frac{A^{\prime} D^{\prime 2}}{2}$, deci $A^{\prime} B=A^{\prime} D \sqrt{2}$. Obţinem $A^{\prime} D=A^{\prime} A$, deci $A A^{\prime} D^{\prime} D$ este pătrat. + +Concluzia se obţine remarcând că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipided dreptunghic cu toate feţele laterale pătrate, deci este cub. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-442-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-442-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1831c858c201ce1d49f251b5305108898c6cbde --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-442-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,98 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +Ministerul Educaţiei şi Cercetării Ştiinţifice + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2236ad632670e66ba621g-1.jpg?height=268&width=266&top_left_y=300&top_left_x=496) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2015. március 14.
VII. OSZTÁLY + +1. feladat. a) Igazold, hogy az + +$$ +a=\sqrt{9-\sqrt{77}} \cdot \sqrt{2} \cdot(\sqrt{11}-\sqrt{7}) \cdot(9+\sqrt{77}) +$$ + +szám természetes szám! + +b) Adottak az $x$ és $y$ valós számok úgy, hogy $x y=6$. Igazold, hogy ha $x>2$ és $y>2$, akkor $x+y<5$. + +Gazeta Matematică + +2. feladat. a) Igazold, hogy ha léteznek a $p$ és $q$ természetes számok úgy, hogy $\sqrt{2 p-q}$ és $\sqrt{2 p+q}$ természetes számok, akkor $q$ páros! + +b) Hány olyan $p$ természetes szám van, amelyre $\sqrt{2 p-4030}$ és $\sqrt{2 p+4030}$ is természetes szám? + +3. feladat. Az $A B C$ háromszögben $M$ az $[A C]$ oldal felezőpontja és $N \in$ $(A M)$. Az $N$ ponton át az $A B$ egyenessel húzott párhuzamos a $B M$ egyenest a $P$ pontban metszi, az $M$ ponton át a $B C$ egyenessel húzott párhuzamos a $B N$ egyenest a $Q$ pontban metszi, az $N$ ponton át az $A Q$ egyenessel húzott párhuzamos a $B C$ egyenest az $S$ pontban metszi. + +Bizonyítsd be, hogy a $P S$ és $A C$ egyenesek párhuzamosak! + +4. feladat. Az $A B C D$ négyzet $[A B]$ oldalára kívül megszerkesztjük az s $A B E$ egyenlő szárú háromszöget úgy, hogy $m(A B E \Varangle)=120^{\circ}$. A $B$ pontból az $E A B$ szög szögfelezőjére húzott merőleges talppontja $M$, az $M$ pontból az $A B$ egyenesre húzott merőleges talppontja $N$, a $C N$ és $M B$ egyenesek metszéspontja $P$. Az $A B E$ háromszög súlypontja $G$. + +Bizonyítsd be, hogy a $P G$ és $A E$ egyenesek párhuzamosak! + +Munkaidő 4 óra. + +Minden feladatra 7 pont szerezhetö. + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. a) Arătaţi că numărul $a=\sqrt{9-\sqrt{77}} \cdot \sqrt{2} \cdot(\sqrt{11}-\sqrt{7}) \cdot(9+\sqrt{77})$ este natural. + +b) Se consideră numerele reale $x$ i̧s $y$ astfel încât $x y=6$. Dacă $x>2$ §ुi $y>2$, arătaţi că $x+y<5$. + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2236ad632670e66ba621g-2.jpg?height=55&width=1735&top_left_y=905&top_left_x=306) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2236ad632670e66ba621g-2.jpg?height=60&width=1727&top_left_y=954&top_left_x=313) + +Ca urmare, $a=(\sqrt{11}-\sqrt{7})^{2} \cdot(9+\sqrt{77})=(18-2 \sqrt{77})(9+\sqrt{77})=8 \in \mathbb{N} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2236ad632670e66ba621g-2.jpg?height=52&width=1730&top_left_y=1069&top_left_x=314) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2236ad632670e66ba621g-2.jpg?height=87&width=1740&top_left_y=1106&top_left_x=304) + +Problema 2. a) Arătaţi că dacă există două numere naturale $p$ şi $q$ astfel încât $\sqrt{2 p-q}$ şi $\sqrt{2 p+q}$ sunt numere naturale, atunci $q$ este par. + +b) Determinaţi câte numere naturale $p$ au proprietatea că $\sqrt{2 p-4030}$ şi $\sqrt{2 p+4030}$ sunt simultan numere naturale. + +## Soluţie + +a) Din ipoteză, există numerele naturale $k$ şi $r$ astfel încât $2 p-q=k^{2}, 2 p+q=r^{2}$; atunci $r^{2}-k^{2}=2 q \ldots \mathbf{1 p}$ Atunci $(r-k)(r+k)=2 q$, iar concluzia se obţine din faptul că $r-k$ şi $r+k$ au aceeaşi paritate .......... $\mathbf{2 p}$ + +b) Notând ca mai sus, avem $(r-k)(r+k)=2 \cdot 4030=2^{2} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 31 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ 1p + +Cum $r-k$ şi $r+k$ au aceeaşi paritate, iar $r-k45000$, rezultă că $\overline{a a b c d} \in\left\{210^{2}, 211^{2}, 212^{2}\right\}$. + +Cum $210^{2}=44100 \mathrm{nu}$ are răsturnatul de 5 cifre, $211^{2}=44521$ şi $12544=112^{2}, 212^{2}=44944$, numerele căutate sunt 44521 şi 44944 + +Problema 4. Determinaţi numerele naturale nenule $A$ şi $B$, care au acelaşi număr de cifre, ştiind că + +$$ +2 \cdot A \cdot B=\overline{A B} +$$ + +unde $\overline{A B}$ este numărul obţinut prin scrierea cifrelor lui $B$ după cifrele lui $A$. + +Soluţie Fie $n$ numărul de cifre ale lui $A$ şi $B$. Din relaţia din enunţ avem $(2 A-1) B=10^{n} A$, de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_62a845fad6461c08a919g-3.jpg?height=57&width=1797&top_left_y=1554&top_left_x=175) + +$\operatorname{Cum}(2 A-1, A)=1$ şi $(2,2 A-1)=1$, rezultă $2 A-1 \mid 5^{n}$, deci $2 A-1 \leq 5^{n} \ldots \ldots \ldots .$. . 2 p + +Deoarece $A$ are $n$ cifre, rezultă $A \geq 10^{n-1}$, deci $2 \cdot 10^{n-1}-1 \leq 2 A-1 \leq 5^{n}$. Obţinem + +$$ +2 \cdot 2^{n-1} \cdot 5^{n-1} \leq 5 \cdot 5^{n-1}+1 \leq 6 \cdot 5^{n-1} +$$ + +deci $2^{n} \leq 6$, de unde $n \in\{1,2\}$... + +Pentru $n=1$, din $2 A-1 \mid 5$, rezultă $2 A-1 \in\{1,5\}$, deci $A \in\{1,3\}$. Dacă $A=1$, avem $B=10$, care nu convine, deoarece $B$ are o cifră. Dacă $A=3$, avem $B=6 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$............................ + +Pentru $n=2$, din $2 A-1 \mid 25$, rezultă $2 A-1 \in\{1,5,25\}$, deci $A \in\{1,3,13\}$; dar $A$ are două cifre, deci $A=13$ şi $25 B=1300$, deci $B=52$. $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-444-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-444-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bbdee74aac0be905d157be6dc289e680588d6dd1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-444-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,136 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_33eae51260d593732c18g-1.jpg?height=270&width=254&top_left_y=298&top_left_x=510) + +# Matematika tantárgyverseny Megyei szakasz, 2015. március 14. V. OSZTÁLY + +1. feladat. Határozd meg az összes olyan $\overline{a b}$ kétjegyü természetes számot, amelyre $a Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi toate numerele naturale de două cifre $\overline{a b}$, cu $a0$ există $x \in[0,1]$ astfel încât $|f(x)-y|<\varepsilon$. a) Demonstraţi că dacă $f$ este continuă pe $[0,1]$ atunci $f$ este surjectivă. + +b) Daţi un exemplu de funcţie $f$ cu proprietatea din enunţ, care să nu fie surjectivă. + +Problema 2. Fie două matrice $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $(A-B)^{2}=O_{2}$. a) Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. + +b) Demonstraţi că $\operatorname{det}(A B-B A)=0$ dacă şi numai $\operatorname{dacă~} \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)$. Gazeta Matematică + +Problema 3. Determinaţi toate numerele naturale $k \geq 1$ si $n \geq 2 \mathrm{cu}$ proprietatea că există $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ si $A^{k} B+B A=I_{n}$. + +Problema 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n>1}$ un şir de numere reale din intervalul $[1, \infty)$. Presupunem că şirul $\left(y_{n}^{(k)}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $y_{n}^{(k)}=\left[x_{n}^{k}\right], n \geq 1$, este convergent pentru oricare $k \in \overline{\mathbb{N}}^{*}$. Să se demonstreze că şirul $\left(x_{n}\right)_{n>1}$ este convergent. (Prin $[a]$ se notează partea întreagă a numărului real $a$.) + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 Martie 2015 + +## CLASA a XI-a
Soluţii şi bareme + +Problema 1. Fie $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ o funcţie cu proprietatea că pentru oricare $y \in[0,1]$ şi oricare $\varepsilon>0$ există $x \in[0,1]$ astfel încât $|f(x)-y|<\varepsilon$. + +a) Demonstraţi că dacă $f$ este continuă pe $[0,1]$ atunci $f$ este surjectivă. + +b) Daţi un exemplu de funcţie $f$ cu proprietatea din enunţ, care să nu fie surjectivă. + +Soluţie. + +a) Considerăm o funcţie continuă $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ având proprietatea din enunţ. Fie $y \in[0,1]$. Din ipoteză deducem că există un şir $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, \mathrm{cu}$ termenii în $[0,1]$, astfel încât $\left|f\left(x_{n}\right)-y\right|<1 / n, \forall n \geq 1$. (2 puncte) + +Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit, deci admite un subşir convergent $\left(x_{i_{n}}\right)_{n \geq 1}$, cu $x:=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{i_{n}} \in[0,1]$. (1 punct) + +Prin trecere la limită în inegalitatea $\left|f\left(x_{i_{n}}\right)-y\right|<1 / i_{n}, \forall n \geq 1$, obţinem (pe baza continuităţii lui $f$ în punctul $x)|f(x)-y| \leq 0$, deci $f(x)=y$. Rezultă că $f$ este surjectivă. (1 punct) + +b) Definim funcţia $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$, + +$$ +f(x)=\left\{\begin{array}{ll} +x, & x \in[0,1] \cap \mathbb{Q} \\ +0, & x \in[0,1] \backslash \mathbb{Q} +\end{array} . \quad \text { (2 puncte }\right) +$$ + +$f([0,1])=[0,1] \cap \mathbb{Q}$, deci $f$ nu este surjectivă. + +Avem $|f(y)-y|=0, \forall y \in[0,1] \cap \mathbb{Q}$. Pentru $y \in[0,1] \backslash \mathbb{Q}$ şi $\varepsilon>0$, există $x \in[0,1] \cap \mathbb{Q}$ astfel ca $|x-y|<\varepsilon$, sau $|f(x)-y|<\varepsilon$. (1 punct) + +Problema 2. Fie două matrice $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $(A-B)^{2}=O_{2}$. + +a) Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. + +b) Demonstraţi că $\operatorname{det}(A B-B A)=0$ dacă şi numai $\operatorname{dacă~} \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)$. Soluţie. +a) $\operatorname{Din}(A-B)^{2}=O_{2}$ obţinem $\operatorname{det}(A-B)=0$. (1 punct) + +De asemenea, deducem $\operatorname{Tr}(A-B)=0$, deci $\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(B)=: a$. (1 punct) Notăm $b=\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B)$. Conform relaţiei lui Cayley, avem + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +A^{2}-a A+\operatorname{det}(A) I_{2}=O_{2} \\ +B^{2}-a B+\operatorname{det}(B) I_{2}=O_{2} +\end{array}\right. +$$ + +de unde $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=\operatorname{det}\left(a(A-B)-b I_{2}\right)$. (1 punct) + +Dar $\operatorname{det}\left(a(A-B)-b I_{2}\right)=a^{2} \operatorname{det}(A-B)-a b \operatorname{Tr}(A-B)+b^{2}=b^{2}$. + +Rezultă $\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)=(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}$. (1 punct) + +b) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funcţia definită prin + +$$ +f(x)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}+x(A B-B A)\right), x \in \mathbb{R} +$$ + +Funcţia $f$ se poate reprezenta sub forma + +$$ +f(x)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+c x+\operatorname{det}(A B-B A) x^{2}, x \in \mathbb{R} +$$ + +unde $c$ este o constantă reală. (1 punct) + +Din $f(1)=f(-1)=\operatorname{det}(A-B) \operatorname{det}(A+B)=0$ obţinem $c=0$ şi + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det}(A B-B A)=0 . \quad(1 \text { punct }) +$$ + +Atunci, conform a), $(\operatorname{det}(A)-\operatorname{det}(B))^{2}=-\operatorname{det}(A B-B A)$, de unde concluzia. (1 punct) + +Problema 3. Determinaţi toate numerele naturale $k \geq 1$ şi $n \geq 2 \mathrm{cu}$ proprietatea că există $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ si $A^{k} B+B A=I_{n}$. + +Soluţie. Fie $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ şi $A^{k} B+B A=I_{n}$. + +Dacă $k \geq 3$, atunci $B A=I_{n}$ (deoarece $A^{k}=O_{n}$ ), deci $A$ este inversabilă, în contradicţie cu $A^{3}=O_{n}$. (1 punct) + +Dacă $k=2$ atunci din $A^{2} B+B A=I_{n}$, prin înmulţire la stânga cu $A$ si apoi la dreapta cu $A^{2}$, rezultă $A B A=A$ şi $A^{2} B A^{2}=A^{2}$. Scriind ultima egalitate sub forma $A(A B A) A=A^{2}$, obţinem $A^{3}=A^{2}$, deci $A^{2}=O_{n}$. Atunci $B A=I_{n}$, în contradicţie cu $A^{3}=O_{n}$. (1 punct) + +Prin urmare, dacă există $k$ şi $n$ ca în enunţ, atunci $k=1$. Din $\operatorname{Tr}(A B)=$ $\operatorname{Tr}(B A) \in \mathbb{Z}$ şi $A B+B A=I_{n}$ rezultă $2 \operatorname{Tr}(A B)=n$, deci $n$ este un număr natural par. (1 punct) + +Arătăm în continuare că, pentru orice număr natural par $n \geq 2$, există $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ astfel încât $A^{3}=O_{n}$ si $A B+B A=I_{n}$. + +Pentru $n=2$, putem alege matricele $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ §i $B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, care satisfac condiţiile $A B+B A=I_{2}$ şi $A^{2}=B^{2}=O_{2}$. (2 puncte) + +Pentru $n=2 k$, cu $k \geq 2$, matricele bloc diagonale $A$ şi $B$, de dimensiune $2 k$, care au pe diagonala principală $k$ matrice $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ şi respectiv $k$ matrice $\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, iar restul coeficienţilor nuli, satisfac relaţiile $A B+B A=I_{n}$ şi $A^{2}=B^{2}=O_{n}$. (2 puncte) + +Problema 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale din intervalul $[1, \infty)$. Presupunem că şirul $\left(y_{n}^{(k)}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $y_{n}^{(k)}=\left[x_{n}^{k}\right], n \geq 1$, este convergent pentru oricare $k \in \overline{\mathbb{N}}^{*}$. Să se demonstreze că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. (Prin $[a]$ se notează partea întreagă a numărului real a.) + +Solutie. Pentru $k \in \mathbb{N}^{*},\left(y_{n}^{(k)}\right)_{n \geq 1}$ este un şir convergent de numere naturale nenule. Atunci există $n_{k}, a_{k} \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $y_{n}^{(k)}=a_{k}, \forall n \geq n_{k}$. $\mathrm{Ca}$ urmare, $x_{n}^{k} \in\left[a_{k}, a_{k}+1\right), \forall n \geq n_{k}$. (2 puncte) + +În particular, $x_{n} \in\left[a_{1}, a_{1}+1\right), \forall n \geq n_{1}$. Rezultă că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit. (1 punct) + +Presupunem, prin reducere la absurd, că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ admite două puncte +limită $a$ şi $b$, cu $1 \leq a0$. Să se arate că + +$$ +f(x y)=f(x) f(y) \text { si } f(x+y)=f(x)+f(y) +$$ + +pentru orice $x, y>0$. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
CLASA a X-a
Soluţii şi barem de notare + +Problema 1. Să se arate că pentru orice $n \geq 2$ natural, are loc inegalitatea + +$$ +\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt[k]{(2 k)!}} \geq \frac{n-1}{2 n+2} +$$ + +Soluţie. Demonstrăm inegalitatea prin inducţie. În cazul $n=2$ avem egalitate + +. Gazeta Matematică + +Să observăm că, la pasul de inducţie, în trecerea de la $n-1$ la $n$, membrul drept creşte cu + +$$ +\frac{n-1}{2 n+2}-\frac{n-2}{2 n}=\frac{1}{n(n+1)} +$$ + +deci e suficient să demonstrăm că + +$$ +\frac{1}{\sqrt[n]{(2 n)!}} \geq \frac{1}{n(n+1)} +$$ + +ceea ce rezultă imediat prin înmulţirea inegalităţilor + +$$ +k(2 n-k+1) \leq n(n+1) +$$ + +pentru $k=1,2, \ldots, n$ + +Problema 2. Să se determine numerele întregi $x, y$, pentru care + +$$ +5^{x}-\log _{2}(y+3)=3^{y} \text { şi } 5^{y}-\log _{2}(x+3)=3^{x} +$$ + +Soluţie. Scăzând egalităţile, se obţine + +$$ +5^{x}+3^{x}+\log _{2}(x+3)=5^{y}+3^{y}+\log _{2}(y+3) +$$ + +Cum funcţia $f(t)=5^{t}+3^{t}+\log _{2}(t+3)$ este strict crescătoare, rezultă $x=y$. + +Pentru rezolvarea în $Z$ a ecuaţiei + +$$ +5^{x}=3^{x}+\log _{2}(x+3) +$$ + +se observă că $x \in\{-2,-1,0\}$ nu verifică, iar $x=1$ este soluţie. + +Pentru $x \geq 2$, se arată că + +$$ +5^{x} \geq 3^{x}+4^{x} +$$ + +folosind monotonia funcţiei $g(t)=\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$ + +iar apoi se demonstrează prin inducţie matematică inegalitatea + +$$ +4^{x}>\log _{2}(x+3) +$$ + +Problema 3. Să se determine numerele complexe $z$ pentru care are loc relaţia + +$$ +|z|+|z-5 i|=|z-2 i|+|z-3 i| +$$ + +Soluţie. Avem + +$$ +|z-2 i|=\left|\frac{2}{5}(z-5 i)+\frac{3}{5} z\right| \leq \frac{2}{5}|z-5 i|+\frac{3}{5}|z| +$$ + +Analog + +$$ +|z-3 i|=\left|\frac{3}{5}(z-5 i)+\frac{2}{5} z\right| \leq \frac{3}{5}|z-5 i|+\frac{2}{5}|z| +$$ + +de unde + +$$ +|z|+|z-5 i| \geq|z-2 i|+|z-3 i| +$$ + +Egalitatea are loc atunci când există $\lambda \geq 0$ astfel ca $z-5 i=\lambda z$, de unde deducem că $z=a i$, cu $a \in(-\infty, 0] \cup[5,+\infty)$. $(3 \mathrm{p})$ + +Problema 4. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie neconstantă care are proprietatea + +$$ +f\left(x^{y}\right)=(f(x))^{f(y)} +$$ + +pentru orice $x, y>0$. Să se arate că + +$$ +f(x y)=f(x) f(y) \text { sुi } f(x+y)=f(x)+f(y) +$$ + +pentru orice $x, y>0$. + +Soluţie. Fie $a>0$ astfel ca $f(a) \neq 1$. Avem, pentru $x, y$ arbitrari, + +$$ +f\left(a^{x y}\right)=f(a)^{f(x y)} +$$ + +dar + +$$ +f\left(a^{x y}\right)=f\left(\left(a^{x}\right)^{y}\right)=f\left(a^{x}\right)^{f(y)}=\left(f(a)^{f(x)}\right)^{f(y)}=f(a)^{f(x) f(y)} +$$ + +de unde $f(x y)=f(x) f(y)$ + +Apoi + +$$ +f\left(a^{x+y}\right)=f(a)^{f(x+y)} +$$ + +dar + +$$ +f\left(a^{x+y}\right)=f\left(a^{x} a^{y}\right)=f\left(a^{x}\right) f\left(a^{y}\right)=f(a)^{f(x)} f(a)^{f(y)}=f(a)^{f(x)+f(y)} +$$ + +deci $f(x+y)=f(x)+f(y)$ + +Observaţie. Se poate arăta că singura funcţie neconstantă care verifică condiţia din enunţ este identitatea. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-449-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-449-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..31ba3b2660fc162f3d3eaeec621e942d0ca3720a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-449-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,130 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bed51aeaad8cc25ea1f4g-1.jpg?height=268&width=250&top_left_y=300&top_left_x=512) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015 + +## CLASA a VIII-a + +Problema 1. Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătaţi că are loc inegalitatea: + +$$ +\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a-b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}} \geq 3 +$$ + +Problema 2. Pentru orice număr natural $a$ definim mulţimea + +$$ +A_{a}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \sqrt{n^{2}+a n} \in \mathbb{N}\right\} +$$ + +a) Arătaţi că mulţimea $A_{a}$ este finită dacă si numai dacă $a \neq 0$. + +b) Determinaţi cel mai mare element al mulţimii $A_{40}$. + +Gazeta Matematică + +Problema 3. Determinaţi numărul de elemente ale mulţimii + +$$ +M=\left\{(x, y) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2016}}\right.\right\} +$$ + +Problema 4. Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ şi $\{O\}=A B^{\prime} \cap A^{\prime} B$. Pe muchia $[B C]$ se consideră un punct $N$ astfel încât $A C^{\prime} \|\left(B^{\prime} A N\right)$. Ştiind că $D^{\prime} O \perp\left(B^{\prime} A N\right)$ demonstraţi că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bed51aeaad8cc25ea1f4g-2.jpg?height=265&width=266&top_left_y=125&top_left_x=385) + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VIII-a + +Problema 1. Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătaţi că are loc inegalitatea: + +$$ +\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a-b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}} \geq 3 +$$ + +## Soluţie + +Deoarece $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, numerele $-a+b+c, a-b+c$ şi $a+b-c$ sunt strict pozitive. Aplicând inegalitatea dintre media geometrică şi media armonică avem + +$$ +\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}}=\sqrt{1 \cdot \frac{a}{-a+b+c}} \geq \frac{2}{1+\frac{a}{-a+b+c}}=\frac{2 a}{b+c} +$$ + +şi analoagele + +Este suficient să demonstrăm că $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$. + +Notând $b+c=x, a+c=y, b+c=z$, obţinem $a=\frac{-x+y+z}{2}, b=\frac{x-y+z}{2}$ si $c=\frac{x+y-z}{2}$, iar inegalitatea de demonstrat se scrie echivalent: + +$$ +\frac{-x+y+z}{2 x}+\frac{x-y+z}{2 y}+\frac{x+y-z}{2 z} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1 \geq 3 +$$ + +care este adevărată, deoarece $u+\frac{1}{u} \geq 2$, pentru orice $u>0$ + +Problema 2. Pentru orice număr natural $a$ definim mulţimea + +$$ +A_{a}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \sqrt{n^{2}+a n} \in \mathbb{N}\right\} +$$ + +a) Arătaţi că mulţimea $A_{a}$ este finită dacă şi numai dacă $a \neq 0$. + +b) Determinaţi cel mai mare element al mulţimii $A_{40}$. + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +a) Dacă $a=0$ atunci $A=\mathbb{N}$, care este infinită + +Dacă $a \neq 0$ atunci există $p \in \mathbb{N}$ astfel încât $n^{2}+a n=p^{2}$ $1 p$ + +Obţinem $4 n^{2}+4 a n+a^{2}=4 p^{2}+a^{2}$, de unde $(2 n+a-2 p)(2 n+a+2 p)=a^{2}$ + +Ca urmare, $2 n+a+2 p$ este divizor al lui $a^{2}$ (care este nenul), deci $2 n<2 n+a+2 p \leq a^{2}$, de unde rezultă că $n$ poate lua un număr finit de valori, adică $A$ este finită + +b) Trebuie să găsim cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n^{2}+40 n$ este pătrat perfect. Fie $p \in \mathbb{N}$ astfel încât $p^{2}=n^{2}+40 n$. + +Obţinem $p^{2}+400=(n+20)^{2}$, de unde $(n+20-p)(n+20+p)=400$. Numerele $p-n-20$ şi $p+n+20$ au aceeaşi paritate, deci vor fi pare. Avem $2 \cdot 200=4 \cdot 100=8 \cdot 50=400$, de unde $n \in\{81,32,9\}$. Elementul căutat este 81 . + +Problema 3. Determinaţi numărul de elemente ale mulţimii + +$$ +M=\left\{(x, y) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} \left\lvert\, \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2016}}\right.\right\} +$$ + +Soluţie Fie $(x, y) \in M$. Cum $\sqrt{2016}=12 \sqrt{14}$, avem + +$$ +\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{12 \sqrt{14}} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{14 x}}-\frac{1}{\sqrt{14 y}}=\frac{1}{2016} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{14 x}}=\frac{1}{\sqrt{14 y}}+\frac{1}{2016} +$$ + +Prin ridicare la pătrat obţinem $\frac{1}{14 x}=\frac{1}{14 y}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{1008 \sqrt{14 y}}$, de unde $\sqrt{14 y} \in \mathbb{Q}$ şi, ca urmare $\sqrt{14 x} \in \mathbb{Q}$. + +Atunci există numerele naturale nenule $a, b$ pentru care $x=14 a$ şi $y=14 b$. + +Înlocuind în relaţia $\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{12 \sqrt{14}}$, obţinem $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{12}$, de unde $a=\frac{12 b}{b+12}$. + +Din $\frac{12 b}{b+12} \in \mathbb{N}$ rezultă $b+12 \mid 144$, deci $b \in\{4,6,12,24,36,60,132\}$, de unde $a \in\{3,4,6,8,9,10,11\}$. + +În concluzie, mulţimea $M$ admite 7 elemente. + +Problema 4. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un paralelipiped dreptunghic şi $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{O\}$. Pe muchia $[B C]$ se consideră un punct $N$ astfel încât $A^{\prime} C \|\left(B^{\prime} A N\right)$. Ştiind că $D^{\prime} O \perp\left(B^{\prime} A N\right)$ demonstraţi că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. + +## Soluţie + +Din $D^{\prime} A^{\prime} \perp\left(A B B^{\prime}\right)$ şi $D^{\prime} O \perp A B^{\prime}$ obţinem $A^{\prime} O \perp A B^{\prime}$, deci $A B B^{\prime} A^{\prime}$ este pătrat. + +Apoi $A^{\prime} C \|\left(A N B^{\prime}\right)$ şi $\left(A N B^{\prime}\right) \cap\left(A^{\prime} B C\right)=O N$, deci $A^{\prime} C \| O N$. Cum $O$ este mijlocul segmentului $\left[A^{\prime} B\right]$ atunci $N$ este mijlocul segmentului $[B C]$ + +În dreptunghiul $A^{\prime} B C D^{\prime}$, avem $m\left(\Varangle D^{\prime} O N\right)=90^{\circ}$, de unde $\Delta D^{\prime} A^{\prime} O \sim \triangle O B N$. Atunci $\frac{D^{\prime} A^{\prime}}{A^{\prime} O}=\frac{O B}{O N}$, ceea ce conduce la $\frac{A^{\prime} B^{2}}{4}=\frac{A^{\prime} D^{\prime 2}}{2}$, deci $A^{\prime} B=A^{\prime} D \sqrt{2}$. Obţinem $A^{\prime} D=A^{\prime} A$, deci $A A^{\prime} D^{\prime} D$ este pătrat. + +Concluzia se obţine remarcând că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipided dreptunghic cu toate feţele laterale pătrate, deci este cub. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-45-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL PATRULEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biv.md b/Romania_Olympiad/md/ro-45-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL PATRULEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biv.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8289d908b0088a2d6f9f5a4e224925dd7f787a31 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-45-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL PATRULEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biv.md @@ -0,0 +1,98 @@ +# Al patrulea test de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 16 mai 2018 + +Problema 1. Demonstraţi că un număr natural $A$ este pătrat perfect dacă şi numai dacă, pentru orice număr natural nenul $n$, cel puţin una din diferenţele + +$$ +(A+1)^{2}-A,(A+2)^{2}-A,(A+3)^{2}-A, \ldots,(A+n)^{2}-A +$$ + +este divizibilă cu $n$. + +Olimpiadă Cehia ş Slovacia + +## Soluţie: + +Dacă $A$ este pătrat perfect, adică există $B \in \mathbb{N}$ astfel încât $A=B^{2}$, atunci $(A+k)^{2}-A=\left(B^{2}+k\right)^{2}-B^{2}=\left(B^{2}+B+k\right)\left(B^{2}-B+k\right)$ pentru orice $k=\overline{1, n}$ §̧ exact unul dintre numerele (consecutive) $B^{2}+B+1, B^{2}+B+2, \ldots, B^{2}+B+n$ este divizibil cu $n$, de unde concluzia. + +Reciproc, dacă $A$ nu este pătrat perfect, atunci există un factor prim $p$ care în descompunerea în factori primi a lui $A$ apare la o putere impară. Fie $p$ un asemenea număr prim şi $j \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $p^{2 j-1} \mid A$, dar $p^{2 j} \nmid A$. Alegem $n=p^{2 j} \in \mathbb{N}^{*}$ şi arătăm că niciunul din numerele $(A+1)^{2}-A,(A+2)^{2}-A,(A+3)^{2}-$ $A, \ldots,(A+n)^{2}-A$ nu este divizibil cu $n$. Într-adevăr, dacă $n \mid(A+m)^{2}-A$, cu $m \in\{1,2, \ldots, n\}$, adică $p^{2 j} \mid A^{2}+2 A m+m^{2}-A$, cum $p^{2 j-1} \mid A$, rezultă $p^{2 j-1} \mid m^{2}$, de unde $p^{j} \mid m$. Dar atunci $p^{2 j} \mid(A+m)^{2}$ si $p^{2 j} \mid(A+m)^{2}-A$, deci $p^{2 j} \mid A$, contradicţie. + +Problema 2. Dacă $a, b, c>0$, arătaţi că + +$$ +\frac{a}{\sqrt{(a+2 b)^{3}}}+\frac{b}{\sqrt{(b+2 c)^{3}}}+\frac{c}{\sqrt{(c+2 a)^{3}}} \geq \frac{1}{\sqrt{a+b+c}} . +$$ + +Alexandru Mihalcu + +## Soluţie: + +Din inegalitatea lui Hölder avem: $\sum_{\text {cycl }} \frac{a}{\sqrt{(a+2 b)^{3}}} \cdot \sum_{\text {cycl }} a \sqrt{a+2 b} \cdot \sum_{\text {cycl }} a \sqrt{a+2 b}$. $\sum_{\text {cycl }} a \sqrt{a+2 b} \geq(a+b+c)^{4}$, iar din inegalitatea Cauchy-Buniakowsky-Schwarz rezultă + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\sum_{\text {cycl }} a \sqrt{a+2 b}\right)^{2}=\left(\sum_{\text {cycl }} \sqrt{a} \cdot \sqrt{a(a+2 b)}\right)^{2} \leq(a+b+c) \cdot \sum_{\text {cycl }}\left(a^{2}+2 a b\right)= \\ +& (a+b+c)^{3} \text {, de unde concluzia. } +\end{aligned} +$$ + +Egalitatea are loc dacă şi numai dacă $a=b=c$. + +În loc de inegalitatea lui Hölder se putea aplica de două ori inegalitatea CauchyBuniakowsky-Schwarz: + +$$ +\begin{aligned} +& \sum_{\text {cycl }} \frac{a}{\sqrt{(a+2 b)^{3}}} \cdot \sum_{\text {cicl }} a \sqrt{a+2 b} \cdot\left(\sum_{\text {cicl }} a \sqrt{a+2 b}\right)^{2} \stackrel{C B S}{\geq} \\ +& \left(\sum_{\text {cycl }} \frac{a}{\sqrt{a+2 b}}\right)^{2} \cdot\left(\sum_{\text {cicl }} a \sqrt{a+2 b}\right)^{2} \stackrel{C B S}{\geq}\left(\sum_{\text {cycl }} a\right)^{4} +\end{aligned} +$$ + +Pe de altă parte, + +$\left(\sum_{\text {cycl }} a \sqrt{a+2 b}\right)^{2}=\left(\sum_{\text {cycl }} \sqrt{a} \cdot \sqrt{a(a+2 b)}\right)^{2} \stackrel{C B S}{\leq}(a+b+c)(a(a+2 b)+b(b+2 c)+$ $c(c+2 a))=(a+b+c)^{3}, \operatorname{deci}\left(\sum_{\text {cycl }} a \sqrt{a+2 b}\right)^{3} \leq \sqrt{(a+b+c)^{9}}$. + +Din (1) şi (2) rezultă imediat concluzia. + +Egalitatea are loc dacă $a=b=c$. + +Remarcă: Inegalitatea este o consecinţă directă a inegalităţii lui Jensen pentru funcţia convexă $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$, numerele $x_{1}=a+2 b, x_{2}=b+2 c, x_{3}=c+2 a$ şi ponderile $a_{1}=a, a_{2}=b, a_{3}=c$. + +Problema 3. Alina şi Bogdan joacă următorul joc. Ei au o grămadă formată din 330 de pietricele. Cei doi jucători mută alternativ. La o mutare se iau din grămadă $1, n$ sau $m$ pietricele. Câştigă jocul cel care ia ultima pietricică. Înainte de a începe, Alina alege numărul $n,(12$ şi $y>2$, arătaţi că $x+y<5$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. a) Arătaţi că dacă există două numere naturale $p$ şi $q$ astfel încât $\sqrt{2 p-q}$ şi $\sqrt{2 p+q}$ sunt numere naturale, atunci $q$ este par. + +b) Determinaţi câte numere naturale $p$ au proprietatea că $\sqrt{2 p-4030}$ şi $\sqrt{2 p+4030}$ sunt simultan numere naturale. + +Problema 3. În triunghiul $A B C$, fie $M$ mijlocul laturii $[A C]$ şi punctul $N \in(A M)$. Paralela prin $N$ la $A B$ intersectează dreapta $B M$ în $P$, paralela prin $M$ la $B C$ intersectează dreapta $B N$ în $Q$, iar paralela prin $N$ la $A Q$ intersectează dreapta $B C$ în $S$. + +Demonstraţi că dreptele $P S$ şi $A C$ sunt paralele. + +Problema 4. În exteriorul pătratului $A B C D$ se construieşe triunghiul isoscel $A B E$, cu $m(\Varangle A B E)=120^{\circ}$. Se notează cu $M$ piciorul perpendicularei din $B$ pe bisectoarea unghiului $E A B$, cu $N$ piciorul perpendicularei din $M$ pe $A B$, iar cu $P$ intersecţia dreptelor $C N$ şi $M B$. + +Fie $G$ centrul de greutate al triunghiului $A B E$. Demonstraţi că dreptele $P G$ şi $A E$ sunt paralele. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. a) Arătaţi că numărul $a=\sqrt{9-\sqrt{77}} \cdot \sqrt{2} \cdot(\sqrt{11}-\sqrt{7}) \cdot(9+\sqrt{77})$ este natural. + +b) Se consideră numerele reale $x$ i̧s $y$ astfel încât $x y=6$. Dacă $x>2$ §ुi $y>2$, arătaţi că $x+y<5$. + +Gazeta Matematică + +## Soluţie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_86ca7b9a0b5ed582c92dg-2.jpg?height=55&width=1735&top_left_y=905&top_left_x=306) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_86ca7b9a0b5ed582c92dg-2.jpg?height=60&width=1727&top_left_y=954&top_left_x=313) + +Ca urmare, $a=(\sqrt{11}-\sqrt{7})^{2} \cdot(9+\sqrt{77})=(18-2 \sqrt{77})(9+\sqrt{77})=8 \in \mathbb{N} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_86ca7b9a0b5ed582c92dg-2.jpg?height=52&width=1730&top_left_y=1069&top_left_x=314) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_86ca7b9a0b5ed582c92dg-2.jpg?height=87&width=1740&top_left_y=1106&top_left_x=304) + +Problema 2. a) Arătaţi că dacă există două numere naturale $p$ şi $q$ astfel încât $\sqrt{2 p-q}$ şi $\sqrt{2 p+q}$ sunt numere naturale, atunci $q$ este par. + +b) Determinaţi câte numere naturale $p$ au proprietatea că $\sqrt{2 p-4030}$ şi $\sqrt{2 p+4030}$ sunt simultan numere naturale. + +## Soluţie + +a) Din ipoteză, există numerele naturale $k$ şi $r$ astfel încât $2 p-q=k^{2}, 2 p+q=r^{2}$; atunci $r^{2}-k^{2}=2 q \ldots \mathbf{1 p}$ Atunci $(r-k)(r+k)=2 q$, iar concluzia se obţine din faptul că $r-k$ şi $r+k$ au aceeaşi paritate .......... $\mathbf{2 p}$ + +b) Notând ca mai sus, avem $(r-k)(r+k)=2 \cdot 4030=2^{2} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 31 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ 1p + +Cum $r-k$ şi $r+k$ au aceeaşi paritate, iar $r-k CLASA a VI-a + +Problema 1. Pe o tablă sunt scrise la început numerele 11 şi 13. Un pas înseamnă scrierea pe tablă a unui număr nou, egal cu suma a două numere oarecare scrise deja pe tablă. Arătaţi că: + +a) indiferent câţi paşi s-ar efectua, pe tablă nu se poate scrie numărul 86 ; + +b) este posibil ca, după mai mulţi paşi, pe tablă să fie scris numărul 2015. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Fie triunghiul $A B C$ obtuzunghic cu $A B=A C$. Notăm cu $M$ simetricul punctului $A$ faţă de punctul $C$ şi cu $P$ intersecţia dreptei $A B$ cu mediatoarea segmentului $[A M]$. Sुtiind că dreapta $P M$ este perpendiculară pe $B C$, arătaţi că triunghiul $A P M$ este echilateral. + +Problema 3. Determinaţi pătratele perfecte de cinci cifre, cu primele două cifre identice, care au răsturnatul pătrat perfect de cinci cifre. + +(Răsturnatul unui număr natural este numărul obţinut prin scrierea cifrelor în ordine inversă, de exemplu: răsturnatul lui 12345 este 54321) + +Problema 4. Determinaţi numerele naturale nenule $A$ şi $B$, care au acelaşi număr de cifre, ştiind că + +$$ +2 \cdot A \cdot B=\overline{A B} +$$ + +unde $\overline{A B}$ este numărul obţinut prin scrierea cifrelor lui $B$ după cifrele lui $A$. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_633976caf00b87b15028g-2.jpg?height=279&width=271&top_left_y=148&top_left_x=314) + +Ministerul Educaţiei şi Cercetării Ştiinţifice + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015 SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VI-a + +Problema 1. Pe o tablă sunt scrise la început numerele 11 şi 13. Un pas înseamnă scrierea pe tablă a unui număr nou, egal cu suma a două numere oarecare scrise deja pe tablă. Arătaţi că: + +a) indiferent câţi paşi s-ar efectua, pe tablă nu se poate scrie numărul 86 ; + +b) este posibil ca, după mai mulţi paşi, pe tablă să fie scris numărul 2015 . + +Gazeta Matematică + +Soluţie + +a) Orice număr care poate fi scris pe tablă este de forma $11 a+13 b$, unde $a, b \in \mathbb{N}^{*} \ldots \ldots .1 \mathbf{p}$ Dacă ar exista $a, b \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $86=11 a+13 b$, atunci $b \leq 6 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. Atunci $13 b \in\{13,26,39,52,65,78\}$, deci $11 a=86-13 b \in\{73,60,47,34,21,8\} \ldots \ldots \ldots . .1 \mathbf{1 p}$ Niciunul dintre aceste numere nu se divide cu 11, deci $86 \mathrm{nu}$ se poate scrie pe tablă .......1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_633976caf00b87b15028g-2.jpg?height=54&width=1732&top_left_y=1293&top_left_x=240) +Putem obţine numărul 2015 prin 182 de paşi astfel: + +$13+11=24 \xrightarrow{+11} 13+2 \cdot 11=35 \xrightarrow{+11} 13+3 \cdot 11=46 \xrightarrow{+11} \ldots \xrightarrow{+11} 13+182 \cdot 11=2015 \quad . \quad 2 p$ + +Problema 2. Fie triunghiul $A B C$ obtuzunghic cu $A B=A C$. Notăm cu $M$ simetricul punctului $A$ faţă de punctul $C$ şi cu $P$ intersecţia dreptei $A B$ cu mediatoarea segmentului $[A M]$. Sुtiind că dreapta $P M$ este perpendiculară pe $B C$, arătaţi că triunghiul $A P M$ este echilateral. + +## Soluţie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_633976caf00b87b15028g-2.jpg?height=480&width=637&top_left_y=1706&top_left_x=473) + +Fie $\{D\}=B C \cap P M$. Notăm $m(\Varangle A B C)=x$. Atunci $m(\Varangle M C D)=m(\Varangle A C B)=m(\Varangle A B C)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_633976caf00b87b15028g-2.jpg?height=52&width=1797&top_left_y=2354&top_left_x=175) + +Cum $P C$ este mediatoarea segmentului $[A M]$, triunghiul $P A M$ este isoscel, deci $\Varangle P M C \equiv$ $\Varangle P A C$ $2 p$ + +Dar $m(\Varangle P A C)=180^{\circ}-m(\Varangle B A C)=m(\Varangle A B C)+m(\Varangle A C B)=2 x$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_633976caf00b87b15028g-3.jpg?height=60&width=1735&top_left_y=287&top_left_x=236) + +Atunci $m(\Varangle P M C)=m(\Varangle P A C)=60^{\circ}$, deci triunghiul APM este echilateral.............1p + +Problema 3. Determinaţi pătratele perfecte de cinci cifre, cu primele două cifre identice, care au răsturnatul pătrat perfect de cinci cifre. + +## Soluţie + +Fie $\overline{a a b c d}$ un pătrat perfect cu $a \neq 0, d \neq 0$, astfel încât $\overline{d c b a a}$ este pătrat perfect. + +Deoarece $\overline{d c b a a}$ este pătrat perfect, rezultă $a \in\{1,4,5,6,9\}$ + +Numerele de forma $\overline{d c b 55}$ sunt divizibile cu 5 şi nu sunt divizibile cu 25 , deci nu pot fi pătrate perfecte $1 \mathrm{p}$ + +Numerele de forma $\overline{d c b 66}$ sunt divizibile cu 2 şi nu sunt divizibile cu 4 , deci nu pot fi pătrate perfecte $1 p$ + +Numerele de forma $\overline{d c b 11}$ sau $\overline{d c b 99}$ nu pot fi pătrate perfecte deoarece dau restul 3 la împărţirea cu 4 + +Studiem cazul $a=4$. Întrucât $209^{2}<44000$ şi $213^{2}>45000$, rezultă că $\overline{a a b c d} \in\left\{210^{2}, 211^{2}, 212^{2}\right\}$. + +Cum $210^{2}=44100 \mathrm{nu}$ are răsturnatul de 5 cifre, $211^{2}=44521$ şi $12544=112^{2}, 212^{2}=44944$, numerele căutate sunt 44521 şi 44944 + +Problema 4. Determinaţi numerele naturale nenule $A$ şi $B$, care au acelaşi număr de cifre, ştiind că + +$$ +2 \cdot A \cdot B=\overline{A B} +$$ + +unde $\overline{A B}$ este numărul obţinut prin scrierea cifrelor lui $B$ după cifrele lui $A$. + +Soluţie Fie $n$ numărul de cifre ale lui $A$ şi $B$. Din relaţia din enunţ avem $(2 A-1) B=10^{n} A$, de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_633976caf00b87b15028g-3.jpg?height=57&width=1797&top_left_y=1554&top_left_x=175) + +$\operatorname{Cum}(2 A-1, A)=1$ şi $(2,2 A-1)=1$, rezultă $2 A-1 \mid 5^{n}$, deci $2 A-1 \leq 5^{n} \ldots \ldots \ldots .$. . 2 p + +Deoarece $A$ are $n$ cifre, rezultă $A \geq 10^{n-1}$, deci $2 \cdot 10^{n-1}-1 \leq 2 A-1 \leq 5^{n}$. Obţinem + +$$ +2 \cdot 2^{n-1} \cdot 5^{n-1} \leq 5 \cdot 5^{n-1}+1 \leq 6 \cdot 5^{n-1} +$$ + +deci $2^{n} \leq 6$, de unde $n \in\{1,2\}$... + +Pentru $n=1$, din $2 A-1 \mid 5$, rezultă $2 A-1 \in\{1,5\}$, deci $A \in\{1,3\}$. Dacă $A=1$, avem $B=10$, care nu convine, deoarece $B$ are o cifră. Dacă $A=3$, avem $B=6 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$............................ + +Pentru $n=2$, din $2 A-1 \mid 25$, rezultă $2 A-1 \in\{1,5,25\}$, deci $A \in\{1,3,13\}$; dar $A$ are două cifre, deci $A=13$ şi $25 B=1300$, deci $B=52$. $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-452-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-452-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d90fcf7e413101ba8f469cf8e26d4ac9045b87d9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-452-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,133 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b06d363f199f7ea82b62g-1.jpg?height=268&width=1208&top_left_y=300&top_left_x=508) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + + Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015 +## CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi toate numerele naturale de două cifre $\overline{a b}, \mathrm{cu}$ $a Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 14 martie 2015
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi toate numerele naturale de două cifre $\overline{a b}$, cu $a FAZA PE LOCALITATE
14.02.2015
Clasa a XII -a M2 + +## Problema 1. + +Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^{2}+1\right) \ln (x), x \geq 1 \text {. } \\ \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}, x<1\end{array}\right.$ Să se calculeze $I=\int_{0}^{2} f(x) d x$ + +Problema 2 . + +Pe mulţimea $G=(-1, \infty)$, se defineşte legea de compoziţie internă dată prin $x * y=x+y+x y,(\forall) x \in G$. + +a) Demonstraţi că $(G, *)$ este grup abelian . + +b) Rezolvaţi în $G$, ecuaţia $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de nori }}=1, n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$. + +Problema 3 . + +Fie $I_{n}=\int_{0}^{1} e^{-x} x^{n} d x, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se calculeze $I_{1}$. + +b) Să se arate că $I_{n}=n I_{n-1}-\frac{1}{e}$, pentru orice $n>1$. + +Problema 4 . + +Se consideră matricele $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln (a) \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ cu a $>0$. + +a) Calculaţi $\operatorname{det} A(a),(\forall)$ a $>0$. + +b) Să se arate că $A(a) A(b)=A(a b)$. + +c) Calculaţi determinantul matricei $A(1)+A(2)+A(3)+\cdots+A(2015)$. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. + +Pentru fiecare problema se acordă de la 0 la 7 puncte . + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare Clasa a XII-a M2 + +## Problema 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_74ae1b8fb6f730731a5fg-2.jpg?height=239&width=1547&top_left_y=615&top_left_x=227) +$\int_{0}^{1} f(x) d x$ +$\int_{1}^{2} f(x) d x$ ..... $3 p$ +Problema 2. +a) Partea stabilă ..... $1 p$ +Asociativitate ..... $1 p$ +Comutativitate ..... $1 p$ +Element neutru ..... $1 p$ +Elemente simetrizabile. ..... $1 p$ +b) $x * x=(x+1)^{2}-1$ ..... $1 p$ +Finalizare ..... $1 p$ + +## Problema 3 . + +a) $I_{1}=\int_{0}^{1} e^{-x} x d x=$ $1 p$ + +$I_{1}=\int_{0}^{1}\left(-e^{-x}\right)^{\prime} x d x=e^{-x} x I_{0}^{1}+\int_{0}^{1} e^{-x} d x=1-\frac{2}{e}$, $3 p$ +b) $I_{n}=\int_{0}^{1}\left(-e^{-x}\right)^{\prime} x^{n} d x=e^{-x} x^{n} I_{0}^{1}+\int_{0}^{1} e^{-x}\left(x^{n}\right)^{\prime} d x=-\frac{1}{e}+n I_{n-1}$ + +$3 p$ + +## Problema 4. + +a) $\operatorname{det} A(a)=a$ $2 p$ + +b) că $A(a) A(b)=\left(\begin{array}{ccc}a b & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln a+\ln b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a b & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln (a b) \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=A(a b) \quad \ldots .2 p$ +c) $A(1)+A(2)+A(3)+\cdots+A(2015)=\left(\begin{array}{ccc}1+2+\cdots+2015 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2015! \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=B . .2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-455-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-455-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf747e07ce8133eaa648a4e4feed8b092f758ee9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-455-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,97 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## FAZA PE LOCALITATE + +### 14.02.2015 + +Clasa a XI -a M2 + +## Problema 1. + +Reyolvaţi ecuaţia $\left|\begin{array}{ccc}1 & x+1 & 1-x \\ x+1 & 1-x & 1 \\ 1-x & 1 & 1+x\end{array}\right|=0$. + +## Problema 2 . + +Determinaţi $a, b \in \mathbb{R}$, astfel încât : $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$. + +## Problema 3 . + +Fie $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +a) (3p ) Determinaţi $A^{2015}$. + +b) (4p) Rezolvaţi ecuaţia $X^{5}=\mathrm{A}, X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +## Probelma 4. + +Determinaţi $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a x+3}{x-1}\right)^{2 x-1}$, pentru a $>0$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. + +Pentru fiecare problema se acordă de la 0 la 7 puncte . + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare
Clasa a XI-a M2 + +## Problema 1. + +Calculul determinantului ..... $3 p$ +Rezolvarea ecuatiei ..... $3 p$ +Finalizare ..... $1 \mathrm{p}$ + +## Problema 2. + +$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0 \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1-a x^{2}-b x-a x-b}{x+1}\right)=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}(1-a)-x(b+a)+1}{x+1}\right)=0 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots$ +$(1-a)=0,-(b+a)=1$ + +Finalizare , $a=1, b=-2$ + +$2 p$ + +## Problema 3 . + +a) + +$A^{2}=\left(\begin{array}{ll}6 & 6 \\ 3 & 3\end{array}\right)=3 A$ + +$1 p$ + +Demonstram ca $A^{n}=3^{n-1} A$ + +$1 p$ + +Finalizare + +$1 p$ + +b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_93bdc7ff063844014b7eg-2.jpg?height=79&width=1581&top_left_y=1625&top_left_x=272) + +$A^{5}=3^{4} A \Rightarrow A=\frac{1}{3^{4}} A^{5}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{X}^{5}=\mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{X}^{5}=\frac{1}{3^{4}} A^{5}$ + +$1 p$ + +$\mathrm{X}=\frac{1}{\sqrt[5]{3^{4}}} A$ + +$1 p$ + +Problema 4 . + +Daca $a \in(0,1)$ limita este egala cu 0 $2 p$ + +Daca $a \in(1,+\infty)$ limita este egala $\mathrm{cu}+\infty$ + +2p + +Daca $a=1 \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a x+3}{x-1}\right)^{2 x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{2 x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+3}{x-1}-1\right)^{2 x-1}=$ $\lim x \rightarrow \infty 1+x+3-x+1 x-12 x-1=e 8$ + +$3 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-456-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-456-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17dec210a73870ecd8dfa55b2b9980bd59629aa1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-456-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## FAZA PE LOCALITATE + +### 14.02.2015 + +Clasa a X -a M2 + +## Problema 1. + +Rezolvaţi ecuaţia + +$$ +\sqrt{\log _{2}^{(4 x)}+\log _{x}^{2}}+\sqrt{\log _{2}^{\left(\frac{x}{4}\right)}+\log _{x}^{2}}=4 \text {.Type equation here. } +$$ + +## Problema 2 . + +Determinaţi numerele complexe cu proprietatea $z^{2}+\bar{z}=0$. + +## Probelma 3 . + +Rezolvaţi ecuaţia + +$$ +|2 x-1|^{10 x^{2}-1}=|2 x-1|^{3 x} +$$ + +## Probelma 4 . + +Fie $z_{1}=2-2 i$ şi $z_{2}=1+i$. + +Calculaţi : $\frac{z_{1} z_{2}}{z_{1}-2 z_{2}} ;\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| ;\left(\frac{z_{1}-\overline{z_{2}}}{\sqrt{2}}\right)^{2015}$ + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. + +Pentru fiecare problema se acordă de la 0 la 7 puncte . + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare
Clasa a X-a M2 + +## Problema 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_39a60ece85ed39f498a9g-2.jpg?height=65&width=1510&top_left_y=626&top_left_x=362) +$\sqrt{\log _{2}^{4}+\log _{2}^{x}+\log _{x}^{2}}+\sqrt{\log _{2}^{x}-\log _{2}^{4}+\log _{x}^{2}}=4 \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots$ Notam $\log _{2}^{x}=t$ + +$\sqrt{2+t+\frac{1}{t}}+\sqrt{t-2+\frac{1}{t}}=4$ $1 \mathrm{p}$ + +$\frac{|t+1|}{\sqrt{t}}+\frac{|t-1|}{\sqrt{t}}=4$ $1 p$ + +Rezolvarea ecuatiei pentru $t \geq 1$ $1 p$ + +Rezolvarea ecuatiei pentru $t \in(o, 1)$ + +$1 p$ + +Finalizare + +$1 p$ + +## Problema 2. + +$$ +z=a+b i, \quad \bar{z}=a-b i, a, b \in R,(a+b i)^{2}+a-b i=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p} +$$ + +$a^{2}+2 a b i-b^{2}+a-b i=0$ ..... $1 p$ +$\left(a^{2}-b^{2}+a\right)+i(2 a b-b)=0$ ..... $1 p$ +$\left(a^{2}-b^{2}+a\right)=0$ + +$(2 a b-b)=0$ + +$1 \mathrm{p}$ +Rezolvarea sistemului de ecuatii ..... $2 p$ +Mentionarea numerelor complexe ..... $1 p$ + +## Problema 3 . + +$$ +10 x^{2}-1=3 x +$$ + +$1 p$ +Rezolvarea ecuatiei ..... 2p +$2 x-1=1 \Rightarrow x=1$ ..... $1 p$ +$2 x-1=-1 \Rightarrow x=0$ ..... $1 p$ +$2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ ..... $1 p$ +Finalizare ..... $1 p$ +Problema 4. +Determinarea $\frac{z_{1} z_{2}}{z_{1}-2 z_{2}}$ ..... $2 p$ +Determinarea $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ ..... $2 p$ +Determinarea $\left(\frac{z_{1}-\overline{z_{2}}}{\sqrt{2}}\right)^{2015}$ ..... $3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-457-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-457-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dbc82166fd8f69c76b9d27c10992111987e9ad23 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-457-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,67 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a IX-a $\mathbf{M}_{2}$ + +## Problema 1 + +O sală de spectacole în formă de amfiteatru are 30 de rânduri, iar pe fiecare rând sunt cu 3 locuri mai multe decât pe rândul din fața sa.Calculați câte locuri are sala , știind că pe ultimul rând sunt 117 locuri. + +## Problema 2 + +Demonstrați că numărul $N=11^{n+2}+12^{2 n+1}$ este divizibil cu 133 , oricare ar fi numărul natural $n \geq 1$. + +## Problema 3 + +Să se determine suma primilor 30 de termeni ai unei progresii geometrice, știind ca suma primilor doi termeni este egală cu 8 , iar diferența dintre al doilea termen și primul termen este egală cu 4 . + +## Problema 4 + +Fie $A B C D$ un dreptunghi, având lungimile laturilor $A B=4 \mathrm{~cm}$ şi $A D=3 \mathrm{~cm}$ şi $\{O\}=A C \cap B D$. + +Determinați lungimea vectorului $\vec{v}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A D}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a IX-a $\mathbf{M}_{2}$
Soluții și bareme + +## Problema 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d20c4d07f02af3edba72g-2.jpg?height=66&width=1661&top_left_y=688&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d20c4d07f02af3edba72g-2.jpg?height=62&width=1667&top_left_y=777&top_left_x=240) + +$$ +\begin{aligned} +& S_{30}=\frac{\left(2 \cdot a_{1}+29 r\right) \cdot 30}{2}=2205 \text { locuri. } +\end{aligned} +$$ + +## Problema 2 + +Etapa de verificare $P(1)$ + +Etapa de demonstrație $P(k) \rightarrow P(k+1), \forall k \in \mathbb{N}^{*}$ fixat $5 \mathbf{p}$ + +## Problema 3 + +$\left\{\begin{array}{l}b_{1}+b_{2}=8 \\ b_{2}-b_{1}=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b_{1}(1+q)=8 \\ b_{1}(q-1)=4\end{array}\right.\right.$ + +Prin împărțirea relațiilor membru cu membru $\Rightarrow q=3$, apoi $b_{1}=2$ $3 p$ + +$S_{30}=\frac{b_{1}\left(q^{30}-1\right)}{q-1}=3^{30}-1$. + +## Problema 4 + +Aplicăm teorema lui Pitagora în $\triangle A B C \Rightarrow A C=5 \mathrm{~cm}$. $1 p$ + +Aplicăm regula paralelogramului şi $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$ + +$\vec{v}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}$ + +$|\vec{v}|=\left|\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}\right|=\frac{3}{2} A C=\frac{15}{2} \mathrm{~cm}$. + +$2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-458-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-458-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50fde42b718010a894efdc34254c5aafe72e906f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-458-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,106 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a XII-a M + +## Problema 1 + +Să se calculeze : $\int \frac{3 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2015}{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015\right)^{2}} d x, x \in \mathbb{R}$. + +## Problema 2 + +Să se calculeze $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+\sin x}{\sin x+\cos x+1} d x$. + +## Problema 3 + +Pe mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție "*" având următoarele proprietăți : + +1) $\left(\frac{a+1}{3}\right) *\left(\frac{a}{2}\right)=1, \forall a \in \mathbb{R}$ +2) $(a * b) \cdot c=(a \cdot c) *(b \cdot c), \forall a, b, c \in \mathbb{R}$. + +Calculați $10 * 14$. + +## Problema 4 + +Pe mulțimea numerelor reale nenule $\mathbb{R}^{*}$ se definește legea de compozitịie "*" prin $a * b=\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{b}, \text { daca } a<0 \\ a b, \text { daca } a>0\end{array} \quad \forall a, b \in \mathbb{R}^{*}\right.$ + +a) Demonstrați că $\left(\mathbb{R}^{*}, *\right)$ este grup necomutativ. + +b) Rezolvați ecuația $a * b * a=b,\left(a, b \in \mathbb{R}^{*}\right)$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a XII-a M $\mathbf{M}_{1}$ Soluții și bareme + +## Problema 1 + +Căutăm $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $\left(\frac{a x+b}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015}\right)^{\prime}=\frac{3 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2015}{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015\right)^{2}}$ + +$\Leftrightarrow \frac{-3 a x^{4}+(-2 a-4 b) x^{3}+(-a-3 b) x^{2}+(-2 b) x+2015 a}{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015\right)^{2}}=\frac{3 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2015}{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015\right)^{2}}$ + +Identificând coeficienții obṭinem $a=-1, b=0 \Rightarrow\left(\frac{-x}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015}\right)^{\prime}=\frac{3 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2015}{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015\right)^{2}} \ldots \ldots . .1 \mathbf{p}$ + +$\Rightarrow \int \frac{3 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2015}{\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015\right)^{2}} d x=\int\left(\frac{-x}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015}\right)^{\prime} d x=\frac{-x}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+2015}+C$ + +## Problema 2 + +Făcând schimbarea de variabilă $\quad x=\frac{\pi}{2}-t$ obținem $\quad$ egalitatea integralelor $\quad I$ și $\quad J$ + +$$ +\begin{aligned} +& I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+\sin x}{\sin x+\cos x+1} \mathrm{dx}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right)+1} d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} t+\cos t}{\sin t+\cos t+1} \mathrm{~d} t=J \\ +& \Rightarrow 2 I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x+\sin x+\cos ^{2} x+\cos x}{\sin x+\cos x+1} \mathrm{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x+1} \mathrm{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow I=\frac{\pi}{4} +\end{aligned} +$$ + +## Problema 3 + +$10 * 14=(5 \cdot 2) *(7 \cdot 2)=(5 * 7) \cdot 2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ +În propr 1) pt $a=14 \Rightarrow \frac{15}{3} * \frac{14}{2}=5 * 7=1 \Rightarrow 10 * 14=1 \cdot 2=2$ + +$3 p$ + +## Problema 4 + +a) Legea este bine definită,evident. Asociativitate: + +$$ +\begin{aligned} +& (a * b) * c=\left\{\begin{array}{l} +(a b) * c, \text { daca } a, b \in(0, \infty) \\ +(a b) * c, \text { daca } a \in(0, \infty) \text { si } b \in(-\infty, 0) \\ +\frac{a}{b} * c \quad, \text { daca } a \in(-\infty, 0) \text { si } b \in(0, \infty) \\ +\frac{a}{b} * c \quad, \text { daca } a, b \in(-\infty, 0) +\end{array}=\left\{\begin{array}{l} +\frac{a b c}{}, \text { daca } a, b \in(0, \infty) \\ +\frac{a b}{c}, \text { daca } a \in(0, \infty) \text { si } b \in(-\infty, 0) \\ +\frac{a}{b c}, \text { daca } a \in(-\infty, 0) \text { si } b \in(0, \infty) \ldots \ldots \ldots .1 p +\end{array}\right.\right. \\ +& a *(b * c)=\left\{\begin{array}{l} +a *(b c), \text { daca } a, b \in(-\infty, 0) \\ +a *\left(\frac{b}{c}\right), \text { daca } a \in(0, \infty) \text { si } b \in(-\infty, 0) \\ +\frac{a}{b * c}, \quad \text { daca } a \in(-\infty, 0) \text { si } b \in(0, \infty) \\ +\frac{a}{b * c}, \quad \text { daca } a, b \in(-\infty, 0) +\end{array}=\left\{\begin{array}{l} +\frac{a b c,}{c}, \text { daca } a, b \in(0, \infty) \\ +\frac{a b}{b c}, \text { daca } a \in(0, \infty) \text { si } b \in(-\infty, 0) +\end{array}\right.\right. +\end{aligned} +$$ + +Deci legea este asociativă.(1) + +$2 *(-5)=-10$ și $(-5) * 2=-\frac{5}{2} \Rightarrow$ legea nu e comutativă(2) + +Element neutru $e=1$ pt că $1 * a=1 \cdot a=a, \forall a \in \mathbb{R}^{*}$ și $a * 1=\left\{\begin{array}{l}a \cdot 1, \text { pt } a>0 \\ \frac{a}{1}, \text { pt } a<0\end{array}=a, \forall a \in \mathbb{R}^{*}(3)\right.$ + +Notăm $a^{\prime}$ simetricul lui $a, a^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a, \text { pt } a<0 \\ \frac{1}{a}, \text { pt } a>0\end{array}\right.$ + +$1 p$ + +Din (1)-(4) $\Rightarrow\left(\mathbb{R}^{*}, *\right)$ grup necomutativ. + +b) $a * x * a=b \Leftrightarrow x=a^{\prime} * b * a^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}b, \text { pt } a>0, b<0 \\ \frac{b}{a^{2}}, \text { pt } a>0, b>0 \\ \frac{a^{2}}{b}, \text { pt } a<0, b<0 \\ \frac{1}{b}, \text { pt } a<0 . b>0\end{array}\right.$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-459-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-459-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed4395869676c9c59991e9d38a67cad900c8cf21 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-459-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a XI-a $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Determinaţi $a, b, c \in \mathbb{R}$, pentru care $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{a n^{2}+b n+c}-2 n-3\right)=2015$. + +## Problema 2 + +Determinaţi valorile parametrului real $a$, astfel încât funcția $f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}+a^{2} x+2 a}$ să aibă o singură asimptotă verticală. + +## Problema 3 + +Fie matricea $A=\left(\begin{array}{cc}7 & 18 \\ -4 & 7\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$. Rezolvați ecuația $X^{2}=A, X \in M_{2}(\mathbb{R})$. + +## Problema 4 + +Fie matricele $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{det} A=\operatorname{det}(A+B)=1 \quad$ și $\operatorname{det}(A-B)=3$ și funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{det}(A+x B)$ + +a) Arătaţi că funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{det} A+\alpha \cdot x+\operatorname{det} B \cdot x^{2}, \alpha \in \mathbb{R}$. + +b) Aflați $\alpha$ și det $B$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a XI-a $\mathbf{M}_{1}$
Soluții și bareme + +## Problema 1 + +Notăm limita cu $l$. + +$$ +\begin{aligned} +& l=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left[\sqrt{a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}}-\left(2+\frac{3}{n}\right)\right] \Rightarrow \mathrm{pt} \sqrt{a}-2 \neq 0 \Rightarrow l= \pm \infty \neq 2015, \text { nu convine } \Rightarrow \sqrt{a}=2 \Rightarrow a=4 . .2 \mathbf{p} \\ +& l=\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{4 n^{2}+b n+c-4 n^{2}-12 n-9}{\sqrt{4 n^{2}+b n+c}+2 n+3}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(b-12) n^{2}+(c-9) n}{n\left(\sqrt{4+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}}+2+\frac{3}{n}\right.} \text {, pt } b-12 \neq 0 \Rightarrow l= \pm \infty \neq 2015 \\ +& \text { nu convine } \Rightarrow b=12 \\ +& 3 \mathbf{2} \\ +& l=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(c-9) \not n}{\not n\left(\sqrt{4+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}}+2+\frac{3}{n}\right)}=\frac{c-9}{4} \Rightarrow \frac{c-9}{4}=2015 \Rightarrow c=8069 +\end{aligned} +$$ + +## Problema 2 + +Funcția $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ are o singură asimptotă verticală $\Leftrightarrow \mathbf{1}$ ) ecuația $x^{2}+a^{2} x+2 a=0$ are soluție unică sau 2) ecuațiile $x^{2}+a^{2} x+2 a=0$ și $x^{2}-5 x+4=0$ au o unică rădăcină reală comună + +1) $\Delta=0 \Leftrightarrow a^{4}-8 a=0 \Leftrightarrow a\left(a^{3}-8\right)=0 \Rightarrow a_{1}=0, a_{2}=2$ + +Pt $a=0 \Rightarrow D=\mathbb{R} \backslash\{0\}, f(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}} \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\infty \Rightarrow x=0$ unica asimptotă verticală. + +Pt $a=2 \Rightarrow D=\mathbb{R} \backslash\{-2\}, f(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{(x+2)^{2}} \Rightarrow \lim _{x \rightarrow-2} f(x)=\infty \Rightarrow x=-2$ unica asimptotă verticală.....1p +2) $x^{2}-5 x+4=0 \Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=4$. Dacă $x_{1}=1$ rădăcina comună $\Rightarrow 1+a^{2}+2 a=0 \Rightarrow(a+1)^{2}=0 \Rightarrow a=-1$ + +$\Rightarrow f: \mathbb{R} \backslash\{-2,1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}+x-2}=\frac{x-4}{x+2} \Rightarrow \lim _{\substack{x \rightarrow-2 \\ x<-2}} f(x)=-\infty$ și $\Rightarrow \lim _{\substack{x \rightarrow-2 \\ x>-2}} f(x)=\infty$ + +$\Rightarrow x=-2$ este unica asimptotă verticală. + +Dacă $x_{2}=4$ este rădăcina comună $\Rightarrow 16+4 a^{2}+2 a=0 \Rightarrow \Delta<0 \Rightarrow a \in \varnothing \Rightarrow a \in\{0,2,-1\}$ soluție. + +## Problema 3 + +Fie matricea $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ soluție a ecuației $X^{2}=\left(\begin{array}{cc}a^{2}+b c & b(a+d) \\ c(a+d) & d^{2}+b c\end{array}\right)$ + +$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b c=7 \\ b(a+d)=18 \\ c(a+d)=-4 \\ d^{2}+b c=7\end{array} \Rightarrow\right.$ scăzând ec 1 și 3 obținem $(a-d)(a+d)=0$, dar $a+d \neq 0 \Rightarrow a=d \ldots \ldots \ldots . .2 \mathbf{2 p}$ + +Ecuațiile 2 și 3 conduc la $b=\frac{9}{a}, c=-\frac{2}{a} \Rightarrow$ în ec1 avem $a^{2}-\frac{18}{a^{2}}=7 \Rightarrow a_{1}=3, a_{2}=-3 \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 p$ + +Pt $a=3 \Rightarrow d=3, b=3, c=-\frac{2}{3} \Rightarrow X_{1}=\left(\begin{array}{cc}3 & 3 \\ -\frac{2}{3} & 3\end{array}\right)$ si pt $a=-3=d \Rightarrow b=-3, c=\frac{2}{3} \Rightarrow X_{2}=\left(\begin{array}{cc}-3 & -3 \\ \frac{2}{3} & -3\end{array}\right) . .2 \mathbf{p}$ + +## Problema 4 + +a)Verificare prin calcul direct. + +b) $\left\{\begin{array}{l}f(1)=\operatorname{det}(A+B)=1 \Rightarrow 1+\alpha+\operatorname{det} B=1 \\ f(-1)=\operatorname{det}(A-B)=3 \Rightarrow 1-\alpha+\operatorname{det} B=3\end{array}\right.$ + +$\Rightarrow$ scăzând relațiile obținem $\alpha=-1$ și apoi det $B=1$ + +$.2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-46-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL TREILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-46-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL TREILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab8d2a631a0079896e74e174f124daa3e7fc970c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-46-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL TREILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biii.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# Al treilea test de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 26 aprilie 2018 + +Problema 1. Determinaţi numerele prime $p$ pentru care numărul $a=7^{p}-p-16$ este pătrat perfect. + +## Lucian Petrescu + +Soluţie: $p=2$ nu verifică. $p=3$ este soluţie: $a=7^{3}-3-16=324=18^{2}$. Arătăm că nu avem alte soluţii. Fie $p \geq 5$ un număr prim. Dacă $p \equiv 1(\bmod 4)$, atunci $a \equiv 2(\bmod 4)$, deci $a$ nu este pătrat perfect. Se constată uşor că $p=7$ nu este soluţie (calculând $a$, ultimele două cifre ale lui $a$ sau observând că $a \equiv 5(\bmod 7))$. Dacă $p>7$ este un număr prim de forma $4 k+3$, atunci din mica teoremă a lui Fermat rezultă că $7^{p} \equiv 7(\bmod p)$, deci $a \equiv-9(\bmod p)$, adică $p \mid a+9$. Dacă $a$ ar fi pătrat perfect, atunci $p$ divide $a+9=b^{2}+3^{2}$ implică $p$ divide $b$ şi $p$ divide 3 , ceea ce nu se poate. Prin urmare, singura soluţie a problemei este $p=3$. + +Problema 2. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic în care $A B \neq A C$. Fie $D$ mijocul laturii $[B C]$, iar $E$ şi $F$ proiecţiile lui $D$ pe laturile $A B$, respectiv $A C$. Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[E F]$, iar $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$, demonstraţi că dreptele $D M$ şi $A O$ sunt paralele. + +## Soluţie: + +Fie $\{S\}=A O \cap B C$ sुi $T$ punctul în care dreapta $A D$ intersectează pentru a doua oară cercul circumscris triunghiului $A B C$. Patrulaterele $A B T C$ si $A E D F$ sunt inscriptibile, deci $\angle T B D \equiv$ $\angle T A C \equiv \angle D E F$ şi $\angle T C D \equiv \angle T A B \equiv \angle D F E$. Rezultă că triunghiurile $D E F$ şi $T B C$ sunt asemenea. Atunci $\frac{T B}{D E}=\frac{B C}{E F}=\frac{B C / 2}{E F / 2}=\frac{B D}{E M}$. Rezultă atunci că şi triunghiurile $T B D$ şi $D E M$ sunt asemenea, deci $\angle E D M \equiv \angle B T D \equiv \angle A C B$, deci $m(\angle B D M)=m(\angle B D E)+m(\angle E D M)=$ $90^{\circ}-m(\angle A B C)+m(\angle A C B)$. Deoarece $m(\angle O A C)=90^{\circ}-m(\angle A B C)$, rezultă că $m(\angle A S B)=$ $m(\angle S A C)+m(\angle A C B)=90^{\circ}-m(\angle A B C)+m(\angle A C B)=m(\angle M D B)$, de unde rezultă că $A S$ este paralelă cu $M D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c66812a6f526814a022cg-1.jpg?height=517&width=491&top_left_y=1780&top_left_x=797) + +Problema 3. Fie $A B C D$ un patrulater inscriptibil. Paralela prin $A$ la $B D$ intersectează paralela prin $B$ la $A C$ în punctul $E$. Cercul circumscris triunghiului $A B E$ intersectează a doua oară dreptele $E C$ şi $E D$ în punctele $F$, respectiv $G$. Arătaţi că dreptele $A B, C D$ şi $F G$ sunt paralele sau concurente. + +Soluţie: Cum $\varangle A C B \equiv \varangle A D B$, punctele $C$ şi $D$ sunt fie ambele în interiorul cercului circumscris triunghiului $A B E$, fie ambele pe acest cerc, fie ambele în exteriorul cercului. Avem aşadar trei cazuri: $F \in(E C)$ sुi $G \in(E D)$, sau $F=C, G=D$ (caz în care afirmaţia din enunţ este evidentă), sau $C \in(E F), D \in(E G)$. Tratăm numai primul caz, cel de-al treilea fiind analog. Avem că $m(\varangle F D C)=m(\varangle F D B)+m(\varangle B D C)=m(\varangle F E A)+m(\varangle B A C)=\frac{m(A F)}{2}+m(\varangle A B E)=$ $\frac{m(A F)+m(A E)}{2}=m(\varangle F G E)$, deci patrulaterul $F G C D$ este inscriptibil. Observăm că dreapta $A B$ este axa radicală a cercurilor circumscrise triunghiului $A B E$ şi patrulaterului $A B C D$, dreapta $F G$ este axa radicală cercurilor circumscrise triunghiului $A B E$ şi patrulaterului $F G C D$ şi dreapta $C D$ este axa radicală a cercurilor circumscrise patrulaterului $A B C D$ şi patrulaterului $F G C D$. Ori se ştie că axele radicale a trei cercuri sunt fie paralele, fie concurente. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c66812a6f526814a022cg-2.jpg?height=503&width=556&top_left_y=882&top_left_x=750) + +Problema 4. Se consideră $n$ greutăţi, $n \geq 2$, având masele $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$, unde $m_{k} \in \mathbb{N}$, $1 \leq m_{k} \leq k$ pentru orice $k \in\{1,2, \ldots, n\}$. Demonstraţi că putem aşeza greutăţile pe talerele unei balanţe astfel încât aceasta să stea în echilibru dacă şi numai dacă $m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}$ este număr par. + +Olimpiadă Estonia + +Soluţia 1: Este evident că pentru ca greutăţile să poată echilibra balanţa suma maselor trebuie să fie pară (şi anume dublul sumei maselor greutăţilor dintr-un taler). + +Reciproc, demonstrăm prin inducţie ,,tare" după $n$ că dacă suma maselor este pară atunci greutăţile pot echilibra o balanţă. Presupunem aşadar afirmaţia adevărată pentru orice $k Etapa locală -14.02.2015
Clasa a X-a M $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Rezolvaţi în mulțimea $\mathbb{R}$ ecuaţia: $\log _{3}\left(8+2 x-x^{2}\right)=2^{x-1}+2^{1-x}$. + +## Problema 2 + +Dacă $z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ și $\frac{z^{2}+z+1}{z^{2}-z+1} \in \mathbb{R}$, arătaţi că $|z|=1$. + +## Problema 3 + +Rezolvați în mulțimea $\mathbb{R}$ ecuația : $\sqrt{x-2}+\sqrt[3]{4-x}=2$. + +## Problema 4 + +Să se determine toate funcțiile $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ care verifică relația: + +$x^{2}+2 f(x y)+y^{2}=f^{2}(x+y) \quad \forall x, y \in \mathbb{N}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a X-a M $\mathbf{M}_{1}$
Soluții și bareme + +## Problema 1 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73d71b9fa85a2ce33abfg-2.jpg?height=71&width=1696&top_left_y=664&top_left_x=239) + +Pt $x \in(-2,4) \Rightarrow-\left(x^{2}+2 x+8\right) \in(0,9] \Rightarrow \log _{3}\left(-x^{2}+2 x+8\right) \leq \log _{3} 9=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{m}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73d71b9fa85a2ce33abfg-2.jpg?height=78&width=1696&top_left_y=850&top_left_x=239) + +Deci egalitatea poate avea loc doar pt $\log _{3}\left(-x^{2}+2 x+8\right)=2^{x-1}+2^{1-x}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +Soluția este $\mathrm{x}=1$ + +$1 p$ + +Problema 2 + +$$ +A=\frac{z^{2}+z+1}{z^{2}-z+1} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow A=\bar{A} \Leftrightarrow \frac{z^{2}+z+1}{z^{2}-z+1}=\frac{\bar{z}^{2}+\bar{z}+1}{\bar{z}^{2}-\bar{z}+1} +$$ + +Prelucrând relația (1) și folosind $z \cdot \bar{z}=|z|^{2} \Rightarrow 2(z-\bar{z})\left(|z|^{2}-1\right)=0$ + +Cum $z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \Rightarrow(z-\bar{z}) \neq 0$, deci $|z|^{2}=1$ și cum $|z| \geq 0 \Rightarrow|z|=1$ + +## Problema 3 + +CE: $x \geq 2 \Rightarrow x \in[2, \infty)$, notăm $\sqrt{x-2}=u \geq 0$ și $\sqrt[3]{4-x}=v \Rightarrow u+v=2 \Rightarrow u=2-v$ (1). + +$\left\{\begin{array}{l}u^{2}=x-2 \\ v^{3}=4-x\end{array} \Rightarrow u^{2}+v^{3}=2\right.$ $\qquad$ +$\operatorname{Din}(1)$ și (2) $\Rightarrow v^{3}+v^{2}-4 v+2=0 \Leftrightarrow(v-1)\left(v^{2}+2 v-2\right)=0 \Rightarrow v_{1}=1, v_{2}=-1+\sqrt{3}, v_{3}=-1-\sqrt{3}$ + +$u_{1}=1 \Rightarrow x_{1}=3 \geq 2 ; u_{2}=3-\sqrt{3} \Rightarrow x_{2}=14-6 \sqrt{3} \geq 2, u_{3}=3+\sqrt{3} \Rightarrow x_{3}=14+6 \sqrt{3} \geq 2$. . $.2 p$ + +Problema 4 + +Pt $\mathrm{x}=\mathrm{y}=0 \Rightarrow 2 f(0)=f^{2}(0) \Rightarrow f(0)=0$ sau $f(0)=2$ + +$.2 p$ + +Pt $\mathrm{y}=0 \Rightarrow x^{2}+2 f(0)=f^{2}(x), \forall x \in \mathbb{N}$, dar $f(x) \in \mathbb{N}$ pt $\forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow f(x)=\sqrt{x^{2}+2 f(0)}$ + +Pt $f(0)=0 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x^{2}}=|x|=x, \forall x \in \mathbb{N}$, deci $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=x, \forall x \in \mathbb{N}$ soluție. 1p + +Pt $f(0)=2 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x^{2}+4}, \forall x \in \mathbb{N}$, dar pt $\mathrm{x}=1 \Rightarrow f(1)=\sqrt{5} \notin \mathbb{N}$, deci nu convine. $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-461-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-461-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65ae93bd5ee5554106e04390fd7d2e99690d1b8e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-461-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a IX-a $\mathbf{M}_{1}$ + +## Problema 1 + +Fie $a, b, c \in(0 . \infty)$ şi $a+b+c=2016$. + +Să se arate că $\sqrt{a b+a c}+\sqrt{a b+b c}+\sqrt{a c+b c} \leq 3024$. + +## Problema 2 + +Rezolvați ecuația : $\left[x+\frac{1}{2}\right]+\left[x+\frac{1}{3}\right]=1$, unde $[a]$ reprezintă partea intreagă a numărului real $a$. + +## Problema 3 + +Fie $A B C D$ un patrulater convex, punctul $P$ mijlocul segmentului $[A B]$,punctele $M \in[B C]$ și $N \in[A D]$ astfel încât $\frac{B M}{B C}=\frac{A N}{A D}=\frac{1}{3}$. + +a) Exprimați vectorii $\overrightarrow{P M}$ și $\overrightarrow{P N}$ in funcție de vectorii $\overrightarrow{P A}, \overrightarrow{P C}, \overrightarrow{P D}$. + +b) Demonstrați că mijloacele segmentelor $[A B],[M N]$ și $[C D]$ sunt coliniare. + +## Problema 4 + +Cel mai mic dintre unghiurile unui poligon convex măsoară $132^{\circ}$. Aflați numărul laturilor poligonului, știind că măsurile unghiurilor sale sunt numere în progresie aritmetică de rație $2^{\circ}$.(se știe că suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu $n$ laturi , $n \geq 3$, este $(n-2) \cdot 180^{\circ}$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015 + +## Clasa a IX-a $\mathrm{M}_{1}$ + +Soluții și bareme + +## Problema 1 + +Aplicăm inegalitatea mediilor: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7a86f4448317ddd40479g-2.jpg?height=98&width=1437&top_left_y=824&top_left_x=252) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7a86f4448317ddd40479g-2.jpg?height=103&width=1437&top_left_y=951&top_left_x=252) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7a86f4448317ddd40479g-2.jpg?height=108&width=1439&top_left_y=1079&top_left_x=251) + +Prin sumarea relațiilor de mai sus se obtine inegalitatea din enunț......................1p + +## Problema 2 + +Notăm $\left[x+\frac{1}{2}\right]=k \in \mathbb{Z} \Rightarrow\left[x+\frac{1}{3}\right]=1-k$ + +Scriem inegalitățile pt cele două părți întregi: + +$$ +\begin{aligned} +& k-\frac{1}{2} \leq x Etapa locală -14.02.2015
Clasa a VIII-a + +## Problema 1 + +Fie numerele reale $a=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ şi $b=1-\sqrt{2}+\sqrt{3}$. + +a) Arătaţi că numărul $a \cdot b-\sqrt{24}$ este număr întreg + +b) Raţionalizaţi numitorul fracţiei $\frac{a+b}{a-b}$ + +c) Arătaţi că numărul $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{-1}$ se află în intervalul $\left(0 ; \frac{1}{2}\right)$. + +## Problema 2 + +Fie expresia $E(x)=x^{9}+2 x^{8}+2 x^{7}+\cdots+2 x+1$. + +a) Calculaţi $E(-1)$ + +b) Arătaţi că $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{6}+x^{3}+1\right)=x^{9}+x^{7}+x^{6}+\cdots+x+1$ + +c) Descomuneţi în factori expresia $E(x)$ + +## Problema 3 + +Fie prisma triunghiulară regulată dreaptă $\mathrm{ABC} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ cu $A B=2 a$ şi $A A^{\prime}=a$ + +a) Arătaţi că perimetrul triunghiului $\mathrm{ACB}$ ' este mai mare dacât perimetrul patrulaterului BCC'B' + +b) Demonstraţi că suprafețele $A C B$ ' şi $B C C$ ' $B$ ' sunt echivalente + +c) Dacă B'E este bisectoarea unghiului $A^{\prime} B^{\prime} B, E \in A B$ şi $M$ este mijlocul lui $[B C]$, demonstraţi că $A^{\prime} C^{\prime} \|\left(B^{\prime} M E\right)$ + +## Problema 4 + +Fie ABCD un pătrat care se îndoaie după diagonala AC. + +a) Dacă $(D A C) \perp(A B C)$, demonstraţi că triunghiul DAB este echilateral. + +b) Dacă $m(\Varangle(D A C) ;(A B C))=60^{\circ}$ şi $\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}$, calculaţi lungimea lui $[B D]$ + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare
Clasa a VIII-a + +## Problema 1. + +a) $a \cdot b-\sqrt{24}=(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})-2 \sqrt{6}$ $\qquad$ +$=-4 \in \mathbb{Z}$ + +b) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}+1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2}{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{1}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$ + +$$ +=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3} +$$ + +c) $a^{2}=(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}=6+2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6}-2 \sqrt{3}$ + +$b^{2}=(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=6-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{6}+2 \sqrt{3}$ $1 p$ + +$a^{2}+b^{2}=12-4 \sqrt{6} ;\left(a^{2}+b^{2}\right)^{-1}=\frac{1}{12-4 \sqrt{6}}=\frac{1}{4(3-\sqrt{6})}=\frac{3+\sqrt{6}}{12}$ + +$\operatorname{Din} 2<\sqrt{6}<3 \Rightarrow 3+\sqrt{6}<6 \Rightarrow \frac{3+\sqrt{6}}{12}<\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ + +Rezulta ca $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{-1} \in\left(0 ; \frac{1}{2}\right)$ + +## Problema 2. + +a) $E(-1)=0$ + +b) Verificare relatie $1 p$ + +c) $E(x)=x^{9}+x^{8}+x^{8}+x^{7}+\cdots+x+x+1$ $1 p$ $E(x)=\left(x^{9}+x^{8}\right)+\left(x^{8}+x^{7}\right)+\cdots+x+(x+1)$ $1 p$ $E(x)=(x+1)\left(x^{8}+x^{7}+\cdots+x+1\right)$ $1 \mathrm{p}$ + +Din $b)$ Rezulta ca $E(x)=(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{6}+x^{3}+1\right)$ + +## Problema 3 . + +Solutie +a) $\triangle B^{\prime} B A \equiv \triangle B^{\prime} B C$ (C.C.) $\Rightarrow\left[B^{\prime} A\right] \equiv\left[B^{\prime} C\right] \Rightarrow \triangle B^{\prime} A C$ isoscel + +$$ +\begin{aligned} +& \text { În } \triangle B^{\prime} B A: \mathrm{m}(\hat{B})=90^{0} \stackrel{T . P .}{\Rightarrow} B^{\prime} A=a \sqrt{5} \\ +& \Rightarrow P_{\triangle A C B^{\prime}}=A C+C B^{\prime}+B^{\prime} A=2 a+2 a \sqrt{5}=2(1+\sqrt{5}) a +\end{aligned} +$$ + +$P_{B C C^{\prime} B^{\prime}}=2\left(B C+C C^{\prime}\right)=2(2 a+a)=6 a$ + +Avem $2<\sqrt{5}<3 \Rightarrow 1+\sqrt{5}>3 \Rightarrow 2(1+\sqrt{5})>6 \stackrel{\text { 1) si } 2)}{\Longrightarrow} P_{\triangle A C B^{\prime}}>P_{B C C^{\prime} B^{\prime}}$ + +$\mathrm{A}^{\prime}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7de31aeb5461c67704d2g-3.jpg?height=765&width=605&top_left_y=520&top_left_x=1226) + +b) Fie $B^{\prime} F \perp A C \Rightarrow B^{\prime} F=2 a$ (T.P. in triunghiul AFB') + +$A_{\triangle A C B^{\prime}}=\frac{A C \cdot B^{\prime} F}{2}=\frac{2 a \cdot 2 a}{2}=2 a^{2}$ + +(3) + +$A_{B C C^{\prime} B^{\prime}}=B C \cdot C C^{\prime}=2 a \cdot a=2 a^{2}$ + +Din (3) si (4) rezulta ca $A_{\triangle A C B^{\prime}}=A_{B C C^{\prime} B^{\prime}}$ $.2 \mathrm{p}$ + +c) ( $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{E}-$ bisectoarea unghiului $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{B} \Rightarrow m \Varangle\left(A^{\prime} B^{\prime} E\right)=m \Varangle\left(E B^{\prime} B\right)=45^{0}$ + +$\Rightarrow$ triunghiul $E B B^{\prime}$ este dreptunbhic isoscel $\Rightarrow E B=B B^{\prime}=a$ $A B=2 a \Rightarrow A E=A B-B E=a \Rightarrow A E=E B$ (E mijlocul lui $A B$ ) + +$M$ mijlocul lui $[B C] \Rightarrow(E M)$ linie mijlocie in tr. $A B C$ + +Finalizare $A^{\prime} C^{\prime} \|\left(B^{\prime} M E\right)$ + +## Problema 4 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7de31aeb5461c67704d2g-4.jpg?height=526&width=824&top_left_y=371&top_left_x=1019) + +B +a) $(D A C) \perp(A B C),(D A C) \cap(A B C)=[A C]$ + +Fie $D E \perp A C \Rightarrow D E \perp(A B C)$. + +$\triangle A D C$ dr.is. , $D E$ inaltime $\Rightarrow D E$ mediana $\Rightarrow$ + +E mijlocul lui $[A C] \Rightarrow E D=\frac{A C}{2}$ + +Analog $B E$ mediana coresp. ipotenuzei $A C \Rightarrow B E=\frac{A C}{2}$ + +(2) $\qquad$ +Din (1) si (2) $[D E]=[B E] \Rightarrow \triangle D E B$ tr.dr.is. + +Notam latura patratului initial cu $a \Rightarrow A C=a \sqrt{2}$ + +$D E=E B=\frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow D B=a \Rightarrow \triangle A B D$ echilateral $\qquad$ +b) + +Fie $B M \perp A C$ + +$\triangle A B C$ dr. is. $\Rightarrow B M$ mediana $\Rightarrow B M=\frac{A C}{2}$ + +$1 p$ + +Analog $D M=\frac{A C}{2} \quad, \triangle B M D$ isoscel , + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7de31aeb5461c67704d2g-4.jpg?height=468&width=680&top_left_y=1601&top_left_x=1189) + +$m(\Varangle(A B C),(A C D))=60^{\circ}$ rezulta $\triangle B M D$ echilateral + +$1 p$ + +Finalizare $B D=B M=M D=\frac{A C}{2}=\frac{12 \sqrt{2}}{2}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-463-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-463-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa0764043a89add567904e6826ac7948333e2437 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-463-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,116 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a VII-a + +## Problema 1 + +## Calculaţi : + +a) $2,7 \cdot\left\{3-\frac{18}{19}[0,5+0,(5)]\right\}-13$ + +b) $\frac{1}{0,(3)}+\frac{1}{0,(03)}+\frac{1}{0,(003)}+\frac{1}{0,(0003)}$ + +## Problema 2 + +Aflaţi numărul $a \in \mathbb{N}$ care verifică relaţia : + +$$ +\begin{aligned} +& a^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{2014} \text { ştiind că } \\ +& n=\sqrt{2015} \cdot \sqrt{45+\sqrt{10}} \cdot \sqrt{7+\sqrt{4+\sqrt{10}}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{4+\sqrt{10}}} +\end{aligned} +$$ + +## Problema 3 + +Fie ABCD un paralelogram cu $A C \cap B D=\{O\}$, M mijlocul lui $[O C]$ şi $\mathbf{N}$ mijlocul lui $[O D]$. Ştiind că $A_{\triangle B M C}=a^{2}$, calculaţi raportul dintre ariile patrulaterelor $\mathrm{ABCD}$ şi ABMN. + +## Problema 4 + +Fie ABCD trapez $(A B \| C D, A B Etapa locală -14.02.2015
Clasa a VI-a + +## Problema 1 + +Arătaţi că numerele $x$ şi $y$ sunt pătrate perfecte, dacă + +$$ +\begin{gathered} +x=\left[2^{30^{2}} \cdot\left(2^{6}\right)^{100} \cdot 2+\left(64^{4}\right)^{100}: 2^{899}\right]^{2}+2^{3007} \\ +y=\left(3^{2002}-3^{2001}-9^{1000}\right. +\end{gathered} +$$ + +Problema 2 + +Determinaţi cel mai mic număr natural $n$ pentru care $a=2^{n}+n^{2}$ este divizibil cu 10 + +## Problema 3 + +Ana, Bogdan şi Cristina locuiesc pe aceeaşi stradă (în această ordine) . La jumătatea distanţei dintre casa Anei şi cea a lui Bogdan este o cofetărie, iar la jumătatea distanţei dintre casa Anei şi cea a Cristinei este o librărie. Ştiind că distanţa dintre cofetărie şi librărie este de $100 \mathrm{~m}$, să se afle distanţa dintre casa lui Bogdan şi cea a Cristinei. + +## Problema 4 + +Fie unghiul AOB cu măsura de $135^{\circ}$. În interiorul său se consideră punctul $\mathrm{C}$ astfel încât $m(\Varangle A O C)=\frac{2}{3} m(\Varangle A O B)$. Pe dreapta $O B$ se consderă punctul $E$ astfel ca semidreptele (OE şi (OB să fie semidrepte opuse. Demonstraţi că : +a) $\Varangle B O C \equiv \Varangle A O E$ +b) $\Varangle A O B \equiv \Varangle C O E$ + +c) Dacă (OP este bisectoarea unghiului AOC, atunci (OA este bisectoarea unghiului EOP + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare Clasa a VI-a + +## Problema 1 + +$$ +\begin{aligned} +& x=\left(2^{900} \cdot 2^{600} \cdot 2+64^{400}: 2^{899}\right)^{2}+2^{3007} \quad \text {.......................................... 1p } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-2.jpg?height=65&width=1396&top_left_y=846&top_left_x=348) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-2.jpg?height=60&width=1361&top_left_y=924&top_left_x=390) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-2.jpg?height=69&width=1363&top_left_y=990&top_left_x=389) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-2.jpg?height=62&width=1480&top_left_y=1064&top_left_x=274) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-2.jpg?height=65&width=1517&top_left_y=1128&top_left_x=239) + +$$ +\begin{aligned} +& y=5 \cdot 3^{2000} \cdot 5=>y=\left(5 \cdot 3^{1000}\right)^{2} \text { pătratperfect................................................................................ 1p } +\end{aligned} +$$ + +## Problema 2 + +Problema 3 + +Notăm cu A, B, și C casele celor trei copii, , M cofetăria și L libraria. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-2.jpg?height=104&width=1266&top_left_y=2271&top_left_x=321) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-3.jpg?height=344&width=1282&top_left_y=305&top_left_x=259) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-3.jpg?height=52&width=1242&top_left_y=314&top_left_x=279) + +BL=x ........................................................................................................................ 1p + +$\mathrm{ML}=\mathrm{a}+\mathrm{x}=100 \mathrm{~m} \quad$............................................................................................... $1 p$ + +AL=LC=2a+x ........................................................................................................... 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-3.jpg?height=54&width=1242&top_left_y=588&top_left_x=279) + +Problema 4 + +Figură corectă $1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) } \mathrm{m}(\leftarrow \mathrm{AOC})=\frac{2}{3} * \mathrm{~m}\{\mathrm{AOB})=\frac{2}{3} * 1850 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b4e227635799097779ag-3.jpg?height=341&width=1504&top_left_y=1350&top_left_x=300) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { c) (OP- bisectoarea unghiului AOC } F>m(m( Etapa locală -14.02.2015
Clasa a V-a + +## Problema 1 + +Efectuaţi calculele: + +a) $7 \cdot 147-7 \cdot 47$ (1p) + +b) $(2+4+6+8+\cdots+50)-(1+3+5+7+\cdots+49)$ (2p) + +c) $10 \cdot 9^{2}: 3^{2}-3^{4} \quad(2 \mathrm{p})$ + +d) $(\overline{a b}+\overline{b c}+\overline{c a}):(a+b+c) \quad$ (2p) + +Problema 2 + +Se dau mulţimile : $A=\{0,1,2,3\}$ şi $B=\left\{2^{x} \mid x \in A\right\}$ + +a) Determinaţi elementele mulţimii $A \cap B$; + +b) Să se determine $\operatorname{card} M$, unde $M=\{\overline{a b c} \mid a, b, c \in A$ şi $a \neq b \neq c\}$. + +## Problema 3 + +Notăm $a \odot b=2 a+3 b-5$ unde $a, b \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Calculaţi 5 ○ 7 + +b) Rezolvaţi ecuaţia : $13 \cdot(2 \odot 2) \cdot(x \odot 8)=2015$ + +## Problema 4 + +Aflsaţi numerele de forma $\overline{a b c}$ ştiind că împărţind pe $\overline{a b c}$ la $\overline{b c}$ obţinem câtul 6 şi restul 5. + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare Clasa a V-a + +## Problema 1 + +a) 7400 ..................................................................................................................... 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dfc9162f0525ae4a7f10g-2.jpg?height=68&width=1493&top_left_y=920&top_left_x=262) + +c) $10 \cdot(9: 3)^{2}-3^{4}=$..................................................................................... 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dfc9162f0525ae4a7f10g-2.jpg?height=65&width=1434&top_left_y=1065&top_left_x=324) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dfc9162f0525ae4a7f10g-2.jpg?height=71&width=1480&top_left_y=1141&top_left_x=274) + += 11 ...................................................................................................................... 1p + +## Problema 2 + +a) $B=\{1,2,4,8\}$ $2 p$ + +$A \cap B=\{1,2\}$ + +$2 p$ + +b) Cifra $a$ poate fí aleasă în 3 moduri, cifra $b$ poate fi aleasă tot în 3 moduri, iar cifra $c$ în două moduri, deci sunt $3 \cdot 3 \cdot 2$ posibilităţi. Card $M=18$ $3 p$ + +## Problema 3 + +a) $\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b}=\mathbf{2 a}+\mathbf{3} \boldsymbol{b}-\mathbf{5}=>5 \bigcirc 7=2 \cdot 5+3 \cdot 7-5=\mathbf{2 6}$ + +b) $13 \cdot(2 \odot 2) \cdot(x \odot 8)=2015=>13 \cdot(2 \cdot 2+3 \cdot 2-5)(2 x+3 \cdot 8-5)=2015$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dfc9162f0525ae4a7f10g-2.jpg?height=66&width=1337&top_left_y=2011&top_left_x=363) + +## Problema 4 + +Conform TÎR a numerelor naturale avem $\overline{a b c}=6 \cdot \overline{b c}+5$ $1 p$ + +$\overline{b c}=20 a-1$ 2p + +Pentru $a=1=>\overline{b c}=19=>\overline{a b c}=119$ + +Pentru $a=2=>\overline{b c}=39=>\overline{a b c}=239$ + +Pentru $a=3=>\overline{b c}=59=>\overline{a b c}=359$ + +Pentru $a=4=>\overline{b c}=79=>\overline{a b c}=479$ + +Pentru $a=5=>\overline{b c}=99=>\overline{a b c}=599$ + +Pentru $a \geq 6$ nu există soluţii......................................................................................3p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dfc9162f0525ae4a7f10g-3.jpg?height=68&width=1545&top_left_y=676&top_left_x=274) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-466-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-466-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3095436b7426e4d0aef503b87211c3fa15de46ed --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-466-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Clasa a IV-a + +## Problema 1 + +Efectuaţi : $\quad 1+\{2+[3 \cdot(4+5)-6]+7 \cdot 8\}-9$ + +## Problema 2 + +Produsul a două numere este 24. Mărind unul dintre numere cu 2 produsul numerelor se măreşte cu 12. Aflaţi cele două numere. + +## Problema 3 + +i) În exerciţiul $8+10 \times 2+2 \times 8: 4$ puneţi o pereche de paranteze rotunde astfel încât să obţineţi: + +a) cel mai mic număr posibil (3 puncte) + +b) cel mai mare număr posibil (2 puncte) + +ii) Calculaţi $3 m+5 n+4 p$, ştiind că $m+n=25$ şi $n+2 p=65$. (2 puncte) + +## Problema 4 + +Un album costă cât două cărți, iar două cărți costă cât trei penare. Dacă două penare, două cărți şi un album costă 128 lei, aflaţi costul unui album, al unei cărţi şi al unui penar. + +Notă + +- Timp de lucru efectiv 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală -14.02.2015
Barem de notare
Clasa a IV-a + +## Problema 1 + +$$ +\begin{aligned} +& 1+[2+(3 \cdot 9-6)+56]-9=\ldots \ldots \\ +& =1+(2+23+56)-9=1+81-9=90+9=81 \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +## Problema 2 + +Notăm cu $a$ şi $\boldsymbol{b}$ cele două numere cu $\boldsymbol{a}b=6$ și $a=4$ $\qquad$ $4 p$ + +Dacă b se măreşte cu 2 , atunci se obține $a=6$ şi $b=4$ şi nu verifică $a Etapa locală, 28.02.2015
Clasa a XI-a + +## Subiecte: + +1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}m & m^{2} \\ -1 & -m\end{array}\right), m \in \mathbb{R}^{*}$. + +a) Arătați că matricea $I_{2}+A$ este inversabilă și inversa ei este $I_{2}-A$. + +b) Arătați că nu există matrice $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $X^{3}=A$. + +2. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ care verifică relaţia $A^{2}+A+I_{2}=O_{2}$. + +a) Să se găsească o matrice care verifică relația din enunț. + +b) Să se calculeze determinantul matricei $A$. + +3. Se dau șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1},\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$, unde + +$$ +\begin{aligned} +& x_{n}=\frac{(n+1) \cdot(n+2)}{1^{2}+\left(1^{2}+2^{2}\right)+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}\right)+\ldots \ldots . .+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots . .+n^{2}\right)}, a_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \\ +& b_{n}=\left(\frac{a_{n}}{12}\right)^{n} . \text { Să se determine limitele celor trei șiruri. } +\end{aligned} +$$ + +4. Se consideră $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică neconstantă de numere naturale nenule, de rație $r$ și se notează + +$$ +b_{n}=\lim _{x \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \left(a_{1} x\right)+\sin \left(a_{2} x\right)+\ldots+\sin \left(a_{k} x\right)}{\operatorname{tg}(1 \cdot x)+\operatorname{tg}(3 \cdot x)+\ldots+\operatorname{tg}((2 k-1) \cdot x)} +$$ + +Să se arate că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=\frac{r}{2} +$$ + +## Barem clasa a XI-a + +1. a) $A^{2}=O_{2}$ + +Proprietățile rezultă din relația: + +$\left(I_{2}+A\right)\left(I_{2}-A\right)=I_{2}-A^{2}=I_{2}$ $.2 p$. + +b) Dacă ar exista o matrice $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu $X^{3}=A$, trecând la determinanți $\Rightarrow(\operatorname{det} X)^{3}=$ $=\operatorname{det} A=0$ deci $\operatorname{det} X=0$. Dacă $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ din relația + +$X^{2}-(a+d) X+(a d-b c) I_{2}=O_{2}$ rezultă + +$X^{2}=(a+d) X$ și $X^{3}=(a+d)^{2} X=A$ și $(a+d)^{2}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m & m^{2} \\ -1 & -m\end{array}\right)$ + +Ar rezulta $\left\{\begin{array}{c}a(a+d)^{2}=m \\ d(a+d)^{2}=-m\end{array}\right.$ si prin adunare $(a+d)^{3}=0$, + +$\left\{\begin{array}{c}a+d=0 \\ X^{2}=(a+d) X\end{array}\right.$ deci $X^{2}=O_{2}$ si $X^{3}=A=O_{2}$ fals, deoarece $m \in \mathbb{R}^{*}$. + +$3 p$ + +2. a) Considerăm o matrice $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ cu $a+d=-1$ și $a d-b c=1$ de exemplu + +$A=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ +b) $A^{2}+A+I_{2}=O_{2}$ Înmulțind relația cu $A-I_{2}$ va rezulta $A^{3}-I_{2}=O_{2}$ deci $A^{3}=I_{2}$ şi $\operatorname{det}\left(A^{3}\right)=1$, adică $\left.\begin{array}{c}\operatorname{det} A)^{3}=1 \\ \operatorname{det} A \in \mathbb{R}\end{array}\right\} \Rightarrow \operatorname{det} A=1$. $4 p$ +3. $1^{2}+\left(1^{2}+2^{2}\right)+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}\right)+\ldots \ldots . .+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots \ldots .+n^{2}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots \ldots . .+k^{2}\right)$ Folosind formulele $1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}$ și $1^{3}+2^{3}+\ldots+k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$, rezultă $\frac{1}{6} \cdot \sum_{k=1}^{n}\left(2 k^{3}+3 k^{2}+k\right)=\frac{1}{6} \cdot\left[2 \cdot \frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4}+3 \cdot \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+\frac{n \cdot(n+1)}{2}\right]=$ $\frac{n \cdot(n+1)}{12} \cdot\left(n^{2}+n+2 n+1+1\right)=\frac{n \cdot(n+1)}{12} \cdot\left(n^{2}+3 n+2\right)=\frac{n \cdot(n+1)^{2} \cdot(n+2)}{12}$. $x_{n}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot 12}{n \cdot(n+1)^{2} \cdot(n+2)}=\frac{12}{n \cdot(n+1)}, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ $2 p$ $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{12}{k \cdot(k+1)}=12 \cdot \frac{n}{n+1}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=12$ $3 p$. +$\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n}=e^{-1}$. + +$.2 p$ + +4. Folosind limitele fundamentale și formulele $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}=\frac{k\left(a_{1}+a_{k}\right)}{2}$ și $1+3+5+$ $+\cdots+(2 k-1)=k^{2}$ rezultă + +$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(a_{1} x\right)+\sin \left(a_{2} x\right)+\ldots+\sin \left(a_{k} x\right)}{\operatorname{tg}(1 \cdot x)+\operatorname{tg}(3 \cdot x)+\ldots+\operatorname{tg}((2 k-1) \cdot x)}=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{k}}{1+3+5+\ldots+(2 k-1)}=\frac{a_{1}+a_{k}}{2 k}$ + +$4 p$ + +Se obține că $\frac{a_{1}+a_{k}}{2 k}=\frac{2 a_{1}-r}{2 k}+\frac{r}{2}$ şi $b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2 a_{1}-r}{2 k}+\frac{r}{2}\right)=\frac{2 a_{1}-r}{2} \cdot\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)+\frac{n r}{2}$. + +$.2 p$. + +Cu criteriul Stolz-Cesaro se obține că $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}{n}=0$. + +Rezultă că $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{b_{n}}{n}=\frac{r}{2}$ + +$1 p$ + +Observație.Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se punctează cu punctajul maxim acordat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-469-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-469-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26e924185503e1c1630268efc3ddcbbfe3a046ad --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-469-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,72 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală, 28.02.2015
Clasa a X-a + +## Subiecte: + +1. Fie $x, a, b, c>1$. Să se arate că numerele $\log _{b c} x, \log _{a c} x, \log _{a b} x$ sunt în progresie aritmetică dacă și numai dacă $\left(\log _{x} a\right)^{2},\left(\log _{x} b\right)^{2},\left(\log _{x} c\right)^{2}$ sunt în progresie aritmetică. +2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, astfel încât $f(f(x))=x+1, \forall x \in \mathbb{R}$. + +a) Să se găsească o funcție care verifică relația din enunț. + +b) Să se arate că $f(x+1)=f(x)+1, \forall x \in \mathbb{R}$. + +c) Să se arate că funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=f(x)-x$ nu este injectivă. + +3. Să se rezolve ecuaţia: + +$$ +\frac{1}{\sqrt{5^{x}+12^{x}}}+\sqrt{x+7}=\frac{14}{13}+\sqrt{x+2} +$$ + +4. Dacă $u, v \in \mathbb{C}$, să se demonstreze inegalitatea: + +$$ +|1+\overline{\mathrm{u}} \mathrm{v}|^{2} \leq\left(1+|u|^{2}\right)\left(1+|v|^{2}\right) +$$ + +## Barem clasa a X-a + +1. $2 \log _{a c} x=\log _{b c} x+\log _{a b} x \Leftrightarrow \frac{2}{\log _{x} a+\log _{x} c}=\frac{1}{\log _{x} b+\log _{x} c}+$ $\frac{1}{\log _{x} a+\log _{x} b} \Leftrightarrow \frac{2}{\log _{x} a+\log _{x} c}=\frac{\log _{x} a+2 \log _{x} b+\log _{x} c}{\left(\log _{x} b+\log _{x} c\right)\left(\log _{x} a+\log _{x} b\right)}$ + +Egalând produsele pe diagonală, după reduceri rezultă relația: + +$$ +2\left(\log _{x} b\right)^{2}=\left(\log _{x} a\right)^{2}+\left(\log _{x} c\right)^{2} +$$ + +2. a) Putem considera $f$ de forma $f(x)=a x+b$ și va rezulta $a^{2} x+a b+b=$ $=x+1 \forall x \in \mathbb{R}$. De exemplu, $a=1$ și $b=\frac{1}{2}$ verifică, $f(x)=x+\frac{1}{2}$ $2 p$. +b) $f(f(x))=x+1 \Rightarrow f(f(f(x)))=f(x+1)$ + +Înlocuind în relaţia din enunţ $x$ cu $f(x)$ rezultă $f(f(f(x)))=f(x)+1$ (2). + +Din (1) și (2) rezultă $f(x+1)=f(x)+1$ + +$2 p$ +c) $g(0)=f(0)$ + +$g(1)=f(1)-1$ + +Din relația de la b), pentru $x=0 \Rightarrow f(1)=f(0)+1$, deci $f(1)-1=f(0)$ Deci $g(0)=g(1)$ și $g$ nu este injectivă.... + +$3 p$ +3. $\frac{1}{\sqrt{5^{x}+12^{x}}}+\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}=\frac{14}{13}$ sau $\frac{1}{\sqrt{5^{x}+12^{x}}}+\frac{5}{\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}}=\frac{14}{13}$ $.2 p$ + +$x=2$ verifică ecuația, iar funcția din membrul stâng este strict descrescătoare deci $x=2$ este singura soluție + +$5 p$ + +4. Folosind relația $|z|^{2}=z \quad \bar{z}$ inegalitatea se mai scrie : + +$(1+\bar{u} v)(1+u \bar{v}) \leq(1+u \bar{u})(1+v \bar{v}) \Leftrightarrow 1+(u \bar{v}+\bar{u} v)+u \bar{u} v \bar{v} \leq 1+$ $+u \bar{u}+v \bar{v}+u \bar{u} v \bar{v}$ + +(toți termenii din membrul stâng sau drept sunt numere reale, fiind sume sau produse de numere complexe conjugate). Reducând, se ajunge la + +$$ +\begin{aligned} +& (u-v)(\bar{v}-\bar{u}) \leq 0 \text { sau }-(u-v)(\bar{u}-\bar{v})=-(u-v) \cdot \overline{(u-v)}= +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_981331d63e6d9eda1093g-3.jpg?height=63&width=1468&top_left_y=354&top_left_x=337) + +Observație.Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se punctează cu punctajul maxim acordat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-47-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL DOILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-47-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL DOILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..15b9f3f2336cbcccade8a2a0d796d10adfbce4f2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-47-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL DOILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bii.md @@ -0,0 +1,164 @@ +# Al doilea test de selectie pentru OBMJ
Bucureşti, 25 aprilie 2018 + +Problema 1. Determinaţi toate triplete $(a, b, c)$ de numere reale pentru care au loc simultan relaţiile: + +$$ +\begin{aligned} +& a\left(b^{2}+c\right)=c(c+a b) \\ +& b\left(c^{2}+a\right)=a(a+b c) \\ +& c\left(a^{2}+b\right)=b(b+c a) +\end{aligned} +$$ + +Olimpiadă Cehia şi Slovacia + +Soluţie: Fie $(a, b, c)$ o soluţie a sistemului. Dacă unul dintre numerele $a, b, c$ este egal cu 0 , de exemplu dacă $c=0$, atunci din $c\left(a^{2}+b\right)=a(b+c a)$ rezultă $a=0$, apoi, similar, că $b=0$. Aşadar, dacă $a b c=0$, atunci $a=b=c=0$. Căutăm în continuare soluţii cu $a b c \neq 0$. Relaţiile din enunţ se pot rescrie echivalent + +$$ +\begin{aligned} +& a b(b-c)=c(c-a) \\ +& b c(c-a)=a(a-b) \\ +& c a(a-b)=b(b-c) . +\end{aligned} +$$ + +Astfel, $a^{2} b^{2} c^{2}(a-b)(b-c)(c-a)=a b c(a-b)(b-c)(c-a)$. + +Cazul 1: Printre numerele $a, b, c$ există (cel puţin) două egale; fie acestea $a$ şi $b$. Avem + +$$ +a^{2} c+b c=b^{2}+a b c \Leftrightarrow b c=b^{2} \Leftrightarrow c=b +$$ + +deci în acest caz rezultă $a=b=c$. Reciproc, orice triplet cu componentele egale satisface relaţiile date. + +Cazul 2: Dacă $a \neq b \neq c \neq a$, atunci $a b c=1$. Rezultă că $a b(b-c)=c(c-a) \Leftrightarrow(b-c)=c^{2}(c-a)$ şi încă două relaţii similare. Rezultă că + +$$ +a^{3}+b^{3}+c^{3}=a c^{2}+b a^{2}+c b^{2} +$$ + +Dacă $a, b, c>0$, atunci din inegalitatea mediilor avem $a^{3}+a^{3}+b^{3} \geq 3 b a^{2}$ (cu egalitate dacă $a=b$ ) care, adunată cu analoagele, conduce la $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a c^{2}+b a^{2}+c b^{2}$. Avem aşadar egalitate în inegalitatea precedentă, deci $a=b=c$. + +Dacă una din variabile este pozitivă, iar celelalte două negative, de exemplu $a>0, b, c<0$, atunci + +$$ +b\left(c^{2}+a\right)=a(a+b c)=a^{2}+1>0 \Rightarrow a<0 +$$ + +contradicţie. + +În concluzie, singurele soluţii sunt $(a, b, c)=(x, x, x), \forall x \in \mathbb{R}$. + +Problema 2. Fie $A B C$ un triunghi ascuţitunghic în care $A B0\right\}$, + +$$ +A+A=\{a+b \mid a, b \in A\}, \quad A \cdot A=\{a \cdot b \mid a, b \in A\} +$$ + +Arătaţi că: + +i) $A+A \neq A \cdot A$; + +ii) $(A+A) \cap \mathbb{N}=(A \cdot A) \cap \mathbb{N}$. + +## Soluţie: + +i) Fie $a=1+\frac{1}{1}=2 \in A, b=2+\frac{1}{2} \in A$. Avem + +$$ +a+b=2+2+\frac{1}{2}=\frac{9}{2} \in A+A +$$ + +Arătăm că $\frac{9}{2} \notin A \cdot A$. Presupunem prin absurd că + +$$ +\frac{9}{2}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\left(\frac{z}{t}+\frac{t}{z}\right)=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(z^{2}+t^{2}\right)}{x y z t} +$$ + +$\mathrm{cu}(x, y)=(z, t)=1, x, y \in \mathbb{N}^{*}$. + +Rezultă $3 \mid x^{2}+y^{2}$ sau $3\left|z^{2}+t^{2} \Rightarrow 3\right| x$ sau $3 \mid y$ sau $3 \mid z$ şi $3 \mid t$ + +$$ +\Rightarrow(x, y) \neq 1 \text { sau }(z, t) \neq 1 \text { contradicţie } +$$ + +ii) Arătăm că $A \cdot A \subset A+A$. + +$$ +\left(q_{1}+\frac{1}{q_{1}}\right)\left(q_{1}+\frac{1}{q_{2}}\right)=\left(q_{1} q_{2}+\frac{1}{q_{1} q_{2}}\right)+\left(\frac{q_{1}}{q_{2}}+\frac{q_{2}}{q_{1}}\right) \in A+A +$$ + +deci + +$$ +(A \cdot A) \cap \mathbb{N} \subset(A+A) \cap \mathbb{N} +$$ + +Incluziunea inversă: + +$$ +(A+A) \cap \mathbb{N} \subset(A \cdot A) \cap \mathbb{N} +$$ + +Fie + +$$ +n=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{z}{t}+\frac{t}{z}\right)=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right) z t+\left(z^{2}+t^{2}\right) x y}{x y z t} \in \mathbb{N} +$$ + +$\operatorname{cu} x, y, z, t \in \mathbb{N},(x, y)=(z, t)=1$. Avem: + +$$ +\left(x^{2}+y^{2}, x y\right)=1 \text { şi }\left(z^{2}+t^{2}, z t\right)=1 +$$ + +deci rezultă + +$$ +x y \mid z t \text { şi } z t \mid z y \Rightarrow x y=z t +$$ + +Luăm $q_{1}=\frac{z}{y}, q_{2}=\frac{x}{z}$ şi avem: + +$$ +\begin{gathered} +\left(q_{1}+\frac{1}{q_{1}}\right)\left(q_{2}+\frac{1}{q_{2}}\right)=\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z^{2}}{x y}+\frac{x y}{z^{2}} \\ +=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z^{2}}{z t}+\frac{z t}{z^{2}}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{z}{t}+\frac{t}{z}\right)=n \in A+A +\end{gathered} +$$ + +Problema 4. Fie o tablă $2018 \times$ 2018. Numim dală LC o dală formată din 9 pătrăţele unitate congruentă cu cea din figura de mai jos + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fbc9a4a5e943c67ef798g-3.jpg?height=143&width=157&top_left_y=2341&top_left_x=961) + +Care este numărul maxim de dale LC ce pot fi aşezate fără suprapuneri pe tablă? (Fiecare din cele 9 pătrăţele unitate ale dalei trebuie să se suprapună peste una din pătrăţelele unitate ale tablei; o dală poate fi rotită, simetrizată, etc.) + +Alexandru Gîrban + +## Soluţie: + +Numerotăm liniile şi coloanele de la 1 la 2018. Colorăm cu negru pătrăţelele unitate care au ambele coordonate divizibile cu 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fbc9a4a5e943c67ef798g-4.jpg?height=577&width=828&top_left_y=771&top_left_x=637) + +Sunt $672^{2}$ pătrăţele negre. Observăm că fiecare dală LC acoperă exact un pătrăţel negru, deci putem plasa pe tablă cel mult $672^{2}$ dale. Pe de altă parte, exemplul de mai jos indică un mod de a aşeza pe tablă $672^{2}$ dale. Aşadar maximul căutat este $672^{2}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fbc9a4a5e943c67ef798g-4.jpg?height=586&width=804&top_left_y=1548&top_left_x=637) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-470-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-470-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa9bfb87527621a2cf00d96ba32bd900601ff010 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-470-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală, 28.02.2015
Clasa a VIII-a + +## Subiecte: + +1. Se consideră expresia $E(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}(x+1)^{2}}, x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,0\}$. + +a) Arătați că $E(x)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}$ pentru $x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,0\}$. + +b) Arătați că $E(1)+E(2)+E(3)+\ldots+E(2015)=1-\frac{1}{2016^{2}}$. + +c) Calculați $E(1) \cdot[E(1)+E(2)] \cdot[E(1)+E(2)+E(3)] \cdot \ldots \cdot[E(1)+$ $+E(2)+E(3)+\cdots+E(2015)]$ + +2. Fie $a, b, c \in[1,2]$. Să se arate că: +a) $(2 a-b)(a-2 b) \leq 0$. +b) $(a+b)\left(\frac{1}{c}+\frac{c}{a b}\right) \in[4,5]$. +3. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic isoscel, $\mathrm{m}(\widehat{B A C})=90^{\circ}$. În punctul $C$ se ridică perpendiculara pe planul $(A B C)$, pe care se consideră punctul $D$ astfel încât $\mathrm{m}(\widehat{D B C})=45^{\circ}$. Determinați măsura unghiului $\widehat{A B D}$. +4. Triunghiul $A B C$ are latura $[B C]$ inclusă intr-un plan $\alpha$. Știind că $A B=a$, $B C=2 a, \mathrm{~m}(\widehat{A B C})=30^{\circ}$ iar sinusul unghiului plan al diedrului determinat de planele $(A B C)$ și $\alpha$ este egal cu $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, să se determine : + +a) Lungimea segmentului $\left[A A^{\prime}\right]$, unde $A^{\prime}$ este proiecția lui $A$ pe planul $\alpha$. + +b) Distanța de la $A^{\prime}$ la planul $(A B C)$. + +## Barem clasa a VIII-a + +1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d22b3280a5e56a183b72g-2.jpg?height=145&width=1591&top_left_y=567&top_left_x=221) +b) $E(1)+E(2)+E(3)+\ldots+E(2015)=\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots+$ $+\frac{1}{2015^{2}}-\frac{1}{2016^{2}}==\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2016^{2}}$ +c) $E(1) \cdot[E(1)+E(2)] \cdot[E(1)+E(2)+E(3)] \cdot \ldots \cdot[E(1)+E(2)+E(3)+\cdots+$ $+E(2015)]=\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2016^{2}}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d22b3280a5e56a183b72g-2.jpg?height=129&width=1636&top_left_y=1289&top_left_x=176) + +2. a) $2 a, 2 b \in[2,4]$, iar $a, b \in[1,2]$, deci $2 a-b \geq 0, a-2 b \leq 0$. + +b) Efectuând calculul, $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \in[4,5]$ + +Folosind inegalitatea $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2, x, y>0$ rezultă $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 4$. + +Din inegalitatea de la a) rezultă $2 a^{2}-5 a b+2 b^{2} \leq 0$ sau $\frac{a^{2}+b^{2}}{a b} \leq \frac{5}{2}$. $1 p$ + +$$ +\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)=\frac{a^{2}+c^{2}}{a c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b c} \leq \frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5 +$$ + +3. Din teorema celor trei perpendiculare va rezulta $A D \perp A B$. $2 p$ + +Notând $A B=a$ rezultă $B C=a \sqrt{2}, D C=B C=a \sqrt{2}$, iar în triunghiul dreptunghic $C A D$, $A D=a \sqrt{3}$ $.3 p$ + +În triunghiul dreptunghic $A B D$ va rezulta $\operatorname{tg} \widehat{A B D}=\frac{a \sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, deci $\mathrm{m}(\overline{A B D})=60^{\circ}$ . $.2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d22b3280a5e56a183b72g-2.jpg?height=549&width=831&top_left_y=2147&top_left_x=384) + +4. a) Notăm cu $D$ proiecția lui $A$ pe $B C$. + +În triunghiul $A B D, A D=A B \sin 30^{\circ}$, deci $A D=\frac{a}{2}$ + +În triunghiul $A D A^{\prime}, \sin \left(\widehat{A D A^{\prime}}\right)=\frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{A A^{\prime}}{\frac{a}{2}}$ și $A A^{\prime}=\frac{a \sqrt{2}}{3}$ + +b) În triunghiul dreptunghic $A D A^{\prime}, A D=\frac{a}{2}, A A^{\prime}=\frac{a \sqrt{2}}{3}$ și va rezulta $A^{\prime} D=\frac{a}{6}$... + +Ducând $A^{\prime} E \perp A D, E \in(A D)$, va rezulta $A^{\prime} E \perp(A B C)$, deoarece $A^{\prime} E$ este perpendiculară și pe $B C\left(B C \perp\left(A D A^{\prime}\right)\right)$. + +Deci $A^{\prime} E=d\left(A^{\prime},(A B C)\right)$, iar în triunghiul dreptunghic $A D A^{\prime}, A^{\prime} E=\frac{A A^{\prime} \cdot A^{\prime} D}{A D}=\frac{\frac{a \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{a}{6}}{\frac{a}{2}}=\frac{a \sqrt{2}}{9}$ + +(în figură $u$ este măsura unghiului plan al diedrului). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d22b3280a5e56a183b72g-3.jpg?height=1022&width=1345&top_left_y=991&top_left_x=193) + +Observație.Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se punctează cu punctajul maxim acordat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-471-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-471-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c92330d4da291797771dd5f85c421a0bee6fbf12 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-471-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,49 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală, 28.02.2015
Clasa a VII-a + +## Subiecte: + +1. Fie $a=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}} \ldots+\sqrt{3^{2015}}$. + +a) Să se arate că $a+3^{1008}=a \sqrt{3}+\sqrt{3}$. + +b) Să se arate că $\frac{2 a}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{3}$ este pătratul unui număr natural. + +2. Să se determine $x \in \mathbb{Z}$ pentru care $2|x-\sqrt{5}|+|x-2 \sqrt{5}| \in \mathbb{N}$. +3. În triunghiul ascuțitunghic $A B C,[A D$ este bisectoarea unghiului $\widehat{B A C}, D \in(B C)$, paralela prin $D$ la $A B$ intersectează $(A C)$ în $E$, iar paralela prin $D$ la $A C$ intersectează $A B$ în $F$. + +Ducem $A G \perp D F, G \in D F$ și $A M \perp D E, M \in D E$. Dacă $\{H\}=A G \cap E F$, $\{T\}=D H \cap A B,\{V\}=A M \cap E F$ și $\{S\}=D V \cap A C$, să se arate că : +a) $A T \perp D H$. +b) $[D T] \equiv[D S]$. + +4. Fie $A B C D$ un paralelogram, $E$ este mijlocul lui $[A D]$ și $F$ este mijlocul lui $[D C]$. Dacă $\{M\}=A F \cap B D$ și $\{N\}=B E \cap A C$, să se arate că $M N \| A D$. + +## Barem clasa a VII-a + +1.a) Din egalitatea $a-a \sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{3^{2016}}=\sqrt{3}-3^{1008}$ rezultă relația cerută $3 p$ + +b) Relația de la a) se mai scrie $a(\sqrt{3}-1)=3^{1008}-\sqrt{3}$. Înmulțind egalitatea cu $\sqrt{3}+1$ rezultă $2 a=\left(3^{1008}-\sqrt{3}\right)(\sqrt{3}+1)$, deci $\frac{2 a}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{3}=3^{1008}=\left(3^{504}\right)^{2}$ + +2. Dacă $x<\sqrt{5}$ rezultă $2(\sqrt{5}-x)+2 \sqrt{5}-x=4 \sqrt{5}-3 x$, nu verifică. $.2 p$ + +Dacă $\sqrt{5} \leq x<2 \sqrt{5}$ rezultă $2(x-\sqrt{5})+2 \sqrt{5}-x=x$ și $x \in \mathbb{N}$. Deoarece $\sqrt{5} \leq x<2 \sqrt{5}$, rezultă $x \in\{3,4\}$ $.3 p$ + +Dacă $x \geq 2 \sqrt{5}$ rezultă $2(x-\sqrt{5})+x-2 \sqrt{5}=3 x-4 \sqrt{5}$, nu verifică $.2 p$ + +3.a) $A F D E$ paralelogram, $[A D$ bisectoare, rezultă $A F D E$ romb și $E F \perp A D$ $.2 p$ + +Deci $H F \perp A D, D G \perp A H$ și $F$ este ortocentrul triunghiului $A H D$, deci $A T \perp D H$ $2 p$ + +b) În mod asemănător va rezulta $E$ ortocentrul triunghiului $A V D$, deci $A S \perp D V$ . $.2 p$ + +Triunghiurile dreptunghice $A T D$ și $A S D$ sunt congruente ( ipotenuza $[A D]$ comună, $\widetilde{T A D} \equiv \widetilde{S A D)}$, deci $[D T] \equiv[D S]$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2565926e7f907dab7622g-2.jpg?height=474&width=806&top_left_y=1145&top_left_x=705) + +4. Dacă $O$ este intersecția diagonalelor paralelogramului, rezultă $M$ centrul de greutate al triunghiului $A D C$ și $N$ centrul de greutate al triunghiului $A D B \ldots .4 p$ + +În aceste triunghiuri, $[D O]$ și $[A O]$ sunt mediane, $\frac{O M}{M D}=\frac{O N}{N A}=\frac{1}{2}$, deci $M N \| A D$ $3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2565926e7f907dab7622g-2.jpg?height=435&width=1078&top_left_y=2067&top_left_x=452) + +Observație.Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se punctează cu punctajul maxim acordat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-472-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-472-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e0d3d672f4aee597e1cc8e15dc5b9f29c6a8373 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-472-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,46 @@ +# Olimpiada de matematică Etapa locală, 28.02.2015
Clasa a VI-a + +## Subiecte: + +1. Fie numerele naturale $x=\overline{a b}, y=\overline{c d}$, scrise în baza zece, astfel încât $x>y$ și $x y=2015$. Să se arate că : + +a) Numărul $z=31^{x} \cdot 13^{y}+403$ este divizibil cu 2015 . + +b) Fracția $\frac{2^{x}+2^{y}}{3^{x}+3^{y}}$ este reductibilă. + +2. Fie $n$ un număr natural astfel încât numerele $n, n+2$ și $n+4$ să fie prime. Să se determine cel mai mic număr natural care, împărțit la $n$ dă restul 1 , împărțit la $n+2$ dă restul 2 și împărțit la $n+4$ dă restul 6 . +3. Să se arate că nu există cifrele $a, b, c, a \neq 0$, astfel încât să se verifice egalitatea $\overline{a b} \cdot c=\overline{a b c}$, numerele fiind scrise în baza 10 . +4. Fie $O, A, B, C$ puncte coliniare astfel încât $A \in(O B), B \in(A C)$ și $D$ mijlocul lui $(A B), E$ mijlocul lui $(B C), F$ mijlocul lui $(A C)$. Să se arate că $O A+O B+O C=O D+O E+O F$. + +## Barem clasa a VI-a + +1. a) $2015=5 \cdot 13 \cdot 31 ; x, y$ fiind numere de două cifre, $x>y$, va rezulta $x=65, y=31$ $2 p$ $z=31^{65} \cdot 13^{31}+403=31^{65} \cdot 13^{31}+13 \cdot 31=31 \cdot 13\left(31^{64} \cdot 13^{30}+1\right)$; deoarece ultima cifră a lui $13^{30}=13^{4 \cdot 7+2}=\left(13^{4}\right)^{7} \cdot 169$ este 9 , rezultă că numărul din paranteză se termină cu cifra 0 , deci $z$ este divizibil cu $31 \cdot 13 \cdot 5=2015$ $2 p$ +b) $2^{65}+2^{31}$ și $3^{65}+3^{31}$ se termină cu cifra 0 , deci numărătorul și numitorul se divid cu 10 . $\left(2^{65}=2^{4 \cdot 16+1}\right.$ are ultima cifră $2,2^{31}=2^{4 \cdot 7+3}$ are ultima cifră $8,3^{65}=3^{4 \cdot 16+1}$ are ultima cifră $3,3^{31}=3^{4 \cdot 7+3}$ are ultima cifră 7 ) $3 p$ +2. Pentru $n>3, n=3 k$ nu poate fi prim, $n=3 k+1$ verifică $n+2=3 k+3$ care nu este prim, fiind divizibil cu 3 , iar $n=3 k+2$ verifică $n+4=3 k+6$ care nu este prim, fiind divizibil cu 3. Rezultă că $n$ poate fi 2 sau 3 . + +Pentru $n=2$ rezultă numerele $2,4,6$ care nu verifică toate prime + +Pentru $n=3$ rezultă numerele $3,5,7$ care verifică toate prime, deci numerele sunt $3,5,7$ $.3 p$ + +Dacă $m=3 p+1, m=5 q+2, m=7 s+6$ va rezulta $m+8=3 p+9$ divizibil cu 3 , $m+8=5 q+10$ divizibil cu $5, m+8=7 s+14$ divizibil cu 7 , deci $m+8$ este divizibil cu $3,5,7$. Deoarece c.m.m.m.c pentru $3,5,7$ este 105 , va rezulta $m=97$ cel mai mic număr care verifică proprietățile. $4 p$ + +3. Ar rezulta $(10 a+b) \cdot c=100 a+10 b+c, 10 a c+b c=100 a+10 b+c$, deci $b c-c=100 a-10 a c+10 b$ sau $(b-1) c=10 a(10-c)+10 b$ + +Din relația din enunț rezultă $c \neq 0$ iar din (1) ar rezulta $b>1$, deoarece $a>0,10-c>0$. Din (1) ar rezulta și $10 \mid(b-1) c,(b, c$ cifre, $b>1, c \neq 0)$ deci $2 \mid c$ şi $5 \mid b-1$ sau $2 \mid b-1$ și $5 \mid c$. + +Dacă $5 \mid b-1, b>1$ ar rezulta $b=6$ și în relația $(1), 5 c=10 a(10-c)+60$ și $5 c>60$, contradicție. + +Dacă $5 \mid c, c \neq 0$, ar rezulta $c=5$ și în relația $(1), 5(b-1)=50 a+10 b$ și $5(b-1)>60$, contradicție.... + +4. Deoarece $D$ este mijlocul lui $[A B]$ va rezulta $2 O D=O A+O B$ + +$E$ este mijlocul lui $[B C]$, rezultă $2 O E=O B+O C$ + +$F$ este mijlocul lui $[A C]$ rezultă $2 O F=O A+O C$ + +Adunând egalitățile rezultă $2 O D+2 O E+2 O F=2 O A+2 O B+2 O C$, de unde se obține relația din enunț...... + +$3 p$ + +Observație.Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se punctează cu punctajul maxim acordat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-473-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-473-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3efa1c2bd58cd42cc773d0c08cb9b9273e3367d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-473-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,48 @@ +# Olimpiada de matematică Etapa locală, 28.02.2015 Clasa aV-a + +## Subiecte: + +1. Fie numărul $A=2^{2020} \cdot 5^{2015}+2^{2017} \cdot 5^{2016}-2^{2016} \cdot 5^{2017}$. + +a) Arătați că numărul $A$ nu este pătrat perfect. + +b) Determinați numărul cifrelor lui $A$, scris în baza zece. + +2. Fie $A$ o mulțime formată din 10 numere naturale. Adunând resturile împărțirii tuturor numerelor din mulțimea $A$ la 4 se obține 29. + +a) Câte numere pare și câte numere impare conține mulțimea $A$ ? + +b) Dacă suma numerelor impare din $A$ se împarte la 4 , determinați restul împărțirii. + +3. a) Arătaţi că $2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{9}=1023$. + +b) Demonstrați că numărul 2015 nu poate fi scris sub forma $2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n}$, unde $n$ este un număr natural. + +c) Fie $a=\left(2^{0}+2^{1}\right)+\left(2^{0}+2^{1}+2^{2}\right)+\ldots+\left(2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{2015}\right)$. Arătați că numărul $b=a+2015$ este divizibil cu 4 . + +4. Să se arate că numărul $n=11+101+1001+10001+\ldots+\underbrace{100 \ldots 01}_{101 \text { cifre }}$ este divizibil cu 10, dar nu este divizibil cu 100. + +## Barem clasa a V-a + +1. a) $A=2^{2016} \cdot 5^{2015}\left(2^{4}+2 \cdot 5-5^{2}\right)=2^{2016} \cdot 5^{2015}=\left(2^{1008}\right)^{2} \cdot\left(5^{1007}\right)^{2} \cdot 5$, care nu este pătrat perfect. +b) $A=2^{2016} \cdot 5^{2015}=2 \cdot 10^{2015}=2 \underbrace{00 \ldots 0}_{2015}$, deci $A$ are 2016 cifre. $3 p$ + +2 a) Deoarece cele 10 resturi sunt mai mici sau egale cu 3 și suma lor este $29=3 \cdot 10-1$, va rezulta că nouă dintre resturi sunt 3 , iar unul este 2 ( dacă ar exista cel mult opt resturi egale cu 3 , suma lor ar fi mai mică sau egală cu 24 , deci ar rămâne două resturi mai mici sau egale cu 2 care au suma mai mare sau egală cu 5 ,ceea ce nu este posibil). Deci nouă numere sunt impare (de forma $4 k+3, k \in \mathbb{N}$ ), iar unul par, de forma $4 n+2, n \in \mathbb{N}$.... $.4 \mathrm{p}$ + +b) Suma numerelor impare din $A$ este de forma $4 p+27=4(p+6)+3, p \in \mathbb{N}$, deci restul împărtiriii la 4 este 3 + +3. a) Dacă $S=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{9}$,va rezulta $2 S-S=2^{10}-1$ și $S=1023$ $.2 p$ + +b) Cerința rezultă din inegalitățile + +$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{9}=1023<2015<2047=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{9}+2^{10}$ $2 p$ + +c) Va rezulta $a=\left(2^{2}-1\right)+\left(2^{3}-1\right)+\ldots+\left(2^{2016}-1\right)=2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2016}-2015$ deci $b=a+2015=2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2016}=2^{2}\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{2014}\right)$, care este divizibil cu 4 $.3 p$ +4. $n$ se scrie $(10+1)+\left(10^{2}+1\right)+\left(10^{3}+1\right)+\cdots+\left(10^{100}+1\right)=\left(10+10^{2}+10^{3}+\cdots+\right.$ $\left.+10^{100}\right)+100$ $3 p$ + +$n=10+\left(10^{2}+10^{3}+\cdots+10^{100}\right)+100$ $.3 p$ + +Finalizare. $1 p$ + +Observație.Orice soluție corectă, diferită de cea din barem, se punctează cu punctajul maxim acordat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-474-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-474-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab0ada72313a3c889f86ce7cb2f930df70c16f31 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-474-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală, 28.02.2015
Clasa a IX-a + +## Subiecte: + +1. Să se determine $x \in \mathbb{N}^{*}$ care verifică relația $[\sqrt{x}]=\frac{2015-x}{x}$, unde $[a]$ este partea întreagă a numărului $a$. +2. Să se determine valoarea de adevăr a propozitiiilor: + +a) În progresia aritmetică $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=2 n+1$, termenii care sunt pătrate perfecte au rangurile numere pare. + +b) În progresia aritmetică $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=6 n-5$, termenii care sunt pătrate perfecte au rangurile numere impare. + +c) Există progresii aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, de numere naturale nenule, cu $a_{1}=2015$ și termenii pătrate perfecte pare au rang impar. + +3. Fie $A B C D$ un pătrat, $O$ intersecția diagonalelor și $M$ un punct în interiorul său. Punctele $P, Q, R, S$ sunt proiecțiile punctului $M$ pe laturile $(A B),(B C),(C D)$ respectiv $(D A)$. Arătați că: +a) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=4 \overrightarrow{M O}$ +b) $\overrightarrow{M P}+\overrightarrow{M Q}+\overrightarrow{M R}+\overrightarrow{M S}=2 \overrightarrow{M O}$. +4. Fie $A B C D$ un patrulater convex și $M \in(A D), N \in(B C)$ astfel încât $A M=2 M D$ și $B N=2 N C$. Dacă $P$ este un punct în plan cu proprietatea $\overrightarrow{M P}=2 \overrightarrow{A B}+4 \overrightarrow{D C}$, arătați că punctele $M, N, P$ sunt coliniare. + +## Barem clasa a IX-a + +1. $[\sqrt{x}]=\frac{2015}{x}-1$ deci $\frac{2015}{x} \in \mathbb{N}^{*}, x \in \mathbb{N}^{*}$ rezultă $x$ divizor al lui 2015 $2 p$ + +Deoarece $2015=5 \cdot 13 \cdot 31$. Prin verificări se constată că dintre divizori verifică $x=5 \cdot 31=155$. Deci $x=155$ $.5 p$ + +2. a) $a_{n}=2 n+1$ este pătrat perfect, va rezulta că este pătratul unui număr impar. Dacă $2 n+1=(2 k+1)^{2}, k \in \mathbb{N}^{*}$, rezultă $n=2 k^{2}+2 k$, care este număr par, deci propozitịia este adevărată... $.3 p$ + +b) Dacă $6 n-5=p^{2}, \mathrm{p} \in \mathbb{N}$, va rezulta că $p$ este impar, de forma $p=6 k+1$ sau $p=6 k+5$ deoarece $(6 k+3)^{2}=6 q+9=6(q+1)+3, q \in \mathbb{N}$, iar $(6 k+1)^{2}=6 t+1=6(t+1)-5,(6 k+5)^{2}=6 r+25=6(r+5)-5$. + +Pentru $p=6 k+1, k \in \mathbb{N}$, se obține $6 n-5=(6 k+1)^{2}$ de unde rangul $n$ este $n=6 k^{2}+2 k+1$, care este impar + +Pentru $p=6 k+5, k \in \mathbb{N}$ se obține $6 n-5=(6 k+5)^{2}$, de unde $n=6 k^{2}+$ $+10 k+5$ care este număr impar. Așadar propoziția este adevărată. + +c) Dacă am avea $a_{2 s-1}=(2 p)^{2}$, ar rezulta $\underbrace{2015+(2 s-2)}_{\text {impar }} r=\underbrace{(2 k)^{2}}_{\text {par }}$, fals, deci propozitia este falsă. + +$.2 p$ + +3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3163f4b39914d1e510a1g-2.jpg?height=725&width=788&top_left_y=1782&top_left_x=360) +a) + +$$ +\begin{gathered} +\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O A} \\ +\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O B} \\ +\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O C} \\ +\overrightarrow{M D}=\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O D} +\end{gathered} +$$ + +Prin adunarea acestor egalităti, ținând cont de relațiile + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \text { și } \\ +& \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0} \\ +& \text { rezultă relația. ..... } 3 p +\end{aligned} +$$ + +b) Se formează dreptunghiurile $M S D R$ și $M P B Q$. Rezultă $\overrightarrow{M P}+\overrightarrow{M Q}=\overrightarrow{M B}$ și $\overrightarrow{M R}+\overrightarrow{M S}=\overrightarrow{M D}$, deci $\overrightarrow{M P}+\overrightarrow{M Q}+\overrightarrow{M R}+\overrightarrow{M S}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}=(\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O B})+$ $+(\overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O D})=2 \overrightarrow{M O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}=2 \overrightarrow{M O}$ + +4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3163f4b39914d1e510a1g-3.jpg?height=585&width=959&top_left_y=644&top_left_x=514) + +Rezultă: + +$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N B}$ + +$\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N C}$ + +Deci $2 \overrightarrow{A B}+4 \overrightarrow{D C}=(2 \overrightarrow{A M}+2 \overrightarrow{M N}+2 \overrightarrow{N B})+(4 \overrightarrow{D M}+4 \overrightarrow{M N}+4 \overrightarrow{N C})=$ $=(2 \overrightarrow{A M}+4 \overrightarrow{D M})+6 \overrightarrow{M N}+(2 \overrightarrow{N B}+4 \overrightarrow{N C})=6 \overrightarrow{M N}$, deoarece $2 \overrightarrow{A M}+4 \overrightarrow{D M}=$ $=2(\overrightarrow{A M}+2 \overrightarrow{D M})=\overrightarrow{0}$ s,i $2 \overrightarrow{N B}+4 \overrightarrow{N C}=2(\overrightarrow{N B}+2 \overrightarrow{N C})=\overrightarrow{0}$ + +Rezultă $\overrightarrow{M P}=6 \overrightarrow{M N}$, deci punctele $M, N, P$ sunt coliniare. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-475-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-475-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d38b88e70a732df91fe84c0d230365aa9a0568e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-475-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +28.02.2015 + +## Clasa a XII-a + +1. Să se arate că monoizii $\left(N^{*}, \cdot\right)$ şi $\left(Z^{*}, \cdot\right)$ nu sunt izomorfi. + +## Pop Ovidiu - Colegiul Naţional „Mihai Eminescu" + +2. Fie $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie bijectivă cu $\mathrm{f}(1)=\mathrm{k}, \mathrm{k} \in \mathbb{R}$. Pe $\mathbb{R}^{2}$ se defineşte legea de compoziţie $x * y=f^{-1}[f(x)+f(y)-k], \forall x, y \in \mathbb{R}$. Să se arate că $\left(\mathbb{R},{ }^{*}\right)$ este grup comutativ. +3. Se dau matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ \cos x & \sin x\end{array}\right)$ şi $B=\left(\begin{array}{cc}\cos x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$. Să se calculeze $\int \operatorname{det}^{2}(A-B) d x$, unde $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$. +4. Să se determine funcţiile $f, g: R \rightarrow R$, f continuă pe $\mathrm{R}, \mathrm{g}$ derivabilă pe $\mathrm{R}$ cu derivata continuă pe $\mathrm{R}, \mathrm{f}(0)=\mathrm{g}(0)=2015, f \in \int g^{\prime}(x) d x$ şi $g \in \int f(x) d x$. + +Pop Ovidiu - Colegiul Naţional „Mihai Eminescu” + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +SUCCES! + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_61c55a1c89d2ec52c504g-2.jpg?height=1485&width=1745&top_left_y=708&top_left_x=138) + +Subiecte propuse de prof.dr. Doina Muntean - ISJ şi prof.dr. Ovidiu Pop - Colegiul Naţional „Mihai Eminescu” Satu Mare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-476-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-476-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a55a6bd5b8073f789a7b2a8489aaf9a249a837a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-476-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# Olimpiada naţională de matematică, etapa locală, 2015 clasa a XI-a + +1. Se dă mulţimea de matrice + +$$ +M=\left\{X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \mid \exists k \in \mathbb{N}, k \geq 2 \text {, astfel încât } X^{k}=O_{2}\right\} +$$ + +a. Demonstraţi că dacă $A \in M$, atunci $\operatorname{det}\left(I_{2}+A+A^{2}+\ldots+A^{2015}\right)=1$. + +b. Demonstraţi că matricea $I_{2}$ nu se poate scrie ca sumă finită de matrice $\operatorname{din} M$. + +2. a. Demonstraţi că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din $S_{3}$ nu poate fi egal cu permutarea identică din $S_{3}$. + +b. Demonstraţi că există o infinitate de perechi de matrice $(X, Y)$ din $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$, cu proprietatea că $X Y \neq Y X$ şi $X^{2}=Y^{2}=I_{2}$. + +3. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit recurent astfel: + +$$ +x_{1}=1 \text { sुi } x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{a x_{n}^{a-1}} +$$ + +unde $a \in \mathbb{N}-\{0\}$. + +a. Demonstraţi că şirul are limită şi calculaţi această limită. + +b. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$. + +c. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{a}}{n}$. + +4. Se dau numerele $a, b, c \in[0, \infty)$, astfel încât $a+b+c=3$. Determinaţi valorile extreme ale expresiei $2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+3 a b c$. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi se notează cu punctaje cuprinse între 0 şi 7 puncte. Timp de lucru, trei ore. + +## Barem de corectare + +1. Se dă mulţimea de matrice + +$$ +M=\left\{X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \mid \exists k \in \mathbb{N}, k \geq 2 \text {, astfel încât } X^{k}=O_{2}\right\} +$$ + +a. Demonstraţi că dacă $A \in M$, atunci $\operatorname{det}\left(I_{2}+A+A^{2}+\ldots+A^{2015}\right)=1$. + +b. Demonstraţi că matricea $I_{2}$ nu se poate scrie ca sumă finită de matrice din $M$. + +## Barem de corectare. + +a. (4 p) $X^{k}=O_{2} \Rightarrow \operatorname{det}(X)=0 \Rightarrow X^{2}=t X$, unde $t=\operatorname{tr}(X)$ (1 punct); $X^{k}=t^{k-1} X=O_{2} \Rightarrow X=O_{2}$ sau $t=0$; în anbele cazuri, avem $X^{2}=O_{2}$ (1 punct); verificare pentru $A=O_{2}$ (1 punct); pentru $A \neq O_{2}$, avem $\operatorname{det}\left(I_{2}+A+A^{2}+\ldots+A^{2015}\right)=\operatorname{det}\left(I_{2}+A\right)=1$ (1 punct). + +b. (3 p) Reducere la absurd: dacă $I_{2}=A_{1}+A_{2}+\ldots+A_{n}$, ar trebui ca $\operatorname{tr}\left(I_{2}\right)=\operatorname{tr}\left(A_{1}+A_{2}+\ldots+A_{n}\right) \Leftrightarrow 2=0$, contradicţie. + +2. a. Demonstraţi că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din $S_{3}$ nu poate fi egal cu permutarea identică din $S_{3}$. + +b. Demonstraţi că există o infinitate de perechi de matrice $(X, Y)$ din $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$, cu proprietatea că $X Y \neq Y X$ si $X^{2}=Y^{2}=I_{2}$. + +## Barem de corectare. + +a. (3 p) Scrierea tuturor permutărilor din $S_{3}$ (1 punct); calcularea numărului total de inversiuni ale acestora a̧i concluzia că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din $S_{3}$ este o permutare impară (1 punct); permutarea identică este pară (1 punct). + +b. (4 p) $X^{2}=\operatorname{tr}(X) \cdot X-\operatorname{det}(X) \cdot I_{2}$ (1 punct); căutarea unor matrice cu urma egală cu 0 ş determinatul egal cu -1 (1 punct); finalizare $A=\left(\begin{array}{cc}a & 1-a \\ 1-a & -a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}b & 1-b \\ 1-b & -b\end{array}\right), a, b \in \mathbb{Z}, a \neq b$ (1 punct); verificarea că $A B \neq B A$ (1 punct). Pentru găsirea unor matrice particulare care să verifice condiţiile problemei, se va acorda 1 punct. + +3. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit recurent astfel: + +$$ +x_{1}=1 \text { şi } x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{a x_{n}^{a-1}} +$$ + +unde $a \in \mathbb{N}-\{0\}$. + +a. Demonstraţi că şirul are limită şi calculaţi această limită. + +b. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$. + +c. Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{a}}{n}$. + +## Barem de corectare. + +a. (3 p) Sुirul este cu termeni pozitivi prin definiţie (1 punct) şi $x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{a x_{n}^{a-1}}>0, \forall n \in \mathbb{N}-\{0\}$, deci este strict crescător; prin urmare are limită (1 punct); limita este $\infty$ (1 punct). + +b. (2 p) $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\frac{1}{a x_{n}^{a}}$ (1 punct); limita este 1 (1 punct). + +c. (2 p) Conform teoremei Cesaro-Stolz, este suficient să calculăm $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}^{a}-x_{n}^{a}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n+1}^{a-1}+\right.$ $\left.x_{n+1}^{a-2} x_{n}+\ldots+x_{n}^{a-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n+1}^{a-1}+x_{n+1}^{a-2} x_{n}+\ldots+x_{n}^{a-1}\right)}{a x_{n}^{a-1}}=\frac{1}{a} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{a-1}+\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{a-2}+\ldots+1\right)=1$. + +4. Se dau numerele $a, b, c \in[0, \infty)$, astfel încât $a+b+c=3$. Determinaţi valorile extreme ale expresiei +$2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+3 a b c$ + +## Barem de corectare. + +Demonstrăm că $9 \leq 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+3 a b c \leq 18$, cu egalitate la stânga pentru $a=b=c=1$, iar la dreapta pentru $a=3, b=c=0$, sau $b=3, a=c=0$, sau $c=3, a=b=0$. + +Inegalitatea din dreapta se scrie $2(a+b+c)^{2}-4(a b+b c+c a)+3 a b c \leq 18 \Leftrightarrow 3 a b c \leq 4(a b+b c+c a)$, inegalitate adevărată, deoarece $a, b, c \in[0,3]$ şi $3 a b c=a b c+a b c+a b c \leq 3 a b+3 b c+3 a c \leq 4(a b+b c+c a)$ (3 puncte). Egalitatea are loc pentru $a b+b c+c a=0$, deci $a=b=0$, sau $b=c=0$, sau $c=a=0$, cazul $a=b=c=0$ fiind exclus de condiţia din enunţ (1 punct). + +Inegalitatea din stânga se scrie $2(a+b+c)^{2}-4(a b+b c+c a)+3 a b c \geq 9 \Leftrightarrow 4(a b+b c+c a)-3 a b c \leq 9$. Pentru a demonstra aceasta, presupunem că $a \leq b \leq c$; în acest caz, rezultă $a \leq 1$ şi inegalitatea de demonstrat devine $4 a(b+c)+4 b c-3 a b c \leq 9 \Leftrightarrow 4 a(3-a)+b c(4-3 a) \leq 9$. Deoarece $4-3 a \geq 0$, avem $b c(4-3 a) \leq \frac{(b+c)^{2}(4-3 a)}{4}=$ $\frac{(3-a)^{2}(4-3 a)}{4}$, iar inegalitatea de demonstrat devine $4 a(3-a)+\frac{(3-a)^{2}(4-3 a)}{4} \leq 9$, echivalentă, după câteva calcule, cu $3 a(a-1)^{2} \geq 0$ (2 puncte). Egalitatea are loc pentru $a=b=c=1$ (1 punct). + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-477-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-477-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..84015866172f18799cd93fd41645f8a94a144593 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-477-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,66 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +28.02.2015 + +## Clasa a X-a + +1. + +a) Să se arate că $\lg ^{2}(x y) \leq 2\left(\lg ^{2} x+\lg ^{2} y\right), \forall x, y \in(1, \infty)$ + +b) Fie $x, y, z, t \in(1, \infty)$ astfel încât $\lg (x y) \sqrt{\lg z \lg t}+\lg (z t) \sqrt{\lg x \lg y}=4$. Să se arate că $\lg ^{2} x+\lg ^{2} y+\lg ^{2} z+\lg ^{2} \mathrm{t} \geq 4$. + +2. Fie ABCDEF un hexagon inscriptibil şi $\mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3}, \mathrm{H}_{4}$ respectiv ortocentrele triunghiurilor + +ABC, BCD, DEF, EFA. Să se arate că patrulaterul $\mathrm{H}_{1} \mathrm{H}_{2} \mathrm{H}_{3} \mathrm{H}_{4}$ este paralelogram. + +3. + +a) Să se arate că funcţia $\mathrm{f}:(0, \infty) \rightarrow \mathrm{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt[4]{\mathrm{x}}+\log _{2015} \mathrm{x}$ este injectivă. + +b) Să se rezolve în $R$ ecuaţia: $\sqrt[7]{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}}-\sqrt[6]{(2014-\mathrm{x}) \sqrt{2014-\mathrm{x}}}=\log _{2015}\left(\frac{2014}{\mathrm{x}}-1\right)$. + +4. + +a) Să se arate că $|z|^{2}=z \cdot \bar{z}, \forall z \in C$. + +b) Fie $z_{1}, z_{2} \in$ C astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$ şi $3\left|z_{1}+z_{2}\right| \geq\left|5 z_{1}+z_{2}\right|$. Să se arate că $z_{1}=z_{2}$. + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +## SUCCES! + +## Barem de corectare + +| 1. a) | a) Inegalitatea se scrie $(\lg x+\lg y)^{2} \leq 2\left(\lg ^{2} x+\lg ^{2} y\right) \Leftrightarrow(\lg x-\lg y)^{2} \geq 0$ | $3 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. b) | Notând $\lg x=a, \lg y=b, \lg z=c, \lg t=d$, rezultă că $a, b, c, d \in(0, \infty)$ şi
$(a+b) \sqrt{c d}+(c+d) \sqrt{a b}=4$.
Inegalitatea de demonstrat devine $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq 4 .(*)$
Folosind inegalităţile $u+v \leq \sqrt{2\left(u^{2}+v^{2}\right)}$ şi $\sqrt{u v} \leq \frac{u+v}{2} \leq \sqrt{\frac{u^{2}+v^{2}}{2}}$ valabile
$\forall u, v \geq 0$, rezultă
$4=(a+b) \sqrt{c d}+(c+d) \sqrt{a b} \leq \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} \sqrt{\frac{c^{2}+d^{2}}{2}}+\sqrt{2\left(c^{2}+d^{2}\right)} \sqrt{\frac{a^{2}+d^{2}}{2}}$
Rezultă $4 \leq 2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)+\left(c^{2}+d^{2}\right), \text { adică relaţia }(*) \text { are loc. }}$ TOTAL Subiectul 1 | $1 \mathbf{p}$ | +| 2. | Alegem originea sistemului în $\mathrm{O}$, centrul cercului circumscris hexagonului şi
notăm cu litere mici corespunzătoare afixele punctelor considerate.
Cum $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ sunt respectiv ortocentrele triunghiurilor $A B C, B C D, \mathrm{DEF}$,
$E F A$, aplicând teorema lui Silvester, scrisă în complex, rezultă $h_{1}=a+b+c$ şi
analoagele $h_{2}=b+c+d, h_{3}=d+e+f, h_{4}=e+f+a$.
Din aceste relaţii avem:
$h_{1}+h_{3}=a+b+c+d+e+f$
$h_{2}+h_{4}=a+b+c+d+e+f$
Din (1) şi (2) obţinem că $h_{1}+h_{3}=h_{2}+h_{4}$, de unde rezultă că patrulaterul
$H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}$ este paralelogram.
TOTAL Subiectul 2 | $1 p$
$1 p$
$2 p$ | +| 3. a) | Funcţia f este strict crescătoare ca sumă de funcţii strict crescătoare
Rezultă că f este injectivă | | +| 3. | Se impun condiţiile: $x \geq 0,2014-x \geq 0$ şi $\frac{2014}{x}-1>0$
Rezultă $x \in(0,2014)=D$
Din $\sqrt[6]{x \sqrt{x}}=x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{12}}=x^{\frac{1}{4}}$ rezultă $\sqrt[6]{(2014-x) \sqrt{2014-x}}=(2014-x)^{\frac{1}{4}}$
Dar $\sqrt[7]{x \sqrt{x \sqrt{x}}}=x^{\frac{1}{7}} \cdot x^{\frac{1}{14}} \cdot x^{\frac{1}{28}}=x^{\frac{1}{4}}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9292d88cf572c26effbeg-3.jpg?height=1678&width=1699&top_left_y=234&top_left_x=213) + +Folosind relaţiile (1) şi (2) ecuaţia devine + +$x^{\frac{1}{4}}-(2014-x)^{\frac{1}{4}}=\log _{2015}(2014-x)-\log _{2015} x \Leftrightarrow$ + +$\sqrt[4]{x}+\log _{2015} x=\sqrt[4]{2014-x}+\log _{2015}(2014-x)$ + +Funcţia $f:(0,2014) \rightarrow R, f(t)=\sqrt[4]{t}+\log _{2015} t$ este strict crescătoare şi deci este injectivă + +Ecuaţia (3) se scrie echivalent $f(x)=f(2014-x)$ + +şi cum f este injectivă rezultă că $x=2014-x \Leftrightarrow x=1007 \in D$. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este $S=\{1007\}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9292d88cf572c26effbeg-3.jpg?height=523&width=1374&top_left_y=882&top_left_x=256) +Deoarece din ipoteză avem $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|$, inegalitatea (*) se scrie echivalent + +4. b) $0 \geq 2\left|z_{1}\right|^{2}-\overline{z_{1}} z_{2}-z_{1} \overline{z_{2}} \Leftrightarrow 0 \geq\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}-\overline{z_{1}} z_{2}-z_{1} \overline{z_{2}} \Leftrightarrow\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\right) \leq 0 \Leftrightarrow$ $\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2} \leq 0$ + +Din ultima relaţie rezultă că $\left|z_{1}-z_{2}\right|=0 \Leftrightarrow z_{1}-z_{2}=0 \Leftrightarrow z_{1}=z_{2}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-478-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-478-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a835eeb8b700ccd0bd0c39c996e665594d39593a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-478-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +28.02.2015 + +## Clasa a VIII-a + +1. + +a) Se dă expresia $E(x)=\left(\frac{2 x}{x^{2}-2 x}-\frac{4 x+12}{(x+3)(x+2)(x-2)}+\frac{x^{2}}{x^{2}+2 x}\right) \cdot\left(x-\frac{4}{x}\right)$. + +Arătaţi că suma $\mathrm{E}(1)+\mathrm{E}(3)+\mathrm{E}(5)+\ldots+\mathrm{E}(2015)$ este pătrat perfect. + +a) Rezolvaţi în mulţimea $Z$ ecuaţia: $x^{2}+y^{2}-8 x+6 y+24=0$. + +2. + +a) Se consideră numărul $a=\sqrt{5-2 \sqrt{6}}-\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$ + +i) Calculaţi a ${ }^{2}$ + +ii) Calculaţi $(a+2 \sqrt{2})^{2015}$ + +b) Unui număr cu 2015 cifre i se schimbă ordinea cifrelor în mod arbitrar. Este posibil ca modulul diferenţei dintre cele două numere să fie egal cu 2015? + +3. În cubul ABCDA'B'C'D', punctele M, N, P sunt respectiv mijloacele segmentelor CC', A'D' şi C'D'. + +a) Aflaţi o funcţie trigonometrică a unghiului format de dreptele BM şi NP + +b) Dacă muchia cubului este $6 \mathrm{~cm}$, aflaţi aria triunghiului A'BM. + +4. Fie $\mathrm{ABCD}$ un dreptunghi $\mathrm{cu} \mathrm{AB}>\mathrm{BC}$. În punctul $\mathrm{A}$ se ridică perpendicular pe planul dreptunghiului, pe care se consideră punctul $\mathrm{M}$. Fie $\mathrm{P}$ şi $\mathrm{Q}$ proiecţiile punctelor $\mathrm{D}$ respectiv $\mathrm{B}$ pe $\mathrm{MC}$. Să se arate că $\mathrm{MC} \cdot \mathrm{QP}=\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AD}^{2}$. + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +SUCCES! + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78b97b331ca8615bd77fg-2.jpg?height=1890&width=1765&top_left_y=731&top_left_x=154) + +| | $\Delta \mathrm{QOA}: \cos (\Varangle \mathrm{CAQ})=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3. b) | $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} ; \mathrm{BM}=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm} ; \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{M}=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$
Construim B'S $\perp \mathrm{BM} ; \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \perp\left(\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{BC}\right) \stackrel{\mathrm{T3P}}{\Rightarrow} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{S} \perp \mathrm{BM}$
$\mathrm{A}_{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{BM}}=18 \mathrm{~cm}^{2}=\frac{\mathrm{BM}^{2} \cdot \mathrm{B}^{\prime}}{2} \Rightarrow \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{S}=\frac{12}{\sqrt{5}} \mathrm{~cm}$
$\mathrm{TP} \Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{S} \Rightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{S}=\frac{18}{\sqrt{5}} \mathrm{~cm}$
$\mathrm{~A}_{\mathrm{B}_{\mathrm{BM}}}=27 \mathrm{~cm}^{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | TOTAL Subiectul 3 | 7 p | +| 4. | T3P: $\mathrm{MB} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{MD} \perp \mathrm{DC}$
TCatetei $\triangle \mathrm{MDCsi} \triangle \mathrm{MBC} \Rightarrow \mathrm{DC}^{2}=\mathrm{MC} \cdot \mathrm{PC}=\mathrm{AB}^{2}$ si $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{MC} \cdot \mathrm{NC}=\mathrm{AD}^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{MC}(\mathrm{PC}-\mathrm{NC})=\mathrm{MC} \cdot \mathrm{PN}$ | $4 p$
$2 p$ | +| | TOTAL Subiectul 4 | 7 p | + +Subiecte propuse de prof. REBIC CAMELIA - Şcoala Gimnazială „Lucian Blaga” Satu Mare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-479-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-479-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17761ad223a871db37a0fd9164292f5f016ccc8c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-479-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +28.02.2015 + +## Clasa a VII-a + +1. a) Se dau numerele $\mathrm{a}=\sqrt{\frac{1444}{361}} ; \mathrm{b}=(2 \sqrt{27}+3 \sqrt{50}-3 \sqrt{45}):(2 \sqrt{12}+5 \sqrt{8}-3 \sqrt{20})$. + +Arătaţi că numărul $\mathrm{a} \cdot \mathrm{b}+1$ este pătrat perfect. + +b) Determinaţi cardinalul mulţimii $A=\left\{\overline{x y z t} \frac{x+1}{y}=\frac{y-2}{z}=\frac{z+4}{t}=\frac{t-3}{x}\right\}$ + +2. a) Determinaţi tripletele $(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$ de numere întregi care verifică relaţia + +$$ +\mathrm{a}^{2}+\mathrm{a}+|\mathrm{b}+3|+\left(\mathrm{c}^{2}-1\right)^{2} \leq 0 +$$ + +b) Aflaţi valoarea numărului $\mathrm{x}=\sqrt{\left(5^{\mathrm{n}}-2015\right)^{2}}-\sqrt{\left(2014-5^{\mathrm{n}}\right)^{2}}, n \in \mathbb{N}$. + +3. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ echilateral şi $\mathrm{D}, \mathrm{E} \in(\mathrm{BC})$ astfel încât $m(\Varangle \mathrm{BAD})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{CAE})=20^{\circ}$, $\mathrm{F} \in(\mathrm{AD}), \mathrm{G} \in(\mathrm{AE})$ cu $m(\Varangle \mathrm{ABF})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{CBG})=20^{\circ}$, iar $\mathrm{I} \in(\mathrm{AE})$ cu $\Varangle \mathrm{ABI} \equiv \Varangle \mathrm{CBI}$. + +a) Demonstraţi că $\mathrm{FI} \| \mathrm{BC}$ + +b) Dacă $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BG}=\{\mathrm{H}\}$, aflaţi măsurile unghiurilor triunghiului $\mathrm{FGH}$. + +Gazeta Matematică 11/2013 + +4. Se dă pătratul $\mathrm{ABCD}$ de centru $\mathrm{O}$. Pe dreapta $\mathrm{AB}$ se ia punctul $\mathrm{E}$ astfel încât $\mathrm{B} \in(\mathrm{AE}) m(\Varangle \mathrm{OEB})=$ $30^{\circ}$. Perpendiculara în $\mathrm{O}$ pe $\mathrm{OE}$ intersectează dreapta $\mathrm{BC}$ în $\mathrm{F}$. Arătaţi că: + +a) Triunghiul EOF este isoscel +b) $[\mathrm{OE}] \equiv[\mathrm{AB}]$ + +Notă: Timp de lucru 2 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +SUCCES! + +## Barem de corectare + +| 1. a) | $\mathrm{a}=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\mathrm{b}=\frac{3}{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1. b) | $a b+1=4=2^{2}$ | $2 p$ | +| | $\frac{x+1}{y}=\frac{y-2}{z}=\frac{z+4}{t}=\frac{t-3}{x}=1$
$y=x+1 ; z=x-1 ; t=x+3$
Cum $x ; y ; z ; t$ nu pot fi nule, avem $x \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$, deci card $A=5$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | TOTAL Subiectul 1 | $7 p$ | +| 2. | $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{a}=\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)$ şi produsul oricăror două numere întregi consecutive este
nenegativ
$\|\mathrm{b}+3\| \geq 0 ;\left(\mathrm{c}^{2}-1\right)^{2} \geq 0, \forall \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathrm{Z}$
Din inegalitatea din enunţ se obţine $\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)=0 ; \mathrm{b}+3=0 ; \mathrm{c}^{2}-1=0$
$(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c}) \in\{(0 ;-3 ;-1) ;(0 ;-3 ; 1) ;(-1 ;-3 ;-1) ;(-1 ;-3 ; 1)\}$
$\mathrm{x}=\left\|5^{\mathrm{n}}-2015\right\|-\left\|2014-5^{\mathrm{n}}\right\|$
Pt. $\mathrm{n} \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\} \Rightarrow \mathrm{x}=\left(-5^{\mathrm{n}}+2015\right)-\left(2014-5^{\mathrm{n}}\right)=1$
Pt. $\mathrm{n} \geq 5 \Rightarrow \mathrm{x}=\left(5^{\mathrm{n}}-2015\right)-\left(-2014+5^{\mathrm{n}}\right)=-1$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$7 \mathrm{n}$ | +| 3. a) | Triunghiul AFB isoscel, deci FA $=\mathrm{FB}$
$\triangle \mathrm{AFC} \equiv \triangle \mathrm{BFC}(\mathrm{LUL}) \Rightarrow \prec(\mathrm{ACF}) \equiv \prec \mathrm{BCF}$
$\Leftrightarrow\left(\mathrm{CF}\right.$ bisectoare $\mathrm{pt} . \prec \mathrm{ACD} \stackrel{\text { T.Bis. }}{\Rightarrow} \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}}$
(BI bisectoare $\mathrm{pt} . \prec \mathrm{ABE}$ in $\triangle \mathrm{ABE} \stackrel{\text { T.bis. }}{\Rightarrow} \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{IE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BE}}$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| 3. b) | $\triangle \mathrm{ABE} \equiv \triangle \mathrm{ACD}(\mathrm{ULU}) \Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{CD}$
$\operatorname{Din}(1),(2),(3)$ si $\mathrm{AB}=\mathrm{AC} \Rightarrow \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FD}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{IE}} \stackrel{\text { R.TT,Thales }}{\Rightarrow} \mathrm{FI} \\| \mathrm{BC}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | b) $\triangle \mathrm{AGB}$ isoscel $\Rightarrow \mathrm{GA}=\mathrm{GB}$ şi $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AGB})=100^{\circ}$
$\triangle \mathrm{AFG} \equiv \triangle \mathrm{BFG}(\mathrm{LLL}) \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{HGF})=50^{\circ}$
$\Varangle \mathrm{HGF}$ exterior $\triangle \mathrm{AFG} \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AGB})=20^{\circ}+50^{\circ}=70^{\circ}$
$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{HGF})=60^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| | TOTAL Subiectul 3 | 7 p | +| 4. b) | $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{OBE})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{OCF})=135^{\circ}$
$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOE})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COF})=15^{\circ}$
$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$
$\triangle \mathrm{OBE} \equiv \triangle \mathrm{OCF}(\mathrm{ULU}) \Rightarrow \mathrm{OE}=\mathrm{OF} \Leftrightarrow \triangle \mathrm{EOF}$ isoscel | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| | Construim $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{M} \in(\mathrm{AB})$
$\mathrm{OM}$ mediană corespunzătoare ipotenuzei în $\Delta \mathrm{AOB}$ dreptunghic în $\mathrm{O}$
$\Rightarrow \mathrm{OM}=\frac{\mathrm{AB}}{2}(1)$
În $\Delta \mathrm{EOM}$, din $\mathrm{T} 30^{\circ} \Rightarrow \mathrm{OM}=\frac{\mathrm{AB}}{2}(2)$
Din (1) şi (2) avem $\mathrm{AB}=\mathrm{OE}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| | TOTAL Subiectul 4 | 7 p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-48-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Primul BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori.md b/Romania_Olympiad/md/ro-48-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Primul BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b840836da3f2b60c982d51277f8116d12de61037 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-48-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Primul BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Primul baraj pentru Olimpiada Balcanică de Matematică pentru Juniori, Satu Mare, 6 aprilie 2018 + +Problema 1. Arătaţi că ecuaţia $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x+y+z+1$ nu are soluţii în mulţimea numerelor raţionale. + +## Soluţie: + +Ecuaţia se poate scrie echivalent sub forma $(2 x-1)^{2}+(2 y-1)^{2}+(2 z-1)^{2}=7$. . 1 $\mathbf{p}$ Dacă această ecuaţie ar avea o soluţie raţională $(x, y, z)$, notând $2 x-1=\frac{a_{1}}{b_{1}}, 2 y-1=\frac{a_{2}}{b_{2}}$, $2 z-1=\frac{a_{3}}{b_{3}}$ am obţine că numerele întregi $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}$ satisfac egalitatea $\left(a_{1} b_{2} b_{3}\right)^{2}+$ $\left(b_{1} a_{2} b_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} b_{2} a_{3}\right)^{2}=7\left(b_{1} b_{2} b_{3}\right)^{2}$. $.2 p$ Acest fapt ar implica existenţa a patru numere întregi $a, b, c, d$ astfel ca $a^{2}+b^{2}+c^{2}=7 d^{2}$. Dacă c.m.m.d.c. $(a, b, c, d)=k$, împărţind cu $k^{2}$ am găsi o soluţie $(a, b, c, d) \in \mathbb{Z}^{4}$ a ecuaţiei $a^{2}+b^{2}+c^{2}=7 d^{2}$ cu c.m.m.d.c. $(a, b,, c, d)=1$. Atunci $a, b, c, d$ nu pot fi toate pare. Deoarece un pătrat perfect dă unul din resturile 0,1 sau 4 la împărţirea cu 8 , membrul stâng dă unul din resturile $1,2,3,5$ sau 6 la împărţirea cu 8 , în vreme ce $7 d^{2}$ dă rest 0 , 4 sau 7. Prin urmare egalitatea nu poate avea loc. + +$4 \mathrm{p}$ + +Problema 2. Fie numerele reale pozitive $a, b, c$ astfel încât $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Arătaţi că + +$$ +\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c} \geq 4 a^{2}+3 b^{2}+2 c^{2} +$$ + +Când are loc egalitatea? + +Marius Stănean, Zalău + +## Soluţia 1: + +Inegalitatea se poate scrie astfel $\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c}+b^{2}+2 c^{2} \geq 4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots . \mathbf{2 p}$ Aplică inegalitatea mediilor (pe bucă ţi sau pentru 12 numere) ......................... 4 p Egalitatea are loc atunci când $a=b=c=1$. ............................................................. + +## Soluţia 2: + +Avem $x^{3}-3 x+2 \geq 0, \forall x \geq 0$. Deducem că $\frac{1}{x} \geq \frac{3}{2}-\frac{x^{2}}{2}$. + +Scriind această inegalitate pentru $a, b, c$ şi înmulţind cu 1,3 , respectiv 5 , obţinem prin adunare $\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c} \geq \frac{27}{2}-\frac{a^{2}+3 b^{3}+5 c^{2}}{2}$. Folosind că $27=9\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ se obţine + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cb89fa25bc9d576e87dg-1.jpg?height=46&width=1578&top_left_y=2422&top_left_x=233) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cb89fa25bc9d576e87dg-1.jpg?height=48&width=1585&top_left_y=2467&top_left_x=232) + +Problema 3. Fie $A B C$ un triunghi oarecare astfel încât $A B>A C$. Punctul $P \in$ $(A B)$ are proprietatea că $\angle A C P \equiv \angle A B C$. Fie $D$ simetricul lui $P$ faţă de $A C$ şi $E$ punctul în care cercul circumscris triunghiului $B C D$ taie a doua oară dreapta $A C$. Demonstraţi că $A E=A C$. + +Vlad Robu, Baia Mare + +Soluţie: Fie $Q$ punctul în care cercul circumscris triunghiului $B C D$ intersectează a doua oară dreapta $A B$. Atunci $\angle Q E A \equiv \angle Q B C \equiv \angle E C P$, deci $E Q \| P C \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \mathbf{2 p}$ Inn plus, $\angle E C P \equiv \angle E C D$ implică $Q D \| E C$, deci $E Q=C D=C P \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .4 \mathbf{p}$ Deducem că $E Q C P$ este paralelogram, de unde concluzia.............................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cb89fa25bc9d576e87dg-2.jpg?height=498&width=506&top_left_y=995&top_left_x=777) + +Problema 4. Care este numărul maxim de ture ce se pot plasa pe o tablă de şah astfel încât orice tură să atace exact două alte ture? + +Alexandru Mihalcu, Oxford + +## Soluţie: + +Spunem că turele de pe tablă sunt de două feluri: + +de tipul $T 1$ dacă sunt atacate din direcţii perpendiculare, respectiv de tipul $T 2$ dacă sunt atacate din aceeaşi direcţie, dar sens contrar. + +Presupunem că putem plasa maxim $x$ ture, $m$ de tipul $T 1$ şi $n$ de tipul $T 2$. Observăm că orice tură de tipul $T 1$ determină 2 linii de pe care este atacată (din cele 16 ale tablei: 8 orizontale şi 8 verticale), iar exact o altă tură de tipul $T 1$ se află pe oricare dintre aceste două linii. Pentru turele de tipul $T 2$, putem observa că ele nu pot fi atacate din altă direcţie în afara celei din care sunt atacate deja, deci pentru fiecare din cele $m$ ture, există + +$m$ linii care nu mai pot fi ocupate de alte ture. In total am putea avea $\frac{2 n}{2}+m=n+m$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cb89fa25bc9d576e87dg-2.jpg?height=52&width=1585&top_left_y=2343&top_left_x=232) +Problema se termină când găsim un exemplu cu 16 ture: ............................... 2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cb89fa25bc9d576e87dg-3.jpg?height=483&width=485&top_left_y=398&top_left_x=777) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-480-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-480-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6004de3ffd59cfcc945e72d31c31b98ae38734a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-480-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,44 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +28.02.2015 + +## Clasa a VI-a + +1. a) Să se rezolve în mulțimea numerelor prime ecuația: + +$$ +3 a+5 b+11 c=116 +$$ + +b) Să se demonstreze că numărul $a=8^{n} \cdot 5^{3 n+1}+1$ nu este prim, $(\forall) n \in N$. + +2. Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuaţia: $\frac{1}{x-2013}+\frac{1}{y-2013}=1$. +3. Măsurile unghiurilor formate î jurul unui punct $O$ sunt exprimate prin numere naturale, puteri ale numărului 2. Aflați numărul cel mai mic de unghiuri care satisfac cerințele problemei și în acest caz determinați măsurile acestor unghiuri. +4. Lungimea segmentului $[A B]$ este $2^{20} \mathrm{~mm}$. Se consideră punctele $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{20}$ pe $[A B]$ astfel: $M_{1}$ mijlocul lui $[A B], M_{2}$ mijlocul lui $\left[M_{1} B\right], M_{3}$ mijlocul lui $\left[M_{2} B\right], M_{4}$ mijlocul lui $\left[M_{3} B\right]$, ș.a.m. Calculați lungimea segmentului $\left[M_{5} M_{19}\right]$. + +Notă: Timp de lucru 2 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +SUCCES! + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dd6804fb9f3f0461e427g-2.jpg?height=2004&width=1716&top_left_y=620&top_left_x=136) + +| | Numărul minim de unghiuri formate în jurul lui $\mathrm{O}$ este 5 | | +| :---: | :---: | :---: | +| | TOTAL Subiectul 3 | $7 \mathbf{p}$ | +| 4. | $\mathrm{AB}=2^{20} . M_{1}$ mijlocul lui $[A B] \Rightarrow M_{1} B=2^{20}: 2=2^{19}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\mathrm{M}_{2}$ mijlocul lui $\left[M_{1} B\right] \Rightarrow M_{2} B=2^{19}: 2=2^{18}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\ldots M_{5}$ mijlocul lui $\left[M_{4} B\right] \Rightarrow M_{5} B=2^{16}: 2=2^{15}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $\ldots M_{19}$ mijlocul lui $\left[M_{18} B\right] \Rightarrow M_{19} B=2^{2}: 2=2$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $M_{5} M_{19}=M_{5} B-M_{19} B=2^{15}-2$ | 1 p | +| | TOTAL Subiectul 4 | $7 \mathbf{p}$ | + +Subiecte propuse de prof. KOCZINGER EVA - Liceul Teologic Romano - Catolic „Ham Janos” + +Satu Mare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-481-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-481-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..494399b932d505a21bde82f8e8ff3a73ae8462af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-481-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală
28.02.2015 + +## Clasa a V-a + +1. Fie $\mathrm{A}=10^{2013}+2 \cdot 10^{2013}+3 \cdot 10^{2013}+\ldots \ldots .+2013 \cdot 10^{2013}$ și + +$$ +\mathrm{B}=10^{2015}+99 \cdot 10^{2013}+2 \cdot 10^{2013} +$$ + +a) Arătați că A este divizil cu 2013. + +b) Calculați suma cifrelor numărului B. + +2. Numere naturale se aranjează într-un tablou în modul următor: +11 + +și aşa mai departe. + +Determinați care este al 2015-lea număr de pe rândul al 2007-lea. + +3. a) Câte numere naturale $\mathbf{n}$ verifică inegalitătile: + +$$ +1+3+5+7+\ldots \ldots . .+2015 \leq \mathrm{n}<2+4+6+8+\ldots \ldots . .+2016 +$$ + +b) Stabiliți valoarea de adevăr a propozitiei + +$$ +4\left(1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{2015}\right)+1-5^{2016}=0 +$$ + +4. Determinați un umăr natural de patru cifre nenule pătrat perfect, știind că ultima cifră este egală cu suma primelor trei, iar prima și ultima cifră sunt divizibile cu trei. + +Notă: Timp de lucru 2 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +SUCCES! + +## BAREM de corectare + +| 1. a) | Factor comun $10^{2013}$
$\mathrm{~A}=10^{2013}(2013 \cdot 2014): 2=10^{2013} \cdot 2013 \cdot 1007$
A divizibil cu 2013 | $1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.b) | Factor comun $10^{2013}$
$B=10^{2013}(100+99+2)$
$B=20100000 \ldots 0$
Suma cifrelor este 3 | $1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| | TOTAL Subiectul 1 | $7 \mathbf{p} \quad$ | +| 2. | Fieacare rând conține număr impar de numere
Pe rândul al n-lea numărul elementelor este $2 \mathrm{n}-1$
Pe cele 2006 de rânduri sunt așezate $1+3+5+\ldots .+4011=2006^{2}$ de
numere
Pe cele 2006 de rânduri sunt 4024036 de numere
Al 2007-lea rând începe cu 4024038 | $1 p$
$2 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| | TOTAL Subiectul 2 | $7 \mathbf{p}$ | +| 3. a) | $1+3+5+7+\ldots \ldots . .+2015=1008^{2}=1016064$
$2+4+6+8+\ldots \ldots . .+2016=1016064+1008$ | $1 p$
$1 p$ | +| | Numărul soluțiilor este 1008 | $1 p$ | +| 3. b) | $1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{2015}=\left(5^{2016}-1\right): 4$
$5^{2016}-1+1-5^{2016}=0$ | $2 p$
$1 p$ | +| | Propoziție adevărată | $1 p$ | +| 4 . | $\overline{\mathrm{abcd}}, \mathrm{d}=\overline{\mathrm{abcd}}, \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}, \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d} \neq 0$
$a \vdots 3, \mathrm{~d} \vdots 3$
$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d} \vdots 3$ atunci $\overline{\mathrm{abcd}} \vdots 9$
$\mathrm{~d}=9$
Numărul căutat $\overline{3 \mathrm{bc} 9}, \mathrm{~b}+\mathrm{c}=6$ sau $\overline{6 \mathrm{bc} 9}, \mathrm{~b}+\mathrm{c}=3$
Un pătrat perfect se poate termina cu 29,49 sau 69
Deci numărul cautat este 3249 | $1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| | TOTAL Subiectul 4 | $7 \mathbf{p}$ | + +Subiecte propuse de prof. CZIPROK ANDREI - Colegiul Naţional,"Kolcsey Ferenc" Satu Mare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-482-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-482-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..edbd0c5ae808e074ef64e723bd67d28ace23e68b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-482-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,39 @@ +# Olimpiada naţională de matematică + +etapa locală + +28.02.2015 + +## Clasa a IX-a + +1. Se consideră o mulțime $\mathrm{G} \subset \mathbb{R}$ ce satisface simultan proprietățile: +a) $1 \in \mathrm{G}$ +b) $x \in G \Rightarrow \sqrt{x+2} \in G$ +c) $\sqrt{\mathrm{x}+3} \in \mathrm{G} \Rightarrow \mathrm{x}+4 \in \mathrm{G}$ + +Arătați că $\sqrt{2015} \epsilon \mathrm{G}$ și $2014 \epsilon \mathrm{G}$. + +2. + +a) Arătați că $a+b c \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}{2}$, $\forall a, b, c \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ +b) $\frac{3\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)+2}{3(\mathrm{c}+\mathrm{ab})}+\frac{3\left(\mathrm{~b}^{2}+\mathrm{c}^{2}\right)+2}{3(\mathrm{a}+\mathrm{bc})}+\frac{3\left(\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}\right)+2}{3(\mathrm{~b}+\mathrm{ac})} \geq 4, \forall a, b, c \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ + +3. Se dă șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ și relația $\frac{1^{2}}{a_{1} \cdot a_{2}+1}+\frac{2^{2}}{a_{2} \cdot a_{3}+1}+\cdots+\frac{n^{2}}{a_{n} \cdot a_{n+1}+1}=\frac{a_{n}+1}{8}, \forall n \geq$ 1. Aflați termenii șirului. +4. Fie $\Delta A B C$ și punctele $M \in(A B) ; N \epsilon(A C)$. Notăm $\frac{A M}{M B}+\frac{A N}{N C}=S$ și $\frac{A M}{M B} \cdot \frac{A N}{N C}=P, \quad S, P \in \mathbb{R}^{*}$. + +Arătați că dreapta $\mathrm{MN}$ trece prin mijlocul medianei $\mathrm{AD}$ al $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{D} \in(\mathrm{BC})$ dacă și numai dacă $\mathrm{S}=2 \mathrm{P}$. + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. + +## SUCCES! + +## Barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4a77cb330c50cb6a23eeg-2.jpg?height=2152&width=1697&top_left_y=347&top_left_x=211) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4a77cb330c50cb6a23eeg-3.jpg?height=1114&width=1695&top_left_y=234&top_left_x=215) + +Subiecte propuse de prof. BUD ADRIAN - Liceul Teoretic Negreşti Oaş + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-483-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-483-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7bee3e542dca964b78a9f2d87549aabe3def5bae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-483-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,2 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f49c4438c04da8e9f856g-1.jpg?height=2808&width=1716&top_left_y=72&top_left_x=244) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-484-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-484-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..932f552e20d15b508cb64c2b03af28c8fb4f16e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-484-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,8 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5b71e7dbeb16814e2f9g-1.jpg?height=1336&width=1131&top_left_y=83&top_left_x=682) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5b71e7dbeb16814e2f9g-1.jpg?height=523&width=120&top_left_y=90&top_left_x=1821) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5b71e7dbeb16814e2f9g-1.jpg?height=1327&width=865&top_left_y=1523&top_left_x=766) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5b71e7dbeb16814e2f9g-1.jpg?height=708&width=100&top_left_y=1827&top_left_x=1708) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-485-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-485-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45533c32791a9a93a1e57f403aded06a505c904e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-485-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,2 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f93ce596bbd4355764cbg-1.jpg?height=2780&width=1286&top_left_y=73&top_left_x=679) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-486-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-486-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..137affec34dc701ffbbd8352504fd1dd480e0181 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-486-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,2 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ccb9b586e201854cba0ag-1.jpg?height=2776&width=1314&top_left_y=78&top_left_x=634) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-487-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-487-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1deb1ebe94900c9602e8ab134bf0eff2cd2a45a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-487-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1 @@ +{"error":"Unknown conversion 2024_06_07_db96674a70b000758ddcg","error_info":{"id":"cnv_unknown_id","message":"Unknown conversion 2024_06_07_db96674a70b000758ddcg","conversion_id":"2024_06_07_db96674a70b000758ddcg"}} \ No newline at end of file diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-488-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-488-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6234c506636df4528e487b3124d33ea5c674fc8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-488-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1 @@ +{"error":"Unknown conversion 2024_06_07_6cbcd3e8b5358a948320g","error_info":{"id":"cnv_unknown_id","message":"Unknown conversion 2024_06_07_6cbcd3e8b5358a948320g","conversion_id":"2024_06_07_6cbcd3e8b5358a948320g"}} \ No newline at end of file diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-489-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-489-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e5f5ec2f197867851954644af3b9c0fbdfd2f6e3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-489-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală 28.02.2015
CLASA a $X$-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +1. Să se rezolve ecuaţia: +$\frac{1}{4^{x}+1}+\frac{1}{2^{x} \cdot 3^{x}-1}=\frac{2^{x}}{4^{x} \cdot 3^{x}-2 \cdot 2^{x}-3^{x}}$. +(Marin Marin, prof. univ. habil. dr.) + +## Subiectul 2 ( 7 puncte) + +$|a|=|b|=|c| \quad a z^{2}+b z+c=0$ + +2. Fie $a, b, c \in C^{*}$. Să se arate că dacă ecuaţia are cel + +$$ +b^{2}=a c +$$ + +puţin o rădăcină de modul 1 , atunci + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +$$ +\lg \left(x^{3}+x\right)=\log _{2} x +$$ + +3. Să se rezolve în $\boldsymbol{R}$ ecuaţia + +## Subiectul 4 ( 7 puncte) + +4. Fie $f, g:[a, b] \rightarrow[a, b]$ dacă funcţii crescătoare şi surjective. Dacă $\forall x, y \in[a, b]$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_320eac334045b5ae7766g-1.jpg?height=135&width=881&top_left_y=1781&top_left_x=297) + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeţeană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-49-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XII-onm_2018_clasa_xii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-49-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XII-onm_2018_clasa_xii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8ea48d6ec1b50ab980b52e06bedc266469c6c13c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-49-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XII-onm_2018_clasa_xii.md @@ -0,0 +1,161 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018 + +## CLASA a XII-a - Soluţii şi barem + +1. Fie $A$ un inel finit şi $a, b \in A$ cu proprietatea $c a ̆(a b-1) b=0$. Arătaţi că $b(a b-1)=0$. Soluţie: + +Egalitatea din ipoteză este echivalentă cu $a b^{2}=b$, iar cea de demonstrat cu $b a b=b$. + +Dacă elementul $b$ este idempotent(i.e., $b^{2}=b$ ), atunci $b a b=b a b^{2}=b \cdot b=b^{2}=b$. + +Dacă $b^{m}=b$, cu $m>2$, atunci $b a b=b a b^{m}=b a b^{2} b^{m-2}=b \cdot b \cdot b^{m-2}=b^{m}=b$. + +的 + +Este suficient să arătăm că există $m \geq 2$ cu proprietatea că $b^{m}=b \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ Inelul $A$ fiind finit, există $1 \leq k1$, atunci $a b^{k}=a b^{m}=a b^{2} b^{m-2}=b^{m-1}$ $1 p$ + +Dacă $k=2$, rezultă că $b=a b^{2}=b^{m-1}$, contrazicând minimalitatea. + +$1 p$ + +Dacă $k>2$, atunci $b^{k-1}=b \cdot b^{k-2}=a b^{2} b^{k-2}=a b^{k}=b^{m-1}$, contrazicând de asemenea minimalitatea. + +$1 p$ + +Observaţie: Nu se acordă puncte pentru discutarea cazului unui inel comutativ. + +2. Fie $\mathcal{F}$ mulţimea funcţiilor continue $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ care satisfac conditia + +$$ +e^{f(x)}+f(x) \geq x+1 +$$ + +pentru orice $x$ număr real. Determinaţi valoarea minimă pe care o poate lua integrala + +$$ +I(f)=\int_{0}^{e} f(x) d x +$$ + +atunci când $f$ parcurge $\mathcal{F}$. + +## Soluţie: + +Vom arăta că valoarea minimă este $\frac{3}{2}$. + +Considerăm funcţia $g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x)=e^{x}+x-1$. + +Aceasta este strict crescătoare şi continuă, cu $\operatorname{Im}(g)=\mathbb{R}$, deci inversabilă,..........1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d3c261360eb1318759g-1.jpg?height=60&width=1596&top_left_y=2243&top_left_x=184) + +Inegalitatea din enunţ se scrie sub forma $g(f(x)) \geq x, \forall x \in \mathbb{R}$, de unde +$f(x) \geq g^{-1}(x), \forall x \in \mathbb{R}$. + +Cum $g^{-1} \in \mathcal{F}$, şi $I(f) \geq I\left(g^{-1}\right), \forall f \in \mathcal{F}$, valoarea minimă este $I\left(g^{-1}\right)$ + +$\mathrm{Cu}$ substituţia $t=g^{-1}(x)$, avem + +$$ +I\left(g^{-1}\right)=\int_{0}^{e} g^{-1}(x) d x=\int_{0}^{1} t g^{\prime}(t) d t=\left.\left((t-1) e^{t}+\frac{t^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{3}{2} +$$ + +Observatie: Ultimul calcul reface demonstraţia teoremei lui Young, care se poate de asemenea invoca pentru obţinerea concluziei. + +3. Fie $f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ o funcţie integrabilă, iar $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale strict pozitive cu proprietatea că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +a) Dacă $A=\left\{m \cdot a_{n} \mid m, n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$, arătaţi că orice interval deschis de numere strict pozitive conţine elemente din $A$. + +b) Dacă pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ şi orice $x, y \in[a, b] c u|x-y|=a_{n}$ are loc inegalitatea $\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq|x-y|$, arătaţi că: + +$$ +\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq|x-y|, \quad \forall x, y \in[a, b] +$$ + +## Soluţie: + +a) Deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, pentru orice $c, d>0$, cu $c0$, cu $\operatorname{Im}(f) \subseteq[-M, M]$. + +Fie $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ fixate şi $x, y \in[a, b]$ cu $|x-y|=m \cdot a_{n}$. Arătăm că + +$$ +\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq|x-y| +$$ + +Definim, pentru $k=\overline{0, m}$, numerele $z_{k} \in[a, b]$ prin + +$$ +z_{k}=x+\frac{k}{m} \cdot(y-x)=\left(1-\frac{k}{m}\right) \cdot x+\frac{k}{m} \cdot y +$$ + +Rezultă că $\left|z_{k}-z_{k-1}\right|=a_{n}$, pentru orice $k=\overline{1, m}$, si + +$$ +\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right|=\left|\int_{z_{0}}^{z_{m}} f(t) d t\right|=\left|\sum_{k=1}^{m} \int_{z_{k-1}}^{z_{k}} f(t) d t\right| \leq \sum_{k=1}^{m}\left|\int_{z_{k-1}}^{z_{k}} f(t) d t\right| \leq \sum_{k=1}^{m}\left|z_{k}-z_{k-1}\right|=|x-y| +$$ + +Fie acum $x, y \in[a, b]$ oarecare şi $d=|x-y|$. Pentru $d=0$, inegalitatea cerută este evidentă. Presupunem în continuare $d>0$. Cum $A$ este densă în $[0, \infty)$, există un şir $\left(d_{n}\right)_{n \geq 1} \subset A$ cu proprietatea că $d_{n} \nearrow d$. Considerăm + +$$ +y_{n}=x+\frac{d_{n}}{d} \cdot(y-x)=\left(1-\frac{d_{n}}{d}\right) \cdot x+\frac{d_{n}}{d} \cdot y +$$ + +Atunci $y_{n} \in[a, b],\left|y_{n}-x\right| \in A$ şi $y_{n} \rightarrow y$. + +Rezultă că + +$$ +\left|\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right| \leq M \cdot\left|y-y_{n}\right| \longrightarrow 0 +$$ + +Obţinem atunci că + +$\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right|=\left|\int_{x}^{y_{n}} f(t) d t+\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right| \leq\left|\int_{x}^{y_{n}} f(t) d t\right|+\left|\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right| \leq\left|x-y_{n}\right|+\left|\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right|$. + +Trecând la limită în ultima inegalitate, obţinem inegalitatea cerută. + +$1 p$ + +4. Pentru $k \in \mathbb{Z}$ definim polinomul $F_{k}=X^{4}+2(1-k) X^{2}+(1+k)^{2}$. Să se determine toate valorile $k \in \mathbb{Z}$, astfel încât $F_{k}$ să fie ireductibil peste $\mathbb{Z}$ si reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$ pentru orice p prim. + +## Soluţie: + +Vom arăta că numerele care satisfac condiţia cerută sunt toate numerele $k \in \mathbb{Z}$ care nu sunt de forma $\pm l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z}$. + +Arătăm că $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}$ dacă şi numai dacă $F_{k}$ se descompune ca produs de două polinoame monice de grad 2 . + +Într-adevăr, dacă $F_{k}$ are o rădăcină întreagă $m$, atunci + +a) dacă $m=0$, atunci $k=-1$, si $F_{-1}=X^{2}\left(X^{2}+4\right)$. + +b) dacă $m \neq 0$, atunci $-m$ este de asemenea rădăcină, şi $X^{2}-m^{2}$ divide $F_{k}$. + +Deci $F_{k}$ este reductibil peste $Z$ dacă şi numai dacă $F_{k}=\left(X^{2}+a X+b\right)\left(X^{2}+c X+d\right)$, cu $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$. Prin identificarea coeficienţilor, avem că $a+c=0, a c+b+d=2(1-k)$, $a d+b c=0$ şi $b d=(1+k)^{2}$. + +Dacă $a=0$, atunci $c=0, b+d=2(1-k), b d=(1+k)^{2}$, de unde obţinem $(b-d)^{2}=$ $4(1-k)^{2}-4(1+k)^{2}=-16 k$, astfel că $k=-l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z}$. + +Dacă $a \neq 0$, atunci $c=-a, b=d, b^{2}=(1+k)^{2}, 2 b-a^{2}=2(1-k)$. + +Dacă $b=-1-k$, rezultă $a^{2}=-4$, imposibil. Deci $b=1+k$ şi $a^{2}=4 k$, de unde $k=l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z}$. + +Prin urmare, $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}$ dacă şi numai dacă $k= \pm l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z} \ldots \ldots . \mathbf{2 p}$ Arătăm că $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$ cu $p$ prim, pentru orice $k \in \mathbb{Z}$. + +Pentru $p=2$ avem că $F_{k}=X^{4}$ sau $F_{k}=X^{4}+\hat{1}=(X+\hat{1})^{4}$, deci $F_{k}$ este reductibil. . 1p Fie $p$ număr prim impar. Putem presupune că $k \not \equiv 0(\bmod p)$ şi $k \not \equiv-1(\bmod p)$. + +Ca mai sus, $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$ dacă şi numai dacă $F_{k}=\left(X^{2}+\hat{a} X+\hat{b}\right)\left(X^{2}+\hat{c} X+\hat{d}\right)$, cu $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$, care verifică conditiile $a+c \equiv 0(\bmod p), a c+b+d \equiv 2(1-k)(\bmod p)$, $a d+b c \equiv 0(\bmod p)$ si $b d \equiv(1+k)^{2}(\bmod p)$. + +Dacă $a \equiv 0(\bmod p)$, avem că $c \equiv 0(\bmod p)$ şi $(b-d)^{2} \equiv-16 k(\bmod p) \cdot(1)$ + +Dacă $a \not \equiv 0(\bmod p)$, atunci $c \equiv-a(\bmod p), b \equiv d(\bmod p), b^{2} \equiv(1+k)^{2}(\bmod p)$ şi $2 b-a^{2} \equiv 2(1-k)(\bmod p)$. + +Pentru $b \equiv-1-k(\bmod p)$ avem că $\left.a^{2} \equiv-4(\bmod p) . \mathbf{2}\right)$ + +Pentru $b \equiv 1+k(\bmod p)$ avem că $a^{2} \equiv 4 k(\bmod p) \cdot(3)$ + +Cum $-16 k=-4 \cdot 4 k$, cel puţin unul dintre elementele $-16 k,-\hat{4}$ şi $1 . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$ modulo $p$, astfel că cel puţin una dintre ecuaţiile (1), (2) sau (3) are soluţii............1p Cum $F_{k}=\left(X^{2}+(1-k)\right)^{2}-(-16 k)=\left(X^{2}-(1+k)\right)^{2}-(-4) X^{2}=\left(X^{2}+(1+k)\right)-(4 k) X^{2}$, rezultă că $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$, pentru orice $k \in \mathbb{Z}$. $1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-490-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-490-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..575569716eb656bdad42e2c8cfd87706e93fdb8e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-490-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,48 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală 28.02.2015
CLASA a VIII-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +1. a) Determinaţi toate perechile de numere întregi $(x, y)$ care verifică egalitatea: + +$$ +2 x^{2}-5 x y+2 y^{2}=27 +$$ + +b) Să se demonstreze inegalitatea + +$$ +\sqrt{\frac{x(y+z)}{3}}+\sqrt{\frac{y(x+z)}{3}}+\sqrt{\frac{z(x+y)}{3}} \leq \frac{5}{6}(x+y+z) \quad, \quad x, y, z \in \boldsymbol{R}_{+} +$$ + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +$$ +\frac{a^{2}+b}{b^{2}-a} \quad \frac{b^{2}+a}{a^{2}-b} +$$ + +2. Determinaţi numerele naturale $a$ şi $b$ dacă numerele şi întregi. + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +3. Prisma triunghiulară regulată $\mathrm{ABCA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ are $\mathrm{AB}=\mathrm{AA}^{\prime}$. + +a) Determinaţi poziţia punctului $\mathrm{T} \in\left(\mathrm{BB}^{\prime}\right)$ pentru care perimetrul triunghiului $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{TC}^{\prime}$ este minim. + +b) Demonstraţi că (BAC') $\perp$ (TA'C) + +## Subiectul 4 (7 puncte) + +4. O piramidă patrulateră VABCD are toate muchiile congruente şi aria laterală de 36 $\mathrm{cm}^{2}$. + +a) Demonstraţi că piramida este regulată; + +b) Arătaţi că două muchii laterale opuse sunt perpendiculare. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeţeană a + +olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-491-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-491-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e92b8f2a2428bbf629dfe30d85540cac613eb624 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-491-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,44 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală 28.02.2015
CLASA a VII-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +$$ +\left\{\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, \ldots, \frac{n-1}{n}\right\} +$$ + +1. Fie $n \in N, n>2$. Arătaţi că numărul fracţiilor ireductibile din mulţimea este par. + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +$$ +|a+| x-a||=3 +$$ + +2. Determinaţi valorile naturale ale lui $a$ pentru care ecuaţia are două rădăcini întregi. Rezolvaţi în acest caz ecuaţia. + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +3. În triunghiul $\mathrm{ABC}$ se duc înălţimile $[\mathrm{BH}]$ şi [CK], iar în triunghiul AKH se duc înălţimile [KM] şi [HL]. + +a) Arătaţi că $\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AM}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AL}$ + +b) Arătaţi că LM \| BC. + +## Subiectul 4 (7 puncte) + +4. În paralelogramul $\mathrm{ABCD} \mathrm{cu} \mathrm{AD}=15 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{AB}=30 \mathrm{~cm}$ se ia un punct $\mathrm{M}$ pe $[\mathrm{AC}]$ astfel + +$$ +\frac{A M}{M C}=\frac{1}{2} +$$ + +încât + +. Prin punctul $\mathrm{M}$ se duc $\mathrm{MN} \| \mathrm{AD}, \mathrm{N} \in[\mathrm{DC}]$ şi MP \| DC, $\mathrm{P} \in[\mathrm{AD}]$. Calculaţi perimetrul patrulaterului MNDP. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeţeană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-492-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-492-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e482064c777e411ea517a77a6eff427efb48f84f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-492-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală 28.02.2015
CLASA a VI-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +$$ +\frac{5 n+2007}{8} \quad \frac{11 n-2006}{8} +$$ + +1. Arătaţi că pentru orice numere naturale $n$ fracţiile şi nu pot fi simultan numere întregi. + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +$$ +\overline{a b c d} \quad \overline{a b c d}+\overline{d c b a} +$$ + +2. Fie numărul în baza 10 şi suma $s=$ Arătaţi că $s$ se divide cu 27 dacă şi numai dacă $a+b+c+d=27$ + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +3. Două unghiuri sunt adiacente, iar bisectoarele lor sunt perpendiculare. Aflaţi măsurile + +$$ +\frac{1}{7} +$$ + +unghiurilor, ştiind că din măsura unuia este jumătate din măsura celuilalt. + +## Subiectul 4 (7 puncte) + +4. Pe laturile unghiului $\measuredangle \mathrm{AOB}$ se consideră punctele $\mathrm{C}$ şi $\mathrm{D}$ astfel încât $\mathrm{C} \in(\mathrm{OA}, \mathrm{D} \in(\mathrm{OB}$, $[\mathrm{OC}] \equiv[\mathrm{OD}]$. Ştiind că $[\mathrm{OA}] \equiv[\mathrm{OB}]$ şi $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{I}\}$, demonstraţi că $\angle \mathrm{IOA} \equiv \measuredangle \mathrm{IOB}$. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeţeană a + +olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-493-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-493-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..98fd526ce5f7c4a2258dcc27076d04131a319e09 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-493-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală 28.02.2015
CLASA a V-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +1. Suma cifrelor unui număr natural este 23 , iar câtul împărţirii sale prin 9 este 96 . Să se afle numărul. + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +2. Să se scrie numărul $2003^{2003}$ ca sumă de 2003 numere naturale consecutive. + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +3. Determinaţi numerele naturale $x$ astfel încât mulţimile + +$A=\{2 x, 6 x+4,3 x+5\}$ şi $B=\{2 x-1,2 x+1,5 x+6\}$ să aibă un singur element comun. + +## Subiectul 4 (7 puncte) + +4. Câte numere naturale verifică relaţia + +$$ +(n+7)(n+8)<100 ? +$$ + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeţeană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-494-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-494-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34ba6118b8ac882584400f36c4b168d546d4de8c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-494-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală 28.02.2015 + +CLASA a IX-a + +## Subiectul 1 (7 puncte) + +1. Dacă $a, b, c \geq 0$ şi $n \in N^{*}$, arătaţi că: $a^{n}(b+c-2 a)+b^{n}(a+c-2 b)+c^{n}(a+b-2 c) \leq 0$. + +## Subiectul 2 (7 puncte) + +2. Arătaţi că, dacă $n \in N, n>2$, atunci numărul $3^{n}+1$ nu este divizibil cu $2^{n}$. + +## Subiectul 3 (7 puncte) + +3. Arătaţi că nu există nici o progresie aritmetică infinită cu raţia nenulă care să fie format numai din numere prime. + +## Subiectul 4 (7 puncte) + +4. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ + +a) dacă M este mijlocul lui $[\mathrm{BC}]$, arătaţi că $2 \cdot \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ + +b) să se arate că putem construi un triunghi folosind medianele AM, BN şi CP ale triunghiului dat. + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa judeţeană a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-495-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-495-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3621ddc231524272c02b5d32cff5063637d2cfb6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-495-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# Inspectoratul Şcolar Judeţean Tulcea + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală, 28.februarie. 2015
CLASA a VIII-a + +## Subiectul I + +Să se determine $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}$ ştiind că + +$$ +\left[\sqrt{\sqrt{x^{2}+4}+x}+\sqrt{\sqrt{x^{2}+4}-x}\right]=2 +$$ + +unde cu $[x]$ se notează partea întreagă a numărului $x$. + +## Subiectul II + +Determinaţi valorile întregi ale lui $\mathrm{x}$ şi $\mathrm{y}$ astfel încât + +$$ +x-3 y+4=0 \quad \text { şi } \quad \sqrt{x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4} \in \mathbb{Q} +$$ + +## Subiectul III + +Fie $\mathrm{ABCAA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ o prismă triunghiulară regulată în care $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{AA}^{\prime}=\frac{a \sqrt{6}}{2}, \mathrm{R}$ centrul feţei $\mathrm{ACC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$. + +a) Determinaţi distanţa de la $\mathbf{R}$ la $\mathrm{AB}$. + +b) Dacă $\mathbf{M}$ este mijlocul lui $[\mathrm{AB}]$ iar $\mathrm{Q} \in\left[\mathrm{MC}^{\prime}\right]$ astfel încât $\mathrm{MQ}=\frac{1}{3} \mathbf{M C ^ { \prime }}$, calculaţi RQ. + +c) Demonstraţi că planele $\left(\mathrm{ABC}^{\prime}\right)$ şi $\left(\mathrm{BCA}^{\prime}\right)$ sunt perpendiculare. + +| | BAREM CLASA a VIII-a | | +| :---: | :---: | :---: | +| Sub. I | $2 \leq \sqrt{\sqrt{\boldsymbol{x}^{2}+4}+\mathrm{x}}+\sqrt{\sqrt{\boldsymbol{x}^{2}+\mathbf{4}}-\mathrm{x}}<\mathbf{3}$
Aplicare binom la pătrat, produsul sumei cu diferenţa
Finalizare, $x \in\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ | $1 \mathrm{p}$
$2+2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| Sub. II | $x+4=3 y$
$x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4=(x+4)^{2}+7 y^{2}+8 y-12=16 y^{2}+8 y-12=$
$=(4 y+1)^{2}-13$
$\sqrt{x^{2}+7 y^{2}+8 x+8 y+4} \in \mathbb{Q}$ dacă $(4 y+1)^{2}-13=k^{2}, k \in \mathbb{Q}$
$(4 y+1+k)(4 y+1-k)=13$
Analizând cazurile posibile, soluția este $\mathrm{x}=-10, \mathrm{y}=-2$ | $1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| Sub. III | Fie N mijlocul lui $[B C]$, P mijlocul lui $[A C]$.
a) Fie $P S \perp A B$. Din Th celor trei perpendiculare $d(R ; A B)=R S$.
$R S=\frac{3 a}{4}$
b) $Q=$ centrul de greutate al $\triangle A B C$ '
$R Q=\frac{1}{3} R B=\frac{a \sqrt{2}}{4}$
c) Fie MT $\mathrm{RB}^{2}$, dem. că unghiul între cele două plane este $\widehat{M T N}$.
Se verifică reciproca Th. Pitagora în $\triangle M N T$, finalizare. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-496-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-496-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a337a6a5e57601dd450bff7e81972d03f49e6a19 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-496-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,36 @@ +# Inspectoratul Şcolar Judeţean Tulcea + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Faza locală, 28.februarie. 2015 + +CLASA a VII-a + +## Subiectul I + +a) Fie $x=\frac{6}{1}+\frac{11}{2}+\frac{16}{3}+\cdots+\frac{10076}{2015}-\left(1+2^{-1}+3^{-1}+\cdots+2015^{-1}\right)$. Calculaţi $\left(2014-\frac{x}{5}\right)^{-2015}$ + +b) Aflaţi numerele întregi $x, y, z$ ştiind că $x^{2}-x+|y-3|+\left(z^{2}-16\right)^{2} \leq 0$. + +## Subiectul II + +Fie $\mathbf{n}$ un număr natural cu proprietatea că prima zecimală a numărului $\sqrt{\boldsymbol{n}}$ este 2 . + +a) Daţi două exemple numerice de astfel de numere. + +b) Arătaţi că există o infinitate de numere naturale cu această proprietate. + +## Subiectul III + +În paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ notăm cu $\mathrm{M}$ mijlocul lui $\mathrm{AB}, \mathrm{N}$ mijlocul lui $\mathrm{CM}, \mathrm{DN} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{P}\}$ si $\mathrm{DN} \cap \mathrm{AB}=\{\mathrm{Q}\}$. Demonstraţi că triunghiurile $\mathrm{NCP}$ şi $\mathrm{PBQ}$ au aceeaşi arie. + +## Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect se notează cu 7 puncte + +| Sub. I | | | +| :---: | :---: | :---: | +| | a) $x=5+1+5+\frac{1}{2}+5+\frac{1}{3}+\cdots+5+\frac{1}{2015}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2015}\right)=5$.
2015
$\left(2014-\frac{x}{5}\right)^{-2015}=(-1)^{-2015}=-1$
b) Oricare $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ numere întregi
$x^{2}-x \geq 0$
$\|y-3\| \geq 0$
$\left(z^{2}-16\right)^{2} \geq 0$
Deci, $x^{2}-x+\|y-3\|+\left(z^{2}-16\right)^{2}=0$
Egalitatea are loc dacă $x^{2}-x=0,\|y-3\|=0,\left(z^{2}-16\right)^{2}=0$
Finalizare, soluţile sunt $(0,3,4),(0,3,-4),(1,3,4),(1,3,-4)$ | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| Sub. II | a) Oricare două numere cu proprietatea cerută.(Ex: $5,28,39,52,53, \ldots)$
b) Pentru $\mathrm{n}$ număr cu proprietatea respectivă, fie $k=[\sqrt{n}]$,
$0,2 \leq\{\sqrt{n}\}<0,3 \Rightarrow 0,2+k \leq \sqrt{n}<0,3+k$. Ridicând relaţia la pătrat se
obține $(0,2+k)^{2} \leq n<(0,3+k)^{2}$.
Există cel puțin un astfel de număr natural $\mathrm{n}$, dacă $(0,3+k)^{2}-$
$(0,2+k)^{2}>1 \Leftrightarrow 0,1 \cdot(2 k+0,5)>1 \Rightarrow k>4,75$.
Deci pentru $k \geq 5$ există cel puțin un $\mathrm{n}$ cu proprietatea dată $\Rightarrow$ număr
infinit de numere.
$\mathrm{k}=5 \Rightarrow \mathrm{n}=28$. $\mathrm{k}=6 \Rightarrow \mathrm{n}=39 . \mathrm{k}=7 \Rightarrow \mathrm{n}=52$ sau 53 | $1 p$
$2 p$
$2 p$ | +| Sub. III | (ULU) $\triangle C D N \equiv \triangle M N Q$.
Deci $D C=M Q$ reiese apoi că B este mijlocul lui [MQ], deci aria $\triangle M N B$ este
aceeași cu aria $\triangle N B Q$.
Dar [BN] mediană în $\triangle M B C$ deci aria $\triangle M N B$ este aceeaşi cu aria $\triangle N B C$.
Finalizare. (Se scade aria $\triangle B N P$ ) | $2 p$
$2+1 p$
$1 p$
$1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-497-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-497-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6190755789dd532c71ed495040f6085abac782f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-497-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,20 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN TULCEA + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 2015
CLASA a VI-a A + +1. Rezolvați in mulțimea numerelor prime următoarea ecuație: $2 m+3 p+4 t=56$. +2. Se dau numerele: $a=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{99}{100}$ și $b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{100}$. + +a) Calculați: $a+b$ + +b) Dacă c=100 - b. Comparați a cu c. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3665f225945bffc1bb07g-1.jpg?height=60&width=1528&top_left_y=867&top_left_x=298) +formeze un unghi de $75^{\circ}$. + +a) Să se determine $\mathrm{m}(\overline{A O B})$ și $\mathrm{m}(\overline{B O C})$ știind că $3 \mathrm{~m}(\overline{A O B})=2 \mathrm{~m}(\widehat{B O C})$. + +b) Dacă semidreapta [OT formează unghi drept cu semidreapta [OM astfel încât punctele $M$ și T sunt de aceeași parte cu punctul B față de punctul A. Calculați: $\mathrm{m}(\widehat{T O N}), \mathrm{m}(\widehat{B O N})$, $\mathrm{m}(\widehat{B O T}), \mathrm{m}(\widehat{C O T})$. + +Notă: Timp de lucru: 2 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 Nu se acordă puncte din oficiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-498-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-498-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e7654a037814d97f29e2ca667aa52fe963550ff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-498-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,10 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDETTEAN TULCEA + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 2015
CLASA a V-a A + +1. Un număr natural se împarte la 2, din rezultat se scade 10, apoi noul rezultat se împarte la 11. Ştiind că în final obṭinem 2, aflați numărul inițial. +2. Să se calculeze suma tuturor numerelor de forma $\overline{a b a b}$, ştiind că $\overline{a b}-\overline{b a}=\mathrm{a}+3 \mathrm{~b}$. +3. Suma a trei numere naturale este 2013. Dacă împărţim fiecare număr la acelaşi număr natural n obţinem câturile 11, 19, respectiv 27 şi acelaşi rest nenul. Ştiind că restul este divizibil cu 2 şi cu 3 în acelaşi timp, să se determine cele trei numere. + +Notă: Timp de lucru: 2 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 Nu se acordă puncte din oficiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-499-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-499-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c0db331d804f8cf335dd669b62495e1485780b8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-499-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_barem.md @@ -0,0 +1,128 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 15 februarie 2015
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## CLASA a XII-a + +1. Fie $(G, \cdot)$ un grup şi $A, B$ două submulţimi nevide ale lui $G$. + +Considerăm mulţimea $A / B=\left\{a b^{-1} / a \in A, b \in B\right\}$ (am notat cu $b^{-1}$ simetricul lui $b$ în grupul $G$ ). + +a) (3p) Dacă $G$ este grup abelian iar $A$ şi $B$ sunt subgrupuri ale sale, demonstraţi că $A / B$ este subgrup în $G$. + +b) (4p) În grupul $\left(\mathbb{Z}_{2015},+\right)$ considerăm mulţimile $A=\left\{\hat{a} \in \mathbb{Z}_{2015} / a\right.$ se divide cu 13$\}$ şi $B=\left\{\hat{b} \in \mathbb{Z}_{2015} / b\right.$ se divide cu 31$\}$. Determinaţi mulţimea $A / B$. + +Dan Popescu, Vladimir Cerbu + +## Solutie. + +a) Dacă $a_{1}, a_{2} \in A$ şi $b_{1}, b_{2} \in B$ atunci $\left(a_{1} b_{1}^{-1}\right) \cdot\left(a_{2} b_{2}^{-1}\right)^{-1}=\left(a_{1} a_{2}^{-1}\right) \cdot\left(b_{1} b_{2}{ }^{-1}\right)^{-1}=a_{3} b_{3}^{-1} \in A / B$, deoarece $a_{3}=a_{1} a_{2}^{-1} \in A$ şi $b_{3}=b_{1} b_{2}^{-1} \in B$. + +Deci $\forall x, y \in A / B$ avem $x y^{-1} \in A / B$, prin urmare $A / B$ este subgrup în $G$. + +b) Avem $A=\{\widehat{13 k} / k \in \mathbb{N}, k \leq 154\}, B=\{\widehat{31 k} / k \in \mathbb{N}, k \leq 64\}, A / B=\{a-b / a \in A, b \in B\}$. + +Deoarece $2015=5 \cdot 13 \cdot 31$ deducem că $A$ şi $B$ sunt subgrupuri ale grupului comutativ $\left(\mathbb{Z}_{2015},+\right)$. + +Conform punctului a) rezultă că $A / B$ este subgrup în $\left(\mathbb{Z}_{2015},+\right)$. + +Ţinând cont că $1=13 \cdot 12-5 \cdot 31$, obţinem $\hat{1} \in A / B$ şi atunci $\hat{1}+\hat{1} \in A / B, \hat{1}+\hat{1}+\hat{1} \in A / B$ etc. + +În concluzie, $A / B=\mathbb{Z}_{2015}$. + +## Barem. + +| a) $\forall x, y \in A / B$ avem $x y^{-1} \in A / B \Rightarrow A / B$ este subgrup în $G$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Demonstrează implicaţia de mai sus | $2 \mathrm{p}$ | +| b) $A$ şi $B$ subgrupuri ale grupului comutativ $\left(\mathbb{Z}_{2015},+\right) \Rightarrow A / B$ e subgrup în $\left(\mathbb{Z}_{2015},+\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $2 \mathrm{p}$ | + +2. Demonstraţi că nu există grupuri necomutative $(G, \cdot)$ cu proprietatea că $x^{2}=e, \forall x \in G \backslash Z(G)$. + +( Am notat cu $e$ elementul neutru al grupului $G$ şi cu $Z(G)$ centrul grupului $G$, adică mulţimea elementelor din $G$ care comută cu toate elementele lui $G: \quad Z(G)=\{x \in G / x y=y x, \forall y \in G\}$ ) + +Gazeta Matematică + +Solutie. Presupunem că există un grup necomutativ $(G, \cdot)$ aşa încât $x^{2}=e, \forall x \in G \backslash Z(G)$. + +Fie $x$ şi $y$ două elemente arbitrare din $G$. + +Dacă $x \in Z(G)$ sau $y \in Z(G)$ atunci are loc $x y=y x$ + +Dacă $x, y \in G \backslash Z(G)$, atunci $x^{2}=e$ şi $y^{2}=e$, iar de aici se obţine $x=x^{-1}$ şi $y=y^{-1}$. + +Analizăm următoarele două situaţii posibile: + +- dacă $x y \in G \backslash Z(G)$ atunci $(x y)^{2}=e$, deci $x y=(x y)^{-1}$ şi avem succesiv: $y x=y^{-1} x^{-1}=(x y)^{-1}=x y$. +- dacă $x y \in Z(G)$, atunci $x y$ comută cu $y$ adică $x y y=y x y$; simplificând la dreapta obţinem $x y=y x$. În concluzie, $\forall x, y \in G$ avem $x y=y x$, adică $G$ este grup comutativ, absurd! + + +## Barem. + +| Abordarea prin metoda reducerii la absurd | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Dacă $x \in Z(G)$ sau $y \in Z(G) \Rightarrow x y=y x$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă $x, y \in G \backslash Z(G)$ şi $x y \in G \backslash Z(G) \Rightarrow x y=y x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Dacă $x, y \in G \backslash Z(G)$ şi $x y \in Z(G) \Rightarrow x y=y x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Concluzie | $1 \mathrm{p}$ | + +3. a) (2p) Dacă funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verifică relaţia $(f(x))^{5}+f(x)-x=0, \forall x \in \mathbb{R}$ atunci funcţia $f$ admite primitive. + +b) (5p) Dacă funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verifică relaţia $(f(x))^{3}-3(f(x))^{2}-x=0, \forall x \in \mathbb{R}$ atunci funcţia $f$ nu admite primitive. + +Mihai Piticari, Vladimir Cerbu + +Solutie. a) Dacă notăm $g(x)=x^{5}+x, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, atunci relaţia din enunţ devine $g \circ f=1_{\mathbb{R}}$. + +Cum $g$ este bijectivă $\Rightarrow f=g^{-1} \Rightarrow f$ continuă $\Rightarrow f$ admite primitive. + +b) Să presupunem prin absurd că $f$ admite primitive. Atunci $f$ are proprietatea lui Darboux (1). + +Dacă notăm $g(x)=x^{3}-3 x^{2}, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \Rightarrow g \circ f=1_{\mathbb{R}} \Rightarrow f$ este injectivă (2) şi $g$ este surjectivă. + +Din (1) şi (2) rezultă că $f$ este strict monotonă şi continuă, deci $f(\mathbb{R})$ este interval. + +Dacă $f(\mathbb{R})=(a, \infty)$ atunci $(g \circ f)(\mathbb{R})=g((a, \infty))=(b, \infty) \neq \mathbb{R}$ adică $g \circ f$ nu este surjectivă ceea ce este fals! Analizând şi celelalte cazuri posibile deducem că $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, deci $f$ este bijectivă. + +Atunci $f^{-1}=g \Rightarrow g$ este injectivă, absurd! + +## Barem. + +| a) $g$ bijectivă | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $f=g^{-1} \Rightarrow f$ continuă $\Rightarrow f$ admite primitive | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{b}) f$ admite primitive $f \Rightarrow$ are proprietatea lui Darboux | $1 \mathrm{p}$ | +| $g \circ f=1_{\mathbb{R}} \Rightarrow f$ este injectivă | $1 \mathrm{p}$ | +| $f$ este strict monotonă şi continuă, deci $f(\mathbb{R})$ este interval | $1 \mathrm{p}$ | +| $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}, f$ este bijectivă | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Funcţia $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ este derivabilă, cu $0 \leq f^{\prime}(x) \leq 1, \forall x \in[a, b]$ şi $f(a)=0$. + +Arătaţi că $3\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\right)^{3} \geq \int_{a}^{b} f^{8}(x) d x$. + +Ion Bursuc + +## Solutie. + +Considerăm funcţia $g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, g(t)=3\left(\int_{a}^{t} f^{2}(x) d x\right)^{3}-\int_{a}^{t} f^{8}(x) d x$. + +Funcţia $g$ este derivabilă şi $g^{\prime}(t)=9\left(\int_{a}^{t} f^{2}(x) d x\right)^{2} f^{2}(t)-f^{8}(t)=$ + +$=f^{2}(t)\left(9\left(\int_{a}^{t} f^{2}(x) d x\right)^{2}-f^{6}(t)\right) \geq f^{2}(t)\left(\left(3 \int_{a}^{t} f^{2}(x) f^{\prime}(x) d x\right)^{2}-f^{6}(t)\right)=0$ + +$\Rightarrow g^{\prime}(t) \geq 0, \forall t \in[a, b]$, de unde deducem că funcţia $g$ este crescătoare . + +Cum $g(a)=0 \Rightarrow g(b) \geq g(a)=0$, deci are loc inegalitatea din enunţ. + +Barem. + +| Funcţia $g$ este derivabilă | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Calculează $g^{\prime}(t)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează $g^{\prime}(t) \geq 0, \forall t \in[a, b]$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +Notă: + +Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-5-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VII-cls_7_loc.md b/Romania_Olympiad/md/ro-5-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VII-cls_7_loc.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..46361ef4d8eea300147558a4e4b253097c7b3ab0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-5-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VII-cls_7_loc.md @@ -0,0 +1,203 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_412259b3dc4e30e369e4g-1.jpg?height=134&width=137&top_left_y=36&top_left_x=1074) + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 26 februarie 2022
CLASA a VII-a - enunţuri + +Timp de lucru 180 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Numărul $N=\frac{2}{\frac{2}{5}}+\frac{\frac{2}{5}}{2}$ este egal cu: +A 5,8 +B 0,4 +C 1 +D 5,2 +E 2 +2. Produsul soluţiilor ecuaţiei $\frac{x^{2}+3}{3}+\frac{x^{2}+7}{5}+\frac{x^{2}+19}{11}=6$ este egal cu: +A 5 +B 3 +C -3 +D -5 +E 11 +3. Suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei ||$x|-3|=2$ este egală cu: +A 1 +B 2 +C 26 +D 50 +E 52 +4. Numărul elementelor iraţionale ale mulţimii $A=\{\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \ldots \sqrt{300}\}$ este: +A 284 +B 282 +C 18 +D 17 +E 283 +5. Se consideră numărul $A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{1 \cdot 3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{5 \cdot 7}}+\ldots+\frac{\sqrt{243}-\sqrt{241}}{\sqrt{241 \cdot 243}}$. Atunci: +A $02$ +D $1 Etapa Finală, 4 aprilie 2018 + +## CLASA a XI-a + +## Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Pentru orice număr natural nenul $n$ şi orice matrice coloană + +$$ +\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c} +x_{1} \\ +x_{2} \\ +\vdots \\ +x_{n} +\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z}) +$$ + +notăm cu $\delta(\mathbf{X})$ cel mai mare divizor comun al numerelor $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, şi $\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$. Arătaţi că următoarele două afirmaţii sunt echivalente: + +(a) $|\operatorname{det} \mathbf{A}|=1$ si + +(b) $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$, oricare ar fi $\mathbf{X} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. + +(Cel mai mare divizor comun al unor numere întregi este număr natural.) + +Soluţie. Arătăm că (a) implică (b). Fie $\mathbf{B}=\left(b_{i j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$, fie $\mathbf{X}=\left(x_{j}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$ şi fie $\mathbf{B X}=\left(y_{i}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. Cum $y_{i}=\sum_{j=1}^{n} b_{i j} x_{j}, i=1,2, \ldots, n$, rezultă că $\delta(\mathbf{X})$ divide fiecare $y_{i}$, deci $\delta(\mathbf{X}) \leq \delta(\mathbf{B X})$. + +Cum A este inversabilă în $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$, rezultă că $\delta(\mathbf{X}) \leq \delta(\mathbf{A X}) \leq \delta\left(\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A X})\right)=\delta(\mathbf{X})$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f57708853c6eb6e301c5g-1.jpg?height=49&width=1589&top_left_y=1472&top_left_x=230) + +Arătăm că (b) implică (a). Fie $d=\operatorname{det} \mathbf{A}$. Dacă $d=0$, atunci sistemul omogen $\mathbf{A X}=\mathbf{O}_{n, 1}$ are soluţii nenule în $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Q})$ şi, prin înmulţirea uneia dintre aceste soluţii cu produsul numitorilor componentelor sale nenule, obţinem un $\mathbf{X} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z}), \mathbf{X} \neq \mathbf{O}_{n, 1}$, astfel încât $\mathbf{A X}=\mathbf{O}_{n, 1}$. Deci $0<\delta(\mathbf{X})=\delta(\mathbf{A X})=\delta\left(\mathbf{O}_{n, 1}\right)=0$, o contradicţie. Prin urmare, $d \neq 0$. + +$1 p$ + +Fie $\mathbf{X}_{i}$ coloana $i$ a matricei $\mathbf{A}^{*}, i=1,2, \ldots, n$. Cum matricea coloană $\mathbf{A X}_{i}$ are toate componentele nule, cu excepţia componentei $i$, care este egală cu $d$, rezultă că $d=\delta\left(\mathbf{A X}_{i}\right)=\delta\left(\mathbf{X}_{i}\right), i=1,2, \ldots, n$, deci toate elementele lui $\mathbf{A}^{*}$ sunt divizibile cu $d$. Prin urmare, $\operatorname{det} \mathbf{A}^{*}$ este divizibil cu $d^{n}$. Cum $\operatorname{det} \mathbf{A}^{*}=d^{n-1}$ si $d \neq 0$, rezultă că $d= \pm 1$. $3 p$ + +Remarcă. O matrice pătrată cu elemente întregi si determinant $\pm 1$ se numeşte unimodulară. Evident, produsul a două matrice unimodulare este unimodular şi orice matrice unimodulară este inversabilă, iar inversa ei este şi ea unimodulară. Prima parte a soluţiei 1 arată că singura dificultate constă în a deduce unimodularitatea lui $\mathbf{A}$ din condityia $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$, oricare ar fi $\mathbf{X} \operatorname{din} \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. + +Conform unei teoreme a lui Frobenius, pentru orice matrice $\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{Z})$, există un număr natural $r \leq \min (m, n)$ şi două matrice unimodulare $\mathbf{P}$ şi $\mathbf{Q}$, astfel încât $\mathbf{P A Q}=$ $\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}, 0, \ldots, 0\right)$, unde toţi $d_{i}$ sunt numere naturale şi fiecare $d_{i}$ îl divide pe $d_{i+1}$. + +Fie $m=n$ şi fie $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$ oricare ar fi $\mathbf{X}$ in $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. Unimodularitatea lui $\mathbf{Q}$ implică $\delta(\mathbf{X})=\delta(\mathbf{Q X})$; prin ipoteză, $\delta(\mathbf{Q X})=\delta(\mathbf{A Q X})$, iar unimodularitatea lui +$\mathbf{P}$ implică $\delta(\mathbf{A Q X})=\delta(\mathbf{P A Q X})$. Deci $\delta(\mathbf{X})=\delta(\mathbf{P A Q X})$, oricare ar fi $\mathbf{X}$ in $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. Intrucât $\mathbf{P A Q}$ are forma diagonală de mai sus, rezultă că $r=n$ şi toţi $d_{i}=1$, deci $\mathbf{A}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{Q}^{-1}$ este unimodulară. + +Problema 2. Arătaţi că $2^{-x}+2^{-1 / x} \leq 1$, oricare ar fi numărul real $x>0$. + +Soluţie. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2^{-x}+2^{-1 / x}$. Cum $f(x)=f(1 / x)$, este suficient să arătăm că $f(x) \leq 1$, oricare ar fi $x \in(0,1]$. ................................................................ + +Cum $f$ este derivabilă şi $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1=f(1)$, pentru a demonstra inegalitatea din enunţ, este suficient să arătăm că valoarea lui $f$ în orice zero al derivatei $f^{\prime}$ din $(0,1)$ este cel mult 1 . $2 p$ + +Fie $a \in(0,1)$, astfel încât $f^{\prime}(a)=0$. Rezultă că $2^{-1 / a} / a^{2}=2^{-a}$, deci $2^{-1 / a}=2^{-a} a^{2}$. $\operatorname{Cum} f(a)=2^{-a}+2^{-1 / a}=2^{-a}\left(1+a^{2}\right)$, inegalitatea $f(a) \leq 1$ este echivalentă cu $1 \leq 2^{a}-a^{2}$. $2 \mathrm{p}$ + +Fie $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=2^{x}-x^{2}$. Cum $g$ este de două ori derivabilă şi $g^{\prime \prime}(x)=$ $2^{x}(\ln 2)^{2}-2 \leq 2\left((\ln 2)^{2}-1\right) \leq 0$, oricare ar fi $x$ în $[0,1]$, rezultă că $g$ este concavă, deci $g(x)=g((1-x) \cdot 0+x \cdot 1) \geq(1-x) g(0)+x g(1)=1$. $2 p$ + +Problema 3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie care are proprietatea lui Darboux. Arătaţi că, dacă $f$ este injectivă pe mulţimea numerelor iraţionale, atunci este $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. + +Soluţie. Vom arăta că $f$ este injectivă pe $\mathbb{R}$. Atunci, cum $f$ are proprietatea lui Darboux, $f$ este (strict) monotonă şi, prin urmare, continuă. $1 \mathrm{p}$ + +Presupunem că $f$ nu este injectivă. Fie $a, b \in \mathbb{R}, af(a)$. + +Fie $A=(a, b) \cap \mathbb{Q}$. Cum $A$ este numărabilă, rezultă că $f(A)$ este cel mult numărabilă, şi cum $(f(a), f(c))$ este nenumărabilă, rezultă că $(f(a), f(c)) \backslash f(A)$ este nevidă. . . 4p + +Fie $d \in(f(a), f(c)) \backslash f(A)$. Cum $f$ are proprietatea lui Darboux, există $x_{1} \in(a, c)$ şi $x_{2} \in(c, b)$, astfel încât $f\left(x_{1}\right)=d=f\left(x_{2}\right)$. Din alegerea lui $d$, rezultă că $x_{1}$ şi $x_{2}$ sunt iraţionale, ceea ce contrazice injectivitatea lui $f$ pe mulţimea numerelor iraţionale. . . $\mathbf{2 p}$ + +Problema 4. Fie $n$ un număr întreg, $n \geq 2$, si fie $\mathbf{A}$ o matrice din $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $\mathbf{A}$ şi $\mathbf{A}^{2}$ să aibă ranguri diferite. Arătaţi că există o matrice nenulă $\mathbf{B}$ în $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{B}^{2}=\mathrm{O}_{n}$. + +Soluţie. Întrucât $\mathbf{A}$ şi $\mathbf{A}^{2}$ au ranguri diferite, $\mathbf{A}$ este o matrice singulară nenulă. + +Dacă $n=2$, atunci $\mathbf{A}^{2}=(\operatorname{tr} \mathbf{A}) \mathbf{A}$, conform teoremei Hamilton-Cayley. Deoarece $\mathbf{A}$ şi $\mathbf{A}^{2}$ au ranguri diferite, rezultă că $\operatorname{tr} \mathbf{A}=0$, deci $\mathbf{A}^{2}=\mathbf{O}_{2}$ si putem lua $\mathbf{B}=\mathbf{A} \ldots \ldots . \mathbf{p}$ + +Fie $n \geq$ 3. Întrucât $\mathbf{A}$ este singulară, 0 este o valoare proprie a lui $\mathbf{A}$. + +Dacă toate valorile proprii ale lui $\mathbf{A}$ sunt nule, atunci $\mathbf{A}$ este nilpotentă, şi putem lua $\mathbf{B}=\mathbf{A}^{k}$, unde $k$ este cel mai mare număr întreg pentru care $A^{k}$ este nenulă. $1 p$ + +Dacă A are şi valori proprii nenule, fie $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$, unde $1 \leq m \leq n-1$, valorile sale proprii nenule (nu neapărat distincte) şi fie + +$$ +f=X \prod_{i=1}^{m}\left(X-\lambda_{i}\right)=X^{m+1}+a_{m} X^{m}+\cdots+a_{1} X +$$ + +unde $a_{1}=(-1)^{m} \lambda_{1} \cdots \lambda_{m} \neq 0$. Atunci $f(\mathbf{A}) \neq \mathbf{O}_{n}$, deoarece, în caz contrar, rang $\mathbf{A}=$ $\operatorname{rang}\left(-a_{1} \mathbf{A}\right)=\operatorname{rang}\left(a_{2} \mathbf{A}^{2}+\cdots+\mathbf{A}^{m+1}\right) \leq \operatorname{rang} \mathbf{A}^{2}<\operatorname{rang} \mathbf{A}$, contradicţie. . . . . $\mathbf{2 p}$ + +Fie $f_{\mathbf{A}}$ polinomul caracteristic al lui $\mathbf{A}$. Conform teoremei Hamilton-Cayley, $f_{\mathbf{A}}(\mathbf{A})=$ $\mathbf{O}_{n}$. Cum $f$ este un factor al lui $f_{\mathbf{A}}$ si $f(\mathbf{A}) \neq \mathbf{O}_{n}$, rezultă că $n=\operatorname{deg} f_{\mathbf{A}}>\operatorname{deg} f=m+1$. + +Deci $\mathbf{A} \prod_{i=1}^{m}\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}_{n}\right)=f(\mathbf{A}) \neq \mathbf{O}_{n}$ §i $\mathbf{A}^{n-m} \prod_{i=1}^{m}\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}_{n}\right)=f_{\mathbf{A}}(\mathbf{A})=\mathbf{O}_{n}$. Prin urmare, există un număr natural nenul $k ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA, 15 februarie 2015 + +BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=1$. Demonstraţi că $\operatorname{Tr}\left(A^{-1} B-A B^{-1}\right)=0$. + +Anca Andrei + +Solutie. + +Din relaţia lui Cayley-Hamilton avem că $A^{2}-(\operatorname{Tr} A) A+I_{2}=O_{2}$ şi $B^{2}-(\operatorname{Tr} B) B+I_{2}=O_{2}$. Înmulţind prima egalitate cu $A^{-1}$ şi a doua cu $B^{-1}$ se deduce că + +$$ +A-(\operatorname{Tr} A) I_{2}+A^{-1}=O_{2} \text { şi } B-(\operatorname{Tr} B) I_{2}+B^{-1}=O_{2} +$$ + +Prima relaţie se înmulţeşe la dreapta cu $B$ iar a doua relaţie se înmulţeşte la stânga cu $A$ şi obţinem + +$$ +A B-(\operatorname{Tr} A) B+A^{-1} B=O_{2} \text { şi } A B-(\operatorname{Tr} B) A+A B^{-1}=O_{2} +$$ + +Deducem că $A B=(\operatorname{Tr} A) B-A^{-1} B=(\operatorname{Tr} B) A-A B^{-1} \Rightarrow(\operatorname{Tr} A) B-(\operatorname{Tr} B) A=A^{-1} B-A B^{-1}$ + +Trecând la urme rezultă că $(\operatorname{Tr} A)(\operatorname{Tr} B)-(\operatorname{Tr} B)(\operatorname{Tr} A)=\operatorname{Tr}\left(A^{-1} B-A B^{-1}\right) \Rightarrow \operatorname{Tr}\left(A^{-1} B-A B^{-1}\right)=0$. + +## Barem. + +| $A^{2}-(\operatorname{Tr} A) A+I_{2}=O_{2}$ şi $B^{2}-(\operatorname{Tr} B) B+I_{2}=O_{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $A-(\operatorname{Tr} A) I_{2}+A^{-1}=O_{2}$ şi $B-(\operatorname{Tr} B) I_{2}+B^{-1}=O_{2}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $A B-(\operatorname{Tr} A) B+A^{-1} B=O_{2}$ şi $A B-(\operatorname{Tr} B) A+A B^{-1}=O_{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $(\operatorname{Tr} A) B-(\operatorname{Tr} B) A=A^{-1} B-A B^{-1}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +2. Fie $A$ o matrice pătratică cu elemente întregi având determinantul egal cu 2. Să se demonstreze că cel puţin un complement algebric al matricei $A$ este număr întreg impar. + +Gazeta Matematică + +Solutie. Fie $A \in M_{n}(\mathbb{Z})$ cu $\operatorname{det}(A)=2$ şi $A^{*}$ adjuncta matricei $A$. + +$$ +A \cdot A^{*}=(\operatorname{det}(A)) I_{n} \Rightarrow A \cdot A^{*}=2 I_{n} \Rightarrow \operatorname{det}\left(A \cdot A^{*}\right)=\operatorname{det}\left(2 I_{n}\right) \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{*}\right)=2^{n-1} +$$ + +Dacă toţi complemenţii algebrici ai matricei $A$ sunt numere întregi pare, atunci $A^{*}$ are toate elementele numere întregi pare ( elementele lui $A^{*}$ sunt complemenţii algebrici ai elementelor lui $A$ ). În $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)$ putem "scoate în factor" pe 2 de pe fiecare linie şi obţinem $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=2^{n} \cdot k, k \in \mathbb{Z}$ + +Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că $1=2 k, k \in \mathbb{Z}$ absurd! + +## Barem. + +| $A \cdot A^{*}=2 I_{n}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=2^{n-1}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=2^{n} \cdot k, k \in \mathbb{Z}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Se consideră şirul de numere reale strict pozitive $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ aşa încât există $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n+1}}{y_{n}}=\ell, \ell \in(0, \infty)$. Dacă şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este definit prin $x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{\sqrt[n]{y_{n}}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{1}>0$ dat, să se demonstreze că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \quad \text { şi } \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=\frac{1}{\ell} . +$$ + +Anca Andrei + +Solutie. Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n+1}}{y_{n}}=\ell$, din criteriul Cauchy-D'Alambert rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{y_{n}}=\ell$. + +Deoarece $x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{\sqrt[n]{y_{n}}}>0$, rezultă că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător . + +Dacă $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ ar fi mărginit ar rezulta că există $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L \in \mathbb{R}$ şi trecând la limită relaţia de recurenţă obţinem că $L=L+\frac{1}{\ell}$, imposibil! Prin urmare şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este nemărginit, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$. + +Pe de altă parte, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{(n+1)-n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{y_{n}}}=\frac{1}{\ell}$ şi aplicând criteriul Cesaro-Stolz obţinem că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=\frac{1}{\ell}$. + +## Barem. + +| Din criteriul Cauchy-D'Alambert rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{y_{n}}=\ell$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Demonstrează că $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător | $1 \mathrm{p}$ | +| Justifică $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{(n+1)-n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{y_{n}}}=\frac{1}{\ell}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Din criteriul Cesaro-Stolz obţine că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=\frac{1}{\ell}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Fie şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$, astel încât $x_{0}=a>0$ şi $x_{n+1}=x_{n}+\sqrt{1+x_{n}^{2}}, \forall n \in \mathbb{N}$. + +Să se studieze existenţa limitei șirului $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$, unde $y$ este număr real fixat. + +Este posibil ca limita șirului $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$ să fie 2015? + +Dan Popescu + +## Solutie. + +Dacă $x_{0}=a=\operatorname{ctg} \alpha, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, atunci se deduce inductiv că $x_{n}=\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2^{n}}, \forall n \in \mathbb{N}$. + +Apoi $y^{n} x_{n}=\frac{\cos \frac{\alpha}{2^{n}}}{\sin \frac{\alpha}{2^{n}}} y^{n}=\frac{\frac{\alpha}{2^{n}}}{\sin \frac{\alpha}{2^{n}}} \cdot \frac{(2 y)^{n}}{\alpha} \cdot \cos \frac{\alpha}{2^{n}}, \forall n \geq 1$. + +După ce se evaluează limitele standard, se deduce limita $l$ a șirului $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$ : +$l= \begin{cases}0, & \text { dacă } y \in\left(\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right) \\ \frac{1}{\operatorname{arcctg} a}, & \text { dacă } y=\frac{1}{2} \\ \infty \quad, & \text { dacă } y \in\left(\frac{1}{2}, \infty\right)\end{cases}$ + +Șirul $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$ nu are limită pentru $y \leq-\frac{1}{2}$. + +Da, se realizează limita $l=2015$ pentru $y=\frac{1}{2}$ și $a=\operatorname{ctg} \frac{1}{2015}$. + +## Barem. + +| $x_{n}=\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2^{n}}, \forall n \in \mathbb{N}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $y^{n} x_{n}=\frac{\cos \frac{\alpha}{2^{n}}}{\sin \frac{\alpha}{2^{n}}} y^{n}=\frac{\frac{\alpha}{2^{n}}}{\sin \frac{\alpha}{2^{n}}} \cdot \frac{(2 y)^{n}}{\alpha} \cdot \cos \frac{\alpha}{2^{n}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $l=\{$ | | +| Șirul $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$ nu are limită pentru $y \leq-\frac{1}{2}$ | | +| $l=2015$ pentru $y=\frac{1}{2}$ și $a=\operatorname{ctg} \frac{1}{2015}$ | | +| | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-501-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-501-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b99ad323dc67f99903b4bc60bf4a597f446dd4e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-501-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_barem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 15 februarie 2015
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE-CLASA a X-a + +1. a) (3p) Să se arate că pentru orice numere reale $a, b$ cu $a+b \geq 0$ are loc inegalitatea $4\left(a^{3}+b^{3}\right) \geq(a+b)^{3}$. b) (4p) Numerele reale pozitive $x, y$ satisfac relația $x+y=3 \sqrt[3]{x+1}+3 \sqrt[3]{y+3}$. Determinați valoarea maximă a sumei $x+y$. + +Ion Bursuc, Suceava + +Solutie. a) Inegalitatea este echivalentă cu: + +$4 a^{3}+4 b^{3} \geq a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b) \Leftrightarrow a^{3}+b^{3} \geq a b(a+b) \Leftrightarrow(a+b)(a-b)^{2} \geq 0$, adevărat. + +b) Dacă notăm $\sqrt[3]{x+1}=a$ şi $\sqrt[3]{y+3}=b \Rightarrow x=a^{3}-1$ şi $y=b^{3}-3$. Egalitatea din enunţ devine: + +$a^{3}+b^{3}=3(a+b)+4 \stackrel{a)}{\Rightarrow} 4\left(a^{3}+b^{3}\right)=12(a+b)+16 \geq(a+b)^{3} \Rightarrow(a+b)^{3}-12(a+b)-16 \leq 0$ + +$\Leftrightarrow(a+b-4)(a+b+2)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow a+b \leq 4 \Rightarrow x+y=a^{3}+b^{3}-4=3(a+b) \leq 12 \Rightarrow x+y \leq 12$. In concluzie, valoarea maximă a sumei $x+y$ este 12 . Maximul se atinge pentru $a=b=2$, adică $x=7, y=5$. + +## Barem. + +| a) Demonstrația inegalității | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| b) Demonstrează $x+y \leq 12$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare valoarea maximă a sumei $x+y$ este 12 pentru $x=7, y=5$ | $1 \mathrm{p}$ | + +2. Dacă $a, b, c \in(1,+\infty)$, să se demonstreze: $\log _{a b^{2} c^{2}} a+\log _{b c^{2} a^{2}} b+\log _{c a^{2} b^{2}} c \geq \frac{3}{5}$. + +G.M. 5/2007 + +Solutie. Inegalitatea se rescrie $\sum \frac{\lg a}{\lg a+2 \lg b+2 \lg c} \geq \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum \frac{x}{x+2 y+2 z} \geq \frac{3}{5}$, unde am notat $x=\lg a, y=\lg b, z=\lg c$. Aplicând inegalitatea CBS obținem: + +$\sum \frac{x}{x+2 y+2 z}=\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+2 y x+2 z x} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x y+4 y z+4 z x}$. + +În acest caz este suficient să demonstrăm $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x y+4 y z+4 z x} \geq \frac{3}{5} \Leftrightarrow$ + +$5 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+10 x y+10 x z+10 y z \geq 3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}+12 x y+12 x z+12 y z \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geq 0$, inegalitate adevărată pentru orice numere reale $x, y, z$. + +Egalitatea se realizează pentru $a=b=c$. + +Barem. + +| Rescrie inegalitatea $\sum \frac{\lg a}{\lg a+2 \lg b+2 \lg c} \geq \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum \frac{x}{x+2 y+2 z} \geq \frac{3}{5}$, | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Aplică CBS | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $2 \mathrm{p}$ | + +3. Fie funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+\log _{3}\left(1+3^{x}\right)$. Să se arate că: + +a) (5p) Funcția $f$ este inversabilă și $f^{-1}(x)0 \Rightarrow f(x)>x \Rightarrow f^{-1}(f(x))>f^{-1}(x) \Rightarrow x>f^{-1}(x), \forall x \in \mathbb{R}$, de unde se obține concluzia. + +b) Presupunem, prin reducere la absurd, că există cel puțin un număr natural nenul $n$ astfel încât $f(n) \in \mathbb{Q}$, deci există $p, q \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\log _{3}\left(1+3^{n}\right)=\frac{p}{q} \Leftrightarrow\left(1+3^{n}\right)^{q}=3^{p} \Rightarrow 3 / 1+3^{n}$, absurd. + +## Barem. + +| a) Demonstrează că $f$ este funcție inversabilă | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Arată $f^{-1}(x) CLASA a VIII-a + +1. a) (3p) Descompuneți în factori numărul $4 n^{4}+1, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) (4p) Determinaţi partea întreagă a numărului $A=\frac{4}{5}+\frac{8}{65}+\frac{12}{325}+\ldots+\frac{4 n}{4 n^{4}+1}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Gazeta Matematică Nr. 10/2014 + +Solutie: a) $4 n^{4}+1=4 n^{4}+4 n^{2}+1-4 n^{2}=\left(2 n^{2}+1\right)^{2}-4 n^{2}=\left(2 n^{2}+1-2 n\right)\left(2 n^{2}+1+2 n\right)=\left(2 n^{2}-2 n+1\right)\left(2 n^{2}+2 n+1\right)$ b) Aplicând punctul a) avem în general avem: $\frac{4 k}{4 k^{4}+1}=\frac{4 k}{\left(2 k^{2}-2 k+1\right)\left(2 k^{2}+2 k+1\right)}=\frac{\left(2 k^{2}+2 k+1\right)-\left(2 k^{2}-2 k+1\right)}{\left(2 k^{2}-2 k+1\right)\left(2 k^{2}+2 k+1\right)}=$ $=\frac{2 k^{2}+2 k+1}{\left(2 k^{2}-2 k+1\right)\left(2 k^{2}+2 k+1\right)}-\frac{2 k^{2}-2 k+1}{\left(2 k^{2}-2 k+1\right)\left(2 k^{2}+2 k+1\right)}=\frac{1}{2 k^{2}-2 k+1}-\frac{1}{2 k^{2}+2 k+1}, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$. + +Atunci $A=\frac{1}{1}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{2 n^{2}-2 n+1}-\frac{1}{2 n^{2}+2 n+1}=1-\frac{1}{2 n^{2}+2 n+1}$. + +Deoarece $0<\frac{1}{2 n^{2}+2 n+1}<1 \Rightarrow 0 CLASA a VII-a + +1. a) (3p) Determinaţi partea întreagă a numărului $a=\frac{\sqrt{3}-81}{\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{7}}}$. + +Prof. Brutaru Tamara + +b) (4p) Arătaţi că $\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{6+\sqrt{6}}+\sqrt{12+\sqrt{12}}+\ldots+\sqrt{210+\sqrt{210}}<119$. + +Solutie: a) Fie $S=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{7}}$. + +Calculăm $S \cdot \sqrt{3}-S=\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{8}}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{7}}\right)$. Avem $S \cdot(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3^{8}}-\sqrt{3}$, de unde $\quad S=\frac{3^{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$. Deci, $\quad \mathrm{a}=(\sqrt{3}-81): \frac{3^{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \Leftrightarrow \mathrm{a}=(\sqrt{3}-81) \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{81-\sqrt{3}} \Leftrightarrow \mathrm{a}=1-\sqrt{3}$. Cum $-2<-\sqrt{3}<-1 \Rightarrow-1<1-\sqrt{3}<0$, avem partea întreagă a numărului a este $[a]=-1$. + +b) Fie $a=\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{6+\sqrt{6}}+\sqrt{12+\sqrt{12}}+\ldots+\sqrt{210+\sqrt{210}}$. Avem $a=\sqrt{1 \cdot 2+\sqrt{1 \cdot 2}}+\sqrt{2 \cdot 3+\sqrt{2 \cdot 3}}+\sqrt{3 \cdot 4+\sqrt{3 \cdot 4}}+\ldots+\sqrt{14 \cdot 15+\sqrt{14 \cdot 15}}$. Cum $\sqrt{n \cdot(n+1)}<\sqrt{(n+1)^{2}}$, $\forall n \in \mathbb{N}$, rezultă $a<\sqrt{1 \cdot 2+\sqrt{2^{2}}}+\sqrt{2 \cdot 3+\sqrt{3^{2}}}+\sqrt{3 \cdot 4+\sqrt{4^{2}}}+\ldots+\sqrt{14 \cdot 15+\sqrt{15^{2}}}$. Deci $a<\sqrt{1 \cdot 2+2}+\sqrt{2 \cdot 3+3}+\sqrt{3 \cdot 4+4}+\ldots+\sqrt{14 \cdot 15+15} \Leftrightarrow a<\sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16}+\ldots+\sqrt{225}$ $\Leftrightarrow a<2+3+4+\ldots+15 \Leftrightarrow a<\frac{15 \cdot 16}{2}-1 \Leftrightarrow a<119$. + +## Barem: + +| a) Fie $S=\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{7}}$. Calculăm:
$S \cdot \sqrt{3}-S=\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{8}}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{7}}\right)$
$S \cdot(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3^{8}}-\sqrt{3} \Leftrightarrow S=\frac{3^{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $a=(\sqrt{3}-81): \frac{3^{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \Leftrightarrow a=1-\sqrt{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $-2<-\sqrt{3}<-1 \Rightarrow-1<1-\sqrt{3}<0 \Rightarrow[a]=-1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Fie $a=\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{6+\sqrt{6}}+\sqrt{12+\sqrt{12}+\ldots}+\sqrt{210+\sqrt{210}}$.
$a=\sqrt{1 \cdot 2+\sqrt{1 \cdot 2}}+\sqrt{2 \cdot 3+\sqrt{2 \cdot 3}}+\sqrt{3 \cdot 4+\sqrt{3 \cdot 4}}+\ldots+\sqrt{14 \cdot 15+\sqrt{14 \cdot 15}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $a<\sqrt{1 \cdot 2+\sqrt{2^{2}}}+\sqrt{2 \cdot 3+\sqrt{3^{2}}}+\sqrt{3 \cdot 4+\sqrt{4^{2}}}+\ldots+\sqrt{14 \cdot 15+\sqrt{15^{2}}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $a<\sqrt{1 \cdot 2+2}+\sqrt{2 \cdot 3+3}+\sqrt{3 \cdot 4+4}+\ldots+\sqrt{14 \cdot 15+15} \Leftrightarrow a<\sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16}+\ldots+\sqrt{225}$
$\Leftrightarrow a<2+3+4+\ldots+15$ | $1 \mathbf{p}$ | +| $a<\frac{15 \cdot 16}{2}-1 \Leftrightarrow a<119$ | $1 \mathrm{p}$ | + +2. a) (4p) Fie $x \neq-1, y \neq-2, z \neq-3$ numere raţionale, astfel încât $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$. Calculaţi $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$. + +Gazeta matematică Nr. 10/2014 + +b) (3p) Fie $a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}$. Arătaţi că $a<1$. + +Solutie: $\mathbf{a}) \frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014 \Leftrightarrow 2015 \cdot\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\right)=2014$. Avem $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=\frac{2014}{2015}$. Calculăm $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}=\frac{x+1-2}{x+1}+\frac{y+2-2}{y+2}+\frac{z+3-2}{z+3}=$ $=1-\frac{2}{x+1}+1-\frac{2}{y+2}+1-\frac{2}{z+3}=3-2 \cdot\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\right)=3-2 \cdot \frac{2014}{2015}=\frac{2017}{2015}$ + +b) Fie numărul raţional pozitiv $\quad b=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}$. Calculăm $a+b=1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}$. Cum $b>0 \Rightarrow a0$ | $1 \mathbf{p}$ | +| $a+b=1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| $b>0 \Rightarrow a $\frac{A P}{P M}=\frac{A B}{B M}$ (3). Tot cu teorema bisectoarei în $\triangle A C M$ avem $\frac{C Q}{Q M}=\frac{A C}{A M}$ (4). | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78b08a65ba4c63245f46g-3.jpg?height=183&width=110&top_left_y=2270&top_left_x=1815) | +| $A B=A C, B M=A M$ şi atunci din (3) şi (4) $\Rightarrow \frac{A P}{P M}=\frac{C Q}{Q M}$ şi aplicând teotema reciprocă a teoremei lui
Thales în $\triangle A M C \Rightarrow P Q \\| A C$. | {f6ebc00cc-845a-4c16-a871-03e081a35f49}1
1 | +| im $P Q \\| A C, A C \perp A B \Rightarrow P Q \perp A B$. Cum AM | $1 \mathbf{p}$ | +| $\triangle A B Q$ avem $A M$ sii $Q P$ | $1 \mathrm{p}$ | + +[^0] +[^0]: Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-504-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-504-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4bf466a2950dd0b6bf34a0776e028f47a66d103 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-504-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_barem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +CLASA a VI-a + +1. Aflați numerele de forma $\overline{a b c d}$, scrise în baza $10, \overline{c d}<\overline{a b}$, știind că produsul dintre numărul format din primele două cifre ale numărului și numărul format din ultimele două cifre ale sale este egal cu 300 , iar $\frac{(\overline{a b}, \overline{c d})}{[\overline{a b}, \overline{c d}]}=0,08(3)$; unde prin $(\overline{a b}, \overline{c d})$ și $[\overline{a b}, \overline{c d}]$ s-au notat respectiv c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru numerele $\overline{a b}$ și $\overline{c d}$. + +Prof. Gheorghe Iacoviță + +Solutie: Fie $\overline{a b}=m, \overline{c d}=n$. Putem scrie $m>n, m n=300, \frac{(m, n)}{[m, n]}=0,08(3)$. + +$\frac{(m, n)}{[m, n]}=0,08(3) \Leftrightarrow \frac{(m, n)}{[m, n]}=\frac{1}{12} \Leftrightarrow 12(m, n)=[m, n] ;$ de unde $12(m, n)[m, n]=[m, n]^{2} ;$ și $\operatorname{cum} \quad(m, m)[m, n]=m n \quad, \quad$ avem: $\quad 12 \cdot 300=[m, n]^{2} \Rightarrow[m, n]=60, \quad$ deci $\quad(m, n)=5 . \quad$ Atunci $m=5 x, n=5 y, \quad(x, y)=1$; în concluzie vom avea: $m \cdot n=300 \Rightarrow 5 x \cdot 5 y=300 \Rightarrow x y=12$. + +Deoarece $m>n \Rightarrow x>y$, rezultă că avem următoarele situații: + +1) $x=4, y=3 \Rightarrow m=20, n=15$; adică $\overline{a b}=20, \overline{c d}=15$, deci $\overline{a b c d}=2015$. +2) $x=6, y=2, \operatorname{dar}(x, y) \neq 1$. +3) $x=12, y=1 \Rightarrow m=144, n=5$, care nu sunt numere formate din două cifre. + +În concluzie, $\overline{a b c d}=2015$. + +Barem: + +| Fie $\overline{a b}=m, \overline{c d}=n \cdot \frac{(m, n)}{[m, n]}=0,08(3) \Leftrightarrow \frac{(m, n)}{[m, n]}=\frac{1}{12} \Leftrightarrow 12(m, n)=[m, n]$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| $12(m, m)[m, n]=[m, n]^{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Găsește $[m, n]=60$ și $(m, n)=5$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $m=5 x, n=5 y,(x, y)=1 ;$ de unde $m \cdot n=300 \Rightarrow 5 x \cdot 5 y=300 \Rightarrow x y=12$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Discută cazurile. | $\mathbf{2 p}$ | +| Finalizare. | $\mathbf{1 p}$ | + +2. a) (3p) Fie $A=\left\{\frac{2024}{13}, \frac{2025}{14}, \frac{2026}{15}, \ldots\right\}$ și $B=\{x \in \mathbb{N} \mid x \in A\}$. Aflaţi cardinalul mulțimii $B$. + +Supliment Gazeta Matematică, aprilie 2014 + +b) (4p) Determinați numerele $a, b, c \in \mathbb{N}$, cu $a CLASA a $\mathrm{V}-\mathbf{a}$ + +1. a) (3p) Calculaţi: $5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}$. + +b) (4p) Arătaţi că numărul $2015^{2014}$ poate fi scris ca o sumă de patru cuburi perfecte. + +(Gazeta Matematică) + +## Solutie: + +a) $5^{3}=125 ; 6^{3}=216 ; 7^{3}=343 ; 11^{3}=1331$ + +suma este: $125+216+343+1331=2015$ +b) $2015^{2014}=2015^{2013} \cdot 2015=2015^{2013} \cdot\left(5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}\right)=2015^{2013} \cdot 5^{3}+2015^{2013} \cdot 6^{3}+$ $+2015^{2013} \cdot 7^{3}+2015^{2013} \cdot 11^{3}=\left(2015^{671} \cdot 5\right)^{3}+\left(2015^{671} \cdot 6\right)^{3}+\left(2015^{671} \cdot 7\right)^{3}+\left(2015^{671} \cdot 11\right)^{3}$. + +Barem: + +| {a) $\quad 5^{3}=125 ; 6^{3}=216 ; 7^{3}=343 ; 11^{3}=1331$
suma este: $125+216+343+1331=2015$} | | $2 \mathrm{p} \quad$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | | $1 \mathrm{p}$ | +| $\overline{\text { b) }}$ | $2015^{2014}=2015^{2013} \cdot 2015=2015^{2103} \cdot\left(5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2015^{2103} \cdot\left(5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}\right)=2015^{2013} \cdot 5^{3}+2015^{2013} \cdot 6^{3}++2015^{2013} \cdot 7^{3}+$
$2015^{2013} \cdot 11^{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2015^{2013} \cdot 5^{3}+2015^{2013} \cdot 6^{3}++2015^{2013} \cdot 7^{3}+2015^{2013} \cdot 11^{3}=\left(2015^{671} \cdot 5\right)^{3}+$
$\left(2015^{671} \cdot 6\right)^{3}+\left(2015^{671} \cdot 7\right)^{3}+\left(2015^{671} \cdot 11\right)^{3}$ | $2 \mathrm{p}$ | + +2. Se consideră mulţimea $\mathrm{A}=\left\{1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{99}\right\}$, suma $\mathrm{S}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{99}$ şi mulţimea $\mathrm{B}$ formată din numere care se pot scrie ca sumă de elemente diferite din mulţimea $\mathrm{A}$. + +a) (1p) Determinaţi numărul de elemente din mulţimea A. + +b) (2p) Arătaţi ca $2015 \in$ B. + +c) (3p) Arătaţi că $2 \mathrm{~S}=2+2^{2}+\ldots+2^{99}+2^{100}$ şi calculaţi $S$. + +d) (1p) Justificaţi că $2^{100} \notin$ B. + +Prof. Nicuţă Petru + +Solutie: +a) $1=2^{0} ; 2=2^{1}$; se deduce că mulţimea A are 100 de elemente. +b) $2015=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1$ şi fiecare termen al sumei este element al mulțimii A, deci $2015 \in \mathrm{B}$. +c) $\mathrm{S}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{99} / \cdot 2 \Rightarrow 2 \cdot \mathrm{S}=2+2^{2}+\ldots+2^{99}+2^{100}$ $2 \mathrm{~S}-\mathrm{S}=\left(2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{99}+2^{100}\right)-\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{99}\right) \Rightarrow \mathrm{S}=2^{100}-1$. + +d) Cel mai mare element din $\mathrm{B}$ este suma tuturor elementelor din $\mathrm{A}$, adică $2^{100}-1$. $2^{100}>2^{100}-1 \Rightarrow 2^{100} \notin \mathrm{B}$. + +## Barem: + +| a) $1=2^{0} ; 2=2^{1} \Rightarrow$ card $\mathrm{A}=100$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| b) $2015=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| c) $\mathrm{S}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{99} / \cdot 2 \Rightarrow 2 \mathrm{~S}=2+2^{2}+\ldots+2^{99}+2^{100}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $2 \mathrm{~S}-\mathrm{S}=\left(2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{99}+2^{100}\right)-\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{99}\right) \Rightarrow \mathrm{S}=2^{100}-1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| d) Cel mai mare element din B este suma tuturor elementelor din $\mathrm{A}$, adică $2^{100}-1$, deci
$2^{100} \notin \mathrm{B}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Fie numerele naturale $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots . ., \mathrm{a}_{2015}$, care împărţite la un număr natural nenul $n$, dau resturi diferite două câte două şi câturi nenule, diferite două câte două. + +a) (3p) Arătaţi că $n$ este mai mare ca 2014 . + +b) (4p) Dacă $S$ este cea mai mică valoare a sumei $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots .+a_{2015}$, arătați că $2 \cdot(S-$ $2015^{2}$ ) se poate scrie ca un produs de trei numere naturale consecutive. + +Prof. Sascău Gabriela + +## Solutie: + +a) Din enunț se deduce că cele 2015 numere sunt distincte două câte două, altfel ar fí cel puțin 2 câturi egale și două resturi egale. La cele 2015 împărțiri, se obțin 2015 resturi distincte, conform enunțului, fiecare mai mic decât $n$ (din teorema împărțirii cu rest). Dacă $n$ este mai mic decât 2015, fiind vorba de 2015 împărțiri, cel puțin 2 împărțiri ar avea același rest. Deci $n$ este mai mare sau egal cu 2015. + +b) Câturile nenule, minime și distincte care se pot obține sunt $1,2, \ldots, 2015$, iar resturile minime sunt $0,1,2, \ldots, 2014$. Suma minimă este $S=2015(1+2+\ldots+2015)+(0+1+\ldots+2014)=2015^{2} \cdot 1008+1007 \cdot 2015$ + +$2 \cdot\left(\mathrm{S}-2015^{2}\right)=2 \cdot\left(2015^{2} \cdot 1008+1007 \cdot 2015-2015^{2}\right)=2 \cdot\left(2015^{2} \cdot 1007+1007 \cdot 2015\right)=2 \cdot 2015 \cdot 1007 \cdot 2016$ $=2014 \cdot 2015 \cdot 2016$. + +## Barem: + +| a) - cele 2015 numere sunt distincte două câte două | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| - la cele 2015 împărțiri, se obțin 2015 resturi distincte,fiecare mai mic decât $n$ | $1 \mathrm{p}$ | +| - dacă $n$ este mai mic decât 2015, cel puțin 2 împărțiri ar avea același rest, deci $n$ este
mai mare sau egal cu 2015 | $1 \mathrm{p}$ | +| b) - câturile nenule, minime și distincte care se pot obține sunt $1,2, \ldots, 2015$ | $1 \mathrm{p}$ | +| - resturile minime sunt $0,1,2, \ldots, 2014$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{S}_{\text {minimă }}=2015(1+2+\ldots+2015)+(0+1+\ldots+2014)=2015^{2} \cdot 1008+1007 \cdot 2015$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $2 \cdot\left(\mathrm{S}-2015^{2}\right)=2 \cdot\left(2015^{2} \cdot 1008+1007 \cdot 2015-2015^{2}\right)=2 \cdot\left(2015^{2} \cdot 1007+1007 \cdot 2015\right)$
$=2 \cdot 2015 \cdot 1007 \cdot 2016==2014 \cdot 2015 \cdot 2016$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-506-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-506-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..698a8e86f55f3b9ac3cf4ccb107b901042a2dade --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-506-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_barem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 15 februarie 2015
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE-CLASA a IX-a + +1. a) (3p) Să se determine minimul expresiei $E(a)=(a+2)\left(a^{2}-6 a+16\right)$, unde $a \in[0,+\infty)$. + +b) (4p) Demonstrați că pentru orice numere reale pozitive $a, b, c \in[0,+\infty)$, cu $a+b+c=6$, are loc inegalitatea: $\frac{1}{a^{2}-6 a+16}+\frac{1}{b^{2}-6 b+16}+\frac{1}{c^{2}-6 c+16} \leq \frac{3}{8}$. Precizați cazul de egalitate. + +Dan Popescu, Suceava + +Solutie: a) $E(a)=(a+2)\left(a^{2}-6 a+16\right)=a^{3}-6 a^{2}+16 a+2 a^{2}-12 a+32=a^{3}-4 a^{2}+4 a+32=$ $a(a-2)^{2}+32 \geq 32 \Rightarrow \min \{E(a), a \geq 0\}=32$, minim care se realizează pentru $a \in\{0,2\}$. + +b) Din subpunctul precedent avem: + +$$ +\frac{1}{a^{2}-6 a+16} \leq \frac{a+2}{32}, \frac{1}{b^{2}-6 b+16} \leq \frac{b+2}{32}, \frac{1}{c^{2}-6 c+16} \leq \frac{c+2}{32}, \forall a, b, c \in[0,+\infty) +$$ + +Adunând cele trei inegalități, termen cu termen, obținem + +$\frac{1}{a^{2}-6 a+16}+\frac{1}{b^{2}-6 b+16}+\frac{1}{c^{2}-6 c+16} \leq \frac{a+2+b+2+c+2}{32}=\frac{12}{32}=\frac{3}{8} . \quad$ Egalitatea are loc dacă $a, b, c \in\{0,2\}$ și din condiția $a+b+c=6$ obținem $a=b=c=2$. + +## Barem: + +| a)Determină $E(a)=a^{3}-4 a^{2}+4 a+32$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Găsește minimul | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Scrie $\frac{1}{a^{2}-6 a+16} \leq \frac{a+2}{32}, \forall a \in[0,+\infty)$ și analoagele | $2 \mathrm{p}$ | +| Adună inegalitățile, finalizare | $1 \mathrm{p}$ | +| Determină când are loc egalitatea | $1 \mathrm{p}$ | + +2. Să se determine cardinalul mulțimii $A=\left\{x_{n} \in \mathbb{Q} \left\lvert\, x_{n}=\frac{n^{2}+2}{n^{2}-n+2}\right., n \in \mathbb{N}, 1 \leq n \leq 2015\right\}$. + +Soluție. Vom determina câți termeni ai șirului $\left(x_{n}\right)_{n}$ din mulțimea A coincid. Fie $m, n \in \mathbb{N}, m \neq n$. Avem $x_{n}=x_{m} \Leftrightarrow \frac{n^{2}+2}{n^{2}-n+2}=\frac{m^{2}+2}{m^{2}-m+2}$. După efectuarea calculelor obținem $x_{n}=x_{m} \Leftrightarrow(n-m)(n m-2)=0$. Cum $m \neq n$, în mod necesar avem $m n=2 \Leftrightarrow(m, n) \in\{(1,2),(2,1)\}$. În concluzie singurii termeni care coincid sunt $x_{1}$ și $x_{2}$. Deci $\operatorname{card}(A)=2014$. + +## Barem. + +| Determină numărul de termeni care coincid | $6 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Finalizare $\operatorname{card}(A)=2014$. | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Fie ABC un triunghi dreptunghic $\left(m(\Varangle A)=90^{\circ}\right)$ și $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{M}$ respectiv picioarele înălțimii, bisectoarei și medianei din A. Se notează $B C=a, A C=b, A B=c$. Arătați că: + +$$ +\overrightarrow{A E}=\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2} \overrightarrow{A D}+\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2}\right] \overrightarrow{A M} +$$ + +Soluție. Aplicăm teorema bisectoarei î triunghiul ABC: $\frac{E C}{E B}=\frac{A C}{A B}=\frac{b}{c} \Rightarrow \overrightarrow{A E}=\frac{c}{c+b} \overrightarrow{A C}+\frac{b}{c+b} \overrightarrow{A B}$.(1) Aplicăm teorema catetei pentru $\mathrm{AB}$, respectiv $\mathrm{AC}$ și obținem: + +$A C^{2}=a C D, A B^{2}=a B D \Rightarrow \frac{D C}{D B}=\frac{b^{2}}{c^{2}} \Rightarrow \overrightarrow{A D}=\frac{c^{2}}{c^{2}+b^{2}} \overrightarrow{A C}+\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}} \overrightarrow{A B} \cdot(2)$ + +$[A M]$ este mediană în triunghiul $\mathrm{ABC}$, rezultă $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$.(3) Din ultimele două relații deducem: + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\frac{a}{b+c}\right)^{2} \overrightarrow{A D}+\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2}\right] \overrightarrow{A M}=\left(\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2} \frac{c^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2}\right)\right) \overrightarrow{A C}+ \\ +& +\left(\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2} \frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2}\right)\right) \overrightarrow{A B}=\frac{c^{2}+b c}{(b+c)^{2}} \overrightarrow{A C}+\frac{b^{2}+b c}{(b+c)^{2}} \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A E} +\end{aligned} +$$ + +## Barem. + +| Determină relația 1 | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Determină relația 2 | $2 \mathrm{p}$ | +| Determină relația 3 | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare calcul | $2 \mathrm{p}$ | + +4. Fie triunghiul $A B C, O$ centrul cercului circumscris triunghiului $A B C, I_{1}$ centrul cercului înscris în triunghiul $A B O$ şi $I_{2}$ centrul cercului înscris în triunghiul $A C O$. Demonstraţi că $I_{1} I_{2} \| B C$ dacă şi numai dacă $[A B] \equiv[A C]$. + +Solutie. Notăm cu $M$ mijlocul segmentului $[A B], N$ mijlocul segmentului $[A C]$ şi lungimile $A B=c$, $A C=b$ şi $O A=O B=O C=x$. Avem că $M N \| B C$ și scriind vectorii de poziție ai punctelor $I_{1}, I_{2}$ obținem: $\vec{r}_{I_{1}}=\frac{x \vec{r}_{B}+x \vec{r}_{A}+c \vec{r}_{0}}{2 x+c}=\frac{x \vec{r}_{B}+x \vec{r}_{A}}{2 x+c}=\frac{2 x}{2 x+c} \vec{r}_{M} ; \quad \vec{r}_{I_{2}}=\frac{x \vec{r}_{C}+x \vec{r}_{A}}{2 x+b}=\frac{2 x}{2 x+b} \vec{r}_{N}$, de unde rezultă: + +$$ +\overrightarrow{I_{1} I_{2}}=\frac{2 x}{2 x+b} \overrightarrow{O N}-\frac{2 x}{2 x+c} \overrightarrow{O M} +$$ + +Deoarece $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{O N}-\overrightarrow{O M}$ şi utilizând relaţia (1) vom avea că: + +$$ +\overrightarrow{I_{1} I_{2}} \| B C \Leftrightarrow \frac{2 x}{2 x+b}=\frac{2 x}{2 x+c} \Leftrightarrow b=c +$$ + +## Barem. + +| Determină vectorii de poziție ai punctelor $I_{1}, I_{2}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Determină relația 1 | $1 \mathrm{p}$ | +| Impune conditia de coliniaritate a vectorilor. Finalizare | $3 \mathrm{p}$ | + +Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-507-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-507-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4caa7612feb546336a0861714e9cf2bab47bba2e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-507-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,14 @@ +# CLASA a VIII-a + +1. Găsițı numerele prime $x$ și $y$ din inegalitatea: $4^{x+2}+4^{y-3} \leq 2^{x+y}$. +2. Să se afle numerele reale $a \geq 1, b \geq 2$ şi $c \geq 3$, ştiind că: + +$$ +a+b+c=2(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-2}+\sqrt{c-3})+3 +$$ + +3. Fie $V A B C$ o piramidă regulată cu baza $\triangle A B C$ şi $M$ mijlocul segmentului $[\mathrm{BC}]$. Dacă sinusul unghiului dintre planele $(V A B)$ şi (VAM) este $\frac{\sqrt{3}}{3}$, arătaţi că $V A B C$ este un tetraedru regulat. +4. Fie pătratul $A B C D$ şi triunghiul $A B F$ isoscel, situate î plane diferite, $A B=6 \mathrm{~cm}, m(2, y>2, x y=6$ şi $x+y \geq 5$. +3. Fie trapezul $A B C D$ în care $\mathrm{m}(<\mathrm{A})=\mathrm{m}(<\mathrm{B})=90^{\circ} \quad, B D \perp B C$ şi $A B=\frac{\mathrm{DC}}{4}$. Dacă $M$ şi $N$ sunt mijloacele segmentelor $(D C)$ şi $(B M)$, arătaţi că $D N \perp B M$. +4. Fie $M$ un punct în interiorul triunghiului $A B C$, astfel încât $\angle A B M \equiv \angle A C M$. Dacă $P$ sì $Q$ sunt picioarele perpendicularelor $\operatorname{din} M$ pe $A B$, respectiv pe $A C$, iar $E$ este mijlocul lui $[B C]$, arătați că $[E P]_{\equiv}[\mathrm{EQ}]$. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-509-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-509-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d4f3aa6ab81ff8e39299c3c5bb810b74af49a7f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-509-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,11 @@ +# CLASA a VI-a + +1. Determinati numerele naturale de forma $\overline{x y z t}(x, y, z, t$ cifre în baza zece) care admit exact 12 divizori naturali și $\frac{\overline{x y}}{\overline{z t}}=3$. +2. Găsiți toate perechile de numere naturale disticte $a, b$ pentru care are loc relația: $3(\mathrm{a}, \mathrm{b})+2[\mathrm{a}, \mathrm{b}]=140$, unde $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ reprezintä c.m.m.d.c al numerelor $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, iar [a,b] este c.m.m.m.c al numerelor a,b. +3. Fie punctele coliniare $A, B, C, D$ în această ordine. Dacă $M, N, P$ sunt mijloacele segmentelor $(A B),(B C),(C D)$ si $M N=9 \mathrm{~cm}, N P=7 \mathrm{~cm}$, iar $A B+C D=16 \mathrm{~cm}$ să se calculeze lungimile segmentelor (AB),(BC),(CD) +4. Se consideră $n$ unghiuri adiacente în jurul unui punct. Dacă primul unghi se mărește cu $1^{\circ}$, al doilea unghi se miçsorează cu $2^{\circ}$, al treilea unghi se măreşte $\mathrm{cu} 3^{\circ}$, al patrulea unghi se mişcorează cu $4^{0}$ şi aşa mai departe, astfel se obţin unghiuri cu măsuri egale (exprimate printr-un număr natural). Se cere: + +a) Arătaţi că, în condiţiile date, nu pot fi construite astfel trei unghiuri adiacente în jurul unui punct; + +b) Determinaţi cel mai mic număr $n$ posibil de unghiuri adiacente î jurul unui punct in conditiile date. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-51-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl X-onm_2018_clasa_x.md b/Romania_Olympiad/md/ro-51-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl X-onm_2018_clasa_x.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4222d7f22fef3d853116c42ccd24296e7b143bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-51-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl X-onm_2018_clasa_x.md @@ -0,0 +1,161 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, 4 aprilie 2018
Clasa a X-a + +## Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(1, \infty)$. Demonstraţi că funcţia $f:[0, \infty) \rightarrow$ $\mathbb{R}$, definită prin relaţia + +$$ +f(x)=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x} +$$ + +pentru orice $x \in[0, \infty)$, este strict crescătoare. + +Soluţie şi barem: Vom realiza demonstraţia prin inducţie matematică. + +Pentru $n=2$, fie $a_{1}, a_{2} \in(1, \infty)$. Avem + +$$ +f(x)=\left(a_{1} a_{2}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}=\left(a_{1}^{x}-1\right)\left(a_{2}^{x}-1\right)-1 +$$ + +Deoarece funcţiile $f_{1}, f_{2}:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, definite prin relaţiile $f_{1}(x)=a_{1}^{x}-1$ şi $f_{2}(x)=a_{2}^{x}-1$, oricare ar fi $x \in[0, \infty)$, sunt strict crescătoare şi pozitive, rezultă că $f$ este strict crescătoare. + +Presupunem proprietatea este adevărată pentru oricare $n$ numere din $(1, \infty)$ şi o demonstrăm pentru $n+1$ numere $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, a_{n+1} \in(1, \infty)$. Avem + +$$ +\begin{aligned} +f(x) & =\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n+1}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x}-a_{n+1}^{x} \\ +& =\left(\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n+1}\right)^{x}-\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{n+1}^{x}\right)+\left(\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x}\right) +\end{aligned} +$$ + +Funcţia $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n+1}\right)^{x}-\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{n+1}^{x}$ este strict crescătoare deoarece $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}>1$ şi $a_{n+1}>1$ (cazul $n=2$ ). + +Funcţia $h:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x}$ este strict crescătoare conform ipotezei de inducţie. Atunci $f=g+h$ este strict crescătoare. + +Rezultă că proprietatea din enunţ este demonstrată. + +$4 p$ + +Problema 2. Triunghiul $A B C$ este înscris în cercul $\mathcal{C}(O, 1)$. Fie $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $O B C, O A C$ şi respectiv $O A B$. Demonstraţi că triunghiul $A B C$ este echilateral dacă şi numai dacă $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}=4$. + +Soluţie şi barem: Dacă triunghiul $A B C$ este echilateral, avem $A G_{1}=B G_{2}=C G_{3}=\frac{4}{3}$, de unde obţinem $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}=4$. + +$1 p$ + +Reciproc, considerăm planul complex $A B C$ cu originea în $O$. Notăm cu $p$ afixul unui punct $P$ din planul complex considerat. Avem $g_{1}=\frac{b+c}{3}, g_{2}=\frac{c+a}{3}$ si $g_{3}=\frac{a+b}{3}$. + +Egalitatea $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}=4$ este echivalentă cu $\sum\left|a-\frac{b+c}{3}\right|=4$, sau $\sum|3 a-b-c|=12$. Fie $H$ ortocentrul triunghiului $A B C$. Deoarece $h=a+b+c$, conform teoremei lui Sylvester, egalitatea precedentă este echivalentă cu $\sum|4 a-h|=12$. + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +144 & =\left(\sum|4 a-h|\right)^{2} \leq 3 \sum|4 a-h|^{2}=3 \sum\left(16|a|^{2}-4 a \bar{h}-4 \bar{a} h+|h|^{2}\right) \\ +& =144-12 \bar{h} \sum a-12 h \sum \bar{a}+3|h|^{2}=144-21|h|^{2} +\end{aligned} +$$ + +Obţinem $|h|^{2} \leq 0$, deci $|h|=0$. Rezultă $O=H$, deci triunghiul $A B C$ este echilateral. + +$3 p$ + +Problema 3. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$. Demonstraţi că, pentru orice numere complexe $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ şi $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$, următoarele afirmaţi sunt echivalente: +a) $\sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2}$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$; +b) $\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} b_{k}$ şi $\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}$. + +Soluţie şi barem: $b) \stackrel{\Rightarrow}{\Rightarrow}$ ) Avem + +$$ +\begin{aligned} +\sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2} & =n|z|^{2}-z \sum_{k=1}^{n} \bar{a}_{k}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \\ +& \leq n|z|^{2}-z \sum_{k=1}^{n} \bar{b}_{k}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} b_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2} \\ +& =\sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2} +\end{aligned} +$$ + +pentru orice $z \in \mathbb{C}$. + +$1 p$ + +$a) \Rightarrow b)$ Alegând $z=0$, obţinem $\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +Notăm $a=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ şi $b=\sum_{k=1}^{n} b_{k}$. Presupunem, prin reducere la absurd, că $a \neq b$. Fie $z=(1-t) a+t b$, unde $t \in \mathbb{R}$. Atunci + +$$ +\begin{aligned} +\sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2} & =n|z|^{2}-z \sum_{k=1}^{n} \bar{a}_{k}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \\ +& =(n-1)|z|^{2}+|z|^{2}-z \bar{a}-\bar{z} a+|a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right) \\ +& =(n-1)|z|^{2}+|z-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right) \\ +& =(n-1)|z|^{2}+t^{2}|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +Analog avem $\sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2}=(n-1)|z|^{2}+(1-t)^{2}|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}-|b|^{2}\right)$ + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +& \sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2} \\ += & 2 t|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}-|b|^{2}\right)-|b-a|^{2} . +\end{aligned} +$$ + +Pentru + +$$ +t>\frac{|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}-|b|^{2}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right)}{2|b-a|^{2}} +$$ + +este contrazisă ipoteza. Atunci $a=b$. + +Problema 4. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$. Pentru numerele reale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, notăm $S_{0}=1$ şi + +$$ +S_{k}=\sum_{1 \leq i_{1}1, x \cdot y>0$. + +Prof. Petre și Cătălin Năchilă, Ploiești + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_39b8e164777616ec87c5g-1.jpg?height=243&width=942&top_left_y=1089&top_left_x=294) + +Prof Cezar Apostolescu, Ploiești + +4. Aflați $z \in \mathbb{C}$ astfel încât $|z-1|=2$ și $2^{|z+1|}=8+2^{|z|}$. + +Prof. Emil Vasile, Ploiești + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-512-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-512-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb279946d716b4d692d9cc872698f99cb87a8232 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-512-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 - + +CLASA A V-A + +## Subiecte + +1. Arătați că dacă numărul natural $n=\overline{a b c}+\overline{b c a}+\overline{c a b}$ este divizibil cu 20 , atunci numărul $n$ are trei cifre identice. + +Prof .Gheorghe Achim, Mizil + +2. Se consideră numărul $a=26^{2016}+2 \cdot 26^{2017}+26^{2018}$. + +a. Arătați că numărul $a$ este pătrat perfect și cub perfect. + +b. Demonstrați că numărul $b=a:\left(81 \cdot 32^{402} \cdot 169^{1004}\right)$ este număr natural. + +Prof. Anton Negrilă, Ploieşti + +3. a) Demonstrați că $7^{3} \cdot 5<2^{6} \cdot 3^{3}$ + +b) Comparați numerele $a=7^{6045} \cdot 3^{2014}$ și $b=1729^{2016}$ + +Prof. Gabriel Țaga. Ploiești + +4. Fie numerele: + +$a=4^{2015}-3 \cdot 4^{2014}-3 \cdot 4^{2013}-\ldots-3 \cdot 4^{1002}$ și $b=3^{2349}-2 \cdot 3^{2348}-2 \cdot 3^{2347}-\ldots-2 \cdot 3^{1336}$. + +Determinanți $n \in \mathbb{N}$ astfel încât $a \cdot b=n^{668}$. + +Prof. Roxana Soare,Ploiești + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-513-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-513-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0aca5727987e314b54249fd42df6f84bff3711e8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-513-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 - + +CLASA A XII-A + +Subiecte + +1. Calculați $I=\int \frac{\operatorname{tg} x-1}{\operatorname{tg} x+\sin x+1} d x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. + +Prof. Claudiu Militaru, Ploiești + +2. Fie $A=\left(\begin{array}{ll}\hat{3} & \hat{2} \\ \hat{2} & \hat{3}\end{array}\right) \in M_{2}\left(\mathbb{Z}_{5}\right)$. Determinați matricele $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right) \in M_{2}\left(\mathbb{Z}_{5}\right)$ stiind că $X^{4}=A$. + +Prof. Petre și Cătălin Năchilă, Ploiești + +3. Se consideră șirurile $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}, I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{x^{4}+1} d x$ și $\left(E_{n}\right)_{n \geq 1}, E_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(8 k+1)(8 k+5)}$. + +a) Calculați $I_{0}$ și $I_{8}$ + +b) Arătați că $\frac{1}{2 n+2} \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 n-2}$, oricare ar fi $n$ număr natural, $n \geq 2$. + +c) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} E_{n}$. + +4. a) Fie $f:[0,1] \rightarrow(0, \infty)$ o funcție continuă și $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un șir definit astfel: + +$a_{n}=\int_{0}^{1} f^{n}(x) d x$, oricare ar fi n număr natural nenul. Arătați că $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are limită. + +b) Arătați că oricare ar fi $\alpha \in[0,1]$ există o funcție continuă $f_{\alpha}:[0,1] \rightarrow[0, \infty)$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{\alpha}^{n}(x) d x=\alpha$. + +Prof. Emil Vasile, Ploiești + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-514-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-514-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de927a4f34af72ce7733eb9bfdb0c68c615a362c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-514-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,33 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 -
CLASA A XI-A
Subiecte + +1. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu termenul general $x_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}+\frac{4}{n^{3}+2}+\frac{9}{n^{3}+3}+\ldots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. +2. Fie matricele diferite $A\left(a, x_{p}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & a \\ x_{p} & 1\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{Z}), p \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Determinați $n \in \mathbb{N}^{*}$ și $x_{1} \in \mathbb{Z}$ pentru care $A^{n}\left(0, x_{1}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2014 & 1\end{array}\right)$. + +b) Determinați $p \in \mathbb{N}^{*}$ și $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p} \in \mathbb{N}$ pentru care + +$$ +A\left(\mathrm{a}, x_{1}\right) A\left(\mathrm{a}, x_{2}\right) \ldots A\left(\mathrm{a}, x_{p}\right)=\left(\begin{array}{cc} +1 & 0 \\ +2016 & 1 +\end{array}\right) +$$ + +Prof. Gabriel Necula, Ploiești + +3. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{1}=x_{2}=1$ si $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+n x_{n-1}}$ pentru orice număr natural $n \geq 2$. + +a) Demonstrați că $n-3 - ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 -
CLASA A VIII-A
Subiecte + +1. Determinați $a \in \mathbb{N}$ știind că numărul $\sqrt{a}+\sqrt{a+2015} \in \mathbb{Q}$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +2. Demonstrați că pentru orice $x, y$ numere reale cu $|x|<2,|y|<2$ avem + +$$ +\frac{1}{4-x^{2}}+\frac{1}{4-y^{2}} \geq \frac{2}{4-x y} +$$ + +Prof. Petre și Cătălin Năchilă, Ploiești + +3. Pe planul trapezului dreptunghic $A B C D, A B \| C D, A C \perp B D, D C=a, A B=2 a$ se ridică perpendiculara MD $=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Aflați distanța de la punctul $D$ la planul (MBC). + +Prof. Ion Lupea, Ploieşti și lon Tomescu, Mizil + +4. Fie triunghiul $A B C$ cu $A B=A C=a$ și $m(\measuredangle \mathrm{BAC})=90^{\circ}$. De aceeași parte a planului $(A B C)$ se ridică perpendicularele $A D, B E$ și $C F$ astfel ca $A D=C F=2 a$ și $B E=a$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului (CF). + +a) Arătați că dreptele $A E$ și $B M$ sunt perpendiculare. + +b) Aflați măsura unghiului diedru format de planele (AEF) și (DMB). + +Prof. Gheorghe Bumbăcea , Bușteni + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-516-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-516-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c831e33c7ee96360053c8c7962ac893ec2d9497 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-516-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 -
CLASA A VII-A
Subiecte + +1. Se consideră numerele $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z}^{*}$ cu proprietatea că, din oricare patru numere, putem alege două numere cu suma egală cu zero. + +a. Dați exemplu de o mulțime de șase numere care verifică proprietatea dată. + +b. Determinați valoarea maximă a lui $n$. + +Prof. Petre și Cătălin Năchilă, Ploiești + +2. Fie numerele naturale nenule $x, y$ cu proprietatea că $\frac{3 x y}{13 x+1}=y^{2}-2015$. + +a. Demonstrați că $0<\frac{y^{2}-2015}{y}<1$. + +b. Determinați valorile $x, y$ pentru care este verificată relația din enunț. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +3. Fie dreptunghiul $A B C D$.Pe laturile $[B C]$ și $[D C]$ construim, în exteriorul dreptunghiului, triunghiurile echilaterale $B C E$ și $D C F$. Demonstrați că : +a. $F C \perp B E$. +b. $R C \perp E F$, unde $\{R\}=E B \cap D F$. + +Prof. Ion Bilciurescu, Boldești-Scăeni + +4. În $\triangle A B C, M$ şi $N$ sunt mijloacele laturilor $(A C)$ respectiv $(B C)$, iar $E \in(N C)$ astfel încât $m(\measuredangle B A C)=2 m(\measuredangle N M E)$. Dacă $B E=4 \cdot N E$ atunci $A C=2 \cdot A B$ + +Prof. Silvia şi lonel Brabeceanu + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-517-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-517-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76854c0b6f74bbc011e7cb895b9c40cc19cfae78 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-517-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,28 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 - + +CLASA A VI-A + +Subiecte + +1. Aflați numerele naturale $n$ de patru cifre care au proprietatea că acestea dau același rest la împărțirea cu 5,13 și 31 . +2. Arătați că fracția $F=\frac{1+7+7^{2}+\ldots+7^{2015}}{1+99+99^{2}+\ldots+99^{2015}}$ se simplifică prin 200 . + +Prof. Ion Lupea, Ploieşti și lon Tomescu, Mizil + +3. Fie numerele naturale nenule $a=6 n+11$ și $b=14 n+23, n$ număr natural. Arătați că $[a ; b]=a \cdot b$, unde $[a ; b]$ este c.m.m.m.c al numerelor $a$ și $b$. + +Prof. Anton Negrilă, Ploieşti + +4. Fie dreptele $A E$ și $B D$ concurente, $A E \cap B D=\{N\}$. Unghiurile $\measuredangle A N B$ si $\measuredangle D N E$ au măsurile $40 x-6^{0}$, respectiv $11 y-3^{0}$. Știind că $m(\measuredangle A N D)=20 x$, aflați : +a) $x+y$ + +b) măsura unghiului format de bisectoarele $\measuredangle A N B$ si $\measuredangle B N E$. + +Prof. Ion Bilciurescu , Boldești Scăeni + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-518-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-518-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f48cae78431c319408a55e648bee372e04219c85 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-518-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 15.02.2015 -
CLASA A IX-A
Subiecte + +1. Demonstrați că: + +$$ +\frac{2}{3} n \sqrt{n+1}<1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n}<\frac{2}{3}(n+1) \sqrt{n} \text {, pentru orice } n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +2. Demonstrați că pentru orice $x, y, z \in(-a ; a)$, avem : + +$$ +\frac{1}{a^{2}-x^{2}}+\frac{1}{a^{2}-y^{2}}+\frac{1}{a^{2}-z^{2}} \geq \frac{1}{a^{2}-x y}+\frac{1}{a^{2}-x z}+\frac{1}{a^{2}-y z} +$$ + +Prof. Petre și Cătălin Năchilă, Ploiești + +3. Fie $A B C D$ un patrulater convex, $E$ mijlocul diagonalei $[A C]$ și $P$ un punct oarecare în plan. Arătați că $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=4 \overrightarrow{P E}$ dacă și numai dacă $A B C D$ este parallelogram. +4. Fie cercurile $\mathrm{C} 1$ şi $\mathrm{C} 2$ de centre $O_{1}$ si $O_{2}$ secante în $A$ si $B$. O dreaptă variabilă ce trece prin $B$ taie cercurile a doua oară în $C$ respectiv $D$. Fie $H_{1}$ ortocentrul $\triangle A B C, H_{2}$-ortocentrul $\triangle A B D, A_{1}$ si $A_{2}$ punctele diametral opuse lui $A$ în cele două cercuri . +Demonstraţi că +a) $\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{H_{2} H_{1}}=2 \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$; +b) $\overrightarrow{H_{1} H_{2}}=\overrightarrow{C A_{1}}+\overrightarrow{A_{2} D}$. + +Prof. Claudiu Militaru ,Ploiești + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-519-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-519-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e64b4e521fecd0dcecbaa765019f087d4fbca68 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-519-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,97 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a XII-a
27.02.2015 + +## Subiectul I.(40 puncte ) + +Fie $G=\left\{A_{x} / x \in R\right\}, A_{x}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & x \\ -x & 1 & -\frac{1}{2} x^{2} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. + +a) Arătaţi că(G.,)este grup abelian; + +b) Demonstraţi că $(G$, . ) este izomorf cu $(R,+)$; + +c) Calculaţi $A^{2015}, A \in G$. + +prof. Anca Cristina Hodorogea, ISJ Cluj + +## Subiectul II.(10 puncte ) + +Fie ( $G$,.) un grup finit cu proprietatea că funcţia $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{2}$ este automorfism de grupuri. Arătaţi că mulţimea $\mathrm{G}$ are un număr impar de elemente. + +prof. Simona Pop,Colegiul" Augustin Maior" Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(20 puncte) + +a) Să se calculeze: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{1}^{n} x \cdot \sin \frac{1}{x} d x$. + +prof. Mirela Blaga, Liceul Teoretic ,Alexandru Papiu Ilarian" Dej + +b) Să se arate că $\int_{0}^{1} \sum_{k=1}^{n} \ln (1+k x) d x \leq \frac{n(n+1)}{4}$. + +prof. Teodor Poenaru, Liceul teoretic ,Nicolae Bălcescu"Cluj-Napoca + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Determinaţi toate funcţiile $f: R \rightarrow(0, \infty)$, primitivabile, ce verifică relaţia: $F(x)+\ln (f(x))=\ln \left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$, $\forall x \in R$, unde $F: R \rightarrow R$ este o primitivă a lui $f$ şi $F(0)=0$. + +prof. Cristian Petru Pop,ISJ Cluj + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a XII-a
(OLM 2015-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +Subiectul I. (40 puncte) +a) $A(x) \cdot A(y)=A(x+y) \Rightarrow A(x) \cdot A(y) \in G \Rightarrow G$ este parte stabilă a lui $M_{3}(R)$ în raport cu înmulţirea matricelor; + +Înmulţirea în $M_{3}(R)$ este asociativă, deci şi în G este asociativă; + +$I_{3}=A(0) \in G$ este elementul neutru pentru înmulţirea în $\mathrm{G}$; + +$A(x) \cdot A(-x)=A(-x) \cdot A(x)=A(0)=I_{3}$, deci orice element din $\mathrm{G}$ este simetrizabil; + +$A(x) \cdot A(y)=A(x+y)=A(y+x)=A(y) \cdot A(x)$, deci înmulţirea în G este comutativă; + +b) Fie funcţia $f: G \rightarrow R, f(A(x))=x$ + +f bijectivă + +$f(A(x) A(y))=f(A(x+y))=x+y=f(A(x))+f(A(y))$, deci $\mathrm{f}$ este morfism de grupuri +c) $f\left(A^{n}\right)=f(\underbrace{A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{n})=f(A)+f(A)+\ldots+f(A)=n \cdot f(A)=n x \Rightarrow A^{n}=f^{-1}(n x)=A(n x)$ + +Atunci $A^{2015}=A(2015 x)$. + +## Subiectul II. (10 puncte ) + +Fie e elementul neutru al grupului G. Arătăm că $x \neq x^{-1}, \forall x \in G \backslash\{e\}$. + +Presupunem că $\exists x \in G \backslash\{e\}, x=x^{-1} \Rightarrow x^{2}=e \Rightarrow f(x)=e, \quad$ dar $\quad f(e)=e \Rightarrow f(x)=f(e) \Rightarrow x=e$; Contrad. Deci $x \neq x^{-1}, \forall x \in G \backslash\{e\}$. Dacă grupăm elementele mulţimii $G \backslash\{e\}$ în perechi de forma $\left(x, x^{-1}\right)$ observăm că $G \backslash\{e\}$ are un număr par de elemente, deci G va avea număr impar de elemente. + +$(10 \mathrm{p})$ + +## Subiectul III. (20 puncte ) + +a) Teorema de medie $\Rightarrow \int_{1}^{n} x \cdot \sin \frac{1}{x} d x=F(n)-F(1)=(n-1) f\left(x_{n}\right)=(n-1) x_{n} \cdot \sin \frac{1}{x_{n}}, x_{n} \in(1, n)$ + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{1}^{n} x \cdot \sin \frac{1}{x} d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(n-1) x_{n} \cdot \sin \frac{1}{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} \underbrace{x_{n} \cdot \sin \frac{1}{x_{n}}}_{x_{n} \rightarrow \infty \Rightarrow x_{n} \cdot \sin \frac{1}{x_{n}} \rightarrow 1}=1 +$$ + +b) $\quad e^{n x} \geq 1+n x \Rightarrow \mathrm{nx} \geq \ln (1+\mathrm{nx}) \Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \ln (1+k x) \leq \sum_{k=1}^{n} k x \Rightarrow$ + +$$ +\Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{n} \ln (1+k x) \leq \frac{n(n+1)}{2} x \Rightarrow \int_{0}^{1} \sum_{k=1}^{n} \ln (1+k x) d x \leq \frac{n(n+1)}{4} +$$ + +## Subiectul IV. (20 puncte ) + +$$ +\begin{aligned} +& F(x)=\ln \frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{f(x) \cdot \sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow e^{F(x)} \cdot f(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow\left(e^{F(x)}\right)^{\prime}=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \\ +& \text { Deci } e^{F(x)}=x+\sqrt{x^{2}+1}+C, F(0)=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow F(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-52-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl IX-onm_2018_clasa_ix.md b/Romania_Olympiad/md/ro-52-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl IX-onm_2018_clasa_ix.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6161496de8ea02934509e8384b2b37ba92cc197 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-52-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl IX-onm_2018_clasa_ix.md @@ -0,0 +1,62 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018 + +## CLASA a IX-a + +Problema 1. Arătaţi că dacă într-un triunghi ortocentrul $H$, centrul de greutate $G$ şi centrul $I$ al cercului înscris sunt coliniare, atunci triunghiul este isoscel. + +Soluţie. Dacă triunghiul este echilateral, concluzia este verificată. + +Dacă triunghiul este dreptunghic, atunci o bisectoare este şi mediană, deci concluzia este valabilă. + +În caz contrar, deoarece $G, H$ şi centrul $O$ al cercului circumscris triunghiului sunt coliniare, deducem că $I$ este pe $O H$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_25c23e3e27cdf026c83bg-1.jpg?height=358&width=349&top_left_y=867&top_left_x=888) + +Bisectoarea din $A$ trece prin mijlocul $D$ al arcului $\overparen{B C}$ din cercul circumscris triunghiului, care nu-l conţine pe $A$. Dacă triunghiul nu este isoscel, $O, I$ şi $H$ sunt distincte, iar $O D \| A H$ implică $\frac{A H}{O D}=\frac{H I}{O I}$, de unde $A H=\frac{H I}{O I} R$, unde $R$ este raza cercului circumscris. În mod analog deducem $B H=\frac{H I}{O I} R, C H=\frac{H I}{O I} R$, deci $H$ coincide cu $O$, ceea ce contrazice ipoteza din acest caz + +Problema 2. Demonstraţi că, dacă $a, b, c \geq 0$ şi $a+b+c=3$, atunci + +$$ +\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a} \geq \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} +$$ + +Soluţie. Eliminând numitorii obţinem inegalitatea echivalentă $a^{2} c+b^{2} a+c^{2} b+\sum a^{2}+$ $\sum a b+\sum a \geq 3+2 \sum a+\sum a b$, adică $a^{2} c+b^{2} a+c^{2} b+\sum a^{2} \geq 6 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p}$ + +Avem $a^{2} c \geq 2 a c-c$ şi analoagele ................................................................... + +Este deci suficient să arătăm că $\sum a^{2}+2 \sum a b-\sum a \geq 6$, adică $\left(\sum a\right)^{2}-\sum a \geq 6$, ceea ce reiese imediat din ipoteză $.2 p$ + +Problema 3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ şi $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ două funcţii de gradul 2 cu proprietatea: pentru orice număr real $r$, dacă $f(r)$ este număr întreg, atunci şi $g(r)$ este număr întreg. + +Demonstraţi că există două numere întregi $m$ şi $n$ astfel încât $g(x)=m f(x)+n$, oricare ar fi numărul real $x$. + +Solutie. Înlocuind, eventual, $f \mathrm{cu}-f$, putem presupune $f(x)=a x^{2}+b x+c, g(x)=$ $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$, cu $a>0$. Pentru $t$ întreg, $t \geq \min f$, fie $r_{t}^{\prime}, r_{t}^{\prime \prime}$ soluţiile ecuaţiei $f(x)=t$. Atunci $g\left(r_{t}^{\prime}\right)=\frac{\alpha}{a}\left(t-b r_{t}^{\prime}-c\right)+\beta r_{t}^{\prime}+\gamma=m t+p r_{t}^{\prime}+n$, unde $m=\frac{\alpha}{a}, p=\beta-\frac{\alpha b}{a}, n=\gamma-\frac{\alpha c}{a}$; analog pentru $g\left(r_{t}^{\prime \prime}\right)$ + +Numărul $h(t)=\left|g\left(r_{t}^{\prime}\right)-g\left(r_{t}^{\prime \prime}\right)\right|=|p|\left|r_{t}^{\prime}-r_{t}^{\prime \prime}\right|=\frac{|p|}{a} \sqrt{b^{2}-4 a c+4 a t}$ este intreg pentru orice $t \geq \min f$ şi avem + +$$ +h(t+1)-h(t)=\frac{4|p|}{\sqrt{b^{2}-4 a c+4 a t}+\sqrt{b^{2}-4 a c+4 a(t+1)}} +$$ + +Dacă $p \neq 0$, pentru $t$ ales astfel încât $b^{2}-4 a c+4 a t>4 p^{2}$ obţinem $0 ETAPA LOCALĂ
CLASA a XI-a
27.02.2015 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Dacă $a, b, c$ sunt măsurile unghiurilor triunghiului ascuțitunghic $\mathrm{ABC}$, atunci arătați că: + +$$ +\left|\begin{array}{ccc} +\operatorname{tg} a & \operatorname{tgc}-1 & \operatorname{tg} b+1 \\ +\operatorname{tgc}+\operatorname{tg} b & \operatorname{tg} a-1 & 1 \\ +\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{tg} c & -1 & 1 +\end{array}\right| \leq 0 +$$ + +prof. Camelia Magdaş, Colegiul Naţional Andrei Mureşanu Dej + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Fie $A \in M_{n}(R)$ cu proprietatea că $A^{2015}+A^{2016}+A^{2017}=O_{n}$ şi fie $B=A^{2}+A+I_{n}$. Arătaţi că matricea $I_{n}-A B$ este inversabilă. + +prof. Cristian Petru Pop,ISJ Cluj, - prelucrare Gazeta matematică + +## Subiectul III.(40 puncte) + +a) Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale definit prin formula $x_{n}=\frac{\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}+\ldots+\frac{1}{n+2014}}{\ln (n+2015)}$. + +Calculati $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$; + +prof. Raul Domsa, Liceul Teoretic „Petru Maior” Gherla + +b) Se dau şirurile $\left(a_{n}\right)$ şi $\left(b_{n}\right)$, unde $a_{n}=\frac{1}{1 \cdot 3}-\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}-\frac{1}{4 \cdot 6}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}, n \geq 1$ şi $b_{n}=1 \cdot 3-2 \cdot 4+3 \cdot 5-4 \cdot 6+\ldots+(2 n-1)(2 n+1)$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(4 a_{n}\right)^{b_{n}}$. + +prof. Nicolae Alb, Liceul Teoretic „Octavian Goga”Huedin + +## Subiectul IV.(10 puncte) + +Să se calculeze limita şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ care verifică relaţia $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+45}-\sqrt{x_{n}+5}$, cu $x_{0} \geq-5$. + +prof. Eugen Jecan, Colegiul Naţional Andrei Mureşanu Dej + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a XI-a
(OLM 2015-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +Subiectul I. (20 puncte) + +Se arată că dacă $a+b+c=\pi$ atunci $\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b+\operatorname{tg} c=\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{tg} c$. + +Folosind proprietățile determinanților, avem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_addff1ead279914e8641g-2.jpg?height=211&width=1377&top_left_y=396&top_left_x=81) + +$\xlongequal{l_{2}-l_{1}, l_{3}-l_{1}} \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{tg} C\left|\begin{array}{ccc}1 & \operatorname{tg} c-1 & \operatorname{tg} b+1 \\ 0 & \operatorname{tg} a-\operatorname{tg} c & -\operatorname{tg} b \\ 0 & -\operatorname{tg} c & -\operatorname{tg} b\end{array}\right|=\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{tg} C\left|\begin{array}{cc}\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} c & -\operatorname{tg} b \\ -\operatorname{tg} c & -\operatorname{tg} b\end{array}\right|$ + +$=-\operatorname{tg}^{2} a \cdot \operatorname{tg}^{2} b \cdot \operatorname{tg} c \leq 0$ + +## Subiectul II. (20 puncte ) + +$A^{2015} \cdot B=O_{n} \Rightarrow A^{2015} \cdot B^{2015}=(A B)^{2015}=O_{n}$ + +$\left(I_{n}-A B\right)\left(I_{n}+A B+(A B)^{2}+\ldots+(A B)^{2014}\right)=I_{n}-(A B)^{2015}=I_{n}$. Deci $I_{n}-A B$ este inversabilă. + +## Subiectul III. (40 puncte ) + +a) Utilizăm criteriul Cesaro-Stolz, pt. $a_{n}=\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}+\ldots+\frac{1}{n+2104}$ şi $b_{n}=\ln (n+2015), b_{n} \rightarrow \infty$, crescător. + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n+2015}}{\ln \left(\frac{n+2016}{n+2015}\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln \left(1+\frac{1}{n+2015}\right)^{n+2015}}=\frac{1}{\ln \left(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n+2015}\right)^{n+2015}\right]\right.}=\frac{1}{\ln e}=1$ + +$\operatorname{Din}(*),(* *) \stackrel{\text { c.C.-S. }}{\Rightarrow} \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$; + +(20 p) + +b) $a_{n}=\frac{1}{4} \cdot \frac{2 n^{2}+n+1}{2 n^{2}+n}$ + +(10 p) $\quad b_{n}=2 n^{2}+n$ + +(5 p) + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(4 a_{n}\right)^{b_{n}}=e +$$ + +## Subiectul IV. (10 puncte ) + +Din relaţia de recurenţă rezultă că $x_{n}>0$, pentru orice $n \geq 1$. + +Putem scrie: $\left|x_{n+1}-4\right|=\left|\left(\sqrt{x_{n}+45}-7\right)-\left(\sqrt{x_{n}+5}-3\right)\right| \leq\left|\sqrt{x_{n}+45}-7\right|+\left|\sqrt{x_{n}+5}-3\right|=$ + +$=\frac{\left|x_{n}-4\right|}{\sqrt{x_{n}+45}+7}+\frac{\left|x_{n}-4\right|}{\sqrt{x_{n}+5}+3}=\left|x_{n}-4\left(\frac{1}{\sqrt{x_{n}+45}+7}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}+5}+3}\right) \leq\right| x_{n}-4\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{21}\left|x_{n}-4\right|$ + +Folosind inegalitatea obţinută, avem succesiv: $\quad\left|x_{n+1}-4\right| \leq \frac{10}{21}\left|x_{n}-4\right| \leq\left(\frac{10}{21}\right)^{2}\left|x_{n-1}-4\right| \leq \cdots \leq\left(\frac{10}{21}\right)^{n+1}\left|x_{0}-4\right|$ + +Folosind criteriul majorării, din $\left|x_{n}-4\right| \leq\left(\frac{10}{21}\right)^{n}\left|x_{0}-4\right|$, obţinem $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=4$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-521-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-521-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77f52fa4e7dc28446047c85b3a1a050a4eec8c92 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-521-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,72 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a X-a
27.02.2015 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Demonstrați că în orice triunghi ascuțitunghic $\mathrm{ABC}$ are loc relația: $\operatorname{tg}^{2} A+\operatorname{tg}^{2} B+\operatorname{tg}^{2} C \geq 9$ + +prof. Marilena Faiciuc, Colegiul Național Pedagogic "Gh. Lazăr"Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(30 puncte ) + +Să se rezolve ecuaţia: $13^{x^{2}} \cdot 25^{x^{2}+2 x+\frac{3}{2}} \cdot 31^{x^{2}+x+1}=2015$. + +prof. Raul Domsa, Liceul Teoretic ,,Petru Maior” Gherla + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Fie $n \in N, n \geq 2$. Demonstraţi că $\log _{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n} \frac{n+1}{2} \geq \frac{1}{n}$. + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Fie ecuaţia binomă $z^{4}+1=0$. Notăm cu $M_{k}\left(z_{k}\right), k \in\{1,2,3,4\}$ imaginile geometrice ale rădăcinilor ecuaţiei. Să se arate că oricum am lua punctele $P_{q}\left(z_{q}\right), q \in\{1,2,3,4,5\}$, în interiorul patrulaterului $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}$ există două puncte $P_{i}, P_{j}, \quad i, j \in\{1,2,3,4,5\}$, astfel încât $\left|z_{i}-z_{j}\right|<1$. + +## Barem clasa a X-a
(OLM 2015-etapa locală) + +## Of. 10 p + +## Subiectul I. (20 puncte) + +Aplicăm inegalitatea lui Jensen funcției $\mathrm{f}, f:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{tg}^{2} x$ + +$f\left(\frac{A+B+C}{3}\right) \leq \frac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}$, de unde $\operatorname{tg}^{2} A+\operatorname{tg}^{2} B+\operatorname{tg}^{2} C \geq 3 \operatorname{tg}^{2}\left(\frac{A+B+C}{3}\right) \Rightarrow$ + +$\operatorname{tg}^{2} A+\operatorname{tg}^{2} B+\operatorname{tg}^{2} C \geq 3 \operatorname{tg}^{2} \frac{\pi}{3} \Rightarrow \operatorname{tg}^{2} A+\operatorname{tg}^{2} B+\operatorname{tg}^{2} C \geq 9$ + +Egalitatea are loc pentru $A=B=C=\frac{\pi}{3}$. + +## Subiectul II. (30 puncte ) + +$$ +\begin{aligned} +& 13^{x^{2}} \cdot 25^{x^{2}+2 x+\frac{3}{2}} \cdot 31^{x^{2}+x+1}=2015 /:(13 \cdot 5 \cdot 31) \Rightarrow \\ +& 13^{x^{2}-1} \cdot 25^{x^{2}+2 x+1} \cdot 31^{x^{2}+x}=1 \Leftrightarrow 13^{(x+1)(x-1)} \cdot 25^{(x+1)^{2}} \cdot 31^{x(x+1)}=1 \Leftrightarrow\left[13^{x-1} \cdot 25^{x+1} \cdot 31^{x}\right]^{(x+1)}=1 +\end{aligned} +$$ + +Logaritmăm ambii membri:(x+1) $\cdot \lg \left(13^{x-1} \cdot 25^{x+1} \cdot 31^{x}\right)=0 \Rightarrow x_{1}=-1$ si $(\mathrm{x}-1) \cdot \lg 13+(\mathrm{x}+1) \cdot \lg 25+\mathrm{x} \cdot \lg 31=0$ + +$$ +\Rightarrow x_{2}=\frac{\lg 13-\lg 25}{\lg 13+\lg 25+\lg 31} +$$ + +## Subiectul III. (20 puncte ) + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}<\frac{1+2+3+\ldots+n}{n}=\frac{n+1}{2} \\ +\Rightarrow \log _{n!} \frac{n+1}{2}>\log _{n!} \sqrt[n]{n!}=\frac{1}{n} +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul IV. (20 puncte ) + +Aflarea rădăcinilor ecuaţiei binome $z_{k}=\cos \frac{\pi+2 k \pi}{4}+i \sin \frac{\pi+2 k \pi}{4}, k \in\{0,1,2,3\}$ şi reprezentarea lor + +Imaginile geometrice ale rădăcinilor ecuaţiei sunt vârfurile unui pătrat înscris în cercul unitate, ale cărui laturi sunt paralele cu axele de coordonate. + +(2 p) + +Axele de coordonate împart pătratul $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}$ în patru pătrate de latură $\frac{\sqrt{2}}{2}$ şi diagonale egale cu 1, deci distanţa maximă dintre două puncte $P_{i}\left(z_{i}\right), P_{j}\left(z_{j}\right)$ aflate în interiorul unui astfel de pătrat este $\left|z_{i}-z_{j}\right|<1$ + +Cum avem 5 puncte, există două care se află într-un astfel de pătrat (principiul cutiei) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-522-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-522-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..add6fd06e63dd7d0ced262de4b26ac2d6e4c858f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-522-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,124 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VIII-a
27.02.2015 + +## Subiectul I.(30 puncte ) + +a) Dacă $a, b, c$ sunt numere reale nenule, care verifică relaţiile $a+b+c=9$ şi $a b+b c+a c=27$, să se arate că numărul $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ este natural. + +prof. Vasile Şerdean , Şcoala Gimnazială nr. 1 Gherla + +b) Fie $\mathrm{S}=1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+3 \cdot 4 \cdot 5+\ldots+(n-1) \cdot n \cdot(n+1), \quad n \in N, n \geq 2$. + +1. Calculați $\mathrm{S}$ dacă $\mathrm{n}=100$. +2. Determinați $n \in N$, dacă $\mathrm{S}=89700$. + +prof. Grigore Tarța, Liceul Teoretic , Ana Ipătescu" Gherla + +## Subiectul II.(20 puncte ) + +Fie $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare astfel încât $A D \perp B C$ și $m(\langle A D B)=m(\langle A D C)$. Demonstrați că triunghiul $A B C$ este isoscel. + +prof. Elena Măgdaş, Şcoala Gimnazială Horea Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(20 puncte) + +Fie $\mathrm{ABCD}$ un pătrat şi $\mathrm{AM} \perp(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C})$. Punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{F}$ aparţin segmentelor $(\mathrm{AD})$ şi respectiv $(\mathrm{BC})$ astfel încât $\mathrm{AE}=\mathrm{ED}$ şi $\mathrm{BF}=2 \mathrm{FC}$. Dreapta $\mathrm{EF}$ intersectează prelungirea laturii $\mathrm{CD}$ în punctul $\mathrm{G}$. Arătaţi că dacă distanţa de la $\mathrm{D}$ la $\mathrm{MG}$ este egală cu distanţa de la $\mathrm{A}$ la $\mathrm{MG}$, atunci $\mathrm{AM}=3 \cdot \mathrm{AB}$. + +prof. Radu Poenaru, Transylvania College Cluj-Napoca + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +Se consideră numărul $a=\left(\mathrm{x}+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^{2}$, unde $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{Z}$. + +a) Să se arate că $a$ este număr întreg par, pentru orice $\mathrm{x}$ și y $\operatorname{din} \mathbb{Z}$. + +b) Să se determine perechile de numere întregi $\mathrm{x}$ și y astfel încât $a$ să fie număr prim. + +prof. Alb Nicolae, Liceul Teoretic ,,Octavian Goga” Huedin + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 3 ore. + +## Barem clasa a VIII-a
(OLM 2015-etapa locală) + +## Of. 10 p + +Subiectul I. (30 puncte) +a) $\operatorname{Din}(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+b c+a c) \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$ + +Cum $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-2(a b+b c+a c)=2 \cdot 27-2 \cdot 27=0$ + +Deci $a-b=b-c=c-a \Rightarrow a=b=c$ + +Din $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=9$ și $a=b=c \Rightarrow a=b=c=3 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=3 \cdot \frac{1}{3}=1 \in N$ + +b) Pornind de la egalitatea : $(n-1) \cdot n \cdot(n+1)=n^{3}-n$, suma S devine : + +$\mathrm{S}=2^{3}-2+3^{3}-3+4^{3}-4+\ldots+n^{3}-n=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\ldots+n^{3}-(1+2+3+4+\ldots+n)=$ $=\frac{n \cdot(n+1)}{2} \cdot \frac{(n-1) \cdot(n+2)}{2} \Rightarrow S=\frac{(n-1) \cdot n \cdot(n+1) \cdot(n+2)}{4}$. + +a). Dacă $\mathrm{n}=100$, avem $\mathrm{S}=\frac{99 \cdot 100 \cdot 101 \cdot 102}{4}=\frac{(100-1) \cdot(100+1) \cdot 10200}{4}=9999 \cdot 2550=25497450$ (5 p) + +b). Dacă $\mathrm{S}=89700 \Rightarrow \frac{(n-1) \cdot n \cdot(n+1) \cdot(n+2)}{4}=89700 \Rightarrow(n-1) \cdot n \cdot(n+1) \cdot(n+2)=4 \cdot 89700=$ $=2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 3 \cdot 13 \cdot 23=23 \cdot\left(2^{3} \cdot 3\right) \cdot 5^{2} \cdot(2 \cdot 13)=23 \cdot 24 \cdot 25 \cdot 26 \Rightarrow n=24$. + +## Subiectul II. (20 puncte ) + +Desen corect + +Trasăm $A O \perp(B C D) \Rightarrow A O \perp B C, B C \perp A D \Rightarrow B C \perp(D A O) \Rightarrow B C \perp D O$ (1) + +$T 3 \perp \Rightarrow A E \perp B D$ și $A F \perp D C$ + +Din congruența triunghiurilor $A E D$ și $A F D \Rightarrow[E D] \equiv[D F]$ + +Din congruența triunghiurilor $D O E$ și $D O F \Rightarrow m(\langle O D E)=m(\langle O D F) \Rightarrow[D O$ bisectoare(2) + +Din (1) și (2) $\Rightarrow \triangle B C D$ isoscel $\Rightarrow B D=D C$ + +Din congruența triunghiurilor $A B D$ și $A C D \Rightarrow[A B] \equiv[A C] \Rightarrow \triangle A B C$ isoscel. + +## Subiectul III. (20 puncte ) + +Notăm cu AA', respectiv DD' cele două perpendiculare din D şi respectiv A pe dreapta MG. + +Atunci $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{DD}^{\prime} \Rightarrow \frac{A A^{\prime} \cdot M G}{2}=\frac{D D^{\prime} \cdot M G}{2} \Rightarrow A_{A M G}=A_{D M G}$. + +Justificăm faptul că triunghiurile MDG şi MAG sunt dreptunghice. + +Atunci $A_{A M G}=A_{D M G} \Rightarrow \frac{M D \cdot D G}{2}=\frac{M A \cdot A G}{2} \Rightarrow M D \cdot D G=M A \cdot A G$ + +Notăm $A M=x$ şi $A D=a$. + +Folosim TFA în triunghiul EDG $\Rightarrow \frac{C G}{G D}=\frac{F C}{E D} \Rightarrow \frac{C G}{G D}=\frac{a}{3}: \frac{a}{2} \Rightarrow C G=2 C D \Rightarrow C G=2 a$ + +Folosim Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADG $\Rightarrow A G=a \sqrt{10}$. + +Folosim Teorema lui Pitagora în triunghiul MAD $\Rightarrow M D=\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ + +Deoarece $A_{A M G}=A_{D M G} \Rightarrow M A \cdot A G=M D \cdot G D \Rightarrow x \cdot a \sqrt{10}=3 a \cdot \sqrt{a^{2}+x^{2}} \Rightarrow$ + +$x \cdot \sqrt{10}=3 \sqrt{a^{2}+x^{2}} \Rightarrow x^{2} \cdot 10=9\left(a^{2}+x^{2}\right) \Rightarrow x^{2}=9 a^{2} \Rightarrow x=3 a$ + +## Subiectul IV. (20 puncte ) + +$a=\left(\mathrm{x}+\frac{3}{2}+\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{3}{2}-\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+1)(\mathrm{x}-\mathrm{y}+2)=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}+2(\mathrm{x}+\mathrm{y})+\mathrm{x}-\mathrm{y}+2=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-$ + +a) $y^{2}+y+2 x+2=x(x+1)-y(y-1)+2(x+1)$ + +$=\mathrm{nr}$. intreg par, deoarece fiecare din cei trei termeni sunt numere pare. + +b) $a=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+1)(\mathrm{x}-\mathrm{y}+2)$. Din 1) rezulta ca $a$ este nr. par, de unde a este prim dacă şi numai dacă $a=2$. + +Avem următoarele cazuri: + +$x+y+1=1$ şi $x-y+2=2 \Leftrightarrow x=0, y=0$ + +$x+y+1=-1$ şi $x-y+2=-2 \Leftrightarrow x=-3, y=1$ + +$x+y+1=2$ şi $x-y+2=1 \Leftrightarrow x=0, y=1$ + +$x+y+1=-2$ şi $x-y+2=-1 \Leftrightarrow x=-3, y=0$ + +Astfel: $S=\{(-3,0) ;(-3,1) ;(0,0) ;(0,1)\}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-523-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-523-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..434405343b40add9ede24a533277c188b7394da8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-523-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,85 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a VII-a
27.02.2015 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Se consideră numărul $\mathrm{a}=\frac{1}{1 \cdot 3}-\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}-\frac{1}{4 \cdot 6}+\cdots+\frac{1}{(2 \mathrm{n}-1)(2 \mathrm{n}+1)}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$. Să se arate că: $\frac{1}{4} (OLM 2015-etapa locală) + +## Of. 10 p + +Subiectul I. (20 puncte) + +$$ +\begin{aligned} +& a=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots-\frac{1}{2 n-2}+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n(2 n+1)}\right)= \\ +& \frac{1}{4} \cdot \frac{n(2 n+1)+1}{n(2 n+1)}=\frac{1}{4} \cdot \frac{2 n^{2}+n+1}{2 n^{2}+n} \\ +& \frac{1}{4}<\frac{1}{4} \cdot \frac{2 n^{2}+n+1}{2 n^{2}+n} \Leftrightarrow 2 n^{2}+n<2 n^{2}+n+1 \text { "A" } \\ +& \frac{1}{4} \cdot \frac{2 n^{2}+n+1}{2 n^{2}+n} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow 6 n^{2}+3 n+3 \leq 8 n^{2}+4 n \Leftrightarrow 2 n^{2}+n \geq 3 \Leftrightarrow \mathrm{n}(2 n+1) \geq 3 \text { "A" } +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul II. (30 puncte ) + +Desen corect +a) $\left[A E\right.$ bisectoare $\Rightarrow \frac{B E}{E C}=\frac{A B}{A C}$ + +$\left[A G\right.$ bisectoare $\Rightarrow \frac{B G}{G F}=\frac{A B}{A F} \Rightarrow \frac{B G}{G F}=\frac{A B}{\frac{A C}{2}} \Rightarrow \frac{B G}{G F}=\frac{2 A B}{A C} \quad ; \quad \frac{B G}{G F} \cdot \frac{C E}{B E}=\frac{2 A B}{A C} \cdot \frac{A C}{A B}=2 \Rightarrow a=1$. +b) $A_{\triangle B E G}=A_{\triangle B E A}-A_{\triangle B G A}$ + +$$ +A_{\triangle A G F}=A_{\triangle B F A}-A_{\triangle B G A} \Rightarrow A_{B E A}=A_{\triangle A F B} \Rightarrow \frac{B A \cdot E M}{2}=\frac{B A \cdot F N}{2} \Rightarrow E M=F N +$$ + +$E M \perp A B, F N \perp A B \Rightarrow E M\|F N \Rightarrow E F\| A B, F$ mijlocul segmentului $\quad A C \Rightarrow E \quad$ mijlocul segmentului $B C \Rightarrow G$ centrul de greutate al $\triangle A B C$. + +## Subiectul III. (20 puncte ) + +Desen corect + +$\left[C E,\left[B E\right.\right.$ sunt bisectoare $\Rightarrow m(\Varangle E C B)+m(\Varangle E B C)=180^{\circ}: 2=90^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle C E B)=90^{\circ}$ + +F este mijlocul lui $(\mathrm{BC}) \Rightarrow F E=\frac{B C}{2}=6=F B=F C \Rightarrow \triangle E F B$ isoscel + +$\left.\Rightarrow \begin{array}{l}\Varangle F E B \equiv \Varangle F B E \\ d a r \Varangle A B E \equiv \Varangle F B E\end{array}\right\} \Rightarrow \Varangle F E B \equiv \Varangle A B E \Rightarrow E F \| A B$ + +Deci EF este linie mijlocie $A B+C D=12$, dar $A B-C D=8$, deci $A B=10$ + +În $\triangle A B C, A CETAPA LOCALĂ
CLASA a VI-a
27.02.2015 + +# Subiectul I.(15 puncte ) + +Să se arate că pentru orice n număr natural nenul, $9^{n}+63$ se divide cu 72 . + +prof. Vasile Șerdean, Școala Gimnazială nr. 1 Gherla + +## Subiectul II.(30 puncte) + +Se consideră punctele $A, O, D$, astfel încât $O \in(A D)$ şi unghiurile adiacente $\Varangle A O B, \Varangle B O C$, astfel încât punctele $B, C$ să fie situate de aceeaşi parte a dreptei $A D$. Dacă măsura $\Varangle A O B$ este jumătate din măsura $\Varangle C O D$, iar măsura $\Varangle C O D$ este medie aritmetică a măsurilor unghiurilor $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$, iar (OM este bisectoarea $\Varangle A O C$ şi $N \in \operatorname{Int}(\Varangle C O D)$ astfel încât $\Varangle M O N$ este unghi drept, arătaţi că: + +a) $\Varangle B O C$ este unghi drept; + +b) $\Varangle B O M$ şi $\Varangle N O D$ sunt congruente. + +prof. Florica-Daniela Bodea, Liceul Teoretic Gelu Voievod Gilău + +## Subiectul III.(20 puncte ) + +Raluca a primit de ziua ei o sumă de bani egală cu media aritmetică a numerelor naturale de trei cifre care prin împărțire la 5 dau restul 2, prin împărțire la 7 dau restul 5 și prin împărțire la 8 dau restul 1. De ce sumă mai are nevoie Raluca pentru a putea să-și cumpere o consolă PlayStation 4 care costă 1799 lei? + +prof. Cristian Petru Pop,ISJ Cluj + +## Subiectul IV.(25 puncte) + +Fie : $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}_{3}, \mathrm{P}_{4}, \ldots \mathrm{P}_{\mathrm{k}}$, puncte coliniare , astfel încât $\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}=4 \mathrm{~mm}, \mathrm{P}_{2} \mathrm{P}_{3}=8 \mathrm{~mm}, \mathrm{P}_{4} \mathrm{P}_{5}=$ $16 \mathrm{~mm}, \mathrm{P}_{3} \mathrm{P}_{5}=28 \mathrm{~mm}, \ldots$. + +a) Să se arate că punctul $\mathrm{P}_{3}$ este mijlocul lui [ $\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{4}$. + +b) Să se determine numărul natural $\mathrm{k}$, pentru care $\mathrm{P}_{5} \mathrm{P}_{\mathrm{k}}=18200$. + +prof. Romulus Zanc, Școala Gimnazială Căianu + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 2 ore. + +## Barem clasa a VI-a
(OLM 2015-etapa locală) + +## Of. 10 p + +## Subiectul I. (15 puncte) + +Vom arăta că $9^{n}+63$ se divide cu numerele prime între ele 8 și 9 . + +Divizibilitatea cu 9 este evidentă. + +$$ +9^{n}+63=(8+1)^{n}+(64-1)=\left(M_{8}+1\right)+\left(M_{8}-1\right)=M_{8}: 8 +$$ + +## Subiectul II. (30 puncte ) + +a) Din enunţ obţinem $m(\Varangle C O D)=2 m(\Varangle A O B) ; 2 m(\Varangle C O D)=m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)$, deci $4 m(\Varangle A O B)=m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)$ şi avem $m(\Varangle B O C)=3 m(\Varangle A O B)$. + +Cum $\Varangle A O D$ este alungit: $m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)+m(\Varangle C O D)=180^{\circ} \Rightarrow 6 m(\Varangle A O B)=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O B)=30^{\circ}$ + +$\Rightarrow m(\Varangle B O C)=90^{\circ} \Rightarrow \Varangle B O C$ este unghi drept + +b) $m(\Varangle A O C)=m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O C)=120^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle C O M)=60^{\circ}$ + +$m(\Varangle B O M)=m(\Varangle B O C)-m(\Varangle C O M)=30^{\circ}$ + +Cum $m(\Varangle M O N)=90^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle N O C)=30^{\circ}$, iar din $m(\Varangle C O D)=60^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle N O D)=30^{\circ}$, deci $\Varangle B O M$ şi $\Varangle N O D$ sunt congruente. + +## Subiectul III. (20 puncte ) + +Fie x suma de bani pe care o are Raluca. + +$$ +\left.\left.\begin{array}{l} +x=5 c_{1}+2 \\ +x=7 c_{2}+5 \\ +x=8 c_{3}+1 +\end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{r} +x+23=5\left(c_{1}+5\right) \\ +x+23=7\left(c_{2}+4\right) \\ +x+23=8\left(c_{3}+3\right) +\end{array}\right\} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} +5 /(x+23) \\ +7 /(x+23) \\ +8 /(x+23) +\end{array}\right. +$$ + +$\Rightarrow(x+23)$ poate fi c.m.m.m.c al numerelor $5,7,8$ sau multipli săi + +$\Rightarrow(x+23) \in\{280,560,840\} \Rightarrow x \in\{257,537,817\} \Rightarrow M_{a}=537$ + +Raluca mai are nevoie de 1262 lei + +## Subiectul IV. (25 puncte ) + +a) $P_{3} P_{4}=12 \mathrm{~cm}, P_{1} P_{3}=12 \mathrm{~cm}$, deci $P_{3}$ este mijlocul segmentului $P_{1} P_{4}$ + +b) Scierea relaţiei $\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}+\mathrm{P}_{2} \mathrm{P}_{3}+\mathrm{P}_{3} \mathrm{P}_{4}+\ldots+\mathrm{P}_{\mathrm{k}-1} \mathrm{P}_{\mathrm{k}}=18240$ sub forma : + +$$ +4+2 \cdot 4+3 \cdot 4+4 \bullet 4+\ldots+4 \bullet(k-1)=18240 \Leftrightarrow 1+2+3+4+\ldots+(k-1)=4560 +$$ + +$(\mathrm{k}-1) \mathrm{k}=9120$ deci $\mathrm{k}=96$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-525-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-525-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..361e89b7782e9c636c1508bf14529e60e3267d6e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-525-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a V-a
27.02.2015 + +# Subiectul I.(20 puncte ) + +Un număr de trei cifre împărţit la răsturnatul său dă câtul 3 şi restul 26 , iar diferenţa dintre cifra sutelor şi cea a unităţilor numărului este egală cu 4. Să se determine numărul. + +prof. Ioan Balica, Școala Gimnazială "Ioan Bob” Cluj-Napoca + +## Subiectul II.(25 puncte) + +Numerele naturale $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ verifică egalităţile: $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=31$ şi $2 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}+4 \mathrm{c}=105$. + +a) Aflaţi ultima cifră a produsului $(b+2 c) \cdot(c-a) \cdot(2 a+b)$. + +b) Verificaţi dacă $(2 a c+b c): 19$. + +prof. Marieta Hristea, Liceul de Informatică "Tiberiu Popoviciu" Cluj-Napoca + +## Subiectul III.(25 puncte ) + +Gigel are banii adunați aranjați în plicuri: în primul plic are 2 lei, în al doilea plic are 13 lei, în al treilea plic are 24 lei, în plicul cu numărul 4 are 35 lei, în plicul cu numărul 5 are 46 lei, și așa mai departe. + +a) Aflați ce sumă are Gigel în plicul cu numărul 49; + +b) Stabiliți dacă există vreun plic în care să fie 2015 lei; + +c) Gigel își dorește o consolă PlayStation 4 care costă 1799 lei. Câți lei primește rest Gigel dacă plătește cu banii din primele 20 plicuri? + +prof. Cristian Petru Pop,ISJ Cluj + +## Subiectul IV.(20 puncte) + +a) Să se calculeze $48^{2}-17^{2}$; + +b) Să se arate că $2015^{2015}$ se poate scrie ca diferență de două pătrate. + +prof. Vasile Șerdean, Școala Gimnazială nr. 1 Gherla + +Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. + +SUCCES! + +Timp efectiv de lucru - 2 ore. + +## Barem clasa a V-a
(OLM 2015-etapa locală) + +## Of. $10 \mathrm{p}$
Subiectul I. (20 puncte) + +$\overline{a b c}: \overline{c b a}=3$, rest $26 \Rightarrow \overline{a b c}=3 \overline{c b a}+26 \Rightarrow 97 a=20 b+299 c+26$ + +Dar $a-c=4 \Rightarrow a=c+4$ + +Deci $97 c+388=299 c+20 b+26 \Rightarrow 202 c+20 b=362$ + +Se obţine $c=1, b=8$ şi $a=5 \Rightarrow \overline{a b c}=581$ + +## Subiectul II. (25 puncte ) + +a) + +$2 a+3 b+4 c=105$ (1) + +$a+b+c=31 \mid \cdot 2=>2 a+2 b+2 c=62$ (2) + +Scăzând din relaţia (1) relaţia (2) se obţine: $b+2 c=43$ + +$$ +2 a+3 b+4 c=105 +$$ + +$a+b+c=31 \mid \cdot 3=>3 a+3 b+3 c=93$ (3) + +Scăzând din relaţia (1) relaţia (3) se obţine: $\mathrm{c}-\mathrm{a}=12$ + +$2 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}+4 \mathrm{c}=105 \Rightarrow>2 \mathrm{a}+\mathrm{b}+2 \mathrm{~b}+4 \mathrm{c}=105=>2 \mathrm{a}+\mathrm{b}+2 \cdot(b+2 c)=105=>2 \mathrm{a}+\mathrm{b}+2 \cdot 43=105$ + +$2 a+b=105-86=>2 a+b=19$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2d280618a8e3012ced88g-2.jpg?height=72&width=865&top_left_y=1208&top_left_x=85) + +b) $\left.(2 \cdot a \cdot c+b \cdot c) \vdots 19<=>_{\mathrm{c}} \cdot(2 a+b)\right) \vdots 19<=>_{\mathrm{C}} \cdot 19 \vdots 19$ „A". + +## Subiectul III. (25 puncte ) + +Observăm că în plicul cu numărul n, Gigel are 11(n-1)+2 lei; + +(5 p) + +a) 530 lei; + +b) $11(\mathrm{n}-1)+2=2015$, deci $\mathrm{n}=184$; + +c) $S_{20}=11(1+2+3+\ldots+19)+2 \cdot 20=2130$ + +(5 p) + +## Subiectul IV. (20 puncte ) + +a) $48^{2}-17^{2}=2304-289=2015$ +b) $2015^{2015}=2015^{2014} \cdot 2015=2015^{2014}\left(48^{2}-17^{2}\right)=\left(2015^{1007} \cdot 48\right)^{2}-\left(2015^{1007} \cdot 17\right)^{2}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-526-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-526-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c0a3e4a4d9ac8f9cf3502b2b23979298454ebbe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-526-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA a IX-a
27.02.2015 + +## Subiectul I.(20 puncte ) + +Fie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ numere reale pozitive cu $a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{3}, n \in N^{*}$. Să se arate că $\sqrt{a_{1}+2}+\sqrt{a_{2}+6}+\ldots \sqrt{a_{n}+n \cdot(n+1)} (OLM 2015-etapa locală) + +## Of. $10 p$ + +Subiectul I. (20 puncte) + +Aplicând inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwartz, avem + +$\left(\sqrt{a_{1}+2} \cdot 1+\sqrt{a_{2}+6} \cdot 1+\ldots \sqrt{a_{n}+n \cdot(n+1)} \cdot 1\right)^{2}<(1+1+\ldots+1) \cdot\left(a_{1}+2+a_{2}+6+\ldots a_{n}+n \cdot(n+1)\right)$ + +$ ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1. Fie ( $G, \cdot)$ un grup abelian finit. Arătați că: + +a) Dacă grupul $(G, \cdot)$ are cel puțin un element de ordin doi, $\prod_{x \in G} x=\prod_{x \in G, \text { ordx } 2} x$. + +b) Spunem că un subgrup $H$ al lui $G$ are proprietatea $(P)$ dacă $H \neq G \underset{s i}{ } \prod_{x \in H} x=\prod_{x \in G \backslash H} x$. Demonstrați că dacă $H$ este un subgrup al lui $G$ care are proprietatea $(P)$, atunci orice subgrup a lui $H$, diferit de $H$, are proprietatea $(P)$. + +Problema 2. Fie (G,') un grup și funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{2}$. Dacă $f$ este morfism arătați că ( $\left.G, \cdot\right)$ este grup comutativ. + +Problema 3. Se consideră şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu termenul general $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}+n x+1}{x+1} d x, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Arătaţi că : $I_{n}<1+n \ln \frac{e}{2}$ + +b) Calculaţi : $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left(I_{n}+I_{n+1}\right)$ + +Florin Ștefan Marcu, Călărași + +Problema 4. Determinați mulțimea $M$ a funcțiilor continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}$, care admit o primitivă $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, cu proprietatea $F(-x)=\frac{x}{f(x)}, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Gheorghe Stoianovici, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 4.7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-528-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-528-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d2ffb800332ffc4509f429ec18f7ee6cc5498a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-528-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,28 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6808690ecd6137668750g-1.jpg?height=165&width=263&top_left_y=107&top_left_x=172) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015
Clasa a XI-a + +Problema 1. Fie $A \in M_{n}(\mathbb{R}), A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=\bar{n}, n}, a_{i j}>0,(\forall) i, j=\overline{1, n}$. Arătaţi că, dacă produsul dintre suma elementelor aflate pe linia $i$, cu suma elementelor aflate pe coloana $j$ este egal cu $a_{i j},(\forall) i, j=\overline{1, n}$, atunci suma tuturor elementelor matricei $A$ este egală cu 1 . + +Florin Ștefan Marcu, Călărași + +Problema 2. Să se determine matricele $X \in M_{2}(\mathbb{R})$ care au proprietătile: +i. $\quad \operatorname{det} X=0$; + +ii. $\quad X^{3}-6 X^{2}+12 X=\left(\begin{array}{cc}-4 & -8 \\ 6 & 12\end{array}\right)$. + +Cristina Bornea, Călăraşi + +Problema 3. Să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+2^{k}}=0$. + +Problema 4. Fie $a \in \mathbb{R}$ şi funcţia $g:[a, a+1) \rightarrow[a, a+1), g(x)=x^{2}-2 a x+a^{2}+a$. Să se determine toate funcțiile $f:[a, a+1) \rightarrow \mathbb{R}$ care au proprietățile: +i. $\quad f(x)-g(x)-2(f \circ g)(x)+(f \circ g \circ g)(x)=a-2 x+\sqrt{x-a}, \forall x \in[a, a+1)$; + +ii. funcția $f$ este continuă în $x=a$. + +Gheorghe Stoianovici, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-529-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-529-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2023ddea6254c7fb84b4e060f4f6848ec4c53a0e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-529-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,28 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_15168d6b1f454236ad3bg-1.jpg?height=169&width=268&top_left_y=105&top_left_x=172) + +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. Arătaţi că: + +a) Orice număr natural de patru cifre, de forma $\overline{a b c d}$, cu proprietatea: $\lg \overline{a b c d}-\lg \overline{a b c}=1$, este divizibil cu 10 . + +b) $\left[\log _{2} 2015\right]=\left[\log _{3} 2015\right]+\left[\log _{5} 2015\right]$. + +Florin Ștefan Marcu, Călărași + +Problema 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: +a) $\quad 5^{x}+13^{x}+31^{x}=3 \cdot 2015^{\frac{x}{3}}$; +b) $x(6+2 \sqrt{5})^{\lg x}+1=2(\sqrt{10}+5 \sqrt{2})^{\lg x}$. + +Florin Ștefan Marcu, Călărași + +Problema 3. Fie $a$ şi $b$ două numere reale diferite de zero. Să se arate că funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=a \sin x+b \sin (x \sqrt{5})$, nu este periodică. + +Problema 4. Fie numerele complexe $a, b, c, d, \alpha$ astfel încât $|a|=|b| \neq 0$ şi $|c|=|d| \neq 0$. Demonstraţi că, $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$, toate rădăcinile ecuației $c(b x+a \alpha)^{n}-d(a x+b \bar{\alpha})^{n}=0$ sunt numere reale. + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 2. a) 3 puncte; b) 4 puncte. Problema 3. 7 puncte; Problema 4. 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-53-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VIII-onm_2018_clasa_viii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-53-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VIII-onm_2018_clasa_viii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fb72d1a1e47669a500bedb63f84aae390f1e612 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-53-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VIII-onm_2018_clasa_viii.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018 + +## CLASA a VIII-a - Soluţii şi barem + +Problema 1. Demonstraţi că există o infinitate de mulţimi formate din patru numere naturale nenule care au proprietatea că suma oricăror trei elemente ale mulţimii este pătrat perfect. + +## Soluţie: + +Evident, dacă $\{a, b, c, d\}$ este o mulţime cu proprietatea din enunţ, atunci şi mulţimea $\left\{n^{2} a, n^{2} b, n^{2} c, n^{2} d\right\}$ este, pentru orice număr natural nenul $n$, o mulţime cu proprietatea dorită, deci este suficient să găsim o asemenea mulţime. $1 p$ + +Cum putem găsi o asemenea mulţime? + +Dacă $a+b+c=x^{2}, a+b+d=y^{2}, a+c+d=z^{2}, b+c+d=t^{2}$, cu $x, y, z, t \in \mathbb{N}$, atunci prin adunare obţinem $3(a+b+c+d)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$, de unde $a=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-t^{2}$, $b=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-z^{2}, c=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-y^{2}, d=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-x^{2} . \ldots \mathbf{p} \mathbf{p}$ Pentru ca aceste numere să fie naturale şi nenule, trebuie să alegem $x, y, z, t$ astfel încât $3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$ şi $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}>3 \max \left\{x^{2}, y^{2}, z^{2}, t^{2}\right\}$. Există multe alegeri convenabile pentru $x, y, z, t$. De exemplu $\{x, y, z, t\}=\{8,9,10,11\}$ conduce la $\{a, b, c, d\}=$ $\{1,22,41,58\}$. + +$4 p$ + +Notă: Găsirea unei mulţimi cu proprietatea dorită, chiar şi fără a indica modul de găsire a ei va fi punctată cu 6 p. + +Problema 2. Fie $a, b, c, d$ numere naturale astfel încât $a+b+c+d=2018$. Aflaţi valoarea minimă a expresiei + +$$ +E=(a-b)^{2}+2(a-c)^{2}+3(a-d)^{2}+4(b-c)^{2}+5(b-d)^{2}+6(c-d)^{2} +$$ + +## Soluţie: + +Arătăm că minimul căutat este 14. + +Această valoare într-adevăr atinsă, de exemplu dacă $a=b=505$ şi $c=d=504$. . . . 1p Deoarece $2018 \mathrm{nu}$ este divizibil cu 4, numerele $a, b, c, d \mathrm{nu}$ pot fi toate egale. + +Dacă trei dintre ele sunt egale, atunci trei dintre pătrate sunt 0 , iar celelalte trei sunt nenule. În plus, cele patru numere trebuie să aibă aceeaşi paritate, deci celelalte pătrate sunt cel puţin 4. Astfel $E \geq 4+2 \cdot 4+3 \cdot 4>14$. + +Dacă două dintre numere sunt egale, iar celelalte două sunt diferite (de acestea două şi diferite între ele), atunci $E \geq 1+2+3+4+5=15>14$. ..........................1p Dacă două dintre numere sunt egale, iar celelalte două sunt şi ele egale, atunci: $a=b, c=d$ implică $E \geq 2+3+4+5=14, a=c, b=d$ implică $E \geq 1+3+4+6=14$, iar $a=d, b=c$ implică $E \geq 1+2+5+6=14$. ................................................. In fine, dacă $a, b, c, d$ sunt diferite două câte două atunci $E \geq 1+2+3+4+5+6>14$. $1 p$ + +Problema 3. Fie $a, b, c \geq 0$ astfel încât $a b+b c+c a=3$. Demonstraţi că + +## Soluţie: + +Scriem $\frac{a}{a^{2}+7}=\frac{a}{a^{2}+a b+b c+c a+4}=\frac{a}{(a+b)(a+c)+4}$. + +Din inegalitatea mediilor, $(a+b)(a+c)+4 \geq 2 \sqrt{(a+b)(a+c) \cdot 4}=4 \sqrt{(a+b)(a+c)}$. + +Deoarece $a+b>0, a+c>0(a+b=0$ ar implica $a=b=0$ şi ar contrazice $a b+b c+c a=3)$, putem scrie $\frac{a}{a^{2}+7} \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a}{a+c}}$. Aplicând din nou inegalitatea mediilor obţinem $\frac{a}{a^{2}+7} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)$. Analog se obţin relaţiile $\frac{b}{b^{2}+7} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}\right)$ ş $\frac{c}{c^{2}+7} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right) \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p}$ Prin adunarea acestor trei inegalităţi se obţine inegalitatea din enunţ. ...............1p (Egalitatea are loc dacă şi numai dacă $a=b=c=1$.) + +Problema 4. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ notăm cu $M$ centrul feţei $A B B^{\prime} A^{\prime}$. Notăm cu $M_{1}$ şi $M_{2}$ proiecţile lui $M$ pe dreptele $B^{\prime} C$ şi respectiv $A D^{\prime}$. Demonstraţi că: + +a) $\left[M M_{1}\right] \equiv\left[M M_{2}\right]$; + +b) dacă $\left(M M_{1} M_{2}\right) \cap(A B C)=d$, atunci $d \| A D$; + +c) $m\left(\angle\left(\left(M M_{1} M_{2}\right),(A B C)\right)\right)=45^{\circ} \Leftrightarrow \frac{B C}{A B}=\frac{B B^{\prime}}{B C}+\frac{B C}{B B^{\prime}}$. + +## Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78fe0322bebad4c996d6g-2.jpg?height=496&width=637&top_left_y=1769&top_left_x=706) + +a) Triunghiurile $A B^{\prime} C$ si $B^{\prime} A D^{\prime}$ sunt congruente (L.L.L.), deci $\angle A B^{\prime} C \equiv \angle B^{\prime} A D^{\prime}$ Cum $\left[M B^{\prime}\right] \equiv[M A], \angle M B^{\prime} M_{1} \equiv \angle M A M_{2}$ şi $\angle M M_{1} B^{\prime} \equiv \angle M M_{2} A$, triunghiurile $M M_{2} A$ şi $M M_{1} B^{\prime}$ sunt congruente (I.U.) şi de aici $\left[M M_{1}\right] \equiv\left[M M_{2}\right]$. ........................1p b) Construim $M_{1} J \perp B^{\prime} C^{\prime}, J \in B^{\prime} C^{\prime}$ şi $M_{2} T \perp A D, T \in A D$. Atunci $M_{1} J \| M_{2} T$ +(ambele perpendiculare pe $(A B C)$ ). In plus, $B^{\prime} M_{1}=A M_{2}$ si $\angle M_{1} B^{\prime} J \equiv \angle M_{2} A T$ implică $\Delta M_{1} B^{\prime} J \equiv \Delta M_{2} A T$ (I.U.), deci $M_{1} J=M_{2} T$. Rezultă că $M_{1} J M_{2} T$ este paralelogram. Fie $K$ punctul de intersecţie a diagonalelor sale. Dar $A T=B^{\prime} J$ 'si $A T \| B^{\prime} J$ implică $A T J B^{\prime}$ - paralelogram, deci $M K \| A T$. Cum $M K \subset\left(M M_{1} M_{2}\right)$ şi $A T \subset(A B C)$, rezultă că $d \| A D$. $3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78fe0322bebad4c996d6g-3.jpg?height=366&width=650&top_left_y=679&top_left_x=694) + +c) Fie $M M_{1} \cap A C=\{L\}$ sुi $M M_{2} \cap(A B C)=\{S\}$. Atunci $A S\|B D\| B^{\prime} D^{\prime}$ deoarece $B^{\prime} D^{\prime} \subset\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right), B^{\prime} D^{\prime} \| B D$ şi $B D \subset(A B C)$. Deci $d=L S$. Fie $A V \perp L M_{1}$. Atunci triunghiurile $A V M$ şi $B^{\prime} M_{1} M$ sunt congruente (I.U.), deci $A V=B^{\prime} M_{1}=A M_{2}$. Din $A V \| B^{\prime} C$ rezultă că $\angle L A V \equiv \angle A C B^{\prime} \equiv \angle A D^{\prime} B^{\prime} \equiv \angle S A M_{2}$ (alterne interne deoarece $A S \| B^{\prime} D^{\prime}$ ). Atunci triunghiurile $A V L$ şi $A M_{2} S$ sunt congruente (C.U.), deci $A L=A S$. Dacă $U$ este mijlocul lui $[L S]$, cum $A U \perp L S$ şi $A B \perp L S$ rezultă $A, B, U$ coliniare. Planul $(M A B)$ este planul mediator al lui $[L S]$, deci $M U \perp L S$ şi $A U \perp$ $L S$. Cum $M U \subset\left(M M_{1} M_{2}\right)$ şi $A U \subset(A B C)$, deducem că $m\left(\angle\left(\left(M M_{1} M_{2}\right),(A B C)\right)\right)=$ $m(\angle M U A)$. Atunci $m(\angle M U A)=45^{\circ} \Leftrightarrow \frac{B B^{\prime}}{2}=\frac{A B}{2}+A U \Leftrightarrow B B^{\prime}-A B=2 A U$. Dacă $B I \perp B^{\prime} C, I \in B^{\prime} C$, din teorema celor trei perpendiculare rezultă $A I \perp B^{\prime} C$. În triunghiul $B B^{\prime} C$ avem $B I=\frac{B B^{\prime} \cdot B C}{B^{\prime} C}$, deci $A I^{2}=A B^{2}+\frac{B C^{2} \cdot B^{\prime} B^{2}}{B C^{2}+B^{\prime} B^{2}}, C I^{2}=A B^{2}+$ $B C^{2}-A I^{2}$, adică $C I=\frac{B C^{2}}{\sqrt{B C^{2}+B^{\prime} B^{2}}}$. In triunghiul $L M_{1} C, A I \| L M_{1}, M_{1} I=B^{\prime} M_{1}$, deci $\frac{L A}{A C}=\frac{M_{1} I}{C I}=\frac{B^{\prime} M_{1}}{C I}$. Cum $B^{\prime} M_{1}=\frac{B^{\prime} B^{2}}{2 \sqrt{B C^{2}+B^{\prime} B^{2}}}$, rezultă $L A=\frac{B^{\prime} B^{2}}{2 B C^{2}} \cdot \sqrt{A B^{2}+B C^{2}}$. Deoarece $\triangle A U L \sim \triangle C D A$ deducem că $\frac{A U}{A L}=\frac{A B}{\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}}$, deci $A U=\frac{A B \cdot B^{\prime} B^{2}}{2 B C^{2}}$. Atunci $m(\angle M U A)=45^{\circ} \Leftrightarrow 2 A U=\frac{A B \cdot B^{\prime} B^{2}}{B C^{2}}=B^{\prime} B-A B \Leftrightarrow A B \cdot B^{\prime} B^{2}+A B \cdot B C^{2}=B C^{2} \cdot B^{\prime} B \Leftrightarrow$ $\frac{B C}{A B}=\frac{B B^{\prime}}{B C}+\frac{B C}{B B^{\prime}}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78fe0322bebad4c996d6g-3.jpg?height=366&width=488&top_left_y=1996&top_left_x=775) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-530-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-530-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f209c90424dc230aab1f78113419699c413817a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-530-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CĂLĂRAŞI + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. Dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic şi $d$ este lungimea diagonalei paralelipipedului, atunci demonstrați că suma pătratelor distanţelor de la orice punct $M$ din interiorul paralelipipedului la fețele acestuia aparține intervalului $\left[\frac{d^{2}}{2}, d^{2}\right]$. + +Gheorghe Fianu, Ștefan cel Mare + +Problema 2. Se consideră piramida triunghiulară regulată $V A B C$ (punctul $V$ este vârful piramidei). Dacă punctul $M$ este mijlocul segmentului $(B C)$, măsura unghiului dintre planele $(V A B)$ și $(V A M)$ este $\alpha$ iar $\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$, atunci arătați că $V A B C$ este tetraedru regulat. + +Luminița Bucureșteanu, Călărași + +Problema 3. Se consideră cubul ALGEBRIC a cărui latură are lungimea $6 \mathrm{~cm}$. + +a) Calculați distanța dintre dreptele $A I$ și $B E$. + +b) Determinați măsura unghiului dintre planele $A L I$ și $A G I$. + +prof. Relu Ciupea, Oltenița + +## Problema 4. + +a) Găsiți toate numerele naturale nenule $k$ cu proprietatea: $k(2016-k)<(k+1)(2015-k)$. + +b) Într-o magazie sunt 2015 cutii numerotate $1,2,3,4, \ldots ., 2015$. Cutiile conțin bile și numărul bilelor din fiecare cutie este egal cu numărul scris pe cutie. Într-o mutare este posibil să alegem câteva cutii, chiar şi una, şi să scoatem din ele acelaşi număr de bile. Care este cel mai mic număr de mutări necesare pentru a golii toate cutiile.. + +Cristina Bornea, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 4 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-531-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-531-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ef60fd55a235b44b92d9ac52f36ff78b19b2770 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-531-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. Dacă știți că pentru numerele $x, y, z \in \mathbb{R}$ sunt adevărate simultan egalitățile $x y(x+y+z)=11$, $y z(x+y+z)=22$ şi $z x(x+y+z)=33$, atunci determinaţi produsul lor $x y z$. + +Adriana Constantin, Călărași + +Problema 2. Se consideră triunghiul $A B C$ și punctele $M \in(B C), N \in(A C), P \in(A B)$ astfel încât în triunghiul $A B C$ dreapta $A M$ este mediană, semidreapta $(B N$ este bisectoare și dreapta $C P$ înălțime. Dacă există un punct $O$ cu proprietatea $(A M) \cap(B N) \cap(C P)=\{O\}$, arătați că $B P \leq \frac{B A+B C}{4}$. + +Gheorghe Fianu, Ștefan cel Mare + +Problema 3. Se consideră triunghiul $A B C$ și punctele $F \in(B C), G \in(A C), E \in(A B)$ astfel încât $\frac{A E}{E B}=\frac{B F}{F C}=\frac{C G}{G A}=\frac{1}{4}$. Dacă $(A F) \cap(C E)=\{K\},(A F) \cap(B G)=\{L\},(B G) \cap(C E)=\{M\}$ și aria triunghiul $A B C$ este egală cu 1 , calculaţi aria triunghiul $K L M$. + +Cristina Bornea, Călăraşi + +Problema 4. Fie dreptunghiul $A B C D$ cu proprietatea $A B=3 \cdot B C$. Dacă punctele $M, N \in(A B)$ astfel încât $A M=M N=N B$ şi punctele $P, Q \in(C D)$ astfel încât $C P=P Q=D Q$, atunci: + +a) Arătați că $m(B A C)+m(B M C)=m(B N C)$. + +b) Arătați că centrele de greutate ale triunghiurilor $A N C$ și $M N P$ coincid. + +c) Dacă $D G \cap M P=\{S\}, D G \cap A B=\{R\}$ și $Q S \cap A B=\{T\}$, demonstrați că $A B=12 \cdot T N$. + +Furtuna Sorin, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-532-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-532-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a87696b89c09a320529f1521fbbae31160b4c344 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-532-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VI-a + +Problema 1. Fie mulțimea $A=\left\{n \in \mathbb{N}^{*} \mid n<100\right\}$. + +a) În câte moduri se poate scrie numărul 2015 ca suma unor numere naturale consecutive. (Justificați răspunsul) + +b) Câte submulțimi, care au elemente numere naturale consecutive și suma elementelor din submulțime este 2015, admite mulțimea $A$ ?(Justificați răspunsul) + +Camelia Iordache și Sorin Furtună, Călărași + +Problema 2. Fie mulțimea $M=\left\{n \in \mathbb{N}^{*} \mid n<4999\right\}$ și afirmațiile: + +A. „, $x$ este cel mai mare element al mulțimii $M$ care are exact patru divizori” + +B. „ $x$ este cub perfect" + +C. „ $x$ este divizibil cu 263 " + +Determinați numărul $x$ dacă știți că din cele trei afirmații două sunt adevărate și una este falsă. (Justificați răspunsul) + +Stelică Pană, Olteniţa + +Problema 3. Fiecare literă scrisă în cuvântul MATEMATICA este înlocuită cu o cifră nenulă, astfel încât oricăror două litere diferite să li se atribuie cifre diferite și literelor care coincid aceeași cifră. + +a) Care este cea mai mare valoare pe care o poate lua numărul $a=\frac{M \cdot A \cdot T \cdot E \cdot M}{A \cdot T \cdot I \cdot C \cdot A}$ ? + +b) Dacă nu se folosesc cifrele 7,8 şi 9, găsiți numărul variantelor de înlocuire a literelor cuvîntului MATEMATICA cu cifre. + +Aurelia Cațaros, Călăraşi + +Problema 4. Fie $A B C$ un triunghi ascuţit unghic şi punctele $M, N, P$ şi $Q$ astfel încât $N \in(A B)$, $M \in(A N), P \in(A C)$ şi $Q \in(B C)$. Dacă $m(\measuredangle A C M)=m(\measuredangle M C N)=m(\measuredangle N C B), m(\measuredangle A P M)=m(\measuredangle C P N)$ şi $m(\measuredangle B Q N)=m(\measuredangle C Q M)$ arătaţi că $P M+P N=Q M+Q N$. + +Viorica Stoianovici, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 4.7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-533-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-533-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3238e80474bfd84113593d26599edd7cd610b7f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-533-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,55 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CĂLĂRAŞI + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. Douăsprezece jetoane, pe care sunt scrise numerele de la 1 la 12, sunt aşezate pe două rînduri, ca în desenul alăturat. Dacă prin mutarea unui jeton de pe Rândul 1 pe Rândul 2 și aducerea în locul lui a unui jeton de pe Rândul 2 suma numerelor scrise pe jetoanele din Rândul 1 este egală cu suma numerelor scrise pe jetoanele din Rândul 2 schimbul se numește magie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3182eb815f6ee8450868g-1.jpg?height=307&width=891&top_left_y=611&top_left_x=1102) + +a) Dă un exemplu de magie. + +b) Câte magii se pot face? (Justifică răspunsul) + +Marin Neaț̆ și Eugen Predoiu, Călărași + +Problema 2. La începutul clasei a V-a Adrian întîmpina dificultăti la scrierea numerelor naturale și din acest motiv a avut ca temă să scrie toate numerele impare de la 1 la 2015. Cum tema a fost plictisitoare, el a scris numerele folosind culorile verde, galben, albastru, mov, roșu după următoarea regulă: numărul 1 cu verde, numerele 3 și 5 cu galben, numerele 7, 9 și 11 cu albastru, numerele 13, 15, 17 și $19 \mathrm{cu}$ mov și numerele 21, 23, 25, 27 și $29 \mathrm{cu}$ roșu; apoi a repetat regula până când a scris toate numerele. + +a) Cu ce culoare a scris numărul 59 ? + +b) Cu ce culoare a scris numărul 2015? (Justifică răspunsul) + +c) Câte numere a scris folosind culoarea roșie? (Justifică răspunsul) + +Adriana Olaru, Călăraşi + +Problema 3. Un număr $\overline{a b c d}$, în baza 10 , se numește rarisim dacă este format din cifre nenule, distincte două câte două și $b=a+c+d$. + +a) Scrie un număr rarisim. + +b) Calculează diferența dintre cel mai mare și cel mai mic număr rarisim. (Justifică răspunsul) + +c) Câte numere rarisime există? (Justifică răspunsul) + +Sorin Furtună, Călăraşi + +Problema 4. Fiecare literă scrisă în vârfurile cubului din figura alăturată este înlocuită cu un număr natural de la 0 la 7 , astfel încât oricăror două litere diferite să li se atribuie numere diferite. Se atribuie fiecărei fețe a cubului numărul egal cu suma numerelor atribuite vârfurilor care o determină (de exemplu dacă litera A se înlocuiește cu $1, B$ cu 2, С си 3, D си 0, E си 5 şi F cu 7, atunci feței $A B C D$ i se atribuie numărul $6=1+2+3+0$ și feței $A B F E$ i se atribuie numărul $15=1+2+5+7$ ). Să se arate că există patru fețe cu suma numerelor atribuite egală cu 56 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3182eb815f6ee8450868g-1.jpg?height=358&width=377&top_left_y=1824&top_left_x=1598) + +Adriana Constantin, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 4.7 puncte.[^0] + + +[^0]: Str. Sloboziei, nr. 28, 910001 Mun. Călărași, Jud. Călărași + + Tel: +400242315949 + + Fax: +400242312810 + + www.isj.cl.edu.ro + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-534-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-534-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d1598ca6ed5308c9841df1e570acfa7d840c22c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-534-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,22 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4cade1d71333f216e883g-1.jpg?height=168&width=267&top_left_y=106&top_left_x=173) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALA - 15 FEBRUARIE 2015
Clasa a IX-a + +Problema 1. Arătaţi că oricum se aleg 2015 numere reale din intervalul $\left(1,2^{1007}\right)$, distincte două câte două, există printre ele trei numere care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi. + +Florin Ștefan Marcu, Călăraşi + +Problema 2. Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$, definit prin $a_{0}=2015$ și $a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+1}, \forall n \in \mathbb{N}$. Arătaţi că $\left[a_{n}\right]=2015-n ; \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}, n \leq 1008$ + +Cristina Bornea, Călărași + +Problema 3. Dacă $A B C$ este un triunghi oarecare și $D, M, P$ puncte cu proprietăţile $D \in(A B), \quad M \in(B C)$, $\overrightarrow{B M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A D}=\frac{7}{5} \overrightarrow{D B}$ și $\overrightarrow{P M}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{6} \overrightarrow{A C}$, demonstrați că $\overrightarrow{D P}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$. + +Gheorghe Stoianovici, Călărași + +Problema 4. Se numerotează vârfurile unui cub $A B C D E F G H$ cu câte un număr natural de la 1 la 8 , astfel încât oricăror două vârfuri distincte să li se atribuie numere diferite. Se atribuie fiecărei muchii numărul egal cu suma numerelor atribuite vârfurilor care o determină. Există o numerotare a vârfurilor pentru care numerele atribuite muchiilor sunt distincte două câte două? Justificaţi răspunsul! + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-535-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-535-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae063fe120aa93c7e85b9a6cbf61556eff90cc78 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-535-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,137 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie funcţia $f: \mathbb{Z}_{9} \longrightarrow \mathbb{Z}_{9}, f(x)=x^{9}$. Să se determine submulţimile nevide $A$ ale mulţimii $\mathbb{Z}_{9}$ cu proprietatea $f(A)=A$. + +Gazeta Matematică $9 / 2014$ + +2. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel şi două elemente fixate $a, b \in A$ cu proprietăţile $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ şi $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}$. Să se arate că $(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$. + +Marin Marin + +3. Determinaţi primitiva $F: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ a funcţiei $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ + +$$ +f(x)=\frac{\sin x \cdot \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{e^{2 x}+\sin ^{2} x} +$$ + +pentru care $F(0)=0$. + +Ioana Maşca + +4. Să se calculeze + +$$ +\int \frac{2 x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+a} d x +$$ + +unde $a \geq 1$. + +Sorina Stoian + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## Clasa a XII a + +1. Fie funcţia $f: \mathbb{Z}_{9} \longrightarrow \mathbb{Z}_{9}, f(x)=x^{9}$. Să se determine submulţimile nevide $A$ ale multimii $\mathbb{Z}_{9}$ cu proprietatea $f(A)=A$. + +Soluţie. Elementele inversabile ale inelului $Z_{9}$ formează mulţimea $U=\{\hat{1}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{5}, \hat{7}, \hat{8}\}$. + +$(U, \cdot)$ este grup abelian, deci $x^{6}=\hat{1}, \forall x \in U$. Astfel, $f(x)=x^{3}, \forall x \in U$. Obţinem $f(\hat{1})=f(\hat{4})=$ $f(\hat{7})=\hat{1}, f(\hat{2})=f(\hat{5})=f(\hat{8})=\hat{8}$ si $f(\hat{0})=f(\hat{3})=f(\hat{6})=\hat{0} .(3 \mathbf{p})$ + +Se verifică proprietatea $f(A)=A \Leftrightarrow A \subset f\left(\mathbb{Z}_{9}\right)=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{8}\}$, deci submultimile nevide cerute sunt: $\{\hat{0}\},\{\hat{1}\},\{\hat{8}\},\{\hat{0}, \hat{1}\},\{\hat{0}, \hat{8}\},\{\hat{1}, \hat{8}\},\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{8}\} .(\mathbf{p} \mathbf{p})$ + +2. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel şi două elemente fixate $a, b \in A$ cu proprietăţile $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ şi $(a+b)^{3}=$ $a^{3}+b^{3}$. Să se arate că $(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$. + +## Solutie. + +Avem + +$\left.(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} \Longrightarrow a b=-b a ; \mathbf{( 1} \mathbf{p}\right)$ + +$\left.a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)^{2}=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}\right)=a^{3}+a^{2} b+b a^{2}+b^{3} \Longrightarrow a b^{2}=-b a^{2} ; \mathbf{( 1} \mathbf{p}\right)$ + +$a b^{2}=a b b=(-b a) b=-b(a b)=-b(-b a)=b^{2} a ; a^{2} b=a(a b)=-a(b a)=-(a b) a=-(-b a) a=b a^{2}$. (2p) + +Astfel, au loc relaţiile + +$$ +\begin{aligned} +& \text { (1) } a b=-b a \\ +& \text { (2) } a b^{2}=b^{2} a=-b a^{2}=-a^{2} b +\end{aligned} +$$ + +Demonstrăm prin inducţie proprietatea + +$$ +\text { (3) } a^{n} b=-b^{n} a, \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Conform (1), proprietatea este verificată pentru $n=1$. + +Presupunem $a^{n} b=-b^{n} a$, pentru un număr natural nenul $n$. Atunci, utilizând (1) şi (2), obţinem + +$$ +a^{n+1} b=a^{n}(a b)=a^{n}(-b a)=-\left(a^{n} b\right) a=-\left(-b^{n} a\right) a=b^{n} a^{2}=b^{n-1}\left(b a^{2}\right)=-b^{n-1}\left(b^{2} a\right)=-b^{n+1} a +$$ + +Deci proprietatea (3) este dovedită. (2p) + +Pe baza relaţiei (3), se deduce (prin inducţie) că $(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. (1p) + +3. Determinaţi primitiva $F: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ a funcţiei $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ + +$$ +f(x)=\frac{\sin x \cdot \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{e^{2 x}+\sin ^{2} x} +$$ + +pentru care $F(0)=0$. + +## Solutie. + +$$ +\begin{aligned} +F(x) & =\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{\sin ^{2} x-\sin x \cos x}{e^{2 x}+\sin ^{2} x} d x=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{e^{2 x}+\sin ^{2} x}{e^{2 x}+\sin ^{2} x} d x-\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{\left(e^{2 x}+\sin ^{2} x\right)^{\prime}}{e^{2 x}+\sin ^{2} x} d x \\ +& =\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{\sqrt{2}}{4} \ln \left(e^{2 x}+\sin ^{2} x\right)+\mathcal{C}, x \in \mathbb{R} +\end{aligned} +$$ + +$F(0)=0$ pentru $\mathcal{C}=0$, deci primitiva cerută este $\left.F(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{\sqrt{2}}{4} \ln \left(e^{2 x}+\sin ^{2} x\right), x \in \mathbb{R} . \mathbf{( 1 p}\right)$ + +4. Să se calculeze + +$$ +\int \frac{2 x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+a} d x +$$ + +unde $a \geq 1$. + +Soluţie. + +Cazul 1. Pentru $a=1$, avem + +$$ +(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=\left(x^{2}+5 x+4\right)\left(x^{2}+5 x+6\right)+1=\left(x^{2}+5 x+5\right)^{2} +$$ + +$$ +\int \frac{2 x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+a} d x=\int \frac{\left(x^{2}+5 x+5\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+5 x+5\right)^{2}} d x=-\frac{1}{x^{2}+5 x+5}+\mathcal{C}, x \in I +$$ + +unde $I \subset \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{-5-\sqrt{5}}{2}, \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\right\}$ este un interval. (2p) + +Cazul 2. Pentru $a>1$, avem + +$$ +\begin{aligned} +\int \frac{2 x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+a} d x & =\int \frac{\left(x^{2}+5 x+5\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+5 x+5\right)^{2}+a-1} d x \\ +& =\frac{1}{\sqrt{a-1}} \operatorname{arctg} \frac{x^{2}+5 x+5}{\sqrt{a-1}}+\mathcal{C}, x \in \mathbb{R} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-536-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-536-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9fd05d0437d6cabbafecf9e1516619df2c5468a6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-536-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,148 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a XI-a + +1. Sirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 0}$ de numere reale sunt definite prin $x_{0}=y_{0}=1$ şi + +$$ +\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} +3 & 5 \\ +1 & 3 +\end{array}\right) \cdot\binom{x_{n}}{y_{n}}, \quad n \geq 0 +$$ + +Să se arate că $x_{n+2}-3 x_{n+1}+x_{n}=0$ şi $y_{n+2}-3 y_{n+1}+y_{n}=0$, pentru orice $n \geq 0$. Să se demonstreze că ecuaţia $x^{2}-5 y^{2}=-4$ are o infinitate de soluţii în mulţimea numerelor întregi. + +Gazeta Matematică 11/2014 + +2. Fie $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, cu proprietatea $\operatorname{det}\left(A+m I_{n}\right)=m^{n} \operatorname{det}\left(A+\frac{1}{m} I_{n}\right)$, pentru oricare $m \in\{1,2, \cdots, n+1\}$, unde $I_{n}$ este matricea unitate de ordinul $n$. Să se arate că $\operatorname{det}(A)=1$. + +Marin Marin + +3. (a) Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$, unde $\omega$ este o rădăcină de ordinul 3 a unităţii, diferită de 1 . Să se determine $A^{2015}$. + +(b) Să se arate că ecuaţia matriceală $X^{2}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ nu are soluţii în mulţimea $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$, dar admite soluţii în mulţimea $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$. + +Ioana Maşca + +4. Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere reale pozitive cu $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}$, unde + +$$ +\begin{gathered} +a_{n}=\sqrt{2015^{2} x_{1}^{2}+2015 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{2015^{2} x_{2}^{2}+2015 x_{2} x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+ \\ ++\sqrt{2015^{2} x_{n}^{2}+2015 x_{n} x_{1}+x_{1}^{2}} +\end{gathered} +$$ + +Florica Zubaşcu-Andreica + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## Clasa a XI a + +1. Sirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ de numere reale sunt definite prin $x_{0}=y_{0}=1$ şi + +$$ +\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} +3 & 5 \\ +1 & 3 +\end{array}\right) \cdot\binom{x_{n}}{y_{n}}, \quad n \geqslant 0 +$$ + +Să se arate că $x_{n+2}-3 x_{n+1}+x_{n}=0$ şi $y_{n+2}-3 y_{n+1}+y_{n}=0$, pentru orice $n \geqslant 0$. Să se demonstreze că ecuaţia $x^{2}-5 y^{2}=-4$ are o infinitate de soluţii ı̂n multimea numerelor întregi. + +## Soluţie. + +Din relaţia matriceală din enunţ se obţin relaţiile de recurenţă + +$$ +\begin{aligned} +& \text { (1) } 2 x_{n+1}=3 x_{n}+5 y_{n} \\ +& \text { (2) } 2 y_{n+1}=x_{n}+3 y_{n} +\end{aligned}, n \in \mathbb{N} +$$ + +Din (2) rezultă $x_{n}=2 y_{n+1}-3 y_{n}$ şi $x_{n+1}=2 y_{n+2}-3 y_{n+1}, n \in \mathbb{N}$. Inlocuind în (1), se obţine recurenţa $y_{n+2}-3 y_{n+1}+y_{n}=0, n \in \mathbb{N}$. (2p) + +Similar, din (1) rezultă $y_{n}=2 / 5 \cdot x_{n+1}-3 / 5 \cdot x_{n}$ şi $y_{n+1}=2 / 5 \cdot x_{n+2}-3 / 5 \cdot x_{n+1}, n \in \mathbb{N}$. + +Înlocuind în (2), se obţine $x_{n+2}-3 x_{n+1}+x_{n}=0, n \in \mathbb{N}$. (2p) + +Din (1) şi (2) şi ipoteza $x_{0}=y_{0}=1$ rezultă (prin inducţie) că şirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ sunt strict pozitive şi strict crescătoare. În plus, din recurenţele demonstrate anterior se deduce (prin inducţie) că au termenii numere întregi. Deci $x_{n}, y_{n} \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{n} Faza locală
Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a X-a + +1. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1$ şi $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=0$. + +(a) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n|z|^{2}+n$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$. + +(b) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right| \leq n \sqrt{2}$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$, $|z| \leq 1$. + +Gazeta Matematică 12/2014 + +2. Să se rezolve ecuaţia + +$$ +\frac{1}{4^{x}+1}+\frac{1}{2^{x} \cdot 3^{x}-1}=\frac{2^{x}}{4^{x} \cdot 3^{x}-2 \cdot 2^{x}-3^{x}} +$$ + +3. Rezolvaţi ecuaţia $\left[\log _{2015}\left[\log _{2015} x\right]\right]=1$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Ioana Maşca + +4. Determinaţi valorile reale $x, y, z$, pentru care + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}=y \\ +\frac{3 y^{3}}{y^{4}+y^{2}+1}=z \\ +\frac{4 z^{4}}{z^{6}+z^{4}+z^{2}+1}=x +\end{array}\right. +$$ + +Sorina Stoian + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## Clasa a X a + +1. Fie $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant 2$ şi numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1$ şi $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=$ 0 . + +(a) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n|z|^{2}+n$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$. + +(b) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right| \leqslant n \sqrt{2}$, pentru orice $z \in \mathbb{C},|z| \leqslant 1$. + +## Soluţie. + +(a) Avem $|u|^{2}=u \bar{u}, \forall u \in \mathbb{C}$. (1p) + +Atunci, pentru $z \in \mathbb{C}$, + +$$ +\left|z-z_{k}\right|^{2}=\left(z-z_{k}\right) \overline{\left(z-z_{k}\right)}=|z|^{2}-z \bar{z}_{k}-\bar{z} z_{k}+\left|z_{k}\right|^{2}=|z|^{2}-z \bar{z}_{k}-\bar{z} z_{k}+1, k=\overline{1, n} +$$ + +Prin sumarea relaţiilor de mai sus, obţinem (în conformitate cu ipoteza) + +$$ +\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|^{2}=n|z|^{2}-z\left(\sum_{k=1}^{n} \bar{z}_{k}\right)-\bar{z}\left(\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right)+n=n|z|^{2}+n, \forall z \in \mathbb{C} +$$ + +(b) Folosind inegalitatea dintre media aritmetică şi media pătratică, deducem + +$$ +\frac{\left|z-z_{1}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right|}{n} \leqslant \sqrt{\frac{\left|z-z_{1}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}}{n}}, z \in \mathbb{C} +$$ + +Atunci, aplicând identitatea de la (a), obţinem + +$$ +\left|z-z_{1}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right| \leqslant n \sqrt{\frac{n|z|^{2}+n}{n}} \leqslant n \sqrt{\frac{n+n}{n}}=n \sqrt{2}, \forall z \in \mathbb{C},|z| \leq 1 +$$ + +2. Să se rezolve ecuaţia $\frac{1}{4^{x}+1}+\frac{1}{2^{x} \cdot 3^{x}-1}=\frac{2^{x}}{4^{x} \cdot 3^{x}-2 \cdot 2^{x}-3^{x}}$. + +Soluţie. + +Ecuaţia este definită pe domeniul $D=\mathbb{R}^{*} \backslash\left\{x \in \mathbb{R} \mid 4^{x} \cdot 3^{x}-2 \cdot 2^{x}-3^{x}=0\right\}$. (1p) + +Ecuaţia poate fi scrisă în forma + +$$ +2^{x}\left(6^{x}+3^{x}+2^{x}-1\right)\left(6^{x}-3^{x}-2^{x}-1\right)=0, x \in D +$$ + +Rezultă $6^{x}+3^{x}+2^{x}-1=0$ sau $6^{x}-3^{x}-2^{x}-1=0$. (2p) + +i. Rezolvăm în $\mathbb{R}$ ecuaţia $6^{x}+3^{x}+2^{x}-1=0$ sau $6^{x}+3^{x}+2^{x}=1$. + +Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty), f(x)=6^{x}+3^{x}+2^{x}$. $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ şi $f(-1)=1$. Deducem că ecuaţia $f(x)=1, x \in \mathbb{R}$, are rădăcina unică $x_{1}=-1 .(\mathbf{2 p})$ + +ii. Rezolvăm ecuaţia $6^{x}-3^{x}-2^{x}-1=0$, echivalentă cu $f(-x)=1(x \in \mathbb{R})$. Deducem că ecuaţia considerată are rădăcina unică $x_{2}=1$. + +Deoarece $-1,1 \in D$, ecuaţia dată are soluţiile $x_{1}=-1$ şi $x_{2}=1$. (2p) + +3. Rezolvaţi ecuaţia $\left[\log _{2015}\left[\log _{2015} x\right]\right]=1$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real a. + +Soluţie. + +Ecuaţia este definită pentru $x \in[2015, \infty)$. (1p) + +Avem + +$$ +\begin{array}{r} +\left.\left[\log _{2015}\left[\log _{2015} x\right]\right]=1 \Leftrightarrow 1 \leqslant \log _{2015}\left[\log _{2015} x\right]<2 \quad \mathbf{1} \mathbf{p}\right) \\ +\left.\Leftrightarrow 2015 \leqslant\left[\log _{2015} x\right]<2015^{2} . \mathbf{( 1 p}\right) \\ +\Leftrightarrow\left[\log _{2015} x\right] \in\left\{2015,2016, \ldots, 2015^{2}-1\right\} \Leftrightarrow \log _{2015} x \in\left[2015,2015^{2}\right) +\end{array} +$$ + +Rezultă că mulţimea soluţiilor ecuaţiei este + +$$ +S=\left[2015^{2015}, 2015^{2015^{2}}\right) +$$ + +4. Determinaţi valorile reale $x, y, z$, pentru care + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}=y \\ +\frac{3 y^{3}}{y^{4}+y^{2}+1}=z \\ +\frac{4 z^{4}}{z^{6}+z^{4}+z^{2}+1}=x +\end{array}\right. +$$ + +## Soluţie. + +Fie $(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$ o soluţie a sistemului. Avem $x, y, z \geqslant 0$. (1p) + +Din inegalitatea mediilor rezultă + +$$ +\left\{\begin{array} { l } +{ \frac { x ^ { 2 } + 1 } { 4 ^ { 2 } } \geqslant \sqrt { x ^ { 2 } \cdot 1 } = x } \\ +{ \frac { y ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 1 } { 3 } \geqslant \sqrt [ 3 ] { y ^ { 6 } } = y ^ { 2 } } \\ +{ \frac { z ^ { 6 } + z ^ { 4 } + z ^ { 2 } + 1 } { 4 } \geqslant \sqrt [ 4 ] { z ^ { 1 2 } } = z ^ { 3 } } +\end{array} \quad \text { sau } \left\{\begin{array}{l} +\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1} \leq x \\ +\frac{3 y^{3}}{y^{4}+y^{2}+1} \leq y \\ +\frac{4 z^{4}}{z^{6}+z^{4}+z^{2}+1} \leq z +\end{array}\right.\right. +$$ + +Rezultă $y \leq x, z \leq y$ şi $x \leq z$, de unde $x=y=z$. (1p) + +Obţinem soluţiile $x_{1}=y_{1}=z_{1}=0$ şi $x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$. (2p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-538-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-538-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c414a0aa5a2d8b71f7a5678f8ca9ebd2e9469026 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-538-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,143 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a VIII-a + +1. În tetraedrul $O A B C, O A \perp O B \perp O C \perp O A, O A=a, O B=b, O C=c$, unde $a, b, c>0$. + +(a) Demonstraţi că înălţimea din $O$ a tetraedrului are piciorul în ortocentrul $H$ al triunghiului $A B C$. + +(b) Dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9 \cdot O H^{2}$, arătaţi că $O A B C$ este piramidă triunghiulară regulată. + +Dorina Bocu + +2. (a) Arătaţi că pentru orice număr natural nenul $n$ există un număr na- tural $a \geq n^{2}$ astfel încât $n \sqrt{a-n^{2}}=\frac{a}{2}$. + +(b) Găsiţi 2015 numere naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2015}$ care verifică relaţia + +$$ +\sqrt{a_{1}-1}+2 \sqrt{a_{2}-4}+\ldots+2015 \sqrt{a_{2015}-2015^{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2015}}{2} +$$ + +(c) Arătaţi că nu există 2015 numere naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2015}$ care verifică relaţia + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{a_{1}-1}-2 \sqrt{a_{2}-4}+3 \sqrt{a_{3}-9}+\ldots-2014 \sqrt{a_{2014}-2014^{2}} \\ ++ & 2015 \sqrt{a_{2015}-2015^{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2015}}{2} +\end{aligned} +$$ + +Ioana Maşca + +3. Determinaţi numerele naturale $\overline{a b}$ cu proprietatea că $\left[\overline{a, b}^{3}\right]=\overline{a b}$. Am notat $[x]$ partea întreagă a lui $x$. + +Gazeta Matematică 10/2014. + +4. Fie piramida patrulateră regulată $V A B C D,\{O\}=A C \cap B D$ sुi $P, Q \in(V O)$. Dacă $\{E\}=A P \cap C V,\{F\}=C P \cap A V,\{S\}=B Q \cap D V$ şi $\{T\}=D Q \cap B V$. + +(a) Arătaţi că $E F \|(A B C)$. + +(b) Aflaţi $m(\widehat{E F, S T})$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d4ee5191fb97081a7a42g-1.jpg?height=77&width=548&top_left_y=2252&top_left_x=363) + +Gazeta Matematică 11/2014, enunţ modificat, Dorina Rapcea, Ioana Ciocirlan. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## Clasa a VIII-a + +1. In tetraedrul $O A B C, O A \perp O B \perp O C \perp O A, O A=a, O B=b, O C=c$, unde $a, b, c>0$. + +(a) Demonstraţi că înălţimea din $O$ a tetraedrului are piciorul în ortocentrul $H$ al triunghiului $A B C$. + +(b) Dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9 \cdot O H^{2}$, arătaţi că $O A B C$ este piramidă triunghiulară regulată. + +## Soluţie. + +(a) $C O \perp O B, C O \perp O A \Longrightarrow C O \perp(A O B)$. (1p) + +Fie $O C^{\prime} \perp A B$. Din $T 3 \perp$ rezultă $C C^{\prime} \perp A B$. (1p) + +Construim $O H \perp C C^{\prime}$. Folodind $C C^{\prime} \perp A B$, din $R 2 T 3 \perp$ găsim $O H \perp(A B C)$, deci piciorul perpendicularei pe plan aparţine înălţimii $C C^{\prime}$. (1p) + +Analog arătăm $H \in B B^{\prime}$ şi $H \in A A^{\prime}$ înălţimi, deci $H$ ortocentrul $\triangle A B C$. (1p) + +(b) $O C^{\prime}=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, C C^{\prime}=\sqrt{\frac{a^{2} c^{2}+a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}, O H=\frac{a b c}{\sqrt{a^{2} c^{2}+a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}}}$. (1p) + +Prin înlocuirea în relaţia $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9 \cdot O H^{2}$, găsim $c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}+a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)^{2}=0$, deci $a=b=c$. (1p) + +Cum triunghiurile $A O B, B O C, C O A$ sunt congruente şi $O A \equiv O B \equiv O C$, rezultă $O A B C$ piramidă regulată. (1p) + +2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d4ee5191fb97081a7a42g-2.jpg?height=51&width=1579&top_left_y=1088&top_left_x=250) +$\frac{a}{2}$. + +(b) Găsiţi 2015 numere naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2015}$ care verifică relaţia + +$$ +\sqrt{a_{1}-1}+2 \sqrt{a_{2}-4}+\ldots+2015 \sqrt{a_{2015}-2015^{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2015}}{2} +$$ + +(c) Arătaţi că nu există 2015 numere naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2015}$ care verifică relaţia + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{a_{1}-1}-2 \sqrt{a_{2}-4}+3 \sqrt{a_{3}-9}+\ldots-2014 \sqrt{a_{2014}-2014^{2}} \\ ++\quad & 2015 \sqrt{a_{2015}-2015^{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2015}}{2} +\end{aligned} +$$ + +## Soluţie. + +(a) Pentru $n \sqrt{a-n^{2}}=\frac{a}{2}$, avem $2 n \sqrt{a-n^{2}}=a$. Scriind $a-n^{2}-2 n \sqrt{a-n^{2}}+n^{2}=0$, respectiv $\left(\sqrt{a-n^{2}}-n\right)^{2}=0$, de unde $\sqrt{a-n^{2}}=n$, respectiv $a=2 n^{2}$. (2p) + +(b) Pentru $\sqrt{a_{1}-1}+2 \sqrt{a_{2}-4}+\ldots+2015 \sqrt{a_{2015}-2015^{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2015}}{2}$, avem $2 \sqrt{a_{1}-1}+2 \cdot 2 \sqrt{a_{2}-4}+$ $\ldots+2 \cdot 2015 \sqrt{a_{2015}-2015^{2}}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2015}$, respectiv, folosind (a), $\left(\sqrt{a_{1}-1}-1\right)^{2}+\ldots+$ $\left(\sqrt{a_{2015}-2015^{2}}-2015\right)^{2}=0$, de unde $a_{1}=2 \cdot 1, a_{2015}=2 \cdot 2015^{2}$. (3p) + +(c) Analog (b), scriem relaţia dată sub forma $\left(\sqrt{a_{1}-1}-1\right)^{2}+\left(\sqrt{a_{2}-4}+2\right)^{2}+\ldots+\left(\sqrt{a_{2} 014-2014^{2}}+\right.$ $2014)^{2}+\left(\sqrt{a_{2015}-2015^{2}}-2015\right)^{2}=0$. + +Dar, cum $\sqrt{a_{2 k}-(2 k)^{2}}=-2 k$, pentru $k \in \mathbb{N}^{*}$ nu are soluţii în mulţimea numerelor reale, rezultă că nu există 2015 numere naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2015}$ care verifică relaţia dată. (2p) + +3. Determinati numerele naturale $\overline{a b}$ cu proprietatea c $\breve{a}\left[\overline{a, b}^{3}\right]=\overline{a b}$. Am notat $[x]$ partea întreagă a lui $x$. + +Soluţie. + +Scriem relaţia din enunţ sub forma $\left[\left(\frac{\overline{a b}}{10}\right)^{3}\right]=\overline{a b}$, iar din definiţia părţii întregi, avem $\overline{a b} \leqslant\left(\frac{\overline{a b}}{10}\right)^{3}<\overline{a b}+1$; $1000 \cdot \overline{a b} \leqslant \overline{a b}^{3}<1000 \cdot \overline{a b}+1000$. (1p) + +Notând $x=\overline{a b} \in N$, relaţia devine $1000 x \leqslant x^{3}<1000 x+1000$. + +Din $x^{3}-1000 x=x\left(x^{2}-1000\right) \geqslant 0$, avem $x^{2}-1000 \geqslant 0$ şi $x \geqslant 32$. (2p) + +În $x^{3}<1000 x+1000, x^{3}-1000 x-1000<0$, pentru $x=32$, avem $32 \cdot 24<1000$, adevărat. (2p) + +Pentru $x=33$, din aceeaşi relaţie obţinem $1937<0$, fals, deci valorile $x \geqslant 33$ nu pot fi soluţii. (2p) + +Rămâne $x=32$ soluţie unică. + +4. Fie piramida patrulateră regulată $V A B C D,\{O\}=A C \cap B D$ si $P, Q \in(V O)$. Dacă $\{E\}=A P \cap C V$, $\{F\}=C P \cap A V,\{S\}=B Q \cap D V$ şi $\{T\}=D Q \cap B V$. + +(a) Arătaţi că $E F \|(A B C)$. + +(b) Aflati $m(\widehat{E F, S T})$. + +(c) Aflaţi $m((S O T),(E F B))$. Soluţie. + +(a) În $\triangle V A C, V A \equiv V C \Longleftrightarrow \widehat{V A C} \equiv \widehat{V C A}$. (1) + +Din $V O \perp A C, A O \equiv O C, P \in(V O) \Longleftrightarrow \triangle A C P, P A \equiv P C$ sुi $\widehat{P A C} \equiv \widehat{P C A}$. (2) + +Din (1) şi (2), $\triangle A C F \equiv \triangle A C E$ (U.L.U) şi $A F \equiv C E$. Dar, $V A \equiv V C$, deci $\frac{A F}{V A}=\frac{C E}{V C}$. Conform reciprocei teoremei lui Thales găsim $E F \| A C$. Cum $A C \subset(A B C)$, avem $E F \|(A B C)$. (3p) + +(b) Analog (a), $S T \| B D$. + +Din $E F\|A C, S T\| B D$ şi $A C \perp B D$, rezultă $E F \perp S T$, deci $m(\widehat{E F, S T})=90^{\circ}$. (2p) + +(c) $\operatorname{Cum} S \in(V D), T \in(V B), O \in(B D)$, rezultă $(S O T)=(V B D)$. (3) + +Cum $A C \perp V O, A C \perp B D, V O, B D \subset(V B D)$, din $T 3 \perp$, rezultă $A C \perp(V B D)$. Dar, $E F \| A C$, deci $E F \perp(V B D)$. (2). + +Din (1) şi (2) rezultă $E F \perp(S O T)$. Dar $E F \subset(E F B)$ şi folosind (1), rezultă $(S O T) \perp(E F B)$, deci $m((S O T),(E F B))=90^{\circ}$. (3p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-539-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-539-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ec8bad5f9c950cf822480352ba1717e541cbfde --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-539-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,163 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a VII-a + +1. In triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$, avem $M$ mijlocul laturii $(B C), E$ mijlocul lui $(A M)$, iar $m \widehat{B} Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. Determinaţi numerele naturale nenule distincte $a, b, c, d$, care au simultan proprietăţile: + +(1) Exact trei din cele patru numere sunt prime; + +(2) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2018$. + +Soluţie. $2018=\mathcal{M} 4+2$, două numere sunt pare şi două impare, un număr este 2 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5985a68f469286ee400bg-1.jpg?height=57&width=1524&top_left_y=801&top_left_x=295) + +$2018=\mathcal{M} 3+2$, două numere sunt multipli de 3 şi două $\mathcal{M} 3 \pm 1$, un număr este 3 + +....................................................................................... 1 punct. + +Dacă $a Faza locală + +Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +1. Fie $a$ şi $b$ numere naturale nenule. + +(a) Dacă $7 \mid(2 a+5 b)$, arătaţi că $7 \mid(5 a+2 b)$. + +(b) Dacă $7 \mid(5 a+2 b)$, iar $a=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{2012}$, arătaţi că $b$ se divide prin 7 . + +(c) Aflaţi numerele naturale nenule $a$ şi $b$ pentru care $5 a+2 b$ este egal ce cel mai mare număr de două cifre divizibil cu 7 şi 5 . + +Dorina Bocu + +2. (a) Să se scrie numărul natural 12 ca diferenţă de pătrate perfecte de numere naturale nenule. + +(b) Să se atate că numărul $A=24 \cdot 2^{2 n-1}+12 \cdot 2^{2 n+2}+6 \cdot 2^{2 n-3}, n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ se poate scrie ca suma a două diferenţe de pătrate perfecte de numere naturale nenule. + +3. Un râu curge în linie dreaptă, trecând prin localităţile $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{2014}, A_{2015}$, astfel încât $A_{1} A_{3}=2 A_{1} A_{2}, A_{1} A_{4}=2 A_{1} A_{3}, A_{1} A_{5}=2 A_{1} A_{4}, \ldots, A_{1} A_{2015}=2 A_{1} A_{2014}$. Un drum drept, ce trece peste podul din oraşul $A_{2014}$, leagă două oraşe $B$ şi $C$, situate de o parte şi de alta a râului, egal depărtate de pod. + +(a) Dacă distanţa dintre localităţile $A_{1}$ şi $A_{2}$ este de $2 \mathrm{~km}$, aflaţi distanţa dintre $A_{4}$ şi $A_{8}$. + +(b) Comparaţi distanţa dintre $B$ şi $A_{1}$ cu distanţa dintre $C$ şi $A_{2015}$. + +Dorina Rapcea + +4. Fie $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2013}$ numere naturale nenule. Arătaţi că numărul + +$$ +A=2014^{\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2013}+a_{1}\right)}-6 +$$ + +are cel puţin trei divizori diferiţi de 1 . + +Gazeta Matematică 6-7-8/2014. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +## Clasa a VI-a + +1. Fie a şi b numere naturale nenule. + +(a) Dacă $7 \mid(2 a+5 b)$, arătaţi că $7 \mid(5 a+2 b)$. + +(b) Dacă $7 \mid(5 a+2 b)$, iar $a=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{2012}$, arătaţi că $b$ se divide prin 7 . + +(c) Aflaţi numerele naturale nenule a şi b pentru care $5 a+2 b$ este egal ce cel mai mare număr de două cifre divizibil cu 7 şi 5. + +Soluţie. + +(a) Din ipoteză, $7 \mid(2 a+5 b)$. Dar, $7 \mid(7 a+7 b)$, deci 7 va divide şi diferenţa celor două numere, adică $7 \mid(5 a+2 b)$. $\mathbf{( 2 p )}$ + +(b) $a$ conţine 2013 termeni care se pot grupa 3 câte 3 . + +$$ +\begin{aligned} +a & =\left(1+2+2^{2}\right)+2^{3} \cdot\left(1+2+2^{2}\right)+\ldots+2^{2010} \cdot\left(1+2+2^{2}\right) \\ +& =7 \cdot\left(1+2^{3}+\ldots+2^{2010}\right) \vdots 7 +\end{aligned} +$$ + +Deci $7 \mid a$, dar $7 \mid(5 a+2 b)$, rezultă $7 \mid 2 b$ şi $7 \mid b$. (2p) + +(c) $5 a+2 b=70 \Longrightarrow 5 a=2 \cdot(35-b) \Longrightarrow a=\frac{2 \cdot(35-b)}{5} \in \mathbb{N}^{*} \Longrightarrow(35-b): 5 \Longrightarrow b \in\{5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30\}$ $\Longrightarrow(a, b) \in\{(12,5) ;(10,10) ;(8,15) ;(6,20) ;(4,25) ;(2,30)\}$. (2p) + +2. + +(a) Să se scrie numărul natural 12 ca diferenţă de pătrate perfecte de numere naturale nenule. + +(b) Să se atate că numărul $A=24 \cdot 2^{2 n-1}+12 \cdot 2^{2 n+2}+6 \cdot 2^{2 n-3}, n \geqslant 2, n \in \mathbb{N}$ se poate scrie ca suma a doă diferenţe de pătrate perfecte de numere naturale nenule. + +## Soluţie. + +(a) $12=4 \cdot 3=4 \cdot(4-1)=4^{2}-4=4^{2}-2^{2}$. (2p) + +(b) + +$$ +\begin{aligned} +24 \cdot 2^{2 n-1} & =3 \cdot 2^{3} \cdot 2^{2 n-1}=(4-1) \cdot 2^{2 n+2}=2^{2} \cdot 2^{2 n+2}-2^{2 n+2} \\ +& =\left(2^{n+2}\right)^{2}-\left(2^{n+1}\right)^{2} \\ +12 \cdot 2^{2 n+2} & =3 \cdot 2^{2} \cdot 2^{2 n+2}=(4-1) \cdot 2^{2 n+4}=2^{2} \cdot 2^{2 n+4}-2^{2 n+4} \\ +& =\left(2^{n+3}\right)^{2}-\left(2^{n+2}\right)^{2} \\ +6 \cdot 2^{2 n-3} & =3 \cdot 2 \cdot 2^{2 n-3}=(4-1) \cdot 2^{2 n-2}=\left(2^{n}\right)^{2}-\left(2^{n-1}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +Rezultă $A=\left(2^{n+3}\right)^{2}-\left(2^{n+1}\right)^{2}+\left(2^{n}\right)^{2}-\left(2^{n-1}\right)^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b494d2c46493426c59c1g-2.jpg?height=45&width=1585&top_left_y=1985&top_left_x=247) +$A_{1} A_{3}=2 A_{1} A_{2}, A_{1} A_{4}=2 A_{1} A_{3}, A_{1} A_{5}=2 A_{1} A_{4}, \ldots, A_{1} A_{2015}=2 A_{1} A_{2014}$. + +Un drum drept, ce trece peste podul din oraşul $A_{2014}$, leagă două oraşe $B$ şi $C$, situate de o parte şi de alta a râului, egal depărtate de pod. + +(a) Dacă distanţa dintre localitătile $A_{1}$ şi $A_{2}$ este de $2 \mathrm{~km}$, aflaţi distanţa dintre $A_{4}$ si $A_{8}$. + +(b) Comparaţi distanţa dintre $B$ şi $A_{1}$ cu distanţa dintre $C$ şi $A_{2015}$. + +## Solutie. + +(a) + +$$ +\begin{aligned} +& A_{1} A_{2}=2 \mathrm{~km} \\ +& A_{1} A_{3}=2 A_{1} A_{2}=2 \cdot 2 \mathrm{~km}=4 \mathrm{~km} \\ +& A_{1} A_{4}=2 A_{1} A_{3}=2 \cdot 4 \mathrm{~km}=8 \mathrm{~km} \\ +& A_{1} A_{5}=2 A_{1} A_{4}=2 \cdot 8 \mathrm{~km}=16 \mathrm{~km} \\ +& A_{1} A_{6}=32 \mathrm{~km}, \quad A_{1} A_{7}=64 \mathrm{~km}, \quad A_{1} A_{8}=128 \mathrm{~km} .(\mathbf{2 p}) +\end{aligned} +$$ + +Atunci, $A_{4} A_{8}=A_{1} A_{8}-A_{1} A_{4}=128 \mathrm{~km}-8 \mathrm{~km}=120 \mathrm{~km}$. (1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b494d2c46493426c59c1g-3.jpg?height=69&width=1587&top_left_y=365&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b494d2c46493426c59c1g-3.jpg?height=57&width=1245&top_left_y=417&top_left_x=243) + +4. Fie $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2013}$ numere naturale nenule. Arătaţi că numărul + +$$ +A=2014^{\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2013}+a_{1}\right)}-6 +$$ + +are cel puţin trei divizori diferiţi de 1. + +## Soluţie. + +Din 2013 numere naturale, există cel puţin două care au aceeaşi paritate. (1p) + +Deci, în produsul $\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2013}+a_{1}\right)$ există cel puţin un factor par, deci $\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{2}+\right.$ $\left.a_{3}\right) \ldots\left(a_{2013}+a_{1}\right)=$ par. $(2 \mathbf{p})$ + +$U\left(2014^{2 p}\right)=U\left(2014^{2}\right)^{p}=(\ldots 6)^{p}=\ldots 6 \Longrightarrow U(A)=0 \Longrightarrow A: 2,5,10$, deci $A$ are cel puţin 3 divizori diferiţi de 1 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-541-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-541-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2574aa4afd8988714571343aa733c247d8f4067e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-541-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +1. Fie şirul de numere naturale $1,4,7, \ldots, 2014, \ldots$. + +(a) Să se cerceteze dacă numerele 826 şi 2466 sunt termeni ai şirului. + +(b) Să se determine numerele de trei cifre din şir care se măresc de şase ori dacă li se adaugă o cifră în faţă. + +Aurel Aldea + +2. (a) Determinaţi numărul natural $n$ pentru care $401 \cdot 401^{3} \cdot 401^{5} \cdot \ldots \cdot 401^{401}=401^{n^{2}}$. + +(b) Pentru $n$ determinat la punctul (a), aflaţi restul împărţirii numărului $a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100-31$ la $n$. + +(c) Pentru $n$ determinat la punctul (a), arătaţi că $n^{2015}$ se poate scrie ca suma a trei pătrate perfecte nenule. + +Dorina Bocu + +3. Aflaţi numerele naturale nenule $n \in \mathbb{N}^{*}$, pentru care suma $S=2^{n}+4^{n}+6^{n}+\ldots+1888^{n}$ nu este divizibilă cu 10 . + +Sorina Stoian + +4. Mulţimea numerelor naturale impare se împarte în submulţimi astfel: $\{1\},\{3,5\}$, $\{7,9,11\},\{13,15,17,19\}, \ldots$. + +(a) Aflaţi care este primul număr din cea de a 2014-a submulţime. + +(b) Există o submulţime de acest tip care începe cu 2013? Justificaţi răspunsul. + +Gazeta Matematică 10/2014. + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 28 februarie 2015
SOLUŢII - BAREME DE NOTARE + +## Clasa a V-a + +1. Fie şirul de numere naturale $1,4,7, \ldots, 2014, \ldots$. + +(a) Să se cerceteze dacă numerele 826 şi 2466 sunt termeni ai şirului. + +(b) Să se determine numerele de trei cifre din şir care se măresc de şase ori dacă li se adaugă o cifră ı̂n faţă. + +Soluţie. + +(a) Numerele din şir sunt de forma $3 k+1, k \in \mathbb{N}$. (1p) + +Cum $826=3 \cdot 275+1$, el face parte din şir, dar $2466=3 \cdot 821+3$ nu face parte din şir. (2pp) + +(b) Fie $\overline{a b c}$ numărul de 3 cifre căutat. Căutăm $\overline{d a b c}=6 \cdot \overline{a b c}$, adică $1000 \cdot d+\overline{a b c}=6 \cdot \overline{a b c}$. (1p) + +Rezultă $1000 \cdot d=5 \cdot \overline{a b c}, 200 \cdot d=\overline{a b c}, d \in\{1,2,3,4\}$ şi numerele corespunzătoare sunt $200,400,600$, 800. (2p) + +Doar 400 este termen al şirului. (1p) + +2. + +(a) Determinaţi numărul natural $n$ pentru care $401 \cdot 401^{3} \cdot 401^{5} \cdot \ldots \cdot 401^{401}=401^{n^{2}}$. + +(b) Pentru n determinat la punctul (a), aflaţi restul împărţirii numărului $a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100-31$ la n. + +(c) Pentru $n$ determinat la punctul (a), arătaţi că $n^{2015}$ se poate scrie ca suma a trei pătrate perfecte nenule. + +Soluţie. + +(a) $401 \cdot 401^{3} \cdot 401^{5} \cdot \ldots \cdot 401^{401}=401^{n^{2}} \Longleftrightarrow 401^{1+3+5+\ldots+401}=401^{n^{2}} \Longleftrightarrow 401^{201^{2}}=401^{n^{2}}, n^{2}=201^{2}$, $n=201$. (3p) + +(b) $a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100-31=201 \cdot k-201+170=201 \cdot c+170$, deci restul împărţirii lui $a$ la $n$ este 170. (2p) + +(c) $201^{2015}=201 \cdot 201^{2014}=(196+4+1) \cdot\left(201^{1007}\right)^{2}=\left(14 \cdot 201^{1007}\right)^{2}+\left(2 \cdot 201^{1007}\right)^{2}+\left(201^{1007}\right)^{2}$. + +3. Aflaţi numerele naturale nenule $n \in \mathbb{N}^{*}$, pentru care suma $S=2^{n}+4^{n}+6^{n}+\ldots+1888^{n} n u$ este divizibilă cu 10 . + +Soluţie. + +$$ +\begin{aligned} +& U\left(2^{n}\right)= \begin{cases}6, & n=4 k \quad k \in \mathbb{N}^{*} \\ +2, & n=4 k+1 \\ +4, & n=4 k+2 \\ +8, & n=4 k+3\end{cases} \\ +& U\left(4^{n}\right)= \begin{cases}6, & n=2 k \\ +4, & n=2 k+1 \quad k \in \mathbb{N}^{*} \\ +(\mathbf{1} \mathbf{p})\end{cases} \\ +& U\left(6^{n}\right)=6, \quad k \in \mathbb{N}^{*} \quad(\mathbf{1} \mathbf{p}) \\ +& U\left(8^{n}\right)= \begin{cases}6, & n=4 k \quad k \in \mathbb{N}^{*} \\ +8, & n=4 k+1 \\ +4, & n=4 k+2 \\ +2, & n=4 k+3\end{cases} +\end{aligned} +$$ + +Prin urmare, + +$$ +U(S)=U\left(2^{n}+4^{n}+6^{n}+8^{n}\right)= \begin{cases}4, & n=4 k \quad k \in \mathbb{N}^{*} \\ 0, & n=4 k+1 \\ 0, & n=4 k+2 \\ 0, & n=4 k=3\end{cases} +$$ + +Numerele căutate sunt de forma $n=4 k, k \in N^{*}$. + +4. Muļ̧imea numerelor naturale impare se împarte în submulţimi astfel: $\{1\},\{3,5\},\{7,9,11\},\{13,15,17,19\}$, + +(a) Aflaţi care este primul număr din cea de a 2014-a submulţime. + +(b) Există o submulţime de acest tip care începe cu 2013? Justificaţi răspunsul. + +## Soluţie. + +(a) $A_{1}=\{1\}$. $A_{2}=\{3,5\}$ suma elementelor mulţimii este $3+5=8=2^{3}$. + +$A_{3}=\{7,9,11\}$ suma elementelor mulţimii este $3^{3}, A_{4}=\{13,15,17,19\}$ suma elementelor mulţimii este $4^{3}$. (2p) + +Primul număr al mulţimii $A_{1}$ este $0 \cdot 1+1$, primul număr al mulţimii $A_{2}$ este $1 \cdot 2+1=3$, primul număr al mulţimii $A_{2}$ este $2 \cdot 3+1=7$, iar primul număr al mulţimii $A_{2014}$ este $2013 \cdot 2014+1$. (2p) + +(b) Primul număr al mulţimii $A_{n}$ este $(n-1) \cdot n=2 \cdot 2 \cdot 503=4 \cdot 503$ şi nu poate fi scris ca un produs de numere consecutive. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-542-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-542-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..222a5005e73e7ce9f4823168030e928c904bb6a2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-542-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,158 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 28 februarie 2015 + +## Clasa a IX-a + +1. Verificaţi că numărul $7^{20}-1$ este divizibil cu $10^{3}$ şi determinaţi ultimele trei cifre ale numărului $7^{2015}$. + +Marin Marin + +2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +[x+2015]-\left[\frac{5 x-2015}{2}\right]=\frac{x}{2}+2015 +$$ + +unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Ioana Maşca + +3. Fie $A B C$ un triunghi în care $(b+c) \overrightarrow{P A}+(c+a) \overrightarrow{P B}+(a+b) \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$, unde punctul $P \in\{O, I, G\}$. Demonstraţi că triunghiul $A B C$ este echilateral. (Notaţiile sunt cele uzuale). + +Gazeta Matematică - Supliment cu exerciţii, octombrie 2014. + +4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +\frac{x-a_{1}}{a_{2}+\ldots+a_{n}}+\frac{x-a_{2}}{a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{n}}+\ldots+\frac{x-a_{n}}{a_{1}+\ldots+a_{n-1}}=\frac{n x}{a_{1}+\ldots+a_{n}} +$$ + +unde $n \geq 2$ şi $a_{i}>0, i \in\{1,2, \cdots, n\}$. + +Florica Zubaşcu-Andreica + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 28 februarie 2015
SOLUTYI - BAREME DE NOTARE + +## Clasa a IX a + +1. Verificaţi că numărul $7^{20}-1$ este divizibil cu $10^{3}$ şi determinaţi ultimele trei cifre ale numărului $7^{2015}$. + +## Soluţie. + +Pentru $n \in \mathbb{N}$, notăm prin $\mathcal{M} n$ un multiplu natural al numărului $n$. Avem + +$$ +\begin{aligned} +7^{5} & =16807=\mathcal{M} 1000+807 \\ +7^{10} & =\left(7^{5}\right)^{2}=\mathcal{M} 1000+807^{2}=\mathcal{M} 1000+651249=\mathcal{M} 1000+249 \\ +7^{20} & =\left(7^{10}\right)^{2}=\mathcal{M} 1000+249^{2}=\mathcal{M} 1000+62001=\mathcal{M} 1000+1 +\end{aligned} +$$ + +Deci $7^{20}-1$ este divizibil cu $10^{3}$. (4p) + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +7^{2015} & =7^{2000} \cdot 7^{15}=\left(7^{20}\right)^{100} \cdot\left(7^{5}\right)^{3}=(\mathcal{M} 1000+1)^{100} \cdot(\mathcal{M} 1000+807)^{3} \\ +& =(\mathcal{M} 1000+1) \cdot(\mathcal{M} 1000+525557943)=(\mathcal{M} 1000+1) \cdot(\mathcal{M} 1000+943)=\mathcal{M} 1000+943 +\end{aligned} +$$ + +deci, ultimele trei cifre ale numărului $7^{2015}$ sunt 943 . (3p) + +2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $[x+2015]-\left[\frac{5 x-2015}{2}\right]=\frac{x}{2}+2015$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real a. + +## Soluţie. + +Dacă $x \in \mathbb{R}$ este o soluţie a ecuaţiei, atunci $\frac{x}{2} \in \mathbb{Z}$, deci $x=2 p, p \in \mathbb{Z}$. (2p) + +Atunci, $[x+2015]=2 p+2015,(2 p)$ + +$$ +\left[\frac{5 x-2015}{2}\right]=\left[\frac{5 \cdot 2 p-2016+1}{2}\right]=\left[5 p-1008+\frac{1}{2}\right]=5 p-1008 +$$ + +Înlocuind în ecuaţie, obţinem $p=252$, deci $x=504$. 1p + +3. Fie $A B C$ un triunghi in care $(b+c) \overrightarrow{P A}+(c+a) \overrightarrow{P B}+(a+b) \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$, unde punctul $P \in\{O, I, G\}$. Demonstraţi că triunghiul ABC este echilateral. (Notatiile sunt cele uzuale). + +## Solutie. + +Pentru un punct arbitrar $P$ din planul triunghiului $A B C$ au loc relaţile cunoscute (nu se cer demonstraţii): + +$$ +\begin{gathered} +\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=3 \overrightarrow{P G}, \quad(\mathbf{1} \mathbf{p}) \\ +\frac{a}{a+b+c} \overrightarrow{P A}+\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{P B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P I} +\end{gathered} +$$ + +Fie $P$ un punct din planul triunghiului $A B C$ cu proprietatea $(b+c) \overrightarrow{P A}+(c+a) \overrightarrow{P B}+(a+b) \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$, echivalentă $\mathrm{cu}$ + +$$ +\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\frac{a}{a+b+c} \overrightarrow{P A}+\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{P B}+\frac{c}{a+b+c} +$$ + +Conform relaţiile cunoscute menţionate anterior, ultima relaţie se transcrie: + +$$ +3 \overrightarrow{P G}=\overrightarrow{P I} +$$ + +1) Pentru $P=O$, avem $3 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O I}$. Dar $3 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O H}$. Atunci $\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O I}$. Rezultă $H=I$, deci triunghiul $A B C$ este echilateral. (1p) +2) Pentru $P=I$, avem $3 \overrightarrow{I G}=\overrightarrow{0}$. Rezultă $I=G$, deci triunghiul $A B C$ este echilateral. (1p) 3) Pentru $P=G$, avem $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{G I}$. Rezultă $I=G$, deci triunghiul $A B C$ este echilateral. (1p) +4. Rezolvaţi in mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +\frac{x-a_{1}}{a_{2}+\ldots+a_{n}}+\frac{x-a_{2}}{a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{n}}+\ldots+\frac{x-a_{n}}{a_{1}+\ldots+a_{n-1}}=\frac{n x}{a_{1}+\ldots+a_{n}} +$$ + +unde $n \geq 2$ şi $a_{i}>0, i \in\{1,2, \cdots, n\}$. + +Soluţie. + +Notăm $s=\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. Ecuaţia se transcrie + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{x-a_{i}}{s-a_{i}}=\frac{n x}{s} +$$ + +sau + +$$ +\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}}-\frac{n}{s}\right) x=\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s-a_{i}} +$$ + +Dar + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s-a_{i}}=s \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{s-a_{i}}-\frac{1}{s}\right)=s\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}}-\frac{n}{s}\right) +$$ + +deci ecuaţia devine + +$$ +\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}}-\frac{n}{s}\right) x=\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}}-\frac{n}{s}\right) s +$$ + +Din inegalitatea dintre media aritmetică şi şi media armonică, obţinem + +$$ +\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}}} \leq \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(s-a_{i}\right)}{n} +$$ + +de unde + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}} \geq \frac{n^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(s-a_{i}\right)}=\frac{n^{2}}{(n-1) s}>\frac{n}{s}, \text { deci } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{s-a_{i}}-\frac{n}{s} \neq 0 +$$ + +Rezultă că ecuaţia are soluţia unică $x=s$, adică $x=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. (1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-543-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-543-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f62502d17febe169a7c0c24da789a0939af62cd2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-543-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 28 februarie 2015 + +Clasa a VIII-a + +1. Se dau numerele $a=\sqrt{1+3+5+7+9+11}-\sqrt{1+3+5+7+9}$, $b=\sqrt{1+3+5+\ldots+4029}$ şi $c=\sqrt{1+3+5+\ldots+4027}$. Să se calculeze: +a) $a^{2015}$ +b) $(b-c)^{2015}$ +c) $(b+c)^{a-1}$ +2. Determinaţi numerele reale $x, y, z$ pentru care + +$$ +x+y+z-21=2 \sqrt{x-4}+4 \sqrt{y-9}+6 \sqrt{z-22} +$$ + +SGM nr. 11/2014 + +3. Fie trapezul $A B C D, A B \| C D, A B>C D, A D=D C=a \sqrt{2}$ şi $B C=A C=2 a$. Pe planul trapezului se ridică perpendiculara în $D$ pe care se ia punctul $M$ astfel încât $M D=a \sqrt{3}$. Să se calculeze: + +a) distanţa de la punctul $M$ la $A B$; + +b) aria triunghiului $M A B$; + +c) distanţa de la punctul $M$ la $A C$; + +d) măsura unghiului dintre planele (MAC) şi (ABC). + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Timp efectiv de lucru 2 ore. + + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 28 februarie 2015
Clasa a VIII-a
Barem de corectare + +1. Se dau numerele $a=\sqrt{1+3+5+7+9+11}-\sqrt{1+3+5+7+9}, b=\sqrt{1+3+5+\ldots+4029}$ ş $c=\sqrt{1+3+5+\ldots+4027}$. Să se calculeze: +a) $a^{2015}$ +b) $(b-c)^{2015}$ +c) $(b+c)^{a-1}$ + +## Soluţie: + +a) $1+3+5+7+9+11=1+2+3+4+\ldots+11-(2+4+\ldots+10)=\frac{11 \cdot 12}{2}-2 \cdot \frac{5 \cdot 6}{2}=6^{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ $1+3+5+7+9=1+2+3+4+\ldots+9-(2+4+\ldots+8)=5^{2}, a=\sqrt{6^{2}}-\sqrt{5^{2}}=6-5=1 \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_954bb18b226b938f15feg-2.jpg?height=60&width=1665&top_left_y=1255&top_left_x=184) +b) folosind a) obţinem $1+3+5+\ldots+4029=1+2+3+4+\ldots+4029-(2+4+\ldots+4028)=2015^{2}$, deci $b=\sqrt{2015^{2}}=2015$ $.1 \mathrm{p}$ analog $c=\sqrt{2014^{2}}=2014$ $1 \mathrm{p}$ + +$(b-c)^{2015}=1^{2015}=1$ $1 \mathrm{p}$ + +c) $(b+c)^{a-1}=4029^{0}=1$ $1 \mathrm{p}$ + +2. Determinaţi numerele reale $x, y, z$ pentru care + +$$ +x+y+z-21=2 \sqrt{x-4}+4 \sqrt{y-9}+6 \sqrt{z-22} +$$ + +Soluţie: + +căutăm pătratele perfecte care conţin cei trei radicali + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_954bb18b226b938f15feg-2.jpg?height=498&width=1691&top_left_y=2023&top_left_x=176) +$(y-9)-2 \cdot 2 \sqrt{y-9}+4=(\sqrt{y-9}-2)^{2}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$-4+1-9+4-22+9=-21$, obţinem sumă de pătrate perfecte egală cu zero $\Leftrightarrow$ fiecare pătrat este +$\Rightarrow \sqrt{x-4}=1, \sqrt{y-9}=2, \sqrt{z-22}=3$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\Rightarrow x-4=1, y-9=4, z-22=9$ ..... $1 p$ +$\Rightarrow x=5, \quad y=13, z=31$ ..... $1 p$ + +3. Fie trapezul $A B C D, A B \| C D, A B>C D, A D=D C=a \sqrt{2}$ şi $B C=A C=2 a$. Pe planul trapezului se ridică perpendiculara în $D$ pe care se ia punctul $M$ astfel încât $M D=a \sqrt{3}$. Să se calculeze: + +a) distanţa de la punctul $M$ la $A B$; + +b) aria triunghiului $M A B$; + +c) distanţa de la punctul $M$ la $A C$; + +d) măsura unghiului dintre planele (MAC) şi (ABC). + +## Soluţie: + +a) în $\triangle A D C$ aplicăm reciproca teoremei lui Pitagora şi obţinem triunghi dreptunghic în $\mathrm{D}$, deci trapezul este dreptunghic + +$.1 \mathrm{p}$ +$\triangle M A B$ este dreptunghic, obţinem $A=a^{2} \sqrt{10}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +c) fie $D P \perp A C, P \in[A C], A E C D$ pătrat $\Rightarrow D P=a$ ..... $1 p$ +din teorema celor trei perpendiculare obţinem $d(M, A C)=M P, M P=2 a$ ..... $1 p$ +d) unghiul căutat este $\Varangle M P D, \sin (\Varangle M P D)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $m(\Varangle M P D)=60^{\circ}$ ..... $.1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-544-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-544-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..041119f4a480ec00a79628eb368ee3859f846311 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-544-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,66 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-28.02.2015
Clasa a VII-a + +1. Se dau numerele: + +$$ +\begin{aligned} +& x=2 \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{2015 \cdot 2016}\right) \\ +& y=\left(\frac{1008}{3-\sqrt{2}}+\frac{2016}{4+\sqrt{2}}\right)^{-2} \cdot \frac{1008^{3}}{44-\sqrt{2015}} \\ +& z=\sqrt{\sqrt{2017} \cdot(\sqrt{2017}-\sqrt{2015})-\sqrt{2015} \cdot(\sqrt{2017}-\sqrt{2015})}-\sqrt{(44-\sqrt{2017})^{2}} +\end{aligned} +$$ + +Arătați că $x y z$ este număr natural. + +2. Fie $a, b, c, d, x, y, z, t$ numere reale astfel încât: + +$x=b c d+\frac{1}{a}, \quad y=a c d+\frac{1}{b}, \quad z=a b d+\frac{1}{c}, \quad t=a b c+\frac{1}{d}$ si $a x+b y+c z+d t=1$. + +Să se calculeze: abcd și xyzt. + +GM, Supliment cu exerciții, octombrie 2014 + +3. In triunghiul isoscel $\mathrm{ABC},[A B] \equiv[A C]$, iar $\mathrm{M}$ este mijlocul laturii $\mathrm{AB}$. Paralela prin $\mathrm{M}$ la înălțimea $\mathrm{AD}$ a triunghiului, intersectează dreapta $\mathrm{AC}$ în punctul $\mathrm{E}$. Dacă $\triangle \mathrm{AME}$ este echilateral, se cere să: + +a) Calculați măsurile unghiurilor triunghiului $\mathrm{ABC}$. + +b) Demonstrați că AEMD este romb. + +c) Arătați că $\mathrm{AE}=\frac{1}{3} \mathrm{CE}$. + +d) Arătaţi că $\mathrm{S}_{\mathrm{AEMD}}=\frac{1}{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{ABC}}$. + +## NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDET,EAN + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +FAZA LOCALĂ-28.02.2015 + +Clasa a VII-a + +Barem de corectare + +| 1 | $\mathrm{x}=2 \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\right)$
$\mathrm{x}=\frac{2015}{1008}$ | 1 punct
1 punct | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\mathrm{y}=\left(\frac{1008}{3-\sqrt{2}}+\frac{2016}{4+\sqrt{2}}\right)^{-2} \cdot \frac{1008^{\mathrm{s}}}{44-\sqrt{2015}}=\frac{1008}{44-\sqrt{2015}}$ | 2 puncte | +| | $\mathrm{z}=44-\sqrt{2015}$ | 2 puncte | +| | $x y z=2015 \in N$ | 1 punct | +| 2 | $\mathrm{ax}=\mathrm{abcd}+1$
$\mathrm{by}=\mathrm{abcd}+1$
$\mathrm{cz}=\mathrm{abcd}+1$
$\mathrm{dt}=\mathrm{abcd}+1$ | 2 puncte | +| | 4abcd=ax+by+cz+dt-4 | 1 punct | +| | $a b c d=-\frac{3}{4}$ | 1 punct | +| | abcdxyzt $=(a b c d+1)^{4}$ | 2 puncte | +| | xyzt $=-\frac{1}{192}$ | 1 punct | +| 3 | Desenul | 1 punct | +| | a) $m(\angle A)=120^{\circ} ; m(\angle B)=m(\angle C)=30^{\circ}$ | 1 punct | +| | b) D mijlocul laturii
BC,[MD]linie mijlocie în triunghiul $A B C$
justificarea faptului că AEMD este romb | 1 punct | +| | | 1 punct | +| | c) $\mathrm{AE}=\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2} A C$
$\mathrm{CE}=\mathrm{AE}+\mathrm{AC}=\mathrm{AE}+2 \mathrm{AE}=3 \mathrm{AE}$ | 1 punct | +| | | 1 punct | +| | d) $\mathrm{S}_{\mathrm{AEMD}}=2 \mathrm{~S}_{\mathrm{ADM}}=\mathrm{S}_{\mathrm{ADB}}=\frac{1}{2} \mathrm{~S}_{\mathrm{ABC}}$ | 1 punct | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-545-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-545-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5bb0ebce246f74949f679c9df071d30f709302c8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-545-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,110 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-28.02.2015
Clasa a VI-a + +## Subiectul I + +Determinaţi numerele naturale a şi b ştiind că sunt mai mari decât 30 , au produsul egal cu 3888 şi cel mai mare divizor comun al lor este 18. + +## Subiectul II + +a) Scrieţi ca fracţie ireductibilă suma: $S=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+\ldots+2015}$. + +b) Arătaţi că: $\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\cdots+\frac{1}{2+4+6+\cdots+4028}\right)=\frac{1}{2015}$ + +## Subiectul III + +Dreptele $A B$ şi $C D$ se intersectează în punctul $O$, iar $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOD})<90^{\circ}$. + +Fie [OM, [ON şi [OP bisectoarele interioare unghiurilor $\Varangle A O D, \Varangle M O B$ şi respectiv $\Varangle N O C$. + +a) Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOD})=82^{\circ}$, să se determine măsurile unghiurilor: $\Varangle M O B, \Varangle N O C$ şi $\Varangle N O P$. + +b) Dacă $m(\Varangle M O P)=139^{\circ}$, să se determine măsura unghiului $×$ AOD. + +## NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALÄ-28.02.2015
Clasa a VI-a
Barem de corectare + +## Subiectul I + +Determinaţi numerele naturale a şi b ştiind că sunt mai mari decât 30 , au produsul egal cu 3888 şi cel mai mare divizor comun al lor este 18 . + +## Soluție si barem de corectare: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_66b8edc299071187ed96g-2.jpg?height=266&width=1285&top_left_y=862&top_left_x=233) + +Din $(a ; b)=18$ rezultă $a=18 x ; b=18 y ;(x ; y)=1$ $2 \mathrm{p}$ + +$18 x \cdot 18 y=3888$ rezultă $x y=12$ + +$.1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_66b8edc299071187ed96g-2.jpg?height=49&width=1263&top_left_y=973&top_left_x=239) + +$(x ; y) \in\{((3 ; 4),(4 ; 3)\}$........................................................................ 2 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_66b8edc299071187ed96g-2.jpg?height=56&width=1258&top_left_y=1067&top_left_x=241) + +## Subiectul II + +a) Scrieţi ca o fracţie ireductibilă suma : $S=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+\cdots+2015}$ + +b) Arătaţi că: $\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\cdots+\frac{1}{2+4+6+\cdots+4028}\right)=\frac{1}{2015}$ + +Solutie și barem de corectare: +a) $S=\frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2}}+\frac{1}{\frac{3 \cdot 4}{2}}+\ldots+\frac{1}{\frac{2015 \cdot 2016}{2}}$ $.1 \mathrm{p}$ + +$S=2\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{2015 \cdot 2016}\right)$ $.1 \mathrm{p}$ $\mathrm{S}=\frac{2014}{2016}=\frac{1007}{1008}$. $.1 \mathrm{p}$ +b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}=\frac{2}{3}$ $1 \mathrm{P}$ + +$\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}=\frac{3}{4}$ + +$\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\cdots+\frac{1}{2+4+6+\cdots+4028}=\frac{2014}{2015}$ $.1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{S}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2014}{2015}=\frac{1}{2015}$.... $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul III + +Dreptele $A B$ şi $C D$ se intersectează în punctul $O$, iar m( $\Varangle \mathrm{AOD})<90^{\circ}$. + +Fie [OM, [ON şi [OP bisectoarele interioare unghiurilor $\Varangle A O D, \Varangle M O B$ şi respectiv $\Varangle N O C$. + +a) Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOD})=82^{\circ}$, să se determine măsurile unghiurilor $\Varangle M O B, \Varangle N O C$ şi $\Varangle N O P$. + +b) Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOP})=139^{\circ}$, să se determine măsura unghiului $\Varangle$ AOD. + +Soluție și barem de corectare: + +a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_66b8edc299071187ed96g-3.jpg?height=775&width=1005&top_left_y=846&top_left_x=343) + +$$ +\begin{aligned} +& {\left[O M \text { bisectoarea } \Varangle A O D=>\mathrm{m}(\Varangle M O D)=\mathrm{m}(\Varangle M O A)=41^{\circ}\right. \text { şi }} \\ +& \mathrm{m}(\Varangle M O B)=180^{\circ}-m(\Varangle A O M)=139^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +b) + +Fie $\mathrm{m}(\Varangle A O D)=\mathrm{x}$ + +$\mathrm{m}(\Varangle M O N)=\mathrm{m}(\Varangle N O B)=90^{\circ}-\frac{x}{4}$. + +$\mathrm{m}\left((\Varangle \mathrm{NOP})=45^{\circ}+\frac{3 x}{8}\right.$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOP})=\mathrm{m}(\Varangle N O P)+\mathrm{m}(\Varangle M O N)$ + +$45^{\circ}+\frac{3 x}{8}+90^{\circ}-\frac{x}{4}=139^{\circ}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +$x=32^{\circ}$ rezultă $\mathrm{m}(\Varangle A O D)=32^{\circ}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-546-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-546-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..131b155c08a216038f7bc1052d5ca8419a17f122 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-546-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,126 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ- Clasa a V-a + +28 februarie 2015 + +1. La un concurs se dau 30 de probleme. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scad 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obținut 118 puncte ? +2. Se consideră 5 numere naturale cu media aritmetică egală cu 24. Împărțind pe rând primul număr la suma dintre al doilea și al treilea, apoi al doilea număr la suma dintre al treilea și al patrulea, iar la final pe al treilea la suma dintre al patrulea și al cincilea se obține de fiecare dată câtul 2 și restul 1. Știind că ultimele două numere sunt consecutive, aflați numerele. + +G.M. Supliment cu exerciții + +Martie 2014; S:E 14.84 + +3. Se dau mulțimile $A, B, C, D$ cu proprietatea că sunt disjuncte oricare două între ele, oricare trei între ele și toate patru, astfel încât + +card $A=a^{5 n+3}$, card $B=a^{5 n+2}$, card $C=a^{5 n+1}, \operatorname{card} D=a^{5 n}, a, n \in$ $\boldsymbol{N}^{*}$ + +Să se demonstreze că $\operatorname{card}(A \cup B \cup C \cup D)+4$ este număr par. + +NOTĂ: + +- Timp de lucru 2 ore; +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect se notează cu maxim 7 puncte. + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ-28.02.2015
Clasa a V-a
Barem de corectare + +1. La un concurs se dau $\mathbf{3 0}$ de probleme. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greşit se scad 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obținut 118 puncte ? + +## Solutie si Barem de corectare: + +Presupunem că elevul a răspuns corect la toate întrebările .......................................... $1 \mathrm{p}$ + +a) Câte puncte ar fi obținut presupunerii? + +$30 \cdot 5=150$ de puncte + +b) Care este diferența dintre punctajul obținut și cel real? + +$150-118=32$ de puncte $1 \mathrm{p}$ + +c) Care este plusul de puncte acordat pentru un răspuns greșit? + +$3+5=8$ puncte + +.............................................................................. + +d) Care este numărul de răspunsuri greșite? + +$32: 8=4$ răspunsuri greșite + +$1 p$ + +e) Care este numărul de răspunsuri corecte? + +$30-4=26$ + +...............................................................................1p + +Verificare : $26 \cdot 5-4 \cdot 3=130-12=118$ puncte + +$1 \mathrm{p}$ + +2. Se consideră 5 numere naturale cu media aritmetică egală cu 24. Împărțind pe rând primul număr la suma dintre al doilea și al treilea, apoi al doilea număr la suma dintre al treilea și al patrulea, iar la final pe al treilea la suma dintre al patrulea și al cincilea se obține de fiecare dată câtul 2 și restul 1. Știind că ultimele două numere sunt consecutive, aflați numerele. + +## Solutie si Barem de corectare: + +Notăm primul număr cu "x" , al doilea număr cu " $y$ ", al treilea cu "z" , al patrulea cu " $t$ ", al cincilea cu " $u$ ". + +Avem $x+y+z+t+u=$ + +120 .. $(0,5 p)$ + +$x:(y+z)=2$ rest $1 ; y:(z+t)=2$ rest $1 ; z:(t+u)=2$ rest 1 . + +(1p) + +Folosim Teorema împărțirii cu rest: $D=\hat{\mathrm{I}} \cdot C+R, 0 \leq R<\hat{\mathrm{I}}$ + +``` +x=2\cdot(y+z)+1,y=2\cdot(z+t)+1,z=2\cdot(t+u)+1,u=t+ +1.........................(1p) +z=2\cdot(t+t+1)+1=2\cdot(2t+1)+1=4t+3=>z=4t+3 +..............................0,5p) + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4bb39e7e58fc67ca0d2ag-3.jpg?height=57&width=1143&top_left_y=451&top_left_x=231) + +``` +7. +(0,5p) +x = 2y+2z+1=2\cdot(10t+7)+2z+1=20t+15+2z=>x=20t+2\cdot(4t+3)+ +15=20t+8t+6+15=28t+21=>x=28t+ +21 +(0,5p) +x+y+z+t+u=120\Leftrightarrow28t+21+10t+7+4t+3+t+t+1= +120 +.0,5p) +44t+32=120\Leftrightarrow44t=120-32\Leftrightarrow44t=88\Leftrightarrowt= +2... +(0,5p) + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4bb39e7e58fc67ca0d2ag-3.jpg?height=51&width=973&top_left_y=974&top_left_x=233) + +``` +11 +(1p) +y=10t+7=10\cdot2+7=27=>y=27;x=28t+21=56+21=77=>x= +77.... +(1p) +``` + +3. Se dau mulțimile $A, B, C, D$ cu proprietatea că sunt disjuncte oricare două între ele, oricare trei între ele și toate patru, astfel încât card $A=a^{5 n+3}, \operatorname{card} B=a^{5 n+2}, \operatorname{card} C=a^{5 n+1}, \operatorname{card} D=a^{5 n}, a, n \in N^{*}$. Să se demonstreze că card $(A \cup B \cup C \cup D)+4$ este număr par. + +## Solutie si Barem de corectare: + +Deoarece $A \cap B=\emptyset, A \cap C=\emptyset, A \cap D=\emptyset, B \cap C=\emptyset, B \cap D=\emptyset, C \cap D=\emptyset, A \cap$ $B \cap C=\emptyset, A \cap B \cap D=\emptyset, A \cap C \cap D=\emptyset, B \cap C \cap D=\emptyset, A \cap B \cap C \cap D=$ $\emptyset$ + +Rezultă: $\operatorname{card}(A \cup B \cup C \cup D)=\operatorname{card} A+\operatorname{card} B+\operatorname{card} C+\operatorname{card} D=a^{5 n+3}+a^{5 n+2}+$ $a^{5 n+1}+a^{5 n}=a^{5 n+2} \cdot(a+1)+a^{5 n} \cdot(a+1)=(a+1)\left(a^{5 n+2}+a^{5 n}\right)=(a+1) \cdot a^{5 n}$. $\left(a^{2}+1\right)=a(a+1) \cdot a^{5 n-1} \cdot\left(a^{2}+1\right)=$ par, pentru că $a(a+$ + +1)este număr par. + +Rezultă că, $\operatorname{card}(A \cup B \cup C \cup D)+$ 4 este număr par + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-547-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-547-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..829804a3ee4c2565e2b642c6437d75b9c40a8e68 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-547-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,110 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală- 28 februarie 2015
CLASA a IV - a + +## SUBIECTUL I + +Fie a şi b două numere naturale, unde: + +$a=(73 \times 9-318-777: 3)+796-63 \times 10 ;$ + +$6-5:[4-3:(2-2: b)]=1$ + +Calculează diferenţa dintre produsul şi suma celor două numere. + +## SUBIECTUL II + +E 1 Martie! + +Matei pleacă la piaţă си 76 de lei să cumpere trei buchete de flori:unul de frezii, unul de lalele şi unul de zambile. + +Aflaţi preţul fiecărui buchet, ştiind că buchetul de lalele costă cu 8 lei mai mult decât buchetul de frezii, iar freziile împreună cu lalelele costă cu 12 lei mai mult decât zambilele. + +## SUBIECTUL III + +Află toate numerele de forma abc, care verifică egalitatea: + +$$ +(a-5) \times(b+2) \times(c-1)=12 +$$ + +G. M. NR.43, IANUARIE 2015 + +NOTĂ: + +Timp de lucu 2 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează cu maxim 7 p. + +FAZA LOCALĂ-28.02.2015 + +Clasa a IV-a + +Barem de corectare + +## SUBIECTUL I + +$$ +\begin{aligned} +& a=(73 \times 9-318-777: 3)+796-63 \times 10 \\ +& =(657-318-259)+796-630 \\ +& =(339-259)+796-630 \\ +& =80+796-630 \\ +& =876-630 \\ +& =246 \\ +& a=246 \\ +& b=2 +\end{aligned} +$$ + +R: 244 + +## SUBIECTUL II + +1.Reprezentare grafică: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fa3bcf02d4eb57fa0d0g-3.jpg?height=428&width=1148&top_left_y=431&top_left_x=228) + +2. Egalarea părţilor: +3. Numărul părţilor egale: + +$$ +1+1+2=4 +$$ + +4. Preţul buchetului de frezii: + +$72: 4$ = 18( lei ) + +5. Preţul buchetului de lalele: + +$$ +18+8=26 \text { ( lei) } +$$ + +$$ +18 \times 2-4=32 \text { ( lei ) } \quad \text { sau } \quad 18+26-12=32 \text { ( lei ) } +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fa3bcf02d4eb57fa0d0g-3.jpg?height=219&width=789&top_left_y=2086&top_left_x=733) + +32 lei - buchetul de frezii + +## SUBIECTUL III + +Valorile celor trei factori: + +| I. | $a-5$ | $b+2$ | $\mathrm{c}-1$ | $a=6, b=2, c=4$ | $\overline{\mathrm{abc}}=624$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| | 1 | 4 | 3 | | | | +| | 4 | 3 | 1 | $a=9, \quad b=1, c=2$ | $\overline{a b c}=912$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | 3 | 4 | 1 | $a=8, \quad b=2, c=2$ | $\overline{\mathrm{abc}}=822$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | 1 | 3 | 4 | $\mathrm{a}=6, \quad \mathrm{~b}=1, \mathrm{c}=5$ | $\overline{\mathrm{abc}}=615$ | $1 \mathrm{p}$ | +| II. | 2 | 6 | 1 | $a=7, b=4, c=2$ | $\overline{\mathrm{abc}}=742$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | 1 | 6 | 2 | $a=6, b=4, c=3$ | $\overline{\mathrm{abc}}=643$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | 1 | 2 | 6 | $\mathrm{a}=6, \quad b=0, c=7$ | $\overline{\mathrm{abc}}=607$ | $1 \mathrm{p}$ | + +R : 624, 912, 822, 615, 742, 643, 607; + +Total: $\quad 7 \mathbf{P}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-548-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-548-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4132a2415f8cf8ba97cca73560cb9b4ae9082a4b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-548-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,83 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A XII-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + + Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore.1. Să se calculeze: $\int \frac{1}{2+\sin x} d x, x \in[0,2 \pi]$. + +O.L. Galați , 2014 + +2. Să se determine funcțiile derivabile $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care au proprietatea că funcția $f+3 g$ este o primitivă a funcției $2 f-g$ și funcția $5 f-6 g$ este o primitivă a funcției $10 f+2 g$. + +$$ +\text { Petre Todor , Sebeș ( G.M. 6-7-8 /2014) } +$$ + +3. Fie o funcție bijectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $q \in \mathbb{R}$ cu $f(q)=2$. Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție ,,*" prin $a * b=f\left(f^{-1}(a)+f^{-1}(b)-q\right),(\forall) a, b \in \mathbb{R}$. + +a) Determinați elementul neutru al legii de compoziție și simetricul lui $a \in \mathbb{R}$ în raport cu legea ,,*"; + +b) Pentru $f(x)=x^{3}$, rezolvați ecuația $x^{2} * x=(6-q)^{3}$. + +4. Se consideră funcția $f_{a}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f_{a}(x, y)=\left(x+a y+\frac{a^{2}}{2}, y+a\right)$. Dacă $\quad G=\left\{f_{a} \mid a \in \mathbb{R}\right\}$ arătați că : + +a) ( $G$,o) este grup, unde ,,o" este operația de compunere a funcțiilor; +b) $(G, \circ) \simeq(\mathbb{R},+)$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A XII-A + +## SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| $f$ continuă pe $[0,2 \pi] \Rightarrow f$ admite primitive pe $[0,2 \pi] \ldots . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_23952a7ec39a911b706bg-2.jpg?height=283&width=1567&top_left_y=1002&top_left_x=185) | 3р | +| Atunci $:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\left\{\begin{array}{c}G(x), x \in[0, \pi) \\ c_{1}, x=\pi \\ G(x)+c_{2}, x \in(\pi, 2 \pi]\end{array}\right.$ e o primitivă a lui $f$ pe $[0,2 \pi] \ldots \ldots . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| F continuă în $x=\pi \Leftrightarrow \underset{x<\pi}{\lim x \rightarrow \pi} F(x)=\underset{x>\pi}{\lim x \rightarrow \pi} F(x)=F(\pi)$, deci $c_{1}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}, c_{2}=\frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \ldots \ldots \ldots \ldots$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Deci $F(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}, x \in[0, \pi) \\ \frac{\pi}{\sqrt{3}}, x=\pi \\ \frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}+\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}, x \in(\pi, 2 \pi]\end{array}\right.$ sii $\int \frac{1}{2+\sin x} d x=F(x)+C, x \in[0,2 \pi] \ldots \ldots .$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Din ipoteză $\Rightarrow f^{\prime}+3 g^{\prime}=2 f-g$ și $5 f^{\prime}-6 g^{\prime}=10 f+2 g$........................................................ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_23952a7ec39a911b706bg-2.jpg?height=74&width=1576&top_left_y=2144&top_left_x=187) | $1 \mathrm{p}$ | +| adică $\left(f(x) \cdot e^{-2 x}\right)^{\prime}=0,(\forall) x \in \mathbb{R}$.................................................................................................. | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow f(x)=c_{1} \cdot e^{2 x}, c_{1} \in \mathbb{R}$ constantă arbitrară ............................................................................. | $1 \mathrm{p}$ | +| Tot din ipoteză deducem că $-3 g^{\prime}(x)=g(x)$............................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| care se scrie $\left(g(x) \cdot e^{\frac{x}{3}}\right)^{\prime}=0,(\forall)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow g(x)=$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Fie $e \in \mathbb{R}$ element neutru $\Rightarrow f\left(f^{-1}(a)+f^{-1}(e)-q\right)=a,(\forall) a \in \mathbb{R} \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Se compune cu $f^{-1}$ și rezultă $f^{-1}(e)=q \Rightarrow e=f(q)=2$....................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Fie $a^{\prime}$ simetricul lui $a \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left(f^{-1}(a)+f^{-1}\left(a^{\prime}\right)-q\right)=2=f(q)$ și din injectivitate | | +| Avem $f^{-1}(a)+f^{-1}\left(a^{\prime}\right)-q=q$, deci $a^{\prime}=f\left(2 q-f^{-1}(a)\right) \ldots .$. | 2p | +| b) $f(x)=x^{3} \Rightarrow a * b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-q)^{3}$.. | $1 \mathrm{p}$ | +| ............................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Mulțimea soluțiilor este $S=\{-27,8\} \ldots . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_23952a7ec39a911b706bg-3.jpg?height=92&width=1548&top_left_y=1309&top_left_x=189) | $1 \mathrm{p}$ | +| Asociativitatea .................................................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Element neutru $f_{0}(x, y)=(x, y)$............................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_23952a7ec39a911b706bg-3.jpg?height=92&width=1548&top_left_y=1564&top_left_x=189) | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Fie $\varphi: G \rightarrow \mathbb{R}, \varphi\left(f_{a}\right)=a, a \in \mathbb{R}$...................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Atunci $\varphi\left(f_{a}{ }^{\circ} f_{b}\right)=\varphi\left(f_{a+b}\right)=a+b=\varphi\left(f_{a}\right)+\varphi\left(f_{b}\right) \Rightarrow \varphi$ morfism...................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_23952a7ec39a911b706bg-3.jpg?height=283&width=1548&top_left_y=1828&top_left_x=189) | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-549-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-549-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d02e4344d34dc5fe6e7668acc5254694f00b004 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-549-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A XI-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Se consideră mulțimea de matrice $M=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}2-x & x-1 \\ 2-2 x & 2 x-1\end{array}\right) \right\rvert\, x \in \mathbb{R}^{*}\right\}$. + +a) Să se arate că dacă $A, B \in M$, atunci $A^{2} \cdot B^{2} \in M$; + +b) Există matrice $A \in M$ astfel încât $A^{2015}=-I_{2}$ ? Justificați răspunsul . + +Manual clasa a-XI-a , Editura Carminis + +2. Considerăm șirul de numere reale $\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin $u_{0}=\frac{11}{4}$ și $u_{n+1}=\frac{5}{2}+\sqrt{u_{n}-\frac{7}{4}}$. Arătaţi că șirul este convergent și calculați limita sa . + +Gazeta Matematică + +3. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{Q})$ astfel încât $A B=B A, \operatorname{det}(A)=-3$ și $\operatorname{det}(A+\sqrt{3} B)=0$. Calculați $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)$. + +Olimpiada locală, Constanța 2014 + +4. Fie $a, b \in \mathbb{R}, a \geq-2$. Să se determine pentru ce valori ale constantelor $a, b$ avem $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+x+a}-b}{x^{2}+2 x-3}=\frac{3}{16}$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A XI-A SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2-x & x-1 \\ 2-2 x & 2 x-1\end{array}\right), x \neq 0 \Rightarrow A^{2}=A$........................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-2.jpg?height=110&width=1567&top_left_y=961&top_left_x=185) | 1p | +| $\Rightarrow A^{2} \cdot B^{2}=\left(\begin{array}{cc}2-x y & x y-1 \\ 2-2 x y & 2 x y-1\end{array}\right), x y \neq 0 \Rightarrow A^{2} \cdot B^{2} \in M$.......................................................... | 2p | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-2.jpg?height=74&width=1567&top_left_y=1188&top_left_x=185) | $1 \mathrm{p}$ | +| $A^{2015}=A=\left(\begin{array}{cc}2-x & x-1 \\ 2-2 x & 2 x-1\end{array}\right)=-I_{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\left\{\begin{array}{c}2-x=-1 \\ x-1=0\end{array}\right.$ contradicție! deci nu există $A \in M$ cu pr | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-2.jpg?height=411&width=1567&top_left_y=1666&top_left_x=185) | 2p | +| Mărginire :
Presupune $u_{k}<4,(\forall) k \in \mathbb{N}, 0 \leq k \leq n \Rightarrow u_{n+1}=\frac{5}{2}+\sqrt{u_{n}-\frac{7}{4}}<\frac{5}{2}+\sqrt{4-\frac{7}{4}}=4$ deci
$\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}$ este mărginit superior de 4 ............................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce că $\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent și $u_{n} \rightarrow l>\frac{11}{4}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Din relația de recurență rezultă $l=\frac{5}{2}+\sqrt{l-\frac{7}{4}} \ldots \ldots .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-2.jpg?height=111&width=1567&top_left_y=2576&top_left_x=185) | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-3.jpg?height=74&width=1567&top_left_y=485&top_left_x=190) | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-3.jpg?height=74&width=1567&top_left_y=558&top_left_x=190) | $1 \mathrm{p}$ | +| $P(\sqrt{3})=3 \operatorname{det}(B)+\alpha \sqrt{3}-3=0(1) \Rightarrow \alpha \sqrt{3}=3-3 \operatorname{det}(B)$ sii cum $\alpha, \operatorname{det}(B) \in \mathbb{Q}$
rezultă că $\alpha=0$......................................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-3.jpg?height=92&width=1567&top_left_y=767&top_left_x=190) | $1 \mathrm{p}$ | +| Fie $\varepsilon=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varepsilon^{3}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-3.jpg?height=74&width=1567&top_left_y=995&top_left_x=190) | $1 \mathrm{p}$ | +| $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)=P(\varepsilon) \cdot P\left(\varepsilon^{2}\right)=\left(\varepsilon^{2}-3\right) \cdot(\varepsilon-3)=13$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Fie $L=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+x+a}-b}{x^{2}+2 x-3}$. Dacă $\sqrt{a+2} \neq b \Rightarrow L \in\{-\infty, \infty\}$............................... | $1 \mathrm{p}$ | +| Deci $b=\sqrt{a+2}$ rezultă că
$L=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+x+a}-\sqrt{a+2}}{x^{2}+2 x-3}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+2 x-3} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+a}+\sqrt{a+2}}=\frac{1}{2 \sqrt{a+2}} \cdot \frac{3}{4}$. | $4 p$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-3.jpg?height=129&width=1549&top_left_y=1721&top_left_x=185) | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bf3897e7ddbf36cc1b7g-3.jpg?height=69&width=1549&top_left_y=1849&top_left_x=185) | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-55-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VI-onm_2018_clasa_vi.md b/Romania_Olympiad/md/ro-55-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VI-onm_2018_clasa_vi.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..24a8f77c37bbd9543d0ab50c24e2fa5de780340e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-55-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VI-onm_2018_clasa_vi.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Negreşti Oaş, 4 aprilie 2018 SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VI-a + +Problema 1. Arătaţi că există o infinitate de numere naturale $a$ şi $b$ care verifică egalitatea + +$$ +a \cdot(a, b)=b+[a, b] +$$ + +unde cu $(a, b)$ am notat cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ şi $b$ şi cu $[a, b]$ am notat cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ şi $b$. + +Soluţie. Dacă $(a, b)=d$ şi $[a, b]=m$, atunci $a=a_{1} \cdot d, b=b_{1} \cdot d$ şi $m=a_{1} \cdot b_{1} \cdot d$, unde + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4cd831c168c241f0b35fg-1.jpg?height=63&width=1795&top_left_y=711&top_left_x=176) + +Deci $a_{1} \cdot d \cdot d=b_{1} \cdot d+a_{1} \cdot b_{1} \cdot d$, adică $a_{1} \cdot d=b_{1}+a_{1} \cdot b_{1}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$. $2 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4cd831c168c241f0b35fg-1.jpg?height=52&width=1732&top_left_y=814&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4cd831c168c241f0b35fg-1.jpg?height=52&width=1729&top_left_y=863&top_left_x=239) + +Pentru orice număr natural $b_{1}$, obţinem o pereche de numere naturale cu proprietatea din enunţ, deci sunt o infinitate de astfel de numere. ..............................................................1p + +Problema 2. Se consideră segmentele congruente $A B, B C$ şi $A D$, unde $D \in(B C)$. Arătaţi că mediatoarea segmentului $D C$, bisectoarea unghiului $\widehat{A D C}$ şi dreapta $A C$ sunt concurente. + +## Soluţie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4cd831c168c241f0b35fg-1.jpg?height=475&width=501&top_left_y=1237&top_left_x=823) + +Fie $F$ mijlocul segmentului $D C$ şi $E$ intersecţia bisectoarei unghiului $\widehat{A D C}$ şi a mediatoarei segmentului $D C$. + +În triunghiul isoscel $D E C$ avem $\widehat{E D C} \equiv \widehat{D C E}$. Pe de altă parte $\widehat{E D C} \equiv \widehat{A D E}, D E$ fiind bisectoarea unghiului $\widehat{A D C}$. + +Astfel în triunghiul isoscel $A B D$ avem $m(\overline{A B D})=m(\overline{A D B})=180^{\circ}-2 \cdot m(\overline{A D E}) \ldots \ldots .2$ 2p + +Deci în triunghiul isoscel $A B C$ măsurile unghiurilor congruente sunt $m(\widehat{B A C})=m(\widehat{A C B})=$ $\frac{180^{\circ}-m(\widehat{A B C})}{2}=m(\widehat{E C D})$. $2 p$ + +Deci $m(\widehat{A C B})=m(\widehat{E C D})$, de unde punctele $A, E$ şi $C$ sunt coliniare, adică dreptele din cerinţă sunt concurente. + +$1 p$ + +Problema 3. Fie numerele naturale $a \neq 0, b=2 a+1000, c=a+1$ şi $d=2 a+1002$. + +a) Arătaţi că $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$. + +b) Pentru $a=9$, determinaţi cel mai mic număr natural $n$ pentru care $\frac{a+n}{b+n}>\frac{c+n}{d+n}$. + +## Soluţie. + +a) $\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{a+1}{2 a+1002}-\frac{a}{2 a+1000}=\frac{1000}{(2 a+1002)(2 a+1000)}>0$ de unde rezultă concluzia. 3p +b) $\frac{a+n}{b+n}-\frac{c+n}{b+n}=\frac{9+n}{1018+n}-\frac{10+n}{1020+n}=\frac{n-1000}{(1018+n)(1020+n)}>0$, rezultă $n>1000$, iar cel mai mic număr natural cu această proprietate este $n=1001$. + +Problema 4. Fie $n$ un număr natural nenul. Vom spune că o mulţime $A$ de numere naturale este completă de mărime $n$ dacă elementele ei sunt nenule, iar mulţimea tuturor resturilor obţinute la împărţirea unui element din $A$ la un element din $A$ este $\{0,1,2, \ldots, n\}$. De exemplu, mulţimea $\{3,4,5\}$ este o mulţime completă de mărime 4. + +Determinaţi numărul minim de elemente ale unei mulţimi complete de mărime 100 . + +Soluţie. Răspuns: 27 . + +Un exemplu de mulţime completă de mărime 100 cu 27 de elemente este + +$$ +\{76,77,78, \ldots, 100\} \cup\{51,152\} +$$ + +Într-adevăr, la împărţirile $100: x, 76 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $0,1,2, \ldots, 24$, la împărţirile $x: 51,76 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $25,26, \ldots, 49$, la împărţirile $152: x, 77 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $52,53, \ldots, 75$, la împărţirile $x: 152,76 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $76,77, \ldots, 100$, la împărţirea 51 : 152 obţinem restul 51 şi la împărţirea 152 : 51 obţinem restul 50. ................4p + +Arătăm acum că orice mulţime completă de mărime 100 are cel puţin 27 de elemente. + +Observăm că dacă $A=\left\{a_{1}100$, reiese că $A$ are cel puţin 27 de elemente. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-550-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-550-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23c7e8572417834cfc6c8f9850cb52c291590d1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-550-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,68 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +CLASA A X-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Fie $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ o funcție bijectivă. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente: +a) $(f \circ f)(x)=x,(\forall) x \in[0,1]$; +b) $(f \circ f)(x)+f(x)=x+f^{-1}(x)$, ( $\left.\forall\right) x \in[0,1]$ + +Rozalia Marinescu, Hunedoara (GMB , nr.12/2014) + +2. Fie numerele reale $a, b \in(1, \infty), a0, a \neq 1$. + +a) Să se studieze monotonia funcției $f$; + +b) Să se arate că $f$ este bijectivă și să se calculeze inversa sa. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +CLASA A X-A + +SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +## Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-2.jpg?height=164&width=1585&top_left_y=1047&top_left_x=179) | 2p | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-2.jpg?height=183&width=1585&top_left_y=1215&top_left_x=179) | 1p | +| Notăm $f(f(x))=g(x)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-2.jpg?height=74&width=1585&top_left_y=1479&top_left_x=179) | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-2.jpg?height=147&width=1585&top_left_y=1561&top_left_x=179) | $1 \mathrm{p}$ | +| și din iı | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Din $aa>1\right) \ldots \ldots \ldots$ | 2p | +| Analog $\log _{x} y^{2}<\log _{x}[(a+b) y-a b]$ de unde prin înmulțire rezultă că
$\log _{y}[(a+b) x-a b] \cdot \log _{x}[(a+b) y-a b] \geq \log _{x} y^{2} \cdot \log _{y} x^{2} \ldots \ldots \ldots$. | 2p | +| $\log _{x} y^{2} \cdot \log _{y} x^{2}=4 \cdot \log _{x} y \cdot \log _{y} x=4 \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Egalitatea are loc pentru $x=y \in(a, b)$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-3.jpg?height=1348&width=1782&top_left_y=360&top_left_x=163) + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Dacă $a>1$ funcția $f$ e strict crescătoare ca sumă de funcții strict crescătoare (funcția
$-a^{-x}$ este strict crescătoare) ................................................................................... | 1p | +| iar dacă $a \in(0,1)$ funcția $f$ este strict descrescătoare ............................................................ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-3.jpg?height=201&width=1548&top_left_y=2141&top_left_x=188) | 2p | +| $\Rightarrow x=\log _{a} \frac{y+\sqrt{y^{2}+4}}{2}$ deci $f$ este surjectivă....... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b80460ac5852f0ec66ag-3.jpg?height=183&width=1548&top_left_y=2464&top_left_x=188) | 2p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-551-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-551-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59ed0a6615564df43bbc1030faa7e96ba1586e48 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-551-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A VIII-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Aflaţi toate numerele prime care sunt cu 4 mai mici decât un pătrat perfect. + +( Manual Matematică pentru clasa a VIII-a, Dana Radu şi Eugen Radu, Editura Teora ) + +2. Fie $a, b, c \in(0 ; \infty)$ сu $a \cdot b \cdot c=1$. + +a) Verificaţi egalitatea: $\frac{1}{1+a^{2} c}+\frac{1}{1+b^{2} c}=1$; + +b) Demonstraţi că: $\frac{1}{1+a^{2} b}+\frac{1}{1+b^{2} c}+\frac{1}{1+c^{2} a}<2$; + +( Vasile Berghea, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi ) + +3. În prisma triunghiulară regulată $\mathrm{ABCDEF}, \mathrm{DA} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{DA}=\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{G}$ e centrul de greutate pentru triunghiul DEF, O e centrul feţei BCEF, iar P mijlocul lui $[E F]$ + +a) Arătaţi că $\mathrm{AF} \|$ (DBP). + +b) Determinaţi $\mathrm{m}(\Varangle(\mathrm{OG} ; \mathrm{FC}))$; + +c) Determinaţi d(BC;(AFE)) + +( Dorina Bocu, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi ) + +4. Fie piramida regulată $V A B C D,\{O\}=A C \cap B D$, şi $P, Q \in(V O)$. Dacă $\{E\}=A P \cap C V,\{F\}=C P \cap A V$, $\{\mathrm{S}\}=\mathrm{BQ} \cap \mathrm{DV}$ şi $\{\mathrm{T}\}=\mathrm{DQ} \cap \mathrm{BV}$, arătaţi că măsura unghiului dintre dreptele $\mathrm{EF}$ şi $\mathrm{ST}$ nu depinde de alegerea punctelor $\mathrm{P}$ şi $\mathrm{Q}$ pe segmentul (VO). + +( Daniel Blănaru, elev, Giugiu, problema E:14748 GM 11/2014 ) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +CLASA A VIII-A + +## SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-2.jpg?height=56&width=1567&top_left_y=984&top_left_x=197) | 2p | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-2.jpg?height=56&width=1567&top_left_y=1034&top_left_x=197) | $2 \mathrm{p}$ | +| - $\quad \mathrm{p}$ fiind număr prim $=>\mathrm{k}-2=1$ și k+2=p................................................................................. | $2 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-2.jpg?height=56&width=1567&top_left_y=1134&top_left_x=197) | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-2.jpg?height=620&width=1783&top_left_y=1323&top_left_x=159) + +## Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| - figura corespunzătoare problemei ....................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| a) - Q fiind mijlocul lui [BC], $\left\{\begin{array}{l}F Q \\| B P \\ A Q \\| D P\end{array} \Rightarrow(B D P) \\|(A Q F)\right.$........................................................ | $1 \mathrm{p}$ | +| - cum $\mathrm{AF} \subset(\mathrm{AQF}) \Rightarrow \mathrm{AF} \\|(\mathrm{DBP}) .$. | 1p | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-2.jpg?height=174&width=1576&top_left_y=2362&top_left_x=187) | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-2.jpg?height=183&width=1576&top_left_y=2526&top_left_x=187) | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e6486d0593620c7c3edg-3.jpg?height=201&width=1567&top_left_y=413&top_left_x=178) | $1 \mathrm{p}$
$3 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-552-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-552-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c9c07986ffe013ce6d736322dd9194b5d7cc13c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-552-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,66 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A VII-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Un profesor a corectat 25 de lucrări şi a obţinut o medie a notelor de 6,56. Apoi le-a recorectat şi zece note au fost mărite cu câte un punct. Care este media notelor după recorectare? + +( Manual Matematică pentru clasa a VII-a, Editura Radical ) + +2. Fie ABCD un paralelogram şi E, F mijloacele segmentelor [BC], şi respectiv [CD]. Dacă $\mathrm{AE} \cap \mathrm{BF}=\{\mathrm{G}\}$, şi $\mathrm{H} \in(\mathrm{AG}), \mathrm{cu}[\mathrm{AH}] \equiv[\mathrm{HG}]$, aflaţi $\frac{H G}{H E}$. + +(Sorin Furtună, Stelică Pană, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi ) + +3. Pe diagonala $[\mathrm{AC}]$ a pătratului $\mathrm{ABCD}$ se ia un punct $\mathrm{E}$ astfel încât $\frac{E A}{E C}=\frac{1}{2}$. Dacă $\mathrm{AE}=\frac{10 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}$, determinaţi aria şi perimetrul pătratului $\mathrm{ABCD}$, precum şi aria triunghiului $\mathrm{ABE}$. + +( Gheorghe Achim, Olimpiadele şi concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi ) + +4. Determinaţi $\overline{a b} \in N$ си $\sqrt{a+\sqrt{\overline{a b}}}=a$ + +( Gheorghe Iacob, Paşcani problema E:14597 GM1/2014 ) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 -
CLASA A VII-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| - scrie formula mediei aritmetice.... | $1 \mathrm{p}$ | +| - calculeaza suma notelor initiale.............................................................................................. | $2 \mathrm{p}$ | +| - $\quad$ calculeaza suma notelor dupa recorectare.................................................................................................. | $2 \mathrm{p}$ | +| - calculeaza noua medie ....................................................................... | $2 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ..................................................................... $\quad$ - | $1 \mathrm{p}$ | +| - $\quad$ ia L si K mijloacele laturilor [AD] si [AB]........................................................................................ | $1 \mathrm{p}$ | +| - $\quad$ BFDK paralelogram $=>$ DK dreapta suport a liniei mijlocii pt. $\Delta \mathrm{ABG} \Rightarrow \mathrm{H} \in \mathrm{DK} . . . . . . . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e81ea2b65f6740cce1bdg-2.jpg?height=61&width=1558&top_left_y=1438&top_left_x=196) | $1 \mathrm{p}$ | +| - $\quad N E=\frac{F C}{2}=\frac{A B}{4}=$ LM........................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| - in $\triangle \mathrm{EMH}, \mathrm{GN} \\| \mathrm{MH}$, aplică teorema lui Thales $\frac{H G}{H E}=\frac{M N}{M E}=\frac{\frac{A B}{2}}{\frac{3 A B}{4}}=\frac{2}{3}$. | 2p | + +## Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| - figura corespunzătoare problemei......................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| - calculează lungimea diagonalei $\mathrm{AC}=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. | 1p | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e81ea2b65f6740cce1bdg-2.jpg?height=56&width=1567&top_left_y=2124&top_left_x=196) | $1 \mathrm{p}$ | +| - determină latura pătratului $\mathrm{AB}=10$ cm........................................................................................................ | $1 \mathrm{p}$ | +| - determină perimetrul pătratului .......................................................................................... | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e81ea2b65f6740cce1bdg-2.jpg?height=110&width=1567&top_left_y=2270&top_left_x=196) | 2p | + +Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | :---: | +| - demonstrează că $\overline{a b}$ este pătrat perfect....................................................................................................................................................................................... $3 \mathrm{p}$ | | +| $-\quad$ determină $\overline{a b}=36 \ldots . . .$. | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-553-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-553-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..40f70fe5aa02aa3905b439410c8ebf258b08fdd5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-553-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALÄ 28.02.2015 - + +## CLASA A VI-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Un tren parcurge o distanță în 8 ore astfel: $2 \frac{1}{2}$ ore merge cu viteza de $80 \mathrm{~km} /$ oră, $3 \frac{1}{3}$ ore cu 75 km/oră, iar restul timpului cu 90 km/oră. Aflați distanța parcursă. +2. În $\triangle A B C$ fie $M \in(A B)$ şi $N \in(A C)$ cu $[B M] \equiv[C N]$ și $[B N] \equiv[C M]$. Fie $\{O\}=B N \cap C M$. Atunci: +a) $\triangle M O N$ este isoscel; +b) $[A O$ este bisectoarea $\Varangle B A C$. + +(Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi) + +3. a) Raportul dintre măsura complementului unui unghi și măsura suplementului său este $\frac{1}{4}$. Aflați măsura unghiului. + +b) Fie $\Varangle A O B$ ascuțit și $\Varangle B O C$ și $\Varangle B O D$ astfel încât $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O C$ sunt unghiuri adiacente complementare, iar $\Varangle A O B$ și $\Varangle B O D$ sunt unghiuri adiacente suplementare, $[O P$ semidreapta opusă lui $\left[O B,\left[O M\right.\right.$ bisectoarea $\Varangle B O C,\left[O N\right.$ bisectoarea $\Varangle A O P$. Arătați că $m(\Varangle M O N)=135^{\circ}$. + +(Ionela Pop, Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi) + +4. Arătați că: a) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1$ +b) $3^{33}+4^{33}+5^{33}<6^{33}$. + +(Damian Marinescu, Târgoviște, problema E:14594, GM 1/2014) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALÄ 28.02.2015 - + +## CLASA A VI-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +## Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| află cât timp merge trenul cu $90 \mathrm{~km}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| - determină distanțele parcurse cu fiecare viteză în parte | $3 \mathrm{p} \quad$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ba22e3cda8323ed1657g-2.jpg?height=55&width=1567&top_left_y=1046&top_left_x=196) | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ba22e3cda8323ed1657g-2.jpg?height=60&width=1585&top_left_y=1284&top_left_x=187) | $1 \mathrm{p}$ | +| $\triangle \mathrm{BCN} \equiv \triangle \mathrm{CBM} .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ba22e3cda8323ed1657g-2.jpg?height=56&width=1585&top_left_y=1384&top_left_x=187) | $2 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează că $\Delta \mathrm{OM}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrează că $\triangle \mathrm{AMO} \equiv \triangle \mathrm{ANO} . .$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare........................................................................................ | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) - scrie proporția și deduce ca măsura unghiului este $60^{\circ}$. | $3 p$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ba22e3cda8323ed1657g-2.jpg?height=138&width=1567&top_left_y=1828&top_left_x=194) | $1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Arată că: $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1 ; \quad$................................................................................ | $3 p$ | +| b) arată că $\left(\frac{3}{6}\right)^{33}+\left(\frac{4}{6}\right)^{33}+\left(\frac{5}{6}\right)^{33}<\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1 ; \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Înmulteste relatia cu $6^{33}$ si obtine $3^{33}+4^{33}+5^{33}<6^{33}$. | $3 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-554-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-554-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27f9dab16f954043a23efb21cf18ad4f38f355cf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-554-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A V-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Deschizând manualul de matematică la întâmplare, constatați că suma numerelor ce indică cele două pagini este 293. Aflați numerele scrise pe cele două pagini. + +(problema 10/41, manual Matematică pentru clasa a 5-a, Editura Radical) + +2. Fie multimile: $\quad \mathrm{A}=\left\{p^{2} \mid p \in \mathbb{N}\right\}, \quad B=\{5 n+2 \mid n \in \mathbb{N}\}, \quad C=\{7 m+3 \mid m \in \mathbb{N}\}$, $D=\left\{9^{k} \mid k \in \mathbb{N}^{*}, k \leq 2012\right\}$. Arătați că: +a) $A \cap B=\emptyset$ +b) $2012 \in B \cap C$ +c) $D \subset A$ +d) $9^{2011}$ se poate scrie ca sumă de două cuburi perfecte, iar $9^{2012}$ ca sumă de trei pătrate perfecte. + +(Dorina Bocu, Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi) + +3. Numim număr ,,preferat” orice număr natural de trei cifre nenule diferite, care are proprietatea că produsul cifrelor sale este pătrat perfect. + +a) Scrieți două numere ,,preferate" care au ultima cifră 2 . + +b) Câte numere ,,preferate" există? + +c) Stabiliți dacă suma tuturor numerelor ,,preferate" este pătrat perfect. + +(Gheorghe Radu, Olimpiadele și concursurile de matematică V-VIII 2014, Editura Bîrchi) + +4. Să se arate că orice număr de forma $M=\overline{x y 3}^{1}+\overline{x y 3}^{2}+\overline{x y 3}^{3}+\ldots+\overline{x y 3}^{100}$ se divide cu 10 . + +(Ionuț Mazalu, Brăila problema S:E14.206 GM 9/2014) + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALÄ 28.02.2015 - + + +## CLASA A V-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| - deduce că cele două pagini sunt nu | $5 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_68a9de59d5c502f9e0e1g-2.jpg?height=105&width=1567&top_left_y=1003&top_left_x=194) | 2 | + +Subiectul 2. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_68a9de59d5c502f9e0e1g-2.jpg?height=110&width=1540&top_left_y=1288&top_left_x=185) | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| b) $2012=5 \cdot 402+2 \in B$ şi $2012=7 \cdot 287+3 \in C ;$ deci $2012 \in B \cap C$ | $2 \mathrm{p}$ | +| c) dacă $y \in D \Rightarrow y=9^{k}=\left(3^{k}\right)^{2} \Rightarrow y \in A$, deci $D \subset A$.. | $1 \mathrm{p}$ | +| d)$9^{2011}=9^{2010} \cdot 9=9^{2010} \cdot(1+8)=9^{2010}+8 \cdot 9^{2010}=\left(9^{670}\right)^{3}+\left(2 \cdot 9^{670}\right)^{3} \ldots \ldots \ldots$
$9^{2012}=9^{2} \cdot 9^{2010}=(1+16+64) \cdot\left(9^{1005}\right)^{2}=\left(9^{1005}\right)^{2}+\left(4 \cdot 9^{1005}\right)^{2}+\left(8 \cdot 9^{1005}\right)^{2}$. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) de exemplu 362 si 632 sunt numere „preferate" pentru că $2 \cdot 3 \cdot 6=36=6^{2}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_68a9de59d5c502f9e0e1g-2.jpg?height=356&width=1540&top_left_y=1902&top_left_x=187) | $2 \mathrm{p}$ | +| $\begin{aligned} c) - suma numerelor ,,preferate "scrise cu cifrele \(a, b, c\) este \(222(a+b+c)\). \\ - suma numerelor preferate este 222.67 care nu este pătrat ................... \end{aligned}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_68a9de59d5c502f9e0e1g-2.jpg?height=101&width=1549&top_left_y=2549&top_left_x=185) | $3 \mathrm{p}$ | +| - descompune M în suma a 25 de numere divizibile cu 10 ....................... | $4 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-555-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-555-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e3f8c52bb863cc24a796fd992895787b466fe31 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-555-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ 28.02.2015 - + +## CLASA A IX-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ def prin $a_{0}=0, a_{1}=1$ și $a_{n+1}=2 \sqrt{a_{n+1} \cdot a_{n}}-a_{n}+1, n \geq 1$. Să se arate că $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+4 \sqrt{a_{k} \cdot a_{k-1}}}$ + +Florin Rotaru , Focșani (GMB nr.9/2014) + +2. Fie $a, b \in \mathbb{R}, a \geq-\frac{18}{15}, b \geq-\frac{7}{10}$ astfel încât $3 a+2 b=17$ și expresia + +$$ +E(a, b)=3 \sqrt{15 a+8}+4 \sqrt{10 b+7} +$$ + +a) Pentru $a=3$ să se demonstreze că $E(a, b)<50$; + +b) Să se determine maximul expresiei $E(a, b)$ și valorile numerelor $a, b$ pentru care se atinge acest maxim . + +Olimpiada locală, Botoșani 2014 + +3. Pentru fiecare număr natural $n$ definim mulțimile: $A_{n}=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}+[x] \leq n\right\}$ și $B_{n}=\left\{x \in \mathbb{R} \mid\left[x^{2}\right]+x \leq n\right\}$. Demonstrați că $A_{n} \subset B_{n+1}$ și $B_{n} \subset A_{n+1}$. +4. Fie $A B C D E F$ un hexagon regulat și $M \in(A C), N \in(C E)$ astfel încât $\frac{A M}{A C}=\frac{C N}{C E}=r$. Pentru ce valori ale lui $r$ punctele $B, M, N$ sunt coliniare ? + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALÄ 28.02.2015 - + + +## CLASA A IX-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +## Subiectul 1. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ec4707e635a4963fccag-2.jpg?height=165&width=1576&top_left_y=1005&top_left_x=187) | $1 \mathrm{p}$ | +| Rezultă $\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n-1}}=2 \sqrt{a_{n}}$, deci șirul $\left(\sqrt{a_{n}}\right)_{n \geq 0}$ e progresie aritmetică ........................ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\sqrt{a_{0}}=0, \sqrt{a_{1}}=1 \Rightarrow r=1$, deci $\sqrt{a_{n}}=a_{0}+n r=n$, adică $a_{n}=n^{2}, n \geq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\sqrt{1+4 \sqrt{a_{k} a_{k-1}}}=\sqrt{1+4 k \cdot(k-1)}=\sqrt{(2 k-1)^{2}}=2 k-1 \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $a_{n}=\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=2 \sum_{k=1}^{n} k-n=n(n+1)-n=n^{2} .$. | $2 p$ | + +## Subiectul 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ec4707e635a4963fccag-2.jpg?height=873&width=1782&top_left_y=1725&top_left_x=160) + +Subiectul 3. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| $x-1<[x] \leq x, x^{2}-1<\left[x^{2}\right] \leq x^{2}(\forall) x \in R$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ec4707e635a4963fccag-3.jpg?height=147&width=1567&top_left_y=526&top_left_x=185) | $3 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ec4707e635a4963fccag-3.jpg?height=146&width=1567&top_left_y=677&top_left_x=185) | $3 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 4. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Fie $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{v_{1}}$ si $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{v_{2}}$. Atunci din $\triangle A B C \Rightarrow \overrightarrow{B M}=(r-1) \overrightarrow{v_{1}}+r \cdot \overrightarrow{v_{2}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ec4707e635a4963fccag-3.jpg?height=164&width=1549&top_left_y=1152&top_left_x=185) | 2p | +| $\operatorname{Din} \triangle B C E \Rightarrow \overrightarrow{B N}=(1-r) \overrightarrow{B C}+r \cdot \overrightarrow{B E}=-2 r \cdot \overrightarrow{v_{1}}+(1+r) \cdot \overrightarrow{v_{2}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\overrightarrow{B M}, \overrightarrow{B N}$ vectori coliniari $\Rightarrow \overrightarrow{B M}=\alpha \cdot \overrightarrow{B N} \Rightarrow \frac{r-1}{-2 r}=\frac{r}{r+1}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Obține $r=\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Soluție alternativă: Punctele $\mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ sunt coliniare $\Leftrightarrow A[B M C]+A[C M N]=A[B C N]$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-556-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-556-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9f941a04c13b1b49bab41dcb17953048822a7108 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-556-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +## 2015. február 28. + +## XII . OSZTÁLY + +1.) a) $\mathrm{Az} \mathbb{N}^{*}$ halmazon értelmezzük a következő müveletet: $a \circ b=c=\mathrm{az}$ a legnagyobb természetes szám, amelyre létezik $a, b, c$ oldalhosszúságú háromszög. Tanulmányozd a "○" művelet tulajdonságait (asszociatívitás, kommutativitás, semleges elem, szimmetrizálható elemek)! + +b) A $H=\{1,2,3,4,5\}$ halmazon értelmezzük a következő műveletet: $a * b=c=\mathrm{az}$ a legkisebb természetes szám, amelyre létezik $a, b, c$ oldalhosszúságú háromszög. Készítsd el a múvelettáblát! + +2.) Adott az $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+x$ függvény. + +a) Igazold, hogy az $f$ függvény bijektív és számítsd ki az $\left(f^{-1}\right)(1)$ értékét! + +b) Ha $x_{0}=f^{-1}(0)$, mutasd ki, hogy a ( $\left.G, *\right)$ egy Ábel-féle csoport, ahol + +$$ +G=\mathbb{R} /\left\{x_{0}\right\} \text {, és } x * y=f^{-1}(2 f(x) \cdot f(y)), \forall x, y \in G! +$$ + +3.) Adott az $f: R \rightarrow R, f(x)=\left(4 x^{3}-6 x^{2}+6 x-2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)$ függvény. Határozd meg az $f$ függvénynek azt az $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ primitív függvényét, amelynek a grafikus képe átmegy az $A(1,0)$ ponton! + +4.) Határozd meg azt az $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ függvényt, amelyre $f(0)=1$ és létezik $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ az $f$ primitív függvénye úgy, hogy $F(x)-f(x)=\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ ! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +## 28 februarie 2015
BAREM
CLASA A XII-A + +| 1.) | Din oficiu | | | | | | | 1p | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| a) | Dacă există triunghi cu laturile $a, b, c$ atunci $a+b>c$. Însă $c \in N^{*}$ este cel mai mare
număr natural cu această proprietate, deci $c=a+b-1$, adică $a \circ b=a+b-1$. | | | | | | | $2 \mathbf{p}$ | +| | Operaţia este asociativă, comutativă, elementul neutru este $e=1 \in N^{*}$ | | | | | | | $2 p$ | +| | $a \circ a {ff7f56a9d-a1d5-4c23-b45d-9bf5c5c6cb11}=2-a$. Însă $a^{`} \in N^{*}$, deci numai
$a=1$ este simetrizabil şi simetricul coincide cu 1. | | | | | | | $2 p$ | +| b) | Dacă există triunghi cu laturile $a, b, c$ astfel încât $c$ este cel mai mic număr natural cu
această proprietate atunci $\|a-b\| $x * y=x_{0} \Rightarrow f^{-1}(2 f(x) \cdot f(y))=f^{-1}(0) \Rightarrow 2 f(x) \cdot f(y)=0$ de unde obținem
$f(x)=0$ sau $f(y)=0$ de unde $x=x_{0}$ sau $y=x_{0}$ contradicție, deci
$x * y \neq x_{0} \Rightarrow x * y \in G$, adică mulţimea $G$ este parte stabile a mulțimii $\mathbb{R}$ față de $" * "$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\forall x, y, z \in G,(x * y) * z=x *(y * z)=f^{-1}(4 f(x) f(y) f(z)) \Rightarrow " * "$ asociativă | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\forall x, y \in G, x * y=y * x=f^{-1}(2 f(x) f(y)) \Rightarrow " * "$ comutativă | 1p | +| | $\exists e \in G$ astfel încât $x * e=x, \forall x \in G, e=f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ element neutru | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\forall x \in G, \exists x^{\prime} \in G$ astfel încât $x^{*} x^{\prime}=e, x^{\prime}=f^{-1}\left(\frac{1}{4 f(x)}\right)$ element simetric
Rezultă că $(G, *)$ este un grup abelian | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Cum $\left(\operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{\prime}=\frac{2 x-1}{x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2}$ și
$\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right)^{\prime}=4 x^{3}-6 x^{2}+6 x-2$ avem | $2 p$ | +| | $F(x)=\int\left(4 x^{3}-6 x^{2}+6 x-2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right) d x=$
$=\int\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right) d x=$ | $1 p$ | +| | $=\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)-\int(2 x-1) d x=$ | $2 p$ | +| | $=\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)-x^{2}+x+C$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Deorece $A(1,0) \in G_{F}$, rezultă că $F(1)=0$, adică $2 \cdot \frac{\pi}{4}+C=0$, deci $C=-\frac{\pi}{2}$. Rezultă
că $F(x)=\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)-x^{2}+x-\frac{\pi}{2}$. | $2 p$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Cum $F$ este o primitive a funcţiei $f$ rezultă că $F$ este derivabilă și
$F^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$ | 1p | +| | Înmulţind cu $e^{-x}$ relația $F(x)-f(x)=\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ se obține
$e^{-x} F(x)-e^{-x} f(x)=e^{-x} \sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left(e^{-x} F(x)\right)^{\prime}=-e^{-x} \sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ de unde
$e^{-x} F(x)=\int-e^{-x} \sin ^{2} x d x$ | $2 p$ | +| | Utilizând metoda integrării prin părti obținem:
$\int e^{-x} \sin ^{2} x d x=-e^{-x} \sin ^{2} x-\frac{e^{-x}}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)$ | $2 p$ | +| | Avem $e^{-x} F(x)=e^{-x} \sin ^{2} x+\frac{e^{-x}}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+\mathbb{C}$ de unde se obţine
$F(x)=\sin ^{2} x+\frac{1}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+\mathbb{C} e^{x}$ | $2 p$ | +| | Din $f(0)=1$ se obţine $F(0)=1$ și $\mathbb{C}=\frac{3}{5}$ | 1p | +| | Cum din ipoteză avem $f(x)=F(x)-\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$, obţinem
$f(x)=\frac{1}{5}\left(\sin 2 x+2 \cos 2 x+3 e^{x}\right), \forall x \in \mathbb{R}$ | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-557-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-557-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b216d8afeeb984da6e2ec493c4475ac947be44f0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-557-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +## 2015. február 28. + +## XI. OSZTÁLY + +1.) Adott az $\quad A \in M_{2}(\mathbb{R}), A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ mátrix. Mutasd ki, hogy létezik $\lambda \in \mathbb{R}$ úgy, hogy $\lambda\left(I_{2}+A\right)\left(I_{2}-A\right)=I_{2}$, majd számítsd ki az $S=\sum_{k=0}^{2015} A^{k}$ összeget! + +2.) Adott az $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ sorozat úgy, hogy $a_{1}=0, a_{n}=3 a_{n+1}+4$ és legyen $b_{n}=a_{n}+2, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ esetén. Számítsd ki a $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) b_{n}$ határértéket! + +3.) Számítsd ki az $L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x+2 \sin 2 x+\ldots+n \sin n x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{n^{3}}}$ határértéket! + +4.) Adott a következő számsorozat: $a_{1}=a, a_{2}=b, a, b \in(0, \infty)$ és $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ számtani haladványt alkot, $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ mértani haladványt alkot, $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ számtani haladványt alkot, $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ mértani haladványt alkot, és így tovább. + +a) Határozd meg a sorozat általános tagjának képletét! + +b) Számítsd ki $a$ és $b$ értékét, amelyre $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n}-\frac{1}{3} n^{2}-\frac{4}{3} n\right)=\frac{4}{3}$. + +## Megjegyzés: + +## Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A XI-A + +| 1.) | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\lambda\left(I_{2}+A\right)\left(I_{2}-A\right)=I_{2} \Rightarrow \lambda\left(I_{2}-A^{2}\right)=I_{2}$ și cum $A^{2}=-I_{2}$ rezultă $\lambda=\frac{1}{2}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Din $A^{2}=-I_{2}$ obținem $A^{3}=-A$ și $A^{4}=I_{2}$ | $1 p$ | +| | Avem $A^{4 k}=I_{2} ; \quad A^{4 k+1}=A ; \quad A^{4 k+2}=-I_{2}$ și $A^{4 k+3}=-A$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Cum $A^{0}+A^{1}+A^{2}+A^{3}=I_{2}+A+\left(-I_{2}\right)+(-A)=O_{2}$ avem | $2 \mathbf{p}$ | +| | $S=\sum_{k=0}^{2015} A^{k}=\underbrace{A^{0}+A^{1}+A^{2}+A^{3}}_{=O_{2}}+\ldots+\underbrace{A^{2012}+A^{2013}+A^{2014}+A^{2015}}_{=O_{2}}=O_{2}$ | $2 p$ | + + +| ?.) | Din oficiu | $1_{\mathbf{F}}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $a_{n}=3 a_{n+1}+4 \Rightarrow a_{n}+2=3 a_{n+1}+6 \Rightarrow a_{n}+2=3\left(a_{n+1}+2\right)(1)$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $b_{n}=a_{n}+2 \stackrel{(1)}{\Rightarrow} b_{n}=3 b_{n+1} \Rightarrow b_{n+1}=\frac{1}{3} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ de unde rezultă că șirul $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este o progresie
geometrică cu primul termen $b_{1}=2$ și rația $q=\frac{1}{3}$, deci $b_{n}=2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{2}{3^{n-1}}$ | 2] | +| | Cum $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=2 \sum_{k=1}^{n} k-n=2 \frac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}$ | 1p | +| | Avem $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1) b_{n}=n^{2} \cdot \frac{2}{3^{n-1}}=\frac{2 n^{2}}{3^{n-1}}$ de unde $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}}{3^{n-1}}$ | $\mathbf{1}_{I}$ | +| | Pentru calculul limitei aplicăm de două ori teorema lui Stolz-Cesaro ( sirul cu termenul
general $x_{n}=3^{n-1}, n \geq 1$ fiind strict crescător)
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}}{3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2(n+1)^{2}-2 n^{2}}{3^{n}-3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n+1}{3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n+3)-(2 n+1)}{3^{n}-3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}}=0$ | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_096810645fa2c39a6cb0g-2.jpg?height=662&width=1744&top_left_y=1987&top_left_x=218) + +| ) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ progresie aritmetică $\Rightarrow a_{3}=2 a_{2}-a_{1}=2 b-a$
$a_{2}, a_{3}, a_{4}$ progresie geometrică $\Rightarrow a_{4}=\frac{a_{3}^{2}}{a_{2}}=\frac{(2 b-a)^{2}}{b}$ | $1 p$ | +| | $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ progresie aritmetică $\Rightarrow a_{5}=2 a_{4}-a_{3}=\frac{(2 b-a)(3 b-2 a)}{b}$ | 1p | +| | $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ progresie geometrică $\Rightarrow a_{6}=\frac{a_{5}^{2}}{a_{4}}=\frac{(3 b-2 a)^{2}}{b}$ | $1 p$ | +| | Presupunem, că $a_{2 k-1}=\frac{[(k-1) b-(k-2) a \rrbracket[k b-(k-1) a]}{b}$ şi $a_{2 k}=\frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}$,
trebuie să demonstrăm că $a_{2 k+1}=\frac{[k b-(k-1) a][(k+1) b-k a]}{b}$ şi $a_{2 k+2}=\frac{[(k+1) b-k a]^{2}}{b}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ progresie aritmetică $\Rightarrow$
$a_{2 k+1}=2 a_{2 k}-a_{2 k-1}=2 \frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}-\frac{[(k-1) b-(k-2) a][k b-(k-1) a]}{b}$
$=\frac{[k b-(k-1) a \rrbracket(k+1) b-k a]}{b}$,
$a_{2 k}, a_{2 k+1}, a_{2 k+2}$ progresie geotmetrică $\Rightarrow$
$a_{2 k+2}=\frac{a_{2 k+1}^{2}}{a_{2 k}}=\frac{\left\{\frac{[k b-(k-1) a \llbracket(k+1) b-k a]}{b}\right\}^{2}}{\frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}}=\frac{[(k+1) b-k a]^{2}}{b}$ | 1p | +| | Deci formula termenului general este $a_{2 k-1}=\frac{[(k-1) b-(k-2) a][k b-(k-1) a]}{b}$ şi
$a_{2 k}=\frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}$, pentru $\forall k \in N^{*}$ | | +| | $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n}-\frac{1}{3} n^{2}-\frac{4}{3} n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(b-a)^{2} n^{2}-2\left(a^{2}-a b\right) n+a^{2}}{b}-\frac{1}{3} n^{2}-\frac{4}{3} n$
$=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3(b-a)^{2}-b n^{2}-\left(6 a^{2}-6 a b+4 b\right) n+3 a^{2}}{3 b}=\frac{4}{3}$ | $1 p$ | +| | Rezultă că $\left\{\begin{array}{c}3(b-a)^{2}-b=0 \\ 3 a^{2}-3 a b+2 b=0 \\ \frac{a^{2}}{b}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$ | 1p | +| | Scăzând ecuaţia a doua din prima rezultă că $b(b-a-1)=0$. Deorece $a, b \in(0, \infty)$, avem
$b=a+1$. Înlocuin în ecuaţia a treia obţinem $3 a^{2}-4 a-4=0$ cu soluţiile 2 şi $-\frac{2}{3}$, dintre
care convine $a=2$ şi astfel $b=3$. | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-558-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-558-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..133f89c3fecf2bc0ce2fc50836875ebddba7471f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-558-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,67 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2015. február 28. + +## X. OSZTÁLY + +1.) a) Számítsd ki + +$$ +A(a, b, c)=\log _{\sqrt{c}} \frac{c^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\log _{\frac{1}{c}} \frac{c}{a+b+2 \sqrt{a b}}, a, b, c \in N^{*}, c>1 \text { értékét! } +$$ + +b) Oldd meg a $\left\{\log _{\sqrt{3}}[9(\sqrt{2}-1)]+\log _{\frac{1}{3}}[3(3-2 \sqrt{2})]\right\}^{x^{2}-3 x}=\frac{1}{9}, x \in R$ egyenletet! + +2.) Adottak a $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}^{*}$ komplex számok úgy, hogy $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \frac{\sqrt{2}}{2}$. + +a) Számítsd ki a $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|$ és a $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ értékét! + +b) Határozd meg az $n \in \mathbb{N}$ értékét úgy, hogy $E_{n} \in \mathbb{Z}$, ahol $E_{n}=\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{n}+\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{n}}$ ! + +3.) A természetes számok halmazán értelmezett $f$ függvényre, bármely $n \geq 1$ esetén teljesül az $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots .+n f(n)=n^{2} f(n)$ összefüggés. Ha $f(1)=2015$, határozd meg az $n$ azon értékeit, amelyekre az $f(n)$ is természetes szám! + +4.) a) Legyen $A$ és $B$ a $z^{2}-13 z+72+30 i=0$ egyenlet gyökeinek képe a komplex számsíkban. Számítsd ki az $A O B$ háromszög területét, ha $O$ a koordináta rendszer kezdőpontja! + +b) Ábrázold az előbbi koordináta rendszerben a $|z| \leq 4$ egyenlőtlenség megoldáshalmazát! Ez a megoldáshalmaz hány \%-át fedi le az $A O B$ háromszögnek? Egészre kerekített értéket adj meg! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelező. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A X-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $A(a, b, c)=\log _{\sqrt{c}} \frac{c^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\log _{\frac{1}{c}} \frac{c}{a+b+2 \sqrt{a b}}=\frac{\log _{c} \frac{c^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\frac{1}{2}}+\frac{\log \frac{c}{c \sqrt{(\sqrt{b}})^{2}}}{-1}=$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $=\log _{c} \frac{c^{4}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}-\log _{c} \frac{c}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}=\log _{c} c^{3}=3$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) | $\log _{\sqrt{3}}[9(\sqrt{2}-1)]+\log _{\frac{1}{3}}[3(3-2 \sqrt{2})]=\log _{\sqrt{3}} \frac{9}{1+\sqrt{2}}+\log _{\frac{1}{3}} \frac{3}{3+2 \sqrt{2}}=A(1,2,3)=3$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deci avem ecuaţia $3^{x^{2}-3 x}=\frac{1}{9}$ echivalentă cu ecuaţia de gradul doi $x^{2}-3 x+2=0$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Mulţimea soluţiilor este $S=\{1,2\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right\|=\frac{\left\|z_{1}\right\|}{\left\|z_{2}\right\|}=\sqrt{2},\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}}-1\right\|=1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Rezultă că $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ este afixul intersecţiei cercului cu centrul în origine şi raza $\sqrt{2}$ şi a
cercului cu centrul în punctul de coordonate $(1,0)$ şi raza 1. Cele două cercuri au
două puncte comune $A(1,1)$ şi $B(1,-1)$ de unde rezultă că $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in\{1+i, 1-i\}$. | $\mathbf{3 p}$ | +| b) | $E_{n}=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}=(\sqrt{2})^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \sin \frac{n \pi}{4}\right)+(\sqrt{2})^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}-i \sin \frac{n \pi}{4}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $E_{n}=2(\sqrt{2})^{n} \cos \frac{n \pi}{4} \in Z, \forall n \in N$ | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6033588877dcbd24c89g-2.jpg?height=255&width=1293&top_left_y=2138&top_left_x=334) | $4 p$ | +| | Scriem aceste relaţii pentru $n=1,2,3, \ldots$ şi le înmulţim
$\Rightarrow f(n)=\frac{1}{n} f(1) \Rightarrow f(n)=\frac{2015}{n}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Numerele căutate sunt divizorii lui 2015. Deoarece $2015=1 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 31$
$\Rightarrow n \in\{1,5,13,31,65,155,403,2015\}$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6033588877dcbd24c89g-3.jpg?height=1712&width=1676&top_left_y=243&top_left_x=218) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-559-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-559-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cd6ad2f0446521eb63e61f8a7e05a59aa55f9ae6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-559-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,116 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ
2015. február 28.
VIII. OSZTÁLY + +1.) a) Adott a következö halmaz: $A=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$. Mutasd ki, hogy $\sqrt{6+4 \sqrt{2}} \in A$ ! + +b) Legyen $A=\sqrt{2^{2014}+2^{1008}+1}$ és $B=\sqrt{2^{2016}-2^{1010}+2^{1009}+1}$. + +Mutasd ki, hogy $A$ és $B$ természetes számok és határozd meg, hány természetes szám van az $(A ; B)$ intervallumban! + +2.) Az $a$, $b$, c pozitív számokról tudjuk, hogy: $a^{2} b+a^{2} c+2 a b c=2 a^{3}+b^{2} c+b c^{2}$. Igazold, hogy az egyik közülük a másik kettő számtani vagy mértani középarányosa! + +3.) Az $A B C$ derékszögü háromszög befogói $A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ és $A C=4 \mathrm{~cm}$. A háromszög síkjára, a sík ugyanazon oldalán, $A M=2 \mathrm{~cm}$ és $B N=1 \mathrm{~cm}$ hosszúságú merőlegeseket állítunk. + +a) Ellenőrizd, hogy az NMC háromszög derékszögü-e? + +b) Határozd meg az $M$ pont távolságát az (ABC)és (MNC) síkok metszési egyenesétől! + +4.) Az $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ téglatestben $A B=6 \mathrm{~cm}, B C=3 \mathrm{~cm}$ és $A A^{\prime}=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. + +Számítsd ki: + +a) az $A D^{\prime}$ és $B C$ egyenesek szögének szinuszát! + +b) a $C$ pont távolságát az $A D^{\prime}$ egyenestől! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A VIII-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | $\sqrt{6+4 \sqrt{2}}=\sqrt{(2+\sqrt{2})^{2}}=2+\sqrt{2}$ | $2 p$ | +| | $a=2, b=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) | $A=\sqrt{2^{2014}+2^{1008}+1}=\sqrt{\left(2^{1007}\right)^{2}+2 \cdot 2^{1007} \cdot 1+1^{2}}=\sqrt{\left(2^{1007}+1\right)^{2}}=2^{1007}+1 \in \mathbb{N}$ | $2 p$ | +| | $B=\sqrt{2^{2016}-2^{1010}+2^{1009}+1}=\sqrt{\left(2^{1008}\right)^{2}-2^{1009} \cdot(2-1)+1}=$
$=\sqrt{\left(2^{1008}\right)^{2}-2 \cdot 2^{1008} \cdot 1+1^{2}}=\sqrt{\left(2^{1008}-1\right)^{2}}=2^{1008}-1 \in \mathbb{N}$ | $2 p$ | +| | Numărul numerelor naturale din intervalul $(A ; B)=\left(2^{1007}+1 ; 2^{1008}-1\right)$ este
$2^{1008}-1-\left(2^{1007}+1\right)-1=2^{1008}-2^{1007}-3=2^{1007} \cdot(2-1)-3=2^{1007}-3$ | $2 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Egalitatea se scrie: $a^{2} b+a^{2} c+2 a b c-2 a^{3}-b^{2} c-b c^{2}=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| $(b+c)\left(a^{2}-b c\right)-2 a\left(a^{2}-b c\right)=0$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| $\left(a^{2}-b c\right)(b+c-2 a)=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $a^{2}-b c=0$ sau $b+c-2 a=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $a^{2}=b c$ sau $b+c=2 a$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Deci $a$ este media geometrică sau media aritmetică a numerelor $b$ și $c$. | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | | | +| | | | + +``` +b) \(\quad\) determinarea dreptei de intersecție: \(M N \cap A B=\{D\},(A B C) \cap(M N C)=D C \quad\) 2p + +\begin{tabular}{l|l} +\(M \notin(A B C), D C \subset(A B C))_{t 3 \perp}\) & \(1 p\) +\end{tabular} + \(M A \perp(A B C) \quad\} \stackrel{t 3 \perp}{\Rightarrow} M P \perp D C \Rightarrow M P=d(M, D C)\) + \(A P \perp D C\) +\(M A \perp A B, N B \perp A B \Rightarrow M A \| N B\) și \(N B=\frac{M A}{2} \Rightarrow N B\) linie mijlocie în \(\triangle M D A\). +Deci \(D B=B A=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) și \(A D=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\). +\(\triangle D A C\) :t.Pit. \(\Rightarrow D C=8 \mathrm{~cm}\), înălțimea \(A P=\frac{A D \cdot A C}{D C} \Rightarrow A P=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) +\(\triangle M A P:\) :.Pit. \(\Rightarrow M P=4 \mathrm{~cm}=d(M, D C)\) +``` + +| 4.) Din oficiu 1p | +| :--- | :--- | :--- | + +Desen: + +$\mathbf{1 p}$ + +D' C' + +A' + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3e30d84e0c2bb0ec407bg-3.jpg?height=246&width=657&top_left_y=1050&top_left_x=491) + +A + +B + +a) $D A \| B C \Rightarrow m\left(A D^{\prime} ; B C\right)=m\left(A D^{\prime} ; A D\right)=m\left(D^{\prime} \hat{A} D\right)$ + +$\sin D^{\prime} \hat{A} D=\frac{D^{\prime} D}{A D^{\prime}}$ + +$D^{\prime} A^{2}=D^{\prime} D^{2}+A D^{2}=3^{2}+(3 \sqrt{2})^{2} \Rightarrow D^{\prime} A=3 \sqrt{3}$ + +Deci, $\sin D^{\prime} \hat{A} D=\frac{3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ + +b) Fie $D E \perp A D^{\prime}, E \in A D^{\prime}$ + +$C D \perp A D ; C D \perp D^{\prime} D ; A D, D^{\prime} D \subset\left(A D D^{\prime}\right) ; A D \cap D^{\prime} D=\{D\} \Rightarrow C D \perp\left(A D D^{\prime}\right)$ + +$C D \perp\left(A D D^{\prime}\right), A D^{\prime} \subset\left(A D D^{\prime}\right), D E \perp A D^{\prime} \Rightarrow C E \perp A D^{\prime}$. Deci $d\left(C ; A D^{\prime}\right)=C E$. + +$D E \cdot A D^{\prime}=D D^{\prime} \cdot A D \Rightarrow D E=\frac{A D \cdot D D^{\prime}}{A D^{\prime}}=\frac{3 \cdot 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}=\sqrt{6}$ + +$C D \perp\left(A D D^{\prime}\right), D E \subset\left(A D D^{\prime}\right) \Rightarrow C D \perp D E \Rightarrow C E^{2}=C D^{2}+D E^{2}=6^{2}+\sqrt{6}^{2} \Rightarrow$ $\Rightarrow C E=\sqrt{42}$. Deci $d\left(C ; A D^{\prime}\right)=\sqrt{42} \mathrm{~cm}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-56-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl V-onm_2018_clasa_v.md b/Romania_Olympiad/md/ro-56-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl V-onm_2018_clasa_v.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2efbee91761f0857af212d2365fe0870c14d8835 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-56-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl V-onm_2018_clasa_v.md @@ -0,0 +1,66 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Negreşti Oaş, 4 aprilie 2018 SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi numerele prime $a>b>c$ pentru care $a-b, b-c$ sुi $a-c$ sunt numere prime diferite. + +Soluţie. Dacă $a-b, b-c, a-c$ sunt numere prime diferite, atunci $a, b, c$ nu pot fi toate impare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6c66b94c0630c0832b8g-1.jpg?height=59&width=1786&top_left_y=499&top_left_x=175) + +Avem $a-b=2, b-2=x, a-2=y$, unde $x$ şi $y$ sunt numere prime şi de aici numerele $a=b+2, x=b-2$ si $y=b$ sunt numere prime. . + +$2 p$ + +Numerele prime $b-2, b, b+2$ sunt numere impare consecutive, deci unul multiplu de 3 , de unde + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6c66b94c0630c0832b8g-1.jpg?height=54&width=1786&top_left_y=702&top_left_x=175) + +Deci $a=7, b=5, c=2$ sunt numerele căutate. ...................................................................... + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale nenule $a, b, c$ pentru care + +$$ +\frac{a+b}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{7 c+1}{c+1} +$$ + +Soluţie. Fie $M=\frac{a+b}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{a+b+a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{a(1+a)+b(1+b)}{2} \in \mathbb{N}$, întrucât $a(1+a)$ şi $b(1+b)$ sunt produse de numere naturale consecutive, deci pare. + +Pe de altă parte $M=\frac{7 c+1}{c+1}=7-\frac{6}{c+1} \in \mathbb{N}$, deci $\frac{6}{c+1} \in\{1,2,3,6\}$. . . $2 p$ + +Dacă $\frac{6}{c+1}=1$, atunci $M=6$, deci $a(1+a)+b(1+b)=12$ cu soluţia $a=b=2$ şi $c=5$. + +Dacă $\frac{6}{c+1}=2$, atunci $M=5$, deci $a(1+a)+b(1+b)=10$ fără soluţie. + +Dacă $\frac{6}{c+1}=3$, atunci $M=4$, deci $a(1+a)+b(1+b)=8$ cu soluţiile $a=1, b=2, c=1$ şi $a=2, b=1, c=1$. + +Dacă $\frac{6}{c+1}=6$, atunci $c=0$ nu convine. + +Problema 3. Pe o tablă sunt scrise numerele: $1,2,3, \ldots, 27$. Un pas înseamnă ştergerea a trei numere $a, b, c$ de pe tablă şi scrierea în locul lor a numărului $a+b+c+n$, unde $n$ este un număr natural nenul fixat. Determinaţi numărul natural $n$ ştiind că, după 13 paşi, pe tablă este scris numărul $n^{2}$. + +## Soluţie. + +Remarcăm mai întâi că după fiecare pas, dispar de pe tablă două numere de fapt, aşadar după 13 paşi dispar 26 de numere, deci rămâne un singur număr. + +După fiecare pas suma numerelor se măreşte cu n, aşadar după 13 paşi suma de pe tablă (adică numărul rămas pe tablă) este $1+2+\cdots+27+13 n=\frac{27 \cdot 28}{2}+13 n=378+13 n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3 \mathbf{p}$ + +Din $378+13 n=n^{2}$ rezultă $378=n(n-13)$. Divizorii lui 378 sunt $D_{378}=\{1,2,3,6,7,9,14,18,21,27,42,54,63,126,189,378\}$ dintre care $n=27$ verifică proprietatea din enuntु. + +Problema 4. Se consideră un număr natural $n \geq 2$ şi un pătrat $n \times n$ (vezi figura alăturată). Diagonala principală a acestui pătrat este formată din câmpurile haşurate. Completăm câmpurile aflate sub diagonala principală cu zerouri, iar în restul câmpurilor (inclusiv cele haşurate) scriem numere naturale nenule. După completarea tuturor câmpurilor calculăm suma numerelor aflate pe fiecare linie şi fiecare coloană, obţinând astfel $2 n$ sume. Pătratul se numeşte norocos dacă valorile celor $2 n$ sume sunt egale, într-o anumită ordine, cu numerele $1,2, \ldots, 2 n$. + +a) Arătaţi că, pentru $n=5$, nu există pătrat norocos. + +b) Dacă $n=4$, determinaţi cel mai mare număr natural care apare în completarea unui pătrat norocos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6c66b94c0630c0832b8g-2.jpg?height=533&width=526&top_left_y=590&top_left_x=802) + +Soluţie. a) Presupunem că există un pătrat norocos $5 \times 5$. Suma tuturor sumelor va fi $1+$ $2+\cdots+10=55$. Suma sumelor pe linii este egală cu suma sumelor pe coloane, deci suma tuturor sumelor este pară. Dar 55 este impar, aşadar nu există pătrat norocos $5 \times 5$. + +b) Presupunem că un câmp este ocupat de un număr $m \geq 7$, acesta nu poate fi pe prima sau a doua linie sau coloană, alfel suma ar fi cel puţin egală cu $m+2 \geq 9>8$. Iar în restul câmpurilor se află zerouri, deci $m \leq 6$. ........................................................................................................ + +Un pătrat norocos pentru $m=6$ este în figura alăturată. Deci cel mai mare număr natural care apare în completarea unui pătrat norocos este 6 . + +| 1 | 1 | 1 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 2 | 1 | 1 | 0 | +| 1 | 6 | 0 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 0 | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-560-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-560-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be221d8f77163b1a08fef04716ea6d6c90fc6993 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-560-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,59 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2015. február 28. + +VII . OSZTÁLY + +1.) Adott $n=(-1)^{-1} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot(-3)^{-3} \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot(-5)^{-5} \cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{-6}$. Határozd meg azt a legnagyobb zérótól különböző $m$ egész számot, amelyre $\sqrt{2 \cdot \sqrt{n \cdot m}} \in \mathbf{Q}$ ! + +2.) Áginak megtetszett egy pulóver, és pénzének $80 \%$-áért meg is vette. Később kapott nagymamájától a születésnapjára 30 lejt. Rájött, hogy ha az így összegyült pénzét még 25\%-kal megnöveli, akkor ugyanannyi pénze lesz, mint vásárlás elött. Hány leje volt Áginak eredetileg? + +3.) Adott az $A B C$ háromszög és az $M \in[A B]$ és $N \in[A C]$ pontok úgy, hogy $A M=3 \cdot M B$ és $4 \cdot A N=3 \cdot A C$. + +a) Bizonyítsd be, hogy az $M N$ és $B C$ egyenesek párhuzamosak! + +b) Számítsd ki az $A M N$ és $A B C$ háromszögek területeinek arányát! + +4.) Az ABCD paralelogrammában a $C A D \Varangle$ szögfelezője a $D C$ egyenest az $E$ pontban metszi, a $B E$ egyenes az $A D$ egyenest pedig $F$ pontban metszi. Mutasd ki, hogy $\frac{A F}{A D}-\frac{A D}{A C}=1$. + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
28 februarie 2015
BAREM
CLASA A VII-A + +| 1.) | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $n=-1 \cdot 2^{2} \cdot(-3)^{-3} \cdot 4^{4} \cdot(-5)^{5} \cdot 6^{6}=-2^{2} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{8} \cdot 5^{-5} \cdot(2 \cdot 3)^{6}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $n=-2^{16} \cdot 3^{3} \cdot 5^{-5}=\frac{-2^{16} \cdot 3^{3}}{5^{5}}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $\sqrt{n \cdot m} \in Q \Rightarrow m \in Z_{-}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\sqrt{2 \cdot \sqrt{n \cdot m}}=\sqrt{\sqrt{4 \cdot n \cdot m}} \in Q \Rightarrow \sqrt{\sqrt{-2^{2} \cdot \frac{2^{16} \cdot 3^{3}}{5^{5}} \cdot m}}=\sqrt{\sqrt{-\frac{2^{18} \cdot 3^{3}}{5^{5}} \cdot m}} \in Q \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow m=-3 \cdot 5 \cdot 2^{2} \cdot k^{4}=-60 k^{4}$ de unde pentru $k=1 \Rightarrow m_{\max }=-60$ | $3 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| Notăm cu $x$ suma iniţială. După cumpărarea bluzei Alina va avea $100 \%-80 \%=20 \%$
din banii săi, deci $x \cdot \frac{20}{100}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $x \cdot \frac{20}{100}+30+x \cdot \frac{20}{100} \cdot \frac{1}{4}+30 \cdot \frac{1}{4}=x$ | $3 p$ | | +| $30+7,5=x \cdot\left(1-\frac{20}{100}-\frac{5}{100}\right) \Rightarrow 37,5=x \cdot \frac{75}{100}$ | $3 \mathbf{p}$ | | +| $x=37,5 \cdot \frac{100}{75} \Rightarrow x=\frac{3750}{75}=50$
Deci Alina a avut iniţial 50 de lei. | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\frac{A M}{M B}=\frac{3}{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\frac{A N}{A C}=\frac{3}{4}$, deci $\frac{A N}{N C}=\frac{3}{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Folosirea teoremei reciproce a teoremei lui Thales | $\mathbf{2 p}$ | +| b) | $\triangle A M N \sim \triangle A B C \Rightarrow \frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A C}=\frac{3}{4}$ de unde obținem $\frac{A_{A M N}}{A_{A B C}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | $D E\|\| A B \Rightarrow \triangleleft A F B \sim \triangleleft D F E \Rightarrow \frac{A F}{D F}=\frac{A B}{D E} \Leftrightarrow \frac{A F}{A F-D F}=\frac{A B}{A B-D E} \Leftrightarrow$ | 3p | +| | $\frac{A F}{A D}=\frac{A B}{E C}(1)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| In $\triangleleft D A C$, AE bisectoare $\Rightarrow \frac{A D}{A C}=\frac{D E}{E C}(2)$ | 2p | | +| | Din (1) şi (2) $\Rightarrow \frac{A F}{A D}-\frac{A D}{A C}=\frac{A B}{E C}-\frac{D E}{E C}=\frac{E C}{E C}=1$. | 3p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-561-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-561-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e79a1da7cf2432aadc8b0f24a8fe3a48b296fe22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-561-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ
2015. február 28.
VI. OSZTÁLY + +1.) a) На $\overline{0,1(a)}+\overline{0, a(3)}=0,3(5)$, határozd meg $a$ értékét! + +b) Határozd meg az $A=\{x \in \mathbb{N}|x=\overline{a 1 b}+\overline{1 b 5}, 15| x\}$ halmaz elemeinek számát! + +2.) Számítsd ki az $A$ és $B$ számok számtani középarányosát tudva azt, hogy $A=81^{504}: 3^{2015}$, $B$ pedig a legkisebb zérótól különböző természetes szám, amelyet a $12, \frac{15}{4}$ és 1,(7) számokkal osztva, mindegyik esetben, a hányados természetes szám és a maradék 0 ! + +3.) Legyen $A B C$ egy háromszög. Az $A B$ szakasz $D$ felezőpontjában az $A B$-re emelt merőleges a BC oldalt az E pontban metszi. + +a) Mutasd ki, hogy az $A B E \triangle$ egyenlő szárú! + +b) Ha $A B=14 \mathrm{~cm}, B C=18 \mathrm{~cm}$ és az $A E B$ háromszög kerülete $38 \mathrm{~cm}$, számítsd ki az EC szakasz hosszát! + +4.) Legyen az $A O B \Varangle$ egy tulajdonképpeni szög. Az $M$ pont az $A O B \Varangle$ belsőtartományában, az $N$ pont az $A O B ~ \Varangle$ külsőtartományában van. Az [OP félegyenes az AOM $\Varangle$ szögfelezője, $m(P O B \Varangle)=60^{\circ}$ és $m(B O M \Varangle)=2 \cdot m(B O N \Varangle)$. Ha $[O Q$ az AOP szögfelezője igazold, hogy az $N O Q \Varangle$ derékszög! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A VI-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | $\overline{1 a}-1, \overline{a 3}-a \quad 35-3$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\overline{90}+\overline{90}=\frac{90}{9}$ | | +| | $10+a-1+10 a+3-a=32,10 a=20, a=2$ | $2 \mathbf{p}$ | +| b) | $15\|x \Rightarrow 5\| x, 3 \mid x, x=\overline{a 1 b}+\overline{1 b 5} \Rightarrow b=0$ vagy $b=5$ | 1p | +| | Dacă $b=0 \Rightarrow x=\overline{a 10}+105 \Rightarrow 3 \mid \overline{a 10} \Rightarrow a \in\{2,5,8\}$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3f9c1122d27dbd78a9b8g-2.jpg?height=56&width=56&top_left_y=885&top_left_x=1807) | +| | Dacă $b=5 \Rightarrow x=\overline{a 15}+155 \Rightarrow a \in\{1,4,7\}$ | | +| | $x \in\{315,615,915,270,570,870\}$ | 1p | +| | card $A=6$ | 1p | + +2.) Din oficiu $\quad \mathbf{1 p}$ + +$A=81^{504}: 3^{2015}=\left(3^{4}\right)^{504}: 3^{2015}=3^{2016}: 3^{2015}=3^{1}=3 \quad$ 3p + +| $B$ trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: | 2p | +| :--- | :--- | + +$B: 12 \in \mathbb{N}, B: \frac{15}{4}=B \cdot \frac{4}{15} \in \mathbb{N}$ şi $B: 1,(7)=B: \frac{16}{9}=B \cdot \frac{9}{16} \in \mathbb{N}$ + +| Rezultă că $B=[12,15,16]=16 \cdot 3 \cdot 5=240$. | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | + + +| Media aritmetică a numerelor $A$ şi $B$ este: $(A+B): 2=(240+3): 2=121,5$. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | + + +| 3.)
a) | Din oficiu | | 1p | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | Desen corect | | $1 p$ | +| | $[A D] \equiv[D B]$ | | $3 \mathbf{p}$ | +| | $\hat{A D E} \equiv \hat{B D E}$ | $\Rightarrow \triangle A D E \equiv \triangle B D E$ | | +| | $\triangle A D E \equiv \triangle B L$ | $E \Rightarrow[A E] \equiv[B E]$. Deci triunghiul $A B E$ este isoscel. | $2 \mathbf{p}$ | +| b) | $P_{A B E}=2 \cdot B E$
$2 B E+14 \mathrm{~cm}$
Deci $E C=B$ | $+A B$. Deoarece $P_{A B E}=38 \mathrm{~cm}$ şi $A B=14 \mathrm{~cm}$, rezultă că
$=38 \mathrm{~cm} \Rightarrow B E=(38 \mathrm{~cm}-14 \mathrm{~cm}): 2=12 \mathrm{~cm}$.
$--B E=18 \mathrm{~cm}-12 \mathrm{~cm}=6 \mathrm{~cm}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | Desen corect | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | +| | Notăm $m(\Varangle A O Q)=m(\Varangle Q O P)=a, a>0$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| | Avem $m(\Varangle A O P)=2 a, m(\Varangle A O M)=4 a$ | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | +| | Din $m(\Varangle P O B)=60^{\circ}$ avem $m(\Varangle B O M)=60^{\circ}-2 a$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $m(\Varangle N O Q)=m(\Varangle N O B)+m(\Varangle B O P)+m(\Varangle P O Q)=30^{\circ}-a+60^{\circ}+a=90^{\circ}$ | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-562-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-562-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0e0a685ae9924e5fa438906b6473a77bc80e6e20 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-562-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2015. február 28. + +V. OSZTÁLY + +1.) a) Ha $a+3 b=120$ és $4 b+4 c=160$, számítsd ki a $2 a+9 b+3 c$ összeget! + +b) Határozd meg az összes olyan $\overline{a b}$ alakú természetes számot, amely teljesíti az $\overline{a b}=4 a+3 b$ feltételt! + +2.) Melyek azok a természetes számok, amelyeket 27-tel osztva, a maradék egyenlő a hányados négyzetével? + +3.) Adott a következő sorozat : $3,8,13,18, \ldots$, melyben minden tag, a másodikkal kezdődően, 5 -tel nagyobb az előzőnél. + +a) Határozd meg a sorozat 103-ik tagját! + +b) Hányadik tagja a sorozatnak az 1913-as szám? + +c) Számítsd ki a sorozat első 150 tagjának összegét! + +4.) Határozd meg az $A, B, C$ halmazokat úgy, hogy egyidejüleg teljesülnek a következő feltételek: a) $A \cap C=\{2\}$; +b) $A \cap B=\{3\}$; +c) $A \cup B=\{x \mid 2 \leq x<6\}$; +d) $A \cup C=\{1,2,3,4,6\}$; +e) $A \backslash C=\{3\}$; +f) $B \cap C=\{4\}$. + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +28 februarie 2015 + +## BAREM + +CLASA A V-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | $4 b+4 c=160 \Rightarrow b+c=40$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2 a+9 b+3 c=2 a+6 b+3 b+3 c=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2(a+3 b)+3(b+c)=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2 \cdot 120+3 \cdot 40=240+120=360$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | $10 a+b=4 a+3 b$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $3 a=b$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Aflarea soluţilor: $a=1, b=3 ; a=2, b=6 ; a=3, \mathrm{~b}=9$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Aflarea numerelor: $13,26,39$ | $\mathbf{1 p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_153363e90d79dced36b5g-2.jpg?height=1047&width=1670&top_left_y=1332&top_left_x=227) + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | Al 103-lea termen este $5 \cdot 102+3=513$ | 3p | +| b) | $5 \cdot \mathrm{n}+3=1913, \mathrm{n}=382$, deci al 383 -lea termen | 3p | +| c) | $3+8+\ldots+748=(3+748) \cdot 150 / 2=56325$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $A \cup B=\{x \mid 2 \leq x<6\}=\{2,3,4,5\}$
$1 \in A \cup C \Rightarrow 1 \in A$ sau $1 \in C$, dar $1 \notin A \cup B \Rightarrow 1 \notin A$ şi $1 \notin B$. Deci $1 \in C$.
$5 \in A \cup B \Rightarrow 5 \in A$ sau $5 \in B$, dar $5 \notin A \cup C \Rightarrow 5 \notin A$ şi $5 \notin C$. Deci $5 \in B$.
$6 \in A \cup C \Rightarrow 6 \in A$ sau $6 \in C$, dar $6 \notin A \cup B \Rightarrow 6 \notin A$ şi $6 \notin B$. Deci $6 \in C$. | $4 p$ | +| | $A \cap C=\{2\} \Rightarrow 2 \in A$ şi $2 \in C$, dar $2 \notin A \cap B \Rightarrow 2 \notin B$
$B \cap C=\{4\} \Rightarrow 4 \in B$ şi $4 \in C$, dar $4 \notin A \cap C \Rightarrow 4 \notin A$
$A \cap B=\{3\} \Rightarrow 3 \in A$ şi $3 \in B$
$A \backslash C=\{3\} \Rightarrow 3 \notin C$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Deci $A=\{2,3\}, B=\{3,4,5\}, C=\{1,2,4,6\}$ | $2 \mathbf{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-563-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb.maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-563-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb.maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c016e68545b087ce86c6907fb3fed010a0e9389 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-563-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb.maghiara.md @@ -0,0 +1,57 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2015. február 28. + +## IX . OSZTÁLY + +1.) Ha $a, b, c \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ igazold az alábbi egyenlőtlenségeket! +a) $a^{3}+b^{3} \geq a^{2} b+a b^{2}$ +b) $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+a b c}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+a b c}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+a b c} \leq \frac{1}{a b c}$ + +2.) Ha $y_{n}=\frac{5}{1 \cdot 2}+\frac{9}{2 \cdot 3}+\frac{15}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{n^{2}-n+3}{(n-1) \cdot n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, határozd meg $\left[y_{n}\right]$ és $\left\{y_{n}\right\}$ értékét $n \geq 4$ esetben! + +3.) Adott az $A B C$ háromszög, amelyben $\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$, és az $M \in B C, N \in A C$, $P \in A B$ pontok úgy, hogy $(B M) \equiv(M C), A B N \nless \equiv C B N \nless, A M \cap B N=\{S\}$, $C S \cap A B=\{P\}$. Számítsd ki az SNP és $S B C$ háromszögek területeinek arányát! + +4.) Legyen $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ egy sorozat úgy, hogy : $\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{3}$. Ha $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$ igazold, hogy $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ számtani haladvány! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
28 februarie 2015
BAREM
CLASA A IX-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | $a^{3}+b^{3} \geq a^{2} b+a b^{2} \Leftrightarrow(a-b)^{2}(a+b) \geq 0$ adevărat pentru $\forall a, b, c \in R_{+}^{*}$ | 3p | +| b) | Din a) rezultă că $a^{3}+b^{3}+a b c \geq a b(a+b+c)$
În mod analog: $b^{3}+c^{3}+a b c \geq b c(a+b+c), c^{3}+a^{3}+a b c \geq c a(a+b+c)$. | 3p | +| | De unde avem $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+a b c}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+a b c}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+a b c} \leq$ | $\mathbf{1}$ | +| | $\frac{1}{a b(a+b+c)}+\frac{1}{b c(a+b+c)}+\frac{1}{c a(a+b+c)}=\frac{1}{a b c}$. | | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Avem: $\frac{n^{2}-n+3}{(n-1) n}=\frac{n^{2}-n}{(n-1) n}+3 \frac{1}{(n-1) n}=1+3 \frac{1}{(n-1) n}=1+3\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$ | $\mathbf{3 p}$ | +| De unde $y_{n}=n-1+3 \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=n-1+3\left(1-\frac{1}{n}\right)=n+2-\frac{3}{n}=n+1+\frac{n-3}{n}$ | $\mathbf{4 p}$ | | +| | Pentru $n \geq 4$ avem $\left[\frac{n-3}{n}\right]=0$ de unde rezultă $\left[y_{n}\right]=n+1$ şi $\left\{y_{n}\right\}=y_{n}-\left[y_{n}\right]=\frac{n-3}{n}$ | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | $A M \cap B N \cap C P=\{S\}$, conform teoremei lui Ceva $\frac{N A}{N C} \cdot \frac{M C}{M B} \cdot \frac{P B}{P A}=1$. | 2p | +| Însă $\frac{M B}{M C}=1$, rezultă că $\frac{N A}{N C}=\frac{P A}{P B}$ de unde obținem $P N \\| B C$ | 2p | | +| $\Varangle A B N \equiv \Varangle C B N \Rightarrow B N$ bisectoare $\Rightarrow \frac{N A}{N C}=\frac{B A}{B C}=\frac{2}{3}$. Din $\frac{N A}{N C}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{N A}{A C}=\frac{2}{5}$ | | | +| Din $P N \\| B C \Rightarrow A P N_{\Delta} \sim A B C_{\Delta}$ de unde $\frac{P N}{B C}=\frac{A N}{A C}=\frac{2}{5}$ | 2p | | +| Din $P N \\| B C \Rightarrow S N P_{\Delta} \sim S B C_{\Delta}$, deci $\frac{A_{S N P}}{A_{S B C}}=\left(\frac{P N}{B C}\right)^{2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$. | 3p | | + + +| 4.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $a_{2}=3 a_{1}=\frac{2 \cdot 3}{2} a_{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{4 p}$ | | +| Cum $b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{2} a_{1}$ rezultă că $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică cu raţia $\frac{1}{2} a_{1}$ | $\mathbf{1 p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-564-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-564-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e445c44e86d3d88fcfaf216e832c3fe3f9a22b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-564-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,78 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A XII-A + +1.) a) Pe mulţimea $\mathbb{N}^{*}$ definim operaţia "o" astfel: $a \circ b=c=$ cel mai mare număr natural pentru care există triunghi cu lungimile laturilor $a, b, c$. Să se studieze proprietăţile operaţiei "o" (asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile). + +b) Pe mulţimea $H=\{1,2,3,4,5\}$ definim operaţia "*" astfel: $a * b=c=$ cel mai mic număr natural pentru care există triunghi cu lungimile laturilor $a, b, c$. Să se efectueze tabela operației. + +2.) Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+x$. + +a) Să se arate că funcţia $f$ este bijectivă şi să se calculeze $\left(f^{-1}\right)(1)$. + +b) Dacă $x_{0}=f^{-1}(0)$ arătaţi că $(G, *)$ este un grup abelian, unde $G=\mathbb{R} /\left\{x_{0}\right\}$, și $x * y=f^{-1}(2 f(x) \cdot f(y)), \forall x, y \in G$ + +3.) Se consideră funcţia $f: R \rightarrow R, f(x)=\left(4 x^{3}-6 x^{2}+6 x-2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)$. Să se determine acea primitivă $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $f$ al cărei grafic trece prin punctul $A(1,0)$. + +4.) Să se determine funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care $f(0)=1$ și există $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ primitivă a funcției $f$ astfel încât $F(x)-f(x)=\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +## 28 februarie 2015
BAREM
CLASA A XII-A + +| 1.) | Din oficiu | | | | | | | 1p | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| a) | Dacă există triunghi cu laturile $a, b, c$ atunci $a+b>c$. Însă $c \in N^{*}$ este cel mai mare
număr natural cu această proprietate, deci $c=a+b-1$, adică $a \circ b=a+b-1$. | | | | | | | $2 \mathbf{p}$ | +| | Operaţia este asociativă, comutativă, elementul neutru este $e=1 \in N^{*}$ | | | | | | | $2 p$ | +| | $a \circ a {fa31a25d7-b261-41de-9f3d-366889d5e633}=2-a$. Însă $a^{`} \in N^{*}$, deci numai
$a=1$ este simetrizabil şi simetricul coincide cu 1. | | | | | | | $2 p$ | +| b) | Dacă există triunghi cu laturile $a, b, c$ astfel încât $c$ este cel mai mic număr natural cu
această proprietate atunci $\|a-b\| $x * y=x_{0} \Rightarrow f^{-1}(2 f(x) \cdot f(y))=f^{-1}(0) \Rightarrow 2 f(x) \cdot f(y)=0$ de unde obținem
$f(x)=0$ sau $f(y)=0$ de unde $x=x_{0}$ sau $y=x_{0}$ contradicție, deci
$x * y \neq x_{0} \Rightarrow x * y \in G$, adică mulţimea $G$ este parte stabile a mulțimii $\mathbb{R}$ față de $" * "$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\forall x, y, z \in G,(x * y) * z=x *(y * z)=f^{-1}(4 f(x) f(y) f(z)) \Rightarrow " * "$ asociativă | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\forall x, y \in G, x * y=y * x=f^{-1}(2 f(x) f(y)) \Rightarrow " * "$ comutativă | 1p | +| | $\exists e \in G$ astfel încât $x * e=x, \forall x \in G, e=f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ element neutru | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\forall x \in G, \exists x^{\prime} \in G$ astfel încât $x^{*} x^{\prime}=e, x^{\prime}=f^{-1}\left(\frac{1}{4 f(x)}\right)$ element simetric
Rezultă că $(G, *)$ este un grup abelian | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Cum $\left(\operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)\right)^{\prime}=\frac{2 x-1}{x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2}$ și
$\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right)^{\prime}=4 x^{3}-6 x^{2}+6 x-2$ avem | $2 p$ | +| | $F(x)=\int\left(4 x^{3}-6 x^{2}+6 x-2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right) d x=$
$=\int\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right) d x=$ | $1 p$ | +| | $=\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)-\int(2 x-1) d x=$ | $2 p$ | +| | $=\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)-x^{2}+x+C$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Deorece $A(1,0) \in G_{F}$, rezultă că $F(1)=0$, adică $2 \cdot \frac{\pi}{4}+C=0$, deci $C=-\frac{\pi}{2}$. Rezultă
că $F(x)=\left(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}-x+1\right)-x^{2}+x-\frac{\pi}{2}$. | $2 p$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | Cum $F$ este o primitive a funcţiei $f$ rezultă că $F$ este derivabilă și
$F^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$ | 1p | +| | Înmulţind cu $e^{-x}$ relația $F(x)-f(x)=\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ se obține
$e^{-x} F(x)-e^{-x} f(x)=e^{-x} \sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left(e^{-x} F(x)\right)^{\prime}=-e^{-x} \sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$ de unde
$e^{-x} F(x)=\int-e^{-x} \sin ^{2} x d x$ | $2 p$ | +| | Utilizând metoda integrării prin părti obținem:
$\int e^{-x} \sin ^{2} x d x=-e^{-x} \sin ^{2} x-\frac{e^{-x}}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)$ | $2 p$ | +| | Avem $e^{-x} F(x)=e^{-x} \sin ^{2} x+\frac{e^{-x}}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+\mathbb{C}$ de unde se obţine
$F(x)=\sin ^{2} x+\frac{1}{5}(\sin 2 x+2 \cos 2 x)+\mathbb{C} e^{x}$ | $2 p$ | +| | Din $f(0)=1$ se obţine $F(0)=1$ și $\mathbb{C}=\frac{3}{5}$ | 1p | +| | Cum din ipoteză avem $f(x)=F(x)-\sin ^{2} x, \forall x \in \mathbb{R}$, obţinem
$f(x)=\frac{1}{5}\left(\sin 2 x+2 \cos 2 x+3 e^{x}\right), \forall x \in \mathbb{R}$ | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-565-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-565-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c6052aa393bf05cedef10517ceee66378d9285bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-565-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A XI-A + +1.) Se consideră matricea $A \in M_{2}(\mathbb{R}), A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$. Să se arate că există $\lambda \in \mathbb{R}$ astfel încât $\lambda\left(I_{2}+A\right)\left(I_{2}-A\right)=I_{2}$ și să se calculeze suma $S=\sum_{k=0}^{2015} A^{k}$. + +2.) Se consideră șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel încât $a_{n}=3 a_{n+1}+4$ și $a_{1}=0$, iar șirul $b_{n}=a_{n}+2, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) b_{n}$. + +3.) Să se calculeze limita $L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x+2 \sin 2 x+\ldots+n \sin n x)^{\frac{1}{x}}\right]^{\frac{1}{n^{3}}}$. + +4.) Se consideră șirul de numere reale $a_{1}=a, a_{2}=b, a, b \in(0, \infty)$ cu termenii $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ în progresie algebrică, cu temenii $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ în progresie geometrică, cu termenii $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ în progresie algebrică, cu termenii $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ în progresie geometrică și așa mai departe. + +a) Să se determine formula termenului general al șirului. + +b) Să se calculeze valoarea lui $a$ și $b$ pentru care $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n}-\frac{1}{3} n^{2}-\frac{4}{3} n\right)=\frac{4}{3}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A XI-A + +| 1.) | Din oficiu | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\lambda\left(I_{2}+A\right)\left(I_{2}-A\right)=I_{2} \Rightarrow \lambda\left(I_{2}-A^{2}\right)=I_{2}$ și cum $A^{2}=-I_{2}$ rezultă $\lambda=\frac{1}{2}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Din $A^{2}=-I_{2}$ obținem $A^{3}=-A$ și $A^{4}=I_{2}$ | $1 p$ | +| | Avem $A^{4 k}=I_{2} ; \quad A^{4 k+1}=A ; \quad A^{4 k+2}=-I_{2}$ și $A^{4 k+3}=-A$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Cum $A^{0}+A^{1}+A^{2}+A^{3}=I_{2}+A+\left(-I_{2}\right)+(-A)=O_{2}$ avem | $2 \mathbf{p}$ | +| | $S=\sum_{k=0}^{2015} A^{k}=\underbrace{A^{0}+A^{1}+A^{2}+A^{3}}_{=O_{2}}+\ldots+\underbrace{A^{2012}+A^{2013}+A^{2014}+A^{2015}}_{=O_{2}}=O_{2}$ | $2 p$ | + + +| ?.) | Din oficiu | $1_{\mathbf{F}}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $a_{n}=3 a_{n+1}+4 \Rightarrow a_{n}+2=3 a_{n+1}+6 \Rightarrow a_{n}+2=3\left(a_{n+1}+2\right)(1)$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $b_{n}=a_{n}+2 \stackrel{(1)}{\Rightarrow} b_{n}=3 b_{n+1} \Rightarrow b_{n+1}=\frac{1}{3} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ de unde rezultă că șirul $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este o progresie
geometrică cu primul termen $b_{1}=2$ și rația $q=\frac{1}{3}$, deci $b_{n}=2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{2}{3^{n-1}}$ | 2] | +| | Cum $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=2 \sum_{k=1}^{n} k-n=2 \frac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}$ | 1p | +| | Avem $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1) b_{n}=n^{2} \cdot \frac{2}{3^{n-1}}=\frac{2 n^{2}}{3^{n-1}}$ de unde $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}}{3^{n-1}}$ | $\mathbf{1}_{I}$ | +| | Pentru calculul limitei aplicăm de două ori teorema lui Stolz-Cesaro ( sirul cu termenul
general $x_{n}=3^{n-1}, n \geq 1$ fiind strict crescător)
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}}{3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2(n+1)^{2}-2 n^{2}}{3^{n}-3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n+1}{3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n+3)-(2 n+1)}{3^{n}-3^{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}}=0$ | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7f5ef9a506b72d31c342g-2.jpg?height=662&width=1744&top_left_y=1987&top_left_x=218) + +| ) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ progresie aritmetică $\Rightarrow a_{3}=2 a_{2}-a_{1}=2 b-a$
$a_{2}, a_{3}, a_{4}$ progresie geometrică $\Rightarrow a_{4}=\frac{a_{3}^{2}}{a_{2}}=\frac{(2 b-a)^{2}}{b}$ | $1 p$ | +| | $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ progresie aritmetică $\Rightarrow a_{5}=2 a_{4}-a_{3}=\frac{(2 b-a)(3 b-2 a)}{b}$ | 1p | +| | $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ progresie geometrică $\Rightarrow a_{6}=\frac{a_{5}^{2}}{a_{4}}=\frac{(3 b-2 a)^{2}}{b}$ | $1 p$ | +| | Presupunem, că $a_{2 k-1}=\frac{[(k-1) b-(k-2) a \rrbracket[k b-(k-1) a]}{b}$ şi $a_{2 k}=\frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}$,
trebuie să demonstrăm că $a_{2 k+1}=\frac{[k b-(k-1) a][(k+1) b-k a]}{b}$ şi $a_{2 k+2}=\frac{[(k+1) b-k a]^{2}}{b}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ progresie aritmetică $\Rightarrow$
$a_{2 k+1}=2 a_{2 k}-a_{2 k-1}=2 \frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}-\frac{[(k-1) b-(k-2) a][k b-(k-1) a]}{b}$
$=\frac{[k b-(k-1) a \rrbracket(k+1) b-k a]}{b}$,
$a_{2 k}, a_{2 k+1}, a_{2 k+2}$ progresie geotmetrică $\Rightarrow$
$a_{2 k+2}=\frac{a_{2 k+1}^{2}}{a_{2 k}}=\frac{\left\{\frac{[k b-(k-1) a \llbracket(k+1) b-k a]}{b}\right\}^{2}}{\frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}}=\frac{[(k+1) b-k a]^{2}}{b}$ | 1p | +| | Deci formula termenului general este $a_{2 k-1}=\frac{[(k-1) b-(k-2) a][k b-(k-1) a]}{b}$ şi
$a_{2 k}=\frac{[k b-(k-1) a]^{2}}{b}$, pentru $\forall k \in N^{*}$ | | +| | $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{2 n}-\frac{1}{3} n^{2}-\frac{4}{3} n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(b-a)^{2} n^{2}-2\left(a^{2}-a b\right) n+a^{2}}{b}-\frac{1}{3} n^{2}-\frac{4}{3} n$
$=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3(b-a)^{2}-b n^{2}-\left(6 a^{2}-6 a b+4 b\right) n+3 a^{2}}{3 b}=\frac{4}{3}$ | $1 p$ | +| | Rezultă că $\left\{\begin{array}{c}3(b-a)^{2}-b=0 \\ 3 a^{2}-3 a b+2 b=0 \\ \frac{a^{2}}{b}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$ | 1p | +| | Scăzând ecuaţia a doua din prima rezultă că $b(b-a-1)=0$. Deorece $a, b \in(0, \infty)$, avem
$b=a+1$. Înlocuin în ecuaţia a treia obţinem $3 a^{2}-4 a-4=0$ cu soluţiile 2 şi $-\frac{2}{3}$, dintre
care convine $a=2$ şi astfel $b=3$. | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-566-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-566-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a12d8be9eb8d9b8782a7e977a640427246b3d121 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-566-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,63 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A X-A + +1.) a) Se calculeze $A(a, b, c)=\log _{\sqrt{c}} \frac{c^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\log _{\frac{1}{c}} \frac{c}{a+b+2 \sqrt{a b}}, a, b, c \in N^{*}, c>1$ + +b) Să se rezolve ecuaţia $\left\{\log _{\sqrt{3}}[9(\sqrt{2}-1)]+\log _{\frac{1}{3}}[3(3-2 \sqrt{2})]\right\}^{x^{2}-3 x}=\frac{1}{9}, x \in R$. + +2.) Se dau numerele complexe $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}^{*}$ astfel încât $\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \frac{\sqrt{2}}{2}$. + +a) Să se calculeze $\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| \operatorname{si} \frac{z_{1}}{z_{2}}$. + +b) Să se determine numărul $n \in \mathbb{N}$ pentru care $E_{n} \in \mathbb{Z}$, unde $E_{n}=\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{n}+\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)^{n}}$ + +3.) Pentru funcţia $f$ definită pe mulţimea numerelor naturale are loc relaţia $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots .+n f(n)=n^{2} f(n)$, oricare ar fi $n \geq 1$. Dacă $f(1)=2015$, să se determine valorile numărului natural $n$ pentru care $f(n)$ este tot număr natural. + +4.) a) Fie $A$ şi $B$ imaginile soluţiilor ecuaţiei $z^{2}-13 z+72+30 i=0$ în planul complex. Să se calculeze aria triunghiului $A O B$ unde $O$ este originea sistemului cartezian. + +b) Să se reprezinte grafic în sistemul cartezian de la punctul a) mulţimea soluţiilor inecuaţiei $|z| \leq 4$. Cât la sută din suprafaţa triunghiului $A O B$ acoperă această mulţime a soluţiilor inecuației? Indicaţi valoarea procentului rotunjită la întreg. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A X-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $A(a, b, c)=\log _{\sqrt{c}} \frac{c^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\log _{\frac{1}{c}} \frac{c}{a+b+2 \sqrt{a b}}=\frac{\log _{c} \frac{c^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{\frac{1}{2}}+\frac{\log \frac{c}{c \sqrt{(\sqrt{b}})^{2}}}{-1}=$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $=\log _{c} \frac{c^{4}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}-\log _{c} \frac{c}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}=\log _{c} c^{3}=3$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) | $\log _{\sqrt{3}}[9(\sqrt{2}-1)]+\log _{\frac{1}{3}}[3(3-2 \sqrt{2})]=\log _{\sqrt{3}} \frac{9}{1+\sqrt{2}}+\log _{\frac{1}{3}} \frac{3}{3+2 \sqrt{2}}=A(1,2,3)=3$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deci avem ecuaţia $3^{x^{2}-3 x}=\frac{1}{9}$ echivalentă cu ecuaţia de gradul doi $x^{2}-3 x+2=0$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Mulţimea soluţiilor este $S=\{1,2\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right\|=\frac{\left\|z_{1}\right\|}{\left\|z_{2}\right\|}=\sqrt{2},\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}}-1\right\|=1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Rezultă că $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ este afixul intersecţiei cercului cu centrul în origine şi raza $\sqrt{2}$ şi a
cercului cu centrul în punctul de coordonate $(1,0)$ şi raza 1. Cele două cercuri au
două puncte comune $A(1,1)$ şi $B(1,-1)$ de unde rezultă că $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in\{1+i, 1-i\}$. | $\mathbf{3 p}$ | +| b) | $E_{n}=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}=(\sqrt{2})^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \sin \frac{n \pi}{4}\right)+(\sqrt{2})^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}-i \sin \frac{n \pi}{4}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $E_{n}=2(\sqrt{2})^{n} \cos \frac{n \pi}{4} \in Z, \forall n \in N$ | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6ea8e57e006c2e6b01d4g-2.jpg?height=255&width=1293&top_left_y=2138&top_left_x=334) | $4 p$ | +| | Scriem aceste relaţii pentru $n=1,2,3, \ldots$ şi le înmulţim
$\Rightarrow f(n)=\frac{1}{n} f(1) \Rightarrow f(n)=\frac{2015}{n}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Numerele căutate sunt divizorii lui 2015. Deoarece $2015=1 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 31$
$\Rightarrow n \in\{1,5,13,31,65,155,403,2015\}$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6ea8e57e006c2e6b01d4g-3.jpg?height=1712&width=1676&top_left_y=243&top_left_x=218) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-567-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-567-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51ac7794c7857e5d553e573ce81cff9fc190ab13 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-567-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A VIII-A + +1.) a) Se consideră mulțimea $A=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$. Arătați că $\sqrt{6+4 \sqrt{2}} \in A$. + +b) Fie $A=\sqrt{2^{2014}+2^{1008}+1}$ şi $B=\sqrt{2^{2016}-2^{1010}+2^{1009}+1}$. + +Arătaţi că $A$ şi $B$ sunt numere naturale şi determinaţi câte numere naturale sunt în intervalul $(A ; B)$. + +2.) Numerele pozitive $a, b, c$ verifică egalitatea $a^{2} b+a^{2} c+2 a b c=2 a^{3}+b^{2} c+b c^{2}$. Arătați că unul dintre ele este media aritmetică sau media geometrică a celorlalte două. + +3.) Pe planul triunghiului dreptunghic $A B C$ având catetele $A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ și $A C=4 \mathrm{~cm}$, se ridică, de aceeași parte, perpendicularele $A M=2 \mathrm{~cm}$ și $B N=1 \mathrm{~cm}$. + +a) Verificați, dacă triunghiul NMC este dreptunghic. + +b) Determinați distanța de la punctul $M$ la dreapta de intersecție a planelor $(A B C)$ și (MNC) . + +4.) În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ avem $A B=6 \mathrm{~cm}, B C=3 \mathrm{~cm}$ şi $A A^{\prime}=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. Calculaţi: + +a) Sinusul unghiului determinat de dreptele $A D^{\prime}$ şi $B C$. + +b) Distanţa de la punctul $C$ la dreapta $A D^{\prime}$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A VIII-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | $\sqrt{6+4 \sqrt{2}}=\sqrt{(2+\sqrt{2})^{2}}=2+\sqrt{2}$ | $2 p$ | +| | $a=2, b=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) | $A=\sqrt{2^{2014}+2^{1008}+1}=\sqrt{\left(2^{1007}\right)^{2}+2 \cdot 2^{1007} \cdot 1+1^{2}}=\sqrt{\left(2^{1007}+1\right)^{2}}=2^{1007}+1 \in \mathbb{N}$ | $2 p$ | +| | $B=\sqrt{2^{2016}-2^{1010}+2^{1009}+1}=\sqrt{\left(2^{1008}\right)^{2}-2^{1009} \cdot(2-1)+1}=$
$=\sqrt{\left(2^{1008}\right)^{2}-2 \cdot 2^{1008} \cdot 1+1^{2}}=\sqrt{\left(2^{1008}-1\right)^{2}}=2^{1008}-1 \in \mathbb{N}$ | $2 p$ | +| | Numărul numerelor naturale din intervalul $(A ; B)=\left(2^{1007}+1 ; 2^{1008}-1\right)$ este
$2^{1008}-1-\left(2^{1007}+1\right)-1=2^{1008}-2^{1007}-3=2^{1007} \cdot(2-1)-3=2^{1007}-3$ | $2 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Egalitatea se scrie: $a^{2} b+a^{2} c+2 a b c-2 a^{3}-b^{2} c-b c^{2}=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| $(b+c)\left(a^{2}-b c\right)-2 a\left(a^{2}-b c\right)=0$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| $\left(a^{2}-b c\right)(b+c-2 a)=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $a^{2}-b c=0$ sau $b+c-2 a=0$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $a^{2}=b c$ sau $b+c=2 a$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Deci $a$ este media geometrică sau media aritmetică a numerelor $b$ și $c$. | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | | | +| | | | + +``` +b) \(\quad\) determinarea dreptei de intersecție: \(M N \cap A B=\{D\},(A B C) \cap(M N C)=D C \quad\) 2p + +\begin{tabular}{l|l} +\(M \notin(A B C), D C \subset(A B C))_{t 3 \perp}\) & \(1 p\) +\end{tabular} + \(M A \perp(A B C) \quad\} \stackrel{t 3 \perp}{\Rightarrow} M P \perp D C \Rightarrow M P=d(M, D C)\) + \(A P \perp D C\) +\(M A \perp A B, N B \perp A B \Rightarrow M A \| N B\) și \(N B=\frac{M A}{2} \Rightarrow N B\) linie mijlocie în \(\triangle M D A\). +Deci \(D B=B A=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) și \(A D=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\). +\(\triangle D A C\) :t.Pit. \(\Rightarrow D C=8 \mathrm{~cm}\), înălțimea \(A P=\frac{A D \cdot A C}{D C} \Rightarrow A P=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) +\(\triangle M A P:\) :.Pit. \(\Rightarrow M P=4 \mathrm{~cm}=d(M, D C)\) +``` + +| 4.) Din oficiu 1p | +| :--- | :--- | :--- | + +Desen: + +$\mathbf{1 p}$ + +D' C' + +A' + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_301f5a690c16fff4c21dg-3.jpg?height=246&width=657&top_left_y=1050&top_left_x=491) + +A + +B + +a) $D A \| B C \Rightarrow m\left(A D^{\prime} ; B C\right)=m\left(A D^{\prime} ; A D\right)=m\left(D^{\prime} \hat{A} D\right)$ + +$\sin D^{\prime} \hat{A} D=\frac{D^{\prime} D}{A D^{\prime}}$ + +$D^{\prime} A^{2}=D^{\prime} D^{2}+A D^{2}=3^{2}+(3 \sqrt{2})^{2} \Rightarrow D^{\prime} A=3 \sqrt{3}$ + +Deci, $\sin D^{\prime} \hat{A} D=\frac{3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ + +b) Fie $D E \perp A D^{\prime}, E \in A D^{\prime}$ + +$C D \perp A D ; C D \perp D^{\prime} D ; A D, D^{\prime} D \subset\left(A D D^{\prime}\right) ; A D \cap D^{\prime} D=\{D\} \Rightarrow C D \perp\left(A D D^{\prime}\right)$ + +$C D \perp\left(A D D^{\prime}\right), A D^{\prime} \subset\left(A D D^{\prime}\right), D E \perp A D^{\prime} \Rightarrow C E \perp A D^{\prime}$. Deci $d\left(C ; A D^{\prime}\right)=C E$. + +$D E \cdot A D^{\prime}=D D^{\prime} \cdot A D \Rightarrow D E=\frac{A D \cdot D D^{\prime}}{A D^{\prime}}=\frac{3 \cdot 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}=\sqrt{6}$ + +$C D \perp\left(A D D^{\prime}\right), D E \subset\left(A D D^{\prime}\right) \Rightarrow C D \perp D E \Rightarrow C E^{2}=C D^{2}+D E^{2}=6^{2}+\sqrt{6}^{2} \Rightarrow$ $\Rightarrow C E=\sqrt{42}$. Deci $d\left(C ; A D^{\prime}\right)=\sqrt{42} \mathrm{~cm}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-568-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-568-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d2364ed9ed69ed6d8a5fc137b55fdaf85061274e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-568-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A VII-A + +1.) Se dă $n=(-1)^{-1} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot(-3)^{-3} \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot(-5)^{-5} \cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{-6}$. Determinaţi cel mai mare număr întreg nenul $m$, astfel încât $\sqrt{2 \cdot \sqrt{n \cdot m}} \in \mathbf{Q}$. + +2.) Alinei i-a plăcut un pulover, 1 -a şi cumpărat cu $80 \%$ din banii pe care îi avea. Mai târziu a primit de la bunica sa pentru ziua ei de naştere 30 lei. Şi-a dat seama că dacă ar mări banii aşa adunaţi cu $25 \%$, ar avea atâţia bani câţi a avut înaintea cumpărării bluzei. Câţi bani a avut iniţial Alina? + +3.) Se consideră un triunghi $A B C$ și punctele $M \in[A B]$ și $N \in[A C]$ astfel încât $A M=3 \cdot M B$ și $4 \cdot A N=3 \cdot A C$. + +a) Demonstrați că dreptele $M N$ și $B C$ sunt paralele. + +b) Să se determine raportul ariilor triunghiurilor $A M N$ și $A B C$. + +4.) În paralelogramul $A B C D$ bisectoarea unghiului $\Varangle C A D$ intersectează dreapta $D C$ în $E$, iar dreapta $B E$ intersectează dreapta $A D$ în $F$. Să se arate că: $\frac{A F}{A D}-\frac{A D}{A C}=1$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
28 februarie 2015
BAREM
CLASA A VII-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| $n=-1 \cdot 2^{2} \cdot(-3)^{-3} \cdot 4^{4} \cdot(-5)^{5} \cdot 6^{6}=-2^{2} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{8} \cdot 5^{-5} \cdot(2 \cdot 3)^{6}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| | 3p | | +| | 2p | | +| $\sqrt{2 \cdot \sqrt{n \cdot m}}=\sqrt{\sqrt{4 \cdot n \cdot m}} \in Q \Rightarrow \sqrt{\sqrt{-2^{2} \cdot \frac{2^{16} \cdot 3^{3}}{5^{5}}} \cdot m}=\sqrt{\sqrt{-\frac{2^{18} \cdot 3^{3}}{5^{5}}} \cdot m} \in Q \Leftrightarrow$ | 3p | | +| $\Leftrightarrow m=-3 \cdot 5 \cdot 2^{2} \cdot k^{4}=-60 k^{4}$ de unde pentru $k=1 \Rightarrow m_{\max }=-60$ | | | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| Notăm cu $x$ suma iniţială. După cumpărarea bluzei Alina va avea $100 \%-80 \%=20 \%$
din banii săi, deci $x \cdot \frac{20}{100}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $x \cdot \frac{20}{100}+30+x \cdot \frac{20}{100} \cdot \frac{1}{4}+30 \cdot \frac{1}{4}=x$ | | | +| $30+7,5=x \cdot\left(1-\frac{20}{100}-\frac{5}{100}\right) \Rightarrow 37,5=x \cdot \frac{75}{100}$ | $3 p$ | | +| $x=37,5 \cdot \frac{100}{75} \Rightarrow x=\frac{3750}{75}=50$ | | | +| Deci Alina a avut iniţial 50 de lei. | | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\frac{A M}{M B}=\frac{3}{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\frac{A N}{A C}=\frac{3}{4}$, deci $\frac{A N}{N C}=\frac{3}{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Folosirea teoremei reciproce a teoremei lui Thales | $\mathbf{2 p}$ | +| $\mathbf{b})$ | $\triangle A M N \sim \triangle A B C \Rightarrow \frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A C}=\frac{3}{4}$ de unde obținem $\frac{A_{A M N}}{A_{A B C}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | $D E\|\| A B \Rightarrow \triangleleft A F B \sim \triangleleft D F E \Rightarrow \frac{A F}{D F}=\frac{A B}{D E} \Leftrightarrow \frac{A F}{A F-D F}=\frac{A B}{A B-D E} \Leftrightarrow$ | 3p | +| $\frac{A F}{A D}=\frac{A B}{E C}(1)$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| În $\triangleleft D A C$, AE bisectoare $\Rightarrow \frac{A D}{A C}=\frac{D E}{E C}(2)$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| Din (1) şi (2) $\Rightarrow \frac{A F}{A D}-\frac{A D}{A C}=\frac{A B}{E C}-\frac{D E}{E C}=\frac{E C}{E C}=1$. | 3p | | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
28 februarie 2015
BAREM
CLASA A VII-A + +| 1.) | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $n=-1 \cdot 2^{2} \cdot(-3)^{-3} \cdot 4^{4} \cdot(-5)^{5} \cdot 6^{6}=-2^{2} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{8} \cdot 5^{-5} \cdot(2 \cdot 3)^{6}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $n=-2^{16} \cdot 3^{3} \cdot 5^{-5}=\frac{-2^{16} \cdot 3^{3}}{5^{5}}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $\sqrt{n \cdot m} \in Q \Rightarrow m \in Z_{-}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\sqrt{2 \cdot \sqrt{n \cdot m}}=\sqrt{\sqrt{4 \cdot n \cdot m}} \in Q \Rightarrow \sqrt{\sqrt{-2^{2} \cdot \frac{2^{16} \cdot 3^{3}}{5^{5}} \cdot m}}=\sqrt{\sqrt{-\frac{2^{18} \cdot 3^{3}}{5^{5}} \cdot m}} \in Q \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow m=-3 \cdot 5 \cdot 2^{2} \cdot k^{4}=-60 k^{4}$ de unde pentru $k=1 \Rightarrow m_{\max }=-60$ | $3 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| Notăm cu $x$ suma iniţială. După cumpărarea bluzei Alina va avea $100 \%-80 \%=20 \%$
din banii săi, deci $x \cdot \frac{20}{100}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $x \cdot \frac{20}{100}+30+x \cdot \frac{20}{100} \cdot \frac{1}{4}+30 \cdot \frac{1}{4}=x$ | $3 p$ | | +| $30+7,5=x \cdot\left(1-\frac{20}{100}-\frac{5}{100}\right) \Rightarrow 37,5=x \cdot \frac{75}{100}$ | $3 \mathbf{p}$ | | +| $x=37,5 \cdot \frac{100}{75} \Rightarrow x=\frac{3750}{75}=50$
Deci Alina a avut iniţial 50 de lei. | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\frac{A M}{M B}=\frac{3}{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\frac{A N}{A C}=\frac{3}{4}$, deci $\frac{A N}{N C}=\frac{3}{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Folosirea teoremei reciproce a teoremei lui Thales | $\mathbf{2 p}$ | +| b) | $\triangle A M N \sim \triangle A B C \Rightarrow \frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A C}=\frac{3}{4}$ de unde obținem $\frac{A_{A M N}}{A_{A B C}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | $D E\|\| A B \Rightarrow \triangleleft A F B \sim \triangleleft D F E \Rightarrow \frac{A F}{D F}=\frac{A B}{D E} \Leftrightarrow \frac{A F}{A F-D F}=\frac{A B}{A B-D E} \Leftrightarrow$ | 3p | +| | $\frac{A F}{A D}=\frac{A B}{E C}(1)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| In $\triangleleft D A C$, AE bisectoare $\Rightarrow \frac{A D}{A C}=\frac{D E}{E C}(2)$ | 2p | | +| | Din (1) şi (2) $\Rightarrow \frac{A F}{A D}-\frac{A D}{A C}=\frac{A B}{E C}-\frac{D E}{E C}=\frac{E C}{E C}=1$. | 3p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-569-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-569-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3664d24301d9caa3347f60eed33a3abcfa6944c9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-569-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A VI-A + +1.) a) Dacă $\overline{0,1(a)}+\overline{0, a(3)}=0,3(5)$, aflaţi valoarea lui $a$. + +b) Determinaţi numărul elementelor mulţimii $A=\{x \in \mathbb{N}|x=\overline{a 1 b}+\overline{1 b 5}, 15| x\}$ + +2.) Calculaţi media aritmetică a numerelor $A$ şi $B$ ştiind că $A=81^{504}: 3^{2015}$, iar $B$ este cel mai mic număr natural nenul care împărţit la $12, \frac{15}{4}$ şi 1,(7) dă, de fiecare dată, câtul număr natural şi restul 0 . + +3.) Fie triunghiul $A B C$, iar $D$ mijlocul segmentului $A B$. Perpendiculara în $D$ pe $A B$ intersectează latura $B C$ în $E$. + +a) Arătaţi că triunghiul $A B E$ este isoscel. + +b) Dacă $A B=14 \mathrm{~cm}, B C=18 \mathrm{~cm}$ şi perimetrul triunghiului $A E B$ este $38 \mathrm{~cm}$, calculaţi lungimea segmentului $E C$. + +4.) Fie unghiul propriu $A O B$ şi punctele $M$ în interiorul unghiului $A O B$ şi $N$ în exteriorul unghiului $A O B$. Semidreapta $\left[O P\right.$ este bisectoarea unghiului $A O M, m(\Varangle P O B)=60^{\circ}$ şi $m(\Varangle B O M)=2 \cdot m(\Varangle B O N)$. Dacă $[O Q$ este bisectoarea unghiului $A O P$, să se arate că unghiul $N O Q$ este drept. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +BAREM + +CLASA A VI-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | $\overline{1 a}-1, \overline{a 3}-a \quad 35-3$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\overline{90}+\overline{90}=\frac{90}{9}$ | | +| | $10+a-1+10 a+3-a=32,10 a=20, a=2$ | $2 \mathbf{p} \quad \frac{1}{2}$ | +| b) | $15\|x \Rightarrow 5\| x, 3 \mid x, x=\overline{a 1 b}+\overline{1 b 5} \Rightarrow b=0$ vagy $b=5$ | 1p | +| | Dacă $b=0 \Rightarrow x=\overline{a 10}+105 \Rightarrow 3 \mid \overline{a 10} \Rightarrow a \in\{2,5,8\}$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_662beebb6174727bfa0fg-2.jpg?height=56&width=56&top_left_y=885&top_left_x=1807) | +| | Dacă $b=5 \Rightarrow x=\overline{a 15}+155 \Rightarrow a \in\{1,4,7\}$ | | +| | $x \in\{315,615,915,270,570,870\}$ | 1p | +| | card $A=6$ | 1p | + +2.) Din oficiu $\quad \mathbf{1 p}$ + +$A=81^{504}: 3^{2015}=\left(3^{4}\right)^{504}: 3^{2015}=3^{2016}: 3^{2015}=3^{1}=3 \quad$ 3p + +| $B$ trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: | 2p | +| :--- | :--- | + +$B: 12 \in \mathbb{N}, B: \frac{15}{4}=B \cdot \frac{4}{15} \in \mathbb{N}$ şi $B: 1,(7)=B: \frac{16}{9}=B \cdot \frac{9}{16} \in \mathbb{N}$ + +| Rezultă că $B=[12,15,16]=16 \cdot 3 \cdot 5=240$. | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | + + +| Media aritmetică a numerelor $A$ şi $B$ este: $(A+B): 2=(240+3): 2=121,5$. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | + + +| 3.)
a) | Din oficiu | | 1p | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | Desen corect | | $1 p$ | +| | $[A D] \equiv[D B]$ | | $3 \mathbf{p}$ | +| | $\hat{A D E} \equiv \hat{B D E}$ | $\Rightarrow \triangle A D E \equiv \triangle B D E$ | | +| | $\triangle A D E \equiv \triangle B L$ | $E \Rightarrow[A E] \equiv[B E]$. Deci triunghiul $A B E$ este isoscel. | $2 \mathbf{p}$ | +| b) | $P_{A B E}=2 \cdot B E$
$2 B E+14 \mathrm{~cm}$
Deci $E C=B$ | $+A B$. Deoarece $P_{A B E}=38 \mathrm{~cm}$ şi $A B=14 \mathrm{~cm}$, rezultă că
$=38 \mathrm{~cm} \Rightarrow B E=(38 \mathrm{~cm}-14 \mathrm{~cm}): 2=12 \mathrm{~cm}$.
$--B E=18 \mathrm{~cm}-12 \mathrm{~cm}=6 \mathrm{~cm}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | Desen corect | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | +| | Notăm $m(\Varangle A O Q)=m(\Varangle Q O P)=a, a>0$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| | Avem $m(\Varangle A O P)=2 a, m(\Varangle A O M)=4 a$ | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | +| | Din $m(\Varangle P O B)=60^{\circ}$ avem $m(\Varangle B O M)=60^{\circ}-2 a$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $m(\Varangle N O Q)=m(\Varangle N O B)+m(\Varangle B O P)+m(\Varangle P O Q)=30^{\circ}-a+60^{\circ}+a=90^{\circ}$ | $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-57-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XII-0_barem_clasa12.md b/Romania_Olympiad/md/ro-57-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XII-0_barem_clasa12.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a2960f0573ae64c880f5d8737e8c2e89a7710ac8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-57-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XII-0_barem_clasa12.md @@ -0,0 +1,127 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_afc4632081de68baeb0bg-1.jpg?height=128&width=174&top_left_y=142&top_left_x=1515) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 martie 2018 + +## CLASA a XII-a + +## Varianta 2 - Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Fie $\mathcal{F}$ mulţimea funcţiilor continue $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, care îndeplinesc condiţia $\max _{0 \leq x \leq 1}|f(x)|=1$, şi fie $I: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}$, + +$$ +I(f)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-f(0)+f(1) +$$ + +(a) Arătaţi că $I(f)<3$, oricare ar fi $f \in \mathcal{F}$. + +(b) Determinaţi $\sup \{I(f) \mid f \in \mathcal{F}\}$. + +Soluţie. (a) Fie $f$ o funcţie din $\mathcal{F}$. Din condiţia $\max _{0 \leq x \leq 1}|f(x)|=1$, rezultă că $I(f) \leq \int_{0}^{1} 1 \mathrm{~d} x+1+1=3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots . \ldots$ puncte + +Inegalitatea este strictă, în caz contrar, $f(x)=1$, oricare ar fi $x \in[0,1]$, şi $f(0)=-1$, contradicţie + +(b) Pentru $n \geq 2$, funcţia $f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, + +$$ +f_{n}(x)= \begin{cases}2 n x-1, & 0 \leq x \leq 1 / n \\ 1, & 1 / ni$. Prin inmulţirea relatiei anterioare cu $a^{m k-i}$, obţinem $a^{m k}=a^{2 m k}$. + +3 puncte + +Fie $b=a^{m k}$. Atunci $b=b^{2}$ şi, prin eventuale înmulţiri succesive cu $b$, obţinem $b=b^{p}$. 1 punct + +Rezultă că $b=e$, i.e., $a^{m k}=e$. Cum $m k \geq 2$, obţinem $a^{m k-1} \cdot a=a \cdot a^{m k-1}=e$, deci $a$ este inversabil şi, prin urmare, $(M, \cdot)$ este grup. + +1 punct + +Problema 3. Arătaţi că o funcţie continuă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este crescătoare dacă şi numai dacă + +$$ +(c-b) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq(b-a) \int_{b}^{c} f(x) \mathrm{d} x +$$ + +oricare ar fi numerele reale $a ETAPA LOCALĂ + +## 28 februarie 2015 + +## CLASA A V-A + +1.) a) Dacă $a+3 b=120$ şi $4 b+4 c=160$, atunci calculaţi suma $2 a+9 b+3 c$. + +b) Determinaţi toate numerele naturale de forma $\overline{a b}$ care satisfac egalitatea: $\overline{a b}=4 a++3 b$. + +2.) Care sunt acele numere naturale care împărţite la 27 dau restul egal cu pătratul câtului? + +3.) Se consideră şirul de numere : $3,8,13,18, \ldots$ în care fiecare termen, începând cu al doilea, este cu 5 mai mare decât precedentul. + +a) Aflaţi al 103-lea termen al şirului. + +b) Al câtelea termen al şirului este numărul 1913? + +c) Calculaţi suma primilor 150 de termeni ai şirului. + +4.) Determinaţi mulţimile $A, B$ şi $C$ astfel încât să fie îndeplinite simultan condiţiile următoare: a) $A \cap C=\{2\}$; +b) $A \cap B=\{3\}$; +c) $A \cup B=\{x \mid 2 \leq x<6\}$; +d) $A \cup C=\{1,2,3,4,6\}$; +e) $A \backslash C=\{3\}$; +f) $B \cap C=\{4\}$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +28 februarie 2015 + +## BAREM + +CLASA A V-A + +| 1.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | $4 b+4 c=160 \Rightarrow b+c=40$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2 a+9 b+3 c=2 a+6 b+3 b+3 c=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2(a+3 b)+3(b+c)=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2 \cdot 120+3 \cdot 40=240+120=360$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | $10 a+b=4 a+3 b$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $3 a=b$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Aflarea soluţilor: $a=1, b=3 ; a=2, b=6 ; a=3, \mathrm{~b}=9$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Aflarea numerelor: $13,26,39$ | $\mathbf{1 p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df40737ab271c1449933g-2.jpg?height=1047&width=1670&top_left_y=1332&top_left_x=227) + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | Al 103-lea termen este $5 \cdot 102+3=513$ | 3p | +| b) | $5 \cdot \mathrm{n}+3=1913, \mathrm{n}=382$, deci al 383 -lea termen | 3p | +| c) | $3+8+\ldots+748=(3+748) \cdot 150 / 2=56325$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| | $A \cup B=\{x \mid 2 \leq x<6\}=\{2,3,4,5\}$
$1 \in A \cup C \Rightarrow 1 \in A$ sau $1 \in C$, dar $1 \notin A \cup B \Rightarrow 1 \notin A$ şi $1 \notin B$. Deci $1 \in C$.
$5 \in A \cup B \Rightarrow 5 \in A$ sau $5 \in B$, dar $5 \notin A \cup C \Rightarrow 5 \notin A$ şi $5 \notin C$. Deci $5 \in B$.
$6 \in A \cup C \Rightarrow 6 \in A$ sau $6 \in C$, dar $6 \notin A \cup B \Rightarrow 6 \notin A$ şi $6 \notin B$. Deci $6 \in C$. | $4 p$ | +| | $A \cap C=\{2\} \Rightarrow 2 \in A$ şi $2 \in C$, dar $2 \notin A \cap B \Rightarrow 2 \notin B$
$B \cap C=\{4\} \Rightarrow 4 \in B$ şi $4 \in C$, dar $4 \notin A \cap C \Rightarrow 4 \notin A$
$A \cap B=\{3\} \Rightarrow 3 \in A$ şi $3 \in B$
$A \backslash C=\{3\} \Rightarrow 3 \notin C$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Deci $A=\{2,3\}, B=\{3,4,5\}, C=\{1,2,4,6\}$ | $2 \mathbf{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-571-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-571-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2f0a03be5a640d66ca08cb64351039c6271915bf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-571-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,57 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +28 februarie 2015 + +CLASA A IX-A + +1.) Să se demonstreze că oricare ar fi $a, b, c \in R_{+}^{*}$, sunt adevărate următoarele inegalităţi: +a) $a^{3}+b^{3} \geq a^{2} b+a b^{2}$ +b) $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+a b c}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+a b c}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+a b c} \leq \frac{1}{a b c}$ + +2.) Se consideră numărul $y_{n}=\frac{5}{1 \cdot 2}+\frac{9}{2 \cdot 3}+\frac{15}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{n^{2}-n+3}{(n-1) \cdot n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Pentru $n \geq 4$ să se calculeze $\left[y_{n}\right]$ şi $\left\{y_{n}\right\}$. + +3.) Se dă triunghiul $A B C$ în care $\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$ și punctele $M \in B C, N \in A C$ și $P \in A B$ care satisfac condiţiile: $(B M) \equiv(M C), \Varangle A B N \equiv \Varangle C B N, A M \cap B N=\{S\}, C S \cap A B=\{P\}$. Să se calculeze raportul ariilor triunghiurilor $S N P$ şi $S B C$. + +4.) Se dă şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel încât $\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{3}$. Dacă $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, demonstraţi că $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
28 februarie 2015
BAREM
CLASA A IX-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | $a^{3}+b^{3} \geq a^{2} b+a b^{2} \Leftrightarrow(a-b)^{2}(a+b) \geq 0$ adevărat pentru $\forall a, b, c \in R_{+}^{*}$ | 3p | +| b) | Din a) rezultă că $a^{3}+b^{3}+a b c \geq a b(a+b+c)$
În mod analog: $b^{3}+c^{3}+a b c \geq b c(a+b+c), c^{3}+a^{3}+a b c \geq c a(a+b+c)$. | 3p | +| | De unde avem $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+a b c}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+a b c}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+a b c} \leq$ | $\mathbf{1}$ | +| | $\frac{1}{a b(a+b+c)}+\frac{1}{b c(a+b+c)}+\frac{1}{c a(a+b+c)}=\frac{1}{a b c}$. | | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Avem: $\frac{n^{2}-n+3}{(n-1) n}=\frac{n^{2}-n}{(n-1) n}+3 \frac{1}{(n-1) n}=1+3 \frac{1}{(n-1) n}=1+3\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$ | $\mathbf{3 p}$ | +| De unde $y_{n}=n-1+3 \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=n-1+3\left(1-\frac{1}{n}\right)=n+2-\frac{3}{n}=n+1+\frac{n-3}{n}$ | $\mathbf{4 p}$ | | +| | Pentru $n \geq 4$ avem $\left[\frac{n-3}{n}\right]=0$ de unde rezultă $\left[y_{n}\right]=n+1$ şi $\left\{y_{n}\right\}=y_{n}-\left[y_{n}\right]=\frac{n-3}{n}$ | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | $A M \cap B N \cap C P=\{S\}$, conform teoremei lui Ceva $\frac{N A}{N C} \cdot \frac{M C}{M B} \cdot \frac{P B}{P A}=1$. | 2p | +| Însă $\frac{M B}{M C}=1$, rezultă că $\frac{N A}{N C}=\frac{P A}{P B}$ de unde obținem $P N \\| B C$ | 2p | | +| $\Varangle A B N \equiv \Varangle C B N \Rightarrow B N$ bisectoare $\Rightarrow \frac{N A}{N C}=\frac{B A}{B C}=\frac{2}{3}$. Din $\frac{N A}{N C}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{N A}{A C}=\frac{2}{5}$ | | | +| Din $P N \\| B C \Rightarrow A P N_{\Delta} \sim A B C_{\Delta}$ de unde $\frac{P N}{B C}=\frac{A N}{A C}=\frac{2}{5}$ | 2p | | +| Din $P N \\| B C \Rightarrow S N P_{\Delta} \sim S B C_{\Delta}$, deci $\frac{A_{S N P}}{A_{S B C}}=\left(\frac{P N}{B C}\right)^{2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$. | 3p | | + + +| 4.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $a_{2}=3 a_{1}=\frac{2 \cdot 3}{2} a_{1}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{4 p}$ | | +| Cum $b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{2} a_{1}$ rezultă că $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică cu raţia $\frac{1}{2} a_{1}$ | $\mathbf{1 p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-572-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-572-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a133312908b0c47444910cd9faa9bb741e08487d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-572-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,111 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală- 28 februarie 2015- clasa a XII a + +## Subiectul 1 + +Considerăm $G$ un grup și funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{3}$ cu următoarele proprietăti: + +a) $f$ este surjectivă; + +b) $f(x y)=f(x) \cdot f(y),(\forall) x, y \in G$ + +i) Demonstrați că $x^{2} y=y x^{2},(\forall) x, y \in G$. + +ii) Arătați că $G$ este grup abelian. + +G.M 1989 + +## Subiectul 2 + +Fie $A$ un inel și funcția $f: A \times A \rightarrow A$, definită prin $f(x, y)=(x y)^{2}-x^{2} y^{2}$. + +a)Să se calculeze valoarea expresiei $E(x, y)=f(1+x, 1+y)-f(1+x, y)-f(x, 1+y)+f(x, y)$, unde $1 \in A$ este elementul unitate al inelului $A$. + +b) Dacă inelul $A$ are proprietatea că: $x+x=0$ implică $x=0$ și dacă $(x y)^{2}-(y x)^{2}=x^{2} y^{2}-y^{2} x^{2},(\forall) x, y \in A$, atunci $A$ este un inel comutativ. + +## Subiectul 3 + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdot \ldots \cdot(n+n)}}{e^{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}}$. Se admite cunoscut următorul rezultat: șirul $x_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n, n \geq 1$, este convergent, iar limita sa $c \in(0,1)$ ) + +## Subiectul 4 + +Fie $f:[0,1] \rightarrow R$ o funcție continuă cu proprietatea că $\int_{0}^{1} x f(x) d x=0$. + +a) Dacă $F(t)=\int_{t}^{1} f(x) d x$, arătați că $\int_{0}^{1} F(t) d t=0$. + +b) Să se arate că există $C \in(0,1)$ astfel încât $f(c)=\left(\int_{c}^{1} f(x) d x\right)^{2}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada Națională de Matematică + +## Etapa locală- 28 februarie 2015 + +## clasa a XII a + +## Barem de corectare si notare + +Subiect 1(Prof.univ.dr.habil.Cristinel Mortici, Gazeta Matematică 11-12/1989) + +Considerăm $G$ un grup și funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{3}$ cu următoarele proprietăți: + +a) $f$ este surjectivă; + +b) $f(x y)=f(x) \cdot f(y),(\forall) x, y \in G$ + +i) Demonstrați că $x^{2} y=y x^{2},(\forall) x, y \in G$. + +ii) Arătați că $G$ este grup abelian. + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| a) $(\forall) y \in G,(\exists) z \in G$, astfel încât $z^{3}=y$ | 1p | +| $x^{2} y=x^{-1} x^{3} z^{3}=x^{-1}(x z)^{3}=(z x)^{2} z$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $y x^{2}=z^{3} x^{3} x^{-1}=(z x)^{3} x^{-1}=(z x)^{2} z$ | 1p | +| b) Daca $(x y)^{3}=x^{3} y^{3}$, atunci $(y x)^{2}=x^{2} y^{2}$ | 2p | +| Arată că $x^{2} y^{2}=y^{2} x^{2}$ | 1p | +| Finalizare | 1p | + +## Subiect 2(Prof.Șerban Buzețeanu și Prof.C.Niță,Gazeta Matematică,7/1984) + +Fie $A$ un inel și funcția $f: A \times A \rightarrow A$, definită prin $f(x, y)=(x y)^{2}-x^{2} y^{2}$. + +a)Să se calculeze valoarea expresiei $E(x, y)=f(1+x, 1+y)-f(1+x, y)-f(x, 1+y)+f(x, y)$, unde $1 \in A$ este elementul unitate al inelului $A$. + +b) Dacă inelul $A$ are proprietatea că $x+x=0$ implică $x=0$ și dacă $(x y)^{2}-(y x)^{2}=x^{2} y^{2}-y^{2} x^{2},(\forall) x, y \in A$, atunci $A$ este un inel comutativ. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a)Avem $f(x, y)=x(x y-y x) y$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Obține $f(1+x, 1+y)-f(1+x, y)-f(x, 1+y)-f(x, y)=y x-x y$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Dacă $(x y)^{2}-(y x)^{2}=x^{2} y^{2}-y^{2} x^{2}$ atunci $(x y)^{2}-x^{2} y^{2}=(y x)^{2}-y^{2} x^{2} \Rightarrow f(x, y)=$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $f(y, x) \Rightarrow E(x, y)=E(y, x)$. | | +| Cum $E(x, y)=E(y, x) \Rightarrow y x-x y=x y-y x \Rightarrow 2(x y-y x)=0$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Finalizare | $\mathbf{1 p}$ | + +Subiect 3( Prof. Traian Tămâian, Gazeta Matematică,11/2014) + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdot \ldots \cdot(n+n)}}{e^{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}}$. Se admite cunoscut următorul rezultat: șirul $x_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n, n \geq 1$, este convergent, iar limita sa $c \in(0,1)$ ) + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :--- | :---: | +| Fie $x_{n}=\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdot \ldots \cdot(n+n)}}{e^{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}}, n \geq 2$. Scrie $x_{n}=e^{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)+\ln n-\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)}$ | 3p | +| Avem $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)\right)=\int_{0}^{1} \ln (1+x) d x=\ln 4-1$ | 3p | +| Finalizare $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=4 \cdot e^{-1-c}$. | 1p | + +## Subiect 4( Prof. Florin Stănescu, Gazeta Matematică,1/2014) + +Fie $f:[0,1] \rightarrow \square$ o funcție continuă cu proprietatea că $\int_{0}^{1} x f(x) d x=0$. Să se arate că există $c \in(0,1)$ astfel încât $f(c)=\left(\int_{c}^{1} f(x) d x\right)^{2}$ + +| Detalii rezolvare | Barem asociat | +| :---: | :---: | +| Arată că $\int_{0} F(t) d t=0$ | $2 p$ | +| Din teorema de medie, există $m \in(0,1)$ astfel încât $F(m)=0$. | $1 p$ | +| Definim funcția $\varphi:[m, 1] \rightarrow \square, \varphi(y)=e^{-\int_{y}^{1} F(x) d x} \cdot F(y)$. Cum $\varphi(m)=\varphi(0)=0$, din
teorema lui Rolle, există $c \in(0,1)$ astfel îccât $\varphi^{\prime}(c)=0$. | $3 p$ | +| Finalizare | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-573-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-573-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..819cff550bc37e5657d40b3d405bdec715d9f39c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-573-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 28 februarie 2015 + +## CLASA a XI-a + +Subiectul 1. Fie A și B două matrice patratice de ordinul 2 cu elemente reale având proprietatea că $A B-B A=A^{2}$. + +Să se arate că $(B-A)^{2015}=B^{2014}(B-2015 A)$. + +GM 9/2014(enunț adaptat) + +Subiectul 2. Fie A o matrice de ordinul doi cu elemente reale și $A^{t}$ matricea transpusă. + +Știind că $\operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=8$ și $\operatorname{det}\left(A+2 A^{t}\right)=27$. Să se calculeze $\operatorname{det} A$. + +GM 11/2014 + +Subiectul 3. Calculați + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+(\operatorname{tg} x)^{2}+(\operatorname{tg}(2 x))^{2}+\cdots+(\operatorname{tg}(n x))^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{n^{3}}} +$$ + +Subiectul 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale definite prin $x_{0}>1$ și $x_{n+1}^{2}-2 x_{n+1}=x_{n}-2$, iar $y_{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}-\cdots-\frac{1}{2^{n}}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-2}{y_{n}}$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7 . + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
CLASA A XI-a
28 februarie 2015
Barem de corectare + +Subiectul 1. Fie A și B două matrice patratice de ordinul 2 cu elemente reale având proprietatea că $A B-B A=A^{2}$. + +Să se arate că $(B-A)^{2015}=B^{2014}(B-2015 A)$. + +GM 9/2014(enunț adaptat) + +Soluţie: Inductiv se demonstrează că în general $(B-A)^{n+1}=B^{n}(B-(n+1) A)$. + +$\mathrm{n}=1 \Rightarrow(B-A)^{2}=B^{2}-B A-A B+A^{2}=B^{2}-2 B A+B A-A B+A^{2}=B(B-A) \ldots 2 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{P}(k) \Rightarrow P(k+1)$ + +$(B-A)^{k+2}=(B-A)^{k+1}(B-A)=B^{k}(B-(k+1) A)(B-A)=B^{k}\left(B^{2}-B A-\right.$ +$\left.(k+1) A B+(k+1) A^{2}\right)=B^{k}\left(B^{2}-(k+2) B A+(k+1) B A-(k+1) A B+\right.$ +$\left.(k+1) A^{2}\right)=B^{k}\left(B^{2}-(k+2) B A\right)=B^{k+1}(B-(k+1) A) \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$. + +Finalizare + +$1 p$ + +Subiectul 2. Fie A o matrice de ordinul doi cu elemente reale și $A^{t}$ matricea transpusă. + +Știind că $\operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=8$ și $\operatorname{det}\left(A+2 A^{t}\right)=27$. Să se calculeze $\operatorname{det} A$. + +GM 11/2014 + +Soluţie: $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \Rightarrow \operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=\left|\begin{array}{cc}2 a & b+c \\ b+c & 2 d\end{array}\right|=4 a d-(b+c)^{2}=4 a d-b^{2}-$ $2 b c-c^{2}=8$ $3 p$ + +$\operatorname{det}\left(A+2 A^{t}\right)=\left|\begin{array}{cc}3 a & b+2 c \\ 2 b+c & 3 d\end{array}\right|=9 a d-(b+2 c)(2 b+c)=9 a d-2 b^{2}-5 b c-$ $2 c^{2}=27$ $2 \mathrm{p}$ + +Finalizare: $a d-b c=11$ $.2 \mathrm{p}$ + +Subiectul 3. Calculați + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+(\operatorname{tg} x)^{2}+(\operatorname{tg}(2 x))^{2}+\cdots+(\operatorname{tg}(n x))^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{n^{3}}} +$$ + +Soluţie: $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+(\operatorname{tg} x)^{2}+(\operatorname{tg}(2 x))^{2}+\cdots+(\operatorname{tg}(n x))^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\lim _{x \rightarrow 0} e^{\ln \left(1+(\operatorname{tg} x)^{2}+(\operatorname{tg}(2 x))^{2}+\cdots+(\operatorname{tg}(n x))^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b646356ff1f39a41e4f6g-3.jpg?height=154&width=1305&top_left_y=500&top_left_x=227) +$\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{(\operatorname{tg} x)^{2}}{x^{2}}+\frac{(\operatorname{tg}(2 x))^{2}}{4 x^{2}} \cdot 4+\cdots+\frac{(\operatorname{tg}(n x))^{2}}{n^{2} x^{2}} \cdot n^{2}\right) \cdot x^{2}}=e^{1^{2}+2^{2}+\cdots \cdot+n^{2}}=e^{\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}} \cdots \cdots 5 p$ $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+(\operatorname{tg} x)^{2}+(\operatorname{tg}(2 x))^{2}+\cdots+(\operatorname{tg}(n x))^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{n^{3}}}=$ $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(e^{\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}}\right)^{\frac{1}{n^{3}}}=e^{\frac{2}{6}}=\sqrt[3]{e}$ + +Subiectul 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 0}$ două șiruri de numere reale definite prin $x_{0}>1$ și $x_{n+1}^{2}-2 x_{n+1}=x_{n}-2$, iar $y_{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}-\cdots-\frac{1}{2^{n}}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-2}{y_{n}}$. + +Soluţie: $\left(x_{n+1}-1\right)^{2}=x_{n}-1 \Rightarrow x_{n+1}-1= \pm \sqrt{x_{n}-1}$. + +Dacă $x_{n+1}-1=-\sqrt{x_{n}-1} \Rightarrow x_{n+2}-1=-\sqrt{x_{n+1}-1}=-i \sqrt[4]{x_{n}-1} \notin \boldsymbol{R}$. $.1 \mathrm{p}$ + +Dacă $x_{n+1}-1=\sqrt{x_{n}-1} \Rightarrow x_{n}-1=\sqrt[2^{n}]{x_{0}-1}$ (inductiv). + +$2 \mathrm{p}$ + +$\operatorname{Cum} y_{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}-\cdots-\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}}$ avem + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-2}{y_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} \sqrt{x_{0}-1}-1}{\frac{1}{2^{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(x_{0}-1\right)^{\frac{1}{2^{n}}}-1}{\frac{1}{2^{n}}}=\ln \left(x_{0}-1\right)$ $3 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-574-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-574-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a39e8a4c2856e64d97386989aa3da70564746d7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-574-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,92 @@ +Inspectoratul Școlar Județean + +Dâmbovița +Societatea de Științe Matematice din România + +Filiala Dambovița + +# Olimpiada Naționala de Matematică + +Etapa Locală Dâmbovița - 28 februarie 2015 + +clasa a-X-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ + +Determinați numerele reale $x$ și $y$ astfel încât $3^{x}+3^{y}=30$ şi $\log _{3} x-\log _{3}^{y}=-1$. + +S.G.M.10/2014 + +SUBIECTUL 2 Să se determine funcțiile surjective $f: \quad N^{*} \rightarrow N^{*}$ astfel încât + +$$ +\frac{1}{2 f(1)}+\frac{1}{3 f(2)}+\ldots+\frac{1}{n f(n-1)}=\frac{n-1}{f(n)} +$$ + +pentru orice număr natural $n \geq 2$. + +S.G.M.12/2014 + +## $\underline{S U B I E C T U L ~} 3$ + +Fie $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}, \mathrm{A}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \mid \mathrm{z}^{2}+\mathrm{a} \cdot \mathrm{z} \in \mathbb{R}\right\}, \mathrm{B}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \mid z^{2}+b \cdot \bar{z}+c \cdot z \in \mathbb{R}\right\}$ Demonstraţi că $A=B$ dacă şi numai dacă $a+b=c$ + +SUBIECTUL 4. Rezolvați în numere reale sistemul + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\sqrt[3]{x}+2 \sqrt[6]{y z}=13 \\ +\sqrt[3]{y}+2 \sqrt[6]{x z}=13 \\ +\sqrt[3]{z}+2 \sqrt[6]{x y}=13 +\end{array}\right. +$$ + +Nelu Chichirim + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +Inspectoratul Școlar Județean + +Dâmbovița +Societatea de Științe Matematice din România + +Filiala Dambovița + +## Olimpiada Naționala de Matematică
Etapa Locala Dâmbovița -28 februarie 2015
clasa a-X-a
Bareme de corectare si notare + +Subiectul 1. + +| $x>0, y>0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\frac{x}{y}=\frac{1}{3}, 3^{\frac{y}{3}}=t, t^{3}+t-30=0$ | $3 \mathrm{p}$ | +| $(t-3)\left(t_{2}+3 t+10\right)=0$, | $3 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 2. + +| $P(n): f(n)=n f(1), n \in N$ | $4 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $f(1)=1, f(n)=n$ | $3 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 3. + +| $z^{2}+a \cdot z=\bar{z}^{2}+a \cdot \bar{z}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\mathrm{A}=\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \mid \mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}=-\mathrm{a}\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $z^{2}+b \cdot \bar{z}+c \cdot z=\bar{z}^{2}+b \cdot z+c \cdot \bar{z}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{B}=\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \mid \mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}=\mathrm{b}-\mathrm{c}\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{A}=\mathrm{B} \leftrightarrow-a=b-c \leftrightarrow a+b=c$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiectul 4. + +| $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, \sqrt[6]{x}=a, \sqrt[6]{y}=b, \sqrt[6]{z}=c$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $a=b=c$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $x=y=z=\left(\frac{13}{3}\right)^{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x \leq 0, y \leq 0, z \leq 0, \sqrt[6]{x}=a, \sqrt[6]{y}=b, \sqrt[6]{z}=c$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $a=b=c$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=y=z=-13^{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-575-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-575-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e133775040a539dfb3d8d74e57214226d114d0ec --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-575-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,86 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 28.02.2015
CLASA a VIII-a + +SUBIECTUL 1 + +Determinaţi numerele raţionale $x$ şi y ştiind că: + +$16,5-\left(\frac{|x-1|}{\sqrt{2}}-\left|y^{2}-2\right|\right)^{2}=10 \sqrt{2}$ + +S.G.M. 2014 + +SUBIECTUL 2 + +Arătaţi că, dacă $a, b, c$ sunt numere raţionale nenule, astfel încât $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ atunci numărul $\mathrm{N}=\left(\frac{a b}{c}+1\right)\left(\frac{b c}{a}+1\right)\left(\frac{a c}{b}+1\right)$ este nenegativ şi $\sqrt{N}$ este rational. + +S.G.M. 2014 + +SUBIECTUL 3 + +În tetraedrul regulat $A B C D$, de muchie a, planul determinat de muchia $A B$ şi mijlocul $\mathrm{O}$ al înăllţimii [DG] intersectează muchia [DC] în punctul M. Aflaţi: + +a) Lungimile laturilor triunghiului $A B M$. + +b) Sinusul unghiului diedru format de planul (ABM) cu planul (ABC). + +R.M.T. + +SUBIECTUL 4 + +În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \mathrm{cu} A B=24 \mathrm{~cm}, A D=A A^{\prime}=6 \mathrm{~cm}$, se consideră pe muchiile $[A B],\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ şi $\left[D^{\prime} C^{\prime}\right]$ punctele $M, N, P$, astfel încât $A M=6$ $\mathrm{cm}, \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{N}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{D}^{\prime} P=18 \mathrm{~cm}$. + +a) Stabiliţi natura patrulaterului MNPQ şi calculaţi-i aria, unde $\{Q\}=D C \cap$ (MNP). + +b) Determinaţi distanţa de la punctul B la planul (MNP). + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL 1 + +Determinaţi numerele raţionale $x$ şi $y$ ştiind că: $16,5-\left(\frac{|x-1|}{\sqrt{2}}-\left|y^{2}-2\right|\right)^{2}=10 \sqrt{2}$. + +| Ecuaţia este echivalentă cu: $\left(\frac{\|x-1\|}{\sqrt{2}}-\left\|y^{2}-2\right\|\right)^{2}=16,5-10 \sqrt{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| De unde $\frac{\|x-1\|}{\sqrt{2}}-\left\|y^{2}-2\right\|= \pm \sqrt{16,5-10 \sqrt{2}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Sau: $\frac{\|x-1\|}{\sqrt{2}}-\left\|y^{2}-2\right\|= \pm\left(\frac{5}{\sqrt{2}}-2\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Ecuaţia $\frac{\|x-1\|}{\sqrt{2}}-\left\|y^{2}-2\right\|=-\frac{5}{\sqrt{2}}+2 \Leftrightarrow \frac{\|x-1\|+5}{\sqrt{2}}=\left\|y^{2}-2\right\|+2$ nu are soluţi raţionale. | $1 \mathrm{p}$ | +| Ecuaţia $\frac{\|x-1\|}{\sqrt{2}}-\left\|y^{2}-2\right\|=\frac{5}{\sqrt{2}}-2 \Leftrightarrow \frac{\|x-1\|-5}{\sqrt{2}}=\left\|y^{2}-2\right\|-2$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $\sqrt{2}$ fiind iraţional, avem: $\|x-1\|-5=0$ şi \|y2 $-2 \mid-2=0$. De unde $x \in\{-4 ; 6\}$ şi $y \in\{-2 ; 0 ; 2\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se obţine $S=\{(-4 ;-2),(-4 ; 0),(-4 ; 2),(6 ;-2),(6 ; 0),(6 ; 2)\}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 2 + +Arătaţi că, dacă $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ sunt numere raţionale nenule, astfel încât $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}=1$, atunci numărul $N=\left(\frac{a b}{c}+1\right)\left(\frac{b c}{a}+1\right)\left(\frac{a c}{b}+1\right)$ este nenegativ şi $\sqrt{N}$ este raţional. + +| Din relaţia dată se obţine $a b+b c+c a=a b c$, de unde $\frac{a b}{c}=a b-a-b$ | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| Apoi $\frac{a b}{c}+1=a b-a-b+1=(a-1)(b-1)$. | $2 p$ | +| De unde $N=(a-1)^{2}(b-1)^{2}(c-1)^{2} \geq 0$. | $2 p$ | +| Şi $\sqrt{N}=\|(a-1)(b-1)(c-1)\| \in \mathbb{Q}$. | $2 p$ | + +## SUBIECTUL 3 + +În tetraedrul regulat $A B C D$, de muchie $a$, planul determinat de muchia $A B$ şi mijlocul $O$ al înălţimii [DG] intersectează muchia [DC] în punctul M. Aflaţi: + +a) Lungimile laturilor triunghiului $A B M$. + +b) Sinusul unghiului diedru format de planul (ABM) cu planul (ABC). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9c09e759ded25370c466g-2.jpg?height=708&width=1893&top_left_y=2054&top_left_x=139) + +SUBIECTUL 4 + +În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ cu $A B=24 \mathrm{~cm}, A D=A A^{\prime}=6 \mathrm{~cm}$, se consideră pe muchiile $[A B]$, [A'B'] şi [ $\left.D^{\prime} C^{\prime}\right]$ punctele $M, N, P$, astfel încât $A M=6 \mathrm{~cm}, A^{\prime} N=12 \mathrm{~cm}, D^{\prime} P=18 \mathrm{~cm}$. + +a) Stabiliţi natura patrulaterului MNPQ şi calculaţi-i aria, unde $\{Q\}=D C \cap$ (MNP). + +b) Determinaţi distanţa de la punctul B la planul (MNP). + + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-576-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-576-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..221712a281b8f5512eb7055c97b2e9aad3b8bd5d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-576-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 28.02.2015
CLASA a VII-a + +SUBIECTUL 1 + +Se consideră mulţimile : $\mathrm{A}=\left\{x \in Q \left\lvert\, x=\frac{3 n+2}{2 n+1}\right., n \in Z\right\}$ si + +$B=\left\{y \in Q \left\lvert\, y=\frac{5 m+3}{5 m+1}\right., m \in Z\right\}$. Determinaţi elementele multimii $A \cap B$. + +G.M 2014 + +SUBIECTUL 2 + +Calculaţi $x+y+z$ ştiind că $\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+2}=\frac{z}{z+3}$ şi $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=54$. + +G.M 2014 + +SUBIECTUL 3 + +În patrulaterul $A B C D, m(\varangle A)=m(\varangle C)=90^{\circ}$ şi $A B=A D$. Dacă $A M \perp B C, c u$ $M \in(B C)$, arătaţi că $\mathcal{A}_{[A B C D]}=A M^{2}$. + +R.M.T + +## SUBIECTUL 4 + +În paralelogramul $A B C D, A C \cap B D=\{O\}, M$ este mijlocul laturii $[B C]$. Prin 0 se construieşte $N P \| D M, N \in(A D), P \in(B C)$. Dacă $A M \cap N P=\{Q\}$ şi $C Q \cap A B=\{R\}$, arătaţi că rapoartele $\frac{A R}{A B}$ si $\frac{Q R}{Q C}$ au aceeaşi valoare şi determinaţi această valoare. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## CLASA a VII-a + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ Se consideră mulţimile: $A=\left\{x \in Q \left\lvert\, x=\frac{3 n+2}{2 n+1}\right., n \in Z\right\}$ şi + +$B=\left\{y \in Q \left\lvert\, y=\frac{5 m+3}{3 m+1}\right., m \in Z\right\}$. Determinaţi elementele mulţimii $A \cap B$. + +Dacă $z \in A \cap B$, atunci există $n$ şi m numere întregi, astfel încât $\frac{3 n+2}{2 n+1}=\frac{5 m+3}{3 m+1}$. + +Se obţine $\mathrm{n}=\frac{\mathrm{m}-1}{\mathrm{~m}+3}=1-\frac{4}{\mathrm{~m}+3}$. + +Cum $n \in \mathbb{Z}$, rezultă $\frac{4}{G} \in \mathbb{Z}$, de unde $\mathrm{m} \in\{-7 ;-5 ;-4 ;-2 ;-1 ; 1\}$. + +Rezultă $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\left\{\frac{8}{5} ; \frac{11}{7} ; \frac{17}{11} ; \frac{7}{5} ; 1 ; 2\right\}$. + +SUBIECTUL 2 Calculaţi $x+y+z$, ştiind că: $\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+2}=\frac{z}{z+3}$ şi $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=54$. + +VARIANTA 1 DE NOTARE + +| Egalitatea $\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+2}=\frac{z}{z+3}$ implică $\frac{x+1}{x}=\frac{y+2}{y}=\frac{z+3}{z}$. | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| De unde $1+\frac{1}{x}=1+\frac{2}{y}=1+\frac{3}{z}$. | $1 p$ | +| Şi atunci $\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}$. | $1 p$ | +| Cu $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=54$, se obţine $\frac{3}{x}=54$ şi $x=\frac{1}{18}$. | $2 p$ | +| $y=\frac{1}{9}$ şi $z=\frac{1}{6}$. | $1 p$ | +| $x+y+z=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. | $1 p$ | + +VARIANTA 2 DE NOTARE + +| Egalitatea $\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+2}$ implică $x(y+2)=y(x+1)$ şi se obţine $y=2 x$. | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| Analog din $\frac{x}{x+1}=\frac{z}{z+3}$ se obţine $z=3 x$. | $1 p$ | +| Şi atunci $\frac{1}{x}+\frac{2}{2 x}+\frac{3}{3 x}=54$, de unde $x=\frac{1}{18}$. | $2 p$ | +| $y=\frac{1}{9}$ şi $z=\frac{1}{6}$. | $1 p$ | +| $x+y+z=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. | $1 p$ | + +SUBIECTUL 3 + +În patrulaterul $A B C D, m(\varangle A)=m(\varangle C)=90^{\circ}$ şi $A B=A D$. Dacă $A M \perp B C, c u M \in(B C)$, arătaţi că $\mathcal{A}_{[A B C D]}=A M^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8fca6e7636e11554cadbg-2.jpg?height=357&width=492&top_left_y=2375&top_left_x=151) + +| Fie $A N \perp D C, N \in D C$. | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| $\triangle A B M \equiv \triangle A D N(I U) \Rightarrow A N=A M$. | $2 p$ | +| AMCN este pătrat. | $1 p$ | +| $\boldsymbol{A}_{\text {AABCD] }}=\boldsymbol{A}_{[A M C N]}$. | $2 p$ | +| $\boldsymbol{A}_{\text {AABCD] }}=\mathrm{AM}^{2}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 4 + +În paralelogramul $A B C D, A C \cap B D=\{O\}, M$ este mijlocul laturii $[B C]$. Prin $O$ se construieşte $N P \| D M$, $N \in(A D), P \in(B C)$. Dacă $A M \cap N P=\{Q\}$ şi $C Q \cap A B=\{R\}$, arătaţi că rapoartele $\frac{A R}{A B}$ şi $\frac{Q R}{Q C}$ au aceeaşi valoare şi determinaţi această valoare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8fca6e7636e11554cadbg-3.jpg?height=797&width=1874&top_left_y=430&top_left_x=157) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-577-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-577-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec504a0c40d7dee1e16314e0070e47238cc6974a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-577-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 28.02.2015
CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL 1 + +Arătaţi că numărul: + +$n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70 \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{70}\right)$ este natural si se divide cu 71 . + +G.M 2014 + +SUBIECTUL 2 + +a)Arătaţi că numărul $\frac{3^{10}+7 \cdot 3^{11}}{8 \cdot 3^{10}+3^{11}}$ este numar natural. + +b) Arătaţi că dacă $a$ şi b sunt numere naturale şi $2 a+3 b$ este divizibil cu 11 atunci fracţia $\frac{a+7 b}{8 a+b}$ este reductibilă. + +R.M.T + +## SUBIECTUL 3 + +În jurul punctului $O$ se formează unghiurile AOB, BOC, COD, DOA. Se ştie că $\varangle A O B$ şi $\varangle B O C$ sunt complementare, iar $\varangle A O B$ şi $\varangle C O D$ sunt suplementare. Dacă [OM este bisectoarea $\varangle B O C$, [ON este bisectoarea $\varangle C O D$ şi [OP este bisectoarea $\varangle A O D$, aflaţi: +a) $m(\varangle N O P)$. +b) $m(\varangle A O B)$, ştiind că $m(\varangle P O M)=132^{\circ}$. +c) $m(\varangle A O B)$, ştiind că $m(\varangle C O D)$ este de 4 ori mai mare decât $m(\varangle B O C)$. + +S.G.M. 2014 + +SUBIECTUL 4 + +În acelaşi semiplan mărginit de o dreaptă d se construiesc triunghiurile isoscele congruente $A B M$ şi $C D N$ de baze $[A B]$, respectiv [CD], unde $A, B, C, D$ aparţin dreptei d în această ordine. Dacă $A N \cap M D=\{E\}, M B \cap N C=\{F\}, A N \cap M B=\{P\}, M D \cap N C=\{Q\}$ demonstraţi că $A P=D Q$ şi $\mathrm{EF} \perp$ d. (Se poate utiliza teorema: Un triunghi este isoscel dacă şi numai dacă unghiurile de la bază sunt congruente). + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## CLASA a VI-a + +SUBIECTUL 1 + +Arătaţi că numărul: + +$\mathrm{n}=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70 \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{70}\right)$ este natural şi se divide cu 71 . + +| $n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70 \cdot \frac{1}{2}+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70 \cdot \frac{1}{3}+\ldots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70 \cdot \frac{1}{70} \cdot$ | $1 p$ | +| :--- | :---: | +| $n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70+1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 70+1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 70+\ldots+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 69$. | $1 p$ | +| Ceea ce înseamnă că n este număr natural. | 1 p | +| $n$ are 70 de termeni şi se grupează câte 2 termenii egal depărtaţi de capete. | 1 p | +| $n=(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 70+1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 69)+(1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 70+1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 68 \cdot 70)+\ldots+(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 34 \cdot 36 \cdot \ldots \cdot 70+$ | $1 p$ | +| $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 35 \cdot 37 \cdot \ldots \cdot 70)$. | $1 p$ | +| $n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 69(70+1)+1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 68 \cdot 70(69+2)+\ldots+(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 34 \cdot 37 \cdot \ldots \cdot 70(36+35)$. | $1 p$ | +| Cum suma din fiecare paranteză este 71, rezultă că n se divide cu 71. | 1 p | + +## SUBIECTUL 2 + +a) Arătaţi că $\frac{3^{10}+7 \cdot 3^{11}}{8 \cdot 3^{10}+3^{11}}$ este număr natural. + +b) Arătaţi că dacă $a$ şi $b$ sunt numere naturale şi $2 a+3 b$ este divizibil cu 11 , atunci fracţia $\frac{a+7 b}{8 a+b}$ este reductibilă. +a) + +| $\frac{3^{10}+7 \cdot 3^{11}}{8 \cdot 3^{10}+3^{11}}=\frac{3^{10}(1+7 \cdot 3)}{3^{10}(8+3)}=$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | +| $=\frac{3^{10} \cdot 22}{3^{10} \cdot 11}=2 \in \mathbb{N}$. | $1 p$ | + +b) + +| $2 a+3 b=\boldsymbol{M}_{11} \Rightarrow 6(2 a+3 b)=\boldsymbol{M}_{11} \Rightarrow 12 a+18 b=\boldsymbol{M}_{11} \Rightarrow a+7 b=\boldsymbol{M}_{11}(1)$. | $2 p$ | +| :--- | :--- | +| Apoi $2 a+3 b=\boldsymbol{M}_{11} \Rightarrow 4(2 a+3 b)=\boldsymbol{M}_{11} \Rightarrow 8 a+12 b=\boldsymbol{M}_{11} \Rightarrow 8 a+b=\mathcal{M}_{11}(2)$. | $2 p$ | +| Din (1) şi (2), rezultă că fractia $\frac{a+7 b}{8 a+b}$ este reductibilă. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 3 + +În jurul punctului $O$ se formează unghiurile AOB, BOC, COD, DOA. Se ştie că $\varangle A O B$ şi $\varangle B O C$ sunt complementare, iar $\varangle A O B$ şi $\varangle C O D$ sunt suplementare. Dacă [OM este bisectoarea $\varangle B O C$, [ON este bisectoarea $\varangle C O D$ şi [OP este bisectoarea $\varangle A O D$, aflaţi: +a) $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{NOP})$. +b) $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{AOB})$, ştiind că $\mathrm{m}(\varangle \mathrm{POM})=132^{\circ}$. +c) $m(\varangle A O B)$, ştiind că $m(\varangle C O D)$ este de 4 ori mai mare decât $m(\varangle B O C)$. + +| A | a) $m(\varangle N O P)=\left(360^{\circ}-90^{\circ}\right): 2=135^{\circ}$. | +| :--- | :--- | :--- | + +## SUBIECTUL 4 + +În acelaşi semiplan mărginit de o dreaptă d se construiesc triunghiurile isoscele congruente ABM şi CDN de baze $[A B]$, respectiv $[C D]$, unde $A, B, C, D$ aparţin dreptei d în această ordine. Dacă $A N \cap M D=\{E\}, M B \cap N C=$ $\{\mathrm{F}\}, \mathrm{AN} \cap \mathrm{MB}=\{\mathrm{P}\}, \mathrm{MD} \cap \mathrm{NC}=\{\mathrm{Q}\}$ demonstraţi că $\mathrm{AP}=\mathrm{DQ}$ şi $\mathrm{EF} \perp \mathrm{d}$. + +(Se poate utiliza teorema: Un triunghi este isoscel dacă şi numai dacă unghiurile de la bază sunt congruente). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_09eaab919ab8dcae4e19g-3.jpg?height=529&width=1893&top_left_y=404&top_left_x=139) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-578-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-578-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4a7988079a89dfca64484aa7cf764401107d46b3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-578-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ 28.02 .2015 + +CLASA a V-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ + +Arătaţi că dacă $a, b, c$ sunt numere naturale diferite, astfel încât $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}$, atunci cel puţin unul dintre ele este multiplu de 5. + +G.M. 2014 + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 2}$ + +Se consideră numărul $N=\overline{\text { abcdef }}$. Să se demonstreze că numărul $N$ este divizibil cu 7 dacă şi numai dacă $\overline{\text { ef }}+2 \cdot \overline{c d}+4 \cdot \overline{a b}$ este divizibil cu 7 . + +Folosind eventual acest rezultat să se arate că numărul $\overline{1 \ldots . .12 \ldots .2 \ldots .9 \ldots .9}$ este divizibil cu 7 , ştiind că fiecare cifră de la 1 la 9 apare de 12 ori. + +G.M. 2014 + +SUBIECTUL 3 + +a) Arătaţi că numărul $2^{20}$ are 7 cifre. + +b) Arătaţi că numărul $2^{130}$ are 40 de cifre. + +R.M.T. + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 4}$ + +a) Aflaţi cel mai mare număr de cinci cifre care împărţit la 98 dă restul 97 . + +b) Aflaţi $\overline{x y}$ ştiind că numărul $\overline{x 00 y 21}$ împărţit la $\overline{x y y x}$ dă câtul $\overline{x y}$ şi restul yy. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## CLASA a V-a + +SUBIECTUL 1 + +Arătaţi că dacă $a, b, c$ sunt numere naturale diferite, astfel încât $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, atunci cel puţin unul dintre ele este multiplu de 5. + +| Presupunem că nici un număr nu este multiplu de 5. | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| Rezulă $u\left(a^{2}\right), u\left(b^{2}\right)$ şi $u\left(c^{2}\right) \in\{1,4,6,9\}, u(x)$ find ultima cifră a lui $x$. | $2 p$ | +| De aici rezultă că $u\left(b^{2}+c^{2}\right) \in\{0,2,3,5,7,8\}$. | $2 p$ | +| Contradicţie cu $u\left(a^{2}\right) \in\{1,4,6,9\}$. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 2 + +Se consideră numărul $N=\overline{a b c d e f}$. Să se demonstreze că numărul $N$ este divizibil cu 7 dacă şi numai dacă $\overline{\text { ef }}+2 \cdot \overline{c d}+4 \cdot \overline{a b}$ este divizibil cu 7. Folosind eventual acest rezultat să se arate că numărul $\overline{1 \ldots 12 \ldots 2 \ldots 9 \ldots 9}$ este divizibil cu 7 , ştiind că fiecare cifră de la 1 la 9 apare de 12 ori. + +| Dacă $\mathrm{A}=\overline{\text { ef }}+2 \cdot \overline{\mathrm{cd}}+4 \cdot \overline{\mathrm{ab}}$, atunci $\mathrm{N}-\mathrm{A}=98 \cdot \overline{\mathrm{cd}}+9996 \cdot \overline{\mathrm{ab}}=7(14 \cdot \overline{\mathrm{cd}}+1428 \cdot \overline{\mathrm{ab}}): 7$. | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Egalitatea anterioară demonstrează ambele implicaţii: $\mathrm{N}: 7$ dacăşi numaidacă $\mathrm{A}: 7$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Numărul $N=\overline{1 \ldots 12 \ldots 2 \ldots 9 \ldots 9}$ este divizibil cu 111111 care este divizibil cu 7. | $2 \mathrm{p}$ | +| Numărul 111111 este divizibil cu
$111111=7 \cdot 15873$. | $1 \mathrm{pe}$ arată fie utilizând rezultatul anterior, fie $111111: 1001$ şi 1001:7, fie | + +## SUBIECTUL 3 + +a) Arătaţi că numărul $2^{20}$ are 7 cifre. + +b) Arătaţi că numărul $2^{130}$ are 40 de cifre. + +| Se arată că: $10^{6}<2^{20}<10^{7}$ sau se calculează $2^{20}=1048576$. | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Trebuie arătat că $10^{39}<2^{130}<10^{40}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Prima parte a inegalităţii se obține din $\left(10^{3}\right)^{13}<\left(2^{10}\right)^{13} \Leftrightarrow 1000^{13}<1024^{13}(\mathrm{~A})$. | $1 \mathrm{p}$ | +| A doua parte se obține din $\left(2^{13}\right)^{10}<\left(10^{4}\right)^{10} \Leftrightarrow 8192^{10}<10000^{10}(\mathrm{~A})$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL 4 + +a) Aflaţi cel mai mare număr de cinci cifre care împărţit la 98 dă restul 97. + +b) Aflaţi $x y$, ştiind că numărul $x 00 y 21$ împărţit la $x y y x$ dă câtul $x y$ şi restul yy . +a) + +| $100000=98 \cdot 1020+40$ sau $99999=98 \cdot 1020+39$. | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Şi atunci numărul este $98 \cdot 1019+97=99959$. | $2 \mathrm{p}$ | + +b) + +| $\overline{\mathrm{x} 00 \mathrm{y} 21}=\overline{\mathrm{xyyx}} \cdot \overline{\mathrm{xy}}+\overline{\mathrm{yy}}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Analizând egalitatea după ullima cifră avem: $u(x \cdot y+y)=u[y(x+1)]=1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă se aplică criteriul de divizibilitate cu 11, cum membrul drepteste divizibil cu 11 se obţine din membrul | | +| stâng $y=x+1$ şi atunci $u(y$ ²)=1, de unde $y=9, x=8$ şi numărul este 89. | | +| Dacă nu se aplică criteriul de divizibilitate cu 11, deoarece $x \neq 0, y \neq 1$, se analizează cazurile: | $2 p$ | +| $x=2, y=7 ; \quad x=6, y=3 ; \quad x=8, y=9 ;$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-579-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-579-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..30959e4b1ca1809aa3ced2b1320a3e19eb815611 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-579-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 28 februarie 2015 + +## CLASA a XI-a + +Subiectul 1. Fie A și B două matrice patratice de ordinul 2 cu elemente reale având proprietatea că $A B-B A=A^{2}$. + +Să se arate că $(B-A)^{2015}=B^{2014}(B-2015 A)$. + +GM 9/2014(enunț adaptat) + +Subiectul 2. Fie A o matrice de ordinul doi cu elemente reale și $A^{t}$ matricea transpusă. + +Știind că $\operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=8$ și $\operatorname{det}\left(A+2 A^{t}\right)=27$. Să se calculeze $\operatorname{det} A$. + +GM 11/2014 + +Subiectul 3. Calculați + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+(\operatorname{tg} x)^{2}+(\operatorname{tg}(2 x))^{2}+\cdots+(\operatorname{tg}(n x))^{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{n^{3}}} +$$ + +Subiectul 4. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale definite prin $x_{0}>1$ și $x_{n+1}^{2}-2 x_{n+1}=x_{n}-2$, iar $y_{n}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}-\cdots-\frac{1}{2^{n}}$. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-2}{y_{n}}$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7 . + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală Dâmboviţa, 28 februarie 2015 SUBIECT ŞI BAREM ORIENTATIV DE NOTARE + +## CLASA A IX-A + +## Varianta 1 + +Subiectul 1. Se consideră o mulţime $G \subset R$ care satisface simultan proprietăţile: +a) $1 \in G$ +b) $x \in G \Rightarrow \sqrt{x+2} \in G$ +c) $\sqrt{x+3} \in G \Rightarrow x+4 \in G$ + +Arătaţi că $\sqrt{2015} \in G$. + +## Solutie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e5824da207017160be1g-2.jpg?height=89&width=1515&top_left_y=1235&top_left_x=305) + +Fie $P(n): 3 n \in G, n \in N^{*} . P(1)$ este deci adevărată........................................................ 1 p + +Arătăm $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ + +Dacă $3 n \in G \stackrel{b)}{\Rightarrow} \sqrt{3 n+2} \in G \stackrel{c}{\Rightarrow} 3 n+3 \in G$, adică $P(n+1)$ este adevărată.................... 1 p + +$2013 \vdots 3 \Rightarrow 2013 \in G \Rightarrow \sqrt{2015} \in G$........................................................................... 2 p + +Subiectul 2. Fie $a, b, c, n>0$ cu $a+b+c=1$. Demonstraţi inegalitatea: + +$$ +\frac{a}{b c(b+n c)}+\frac{b}{c a(c+n a)}+\frac{c}{a b(a+n b)} \geq \frac{27}{n+1} +$$ + +Solutie. + +Cu inegalitatea Cauchy - Buniakovski (forma Titu Andreescu) + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{a}{b c(b+n c)}+\frac{b}{c a(c+n a)}+\frac{c}{a b(a+n b)}=\frac{a^{2}}{a b c(b+n c)}+\frac{b^{2}}{a b c(c+n a)}+\frac{c^{2}}{a b c(a+n b)} \geq \ldots . .1 \mathrm{p} \\ +& \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a b c(a+b+c)(n+1)}= \\ +& =\frac{1}{a b c(n+1)} \geq \frac{27}{n+1} +\end{aligned} +$$ + +(la ultima inegalitate, din inegalitatea mediilor $\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3} \geq a b c \Rightarrow \frac{1}{27} \geq a b c \Rightarrow \frac{1}{a b c} \geq 27$ ) + +Subiectul 3. Să se rezolve ecuaţiile: +a) $x=\frac{\{x\}}{[x]}$ +b) $[x] \cdot\{x\}=[x]-\{x\}$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$ şi $\{x\}$ partea fracţionară a lui $x$. + +## Solutie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e5824da207017160be1g-3.jpg?height=66&width=1537&top_left_y=688&top_left_x=305) + +$$ +\begin{aligned} +& x \geq 1 \Rightarrow x \cdot[x] \geq 1 \Rightarrow \text { ecuaţia nu are soluţii.......................................................................... } 1 \mathrm{p} \\ +& x \leq-1 \Rightarrow x \cdot[x] \geq 1 \Rightarrow \text { ecuaţia nu are soluţii...................................................................... } 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e5824da207017160be1g-3.jpg?height=106&width=1537&top_left_y=866&top_left_x=302) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e5824da207017160be1g-3.jpg?height=71&width=1539&top_left_y=1016&top_left_x=301) +Pentru $k=-1$, ecuaţia nu are soluţii............................................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Pentru $k \neq-1$, ecuaţia are soluţiile $x=\frac{k^{2}+2 k}{k+1}, k \in Z$.................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Subiectul 4. Fie ABC un triunghi în care $(b+c) \overrightarrow{P A}+(c+a) \overrightarrow{P B}+(a+b) \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$, unde $P \in\{O, I, G\}$. Demonstraţi că triunghiul ABC este echilateral. (Notaţiile sunt cele uzuale.) + +## Solutie. + +Dacă $P=O$, atunci $(a+b+c)(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C} \Rightarrow \overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O I} \ldots \ldots \ldots . . \ldots \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e5824da207017160be1g-3.jpg?height=79&width=1537&top_left_y=1630&top_left_x=305) + +Dacă $P=G$, atunci $a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+c \overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow(a-c) \overrightarrow{G A}+(b-c) \overrightarrow{G B}=\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c \ldots .2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-58-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XI-0_barem_clasa11.md b/Romania_Olympiad/md/ro-58-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XI-0_barem_clasa11.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..058857750d3463a379e8f3c61b9cfbfc388beb65 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-58-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XI-0_barem_clasa11.md @@ -0,0 +1,44 @@ +# CLASA a XI-a, varianta 2 + +Problema 1. Arătaţi că, dacă $n \geq 2$ este un număr întreg, atunci există matricele inversabile $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, cu elementele nenule, aşa încât $A_{1}^{-1}+A_{2}^{-1}+\ldots+A_{n}^{-1}=\left(A_{1}+A_{2}+\ldots+A_{n}\right)^{-1}$. Gazeta Matematică + +Soluţie. Egalitatea este echivalentă cu $\left(A_{1}+A_{2}+\ldots+A_{n}\right)\left(A_{1}^{-1}+A_{2}^{-1}+\ldots+A_{n}^{-1}\right)=I_{2} \ldots \mathbf{2 p}$ Vom lua $A_{1}=A, A_{2}=\ldots=A_{n}=B$. Cerinţa devine $I_{2}+(n-1) A B^{-1}+(n-1) B A^{-1}+(n-1)^{2} I_{2}=$ $I_{2}$. Notând $A B^{-1}=X$, căutăm $X$ astfel încât $X+X^{-1}+(n-1) I_{2}=0_{2}$, sau $X^{2}+(n-1) X+I_{2}=0_{2}$. Astfel, putem lua $X=\left(\begin{array}{cc}1 & n+1 \\ -1 & -n\end{array}\right)$ + +Pentru acest $X$ putem lua $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-2 n-1 & -3 n-2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ + +Problema 2. Considerăm mulţimea $M=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \right\rvert\, a b=c d\right\}$. + +a) Daţi exemplu de matrice $A \in M$ astfel încât $A^{2017} \in M$ şi $A^{2019} \in M$, dar $A^{2018} \notin M$. + +b) Arătaţi că, dacă $A \in M$ şi există numărul întreg $k \geq 1$ astfel încât $A^{k} \in M, A^{k+1} \in M$ ş $A^{k+2} \in M$, atunci $A^{n} \in M$, oricare ar fi numărul întreg $n \geq 1$. + +Soluţie. a) Luăm $A \in M$ astfel încât $A^{2} \notin M$ şi $A^{2}+A+I_{2}=0_{2}$, deci $A^{3}=I_{2}=A^{2019} \in M$, $A^{2017}=A \in M$ ş $A^{2018}=A^{2} \notin M$. Un exemplu este $A=\left(\begin{array}{cc}1 & \sqrt{6} \\ -\sqrt{3 / 2} & -2\end{array}\right)$ + +$2 p$ + +b) Din teorema Hamilton-Cayley reiese recursiv că există $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ astfel încât $A^{k+2}=\alpha A+\beta I_{2}$. Dacă $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, obţinem $(\alpha a+\beta) \alpha b=\alpha c(\alpha d+\beta)$, de unde $\alpha \beta(b-c)=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +I) Dacă $b=c$, atunci $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right)$ sau $A=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & d\end{array}\right)$; în ambele cazuri $A^{n} \in M, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +II) Dacă $b \neq c$, atunci $\alpha=0$ sau $\beta=0, A^{k+2}=\beta I_{2}$ sau $A^{k+2}=\alpha A$ şi analizăm în funcţie de $\delta=\operatorname{det}(A)$. + +II.1) Dacă $\delta=0$, atunci $A \in M$ şi $A^{n}=(\operatorname{tr}(A))^{n-1} A \in M$ pentru $n \geq 2$ $1 p$ + +II.2) Dacă $\delta \neq 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{\beta} A^{k+1}, \beta \neq 0$ sau $A^{-1}=\frac{1}{\alpha} A^{k}, \alpha \neq 0$, deci $A^{-1} \in M$. Cum $A^{-1}=\frac{1}{\delta}\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$, obţinem $b d=a c$, iar $a b=c d$ duce la $b(a+d)=c(a+d)$, deci $a+d=0$. Aceasta duce mai departe la $a=d=0$, caz în care $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}0 & b^{n} \\ c^{n} & 0\end{array}\right)$ pentru $n$ impar şi $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}b^{n} & 0 \\ 0 & c^{n}\end{array}\right)$ pentru $n$ par, sau la $a=-d \neq 0$, de unde $b=-c$ şi $A^{2 n}=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{n} I_{2}, A^{2 n+1}=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{n} A$; în toate cazurile reiese $A^{n} \in M, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ + +$2 p$ + +Problema 3. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu proprietăţile $a_{n}>1$ şi $a_{n+1}^{2} \geq a_{n} a_{n+2}$, oricare ar fi $n \geq 1$. Arătaţi că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ dat de $x_{n}=\log _{a_{n}} a_{n+1}$ pentru $n \geq 1$ este convergent şi calculaţi-i limita. + +Soluţie. Din ipoteză reiese $2 \geq \log _{a_{n+1}} a_{n}+\log _{a_{n+1}} a_{n+2}=\frac{1}{x_{n}}+x_{n+1} \quad(*)$ $1 p$ + +Deducem $x_{n+1} \leq 2-\frac{1}{x_{n}} \leq x_{n}$, deci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este descrescător ......................... $\mathbf{p}$ + +Cum şirul are termenii pozitivi, rezultă că el este convergent către o limită $x \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2$. 2 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_45642a9c461ecc4e84e8g-1.jpg?height=54&width=1724&top_left_y=2228&top_left_x=190) + +Problema 4. Fie $a0, f(x) \geq \frac{c-a}{x-a} f(c)$. Apoi, din $h(x) \geq h(c)$ sुi $x-b<0$ rezultă $f(x) \leq \frac{c-b}{x-b} f(c)$. Deoarece $\lim _{x \rightarrow c} \frac{c-a}{x-a}=\lim _{x \rightarrow c} \frac{c-b}{x-b}=1$, folosind criteriul cleştelui, deducem $\lim _{x \backslash c} f(x)=f(c)$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-580-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-580-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9c81e1b7e1d6a5a20be41d94388c4add08e8e1f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-580-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,52 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL I : + +Pe mulțimea $G=(-1,1)$ definim legea de compoziție: $\quad x * y=\frac{x+y}{1+x y}$. + +a. Să se arate că $(G, *)$ este grup abelian. + +b. Să se rezolve ecuația: $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{d e " 2015 " o r i}=0$ + +## SUBIECTUL II : + +Fie $\boldsymbol{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{e}^{x^{2}}$ + +a. Să se arate că $\boldsymbol{f}$ este convexă pe $[0,2]$ + +b. Să se demonstreze că $f(x) \leq(e-1) x+1, \forall x \in[0,1]$ + +c. Arătați că + +$$ +\int_{0}^{2} f(x) d x<\frac{e^{4}+2 e+1}{2} +$$ + +## SUBIECTUL III: + +Este funcția : + +$$ +f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(t)=\int_{t}^{t+1}[x]^{2} d x +$$ + +injectivă? + +## SUBIECTUL IV : + +Să se demonstreze că: + +$$ +\boldsymbol{\operatorname { A u t }}(\mathbb{Z},+)=\{\boldsymbol{f} \mid \boldsymbol{f}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} ; \boldsymbol{f}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{y})+\boldsymbol{x} y=2 \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\} +$$ + +Notă:Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-581-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-581-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..22fb9388aa89430e6b2b2c2d3cb16b95612a960e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-581-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,40 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3ff5d48247aa47379dd9g-1.jpg?height=217&width=184&top_left_y=236&top_left_x=236) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I : + +Să se determine $X \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $X^{2015}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 2\end{array}\right)$. + +## SUBIECTUL II : + +Fie $A \in M_{2}(\mathbb{R})$ şi $A^{T}$ matricea transpusă. Știind că $\operatorname{det}\left(A+A^{T}\right)=8$ și $\operatorname{det}\left(A+2 A^{T}\right)=27$ să se calculeze $\operatorname{detA}$. + +## SUBIECTUL III: + +Să se calculeze: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+\cos k}}{k+1+\cos k} +$$ + +## SUBIECTUL IV : + +Să se calculeze limita șirului: + +$$ +x_{n}=\frac{1}{\ln n} \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{2 k-2 \sqrt{2 k-1}}}-\frac{1}{\sqrt{2 k+2 \sqrt{2 k-1}}}\right) +$$ + +Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-582-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-582-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5974a0f580a2ccd8fd1d92095ab74fe6d91c4a37 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-582-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,49 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_58d292db7010a41c7e55g-1.jpg?height=214&width=182&top_left_y=240&top_left_x=234) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a X-a + +SUBIECTUL I: + +Să se arate că dacă $x \in(0,1) \cup(1, \infty)$ atunci: + +$$ +\frac{1}{\log _{x} 3 \cdot \log _{x} 9}+\frac{1}{\log _{x} 9 \cdot \log _{x} 27}+\cdots+\frac{1}{\log _{x} 3^{2014} \cdot \log _{x} 3^{2015}}=\frac{2014}{2015}\left(\frac{1}{\log _{x} 3}\right)^{2} +$$ + +SUBIECTUL II: + +Să se arate că ecuația $x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{2}$ are: + +a. Cel puțin două soluții în $\mathbb{N}^{*} X \mathbb{N}^{*} X^{*}$ cu $x \leq y \leq z$; + +b. $\mathrm{O}$ infinitate de soluții în $\mathbb{Z}^{*} X \mathbb{Z}^{*} X \mathbb{Z}^{*}$ + +## SUBIECTUL III: + +Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul: + +$$ +\left\{\begin{array}{c} +x+y+z=3 \\ +2^{x^{2}+y+1}+2^{y^{2}+z+1}+2^{z^{2}+x+1}=24 +\end{array}\right. +$$ + +SUBIECTUL IV: + +Fie $a, b, c \in \mathbb{C}$ și $z \in \mathbb{C}^{*}$ astfel încât: + +$|z-a|=|2 z-b-c|,|z-b|=|2 z-a-c|$ si $|z-c|=|2 z-a-b|$. + +Să se determine valoarea raportului $\frac{a+b+c}{z}$. + +Notă:Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-583-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-583-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..388187d129b0e802399e7e24a8b675769d0aa635 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-583-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,46 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_edf9ca02e0949b925ed4g-1.jpg?height=214&width=168&top_left_y=240&top_left_x=249) + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN MEHEDINTJ + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VIII-a + +## SUBIECTULI + +Determinați soluțiile naturale ale ecuației: + +$$ +4 \sqrt{x+1}+8 \sqrt{y-1}+12 \sqrt{z-2}=x+y+z+54 +$$ + +## SUBIECTUL II + +a. Să se găsească cel mai mare $\boldsymbol{n} \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât: + +$$ +\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{15}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n+\sqrt{4 n^{2}-1}}}<2013 \sqrt{2} +$$ + +b. Să se demonstreze că: + +$$ +\frac{1}{2 \sqrt{2}+1 \sqrt{1}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{2015 \sqrt{2015}+2014 \sqrt{2014}}<1-\frac{1}{\sqrt{2015}} +$$ + +## SUBIECTULIII + +O prismă hexagonală regulată are baza de arie $S$ și aria unei secțiuni diagonale $S^{\prime}$. Calculați în funcție de $S, S^{\prime}$ volumul prismei în toate cazurile posibile. + +## SUBIECTULIV + +Fie $V A_{1} A_{2} A_{3}$ o piramidă triunghiulară regulată. Se ridică într-un punct $M$ al bazei o perpendiculară pe planul bazei care intersectează planele fețelor laterale în $B_{1}, B_{2}, B_{3}$. Să se demonstreze că suma $M B_{1}+M B_{2}+M B_{3}$ este constantă. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-584-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-584-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8de5f3a6a99ad0642cb7e9f9d1a739d5ca88174d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-584-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9b461cc367b74d6f86b4g-1.jpg?height=225&width=198&top_left_y=234&top_left_x=237) + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +Clasa a VII-a + +# SUBIECTULI + +Fie $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2015}$ puncte pe o dreaptă având proprietatea că distanța dintre oricare două este strict mai mică decât 1 . Să se arate că suma tuturor distanțelor dintre oricare două puncte este strict mai mică decât 1007 -1008. + +## SUBIECTULII + +Fie $A A^{\prime}$ mediană în triunghiul $A B C ; A^{\prime} \in(B C)$. Fie $M \in\left(B A^{\prime}\right) ; N \in\left(A^{\prime} C\right)$. Paralela prin $M$ la $A A^{\prime}$ intersectează $A B$ şi $A C$ în $S$, respectiv $T$. Paralela prin $N$ la $A A^{\prime}$ intersectează $A C$ şi $A B$ în $S^{\prime}$, respectiv $T^{\prime}$. Să se arate că: + +$$ +M S+M T=N S^{\prime}+N T^{\prime} +$$ + +## SUBIECTULIII + +Să se rezolve ecuația: + +$$ +\frac{x-2014}{2}+\frac{x-2010}{3}+\frac{x-2004}{4}+\cdots+\frac{x-1906}{11}=55 +$$ + +## SUBIECTULIV + +Fie triunghiul echilateral $A B C \mathrm{cu} A B=12 \mathrm{~cm}$. Fie punctele $M, N, P$ astfel ca $A \in(C N), C \in(B M)$ ṣi $A B \cap M N=\{P\}$. Calculaṭi $A P$, știind că $A N=C M=12 \mathrm{~cm}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-585-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-585-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..831bd02e1d6e5772135bc3e8ec558c55f354e020 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-585-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VI-a + +## SUBIECTUL I + +Să se determine cifrele $x, y$ astfel încât: $\overline{0,(x x 1 y y)}+\overline{0,(x x 2 y y)}+\cdots+\overline{0,(x x 9 y y)}=5$ + +## SUBIECTUL II + +a. Să se afle $x \in \mathbb{N}$ astfel încât: $x(\overline{a b c d}+\overline{c d a b})=\overline{a b}+\overline{c d}$, știind că: $\overline{a b} \cdot \overline{c d}=493$. + +b. Să se afle $x \in \mathbb{N}$ astfel încât: $\overline{1 a b}+\overline{a b 1}+\overline{b 1 a}=\overline{1 a}+\overline{a b}+\overline{b 1}+x(a+b+1)$. + +## SUBIECTUL III + +a. Astăzi este ziua de naștere a unui copil, dar și a bunicului său. Bunicul are atâția ani câte luni are nepotul său, iar suma vârstelor lor este de 78 ani. Câți ani are fiecare? + +b. Fie numărul natural $N=\overline{a b c d a b}$. Să se arate că dacă $7 \overline{a b}=\overline{c d}$ atunci $N$ se divide cu 1189 . + +## SUBIECTUL IV + +Fie $\left(O A_{3}\right.$ bisectoarea unghiului $\Varangle A_{1} O A_{2}$ cu măsura de $128^{\circ} 32^{\prime} 16^{\prime \prime} .\left(O A_{4}\right.$ este bisectoarea $\Varangle A_{1} O A_{3},\left(O A_{5}\right.$ este bisectoarea $\Varangle A_{1} O A_{4} \ldots .\left(O A_{n}\right.$ este bisectoarea $\Varangle A_{1} O A_{n-1}$. Aflaṭi cel mai mic $n$ pentru care $m\left(\Varangle A_{1} O A_{n}\right)<1^{\prime \prime}$. + +Notă:Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-586-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-586-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff991ead86e9b2b53116f25b27f8a9b88a1d2a5d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-586-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,40 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_965aabee8d935e648ed9g-1.jpg?height=217&width=182&top_left_y=236&top_left_x=234) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ-14 FEBRUARIE 2015 + +Clasa a V-a + +## SUBIECTUL I + +a. Să se rezolve ecuația: + +$$ +(x+2 x+3 x+\cdots+403 x): 202=2015 +$$ + +b.Să se determine $n \in \mathbb{N}$ știind că numărul divizorilor naturali ai lui $2^{\boldsymbol{n}} \cdot 4851$ este $\mathbf{7 2}$. + +SUBIECTUL II + +a.Să se scrie numărul $7^{2015}$ ca sumă a șapte numere naturale consecutive. + +b.Să se determine $x, y, z$ încât: $\overline{x y z}+\overline{y z x}+\overline{z x y}=2727$ + +## SUBIECTUL III + +Arătaţi că nu există pătrate perfecte de forma $\overline{a a a b b b}$ cu $a \neq 0$. + +## SUBIECTUL IV + +Determinați numerele naturale care prin tăierea ultimei cifre se micșorează de exact 11 ori. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-587-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-587-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b4f476baeb6d86d531dc8fdc78e0caac80a928fe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-587-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,48 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3711ab4db70be394dbccg-1.jpg?height=214&width=170&top_left_y=186&top_left_x=251) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALÄ-14 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a IX-a + +## SUBIECTUL I : + +Fie $a, b, c, d \in(0, \infty)$. Să se arate că: + +$$ +\left(1+\frac{a}{b}\right)^{2}+\left(1+\frac{b}{c}\right)^{2}+\left(1+\frac{c}{d}\right)^{2}+\left(1+\frac{d}{a}\right)^{2} \geq 16 +$$ + +SUBIECTUL II : + +Se consideră șirul crescător $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin: + +$a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n+1}=2 \sqrt{a_{n+1} \cdot a_{n}}-a_{n}+1, n \geq 1$. + +Să se arate că: + +$$ +a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+4 \sqrt{a_{k} \cdot a_{k-1}}} +$$ + +## SUBIECTUL III: + +a. Dați un exemplu de progresie geometrică neconstantă care are o infinitate de termeni iraționali. (Justificare) + +b. O progresie aritmetică are doi termeni raționali. Demonstrați că toți termenii săi sunt raționali. + +c. $O$ progresie aritmetica are doi termeni iraționali. Să se arate că progresia are o infinitate de termeni iraționali. + +## SUBIECTUL IV: + +Se consideră în plan 2015 vectori. Doi elevi se joacă alegând alternativ câte un vector, până când sunt aleși toți vectorii. Pierde jocul cel pentru care suma vectorilor aleși are lungimea mai mică. Arătați că primul elev poate folosi o strategie prin care să nu piardă jocul. + +Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-588-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-588-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bfffe467dfb90f2a0df2998c626ce0f6cef59d17 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-588-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,195 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A XII-A + +1. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție care admite primitive și $F$ o primitivă a sa. + +Determinați funcția $f$ astfel încât $\left(e^{2 x}+1\right)(f(x)-F(x))=e^{2 x}, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Costel Cerchez, Brăila + +2. Fie $G=\left(\frac{1}{k}, k\right), k>1$ și legea de compoziție: + +$$ +x * y=\frac{\frac{k^{2}+1}{k} x y-2(x+y)+\frac{k^{2}+1}{k}}{2 x y-\frac{k^{2}+1}{k}(x+y)+\frac{k^{4}+1}{k^{2}}}, \forall x, y \in G +$$ + +Să se arate că: +a) $(G, *)$ este grup; + +b) Să se calculeze $x^{(n)}, n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}$ și să se determine părțile stabile finite ale lui $(G, *)$; + +c) Să se determine un automorfism strict descrescător al lui $(G, *)$. + +Gheorghe Alexe, Brăila + +3. Fie $(G, \bullet)$ un grup finit de ordin impar și $H$ un subgrup propriu, necomutativ, al lui $G$. Să se arate că există două elemente distincte din $G \backslash H$ care comută. + +Gazeta matematică + +4. Să se calculeze $\int \frac{\sin 2 x-\operatorname{tg}^{2} x}{e^{\operatorname{tg} x}+\sin ^{2} x} d x, x \in\left(\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{3}\right)$. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A XII-A - Soluții + +1. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție care admite primitive și $F$ o primitivă a sa. + +Determinați funcția $f$ astfel încât $\left(e^{2 x}+1\right)(f(x)-F(x))=e^{2 x}, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Costel Cerchez, Brăila + +Solutie. + +Inmultim relatia data $\mathrm{cu} \frac{e^{-x}}{e^{2 x}+1}$ + +și obținem $e^{-x}[f(x)-F(x)]=\frac{e^{x}}{e^{2 x}+1}$ + +Aceasta relatie se rescrie + +$\left(e^{-x}[F(x)]\right)^{\prime}=\frac{e^{x}}{e^{2 x}+1}$ + +și cum + +$\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1} \mathrm{~d} x=\operatorname{arctg} e^{x}+C$, deducem că există $c \in \mathbb{R}$ + +$$ +e^{-x}[F(x)]=\operatorname{arctg} e^{x}+c +$$ + +astfel încât + +Deci $F(x)=e^{x} \operatorname{arctg} e^{x}+c e^{x} \quad$ si prin derivarea relatiei obtinem $f(x)$. + +2. Fie $G=\left(\frac{1}{k}, k\right), k>1$ și legea de compozitiie: + +$$ +x * y=\frac{\frac{k^{2}+1}{k} x y-2(x+y)+\frac{k^{2}+1}{k}}{2 x y-\frac{k^{2}+1}{k}(x+y)+\frac{k^{4}+1}{k^{2}}}, \forall x, y \in G +$$ + +Să se arate că: +a) $(G, *)$ este grup; + +b) Să se calculeze $x^{(n)}, n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}$ și să se determine părțile stabile finite ale lui $(G, *)$; + +c) Să se determine un automorfism strict descrescător al lui $(G, *)$. + +Soluție. + +1),,$*^{\prime \prime}$ se poate scrie $: x * y=\frac{k+\frac{1}{k}\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}{1+\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}$ + +Se verifica axiomele grupului + +-element neutru : $e=\frac{k^{2}+1}{2 k} \in G$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_585f66dbd46d758213fdg-3.jpg?height=179&width=892&top_left_y=797&top_left_x=237) +2) $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{n^{n} \text { ori }}=x^{(n)}=\frac{k+(-1)^{n} \cdot \frac{1}{k} \cdot\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right)^{n}}{1+(-1)^{n} \cdot\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right)^{n}} \quad n \geq 2, n \in N$ + +Se demonstreaza prin inductie completa + +2) Partile stabile finite ale lui $G$ ( $\ni) m, n \in N^{*}, m \neq n$ a.i. $x^{(n)}=x^{(m)}$ + +Fie $t=\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}, \leq>(-t)^{m}=(-t)^{n}$ + +Fie $m>n(-t)^{n} *\left[(-t)^{m-n}-1\right]=0$ + +$\leq>a)(-t)^{n}=0$ sau $\left.b\right)(-t)^{m-n}=1$ + +a) $(-t)^{n}=0<=>-t=0 \quad \frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}=0<=>x=k$ (fals) + +$$ +x \in\left(\frac{1}{k}, k\right) +$$ + +b) $(-t)^{m-n}=1$ + +1) $m-n=$ impar $=>-t=1<=>t=-1$ + +$\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}=-1=>x-k=-x+\frac{1}{k}$ + +$2 x=k+\frac{1}{k} \quad=>x=\frac{k^{2}+1}{2 k}=e \in\left(\frac{1}{k}, k\right)$ + +2) $m-n=p a r=>-t= \pm 1=>$ + +$t=1$ sau $t=-1$ +$\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}=1=>-k=-\frac{1}{k}, k=\frac{1}{k}$ fals +$\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}=-1=>x=\frac{k^{2}+1}{2 k}=e \in G$ + +Deci singura parte stabila finita a lui $G$ fata de,,$^{\prime \prime \prime}$ este $E=\{e\}=\left\{\frac{k^{2}+1}{2 k}\right\}$ + +E este un subgrup finit impropriu a lui G si este singurul. + +( $E, *)$ subgrup $\mathrm{C}(G, *)$ grup +3) $f:(G, *)->(G, *)$ + +f automorfism strict descrescator cautam un automorfism de forma: + +$f(x)=m * x+n$ + +1) f bijectiva pe $\left(\frac{1}{k}, k\right)=G$ + +( $\forall) x, y \in G$ +2) $f(x * y)=f(x) * f(y)$ + +| $\mathrm{x}$ | $\frac{1}{k}$ | | $\frac{k^{2}+1}{2 k}$ | | $k$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ | $k$ | $\searrow$ | $\frac{k^{2}+1}{2 k}$ | $\searrow$ | $\frac{1}{k}$ | + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{x->\frac{1}{k}}(m * x+n)=\frac{m}{k}+n=k=>m+k * n=k^{2} \\ +& x>\frac{1}{k} \\ +& \lim _{x \rightarrow k}(m * x+n)=m * k+n=\frac{1}{k}, m * k^{2}+n * k=1 \\ +& \left\{\begin{array}{c} +m+k * n=k^{2} \\ +m * k^{n}+k * n=1 +\end{array} \quad=>\left\{\begin{array}{c} +m=-1 \\ +n=\frac{k^{2}+1}{k} +\end{array}\right.\right. \\ +& f(x)=-x+\frac{k^{2}+1}{k}, \quad f:\left(\frac{1}{k}, k\right)->\left(\frac{1}{k}, k\right) +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& f \searrow \text { pe }\left(\frac{1}{k}, k\right)=>f \text { injectiva pe } G \\ +& f \text { cont si } f\left[\left(\frac{1}{k}, k\right)\right]=\left(\frac{1}{k}, k\right)=>f \text { surjectiva pe } G \\ +& =>1) \text { f bijectiva pe G } \\ +& \text { 2) } f(x * y)=f(x) * f(y), \quad(\forall) x, y \in G \\ +& f(x * y)=-(x * y)+\frac{k^{2}+1}{k}= +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& =-\left[\frac{k+\frac{1}{k}\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}{1+\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}\right]+k+\frac{1}{k}= \\ +& =\frac{\frac{1}{k}+k\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}{1+\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}=f(x * y) \\ +& f(x) * f(y)=\frac{k+\frac{1}{k}\left[\frac{f(x)-k}{f(x)-\frac{1}{k}}\right] \cdot\left[\frac{f(y)-k}{f(y)-\frac{1}{k}}\right]}{1+\left[\frac{f(x)-k}{f(x)-\frac{1}{k}}\right] \cdot\left[\frac{f(y)-k}{f(y)-\frac{1}{k}}\right]}= \\ +& \frac{\frac{1}{k}+k\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}{1+\left(\frac{x-k}{x-\frac{1}{k}}\right) \cdot\left(\frac{y-k}{y-\frac{1}{k}}\right)}=f(x * y) \\ +& =>f(x * y)=f(x) * f(y) \quad(\forall) x, y \in G \\ +& \text { - f bijectivape G } \\ +& -f \text { endomorfism pe }(G, *)\}=> \\ +& =>f \text { automorfism pe grupul }(G, *) \text { strict descrescator } +\end{aligned} +$$ + +3. Fie ( $G, \bullet$ ) un grup finit de ordin impar și $H$ un subgrup propriu, necomutativ, al lui $G$. Să se arate că există două elemente distincte din $G \backslash H$ care comută. + +Gazeta matematică + +## Soluție. + +Fie $x \in G \backslash H \Rightarrow x^{-1} \in G \backslash H$ și $x \neq x^{-1}$ deoarece grupul are ordin impar.Cum $x$ și $x^{-1}$ comută, problema este rezolvată. + +4. Să se calculeze $\int \frac{\sin 2 x-\operatorname{tg}^{2} x}{e^{\operatorname{tg} x}+\sin ^{2} x} d x, x \in\left(\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{3}\right)$. + +Narcis Gabriel Turcu, Brăila + +Soluție. + +$$ +\begin{aligned} +& f:\left(\frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{3}\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{\operatorname{tgx}}+\sin ^{2} x \\ +& f^{\prime}(x)=\frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos ^{2} x}+\sin 2 x \\ +& f^{\prime}(x)-\frac{f(x)}{\cos ^{2} x}=\sin 2 x-\operatorname{tg}^{2} x \\ +& \int \frac{\sin 2 x-\operatorname{tg}^{2} x}{e^{\operatorname{tg} x}+\sin ^{2} x} d x=\int \frac{f^{\prime}(x)-\frac{f(x)}{\cos ^{2} x}}{f(x)} d x=\int\left(\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}-\frac{1}{\cos ^{2} x}\right) d x=\ln \left(e^{\operatorname{tg} x}+\sin ^{2} x\right)-\operatorname{tg} x+C +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-589-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-589-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f873625b464fc9e55052febb110ebf16766cf5cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-589-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,117 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A XI-A + +1. a) Să se arate că există o infinitate de matrice $A \in M_{2}(\mathbb{Z})$ cu proprietatea $A^{3}=2 A+I_{2}$, dar că doar două dintre ele au toate elementele numere naturale. + +b) Să se arate că există o infinitate de matrice $A \in M_{2}(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})$ cu proprietatea $A^{3}=2 A$. Gabriel Daniilescu, Brăila + +2. Considerăm o matrice $A \in M_{3}(\mathbb{R})$ care are următoarele proprietăți: + +(1) $A$ și $A^{3}$ au pe diagonala principală elementele $-1,0,1$ în această ordine; + +(2) $A^{2}$ are pe diagonala principală elementele $1,0,1$ în această ordine. + +Demonstrați că $A$ este singulară, dar are cel puțin un minor de ordin 2 nenul. + +Cristi Săvescu, București + +3. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ cu $x_{0}=1, \quad x_{1}=\frac{1}{2}$ și $x_{n+2}=x_{n+1} \cdot x_{n}^{2}, \forall n \geq 0$. Aflaţi termenul general $x_{n}$ al șirului și apoi calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +Alexandru Gabriel Mîrșanu, Iaşi + +4. Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{\operatorname{arctg} x}-\sqrt{\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} x\right)}}{\sqrt[3]{1+\ln [x(2 x-1)]}-\sqrt[3]{1+\ln \left(x^{3}-4 x+4\right)}}$. + +Iulian Danielescu, Brăila + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A XI-A - Soluții + +1. a) Să se arate că există o infinitate de matrice $A \in M_{2}(\mathbb{Z})$ cu proprietatea $A^{3}=2 A+I_{2}$, dar că doar două dintre ele au toate elementele numere naturale. + +b) Să se arate că există o infinitate de matrice $A \in M_{2}(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})$ cu proprietatea $A^{3}=2 A$. + +Gabriel Daniilescu, Brăila + +Solutiie. $A^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det}(A) \cdot I_{2}=O_{2} \Leftrightarrow A^{2}=\operatorname{tr}(A) \cdot A-\operatorname{det}(A) \cdot I_{2} \Rightarrow$ $\Rightarrow A^{3}=\operatorname{tr}(A) \cdot A^{2}-\operatorname{det}(A) \cdot A=\operatorname{tr}(A)\left[\operatorname{tr}(A) \cdot A-\operatorname{det}(A) \cdot I_{2}\right]-\operatorname{det}(A) \cdot A=$ $=(\operatorname{tr}(A))^{2} \cdot A-\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A) \cdot I_{2}-\operatorname{det}(A) \cdot A=\left[(\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)\right] \cdot A-\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A) \cdot I_{2}$. + +a) Este suficient să găsim o infinitate de matrice $A \in M_{2}(\mathbb{Z}) \mathrm{cu}(\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)=2$ și + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A)=-1 \Rightarrow \operatorname{det}(A)=-\frac{1}{\operatorname{tr}(A)} \Rightarrow(\operatorname{tr}(A))^{2}+\frac{1}{\operatorname{tr}(A)}=2 \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow(\operatorname{tr}(A))^{3}-2 \operatorname{tr}(A)+1=0 \Leftrightarrow[\operatorname{tr}(A)-1][\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(A)-1]=0 +\end{aligned} +$$ + +Dar $A \in M_{2}(\mathbb{Z}) \Rightarrow \operatorname{tr}(A) \in \mathbb{Z} \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=1$ și $\operatorname{det}(A)=-1$. + +Putem alege $A=\left(\begin{array}{cc}a & 1 \\ 1+a-a^{2} & 1-a\end{array}\right)$ cu $a \in \mathbb{Z}$ arbitrar. + +Pentru a găsi toate matricele cu elemente numere naturale, din + +$$ +\begin{aligned} +& {\left[(\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)\right] \cdot A-\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A) \cdot I_{2}=2 A+I_{2} \Rightarrow} \\ +& \Rightarrow\left[(\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)-2\right] \cdot A=[\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A)+1] \cdot I_{2} \Rightarrow A=\alpha I_{2} \text {, sau } \\ +& (\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)-2=\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A)+1=0 +\end{aligned} +$$ + +1. $A=\alpha I_{2} \Rightarrow A^{3}=\alpha^{3} I_{2} \Rightarrow \alpha^{3} I_{2}=2 \alpha I_{2}+I_{2} \Leftrightarrow \alpha^{3}=2 \alpha+1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \alpha^{3}-2 \alpha-1=0 \Leftrightarrow(\alpha+1)\left(\alpha^{2}-\alpha-1\right)=0 \Rightarrow \alpha \notin \mathbb{N}$. +2. $(\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)-2=0$ și $\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A)+1=0 \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=1$ și $\operatorname{det}(A)=-1$. + +Deci $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \Rightarrow a+d=1$ cu $a, d \in \mathbb{N} \Rightarrow(a, d) \in\{(1,0),(0,1)\} \Rightarrow a d=0 \Rightarrow b c=1 \mathrm{cu}$ $b, c \in \mathbb{N} \Rightarrow(b, c) \in\{(1,1)\} \Rightarrow A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ s, $A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$. + +b) Este suficient să găsim o infinitate de matrice $A \in M_{2}(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})$ cu $(\operatorname{tr}(A))^{2}-\operatorname{det}(A)=2$ şi $\operatorname{tr}(A) \cdot \operatorname{det}(A)=0$. Putem găsi $A$ cu $\operatorname{det}(A)=0$ şi $\operatorname{tr}(A)=\sqrt{2}$, de exemplu $A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}-1}{2} & \sqrt{k} \\ \frac{1}{4 \sqrt{k}} & \frac{\sqrt{2}-1}{2}\end{array}\right)$, unde $k \in \mathbb{N}^{*}$ și nu este pătrat perfect. + +2. Considerăm o matrice $A \in M_{3}(\mathbb{R})$ care are următoarele proprietăți: + +(1) A și $A^{3}$ au pe diagonala principală elementele $-1,0,1$ în această ordine; + +(2) $A^{2}$ are pe diagonala principală elementele $1,0,1$ în această ordine. + +Demonstrați că $A$ este singulară, dar are cel puțin un minor de ordin 2 nenul. + +Cristi Săvescu, București + +Soluție. Considerăm $P=X^{3}-\operatorname{tr}(A) X^{2}+\operatorname{tr}\left(A^{*}\right) X-\operatorname{det}(A)$ polinomul caracteristic al matricei $A$. Din condițiile din ipoteză deducem că $A^{k}$ are pe diagonala principală elementele $(-1)^{k}, 0^{k}, 1^{k}$ pentru $k=1,2,3$. + +Cum $P(A)=O_{3}$ din relația Hamilton-Cayley, privind elementele de pe diagonală în această relație, deducem că $P(-1)=P(0)=P(1)=0$, adică $\quad \operatorname{det}(A)=\operatorname{tr}(A)=0 \quad$ și deci $P=X^{3}+\operatorname{tr}\left(A^{*}\right) X$. Din $P(1)=P(-1)=0$ rezultă că $\operatorname{tr}\left(A^{*}\right)=-1$. Atunci $A^{*} \neq O_{3}$, de unde deducem că $A$ are cel puțin un minor de ordin 2 nenul, altfel $A^{*}=O_{3}$. + +3. Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ cu $x_{0}=1, x_{1}=\frac{1}{2}$ și $x_{n+2}=x_{n+1} \cdot x_{n}^{2}, \forall n \geq 0$. Aflaţi termenul general $x_{n}$ al șirului și apoi calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$. + +Soluție. Se arată mai întâi inductiv că $x_{n}>0, \forall n \geq 0$, apoi se logaritmează relația de recurență și se obține: $\ln x_{n+2}=\ln x_{n+1}+2 \ln x_{n}, \forall n \geq 0$. + +Notăm $\quad \ln x_{n}=y_{n}, \quad \forall n \geq 0 \Rightarrow y_{n+2}=y_{n+1}+2 y_{n} \Leftrightarrow y_{n+2}-y_{n+1}-2 y_{n}=0, \quad \forall n \geq 0 \quad \mathrm{cu}$ $y_{0}=\ln 1=0 \quad$ și $y_{1}=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$. Ecuația caracteristică a șirului are soluțiile -1 și 2 , deci $y_{n}=c_{1} \cdot(-1)^{n}+c_{2} \cdot 2^{n}, \forall n \geq 0$. Pentru $n=0$ şi $n=1$, avem $c_{1}+c_{2}=0$ şi + +$$ +\begin{gathered} +-c_{1}+2 c_{2}=-\ln 2 \Rightarrow 3 c_{2}=-\ln 2 \Rightarrow c_{2}=-\frac{1}{3} \ln 2 \Rightarrow c_{1}=\frac{1}{3} \ln 2 \Rightarrow \\ +y_{n}=\frac{1}{3}\left[(-1)^{n}-2^{n}\right] \ln 2, \quad \forall n \geq 0 \Leftrightarrow y_{n}=\frac{(-1)^{n}-2^{n}}{3} \cdot \ln 2 \Leftrightarrow y_{n}=\ln 2^{\frac{(-1)^{n}-2^{n}}{3}}, \quad \forall n \geq 0 +\end{gathered} +$$ + +$\operatorname{Dar} x_{n}=e^{y_{n}} \Rightarrow x_{n}=2^{\frac{(-1)^{n}-2^{n}}{3}}, \forall n \geq 0$ și $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=2^{-\infty}=0$. + +4. Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{\operatorname{arctg} x}-\sqrt{\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} x\right)}}{\sqrt[3]{1+\ln [x(2 x-1)]}-\sqrt[3]{1+\ln \left(x^{3}-4 x+4\right)}}$. + +Iulian Danielescu, Brăila + +Soluție. Amplificând cu conjugata obținem + +$$ +\begin{gathered} +\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{\operatorname{arctg} x-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} x}{\sqrt{\operatorname{arctg} x}+\sqrt{\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} x}} \cdot\right. \\ +\left.\frac{\sqrt[3]{1+\ln [x(2 x-1)]^{2}}+\sqrt[3]{1+\ln [x(2 x-1)]} \cdot \sqrt[3]{1+\ln \left(x^{3}-4 x+4\right)}+\sqrt[3]{1+\ln \left(x^{3}-4 x+4\right)}}{1+\ln [x(2 x-1)]-1-\ln \left(x^{3}-4 x+4\right)}\right]= \\ +=\frac{3}{2 \sqrt{\frac{\pi}{4}}} \cdot \lim _{x \rightarrow 1}^{2}\left[\frac{\operatorname{arctg} x-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} x}{\sin \left(\operatorname{arctg} x-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} x\right)}\right. +\end{gathered} +$$ + +$$ +\begin{gathered} +\left.\frac{\sin (\operatorname{arctg} x) \cos \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} x\right)-\cos (\operatorname{arctg} x) \sin \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} x\right)}{\ln \frac{2 x^{2}-x}{x^{3}-4 x+4}}\right]= \\ +=\frac{3}{\sqrt{\pi}} \cdot \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \sqrt{1-\frac{2 x^{2}}{4}}}{\frac{\ln \left(1+\frac{2 x^{2}-x-x^{3}+4 x-4}{x^{3}-4 x+4}\right)}{\frac{-x^{3}+2 x^{2}+3 x-4}{x^{3}-4 x+4}}=\frac{-x^{3}+2 x^{2}+3 x-4}{x^{3}-4 x+4}}= \\ +=\frac{3}{\sqrt{\pi}} \cdot \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x^{2}-\sqrt{1-\frac{2 x^{2}}{4}}\right) \\ +=\frac{3}{2 \sqrt{\pi}} \cdot \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{2 x^{2}}{4}-1+\frac{2 x^{2}}{4}}{(x-1)\left(-x^{2}+x+4\right)}=\frac{3}{8 \sqrt{\pi}} \cdot \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+x^{2}-2}{2(x-1)}= \\ +=\frac{3}{16 \sqrt{\pi}} \cdot \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\left(x^{3}+x^{2}+2 x+2\right)}{x-1}=\frac{3 \cdot 6}{16 \sqrt{\pi}}=\frac{9}{8 \sqrt{\pi}} +\end{gathered} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-59-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl X-0_barem_clasa10.md b/Romania_Olympiad/md/ro-59-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl X-0_barem_clasa10.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..07e556a7de6b4ee2a015f5181db6ad300cf01aad --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-59-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl X-0_barem_clasa10.md @@ -0,0 +1,102 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 martie 2018
CLASA a 10-a
Soluţii şi barem de notare + +Problema 1. Să se afle $x$ pentru care + +$$ +\log _{2}\left(x^{2}+4\right)-\log _{2} x+x^{2}-4 x+2=0 +$$ + +Soluţie. Avem $x>0$ şi ecuaţia se scrie echivalent + +$$ +\log _{2}\left(x+\frac{4}{x}\right)=2-(x-2)^{2} +$$ + +Cum $x+\frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}=4$, obţinem $\log _{2}\left(x+\frac{4}{x}\right) \geq 2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. 2 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_179b284d1269acc77870g-1.jpg?height=49&width=1301&top_left_y=1060&top_left_x=434) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_179b284d1269acc77870g-1.jpg?height=54&width=1304&top_left_y=1106&top_left_x=432) + +Problema 2. Să se arate că numărul + +$$ +\sqrt[n]{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}}+\sqrt[n]{\sqrt{2018}-\sqrt{2017}} +$$ + +este iraţional, pentru orice $n \geq 2$. + +Gazeta Matematică + +Soluţie. Să presupunem că, pentru un anumit $n$, numărul este raţional. Notăm $a=\sqrt[n]{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}}, b=\sqrt[n]{\sqrt{2018}-\sqrt{2017}}$. Atunci $a+b \in \mathbb{Q}$ şi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_179b284d1269acc77870g-1.jpg?height=49&width=1356&top_left_y=1556&top_left_x=379) + +Dacă $s_{k}=a^{k}+b^{k}$, atunci $\left(s_{k}\right)_{k \geq 0}$ verifică relaţia de recurenţă + +$$ +s_{k+2}-(a+b) s_{k+1}+s_{k}=0 +$$ + +pentru orice $k \geq 0$ + +Cum $s_{0}=2$ şi $s_{1}=a+b \in \mathbb{Q}$, deducem că $s_{k} \in \mathbb{Q}$, pentru orice $k \ldots 2$ p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_179b284d1269acc77870g-1.jpg?height=57&width=1301&top_left_y=1885&top_left_x=434) + +Problema 3. Fie $a, b, c$ numere reale, astfel încât $12$ nu se noteaza. + +Din condiţia a) deducem + +$$ +n=\left|z^{n}+z^{n-1}+\ldots+z^{2}+\right| z|| \leq|z|^{n}+|z|^{n-1}+\ldots+|z|^{2}+|z| +$$ + +de unde $|z| \geq 1$. + +2 puncte + +Din b) deducem + +$$ +n|z|^{n} \leq|z|+|z|^{2}+\ldots+|z|^{n-1}<1+|z|+\cdots+|z|^{n-1} +$$ + +$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_179b284d1269acc77870g-2.jpg?height=59&width=1304&top_left_y=1586&top_left_x=432) + +Introducand in b) ajungem la o contradictie ...................... 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-590-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-590-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8dd237b38942544843acb7e87acc4e1d678161ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-590-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,242 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A X-A + +1. Se dau relațiile + +$$ +5\left[(x+y)^{2}+\log _{2}^{2} y\right]=\left[x+\log _{2}\left(2^{y} \cdot y^{2}\right)\right]^{2} +$$ + +$$ +4^{y}=4 y(3 x+4) +$$ + +a) Să se demonstreze că nu există $x, y \in(0,+\infty)$ care verifică relația (1). + +b) Să se determine $x, y \in \mathbb{R}$ care verifică simultan relațiile (1) și (2). + +Gabriel Daniilescu, Brăila + +2. Determinați perechile de numere complexe $(u, v)$ cu $|u|=|v|=1$ astfel încât + +$$ +|1-u|+\left|v^{2}+1\right|=|1-v|+\left|u^{2}+1\right|=\sqrt{2} +$$ + +Marius Damian, Brăila + +3. Fie $m, n \in \mathbb{N}, m, n \geq 2$ și $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in[0,+\infty)$ astfel încât $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=4$. + +a) Demonstrați că $\sqrt[m]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{x_{2}}+\sqrt[m]{x_{2}} \cdot \sqrt[n]{x_{3}}+\sqrt[m]{x_{3}} \cdot \sqrt[n]{x_{4}}+\sqrt[m]{x_{4}} \cdot \sqrt[n]{x_{1}} \leq 4$. + +b) Când are loc egalitatea la a)? + +Gheorghe Alexe, Brăila + +4. Să se determine toate funcțiile $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ care îndeplinesc conditiia: + +$$ +x+\sqrt{x}-f(x)=\sqrt{f(f(x))}, \quad \forall x \in \mathbb{N} +$$ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCAL ̆ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A X-A + +1. Se dau relațiile + +$$ +5\left[(x+y)^{2}+\log _{2}^{2} y\right]=\left[x+\log _{2}\left(2^{y} \cdot y^{2}\right)\right]^{2} +$$ + +și + +$$ +4^{y}=4 y(3 x+4) +$$ + +a) Să se demonstreze că nu există $x, y \in(0,+\infty)$ care verifică relația (1). + +b) Să se determine $x, y \in \mathbb{R}$ care verifică simultan relațiile (1) și (2). + +Gabriel Daniilescu, Brăila + +## Soluție. + +$$ +\begin{gathered} +5\left[(x+y)^{2}+\log _{2}^{2} y\right]=\left[x+\log _{2}\left(2^{y} \cdot y^{2}\right)\right]^{2} \Leftrightarrow 5\left[(x+y)^{2}+\log _{2}^{2} y\right]=\left(x+y+2 \log _{2} y\right)^{2} \Leftrightarrow \\ +\Leftrightarrow 5\left[(x+y)^{2}+\log _{2}^{2} y\right]=\left(x+y+2 \log _{2} y\right)^{2} \Leftrightarrow \\ +\Leftrightarrow 5(x+y)^{2}+5 \log _{2}^{2} y=(x+y)^{2}+4(x+y) \log _{2} y+4 \log _{2}^{2} y \Leftrightarrow \\ +\Leftrightarrow 4(x+y)^{2}-4(x+y) \log _{2} y+\log _{2}^{2} y=0 \Leftrightarrow\left[2(x+y)-\log _{2} y\right]^{2}=0 \Leftrightarrow \\ +\Leftrightarrow 2(x+y)=\log _{2} y +\end{gathered} +$$ + +unde $x \in \mathbb{R}$ și $y \in(0,+\infty)$. + +a) Vom demonstra că $y>\log _{2} y, \forall y \in(0,+\infty) \Leftrightarrow 2^{y}>y, \forall y \in(0,+\infty)$. + +Notăm $[y]=n \in \mathbb{N} \Rightarrow n \leq yy \Rightarrow 2^{y}>y \Rightarrow y>\log _{2} y, \forall y \in(0,+\infty)$. + +Dar $2(x+y)>y, \forall x, y \in(0,+\infty) \Rightarrow 2(x+y)>\log _{2} y \Rightarrow \forall x, y \in(0,+\infty)$ egalitatea $2(x+y)=\log _{2} y$ nu poate avea loc. + +b) (1) $\Leftrightarrow 2 x+2 y=\log _{2} y \Leftrightarrow 2 x=\log _{2} y-2 y \Leftrightarrow 2 x=\log _{2} y-\log _{2} 2^{2 y} \Leftrightarrow 2 x=\log _{2} \frac{y}{2^{2 y}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2^{2 x}=\frac{y}{2^{2 y}} \Leftrightarrow 4^{x}=\frac{y}{4^{y}} \Leftrightarrow \frac{4^{y}}{y}=\frac{1}{4^{x}}$. +$\operatorname{Din}(1)$ și (2) obținem $\frac{1}{4^{x}}=4(3 x+4) \Leftrightarrow\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=4(3 x+4)$. + +Notăm $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$ și $g(x)=4(3 x+4)$ cu $f$ strict desccrescătoare și $g$ strict crescătoare, deci ecuația $f(x)=g(x)$ are cel mult o soluție. Dar $f(-1)=g(-1)=4 \Rightarrow x=-1$ este soluţia unică a ecuaţiei $\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=4(3 x+4)$. Pentru $x=-1$ obținem $4^{y}=4 y$. + +Notăm $h_{1}, h_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, h_{1}(y)=4^{y}$ și $h_{2}(y)=4 y$ cu $h_{1}$ funcție convexă și $h_{2}$ funcție liniară, deci ecuația $h_{1}(y)=h_{2}(y)$ are cel mult două soluții. Dar $h_{1}\left(\frac{1}{2}\right)=h_{2}\left(\frac{1}{2}\right)=2$ și $h_{1}(1)=h_{2}(1)=4 \Rightarrow$ ecuația $4^{y}=4 y$ are soluțiile $y_{1}=\frac{1}{2}$ și $y_{2}=1$. + +Deci $(x, y) \in\left\{\left(-1, \frac{1}{2}\right),(-1,1)\right\}$. + +2. Determinați perechile de numere complexe $(u, v)$ cu $|u|=|v|=1$ astfel încât + +$$ +|1-u|+\left|v^{2}+1\right|=|1-v|+\left|u^{2}+1\right|=\sqrt{2} +$$ + +Marius Damian, Brăila + +Soluție algebrică. Fie $u=a+b i$ cu $a^{2}+b^{2}=1$ și $v=c+d i$ cu $c^{2}+d^{2}=1$. Atunci $|1-u|+\left|v^{2}+1\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow|1-a-b i|+\left|c^{2}+2 c d i-d^{2}+1\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}+\left|2 c^{2}+2 c d i\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-2 a+a^{2}+b^{2}}+2|c| \cdot|c+d i|=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2-2 a}+2|c|=\sqrt{2}$, deci $2-2 a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 1$ s,i $\sqrt{2-2 a} \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow 2-2 a \leq 2 \Leftrightarrow a \geq 0$, deci $a \in[0,1]$. Analog $\sqrt{2-2 c}+2|a|=\sqrt{2} \Rightarrow c \in[0,1]$. + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\sqrt{2-2 a}+2 c=\sqrt{2} \\ +\sqrt{2-2 c}+2 a=\sqrt{2} +\end{array} \Rightarrow \sqrt{2-2 a}+2 c=\sqrt{2-2 c}+2 a \Leftrightarrow \sqrt{2-2 a}-\sqrt{2-2 c}=2 a-2 c \Leftrightarrow\right. +$$ + +$$ +\Leftrightarrow \frac{2-2 a-2+2 c}{\sqrt{2-2 a}+\sqrt{2-2 c}}=2 a-2 c \Rightarrow a=c +$$ + +Astfel, $\sqrt{2-2 a}+2 a=\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2-2 a}=\sqrt{2}-2 a$ cu $\sqrt{2}-2 a \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ s, $2-2 a=2-4 \sqrt{2} a+4 a^{2} \Rightarrow 4 a^{2}=4 \sqrt{2} a-2 a$. +I. $a=0$; + +II. $a \neq 0 \Rightarrow 4 a=4 \sqrt{2}-2 \Leftrightarrow a=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$. Dar $\sqrt{2}-\frac{1}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 2 \sqrt{2}-1 \leq \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} \leq 1$, fals! + +Deci $a=c=0, b= \pm 1, d= \pm 1$. + +Problema are patru soluții: $(u, v) \in\{(i, i),(-i, i),(i,-i),(-i,-i)\}$. + +Soluție trigonometrică. Scriem $u, v$ în formă trigonometrică. Există $\alpha, \beta \in[0,2 \pi)$ astfel încât $u=\cos \alpha+i \sin \alpha$ și $v=\cos \beta+i \sin \beta$. + +Atunci $\frac{\alpha}{2} \in[0, \pi) \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2} \in[0,1]$ si $\frac{\beta}{2} \in[0, \pi) \Rightarrow \sin \frac{\beta}{2} \in[0,1]$, deci + +$$ +|1-u|=|(1-\cos \alpha)-i \sin \alpha|=\sqrt{2-2 \cos \alpha}=\sqrt{4 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}=2 \sin \frac{\alpha}{2} +$$ + +și analog $|1-v|=2 \sin \frac{\beta}{2}$. + +De asemenea, + +$$ +\begin{aligned} +& \left|u^{2}+1\right|=|(1+\cos 2 \alpha)+i \sin 2 \alpha|=\sqrt{2+2 \cos 2 \alpha}=\sqrt{4 \cos ^{2} \alpha}=2|\cos \alpha|=2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right| \text { si analog } \\ +& \left|v^{2}+1\right|=2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\beta}{2}\right| +\end{aligned} +$$ + +Prin urmare, folosind și ipoteza, avem: + +$$ +2 \sqrt{2}=|1-u|+|1-v|+\left|u^{2}+1\right|+\left|v^{2}+1\right|=\left(2 \sin \frac{\alpha}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right|\right)+\left(2 \sin \frac{\beta}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\beta}{2}\right|\right) +$$ + +Dar + +$$ +2 \sin \frac{\alpha}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right|=\left\{\begin{array}{c} +2 \sin \frac{\alpha}{2}+2-4 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}, \text { dacă } \frac{\alpha}{2} \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right] \\ +2 \sin \frac{\alpha}{2}+4 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-2, \text { dacă } \frac{\alpha}{2} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right) +\end{array}\right. +$$ + +deci apar cazurile: + +- Dacă $\frac{\alpha}{2} \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]$, atunci + +$$ +E(\alpha)=2 \sin \frac{\alpha}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right|=2 \sin \frac{\alpha}{2}+2-4 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{9}{4}-\left(\frac{1}{2}-2 \sin \frac{\alpha}{2}\right)^{2} +$$ + +Cum $\sin \frac{\alpha}{2} \in\left[0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, avem $E(\alpha) \in[\sqrt{2}, 2]$. + +- Dacă $\frac{\alpha}{2} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$, atunci + +$$ +E(\alpha)=2 \sin \frac{\alpha}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right|=2 \sin \frac{\alpha}{2}+4 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-2=\left(2 \sin \frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} +$$ + +Cum $\sin \frac{\alpha}{2} \in\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$, avem $E(\alpha) \in(\sqrt{2}, 4)$. + +Cele două cazuri analizate spun că expresia + +$$ +E(\alpha, \beta)=\left(2 \sin \frac{\alpha}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right|\right)+\left(2 \sin \frac{\beta}{2}+2\left|1-2 \sin ^{2} \frac{\beta}{2}\right|\right) +$$ + +are valoarea minimă $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2 \sqrt{2}$, iar aceasta este atinsă dacă și numai dacă $\alpha, \beta \in\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right\}$. + +Ținând cont de (1), deducem că există exact patru triplete de numere complexe $(u, v)$ care verifică ipoteza, anume $(u, v) \in\{(i, i),(-i, i),(i,-i),(-i,-i)\}$. + +3. Fie $m, n \in \mathbb{N}, m, n \geq 2$ și $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in[0,+\infty)$ astfel încât $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=4$. + +a) Demonstrați că $\sqrt[m]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{x_{2}}+\sqrt[m]{x_{2}} \cdot \sqrt[n]{x_{3}}+\sqrt[m]{x_{3}} \cdot \sqrt[n]{x_{4}}+\sqrt[m]{x_{4}} \cdot \sqrt[n]{x_{1}} \leq 4$. + +b) Când are loc egalitatea la a)? + +Gheorghe Alexe, Brăila + +Soluție. a) $\left\{\begin{array}{l}\sqrt[m]{x_{1}} \leq \frac{m-1+x_{1}}{m} \\ \sqrt[n]{x_{2}} \leq \frac{n-1+x_{2}}{n}\end{array}\right.$ + +$=>\sqrt[m]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{x_{2}} \leq \frac{\left(m-1+x_{1}\right)\left(n-1+x_{2}\right)}{m \cdot n} \leq$ + +$\leq \frac{(m-1)(n-1)+(m-1) x_{2}+(n-1) x_{1}+x_{1} \cdot x_{2}}{m \cdot n}$ + +Atunci avem + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt[m]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{x_{2}}+\ldots+\sqrt[m]{x_{4}} \cdot \sqrt[n]{x_{1}} \leq \\ +& \leq \frac{4(m-1)(n-1)+[(m-1)+(n-1)]\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)+\left(x_{1}+x_{3}\right)\left(x_{2}+x_{4}\right)}{m \cdot n} \\ +& \left(x_{1}+x_{3}\right)\left(x_{2}+x_{4}\right) \leq\left[\frac{\left(x_{1}+x_{3}\right)+\left(x_{2}+x_{4}\right)}{2}\right]^{2} \\ +& =>\left(x_{1}+x_{3}\right)\left(x_{2}+x_{4}\right) \leq 4 \\ +& =>\sqrt[m]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{x_{2}}+\ldots+\sqrt[m]{x_{4}} \cdot \sqrt[n]{x_{1} \leq} \\ +& \leq \frac{4(m-1)(n-1)+4(m+n-2)+4}{m \cdot n} \leq +\end{aligned} +$$ + +$\leq \frac{4(m \cdot n-m-n+1+m+n-2+1)}{m \cdot n} \leq \frac{4 \cdot m \cdot n}{m \cdot n} \leq 4$ + +$=>\sqrt[m]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{x_{2}}+\sqrt[m]{x_{2}} \cdot \sqrt[n]{x_{3}}+\sqrt[m]{x_{3}} \cdot \sqrt[n]{x_{4}}+\sqrt[m]{x_{4}} \cdot \sqrt[n]{x_{1}} \leq 4$ + +b) Avem egalitate $<=>x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=1\left(m_{g}=m_{a}\right)$ + +4. Să se determine toate funcțiile $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ care îndeplinesc conditia: + +$$ +x+\sqrt{x}-f(x)=\sqrt{f(f(x))}, \quad \forall x \in \mathbb{N} +$$ + +Gabriel Daniilescu, Brăila + +Soluție. Demonstrăm mai întâi că f este injectivă + +$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{y}) \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))=\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{y})) \Rightarrow \mathrm{x}+\sqrt{x}=\mathrm{y}+\sqrt{y} \Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y} \Rightarrow \mathrm{f}$ injectivă + +Pentru $\mathrm{x}=0 \Rightarrow-\mathrm{f}(0)=\sqrt{f(f(0))} \Rightarrow \mathrm{f}(0)=0$ + +Pentru $\mathrm{x}=1 \Rightarrow 2-\mathrm{f}(1)=\sqrt{f(f(1))} \Rightarrow 2-\mathrm{f}(1) \geq 0 \Rightarrow \mathrm{f}(1) \leq 2$ şi cum $\mathrm{f}(1) \neq \mathrm{f}(0) \Rightarrow \mathrm{f}(1) \in\{1,2\}$. + +Dacă $\mathrm{f}(1)=2 \Rightarrow \sqrt{f(f(1))}=0 \Rightarrow \mathrm{f}(2)=0 \Rightarrow \mathrm{f}(2)=\mathrm{f}(0) \Rightarrow 2=0$, fals. Deci, $\mathrm{f}(1)=1$ care verifică ipoteza. + +Vom demonstra prin inducţie că $\mathrm{f}(\mathrm{n})=\mathrm{n}, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}$. + +Avem $f(0)=0$ şi presupunem că $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2, \ldots, f(n)=n$. + +Din injectivitate rezultă $\mathrm{f}(\mathrm{n}+1) \geq \mathrm{n}+1$. Dacă $\mathrm{f}(\mathrm{n}+1)>\mathrm{n}+1 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{n}+1)) \geq \mathrm{n}+1 \Rightarrow$ + +$\Rightarrow \mathrm{n}+1+\sqrt{n+1}=\mathrm{f}(\mathrm{n}+1)+\sqrt{f(f(n+1))}>\mathrm{n}+1+\sqrt{n+1}$, fals! + +Rezultă $f(n+1)=n+1$ şi conform metodei inducţiei matematice rezultă că $\mathrm{f}(\mathrm{n})=\mathrm{n}, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-591-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-591-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2cc2bd90243649c785b40248da1f4f6171698f9f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-591-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,114 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A VIII-A + +1. Se consideră numărul $N=\sqrt{2009 \cdot 2011 \cdot 2013 \cdot 2015+16}$. Calculați $\left[\frac{N}{2015}\right]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Ștefan Ciochină, Brăila + +2. Dacă numerele reale $x, y, z \in[0,+\infty)$ verifică relațiile: + +$$ +\frac{x+y}{2} \leq \sqrt{x \cdot y}+1 \text { și } \frac{y+z}{2} \leq \sqrt{y \cdot z}+4 +$$ + +demonstrați că $|\sqrt{z}-\sqrt{x}| \leq 3 \sqrt{2}$. + +Marius Damian, Brăila + +3. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ și $N \in(C D)$ astfel încât $D N=\frac{1}{3} D C$. + +a) Determinați muchia cubului știind că aria triunghiului $A^{\prime} A N$ este $\frac{8 \sqrt{10}}{3} \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Determinați cosinusul unghiului dintre planele $\left(A^{\prime} A N\right)$ și ( $\left.D^{\prime} D A\right)$. + +c) Calculați distanța de la $D$ la planul ( $\left.A^{\prime} A N\right)$. + +Daniela Tilincă și Adriana Mihăilă, Brăila + +4. Se consideră triunghiul $A B C, A C=B C, m(A C B)=90^{\circ}$ şi triunghiul $D A B$, $D A=D B$, situate în plane perpendiculare. Fie $M \in(B C), B M=2 C M, N \in(A C)$, $A C=3 A N, P \in M N \cap A B, \quad T$ mijlocul segmentului $[A B]$, iar $G$ centrul de greutate al triunghiului $D A B$. Să se calculeze tangenta unghiului plan corespunzător unghiului diedru determinat de planele $(A B C)$ şi $(D B C)$, ştiind că $3 S D=5 C T$, unde $S \in P G \cap A D$. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A VIII-A - Soluții + +1. Se consideră numărul $N=\sqrt{2009 \cdot 2011 \cdot 2013 \cdot 2015+16}$. Calculați $\left[\frac{N}{2015}\right]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +Ștefan Ciochină, Brăila + +## Soluție. + +$N=\sqrt{2009 \cdot 2011 \cdot 2013 \cdot 2015+16} \Rightarrow N=\sqrt{(2012-3)(2012-1)(2012+1)(2012+3)+16}$ + +$\Rightarrow N=2012^{2}-5$ + +$\left[\frac{N}{2015}\right]=\left[\frac{2012^{2}-5}{2015}\right]=\left[\frac{2015 \cdot 2009+4}{2015}\right]=2009$ + +2. Dacă numerele reale $x, y, z \in[0,+\infty)$ verifică relațiile: + +$$ +\frac{x+y}{2} \leq \sqrt{x \cdot y}+1 \text { si } \frac{y+z}{2} \leq \sqrt{y \cdot z}+4 +$$ + +demonstrați că $|\sqrt{z}-\sqrt{x}| \leq 3 \sqrt{2}$. + +Marius Damian, Brăila + +Soluție. Avem: + +$$ +\frac{x+y}{2} \leq \sqrt{x \cdot y}+1 \Rightarrow x-2 \sqrt{x \cdot y}+y \leq 2 \Rightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{2} +$$ + +și + +$$ +\frac{y+z}{2} \leq \sqrt{y \cdot z}+4 \Rightarrow y-2 \sqrt{y \cdot z}+z \leq 8 \Rightarrow(\sqrt{y}-\sqrt{z})^{2} \leq 8 \Rightarrow|\sqrt{y}-\sqrt{z}| \leq 2 \sqrt{2} +$$ + +Folosind acum inegalitatea triunghiulară pentru module, obținem + +$$ +|\sqrt{z}-\sqrt{x}|=|(\sqrt{z}-\sqrt{y})+(\sqrt{y}-\sqrt{x})| \leq|\sqrt{z}-\sqrt{y}|+|\sqrt{y}-\sqrt{x}| \leq \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=3 \sqrt{2} +$$ + +3. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ și $N \in(C D)$ astfel încât $D N=\frac{1}{3} D C$. +a) Determinați muchia cubului știind că aria triunghiului $A^{\prime} A N$ este $\frac{8 \sqrt{10}}{3} \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Determinați cosinusul unghiului dintre planele ( $\left.A^{\prime} A N\right)$ și ( $\left.D^{\prime} D A\right)$. + +c) Calculaţi distanța de la $D$ la planul $\left(A^{\prime} A N\right)$. + +Daniela Tilincă şi Adriana Mihăilă, Brăila + +Soluție. a) Fie $\mathrm{x}$ muchia cubului , din triunghiul dreptunghic AND calculam + +$\mathrm{AN}=\frac{\mathrm{x} \sqrt{10}}{3} \Rightarrow \mathrm{A}_{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AN}}=\frac{x^{2} \sqrt{10}}{6}=\frac{8 \sqrt{10}}{3} \Rightarrow x^{2}=16 \Rightarrow x=4$ + +b) Proiectia triunghiului A'AN pe planul ( D'DA ) este triunghiul A'AD => + +Aria[ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AD}$ ]=Aria $\left[\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AN}\right] \cdot \cos <\left[\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AN}\right),\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AD}\right)\right]=>$ + +$\frac{x \cdot x}{2}=\frac{x^{2} \sqrt{10}}{6} \cdot \operatorname{cosinusul}<\left[\left(A^{\prime} A N\right),\left(A^{\prime} A D\right)\right]=>\operatorname{cosinusul}<\left[\left(A^{\prime} A N\right),\left(A^{\prime} A D\right)\right]=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$. + +c) Fie DT $\perp \mathrm{AN}=>\mathrm{DT}=$ distanta de la $\mathrm{D}$ la planul (A'AN) $; \mathrm{DT} \perp \mathrm{AN} ; \mathrm{DT} \perp \mathrm{AA}$ ' ; + +$\mathrm{AA}^{\prime}, \mathrm{AN} \subset\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AN}\right)=>\mathrm{DT} \perp\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{AN}\right) ; \mathrm{DT}=\frac{\mathrm{AD} \cdot \mathrm{DN}}{\mathrm{AN}}=\frac{x}{\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2 \cdot \sqrt{10}}{5}$ + +4. Se consideră triunghiul $A B C, A C=B C, m(A C B)=90^{\circ}$ şi triunghiul $D A B, D A=D B$, situate în plane perpendiculare. Fie $\quad M \in(B C), \quad B M=2 C M, \quad N \in(A C)$, $A C=3 A N, P \in M N \cap A B$, $T$ mijlocul segmentului $[A B]$, iar $G$ centrul de greutate al triunghiului $D A B$. Să se calculeze tangenta unghiului plan corespunzător unghiului diedru determinat de planele $(A B C)$ şi $(D B C)$, ştiind că $3 S D=5 C T$, unde $S \in P G \cap A D$. + +Narcis Gabriel Turcu, Brăila + +Soluție. Fie $V$ mijlocul lui $[B C]$. [TV] este linie mijlocie în triunghiul $A B C, m(A C B)=90^{\circ}$, deci $T V \perp B C$. + +Cum $[D T]$ e linie mijlocie în triunghiul $D A B, D A=D B$, rezultă că $D T \perp B C$. Mai avem şi $(A B C) \perp(A B D)$, deci $D T \perp(A B C)$. Cu teorema celor trei perpendiculare rezultă că $D V \perp B C$, deci $\operatorname{tg}((A B C),(D B C))=\operatorname{tg}(T V, D V)=\frac{D T}{T V}$. + +Fie $C M=A N=x, B M=C N=2 x, A B=3 x \sqrt{2}, C T=\frac{3 x \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S D=\frac{5 x \sqrt{2}}{2}$. + +Se aplică Menelaos în $\triangle A B C, P-N-M$ : +$\frac{P A}{P B} \cdot \frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A}=1 \Rightarrow \frac{P A}{P A+3 \sqrt{2} x} \cdot \frac{2 x}{x} \cdot \frac{2 x}{x}=1 \Rightarrow P A=x \sqrt{2}$. + +Se aplică Menelaos în $\triangle A T D, P-S-G$ : + +$\frac{P A}{P T} \cdot \frac{G T}{G D} \cdot \frac{S D}{S A}=1 \Rightarrow \frac{x \sqrt{2}}{x \sqrt{2}+\frac{3 \sqrt{2} x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{5 x \sqrt{2}}{2}}{S A}=1 \Rightarrow S A=\frac{x \sqrt{2}}{2}$. + +Aplicând Pitagora în $\triangle A T D$, avem $\left(\frac{x \sqrt{2}}{2}+\frac{5 x \sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{3 x \sqrt{2}}{2}\right)^{2}+D T^{2} \Rightarrow D T=\frac{3 x \sqrt{6}}{2}$, + +deci $\operatorname{tg}(T V, D V)=\frac{\frac{3 x \sqrt{6}}{2}}{\frac{3 x}{2}}=\sqrt{6}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-592-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-592-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2735ed2f79f416e5d47d9adaf406e726436f739f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-592-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 febriarie 2015
CLASA A VII-A + +1. Rezolvați în numere întregi ecuația $\sqrt{x-5}=15-y^{2}$. + +Daniela Tilincă și Adriana Mihăilă, Brăila + +2. Fie $x, y, z$ cifre nenule distincte. + +a) Determinați valorile raționale ale numărului + +$$ +a=\sqrt{\overline{0, x(y)}+\overline{0, y(z)}+\overline{0, z(x)}} +$$ + +b) Aflați valorile raționale ale numărului + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e4458bd57c88818291deg-1.jpg?height=93&width=879&top_left_y=1084&top_left_x=645) + +unde după virgulă în fiecare număr sunt $n$ cifre de $0, n \in \mathbb{N}$. + +Octavia Popa, Brăila + +3. Se consideră trapezul $A B C D$ cu $A B \| C D, A D \neq C D$ și $A B=A D+D C$. Notăm cu $M$ punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor $A$ și $D$. Să se demonstreze că: + +a) punctele $A, M, C$ nu sunt coliniare; +b) $\operatorname{aria}[A D C M]=\operatorname{aria}[A M B]$. + +Marius Damian, Brăila + +4. Pe o tablă magnetică se află primele 16 numere naturale nedivizibile cu 4. Elena își propune să completeze un dreptunghi cu 3 linii și 5 coloane cu numere distincte de pe tablă astfel încât cele 3 sume de pe linii să fie egale și cele 5 sume de pe coloane să fie egale. Începe cu cel mai mare număr de pe tablă și reușește ce și-a propus. + +a) Ce număr de pe tablă a rămas nefolosit? + +b) Dați un exemplu de așezare a numerelor care să verifice ipotezele din enunț! + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A VII-A - Soluții + +1. Rezolvați în numere întregi ecuația $\sqrt{x-5}=15-y^{2}$. + +Daniela Tilincă și Adriana Mihăilă, Brăila + +Solutie. $\sqrt{x-5} \geq 0$ si $x-5 \geq 0=>15-y^{2} \geq 0 \Rightarrow y^{2} \leq 15$ si $y \in Z=>y^{2} \in\{0,1,4,9\}$ + +- $y^{2}=0 \Rightarrow \sqrt{x-5}=15 \Rightarrow x-5=225 \Rightarrow x=230$ +- $y^{2}=1 ; y= \pm 1 \Rightarrow \sqrt{x-5}=14 \Rightarrow x-5=196 \Rightarrow x=201$ +- $y^{2}=4 ; y= \pm 2 \Rightarrow \sqrt{x-5}=11 \Rightarrow>-5=121 \Rightarrow x=126$ +- $y^{2}=9 ; y= \pm 3 \Rightarrow \sqrt{x-5}=6 \Rightarrow x-5=36 \Rightarrow x=41$ + +2. Fie $x, y, z$ cifre nenule distincte. + +a) Determinați valorile raţionale ale numărului $a=\sqrt{\overline{0, x(y)}+\overline{0, y(z)}+\overline{0, z(x)}}$ + +b) Aflați valorile raționale ale numărului $a=\sqrt{0,00 \ldots . .0 x(y)}+\overline{0,00 \ldots .0 y(z)}+\overline{0,00 \ldots . .0 z(x)}$, unde după virgulă în fiecare număr sunt $n$ cifre de $0, n \in \mathbb{N}$. + +Octavia Popa, Brăila + +Soluţie. a) $a=\sqrt{\frac{10(x+y+z)}{90}}=\sqrt{\frac{x+y+z}{9}}=\frac{\sqrt{x+y+z}}{3}$ + +$a \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow x+y+z=k^{2}, k \in \mathbb{N}$ + +Deoarece $1 \leq x ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A VI-A + +1. Arătați că $3^{2015}+4^{2015}<5^{2015}$. + +George-Florin Șerban, Brăila + +2. Fie numerele raționale pozitive $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2015}$ astfel încât + +$$ +\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{2}{a_{2}+2}+\ldots+\frac{2015}{a_{2015}+2015}=2000 +$$ + +Arătatị că suma $\frac{a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{a_{2}}{a_{2}+2}+\ldots+\frac{a_{2015}}{a_{2015}+2015}$ este un număr de forma $2^{n}-1, n \in \mathbb{N}$. + +Octavia Popa, Brăila + +3. Fie $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \ldots, M_{n}$ puncte coliniare în această ordine, astfel încât: + +$$ +M_{1} M_{2}=9 ; M_{2} M_{3}=17, M_{3} M_{4}=33, M_{4} M_{5}=65, \ldots, M_{n-1} M_{n} +$$ + +a) Aflați lungimea segmentului $\left[M_{8} M_{9}\right]$. + +b) Aflați $n \in \mathbb{N}$ dacă $M_{1} M_{n}=8194$. + +c) Aflați lungimea segmentului $M_{2} A$ unde $A$ este mijlocul segmentului $\left[M_{7} M_{9}\right]$. + +Daniela Tilincă și Adriana Mihăilă, Brăila + +4. Fie $\Varangle A O D$ cu $m(\Varangle A O D)=98^{\circ}$ și (OB, (OC semidrepte incluse în interiorul $\Varangle A O D,(O C$ semidreaptă inclusă în interiorul $\Varangle B O D$ astfel încât + +$$ +a \cdot m(\nless A O B)=c \cdot m(\nless B O C) \text { și } b \cdot m(\nless B O C)=c \cdot m(\nless C O D) \text {, } +$$ + +unde $a$, $b, c$ sunt numere prime care verifică relația $3 a+5(3 b+7 c)=195$. + +Să se afle $m(\Varangle A O B), m(\Varangle B O C)$ și $m(\Varangle C O D)$. + +Carmen Botea și Viorel Botea, Brăila + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A VI-A - Soluții + +1. Arătați că $3^{2015}+4^{2015}<5^{2015}$. + +George-Florin Șerban, Brăila + +## Soluție. + +$$ +\begin{gathered} +5^{2015}=5^{2} \cdot 5^{2013}=\left(3^{2}+4^{2}\right) \cdot 5^{2013}=3^{2} \cdot 5^{2013}+4^{2} \cdot 5^{2013}> \\ +>3^{2} \cdot 3^{2013}+4^{2} \cdot 4^{2013}=3^{2015}+4^{2015} +\end{gathered} +$$ + +2. Fie numerele raționale pozitive $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2015}$ astfel încât + +$$ +\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{2}{a_{2}+2}+\ldots+\frac{2015}{a_{2015}+2015}=2000 +$$ + +Arătați că suma $\frac{a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{a_{2}}{a_{2}+2}+\ldots+\frac{a_{2015}}{a_{2015}+2015}$ este un număr de forma $2^{n}-1, n \in \mathbb{N}$. + +Octavia Popa, Brăila + +Soluție. Notăm $\mathrm{S}=\frac{a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{a_{2}}{a_{2}+2}+\ldots . . . . .+\frac{a_{2015}}{a_{2015}+2015}$ și adunând cu $\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{2}{a_{2}+2}+\ldots+\frac{2015}{a_{2015}+2015}=2000$, obținem $S=16-1=2^{4}-1$. + +3. Fie $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \ldots, M_{n}$ puncte coliniare în această ordine, astfel încât: + +$$ +M_{1} M_{2}=9 ; M_{2} M_{3}=17, M_{3} M_{4}=33, M_{4} M_{5}=65, \ldots, M_{n-1} M_{n} +$$ + +a) Aflaţi lungimea segmentului $\left[M_{8} M_{9}\right]$. + +b) Aflați $n \in \mathbb{N}$ dacă $M_{1} M_{n}=8194$. + +c) Aflați lungimea segmentului $M_{2} A$ unde $A$ este mijlocul segmentului $\left[M_{7} M_{9}\right]$. + +Soluție. a) $M_{n} M_{n+1}=2^{n+2}+1 ; M_{8} M_{9}=2^{10}+1=1025$. + +b) + +$$ +\begin{aligned} +& M_{1} M_{n}=M_{1} M_{2}+M_{2} M_{3}+M_{3} M_{4}+\ldots+M_{n-1} M_{n}= \\ +& =\left(2^{3}+1\right)+\left(2^{4}+1\right)+\ldots+\left(2^{n+1}+1\right)=2^{n+2}-2^{3}+n-1=8194 \\ +& M_{1} M_{10}=2^{11+2}-8+11-1=2^{13}+2=8194 \Rightarrow n=11 +\end{aligned} +$$ + +c) $M_{2} A=M_{2} M_{7}+M_{7} M_{9}: 2=\left(2^{4}+1\right)+\left(2^{5}+1\right)+\left(2^{6}+1\right)+\left(2^{7}+1\right)+\left(2^{8}+1\right)+\left[\left(2^{9}+1\right)+\left(2^{10}+1\right)\right]: 2=$ $=\left(2^{9}-2^{4}\right)+5+2^{8}+2^{9}+1=1270$. + +4. Fie $\Varangle A O D$ cu $m(\Varangle A O D)=98^{\circ}$ și $(O B,(O C$ semidrepte incluse în interiorul $\Varangle A O D$, (OC semidreaptă inclusă în interiorul $\Varangle B O D$ astfel încât + +$$ +a \cdot m(\Varangle A O B)=c \cdot m(\Varangle B O C) \text { și } b \cdot m(\Varangle B O C)=c \cdot m(\Varangle C O D) \text {, } +$$ + +unde $a, b, c$ sunt numere prime care verifică relația $3 a+5(3 b+7 c)=195$. + +Să se afle $m(\Varangle A O B), m(\Varangle B O C)$ și $m(\Varangle C O D)$. + +Carmen Botea și Viorel Botea, Brăila + +Soluție. $3 a+5(3 b+7 c)=195 \Rightarrow a=5 \Rightarrow 5(3 b+7 c)=180 \Rightarrow c=3 \Rightarrow b=5$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Rezultă că }\left\{\begin{array}{l} +m(\angle A O B)+m(\angle B O C)+m(\angle C O D)=98^{\circ} \\ +5 \cdot m(\angle A O B)=3 \cdot m(B O C) \\ +5 \cdot m(\angle B O C)=3 \cdot m(C O D) +\end{array}\right. \\ +& \Rightarrow m(\angle A O B)=18^{\circ} \Rightarrow m(\angle B O C)=30^{\circ} \Rightarrow m(\angle C O D)=50^{\circ} . +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-594-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-594-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ef1f0865ebd67b839932bad46a897fa6076941f8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-594-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1 @@ +{"error":"Unknown conversion 2024_06_07_4a03ba6c783e90ab3cf6g","error_info":{"id":"cnv_unknown_id","message":"Unknown conversion 2024_06_07_4a03ba6c783e90ab3cf6g","conversion_id":"2024_06_07_4a03ba6c783e90ab3cf6g"}} \ No newline at end of file diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-595-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-595-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a0b437fded17884bfbbc91189163657506ece7e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-595-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,97 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A IX-A + +1. Fie triunghiul $A B C$ înscris într-un cerc de centru $O$. Fie $P$ şi $Q$ simetricele ortocentrului şi a vârfului $A$ faţă de mijlocul lui $(B C)$. Demonstraţi că $\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P}$ + +Gazeta Matematică + +2. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Aflaţi $x \in \mathbb{Z}$ pentru care $\frac{x^{5 n}+2 x^{2 n}-x^{n}+1}{x^{5 n}+x^{n}-1} \in \mathbb{Z}$. + +Carmen şi Viorel Botea, Brăila + +3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, x_{1}=\frac{1}{2014}, x_{n+1}=x_{n}\left(1+x_{1}+x_{1}^{2}+\ldots+x_{1}^{n}\right)$, oricare ar fi $n \geq 1$. + +Notăm cu $S=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+\ldots+\frac{x_{2014}}{x_{2015}}$. Aflaţi $[S]$. + +Carmen şi Viorel Botea, Brăila + +4. Fie triunghiul oarecare $A B C$. Considerăm dreptele $d_{1}\left\|A B, d_{2}\right\| A C, d_{3} \| B C$ şi notăm $d_{1} \cap(A C)=\{I\}, d_{1} \cap(B C)=\{F\}, d_{2} \cap(A B)=\{D\}, d_{2} \cap(B C)=\{G\}, d_{3} \cap(A B)=\{E\}$, $d_{3} \cap(A C)=\{H\}, d_{1} \cap d_{2}=\left\{A^{\prime}\right\}, d_{1} \cap d_{3}=\left\{B^{\prime}\right\}, d_{2} \cap d_{3}=\left\{C^{\prime}\right\}$. Presupunem că $\operatorname{Aria}(A E H)=\operatorname{Aria}(C I F)=\operatorname{Aria}(B D G)=\operatorname{Aria}(A D G C)=\operatorname{Aria}(B E H C)=\operatorname{Aria}(A I F B) \operatorname{Ar}$ Aflați $\frac{\operatorname{Aria}\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)}{\operatorname{Aria}(A B C)}$. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - BRĂILA, 22 februarie 2015
CLASA A IX-A - Soluții + +1. Fie triunghiul $A B C$ înscris într-un cerc de centru $O$. Fie $P$ şi $Q$ simetricele ortocentrului şi a vârfului $A$ faţă de mijlocul lui $(B C)$. Demonstraţi că $\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P}$ + +Gazeta Matematică + +Soluţie. Fie $M$ mijlocul lui $(B C)$ şi $H$ ortocentrul triunghiului $A B C$, atunci avem + +$\left.\begin{array}{l}2 \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O H} \\ 2 \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O Q}\end{array}\right\} \Rightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O H} \Leftrightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} \Rightarrow \overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$ + +2. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Aflaţi $x \in \mathbb{Z}$ pentru care $\frac{x^{5 n}+2 x^{2 n}-x^{n}+1}{x^{5 n}+x^{n}-1} \in \mathbb{Z}$. + +Carmen şi Viorel Botea, Brăila + +Soluţie. Notăm $x^{n}=y \Rightarrow$ + +$\Rightarrow \frac{y^{5}+2 y^{2}-y+1}{y^{5}+y-1}=\frac{\left(y^{5}+y^{2}\right)+\left(y^{2}-y+1\right)}{\left(y^{5}+y^{2}\right)-\left(y^{2}-y+1\right)}=\frac{y^{2}(y+1)\left(y^{2}-y+1\right)+\left(y^{2}-y+1\right)}{y^{2}(y+1)\left(y^{2}-y+1\right)-\left(y^{2}-y+1\right)}=\frac{y^{3}+y^{2}+1}{y^{3}+y^{2}-1} \in \mathbb{Z} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow\{\left.\begin{array}{l}y^{3}+y^{2}-1 \mid y^{3}+y^{2}+1 \\ y^{3}+y^{2}-1 \mid y^{3}+y^{2}-1\end{array} \Rightarrow \underbrace{y^{3}+y^{2}}_{\text {par }}-1 \right\rvert\, 2 \Rightarrow y^{3}+y^{2}-1= \pm 1 \Rightarrow$ + +$\Rightarrow$ i) $y^{3}+y^{2}-1=-1 \Rightarrow y=0, y=-1 \Rightarrow x=0, x=-1, n$ impar + +ii) $y^{3}+y^{2}-1=1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x= \pm 1, n$ par şi $x=1, n$ impar, + +deci $x \in\{+1,0,1\},(\forall n) \in \mathbb{N}$. + +3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, x_{1}=\frac{1}{2014}, x_{n+1}=x_{n}\left(1+x_{1}+x_{1}^{2}+\ldots+x_{1}^{n}\right)$, oricare ar fi $n \geq 1$. Notăm cu $S=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+\ldots+\frac{x_{2014}}{x_{2015}}$. Aflaţi $[S]$. + +Soluţie. $\frac{x_{n}}{x_{n+1}}=\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}^{2}+\ldots+x_{1}^{n}},(\forall) n \geq 1$. + +$$ +\begin{aligned} +& S=\frac{1}{1+\frac{1}{2014}}+\frac{1}{1+\frac{1}{2014}+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2}}+\ldots+\frac{1}{1+\frac{1}{2014}+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2014}}<2014 \frac{1}{1+\frac{1}{2014}}= \\ +& =\frac{2014^{2}}{2015}<2014 \Rightarrow S<2014 +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& S>\frac{2014}{1+\frac{1}{2014}+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2014}} ; 1+\frac{1}{2014}+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{1}{2014}\right)^{2014}=\frac{1-\left(\frac{1}{2014}\right)^{2015}}{1-\frac{1}{2014}}< \\ +& <\frac{2014}{2013} \Rightarrow S>\frac{2014 \cdot 2013}{2014}=2013 \Rightarrow[S]=2013 +\end{aligned} +$$ + +4. Fie triunghiul oarecare $A B C$. Considerăm dreptele $d_{1}\left\|A B, d_{2}\right\| A C, d_{3} \| B C$ şi notăm $d_{1} \cap(A C)=\{I\}, d_{1} \cap(B C)=\{F\}, d_{2} \cap(A B)=\{D\}, d_{2} \cap(B C)=\{G\}, d_{3} \cap(A B)=\{E\}$, $d_{3} \cap(A C)=\{H\}, d_{1} \cap d_{2}=\left\{A^{\prime}\right\}, d_{1} \cap d_{3}=\left\{B^{\prime}\right\}, d_{2} \cap d_{3}=\left\{C^{\prime}\right\}$. Presupunem că + +$\operatorname{Aria}(A E H)=\operatorname{Aria}(C I F)=\operatorname{Aria}(B D G)=\operatorname{Aria}(A D G C)=\operatorname{Aria}(B E H C)=\operatorname{Aria}(A I F B)$. + +$$ +\text { Aflați } \frac{\operatorname{Aria}\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)}{\operatorname{Aria}(A B C)} +$$ + +Elev Paul Crestez, Brăila + +Soluţie. Deoarece + +$$ +\begin{aligned} +& E H \| B C \Rightarrow \triangle A E H \sim \triangle A B C \Rightarrow\left(\frac{A E}{A B}\right)^{2}=\frac{\operatorname{Aria}(\triangle A E H)}{\operatorname{Aria}(\triangle A B C)}=\frac{\operatorname{Aria}(\triangle A E H)}{\operatorname{Aria}(\triangle A E H)+\operatorname{Aria}(\triangle E B C H)}= \\ +& =\frac{\operatorname{Aria}(\triangle A E H)}{2 \operatorname{Aria}(\triangle A E H)}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A E}{A B}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow A E=\frac{A B}{\sqrt{2}} \Rightarrow E B=A B-A E=A B-\frac{A B}{\sqrt{2}}=A B \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} +\end{aligned} +$$ + +$E H \| B C$ şi $A B \| I F \Rightarrow E B^{\prime} F B$ paralelogram $\Rightarrow B^{\prime} F=E B=A B \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}},(1)$. Deoarece $D G \| A C \Rightarrow$ $\Rightarrow \triangle B D G \sim \triangle B A C \Rightarrow A D=A B \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$. + +$I F \| A B$ şi $D G \| A C \Rightarrow A I A^{\prime} \mathrm{D}$ paralelogram $\Rightarrow A^{\prime} I=A D=A B \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}},(2)$ + +$$ +\begin{aligned} +& I F \| A B \Rightarrow \triangle C I F \sim \triangle C A B \Rightarrow\left(\frac{I F}{A B}\right)^{2}=\frac{\operatorname{Aria}(\triangle C I F)}{\operatorname{Aria}(\triangle C A B)}=\frac{\operatorname{Aria}(\triangle C I F)}{\operatorname{Aria}(\triangle C I F)+\operatorname{Aria}(\triangle I F B A)}=\frac{\operatorname{Aria}(\triangle C I F)}{2 \operatorname{Aria}(\triangle C I F)}= \\ +& =\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{I F}{A B}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow I F=\frac{A B}{\sqrt{2}},(3) . \operatorname{Din}(1),(2)(3) \text { avem } A^{\prime} B^{\prime}=I F-I A^{\prime}-I B^{\prime}=\frac{A B}{\sqrt{2}}-A B \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}- \\ +& -A B \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=A B \frac{3-2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} . \\ +& A^{\prime} B^{\prime} \| A B \\ +& \left.A^{\prime} C^{\prime} \| A C\right\} \Rightarrow \triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow \frac{\operatorname{Aria}\left(\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)}{\operatorname{Aria}(\triangle A B C)}=\left(\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}\right)^{2} \Rightarrow \frac{\operatorname{Aria}\left(\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)}{\operatorname{Aria}(\triangle A B C)}=\left(\frac{3-2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^{2} \Rightarrow \\ +& \left.B^{\prime} C^{\prime} \| B C\right\} \\ +& \Rightarrow \frac{\operatorname{Aria}\left(\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)}{\operatorname{Aria}(\triangle A B C)}=\frac{17-12 \sqrt{2}}{2} . +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-596-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-596-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3d9a64fdfe06e9f1322dc393491623ecc7558e9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-596-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a XII - a + +PROBLEMA 1. Fie $G=\left\{\left(\begin{array}{rr}a & -b \\ b & a\end{array}\right): a, b \in \mathbb{Z}_{7}\right\}, O_{2}=\left(\begin{array}{ll}\widehat{0} & \widehat{0} \\ \widehat{0} & \widehat{0}\end{array}\right)$ sुi $I_{2}=\left(\begin{array}{ll}\widehat{1} & \widehat{0} \\ \widehat{0} & \widehat{1}\end{array}\right)$. + +a) Demonstraţi că dacă $A \in G$ şi $\operatorname{det}(A)=\widehat{0}$, atunci $A=O_{2}$; + +b) Demonstraţi că $G \backslash\left\{O_{2}\right\}$ este parte stabilă faţă de înmulţirea matricelor $\operatorname{din} \mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}_{7}\right)$; + +c) Stabiliţi dacă ecuaţia $X^{12}=\left(\begin{array}{rr}\widehat{2} & -\widehat{2} \\ \widehat{2} & \widehat{2}\end{array}\right)$, are soluţii în mulţimea $G$. + +PROBLEMA 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup şi mulţimea $Z(G)=\{x \in G: x y=y x, \forall y \in G\}$. Să se arate că dacă $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G \backslash \mathrm{Z}(G)$, atunci grupul este comutativ. + +PROBLEMA 3. Fie funcţia $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, definită prin $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x, & \text { dacă } 0 \leq x \leq 1 \\ x-1, & \text { dacă } x>1\end{array}\right.$. Să se calculeze $\int_{0}^{1} \frac{f\left(e^{t}\right)}{f\left(e^{-t}\right)} \mathrm{d} t$. + +PROBLEMA 4. Să se determine valorile lui $n \in \mathbb{N}$, pentru care + +$$ +I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{(1+x)^{n}+(1-x)^{n}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \in \mathbb{Q} +$$[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Etapa locală - 14.02. 2015 BAREM DE CORECTARE - Clasa a XII - a + +## PROBLEMA 1. + +a) Dacă $A=\left(\begin{array}{rr}a & -b \\ b & a\end{array}\right) \in G$, atunci $\operatorname{det}(A)=a^{2}+b^{2}$. Cum $x^{2} \in\{\widehat{0}, \widehat{1}, \widehat{2}, \widehat{4}\}, \forall x \in \mathbb{Z}_{7}$, obţinem că $a^{2}+b^{2}=\widehat{0} \Leftrightarrow a=b=\widehat{0}$, adică $A=O_{2}$ + +$(2 p)$ + +b) Dacă $A=\left(\begin{array}{rr}a & -b \\ b & a\end{array}\right) \in G \backslash\left\{O_{2}\right\}$ si $B=\left(\begin{array}{rr}c & -d \\ d & c\end{array}\right) \in G \backslash\left\{O_{2}\right\}$, atunci + +$A \cdot B=\left(\begin{array}{cc}a c-b d & -(a d+b c) \\ a d+b c & a c-b d\end{array}\right) \in G$. + +Din $\operatorname{det}(A \cdot B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \neq \widehat{0}$, obţinem că $A \cdot B \neq O_{2}$, adică $A \cdot B \in G \backslash\left\{O_{2}\right\}$ + +(1p) c) Observăm că $\left(G \backslash\left\{O_{2}\right\}, \cdot\right)$ este un grup finit de ordinul 48. + +$\left(\right.$ elementul neutru este $I_{2}$, si $\left.\left(\begin{array}{rr}a & -b \\ b & a\end{array}\right)^{-1}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \in G \backslash\left\{O_{2}\right\}\right)$ + +(2p) Aşadar, $X^{48}=I_{2}, \forall X \in G \backslash\left\{O_{2}\right\}$. + +Matricea $B=\left(\begin{array}{rr}\widehat{2} & -\widehat{2} \\ \widehat{2} & \widehat{2}\end{array}\right)$ satisface relaţia $B^{4}=-I_{2}$ + +Astfel, dacă $X \in G \backslash\left\{O_{2}\right\}$, si $X^{12}=B \Rightarrow X^{48}=B^{4} \Rightarrow I_{2}=-I_{2}$ Contradicţie. + +Deci, ecuaţia dată nu are soluţii în mulţimea $G$. + +## PROBLEMA 2. + +Fie $x, y \in G$. + +(1p) Dacă cel puţin unul dintre $x$ şi $y$ este $\operatorname{din} \mathrm{Z}(G)$, atunci $x y=y x$. + +Dacă $x, y \in G \backslash \mathrm{Z}(G)$, atunci $x^{2}=y^{2}=e$ şi avem următoarele cazuri: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { dacă } x y \in \mathrm{Z}(G) \Rightarrow x(x y) y=(x y) x y=x(y x) y \Rightarrow x y=y x \\ +& \text { dacă } x y \notin \mathrm{Z}(G) \Rightarrow x^{2} y^{2}=(x y)^{2}=e \Rightarrow x(x y) y=x(y x) y \Rightarrow x y=y x +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 3. + +(2p) $\quad f\left(e^{t}\right)=\left\{\begin{array}{cc}e^{t}, & \text { dacă } t \leq 0 \\ e^{t}-1, & \text { dacă } t>0\end{array} ; f\left(e^{-t}\right)=\left\{\begin{array}{cc}e^{-t}, & \text { dacă } t \geq 0 \\ e^{-t}-1, & \text { dacă } t<0\end{array}\right.\right.$ + +(2p) $\quad$ Pentru $t \in[0,1]$, avem $g(t)=\frac{f\left(e^{t}\right)}{f\left(e^{-t}\right)}=\left\{\begin{array}{cl}1, & t=0 \\ e^{2 t}-e^{t}, & 0 Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a XI - a + +PROBLEMA 1. Fie matricea $A \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=\operatorname{det}\left(A+2 I_{3}\right)$. Să se demonstreze că + +$$ +2 \operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)+\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)+6=3 \operatorname{det}(A) +$$ + +PROBLEMA 2. Se consideră matricea + +$$ +A=\left(\begin{array}{ccc} +1 & a & h_{a} h_{b} \\ +1 & b & h_{b} h_{c} \\ +1 & c & h_{c} h_{a} +\end{array}\right) +$$ + +unde cu $a, b, c$ se notează lungimile laturilor unui triunghi, iar cu $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ lungimile înălţimilor triunghiului. Să se arate că $\operatorname{det} A \geqslant 0$. În ce condiţii avem $\operatorname{det} A=0$ ? + +PROBLEMA 3. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\sqrt{n^{2}+5 n+9}\right\}$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracţionară a numărului real $x$. + +PROBLEMA 4. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{1}=3$ sुi $x_{n}=x_{n-1}+2 n+1$, pentru $n \geq 2$. + +a) Să se determine termenul general al şirului; + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\ln 2+\ln \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{2 k-1}}\right)\right)$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
BAREM DE CORECTARE - Clasa a XI - a + +## PROBLEMA 1. + +(2p) Considerăm funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definită prin $f(x)=\operatorname{det}\left(A+x I_{3}\right)$ şi observăm că $f(x)=$ $x^{3}+a x^{2}+b x+\operatorname{det} A$. + +(2p) Din ipoteză, $f(1)=f(2) \Rightarrow 3 a+b+7=0$ + +(1p) Avem $2 \operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)+\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)+6=2 f(1)+f(-1)+6$ + +(2p) dar, $2 f(1)+f(-1)+6=3 \operatorname{det} A+(3 a+b+7)=3 \operatorname{det} A$. + +## PROBLEMA 2. + +(2p) Dacă $S$ este aria triunghiului, atunci: $2 S=a h_{a}=b h_{b}=c h_{c} \Rightarrow h_{a}=\frac{2 S}{a}, h_{b}=\frac{2 S}{b}, h_{c}=\frac{2 S}{c}$ + +(1p) $\quad \operatorname{det} A=4 S^{2} \cdot\left|\begin{array}{ccc}1 & a & \frac{1}{a b} \\ 1 & b & \frac{1}{b c} \\ 1 & c & \frac{1}{c a}\end{array}\right|$ + +$(2 p)$ + +$(2 p)$ + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{det} A=4 S^{2} \cdot \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-a c-b c}{a b c}=2 S^{2} \cdot \frac{(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}}{a b c} \geqslant 0 \\ +& \operatorname{det} A=0 \Leftrightarrow a=b=c +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 3. + +(1p) Avem $\left\{\sqrt{n^{2}+5 n+9}\right\}=\sqrt{n^{2}+5 n+9}-\left[\sqrt{n^{2}+5 n+9}\right]$ + +(3p) Dearece, $n+2<\sqrt{n^{2}+5 n+9} Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a X - a + +PROBLEMA 1. Să se determine funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea: + +$$ +f\left(\frac{x}{2015}\right) \leq \log _{2015} x \leq f(x)-1, \quad \forall x \in(0,+\infty) +$$ + +PROBLEMA 2. a) Există numere iraţionale $a$ şi $b$ pentru care $a^{b}$ este număr natural? + +b) Un elev scrie pe tablă numerele $729,15625,343,1331$. La pasul 1 şterge cele patru numere şi în locul fiecăruia scrie media geometrică a celorlalte trei numere. La pasul 2 aplică pasul 1 pentru numerele astfel obţinute. Continuă în acelaşi mod scrierea numerelor. + +i) Ce numere a obţinut după primul pas? + +ii) Este posibil ca după un număr finit de paşi să scrie pe tablă numerele 847, 567, 297, 8019 ? + +PROBLEMA 3. Fie numerele $a, b \in \mathbb{Z}$ şi $z \in \mathbb{C}$, astfel încât $z^{2}-z+5=0$. Să se arate că + +$$ +(z-1)^{a}-(z+4)^{b}=0 +$$ + +dacă şi numai dacă există un număr $n \in \mathbb{Z}$, astfel încât $a=4 n$ şi $b=2 n$. + +PROBLEMA 4. Să se arate că, dacă $a, b, c \in \mathbb{C},|a|=|b|=|c|=1$ şi $|a+b|^{2}+|b+c|^{2}+|c+a|^{2}=$ 4, atunci triunghiul $A B C$ ale cărui vârfuri sunt punctele de afixe $a, b$ şi $c$ este dreptunghic.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
BAREM DE CORECTARE - Clasa a X - a + +## PROBLEMA 1. + +(2p) Înlocuim în relaţia dată pe $x$, cu $2015 \cdot x$ + +(2p) şi obţinem $f(x) \leq 1+\log _{2015} x$ + +(2p) $\quad$ Dar $f(x) \geq 1+\log _{2015} x$ + +(1p) Aşadar, $f(x)=1+\log _{2015} x$ + +## PROBLEMA 2. + +(2p) a) De exemmplu, fie $a=\sqrt{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ si $b=\log _{\sqrt{2}} 3 \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ + +(1p) Se verifică $a^{b}=3 \in \mathbb{N}$ + +(1p) b) După pasul 1 se obţin numerele 1925, 693, 2475, 1575. + +(2p) Dacă după pasul $k$, pe tablă sunt scrise numerele $a, b, c$ şi $d$, atunci la pasul $k+1$ numerele devin $\sqrt[3]{b c d}, \sqrt[3]{a c d}, \sqrt[3]{a b d}, \sqrt[3]{a b c}$. Se observă că $\sqrt[3]{b c d} \cdot \sqrt[3]{a c d} \cdot \sqrt[3]{a b d} \cdot \sqrt[3]{a b c}=a b c d$, adică după fiecare pas, produsul numerelor de pe tablă este acelaşi. + +(1p) Produsul numerelor iniţiale se termină în 5, iar produsul numerelor 847, 567, 297 şi 8019 se termină în 7. În concluzie, nu este posibil ca după un număr finit de paşi, să fie scrise pe tablă aceste numere. + +## PROBLEMA 3. + +(1p) Din $z^{2}-z+5=0$ avem $(z-1)^{2}=-(z+4)$ + +(3p) Dacă există un număr $n \in \mathbb{Z}$, astfel încât $a=4 n$ şi $b=2 n$, atunci + +$(z-1)^{2}=-(z+4) \Rightarrow\left((z-1)^{2}\right)^{2 n}=(-(z+4))^{2 n} \Rightarrow(z-1)^{a}-(z+4)^{b}=0$ + +(3p) Dacă $(z-1)^{a}=(z+4)^{b}$, atunci + +$(z-1)^{2}=-(z+4) \Rightarrow(z-1)^{2 b}=(-1)^{b} \cdot(z+4)^{b} \Rightarrow(z-1)^{2 b}=(-1)^{b} \cdot(z-1)^{a}$ + +de unde, $a=4 n$ şi $b=2 n$ pentru un număr $n \in \mathbb{Z}$. + +## PROBLEMA 4. + +(1p) Avem $|a+b|^{2}=(a+b)(\bar{a}+\bar{b})=2+a \bar{b}+\bar{a} b$ + +(1p) $\quad$ şi $A B^{2}=|b-a|^{2}=(b-a)(\bar{b}-\bar{a})=2-(a \bar{b}+\bar{a} b)$ + +(1p) de unde, $|a+b|^{2}=4-A B^{2}$ + +Analog, $|b+c|^{2}=4-B C^{2}$ sुi $|c+a|^{2}=4-A C^{2}$ + +(1p) Relaţia dată devine: $4-A B^{2}+4-B C^{2}+4-A C^{2}=4 \Leftrightarrow A B^{2}+B C^{2}+A C^{2}=8$ + +(1p) Din teorema sinusurilor rezultă că $\sin ^{2} A+\sin ^{2} B+\sin ^{2} C=2$ + +(2p) sau echivalent, $1+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C=0 \Leftrightarrow \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C=0$, adică triunghiul $\triangle A B C$ este dreptunghic.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-599-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-599-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91f9e6f90c56c3e0ffe61535ffe12747c64e0d7b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-599-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a VIII - a + +PROBLEMA 1. a) Descompuneţi în factori $3 x^{2}+4 \sqrt{6} x+8-y^{2}$. + +b) Aflaţi minimul şi maximul expresiei $\frac{x+1}{|x+1|}+\frac{|x+2|}{x+2}+\frac{x+3}{|x+3|}$, pentru $x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,-2,-1\}$. + +PROBLEMA 2. Fie $a, b \in \mathbb{N}$, astfel încât $\sqrt{\frac{a+5}{a+12}}, \sqrt{\frac{b+3}{b+14}} \in \mathbb{Q}$. Arătaţi că $a^{2015}+b^{2015} \mathrm{nu}$ se divide cu 2015 . + +PROBLEMA 3. Se consideră pătratul $A B C D$ şi punctul $S$ exterior planului său aşa încât $S A=S B=S C=S D$. Dacă $A B=12 \mathrm{~cm}, A P \perp C S, P \in(S C)$ şi $A P=S O$, unde $O$ este centrul pătratului, se cer: + +a) Măsura unghiului format de dreptele $S C$ şi $B D$; + +b) Distanţa de la punctul $A$ la planul ( $B P D$ ); + +c) Distanţa de la punctul $B$ la dreapta de intersecţie a planelor $(B P D)$ şi $(A D S)$. + +PROBLEMA 4. Se consideră punctele necoplanare $A, B, C$ şi $D$. Dacā $H$ este ortocentrul triunghiului $A B C, D$ este ortocentrul triunghiului $B C D$, iar picioarele perpendicularelor din $D$ şi $A$ pe $B C$ coincid, notând cu $E$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $B C$, să se arate că $H E \cdot A E=$ $D E^{2}$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Etapa locală - 14.02. 2015 BAREM DE CORECTARE - Clasa a VIII - a + +## PROBLEMA 1. + +$(2 p)$ +a) $E=3 x^{2}+4 \sqrt{6} x+8-y^{2}=(x \sqrt{3}+2 \sqrt{2})^{2}-y^{2}$; + +$(2 p)$ Finalizare, $E=(x \sqrt{3}+2 \sqrt{2}-y)(x \sqrt{3}+2 \sqrt{2}+y)$. + +$(1 p)$ + +b) Fracţiile pot lua doar valorile 1 sau -1 + +(1p) Minimul expresiei este -3 + +(1p) Maximul expresiei este 3 + +## PROBLEMA 2. + +(2p) $\sqrt{\frac{a+5}{a+12}} \in \mathbb{Q} \Rightarrow a+5=k x^{2}$ şi $a+12=k y^{2}$ cu $x$ şi $y$ prime între ele şi $k \in \mathbb{N}$. + +(1p) Avem $k\left(y^{2}-x^{2}\right)=7 \Rightarrow k(y-x)(y+x)=7$ de unde, singura soluţie este $k=1, y=4$ şi $x=3 \Rightarrow a=4$. + +(3p) Analog se găseşte că $b=22$. + +(1p) Ultima cifră a numărului $a^{2015}+b^{2015}$ este 2, de unde rezultă cerinţa + +## PROBLEMA 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2c3e35ea523bc113df1g-3.jpg?height=571&width=579&top_left_y=157&top_left_x=750) + +(2p) a) $S O \perp(A B C) \Rightarrow S O \perp B D, B D \perp A C \Rightarrow B D \perp(S O C) \Rightarrow B D \perp S C \Rightarrow$ $m(\widehat{B D, S C})=90^{\circ}$ + +(1p) b) Triunghiurile $\triangle S A C$ şi $\triangle O P C$ sunt echilaterale + +$(1 p) \quad d(A,(B P D))=d(C,(B P D))=d(C, O P)=3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ + +$(3 p) \quad$ c) $O P$ este linie mijlocie în $\triangle S A C \Rightarrow O P\|A S \Rightarrow O P\|(A D S)$; + +$$ +\begin{aligned} +& O P \subset(B P D) \Rightarrow O P \|(A D S) \cap(B P D) \\ +& B D \perp O P \Rightarrow B D \perp(A D S) \cap(B P D) \Rightarrow d(B,(A D S) \cap(B P D))=B D=12 \sqrt{2} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2c3e35ea523bc113df1g-3.jpg?height=468&width=445&top_left_y=1479&top_left_x=817) + +(1p) $\triangle B C D$ este dreptunghic în $D$ + +(1p) Deoarece $D E \perp B C$, din teorema înălţimii, rezultă că $D E^{2}=B E \cdot C E$ + +(2p) $\quad \triangle C E H \sim \triangle A E B$ + +(2p) Rezultă $\frac{C E}{A E}=\frac{H E}{B E} \Rightarrow B E \cdot C E=H E \cdot A E$ + +(1p) Deci, $H E \cdot A E=D E^{2}$[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-6-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VI-cls_6_loc.md b/Romania_Olympiad/md/ro-6-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VI-cls_6_loc.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51abf403a620c65034db88bbb8241db66fff3a24 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-6-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VI-cls_6_loc.md @@ -0,0 +1,156 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Locală - 26 februarie 2022
CLASA a VI-a - enunţuri + +Timp de lucru 150 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Complementul unui unghi ascuţit $u$ reprezintă $50 \%$ din măsura lui $u$. Măsura lui $u$ este +A $10^{\circ}$ +B $20^{\circ}$ +C $50^{\circ}$ +D $40^{\circ}$ +E $60^{\circ}$ +2. Cât este suma a 6 numere naturale consecutive, ştiind că primul şi ultimul număr sunt invers proporţionale cu $0,(3)$ şi $0,1(6)$ ? +A 90 +B 75 +C 60 +D 45 +E 30 +3. În plan sunt trasate 4 drepte. Numărul maxim al punctelor prin care trec cel puţin două dintre aceaste drepte este +A 1 +B 5 +C 6 +D 8 +E 16 +4. Diferenţa numerelor prime $a$ şi $b$ care verifică relaţia $51 \cdot a+7 \cdot b=582$ este +A 1 +B 6 +C 8 +D 12 +E 16 +5. Măsura unghiului format de orarul şi minutarul unui ceas ce indică ora 13:30 este de +A $120^{\circ}$ +B $115^{\circ}$ +C $150^{\circ}$ +D $135^{\circ}$ +E $100^{\circ}$ +6. Dacă $a, b$ sunt numere naturale nenule şi $\frac{a}{b}=\frac{a+2}{b+14}$, atunci $\frac{a}{b}$ este +A $\frac{4}{35}$ +B $\frac{5}{35}$ +C $\frac{6}{35}$ +D $\frac{7}{35}$ +$\mathrm{E} \frac{8}{35}$ +7. Numărul minim de drepte care trebuie trasate pentru a obţine cel puţin 4 perechi de drepte paralele şi cel puţin 6 perechi de drepte perpendiculare este +A 5 +B 6 +C 10 +D 12 +E 20 +8. Dacă măsurile în grade a două unghiuri suplementare sunt pătrate perfecte, diferenţa lor este +A $60^{\circ}$ +B $80^{\circ}$ +C $108^{\circ}$ +D $40^{\circ}$ +E $120^{\circ}$ +9. Dacă mărim un număr natural cu $80 \%$ iar rezultatul îl micşorăm cu $80 \%$, obţinem un număr cu 80 mai mic. Numărul iniţial este +A 400 +B 500 +C 256 +D 125 +E 160 +10. Câte numere naturale au patru cifre, sunt divizibile cu 15 ş au 15 divizori? +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 +11. Dacă $a$ şi $b$ sunt numere naturale nenule pentru care $\frac{a-9}{b}=\frac{a-4}{b+5}$, valoarea maximă a raportului $\frac{a}{b}$ este egală cu +A 4 +B 5 +C 9 +D 10 +E 14 +12. Numărul natural $N$ cu exact trei divizori şi cu suma divizorilor egală cu 183 are suma cifrelor +A 3 +B 4 +C 5 +D 12 +E 16 +13. Fie cercul $\mathcal{C}(O, r)$ pe care considerăm punctele $A$ şi $B$. Paralela prin $A$ la $O B$ intersectează din nou cercul $\mathcal{C}$ în punctul $C$. Ştiind că măsurile unghiurilor $\widehat{O A C}$ şi $\widehat{A O B}$ sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi 4 , măsura arcului mic $A B$ este +A $90^{\circ}$ +B $60^{\circ}$ +C $100^{\circ}$ +D $40^{\circ}$ +E $120^{\circ}$ +14. Se consideră punctele coliniare $A, O, B$ în această ordine. De aceeaşi parte a dreptei $A B$ considerăm punctele $C$ şi $D$ astfel încât $O C \perp O D$ şi semidreapta $O C$ să fie inclusă în interiorul $\widehat{A O D}$. Fie $O M, O N$, +$O P$ bisectoarele unghiurilor $\widehat{A O C}, \widehat{C O D}$, respectiv $\widehat{B O D}$. Dacă măsurile unghiurilor $\widehat{M O N}$ şi $\widehat{N O P}$ sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 5 , atunci diferenţa măsurilor unghiurilor $\widehat{B O D}$ şi $\widehat{A O C}$ este +A $15^{\circ}$ +B $30^{\circ}$ +C $45^{\circ}$ +D $60^{\circ}$ +E $75^{\circ}$ +15. Într-o cutie se găsesc bile roşii, verzi şi albastre. Ştiind că oricum am extrage 37 de bile, între ele obţinem bile din toate cele trei culori, numărul maxim de bile care pot exista în cutie este +A 54 +B 52 +C 39 +D 38 +E 37 +16. Pentru câte numere naturale $n \leq 2021$ sunt reductibile simultan fracţiile $\frac{n+1}{n+3}$ şi $\frac{n+2}{n+5}$ ? +A 1000 +В 337 +C 501 +D 670 +E 456 +17. Un cerc este împărţit în câteva arce ale căror măsuri, exprimate în grade, sunt puteri ale lui 3 având exponenţii numere naturale consecutive. Numărul arcelor obţinute este +A 2 +B 3 +C 4 +D 12 +E 10 +18. Suma numerelor prime $a$ şi $b$ care verifică relaţia $a(a-1)(a-2)=2 b(12 b-1)$ este +A 10 +B 12 +C 18 +D 15 +E 9 +19. Câte numere naturale de patru cifre dau resturile $9,5,11$ prin împărţire la 11,7 şi, respectiv, 13 ? +A 6 +B 7 +C 8 +D 9 +E 10 +20. Numărul perechilor de numere naturale $(n, p)$, cu $p$ număr prim şi cu proprietatea că $[n, p]+(n, p)=$ 2021, (unde $(a, b)$ şi $[a, b]$ reprezintă c.m.m.d.c., respectiv c.m.m.m.c. al numerelor $a$ şi $b$ ), este +A 0 +B 1 +C 2 +D 3 +E 4 + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 26 februarie 2022 + +CLASA a VI-a - răspunsuri + +1. $\mathbf{E}$ +2. D +3. C +4. C +5. $\mathrm{D}$ +6. B +7. A +8. C +9. $\mathrm{D}$ +10. C +11. D +12. $\mathrm{E}$ +13. $\mathrm{C}$ +14. B +15. A +16. B +17. $\mathrm{C}$ +18. A +19. $\mathrm{C}$ +20. E diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-60-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VIII-0_barem_clasa8.md b/Romania_Olympiad/md/ro-60-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VIII-0_barem_clasa8.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5617020dacc7d656975ec006d4045e8fdf7730b8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-60-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VIII-0_barem_clasa8.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 martie 2018
CLASA a VIII-a - Soluţii şi barem + +## Varianta 2 + +Problema 1. Arătaţi că, dacă $m, n \in \mathbb{N}^{*}$, atunci + +$$ +\left\{\frac{m}{n}\right\}+\left\{\frac{n}{m}\right\} \neq 1 +$$ + +Gazeta Matematică + +Soluţie. Presupunând prin absurd că există $m, n \in \mathbb{N}^{*}$, astfel ca $\left\{\frac{m}{n}\right\}+\left\{\frac{n}{m}\right\}=1$ reiese $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}-\left[\frac{m}{n}\right]-\left[\frac{n}{m}\right] \in \mathbb{N}$, deci $\frac{m}{n}+\frac{n}{m} \in \mathbb{N}$ şi, simplificând fracţiile, putem presupune $(m, n)=1$ $1 p$ + +Dacă $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=k \in \mathbb{N}$, atunci $n^{2}-k n m+m^{2}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Din relaţia precedentă rezultă că $m \mid n^{2}$ şi $n \mid m^{2}$, ceea ce, ţinând cont de $(m, n)=1$, implică $m=n=1$. Dar, pentru $m=n=1$ expresia din enunţ este egală cu 0 , deci am obţinut o contradiţie + +$5 p$ + +Problema 2. Fie $a, b, c \in[1, \infty)$. Demonstraţi că + +$$ +\frac{a \sqrt{b}}{a+b}+\frac{b \sqrt{c}}{b+c}+\frac{c \sqrt{a}}{c+a}+\frac{3}{2} \leq a+b+c +$$ + +Soluţie. Din inegalitatea mediilor avem $a+b \geq 2 \sqrt{a b}$ şi analoagele, de unde rezultă $\frac{a \sqrt{b}}{a+b}+\frac{b \sqrt{c}}{b+c}+\frac{c \sqrt{a}}{c+a}+\frac{3}{2} \leq \frac{\sqrt{a}}{2}+\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{\sqrt{c}}{2}+\frac{3}{2}$ + +Vom arăta că $\sqrt{a} \leq 2 a-1$ pentru orice $a \geq 1$. Intr-adevăr, relaţia precedentă este echivalentă cu $(2 \sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-1) \geq 0$, relaţie evidentă pentru orice $a \geq 1 \ldots \ldots \ldots . \mathbf{p}$ + +Din inegalitatea de mai sus şi analoagele ei obţinem că $\frac{\sqrt{a}}{2}+\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{\sqrt{c}}{2}+\frac{3}{2} \leq a+b+c$ $2 p$ + +Problema 3. Fie paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Notăm cu $M, N$ şi $P$ mijloacele muchiilor $[A B],[B C]$, respectiv $\left[B B^{\prime}\right]$. Fie $\{O\}=A^{\prime} N \cap C^{\prime} M$. + +a) Arătaţi că punctele $D, O, P$ sunt coliniare. + +b) Arătaţi că $M C^{\prime} \perp\left(A^{\prime} P N\right)$ dacă şi numai dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. +a) $[M N]$ este linie mijlocie în triunghiul $B A C$, deci $M N \| A C$ si $M N=\frac{1}{2} A C$. Cum $A C \| A^{\prime} C^{\prime}$ şi $A C=A^{\prime} C^{\prime}$, rezultă că $M N C^{\prime} A^{\prime}$ este trapez şi că $\frac{M O}{O C^{\prime}}=\frac{N O}{O A^{\prime}}=\frac{1}{2}$. Dacă notăm $\left\{O^{\prime}\right\}=D P \cap M C^{\prime}$, analog se arată că $M P D C^{\prime}$ este trapez şi $\frac{M O^{\prime}}{O^{\prime} C^{\prime}}=\frac{M P}{D C^{\prime}}=\frac{1}{2}$. Rezultă că punctele $O$ şi $O^{\prime}$ împart segmentul $\left[M C^{\prime}\right]$ în raport $1 / 2$, deci coincid. Aşadar punctele $D, O, P$ sunt coliniare. $2 \mathrm{p}$ + +b) Notăm $A B=2 x, B C=2 y, B B^{\prime}=2 z . \quad C^{\prime} M \perp\left(A^{\prime} P N\right) \Leftrightarrow C^{\prime} M \perp A^{\prime} N$ şi $C^{\prime} M \perp D P$. Aplicăm succesiv teorema lui Pitagora. In $\triangle C^{\prime} B C, \triangle C^{\prime} B M, \triangle A^{\prime} B A$, +$\triangle A^{\prime} B N, \triangle D B A, \triangle D B P, \triangle B M N, \triangle D A M$ obţinem $O M^{2}=\frac{1}{9} C^{\prime} M^{2}=\frac{1}{9}\left(4 z^{2}+4 y^{2}+x^{2}\right)$, $O N^{2}=\frac{1}{9} A^{\prime} N^{2}=\frac{1}{9}\left(4 z^{2}+4 x^{2}+y^{2}\right), O D^{2}=\frac{4}{9} D P^{2}=\frac{4}{9}\left(4 y^{2}+4 x^{2}+z^{2}\right), M N^{2}=x^{2}+y^{2}$, $D M^{2}=4 y^{2}+x^{2}$. Din $C^{\prime} M \perp A^{\prime} N$ rezultă că $\triangle M N O$ este dreptunghic în $O$ şi, prin aplicarea teoremei lui Pitagora, $M N^{2}=M O^{2}+O N^{2}$ ceea ce conduce la $x^{2}+y^{2}=2 z^{2}$ (*). La fel, din $C^{\prime} M \perp D P$, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul $M D O$ avem $D M^{2}=D O^{2}+O M^{2}$, ceea ce ne conduce la relaţia $x^{2}+z^{2}=2 y^{2}\left({ }^{* *}\right)$. Din $\left({ }^{*}\right)$ şi $\left({ }^{* *}\right)$ rezultă $x=y=z$, de unde rezultă că $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. + +Problema 4. a) Considerăm numerele naturale nenule $a, b, c$ astfel încât $a2 N+1$, adică la $(N-1)^{2}>2$, evident adevărat pentru $N \geq 3$ + +$.5 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-600-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-600-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6af99bc18d6ef89c691b48e889b6e72cb3ea1199 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-600-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a VII - a + +PROBLEMA 1. a) Să se arate că numărul $A=\sqrt{2015^{n}+(-1)^{n+1} \cdot 2}$ este iraţional pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se demonstreze că dacă $x, y$ şi $z$ sunt numere reale pozitive, astfel încât $x+y+z=1344$, atunci + +$$ +\sqrt{x(y+z)}+\sqrt{y(x+z)}+\sqrt{z(x+y)} \leqslant 2016 +$$ + +PROBLEMA 2. a) Să se arate că $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$; + +b) Determinaţi numerele naturale $a, b$ şi numărul natural prim $p$, ştiind că $a^{2}+a=p^{2^{b}}+2$. + +PROBLEMA 3. Fie ABCD un paralelogram cu $A B=n \cdot A D$, unde $n \in \mathbb{R}, n>2$. Bisectorele unghiurilor paralelogramului se intersectează astfel: bisectoarea unghiului $A$ se intersectează cu bisectoarea unghiului $B$ in punctul $R$, bisectoarea unghiului $B$ cu bisectoarea unghiului $C$ în $S$, bisectoarea unghiului $C$ cu bisectoarea unghiului $D$ în $T$ şi bisectoarea unghiului $D$ cu bisectoarea unghiului $A$ în $Q$. + +a) Demonstraţi că $R S T Q$ este dreptunghi; + +b) Dacă $A B \cap D T=\{P\}$, demonstraţi că $\frac{A_{A D P}}{A_{A R B}}=\frac{2}{n^{2}}$; + +c) Demonstraţi că dreptele $R T, A C$ şi $D B$ sunt concurente. + +PROBLEMA 4. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$ şi $[B D,[C E$ bisectoarele sale $(D \in A C$, $E \in A B)$. Se notează cu $I$ intersecţia dreptelor $B D$ şi $C E$ şi cu $F$, respectiv $G$, proiecţiile punctelor $D$ şi $E$ pe dreapta $B C$. Să se determine măsura unghiului $F I G$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Etapa locală - 14.02. 2015 BAREM DE CORECTARE - Clasa a VII - a + +## PROBLEMA 1. + +$(3 p)$ a) Ultima cifră a numărului $2015^{n}+(-1)^{n+1} \cdot 2$ este $\begin{cases}3, & \text { dacă } n \text { este par } \\ 7, & \text { dacă } n \text { este impar }\end{cases}$ + +(1p) Deci $2015^{n}+(-1)^{n+1} \cdot 2$ nu este pătrat perfect, de unde $A \notin \mathbb{Q}$ + +$(2 p)$ b) Avem: $\sqrt{x(y+z)} \leqslant \frac{x+(y+z)}{2}, \sqrt{y(x+z)} \leqslant \frac{y+(x+z)}{2}, \sqrt{z(x+y)} \leqslant \frac{z+(x+y)}{2}$ + +$(1 p)$ Deci: $\sqrt{x(y+z)}+\sqrt{y(x+z)}+\sqrt{z(x+y)} \leqslant \frac{x+(y+z)}{2}+\frac{y+(x+z)}{2}+\frac{z+(x+y)}{2}=$ $\frac{3(x+y+z)}{2}=\frac{3 \cdot 1344}{2}=2016$ + +## PROBLEMA 2. + +$(2 p)$ + +a) Se arată că $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$ + +$(1 p) \quad$ b) Deoarece numărul $a^{2}+a=a(a+1)$ este par, rezultă că şi numărul $p^{2^{b}}+2$ este par. Deci $p=2$, iar relaţia din enunţ devine: $a^{2}+a-2=2^{2^{b}} \Longleftrightarrow(a-1)(a+2)=2^{2^{b}}$ + +(1p) Deoarece membrul drept este par, iar numerele $a-1$ şi $a+2$ au parităţi diferite, singurele posibilităţi sunt: $\left\{\begin{array}{l}a-1=1 \\ a+2=2^{2^{b}}\end{array}\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}a-1=2^{2^{b}} \\ a+2=1\end{array}\right.$ + +(1p) Pentru $a+2=1$, nu avem soluţii + +(2p) Pentru $\left\{\begin{array}{l}a-1=1 \\ a+2=2^{2^{b}}\end{array}\right.$ se obţine $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1\end{array}\right.$ + +Soluţia $(p, a, b)=(2,2,1)$ + +## PROBLEMA 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c79a5d529e01a215ac3ag-3.jpg?height=437&width=1039&top_left_y=198&top_left_x=514) + +$(1 p)$ +a) $\frac{1}{2} \mathrm{~m}(\widehat{A})+\frac{1}{2} \mathrm{~m}(\widehat{D})=90^{\circ}$, rezultă $\mathrm{m}(\widehat{T Q R})=90^{\circ}$ + +(1p) se demonstrează că patrulaterul $R S T Q$ are trei unghiuri drepte, deci este dreptunghi + +$(1 p)$ +b) $\triangle A Q D \sim \triangle A R B \Rightarrow \frac{A_{A Q D}}{A_{A R B}}=\left(\frac{A D}{A B}\right)^{2}=\frac{1}{n^{2}}$ + +$(1 p)$ + +$\triangle A Q D \equiv \triangle A Q P \Rightarrow A_{A D P}=2 \cdot A_{A Q D} \Rightarrow \frac{A_{A D P}}{A_{A R B}}=\frac{2}{n^{2}}$ + +$(2 p) \quad$ c) Se demonstrează că $A T C R$ este paralelogram, de unde rezultă că $[R T]$ §̧i $[A C]$ au acelaşi mijloc + +(1p) În paralelogramul $A B C D$, diagonalele $A C$ şi $B D$ au acelaşi mijloc, de unde rezultă concurenţa dreptelor $R T, A C$ şi $D B$ + +## PROBLEMA 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c79a5d529e01a215ac3ag-3.jpg?height=434&width=803&top_left_y=1551&top_left_x=638) + +(1p) Deoarece $[B I$ şi $[B I$ sunt bisectoare în $\triangle A B C \Rightarrow[A I$ este bisectoare în $\triangle A B C$ $\Rightarrow \mathrm{m}(\widehat{B A I})=45^{\circ}$ + +(2p) Deoarece $[B D$ este bisectoarea unghiului $\widehat{A B C}$, rezultă că $D A=D F$ şi $A B=B F$ $\triangle A I B \equiv \triangle F I B \Rightarrow \widehat{B A I} \equiv \widehat{B F I} \Rightarrow \mathrm{m}(\widehat{B F I})=45^{\circ}$ + +$(2 p)$ Analog se arată că $\mathrm{m}(\widehat{F G I})=45^{\circ}$ şi din $\Delta F I G$ avem $\mathrm{m}(\widehat{F I G})=90^{\circ}$[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-601-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-601-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e364d30a0c5d9680a214392ef80f3a8c2a1dcf9f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-601-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,104 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a VI - a + +PROBLEMA 1. a) Să se determine valoarea numărului $x$, dacă + +$$ +\frac{2014}{2015 \cdot 2015-2015-2015+1}=\frac{x}{2014 \cdot 2015} +$$ + +b) Folosind inegalitatea $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4}{a+b}$, oricare ar fi $a$ şi $b$ pozitive şi diferite, să se arate că + +$$ +1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{499}+\frac{1}{500}>\frac{13}{7} +$$ + +PROBLEMA 2. Se consideră numerele naturale $a=3 n+7, b=2 n+5$ şi $c=n+2$, unde $n \in \mathbb{N}$. Să se arate că numerele $a$ şi $b$ sunt prime între ele, iar numărul $[a, b]+[a, c]$ este pătrat perfect. ( $[x, y]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $x$ şi $y$ ) + +PROBLEMA 3. Se dau punctele coliniare $A, O$, şi $B$, cu $O \in(A B)$. De aceeaşi parte a dreptei $A B$ se consideră punctele $C$ şi $D$, astfel încât unghiurile $\widehat{A O C}$ sुi $\widehat{C O D}$ să fie adiacente. Fie $[O M$ bisectoarea unghiului $\widehat{A O C}$ şi $\left[O N\right.$ bisectoarea unghiului $\widehat{B O D}$. Se ştie că $\mathrm{m}(\widehat{M O D})=105^{\circ}$ şi $\mathrm{m}(\widehat{N O C})=120^{\circ}$. + +a) Arătaţi ca unghiul $\widehat{C O D}$ este drept. + +b) Dacă în interiorul unghiului $\widehat{C O D}$ se construiesc 12 semidrepte distincte cu originea $O$, astfel încât cele 13 unghiuri formate, cu interioarele disjuncte două câte două, au măsurile exprimate prin numere naturale nenule, demonstrați că printre acestea există cel puţin două unghiuri congruente. + +PROBLEMA 4. a) Considerăm punctele coliniare $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2015}$ (în această ordine), astfel încât $A_{0} A_{1}=1 \mathrm{~cm}, A_{1} A_{2}=2 \mathrm{~cm}, \ldots, A_{2014} A_{2015}=2015 \mathrm{~cm}$. Să se calculeze distanţa dintre punctele $A_{1000}$ şi $A_{2015}$. + +b) Fie $A, B, C, D, E$ şi $F$ şase puncte, astfel încât oricare trei dintre punctele date sunt necoliniare. Colorăm fiecare dintre segmentele determinate de ele, fie cu portocaliu, fie cu violet, la întâmplare. Demonstraţi că există un triunghi cu vârfurile în trei dintre cele şase puncte, care are toate laturile de aceeaşi culoare.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
BAREM DE CORECTARE - Clasa a VI - a + +## PROBLEMA 1. + +(2p) a) $2015 \cdot 2015-2015-2015+1=2014 \cdot 2014$ + +(2p) $\quad$ Soluţia este $x=2015$ + +$(1 p)$ + +b) Avem $1+\frac{1}{500}>\frac{4}{501}, \frac{1}{2}+\frac{1}{499}>\frac{4}{501}, \ldots, \frac{1}{250}+\frac{1}{251}>\frac{4}{501}$ + +(1p) de unde, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{499}+\frac{1}{500}>250 \cdot \frac{4}{501}=\frac{1000}{501}$ + +(1p) Deoarece $\frac{1000}{501}>\frac{13}{7}$, obţinem inegalitatea cerută. + +## PROBLEMA 2. + +(3p) Se aratā că $(3 n+7,2 n+5)=1$ + +(1p) §i $(3 n+7, n+2)=1$ + +(1p) Utilizarea formulei $x \cdot y=(x, y) \cdot[x, y]$, pentru orice $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ + +(1p) Astfel, $[a, b]=a \cdot b$ şi $[a, c]=a \cdot c$ + +(1p) de unde, $[a, b]+[a, c]=a \cdot b+a \cdot c=(3 n+7)^{2}$ + +## PROBLEMA 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9ba173080b275fe9e02fg-3.jpg?height=259&width=531&top_left_y=156&top_left_x=771) + +(1p) a) Avem $\mathrm{m}(\widehat{M O C})+\mathrm{m}(\widehat{C O D})=105^{\circ}, \mathrm{m}(\widehat{C O D})+\mathrm{m}(\widehat{D O N})=120^{\circ}$ + +(1p) Şi $\mathrm{m}(\widehat{A O C})+\mathrm{m}(\widehat{C O D})+\mathrm{m}(\widehat{D O B})=180^{\circ}$ + +(2p) Dacă notăm: $\mathrm{m}(\widehat{A O M})=\mathrm{m}(\widehat{M O C})=a, \mathrm{~m}(\widehat{B O N})=\mathrm{m}(\widehat{D O N})=c$ şi $\mathrm{m}(\widehat{C O D})=b$ avem: $a+b=105^{\circ}, b+c=120^{\circ}$ şi $2 a+b+2 c=180^{\circ} \Rightarrow a=15^{\circ}, b=90^{\circ}$ şi $c=30^{\circ}$ + +(1p) b) Suma măsurilor celor 13 unghiuri cu interioarele disjuncte este egală cu $90^{\circ}$ + +(1p) Presupunem că cele 13 măsuri sunt numere naturale nenule diferite. Astfel, cea mai mică valoare a sumei măsurilor celor 13 unghiuri ar fi $1^{\circ}+2^{\circ}+3^{\circ}+\cdots+13^{\circ}=\frac{13 \cdot 14^{\circ}}{2}=91^{\circ}$ + +(1p) Contradicţie cu ipoteza. Deci, cel puţin două unghiuri au măsurile egale. + +## PROBLEMA 4. + +$$ +\begin{aligned} +& (1 p) \quad \text { a) } A_{1000} A_{2015}=A_{1000} A_{1001}+A_{1001} A_{1002}+\ldots+A_{2014} A_{2015} \\ +& (1 p) \quad A_{1000} A_{2015}=1001 \mathrm{~cm}+1002 \mathrm{~cm}+\ldots+2015 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +$(1 p)$ + +$$ +(2 p) \quad A_{1000} A_{2015}=1530620 \mathrm{~cm} +$$ + +(1p) b) Considerăm cele 5 segmente cu un capăt în punctul $A$. Conform principiului cutiei, există printre acestea măcar trei de aceeaşi culoare. + +(1p) Presupunem, de exemplu, că segmentele $A B, A C$ şi $A D$ sunt toate trei de aceeaşi culoare, şi anume, violet. + +Dacă o latură a triunghiului $B C D$ este violet, ea completează cu două dintre segmentele anterioare un triunghi violet. + +(1p) În caz contrar, triunghiul $B C D$ este portocaliu şi demonstraţia este completă.[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 2 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-602-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-602-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b434986cf5e240990ad56bd6985f41b9691c8cf3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-602-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,114 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a V - a + +PROBLEMA 1. La un concurs de matematică sunt propuse 30 de exerciţii. Pentru fiecare exerciţiu rezolvat corect elevul primeşte 10 puncte, iar pentru fiecare exerciţiu rezolvat greşit este penalizat cu 10 puncte (se scad 10 puncte). Dragoş a rezolvat toate exerciţiile şi a primit 80 de puncte. + +a) Câte exerciţii a rezolvat corect Dragoş? + +b) Câte exerciţii a rezolvat greşit Dragoş? + +c) Câte exerciţii ar mai fi trebuit să rezolve corect Dragoş, pentru ca în final el să obţină 120 puncte? + +d) Care a fost punctajul maxim care se putea obţine la concursul de matematică? + +PROBLEMA 2. Fie numerele $x=1+2+2^{2}+\ldots+2^{2014}$ şi $y=\left(27^{3}: 3^{8}+10^{10}: 10^{8}-72\right)^{403}-2015^{0}$. + +a) Arătaţi că $x=2^{2015}-1$; + +b) Comparaţi numerele $x$ şi $y$; + +c) Aflaţi ultima cifră a numărului $x+y$. + +PROBLEMA 3. Determinaţi câte numere de forma $\overline{a b c}$, cu cifre distincte, verifică relaţia: + +$$ +\overline{a b a}-\overline{a a a}+17(b-a)=c^{3} +$$ + +PROBLEMA 4. Se consideră şirul cu termenii: $1,4,5,8,9,12,13,16,17,20, \ldots$ + +a) Scrieţi următorii 2 termeni ai şirului; + +b) Determinaţi al 2015-lea termen al şirului; + +c) Calculaţi suma termenilor mai mici sau egali cu 80 din şir.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015 BAREM DE CORECTARE - Clasa a V - a + +## PROBLEMA 1. + +$(2 p) \quad$ a) Dragoş a rezolvat corect 19 exerciţii; + +$(2 p) \quad$ b) Dragoş a rezolvat greşit 11 exerciţii; + +$(2 p) \quad$ c) Pentru a obţine 120 de puncte, Dragoş ar fi trebuit să rezolve corect încă 2 exerciţii; + +(1p) d) Punctajul maxim care se putea obţine este $10 \times 30=300$ (puncte). + +## PROBLEMA 2. + +$(1 p)$ +a) $x=2 x-x=\left(2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2014}+2^{2015}\right)-\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{2014}\right)=2^{2015}-1$; + +$(1 p)$ + +b) Avem $y=31^{403}-1$ + +(1p) $\quad$ şi $x=32^{403}-1$ + +(1p) deci $x>y$; + +(1p) c) Deoarece $x$ este de forma $2^{4 k+3}-1(k \in \mathbb{N})$, ultima cifră a lui $x$ este $8-1=7$ + +(1p) Ultima cifră a lui $y$ este $1-1=0$ + +(1p) Deci, ultima cifră a lui $x+y$ este 7 + +## PROBLEMA 3. + +(1p) Observăm că $b>a>0$ + +(2p) Relaţia din enunţ este echivalentă cu: $10 b-10 a+17(b-a)=c^{3}$ + +(1p) De unde avem: $27(b-a)=c^{3} \Rightarrow b-a$ este cub perfect + +(2p) Dar, $b-a<9 \Rightarrow b-a \in\{1,8\} \Rightarrow c^{3} \in\left\{3^{3}, 6^{3}\right\}$ + +(1p) Astfel, $\overline{a b c} \in\{123,453,563,673,783,893,196\}$, adică sunt 7 numere. + +## PROBLEMA 4. + +(2p) Se observă că + +| $T_{1}$ | $T_{2}$ | $T_{3}$ | $T_{4}$ | $T_{5}$ | $T_{6}$ | $T_{7}$ | $T_{8}$ | $\ldots$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $2 \cdot 1-1$ | $2 \cdot 2$ | $2 \cdot 3-1$ | $2 \cdot 4$ | $2 \cdot 5-1$ | $2 \cdot 6$ | $2 \cdot 7-1$ | $2 \cdot 8$ | $\ldots$ | + +adică, termenii şirului sunt de forma: + +- dacă $n$ este impar, atunci $T_{n}=2 n-1$ +- dacă $n$ este par, atunci $T_{n}=2 n$ + +$(2 p) \quad$ a) Următorii 2 termeni ai şirului sunt: 21 şi 24 + +(1p) b) Termenul al 2015-lea este $T_{2015}=2 \cdot 2015-1=4029$ + +$(2 p)$ c) Numărul 80 este termen al şirului, $T_{40}=2 \cdot 40=80$, iar suma cerută este: + +$$ +\begin{aligned} +S & =1+4+5+8+\cdots+77+80=(1+5+9+\cdots+77)+(4+8+\cdots+80)= \\ +& =78 \cdot 10+4(1+2+3+\cdots+20)=780+2 \cdot 20 \cdot 21=1620 +\end{aligned} +$$[^1] + + +[^0]: ${ }^{1}$ Timpul efectiv de lucru este de 2 ore; + + ${ }^{2}$ Toate problemele sunt obligatorii; + + ${ }^{3}$ Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 . + +[^1]: ${ }^{1}$ Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte; + + ${ }^{2}$ Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-603-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-603-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1caa774544e4f8c4991dae11c36cc4215f779c69 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-603-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,103 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
Clasa a IX - a + +PROBLEMA 1. Să se calculeze suma $S_{n}=1+12+112+\ldots+\underbrace{111 \ldots 1}_{(n-1) \text { ori }} 2$, pentru $n \geq 2$. + +PROBLEMA 2. Fie numerele reale strict pozitive $x, y$ şi $z$, astfel încât $2 x+3 y+4 z=6$. Să se arate că : +a) $\sqrt{2 x}+\sqrt{3 y}+\sqrt{4 z}<\frac{9}{2}$; +b) $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z} \geq \frac{27}{2}$. + +PROBLEMA 3. Arătaţi că $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4 n+2}]$, pentru orice $n \in \mathbb{N}(\mathrm{cu}[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului $x$ ). + +PROBLEMA 4. Fie pentagonul convex $A B C D E$ şi punctele $G_{1}$ şi $G_{2}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $A B C$, respectiv $B C D$. + +a) Arătaţi că dacă $M$ şi $N$ sunt mijloacele segmentelor $[A E]$, respectiv $[D E]$, atunci segmentele $\left[G_{1} N\right]$ şi $\left[G_{2} M\right]$ au un punct comun $G$, astfel încât $\frac{G_{1} G}{G N}=\frac{G_{2} G}{G M}$; + +b) Aflaţi vectorul de poziţie al punctului $G$ determinat anterior, în funcţie de vectorii de poziţie ai punctelor $A, B, C, D$ şi $E$.[^0] + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02. 2015
BAREM DE CORECTARE - Clasa a IX - a + +## PROBLEMA 1. + +$(2 p)$ + +$$ +S_{n}=1+(11+1)+(111+1)+\ldots+(\underbrace{111 \ldots 1}_{n \text { ori }}+1) +$$ + +$(1 p)$ + +$$ +S_{n}=(1+11+111+\ldots+\underbrace{111 \ldots 1}_{n \text { ori }})+n-1 +$$ + +$$ +S_{n}=\frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n}\left(10^{k}-1\right)+n-1 +$$ + +$$ +S_{n}=\frac{1}{9}\left(10 \cdot \frac{10^{n}-1}{9}-n\right)+n-1=S_{n}=\frac{10^{n+1}+72 n-91}{81} +$$ + +## PROBLEMA 2. + +(2p) a) Din inegalitatea mediilor, avem: $\sqrt{1 \cdot 2 x} \leq \frac{1+2 x}{2}, \sqrt{1 \cdot 3 y} \leq \frac{1+3 y}{2}, \sqrt{4 z} \leq \frac{1+4 z}{2}$ + +(1p) de unde, $\sqrt{2 x}+\sqrt{3 y}+\sqrt{4 z} \leq \frac{3+(2 x+3 y+4 z)}{2}=\frac{9}{2}$ + +(1p) Egalitatea are loc dacă §̧i numai dacă $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$ si $z=\frac{1}{4}$, valori care nu verifică relaţia $2 x+3 y+4 z=6$. + +b) Notăm $S=\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}$ + +$(1 p)$ + +$$ +6 S=(2 x+3 y+4 z)\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}\right)=29+6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+12\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+8\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right) +$$ + +(1p) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$, pentru $a, b \in(0,+\infty)$ + +(1p) Deci $6 S \geq 81$, de unde $S \geq \frac{27}{2}$. Egalitatea are loc pentru $x=y=z=\frac{2}{3}$. + +## PROBLEMA 3. + +(1p) Pentru orice $n \in \mathbb{N}, \sqrt{4 n+2}=\sqrt{2(2 n+1)} \notin \mathbb{N}$ + +(4p) Are loc: $\sqrt{4 n+1}<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{4 n+2}$ + +Într-adevăr, relaţia aceasta este echivalentă cu: $4 n+1<2 n+1+2 \sqrt{n(n+1)}<4 n+2 \Leftrightarrow$ $2 n<2 \sqrt{n(n+1)}<2 n+1 \Leftrightarrow 4 n^{2}<4 n^{2}+4 n<4 n^{2}+4 n+1$, ceea ce este adevărat. + +(2p) Avem $[\sqrt{4 n+1}]=[\sqrt{4 n+2}]$ + +Într-adevăr, dacă $[\sqrt{4 n+2}]=a \in \mathbb{N}$, atunci $a \varsubsetneqq \sqrt{4 n+2} Subiecte clasa a XI-a matematică-informatică + +1. Fie matricele $A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$. + +a) Să se arate că dacă $A B=B A$ atunci $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right) \geq 0$. + +b) Dacă $\operatorname{det} A>0$ să se arate că $\operatorname{det}\left(A-I_{n}+A^{-1}\right) \geq 0$. + +2. Fie matricele $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ astfel încât $(A+B)^{2}=A^{2}+B^{2}$ şi $(A+B)^{4}=A^{4}+B^{4}$. Să se arate că $(A B)^{2}=O_{n}$. + +( GM 10/ 2010) + +3. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}>0$ şi $a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+n+n^{2}\right), \forall n \geq 1$. + +a) Să se studieze convergența şirului $\left(a_{n}\right)_{n \unlhd 1}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n \cdot \ln n}$. + +( prof. Ruxanda şi George Georgescu) + +4. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{V}^{*}}$ cu termeni strict pozitivi, definit prin $a_{1}=1$ şi + +$\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\ldots+\sqrt{a_{n}}=\frac{n+1}{2} \sqrt{a_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că şirul are limită şi să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +b) Să se determine $p \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot \ln \prod_{k=1}^{p} \cos \frac{k}{n}\right)=-7$. + +( prof. Ruxanda şi George Georgescu) + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează cu 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 19.02.2015 + +barem clasa a XI-a matematică-informatică + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=74&width=1328&top_left_y=617&top_left_x=290) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=65&width=1270&top_left_y=687&top_left_x=336) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=72&width=1268&top_left_y=752&top_left_x=337) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=128&width=1308&top_left_y=827&top_left_x=334) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=71&width=1308&top_left_y=958&top_left_x=334) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=66&width=1304&top_left_y=1029&top_left_x=336) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=63&width=1345&top_left_y=1145&top_left_x=298) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=60&width=1305&top_left_y=1209&top_left_x=341) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=60&width=1302&top_left_y=1278&top_left_x=343) + +Din $(A+B)^{4}=A^{4}+B^{4}$ şi $(A+B)^{4}=(A+B)^{2}(A+B)^{2}$ rezultă $A^{2} B^{2}+B^{2} A^{2}=O_{n} \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=60&width=1305&top_left_y=1398&top_left_x=341) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=60&width=1305&top_left_y=1461&top_left_x=341) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-2.jpg?height=55&width=1305&top_left_y=1526&top_left_x=341) + +3. a) Din $a_{n+1}-a_{n}=\ln \left(1+n+n^{2}\right) \geq \ln 1=0, \forall n \geq 1$ rezultă că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este crescător. + +$.1 p$ + +Dacă şirul ar fi mărginit, ar fi convergent cu $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \in \mathbb{R}$ şi din relația de recurență ar rezulta $l=l+\infty$, absurd, deci şirul este divergent ..........................1p + +b) Din a) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty$ şi din $b_{n}=n \cdot \ln n$ strict crescător şi nemărginit ...................1p + +se calculează $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+n+n^{2}\right)}{(n+1) \ln (n+1)-n \ln n}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +$=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+n+n^{2}\right)}{\ln \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+n+n^{2}\right)}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}+\ln (n+1)}=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-3.jpg?height=346&width=1445&top_left_y=364&top_left_x=317) + +$$ +\begin{aligned} +& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 \ln n+\ln \left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}+1\right)}{\ln n+\ln \left(\frac{1}{n}+1\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n\left(2+\frac{\ln \left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}+1\right)}{\ln n}\right)}{\ln n\left(1+\frac{\ln \left(\frac{1}{n}+1\right)}{\ln n}\right)}=2 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n \cdot \ln n}=2 \text { conform } \\ +& \text { lemei lui Stolz - Cesaro.. } +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-3.jpg?height=66&width=1465&top_left_y=1189&top_left_x=290) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_304989b41c1dee312521g-3.jpg?height=68&width=1410&top_left_y=1251&top_left_x=343) +b) $l=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2}\left(\sum_{k=1}^{p} \ln \left(1+\cos \frac{k}{n}-1\right)\right)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{p} \frac{\ln \left(1-2 \sin ^{2} \frac{k}{2 n}\right)}{-2 \sin ^{2} \frac{k}{2 n}} \cdot \frac{-2 \sin ^{2} \frac{k}{2 n}}{\left(\frac{k}{2 n}\right)^{2}} \cdot \frac{k^{2}}{4 n^{2}} \cdot n^{2}=\ldots . .2 \mathrm{p}$ $=-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{p} k^{2}=-\frac{p(p+1)(2 p+1)}{12}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-605-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-605-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..211cd3d6d0579640887f551833c2a9d20ca62846 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-605-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,57 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 19.02.2015 + +Subiecte clasa a IX-a matematică-informatică + +1. a) Fie numerele $a, b \in \mathbb{R}$, unde $a+b=1$. Să se arate că $|a-1|+|b-2| \geq 2$. + +b) Dacă $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n} \in \mathbb{R}$ şi $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{2 n}=2 n(n+1)$, să se demonstreze că $\left|x_{1}-1\right|+\left|x_{2}-2\right|+\ldots+\left|x_{2 n}-2 n\right| \geq n, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ cu termeni strict pozitivi, definit prin $a_{1}=1$ şi $\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\ldots+\sqrt{a_{n}}=\frac{n+1}{2} \sqrt{a_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se demonstreze că $\sqrt{a_{n+1}}=\frac{n+1}{n} \sqrt{a_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ şi să se determine expresia termenului general $a_{n}$. +3. Să se rezolve ecuația $\{x\}^{2}+\{x\}+1=(1+\{x\}) \cdot[1-\{x\}]$, unde $x \in \mathbb{R},\{x\}$ este partea fracționară a lui $x$, iar $[1 \nmid x\}]$ reprezintă partea întreagă a numărului $1-\{x\}$. + +( prof. George Georgescu) + +4. Se dă triunghiul $A B C$ cu $A B Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in \mathrm{H}_{1} \Rightarrow \mathrm{A}^{t}=A$ şi $\mathrm{B}^{t}=B \Rightarrow$
$(A-B)^{t}=A^{t}-B^{t}=A-B \Rightarrow A-B \in H_{1} \Rightarrow$
$H_{1}$ subgrup al grupului $\left(M_{n}(\mathbb{R}),+\right)$.
Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in \mathrm{H}_{2} \Rightarrow \mathrm{A}^{t}=-A$ si $\mathrm{B}^{t}=-B \Rightarrow$
$(A-B)^{t}=A^{t}-B^{t}=-A+B=-(A-B) \Rightarrow A-B \in H_{2} \Rightarrow$
$H_{2}$ subgrup al grupului $\left(M_{n}(\mathbb{R}),+\right)$. | 2p | +| :---: | :---: | :---: | +| | b).
Fie $\mathrm{X} \in M_{n}(\mathbb{R})$. Avem $\left(\frac{1}{2} X+\frac{1}{2} X^{t}\right)^{t}=\frac{1}{2} X^{t}+\frac{1}{2} X$
adică $\mathrm{A}=\frac{1}{2} \cdot\left(X+X^{t}\right) \in H_{1}$
$\left(\frac{1}{2} X-\frac{1}{2} X^{t}\right)^{t}=\frac{1}{2} X^{t}-\frac{1}{2} X=-\left(\frac{1}{2} X-\frac{1}{2} X^{t}\right)$
adică $\mathrm{B}=\frac{1}{2} \cdot\left(X-X^{t}\right) \in H_{2}$
Evident $\mathrm{X}=\mathrm{A}+\mathrm{B}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 4 | Orice funcţie continuă admite primitive.
Funcţia $f$ este continuă pe $(-1,0]$ şi pe $(0,2 \pi]$ (compuneri de funcţii
elementare).
Problema continuităţii funcţiei $f$ se pune în $x=0$.
Funcţia $\mathrm{f}$ este continuă în $\mathrm{x}=0$ dacă $\mathrm{f}(0-0)=\mathrm{f}(0+0)=\mathrm{f}(0)$.
Din $\mathrm{f}(0-0)=\mathrm{f}(0+0)=\mathrm{f}(0) \Rightarrow c=\frac{1}{4}$.
Pentru $\mathrm{c}=\frac{1}{4}$, funcţia $\mathrm{f}$ este continuă $\Rightarrow \mathrm{f}$ admite primitive.
Pentru $\mathrm{c} \neq \frac{1}{4}, x=0$ este punct de discontinuitate de speţa $\mathrm{I} \Rightarrow$
$\mathrm{f}$ nu are primitive. | 1p | +| | $\int \sqrt{\frac{-x}{x+1}} d x=\int \frac{-x}{\sqrt{-x^{2}-x}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{-2 x-1}{\sqrt{-x^{2}-x}} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{-x^{2}-x}} d x=$
$\sqrt{-x^{2}-x}+\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}} d x=$
$\sqrt{-x^{2}-x}+\frac{1}{2} \arcsin (2 x+1)+C, C \in \mathbb{R}$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1d874b730f0c3139260ag-4.jpg?height=1610&width=1767&top_left_y=108&top_left_x=171) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1d874b730f0c3139260ag-5.jpg?height=1984&width=1775&top_left_y=111&top_left_x=172) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-607-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-607-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f3a58123fc955b8b692cc07a413a446bbad913d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-607-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,68 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +Clasa a V-a + +## Problema 1. + +a). Să se scrie numărul natural $5^{4}$ ca suma a trei numere naturale pătrate perfecte. + +b). Să se demonstreze că numărul natural $5^{2 n+4}$ se scrie ca suma a trei numere naturale pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural $n$. + +## Problema 2. + +Fie numerele naturale $x=3^{2014} \cdot 5^{2015}+2$ şi $y=3^{2015} \cdot 5^{2014}+2$. + +a) Să se compare numerele $x^{2015}$ şi $y^{2014}$. (justificaţi) + +b) Să se demonstreze că $(x+y) \vdots 4$. + +## Problema 3. + +Astăzi am fost la piaţa de păsări cu porumbei, gâşte şi curci, în total 80 de păsări, numărul curcilor fiind de cinci ori numărul gâştelor. Pentru 5 curci am primit la schimb 6 gâşte, iar pentru 7 gâşte am primit la schimb 11 porumbei. După schimb, am plecat acasă cu 100 de păsări, numai porumbei. $\mathrm{Cu}$ câţi porumbei, cu câte gâşte şi cu câte curci am plecat de acasă? + +## Problema 4. + +a). Să se determine mulţimea $A=\left\{n \in \mathbb{N}^{*} / n^{2}+n+2013=1+2+3+\ldots+2015\right\}$ + +b). Fie mulţimile: + +$$ +\begin{aligned} +& E=\left\{x / x=2016^{n}+2015^{n} \cdot 2017+2017, n \in \mathbb{N}\right\} \\ +& F=\left\{y / y=a^{2}+2010, a \in \mathbb{N}\right\} +\end{aligned} +$$ + +Să se calculeze $E \cap F$. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
Droblemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | a). $5^{4}=12^{2}+16^{2}+15^{2}=9^{2}+12^{2}+20^{2}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | b). $5^{2 n+4}=5^{2 n} \cdot 5^{4}=$
$5^{2 n} \cdot\left(12^{2}+16^{2}+15^{2}\right)=$
$5^{2 n} \cdot 12^{2}+5^{2 n} \cdot 16^{2}+5^{2 n} \cdot 15^{2}=$
$\left(5^{n} \cdot 12\right)^{2}+\left(5^{n} \cdot 16\right)^{2}+\left(5^{n} \cdot 15\right)^{2}$ | $\mathbf{1 p}$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| 2 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_be88d8b57903d1842a1fg-2.jpg?height=304&width=1168&top_left_y=1186&top_left_x=442) | $2 p$ | +| | $x+y=15^{2014} \cdot 5+2+15^{2014} \cdot 3+2=$
$15^{2014} \cdot 8+4=$
$4 \cdot\left(15^{2014} \cdot 2+1\right) \Rightarrow(x+y) \vdots 4$ | $1 \mathbf{p}$ | +| 3. | Dacă numărul gâştelor este $x$, atunci numărul curcilor este $5 \cdot x$, iar
numărul porumbeilor este $80-6 \cdot x$. | 2p | +| | Pentru cele $5 \cdot x$ curci, am primit $6 \cdot x$ gâşte.
După acest schimb am $7 \cdot x$ gâşte pentru care primesc la schimb $11 \cdot x$
porumbei. | 2p
$1 p$ | +| | Aşadar, $11 \cdot x+80-6 x=100 \Leftrightarrow 5 \cdot x=20 \Leftrightarrow x=4$. | $1 \mathbf{p}$ | +| | Am plecat de acasă cu 4 gâşte, 20 curci şi 56 porumbei. | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. | $\left.\begin{array}{l}\text { a). } \\ n^{2}+n+2013=n \cdot(n+1)+2013 \\ n \cdot(n+1) \text { este număr par (produs de numere consecutive) } \\ 2013 \text { este număr impar } \\ n^{2}+n+2013 \text { este număr impar(1) }\end{array}\right\} \Rightarrow$ | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $1+2+3+\ldots+2015=2015 \cdot 2016: 2=2015 \cdot 1008=$ număr par(2)
Din (1) şi $(2) \Rightarrow A=\varnothing$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | b).
Fie $n \neq 0$
$u\left(2016^{n}+2015^{n} \cdot 2017+2017\right)=u(6+5+7)=8$
$u\left(a^{2}+2010\right)=u\left(a^{2}\right) \neq 8$
Din (1) şi (2) $\Rightarrow E \cap F=\varnothing$. | 1p | +| | Dacă $n=0 \Rightarrow x=4035 \Rightarrow E=\{4035\}$;
$4035 \in F$ dacă ecuaţia $a^{2}+2010=4035$ are soluţii
în mulţimea numerelor naturale
$a^{2}+2010=4035 \Rightarrow a^{2}=2025 \Rightarrow a=45 \in \mathbb{N}$;
$a=45 \Rightarrow y=4035$
$E \cap F=\{4035\}$. | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-608-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-608-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a48a5d6a8541682989eb659563c1fc44e3c9f940 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-608-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,186 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEJEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ȘTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14 februarie 2015 + +## Barem clasa a XII-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +Fie mulţimea $G=(k, \infty) \backslash\{k+1\}, k>0$, pe care se defineşte legea * astfel încât: $\log _{a}[(x * y)-k]=\log _{a}(x-k) \cdot \log _{a}(y-k),(\forall) x, y \in G, a>0, a \neq 1$. + +a) Să se arate că structura algebrică $(G, *)$ este grup abelian. + +b) Să se determine elementele $x \in G$ care verifică relaţia: $x=x^{\prime}$, unde s-a notat $\mathrm{cu} x^{\prime}$ simetricul lui $x$ în raport cu legea *. + +c) Să se arate că grupul $\left(\mathbf{R}^{*}\right.$,.) este izomorf cu grupul $(G, *)$. + +(propus de prof. Zay Éva - CNS Zalău, din culegerea Olimpiade şi concursuri şcolare 2009, + +Etapa locală-Galaţi- enunt modificat) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Relaţia dată $\log _{a}[(x * y)-k]=\log _{a}(x-k) \cdot \log _{a}(y-k),(\forall) x, y \in G, a>0, a \neq 1, k>0$ se poate scrie în următoarea formă: + +$\log _{a}[(x * y)-k]=\log _{a}(x-k)^{\log _{a}(y-k)}, x, y \in G=(k, \infty) \backslash\{k+1\}, k>0, a>0, a \neq 1$ de unde $x * y=k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)}, \forall x, y \in G, k>0, a>0, a \neq 1$ $.0,5$ puncte + +a) Stabilitatea lui $G$ în raport cu legea *: + +$$ +\begin{aligned} +& \forall x, y \in G \Rightarrow x-k, y-k \in(0, \infty) \backslash\{1\} \Rightarrow \log _{a}(x-k) \in \mathbf{R} \backslash\{0\} \Rightarrow(x-k)^{\log _{a}(y-k)} \in(0, \infty) \backslash\{1\} \Rightarrow \\ +& \Rightarrow k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)} \in(k, \infty) \backslash\{k+1\} \Rightarrow x * y \in G, \forall x, y \in G \Leftrightarrow G \text { stab. ......................... } 5 \text { puncte } +\end{aligned} +$$ + +Asociativitatea: $(x * y) * z=x *(y * z), \forall x, y, z \in G$ + +$$ +\begin{aligned} +& (x * y) * z=\left(k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)}\right) * z=k+\left(k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)}-k\right)^{\log _{a}(z-k)}=k+(x-k)^{\log _{a}(y-k) \cdot \log _{a}(z-k)} \\ +& x *(y * z)=x *\left(k+(y-k)^{\log _{a}(z-k)}\right)=k+(x-k)^{\log _{a}\left(k+(y-k)^{\log _{a}(z-k)}-k\right)}=k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)^{\log _{a}(z-k)}}= \\ +& =k+(x-k)^{\log _{a}(z-k) \cdot \log _{a}(y-k)} \\ +& 1 \text { punct } +\end{aligned} +$$ + +Comutativitatea: $x * y=y * x, \forall x \in G$ + +$k+(x-k)^{\log _{a}(y-k)}=k+(y-k)^{\log _{a}(x-k)} \Leftrightarrow \log _{a}(y-k) \cdot \log _{a}(x-k)=\log _{a}(x-k) \cdot \log _{a}(y-k)$ $.0,5$ puncte + +Element neutru: $\exists e \in G, x * e=e * x=x, \forall x \in G$ + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEJEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +$x * e=x \Leftrightarrow k+(x-k)^{\log _{a}(e-k)}=x \Leftrightarrow(x-k)^{\log _{a}(x-e)}=x-k \Leftrightarrow$ +$\log _{a}(x-k)\left[\log _{a}(e-k)-1\right]=0, \forall x \in G \Rightarrow \log _{a}(e-k)=1 \Rightarrow e-k=a \Rightarrow$ +$e=k+a \in G=(k, \infty) \backslash\{k+1\}, k>0, a>0, a \neq 1$ este elementul neutru în raport cu legea *. +.................................................................................................................................................. + +Elemente simetrizabile: $\forall x \in G, \exists x^{\prime} \in G$ astfel incat $x * x^{\prime}=x^{\prime} * x=e$ + +$x * x^{\prime}=e \Leftrightarrow k+(x-k)^{\log _{a}\left(x^{\prime}-k\right)}=k+a \Leftrightarrow \log _{a}\left(x^{\prime}-k\right) \cdot \log _{a}(x-k)=1 \Rightarrow$ + +$x^{\prime}=k+a^{\frac{1}{\log _{a}(x-a)}} \in G=(k, \infty) \backslash\{k+1\}, \forall x \in G$ + +1 punct + +În concluzie $(G, *)$ este grup abelian. $.0,5$ puncte + +b) $x=x^{\prime}, x \in G \Rightarrow x=k+a^{\frac{1}{\log _{a}(x-k)}} \Leftrightarrow x-k=a^{\frac{1}{\log _{a}(x-k)}} \Leftrightarrow\left[\log _{a}(x-k)\right]^{2}=1$ + +Dacă $\log _{a}(x-k)=1 \Rightarrow x=k+a \in G, \quad$ iar din $\log _{a}(x-k)=-1 \Rightarrow x=k+\frac{1}{a} \in G$ + +sunt cele două elemente din $G$ care verifică cerinţa. + +$.0,5$ puncte + +c) Fie funcţia $f: \mathbf{R}^{*} \rightarrow G, f(x)=k+a^{x}, a>0, a \neq 1$. + +$f$ este izomorfism de grupuri $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f \text { bijectiva } \Leftrightarrow \text { injectiva }+ \text { surjectiva } \\ f \text { morfism }: f(x \cdot y)=f(x) * f(y), \forall x, y \in \mathbf{R}^{*}\end{array}\right.$ + +## PROBLEMA 2 + +Se consideră grupul $(G, \cdot)$ şi elementele $a, b \in G$, iar $x=a b a^{-1}$. Să se calculeze $x^{2}, x^{7}, x^{n}, n \in \mathbf{N}$. + +(propus de prof. Zay Éva, CNS Zalău din culegerea Exerciţii şi probleme pt cl. a XII-a + +M. Burtea, G. Burtea, Ed. Carminis, 2001) + +## Solutie + +$$ +\begin{aligned} +& x^{2}=\left(a b a^{-1}\right)\left(a b a^{-1}\right)=a b\left(a^{-1} a\right) b a^{-1}=a b b a^{-1}=a b^{2} a^{-1} \\ +& x^{3}=x^{2} \cdot x=\left(a b^{2} a^{-1}\right)\left(a b a^{-1}\right)=a b^{2}\left(a^{-1} a\right) b a^{-1}=a b^{3} a^{-1} +\end{aligned} +$$ + +presupunem că $x^{n}=a b^{n} a^{-1}$ pentru un $n$ dat şi demonstrăm că pentru $n+1 \quad x^{n+1}=a b^{n+1} a^{-1}$. $x^{n+1}=x^{n} \cdot x=\left(a b^{n} a^{-1}\right)\left(a b a^{-1}\right)=a b^{n}\left(a^{-1} a\right) b a^{-1}=a b^{n} b a^{-1}=a b^{n+1} a^{-1}$ 3 puncte Deci, $x^{n}=a b^{n} a^{-1}, \forall n \in \mathbf{N}^{*} \Rightarrow x^{7}=a b^{7} a^{-1}$ 1 punct + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## PROBLEMA 3 + +a) Să se calculeze $\int \frac{\sin x}{5 \sin x+7 \cos x} d x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ + +b) Să se calculeze $\int \frac{x+\sin ^{2} x+\sin 2 x}{x-\cos ^{2} x} d x, x>1$ + +(propus de prof. Conde Maria - Colegiul Naţional ,,Simion Bărnuţiu” Şimleu Silvaniei) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +a) Notăm $I=\int \frac{\sin x}{5 \sin x+7 \cos x} d x, \mathrm{~J}=\int \frac{\cos x}{5 \sin x+7 \cos x} d x$. 1 punct + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{\begin{array}{l} +5 I+7 J=x+C_{1} \\ +-7 I+5 J=\ln (5 \sin x+7 \cos x)+C_{2} +\end{array}\right. \\ +& I=\frac{5}{74} x+\frac{7}{74} \ln (5 \sin x+7 \cos x)+C +\end{aligned} +$$ + +b) $\varphi(x)=x-\cos ^{2} x, \varphi^{\prime}(x)=1+\sin 2 x$ $\qquad$ 1 punct + +$$ +\begin{aligned} +& I=\int \frac{x+\sin ^{2} x+\sin 2 x}{x-\cos ^{2} x} d x=\int \frac{x+1-\cos ^{2} x+\sin 2 x}{x-\cos ^{2} x} d x= \\ +& \int \frac{x-\cos ^{2} x}{x-\cos ^{2} x} d x+\int \frac{1+\sin 2 x}{x-\cos ^{2} x} d x=x+\ln \left(x-\cos ^{2} x\right)+C \\ +& I=x+\ln \left(x-\cos ^{2} x\right)+C \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ lpunct + +## PROBLEMA 4 + +Determinaţi funcţiile $f:[0,1] \rightarrow R$ derivabile, cu derivata continuă, care admit o primitivă $F$, satisfăcând condiţile: + +(i) $F(0)=F(1)=0$; + +(ii) $x f\left(x^{2}\right)=F(x) f^{\prime}(x)$, pentru orice $x$ din $[0,1]$. + +(Gazeta Matematică) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Integrând pe $[0,1]$ se obţine $\int_{0}^{1} F(x) f^{\prime}(x) d x=\left.F(x) f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=-\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x \ldots . . . .2$ puncte + +$$ +\int_{0}^{1} x f\left(x^{2}\right) d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(t) d t=\frac{1}{2}(F(1)-F(0))=0 +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_59cc43aabf417503555ag-4.jpg?height=151&width=285&top_left_y=67&top_left_x=263) + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEJEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +$$ +\text { Scăzând relaţiile şi folosind (ii) se obţine } \int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=0 \text {.................................................... } 2 \text { puncte } +$$ + +Finalizare, $f$ este funcţia identic nulă..................................................................................... 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-609-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-609-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59ab03fb9ff862f7100b7926322c519c6a5959e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-609-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,135 @@ +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ȘTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14 februarie 2015 + +## Barem clasa a XI-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +$$ +\text { Rezolvaţi ecuaţia } X^{3}=\left(\begin{array}{ll} +76 & 49 \\ +49 & 76 +\end{array}\right), X \in M_{2}(\mathbb{R}) +$$ + +(Autor prof. Fărcaş Nicolae, Colegiul Naţional ,,Silvania” Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Deoarece $X^{3} \cdot X=X \cdot X^{3}$, avem: + +$\left\{\begin{array}{l}X^{3} \cdot X=\left(\begin{array}{ll}76 & 49 \\ 49 & 76\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}76 a+49 c & 76 b+49 d \\ 49 a+76 c & 49 b+76 d\end{array}\right) \\ X \cdot X^{3}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}76 & 49 \\ 49 & 76\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}76 a+49 b & 49 a+76 b \\ 76 c+49 d & 49 c+76 d\end{array}\right)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=d \\ b=c\end{array} \Rightarrow X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right) \ldots . .2\right.\right.$ puncte + +Se arată prin inducţie că $X^{n}=\left(\begin{array}{ll}\frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}}{2} & \frac{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}}{2} \\ \frac{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}}{2} & \frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}}{2}\end{array}\right), n \geq 1 \ldots \ldots \ldots .3$ puncte + +Pentru $n=3$ avem $\quad X^{3}=\left(\begin{array}{ll}\frac{(a+b)^{3}+(a-b)^{3}}{2} & \frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{2} \\ \frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{2} & \frac{(a+b)^{3}+(a-b)^{3}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}76 & 49 \\ 49 & 76\end{array}\right)$ + +Obţinem $\left\{\begin{array}{l}(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=152 \\ (a+b)^{3}-(a-b)^{3}=98\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=5 \\ a-b=3\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=1\end{array}\right.\right.\right.$, deci $X=\left(\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right) \ldots \ldots . . . .2$ puncte + +## PROBLEMA 2 + +Fie $A \in M_{2}(C)$ cu $\operatorname{tr}(A)=1$ şi $\operatorname{det}(A)=2$. Demonstraţi că $\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)+$ $\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+2 I_{2}\right)=12$. + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEJEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +(Selectată de prof. Haiduc Sorina, Colegiul Naţional ,,Simion Bărnuţiu” Şimleu Silvaniei) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Fie $f_{A}(x)=\operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A$, de unde rezultă + +$$ +\begin{aligned} +& f_{A}(x)=x^{2}-x+2 \text {, polinomul caracteristic al matricei } A \text {............... } 1 \text { punct } \\ +& A^{2}-A+2 I_{2}=O_{2} \Leftrightarrow A^{2}+2 I_{2}=A(1) \text {..................................................................................................... } +\end{aligned} +$$ + +Folosind (1) rezultă $A^{2}+I_{2}=A-I_{2}$, de unde obţinem + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A-I_{2}\right)=f_{A}(1)=2 +$$ + +2 puncte + +Dar $\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A-I_{2}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A+I_{2}\right)$ şi $\operatorname{det}\left(A+I_{2}\right)=f_{A}(-1)=4$ (4) + +Din (3) şi (4) obţinem $\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)=2 \cdot 4=8$ (5) + +1 punct + +Din (2), (3) şi (5) obţinem $\operatorname{det}\left(A^{2}-I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+2 I_{2}\right)=12$ 1 punct + +## PROBLEMA 3 + +Arătaţi că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ definit prin relaţia $a_{n+1}+a_{n-1}=\sqrt{2} \cdot a_{n}, n \geq 1$ este periodic (adică, există $k \in N$ astfel încât $a_{n+k}=a_{n}, \forall n \in N$ ). + +(propus de prof. Opriş Adonia - Colegiul Tehnic ,,Alesandru Papiu Ilarian" Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Ecuaţia recurenţei: $t^{2}-\sqrt{2} t+1=0$ are rădăcinile nereale $t_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}, t_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \ldots 2$ puncte + +În acest caz termenul general are froma $a_{n}=\alpha_{1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}+\beta_{1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} \ldots \ldots \ldots . .2$ puncte Aplicând formula lui Moivre, termenul general se scrie: + +$$ +a_{n}=\alpha_{1}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \sin \frac{n \pi}{4}\right)+\beta_{1}\left(\cos \frac{n \pi}{4}-i \sin \frac{n \pi}{4}\right)=\left(\alpha_{1}+\beta_{1}\right) \cos \frac{n \pi}{4}+i\left(\alpha_{1}-\beta_{1}\right) \sin \frac{n \pi}{4} +$$ + +.2 puncte + +Deducem că $a_{n+8}=a_{n}$ deci şirul este periodic. 1 punct + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEJEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## PROBLEMA 4 + +Se consideră șirurile $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, \quad\left(b_{n}\right)_{n \geq 0}$ definite prin $a_{0}=b_{0}=1$ şi $a_{n+1}=a_{n}+b_{n}$, $b_{n+1}=\left(n^{2}+n+1\right) a_{n}+b_{n}, \forall n \geq 1$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \sqrt[n]{\frac{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}}{b_{1} \cdot b_{2} \cdot \ldots \cdot b_{n}}}$. + +(G.M. B-1/2014) + +## Solutie + +Deoarece $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ rezultă + +$$ +a_{n+2}-a_{n+1}=b_{n+1}=\left(n^{2}+n+1\right) a_{n}+b_{n}=\left(n^{2}+n+1\right) a_{n}+a_{n+1}-a_{n}, \ldots \ldots \ldots .1 \text { punct } +$$ + +deci $a_{n+2}=2 a_{n+1}+n(n+1) a_{n}$ $\qquad$ 1 punct + +$a_{0}=a_{1}=1$. Arătăm prin inducţie $a_{n}=n$ !. Presupunem $a_{n}=n$ ! şi $a_{n+1}=(n+1)$ ! $\qquad$ 1 punct + +Atunci $a_{n+2}=2(n+1)!+n(n+1) n$ !, de unde $a_{n+2}=(n+2)$ ! $\qquad$ 1 punct + +$$ +\begin{array}{r} +b_{n}=(n+1)!-n!\Rightarrow b_{n}=n \cdot n!\Rightarrow \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{n} \Rightarrow \frac{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}}{b_{1} \cdot b_{2} \cdot \ldots \cdot b_{n}}=\frac{1}{n!}, \text { deci } \\ +\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \sqrt[n]{\frac{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}}{b_{1} \cdot b_{2} \cdot \ldots \cdot b_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}} \ldots +\end{array} +$$ + +Folosind criteriul radicalului pentru şirul $x_{n}=\frac{n^{n}}{n!}, n \geq 1$ obţinem + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-61-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VII-0_barem_clasa7.md b/Romania_Olympiad/md/ro-61-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VII-0_barem_clasa7.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f7b20f236f813ae0d420ee2fa078e13c71cd102c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-61-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VII-0_barem_clasa7.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 martie 2018
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE-CLASA a 7-a Varianta 2 + +Problema 1. Arătaţi că oricare ar fi numărul natural nenul $n$, numărul $\sqrt{n+\left[\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right]}$ este iraţional. + +(Am notat cu $[a]$ partea întreagă a numărului real $a$.) + +Gazeta Matematică + +Soluţie. $\left[\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right]=k, k$ număr natural, $k \leq \sqrt{n}+\frac{1}{2}0$ + +1 punct + +$a^{2}+2 b^{2}+2 a+1 \leq 2 a b$ + +1 punct + +$(a-2 b)^{2}+(a+2)^{2} \leq 2$ + +1 punct + +$|a+2| \leq \sqrt{2},|a-2 b| \leq \sqrt{2}, a \in\{-3,-2,-1\}$, + +$(a, b) \in\{(-3,-2) ;(-3,-1) ;(-1,-1)\}$ (după verificări) + +2 puncte + +$S_{1}=\{(-3,-2) ;(-3,-1) ;(-1,-1) ;(-3,2) ;(-3,1) ;(-1,1)\}$, + +$S_{2}=\{(a, 0) \mid a \in \mathbb{Z}\} \cup\{(0, b) \mid b \in \mathbb{Z}\}, S=S_{1} \cup S_{2}$. + +1 punct + +Problema 3. Fie dreptunghiul $A B C D$ şi punctele arbitrare $E \in(C D)$ şi $F \in(A D)$. Perpendiculara din punctul $E$ pe dreapta $F B$ intersectează dreapta $B C$ în punctul $P$ şi perpendiculara din punctul $F$ pe dreapta $E B$ intersectează dreapta $A B$ în punctul $Q$. Să se arate că punctele $P, D$ şi $Q$ sunt coliniare. + +Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89cd422be3a96b9ebc93g-1.jpg?height=460&width=593&top_left_y=2017&top_left_x=213) +$\widehat{F Q A} \equiv \widehat{E B C}$ (au acelaşi complement, $\widehat{E B Q}) .1$ punct +$\triangle E B C \sim \triangle F Q A$ (U.U.), $\frac{E C}{F A}=\frac{B C}{Q A} \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ punct +$\widehat{P E C} \equiv \widehat{B F A}$ (au acelaşi complement, $\widehat{A B F}) \ldots 1$ punct +$\triangle P E C \sim \triangle B F A$ (U.U.),,$\frac{P C}{A B}=\frac{E C}{F A} \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ punct +$D C=A B, A D=B C, \frac{P C}{A B}=\frac{E C}{F A}=\frac{B C}{Q A} \ldots \ldots \ldots 1$ punct +$\triangle P C D \sim \triangle D A Q$ (L.U.L. $)(m(\widehat{P C D})=m(\widehat{D A Q})=$ +$\left.90^{\circ}, \frac{P C}{D A}=\frac{D C}{Q A}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ punct +$m(\widehat{P D Q})=m(\widehat{P D C})+90^{\circ}+m(\widehat{A D Q})=180^{\circ}$, +$m(\widehat{A D Q})=m(\widehat{C P D}), P, D, Q$ coliniare $\ldots \ldots .1$ punct + +Problema 4. Fie triunghiul $A B C$ cu $m(\widehat{A})=80^{\circ}$ ş $m(\widehat{C})=30^{\circ}$. Considerăm punctul $M$ interior triunghiului $A B C$ astfel încât $m(\widehat{M A C})=60^{\circ}$ şi $m(\widehat{M C A})=20^{\circ}$. Dacă $N$ este intersecţia dreptelor $B M$ şi $A C$ să se arate că ( $M N$ este bisectoarea unghiului $\widehat{A M C}$. + +## Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89cd422be3a96b9ebc93g-2.jpg?height=444&width=463&top_left_y=640&top_left_x=793) + +$A M \cap B C=\{D\}, A D \perp B C, B E \perp C M, M \in(E C), B E \cap A M=\left\{A^{\prime}\right\}$, $\triangle B A A^{\prime}$ isoscel $\left(m\left(\widehat{A B A^{\prime}}\right)=m\left(\widehat{A A^{\prime} B}\right)=10^{\circ}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ punct + +Fie $A^{\prime \prime}$ cu $\triangle B C A^{\prime \prime}$ echilateral, $C A$ bisectoarea unghiului $\widehat{B C A^{\prime \prime}}$. . . 2 puncte $C A$ mediatoarea lui $\left[B A^{\prime \prime}\right], A$ egal depărtat de $B$ şi $A^{\prime \prime}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89cd422be3a96b9ebc93g-2.jpg?height=65&width=1537&top_left_y=1301&top_left_x=283) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89cd422be3a96b9ebc93g-2.jpg?height=49&width=1534&top_left_y=1363&top_left_x=285) +$\triangle B D A^{\prime} \equiv \triangle B E C$ (I.U.), $B D=B E$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89cd422be3a96b9ebc93g-2.jpg?height=70&width=1537&top_left_y=1453&top_left_x=283) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-610-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-610-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e54f8b508765330102db0c9e47725478e7a7cb0e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-610-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,122 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Cod 450059 + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14 februarie 2015 + +## Barem clasa a X-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +Fie $a, b, c \in(1, \infty), t=\frac{a^{2}}{2 b+c}+\frac{b^{2}}{2 c+a}+\frac{c^{2}}{2 a+b}$. Arătaţi că $\log _{a} t+\log _{b} t+\log _{c} t \geq 3$. + +(Autor prof. Ilonţa Andrei, Colegiul Naţional ,,Silvania" Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Folosim inegalitatea $\frac{x^{2}}{\alpha}+\frac{y^{2}}{\beta}+\frac{z^{2}}{\gamma} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\alpha+\beta+\gamma}, x, y, z \in \mathbb{R}, \alpha, \beta, \gamma>0$ + +Atunci obţinem $t \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2 b+c+2 c+a+2 a+b} \Rightarrow t \geq \frac{a+b+c}{3} \Rightarrow t \geq \sqrt[3]{a b c}$ 2 puncte + +Deoarece $a \in(1, \infty)$, avem $\log _{a} t \geq \log _{a} \sqrt[3]{a b c} \Rightarrow \log _{a} t \geq \frac{1}{3} \log _{a} a b c$ 2 puncte + +Analog se scriu inegalităţile pentru ceilalţi doi logaritmi şi prin sumare obţinem + +$$ +\begin{aligned} +S= & \log _{a} t+\log _{b} t+\log _{c} t \geq \frac{1}{3}\left(\log _{a} a b c+\log _{b} a b c+\log _{c} a b c\right) \\ +& S \geq \frac{1}{3}\left(3+\log _{a} b+\log _{b} a+\log _{b} c+\log _{c} b+\log _{a} c+\log _{c} a\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . . . . . . . .2 \text { puncte } +\end{aligned} +$$ + +Aplicând inegalitatea $x+\frac{1}{x} \geq 2, \forall x>0$, obţinem $S \geq \frac{1}{3}(3+2+2+2) \Rightarrow S \geq 3$............... 1 punct + +## PROBLEMA 2 + +Arătaţi că $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[9]{2} \cdot \sqrt[27]{2} \cdot \ldots \cdot \sqrt[3 n]{2}<\sqrt{2}, \forall n \in N^{*}$. + +(Selectată de prof. Opriş Adonia, Colegiul Tehnic ,,Alesandru Papiu Ilarian” Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Inegalitatea din enunţ devine $2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{+}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots+\frac{1}{3^{n}}}<2^{\frac{1}{2}}$ + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fb8a07f61dcfd9a4e465g-2.jpg?height=244&width=1632&top_left_y=518&top_left_x=236) + +$$ +=\frac{\frac{1}{3}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}-1\right)}{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)<\frac{1}{2} \text {, de unde } 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots+\frac{1}{3^{n}}}<2^{\frac{1}{2}} \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . .2 \text { puncte } +$$ + +## PROBLEMA 3 + +Funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verifică relaţia $(f \circ f)(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$. Să se determine $f$ ştiind că funcţia $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x+f(x)$ este injectivă. + +(Selectată de prof. Klara Alexuţan Colegiul Tehnic ,,Alesandru Papiu Ilarian" Zalău) + +## Solutie + +$f \circ f$ este injectivă, deci $f$ este injectivă $\qquad$ +2 puncte + +$$ +x \rightarrow f(x) \Rightarrow g(f(x))=f(x)+f(f(x))=f(x)+x=g(x) +$$ + +$\qquad$ 3 puncte + +Din injectivitatea lui $g$ rezultă $f(x)=x=x, \forall x \in \mathbb{R}$ $\qquad$ 2 puncte + +## PROBLEMA 4 + +Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1 \quad$ şi $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=0$. + +a) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n|z|^{2}+n, \forall z \in \mathbb{C}$. + +b) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right| \leq n \sqrt{2}, \forall z \in \mathbb{C},|z| \leq 1$. + +(Gazeta Matematică) + +## Solutie + +a) Deoarece $\left|z_{k}\right|=1$, avem $z_{k} \overline{z_{k}}=\left|z_{k}\right|^{2}=1$, pentru orice $k=\overline{1, n}$ $\qquad$ 1 punct + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEJEAN SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Cod 450059 + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Atunci } \sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(z-z_{k}\right) \overline{\left(z-z_{k}\right)}=\sum_{k=1}^{n}\left(z-z_{k}\right)\left(\bar{z}-\overline{z_{k}}\right)= \\ +& =\sum_{k=1}^{n}\left(|z|^{2}-z \overline{z_{k}}-z_{k} \bar{z}+\left|z_{k}\right|^{2}\right)=n|z|^{2}+n-\sum_{k=1}^{n}\left(z \overline{z_{k}}+\bar{z} z_{k}\right)= \\ +& =n|z|^{2}+n-z \sum_{k=1}^{n} \overline{z_{k}}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} z_{k} +\end{aligned} +$$ + +$\operatorname{Din} \sum_{k=1}^{n} z_{k}=0 \Rightarrow \overline{\sum_{k=1}^{n} z_{k}}=0 \Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \overline{z_{k}}=0$, deci $\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|^{2}=n|z|^{2}+n$ + +b) Putem folosi $\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{2} \leq n \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}, x_{k} \in \mathbb{R}$, deoarece $\left|z-z_{k}\right| \in \mathbb{R}, k=\overline{1, n}$ + +Astfel $\left(\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|\right)^{2} \leq n \sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|^{2} \stackrel{\text { a) }}{\Rightarrow} \sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right| \leq \sqrt{n\left(n|z|^{2}+n\right)}=n \sqrt{|z|^{2}+1}$ 1 punct + +Atunci $\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right| \leq n \sqrt{|z|^{2}+1}$ şi folosind $|z| \leq 1$ obţinem $\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right| \leq n \sqrt{2}$ 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-611-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-611-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6ab5d938ef691d442c7abedbb22d5d85a9bed6fa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-611-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,133 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Cod 450059 + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14 februarie 2015 + +## Barem clasa a VIII-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +a) Dacă şi $a \in[-2,3] \quad a+2=5 b, \quad$ atunci expresia $E=\sqrt{a^{2}+2 b^{2}+4 a+4}+\sqrt{a^{2}+2 b^{2}-6 a-4 b+11}$ are valoare constantă. + +(selectată de prof. Mureşan Marius şi Csatlos Mihai - Liceul Tehnologic „Octavian Goga" Jibou) + +b) Fie $x, y \in Z$ astfel încât $(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{5})<0$ şi $(y-\sqrt{5})(y-\sqrt{10})<0$. Aflaţi $|x-y|^{2015}$ (autor prof. Vlaicu Daniela - Şcoala Gimnazială „Gheorghe Lazăr" Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +a) Scrie $E=\sqrt{a^{2}+4 a+4+2 b^{2}}+\sqrt{a^{2}-6 a+9+2 b^{2}-4 b+2}$ + +apoi $E=\sqrt{(a+2)^{2}+2 b^{2}}+\sqrt{(a-3)^{2}+2(b-1)^{2}}$ $\qquad$ 1 punct + +înlocuind $a+2=5 b$ se obţine $E=\sqrt{27 b^{2}}+\sqrt{27(b-1)^{2}}=\sqrt{27}(|b|+|b-1|)$. $\qquad$ 1 punct + +$$ +-2 \leq a \leq 3 /+2 \Leftrightarrow 0 \leq a+2 \leq 5 /: 5 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{a+2}{5} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq b \leq 1 \Rightarrow|b|=b +$$ + +Finalizare: din $0 \leq b \leq 1 /-1 \Rightarrow-1 \leq b-1 \leq 0 \Rightarrow|b-1|=1-b$ + +Atunci $E=\sqrt{27}(b+1-b)=3 \sqrt{3}=$ const + +b) Din $(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{5})<0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{2}<0 \\ x-\sqrt{5}>0\end{array}\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{2}>0 \\ x-\sqrt{5}<0\end{array} \Rightarrow x \in(\sqrt{2}, \sqrt{5})\right.$ Cum $x \in Z \Rightarrow x=2$ 1,5 puncte + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +$\operatorname{Din}(y-\sqrt{5})(y-\sqrt{10})<0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y-\sqrt{5}<0 \\ y-\sqrt{10}>0\end{array}\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}y-\sqrt{5}>0 \\ y-\sqrt{10}<0\end{array} \Rightarrow y \in(\sqrt{5}, \sqrt{10})\right.$ Cum $y \in Z \Rightarrow y=3$ .................. 1,5 puncte + +Deci $|x-y|^{2015}=1$................. 1 punct + +## PROBLEMA 2 + +a) Stabiliţi valoarea numerelor reale $x, y, z \in R$, care satisfac relaţia: + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 x-6 y+10 z-38 +$$ + +b) Numerele reale nenule a şi b verifică egalitatea $a^{2} b^{-2}-3 a^{-2} b^{2}=2$. Să se arate că $a$ şi $b$ nu pot fi simultan numere raţionale. + +(Gazeta Matematică) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +a) $\left(x^{2}-4 x+4\right)+\left(y^{2}+6 y+9\right)+\left(z^{2}-10 z+25\right)=0$ deci $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=0$ $\qquad$ +Finalizare: $x=2, y=-3, z=5$ + +1 punct +b) $\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}-3 \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=2 \Rightarrow \frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}-2+\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-4 \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=0$ + +1 punct + +$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^{2}-\left(2 \frac{b}{a}\right)^{2}=0 \Rightarrow\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}-2 \frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2 \frac{b}{a}\right)=0$ 1 punct + +$\left(\frac{a}{b}-3 \frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=0$ + +1 punct + +Cazul I: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=3 \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \Rightarrow \mathrm{a}= \pm \mathrm{b} \sqrt{3}$ şi Cazul II: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \Rightarrow \mathrm{a}^{2}=-\mathrm{b}^{2}$, imposibil. $\qquad$ 1 punct + +Deci $\mathrm{a}= \pm \mathrm{b} \sqrt{3}$ de unde $a$ şi $b$ nu pot fi simultan numere raţionale. $\qquad$ 1punct + +## PROBLEMA 3 + +Arătaţi că dacă $a^{2}+b^{2}+c^{2}<1$, atunci $a b+b c+c a \in\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ + +Selectată de prof. Szabo Otilia - Şcoala Gimnazială „Andrei Mureşanu” Cehu Silvaniei) + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## Solutie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f64942d34168008ab34eg-3.jpg?height=70&width=1502&top_left_y=602&top_left_x=366) + +$$ +\begin{aligned} +& 0 \leq \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}+2(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}) \text { si } \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}<1 \Rightarrow \mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}>-\frac{1}{2} \text {........... } 2 \text { puncte } \\ +& (\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}+(\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}+(\mathrm{c}-\mathrm{a})^{2}=2\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}\right)-2(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots \text { puncte } \\ +& \text { Finalizare } \mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}<1 \\ +& 1 \text { punct } +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 4 + +În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \quad \mathrm{cu} \quad A B=12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, B C=12 \mathrm{~cm}$, $A A^{\prime}=18 \mathrm{~cm}$ se consideră pe muchia [ $\left.A^{\prime} B^{\prime}\right]$ punctul $N$, astfel încât $A^{\prime} N=3 \cdot B^{\prime} N$ şi $P \in\left(A A^{\prime}\right)$. Determinaţi lungimea $A P$ astfel încât pentru orice $M \in[B C]$ triunghiul $M N P$ să fie dreptunghic în $N$. + +(Gazeta Matematică) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +$$ +\begin{aligned} +& B C \perp\left(A B B^{\prime}\right), P N \subset\left(A B B^{\prime}\right) \Rightarrow P N \perp B C, P N \perp B N \\ +& \Rightarrow P N \perp(B M N) \Rightarrow P N \perp B N \\ +& N A^{\prime}=9 \sqrt{3}, N B^{\prime}=3 \sqrt{3} \\ +& B N^{2}=324+27=351 +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ +Triunghiul $M N P$ este dreptunghic în $N \Rightarrow 756-36 x+x^{2}=x^{2}+243+351$ + +$\Rightarrow x=4,5 \mathrm{~cm}$ $\qquad$ 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-612-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-612-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9e5f6e7e4281f2e9182f628ca057aab7d2db91d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-612-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,101 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14 februarie 2015 + +## Barem clasa a VII-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +a) Calculaţi: $E=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3 a-2}-\frac{1}{3 a+1}\right), a \in N^{*}$. + +b) Dacă $S=\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}, n \in N^{*}$, arătaţi că $S<\frac{1}{3}$. + +(selectată de prof. Chiş Maria - Şcoala Gimnazială "Corneliu Coposu" Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f6864b11cbb546da7effg-1.jpg?height=119&width=1270&top_left_y=1559&top_left_x=244) + +b) Folosind a) obţinem: + +$$ +\begin{aligned} +& S=\frac{1}{3}\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{3 n-2}-\frac{1}{3 n+1}\right)\right]=\frac{n}{3 n+1}<\ldots \ldots \ldots \ldots 3 \mathrm{~m} \\ +& <\frac{n}{3 n}=\frac{1}{3} \\ +& 1 \mathrm{p} +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 2 + +a) Arătaţi că numărul $x=\sqrt{\frac{5}{0,0(2)}}+\sqrt{\frac{55}{0,0(02)}}+\sqrt{\frac{555}{0,0(002)}}$ este număr natural şi determinaţi valoarea acestuia. + +b) Demonstraţi că numărul $m=\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2012+2013}$ este un număr iraţional. + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f6864b11cbb546da7effg-2.jpg?height=114&width=1536&top_left_y=705&top_left_x=294) + +Înlocuind sub radical se obţine: $x=\sqrt{5 \cdot 45}+\sqrt{55 \cdot 495}+\sqrt{555 \cdot 4995} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ punct + +Efectuând calculele sau descompunând factorii de sub radicali se obţine: + +$$ +\begin{aligned} +& x=\sqrt{3^{2} \cdot 5^{2}}+\sqrt{3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{2}}+\sqrt{3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 37^{2}} \Leftrightarrow x=15+165+1665 \quad \text { _........................ } 2 \text { puncte } \\ +& \Leftrightarrow x=1845 +\end{aligned} +$$ + +b) Deoarece produsul $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2012$ se termină în 0 .......................................... 1 punct + +suma $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2012+2013$ se termină cu 3 + +.1 punct + +Cum nici un pătrat perfect nu se termină cu 3 , rezultă că numărul $m$ este număr iraţional 1 punct + +## PROBLEMA 3 + +Se consideră numerele raționale nenule $a, b, c, d$. Arătați că $a \cdot b \cdot c \cdot d<0$, știind că $\frac{1}{a+b+c+d}=\frac{2}{b+c+d}=\frac{3}{c+d+a}=\frac{4}{d+a+b}$. + +(Gazeta Matematică, 9/2014) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Prin inversare avem: $\frac{a+b+c+d}{1}=\frac{b+c+d}{2}=\frac{c+d+a}{3}=\frac{d+a+b}{4}=k \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ punct + +Rezultă (1) $a+b+c+d=k,(2) b+c+d=2 k,(3) c+d+a=3 k$ și (4) $d+a+b=4 k \ldots . .2$ puncte + +Scăzând relaţiile (1) şi (2) obţinem $a=-k$........................................................................ 1 punct + +Scăzând relaţiile (1) şi (3) obţinem $b=-2 k$................................................................... 1 punct + +Scăzând relaţiile (1) şi (4) obţinem $c=-3 k$, iar prin înlocuirea în (1) obţinem $d=7 k$.. 1 punct + +Deci $a b c d=-42 k^{4}$ evident negativ. + +1 punct + +## PROBLEMA 4 + +În interiorul pătratului $A B C D$ se consideră punctul $E$. Arătaţi că, dacă triunghiul $C E D$ este echilateral, atunci triunghiul $A E B$ este isoscel, cu măsura unghiului $A E B$ de $150^{\circ}$. + +(selectată de prof. Gornoavă Valeriu - Liceul cu Program Sportiv “Avram Iancu” Zalău) + +## Solutie + +Triunghiul $C E D$ echilateral atunci $C E=D C=D E$ şi măsurile unghiurilor $E D C, D E C$ şi $E C D$ sunt de câte $60^{\circ}$, iar $A B C D$ pătrat, atunci $C D=A D=B C$, iar măsurile unghiurilor $A D C$ şi $B C D$ sunt de câte $90^{\circ}$ 1 punct + +Atunci măsurile unghiurilor $A D E$ şi $B C E$ sunt de câte $30^{\circ}$ 1 punct + +Triunghiurile $D A E$ şi $B C E$ sunt congruente ( $L . U . L$.) rezultă că laturile $A E$ şi $B E$ sunt congruente, deci triunghiul $A E B$ este isoscel cu baza $A B$ . 3 puncte + +Deoarece $A D=D E$ triunghiul $A D E$ este isoscel cu baza $A E$, rezultă că măsura unghiului $D A E$ este de $75^{\circ}$, iar măsura unghiului $E A B$ este de $15^{\circ}$ 1 punct + +Triunghiul $A E B$ isoscel cu baza $A B$ atunci măsura unghiului $A E B$ este de $150^{\circ}$ 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-613-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-613-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9682321624b62f92e99de7a8a982ce0f34980e7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-613-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,104 @@ +# SOCIETATEA DE ȘTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14 februarie 2015 + +## Barem Clasa a VI-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +Fie $a, b$ şi $c$ trei numere naturale prime şi distincte, astfel ca $4 a+6 b+9 c=105$. + +a) Determinaţi valorile numerelor $a, b$ şi $c$. + +b) Dacă $n$ este un număr natural impar, atunci arătaţi că numărul $2^{n+c}-2^{n+b}+2^{n+a}$ se poate scrie ca sumă de două pătrate perfecte, unde $a, b$ şi c sunt numerele determinate la punctul a). + +(autor prof. Breda Francisc - Liceul de Artă „Ioan Sima " Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bc36b487daf23854f923g-1.jpg?height=820&width=1608&top_left_y=1510&top_left_x=227) +1 punct +c impar, $c \neq a \Rightarrow c \in\{5,7\}$ ..... 1 punct +$c=5 \Rightarrow b=8$ compus +$c=7 \Rightarrow b=5$ .1 punct +b) $n=2 k+1 \Rightarrow 2^{n+c}-2^{n+b}+2^{n+a}=2^{2 k+8}-2^{2 k+6}+2^{2 k+4}$ ..... 1 punct +$=2^{2 k+4}\left(2^{4}-2^{2}+1\right)=\left(2^{k+2}\right)^{2} \cdot 13=\left(2^{k+2}\right)^{2} \cdot\left(2^{2}+3^{2}\right)=$ ..... 1 punct +$=\left(2^{k+3}\right)^{2}+\left(2^{k+2} \cdot 3\right)^{2}$ ..... 1 punct + +## PROBLEMA 2 + +Se consideră numerele: + +$$ +A=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2016} ; B=\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\ldots+\frac{2015}{2016} +$$ + +a) Să se aratecă $A+B$ este un număr natural. + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +b) Să se arate că $\frac{2013}{2} Barem Clasa a V-a + +Notă: Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctajul maxim corespunzător problemei. + +## PROBLEMA 1 + +Fie numărul $A=403 \cdot 5^{2015}-2015$ + +a) Arătaţi că numărul $A$ se divide cu 2015 ; + +b) Aflaţi câtul şi restul împărţirii lui A+2016 prin 2015 . + +(Autor prof. Gornoavă Valeriu - Liceul cu Program Sportiv "Avram Iancu” Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +a) $A=403 \cdot 5^{2015}-2015 \Leftrightarrow A=403 \cdot 5 \cdot 5^{2014}-2015 \Leftrightarrow$ $\qquad$ 1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_338585d0fb81828d49a4g-1.jpg?height=77&width=1381&top_left_y=1618&top_left_x=399) +b) $A+2016=2015 \cdot 5^{2014}-2015+2016 \Leftrightarrow A+2016=2015 \cdot 5^{2014}+1 \Leftrightarrow \ldots \ldots .2$ puncte + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_338585d0fb81828d49a4g-1.jpg?height=72&width=1405&top_left_y=1834&top_left_x=398) + +## PROBLEMA 2 + +Se dau numerele $a=2^{100}:\left[\left(7^{13}: 7^{12}-5\right)^{97}+2^{104}:\left(2^{4} \cdot 8\right)+4^{49}\right] \cdot 2^{108}$ şi $b=3^{73}-\left(3^{2}+3^{2}+3^{2}\right)^{24}$. + +a) Calculaţi $a$ şi $b$. + +b) Comparaţi $a$ şi $b$. + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## Solutie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_338585d0fb81828d49a4g-2.jpg?height=85&width=1434&top_left_y=608&top_left_x=297) + +Determinarea valorii $b=2 \cdot 3^{72}$.................................................................. 2 puncte + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_338585d0fb81828d49a4g-2.jpg?height=92&width=1545&top_left_y=770&top_left_x=298) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_338585d0fb81828d49a4g-2.jpg?height=86&width=1472&top_left_y=892&top_left_x=370) + +Finalizare $a0$, demonstraţi că $\frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 c}+\frac{c}{c+2 a} \geq 1$. + +(Prelucrare, prof. Haiduc Sorina, Colegiul Naţional ,,Simion Bărnuţiu” Şimleu Silvaniei) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Inegalitatea este echivalentă cu $\frac{a^{2}}{a^{2}+2 a b}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2 b c}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2 c a} \geq 1$. 2 puncte + +Aplicăm inegalitatea lui Cauchy-Schwartz pentru trei numere reale: + +$$ +\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+\frac{a_{3}^{2}}{x_{3}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)^{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}, \forall a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}, x_{1}, x_{2}, x_{3}>0(*) +$$ + +Fie $a_{1}=a, a_{2}=b, a_{3}=c$ şi $x_{1}=a^{2}+2 a b, x_{2}=b^{2}+2 b c, x_{3}=c^{2}+2 c a \quad(* *)$ + +Din $a, b, c>0 \Rightarrow a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}, x_{1}, x_{2}, x_{3}>0$. 1 punct + +Din $(*)$ şi $(* *)$ rezultă + +$$ +\frac{a^{2}}{a^{2}+2 a b}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2 b c}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2 c a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\left(a^{2}+2 a b\right)+\left(b^{2}+2 b c\right)+\left(c^{2}+2 a c\right)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1 +$$ + +Rezultă că $\frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 c}+\frac{c}{c+2 a} \geq 1$ 3 puncte + +## PROBLEMA 2 + +Să se rezolve ecuaţia $\left[x+\frac{1}{2}\right]-\{x\}=[2(x+1)]$. + +(Selectată de prof. Lucaciu Simona, Colegiul Naţional ,,Silvania” Zalău) + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +$\left[x+\frac{1}{2}\right]-\{x\}=[2 x+2] \Rightarrow\left[x+\frac{1}{2}\right]-\{x\}=[2 x]+2$..................................................... 1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c5bd45df07bb59ca90e8g-2.jpg?height=125&width=1629&top_left_y=778&top_left_x=237) + +Deoarece $\{x\} \in[0,1) \Rightarrow\{x\}=0 \Rightarrow x \in \mathbb{Z}$...................................................................... 1 punct + +Ecuaţia devine $\left[x+\frac{1}{2}\right]=2 x+2 \Rightarrow 2 x+2 \leq x+\frac{1}{2}<2 x+3$........................................... 2 puncte + +Obţinem $x \in\left(-\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\right] \cap \mathbb{Z} \Rightarrow x=-2$. + +2 puncte + +## PROBLEMA 3 + +Să se determine şirul de numere naturale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ care verifică următoarea condiţie: + +$$ +a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}, \forall n \geq 1 +$$ + +(Selectată de prof. Lucaciu Simona, Colegiul Naţional ,,Silvania" Zalău) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Pentru $n=1 \Rightarrow a_{1}^{2}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} \Rightarrow a_{1}^{2}=1 \Rightarrow a_{1}=1$ + +Pentru $n=2 \Rightarrow 1+a_{2}^{2}=\frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{6} \Rightarrow a_{2}^{2}=4 \Rightarrow a_{2}=2$ + +1 punct + +Demonstrăm prin inducţie matematică: $a_{n}=n, \quad \forall n \geq 1$ + +Etapa I. Verificare: $\quad n=1 \Rightarrow a_{1}=1$ (A) 1 punct + +Etapa II. Demonstraţie: Presupunem $a_{k}=k, \forall k=\overline{1, n}$ şi demonstrăm $a_{n+1}=n+1$ + +Atunci $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}+a_{n+1}^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2 n+3)}{6} \Rightarrow$ + +$$ +a_{n+1}^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2 n+3)}{6}-\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \Rightarrow a_{n+1}^{2}=(n+1)^{2} \Rightarrow a_{n+1}=n+1 \ldots .3 \text { puncte } +$$ + +Conform principiului inducţiei matematice rezultă $a_{n}=n, \forall n \geq 1$. + +1 punct + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETEAN SĂLAJ + +Tel: 0260661391, Fax: 0260619190, + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## PROBLEMA 4 + +Fie $A B C$ un triunghi înscris într-un cerc de centru $O$. Fie $P$ si $Q$ simetricele ortocentrului şi a vârfului $A$ faţă de mijlocul laturii $B C$. Să se arate că $\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P}$. + +(Gazeta Matematică Nr.3/2014) + +## $\underline{\text { Solutie }}$ + +Cum $P$ este simetricul ortocentrului $\triangle A B C$ faţa de mijlocul laturii $B C$, rezultă că $A P$ este diametru în cercul circumscris triunghiului, deci $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O P}$ 1 punct + +$Q$ simetricul vârfului $A$ faţă de mijlocul laturii $B C, \Rightarrow \overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ 1 punct Atunci $\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ $\qquad$ 2 puncte + +$\operatorname{Dar}\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A} \\ \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O C}\end{array}\right.$, de unde rezultă + +$$ +\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-616-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-616-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..743cd9914d8e0669a824afdf43759dacc3821882 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-616-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,67 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ- 22 februarie 2015 + +## Clasa a XII- a + +## SUBIECTULI ( 7 p) + +Pe mulţimea $\mathbb{R}$ se defineşte legea de compoziţie " "prin $\quad x 0 y=3 \cdot x \cdot y+6 \cdot x+6 \cdot y+10$. + +a) Sǎ se determine numărul real a astfel încât legea de compoziţie "o" defineşte pe mulţimea $\mathbb{R}-\{a\}$ o structură de grup abelian. + +b) Sǎ se calculeze $x^{(n)}$, unde $x^{(n)}=\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{x \text { de } n \text { ori }}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. + +c) Sǎ se determine $m \in \mathbb{R}$ astfel încât $(m, \infty)$ sǎ fie parte stabilǎ în raport cu legea "o". + +## $\underline{\text { SUBIECTUL II ( } 7 \text { p) }}$ + +Fie şirul cu termenul general $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x} \cdot\left(\operatorname{tg}^{n-1} x+\operatorname{tg}^{n} x+\operatorname{tg}^{n+1} x\right) d x, n \geq 1$. + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(\sqrt[n^{2}]{n \cdot I_{n}}-1\right)$. + +G. M. nr. 12/2013 + +## SUBIECTUL III (7 p) + +Fie $(G, \cdot)$ un grup. Să se demonstreze că dacă $m, n \in \mathbb{N}^{*},(m, n)=1$, astfel încât $(x y)^{m}=(y x)^{m}$, $(\forall) x, y \in G$ şi $(x y)^{n}=(y x)^{n},(\forall) x, y \in G$, atunci $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL IV }(7 \mathrm{p} \text { ) }}$ + +Să se calculeze $\int \frac{1}{2+\sin x} d x, x \in[0,2 \pi]$. + +NOTĂ: Timp de lucru $-\mathbf{3}$ ore + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3898176d18391899af1bg-2.jpg?height=244&width=190&top_left_y=76&top_left_x=1439) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3898176d18391899af1bg-2.jpg?height=81&width=280&top_left_y=285&top_left_x=1672)[^0] + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## FAZA LOCALĂ, Botoșani, 22.02.2015 + +## Clasa aXII-a BAREM DE NOTARE + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluție, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | a) $x \circ y=3 \cdot x \cdot y+6 \cdot x+6 \cdot y+10 \Leftrightarrow x \circ y=3 \cdot(x+2) \cdot(y+2)-2$.
Legea "o" este asociativă şi comutativă( se verificǎ efectiv).
Element neutru:
$x \circ e=x \Leftrightarrow 3 x e+6 x+6 e+10=x \Leftrightarrow 3 x e+5 x+6 e+10=0 \Leftrightarrow$
$x \cdot(3 e+5)+2 \cdot(3 e+5)=0 \Rightarrow e=\frac{-5}{3}$.
Elemente simetrizabile:
$3 \cdot(x+2) \cdot\left(x^{\prime}+2\right)-2=-\frac{5}{3} \Leftrightarrow(x+2) \cdot\left(x^{\prime}+2\right)=\frac{1}{9}$
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq-2$
Atunci $x^{\prime}=-2+\frac{1}{9 \cdot(x+2)}$
Rezultă $a=-2$ | $1 p$ | +| | b) $x \circ x=3 \cdot(x+2)^{2}-2$
$x \circ x \circ x=3^{2} \cdot(x+2)^{3}-2$
.
$x^{(n)}=3^{n-1} \cdot(x+2)^{n}-2, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.
Se demonstrează prin inducție matematică
$x^{(n)}=3^{n-1} \cdot(x+2)^{n}-2, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ | $1 p$
$1 p$ | +| | c) Fie $\mathrm{A}=(m, \infty)$ parte stabila în raport cu legea $" \circ "$
Din $x, y>\mathrm{m} \Rightarrow x \circ y>\mathrm{m}$. | $1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3898176d18391899af1bg-4.jpg?height=2033&width=1702&top_left_y=366&top_left_x=233) + +| | $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(\sqrt[n^{2}]{n \cdot I_{n}}-1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{\pi}{4 n}}-1}{\frac{\pi}{4 n}} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\operatorname{Din}(m, n)=1 \Rightarrow(\exists) p, q \in \mathbb{N}$ astfel încât $\mathrm{m} \cdot \mathrm{p}-\mathrm{n} \cdot \mathrm{q}=1$ | $3 p$ | +| 3. | $\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}=(x y)^{\mathrm{m} \cdot \mathrm{p}-\mathrm{n} \cdot \mathrm{q}}=(x y)^{\mathrm{m} \cdot \mathrm{p}} \cdot(x y)^{-\mathrm{n} \cdot \mathrm{q}}=\left((x y)^{m}\right)^{p} \cdot\left((x y)^{n}\right)^{-p}=$
$\left((y x)^{m}\right)^{p} \cdot\left((y x)^{n}\right)^{-p}$
$=(y x)^{m \cdot p} \cdot(y x)^{-n p}=(y x)^{m \cdot p-n \cdot q}=y x$
$x \cdot y=y \cdot x \Rightarrow(G, \circ)$ este grup abelian. | $4 \mathrm{p}$ | +| 4. | Funcţia $\mathrm{f}(x)=\frac{1}{2+\sin x}, x \in[0,2 \pi]$ este continuă pe $[0,2 \pi] \Rightarrow$
$f$ admite primitive pe $[0,2 \pi]$. | $1 p$ | +| | Nu se poate folosi subs tituţia $\operatorname{tg} \frac{x}{2}=t$ deoarece pentru
$x=\pi \in[0,2 \pi], \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ nu este definită.
Vom construi o primitivă a funcţiei $f$ pe $J$,
$J$ interval, $J=[0, \pi) \cup(\pi, 2 \pi]$.
Fie G $: \mathrm{J} \rightarrow \mathbb{R}, J$ interval, $J \subset[0, \pi) \cup(\pi, 2 \pi]$,
o primitivă a funcţiei $\mathrm{f}$.
Facem substituţia tg $\frac{x}{2}=t$. Integrala asociată este
$\mathrm{I}_{1}=\int \frac{1+t^{2}}{2 t^{2}+2 t+2} \frac{2}{1+t^{2}} d t=\int \frac{1}{t^{2}+t+1} d t=\int \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} d t=$
$\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2 t+1}{\sqrt{3}}+C ;$
Fie $G(x)=\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2 t g \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}, x \in J$ | $3 p$ | + + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3898176d18391899af1bg-6.jpg?height=1051&width=1263&top_left_y=408&top_left_x=495) | 31 | +| :---: | :---: | + + +[^0]: Str. General Berthelot nr. 28-30, Sector 1, 010168, Bucureşti + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-617-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-617-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1e1199d1b6f9291b412370ac9dd72dc37096bc8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-617-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ- 22 februarie 2015 + +## Clasa a XI-a + +## $\underline{\text { SUBIECTULI }(7 \text { p })}$ + +Să se determine matricea $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $A^{3}=\left(\begin{array}{cc}471 & 600 \\ 75 & 96\end{array}\right)$ si $\operatorname{tr}(A)=9$. + +(S-a notat $\operatorname{cu} \operatorname{tr}(X)$ suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $X, X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +G.M. nr. 12/2013 + +## $\underline{S U B I E C T U L ~ I I ~(~} 7$ p) + +Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se demonstreze că $1<\log _{n^{2}+3 n+1}(n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3))<2$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{n^{2}+3 n+1} n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)\right\}$. + +(s-a notat $\mathrm{cu}\{a\}$ partea fracţionară a numărului real a). + +## SUBIECTUL III (7 p) + +Fie şirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ ş $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n \cdot a_{n}}, n \geq 1$. + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}} \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\frac{3}{a_{3}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right)$. + +## SUBIECTUL IV (7 p) + +a) Dacă există $k \geq 2, k \in \mathbb{N}$ și $A^{k}=O_{2}$, atunci $A^{2}=O_{2}$, unde $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$. + +b) Să se determine $n \in \mathbb{N}$ astfel încât $f: \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}), f(x)=x^{n}$ să fie o funcție surjectivă. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +FAZA LOCALĂ-Botoṣani, 22.02.2015 + +## Clasa a XI-a BAREM DE NOTARE + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | $\operatorname{det}\left(A^{3}\right)=216$
$\operatorname{det}\left(A^{3}\right)=(\operatorname{det} A)^{3}=6^{3} \Rightarrow \operatorname{det} A=6$ | $2 p$ | +| | Teorema Hamilton-Cayley: $\mathrm{A}^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det} A \cdot I_{2}=O_{2},(\forall) A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$
$A^{2}-9 \cdot A+6 \cdot I_{2}=O_{2} \Rightarrow A^{3}=9 \cdot A^{2}-6 \cdot A=75 \cdot A-54 \cdot I_{2} \Rightarrow 75 \cdot A=A^{3}+54 \cdot I_{2} \Rightarrow$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $75 \cdot A=\left(\begin{array}{cc}471 & 600 \\ 75 & 96\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}54 & 0 \\ 0 & 54\end{array}\right) \Rightarrow 75 \cdot A=\left(\begin{array}{cc}525 & 600 \\ 75 & 150\end{array}\right) \Rightarrow A=\left(\begin{array}{ll}7 & 8 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ | $2 p$ | +| 2. | $1<\log _{n^{2}+3 n+1}(n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3))<2 \Leftrightarrow$
$n^{2}+3 n+1 Observând că $n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)=\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}-1 \Rightarrow$
inegalitatea (1) este adevarată. | 3p | +| | Din a) rezultă că
$\left\{\log _{n^{2}+3 n+1} n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)\right\}=\log _{n^{2}+3 n+1} n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)-1=$
$\log _{n^{2}+3 n+1}\left[\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}-1\right]-1$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | Notând $n^{2}+3 n+1=m \rightarrow \infty$, obţinem:
$\lim _{m \rightarrow \infty}\left[\log _{m}\left(m^{2}-1\right)-1\right]=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{m^{2}-1}{m}}{\ln m}=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\ln m+\ln \left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}{\ln m}=1$ | $2 p$ | +| 3. | $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n \cdot a_{n}} \Leftrightarrow \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=n, n \geq 1$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5fd08570914bb47a2c96g-3.jpg?height=2063&width=1638&top_left_y=394&top_left_x=276) +b) $f(x)=x, f: \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ este surjectivă. + +3p + +Presupunem prin reducere la absurd că: + +$f: \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}), f(x)=x^{n}$, cu $n \geq 2$ ar fi surjectivă. Deci + +pentru $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \mathrm{cu} A=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ există $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât + +$X^{n}=A \Rightarrow X^{2 n}=A^{2}=O_{2}$. + +Dacă $X^{2 n}=O_{2}$ rezultă că $X^{2}=O_{2}$. Dacă + +$X^{2}=O_{2} \Rightarrow X^{n}=O_{2} \Rightarrow A=O_{2}$, contradicţie. Deci răspunsul este $n=1$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-618-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-618-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..28531d4e51338ecfc1e57e844b33d3f886ac00bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-618-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,123 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ- 22 februarie 2015 + +## Clasa a $X-\mathbf{a}$ + +## SUBIECTULI (7 p) + +a) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale inecuația: $(3+2 \sqrt{2})^{x} \leq 6 \cdot(\sqrt{2}+1)^{x}-1$. + +b) Să se rezolve ecuația $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}=\sqrt[10]{x+1023}, x \in \mathbb{R}$. + +## SUBIECTUL III ( 7 p) + +Să se arate că: +a) $\log _{a+1} a<\log _{a+2}(a+1)$, pentru orice $a>0$. +b) $\log _{5} 4 \cdot \log _{7} 6 \cdot \ldots \cdot \log _{81} 80>\frac{1}{2}$. + +## $\underline{S U B I E C T U L ~ I I ~(~} 7$ p) + +Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ puncte distincte în plan, de afixe $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$. + +Să se arate că, dacă $|2 \cdot a-b-c|=|b-c|$ atunci triunghiul este dreptunghic. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e4d8d305ce1e23c5f37g-1.jpg?height=60&width=390&top_left_y=1645&top_left_x=239) + +a) Fie $\varepsilon=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}$ și $z \in \mathbb{C}$. Demonstrați că $(z-1)^{2}+(z-\mathcal{E})^{2}+(z-\bar{\varepsilon})^{2}=3 z^{2}$. + +b) Dacă $A B C$ este un triunghi echilateral de centru $O$ și $M$ este un punct în planul ( $A B C$ ), deduceți inegalitatea: $M A^{2}+M B^{2}+M C^{2} \geq 3 \cdot M O^{2}$. + +## NOTĂ: Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 22 februarie 2015
BAREM DE CORECTARE
Clasa a $X$ - a + +## $\underline{S U B I E C T U L I(7 p)}$ + +a) Inecuația este echivalentă cu: $(\sqrt{2}+1)^{2 x}-6 \cdot(\sqrt{2}+1)^{x}+1 \leq 0 \ldots \ldots . .1 p$ + +Notăm cu $t=(\sqrt{2}+1)^{x}>0 \Rightarrow t^{2}-6 t+1 \leq 0$, care are ca soluții + +$t \in[3-2 \sqrt{2}, 3+2 \sqrt{2}] \Rightarrow(\sqrt{2}+1)^{-2} \leq(\sqrt{2}+1)^{x} \leq(\sqrt{2}+1)^{2}$ $1 p$ + +Cum funcția exponențială $f(x)=(\sqrt{2}+1)^{x}$ este strict crescătoare $\Rightarrow x \in[-2,2] 1 p$ + +b) Găsește $x=1$ soluție. $1 p$ + +Împarte cu $\sqrt[10]{x}$ și obține ecuația $\sqrt[5]{x^{2}}+\sqrt[30]{x^{7}}=\sqrt[10]{1+\frac{1023}{x}}$. $1 p$ + +Observă că funcția $x \rightarrow \sqrt[5]{x^{2}}+\sqrt[30]{x^{7}}$ este crescătoare, iar $x \rightarrow \sqrt[10]{1+\frac{1023}{x}}$ este o funcție descrescătoare $\Rightarrow$ Cerința + +## SUBIECTUL II (7 p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e4d8d305ce1e23c5f37g-2.jpg?height=92&width=1393&top_left_y=1559&top_left_x=236) + +Notează cu M mijlocul laturii BC......................................................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e4d8d305ce1e23c5f37g-2.jpg?height=82&width=1387&top_left_y=1737&top_left_x=239) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e4d8d305ce1e23c5f37g-2.jpg?height=60&width=1387&top_left_y=1843&top_left_x=239) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e4d8d305ce1e23c5f37g-2.jpg?height=79&width=1387&top_left_y=1920&top_left_x=239) + +Deduce că A se află pe cercul de diametru BC..................................................1p + +Concluzia $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{A})=90^{\circ}$.......................................................................................... $1 p$[^0] + +## SUBIECTUL III (7 p) + +Soluţie. a) Inegalitatea e echivalentă cu + +$$ +\log _{a+1} a \cdot \log _{a+1}(a+2)<1 +$$ + +Să observăm că + +$$ +\log _{a+1} a+\log _{a+1}(a+2)=\log _{a+1}\left(a^{2}+2 a\right)<\log _{a+1}\left(a^{2}+2 a+1\right)=2 +$$ + +şi atunci (*) se obţine din inegalitatea mediilor $1 p$ + +b) Fie + +$$ +A=\log _{5} 4 \cdot \log _{7} 6 \cdot \ldots \cdot \log _{81} 80 +$$ + +şi + +$$ +B=\log _{4} 3 \cdot \log _{6} 5 \cdot \ldots \cdot \log _{80} 79 +$$ + +Atunci din a) avem $A>B$ iar $A B=\frac{1}{4}$. Deducem $A>\frac{1}{2}$.... $2 p$ + +## $\underline{S U B I E C T U L ~ I V ~(~} 7 \mathrm{p}$ ) + +a) $\{1, \varepsilon, \bar{\varepsilon}\}=\left\{1, \varepsilon, \varepsilon^{2}\right\}$ este mulţimea rădăcinilor complexe de ordin trei ale unitătii + +$$ +\left(\varepsilon^{3}=1, \bar{\varepsilon}=\varepsilon^{2}\right) . \text { Avem } 1+\varepsilon+\bar{\varepsilon}=0 \text { şi } 1^{2}+\varepsilon^{2}+\bar{\varepsilon}^{2}=1^{2}+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{4}=1+\varepsilon^{2}+\varepsilon=0\left(\varepsilon^{3}=1\right) \quad \text {......................1p } +$$ + +de unde $(z-1)^{2}+(z-\varepsilon)^{2}+(z-\bar{\varepsilon})^{2}=3 z^{2}+\left(1^{2}+\varepsilon^{2}+\bar{\varepsilon}^{2}\right)-2 z(1+\varepsilon+\bar{\varepsilon})=3 z^{2}$. ..... $.1 p$ + +b)Alegem un sistem de axe cu originea în $\mathrm{O}, \mathrm{Ox}=\mathrm{OA}$ şi unitatea de măsură $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$. $.1 p$ + +Punctele A,B,C au afixele + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9e4d8d305ce1e23c5f37g-3.jpg?height=90&width=1569&top_left_y=1706&top_left_x=262) + +$=3|z|^{2}=3 O M^{2}$ dacǎ z este afixul punctului M. . $.3 p$ + + +[^0]: Str. General Berthelot nr. 28-30, Sector 1, 010168, Bucureşti + + Str. N. lorga nr. 28, 710213, Botosani + + Tel: +402140562 00, Fax: +40 214056300 + + Tel: +40231584 050, Fax: +40231584052 + + Email: office.isibt@gmail.com + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-619-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-619-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea1a7f709643430e97b3cdca554223e8d96b136c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-619-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 22 februarie 2015 + +## Clasa a VIII- a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }(7 p)}$ + +a). (3p) Să se arate că $\sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2}$, pentru orice $a$ şi $b$ numere reale nenegative. + +b). (4p) Să se rezolve ecuaţia în numere reale + +$$ +x+y+z-21=2 \sqrt{x-4}+4 \sqrt{y-9}+6 \sqrt{z-22} +$$ + +## SUBIECTUL II (7p) + +a) (3p) Să se afle partea întreagă a numarului $a$, unde + +$$ +a=\sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{5-2 \sqrt{6}}+\ldots+\sqrt{4031-2 \sqrt{2015 \cdot 2016}} +$$ + +b). (4p) Dacă $9 x^{2}+11 x y+2 y^{2}=0$, cu $x$ si y reale nenule, atunci $\frac{5 x+2 y}{4 x+y} \in \mathbb{N}$. + +## SUBIECTUL III (7p) + +Punctele A, B, C și D sunt necoplanare, iar $\mathrm{M}$ este mijlocul segmentului [BC], T este mijlocul segmentului $[\mathrm{AC}]$, iar $\mathrm{N} \in[\mathrm{AC}]$ încât $\mathrm{AN}=2 \cdot \mathrm{NC}, \mathrm{P} \in[\mathrm{AB}]$ încât $\mathrm{AP}=3 \cdot \mathrm{PB}, \mathrm{E} \in[\mathrm{AC}]$ astfel încât $\mathrm{CE}=\frac{A C}{6}$ și $\mathrm{R}$ este simetricul lui $\mathrm{M}$ față de punctual $\mathrm{N}$. Demonstrați că punctele $\mathrm{D}, \mathrm{P}, \mathrm{T}$ și $\mathrm{R}$ sunt coplanare. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Fie tetraedrul $\mathrm{ABCD}$ şi un punct $\mathrm{M}$ situat în interiorul triunghiului BCD. Paralelele duse prin $M$ la muchiile $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ si $\mathrm{AD}$ intersecteaza feţele (ACD), (ABD) şi respectiv (ABC) în punctele A', B', si respectiv C'. Dacă (DBC)\||(A'B'C'), atunci demonstraţi că $\mathrm{M}$ este centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{BCD}$. + +(G.M. nr. 12/2014) + +## NOTA: + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
februarie 2015
BAREM DE NOTARE SI CORECTARE + +## Subiectul I. + +a). Deoarece ambele părţi ale inecuaţ̧iei sunt nenegative, inecuaţia este echivalentă cu + +$$ +4 \mathrm{ab} \leq(a+b)^{2} +$$ + +ceea ce este echivalent cu $(a-b)^{2} \geq 0$, evident o relaţie adevarată. + +b). Pentru existenţa radicalilor, trebuie să considerăm $x \geq 4, y \geq 9, z \geq 22$ + +Aplicăm inegalitatea mediilor pentru fiecare radical astfel + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{x-4}=\sqrt{1 \cdot(x-4)} \leq \frac{1+x-4}{2}, \text { deci } 2 \sqrt{x-4} \leq x-3 \\ +& 2 \sqrt{y-9}=\sqrt{4 \cdot(y-9)} \leq \frac{4+y-9}{2}, \text { deci } 4 \sqrt{y-9} \leq y-5 \\ +& 3 \sqrt{z-22}=\sqrt{9 \cdot(z-22)} \leq \frac{9+z-22}{2}, \text { deci } 6 \sqrt{z-22} \leq z-13 +\end{aligned} +$$ + +Adunând aceste trei relaţii avem $2 \sqrt{x-4}+4 \sqrt{y-9}+6 \sqrt{z-22} \leq x+y+z-21 \quad$ (2p) cu egalitate dacă în fiecare inegalitate a mediilor cei doi termeni sunt egali, + +## Subiectul II. + +a). Termenul general al sumei este + +$\sqrt{2 \mathrm{k}+1-2 \sqrt{k(k+1)}}=\sqrt{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^{2}}=|\sqrt{k+1}-\sqrt{k}|=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ + +b). Descompunem în factori relaţia dată şi obţinem $9 \mathrm{x}^{2}+11 \mathrm{xy}+2 \mathrm{y}^{2}=9 x^{2}+9 x y+2 x y+2 y^{2}=$ $(9 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})(x+y)=0$. + +Avem două cazuri + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 1. } x=-y \text {, atunci } \frac{5 x+2 y}{4 x+y}=\frac{3 x}{3 x}=1 \in \mathbb{N} \\ +& \text { 2. } 9 x=-2 y \text {, atunci } \frac{5 x+2 y}{4 x+y}=\frac{5 x-9 x}{4 x-\frac{9 x}{2}}=\frac{-8 x}{-x}=8 \in \mathbb{N} +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul III + +Patrulaterul MERT este paralelogram (diagonalele se înjumătătesc) $\Rightarrow$ ME || RT (1).............. 2 punct + +[ME] este linie mijlocie in $\triangle \mathrm{CBN} \Rightarrow \mathrm{ME} \| \mathrm{BN}(2)$............................................................ 1punct + +$\frac{A P}{A B}=\frac{A T}{A N}=\frac{3}{4} \Rightarrow \mathrm{BN} \| \mathrm{PT}$ (3) (Reciproca teoremei lui Thales) şi ME \|PT........................... 1 punct + +Din relațiile (2) şi (3) rezultă că ME || PT ceea ce împreună cu relaţia (1) implică faptul că punctele $\mathrm{R}, \mathrm{T}$ şi $\mathrm{P}$ sunt coliniare. 2punct + +Finalizare 1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ca48de022b3def14c85dg-3.jpg?height=662&width=740&top_left_y=231&top_left_x=218) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ca48de022b3def14c85dg-3.jpg?height=86&width=323&top_left_y=976&top_left_x=198) + +## Subiectul IV + +Dreptele $\mathrm{MC}^{\prime} \| \mathrm{AD}$ determină un plan care intersectează muchia BC în N. Analog (MA', AB) intersectează DC în P şi (MB', AC) intersecteaza DB în Q. + +Deoarece $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \|$ (DBC), dreapta de intersecţie dintre planul (AC'A') şi (ABC) este NP si $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \|$ NP. + +Analog $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}|| \mathrm{PQ}$ şi $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}|| \mathrm{NQ}$. + +Aplicând Teorema lui Thales în triunghiurile ANP, ANQ şi AMQ avem + +Pe de alta parte, aplicând aceeaşi teoremă în triunghiurile ABP, AND şi + +AQC avem urmatoarele relatii $\frac{A \prime P}{A P}=\frac{M P}{B P}, \frac{C \prime N}{A N}=\frac{M N}{D N}, \frac{B^{\prime} Q}{A Q}=\frac{M Q}{C Q}(2)$. + +Din relaţiile (1) şi (2) obţinem că $\frac{M N}{D N}=\frac{M Q}{C Q}=\frac{M P}{B P} \Rightarrow \frac{M N}{M D}=\frac{M P}{M B}=\frac{Q M}{C M}$. + +Considerăm triunghiurile MPQ şi MBC care vor fi asemenea (LUL), deci QP\|BC. Analog QN $\|$ DC şi NP $\|$ BD. + +Scriind acum în triunghiul DBC următoarele rapoarte, avem conform Teoremei lui Thales $\frac{B N}{B C}=\frac{D P}{D C}=\frac{D Q}{D B}=\frac{N C}{B C}$, deci $\mathrm{N}$ este mijlocul lui $(\mathrm{BC})$. + +În mod analog, $\mathrm{P}$ este mijlocul lui (DC), iar $\mathrm{Q}$ mijlocul lui (BD). În consecinţă, $M$ este centrul de greutate al triunghiului DBC + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-62-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VI-1_barem_clasa6.md b/Romania_Olympiad/md/ro-62-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VI-1_barem_clasa6.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d41ca630967b1d63aff8e44a4a295aebb417552 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-62-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VI-1_barem_clasa6.md @@ -0,0 +1,52 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 martie 2018 CLASA a VI-a
Varianta 2 + +## Soluţii şi baremuri orientative + +Problema 1. Numerele naturale $x, y, z$ satisfac egalitatea + +$$ +13 x+8 y=5 z +$$ + +Demonstraţi că numărul $(x+y)(y+z)(z+x)$ este divizibil cu 130. + +Soluţie şi barem: Din egalitatea $13 x+8 y=5 z$, obţinem $13 x+13 y=5 z+5 y$, adică $13(x+y)=5(z+y)$. Deoarece numerele 13 şi 5 sunt prime, obţinem că $(x+y) \vdots 5$ şi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_49d924dbd1e7b69c1726g-1.jpg?height=52&width=1585&top_left_y=1123&top_left_x=232) + +Din ipoteză, obţinem $18 x+8 y=5 z+5 x$, adică $5(z+x) \vdots 2$, de unde $(z+x) \vdots 2 \ldots \mathbf{p}$ + +Deoarece $130=2 \cdot 5 \cdot 13$, rezultă concluzia. + +Problema 2. Un tablou de formă pătrată se împarte în 100 pătrăţele identice, distribuite pe 10 linii şi 10 coloane. Avem la dispoziţie 10 cartonaşe, numerotate diferit, cu cifre de la 0 la 9 . Pe tablou trebuie să aşezăm două cartonaşe, având suma 10, în pătrăţele situate pe linii şi coloane diferite. Determinaţi numărul de posibilităţi de aşezare a acestor cartonaşe. + +Soluţie şi barem: Deoarece suma cifrelor trebuie să fie egală cu 10, există doar 4 perechi de cartonaşe care se pot plasa pe tablou. ......................................1p + +Primul cartonaş se poate plasa în orice pătrăţel, deci există 100 variante. Pentru al doilea cartonaş mai rămân 9 linii şi 9 coloane la dispoziţie, adică 81 de variante. Prin urmare avem $100 \times 81=8100$ variante de plasare a unei perechi de cartonaşe. . . . . . $4 \mathbf{p}$ + +Deoarece avem 4 perechi, atunci avem în total $4 \times 8100=32400$ variante. ...... $\mathbf{2 p}$ + +Problema 3. În triunghiul ascuţitunghic $A B C, \mathrm{cu} A B ETAPA LOCALĂ + +22 februarie 2015 + +## Clasa a VII-a + +## SUBIECTULI ( $7 \mathrm{p}$ ) + +a) Dacă $\mathrm{x}$ și $\mathrm{y}$ sunt numere raționale cu proprietatea că $x \sqrt{2}-y \sqrt{3}=0$, demonstrați că $\mathrm{x}=\mathrm{y}=0$. b) Determinați toate perechile de numere raționale $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ care verifică egalitatea $\sqrt{2(a+1)^{2}}-2 \sqrt{2}=|b+1| \sqrt{3}-|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$. + +## SUBIECTUL II (7 p) + +a) Demonstrați că $\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}, \forall n, k \in \mathbb{N}$. + +b) Se dau numerele : + +$a=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{3}{5 \cdot 8}+\frac{4}{8 \cdot 12}+\frac{5}{12 \cdot 17}+\frac{6}{17 \cdot 23}+\frac{7}{23 \cdot 30}$ + +și $\mathrm{b}=3+8+13+\ldots+10018$. Calculați partea întreagă a numărului $\sqrt{15 \cdot a+\frac{b}{1002}}$. + +## SUBIECTUL III (7 p) + +Fie $A B C$ un triunghi oarecare, iar $M$ și $D$ mijloacele segmentelor $[A B]$, respectiv $[B C]$. Dacă $E \in(A D)$ astfel încât $A D=4 \cdot E D$, iar $\{N\}=M E \cap B C$, să se demonstreze că: +a) $[\mathrm{ME}] \equiv[\mathrm{EN}]$; +b) $[\mathrm{DN}] \equiv[\mathrm{NC}]$. + +(Gazeta Matematica nr. 1/2014) + +## SUBIECTUL IV (7 p) + +În pătratul $A B C D$ de latură $5 \mathrm{~cm}$, se consideră punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{EAF})=45^{\circ}$. Dacă aria triunghiului CEF este de $3 \mathrm{~cm}^{2}$, calculați aria triunghiului AEF. + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ + +Botoṣani, 22.02.2015 + +Clasa a VII-a + +Barem de notare + +## Subiectul I. + +a) Presupunem că $y \neq 0$.Atunci relația din enunț este echivalentă $c u \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,fals...................... 1 p + +Rezultă că $\mathrm{y}=0$,deci si $\mathrm{x}=0$.....................................................................................................1p + +b) Relația din enunț devine $|a+1| \cdot \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=|b+1| \cdot \sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=68&width=1629&top_left_y=1148&top_left_x=150) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=65&width=1621&top_left_y=1236&top_left_x=165) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=65&width=1631&top_left_y=1323&top_left_x=152) + +## Subiectul II. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=93&width=1615&top_left_y=1493&top_left_x=168) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=95&width=1610&top_left_y=1595&top_left_x=173) + +$b=3+8+13+\cdots+10018=3+(5 \cdot 1+3)+(5 \cdot 2+3)+\cdots+(5 \cdot 2003+3)=\ldots \ldots \ldots .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=68&width=1651&top_left_y=1771&top_left_x=145) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=92&width=1637&top_left_y=1843&top_left_x=146) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-2.jpg?height=130&width=1613&top_left_y=1968&top_left_x=169) + +Subiectul III. + +a) Fie P mijlocul segmentului [BD]......................................................................... 1 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a11cb368cb9bf47b51e5g-3.jpg?height=98&width=1588&top_left_y=534&top_left_x=239) + +Demonstratia ca [ED] linie mijlocie in $\triangle N M P$..................................................... 1 p + +Concluzie, E mijlocul lui [MN]..........................................................................1p +b) $\mathrm{P}$ mijlocul lui $[B D] \Rightarrow P D=\frac{B D}{2}$.............................................................. $1 \mathrm{p}$ + +BD=DC și D mijlocul lui [PN](conform a)..............................................................1p + +Concluzia.....................................................................................................1p + +## Subiectul IV. + +Se prelungește $[C B]$ cu segmentul $[B T] \equiv[D F], B \in(T E)$ + +$\triangle A D F \equiv \triangle A B T \Rightarrow \Varangle T A B \equiv \Varangle D A F \Rightarrow m(T A E)=m(\Varangle T A B)+m(\Varangle B A E)=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$ + +$\triangle T A E \equiv \triangle F A E \Rightarrow A_{T A E}=A_{F A E} S i A_{T I E}=A_{A B T}+A_{A B E}=A_{A D F}+A_{A B E} \Rightarrow A_{F A E}=A_{A D F}+A_{A B E}$ + +$A_{A B E F D}=2 A_{A E F}$ + +$A_{A E F}=\left(A_{A B C D}-A_{\text {CFE }}\right): 2=(25-3): 2=11 \mathrm{~cm}^{2}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-621-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-621-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..84208eb298234a9ab45386c4b241a274d4a0d43f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-621-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,77 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ- 22 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +## $\underline{S U B I E C T U L I(7 p)}$ + +a) Să se calculeze: + +$$ +\left[2,1(6)+1 \frac{1}{2}: 0,(3)\right] \cdot\left(2-\frac{4}{5}\right)^{2}-9 \cdot 2014^{0} +$$ + +b) Să se determine numerele naturale a şi $b$, pentru care sunt satisfăcute relaţiile: $(a, b)=15$ şi $a+b=240$. + +## SUBIECTUL II ( 7 p) + +Se consideră triunghiul isoscel $\mathrm{ABC} \mathrm{cu} A B=A C$, iar $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ două puncte pe dreapta $\mathrm{BC}$ astfel încât B să fie între $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{C}$, iar $\mathrm{C}$ între $\mathrm{B}$ şi $\mathrm{N}$. Stiind că $A M=A N$, să se demonstreze că: +a) $B M=C N$ +b) $P N=Q M$, unde $\mathrm{P}$ şi $\mathrm{Q}$ sunt respectiv mijloacele laturilor $[A B],[A C]$ + +c) $P M=Q N$ + +d) Dacă $M Q \cap N P=\{O\}$, să se arate că punctul $O$ aparţine bisectoarei unghiului $M A N$. + +## SUBIECTUL III ( 7 p) + +Fie numerele raționale : + +$A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{2013}}+\frac{1}{2^{2014}}\right) \cdot\left(1+1+2+2^{2}+\cdots+2^{2013}\right) s ̦ i$ + +$B=\frac{1+2+2^{2}+\cdots+2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}}{1+2^{2}+2^{4}+\cdots+2^{2014}}-2$. Să se calculeze $B+A-2^{2015}$. + +## SUBIECTUL IV ( 7 p) + +Determinați numere prime $p$ pentru care $p+2, p^{2}+4, p^{3}+2$ și $p^{4}-2$ sunt simultan numere prime. + +GM. Nr. 4/2013 + +NOTĂ: Timp de lucru - $\mathbf{2}$ ore + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +## Clasa a VI-a Barem de notare + +Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. + +Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nroble | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.a | Transformările fracţiilor zecimale în fracţii ordinare: $2,1(6)=2 \frac{15}{90}=2 \frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
şi $0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2,1(6)+1 \frac{1}{2}: 0,(3)=\frac{13}{6}+\frac{3}{2}: \frac{1}{3}=\frac{40}{6}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\left(2-\frac{4}{5}\right)^{2}=\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Finalizare: $\frac{40}{6} \cdot \frac{36}{25}-9 \cdot 1=\frac{3}{5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1.b | $(a, b)=15 \Rightarrow$ există $x, y \in \mathbb{N}$ astfel încât $a=15 \cdot x, b=15 \cdot y,(x, y)=1$
Din $a+b=240$ obţinem $15 \cdot x+15 \cdot y=240$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $x+y=16,(x, y)=1 \Rightarrow$
$(x, y) \in\{(1,15),(15,1),(3,13),(13,3),(5,11),(11,5),(7,9),(9,7)\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $(a, b) \in\{(15,225),(225,15),(45,195),(195,45),(75,165),(165,75)\} \cup$
$\cup\{(105,135),(135,105)\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 2. | a) Din $\triangle A B C$ isoscel $\Rightarrow \Varangle A B C \equiv \Varangle A C B \Rightarrow \Varangle A B M \equiv \Varangle A C N$
$\triangle A M N$ isoscel $\Rightarrow \Varangle A M B \equiv \Varangle A N C$
Conform cazului LUU $\Rightarrow \triangle A M B \equiv \triangle A N C \Rightarrow M B=N C ; \Varangle M A B \equiv \Varangle N A C$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | b) Conform cazului LUL $\Rightarrow \triangle P N B \equiv \triangle Q M C \Rightarrow P N=Q M ; \Varangle P N B \equiv \Varangle Q M C$ | $2 \mathrm{p} \quad$ | + + +| 2 | c) Conform cazului LUL $\Rightarrow \triangle M B P \equiv \triangle N C Q \Rightarrow M P=N Q$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | d) $\Varangle P N B \equiv \Varangle Q M C \Rightarrow \triangle M O N$ isoscel $\Rightarrow M O=N O$
Dar $O P=P N-O N ; O Q=M Q-O M \Rightarrow O P=O Q$
Conform cazului LLL $\Rightarrow \triangle A O P \equiv \triangle A O Q \Rightarrow \Varangle P A O \equiv \Varangle Q A O$
Dar şi $\Varangle M A B \equiv \Varangle N A C \Rightarrow \Varangle M A O \equiv \Varangle N A O$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 3 | Calculăm a doua paranteză din $\mathrm{A}:$
$1+1+2+2^{2}+\ldots+2^{2013}=(2+2)+2^{2}+\ldots+2^{2013}=\left(2^{2}+2^{2}\right)+2^{3}+\ldots+2^{2013}=$
$=\ldots=2^{2013}+2^{2013}=2^{2014}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Aducând în prima paranteză la acelaşi numitor avem:
$A=\frac{2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2+1}{2^{2014}} \cdot 2^{2014}=$
$=2^{2015}-1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | $B=\frac{2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2+1}{1+2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}}-2$
Fie $\mathrm{S}=2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2+1$
Atunci $2 \cdot \mathrm{S}=2^{2016}+2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2 \Rightarrow$
$2 \cdot \mathrm{S}=2^{2016}+S+1 \Rightarrow S=2^{2016}-1$
Fie $\mathrm{T}=1+2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}$
Atunci $4 \mathrm{~T}=2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}+2^{2016} \Rightarrow$
$4 T=2^{2016}+T-1 \Rightarrow 3 T=2^{2016}-1 \Rightarrow T=\frac{2^{2016}-1}{3}$
$B=\frac{2^{2016}-1}{\frac{2^{2016}-1}{3}}-2=3-2=1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Finalizare: $B+A-2^{2015}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| Pentru $p=3$ avem numerele $5,13,29$ şi 79, care sunt, toate, numere prime. | $2 \mathrm{p}$ | | +| :--- | :--- | :--- | +| | Pentru $p=5$ avem numărul $p^{4}-2=623$, care se divide cu 7.
Demonstrăm că pentru $p>5$, număr prim, nu toate cele patru numere sunt
prime. Dacă $p>5$, atunci $p=5 \cdot k+1, p=5 \cdot k+2, p=5 \cdot k+3$ sau
$p=5 \cdot k+4, k \geq 1(p=5 \cdot k, k>1$, nu sunt numere prime $)$.
Dacă $p=5 \cdot k+1$, atunci $p^{2}+4=(5 \cdot k+1)^{2}+4=\mathrm{M}_{5}+1+4=\mathrm{M}_{5}$ care nu este
număr prim. | $1 \mathrm{p}$ | +| | $1 \mathrm{p}$ | | +| | $1 \mathrm{p}$ | | +| Dacă $p=5 \cdot k+4$, atunci $p^{2}+4=(5 \cdot k+4)^{2}+4=\mathrm{M}_{5}+4^{2}+4=\mathrm{M}_{5}+20=\mathrm{M}_{5}$
care nu este număr prim.
Singura soluţie este $p=3$. | $1 \mathrm{p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-622-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-622-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f260c7dc4ea8b6d58bc56011a7d9be184fdfdce2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-622-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,125 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ- 22 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +## SUBIECTULI (7 p) + +Determinați numărul natural $n$ de patru cifre care are proprietatea că, dacă îi eliminăm cifra sutelor, din numărul rezultat scădem 2, apoi diferența obținută o înmulțim cu 19 și noul rezultat îl împărțim la 2 , obținem $n$. + +Gazeta Matematică $5 / 2014$ + +## SUBIECTUL II (7 p) + +Se dau numerele : + +$S_{1}=1+2+3+4+\cdots+(n-1)+n$ şi + +$S_{2}=1-2+3-4+\cdots-(n-1)+n$, unde $n$ este un număr natural impar . + +a) Să se determine numărul $n$ știind că $S_{1}=2015 \cdot S_{2}$; + +b) Care este cel mai mic număr natural nenul cu care trebuie înmulțit $S_{1}+S_{2}$, astfel încât să se obțină un pătrat perfect ; + +c) Aflați numerele naturale $n$ și $m$, cu $n$ impar, astfel încât $S_{1}-S_{2}=2^{m}$. + +## $\underline{S U B I E C T U L ~ I I I ~(~} 7 \mathrm{p}$ ) + +Determinați numerele naturale $a, b, c$ știind că : + +$3 a+2 b+c=598$; $a+2 b+3 c=602$ și $a ETAPA LOCALĂ, februarie 2015
BAREM DE CORECTARE
Clasa a V- a + +## $\underline{S U B I E C T U L I(7 p)}$ + +Determinați numărul natural $n$ de patru cifre care are proprietatea că, dacă îi eliminăm cifra sutelor, din numărul rezultat scădem 2 , apoi diferența obținută o înmulțim cu 19 și noul rezultat îl împărțim la 2 , obținem $n$. + +## Solutie : + +$n=\overline{a b c d} ; \overline{a b c d}=[(\overline{a c d}-2) \cdot 19]: 2 \Rightarrow 2 \cdot \overline{a b c d}=(\overline{a c d}-2) \cdot 19$. + +$2(1000 a+100 b+\overline{c d})=19(100 a+\overline{c d}-2) \Rightarrow$ + +$100(a+2 b)=17 \cdot \overline{c d}-38$ $.2 p$ + +$u(17 \cdot \overline{c d}-38)=0 \Rightarrow d=4 \Rightarrow 10(a+2 b)=17 c+3$ + +$U(17 c+3)=0 \Rightarrow c=1 \Rightarrow a+2 b=2$ + +$a=2, b=0, n=2014$ + +$2 p$ + +## SUBIECTUL II ( 7 p) + +Se dau numerele : + +$S_{1}=1+2+3+4+\cdots+(n-1)+n$ şi + +$S_{2}=1-2+3-4+\cdots-(n-1)+n$, unde $n$ este un număr natural impar . + +a) Să se determine numărul $n$ știind că $S_{1}=2015 \cdot S_{2}$; + +b) Care este cel mai mic număr natural nenul cu care trebuie înmulțit $S_{1}+S_{2}$, astfel încât să se obțină un pătrat perfect ; + +c) Aflați numerele naturale $n$ și $m$, cu $n$ impar, astfel încât $S_{1}-S_{2}=2^{m}$. + +Solutie : +a) $n=2 k+1, k \in \mathbb{N}, S_{1}=(2 k+1)(k+1), S_{2}=k+1$ + +$$ +(2 \mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+1)=2015(\mathrm{k}+1) \Rightarrow \mathrm{n}=2015 +$$ + +b) $S_{1}+S_{2}=2(k+1)^{2}$. Numărul căutat este 2 ............................................ $2 \mathrm{p}$ + +c) $S_{1}-S_{2}=2 k(k+1), k \in \mathbb{N}$ + +$k(k+1)=2^{m-1}, k \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}^{*}$ + +$k=1, m=2$ (justificare) $\Rightarrow n=3$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III ( 7 p) + +Determinați numerele naturale $a, b, c$ știind că : + +$3 a+2 b+c=598$; $a+2 b+3 c=602$ și $a21^{22}, 50>49 \Rightarrow a>b$........................................................... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-623-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-623-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2dfd9fdb338226454161857d41b863ac809988a6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-623-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,131 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 22 februarie 2015 + +## Clasa a IX- a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }}(7 p)$ + +3p) a) Dacă $a, b>0$, să se demonstreze că $\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right) \leq\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)$; + +b) Dacă $a_{i}>0, i=\overline{1, n}$ şi $\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right\}=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}$, să se arate că: + +4p) + +$$ +\left(a_{1}+\frac{1}{b_{1}}\right)\left(a_{2}+\frac{1}{b_{2}}\right) \ldots\left(a_{n}+\frac{1}{b_{n}}\right) \leq\left(a_{1}+\frac{1}{a_{1}}\right)\left(a_{2}+\frac{1}{a_{2}}\right) \ldots\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right) +$$ + +## $\underline{\text { SUBIECTUL II (7p) }}$ + +Se consideră şirul de numere pozitive $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ dat prin $a_{1}=\sqrt{34}$ şi $\sqrt{a_{n+1}^{2}-33}=2+\sqrt{a_{n}^{2}-2 n-32}$ pentru $n \geq 1$. Dacă $x_{n}=\left[\frac{4 \cdot 10^{4}}{a_{n}}\right],(") n \geq 1$ unde prin $[a]$ am notat partea întreagă a numărului $a$, se cere: + +2p) a) Demonstraţi că $a_{2}=\sqrt{2^{2}+33}$ şi $a_{3}=\sqrt{3^{2}+33}$; + +3p) b) Determinaţi formula termenului general pentru $a_{n}$; + +1p) c) Aproximaţi $a_{19}$ cu două zecimale exacte şi apoi calculaţi $x_{19}$; + +1p) d) Arătaţi că există un singur număr natural $n$ pentru care $x_{n}=2015$. + +## SUBIECTUL III (7p) + +Pe latura $B C$ a triunghiului $A B C$ se consideră punctele $D, E, F$ astfel încât $B D=D E=E F=F C$ iar pe laturile $(A B)$ şi $(A C)$ considerăm punctele $M$ respectiv $N$. Arătaţi că dreptele $M D, A E$ şi $N F$ sunt concurente dacă şi numai dacă $\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A C} \neq \frac{1}{2}$. + +(Ion Nedelcu - Gazeta Matematică) + +## $\underline{\text { SUBIECTUL IV (7p) }}$ + +De aceeaşi parte a dreptei $A D$ se construiesc $\square A B D$ şi $\square A C D$ dreptunghice cu ipotenuza $(A D)$. Dacă $G$ este centrul de greutate în $\square A B C, O$ este mijlocul segmentului $(A D)$ iar $N$ intersecţia dreptei $O G$ cu perpendiculara din $A$ pe $B C$, arătaţi că: + +3p) a) $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O D}$; + +2p) b) $N$ este ortocentru pentru $\square A B C$; + +2p) c) Dacă $P$ este ortocentru pentru $\square D B C$, atunci $N P D A$ este paralelogram. + +NOTĂ: Timp de lucru $-\mathbf{3}$ ore + +| Str. General Berthelot nr. 28-30, Sector 1, 010168, Bucureşii | Str. N. Iorga nr. 28, 710213, Botoşani | +| :--- | ---: | +| Tel: +40214056200, Fax: +40214056300 | Tel: +40231584050, Fax: +40231584052 | +| www.edu.ro | Email: office.isibt@gmail.com | +| $\underline{\text { www. isi.botosani.ro }}$ | | + +## BAREM DE CORECTARE
etapa locală - 22 februarie 2015 + +## Clasa a IX- a + +## SUBIECTUL I + +a) Inegalitatea este echivalentă cu $\frac{(a b+1)^{2}}{a b} \leq \frac{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)}{a b}$ + +$\Leftrightarrow a^{2} b^{2}+2 a b+1 \leq a^{2} b^{2}+a^{2}+b^{2}+1 \Leftrightarrow(a-b)^{2} \geq 0$ (adevărat) + +b) Observaţia $\prod_{k=1}^{n} a_{k}=\prod_{k=1}^{n} b_{k}$ + +Inegalitatea este echivalentă cu $\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k} b_{k}+1\right) \leq \prod_{k=1}^{n}\left(a_{k}^{2}+1\right)$ + +Analog ca la pct. a) se obţine $\left(a_{k} b_{k}+1\right)^{2} \leq\left(a_{k}^{2}+1\right)\left(b_{k}^{2}+1\right)$ + +Înmulţirea inegalităţilor anterioare şi finalizare utilizând $\prod_{k=1}^{n}\left(b_{k}^{2}+1\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k}^{2}+1\right)$ + +## SUBIECTUL II + +a) Pentru $n=1$ în relaţia de recurenţă se obţine $\sqrt{a_{2}^{2}-33}=2+\sqrt{a_{1}^{2}-34}=2 \Rightarrow a_{2}^{2}-33=4$ $\Rightarrow a_{2}=\sqrt{37}=\sqrt{2^{2}+33}$ şi analog, pentru $n=2$ se obţine $\Rightarrow a_{3}=\sqrt{42}=\sqrt{3^{2}+33}$.... + +b) Demonstrăm prin inducţie matematică $P(n): a_{n}=\sqrt{n^{2}+33}$ + +$$ +P(1): a_{1}=\sqrt{1^{2}+33} \text { (adevărat). } +$$ + +Presupunem că $a_{n}=\sqrt{n^{2}+33}$. Din relaţia de recurenţă deducem $\sqrt{a_{n+1}^{2}-33}=2+\sqrt{n^{2}+33-2 n-32}$ + +$\Rightarrow \sqrt{a_{n+1}^{2}-33}=n+1 \Rightarrow a_{n+1}^{2}-33=(n+1)^{2} \Rightarrow a_{n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}+33}$ + +c) Avem $a_{19}=\sqrt{394} \square 19,84, x_{19}=\left[\frac{40000}{\sqrt{394}}\right]$ şi $19,84<\sqrt{394}<19,85 \Rightarrow \frac{40000}{19,85}<\frac{40000}{\sqrt{394}}<\frac{40000}{19,84}$ $\Rightarrow 2015<\frac{40000}{\sqrt{394}}<2016 \Rightarrow x_{19}=2015$ +d) $x_{n}=2015 \Leftrightarrow 2015 \leq \frac{40000}{\sqrt{n^{2}+33}}<2016 \Leftrightarrow \frac{40000}{2016}<\sqrt{n^{2}+33} \leq \frac{40000}{2015} \Leftrightarrow 393 $1 p$ | + +b). $y_{n}=n \cdot\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{\sqrt{n^{8}+k}}-\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}}\right)+n \cdot \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k^{3}}{n^{4}}-\frac{1}{4 \cdot n}\right)=u_{n}+v_{n}$; + +$u_{n}=n \cdot\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{\sqrt{n^{8}+k}}-\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}}\right)=n \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}\left(n^{4}-\sqrt{n^{8}+k}\right)}{n^{4} \cdot \sqrt{n^{8}+k}}=$ + +$=-\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{4}}{n^{3} \cdot \sqrt{n^{8}+k} \cdot\left(n^{4}+\sqrt{n^{8}+k}\right)}$ + +$\left|u_{n}\right| \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{4}}{n^{3} \cdot n^{8} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n^{8}}} \cdot\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{8}}}\right)}=$ + +$=\frac{1}{n^{6} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n^{8}}} \cdot\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{8}}}\right)} \rightarrow 0$ + +$v_{n}=n \cdot\left(\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{n^{4} \cdot 4}-\frac{1}{4}\right)=\frac{2 n^{3}+n^{2}}{4 \cdot n^{3}} \rightarrow \frac{1}{2}$ + +Rezultă că $y_{n} \rightarrow \frac{1}{2}$. + +Metoda 2. Se încadrează şirul $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ între şirurile : + +$n \cdot\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}+1}-\frac{1}{4}\right) \leq y_{n} \leq n \cdot\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}}-\frac{1}{4}\right)$; + +2p + +$\operatorname{Dar} n \cdot\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}+1}-\frac{1}{4}\right)=n \cdot\left(\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4 \cdot\left(n^{4}+1\right)}-\frac{1}{4}\right)=n \cdot \frac{2 n^{3}+n^{2}-4}{4 \cdot\left(n^{4}+1\right)} \rightarrow \frac{1}{2}$; + +La fel $n \cdot\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}}-\frac{1}{4}\right)=n \cdot\left(\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4 \cdot n^{4}}-\frac{1}{4}\right)=n \cdot \frac{2 n^{3}+n^{2}}{4 \cdot\left(n^{4}+1\right)} \rightarrow \frac{1}{2}$. + +Rezultă că $y_{n} \rightarrow \frac{1}{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_edc2afd6e11100a0d699g-4.jpg?height=2334&width=1699&top_left_y=188&top_left_x=213) + +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_edc2afd6e11100a0d699g-5.jpg?height=1159&width=1297&top_left_y=187&top_left_x=412) | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | a).
Pentru că $x_{n+1} \leq x_{n}, \forall n \in \mathbb{N}$ şi $f$ este crescătoare, avem că
$\mathrm{f}\left(x_{n+1}\right) \leq f\left(x_{n}\right)$, deci $\left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n \geq 0}$ este descrescător.
Din $f\left(x_{n}\right)>0 \Rightarrow$ şirul este minorat şi conform teoremei lui Weierstrass este
convergent. | $2 p$ | + + +| Fie $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=l$. Avem că $l \geq 0$. Să demonstrăm că $l=0$.
Presupunem prin reducere la absurd că $l>0$.
Pentru că $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ este descrescător şi nemărginit rezultă că $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ este
nemărginit inferior, adică
$\forall \varepsilon>0, \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$, astfel încât $x_{n_{\varepsilon}}<-\varepsilon$.
Pentru $\forall n \geq n_{\varepsilon} \Rightarrow x_{n} \leq x_{n_{\varepsilon}}<-\varepsilon$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=-\infty$.
Din $f$ crescătoare, rezultă că există $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ şi din caracterizarea cu şiruri
a limitei, rezultă că pentru $x_{n} \rightarrow-\infty, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=l>0$.
Din caracterizarea limitei, obţinem:
$\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{\varepsilon}>0$, astfel încât din $x<-\delta_{\varepsilon} \Rightarrow$
$\|f(x)-l\|<\varepsilon \Leftrightarrow f(x) \in(l-\varepsilon, l+\varepsilon)$.
Dacă alegem $\varepsilon=\frac{l}{2} \Rightarrow \exists \delta_{l}>0$ astfel încât pentru $x<-\delta_{l} \Rightarrow$
$f(x) \in\left(\frac{l}{2}, \frac{3 l}{2}\right) ;$
Dacă alegem $y>x, x<-\delta_{l} \Rightarrow \mathrm{f}(y)>f(x)>\frac{l}{2}$, adică $f(x) \neq \frac{l}{4}, \forall x \in \mathbb{R}$, fals,
pentru că $\mathrm{f}$ este surjectivă. Aşadar, $l=0$
Metoda 2. Din $\mathrm{f}$ crescătoare și surjectivă, rezultă că Im $f=(0, \infty)$ și $f$
continuă. (justificare)
Deoarece $f$ este crescătoare, rezultă că $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty ;$
Deoarece $x_{n} \rightarrow-\infty$, folosind definiţia limitei cu şiruri, obţinem $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$. | 1p
1p | +| :---: | :---: | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-627-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-627-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91d9af8f554ba6b54db7f76434936e4cae7ef508 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-627-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 22 februarie 2015 + +## Clasa a X-a + +## Problema 1. + +Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţiile: + +a). $\log _{x}\left(\frac{2 x-5}{2 x-4}\right)<0$ + +b). $x+\log _{2}\left(9-2^{x}\right)<3$ + +## Problema 2. + +Fie $z$ şi $w$ numere complexe nenule cu argumente diferite, astfel încât $|z|=|w|$ şi $|z+1|=|w+1|$. Să se demonstreze că $z=\bar{w}$. + +## Problema 3. + +Fie $t>1, a, b>0$. Să se demonstreze inegalitatea: $t^{a^{2} \cdot b}+t^{b}+t^{\frac{1}{b}} \geq t+t^{a}+t^{a \cdot b}$. + +## Problema 4. + +Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$, iar $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}, \mathrm{z}_{3} \in \mathbb{C}$ sunt afixele punctelor $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, respectiv $\mathrm{C}$. + +Să se demonstreze că : + +a). Dacă $z_{3}-z_{1}=\omega \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)$ sau $z_{3}-z_{1}=\bar{\omega} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)$, atunci triunghiul ABC este echilateral, unde $\omega=\cos \frac{\pi}{3}+i \cdot \sin \frac{\pi}{3}$. + +b). Dacă $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1} \cdot z_{2}+z_{2} \cdot z_{3}+z_{3} \cdot z_{1}$, atunci triunghiul ABC este echilateral. + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +## Clasa a X-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
probleme | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2f2573e387daaaf17b1g-2.jpg?height=1193&width=1288&top_left_y=831&top_left_x=414) | 1p | + + +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2f2573e387daaaf17b1g-3.jpg?height=597&width=1280&top_left_y=114&top_left_x=416) | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 2. | Metoda 1 .
Fie $r=\|z\|=\|w\| \Rightarrow z \cdot \bar{z}=r^{2}=w \cdot \bar{w}$
$\|1+z\|=\|1+w\| \Rightarrow\|1+z\|^{2}=\|1+w\|^{2} \Rightarrow(1+z) \cdot(1+\bar{z})=(1+w) \cdot(1+\bar{w}) \Rightarrow$
$1+z+\bar{z}+z \cdot \bar{z}=1+w+\bar{w}+w \cdot \bar{w} \Rightarrow z+\bar{z}=w+\bar{w} \Rightarrow z-w+\frac{r^{2}}{z}-\frac{r^{2}}{w}=0 \Rightarrow$
$(z-w)+\frac{r^{2} \cdot(w-z)}{z \cdot w}=0 \Rightarrow(z-w) \cdot\left(z \cdot w-r^{2}\right)=0$
Dar $z \neq$ w pentru că au argumente diferite. Aşadar, $z=\frac{r^{2}}{w}=\bar{w}$ | $\mathbf{1 p}$
$\mathbf{1 p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2f2573e387daaaf17b1g-3.jpg?height=433&width=1280&top_left_y=1376&top_left_x=416) | | +| | Metoda 3.
Fie $z=r \cdot(\cos u+i \sin u), w=r \cdot(\cos v+i \sin v), u \neq v$;
$\|1+z\|=\|1+w\| \Leftrightarrow\|1+r \cdot(\cos u+i \sin u)\|=\|1+r \cdot(\cos v+i \sin v)\| \Leftrightarrow$
$(1+r \cos u)^{2}+r^{2} \cdot \sin ^{2} u=(1+r \cos v)^{2}+r^{2} \cdot \sin ^{2} v \Leftrightarrow$
$\cos u=\cos v \Leftrightarrow u= \pm v+2 k \pi, k \in \mathbb{Z} ;$
Convine $u=-v+2 k \pi, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow z=\bar{w}$. | | + + +| 3. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f2f2573e387daaaf17b1g-4.jpg?height=1202&width=1107&top_left_y=110&top_left_x=415) | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | a). Fie $z_{3}-z_{1}=\omega \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \Rightarrow\left\|z_{3}-z_{1}\right\|=\left\|z_{2}-z_{1}\right\| \Rightarrow A C=A B$ (1)
$z_{3}-z_{1}=\omega \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \stackrel{-z_{2}+z_{1}}{\Rightarrow} z_{3}-z_{2}=(\omega-1) \cdot z_{2}-(\omega-1) \cdot z_{1} \Rightarrow$
$z_{3}-z_{2}=(\omega-1) \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \Rightarrow\left\|z_{3}-z_{2}\right\|=\left\|z_{2}-z_{1}\right\| \Rightarrow B C=A B(2)$
Din (1)şi(2) rezultă că triunghiul ABC este echilateral. | $1 p$
$1 p$ | +| 4. | b).Metoda1.
$\left[z_{3}-z_{1}-\omega \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)\right] \cdot\left[z_{3}-z_{1}-\bar{\omega} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)\right]=$
$=\left(z_{3}-z_{1}\right)^{2}-\left(z_{3}-z_{1}\right) \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \cdot(\omega+\bar{\omega})+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}=$
$\left(z_{3}-z_{1}\right)^{2}-\left(z_{3}-z_{1}\right) \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}=$
$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{1} \cdot z_{2}+z_{2} \cdot z_{3}+z_{3} \cdot z_{1}=0 \Rightarrow$
$z_{3}-z_{1}-\omega \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)=0$ sau $z_{3}-z_{1}-\bar{\omega} \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right)=0 \Rightarrow$
triunghiul ABC este echilateral.
Metoda 2. | | + + +| $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1} \cdot z_{2}+z_{2} \cdot z_{3}+z_{3} \cdot z_{1} \Leftrightarrow\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}+\left(z_{3}-z_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{3}\right)^{2}=0$
Notăm $z_{1}-z_{2}=a, z_{2}-z_{3}=b$, iar relaţia de mai sus devine:
$a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+a \cdot b=0 \Rightarrow$
$a_{1,2}=\frac{-b \pm b i \sqrt{3}}{2}=\frac{b \cdot(-1 \pm i \sqrt{3})}{2} \Rightarrow$
$\|a\|=\|b\| \Rightarrow\left\|z_{1}-z_{2}\right\|=\left\|z_{3}-z_{2}\right\| \Rightarrow A B=B C$.
La fel se demonstrează că AC=BC.
Metoda 3.
$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1} \cdot z_{2}-z_{2} \cdot z_{3}-z_{3} \cdot z_{1}=0 \Leftrightarrow$
$z_{1}^{2}-\left(z_{2}+z_{3}\right) \cdot z_{1}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{2} \cdot z_{3}=0 ;$
$\Delta=\left(z_{2}+z_{3}\right)^{2}-4 \cdot\left(z_{2}{ }^{2}+z_{3}^{2}-z_{2} \cdot z_{3}\right)=-3 \cdot\left(z_{2}-z_{3}\right)^{2}$
$z_{1}=\frac{z_{2}+z_{3} \pm i \cdot\left(z_{2}-z_{3}\right) \sqrt{3}}{2} \Rightarrow$
$z_{1}-z_{2}=\frac{z_{3}-z_{2} \pm i \cdot\left(z_{2}-z_{3}\right) \sqrt{3}}{2}=\left(z_{2}-z_{3}\right) \cdot \frac{-1 \pm i \cdot \sqrt{3}}{2} \Rightarrow$
$\left\|z_{1}-z_{2}\right\|=\left\|z_{2}-z_{3}\right\| \Rightarrow A B=B C ;$
Analog, obţinem AC=BC. | +| :---: | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-628-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-628-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1cb9546ae7a50a02f61835a57f540e3bf3c2dec2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-628-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +Clasa a VII-a + +Problema1.a) Să se compare numerele reale a și b, știind că : + +$$ +\begin{gathered} +a=\sqrt{3^{2015}-2 \cdot 3^{2014}-2 \cdot 3^{2013}-\ldots-2 \cdot 3-2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}-|\sqrt{5}-3| \\ +b=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}} . \\ +\text { b) Arătaţi că } \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}}+\frac{1}{2 \cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{5 \cdot \sqrt{3}-3 \cdot \sqrt{5}} . +\end{gathered} +$$ + +Problema 2. Fie $A B C D$ un trapez isoscel $(A B \| C D)$ cu diagonalele perpendiculare. Notăm cu $E$ şi $F$ mijloacele laturilor neparalele şi $A C \cap B D=\{O\}$. Ştiind că $E F=4 \mathrm{~cm}$ şi că perimetrul trapezului $A B C D$ este egal cu $20 \mathrm{~cm}$, determinaţi: + +a) perimetrul triunghiului $\triangle O E F$. + +b) aria trapezului. + +## Problema 3. + +a) Să se determine cifrele $a$ şi $b$, unde $a \notin\{0,9\}$, pentru care numărul raţional $\overline{a,(b a)}+\overline{b,(a b)}+\overline{a, b(a)}$ se poate scrie ca fracţie zecimală finită. + +b) Fie $\quad x \neq-1, y \neq-2, z \neq-3$ numere raţionale, astfel încât $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$. Calculaţi $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$. + +Problemă 4. Fie $\triangle A B C$ un triunghi oarecare şi punctele $M \in(B C), N \in(A C)$, $P \in(A B)$ astfel încât $B M=M C, A N=2 \cdot N C$ şi $A P=3 \cdot P B$. Dacă $T$ este mijlocul lui $(A C)$ şi $R$ simetricul lui $M$ faţă de $N$, demonstraţi că punctele $P, T, R$ sunt coliniare + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +Clasa a VII-a + +Problema1.a) Să se compare numerele reale a și b, știind că : + +$$ +\begin{gathered} +a=\sqrt{3^{2015}-2 \cdot 3^{2014}-2 \cdot 3^{2013}-\ldots-2 \cdot 3-2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}-|\sqrt{5}-3| \\ +b=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}} . \\ +\text { b) Arătaţi că } \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}}+\frac{1}{2 \cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{5 \cdot \sqrt{3}-3 \cdot \sqrt{5}} . +\end{gathered} +$$ + +Problema 2. Fie $A B C D$ un trapez isoscel $(A B \| C D)$ cu diagonalele perpendiculare. Notăm cu $E$ şi $F$ mijloacele laturilor neparalele şi $A C \cap B D=\{O\}$. Ştiind că $E F=4 \mathrm{~cm}$ şi că perimetrul trapezului $A B C D$ este egal cu $20 \mathrm{~cm}$, determinaţi: + +a) perimetrul triunghiului $\triangle O E F$. + +b) aria trapezului. + +## Problema 3. + +a) Să se determine cifrele $a$ şi $b$, unde $a \notin\{0,9\}$, pentru care numărul raţional $\overline{a,(b a)}+\overline{b,(a b)}+\overline{a, b(a)}$ se poate scrie ca fracţie zecimală finită. + +b) Fie $\quad x \neq-1, y \neq-2, z \neq-3$ numere raţionale, astfel încât $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$. Calculaţi $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$. + +Problemă 4. Fie $\triangle A B C$ un triunghi oarecare şi punctele $M \in(B C), N \in(A C)$, $P \in(A B)$ astfel încât $B M=M C, A N=2 \cdot N C$ şi $A P=3 \cdot P B$. Dacă $T$ este mijlocul lui $(A C)$ şi $R$ simetricul lui $M$ faţă de $N$, demonstraţi că punctele $P, T, R$ sunt coliniare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-629-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-629-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d4f99257e5729c57b6e016fdc12f305890b4e67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-629-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,72 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +## Problema 1. + +Se consideră punctele distincte $A, B, C, D$ astfel încât punctul $B$ este mijlocul segmentului $(A C)$ şi punctul C este mijlocul segmentului $(B D)$. Să se demonstreze că: + +a). $B C=\frac{A C+B D}{4}$ + +b). $\frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}<\frac{4}{A D}$. + +## Problema 2. + +Fie $[O B \subset \operatorname{Int}(\measuredangle A O D),[O C \subset \operatorname{Int}(\Varangle B O D)$ şi $[O M,[O N,[O P,[O Q,[O R$, respectiv bisectoarele unghiurilor $\measuredangle A O B, \measuredangle B O C, \measuredangle A O C, \measuredangle C O D, \measuredangle A O D$. Aflaţi măsura unghiului $\measuredangle A O B$ ştiind că diferenţa dintre măsurile unghiurilor $\measuredangle R O Q$ şi $\measuredangle M O P$ este de $15^{0}$. + +## Problema 3. + +a). Să se determine numerele naturale $x, y, z, t$, ştiind că îndeplinesc simultan condiţiile: + +1. $x+y+z \cdot t=2015$ +2. $\frac{x+y}{z \cdot t}=\frac{1}{4}$ +3. $(x, y)=31$ +4. $[z, t]=806$ + +b). Notând $(x, y, z, t)$ o soluţie, să se calculeze numărul de soluţii care îndeplinesc simultan condiţiile date la punctul a). + +## Problema 4 . + +a). Să se efectueze : + +$$ +165: 15 ; 1665: 15 ; 16665: 15 ; \underbrace{1666 \ldots 65}_{n \text { cifre de } 6}: 15 +$$ + +b). Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc64e17507c9b38c51b5g-1.jpg?height=341&width=1747&top_left_y=2217&top_left_x=243) + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +22 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
proble
mei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | a) Punctul B este mijlocul segmentului $(A C) \Rightarrow B \in(A C),(A B) \equiv(B C)$;
$B \in(A C) \Rightarrow A, B, C$ puncte coliniare; (1)
Punctul C este mijlocul segmentului $(B D) \Rightarrow C \in(B D),(B C) \equiv(C D)$;
$C \in(B D) \Rightarrow B, C, D$ puncte coliniare; (2)
Din (1) şi (2) rezultă că A, B, C, D sunt coliniare. | 1p | +| | $\left.\begin{array}{l}(A B) \equiv(B C) \Rightarrow 2 \cdot B C=A C \\ (B C) \equiv(C D) \Rightarrow 2 \cdot B C=B D\end{array}\right\} \Rightarrow 4 \cdot B C=A C+B D \Rightarrow B C=\frac{A C+B D}{4}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | b).
$\frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}=\frac{1}{2 \cdot B C}+\frac{1}{2 \cdot B C}=$
$=\frac{1}{B C}=\frac{1}{\frac{A D}{3}}=$
$=\frac{3}{A D}<\frac{4}{A D}$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | $m(\measuredangle R O Q)=m(\measuredangle R O D)-m(\measuredangle Q O D)=$
$=\frac{1}{2} m(\measuredangle A O D)-\frac{1}{2} m(\measuredangle C O D)=\frac{1}{2} m(\measuredangle A O C)$
$m(\measuredangle M O P)=m(\measuredangle A O P)-m(\measuredangle A O M)=$
$=\frac{1}{2} m(\measuredangle A O C)-\frac{1}{2} m(\measuredangle A O B)=\frac{1}{2} m(\measuredangle B O C)$. | $2 \mathrm{p}$ | + + +| | Deducem din cele două şiruri de egalităţi că
$m(\measuredangle R O Q)-m(\measuredangle M O P)=\frac{1}{2} m(\measuredangle A O C)-\frac{1}{2} m(\measuredangle B O C)=$
$\frac{1}{2} m(A O B)=15^{\circ} \Rightarrow m(\measuredangle A O B)=30^{\circ}$ | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc64e17507c9b38c51b5g-3.jpg?height=1798&width=1262&top_left_y=481&top_left_x=539) | 2p | + + +| $\left\{\begin{array}{l}z \cdot t=1612 \\ {[z, t]=806} \\ {[z, t] \cdot(z, t)=z \cdot t}\end{array} \Rightarrow(z, t)=2 ;\right.$
$(z, t)=2 \Rightarrow(\exists) p, q \in \mathbb{N},(p, q)=1$, astfel încât $z=2 \cdot p, t=2 \cdot q ;$
$\left\{\begin{array}{l}z \cdot t=1612 \\ z=2 \cdot p \Rightarrow p \cdot q=403 ; \\ t=2 \cdot q\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}p \cdot q=403=13 \cdot 31 \\ (p, q)=1\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}p=13 \\ q=31\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=26 \\ t=62\end{array}\right.\right.$
sau
$\left\{\begin{array}{l}p=31 \\ q=13\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=62 \\ t=26\end{array}\right.\right.$
sau
$\left\{\begin{array}{l}p=403 \\ q=1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=806 \\ t=2\end{array}\right.\right.$
sau
$\left\{\begin{array}{l}p=1 \\ q=403\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=2 \\ t=806\end{array}\right.\right.$
Aşadar, există 4 perechi de numere de
forma $(z, t) \in\left\{\begin{array}{l}(2,806),(26,62),(806,2),(62,26)\}\end{array}\right.$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| b) Numărul soluţiilor de forma $(x, y, z, t)$ care îndeplinesc simultan condiţiile
date este $12 \cdot 4=48$. | $1 \mathrm{p}$ | +| a).
$165: 15=11$
$1665: 15=111$
$16665: 15=1111$
$\underbrace{1666 \ldots 65}_{\text {n cifre de } 6}: 15=\underbrace{111 \ldots 11}_{(n+1) \text { cifre de } 1}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc64e17507c9b38c51b5g-5.jpg?height=1824&width=1740&top_left_y=145&top_left_x=344) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-63-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl V-0_barem_clasa5.md b/Romania_Olympiad/md/ro-63-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl V-0_barem_clasa5.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee3819274a911e2d91f34dc07b6475b5783f1669 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-63-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl V-0_barem_clasa5.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 10 martie 2018 + +## CLASA a V-a, varianta 2 + +Problema 1. Vlad, Luca şi Adina au cumpărat de la o librărie rechizite în valoare totală de 118 lei. Vlad a cumpărat 5 pixuri, 4 caiete şi 3 cutii cu creioane colorate, Luca a cumpărat 7 pixuri, 3 caiete şi 4 cutii cu creioane colorate, iar Adina a cumpărat 8 pixuri, 7 caiete şi 7 cutii cu creioane colorate. + +Ştiind că Luca a plătit cu 5 lei mai mult decât Vlad, iar Adina cu 4 lei mai puţin decât Vlad şi Luca la un loc, aflaţi cât costă un creion, cât costă un caiet şi cât costă o cutie cu creioane colorate. + +Soluţie. Folosim metoda grafică pentru a afla sumele plătite de fiecare copil. În reprezentarea de mai jos, $p$ este suma plătită de Vlad: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fc27702d722f631f1f86g-1.jpg?height=258&width=1028&top_left_y=814&top_left_x=516) + +$p+p+5+2 p+1=118$, de unde $p=28$, deci Vlad a plătit 28 de lei, Luca a plătit 33 de lei, iar Adina 57 de lei $2 p$ + +Folosim metoda comparaţiei pentru a afla preţul fiecărui tip de rechizite: + +5 pixuri 4 caiete $\qquad$ 3 cutii cu creioane $\qquad$ 28 lei + +7 pixuri + +3 caiete $\qquad$ +4 cutii cu creioane $\qquad$ +8 pixuri + +7 caiete $\qquad$ +7 cutii cu creioane $\qquad$ +Adunând primele două relaţii obţinem + +$$ +12 \text { pixuri } +$$ + +$\qquad$ 7 caiete $\qquad$ 7 cutii cu creioane $\qquad$ 61 lei + +Comparând cu a treia relaţie şi efectuând diferenţa, obţinem că 4 pixuri costă 4 lei, deci un pix costă 1 leu + +Înlocuind în primele două relaţii, obţinem: +4 caiete $\qquad$ 3 cutii cu creioane $\qquad$ 23 lei +3 caiete $\qquad$ 4 cutii cu creioane 26 lei + +Pentru a aduce la acelaşi termen de comparaţie, vom egala numărul de caiete, înmulţind cu 3 prima relaţie şi cu 4 pe cea de-a doua: + +12 caiete ............. 9 cutii cu creioane ............... 69 lei 10 lei +12 caiete ........... 16 cutii cu creioane ............ 104 le. + +Obţinem că 7 cutii cu creioane costă 35 de lei, deci o cutie cu creioane costă 5 lei .........1p Înlocuind într-una dintre relaţii, obţinem că un caiet costă 2 lei $1 p$ + +Problema 2. Suma a 15 numere naturale consecutive este un număr cu cifre diferite, printre care se află cifrele $0,1,2$ şi 4 . Care este cel mai mic număr posibil dintre cele 15 numere? + +Soluţie. Dacă $n$ este cel mai mic număr căutat, atunci cele 15 numere consecutive din enunţ sunt $n, n+1, \ldots, n+14$, a căror sumă $S$ este egală cu $15 n+105$, adică $S=3 \cdot 5 \cdot(n+7) \ldots \ldots . .3$ p + +Întrucât suma $S$ este divizibilă cu 3 , suma cifrelor lui $S$ este, la rândul ei, divizibilă cu 3 . Cum $0,1,2$ şi 4 sunt cifre ale lui $S$, iar $0+1+2+4=7 \mathrm{nu}$ se divide cu 3 , rezultă că $S$ mai are cel puţin încă o cifră, diferită de $0,1,2$ şi 4. Condiţiile de minim şi de divizibilitate cu 3 conduc la faptul că $S$ mai are o singură altă cifră, egală cu 5 + +$2 p$ + +Cel mai mic număr de forma $15(n+7)$ care se scrie cu cifrele $0,1,2,4$ şi 5 este 10245 , pentru care se obţine $n=676$ $2 \mathrm{p}$ + +Problema 3. Determinaţi numerele de forma $\overline{a b c d}$ care îndeplinesc simultan următoarele condiţii: a) suma pătratelor cifrelor este divizibilă cu 4 ; + +b) restul împărţirii numărului $\overline{a b c d}$ la $c$ este 7 . + +Soluţie. Pătratul unui număr natural este de forma $4 k$ sau $4 k+1 \ldots \ldots \ldots$...................... $\mathbf{p}$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ este divizibil cu 4 dacă $a, b, c, d$ au aceeaşi paritate ..................... $\mathbf{p}$ Din teorema împărţirii cu rest există numerele naturale $q$ ş $r$ astfel încât $\overline{a b c d}=c \cdot q+7$ şi $7 problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | Pentru $n=2$, se obţine
$x_{1}+x_{2}=\frac{4}{3} \cdot x_{2} \Rightarrow x_{2}=6=2 \cdot 3 ;$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{5}{3} \cdot x_{3} \Rightarrow x_{3}=3 \cdot 4$
Atunci, presupunem că $x_{n}=n \cdot(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$.
Demonstrăm prin inducţie matematică propoziţia
$\mathrm{P}(\mathrm{n}): x_{n}=n \cdot(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}:$
1. $\mathrm{P}(1): x_{1}=1 \cdot 2=2 \quad(A)$.
2 .Presupunem că $\mathrm{P}(\mathrm{n})$ este adevărată şi să demonstrăm că $\mathrm{P}(\mathrm{n}+1)$ este
adevărată.
$\mathrm{P}(\mathrm{n}+1): x_{n+1}=(n+1) \cdot(n+2)$.
Dar
$1 \cdot 2+2 \cdot 3+\ldots+n \cdot(n+1)+x_{n+1}=\frac{x_{n+1} \cdot(n+3)}{3} \Rightarrow$
$\frac{n \cdot(n+1)(n+2)}{3}+x_{n+1}=\frac{x_{n+1} \cdot(n+3)}{3} \Rightarrow$
$x_{n+1}=(n+1) \cdot(n+2) \quad(\mathrm{A}) \Rightarrow \mathrm{P}(n)$ este adevărată, $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$.
Aşadar, $x_{n}=n \cdot(n+1),(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. | $2 p$
$2 p$
$1 p$ | + + +| Metoda 2. | +| :--- | :--- | +| Deoarece egalitatea $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=\frac{x_{n} \cdot(n+2)}{3} \quad$ (1) este adevărată | +| pentru orice număr natural nenul $n$, rezultă | +| $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}+x_{n+1}=\frac{x_{n+1} \cdot(n+3)}{3} \quad(2)$ | +| Din $(1) s ̧ i(2) \Rightarrow \frac{-x_{n} \cdot(n+2)}{3}+x_{n+1}=\frac{x_{n+1} \cdot(n+3)}{3} \Rightarrow$ | +| $x_{n+1}=\frac{n+2}{n} \cdot x_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow$ | +| $\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{3}{1} ; \frac{x_{3}}{x_{2}}=\frac{4}{2} ; \frac{x_{4}}{x_{3}}=\frac{5}{3} ; \ldots, \frac{x_{n}}{x_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1} \Rightarrow x_{n}=n \cdot(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. | + +## Pentru definirea părții întregi a unui numărului real $x$ + +## Scrierea identității lui Hermite + +$\left[\frac{1}{1-x}\right]+\left[\frac{4-x}{3 \cdot(1-x)}\right]+\left[\frac{5-2 \cdot x}{3 \cdot(1-x)}\right]=\frac{3}{1-[x]} \Leftrightarrow$ + +$\left[\frac{1}{1-x}\right]+\left[\frac{1}{1-x}+\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{1}{1-x}+\frac{2}{3}\right]=\frac{3}{1-[x]}$; + +Aplicând identitatea lui Hermite $\Rightarrow$ + +$\left[\frac{1}{1-x}\right]+\left[\frac{1}{1-x}+\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{1}{1-x}+\frac{2}{3}\right] \stackrel{\text { Hermite }}{=}\left[\frac{3}{1-x}\right]$ + +Dar 1- $[x]=-([x]-1)=-[x-1]$; + +Ecuaţia devine: + +$\left[\frac{3}{1-x}\right]=-\frac{3}{[x-1]} \Leftrightarrow\left[\frac{3}{1-x}\right] \cdot[x-1]=-3$; + +$\int\left[\frac{3}{1-x}\right] \cdot[x-1]=-3$ + +$\left\{\left[\frac{3}{1-x}\right] \in \mathbb{Z} \quad \Rightarrow\right.$ + +2. $[x-1] \in \mathbb{Z}$ + +$\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=1} \\ {[x-1]=-3}\end{array}\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=-1} \\ {[x-1]=3}\end{array}\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=3} \\ {[x-1]=-1}\end{array}\right.$ sau $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=-3} \\ {[x-1]=1}\end{array}\right.$ + +1. $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=1} \\ {[x-1]=-3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1 \leq \frac{3}{1-x}<2 \\ -3 \leq x-1<-2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \in\left[-2,-\frac{1}{2}\right) \\ x \in[-2,-1)\end{array} \Rightarrow x \in[-2,-1)\right.\right.\right.$; +2. $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=-1} \\ {[x-1]=3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1 \leq \frac{3}{1-x}<0 \\ 3 \leq x-1<4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \in[4, \infty) \\ x \in[4 ; 5)\end{array} \Rightarrow x \in[4 ; 5)\right.\right.\right.$; +3. $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=3} \\ {[x-1]=-1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 \leq \frac{3}{1-x}<4 \\ -1 \leq x-1<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \in\left[0, \frac{1}{4}\right) \\ x \in[0,1)\end{array} \Rightarrow x \in\left[0, \frac{1}{4}\right)\right.\right.\right.$; +4. $\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{3}{1-x}\right]=-3} \\ {[x-1]=1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-3 \leq \frac{3}{1-x}<-2 \\ 1 \leq x-1<2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \in\left[2, \frac{5}{2}\right) \\ x \in[2,3)\end{array} \Rightarrow x \in\left[2, \frac{5}{2}\right)\right.\right.\right.$ + +Mulţimea soluţiilor este $\mathrm{S}=[-2,-1) \cup\left[0, \frac{1}{4}\right) \cup\left[2, \frac{5}{2}\right) \cup[4 ; 5)$ + +| | Notăm $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}$.
Inegalitatea din enunţ devine:
$\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{a_{1}}{S-a_{1}}+\frac{a_{2}}{S-a_{2}}+\frac{a_{3}}{S-a_{3}}+\ldots+\frac{a_{n}}{S-a_{n}}\right)+$
$\quad+\frac{4}{n^{2}} \cdot\left(\frac{1}{S-a_{1}}+\frac{1}{S-a_{2}}+\frac{1}{S-a_{3}}+\ldots+\frac{1}{S-a_{n}}\right) \geq \frac{S+4}{(n-1) \cdot S}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Scrierea inegalităţii lui Titu Andreescu
Conform inegalităţii lui Titu Andreescu:
$\frac{4}{n^{2}} \cdot\left(\frac{1}{S-a_{1}}+\frac{1}{S-a_{2}}+\frac{1}{S-a_{3}}+\ldots+\frac{1}{S-a_{n}}\right) \geq \frac{4}{n^{2}} \cdot \frac{(1+1+1+. .+1)^{2}}{n \cdot S-S}=$
$=\frac{4}{S \cdot(n-1)}(1)$ | 1p | +| 3. | $\frac{a_{1}}{S-a_{1}}+\frac{a_{2}}{S-a_{2}}+\frac{a_{3}}{S-a_{3}}+\ldots+\frac{a_{n}}{S-a_{n}}=$
$=\frac{a_{1}^{2}}{S \cdot a_{1}-a_{1}^{2}}+\frac{a_{2}^{2}}{S \cdot a_{2}-a_{2}{ }^{2}}+\frac{a_{3}^{2}}{S \cdot a_{3}-a_{3}^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}^{2}}{S \cdot a_{n}-a_{n}{ }^{2}} \geq$
$\frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{S^{2}-\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}\right)}=$
$=\frac{S^{2}}{S^{2}-\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}\right)}$.
Înmulţim relaţia cu $\frac{1}{n}$, obţinem: | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7e358fcc2ecc95bb6a2bg-6.jpg?height=2230&width=1702&top_left_y=83&top_left_x=209) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-631-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-631-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8379ecd78e3b0af0ba7efa6baa79fbe1074232f5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-631-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# Olimpiada de matematică + +Faza locală - 20 februarie 2015 + +Clasa a XII-a + +1. Să se calculeze + +(i) $\int \frac{\arcsin x}{x^{2}} d x$, pentru $x \in(0,1)$. + +(ii) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\ldots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$. + +2. (i) Să se determine subgrupurile grupului $(\mathbb{Z},+)$. + +(ii) Fie $f: \mathbb{Z}_{9} \rightarrow \mathbb{Z}_{9}$ definită prin $f(x)=x^{2}$ pentru orice $x \in \mathbb{Z}_{9}$. Să se determine submultimile $A \subseteq \mathbb{Z}_{9}$ astfel $\operatorname{ca} f(A)=A$. + +GM 2014 + +3. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție integrabilă și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ funcția definiă prin $g(a)=\int_{0}^{1}|x-a| \cdot f(x) d x$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$. + +(i) Să se arate că există $L \geq 0$ astfel ca $|g(a)-g(b)| \leq L \cdot|a-b|$ pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$. + +(ii) Dacă $f(x) \geq 0 \quad \forall x \in[0,1]$, să se arate că functia g este convexă. + +4. Fie $(R,+, \cdot)$ un inel și $Z(R)=\{a \in R: a \cdot y=y \cdot a, \forall y \in R\}$. + +(i) Să se arate că $\forall a, b \in Z(R) \Rightarrow a-b, a \cdot b \in Z(R)$; + +(ii) Demonstrați că dacă $x^{2}-x \in Z(R)$ pentru orice $x \in R$, atunci inelul $(R,+, \cdot)$ este comutativ. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a XII-a Barem + +1. + +(i) Integrăm prin părți și obținem $\int \frac{\arcsin x}{x^{2}} d x=-\frac{1}{x} \arcsin x+\int \frac{1}{x \sqrt{1-x^{2}}} d x$ + +Se efectuează schimbarea de variabilă $\frac{1}{x}=t$ + +Finalizare + +$$ +\begin{aligned} +& \text { (ii) } \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} \\ +& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi}{4} +\end{aligned} +$$ + +2. (i) $H \leq \mathbb{Z} \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}$ astfel ca $H=n \mathbb{Z}$ + +$H \leq \mathbb{Z} \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}$ astfel ca $H=n \mathbb{Z}$ + +$H=n \mathbb{Z} \Rightarrow H \leq \mathbb{Z}$ + +(ii) $\forall x \in \mathbb{Z}_{g} \quad f(x) \in\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$ + +3. + +(i) Fie $a, b \in \mathbb{R}$, atunci + +$|g(a)-g(b)|=\left|\int_{0}^{1}\right| x-a\left|\cdot f(x) d x-\int_{0}^{1}\right| x-b|\cdot f(x) d x|=\left|\int_{0}^{1}(|x-a|-|x-b|) \cdot f(x) d x\right| \leq \int_{0}^{1}\|x-b|-| x-b\| \cdot|f(x)| d x$ + +Fie $L=\sup \{|f(x)|: x \in[0,1]\}$. + +Atunci $|g(a)-g(b)| \leq L \cdot \int_{0}^{1}|| x-b|-| x-b \| d x \leq L \cdot \int_{0}^{1}|a-b| d x=L \cdot|a-b|$ + +(ii) Fie $t \in[0,1]$ și $a, b \in \mathbb{R}$, atunci pentru orice $x \in[0,1]$ are loc + +$|x-t a-(1-t) b|=|t x+(1-t) x-t a-(1-t) b|=|t(x-a)+(1-t)(x-b)| \leq t|x-a|+(1-t)|x-b|$ + +Cum $f(x) \geq 0, \forall x \in[0,1]$, din inegalitatea de mai sus deducem că + +$|x-t a-(1-t) b| f(x) \leq t|x-a| f(x)+(1-t)|x-b| f(x), \forall x \in[0,1]$ și concluzia se impune. + +4. + +(i) Fie $a, b \in Z(R)$ și $y \in R$, atunci $(a-b) \cdot y=a \cdot y-b \cdot y=y \cdot a-y \cdot b=y \cdot(a-b)$, adică $a-b \in Z(R)$ $(a \cdot b) \cdot y=a \cdot(b \cdot y)=a \cdot(y \cdot b)=(a \cdot y) \cdot b=(y \cdot a) \cdot b=y \cdot(a \cdot b) \Rightarrow a \cdot b \in Z(R)$ +(ii) Fie $x, y \in R$, atunci $x^{2}-x, y^{2}-y,(x+y)^{2}-(x+y) \in Z(R)$, dar + +$(x+y)^{2}-(x+y)=x^{2}-x+y^{2}-y+x \cdot y+y \cdot x$ + +și din (i) obținem $x \cdot y+y \cdot x \in Z(R)$. $1 p$ + +Atunci $x \cdot(x \cdot y+y \cdot x)=(x \cdot y+y \cdot x) \cdot x$, adică $x \cdot y \cdot x+y \cdot x^{2}=x^{2} \cdot y+x \cdot y \cdot x \Leftrightarrow x^{2} \cdot y=y \cdot x^{2}$. + +De unde $x^{2} \in Z(R)$ și din (i) obținem $x \in Z(R) \Rightarrow x \cdot y=y \cdot x$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-632-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-632-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..39324ada08587c12c0915a9964bb469e8472fa32 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-632-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +# Olimpiada de matematică + +Faza locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a XI-a + +1. Să se calculeze + +(i) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$; + +(ii) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{[x]}\right)^{x+1}$, unde $[x]$ este partea întreagă a lui $x \in \mathbb{R}$. + +2. Fie $A$ o matrice pătratică de ordinul 2 cu elemente reale și $A^{t}$ matricea transpusă + +(i) Arătați că există $\alpha \in \mathbb{R}$ astfel ca $\operatorname{det}\left(A+x \cdot A^{t}\right)=\left(x^{2}+1\right) \cdot \operatorname{det} A+\alpha \cdot x, \forall x \in \mathbb{R}$. + +(ii) Știind că $\operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=8$ și $\operatorname{det}\left(A+2 \cdot A^{t}\right)=27$, să se calculeze $\operatorname{det}(A)$. + +3. Fie $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ si $C(A)=\left\{X \in M_{3}(\mathbb{R}): A \cdot X=X \cdot A\right\}$ + +(i) Să se arate că $X \in C(A)$ dacă și numai dacă există $a, b, c \in \mathbb{R}$ astfel ca $X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$. + +(ii) Demonstrați că pentru orice $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, ecuația $X^{n}=A n u$ are nicio soluție. + +4. + +(i) Arătați că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)=\infty$; + +(ii) Demonstratị că dacă $I \in \mathbb{R} \cup\{-\infty, \infty\}$, atunci există un șir $\left(s_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $s_{n} \in\{-1,1\}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{s_{1}}{1}+\frac{s_{2}}{2}+\ldots+\frac{s_{n}}{n}\right)=1$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a XI-a + +1. + +(i) Din dubla inegalitate $\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \leq \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}, n \in \mathbb{N}^{*} \quad$ 2p și aplicând criteriul "cleștelui" deducem că limita este 1. + +(ii) $x \rightarrow \infty \Rightarrow[x] \rightarrow \infty$ obținem nedeterminarea $1^{\infty}$ $1 p$ + +$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{[x]}=1$ + +Finalizare $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{[x]}\right)^{x+1}=e$. + +2. (i) Fie $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ atunci $A^{t}=\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)$ + +Pentru orice $x \in \mathbb{R}$ avem $A+x \cdot A^{t}=\left(\begin{array}{ll}a+x a & b+x c \\ c+b x & d+d x\end{array}\right)$ + +De unde $\operatorname{det}\left(A+x \cdot A^{t}\right)=x^{2} \cdot \operatorname{det}(A)+x \cdot\left(2 a d-b^{2}-c^{2}\right)+\operatorname{det}(A)$ + +(ii) Din enunț și (i), avem $\operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=8=2 \operatorname{det}(A)+\alpha$ și $\operatorname{det}\left(A+2 \cdot A^{t}\right)=27=5 \operatorname{det}(A)+2 \alpha$ Finalizare + +3. + +(i) + +Fie $X=\left(\begin{array}{lll}m & n & p \\ q & r & s \\ t & u & v\end{array}\right) \in C(A)$, atunci din $X \cdot A=A \cdot X$ deducem că $m=r=v=a, n=s=b \quad$ 2p $p=c, q=t=u=0$ + +Reciproc + +(ii) + +Admitem că există $\quad X \in M_{3}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, astfel încât ecuatția $X^{n}=A$, atunci $\operatorname{det}(X)=0, \quad X^{n+1}=A \cdot X=X \cdot A$. + +În consecinṭă există $b, c \in \mathbb{R}$ astfel ca $X=\left(\begin{array}{lll}0 & b & c \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ + +Cum $X^{n}=O_{3}$ pentru $n \geq 3$ și $X^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & b^{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, concluzia se impune. + +4. + +(i) Șirul $\left(h_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $h_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$ este strict crescător; + +Dacă $\left(h_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit superior atunci el este convergent și atunci $h_{2 n}-h_{n} \rightarrow 0$,cum + +$h_{2 n}-h_{n}=\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2 n}+\ldots+\frac{1}{2 n}=\frac{1}{2}$ s-a obținut o contradicțe. + +(ii) Dacă $I=\infty$ sau $I=-\infty$ alegem $s_{n}=1$ sau $s_{n}=-1, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ + +Admitem $I \geq 0$. Fie $n_{1} \in \mathbb{N}^{*}$ cel mai mic număr astfel ca $\sum_{i=1}^{n_{1}} \frac{1}{i}>I$ și alegem + +$s_{1}=s_{2}=\ldots=s_{n_{1}}=1$, iar $n_{2} \in \mathbb{N}^{*}$ cel mai mic număr, $n_{2}>n_{1}$ astfel ca $\sum_{i=1}^{n_{1}} s_{i} \frac{1}{i}-\sum_{i=n_{1}+1}^{n_{2}} \frac{1}{i}<1$ și + +considerăm $s_{n_{1}+1}=\ldots=s_{n_{2}}=-1$. Procedând în acest fel, având în vedere (i) și că + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ rezultă cerința (ii). Cazul $I<0$ se deduce din cazul de mai sus. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-633-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-633-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27abc9d2169e07060ad11f05bdfa45ca8d05ffb4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-633-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,92 @@ +# Olimpiada de matematică + +Faza locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a X-a + +1. Să se rezolve ecuatiile: + +(i) $\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{3^{x}}=\frac{1}{2^{x}+3^{x}}, x \in \mathbb{R}$. + +(ii) $x+2^{x}+\log _{2} x=7, x \in(0, \infty)$. + +2. + +(i) Dacă $a, b \geq 2$ arătați că $\lg a+\lg b \geq \lg (a+b)$. + +(ii) Demonstratị că pentru orice $a, b, c \in[2, \infty)$ are loc inegalitatea $\log _{b+c} a+\log _{c+a} b+\log _{a+b} c \geq \frac{3}{2}$. + +3. Considerăm $F$ mulțimea funcțillor $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea: $f(x)+f(x+f(x))=3 x+3,(\forall) x \in \mathbb{R}$. Să se arate că: + +(i) Mulțimea $F$ conține cel puțin o funcție de gradul 1 ; + +(ii) Dacă $f \in F$, atunci ecuația $f(x)=0$ are $o$ unică solutuie reală. + +4. Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ numere complexe cu proprietatea că $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=1$. + +(i) Să se arate că dacă $z_{1}=z_{2}$ atunci $z_{1}+z_{3}=0$. + +(ii) Demonstrați că $\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{2}+z_{3}\right)\left(z_{3}+z_{1}\right)=0$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală - 20 februarie 2015 + +Clasa a X-a + +1. + +(i) Ecuatịa este echivalentă $\mathrm{cu}\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2}=4 \cdot 2^{x} \cdot 3^{x}, n \in \mathbb{N}^{\text {* }}$ + +De unde $2^{x}=3^{x}$ și atunci $x=0$ + +(ii) Funcția $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definită prin $f(x)=x+2^{x}+\log _{2} x$ este functie strict crecătoare. + +$f(2)=7$ + +2. (i) $\lg a+\lg b \geq \lg (a+b) \Leftrightarrow \lg a \cdot b \geq \lg (a+b) \Leftrightarrow$ + +(ii) Inegalitatea este echivalentă cu $\frac{\lg a}{\lg (b+c)}+\frac{\lg b}{\lg (c+a)}+\frac{\lg c}{\lg (a+b)} \geq \frac{3}{2}$. + +Din (i) avem $\sum_{\text {cidicic }} \frac{\lg a}{\lg (b+c)} \geq \sum_{\text {cidicic }} \frac{\lg a}{\lg b+\lg c}$ + +Cum $\sum_{\text {cicicic }} \frac{\lg a}{\lg b+\lg c} \geq \frac{3}{2} \quad$ inegalitatea din enunț este dovedită. + +3. + +(i) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x)=a x+b$ $1 p$ + +Atunci găsim $a=-3$ și $b=-3$ sau $a=1$ și $b=1$ + +(ii) Fie $f \in F$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definită prin $g(x)=x+f(x)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +Atunci din enunț avem $\quad g(g(x))=4 x+3$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +Cum ecuația $4 x+3=x$ are o unică soluție în $\mathbb{R}$ pe -1 , deduce că ecuația $g(g(x))=x$ are o unică soluție în $\mathbb{R}$ pe -1 , ceea ce conduce la unicitatea soluției ecuației $g(x)=x$. $1 p$ Finalizare + +$1 \mathrm{p}$ + +4. + +(i) Dacă $z_{1}=z_{2}$ atunci dacă $\left|2 z_{1}+z_{3}\right|=1$ și din egalitatea $|z+w|^{2}+|z-w|^{2}=2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right.$ ) (identitatea paralelogramului), deducem că $\left|2 z_{1}-z_{3}\right|=3$ și din $3=\left|2 z_{1}-z_{3}\right| \leq 2\left|z_{1}\right|+\left|z_{3}\right|=3$ găsim că $2 z_{1}=\alpha \cdot\left(-z_{3}\right)$ cu $\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \geq 0$, adică $\alpha=2$ și atunci $z_{1}+z_{3}=0$. +(ii) În mod cert numerele complexe nu pot fi toate egale. + +Dacă două sunt egale, atunci din (i) deducem că produsul este 0 . + +Dacă numerele sunt diferite două câte două, atunci ele pot fi afixele vârfurilor unui triunghi cu $|h|=1$, unde $h$ este afixul ortocentrului și atunci ortocentrul se află pe cercul circumscris triunghiului, de unde deducem că triunghiul este dreptunghic și atunci concluzia este evidentă. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-634-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-634-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c9700dd157c2b1d4921b3178586bd6125a0dfb8a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-634-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# Olimpiada de matematică + +Faza locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a VIII-a + +1. + +(i) Să se arate că pentru orice $a, b, c \in \mathbb{R}$ are loc egalitatea $4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=(a+b+c)^{2}+(-a+b+c)^{2}+(a-b+c)^{2}+(a+b-c)^{2}$. + +(ii) Dacă $u, v, t \in \mathbb{N}$ sunt pătrate perfecte pare, arătatị că $u+v+t$ este suma a patru pătrate perfecte. + +2. + +(i) Dacă $t \in \mathbb{R}^{*}$ și $t-\frac{3}{t}=2$, să se arate că $t \in\{-1,3\}$. + +(ii) Numerele reale $a$ și $b$ verifică egalitatea $a^{2} \cdot b^{-2}-3 a^{-2} \cdot b^{2}=2$. Să se arate că $a$ și $b$ nu pot fi simultan raționale. + +3. Într-un paralelipiped dreptunghic suma tuturor muchilor este $76 \mathrm{~cm}$, iar lungimea diagonalei este $13 \mathrm{~cm}$. + +Calculaţi $(a+b-c) \cdot(a-b+c)+(a+b-c) \cdot(-a+b+c)+(a-b+c) \cdot(-a+b+c)$, unde $a, b$ și c sunt dimensiunile paralelipipedului. + +4. Se consideră tetraedrul $A B C D$ cu muchiile opuse perpendiculare. Fie $A E \perp B C, E \in B C, A F \perp C D$, $F \in C D$. Fie $B F \cap D E=\{R\}$ şi $C R \cap B D=\{J\}$. + +(i) Demonstraţi că $D E \perp B C$. + +(ii) Demonstraţi că $A J \perp B D$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a VIII-a + +1. + +(i) $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c$ + +Finalizare + +(ii) $u=(2 n)^{2}, v=(2 m)^{2}, u=(2 p)^{2}$ unde m,n,p sunt numere naturale. + +2. (i) Se aduce la forma $t^{2}-2 t-3=0$ + +(ii) Se notează $\frac{a^{2}}{b^{2}}=t$ ecuația $a^{2} \cdot b^{-2}-3 a^{-2} \cdot b^{2}=2$ devine $t-\frac{3}{t}=2$ + +$\frac{a^{2}}{b^{2}}=-1$ nu are soluții reale. $\frac{a^{2}}{b^{2}}=3$ implică $a^{2}=3 b^{2}$ + +Finalizare + +3. + +Fie S suma tuturor muchiilor, atunci $S=4(a+b+c)=76$, de unde $a+b+c=19$ + +Din $d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=13$ se obţine $a^{2}+b^{2}+c^{2}=169$ + +$E=(a+b+c)^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ + +Finalizare $E=19^{2}-2 \cdot 169=361-338=23$ + +4. + +(i) + +Analog $C D \perp B F$, deci $R$ este ortocentrul triunghiului $B C D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b635fb195b0f6dbc1064g-2.jpg?height=403&width=508&top_left_y=1980&top_left_x=1391) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-635-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-635-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b76834f22c385dc740dcde15e794549c0e10f1f4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-635-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# Olimpiada de matematică + +Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a VII-a + +1. + +(i) Să se arate că $\sqrt{n}+\sqrt{n+3}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \quad \forall n \in \mathbb{N}$. + +(ii) Să se compare numerele $3 A$ și $B$, unde $A=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{100}-\sqrt{97}}$ ș + +$$ +B=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}-\sqrt{98}} +$$ + +2. + +(i) Dacă $x \in \mathbb{N}$ și 3 nu divide pe $x$, arătatil că restul împărtiriii lui $x^{2}$ la 3 este egal cu 1 . + +(ii) Dacă numerele $a, b, c \in \mathbb{N}$ nu sunt divizibile cu 3 , demonstrați că numărul $u=\sqrt{a^{2014}+b^{2016}+c^{2018}+2}$ este irational. + +3. Arătati că într-un trapez isoscel înălțimea este egală cu linia mijlocie dacă și numai dacă diagonalele sunt perpendiculare. +4. Fie triunghiul isoscel $A B C$ cu $A B=A C$ şi $\mathrm{M}$ mijlocul lui $[A C]$, iar $N \in A B, B \in(A N)$ astfel încât $B N=A M$. Dacă $\{O\}=M N \cap B C$, să se arate că: + +(i) Punctul $O$ este mijlocul lui $[M N]$. + +(ii) $O C=3 \cdot O B$. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică
Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a VII-a + +1. + +(i) Se ridică la pătrat $\sqrt{n}+\sqrt{n+3}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \quad \forall n \in \mathbb{N}$. + +Finalizare + +(ii) Inegalitatea (i) devine $\frac{3}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}} \quad \forall n \in \mathbb{N}$. + +Prin însumare obținem $3 A Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +1. Să se determine cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{6^{6}}$ este număr natural. + +SGM 2014 + +2. (i) Demonstrați că numerele de forma aaaaaa sunt divizibile cu 7 , unde $a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$; + +(ii) Demonstrati că numărul $1 . .12 . .23 \ldots 9 . . .9$ este divizibil cu 7 , știind că fiecare cifră de la 1 la 9 apare de 12 ori. + +SGM 2014 + +3. Fie $A B C$ un triunghi isoscel cu baza $[B C]$, $D$ mijlocul laturii $[A B], E$ mijlocul laturii $[A C]$. Pe semidreapta (BE se consideră punctul $P$ astfel încât $[A P] \equiv[A B]$, iar punctul $F$ este mijlocul segmentului $[A P]$. Demonstrați că: + +(i) $[B E] \equiv[C D]$; + +(ii) $C D+C F=B P$. + +4. Se consideră 300 de puncte coliniare. Trei copii colorează aceste puncte după cum urmează. Primul copil colorează cu verde primele trei puncte, apoi sare peste unul, apoi iar colorează următoarele trei și iar sare peste unul și așa mai departe până la finalul celor 300 de puncte. Al doilea copil realizează de la început o recolorare asemănătoare, dar cu albastru și colorează primele patru puncte, apoi sare unul, și iar următoarele patru și sare peste unul etc. Al treilea copil recolorează cu maro câte cinci puncte și sare peste unul și apoi următoarele cinci etc. Câte puncte au rămas la final necolorate? + +SGM 2014 + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + +Olimpiada de matematică + +Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +1. + +Întrucât $6^{6}=2^{6} \cdot 3^{6}$, numărul $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{6^{6}}$ este natural dacă $\quad 1 p$ p + +$2^{6} / 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$, respectiv $\quad 3^{6} / 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \quad 2 p$ + +Finalizare $n=15$ 3p + +2. (i) $\overline{\text { aaaaaa }}=a \cdot 111111$ 1p + +$7 / 111111 \Rightarrow 7 / a \cdot 111111$, unde $a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \quad 1 p$ + +Finalizare + +(ii) Numărul $\overline{1 \ldots 12 \ldots 23 \ldots 9 . .9}$ conține secvențe de 12 cifre de forma $\overline{a \ldots a} \quad 2 p$ + +Numărul poate fi scris sub forma $9 \cdot 1 \ldots 1+8 \cdot 1 \ldots 1 \cdot 10^{12}+\ldots \quad 1 p$ + +Finalizare $1 \mathrm{p}$ + +3. + +(i) Avem $A D=\frac{A B}{2}=\frac{A C}{2}=A E,[A D] \equiv[A E]$ + +$[A B] \equiv[A C], \Varangle B A E \equiv \Varangle C A D$ (unghi comun), $[A E] \equiv[A D] \stackrel{(L U L)}{\Rightarrow}$ + +$\triangle A B E \equiv \triangle A C D \Rightarrow[B E] \equiv[C D]$ + +(ii) Punctul $F$ este mijlocul segmentului $[A P]$ si $[A P] \equiv[A B]$. + +Rezultă $A F=\frac{A P}{2}=\frac{A B}{2}=\frac{A C}{2}=A E,[A F] \equiv[A E]$. + +$[A C] \equiv[A P], \Varangle C A F \equiv \Varangle P A E$ (unghi comun) $[A F] \equiv[A E] \stackrel{(L U L)}{\Rightarrow} \triangle A C F \equiv \triangle A P E, C F=P E$ + +Finalizare $C D+C F=B E+E P=B P$ + +4. + +Primul copil lasă tot al patrulea punct necolorat cu verde. + +Al doilea copil lasă necolorat cu albastru din cinci în cinci puncte. + +Al treilea copil lasă necolorat cu maro din 6 în șase puncte. $1 p$ + +Rămân punctele necolorate care sunt multiplii de 4,5 , respectiv 6 + +cmmmc $[4,5,6]=60$ + +Finalizare 3 puncte + +$2 p$ + +Notă Se punctează orice altă solutuie corectă. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-637-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-637-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f1df8954b18e0baca9f289ac50739b1de51fb04 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-637-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,78 @@ +# Olimpiada Națională de matematică
Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +1. Determinați numărul natural de două cifre, scris în baza 10 , care, împărțit la răsturnatul său, dă câtul 2 și restul 15 . +2. Se consideră numerele $A=2+4+\ldots+2014$ și $B=1+3+\ldots+2015$. + +a) Stabilitị care dintre cele două numere este mai mare. + +b) Arătați că între numerele $\mathrm{A}$ și $\mathrm{B}$ nu se găsește pătratul nici unui număr natural. + +3. + +a) Calculați produsul $a \cdot b \cdot c$ știind că $\overline{a b c}+\overline{a b c 2}=2015$. + +b) Determinați restul împărțirii numărului $N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2014+2013$ la 2015. + +4. Doi elevi au șapte cartonașe albe numerotate de la 1 la 7 și șapte cartonașe roșii numerotate de la 1 la 7. Stabilititi dacă cei doi elevi pot forma perechi din câte un cartonaș alb și unul roșu, astfel încât sumele obținute adunând numerele scrise pe cartonașele din fiecare pereche să fie șapte numere naturale consecutive. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +1. + +Din teorema împărțirii cu rest avem $\overline{a b}=\overline{b a} \cdot 2+15$ avem $\overline{a b}>15$ + +$10 a+b=20 b+2 a+15$ de unde obținem $8 a=19 b+15$ + +Finalizare $a=9$ și $b=3$ + +``` +2. a) \(A=2+4+\ldots+2014=2(1+2+\ldots+1007)=2 \cdot 1007 \cdot 1008: 2=1007 \cdot 1008\) +``` + +$1 \mathrm{p}$ +$B=1+3+\ldots+2015=1008^{2}$ +$2 p$ +Finalizare $B>A$ +$1 \mathrm{p}$ +b) $1007^{2}<1007 \cdot 1008<1008^{2}$ ..... $1 p$ +Finalizare ..... $2 p$ + +3. + +a) Egalitatea se mai scrie: $\overline{a b c}+10 \cdot \overline{a b c}+2=2015 \Leftrightarrow 11 \cdot \overline{a b c}=2013 \Leftrightarrow \overline{a b c}=183 . \quad 2 p$ De unde obtinem $a=1, b=8, c=3$ + +$1 p$ + +Finalizare $a \cdot b \cdot c=1 \cdot 8 \cdot 3=24$. + +b) Din faptul că $2015=1 \cdot 5 \cdot 403$ rezultă + +Presupunem că cei doi elevi pot obține o împărțire a cartonașelor în perechi cu cele șapte sume numere naturale consecutive. Atunci sumele obtinute ar fi $a, a+1, a+2, a+3, \ldots, a+6$ + +si $a+a+1+a+2+\ldots .+a+6=2 \cdot(1+2+3+\ldots+7)$ + +$7 \cdot a+6 \cdot 7: 2=2 \cdot(7 \cdot 8: 2) \Leftrightarrow 7 \cdot a+21=56 \Rightarrow a=5$ + +Sumele în perechi sunt $5,6,7,8,9,10,11$. + +O grupare ar fi : + +| Nr. cartonaș alb | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | +| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Nr. cartonaș roșu | 7 | 5 | 2 | 6 | 1 | 3 | 4 | +| Suma în pereche | 8 | 7 | 5 | 10 | 6 | 9 | 11 | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-638-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-638-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd02bd452b02407692bea159db8ea192af043def --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-638-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# Olimpiada de matematică + +Faza locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a IX-a + +1. + +(i) Să se rezolve ecuația $\left[\frac{2 x-1}{3}\right]=x-1, x \in \mathbb{R}$, unde pentrua $\in \mathbb{R},[a]$ reprezintă partea întreagă a lui $a$. + +(ii) Să se determine o progresie aritmetică $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} c u a_{n} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $6 / 7^{n}+a_{n}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2. + +(i) Arătați că $[\sqrt{4 n+1}]=[\sqrt{4 n+2}] \quad \forall n \in \mathbb{N}$. + +(ii) Demonstrati că $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4 n+1}]$ pentru orice $n \in \mathbb{N}$, unde pentrua $\in \mathbb{R},[a]$ reprezintă partea întreagă a lui a. + +3. + +(i) Fie $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Să se arate că $4(a+c)(b+d) \leq(a+b+c+d)^{2}$. + +(ii) Numerele reale pozitive $x, y, z, t$ au suma egală cu 4 . Să se arate că $x \sqrt{y}+y \sqrt{z}+z \sqrt{t}+t \sqrt{x} \leq 4$. + +4. Fie $A B C D$ un patrulater înscris într-un cerc de centru $O$. Notăm cu $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ortocentrele triunghiurilor $A B C, B C D, C D A$, respectiv $D A B$ și cu $M, N$ mijloacele diagonalelor $[A C]$ respectiv $[B D]$. (i) Arătați că segmentele $\left[D H_{1}\right],\left[A H_{2}\right],\left[B H_{3}\right],\left[C H_{4}\right]$ au același mijloc $P$. + +(ii) Arătați că punctele $O, P$ și mijlocul segmentului $[M N]$ sunt coliniare. + +## NOTĂ + +- Toate subiectele sunt obligatorii; +- Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; +- Nu se acordă puncte din oficiu; +- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + + +## Olimpiada de matematică + +Etapa locală - 20 februarie 2015 + +## Clasa a IX-a + +1. + +(i) $\quad x-1=k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^{*}$ + +$x-1 \leq \frac{2 x-1}{3}4, \mathrm{~b}=\mathrm{n}\left(7^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}+1}+7^{\mathrm{n}+2}+7^{\mathrm{n}+3}\right)-4 \cdot 7^{\mathrm{n}}-3 \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+2 \cdot 7^{\mathrm{n}+2}-7^{\mathrm{n}+3}$ si tinand seama de $\left.\mathrm{a}\right)$, mai trebuie calculata ultima cifra a numarului $\mathrm{c}=2 \cdot 7^{\mathrm{n}+2}-4 \cdot 7^{\mathrm{n}}-3 \cdot 7^{\mathrm{n}+1}-$ $7^{\mathrm{n}+3}$ $1 \mathrm{p}$ + +$$ +\begin{aligned} +\text { Pentru } \mathrm{n} & =4 \mathrm{k}, \mathrm{U}(\mathrm{c})=U(2 \cdot 9-4 \cdot 1-3 \cdot 7-3)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 \mathrm{k}+1, \mathrm{U}(\mathrm{c})=\mathrm{U}(2 \cdot 3-4 \cdot 7-3 \cdot 9-1)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 k+2, U(c)=U(2 \cdot 1-4 \cdot 9-3 \cdot 3-7)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 k+3, U(c)=U(2 \cdot 7-4 \cdot 3-3 \cdot 1-9)=0 +\end{aligned} +$$ + +deci b:10, oricare ar fi $n \in N$, $n \geq 4$. . $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Fie punctele coliniare A, $\mathrm{O}, \mathrm{D}$ unde $\mathrm{O} \in(\mathrm{AD})$ și unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}$ și $\Varangle \mathrm{BOC}$ adiacente, iar semidreapta (OC este interioară unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$. Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=5 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})$, $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\frac{5}{3} \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})$ și $[O M$ este bisectoarea $\Varangle \mathrm{AOC}$ iar $\mathrm{Q}$ punct interior unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})=90^{\circ}$, se cere: +a) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})$. + +b) Să se arate că [OQ este bisectoarea unghiului m( $\Varangle \mathrm{COD}$ ). + +## Rezolvare: + +a) Fie $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\mathrm{a}$, deci $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=\frac{a}{5}, \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})=\frac{3 a}{5}$ + +$$ +\begin{gathered} +\text { Obținem relația } \frac{a}{5}+a+\frac{3 a}{5}=180^{\circ} \\ +\mathrm{a}=100^{\circ} +\end{gathered} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_00e82414df2d953fbe02g-4.jpg?height=283&width=305&top_left_y=121&top_left_x=356) +Finalizare $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=20^{\circ}, \mathrm{M}(\Varangle \mathrm{BOC})=100^{\circ}, \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})=60^{\circ}$ ..... $2 p$ +b) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOC}): 2=60^{\circ}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{QOD})=180^{\circ}-[\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})+\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})]=$ +$=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}\right)=30^{\circ}$ ..... $1 p$ + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{QOD})=30^{\circ}=60^{\circ}: 2=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD}): 2$, deci (OQ bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{COD}$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine) situate pe dreapta d, astfel încât $[A B] \equiv[C D]$. De aceeaşi parte a dreptei d se consideră punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{F}$ astfel încât $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}], \angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ şi $[\mathrm{BF} \subset \mathrm{Int} \angle \mathrm{EBC}$. Să se demonstreze că: +a) $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{DF}]$; +b) $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. + +## Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_00e82414df2d953fbe02g-4.jpg?height=357&width=997&top_left_y=1318&top_left_x=381) + +a) Arătăm că $\triangle E B A \equiv \triangle E C D$. Din ipoteză avem că, $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{CD}]$ și $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}]$, iar din faptul că $\angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ deducem că $\prec E B A \equiv \prec F C D$ (au același suplement). Deci, în baza cazului (L.U.L) avem că $\triangle E B A \equiv \triangle F C D$ de unde rezultă că $[A E] \equiv[D F]$ (4p) + +b) Vom considera triunghiurile $\triangle F A C$, respectiv $\triangle E D B$ în care știm că [BE] $\equiv[C F]$, $\angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ și $[\mathrm{BD}] \equiv[\mathrm{CA}]$. Atunci în baza cazului de congruență (L.U.L) avem că $\triangle F A C \equiv \triangle E D B$ de unde rezultă că $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. (3p) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-64-OLIMPIADA DE MATEMATIC\304\202 2020 ETAPA LOCAL\304\202 Bucuresti-subiectebaremeolm2020bucuresticlasele912.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-64-OLIMPIADA DE MATEMATIC\304\202 2020 ETAPA LOCAL\304\202 Bucuresti-subiectebaremeolm2020bucuresticlasele912.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f4e7392b3b50f352caceca5199b2b215294c1c0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-64-OLIMPIADA DE MATEMATIC\304\202 2020 ETAPA LOCAL\304\202 Bucuresti-subiectebaremeolm2020bucuresticlasele912.md" @@ -0,0 +1,275 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 02.02.2020 + +CLASA a IX-a + +## SOLUTII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunț subiect 1, autor Valentin Nicula + +Determinaţi numerele naturale $n$ pentru care numărul $\sqrt{4 n+1}+\sqrt{9 n+13}$ este număr rațional. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Fie $m, n \in N^{*}$ astfel încât $\sqrt{m}+\sqrt{n}=r$, cu $r \in Q^{*}$. Rezultă că $\sqrt{m}=r-$
$\sqrt{n}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Avem $m=r^{2}-2 r \sqrt{n}+n$ și implicit $\sqrt{n}=\frac{r^{2}+n-m}{2 r}$, de unde $\sqrt{n} \in Q^{*}$. | | +| Fie $p, q \in N^{*}$, cu $(p, q)=1$ astfel încât $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$. Avem $n q^{2}=p^{2}$, de unde
$n \vdots p^{2}$. Rezultă $n=k p^{2}$, cu $k \in N^{*}$ și implicit $k q^{2}=1$, de unde $q^{2}=1$. În
concluzie $\sqrt{n} \in N^{*}$ și din simetria relației $\sqrt{m} \in N^{*}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Fie $p, q \in N^{*}$ astfel încât $4 n+1=p^{2}$ și $9 n+13=q^{2}$.
Rezultă că $4 q^{2}-9 p^{2}=43$ și implicit $(2 q-3 p)(2 q+3 p)=43$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Din $2 q-3 p=1$
12. {fd509fb7d-01ed-48e1-bb52-5a46c3543741} obținem {fceb6fc5e-8a79-4e20-a992-8444b21fff60} și {f45e6b9c4-260d-4e9d-829f-fdcd2aed1b70}, de unde {f9976ab66-081b-4684-ad08-3b875d39b30c} | $2 \mathrm{p}$ | + +Enunț subiect 2, autor Mircea Țeca + +Fie numerele reale a şi b cu proprietatea $[|a+b|]<4$. Arătaţi că $[a b]<4$. (Pentru a real se notează $[\mathbf{a}]$ partea întreagă a lui a și $|\mathbf{a}|$ modulul lui a). + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Din $[\|a+b\|]<4$ rezultă $[\|a+b\|] \leq 3$, de unde $\|a+b\|<4$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Ridicând la pătrat obținem $a^{2}+2 a b+b^{2}<16$ și implicit $(a-b)^{2}+$
$4 a b<16$.
Rezultă că $4 a b<16$, de unde $a b<4$. | $4 \mathrm{p}$ | +| Cum $[a b] \leq a b$, obținem în concluzie $[a b]<4$. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunț subiect 3, autor Costin Negrii- G.M.10/2019 + +Să se rezolve în mulţimea $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ ecuaţia: $x^{2}-y!=2019$. + +(Pentru n natural nenul se notează $n!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$, iar $0!=1$ ). + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Pentru $y>5$ numărul $y$ ! este multiplu de 9 și cum 2019 este multiplu
de 3 , dar nu de 9 , rezultă că $x^{2}$ este multiplu de 3 și nu de 9 . | $2 \mathrm{p}$ | +| Acest lucru nu este posibil, căci dacă $x^{2}$ se divide cu 3 , atunci $x^{2}$ se
divide și cu 9. Contradicția obținută arată că $y$ este cel mult egal cu 5 . | $2 \mathrm{p}$ | +| Încercând toate valorile $y=0,1,2,3,4,5$ singura care verifică
$\sqrt{2019+y!} \in N$, este $y=3$ pentru care $x=45$. În concluzie, avem
soluția unică $x=45$ și $y=3$. | $3 p$ | + +Enunț subiect 4, autori Petre Simion, Cristian Ciobănescu + +În pătratul $A B C D$, fie $M \in A C$. Paralela prin $M$ la $A D$ intersectează $B D$ în $N$, paralela prin $N$ la $D C$ intersectează $A C$ în $P$, iar paralela prin $P$ la $B C$ intersectează $D B$ în $Q$. Punctele $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ şi $O_{4}$ sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $M A B, N A B, P C B$ şi respectiv $N B C$. Demonstraţi că $\overrightarrow{O_{1} \mathrm{O}_{2}}+\overrightarrow{O_{3} O_{4}}=\overrightarrow{Q N}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| N este ortocentrul triunghiului MAB, iar M este ortocentrul triunghiului
NAB
P este ortocentrul triunghiului NBC, iar N este ortocentrul triunghiului
PBC | $2 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f21fc077e82e3a5a6798g-02.jpg?height=338&width=1403&top_left_y=1946&top_left_x=238) | $2 \mathrm{p}$ | +| Prin scăderea relațiilor (1) și (2) obținem:
$\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{~N}}-\overrightarrow{\mathrm{O}_{2} \mathrm{M}}=\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}}+\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}}+\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{M}}-\overrightarrow{\mathrm{O}_{2} \mathrm{~N}}-\overrightarrow{\mathrm{O}_{2} \mathrm{~A}}-\overrightarrow{\mathrm{O}_{2} \mathrm{~B}}$ de unde $\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{~N}}-\overrightarrow{\mathrm{O}_{2} \mathrm{M}}=$
$\left(\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}}+\overrightarrow{\mathrm{AO}_{2}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}_{2}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{M}}-\overrightarrow{\mathrm{O}_{2} \mathrm{~N}}$
De aici $2 \overrightarrow{\mathrm{MN}}=2 \overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}$, adică $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}$.
Analog, prin scăderea relatiilor (3) si (4) se obține că $\overrightarrow{\mathrm{PN}}=\overrightarrow{\mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{4}}$.
De aici $\overrightarrow{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{4}}=\overrightarrow{\mathrm{QN}}$, deoarece MNPQ este pătrat. | $3 p$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 02.02.2020 + +CLASA a X-a + +## SOLUTII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunţ subiect 1, autori Ana-Mariași Daniel Petriceanu + +Determinaţi toate funcţiile injective $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică egalitatea + +$$ +2+f(x+y)=f(f(x)+y), \forall x, y \in \mathbb{R} +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Fie $y \rightarrow x$ și $x \rightarrow y$. Obținem $2+f(y+x)=f(f(y)+x)$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Rezultă $f(f(x)+y)=f(f(y)+x)$. Deoarece $f$ este funcție injectivă se
obține: $f(x)+y=f(y)+x, \forall x, y \in \mathbb{R}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Pentru $y=0$ și notând $f(0)=k$ rezultă că $f(x)=k+x, \forall x \in \mathbb{R}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| Obținem $2+k+x+y=f(x)+y+k \Leftrightarrow f(x)=x+2, \forall x \in \mathbb{R}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunţ subiect 2, autor Constantin Nicolau, G.M.4/2019 + +Fie $u, v \in \mathbb{C}$, astfel încât $|u|=|v|$ si $2|u+v| \geq|u+3 v|$. Să se arate că $u=v$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Dacă $v=0$, atunci, evident $u=v=0$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă $v \neq 0$, fie Dacă $z=\frac{u}{v}$. Condițile devin $\|z\|=1$ și $2\|z+1\| \geq\|z+3\|$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Ridicând inegalitatea la pătrat, vom obține succesiv $4(z+1)(\bar{z}+1) \geq$
$(z+3)(\bar{z}+3) \Leftrightarrow z+\bar{z} \geq 2$. (1) | $3 \mathrm{p}$ | +| Dacă $z=a+b i, a, b \in \mathbb{R}$ atunci $(1) \Leftrightarrow a \geq 1$. Însă $a^{2}+b^{2}=1(2)$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Din (2) obținem $a=1$ și deci $b=0$, adică $z=1$. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunț subiect 3, autor Eugen Radu + +$$ +\text { Rezolvaţi ecuaţia } 5+\log _{12} \frac{x}{x^{3}+16}=x+\frac{2}{\sqrt{x-1}} +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Condiția de existență $x>1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Din inegalitatea mediilor avem $x+\frac{2}{\sqrt{x-1}}=1+(x-1)+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}} \geq$ | | +| $1++3 \sqrt{3} \sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-1}}}=4 \quad$ (1) | | +| Egalitate pentru $x-1=\frac{1}{\sqrt{x-1}} \Leftrightarrow x=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Dar $x^{3}+16=x^{3}+8+8 \geq 3 \sqrt[3]{x^{3} \cdot 8 \cdot 8}=12 x$, deci $\frac{x}{x^{3}+16} \leq \frac{1}{12}$, de
unde rezultă că $5+\log _{12} \frac{x}{x^{3}+16} \leq 4 . \quad$ (2) | $2 \mathrm{p}$ | +| Din (1) și (2) rezultă $x=2$, care verifică ecuația dată. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunţ subiect 4, autor Mihail Bălună + +## Rezolvaţi ecuaţia $\cos ^{5} x \cos 5 x-\sin ^{5} x \sin 5 x=1$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Ecuația se poate scrie echivalent
$\cos ^{2} x\left(1-\cos ^{3} x \cos 5 x\right)+\sin ^{2} x\left(1+\sin ^{3} x \sin 5 x\right)=0$
Deoarece $\cos ^{2} x\left(1-\cos ^{3} x \cos 5 x\right) \geq 0$ şi $\sin ^{2} x\left(1+\sin ^{3} x \sin 5 x\right) \geq 0$ iar
$\sin ^{2} x$ şi $\cos ^{2} x$ nu pot fi simultan 0 , egalitatea precedentă se realizează doar în
cazurile: | $2 \mathrm{p}$ | +| I) cos $x=0$ și $\sin ^{3} x \sin 5 x=-1$, situație în care nu obţinem nicio soluţie,
deoarece soluțile primei ecuații nu o verifică și pe a doua; | $1 \mathrm{p}$ | +| II) sin $x=0$ şi $\cos ^{3} x \cos 5 x=1$, situație în care obținem soluţile $x=n \pi$,
$n \in \mathbb{Z}$; | $2 \mathrm{p}$ | +| III) cos
obținem nicio soluție, deoarece $\cos x= \pm 1 \Rightarrow \sin x=0$. | $1 \mathrm{p}$ | +| În concluzie, soluțile ecuaţiei sunt $x=n \pi, n \in \mathbb{Z}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 02.02.2020
CLASA a XI-a
SOLUTJII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunţ subiect 1a) , autor *** + +Determinaţi toate matricele $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ care verifică ecuaţia $X^{3}-3 X^{2}+3 X=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 6 & 4\end{array}\right)$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Ecuația devine $\left(X-I_{2}\right)^{3}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 6 & 3\end{array}\right)$. Notăm $Y=X-I_{2} \Rightarrow Y^{3}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 6 & 3\end{array}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\begin{aligned} \(\operatorname{det}\left(Y^{3}\right)=0 \Rightarrow \operatorname{det}(Y)=0\). Din teorema Hamilton-Cayley avem: \(Y^{2}-t Y=O_{2} \\ \Rightarrow Y^{2}=t Y \Rightarrow Y^{3}=t^{2} Y\end{aligned}$\) | $1 \mathrm{p}$ | +| Așadar $t^{2} Y=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 6 & 3\end{array}\right) \Rightarrow \operatorname{Tr}\left(t^{2} Y\right)=5 \Rightarrow t^{3}=5 \Rightarrow t=\sqrt[3]{5} \quad(t \in \mathbb{R})$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow Y=\frac{1}{\sqrt[3]{25}}\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 6 & 3\end{array}\right)$ | | +| Obținem $X=I_{2}+Y=I_{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{25}}\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 6 & 3\end{array}\right)$. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunț subiect 1b), autor S. Moldoveanu + +În mulțimea $\mathcal{M}_{\boldsymbol{n}}(\{0,1\}), n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$, vom spune că o matrice este simplă dacă pe fiecare linie a sa, între orice două elemente egale cu 1 nu avem niciun element egal cu 0. Demonstraţi că orice matrice simplă are determinantul $-1,0$ sau 1 . + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Vom demonstra afirmația prin inducție matematică. Verificarea cazului $n=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Presupunem că orice matrice simplă cu j linii și j coloane are determinantul 0,
1 sau -1 și demonstrăm că orice matrice simplă cu $j+1$ linii și j+1 coloane are
determinantul din aceeași mulțime. | $2 \mathrm{p}$ | +| Dacă în matricea cu j+1 linii în prima coloană avem numai 0 , atunci
determinantul său este 0. | | + +Dacă avem cel puțin un element egal cu 1 în prima coloană, vom considera numai liniile care încep cu 1. Dintre acestea vom alege linia care are cele mai puține elemente egale cu 1 și o vom scădea din celelalte linii care încep cu 1 (dacă avem două linii care au același număr minim de valori 1, determinantul este 0 ). + +Rezultă că determinantul matricei inițiale este $\pm 1$ înmulțit cu determinatul unei matrice simple cu j linii și j coloane. + +De aici rezultă concluzia. + +Enunţ subiect 2, autori Gheorghe Alexe, George-Florin Șerban, GM 5/2019 + +Matricele $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ verifică $A B=2 A+3 B$. Să se arate că $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B)$ și că matricele $A-3 I_{n}$ şi $B-2 I_{n}$ sunt inversabile. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| $A B=2 A+3 B \Leftrightarrow A B-2 A-3 B+6 I_{n}=6 I_{n} \Leftrightarrow\left(A-3 I_{n}\right)\left(B-2 I_{n}\right)=$
$6 I_{n}$, de unde aflăm că matricele $A-3 I_{n}$ și $B-2 I_{n}$ sunt inversabile. | $3 p$ | +| $\begin{aligned}\(A B=2 A+3 B & \Leftrightarrow A B-2 A=3 B \Leftrightarrow A\left(B-2 I_{n}\right)=3 B \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow A\left(\frac{1}{3}\left(B-2 I_{n}\right)\right) & =B\end{aligned}$\) | $2 \mathrm{p}$ | +| Cum matricea $\frac{1}{3}\left(B-2 I_{n}\right)$ este inversabilă, deducem $\operatorname{rang}(A)=$
$\operatorname{ang}(B)$. | $2 p$ | + +Enunţ subiect 3, autor George-Daniel Zidu + +Considerăm şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ astfel încât $x_{1} \in[-2 ; 2]$ şi $x_{n+1}=\frac{3 x_{n}+7}{x_{n}+3}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se stabilească dacă există $\boldsymbol{p} \in \mathbb{R}$, pentru care şirul $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ definit prin $y_{n}=\boldsymbol{n}^{p}\left(\sqrt{7}-x_{n}\right)$, $n \in \mathbb{N}^{*}$ să fie convergent către un număr real nenul. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Se arată prin inducție: $x_{n} \in[1 ; \sqrt{7}), \forall n \geq 2$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $x_{1} \in[-2 ; 2] \Leftrightarrow \frac{2}{x_{1}+3} \in\left[\frac{2}{5} ; 2\right] \Leftrightarrow 3-\frac{2}{x_{1}+3} \in\left[1 ; \frac{13}{5}\right] \Leftrightarrow x_{2} \in\left[1 ; \frac{13}{5}\right] \subset[1 ; \sqrt{7})$. | | +| Pentru $x_{n} \in[1 ; \sqrt{7})$ avem $\frac{2}{x_{n}+3} \in\left(3-\sqrt{7} ; \frac{1}{2}\right] \Leftrightarrow 3-\frac{2}{x_{n}+3} \in\left[\frac{5}{2} ; \sqrt{7}\right)$, de unde | | +| $x_{n+1} \in[1 ; \sqrt{7})$. De aici deducem că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este mărginit. | | +| Pentru monotonie: $x_{n+1}-x_{n}=\frac{3 x_{n}+7}{x_{n}+3}-x_{n}=\frac{3 x_{n}+7-x_{n}^{2}-3 x_{n}}{x_{n}+3}=\frac{7-x_{n}^{2}}{x_{n}+3}>0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$, adică șirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este monoton strict crescător. Din Weierstrass, | | +| $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este convergent și are limita $\sqrt{7}$. | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f21fc077e82e3a5a6798g-07.jpg?height=660&width=1613&top_left_y=321&top_left_x=244) + +Enunț subiect 4, autori Ana-Mariași Daniel Petriceanu + +Fie $x_{n}=\{\sqrt{n-1}\}+\{\sqrt{n}\}+\{\sqrt{n+1}\}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Demonstraţi că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ are un subşir cu limita 1. + +b) Demonstraţi că $\forall L \in[0,3]$, există un subşir al șirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ care are limita $L$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a)$x_{4 n^{2}}=\left\{\sqrt{4 n^{2}-1}\right\}+\left\{\sqrt{4 n^{2}}\right\}+\left\{\sqrt{4 n^{2}+1}\right\}=\sqrt{4 n^{2}-1}-(2 n-1)+$
$\sqrt{4 n^{2}+1}-2 n=$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $=\frac{4 n^{2}-1-4 n^{2}}{\sqrt{4 n^{2}-1}+2 n}+1+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}+1}+2 n} \rightarrow 1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| b) Fie $a, b \in[0 ; 3), a\max \left\{\frac{3}{b-a} ; \frac{b^{2}}{6(3-b)}\right\}$. Alegem $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel
încât $[\sqrt{n-1}]=[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]=k \Leftrightarrow k^{2}+1 \leq n<(k+1)^{2}-1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Demonstrăm că $\exists n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $a $a<\{\sqrt{n-1}\}+\{\sqrt{n}\}+\{\sqrt{n+1}\} $\Leftrightarrow a+3 k<\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1} Avem $\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<3 \sqrt{n}$. Punem condiția $3 \sqrt{n} $\left(\frac{b+3 k}{3}\right)^{2}$
Avem $\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}>3 \sqrt{n-1}$. Punem condiția $3 \sqrt{n-1}>a+3 k \Leftrightarrow$
$n>1+\left(\frac{a+3 k}{3}\right)^{2}$. Deoarece $\left(\frac{b+3 k}{3}\right)^{2}-\left(\frac{a+3 k}{3}\right)^{2}-1>1 \Leftrightarrow$
$b^{2}-a^{2}+6 k(b-a)>18$, este adevărată pentru că știm $k>\frac{3}{b-a}$.
Deci $\exists n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $1+\left(\frac{a+3 k}{3}\right)^{2} determinate în relația (1), verifică aceste inegalități:
$k^{2}+1 \leq\left(\frac{a+3 k}{3}\right)^{2}+1 \Leftrightarrow \mathrm{a} \geq 0$ adevărată. | $2 \mathrm{p}$ | + +$\left(\frac{b+3 k}{3}\right)^{2}<(k+1)^{2}-1 \Leftrightarrow k>\frac{b^{2}}{6(3-b)}$ adevărată. + +Așadar, $\exists n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $a asociat | +| :--- | :--- | +| $\int_{0}^{2} x^{4} \cos \frac{x}{n} d x=\frac{32}{5}-2 \int_{0}^{2} x^{4} \sin ^{2} \frac{x}{2 n} d x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Avem $0 \leq x^{4} \sin ^{2} \frac{x}{2 n} \leq \frac{x^{6}}{4 n^{2}}, \forall x \in[0 ; 2] \Rightarrow 0 \leq \int_{0}^{2} x^{4} \sin ^{2} \frac{x}{2 n} d x \leq \frac{2^{7}}{28 n^{4}}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2} x^{4} \sin ^{2} \frac{x}{2 n} d x=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Obținem că există $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2} x^{4} \cos \frac{x}{n} d x=\frac{32}{5}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunț subiect 2, autori Ana-Maria si Daniel Petriceanu + +Determinaţi toate funcţiile derivabile $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică condiţile $f \in \int g(x) d x$ şi $g \in \int f(x) d x$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Avem $f^{\prime}(x)=g(x)$ si $g^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Obținem $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=f(x)+g(x) \Leftrightarrow\left(f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\right) e^{-x}-(f(x)+$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $g(x)) e^{-x}=0 \Leftrightarrow \exists c_{1} \in \mathbb{R}$ astfel încât $(f(x)+g(x)) e^{-x}=c_{1} \Leftrightarrow f(x)+g(x)=$ | | +| $c_{1} e^{x}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Pe de altă parte avem: $f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=g(x)-f(x) \Leftrightarrow\left(f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\right) e^{x}+$ | | +| $(f(x)-g(x)) e^{x}=0 \Leftrightarrow \exists c_{2} \in \mathbb{R}$ astfel încât $(f(x)-g(x)) e^{x}=c_{2} \Leftrightarrow f(x)-$ | | +| $g(x)=c_{2} e^{-x}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Soluția căutată este $f(x)=\frac{c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}}{2}, g(x)=\frac{c_{1} e^{x}-c_{2} e^{-x}}{2}$. | | + +Enunţ subiect 3 + +a) autori Costel Chiteș si Stelian Fedorca În inelul matricelor $\left(M_{4}(\mathbb{Z}),+, \cdot\right)$ considerăm matricea + +$$ +A=\left(\begin{array}{cccc} +2020 & 582 & 860 & 870 \\ +1962 & 603 & 342 & 1011 \\ +3444 & 102 & 502 & 48 \\ +228 & 972 & 708 & 51 +\end{array}\right)=\left(a_{i j}\right)_{i, j \epsilon \overline{1,5}} +$$ + +Fie $\widehat{A}=\left(\widehat{a}_{i j}\right)_{i, j \in \epsilon \overline{1,5}}$ matricea A redusă modulo 5. Demonstraţi că $\widehat{A}$ este inversabilă şi calculaţi inversa sa. + +b) autori Ana-Maria si Daniel Petriceanu + +Fie $A=\left\{x^{2}-x y+4 y^{2} \mid x, y \in \mathbb{Q}, x^{2}+y^{2} \neq 0\right\}$. Demonstraţi că $A$ este grup abelian în raport cu înmulţirea numerelor. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) $\operatorname{det} \hat{A}=\hat{1} \neq \hat{0}$, deducem că matricea $\hat{A}$ este inversabilă. | $1 \mathrm{p}$ | +| Obținem $\hat{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\hat{4} & \hat{4} & \hat{3} & \hat{2} \\ \hat{3} & \hat{0} & \hat{0} & \hat{0} \\ \hat{4} & \hat{0} & \hat{2} & \hat{4} \\ \hat{0} & \hat{3} & \hat{0} & \hat{3}\end{array}\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Fie $u, v \in A$, atunci $u=x^{2}-x y+2 y^{2}$ și $v=a^{2}-a b+2 b^{2},(a ; b) \neq$
$(0 ; 0)$ și $(x ; y) \neq(0 ; 0), x, y, a, b \in \mathbb{Q}$
Definim matricele $X=\left(\begin{array}{cc}x & y \\ -2 y & x-y\end{array}\right)$ și $Y=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -2 b & a-b\end{array}\right)$. Avem $u v=$
$(\operatorname{det} X)(\operatorname{det} Y)=\operatorname{det}(X Y)=(a x-2 b y)^{2}-(a x-2 b y)(a y+b x-b y)+$
$2(a y+b x-b y)^{2}$
$(a x-b y, a y+b x-b y) \neq(0 ; 0)$
Deducem că $u v \in A$. | $2 p$ | +| Avem $\frac{1}{u}=\frac{1}{\operatorname{det} X}=\operatorname{det} X^{-1}$. Deoarece $X^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} X}\left(\begin{array}{cc}x-y & -y \\ 2 y & x\end{array}\right)=$
$\left(\begin{array}{cc}m-n \\ 2 n & m\end{array}\right)$, atunci $\frac{1}{u}=m^{2}-m n+2 n^{2},(m, n) \neq(0 ; 0)$. Deducem că $\frac{1}{u} \in A$.
Am obținut că $A$ este subgrup al grupului $\left(\mathbb{Q}^{*},\right)$, deci $(A ; \cdot)$ este grup abelian. | $2 \mathrm{p}$ | + +Enunț subiect 4, Costel Chites + +Fie $A=\{f \mid f:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R}, \boldsymbol{f}$ continuă $\}$. Vom considera că $(A,+, \cdot)$ este inel comutativ. + +a) (3p) Demonstraţi echivalența ${ }_{\text {„ }} f \in A$ este divizor al lui zero dacă şi numai dacă există un interval nevid şi deschis $I \subset[0 ; 1]$ pentru care $f(x)=0, \forall x \in I^{\prime \prime}$ + +b) (4p) In subinelul $B=\{\boldsymbol{f} \mid \boldsymbol{f}:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R}, \boldsymbol{f}$ derivabilă $\}$ determinaţi o pereche de funcţii $g, h \in B, g, h$ neidentic nule astfel încât $\boldsymbol{g} \cdot \boldsymbol{h}=\mathbf{0}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) $f$ este divizor al lui $0 \Leftrightarrow \exists g \in$ A astfel încât $g \neq 0$ și $f g=0$.
Deoarece $g \neq 0$, atunci $\exists a \in[0 ; 1]$ astfel încât $g(a) \neq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Din continuitatea lui $g$ rezultă că $\exists U \in V(a)$ pentru care $g(x) \neq 0 \forall x \in U \cap$
$[0 ; 1]$.
Am obținut că $\exists I \subset[0,1], I$ interval deschis astfel încât $g(x) \neq 0 \forall x \in I$. Din
condiția initială rezultă $f(x)=0, \forall x \in I$.
$\quad$ Se construiește $g$ pentru implicația reciprocă. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| b) Considerăm $0 $\qquad h(x)= \begin{cases}e^{\frac{1}{(x-c)(x-d)}}, & x \in(c ; d) \\ 0, & x \in[0 ; c] \cup[d ; 1]\end{cases}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Verificăm derivabilitatea funcților $g, h$,
$g$ este derivabilă pe $[0 ; 1] \backslash\{a ; b\}$ și $h$ este derivabilă pe $[0 ; 1] \backslash\{c ; d\}$.
$g_{s}^{\prime}(a)=0$ și $g_{d}^{\prime}(a)=\lim _{x \gg a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{e^{\overline{(x-a)(x-b)}}}{x-a}=0$.
Așadar $g$ este derivabilă în $x=a$. Analog $g$ este derivabilă în $b$ și $h$ în $c$ și $d$, iar
funcțile $g, h$ verifică condițiile cerute. | $2 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-640-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-640-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0259b58510fac15e58cdb4d9f99fe58a6af78540 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-640-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.md @@ -0,0 +1,145 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN + +MUREŞ + +ה-4ras + +www.edums.ro + +# S.S.M.R - FILIALA MUREST + +## Olimpiada de matematică + +## Faza locală 13.02.2015 + +## Clasa a V-a + +## 1. THEMA + +Berechne: $\quad \mathrm{a}=\left\{\left[2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{995}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right)$ + +## 2. THEMA + +Auf den Kreisen aus der Abbildung sind die Zahlen 3,7,11,15 $\qquad$ gestellt. + +a) Schreibt die Zahlen die man auf die folgenden zwei Kreisen stellen muß + +b) Bestimmt die Zahl die man auf den 2015-ten Kreis stellen muß + +c) Zeigt, dass die Zahl welche auf den 2015-ten Kreis liegt, kein vollständiges Quadrat ist. + +d) Berechne die Summe der Zahlen, welche sich auf den ersten 2015 Kreisen befinden. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc8ac07229c0dd5d256fg-1.jpg?height=507&width=572&top_left_y=1080&top_left_x=1514) + +## 3. THEMA + +Bestimme die zweistellige oder dreistellige Zahlen, welche bei der Division durch 13 den Quotienten $a$ und den Rest $b$ ergeben und bei der Division durch 11 den Quotienten $b$ und den Rest $a$ ergeben. + +## 4. THEMA + +Von den Zahlen $2^{213}$ und $3^{142}$ multipliziert man die größte Zahl mit 24 und die kleinste Zahl mit 18. Zeige, dass die Differenz der erhaltenen Zahlen teilbar durch 72 ist. + +Notă. Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Problemeselectate de prof. MacaveiLuminițași prof. Andreica Gheorghe + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a V-a + +Bareme de corectare + +## SUBIECTUL I + +Calculaţi: + +$$ +\mathrm{a}=\left\{\left[2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{995}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right) +$$ + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc8ac07229c0dd5d256fg-2.jpg?height=77&width=1390&top_left_y=1201&top_left_x=390) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc8ac07229c0dd5d256fg-2.jpg?height=60&width=1305&top_left_y=1318&top_left_x=455) + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{(25 \cdot 25): 5^{3}+128+11\right\}: 36 \text {............................................................................ } 2 p \\ +& \{5+128+11\}: 36 \quad \text {.............................................................................................. } 1 p +\end{aligned} +$$ + +$$ +144: 36=4 \quad \text {.........................................................................................1p } +$$ + +## SUBIECTUL II + +Pe cercurile din figură sunt aşezate numerele $3,7,11,15$, + +a) Scrieţi numerele ce urmează a fi aşezate pe următoarele două cercuri; + +b) Să se determine numărul ce trebuie aşezat pe al 2015 - lea cerc; + +c) Să se arate că numărul de pe cercul al 2015 - lea, nu este pătrat perfect; + +d) Să se calculeze suma numerelor de pe primele 2015 cercuri. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc8ac07229c0dd5d256fg-2.jpg?height=525&width=489&top_left_y=1762&top_left_x=1566) + +## Soluţie: + +a) 19,23 + +b) Numerele de pe cercuri sunt de forma $4 \mathrm{k}+3$ deci, pe al 2015 - lea cerc este $4 \cdot 2014+3=$ 8059 $2 \mathrm{p}$ + +c) Numărul de pe al 2015 - lea cerc este cuprins între două pătrate consecutive $89^{2}<8059<$ $90^{2}$ + +Sau: $\mathrm{nr}$. de forma $4 \mathrm{k}+3 \mathrm{nu}$ sunt pătrate perfecte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc8ac07229c0dd5d256fg-3.jpg?height=259&width=294&top_left_y=119&top_left_x=356) +d) $\mathrm{S}=4 \cdot 0+3+4 \cdot 1+3+4 \cdot 2+3+\ldots$ $\qquad$ $+4 \cdot 2014+3=4 \cdot(0+1+2+3+\ldots .+2014)+3 \cdot 2015=$ $=2014 \cdot 2015 \cdot 2+3 \cdot 2015=2015 \cdot 4031=8122465$ . $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Să se determine numerele formate din două sau trei cifre care împărțite la 13 dau câtul $a$ și restul $b$ și împărțite la 11 dau câtul $b$ și restul $a$. + +## Rezolvare: + +Fie $A$ numărul căutat, atunci: $A=13 a+b, b \leq 12$ $.1 \mathrm{p}$ + +şi $A=11 b+a, a \leq 10$.......................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +De unde $13 a+b=11 b+a \Rightarrow 6 a=5 b$, ................................................................... $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cc8ac07229c0dd5d256fg-3.jpg?height=74&width=1373&top_left_y=1162&top_left_x=427) + +Numerele căutate sunt: 71 și 142. .............................................................................. $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL IV + +Dintre numerele $2^{213}$ și $3^{142}$ numărul mai mare se înmulțește cu 24 iar numărul mai mic se înmulțește cu 18. Arătați că diferența numerelor astfel obținute este divizibilă cu 72 . + +## Rezolvare: + +Comparăm cele două numere: + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{213}=2^{3 \cdot 71}=\left(2^{3}\right)^{71}=8^{71} \text { iar.......................................................................... } 1 p \\ +& 3^{142}=3^{2 \cdot 71}=\left(3^{2}\right)^{71}=9^{71} +\end{aligned} +$$ + +$72 \cdot\left(3^{141}-2^{211}\right)$ ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-641-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-641-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..699de85eea087f3de53d4a77747ebcdfe9939aa1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-641-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.md @@ -0,0 +1,158 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +## Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VIII-a + +## I. THEMA + +Wenn für die reelle Zahlen $a$ und $b$ die Beziehung $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$ gültig ist dann beweis, dass $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) \cdot(b-a)=1$ + +## II. THEMA + +Bestimmt die Maßen eines Quaders, wenn die Längen der Diagonalen der Flächen umgekehrt proportional mit $\frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{11}}{11}$ und $\frac{\sqrt{6}}{6}$ sind und die Länge der Diagonale des Quaders $\sqrt{12} \mathrm{~cm}$ beträgt. + +SuplimentGM nr.10/2013 + +## III. THEMA + +a) Zeigt, dass für jedwelche positive reelle Zahlen $x, y$ gilt die Ungleichung $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ + +b) Zeigt, dass für jedwelche positive reelle Zahlen $x, y, z$ gilt die Ungleichung $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$. + +IV. THEMA + +Es sei das Dreieck ABC rechtwinklig in A und der Punkt M, welche außerhalb der Ebene ABC liegt so, dass $M B \perp A B$ und $M C \perp A C$. Es seien die Punkte $N, P$ und Edie + +Mittelpunkte der Strecken $A M, B C b z w . A C$. Prüft ob: +a) $P N \perp(A B C)$; +b) $4 P N^{2}=B M^{2}-A C^{2}$. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiecte selectate şi propuse de: prof. Botez Radu, prof. Bonta Patricia, prof. Danciu Alin și prof. Cojocnean Mihaela + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VIII-a + +Bareme de corectare + +SUBIECTUL I . Dacă numerele reale $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$, să se demonstreze că $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) \cdot(b-a)=1$ + +## Rezolvare: + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0 \Leftrightarrow(a-\sqrt{2})^{2}+(b-\sqrt{3})^{2}=0 \Rightarrow a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3} \\ +& \left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(b-a)=\left(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}}\right)(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1 +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL II + +Aflați dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic, știind că lungimile diagonalelor fețelor lui sunt invers proporționale $\mathrm{cu} \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{11}}{11}$ și $\frac{\sqrt{6}}{6}$, iar lungimea diagonalei lui este egală cu $\sqrt{12} \mathrm{~cm}$. + +Supliment GM nr.10/2013 + +## Rezolvare: + +$$ +d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{12} \Rightarrow d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 +$$ + +Diagonalele fețelor au lungimile: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+c^{2}}$, respectiv $\sqrt{b^{2}+c^{2}} \Rightarrow$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}=\sqrt{a^{2}+c^{2}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{11}=\sqrt{b^{2}+c^{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}=k \\ +& \Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7} k, \sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{11} k, \sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{6} k +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_908719aa324d964aa379g-3.jpg?height=276&width=306&top_left_y=119&top_left_x=338) + +$$ +\begin{aligned} +& 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=24 k^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 k^{2} \Rightarrow \text { înlocuind în (1) } \\ +& \Rightarrow k^{2}=1 \Rightarrow k=1 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_908719aa324d964aa379g-3.jpg?height=54&width=52&top_left_y=523&top_left_x=1710) + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow a^{2}+b^{2}=7 \Rightarrow c^{2}=5 \Rightarrow c=\sqrt{5} \mathrm{~cm} \\ +& a^{2}+c^{2}=11 \Rightarrow b^{2}=1 \Rightarrow b=1 \mathrm{~cm} \\ +& b^{2}+c^{2}=6 \Rightarrow a^{2}=6 \Rightarrow a=\sqrt{6} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL III + +a) Arătați că oricare ar fi $x, y$ numerele reale pozitive are loc inegalitatea $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ + +b) Arătați că oricare ar fi numerele reale pozitive $x, y, z$ are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} +$$ + +## Rezolvare: + +a) $x+y \geq 2 \sqrt{x y} \Rightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0$ $2 p$ + +b)Notăm $a=\frac{x^{2}}{y^{2}}, b=\frac{y^{2}}{z^{2}}$ si $c=\frac{z^{2}}{x^{2}}$ + +Din inegalitatea mediilor avem: $a+b \geq 2 \sqrt{a b} ; b+c \geq 2 \sqrt{b c}$, respectiv $a+c \geq 2 \sqrt{a c} \ldots 2 \mathrm{p}$ Însumând relațiile de mai sus obținem $a+b+c \geq \sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{a c}$ $.2 p$ + +Înlocuim în această inegalitate substituțiile initiiale obținem: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z}+\frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}+\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{x} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ iar punctul $M$ exterior planului $A B C$ astfel încât $M B \perp A B$ şi $M C \perp A C$. Fie $N, P$ şi $E$ mijloacele segmentelor $A M, B C$ respectiv $A C$. Stabiliţi dacă : + +a) $P N \perp(A B C)$; + +b) $4 P N^{2}=B M^{2}-A C^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_908719aa324d964aa379g-4.jpg?height=280&width=289&top_left_y=117&top_left_x=358) + +a) Segmentele $\mathrm{BN}$ şi $\mathrm{CN}$ sunt mediane relative ipotenuzei $\Rightarrow \mathrm{BN}=\frac{A M}{2}=\mathrm{CN}$ + +$\Rightarrow \triangle N B C$ isoscel de vârf $\mathrm{N}$ şi cum $[N P]$ mediană $\Rightarrow \mathrm{NP} \perp \mathrm{BC}(1)$ + +$\triangle M C A:[N E]$ linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{NE}|| \mathrm{MC}$ şi cum $\mathrm{MC} \perp \mathrm{AC}$ obţinem $\mathrm{NE} \perp \mathrm{AC}(2)$ + +$\triangle A B C:[P E]$ linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{PE} \| \mathrm{AB}$ şi cum $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ obţinem $\mathrm{PE} \perp \mathrm{AC}(3)$ $1 \mathrm{p}$ + +Din (2) şi (3) obţinem $\mathrm{AC} \perp(N E P) \Rightarrow \mathrm{AC} \perp \mathrm{NP}(4)$ + +Din (1) şi (4) rezultă $\mathrm{NP} \perp(A B C)$ + +b) $\Delta N P B \Rightarrow$ conform T.P + +$$ +\begin{aligned} +& N P^{2}=B N^{2}-P B^{2}=\frac{A M^{2}}{4}-\frac{B C^{2}}{4} \\ +& \Rightarrow 4 N P^{2}=A M^{2}-\left(A C^{2}+A B^{2}\right) \Rightarrow 4 N P^{2}=A M^{2}-A B^{2}-A C^{2} \Rightarrow 4 N P^{2}=B M^{2}-A C^{2} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-642-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-642-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2197461254fe6e052e21926149dc8daf8ad7546a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-642-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.md @@ -0,0 +1,162 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VII-a + +## I. THEMA + +Berechnet die Zahl und zeigt, dass rational ist: + +$$ +A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}} +$$ + +## II. THEMA + +Zeigt, dass : +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$; oricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ +b) $\frac{2013}{1 \cdot 2}+\frac{2012}{2 \cdot 3}+\frac{2011}{3 \cdot 4}+\ldots \frac{2}{2012 \cdot 2013}+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ + +## III. THEMA + +Im Dreieck ABC, AM ist Seitenhalbierende, MD und ME sind die Winkelhalbierende der Winkel AMB und AMC (D $\mathbf{E} A B, E \in \mathrm{AC}$ ). Wir bezeichnen mit $\mathrm{N}$ bzw. P die Projektionen der Punkte D und E auf AM. Zeigt, dass DP und EN parallel sind. + +( G. M. nr 6-7-8, 2013) + +## IV. THEMA + +Es seien die Punkte A, B, C, D , so dass $A B \| C D$ und $C D=\frac{A B}{2}$. Es sei $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{E}\}$ und zwei verschiedene Punkte F und G, welche symmetrisch in Bezug auf $C$ sind, wobei $\mathrm{F}, \mathrm{G} \notin \mathrm{BC}$. Zeigt, dass die Geraden EG und BF: + +a) parallel sind, wenn A und D auf derselben Seite der Gerade BC liegen + +b) sich in Mittelpunkt der Strecke [BF] schneiden, wenn A und D auf verschidenen Seite der Gerade BC liegen + +Constantin Bozdog,Reghin + +Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +## Clasa a VII-a + +Bareme de corectare + +## Subiectul I + +Calculați numărul și arătați că este rațional: + +$A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}$ + +Soluție: + +$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ + +$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$ + +$\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}=\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{4096575}}-\frac{\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}$ + +Prin însumare se obține $A=1-\frac{1}{\sqrt{2025}}$ + +Finalizare $\mathrm{A}=\frac{44}{45} \in Q$ + +## Subiectul II + +Arătați că : +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ aricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ +b) $\frac{2013}{1 \cdot 2}+\frac{2012}{2 \cdot 3}+\frac{2011}{3 \cdot 4}+\ldots \frac{2}{2012 \cdot 2013}+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ + +Soluție: + +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{n^{2}-n^{2}+1}{n \cdot(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ deci propozitia este adevărată + +b) se aplică relația pentru fiecare fracție + +$$ +\frac{2013}{1 \cdot 2}=2013\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +$$ + +## Subiectul III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{AM}$ este mediană, iar MD și ME sunt bisectoarele unghiurilor AMB respectiv AMC ( $\mathbf{E} \mathrm{AB}, \mathrm{E} \boldsymbol{E} \mathrm{AC}$ ). Notăm cu $\mathrm{N}$, respectiv $\mathrm{P}$ proiecțiile punctelor $\mathrm{D}$ si $\mathrm{E}$ pe AM . Arătați că DP și EN sunt paralele. + +( gazeta matematica nr 6-7-8, 2013) + +Soluție: + +În triunghiurile $\mathrm{ABM}$ şi AMC scriem teorema bisectoarei pentru bisectoarea MD respectiv ME și obținem: +$B M B D \quad C M \quad C E$ +$\overline{M A}=\overline{D A}$ respectiv $\overline{M A}=\overline{E A}$ (1)..... ..... $2 \mathrm{p}$ +AM mediana deci $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$, si inlocuim si aplicăm Reciproca Thales si deducem ca $\mathrm{DE}$ si +BC sunt paralele. ..... $1 \mathrm{p}$ + +Notam cu O intersectia dintre AM si DE. + +Obținem că triunghiurile ADO și ABM sunt asemenea și deci $\frac{A D}{A B}=\frac{A O}{A M}=\frac{D O}{B M}$ (2) + +iar triunghiurile AOE și AMC sunt asemenea și deci + +$A O \quad A E \quad O E$ + +$\overline{A M}=\overline{A C}=\overline{M C}$ + +Din relatiile $1,2,3$ deducem ca $\mathrm{DO}=\mathrm{OE}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Din congruenta triunghiurilor dreptunghice OPE și OND ( cazul IU) avem că OP şi ON sunt congruente.... $1 \mathrm{p}$ + +În patrulaterul DPEN avem $\mathrm{DO}=\mathrm{OE}$ si $\mathrm{OP}=\mathrm{ON}$ deci $\mathrm{DPEN}$ este paralelogram de unde concluzia $.1 p$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a36be588d33506861b23g-4.jpg?height=974&width=1070&top_left_y=136&top_left_x=352) + +## Subiectul IV + +Fie punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ astfel incat $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ si $\mathrm{CD}=\frac{A B}{2}$. Fie $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{E}\}$ si doua puncte diferite F si G simetrice fata de C, unde F,G $\notin$ BC. Aratati ca dreptele EG si BF sunt: + +a) paralele dacă $\mathrm{A}$ și $\mathrm{D}$ sunt de aceeaşi parte a dreptei $\mathrm{BC}$; + +b) concurente in mijlocul segmentului $[\mathrm{BF}]$, dacă A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC. + +Constantin Bozdog,Reghin + +Soluție: + +Teorema fundamentală a asemanarii in $\triangle \mathrm{ABE}(\mathrm{CD} \| \mathrm{AB}): \triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{DCE}$ + +$$ +\Rightarrow \frac{C E}{B E}=\frac{C D}{A B}=\frac{1}{2} +$$ + +a) A si $\mathrm{D}$ de aceeasi parte a dreptei $\mathrm{BC}$ + +$\frac{C E}{B E}=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CE}$ + +Dar $\mathrm{CF}=\mathrm{CG}$, deci $\mathrm{BFEG}$ paralelogram + +$\Rightarrow B F \| E G$ $\qquad$ +A + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a36be588d33506861b23g-5.jpg?height=534&width=414&top_left_y=578&top_left_x=1392) + +b) A si D de o parte si de alta a dreptei BC + +$\frac{C E}{B E}=\frac{1}{2}$ + +$C F=C G$, deci $E$ este centru de greutate in $\Delta$ BFG $\qquad$ $.2 p$ + +$\Rightarrow \mathrm{GE}$ mediana $\Rightarrow \mathrm{GE}$ contine mijlocul segmentului $[B F]$ $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a36be588d33506861b23g-5.jpg?height=536&width=581&top_left_y=1311&top_left_x=1297) + +A + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-643-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-643-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd06cf5988b9de4cd2c868aafef36241e620cdf4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-643-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,155 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VI-a + +## I. TÉTEL + +a) Mutassátok meg, hogy $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ bármely x természetes szám esetén. + +b) Számítsátok kix-et az alábbi egzenletből: + +$$ +\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4030}{2016} +$$ + +## II. TÉTEL + +Mutassátok ki, hogy +a) $\mathrm{a}=7^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}+1}+7^{\mathrm{n}+2}+7^{\mathrm{n}+3}$ osztható 100-zal, bármely $\mathrm{n} \in N$ esetén. +b) $\mathrm{b}=(\mathrm{n}-4) \cdot 7^{\mathrm{n}}+(\mathrm{n}-3) \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+(\mathrm{n}+2) \cdot 7^{\mathrm{n}+2}+(\mathrm{n}-1) \cdot 7^{\mathrm{n}+3}$ osztható 10-zel, bármely $\mathrm{n} \in N, n \geq 4$ esetén. + +Constantin Bozdog, Reghin + +## III. TÉTEL + +Adottak az A, O, D kollineáris pontok, ahol $\mathrm{O} \in(\mathrm{AD})$ illetve $\mathrm{az} \Varangle \mathrm{AOB}$ és $\Varangle \mathrm{BOC}$ egymás melletti szögek, az (OC félegyenes pedig $\Varangle$ BOD szög belsejében van. Ha + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=5 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\frac{5}{3} \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})$ és $[O M$ az $\Varangle \mathrm{AOC}$ szögfelezője, illetve $\mathrm{Q}$ a $\Varangle$ BOD szög egy belső pontja, amelyre $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})=90^{\circ}$ : + +a) Számítsátok ki az $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})$ szögmértékeket. + +b) Mutassátok ki, hogy [OQ szögfelezöje a $\Varangle$ COD szögnek. + +## IV. TÉTEL + +Legyenek az A, B, C, D kollineáris pontok a d egyenesen ebben a sorrendbenúgy, hogy [AB] $\equiv[C D]$. A d egyenes ugyanazon oldalán vegyük fel az E és F pontokat úgy, hogy $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}], \Varangle \mathrm{EBC} \equiv \Varangle \mathrm{FCB}$ és $[\mathrm{BF} \subset$ Int $\Varangle \mathrm{EBC}$. Bizonyítsátok be, hogy: +a) $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{DF}]$; +b) $\Varangle \mathrm{AFC} \equiv \Varangle \mathrm{DEB}$. + +## Megjegyzés + +Minden feladat kötelező. + +Minden feladatot 0-tól 7-ig pontoznak. + +Munkaidő 2 óra. + +Probleme selectate de prof. Gînța Florica și prof. Seceleanu Daniela + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VI-a + +Bareme de corectare + +## SUBIECTUL I + +a) Arătați că $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ oricare ar fi $x$ număr natural. + +b) Aflați $x$ din $\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4030}{2016}$. + +Soluție + +a) Calcul direct. + +(1p) +b) $\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4030}{2016}$ + +$\frac{1}{1}=\frac{1}{\frac{1 \cdot 2}{2}}=\frac{2}{1 \cdot 2} ; \frac{1}{1+2}=\frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2}}=\frac{2}{2 \cdot 3} ; \frac{1}{1+2+3}=\frac{1}{\frac{3 \cdot 4}{2}}=\frac{2}{3 \cdot 4}$ s.a.m.d + +$\frac{1}{1+2+\ldots+x}=\frac{1}{\frac{x \cdot(x+1)}{2}}=\frac{2}{x \cdot(x+1)}$. + +(3p) Atunci relatia (1) devine + +$\frac{2}{1 \cdot 2}+\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{2}{x \cdot(x+1)}=\frac{4030}{2016} \Leftrightarrow 2 \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{4030}{2016}$ + +$\mathbf{( 2 p )} \Leftrightarrow \frac{1}{1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2015}{2016} \Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{2015}{2016} \Leftrightarrow x=2015$ (1p) + +## SUBIECTUL II + +Arătați că + +a) numarul $a=7^{n}+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibil cu 100 , oricare ar fi $n \in N$. + +b) numarul $b=(n-4) \cdot 7^{\mathrm{n}}+(\mathrm{n}-3) \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+(\mathrm{n}+2) \cdot 7^{\mathrm{n}+2}+(\mathrm{n}-1) \cdot 7^{\mathrm{n}+3}$ este divizibil cu 10 , oricare ar fi $\mathrm{n} \in N, n \geq 4$. + +## Rezolvare: + +a) Ultimele doua cifre ale lui $7^{n}$ pentru $n=4 k, 4 k+1,4 k+2,4 k+3, k \in N$ sunt $01,07,49$, respectiv 43 . $.2 \mathrm{p}$ + +Oricare ar fi $n \in N$, ultimele doua cifre ale lui a sunt 0 , deci $\mathrm{a}: 100$ $1 \mathrm{p}$ + +b)Pentru $n=4, U(b)=U\left(7^{5}+6 \cdot 7^{6}+3 \cdot 7^{7}\right)=U(7+6 \cdot 9+3 \cdot$ +3) $=\mathrm{U}(7+4+9)=0$ $1 \mathrm{p}$ + +Pentru $\mathrm{n}>4, \mathrm{~b}=\mathrm{n}\left(7^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}+1}+7^{\mathrm{n}+2}+7^{\mathrm{n}+3}\right)-4 \cdot 7^{\mathrm{n}}-3 \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+2 \cdot 7^{\mathrm{n}+2}-7^{\mathrm{n}+3}$ si tinand seama de $\left.\mathrm{a}\right)$, mai trebuie calculata ultima cifra a numarului $\mathrm{c}=2 \cdot 7^{\mathrm{n}+2}-4 \cdot 7^{\mathrm{n}}-3 \cdot 7^{\mathrm{n}+1}-$ $7^{\mathrm{n}+3}$ $1 \mathrm{p}$ + +$$ +\begin{aligned} +\text { Pentru } \mathrm{n} & =4 \mathrm{k}, \mathrm{U}(\mathrm{c})=U(2 \cdot 9-4 \cdot 1-3 \cdot 7-3)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 \mathrm{k}+1, \mathrm{U}(\mathrm{c})=\mathrm{U}(2 \cdot 3-4 \cdot 7-3 \cdot 9-1)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 k+2, U(c)=U(2 \cdot 1-4 \cdot 9-3 \cdot 3-7)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 k+3, U(c)=U(2 \cdot 7-4 \cdot 3-3 \cdot 1-9)=0 +\end{aligned} +$$ + +deci b:10, oricare ar fi $n \in N$, $n \geq 4$. . $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Fie punctele coliniare A, $\mathrm{O}, \mathrm{D}$ unde $\mathrm{O} \in(\mathrm{AD})$ și unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}$ și $\Varangle \mathrm{BOC}$ adiacente, iar semidreapta (OC este interioară unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$. Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=5 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})$, $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\frac{5}{3} \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})$ și $[O M$ este bisectoarea $\Varangle \mathrm{AOC}$ iar $\mathrm{Q}$ punct interior unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})=90^{\circ}$, se cere: +a) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})$. + +b) Să se arate că [OQ este bisectoarea unghiului m( $\Varangle \mathrm{COD}$ ). + +## Rezolvare: + +a) Fie $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\mathrm{a}$, deci $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=\frac{a}{5}, \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})=\frac{3 a}{5}$ + +$$ +\begin{gathered} +\text { Obținem relația } \frac{a}{5}+a+\frac{3 a}{5}=180^{\circ} \\ +\mathrm{a}=100^{\circ} +\end{gathered} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_636e10a1277f4d555111g-4.jpg?height=283&width=305&top_left_y=121&top_left_x=356) +Finalizare $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=20^{\circ}, \mathrm{M}(\Varangle \mathrm{BOC})=100^{\circ}, \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})=60^{\circ}$ ..... $2 p$ +b) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOC}): 2=60^{\circ}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{QOD})=180^{\circ}-[\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})+\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})]=$ +$=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}\right)=30^{\circ}$ ..... $1 p$ + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{QOD})=30^{\circ}=60^{\circ}: 2=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD}): 2$, deci (OQ bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{COD}$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine) situate pe dreapta d, astfel încât $[A B] \equiv[C D]$. De aceeaşi parte a dreptei d se consideră punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{F}$ astfel încât $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}], \angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ şi $[\mathrm{BF} \subset \mathrm{Int} \angle \mathrm{EBC}$. Să se demonstreze că: +a) $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{DF}]$; +b) $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. + +## Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_636e10a1277f4d555111g-4.jpg?height=357&width=997&top_left_y=1318&top_left_x=381) + +a) Arătăm că $\triangle E B A \equiv \triangle E C D$. Din ipoteză avem că, $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{CD}]$ și $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}]$, iar din faptul că $\angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ deducem că $\prec E B A \equiv \prec F C D$ (au același suplement). Deci, în baza cazului (L.U.L) avem că $\triangle E B A \equiv \triangle F C D$ de unde rezultă că $[A E] \equiv[D F]$ (4p) + +b) Vom considera triunghiurile $\triangle F A C$, respectiv $\triangle E D B$ în care știm că [BE] $\equiv[C F]$, $\angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ și $[\mathrm{BD}] \equiv[\mathrm{CA}]$. Atunci în baza cazului de congruență (L.U.L) avem că $\triangle F A C \equiv \triangle E D B$ de unde rezultă că $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. (3p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-644-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-644-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5102b3c4076e6dec510bb885deb5961ac20a290 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-644-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,147 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN + +MUREŞ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-1.jpg?height=162&width=271&top_left_y=236&top_left_x=230) + +www.edums.ro + +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Fazalocală 13.02.2015 + +Clasa a V-a + +## I. TÉTEL + +Számítsátok ki:a $=\left\{\left[2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{995}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right)$ + +## II. TÉTEL + +Az ábrán látható körökre a következő számok vannak írva: $3,7,11,15, \ldots .$. + +a) Írjátok le a következő két körre írandó számokat; + +b) Határozzátok meg azt a számot, amit a 2015-ik körre kell írni; + +c) Mutassátok ki, hogy a 2015-ik körre írt szám nem teljes négyzet; + +d) Számítsátok ki az első 2015 körre írt szám összegét. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-1.jpg?height=512&width=642&top_left_y=996&top_left_x=1441) + +## III. TÉTEL + +Határozzátok meg azokat a két- vagy háromjegyú számokat, amelyeket ha 13-mal osztunk, a hányados $a$ és a maradék $b$, ha pedig 11-gyel osztunk akkor a hányados $b$ és a maradék $a$. + +## IV. TÉTEL + +$\mathrm{A} 2^{213}$ és3 ${ }^{142}$ számok közül a nagyobbat megszorozzuk 24-gyel, a kisebbet pedig 18-cal. Mutassátok ki, hogy az így kapott számok különbsége osztható 72-vel. + +## Megjegyzés + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladatot 0-tól 7-ig pontoznak. + +Munkaidő 2 óra. + +Problemeselectate de prof. MacaveiLuminițași prof. Andreica Gheorghe + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a V-a + +Bareme de corectare + +## SUBIECTUL I + +Calculaţi: + +$$ +\mathrm{a}=\left\{\left[2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{995}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right) +$$ + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-2.jpg?height=77&width=1390&top_left_y=1201&top_left_x=390) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-2.jpg?height=60&width=1305&top_left_y=1318&top_left_x=455) + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{(25 \cdot 25): 5^{3}+128+11\right\}: 36 \text {............................................................................ } 2 p \\ +& \{5+128+11\}: 36 \quad \text {.............................................................................................. } 1 p +\end{aligned} +$$ + +$$ +144: 36=4 \quad \text {.........................................................................................1p } +$$ + +## SUBIECTUL II + +Pe cercurile din figură sunt aşezate numerele $3,7,11,15$, + +a) Scrieţi numerele ce urmează a fi aşezate pe următoarele două cercuri; + +b) Să se determine numărul ce trebuie aşezat pe al 2015 - lea cerc; + +c) Să se arate că numărul de pe cercul al 2015 - lea, nu este pătrat perfect; + +d) Să se calculeze suma numerelor de pe primele 2015 cercuri. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-2.jpg?height=525&width=489&top_left_y=1762&top_left_x=1566) + +## Soluţie: + +a) 19,23 + +b) Numerele de pe cercuri sunt de forma $4 \mathrm{k}+3$ deci, pe al 2015 - lea cerc este $4 \cdot 2014+3=$ 8059 $2 \mathrm{p}$ + +c) Numărul de pe al 2015 - lea cerc este cuprins între două pătrate consecutive $89^{2}<8059<$ $90^{2}$ + +Sau: $\mathrm{nr}$. de forma $4 \mathrm{k}+3 \mathrm{nu}$ sunt pătrate perfecte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-3.jpg?height=259&width=294&top_left_y=119&top_left_x=356) +d) $\mathrm{S}=4 \cdot 0+3+4 \cdot 1+3+4 \cdot 2+3+\ldots$ $\qquad$ $+4 \cdot 2014+3=4 \cdot(0+1+2+3+\ldots .+2014)+3 \cdot 2015=$ $=2014 \cdot 2015 \cdot 2+3 \cdot 2015=2015 \cdot 4031=8122465$ . $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Să se determine numerele formate din două sau trei cifre care împărțite la 13 dau câtul $a$ și restul $b$ și împărțite la 11 dau câtul $b$ și restul $a$. + +## Rezolvare: + +Fie $A$ numărul căutat, atunci: $A=13 a+b, b \leq 12$ $.1 \mathrm{p}$ + +şi $A=11 b+a, a \leq 10$.......................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +De unde $13 a+b=11 b+a \Rightarrow 6 a=5 b$, ................................................................... $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0de82f35916916ed0277g-3.jpg?height=74&width=1373&top_left_y=1162&top_left_x=427) + +Numerele căutate sunt: 71 și 142. .............................................................................. $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL IV + +Dintre numerele $2^{213}$ și $3^{142}$ numărul mai mare se înmulțește cu 24 iar numărul mai mic se înmulțește cu 18. Arătați că diferența numerelor astfel obținute este divizibilă cu 72 . + +## Rezolvare: + +Comparăm cele două numere: + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{213}=2^{3 \cdot 71}=\left(2^{3}\right)^{71}=8^{71} \text { iar.......................................................................... } 1 p \\ +& 3^{142}=3^{2 \cdot 71}=\left(3^{2}\right)^{71}=9^{71} +\end{aligned} +$$ + +$72 \cdot\left(3^{141}-2^{211}\right)$ ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-645-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-645-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c37f395fd4f5ea6ea81285c09abea785e2436df2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-645-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,158 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VIII-a + +## I. TÉTEL + +Ha $a$ és $b$ valós számokra igaz, hogy $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$, bizonyítsátok be, hogy $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) \cdot(b-a)=1$. + +## II. TÉTEL + +Határozzátok meg annak a téglatestnek a méreteit, amelyben az oldallapok átlóinak hossza fordítottan arányos a $\frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{11}}{11}$ és $\frac{\sqrt{6}}{6}$ számokkal, illetve a téglatest átlója egyenlő $\sqrt{12} \mathrm{~cm}-\mathrm{rel}$. + +Supliment GM nr.10/2013 + +## III. TÉTEL + +a) Mutass'tok ki, hogy bármely $x, y$ pozitív valós szám esetén, igaz a következő egyenlőtlenség: $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ + +b) Mutassátok ki, hogy bármely $x, y$, zpozitív valós szám esetén igaz a következő egyenlőtlenség: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$. + +## IV. TÉTEL + +Legyen azABC,A-ban derékszögü háromszög, és egy Mpont az $A B C$ síkon kívül úgy, hogy $M B \perp A B$ és $M C \perp A C$. Legyen $N, P$ ésE az $A M, B C$ illetve $A C$ szakaszok középpontjai. + +Vizsgáljátok meg, hogy: +a) $P N \perp(A B C)$; +b) $4 P N^{2}=B M^{2}-A C^{2}$. + +## Megjegyzés + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladatot 0-tól 7-ig pontoznak. + +Munkaidỏ 3 óra. + +Subiecte selectate şi propuse de: prof. Botez Radu, prof. Bonta Patricia, prof. Danciu Alin şi prof. Cojocnean Mihaela + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VIII-a + +Bareme de corectare + +SUBIECTUL I . Dacă numerele reale $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$, să se demonstreze că $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) \cdot(b-a)=1$ + +## Rezolvare: + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0 \Leftrightarrow(a-\sqrt{2})^{2}+(b-\sqrt{3})^{2}=0 \Rightarrow a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3} \\ +& \left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(b-a)=\left(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}}\right)(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1 +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL II + +Aflați dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic, știind că lungimile diagonalelor fețelor lui sunt invers proporționale $\mathrm{cu} \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{11}}{11}$ și $\frac{\sqrt{6}}{6}$, iar lungimea diagonalei lui este egală cu $\sqrt{12} \mathrm{~cm}$. + +Supliment GM nr.10/2013 + +## Rezolvare: + +$$ +d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{12} \Rightarrow d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 +$$ + +Diagonalele fețelor au lungimile: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+c^{2}}$, respectiv $\sqrt{b^{2}+c^{2}} \Rightarrow$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}=\sqrt{a^{2}+c^{2}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{11}=\sqrt{b^{2}+c^{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}=k \\ +& \Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7} k, \sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{11} k, \sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{6} k +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7bef63edffe6a9b2a825g-3.jpg?height=276&width=306&top_left_y=119&top_left_x=338) + +$$ +\begin{aligned} +& 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=24 k^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 k^{2} \Rightarrow \text { înlocuind în (1) } \\ +& \Rightarrow k^{2}=1 \Rightarrow k=1 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7bef63edffe6a9b2a825g-3.jpg?height=54&width=52&top_left_y=523&top_left_x=1710) + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow a^{2}+b^{2}=7 \Rightarrow c^{2}=5 \Rightarrow c=\sqrt{5} \mathrm{~cm} \\ +& a^{2}+c^{2}=11 \Rightarrow b^{2}=1 \Rightarrow b=1 \mathrm{~cm} \\ +& b^{2}+c^{2}=6 \Rightarrow a^{2}=6 \Rightarrow a=\sqrt{6} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL III + +a) Arătați că oricare ar fi $x, y$ numerele reale pozitive are loc inegalitatea $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ + +b) Arătați că oricare ar fi numerele reale pozitive $x, y, z$ are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} +$$ + +## Rezolvare: + +a) $x+y \geq 2 \sqrt{x y} \Rightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0$ $2 p$ + +b)Notăm $a=\frac{x^{2}}{y^{2}}, b=\frac{y^{2}}{z^{2}}$ si $c=\frac{z^{2}}{x^{2}}$ + +Din inegalitatea mediilor avem: $a+b \geq 2 \sqrt{a b} ; b+c \geq 2 \sqrt{b c}$, respectiv $a+c \geq 2 \sqrt{a c} \ldots 2 \mathrm{p}$ Însumând relațiile de mai sus obținem $a+b+c \geq \sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{a c}$ $.2 p$ + +Înlocuim în această inegalitate substituțiile initiiale obținem: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z}+\frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}+\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{x} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ iar punctul $M$ exterior planului $A B C$ astfel încât $M B \perp A B$ şi $M C \perp A C$. Fie $N, P$ şi $E$ mijloacele segmentelor $A M, B C$ respectiv $A C$. Stabiliţi dacă : + +a) $P N \perp(A B C)$; + +b) $4 P N^{2}=B M^{2}-A C^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7bef63edffe6a9b2a825g-4.jpg?height=280&width=289&top_left_y=117&top_left_x=358) + +a) Segmentele $\mathrm{BN}$ şi $\mathrm{CN}$ sunt mediane relative ipotenuzei $\Rightarrow \mathrm{BN}=\frac{A M}{2}=\mathrm{CN}$ + +$\Rightarrow \triangle N B C$ isoscel de vârf $\mathrm{N}$ şi cum $[N P]$ mediană $\Rightarrow \mathrm{NP} \perp \mathrm{BC}(1)$ + +$\triangle M C A:[N E]$ linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{NE}|| \mathrm{MC}$ şi cum $\mathrm{MC} \perp \mathrm{AC}$ obţinem $\mathrm{NE} \perp \mathrm{AC}(2)$ + +$\triangle A B C:[P E]$ linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{PE} \| \mathrm{AB}$ şi cum $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ obţinem $\mathrm{PE} \perp \mathrm{AC}(3)$ $1 \mathrm{p}$ + +Din (2) şi (3) obţinem $\mathrm{AC} \perp(N E P) \Rightarrow \mathrm{AC} \perp \mathrm{NP}(4)$ + +Din (1) şi (4) rezultă $\mathrm{NP} \perp(A B C)$ + +b) $\Delta N P B \Rightarrow$ conform T.P + +$$ +\begin{aligned} +& N P^{2}=B N^{2}-P B^{2}=\frac{A M^{2}}{4}-\frac{B C^{2}}{4} \\ +& \Rightarrow 4 N P^{2}=A M^{2}-\left(A C^{2}+A B^{2}\right) \Rightarrow 4 N P^{2}=A M^{2}-A B^{2}-A C^{2} \Rightarrow 4 N P^{2}=B M^{2}-A C^{2} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-646-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-646-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fabdd45a5e885b48b1e0d5a0c8701fed28759c85 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-646-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,162 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VII-a + +## I. TÉTEL + +Számítsátok ki az alábbi számot, és mutassátok meg, hogy racionális szám: + +$$ +A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}} +$$ + +## II. TÉTEL + +Bizonyítsátok be: +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$; bármely $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ esetén +b) $\frac{2013}{1 \cdot 2}+\frac{2012}{2 \cdot 3}+\frac{2011}{3 \cdot 4}+\ldots \frac{2}{2012 \cdot 2013}+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ + +## III. TÉTEL + +Az ABC háromszögben AM oldalfelező, illetve MD és ME az AMB illetve AMC szögek szögfelezői ( $\mathrm{D} \boldsymbol{E} \mathrm{AB}, \mathrm{E} \boldsymbol{A C}$ ). Jelöljük $N$, illetve $P$-vela $D$ és E pontok vetületeit az AM-re. Mutassátok ki, hogy DP és EN párhuzamosak. + +( G. M. nr 6-7-8, 2013) + +## IV. TÉTEL + +Legyenek az A,B,C,D pontok úgy, hogy $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ és $\mathrm{CD}=\frac{A B}{2}$. Legyen $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{E}\}$ és két különböző F és G pont, amelyek szimmetrikusakC szerint, F,G $\notin$ BC. Mutassátok ki, hogy az EG és BF egyenesek: + +a) párhuzamosak, ha A és D pontok a BC egyenes ugyanazon oldalán vannak; + +b) metszik egymást a [BF] szakasz felezési pontjában, ha $\mathrm{A}$ és $\mathrm{D}$ pontok a $\mathrm{BC}$ egyenes két különböző oldalán vannak. + +Constantin Bozdog,Reghin + +## Megjegyzés + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladatot 0 -tól 7-ig pontoznak. + +Munkaidỏ 3 óra. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +## Clasa a VII-a + +Bareme de corectare + +## Subiectul I + +Calculați numărul și arătați că este rațional: + +$A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}$ + +Soluție: + +$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ + +$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$ + +$\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}=\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{4096575}}-\frac{\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}$ + +Prin însumare se obține $A=1-\frac{1}{\sqrt{2025}}$ + +Finalizare $\mathrm{A}=\frac{44}{45} \in Q$ + +## Subiectul II + +Arătați că : +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ aricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ +b) $\frac{2013}{1 \cdot 2}+\frac{2012}{2 \cdot 3}+\frac{2011}{3 \cdot 4}+\ldots \frac{2}{2012 \cdot 2013}+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ + +Soluție: + +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{n^{2}-n^{2}+1}{n \cdot(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ deci propozitia este adevărată + +b) se aplică relația pentru fiecare fracție + +$$ +\frac{2013}{1 \cdot 2}=2013\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +$$ + +## Subiectul III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{AM}$ este mediană, iar MD și ME sunt bisectoarele unghiurilor AMB respectiv AMC ( $\mathbf{E} \mathrm{AB}, \mathrm{E} \boldsymbol{E} \mathrm{AC}$ ). Notăm cu $\mathrm{N}$, respectiv $\mathrm{P}$ proiecțiile punctelor $\mathrm{D}$ si $\mathrm{E}$ pe AM . Arătați că DP și EN sunt paralele. + +( gazeta matematica nr 6-7-8, 2013) + +Soluție: + +În triunghiurile $\mathrm{ABM}$ şi AMC scriem teorema bisectoarei pentru bisectoarea MD respectiv ME și obținem: +$B M B D \quad C M \quad C E$ +$\overline{M A}=\overline{D A}$ respectiv $\overline{M A}=\overline{E A}$ (1)..... ..... $2 \mathrm{p}$ +AM mediana deci $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$, si inlocuim si aplicăm Reciproca Thales si deducem ca $\mathrm{DE}$ si +BC sunt paralele. ..... $1 \mathrm{p}$ + +Notam cu O intersectia dintre AM si DE. + +Obținem că triunghiurile ADO și ABM sunt asemenea și deci $\frac{A D}{A B}=\frac{A O}{A M}=\frac{D O}{B M}$ (2) + +iar triunghiurile AOE și AMC sunt asemenea și deci + +$A O \quad A E \quad O E$ + +$\overline{A M}=\overline{A C}=\overline{M C}$ + +Din relatiile $1,2,3$ deducem ca $\mathrm{DO}=\mathrm{OE}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Din congruenta triunghiurilor dreptunghice OPE și OND ( cazul IU) avem că OP şi ON sunt congruente.... $1 \mathrm{p}$ + +În patrulaterul DPEN avem $\mathrm{DO}=\mathrm{OE}$ si $\mathrm{OP}=\mathrm{ON}$ deci $\mathrm{DPEN}$ este paralelogram de unde concluzia $.1 p$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_14cf406a0a79228d078eg-4.jpg?height=974&width=1070&top_left_y=136&top_left_x=352) + +## Subiectul IV + +Fie punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ astfel incat $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ si $\mathrm{CD}=\frac{A B}{2}$. Fie $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{E}\}$ si doua puncte diferite F si G simetrice fata de C, unde F,G $\notin$ BC. Aratati ca dreptele EG si BF sunt: + +a) paralele dacă $\mathrm{A}$ și $\mathrm{D}$ sunt de aceeaşi parte a dreptei $\mathrm{BC}$; + +b) concurente in mijlocul segmentului $[\mathrm{BF}]$, dacă A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC. + +Constantin Bozdog,Reghin + +Soluție: + +Teorema fundamentală a asemanarii in $\triangle \mathrm{ABE}(\mathrm{CD} \| \mathrm{AB}): \triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{DCE}$ + +$$ +\Rightarrow \frac{C E}{B E}=\frac{C D}{A B}=\frac{1}{2} +$$ + +a) A si $\mathrm{D}$ de aceeasi parte a dreptei $\mathrm{BC}$ + +$\frac{C E}{B E}=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CE}$ + +Dar $\mathrm{CF}=\mathrm{CG}$, deci $\mathrm{BFEG}$ paralelogram + +$\Rightarrow B F \| E G$ $\qquad$ +A + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_14cf406a0a79228d078eg-5.jpg?height=534&width=414&top_left_y=578&top_left_x=1392) + +b) A si D de o parte si de alta a dreptei BC + +$\frac{C E}{B E}=\frac{1}{2}$ + +$C F=C G$, deci $E$ este centru de greutate in $\Delta$ BFG $\qquad$ $.2 p$ + +$\Rightarrow \mathrm{GE}$ mediana $\Rightarrow \mathrm{GE}$ contine mijlocul segmentului $[B F]$ $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_14cf406a0a79228d078eg-5.jpg?height=536&width=581&top_left_y=1311&top_left_x=1297) + +A + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-647-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-647-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..474e437e25081d429b1418328df59c9658ff4a39 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-647-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,171 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MUREST + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a XII-a + +## Subiectul I + +Fie $a, b, c, d \in \mathbf{R}$ astfel încât $a+b=t \neq 0$ ii $a b=c d$. Se consideră mul $\square$ imea: + +$M=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}a x+1 & 0 & c x \\ 0 & 0 & 0 \\ d^{2} x & 0 & b x+1\end{array}\right) \right\rvert\, x \in \mathbf{R} \backslash\left\{-\frac{1}{t}\right\}\right\}$. Arăta $[i$ că: + +a) (M.) este grup abelian. + +b) (M,) este izomorf cu grupul ( $G, *)$ unde $G=\mathbf{R} \backslash\left\{-\frac{1}{t}\right\}$ Di $x * y=x+y+t x y$. + +## Subiectul II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_387b9be476026b293efag-1.jpg?height=69&width=577&top_left_y=1276&top_left_x=380) + +$$ +I_{n}=\int_{0}^{\frac{3}{\overline{ }}} e^{n s}\left(\operatorname{tg}^{n-1} x+\operatorname{tg}^{n} x+\operatorname{tg}^{n+1} x\right) d x, n \geq 1 +$$ + +Să se calculeze + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} n\left\{\sqrt[n]{n I_{n}}-1\right\} +$$ + +## Subiectul III + +Fie $I, J$ intervale $\square \mathrm{i} f: I \rightarrow \mathrm{R}^{+}$o func $D$ ie cu primitiva $F: I \rightarrow \mathrm{R}$ bijectivă. + +a) Să se calculeze $\int \frac{F^{-1}(x)}{f\left(F^{-1}(x)\right)} d x, x \in J$. + +b) Să se calculeze $\int \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\sqrt{x^{2}+1}} d x, x \in \mathbf{R}$. + +## Subiectul IV + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Fie }(A .+,) \text { un inel sil } a, b \in A \text {, astfel îccât }(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} \text { sín }(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3} \text {. } \\ +& \text { Să se arate că }(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}, \forall n \in N, n \geq 4 \text {. } +\end{aligned} +$$ + +problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## www.edums.ro + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL I + +Fie $a, b, c, d \in \mathbf{R}$ astfel încât $a+b=t \neq 0$ și $a b=c d$. Se consideră mulțimea: + +$M=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}a x+1 & 0 & c x \\ 0 & 0 & 0 \\ d x & 0 & b x+1\end{array}\right) \right\rvert\, x \in \mathbf{R} \backslash\left\{-\frac{1}{t}\right\}\right\}$. Arătați că: +a) $(\mathrm{M}, \cdot)$ este grup abelian. +b) $(\mathrm{M}, \cdot)$ este izomorf cu grupul $(G, *)$ unde $G=\mathbf{R} \backslash\left\{-\frac{1}{t}\right\}$ și $x * y=x+y+t x y$. + +## Soluție: + +a) Fie $M(x)=\left(\begin{array}{ccc}a x+1 & 0 & c x \\ 0 & 0 & 0 \\ d x & 0 & b x+1\end{array}\right), x \in \mathbf{R} \backslash\left\{-\frac{1}{t}\right\}$. Se verifică prin calcul direct: + +$M(x) \cdot M(y)=M(t x y+x+y)=M\left(t\left(x+\frac{1}{t}\right)\left(y+\frac{1}{t}\right)-\frac{1}{t}\right)(1), \forall x, y \in \mathbf{R} \backslash\left\{-\frac{1}{t}\right\}$ + +și $\left(x+\frac{1}{t}\right)\left(y+\frac{1}{t}\right) \neq 0 \Leftrightarrow t x y+x+y \neq-\frac{1}{t}$, se deduce astfel partea stabilă. + +- Asociativitatea +- Comutativitatea +- Element neutru $E=M(0)$ + +$-\quad(M(x))^{-1}=M\left(-\frac{x}{t x+1}\right) \in M$. + +b) Se alege $f: G \rightarrow M, f(x)=M\left(\frac{x-1}{t}\right)$ și cu (1) se arată că +i) $f(x y)=f(x) f(y), \forall x, y \in G$ + +ii) $f$ bijectivă. + +SUBIECTUL II Fie șirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu termenul general: + +$$ +I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x}\left(\operatorname{tg}^{n-1} x+\operatorname{tg}^{n} x+\operatorname{tg}^{n+1} x\right) d x, n \geq 1 +$$ + +## www.edums.ro + +Să se calculeze: $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[n^{2}]{n I_{n}}-1\right)$. + +## Soluție: + +Avem + +$$ +\begin{aligned} +& I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(e^{x} \operatorname{tg} x\right)^{n-1} e^{x}\left(1+\operatorname{tg} x+\operatorname{tg}^{2} x\right) d x=\ldots \ldots \ldots \\ +& =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(e^{x} \operatorname{tg} x\right)^{n-1}\left(e^{x} \operatorname{tg} x\right)^{\prime} x=\left.\frac{1}{n}\left(e^{x} \operatorname{tg} x\right)^{n}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{n} e^{\frac{n \pi}{4}} +\end{aligned} +$$ + +Atunci $n\left(\sqrt[n^{2}]{n I_{n}}-1\right)=n\left(e^{\frac{\pi}{4 n}}-1\right)=\frac{e^{\frac{\pi}{4 n}}-1}{\frac{\pi}{4 n}} \cdot \frac{\pi}{4}$ + +Deci limita cerută este $\frac{\pi}{4}$. $\qquad$ (1p) + +SUBIECTUL III Fie $I$, $J$ intervale și $f: I \rightarrow \mathbf{R}^{*}$ o funcție cu primitiva $F: I \rightarrow \mathbf{R}$ bijectivă. + +a) Să se calculeze $\int \frac{F^{-1}(x)}{f\left(F^{-1}(x)\right)} d x, x \in J$. + +b) Să se calculeze $\int \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\sqrt{x^{2}+1}} d x, x \in \mathbf{R}$. + +## Soluție: + +a) Din $F$ bijectivă $\Rightarrow F\left(F^{-1}(x)\right)=x, \forall x \in J$. + +Prin derivare obținem + +$F^{\prime}\left(F^{-1}(x)\right) \cdot\left(F^{-1}\right)^{\prime}(x)=1, \forall x \in J \Leftrightarrow\left(F^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{f\left(F^{-1}(x)\right)}, x \in J$ + +și astfel + +$\left(\frac{1}{2}\left(F^{-1}(x)\right)^{2}\right)^{\prime}=F^{-1}(x) \cdot\left(F^{-1}(x)\right)^{\prime}=F^{-1}(x) \frac{1}{f\left(F^{-1}(x)\right)}, x \in J$, + +deci: $\int \frac{F^{-1}(x)}{f\left(F^{-1}(x)\right)} d x=\frac{1}{2}\left(F^{-1}(x)\right)^{2}+C, x \in J$. + +## www.edums.ro + +## b) Metoda I: + +$$ +\int \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=\int\left(\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right)^{\prime} \cdot \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) d x=\frac{1}{2} \ln ^{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C +$$ + +Metoda II: Fie $f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, x \in \mathbf{R}$ și $F: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, F(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$. Avem $F^{\prime}=f, F$ bijectivă și cum $F^{-1}(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right), x \in \mathbf{R} \Rightarrow f\left(F^{-1}(x)\right)=\sqrt{x^{2}+1}$, deci $\int \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=\int \frac{F^{-1}(x)}{f\left(F^{-1}(x)\right)} d x=\frac{1}{2} \ln ^{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C$. + +SUBIECTUL IV Fie (A.+, ) un inel şi $a, b \in A$, astfel încât $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ şi $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}$. + +Să se arate că $(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}, \forall n \in N, n \geq 4$. + +(G.M.) + +## Soluţie: + +Din $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ rezultă că $\mathrm{ab}=-$ ba, deci $a b^{2}=a b b=-b a b=b^{2} a$. + +Cum $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)^{2}=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}\right)=a^{3}+a b^{2}+b a^{2}+b^{3}$, rezultă că $a b^{2}=-b a^{2}$. Arătăm prin inducţie că $a^{n} b=-b^{n} a$. Proprietatea este adevărată pentru n=1 şi $\mathrm{n}=2$. + +Avem $a^{n+1} b=a^{n}(a b)=-a^{n} b a=b^{n} a^{2}=b^{n-1} b a^{2}=-b^{n-1} a b^{2}=-b^{n-1} b^{2} a=-b^{n+1} a$. + +Arătăm prin inducţie că $(a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}$. Proprietatea este adevărată pentru $n \in\{1,2,3\}$. + +Presupunem adevărată pentru n. Atunci + +$$ +(a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}(a+b)=\left(a^{n}+b^{n}\right)(a+b)=a^{n+1}+a^{n} b+b^{n} a+b^{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1} +$$ + +Ceea ce trebuia demonstat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-648-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-648-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..919f210d596b3e283371fd1e2984f88edd61cfa2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-648-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# Olimpiada de matematică
Faza locală 13.02.2015
Clasa a XI-a + +## Subiectul I + +Se consideră matricea $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \in \mathrm{M}_{3}(\mathrm{C})$. Să se calculeze $\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \square \mathrm{i} \operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{n}}\right)$, unde $\mathrm{n}$ este un număr natural nenul. + +## Subiectul II + +Se consideră matricele $A, B \in M_{n}(R)$ cu proprietatea că $B-A=I_{n}$. Ce condiție trebuie să îdeplinească matricea A astfel incât, oricare ar fi $k \in N^{*}$, să aibă loc egalitatea + +$$ +B+B^{2}+\ldots+B^{*}=k I_{n}+\frac{k(k+1)}{2} \cdot A ? +$$ + +## Subiectul III + +Se consideră $\square$ irul $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1} \mathrm{cu} u_{0}=\frac{11}{4} \square \mathrm{i} u_{n+1}=\frac{5}{2}+\sqrt{u_{n}-\frac{7}{4}}$. Arăta $\square \mathrm{i}$ că $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent $\square \mathrm{i}$ determina $\square \mathrm{i}$ limita sa. + +## Supliment Gazeta Matematică + +## Subiectul IV + +Se consideră sirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{n+1}=x_{n}+e^{-x_{n}}, \forall \mathrm{n} \geq 1 \square \mathrm{i} x_{0} \in \mathrm{R}$. + +Arăta $1 \mathrm{i}$ că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}=1$. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Rezolvare. Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I + +Se consideră matricea $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \in \mathrm{M}_{3}(\mathrm{C})$. Să se calculeze $\mathrm{A}^{\mathrm{n}}$ şi $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{n}}\right)$, unde n este un număr natural nenul. + +## Solutie + +Calculând $\mathrm{A}^{2}, \mathrm{~A}^{3}, \mathrm{~A}^{4}$ se observă că elementele de pe diagonala principală rămân aceleași egale între ele cât și elementele de deasupra și dedesubtul diagonalei principale. Atunci, folosind metoda cu șiruri avem $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{n} & b_{n} & b_{n} \\ b_{n} & a_{n} & b_{n} \\ b_{n} & b_{n} & a_{n}\end{array}\right)$. + +Din $\quad \mathrm{A}^{\mathrm{n}+1}=\mathrm{A}^{\mathrm{n}} A \quad$ obținem relațiile $\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=2 \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}$ şi $\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{a}_{n}+\mathrm{b}_{\mathrm{n}} \quad$ care conduc la recurența liniară $\quad a_{n+2}-a_{n+1}-2 a_{n}=0$ cu $a_{1}=0$ și $a_{2}=2$ + +(4 puncte) + +Găsim $\quad a_{n}=\frac{1}{3}\left[2^{n}+2(-1)^{n}\right] \quad$ și $b_{n}=\frac{1}{3}\left[2^{n}-(-1)^{n}\right]$ + +(2 puncte) + +Avem relația $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{n}}\right)=(\operatorname{det} \mathrm{A})^{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}}$ + +(1 punct) + +SUBIECTUL II Se consideră matricele $A, B \in M_{n}(R)$ cu proprietatea că $B-A=I_{n}$. Ce condiţie trebuie să îndeplinească matricea $\mathrm{A}$ astfel încât, oricare ar fi $k \in N^{*}$, să aibă loc egalitatea + +$$ +B+B^{2}+\ldots+B^{k}=k I_{n}+\frac{k(k+1)}{2} \cdot A ? +$$ + +Solutie. Pentru $k=1 \Rightarrow B=I_{n}+A$ + +$$ +\begin{aligned} +\text { Pentru } k= & 2 \Rightarrow B+B^{2}=2 I_{n}+3 A \\ +& B+B^{2}=2 I_{n}+3 A+A^{2}, \text { deci } A^{2}=O_{n} \Rightarrow A^{m}=O_{n}, \forall m \geq 2, m \in \mathbf{N} \\ +\Rightarrow & B^{m}=\left(I_{n}+A\right)^{m}=I_{n}+m A \text { de unde relatia. } +\end{aligned} +$$ + +## www.edums.ro + +SUBIECTUL III Se consideră șirul $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $u_{0}=\frac{11}{4}$ și $u_{n+1}=\frac{5}{2}+\sqrt{u_{n}-\frac{7}{4}}$. Arătați că $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent și determinați limita sa. + +Supliment Gazeta Matematică + +## Solutie. + +Șirul $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător (demonstrație prin inducție). + +Șirul $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit, și anume $u_{n} \in\left[\frac{11}{4}, 4\right], \forall n \geq 1$ (demonstrație prin inducție).(2p) + +Deci șirul $\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. Fie + +$$ +l=\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} +$$ + +Trecând la limită în relația de recurență se obține $l_{1}=4$ și $l_{2}=2 \notin\left[\frac{11}{4}, 4\right]$ deci + +$\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=4$. (3p) + +SUBIECTUL IV Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{n+1}=x_{n}+e^{-x_{n}}, \forall \mathrm{n} \geq 1$ și $x_{0} \in \mathrm{R}$. + +Arătați că $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}=1$. + +Soluție.Din $x_{n+1^{-}} x_{n}=e^{-x_{n}}>0, \forall \mathrm{n} \geq 1$ rezultă că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător................. (1 punct) + +Dacă ar fi mărginit, șirul ar avea limită finită $1 \in R$. Trecând la limită în relația de recurență obținem $e^{-l}=0$,fals . Deci, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$ + +(1 punct) + +Aplicăm lema lui Stolz-Cesaro și avem: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{-x_{n}}}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{e^{x_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x_{n+1}-e^{x_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x_{n}}\left(e^{x_{n}+1}-x_{n}-1\right)}} \\ +& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x_{n}}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}==\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x_{n}} e^{-x_{n}}}=1 +\end{aligned} +$$ + +Se punctează orice rezolvare corectă diferită de cea din barem + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-649-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-649-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7cf61e289d3afd4b7d71575e919644fcf7594aa7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-649-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,131 @@ +Olimpiada de matematică
Faza locală 13.02.2015
Clasa a X-a + +# Subiectul I + +## Subiectul I + +Se consideră func-Diile + +$f, g: \square \rightarrow \square, f(x)=2 x+\sqrt{x^{2}+1}, g(x)=4 x+2 \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{5 x^{2}+4 x \sqrt{x^{2}+1}+2}$. Să se demonstreze + +că $f$ वi $g$ sunt bijective. + +## Subiectul II + +Fie numerele reale $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \in[2,3]$. Arăta $\square 1$ că + +$\log _{0}\left(5 a_{2}-6\right)+\log _{0_{1}}\left(5 a_{3}-6\right)+\ldots+\log _{a_{0}}\left(5 a_{n}-6\right)+\log _{0}\left(5 a_{1}-6\right) \geq 2 n, n \geq 1$ + +## Subiectul III + +Arăta $\square \mathrm{i}$ că, dacă $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n} \in \mathbb{C}$ 口i $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\cdots=\left|z_{n}\right|$, atunci + +$$ +\left(1+\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\left(1+\frac{z_{3}}{z_{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{z_{n}}{z_{n-1}}\right)\left(1+\frac{z_{1}}{z_{n}}\right) \in \mathbb{R} +$$ + +## Subiectul IV + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Fie } z_{1}, z_{2} \in \mathbf{C}^{*}, z_{1} \neq z_{1} \text { astfel incât }\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|, z_{1}+\frac{1}{z_{2}} \in \mathbf{R}, z_{2}+\frac{1}{z_{1}} \in \mathbf{R} \text {. Arăta■i că pentru orice } \\ +& n \in \mathrm{N}, z_{1}^{2 n+1}+\frac{1}{z_{1}^{2 n+1}} \in \mathbf{R}, z_{2}^{2 n+1}+\frac{1}{z_{1}^{2 n+1}} \in \mathbf{R} \text {. } +\end{aligned} +$$ + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## www.edums.ro + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Barem Clasa a X-a + +SUBIECTUL I Se consideră funcțiile + +$f, g: \square \rightarrow \square, f(x)=2 x+\sqrt{x^{2}+1}, g(x)=4 x+2 \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{5 x^{2}+4 x \sqrt{x^{2}+1}+2}$. Să se demonstreze că $f$ și $g$ sunt bijective. + +Soluţie. $\quad f(x)=y \Rightarrow y^{2}-4 x y+3 x^{2}-1=0, \Delta=4 x^{2}+4>0 \Rightarrow f$ surjectivă $2 \mathrm{p}$ + +$x>y>0 \Rightarrow f(x)>f(y)$ + +$x>0>y \Rightarrow f(x)>f(0)>f(y) \quad \Rightarrow f$ injectivă...................3p + +$xg(x+1 / n)$, oricare ar fi $x$ în intervalul închis $[0,1-1 / n]$. Prin urmare, $0=g(1)-g(0)=\sum_{k=0}^{n-1}(g(k / n+1 / n)-g(k / n)) \neq 0$ - contradicţie. $3 p$ + +Remarcă. În argumentul de mai sus, funcţia $g$ poate fi înlocuită cu $h:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $h(x)=F(x)^{2}+(F(1)-F(x))^{2}=F(1)^{2}-2 g(x)$. + +Problema 3. Fie $G$ un grup finit şi fie $x_{1}, \ldots, x_{n}$ o enumerare a elementelor sale. Considerăm matricea $\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}$, unde $a_{i j}=0$, dacă $x_{i} x_{j}^{-1}=x_{j} x_{i}^{-1}$, şi $a_{i j}=1$, în caz contrar. Determinaţi paritatea numărului întreg $\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$. + +Soluţie. Determinantul $\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$ este par. Pentru a demonstra acest lucru, vom arăta că $\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$ este divizibil cu $|S|$, unde $S=\left\{x \mid x \in G, x \neq x^{-1}\right\}$. Intrucât un element $\operatorname{din} G$ aparţine lui $S$ dacă şi numai dacă inversul său aparţine lui $S,|S|$ este par (posibil zero), deci şi $\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)$ este par. + +$2 p$ + +Valoarea unui determinant nu se schimbă dacă o coloană este înlocuită cu suma tuturor coloanelor. Pentru a demonstra divizibilitatea, este deci suficient să arătăm că fiecare linie conţine exact $|S|$ unităţi. + +Dacă $S$ este vidă, atunci $\left(a_{i j}\right)=\mathbf{O}_{n}$, $\operatorname{deci} \operatorname{det}\left(a_{i j}\right)=0$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $S$ nu este vidă, fixăm o linie, de exemplu, linia $i$, şi considerăm mulţimea $J_{i}=$ $\left\{j \mid a_{i j}=1\right\}$. Întrucât $j \mapsto x_{i} x_{j}^{-1}$ defineşte o bijecţie de la $J_{i}$ la $S$, rezultă că $\left|J_{i}\right|=|S|$. + +$4 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Fie $a$ un număr real, $a>1$. Determinaţi numerele reale $b \geq 1$ astfel încât + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{x}\left(1+t^{a}\right)^{-b} \mathrm{~d} t=1 +$$ + +Soluţie. Fie $b \geq 1$ şi funcţile $f_{b}, F_{b}:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_{b}(x)=\left(1+x^{a}\right)^{-b}$ şi $F_{b}(x)=$ $\int_{0}^{x} f_{b}(t) \mathrm{d} t$. Cum $f_{b}$ este pozitivă, rezultă că $F_{b}$ este crescătoare, deci există limita $I(b)=$ $\lim _{x \rightarrow \infty} F_{b}(x)$. + +$1 p$ + +Cum $0 \leq f_{b}(x) \leq f_{1}(x)$, oricare ar fi $x \geq 0$, rezultă că + +$$ +\begin{aligned} +0 \leq F_{b}(x) & \leq F_{1}(x)=\int_{0}^{1}\left(1+t^{a}\right)^{-1} \mathrm{~d} t+\int_{1}^{x}\left(1+t^{a}\right)^{-1} \mathrm{~d} t \leq 1+\int_{1}^{x} t^{-a} \mathrm{~d} t \\ +& =1+1 /(a-1)-x^{1-a} /(a-1) \leq a /(a-1) +\end{aligned} +$$ + +oricare ar fi $x \geq 1$. Deci $I(b)$ este real. + +Arătăm că aplicaţia $b \mapsto I(b)$ este strict descrescătoare, deci injectivă. Fie $1 \leq bf_{c}(x)$, oricare ar fi $x>0$, rezultă că + +$$ +\begin{aligned} +I(b) & =\int_{0}^{1} f_{b}(t) \mathrm{d} t+\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{1}^{x} f_{b}(t) \mathrm{d} t>\int_{0}^{1} f_{c}(t) \mathrm{d} t+\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{1}^{x} f_{b}(t) \mathrm{d} t \\ +& \geq \int_{0}^{1} f_{c}(t) \mathrm{d} t+\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{1}^{x} f_{c}(t) \mathrm{d} t=I(c) +\end{aligned} +$$ + +Arătăm că $I(1+1 / a)=1$. Într-adevăr, + +$$ +\begin{aligned} +\int_{0}^{x}\left(1+t^{a}\right)^{-1 / a} \mathrm{~d} t & =\int_{0}^{x} t^{\prime}\left(1+t^{a}\right)^{-1 / a} \mathrm{~d} t=\left.t\left(1+t^{a}\right)^{-1 / a}\right|_{0} ^{x}+\int_{0}^{x} t^{a}\left(1+t^{a}\right)^{-1-1 / a} \mathrm{~d} t \\ +& =x\left(1+x^{a}\right)^{-1 / a}+\int_{0}^{x}\left(1+t^{a}\right)^{-1 / a} \mathrm{~d} t-F_{1+1 / a}(x) +\end{aligned} +$$ + +Rezultă că $F_{1+1 / a}(x)=x\left(1+x^{a}\right)^{-1 / a}$, deci $I(1+1 / a)=1$ şi, prin urmare, $b=1+1 / a$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-650-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-650-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..149ab4c7b0f6fc2ed8cffc34a4d8781402274030 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-650-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,164 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VIII-a + +## Subiectul I + +Dacă pentru numerele reale a și $\mathrm{b}$ are loc relația $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$, să se demonstreze că $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) \cdot(b-a)=1$ + +## SUBIECTUL II + +Aflați dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic, știind că lungimile diagonalelor fețelor lui sunt invers proporționale $\mathrm{cu} \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{11}}{11}$ și $\frac{\sqrt{6}}{6}$, iar lungimea diagonalei lui este egală cu $\sqrt{12} \mathrm{~cm}$. + +Supliment GM nr.10/2013 + +## SUBIECTUL III + +a) Arătați că oricare ar fi $x, y$ numerele reale pozitive, are loc inegalitatea + +$$ +\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y} +$$ + +b) Arătați că oricare ar fi numerele reale pozitive $x, y, z$, are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ iar punctul $M$ exterior planului $A B C$ astfel încât $M B \perp A B$ şi $M C \perp A C$. Fie $N, P$ şi $E$ mijloacele segmentelor $A M, B C$ respectiv $A C$. Stabiliţi dacă : +a) $P N \perp(A B C)$; +b) $4 P N^{2}=B M^{2}-A C^{2}$. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiecte selectate şi propuse de: prof. Botez Radu, prof. Bonta Patricia, prof. Danciu Alin şi prof. Cojocnean Mihaela + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VIII-a + +Bareme de corectare + +SUBIECTUL I . Dacă numerele reale $a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0$, să se demonstreze că $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right) \cdot(b-a)=1$ + +## Rezolvare: + +$$ +\begin{aligned} +& a^{2}+b^{2}-2 a \sqrt{2}-2 b \sqrt{3}+5=0 \Leftrightarrow(a-\sqrt{2})^{2}+(b-\sqrt{3})^{2}=0 \Rightarrow a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3} \\ +& \left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(b-a)=\left(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}}\right)(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1 +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL II + +Aflați dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic, știind că lungimile diagonalelor fețelor lui sunt invers proporționale $\mathrm{cu} \frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{11}}{11}$ și $\frac{\sqrt{6}}{6}$, iar lungimea diagonalei lui este egală cu $\sqrt{12} \mathrm{~cm}$. + +Supliment GM nr.10/2013 + +## Rezolvare: + +$$ +d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{12} \Rightarrow d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 +$$ + +Diagonalele fețelor au lungimile: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+c^{2}}$, respectiv $\sqrt{b^{2}+c^{2}} \Rightarrow$ + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}=\sqrt{a^{2}+c^{2}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{11}=\sqrt{b^{2}+c^{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}=k \\ +& \Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7} k, \sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{11} k, \sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{6} k +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7acfa92a65531bd15d13g-3.jpg?height=276&width=306&top_left_y=119&top_left_x=338) + +$$ +\begin{aligned} +& 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=24 k^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 k^{2} \Rightarrow \text { înlocuind în (1) } \\ +& \Rightarrow k^{2}=1 \Rightarrow k=1 +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7acfa92a65531bd15d13g-3.jpg?height=54&width=52&top_left_y=523&top_left_x=1710) + +$$ +\begin{aligned} +& \Rightarrow a^{2}+b^{2}=7 \Rightarrow c^{2}=5 \Rightarrow c=\sqrt{5} \mathrm{~cm} \\ +& a^{2}+c^{2}=11 \Rightarrow b^{2}=1 \Rightarrow b=1 \mathrm{~cm} \\ +& b^{2}+c^{2}=6 \Rightarrow a^{2}=6 \Rightarrow a=\sqrt{6} \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL III + +a) Arătați că oricare ar fi $x, y$ numerele reale pozitive are loc inegalitatea $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ + +b) Arătați că oricare ar fi numerele reale pozitive $x, y, z$ are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} +$$ + +## Rezolvare: + +a) $x+y \geq 2 \sqrt{x y} \Rightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0$ $2 p$ + +b)Notăm $a=\frac{x^{2}}{y^{2}}, b=\frac{y^{2}}{z^{2}}$ si $c=\frac{z^{2}}{x^{2}}$ + +Din inegalitatea mediilor avem: $a+b \geq 2 \sqrt{a b} ; b+c \geq 2 \sqrt{b c}$, respectiv $a+c \geq 2 \sqrt{a c} \ldots 2 \mathrm{p}$ Însumând relațiile de mai sus obținem $a+b+c \geq \sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{a c}$ $.2 p$ + +Înlocuim în această inegalitate substituțiile initiiale obținem: + +$$ +\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z}+\frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}+\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{x} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ iar punctul $M$ exterior planului $A B C$ astfel încât $M B \perp A B$ şi $M C \perp A C$. Fie $N, P$ şi $E$ mijloacele segmentelor $A M, B C$ respectiv $A C$. Stabiliţi dacă : + +a) $P N \perp(A B C)$; + +b) $4 P N^{2}=B M^{2}-A C^{2}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7acfa92a65531bd15d13g-4.jpg?height=280&width=289&top_left_y=117&top_left_x=358) + +a) Segmentele $\mathrm{BN}$ şi $\mathrm{CN}$ sunt mediane relative ipotenuzei $\Rightarrow \mathrm{BN}=\frac{A M}{2}=\mathrm{CN}$ + +$\Rightarrow \triangle N B C$ isoscel de vârf $\mathrm{N}$ şi cum $[N P]$ mediană $\Rightarrow \mathrm{NP} \perp \mathrm{BC}(1)$ + +$\triangle M C A:[N E]$ linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{NE}|| \mathrm{MC}$ şi cum $\mathrm{MC} \perp \mathrm{AC}$ obţinem $\mathrm{NE} \perp \mathrm{AC}(2)$ + +$\triangle A B C:[P E]$ linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{PE} \| \mathrm{AB}$ şi cum $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ obţinem $\mathrm{PE} \perp \mathrm{AC}(3)$ $1 \mathrm{p}$ + +Din (2) şi (3) obţinem $\mathrm{AC} \perp(N E P) \Rightarrow \mathrm{AC} \perp \mathrm{NP}(4)$ + +Din (1) şi (4) rezultă $\mathrm{NP} \perp(A B C)$ + +b) $\Delta N P B \Rightarrow$ conform T.P + +$$ +\begin{aligned} +& N P^{2}=B N^{2}-P B^{2}=\frac{A M^{2}}{4}-\frac{B C^{2}}{4} \\ +& \Rightarrow 4 N P^{2}=A M^{2}-\left(A C^{2}+A B^{2}\right) \Rightarrow 4 N P^{2}=A M^{2}-A B^{2}-A C^{2} \Rightarrow 4 N P^{2}=B M^{2}-A C^{2} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-651-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-651-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb6a8b48f01a07a093c1e7be1e60e3bce1d0207a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-651-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,164 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VII-a + +## Subiectul I + +Calculați numărul și arătați că este rațional: + +$$ +A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}} +$$ + +## Subiectul II + +Arătați că : +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$; oricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ +b) $\frac{2013}{1 \cdot 2}+\frac{2012}{2 \cdot 3}+\frac{2011}{3 \cdot 4}+\ldots \frac{2}{2012 \cdot 2013}+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ + +## Subiectul III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$, AM este mediană, iar MD și ME sunt bisectoarele unghiurilor AMB respectiv AMC ( $\mathrm{D} \in \mathrm{AB}, \mathrm{E} \boldsymbol{E} \mathrm{AC})$. Notăm cu $\mathrm{N}$, respectiv $\mathrm{P}$ proiectiile punctelor $\mathrm{D}$ si $\mathrm{E}$ pe AM . Arătați că DP și EN sunt paralele. + +( G. M. nr 6-7-8, 2013) + +## Subiectul IV + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4170b425c5c8bc1a0383g-1.jpg?height=91&width=1253&top_left_y=1896&top_left_x=230) + +șidouăpunctediferite $F$ și G simetrice față de $C$, unde $F, G \notin B C$. Arătațicădreptele EG și BF sunt: + +a) paralele dacă $\mathrm{A}$ şi $\mathrm{D}$ sunt de aceeaşi parte a dreptei $\mathrm{BC}$; + +b) concurenteînmijloculsegmentului $[\mathrm{BF}]$, dacă A și $\mathrm{D}$ sunt de o parte și de alta a dreptei $\mathrm{BC}$. + +Constantin Bozdog,Reghin + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +## Clasa a VII-a + +Bareme de corectare + +## Subiectul I + +Calculați numărul și arătați că este rațional: + +$A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{35}}+\ldots+\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}$ + +Soluție: + +$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ + +$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$ + +$\frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}=\frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{4096575}}-\frac{\sqrt{2023}}{\sqrt{4096575}}$ + +Prin însumare se obține $A=1-\frac{1}{\sqrt{2025}}$ + +Finalizare $\mathrm{A}=\frac{44}{45} \in Q$ + +## Subiectul II + +Arătați că : +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ aricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ +b) $\frac{2013}{1 \cdot 2}+\frac{2012}{2 \cdot 3}+\frac{2011}{3 \cdot 4}+\ldots \frac{2}{2012 \cdot 2013}+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ + +Soluție: + +a) $\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{n^{2}-n^{2}+1}{n \cdot(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ deci propozitia este adevărată + +b) se aplică relația pentru fiecare fracție + +$$ +\frac{2013}{1 \cdot 2}=2013\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +$$ + +## Subiectul III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{AM}$ este mediană, iar MD și ME sunt bisectoarele unghiurilor AMB respectiv AMC ( $\mathbf{E} \mathrm{AB}, \mathrm{E} \boldsymbol{E} \mathrm{AC}$ ). Notăm cu $\mathrm{N}$, respectiv $\mathrm{P}$ proiecțiile punctelor $\mathrm{D}$ si $\mathrm{E}$ pe AM . Arătați că DP și EN sunt paralele. + +( gazeta matematica nr 6-7-8, 2013) + +Soluție: + +În triunghiurile $\mathrm{ABM}$ şi AMC scriem teorema bisectoarei pentru bisectoarea MD respectiv ME și obținem: +$B M B D \quad C M \quad C E$ +$\overline{M A}=\overline{D A}$ respectiv $\overline{M A}=\overline{E A}$ (1)..... ..... $2 \mathrm{p}$ +AM mediana deci $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$, si inlocuim si aplicăm Reciproca Thales si deducem ca $\mathrm{DE}$ si +BC sunt paralele. ..... $1 \mathrm{p}$ + +Notam cu O intersectia dintre AM si DE. + +Obținem că triunghiurile ADO și ABM sunt asemenea și deci $\frac{A D}{A B}=\frac{A O}{A M}=\frac{D O}{B M}$ (2) + +iar triunghiurile AOE și AMC sunt asemenea și deci + +$A O \quad A E \quad O E$ + +$\overline{A M}=\overline{A C}=\overline{M C}$ + +Din relatiile $1,2,3$ deducem ca $\mathrm{DO}=\mathrm{OE}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Din congruenta triunghiurilor dreptunghice OPE și OND ( cazul IU) avem că OP şi ON sunt congruente.... $1 \mathrm{p}$ + +În patrulaterul DPEN avem $\mathrm{DO}=\mathrm{OE}$ si $\mathrm{OP}=\mathrm{ON}$ deci $\mathrm{DPEN}$ este paralelogram de unde concluzia $.1 p$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4170b425c5c8bc1a0383g-4.jpg?height=974&width=1070&top_left_y=136&top_left_x=352) + +## Subiectul IV + +Fie punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ astfel incat $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ si $\mathrm{CD}=\frac{A B}{2}$. Fie $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{E}\}$ si doua puncte diferite F si G simetrice fata de C, unde F,G $\notin$ BC. Aratati ca dreptele EG si BF sunt: + +a) paralele dacă $\mathrm{A}$ și $\mathrm{D}$ sunt de aceeaşi parte a dreptei $\mathrm{BC}$; + +b) concurente in mijlocul segmentului $[\mathrm{BF}]$, dacă A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC. + +Constantin Bozdog,Reghin + +Soluție: + +Teorema fundamentală a asemanarii in $\triangle \mathrm{ABE}(\mathrm{CD} \| \mathrm{AB}): \triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{DCE}$ + +$$ +\Rightarrow \frac{C E}{B E}=\frac{C D}{A B}=\frac{1}{2} +$$ + +a) A si $\mathrm{D}$ de aceeasi parte a dreptei $\mathrm{BC}$ + +$\frac{C E}{B E}=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CE}$ + +Dar $\mathrm{CF}=\mathrm{CG}$, deci $\mathrm{BFEG}$ paralelogram + +$\Rightarrow B F \| E G$ $\qquad$ +A + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4170b425c5c8bc1a0383g-5.jpg?height=534&width=414&top_left_y=578&top_left_x=1392) + +b) A si D de o parte si de alta a dreptei BC + +$\frac{C E}{B E}=\frac{1}{2}$ + +$C F=C G$, deci $E$ este centru de greutate in $\Delta$ BFG $\qquad$ $.2 p$ + +$\Rightarrow \mathrm{GE}$ mediana $\Rightarrow \mathrm{GE}$ contine mijlocul segmentului $[B F]$ $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4170b425c5c8bc1a0383g-5.jpg?height=536&width=581&top_left_y=1311&top_left_x=1297) + +A + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-652-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-652-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48da3364f5225b8f7bd0de9ad7a854dd7e81c964 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-652-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,152 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_88ddcd9d065bd3440e19g-1.jpg?height=232&width=288&top_left_y=141&top_left_x=364) + +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VI-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătați că $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ oricare ar fi $\mathrm{x}$ număr natural. + +b) Aflaţi $x$ din $\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4030}{2016}$. + +## SUBIECTUL II + +Arătați că + +a) numărul $\mathrm{a}=7^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}+1}+7^{\mathrm{n}+2}+7^{\mathrm{n}+3}$ este divizibil cu 100 , oricare ar fi $\mathrm{n} \in N$. + +b) numărul $\mathrm{b}=(\mathrm{n}-4) \cdot 7^{\mathrm{n}}+(\mathrm{n}-3) \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+(\mathrm{n}+2) \cdot 7^{\mathrm{n}+2}+(\mathrm{n}-1) \cdot 7^{\mathrm{n}+3}$ este divizibil cu 10 , oricare ar fi $n \in N, n \geq 4$. + +Constantin Bozdog, Reghin + +## SUBIECTUL III + +Fie punctele coliniare A, O, D unde $\mathrm{O} \in(\mathrm{AD})$ și unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}$ și $\Varangle \mathrm{BOC}$ adiacente, iar semidreapta (OC este interioară unghiului $\Varangle$ BOD. Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=5 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\frac{5}{3} \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})$ și $[O M$ este bisectoarea $\Varangle \mathrm{AOC}$ iar $\mathrm{Q}$ punct interior unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})=90^{\circ}$, se cere: +a) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})$. + +b) Să se arate că [OQ este bisectoarea unghiului $\Varangle$ COD. + +## SUBIECTUL IV + +Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine) situate pe dreapta d, astfel încât $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{CD}]$. De aceeaşi parte a dreptei d se consideră punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{F}$ astfel încât $[B E] \equiv[C F], \Varangle E B C \equiv \Varangle F C B$ şi $[B F \subset$ Int $\Varangle E B C$. Să se demonstreze că: +a) $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{DF}]$; +b) $\Varangle \mathrm{AFC} \equiv \Varangle \mathrm{DEB}$. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Probleme selectate de prof. Gînța Florica, prof. Gînța Vasile și prof. Seceleanu Daniela + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a VI-a + +Bareme de corectare + +## SUBIECTUL I + +a) Arătați că $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ oricare ar fi $x$ număr natural. + +b) Aflați $x$ din $\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4030}{2016}$. + +Soluție + +a) Calcul direct. + +(1p) +b) $\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+x}=\frac{4030}{2016}$ + +$\frac{1}{1}=\frac{1}{\frac{1 \cdot 2}{2}}=\frac{2}{1 \cdot 2} ; \frac{1}{1+2}=\frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2}}=\frac{2}{2 \cdot 3} ; \frac{1}{1+2+3}=\frac{1}{\frac{3 \cdot 4}{2}}=\frac{2}{3 \cdot 4}$ s.a.m.d + +$\frac{1}{1+2+\ldots+x}=\frac{1}{\frac{x \cdot(x+1)}{2}}=\frac{2}{x \cdot(x+1)}$. + +(3p) Atunci relatia (1) devine + +$\frac{2}{1 \cdot 2}+\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{2}{x \cdot(x+1)}=\frac{4030}{2016} \Leftrightarrow 2 \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{4030}{2016}$ + +$\mathbf{( 2 p )} \Leftrightarrow \frac{1}{1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2015}{2016} \Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{2015}{2016} \Leftrightarrow x=2015$ (1p) + +## SUBIECTUL II + +Arătați că + +a) numarul $a=7^{n}+7^{n+1}+7^{n+2}+7^{n+3}$ este divizibil cu 100 , oricare ar fi $n \in N$. + +b) numarul $b=(n-4) \cdot 7^{\mathrm{n}}+(\mathrm{n}-3) \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+(\mathrm{n}+2) \cdot 7^{\mathrm{n}+2}+(\mathrm{n}-1) \cdot 7^{\mathrm{n}+3}$ este divizibil cu 10 , oricare ar fi $\mathrm{n} \in N, n \geq 4$. + +## Rezolvare: + +a) Ultimele doua cifre ale lui $7^{n}$ pentru $n=4 k, 4 k+1,4 k+2,4 k+3, k \in N$ sunt $01,07,49$, respectiv 43 . $.2 \mathrm{p}$ + +Oricare ar fi $n \in N$, ultimele doua cifre ale lui a sunt 0 , deci $\mathrm{a}: 100$ $1 \mathrm{p}$ + +b)Pentru $n=4, U(b)=U\left(7^{5}+6 \cdot 7^{6}+3 \cdot 7^{7}\right)=U(7+6 \cdot 9+3 \cdot$ +3) $=\mathrm{U}(7+4+9)=0$ $1 \mathrm{p}$ + +Pentru $\mathrm{n}>4, \mathrm{~b}=\mathrm{n}\left(7^{\mathrm{n}}+7^{\mathrm{n}+1}+7^{\mathrm{n}+2}+7^{\mathrm{n}+3}\right)-4 \cdot 7^{\mathrm{n}}-3 \cdot 7^{\mathrm{n}+1}+2 \cdot 7^{\mathrm{n}+2}-7^{\mathrm{n}+3}$ si tinand seama de $\left.\mathrm{a}\right)$, mai trebuie calculata ultima cifra a numarului $\mathrm{c}=2 \cdot 7^{\mathrm{n}+2}-4 \cdot 7^{\mathrm{n}}-3 \cdot 7^{\mathrm{n}+1}-$ $7^{\mathrm{n}+3}$ $1 \mathrm{p}$ + +$$ +\begin{aligned} +\text { Pentru } \mathrm{n} & =4 \mathrm{k}, \mathrm{U}(\mathrm{c})=U(2 \cdot 9-4 \cdot 1-3 \cdot 7-3)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 \mathrm{k}+1, \mathrm{U}(\mathrm{c})=\mathrm{U}(2 \cdot 3-4 \cdot 7-3 \cdot 9-1)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 k+2, U(c)=U(2 \cdot 1-4 \cdot 9-3 \cdot 3-7)=0 \\ +\mathrm{n} & =4 k+3, U(c)=U(2 \cdot 7-4 \cdot 3-3 \cdot 1-9)=0 +\end{aligned} +$$ + +deci b:10, oricare ar fi $n \in N$, $n \geq 4$. . $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Fie punctele coliniare A, $\mathrm{O}, \mathrm{D}$ unde $\mathrm{O} \in(\mathrm{AD})$ și unghiurile $\Varangle \mathrm{AOB}$ și $\Varangle \mathrm{BOC}$ adiacente, iar semidreapta (OC este interioară unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$. Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=5 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})$, $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\frac{5}{3} \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})$ și $[O M$ este bisectoarea $\Varangle \mathrm{AOC}$ iar $\mathrm{Q}$ punct interior unghiului $\Varangle \mathrm{BOD}$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})=90^{\circ}$, se cere: +a) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC}), \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})$. + +b) Să se arate că [OQ este bisectoarea unghiului m( $\Varangle \mathrm{COD}$ ). + +## Rezolvare: + +a) Fie $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOC})=\mathrm{a}$, deci $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=\frac{a}{5}, \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{COD})=\frac{3 a}{5}$ + +$$ +\begin{gathered} +\text { Obținem relația } \frac{a}{5}+a+\frac{3 a}{5}=180^{\circ} \\ +\mathrm{a}=100^{\circ} +\end{gathered} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_88ddcd9d065bd3440e19g-4.jpg?height=283&width=305&top_left_y=121&top_left_x=356) +Finalizare $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOB})=20^{\circ}, \mathrm{M}(\Varangle \mathrm{BOC})=100^{\circ}, \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD})=60^{\circ}$ ..... $2 p$ +b) $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOC}): 2=60^{\circ}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{QOD})=180^{\circ}-[\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOM})+\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MOQ})]=$ +$=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}\right)=30^{\circ}$ ..... $1 p$ + +$\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{QOD})=30^{\circ}=60^{\circ}: 2=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{COD}): 2$, deci (OQ bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{COD}$ + +## SUBIECTUL IV + +Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine) situate pe dreapta d, astfel încât $[A B] \equiv[C D]$. De aceeaşi parte a dreptei d se consideră punctele $\mathrm{E}$ şi $\mathrm{F}$ astfel încât $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}], \angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ şi $[\mathrm{BF} \subset \mathrm{Int} \angle \mathrm{EBC}$. Să se demonstreze că: +a) $[\mathrm{AE}] \equiv[\mathrm{DF}]$; +b) $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. + +## Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_88ddcd9d065bd3440e19g-4.jpg?height=357&width=997&top_left_y=1318&top_left_x=381) + +a) Arătăm că $\triangle E B A \equiv \triangle E C D$. Din ipoteză avem că, $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{CD}]$ și $[\mathrm{BE}] \equiv[\mathrm{CF}]$, iar din faptul că $\angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ deducem că $\prec E B A \equiv \prec F C D$ (au același suplement). Deci, în baza cazului (L.U.L) avem că $\triangle E B A \equiv \triangle F C D$ de unde rezultă că $[A E] \equiv[D F]$ (4p) + +b) Vom considera triunghiurile $\triangle F A C$, respectiv $\triangle E D B$ în care știm că [BE] $\equiv[C F]$, $\angle \mathrm{EBC} \equiv \angle \mathrm{FCB}$ și $[\mathrm{BD}] \equiv[\mathrm{CA}]$. Atunci în baza cazului de congruență (L.U.L) avem că $\triangle F A C \equiv \triangle E D B$ de unde rezultă că $\angle \mathrm{AFC} \equiv \angle \mathrm{DEB}$. (3p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-653-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-653-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91c21d0fb00ce7c34b9e2d1a0d8bb09f90601e82 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-653-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,141 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-1.jpg?height=250&width=287&top_left_y=154&top_left_x=385) + +wuw.edums.ro + +# S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică + +## Faza locală 13.02.2015 + +## Clasa a V-a + +## SUBIECTUL I + +Calculaţi: $\mathrm{a}=\left\{\left[2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{995}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right)$ + +## SUBIECTUL II + +Pe cercurile din figură sunt aşezate numerele $3,7,11,15, \ldots \ldots$. + +a) Scrieţi numerele ce urmează a fi aşezate pe următoarele două cercuri; + +b) Să se determine numărul ce trebuie aşezat pe al 2015 - lea cerc; + +c) Să se arate că numărul de pe cercul al 2015 - lea, nu este pătrat perfect; + +d) Să se calculeze suma numerelor de pe primele 2015 cercuri. + +## SUBIECTUL III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-1.jpg?height=509&width=558&top_left_y=1163&top_left_x=1529) + +Să se determine numerele formate din două sau trei cifre care împărțite la 13 dau câtul $a$ și restul $b$ și împărțite la 11 dau câtul $b$ și restul $a$. + +## SUBIECTUL IV + +Dintre numerele $2^{213}$ și $3^{142}$ numărul mai mare se înmulțește cu 24 iar numărul mai mic se înmulțește cu 18. Arătați că diferența numerelor astfel obținute este divizibilă cu 72. + +## Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a V-a + +Bareme de corectare + +## SUBIECTUL I + +Calculaţi: + +$$ +\mathrm{a}=\left\{\left[2^{3} \cdot 5^{2}+\left(25^{50}: 5^{99}+2^{2} \cdot 3\right) \cdot 5^{2}\right]: 5^{3}+2^{7}+11^{1991}:\left(11^{2}\right)^{995}\right\}:\left(3^{3}+3^{2}\right) +$$ + +Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-2.jpg?height=77&width=1390&top_left_y=1201&top_left_x=390) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-2.jpg?height=60&width=1305&top_left_y=1318&top_left_x=455) + +$$ +\begin{aligned} +& \left\{(25 \cdot 25): 5^{3}+128+11\right\}: 36 \text {............................................................................ } 2 p \\ +& \{5+128+11\}: 36 \quad \text {.............................................................................................. } 1 p +\end{aligned} +$$ + +$$ +144: 36=4 \quad \text {.........................................................................................1p } +$$ + +## SUBIECTUL II + +Pe cercurile din figură sunt aşezate numerele $3,7,11,15$, + +a) Scrieţi numerele ce urmează a fi aşezate pe următoarele două cercuri; + +b) Să se determine numărul ce trebuie aşezat pe al 2015 - lea cerc; + +c) Să se arate că numărul de pe cercul al 2015 - lea, nu este pătrat perfect; + +d) Să se calculeze suma numerelor de pe primele 2015 cercuri. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-2.jpg?height=525&width=489&top_left_y=1762&top_left_x=1566) + +## Soluţie: + +a) 19,23 + +b) Numerele de pe cercuri sunt de forma $4 \mathrm{k}+3$ deci, pe al 2015 - lea cerc este $4 \cdot 2014+3=$ 8059 $2 \mathrm{p}$ + +c) Numărul de pe al 2015 - lea cerc este cuprins între două pătrate consecutive $89^{2}<8059<$ $90^{2}$ + +Sau: $\mathrm{nr}$. de forma $4 \mathrm{k}+3 \mathrm{nu}$ sunt pătrate perfecte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-3.jpg?height=259&width=294&top_left_y=119&top_left_x=356) +d) $\mathrm{S}=4 \cdot 0+3+4 \cdot 1+3+4 \cdot 2+3+\ldots$ $\qquad$ $+4 \cdot 2014+3=4 \cdot(0+1+2+3+\ldots .+2014)+3 \cdot 2015=$ $=2014 \cdot 2015 \cdot 2+3 \cdot 2015=2015 \cdot 4031=8122465$ . $.2 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Să se determine numerele formate din două sau trei cifre care împărțite la 13 dau câtul $a$ și restul $b$ și împărțite la 11 dau câtul $b$ și restul $a$. + +## Rezolvare: + +Fie $A$ numărul căutat, atunci: $A=13 a+b, b \leq 12$ $.1 \mathrm{p}$ + +şi $A=11 b+a, a \leq 10$.......................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +De unde $13 a+b=11 b+a \Rightarrow 6 a=5 b$, ................................................................... $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d5f673da9bc0205c6a44g-3.jpg?height=74&width=1373&top_left_y=1162&top_left_x=427) + +Numerele căutate sunt: 71 și 142. .............................................................................. $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL IV + +Dintre numerele $2^{213}$ și $3^{142}$ numărul mai mare se înmulțește cu 24 iar numărul mai mic se înmulțește cu 18. Arătați că diferența numerelor astfel obținute este divizibilă cu 72 . + +## Rezolvare: + +Comparăm cele două numere: + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{213}=2^{3 \cdot 71}=\left(2^{3}\right)^{71}=8^{71} \text { iar.......................................................................... } 1 p \\ +& 3^{142}=3^{2 \cdot 71}=\left(3^{2}\right)^{71}=9^{71} +\end{aligned} +$$ + +$72 \cdot\left(3^{141}-2^{211}\right)$ ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-654-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-654-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73aedf95feff7fb4d18665098af751f521777db1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-654-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# S.S.M.R - FILIALA MUREST + +## Olimpiada de matematică + +Faza locală 13.02.2015 + +Clasa a IX-a + +## Subiectul I + +Să se determine termenul al $n$-lea şi raţia unei progresii aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ dacă $\frac{S_{m}}{S_{n}}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$ şi $\alpha_{1}=\alpha$, unde $\alpha \in \mathbf{R}$. + +## Subiectul II + +Să se rezolve ecuația in mulțimea numerelor reale $\left[\frac{2 x+1}{5}\right]+\left[\frac{6 x+8}{15}\right]+\left[\frac{6 x+13}{15}\right]=10$, unde [t] reprezintă partea întreagă a numărului real $t$. + +## Subiectul III + +In triunghiul $A B C$ având laturile $A B=c, A C=b, B C=a$, fie $P$ intersec -ia dintre bisectoarea $C E$ -i mediana $B D, E \in(A B), D \in(A C)$ + +Să se determine numerele $x \square \mathrm{i} y$ astfel incât $\overline{P A}=x \cdot \overline{P B}+y \cdot \overline{P C}$. + +## Subiectul IV + +Fie triunghiul $\triangle A B C$ astfel incât $A B=1 \mathrm{~cm} \square \mathrm{i} A C=2015 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{M}$ un punct in planul triunghiului $\triangle A B C$ astfel incàt: + +$$ +\overrightarrow{r_{M}}=\frac{1007}{2015} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{r_{B}}+\frac{1}{4030} \overrightarrow{r_{C}} +$$ + +Demonstra $\square \mathrm{i}$ că $A M \perp B M$. + +Notă. + +Toate problemele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## S.S.M.R - FILIALA MURES + +## Olimpiada de matematică
Faza locală 13.02.2015
Clasa a IX-a
BAREM + +SUBIECTUL I Să se determine termenul al $n$-lea şi raţia unei progresii aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ dacă $\frac{S_{m}}{S_{n}}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$ şi $a_{1}=\alpha$, unde $\alpha \in \mathbf{R}$. + +## Soluţie + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{S_{m}}{S_{n}}=\frac{m^{2}}{n^{2}} \Leftrightarrow \frac{S_{m}}{m^{2}}=\frac{S_{n}}{n^{2}}=k \Rightarrow S_{m}=k \cdot m^{2} \\ +& a_{m}=S_{m}-S_{m-1}=k(2 m-1), \forall m \in \square^{*} +\end{aligned} +$$ + +$a_{1}=k=\alpha \Rightarrow a_{n}=\alpha \cdot(2 n-1)$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$r=a_{n+1}-a_{n}=2 \alpha$ + +SUBIECTUL II Să se rezolve ecuaţia în mulţimea numerelor reale $\left[\frac{2 x+1}{5}\right]+\left[\frac{6 x+8}{15}\right]+\left[\frac{6 x+13}{15}\right]=10$, unde $[t]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $t$. + +## Soluţie + +Notăm $y=\frac{2 x+1}{5}$ şi ecuaţia devine $[y]+\left[y+\frac{1}{3}\right]+\left[y+\frac{2}{3}\right]=10$ + +$2 \mathrm{p}$ + +Din identitatea lui Hermite $[y]+\left[y+\frac{1}{3}\right]+\left[y+\frac{2}{3}\right]=[3 y], \forall y \in \mathbb{R}$ + +Deci, $[3 y]=10 \Leftrightarrow \frac{10}{3} \leq y<\frac{11}{3}$ + +Soluţiile ecuaţiei din enunţ sunt date de $\frac{10}{3} \leq \frac{2 x+1}{5}<\frac{11}{3} \Leftrightarrow$ $\frac{47}{6} \leq x<\frac{26}{3} \Leftrightarrow x \in\left[\frac{47}{6}, \frac{26}{3}\right)$ + +SUBIECTUL III În triunghiul $A B C$ având laturile $A B=c, A C=b, B C=a$, fie $P$ intersecția dintre bisectoarea $C E$ şi mediana $B D, E \in(A B), D \in(A C)$. + +Să se determine numerele $x$ și $y$ astfel încât $\overrightarrow{P A}=x \cdot \overrightarrow{P B}+y \cdot \overrightarrow{P C}$. + +## Solutie. + +$\Delta P A B \Rightarrow \overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B A}$ și $\Delta P A C \Rightarrow \overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{C A}$ + +## www.edums.ro + +adunând relațiile obținem: + +$$ +2 \overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a02813c7718881642711g-3.jpg?height=363&width=542&top_left_y=618&top_left_x=1405) + +obținem $\frac{2 a+b}{2 a} \overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}$. + +Înlocuind în relația (1) + +obținem: $2 \overrightarrow{P A}=-\frac{b}{2 a} \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\frac{3}{2} \overrightarrow{C A}$, dar $\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{C P}+\overrightarrow{P A}$ de unde $\overrightarrow{P A}=-\frac{b}{a} \overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P C}$ deci $x=-\frac{b}{a}, y=-1$ + +SUBIECTUL IV Fie triunghiul DABC astfel încât $A B=1 \mathrm{~cm}$ şi $A C=2015 \mathrm{~cm}$. Fie $\mathrm{M}$ un punct în planul triunghiului DABC astfel încât: + +$$ +\overrightarrow{r_{M}}=\frac{1007}{2015} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{r_{B}}+\frac{1}{4030} \overrightarrow{r_{C}} +$$ + +Demonstrați că $A M \perp B M$. + +Soluție. $\quad \overrightarrow{r_{M}}=\frac{1007}{2015} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{r_{B}}+\frac{1}{4030} \overrightarrow{r_{C}}=\frac{1}{2}\left(\frac{2014}{2015} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{1}{2015} \overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{B}}\right)$. $2 p$ + +Fie $A B=c=1 \mathrm{~cm}$ și $A C=b=2015 \mathrm{~cm}$. Atunci relația precedentă se scrie: + +$$ +\overrightarrow{r_{M}}=\frac{1}{2}\left(\frac{b-c}{b} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{c}{b} \overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{B}}\right)(*) \ldots +$$ + +Cum $\frac{b-c}{b}+\frac{c}{b}=1$, alegând un punct $\mathrm{N}$ astfel încât $\frac{b-c}{b} \overrightarrow{r_{A}}+\frac{c}{b} \overrightarrow{r_{C}}=\overrightarrow{r_{N}}$, obținem că $\mathrm{N}$ se află pe segmentul $(A C)$ si $\frac{A N}{N C}=\frac{c}{b-c}$, deci $\frac{A N}{A N+N C}=\frac{c}{b} \operatorname{sau} \frac{A N}{b}=\frac{c}{b}$, deci $A N=c=A B$ + +$.2 p$ + +Relația (*) se rescrie $\overrightarrow{r_{M}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_{N}}+\overrightarrow{r_{B}}\right)$, deci M este mijlocul segmentului ( $N B$ ), deci AM este mediană în triunghiul isoscel $\triangle B A N$ de bază (BN). În concluzie, AM este și înălțime, deci $A M \perp B M \quad(1 \mathrm{p})$ + +## Se punctează orice rezolvare corectă diferită de cea din barem + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-655-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-655-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f58103ca3c71dd2ac39ea595e16490fa901f1870 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-655-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,68 @@ +# OLTMPIADA DE MATEMATICĂ.
ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015
CLASA a XII - a
SOLUTU \$I BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare sublect se punctează de la o la 7 puncte Se acordă numai punctaje intregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enun subiect 1, autor prof. Marcel Tena, CN.S.S. + +1. Fie $f: Q^{*} \rightarrow \mathbb{Q}^{*}$ un endomonfism al grupului $\left(Q^{*},\right)$ + +a) Determinatif $f(-1)$ + +b) Să se determine toate endomorfismele $f$ cu proprietarea că $f(p)=p$, pentru orice $p>0, p$ nunuăr prin. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Fie $q \in Q^{*}$. Atunci $q$ se poate scrie ca $p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}$ unde $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ sunt numere
naturale prime, iar $\alpha_{1,} \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}$ sunt numere intregi. | $1 \mathrm{p}$ | +| $\left.f(q)=f\left(p_{1}^{\alpha_{1}}, p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}\right)=f\left(p_{1}\right)\right)^{\alpha_{1}} \cdot\left(f\left(p_{2}\right)\right)^{\alpha_{2}}, \ldots\left(f\left(p_{k}\right)\right)^{\alpha_{k}}=p_{1}^{\alpha_{1}}-p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}=q$
Deci $f(q)=q$, pentri orice $q>0$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Deoarece $(-1)^{2}=1$, avem $\left.f(-1)^{2}\right)=f(1)$, deci $\left(f(-1)^{2}=f(1)=1\right.$,
deci $f(-1)= \pm 1$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $f(-1)=1$ de unde $f(q)=f(-r)=f(-1) f(r)=r=-q$
Atunci, pentru orice $q \in Q^{*}, f(q)=\left\{\begin{array}{l}q, \text { pentru } q>0 \\ -q \text { pentru } q<0\end{array}=\|q\|\right.$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $f(-1)=1$, de unde $f(q)=f(-r)=f(-1) \cdot f(r)=-r=q$, deci $f(q)=q$,
pentiu orice $q \in Q^{*}$. | $2 \mathrm{p}$ | + +Enunt subiect 2, autor ***, GM in $9 / 2014$ + +Fie $a$ un număr real fixat si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o functie care admite primitive si nu se anulează. + +Sà se arate că funcfia $g \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \leq a \\ 2 f(x), x>a\end{array}\right.$, nu are primitive. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Fie $E: R \rightarrow R$ o plimitivă a lui $f$. Să presupunem că $g$ are $\sigma$ primitivă $G \div \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ | $2 \mathrm{p}$ | + + +| Atunci $G(x)=\left\{\begin{array}{c}F(x)+C_{1}, x \leq a \\ 2, F(x)+C_{2}, x>a\end{array}\right.$ | | +| :---: | :---: | +| $G$ este o functie continuă pe $\mathbb{R}$, deci continuă în punctul $a$, deci
$\lim _{x \times a} G(x)=\lim _{x \rightarrow a} G(x)=G(a)$ de unde $F(a)+C_{1}=2 F(a)+C_{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $G$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, decisi in punctul $a$, de unde
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{G(x)-G(a)}{x-a}=\lim _{x \backslash a} \frac{G(x)-G(a)}{x-a}=g(a)=f(a)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\lim _{x \rightarrow a} \frac{G(x)-G(a)}{x-a}=\lim _{x>a} \frac{F(x)-F(a)}{x-a}=F^{\prime}(a)=f(a)$ | $1 p$ | +| $\lim _{x \rightarrow a} \frac{G(x)-G(a)}{x-a}=\lim _{x>a} \frac{2 \cdot F(x)+C_{2}-F(a)-C_{1}}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{2 \cdot(F(x)-F(a))}{x-a}=2 \cdot F^{\prime}(a)=2 \cdot f(a)$ | $1 p$ | +| Obfinem $f(a)=2 f(a)$, de unde $f(a)=0$, imposibil | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunt subiect 3 , autor**** + +Fie $I_{n}=\int_{0}^{\pi / 2}(\sin x)^{n} d x, n \in \mathbb{N}$ + +a) Să se arate că $n I_{n} I_{n-1}=\frac{\pi}{2}, n \geq 1$ + +b) Să se calculeze $\operatorname{Iim}_{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot I_{n}\right)$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $I_{n}=\int_{0}^{\pi}(\sin x)^{n} d x=-\left.\cos x(\sin x)^{n-1}\right\|_{0} ^{\pi / 2}+(n-1) \int_{0}^{\pi / 2}(\sin x)^{n-2}\left(1-\sin ^{2} x\right) d x$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Deci $I_{n}=(n-1) I_{n-2}-(n-1) I_{n}$, de unde $n I_{n}=(n-1) I_{n-2}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Aven si $(n+1) I_{n} I_{n+1}=n I_{n} I_{n-1}, I_{0}=\frac{\pi}{2}, I_{1}=1$, de unde $n I_{n} I_{n-1}=\frac{\pi}{2}$, pentru orice $n$ | $1 \mathrm{p}$ | +| natural | | +| Avem $I_{n+1}\sqrt{\frac{\pi}{2(n+1)}}$. | $3 \mathrm{p}$ | +| Obtiniem $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n-I_{n}\right)=\infty$. | | + +Enunt subiect 4, autor**** + +a) Pe mulıimea $A=\{\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \ldots \sqrt[14]{145}\}$ să se introducă două structuri : una de grup comutativ si una de grup necomutativ. + +b) Se consideră $a, b \in \mathbb{R}, a asociat | +| :---: | :---: | +| a) $\|A\|=144$. Vom aplica teorema de transport a structurii de grup.
Cazul comutativ Grupul $\left(\mathbb{Z}_{144}\right.$, $)$ este comutativ. Functia
$f: A \rightarrow \mathbb{Z}_{144}, f(\sqrt{2})=\overline{0}, f(\sqrt[3]{3})=\overline{1}, \ldots, f(\sqrt[145]{145})=\overline{143}$, unde $\mathbb{Z}_{144}=\{\overline{0}, \ldots, \overline{143}\}$
este bijectivă, deci existä o unică structură dè grup pe A pentru care $f$ realizează
izomorfismul. | $2 p$ | +| Cazul necomutativ
$144=31-41$ Pentru $n \in \mathbb{N}$ se notează $\left(S_{n}, 0\right)$ grupul permutărilor de grad $n$. Considerăm
grupul produs direct $\left(S_{3} \times S_{4}, 0\right)$, unde operaţia - se defineste astfel ;
$\left(x_{1}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1} \circ x_{2}, y_{1} \circ y_{2}\right), x_{1}, x_{2} \in S_{3}, y_{1}, y_{2} \in S_{4}$. Avem
$\left\|S_{3}\right\|=3!,\left\|S_{4}\right\|=4!\Rightarrow\left\|S_{3} \times S_{4}\right\|=3!: 4!=144=\|A\|$. Grupul $\left(S_{3} \times S_{4},\right)$ este necomutativ
(este suficient ca un factor să fie necomutativ, in cazul nostru chiar ambele sunt
necomutative) si aplicăm teorema de transport a structurii. Deci $A$ devine grup
necomutativ. | $3 \mathrm{p}$ | +| b) Functia $h(a, b) \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{b-a}(x-a)\right)$ este bijectivă si aplicăm teorema de
transport a structurii din grupul comutativ $(\mathbb{R},+)$ la $(a, b)$.
$\forall x_{1}, x_{2} \in(a, b), x_{1} \circ x_{2}=h^{-1}\left(h\left(x_{1}\right)+h\left(x_{2}\right)\right.$, deci $((a, b), 0)$ este grap comutativ. | $2 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-656-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-656-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3783831b488d1aeffa80204cec1e42438271b4e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-656-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,74 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c397f7df02ac9ae6cf65g-1.jpg?height=124&width=125&top_left_y=377&top_left_x=748) + +# OLMPIADA DE MATEMATICA -ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015 -
CLASA A XI-A SOLUTI SIBAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fícare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje intregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1 , autor *** + +O matrice $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ are proprietătile $A^{2}=\left(\begin{array}{ll}a^{2} & b^{2} \\ c^{2} & d^{2}\end{array}\right)$ si $A^{3}=\left(\begin{array}{ll}a^{3} & b^{3} \\ c^{3} & d^{3}\end{array}\right)$. Arătaţi că $A^{n}=\left(\begin{array}{ll}a^{n} & b^{n} \\ c^{n} & d^{n}\end{array}\right)$, oricare ar fi numărul natural nenul $n$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| $\operatorname{Din} A^{2}=A \cdot A=\left(\begin{array}{ll}a^{2}+b c & b(a+d) \\ c(a+d) & d^{2}+b c\end{array}\right)$ rezultă bc=0 | $2 \mathrm{p}$ | +| Dacă $b=c=0$, atunci $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}a^{n} & 0 \\ 0 & d^{n}\end{array}\right)$ si concluzia este verificată. | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă, de exemplu, $b=0 \neq c$, atunci $c=a+d$ si rezultă $A^{3}=A^{2} \cdot A=\left(\begin{array}{cc}a^{3} & 0 \\ a c^{2}+c d^{2} & d^{3}\end{array}\right)$,
de unde $a d=0$, In cazul $a=0$ obtinem $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ d & d\end{array}\right)$, de unde $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ d^{n} & d^{n}\end{array}\right)$, iarin
cazul $d=0$ obtinem $A=\left(\begin{array}{ll}a & a \\ 0 & 0\end{array}\right)$, de unde $A^{n}=\left(\begin{array}{ll}a^{n} & a^{n} \\ 0 & 0\end{array}\right)$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Cazul $c=0 \neq b$ se tratează similar (sau se reduce la cazul precedent inlocuind $A \mathrm{cu}^{L} A$ ) | $1 \mathrm{p}$ | + +## Subiect 2, autor *** + +Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2, k \in \mathbb{N}^{*}$ si matricea $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ pentru care are loc relatia : $A^{4 k+1}=A^{4 k-1}+A^{4 k-2}+\ldots+A+I_{n}$. Să se demonstreze cã: + +a) A este inversabilă; + +b) $\operatorname{det}(4+I) \geq 0$ + +| Detalii rezolvare | | +| :--- | :---: | +| Relatia este echivalentă cu $A\left(A^{4 k}-A^{4 k-2}-\ldots-I_{n}\right)=I_{n}$, deci $A$ este inversabilă. | Barem
asociat | +| Adunăm în ambii membrii ai egalităţii $A^{4 k}$ ş obfinem | $2 \mathrm{p}$ | +| $A^{4 k}\left(A+I_{n}\right)=A^{4 k}+A^{4 k-1}+\ldots+A+I_{n}$. Fie $\varepsilon_{k}=\cos \frac{2 k \pi}{4 k+1}+i \sin \frac{2 k \pi}{4 k+1}, 1 \leq k \leq 4 k$ | $2 \mathrm{p}$ | +| tădăcinile complexe diferite de 1 ale polinomului $P(X)=X^{4 k}+X^{4 k-1}+\ldots+X+1$. | | +| det $\left(A^{4 k}+A^{4 k-1}+\ldots+A+I_{n}\right)=$ det $\left.\left(\prod_{k=1}^{2 n}\left(A-\varepsilon_{k} \cdot I_{n}\right)\left(A-\varepsilon_{k} \cdot I_{n}\right)\right)=\prod_{k=1}^{2 \pi} \mid \operatorname{det}\left(A-\varepsilon_{k} \cdot I_{n}\right)\right]^{2} \geq 0$, | $3 \mathrm{p}$ | + +Subiect 3 , GM 10/2014 si supliment GM $4 / 2014$ + +a) Arătaț că dacă $a, b, c>0$ sunt numere reale iar sirul cu termenul general + +$$ +x_{n}=\frac{a}{b^{n}}+\frac{b}{c^{n}}+\frac{c}{a^{n}}, n \in \mathbb{N} +$$ + +este convergent, atunci sirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este monoton. + +b) Determinati limita sirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{1}=1$ si $x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}}$ pentru $n \geq 1$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Dacă unul dintre nunere, de exemplu $\alpha$, este subunitar, atunci $x_{n}>\frac{c}{a^{n}}$ si $\frac{c}{a^{n}} \rightarrow+\infty$
implică $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$, contradicfie | $2 p$ | +| Deducem că $a, b, c \geq 1$, deci sirurile $\left(a^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, sunt crescătoare iar
$\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este descrescător, | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Din $x_{n+1}^{2}=x_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}$ rezultã $x_{n}^{2}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $x_{n}=\sqrt{2-\frac{1}{2^{n-1}}} \rightarrow \sqrt{2}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiect 4, autor Mihail Bălunä + +Fie $n \geq 2$ un numắr natural şi $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o functie Precizafi, justificẫnd răspunsul, dacă urnătoarele afirmaţi sunt adevărate: + +a) oricare ar functia $f$, daca $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin n x=0$, atunc $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin x=0$; + +b) oricare ar finctia $f$ dacă $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin x=0$, aturic $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin n x=0$; + +c) oricare ar fi functia $f$, dacă $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin n x=0$, atunci $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin x=0$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Adevărat: $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin x=\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin n \frac{\sin x}{\sin n x}=0 \frac{1}{n}=0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Adevarat $\operatorname{din}\|\sin n x\| \leq n\|\sin x\| \operatorname{sim} \lim _{x \rightarrow \infty} n\|f(x) \sin x\|=0$ reiese $\lim _{x \rightarrow \infty}\|f(x) \sin n x\|=0$ | $2 p$ | + + +| Din $\lim _{x \rightarrow \infty}\|f(x) \sin n x\|=0$, rezultă $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin n x=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| c) Fals de exemplu, luam $f(x)=1$, dacă $x=\pi / n+2 k \pi, k \in \mathbb{N}$ si $f(x)=0$ in rest | $1 \mathrm{p}$ | +| $f(x) \sin n x=0$, oricare ar fi $x$, deci $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin x=0$, pe cand $f(x) \sin x=\sin \pi \ln \neq 0$ | | +| dacă $x=\pi n+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$, deci $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \sin x$ nu este 0 | Ip | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-657-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-657-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..595d4e35b1ed810eb3bf9aa7506579187cd3e8d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-657-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015 -
CLASA A X-A
SOLUTII SI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje intregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1 , autor *** + +Fie funcţia $f:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty), f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. + +a) Arătați că funcţia este strict monotonă. + +b) Arătaţi că imaginea functiei este $(0,1]$. + +c) Determinaţi funcția $\quad g:(0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ care are proprietatea $g(f(x))=2 x+3$, oricare ar fi $x \in[0, \infty)$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ pentru $x \geq 0$, formulă care descrie o functie strict descrescătoare | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Din monotonie $f(x) \leq f(0)=1$ ş din definitie $f(x)>0$, oricare ar fi $x \geq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Pentru orice $y \in(0,1]$ există $x=\left(1-y^{2}\right)^{2} / 4 y^{2} \geq 0$ astfel încât $f(x)=y$ | $2 p$ | +| c) Notând $f(x)=t, g(t)=2\left(1-t^{2}\right)^{2} / 4 t^{2}+3$ | $1 p$ | +| Deoarece pentru orice $t \in(0,1]$ există $x \in[0, \infty)$ astfel încât $f(x)=t$, formula de mai sus
definește funcţia căutată | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiect 2, autor ***, supliment G.M.4/2014 şi supliment G.M. 11/2014 + +a) Fie $z$ și $w$ două numere complexe diferite, astfel incât $|z|=|w|$ şi $|1+z|=|1+w|$. Arătaţi că $z=\bar{w}$. + +b) Arătaţi că dacă $z$ este un număi complex de modul 1 şi $z \neq \pm i$, atunci $x=\frac{z}{z^{2}+1}$ este număr real. Determinaţi mulţimea $\left\{\left.\frac{z}{z^{2}+1} \right\rvert\, z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}, z \neq \pm \mathrm{i}\right\}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $\|z\|^{2}=z \bar{z},\|1+z\|^{2}=1+z+\bar{z}+z \bar{z}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Ipoteza devine $z+\bar{z}=w+\bar{w}, z \bar{z}=w \bar{w}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Există doar posibilităţile $z=w, \bar{z}=\bar{w}$ sau $z=\bar{w}, \bar{z}=w$, dintre care convine doar a doua | $1 \mathrm{p}$ | + + +| b) Din ipoteză $z=\cos a+\mathrm{i} \sin a, \cos a \neq 0$, deci $x=\frac{\cos a+\mathrm{i} \sin a}{1+\cos 2 a+\mathrm{i} \sin 2 a}=\frac{1}{2 \cos a} \in \mathbb{R}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| Mulţimea valorilor lui $x$ este $(-\infty,-1 / 2] \cup[1 / 2, \infty)$. | $2 \mathrm{p}$ | + +Subiect 3, autor Eugen Radu + +Arătaţi că, pentru orice număr natural $n,[\sqrt[3]{7 n+1}]=[\sqrt[3]{7 n+5}]$ (unde $[x]$ reprezintă partea intreagă a numărului real $x$ ). + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Cerinţa este echivalentă cu faptul că nu există cuburi perfecte între $7 n+1$ şi $7 n+5$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Resturile cuburilor perfecte la împărţea cu 7 sunt 0,1, sau 6 | $3 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiect 4, autor Eugen Radu + +Rezolvaţi ecuaţ̦ia $2^{x}+1=\left(3^{x}-1\right)^{\log _{2} 3}$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Deoarece $\log _{2} 3$ este irațional, trebuie $3^{x}-1>0$, adică $x>0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Logaritmând în baza 3 obţinem $\log _{3}\left(2^{x}+1\right)=\left(\log _{2} 3\right)\left(\log _{3}\left(3^{x}-1\right)\right)=\log _{2}\left(3^{x}-1\right)$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Dacă notăm cu $y$ valoarea comună a celor doi logaritmi, atunci $2^{x}+1=3^{y}, 3^{x}-1=2^{y}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Deducem $2^{x}+3^{x}=2^{y}+3^{y}$, de unde $x=y$ | $1 p$ | +| Ecuaţia $2^{x}+1=3^{x}$ are soluţia unică $x=1$ | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-658-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-658-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72d72283fe7e08b4be8bdeeb5abd0c0c7013e206 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-658-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,82 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_21631fb12f6ac87d19ddg-1.jpg?height=124&width=590&top_left_y=369&top_left_x=864) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015
CLASA a IX-a
SOLUTII SI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1, prelucrare Ovidiu Sontea + +a) Pe insula I trăiesc oameni cinstiți care spun totdeauna adevărul și mincinoşi care totdeauna mint. Un explorator a întâlnit doi indigeni $\mathrm{A}$ și $\mathrm{B}$. + +Localnicul A a spus: + +-Cel puțin unul dintre noi (A și B) este mincinos. + +Se poate stabili cum este A şi cum este B ? (mincinos sau cinstit). Justificare. + +b) Arătați că $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\ldots+\frac{2014}{2015!}<1$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Dacă A ar fi mincinos, atunci enunţul său nu ar fi adevărat, deci ambii sunt cinstiţi.
Contradictie. | $2 \mathrm{p}$ | +| Deci A este cinstit.Enunțul său este adevărat, deci B este mincinos. | $2 \mathrm{p}$ | +| b) $\sum_{k=1}^{2014} \frac{k}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^{2014} \frac{k+1-1}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^{2014}\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\right)$ | $2 p$ | +| Finalizare. | $1 \mathrm{p}$ | + +Subiect 2,G.M.6-7-8/2014 + +Rezolvaţi in mulţimea numerelor reale ecuația + +$$ +x^{2}+2[x]\{x\}+3\{x\}^{2}=4 +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $x=[x]+\{x\}$. | $1 p$ | +| Obținerea unei ecuați echivalente $([x]+2\{x\})^{2}=4$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Observatia $2\{x\} \in \mathbb{Z}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\{x\} \in\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare si obținerea soluților $x \in\left\{-2,2, \frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right\}$. | $2 \mathrm{p}$ | + +Subiect 3, autor $* * *$ + +Se consideră numerele reale $a, b>0$, patrulaterul convex $A B C D$ și punctele $M \in(A B), N \in(B C), P \in(C D), 2 \in(D A)$ astfel incât $\frac{A M}{M B}=\frac{D P}{P C}=a$, respectiv $\frac{A Q}{Q D}=\frac{B N}{N C}=b$. + +a) Să se arate că $\overrightarrow{M P}=\frac{1}{1+a}(\overrightarrow{A D}+a \overrightarrow{B C})$ + +b) Să se arate că dacă $M P \cap N Q=\{O\}$, atunci $\frac{M O}{O P}=b, \frac{Q O}{O N}=a$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a)$\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D P}, \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C P}$. Prin înmultirea celei de-a doua relaţii
cu a și prin adunarea la prima se obtine rezultatul. | $3 \mathrm{p}$ | +| b) Fie punctul $R \in(Q N)$ astfel incât $\frac{Q R}{R N}=a$. Folosind a) | | +| $\overrightarrow{M R}=\frac{1}{1+a}(\overrightarrow{A Q}+a \overrightarrow{B N}) \overrightarrow{R P}=\frac{1}{1+a}(\overrightarrow{Q D}+a \overrightarrow{N C})$. Prin inmultire cu $b$ a celei de-a doua | $3 \mathrm{p}$ | +| relatii și prin scădere din prima se obtine $\overrightarrow{M R}=b \overrightarrow{R P}$. Deci $M, R, P$ coliniare, deci $R=0$. | | +| Finalizare | Ip | + +Subiect 4, autor *** + +Se consideră mulţimile : + +$A=\{5 p+7 q \mid p, q \in \mathbb{N}\}, B=\{5 p+7 q \mid p, q \in \mathbb{Z}\}, C=\{35 p+14 q \mid p, q \in \mathbb{Z}\}$. + +a) Să se determine $\operatorname{card}(\mathbb{N} \backslash A)$. + +b) Să se determine $\mathbb{Z} \backslash B$. + +c) Să se determine mulţimea $C$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Aplicăm varianta III a inductiei matematice. Determinăm 5 numere naturale | | +| consecutive ce aparţi lui $A$, apoi aplicăm inducţia de ,ppas 5 . Prin incercări succesive | | +| determinăm: | | +| $25=5 \cdot 5+7 \cdot 0,26=5 \cdot 1+7 \cdot 3,27=5 \cdot 4+7 \cdot 1,28=5 \cdot 0+7 \cdot 4,29=5 \cdot 3+7 \cdot 2$. | $3 \mathrm{p}$ | +| Presupunem că pentru $t \geq 25$ avem $t=5 p+7 q \Rightarrow t+5=5(p+1)+7 q$, deci | | +| $\forall t \geq 25 \Rightarrow t \in A$. Din incercările precedente deducem card $(\mathbb{N} \backslash A)=13$. | | +| b) Cum $(5,7)=1$, rezultă că există $k, l \in \mathbb{Z}$ pentru care $1=5 k+7 l$. Prin înmulţire cu | | +| $t \in \mathbb{Z}$ se deduce $t=5 k t+7 t t$, deci $\mathbb{Z} \subseteq B$. Cum $B \subseteq \mathbb{Z}$, rezultă $B=\mathbb{Z}$. | | +| c) Oricare $x \in C \Rightarrow 7 \mid x$, deci $7 \mathbb{Z} \subseteq C$. Cum $(35,14)=7$, există $s, l \in \mathbb{Z}$ pentru care | $2 \mathrm{p}$ | +| $7=35 s+7 l$. Fie $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow 7 t=35 s t+7 l t$, deci $7 \mathbb{Z} \subseteq C$. Deducem că $C=7 \mathbb{Z}$. | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-659-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-659-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e53657d20c8c55563910d1c06135afe9cd10e356 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-659-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,56 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015 + +## CLASA a VIII-a + +Subiectul 1. Arătaţi că $\sqrt{\frac{2}{1}} \cdot \sqrt{\frac{2+4}{1+3}} \cdot \sqrt{\frac{2+4+6}{1+3+5}} \cdot \ldots \cdot \sqrt{\frac{2+4+6+\ldots+2016}{1+3+5+\ldots+2015}}$ este număr iraţional . + +Subiectul 2. Dacă a şi b sunt numere reale astfel încât $a^{2}+b^{2}-2 \sqrt{2} a-2 \sqrt{3} b=-5$, arătaţi că $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(b-a)=1$. + +Subiectul 3. Pe planul triunghiului isoscel $\mathrm{ABC}$ se ridică perpendiculara AM. Dacă $\mathrm{AM}=\mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}$ iar $\left(b^{2}+c^{2}-6\right)^{2}+\left(b^{2}-c^{2}+4\right)^{2}=0$ calculaţi distanţa de la M la BC. + +Subiectul 4. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ considerăm $Q$ proiecţia lui $D^{\prime}$ pe $A^{\prime} C$ şi $S$ proiecţia lui $D^{\prime}$ pe $A C^{\prime}$. Arătaţi că: +a. $A^{\prime} C \perp\left(D^{\prime} Q B^{\prime}\right)$ +b. $Q S \|(A B C)$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015
CLASA a VIII-a + +## Bareme + +## Subiectul 1. + +| | $\frac{2+4+6+\ldots+2 k}{1+3+5+\ldots+(2 k-1)}=\frac{2 \cdot \frac{k(k+1)}{2}}{k^{2}}=\frac{k+1}{k}$ | $3 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $\sqrt{\frac{2}{1}} \cdot \sqrt{\frac{2+4}{1+3}} \cdot \sqrt{\frac{2+4+6}{1+3+5}} \cdot \ldots \cdot \sqrt{\frac{2+4+6+\ldots+2016}{1+3+5+\ldots+2015}}=$ | $\mathbf{4 p}$ | +| $\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2+4}{1+3} \cdot \frac{2+4+6}{1+3+5} \cdot \ldots \cdot \frac{2+4+6+\ldots+2016}{1+3+5+\ldots+2015}}=\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{1014}{1013}}=$ | | | +| $=\sqrt{1014}$ număr ireductibil (demonstrarea faptului că 1014 nu este p.p.) | | | + +## Subiectul 2. + +| | $a^{2}+b^{2}-2 \sqrt{2} a-2 \sqrt{3} b=-5 \Leftrightarrow(a-\sqrt{2})^{2}+(b-\sqrt{3})^{2}=0 \Rightarrow$ | $4 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $a=\sqrt{2}$ şi $b=\sqrt{3}$ | $3 p$ | | +| | $\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(b-a)=\left(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}}\right)(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$ | 3p | + +## Subiectul 3. + +| | $\left(b^{2}+c^{2}-6\right)^{2}+\left(b^{2}-c^{2}+4\right)^{2}=0 \Rightarrow c=\sqrt{5}$ şi $b=1$ | | +| :--- | :--- | :---: | +| $\mathrm{AC}=1, \mathrm{AB}=\sqrt{5} \Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{5}(1+1<\sqrt{5})$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Construcţia perpendicularei MN pe $\mathrm{BC}(\mathrm{T} 3 \perp)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Calculul înălţimii $A N=\frac{\sqrt{95}}{10}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Calculul distanţei $M N=\frac{\sqrt{195}}{10}$ | | + +## Subiectul 4. + +| a. | $D^{\prime} B^{\prime} \perp\left(A C C^{\prime}\right) \Rightarrow D^{\prime} B^{\prime} \perp A^{\prime} C$ | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $A^{\prime} C \perp D^{\prime} Q, A^{\prime} C \perp D^{\prime} B^{\prime}, D^{\prime} Q \cap D^{\prime} B^{\prime}=\left\{D^{\prime}\right\} \Rightarrow A^{\prime} C \perp\left(D^{\prime} Q B^{\prime}\right)$ | | +| $\mathbf{b .}$ | $\Delta D^{\prime} A^{\prime} C \equiv \Delta D^{\prime} C^{\prime} A \Rightarrow \varangle D^{\prime} A^{\prime} C \equiv \varangle D^{\prime} C^{\prime} A$ | | +| | $\Delta D^{\prime} A^{\prime} Q \equiv \Delta D^{\prime} C^{\prime} S \Rightarrow A^{\prime} Q \equiv C^{\prime} S$ | $\mathbf{4 p}$ | +| | $A^{\prime} Q=C^{\prime} S, A^{\prime} O=C^{\prime} O \Rightarrow Q S \\| A^{\prime} C^{\prime},\{O\}=A^{\prime} C \cap A C^{\prime}$ | | +| | $A^{\prime} C^{\prime} \\| A C, A C \subset(A B C)$ şi concluzia. | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-66-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa11.md b/Romania_Olympiad/md/ro-66-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa11.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..985eedbd0c61fa63cc6f93d3d23ce525145f8099 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-66-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa11.md @@ -0,0 +1,143 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019 + +Soluţii şi barem orientativ de corectare la CLASA a XI-a + +Problema 1. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale strict pozitive, cu proprietatea că şirul $\left(a_{n+1}-a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, cu limita nenulă. Calculaţi limita + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{n} +$$ + +Gazeta Matematică + +## Soluţie şi barem: + +Fie $L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$. Dacă $L<0$, există $n_{0} \in \mathbb{N}$, astfel încât $a_{n+1}-a_{n}<\frac{L}{2}, \forall n \geq n_{0}$. Rezultă că $a_{n}n_{0}$. Atunci, pentru $n>n_{0}-\frac{2 a_{n_{0}}}{L}$, obţinem $a_{n}<0$, în contradicţie cu ipoteza. Deci $L>0$..................................................................................................................... Conform teoremei Stolz-Cesàro, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=L \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$......................................... Deoarece $L>0$, există $n_{0} \in \mathbb{N}^{*}$, cu proprietatea că $a_{n+1}-a_{n}>\frac{L}{2}, \forall n>n_{0}$. Rezultă că $a_{n}>a_{n_{0}}+\left(n-n_{0}\right) \cdot \frac{L}{2}, \forall n>n_{0}$, de unde $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ Pentru $n>n_{0}$ avem $a_{n+1}-a_{n}>0$ şi + +$$ +\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{n}=\left[\left(1+\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}\right)^{\frac{a_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}}\right]^{\frac{n}{a_{n}} \cdot\left(a_{n+1}-a_{n}\right)} +$$ + +$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ +Deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=0$, obţinem + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{n}=e^{\frac{1}{L} \cdot L}=e +$$ + +$2 \mathrm{p}$ $\qquad$ +Problema 2. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, şi $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Arătaţi că există un număr complex $z$, cu $|z|=1$, având proprietatea că + +$$ +\operatorname{Re}(\operatorname{det}(A+z B)) \geq \operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) +$$ + +unde $\operatorname{Re}(w)$, reprezintă partea reală a numărului complex $w$. + +Soluţie şi barem: Notăm $f(z)=\operatorname{det}(A+z B)$, pentru $z \in \mathbb{C}$. + +Din proprietăţile determinanţilor, există $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}$ astfel încât + +$$ +f(z)=\operatorname{det}(A)+a_{1} \cdot z+a_{2} \cdot z^{2}+\cdots+a_{n-1} \cdot z^{n-1}+\operatorname{det}(B) \cdot z^{n}, \text { pentru orice } z \in \mathbb{C} +$$ + +Fie $\varepsilon$ o rădăcină primitivă de ordinul $n$ a unităţii. Atunci, pentru orice $1 \leq k \leq n-1$, are loc + +$$ +1+\varepsilon^{k}+\varepsilon^{2 k}+\cdots+\varepsilon^{(n-1) k}=\frac{1-\varepsilon^{n k}}{1-\varepsilon^{k}}=0 +$$ + +Obţinem + +$$ +\begin{aligned} +f(1)+f(\varepsilon)+f\left(\varepsilon^{2}\right)+\cdots+f\left(\varepsilon^{n-1}\right) & =n(\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B))+\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}\left(1+\varepsilon^{k}+\varepsilon^{2 k}+\cdots+\varepsilon^{(n-1) k}\right)= \\ +& =n \cdot(\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)) +\end{aligned} +$$ + +Atunci + +$$ +\begin{gathered} +\frac{\operatorname{Re}(f(1))+\operatorname{Re}(f(\varepsilon))+\operatorname{Re}\left(f\left(\varepsilon^{2}\right)\right)+\cdots+\operatorname{Re}\left(f\left(\varepsilon^{n-1}\right)\right)}{n}=\frac{1}{n} \cdot \operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\varepsilon^{k}\right)\right)= \\ +=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) +\end{gathered} +$$ + +Fie $k_{0} \in\{0,1, \ldots, n-1\}$, astfel încât $\operatorname{Re}\left(f\left(\varepsilon^{k_{0}}\right)\right)=\max \left\{\operatorname{Re}\left(f\left(\varepsilon^{k}\right)\right) \mid k=\overline{0, n-1}\right\}$. Atunci $\left|\varepsilon^{k_{0}}\right|=1$ şi + +$$ +\operatorname{Re}\left(\operatorname{det}\left(A+\varepsilon^{k_{0}} \cdot B\right)\right) \geq \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \operatorname{Re}\left(f\left(\varepsilon^{k}\right)\right)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) +$$ + +Problema 3. Fie n un număr natural impar şi matricele $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, cu proprietatea că $(A-B)^{2}=O_{n}$. Arătaţi că $\operatorname{det}(A B-B A)=0$. + +Soluţie şi barem: Fie $C=A-B$. Conform ipotezei, $C^{2}=O_{n}$. Din teorema lui Sylvester obţinem + +$$ +2 \cdot \operatorname{rang}(C)-n \leq \operatorname{rang}\left(O_{n}\right)=0 +$$ + +astfel că $\operatorname{rang}(C) \leq \frac{n}{2}$. + +Deoarece $n$ este impar, rezultă $\operatorname{rang}(C) \leq \frac{n-1}{2}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e00326af86be1ff2667fg-2.jpg?height=57&width=1678&top_left_y=2037&top_left_x=234) + +Astfel, deoarece pentru orice $X, Y \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ au loc inegalităţile + +$$ +\operatorname{rang}(X \pm Y) \leq \operatorname{rang}(X)+\operatorname{rang}(Y) \quad \text { si } \quad \operatorname{rang}(X Y) \leq \min (\operatorname{rang}(X), \operatorname{rang}(Y)) +$$ + +avem: + +$$ +\begin{aligned} +\operatorname{rang}(A B-B A)= & \operatorname{rang}(C A-A C) \leq \operatorname{rang}(C A)+\operatorname{rang}(A C) \leq \\ +& \leq 2 \cdot \operatorname{rang}(C) \leq n-10$ si cu proprietatea că pentru orice $0 \leq x0$, astfel că $g$ este strict descrescătoare. + +Avem $g(0)=f(0)-0>0$ şi $g(a)=f(a)-a \leq f(0)-a<0$, pentru un număr $a>f(0)$. Din proprietatea valorilor intermediare rezultă că există $\alpha \in(0, a) \subset(0, \infty)$ cu proprietatea $g(\alpha)=0$, de unde $f(\alpha)=\alpha$. Monotonia strictă a lui $g$ implică unicitatea punctului fix $\alpha$ al funcţiei $f$. . . + +Rezultă $(f \circ f)(\alpha)=\alpha . \quad(1)$ + +Pentru $x \in[0, \alpha)$, folosind de două ori inegalităţile din ipoteză, obţinem + +$$ +x-\alphaf(f(x)) \geq \alpha$. + +Din relaţiile (1), (2) şi (3) rezultă că funcţia $f \circ f$ are ca unic punct fix numărul $\alpha$.... $2 \mathrm{p}$ b) Dacă $x_{1}=\alpha$, atunci $x_{n}=\alpha$ pentru orice $n \geq 1$, deci şirul este convergent la $\alpha$. Dacă $x_{1} \neq \alpha$, considerăm subşirurile $\left(x_{2 n-1}\right)_{n \geq 1}$ §i $\left(x_{2 n}\right)_{n \geq 1}$. Acestea verifică relaţile de recurenţă $x_{2 n+1}=(f \circ f)\left(x_{2 n-1}\right)$, respectiv $x_{2 n+2}=(f \circ f)\left(x_{2 n}\right)$, pentru orice $n \geq 1$. + +Pentru $x_{1}<\alpha$, din monotonia funcţiei $f$ avem $x_{2} \geq \alpha$. Prin inducţie, folosind relaţiile (2) şi (3), rezultă că şirul $\left(x_{2 n-1}\right)_{n \geq 1}$ este monoton crescător şi mărginit superior de $\alpha$, iar şirul $\left(x_{2 n}\right)_{n \geq 1}$ este monoton descrescător şi mărginit inferior de $\alpha$. Ele sunt deci convergente cu limitele $l_{1}$ şi respectiv $l_{2}$, cu $l_{1} \leq \alpha \leq l_{2}$. Folosind continuitatea funcţiei $f \circ f$, trecând la limită în relaţiile de recurenţă, se obţine $l_{1}=(f \circ f)\left(l_{1}\right)$ şi $l_{2}=(f \circ f)\left(l_{2}\right)$. Rezultă că $l_{1}=\alpha=l_{2}$. Prin urmare, sirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, cu limita $\alpha$. + +Cazul $x_{1}>\alpha$ se tratează analog. . . + +$3 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-660-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-660-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1937b8ac396c6447626bc1408bce8bc7b10d4381 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-660-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,69 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79ea01ceb571ab334872g-1.jpg?height=160&width=259&top_left_y=77&top_left_x=1144) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015
CLASA a VII-a + +## Subiectul 1. + +a. Aduceţi numărul raţional $\frac{2+4+6+\ldots+2 k}{1+3+5+\ldots+(2 k-1)}$ la forma ireductibilă. + +b. Arătaţi că $\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2+4}{1+3} \cdot \frac{2+4+6}{1+3+5} \cdot \ldots \cdot \frac{2+4+6+\ldots+2016}{1+3+5+\ldots+2015}}$ este număr iraţional. + +Subiectul 2. Numerele $a$ şi $b$ sunt raţionale pozitive şi $a ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015 + +CLASA a VII-a + +## Bareme + +## Subiectul 1. + +| a. | $\frac{2+4+6+\ldots+2 k}{1+3+5+\ldots+(2 k-1)}=\frac{2 \cdot \frac{k(k+1)}{2}}{k^{2}}=\frac{k+1}{k}$ | $3 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b. | $\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2+4}{1+3} \cdot \frac{2+4+6}{1+3+5} \cdot \ldots \cdot \frac{2+4+6+\ldots+2016}{1+3+5+\ldots+2015}}=\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{1014}{1013}}=$
$=\sqrt{1014}$ număr ireductibil (demonstrarea faptului că 1014 nu este p.p.) | $3 p$
$1 p$ | + +## Subiectul 2. + +| a. | $00) \Rightarrow 00) \Rightarrow 0 triunghiului QDM
DP este deci mediană, P mijlocul $\mathrm{MQ}$
AP linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{MQD} \Rightarrow \mathrm{AP} \\|$
b.
DP mediană în triunghiul $\mathrm{MDQ} \Rightarrow$ aria triunghiului MDP este $12 \mathrm{~cm}^{2}$
$\mathrm{PA}$ mediană în triunghiul $\mathrm{MDP} \Rightarrow$ aria triunghiului ADP este $6 \mathrm{~cm}^{2}$
$D B=\frac{2}{3} D P \Rightarrow$ aria triunghiului $\mathrm{ABD}$ este $\frac{2}{3}$ din aria triunghiului ADP, deci $4 \mathrm{~cm}^{2}$
Aria paralelogramului $\mathrm{ABCD}$ este $8 \mathrm{~cm}^{2}$. | 3p | +| :--- | :--- | :---: | + +Subiectul 4. + +| | Fie $\mathrm{D}$ simetricul punctului $\mathrm{C}$ faţă de $\mathrm{AB}$ (după desfacerea hârtiei)
Triunghiurile $\mathrm{ACB}$ şi $\mathrm{ADB}$ sunt simetrice faţă de $\mathrm{AB}$ şi împreună formează conturul
spaţiului liber din hârtie. $\Rightarrow \mathrm{CA}=\mathrm{AD}$ şi $\mathrm{CB}=\mathrm{BD}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a. | Spaţiul liber este un triunghi dacă punctele $\mathrm{C}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ sau $\mathrm{C}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ sunt coliniare, deci dacă
$C A \perp A B$ sau $C B \perp A B$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b. | Se obţine romb dacă $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}$, adică triunghiul $\mathrm{ABC}$ este isoscel (justificare) | $\mathbf{1 p}$ | +| $\mathbf{c .}$ | Se obţine pătrat dacă triunghiul ABC este dreptunghic isoscel (justificare) | $\mathbf{1 p}$ | +| d. | Patrulaterul ACBD are diagonalele perpendiculare deci nu se poate obţine dreptunghi
care să nu fie pătrat | $\mathbf{1 p}$ | +| e. | Dacă $A C \\| B D \Rightarrow \varangle C A B \equiv \varangle A B D \equiv \varangle C B A$ deci triunghiul $\mathrm{ABC}$ este isoscel şi
obţin romb.
La fel dacă $B C \\| A D$, deci nu se poate obține trapez. | $\mathbf{1 p .}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-661-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-661-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7407719be148847133a10d4833a1154cdd928cce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-661-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,63 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c1a43b516db346854e04g-1.jpg?height=162&width=259&top_left_y=79&top_left_x=1144) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015 + +## CLASA a VI-a + +Subiectul 1. Fie numerele $a=8 \cdot 3^{n+2} \cdot 25^{n+1}$ și $b=7 \cdot 5^{n+2} \cdot 15^{n+1}$, unde $n \in \mathbb{N}$. + +a. Comparați cele două numere. + +b. Arătaţi că cele două numerele dau acelaşi rest prin împărţirea cu 165, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$. + +Subiectul 2. Media aritmetică a numerelor naturale distincte $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2014}$, 2014 şi 2016 este 2015. + +a. Aflaţi media aritmetică a numerelor $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2014}$. + +b. Dacă numerele $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2014}$ sunt pare arătaţi că $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{2014}=0$ + +Subiectul 3. Să se determine cardinalul mulṭimii $A=\left\{\overline{a b} \left\lvert\, \frac{16}{a^{2}+b} \in \mathbb{N}\right.\right\}$. + +Subiectul 4. Fie semidreptele opuse [OX şi [OY , punctele A şi B de aceeaşi parte a dreptei $X Y$, astfel încât $m(\varangle B O X)=2 \cdot m(\varangle A O Y)$, iar unghiul $B O X$ este obtuz.: + +a) Arătaţi că $m(\varangle A O X)>m(\varangle A O Y)$. + +c) Dacă $[O B$ este bisectoarea $\varangle A O Y$ atunci aflaţi $m(\varangle A O Y)$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 2 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015
CLASA a VI-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +| a. | $\mathrm{a}=8 \cdot 3^{\mathrm{n}+2} \cdot 25^{\mathrm{n}+1}=8 \cdot 3^{\mathrm{n}+1} \cdot 3 \cdot 25^{\mathrm{n}+1}=75^{\mathrm{n}+1} \cdot 24$
$\mathrm{~b}=7 \cdot 5^{\mathrm{n}+2} \cdot 15^{\mathrm{n}+1}=7 \cdot 5^{\mathrm{n}+1} \cdot 5 \cdot 15^{\mathrm{n}+1}=75^{\mathrm{n}+1} \cdot 35$
$\Rightarrow \mathrm{a}<\mathrm{b}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b. | $\mathrm{a}=75^{\mathrm{n}+1} \cdot 24=75^{\mathrm{n}+1} \cdot(22+2)=75^{\mathrm{n}+1} \cdot 22+75^{\mathrm{n}+1} \cdot 2$
$\mathrm{~b}=75^{\mathrm{n}+1} \cdot 35=75^{\mathrm{n}+1} \cdot(33+2)=75^{\mathrm{n}+1} \cdot 33+75^{\mathrm{n}+1} \cdot 2$
$75^{\mathrm{n}+1} \cdot 22 \vdots 165$ şi $75^{\mathrm{n}+1} \cdot 33 \vdots 165$ | $\mathbf{4 p}$ | +| | restul împărţirii lui a la 165 este restul împărţirii lui $75^{\mathrm{n}+1} \cdot 2$ la 165
restul împărţirii lui b la 165este restul împărţirii lui $75^{\mathrm{n}+1} \cdot 2$ la 165. | | + +## Subiectul 2. + +| a. | $\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{2014}+2014+2016\right): 2016=2015 \Rightarrow$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{2014}=2015 \cdot 2016-2016-2014 \Rightarrow$
$\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{2014}\right): 2014=2015$ | 3p | +| :--- | :--- | :---: | +| | Calculă suma celor mai mici 2014 numere pare, distincte, nenule şi diferite de 2014 şi
$2016: 2+4+6+\ldots+2012+2018+\ldots+4032=2(1+2+\ldots+2016)-2014-2016=$
$=2016 \cdot 2017-2016-2014=4062242$ sumă care este cu 4032 mai mare decât 2014$\cdot$2015
Trebuie sa scădem 4032 din sumă, numerele trebuie să rămână pare, deci unul dintre
numere devine 0. | 4p | + +Subiectul 3. + +| | $\frac{16}{a^{2}+b} \in \mathbb{N} \Rightarrow a^{2}+b / 16 \Rightarrow a^{2}+b \in\{1,2,4,8,16\}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $a^{2}+b=16 \Rightarrow \mathrm{a}=4$ şi $\mathrm{b}=0$ sau $\mathrm{a}=3$ şi $\mathrm{b}=7 \Rightarrow$ numerele 40 şi 37 | $\mathbf{1 p}$ | +| | $a^{2}+b=8 \Rightarrow \mathrm{a}=2$ şi $\mathrm{b}=4$ sau $\mathrm{a}=1$ şi $\mathrm{b}=7 \Rightarrow$ numerele 24 şi 17 | $\mathbf{1 p}$ | +| | $a^{2}+b=4 \Rightarrow \mathrm{a}=2$ şi $\mathrm{b}=0$ sau $\mathrm{a}=1$ şi $\mathrm{b}=3 \Rightarrow$ numerele 20 şi 13 | $\mathbf{1 p}$ | +| | $a^{2}+b=2 \Rightarrow \mathrm{a}=1$ şi $\mathrm{b}=1 \Rightarrow$ numărul 11 | $\mathbf{1 p}$ | +| | $a^{2}+b=1 \Rightarrow \mathrm{a}=1$ şi $\mathrm{b}=0 \Rightarrow$ numărul 10 deci cardinalul mulţimii A este 8 | $\mathbf{1 p}$ | + +Subiectul 4. + +| a. | $2 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})<180^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})<90^{\circ}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOX})=180^{\circ}-\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY}) \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOX})>90^{\circ}$ | | | +| b. | $[\mathrm{mB}(\Varangle \mathrm{AOX})>\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})$. | $4 \mathbf{p}$ | +| | $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOX})+\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BOY})=180^{\circ} \Rightarrow 2 \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})+\frac{1}{2} \cdot \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})=180^{\circ} \Rightarrow$
$\Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{AOY})=72^{\circ}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-662-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-662-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9d240933d61dc005f5dd3e4188f362ffcef6d67c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-662-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,65 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_580bdb66e90f4bdda49cg-1.jpg?height=162&width=259&top_left_y=79&top_left_x=1144) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015 + +## CLASA a V-a + +Subiectul 1. Fie suma $S=101+1001+10001+\ldots+\underbrace{100 \ldots 001}_{2015 \text { cifre }}$. + +a. Aflaţi câte cifre are termenul din mijloc al sumei. + +b. Aflaţi câte cifre de 0 se folosesc pentru a scrie toţi termenii sumei. + +c. Calculaţi suma. + +Subiectul 2. Numărul natural $\overline{a b c d}$ are suma cifrelor egală cu 27. Arătaţi că $\overline{a b c d}+\overline{d c b a}$ se divide cu 297. + +Subiectul 3. Aflaţi numerele naturale de forma $\overline{a b c}$ ştiind că împărţite la $(\overline{a b}+\overline{a c})$ dau câtul 5 şi restul 5 . + +Subiectul 4. Un elev are 15 creioane roşii şi 22 negre. În fiecare zi el pierde 2 creioane. Dacă pierde două creioane de acelaşi fel, în aceiaşi zi îşi mai cumpără un creion negru, iar dacă pierde un creion roşu şi unul negru îşi mai cumpără un creion roşu. + +a. În a câta zi rămîne cu un singur creion? + +b. Ce culoare are ultimul creion ce îi mai rămâne? + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 2 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2015 + +## CLASA a V-a + +Bareme + +Subiectul 1. + +| a. | Suma are 2013 termeni, deci termenul din mijloc este al 1007 -lea termen şi are 1009 cifre | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b. | Primul termen are un 0, al doilea 2 de $0, \ldots$, ultimul are 2013 cifre de 0 | $\mathbf{2 p}$ | +| | $1+2+\ldots+2013=2027091$ cifre de 0 se folosesc | $\mathbf{3 p}$ | +| c. | $S=100+1000+\ldots+\underbrace{100 \ldots 00}_{\text {2015cifre }}+2013=\underbrace{111 \ldots 100}_{\text {2015cifre }}+2013=\underbrace{111 \ldots 13113}_{\text {2011cifre }}$ | | + +Subiectul 2. + +| | $\overline{a b c d}+\overline{d c b a}=1001 a+110 b+110 c+1001 d=$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $=110(a+b+c+d)+891 a+891 d=110 \cdot 27+891 a+891 d$ | 3p | +| | $=297(10+3 a+3 d)$ deci se divide cu 297 | $\mathbf{2 p}$ | + +## Subiectul 3. + +| | $\overline{a b c}=(\overline{a b}+\overline{a c}) \cdot 5+5$ | | +| :--- | :--- | :--- | +| | $100 a+10 b+c=100 a+5 b+5 c+5$ | | +| | $5 b=4 c+5$ deci $c=0$ sau $c=5$ | | +| | Dacă $c=0$ atunci $b=1$ numerele sunt de forma $\overline{a 10}$ a cifră nenulă | $1 \mathbf{p}$ | +| | Dacă $c=5$ atunci $b=5$ numerele sunt de forma $\overline{a 55}$ a cifră nenulă | $1 p$ | +| | Numerele sunt $110,210, \ldots, 910,155,255, \ldots, 955$ | | + +## Subiectul 4. + +| a. | În fiecare zi pierde 2 creioane dar cumpără 1 , deci la sfârşitul zilei are cu un creion mai
puţin decât în ziua precedentă.
La sfârşitul zilei cu numărul 36 rămâne cu un singur creion | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| b. | Dacă pierde 2 roşii sau 2 negre cumpără un creion negru $\Rightarrow$ numărul de creioane roşii nu
se modifică sau scade cu 2
Daca pierde unul roşu si unul negru cumpără un creion roşu $\Rightarrow$ numărul de creioane roşii
nu se modifică
În ambele cazuri numărul de creioane negre se modifică cu 1 (în plus sau minus)
Numărul iniţial de creioane roşii este 15, număr impar, deci în momentul in care mai
rămâne cu 1 creion acesta este roşu | $\mathbf{4 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-663-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-663-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fcbe4cecc7fe04c52a5763932fb816bfab928747 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-663-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, CLASA A- XII-A + +15 februarie 2015 + +1. Să se calculeze: +a. $\int \frac{e^{2 x}+x^{3}+5 x^{2}-1}{e^{2 x}+3 x^{3}+6 x^{2}-12 x+9} d x, x \in(0, \infty)$. (supliment GM); +b. $\int \frac{1}{x^{4}+x^{10}} d x, x \in(0, \infty)$.(supliment GM). +2. Fie o funcţie bijectivă, $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ şi $q \in \mathbf{R}$ cu $f(q)=2$. Pe $\mathbf{R}$ se defineşte legea de compoziţie ,, " prin: $a \circ b=f\left(f^{-1}(a)+f^{-1}(b)-q\right) \forall a, b \in \mathbf{R}$. + +a. Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie si simetricul lui $a \in \mathbf{R}$ în raport cu legea,$\circ "$; + +b. Pentru $f(x)=x^{3}$, rezolvaţi ecuaţ̧ia: $x^{2} \circ x=(6-q)^{3}$. (supliment GM). + +3. Fie $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin ^{n} x} d x, n \geq 1$. + +a. Calculaţi $I_{1}$; + +b. Arătaţi că şirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi calculaţi limita lui. (Jenică Crînganu). + +4. Să se determine morfismele de grupuri de la $\left(\mathbf{Z}_{\mathrm{p}},+\right)$ la $\left(\mathbf{Z}_{p}^{*}, \cdot\right)$, unde $p \in \mathbf{N}$ este un număr prim.( Constantin Niţă). + +Nota :Timp de lucru 3 ore + +Toate subiectele se noteaza cu 7 puncte + +## Olimpiada de matematică - faza locală
Barem de corectare, clasa a XII-a + +## 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=63&width=1513&top_left_y=651&top_left_x=457) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=88&width=1467&top_left_y=704&top_left_x=503) + +Finalizare.................................................................................................. 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=100&width=1513&top_left_y=892&top_left_x=457) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=88&width=1467&top_left_y=984&top_left_x=503)$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=111&width=1513&top_left_y=1161&top_left_x=457) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=60&width=1465&top_left_y=1261&top_left_x=501) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=63&width=1511&top_left_y=1308&top_left_x=455) + +Finalizare........................................................................................................... + +## 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=58&width=1511&top_left_y=1513&top_left_x=455) + +b) Sirul este monoton şi mărginit, deci convergent.............................................. $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b4edfac0262f92558310g-2.jpg?height=77&width=1462&top_left_y=1603&top_left_x=503) + +Rezultă $\frac{\pi}{2} \leq I_{n} \leq \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} J_{n}$, unde $J_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x$ este şir care are limita egala cu zero. + +Deci $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}=\frac{\pi}{2}$ + +4. + +Fie $f: \mathbb{Z}_{p} \rightarrow \mathbb{Z}^{*} p$ un morfism de grupuri. + +Avem $f(\hat{0})=\hat{1}$ și notăm $f(\hat{1})=\hat{a}$ + +$\hat{1}=f(\hat{0})=f(\hat{p})=f(\underbrace{\hat{1}+\cdots \hat{1}}_{\text {ori }})=f(\hat{1}) f(\hat{1}) \ldots f(\hat{1})=\hat{a}^{p}$ + +Conform teoremei lui Fermat rezultă că $\hat{a}^{p}=\hat{a}=\hat{1} \operatorname{deci} f(\hat{1})=\hat{1}$. + +Fie $\hat{x} \in \mathbb{Z}_{p}$. Atunci $f(\hat{x})=f(\underbrace{\hat{1}+\cdots \hat{1}}_{\text {ori }})=(f(\hat{1}))^{x}=\hat{1}$, deci unicul morfism este morfismul constant $f(\hat{x})=\hat{1}, \forall x \in \mathbb{Z}_{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-664-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-664-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a516d05bd22a2434d8aaf38aafd4a433e634283 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-664-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,71 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +# OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ, CLASA A XI - A + +15 februarie 2015 + +1. Se consideră matricele $A, B \in M_{n}(\mathbb{C}), n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ cu proprietatea că există $\alpha \in \mathbb{R}^{*}$ astfel încât $\alpha A B+A+B=0_{n}$. + +a) Să se arate că $\left(\alpha A+I_{n}\right)\left(\alpha B+I_{n}\right)=I_{n}$. + +b) Să se arate că $A B=B A$. + +2. a) Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{n}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}(\ln (n+x)-\ln n)$. + +Să se arate că șirul $b_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}$ este convergent. + +b) Dacă $a_{n}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2^{x}+3^{x}+\cdots+n^{x}}{n-1}\right)^{\frac{1}{x}}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty$. + +Supliment GM + +3. Fie $a, b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ și $M_{n}(a, b)$ mulțimea matricelor pătratice de ordinul $n$ având toate elementele din mulțimea $\{a, b\}$. Dacă $\operatorname{det}(A) \geq 0$ pentru orice $A \in M_{n}(a, b)$, să se arate că $a=b$. +4. Se consideră șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere reale pozitive cu proprietatea că $x_{2 n}+\frac{1}{x_{n}} \leq 2$ pentru orice $n \geq 1$. + +a) Să se arate că $x_{2 n} \leq x_{n}$ pentru orice $n \geq 1$. + +b) Să se arate că $x_{n} \geq 1$ pentru orice $n \geq 1$. + +c) Rezultă în mod necesar că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent? Justificare. + +NOTĂ. Timp de lucru 3 ore + +Fiecare subiect se notează cu 7 puncte + +## MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +CLASA A 11 A + +## Soluții și barem de corectare + +1. a) calcul direct $(3 p)$ + +b) din a) rezultă că $\operatorname{det}\left(\alpha A+I_{n}\right) \neq 0$ deci $\alpha A+I_{n}$ este inversabilă și obținem + +$\alpha B+I_{n}=\left(\alpha A+I_{n}\right)^{-1}(2 \mathrm{p})$ + +De aici deducem că $\left(\alpha B+I_{n}\right)\left(\alpha A+I_{n}\right)=I_{n}$, de unde $\alpha B A+B+A=0_{n}$, de unde $A B=B A(2 p)$ + +2. a) $a_{n}=\frac{1}{n}(1 \mathrm{p})$ + +$\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător și mărginit superior, deci convergent ( $2 \mathrm{p}$ ) + +b) $a_{n}=\sqrt[n-1]{n!}$ (2p) + +finalizare $(2 p)$ + +3. Fie $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ cu $a_{i i}=b$ dacă $i \in\{2, \ldots, n\}$ și $a_{i j}=a$ altfel. Atunci $\operatorname{det}(A)=a(b-a)^{n-1} \geq 0$ (2p) + +Dacă $A^{\prime}$ este matricea obținută prin interschimbarea a două linii ale lui $A$, atunci $A^{\prime} \in M_{n}(a, b)$ și $\operatorname{deci} \operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)=-\operatorname{det}(A) \geq 0$. Așadar $a(b-a)^{n-1}=0 \quad$ (2p) + +În mod analog (prin interschimbarea lui $a$ cu $b$ ) se obține că $b(a-b)^{n-1}=0 \quad(2 \mathrm{p})$ + +Din aceste relații rezultă că $a=b(1 \mathrm{p})$ + +4. a) cum $x_{2 n} \leq 2-\frac{1}{x_{n}}, n \geq 1$, este suficient să arătăm că $2-\frac{1}{x_{n}} \leq x_{n} \Leftrightarrow\left(x_{n}-1\right)^{2} \geq 0, n \geq 1$ (2p) + +b) Să presupunem că există $n_{0} \in \mathbb{N}^{*}$ cu $x_{n_{0}}<1$. Definind șirul $y_{n}=x_{2^{n}} \cdot n_{0}, n \in \mathbb{N}$, se obține că $y_{n+1}+\frac{1}{y_{n}} \leq 2, n \in \mathbb{N}$. Din a) rezultă că $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este descrescător și cum $y_{n}>0, n \in \mathbb{N}$ se obține că $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este convergent și fie $l$ limita acestuia. Trecând la limită în relația $y_{n+1} \cdot y_{n}+1 \leq 2 y_{n}, n \in \mathbb{N}$, deducem că $l=1$, contradicție (3p) + +c) Nu în mod necesar. De exemplu $x_{n}=2-(-1)^{n}, n \geq 1$, verifică cerința fără a fi convergent ( $2 p$ ) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-665-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-665-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..54885fb1d5f922a9f5cee6ab5b647f52a6904e42 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-665-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,138 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICĂ + +# ETAPA LOCALĂ, CLASA A X-A + +15 februarie 2015 + +## Problema 1: + +a) Arătați că $3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq(x+y+z)^{2}, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$ + +b) Dacă a,b,c,d $\in(1, \infty)$ arătați că $\log _{a} \frac{b^{2}+c^{2}+d^{2}}{b+c+d}+\log _{b} \frac{c^{2}+d^{2}+a^{2}}{c+d+a}+\log _{c} \frac{d^{2}+a^{2}+b^{2}}{d+a+b}+$ $\log _{d} \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c} \geq 4$ + +## Problema 2: + +Fie $\boldsymbol{f}: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}$ inclus in $\mathbb{R}, \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\frac{a x^{3}+1}{x}, a \in \mathbb{R}$. Să se determine a și $M$ încăt funcția $f$ să fie bijectivă + +## Problema 3: + +Fie $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{2015} \in \mathbb{C}$. Arătați că dacă $\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|z_{2015}\right|^{2}=R_{e}\left(z_{1} z_{2}+\right.$ $\left.z_{2} z_{3}+\cdots+z_{2015} z_{1}\right)$ atunci numerele $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{2015}$ si $z_{1} z_{2} \ldots z_{2015}$ sunt reale. + +## Problema 4: + +Fie $g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție cu proprietatea că $g(x) \leq-g\left(\frac{1}{x}\right), \forall x \in(0, \infty)$. + +Să se determine funcțiile $\mathrm{f}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât să fie satisfăcute conditiile: + +a) $f(x) \leq g(x), \forall x \in(0, \infty)$ + +b) $f(x y) \leq f(x)+f(y), \forall x, y \in(0, \infty)$ + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare problema are 7 puncte + +## SOLUTII SI BAREM + +CLASA A X - A + +ETAPA LOCALĂ 15.02.2015 + +## Problema 1: + +a) $3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq(x+y+z)^{2} \Leftrightarrow(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geq$ 0 (2p) + +b) Folosind punctul a) avem $\log _{a} \frac{b^{2}+c^{2}+d^{2}}{b+c+d} \geq \log _{a} \frac{b+c+d}{3} \geq \log _{a} \sqrt[3]{b c d}=$ $\frac{1}{3}\left(\log _{a} b+\log _{a} c+\log _{a} d\right)$ + +(3p) + +Corespunzător se scriu celelalte trei inegalități și se însumează; notând cu A membrul stâng al inegalității de demonstrat obținem: + +$$ +A \geq \frac{1}{3} \sum\left(\log _{a} b+\log _{b} a\right) \geq \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 2=4 +$$ + +(2p) + +## Problema 2: + +$$ +\begin{gathered} +f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{a x_{1}^{3}+1}{x_{1}}-\frac{a x_{2}^{3}+1}{x_{2}}=a x_{1}^{2}-a x_{2}^{2}+\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}} \\ +=a\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)-\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{1} x_{2}}= \\ +\frac{\left[a\left(x_{1}+x_{2}\right) x_{1} x_{2}-1\right]\left(x_{1} x_{2}\right)}{x_{1} x_{2}} +\end{gathered} +$$ + +## (1p) + +Dacă a $=0$ și $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ rezultă $x_{1}=x_{2}$ deci funcția $\mathrm{f}$ este injectivă (1p) + +Dacă $a \neq 0$, există $a, x_{1}, x_{2}, x_{1} \neq x_{2}$ astfel încât $a\left(x_{1}+x_{2}\right) x_{1} x_{2}-1=$ 0 adică $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ și $\mathrm{f}$ nu ar fi injectivă. Justificăm afirmația: + +Fie $\mathrm{s}=x_{1}+x_{2}$ și $\mathrm{p}=x_{1} x_{2}$ obținem asp-1=0 sau $\mathrm{sp}=\frac{1}{a}$. + +Ecuația de gradul al doliea cu rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ este $x^{2}-s x+p=0$. + +Alegem $s=\frac{2}{\sqrt[3]{a}}$ sii $p=\frac{2}{2 \sqrt[3]{a^{2}}}$ Atunci discriminantul ecuației + +$\Delta=s^{2}-4 p=\frac{4}{\sqrt[3]{a^{2}}}-\frac{2}{\sqrt[3]{a^{2}}}=\frac{2}{\sqrt[3]{a^{2}}}>0$, deci rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt reale și + +$x_{1} \neq x_{2}$ (3 p) + +Concluzionăm că $f(x)=\frac{1}{x}, f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow M$ + +Ecuația $f(x)=y$ are soluția $x=\frac{1}{y}, y \in \mathbb{R}^{*}$ deci funcția este surjectivă, astfel că este bijectivă. + +(1p) + +Deoarece $y \in \mathbb{R}^{*}$ rezultă $M=\mathbb{R}^{*}$ + +(1p) + +## Problema 3: + +Fie $z_{k}=a_{k}+i b_{k}, k=\overline{1,2015}, a_{k}, b_{k} \in \mathbb{R}, i^{2}=-1$ + +$\sum_{k=1}^{2015}\left|z_{k}\right|^{2}=\sum_{k=1}^{2015}\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right) ; \operatorname{Re}\left(z_{k} z_{k+1}\right)=a_{k} a_{k+1}-b_{k} b_{k+1}, k=$ $\overline{1,2015}, b_{2016}=b_{1,} a_{2016}=a_{1}$ + +(1p) + +Egalitatea din enunț devine: $a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+\ldots+a_{2015}{ }^{2}+b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+\cdots+$ $b_{2015}{ }^{2}=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{2015} a_{1}-b_{1} b_{2}-b_{2} b_{3}-\cdots-b_{2015} b_{1}$ sau (1p) + +$\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(a_{2015}-a_{1}\right)^{2}+\left(b_{1}+b_{2}\right)^{2}+\left(b_{2}+b_{3}\right)^{2}+$ $\ldots+\left(b_{2015}+b_{1}\right)^{2}=0$ + +(2p) + +Și de aici : $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{2015}=a \in \mathbb{R}$ și $b_{1}=b_{2}=\cdots=b_{2015}=0$ + +(2p) + +Rezultă $z_{1}+\ldots+z_{2015}=2015 a \in \mathbb{R} z_{1} \ldots z_{2015}=a^{2015} \in \mathbb{R}$ + +(1p) + +## Problema 4: + +În b) înlocuim $x$ și y cu 1: $f(1)+f(1) \geq f(1) \Rightarrow f(1) \geq 0$ + +(1p) + +În a) înlocuim $\mathrm{xcu} \frac{1}{x}: f\left(\frac{1}{x}\right) \leq g\left(\frac{1}{x}\right)$. Din proprietatea funcției date $\mathrm{g}$ deducem $g\left(\frac{1}{x}\right) \leq-g(x)$ și rezultă $f\left(\frac{1}{x}\right) \leq-g(x)$ adică $-f\left(\frac{1}{x}\right) \geq g(x)(1)$ + +## (2p) + +Din condiția b) găsim $f(1) \leq f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ prin înlocuirea lui y cu $\frac{1}{x}$. Cum $f(1) \geq 0$ + +Rezultă $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0(2)$ + +## (2p) + +Adunăm inegalitățile (1) și (2) și rezultă $f(x) \geq g(x)$. + +(1p) + +Având în vedere a), obținem $f(x)=g(x)$ este singura funcțe care satisfice condițiile date. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-666-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-666-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9bea9db5fdcf852004ca395bf0ec45c649da28f5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-666-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,126 @@ +# OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, CLASA A VIII-A + +15 februarie 2015 + +1 .a) Arătați că $\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}}=\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k(k+1)} \mathbb{Q}, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$ + +b) Calculați suma: + +$$ +\mathrm{S}=\frac{3}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\ldots \ldots \ldots \ldots+\sqrt{1+\frac{1}{99^{2}}+\frac{1}{100^{2}}} +$$ + +2 a) Fie a;b;c-numere raționale pozitive astfel încât $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\mathrm{c}$. Arătaţi că $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ sunt numere raționale. + +b) Determinați perechile de numere naturale pentru care numărul + +$$ +\mathrm{A}=2^{2 n}-3^{2 m}+2^{n+2}+6 +$$ + +Să poată fi scris ca o sumă de două numere prime. + +GM + +3 .Fie $\mathrm{ABCD}$ un dreptunghi în care $\mathrm{AB}=5 \sqrt{3}, \mathrm{BC}=5$ și $\mathrm{M}$ un punct nesituat în planul dreptunghiului astfel încât $\mathrm{MA}=10$. Știind că (AE) și (AF) sunt mediane în triunghiurile ADM, respectiv ABM, iar (AG este bisectoarea unghiului MAC, $\mathrm{G} \in$ (AG este bisectoarea unghiului MAC, Ge (MC). Aflați raportul ariilor triunghiurilor EFG și BCD. + +4 .Se dă trapezul $\mathrm{ABCD}(\mathrm{DC} \| \mathrm{AB})$ în care $\mathrm{BC}$ este dublul laturii $\mathrm{AD}$, iar $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AD}$. Bisectoarea unghiului $\mathrm{C}$ intersectează diagonala $\mathrm{BD}$ în $\mathrm{E}$ şi $\frac{E D}{E B}=\frac{3}{5}$, iar suma dintre $\mathrm{BC}$ şi baza $\mathrm{DC}$ a trapezului este 16 . + +a) Dacă $2 \mathrm{DC}+1=\mathrm{AB}$, calculaţi aria trapezului. + +b) În punctul $\mathrm{E}$ se ridică perpendiculara VE pe planul acestuia, VE este media aritmetică a laturilor $\mathrm{BC}$ şi $\mathrm{CD}$ ale trapezului. Aflaţi distanţa de la $\mathrm{V}$ la baza $\mathrm{AB}$ a trapezului. + +Timp de lucru 3 ore, toate subiectele se noteaza cu 7 puncte. + +## Barem clasa a VIII a + +1) a) $1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}=\frac{k^{4}+3 k^{2}+2 k^{3}+2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=\frac{\left(k^{2}+k+1\right)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}$ + +(2p) + +$\sqrt{\frac{\left(k^{2}+k+1\right)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}}=\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=\frac{k(k+1)+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k(k+1)} \quad 1 \mathrm{p}$ +b) $S=\frac{3}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\ldots \ldots \ldots . .+\sqrt{1+\frac{1}{99^{2}}+\frac{1}{100^{2}}}$ + +$\frac{3}{2}+\frac{2^{2}+2+1}{2 \cdot 3}+\frac{3^{2}+3+1}{3 \cdot 4}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .+\frac{99^{2}+99+1}{99(99+1)}$ (1P) + +$S=\left(1+\frac{1}{1.2}\right)+\left(1+\frac{1}{2.3}\right)+\ldots \ldots \ldots .\left(1+\frac{1}{99.100}\right)(1 p)$ + +$S=99+1-\frac{1}{100}(1 p)$ + +$S=\frac{99.101}{100}(1 p)$ + +2) a) $\sqrt{ } a+\sqrt{b}=c \mid(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ + +$\mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{c}(\sqrt{ } a-\sqrt{b}) \Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{c}$ + +$\sqrt{a}+\sqrt{b}=c$ + +$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{c}$ + +$2 \sqrt{a}=\frac{a-b+c^{2}}{c} \Rightarrow \sqrt{a}=\frac{a-b+c^{2}}{2 c}$ + +$$ +\sqrt{b}=\frac{b-a+c^{2}}{2 c} +$$ + +b) daca $\mathrm{n}=0 \Rightarrow \mathrm{A}=11-3^{2 \mathrm{~m}} \in \mathbb{N}$ daca $\mathrm{m} \in\{0 ; 1\}$ + +$\mathrm{Pt} \mathrm{m}=0 \Rightarrow \mathrm{A}=10=3+7$ + +$\mathrm{m}=1 \mathrm{~A}=2-$ nu poate fi scris ca suma de doua numere prime + +pt. $\mathrm{n}>0 \Rightarrow \mathrm{A}$ este impar $\Rightarrow \mathrm{A}=2+$ p cu p nr. prim $\Rightarrow$ + +$\Rightarrow \mathrm{p}=2^{\mathrm{n}}-3^{2 \mathrm{n}}+2^{\mathrm{n}+2}+4=\left(2^{\mathrm{n}}+2\right)^{2}-3^{2 \mathrm{~m}}=\left(2^{\mathrm{n}}+3^{\mathrm{m}}+2\right)\left(2^{\mathrm{n}}-3^{\mathrm{m}}+2\right)$ + +$2^{\mathrm{n}}+3^{\mathrm{m}}+2>1 \Rightarrow 2^{\mathrm{n}}-3^{\mathrm{m}}+2=1 \Rightarrow 2^{\mathrm{n}}+3^{\mathrm{m}}=\mathrm{p}$ + +$2^{\mathrm{n}}+1=3^{\mathrm{m}} \Rightarrow \mathrm{n}$ este impar + +Pt $\mathrm{n}=1$ se obține $\mathrm{m}=1$ + +Pt $\mathrm{n} \geq 3 \Rightarrow 2^{\mathrm{n}}+1=\mathcal{M}_{4}+1 \Rightarrow 3^{\mathrm{m}} \in \mathcal{M}_{4}+(-1)^{\mathrm{n}} \Rightarrow \mathrm{m}$ este par $\Rightarrow \mathrm{m}=2 \mathrm{k}$ + +$2^{\mathrm{n}}+1=3^{2 \mathrm{k}} \Rightarrow 2^{\mathrm{n}}=3^{\mathrm{k}}-1=\left(3^{\mathrm{k}}-1\right)\left(3^{\mathrm{k}}+1\right) \Rightarrow \mathrm{n}=3$ si $\mathrm{k}=1 \Rightarrow \mathrm{m}=2 \Rightarrow \mathrm{p}=19$ + +$(\mathrm{n} ; \mathrm{m}) \epsilon\{(0,0) ;(1,1) ;(3,2)\}$ + +3) $\mathrm{ABCD}$ dreptunghi $\Rightarrow \mathrm{AC}=10$, deci $\triangle \mathrm{MAC}$ isoscel (2p) (AG bisectoare, deci (AG) este mediană. + +$\mathrm{FG}$ - linie mijlocie în $\triangle \mathrm{MBC}$, deci $\mathrm{FG} \| \mathrm{BC}, \mathrm{FG}=\frac{B C}{2}$ (1p) + +$\mathrm{FG} \|(\mathrm{BCD})(1 \mathrm{p})$ + +$\mathrm{EF} \|(\mathrm{BCD})(1 \mathrm{p})$ + +$\triangle \mathrm{EFG} \sim \triangle \mathrm{BCD} \Rightarrow \frac{A \triangle E F G}{A \triangle B C D}=\left(\frac{F G}{B C}\right)^{2}=\frac{1}{4}(2 \mathrm{p})$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed4b3b3923b83b5b20c6g-3.jpg?height=251&width=691&top_left_y=957&top_left_x=291) + +$\mathrm{AD}=5$ + +$\mathrm{AB}=13 \quad(1 \mathrm{p})$ + +$\triangle A B D \Rightarrow \mathrm{DB}=12$ + +$A_{\triangle A B D}=30$ (1p) + +$D F=\frac{60}{13}$ + +Finalizare $\mathrm{A}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{570}{13}$ + +(1p) +b) $\mathrm{VE}=\frac{B C+C D}{2}=8 \mathrm{~cm}$ (1p) + +T3 + +$\mathrm{EP} \perp \mathrm{AB} \Rightarrow \mathrm{VP} \perp \mathrm{AB}$ (1p) + +$\Rightarrow \triangle B E P \sim \triangle B D F(1 \mathrm{p})$ + +$\mathrm{EP}=\frac{75}{26}$ + +Finalizare $\mathrm{VP}=\frac{\sqrt{48889}}{26} \quad(1 \mathrm{p})$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-667-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-667-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab3799a753a0747f6f24b04c16c9e71746bfd327 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-667-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,112 @@ +Inspectoratul Scolar Judetean Gorj + +# OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, CLASA A VII-A + +15 februarie 2015 + +1. Fie numerele reale $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{50}$ invers proporţionale cu numerele $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{50}$ astfel încât $\sqrt{\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{49} a_{50}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Determinaţi mulţimea valorilor pe care le poate lua expresia $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{50}$. +2. Se consideră triunghiul echilateral $\triangle A B C, B M \perp A C, M \in(A C), N$ simetricul punctului $M$ faţă de punctul $C$ şi punctul $P$ astfel încât $m(\Varangle P B M)=90^{\circ}$ şi $P N \| B M$. Fie $B C \cap M P=\{O\}$. + +a) Să se arate că patrulaterul BMNP este dreptunghi. Patrulaterul BMNP este pătrat? Justificare. + +b) Stabiliți natura patrulaterului $S T C M$, unde $S$ este mijlocul segmentului $(B O)$ şi $T$ este mijlocul segmentului $(P O)$. + +c) Determinați raportul dintre aria suprafeţei triunghiulare $\triangle M O C$ şi aria suprafeţei triunghiulare $\triangle A B C$. + +3. a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a, b, c$ avem + +$$ +|a+b|+|a+c| \geq|b-c| +$$ + +b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem + +$$ +|x+1|+|x+2|+|x+3|+\ldots+|x+2014| \geq 1007^{2} +$$ + +## GM + +4. Se consideră un paralelogram cu un unghi de $120^{\circ}$ şi având două laturi consecutive de lungimi $a$ şi $2 a$. Dacă aria suprafeţei triunghiulare determinate de bisectoarele a două unghiuri alăturate şi una din laturile paralelogramului este de $5 \mathrm{~cm}^{2}$, aflaţi aria paralelogramului. Discuţie. + +NOTĂ. Timp de lucru 3 ore . Fiecare subiect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM + +## CLASA A VII-A + +15 februarie 2015 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_db641883408d2244c802g-2.jpg?height=94&width=1533&top_left_y=650&top_left_x=227) + +$\sqrt{\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{49} a_{50}}}=\frac{1}{|k|} \cdot \frac{7}{5 \sqrt{2}}$ + +$|k|=\frac{7}{5} \Rightarrow k \in\left\{-\frac{7}{5}, \frac{7}{5}\right\}$ + +$1 p$ + +$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{50}=k \cdot 25 \cdot 51$ + +$1 p$ + +$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{50} \in\{-1785,1785\}$ + +$2 \mathrm{p}$ + +2. a) De exemplu are toate unghiurile drepte, deci BMNP este dreptunghi. $.2 \mathrm{p}$ + +$[B M]$ înăltime în $\triangle A B C \Rightarrow B Mx / 8$, $5 x / 16<3 x / 8), M_{3}=x / 4-x / 16=3 x / 16$. + +3 puncte. + +a)Avem atunci $x / 16=x / 32+2$, deducem $x=64, A B=64 \mathrm{~cm}$. + +1 punct + +b) $M_{2} M_{a}=M_{a} M_{4}=x / 64, M_{1} M_{b}=M_{b} M_{3}=x / 32 . A M_{a}=11 x / 32+x / 64=23 x / 64$ si $M_{a} M_{b}=x / 64+x / 8+3 x / 16+x / 32=(x+8 x+12 x+2 x) / 64=23 x / 64$, deci $M_{a}$ este mijlocul lui $\left[\mathrm{AM}_{\mathrm{b}}\right]$ + +3 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-669-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-669-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..927a601401e47c118b62dc8804cd419e2e823087 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-669-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,103 @@ +# ETAPA LOCALĂ, CLASA A V-A + +15 februarie 2015 + +(7p).1. Ana, Barbu, Cristian și Dragoș au împreună o suma S de lei ,astfel incat $1782<$ S $<2303$, S multiplu de 403. Ana are cu 2 lei mai puțin decât Dragoş, Barbu are cu 4 lei mai mult decât Ana, iar Dragoş are jumătate din suma lui Cristian. Aflaţi câți lei are fiecare copil. + +(7p). 2.Prin împărţirea numerelor naturale $\overline{a b}, \overline{b c}, \overline{c a}$, scrise în baza 10 , la acelaşi număr natural nenul, se obţin câturile $\mathrm{b}, \mathrm{c}$, respectiv a şi resturile $\mathrm{c}$, a, respectiv b. + +a) Determinați împărţitorul. + +b) Arătaţi că numărul $\overline{a b c}$ este multiplu de 111 . + +(7p).3. Timp de 10 de zile, Andreea a plantat flori. În fiecare zi a plantat de două ori mai multe flori decât în ziua recedent. Ştiind că în prima zi a plantat o floare, aflaţi: + +a) Câte flori a plantat în a șaptea zi? Dar în total? + +b) În câte și în care zile a plantat Andreea un număr pătrat perfect de flori? + +(7p). 4. Arătați că numărul $78^{2015}+68^{2015}$ este divizibil cu 73. + +Timp de lucru 2 ore + +Toate subiectele se noteaza 7 puncte + +## Barem + +## FAZA LOCALĂ ,clasa a Va + +## FEBRUARIE 2015 + +(7p).1. Ana, Barbu, Cristian și Dragoș au împreună o suma S lei, $1782<$ S $<2303$, S multiplu de 403. Ana are cu 2 lei mai puțin decât Dragoş, Barbu are cu 4 lei mai mult decât Ana, iar Dragoș are jumătate din suma lui Cristian. Aflaţi care este suma fiecărui copil. + +Solutie: + +Notăm cu a, b,c,d sumele copiilor astfel încât, $S=M_{403}, 1782<\mathrm{M}_{403}<2303$, $\mathrm{S}=2015, \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=2015 \quad 2 \mathrm{p}$ + +Astfel, se pot exprima relațiile $\mathrm{a}=\mathrm{d}-2, \mathrm{~b}=\mathrm{a}+4, \mathrm{~d}=\mathrm{c}: 2 \quad 1 \mathrm{p}$ + +de unde avem că $\mathrm{a}=\mathrm{d}-2, \mathrm{~b}=\mathrm{d}+2$ și $\mathrm{c}=2 \mathrm{~d} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{d}-2+\mathrm{d}+2+2 \mathrm{~d}+\mathrm{d}=2015=>5 \mathrm{~d}=2015=>\mathrm{d}=403 \quad 2 \mathrm{p}$ + +$=>\mathrm{a}=401, \mathrm{~b}=405, \mathrm{c}=806 \quad 1 \mathrm{p}$ + +(7p). 2.Prin împărţirea numerelor naturale $\overline{a b}, \overline{b c}, \overline{c a}$, scrise în baza 10 , la acelaşi număr natural nenul, se obţin câturile $\mathrm{b}, \mathrm{c}$, respectiv a şi resturile $\mathrm{c}$, a, respectiv b. + +a) Determinați împărţitorul. + +b) Arătaţi că numărul $\overline{a b c}$ este multiplu de 111. + +Solutie: + +a) Din TÎR: $\mathbf{D}=\hat{\mathbf{I}} \cdot \mathbf{C}+\mathbf{R}, \mathbf{R}<\hat{\mathbf{I}}$, rezultă: + +$$ +\begin{array}{rlr} +\overline{a b}=x \bullet b+c \Rightarrow 10 a+b=x \bullet b+c & 1 \mathrm{p} \\ +\overline{b c}=x \bullet c+a \Rightarrow 10 b+c=x \bullet c+a & 1 \mathrm{p} \\ +\overline{c a}=x \bullet a+b \Rightarrow 10 c+a=x \bullet a+b, & 1 \mathrm{p} +\end{array} +$$ + +iar prin adunare membru cu membru rezultă $11(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})=(\mathrm{x}+1)(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})$ de unde $\mathrm{x}=10$. + +b) Se arată că $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$ prin înlocuirea lui $\mathrm{x}$ cu 10 în relațiile din TÎR, de unde rezultă divizibilitatea cu 111. + +(7p).3. Timp de 10 de zile, Andreea a plantat flori. În fiecare zi a plantat de două ori mai multe flori decât în ziua precedentă. Ştiind că în prima zi a plantat o floare, aflaţi: + +a) Câte flori a plantat în a șaptea zi? Dar în total? +b) În câte și în care zile a plantat Andreea un număr pătrat perfect de flori? + +Solutie: + +a) Scrierea șirului ce reprezintă numărul de flori plantate zilnic $1,2^{1}, 2^{2}, \ldots, 2^{9}$ + +În a șaptea zi a plantat $2^{6}$ flori, adică 64 plante. 1 p Calculul sumei $1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9}=2^{10}-1$ În total a plantat : + +$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9}=2^{10}-1=1024-1=1023$ (flori) + +b) Termenii șirului de la punctul a) + +$1=1^{2}, 2^{2}, 2^{4},\left(2^{2}\right)^{2}, 2^{6}=\left(2^{3}\right)^{2}$ si $2^{8}=\left(2^{4}\right)^{2}$ sunt pătrate perfecte + +Deci, în prima zi, a treia zi, a cincea zi, a șaptea zi și a noua zi s-au plantat un număr pătrat perfect de flori, în total în cinci zile. + +$1 p$ + +(7p). 4. Arătați că numărul $78^{2015}+68^{2015}$ este divizibil cu 73 . + +## Solutie: + +Folosind formulele: $(a+b)^{\mathrm{n}}=\mathrm{M}_{\mathrm{a}}+\mathrm{b}^{\mathrm{n}}$ + +și $(a-b)^{2 n+1}=M_{a}-b^{2 n+1}$ + +Rezultă că: + +$78^{2015}=(73+5)^{2015}=\mathrm{M}_{73}+5^{2015}$ și $68^{2015}=(73-5)^{2015}=\mathrm{M}_{73}-5^{2015}$ $2 p$ + +care prin adunare conduc la divizibilitatea cerută. + +$1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-67-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa10.md b/Romania_Olympiad/md/ro-67-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa10.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7317b5c0bd7bad7454899fde69e9f3ee282e00a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-67-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa10.md @@ -0,0 +1,106 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-1.jpg?height=116&width=252&top_left_y=148&top_left_x=790) + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019 + +## CLASA a X-a
Soluţii şi bareme + +Problema 1. Să se determine funcţiile $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$, cu proprietatea + +$$ +2^{-x-y} \leq \frac{f(x) f(y)}{\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)} \leq \frac{f(x+y)}{(x+y)^{2}+1} +$$ + +oricare ar fi $x, y \in \mathbb{R}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-1.jpg?height=43&width=1523&top_left_y=973&top_left_x=293) + +Dacă $x=y=0$ obţinem $1 \leq f(0)^{2} \leq f(0)$, de unde rezultă $f(0)=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Dacă $y=0$ în relaţia dată, obţinem + +$$ +2^{-x} \leq \frac{f(x)}{x^{2}+1},(*) +$$ + +pentru orice $x$ + +Pentru $y=-x$ în relaţia din enunţ. avem + +$$ +1=2^{-x+x} \leq \frac{f(x)}{x^{2}+1} \cdot \frac{f(-x)}{x^{2}+1} \leq 1 +$$ + +În final, folosind $\left(^{*}\right)$, rezultă că fiecare inegalitate din produsul de mai sus devine egalitate, deci $f(x)=2^{-x}\left(x^{2}+1\right)$ + +Problema 2. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 3$. + +a) Să se arate că există $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}$ astfel încât + +$$ +\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\ldots+\frac{z_{n-1}}{z_{n}}+\frac{z_{n}}{z_{1}}=n \mathrm{i} +$$ + +b) Care sunt valorile lui $n$ pentru care există numere complexe $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$, de acelaşi modul, astfel încât + +$$ +\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\cdots+\frac{z_{n-1}}{z_{n}}+\frac{z_{n}}{z_{1}}=n \mathrm{i} ? +$$ + +Soluţie. a) Alegem $z_{1}=z_{2}=\ldots=z_{n-1}=1$ şi căutăm $z=z_{n} \in \mathbb{C}$ care să verifice relaţia din enunţ. Obţinem $n-2+\frac{1}{z}+z=n i$, adică $z^{2}+(n-2-n i) z+1=0$, ecuaţie care are rădăcini în mulţimea $\mathbb{C}$. .............................................................................. + +b) Presupunem că există numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}$, de acelaşi modul care verifică relaţia din enunţ. Numerele $\frac{z_{1}}{z_{2}}, \frac{z_{2}}{z_{3}}, \ldots, \frac{z_{n-1}}{z_{n}}, \frac{z_{n}}{z_{1}}$ au modulul 1 şi din inegalitatea modulului + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-1.jpg?height=57&width=1585&top_left_y=2465&top_left_x=232) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-1.jpg?height=54&width=1526&top_left_y=2507&top_left_x=294) + +Pentru $n=4 k$ alegem $k$ grupe de patru dintre numerele $-\mathrm{i},-1, \mathrm{i}, 1$, care verifică relaţia $1 \mathrm{p}$ + +Problema 3. Fie $a, b, c$ numere complexe distincte, cu proprietatea $|a|=|b|=|c|=1$. Arătaţi că dacă $|a+b-c|^{2}+|b+c-a|^{2}+|c+a-b|^{2}=12$, atunci punctele de afixe $a, b, c$ sunt vârfurile unui triunghi echilateral. + +Soluţie. Fie $A, B, C$ punctele de afixe $a, b, c$, aflate pe cercul unitate cu centrul $O$. Afixul ortocentrului $H$ al triunghiului $A B C$ este $a+b+c$, deci mijlocul $\omega$ al segmentului + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-2.jpg?height=54&width=1589&top_left_y=778&top_left_x=230) + +Deducem că $A \omega=\left|\frac{a+b+c}{2}-a\right|=\frac{1}{2}|b+c-a|$, deci $|b+c-a|^{2}=4 A \omega^{2}$ şi analoagele. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-2.jpg?height=60&width=1537&top_left_y=870&top_left_x=283) + +Din teorema medianei, avem $A \omega^{2}=\frac{1}{4}\left(2 A H^{2}+2 A O^{2}-O H^{2}\right)$. Folosind relaţiile $O H^{2}=$ $9 R^{2}-\left(A B^{2}+B C^{2}+C A^{2}\right), A H^{2}=4 R^{2}-B C^{2}$ si analoagele, deducem $A \omega^{2}=\frac{1}{4}\left(1+A B^{2}+\right.$ $\left.A C^{2}-B C^{2}\right)$ + +de unde $A B^{2}+B C^{2}+A C^{2}=9$, deci $O H=0$. Rezltă $O=H$, adică $A B C$ e echilateral + +Problema 4. Să se găsească cel mai mic număr real strict pozitiv $\lambda$ astfel încât, pentru orice numere reale $a_{1}, a_{2}, a_{3} \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ si $b_{1}, b_{2}, b_{3} \in(0, \infty)$ cu $\sum_{i=1}^{3} a_{i}=\sum_{i=1}^{3} b_{i}=1$, avem + +$$ +b_{1} b_{2} b_{3} \leq \lambda\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}\right) +$$ + +Soluţie. Fie funcţia $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{x}$. Funcţia $f$ este convexă $\ldots .1 \mathrm{p}$ + +Aplicăm inegalitatea Jensen: $\frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}}=f\left(\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{3} a_{i} f\left(b_{i}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathrm{m}$ + +Presupunem că $b_{1} \leq b_{2} \leq b_{3}$. Atunci $f\left(b_{1}\right) \geq f\left(b_{2}\right) \geq f\left(b_{3}\right)$. + +Avem + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}} \leq a_{1} f\left(b_{1}\right)+a_{2} f\left(b_{2}\right)+a_{3} f\left(b_{3}\right) \\ +& \leq a_{1} f\left(b_{1}\right)+\left(a_{2}+a_{3}\right) f\left(b_{2}\right) \\ +& =a_{1} f\left(b_{1}\right)+\left(1-a_{1}\right) f\left(b_{2}\right) \\ +& =f\left(b_{2}\right)+a_{1}\left(f\left(b_{1}\right)-f\left(b_{2}\right)\right) \\ +& \leq f\left(b_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(f\left(b_{1}\right)-f\left(b_{2}\right)\right) \\ +& =\frac{1}{2}\left(b_{1}+b_{2}\right) b_{3} \\ +& \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8} +\end{aligned} +$$ + +În ultima inegalitate am folosit inegalitatea mediilor şi condiţia din enunţ. . ........... 3 p + +Se verifică uşor că pentru $a_{1}=a_{2}=\frac{1}{2}, a_{3}=0$ şi $b_{1}=b_{2}=\frac{1}{4}, b_{2}=\frac{1}{2}$, se realizează + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-3.jpg?height=54&width=1589&top_left_y=442&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_306fdcac2e80fe22fd4fg-3.jpg?height=56&width=1526&top_left_y=487&top_left_x=294) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-670-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-670-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5d07a0868232fa5a0712232e1f5a5da6c84aad5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-670-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# ETAPA LOCALĂ, CLASA A -IX-A + +15 februarie 2015 + +1. a) Demonstrați că $3^{n-1}>2^{n}-1, \forall n \in N^{*}, n \geq 3$; + +b) Să se determine numărul natural n pentru care $a^{n}+b^{n}+c^{n}+(a+b+c)^{n}=(a+b)^{n}+(b+c)^{n}+(a+c)^{n}$, oricare ar fi $a, b, c \in(0, \infty)$. + +G.M. + +2. Rezolvați în $\mathrm{N}$ ecuația $\left[\sqrt{n^{2}+4 n+9}\right]=3 n-4$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$. +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică ai cărei termeni sunt numere naturale. Dacă progresia are un termen egal cu 1936, arătați că ea conține o infinitate de termeni care sunt pătrate perfecte. B.M. +4. Fie $A B C$ un triunghi, $M \in(A B)$ astfel încât $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ și $N \in(A C)$ astfel încât $\overrightarrow{A N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$. Notăm cu $\mathrm{P}$ mijlocul lui $(B C)$ și cu $\mathrm{R}$ punctul de intersecție al dreptelor AP și MN. Dacă $\overrightarrow{A R}=k \cdot \overrightarrow{A P}$ determinați valoarea lui $k$. + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează cu $7 p$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +FAZA LOCALĂ - 2015-GORJ + +CLASA a IX-a + +Barem de notare + +1. a) Demonstrați că $3^{n-1}>2^{n}-1, \forall n \in N^{*}, n \geq 3$; + +b) Să se determine numărul natural $n$ pentru care $a^{n}+b^{n}+c^{n}+(a+b+c)^{n}=(a+b)^{n}+(b+c)^{n}+(a+c)^{n}$, oricare ar fi $a, b, c \in(0, \infty)$. + +G.M. + +Soluție: a) Inducție după n: $p(3): 9>7$, adev. Presupunem $p(k)$ adev. șl demonstrăm $\mathrm{p}(\mathrm{k}+1): 3^{k}>2^{k+1}-1$. + +Avem $3^{k}=3^{k-1} \cdot 3>\left(2^{k}-1\right) \cdot 3>2^{k+1}-1$. + +b) Pentru $n=1$ și $n=2$ relația este adevărată. + +Pentru $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=1$ obținem $3+3^{n}=3 \cdot 2^{n} \Leftrightarrow 3^{n-1}=2^{n}-1$ relație care este falsă pentru $\geq 3$. + +2. Rezolvați în $\mathrm{N}$ ecuația $\left[\sqrt{n^{2}+4 n+9}\right]=3 n-4$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$. + +B.M. + +Soluție: Avem $\sqrt{(n+2)^{2}}<\sqrt{n^{2}+4 n+9}<\sqrt{(n+3)^{2}}$ pentru $n>0, \quad$ deci $\quad\left[\sqrt{n^{2}+4 n+9}\right]=n+2 \quad$ pentru $\quad n>0$. $(4 p)$ + +Ecuația devine $n+2=3 n-4$, cu soluția $n=3$. + +Pentru $n=0$ nu verifică. + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică ai cărei termeni sunt numere naturale. Dacă progresia are un termen egal cu 1936, arătați că ea conține o infinitate de termeni care sunt pătrate perfecte. B.M. + +Soluție: Dacă rația progresiei este 0 , atunci toți termenii sunt $1936=44^{2}$ deci sunt pătrate perfecte. (2p) Dacă rația este nenulă considerăm $\mathrm{p}$ astfel încât $a_{p}=1936$. Atunci $a_{p+k+1}=a_{p}+k r$, deci $a_{p+k+1}=1936+k r$. Alegem $k=r m^{2}+88 m$, unde $m \in N$, și obținem $a_{p+k+1}=1936+r^{2} m^{2}+88 r m=(r m+44)^{2}$ este pătrat perfect pentru orice $m$ natural. (5p) + +4. Fie $A B C$ un triunghi, $M \in(A B)$ astfel încât $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ și $N \in(A C)$ astfel încât $\overrightarrow{A N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$. Notăm cu $\mathrm{P}$ mijlocul lui $(B C)$ și cu $\mathrm{R}$ punctul de intersecție al dreptelor AP și MN. Dacă $\overrightarrow{A R}=k \cdot \overrightarrow{A P}$ determinați valoarea lui $k$. + +B.M. + +Soluție: Din MP||AN deducem $\frac{M P}{A N}=\frac{P R}{A R} \Leftrightarrow \frac{A C: 2}{3 A C: 4}=\frac{P R}{A R} \Leftrightarrow \frac{2}{3}=\frac{P R}{A R} \Rightarrow$ $\frac{5}{3}=\frac{A P}{A R} \Rightarrow \overrightarrow{A R}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A P}$. (7p) + +Notă: Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează cu $7 p$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-671-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-671-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..84a20b453b2b8d3e4523340a43100abb3eeb1a75 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-671-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,22 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## Etapa locală - 14.02.2015 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie funcția $f: Z_{9} \rightarrow Z_{9}, f(x)=x^{2}$. Să se determine submulțimile nevide $A$ ale mulțimii $Z_{9}$ cu proprietatea $f(A)=A$. +2. Pe $R$ se consideră legea de compozitie $x * y=2015 x y-2014 x-2014 y+2014, x, y \in R$. + +a) Să se arate că * este asociativă; + +b) Să se afle $\alpha \in R$ astfel încât $x * x \geq \alpha$, pentru orice $x \in R$; + +c) Să se calculeze $\frac{1}{2015} * \frac{2}{2015} * \ldots * \frac{2015}{2015}$. + +3. Fie $f: R \rightarrow R$ o funcție care admite o primitivă neinjectivă. Să se arate că există $a, b \in R$ $a \neq b$ astfel încât $f(a)+2 f(b)=0$. +4. Să se calculeze $\int \frac{\sin x}{e^{x}+\sin x+\cos x} d x, x \in(0,+\infty)$. + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-672-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-672-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d0c7e0dc143b07611e6721ecfa0a3f447e1f3c80 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-672-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a XI -a + +1) Se considerã şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $x_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$. + +a) Demonstraţi convergența șirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$. + +b) Considerând cunoscut faptul cã $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\ln 2$, calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(e^{x_{n+1}}-e^{x_{n}}\right)$. + +2) Sã se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ pentru $a_{n}=\left\{\sqrt{n^{2}+5 n+9}\right\}, n \geq 1$, unde $\{x\}$ reprezintã partea fracţionarã a numãrului real $x$. + +S, GM 12/2014 + +3) Fie $A \in M_{n}(\mathbb{R}), n \geq 2$, astfel încât $A^{3}=I_{n}$ si matricea $I_{n}-A$ este inversabilã. + +a) Demonstraţi cã matricea $I_{n}+A$ este inversabilã și determinaţi inversa ei în funcţie de $A$. + +b) Calculaţi $\operatorname{det}\left(I_{n}+A\right)$. + +4) Fie $A$ o matrice pãtraticã cu elemente întregi având determinantul egal cu 2. Sã se demonstreze cã cel puţin un complement algebric al matricei $A$ este numãr intreg impar. + +GM 9/2014 + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-673-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-673-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12830cea287a085fff76ab1ead5042778c224b0e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-673-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a X-a + +1. Să se rezolve î $\mathbf{R}$ ecuația: $\frac{1}{2^{x}+3^{x}}+\frac{1}{3^{x}+4^{x}}+\frac{1}{6^{x}+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{3^{x}}+\frac{1}{6^{x}}\right)$. + +Marian Cucoanes, GM 2/2014 + +2. Să se arate că dacă $x=\log _{2} 6$ şi $y=\log _{3} 6$, atunci au loc relațiile: +a) $x+y=x y, \quad \frac{1}{y}-\frac{1}{x}<\frac{1}{4}$. +b) $x^{2}+y^{2}>8,81$. + +Traian Sfetcu + +3. Fie funcția $f: R \rightarrow R, f(x)=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}$. Să se rezolve ecuațiile $f(x)=1, f(x)=3$. + +Să se discute în funcție de valorile lui $\alpha \in R$, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=\alpha$. + +Traian Sfetcu + +4. Fie $z_{1}=x-y \varepsilon, z_{2}=y-z \varepsilon, z_{3}=z-x \varepsilon$, numere complexe cu $\left|z_{1}\right|=1,\left|z_{2}\right|=2,\left|z_{3}\right|=3$ unde $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ sunt reale, diferite şi $\varepsilon$ este o rădăcină de ordin trei a unitătii diferită de $1 .\left(\varepsilon^{3}=1, \varepsilon^{2}+\varepsilon+1=0\right)$. + +a) Să se arate că $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt afixele vârfurilor unui triunghi ehilateral. + +b) Dacă $x y+y z+z x=0$, să se calculeze aria triunghiului. + +Traian Sfetcu + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-674-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-674-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f91e9551f16032aedd50f726947467a9b0a11d42 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-674-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĀ Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a VII-a + +1. Fie ecuaţia: $7(1-x): m-2 x=2(1-x)$, cu m parametru real nenul. + +a) Să se rezolve ecuaţia. + +b) Să se determine $m$ număr întreg pentru care partea întreagă a soluţiei ecuaţ̧iei este egală cul 1 . + +2. Fie $x, y, z$ numere reale strict pozitive. Să se arate că: +a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{2 y} \geq \frac{4}{x+2 y}$ +b) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{8}{3}\left(\frac{1}{x+2 y}+\frac{1}{y+2 z}+\frac{1}{z+2 x}\right)$ +3. Pe planul pătratului $\mathrm{ABCD}$ se ridică de aceeași parte perpendicularele $\mathrm{AM}$ și $\mathrm{CN}$. + +a) Să se arate că dreptele $\mathrm{MN}$ şi $\mathrm{BD}$ sunt perpendiculare. + +b) Dacă $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AM}=4, \mathrm{CN}=4-\sqrt{7}$, să se calculeze distanțele de la $\mathrm{M}$ la $\mathrm{BN}$ și de la $\mathrm{M}$ la planul (BCN). + +4. Fie piramida patrulateră regulată $V A B C D,\{O\}=A C \cap B D$ și $P, Q \in(V O)$. Dacă $\{E\}=A P \cap C V,\{F\}=C P \cap A V,\{S\}=B Q \cap D V$ și $\{T\}=D Q \cap B V$, arătați că măsura unghiului dintre dreptele EF și ST nu depinde de alegerea punctelor $P$ și $Q$ pe segmentul VO. + +GM11/2014 + +NOTA:: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-675-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-675-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73510ad02e162184cdf64c419492b920a4781f68 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-675-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,22 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICA Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a VII-a + +1. a) Arătați că $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2015}}>\sqrt{2015}$. + +b) Fie $x=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\ldots+\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{\sqrt{2015 \cdot 2014}}$. Determinati $[x \sqrt{2015}]$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real a. + +2. Fie $a, b, c \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ și $a \leq b$. Arătaţi că: +a) $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \not \mathbb{Q}$; + +b) dacă $a \% 5, b \%$ și cmmdc $(a, b)=1$, atunci $\sqrt{a^{2} b^{2}+c^{2}} \in \mathbb{N}$. + +3. In paralelogramul $A B C D$, considerăm $A C \cap B D=\{O\}, M, N \in(A C)$ astfel incât $A-M-N$ și $(A M) \equiv(N C)$. Dacă $D M \cap B C=\{L\}$ și $B N \cap C D=\{T\}$, arătați că: +a) $(D N) \equiv(B M)$; +b) $L, O, T$ sunt coliniare. +4. In triunghiul $A B C$ cu $m(\alpha A)=90^{\circ}$ și $m(\varangle C)=30^{\circ}$, considerăm bisectoarea $[B E, E \in[A C]$ și un punct $D$ pe $[B C]$ astfel incât $B C=3 \cdot B D$. Dacă $\{O\}=B E \cap A D$ și $F$ este mijlocul lui $[A B]$, arătați că $F, O$ și $C$ sunt coliniare. + +GM11/2014 + +NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-676-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-676-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d891871738a814d37257b290ac7429da42763821 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-676-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,24 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a VI=a + +1. Aflaţi numărul natural $\overline{x y}$ dacă $\frac{\overline{x y x y x y}}{\overline{y x y x y x}}=\frac{4}{7}$. + +$G M 5 / 2014$ + +2. Arătaţi că numărul $N=1+7+7^{2}+\ldots \ldots .+7^{2015}$ este divizibil cu 200 . + +prelucrare GM 2014 + +3. Se consideră segmentul $A B$ şi $O$ mijlocul său. Pe o dreaptă d ce trece prin $O$ (diferită de $A B$ ) se consideră de o parte şi de alta a lui $O$ punctele $M$ și $N(M, N \in d)$ astfel încât unghiurile ȯ $\mathrm{MBO}$ şi × NAO sunt congruente. Arătaţi că $[\mathrm{MA}] \equiv[\mathrm{NB}]$. + +*** + +4. Se consideră două unghiuri adiacente și suplementare. Bisectoarea celui mai mare dintre ele formează cu o latură a celuilalt un unghi de $110^{\circ}$. Aflaţi măsurile celor două unghiuri. + +* * * + +NOTĂ: Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-677-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-677-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5dc77fce975b9ecf2fa1328df3bfbbcdabb9985 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-677-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA + +Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a V-a + +1. Fie $\mathrm{a}=2015+2(1+2+3+4+\ldots \ldots . .+2014)$ si $\mathrm{b}=1+3+5+7+\ldots \ldots . .+2015$. + +a) Arătaţi că a și b sunt pătrate perfecte . + +b) Arătaţi că $2015+a<4 b$ + +Prof. Gobej Adrian, Curtea de Argeș + +2. Determinaţi numerele naturale prime $a$, $b$ şi $c$ pentru care are loc egalitatea $2 a+5 b+6 c=50$. + +GM 5/2014 + +3. Determinaţi mulţimile $X$ și $Y$ ştiind că sunt indeplinite simultan condiţile: + +(i) $\mathrm{X} \cup \mathrm{Y} \subset\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$; + +(ii) $\mathrm{X} \cap \mathrm{Y} \supset\{1 ; 2\}$; + +(iii) $\mathrm{X} \backslash \mathrm{Y} \subset\{1 ; 2 ; 4\} ;$ + +(iv) $\{1 ; 2 ; 3\} \not \subset \mathrm{Y}$; + +(v) $\mathrm{X}$ are mai puţine elemente decât $\mathrm{Y}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_48afbe041a2df125ddc1g-1.jpg?height=33&width=152&top_left_y=1835&top_left_x=1542) + +4. Pentru o excursie școlară s-au închiriat autocare la preţul de 5 lei pe kilometru, iar lungimea traseului a fost stabilită la $600 \mathrm{~km}$. Din diferite motive, 6 elevi s-au retras din excursie, iar traseul efectiv a fost mai scurt, in aşa fel încât preţul transportului pe elev nu s-a modificat. Ştiind că s-au plătit 2700 lei pentru autocare, aflaţi lungimea efectivă a traseului parcurs şi numărul de elevi înscrişi iniţial. + +Prof. Constantin Bozdog, Reghin + +NOTA:: Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-678-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-678-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e48ade7e63a19fe9ab84527f50879b4c743a5ee1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-678-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,20 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICA + +## Etapa locală - 14.02.2015
Clasa a IX-a + +1. Rezolvatî in multimea numerelor reale ecuatia $[2 x-5]=\sqrt{2} \cdot[3 x-7]$. +2. Dacă $x, y, z$ sunt numere reale pozitive cu $x+y+z=2015$, demonstrați că + +$$ +\sqrt{2015 x+y z}+\sqrt{2015 y+z x}+\sqrt{2015 z+x y} \leq 4030 +$$ + +3. Demonstraţi că în orice triunghi $\mathrm{ABC}$, avem relaţia $\overline{O F}=\overline{O C}+\overline{O B}+\overline{O A}$, unde notăm centrul cercului circumscris cu $\mathrm{O}$ şi ortocentrul cu H. +4. Intr-un triunghi $A B C$, fie $D, E$ și respectiv $F$ punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile $B C, C A, A B$. Arătaţi că dacă $\overline{A F}+\overline{B D}+\overline{C E}=\overline{E A}+\overrightarrow{F B}+\overline{D C}$, atunci triunghiul $A B C$ este echilateral. + +S.GM3/2014 + +NOTA: Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-679-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (liceu)-comentariilocala2015liceu.md b/Romania_Olympiad/md/ro-679-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (liceu)-comentariilocala2015liceu.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9513c4867190dbf9dfaf34f8253fcb6f0f25ce1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-679-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (liceu)-comentariilocala2015liceu.md @@ -0,0 +1,297 @@ +# COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2015 FAZA LOCALĂ A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI + +Abstract. Comments on some of the problems presented at the Local
Round of the National Mathematics Olympiad 2015, Bucharest.
Se adresează claselor IX, X, XI, XII.
Data: 16 februarie 2015.
Autor: Dan (maledictus) Schwarz, Bucureşti. + +Confutatis maledictis + +## 0. INTRODUCERE + +Aceste comentarii asupra Fazei Locale a Olimpiadei de Matematică 2015 a municipiului Bucureşti, reflectă, ca de obicei, opinia personală a autorului. Ele sunt adăugate la o prezentare selectivă a probelor de concurs. ${ }^{2}$ + +Voi indica prin culoarea roşie eventualele erori, sau notaţiile abuzive din enunţurile originale, şi prin culoarea verde varianta de preferat (sau care lipsea din enunţ sau soluţie). Voi folosi în mod predilect şi culoarea albastră pentru comentariile de natură personală. + +## 1. ClasA a IX-A + +## Subiectul (1). + +a) Pe insula I trăiesc oameni cinstiti - care spun totdeauna adevărul, şi mincinoş - care totdeauna mint. Un explorator a întâlnit doi indigeni $A, B$. + +Localnicul A a spus + +- "Cel puţin unul dintre noi (A şi B) este mincinos." + +Se poate stabili cum este $A$ şi cum este B? (mincinos sau cinstit). + +b) Arătaţi că: $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\cdots+\frac{2014}{2015!}<1$. + +prelucrare OvidIU SुonTEA + +Soluţie. + +a) $A$ nu poate fi mincinos, căci atunci locuţiunea sa este mincinoasă, ceea ce ar însemna că atât $A$ cât şi $B$ sunt oneşti; contradicţie. Deci $A$ este onest şi atunci $B$ este mincinos.[^0]b) $\sum_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k!}=\sum_{k=2}^{n} \frac{k}{k!}-\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!}-\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}=1-\frac{1}{n!}<1$. O telescopare mai răsuflată ... mai rar de găsit! Soluţia oficială conţine o benignă eroare de tipar, folosind o dată $K$ majuscul (ca indice de sumare), care imediat apoi însă devine $k$ minuscul, ca peste tot în rest. + +O îmbinare nefericită de două trivialităţi nelegate între ele. + +Subiectul (2). Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: + +$$ +x^{2}+2\lfloor x\rfloor\{x\}+3\{x\}^{2}=4 +$$ + +G.M.-B. $n$. $6-7-8 / 2014$ + +Soluţie. Avem, prin transformări elementare + +$4=x^{2}+2\lfloor x\rfloor\{x\}+3\{x\}^{2}=(\lfloor x\rfloor+\{x\})^{2}+2\lfloor x\rfloor\{x\}+3\{x\}^{2}=(\lfloor x\rfloor+2\{x\})^{2}$. + +Prin urmare $\lfloor x\rfloor+2\{x\}= \pm 2$, aşadar $\{x\} \in\{0,1 / 2\}$, căci $\lfloor x\rfloor \in \mathbb{Z}$ şi $0 \leq\{x\}<1$. Sunt patru soluţii $x \in\{-5 / 2,-2,2,3 / 2\}$. + +Subiectul (4). Se consideră mulţimile: + +$A=\{5 p+7 q \mid p, q \in \mathbb{N}\}, B=\{5 p+7 q \mid p, q \in \mathbb{Z}\}, C=\{35 p+14 q \mid p, q \in \mathbb{Z}\}$. + +a) Să se determine $\operatorname{card}(\mathbb{N} \backslash A)|\mathbb{N} \backslash A|$. + +b) Să se determine $\mathbb{Z} \backslash B$. + +c) Să se determine mulţimea $C$. + +Soluţie. + +a) Soluţia oficială profită de valorile relativ mici 5 şi 7 pentru a ajunge prin calcularea de relativ puţine cazuri (dar fără detalii, cu doar un fel de handwaving) la rezultatul greşit $133^{3}$ De fapt este vorba de binecunoscutul rezultat al lui Sylvester (cunoscut în ţările anglo-saxone sub infamul nume de Chicken McNugget Theorem). A Acest rezultat afirmă că pentru $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ co-prime, toate numerele naturale mai mari sau egale cu $(m-1)(n-1)$ sunt reprezentabile sub forma $m p+n q$, pentru anume $p, q \in \mathbb{N}$, iar dintre cele $(m-1)(n-1)$ numere naturale mai mici, exact jumătate sunt astfel reprezentabile. Aşadar $|\mathbb{N} \backslash A|=\frac{(5-1)(7-1)}{2}=12$. ̇̀ propos, de ce $\operatorname{card}(\mathbb{N} \backslash A)$, când $|\mathbb{N} \backslash A|$ este notatio standard?[^1]b) Având c.m.m.d.c. $(5,7)=1$, rezultă $B=\mathbb{Z}$ direct din relaţia lui Bézout (rezultat de manual, dar omis de a fi atribuit în soluţia oficială). + +c) Având c.m.m.d.c. $(35,14)=7$, rezultă $C=7 \mathbb{Z}$ din relaţia lui Bézout. Soluţia oficială conţine de două ori afirmaţia $7 \mathbb{Z} \subseteq C$, prima dată în mod eronat; ar fi trebuit scris $C \subseteq 7 \mathbb{Z}$. + +Sunt tare curios cum ar fi notată o soluţie care invocă rezultatul lui Sylvester, extrem de cunoscut în literatură şi în practica de concurs. Foarte probabil cu zero puncte ... nu-i aşa? + +## 2. Clasa a X-A + +Subiectul (1). Fie funcţia $f:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$, dată prin + +$$ +f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \text { pentru orice } x \in[0, \infty) \text {. } +$$ + +a) Arătaţi că funcţia este strict monotonă. + +b) Arătaţi că imaginea funcţiei este $(0,1]$. + +c) Determinaţi funcţia $g:(0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ care are proprietatea $g(f(x))=2 x+3$, oricare ar $f x \in[0, \infty)$. + +Soluţie. + +a) $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$, deci funcţia este monoton (strict) descrescătoare (şi prin aceasta, injectivă). + +b) $f(0)=1$, iar $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$, deci imaginea sa este intervalul $(0,1]$, prin continuitate. Desigur, metode de clasa a XI-a, dar util de a fi menţionate; ce ne făceam dacă aveam $f(x)=\sqrt{x^{5}+x+1}-\sqrt{x^{5}+x}$ ? Atunci imaginea lui $f$ era tot $(0,1]$, dar ecuaţia $f(x)=y$ nu mai ducea la o soluţie exprimabilă prin funcţii elementare, şi nici la o astfel de inversă $f^{-1}$. Sper că o astfel de abordare ar fi fost totuşi acceptată ca soluţie validă, dar ... cine ştie? Soluţia oficială procedează corect, în a rezolva ecuaţia $f(x)=y$ pentru orice $y \in(0,1]$, cu soluţia (unică) $x=\left(\frac{1-y^{2}}{2 y}\right)^{2}$. + +c) Aşadar funcţia $f$ este o bijecţie între $[0, \infty)$ şi $(0,1]$. Pentru a rezolva $g(f(x))=\varphi(x)$ cu $x \in[0, \infty)$ putem lua $x=f^{-1}(t)$ pentru un $t \in(0,1]$, si atunci $g(t)=\varphi\left(f^{-1}(t)\right)$ (si aceasta pentru orice funcţie $\varphi$, nu doar cea dată $2 x+3$ ). Ca "determinare", este suficient (să ne gândim iarăşi la cazul când inversa lui $f$ nu ar fi exprimabilă prin funcţii elementare), dar aici chiar putem scrie $g(t)=2\left(\frac{1-t^{2}}{2 t}\right)^{2}+3$ pentru orice $t \in(0,1]$. + +Subiectul (2). + +a) Fie $z$ şi $w$ două numere complexe diferite distincte, astfel încât $|z|=|w|$ ş $|1+z|=|1+w|$. Arătaţi că $z=\bar{w}$. + +b) Arătaţi că dacă $z \neq \pm i$ este număr complex de modul 1 , atunci $x=\frac{z}{z^{2}+1}$ este număr real. + +Determinaţi multimea $\left\{\left.\frac{z}{z^{2}+1}|z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}, z \neq \pm i| z \right\rvert\,,=1\right\}$. + +suplimente G.M.-B. nr. 4/2014 şi 11/2014 + +Soluţie. + +a) Considerăm cercul centrat în originea $(0,0)$, de rază $|z|=|w|$, şi cercul centrat în punctul $(-1,0)$, de rază $|1+z|=|1+w|$. Cele două puncte de intersecţie sunt cele de afixe $z$ şi $w$, şi vor fi simetrice faţă de linia centrelor celor două cercuri, care este axa $O x$, prin urmare $z=\bar{w}$. Soluţia oficială este algebrică, folosind $|Z|^{2}=Z \bar{Z}$ pentru un număr complex $Z$. + +b) $x=\frac{z}{z^{2}+1}=\frac{\bar{z} z}{\bar{z}\left(z^{2}+1\right)}=\frac{1}{z+\bar{z}} \in \mathbb{R}$. Deşi la punctul a) autorul a folosit cu succes conjugatele, la punctul b) a obosit, şi în loc de soluţia elementară de mai sus recurge la scrierea $z=\cos a+\mathrm{i} \sin a$ şi (mici) calcule trigonometrice! Din păcate, oboseala devine atât de cronică încât autorul omite în enunţ să specifice în definiţia mulțimii că intenţiona tot $|z|=1$ (după cum se vede din răspunsul $(-\infty,-1 / 2] \cup[1 / 2, \infty)$ oferit). 5 + +Subiectul (3). Arătaţi că $\lfloor\sqrt[3]{7 n+1}\rfloor=\lfloor\sqrt[3]{7 n+5}\rfloor$ pentru orice număr natural $n$ (unde $\lfloor x\rfloor$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$ ). + +Eugen RADU + +Soluţie. Singurul caz contradictoriu ar fi dacă ar exista un număr natural $k$ astfel încât $7 n+10$, $p$ număr prim. + +MARCEL ŢENA + +Soluţie. + +a) Avem $f(-1) f(-1)=f((-1)(-1))=f(1)=1$ şi deci $f(-1)= \pm 1$. Cum atât $f(x)=x$ cât şi $f(x)=|x|$ sunt endomorfisme, ambele valori pot fi luate. Eu credeam că "a determina" are o conotaţie mai strictă ... era poate mai potrivit să se ceară "găsirea" tuturor valorilor posibile ale lui $f(-1)$. + +b) Din moment ce orice număr raţional pozitiv se scrie drept produs de numere prime distincte la exponenţi întregi, iar orice endomorfism comută cu produsele, rezultă $f(r)=r$ pentru orice $r \in \mathbb{Q}_{+}^{*}$. Cum atunci avem şi $f(-r)=f(-1) f(r)=f(-1) r$, în conformitate cu punctul a) putem avea doar $f(x)=x$ sau $f(x)=|x|$ (exact cele două exemple date mai sus). + +Soluţia oficială este neglijent scrisă. Suferă din folosirea lui $\mathbb{Q}^{*}$ când era evident intenţionat a se utiliza $\mathbb{Q}_{+}^{*}$; apoi admite valorile $f(-1)= \pm 1$ direct din operaţiile algebrice, fără a şi verifica faptul că ambele valori sunt permise (acest lucru este parţial "reparat" la sfârşit, când cel două endomorfisme posibile sunt construite); în fine, jonglează cu simboluri nedeclarate, precum $q$ şi $r$. Problema este remarcabil de trivială, endomorfismele $f$ fiind "fixate" peste $\mathbb{Q}_{+}^{*}$, cu singura variaţie posibilă dată prin valoarea în punctul -1 . + +Subiectul (2). Fie a un număr real fixat şi fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie care admite primitive şi nu se anulează. Să se arate că funcţia $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, dată $\operatorname{prin} g(x)=\left\{\begin{array}{rl}f(x), & x \leq a \\ 2 f(x), & x>a\end{array}\right.$, nu are primitive. + +G.M.-B. $n r .9 / 2014$ + +Soluţie. Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, şi dacă $g$ ar avea primitive, fie $G$ o primitivă a lui $g$ astfel încât $G(a)=F(a)$. Dar $G$ fiind primitivă şi a lui $f$ pe $(-\infty, a]$, rezultă $G(x)=F(x)$ pentru $x \leq a$. $G$ fiind primitivă a lui $2 f$ pe $(a, \infty)$, din continuitatea lui $G$ în $a$ rezultă $G(x)=2 F(x)-F(a)$ pentru $x \geq a$. Egalând derivatele laterale ale lui $G$ în $a$ obţinem $F^{\prime}(a)=2 F^{\prime}(a)$, adică $f(a)=2 f(a)$, absurd când $f(a) \neq 0$. + +În loc de greoaia expresie care nu se anulează, nu era mai simplu să se dea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ ? Oricum nu contează decât că $f(a) \neq 0$, dar este deja traditional să "mascăm" acest lucru, printr-o condiţie prea laxă, nu cumva să nu creadă concurenţii că $f(x)=0$ în afara lui $a$ ar putea avea vreo însemnătate. + +## Subiectul (4). + +a) Pe mulţimea $A=\{\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \ldots, \sqrt[145]{145}\}$ să se introducă două structuri: una de grup comutativ şi una de grup necomutativ. + +b) Se consideră $a, b \in \mathbb{R}, a Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019
Clasa a IX-a + +## Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele strict pozitive $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, respectiv $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ astfel încât $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=S$. + +a) Demonstraţi că $\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}} \geq \frac{S}{2}$. + +b) Demonstraţi că $\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{b_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}}$. + +Soluţie şi barem: + +a) Avem $\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}} \geq \frac{\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{2}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n} b_{k}}=\frac{S^{2}}{2 S}=\frac{S}{2}$. ................................................... + +b) Avem $\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}}-\sum_{k=1}^{n} \frac{b_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}^{2}-b_{k}^{2}}{a_{k}+b_{k}}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-b_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{k}-\sum_{k=1}^{n} b_{k}=S-S=0$ de unde obţinem concluzia. + +$3 p$ + +Problema 2. Fie $H$ ortocentrul triunghiului ascuţitunghic $A B C$. In planul triunghiului $A B C$ considerăm un punct $X$ astfel încât triunghiul $X A H$ este dreptunghic isoscel cu ipotenuza $A H$, iar $B$ şi $X$ sunt de o parte şi de alta a dreptei $A H$. Demonstraţi că $\overrightarrow{X A}+\overrightarrow{X C}+\overrightarrow{X H}=\overrightarrow{X B}$ dacă şi numai dacă $\measuredangle B A C=45^{\circ}$. + +Soluţie şi barem: Cum $B A \perp H C$ si $B C \perp H A$, deducem că $B$ este ortocentrul triunghiului $H A C$. 2p + +Relaţia $\overrightarrow{X A}+\overrightarrow{X C}+\overrightarrow{X H}=\overrightarrow{X B}$ are loc dacă şi numai dacă $X$ este centrul cercului circumscris + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8d1cc49a3c6af70227b2g-1.jpg?height=54&width=1838&top_left_y=1458&top_left_x=141) + +Dacă $X$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A H C$, atunci $\measuredangle A X H$ este unghi la centru, deci arcul aferent are $90^{\circ}$, deci $\measuredangle A C H=45^{\circ}$. Obţinem că $\measuredangle B A C=45^{\circ}$. ........................................... + +Reciproc, fie $Y$ centrul cercului circumscris triunghiului $A H C$. Atunci $\measuredangle A Y H=2 \measuredangle A C H=90^{\circ}$. Triunghiul $Y A H$ este dreptunghic isoscel, deci $Y=X$. Atunci $X$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A H C$. + +$2 p$ + +Problema 3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ un şir de numere reale cu proprietatea + +$$ +2\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)=n a_{n+1} +$$ + +pentru orice $n \geq 1$. + +a) Demonstraţi că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este o progresie aritmetică. + +b) Dacă $\left[a_{1}\right]+\left[a_{2}\right]+\ldots+\left[a_{n}\right]=\left[a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right]$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, demonstraţi că toţi termenii şirului sunt numere întregi. ( cu $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$ ) + +## Soluţie şi barem: + +a) Pentru $n=1$ obţinem $a_{2}=2 a_{1}$, iar pentru $n=2$ obţinem $a_{3}=3 a_{1}$. Prin inducţie matematică demonstrăm că $a_{n}=n a_{1}$, pentru orice $n \geq 1$, de unde deducem că şirul este o progresie aritmetică. $\mathbf{2}$ p +b) Fie $\alpha=\left\{a_{1}\right\}$. Relaţia $[x+y]=[x]+y$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$ şi $y \in \mathbb{Z}$, ipoteza şi punctul precedent conduc la egalitatea + +$$ +[\alpha]+[2 \alpha]+\ldots+[n \alpha]=\left[\frac{n(n+1)}{2} \alpha\right] +$$ + +pentru orice $n \geq 1$. + +Pentru $n=2$ obţinem $[\alpha]+[2 \alpha]=[3 \alpha]$, deci $[2 \alpha]=[3 \alpha]$, adică $\alpha \in\left[0, \frac{1}{3}\right) \cup\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$. Cazul $n=3$ conduce la $[\alpha]+[2 \alpha]+[3 \alpha]=[6 \alpha]$. Atunci $2[3 \alpha]=[6 \alpha]$. Această egalitate conduce la $\alpha \in\left[0, \frac{1}{6}\right)$. . $\mathbf{2 p}$ + +Presupunem că $\alpha \neq 0$. Atunci există $p \in \mathbb{N}^{*}, p \geq 7$ cu $\frac{1}{p} \leq \alpha<\frac{1}{p-1}$. Atunci $[\alpha]+[2 \alpha]+\ldots+[p \alpha]=$ $[p \alpha]=1$. Apoi $\frac{p(p+1)}{2} \alpha \geq \frac{p+1}{2} \geq 4$, deci egalitatea din enunţ nu este satisfăcută pentru $n=p$. + +Rămâne $\alpha=0$, ceea ce conduce la concluzie + +$2 p$ + +Problema 4. Determinaţi toate numerele naturale nenule $p$ pentru care există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $p^{n}+3^{n}$ să dividă numărul $p^{n+1}+3^{n+1}$. + +Soluţie şi barem: Avem egalitatea $p^{n+1}+3^{n+1}=\left(p^{n}+3^{n}\right)(p+3)-3 p\left(p^{n-1}+3^{n-1}\right)$. + +Dacă $p^{n}+3^{n}$ divide numărul $p^{n+1}+3^{n+1}$, atunci $p^{n}+3^{n}$ divide pe $3 p\left(p^{n-1}+3^{n-1}\right)$. Dacă presupunem că $p$ şi 3 sunt prime între ele, atunci $p^{n}+3^{n}$ va fi prim şi cu 3 şi cu $p$. Obţinem că $p^{n}+3^{n}$ divide pe $p^{n-1}+3^{n-1}$, ceea ce este fals deoarece $p^{n}+3^{n}>p^{n-1}+3^{n-1}>0$. De aici obţinem că $p$ este divizibil cu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8d1cc49a3c6af70227b2g-2.jpg?height=52&width=1832&top_left_y=1123&top_left_x=141) + +Fie $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $p=3 k$. Atunci $3^{n}\left(k^{n}+1\right) \mid 3 \cdot 3 k \cdot 3^{n-1}\left(k^{n-1}+1\right)$, de unde obţinem că $k^{n}+1 \mid 3 k^{n}+3 k$, adică $k^{n}+1 \mid 3 k^{n}+3+3 k-3$. Atunci $k^{n}+1 \mid 3 k-3$. Pentru $n \geq 2$, avem $k^{n}+1 \geq$ $k^{2}+1>3 k-3$, deci rămâne $3 k-3=0$ sau $n=1$. + +Primul caz conduce la $p=3$, iar proprietatea din enunţ este valabilă pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +În al doilea caz, din $k+1 \mid 3 k-3$ obţinem $k \in\{1,2,5\}$, deci $p \in\{3,6,15\}$. 2p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-680-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (gimnaziu)-comentariilocala2015gimnaziu.md b/Romania_Olympiad/md/ro-680-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (gimnaziu)-comentariilocala2015gimnaziu.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b06395b9f9b0b50606403ac3eaed4b9e7f31f28a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-680-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (gimnaziu)-comentariilocala2015gimnaziu.md @@ -0,0 +1,231 @@ +# COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2015 FAZA LOCALĂ A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI + +Abstract. Comments on some of the problems presented at the Local
Round of the National Mathematics Olympiad 2015, Bucharest.
Se adresează claselor V, VI, VII, VIII.
Data: 16 februarie 2015.
Autor: Dan (commendatore) Schwarz, Bucureşti. + +Don Giovaaaaaaanni $\qquad$ + +## 0. Introducere + +Aceste comentarii asupra Fazei Locale a Olimpiadei de Matematică 2015 a municipiului Bucureşti, reflectă, ca de obicei, opinia personală a autorului. + +Ele sunt adăugate la o prezentare selectivă a probelor de concurs. $^{2}$ + +Voi indica prin culoarea roşie eventualele erori, sau notaţiile abuzive din enunţurile originale, şi prin culoarea verde varianta de preferat (sau care lipsea din enunt sau soluţie). Voi folosi în mod predilect şi culoarea albastră pentru comentariile de natură personală. + +## 1. ClasA A V-A + +Subiectul (2). Se dau multyimile de numere naturale + +$$ +\begin{aligned} +& A=\{x-1,2 x-3,3 x+1,4 x-1\} \text { si } \\ +& B=\{4 x-2,3 x+2,3 x-6,2 x-4\} +\end{aligned} +$$ + +Determinaţi valorile naturale ale lui $x$ pentru care $A=B$. + +G.M.-B. nr. 11/2014 + +Soluţie. Pentru a fi egale, cele două mulţimi trebuie să aibă aceeaşi sumă a elementelor lor, ceea ce forţează egalitatea $10 x-4=12 x-10$, adică $x=3$, şi mai trebuie doar verificat că atunci $A=\{2,3,10,11\}=B$. După cum se vede, această soluţie nu are nevoie de nicio presupunere specială asupra lui $x$ (şi acum $x$ poate fi lăsat nespecificat, dar preclude alte aproşuri mai simpliste, legate de paritate, etc., precum în soluţia oficială).[^0] + +Subiectul (3). In figura de mai jos, sunt $n$ pătrate, în fiecare pătrat fiind scrise numai puteri ale lui 2 , după cum se observă: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9d9e4c525a82741acd99g-2.jpg?height=156&width=328&top_left_y=538&top_left_x=739) + +| $2^{8}$ | $2^{9}$ | +| :---: | :---: | +| $2^{10}$ | $2^{11}$ | + +a) Arătaţi că suma numerelor din oricare dintre cele $n$ pătrate este multiplu de 5 . + +b) Demonstraţi că produsul numerelor din oricare dintre cele $n$ pătrate este pătrat perfect. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9d9e4c525a82741acd99g-2.jpg?height=49&width=1255&top_left_y=892&top_left_x=435) +2015 pătrate. + +Ion Cicu, Cristian Olteanu \& Traian Preda + +Soluţie. Al $k$-lea pătrat este | $2^{4 k-4}$ | $2^{4 k-3}$ | +| :--- | :--- | +| $2^{4 k-2}$ | $2^{4 k-1}$ | pentru $1 \leq k \leq n$. + +a) $2^{4 k-4}+2^{4 k-3}+2^{4 k-2}+2^{4 k-1}=2^{4 k-4}(1+2+4+8)=3 \cdot 5 \cdot 2^{4 k-4}$. +b) $2^{4 k-4} \cdot 2^{4 k-3} \cdot 2^{4 k-2} \cdot 2^{4 k-1}=2^{16 k-10}=\left(2^{8 k-5}\right)^{2}$. +c) $\sum_{k=1}^{n}\left(2^{4 k-4}+2^{4 k-3}+2^{4 k-2}+2^{4 k-1}\right)=\sum_{k=0}^{4 n-1} 2^{k}=2^{4 n}-1$. Prin urmare pentru orice $n \geq 3$, restul împărţirii la $1024=2^{10}$ este $1024-1=1023$. Se vede uşor că se poate evita acest calcul general, prin simpla observaţie că puterile de la $2^{10}$ încolo se divid prin 1024 , deci este suficient să adunăm $1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9}=2^{10}-1=1023$. + +Ce caută acolo numărul $n$ din enunţ? din moment ce oricum se cere la punctul c) suma numerelor din doar primele 2015 pătrate. Trebuia măcar specificat $n \geq 2015$, dar mai simplu era să se dea direct $n=2015$, sau pur şi simplu să se enunţe punctul c) pentru un $n \geq 3$ arbitrar ... + +Se dovedeşte din soluţia oficială că de fapt $n \geq 0$ era intenţionat doar ca un indice generic; iar calculele făcute nici măcar nu folosesc faptul că în fiecare pătrat exponentul celei mai mici puteri a lui 2 este multiplu de 4 . + +Subiectul (4). Trei fraţi vor să-şi cumpere $\hat{\imath m p r e u n a ̆, ~ d i n ~ e c o n o m i i l e ~ l o r, ~ o ~}$ tabletă ı̂n valoare de 2015 lei. Fratele cel mai mare contribuie cu o sumă de trei ori mai mare decât jumătatea sumei cu care contribuie cel mai mic dintre fraţi fratele cel mic, iar fratele mijlociu contribuie cu o sumă cuprinsă între sumele celorlalţ doi fraţi. Fiecare dintre sumele cu care contribuie cei trei fraţi sunt exprimate prin numere naturale este exprimată printr-un număr natural de lei. +a) Aflaţi cea mai mică sumă de lei cu care contribuie poate contribui fratele mijlociu. + +b) Aflaţi numărul total al soluţiilor problemei, şi cea mai mare sumă cu care contribuie poate contribui fratele mijlociu. + +Victor Nicolae \& Simion Petre + +Soluţie. Fie $m$ suma contribuită de fratele cel mic; atunci suma contribuită de fratele cel mare este $3 m / 2$, ceea ce forțează $m=2 n$ număr par. Dacă notăm cu $x$ suma contribuită de fratele mijlociu, ajungem deci la restricţiile $2 n \leq x \leq 3 n$ sुi $5 n+x=2015$, prin urmare $x=5 y$ trebuie să fie divizibil prin 5 , şi $n+y=403$. Dar atunci $5 y=x \geq 2 n=2 \cdot 403-2 y$, care duce la $y \geq 116$, dar şi $5 y=x \leq 3 n=3 \cdot 403-3 y$, care duce la $y \leq 151$. Să observăm şi că oricare dintre valorile $116 \leq y \leq 151$ duce într-adevăr la o soluţie; luând $n=403-y$ vom avea + +$$ +\begin{gathered} +x-2 n=5 y-2(403-y)=7 y-806 \geq 7 \cdot 116-806>0 \\ +3 n-x=3(403-y)-5 y=1209-8 y \geq 1209-8 \cdot 151>0 \\ +5 n+x=5 n+5 y=5(n+y)=5 \cdot 403=2015 +\end{gathered} +$$ + +Am obţinut simultan răspunsul la toate întrebările; valoarea cea mai mică posibilă a contribuţiei fratelui mijlociu este $5 \cdot 116=580$, valoarea cea mai mare posibilă a contribuţiei fratelui mijlociu este $5 \cdot 151=755$, iar numărul total de posibilităţi este $(151-116)+1=36$. + +Precizarea din economiile lor este nespus de dulce ... 3 Superlativele absolute legate de vârstele fraţilor sună forţat. Acordul pentru "fiecare ..." se face la singular. Sumele minimă şi maximă (posibil) contribuite de fratele mijlociu sunt potenţiale. + +## 2. ClasA A VI-A + +Subiectul (1). Determinaţi numerele naturale $a, b, a-2$, cu egalitate doar pentru $x=1$. + +b) $\sum_{k=1}^{2015} x_{k}^{3}-3 \sum_{k=1}^{2015} x_{k}+4030=\sum_{k=1}^{2015}\left(x_{k}^{3}-3 x_{k}+2\right) \geq 0$, după punctul a), cu egalitate doar pentru toti $x_{k}=1,1 \leq k \leq 2015$. Restricţia la numere reale pozitive este delicată ... Mai mură-n gură nici că se poate. + +Subiectul (2). Determinaţi numerele prime $p>q$, stiind că + +$$ +p(1+3 p q)+q(1-3 p q)=p^{3}-q^{3} +$$ + +G.M.-B. nr. 12/2014 + +Soluţie. (Oficială) Relaţia din enunţ se mai poate scrie şi $p+q=(p-q)^{3}$. + +De aici deducem că $p-q \mid p+q$, şi cum $p-q \mid p-q$, rezultă că $p-q \mid 2 p$. Deoarece $p$ este număr prim, putem avea 1. $p-q=1 ; 2 . \quad p-q=2 ; 3$. $p-q=p ; 4$. $p-q=2 p$. + +Cazurile 3 şi 4 sunt imposibile. Din cazul 1 obţinem $p=q+1$. Înlocuind în relaţia $p+q=(p-q)^{3}$ obţinem $2 q+1=1$, adică $q=0$, absurd. + +Din cazul 2 obţinem $p=q+2$. Înlocuind în relaţia $p+q=(p-q)^{3}$ obţinem $2 q+2=8$, adică $q=3$, şi de aici $p=5$. + +După cum se vede, a contat doar faptul că $p$ este prim. La fel se putea proceda dacă se ştia doar că $q$ este prim. Atunci se obţine $p-q \mid 2 q$, deci putem avea 1. $p-q=1 ; 2 . p-q=2 ; 3 . p-q=q ; 4 . p-q=2 q$. Cazurile 3 şi 4 sunt imposibile, iar cazurile 1 şi 2 sunt exact ca mai sus. Iar condiţia $p>q$ este inutilă, căci rezultă din relaţia dată. + +Nu-mi plac problemele cu enunţuri supra-calificate (redundante). S-ar fi putut da o "prelucrare", unde să se spună doar că $p, q$ sunt naturale, şi că se ştie că măcar unul dintre ele este prim. Cu atât mai mult cu cât cazul general poate fi soluţionat cu uşurinţă, după cum urmează. + +Soluţie Generală. Considerăm dat doar faptul că $p, q$ sunt numere naturale nenule (nimic despre primalitatea lor). Fie $d=$ c.m.m.d.c. $(p, q), p=d a$, $q=d b$, pentru nişte numere naturale $a, b$ cu c.m.m.d.c. $(a, b)=1$. Relaţia $p+q=(p-q)^{3}$ se scrie $a+b=d^{2}(a-b)^{3}$, de unde $a>b$ şi $a-b \mid a+b$. Deoarece $a-b \mid a-b$, şi c. m. m.d.c. $(a+b, a-b) \mid 2$, avem cazurile + +- c.m.m.d.c. $(a+b, a-b)=1$. Atunci $a=b+1$ şi deci $2 b+1=d^{2}$, ceea ce forţează $d$ impar, deci $d=2 k+1$ pentru un $k \in \mathbb{N}$, si $b=2 k^{2}+2 k$. Aceasta duce la soluţiile $(p, q)=\left((2 k+1)\left(2 k^{2}+2 k+1\right),(2 k+1)\left(2 k^{2}+2 k\right)\right)$. +- c.m.m.d.c. $(a+b, a-b)=2$. Atunci $a=b+2$ şi deci $2 b+2=8 d^{2}$. Aceasta duce la soluţiile $(p, q)=\left(d\left(4 d^{2}+1\right), d\left(4 d^{2}-1\right)\right)$, cu $d \in \mathbb{N}^{*}$ arbitrar. + +Dacă vrem acum să identificăm soluţiile unde măcar unul dintre $p, q$ este număr prim, primul paragraf nu oferă soluţii, iar al doilea merge doar pentru $d=1$, când se obţine $(p, q)=(5,3)$. + +Subiectul (3). In cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ fie $R, S, T$ mijloacele muchiilor $[A B],\left[B^{\prime} C^{\prime}\right]$, sşi respectiv $\left[D D^{\prime}\right]$. Dacă $M, P, Q$ sunt mijloacele segmentelor $\left[C^{\prime} R\right],[A S]$, şi respectiv $[B T]$, atunci: + +a) Arătaţi că dreapta $M Q$ este paralelă cu planul $\left(D C C^{\prime}\right)$; + +b) Determinaţi aria triunghiului $M P Q$, dacă $A B=4 \mathrm{~cm}$. + +Soluţie. Problema este prezentată doar din cauza omiterii diacriticelor. + +Urmează singura problemă din această colecţie, pestriţă dar sărăcuţă, care implică ceva gândire. Este o problemă combinatorică; din păcate suferind din cauza eforturilor de a o prezenta în cadrul unei construcţii de geometrie în spaţiu. + +Subiectul (4). Fie VABCD şi SABCD două piramide patrulatere având aceeaşi bază ABCD şi cu vârfurile de o parte şi alta a planului (ABC). Pe cele 12 muchii şi 6 vârfuri ale corpului obţinut se înscriu numerele naturale de la 1 la 18, câte unul în mijlocul fiecărei muchii şi al fiecărui î fiecare vârf. Este posibil ca pe fiecare muchie a corpului nou obţinut, numărul inscris in mijlocul muchiei să fie media aritmetică a numerelor inscrise in extremităţile muchiei respective? + +DANA RADU + +Soluţie. Numerele 1 şi 18, find extremale, trebuie înscrise în vârfuri. Două vârfuri adiacente ar trebui să aibă înscrise numere de aceeaşi paritate, dacă răspunsul ar fi afirmativ. Dar există un lanţ de muchii care conectează cele două vârfuri de mai sus; contradicţie, deci răspunsul este NU. + +Faptul că cele două piramide au aceeaş bază rezultă din notaţii; chiar şi patrulatere este redundant (iar faptul că se chiar obţine un corp solid este irelevant, căci problema este combinatorică, de pură incidenţă). Corpul obţinut devine nou ceva mai târziu, iar a înscrie un număr în mijlocul unui vârf este o realizare demnă de Swester Katrei (care se întreba câţi îngeri încap pe vârful unui ac? $\sqrt{5}^{5}$ + +## 5. ÎNCHEIERE + +Ca şi într-un alt an (trecut), etapa locală a Municipiului Bucureşti a Olimpiadei Naţionale de Matematică s-a desfă̧̧urat într-o zi de duminică, 15 februarie 2015; regina ştiinţelor nu şi-a asigurat din timp ziua de sâmbătă - reclamată de Olimpiada de Fizică - şi a trebuit să se mulţumească cu un timp de mâna a doua (o şiră a spinării demnă de o nevertebrată meduză ...). + +În anii trecuţi, SSMR avea bunul obicei să posteze o hartă a României, cu link-uri pentru fiecare judeţ către problemele şi soluţiile lor oficiale ale Fazei Locale de acolo. Văd că s-a renunţat (cel puţin la momentul scrierii acestor comentarii) la această idee - păcat! + +Foile de concurs şi soluţiile oficiale sunt scrise într-un hibrid de $\mathrm{EAT}_{\mathrm{E}} \mathrm{X}$, mult mai bun decât mai vechile materiale în WORD, dar care încă, uneori, produce efecte estetice neplăcute. Vom ajunge, poate, odată, la o versiune ireproşabilă. Cel puţin problemele au autori, şi nu par create $a d-h o c$. + +Problemele de gimnaziu mă interesează mai mult (decât cele de liceu) în această fază a competiţiei, fiind mai puţin supuse unor stricte cerinţe "tehnice", deci permiţând mai multă libertate şi originalitate (care din păcate nu sunt chiar în proporția ideală; reţeta "gustării" este cam fadă). Cele mai multe din probleme au rămas destul de neatractive, iar "scăpările" din soluţiile oficiale sunt descurajante. Cu toate acestea, faţă de ceea ce s-a comis la liceu, nicio comparaţie![^3] + + +[^0]: ${ }^{1}$ The Commendatore Scene, Don Giovanni, Wolfgang (Wolfie) Amadeus Mozart, https://www.youtube.com/watch?v=dK1_vm0FMAU + + ${ }^{2}$ Lipsesc multe probleme, la care nu am găsit interesul de a fi prezentate. Nu pot oferi un link către enunţurile date şi soluţiile/baremele oficiale, căci nu au fost postate nicăirea. + +[^1]: 3îmi aduce aminte de o remarcă a lui J. L. Borges, legată de precizia inutilă şi preţioasă a unor exprimări. + +[^2]: ${ }^{4}$ Autorii subînţeleg că $a \neq 0$. Dacă nu, cu $A^{\prime}=\{0,1, \ldots, 19\}$, răspunsul ar fi fost $B=A \backslash\{0\}$ si $B=A \backslash\{95\}$. + +[^3]: ${ }^{5}$ Tusent selen siczen in dem himelrich uff einer nadel spicz; o mie pot fi cătăraţi pe vârful unui ac, crede Sora Katerina. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-681-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-681-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8f318a3922820edd74e33e11b0c6ec7e487182b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-681-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,161 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie funcția $f: \mathbb{Z}_{9} \rightarrow \mathbb{Z}_{9}, f(x)=x^{2}$. Să se determine submulțimile nevide $\mathrm{A}$ ale lui $\mathbb{Z}_{9}$ cu proprietatea $f(A)=A$. +2. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -2 & -1\end{array}\right)$ și $G=\left\{X_{a} \in M_{2}(R) / X_{a}=I_{2}+a A, a>-1\right\}$.Demonstrați că $G$ este grup abelian în raport cu înmulțirea matricelor , izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale. +3. Dacă $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ este o funcție care admite primitive, demonstraţi că pentru orice primitivă $F$ a sa există $c \in \mathbf{R}$ cu proprietatea: + +$$ +f(c) \cdot \sin F(c)=c^{2015} +$$ + +4. Calculați: +a) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e7bfaf9d991aa91350d1g-1.jpg?height=208&width=343&top_left_y=1669&top_left_x=431) +b) $\lim _{x \geq 0} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}+\sqrt[3]{t\left(t^{2}+1\right)^{2}}+\frac{t^{2}+1}{\sqrt[3]{t}}}$. + +## Notă + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect va fi notat cu puncte între 1 şi 10 (1 punct din oficiu). + +Timp de lucru: 3 ore + +## Soluţii clasa a XII-a: + +1. $f(\hat{0})=\hat{0}, f(\hat{1})=\hat{1}, f(\hat{2})=\hat{4}, f(\hat{3})=\hat{0}, f(\hat{4})=\hat{7}, f(\hat{5})=\hat{7}, f(\hat{6})=\hat{0}, f(\hat{7})=\hat{4}, f(\hat{8})=\hat{1}$. + +Rezultă că $f\left(\mathbb{Z}_{9}\right)=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$, deci $A=f(A) \subseteq\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$. + +Cum $f(\hat{0})=\hat{0}$ și $f(\hat{1})=\hat{1}$, rezultă că $\hat{0}$ şi î se pot afla într-o submulțime A cu proprietatea $f(A)=A$. + +Deoarece $f(\hat{4})=\hat{7}$ și $f(\hat{7})=\hat{4}$, rezultă că elementele $\hat{4}$ și $\hat{7}$ se află sau nu se află simultan într-o submulțime A cu proprietatea $f(A)=A$. + +În consecință $A=\{\hat{0}\}, A=\{\hat{1}\}, A=\{\hat{0}, \hat{1}\}, A=\{\hat{0}, \hat{4}, \hat{7}\}, A=\{\hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$ sau $A=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$. +2. $X_{a} \cdot X_{b}=I_{2}+a A+b A+a b A^{2},(\forall) a, b>-1$. Cum $A^{2}=A$ obținem: $X_{a} \cdot X_{b}=I_{2}+a A+b A+a b A^{2}=I_{2}+a A+b A+a b A=I_{2}+(a+b+a b)=X_{a+b+a b},(\forall) a, b>-1$. + +Cum $a+b+a b=(a+1)(b+1)-1>-1, \forall a, b>-1$, rezultă că G este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor. + +Înmulțirea matricelor este asociativă. + +$X_{a} \cdot X_{b}=X_{a+b+a b}=X_{b+a+b a}=X_{b} \cdot X_{a},(\forall) a, b>-1$, deci înmulțirea matricelor este comutativă pe G. + +Elementul neutru este $I_{2}=X_{0} \in G$. + +Inversul elementului $x_{a} \in G$ este elementul $x_{-\frac{a}{a+1}} \in G$. + +În concluzie G este grup abelian în raport cu înmulțirea matricelor. + +Considerăm funcția $f: G \rightarrow \mathbf{R}, f\left(X_{a}\right)=\ln (a+1)$. + +Se verifică ușor că $\mathrm{f}$ este bijectivă și + +$$ +f\left(X_{a} \cdot X_{b}\right)=f\left(X_{a+b+a b}\right)=\ln (a+b+a b+1)=\ln (a+1)+\ln (b+1)=f\left(X_{a}\right)+f\left(X_{b}\right), \forall X_{a}, X_{b} \in G +$$ + +deci $\mathrm{f}$ este izomorfism de la grupul $(G, \cdot)$ la grupul $(\mathrm{R},+)$. + +3. Considerăm funcția $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, g(x)=-\cos F(x)-\frac{x^{2016}}{2016}$, pentru care avem $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} g(x)=-\infty(1)$. Presupunem prin absurd că funcția $g$ este injectivă. Cum $g$ este continuă, rezultă că $g$ este monotonă, ceea ce contrazice (1). Așadar $g$ nu este injectivă și deci există $a, b \in \mathbf{R}, a0$ : + +$$ +\begin{aligned} +& \int \frac{d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}\left(1+\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}+\sqrt[3]{\left(\frac{t^{2}+1}{t^{2}}\right)^{2}}\right)}=\int \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}\left(\frac{t^{2}+1}{t^{2}}-1\right)}=\int \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)}= \\ +& =\int \frac{t\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}=\int\left(\sqrt[3]{t}-\frac{t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}\right) d t \\ +& \int_{x}^{1}\left(\left(\sqrt[3]{t}-\frac{t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}\right) d t=\int_{x}^{1} \sqrt[3]{t} d t-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \frac{\left.t^{2}+1\right)^{\prime}}{\sqrt[3]{t^{2}+1}} d t=\left.\left(\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{\left(t^{2}+1\right)^{2}}\right)\right|_{x} ^{1}=\right. \\ +& =\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{x^{4}}-\frac{3}{2} \sqrt[3]{4}+\frac{3}{2} \sqrt[3]{\left(x^{2}+1\right)^{2}} . \\ +& \lim _{x \geq 0}\left(\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{x^{4}}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{4}+\frac{3}{4} \sqrt[3]{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)=\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(2-\sqrt[3]{4}) . +\end{aligned} +$$ + +## Barem de corectare + +## Clasa a XII-a + +## Problema 1 + +Oficiu1p + +a) $f(\hat{0})=\hat{0}, f(\hat{1})=\hat{1}, f(\hat{2})=\hat{4}, f(\hat{3})=\hat{0}, f(\hat{4})=\hat{7}, f(\hat{5})=\hat{7}, f(\hat{6})=\hat{0}, f(\hat{7})=\hat{4}, f(\hat{8})=\hat{1} \quad 2 \mathrm{p}$ + +$$ +f\left(\mathbb{Z}_{9}\right)=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\} \quad 1 \mathrm{p} +$$ + +$A=f(A) \subseteq\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$ + +$f(\hat{0})=\hat{0}$, rezultă elementul $\hat{0}$ poate fi în submulțimea $\mathrm{A}$ + +$f(\hat{1})=\hat{1}$, rezultă elementul $\hat{1}$ poate fi în submulțimea $\mathrm{A}$ + +$f(\hat{4})=\hat{7}, f(\hat{7})=\hat{4}$, rezultă că elementele $\hat{4}$ și $\hat{7}$ se află sau nu se află simultan în submulțimea $\mathrm{A}$ + +$A=\{\hat{0}\}, A=\{\hat{1}\}, A=\{\hat{0}, \hat{1}\}, A=\{\hat{0}, \hat{4}, \hat{7}\}, A=\{\hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$ sau $A=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}, \hat{7}\}$ + +$2 \mathrm{p}$ + +TOTAL + +10p + +## Problema 2 + +Oficiu 1 p + +$X_{a} \cdot X_{b}=X_{a+b+a b}, \forall a, b>-1$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$a+b+a b>-1, \forall a, b>-1 \Rightarrow \mathrm{G}$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea + +$1 \mathrm{p}$ + +matricelor + +Inmulțirea matricelor este asociativă + +$X_{a} \cdot X_{b}=X_{a+b+a b}=X_{b+a+b a}=\mathrm{X}_{b} \cdot \mathrm{X}_{a}, \forall a, b>-1$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Elementul neutru este $I_{2}=X_{0} \in G$ $1 p$ + +Inversul elementului $X_{a} \in G$ este elementul $X_{-\frac{a}{a+1}} \in G$ $1 p$ + +Considerăm funcția $f: G \rightarrow R, f\left(X_{a}\right)=\ln (a+1)$ + +$1 p$ + +f este bijectivă + +$1 p$ + +$f\left(X_{a} \cdot X_{b}\right)=f\left(X_{a}\right)+f\left(X_{b}\right), \forall X_{a}, X_{b} \in G$ + +$1 p$ +$g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, g(x)=-\cos F(x)-\frac{x^{2016}}{2016}$ + +$g$ nu este injectivă + +a) $\int \frac{t\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}=\int\left(\sqrt[3]{t}-\frac{t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}\right) d t=\int \sqrt[3]{t} d t-\frac{1}{2} \int \frac{\left(t^{2}+1\right)^{\prime}}{\sqrt[3]{t^{2}+1}} d t=$ $=\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{\left(t^{2}+1\right)^{2}}+C$ (1) + +b) + +$\int \frac{d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}\left(1+\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}+\sqrt[3]{\left(\frac{t^{2}+1}{t^{2}}\right)^{2}}\right)}=\int \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}\left(\frac{t^{2}+1}{t^{2}}-1\right)}=\int \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{t \sqrt[3]{t^{2}+1}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)}=$ + +$=\int \frac{t\left(\sqrt[3]{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}-1\right) d t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}=\int\left(\sqrt[3]{t}-\frac{t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}\right) d t$ + +$\int_{x}^{1}\left(\sqrt[3]{t}-\frac{t}{\sqrt[3]{t^{2}+1}}\right) d t=\left.\left(\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{\left(t^{2}+1\right)^{2}}\right)\right|_{x} ^{1}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{x^{4}}-\frac{3}{2} \sqrt[3]{4}+\frac{3}{2} \sqrt[3]{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ + +$\lim _{x \backslash 0}\left(\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{x^{4}}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{4}+\frac{3}{4} \sqrt[3]{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)=\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \sqrt[3]{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(2-\sqrt[3]{4})$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-682-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-682-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff04480f1fc55fe34457fde81bbbfb6875be09ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-682-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,174 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a XI-a + +1. Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\ b & 0 & a\end{array}\right)$, unde $a, b, c \in \mathbb{R}$. + +a) Să se calculeze $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi oarecare cu $a \geq b$, să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}}$, unde $A_{n}, B_{n}$ reprezintă suma elementelor de pe diagonala principală, respectiv de pe diagonala secundară a matricei $A^{n}$. + +2. Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin: $a_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n}$. + +a) Arătați că $a_{n}<1, \forall n \geq 1$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot a_{n}\right)$. + +c) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot a_{n}\right)^{n}$. + +3. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbf{R})$, astfel încât $\operatorname{Tr}(A)=1$ și $\operatorname{det}\left(A^{2}+A+I_{2}\right) \leq 2 \sqrt{3} \cdot \operatorname{det} A$. Demonstrați că: $\operatorname{det}\left(A^{2}+\sqrt{3} \cdot I_{2}\right)=\sqrt{3}$. + +4.Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n>1}$ strict descrescător în care + +$$ +x_{1}>0 \text { şi } x_{n}^{4}+4 x_{n} \geq x_{n}^{2}+x_{n}^{3} \cdot x_{n+1}+4, \forall n \geq 1 \text {. } +$$ + +Arătaţi că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi aflaţi limita sa. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se va nota cu puncte între 1 şi 10 (1 punct din oficiu) + +Timp de lucru: 3 ore + +## Soluţii clasa a XI-a: + +1.Fie matricea $A=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\ b & 0 & a\end{array}\right)$, unde $a, b, c \in \mathbb{R}$. + +a) Să se calculeze $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi oarecare cu $a \geq b$, să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}}$, unde $A_{n}, B_{n}$ reprezintă suma elementelor de pe diagonala principală, respectiv de pe diagonala secundară a matricei $A^{n}$. + +Soluţie: + +1. a) Se demonstrează prin inducție matematică că $A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{n} & 0 & b_{n} \\ 0 & c^{n} & 0 \\ b_{n} & 0 & a_{n}\end{array}\right)$, unde $a_{n}=\frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}}{2}, b_{n}=\frac{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. +b) $A_{n}=2 a_{n}+c^{n}=(a+b)^{n}+(a-b)^{n}+c^{n}$ si + +$$ +B_{n}=2 b_{n}+c^{n}=(a+b)^{n}-(a-b)^{n}+c^{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Deoarece $a \geq b \Rightarrow a-b \geq 0$ și cum $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi concluzionăm: + +1. $a, b, c>0$, +2. $a+b>c$. + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}+c^{n}}{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}+c^{n}}=1 \text {, deoarece } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{c}{a+b}\right)^{n}=0 \text {. } +$$ + +2.Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin: $a_{n}=\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n}$. + +a) Arătați că $a_{n}<1, \forall n \geq 1$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot a_{n}\right)$. + +c) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot a_{n}\right)^{n}$. + +Soluţie: + +2. a) Deoarece $\frac{1}{n^{2}+1} \leq \frac{1}{n^{2}+1}, \frac{1}{n^{2}+2}<\frac{1}{n^{2}+1}, \ldots, \frac{1}{n^{2}+n}<\frac{1}{n^{2}+1}$, prin adunarea acestor inegalități se obține că: + +$$ +a_{n}<\frac{n}{n^{2}+1} \text {. Cum } \frac{n}{n^{2}+1}<1, \forall n \geq 1, \text { rezultă că } a_{n}<1, \forall n \geq 1 \text {. } +$$ + +b)Avem inegalităţile: + +$$ +\begin{gathered} +\frac{1}{n^{2}+n}<\frac{1}{n^{2}+1} \leq \frac{1}{n^{2}+1} \\ +\frac{1}{n^{2}+n}<\frac{1}{n^{2}+2}<\frac{1}{n^{2}+1} +\end{gathered} +$$ + +$$ +\frac{1}{n^{2}+n} \leq \frac{1}{n^{2}+n}<\frac{1}{n^{2}+1} +$$ + +După adunarea acestora obținem: + +$\frac{n}{n^{2}+n}\operatorname{det}\left(A^{2}+\sqrt{3} \cdot I_{2}\right)=\sqrt{3} +$$ + +4. Relaţia din enunţ este echivalentă cu: $x_{n}{ }^{3}\left(x_{n}-x_{n+1}\right) \geq x_{n}{ }^{2}-4 x_{n}+4, \forall n \geq 1$. Sau, $x_{n}{ }^{3}\left(x_{n}-x_{n+1}\right) \geq\left(x_{n}-2\right)^{2}, \forall n \geq 1$. De aici rezultă că $x_{n}^{3}\left(x_{n}-x_{n+1}\right) \geq 0, \forall n \geq 1$. Deoarece şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict descrescător, deci $x_{n}-x_{n+1}>0, \forall n \geq 1$, rezultă că $x_{n}^{3} \geq 0, \forall n \geq 1$. Fie $l=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$; trecem la limită în relaţia de recurenţă şi obţinem: $l^{4}-l^{2}+4 l-4 \geq l^{4} \Rightarrow(l-2)^{2} \leq 0 \Rightarrow l=2$. + +## Barem de corectare + +## Clasa a XI-a + +a) Inducție matematică +b) $A_{n}=2 a_{n}+c^{n}=(a+b)^{n}+(a-b)^{n}+c^{n}$ + +Deoarece $a \geq b \Rightarrow a-b \geq 0$ și cum $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi: + +1. $a, b, c>0$, +2. $a+b>c$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{c}{a+b}\right)^{n}=0$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}+c^{n}}{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}+c^{n}}=1$ + +$$ +a_{n}<\frac{n}{n^{2}+1} +$$ + +Finalizare: $a_{n}<1, \forall n \geq 1$. + +$1 p$ +b) $\frac{n}{n^{2}+n} Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a X-a + +1. Să se rezolve în $\mathbf{R}$ ecuațiile: +a) $\frac{1}{2^{2 x+1}-3 \cdot 2^{x+1}+6}-\frac{1}{2^{2 x}-2^{x+2}+3}=\frac{3}{2^{x}}$; +b) $\sqrt[3]{2 x+1}+\sqrt[3]{4 x+5}+\sqrt[3]{5 x-3}=\sqrt[3]{11 x+3}$. +2. Fie $a, b, c>1$, astfel încât $a b c=8$. Demonstrați că + +$$ +\log _{a b}(a+b)+\log _{b c}(b+c)+\log _{c a}(c+a) \geq 3 +$$ + +3. Fie $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ un poligon regulat, înscris în cercul $\mathcal{C}(O, R)$ și $M \in \mathcal{C}(O, R)$. Arătați: + +$$ +n R \leq M A_{1}+M A_{2}+\cdots+M A_{n} \leq 2 n R +$$ + +4. a) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție cu proprietatea: + +$$ +f(f(x))+2014 \cdot f(x)=x^{2015}, \forall x \in \mathbb{R} +$$ + +Demonstrați că $f$ este injectivă. + +b) Există funcții $f:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, injective, astfel încât + +$$ +f(x)+f\left(2^{x}\right)+f\left(\log _{2} x\right)=2015, \forall x \in(1, \infty) ? +$$ + +## Notă + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect va fi notat cu puncte intre 1 şi 10 (1 punct din oficiu). + +Timp de lucru: 3 ore + +Soluţii clasa a X-a: + +1. a) Notăm $2^{x}=\mathrm{t}>0$ şi ecuaţia devine: $\frac{t}{2 \cdot t^{2}-6 t+6}-\frac{t}{t^{2}-4 t+3}=3$ + +adică $\frac{1}{2\left(t+\frac{3}{t}\right)-6}-\frac{1}{\left(t+\frac{3}{t}\right)-4}=3$. + +$\mathrm{Cu}$ notaţia $t+\frac{3}{t}=\mathrm{u}$ se obţine $\frac{1}{2 u-6}-\frac{1}{u-4}=3$, echivalentă cu ecuaţia $6 \mathrm{u}^{2}-41 u+70=0$, cu soluţiile $\mathrm{u}_{1}=\frac{7}{2}$ şi $\mathrm{u}_{2}=\frac{10}{3}$. + +Făcând calculele obţinem $\mathrm{t}_{1}=2$ şi $\mathrm{t}_{2}=\frac{3}{2}$, de unde $x=1$ sau $x=\log _{2} 3-1$. + +b) Notatie: + +$2 x+1=a, \quad 4 x+5=b, \quad 5 x-3=c$; + +$a+b+c=(2 x+1)+(4 x+5)+(5 x-3)=11 x+3$ + +Prin ridicarea la cub se obține: + +$$ +\begin{array}{ll} +(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(a+c)(b+c) \\ +& \Rightarrow 3(a+b)(a+c)(b+c)=0 \Rightarrow \\ +a+b=0 \quad x=-1 \\ +a+c=0 \quad x=\frac{2}{7} \\ +b+c=0 \quad x=-\frac{2}{9} +\end{array} +$$ + +2. Cum $(a+b)^{2} \geq 4 a b$ și $a b>1$, obținem că $\log _{a b}(a+b)^{2} \geq \log _{a b}(4 a b)$ sau echivalent + +$2 \log _{a b}(a+b) \geq 2 \log _{a b} 2+1$, de unde obținem $\log _{a b}(a+b) \geq \frac{1}{\log _{2} a+\log _{2} b}+\frac{1}{2}$. + +Analog $\log _{b c}(b+c) \geq \frac{1}{\log _{2} b+\log _{2} c}+\frac{1}{2}$ și $\log _{c a}(c+a) \geq \frac{1}{\log _{2} c+\log _{2} a}+\frac{1}{2}$. + +Prin adunarea celor trei inegalități obținem: + +$$ +\begin{aligned} +& \log _{a b}(a+b)+\log _{b c}(b+c)+\log _{c a}(c+a) \geq \frac{1}{\log _{2} a+\log _{2} b}+\frac{1}{\log _{2} b+\log _{2} c}+\frac{1}{\log _{2} c+\log _{2} a}+\frac{3}{2} \geq \\ +& \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{\log _{2} a+\log _{2} b+\log _{2} b+\log _{2} c+\log _{2} c+\log _{2} a}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2 \log _{2} a b c}+\frac{3}{2}=3 +\end{aligned} +$$ + +Egalitatea are loc pentru $a=b=c=2$. + +3. Fie $x O y$ un sistem de axe de coordonate cu originea în punctul $O$ al cercului $\mathcal{C}(O, R)$, astfel încât $A_{1} \in O x$. Se notează cu $z, z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ afixele punctelor $M, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$. Deoarece $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{C}(O, R), z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ sunt rădăcinile ecuaţiei $z^{n}=R^{n} \Rightarrow z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}=0$ (*). + +$$ +\begin{gathered} +\sum_{k=1}^{n} M A_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \cdot\left|\frac{z-z_{k}}{z_{k}}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{z_{k} \cdot \overline{z_{k}}}-1\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1\right|=\sum_{k=1}^{n} R \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1\right| \geq \\ +\geq R\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1\right)\right|=R\left|\frac{z}{R^{2}} \sum_{k=1}^{n} \overline{z_{k}}-n\right|=R\left|\frac{z}{R^{2}} \cdot \overline{\left(\sum_{k=1}^{n} z_{k}\right)}-n\right|=R\left|\frac{z}{R^{2}} \cdot 0-n\right|=n R(1) . \\ +\sum_{k=1}^{n} M A_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}|z|+\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|=n R+n R=2 n R \text { (2). } +\end{gathered} +$$ + +Concluzia problemei se deduce din relaţiile (1), (2). + +4. a) Dacă + +$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \Rightarrow f\left(f\left(x_{1}\right)\right)=f\left(f\left(x_{2}\right)\right) \Rightarrow x_{1}^{2015}-2014 \cdot f\left(x_{1}\right)=x_{2}^{2015}-2014 \cdot f\left(x_{2}\right) \Rightarrow$ + +$\Rightarrow x_{1}^{2015}=x_{2}^{2015} \Rightarrow x_{1}=x_{2} \Rightarrow f$ injectivă. + +b) Din: $x=2 \Rightarrow f(2)+f(4)+f(1)=2015(*)$; + +$$ +x=4 \Rightarrow f(4)+f(16)+f(2)=2015(* *) +$$ + +Scăzând cele două relații se obține: $f(1)=f(16) \Rightarrow f$ neinjectivă. + +## Barem de corectare + +## Clasa a X-a + +Problema 1 + +a) $\frac{t}{2 \cdot t^{2}-6 t+6}-\frac{t}{t^{2}-4 t+3}=3$ + +$\frac{\text { Oficiu } \quad 1 \text { p }}{2 \mathrm{p}}$ + +$\begin{array}{lr}\frac{1}{2\left(t+\frac{3}{t}\right)-6}-\frac{1}{\left(t+\frac{3}{t}\right)-4}=3 & 1 \mathrm{p} \\ 6 \mathrm{u}^{2}-41 u+70=0 & 1 \mathrm{p}\end{array}$ + +Finalizare 1p + +b) + +$a+b+c=(2 x+1)+(4 x+5)+(5 x-3)=11 x+3$ + +Ridicarea la cub 2p + +Finalizare 1p + +TOTAL + +10p + +Problema 2 + +Oficiu 1 p + +$$ +\begin{array}{lc} +\hline(a+b)^{2} \geq 4 a b & 1 \mathrm{p} \\ +\log _{a b}(a+b)^{2} \geq \log _{a b}(4 a b) & 1 \mathrm{p} \\ +\log _{a b}(a+b) \geq \frac{1}{\log _{2} a+\log _{2} b}+\frac{1}{2} & 3 \mathrm{p} \\ +\log _{a b}(a+b)+\log _{b c}(b+c)+\log _{c a}(c+a) \geq & \\ +\geq \frac{1}{\log _{2} a+\log _{2} b}+\frac{1}{\log _{2} b+\log _{2} c}+\frac{1}{\log _{2} c+\log _{2} a}+\frac{3}{2} \geq & 2 \mathrm{p} \\ +\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{\log _{2} a+\log _{2} b+\log _{2} b+\log _{2} c+\log _{2} c+\log _{2} a}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2 \log _{2} a b c}+\frac{3}{2}=3 . & 2 \mathrm{p} +\end{array} +$$ + +$\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{\log _{2} a+\log _{2} b+\log _{2} b+\log _{2} c+\log _{2} c+\log _{2} a}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2 \log _{2} a b c}+\frac{3}{2}=3$. ..... 2p +$z, z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ afixele punctelor $M, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ $1 \mathrm{p}$ $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{C}(O, R), z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ sunt rădăcinile ecuaţiei 2p $z^{n}=R^{n} \Rightarrow z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}=0$ (*) $\sum_{k=1}^{n} M A_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left|z-z_{k}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \cdot\left|\frac{z-z_{k}}{z_{k}}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{z_{k} \cdot \overline{z_{k}}}-1\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right| \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1\right|=\sum_{k=1}^{n} R \cdot\left|\frac{z \cdot \overline{z_{k}}}{R^{2}}-1\right|$ 2p $\sum_{k=1}^{n} M A_{k} \geq n R$ 2p + +$$ +\sum_{k=1}^{n} M A_{k} \leq 2 n R +$$ + +$1 p$ + +$2 p$ + +$x=2 \Rightarrow f(2)+f(4)+f(1)=2015$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$x=4 \Rightarrow f(4)+f(16)+f(2)=2015$ $1 p$ + +$f(1)=f(16) \Rightarrow f$ neinjectivă $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-684-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-684-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9c2ad65a6bb5ebe0380c6f674825f1072af3efab --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-684-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,229 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a VIII-a + +1. a) Fie $a, b, c \in R$. Demonstrați că + +$$ +(a+b-c)^{2}+(a-b+c)^{2}+(-a+b+c)^{2}+(a+b+c)^{2}=4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) +$$ + +b) Să se demonstreze că numărul $A=22^{22}+44^{44}+66^{66}$ se poate scrie ca o sumă de patru numere naturale nenule pătrate perfecte. + +2. Determinați mulțimea $I=(-\infty ; a] \cap\left[a^{-1} ; \infty\right), a \in \mathbb{R}$. +3. Fie $M$ un punct exterior planului trapezului $A B C D(A D \| B C)$, iar $E, F$ proiecţiile lui pe dreptele $A D$, respectiv $B C$. + +a) Demonstraţi că $(M E F) \perp(A B C)$; + +b) Dacă distanţele de la $M$ la bazele trapezului sunt de $6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, iar măsura diedrului format de planele (MAD) și (MBC) este de $60^{\circ}$, calculaţi distanţa de la $M$ la planul $(A B D)$. + +4. Se consideră cubul ABCDMNPQ cu lungimea muchiei egală cu 5. Planul (ANQ) intersectează planele (MBC), (MCD), (MDB) după dreptele $d_{1}, d_{2}$, respectiv $d_{3}$. + +a) Arătați că dreptele $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ sunt concurente două câte două. + +b) Demonstrați că aria triunghiului format de cele trei drepte este mai mică decât 2 . + +## Notă + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Fiecare subiect va fi notat cu puncte intre 1 şi 10 (1 punct din oficiu). +- Timp de lucru: 3 ore + + +## Soluţii clasa a VIII-a: + +1. a) Prin calcul avem: + +$(a+b-c)^{2}+(a-b+c)^{2}+(-a+b+c)^{2}+(a+b+c)^{2}=$ + +$=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b-2 a c-2 b c\right)+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b+2 a c-2 b c\right)+$ + +$+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 a c+2 b c\right)+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c\right)=$ + +$=4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$. + +b) + +A $=22^{22}+44^{44}+66^{66}=4\left(2^{20} \cdot 11^{22}+2^{86} \cdot 11^{44}+2^{64} \cdot 33^{66}\right)=4\left[\left(2^{10} \cdot 11^{11}\right)^{2}+\left(2^{43} \cdot 11^{22}\right)^{2}+\left(2^{32} \cdot 33^{33}\right)^{2}\right]=$ + +$=(a+b-c)^{2}+(a-b+c)^{2}+(-a+b+c)^{2}+(a+b+c)^{2}$ + +unde $a=2^{10} \cdot 11^{11}, b=2^{43} \cdot 11^{22}, c=2^{32} \cdot 33^{33}$. + +2. Condiția de existență: $a \neq 0$; + +$$ +a=a^{-1} \Rightarrow a= \pm 1 +$$ + +Cazul I + +Dacă $a \in(-\infty ;-1) \Rightarrow I=(-\infty ;-1) \cap(-1 ; \infty) \Rightarrow I=\emptyset$; + +Cazul II + +Dacă $a \in(-1 ; 0) \Longrightarrow I=(-\infty ; a] \cap\left[a^{-1} ; \infty\right)=\left[a^{-1} ; a\right]$; + +Cazul III + +Dacă $a \in(0 ; 1) \Longrightarrow I=\emptyset$; + +Cazul IV + +Dacă $a \in(1 ; \infty) \Longrightarrow I=(-\infty ; a] \cap\left[a^{-1} ; \infty\right)=\left[a^{-1} ; a\right]$; + +Cazul V + +Dacă $a=-1 \Rightarrow I=\{-1\}$; + +Cazul VI + +Dacă $a=1 \Rightarrow I=\{1\}$ + +3. a) Fie $M O \perp(A B C D)$. Cum $M E \perp A D$ rezultă conform Teoremei celor 3 perpendiculare că $O E \perp A D$ (1). + +Din $M O \perp(A B C D)$ și $M F \perp B C$ rezultă conform T.3. $\perp$ că $O F \perp B C$ (2). + +Din (1) și (2) rezultă că $E, O, F$ coliniare. Deci $M O \subset(M E F)$, + +$$ +M O \perp(A B C) \Rightarrow(M E F) \perp(A B C) +$$ + +b)Notăm $M N=(M A D) \cap(M B C)$. Dacă prin două drepte paralele trec două plane care se intersectează după o dreaptă $M N$, atunci + +$M N \| A D$ și $M N \| B C$; + +$M E \perp A D, M N \| A D$ deci $E M \perp M N$. +$M F \perp B C, M N \| B C$, deci $M F \perp M N$, rezultă $\Varangle E M F$ este unghiul plan corespunzător diedrului format de (MAD) și (MBC). + +$\triangle M E F$ este triunghi isoscel cu un unghi de $60^{\circ}$, rezultă că $\triangle M E F$ este echilateral cu latura de $6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Deci $d(M, A B D)=M O=9 \mathrm{~cm}$. + +4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5f4db1eec3cd18ffcc99g-3.jpg?height=628&width=717&top_left_y=640&top_left_x=744) + +a) Fie $O_{1}$ centrul feței ABNM și $O_{2}$ centrul feței ADQM. + +$M Q / / B C \Rightarrow Q \in(M B C), Q \in(A N Q)$ deci $Q \in(M B C) \cap(A N Q)(1)$. + +$O_{1} \in M B, M B \subset(M B C) \Rightarrow O_{1} \in(M B C) ; O_{1} \in A N, A N \subset(A N Q) \Rightarrow O_{1} \in(A N Q)$, deci + +$O_{1} \in(M B C) \cap(A N Q)(2)$. + +Din (1) și (2) rezultă $(M B C) \cap(A N Q)=Q O_{1}=d_{1}$. + +$M N / / C D \Rightarrow N \in(M C D), N \in(A N Q)$ deci $N \in(M C D) \cap(A N Q)(3)$. + +$O_{2} \in M D, M D \subset(M C D) \Rightarrow O_{2} \in(M C D) ; O_{2} \in A Q, A Q \subset(A N Q) \Rightarrow O_{2} \in(A N Q)$, deci $O_{2} \in(M C D) \cap(A N Q)(4)$. + +Din (3) și (4) rezultă $(M C D) \cap(A N Q)=N O_{2}=d_{2}$. + +$O_{1} \in M B, M B \subset(M D B) \Rightarrow O_{1} \in(M D B) ; O_{1} \in A N, A N \subset(A N Q) \Rightarrow O_{1} \in(A N Q)$,deci + +$O_{1} \in(M D B) \cap(A N Q)(5)$. + +$O_{2} \in M D, M D \subset(M D B) \Rightarrow O_{2} \in(M D B) ; O_{2} \in A Q, A Q \subset(A N Q) \Rightarrow O_{2} \in(A N Q)$, deci + +$O_{2} \in(M D B) \cap(A N Q)(6)$. + +Din (5) și (6) rezultă $(M D B) \cap(A N Q)=O_{1} O_{2}=d_{3}$. + +În triunghiul ANQ, $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt mediane, iar $\left[\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right]$ este linie mijlocie, deci $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ sunt concurente două câte două. +b) Triunghiul ANQ este echilateral cu latura de $5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. Fie $Q O_{1} \cap N O_{2}=\{G\}$. Din $O_{1} O_{2} \| N Q$ rezultă: + +$A_{\triangle O_{1} O_{2} G}=\frac{1}{4} \cdot A_{\triangle Q N G}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot A_{\triangle A N Q}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(5 \sqrt{2})^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{25 \sqrt{3}}{24}<2$. + +## Barem de corectare + +## Clasa a VIII-a + +a) $(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b-2 a c-2 b c$ + +$(a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b+2 a c-2 b c$ + +$(-a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 a c+2 b c$ + +$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c$ + +Finalizare +b) $A=4\left[\left(2^{10} \cdot 11^{11}\right)^{2}+\left(2^{43} \cdot 11^{22}\right)^{2}+\left(2^{32} \cdot 33^{33}\right)^{2}\right]$ + +$$ +A=(a+b-c)^{2}+(a-b+c)^{2}+(-a+b+c)^{2}+(a+b+c)^{2} +$$ + +unde $a=2^{10} \cdot 11^{11}, b=2^{43} \cdot 11^{22}, c=2^{32} \cdot 33^{33}$ + +TOTAL + +Problema 2 + +Oficiu 1 p + +Condiția de existență + +$a=a^{-1} \Rightarrow a= \pm 1$ + +Cazul I + +Cazul II + +Cazul III + +Cazul IV + +Cazul V + +Cazul VI + +TOTAL + +Problema 3 +a) $O E \perp B C$ (T.3. $\perp)$ + +$O F \perp B C($ T.3. $\perp)$ + +$E, O, F$ coliniare + +$(M E F) \perp(A B C)$ +b) $M N \| A D$ și $M N \| B C$ + +$M E \perp A D, M N \| A D$ deci $E M \perp M N$ + +Oficiu 1 p + +$M F \perp B C, M N \| B C$ deci $M F \perp M N$ + +$\Varangle E M F$ este unghiul plan corespunzător diedrului format de + +(MAD) și $(M B C)$ + +$1 p$ + +$d(M, A B D)=M O=9 \mathrm{~cm}$ + +$1 p$ + +TOTAL + +a) $(M B C) \cap(A N Q)=Q O_{1}=d_{1}, O_{1}$ centrul feței $A B N M \quad 1 \mathrm{p}$ + +$$ +(M C D) \cap(A N Q)=N O_{2}=d_{2}, O_{2} \text { centrul feței } A D Q M \quad 1 \mathrm{p} +$$ + +$$ +(M D B) \cap(A N Q)=O_{1} O_{2}=d_{3} \quad 1 \mathrm{p} +$$ + +În triunghiul ANQ, $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt mediane, iar $\left[\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right]$ este linie mijlocie, deci $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ sunt concurente două câte două. + +b) $\quad A_{\triangle O_{1} O_{2} G}=\frac{1}{4} \cdot A_{\triangle Q N G}$, unde $Q O_{1} \cap N O_{2}=\{G\}$ + +$$ +A_{\triangle O_{1} O_{2} G}=\frac{25 \sqrt{3}}{24} \mathrm{~cm} \quad 2 \mathrm{p} +$$ + +$\frac{25 \sqrt{3}}{24}<2$ ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-685-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-685-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fda8138f02a535cf6a8a581806dbc9a8d8182932 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-685-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,220 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a VII-a + +1. Să se rezolve în $\mathbb{N}^{*}$ ecuatia: + +$$ +\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1^{2}-1}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2^{2}-1}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{101}+9) +$$ + +2. Se consideră $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2015} \in \mathbb{Z}$, astfel încât + +$x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{2015}=2$. Se notează cu: + +$S=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2015}$, iar cu + +$P=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdot\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{2015}+\frac{1}{x_{1}}\right)$. + +a) Să se arate că $S$ este un număr întreg divizibil cu 2 sau cu 4 . + +b) Calculați produsul $P$. + +3. Se consideră paralelogramul $A B C D$ și punctele $M$ și $N$ situate pe latura $(C D)$, respectiv $(A B)$. Demonstrați că: $\mathcal{A}_{A M B}+\mathcal{A}_{C N D}=\mathcal{A}_{A B C D}$. +4. Fie pătratul $A B C D$. Pe latura $A B$ se construiește în exterior triunghiul echilateral $A B E$. Perpendiculara din $A$ pe dreapta $D E$ intersectează perpendiculara din $B$ pe dreapta $C E$ în punctul $F$. Arătați că patrulaterul $B E F C$ este romb. + +## Notă + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Fiecare subiect va fi notat cu puncte intre 1 şi 10 (1 punct din oficiu). +- Timp de lucru: 3 ore + + +## Soluţii clasa a VII-a: + +1. Se folosește formula radicalilor dubli: + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}=\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{\frac{k-1}{2}}=\frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{2}}, k=1, n \\ +& \frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1})}{2} \\ +& S=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1^{2}-1}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2^{2}-1}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^{2}-1}}}= \\ +& =\frac{\sqrt{2}}{2}[(\sqrt{2}-\sqrt{0})+(\sqrt{3}-\sqrt{1})+\cdots+(\sqrt{n}-\sqrt{n-2}+)+(\sqrt{n+1}- \\ +& -\sqrt{n-1})]=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1) \\ +& \text { Dar } S=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{101}+9) \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1)= \\ +& \Leftrightarrow \sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\sqrt{101}+10 \Rightarrow n=100 +\end{aligned} +$$ + +2. Din $x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{2015}=2$ și $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2015} \in \mathbb{Z}$ se deduce faptul că un număr, fie acesta $x_{2015}= \pm 2$, iar celelalte numere sunt 1 sau (-1). În total sunt 2014 numere care iau valorile 1, respectiv (-1). + +## a) Cazul I, $x_{2015}=2$ + +Numerele 1, respectiv (-1) sunt în număr par. Se notează cu $m(m=2 k, k=\overline{0,1007})$ totalul numerelor de 1 din șir, iar cu $n(n=2 p, p=\overline{0,1007})$ totalul numerelor de $(-1)$ din șir, $m+n=2014$. Atunci: + +$S=m \cdot 1+n \cdot(-1)+2=2014-2 \cdot n+2=(2016-4 p) \vdots 4$. + +## Cazul II, $x_{2015}=-2$ + +Numerul 1, respective (-1) sunt în număr impar. Se notează cu: $m(m=2 k+1, k=\overline{0,1006})$ totalul numerelor de 1 din șir, iar cu $n(n=2 p+1, k=\overline{0,1006})$ totalul numerelor de (-1) din șir, $m+n=$ 2014 . + +$(k+p=1006)$. Atunci: + +$$ +\begin{aligned} +S & =m \cdot 1+n \cdot(-1)+2=2014-2 \cdot n-2= \\ +& =2012-2(2 p+1)=(2010-4 p) \vdots 2 +\end{aligned} +$$ + +b) Cazul I, $x_{2015}=2$ + +1. Dacă toate numerele sunt 1 , atunci: + +$$ +P=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdot\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{2014}+\frac{1}{x_{2015}}\right) \cdot\left(x_{2015}+\frac{1}{x_{1}}\right)= +$$ + +$$ +=\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{d e 2013 \text { ori }} \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot(2+1)=9 \cdot 2^{2012} +$$ + +2. Dacă toate numerele sunt $(-1)$, atunci: + +$$ +\begin{aligned} +& P=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdot\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{2014}+\frac{1}{x_{2015}}\right) \cdot\left(x_{2015}+\frac{1}{x_{1}}\right)= \\ +& =\underbrace{(-2) \cdot(-2) \cdot \ldots \cdot(-2)}_{d e ~ 2013 \text { ori }}\left(-1+\frac{1}{2}\right) \cdot(2-1)=-2^{2013}\left(-\frac{1}{2}\right)=2^{2012} +\end{aligned} +$$ + +3. Dacă în șir sunt și numere de 1 , și numere de (-1), atunci paranteza formată dintr-un 1 și un (-1) este 0 , deci produsul va fi 0 . + +## Cazul II, $x_{2015}=-2$ + +Numele 1, respective (-1) sunt în număr impar, deci cel puțin o paranteză este zero, adică este de forma: (1-1) sau $(-1+1)$. În acest $\operatorname{caz} P=0$. + +3. Deoarece $A B=D C$, iar $d(D, A B)=d(M, A B)=d(N, C D)$, + +$$ +\begin{aligned} +\mathcal{A}_{A M B}+\mathcal{A}_{C N D} & =\frac{A B \cdot d(M, A B)}{2}+\frac{C D \cdot d(N, C D)}{2}=2 \cdot \frac{A B \cdot d(M, A B)}{2}= \\ +=A B \cdot d(M, A B) & =\mathcal{A}_{A B C D} +\end{aligned} +$$ + +$\mathrm{M}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbffd54cae853ce2774ag-3.jpg?height=280&width=914&top_left_y=1296&top_left_x=445) + +4. $m(\widehat{E B C})=m(\widehat{C B A})+m(\widehat{A B E}) \Rightarrow m(\widehat{E B C})=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$. + +Dar $\triangle E B C$ isoscel $((B E) \equiv(B C))$ și $B F$ este înălțime în $\triangle E B C \Rightarrow$ + +$\left(B F\right.$ bisectoarea $\nless E B C \Rightarrow m(\widehat{E B F})=75^{\circ} \Rightarrow m(\widehat{A B F})=75^{\circ}-60^{\circ}=$ $=15^{\circ}$. + +Analog $m(\widehat{F A B})=15^{\circ} \Rightarrow \triangle F A B$ isoscel $\Rightarrow(F A) \equiv(F B)$. Dar $\quad(E A) \equiv$ $(E B)$ + +$\Rightarrow E F$ mediatoarea segmentului $[\mathrm{AB}]$. + +$\Rightarrow E F \perp A B$. Dar $C B \perp A B \Rightarrow E F \| B C$ (1). + +Dar $\triangle E A B$ echilateral $\Rightarrow\left(E F\right.$ este bisectoarea $\nless A E B \Rightarrow m(\overline{F E B})=30^{\circ}$, dar $m(\widehat{B E C})=15^{\circ} \Rightarrow m(\widehat{F E C})=15^{\circ} \Rightarrow \triangle E F B$ isoscel deoarece (EC bisectoare și înălțime. $\Rightarrow(E F) \equiv(E B)$. Dar $(E B) \equiv(B C) \Rightarrow(E F) \equiv(B C)$ (2). Din relațiile (1) și (2) $\Rightarrow B E F C$ paralelogram. Dar $(B E) \equiv(B C) \Rightarrow$ $B E F C$ romb. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbffd54cae853ce2774ag-4.jpg?height=644&width=407&top_left_y=256&top_left_x=658) + +## Barem de corectare + +## Clasa a VII-a + +a) Aplicarea formulei radicalilor dubli + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1})}{2} \\ +& s=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1) +\end{aligned} +$$ + +Rezolvarea ecuatiei + +$2 p$ +TOTAL + +$10 p$ + +## Problema 2 + +$x_{2015}= \pm 2,2014$ numere iau valorile 1, respectiv (-1). + +a) Cazul I, $x_{2015}=2$ + +$$ +S=m \cdot 1+n \cdot(-1)+2=2014-2 \cdot n+2= +$$ + +$$ +=(2016-4 p) \vdots 4 +$$ + +Cazul II, $x_{2015}=-2$ + +2p + +$$ +S=m \cdot 1+n \cdot(-1)+2=2014-2 \cdot n-2= +$$ + +$$ +=2012-2(2 p+1)=(2010-4 p) \vdots 2 +$$ + +a) Cazul I, $x_{2015}=2$ + +1. Dacă toate numerele sunt 1 + +$$ +P=\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{d e 2013 \text { ori }} \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot(2+1)=9 \cdot 2^{2012} +$$ + +2. Dacă toate numerele sunt $(-1)$ + +$$ +\begin{gathered} +P=\underbrace{(-2) \cdot(-2) \cdot \ldots \cdot(-2)}_{d e 2013 \text { ori }}\left(-1+\frac{1}{2}\right) \cdot(2-1)= \\ +=-2^{2013}\left(-\frac{1}{2}\right)=2^{2012} +\end{gathered} +$$ + +3. Dacă în șir sunt și numere de 1 , și numere de $(-1)$, atunci paranteza formată dintr-un 1 și un (-1) este $0, \mathrm{P}=0$. + +Cazul II, $x_{2015}=-2$ + +Figura 2 p + +$d(D, A B)=d(M, A B)=d(N, C D), \quad 2 \mathrm{p}$ + +$\mathcal{A}_{A M B}+\mathcal{A}_{C N D}=\frac{A B \cdot d(M, A B)}{2}+\frac{C D \cdot d(N, C D)}{2} \quad 2 \mathrm{p}$ + +Finalizare 3p TOTAL 10p + +Problema 4 + +Oficiu $1 \mathbf{p}$ + +$m(\overline{A B F})=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$m(\overline{F A B})=15^{\circ} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$E F$ mediatoarea segmentului $[\mathrm{AB}] \quad 2 \mathrm{p}$ + +$E F \| B C \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\triangle E F B$ isoscel deoarece ( $E C$ bisectoare și înălțime $1 \mathrm{p}$ + +$(E F) \equiv(E B)$. Dar $(E B) \equiv(B C) \Rightarrow(E F) \equiv(B C) \quad 1 \mathrm{p}$ + +$B E F C$ paralelogram. $(B E) \equiv(B C) \quad 1 \mathrm{p}$ + +Finalizare: $B E F C$ romb. 1p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-686-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-686-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89d1032783c646cff9f491db5e3926b5daf0afa2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-686-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,197 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a VI-a + +1. Fie numerele naturale nenule a, b, c, x, y, z astfel încât $b c x+a c y-a b z=0$ și $(a, b)=1,(b, c)=1,(c, a)=1$. Arătați că $a^{2} b^{2} c^{2}$ divide $\left(x^{2}+a^{2}\right) \cdot\left(y^{2}+b^{2}\right) \cdot\left(z^{2}+c^{2}\right)$. +2. Numerele $x+y, y+z, z+x$ sunt direct proporționale cu numerele $4,6,8$. + +a) Aflaţi valoarea raportului $\frac{x y+x z+y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. + +b) Dacă $a, b, c \in\{1,2, \ldots, 9\}, a \neq b \neq c \neq a$, să se determine valorile maxime si minime ale raportului $\frac{a x y+b x z+c y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. + +3. Fie unghiul $\measuredangle X O Y$ și numerele naturale distincte $a, b$. Pe (OX considerăm în ordine punctele $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$ astfel încât $O A_{1}=A_{1} A_{2}=A_{2} A_{3}=\ldots=a$. Pe $(O Y$ considerăm în ordine punctele $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots$ astfel încât $O B_{1}=B_{1} B_{2}=B_{2} B_{3}=\ldots=b$. + +a) Arătați că există $A \in\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, \ldots\right\}$ și $B \in\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, \ldots\right\}$ astfel încât triunghiul OAB este isoscel. + +b) Arătați că există $A, C \in\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, \ldots\right\}$ și $B, D \in\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, \ldots\right\}$ astfel încât $\triangle O A D \equiv \triangle O B C$. + +4. Pe dreapta $d$, se consideră punctele $O, A, B, C, D, E, F$ în această ordine, astfel încât $A B=2 O A, B$ este mijlocul lui $[A C], C$ este mijlocul lui $[B D], D$ este mijlocul lui $[B E]$ şi $E$ este mijlocul lui $[B F]$. + +Să se arate că: + +a) segmentele ( $[A E],[C D]$ ), respectiv ( $[A D],[B C]$ ) au acelaşi mijloc; +b) $\frac{A C}{B E}+\frac{A B}{A D}+\frac{B C}{E F}+\frac{O A}{D E}>\frac{C F}{O E}$. + +## Notă + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Fiecare subiect va fi notat cu puncte intre 1 şi 10 (1 punct din oficiu). +- Timp de lucru: 2 ore + + +## Soluţii clasa a VI-a: + +1. Din $b c x=a \cdot(b z-c y)$ rezultă $a / b c x$ și cum $(a, b)=1,(a, c)=1$ obținem $a / x \Leftrightarrow x=a \cdot a_{1}, a_{1} \in \mathbb{N}^{*}$. + +Din $a c y=b \cdot(a z-c x)$ rezultă $b / a c y$ și cum $(a, b)=1,(b, c)=1$ obținem $b / y \Leftrightarrow y=b \cdot b_{1}, b_{1} \in \mathbb{N}^{*}$. + +Din $a b z=c \cdot(b x+a y)$ rezultă $c / a b z$ și cum $(a, c)=1,(b, c)=1$ obținem $c / z \Leftrightarrow z=c \cdot c_{1}, c_{1} \in \mathbb{N}^{*}$. + +Avem: $\left(x^{2}+a^{2}\right) \cdot\left(y^{2}+b^{2}\right) \cdot\left(z^{2}+c^{2}\right)=\left(a^{2} a_{1}^{2}+a^{2}\right) \cdot\left(b^{2} b_{1}^{2}+b^{2}\right) \cdot\left(c^{2} c_{1}^{2}+c^{2}\right)=$ $=a^{2} b^{2} c^{2} \cdot\left(a_{1}^{2}+1\right) \cdot\left(b_{1}^{2}+1\right) \cdot\left(c_{1}^{2}+1\right)$ + +care se divide prin $a^{2} b^{2} c^{2}$. + +2. a) Avem $\frac{x+y}{4}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{8}=k$, de unde rezultă că: + +$x+y=4 k, y+z=6 k$ și $z+x=8 k$, iar prin adunare membru cu membru a celor trei egalități obținem: + +$2 x+2 y+2 z=18 k$, deci $x+y+z=9 k$. + +Dacă $x+y+z=9 k$ și $x+y=4 k$, rezultă că $z=5 k$. + +Dacă $x+y+z=9 k$ și $y+z=6 k$, rezultă că $x=3 k$. + +Dacă $x+y+z=9 k$ și $z+x=8 k$, rezultă că $y=k$. + +Se obține: $\frac{x y+x z+y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{3 k^{2}+15 k^{2}+5 k^{2}}{9 k^{2}+k^{2}+25 k^{2}}=\frac{23}{35}$. + +b) Valoarea maximă a raportului $\frac{a x y+b x z+c y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ se obține când $b=9, c=8, a=7$ + +(deoarece $x z>y z>x y$ ) și este $\frac{7 \cdot 3 k^{2}+9 \cdot 15 k^{2}+8 \cdot 5 k^{2}}{35 k^{2}}=\frac{196}{35}=\frac{28}{5}$. + +Valoarea minimă a raportului $\frac{a x y+b x z+c y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ se obține când + +$b=1, c=2, a=3$ (deoarece $x z>y z>x y$ ) și este + +$$ +\frac{3 \cdot 3 k^{2}+1 \cdot 15 k^{2}+2 \cdot 5 k^{2}}{35 k^{2}}=\frac{34}{35} +$$ + +3. a) Căutăm $A \in\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, \ldots\right\}$ și $B \in\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, \ldots\right\}$, astfel încât $O A=O B \Leftrightarrow O A_{i}=O B_{k} \Leftrightarrow i \cdot a=k \cdot b$. Luăm $i=b$ și $k=a$. Rezultă $O A=O B=a \cdot b$. +b) $\mathrm{Cu}$ A și B fixate ca la a), e suficient să luăm de exemplu $C \in(O X$, astfel încât $O C=2 \cdot O A$ și $D \in(O Y$, astfel încât $O D=2 \cdot O B$. Rezultă $\triangle O A D \equiv \triangle O B C($ L.U.L $)$. +4. Se notează cu $O A=a$. + +- Din $A B=2 O A$ se obține $A B=2 a, O B=O A+A B=3 a$; +- $B$ este mijlocul lui $[A C] \Rightarrow O C=5 a$; +- $C$ este mijlocul lui $[B D] \Rightarrow O D=7 a$; +- $\quad D$ este mijlocul lui $[B E] \Rightarrow O E=11 a$; +- $E$ este mijlocul lui $[B F] \Rightarrow O F=19 a$. + +a) 1. Segmentele ( $[A E],[C D]$ ) au acelaşi mijloc dacă $A C=D E \Leftrightarrow$ $A C=O C-O A=4 a$; + +$D E=O E-O D=4 a$ + +Deci ( $[A E],[C D])$ au acelaşi mijloc. + +2. Segmentele ( $[A D],[B C]$ ) au acelaşi mijloc dacă $A B=C D \Leftrightarrow$ $A B=O B-O A=2 a$ + +$C D=O D-O C$ + +Deci ( $[A D],[B C])$ au acelaşi mijloc. + +b) $\frac{A C}{B E}+\frac{A B}{A D}+\frac{B C}{E F}+\frac{O A}{D E}>\frac{C F}{O E} \Leftrightarrow \frac{O C-O A}{O E-O B}+\frac{O B-O A}{O D-O A}+\frac{O C-O B}{O F-O E}+\frac{O A}{O E-O D}>$ $\frac{O F-O C}{O E} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow \frac{5 a-a}{11 a-3 a}+\frac{3 a-a}{7 a-a}+\frac{5 a-3 a}{19 a-11 a}+\frac{a}{11 a-7 a}>\frac{19 a-5 a}{11 a} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow \frac{4 a}{8 a}+\frac{2 a}{6 a}+\frac{2 a}{8 a}+\frac{a}{4 a}>\frac{14 a}{11 a} \Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}>\frac{14}{11} \Leftrightarrow \frac{4}{3}>\frac{14}{11} \Leftrightarrow$ + +$44>42$ + +## Barem de corectare + +## Clasa a VI-a + +## Problema 1 + +Oficiu 1 p + +$b c x=a \cdot(b z-c y),(a, b)=1,(a, c)=1 \Rightarrow x=a \cdot a_{1}, a_{1} \in N^{*} \quad 2 \mathrm{p}$ + +$a c y=b \cdot(a z-c x),(a, b)=1,(b, c)=1 \Rightarrow y=b \cdot b_{1}, b_{1} \in N^{*} \quad 2 \mathrm{p}$ + +$a b z=c \cdot(b x+a y),(a, c)=1,(b, c)=1 \Rightarrow z=c \cdot c_{1}, c_{1} \in N^{*} \quad 2 \mathrm{p}$ + +$\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(y^{2}+b^{2}\right)\left(z^{2}+c^{2}\right)=a^{2} b^{2} c^{2} \cdot\left(a_{1}^{2}+1\right) \cdot\left(b_{1}^{2}+1\right) \cdot\left(c_{1}^{2}+1\right)$ + +2p + +Finalizare: $a^{2} b^{2} c^{2}$ divide $\left(x^{2}+a^{2}\right) \cdot\left(y^{2}+b^{2}\right) \cdot\left(z^{2}+c^{2}\right)$ + +$1 p$ + +TOTAL + +10p + +Problema 3 + +Oficiu 1 p + +a) Scrie condiția de proporționalitate directă: + +$\begin{array}{lr}\frac{x+y}{4}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{8}=k & 1 \mathrm{p} \\ x+y+z=9 k . & 1 \mathrm{p}\end{array}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Determinare $x=3 k, y=k, z=5 k$ + +2p + +Finalizare: $\frac{x y+x z+y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{3 k^{2}+15 k^{2}+5 k^{2}}{9 k^{2}+k^{2}+25 k^{2}}=\frac{23}{35}$. + +$1 p$ + +b) Valoarea maximă a raportului se realizează pentru + +$1 p$ + +$b=9, c=8, a=7$ (deoarece $x z>y z>x y$ ) + +Calculează valoarea maximă: $\frac{7 \cdot 3 k^{2}+9 \cdot 15 k^{2}+8 \cdot 5 k^{2}}{35 k^{2}}=\frac{196}{35}=\frac{28}{5}$. 1p + +Valoarea minimă a raportului se realizează pentru + +$b=1, c=2, a=3$ (deoarece $x z>y z>x y$ ) + +1p + +Calculează valoarea minimă: $\frac{3 \cdot 3 k^{2}+1 \cdot 15 k^{2}+2 \cdot 5 k^{2}}{35 k^{2}}=\frac{34}{35}$. + +1p +a) $O A=O B \Leftrightarrow O A_{i}=O B_{k} \Leftrightarrow i \cdot a=k \cdot b$. + +$3 p$ + +Luăm $i=b$ și $k=a$. Rezultă $O A=O B=a \cdot b$ + +$2 \mathrm{p}$ + +b) $C \in(O X, O C=2 \cdot O A$ + +$1 p$ + +$D \in(O Y, O D=2 \cdot O B$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Finalizare: $\triangle O A D \equiv \triangle O B C(L . U . L)$. + +2p + +TOTAL 10p + +Problema 4 + +$\frac{\text { Oficiu } 1 \mathbf{p}}{2 p}$ + +a) Determinare ( $[A E],[C D])$ au acelaşi mijloc 2p + +Determinare ( $[A D],[B C]$ ) au acelaşi mijloc + +$2 p$ +b) $\frac{O C-O A}{O E-O B}+\frac{O B-O A}{O D-O A}+\frac{O C-O B}{O F-O E}+\frac{O A}{O E-O D}>\frac{O F-O C}{O E}$ $1 p$ Finalizare + +2p + +TOTAL + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-687-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-687-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33136aa80b68983771eedf5e0a9fe17f8f163cea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-687-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,179 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +1. Numerele naturale $m$ şi $n$ au proprietatea că $\left(2^{m}+7^{n}\right)$ se divide cu 5 . Arătaţi că numărul $\left(2^{n}+7^{m}\right)$ se divide cu 5 . +2. Determinați mulțimea: + +$M=\{\overline{a b c} \mid a \cdot \overline{b c}$ și $b \cdot \overline{a c}$ sunt numere consecutive $\}$. + +3. Se consideră numărul: + +$$ +A=1+2015+2015 \cdot 2016+2015 \cdot 2016^{2}+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015} +$$ + +a) Arătați că numărul $a=1+2014+2014 \cdot 2015$ este pătrat perfect. + +b) Arătați că numărul $b=1+2014+2014 \cdot 2015+2014 \cdot 2015^{2}$ este cub perfect. + +c) Arătați că $A$ este pătrat perfect și cub perfect. + +4. Determinaţi numerele naturale $a$ şi $b$ care verifică relaţia: $a^{4}+5 a+1=5^{b}$. + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Fiecare problemă se va nota cu puncte intre 1 şi 10 (1 punct din oficiu) +- Timp de lucru: 2 ore + + +## Soluţii clasa a V-a: + +1. Notăm: $A=2^{m}+7^{n}, B=2^{n}+7^{m}$. + +Dacă un număr $p$ se divide cu 5 , atunci ultima sa cifră $u(p)$ va fi 0 sau 5 . + +Arătăm că dacă + +$u\left(2^{m}+7^{n}\right) \in\{0,5\}$, atunci și $u\left(2^{n}+7^{m}\right) \in\{0,5\}$. + +## Cazul I ( $m \in \mathbb{N}^{*}$ ) + +Dar $u\left(2^{k}\right)=\{2,4,6,8\}, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$, iar $u\left(7^{k}\right)=\{1,3,7,9\}, \forall k \in \mathbb{N}$. Ultima cifră $u(n)$ : + +| $k$ | $u\left(2^{k}\right)$ | $u\left(7^{k}\right)$ | +| :--- | :---: | :---: | +| $M 4$ | 6 | 1 | +| $M 4+1$ | 2 | 7 | +| $M 4+2$ | 4 | 9 | +| $M 4+3$ | 8 | 3 | + +Din condiția $u\left(2^{m}+7^{n}\right) \in\{0,5\}$, cu $m \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(2^{m}+7^{n}\right)$ impar, deci $u\left(2^{m}+7^{n}\right)=5$. + +Cazurile convenabile: + +1. (6+9) pentru $(m=M 4, n=M 4+2)$; +2. $(2+3)$ pentru $(m=M 4+1, n=M 4+3)$; +3. $(4+1)$ pentru $(m=M 4+2, n=M 4)$; +4. $(8+7)$ pentru $(m=M 4+3, n=M 4+1)$. + +În toate aceste cazuri ultima cifră a numărului $B$ este $u\left(2^{n}+7^{m}\right)=5$. + +## Cazul II $(m=0)$ + +Pentru $m=0$, exercițiul se mai scrie: + +Dacă $A=1+7^{n}$ se divide cu 5 , atunci $B=2^{n}+1$ se divide cu 5 . + +Din $\left(1+7^{n}\right) \vdots 5 \Rightarrow n=M 4+2$, iar $\left(2^{M 4+2}+1\right) \vdots 5$, adică concluzia în cazul $m=0$. + +2. I. Dacă $a \cdot \overline{b c}>b \cdot \overline{a c}$, atunci $a \cdot \overline{b c}-b \cdot \overline{a c}=1$, de unde obținem $c \cdot(a-b)=1$. Ultima egalitate este adevărată pentru + +$c=1, b \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ și $a=b+1$. + +II. Dacă $b \cdot \overline{a c}>a \cdot \overline{b c}$, atunci $b \cdot \overline{a c}-a \cdot \overline{b c}=1$, de unde obținem $c \cdot(b-a)=1$. Ultima egalitate este adevărată pentru $c=1, a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ și $b=a+1$. În concluzie: + +$M=\{121,231,341,451,561,671,781,891,211,321,431,541,651,761,871,981\}$. + +3.a) $a=1+2014+2014 \cdot 2015=2015+2014 \cdot 2015=2015 \cdot(1+2014)=2015^{2}$. +b) $b=1+2014+2015 \cdot 2015+2014 \cdot 2015^{2} \Rightarrow b=2015^{2}+2014 \cdot 2015^{2}=2015^{2} \cdot(1+2014)$. + +Adică $b=2015^{3}$. +c) $A=2016+2015 \cdot 2016+2015 \cdot 2016^{2}+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015}$ +$A=2016(1+2015)+2015 \cdot 2016^{2}+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015}$ + +$A=2016^{2}+2015 \cdot 2016^{2}+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015}$ + +$A=2016^{2}(1+2015)+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015}$ + +$A=2016^{3}+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015}$ + +$A=2016^{2015}+2015 \cdot 2016^{2015}=2016^{2015}(1+2015)=2016^{2016}$, + +$2016=3 \cdot 372,2016=2 \cdot 1008 ; A=\left(2016^{672}\right)^{3}, A=\left(2016^{1008}\right)^{2}$, deci $A$ este pătrat perfect și cub perfect. + +4. Relaţia este echivalentă cu: $a^{4}+5 a=5^{b}-1$. Notăm $u(n)=$ ultima cifră a numărului $n$. + +Atunci $u\left(n^{2}\right) \in\{0,1,4,5,6,9\}$.Rezultă $u\left(n^{4}\right) \in\{0,1,5,6\}$. + +Deci u $\left(a^{4}+5 a\right) \in\{0,1,5,6\}$. Dar u( $\left.5^{b}-1\right) \in\{0,4\}$. Egalitatea are loc numai dacă $b=0$. + +În acest caz relaţia devine $a^{4}+5 a=0$, a cărei singură soluţie naturală este $a=0$. Deci, singura soluţie este $a=b=0$. + +## Barem de corectare + +## Clasa a V-a + +## Problema 1 + +Oficiu 1 p + +Un număr $p$ se divide cu 5 , atunci ultima sa cifră $u(p) \in\{0,5\}$. 1p Cazul I $\left(m \in \mathbb{N}^{*}\right)$ + +$u\left(2^{k}\right)=\{2,4,8,6\}, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$, iar $u\left(7^{k}\right)=\{1,7,9,3\}, \forall k \in \mathbb{N}$ + +$1 p$ + +Din conditia $u\left(2^{m}+7^{n}\right) \in\{0,5\}$, cu $m \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(2^{m}+7^{n}\right)$ + +impar, deci $u\left(2^{m}+7^{n}\right)=5$ + +(6+9) pentru $(m=M 4, n=M 4+2) \Rightarrow u(B)=5$; + +$1 p$ + +(2+3) pentru $(m=M 4+1, n=M 4+3) \Rightarrow u(B)=5$; + +$1 \mathrm{p}$ + +(4+1) pentru $(m=M 4+2, n=M 4) \Rightarrow u(B)=5$; + +$1 \mathrm{p}$ + +(8+7) pentru $(m=M 4+3, n=M 4+1) \Rightarrow u(B)=5$. $1 p$ Cazul II $(m=0)$ + +$2 \mathrm{p}$ + +TOTAL + +Problema 2 + +I. Dacă $a \cdot \overline{b c}>b \cdot \overline{a c}$, atunci $a \cdot \overline{b c}-b \cdot \overline{a c}=1$ $c \cdot(a-b)=1$ + +$c=1, b \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ și $a=b+1$. + +II. Dacă $b \cdot \overline{a c}>a \cdot \overline{b c}$, atunci $b \cdot \overline{a c}-a \cdot \overline{b c}=1$ + +$c \cdot(b-a)=1$ + +$c=1, a \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ și $b=a+1$ + +$M=$ + +$=\{121,231,341,451,561,671,781,891,211,321,431,541,651,761,871,981\}$ +Oficiu 1p + +$1 \mathrm{p}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$3 \mathrm{p}$ +3.a) $a=2015+2014 \cdot 2015=2015 \cdot(1+2014)=2015^{2}$. + +$2 \mathrm{p}$ + +b) $b=2015^{2}+2014 \cdot 2015^{2}=2015^{2} \cdot(1+2014)=2015^{3}$ + +c) $A=2016(1+2015)+2015 \cdot 2016^{2}+2015 \cdot 2016^{3}+\ldots+2015 \cdot 2016^{2015}$ + +$1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-688-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-688-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..edcabdd7a1def772a9fd2d9f05ac3ba90ba7baf9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-688-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,159 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală
15 februarie 2015 + +## Clasa a IX-a + +1.Pentru $x, y \in \mathbf{R}$ cu proprietatea că $2 x+y=10$ se consideră expresia: + +$$ +E(x, y)=\frac{[x+y]+[x+2 y]+\cdots+[x+404 y]}{404} +$$ + +unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. Arătați că: + +$$ +[404(x+y)-E(x, y)]=2015 +$$ + +2.Să se determine $n \in \mathbb{N}$ astfel încât $\sqrt{n^{2}-89 n+2011} \in \mathbb{N}$. + +3. Să se determine o progresie aritmetică în care suma primilor $n$ termeni este egală cu $3 n^{2}+4 n, \forall n \in \mathbb{N}$.Unii termeni ai progresiei sunt pătrate perfecte. Să se determine o expresie generală a acestor termeni și să se calculeze primii 6 termeni. + +4.Fie patrulaterul $A B C D, H_{1}$ ortocentrul triunghiului $A B C$ și $H_{2}$ ortocentrul triunghiului $D B C$. Demonstrați că $A B C D$ este inscriptibil dacă și numai dacă $H_{1} H_{2} \| A D$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se va nota cu puncte intre 1 şi 10 (1 punct din oficiu) + +Timp de lucru: 3 ore + +## Soluţii clasa a IX-a: + +1. Din definiția părții întregi avem: + +$x+y-1<[x+y] \leq x+y, \ldots, x+404 y-1<[x+404 y] \leq x+404 y$. + +Adunăm membru cu membru inegalitățile de mai sus și obținem: + +$$ +404 x+202 \cdot 405 y-404<404 \cdot E(x, y) \leq 404 x+202 \cdot 405 y +$$ + +Atunci: $-x-\frac{405 y}{2} \leq-E(x, y)<-x-\frac{405 y}{2}+1$. Rezultă: + +$$ +403 x+\frac{403 y}{2} \leq 404(x+y)-E(x, y)<403 x+\frac{403 y}{2}+1 +$$ + +și ținând cont că $2 x+y=10$, obținem: + +$$ +2015 \leq 404(x+y)-E(x, y)<2016 +$$ + +Din inegalitățile de mai sus, rezultă: $[404(x+y)-E(x, y)]=2015$. + +2. Dacă $\sqrt{n^{2}-89 n+2011} \in \mathbb{N} \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}$ astfel încât + +$$ +\sqrt{n^{2}-89 n+2011}=k \Rightarrow +$$ + +$\Rightarrow n^{2}-89 n+2011=k^{2} \Rightarrow 4 n^{2}-4 \cdot 89 n+8044=4 k^{2} \Rightarrow$ + +$(2 n-89)^{2}+123=4 k^{2} \Rightarrow(2 k-2 n+89)(2 k+2 n-89)=123$. + +Distingem următoarele cazuri : + +Cazul I $:\left\{\begin{array}{c}2 k-2 n+89=1 \\ 2 k+2 n-89=123\end{array}\right.$ + +$\Rightarrow k=31$ și $n=75$; + +Cazul II: $\left\{\begin{array}{c}2 k-2 n+89=123 \\ 2 k+2 n-89=1\end{array}\right.$ + +$\Rightarrow k=31$ și $n=14$ + +Cazul III: $\left\{\begin{array}{c}2 k-2 n+89=3 \\ 2 k+2 n-89=41\end{array}\right.$ + +$\Rightarrow k=11$ și $n=54$; + +Cazul IV: $\left\{\begin{array}{c}2 k-2 n+89=41 \\ 2 k+2 n-89=3\end{array}\right.$ + +$\Rightarrow k=11$ și $n=35$ + +Deci valorile lui $n$ căutate sunt $14,35,54,75$. + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 3. } S_{n}=\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) r\right]=3 n^{2}+4 n \\ +& (r-6) n+2 a_{1}-r-8=0, \forall n \in \mathbb{N} +\end{aligned} +$$ + +De aici rezultă că $r=6$ și $a_{1}=7$. + +Termenul general al șirului este de forma $a_{n}=6 n+1$. Primii șase termeni ai s,irului sunt $7,13,19,25,31,37$. + +Observăm că toți termenii progresiei sunt numere impare. Condiția ca unii termeni ai progresiei să fie pătrate perfecte se scrie: $6 n+1=(2 k+1)^{2}$, de unde $3 n=2 k(k+1)$. + +Cum numerele $k$ și $(k+1)$ sunt prime între ele, relaţia (3) are loc dacă $k=3 p$, de unde $n=2 p(3 p+1)$, sau $k+1=3 p$, adică $n=2 p(3 p-1), p \geq 1$. + +Soluția problemei este deci $n=2 p(3 p \pm 1), p \in \mathbb{N}^{*}$. + +4.Fie $O_{1}, O_{2}$ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $A B C, D B C$. $A H_{1} \perp B C$ și $D H_{2} \perp B C \Rightarrow A H_{1} \| D H_{2}$. Ţinând cont de aceasta, $H_{1} H_{2} \| A D \Leftrightarrow A H_{1} H_{2} D$ paralelogram $\Leftrightarrow \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{H_{1} H_{2}}$. $\overrightarrow{H_{1} H_{2}}=\overrightarrow{r_{H_{2}}}-\overrightarrow{r_{H_{1}}}$ + +$\mathrm{H}_{2}$ ortocentrul triunghiului $B C D$ atunci: + +$\overrightarrow{O_{2} \mathrm{H}_{2}}=\overrightarrow{O_{2} B}+\overrightarrow{O_{2} C}+\overrightarrow{O_{2} D}$ (Relația lui Sylvester) + +$\overrightarrow{r_{H_{2}}}-\overrightarrow{r_{O_{2}}}=\overrightarrow{r_{B}}-\overrightarrow{r_{O_{2}}}+\overrightarrow{r_{C}}-\overrightarrow{r_{O_{2}}}+\overrightarrow{r_{D}}-\overrightarrow{r_{O_{2}}} \Rightarrow \overrightarrow{r_{H_{2}}}=\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{D}}-2 \overrightarrow{r_{O_{2}}}$ + +Analog: $\overrightarrow{r_{H_{1}}}=\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{A}}-2 \overrightarrow{r_{O_{1}}}$. + +Deci, $H_{1} H_{2} \| A D \Leftrightarrow \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{D}}-2 \overrightarrow{r_{O_{2}}}-\left(\overrightarrow{r_{B}}+\overrightarrow{r_{C}}+\overrightarrow{r_{A}}-2 \overrightarrow{r_{O_{1}}}\right)=$ $=\overrightarrow{A D}-2\left(\overrightarrow{r_{O_{2}}}-\overrightarrow{r_{O_{1}}}\right) \Rightarrow O_{2}=O_{1} \Rightarrow A B C D$ inscriptibil. + +## Barem de corectare + +## Clasa a IX-a + +Problema 1 +Oficiu 1 p +$x+y-1<[x+y] \leq x+y, \ldots, x+404 y-1<[x+404 y]$ ..... $2 \mathrm{p}$ + +$$ +\leq x+404 y +$$ + +$404 x+202 \cdot 405 y-404<404 \cdot E(x, y) \leq$ ..... 2p + +$$ +\leq 404 x+202 \cdot 405 y +$$ + +$1 p$ +$-x-\frac{405 y}{2} \leq-E(x, y)<-x-\frac{405 y}{2}+1$ +$403 x+\frac{403 y}{2} \leq 404(x+y)-E(x, y)<403 x+\frac{403 y}{2}+1$ ..... $1 p$ +$2015 \leq 404(x+y)-E(x, y)<2016$ ..... 2p +Finalizare ..... $1 \mathrm{p}$ +Problema 2 +Oficiu 1 p +$\exists k \in \mathbb{N}$ astfel încât $\sqrt{n^{2}-89 n+2011}=k$ ..... 2p +$4 n^{2}-4 \cdot 89 n+8044=4 k^{2}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$(2 k-2 n+89)(2 k+2 n-89)=123$ ..... $1 p$ +Cazul I ..... $1 \mathrm{p}$ +Cazul II ..... $1 \mathrm{p}$ +Cazul III ..... $1 \mathrm{p}$ +Cazul IV ..... $1 \mathrm{p}$ +Finalizare ..... $1 p$ +TOTAL ..... 10p +Problema 3 ..... Oficiu +$S_{n}=\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) r\right]=3 n^{2}+4 n$ ..... 2p +$(r-6) n+2 a_{1}-r-8=0$ ..... $1 p$ +$r=6$ și $a_{1}=7$ ..... $1 p$ +$a_{n}=6 n+1$ ..... $1 p$ +$1 p$ +$7,13,19,25,31,37$ +Condiția $6 n+1=(2 k+1)^{2}$ ..... $1 p$ +Finalizare ..... $2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-689-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-689-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..52d7bbd0795d3b59428d2fc0ce653c773b7666ee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-689-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,56 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT + +## Etapa locală - 15 februarie 2015
CLASA A XII-A + +Soluţii şi bareme de corectare + +## Problema 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ccc3ea2b4348148bd13fg-1.jpg?height=51&width=1636&top_left_y=651&top_left_x=276) + +$a \in Z(G) \Rightarrow a^{-1} \in Z(G)$ + +$1 p$ + +b) Fie $a \in G$ arbitrar. Vom arăta că $a x=x a$, pentru orice $x \in G$. + +Dacă $a \in Z(G)$ sau $x \in Z(G)$ afirmaţia este evidentă + +Dacă $a, x \in G \backslash Z(G)$, atunci $a^{2}=x^{2}=e$. Avem două cazuri: + +- dacă $a x \in Z(G)$, atunci $a x \cdot x^{-1}=x^{-1} \cdot a x$, deci $a=x^{-1} a x$, de unde $x a=a x \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. +- dacă $a x \notin Z(G)$, atunci $(a x)^{2}=e=a^{2} \cdot x^{2}$, de unde $x a=a x$ + + +## Problema 2. + +Notând integrala din enunţ cu $I$, cu schimbarea de variabilă $x=\sin ^{2} t$, rezultă $I=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d t}{\sin t+\cos t} \mathbf{3 p}$ Cum $\sin t=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{t}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{t}{2}}, \cos t=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{t}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{t}{2}}$ sु $\left(\operatorname{tg} \frac{t}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \frac{t}{2}\right)$ $1 p$ + +rezultă + +$$ +I=-\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\left(\operatorname{tg} \frac{t}{2}\right)^{\prime} d t}{\operatorname{tg}^{2} \frac{t}{2}-2 \operatorname{tg} \frac{t}{2}-1}=-\frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{d u}{u^{2}-2 u-1}=-\left.\frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \ln \left|\frac{u-1-\sqrt{2}}{u-1+\sqrt{2}}\right|\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi \sqrt{2}}{4} \cdot \ln (1+\sqrt{2}) +$$ + +## Problema 3. + +Deoarece legea $*$ este asociativă, rezultă că $(a * b) * a=a *(b * a)$, pentru orice $a, b \in M$ $3 p$ + +Notând cu $e$ elementul neutru, rezultă $(a * b) * a * e=e * a *(b * a)$ şi, folosind proprietatea de simplificare din ipoteză pentru $x=a$, rezultă $(a * b) * e=e *(b * a)$, de unde $a * b=b * a$, pentru orice $a, b \in M$ + +## Problema 4. + +$(\Leftarrow)$ Dacă $f(a) \geq 0$, atunci $f(t) \geq f(a) \geq 0$ pentru orice $t \in[a, b]$ + +Prin urmare, pentru orice $x_{1}, x_{2} \in[a, b], x_{1} Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE-CLASA a VIII-a + +Problema 1. Determinaţi numerele $x, y$, cu $x$ întreg şi $y$ raţional, pentru care se verifică egalitatea: + +$$ +5\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)=7(x+2 y) +$$ + +Gazeta Matematică + +Soluţie. Aducerea ecuaţiei la forma $(10 y+5 x-14)^{2}+75 x^{2}-196=0 \ldots \ldots \ldots . .3$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e63dfbfd7debf5995a3g-1.jpg?height=57&width=1531&top_left_y=996&top_left_x=286) + +Pentru $x=1$ obţinem $y \in\left\{2,-\frac{1}{5}\right\}$, pentru $x=0$ obţinem $y \in\left\{0, \frac{14}{5}\right\}$ şi pentru $x=-1$ obţinem $y \in\left\{3, \frac{4}{5}\right\}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e63dfbfd7debf5995a3g-1.jpg?height=63&width=1534&top_left_y=1145&top_left_x=285) + +Problema 2. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ paralelipiped dreptunghic şi $M, N, P$ proiecţile punctelor $A, C$ respectiv $B^{\prime}$ pe diagonala $B D^{\prime}$. + +a) Arătaţi că $B M+B N+B P=B D^{\prime}$. + +b) Demonstraţi că $3\left(A M^{2}+B^{\prime} P^{2}+C N^{2}\right) \geq 2 D^{\prime} B^{2}$ dacă şi numai dacă paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub. + +Soluţie. a) Aplicând teorema catetei în triunghiurile $A B D^{\prime}, D^{\prime} B^{\prime} B$ şi $D^{\prime} C B$, obţinem $B M=\frac{A B^{2}}{B D^{\prime}}, B P=\frac{B^{\prime} B^{2}}{B D^{\prime}}$ sुi $B N=\frac{B C^{2}}{B D^{\prime}}$. + +Concluzia $2 p$ + +b) Pentru implicaţia directă notăm $A B=x, B C=y, A A^{\prime}=z$. Aplicând teorema înălţimii, prin ridicare la pătrat, deducem relaţiile: $A M^{2}=\frac{A B^{2} \cdot D^{\prime} A^{2}}{D^{\prime} B^{2}}=\frac{x^{2} y^{2}+x^{2} z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, B^{\prime} P^{2}=$ $\frac{D^{\prime} B^{\prime \prime} \cdot B^{\prime} B^{2}}{D^{\prime} B^{2}}=\frac{z^{2} x^{2}+z^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, C N^{2}=\frac{D^{\prime} C^{2} \cdot C B^{2}}{D^{\prime} B^{2}}=\frac{y^{2} x^{2}+y^{2} z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{2 p}$ + +Inegalitatea devine $6 \frac{x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \geq 2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$, adică $\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+\left(y^{2}-z^{2}\right)^{2}+$ $\left(z^{2}-x^{2}\right)^{2} \leq 0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e63dfbfd7debf5995a3g-1.jpg?height=46&width=1534&top_left_y=1972&top_left_x=282) + +Pentru implicaţia inversă notând cu $l$ lungimea muchiei cubului, obţinem $A M=$ $B^{\prime} P=C N=\frac{l \sqrt{6}}{3}$ §ुi inegalitatea se verifică cu egalitate : $6 l^{2} \geq 6 l^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \mathbf{1 p}$ + +Problema 3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ astfel încât măsura unghiului diedru format de planele $\left(A^{\prime} B D\right)$ şi $\left(C^{\prime} B D\right)$ este $90^{\circ}$ iar măsura unghiului diedru format de planele $\left(A B^{\prime} C\right)$ şi $\left(D^{\prime} B^{\prime} C\right)$ este $60^{\circ}$. Determinaţi măsura unghiului diedru format de planele $\left(B C^{\prime} D\right)$ şi $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$. + +Soluţie. Vom considera lungimea lui $B C$ egală cu unitatea de masură, iar $A B=$ $a, A A^{\prime}=c$. Dacă $P$ este proiecţia lui $A$ pe $B D$ deducem $m\left(\left(A^{\prime} B \widehat{D),(A B C)}\right)=m\left(\widehat{A^{\prime} P A}\right)\right.$ şi dacă $P^{\prime}$ este proiecţia lui $C$ pe $B D$, obţinem $m\left(\left(C^{\prime} B \widehat{D),(A B C))}=m\left(\widehat{C^{\prime} P^{\prime} C}\right)\right.\right.$. Din +congruenţa triunghiurilor dreptunghice $A^{\prime} A P$ şi $C^{\prime} C P^{\prime}$, (C.C.), rezultă $m\left(\widehat{A^{\prime} P A}\right)=$ $\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-90^{\circ}\right)=45^{\circ}$ de unde $c=A A^{\prime}=A P=\frac{A B \cdot A D}{B D}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$ + +$2 p$ + +Analog ipoteza $m\left(\left(A B^{\prime} \widehat{C),\left(D^{\prime}\right.} B^{\prime} C\right)\right)=60^{\circ}$ conduce la relaţia $\frac{c \sqrt{3}}{\sqrt{c^{2}+1}}=a \ldots \ldots \ldots . \mathbf{2 p}$ Se obţine $a=1, c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ + +$2 p$ + +Rezultă că $A B C D$ este pătrat, şi, din motive de simetrie, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e63dfbfd7debf5995a3g-2.jpg?height=87&width=1542&top_left_y=653&top_left_x=281) + +Problema 4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: + +$$ +\left[x+\frac{1}{x}\right]=\left[x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right] +$$ + +unde $[a]$, reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4e63dfbfd7debf5995a3g-2.jpg?height=62&width=1537&top_left_y=1064&top_left_x=283) + +Notând $x+\frac{1}{x}=a \geq 2$, ecuaţia devine $[a]=\left[a^{2}-2\right]=\left[a^{2}\right]-2(*) \ldots \ldots \ldots$.........1p + +- Dacă $a \in[2, \sqrt{5}) \Leftrightarrow a^{2} \in[4,5) \Rightarrow[a]=2,\left[a^{2}\right]=4$ şi ecuaţia $(*)$ se verifică.......1p +- Dacă $a \in[\sqrt{5}, 3) \Leftrightarrow a^{2} \in[5,9) \Rightarrow[a]=2,\left[a^{2}\right] \geq 5$ şi ecuaţia $(*)$ nu se verifică. . 1p +- Dacă $a \in[k, k+1), k \geq 3$, natural $\Leftrightarrow a^{2} \in\left[k^{2},(k+1)^{2}\right) \Rightarrow[a]=k,\left[a^{2}\right] \geq k^{2}$, deci $\left[a^{2}\right]-2 \geq k^{2}-2>k=[a]$ şi ecuaţia $(*)$ nu se verifică................................... + +Aşadar $x+\frac{1}{x}<\sqrt{5} \Leftrightarrow x^{2}-\sqrt{5} x+1<0 \Leftrightarrow\left(x-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}<0$. + +In concluzie $\left|x-\frac{\sqrt{5}}{2}\right|<\frac{1}{2}, x \in\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ + +$2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-690-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-690-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..362c024b2ebb7904bb5796f41751a6fefe8d2e3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-690-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,58 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT
Etapa locală - 15 februarie 2015
CLASA A XI-A + +## Soluţii şi bareme de corectare + +## Problema 1. + +Fie $f(x)=\operatorname{det}\left(x I_{2}-A\right)=x^{2}-t x+d$, unde $t=\operatorname{Tr} A, d=\operatorname{det} A \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{2 p}$ + +Deoarece $A^{2}+I_{2}=\left(A-i I_{2}\right)\left(A+i I_{2}\right)$, rezultă $\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=f(i) f(-i)=(d-1)^{2}+t^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots$. $\mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d003da61477d40a6323ag-1.jpg?height=55&width=1641&top_left_y=732&top_left_x=276) + +Relaţia din enunţ conduce la $t^{2}+1=t d$, de unde $d=t+\frac{1}{t} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d003da61477d40a6323ag-1.jpg?height=88&width=1641&top_left_y=847&top_left_x=276) + +## Problema 2. + +Notăm $\operatorname{det}\left(A^{2}-A B+B^{2}\right)=p$ şi $\operatorname{det}\left(A^{2}+A B+B^{2}\right)=q$. + +Cum $A B=B A \Rightarrow A^{4}+A^{2} B^{2}+B^{4}=\left(A^{2}-A B+B^{2}\right)\left(A^{2}+A B+B^{2}\right)$, rezultă $p q=9$ + +Pentru $X=A^{2}+B^{2}$ şi $Y=A B$, din identitatea $\operatorname{det}(X+Y)+\operatorname{det}(X-Y)=2(\operatorname{det} X+\operatorname{det} Y)$, rezultă $p+q=10$ + +Se obţine $\{p, q\}=\{1,9\}$, de unde $\sqrt{p}+\sqrt{q}=4$ + +Problema 3. +a) Folosind eventual faptul că şirul $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}, c_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n$ este convergent, rezultă: + +$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n}=c_{2 n}+\ln 2 n-\left(c_{n}+\ln n\right)=c_{2 n}-c_{n}+\ln 2$, care converge la $\ln 2 \ldots \ldots . \mathbf{2 p}$ + +b) Notăm $b_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$. Deoarece + +$$ +\begin{aligned} +0 & \leq b_{n}-a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n+k}-\frac{1}{k+\sqrt{n^{2}+k}}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{n^{2}+k}-n}{(n+k)\left(k+\sqrt{n^{2}+k}\right)}= \\ +& =\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(n+k)\left(k+\sqrt{n^{2}+k}\right)\left(\sqrt{n^{2}+k}+n\right)} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}}=\frac{n(n+1)}{2 n^{3}} \rightarrow 0 +\end{aligned} +$$ + +rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0$ + +Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\ln 2$ şi $a_{n}=b_{n}-\left(b_{n}-a_{n}\right)$, deducem că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\ln 2$ $1 p$ + +## Problema 4. + +Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+x+1$, rezultă că $f(x) \in(1,2)$, pentru orice $x \in(1,2)$ + +Cum $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), \forall n \geq 1$, rezultă că $x_{n} \in(1,2)$, pentru orice $n \geq 1$, deci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit 1p Deoarece $f$ este strict descrescătoare pe $(1,2)$, subşirurile $\left(x_{2 n-1}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(x_{2 n}\right)_{n \geq 1}$ sunt strict monotone, de monotonii diferite, deci convergente + +$3 p$ + +Fie $a=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{2 n-1}\right)$ şi $b=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{2 n}\right)$; atunci, prin trecere la limită rezultă $f(a)=b$ şi $f(b)=a \cdot \mathbf{1 p}$ + +Ca urmare $a$ şi $b$ sunt soluţii ale ecuaţiei $(f \circ f)(x)=x$, care se scrie echivalent $\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}-4 x+6\right)=0$. + +Cum $a, b \in[1,2]$, rezultă $a=b=\sqrt{2}$, deci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2} \ldots \ldots \ldots \ldots$ 1p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-691-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-691-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0539bceb5064a822efa8eb603e3697598778231c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-691-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,70 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_42f7b13864b40b4709c6g-1.jpg?height=297&width=285&top_left_y=83&top_left_x=1665) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. Determinaţi numerele reale $x$ pentru care $x^{\sqrt{x}}<(\sqrt{x})^{x}$. + +Aurel Chiriţă, Slatina + +Inecuaţia se scrie $x^{\sqrt{x}}\frac{x}{2}$, de unde $x \in(0,4) \cap(0,1)=(0,1)$ + +Pentru $x \in(1, \infty)$ rezultă $\sqrt{x}<\frac{x}{2}$, de unde $x \in(4, \infty) \cap(1, \infty)=(4, \infty)$ + +În concluzie, $x \in(0,1) \cup(4, \infty)$ + +Problema 2. Demonstraţi că pentru orice număr natural $n \geq 2$ are loc inegalitatea: + +$$ +\lg 2 \cdot \lg 4 \cdot \ldots \cdot \lg (2 n)<\lg ^{n}(n+1) +$$ + +Inegalitatea se scrie echivalent $\sqrt[n]{\lg 2 \cdot \lg 4 \cdot \ldots \cdot \lg (2 n)}<\lg (n+1)$ + +Aplicând inegalitatea mediilor rezultă $\sqrt[n]{\lg 2 \cdot \lg 4 \cdot \ldots \cdot \lg (2 n)}<\frac{\lg 2+\lg 4+\ldots+\lg (2 n)}{n}=\frac{\lg \left(2^{n} \cdot n!\right)}{n}$ + +Este suficient să arătăm că $\frac{\lg \left(2^{n} \cdot n!\right)}{n}<\lg (n+1)$, care se scrie echivalent + +$$ +2^{n} \cdot n!<(n+1)^{n} \Leftrightarrow \sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}{2} +$$ + +Ultima inegalitate rezultă din inegalitatea mediilor aplicată numerelor $1,2, \ldots, n$ + +Problema 3. Se consideră numerele complexe, nenule şi distincte $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|$. Ştiind că numerele $w_{1}=z_{2}+z_{3}+\frac{z_{2} z_{3}}{z_{1}}, w_{2}=z_{3}+z_{1}+\frac{z_{3} z_{1}}{z_{2}}$ şi $w_{3}=z_{1}+z_{2}+\frac{z_{1} z_{2}}{z_{3}}$ sunt reale, arătaţi că $w_{1}=w_{2}=w_{3}=0$. + +Marius Perianu, Slatina + +Notăm $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=r>0, \quad s=z_{1}+z_{2}+z_{3}, m=z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}+z_{2} z_{3}, p=z_{1} z_{2} z_{3}$. + +Avem $w_{k}=\frac{m}{z_{k}}$ + +Cum $w_{k} \in \mathbb{R}$, rezultă $w_{k}=\bar{w}_{k}$ + +Deoarece $\overline{z_{k}}=\frac{r^{2}}{z_{k}}$ şi $\bar{m}=\frac{s r^{4}}{p}$, din $\frac{m}{z_{k}}=\frac{\bar{m}}{z_{k}}$ rezultă $p m=s r^{2} z_{k}^{2}, k=1,2,3$ + +Presupunând $s \neq 0$, rezultă $z_{1}^{2}=z_{2}^{2}=z_{3}^{2}=\frac{p m}{s r^{2}}$, deci cel puţin două dintre numerele $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt egale, contradicţie cu ipoteza + +Ca urmare, $s=0$, de unde $m=0$ şi deci $w_{1}=w_{2}=w_{3}=0$ + +Problema 4. Rezolvaţi ecuaţia: + +$$ +\left(3^{x}+2\right)^{\log _{5} 3}+2=\left(5^{x}-2\right)^{\log _{3} 5} +$$ + +Marius Perianu, Gazeta Matematică nr. 6-7-8/2014 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_42f7b13864b40b4709c6g-2.jpg?height=131&width=1697&top_left_y=1020&top_left_x=200) + +Notând $z=\log _{5}\left(3^{y}+2\right)$, rezultă $\log _{3}\left(5^{x}-2\right)=z$, de unde $x=\log _{5}\left(3^{z}+2\right)$ + +Considerând funcţia crescătoare $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(t)=\log _{5}\left(3^{t}+2\right)$, rezultă $y=f(x), z=f(y), x=f(z) \ldots \ldots$ (1p) Presupunând, de exemplu, $x \leq y$, atunci $x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \Leftrightarrow y \leq z \Rightarrow f(y) \leq f(z) \Leftrightarrow z \leq x$, deci $x \leq y \leq z \leq x$, de unde $x=y=z$ + +Ca urmare, $x=\log _{5}\left(3^{x}+2\right) \Leftrightarrow 3^{x}+2=5^{x}$, ecuaţie cu soluţia unică $x=1$. Aşadar, $x=y=z=1$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-692-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-692-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6a466151cb5ae174e2cd0c8407edca74665c014 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-692-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,90 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c3a0770247a541a8a4a0g-1.jpg?height=297&width=289&top_left_y=83&top_left_x=1660) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. a) Demonstraţi că, pentru orice numere reale $x, y, z, t$ are loc egalitatea: + +$$ +(x z+y t)^{2}+(x t-y z)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(z^{2}+t^{2}\right) +$$ + +b) Numerele raţionale pozitive $a, b, c, d$ verifică simultan egalităţile: + +$$ +a^{2}+b^{2}=9, \quad c^{2}+d^{2}=16, \quad a c+b d=12 +$$ + +Arătaţi că numărul $\frac{a \sqrt{3}+b}{c \sqrt{3}+d}$ este raţional. + +Ion Neat̆ă, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) Verificare directă + +b) Din relaţia de la a) rezultă $(a d-b c)^{2}=0$, de unde $a d=b c$ sau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ + +Atunci $\frac{a \sqrt{3}+b}{c \sqrt{3}+d}=\frac{b\left(\frac{a}{b} \cdot \sqrt{3}+1\right)}{d\left(\frac{c}{d} \cdot \sqrt{3}+1\right)}=\frac{b}{d}$, care este număr raţional + +Problema 2. Rezolvaţ̧i, în mulţimea numerelor întregi, ecuaţia: + +$$ +2 x^{2}+2 y^{2}-3 x-3 y+2=0 +$$ + +Constantin Apostol, Gazeta Matematică nr. 9/2014 + +## Soluţie şi barem de corectare + +Înmulţind cu 2, egalitatea din enunţ se scrie echivalent $(x-3)^{2}+(y-3)^{2}+3 x^{2}+3 y^{2}=14$ + +Atunci $3 x^{2} \leq 14$, de unde $|x| \leq 2$, adică $x \in\{-2,-1,0,1,2\}$ + +Verificând fiecare caz în parte, se obţine o singură soluţie, şi anume $x=y=1$ + +Problema 3. Determinaţi numerele reale $a$ şi $b$ care verifică egalitatea + +$$ +\sqrt{3} \cdot \sqrt{a-2014}+\sqrt{b+2014}-2-\frac{a+b}{2}=0 +$$ + +Iuliana Traşcă, Scorniceşti + +## Soluţie şi barem de corectare + +Folosind inegalitatea mediilor, avem: + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{3} \cdot \sqrt{a-2014}=\sqrt{3 \cdot(a-2014)} \leq \frac{3+a-2014}{2}=\frac{a-2011}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ +& \sqrt{b+2014}=\sqrt{1 \cdot(b+2014)} \leq \frac{1+b+2014}{2}=\frac{b+2015}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ +& \text { Atunci } \sqrt{3} \cdot \sqrt{a-2014}+\sqrt{b+2014} \leq \frac{a-2011+b+2015}{2}=2+\frac{a+b}{2} +\end{aligned} +$$ + +Relaţia din enunţ corespunde situaţiilor de egalitate din inegalităţile de mai sus, deci $a-2014=3$ şi $b+2014=1$, de unde $a=2017$ şi $b=-2013$ + +Problema 4. Se consideră rombul $A B C D$ în care $A B=6 \mathrm{~cm}$ şi $m(\Varangle B A D)=60^{\circ}$. De aceeaşi parte a planului $(A B C)$ se ridică perpendicularele $A M$ şi $C Q$ pe planul $(A B C)$ astfel încât $A M=9 \mathrm{~cm}$ şi $C Q=3 \mathrm{~cm}$. + +a) Demonstraţi că planele $(M B D)$ şi $(Q B D)$ sunt perpendiculare. + +b) Calculaţi distanţa dintre dreptele $B D$ şi $M Q$. + +c) Determinaţi cosinusul unghiului format de planele $(M B Q)$ şi $(A B C)$. + +Dorin Popa, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) $m(\Varangle M O A)=60^{\circ}, m(\Varangle Q O C)=30^{\circ}$ ..... (1p) +Măsura unghiului plan corespunzător diedrului este $m(\Varangle M O Q)=90^{\circ}$, deci $(M B D) \perp(Q B D)$ ..... (1p) +b) Fie $\{O\}=A C \cap B D$; construind $O P \perp M Q$ se arată că $d(B D, M Q)=O P$ ..... (1p) +$O P=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ ..... (1p) +c) Proiecţia triunghiului $M B Q$ pe planul $A B C$ este triunghiul $A B C$ ..... (1p) +Aria triunghiului $A B C$ este $9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$, iar aria triunghiului $B M Q$ este $36 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... (1p) +Notând $\alpha=(M B Q),(A B C)$, avem $S_{A B C}=S_{M B Q} \cdot \cos \alpha$, de unde $\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ..... (1p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-693-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-693-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aea32ad38d39dd0466260e0cb3098e43e62ff43f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-693-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,77 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. Se consideră pătratul $A B C D$ în care se notează cu $M$ mijlocul laturii $[A B]$. Fie $E$ punctul de +intersecţie al dreptelor $B D$ şi $C M$. Arătaţi că $D M \perp A E$. +Grațiela Popa, Slatina +Soluţie şi barem de corectare +$E$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ ..... (2p) +Notând $\{N\}=A E \cap B C$, rezultă că $N$ este mijlocul lui $[B C]$ ..... (2p) +$\triangle B A N \equiv \triangle A D M \Rightarrow \Varangle B A N \equiv \Varangle A D M$ ..... (2p) +Cum $m(\Varangle A D M)+m(\Varangle D A E)=90^{\circ}$, rezultă că $D M \perp A E$ ..... (1p) + +Problema 2. a) Arătaţi că oricare ar fi numerele reale $a, b, c$ are loc relaţia $|a+b|+|a+c| \geq|b-c|$. + +b) Demonstraţi că pentru orice număr real $x$ are loc inegalitatea: + +$$ +|x+1|+|x+2|+|x+3|+\ldots+|x+2014| \geq 1007^{2} +$$ + +Liliana Puţ, Gazeta Matematică nr. 11/2014 + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) Se ştie că $|x+y| \leq|x|+|y|$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$ + +Atunci $|x-y|=|x+(-y)| \leq|x|+|-y|=|x|+|y|$, de unde, pentru $x=a+b, y=a+c$, se obţine relaţia $|a+b|+|a+c| \geq|b-c|$ din enunţ + +b) Pentru orice $k \in\{1,2, \ldots, 1007\}$, conform relaţiei de la a), rezultă $|x+k|+|x+k+1007| \geq 1007$ + +Adunând aceste relaţii pentru $k \in\{1,2, \ldots, 1007\}$ se obţine inegalitatea din enunţ + +Problema 3. Se consideră numărul natural $n=\overline{a b c d}$ şi $x=\sqrt{\overline{a b,(c d)}+\overline{b c,(d a)}+\overline{c d,(a b)}+\overline{d a,(b c)}}$, unde $a, b, c, d$ sunt cifre nenule. + +a) Ştiind că $x$ este raţional, determinaţi cea mai mare valoare posibilă pe care o poate lua $n$. + +b) Arătaţi că dacă $x$ este număr natural, atunci $n$ are cel puţin două cifre egale. + +Marius Perianu, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) $\overline{a b,(c d)}+\overline{b c,(d a)}+\overline{c d,(a b)}+\overline{d a,(b c)}=\frac{100(a+b+c+d)}{9}$ + +Atunci $x=\frac{10}{3} \cdot \sqrt{a+b+c+d}$, deci $x$ este raţional dacă şi numai dacă $a+b+c+d$ este pătrat perfect + +Dintre cifrele $a, b, c, d$, cel mult una poate fi egală cu 9 , deci $a+b+c+d \in\{4,9,16,25\}$, iar valoarea maximă a lui $n$ se obţine pentru $a+b+c+d=25$ şi este 9871 + +b) Dacă $x$ este natural, atunci $a+b+c+d=9$ + +Presupunând că $a, b, c, d$ sunt diferite, ar rezulta că $a+b+c+d \geq 1+2+3+4=10$, absurd + +Problema 4. Fie triunghiul $A B C$ şi punctele $D, E, F \in(B C)$ astfel încât $[A D$ este bisectoarea unghiului $B A C,[A E$ este bisectoarea unghiului $B A D$ şi $[A F$ este bisectoarea unghiului $C A D$. Arătaţi că: + +$$ +A E \cdot\left(\frac{1}{A B}+\frac{1}{A D}\right)=A F \cdot\left(\frac{1}{A C}+\frac{1}{A D}\right) +$$ + +Ion Neaţă, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +$\left(A E\right.$ este bisectoare in $\triangle A B D \Rightarrow \frac{E B}{E D}=\frac{A B}{A D} \Rightarrow \frac{E B+E D}{E D}=\frac{A B+A D}{A D} \Rightarrow E D=\frac{A D \cdot B D}{A B+A D}$ + +Analog, $\left(A F\right.$ este bisectoare în $\triangle A C D$, de unde $F D=\frac{A D \cdot C D}{A C+A D}$ + +Aplicând acum teorema bisectoarei în triunghiul $A E F$, rezultă $\frac{A E}{A F}=\frac{D E}{D F}=\frac{A C+A D}{A B+A D} \cdot \frac{D B}{D C}$ + +$\operatorname{Cum} \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A C}$, rezultă: + +$$ +\frac{A E}{A F}=\frac{A C+A D}{A B+A D} \cdot \frac{A B}{A C}=\frac{\frac{1}{A C}+\frac{1}{A D}}{\frac{1}{A B}+\frac{1}{A D}} \text {, de unde } A E \cdot\left(\frac{1}{A B}+\frac{1}{A D}\right)=A F \cdot\left(\frac{1}{A C}+\frac{1}{A D}\right) +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-694-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-694-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..598f5a19aa932cc133c3917ec3ddfab341864e52 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-694-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,85 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df427948dda4ccc5d8f5g-1.jpg?height=291&width=285&top_left_y=83&top_left_x=1665) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a VI-a + +Problema 1. Determinaţi cifrele $a, b, c, d$ ştiind că $\overline{\frac{a b c d}{8625}}=\overline{1,0 a 6}$. + +Costel Anghel, Gazeta Matematică nr. 9/2014 + +Soluţie şi barem de corectare + +Din enunţ rezultă $8 \cdot \overline{a b c d}=69 \cdot \overline{10 a 6}$ + +$8 \mid \overline{10 a 6} \Rightarrow a \in\{1,5,9\}$ + +Pentru $a=1$ rezultă $\overline{a b c d}=8763$, deci $a$ este simultan 1 şi 8 , absurd + +Pentru $a=5$ rezultă $\overline{a b c d}=9108$, deci $a$ este simultan 5 şi 9 , absurd + +Pentru $a=9$ rezultă $\overline{a b c d}=9453$, care convine, deci $a=9, b=4, c=5, d=3$ + +Problema 2. Împărţind numărul natural nenul $m$ pe rând la 7,8 şi 9 obţinem resturile 1,4 , respectiv 7 , iar împărţind numărul natural nenul $n$ pe rând la 8 şi 9 obţinem resturile 5 , respectiv 7 . + +Arătaţi că fracţia $\frac{m+20}{n+11}$ este reductibilă cu 72 . + +Ion Neaţă, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_df427948dda4ccc5d8f5g-1.jpg?height=437&width=1700&top_left_y=1617&top_left_x=201) + +Problema 3. Arătaţi că numărul $A=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2039}$ este divizibil cu 2015. + +Daniel Cojocaru, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +Cum $2015=5 \cdot 13 \cdot 31$, vom arăta că $A$ este divizibil cu fiecare din numerele $5,13,31$ + +Cum A are 2040 de termeni, ei se pot grupa câte 4, deoarece $4 \mid 2040$; rezultă + +$$ +A=\left(1+2+2^{2}+2^{3}\right)+2^{4}\left(1+2+2^{2}+2^{3}\right)+\ldots+2^{2036}\left(1+2+2^{2}+2^{3}\right) +$$ + +şi, cum $1+2+2^{2}+2^{3}=15=5 \cdot 3$, rezultă că $5 \mid A$ + +Grupând termenii câte 5 (este posibil, deoarece 5|2040), rezultă + +$$ +A=\left(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right)+2^{5}\left(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right)+\ldots+2^{2035}\left(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right) +$$ + +şi, cum $1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}=31$, rezultă că $31 \mid A$ + +Grupând termenii câte 12 (la fel, este posibil, deoarece 12|2040), rezultă + +$$ +A=\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{11}\right)+2^{12}\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{11}\right)+\ldots+2^{2028}\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{11}\right) +$$ + +şi, cum $1+2+2^{2}+\ldots+2^{11}=4095=13 \cdot 315$, rezultă că $31 \mid A$ + +Problema 4. Se consideră punctele coliniare $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \ldots, M_{2015}$ în această ordine, astfel încât $M_{1} M_{2}=2$ $\mathrm{cm}, M_{2} M_{3}=2 M_{1} M_{2}, M_{3} M_{4}=2 M_{2} M_{3}, \ldots, M_{2014} M_{2015}=2 M_{2013} M_{2014}$. + +a) Calculaţi lungimea segmentului $\left[M_{1} M_{200}\right]$. + +b) Comparaţi lungimile segmentelor $\left[M_{1} M_{200}\right]$ şi $\left[M_{200} M_{300}\right]$. + +c) Demonstraţi că pentru orice numere naturale $a, b, c, d$, си $1 \leq a5$, atunci $B$ este număr impar. + +Ion Voicu, Gazeta Matematică nr. 10/2014 + +## Soluţie şi barem de corectare + +Fie $k$ câtul împărţirii lui $A$ la 10 ; atunci $A=10 k+u(A)$ + +Notând cu $r$ restul împărţirii lui $A$ la 5 , rezultă $A=5 B+r, r \in\{1,2,3,4\}$ + +Dacă $u(A)<5$, atunci restul împărţirii lui $A$ la 5 este $u(A)$, deci $5 B+u(A)=10 k+u(A)$, de unde rezultă că $B=2 k$, adică $B$ este par + +Dacă $u(A)>5$, atunci restul împărţirii lui $A$ la 5 este $u(A)-5$, deci $5 B+u(A)-5=10 k+u(A)$, de unde rezultă că $B=2 k+1$, adică $B$ este impar + +Problema 4. Pe o farfurie pătrată, cu lungimea laturii de $25 \mathrm{~cm}$, se aşază biscuiţi de formă dreptunghiulară, cu lungimea de $4 \mathrm{~cm}$ şi lăţimea de $2 \mathrm{~cm}$, făă a depăşi marginile farfuriei. Biscuiţii vin în pachete de câte 15 bucăţi. + +a) Arăttaţi că oricum am aşeza biscuiţii din 5 pachete, aceştia nu pot acoperi complet farfuria. + +b) Arătaţi că dacă pe farfurie se pun biscuiții din 16 pachete, există cel puţin 4 biscuiţi care se suprapun (nu neapărat complet). + +Marius Perianu,Slatina + +## Soluție şi barem de corectare + +a) Aria farfuriei este de $25 \times 25=625 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... (1p) +Dacă nu se suprapun, biscuiţii dintr-un pachet acoperă $15 \times 2 \times 4=120 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... (1p) +Rezultă că biscuiți din 5 pachete acoperă cel mult $600 \mathrm{~cm}^{2}$, deci nu acoperă complet farfuria ..... (1p) +b) Biscuiţii din 16 pachete acoperă o suprafaţă de $1920 \mathrm{~cm}^{2}$ ..... (2p) +Aşezând biscuiţii pe cel mult 3 ,straturi", aceştia ar trebui să acopere de cel mult trei ori suprafaţa +farfuriei, adică $3 \times 625=1875 \mathrm{~cm}^{2}<1920 \mathrm{~cm}^{2}$, deci există cel puţin 4 biscuiţi care se suprapun ..... (2p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-696-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-696-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0159f69c212b0db983a1ac1302c75e4469d1c7b0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-696-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,90 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3338a1536135bd347882g-1.jpg?height=297&width=285&top_left_y=83&top_left_x=1665) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 15 FEBRUARIE 2015 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Se consideră o mulţime $G \subset \mathbb{R}$ care satisface simultan proprietăţile: +a) $1 \in G$; +b) $x \in G \Rightarrow \sqrt{x+2} \in G$; +c) $\sqrt{x+3} \in G \Rightarrow x+4 \in G$; + +Arătaţi că $\mathbb{N}^{*} \subset G$. + +Lucian Dragomir, Gazeta Matematică nr. 12/2014 + +## Soluţie şi barem de corectare + +$1 \in G \Leftrightarrow \sqrt{-2+3} \in G \Rightarrow-2+4 \in G$, adică $2 \in G$ + +Pentru orice $x \in G$ avem: $x \in G \Rightarrow \sqrt{x+2} \in G \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)+3} \in G \Rightarrow(x-1)+4 \in G \Leftrightarrow x+3 \in G$ + +Atunci $1 \in G \Rightarrow 4 \in G \Rightarrow 7 \in G$, de unde $\sqrt{7+2} \in G$, adică $3 \in G$ + +Folosind o variantă a principiului inducției matematice, rezultă $\mathbb{N}^{*} \subset G$ + +(3p) + +Problema 2. Determinaţi termenul general al şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin: + +$$ +x_{1}=1, x_{2}=2 \text { şi } x_{n+2}=\frac{x_{n+1}^{2}}{\left[\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n+1}}\right]}-\frac{1}{n}, n \geq 1 +$$ + +Marius Perianu, Slatina + +## Soluţie şi barem de corectare + +$x_{3}=3$ + +Vom demonstra prin inducţie matematică propoziţia $P(n): a_{n}=n$, pentru orice $n \geq 1$ + +$P(1), P(2)$ sunt adevărate + +$\left[\sqrt{k^{2}+k+1}\right]=k$ + +$x_{k+2}=k+2$, deci $P(k+2)$ este adevărată; ca urmare $a_{n}=n$, pentru orice $n \geq 1$ + +Problema 3. Fie $A B C D$ un patrulater înscris într-un cerc de centru $O$. Notăm cu $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ortocentrele triunghiurilor $A B C, B C D, C D A$, respectiv $D A B$ şi cu $M, N$ mijloacele diagonalelor $[A C]$, respectiv $[B D]$. + +a) Arătaţi că segmentele $\left[D H_{1}\right],\left[A H_{2}\right],\left[B H_{3}\right]$ şi $\left[C H_{4}\right]$ au acelaşi mijloc $P$. + +b) Arătaţi că punctele $O, P$ şi mijlocul segmentului $[M N]$ sunt coliniare. + +c) Arătaţi că dacă triunghiurile $M H_{1} \mathrm{H}_{3}$ §̧i $\mathrm{NH}_{2} \mathrm{H}_{4}$ au acelaşi centru de greutate, atunci patrulaterul $A B C D$ este dreptunghi. + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) $\overrightarrow{H_{1} H_{2}}=(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D})-(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D})=\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A D}$ + +$\mathrm{ADH}_{2} \mathrm{H}_{1}, \mathrm{ABH}_{2} \mathrm{H}_{3}$ şi $\mathrm{BCH}_{3} \mathrm{H}_{4}$ sunt paralelograme, ceea ce justifică afirmaţia din enunţ + +(1p) +b) Fie $Q$ mijlocul lui $[M N]$; avem $\overrightarrow{O Q}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D})==\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{O H_{1}}+\overrightarrow{O D}\right)=\frac{1}{2} \overrightarrow{O P}$, deci $O, Q$ şi $P$ sunt coliniare + +c) $\mathrm{MH}_{1} \mathrm{H}_{3}$ şi $\mathrm{NH}_{2} \mathrm{H}_{4}$ au acelaşi centru de greutate dacă $\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{OH}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{OH}_{3}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{OH}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{OH}_{4}}$ + +De aici se obţine $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}$, de unde $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$, adică $A B C D$ este paralelogram şi, fiind inscriptibil, parale logramul $A B C D$ este dreptunghi + +Problema 4. Arătaţi că pentru orice numere reale $a, b, c>0$ are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{a^{3}-a b \sqrt{a b}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}-b c \sqrt{b c}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}-c a \sqrt{c a}}{c^{2}+c a+a^{2}} \geq 0 +$$ + +Costel Anghel, Negreni, Olt + +Inegalitatea din enunţ se scrie echivalent + +$\frac{a^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} \geq \frac{a b \sqrt{a b}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b c \sqrt{b c}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c a \sqrt{c a}}{c^{2}+c a+a^{2}}$ + +Avem $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}}=0$ + +deci $\frac{a^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}}=\frac{b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}}$ + +Atunci $\frac{a^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}}\right)$ + +Inegalitatea (*) se obţine observând că $\frac{a^{3}+b^{3}}{2} \geq \sqrt{a^{3} b^{3}}=a b \sqrt{a b}$ şi analoagele + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-697-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-697-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb7149e7a0f8732387c0f5e629037e050591cc3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-697-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,129 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a XII-a + +## SUBIECTUL 1 . + +Pe $R^{*}$ considerăm legea: $\mathrm{x} * \mathrm{y}=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}, & \mathrm{x}>0 \\ \frac{x}{y}, & \mathrm{x}<0\end{array}\right.$. Pe $\mathrm{G}=(0, \infty)-\{1\}$ considerăm legea: $\mathrm{x} \circ \mathrm{y}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{x}^{\ln \mathrm{y}}, & x>1 \\ \frac{1}{\ln \mathrm{y}}, & 0<\mathrm{x}<1\end{array}\right.$. + +Demonstrați că $\left(\mathrm{R}^{*}, *\right)$ și $(\mathrm{G}$, o) sunt grupuri necomutative izomorfe între ele. + +Nelu Chichirim + +## SUBIECTUL 2. + +Fie (G, .) un grup cu elementul neutru e. Pentru $\mathrm{a} \in \mathrm{G}$ și $\mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n} \geq 2$ definim $\mathrm{f}_{\mathrm{a}}: \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}$ astfel încât $f_{a}(x \cdot a)=a^{n} \cdot x, \forall x \in G$, unde $a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text {den ori }}$. Arătaţi că $f_{a}$ este automorfism de grupuri dacă şi numai dacă $\mathrm{a}^{\mathrm{n}-1}=\mathrm{e}$. + +## SUBIECTUL 3. + +Calculați: +a) $\int \frac{\sin 7 x}{\sin x} d x, \mathrm{x} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ +b) $\int \frac{\cos 7 x}{\cos x} d x, \mathrm{x} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ + +## SUBIECTUL 4. + +Fie $f: R \rightarrow R$ o funcție care admite primitive şi are proprietatea că $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{F(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{F(x)}{x}=a, a \in R$, unde $F$ este o primitivă a lui f. Să se demonstreze că funcția $g: R \rightarrow R, g(x)=\left\{\begin{array}{c}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ \alpha, x=0\end{array}\right.$ admite primitive dacă şi numai dacă $\alpha=\mathrm{a}$. + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +Clasa a XII-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul 1. + +Se demonstrează că $\left(\mathrm{R}^{*}, *\right)$ este grup necomutativ. + +## i) Asociativitate: + +Caz I: $x>0$, se demonstrează că $(x \cdot y) * z=x \cdot(y * z)$. Dacă $y>0 \Rightarrow x \cdot y>0 \Rightarrow x \cdot(y \cdot z)=(x \cdot y) \cdot z$, adevărat. Dacă $\mathrm{y}<0 \Rightarrow \mathrm{x} \cdot \mathrm{y}<0 \Rightarrow \frac{\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}}{\mathrm{z}}=\mathrm{x} \cdot \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}}$, adevărat. + +Caz II: $x<0$ se demonstrează că $\frac{x}{y} * z=\frac{x}{y * z}$. Dacă y $>0, \frac{x}{y}<0 \Rightarrow \frac{x}{y z}=\frac{x}{y \cdot z}$, adevărat. Dacă $y<0$, $\frac{x}{y}>0 \Rightarrow \frac{x}{y} \cdot z=\frac{x}{\frac{y}{z}} \Leftrightarrow \frac{x \cdot z}{y}=\frac{x z}{y}$, adevărat. + +ii) Observăm că 1 este element neutru: $\mathrm{x} * 1=1 * \mathrm{x}=\mathrm{x}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}^{*}$ + +iii) Dacă $\mathrm{x}>0 \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}}$ este simetricul lui $\mathrm{x}$, iar pentru $\mathrm{x}<0$, simetricul lui $\mathrm{x}$ este $\mathrm{x}$. + +iv) Din $2 *(-2) \neq(-2) * 2 \Leftrightarrow 2 \cdot(-2) \neq \frac{-2}{2} \Rightarrow\left(\mathrm{R}^{*}, *\right)$ grup necomutativ. + +Se demonstrează că $(G, \circ)$ este grup necomutativ..... + +$.3 \mathbf{p}$ + +i) Asociativitate: Dacă $x>1 \Rightarrow x^{\ln y} \circ z=x^{\ln (y o z)}$. Caz I: $y \in(0,1) \Rightarrow \ln y<0 \Rightarrow x^{\ln y}<1$ + +$\left.\Rightarrow\left(x^{\ln y}\right) \frac{1}{\ln z}=x^{\ln \left(y^{\frac{1}{\ln z}}\right.}\right) \Leftrightarrow x^{\frac{\ln y}{\ln z}}=x^{\frac{\ln y}{\ln z}}$. Caz II: $y>1 \Rightarrow \ln y>0 \Rightarrow x^{\ln y}>1 \Rightarrow\left(x^{\ln y}\right)^{\ln z}=x^{\ln \left(y^{\ln z}\right)} \Leftrightarrow x^{\ln y \cdot \ln z}=x^{\ln y \cdot \ln z}$. Dacă $x \in(0,1)$ demonstram că $x^{\frac{1}{\ln y}} \circ z=x^{\frac{1}{\ln (y \circ z)}}$. Caz I: $y \in(0,1) \Rightarrow \ln y<0 \Rightarrow x^{\ln y}>1 \Rightarrow\left(x^{\frac{1}{\ln y}}\right)^{\ln z}=x^{\frac{1}{\ln \left(\frac{1}{\left.y^{\ln }\right)}\right.}}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5916bb62b42289bac115g-2.jpg?height=168&width=1459&top_left_y=1778&top_left_x=136) + +ii) $\mathrm{x} \circ \mathrm{e}=\mathrm{e} \circ \mathrm{x}=\mathrm{x}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{G} \Rightarrow \mathrm{e}$ este element neutru + +iii) Dacă $\mathrm{x}>1 \Rightarrow \mathrm{e}^{\frac{1}{\ln \mathrm{x}}}$ este simetricul lui $\mathrm{x}$, iar dacă $\mathrm{x} \in(0,1) \Rightarrow \mathrm{x}$ este simetricul lui $\mathrm{x}$. + +iv) $2 \circ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{2} \circ 2 \Leftrightarrow 2^{\ln \frac{1}{2}} \neq\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\ln 2}}$. + +Demonstrăm că f $: \mathrm{R}^{*} \rightarrow(0, \infty)-\{1\}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ izomorfism de grupuri. $.1 p$ + +$f$ evident bijectivă. Caz I: $x>0 \Rightarrow f(x y)=\left(e^{x}\right)^{\ln e^{y}} \Leftrightarrow e^{x y}=e^{x y}$. Caz II: $\left.x<0 \Rightarrow e^{x}<1 \Rightarrow f\left(\frac{x}{y}\right)=\left(e^{x}\right) \frac{1}{\ln \left(e^{y}\right.}\right) \Leftrightarrow e^{\frac{x}{y}}=e^{\frac{x}{y}}$ $\Rightarrow f(x * y)=f(x) \circ f(y) \Rightarrow f$ izomorfism de grupuri. + +## Subiectul 2. + +$$ +f_{a}(x \cdot a)=a^{n} \cdot x, \forall x \in G +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5916bb62b42289bac115g-3.jpg?height=415&width=1488&top_left_y=177&top_left_x=122) +$" \Rightarrow " f_{a}(x y)=f_{a}(x) f_{a}(y) \Rightarrow a^{n} x y a^{-1}=a^{n} x a^{-1} a^{n} y a^{-1} \Rightarrow e=a^{n-1}$ ..... 2p +$" \Leftarrow " a^{n-1}=e \Rightarrow a^{n}=a \Rightarrow f_{a}(x)=a x a^{-1}$ ..... $1 p$ +$f_{a}(x y)=a x y a^{-1}=a x a^{-1} a y a^{-1}=f_{a}(x) f_{a}(y)$, deci morfism. ..... $1 p$ +$f_{a}\left(x_{1}\right)=f_{a}\left(x_{2}\right) \Rightarrow a x_{1} a^{-1}=a x_{2} a^{-1} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$, deci injectivă ..... $1 p$ +Fie $y \in G \Rightarrow f_{a}\left(a^{-1} y a\right)=a\left(a^{-1} y a\right) a^{-1}=y$, deci surjectivă. ..... $1 p$ + +## Subiectul 3. + +$\mathrm{I}+\mathrm{J}=\int\left(\frac{\sin 7 x}{\sin x}+\frac{\cos 7 x}{\cos x}\right) d x=\int \frac{\sin 8 x}{\sin x \cos x} d x=2 \int \frac{\sin 8 x}{\sin 2 x} d x=2 \int \frac{2 \sin 4 x \cos 4 x}{\sin 2 x} d x=4 \int 2 \cos 2 x \cos 4 x d x=$ $=8 \int \frac{\cos 6 x+\cos 2 x}{2} d x=4 \frac{\sin 6 x}{6}+4 \frac{\sin 2 x}{2}=\frac{2}{3} \sin 6 x+2 \sin 2 x+C$ + +$\mathrm{I}-\mathrm{J}=\int\left(\frac{\sin 7 x}{\sin x}-\frac{\cos 7 x}{\cos x}\right) d x=\int \frac{\sin 6 x}{\sin x \cos x} d x=2 \int \frac{\sin 6 x}{\sin 2 x} d x=2 \int \frac{3 \sin 2 x-4 \sin ^{3} 2 x}{\sin 2 x} d x=2 \int 3-4 \sin ^{2} 2 x d x=$ $=6 x-8 \int \sin ^{2} 2 x d x=6 x-8 \int \frac{1-\cos 4 x}{2} d x=2 x+\sin 4 x+C$ + +. $3 \mathbf{p}$ + +Din (1) și (2) rezultă că $\mathrm{I}=\frac{1}{3} \sin 6 x+\sin 2 x+x+\frac{1}{2} \sin 4 x+C$ și $\mathrm{J}=\frac{1}{3} \sin 6 x+\sin 2 x-x-\frac{1}{2} \sin 4 x+C$ + +$1 p$ + +## Subiectul 4. + +Avem $\left(x^{2} F\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\prime}=2 x F\left(\frac{1}{x}\right)-f\left(\frac{1}{x}\right), \forall x \neq 0$ (1). $\qquad$ +$a=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{F(x)}{x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} x F\left(\frac{1}{x}\right)$ si $a=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{F(x)}{x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}} x F\left(\frac{1}{x}\right) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} x F\left(\frac{1}{x}\right)=a$ (2) $\qquad$ +Considerăm $h: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, h(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x F\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 2 a, x=0\end{array}\right.$ care, din (2), este continuă, deci admite o primitivă notată $H$. + +$1 p$ + +Din (1) avem $f\left(\frac{1}{x}\right)=\left(H(x)-x^{2} F\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\prime}, \forall x \neq 0$. + +$G: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, G(x)=\left\{\begin{array}{c}H(x)-x^{2} F\left(\frac{1}{x}\right)+k_{1}, x<0 \\ k_{2}, x=0 \\ H(x)-x^{2} F\left(\frac{1}{x}\right)+k_{3}, x>0\end{array} \quad\right.$ verifică $G^{\prime}(x)=g(x), \forall x \in \mathbf{R}^{*} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . .1 p$ + +Din continuitate $\Rightarrow k_{1}=k_{3}, H(0)+k_{1}=k_{2}$ + +Deci $G(x)=\left\{\begin{array}{c}H(x)-x^{2} F\left(\frac{1}{x}\right)+k_{1}, x \neq 0 \\ H(0)+k_{1}, x=0\end{array}\right.$ este continuă.............................................................. $1 \mathbf{p}$ + +$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{G(x)-G(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{H(x)-H(0)}{x-0}-x F\left(\frac{1}{x}\right)\right)=H^{\prime}(0)-a=h(0)-a=2 a-a=a \Rightarrow G^{\prime}(0)=a \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Deci $g$ admite primitive dacă și numai dacă $G^{\prime}(0)=g(0) \Leftrightarrow a=\alpha$ + +$1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-698-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-698-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..310e3c32542ade87e78e1f9ab0881936c5753fea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-698-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,143 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL 1. + +Fie A o matrice de ordin doi cu elemente reale și $A^{t}$ matricea transpusă. Știind că $\operatorname{det}\left(A+A^{t}\right)=8$ și $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}+2 \mathrm{~A}^{t}\right)=27$, să se calculeze $\operatorname{det}(\mathrm{A})$ + +GMB + +## SUBIECTUL 2 + +Fie $A \in M_{3}(C)$ inversabila, cu $\operatorname{det}(A)=1$. Demonstrati echivalenta: + +$$ +\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right) \Leftrightarrow \operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)=-1 +$$ + +Nelu Chichirim + +## SUBIECTUL 3. + +Fie șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1},\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $x_{1} \in(0,1)$ dat, $x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), \forall n \geq 1$ și $y_{n}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+$ $\cdots+x_{n}^{2}$ + +a) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$. + +b) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(x_{1}-y_{n}\right)$ + +Niculae Cavachi + +## SUBIECTUL 4 + +Se consideră şirul de numere reale $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}}$ definit astfel: $\mathrm{x}_{1}>\sqrt{3}$ și $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}{\sqrt{1+\mathrm{nx}_{\mathrm{n}}^{2}}}, \forall \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$. + +a) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ + +b) Să se arate că șirul $\left(n x_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este convergent și să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}$. + +Cătălin Zîrnă + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3a77b2a414c3e0f98869g-2.jpg?height=197&width=1619&top_left_y=672&top_left_x=230) + +## Subiectul 2. + +A inversabila $\Rightarrow A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=I_{3} \Rightarrow \operatorname{det} A \cdot \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1$ + +$\operatorname{det} A=1 \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1$ + +$\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right) \Leftrightarrow \operatorname{det}\left(A+A \cdot A^{-1}\right)=\operatorname{det}\left(A-A \cdot A^{-1}\right) \Leftrightarrow \operatorname{det} A \cdot \operatorname{det}\left(I_{3}+A^{-1}\right)=$ + +$=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det}\left(I_{3}-A^{-1}\right) \Leftrightarrow \operatorname{det}\left(I_{3}+A^{-1}\right)=\operatorname{det}\left(I_{3}-A^{-1}\right) \Leftrightarrow \operatorname{det}\left(I_{3}+A^{-1}\right)+\operatorname{det}\left(-I_{3}+A^{-1}\right)=0$ $\qquad$ +Consideram $P(X)=\operatorname{det}\left(X \cdot I_{3}+A^{-1}\right)=X^{3}+c_{2} X^{2}+c_{1} X+c_{0}$, unde + +$c_{2}=\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right), \quad c_{0}=P(0)=\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1$ + +$P(1)+P(-1)=\operatorname{det}\left(I_{3}+A^{-1}\right)+\operatorname{det}\left(-I_{3}+A^{-1}\right)=0 \Leftrightarrow 2\left(c_{2}+c_{0}\right)=0 \Leftrightarrow c_{2}=-c_{0} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)=-1$ + +## Subiectul 3. + +a) $x_{k} \in(0,1), \forall k \geq 1$ (prin inducție) + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{x_{k+1}}{x_{k}}=1-x_{k}<1=>\left(x_{n}\right) \downarrow=>\left(x_{n}\right)_{n} \text { convergent. } \\ +& x_{n}^{2}=x_{n}-x_{n+1}, \forall n \geq 1 \\ +& x_{1}^{2}=x_{1}-x_{2} \\ +& x_{2}^{2}=x_{2}-x_{3} \stackrel{+}{\Rightarrow} y_{n}=x_{1}-x_{n+1}, \forall n \geq 1=>\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=x_{1} \\ +& x_{n}^{2}=x_{n}-x_{n+1} +\end{aligned} +$$ + +Fie $l=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, l \in\left[0, \mathrm{x}_{1}\right)=>l=l-\mathrm{l}^{2}=>l=0$ deci $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ..... $\mathbf{1 p}$ +b) $n \cdot\left(x_{1}-y_{n}\right)=\frac{n}{\frac{1}{x_{1}-y_{n}}}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$, unde $a_{n}=n, b_{n}=\frac{1}{x_{1}-y_{n}}, b_{n} \uparrow \infty$. + +Atunci conform criteriului Stolz - Cesaro avem: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(x_{1}-y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1-n}{\frac{1}{x_{1}-y_{n+1}}-\frac{1}{x_{1}-y_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(x_{1}-y_{n}\right) \cdot\left(x_{1}-y_{n+1}\right)}{y_{n+1}-y_{n}}= \\ +& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1} \cdot x_{n+2}}{x_{n+1}^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-x_{n+1}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul 4. + +a) Prin inducție matematică se arată că $x_{n}>0, \forall n \geq 1$ și de aici $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+n x_{n}^{2}}}<1 \Rightarrow$ șir strict descrescător, așadar convergent. + +Fie $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L \geq 0$. + +Presupunem, prin reducere la absurd, că $L>0$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}=+\infty \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\sqrt{1+n x_{n}^{2}}}=0 \Rightarrow L=0$, contradicție. Deci $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ $1 p$ + +b) $(n+1) x_{n+1}-n x_{n}=\cdots=\frac{n x_{n}\left(\sqrt{\frac{2 n+1}{n}}-n x_{n}\right)\left(\sqrt{\frac{2 n+1}{n}}+n x_{n}\right)}{\sqrt{1+n x_{n}^{2}} \cdot\left(n+1+n \sqrt{1+n x_{n}^{2}}\right)}$ + +Arătăm, prin inducție matematică, că $n x_{n}>\sqrt{\frac{2 n+1}{n}}, \forall n \geq 1$. + +$n=1: x_{1}>\sqrt{3}$, adevărat. + +Presupunem $n x_{n}>\sqrt{\frac{2 n+1}{n}}$ și demonstrăm că $(n+1) x_{n+1}>\sqrt{\frac{2 n+3}{n+1}}$. + +$(n+1) x_{n+1}-\sqrt{\frac{2 n+3}{n+1}}=\cdots=\frac{n^{3}+n^{2}+1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{(n+1) x_{n+1}+\sqrt{\frac{2 n+3}{n+1}}} \cdot\left(n x_{n}+\sqrt{\frac{2 n^{3}+3 n^{2}}{n^{3}+n^{2}+1}}\right)\left(n x_{n}-\sqrt{\frac{2 n^{3}+3 n^{2}}{n^{3}+n^{2}+1}}\right)$ + +Cum $n x_{n}>\sqrt{\frac{2 n+1}{n}}>\sqrt{\frac{2 n^{3}+3 n^{2}}{n^{3}+n^{2}+1}}\left(\right.$ calcul!) $\Rightarrow(n+1) x_{n+1}>\sqrt{\frac{2 n+3}{n+1}} \Rightarrow$ (2) . Din (1) și (2) rezultă că + +$\left(n x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict descrescător iar din pozitivitate avem că este convergent. + +$2 p$ + +Fie $\lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=a \geq 0$. + +Din (a), șirul $\left(\frac{1}{x_{n}}\right)_{n \geq 1}$ are limita $+\infty$ și este strict crescător. Cum $n x_{n}=\frac{n}{\frac{1}{x_{n}}}$, cu criteriul Stolz-Cesaro avem + +$\frac{n+1-n}{\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}}=\frac{x_{n}}{\sqrt{1+n x_{n}^{2}}-1}=\frac{\sqrt{1+n x_{n}^{2}}+1}{n x_{n}} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}+\infty, a=0 \\ \frac{2}{a}, a>0\end{array}\right.$. + +Cum $\lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=a \Rightarrow a=\frac{2}{a}, a>0 \Rightarrow a=\sqrt{2}$ + +$2 p$ + +Notă : Orice altă soluţie corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-699-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-699-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec1a5e1bffb512298c00ba48c69d2985fd6ea02d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-699-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,95 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a X-a + +## SUBIECTUL 1. + +Rezolvaţi în $(0 ;+\infty)$ ecuația $a^{x} \cdot \log _{a} x=b^{x} \cdot \log _{b} x$, unde $a>b>1$. + +## SUBIECTUL 2. + +Fie $a \in R, a<\frac{1}{4}$. Arătați că ecuația $\sqrt{a+\sqrt{x+a}}=x$ nu are soluții în $R$. + +## SUBIECTUL 3. + +Fie A o mulțime nevidă și finită de numere reale și $f: A \rightarrow A$ o funcție cu proprietatea $(f \circ f)(x)=2015 \cdot f(x)-2014 \cdot x,(\forall) x \in A$. + +a) Arătați că funcția $f$ este injectivă; + +b) Determinați funcția $f$. + +## SUBIECTUL 4. + +Fie $n \in N, n \geq 2$ și numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in C$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1$ și $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=0$. + +a) Demonstrați că $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n \cdot|z|^{2}+n$ pentru orice $z \in C$. + +b) Demonstrați că $\left|\mathrm{z}-\mathrm{z}_{1}\right|+\left|\mathrm{z}-\mathrm{z}_{2}\right|+\ldots+\left|\mathrm{z}-\mathrm{z}_{\mathrm{n}}\right| \leq \mathrm{n} \sqrt{2}$ pentru orice $\mathrm{z} \in C,|\mathrm{z}| \leq 1$. + +## Notă: + +Timp de lucru 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +Nu se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a X-a + +## Barem de corectare si notare + +Subiectul 1. + +$a^{x} \log _{a} x=b^{x} \frac{\log _{a} x}{\log _{a} b} \Leftrightarrow x=1$.....................................2p + +Sau + +$$ +\begin{aligned} +& a^{x}=\frac{b^{x}}{\log _{a} b} \Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\log _{b} a \\ +& x=\log _{\frac{a}{b}}\left(\log _{b} a\right) \in(0 ;+\infty) +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul 2. + +Evident $x>0$ $1 p$ + +Din $x^{2}-x-a>0,(\forall) x \in R,(\Delta=1+4 a<0)$ $.2 p$ + +$x^{2}>x+a \Rightarrow \sqrt{x+a} Etapa Locală - 26 februarie 2022
CLASA a V-a - enunţuri + +## Timp de lucru 150 de minute + +Fiecare problemă se punctează cu 1 punct + +## Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect. + +1. Un test conţine 20 de probleme, care trebuie rezolvate în 150 de minute. Problemele sunt grupate în trei categorii: uşoare, de nivel mediu şi dificile. Se estimează că fiecare dintre cele şapte probleme uşoare poate fi rezolvată în 4 minute şi fiecare dintre cele şapte probleme clasificate ca fiind de nivel mediu poate fi rezolvată în 8 minute. Câte minute rămân pentru rezolvarea celor şase probleme dificile ? +A 56 +B 58 +C 62 +D 66 +E 70 +2. Într-o sală de teatru locurile pe scaun sunt distribuite astfel: în fiecare balcon sunt 8 locuri, iar sala are în stânga şi în dreapta scenei câte 4 balcoane. În faţa scenei, sus, în lojă, sunt trei rânduri cu 11 scaune fiecare. În restul sălii, în primele 5 rânduri sunt câte 20 de locuri pe fiecare rând, apoi sunt 15 rânduri cu câte 22 de scaune fiecare. Câte locuri pe scaun are sala? +A 527 +B 407 +C 495 +D 392 +E 396 +3. Trei penare costă cât cinci stilouri, iar două stilouri costă cât trei caiete. Câte caiete se pot cumpăra cu preţul a douăsprezece penare? +A 17 +B 30 +C 15 +D 60 +E 45 +4. Într-o clasă sunt 28 de elevi. Oricum s-ar alege 14 elevi din clasă, printre ei sunt cel puţin patru băieţi. Numărul minim al băieţilor din clasă este: +A 4 +B 8 +C 14 +D 18 +E 20 +5. Suma numerelor naturale care au două cifre şi care împărţite la 5 dau rest egal cu câtul este: +A 50 +B 54 +C 74 +D 30 +E 32 +6. Dacă $N$ este cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 19, atunci produsul cifrelor lui $N$ este: +A 81 +B 88 +C 90 +D 112 +E 120 +7. Plata unei facturi de 5000 de lei este făcută numai cu bancnote de 100 de lei şi cu bancnote de 50 de lei. Dacă ştim că numărul bancnotelor de 50 de lei este cu 61 mai mare decât al celor de 100 de lei, atunci numărul bancnotelor de 100 de lei este: +A 61 +B 23 +C 13 +D 16 +E 26 +8. Pentru o petrecere a copilului, mama şi tata au cumpărat bomboane de ciocolată. După ce au numărat bomboanele, au constatat că, dacă fiecare copil de la petrecere va primi cinci bomboane, va mai rămâne una. Un copil a venit însoţit de cei doi fraţi ai săi şi au fost doi participanţi în plus. Astfel, fiecare copil a primit câte patru bomboane şi au mai rămas trei. Câţi copii au participat la petrecere? +A 10 +B 8 +C 9 +D 12 +E 15 +9. Într-o urnă sunt 60 bile de 3 culori: roşu, galben şi verde. Ştim că 36 de bile nu sunt roşii şi că numărul bilelor galbene este cu 3 mai mare decât dublul numărului bilelor verzi. Atunci, diferenţa dintre numărul bilelor galbene şi numărul bilelor roşii este: +A 0 +B 5 +C 13 +D 4 +E 1 +10. Un ceas digital arată ora 8:50, dar ora exactă este 9:07. Ceasul are două butoane pentru reglaj, unul inainte, care creşte timpul cu trei minute şi celălalt înapoi, care scade timpul cu 20 de minute la fiecare apăsare. Care este numărul minim de apăsări ale celor două butoane pentru a seta ora exactă? +A 5 +B 9 +C 13 +D 17 +E 21 +11. Cel mai mare număr natural care împăŗ̧it la 2022 dă câtul mai mic decât restul este: +A 1048043482 +B 4086461 +C 16185 +D 8091 +E 9 +12. Un număr natural se numeşte ciudat dacă este de patru cifre şi fiecare cifră, cu excepţia primelor două, este suma celor două cifre din stânga sa (de exemplu, 3145 este ciudat pentru că $4=3+1$ şi $5=$ $1+4)$. Suma dintre cel mai mare număr ciudat şi cel mai mic număr ciudat este: +A 111111 +B 5391 +C 10110 +D 10222 +E 9302 +13. Un număr natural împărţit la 132 dă rest 74. Cât este restul la împărţirea dublului acestui număr la 11 ? +A 5 +B 9 +C 1 +D 7 +E 3 +14. Pentru premierea elevilor, o şcoală a cumpărat 60 de dicţionare de următoarele tipuri: Dicţionar explicativ al limbii române (DEX, preţ 140 RON), Dicţionar român - englez, englez - român (DRE, preţ 30 RON) şi Dicţionar român - spaniol, spaniol - român (DRS, preţ 31 RON). Pentru cumpărarea dicţionarelor s-au cheltuit 2137 RON. Câte dicţionare DRE s-au cumpărat? +A 7 +B 20 +C 25 +D 30 +E 50 +15. Restul împărţirii numărului $A=7^{11}+7^{12}+\ldots+7^{23}+7^{24}+2022$ la 56 este: +A 0 +B 3 +C 6 +D 15 +E 54 +16. Dacă $a=2^{320}, b=37^{64}$ şi $c=3^{191}$, atunci: +A $c Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019 + +## CLASA a VII-a - SOLUŢII şi BAREME + +Problema 1. Determinaţi numerele întregi $a, b, c$ pentru care + +$$ +\frac{a+1}{3}=\frac{b+2}{4}=\frac{5}{c+3} +$$ + +Gazeta Matematică + +## Soluţie şi barem de corectare + +Deoarece $(3,4)=1$, din $3(b+2)=4(a+1)$ rezultă $3 \mid a+1$, deci valoarea comună a fracţiilor din enunţ este număr întreg. ......................................................... 2 p Deducem că $c+3 \mid 5$, deci $c+3 \in\{-5,-1,1,5\}$, adică $c \in\{-8,-4,-2,2\} . \ldots \ldots \ldots 3$. În cazul $c=-8$ se găsesc $a=-4, b=-6$; în cazul $c=-4$ se obţin $a=-16, b=-22$; în cazul $c=-2$ se găsesc $a=14$ şi $b=18$, iar în cazul $c=2$ se obţine $a=b=2$. . . 2p + +Remarcă: O altă cale de a arăta că valoarea comună a fracţiilor din enunţ este număr întreg este: + +$\frac{a+1}{3}=\frac{b+2}{4}=\frac{(b+2)-(a+1)}{4-3}=b-a+1 \in \mathbb{Z}$. + +Problema 2. Se consideră $D$ mijlocul bazei $[B C]$ a triunghiului isoscel $A B C$ în care $m(\angle B A C)<90^{\circ}$. Pe perpendiculara în $B$ pe dreapta $B C$ se consideră punctul $E$ astfel încât $\angle E A B \equiv \angle B A C$, iar pe paralela prin $C$ la dreapta $A B$ se consideră punctul $F$ astfel încât $F$ şi $D$ sunt de o parte şi de alta faţă de dreapta $A C$ şi $\angle F A C \equiv \angle C A D$. Demonstraţi că $A E=C F$ şi $B F=E F$. + +## Soluţie şi barem de corectare + +Notând $m(\angle B A D)=m(\angle C A D)=\alpha$, avem $m(\angle E A B)=2 \alpha, m(\angle E B A)=\alpha$, $m(\angle A C F)=2 \alpha$ şi $m(\angle C A F)=\alpha$, deci triunghiurile $E B A$ şi $F A C$ sunt congruente (ULU). Deducem că $A E=C F$. + +Fie $M$ punctul în care mediatoarea segmentului $[B E]$ intersectează dreapta $A B$. Atunci $M B=M E$, deci $m(\angle M B E)=m(\angle M E B)=\alpha, m(\angle E M A)=2 \alpha=m(\angle E A M)$. Rezultă că $B M=E M=A E=C F$, deci $M B C F$ este paralelogram. Cum $B E \perp B C$, deducem că $M F \perp B E$, deci $M F$ este mediatoarea segmentului $[B E]$, de unde concluzia. + +$4 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78737b2db2ec33bd57dag-2.jpg?height=558&width=632&top_left_y=496&top_left_x=714) + +Problema 3. Se consideră mulţimile $M=\{0,1,2, \ldots, 2019\}$ şi + +$$ +A=\left\{x \in M \left\lvert\, \frac{x^{3}-x}{24} \in \mathbb{N}\right.\right\} +$$ + +a) Câte elemente are mulţimea $A$ ? + +b) Determinaţi cel mai mic număr natural $n, n \geq 2$, care are proprietatea că orice submulţime cu $n$ elemente a mulţimii $A$ conţine două elemente distincte a căror diferenţă se divide cu 40 . + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) Numărul $x^{3}-x=x\left(x^{2}-1\right)=(x-1) x(x+1)$ este un produs de trei numere naturale consecutive, deci $3 \mid x^{3}-x$. + +Dacă $x \in A$ este par, cum $x-1$ şi $x+1$ sunt impare, trebuie ca $x$ să fie multiplu de 8 . + +Dacă $x \in A$ este impar, numerele $x-1$ şi $x+1$ sunt pare, iar unul din ele este divizibil cu 4 , deci $x^{3}-x$ este divizibil cu 8 . + +Prin urmare, $x \in A$ dacă şi numai dacă $x \in M$ este impar sau divizibil cu 8 . .......1p În $M$ sunt 1010 numere impare şi 253 divizibile cu 8 , deci $A$ are în total 1263 elemente. + +$2 \mathrm{p}$ + +b) Vom demonstra că cea mai mică valoare a lui $n$ este 26 . + +Deoarece orice număr din $A$ dă unul din resturile $0,1,3,5$ şi 7 la împărţirea cu 8 , la împărţirea cu 40 el poate da oricare din următoarele resturi: $0,1,3,5,7,8,9,11,13$, $15,16,17,19,21,23,24,25,27,29,31,32,33,35,37$ sau 39 (impar sau multiplu de 8), adică oricare din 25 resturi posibile. $2 p$ + +Pentru $n \leq 25$ găsim în $A$ numere care dau resturi diferite la împărţirea cu 40. ...1p Dacă $n=26$, din principiul cutiei rezultă că în orice submulţime cu $n$ elemente a lui $A$ există două care dau acelaşi rest la împărţirea cu 40 , deci a căror diferenţă este divizibilă cu 40. + +Problema 4. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel $A B C, m(\widehat{A})=90^{\circ}$, şi punctul $D \in(A B)$ astfel încât $A D=\frac{1}{3} A B$. In semiplanul determinat de dreapta $A B$ şi punctul $C$ se consideră punctul $E$ pentru care $m(\angle B D E)=60^{\circ}$ şi $m(\angle D B E)=75^{\circ}$. Dreptele $B C$ şi $D E$ se intersectează în punctul $G$, iar paralela prin punctul $G$ la dreapta $A C$ intersectează dreapta $B E$ în punctul $H$. + +Demonstraţi că triunghiul $C E H$ este echilateral. + +## Soluţie şi barem de corectare + +Fie $\{M\}=D E \cap A C$. Cum $m(\angle A M D)=30^{\circ}$, avem $D M=2 A D=D B$, de unde decucem că ( $M E$ este bisectoarea unghiului $\angle A M B$. .................................. $\mathbf{2 p}$ De asemenea, $(B E$ este bisectoarea exterioară a unghiului $\angle A B M$. Rezultă că $E$ aparţine bisectoarei exterioare a unghiului $\angle M A B$, adică $A E$ este mediatoarea segmentului $[B C]$. + +Prin urmare, $B E=C E$ şi $m(\angle E C B)=30^{\circ}$. .......................................... Dacă $H^{\prime}$ este simetricul lui $B$ faţă de $E$, triunghiul $C E H^{\prime}$ este echilateral. Demonstrăm că $H^{\prime} G \| A C$, ceea ce arată că $H^{\prime}=H$. + +In triunghiul $C G E, m(\angle E C G)=30^{\circ}$ şi $m(\angle E G C)=75^{\circ}$, deci $m(\angle C E G)=75^{\circ}$, de unde $C G=C E=C H^{\prime}$. Triunghiul $C G H^{\prime}$ este dreptunghic isoscel, deci $m\left(\angle C G H^{\prime}\right)=$ $45^{\circ}=m(\angle G C A)$, adică $G H^{\prime} \| A C$. + +$4 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78737b2db2ec33bd57dag-3.jpg?height=826&width=640&top_left_y=1430&top_left_x=707) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-700-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-700-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03b856b1096aee4a4231179c25897eac4d7b5a00 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-700-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL 1. + +Fie expresia $E(x)=\sqrt{x^{2}+4 x+4}+\sqrt{x^{2}-6 x+9}, x \in \mathbb{R}$. + +a) Determinaţi cardinalul mulţimii $A=\{n \in \mathbb{N} \mid E(\sqrt{n})=5\}$. + +b) Fie $m \in \mathbb{R}$ valoarea minimă a expresiei $E(x)$. Determinaţi $m$ şi mulţimea $B=\{x \in \mathbb{R} \mid E(x)=m\}$. + +## SUBIECTUL 2. + +Determinaţi elementele mulţimii + +$$ +S=\left\{(a, b, c, d) \left\lvert\, 2 a+3 b+5 c+7 d \leq 174-\frac{8}{a}-\frac{27}{b}-\frac{125}{c}-\frac{343}{d}\right., \text { cu } a, b, c, d \in(0, \infty)\right\} +$$ + +## SUBIECTUL 3. + +Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile $A B=3 a, B C=2 a$ şi $A A^{\prime}=a, a>0$. Fie $M \in(A B), N \in(B C)$ astfel încât $A M=B N=a$. + +a) Demonstraţi că dreptele $D^{\prime} M$ şi $M N$ sunt perpendiculare. + +b) Determinaţi măsura unghiului dintre planele $\left(D^{\prime} D M\right)$ şi $\left(D^{\prime} D N\right)$. + +## SUBIECTUL 4. + +Fie $V A B C D$ o piramidă patrulateră și $M, N, P, Q$ proiecțiile vârfului $V$ pe bisectoarele unghiurilor $V \hat{A} B, V \hat{B} C, V \hat{C} D$ , respectiv $V \hat{D} A$. Să se arate că punctele $M, N, P, Q$ sunt coplanare. + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## $\underline{\text { Barem de corectare si notare }}$ + +## Subiectul 1. + +a) Avem $E(x)=\sqrt{(x+2)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}}=|x+2|+|x-3|$ $.1 p$ + +$E(\sqrt{n})=5 \Leftrightarrow|\underbrace{\sqrt{n}+2}_{>0}+| \sqrt{n}-3|=5 \Leftrightarrow| \sqrt{n}-3 \mid=3-\sqrt{n} \Leftrightarrow \sqrt{n} \leq 3 \Leftrightarrow n \leq 9$. $.2 p$ + +Dar $n \in \mathbf{N}$ şi deci $A=\{0,1,2, \ldots, 9\} \Rightarrow \operatorname{Card}(A)=10$. + +$1 p$ + +b) Avem $E(x)=|x+2|+|x-3|=|x+2|+|3-x| \geq|x+2+3-x|=5, \forall x \in \mathbf{R}$. (1) .................1p Cum $E(0)=5$ şi $E(x) \geq 5, \forall x \in \mathbf{R}$, valoarea minimă a expresiei $E(x)$ este $m=5$. .............1p În inegalitatea (1) avem egalitate $E(x)=5 \Leftrightarrow(x+2)(3-x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in[-2 ; 3]$. + +Deci, $B=\{x \in \mathbf{R} \mid E(x)=5\} \Leftrightarrow B=[-2 ; 3]$. $1 p$ + +## Subiectul 2. + +$2 a+3 b+5 c+7 d \leq 174-\frac{8}{a}-\frac{27}{b}-\frac{125}{c}-\frac{343}{d} \Leftrightarrow$ + +$\Leftrightarrow\left(2 a+\frac{8}{a}\right)+\left(3 b+\frac{27}{b}\right)+\left(5 c+\frac{125}{c}\right)+\left(7 d+\frac{343}{d}\right) \leq 174$ (1). + +$1 \mathbf{p}$ + +Avand in vedere ca $a, b, c, d \in(0, \infty)$, aplicand inegalitatea mediilor obtinem: + +$2 a+\frac{8}{a} \geq 2 \sqrt{2 a \cdot \frac{8}{a}}=8$, cu egalitate pentru cazul când $2 a=\frac{8}{a}, a^{2}=4, a=2$ $\qquad$ +$3 b+\frac{27}{b} \geq 2 \sqrt{3 b \cdot \frac{27}{b}}=18$, cu egalitate pentru cazul când $3 b=\frac{27}{b}, b^{2}=9, b=3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . .1 p$ + +$5 c+\frac{125}{c} \geq 2 \sqrt{5 c \cdot \frac{125}{c}}=50$, cu egalitate pentru cazul când $5 c=\frac{125}{c}, c^{2}=25, c=5 \ldots \ldots \ldots \ldots .1 \mathbf{p}$ + +$7 d+\frac{343}{d} \geq 2 \sqrt{7 d \cdot \frac{343}{d}}=98$, cu egalitate pentru cazul când $7 d=\frac{343}{d}, d^{2}=49, d=7 \ldots \ldots .1 \mathbf{p}$ Prin însumare găsim că: + +$\left(2 a+\frac{8}{a}\right)+\left(3 b+\frac{27}{b}\right)+\left(5 c+\frac{125}{c}\right)+\left(7 d+\frac{343}{d}\right) \geq 8+18+50+98=174$ (2).........1p + +Din (1) și (2) rezultă $\left(2 a+\frac{8}{a}\right)+\left(3 b+\frac{27}{b}\right)+\left(5 c+\frac{125}{c}\right)+\left(7 d+\frac{343}{d}\right)=174$, iar egalitatea se realizează pentru $(a, b, c, d)=(2,3,5,7)$ $1 p$ + +## Subiectul 3. + +a) Cu teorema lui Pitagora, avem $D M=M N=a \sqrt{5}, D N=a \sqrt{10}$. Conform RTP obţinem că $\triangle D M N$ este dreptunghic isoscel, cu $m(\square D M N)=90^{\circ}$ (1) $\Rightarrow D M \perp M N$. + +Cu teorema celor trei perpendiculare, avem: + +$D^{\prime} D \perp(A B C), D M \perp M N, D M \subset(A B C), M N \subset(A B C) \Rightarrow D^{\prime} M \perp M N$. + +b) Avem $D^{\prime} D \perp(A B C), D M \subset(A B C), D N \subset(A B C) \Rightarrow D^{\prime} D \perp D M, D^{\prime} D \perp D N$. Obţinem apoi că $\left(D^{\prime} D M\right) \cap\left(D^{\prime} D N\right)=D^{\prime} D, M D \perp D^{\prime} D, M D \subset\left(D^{\prime} D M\right), N D \perp D^{\prime} D, N D \subset\left(D^{\prime} D N\right) \Rightarrow$ $\Rightarrow m\left(\square\left(\left(D^{\prime} D M\right),\left(D^{\prime} D N\right)\right)\right)=m(\square(M D, N D))=m(\square M D N)$. $2 p$ + +Dar conform (1), $\triangle D M N$ este dreptunghic isoscel, $m(\square D M N)=90^{\circ} \Rightarrow m(\square M D N)=45^{\circ} \Rightarrow$ $\Rightarrow m\left(\square\left(\left(D^{\prime} D M\right),\left(D^{\prime} D N\right)\right)\right)=45^{\circ}$. + +## Subiectul 4. + +În triunghiul $V A B$ notăm $A A_{1}$ bisectoarea unghiului $V A \hat{A r}, A_{1} \in(V B)$ și $\left\{V_{1}\right\}=A B \cap V M$. + +În triunghiul $V A V_{1}$ avem $A M$ bisectoare și înălțime, deci triunghiul este isoscel, de unde rezultă că $M$ este mijlocul lui $\left[V V_{1}\right]$. $1 \mathrm{p}$ + +Analog se arată că $N$ este mijlocul lui $\left[V V_{2}\right], P$ este mijlocul lui $\left[V V_{3}\right], Q$ este mijlocul lui $\left[V V_{4}\right]$, unde $\left\{V_{2}\right\}=B C \cap V N,\left\{V_{3}\right\}=C D \cap V P,\left\{V_{4}\right\}=D A \cap V Q$. $1 \mathbf{p}$ + +În triunghiul $V V_{1} V_{2},[M N]$ este linie mijlocie, deci $M N \| V_{1} V_{2}$ şi cum $V_{1} V_{2} \subset(A B C)$, rezultă $M N \|(A B C)$ (1). $\qquad$ +Analog rezultă $N P \|(A B C)(2)$ și $P Q \|(A B C)$ (3). .............................................................1p + +Din (1) și (2) rezultă $(M N P) \|(A B C)(4)$, iar din (2) și (3) rezultă $(N P Q) \|(A B C)(5)$. ...........1p Din (4) și (5) rezultă că planele (MNP) și ( $N P Q$ ) sunt paralele sau coincid. . $.1 p$ Dar cum $(M N P) \cap(N P Q)=N P$, rezultă că planele coincid, deci punctele $M, N, P, Q$ sunt coplanare. $1 p$ + +Notă : Orice altă soluţie corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-701-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-701-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4bf14f7dfb856ae3dca7d3c3403e21d3e45c8755 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-701-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,112 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL 1. + +Dacă $x$ este numărul submulţimilor mulţimii $A=\{\overline{a b c} \mid \sqrt{\overline{0, a(b c)}+\overline{0, b(c a)}+\overline{0, c(a b)}} \in \mathrm{N}$ şi $\mathrm{a}>\mathrm{b}>\mathrm{c}>0\}$ şi $y=\left(\left|3^{51}-2^{85}\right|+3^{2015}: 81^{491}\right):\left(-4^{41}\right)+\sqrt{1296}+\sqrt{(8-5 \sqrt{3})^{2}}-\sqrt{75}+\sqrt{2^{8}}$ + +Calculaţi media geometrică a numerelor $x$ şi $y$. + +## SUBIECTUL 2. + +Se dă numărul $a=\frac{1}{5}+\frac{7}{10}+\frac{8}{15}+\cdots+\frac{2015}{10050}-\left(2^{-1}+3^{-1}+\cdots+2010^{-1}\right)$ + +a) Arătaţi că $a-2$ este pătrat perfect + +b) Determinaţi $n \in \mathbb{N}$ astfel încât $\frac{a}{2 n+1} \in \mathbb{Z}$ + +## SUBIECTUL 3. + +Fie $A B C$ un triunghi isoscel cu $\mathrm{m}(\Varangle A B C)=108^{0},[A B] \equiv[B C], B D$ este înălţimea dusă din $B, D \in[A C]$, iar $[A F]$ este bisectoarea unghiului $A, F \in[B C]$. Demonstraţi că $A F=2 \cdot B D$. + +## O.J. Dolj, 1996 + +## SUBIECTUL 4. + +Fie $A B C$ un triunghi echilateral, $M \in(A C)$ astfel încât $\frac{A M}{A C}=\frac{2}{3}$ şi $N$ este simetricul lui $M$ faţă de $B C$. + +Dreapta $N C$ intersectează paralela prin $A$ la $B C$ în $T$, iar $T M$ intersectează $B C$ în $O$ şi pe $A B$ în $Q$. + +a) Demonstraţi că $A B C T$ este romb. + +b) Arătaţi că $[B O]$ este linie mijlocie în triunghiul $A T Q$. + +(Gazeta matematică nr. 1 - 2013) + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a VII-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul 1. + +$$ +\sqrt{\frac{\overline{a b c}-a+\overline{b c a}-b+\overline{c a b}-c}{990}}=\sqrt{\frac{110 a+110 b+110 c}{990}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{9}} \in \mathbb{N} \text { deci } a+b+c=9 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{2} +$$ + +Cum $a>b>c>0$ rezultă $A=\{621 ; 531 ; 432\}$, deci $x=2^{c a r d A}=2^{3}=8 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ 1p + +Ţinând seama că $3^{51}=\left(3^{3}\right)^{17}=27^{17} ; 2^{85}=\left(2^{5}\right)^{17}=32^{17}=>3^{51}<2^{85}=>$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=68&width=1840&top_left_y=931&top_left_x=88) + +$m_{g}=\sqrt{x \cdot y}=\sqrt{8 \cdot 36}=12 \sqrt{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +## Subiectul 2. + +a) $2^{-1}+3^{-1}+\cdots+2010^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2010} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{1 p}$ + +$\frac{1}{5}+\frac{7}{10}+\frac{8}{15}+\cdots+\frac{2015}{10050}=\frac{1}{5}+\frac{5+2}{2 \cdot 5}+\frac{5+3}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{5+2010}{2010 \cdot 5} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 p$ + +$a=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2010}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{2010}=\frac{1}{5} \cdot 2010=402 \ldots \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=57&width=1442&top_left_y=1457&top_left_x=146) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=73&width=1507&top_left_y=1514&top_left_x=79) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=49&width=1445&top_left_y=1596&top_left_x=145) + +## Subiectul 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=52&width=1862&top_left_y=1736&top_left_x=88) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=63&width=1846&top_left_y=1779&top_left_x=91) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=48&width=1832&top_left_y=1838&top_left_x=103) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=57&width=1845&top_left_y=1885&top_left_x=102) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=60&width=1860&top_left_y=1935&top_left_x=89) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_053b2b9fe3ee34c188bfg-2.jpg?height=49&width=1845&top_left_y=1992&top_left_x=102) + +## Subiectul 4. + +a) $A B C T=$ paralelogram ................................................................................................... 2p + +cu $A B \equiv B C \Rightarrow A B C T=$ romb......................................................................................... 1p + +b) Notăm: $A P=P M=M C=\frac{A C}{3}$. Se arată că $B M T P=$ romb.................................................. $2 p$ + +$\Rightarrow B P\|T M \Rightarrow B P\| M O$. Dar M mijlocul lui $[\mathrm{PC}] \Rightarrow M O=$ linie mijlocie în triunghiul $B C P$.....1p + +$\Rightarrow$ O mijlocul lui $B C$. Deci $B O=\frac{B C}{2}=\frac{A T}{2}$ şi $B O \| A T \Rightarrow[B O]=$ linie mijlocie.....................1p + +Notă : Orice altă soluție corectă, diferită de cea din barem, va primi punctaj maxim . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-702-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-702-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9d94a4599a25a675ed916329814bc0ba9e772d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-702-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,116 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a VI-a + +## SUBIECTUL 1. + +Determinaţi numerele prime $a, b, c$ cu proprietatea : $27 a+145 b+15 c=2015$. + +## SUBIECTUL 2. + +a) Determinaţi numerele naturale $n \in \mathbf{N}^{*}$ şi $\overline{a b c d}$ scrise în baza 10 , ştiind că $\overline{a b c d}+\frac{\overline{a b c d}}{6}+\frac{\overline{a b c d}}{6^{2}}+\ldots+\frac{\overline{a b c d}}{6^{\mathrm{n}}}=\frac{6^{\mathrm{n}+1}-1}{5}$. + +G.M. $n r .10 / 2014$ + +b) Arătaţi că numărul $A=2016^{2015}+2014^{2015}$ are cel puțin 3 divizori numere prime. + +## SUBIECTUL 3. + +$O, A, B, C$ sunt puncte coliniare în această ordine, $O A=2^{x} \mathrm{~cm}, O B=2^{x+1} \mathrm{~cm}, O C=2^{x+2} \mathrm{~cm}, x \in \mathbf{N}^{*}$. + +a) Arătaţi că $B C=O A+A B$; + +b) Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[O A]$ şi $N$ este mijlocul segmentului $[B C]$, iar $M N=20 \mathrm{~cm}$, aflaţi lungimea segmentului $[A C]$. + +## SUBIECTUL 4. + +Unghiurile $A \hat{O} B$ şi $B O ̂ E$ sunt adiacente suplementare, $C, D \in \operatorname{Int}(B \hat{O} E), D \in \operatorname{Int}(C \hat{O} E)$. Dacă unghiurile $A \hat{O} B, B \hat{O} C, C \hat{O} D$ și $D \hat{O} E$ sunt ascuţite, au măsurile exprimate prin numere naturale şi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d87a0d67c55a5fa39cefg-1.jpg?height=109&width=1562&top_left_y=2127&top_left_x=196) + +## Notă: + +Timp de lucru: 2 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +Clasa a VI-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d87a0d67c55a5fa39cefg-2.jpg?height=70&width=1629&top_left_y=519&top_left_x=191) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d87a0d67c55a5fa39cefg-2.jpg?height=62&width=1630&top_left_y=582&top_left_x=193) + +Verificarea că pentru $b \in\{2,3,5,7\}$ nu se obţin soluţii convenabile ............................. $2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d87a0d67c55a5fa39cefg-2.jpg?height=60&width=1630&top_left_y=704&top_left_x=193) + +Subiectul 2. +a) $\overline{a b c d}+\frac{\overline{a b c d}}{6}+\frac{\overline{a b c d}}{6^{2}}+\ldots+\frac{\overline{a b c d}}{6^{n}}=\overline{a b c d} \cdot\left(1+\frac{1}{6}++\frac{1}{6^{2}}+\ldots+\frac{1}{6^{n}}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& 1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6^{2}}+\ldots+\frac{1}{6^{\mathrm{n}}}=\frac{6^{\mathrm{n}+1}-1}{5 \cdot 6^{\mathrm{n}}} \\ +& \overline{\frac{a b c d}{6^{n}}}=1 \Rightarrow \overline{a b c d}=6^{\prime} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d87a0d67c55a5fa39cefg-2.jpg?height=66&width=1471&top_left_y=1143&top_left_x=318) +b) $2016^{2015}=(2015+1)^{2015}=M_{2015}+1^{2015}=M_{2015}+1$ + +$2014^{2015}=(2015-1)^{2015}=M_{2015}-1^{2015}=M_{2015}-1$ $1 p$ + +$A=M_{2015}+1+M_{2015}-1=M_{2015}=2015 \cdot k, k \in \mathbf{N}^{*}$ $1 p$ + +$2015=5 \cdot 13 \cdot 31 \Rightarrow A=5 \cdot 13 \cdot 31 \cdot k, k \in \mathbf{N}^{*}$, deci A are cel puțin 3 divizori numere prime.1p + +## Subiectul 3. + +a) $O A+A B=O B=2^{x+1}(\operatorname{sau} O B=2 \cdot O A, O C=4 \cdot O A)$ $1 p$ + +$\mathrm{BC}=\mathrm{OC}-\mathrm{OB}=2^{\mathrm{x}+2}-2^{\mathrm{x}+1}=2^{\mathrm{x}+1}=\mathrm{OA}+\mathrm{AB}(\mathrm{BC}=\mathrm{OB}=\mathrm{OA}+\mathrm{AB})$ + +$1 p$ +a) $M N=2^{x+1}+2^{x-1}\left(\operatorname{sau} M N=\frac{5}{2} \cdot O A\right)$ + +$2 p$ + +$x=3 \mathrm{~cm}$ + +$2 p$ + +$A C=24 \mathrm{~cm}$ + +$1 p$ + +Subiectul 4. + +Notăm $m(A \hat{O} B)=x, m(D \hat{O} E)=y \Rightarrow x+\frac{3}{2} x+\frac{15}{2} x+y=180^{\circ}$ $2 p$ + +$\frac{15}{2} x<90^{0} \Rightarrow x<12^{0}$ (1) + +$1 p$ + +$y=180^{0}-10 x<90^{0} \Rightarrow x>9^{0}$ (2)................................................................................................ + +$(1)+(2) \Rightarrow m(A \hat{O} B) \in\left\{10^{\circ} ; 11^{0}\right\}, m(B \hat{O} C) \in\left\{15^{0} ; 16^{0} 30^{\prime}\right\}, m(C \hat{O} D) \in\left\{75^{\circ} ; 82^{0} 30^{\prime}\right\}, m(D \hat{O} E) \in\left\{80^{\circ} ; 70^{\circ}\right\}$ + +Măsurile sunt numere naturale $\Rightarrow m(A \hat{O} B)=10^{\circ}, m(B \hat{O} C)=15^{\circ}, m(C \hat{O D})=75^{\circ}, m(D \hat{O} E)=80^{\circ} \ldots 1$ p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d87a0d67c55a5fa39cefg-2.jpg?height=363&width=814&top_left_y=2331&top_left_x=701) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-703-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-703-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9c3e6b6e27328847830d39dfe29a79ba821ea0a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-703-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a V-a + +## SUBIECTUL 1 + +Fie numerele naturale $a, b$ și $c$ unde, + +$a=\left(2 \cdot 7^{x+2}+5 \cdot 7^{x+1}-21 \cdot 7^{x}\right): 7^{x}$, + +$b=\left\lfloor 3^{1+2+3+\ldots .+30}+2 \cdot\left(3^{15}\right)^{31}+6 \cdot\left(3^{93}\right)^{5}\right\rfloor: 3^{467}$, + +iar c reprezintă ultima cifră a numărului $2^{2015}$. + +Să se arate că numărul natural $A=a+b^{2015}+c$ este pătrat perfect. + +## SUBIECTUL 2 + +Se dă numărul $N=\overline{a b c d}$ in baza zece, cu proprietatea că $5 \cdot \overline{a b}=\overline{c d}$. Demonstrați că $N$ se divide cu 7 . + +## SUBIECTUL 3 + +Fie mulțimile $A=\{5 x+3 ; 36\}$ și $B=\left\{x^{2} ; 7 y+5\right\}$, unde $x, y \in N$. + +a) Determinați $x, y \in N$ pentru care mulțimile sunt egale; + +b) Stabiliți dacă $A \cup B$ poate avea trei elemente. + +## SUBIECTUL 4 + +Un număr natural de patru cifre are primele două cifre identice, iar cifra unităţilor 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 . Calculaţi deîmpărţitul, împărţitorul şi câtul. + +## Notă: + +Timp de lucru: 2 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 . + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +Clasa a V-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_514927207678d9ecd2fbg-2.jpg?height=77&width=1559&top_left_y=590&top_left_x=243) + +$b=\left(3^{\frac{30.31}{2}}+2 \cdot 3^{15.31}+6 \cdot 3^{93.5}\right): 3^{467}=\left(3^{465}+2 \cdot 3^{465}+6 \cdot 3^{465}\right): 3^{467} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \mathbf{p}$ + +$=3^{465}(1+2+6): 3^{467}=1$ + +$c=u\left(2^{2015}\right)=u\left(2^{4.503+3}\right)=u\left(2^{3}\right)=8$ $2 p$ + +deci $A=112+1^{2015}+8=121=11^{2}$, deci $A$ este pătrat perfect. $1 p$ + +## Subiectul 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_514927207678d9ecd2fbg-2.jpg?height=57&width=937&top_left_y=1245&top_left_x=248) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_514927207678d9ecd2fbg-2.jpg?height=59&width=940&top_left_y=1324&top_left_x=244) + +$$ +\begin{aligned} +& =7 \cdot 15 \cdot \overline{\mathrm{ab}} \Rightarrow \\ +& N \text { se divide cu } 7 +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul 3. + +a ) $u(5 x+3) \in\{3 ; 8\}$ acesta nu poate fi pătrat perfect, rezultă că $x^{2}=36$,deci $x=6 \ldots . .2 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_514927207678d9ecd2fbg-2.jpg?height=68&width=1506&top_left_y=1708&top_left_x=237) + +b) Pentru ca $A \cup B$ să poată avea trei elemente trebuie ca $A \cap B$ să aibă un element, și conform a), rezultă că $x=6$ + +$1 p$ +se impune conditia $7 y+5 \neq 33$ ..... 1p +deci, pentru orice $y$ număr natural diferit de 4 , reuniunea are 3 elemente..... ..... $1 p$ + +## Subiectul 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_514927207678d9ecd2fbg-2.jpg?height=72&width=1563&top_left_y=2117&top_left_x=246) +cum $x$ are două cifre, rezultă că $x=99$, deci $a a b 5=99 \cdot q+98$ ..... $2 p$ + +rezultă că ultima cifră a lui $99 \cdot q+98$ este 5 , deci ultima cifră a lui $q$ este 3 , dar $1105 \leq \overline{a a b 5} \leq 9995 \Leftrightarrow 1105 \leq 99 \cdot q+98 \leq 9995$, de unde se obţine că $11 \leq q \leq 99$ şi, +cum ultima cifră a lui $q$ este 3 , urmează că $q \in\{13,23,33, \ldots, 93\}$ + +2p +deci, deîmpărțitul este egal cu 3365 , împărţitorul este egal cu 99 şi câtul este egal cu 33. ..... $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-704-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-704-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1b69944ba97ad7259304d897398f6fd55dd53eb5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-704-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a IX-a + +## SUBIECTUL 1. + +Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuațiile: +a) $x-2 \sqrt{x-2}+\left[x-\frac{2010}{671}\right]^{2}=1$ +b) $\left[\left\{\frac{x-2}{3}\right\}-\frac{x-2}{3}\right]=\frac{1-3 x}{5}$, + +unde $[\mathrm{a}]$ reprezintă partea întreagă a numărului a și $\{\mathrm{b}\}$ reprezintă partea fracționară a numărului $b$. + +## SUBIECTUL 2. + +Fie $a, b, c \in(0, \infty)$ astfel încât $a+b+c \geq \frac{1}{a b c}$. Demonstrați că $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \sqrt{3}$. + +Cătălin Zîrnă + +## SUBIECTUL 3. + +Fie paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ și $\mathrm{M} \in \operatorname{Int}[\mathrm{ABCD}]$, cu $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=\mathrm{b}$. Arătați că se poate construi un patrulater convex cu laturile de lungime MA, MB, MC, MD și diagonalele de lungime a și $\mathrm{b}$. + +Dorin Arventiev + +## SUBIECTUL 4. + +Fie ABCDEF un hexagon convex. Fie $\mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3}$ ortocentrele $\triangle \mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{CDE}$ și respectiv $\triangle$ EFA. Fie $\mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2}, \mathrm{G}_{3}$ centrele de greutate ale $\triangle \mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{CDE}$ și respectiv $\triangle \mathrm{EFA}$. Demonstrați echivalența: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b3eac181f665446eb437g-1.jpg?height=131&width=731&top_left_y=2056&top_left_x=203) + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7. + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 15.02.2015 + +## Clasa a IX-a + +## $\underline{\text { Barem de corectare si notare }}$ + +Subiectul 1. a) Ecuația este echivalentă cu $(\sqrt{x-2}-1)^{2}+\left[x-\frac{2010}{671}\right]^{2}=0$ + +Deci $\sqrt{x-2}=1$ și $\left[x-\frac{2010}{671}\right]=0$ + +Soluția $x=3$ + +b) $\left[\left\{\frac{x-2}{3}\right\}-\frac{x-2}{3}\right]=\frac{1-3 x}{5} \Leftrightarrow\left[-\left[\frac{x-2}{3}\right]\right]=\frac{1-3 x}{5} \Leftrightarrow-\left[\frac{x-2}{3}\right]=\frac{1-3 x}{5} \Leftrightarrow\left[\frac{x-2}{3}\right]=\frac{3 x-1}{5} .$. + +Notăm $\left[\frac{x-2}{3}\right]=k, k \in \mathbf{Z} \Rightarrow \frac{3 x-1}{5}=k \Rightarrow x=\frac{5 k+1}{3}$ + +Așadar $k \leq \frac{x-2}{3} ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +## CLASA a X-a + +1. a) (3p) Să se arate că pentru orice numere reale $a, b$ cu $a+b \geq 0$ are loc inegalitatea: $4\left(a^{3}+b^{3}\right) \geq(a+b)^{3}$. + +b) (4p) Numerele reale pozitive $x, y$ satisfac relaţia $x+y=3 \sqrt[3]{x+1}+3 \sqrt[3]{y+3}$. Determinaţi valoarea maximă a sumei $x+y$. + +2. Dacă $a, b, c \in(1,+\infty)$, să se demonstreze: $\log _{a b^{2} c^{2}} a+\log _{b c^{2} a^{2}} b+\log _{c a^{2} b^{2}} c \geq \frac{3}{5}$. +3. Fie funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+\log _{3}\left(1+3^{x}\right)$. Să se arate că: + +a) (5p) Funcția $f$ este inversabilă și $f^{-1}(x) ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +## CLASA a $\mathbf{V}-\mathbf{a}$ + +1. a) (3p) Calculaţi: $5^{3}+6^{3}+7^{3}+11^{3}$. + +b) (4p) Arătaţi că numărul $2015^{2014}$ poate fi scris ca o sumă de patru cuburi perfecte. + +2. Se consideră mulţimea $\mathrm{A}=\left\{1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{99}\right\}$, suma $\mathrm{S}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{99}$ §̧i mulţimea $\mathrm{B}$ formată din numere care se pot scrie ca sumă de elemente diferite din mulţimea $\mathrm{A}$. + +a) (1p) Determinaţi numărul de elemente din mulţimea $\mathrm{A}$. + +b) (2p) Arătaţi ca $2015 \in B$. + +c) (3p) Arătaţi că $2 \mathrm{~S}=2+2^{2}+\ldots+2^{99}+2^{100}$ şi calculaţi $\mathrm{S}$. + +d) (1p) Justificaţi că $2^{100} \notin$ B. + +3. Fie numerele naturale $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots . ., \mathrm{a}_{2015}$, care împărţite la un număr natural nenul $n$, dau resturi diferite două câte două şi câturi nenule, diferite două câte două. + +a) (3p) Arătaţi că $n$ este mai mare ca 2014. + +b) (4p) Dacă $S$ este cea mai mică valoare a sumei $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots .+a_{2015}$, arătați că $2 \cdot\left(\mathrm{S}-2015^{2}\right)$ se poate scrie ca un produs de trei numere naturale consecutive. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 2 ore. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-707-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-707-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..593ea908314ae0b93893e42c19dad00112c8a871 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-707-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +## CLASA a XII-a + +1. Fie $(G, \cdot)$ un grup şi $A, B$ două submulţimi nevide ale lui $G$. Considerăm mulţimea + +$$ +A / B=\left\{a b^{-1} / a \in A, b \in B\right\} \quad \text { (am notat cu } b^{-1} \text { simetricul lui } b \text { în grupul } G \text { ). } +$$ + +a) (3p) Dacă $G$ este grup abelian iar $A$ şi $B$ sunt subgrupuri ale sale, demonstraţi că $A / B$ este subgrup în $G$. + +b) (4p) În grupul $\left(\mathbb{Z}_{2015},+\right)$ considerăm mulţimile $A=\left\{\hat{a} \in \mathbb{Z}_{2015} / a\right.$ se divide cu 13$\}$ şi $B=\left\{\hat{b} \in \mathbb{Z}_{2015} / b\right.$ se divide cu 31$\}$. Determinaţi mulţimea $A / B$. + +2. Demonstraţi că nu există grupuri necomutative $(G, \cdot)$ cu proprietatea că $x^{2}=e, \forall x \in G \backslash Z(G)$. + +( Am notat cu $e$ elementul neutru al grupului $G$ şi cu $Z(G)$ centrul grupului $G$, adică mulţimea elementelor din $G$ care comută cu toate elementele lui $G: \quad Z(G)=\{x \in G / x y=y x, \forall y \in G\})$ + +3. a) (2p) Dacă funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verifică relaţia $(f(x))^{5}+f(x)-x=0, \forall x \in \mathbb{R}$ atunci funcţia $f$ admite primitive. + +b) (5p) Dacă funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ verifică relaţia $(f(x))^{3}-3(f(x))^{2}-x=0, \forall x \in \mathbb{R}$ atunci funcţia $f$ nu admite primitive. + +4. Funcţia $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ este derivabilă, cu $0 \leq f^{\prime}(x) \leq 1, \forall x \in[a, b]$ şi $f(a)=0$. + +Arătaţi că $3\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\right)^{3} \geq \int_{a}^{b} f^{8}(x) d x$. + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-708-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-708-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f210f922e070055bf8569eab3ac05d6ce3be18e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-708-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=1$. Demonstraţi că $\operatorname{Tr}\left(A^{-1} B-A B^{-1}\right)=0$. +2. Fie A o matrice pătratică cu elemente întregi având determinantul egal cu 2 . Să se demonstreze că cel puţin un complement algebric al matricei $A$ este număr întreg impar. +3. Se consideră şirul de numere reale strict pozitive $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ aşa încât există $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n+1}}{y_{n}}=\ell, \ell \in(0, \infty)$. + +Dacă şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este definit prin $x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{\sqrt[n]{y_{n}}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{1}>0$ dat, să se demonstreze că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \quad \text { şi } \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=\frac{1}{\ell} +$$ + +4. Fie şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$, astel încât $x_{0}=a>0$ şi $x_{n+1}=x_{n}+\sqrt{1+x_{n}^{2}}, \forall n \in \mathbb{N}$. + +Să se studieze existenţa limitei șirului $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$, unde $y$ este număr real fixat. + +Este posibil ca limita șirului $\left(y^{n} x_{n}\right)_{n \geq 1}$ să fie 2015 ? + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-709-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-709-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7afa144d0dc610844a8eae1ee83bfda974ec1987 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-709-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,21 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +## CLASA a VIII-a + +1. a) (3p) Descompuneți în factori numărul $4 n^{4}+1, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) (4p) Determinaţi partea întreagă a numărului $A=\frac{4}{5}+\frac{8}{65}+\frac{12}{325}+\ldots+\frac{4 n}{4 n^{4}+1}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2. a) (3p) Demonstrați că $2 \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2 \sqrt{k+1}$, pentru orice numere $k \geq 0$. + +b) (4p) Arătați că: $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2015}}<90$. + +3. Fie $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare, $M$ mijlocul segmentului $(B C)$ și $N \in(A C)$, cu $A C=3 A N$. Un plan $\alpha$ ce conține dreapta $A D$ intersectează segmentul $(B N)$ î $P$. Arătați că $M N \| \alpha$ dacă și numai dacă $P$ este mijlocul segmentului $(B N)$. +4. Fie cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ și $P \in(A D)$. Dacă $A E \perp B P$ și $C F \perp B P, E, F \in(B P)$, demonstrați că $\left[C^{\prime} E\right] \equiv\left[D^{\prime} F\right]$. + +Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-71-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-0_barem_clasa6.md b/Romania_Olympiad/md/ro-71-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-0_barem_clasa6.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..507ff4657f7e6c5b448ba734566ab4fac4b5fd07 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-71-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-0_barem_clasa6.md @@ -0,0 +1,73 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-1.jpg?height=119&width=252&top_left_y=144&top_left_x=790) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019 + +## CLASA a VI-a - soluţii + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-1.jpg?height=65&width=1540&top_left_y=607&top_left_x=279) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-1.jpg?height=60&width=794&top_left_y=661&top_left_x=232) + +a) Determinaţi măsura unghiului ${\overline{A_{26} O A}}_{0}$. + +b) Pentru câte valori ale numărului natural $n, 1 \leq n \leq 25$, avem $\widehat{A_{0} O A_{n}}>\widehat{A_{0} O A_{n+1}}$ ? + +Gazeta Matematică + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-1.jpg?height=62&width=1524&top_left_y=977&top_left_x=295) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-1.jpg?height=62&width=1524&top_left_y=1037&top_left_x=295) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-1.jpg?height=60&width=1534&top_left_y=1087&top_left_x=285) +când $S_{n} \geq 180^{\circ}$, precum şi când $S_{n} \leq 180^{\circ} \leq S_{n+1}$, iar $360^{\circ}-S_{n+1}b$, atunci $(a, b) \leq a-b \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{2 p}$ Dacă împărţim $A$ în 10 grupe de câte 10 numere consecutive, există o grupă care + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fa4a0c0b0be5fe8495d2g-2.jpg?height=57&width=1585&top_left_y=541&top_left_x=232) + +Diferenţa acestor elemente este cel mult 9 , deci, conform observaţiei, cel mai mare divizor comun al lor este cel mult $9 \ldots \ldots \ldots$................................................................... + +Problema 4. O muļ̧ime va fi numită interesantă dacă elementele ei sunt numere prime şi este îndeplinită condiţia: + +oricum am alege trei elemente distincte ale multimii, suma numerelor alese este număr prim. + +Determinaţi care este numărul maxim de elemente pe care le are o mulţime interesantă. + +Soluţie. Răspunsul este patru $1 p$ + +Să arătăm că din orice mulţime de cinci numere putem alege trei astfel încât suma lor să fie divizibilă cu 3. + +Într-adevăr, dacă trei dintre numerele alese dau acelaşi rest la împărţirea cu 3 , atunci suma lor este divizibilă cu 3. În caz contrar, pentru fiecare rest la împărţirea cu 3 avem cel mult două numere dintre cele alese, deci avem cel puţin un număr care la această împărţire dă restul 0 , un număr care dă restul 1 şi un număr care dă restul 2 ; suma acestor numere este divizibilă cu 3 + +Din cele de mai sus reiese că o mulţime interesantă nu poate avea cinci sau mai multe elemente, deoarece în acest caz găsim trei numere cu suma divizibilă cu 3 , iar suma lor este mai mare decât 3 . O mulţime interesantă de patru numere este $7,13,17,23 \ldots 3 \mathbf{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-710-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-710-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fccc8e6321d10c13dcedce55dfa081209b946b6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-710-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +CLASA a VII-a + +1. a) (3p) Determinaţi partea întreagă a numărului $a=\frac{\sqrt{3}-81}{\sqrt{3}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{3^{3}}+\ldots+\sqrt{3^{7}}}$. + +b) (4p) Arătaţi că $\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{6+\sqrt{6}}+\sqrt{12+\sqrt{12}}+\ldots+\sqrt{210+\sqrt{210}}<119$. + +2. a)(4p) Fie $x \neq-1, y \neq-2, z \neq-3$ numere raţionale, astfel încât $\frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014$. Calculaţi $\frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3}$. + +b) (3p) Fie $a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}$. Arătaţi că $a<1$. + +3. Fie triunghiul oarecare $\triangle A B C, N$ mijlocul $[A C], E$ simetricul lui $B$ faţă de $N$ şi $P$ simetricul lui $C$ faţă de $B$. Dacă dreapta $P E$ intersectează laturile $[A B]$ si $[A C]$ în punctele $M$, respectiv $F$, calculaţi raportul $\frac{F M}{M P}$. +4. În triunghiul dreptunghic $\triangle A B C, M$ este mijlocul ipotenuzei $[B C],[B P$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A B M, P \in A M$, iar $[A Q$ este bisectoarea unghiului $\Varangle C A M, Q \in B C$. Demonstraţi că dreptele $B P$ şi $A Q$ sunt perpendiculare dacă şi numai dacă triunghiul $\triangle A B C$ este isoscel. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +## 2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. + +## 3. Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-711-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-711-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48cfb5245d87d7428d964e1210041e1f3e80e503 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-711-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,17 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA
15 februarie 2015
CLASA a VI-a + +1. Aflați numerele de forma $\overline{a b c d}$, scrise în baza $10, \overline{c d}<\overline{a b}$, știind că produsul dintre numărul format din primele două cifre ale numărului și numărul format din ultimele două cifre ale sale este egal cu 300, iar $\frac{(\overline{a b}, \overline{c d})}{[\overline{a b}, \overline{c d}]}=0,08(3)$; unde prin $(\overline{a b}, \overline{c d})$ și $[\overline{a b}, \overline{c d}]$ s-au notat respectiv c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru numerele $\overline{a b}$ și $\overline{c d}$. +2. a) (3p) Fie $A=\left\{\frac{2024}{13}, \frac{2025}{14}, \frac{2026}{15}, \ldots\right\}$ și $B=\{x \in \mathbb{N} \mid x \in A\}$. Aflaţi cardinalul mulțimii $B$. + +b) (4p) Determinați numerele $a, b, c \in \mathbb{N}$, cu $a ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +15 februarie 2015 + +## CLASA a IX-a + +1. a) (3p) Să se determine minimul expresiei $E(a)=(a+2)\left(a^{2}-6 a+16\right)$, unde $a \in[0,+\infty)$. + +b) (4p) Demonstrați că pentru orice numere reale pozitive $a, b, c \in[0,+\infty)$, cu + +$a+b+c=6$, are loc inegalitatea: $\frac{1}{a^{2}-6 a+16}+\frac{1}{b^{2}-6 b+16}+\frac{1}{c^{2}-6 c+16} \leq \frac{3}{8}$. Precizați cazul de egalitate. + +2. Să se determine cardinalul mulțimii $A=\left\{x_{n} \in \mathbb{Q} \left\lvert\, x_{n}=\frac{n^{2}+2}{n^{2}-n+2}\right., n \in \mathbb{N}, 1 \leq n \leq 2015\right\}$. +3. Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi dreptunghic $\left(m(\Varangle A)=90^{\circ}\right)$ și $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{M}$ respectiv picioarele înălțimii, bisectoarei și medianei din $\mathrm{A}$. Se notează $B C=a, A C=b, A B=c$. Arătați că: + +$$ +\overrightarrow{A E}=\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2} \overrightarrow{A D}+\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^{2}\right] \overrightarrow{A M} +$$ + +4. Fie triunghiul $A B C, O$ centrul cercului circumscris triunghiului $A B C, I_{1}$ centrul cercului înscris în triunghiul $A B O$ şi $I_{2}$ centrul cercului înscris în triunghiul $A C O$. Demonstraţi că $I_{1} I_{2} \| B C$ dacă şi numai dacă $[A B] \equiv[A C]$. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-713-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-713-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..80b7a354618c4d7ecdc9a95ef44997d7de290c60 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-713-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015
CLASA a VI-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunţ subiect 1 Determinaţi numerele naturale $a, b, a asociat | +| :--- | :--- | +| $a^{2}+a=a(a+1)$. Un produs de două numere consecutive este multiplu de 2, prin
urmare $\frac{a^{2}+a}{2}$ este număr natural. Analog, $\frac{b^{2}+b}{2}$ este număr natural. Deducem că
$\frac{c+3}{c+1}$ este număr natural. | | +| Dar $\frac{c+3}{c+1}=1+\frac{2}{c+1}$ sii atunci $c+1 \in\{1,2\}$. Obținem $c=0$ sau $c=1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Pentru $c=0$ avem $\frac{a^{2}+a}{2}+\frac{b^{2}+b}{2}=3$, de unde rezultă $a=0, b=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Pentru $c=1$ avem $\frac{a^{2}+a}{2}+\frac{b^{2}+b}{2}=2$, nu îndeplineşte condiţile. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunţ subiect $2 \mathrm{Se}$ consideră următoarele numere naturale: + +$a=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots . .27 \cdot 29 \cdot 31$ si $b=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots . .27 \cdot 29$. + +a) Demonstraţi că numărul a este divizibil cu 2015 . + +b) Aflaţi cel mai mare număr natural n cu proprietatea că numărul a+b este divizibil cu $10^{\mathrm{n}}$. + +c) Să se afle câţ̦i divizori care sunt pătrate perfecte are numărul a. + +Autor :Prof. Traian Preda + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) $5 \cdot 13 \cdot 31=2015 \Rightarrow 2015 \mid \mathrm{a}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{b}) \mathrm{a}+\mathrm{b}=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots . \cdot \cdot 27 \cdot 29 \cdot 32=5^{4} \cdot 2^{5} \cdot \mathrm{x} \mathrm{cu}(\mathrm{x}, 10)=1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow 10^{4} \mid \mathrm{a}+\mathrm{b}, 10^{5} \mathrm{nu}$ divide $\mathrm{a}+\mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{n}=4$ | $1 \mathrm{p}$ | +| c) $\mathrm{a}=3^{8} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 13 \cdot \ldots . \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31$ descompunerea lui $\mathrm{a}$ î factori primi | $1 \mathrm{p}$ | +| orice divizor pătrat perfect al lui a
este de forma $3^{2 \mathrm{i}} \cdot 5^{2 \mathrm{j}} \cdot 7^{2 \mathrm{k}}$ unde $\mathrm{i} \in\{0,1,2,3,4\} ; \mathrm{j} \in\{0,1,2\} \mathrm{k} \in\{0,1\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| vom avea $5 \cdot 3 \cdot 2=30$ de pătrate perfecte. | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunţ subiect 3: Se consideră mulţimea $A=\{\overline{a b} \mid \overline{a b}$ divizibil cu 5$\}$. Pentru o submulțime $B \subseteq A$ notăm cu $m_{B} \quad$ media aritmetică a elementelor sale. Să se determine submulţimile $B$ de cardinal maxim ştiind că $m_{B} \in A$ + +Autor :Prof. Traian Preda + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| $\mathrm{A}=\{5 \cdot 2,5 \cdot 3, \ldots 5 \cdot 19\} \Rightarrow \mathrm{m}_{\mathrm{A}}=\frac{5 \cdot 189}{18} \notin \mathrm{A} \Rightarrow$ card $\mathrm{B} \leq 17$. Arătăm card $B=17$. | $2 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{B}=\mathrm{A} \backslash\{5 \cdot \mathrm{x}\}, \mathrm{x} \in\{2,3,4 \ldots, 19\} \Rightarrow \mathrm{m}_{\mathrm{B}}=\frac{5 \cdot(189-x)}{17} \in \mathrm{A} \Leftrightarrow 17\|189-\mathrm{x} \Leftrightarrow 17\| 19-\mathrm{x}$ | | +| $\Leftrightarrow \mathrm{x} \in\{2,19\}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow \mathrm{B}=\mathrm{A} \backslash\{10\}$ sau $\mathrm{B}=\mathrm{A} \backslash\{95\}$. | $2 \mathrm{p}$ | + +Enunţ subiect 4: Fie unghiurile complementare $\measuredangle A O B$ și $\Varangle B O C$. Știind că măsura unghiului determinat de bisectoarele lor este egală cu $25^{\circ}$, calculați măsurile celor două unghiuri. + +Autor: *** + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1f27900a12ae32dcf25cg-2.jpg?height=434&width=585&top_left_y=1618&top_left_x=221) + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Dacă unghiurile sunt adiacente, atunci unghiul dintre bisectoare are măsura de $45^{\circ}$
Prin urmare unghiurile nu pot fi complementare | $3 \mathrm{p}$ | +| Presupunem $m(\measuredangle B O A) avem $m(\measuredangle M O N)=b-a$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Avem $a+b=45^{\circ}$ și $b-a=25^{\circ}$, de unde $b=35^{\circ}$ și $a=10^{\circ}$ Rezultă
$m(\measuredangle B O A)=20^{\circ} m(\measuredangle B O C)=70^{\circ}$ | $2 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-714-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-714-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cec0a5cb5d93be3b845ebefb31d936f7b4907bbf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-714-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,81 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015
CLASA a V-a
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunţ subiect 1 Determinați numerele naturale care, adunate cu suma propriilor cifre, dau rezultatul 2015. + +Autor: Prof.Mihaela Berindeanu + +| Detalii rezolvare | | Barem
asociat | +| :---: | :---: | :---: | +| Dacă $x=\overline{a b c} \Rightarrow \overline{a b c}+a+b+c \leq 999+9+9+9$ Neacceptat
Numărul căutat are 4 cifre | | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă $x=\overline{a b c d} \Rightarrow \overline{a b c d}+a+b+c+d=2015 \Rightarrow 1001 a+101 b+11 c+2 d=2015$ | | $1 \mathrm{p}$ | +| $a>3$ | Neacceptat pentru că $\overline{a b c d}+a+b+c+d>2015$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $a \in\{1,2$ | $a=2 \Rightarrow 2002+101 b+11 c+2 d=2015$
$101 b+11 c+2 d=13 \Rightarrow b=0$
$11 c+2 d=13$ cu soluție unică $c=d=1$
Numărul căutat este 2011 și $2011+4=2015$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\qquad b=9 \Rightarrow 11 c+2 d=105 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c=9 \\ d=3\end{array}\right.$
Numărul căutat este 1993 şi $1993+22=2015$ | | $2 \mathrm{p}$ | +| Numerele | care îndeplinesc cerințele problemei sunt deci 2011 şi 1993. | | + +Enunţ subiect 2 Se dau mulțimile de numere naturale $A=\{x-1 ; 2 x-3 ; 3 x+1 ; 4 x-1\}$ și $B=\{4 x-2,3 x+2,3 x-6,2 x-4\}$. Determinaţi $x$ pentru care $A=B$. + +Autor: GM-B 11/2014 + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| Pentru ca mulțimile să fie egale trebuie să aibă aceleași elemente | $1 \mathrm{p}$ | +| Se arată că singura variantă posibilă este $2 x-3=3 x-6(2 x-3$ este impar, prin
urmare nu poate fi egal cu $2 x-4$ sau $4 x-2$ care sunt numere pare. $2 x-3$ nu poate
fi egal cu $3 x+2$, acesta fiind mai mare $)$ | $3 \mathrm{p}$ | +| Din $2 x-3=3 x-6$ obținem $x=3$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Pentru $x=3$ obținem $A=\{3,2,10,11\}=B$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Soluţie alternativă: suma elementelor mulţimii $A$ = suma elementelor mulţimii B........ + +Enunţ subiect 3: În figura de mai jos, sunt n pătrate, în fiecare pătrat fiind scrise numai puteri ale lui 2 , după cum se observă: + +| 1 | $2^{1}$ | +| :---: | :---: | +| $2^{2}$ | $2^{3}$ | + + +| $2^{4}$ | $2^{5}$ | +| :--- | :--- | +| $2^{6}$ | $2^{7}$ | + + +| $2^{8}$ | $2^{9}$ | +| :---: | :---: | +| $2^{10}$ | $2^{11}$ | + +a) Arătați că suma numerelor din oricare dintre cele $n$ pătrate este multiplu de 5 . + +b) Demonstrați că produsul numerelor din oricare dintre cele $n$ pătrate este pătrat perfect. + +c) Aflați restul împărțirii la 1024 a sumei tuturor numerelor aflate în primele 2015 pătrate. + +Autor: Prof.Ion Cicu, Prof. Cristian Olteanu, Prof.Traian Preda + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a)Î́n fiecare pătrat avem numerele $2^{n}, 2^{n+1}, 2^{n+2}, 2^{n+3}$ și atunci
$2^{n}+2^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+3}=2^{n}\left(1+2+2^{2}+2^{3}\right)=2^{n} \cdot 15$ care este multiplu de 5.
Dacă face verificare pentru primele 3 pătrate se dă 1 p, care nu se cumulează cu
cele $2 p$ anterioare. | $2 \mathrm{p}$ | +| b)Avem $2^{n} \cdot 2^{n+1} \cdot 2^{n+2} \cdot 2^{n+3}=2^{4 n+6}=\left(2^{2 n+3}\right)^{2}$, adică este pătrat perfect.
Dacă face verificare pentru primele 3 pătrate se dă 1 p, care nu se cumulează cu
cele $2 p$ anterioare | $2 \mathrm{p}$ | +| c) $1024=2^{10}$ și $1+2+2^{2}+\ldots+2^{9}<2^{10}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $1+2+2^{2}+\ldots+2^{9}+2^{10}+\ldots+2^{8059}=\left(2^{10}-1\right)+2^{10}\left(1+\ldots+2^{8049}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Restul împărțirii este $2^{10}-1=1023$ | $1 \mathrm{p}$ | + +Enunţ subiect 4 : Trei fraţi vor să-şi cumpere împreună, din economiile lor, o tabletă în valoare de 2015 lei. Fratele cel mai mare contribuie cu o sumă de trei ori mai mare decât jumătatea sumei cu care contribuie cel mai mic dintre frați, iar fratele mijlociu contribuie cu o sumă cuprinsă intre sumele celorlalți doi frați. Fiecare dintre sumele cu care contribuie cei trei frați sunt exprimate prin numere naturale de lei. + +a) Aflați cea mai mică sumă de lei cu care contribuie fratele mijlociu. + +b) Aflați numărul soluțiilor problemei și cea mai mare sumă cu care contribuie fratele mijlociu. + +Autor: Prof. Victor Nicolae, Prof. Simion Petre +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6ab42ae817e0e190de91g-3.jpg?height=292&width=1002&top_left_y=741&top_left_x=253) + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a)Desenul şi aflarea unui segment $2015: 7=287$ rest 6. | $2 \mathrm{p}$ | +| Aşadar fratele mic contribuie cu $287 \cdot 2=574 \quad$ lei, fratele mijlociu contribuie cu
$574+6=580$ lei și este cea mai mică sumă cu care contribuie cel mijlociu, iar fratele cel
mai mare contribuie cu $287 \cdot 3=861$ lei. | $1 \mathrm{p}$ | +| b)Valoarea cu care suma celui mijlociu depăseşte suma celui mai mic are forma $6+7 \mathrm{k}$ şi
jumătatea sumei celui mai mic are forma 287-k.
Obținem inecuaţia $6+7 k<287-k$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Rezolvarea inecuației
$k \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 35\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare
36 de soluții, Cea mai mare sumă cu care participă fratele mijlociu este
$(287-35) \cdot 2+6+7 \cdot 35=755$ lei. | $1 \mathrm{p}$ | + +Soluţie alternativă cu ajutorul ecuaţilor şi al inecuaţiilor. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-715-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-715-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da0216088ad425cadbfcb58d28992b075477d939 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-715-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,24 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA PE SECTOR, 15.02.2015 + +## CLASA a VIII-a + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. + +Timp de lucru: 3 ore. + +Subiectul 1. a) Arătaţi că $x^{3}-3 x+2 \geq 0$ pentru orice număr $\mathrm{x}$ real, $x \geq 0$; + +b) Determinaţi numerele reale şi pozitive $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2014}, x_{2015}$ care verifică egalitatea $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{2015}^{3}=3\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{2015}\right)-4030$ + +Subiectul 2. Determinați numerele prime $p>q$, știind că $p(1+3 p q)+q(1-3 p q)=p^{3}-q^{3}$. + +Subiectul 3. În cubul $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ fie $\mathrm{R}, \mathrm{S}, \mathrm{T}$ mijloacele muchiilor [AB], [B`C`], si respectiv [DD'].Dacă $\mathrm{M}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ sunt mijloacele segmentelor [C'R], [AS] şi respectiv [BT], atunci: + +a) Arătați că MQ este paralelă cu planul (DCC') + +b) Determinați aria triunghiului $\mathrm{MPQ}$, dacă $\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}$ + +Subiectul 4. Fie VABCD și SABCD două piramide patrulatere cu aceeași bază $A B C D$ şi vărfurile de o parte şi de alta a planului $(\mathrm{ABC})$. Pe cele 12 muchii și 6 vârfuri ale corpului obținut se înscriu numere naturale de la 1 la 18, câte unul în mijlocul fiecărei muchii și al fiecărui vârf. + +Este posibil ca pe fiecare muchie a corpului nou obținut, numărul înscris în mijlocul muchiei să fie media aritmetică a numerelor înscrise în extremitătile muchiei respective? + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-716-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-716-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a175a86f4afe8a3d4031e4750b3ed1fab4a520c2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-716-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,29 @@ +# CLASA a VII-a + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. + +Timp de lucru: 3 ore. + +Subiectul 1. Determinaţi numerele rationale $\mathrm{x}$ şi y care verifică egalitatea : + +$$ +\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{(|2 x+y|-5) \cdot \sqrt{5}+\sqrt{2}}{|3 y-3| \cdot \sqrt{5}+\sqrt{3}} +$$ + +Subiectul 2. Fie $x \neq-1, y \neq-2, z \neq-3$ numere raţionale astfel încât + +$$ +\begin{aligned} +& \quad \frac{2015}{x+1}+\frac{2015}{y+2}+\frac{2015}{z+3}=2014 \\ +& \text { Calculați } \frac{x-1}{x+1}+\frac{y}{y+2}+\frac{z+1}{z+3} +\end{aligned} +$$ + +Subiectul 3. Fie A, B, C trei puncte necoliniare. Dacă D este mijlocul lui [BC], M este mijlocul lui $[\mathrm{AD}]$, $\mathrm{E}$ este simetricul lui $\mathrm{B}$ faţă de $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ aparţine segmentului $[\mathrm{BM}]$ astfel încât $\mathrm{m}(\Varangle A N C)=\mathrm{m}(\Varangle D N M)=90^{\circ}$. + +Arătaţi că patrulaterul $A E C D$ este dreptunghi. + +Subiectul 4. Se consideră pătratul $A B C D$ şi punctele $\mathrm{M} \in(B C) ; O \in(B D) ; N \in(C D$ astfel încât $\mathrm{O}$ este mijlocul segmentului MN. Determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului MAN. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-717-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-717-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c447d347014614d4f26b1bbe05ef9cd75e275b0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-717-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,44 @@ +# CLASA a XI-a + +## Problema 1. + +a) Să se arate că ecuația $X^{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -4 & -2\end{array}\right)$ nu are soluţii în $M_{2}(\mathbb{C})$. + +b) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ -2 & -2\end{array}\right)$. Să se calculeze $A^{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Vasile Gorgotă + +## Problema 2. + +Fie matricea $A \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=\operatorname{det}\left(A+2 I_{3}\right)$. Să se arate că + +$$ +2 \operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)+\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)+6=3 \operatorname{det}(A) +$$ + +G.M. 6-7-8/2014 + +## Problema 3. + +Fie şirul de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin + +$$ +\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\left(x_{n+1}+x_{n}+2\right) \leq 0, \forall n \geq 0 +$$ + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} x_{k}$. + +Vasile Gorgotă + +## Problema 4. + +a) Să se determine $a, b \in \mathbb{R}$ dacă $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-\cos (x-1)}{x^{2}+a x+b}=\frac{1}{2}$. + +b) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie cu proprietatea că are limite laterale finite în orice punct din $\mathbb{R}$. Demonstraţi că funcţia transformă mulţimi mărginite în mulţimi mărginite. + +Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-718-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-718-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e5bc9002641ef9cf1a63701a5268965a958fbfd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-718-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,35 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ-15.02.2015
CLASA A X-A + +## SUBIECTULI + +Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația: $3 \cdot 2^{x}+2 \cdot 3^{x}+6^{x}=6(x-1)^{2}$ + +prof. Florentina Dicu, prof. Adrian Bălășel , Rm Vâlcea + +## SUBIECTUL II + +Fie funcția $f: R \rightarrow R$, astfel încât $(f \circ f)(x)=-x^{3}, \forall x \in R$ + +1) Arătați că funcția $f$ este inversabilă; +2) Precizați dacă există funcții strict monotone cu proprietatea din enunț. Justificați răspunsul. + +## SUBIECTUL III + +Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1, z_{1}+z_{2}+z_{3} \neq 0$ şi $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0$. + +Demonstrați că $\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|=2$. + +prof. Nicolae Muşuroia + +## SUBIECTULIV + +În mulțimea numerelor reale, rezolvaţi ecuaţia: $\log _{3}\left(9 x^{2}+\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{\sin ^{2} x+1}}{3-\cos ^{2} x}$ + +prof. Florentina Dicu, prof. Adrian Bălăşel, Rm Vâlcea + +## Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7 puncte. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-719-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-719-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b60e90b4b4829686a5697303f21505e3ecd98512 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-719-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALÃ-15.02.2015
CLASA A VI-A + +1. Găsitic cifrele nenule $a, b, c$, astfel încât + +(7p) + +2. + +(3p) + +(2p) + +(2p) + +3. Fie $B O A$ și $B O C$ două unghiuri adiacente complementare, $(O D$ bisectoarea unghiului $B O A$ şi ( $O E$ bisectoarea unghiului $C O D$. Considerăm cazul în care semidreapta ( $O E$ este interioară unghiului $C O B$. +4. Se consideră triunghiul $A B C$ oarecare $\mathrm{cu} A B5^{1209}$. + +c) Aflați restul împărțirii numărului $A$ la 121 . + +Prof. Constantin Popescu, Șc. Gim. ,Take Ionescu" Râmnicu Vâlcea + +a) Dacă măsura unghiului $D O A$ este de $x^{0}, x \in \mathbb{N}^{*},\left(x<30^{\circ}\right)$, exprimați măsura unghiului $B O E$ în funcție de măsura unghiului $D O A$ (în funcție de $x^{0}$ ). + +b) Dacă măsura unghiului $B O E$ este de $12^{\circ}$, aflați măsura unghiului $D O A$. + +c) Determinați măsura unghiului $D O A$ știind că $m(\Varangle B O E)=\frac{3}{8} \cdot m(\Varangle D O A)$. + +Prof. Gheorghe Radu, C.N.I. "Matei Basarab", Râmnicu Vâlcea Prof. Cristina Pîrvuţă, Șc. Gim. Nr. 10, Râmnicu Vâlcea + +b) Arătați că ( $A O$ este bisectoarea unghiului $M A N$. + +Prof. Tiberiu Pigui, Liceul ,Antim Ivireanu", Râmnicu Vâlcea + +Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare subiect este punctat de la 0 la 7 puncte. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-72-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa5.md b/Romania_Olympiad/md/ro-72-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa5.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ada2d41caaba60b25b2715dfc0d1c733bab33fe0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-72-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa5.md @@ -0,0 +1,87 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3dd00a25927e70aa5fc0g-1.jpg?height=110&width=248&top_left_y=151&top_left_x=795) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană/a Sectoarelor Municipiului Bucureşti, 16 martie 2019 SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi pentru câte triplete $(m, n, p)$ de numere naturale nenule mai mici sau egale cu 5 numărul + +$$ +A=2^{m}+3^{n}+5^{p} +$$ + +este divizibil cu 10 . + +Soluţie. Ultima cifră a lui $A$ este 0 şi ultima cifră a lui $5^{p}$ este 5 (indiferent de valoarea lui $p$ ), deci ultima cifră a sumei $2^{m}+3^{n}$ este egală cu 5 $2 p$ + +Ultimele cifre ale numerelor $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}$, respectiv $2^{5}$ sunt $2,4,8,6$, respectiv $2 \mathbf{1 p}$ + +Ultimele cifre ale numerelor $3^{1}, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}$, respectiv $3^{5}$ sunt $3,9,7,1$, respectiv $3 \mathbf{1 p}$ Ca urmare, perechea $(m, n)$ poate fi aleasă în 7 moduri şi anume: $(1,1)$; $(1,5) ;(2,4)$; $(3,3) ;(4,2) ;(5,1) ;(5,5)$ $2 p$ + +Deoarece $p$ poate fi oricare dintre numerele $1,2,3,4$ sau 5 , există $7 \cdot 5=35$ de triplete $(m, n, p)$ cu proprietatea din enunts $1 p$ + +Problema 2. La ora de matematică, fiecare din cei 25 de elevi ai clasei a V-a primeşte câte un cartonaş pe care este scris un număr natural nenul. Fiecare elev împarte numărul de pe cartonaş la 24 şi comunică profesorului restul obţinut la împărţire. Suma resturilor obţinute este 288. Elevul Daniel constată că resturile obţinute de colegii săi sunt diferite două câte două, iar câtul şi restul obţinute de el sunt egale. + +a) Ce număr este scris pe cartonaşul lui Daniel? + +b) Aflaţi suma numerelor scrise pe cele 25 de cartonaşe, ştiind că fiecare elev, în afara lui Daniel, a obţinut câtul cu 1 mai mare decât restul. + +Soluţie. a) Cei 24 de colegi ai lui Daniel au obţinut cele 24 de resturi diferite posibile la împărţirea cu 24 , şi anume $0,1,2, \ldots, 23$............................................1p + +Rezultă că restul obţinut de Daniel este $288-(0+1+2+3+\ldots+23)=12 \ldots$ 1p + +Ca urmare, pe cartonaşul lui Daniel se află scris numărul $24 \cdot 12+12=300 \ldots$ 1p + +b) Dacă unul din colegii lui Daniel a obţinut restul $r, 0 \leq r \leq 23$, la împărţirea cu 24, atunci pe cartonaşul său este scris numărul $24 \cdot(r+1)+r=25 r+24 \ldots \ldots \ldots$. . . . 1p + +De aici obţinem că suma numerelor de pe cartonaşele colegilor este: + +$$ +\begin{aligned} +S & =(25 \cdot 0+24)+(25 \cdot 1+24)+(25 \cdot 2+24)+\ldots+(25 \cdot 23+24)= \\ +& =25 \cdot(1+2+\ldots+23)+24 \cdot 24=7476 +\end{aligned} +$$ + +Problema 3. La un turneu de şah, fiecare dintre participanţi a jucat cu fiecare alt participant câte o partidă. La finalul turneului, organizatorul a jucat şi el câte o partidă cu câţiva dintre participanţi, astfel că în total s-au jucat 100 de partide. + +Care a fost numărul participanţilor şi câte partide a jucat organizatorul turneului? + +Soluţie. Dacă numărul participanţilor este $n$, atunci numărul partidelor jucate de + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3dd00a25927e70aa5fc0g-2.jpg?height=49&width=1589&top_left_y=756&top_left_x=230) + +Numărul total de partide este strict mai mic decât 100, deci $(n-1) \cdot n<200$, de unde rezultă $n \leq 14$ + +$2 p$ + +Presupunând $n \leq 13$, numărul partidelor jucate de participanţi între ei este cel mult egal cu $12 \cdot 13: 2=78$, atunci numărul partidelor jucate de organizator ar fi cel puţin egal cu 22, care este mai mare decât numărul participanţilor, în contradicţie cu ipoteza problemei + +$2 p$ + +Pentru $n=14$, participanţii la turneu joacă 91 de partide între ei, iar organizatorul joacă 9 partide + +Problema 4. a) Determinaţi numerele de 4 cifre scrise în baza 10 a căror scriere în baza 2 conţine doar cifra 1. + +b) Aflaţi câte numere de patru cifre scrise în baza 10 se scriu în baza 2 folosind exact o cifră 0 . + +Soluţie. a) Scriind în baza 10 un număr scris cu $n$ cifre de 1 în baza 2, avem: $\overline{11 \ldots 1}_{(2)}=2^{n-1}+2^{n-2}+\ldots+2^{2}+2+1=2^{n}-1$ $1 p$ + +Numerele de patru cifre de forma $2^{n}-1$ sunt $2^{10}-1=1023,2^{11}-1=2047,2^{12}-1=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3dd00a25927e70aa5fc0g-2.jpg?height=62&width=1589&top_left_y=1666&top_left_x=230) + +b) Numerele care se scriu în baza 2 folosind o singură cifră 0 se pot exprima ca diferenţa dintre două numere dintre care descăzutul $D$ se scrie în baza 2 doar cu cifra 1, iar scăzătorul $S$ se scrie în baza 2 folosind doar o cifră 1 , urmată eventual de câteva zerouri: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3dd00a25927e70aa5fc0g-2.jpg?height=108&width=612&top_left_y=1949&top_left_x=716) + +$1 p$ + +Trecând în baza 10, descăzutul $D$ este un număr de forma $2^{n}-1$, iar scăzătorul $S$ este de forma $2^{p}$, unde $0 \leq p \leq n-2$, deoarece pentru $p=n-1$ diferenţa este egală cu $2^{n-1}-1$, care se scrie doar cu cifre de 1 . Rezultă că diferenţa $D-S$ este cuprinsă între $2^{n}-1-2^{n-2}$ şi $2^{n}-2$ si, întrucât $D-S$ este număr de patru cifre, obţinem $2^{n}-2 \geq$ 1000 si $2^{n}-1-2^{n-2} \leq 9999$, de unde $10 \leq n \leq 13$ + +$1 p$ + +Dacă descăzutul $D$ este $2^{10}-1=1023$, pentru ca diferenţa să aibă patru cifre, scăzătorul $S$ poate lua doar valorile $1,2,4,8$ sau 16 (5 posibilităţi). Dacă $D=2^{11}-1$, atunci scăzătorul $S$ poate fi $1,2,2^{2}, \ldots, 2^{9}$ (10 posibilităţi), pentru $D=2^{12}-1$ sunt 11 variante de alegere a lui $S$, iar pentru $D=2^{13}-1$, scăzătorul poate fi ales în 12 moduri. + +Aşadar, sunt $5+10+11+12=38$ de numere de patru cifre care se scriu în baza 2 cu o singură cifră 0 + +$3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-720-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-720-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac6694e5d71002a78d72666f2fb4b547e6d90832 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-720-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,47 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6bcd192ef8589886bed9g-1.jpg?height=332&width=329&top_left_y=111&top_left_x=1206) + +# OLIMPIADA NAȚONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-15.02.2015 + +Clasa a V-a + +1. Calculați : +a. $3^{2} \cdot\left\{5-2^{3} \cdot\left[2004-3\left(2004: 2^{2}+13^{2}-2 \cdot 2004^{0}\right)\right]\right\}$ + +b. suma primelor 2015 numere naturale + +c. produsul primelor 2015 numere naturale. + +Prof. Burlan Adrian + +2. Se dau sumele $S=5+15+25+\cdots+1005$ şi $s=1+3+5+\cdots+201$. Atunci: + +a. Arătați că sumele $\mathrm{S}$ și s au același număr de termeni. + +b. Găsiți un divizor de trei cifre al diferenței $S-s$. + +c. Arătați că diferența $S-s$ este pătrat perfect. + +Prof. Statie Ileana + +3. Daniela împreună cu tatăl ei și cu bunica sa au 90 ani. Peste 2 ani tata va avea de 8 ori vârsta fiicei, iar bunica de 2 ori vârsta actuală a tatălui. Ce vârstă are fiecare? + +G.M. 11/2014 Supliment + +4. Dacă $a=10^{59}-9 \cdot 10^{58}$ şi + +$b=5^{4} \cdot 25^{11} \cdot 125^{10} \cdot\left(2^{59}+2^{58}+2^{57}+2^{56}\right)$, atunci: + +a. Comparați a cub. + +b. Aflați ultimele 114 cifre ale numărului $n=(a+b)^{2}$. + +c. Arătați că restul împărțirii numărului a la b este cub perfect. + +Prof. Statie Alexandru + +Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare subiect este notat de la 0 la 7 puncte. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-721-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-721-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..79eebc24498da5e3d99bf9cb05704090117bc2ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-721-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,42 @@ +# CLASA a IX-a + +Subiectul 1: a) Demonstraţi identitatea + +$$ +\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}-\frac{(x+y)^{2}}{a+b}=\frac{(b x-a y)^{2}}{a b(a+b)} +$$ + +b) Rezolvaţi ecuaţia + +$$ +\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{3}=\frac{\left(x+x^{2}\right)^{2}}{5} +$$ + +Subiectul 2: a)Arătaţi că pentru orice $\mathrm{x}$ real are loc inegalitatea + +$$ +\left|\frac{2 x}{x^{2}+1}\right| \leq 1 +$$ + +b) Rezolvaţi ecuaţia în mulţimea numerelor reale + +$$ +\left[\frac{2 x}{x^{2}+1}\right]=\left[\frac{x}{2}\right] +$$ + +Subiectul 3: a) Să se demonstreze identitatea Botez-Catalan + +$$ +\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2 n},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +b) Fie $\mathrm{p}$ si q numere naturale astfel încât $\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$. Demonstrați că 1979 divide pe $\mathrm{p}$. + +Subiectul 4: Considerăm paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ cu $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=\mathrm{c}$ şi $\mathrm{BD}=\mathrm{b}$ şi fie $M \in(B C)$ astfel încât $\overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{M C}$. Dacă G este centrul de greutate al triunghiului $\mathrm{ABD}$, I centrul cercului înscris în triunghiul BCD, iar punctele G, I și M sunt coliniare, arătaţi că $4 a=2 b+5 c$. + +Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-722-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-722-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..18805e39d711141d814825711f7f7e205cd84ec2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-722-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - $\mathbf{1 5 . 0 2 . 2 0 1 5}$
CLASA A XII-A + +## SUBIECTUL I + +Să se calculeze $I=\int_{2}^{3} \frac{\ln (x-1)}{x^{2}+1} d x$. + +Prof. Cătălin Bîrzescu, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL II + +Fie $(G, \cdot)$ un grup în care nu există elemente de ordinul 2. Să se arate că dacă $(x y)^{2}=(y x)^{2}$, pentru orice $x, y \in G$, atunci $G$ este grup abelian. + +G.M. nr.6-7-8/2013 + +## SUBIECTUL III + +Fie $M=\left\{A(x) \left\lvert\, A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1-x & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \\ x & 0 & 1-x\end{array}\right)\right., x \in \mathbf{R} \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\}\right\}$. + +a) Să se arate că $(M, \cdot)$ este grup abelian. + +b) Să se calculeze simetricul elementului $A(2015)$. + +c) Să se calculeze $A^{n}(x), n \in \mathbf{N}^{*}$. + +Prof. Cătălin Pană, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL IV + +Fie $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ o funcție continuă cu proprietatea că $f(1-x)+f(1+x)=f(x), \forall x \in \mathbf{R}$. Să se arate că $\int_{0}^{2015} f(x) d x=\int_{2013}^{2014} f(x) d x$. + +Prof. Cătălin Bîrzescu, Rm. Vâlcea + +## Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este punctat de la 0 la 7 puncte. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-723-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-723-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a3b55698f128f21299dae5b03f4c339b8ccd1e9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-723-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,49 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_866956b46d9f7474e802g-1.jpg?height=323&width=326&top_left_y=110&top_left_x=1205) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ - 15.02.2015
CLASA A VIII-A + +## SUBIECTUL I + +a) Determinaţi numerele întregi $x, y, z$ care îndeplinesc simultan condiţiile: +i) $x \cdot y \cdot z=-500$; + +ii) $x(3 y-z)+y(3 z-x)+z(3 x-y)-(x+y-z)^{2}=7 z^{2}$. + +Gheorghe Radu, Rm. Vâlcea + +b) Numerele reale nenule $a$ şi $b$ verifică egalitatea $a^{2} \cdot b^{-2}-3 \cdot a^{-2} \cdot b^{2}=2$. Să se arate că $a$ ş $b$ nu pot fi simultan numere raţionale. + +Maranda Linţ şi Dorin Linţ, Deva, G.M. + +## SUBIECTUL II + +Se consideră expresia $E(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1, x \in \boldsymbol{R}$. + +a) Demonstraţi că $\sqrt{E(x)} \in N$, pentru orice $x \in N$; + +b) Arătaţi că $\sqrt{\sqrt{E\left(x^{2}\right)}} \in \boldsymbol{R} \backslash \boldsymbol{Q}$, pentru orice $x \in \boldsymbol{Z}$. + +Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL III + +$$ +\text { În triunghiul } A B C \text { avem } m(\Varangle A)=90^{\circ}, \operatorname{tg}(\Varangle B)=\frac{\sqrt{2}}{2} \text { şi } B C=5 \sqrt{6} \mathrm{~cm} \text {. } +$$ + +a) Calculaţi aria triunghiului $A B C$; + +b) Dacă $M A \perp(A B C)$ şi $M A=4 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$, aflaţi distanţa de la $M$ la $C D$, unde [CD] este mediană în $\triangle A B C$; + +c) Dacă $A N \perp C D, N \in[C D]$ şi $A N \cap B C=\{O\}$, demonstraţi că $[B O] \equiv[O C]$. + +Leon Genoiu, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL IV + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ având muchia de lungime $a$ se consideră punctele $M \in(B C)$ şi $N \in\left(D D^{\prime}\right)$. Fie $\{P\}=A C \cap D M$ şi $\{Q\}=N C \cap D C^{\prime}$. + +a) Dacă $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ sunt mijloacele muchiilor (BC), respectiv (DD'), calculaţi lungimea lui $[M N]$. + +b) Demonstraţi că $P Q \|\left(A B C^{\prime}\right) \Leftrightarrow B M=N D^{\prime}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-724-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-724-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c7b174018ded8eed0b9896911402a228cc9c19d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-724-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,54 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_eb28f70772d6cdc0901eg-1.jpg?height=326&width=331&top_left_y=111&top_left_x=1205) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ-15.02.2015
CLASA A VII-A + +## SUBIECTUL 1 + +Fie numerele: $A=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2013}{2014}$ si $B=\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{2014}{2015}$. + +a) Să se calculeze $A \cdot B$ + +b) Să se arate că a patra zecimală a numărului $A^{2}$ este cel mult 4 . + +Prof. Badea Cătălin, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL 2 + +Se consideră o mulțime $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{Z}$ care are proprietățile: + +(1) $0 \in A$ și + +(2) dacă $2 a-3 b \in A$, atunci $a \in A$ și $b \in A$. + +Arătați că A $=\mathrm{Z}$. + +G.M. nr. 12 / 2014 (Adriana Dragomir, Oțelul Roșu) + +## SUBIECTUL 3 + +Se dă pătratul $A B C D$ de latură $6 \mathrm{~cm}$. Punctele $M, N \in$ (DC) astfel încât $[D M] \equiv[M N] \equiv[N C], \quad P \in(A D)$ și $Q \in(B C)$ astfel încât $P D=B Q=\frac{1}{3} A B$ și $N Q \cap P M=\{E\}$. + +a) Aflați aria patrulaterului MNQP; + +b) Aflați valoarea raportului $\frac{E N}{N Q}$; + +c) Calculați distanța de la punctul $\mathrm{E}$ la dreapta $\mathrm{AB}$. + +Prof. Mazilu Marin, Rm. Vâlcea + +## SUBIECTUL 4 + +Se consideră paralelogramul $A B C D c u A B=a, B C=b$ şi $m(\angle B A D)=75^{\circ}$. Fie punctul $P \in(C D)$ astfel încât $m(\angle P A B)=30^{\circ}$ și semidreapta $[P B$ este bisectoarea unghiului APC. + +a) Calculaţi perimetrul patrulaterului $A B C P$; + +b) Calculaţi aria patrulaterului $A B C P$. + +Prof. Radu Gheorghe, Rm. Vâlcea + +Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare subiect este punctat de la 0 la 7 puncte. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-725-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-725-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab5053ad1870e64ff863bcfdf2f1370d3cb5f362 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-725-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,104 @@ +Ministerul Educaţiei şi Cercetării Ştiinţifice + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Vaslui + +# Olimpiada Naţională de Matematică - Clasa a XII-a + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +1. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ o funcţie continuă şi injectivă cu proprietatea că $f(1)=1$. Demonstraţi că, dacă există $x_{0} \in(0,1)$ astfel încât $f\left(x_{0}\right) \geq 2$, atunci $\int_{0}^{1} \operatorname{arctg}(f(x)) d x>\frac{3}{4}$. + +Gazeta Matematică, enunţ modificat + +2. Fie $(G, \cdot)$ un grup şi mulţimea $Z(G)=\{x \in G \mid x y=y x,(\forall) y \in G\}$. Dacă $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G \backslash Z(G)$, demonstraţi că $(G, \cdot)$ este grup comutativ. + +Gazeta Matematică + +3. Se consideră funcţiile $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=1+\{x\}(1-\{x\})$ si $F: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$, unde prin $\{x\}$ am notat partea fracţionară a numărului real $x$. + +a) Demonstraţi că $f$ admite primitive şi că orice primitivă a sa este strict crescătoare pe $\mathbf{R}$. + +b) Să se arate că există $a \in \mathbf{R}$ astfel încât funcţia $G: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, G(x)=F(x)-a x$ să fie periodică, având o perioadă egală cu 1 . + +4. Fie $f: \mathbf{R}^{*} \rightarrow \mathbf{R}$ o funcţie pentru care mulţimea $G=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}x & 0 \\ f(x) & 1\end{array}\right) \right\rvert\, x \in \mathbf{R}^{*}\right\}$ este parte stabilă a mulţimii matricelor pătratice de ordin 2 în raport cu înmulţirea matricelor. Să se arate că ( $G, \cdot)$ este grup abelian izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale nenule. + +Notă: 1. Timp de lucru 3 ore. + +2. Fiecare subiect se notează de la 0p la 7 p. Punctaj maxim 28 p. + +Ministerul Educaţiei şi Cercetării Ştiinţifice + +Inspectoratul Şcolar Judeţean Vaslui + +## Olimpiada Naţională de Matematică - Clasa a XII-a
Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015
Soluţii şi bareme orientative + +1. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ o funcţie continuă şi injectivă cu proprietatea că $f(1)=1$. Demonstraţi că, dacă există $x_{0} \in(0,1)$ astfel încât $f\left(x_{0}\right) \geq 2$, atunci $\int_{0}^{1} \operatorname{arctg}(f(x)) d x>\frac{3}{4}$. + +Soluţie: Cum $f$ este continuă şi injectivă rezultă că $f$ este strict monotonă. + +Cum $f(1)=1$ şi $(\exists) x_{0} \in(0,1)$ cu $f\left(x_{0}\right) \geq 2$ rezultă că $f$ este strict descrescătoare. + +2p + +$\Rightarrow f(x) \geq f(1)=1,(\forall) x \in[0,1]$. Cum funcţia arctg este monoton crescătoare pe $\mathbf{R} \Rightarrow$ $\operatorname{arctg}(f(x)) \geq \operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}, \quad(\forall) x \in[0,1]$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Atunci, $\int_{0}^{1} \operatorname{arctg}(f(x)) d x \geq \frac{\pi}{4}(1-0)>\frac{3}{4}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +2. Fie $(G, \cdot)$ un grup şi mulţimea $Z(G)=\{x \in G \mid x y=y x,(\forall) y \in G\}$. Dacă $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G \backslash Z(G)$, demonstraţi că $(G, \cdot)$ este grup comutativ. + +Soluf̧ie: Vom demonstra că $Z(G)=G$. Presupunem prin reducere la absurd că ( $\exists) x \in G \backslash Z(G)$. Atunci, există $y \in G$ cu proprietatea că $x y \neq y x$. + +Rezultă că $y \in G \backslash Z(G)$, în caz contrar $y$ comută cu $x$. Prin urmare $x^{2}=e$ şi $y^{2}=e$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Să presupunem că $x y \in Z(G)$. Atunci, $(x y) y=y(x y) \Rightarrow x=y x y \quad \Rightarrow \quad x y=y x$, contradicţie. + +Dacă $x y \in G \backslash Z(G)$ atunci $(x y)^{2}=e \Rightarrow x y x y=e \Rightarrow y x=x y$, contradicţie. $2 \mathrm{p}$ + +Prin urmare, $Z(G)=G$, ceea ce arată că $G$ este grup comutativ. + +$1 \mathrm{p}$ + +3. Se consideră funcţiile $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=1+\{x\}(1-\{x\})$ si $F: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$, unde prin $\{x\}$ am notat partea fracţionară a numărului real $x$. + +a) Demonstraţi că $f$ admite primitive şi că orice primitivă a sa este strict crescătoare pe $\mathbf{R}$. +b) Să se arate că există $a \in \mathbf{R}$ astfel încât funcţia $G: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, G(x)=F(x)-a x$ să fie periodică, având o perioadă egală cu 1 . + +Soluţie: a) Deoarece $f(x)=1+(x-k)(1+k-x),(\forall) x \in(k, k+1), k \in \mathbf{Z} \Rightarrow \mathbf{f}$ este continuă pe orice interval de forma $(k, k+1)$ ca fiind funcţie elementară. + +$1 \mathrm{p}$ + +Fie $n \in \mathbf{Z}$. Atunci, $\lim _{x>n} f(x)=\lim _{x>n}[1+(x-n+1)(n-x)]=1$ iar $\lim _{x \searrow n} f(x \searrow)=\lim _{x \searrow n}[1+(x-n)(1+n-x)]=1$. Cum $f(n)=1$, rezultă că $f$ este continuă în orice punct $x_{0}=n \in \mathbf{Z}$. Prin urmare, $f$ este continuă pe $\mathbf{R} \Rightarrow f$ admite primitive. + +Dacă $F: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ este o primitivă a functुiei $f$ atunci $F^{\prime}(x)=f(x)$, ( $\left.\forall\right) x \in \mathbf{R}$. Cum $\{x\} \in[0,1)$, rezultă că $f(x) \geq 1>0,(\forall) x \in \mathbf{R}$, ceea ce arată că $F$ este strict crescătoare. +b) $G(x+1)=G(x)$, $(\forall) x \in \mathbf{R} \Rightarrow \Rightarrow F(x+1)-a(x+1)=F(x)-a x$, ( $\forall) x \in \mathbf{R}$ ceea ce conduce la $a=\int_{x}^{x+1} f(t) d t$. + +Cum $f$ este periodică de perioadă 1 , iar pentru orice $x \in \mathbf{R}$ există $n \in \mathbf{Z}$ astfel ca $n \leq x0$ şi $a_{n+1}=\frac{16 a_{n}^{3}+15 a_{n}}{16},(\forall) n \in \mathrm{N}$ + +a) Arătaţi că, pentru $a_{0} \in\left(0 ; \frac{1}{4}\right]$, şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent şi calculaţi limita sa. + +b) Arătaţi că, pentru $a_{0}>\frac{1}{4}$, şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este divergent. + +3. Fie $A, B \in M_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=1$. Să se demonstreze echivalenţa $(A B-B A)^{2}=O_{2} \Leftrightarrow A^{2}+B^{2}=A^{-1} B A B+B^{-1} A B A$. + +Gazeta matematică + +4. a)Calculaţi $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{[x]+[2 x]+\ldots[n x]}{x}, n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $a$. + +b)Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ pentru care există şi sunt finite $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\ln n}=l$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=L$. Sǎ se determine relaţia între $l$ şi $L$. + +Notă. Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +Soluții și bareme orientative - Clasa a XI-a + +1. Pentru orice douǎ numere pozitive $\mathrm{x}$ şi y considerǎm determinantul: + +$$ +\Delta(x ; y)=\left|\begin{array}{lll} +x & y & y \\ +y & x & y \\ +y & y & x +\end{array}\right| +$$ + +a) Arătaţi că $\Delta(x ; y) \geq 0,(\forall) x, y \in[0, \infty)$. + +b) Calculaţi $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\Delta(1 ; x)}{\sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}+2}-1}$. + +## Solutie. + +a) $\Delta(x, y)=(x+2 y)\left|\begin{array}{lll}1 & y & y \\ 1 & x & y \\ 1 & y & x\end{array}\right|$ +$\Delta(x, y)=(x+2 y)(x-y)^{2}$ +$\Delta(x, y) \geq 0, \forall x, y \in[0, \infty)$ +b) $\Delta(1, x)=(1+2 x)(1-x)^{2}=2 x^{3}-3 x^{2}+1$ +$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\Delta(1, x)}{\sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}+2}-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-3 x^{2}+1}{\sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}+2}-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\frac{\left(\left(2 x^{3}-3 x^{2}+1\right)+1\right)^{\frac{1}{2}}-1}{2 x^{3}-3 x^{2}+1}}$ 1 p + +Se obține limita egală cu 2. + +2. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{0}>0$ şi $a_{n+1}=\frac{16 a_{n}^{3}+15 a_{n}}{16},(\forall) n \in \mathbb{N}$. + +a) Arătaţi că, pentru $a_{0} \in\left(0 ; \frac{1}{4}\right]$, şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este convergent şi calculaţi limita sa. + +b) Arătaţi că, pentru $a_{0}>\frac{1}{4}$, şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ este divergent. + +## Soluție. + +Se demonstrează prin inducţie matematicǎ $\mathrm{P}(\mathrm{n}): a_{n}>0, \forall n \in \mathbb{N}$ +a) $a_{0} \in\left(0 ; \frac{1}{4}\right)$ + +$a_{1}-a_{0}=\frac{16 a_{0}^{3}+15 a_{0}}{16}-a_{0}=\frac{16 a_{0}^{3}-a_{0}}{16}=\frac{a_{0}\left(4 a_{0}-1\right)\left(4 a_{0}+1\right)}{16}<0$ + +Se demonstrează prin inducţie matematicǎ $\mathrm{P}(\mathrm{n}): a_{n+1}>a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}$ + +$\mathrm{P}(0)$ adevărată + +Din $a_{k+1}>a_{k}$ se obţine $\frac{16 a_{k+1}^{3}+15 a_{k+1}}{16}>\frac{16 a_{k}^{3}+15 a_{k}}{16}$, deci $a_{k+2}>a_{k+1}$ + +Șirul este descrescător şi mărginit inferior, deci este convergent şi există $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \in\left[0 ; \frac{1}{4}\right]$ + +Se trece la limită în relaţia de recurenţă şi se rezolvă $16 l^{3}-l=0$. + +Se obţine $l=0$. + +Dacǎ $a_{0}=\frac{1}{4}$, se demonstrează prin inducţie cǎ $a_{n}=\frac{1}{4}, \forall n \in \mathbb{N}$ cu limita $\frac{1}{4}$. + +b)pentru $a_{0} \in\left(\frac{1}{4} ; \infty\right)$ se observǎ cǎ + +$a_{1}-a_{0}=\frac{16 a_{0}^{3}+15 a_{0}}{16}-a_{0}=\frac{16 a_{0}^{3}-a_{0}}{16}=\frac{a_{0}\left(4 a_{0}-1\right)\left(4 a_{0}+1\right)}{16}>0$ + +Se demonstrează prin inducţie matematică $\mathrm{P}(\mathrm{n}): a_{n+1}0$, avem $k \leq \frac{[k x]}{x}<\frac{k x+1}{x}, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$ +Conform criteriului cleşelui obţinem $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{[k x]}{x}=k, \forall k \in \mathbb{N}^{*}$ +$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{[x]+[2 x]+\ldots[n x]}{x}=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ +b)Deoarece $b_{n}=\ln n, n \in \mathbb{N}^{*}$ este un şir strict crescător şi nemărginit superior, iar +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\ln n}=l$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{\ln (n+1)-\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n\left(a_{n+1}-a_{n}\right)}{n \ln \frac{n+1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n\left(a_{n+1}-a_{n}\right)}{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}=L$ existǎ şi sunt +finite, conform Stolz-Cesaro obținem $l=L$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-727-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-727-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..acaf3ccc865d1b956bbbf9bc4b73415a10c3b983 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-727-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,126 @@ +# Clasa a X-a + +Problema 1. Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ definit prin $a_{1}=\sqrt[4]{2015}, a_{n+1}=\sqrt[4]{2015+\sqrt[n+1]{a_{n}}}$ pentru orice $n \geq 1$. Să se calculeze $\left[a_{1}\right]+\left[a_{2}\right]+\ldots+\left[a_{2015}\right]$, unde $[x]$ este partea întreagă a numărului real $x$. + +Problema 2. Fie $n \in N, n \geq 2$ și numerele $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbf{C}$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\ldots=\left|z_{n}\right|=1$ și $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=0$. + +a) Demonstrați că $\left|z-z_{1}\right|^{2}+\left|z-z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z-z_{n}\right|^{2}=n|z|^{2}+n$ pentru orice $z \in \mathbf{C}$. + +b) Demonstraţi că $\left|z-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|+\ldots+\left|z-z_{n}\right| \leq n \sqrt{2}$, pentru orice $z \in \mathbf{C},|z| \leq 1$. + +Gazeta Matematică + +Problema 3. Să se rezolve în $\mathbf{R}$ ecuaţia: $\left[\frac{x-2014}{2015}-\left[\frac{x}{2015}\right]\right]=\log _{2016}\left(\frac{x}{2014}\right)$, unde $[x]$ este partea întreagă a numărului real $x$. + +Problema 4. Dacă $a, b, c \in[2,+\infty)$, atunci $\log _{b+c} a+\log _{c+a} b+\log _{a+b} c \geq \frac{3}{2}$. + +Notă. Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică + +## Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +Soluții și bareme orientative - Clasa a X-a + +Problema 1. Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ definit prin $a_{1}=\sqrt[4]{2015}, a_{n+1}=\sqrt[4]{2015+\sqrt[n+1]{a_{n}}}$ pentru orice $n \geq 1$. Să se calculeze $\left[a_{1}\right]+\left[a_{2}\right]+\ldots+\left[a_{2015}\right]$, unde $[x]$ este partea întreagă a numărului real $x$. + +Soluție. $6^{4}=1296<2015<2401=7^{4} \Leftrightarrow 6<\sqrt[4]{2015}<7 \Rightarrow\left[a_{1}\right]=6$ + +$$ +\begin{aligned} +& 60$ + +$$ +\begin{aligned} +& {\left[\frac{x-2014}{2015}-\left[\frac{x}{2015}\right]\right]=\log _{2016}\left(\frac{x}{2014}\right) } \\ +\Leftrightarrow & {\left[\frac{x}{2015}-\left[\frac{x}{2015}\right]+\frac{1}{2015}\right]-1=\log _{2016}\left(\frac{x}{2014}\right) \Leftrightarrow } \\ +\Leftrightarrow & {\left[\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right]-1=\log _{2016}\left(\frac{x}{2014}\right) } \\ +& \left\{\frac{x}{2015}\right\} \in[0 ; 1) \Rightarrow\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015} \in\left[\frac{1}{2015}, \frac{2016}{2015}\right) \Rightarrow\left[\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right] \in\{0 ; 1\} +\end{aligned} +$$ + +I. Dacă $\left[\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right]=1$, atunci ecuația devine: + +$$ +\log _{2016}\left(\frac{x}{2014}\right)=0 \Leftrightarrow x=2014>0 +$$ + +Verificăm dacă soluția obținută respectă condiția $\left[\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right]=1$ + +$\left[\left\{\frac{2014}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right]=\left[\frac{2014}{2015}+\frac{1}{2015}\right]=\left[\frac{2015}{2015}\right]=1$ + +II. Dacă $\left[\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right]=0$, atunci ecuaţia devine: + +$\log _{2016}\left(\frac{x}{2014}\right)=-1 \Leftrightarrow x=\frac{2014}{2016}>0$ + +Verificăm dacă soluția obținută respectă condiția $\left[\left\{\frac{x}{2015}\right\}+\frac{1}{2015}\right]=0$ + +$$ +\left[\left\{\frac{2014}{2015 \cdot 2016}\right\}+\frac{1}{2015}\right]=\left[\frac{2014}{2015 \cdot 2016}+\frac{1}{2015}\right]=\left[\frac{4030}{2015 \cdot 2016}\right]=0 +$$ + +Deci ecuația are soluțiile: $x_{1}=2014, x_{2}=\frac{2014}{2016}$. + +Problema 4. Dacă $a, b, c \in[2,+\infty)$, atunci $\log _{b+c} a+\log _{c+a} b+\log _{a+b} c \geq \frac{3}{2}$. + +## Solutie. + +$$ +\begin{aligned} +& a \geq 2, b \geq 2 \Rightarrow a b \geq a+b \Rightarrow \log _{a+b} c \geq \log _{a b} c=\frac{\lg c}{\lg a+\lg b} \\ +& \left(\frac{2 a b}{a+b} \geq \min (a, b) \geq 2 \Leftrightarrow a b \geq a+b\right) \\ +& \log _{b+c} a+\log _{c+a} b+\log _{a+b} c \geq \frac{\lg a}{\lg b+\lg c}+\frac{\lg b}{\lg c+\lg a}+\frac{\lg c}{\lg a+\lg b} +\end{aligned} +$$ + +Notăm $\lg a+\lg b=x, \lg b+\lg c=y, \lg c+\lg b=z$ + +$\Rightarrow \lg a=\frac{x-y+z}{2}, \lg b=\frac{x+y-z}{2}, \lg c=\frac{-x+y+z}{2}$ + +$\frac{\lg a}{\lg b+\lg c}+\frac{\lg b}{\lg c+\lg a}+\frac{\lg c}{\lg a+\lg b}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2} \geq \frac{3}{2}$ + +S-a folosit inegalitatea $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2,(\forall) x, y>0$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-728-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-728-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a7fb7c779fe6900348fffb405b8468cffd93006 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-728-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,178 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică + +## Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. Să se rezolve în $Z$ ecuația: $\sqrt{x^{2}-2000}+\sqrt{2074-x^{2}}=|44 x+1992|$. + +Problema 2. Aflați numerele întregi n, astfel încât $\sqrt{24 n+1}$ să fie număr natural. + +Problema 3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un paralelogram cu $A C \perp A D$. Notăm cu $\mathrm{S}$ simetricul lui $\mathrm{A}$ față de mijlocul laturii $\mathrm{CD}$ și cu $\mathrm{Q}$ proiecția lui $\mathrm{C}$ pe diagonala $\mathrm{BD}$. Demonstrați că $\Varangle S D Q \equiv \Varangle S A Q$. + +## Gazeta Matematică + +Problema 4. În planul $\alpha$ se consideră segmentul $[A B]$ având lungimea de $12 \mathrm{~cm}$ și două puncte mobile $\mathrm{M}$ și $\mathrm{N}$, simetrice față de punctul $\mathrm{O}$, mijlocul segmentului $[A B]$, astfel încât $[A B] \equiv[M N]$.Pe perpendiculara în punctul A pe planul $\alpha$ se consideră punctul $\mathrm{P}$, la distanță de $2 \sqrt{7} \mathrm{~cm}$ de punctul A. + +a) Să se afle perimetrul triunghiului PMN de arie maximă; + +b) Dacă punctul $\mathrm{S}$ este simetricul punctului $\mathrm{P}$ față de punctul $\mathrm{O}$, să se afle distanța de la punctul A la planul patrulaterului PMSN, care are arie maximă. + +Notă. Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 1 la 7 puncte. + +Din oficiu se acordă 4 puncte. + +Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +Soluții și bareme orientative - Clasa a VIII-a + +Problema 1. Să se rezolve în $Z$ ecuația: $\sqrt{x^{2}-2000}+\sqrt{2074-x^{2}}=|44 x+1992|$. + +## Soluție. 1p din oficiu + +Condiția de existență a radicalului: + +$$ +\begin{array}{r} +x^{2}-2000 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 2000 \\ +2074-x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} \leq 2074, \text { deci } \Rightarrow 2000 \leq x^{2} \leq 2074 +\end{array} +$$ + +(1p) + +Cum $x \in \mathrm{Z}$ şi $2000 \leq x^{2} \leq 2074 \Rightarrow x \in\{-45 ; 45\}$ $\qquad$ +(1p) + +Pentru: + +$x= \pm 45 \Rightarrow \sqrt{x^{2}-2000}=\sqrt{25}=5 s ̧ i \sqrt{2074-x^{2}}=\sqrt{49}=7$, deci $12=|44 x+1992|$ $\qquad$ (2p) + +Dacă $x=45$ obținem $12=|44 \cdot 45+1992|(F)$ + +Dacă $x=-45$ obținem $12=|44 \cdot(-45)+1992|(A)$, și rezultă $x=-45$ + +Deci $S=\{-45\}$ + +Problema 2. Aflați numerele întregi n, astfel încât $\sqrt{24 n+1}$ să fie număr natural. + +## Soluție. 1p din oficiu + +Condiția de existență a radicalului $24 n+1 \geq 0 \Rightarrow n \geq-\frac{1}{24}$ si $n \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \in \mathbb{N}$ $.0,5 p$ + +24 n +1 număr impar și cum $\sqrt{24 n+1} \in \mathbb{N} \Rightarrow 24 n+1=(2 k+1)^{2},(\forall) k \in \mathbb{N}$..... $1 p$ + +Obținem $24 n+1=4 k^{2}+4 k+1 \Rightarrow 24 n=4 k(k+1) \Rightarrow n=\frac{k(k+1)}{6}$ $1 p$ + +Cum $n \in \mathbb{N} \Rightarrow k(k+1) \vdots 6$ $.0,5 p$ + +Dar $\mathrm{k}$ și $\mathrm{k}+1$ sunt numere consecutive şi rezultă $k(k+1) \vdots 2,(\forall) k \in \mathbb{N}$...... + +Deci $k(k+1) \vdots 3 \Rightarrow k=3 t$ sau $k=3 t+2,(\forall) t \in \mathbb{N}$ $1 p$ + +Dacă: $k=3 t \Rightarrow n=\frac{t(3 t+1)}{2}$ + +$$ +k=3 t+2 \Rightarrow n=\frac{(3 t+2)(t+1)}{2} +$$ + +Deci $n \in\left\{\frac{t(3 t+1)}{2}\right\} \cup\left\{\frac{(3 t+2)(t+1)}{2}\right\}$, unde $t \in \mathbb{N}$. + +Finalizare 1p + +## Obs. Pentru aflarea unor valori ale lui $\mathbf{n}$ se acordă 1 punct. + +Problema 3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un paralelogram cu $A C \perp A D$. Notăm cu $\mathrm{S}$ simetricul lui $\mathrm{A}$ față de mijlocul laturii $\mathrm{CD}$ și cu $\mathrm{Q}$ proiecția lui $\mathrm{C}$ pe diagonala $\mathrm{BD}$. Demonstrați că $\Varangle S D Q \equiv \Varangle S A Q$. + +## Gazeta Matematică + +## Soluția 1. 1p din oficiu + +În $\triangle A D C:(A O)$ mediană relativă ipotenuzei $\Rightarrow A O=O D=O C(1)$ + +Analog în $\triangle Q D C \Rightarrow O D=O C=O Q(2)$ + +Dar $\mathrm{AO}=\mathrm{OS}(3)$ + +Deci punctele A,Q,C,S,D $\in \mathrm{C}(\mathrm{O}, \mathrm{OA})$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b85f7de9e1f92d54ac64g-4.jpg?height=482&width=576&top_left_y=684&top_left_x=1391) + +Unghiurile SDQ și SAQ sunt înscrise în cerc și obținem: + +$m(\measuredangle S D Q)=\frac{m(\overparen{Q S})}{2}=m(\Varangle Q A S)$ + +$(1,5 p)$ + +Deci $\Varangle S D Q \equiv \Varangle S A Q(\mathbf{0 , 5 p})$ + +## Solutia 2. 1p din oficiu + +Avem ADSC - dreptunghi (diagonalele se înjumătățesc și are un unghi drept) $2 p$ + +Obținem $\Varangle S D C \equiv \Varangle S A C\left(\widehat{D_{1}} \equiv \widehat{A_{1}}\right)(1)$ + +(1p) + +Dar ADCQ - patrulater inscriptibil pentru că $\Varangle D A C \equiv \Varangle D Q C(\Varangle 1 d r)(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +Rezultă $\widehat{C D Q} \equiv \widehat{C A Q}\left(\widehat{D_{2}} \equiv \widehat{A_{2}}\right)$ + +(2) (1p) + +Avem $m(\widehat{S D Q})=m\left(\widehat{D_{1}}\right)+m\left(\widehat{D_{2}}\right)$ și $\left.m(\widehat{S A Q})=m\left(\nless A_{1}\right)+m\left(\nless A_{2}\right)(3) \mathbf{( 0 , 5 p}\right)$ + +Din relațiile (1),(2),(3) obținem $\Varangle S A Q \equiv \Varangle S D Q$ (0,5p) + +Problema 4. În planul $\alpha$ se consideră segmentul $[A B]$ având lungimea de $12 \mathrm{~cm}$ și două puncte mobile $\mathrm{M}$ și $\mathrm{N}$, simetrice faţă de punctul $\mathrm{O}$, mijlocul segmentului $[A B]$, astfel încât $[M N] \equiv[A B]$ Pe perpendiculara în punctul A pe planul $\alpha$ se consideră punctul $\mathrm{P}$, la distanță de $2 \sqrt{7} \mathrm{~cm}$ de punctul A. + +a) Să se afle perimetrul triunghiului PMN de arie maximă; + +b) Dacă punctul $\mathrm{S}$ este simetricul punctului $\mathrm{P}$ faţă de punctul $\mathrm{O}$, să se afle distanța de la punctul A la planul patrulaterului PMSN, care are arie maximă. + +## Soluție. 1p din oficiu + +a) $A_{P M N}=\frac{M N \cdot d(P, M N)}{2}$ maximă, dacă $\mathrm{d}(\mathrm{P}, \mathrm{MN})$ maximă. + +Rezultă că d(A,MN) este maximă. + +Fie $A I \perp M N, I \in(M N)$. + +Din $\mathrm{AB}=\mathrm{MN}$ și $\mathrm{N}=\mathrm{S}_{\mathrm{o}}(\mathrm{M}) \mathrm{cu} O \in(A B) ; A O=O B$ rezultă că punctele + +$A ; B ; M$ și $N$ sunt conciclice și d (A; MN) + +este maximă când $\mathrm{AI}=\mathrm{AO}=6 \mathrm{~cm}$. + +Deci $A O \perp M N$ $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b85f7de9e1f92d54ac64g-5.jpg?height=517&width=534&top_left_y=958&top_left_x=1403) + +(1p) + +Din $P A \perp \alpha, A O \perp M N$ rezultă prin $T_{3 \perp} c a ̆ ~ P O \perp M N(\mathbf{0}, \mathbf{5 p})$ + +$\mathrm{PO}=\sqrt{P A^{2}+A O^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{7})^{2}+6^{2}}=\sqrt{64}=8$ + +În $\triangle P O M$, aplicând $T . P$ obținem $P M=10(\mathbf{0 , 5 p})$ + +În $\triangle P M N, P O \perp M N$ şi $M O=O N$ obținem $\triangle P M N$ isoscel + +$P_{M N P}=2 \cdot 10+12=32(\mathrm{~cm})(\mathbf{0 , 5 p})$ + +b)PMSN este romb pentru că diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare, având aria maximă, pentru APMN maximă. (1p) + +Avem $A O \perp M N, P O \perp M N$ și fie $A T \perp P S$ + +$$ +\Rightarrow \operatorname{prin} T R T_{3 \perp} c a ̆ a T \perp(P M N)(\mathbf{1} \boldsymbol{p}) +$$ + +În $\triangle A P D$ obținem prin $T h_{2}: A T=\frac{A O \cdot A P}{P O} \Rightarrow A T=\frac{6 \cdot 2 \sqrt{7}}{8}=\frac{3 \sqrt{7}}{2}(\mathrm{~cm})$ (1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b85f7de9e1f92d54ac64g-5.jpg?height=777&width=674&top_left_y=1710&top_left_x=1291) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-729-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-729-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ebc282755078f03b674d5ae232c0a240a036af4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-729-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. a) Se dă numărul $\overline{147 a b c}$ care este pătrat perfect. Calculați $\sqrt{6 \sqrt{\overline{147 a b c}}}$. + +b) Determinați numerele raționale $x$ și $y$ care verifică relația $(4+\sqrt{50}) y-(2-\sqrt{8}) x=5+\sqrt{32}$. + +Problema 2. Să se determine numărul natural nenul $x$, astfel încât $\frac{\sqrt{3}+2 \sqrt{x}}{3 \sqrt{3}-\sqrt{x}} \in \mathbb{Z}$. + +Problema 3. Se dă triunghiul $\mathrm{ABC} \mathrm{cu} \mathrm{AB}>\mathrm{AC}$, iar punctul $\mathrm{G}$ este centrul de greutate. Fie punctele $\mathrm{E}$ și $\mathrm{P}$ simetricele punctului $\mathrm{G}$ față de dreapta $\mathrm{BC}$ respectiv faţă de punctul $\mathrm{M}$, mijlocul laturii $(\mathrm{BC})$, și $\mathrm{GE} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{D}\}$. Dacă punctul H este mijlocul segmentului ( AE), demonstrați că: + +a) patrulaterul GHDM este paralelogram; + +b) patrulaterul BCEP este trapez isoscel. + +Problema 4. Se consideră un triunghi $\mathrm{ABC}$ și punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ pe laturile $[\mathrm{BC}],[\mathrm{AC}]$, respectiv $[\mathrm{AB}]$ astfel încât $: \frac{B M}{B C}=\frac{C N}{C A}=\frac{A P}{A B}=\frac{1}{3}$. Dacă E este mijlocul lui $[\mathrm{NP}]$ și F este mijlocul lui $[\mathrm{BC}]$, demonstrați că $\mathrm{EF}$ este paralelă cu $\mathrm{AM}$ și $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \cdot A M$. + +Gazeta Matematică + +Notă. Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 1 la 7 puncte. + +Din oficiu se acordă 4 puncte. + +Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +Soluții și bareme orientative - Clasa a VII-a + +Problema 1. a) Se dă numărul $\overline{147 a b c}$ care este pătrat perfect. Calculați $\sqrt{6 \sqrt{147 a b c}}$. + +b) Determinaţi numerele raționale $\mathrm{x}$ și $\mathrm{y}$ care verifică relația $(4+\sqrt{50}) \mathrm{y}-(2-\sqrt{8}) \mathrm{x}=5+\sqrt{32}$. + +## Soluție. 1p din oficiu + +a) Avem $147000<\overline{147 \mathrm{abc}}<147999$ și $\overline{147 \mathrm{abc}}=\mathrm{k}^{2}, \mathrm{k} \in \mathrm{N}$ (1p) + +Obținem k=384 (1p). Calculând $\sqrt{6 \sqrt{147 a b c}}=\sqrt{6 \cdot 384}=48(\mathbf{1 p})$ + +b)Se obține $4 \mathbf{y}+5 \sqrt{2} y-2 \mathrm{x}+2 \sqrt{2} \mathrm{x}=5+4 \sqrt{2}$ (1p) de unde $(4 \mathrm{y}-2 \mathrm{x})+(5 \mathrm{y}+2 \mathrm{x}) \sqrt{2}=5+4 \sqrt{2} . \mathbf{( 0 , 5 p})$ + +Obținem $4 y-2 x=5$ și $5 y+2 x=4(\mathbf{0 , 5 p})$ de unde $x=\frac{-1}{2}$ și $y=1(\mathbf{1 p})$. + +Problema 2. Să se determine numărul natural nenul $x$, astfel încât $\frac{\sqrt{3}+2 \sqrt{x}}{3 \sqrt{3}-\sqrt{x}} \in \mathbb{Z}$. + +## Soluție. 1p din oficiu + +$\frac{\sqrt{3}+2 \sqrt{\mathrm{x}}}{3 \sqrt{3}-\sqrt{\mathrm{x}}}=\mathrm{a}$, unde $\mathrm{a} \in \mathbb{Z} \mathbf{( 1 p )}$. Rezultă $\sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{2+a}{3 a-1} \in \mathbb{Q}$, de unde $\mathrm{x}=3 \mathrm{p}^{2}, \mathrm{p} \in \mathbb{N}^{*}(\mathbf{1 p})$ + +Obținem $\left.\mathrm{a}=\frac{2 p+1}{3-p} \in \mathbb{Z}(\mathbf{1} \mathbf{p}) \rightarrow 3-\mathrm{p} \right\rvert\, 2 \mathrm{p}+1(\mathbf{0}, \mathbf{5 p})$ și cum 3-p $\mid 3$-p obținem 3-p $\mid 7(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +Rezultă $p \in\{2 ; 4 ; 10\}(\mathbf{1 p})$. Deci $x \in\{12 ; 48 ; 300\}(\mathbf{0 , 5 p})$ + +Problema 3. Se dă triunghiul $\mathrm{ABC}$ cu $\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$, iar punctul $\mathrm{G}$ este centrul de greutate. Fie punctele $\mathrm{E}$ și $\mathrm{P}$ simetricele punctului $\mathrm{G}$ față de dreapta $\mathrm{BC}$ respectiv față de punctul $\mathrm{M}$, mijlocul laturii $(\mathrm{BC})$, și $\mathrm{GE} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{D}\}$. Dacă punctul $\mathrm{H}$ este mijlocul segmentului $(\mathrm{AE})$, demonstrați că: + +a) patrulaterul GHDM este paralelogram; + +b) patrulaterul BCEP este trapez isoscel. + +## Soluție. 1p din oficiu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b7f8adfde8da4824d81g-3.jpg?height=699&width=1131&top_left_y=787&top_left_x=385) + +a) G-centrul de greutate $\Delta \mathrm{ABC} \rightarrow \mathrm{GM}=\frac{A G}{2}$ si $\mathrm{GM}=\mathrm{MP} \rightarrow \mathrm{G}$ mijlocul lui (AP) (1p). + +Dar $\mathrm{H}$ mijlocul segmentului( $\mathrm{AE}) \rightarrow(\mathrm{GH})$ linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{APE} \rightarrow \mathrm{GH}=\frac{P E}{2}$ și $\mathrm{GH}|| \mathrm{PE}(1) \ldots$ (0,5p). Cum $\mathrm{M}$ este mijlocul lui (GP), D mijlocul lui (GE) $\rightarrow$ (MD) linie mijlocie în triunghiul GPE. + +Obținem $\mathrm{MD}=\frac{P E}{2}$ si $\mathrm{MD}|| \mathrm{PE}(2) \mathbf{( 1 p )}$. Din relațiile (1) și (2) rezultă $\mathrm{GH}|| \mathrm{MD}$ și $\mathrm{GH}=\mathrm{MD}$, de unde GHDM este paralelogram $(\mathbf{0 , 5 p})$. + +b) $\mathrm{PE}|| \mathrm{BC} \rightarrow \mathrm{BCEP}$ este trapez $(\mathbf{0 , 5 p})$ + +Punctul M este mijlocul segementelor (BC) și ( GP) $\rightarrow$ patrulaterul BGCP este paralelogram (1p) rezultă că $\mathrm{BG}=\mathrm{PC}$. Dar dreapta $\mathrm{BD}$ este mediatoarea segmentului(GE) $\rightarrow \mathrm{BG}=\mathrm{BE} \quad$ (1p). Obținem $\mathrm{BE}=\mathrm{PC}$ deci trapezul BCEP este isoscel $\mathbf{( 0 , 5 p}$ ) + +Problema 4. Se consideră un triunghi $\mathrm{ABC}$ și punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ pe laturile $[\mathrm{BC}],[\mathrm{AC}]$, respectiv $[\mathrm{AB}]$ astfel încât $: \frac{B M}{B C}=\frac{C N}{C A}=\frac{A P}{A B}=\frac{1}{3}$. Dacă E este mijlocul lui [NP] și F este mijlocul lui [BC], demonstrați că $\mathrm{EF}$ este paralelă cu $\mathrm{AM}$ și $\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \cdot A M$. + +Gazeta Matematică + +## Soluție. 1p din oficiu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b7f8adfde8da4824d81g-4.jpg?height=488&width=873&top_left_y=1224&top_left_x=543) + +Fie punctul $\mathrm{Q}$ pa latura $(\mathrm{BC})$ astfel încât $\mathrm{QC}=\frac{B C}{3}\left(\mathbf{( 0 , 5 p )}\right.$ dar $\frac{C N}{C A}=\frac{1}{3}$ de unde, conform teoremei reciproce a lui Thales $\Rightarrow \mathrm{QN}|| \mathrm{AB}(1)(\mathbf{1 p})$.Obținem $\mathrm{QB}=\frac{2}{3} \cdot B C$ şi $\mathrm{BP}=\frac{2}{3} \cdot B A \Rightarrow$ prin teorema reciprocă a lui Thales $\mathrm{PQ} \| \mathrm{AC}$ (2) (1p). Din (1) și (2) obținem APQN paralelogram $\mathbf{( 0 , 5 p})$. Punctul $\mathrm{E}$ fiind mijlocul diagonalei(PN) $\rightarrow \mathrm{E}$ este și mijlocul diagonalei (AQ) (1p). Avem $\mathrm{F}$ mijlocul lui $[\mathrm{BC}]$, iar $\mathrm{BM}=\mathrm{QC} \rightarrow \mathrm{F}$ este mijlocul segmentului $[\mathrm{QM}]$ (1p). Obținem că segmentul $[E F]$ este linie mijlocie în $\triangle \mathrm{AMQ}$ de unde $\mathrm{EF} \| \mathrm{AM}$ și $\mathrm{EF}=\frac{A M}{2}$ (1p). + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-73-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-73-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a221f8c8d57513ca66b370408aececf37b0fc108 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-73-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xii.md" @@ -0,0 +1,121 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b9848e01f67a4b64f28g-1.jpg?height=136&width=778&top_left_y=132&top_left_x=709) + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Finală, Deva, 23 aprilie 2019 + +## CLASA a XII-a - Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Fie $a$ un număr real strict pozitiv. Determinaţi valoarea minimă a expresiei + +$$ +\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}-(a+1) \int_{0}^{1} x^{2 a} f(x) \mathrm{d} x +$$ + +când $f$ parcurge mulţimea funcţiilor concave $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, cu $f(0)=1$. + +Soluţie. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie concavă, astfel încât $f(0)=1$. Cum + +$$ +x^{a} f(x)+1-x^{a}=x^{a} f(x)+\left(1-x^{a}\right) f(0) \leq f\left(x^{a} \cdot x+\left(1-x^{a}\right) \cdot 0\right)=f\left(x^{a+1}\right) +$$ + +prin înmulţire cu $(a+1) x^{a}$, rezultă + +$$ +(a+1) x^{2 a} f(x)+(a+1)\left(x^{a}-x^{2 a}\right) \leq(a+1) x^{a} f\left(x^{a+1}\right) +$$ + +oricare ar fi $x$ în $[0,1]$. + +Integrând pe intervalul $[0,1]$, obţinem + +$$ +(a+1) \int_{0}^{1} x^{2 a} f(x) \mathrm{d} x+(a+1) \int_{0}^{1}\left(x^{a}-x^{2 a}\right) \mathrm{d} x \leq(a+1) \int_{0}^{1} x^{a} f\left(x^{a+1}\right) \mathrm{d} x +$$ + +deci + +$$ +(a+1) \int_{0}^{1} x^{2 a} f(x) \mathrm{d} x+\frac{a}{2 a+1} \leq \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{Cum} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\frac{1}{4}, \text { obţinem } \\ +& \quad\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}-(a+1) \int_{0}^{1} x^{2 a} f(x) \mathrm{d} x \geq=\frac{a}{2 a+1}-\frac{1}{4}=\frac{2 a-1}{8 a+4} +\end{aligned} +$$ + +Cum funcţia $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1-x$, este concavă, $f(0)=1$ şi + +$$ +\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}-(a+1) \int_{0}^{1} x^{2 a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2 a-1}{8 a+4} +$$ + +rezultă că minimumul cerut este $(2 a-1) /(8 a+4)$. + +Problema 2. Fie $n$ un număr întreg par, $n \geq 4$, si fie $G$ un subgrup de ordin $n$ al grupului multiplicativ al matricelor inversabile $\operatorname{din} \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$. Arătaţi că $G$ are un subgrup $H$, astfel încât $\left\{I_{2}\right\} \subsetneq H \subsetneq G$ şi $X Y X^{-1} \in H$, oricare ar fi $X \in G$ şi oricare ar fi $Y \in H$. + +Soluţie. Mulţimea $H=\{X \mid X \in G$, $\operatorname{det} X=1\}$ conţine matricea unitate $I_{2}$ şi este multiplicativ stabilă, deci este un subgrup al lui $G$. + +$1 p$ + +Dacă $\left\{I_{2}\right\} \subsetneq H \subsetneq G$, atunci subgrupul $H$ are proprietatea cerută. $1 p$ + +Dacă $H=\left\{I_{2}\right\}$, atunci oricare două matrice $X$ şi $Y \operatorname{din} G$ comută, deoarece determinantul comutatorului $X Y X^{-1} Y^{-1}$ este 1. Considerând o matrice $X$ de ordin 2 în $G$, subgrupul format din $I_{2}$ şi $X$ are proprietatea cerută. + +În fine, dacă $H=G$, considerând din nou o matrice $X$ de ordin 2 în $G$, rezultă $(\operatorname{tr} X) \cdot X=2 I_{2}$, deci $(\operatorname{tr} X)^{2}=4$. Cum $X \neq I_{2}$, rezultă $\operatorname{tr} X=-2$, deci $X=-I_{2}$. In mod evident, subgrupul lui $G$ format din $\pm I_{2}$ are proprietatea cerută. $3 p$ + +Simpla afirmaţie că, dacă $-I_{2}$ este in $G$, atunci subgrupul format din $\pm I_{2}$ are proprietatea cerută în enunţul problemei, este notată 1 punct. + +Problema 3. Fie $f:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie crescătoare şi fie $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie de două ori derivabilă, astfel încât $g^{\prime \prime}$ este continuă şi $g^{\prime \prime}(x)+f(x) g(x)=0$, oricare ar fi numărul real $x \geq 0$. + +(a) Daţi un exemplu de funcţii $f$ şi $g$, care îndeplinesc condiţile din enunţ şi $g$ este neidentic nulă. + +(b) Arătaţi că funcţia $g$ este mărginită. + +Soluţie. (a) Funcţiile $f:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty), f(x)=1$, şi $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\sin x$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b9848e01f67a4b64f28g-2.jpg?height=52&width=1589&top_left_y=1638&top_left_x=230) + +(b) Rescriem condiţia din enunts sub forma $g^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x) / f(x)+g(x) g^{\prime}(x)=0$, oricare ar fi $x \geq 0$. Fie $t>0$. Integrând pe intervalul închis $[0, t]$, obţinem + +$$ +2 \int_{0}^{t} \frac{g^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)}{f(x)} \mathrm{d} x+(g(t))^{2}-(g(0))^{2}=0 +$$ + +Functुia $x \mapsto 1 / f(x), x \geq 0$, este descrescăroare şi ia valori strict pozitive. Conform teoremei de medie, există un punct $\theta$ între 0 şi $t$, astfel încât + +$$ +\int_{0}^{t} \frac{g^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)}{f(x)} \mathrm{d} x=\frac{1}{f(0)} \int_{0}^{\theta} g^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{\left(g^{\prime}(\theta)\right)^{2}-\left(g^{\prime}(0)\right)^{2}}{2 f(0)} +$$ + +Prin urmare, + +$$ +(g(t))^{2}=(g(0))^{2}+\frac{\left(g^{\prime}(0)\right)^{2}}{f(0)}-\frac{\left(g^{\prime}(\theta)\right)^{2}}{f(0)} \leq(g(0))^{2}+\frac{\left(g^{\prime}(0)\right)^{2}}{f(0)} +$$ + +deci $g$ este mărginită. + +Problema 4. Fie $n$ un număr întreg, $n \geq 3$, şi fie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}, a_{n}$ numere complexe nenule, astfel încât $\left|a_{i}\right|<1, i=1,2, \ldots, n-1$, şi toţi coeficienţii polinomului $\prod_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)$ să fie întregi. Arătaţi că: + +(a) Numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}, a_{n}$ sunt distincte două câte două; + +(b) Dacă $a_{i}, a_{j}, a_{k}$ sunt în progresie geometrică, atunci $i=j=k$. + +Soluţie. (a) Fie $f=\prod_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)$. Cum $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=(-1)^{n} f(0)$, rezultă că $f(0) \neq 0$ şi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b9848e01f67a4b64f28g-3.jpg?height=60&width=1585&top_left_y=843&top_left_x=232) + +Presupunem că $f=g h$, unde $g$ şi $h$ sunt polinoame monice neconstante cu coeficienţi întregi. Cum $a_{n}$ este rădăcină simplă lui $f$, putem presupune că $g\left(a_{n}\right)=0$ şi $h\left(a_{n}\right) \neq 0$. Fie $m=\operatorname{deg} h$ şi fie $a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{m}}$ rădăcinile lui $h$. Cum $h$ este monic, rezultă că $|h(0)|=$ $\left|a_{i_{1}} \ldots a_{i_{m}}\right|<1$, deci $h(0)=0$, în contradicţie cu $f(0) \neq 0$. Aşadar, $f$ este ireductibil în $\mathbb{Z}[X]$, deci şi în $\mathbb{Q}[X]$, de unde rezultă că $f$ nu are rădăcini multiple. + +(b) Presupunem că există $a_{p}, a_{q}, a_{r}$ în progresie geometrică, nu toate egale. Cum $\left|a_{n}\right|>1$ şi $\left|a_{i} a_{n}\right|>1, i=1,2, \ldots, n$, rezultă că $p, q, r natural. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | +| Deci $x \cdot y=\frac{3 a}{a-3}=\frac{3(a-3)+9}{a-3}=3+\frac{9}{a-3} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow a-3 \in\{1,3,9\} \Leftrightarrow$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $a \in\{4,6,12\}$. | $1 \mathbf{p}$ | +| Dacă $a=4 \Rightarrow \frac{4}{b-2} \in \mathbb{N}, \frac{3 b-6}{1} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow b \in\{3,4,6\}$
$\Rightarrow(a, b) \in\{(4,3),(4,4),(4,6)\}$ | 1p | +| Dacă $a=6 \Rightarrow \frac{6}{b-2} \in \mathbb{N}, \frac{3 b-6}{3} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow b \in\{3,4,5,8\}$
$\Rightarrow(a, b) \in\{(6,3),(6,4),(6,5),(6,8)\}$ | 1p | +| Dacă $a=12 \Rightarrow \frac{12}{b-2} \in \mathbb{N}, \frac{3 b-6}{9} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow b \in\{5,8,14\}$
$\Rightarrow(a, b) \in\{(12,5),(12,8),(12,14)\}$ | | + +Problema 4.Se consideră punctele $A, B, C, D$ astfel încât $B$ este mijlocul segmentului $(A C)$ şi $C$ este mijlocul segmentului $(B D)$. Arătaţi că: +a) $B C=\frac{A C+B D}{4}$; +b) $\frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}<\frac{4}{A D}$. + +## Solutie. 1p din oficiu + +| Figura | | +| :--- | :--- | :--- | +| B este mijlocul segmentului $(A C)$ atunci $A B=B C=a$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Ceste mijlocul segmentului $(B D)$ atunci $B C=C D=a=A B$. | $\mathbf{1 p}$ | +| De unde $B C=\frac{A C+B D}{4} \Leftrightarrow a=\frac{a+a}{2}=\frac{2 a}{2}=a$ (A) | $\mathbf{1 p}$ | +| $\frac{1}{A C}+\frac{1}{B D}<\frac{4}{A D} \Leftrightarrow \frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 a}<\frac{4}{3 a} \Leftrightarrow \frac{2}{2 a}<\frac{4}{3 a} \Leftrightarrow \frac{1}{a}<\frac{4}{3 a} \Leftrightarrow 3 a<4 a$ (A) | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-731-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-731-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..105255ebea57492de4767fa4721d0fe813352045 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-731-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,181 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. Aflați numărul natural $\overline{a a}$ pentru care: $2 \cdot \overline{a a}^{2}+2 \cdot \mathrm{a}^{3}+2 \cdot \mathrm{a}^{2}-\mathrm{a}=2 \cdot 2014$. + +## Gazeta Matematică + +Problema 2. Suma a trei numere naturale este 2015. Aflați cele trei numere, știind că dacă adunăm 11 la primul, scădem 11 din al doilea, împărțim la 11 pe al treilea număr, se obține de fiecare dată același număr. + +Problema 3. Fie numerele naturale a şi b care verifică egalitățile: + +$$ +a-4=3 \cdot\left(4+4^{2}+\ldots+4^{2014}\right) \text { şi } b-8=5 \cdot\left(6+6^{2}+\ldots+6^{2015}\right) +$$ + +Arătaţi că: $i$ ) a este pătrat perfect; + +ii) b nu este pătrat perfect. + +Problema 4. Se consideră șirul de numere: $3,7,11,15,19, \ldots$. + +a) Explicați regula de formare a termenilor șirului și aflați următorii trei termeni; + +b) Stabilitii dacă numărul 2015 este termen al șirului; + +c) Calculați suma primilor 100 de termeni ai șirului. + +Notă. Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 1 la 7 puncte. + +Din oficiu se acordă 4 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +Soluții și bareme orientative - Clasa a V-a + +Problema 1. Aflați numărul natural $\bar{a} \bar{a}$ pentru care: $\quad 2 \cdot \bar{a} \bar{a}^{2}+2 \cdot \mathrm{a}^{3}+2 \cdot \mathrm{a}^{2}-\mathrm{a}=2 \cdot 2014$. + +Gazeta Matematică + +## Soluția 1. 1p din oficiu + +$2 \cdot(10 \mathrm{a}+\mathrm{a})^{2}+2 \cdot \mathrm{a}^{3}+2 \cdot \mathrm{a}^{2}-\mathrm{a}=2 \cdot 2014$ +$(0,5 p)$ +$2 \cdot 121 \cdot a^{2}+2 \cdot a^{3}+2 \cdot a^{2}-a=2 \cdot 2014$ +(1p) +$2 \cdot a^{3}+244 \cdot a^{2}-a=2 \cdot 2014$ +(1p) +$a \cdot\left(2 \cdot a^{2+} 244 \cdot a-1\right)=2^{2} \cdot 19 \cdot 53$ +(2p) +Cum a este cifră, obținem $\mathrm{a}=4$ +(1p) +Finalizare: $\bar{a} \bar{a}=44$. +$(0,5 p)$ + +## Soluția 2. 1p din oficiu + +$$ +\begin{array}{ll} +2 \cdot(10 \mathrm{a}+\mathrm{a})^{2}+2 \cdot \mathrm{a}^{3}+2 \cdot \mathrm{a}^{2}-\mathrm{a}=2 \cdot 2014 \\ +2 \cdot 121 \cdot \mathrm{a}^{2}+2 \cdot \mathrm{a}^{3}+2 \cdot \mathrm{a}^{2}-\mathrm{a}=2 \cdot 2014 \\ +2 a^{3}+244 a^{2}-2 \cdot 2014=a \\ +2\left(a^{3}+122 a^{2}-2014\right)=a \\ +2 \mid a \text { și a cifră nenulă } \Rightarrow a \in\{2 ; 4 ; 6 ; 8\} \\ +\text { Verifică relația de mai sus doar } \mathrm{a}=4 . & \mathbf{( 0 , 5 p )} \\ +\text { Finalizare : } \bar{a}=44 . & \mathbf{( 0 , 5 p}) \\ +& \mathbf{( 0 , 5 p}) \\ +\mathbf{( 1 p}) \\ +\mathbf{( 2 p}) +\end{array} +$$ + +Problema 2. Suma a trei numere naturale este 2015. Aflați cele trei numere, știind că dacă adunăm 11 la primul, scădem 11 din al doilea, împărțim la 11 pe al treilea număr, se obține de fiecare dată acelaşi număr. + +Soluție. Fie a, b, c cele trei numere naturale. + +## 1p din oficiu + +$$ +\begin{aligned} +& a+b+c=2015 \\ +& a+11=x \rightarrow a=x-11 \\ +& b-11=x \rightarrow b=x+11 \\ +& c: 11=x \rightarrow c=11 x +\end{aligned} +$$ + +Înlocuind în prima relaţie, obținem: + +$$ +x-11+x+11+11 x=2015 +$$ + +$13 x=2015$ + +$\mathrm{x}=155$ + +Finalizare: $\mathrm{a}=144, \mathrm{~b}=166, \mathrm{c}=1705$. + +Problema 3. Fie numerele naturale a şi b care verifică egalită̆tile: + +$$ +a-4=3 \cdot\left(4+4^{2}+\ldots+4^{2014}\right) \text { şi } b-8=5 \cdot\left(6+6^{2}+\ldots+6^{2015}\right) +$$ + +Arătaţi că: $i$ ) a este pătrat perfect; + +ii) b nu este pătrat perfect. + +Soluție. i) Notăm: $S=4+4^{2}+\ldots+4^{2014} / \cdot 4$ + +## 1p din oficiu + +$$ +4 S=4^{2}+\ldots+4^{2015} +$$ + +Scădem relațiile şi obținem: $3 S=4^{2015}-4$ + +Obs. Se poate utiliza şi formula pentru suma primilor $\mathrm{n}$ termeni ai unei progresii geometrice. + +Cum a-4=3S, obținem a-4=4 $4^{2015}-4$. + +Deci, $\mathrm{a}=4^{2015}=\left(2^{2}\right)^{2015}=\left(2^{2015}\right)^{2}$. Rezultă că a este pătrat perfect. + +ii) Scoatem factor comun pe 6 şi obținem: + +$\mathrm{b}-8=5 \cdot 6 \cdot\left(1+6+\ldots+6^{2014}\right)$ + +$\mathrm{b}=30 \cdot\left(1+6+\ldots+6^{2014}\right)+8$ + +$\mathrm{U}\left(30 \cdot\left(1+6+\ldots+6^{2014}\right)\right)=0 \rightarrow \mathrm{U}(\mathrm{b})=8$ și cum un număr natural care are ultima cifră $2,3,7$ sau $8 \mathrm{nu}$ este pătrat perfect $\rightarrow b$ nu este pătrat perfect. + +Problema 4. Se consideră șirul de numere: $3,7,11,15,19, \ldots$. + +a) Explicați regula de formare a termenilor șirului și aflați următorii trei termeni; + +b) Stabiliți dacă numărul 2015 este termen al șirului; + +c) Calculați suma primilor 100 de termeni ai șirului. + +## Solutie. 1p din oficiu + +a) Un termen din șir se obține adunând 4, la precedentul acestuia. + +Următorii trei termeni din șir sunt: $23,27,31$ +b) $\mathrm{a}_{1}=3=4 \cdot 0+3$ + +$\mathrm{a}_{2}=7=4 \cdot 1+3$ + +$\mathrm{a}_{3}=11=4 \cdot 2+3$ + +$\mathrm{a}_{4}=15=4 \cdot 3+3$ + +................ + +$\mathrm{a}_{\mathrm{k}}=4 \cdot(\mathrm{k}-1)+3$ + +Cum 2015=4・503+3, rezultă că 2015 este termen al șirului. + +Obs. Sau se rezolvă ecuația $a_{k}=2015 \Rightarrow k=504 \Rightarrow a_{504}=2015$. +c) $\mathrm{a}_{100}=4 \cdot 99+3$ + +$\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3}+\ldots+\mathrm{a}_{100}=$ + +$=4 \cdot 0+3+4 \cdot 1+3+4 \cdot 2+3+\ldots+4 \cdot 99+3$ + +$=4 \cdot(1+2+3+\ldots+99)+3 \cdot 100$ + +$=4 \cdot 99 \cdot 100: 2+300$ + +$=20100$ + +Obs. Se poate utiliza și formula pentru suma primilor $\mathrm{n}$ termeni ai unei progresii aritmetice. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-732-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-732-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..628ced1ac0647dc7f196fa023b058fafd1edad3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-732-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,106 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Demonstrați, că pentru orice număr natural nenul $\mathrm{n}$, are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{\sqrt{n+1}}{n+2}+\frac{\sqrt{n+2}}{n+3}+\ldots+\frac{\sqrt{2 n+2}}{2 n+3}<\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\frac{1}{\sqrt{n+4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2 n+4}} +$$ + +Problema 2. Să se determine numerele iraţionale $x$, cu proprietatea că numerele $x^{2}+x$ și + +$$ +\mathrm{x}^{3}+2 \mathrm{x}^{2} \text { sunt întregi. } +$$ + +Gazeta Matematică + +Problema 3. Se notează cu $O_{1}$ şi $O_{2}$ mijloacele diagonalelor $[A C]$, respectiv $[B D]$ ale patrulaterului convex $A B C D$. + +(i) Să se arate că $\overline{O_{1} O_{2}}=\frac{\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B C}}{2}$ + +(ii) Să se arate că dacă $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=3 \cdot \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$, atunci $A B C D$ este paralelogram. + +Problema 4. Să se determine numerele reale x, care verifică relația: + +$|[x-a]|+[|x-a|]=1$, unde $a$ este un parametru real. + +( S-a notat $[t]$ partea întreagă a numărului real t.) + +Notă. Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa locală - Vaslui, 15 februarie 2015 + +## Soluții și bareme orientative - Clasa a IX-a + +Problema 1. Demonstrați, că pentru orice număr natural nenul n, are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{\sqrt{n+1}}{n+2}+\frac{\sqrt{n+2}}{n+3}+\ldots+\frac{\sqrt{2 n+2}}{2 n+3}<\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\frac{1}{\sqrt{n+4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2 n+4}} +$$ + +Solutie. Avem $\frac{\sqrt{n+1}}{n+2}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+2)^{2}}}<\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+2)^{2}-1}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)(n+3)}}=\frac{1}{\sqrt{n+3}}$ + +Analog se arată că fiecare termen din membrul stâng este mai mic decât termenul corespunzător din membrul drept + +Adunând aceste inegalități obținem inegalitatea cerută. + +Problema 2. Să se determine numerele iraționale $\mathrm{x}$, cu proprietatea că numerele $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}$ şi + +$$ +x^{3}+2 x^{2} \text { sunt întregi. } +$$ + +Gazeta Matematică + +## Soluție. + +Fie $a=x^{2}+x, a \in Z$.Avem $x^{3}+2 x^{2}=x^{2}(x+2)=(a-x)(x+2)=-x^{2}+(a-2) x+2 a=(a-1) x+a(1)$. + +Cum $x^{3}+2 x^{2}, \mathrm{a}, \mathrm{a}-1$ sunt numere întregi, iar $\mathrm{x}$ este iraţional, obținem $\mathrm{a}-1=0 \Rightarrow \mathrm{a}=1$ + +Înlocuind în relaţia (1) obținem ecuația : $x^{2}+x-1=0$ + +(1p) + +Rezolvând ecuația obținem $x \in\left\{\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$ și ambele convin pentru că sunt numere iraţionale și verifică proprietatea dată. + +Problema 3. Se notează cu $O_{1}$ şi $O_{2}$ mijloacele diagonalelor $[A C]$, respectiv $[B D]$ ale patrulaterului convex $A B C D$. + +(i) Să se arate că $\overline{O_{1} O_{2}}=\frac{\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B C}}{2}$ + +(ii) Să se arate că dacă $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=3 \cdot \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$, atunci $A B C D$ este paralelogram. + +Solutie. a) Fie $O$ un punct oarecare în plan. Atunci, + +$$ +\overrightarrow{O_{1} O_{2}}=\overrightarrow{O O_{2}}-\overrightarrow{O O_{1}}=\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}}{2}-\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}}{2}=\frac{(\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A})-(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B})}{2}=\frac{\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B C}}{2} +$$ + +b) Relaţia $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=3 \cdot \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$ se scrie $\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B C}=3 \cdot \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$, adică $2 \cdot \overrightarrow{O_{1} O_{2}}=3 \cdot \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$. + +Se obţine $\overline{O_{1} O_{2}}=\overrightarrow{0} \Rightarrow O_{1}=O_{2} \Rightarrow A B C D$ este paralelogram. + +Problema 4. Să se determine numerele reale $\mathrm{x}$, care verifică relația: + +$$ +|[x-a]|+[|x-a|]=1 \text {, unde } a \text { este un parametru real. } +$$ + +( S-a notat $[t]$ partea întreagă a numărului real t.) + +## Soluție. + +Notăm $y=x-a$ şi cum $|[y]| \geq 0 \Rightarrow[|y|] \in\{0,1\}$ + +Dacă $[|y|]=0 \Rightarrow|y| \in[0,1) \Rightarrow y \in(-1,1)$ şi cum, din ecuaţ̧ie, $|[y]|=1 \Leftrightarrow[y]= \pm 1$, avem soluţia $y \in(-1,0)$ + +Dacă $[|y|]=1 \Rightarrow|y| \in[1,2) \Rightarrow y \in(-2,-1] \cup[1,2)$ şi cum, din ecuaţie $|[y]|=0 \Leftrightarrow[y]=0 \Leftrightarrow y \in[0,1)$ în acest caz nu există soluţie + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-733-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-733-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..650143595ca77ebb7a943aee878f5fc4b644b1db --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-733-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,92 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +14.02.2015 + +CLASA A VIII-A + +## SUBIECTUL I + +Fie numerele reale $\mathrm{x}$ și $y$, astfel încât $x+y \geq 3$. + +a) Arătați că $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}>12$. + +b) Aflați valoarea minimă a expresiei $E(x)=(x-1)^{4}+(y+2)^{4}$. + +## SUBIECTUL II + +a) Fie numerele raționale pozitive $x$ și $y$, astfel încât $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ este număr rațional. Arătați că $\sqrt{x}$ și $\sqrt{y}$ sunt numere raţionale. + +b) Rezolvaţi în $N \times N$ ecuația: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}{2 \sqrt{x}-\sqrt{y}-2}=\frac{2}{3}$. + +## SUBIECTUL III + +Considerăm piramida VABC, cu baza triunghiul $A B C$ echilateral. Semidreptele $[A X,[B Y,[C Z$ sunt bisectoare ale unghiurilor $\overline{V A B}, \widetilde{V B C}$, respectiv $\overline{V C A}$, unde $X \in(V B), Y \in(V C)$ și $Z \in(V A)$. Arătați că piramida este regulată dacă și numai dacă planele $(A B C)$ și $(X Y Z)$ sunt paralele. + +## SUBIECTUL IV + +Fie $V A$, o dreaptă perpendiculară pe planul unui triunghi $A B C$, cu $m(\hat{A})=90^{\circ}$, $m(\hat{B})=75^{\circ}, \mathrm{BC}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{cm}$ şi $V A=25 \% \cdot B C$. Să se afle: + +a) Distanța de la punctul $V$ la dreapta $B C$. + +b) Distanța dintre dreptele $A C$ și VB. + +(Considerăm cunoscut faptul că $\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ) + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; + +Nu se acordă puncte din oficiu; + +Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +14.02.2015 + +CLASA A VIII-A + +Problema 1. + +| Problema1 | Etapa de rezolvare ......................................................................................... | Punctaj | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $(x+y)^{2} \geq 9$ | 1 | +| | $x^{2}+y^{2} \geq \frac{9}{2}$ | 2 | +| | $2 x+2 y \geq 6$ | 1 | +| | $(x+1)^{2}+(y+1)^{2} \geq \frac{9}{2}+6+2>12$ | 1 | +| b) | Folosind inegalitatea: $2 x^{2}+2 y^{2} \geq(x+y)^{2}$ | 1 | +| | $(x-1)^{4}+(y+2)^{4} \geq \frac{1}{2}\left[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}\right]^{2}$ | 1 | + +Problema 2. + +| Problema2 | Etapa de rezolvare ......................................................................................... | Punctaj | +| :---: | :--- | :---: | +| a) | $\sqrt{x}=r-\sqrt{y}$ | 1 | +| | $x=r^{2}-2 r \sqrt{y}+y$ | 1 | +| | $\sqrt{y}=\frac{r^{2}+y-x}{2 r} \in Q$ | 2 | +| b) | Aducerea la forma $\sqrt{x}+\sqrt{y}=7$ | 1 | +| | Conform a) rezultă $\sqrt{x}, \sqrt{y} \in N$ | 1 | +| | $(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in\{(1,36),(4,25),(9,16),(16,9),(25,4),(36,1)\}$ | 1 | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_934dc6b3e4a82bcfd27ag-3.jpg?height=220&width=152&top_left_y=44&top_left_x=221) + +Problema 3. + +| Problema3 | Etapa de rezolvare .......................................................................................... Punctaj | | +| :---: | :--- | :---: | +| | Conform teoremei bisectoarei in $\mathrm{ABV}$ avem $\frac{V X}{X B}=\frac{V A}{A B}$ | 1 | +| $\rightarrow$ | $\frac{V A}{A B}=\frac{V B}{B C}=\frac{V C}{C A} \rightarrow \frac{V X}{X B}=\frac{V Y}{Y C}=\frac{V Z}{Z A}$ | 2 | +| | $\mathrm{XY} \\| \mathrm{BC}$ si $\mathrm{XZ}\\|\mathrm{AB} \rightarrow(\mathrm{ABC})\\|(\mathrm{XYZ})$ | 1 | +| $\leftarrow$ | $(\mathrm{ABC}) \\|(\mathrm{XYZ}) \rightarrow \frac{V A}{A B}=\frac{V B}{B C}=\frac{V C}{C A}$ | 1 | +| | $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA} \rightarrow \mathrm{VA}=\mathrm{VB}=\mathrm{BC} \rightarrow$ piramida regulata | 2 | + +## Problema 4. + +| Problema4 | Etapa de rezolvare ...................................................................................................................... | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | $\mathrm{AT} \perp \mathrm{BC}, \quad \mathrm{AT}=\sqrt{3}+1$ | 2 | +| | $\mathrm{d}(\mathrm{V}, \mathrm{BC})=\mathrm{VT}=(\sqrt{3}+1) \sqrt{2}$ | 1 | +| b) | $\mathrm{AB}=\mathrm{BC} \sin 15=2 \sqrt{2}$ | 1 | +| | $\mathrm{AU} \perp \mathrm{VB}$ deci $\mathrm{d}(\mathrm{AC}, \mathrm{VB})=\mathrm{AU}$ | 2 | +| | $\mathrm{AU}=\frac{V A \cdot A B}{V B}$, calcul algebric | 1 | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-734-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-734-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..558e9287eaaed1a45d03bfc2d2b4e59b48dbbda3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-734-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,109 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
14.02.2015
CLASA a VII-a + +## SUBIECTUL I + +Determinaţi numărul natural nenul n astfel îccât $\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{2}{5 \cdot 7}+\ldots . .+\frac{2}{(n-2) \cdot n}=\frac{332}{999}$. + +## SUBIECTUL II + +Un pătrat cu latura de $4 \mathrm{~cm}$ este împărf̧it în 16 pătrățele cu latura de $1 \mathrm{~cm}$. În fiecare dintre pătrăţele putem scrie exact unul din numerele $0, \sqrt{2015}$ şi $-\sqrt{2015}$. Se folosesc toate cele trei numere . + +După această completare, calculăm sumele de pe fiecare coloană, de pe fiecare linie și de pe cele două diagonale. + +a) Demonstrați că cea mai mică sumă posibilă ce se poate obține este număr irațional. + +b) Se poate completa pătratul astfel încât toate sumele considerate să fie egale ? Exemplificați. + +c) Se poate completa pătratul astfel toate sumele considerate să fie diferite ? Justificați. + +## SUBIECTUL III + +Determinaţi măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri consecutive dintr-un paralelogram. + +## SUBIECTUL IV + +$\mathrm{ABCD}$ este un paralelogram în care punctele $\mathrm{E}$ și $\mathrm{F}$ sunt mijloace pentru laturile $[\mathrm{AB}]$, respectiv $[\mathrm{AD}]$. Dacă segmentele $[\mathrm{EC}]$ și $[\mathrm{FC}]$ au aceeași lungime, demonstrați că $\mathrm{ABCD}$ este romb. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; + +Nu se acordă puncte din oficiu; + +Timpul efectiv de lucru este de 3 ore din momentul primirii subiectului. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ
14.02.2015 + +CLASA a VII-a + +BAREM + +## SUBIECTUL I + +$\frac{5-3}{3 \cdot 5}+\frac{7-5}{5 \cdot 7}+\ldots \ldots . . \frac{n-(n-2)}{(n-2) \cdot n}=\frac{332}{999}$ + +$\frac{5}{3 \cdot 5}-\frac{3}{3 \cdot 5}+\frac{7}{5 \cdot 7}-\frac{5}{5 \cdot 7}+\ldots \ldots . .+\frac{n}{(n-2) \cdot n}-\frac{(n-2)}{(n-2) \cdot n}=\frac{332}{999}$ $2 p$ + +$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}=\frac{332}{999}$ + +$\frac{1}{3}-\frac{1}{n}=\frac{332}{999} \Rightarrow \frac{1}{3}-\frac{332}{999}=\frac{1}{n}$ + +$\frac{1}{999}=\frac{1}{n} \Rightarrow n=999$ + +## SUBIECTUL II + +a) Cea mai mică sumă posibilă ce se poate obține este $-4 \sqrt{2015}$ + +Se arată că $\sqrt{2015}$ este irațional apoi folosim faptul că produsul dintre un număr rațional nenul și un număr irațional este număr irațional..... + +b) Este posibil + +| 0 | $\sqrt{2015}$ | $-\sqrt{2015}$ | 0 | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 0 | 0 | 0 | 0 | +| 0 | 0 | 0 | 0 | +| 0 | $-\sqrt{2015}$ | $\sqrt{2015}$ | 0 | + +c) Nu este posibil. În fiecare din sume participă numerele $0, \sqrt{2015}$ şi $-\sqrt{2015}$. Rezultă că sumele posibile sunt $-4 \sqrt{2015},-3 \sqrt{2015},-2 \sqrt{2015},-\sqrt{2015}, 0, \sqrt{2015}, 2 \sqrt{2015}, 3 \sqrt{2015}, 4 \sqrt{2015}$, + +exact 9 numere $1 \mathrm{P}$ + +Cum avem 10 sume rezultă conform principiului lui Dirichlet că cel puțin două sume sunt egale..1P + +## SUBIECTUL III + +Considerăm paralelogramul $A B C D$ şi bisectoarele unghiurilor $\angle B A D, \angle A D C$ ce se intersectează în punctul $E$, conform desenului. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9779ca9bc7398744a658g-3.jpg?height=263&width=780&top_left_y=508&top_left_x=615) + +$$ +\begin{aligned} +& \angle B A D \text { și } \angle A D C \text { unghiuri consecutive. } \\ +& 1 \text { punct } \\ +& m(\angle B A D)+m(\angle A D C)=180^{\circ} \\ +& 2 \text { puncte } \\ +& m(\angle E A D)+m(\angle E D A)=\frac{1}{2} m(\angle B A D)+\frac{1}{2} m(\angle A D C)=\frac{1}{2}[m(\angle B A D)+m(\angle A D C)]=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ} \\ +& .2 \text { puncte } \\ +& m(\angle A E D)=180^{\circ}-[m(\angle E A D)+m(\angle E D A)]=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} \\ +& .2 \text { puncte. } +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL IV + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9779ca9bc7398744a658g-3.jpg?height=377&width=882&top_left_y=1291&top_left_x=587) + +În triunghiul ABD, [FE] este linie mijlocie (pe baza definiției). 1p Deci, FE II BD. + +În triunghiul ADO, [FM] este linie mijlocie (pe baza teoremei reciproce). 1p În triunghiul ABO, [EM] este linie mijlocie (pe baza teoremei reciproce). + +$\mathrm{ABCD}$ paralelogram $\Rightarrow[D O] \equiv[O B] \quad 1 \mathrm{p}$ + +Rezultă că $F M=\frac{D O}{2}$ și analog $E M=\frac{O B}{2}$, ceea ce conduce la $F M=M E$. 1p + +În triunghiul FEC isoscel, [CM] este mediană, deci și îăăltime. 1p + +$\mathrm{CM} \perp \mathrm{FE}$ și $\mathrm{FE}\|\| \mathrm{BD} \Rightarrow \mathrm{CM} \perp \mathrm{BD}$. 1p + +Paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb. 1p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-735-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-735-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ef3a3efe7a9b795a600d816c949ba195f4e7ef55 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-735-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,116 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ + +14.02.2015 + +CLASA A VI-A + +## SUBIECTUL I + +Fie mulţimile $\mathrm{A}=\left\{\left.\frac{a}{b} \right\rvert\, a, b \in \mathrm{N}^{*}, a+b=2015\right\}$ şi $\mathrm{B}=\left\{\mathrm{x} \in \mathbf{Q} \left\lvert\, \mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right., \mathrm{a} \in \mathrm{D}_{12}, \mathrm{~b} \in \mathrm{D}_{6}\right\}$. Calculaţi: + +a) produsul tuturor elementelor mulţimii A; + +b) produsul tuturor elemetelor mulţimii B . + +## SUBIECTUL II + +a) Fie a, b, c numere naturale cu proprietatea că $2 a+7 b=5 c$. Demonstrați că produsul $(a+b) \cdot(b+c) \cdot(c+a)$ este divizibil cu 70. + +b) Cinci numere naturale au proprietatea că suma oricăror patru dintre ele este un multiplu de 5 . Demonstrați că toate numerele sunt divizibile cu 5. + +## SUBIECTUL III + +Se consideră unghiurile adiacente $\mathrm{AOB}$ şi $\mathrm{BOC}$ astfel încât măsura unghiului $\mathrm{BOC}$ este de 5 ori mai mare decât măsura unghiului $\mathrm{AOB}$. Se construiesc $\mathrm{OM}$ bisectoarea unghiului BOC, ON semidreapta opusă semidreptei OM şi DO perpendiculară pe MN, D şi A de o parte şi de alta a dreptei MN. Ştiind că măsura unghiului $\mathrm{AON}$ este cu $30^{\circ}$ mai mare decât dublul măsurii unghiului $\mathrm{DOC}$, să se afle măsurile unghiurilor $\mathrm{AOB}, \mathrm{BOC}, \mathrm{COD}$ şi $\mathrm{AON}$. + +## SUBIECTUL IV + +În interiorul segmentului $\mathrm{AB}$ cu lungimea de $160 \mathrm{~cm}$, se consideră punctele $\mathrm{C}$ si $\mathrm{D}$ astfel încât $3 \mathrm{CA}=$ 2CB iar $5 \mathrm{AD}=3 \mathrm{DB}$. + +a) Să se calculeze lungimile segmentelor CA și CB; + +b) Să se stabilească ordinea punctelor $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ şi $\mathrm{D}$ pe dreapta $\mathrm{AB}$; + +c) Dacă O este mijlocul segmentului $\mathrm{AB}$, să se calculeze raportul segmentelor $\mathrm{OC}$ s,i $\mathrm{OD}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; + +Nu se acordă puncte din oficiu; + +Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALÄ
CLASA a VI-a
14.02.2015 + +## BAREM DE NOTARE + +## SUBIECTUL I + +a) Fracţiile sunt de forma $\frac{k}{2015-k}$, unde $k$ ia valori de la 1 la 2014 ................................1p + +Produsul numărătorilor este $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2014$ ca şi al numitorilor.......................................1p + +Produsul fracţiilor este 1 ...................................................................................................1p + +b) Divizorii lui 12 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12 şi ai lui 6 sunt: 1, 2, $3,6 \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p$ + +Se consideră toate combinaţile, care sunt în număr de 24 deoarece fiecare divizor al lui 12 apare de 4 ori, iar fiecare divizor al lui 6 apare de 6 ori. + +Se elimină fracțiile echivalente............. ......................................................................1p + +Finalizare, se obține $2^{6}$................................................................................................... $2 p$ + +TOTAL ......................................................................................................................... 7p + +## SUBIECTUL II + +a) $7(a+b)=5(a+c) \rightarrow 7$ divide $a+c$ și 5 divide $a+b$ + +$1 \mathrm{p}$ +$2 a+12 b=5(b+c) \rightarrow 2$ divide $b+c$ ..... $1 p$ +$2 \cdot 5 \cdot 7=70$ divide $(a+b) \cdot(b+c) \cdot(c+a)$ ..... $1 p$ +b) Dacă $\mathrm{S}$ este suma celor cinci numere și $x, y$ două numere dintre acestea, $\operatorname{din} S-x$ +și $S-y$ divizibile cu 5, rezultă că $(S-x)-(S-y)=y-x$ este divizibil cu 5 ..... $2 p$ +cele cinci numere dau același rest $r$ la împărțirea cu 5 ..... $1 \mathrm{p}$ +Suma a patru numere dintre ele va fi de forma $5 k+4 r$, care este multiplu de 5 numai pentru +$r=0$, deci cele cinci numere sunt multipli de 5 ..... $.1 \mathrm{p}$ +TOTAL ..... $7 p$ + +## SUBIECTUL III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=431&width=491&top_left_y=296&top_left_x=725) + +Din ipoteză avem $\mathrm{m}(\nless \mathrm{BOC})=5 \cdot \mathrm{m}(\nless \mathrm{AOB})$....................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{m}(\nless \mathrm{COD})=90^{\circ}-\mathrm{m}(\nless \mathrm{MOC})$ adică $\mathrm{m}(\nless \mathrm{COD})=90^{\circ}-2,5 \cdot \mathrm{m}(\nless \mathrm{AOB}) \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=62&width=1577&top_left_y=937&top_left_x=231) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=63&width=1579&top_left_y=1022&top_left_x=227) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=63&width=1570&top_left_y=1108&top_left_x=240) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=60&width=1582&top_left_y=1192&top_left_x=228) + +$\mathrm{m}(\nless \mathrm{BOC})=100^{\circ}, \mathrm{m}(\nless \mathrm{COD})=40^{\circ}$ iar $\mathrm{m}(\nless \mathrm{AON})=110^{\circ}$.................................................... $1 \mathrm{p}$ + +TOTAL ......................................................................................................................... 7p + +SUBIECTUL IV + +a) Din $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}+\mathrm{CB}$ avem $2 \mathrm{AB}=2 \mathrm{AC}+2 \mathrm{CB}$, adică $2 \mathrm{AC}+2 \mathrm{CB}=320 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathrm{m}$ Înlocuind $2 \mathrm{CB}=3 \mathrm{AC}$ se găsește $2 \mathrm{AC}+3 \mathrm{AC}=320$, adică $5 \mathrm{AC}=320 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=57&width=1571&top_left_y=1645&top_left_x=231) + +b) Din $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}+\mathrm{DB}$ avem $3 \mathrm{AB}=3 \mathrm{AD}+3 \mathrm{DB}$, de unde $8 \mathrm{AD}=480 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +De unde $\mathrm{AD}=60 \mathrm{~cm}, \mathrm{DB}=100 \mathrm{~cm}$ și ordinea punctelor este $\mathrm{A}, \mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{B} . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +c) Din $\mathrm{O}$ mijlocul lui $\mathrm{AB}$ rezultă $\mathrm{OA}=80 \mathrm{~cm}$, de unde $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}-\mathrm{AC}=16(\mathrm{~cm})$ + +iar OD $=\mathrm{OA}-\mathrm{DA}=20$ (cm) ................................................................................. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_79bee740d14079536f8bg-3.jpg?height=54&width=1577&top_left_y=2006&top_left_x=231) + +TOTAL ........................................................................................................................... 7p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-736-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-736-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3a50b6e6ca8ae82f9480925d53d6126f3291b4a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-736-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,131 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALA + +14.02.2015 + +CLASA a V-a + +## SUBIECTUL I + +Se dă șirul de numerele: $1,4,7,10,13,16,19$ + +a) Stabilitị dacă termenul al 22-lea din şir este pătrat perfect. + +b) Aflați termenul al 2015-lea al șirului. + +## SUBIECTUL II + +Calculați suma numerelor naturale, cuprinse între 400 si 600 , care împărțite la 12 dau restul 10 . + +## SUBIECTUL III + +Fie $m$ un număr natural nenul. Se consideră mulțimile: + +$A=\left\{x \in N / x=2^{n}-1, n \in N^{*}, n \leq m\right\}$ si $B=\left\{y \in N / y=2^{n-1}, n \in N^{*}, n \leq m\right\}$. + +a) Stabilitii de ce mulțimea $A \cap B$ nu poate avea mai mult de un element. + +b) Determinați numărul $m$ știind că mulțimea $A \cup B$ conține doar numere consecutive. + +c) Determinați valoarea minimă a numărului $m$ astfel încât propoziția " $1023 \in A$ " să fie adevărată. + +d) Care este valoarea maximă a numărului $m$ dacă mulțimea $B$ conține exact 8 pătrate perfecte? + +## SUBIECTUL IV + +Fie numărul natural $n=\overline{11 \ldots 1}+\overline{22 \ldots 2}+\ldots+\overline{88 \ldots 8}+\overline{99 \ldots 9}$, fiecare număr de forma $\overline{a a \ldots a}$ conţinând câte 2015 cifre de $a$. Determinaţi câte cifre de 9 conţine numărul $n$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte; + +Nu se acordă puncte din oficiu; + +Timpul efectiv de lucru este de 2 ore din momentul primirii subiectului. + +\section*{OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALÄ 14.02.2015 + +CLASA a V-a
Soluții şi barem de corectare} + +## SUBIECTUL I + +a) Dacă se stabilește că termenul general are forma $T_{n}=3(n-1)+1$, atunci $\mathrm{T}_{22}=3(22-1)+1=64$ care este pătrat perfect. + +4 p. + +Dacă nu se folosește termenul general şi se face efectiv enumerarea, se poate găsi al 22-lea termen şi se acordă cele $4 \mathrm{p}$. +b) $\mathrm{T}_{2015}=3(2015-1)+1=6043$ + +$3 p$ + +Barem: a) $4 p$ +b) $3 p$ + +## SUBIECTUL II + +$\mathrm{x}: 12=\mathrm{a}$, rest 10 ; deci $\mathrm{x}=12 \mathrm{a}+10$. + +$1 p$ + +Deoarece numerele sunt cuprinse între 400 şi 600, apar astfel: + +$$ +12 \cdot 33+10=406 +$$ + +$12 \cdot 34+10$ + +$12 \cdot 35+10$ + +$12 \cdot 49+10=598$ + +2p + +- justificarea că sunt 17 numere $1 p$ + +Adunând relațiile, obținem 12(33+34+35+..... +49) +10 17 ............. 1p + +$$ +12\left(\mathrm{~S}_{49}-\mathrm{S}_{32}\right)+170=8534 \quad \text {............................... } 2 p +$$ + +Barem: $7 p$ + +## SUBIECTUL III + +$\mathrm{A}=\{1,3,7,15,31,63$, \} si $B=\{1,2,4,8,16,32$ \} + +a) cu excepția lui 1, B conține doar numere pare, iar A conține doar numere impare. Singurul element comun poate fi 1 . $1 \mathrm{p}$ Observație :Dacă elevul nu explică complet ci doar scrie că pentru $\mathrm{m}=1 \Rightarrow \mathrm{n}=1 \Rightarrow$ $A \cap B=\{1\}$ atunci se acordă $0,5 \mathrm{p}$. + +b) Dacă $m=2 \Rightarrow n \in\{1,2\} \Rightarrow A=\{1,3\}$ si $B=\{1,2\}$, atunci $A U B=\{1,2,3\}$, singura care are numere consecutive $2 p$ +c) $1023 \in \mathrm{A}$, deci $2^{\mathrm{n}}-1=1023, \mathrm{n}=10$ deci $\mathrm{m}=10$. $\qquad$ +d) $\mathrm{y}=2^{\mathrm{n}-1}$ este p.p. dacă $\mathrm{n}-1$ este par. + +Primele 8 p.p. se obțin pentru primii 8 exponenți pari, adică $n-1 \in\{0,2,4,6,8,10,12,14\}, n \in\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$ + +Valoarea maximă a lui m este16. + +$2 p$ + +Observație: Dacă un elev consideră $\mathrm{m}=15$ în loc de $\mathrm{m}=16$ atunci se acordă $1,75 p$ + +Barem: a) $1 p$ +b) $2 p$ +c) $2 p$ +d) $2 p$ + +## SUBIECTUL IV + +Are loc $n=\overline{11 \ldots 1}+\overline{22 \ldots 2}+\ldots+\overline{88 \ldots 8}+\overline{99 \ldots 9}=(1+2+\ldots+8+9) \cdot \overline{11 \ldots 1}$ $\qquad$ 1 punct + +$1+2+\ldots+8+9=45$ $\qquad$ +2 puncte . + +Obţinem $n=45 \cdot \overline{11 \ldots 1}$, $\qquad$ +relaţie ce ne conduce la $n=\overline{499 \ldots .95}$, număr ce are 2016 cifre $\qquad$ 1 puncte . + +Finalizare, $n$ conţine 2014 cifre de 9 1 punct . + +Barem: $7 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-737-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-737-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b867e5d4855cff371d6aaef7247ab750c191a8e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-737-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## CLASA A XII-A + +## Problema 1 + +Fie funcția $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x-1+\sin x-\cos x}{x+e^{x+2015}+\sin x}$. Determinaţi primitiva $F:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $f$, ştiind că $F(0)=1$. + +## Problema 2 + +Pe intervalul $G_{a}=(a,+\infty)$ cu $a \in \mathbb{R}$, se defineşte legea de compozitiie $*: G_{a} \times G_{a} \rightarrow G_{a}$ prin $x * y=x y-a x-a y+a^{2}+a$. + +a) Demonstrați că $\left(G_{a}, *\right)$ este grup abelian. + +b) Demonstrați că oricare ar fi numărul real $a$, grupul $\left(G_{a}, *\right)$ este izomorf cu grupul $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}, \cdot\right) \mathrm{al}$ numerelor reale pozitive în raport cu înmulțirea. + +c) Calculaţi $x_{*}^{n}=\underbrace{x * x * \ldots * x}_{n \text { ori }}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +## Problema 3 + +Fie ( $G, \cdot$ ) un grup finit cu $n$ elemente, $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Dacă funcțiile $f_{k}: G \rightarrow G$, + +$f(x)=x^{k}, k \in\{1,2, \ldots, n-1\}$ sunt automorfisme ale grupului $(G, \cdot)$, demonstrați că $n$ este număr prim. + +## Problema 4 + +Determinaţi funcțiile derivabile $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ care îndeplinesc simultan următoarele condiții: + +(1) derivata $f^{\prime}$ este continuă şi $00, x \neq 0$ rezultă că $f^{2}(x)=f^{\prime}(x) \cdot f^{2}(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=1, \forall x \in(0,1]$. $1 \mathrm{p}$ + +Prin urmare $f(x)=x+c$, iar din conditiia (2) rezultă că $c=0$ $1 \mathrm{p}$ + +## Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-738-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-738-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8ccb67c96397259427f6e0ad303e8523c74ce474 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-738-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,157 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## CLASA a XI-a + +## Subiect 1 + +Determinaţi numerele reale a şi $b$ astfel încât: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-x+a}-b}{x-2}=\frac{3}{4}$. + +## Subiect 2 + +Considerăm matricea $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ şi şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin $x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n \in N, x_{0}=0, x_{1}=1$ + +a) Arătați că $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}x_{n-1} & x_{n} \\ x_{n} & x_{n+1}\end{array}\right)$, pentru orice $n \in N^{*}$. + +b) Arătați, folosind eventual punctul a), că $x_{n+1} x_{n-1}-x_{n}^{2}=(-1)^{n}$, pentru orice $n \in N^{*}$. + +## Subiect 3 + +Fie matricea $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ş $C(A)=\left\{X \in M_{3}(C) / A \cdot X=X \cdot A\right\}$ + +a) Arătați că dacă $X \in C(A)$, atunci există $a, b, c \in C$ astfel încât $X=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ c & b & a\end{array}\right)$. + +b) Demonstrați că ecuația $X^{3}=O_{3}$ are o infinitate de soluții în $M_{3}(C)$. + +c) Arătați că ecuaț̦ia $X^{3}=A$ nu are soluții în $M_{3}(C)$. + +## Subiect 4 + +Considerăm şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ si propozițiile : + +$\left(P_{1}\right)$ Șirul $x_{n}=a_{n+1}-a_{n}, n \in N^{*}$ este convergent la zero. + +$\left(P_{2}\right)$ Șirul $y_{n}=\max \left(a_{n}, a_{n+1}\right), n \in N^{*}$ este convergent +$\left(P_{3}\right)$ Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +Arătați că: +a) $P_{1}$ nu implică $P_{3}$ +b) $P_{2}$ nu implică $P_{3}$ +c) $P_{1}$ şi $P_{2}$ implică $P_{3}$. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## CLASA a XI-a Barem + +Subiectul 1 Determinați numerele reale a şi b astfel încât: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-x+a}-b}{x-2}=\frac{3}{4}$. + +## Soluție şi barem + +Dacă $\sqrt{2+a}-b>0, \lim _{x \nearrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-x+a}-b}{x-2}=-\infty$ si $\lim _{x \gg 2} \frac{\sqrt{x^{2}-x+a}-b}{x-2}=\infty$. + +Nu există limita dată, contradicție. Analog pentru $\sqrt{2+a}-b<0$. Rezultă $\sqrt{2+a}-b=0$. + +Pentru $b=\sqrt{2+a}$, + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-x+a}-\sqrt{2+a}}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x-2}{(x-2)\left(\sqrt{x^{2}-x+a}+\sqrt{2+a}\right)}= \\ +& \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+a}+\sqrt{2+a}}=\frac{3}{2 \sqrt{2+a}} +\end{aligned} +$$ + +Deci $\sqrt{2+a}=2 \rightarrow a=2$. În concluzie $a=2, b=2$. + +$\sqrt{2+a}-b \neq 0$, imposibil. $.3 p$ + +$\sqrt{2+a}-b=0, \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-x+a}-b}{x-2}=\frac{3}{2 \sqrt{2+a}}$ + +$\sqrt{2+a}=2 \rightarrow a=2$. $.1 \mathrm{p}$ + +$b=\sqrt{2+a}=2$ $1 \mathrm{p}$ + +Subiectul 2 Considerăm matricea $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ şi şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin $x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n \in N, x_{0}=0, x_{1}=1$ + +a) Arătați că $A^{n}=\left(\begin{array}{cc}x_{n-1} & x_{n} \\ x_{n} & x_{n+1}\end{array}\right)$, pentru orice $n \in N^{*}$. + +b) Arătați, folosind eventual punctul a), că $x_{n+1} x_{n-1}-x_{n}^{2}=(-1)^{n}$, pentru orice $n \in N^{*}$. + +## Solutie si barem + +a) Demonstrăm inductiv. Pentru $n=1$, trebuie arătat că $A=\left(\begin{array}{ll}x_{0} & x_{1} \\ x_{1} & x_{2}\end{array}\right)$, adevărat deoarece $x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=1$. + +Fie $A^{k}=\left(\begin{array}{cc}x_{k-1} & x_{k} \\ x_{k} & x_{k+1}\end{array}\right)$, atunci $A^{k+1}=A^{k} \cdot A=\left(\begin{array}{cc}x_{k-1} & x_{k} \\ x_{k} & x_{k+1}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x_{k} & x_{k+1} \\ x_{k+1} & x_{k+2}\end{array}\right)$, ceea ce trebuia arătat + +b) Cum $\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(\operatorname{det} A)^{n}=(-1)^{n}$ și $\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=x_{n+1} x_{n-1}-x_{n}{ }^{2}$, rezultă concluzia. + +a) verificare $.2 \mathrm{p}$ + +$P(k) \rightarrow P(k+1)$ $.2 \mathrm{p}$ +b) $\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(-1)^{n}$ $.1 \mathrm{p}$ + +$\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=x_{n+1} x_{n-1}-x_{n}^{2}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Subiectul 3 Fie matricea $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ şi $C(A)=\left\{X \in M_{3}(C) / A \cdot X=X \cdot A\right\}$ + +a) Arătați că dacă $X \in C(A)$, atunci există $a, b, c \in C$ astfel încât $X=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ c & b & a\end{array}\right)$. + +b) Demonstrați că ecuația $X^{3}=O_{3}$ are o infinitate de soluții în $M_{3}(C)$. + +c) Arătați că ecuația $X^{3}=A$ nu are soluții î $M_{3}(C)$. + +## Soluție şi barem + +a) Fie $X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right)$. Din $A \cdot X=X \cdot A$ rezultă $a=e=i, d=h, g \in C b=c=f=0$ şi de aici concluzia. + +b) De exemplu $X=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ c & b & 0\end{array}\right), b, c \in C$ sunt soluții. + +c) Fie $X$ soluție, atunci $X^{4}=A \cdot X=X \cdot A$, conform a) rezultă că $X=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ c & b & a\end{array}\right)$, apoi + +$$ +X^{3}=\left(\begin{array}{ccc} +a^{3} & 0 & 0 \\ +3 a^{2} b & a^{3} & 0 \\ +3 a b^{2}+3 a^{2} c & 3 a^{2} b & a^{3} +\end{array}\right) \text { s,i din } X^{3}=A \text { rezultă } a^{3}=0 ; 3 a^{2} b=1 ; 3 a b^{2}+3 a^{2} c=2, \text { fals. } +$$ + +Prin urmare ecuatia nu are soluție. +a) +b) + +c). $.2 p$ + +Subiectul 4 Considerăm şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ si propozițiile : + +$\left(P_{1}\right)$ Șirul $x_{n}=a_{n+1}-a_{n}, n \in N^{*}$ este convergent la zero. + +$\left(P_{2}\right)$ Șirul $y_{n}=\max \left(a_{n}, a_{n+1}\right), n \in N^{*}$ este convergent + +$\left(P_{3}\right)$ Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +Arătați că: +a) $P_{1}$ nu implică $P_{3}$ +b) $P_{2}$ nu implică $P_{3}$ +c) $P_{1}$ şi $P_{2}$ implică $P_{3}$. + +## Soluție şi barem + +Considerăm $a_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$, atunci $x_{n}=\frac{1}{n+1}$ converge la zero și $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este divergent, $a_{n} \rightarrow \infty$ Considerăm $a_{n}=(-1)^{n}$, atunci $y_{n}=1$, deci este convergent pe când $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este divergent. + +Fie $P_{1}$ si $P_{2}$, adevărate. Atunci $y_{n}=\frac{a_{n+1}+a_{n}+\left|a_{n+1}-a_{n}\right|}{2}$ și $a_{n+1}=a_{n}+x_{n}$. Deducem că $2 y_{n}=2 a_{n}+x_{n}+\left|x_{n}\right|$, prin urmare $a_{n}=y_{n}-\frac{x_{n}+\left|x_{n}\right|}{2}$, deci convergent. + +a) exemplu............................................................................................... + +b) exemplu...................................................................................................... + +c)exemplu...................................................................................................................... + +Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-739-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-739-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77423f2ed726e403aa983647ca56bb26140d6cc7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-739-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,133 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## CLASA a X-a + +## Subiectul 1. + +a) Calculați $(\sqrt{5}-1)^{3}$. + +b) Determinați câte numere naturale nenule $n$ verifică inegalitatea: + +$$ +\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^{2}}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^{2}}}<1-2 \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} +$$ + +## Subiectul 2 . + +Dacă $\boldsymbol{a}_{k} \in(0,1), k=\overline{\mathbf{1}_{j} n}, n \in \mathrm{N}^{*}$, demonstrați inegalitatea: + +$$ +\log _{a_{1}} \frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\log _{a_{2}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\ldots+\log _{a_{n}} \frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} \geq n +$$ + +## Subiectul 3 . + +a) Dacă $a, z, z^{\prime} \in \mathbb{C}$, arătaţi că $|z+a|+\left|z^{\prime}+a\right| \geq\left|z-z^{\prime}\right|$. + +b) Dacă $a, z \in \mathbb{C},|z|=1, n \in \mathbb{N}^{*}$, arătați că $\sum_{k=1}^{2 n}\left|z^{k}+a\right| \geq n|z-1|$. + +## Subiectul 4 . + +Fie $A$ un punct al cercului cu centrul în originea reperului cartezian $x O y$ și de rază 1 , astfel încât $\mu(\widehat{x O A})=\frac{\pi}{6}$. + +a) Determinați ecuația binomă de grad minim, având coeficienți reali, pentru care una dintre rădăcini să fie afixul punctului $A$; + +b) Aflați aria poligonului cu vârfurile $A_{k}$, unde $A_{k}$ sunt imaginile geometrice ale ecuației de la punctul a). + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## Clasa a X-a + +## Subiectul 1 + +a) Calculați $(\sqrt{5}-1)^{3}$. + +b) Determinați câte numere naturale nenule $n$ verifică inegalitatea: + +$$ +\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^{2}}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^{2}}}<1-2 \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} +$$ + +## Solutic si barem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-2.jpg?height=71&width=1678&top_left_y=954&top_left_x=139) + +b) Se amplifică fiecare fracție din membrul stâng cu expresia conjugată și după reducerea + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-2.jpg?height=74&width=1676&top_left_y=1098&top_left_x=134) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-2.jpg?height=63&width=1673&top_left_y=1167&top_left_x=136) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-2.jpg?height=60&width=1676&top_left_y=1228&top_left_x=137) + +Cum $15+8 \sqrt{5} \in(32,33) \Rightarrow n \in\{1,2, \ldots, 32\}$, deci sunt 32 numere .................................................... + +Subiectul 2. Dacă $a_{k} \in(0,1), k=\overline{1, n}, n \in \mathrm{N}^{*}$, demonstrați inegalitatea: + +$$ +\log _{a_{1}} \frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\log _{a_{2}} \frac{1}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}}+\ldots+\log _{a_{n}} \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}} \geq n +$$ + +## Solutic și barem + +Se aplică inegalitatea dintre media armonică și media geometrică obținându-se $n$ inegalități: + +$\log _{a_{1}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} \geq \log _{a} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\frac{\log _{0}-\left(a_{-1}^{-} a_{2} \cdots a_{n}\right)}{n}, i=\overline{1, n}$ + +Prin adunare membru cu membru se obține: + +$\log _{a_{1}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\log _{a_{2}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\ldots+\log _{a_{n}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} \geqslant$ + +$\frac{n+\left(\log _{a_{1}} a_{2}+\log _{a_{2}} a_{1}\right)+\cdots+\left(\log _{a_{n}} a_{n-1}+\log _{a_{n-1}} a_{n}\right)}{n}$ + +Aplicând inegalitatea $\log _{a_{i}} a_{j}+\log _{a} a_{i} \geq 2$ pentru toate parantezele din expresia anterioară se obține + +$\log _{a_{1}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\log _{a_{2}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}+\cdots+\log _{a_{n}} \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}$ + +$\frac{n+(n-1) \cdot 2+(n-2) \cdot 2+\cdots+2}{n}$ Și î continuare rezultă inegalitatea cerută + +Subiectul 3. a) Dacă $a, z, z^{\prime} \in \mathbb{C}$, arătaţi că $|z+a|+\left|z^{\prime}+a\right| \geq\left|z-z^{\prime}\right|$. + +b) Dacă $a, z \in \mathbb{C},|z|=1, n \in \mathbb{N}^{*}$, arătaţi că $\sum_{k=1}^{2 n}\left|z^{k}+a\right| \geq n|z-1|$. + +## Solutie si barem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-3.jpg?height=71&width=1724&top_left_y=751&top_left_x=130) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-3.jpg?height=74&width=1718&top_left_y=821&top_left_x=136) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-3.jpg?height=137&width=1721&top_left_y=892&top_left_x=132) + +$\sum_{k=1}^{2 n}\left|z^{k}+a\right| \geq\left|z^{2 n}-z^{2 n-1}\right|+\ldots+\left|z^{2}-z\right|$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$\sum_{k=1}^{2 n}\left|z^{k}+a\right| \geq\left(\left|z^{2 n-1}\right|+\left|z^{2 n-3}\right|+\ldots+|z|\right)|z-1|=n|z-1|$ + +$2 \mathrm{p}$ + +Subiectul 4. Fie $A$ un punct al cercului cu centrul $\square$ n originea reperului cartezian $x O y$ și de rază 1 , astfel $\square$ ncât $\mu(\widehat{x O A})=\frac{\pi}{6}$. + +a) Determinați ecuația binomă de grad minim, având coeficienți reali, pentru care una dintre rădăcini să fie afixul punctului $A$; + +b) Aflați aria poligonului cu vârfurile $A_{k}$, unde $A_{k}$ sunt imaginile geometrice ale ecuației de la punctul a). + +## Solutic și barem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dd0652a63e57bba5ec9g-3.jpg?height=109&width=1724&top_left_y=1970&top_left_x=127) +$\cos \frac{n \pi}{6}+i \sin \frac{n \pi}{6}=b \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac{\text { 乃in }}{6}=0 \Rightarrow n=6 k, k \in \mathbb{N}^{*}$ + +$n=6, b=-1$, deci ecuatia este $z^{6}+1=0$ + +b) $A_{k}\left(z_{k}\right), z_{k}=\cos \frac{\pi+2 k \pi}{6}+i \sin \frac{\pi+2 k \pi}{6}, k=\overline{0,5}, A_{0} A_{1} \ldots A_{5}$ hexagon regulat ....................... $1 \mathrm{p}$ + +$\mathcal{A}\left[A_{0} A_{1} \ldots A_{5}\right]=6 \mathcal{A}\left[O A_{0} A_{1}\right]=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-74-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xi.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-74-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xi.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..635f37d2cc99fe4e832a130da2d9c1b185734d2c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-74-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xi.md" @@ -0,0 +1,92 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Deva, 23 aprilie 2019 + +## Soluţii şi barem orientativ de corectare la CLASA a XI-a + +## Problema 1. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, si $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ cu proprietatea că există o matrice + +idempotentă $C \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $C^{*}=A B-B A$. Arătati că $(A B-B A)^{2}=O_{n}$. (C se numeşte idempotentă dacă $C^{2}=C$; matricea $C^{*}$ este adjuncta matricei $C$.) + +## Soluţie şi barem: + +Arătăm că matricea $C$ nu poate fi inversabilă. Dacă $C$ ar fi inversabilă, din idempotenţă rezultă că $C=I_{n}$. Dar atunci $A B-B A=C^{*}=I_{n}^{*}=I_{n}$, egalitate imposibilă deoarece $\operatorname{tr}(A B-B A)=0 \neq n=\operatorname{tr}\left(I_{n}\right)$. 2p + +Matricea $C$ fiind neinversabilă, are rangul $\operatorname{rang}(C) \leq n-1$. Distingem cazurile: + +i) $\operatorname{rang}(C) \leq n-2$. Atunci $A B-B A=C^{*}=O_{n}$, deci $(A B-B A)^{2}=O_{n}$ + +ii) $\operatorname{rang}(C)=n-1$. Atunci $C^{*} \neq O_{n}$ şi cum $C \cdot C^{*}=O_{n}$, din inegalitatea lui Sylvester rezultă că $1 \leq \operatorname{rang}\left(C^{*}\right)=\operatorname{rang}(C)+\operatorname{rang}\left(C^{*}\right)-n+1 \leq \operatorname{rang}\left(C \dot{C}^{*}\right)+1=1$, deci $\operatorname{rang}\left(C^{*}\right)=1$. $\qquad$ +Dar atunci, $(A B-B A)^{2}=\operatorname{tr}(A B-B A) \cdot(A B-B A)=O_{n} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{p}$ + +Problema 2. Fie $f:[0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ o functुie continuă, constantă pe $\mathbb{N}$. + +Dacă pentru orice numere reale $0 \leq a0$. $\qquad$ +b) Să presupunem că ar exista o funcţie derivabilă $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că $f\left(f^{\prime}(x)\right)=x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Atunci $f$ este surjectivă, iar $f^{\prime}$ este injectivă............................... Cum $f^{\prime}$ are proprietatea valorilor intermediare (proprietatea lui Darboux), rezultă că $f^{\prime}$ este strict monotonă (şi continuă). ... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e58d611bed637f0f1e5ag-2.jpg?height=63&width=57&top_left_y=1035&top_left_x=1862) +Dacă există $a \in \mathbb{R}$ cu proprietatea că $f^{\prime}(a)=0$, atunci fie $f^{\prime}(x)<00>f^{\prime}(y)$ pentru orice $x Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015
CLASA a V-a + +## Subiectul 1 + +Aflați numerele de forma $\overline{a b c}$ care împărțite la $\overline{b c}$ dau câtul 4 şi restul $\overline{b c}-8$. + +## Subiectul 2 + +1. Arătați că numărul $A=6^{2015}$ se poate scrie ca diferență de două pătrate perfecte. +2. Demonstrați că numărul $B=2015+2+6+10+\ldots+4026$ se poate scrie ca sumă de două pătrate perfecte. + +## Subiectul 3 + +Se consideră numerele $a=8^{222}-3 \cdot 4^{332}-2^{663}$ şi $b=3^{500}-2 \cdot 3^{499}-2 \cdot 3^{498}-\ldots-2 \cdot 3^{443}-2 \cdot 3^{442}$ + +a) Să se compare numerele $a$ şi $b$. + +b) Să se determine cel mai mic număr $p$ prim de două cifre astfel încât $a+b+p$ să se dividă cu 10. (3p) + +## Subiectul 4 + +Considerăm tabelul format din perechile de numere naturale + +$$ +\begin{aligned} +& (1,1) \\ +& (1,2) \quad(2,1) \\ +& (1,3) \quad(2,2) \quad(3,1) \\ +& (1,4) \quad(2,3) \quad(3,2) \quad(4,1) +\end{aligned} +$$ + +a) Care este perechea din mijlocul rândului al 9-lea? + +b) Care este a 1000-a pereche de pe rândul 2010? + +c) În câte perechi scrise de la rândul 1 până la rândul 2010 inclusiv, apare numărul 1005 ? + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## CLASA a V-a + +## BAREM + +Subiectul 1 Aflați numerele de forma $\overline{a b c}$ care împărțite la $\overline{b c}$ dau câtul 4 şi restul $\overline{b c}-8$ + +## Soluție şi barem + +Scrie $\overline{a b c}=4 \cdot \overline{b c}+\overline{b c}-8$ + +$\overline{b c}=25 \cdot a+2$ + +$25 a+2<100=a<4$ + +$a=1 \Rightarrow \overline{b c}=27$ $1 \mathrm{p}$ + +$a=2 \Rightarrow \overline{b c}=52$ + +$a=3 \Rightarrow \overline{b c}=77$ + +$\overline{a b c} \in\{127,252,377\}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Subiectul 2 1. Arătați că numărul $A=6^{2015}$ se poate scrie ca diferență de două pătrate perfecte. + +2. Demonstrați că numărul $B=2015+2+6+10+\ldots+4026$ se poate scrie ca sumă de două + +pătrate perfecte. + +## Soluție şi barem + +1. $A=6^{2012} \cdot 6^{3}$ +$1 \mathrm{p}$ +$A=6^{2012} \cdot(225-9)$ +$A=\left(15 \cdot 6^{1006}\right)^{2}-\left(3 \cdot 6^{1006}\right)^{2}$ +2. $B=2015+2 \cdot(1+3+5+\cdots+2013)$ $1 \mathrm{p}$ +$B=(1+3+5+\cdots+2013)+(1+3+5+\cdots+2013+2015)$ +$B=1007^{2}+1008^{2}$ $1 \mathrm{p}$ + +Subiectul 3 Se consideră numerele $a=8^{222}-3 \cdot 4^{332}-2^{663} \quad$ şi $b=3^{500}-2 \cdot 3^{499}-2 \cdot 3^{498}-\ldots-2 \cdot 3^{443}-2 \cdot 3^{442}$ + +a) Să se compare numerele $a$ şi $b$. + +b) Să se determine cel mai mic număr $p$ prim de două cifre astfel încât $a+b+p$ să se dividă cu 10 . + +## Soluție şi barem + +a) $a=2^{633} \quad 1 \mathrm{p}$ $b=3^{500}-(3-1) \cdot 3^{499}-(3-1) \cdot 3^{498}-\cdots-(3-1) \cdot 3^{442} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$b=3^{442} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$a0$ cu $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=a$. Dacă $x_{1}=x_{n-1}$, arătați că: + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{3}}{x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}} \geq \frac{a}{2} +$$ + +Problema 3. Fie $\triangle A B C$ cu $G$ şi $I$ centrul de greutate, respectiv centrul cercului înscris în $\triangle A B C$, iar $M$ un punct în planul triunghiului. Să se demonstreze: +a) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \cdot \overrightarrow{M G}$ +b) $a \overrightarrow{M A}+b \overrightarrow{M B}+c \overrightarrow{M C}=(a+b+c) \cdot \overrightarrow{M I}$, cu notațiile $a=B C, b=A C, c=A B$. + +c) Dacă $\vec{v}=a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+c \overrightarrow{G C}$ şi $\vec{u}=\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}$, să se arate că vectorii $\vec{v}$ şi $\vec{u}$ sunt coliniari și $\quad 3 \cdot|\vec{v}|=(a+b+c) \cdot|\vec{u}|$ + +Problema 4. Pe laturile $[A B],[B C],[C D],[D A]$ ale paralelogramului $A B C D$ se consideră punctele $M, N, P$ şi respectiv $Q$. + +a) Arătați că $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{Q P}$ este coliniar cu $\overrightarrow{A C} \Leftrightarrow \overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M Q}$ este coliniar cu $\overrightarrow{B D}$. + +b) Indicați 4 puncte $M, N, P, Q$ pentru care echivalența de la punctul a) are loc. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2015 + +## Etapa locală - Iaşi, 23 ianuarie 2015 + +## CLASA A IX A + +Problema 1. Să se rezolve ecuaţiile: +a) $\left|x^{2}-3 x+2\right|=|| x-\frac{1}{3}\left|-\frac{2}{3}\right|, \quad x \in \mathbf{R}$; +b) $\left[\frac{n-1}{2}\right]+\left[\frac{n^{2}-n}{3}\right]=n, n \in \mathbb{Z}$, unde $[x]$ este partea întreagă a numărului $x$. + +## Soluție şi barem + +a) Prelucrând ecuatia se obține: + +1. $x^{2}-3 x+\frac{8}{3}-\left|x-\frac{1}{3}\right|=0 \quad$ sau $2 x^{2}-3 x+\frac{4}{3}+\left|x-\frac{1}{3}\right|=0$ + +Dacă $x<\frac{1}{3}$ atunci, din 1. rezultă ecuatia $3 x^{2}-6 x+7=0$ care nu are soluții reale, iar din 2. Rezultă ecuața $3 x^{2}-12 x+5=0$ cu soluțiile $x_{1}=\frac{6+\sqrt{21}}{3}$ si $x_{2}=\frac{6-\sqrt{21}}{3}$ ambele mai mari decât $\frac{1}{3}$..... 1p Dacă $x>\frac{1}{3}$ atunci, din 1. rezultă ecuația $x^{2}-4 x+3=0$ cu soluțiile $x_{1}=1$ și $x_{2}=3$, iar din 2 . Rezultă ecuația $x^{2}-2 x+1=0$ cu solutiile $x_{1}=x_{z}=1>\frac{1}{3}$.. + +AȘadar, mulțimea soluțiilor ecuatiei este $5=\{1,3\}$ $.1 \mathrm{p}$ + +b) + +$\left[\frac{n-1}{2}\right]=k \Leftrightarrow k \leq \frac{n-1}{2}0 \mathrm{cu} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=a$. Dacă $x_{1}=x_{n-1}$, arătatị că: + +$$ +\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{a}}{x_{i}^{2}+x_{i-1}^{2}} \geq \frac{a}{2} +$$ + +## Soluție şi barem + +Avem + +$\frac{x_{i}^{2}+x_{i-1}^{2}}{2} \geq x_{i} x_{i-1} \Leftrightarrow \frac{x_{i} x_{i-1}}{x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}} \leq \frac{1}{2}$ + +$\Rightarrow \frac{x_{i}^{3}}{x_{i}^{2}+x_{i-1}^{2}}=x_{i}-x_{i-1} \frac{x_{i} x_{i-1}}{x_{i}^{2}+x_{i-1}^{2}} \geq x_{i}-\frac{x_{i-1}}{2}$ + +$2 \mathrm{p}$ + +Adunând relațiile pentru $i=1,2, \ldots, n$ obținem + +$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{3}}{x_{i}^{2}+x_{i-1}^{2}} \geq \sum_{i=1}^{n} x_{i}-\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{2}=\frac{a}{2}$ + +$3 \mathrm{p}$. + +Problema 3. Fie $\triangle A B C$ cu $G$ şi $I$ centrul de greutate, respectiv centrul cercului înscris în $\triangle A B C$, iar $M$ un punct în planul triunghiului. Să se demonstreze: +a) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \cdot \overrightarrow{M G}$ +b) $a \overrightarrow{M A}+b \overrightarrow{M B}+c \overrightarrow{M C}=(a+b+c) \cdot \overrightarrow{M I}$, cu notatiile $a=B C, b=A C, c=A B$. +c) Dacă $\vec{v}=a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+c \overrightarrow{G C}$ \$̧i $\vec{u}=\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}$, să se arate că vectorii $\vec{v}$ şi $\vec{u}$ sunt coliniari şi + +$$ +3 \cdot|\vec{v}|=(a+b+c) \cdot|\vec{u}| +$$ + +## Soluție şi barem + +a) Fie $D$ mijlocul lui $(B C) \Rightarrow \overrightarrow{M D}=\frac{\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}}{2}$. Dacă $G$ este centrul de greutate $\Rightarrow \frac{\overrightarrow{G A}}{\overrightarrow{G D}}=-2 \Rightarrow$ $\Rightarrow \overrightarrow{M G}=\frac{1}{1+2} \overrightarrow{M A}+\frac{2}{1+2} \overrightarrow{M D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{M A}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C})$ + +b) Fie $[A E$ şi $[B F$ bisectoarele unghiurilor $\hat{A}$ şi $\hat{B}, E \in(B C), F \in(A C)$. + +Din teorema bisectoarei $\Rightarrow \frac{B E}{E C}=\frac{B A}{A C}=\frac{c}{b}$ şi $\Rightarrow \frac{\overrightarrow{E B}}{\overrightarrow{E C}}=-\frac{c}{b}$; + +$I \in(A E),\left(B I\right.$ bisectoarea unghiului $\hat{B} \Rightarrow \frac{\overrightarrow{I A}}{\overrightarrow{I E}}=-\frac{c(b+c)}{a c}=-\frac{b+c}{a}$ + +$\overrightarrow{M E}=\frac{1}{1+\frac{c}{b}} \overrightarrow{M B}+\frac{\frac{c}{b}}{1+\frac{c}{b}} \overrightarrow{M C}=\frac{b \overrightarrow{M B}+c \overrightarrow{M C}}{b+c}$ + +$\overrightarrow{M I}=\frac{1}{1+\frac{b+c}{a}} \overrightarrow{M A}+\frac{\frac{b+c}{a}}{1+\frac{b+c}{a}} \overrightarrow{M E}=\frac{a \overrightarrow{M A}}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c} \cdot \frac{b \overrightarrow{M B}+c \overrightarrow{M C}}{b+c}=\frac{a \overrightarrow{M A}+b \overrightarrow{M B}+c \overrightarrow{M C}}{a+b+c} \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +c) Dacă în b) considerăm $M=G$ atunci $\vec{v}=a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+c \overrightarrow{G C}=(a+b+c) \cdot \overrightarrow{G I}$ + +Dacă în a) considerăm $M=\mathrm{I}$ atunci $\vec{u}=\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}=3 \cdot \overrightarrow{I G}$. + +Observăm că $\overrightarrow{G I}=-\frac{1}{3} \vec{u} \Rightarrow \vec{v}=(a+b+c) \cdot\left(-\frac{1}{3} \vec{u}\right)=-\frac{a+b+c}{3} \vec{u} \Rightarrow$ vectorii $\vec{v}$ şi $\vec{u}$ sunt coliniari. + +$|\vec{v}|=\left|\frac{a+b+c}{3}\right| \cdot|\vec{u}| \Leftrightarrow 3|\vec{v}|=(a+b+c) \cdot|\vec{u}|$ + +Problema 4. Pe laturile $[A B],[B C],[C D],[D A]$ ale paralelogramului $A B C D$ se consideră punctele $M, N, P$ şi respectiv $Q$. + +a) Arătați că $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{Q P}$ este coliniar cu $\overrightarrow{A C} \Leftrightarrow \overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M Q}$ este coliniar cu $\overrightarrow{B D}$. + +b) Indicați 4 puncte $M, N, P, Q$ pentru care echivalența de la punctul a) are loc. + +## Soluție şi barem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_74441062d15875a5cbb4g-5.jpg?height=337&width=835&top_left_y=395&top_left_x=675) + +$\overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{B C}=\vec{v}, \frac{A M}{A B}=a, \frac{B N}{B C}=b, \frac{C P}{C D}=c, \frac{D Q}{D A}=d$ + +$\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B N}=(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M})+\overrightarrow{B N}=(\vec{u}-a \cdot \vec{u})+b \cdot \vec{v}=(1-a) \cdot \vec{u}+b \cdot \vec{v}$ + +$\overrightarrow{Q P}=\overrightarrow{Q D}+\overrightarrow{D P}=+d \vec{v}+(\overrightarrow{D C}-\overrightarrow{P C})=+d \vec{v}+(\vec{u}-\vec{u} c)=(1-c) \cdot \vec{u}+d \cdot \vec{v}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_74441062d15875a5cbb4g-5.jpg?height=77&width=1712&top_left_y=1134&top_left_x=139) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_74441062d15875a5cbb4g-5.jpg?height=77&width=1713&top_left_y=1228&top_left_x=136) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_74441062d15875a5cbb4g-5.jpg?height=103&width=1701&top_left_y=1318&top_left_x=139) + +Analog, $\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M Q}$ coliniar cu $\overrightarrow{B D} \Leftrightarrow 2=a+b+c+d$ + +a) $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{Q P}$ coliniar cu $\overrightarrow{A C} \Leftrightarrow a+b+c+d=2 \Leftrightarrow \overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M Q}$ coliniar cu $\overrightarrow{B D}$ $.2 \mathrm{p}$ + +b) Putem considera mijloacele laturilor $[A B],[B C],[C D],[D A]$. $1 \mathrm{p}$ + +Notă: Orice altă soluție corectă sau demers de rezolvare corect se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-745-Matematica, 2014, Subiecte (cls.IX-XII)-2014_matematica_internationala_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-745-Matematica, 2014, Subiecte (cls.IX-XII)-2014_matematica_internationala_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b3f634f0ec4bd3b5aaf729800baa2012a33beee6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-745-Matematica, 2014, Subiecte (cls.IX-XII)-2014_matematica_internationala_subiecte.md @@ -0,0 +1,24 @@ +Problema 1. Fie $a_{0}2 m$. Having selected $p_{j}$, use Dirichlet's theorem to choose a prime + +$$ +p_{j+1} \equiv-1\left(\bmod p_{1}\left(p_{1}-1\right) p_{2}\left(p_{2}-1\right) \cdots p_{j}\left(p_{j}-1\right)\right) +$$ + +If $i0$ verifică relaţia $x y z+x y+y z+z x=4$, atunci + +$$ +x+y+z \geq 3 +$$ + +Problema 2. Determinaţi perechile $(a, b)$ de numere întregi pentru care + +$$ +\frac{a+2}{b+1}+\frac{a+1}{b+2}=1+\frac{6}{a+b+1} +$$ + +Problema 3. Arătaţi că dintre şase puncte situate în interiorul unui pătrat de latură 3 , se pot alege două astfel încât distanţa dintre ele să fie mai mică decât 2 . + +Problema 4. Fie $A B C D$ un patrulater în care $m(\angle A)+m(\angle C)=60^{\circ}$. Ştiind că $A B \cdot C D=B C \cdot A D$, arătaţi că $A B \cdot C D=A C \cdot B D$. + +Problema 5. In triunghiul $A B C$, fie $D, E$ mijloacele laturilor $[A B]$, respectiv $[A C]$. Cercul de diametru $[A B]$ taie $D E$ în partea opusă a lui $C$ faţă de $A B$ în $X$. Cercul de diametru $[A C]$ taie $D E$ de partea opusă lui $B$ faţă de $A C$ în $Y$. Fie $T$ intersecţia lui $X B$ cu $Y C$. Arătaţi că ortocentrul triunghiului $X Y T$ este pe $B C$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Primul test de selecţie pentru OBMJ Sibiu, 10 aprilie 2014 + +Problema 1. Arătaţi că dacă numerele reale $x, y, z>0$ verifică relaţia $x y z+x y+y z+z x=4$, atunci + +$$ +x+y+z \geq 3 +$$ + +Soluţie. Deoarece $x y z \leq\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^{3}$ şi $x y+y z+z x \leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$, notând $s=x+y+z$, rezultă $\frac{s^{3}}{27}+\frac{s^{2}}{3} \geq 4$. Obţinem $(s-3)(s+6)^{2} \geq 0$, de unde $s \geq 3$. Egalitatea are loc pentru $x=y=z=1$. + +Problema 2. Determinaţi perechile $(a, b)$ de numere întregi pentru care + +$$ +\frac{a+2}{b+1}+\frac{a+1}{b+2}=1+\frac{6}{a+b+1} +$$ + +Lucian Dragomir + +Soluţie. Remarcăm că $b \neq-2$ şi $b \neq-1$. Adunând 2 în ambii membri ai egalităţii, obţinem + +$$ +\left(\frac{a+2}{b+1}+1\right)+\left(\frac{a+1}{b+2}+1\right)=3+\frac{6}{a+b+1} \Leftrightarrow(a+b+3)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}\right)=\frac{3(a+b+3)}{a+b+1} +$$ + +Cazul 1. Dacă $a+b+3=0$, atunci orice pereche de forma $(-3-u, u)$, cu $u \in \mathbb{Z} \backslash\{-2,-1\}$ este soluţie a ecuaţiei. + +Cazul 2. Dacă $a+b+3 \neq 0$, atunci $\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}=\frac{3}{a+b+1}$, de unde $a=\frac{b^{2}+4 b+3}{2 b+3}$. + +Deoarece $a \in \mathbb{Z}$, rezultă $2 b+3 \mid b^{2}+4 b+3$, de unde se obţine că $2 b+3 \mid 3$, adică $b \in\{-3,-2,-1,0\}$. Singura soluţie în acest caz este $b=0, a=1$. + +În concluzie, soluţiile ecuaţiei sunt $(1,0)$ şi perechile $(-3-u, u)$, cu $u \in \mathbb{Z} \backslash\{-2,-1\}$. + +Problema 3. Arătaţi că dintre şase puncte situate în interiorul unui pătrat de latură 3 , se pot alege două astfel încât distanţa dintre ele să fie mai mică decât 2 . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2ec64a42f9b9abd7ea05g-2.jpg?height=328&width=332&top_left_y=1755&top_left_x=882) + +Soluţie. Împărţim pătratul în cinci dreptunghiuri ca în figura de mai sus. Astfel, dreptunghiurile "de jos" au dimensiuni $1 \times \sqrt{3}$ şi diagonala de lungime 2 . Dreptunghiurile "de sus" au dimensiuni $1.5 \times(3-\sqrt{3})$ şi diagonala de lungime mai mică decât 2 (se verifică imediat că $1.5^{2}+(3-\sqrt{3})^{2}<4$ ). + +Principiul cutiei arată că cel puţin două dintre cele şase puncte se află în interiorul sau pe laturile unuia dintre cele cinci dreptunghiuri, deci distanţa dintre ele este cel mult egală cu lungimea diagonalei dreptunghiului, care este cel mult 2. Egalitatea se poate obţine doar dacă cele două puncte sunt vârfuri opuse ale unuia dintre dreptunghiurile "de jos", ceea ce implică faptul că unul dintre cele şase puncte se află pe o latură a pătratului, imposibil. + +Observaţie. Partiţionând pătratul în trei dreptunghiuri $1 \times 1.7$ şi două dreptunghiuri $1.5 \times 1.3$, se constată că concluzia problemei rămâne adevărată şi dacă cele şase puncte se află în interiorul sau pe laturile pătratului. + +Problema 4. Fie $A B C D$ un patrulater în care $m(\angle A)+m(\angle C)=60^{\circ}$. Ştiind că $A B \cdot C D=B C \cdot A D$, arătaţi că $A B \cdot C D=A C \cdot B D$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2ec64a42f9b9abd7ea05g-3.jpg?height=365&width=628&top_left_y=594&top_left_x=728) + +Solutie. Construim triunghiul echilateral $B C E$ în semiplanul determinat de dreapta $B C$ şi punctul $D$. Atunci $\frac{A B}{A D}=\frac{B C}{C D}=\frac{C E}{C D}$ si $\widehat{D A B} \equiv \widehat{D C E}$, deci $\triangle D A B \sim \triangle D C E$. Atunci $\frac{A D}{D C}=\frac{D B}{D E}$ sुi $\widehat{A D B} \equiv \widehat{C D E}$, de unde $\widehat{A D C} \equiv \widehat{B D E}$. + +Urmează că $\triangle A D C \sim \triangle B D E$ (L.U.L.), deci $\frac{A D}{B D}=\frac{A C}{B E}=\frac{A C}{B C}$, de unde $A C \cdot B D=B C \cdot A D=A B \cdot C D$. + +Observaţie. Considerând $A^{\prime}, C^{\prime}$ respectiv $D^{\prime}$ imaginile punctelor $A, C, D$ printr-o inversiune de centru $B$, ipoteza revine la $A^{\prime} D^{\prime}=C^{\prime} D^{\prime}$ şi $m\left(\widehat{A^{\prime} D^{\prime} C^{\prime}}\right)=60^{\circ}$. Concluzia este echivalentă cu $A^{\prime} C^{\prime}=C^{\prime} D^{\prime}$, ceea ce este evident. + +Problema 5. În triunghiul $A B C$, fie $D, E$ mijloacele laturilor $[A B]$, respectiv $[A C]$. Cercul de diametru $[A B]$ taie $D E$ în partea opusă a lui $C$ faţă de $A B$ în $X$. Cercul de diametru $[A C]$ taie $D E$ de partea opusă lui $B$ faţă de $A C$ în $Y$. Fie $T$ intersecţia lui $X B$ cu $Y C$. Arătaţi că ortocentrul triunghiului $X Y T$ este pe $B C$. + +Marius Bocanu + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2ec64a42f9b9abd7ea05g-3.jpg?height=711&width=674&top_left_y=1683&top_left_x=702) + +Soluţie. Fie $X M$ şi $Y N$ înălţimi ale triunghiului $X Y T$ şi $H$ intersecţia acestora. Cum $A Y \perp Y T$, rezultă $A Y \| X M$. Analog, $A X \| Y N$, deci $A X H N$ este paralelogram. Centrul acestuia, $O$, se află pe linia mijlocie $E F$, deci $H$, simetricul lui $A$ faţă de $O$, se găseşte pe $B C$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-748-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-748-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5100713df6d99d7dcacb3429fe008a49339bc7bf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-748-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a3f2926c9612bbd83d57g-1.jpg?height=296&width=976&top_left_y=291&top_left_x=454) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +## CLASA a XII-a + +Problema 1. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel. Pentru fiecare $a \in A$ definim funcţiile $s_{a}: A \rightarrow A$ şi $d_{a}: A \rightarrow A$ prin $s_{a}(x)=a x, d_{a}(x)=x a$, oricare ar fi $x \in A$. + +a) Să se arate că, dacă $A$ este mulţime finită, atunci $s_{a}$ este injectivă dacă şi numai dacă $d_{a}$ este injectivă. + +b) Daţi exemplu de inel care conţine un element $a$ pentru care exact una dintre funcţile $s_{a}$ §̧i $d_{a}$ este injectivă. + +Problema 2. Fie $I, J$ două intervale, fie $\varphi: J \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă care nu se anulează în niciun punct din $J$ şi fie $f, g: I \rightarrow J$ două funcţii derivabile astfel încât $f^{\prime}=\varphi \circ f$ sुi $g^{\prime}=\varphi \circ g$. + +Să se arate că, dacă există $x_{0} \in I$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$, atunci funcţiile $f$ şi $g$ coincid. + +Problema 3. Fie $f:[1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ o funcţie continuă, având proprietăţile: + +(i) funcţia $g:[1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ dată de $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ are limită la $+\infty$; + +(ii) funcţia $h:[1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ dată de $h(x)=\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ are limită finită la $+\infty$. + +a) Să se arate că $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$. + +b) Să se arate că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{2}} \int_{1}^{x} f^{2}(t) \mathrm{d} t=0$. + +Problema 4. Fie $(G, \cdot)$ un grup finit cu elementul neutru notat $e$. Presupunem că există $a \in G \backslash\{e\}$ şi un număr natural prim $p$ cu proprietatea $x^{p+1}=a^{-1} x a$, oricare ar fi $x \in G$. + +a) Să se arate că există $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\operatorname{ord}(G)=p^{k}$. + +b) Să se arate că mulţimea $\left\{x \in G \mid x^{p}=e\right\}$ este un subgrup $H$ al lui $G$ şi $(\operatorname{ord}(H))^{2}>\operatorname{ord}(G)$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a3f2926c9612bbd83d57g-2.jpg?height=308&width=1412&top_left_y=298&top_left_x=367) + +SIBIU + +2014 + +## Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +## SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE, CLASA a XII-a + +Problema 1. Fie $(A,+, \cdot)$ un inel. Pentru $a \in A$ definim funcţiile $s_{a}: A \rightarrow A$ şi $d_{a}: A \rightarrow A$ prin $s_{a}(x)=a x, d_{a}(x)=x a$, oricare ar fi $x \in A$. + +a) Presupunem că $A$ este mulţime finită. Să se arate că: pentru orice $a \in A, s_{a}$ este injectivă dacă şi numai dacă $d_{a}$ este injectivă. + +b) Daţi exemplu de inel care conţine un element $a$ pentru care exact una dintre funcţiile $s_{a}$ şi $d_{a}$ este injectivă. + +Soluţie. a) Să presupunem că $s_{a}$ este injectivă. Deoarece $A$ este finită $s_{a}$ este bijectivă, deci + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a3f2926c9612bbd83d57g-2.jpg?height=46&width=1440&top_left_y=1148&top_left_x=337) + +Astfel, dacă $d_{a}(x)=d_{a}(y)$, atunci $(x-y) a=0$, de unde $(x-y) a b=0$, adică $x-y=0$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a3f2926c9612bbd83d57g-2.jpg?height=44&width=1433&top_left_y=1233&top_left_x=342) + +Implicaţia inversă se demonstrează asemănător. + +b) Pentru un exemplu putem considera mulţimea $S=\left\{\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \mid x_{n} \in \mathbb{R}\right\}$ şi inelul funcţiilor aditive $f: S \rightarrow S$, cu operaţiile de adunare şi compunere a funcţiilor. Ca element $a$ se poate lua funcţia dată prin $a\left(\left(x_{n}\right)_{n}\right)=\left(x_{n+1}\right)_{n}$. Deoarece $a$ este surjectivă, $d_{a}$ este injectivă; pe de altă parte, $s_{a}$ nu este injectivă. + +Problema 2. Fie $I, J$ două intervale, fie $\varphi: J \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă care nu se anulează în niciun punct din $J$ şi fie $f, g: I \rightarrow J$ două funcţii derivabile astfel încât $f^{\prime}=\varphi \circ f$ şi $g^{\prime}=\varphi \circ g$. + +Să se arate că, dacă există $x_{0} \in I$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$, atunci funcţiile $f$ şi $g$ coincid. + +Soluţie. Deoarece $\varphi$ nu se anulează şi este continuă, funcţia $\frac{1}{\varphi}$ este corect definită şi are o primitivă $F: J \rightarrow \mathbb{R}$ + +$1 p$ + +Ipoteza devine $(F \circ f)^{\prime}(x)=1, \forall x \in I$, deci există $a \in \mathbb{R}$ astfel încât $F(f(x))=x+a$, $\forall x \in I$, analog există $b \in \mathbb{R}$ astfel încât $F(g(x))=x+b, \forall x \in I \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{m}$ + +Deducem $x_{0}+a=F\left(f\left(x_{0}\right)\right)=F\left(g\left(x_{0}\right)\right)=x_{0}+b$, deci $a=b$. Rezultă $F(f(x))=F(g(x))$, $\forall x \in J \quad(*)$ + +Pe de altă parte, din $F^{\prime}(x) \neq 0, \forall x \in J$ rezultă că $F^{\prime}$ are semn constant pe $J$, deci este strict monotonă. Astfel $F$ este injectivă, iar din $\left(^{*}\right)$ reiese $f=g \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{2 p}$ + +Problema 3. Fie $f:[1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ o funcţie continuă, având proprietăţile: + +(i) funcţia $g:[1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ dată de $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ are limită la $+\infty$; + +(ii) funcţia $h:[1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ dată de $h(x)=\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ are limită finită la $+\infty$. + +a) Să se arate că $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$. + +b) Să se arate că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{2}} \int_{1}^{x} f^{2}(t) \mathrm{d} t=0$. + +Soluţie. a) Fie $\ell=\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$. Dacă $\ell \in(0,+\infty)$, atunci există $a>0$ astfel încât $g(x)>\ell / 2$ pentru $x \geq a$, de unde + +$h(x)=\frac{1}{x}\left(\int_{1}^{a} f(t) \mathrm{d} t+\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) \geq \frac{1}{x} \int_{1}^{a} f(t) \mathrm{d} t+\frac{\ell}{2 x} \int_{a}^{x} t \mathrm{~d} t=\frac{1}{x} \int_{1}^{a} f(t) \mathrm{d} t+\frac{\ell\left(x^{2}-a^{2}\right)}{4 x} \underset{x \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty$, ceea ce contrazice (ii). La fel arătăm că presupunerea $\ell=+\infty$ contrazice (ii), deci $\ell=0 \ldots \mathbf{2 p}$ b) Observăm că $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t>0, \forall x>1$, deci + +$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{2}} \int_{1}^{x} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\int_{1}^{x} f^{2}(t) \mathrm{d} t}{x \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t} \cdot \frac{\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x}\right)=\lambda \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{1}^{x} f^{2}(t) \mathrm{d} t}{x \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t}=\lambda \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{u(x)}{v(x)}$, unde $\lambda=\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x), u(x)=\int_{1}^{x} f^{2}(t) \mathrm{d} t, v(x)=x \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ $1 p$ + +Pentru $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{u(x)}{v(x)}$ folosim regula lui l'Hospital pentru $\frac{\infty}{\infty}$ : $u$ şi $v$ definesc funcţii derivabile, $\lim _{x \rightarrow+\infty} v(x)=+\infty\left(\right.$ avem $v(x) \geq m(x-1)$ pentru $x \geq 2$, unde $\left.m=\inf _{x \in[1,2]} f(x)\right) \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a3f2926c9612bbd83d57g-3.jpg?height=57&width=1436&top_left_y=1132&top_left_x=342) +$\operatorname{iar} \frac{u^{\prime}(x)}{v^{\prime}(x)}=\frac{f^{2}(x)}{x f(x)+\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t}=g(x) \cdot \frac{f(x)}{f(x)+h(x)} \in(0, g(x))$ si $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ implică $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{u^{\prime}(x)}{v^{\prime}(x)}=0$, deci $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{u(x)}{v(x)}=0$, de unde concluzia................................. + +Problema 4. Fie ( $G, \cdot)$ un grup finit cu elementul neutru notat $e$. Presupunem că există $a \in G \backslash\{e\}$ şi un număr prim $p$ cu proprietatea $x^{p+1}=a^{-1} x a$, oricare ar fi $x \in G$. + +a) Să se arate că există $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\operatorname{ord}(G)=p^{k}$. + +b) Să se arate că mulţimea $\left\{x \in G \mid x^{p}=e\right\}$ este un subgrup $H$ al lui $G$ şi $(\operatorname{ord}(H))^{2}>$ $\operatorname{ord}(G)$. + +Soluţie. a) Dacă $x, y \in G$, atunci $(x y)^{p+1}=a^{-1} x y a=a^{-1} x a a^{-1} y a=x^{p+1} y^{p+1}$. Relaţia obţinută se poate scrie $x(y x)^{p} y=x^{p+1} y^{p+1}$, deci $(y x)^{p}=x^{p} y^{p} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +Pentru $x=a$ obţinem din ipoteză $a^{p}=e$ deci, folosind relaţia precedentă, $(y a)^{p}=y^{p}$. Prin înmulţire cu ya la stânga reiese $y_{a}^{p}=(y a)^{p+1}=y^{p+1} a$, deci $a y^{p}=y^{p} a, \forall y \in G \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Din ipoteză rezultă $y^{p(p+1)}=a^{-1} y^{p} a=y^{p}$, deci $y^{p^{2}}=e, \forall y \in G$. Deoarece $p$ este prim reiese că orice element al grupului are ordinul $1, p$ sau $p^{2}$ şi, folosind teorema lui Cauchy, deducem că $\operatorname{ord}(G)=p^{k}, k \in \mathbb{N}^{*}$ + +b) Dacă $x, y \in H$, atunci $(x y)^{p}=y^{p} x^{p}=e$, deci $x y \in H$. Astfel $H$ este parte stabilă şi, cum $H$ este finit, rezultă că $H$ este subgrup + +Considerăm funcţia $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{p}$. Cum $e=x^{p^{2}}=\left(x^{p}\right)^{p}$, deducem că imaginea funcţiei este inclusă în $H$. În plus, $x, y \in G$ şi $f(x)=f(y)$ implică $x^{p}\left(y^{-1}\right)^{p}=e$, deci $\left(y^{-1} x\right)^{p}=e$, adică $y^{-1} x \in H$, de unde $x \in H y$. Reiese astfel că, pentru orice element $\operatorname{din} \operatorname{Im} f$, numărul preimaginilor sale din $G$ este chiar ord $(H), \operatorname{deci}|\operatorname{Im} f|=\frac{\operatorname{ord}(G)}{\operatorname{ord}(H)}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Din $a \neq e$ reiese $a \notin \operatorname{Im} f$ : în caz contrar $a=b^{p}$ pentru un $b \in G$, de unde ar rezulta $b^{p+1}=b^{-p} b b^{p}$, deci $e=b^{p}=a-$ fals. Cum $a \in H$, rezultă că $\operatorname{ord}(H)>|\operatorname{Im} f|=\frac{\operatorname{ord}(G)}{\operatorname{ord}(H)}$, ceea ce duce imediat la concluzie. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-749-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-749-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6bbd6f825c8129d581ff0e387886b9a1728f32ac --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-749-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,158 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f42eb8222a3b65ab7425g-1.jpg?height=292&width=976&top_left_y=293&top_left_x=454) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +## CLASA a XI-a + +Problema 1. Dacă $n$ este un număr natural, iterata de ordin $n$ a unei funcţii $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este funcţia + +$$ +f^{n}=\underbrace{f \circ \cdots \circ f}_{n} +$$ + +unde $f^{0}$ este identitatea. Determinaţi funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, care îndeplinesc simultan următoarele două condiţii: + +(a) Funcţia $f^{0}+f^{1}$ este crescătoare; şi + +(b) Există un număr natural nenul $m$, astfel încât funcţia $f^{0}+\cdots+f^{m}$ este descrescătoare. + +Problema 2. Determinaţi funcţiile derivabile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, care îndeplinesc condiţia $f \circ f=f$. + +Problema 3. Fie $n$ un număr natural nenul şi $A, B$ două matrice din $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $A^{2}+B^{2}=2 A B$. Arătaţi că: + +(a) Matricea $A B-B A$ este singulară; şi + +(b) Dacă rangul matricei $A-B$ este 1 , atunci matricele $A$ şi $B$ comută. + +Problema 4. Fie $A$ o matrice inversabilă din $\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, astfel încât $\operatorname{tr} A=$ $\operatorname{tr} A^{*} \neq 0$, unde $A^{*}$ este adjuncta matricei $A$. Arătaţi că matricea $A^{2}+I_{4}$ este singulară dacă şi numai dacă există o matrice nenulă $B$ în $\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, astfel încât $A B=-B A$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Clasa a XI-a — Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Dacă $n$ este un număr natural, iterata de ordin $n$ a unei funcţii $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este funcţia + +$$ +f^{n}=\underbrace{f \circ \cdots \circ f}_{n} +$$ + +unde $f^{0}$ este identitatea. Determinaţi funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, care îndeplinesc simultan următoarele două condiţii: + +(a) Funcţia $f^{0}+f^{1}$ este crescătoare; şi + +(b) Există un număr natural nenul $m$, astfel încât funcţia $f^{0}+\cdots+f^{m}$ este descrescătoare. + +Soluţie. Funcţiile cerute sunt de forma $f(x)=-x+c$, unde $c$ este o constantă reală. Aceste funcţii verifică în mod evident condiţiile din enunt. + +Arătăm mai întâi că $f$ este injectivă. Fie $x$ şi $y$ două numere reale, astfel încât $f(x)=f(y)$, şi fie $g_{n}=f^{0}+\cdots+f^{n}, n \in \mathbb{N}$. Intrucât $g_{1}$ este crescătoare, $g_{m}$ este descrescătoare, iar $g_{1}(x)-g_{1}(y)=x-y=g_{m}(x)-g_{m}(y)$, rezultă că $(x-y)^{2}=\left(g_{1}(x)-g_{1}(y)\right)\left(g_{m}(x)-g_{m}(y)\right) \leq 0$, deci $x=y$. + +2 puncte + +Întrucât $f$ este injectivă şi continuă (proprietatea valorii intermediare (Darboux) este suficientă), $f$ este strict monotonă, deci toate iteratele sale de ordin par, $f^{2 k}$, sunt strict crescătoare. + +Funcţia $g_{1}$ fiind crescătoare, din paragraful precedent si relaţia + +$$ +g_{n}= \begin{cases}\sum_{k=0}^{n / 2-1} g_{1} \circ f^{2 k}+f^{n}, & \text { dacă } n \text { este par } \\ \sum_{k=0}^{(n-1) / 2} g_{1} \circ f^{2 k}, & \text { dacă } n \text { este impar }\end{cases} +$$ + +rezultă că $g_{n}$ este strict crescătoare, dacă $n$ este par, şi crescătoare, dacă $n$ este impar. + +2 puncte + +Funcţia $g_{m}$ fiind descrescătoare, rezultă că $m$ este impar şi $g_{m}$ constantă. În fine, $g_{1}$ fiind crescătoare şi toate iteratele de ordin par ale lui $f$ fiind (strict) crescătoare, deducem că $g_{1}$ este constantă, de unde rezultă concluzia. + +Problema 2. Determinaţi funcţile derivabile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, care îndeplinesc condiţia $f \circ f=f$. + +Soluţie. Funcţiile cerute sunt funcţiile constante şi identitatea, funcţii care verifică în mod evident condiţiile din enunt. + +Intrucât $f$ este continuă, imaginea sa, $\{f(x): x \in \mathbb{R}\}$, este un interval $I \subseteq \mathbb{R}$. Dacă $I$ este un singleton, atunci $f$ este constantă. + +Dacă $I$ este nedegenerat, fie $a=\inf I<\sup I=b$, unde $a, b \in \overline{\mathbb{R}}$. Din condiţia din enunţ rezultă că restricţia lui $f$ la intervalul deschis $(a, b)$ este identitatea: + +$$ +f(x)=x, \quad aa} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a, x>a} \frac{x-a}{x-a}=1 +$$ + +Pe de altă parte, $f$ are un minimum în $a$, deoarece $f(a)=a=\inf I=\inf \{f(x): x \in \mathbb{R}\}$, deci, conform teoremei lui Fermat, $f^{\prime}(a)=0$, în contradicţie cu (2). Prin urmare, $a=-\infty$. În mod analog, $b=+\infty$. + +Problema 3. Fie $n$ un număr natural nenul şi $A, B$ două matrice $\operatorname{din} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $A^{2}+B^{2}=2 A B$. Arătaţi că: + +(a) Matricea $A B-B A$ este singulară; si + +(b) Dacă rangul matricei $A-B$ este 1 , atunci matricele $A$ şi $B$ comută. + +Soluţie. (a) Relaţia din enunţ este echivalentă cu fiecare dintre următoarele două relaţii: + +$$ +\begin{aligned} +& (A-B)^{2}=A B-B A \\ +& A(A-B)=(A-B) B +\end{aligned} +$$ + +Să presupunem că matricea $A B-B A$ este nesingulară. Conform (1), şi $A-B$ este nesingulară, deci $B=(A-B)^{-1} A(A-B)$, conform (2). Aşadar, $A-B=A-(A-B)^{-1} A(A-B)$, de unde, $I_{n}=A(A-B)^{-1}-(A-B)^{-1} A$. Trecând la urmă, obţinem o contradicţie: $n=\operatorname{tr} I_{n}=$ $\operatorname{tr}\left(A(A-B)^{-1}-(A-B)^{-1} A\right)=0$. Prin urmare, matricea $A B-B A$ este singulară; în plus, din relaţia (1) rezultă că şi matricea $A-B$ este singulară. + +4 puncte + +(b) Reamintim că, dacă $X$ este o matrice de rang 1 din $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, atunci $X^{2}=(\operatorname{tr} X) X-$ aceasta rezultă din faptul că fiecare linie a lui $X$ este proporţională cu o linie nenulă a lui $X$. + +Conform relaţiei (1) şi rezultatului amintit mai sus, + +$$ +A B-B A=(A-B)^{2}=(\operatorname{tr}(A-B))(A-B) +$$ + +deci $0=\operatorname{tr}(A B-B A)=(\operatorname{tr}(A-B))^{2}$, i.e., $\operatorname{tr}(A-B)=0$. Prin urmare, $A B-B A=O_{n}$, i.e., $A B=B A$. + +## 3 puncte + +Problema 4. Fie $A$ o matrice inversabilă din $\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, astfel încât $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} A^{*} \neq 0$, unde $A^{*}$ este adjuncta matricei $A$. Arătaţi că matricea $A^{2}+I_{4}$ este singulară dacă şi numai dacă există o matrice nenulă $B$ în $\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, astfel încât $A B=-B A$. + +Soluţie. Arătăm mai întâi că, dacă $A$ este o matrice $\operatorname{din} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, astfel încât $A^{2}+I_{n}$ este singulară, atunci există o matrice nenulă $B$ în $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, astfel încât $A B=-B A$. + +Întrucât $A^{2}+I_{n}$ este singulară, i este o valoare proprie a lui $A$, iar $-\mathrm{i}$ este o valoare proprie a transpusei $A^{\tau}$. Există deci doi vectori nenuli $\mathbf{x}$ şi $\mathbf{y}$ în $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{C})$, astfel încât $A \mathbf{x}=\mathrm{ix}$ şi $A^{\tau} \mathbf{y}=-\mathrm{i} \mathbf{y}$. Intrucât $\mathbf{x}$ şi $\mathbf{y}$ sunt nenuli, $B=\mathbf{x y}^{\tau}$ este o matrice nenulă $\operatorname{din} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$. + +Matricele $A$ şi $B$ anticomută: + +$$ +A B=A \mathbf{x y} \mathbf{y}^{\tau}=\mathrm{ixy} \mathbf{y}^{\tau}=-\mathbf{x}(-\mathrm{i} \mathbf{y})^{\tau}=-\mathbf{x}\left(A^{\tau} \mathbf{y}\right)^{\tau}=-\mathbf{x y}^{\tau} A=-B A +$$ + +Trecând la conjugate şi ţinând cont de faptul că $A$ este în $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, rezultă că şi conjugata $\bar{B}$ a lui $B$ anticomută cu $A$. Deci orice combinaţie liniară cu coeficienţi complecşi a matricelor $B$ şi $\bar{B}$ anticomută cu $A$. Prin urmare, $B$ sau $\mathrm{i}(B-\bar{B})$ este o matrice nenulă din $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, care anticomută cu $A$. În particular, am demonstrat una dintre implicaţiile problemei. + +4 puncte + +Arătăm acum că, în condiţile din enunţ, este adevărată şi reciproca. Fie $B$ o matrice nenulă $\operatorname{din} \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$, care anticomută cu $A$. Atunci + +$$ +A^{k} B=(-1)^{k} B A^{k}, \quad k \in \mathbb{N} +$$ + +Considerăm polinomul caracteristic $f$ al matricei $A$, + +$$ +f=\lambda^{4}-(\operatorname{tr} A) \lambda^{3}+a \lambda^{2}-\left(\operatorname{tr} A^{*}\right) \lambda+\operatorname{det} A=\lambda^{4}-(\operatorname{tr} A) \lambda^{3}+a \lambda^{2}-(\operatorname{tr} A) \lambda+\operatorname{det} A +$$ + +unde $a$ este un număr real; cea de a doua expresie a lui $f$ rezultă din ipoteza $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} A^{*}$. + +Conform teoremei Hamilton-Cayley, $f(A)=O_{4}$. Tुinând cont de $(*)$, obţinem succesiv: + +$$ +\begin{aligned} +O_{4} & =f(A) B=B\left(A^{4}+(\operatorname{tr} A) A^{3}+a A^{2}+(\operatorname{tr} A) A+(\operatorname{det} A) I_{4}\right) \\ +& =B\left(f(A)+2(\operatorname{tr} A)\left(A^{2}+I_{4}\right) A\right)=2(\operatorname{tr} A) B\left(A^{2}+I_{4}\right) A +\end{aligned} +$$ + +Întrucât $\operatorname{tr} A \neq 0$, iar $A$ este inversabilă, rezultă că $B\left(A^{2}+I_{4}\right)=O_{4}$. Matricea $B$ fiind nenulă, conchidem că $A^{2}+I_{4}$ este singulară. + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-75-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_x.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-75-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_x.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..caa11a3bf1a20720e861ccb0c7325670b5c13ff9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-75-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_x.md" @@ -0,0 +1,117 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_898fb751b908206d7812g-1.jpg?height=130&width=786&top_left_y=146&top_left_x=758) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Deva, 23 aprilie 2019 + +## CLASA a X-a + +Problema 1. Fie $a, b, c$ numere reale strict pozitive. Să se arate că + +$$ +\frac{1}{a b c}+1 \geq 3\left(\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a+b+c}\right) +$$ + +Soluţie. Folosind inegalităţile $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}$ şi $a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}$, + +obţinem + +$$ +3\left(\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a+b+c}\right) \leq \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{a b c}} +$$ + +Notând $\frac{1}{\sqrt[3]{a b c}}=t$, este suficient să arătăm că $t^{3}+1 \geq t^{2}+t$, sau $(t-1)^{2}(t+1) \geq 0$, ceea ce este evident. . . + +Problema 2. Fie $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ un poligon regulat. Să se determine numărul de submulţimi $\left\{A_{i}, A_{j}, A_{k}, A_{l}\right\}$ ale căror elemente sunt vârfurile unui trapez (patrulaterul cu două laturi paralele şi inegale). + +Soluţie. Dacă $n$ este impar şi $A_{i} A_{j} \| A_{k} A_{l}$, atunci un diametru al cercului circumscris poligonului care trece printr-un vârf al acestuia va fi mediatoare a celor două segmente. ... $1 \mathrm{p}$ + +Acesta poate fi ales în $n$ moduri, iar apoi perechea de segmente în $\binom{(n-1) / 2}{2}$ moduri. Segmentele nu pot fi congruente, altfel patrulaterul determinat de acestea ar fi dreptunghi, deci poligonul ar conţine puncte diametral opuse, imposibil. Aşadar numărul căutat este $n\binom{(n-1) / 2}{2}=$ $\frac{n(n-1)(n-3)}{8}$ + +Dacă $n$ este par, perechile de segmente paralele sunt de 2 tipuri: paralele cu o latură a poligonului, respectiv perpendiculare pe un diametru care trece printr-un vârf al poligonului. Numărul de alegeri (numărând de două ori perechile de segmente congruente) este, în primul caz, $\frac{n}{2}\binom{n / 2}{2}$, iar în al doilea caz, $\frac{n}{2}\binom{(n-2) / 2}{2}$. . + +Numărul de perechi de segmente congruente este $\binom{n / 2}{2}$. In concluzie, numărul cerut este $\frac{n}{2}\binom{n / 2}{2}+\frac{n}{2}\binom{n-2) / 2}{2}-2\binom{n / 2}{2}=\frac{n(n-2)(n-4)}{8}$ 2p + +Problema 3. Determinaţi numerele naturale $n \geq 4$ pentru care este adevărată proprietatea: orice numere complexe distincte, nenule $a, b, c$ care verifică + +$$ +(a-b)^{n}+(b-c)^{n}+(c-a)^{n}=0 +$$ + +sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral. + +Soluţie. Vom arăta că $n \in\{4,5,7\}$. Fie $x=a-b, y=b-c$. Evident, $x, y \neq 0, \alpha=\frac{x}{y} \neq-1$. Relaţia din enunţ devine + +$$ +x^{n}+y^{n}+(-x-y)^{n}=0 +$$ + +$1 p$ + +Dacă $n$ este impar, obţinem $x^{n}+y^{n}-(x+y)^{n}=0$, sau $\alpha^{n}+1-(\alpha+1)^{n}=0$. Cum $\alpha \neq-1$, deducem + +$$ +\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}+\ldots+1-(\alpha+1)^{n-1}=0 +$$ + +echivalent $\mathrm{cu}$ + +$$ +\sum_{k=1}^{n-1}\left(\binom{n-1}{k}+(-1)^{k+1}\right) \alpha^{k}=0 +$$ + +Cum $\alpha \neq 0$, obţinem + +$$ +P(\alpha)=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\binom{n-1}{k}+(-1)^{k+1}\right) \alpha^{k-1}=0 +$$ + +Pentru ca $a, b, c$ să fie afixele vârfurilor unui triunghi echilateral, trebuie ca $\alpha$ să fie o rădăcină primitivă de ordinul 3 a unităţii, deci $P(\alpha)=n\left(\alpha^{2}+\alpha+1\right)^{\frac{n-3}{2}}$. Identificând coeficienţii lui $\alpha^{n-5}$ deducem $n \in\{5,7\}$. Pentru $n=5$ obţinem $P(\alpha)=5\left(\alpha^{2}+\alpha+1\right)$, iar pentru $n=7, P(\alpha)=$ $7\left(\alpha^{2}+\alpha+1\right)^{2}$. + +Dacă $n$ este par, obţinem similar că polinomul + +$$ +Q(\alpha)=\alpha^{n}+1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2}\binom{n}{k} \alpha^{k} +$$ + +trebuie să coincidă cu $\left(\alpha^{2}+\alpha+1\right)^{\frac{n}{2}}$, de unde obţinem $n=4$, iar $Q(\alpha)=\left(\alpha^{2}+\alpha+1\right)^{2} \ldots 3$ p + +Problema 4. Fie $A, B \subset \mathbb{N}$ două mulţimi finite, nevide. Notăm cu $\mathcal{F}$ mulţimea funcţiilor $f: \mathcal{P}(A) \rightarrow B$ cu proprietatea + +$$ +f(X \cap Y)=\min (f(X), f(Y)), \forall X, Y \subset A +$$ + +şi cu $\mathcal{G}$ mulţimea funcţiilor $g: \mathcal{P}(A) \rightarrow B$ cu proprietatea + +$$ +g(X \cup Y)=\max (g(X), g(Y)), \forall X, Y \subset A +$$ + +Să se arate că mulţimile $\mathcal{F}$ şi $\mathcal{G}$ au acelaşi număr de elemente şi să se determine acest număr. + +Soluţie. Definim o bijecţie $\Phi: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$ prin formula $\Phi(f)=g$, unde $f \in \mathcal{F}$ iar $g(X)=$ $|B|+1-f(\bar{X}), X \subset A$, unde $\bar{X}=A-X$. + +Arătăm că funcţia este bine definită: dacă $f \in \mathcal{F}$, atunci + +$$ +\begin{array}{r} +g(X \cup Y)=|B|+1-f(\overline{X \cup Y})=|B|+1-f(\bar{X} \cap \bar{Y})=|B|+1-\min (f(\bar{X}), f(\bar{Y})) \\ +=\max (|B|+1-f(\bar{X}),|B|+1-f(\bar{Y}))=\max (g(X), g(Y)) +\end{array} +$$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +Funcţia $\Phi$ este bijectivă şi avem, pentru $g \in \mathcal{G}, \Phi^{-1}(g)=f$, unde $f(X)=|B|+1-g(\bar{X})$. Deducem că $|\mathcal{F}|=|\mathcal{G}|$. Să observăm că dacă $g \in \mathcal{G}$ şi $X \subset Y$, atunci $g(Y)=g(X \cup Y)=$ $\max (g(X), g(Y))$, deci $g(X) \leq g(Y)$, adică funcţia $g:(\mathcal{P}, \subset) \rightarrow(B, \leq)$ este crescătoare. Fie + +$$ +A=\left\{a_{1} Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +## CLASA a VIII-a + +SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Problema 1. Fie $a, b, c \in(0, \infty)$. Demonstraţi inegalitatea: + +$$ +\frac{a-\sqrt{b c}}{a+2(b+c)}+\frac{b-\sqrt{c a}}{b+2(c+a)}+\frac{c-\sqrt{a b}}{c+2(a+b)} \geq 0 +$$ + +Soluţie. Din inegalitatea mediilor avem $\sqrt{b c} \leq \frac{b+c}{2}$, deci + +$$ +\frac{a-\sqrt{b c}}{a+2(b+c)} \geq \frac{a-\frac{b+c}{2}}{a+2(b+c)}=\frac{2 a-b-c}{2(a+2 b+2 c)} +$$ + +Atunci membrul stâng al inegalităţii din enunţ este mai mare sau egal cu + +$\frac{2 a-b-c}{2(a+2 b+2 c)}+\frac{2 b-c-a}{2(2 a+b+2 c)}+\frac{2 c-a-b}{2(2 a+2 b+c)} \stackrel{\text { not }}{=} S$ $2 p$ + +Notând $a+2 b+2 c=5 x, 2 a+b+2 c=5 y$ şi $2 a+2 b+c=5 z$, obţinem $a=-3 x+2 y+2 z, b=2 x-3 y+2 z$ şi $c=2 x+2 y-3 z$. Atunci + +$\frac{2 a-b-c}{2(a+2 b+2 c)}=\frac{-10 x+5 y+5 z}{10 x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-2\right)$ + +Scriind relaţiile analoage şi sumând avem: + +$$ +\begin{aligned} +S & =\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-2\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-2\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-2\right)= \\ +& =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-6\right] \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +ceea ce conduce la concluzia problemei + +Problema 2. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un cub cu latura $A B=a$. Considerăm punctele $E \in(A B)$ şi $F \in(B C)$ astfel încât $A E+C F=E F$. +a) Determinaţi măsura unghiului format de planele $\left(D^{\prime} D E\right)$ şi $\left(D^{\prime} D F\right)$. + +b) Calculaţi distanţa de la $D^{\prime}$ la dreapta $E F$. + +Soluţie. a) Segmentul $[B A]$ îl prelungim cu segmentul $[A H] \equiv[F C]$. Atunci $\triangle D A H \equiv \triangle D C F$ (C.C.), de unde $\widehat{H D A} \equiv \widehat{F D C}$, deci $m(\widehat{H D F})=$ $90^{\circ}$. + +Apoi, $[D H] \equiv[D F]$, de unde $\triangle D H E \equiv \triangle D F E$ (L.L.L.) şi de aici $m(\widehat{F D E})=m(\widehat{H D E})=45^{\circ}$ $3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_86781efbf6608150f54eg-3.jpg?height=65&width=1304&top_left_y=859&top_left_x=432) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_86781efbf6608150f54eg-3.jpg?height=62&width=1369&top_left_y=912&top_left_x=367) + +b) Notăm cu $P$ proiecţia punctului $D$ pe dreapta $E F$. Conform teoremei celor trei perpendiculare obtinem $D^{\prime} P \perp E F$, deci $d\left(D^{\prime}, E F\right)=D^{\prime} P \ldots \mathbf{1 p}$ + +Din congruenţa $\triangle D H E \equiv \triangle D F E$, obţinem $D P=A D=a \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Teorema lui Pitagora ne conduce la $D^{\prime} P=a \sqrt{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{1 p}$ + +Problema 3. Se consideră mulţimea $A=\{n, n+1, n+2, \ldots, 2 n\}$, unde $n \geq 4$ este un număr natural. Determinaţi cea mai mică valoare a lui $n$ pentru care $A$ conţine cinci elemente $a2$, atunci $M$ şi $C$ sunt în discuri diferite. Putem presupune $C \in S_{2}$ şi $(A D) \subset C_{3}$. Analog $D \in S_{3}$ si $(B C) \subset C_{2}$. Atunci $(B C] \subset S_{2}$ şi $(A D] \subset S_{3}$. + +Fie acum $P \in(B C), N \in(A D)$ astfel încât $C P=D N=1,8$. Fie $Q$ mijlocul lui $[C D]$. Atunci $P Q>2$, deci $Q \notin S_{2}$. Analog $Q N>2$, deci $Q \notin S_{3}$. Cum, evident $Q \notin S_{1}$, obţinem o contradicţie .................. $\mathbf{p}$ + +b) Fie $M \in(A C)$ astfel încât $A M=2$. Notăm cu $P$ şi $R$ proiecţile lui $M$ pe $A B$ şi $A D$. Fie $T \in B C$ astfel încât ca $P T=2$ şi $U \in D C$ astfel ca $R U=2$. Considerăm discurile de diametre $A M, P T$ şi $R U$. Suprafaţa neacoperită de acestea este inclusă în interiorul pătratului format cu punctele $C, U, X$ şi $T$ unde $X \in(M C)$. + +Este suficient să arătăm că $\mathcal{A}_{C U X T}<0,25 \% \cdot \mathcal{A}_{A B C D}$, ceea ce este echivalent cu $C T<\frac{1}{20} B C=0,1$ sau $B T>1,9$. + +Avem $A P=\sqrt{2}, B P=2-\sqrt{2}, B T^{2}=4-(2-\sqrt{2})^{2}=4 \sqrt{2}-2$. + +Relaţia de demonstrat $B T>1,9$ revine la $4 \sqrt{2}-2>1,9^{2} \Leftrightarrow 4 \sqrt{2}>$ $5,61 \Leftrightarrow \sqrt{2}>1,4025$, ceea ce este adevărat . ................................. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-752-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-752-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11f3fc0e9cc948e9dbb47d08a7064426a460fff7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-752-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,140 @@ +Matematice din România +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5aed05ed7dd2ef2292b3g-1.jpg?height=296&width=964&top_left_y=291&top_left_x=451) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +## CLASA a VII-a + +Problema 1. Determinaţi numerele prime $p$ şi $q$, cu $p \leq q$, pentru care are loc egalitatea: + +$$ +p(2 q+1)+q(2 p+1)=2\left(p^{2}+q^{2}\right) +$$ + +Problema 2. În exteriorul pătratului $A B C D$ se construieşte rombul $B C M N$, cu unghiul $B C M$ obtuz. Se notează cu $P$ punctul de intersecţie a dreptelor $B M$ şi $A N$. Arătaţi că $D M \perp C P$ şi că triunghiul $D P M$ este dreptunghic isoscel. + +Problema 3. Determinaţi numerele naturale $n$ pentru care are loc egalitatea: + +$$ +17^{n}+9^{n^{2}}=23^{n}+3^{n^{2}} +$$ + +Problema 4. În exteriorul pătratului $A B C D$ se construieşe triunghiul dreptunghic isoscel $A B E$, cu ipotenuza $[A B]$. Fie $N$ mijlocul laturii $[A D]$ şi $\{M\}=C E \cap A B,\{P\}=C N \cap A B,\{F\}=P E \cap M N$. Pe dreapta $F P$ se consideră punctul $Q$ astfel încât $[C E$ este bisectoarea unghiului $Q C B$. Arătaţi că $M Q \perp C F$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5aed05ed7dd2ef2292b3g-2.jpg?height=287&width=287&top_left_y=301&top_left_x=496) + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +CLASA a VII-a + +SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Problema 1. Determinaţi numerele prime $p$ şi $q$, cu $p \leq q$, pentru care are loc egalitatea: + +$$ +p(2 q+1)+q(2 p+1)=2\left(p^{2}+q^{2}\right) +$$ + +Soluţia 1. Egalitatea se scrie sub forma $p+q=2(p-q)^{2}$. (*) . $\mathbf{2 p}$ + +Ca urmare, numerele $p$ sुi $q$ sunt impare distincte. Pentru $p \geq 5$, numerele $p$ şi $q$ dau restul 1 sau 2 la împărţirea cu 3. Vom arăta că în acest caz egalitatea $(*)$ nu poate avea loc. + +Dacă $p$ şi $q$ dau acelaşi rest la împărţirea cu 3 , atunci $3 \mid 2(p-q)^{2}$ şi + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5aed05ed7dd2ef2292b3g-2.jpg?height=49&width=1258&top_left_y=1553&top_left_x=431) + +Dacă $p$ sुi $q$ dau resturi diferite la împărţirea cu 3 , atunci $3 \not 2(p-q)^{2}$ şi $3 \mid p+q$, din nou contradicţie $2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5aed05ed7dd2ef2292b3g-2.jpg?height=51&width=1198&top_left_y=1693&top_left_x=491) + +Soluţia 2. Ca mai înainte, $p+q=2(p-q)^{2}$, cu $p23^{n}-17^{n}$, ecuaţia nu are soluţii $n \geq 2 \ldots \ldots .2$ p + +Soluţia 2. Se observă că $n=0$ şi $n=1$ sunt soluţii ............1p Pentru $n \geq 2$, scriind ecuaţia sub forma $23^{n}-17^{n}=9^{n^{2}}-3^{n^{2}}$, rezultă $A=B$, unde + +$A=23^{n-1}+17 \cdot 23^{n-1}+17^{2} \cdot 23^{n-2}+\ldots+17^{n-2} \cdot 23+17^{n-1}$ + +$B=9^{n^{2}-1}+9^{n^{2}-2} \cdot 3+9^{n^{2}-3} \cdot 3^{2}+\ldots+9 \cdot 3^{n^{2}-2}+3^{n^{2}-1} \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p}$ + +Suma $A$ conţine $n$ termeni, deci $An^{2} \cdot 3^{n^{2}-1} \geq n^{2} \cdot 3^{3(n-1)}=n^{2} \cdot 27^{n-1}>n \cdot 23^{n-1}=A +$$ + +deci ecuaţia nu are soluţii naturale $n \geq 2$ + +Problema 4. În exteriorul pătratului $A B C D$ se construieşte triunghiul dreptunghic isoscel $A B E$, cu ipotenuza $[A B]$. Fie $N$ mijlocul laturii $[A D]$ şi $\{M\}=C E \cap A B,\{P\}=C N \cap A B,\{F\}=P E \cap M N$. Pe dreapta $F P$ se consideră punctul $Q$ astfel încât [CE este bisectoarea unghiului $Q C B$. Arătaţi că $M Q \perp C F$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5aed05ed7dd2ef2292b3g-4.jpg?height=591&width=875&top_left_y=1512&top_left_x=473) + +Soluţie. $\triangle A P E \equiv \triangle B C E$ (L.U.L.), de unde $C E=P E$ şi $\widehat{B E C} \equiv$ $\widehat{A E P}$. Cum $m(\widehat{B E C})+m(\widehat{A E C})=90^{\circ}$, rezultă $m(\widehat{A E C})+m(\widehat{A E P})=90^{\circ}$, adică $m(\widehat{C E P})=90^{\circ} \mathbf{( 1 )}$. Obţinem că triunghiul $E C P$ este dreptunghic şi isoscel, adică $m(\widehat{C P E})=45^{\circ}$ + +De asemenea, $\triangle C E Q \equiv \triangle P E M$ (C.U.), adică $E Q=E M$, deci $\triangle E M Q$ este dreptunghic şi isoscel. Obţinem $m(\widehat{E Q M})=45^{\circ}=m(\widehat{E P C})$, de unde + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5aed05ed7dd2ef2292b3g-5.jpg?height=57&width=1260&top_left_y=546&top_left_x=427) + +Aplicând teorema lui Menelaus în triunghiul $C P E$ cu transversala $N F$ avem $\frac{C N}{N P} \cdot \frac{F P}{F E} \cdot \frac{M E}{M C}=1$ $1 \mathbf{p}$ + +Notând cu $R$ piciorul perpendicularei din $E$ pe $A B$, atunci $\triangle C B M \sim$ $\triangle E R M$, de unde obţinem $\frac{M E}{M C}=\frac{E R}{B C}=\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{1 p}$ + +Deoarece $N P=C N$, rezultă $\frac{F P}{F E}=2$, deci $P E=E F$, si conform (1), $C E$ este înălţime şi mediană în triunghiul $C F P$, adică acesta este isoscel. Folosind (2), rezultă $m(\widehat{F C P})=90^{\circ}$, adică $C P \perp C F$, de unde, ţinând cont de (3), obţinem $M Q \perp C F$............................................ 2p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-753-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-753-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb39acd2e7403a9ec57ba45b3c786d01e2b0b84c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-753-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,102 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b78dada6e67846052d7eg-1.jpg?height=292&width=1284&top_left_y=290&top_left_x=405) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 Aprilie 2014 + +## CLASA a VI-a + +Problema 1. Se consideră mulţimea $A$ a numerelor de patru cifre cel mult egale cu 2014. Determinaţi numărul maxim de elemente al unei submulţimi a lui $A$ care conţine numai pătrate perfecte, oricare două prime între ele. + +Problema 2. Un număr natural $n>1$ se numeşte $p$-periodic dacă $\frac{1}{n}$ se poate scrie sub forma unei fracţii zecimale periodice simple, a cărei cea mai scurtă perioadă este formată din $p$ cifre. Spre exemplu, numărul 9 este 1periodic, deoarece $\frac{1}{9}=0,(1)$, iar numărul 11 este 2-periodic, întrucât $\frac{1}{11}=0,(09)$. + +a) Determinaţi numerele naturale $p$-periodice $n$ care au proprietatea că prima cifră a perioadei numărului $\frac{1}{n}$ este nenulă. + +b) Determinaţi cel mai mare număr prim care este 4-periodic. + +Problema 3. Pentru un număr natural $n$ spunem că tripletul de numere naturale nenule $(x, y, z)$ (nu neapărat distincte) este de tip $n$ dacă $x+y+z=n$. Notăm cu $s(n)$ numărul tripletelor de tip $n$. + +a) Arătaţi că nu există niciun număr natural $n$ pentru care $s(n)=14$. + +b) Determinaţi cel mai mic număr natural $n$ pentru care $s(n)>2014$. + +Problema 4. În triunghiul $A B C$ considerăm punctele $M, N \in(A B)$, $P, Q \in(B C)$ şi $S, R \in(A C)$ astfel încât $A M=C R, A N=C S$, $\varangle M Q B \equiv \varangle R Q C$ si $\varangle N P B \equiv \varangle S P C$. + +Arătaţi că dacă $M Q+Q R=N P+P S$, atunci triunghiul $A B C$ este isoscel. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE, CLASA a VI-a + +## Problema 1. + +Se consideră mulţimea $A$ a numerelor de patru cifre cel mult egale cu 2014. Determinaţi numărul maxim de elemente al unei submulţimi a lui $A$ care conţine numai pătrate perfecte, oricare două prime între ele. + +Soluţie. Dacă $n^{2} \in A$, atunci $n \in\{32,33,34, \ldots, 44\}$ $3 p$ + +Pentru a îndeplini condiţiile din enunţ, dintre elementele pătrate perfecte ale lui $A$, vom păstra un pătrat perfect multiplu de 4 , un pătrat perfect multiplu de 9 , dar nu şi de 4 , un pătrat perfect multiplu de 25 , care nu este multiplu de 4 sau 9 etc $3 p$ + +Un exemplu poate fi: $32^{2}, 33^{2}, 35^{2}, 37^{2}, 41^{2}$ sुi $43^{2}$. + +Numărul maxim de elemente este 6 + +$1 p$ + +Problema 2. Un număr natural $n>1$ se numeşte $p$-periodic dacă $\frac{1}{n}$ se poate scrie sub forma unei fracţii zecimale periodice simple, a cărei cea mai scurtă perioadă este formată din $p$ cifre. Spre exemplu, numărul 9 este 1-periodic, deoarece $\frac{1}{9}=0,(1)$, iar numărul 11 este 2periodic, + +întrucât $\frac{1}{11}=0,(09)$ + +a) Determinaţi numerele naturale $p$-periodice $n$ care au proprietatea că prima cifră a perioadei numărului $\frac{1}{n}$ este nenulă. + +b) Determinaţi cel mai mare număr prim care este 4 -periodic. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b78dada6e67846052d7eg-2.jpg?height=70&width=1694&top_left_y=1556&top_left_x=172) + +Inseamnă că $n \in\{3,7,9\}$................................................................................................................................ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b78dada6e67846052d7eg-2.jpg?height=62&width=1626&top_left_y=1666&top_left_x=239) + +Deci $n \cdot m=9999=3^{2} \cdot 11 \cdot 101$ + +$n$ este număr prim şi cel mai mare în condiţile date, rezultă $n=101$ + +Într-adevăr, $\frac{1}{101}=\frac{99}{9999}=0,(0099)$ + +Problema 3. Se consideră un număr natural $n$. Spunem că un triplet de numere naturale nenule, nu neapărat distincte $(x, y, z)$ este de tip $n$ dacă $x+y+z=n$ şi notăm cu $s(n)$ numărul tripletelor de tip $n$. + +a) Arătaţi că nu există niciun număr natural $n$ pentru care $s(n)=14$. + +b) Determinaţi cel mai mic număr natural $n$ pentru care $s(n)>2014$. + +Soluţie. a) Trei numere diferite două câte două generează 6 triplete. Dacă numai două dintre numerele tripletului sunt egale se pot forma 3 astfel de triplete. Nu se poate forma decât cel mult un triplet cu toate componentele egale. Rezultă că numărul tripletelor este de forma $3 k$ sau $3 k+1, k \in \mathbb{N}$, iar 14 este de forma $3 k+2$. În concluzie nu există numere naturale care să verifice condiţia $3 p$ + +b) Pentru $x=1$ rezultă $y+z=n-1$ şi avem $n-2$ triplete. + +Pentru $x=2$ rezultă $y+z=n-2$ şi avem $n-3$ triplete. + +Pentru $x=n-2$ rezultă $y+z=2$ si avem 1 triplet. + +Numărul total de triplete este $1+2+\ldots+(n-2)=\frac{(n-2)(n-1)}{2}$ + +Din condiţia $(n-2)(n-1) \geq 4030$ şi $n$ cel mai mic număr natural, rezultă $n=65$ + +Problema 4. În triunghiul $A B C$ considerăm punctele $M, N \in(A B), P, Q \in(B C)$ şi $S, R \in(A C)$ astfel încât $A M=C R, A N=C S, \varangle M Q B \equiv \varangle R Q C$ şi $\varangle N P B \equiv \varangle S P C$. Arătaţi că dacă $M Q+Q R=N P+P S$, atunci triunghiul $A B C$ este isoscel. + +Soluţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b78dada6e67846052d7eg-3.jpg?height=835&width=870&top_left_y=713&top_left_x=281) + +Fie $R^{\prime}$ simetricul punctului $R$ în raport cu dreapta $B C$. Rezultă că $\triangle Q R C \equiv \triangle Q R^{\prime} C$. Deducem că $C R^{\prime}=C R, \widehat{Q C R^{\prime}} \equiv \widehat{Q C R}$ şi $\widehat{R^{\prime} Q C} \equiv \widehat{R Q C}$. + +Deoarece $\widehat{R^{\prime} Q C} \equiv \widehat{M Q B}$ rezultă că punctele $M, Q, R^{\prime}$ sunt coliniare, prin urmare $M R^{\prime}=$ $M Q+Q R^{\prime}=M Q+Q R(1)$ + +Analog, dacă $S^{\prime}$ este simetricul punctului $S$ în raport cu dreapta $B C$, punctele $N, P, S^{\prime}$ sunt coliniare şi $N S^{\prime}=N P+P S^{\prime}=N P+P S$ (2). + +Din (1) şi (2) rezultă $M R^{\prime}=N S^{\prime}$ $2 p$ + +Deoarece $\widehat{R^{\prime} C Q} \equiv \widehat{R C Q} \equiv \widehat{P C S^{\prime}}$ rezultă că punctele $C, R^{\prime}, S^{\prime}$ sunt coliniare. Prin urmare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b78dada6e67846052d7eg-3.jpg?height=57&width=1688&top_left_y=1991&top_left_x=175) + +$\triangle M N S^{\prime} \equiv \triangle S^{\prime} R^{\prime} M$ (L.L.L.) implică $\widehat{N M S^{\prime}} \equiv \widehat{M S^{\prime} R^{\prime}}$, de unde $A B \| S^{\prime} C$. Inseamnă că $\widehat{A B C} \equiv \widehat{B C S^{\prime}} \equiv \widehat{A C B}$, aşadar $\triangle A B C$ este isoscel + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-754-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-754-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2bfab75fdbfb05aa101f77c13f0dad3a2bcab1ca --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-754-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b598d8163bfec91267bg-1.jpg?height=292&width=1284&top_left_y=290&top_left_x=405) + +SIBIU + +2014 + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 Aprilie 2014 + +## CLASA a V-a + +Problema 1. Demonstraţi că produsul oricăror trei numere naturale impare consecutive se poate scrie ca suma a trei numere naturale consecutive. + +Problema 2. Spunem că unui număr $n$ i se aplică o transformare interesantă dacă $n$ se înmulţeşte cu 2 , apoi rezultatul se măreşte cu 4 ; spunem că lui $n$ i se aplică o transformare deosebită dacă $n$ se înmulţeşte cu 3 , apoi rezultatul se măreşte cu 9 ; spunem că lui $n$ i se aplică o transformare minunată dacă $n$ se înmulţeşte cu 4 , apoi rezultatul se măreşte cu 16 . + +a) Arătaţi că există un singur număr care, prin trei transformări succesive, una interesantă, una deosebită şi una minunată, aplicate în această ordine, devine 2020 . + +b) Determinaţi numerele care, după exact două transformări succesive diferite, dintre cele trei tipuri, devine 2014. + +Problema 3. Arătaţi că există un multiplu al numărului 2013 care se termină în 2014. + +Problema 4. O sută de cutii sunt numerotate de la 1 la 100. Fiecare cutie conţine cel mult 10 bile. Numerele bilelor din oricare două cutii numerotate cu numere consecutive diferă prin 1. Cutile numerotate cu numerele $1,4,7,10, \ldots, 100$ conţin, în total, 301 bile. Care este numărul maxim de bile din cele 100 de cutii? + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Ştiinţe Matematice din România +Ministerul Educaţiei Naţionale + +## Olimpiada Naţională de Matematică + + Etapa Naţională, Sibiu, 8 Aprilie 2014 +## SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE, CLASA a V-a + +Problema 1. Demonstraţi că produsul oricăror trei numere naturale impare consecutive se poate scrie ca suma a trei numere naturale consecutive. + +Soluţie. Justificarea faptului că dintre oricare trei numere naturale impare consecutive unul dintre ele este multiplu de trei. $3 p$ + +Deducem că produsul celor trei numere este multiplu de $3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. . . . + +Orice număr de forma $3 k, k \in \mathbb{N}^{*}$ se scrie $3 k=(k-1)+k+(k+1) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \mathbf{p}$ + +Problema 2. Spunem că unui număr $n$ i se aplică o transformare interesantă dacă $n$ se înmulţeşte cu 2, apoi rezultatul se măreşte cu 4; spunem că lui $n$ i se aplică o transformare deosebită dacă $n$ se înmulţeşte cu 3, apoi rezultatul se măreşte cu 9 ; spunem că lui $n$ i se aplică o transformare minunată dacă $n$ se înmulţeşte cu 4 , apoi rezultatul se măreşte cu 16 . + +a) Arătaţi că există un singur număr care, prin trei transformări succesive, una interesantă, una deosebită şi una minunată, aplicate în această ordine, devine 2020. + +b) Determinaţi numerele care, după exact două transformări succesive diferite, dintre cele trei tipuri, devine 2014. + +Soluţie. a) Fie $n$ numărul căutat. Se obţine relaţia $4[3(2 n+4)+9]+16=2020 \ldots \ldots 3$ p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b598d8163bfec91267bg-2.jpg?height=57&width=1629&top_left_y=1343&top_left_x=237) + +b) Deoarece o transformare deosebită duce la un multiplu de 3 , iar una minunată duce la un multiplu de 4 , ultima transformare nu poate fi decât interesantă. ..........................1p + +Numărul obţinut după prima transformare este 1005. ....................................1p + +Deoarece 1005 este impar, prima transformare nu poate fi decât deosebiteă, iar numărul iniţial este 332 . + +$1 p$ + +Problema 3. Arătaţi că există un multiplu al numărului 2013 care se termină în 2014. + +Soluţie. Considerăm numerele $n_{1}=2014, n_{2}=20142014, n_{3}=201420142014, \ldots$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2b598d8163bfec91267bg-2.jpg?height=90&width=1692&top_left_y=1790&top_left_x=173) + +Conform principiului cutiei, există cel puţin două dintre cele 2014 numere care dau acelaşi rest la împărţirea cu 2013, deci diferenţa lor se divide cu 2013. .................................. 2 p + +Fie aceste numere $n_{i}, n_{j}, i>j, i, j \in\{1,2,3, \ldots, 2014\}$. + +Obţinem $n_{i}-n_{j}=\underbrace{20142014 \ldots 2014}_{(i-j) \text { ori }} \underbrace{00 \ldots 0}_{4 j \text { ori }}$ + +Cum orice putere a lui 10 este relativ primă cu 2013, rezultă că $n=\underbrace{20142014 \ldots 2014}_{(i-j) \text { ori }}$ se divide cu 2013 . + +Problema 4. O sută de cutii sunt numerotate de la 1 la 100. Fiecare cutie conţine cel mult 10 bile. Numerele bilelor din oricare două cutii numerotate cu numere consecutive diferă prin 1. Cutiile numerotate cu numerele $1,4,7,10, \ldots, 100$ conţin, în total, 301 bile. Care este numărul maxim de bile din cele 100 de cutii? + +## Soluţie. + +Numerele de bile din două cutii vecine diferă prin 1 , deci două cutii vecine pot conţine, $\mathrm{n}$ total, cel mult $10+9=19$ bile. + +Cutiile $(2,3),(5,6), \ldots,(98,99)$ pot conţine, in total, cel mult $33 \cdot 19=627$ bile, deci numărul total de bile din cele 100 de cutii nu poate depaşi $627+301=928$. .............. 3 p + +Există o modalitate de aşezare a 928 bile astfel încât să fie satisfăcute cerinţele problemei. De exemplu, este convenabilă următoarea modalitate de distribuţie a bilelor: + +$$ +\underbrace{[91098910] \ldots[91098910]}_{10 \text { grupe }} \underbrace{[910910910] \ldots[910910910]}_{6 \text { grupe }}[91098] +$$ + +$\qquad$ +Timp de lucru 2 ore. Se acordă ̂̂n plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-755-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-755-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..30e8d1d7cb99d242045eb924e696b1b925b137f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-755-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,196 @@ +Matematice din România +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8dca213771210a27e81cg-1.jpg?height=298&width=960&top_left_y=290&top_left_x=454) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Sibiu, 8 aprilie 2014 + +## CLASA a IX-a + +Problema 1. Fie $n$ un număr natural. Să se afle numerele întregi $x, y, z$ cu proprietatea + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{n}(x+y+z) +$$ + +Problema 2. Fie $a$ un număr natural impar care nu este pătrat perfect. Să se arate că dacă $m$ şi $n$ sunt numere naturale nenule, atunci +a) $\{m(a+\sqrt{a})\} \neq\{n(a-\sqrt{a})\}$; +b) $[m(a+\sqrt{a})] \neq[n(a-\sqrt{a})]$. + +Prin $\{x\}$ şi $[x]$ s-a notat partea fracţionară respectiv partea intreagă a numărului real $x$. + +Problema 3. Fie $P$ şi $Q$ mijloacele diagonalelor $B D$ şi $A C$ ale patrulaterului $A B C D$. Se consideră punctele $M \in(B C), N \in(C D), R \in(P Q)$ şi $S \in(A C)$ astfel încât + +$$ +\frac{B M}{M C}=\frac{D N}{N C}=\frac{P R}{R Q}=\frac{A S}{S C}=k +$$ + +Să se arate că centrul de greutate al triunghiului $A M N$ este situat pe segmentul $[R S]$. + +Problema 4. Fie $A B C D$ un patrulater înscris în cercul de diametru $A C$. Se ştie că există punctele $E \in(C D)$ şi $F \in(B C)$ astfel încât dreapta $A E \mathrm{e}$ perpendiculară pe $D F$, iar $A F$ e perpendiculară pe $B E$. + +Să se arate că $A B=A D$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +8 Aprilie 2014 + +## SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE CLASA a IX-a + +Problema 1. Fie $n$ un număr natural. Să se afle numerele întregi $x, y, z$ cu proprietatea + +$$ +x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{n}(x+y+z) +$$ + +Soluţie. Dacă $n=0$, folosind inegalităţile evidente $x^{2} \geq x$ şi analoagele, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8dca213771210a27e81cg-2.jpg?height=46&width=1211&top_left_y=671&top_left_x=457) + +Dacă $n \geq 1$, atunci 2 divide $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, deci ori cele trei numere sunt pare, ori unul e par şi două impare. În acest ultim caz, luând, de exemplu, $x=2 x_{1}+1, y=2 y_{1}+1, z=2 z_{1}$, obţinem + +$$ +4\left(x_{1}^{2}+x_{1}+y_{1}^{2}+y_{1}+z_{1}^{2}\right)+2=4\left(x_{1}+y_{1}+z_{1}+1\right) +$$ + +contradicţie $\qquad$ +Rămâne cazul în care $x, y, z$ sunt pare. Pentru $x=2 x_{1}, y=2 y_{1}, z=2 z_{1}$, obţinem + +$$ +x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=2^{n-1}\left(x_{1}+y_{1}+z_{1}\right) +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8dca213771210a27e81cg-2.jpg?height=46&width=1211&top_left_y=1126&top_left_x=457) + +Pentru $n>1$, repetând raţionamentul, deducem că dacă $x=2^{n} x_{n}, y=$ $2^{n} y_{n}, z=2^{n} z_{n}$, atunci $x_{n}, y_{n}, z_{n} \in \mathbb{Z}$ şi + +$$ +x_{n}^{2}+y_{n}^{2}+z_{n}^{2}=x_{n}+y_{n}+z_{n} +$$ + +de unde $x_{n}, y_{n}, z_{n} \in\{0,1\}$, deci $x, y, z \in\left\{0,2^{n}\right\}$ 2 puncte + +Problema 2. Fie $a$ un număr natural impar care nu este pătrat perfect. Să se arate că dacă $m$ sुi $n$ sunt numere naturale nenule, atunci +a) $\{m(a+\sqrt{a})\} \neq\{n(a-\sqrt{a})\}$; +b) $[m(a+\sqrt{a})] \neq[n(a-\sqrt{a})]$. + +Soluţie. a) Cum ma, na sunt numere naturale, egalitatea ar atrage $\{m \sqrt{a}\}=$ $\{-n \sqrt{a}\}$............................................................................................ + +Două numere au aceeaşi parte fracţionară doar dacă diferenţa lor este număr întreg, de unde $(m+n) \sqrt{a} \in \mathbb{Z}$, absurd.................................................... + +b) Din nou prin absurd, fie $N$ natural nenul pentru care există $m, n$ diferite nenule cu $N=[m(a+\sqrt{a}]=[n(a-\sqrt{a}]$. Prin urmare + +$$ +N \leq m(a+\sqrt{a}) CLASA a XII-a SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Problema 1. Pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$ considerăm funcţia $f_{n}:[0, n] \rightarrow \mathbb{R}$ dată de $f_{n}(x)=\operatorname{arctg}([x])$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. Să se arate că $f_{n}$ este integrabilă §i să se determine $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f_{n}(x) \mathrm{d} x$. + +Soluţie. Funcţia $f_{n}$ este egală cu constanta $f_{n}(i)$ pe $[i, i+1] \backslash\{i+1\}$, $i \in \overline{0, n-1}$, deci este integrabilă pe fiecare interval $[i, i+1]$. + +Apoi + +$$ +\int_{0}^{n} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\sum_{i=0}^{k-1} \int_{i}^{i+1} f_{n}(i) \mathrm{d} x=\sum_{i=0}^{n-1} \operatorname{arctg} i +$$ + +Folosind teorema Stolz-Cesaro, limita cerută este + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{arctg} 1+\operatorname{arctg} 2+\ldots+\operatorname{arctg} n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{arctg} n=\frac{\pi}{2} +$$ + +Problema 2. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă, cu derivata continuă şi fie $s_{n}=\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$. + +Să se arate că şirul $\left(s_{n+1}-s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ este convergent către $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$. + +Soluţie. Folosind teorema lui Lagrange, obţinem + +$$ +\begin{aligned} +s_{n+1}-s_{n} & =\sum_{k=1}^{n+1} f\left(\frac{k}{n+1}\right)-\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=f(1)-\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n+1}\right)\right) \\ +& =f(1)-\frac{1}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} k f^{\prime}\left(x_{k}\right), \frac{k}{n+1}0 +\end{aligned}\right. +$$ + +este discontinuă în 0 , dar $g_{a}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g_{a}(x)=f(x)+f(a x)=0$, este continuă pe $\mathbb{R}$, oricare ar fi $a<0$. + +Problema 3. (a) Fie $A$ o matrice din $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}), A \neq a I_{2}$, oricare ar fi $a \in \mathbb{C}$. Arătaţi că o matrice $X$ din $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ comută cu matricea $A$, adică $A X=X A$, dacă şi numai dacă există două numere complexe $\alpha$ şi $\alpha^{\prime}$, astfel încât $X=\alpha A+\alpha^{\prime} I_{2}$. + +(b) Fie $A, B$ şi $C$ trei matrice din $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$, astfel încât $A B \neq B A, A C=C A$ şi $B C=C B$. Arătaţi că $C$ comută cu orice matrice $\operatorname{din} \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$. + +Soluţie. (a) Este evident că dacă $X$ are forma din enunţ, atunci $X$ comută cu $A$. Reciproc, fie $A=\left(\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ a_{1}^{\prime} & a_{2}^{\prime}\end{array}\right)$ si $X=\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{1}^{\prime} & x_{2}^{\prime}\end{array}\right)$. Condiţia $A X=X A$ implică + +$$ +a_{2} x_{1}^{\prime}=a_{1}^{\prime} x_{2} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \left(a_{1}-a_{2}^{\prime}\right) x_{2}+a_{2}\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}\right)=0 \\ +& \left(a_{1}-a_{2}^{\prime}\right) x_{1}^{\prime}+a_{1}^{\prime}\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}\right)=0 +\end{aligned} +$$ + +2 puncte + +Întrucât $A$ nu este de forma $a I_{2}, a \in \mathbb{C}$, sau cel puţin unul dintre elementele $a_{2}, a_{1}^{\prime}$ este nenul sau $a_{2}=a_{1}^{\prime}=0$ şi $a_{1} \neq a_{2}^{\prime}$. + +În primul caz, fie $a_{2} \neq 0-$ dacă $a_{1}^{\prime} \neq 0$, procedăm în mod analog. Exprimând pe $x_{1}^{\prime}$ din relaţia (1) şi pe $x_{2}^{\prime}$ din relaţia (2), rezultă + +$$ +X=\frac{x_{2}}{a_{2}} A+\left(x_{1}-\frac{a_{1}}{a_{2}} x_{2}\right) I_{2} +$$ + +1 punct + +În fine, dacă $a_{2}=a_{1}^{\prime}=0$ şi $a_{1} \neq a_{2}^{\prime}$, atunci relaţia (2) implică $x_{2}=0$, iar relaţia (3) implică $x_{1}^{\prime}=0$ şi rezultă + +$$ +X=\frac{x_{1}-x_{2}^{\prime}}{a_{1}-a_{2}^{\prime}} A+\frac{a_{1} x_{2}^{\prime}-a_{2}^{\prime} x_{1}}{a_{1}-a_{2}^{\prime}} I_{2} +$$ + +1 punct + +(b) Vom arăta că $C$ este de forma $\gamma I_{2}$, unde $\gamma$ este un număr complex, deci $C$ comută cu orice matrice din $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$. Să presupunem că $C$ nu are această formă. Intrucât $A$ şi $C$ comută, conform (a), există două numere complexe $\alpha$ şi $\alpha^{\prime}$, astfel încât $A=\alpha C+\alpha^{\prime} I_{2}$. În $\bmod$ analog, există două numere complexe $\beta$ şi $\beta^{\prime}$, astfel încât $B=\beta C+\beta^{\prime} I_{2}$, deci $A B=B A$ — contradicţie. + +Problema 4. Fie $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ o funcţie strict crescătoare. Arătaţi că: + +(a) Există un şir descrescător de numere reale, strict pozitiv, $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, convergent la 0 , astfel încât $y_{n} \leq 2 y_{f(n)}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$; + +(b) Dacă $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este un şir descrescător de numere reale, convergent la 0 , atunci există un şir descrescător de numere reale, $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, convergent la 0 , astfel încât $x_{n} \leq y_{n} \leq 2 y_{f(n)}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$. + +Soluţie. (a) Întrucât $f(0)>0$ şi $f$ este strict crescătoare, rezultă că $f(n)>n$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$. Considerăm şirul strict crescător $\left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ de numere naturale, definit prin $n_{0}=0$ şi $n_{k}=f\left(n_{k-1}\right), k \in \mathbb{N}^{*}$ - monotonia acestui şir rezultă din proprietatea precedentă a lui $f$. Definim apoi şirul descrescător $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, y_{n}=2^{-k}, n_{k} \leq n Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +## SOLUŢII ŞI BAREMURI ORIENTATIVE + +## CLASA a X-a + +Problema 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia $|z-| z+1||=|z+| z-1||$. + +Soluţie. Notăm $z=a+b i, a, b \in \mathbb{R}$. Ecuaţia se scrie $(a-|z+1|)^{2}+b^{2}=$ $(a+|z-1|)^{2}+b^{2}$, de unde $a-|z+1|= \pm(a+|z-1|)$. + +........................................................................ 3 puncte + +Obţinem $2 a=|z+1|-|z-1|$, echivalent cu $2 a=\sqrt{(1+a)^{2}+b^{2}}-$ $\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}$. + +1 punct + +Se observă că $a=0$ verifică, şi orice $z=b i, b \in \mathbb{R}$ este soluţie. + +1 punct + +Pentru $a \neq 0$, înmultyind cu $\sqrt{(1+a)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}$ deducem că $\sqrt{(1+a)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}=2$, de unde $\sqrt{(1+a)^{2}+b^{2}}=1+a$ şi $\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}=1-a$. + +1 punct + +Pentru $|a|>1$ nu avem soluţii. Pentru $a \in[-1,1]$ obţinem $b=0$, deci orice $z=a, a \in[-1,1]$ este soluţie. + +1 punct + +Problema 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia $x+\log _{2}\left(1+\sqrt{\frac{5^{x}}{3^{x}+4^{x}}}\right)=4+\log _{1 / 2}\left(1+\sqrt{\frac{25^{x}}{7^{x}+24^{x}}}\right)$. + +Soluţie. Să observăm că $x=2$ este soluţie. + +1 punct + +Vom arăta că această soluţie este unică. Pentru $x>2$ avem $(3 / 5)^{x}+$ $(4 / 5)^{x}<(3 / 5)^{2}+(4 / 5)^{2}=1$, de unde $5^{x} /\left(3^{x}+4^{x}\right)>1$, deci membrul stâng este mai mare strict decât 3 . + +Pe de altă parte, $(7 / 25)^{x}+(24 / 25)^{x}<(7 / 25)^{2}+(24 / 25)^{2}=1$, de unde $25^{x} /\left(7^{x}+24^{x}\right)>1$ şi $\log _{1 / 2}\left(1+\sqrt{25^{x} /\left(7^{x}+24^{x}\right)}\right)<\log _{1 / 2} 2=-1$. Rezultă că membrul drept este mai mic strict decât 3 , deci ecuaţia nu are soluţii în mulţimea $(2, \infty)$. + +Problema 3. Fie numerele naturale nenule $p$ şi $n$, unde $p \geq 2$, şi fie numărul real $a$ astfel încât $1 \leq af(s)$ şi soluţia este completă. + +2 puncte + +Problema 4. Să se determine funcţiile $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ cu proprietatea că $f(x+3 f(y))=f(x)+f(y)+2 y$, pentru orice $x, y \in \mathbb{Q}$. + +Soluţie. Funcţiile $f_{k}: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, k=1,2$, definite prin $f_{1}(x)=x$ si $f_{2}(x)=-2 x / 3$ verifică cerinţa. Vom arăta că acestea sunt singurele soluţii. + +2 puncte + +Pentru $x=y-3 f(y)$ obţinem $f(y-3 f(y))=-2 y, y \in \mathbb{Q}$. + +.1 punct + +Inlocuind $y$ cu $y-3 f(y)$ în relaţia dată, avem $f(x-6 y)=f(x)-2 y+$ $2(y-3 f(y))$, de unde $f(x-6 y)=f(x)-6 f(y)$, oricare ar fi $x, y \in \mathbb{Q}$. + +1 punct + +Pentru $x=y=0$ obţinem $f(0)=0$. Pentru $x=6 y$ obţinem $f(6 y)=$ $6 f(y)$, oricare ar fi $y \in \mathbb{Q}$. + +.1 punct + +Atunci $f(x-6 y)=f(x)-f(6 y)$, de unde, pentru $u=6 y$ şi $v=x-6 y$, rezultă că $f(u+v)=f(u)+f(v)$, oricare ar fi $u, v \in \mathbb{Q}$. + +1 punct + +Deducem că $f(x)=x f(1), x \in \mathbb{Q}$. Relaţia din enunţ impune $3 f^{2}(1)-$ $2 f(1)-1=0$, prin urmare $f(1)=1$ sau $f(1)=-2 / 3$, ceea ce încheie soluţia. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-759-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-759-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7df755309845f0402f911bb76d68e7cf9a52aadb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-759-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,147 @@ +Societatea de Stiinte Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e7d0967f1789a7e3dc0fg-1.jpg?height=263&width=268&top_left_y=297&top_left_x=533) + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e7d0967f1789a7e3dc0fg-1.jpg?height=211&width=550&top_left_y=312&top_left_x=1053) + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +# CLASA a VIII-a + +Problema 1. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \mathrm{cu}$ $A B=12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ şi $A A^{\prime}=18 \mathrm{~cm}$, se consideră punctele $P \in\left[A A^{\prime}\right]$ şi $N \in\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ astfel încât $A^{\prime} N=3 B^{\prime} N$. + +Determinaţi lungimea segmentului $[A P]$ astfel încât, pentru orice punct $M \in[B C]$, triunghiul $M N P$ să fie dreptunghic în $N$. + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Pentru fiecare număr natural nenul $a$ se notează cu $p(a)$ cel mai mare pătrat perfect cel mult egal cu $a$. + +a) Determinaţi numărul perechilor de numere naturale nenule $(m, n), \mathrm{cu}$ $m \leq n$, pentru care + +$$ +p(2 m-1) \cdot p(2 n-1)=400 +$$ + +b) Determinaţi mulţimea $\left\{n \in \mathbb{N}^{*} \mid n \leq 100\right.$ si $\left.\frac{p(n+1)}{p(n)} \notin \mathbb{N}\right\}$. + +Problema 3. În vârful $A$ al hexagonului regulat $A B C D E F$ de latură $a$ se ridică perpendiculara $A S=2 a \sqrt{3}$ pe planul hexagonului. Punctele $M, N$, $P, Q$, respectiv $R$ sunt proiecţiile punctului $A$ pe dreptele $S B, S C, S D, S E$, respectiv $S F$. + +a) Demonstraţi că punctele $M, N, P, Q, R$ sunt coplanare. + +b) Determinaţi măsura unghiului format de planele $(M N P)$ şi $(A B C)$. + +Problema 4. Fie $n \geq 2$ un număr natural. Determinaţi mulţimea valorilor pe care le poate lua suma + +$$ +S=\left[x_{2}-x_{1}\right]+\left[x_{3}-x_{2}\right]+\ldots+\left[x_{n}-x_{n-1}\right] +$$ + +unde $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ sunt numere reale cu partea întreagă $1,2, \ldots, n$. + +Prin $[x]$ se notează partea întregă a numărului real $x$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Societatea de Stiinte + +Matematice din România +Ministerul Educaţiei Naţionale + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +CLASA a VIII-a + +## SOLUŢII SुI BAREME ORIENTATIVE + +Problema 1. In paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \mathrm{cu}$ $A B=12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ şi $A A^{\prime}=18 \mathrm{~cm}$, se consideră punctele $P \in\left[A A^{\prime}\right]$ şi $N \in\left[A^{\prime} B^{\prime}\right]$ astfel încât $A^{\prime} N=3 B^{\prime} N$. + +Determinaţi lungimea segmentului $[A P]$ astfel încât, pentru orice punct $M \in[B C]$, triunghiul $M N P$ să fie dreptunghic în $N$. + +Gazeta Matematică + +Soluţie. Deoarece $B C \perp\left(A B B^{\prime}\right)$, rezultă $B C \perp P N \ldots \ldots \ldots \ldots$ 1p + +Cum $P N \perp N M$, rezultă $P N \perp(N B C)$, de unde $P N \perp N B$, adică triunghiul $N B P$ este dreptunghic în $N \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$..................................... + +Notând $A P=x$, se obţine $B P^{2}=x^{2}+432, P N^{2}=(18-x)^{2}+243$ şi $B N^{2}=351$. Intrucât $B P^{2}=P N^{2}+B N^{2}$, se obţine $x=13,5 \mathrm{~cm} \ldots .4 \mathbf{p}$ + +Problema 2. Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se notează cu $p(n)$ cel mai mare pătrat perfect cel mult egal cu $n$. + +a) Determinaţi numărul perechilor de numere naturale nenule $(m, n)$, cu $m \leq n$, pentru care + +$$ +p(2 m+1) \cdot p(2 n+1)=400 +$$ + +b) Determinaţi mulţimea $\left\{n \in \mathbb{N}^{*} \mid n \leq 100\right.$ şi $\left.\frac{p(n+1)}{p(n)} \notin \mathbb{N}\right\}$. + +Soluţie. a) Sunt posibile trei cazuri: + +Cazul 1: $p(2 m-1)=1, p(2 n-1)=400$; se obţine $1 \leq 2 m-1<4$ şi $400 \leq 2 n-1<441$, de unde $m \in\{1,2\}$ şi $n \in\{200,201, \ldots, 219\} \ldots . .1 \mathbf{p}$ + +Cazul 2: $p(2 m-1)=4, p(2 n-1)=100$; rezultă $4 \leq 2 m-1<9$ şi $100 \leq 2 n-1<121$, de unde $m \in\{3,4\}$ sुi $n \in\{51,52, \ldots, 60\} \ldots \ldots . .1 \mathbf{p}$ + +Cazul 3: $p(2 m-1)=16, p(2 n-1)=25$; atunci $16 \leq 2 m-1<25$ şi $25 \leq 2 n-1<36$, de unde $m \in\{9,10,11,12\}$ si $n \in\{13,14, \ldots, 18\} \ldots 1$ p + +In primul caz se formează 40 de perechi, în al doilea caz se formează 20 de perechi, iar în al treilea 24 de perechi; în total sunt 84 de perechi ca în enunţ . ...................................................................1p + +b) Fie $n \in \mathbb{N}$. Notând $p(n)=k^{2}$, rezultă $k^{2} \leq n \leq(k+1)^{2}-1$, de unde $k^{2}x^{2}$. Dacă presupunem că $x^{2}+y+n<(x+1)^{2}$, atunci $x^{2}+y+n$ nu mai poate fi pătrat perfect, ceea ce nu convine. Rămâne $x^{2}+y+n \geq(x+1)^{2} \cdot \mathbf{2 p}$ + +Analog avem şi $y^{2}+x+n \geq(y+1)^{2}$. Adunând cele două relaţii obţinem $2 n-2 \geq x+y$, ceea ce implică $A_{n}$ finită. + +$2 p$ + +Problema 4. Determinaţi toate funcţiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care satisfac relaţia + +$$ +f(x+y) \leq f\left(x^{2}+y\right) +$$ + +pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. + +Soluţie şi barem: Vom demonstra că singurele funcţi convenabile sunt cele constante. + +$\mathrm{Cu}$ alegerea $y=-x$, obţinem $f(0) \leq f\left(x^{2}-x\right)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Deoarece imaginea funcţiei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x^{2}-x$ este $\left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$, atunci $f(0) \leq f(t)$, pentru orice $t \geq-\frac{1}{4}$. Apoi, alegerea $y=-x^{2}$ conduce la $f\left(x-x^{2}\right) \leq f(0)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Similar obţinem $f(t) \leq f(0)$, pentru orice $t \leq \frac{1}{4}$. Obţinem $f(t)=f(0)$, pentru orice $t \in\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right] \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3 \mathbf{m}$ + +Prin inducţie, demonstrăm că, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}, f(t)=f(0)$, pentru orice $t \in\left[-\frac{n}{4}, \frac{n}{4}\right]$. Pentru $n=1$ este verificat, presupunem adevărat pentru $n$ şi demonstrăm pentru $n+1$. Alegem $y=-x-\frac{n}{4}$. Atunci $f\left(-\frac{n}{4}\right) \leq f\left(x^{2}-x-\frac{n}{4}\right)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Cum imaginea funcţiei +$h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=x^{2}-x-\frac{n}{4}$ este $\left[-\frac{n+1}{4}, \infty\right)$, obţinem $f(0) \leq f(t)$, pentru orice $t \geq-\frac{n+1}{4}$. Similar, alegerea $y=-x^{2}+\frac{n}{4}$, conduce la $f\left(-x^{2}+x+\frac{n}{4}\right) \leq f\left(\frac{n}{4}\right)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Suntem conduşi la $f(t) \leq f(0)$, pentru orice $t \leq \frac{n+1}{4}$ şi inducţia este finalizată. . ........................... + +Acum, fie $x \in \mathbb{R}$. Fie $n=[4|x|]+1>4|x|$. Atunci $-\frac{n}{4} \leq x \leq \frac{n}{4}$. Obţinem $f(x)=f(0)$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d9f6af2e08d0c7e424a7g-3.jpg?height=54&width=1746&top_left_y=434&top_left_x=187) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-760-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-760-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6508e1740a8607eb8a2065d85f9de672111cacc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-760-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,127 @@ +Societatea de Stiinte Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-1.jpg?height=263&width=271&top_left_y=297&top_left_x=531) + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-1.jpg?height=206&width=550&top_left_y=312&top_left_x=1053) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +## CLASA a VII-a + +Problema 1. a) Arătaţi că pentru orice numere reale $a$ şi $b$ are loc relaţia: + +$$ +\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)+50 \geq 2(2 a+1)(3 b+1) +$$ + +b) Determinaţi numerele naturale $n$ şi $p$ care verifică relaţia + +$$ +\left(n^{2}+1\right)\left(p^{2}+1\right)+45=2(2 n+1)(3 p+1) +$$ + +Problema 2. Fie numerele reale $a, b, c$ astfel încât: + +$$ +|a-b| \geq|c|, \quad|b-c| \geq|a|, \quad|c-a| \geq|b| +$$ + +Arătaţi că unul dintre numerele $a, b, c$ este suma celorlalte două. + +Problema 3. Se consideră triunghiul $A B C$ în care $m(\hat{A})=135^{\circ}$. Perpendiculara în $A$ pe dreapta $A B$ intersectează latura $[B C]$ în punctul $D$, iar bisectoarea unghiului $B$ intersectează latura $[A C]$ în punctul $E$. Determinaţi măsura unghiului $B E D$. + +Gazeta Matematică + +Problema 4. Se consideră pătratul $A B C D$ şi punctele $K \in(A B)$, $L \in(B C)$ şi $M \in(C D)$ astfel încât triunghiul $K L M$ este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $L$. Demonstraţi că dreptele $A L$ şi $D K$ sunt perpendiculare. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + +Societatea de Stiinte Matematice din România +Ministerul Educaţiei Naţionale + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +## CLASA a VII-a + +## SOLUŢII SुI BAREME ORIENTATIVE + +Problema 1. a) Arătaţi că pentru orice numere reale $a$ şi $b$ are loc relaţia: + +$$ +\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)+50 \geq 2(2 a+1)(3 b+1) +$$ + +b) Determinaţi numerele naturale $n$ şi $p$ care verifică relaţia: + +$$ +\left(n^{2}+1\right)\left(p^{2}+1\right)+45=2(2 n+1)(3 p+1) +$$ + +Soluţie. a) Relaţia din enunţ este echivalentă cu $(a b-6)^{2}+(a-2)^{2}+(b-3)^{2} \geq 0$ $3 p$ +b) $(n p-6)^{2}+(n-2)^{2}+(p-3)^{2}=5$ $1 p$ + +$(n p-6)^{2},(n-2)^{2},(p-3)^{2} \in\{0,1,4\}$ distincte $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{1 p}$ + +Discutarea cazurilor şi găsirea soluţiilor: $(n, p) \in\{(2,4),(2,2)\} \ldots . . \mathbf{2 p}$ + +Problema 2. Fie numerele reale $a, b, c$ astfel încât: + +$$ +|a-b| \geq|c|, \quad|b-c| \geq|a|, \quad|c-a| \geq|b| . +$$ + +Arătaţi că unul dintre numerele $a, b, c$ este suma celorlalte două. + +Soluţie. Ridicând la pătrat inegalităţile din enunţ rezultă $(a-b)^{2} \geq c^{2}$ şi analoagele + +De aici rezult ă $(a-b+c)(b+c-a) \leq 0$ şi analoagele ............ $\mathbf{2 p}$ + +Atunci: $(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2} \leq 0$, de unde rezultă că unul dintre numerele $a, b, c$ este suma celorlalte două + +Soluţie alternativă. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune $a \geq b \geq c$. Atunci $a-b \geq|c|$ sुi $b-c \geq|a| \quad(*) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$........................ + +Adunând relaţile, rezultă $a-c \geq|a|+|c| \geq a-c$, deoarece $|a| \geq a$ şi $|c| \geq-c$................................................................................ + +Ca urmare, în dubla inegalitate de mai sus are loc egalitatea, ceea ce se întâmplă dacă $a=|a|$ şi $|c|=-c$, adică $a \geq 0$ şi $c \leq 0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2$............ + +Relaţile (*) devin $a-b \geq-c$ şi $b-c \geq a$, de unde $b=a+c \ldots \ldots .2 \mathbf{p}$ + +Problema 3. Se consideră triunghiul $A B C$ în care $m(\hat{A})=135^{\circ}$. Perpendiculara în $A$ pe dreapta $A B$ intersectează latura $[B C]$ in punctul $D$, iar bisectoarea unghiului $B$ intersectează latura $[A C]$ în punctul $E$. Determinaţi $m(\widehat{B E D})$. + +Soluţie. Dacă $I \in(B E)$ astfel încât $I A$ este bisectoarea unghiului $\widehat{D A B}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=65&width=1366&top_left_y=488&top_left_x=371) + +Din $m(\widehat{A D B})+m(\widehat{A B D})=90^{\circ}$ si $m(\widehat{I D B})+m(\widehat{I B D})=45^{\circ}$ deducem că $m(\widehat{D I B})=135^{\circ}$.... $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=60&width=1304&top_left_y=650&top_left_x=435) + +Implicaţia $\frac{A B}{I B}=\frac{B E}{B D} \Rightarrow \frac{A B}{E B}=\frac{B I}{B D} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=57&width=1301&top_left_y=785&top_left_x=434) +$m(\widehat{B E D})=m(\widehat{B A I}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=65&width=1298&top_left_y=889&top_left_x=435) + +Problema 4. Se consideră pătratul $A B C D$ şi punctele $K \in(A B)$, $L \in(B C)$ şi $M \in(C D)$ astfel încât triunghiul $K L M$ este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $L$. Demonstraţi că dreptele $A L$ şi $D K$ sunt perpendiculare. + +Soluţie. $\triangle K L B \equiv \triangle L M C$. ............................................ $\mathbf{2 p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=57&width=1301&top_left_y=1283&top_left_x=436) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=51&width=1304&top_left_y=1335&top_left_x=432) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1857a21d3750cd2d3209g-3.jpg?height=49&width=1304&top_left_y=1385&top_left_x=432) + +$\operatorname{Din} A K \perp B L$ şi $A D \perp B A$, rezultă $A L \perp K D \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{p}$ + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-761-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-761-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9e40e7f539018e08c4b0c303fa2aca5085aab7c9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-761-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,92 @@ +Societatea de Stiinte Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a04524ddc785265d8e9bg-1.jpg?height=263&width=271&top_left_y=297&top_left_x=531) + +Ministerul Educaţiei Naţionale + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a04524ddc785265d8e9bg-1.jpg?height=211&width=550&top_left_y=312&top_left_x=1053) + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +# CLASA a VI-a + +Problema 1. Arătaţi că: + +а) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1$; +b) $3^{33}+4^{33}+5^{33}<6^{33}$. + +## Gazeta Matematică + +Problema 2. Spunem că mulţimea nevidă $M$ de cardinal $n$ are proprietatea $\mathcal{P}$ dacă elementele sale sunt numere naturale care au exact 4 divizori. Notăm cu $S_{M}$ suma tuturor celor $4 n$ divizori ai elementelor lui $M$ (suma poate conţine termeni care se repetă). + +a) Arătaţi că $A=\{2 \cdot 37,19 \cdot 37,29 \cdot 37\}$ are proprietatea $\mathcal{P}$ şi $S_{A}=2014$. + +b) În cazul în care o mulţime $B$ are proprietatea $\mathcal{P}$ şi $8 \in B$, demonstraţi că $S_{B} \neq 2014$. + +Problema 3. Pe laturile $B C, C A$ şi $A B$ ale triunghiului $A B C$ se consideră punctele $M, N$ respectiv $P$ astfel încât $B M=B P$ şi $C M=C N$. Perpendiculara din $B$ pe $M P$ şi perpendiculara din $C$ pe $M N$ se intersectează în $I$. Demonstraţi că unghiurile $\widehat{I P A}$ şi $\widehat{I N C}$ sunt congruente. + +Problema 4. Determinaţi numerele naturale $a$ pentru care există exact 2014 numere naturale $b$ care verifică relaţia $2 \leq \frac{a}{b} \leq 5$. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE-CLASA a VI-a + +Problema 1. Arătaţi că: +a) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1$; +b) $3^{33}+4^{33}+5^{33}<6^{33}$. + +## Gazeta Matematică + +Soluţie +a) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{1}{2}+\frac{8}{27}+\frac{125}{216}=\frac{27+64+125}{216}=\frac{216}{216}=1$. + +b) Ar fi suficient să arătăm că $\frac{3^{33}}{6^{33}}+\frac{4^{33}}{6^{33}}+\frac{5^{33}}{6^{33}}<1$, adică $\left(\frac{1}{2}\right)^{33}+\left(\frac{2}{3}\right)^{33}+\left(\frac{5}{6}\right)^{33}<1$. + +$\operatorname{Cum} \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ sुi $\frac{5}{6}$ sunt subunitare, avem $\left(\frac{1}{2}\right)^{33}<\left(\frac{1}{2}\right)^{3},\left(\frac{2}{3}\right)^{33}<\left(\frac{2}{3}\right)^{3}$ şi $\left(\frac{5}{6}\right)^{33}<$ $\left(\frac{5}{6}\right)^{3}$. Adunând cele trei relaţii şi ţinând cont de $a$ ), urmează inegalitatea dorită. . $2 \mathbf{p}$ + +Problema 2. Spunem că mulţimea nevidă $M$ de cardinal $n$ are proprietatea $\mathcal{P}$ dacă elementele sale sunt numere naturale care au exact 4 divizori. Notăm cu $S_{M}$ suma tuturor celor $4 n$ divizori ai elementelor unei astfel de mulţimi $M$ (suma conţine şi termeni care se repetă). + +a) Arătaţi că $A=\{2 \cdot 37,19 \cdot 37,29 \cdot 37\}$ are proprietatea $\mathcal{P}$ şi $S_{A}=2014$. + +b) În cazul în care o mulţime $B$ are proprietatea $\mathcal{P}$ şi $8 \in B$, demonstraţi că $S_{B} \neq 2014$. + +## Soluţie + +a) Orice număr de forma $p \cdot q$, unde $p$ şi $q$ sunt numere prime distincte, are exact patru divizori: $1, p, q$ şi pq. Cum 2, 19, 29 şi 37 sunt prime, rezultă că mulţimea $A$ are proprietatea $\mathcal{P}$. ........................................................................................ $S_{A}=1+2+37+2 \cdot 37+1+19+37+20 \cdot 37+1+29+37+29 \cdot 37=3 \cdot 38+20 \cdot 38+30 \cdot 38=$ $53 \cdot 38=2014$....................................................................... 2 p + +b) În afara lui 8 , elementele lui $B$ vor fi de forma $p \cdot q$ (cu numere prime distincte) sau $p^{3}$ (cu $p$ număr prim impar). + +$1 \mathrm{p}$ + +Cum măcar unul dintre numerele prime $p$ şi $q$ este impar, suma divizorilor lui $p q, 1+p+$ $q+p q=(1+p)(1+q)$, este număr par. Rezultă că suma divizorilor numerelor de forma $p \cdot q$ (cu $p$ şi $q$ numere prime distincte) este pară. .................................... 1 p + +Pentru $p$ impar, suma divizorilor lui $p^{3}, 1+p+p^{2}+p^{3}$, este număr par. Astfel suma divizorilor numerelor de forma $p^{3}$ (cu $p$ număr prim impar) este pară. ............ 1 p + +Suma divizorilor lui 8 este 15 , număr impar. Rezultă că $S_{B}$ este număr impar, prin urmare $S_{B} \neq 2014$. + +Problema 3. Pe laturile $B C, C A$ şi $A B$ ale triunghiului $A B C$ se consideră punctele $M, N$ respectiv $P$ astfel încât $B M=B P$ şi $C M=C N$. Perpendiculara din $B$ pe $M P$ şi perpendiculara din $C$ pe $M N$ se intersectează în $I$. Demonstraţi că unghiurile $\widehat{I P A}$ şi $\widehat{I N C}$ sunt congruente. + +Soluţie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a04524ddc785265d8e9bg-3.jpg?height=420&width=509&top_left_y=533&top_left_x=236) + +Cum $C M=C N$ şi $C I \perp M N$, rezultă că dreapta $C I$ este mediatoarea segmentului $M N$. De aici, $I M=I N$. Analog se arată că $I M=I P$. + +$3 \mathrm{p}$ + +Triunghiurile $I M C$ sुi $I N C$ sunt congruente (L.L.L.), deci $\overline{I M C} \equiv \widehat{I N C}$. Analog se arată că $\widehat{I M B} \equiv \widehat{I P B}$. + +Unghiurile $\widehat{I P A}$ şi $\widehat{I M C}$ sunt congruente, având suplemente congruente. Deducem că $\widehat{I P A} \equiv \widehat{I N C}$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Determinaţi numerele naturale $a$ pentru care există exact 2014 numere naturale $b$ care verifică relaţia $2 \leq \frac{a}{b} \leq 5$. + +Soluţie. Relaţia $2 \leq \frac{a}{b} \leq 5$ este echivalentă cu $\frac{a}{5} \leq b \leq \frac{a}{2}$, adică $2 a \leq 10 b \leq 5 a$. ...1 $\mathbf{p}$ + +Înseamnă că în secvenţa $2 a, 2 a+1, \ldots, 5 a$ trebuie să se afle exact 2014 multipli ai lui 10 , adică secvenţa trebuie să conţină cel puţin 2013 decade de numere consecutive şi mai puţin de 2015 decade de numere consecutive. Deducem că $2013 \cdot 10 \leq 5 a-2 a<2015 \cdot 10$. Obţinem $a \in\{6710,6711, \ldots, 6716\}$. $3 \mathrm{p}$ + +Convin numerele: 6710,6712 ş 6713 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-762-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-762-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..efdf904114bb1e04eab6d221977bc471bd80a50e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-762-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,105 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3347072e375db9e37c4cg-1.jpg?height=274&width=272&top_left_y=280&top_left_x=492) + +Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 + +CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi numerele de forma $\overline{a b c}$ care verifică relaţia + +$$ +b \cdot \overline{a c}=c \cdot \overline{a b}+10 +$$ + +Gazeta Matematică + +Problema 2. Fie $M$ multimea numerelor palindrom de forma $5 n+4$, unde $n \in \mathbb{N}$. (Un număr natural se numeşte palindrom dacă este egal cu răsturnatul său. De exemplu, numerele 7, 191, 23532, 3770773 sunt numere palindrom.) + +a) Dacă scriem în ordine crescătoare elementele mulţimii $M$, stabiliţi care este al 50-lea număr scris. + +b) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare dintre elementele mulţimii $M$ care se scriu cu cifre nenule şi au suma cifrelor 2014. + +Problema 3. Se consideră mulţimea $A=\left\{1,3,3^{2}, 3^{3}, \ldots, 3^{2014}\right\}$. Spunem că se realizează o partiţie a lui $A$ dacă mulţimea $A$ este scrisă ca o reuniune de submulţimi nevide ale sale, disjuncte două câte două. + +a) Demonstraţi că nu există o partiţie a lui $A$ astfel încât produsul elementelor fiecărei submulţimi din partiţie să fie pătrat perfect. + +b) Arătaţi că există o partiţie a lui $A$ astfel încât suma elementelor fiecărei submulţimi din partiţie să fie pătrat perfect. + +Problema 4. Un număr natural de 10 cifre se numeşte dichisit dacă cifrele sale aparţin mulţimii $\{1,2,3\}$ şi oricare două cifre consecutive diferă prin 1 . + +a) Arătaţi că un număr dichisit conţine în scrierea sa exact cinci cifre de 2 . + +b) Stabiliţi câte numere dichisite există. + +c) Demonstraţi că suma tuturor numerelor dichisite se divide cu 1408 . + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru întrebări. Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi numerele de forma $\overline{a b c}$ care verifică relaţia + +$$ +b \cdot \overline{a c}=c \cdot \overline{a b}+10 +$$ + +Soluţie. Relaţia din ipoteză revine la $b(10 a+c)=c(10 a+b)+10 \Leftrightarrow a b=a c+1$. . $3 \mathbf{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3347072e375db9e37c4cg-2.jpg?height=60&width=1629&top_left_y=653&top_left_x=237) +Numerele căutate sunt 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, $198 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 2$ p + +Problema 2. Fie $M$ mulţimea numerelor palindrom de forma $5 n+4$, unde $n \in \mathbb{N}$. (Un număr natural se numeşte palindrom dacă este egal cu răsturnatul său. De exemplu, numerele $7,191,23532,3770773$ sunt numere palindrom.) + +a) Dacă scriem în ordine crescătoare elementele mulţimii $M$, stabiliţi care este al 50-lea număr scris. + +b) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare dintre elementele mulţimii $M$ care se scriu cu cifre nenule şi au suma cifrelor 2014. + +## Soluţie. + +a) Numerele din mulţimea $M$ au ultima cifră 4 sau 9. În mulţimea $M$ există două numere de o cifră (4 şi 9 ), două numere de două cifre ( 44 şi 99), 20 de numere de trei cifre (404, $414, \ldots, 494,909,919, \ldots, 999)$ şi 20 de numere de patru cifre $(4004,4114, \ldots, 4994,9009$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3347072e375db9e37c4cg-2.jpg?height=60&width=1589&top_left_y=1507&top_left_x=279) + +Al 50-lea număr din $M$ este al şaselea număr de cinci cifre, anume 40504 ........... 1 p + +b) Pentru a obţine numere mici, ar trebui ca acestea să aibă cât mai puţine cifre, prin urmare vom lua cât mai multe cifre de 9. Cel mai mic număr din $M$ cu suma cifrelor 2014 este + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3347072e375db9e37c4cg-2.jpg?height=98&width=1580&top_left_y=1759&top_left_x=282) + +Pentru a obţine numere mari, ar trebui ca acestea să aibă cât mai multe cifre. Prin urmare, vom lua numărul maxim de cifre de 1 , scriind cifra 4 pe prima şi ultima poziţie. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3347072e375db9e37c4cg-2.jpg?height=100&width=1583&top_left_y=1972&top_left_x=282) + +Problema 3. Se consideră mulţimea $A=\left\{1,3,3^{2}, 3^{3}, \ldots, 3^{2014}\right\}$. Spunem că se realizează o partiţie a lui $A$ dacă mulţimea $A$ este scrisă ca o reuniune de submulţimi nevide ale sale, disjuncte două câte două. + +a) Demonstraţi că nu există o partiţie a lui $A$ astfel încât produsul elementelor fiecărei submulţimi din partiţie să fie pătrat perfect. + +b) Arătaţi că există o partiţie a lui $A$ astfel încât suma elementelor fiecărei submulţimi din partiţie să fie pătrat perfect. + +## Soluţie + +a) Presupunem că există o astfel de partiţie. Cum produsul elementelor fiecărei submulţimi din partiţie este pătrat perfect, deducem că produsul tuturor elementelor din mulţimea $A$ este pătrat perfect. + +Însă produsul elementelor lui $A$ este $3^{1+2+3+\cdots+2014}=3^{2015 \cdot 1007}$ şi acest număr nu este pătrat perfect, deoarece exponentul lui 3 este impar. .................................... 3 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3347072e375db9e37c4cg-3.jpg?height=62&width=1651&top_left_y=674&top_left_x=215) + +$\mathrm{O}$ posibilă partiţie este $A=\{1,3\} \cup\left\{3^{2}, 3^{3}\right\} \cup \cdots \cup\left\{3^{2012}, 3^{2013}\right\} \cup\left\{3^{2014}\right\} \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{p}$ + +Problema 4. Un număr natural de 10 cifre se numeşte dichisit dacă cifrele sale aparţin mulţimii $\{1,2,3\}$ şi oricare două cifre consecutive diferă prin 1. + +a) Arătaţi că un număr dichisit conţine în scrierea sa exact cinci cifre de 2 . + +b) Stabiliţi câte numere dichisite există. + +c) Demonstraţi că suma tuturor numerelor dichisite se divide cu 1408 . + +## Soluţie. + +a) În scrierea unui număr dichisit, cifrele pare alternează cu cele impare. Cum numerele au 10 cifre, ele vor conţine exact cinci cifre pare, deci exact cinci de $2 . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. + +b) Există $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$ numere dichisite de forma $\overline{2 a 2 b 2 c 2 d 2 e}$ şi $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$ numere de forma $\overline{a 2 b 2 c 2 d 2 e 2}$. In total, există 64 de numere dichisite. + +c) Dacă numărul $\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{10}}$ este dichisit, atunci şi numărul $\overline{\left(4-a_{1}\right)\left(4-a_{2}\right) \ldots\left(4-a_{10}\right)}$ este dichisit şi distinct de primul. Suma acestor două numere este 4444444444 . . . . 2 p Grupăm numerele dichisite în 32 astfel de perechi. Prin urmare, suma tuturor numerelor este $32 \cdot 4444444444=2^{7} \cdot 11 \cdot 101010101=1408 \cdot 101010101 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2$ p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-763-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-763-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..42c4611e00f08331ccbf2f5e2a5d18b4fb4cc46d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-763-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,160 @@ +Societatea de Stiinte + +Matematice din România + +Ministerul Educaţiei Naţionale +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a70accb70efe75559608g-1.jpg?height=260&width=1048&top_left_y=298&top_left_x=536) + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014 CLASA a IX-a + +Problema 1. Să se determine numărul iraţional $x$ ştiind că numerele $x^{2}+x$ şi $x^{3}+2 x^{2}$ sunt numere întregi. + +prelucrare din Gazeta Matematică + +Problema 2. Se consideră triunghiul $A B C$ şi punctele $D \in(B C)$, $E \in(A C), F \in(A B)$ astfel încât + +$$ +\frac{D B}{D C}=\frac{E C}{E A}=\frac{F A}{F B} +$$ + +Semidreptele $(A D,(B E$ şi $(C F$ intersectează cercul circumscris triunghiului $A B C$ în punctele $M, N$ şi $P$. Să se arate că triunghiurile $A B C$ şi $M N P$ au acelaşi centru de greutate dacă şi numai dacă triunghiurile $B M C, C N A$ şi $A P B$ au ariile egale. + +Problema 3. Medianele $A D, B E$ şi $C F$ ale triunghiului $A B C$ se intersectează în punctul $G$. Fie $P$ un punct in interiorul triunghiului, nesituat pe niciuna dintre medianele acestuia. Dreapta care trece prin $P$ şi este paralelă cu $A D$ intersectează latura $B C$ în punctul $A_{1}$. În mod analog se definesc punctele $B_{1}$ şi $C_{1}$. Să se arate că + +$$ +\overline{A_{1} D}+\overline{B_{1} E}+\overline{C_{1} F}=\frac{3}{2} \overline{P G} +$$ + +Problema 4. Să se determine funcţiile $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ cu proprietăţile: +a) $f(m+n)-1$ divide $f(m)+f(n)$, pentru orice $m, n \in \mathbb{N}^{*}$; +b) $n^{2}-f(n)$ este pătrat perfect, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Problema 1. Să se determine numărul iraţional $x$ ştiind că numerele $x^{2}+x$ şi $x^{3}+2 x^{2}$ sunt numere întregi. + +Soluţie. Fie $x^{2}+x=a$ şi $x^{3}+2 x^{2}=b$. Atunci $b-a x=x^{2}=a-x$, deci + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a70accb70efe75559608g-2.jpg?height=48&width=1341&top_left_y=651&top_left_x=392) + +Cum $x$ e iraţional şi $a, b$ sunt întregi, deducem $a=b=1, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots 2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a70accb70efe75559608g-2.jpg?height=54&width=1298&top_left_y=737&top_left_x=435) + +Problema 2. Se consideră triunghiul $A B C$ şi punctele $D \in(B C), E \in(A C)$, $F \in(A B)$ astfel încât + +$$ +\frac{D B}{D C}=\frac{E C}{E A}=\frac{F A}{F B} +$$ + +Semidreptele $(A D,(B E$ şi $(C F$ intersectează cercul circumscris triunghiului $A B C$ în punctele $M, N$ şi $P$. Să se arate că triunghiurile $A B C$ şi $M N P$ au acelaşi centru de greutate dacă şi numai dacă triunghiurile $B M C, C N A$ şi $A P B$ au ariile egale. + +Soluţie. Se arată uşor că + +$$ +\overline{A D}+\overline{B E}+\overline{C F}=0 +$$ + +................................................................................................... + +Notând ariile triunghiurilor $A B C, B M C, C N A$ şi $A P B$ cu $s, s_{a}, s_{b}, s_{c}$, avem + +$$ +\frac{D M}{A D}=\frac{s_{a}}{s} +$$ + +deci + +$$ +\frac{A M}{A D}=\frac{s+s_{a}}{s} +$$ + +de unde + +$$ +\overline{A M}=\frac{s+s_{a}}{s} \cdot \overline{A D} +$$ + +şi analoagele + +Triunghiurile $A B C$ şi $M N P$ au acelaşi centru de greutate dacă şi numai dacă + +$$ +\overline{A M}+\overline{B N}+\overline{C P}=0 +$$ + +deci dacă şi numai dacă + +$$ +\frac{s+s_{a}}{s} \cdot \overline{A D}+\frac{s+s_{c}}{s} \cdot \overline{B E}+\frac{s+s_{c}}{s} \cdot \overline{C F}=0 +$$ + +relaţie echivalentă cu + +$$ +s_{a} \cdot \overline{A D}+s_{b} \cdot \overline{B E}+s_{c} \cdot \overline{C F}=0 +$$ + +Folosind $(*)$, relaţia precedentă este echivalentă cu + +$$ +\left(s_{a}-s_{c}\right) \cdot \overline{A D}+\left(s_{b}-s_{c}\right) \cdot \overline{B E}=0 +$$ + +şi cum vectorii $A D$ şi $B E$ sunt necoliniari, egalitatea are loc dacă şi numai dacă $s_{a}=$ $\qquad$ +Problema 3. Medianele $A D, B E$ şi $C F$ ale triunghiului $A B C$ se intersectează în punctul $G$. Fie $P$ un punct în interiorul triunghiului, nesituat pe niciuna dintre medianele +acestuia. Dreapta care trece prin $P$ şi este paralelă cu $A D$ intersectează latura $B C$ în punctul $A_{1}$. În mod analog se definesc punctele $B_{1}$ si $C_{1}$. Să se arate că + +$$ +\overline{A_{1} D}+\overline{B_{1} E}+\overline{C_{1} F}=\frac{3}{2} \overline{P G} +$$ + +Soluţie. Să ducem prin $P$ paralele la laturile triunghiului. Dacă paralelele la $A B$ şi $A C$ intersectează latura $B C$ în punctele $A_{B}$ sुi $A_{C}$, atunci triunghiurile $A B C$ sुi $P A_{B} A_{C}$ sunt evident asemenea, şi cum $P A_{1}$ e paralelă cu mediana $A D$, rezultă că $A_{1}$ este mijlocul segmentului $A_{B} A_{C}$ (a se vedea figura 1). +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a70accb70efe75559608g-3.jpg?height=462&width=1290&top_left_y=842&top_left_x=408) + +Atunci + +$$ +2 \overline{A_{1} D}=\overline{A_{1} B}+\overline{A_{1} C}=\overline{A_{B} B}+\overline{A_{C} C}=\overline{P C_{B}}+\overline{P B_{C}} +$$ + +şi egalităţile similare + +Deducem că suma $2\left(\overline{A_{1} D}+\overline{B_{1} E}+\overline{C_{1} F}\right)$ este egală cu + +$$ +\bar{v}=\overline{P C_{B}}+\overline{P B_{C}}+\overline{P A_{C}}+\overline{P C_{A}}+\overline{P B_{A}}+\overline{P A_{B}} +$$ + +Dar + +$$ +\overline{P C_{A}}+\overline{P B_{A}}=\overline{P A} +$$ + +şi analoagele, ..................................................................................................................... + +deci + +$$ +\bar{v}=\overline{P A}+\overline{P B}+\overline{P C}=3 \overline{P G} +$$ + +de unde concluzia. $1 p$ + +Problema 4. Să se determine funcţiile $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ care au proprietăţile: +a) $f(m+n)-1$ divide $f(m)+f(n)$, pentru orice $m, n \in \mathbb{N}^{*}$; +b) $n^{2}-f(n)$ este pătrat perfect, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Soluţie. Se arată că $f(1)=1, f(2)=3$ $1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a70accb70efe75559608g-3.jpg?height=46&width=1285&top_left_y=2254&top_left_x=447) + +Presupunând că $f(k)=2 k-1$, din a) deducem $f(k+1) \leq 2 k+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a70accb70efe75559608g-3.jpg?height=47&width=1287&top_left_y=2340&top_left_x=446) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-764-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-764-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..044143f5e8fd701fc8e4fc65539dce440c579fb4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-764-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# Colegial National "Stefan cel Mare"
Targu Neamt + +## OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA
18 ianuarie
clasa a XII-a (profil real, matematica- informatica) + +1) Fie $\left(G\right.$, ) grup multiplicativ si $f, g: G \rightarrow G, f(x)=x^{2013}, \quad g(x)=x^{2014}$ morfisme de grup. Stiind ca $f$ este surjectiva sa se arate ca $(G$,$) este grup abelian.$ +2) Se considera multimea $H=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}m & n \\ \hat{0} & \hat{1}\end{array}\right) \right\rvert\, m, n \in Z_{5}, m= \pm \hat{1}\right\}$. + +a) Aratati ca $\mathrm{H}$ este grup in raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul doi; + +b) Determinati numarul elementelor de ordinal doi din grupul $(H, \cdot)$. + +3) Se considera functiile $f_{n}:(-3, \infty) \rightarrow R, f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{x+3}, n \in N$. + +a) Aratati ca orice primitiva a functiei $f_{4}$ este crescatoare; + +b) Determinati $n$ pentru care functia $f_{n}$ admite primitive descrescatoare pe intervalul $(-3,0)$. + +4) Calculati $\int \frac{d x}{\sin x \sin (x+1) \sin (x+2) \sin (x+3)}, x$ fiind dintr-un interval in care numitorul nu se anuleaza. + +## Nota: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect rezolvat corect se noteaza cu 7 puncte. + +## OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA
18 ianuarie
clasa a XII-a (profil real, matematica- informatica + +## Barem de corectare si notare + +1) $f(x y)=(x y)^{2013}=f(x) f(y)=x^{2013} y^{2013}, \forall x, y \in G$................................................. $1 \mathrm{p}$ + +$g(x y)=(x y)^{2014}=g(x) g(y)=x^{2014} y^{2014}, \forall x, y \in G$........................................................ $1 \mathrm{p}$ + +$x^{2014} y^{2014}=(x y)^{2014}=(x y)^{2013}(x y)=x^{2013} y^{2013} x y$ de unde simplificand obtinem $\ldots \ldots . .2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=62&width=1520&top_left_y=847&top_left_x=281) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=65&width=1518&top_left_y=908&top_left_x=282) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=65&width=1515&top_left_y=1016&top_left_x=283) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=125&width=1544&top_left_y=1125&top_left_x=239) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=122&width=1482&top_left_y=1251&top_left_x=316) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=82&width=1482&top_left_y=1363&top_left_x=316) + +Pentru $H$ grup in raport cu inmultirea matricelor............................................................ 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=120&width=1561&top_left_y=1493&top_left_x=239) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_96314bcd1cb0f2f5724cg-2.jpg?height=147&width=1483&top_left_y=1607&top_left_x=321) + +Deci $\mathrm{H}$ are 5 elemente de ordin 2..............................................................................1p + +3) a) Fie $F_{4}$ o primitva a lui a lui $f_{4} . F_{4}$ derivabila si $F_{4}{ }^{\prime}(x)=\frac{x^{4}}{x+3} \geq 0, \forall x \in(-3, \infty) \ldots .2 \mathrm{p}$ + +$F_{4}$ este crescatoare........................................................................................... + +b) Fie $F_{n}$ o primitva a lui a lui $f_{n}, F_{n}$ derivabila........................................................ 2 p + +$F_{n}{ }^{\prime}(x)=x^{n-1} \frac{x}{x+3}<0, \forall x \in(-3,0) \Rightarrow$ + +$x^{n-1}>0, \forall x \in(-3,0) \Rightarrow$ $.2 \mathrm{p}$ + +n impar + +4) $\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta=\frac{\sin (\beta-\alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$ de unde $\frac{1}{\sin \alpha \sin \beta}=\frac{1}{\sin (\alpha-\beta)}(\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} \beta), \alpha \neq \beta \ldots .1 \mathbf{p}$ + +$$ +\begin{gathered} +\left.I=\int \frac{d x}{\sin x \sin (x+1) \sin (x+2) \sin (x+3)}=\frac{1}{\sin ^{2} 1} \int[\operatorname{ctg} x-\operatorname{ctg}(x+1)] \operatorname{ctg}(x+2)-\operatorname{ctg}(x+3)\right] d x \ldots \ldots . . .1 p \\ +=\frac{1}{\sin ^{2} 1} \int[\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg}(x+2)-\operatorname{ctg}(x+1) \operatorname{ctg}(x+2)-\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg}(x+3)+\operatorname{ctg}(x+1) \operatorname{ctg}(x+3)] d x . .1 p +\end{gathered} +$$ + +Din $\operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta+1}{\operatorname{ctg} \beta-\operatorname{ctg} \alpha}$ avem $\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta=\operatorname{ctg}(\alpha-\beta)(\operatorname{ctg} \beta-\operatorname{ctg} \alpha)-1 . \ldots . . . . . . . . .1 \mathbf{p}$ + +$I=\frac{1}{\sin ^{2} 1} \int\{\operatorname{ctg} 2[\operatorname{ctg}(x+2)-\operatorname{ctg} x]-1+\operatorname{ctg} 1[\operatorname{ctg}(x+2)-\operatorname{ctg}(x+1)]+1+\operatorname{ctg} 3[\operatorname{ctg}(x+3)-\operatorname{ctg} x]+1-\operatorname{ctg} 2[\operatorname{ctg}(x+3)-\operatorname{ctg}(x+1)]-1\} d x$ ........................................1p + +$I=\frac{1}{\sin ^{2} 1}[(\operatorname{ctg} 2-\operatorname{ctg} 3) \ln |\sin x|+(\operatorname{ctg} 2-\operatorname{ctg} 1) \ln |\sin (x+1)|+(\operatorname{ctg} 1-\operatorname{ctg} 2) \ln |\sin (x+2)|+(\operatorname{ctg} 3-\operatorname{ctg} 2) \ln \mid \sin (x+3)]+c$ $.2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-765-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-765-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff1e54be3a92908f78796e43c8bf7de77c311284 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-765-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +Colegiul Naţional ,SStefan cel Mare" + +Tg. Neamţ + +Olimpiada locală de matematică + +18 ianuarie 2014 + +Clasa a XI-a ( profil real, matematică-informatică) + +SUBIECTE: + +1) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ si $O_{3}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ si $C(A)=\left\{X \in M_{3}(\square) / X A=A X\right\}$. + +a) Să se calculeze determinantul matricei $A$. + +b) Să se calculeze $A^{2}$ şi $A^{3}$. + +c) Să se arate că dacă $U, V \in C(A)$ atunci şi $U V \in C(A)$. + +d) Să se arate că dacă $X \in C(A)$ atunci există $a, b, c \in \square$ astfel încât $X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{array}\right)$. + +e) Să se arate că dacă $Y \in C(A)$ şi $Y^{3}=O_{3}$ atunci $Y=O_{3}$. + +f) Să se arate că dacă $Y \in C(A)$ şi $Y^{2014}=O_{3}$ atunci $Y=O_{3}$. + +2) Fie $x \in \square$ şi $A=\left(\begin{array}{cc}\cos ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x\end{array}\right)$. Să se arate că pentru orice $n \in \square$ *au loc relaţiile: +a) $A^{n}=\left(\begin{array}{ll}\frac{1+\cos ^{n} 2 x}{2} & \frac{1-\cos ^{n} 2 x}{2} \\ \frac{1-\cos ^{n} 2 x}{2} & \frac{1+\cos ^{n} 2 x}{2}\end{array}\right)$. +b) $\operatorname{det}\left(\sum_{k=1}^{n} A^{k}\right)=n \sum_{k=1}^{n} \operatorname{det}\left(A^{k}\right)$. +3) Să se calculeze limita $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{x+1}+\ldots . .+\sqrt[n]{x+k}}{k+1}\right)^{n}$, unde $x \in(0 ; \infty)-\{1\}, k \in \square$ * profesor Căpitanu Carmen +4) Studiaţi convergenţa şirului dat prin relaţia de recurenţă: $b_{n+1}=e^{b_{n}} b_{1}, b_{1}=\ln \sqrt[a]{a}, a \in \square, a \geq 2, n \in \square$ *, şi în caz de convergență determinaţi limita. + +profesor Căpitanu Carmen + +# NOTĂ: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7puncte. + +## Colegiul Naţional ,SStefan cel Mare" + +Tg. Neamţ + +Olimpiada locală de matematică + +18 ianuarie 2014 + +Clasa a XI-a ( profil real, matematică-informatică) + +BAREM DE CORECTARE + +1) a) Pentru det $A=1$ + +$1 \mathrm{p}$. + +b) Pentru $A^{2}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ si $A^{3}=I_{3}$ + +1 p. + +c) Pentru $U V \in C(A)$ + +1 p. + +d) Pentru $X=\left(\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right)$ si din $X A=A X$ obţinem $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=b_{2}=c_{3}=a \\ b_{1}=c_{2}=a_{3}=c \ldots \ldots .1 \\ a_{2}=b_{3}=c_{1}=b\end{array}\right.$. + +e) Din $Y \in C(A) \Rightarrow Y=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{array}\right)$ si din + +$$ +Y^{3} \in C(A) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} +a^{3}+b^{3}+c^{3}+6 a b c=0 \\ +3\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right)=0 \\ +3\left(a^{2} c+b^{2} a+c^{2} b\right)=0 \\ +\operatorname{det} Y=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=0 +\end{array} \quad \Rightarrow a=b=c=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .\right. +$$ + +f) Din $Y \in C(A) \Rightarrow Y^{n} \in C(A), Y^{2014}=O_{3} \Rightarrow Y^{2016}=O_{3} \Rightarrow Y^{672}=O_{3} \Rightarrow \ldots \ldots . \Rightarrow Y=O_{3}$ + +2) a) Pentru $A=\left(\begin{array}{ll}\frac{1+\cos 2 x}{2} & \frac{1-\cos 2 x}{2} \\ \frac{1-\cos 2 x}{2} & \frac{1+\cos 2 x}{2}\end{array}\right)$ + +Pentru demonstraţia prin inducţie a formei lui $A^{n}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1a1554c95e1cc644e935g-3.jpg?height=101&width=1219&top_left_y=1603&top_left_x=499) + +$\operatorname{Din} \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=(\cos 2 x)^{k} \Rightarrow \operatorname{det}\left(\sum_{k=1}^{n} A^{k}\right)=n S_{n}=n \sum_{k=1}^{n}(\cos 2 x)^{k}=n \sum_{k=1}^{n} \operatorname{det}\left(A^{k}\right) \ldots . .1 \mathbf{p}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1a1554c95e1cc644e935g-3.jpg?height=79&width=1312&top_left_y=1798&top_left_x=428) + +Pentru utilizarea limitei lui Euler....................................................... 3 p. + +Pentru calculul limitei + +$\lim _{n \rightarrow \infty}[[(\sqrt[n]{x}-1)+(\sqrt[n]{x+1}-1)+\ldots .+(\sqrt[n]{x+k}-1)]=[\ln x+\ldots+\ln (x+k)] \ldots \ldots \ldots \ldots .$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1a1554c95e1cc644e935g-3.jpg?height=65&width=1255&top_left_y=2038&top_left_x=500) + +4) Pentru demonstraţia prin inducție a faptului că şirul este strict +crescător.................................................................................... + +Pentru demonstraţia prin inducţie a faptului că şirul este mărginit + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1a1554c95e1cc644e935g-3.jpg?height=57&width=1247&top_left_y=2297&top_left_x=493) +Notând limita cu 1 şi trecând la limită în relaţia de recurenţă se obţine ecuaţia $1=e^{l} \ln \sqrt[a]{a}$ şi notând $e^{l}=x$ se obține ecuaţia $(\sqrt[a]{a})^{x}=x$, cu soluţia unică $x=a$, de unde limita şirului este $l=\ln a$ 3 p. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-766-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-766-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8fa13b612d953aec118cc1439e2a448365896f2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-766-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,97 @@ +# COLEGIUL NATIONAL “STEFAN CEL MARE" + +TG. NEAMT + +## OLIMPIADA DE MATEMATICA - ETAPA LOCALA
CLASA a X-a - matematica-informatica + +1. Fie $x, y, z$ trei numere reale strict pozitive,$a>1$. Sa se demonstreze inegalitatea: + +$$ +a^{\frac{x y}{z}}+a^{\frac{y z}{x}}+a^{\frac{z x}{y}} \geq a^{x}+a^{y}+a^{z} +$$ + +Prof. Iosub Maria + +2. A. Arătați ca pentru orice $\mathbf{z}_{1}, \mathbf{z}_{2} \in \mathrm{C}$ avem + +$$ +\frac{\left|z_{2}\right| z_{1}+\left|z_{1}\right| z_{2}}{\left|z_{1} z_{2}\right|+z_{1} z_{2}} \in R +$$ + +B. Arătați ca pentru orice $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C, c u\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1$ + +avem + +$$ +\left|\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{1} z_{2} z_{3}}{1+z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}}\right|=1 +$$ + +3. Rezolvați in C ecuația: + +$$ +\left(1+\frac{i z}{n}\right)^{n}+\left(1-\frac{i z}{n}\right)^{n}=0 \text { unde } \mathrm{n} \in N^{*} +$$ + +4. Daca numerele $x, y, z \in(1, \infty)$, sa se arate ca: + +$$ +\left(\log _{x} \frac{y+z}{2}\right)\left(\log _{y} \frac{z+x}{2}\right)\left(\log _{z} \frac{x+y}{2}\right) \geq 1 +$$ + +Nota: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este punctat cu 7 puncte. + +Timp de lucru -3 ore. + +## Colegiul Naţional „Stefan cel Mare” + +## Tg. Neamţ + +## Olimpiada locală de matematică + +18 ianuarie 2014 + +## Clasa a X-a + +## BAREM - mate info + +1. $a^{\frac{x y}{z}}+a^{\frac{y z}{x}}+a^{\frac{z x}{y}} \geq a^{x}+a^{y}+a^{z}$ + +$\operatorname{Din} \boldsymbol{a}^{\frac{x y}{z}}+\boldsymbol{a}^{\frac{y z}{x}} \geq 2 \sqrt{\boldsymbol{a}^{\frac{x y}{z}} \cdot \boldsymbol{a}^{\frac{y z}{x}}}=2 \sqrt{a^{\frac{x y}{z}+\frac{y z}{x}}}=2 \sqrt{a^{2 \sqrt{\frac{x y}{z} \cdot \frac{y z}{x}}}}=2 a^{y}$ si analoagele rezulta inegalitatea de demonstrat. + +$7 p$ + +2. A. Fie $z=\frac{\left|z_{2}\right| z_{1}+\left|z_{1}\right| z_{2}}{\left|z_{1} z_{2}\right|+z_{1} z_{2}}$. Observam ca $\bar{z}=\frac{\left|z_{2}\right| \overline{z_{1}}+\left|z_{1}\right| \overline{z_{2}}}{\left|z_{1} z_{2}\right|+\overline{z_{1} z_{2}}}=\frac{\left|z_{2}\right| \frac{\left|z_{1}\right|^{2}}{z_{1}}+\left|z_{1}\right| \frac{\left|z_{2}\right|^{2}}{z_{2}}}{\left|z_{1} z_{2}\right|+\frac{\left|z_{1}\right|^{2}\left|z_{2}\right|^{2}}{z_{1} z_{2}}}=$ $=\frac{\left|z_{1} z_{2}\right|\left|z_{1}\right| z_{2}+\left|z_{1} z_{2}\right|\left|z_{2}\right| z_{1}}{\left|z_{1} z_{2}\right| z_{1} z_{2}+\left|z_{1} z_{2}\right|}=\frac{\left|z_{1}\right| z_{2}+\left|z_{2}\right| z_{1}}{z_{1} z_{2}+\left|z_{1} z_{2}\right|}=z \Rightarrow z \in R$ + +$4 p$ + +B. Fie $z_{0}=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{1} z_{2} z_{3}}{1+z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}}$. Deoarece + +$$ +\begin{aligned} +& \overline{\mathbf{z}_{0}}=\frac{\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}+\overline{z_{3}}+\overline{z_{1} z_{2} z_{3}}}{1+\overline{z_{1} z_{2}}+\overline{z_{2} z_{3}}+\overline{z_{3} z_{1}}}=\frac{\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}+\frac{1}{z_{1} z_{2} z_{3}}}{1+\frac{1}{z_{1} z_{2}}+\frac{1}{z_{2} z_{3}}+\frac{1}{z_{3} z_{1}}}=\frac{1+z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}}{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{1} z_{2} z_{3}}=\frac{1}{z_{0}} \Rightarrow z_{0} \overline{z_{0}}=1 \\ +& \Rightarrow\left|z_{0}\right|=1 +\end{aligned} +$$ + +3. $\mathrm{Z}=-$ ni nu este solutie.Atunci ecuatia este echivalenta $\mathrm{cu}$ + +$$ +\left(\frac{n+i z}{n-i z}\right)^{n}= +$$ + +$\cos \pi+i \sin \pi$, de unde se obtine solutia $Z_{k}=n \tan \frac{(2 k+1) n}{2 n}, k \in$ +$\{0,1,2, \ldots, n-1\}$ +$3 p$ + +4. Aplicarea inegalitatii mediilor. + +Aplicarea proprietatii logaritmilor. + +$3 p$ + +Finalizare. + +$1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-767-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-767-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b418f456ca4c004acb93e7233a1e23e3625bc8eb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-767-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,89 @@ +Colegiul National “ Stefan cel Mare" + +Tirgu Neamt + +# OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA + +18 ianuarie 2014 + +Clasa a IX-a (profil real, matematica-informatica) + +## Subiectul 1 + +Sa se arate ca daca a, b, c $>0$,atunci +a) $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \geq 6$ +b) $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$ +c) + +## Subiectul 2 + +Sa se demonstreze ca $\forall n \in \mathbf{N}, \mathrm{n} \geq 2$ are loc + +$$ +\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{4 n-1}{4 n+1}<\sqrt{\frac{3}{4 n+3}} +$$ + +## Subiectul 3 + +Se considera hexagonal regulat ABCDEF si punctele $\mathrm{M} \in(A C), \mathrm{N} \in(C E)$ astfel incat $\frac{A M}{A C}=\frac{C N}{C E}=\alpha$. + +a) Sa se exprime vectorii $\overline{B M}$ si $\overline{B N}$ in functie de $\alpha, \overline{B A}$ si $\overline{B C}$ + +b) Sa se afle $\alpha$, daca ,punctele B, M si N sunt coliniare + +## Subiectul 4 + +Fie $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ mijloacele laturilor $[\mathrm{BC}],[\mathrm{AC}],[\mathrm{AB}]$ ale triunghiului $\mathrm{ABC}$. + +Consideram $M \in\left[A A_{1}\right], N \in\left[B B_{1}\right], P \in\left[C C_{1}\right]$ astfel incat $\frac{M A}{M A_{1}}=\frac{N B}{N B_{1}}=\frac{P C}{P C_{1}}=\frac{2}{3}$. + +Sa se demonstreze ca triunghiurile MNP si ABC sunt asemenea . Care este raportul de asemanare? + +NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect rezolvat corect se puncteaza cu 7 puncte + +Colegiul National " Stefan cel Mare" + +Tirgu Neamt + +## OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA + +18 ianuarie 2014 + +Clasa a IX-a (profil real, matematica-informatica) + +Barem de corectare si notare +c ..... $1 p$ +$c \geq 2$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Finalizare ..... $1 p$ +b) Notam $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{~A}, \mathrm{c}+\mathrm{a}=2 \mathrm{~B}, \mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{C}$, de unde +$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$, deci $\mathrm{a}=-\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$ + +$$ +\mathrm{b}=\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C} +$$ + +$c=A+B-C$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +2 ..... $1 p$ +Finalizare ..... $1 \mathrm{p}$ +2) Se demonstreaza prin inductie +matematica. ..... $1 \mathrm{p}$ +11 " $a$ " ..... $2 p$ +Demonstratia +$P(k) " a^{n} \Rightarrow P(k+1) " a n$ ..... $.4 \mathrm{p}$ +$1-\alpha$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +$\overline{B M}=(1-\alpha) \overline{B A}+\alpha \overline{B C}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +$B N$ +$=2 \alpha \overline{B A}+(1+\alpha) \overline{B C}$. ..... $.2 \mathrm{p}$ +b)B, M, N coliniare $\Leftrightarrow$ vectorii $B M$ si $B N$ sunt coliniari $\Leftrightarrow$ +3 ..... $.2 \mathrm{p}$ + +1 .......... 2 p + +5........... $2 \mathrm{p}$ + +5, deci $\triangle M N P \sim \triangle A B C$, iar raportul de asemanare este $\frac{2}{5} \ldots .2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-768-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-768-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b552bb574196c6ce8fa9bb725255dcced09c2d45 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-768-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,102 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2e8ba6aabbd011f6c57cg-1.jpg?height=215&width=311&top_left_y=67&top_left_x=496) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a VIII-a + +## Subiectul 1. + +Dacă $x \in[-7 ; 1]$ şi $y \in[-1 ; 7]$, arătaţi că $x^{2}+y^{2}+6(x-y) \in[-18 ; 14]$ + +## Subiectul 2. + +Se consideră $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{2012} \in \mathbb{Z}$ astfel încât $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{2012}=1$ şi $S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{2012}$. + +a. Arătaţi că $S$ este un număr întreg divizibil cu 4. + +b. Calculaţi produsul $P=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdot\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{2011}+\frac{1}{x_{2012}}\right) \cdot\left(x_{2012}+\frac{1}{x_{1}}\right)$ + +## Subiectul 3. + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, O$ este centrul feţei $C D D^{\prime} C^{\prime}$ iar $M$ este mijlocul muchiei $B^{\prime} C^{\prime}$. + +a. Aflaţi măsura unghiului dreptelor $B O$ şi $A D^{\prime}$. + +b. Arătaţi că (AO este bisectoarea unghiului $\Varangle M A D$. + +## Subiectul 4. + +Fie $S A B C D$ o piramidă patrulateră regulată. Punctele $M, N, P, Q$ sunt pe segmentele [SB], [SC], $[S D]$ respectiv $[S A]$ astfel încât $S M=S N=S P=S Q$, iar R este simetricul lui $N$ faţă de $A C$. + +a. Demonstraţi că punctele $Q, O, R$ sunt coliniare. + +b. Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele $M P$ şi $Q R$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014
CLASA a VIII-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +$$ +\begin{array}{ll} +x^{2}+y^{2}+6(x-y)=(x+3)^{2}+(y-3)^{2}-18 & \text {.. 3p. } \\ +x \in[-7 ; 1] \Rightarrow-7 \leq x \leq 1 \Rightarrow-4 \leq x+3 \leq 4 \Rightarrow(x+3)^{2} \leq 16 & \ldots \text { 1p. } \\ +y \in[-1 ; 7] \Rightarrow-1 \leq y \leq 7 \Rightarrow-4 \leq y-3 \leq 4 \Rightarrow(y-3)^{2} \leq 16 & \ldots \text { 1p. } \\ +0 \leq(x+3)^{2}+(y-3)^{2} \leq 32 \Rightarrow-18 \leq(x+3)^{2}+(y-3)^{2}-18 \leq 14 & \ldots \text { 2p. } +\end{array} +$$ + +## Subiectul 2. + +a. $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{2012}=1$ și $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{2012} \in \mathbb{Z}$ implică faptul că numerele sunt 1 sau -1 , iar numărul numerelor care sunt -1 este par. + +Dacă $m$ este numărul numerelor de 1 din șir, iar $n$ este numărul numerelor de -1 din șir, atunci $S=m \cdot 1+n \cdot(-1)=m-n=2012-2 n=2012-4 k$ (am notat $n=2 k$ ) ...1p. + +Finalizare S este divizibil cu 4 ...1p. + +b. Dacă toate numerele sunt 1 sau toate sunt -1 atunci $\mathrm{P}=2^{2012}$ + +Dacă în şir sunt şi de 1 şi de -1 atunci paranteza formată dintr-un şi un -1 este 0 , deci produsul va fi 0 . + +## Subiectul 3. + +a. $B C^{\prime} \| A D^{\prime} \Rightarrow m \Varangle\left(B O, A D^{\prime}\right)=m \Varangle\left(B O, B C^{\prime}\right)=m\left(\Varangle O B C^{\prime}\right)$ + +..1p. + +$B O$ este mediană în triunghiul echilateral $B D C^{\prime}$ deci $m\left(\Varangle O B C^{\prime}\right)=30^{\circ}$ + +...1p. + +b. Lucrăm pe trapezul dreptunghic DAMC' + +Demonstrarea faptului că $\triangle M O A$ dreptunghic (notăm cu $a$ latura cubului şi prin calcule şi reciproca Teoremei lui Pitagora) + +...2p. + +$\operatorname{tg}(\Varangle M A O)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ şi $\operatorname{tg}(\Varangle D A O)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ + +unghiurile sunt congruente, deci ( $A O$ este bisectoarea unghiului $\Varangle M A D$ + +...1p. + +## Subiectul 4. + +a. $Q, N, R \in(S A C)$ + +$R$ fiind simetricul ui $\mathrm{N}$ faţă de $A C \Rightarrow \Varangle N O C \equiv \Varangle R O C$ + +Dar $\Varangle N O C \equiv \Varangle Q O A$ de unde rezultă că $\Varangle Q O A \equiv \Varangle R O C$. + +Folosind şi faptul că $A, O, C$ sunt coliniare şi reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf obţinem coliniaritatea punctelor $Q, O, R$. + +...3p. +b. $\quad M P \| B D$ (reciproca T.Thales) ...1p. + +$B D \perp(S A C) \Rightarrow B D \perp Q R$ ...2p. + +Determinarea măsurii unghiului cerut + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-769-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-769-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..962026b88361f9563d0eabbbaeed55a67a362b46 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-769-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,125 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f47e8652059d6588a00bg-1.jpg?height=218&width=310&top_left_y=65&top_left_x=496) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a VII-a + +## Subiectul 1. + +a. Aflaţi numerele raţionale $x$ şi $y$ ştiind că + +$$ +x \cdot\left(\sqrt{(3 \sqrt{5}-2 \sqrt{11})^{2}}+\sqrt{(6-2 \sqrt{11})^{2}}\right)+2 \sqrt{5}+y=0 +$$ + +b. Aflaţi numerele $\overline{a b c d}$ ştiind că $\sqrt{6 \sqrt{a b c d}} \in \mathbb{N}$ + +## Subiectul 2. + +Se consideră $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{2012} \in \mathbb{Z}$ astfel încât $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{2012}=1$ şi $S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{2012}$. + +a. Arătaţi că $S$ este un număr întreg divizibil cu 4 . + +b. Calculaţi produsul $P=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdot\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{2011}+\frac{1}{x_{2012}}\right) \cdot\left(x_{2012}+\frac{1}{x_{1}}\right)$ + +## Subiectul 3. + +Fie $A B C D$ un paralelogram. Fie $E \in[A B], F \in[B C], A C \cap B D=\{O\}, O E \cap C D=\{G\}$, $O F \cap A D=\{H\}, A D \cap F G=\{M\}, B C \cap H E=\{N\}$. Să se arate că: + +a. Patrulaterul $H E F G$ este paralelogram. + +b. Punctele $M, O, N$ sunt coliniare. + +## Subiectul 4. + +Se consideră trapezul $A B C D$ си $A B \| C D, A B>C D$ şi $A C \perp B D$. Fie $E$ mijlocul diagonalei $[A C]$. Paralela prin $E$ la $B D$ intersectează pe $[A B]$ în $M$. Demonstraţi că: +a) $\triangle A M C$ este isoscel; +b) $M E=\frac{B D}{2}$ și că $C M=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{CD}}{2}$ + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a VII-a + +Bareme + +## Subiectul 1. + +a. $\sqrt{(3 \sqrt{5}-2 \sqrt{11})^{2}}+\sqrt{(6-2 \sqrt{11})^{2}}=3 \sqrt{5}-6$ + +.. 1p. + +Relaţia devine: $(3 x+2) \sqrt{5}-6 x+y=0$ + +.. 1p. + +$x$ şi $y$ sunt raţionale $\Rightarrow 3 x+2=0$ şi $-6 x+y=0$ + +.. 1p. + +Finalizare $x=-\frac{2}{3}$ şi $y=-4$ + +.. 1p. +b. $\sqrt{6 \sqrt{a b c d}} \in \mathbb{N} \Rightarrow \sqrt{\overline{a b c d}}=6 k^{2} \Rightarrow \overline{a b c d}=36 k^{4}, k \in \mathbb{N}$ + +.. 2p. + +Finalizare $\overline{a b c d} \in\{2916,9216\}$ + +.. 1p. + +## Subiectul 2. + +a. $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{2012}=1$ și $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{2012} \in \mathbb{Z}$ implică faptul că numerele sunt 1 sau -1 , iar numărul numerelor care sunt -1 este par. + +... 1p. + +Dacă $m$ este numărul numerelor de 1 din șir, iar $n$ este numărul numerelor de -1 din șir, atunci $S=m \cdot 1+n \cdot(-1)=m-n=2012-2 n=2012-4 k$ (am notat $n=2 k$ ) ...1p. + +Finalizare S este divizibil cu 4 + +...1p. + +b. Dacă toate numerele sunt 1 sau toate sunt -1 atunci $\mathrm{P}=2^{2012}$ + +Dacă în şir sunt şi de 1 şi de -1 atunci paranteza formată dintr-un şi un -1 este 0 , deci produsul va fi 0 . + +. 2 p. + +## Subiectul 3. + +a. $\triangle D O G \equiv \triangle B O E \Rightarrow[O G] \equiv[O E]$ şi $\triangle A O H \equiv \triangle C O F \Rightarrow[O H] \equiv[O F]$ + +$\Rightarrow H E F G$ paralelogram + +.. 3 . + +b. Justificarea faptului că MHNF este paralelogram + +. 2 p. + +$M N$ şi $H F$ se intersectează în mijlocul $[M N]$ dar $O$ este mijlocul $[M N] \Rightarrow$ punctele $M, O, N$ sunt coliniare ...2p. + +## Subiectul 4. + +a. În $\triangle A M C,[M E]$ mediană, mediatoare şi înălţime $\Rightarrow$ + +$\Rightarrow \triangle A M C$ isoscel cu $[A M] \equiv[M C]$ + +.. 2p. + +b. Construim prin C o paralelă la diagonala BD, ce intersectează $\mathrm{AB}$ în $\mathrm{P}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f47e8652059d6588a00bg-2.jpg?height=280&width=623&top_left_y=2047&top_left_x=1165) + +EM linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{ACP} \Rightarrow E M=\frac{C P}{2}$. + +DCPB paralelogram $\Rightarrow \mathrm{CP}=\mathrm{BD}$, deci $E M=\frac{C P}{2}$. + +Din DCPB paralelogram obţinem şi că $\mathrm{DC}=\mathrm{BP}$, deci $\mathrm{AP}=\mathrm{AB}+\mathrm{DC}$. + +Triunghiul ACP dreptunghic şi $\mathrm{CM}$ mediană $\Rightarrow C M=\frac{A P}{2}=\frac{A B+D C}{2}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-77-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_viii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-77-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_viii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb59d244951b378f6576cb4292b64afd43a92e7a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-77-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_viii.md" @@ -0,0 +1,103 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Deva, 23 aprilie 2019 + +## SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VIII-a + +Problema 1. Considerăm $A$, mulţimea numerelor naturale cu exact 2019 divizori naturali, şi pentru fiecare $n \in A$, notăm + +$$ +S_{n}=\frac{1}{d_{1}+\sqrt{n}}+\frac{1}{d_{2}+\sqrt{n}}+\ldots+\frac{1}{d_{2019}+\sqrt{n}} +$$ + +unde $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{2019}$ sunt divizorii naturali ai lui $n$. + +Determinaţi valoarea maximă a lui $S_{n}$ când $n$ parcurge mulţimea $A$. + +Soluţie. Deoarece $2019=3 \cdot 673$ §̧i 673 este prim, rezultă că orice număr din $A$ are una din formele: $p^{2018}$, cu $p$ număr prim, sau $p^{2} \cdot q^{672}$, cu $p, q$ prime distincte. Astfel, cel mai mic număr din mulţimea $A$ este $3^{2} \cdot 2^{672}$ + +$2 p$ + +Deoarece $d_{i}$ divizor al lui $n \Leftrightarrow \frac{n}{d_{i}}$ divizor al lui $n$ obţinem că + +$$ +2 \cdot S_{n}=\sum_{i=1}^{2019}\left(\frac{1}{d_{i}+\sqrt{n}}+\frac{1}{\frac{n}{d_{i}}+\sqrt{n}}\right)=\sum_{i=1}^{2019}\left(\frac{1}{d_{i}+\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{d_{i}}{d_{i}+\sqrt{n}}\right)=\frac{2019}{\sqrt{n}} +$$ + +Rezultă $S_{n}=\frac{2019}{2 \cdot \sqrt{n}} \leq \frac{3 \cdot 673}{2 \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 2^{672}}}=\frac{673}{2^{337}}$, valoarea maximă a lui $S_{n}$, când $n$ parcurge $A$. Egalitatea se atinge pentru $n=3^{2} \cdot 2^{672}$. + +$1 p$ + +Problema 2. Arătaţi că dacă numerele $a, b, c \in(0, \infty)$ verifică relaţia $a+b+c=3$, atunci: + +$$ +\frac{a}{3 a+b c+12}+\frac{b}{3 b+c a+12}+\frac{c}{3 c+a b+12} \leq \frac{3}{16} +$$ + +Soluţie. $3 a+b c+12=(a+b+c) a+b c+4+8=a^{2}+a b+b c+c a+4+8=$ $(a+b)(a+c)+4+8 \geq 2 \sqrt{(a+b)(a+c) \cdot 4}+8=4 \sqrt{(a+b)(a+c)}+8 \ldots \ldots \ldots \ldots .2$ p Folosind inegalitatea $\frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$, urmează că + +$$ +\frac{a}{3 a+b c+12} \leq \frac{a}{4 \sqrt{(a+b)(a+c)}+8}=\frac{a}{4} \frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}+2} \leq \frac{a}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{1}{2}\right) +$$ + +Deoarece $\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\sqrt{\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a}{a+c}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)$, rezultă + +$$ +\frac{a}{3 a+b c+12} \leq \frac{1}{32}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+a\right) +$$ + +şi analoagele + +$$ +\begin{gathered} +\frac{b}{3 b+c a+12} \leq \frac{1}{32}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+b\right) \\ +\frac{c}{3 c+a b+12} \leq \frac{1}{32}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+c\right) +\end{gathered} +$$ + +care prin adunare conduc la inegalitatea cerută............................................. + +Problema 3. În prisma hexagonală regulată $A B C D E F A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$, construim $P, Q$, proiecţiile punctului $A$ pe dreptele $A_{1} B$ respectiv $A_{1} C$ şi $R, S$, proiecţiile punctului $D_{1}$ pe dreptele $A_{1} D$ respectiv $C_{1} D$. + +a) Determinaţi măsura unghiului dintre planele $(A Q P)$ şi $\left(D_{1} R S\right)$. + +b) Arătaţi că $\widehat{A Q P} \equiv \widehat{D_{1} R S}$. + +Soluţie. a) Fie $T$, proiecţia punctului $A$ pe dreapta $A_{1} D$. Din proprietăţile hexagonului regulat, $D B \perp A B$, iar din $A A_{1} \perp(A B C)$ avem $D B \perp A A_{1}$, deci $D B \perp\left(A_{1} A B\right)$, plan ce include dreapta $A P$. Rezultă că $A P$ este perpendiculară pe $D B$ sुi $A_{1} B$, deci pe planul lor, $\left(A_{1} B D\right)$. Conform reciprocei întâi a teoremei celor trei perpendiculare obţinem că $P T \perp A_{1} D$. + +Analog, $D C \perp\left(A_{1} A C\right), A Q \subset\left(A_{1} A C\right)$ deci $D C \perp A Q$. Deoarece $A Q \perp A_{1} C$ obţinem $A Q \perp\left(A_{1} D C\right)$. Conform reciprocei întâi a teoremei celor trei perpendiculare rezultă că $Q T \perp A_{1} D$. + +Întrucât dreptele $T A, T P, T Q$ sunt toate perpendiculare pe $A_{1} D$, ele sunt sunt incluse + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_64e54d985065c186c12ag-2.jpg?height=57&width=1589&top_left_y=1722&top_left_x=230) + +Analog $A_{1} C_{1} \perp\left(C D C_{1} D_{1}\right)$, deci $A_{1} C_{1}$ este perpendiculară şi pe dreapta $D_{1} S$, ca dreaptă inclusă în acest plan. Aşadar $D_{1} S$ este perpendiculară pe două drepte concurente , $D C_{1}$ şi $A_{1} C_{1}$, incluse în planul $\left(D A_{1} C_{1}\right)$, deci este perpendiculară pe el şi apoi pe $A_{1} D$, ca dreapta inclusă în el. Aşadar $A_{1} D$ este perpendiculară pe $D_{1} R$ şi $D_{1} S$ deci pe planul lor, $\left(D_{1} R S\right)$. + +În concluzie planele $(A Q P)$ şi $\left(D_{1} R S\right)$ sunt perpendiculare pe $A_{1} D$, deci vor fi paralele şi vor forma un unghi de $0^{\circ}$. + +$2 p$ + +b) Mijlocul $O$ al muchiei $A A_{1}$ este egal depărtat de punctele $A, P, Q, T$, deci este centrul sferei ce conţine aceste puncte. Din coplanaritatea demonstrată la la punctul anterior, rezultă că punctele $A, P, Q, T$ sunt conciclice deci $\widehat{A Q P} \equiv \widehat{A T P}$. Însă triunghiurile $D_{1} S R$ şi $A P T$ sunt dreptunghice în $S$ respectiv $P$ şi au $D_{1} S=A P$ şi $D_{1} R=A T$, deci sunt congruente, rezultând $\widehat{D_{1} R S} \equiv \widehat{A T P}$. Din egalităţile de mai sus deducem $\widehat{A Q P} \equiv \widehat{D_{1} R S}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_64e54d985065c186c12ag-3.jpg?height=1301&width=1350&top_left_y=716&top_left_x=518) + +Problema 4. Aflaţi numerele naturale $x, y, z$ care verifică ecuaţia: + +$$ +2^{x}+3 \cdot 11^{y}=7^{z} +$$ + +Soluţie. Dacă $x=0,1+3 \cdot 11^{y}=7^{z}$, imposibil din motive de paritate. + +Deoarece $7^{z}=\mathcal{M} 3+1,3 \cdot 11^{y}=\mathcal{M} 3$ deducem că $x$ este par . ................ 1p + +Dacă $z$ este impar atunci $x=2$, altfel, dacă prin absurd $x \geq 4$ obţinem $2^{x}=\mathcal{M} 8$, şi în funcţie de paritatea lui $y, 3 \cdot 11^{y}=\mathcal{M} 8+3$ sau $3 \cdot 11^{y}=\mathcal{M} 8+1$, imposibil căci $7^{z}=\mathcal{M} 8-1$. + +Dacă $x=2$ atunci $4+3 \cdot 11^{y}=7^{z} \Rightarrow y=0$, altfel dacă $y \geq 1 \Rightarrow 7^{z} \equiv 4(\bmod 11)$, imposibil pentru $z$ impar, căci $7^{10 k} \equiv 1(\bmod 11), 7^{10 k+1} \equiv 7(\bmod 11), 7^{10 k+2} \equiv 5$ $(\bmod 11), 7^{10 k+3} \equiv 2(\bmod 11), 7^{10 k+4} \equiv 3(\bmod 11), 7^{10 k+5} \equiv 10(\bmod 11), 7^{10 k+6} \equiv 4$ $(\bmod 11), 7^{10 k+7} \equiv 6(\bmod 11), 7^{10 k+8} \equiv 9(\bmod 11), 7^{10 k+9} \equiv 8(\bmod 11)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_64e54d985065c186c12ag-4.jpg?height=52&width=1537&top_left_y=1058&top_left_x=283) + +Dacă $z$ este par, $z=2 z_{1}, z_{1} \geq 1$ şi $x=4 x_{1}, x_{1} \geq 1$ obţinem $3 \cdot 11^{y}=7^{2 z_{1}}-2^{4 x_{1}}=$ $\left(7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}}\right) \cdot\left(7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}}\right)$. + +Deoarece $\left(7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}}, 7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}}\right)=1$ si $7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}}=\mathcal{M} 3+2$, obţinem sistemul de ecuaţii $7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}}=3,7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}}=11^{y}$. Dacă $z_{1}$ ar fi par, $z_{1}=2 z_{2}$, din prima ecuaţie am obţine $\left(7^{z_{2}}-2^{x_{1}}\right) \cdot\left(7^{z_{2}}+2^{x_{1}}\right)=3$, ceea ce este imposibil. Deducem că $z_{1}$ este impar şi trecând în a doua ecuaţie, $2^{2 x_{1}}=11^{y}-7^{z_{1}}$ este fie $\mathcal{M} 8+2$ fie $\mathcal{M} 8+4$. Concluzionăm că $x_{1}=1, z_{1}=1$ şi de aici soluţia $x=4, y=1, z=2$. + +Dacă $z$ este par, $z=2 z_{1}, z_{1} \geq 1$ şi $x=4 x_{1}+2, x_{1} \geq 0$, obţinem analog descompunerea, $3 \cdot 11^{y}=7^{2 z_{1}}-2^{4 x_{1}+2}=\left(7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}+1}\right) \cdot\left(7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}+1}\right)$, şi cum $7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}+1}=\mathcal{M} 3+2$ şi $\left(7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}+1}, 7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}+1}\right)=1$ rezultă sistemul de ecuaţii $7^{z_{1}}-2^{2 x_{1}+1}=11^{y}, 7^{z_{1}}+2^{2 x_{1}+1}=3$ care evident nu are soluţie. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-770-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-770-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23be451ba69950292e6069506c0a8f5530cc1a95 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-770-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4d206fb6762f0e7ad207g-1.jpg?height=215&width=310&top_left_y=67&top_left_x=496) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a VI-a + +## Subiectul 1. + +Dacă împărţim numerele 3625 şi 1611 la numărul $\overline{a b c}$ obţinem acelaşi rest. Determinaţi numărul $\overline{a b c}$. + +## Subiectul 2. + +Determinaţi valorile natural ale lui $n$ pentru care $(3 x+11,5 x-3)=2^{n}$, unde $x$ este număr natural, iar $(a, b)$ reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ şi $b$. + +## Subiectul 3. + +Fie numerele $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15$. Care este cel mai mic număr de numere care trebuie excluse dintre acestea, astfel încât cu numere rămase să formăm două mulţimi cu acelaşi cardinal şi cu proprietatea că produsul elementelor din cele două mulţimi este acelaşi? Daţi un exemplu de astfel de mulţimi. + +## Subiectul 4. + +Se consideră punctele $O, A, B, C$ astfel încât $[O A] \equiv[O B] \equiv[O C], \Varangle A O B \equiv \Varangle B O C$ şi $m(\Varangle A O B)>90^{\circ}$. Pe semidreapta opusă semidreptei $(O B$ se consideră punctul $D$. + +a. Arătaţi că ( $O D$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A O C$. + +b. Arătaţi că $\triangle B C D \equiv \triangle B A D$ + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 2 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a VI-a + +Bareme + +## Subiectul 1. + +$$ +\begin{array}{ll} +3625=\overline{a b c} \cdot x+r \text { şi } 1611=\overline{a b c} \cdot y+r, \quad r<\overline{a b c} & \ldots \text { 2p. } \\ +\text { Prin scăderea celor două relaţii obţinem } 2014=\overline{a b c} \cdot(x-y) & \ldots \text { 1p. } \\ +\text { Deci } \overline{a b c} \text { este un divizor al lui } 2014 & \ldots \text { 1p. } \\ +2014=2 \cdot 19 \cdot 53 \text {, deci } \overline{a b c}=106 & \ldots \text { 3p. } +\end{array} +$$ + +## Subiectul 2. + +Dacă $(3 x+11,5 x-3)=2^{n}$ atunci $2^{n} / 3 x+11$ şi $2^{n} / 5 x-3 \quad$... 2p. + +$2^{n} /(3 x+11) \cdot 5-(5 x-3) \cdot 3 \Rightarrow 2^{n} / 64 \quad \ldots 3 \mathbf{p}$. + +$\Rightarrow n \in\{0,1,2,3,4,5,6\} \quad$... 2p. + +## Subiectul 3. + +Dacă produsul elementelor din prima mulţime este $\mathrm{x}$ şi din a doua mulţime este tot $\mathrm{x}$ deci produsul tuturor numerelor trebuie să fie pătrat perfect. + +Descompunem numerele date şi calculăm produsul lor: + +$1,2,3,2^{2}, 5,2 \cdot 3,7,2^{3}, 3^{2}, 2 \cdot 5,11,2^{2} \cdot 3,13,2 \cdot 7,3 \cdot 5$. + +Produsul lor este $\mathrm{P}=2^{11} \cdot 3^{6} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 13$. + +.. 2p. + +Vom exclude câte un factor din produs care are putere impară, adică $2,5,11,13$. + +... 1p. + +card $\mathrm{A}=$ card $\mathrm{B} \Rightarrow$ trebuie excluse un număr impar de numere: $10,11,13$. + +$1 p$. + +un exemplu ar fi: $\mathrm{A}=\{2,3,5,8,9,14\}, \mathrm{B}=\{1,4,6,7,12,15\}$. + +.. $1 p$. + +## Subiectul 4. + +a. $m(\Varangle A O D)=180^{\circ}-m(\Varangle A O B), m(\Varangle C O D)=180^{\circ}-m(\Varangle C O B)$ ş $\Varangle A O B \equiv \Varangle B O C$ + +. 2 2p. +b. $\triangle B O C \equiv \triangle B O A \Rightarrow[B C] \equiv[B A]$ (cazul LUL) + +...2p. + +$\triangle D O C \equiv \triangle D O A \Rightarrow[D C] \equiv[D A]($ cazul LUL) + +...2p. + +$\triangle B C D \equiv \triangle B A D$ (cazul LLL) + +... $1 p$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-771-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-771-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8b8e26d18975c6a66556e29cf8af166c231eaca1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-771-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1200973a04ddd4418c74g-1.jpg?height=215&width=310&top_left_y=67&top_left_x=496) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a V-a + +## Subiectul 1. + +a. Arătaţi că $13^{254}-13^{253}-13^{252}-13^{251}$ este divizibil cu 2014 oricare ar fi $n$ număr natural. + +b. Fie numărul $a=10^{448}+10^{224}-4$. Aflaţi câte cifre are numărul $a$ şi calculaţi suma cifrelor numărului $a$. + +## Subiectul 2. + +Fie şirul de numere naturale $1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14, \ldots$ + +a. Aflaţi câte numere mai mici decât 100 sunt în şir. + +b. Aflaţi suma numerelor mai mici decât 100 din şir. + +## Subiectul 3. + +Suma a patru numere este 2014. Aflaţi cele patru numere ştiind că dacă adunăm 16 la primul număr, scădem 16 din al doilea număr, împărţim la 16 al treilea număr, se obţine de fiecare dată cel de-al patrulea număr. + +## Subiectul 4. + +Ana, Barbu şi Cristi au împreună o sumă de bani mai mică de 100 de lei, iar fiecare în parte are mai mult de 5 lei. Ana şi Barbu au împreună de trei ori mai mult decât Cristi, iar Barbu şi Cristi au împreună de trei ori mai mult decât Ana. Aflaţi care sunt cele mai mari şi cele mai mici sume pe care le pot avea cei trei copii. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 2 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
18 IANUARIE 2014 + +## CLASA a V-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +a. Mai general: $13^{n+3}-13^{n+2}-13^{n+1}-13^{n}=13^{n}\left(13^{3}-13^{2}-13-1\right)=13^{n} \cdot 2014: 2014 \quad \ldots 3 \mathbf{p}$. +b. $a=10^{448}+10^{224}-4=1 \underbrace{000 \ldots 0}_{448}+1 \underbrace{000 \ldots 0}_{224}-4=1 \underbrace{000 \ldots 0}_{224} \underbrace{999 \ldots}_{223} 96$ + +$a$ are 449 cifre + +$S=1+\underbrace{9+9+9+\ldots+9}_{223}+6=2014$ + +## Subiectul 2. + +a. Şirul este format din şirul numerelor naturale din care au fost eliminaţi multiplii lui 4 ...1p. De la 1 la 100 (inclusiv) sunt 25 de multipli de 4 ...1p. $100-25=75$ de numere mai mic decât 100 sunt în şir. ...1p. + +b. $1+2+3+\ldots+100=5050$ ...1p. + +$4+8+12+\ldots+100=4(1+2+3+\ldots+25)=1300$ ...2p. + +Finalizare $S=5050-1300=3750$ ..1p. + +## Subiectul 3. + +$$ +\begin{array}{ll} +a+b+c+d=2014, a+16=d, b-16=d, c: 16=d & \ldots .2 p \\ +a=d-16, b=d+16, c=d \cdot 16 & \ldots .2 p . \\ +a+b+c+d=2014 \Rightarrow d-16+d+16+d \cdot 16+d=2014 \Rightarrow 19 \cdot d=2014 \Rightarrow d=106 & \mathbf{. . 2 p} . \\ +a=90, b=122, c=1696, d=106 & \ldots . .1 p . +\end{array} +$$ + +## Subiectul 4. + +Notez cu a, b, c sumele celor trei + +$$ +\begin{array}{cl} +a+b+c<100, a>5, b>5, c>5 & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} . \\ +a+b=3 c \text { şi } b+c=3 a & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} . \\ +\text { prin scăderea celor două relaţii obţin } a=c & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} . \\ +\text { înlocuind în una din relațiile anterioare obținem } b=2 c \text { (sau } b=2 a \text { ) } & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} . \\ +\text { din } a+b+c<100 \text { obţinem } 4 c<100 \text {, deci } c<25 & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} . \\ +\text { cele mai mari sume }: a=24 \text { lei, } b=48 \text { lei, } c=24 \text { lei } & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} . \\ +\text { cele mai mici sume }: a=6 \text { lei, } b=12 \text { lei, } c=6 \text { lei } & \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p} +\end{array} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-772-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem_varianta_2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-772-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem_varianta_2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c24c053aa19df09a3a5a7049e640d89229eb1b7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-772-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem_varianta_2.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 22 februarie 2014
CLASA a $\mathrm{X}-\mathbf{a}$ + +1. a. Să se arate că funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\{x\}-[x]$ este injectivă. + +b. Să se rezolve ecuaţia $\left[x^{2}\right]-[x]=\left\{x^{2}\right\}-\{x\}$. + +Ludovic Longaver + +2. Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuaţia: + +$$ +4^{x} \cdot 9^{\frac{1}{x}}+9^{x} \cdot 4^{\frac{1}{x}}+6^{x+\frac{1}{x}}=108 +$$ + +3. Numerele complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ verifică relaţiile + +$$ +\left|2 z_{1}-z_{2}-z_{3}\right|=\left|z_{2}-z_{3}\right| \text { si }\left|2 z_{2}-z_{1}-z_{3}\right|=\left|z_{1}-z_{3}\right| . +$$ + +Să se demonstreze că $z_{1}=z_{2}$ + +4. a. Să se arate că $[x]+\left[x+\frac{1}{3}\right]+\left[x+\frac{2}{3}\right]=[3 \cdot x]$ pentru orice $x \in R$. + +b. Să se rezolve ecuaţia: $\left\{\log _{27} x\right\}+\left\{\log _{27} 3 x\right\}+\left\{\log _{27} 9 x\right\}=3 \log _{27} x-2$. + +Ludovic Longaver + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de către: + +prof. Bojor Meda, Colegiul Naţional „Gheorghe Șincai”, Baia Mare. prof. Longaver Ludovic, Liceul Teoretic „Nemeth Laszlo”, Baia Mare. prof. Bojor Florin, Colegiul Naţional „Gheorghe Șincai”, Baia Mare. + +## BAREM DE CORECTARE + +## CLASA a X-a + +1. a. Funcţia poate fi adusă la forma: $f(x)=x-2 \cdot[x]$. + +$(f \circ f)(x)=f(x)-2 \cdot[f(x)]=x-2 \cdot[x]-2 \cdot[x-2 \cdot[x]]=x-4 \cdot[x]+4 \cdot[x]=x, \forall x \in R$, ceea ce înseamnă că $\mathrm{f}$ este bijectivă. +b. $\left[x^{2}\right]-[x]=\left\{x^{2}\right\}-\{x\} \Leftrightarrow\left\{x^{2}\right\}-\left[x^{2}\right]=\{x\}-[x] \Leftrightarrow f\left(x^{2}\right)=f(x)$. + +Pe baza injectivităţii funcţiei $\mathrm{f}$ obţinem $\mathrm{x}^{2}=\mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{x} \in\{0,1\}$... + +$4 p$ + +2. Dacă $x<0$ atunci $4^{x} \cdot 9^{\frac{1}{x}}+9^{x} \cdot 4^{\frac{1}{x}}+6^{x+\frac{1}{x}}<1+1+1=3$ deci nu avem solutii.... $.2 p$ + +Dacă $x>0$ aplicând inegalitatea mediilor avem + +$4^{x} \cdot 9^{\frac{1}{x}}+9^{x} \cdot 4^{\frac{1}{x}}+6^{x+\frac{1}{x}} \geq 3 \sqrt[3]{4^{x} \cdot 9^{\frac{1}{x}} \cdot 9^{x} \cdot 4^{\frac{1}{x}} \cdot 6^{x+\frac{1}{x}}}=3 \cdot 6^{x+\frac{1}{x}} \geq 3 \cdot 6^{2}=108$ + +si are loc egalitate dacă si numai dacă $x=1$ + +$.5 p$ + +3. Notăm $a=z_{1}-z_{3}$ şi $b=z_{2}-z_{3}, a, b \in \mathbb{C}$. Relaţiile se rescriu $|2 a-b|=|b|$ si $|2 b-a|=|a|$ + +$2 p$ + +Dacă $a=0$ atunci $b=0 \Rightarrow z_{1}=z_{2}$ q.e.d. + +Dacă $a \neq 0$ atunci notăm cu $c=\frac{b}{a}$ si se obţine $|2-c|=|c|$ si $|2 c-1|=c$ de unde obţinem $c=1$ adică $a=b \Leftrightarrow z_{1}=z_{2}$ $.3 p$ + +4. a. Relaţia este particularizarea identităţii lui Hermite pentru $n=3$ $.2 p$ +b. $\left\{\log _{27} x\right\}+\left\{\log _{27} 3 x\right\}+\left\{\log _{27} 9 x\right\}=3 \log _{27} x-2 \Leftrightarrow$ + +$\log _{27} x-\left[\log _{27} x\right]+\log _{27} 3 x-\left[\log _{27} 3 x\right]+\log _{27} 9 x-\left[\log _{27} 9 x\right]=3 \log _{27} x-2 \Leftrightarrow$ $\log _{27} 27 x^{3}-\left[\log _{27} x\right]-\left[\log _{27} 3 x\right]-\left[\log _{27} 9 x\right]=3 \log _{27} x-2 \Leftrightarrow$ $\left[\log _{27} x\right]+\left[\log _{27} 3 x\right]+\left[\log _{27} 9 x\right]=3 \Leftrightarrow$ $\left[\log _{27} x\right]+\left[\log _{27} x+\frac{1}{3}\right]+\left[\log _{27} x+\frac{2}{3}\right]=3 \Leftrightarrow\left[3 \log _{27} x\right]=3 \Leftrightarrow$ $3 \leq 3 \log _{27} x<4 \Leftrightarrow 1 \leq \log _{27} x<\frac{4}{3} \Leftrightarrow 27 \leq x<81 \Leftrightarrow x \in[27,81)$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-773-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-773-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..abc1077d63b3841b0397216422745a7710c30ae0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-773-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_2.md @@ -0,0 +1,144 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR + +JUDETEAN + +MARAMUREŞ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_baceb08cca38b08cd103g-1.jpg?height=266&width=898&top_left_y=252&top_left_x=754) + +MINISTERUL EDUCATTIEI NAȚIONALE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - Maramureş, clasa a VIII-a + +1. Se dă numărul $a=1+3+5+\ldots+4025+2013$. + +a) Calculați $[\sqrt{a}]$ unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului $x$. + +b) Demonstrați inegalitatea: + +$$ +\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}<2014 +$$ + +prof. Popescu Ana + +2. Fie $a, b, c$ numere reale pozitive astfel încât $a b c=1$. Demonstrați că + +$$ +\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} +$$ + +3. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, M$ este mijlocul muchiei [DD'], DD'= a. Se cere: + +a) Distanța de la B la planul (ACB'). + +b) Distanța de la M la planul (ACB'). + +prof. Popescu Mihai + +4. Fie triunghiul ascuțitunghic $A B C$, iar $D \in(B C)$. Dacă $O_{1}$ și $O_{2}$ sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $A B D$ și $A C D$ arătați că: +a) $\frac{A B}{A C}=\frac{R_{1}}{R_{2}}$ unde $R_{1}$ respectiv $R_{2}$ sunt razele celor două cercuri. +b) $\frac{S_{A Q B}}{S_{A Q_{2} C}}=\binom{R_{1}}{R_{2}}^{2}$. +c) $S_{A B C} \leq 2 \cdot S_{\mathrm{AO}_{1} D O_{2}}$. Când avem egalitate? + +prof. Mihali Marinela + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Mihali Marinela Liceul Borşa, prof. Popescu Mihai Şc. Gim. Nr. 4 Borşa, prof. Popescu Ana, Şc. Gim. Nr. 9 Borşa + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN MARAMUREŞ + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ Etapa locală
CLASA a VIII- a
Barem de corectare + +## Subiectul 1. + +Se dă numărul $a=1+3+5+\ldots+4025+2013$. + +a) Calculați $[\sqrt{a}]$ unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului $x$. + +b) Demonstrați inegalitatea: + +$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}<2014$ + +a)Avem $a=1+3+5+\ldots+4025+2013=2013^{2}+2013=2013 \cdot 2014$ + +$2013^{2}<2013 \cdot 2014<2014^{2}$ de unde $2013<\sqrt{2013 \cdot 2014}<2014$ deci $[\sqrt{a}]=2013$... 2p + +b)Din a) avem că $\sqrt{a}<2014$ $\mathbf{1 p}$ + +$a+\sqrt{a}<2013 \cdot 2014+2014 \Leftrightarrow a+\sqrt{a}<2014^{2} \Leftrightarrow \sqrt{a+\sqrt{a}}<2014$ + +Analog, se deduce că $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}<2014$. + +## Subiectul 2. + +Fie $a, b, c$ numere reale pozitive astfel încât $a b c=1$. Demonstrați că + +$$ +\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} +$$ + +Avem $\frac{a+b}{2} \geq \frac{2 a b}{a+b}\left(m_{a} \geq m_{h}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{a+b} \leq \frac{a+b}{4 a b}$ şi analoagele + +Se adună inegalitățile obținute și se folosește ipoteza $a b c=1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_baceb08cca38b08cd103g-2.jpg?height=96&width=1559&top_left_y=1480&top_left_x=271) + +Finalizare $\frac{1}{2}(a b+a c+b c) \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$ (justificare) + +## Subiectul 3. + +În cubul $\mathrm{ABCDA}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}, \mathrm{M}$ este mijlocul muchiei [DD'], $\mathrm{DD}^{\prime}=\mathrm{a}$. Se cere: + +a) Distanța de la B la planul (ACB'). + +b) Distanța de la M la planul (ACB'). + +a)Fie $\{O\}=A C \cap B D$, conform teoremei celor trei perpendiculare avem $B^{\prime} O \perp A C$ + +Fie $B N \perp B^{\prime} O, N \in\left(B^{\prime} O\right)$ cu reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare se arată că $B N \perp\left(A B^{\prime} C\right)$ + +Deci, $d\left[B,\left(A B^{\prime} C\right)\right]=B N$ + +$B^{\prime} O=\frac{a \sqrt{6}}{2}, B O=\frac{a \sqrt{2}}{2}, B N=\frac{a \sqrt{3}}{3}$ + +b) $M A=M C \Rightarrow \triangle M A C$ isoscel $\Rightarrow M O \perp A C, \quad M O=\frac{a \sqrt{3}}{2}$ + +Se calculează $M B^{\prime}=\frac{3 a}{2}$ și aplicând R.T. Pitagora în $\triangle M O B^{\prime} \Rightarrow \triangle M O B^{\prime}$ este dreptunghic cu $m\left(M O B^{\prime}\right)=90^{\circ} \Rightarrow M O \perp O B^{\prime}$ + +Avem $M O \perp\left(A B^{\prime} C\right)$ (justuficare) de unde $d\left[M,\left(A B^{\prime} C\right)\right]=M O$ + +## Subiectul 4. + +Fie triunghiul ascuțitunghic $\mathrm{ABC}$, iar $D \in(B C)$. Dacă $\mathrm{O}_{1}$ şi $\mathrm{O}_{2}$ sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $\mathrm{ABD}$ și $\mathrm{ACD}$ arătați că: +a) $\frac{A B}{A C}=\frac{R_{1}}{R_{2}}$ + +b) $\frac{S_{A Q_{B}}}{S_{A O_{2} C}}=\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}$ + +c) $S_{A B C} \leq 2 \cdot S_{A Q_{1 D D} D_{2}}$. Când avem egalitate? + +a)Pentru a pozitiona punctul $D \in(B C)$, fie $A A^{\prime} \perp B C$ iar $D \in\left(A^{\prime} C\right)$. Dacă $D \in\left(A^{\prime} B\right)$ se tratează analog. Fie $[A F]$ și $[A E]$ diametre în cercurile $C\left(O_{1}, R_{1}\right)$ respectiv $C\left(O_{2}, R_{2}\right)$. Patrulaterele + +ADFB și ADCE sunt inscriptibile de unde $B \hat{A} F \equiv B \hat{D} F$ și $C \hat{A} E \equiv C \hat{D} E$ (1). + +Triunghiurile ADF şi ADE dreptunghice, cu $m(A \hat{D} F)=90^{\circ}, m(A \hat{D} E)=90^{\circ}$ deci, + +$m(F \hat{D} E)=180^{\circ} \Rightarrow \mathrm{F}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ coliniare $\Rightarrow B \hat{D} F \equiv C \hat{D} E$ (opuse la vârf) (2) + +$\operatorname{Din}$ (1) și (2) $\Rightarrow B \hat{A} F \equiv C \hat{A} E$. + +$\triangle A B F \approx \triangle A C E(U U) \Rightarrow \frac{A B}{A C}=\frac{A F}{A E}=\frac{B F}{C E} \Rightarrow \frac{A B}{A C}=\frac{2 R_{1}}{2 R_{2}}$ de unde $\frac{A B}{A C}=\frac{R_{1}}{R_{2}}$ + +b)Din punctul a) avem $\frac{A B}{A C}=\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{A O_{1}}{A O_{2}}=\frac{B O_{1}}{C O_{2}}$ de unde + +$\Delta A O_{1} B \approx \triangle A O_{2} C(L L L) \Rightarrow \frac{S_{A O_{1} B}}{S_{A O_{2} C}}=\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}$ +c) $S_{A B C}=\frac{A B \cdot A C \cdot \sin A}{2} \leq \frac{2 R_{1} \cdot 2 R_{2} \cdot \sin A}{2}=4 \cdot \frac{R_{1} R_{2} \sin A}{2}=4 \cdot S_{A Q Q O_{2}}=2 \cdot S_{A_{1 q D O_{2}}}$ + +Egalitatea se realizează când $A D \perp B C$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-774-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-774-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dce4dd73b15b3177d6d3b3134084e9ac3d2c84b7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-774-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_2.md @@ -0,0 +1,124 @@ +INSPECTORATUL SCOLAR + +JUDETEAN + +MARAMURES +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e83724b3290fb1b378c8g-1.jpg?height=304&width=926&top_left_y=257&top_left_x=790) + +MINISTERUL EDUCAȚIEI NATIONALE + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - Maramureş + +Clasa a VII-a + +1. Fie numerele raţionale + +$$ +a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} +$$ + +$b=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}$. + +a) Calculaţi media aritmetică a numerelor a şi b. + +b) Arătaţi că $a<\frac{1007}{2015} ETAPA LOCALÄ + +## CLASA A VII -A
Barem + +\begin{abstract} + +1. a) $m_{a}=\frac{a+b}{2}$ + +$a+b=1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2014}\right)-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}$ + +$m_{a}=\frac{1007}{2015}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e83724b3290fb1b378c8g-2.jpg?height=117&width=1520&top_left_y=993&top_left_x=297) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e83724b3290fb1b378c8g-2.jpg?height=111&width=1518&top_left_y=1105&top_left_x=301) +$a Etapa Locală - Maramureş
Clasa a V-a + +1.Fie numarul $n=3+33+333+\ldots+\underbrace{33 \ldots 3}_{2014 \text { cifre }}$. + +a) Aratati ca numarul $3 n+2014$ este divizibil cu 10 . + +b) Aflati catul si restul impartirii numarului $3 n+2014$ la 111 . + +2 . Fie sirul de numere naturale $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, \ldots$ unde + +$a_{1}=1 \quad, a_{2}=3 \quad, \quad a_{3}=7 \quad, a_{4}=15 \quad, a_{5}=31, \ldots$ + +a) Scrieti urmatorii trei termeni ai sirului . Este numarul 2014 termen al sirului ? + +b) Aratati ca numarul $a_{2014}-1$ nu este patrat perfect . + +3. a) Sa se determine cifrele a,b,c,d astfel incat : + +$$ +\overline{a b c d}-2 \cdot \overline{a b}+\overline{b c d}=2014 +$$ + +b) Aflati ultimele doua cifre ale numarului $7+7^{2}+7^{3}+\ldots+7^{2014}$. + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă in plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Heuberger Cristian, C. N. "Gheorghe Şincai" Baia Mare, prof. Ienuţaş Vasile, Şc. Gim. "George Coşbuc" Baia Mare, prof. Popovic Ioana, Şc. Gim. "Octavian Goga" Baia Mare, prof. Pop Sever, Şc. "Vasile Alecsandri" Baia Mare. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLS 5 + +1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_facc42986e33d85d7a3ag-2.jpg?height=94&width=1587&top_left_y=578&top_left_x=223) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_facc42986e33d85d7a3ag-2.jpg?height=66&width=1559&top_left_y=678&top_left_x=266) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_facc42986e33d85d7a3ag-2.jpg?height=63&width=1550&top_left_y=731&top_left_x=276) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Finalizare : }(3 n+2014) \vdots 10 \text {................................................................................................1p } +\end{aligned} +$$ + +b) Deoarece 2013 da restul 1 la impartirea prin 3, grupam termenii cate 3 si ramane un termen + +$$ +\begin{aligned} +& 3 n+2014=\left(10^{2014}+10^{2013}+10^{2012}\right)+\ldots+\left(10^{4}+10^{3}+10^{2}\right)+10 \\ +& 3 n+2014=10^{2012} \cdot 111+\ldots+10^{2} \cdot 111+10 +\end{aligned} +$$ + +$3 n+2014=111\left(10^{2012}+\ldots+10^{2}\right)+10$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Catul este $10^{2012}+10^{2009}+\ldots+10^{2}$ iar restul este 10 +2 . + +$.1 \mathrm{p}$ +a) Observa ca : $a_{2}=1+2 \quad, a_{3}=1+2+2^{2} \quad a_{4}=1+2+2^{2}+2^{3} \quad \ldots a_{k}=2^{k}-1$ +Urmatorii trei termeni sunt : +$a_{6}=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=2^{6}-1=63$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$a_{7}=2^{7}-1=127$ ..... $1 p$ +$a_{8}=2^{8}-1=255$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$a_{k}=2^{k}-1 \Rightarrow 2^{k}-1=2014 \Leftrightarrow 2^{k}=2015$ imposibil deci 2014 nu e termen ..... $1 p$ +b) $a_{2014}=2^{2014}-1 \Rightarrow a_{2014}-1=2^{2014}-2$ ..... $1 p$ +$u\left(2^{2014}\right)=u\left(2^{2012} \cdot 2^{2}\right)=4 u\left(2^{4}\right)^{503}=u(4 \cdot 6)=4 \Rightarrow u\left(2^{2014}-2\right)=2$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Finalizare ..... $1 p$ +3. a) $1000 a+2 \overline{b c d}-2 \overline{a b}=2014 \Rightarrow a \in\{1,2\}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$a=1 \Rightarrow \overline{b c d}-\overline{1 b}=507 \Rightarrow 99 b+\underbrace{10 c+d}_{<99}=517$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$99 b+10 c+d=99 \cdot 5+22 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}b=5 \\ c=2 \\ d=2\end{array} \Rightarrow \overline{a b c d}=1522\right.$ ..... $1 p$ + +$a=2 \Rightarrow \overline{b c d}-\overline{2 b}=7 \Rightarrow 99 b+\underbrace{10 c+d}_{<99}=27 \Rightarrow b=0$ imposibil. + +$1 p$ + +b) Observa ca daca se formeaza grupe de cate 4 termeni si se da factor comun obtinem un multiplu de 2800 + +$1 \mathrm{p}$ +$\left(7^{2014}+7^{2013}+7^{2012}+7^{2011}\right)+\ldots+\left(7^{6}+7^{5}+7^{4}+7^{3}\right)+7^{2}+7^{1}=$ +$7^{2011}\left(7^{3}+7^{2}+7^{1}+1\right)+\ldots+7^{3}\left(7^{3}+7^{2}+7^{1}+1\right)+56=$ ..... $1 \mathrm{p}$ + +$$ +M 2800+56 \Rightarrow \overline{u_{2} u_{1}}=56 +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-777-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem_varianta_2.md b/Romania_Olympiad/md/ro-777-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem_varianta_2.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0e975a1c705709329c5287c805c239640afaf8f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-777-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem_varianta_2.md @@ -0,0 +1,90 @@ +INSPECTORATUL + +# Olimpiada Națională de Matematică Etapa locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +Varianta 2 + +CLASA a IX- a + +1. Fie $a, b, c \in[2, \infty)$. Demonstrați că : + +$7 p$ + +$$ +\frac{a b+c}{c+1}+\frac{b c+a}{a+1}+\frac{a c+b}{b+1} \geq \frac{54}{a+b+c+3} +$$ + +G.M. 11/2013 + +2. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{\mathbf{N}}}$ definit astfel: $a_{1}=0, a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{4 a_{n}+1}+1, n \in \mathbb{N}^{\cdot}$. + +a) Să se determine $a_{n}$. + +$3 p$ + +b) Să se arate că $\sqrt{4 a_{1}+1}+\sqrt{4 a_{2}+1}+\cdots+\sqrt{4 a_{n}+1}=n^{2}, \quad n \geq 1$. + +$7 p \quad$ 3. Să se rezolve ecuația $\left[\frac{2 x-1}{3}\right]+\left[\frac{2 x+2}{3}\right]+\left[\frac{2 x+5}{3}\right]=\frac{x+1}{3}$. + +4. Fie $A B C$ un triunghi oarecare cu centrul de greutate $G$ şi $B^{\prime}, C^{\prime}$ picioarele bisectoarelor din $B$ respectiv $C$. Cercul înscris în triunghi este tangent la $A B$ în $\mathrm{D}$ şi la $A C$ în E. + +$4 p \quad$ a) Să se arate că dacă punctele $B^{\prime}, G, C^{\prime}$ sunt coliniare, atunci $\frac{1}{B C}=\frac{1}{A C}+\frac{1}{A B}$. + +$3 p \quad$ b) Să se arate că dacă punctele $D, G, E$ sunt coliniare, atunci $3 B C=A B+A C$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Subiectele au fost propuse şi selectate de: + +prof. Erika Darolți, Colegiul Național „Vasile Lucaciu” Baia Mare prof. Dana Heuberger, Colegiul Național „Gheorghe Şincai” Baia Mare prof. Nicolae Muşuroia, Colegiul Național „Gheorghe Şincai” Baia Mare + +## SUCCES! + +## Barem
clasa a IX-a + +1. Din inegalitatea lui Bergström, obținem: + +$E=\frac{a b+c}{c+1}+\frac{b c+a}{a+1}+\frac{a c+b}{b+1} \geq \frac{(\sqrt{a b+c}+\sqrt{b c+a}+\sqrt{a c+b})^{2}}{a+b+c+3}$ + +Se arată că $(\sqrt{a b+c}+\sqrt{b c+a}+\sqrt{a c+b})^{2} \geq 54$ + +2. a) Pentru + +$$ +n=1 \Rightarrow a_{2}=1 \cdot 2 +$$ + +$$ +n=2 \Rightarrow a_{3}=2 \cdot 3 +$$ + +Demonstrăm prin inducție că $a_{n}=n(n-1), \quad \forall n \in \mathbb{N}^{\cdot}$ +b) $\sqrt{4 a_{k}+1}=\sqrt{(2 k-1)^{2}}=|2 k-1|=2 k-1$ + +$\sqrt{4 a_{1}+1}+\sqrt{4 a_{2}+1}+\cdots+\sqrt{4 a_{n}+1}=\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$. + +3. Fie $x \in \mathbb{R}$ o soluție a ecuației date $\Rightarrow \frac{x+1}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x=3 k-1, k \in \mathbb{Z}$. + +Atunci $\frac{2 x-1}{3}=2 k-1, \frac{2 x+2}{3}=2 k, \frac{2 x+5}{3}=2 k+1$ + +Obținem $k=0$ şi $x=-1$. + +4. a) Din teorema bisectoarei, rezultă $\overrightarrow{A C^{\prime}}=\frac{b}{a+b} \overrightarrow{A B}, \quad \overrightarrow{A B^{\prime}}=\frac{c}{a+c} \overrightarrow{A C}$. + +$G, B^{\prime}, C^{\prime}$ sunt coliniare, atunci $\overrightarrow{A G}=x \overrightarrow{A C^{\prime}}+(1-x) \overrightarrow{A B^{\prime}}$ + +Dar $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ + +Din $x=\frac{a+b}{3 b}$ si $1-x=\frac{a+c}{3 c} \Rightarrow \frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}$ +b) $\overrightarrow{A D}=\frac{p-a}{c} \overrightarrow{A B} ; \quad \overrightarrow{A E}=\frac{p-a}{b} \overrightarrow{A C}$ + +$D, G, E$ coliniare, atunci $\overrightarrow{A G}=x \cdot \overrightarrow{A D}+(1-x) \cdot \overrightarrow{A E}$ + +$$ +\text { Atunci } \frac{x(p-a)}{c}=\frac{1}{3} \text { şi } \frac{(1-x)(p-a)}{b}=\frac{1}{3} \text {. Obținem } b+c=3 a \ldots . +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-778-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-778-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06704b8e7fc3bd1e8225ed6afc52247040b2d80b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-778-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_1.md @@ -0,0 +1,163 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR + +JUDETEAN + +MARAMUREŞ +MINISTERUL + +EDUCATIEI + +NATIONALE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +# Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{3}-x+1\right)=x^{5}+x^{4}+1$, pentru oricare număr real $x$. + +b) Să se arate că numărul $A=2014^{15}+2014^{12}+1$ nu este număr prim. + +(matematician Râmbu Gheorghe) + +## SUBIECTUL II + +Arătaţi că, dacă $a<2$ şi $b>2$ sunt numere reale, atunci $\frac{a^{2}+5}{a-2}-\frac{b^{2}+5}{b-2} \leq-12$. + +(Gazeta Matematică nr. 11/2013) + +## SUBIECTUL III + +Fie $O$ şi $O^{\prime}$ centrele feţelor $A B C D$, respectiv $B C C B^{\prime}$ ale cubului $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, A B=a$. + +a) Aflaţi măsura unghiului dreptelor $D^{\prime} O$ şi $A^{\prime} O^{\prime}$. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul $O^{\prime}$ la planul ( $D^{\prime} A C$ ). + +(prof. Bunu Iulian, Liceul de Arte Baia Mare) + +## SUBIECTUL IV + +Fie rombul $A B C D$, cu $A B=a$ şi $m(\angle A)=60^{\circ}$. De aceeaşi parte a planului $(A B C)$ se ridică perpendicularele $A F$ şi $C E$ astfel încât $A F=C E=c$. Fie $\alpha=m(\angle(A C ; B E))$ si $\beta=m(\angle((B F E) ;(A B C)))$. + +a) Calculaţi $\cos \alpha$ şi $\cos \beta$. + +b) Arătaţi că, pentru oricare $c>0$, avem $\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}}$. + +(matematician Râmbu Gheorghe) + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă î plus 30 de minute pentru intrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: + +prof. Bunu Iulian - Lic. Artă Baia Mare, prof. Pop Radu - Lic. T. Sanitar Baia Mare, matematician Râmbu Gheorghe + +## BAREM - CLASA A VIII-A + +## SUBIECTUL I + +a) Arătaţi că $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{3}-x+1\right)=x^{5}+x^{4}+1$, pentru oricare număr real $x$. + +b) Să se arate că numărul $A=2014^{15}+2014^{12}+1$ nu este număr prim. + +Barem. a) $2 \mathrm{p}$ +b) $A=\left(2014^{3}\right)^{5}+\left(2014^{3}\right)^{12}+1$ +$2 \mathrm{p}$ +$A=\left(2014^{6}+2014^{3}+1\right)\left(2014^{9}-2014+1\right)$ +$2 \mathrm{p}$ +Finalizare: A este număr compus, deci nu este prim +$1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL II + +Arătaţi că, dacă $a<2$ şi $b>2$ sunt numere reale, atunci $\frac{a^{2}+5}{a-2}-\frac{b^{2}+5}{b-2} \leq-12$. + +Barem. Notăm $a-2=x<0$ şi $b-2=y>0$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Inegalitatea devine $x^{2} y-x y^{2}+9 y-9 x+12 x y \geq 0$ + +$2 \mathrm{p}$ + +Obţinem $y(x+3)^{2}-x(y-3)^{2} \geq 0$ + +$3 \mathrm{p}$ + +Finalizare: + +$1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Fie $O$ şi $O^{\prime}$ centrele feţelor $A B C D$, respectiv $B C C B^{\prime}$ ale cubului $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, A B=a$. + +a) Aflaţi măsura unghiului dreptelor $D^{\prime} O$ şi $A^{\prime} O^{\prime}$. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul $O^{\prime}$ la planul ( $\left.D^{\prime} A C\right)$. + +Barem. a) Fie $O^{\prime \prime}$ centrul lui $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D$. Deducem $O^{\prime \prime} B / / D^{\prime} O$ 0,5 p + +Fie $M$ mijlocul lui $O^{\prime} C^{\prime}$. Deducem $O^{\prime \prime} M / / A^{\prime} O^{\prime}$. $0,5 \mathrm{p}$ + +Măsura unghiului dreptelor $D^{\prime} O$ şi $A^{\prime} O^{\prime}$ este $m\left(\angle B O^{\prime \prime} M\right)$. $\quad 0,5 \mathrm{p}$ + +Triunghiul $A^{\prime} B C$ echilateral $\Rightarrow A^{\prime} O^{\prime} \perp B C \quad 0,5 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow O^{\prime \prime} M / / A^{\prime} O^{\prime}$ şi $O^{\prime \prime} M \perp B C \quad 1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow\left(\angle B O^{\prime} M\right)=60^{\circ} \quad 1 \mathrm{p}$ + +b) Dacă $p r_{\left(D^{\prime} A C\right)} B^{\prime}=E, p r_{\left(D^{\prime} A C\right)} O^{\prime}=F \Rightarrow O^{\prime} F=\frac{1}{2} B^{\prime} E \quad 1 \mathrm{p}$ + +Află $B^{\prime} E=\frac{2 \sqrt{3} a}{3}$ + +$1,5 \mathrm{p}$ + +Finalizare: $O^{\prime} F=d\left(O^{\prime} ;\left(D^{\prime} A C\right)\right)=\frac{\sqrt{3} a}{3}$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie rombul $A B C D$, cu $A B=a$ şi $m(\angle A)=60^{\circ}$. De aceeaşi parte a planului $(A B C)$ se ridică perpendicularele $A F$ şi $C E$ astfel încât $A F=C E=c$. Fie $\alpha=m(\angle(A C ; B E)) \quad$ şi $\beta=m(\angle((B F E) ;(A B C)))$. + +a) Calculaţi $\cos \alpha$ şi $\cos \beta$. + +b) Arătaţi că, pentru oricare $c>0$, avem $\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}}$. + +Barem. a) Fie d // AC, deci $\alpha=m(\angle(B M ; B E))$. + +$1 \mathrm{p}$ + +$B E=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$ + +$0,5 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{Cu} C M \perp d$ şi $T 3 \perp$, avem $E M \perp d$, deci $\beta=m(\angle(E M ; C M))=m(\angle C M E)$. + +$1 \mathrm{p}$ + +$M E=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+4 c^{2}}, B M=\frac{\sqrt{3} a}{2}, C M=\frac{a}{2}$. + +$1,5 \mathrm{p}$ + +$\cos \alpha=\frac{B M}{B E}=\frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{a^{2}+c^{2}}}$. + +$0,5 \mathrm{p}$ + +$\cos \beta=\frac{C M}{M E}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+4 c^{2}}}$ + +$0,5 \mathrm{p}$ + +b) $\operatorname{tg} \alpha=\frac{M E}{B M}=\frac{\sqrt{a^{2}+4 c^{2}}}{a \sqrt{3}}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +$\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \beta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+4 c^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{a^{2}+4 c^{2}}}{a \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. + +$1 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-779-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-779-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5ade9c470d3aed537072c7bae6b3717a0d573813 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-779-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_1.md @@ -0,0 +1,94 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR + +JUDETEAN + +MARAMUREŞ +MINISTERUL + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +Clasa a VII-a + +1. Arătaţi că are loc relaţia: +a) $\frac{1}{2^{k}+1}-\frac{1}{2^{k+1}+1}=\frac{2^{k}}{\left(2^{k}+1\right) \cdot\left(2^{k+1}+1\right)}, \quad \forall k \in N$ + +b) Aflaţi $n \in N$, astfel încât: + +$\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{4}{5 \cdot 9}+\frac{8}{9 \cdot 17}+\ldots .+\frac{2^{n}}{\left(2^{n}+1\right) \cdot\left(2^{n+1}+1\right)}=\frac{2}{3} \cdot \frac{2^{2014}-1}{2^{2015}+1}$ + +2. Arătaţi că numărul $\mathrm{A}=1^{p}+2^{p}+\ldots+2014^{p}$ este divizibil cu 5 , unde $p$ este un număr natural care nu este divizibil cu 4. + +Suplimentul Gazetei Matematice 1/2014 + +3. Fie $A B C D$ un paralelogram. Notăm $A_{1}$ simetricul lui $A$ faţă de $B, B_{1}$ simetricul lui $B$ faţă de $C, C_{1}$ simetricul lui $C$ faţă de $D$ şi $D_{1}$ simetricul lui $D$ faţă de $A$. + +a) Arătaţi că $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ este paralelogram. + +b) Paralelogramele $A B C D$ şi $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ au acelaşi centru de simetrie. + +Suplimentul Gazetei Matematice 11/2013 + +4. Fie triunghiul $A B C$ isoscel, de bază $\mathrm{BC}, D \in(A B), E \in(A C)$ astfel încât $(B D) \equiv(A E)$. Dacă $M$ este mijlocul segmentului $(C D)$ şi $N$ este mijlocul segmentului $(A E)$, arătaţi că $M N \perp B C$. + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă in plus 30 de minute pentru intrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Nagy Anamaria - Şc. Gim. „Lucian Blaga” Baia Mare, prof. Neaga Nadina - Şc. Gim. „Dr. Victor Babeş” Baia Mare + +## Barem de corectare + +## Problema 1. + +a) Aducere la numitor comun........................................ 2 p + +Finalizare.....................................................................1p + +b) Observarea regulii de formare a fracțiilor.................. $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2f96d3c27e56de9514a4g-2.jpg?height=84&width=1003&top_left_y=549&top_left_x=236) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2f96d3c27e56de9514a4g-2.jpg?height=47&width=1001&top_left_y=627&top_left_x=253) + +## Problema 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2f96d3c27e56de9514a4g-2.jpg?height=59&width=991&top_left_y=754&top_left_x=255) + +Dacă $p=4 k+1=>\mathrm{U}(A)=5=>A$ : 5........................ $2 \mathrm{p}$ + +$p=4 k+2=>\mathrm{U}(A)=5=>A \vdots 5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +$p=4 k+3=>\mathrm{U}(A)=5=>A \vdots 5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +## Problema 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2f96d3c27e56de9514a4g-2.jpg?height=52&width=995&top_left_y=1020&top_left_x=240) + +$\Delta C_{1} D D_{1} \equiv \Delta A_{1} B B_{1}=>\left(C_{1} D_{1}\right) \equiv\left(A_{1} B_{1}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$ + +$\Delta A D_{1} A_{1} \equiv \Delta C B_{1} C_{1}=>\left(A_{1} D_{1}\right) \equiv\left(B_{1} C_{1}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathrm{p}$ + +$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ este paralelogram.................................................................................. + +b) $A C \cap B D=\{O\}$ mijlocul diagonalelor.......................... $\mathrm{p}$ + +$A_{1} C_{1} \cap B_{1} D_{1}=\{Q\}$ mijlocul diagonalelor................... $0,5 \mathrm{p}$ + +$A_{1} A \| C C_{1},\left(A_{1} A\right) \equiv\left(C C_{1}\right)=>A C_{1} A_{1} C$ paralelogram.......... $1 \mathrm{p}$ + +$A C \cap A_{1} C_{1}=\{O\}=\{Q\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$ + +Problema 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2f96d3c27e56de9514a4g-2.jpg?height=44&width=989&top_left_y=1474&top_left_x=243) + +Fie P mijlocul (ED). + +$M P\left\|C E, M P=\frac{C E}{2}, N P\right\| A D, N P=\frac{A D}{2}, C E=A D=>M P=N P=>\widehat{M} \equiv \widehat{N} \ldots \ldots 2 \mathrm{p}$ + +$M P\|A C, N P\| A B=>m(\widehat{M P N})=180^{\circ}-m(\hat{A})=>m(\widehat{M})=m(\widehat{N})=\frac{m(\widehat{A})}{2} \ldots .2 \mathrm{p}$ + +$M N \perp B C \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-78-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vii.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-78-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vii.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..194711e10ce3c9c8cbacc148d56e465c33fba47a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-78-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vii.md" @@ -0,0 +1,56 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63ba54edad99c25a3addg-1.jpg?height=136&width=408&top_left_y=130&top_left_x=1075) + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Deva, 23 aprilie 2019 + +## CLASA a VII-a + +Problema 1. a) Demonstraţi că, dacă $x, y \geq 1$, atunci $x+y-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{x y}-\frac{2}{\sqrt{x y}}$. + +b) Demonstraţi că, dacă $a, b, c, d \geq 1$ şi $a b c d=16$, atunci $a+b+c+d-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}-\frac{1}{d} \geq 6$. + +## Soluţie şi barem de corectare + +a) Inegalitatea se scrie echivalent $(x y-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0$. ..................................... + +b) Scriind inegalitatea de la a) mai întâi pentru $a$ şi $b$, apoi pentru $c$ şi $d$, obţinem $a+b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{a b}-\frac{2}{\sqrt{a b}}$ si $c+d-\frac{1}{c}-\frac{1}{d} \geq 2 \sqrt{c d}-\frac{2}{\sqrt{c d}}$. Adunând aceste două inegalităţi obţinem $a+b+c+d-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}-\frac{1}{d} \geq 2\left(\sqrt{a b}+\sqrt{c d}-\frac{1}{\sqrt{a b}}-\frac{1}{\sqrt{c d}}\right) \cdot \mathbf{2 p}$ Aplicând acum inegalitatea de la a) pentru $x=\sqrt{a b} \geq 1$ si $y=\sqrt{c d} \geq 1$ se obţine că $a+b+c+d-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}-\frac{1}{d} \geq 2\left(2 \sqrt{\sqrt{a b} \cdot \sqrt{c d}}-\frac{2}{\sqrt{\sqrt{a b} \cdot \sqrt{c d}}}\right)=6$. $2 \mathrm{p}$ + +Problema 2. Fie $A B C D$ un pătrat si $E$ un punct oarecare pe latura $(C D)$. In exteriorul triunghiului $A B E$ se construiesc pătratele $E N M A$ şi $E B Q P$. Demonstraţi că: + +a) $N D=P C$; + +b) $N D \perp P C$. + +## Soluţie şi barem de corectare: + +a) Fie $U$ şi $V$ proiecţiile punctelor $N$ şi $P$ pe dreapta $C D$. Triunghiurile dreptunghice $N U E$ şi $E D A$ sunt congruente (IU), deci, dacă notăm $D E=x, C E=y$, deducem că $N U=x, E U=A D=C D=x+y$ şi $D U=y$. Analog, triunghiurile $E P V$ şi $B E C$ sunt congruente, deci $P V=E C=y$ şi $C V=E V-E C=(x+y)-y=x$. Deducem că triunghiurile $N U D$ sुi $C V P$ sunt congruente (CC), prin urmare $N D=P C \ldots \ldots \ldots .4 \mathbf{p}$ b) Dacă $\{T\}=N D \cap P C, m(\angle C D T)+m(\angle D C T)=m(\angle N D U)+m(\angle P C V)=$ $m(\angle N D U)+m(\angle D N U)=90^{\circ}$, de unde concluzia. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63ba54edad99c25a3addg-2.jpg?height=569&width=935&top_left_y=450&top_left_x=557) + +Schiţă de soluţie alternativă: + +a) Dacă $D E=x, C E=y$, atunci $N E^{2}=A E^{2}=x^{2}+(x+y)^{2}, P E^{2}=B E^{2}=y^{2}+(x+y)^{2}$. Din teorema cosinusului în triunghiurile $N D E$ şi $E C P$ rezultă $N D^{2}=P C^{2}=x^{2}+y^{2}$. b) Tot din teorema cosinusului, dacă $\{T\}=N D \cap P C$, atunci $\cos ^{2}(\angle C D T)+\cos ^{2}(D C T)=$ $\cos ^{2}(\angle N D E)+\cos ^{2}(E C P)=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1$, de unde rezultă că $D T \perp C T$. + +Problema 3. Fie $A B C$ un triunghi în care $m(\angle A B C)=45^{\circ}$ si $m(\angle B A C)>90^{\circ}$. Fie $O$ mijlocul laturii $[B C]$. Considerăm punctul $M \in(A C)$ astfel încât $m(\angle C O M)=$ $m(\angle C A B)$. Perpendiculara în $M$ pe $A C$ intersectează dreapta $A B$ în punctul $P$. + +a) Aflaţi măsura unghiului $\angle B C P$. + +b) Arătaţi că, dacă $m(\angle B A C)=105^{\circ}$, atunci $P B=2 M O$. + +## Soluţie şi barem de corectare: + +a) Fie $P^{\prime}$ punctul în care mediatoarea laturii $[B C]$ intersectează dreapta $A B$ şi $M^{\prime}$ proiecţia punctului $P^{\prime}$ pe dreapta $A C$. Atunci triunghiul $P^{\prime} B C$ este dreptunghic isoscel. Din teorema catetei obţinem că $P^{\prime} C^{2}=C M^{\prime} \cdot C A$ şi $P^{\prime} C^{2}=C O \cdot C B$. + +Avem aşadar $\frac{C M^{\prime}}{C B}=\frac{C O}{C A}$ si $\angle O C M^{\prime}=\angle A C B$, deci triunghiurile $O C M^{\prime}$ şi $A C B$ sunt asemenea. Deducem că $\angle M^{\prime} O C \equiv \angle B A C \equiv \angle M O C$, ceea ce arată că punctele $M$ şi $M^{\prime}$ coincid. Atunci şi punctele $P$ şi $P^{\prime}$ coincid, deci $m(\angle B C P)=m\left(\angle B C P^{\prime}\right)=45^{\circ}$. . . 5p b) Fie $D$ mijlocul segmentului $[P C]$. Dacă $m(\angle B A C)=105^{\circ}$, atunci obţinem succesiv: $m(\angle A C B)=30^{\circ}, m(\angle M C P)=15^{\circ}, m(\angle M D P)=30^{\circ}$ şi $m(\angle M D O)=60^{\circ}$. În plus, $M D=O D=C D$, deci triunghiul $M D O$ este echilateral, de unde $M O=M D=C D=$ $\frac{P B}{2}$. . $.2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_63ba54edad99c25a3addg-3.jpg?height=369&width=566&top_left_y=474&top_left_x=736) + +Problema 4. O bucată de hârtie dreptunghiulară $20 \times 19$, împărţită în pătrăţele unitate, este tăiată în mai multe bucăţi de formă pătrată, tăieturile făcându-se de-a lungul laturilor pătrăţelelor unitate. $\mathrm{O}$ astfel de bucată pătrată se numeşte pătrat impar dacă lungimea laturii sale este un număr impar. + +a) Care este numărul minim posibil de pătrate impare? + +b) Care este cea mai mică valoare pe care o poate lua suma perimetrelor pătratelor impare? + +## Soluţie şi barem de corectare: + +a) Dacă notăm cu $k$ numărul bucăţilor pătrate obţinute şi cu $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ dimensiunile lor, atunci scriind în două moduri aria dreptunghiului obţinem $19 \cdot 20=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{k}^{2}$. Deoarece $19 \cdot 20=380$ este divizibil cu 4 , pătratul unui număr par este un multiplu de 4 , iar pătratul unui număr impar este un număr care dă restul 1 la împărţirea cu 4, deducem că numărul bucăţilor pătrate de dimensiune impară trebuie să fie multiplu de 4 . ...1p Să observăm în continuare că acest număr nu poate fi 0: la latura de dimensiune 19 nu pot contribui numai pătrate de dimensiune pară. (Alt argument: dacă am colora bucata de hârtie pe coloane, alternativ cu alb şi negru astfel încât prima şi ultima coloană să fie negre, am avea cu 20 mai multe pătrăţele negre decât albe, ori un pătrat de dimensiune pară ocupă la fel de multe pătrăţele albe ca şi negre, deci nu putem avea numai din acestea.) $1 p$ Un exemplu cu 4 pătrate de dimensiune impară este uşor de dat: de exemplu decupăm din ultimele 5 coloane 4 bucăţi pătrate $5 \times 5$ (acestea sunt cele 4 pătrate de dimensiune impară). Rămâne o bucată dreptunghiulară $20 \times 14$ care se poate tăia în bucăţi $2 \times 2$. 1p b) Colorăm bucata de hârtie pe coloane, alternativ cu alb şi negru astfel încât prima şi ultima coloană să fie negre. Vom avea cu 20 mai multe pătrăţele negre decât albe, iar un pătrat de dimensiune pară ocupă la fel de multe pătrăţele albe ca şi negre. Un pătrat de dimensiune $\ell$ impară ocupă fie cu $\ell$ mai multe pătrăţele albe decât negre, fie cu $\ell$ mai multe pătrăţele negre decât albe. Aşadar suma dimensiunilor pătratelor care acoperă mai multe pătrăţele negre decât albe trebuie să fie cu 20 mai mare decât suma dimensiunilor pătratelor care acoperă mai multe pătrate albe decât negre. Rezultă că suma lungimilor pătratelor care acoperă mai multe pătrăţele negre decât albe trebuie să fie cel puţin 20 , deci suma dimensiunilor pătratelor de dimensiune impară trebuie să fie cel puţin 20, aşadar suma perimetrelor pătratelor impare este cel puţin 80. ........ 3p Un exemplu în care suma cerută este chiar 80 este cel dat la a). .......................1p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-780-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-780-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3a582a2172c4479fe32de918910e6344fa30e45 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-780-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_1.md @@ -0,0 +1,93 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN MARAMUREŞ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed5591d0123618f636e3g-1.jpg?height=299&width=223&top_left_y=257&top_left_x=1298) + +MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +Clasa a VI-a + +1. Dintr-o lungime de $1 \mathrm{~km}$ luăm o doime, din rest luăm o treime, din noul rest luăm o pătrime şi aşa mai departe. + +a)După câte operaţii de acest tip luăm o lungime strict mai mică decât $1 \mathrm{~mm}$ + +b)După câte operaţii de acest tip rămâne o lungime mai mică de $1 \mathrm{~mm}$ + +2. Se consideră numerele $\mathrm{a}_{1}=4, \mathrm{a}_{2}=3 \mathrm{a}_{1}+4, \mathrm{a}_{3}=3 \mathrm{a}_{2}+4^{2}, \ldots, \mathrm{a}_{2013}=3 \mathrm{a}_{2012}+4^{2012}$. + +a)Calculati $\mathrm{a}_{2013}$ + +b)Arătaţi că $\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2013}\right) \vdots \frac{2^{22}-1}{3}$ + +S:E14.18/G.M. 1/2013 + +3. Fie unghiurile $\angle A O B, \angle C O D, \angle E O F, \angle G O H$ astfel încât [OC este bisectoarea unghiului $\angle A O B$, [OB este bisectoarea unghiului $\angle C O D,[O E$ este bisectoarea unghiului $\angle B O D,[O D$ este bisectoarea unghiului $\angle E O F$, [OG este bisectoarea unghiului $\angle D O F$, [OF este bisectoarea unghiului $\angle G O H$, iar $m(\angle A O B)+m(\angle C O D)+m(\angle E O F)+m(\angle G O H)=264^{\circ}$. + +a) Aflaţi $m(\angle A O B)$ + +b) Arătaţi că $[O A$ şi $[O H$ sunt semidrepte opuse. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Boga Ovidiu - Lic. Tehn. „Grigore Moisil" Târgu Lăpuş, prof. Pop Mariana - Lic. Teor. „Petru Rareş” Târgu Lăpuş. + +Barem de corectare clasa a VI a + +## Problema 1 + +a) $1 \mathrm{~km}=1000000 \mathrm{~mm} \quad 1 \mathrm{p}$ + +După prima operaţie rămân $1000000 \cdot \frac{1}{2} \quad 1$ p + +După a doua operaţie rămân $1000000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ + +După (n-1) operaţii rămân $1000000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n}=\frac{1000000}{n} \quad 1 \mathrm{p}$ + +După n operaţii luăm $\cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1000000}{n}<1=>n(n+1)>1000000=>n=1000 \quad 1$ p + +b) După n operaţii rămâne $\frac{1000000}{n+1}<1=>n>999999$ n=1000000 3 + +Problema 2 +a) $\mathrm{a}_{1}=4 \quad \mathrm{a}_{2}=3 \cdot 4+4=4^{2}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{a}_{2013}=4^{2013}$ + +$1 p$ + +b) Formula sumei progresiei + +$1 p$ + +$4+4^{2}+\ldots+4^{11}=4 \frac{4^{11}-1}{3}=4 \frac{2^{22}-1}{3}$ + +$2 p$ + +Gruparea dupa 2013=11$\cdot$183 + +$1 p$ + +Finalizare + +$1 p$ + +Problema 3.(7 puncte) (2 puncte desen), + +(3 puncte pentru a), + +(2 puncte pentru b) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed5591d0123618f636e3g-3.jpg?height=1002&width=1288&top_left_y=413&top_left_x=384) + +$$ +2 x+2 x+x+\frac{x}{2}=264^{\circ} \Rightarrow \frac{11 x}{4}=264 \Rightarrow x=48^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O B)=96^{\circ} +$$ + +b) $m(\Varangle A O H)=m(\Varangle A O B)+m(\Varangle B O D)+m(\Varangle D O F)+m(\Varangle F O H)=180^{\circ} \Rightarrow[O A$ şi $[O H$ semidrepte opuse. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-781-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-781-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcce3825f3a7ae74b540dda4d7cfcf869ac1b25f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-781-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_1.md @@ -0,0 +1,89 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR + +JUDETTEAN + +MARAMUREŞ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_caf48554460297691a01g-1.jpg?height=299&width=225&top_left_y=257&top_left_x=1297) + +MINISTERUL EDUCAȚIEI + +NAȚIONALE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +Clasa a V-a + +1. Fie $a=5^{205}-3 \cdot 5^{204}-3^{2} \cdot 5^{203}-4 \cdot 5^{202}$ si $b=2+2 \cdot 3+2 \cdot 3^{2}+2 \cdot 3^{3}+\ldots+2 \cdot 3^{302}$. + +a) Demonstrați că pentru orice număr natural $n$ are loc relația : + +$$ +2 \cdot 3^{n}=3^{n+1}-3^{n} +$$ + +b) Arătați că numărul $a$ este pătrat perfect . + +c) Comparați numerele a și b . + +G.M/2013 (enunț modificat) + +2. a) Determinaţi toate perechile de numere naturale $(a ; b)$ astfel încât $a^{2}+b^{2}=250$. + +b) Scrieți numărul $2014^{2013}$ ca suma a trei pătrate perfecte distincte nenule. + +3. a) Determinați cifrele nenule $a, b, c, d$ astfel încât să verifice egalitatea : + +$$ +\overline{a b c d}-\overline{a b c}+\overline{a b}+a=5873 +$$ + +b) Se consideră șirul $0,1,1,2,3,5,8,13, \ldots$ + +i) Să se scrie următorii doi termeni ai șirului . + +ii) Să se stabilească paritatea celui de-al 2014-lea termen al șirului. + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: + +prof. Heuberger Cristian - C. N. „Gheorghe Şincai” Baia Mare, prof. Ienuțaș Vasile - Şc. Gim. "George Coşbuc" Baia Mare, prof. Popovic Ioana - Şc. Gim. "Octavian Goga" Baia Mare, prof. Pop Sever - Şc. "Vasile Alecsandri" Baia Mare + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +1.a) Scoaterea factorului comun ..... $.1 \mathrm{p}$ +Finalizare ..... $1 \mathrm{p}$ +b) $a=5^{202}(125-75-45-4)=5^{202}$ ..... $2 p$ +$5^{202}=\left(5^{101}\right)^{2}$ ..... $.1 p$ +c) $b=2+2 B+2 B^{2}+2 B^{3}+\ldots+2 B^{302} \mid B \Leftrightarrow 3 b=2 B+2 B^{2}+2 B^{3}+\ldots+2 B^{303}$ +$3 b-b=2 B^{303}-2$ +$b=3^{303}-1$ ..... $.1 p$ +$\left(5^{2}\right)^{101}<\left(3^{3}\right)^{101} \Rightarrow 5^{202} \leq 3^{303}-1$ dar $u\left(5^{202}\right)=5$ şi $u\left(3^{303}-1\right)=8 \Rightarrow a0$ şi $a \in \square$. +b) $\int \frac{3 x-4}{e^{3 x}-x+1} d x, x \in \square$. +2. a) Determinaţi primitivele funcţiei $f: R \rightarrow R$ ştiind că $(f \circ f)(x)=x, \forall x \in R$ şi că funcţia $g: R \rightarrow R, g(x)=x+f(x)$ este injectivă. + +b) Arătaţi că orice funcţie bijectivă $f:[a, b] \rightarrow R$, unde $a, b \in R, a1}$ definit prin $x_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ şi $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_{n}}{2}}, n \geq 1$. + +a) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{1} x_{2} \ldots x_{n}$. + +3. Fie $\alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$. Considerăm şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=\operatorname{tg} \alpha$ şi $a_{n+1}=a_{n}^{2} \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha, n \geq 1$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a_{n}-1\right)$. +4. a) Determinaţi matricea $X \in M_{2}(R)$ astfel încăt $X^{2}-2 \cdot X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 4 & -1\end{array}\right)$. + +prof. Gherasin Gheorghe, Liceul Regele Ferdinand + +b)Fie $\quad M=\left\{X \in M_{2}(C) / X=\left(\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right), x, y, z \neq 0\right\}$. Determinaţi $H \subset M$, cu trei elemente, pentru care avem $X \cdot Y \in H, \forall X, Y \in H$. prof. Giurgi Vasile, C.N. Dragoş Vodă + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă in plus 30 de minute pentru intrebări. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Gherasin Gheorghe, Liceul Regele Ferdinand Sighetu Marmaţiei + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-784-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_varianta_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-784-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_varianta_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd139dab3518c47a6144440fe4f2139b8331993c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-784-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_varianta_1.md @@ -0,0 +1,57 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR + +JUDETEAN + +MARAMUREŞ +MINISTERUL + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +Clasa a X-a + +1. a. Să se arate că funcţia $f: R \rightarrow R, f(x)=3^{x}+2^{x}+x$ este injectivă. + +b. Să se rezolve ecuaţia $3^{\log _{2} x}+\log _{2} x=2^{\log _{3} x}+\log _{3} x$. + +Ludovic Longaver + +2. a. Să se arate că $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}, \quad \forall x, y, z>0$. + +b. Să se rezolve în $N^{*}$ ecuaţia: $\sqrt[x^{2}+x]{4}+\sqrt[1+x]{4^{x^{2}}}+\sqrt[x^{2}+1]{4^{x}}=6$. + +Meda Bojor + +3. Se consideră numerele complexe $a, b \in C$ având $|a|=|b|=1$ şi mulţimea + +$$ +A=\{z \in C|| z-a|=| z-b \mid\} +$$ + +a. Să se demonstreze că $A \neq \varnothing$. + +b. Dacă $z \in A$ să se demonstreze că $z=\bar{Z} \cdot a \cdot b$. + +c. Dacă $z_{1}, z_{2} \in A$ să se demonstreze că $z_{1}+z_{2} \in A$. + +Florin Bojor + +4. Să se determine funcţiile $f: N \rightarrow N$ cu proprietatea + +$$ +f(f(n+1))=f(f(n)+1)=n+2009, \forall n \in N +$$ + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă in plus 30 de minute pentru îtrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: + +prof. Bojor Meda, Colegiul Naţional „Gheorghe Șincai”, Baia Mare. + +prof. Longaver Ludovic, Liceul Teoretic „Nemeth Laszlo”, Baia Mare. + +prof. Bojor Florin, Colegiul Naţional „Gheorghe Șincai”, Baia Mare. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-785-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_varianta_1.md b/Romania_Olympiad/md/ro-785-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_varianta_1.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f58a9ec85889f86b5ed807e9c2b2d9b6c71b11b3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-785-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_varianta_1.md @@ -0,0 +1,57 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR + +JUDETEAN + +MARAMUREŞ +MINISTERUL + +EDUCATIEI + +NATIONALE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +# Clasa a IX -a + +1. Să se determine funcţia $f: N^{*} \rightarrow N^{*}$ stiind că pentru orice $n \in N^{*}$, $7 p$ + +$$ +1^{2} \cdot f(1)+2^{2} \cdot f(2)+\ldots+n^{2} \cdot f(n)=\frac{n^{2} \cdot(f(n)+1)^{2}}{4} +$$ + +2. Fie $a \in \square \quad$ şi ecuaţia $\left[\frac{x+a}{2}\right]=\frac{x+2014}{3}$. + +$3 p \quad$ a) Pentru $a=1$, să se rezolve ecuaţia. + +$2 p$ b) Să se determine $a \in R$ stiind că mulţimea soluțiilor este $S=\{4025,4028\}$. + +$2 p \quad$ c) Există valori ale lui $a \in R$ pentru care ecuaţia are cel puțin 3 soluţii? Justificaţi. + +$3 p \quad$ 3. a) Să se arate că pentru orice $x \in R,\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{6}\right| \geq \frac{2}{3}$. + +b) Să se arate că pentru orice $x \in R$, + +$$ +\left|x-\frac{1}{1 \cdot 2}\right|+\left|x+\frac{1}{2 \cdot 3}\right|+\left|x-\frac{1}{3 \cdot 4}\right|+\left|x+\frac{1}{4 \cdot 5}\right|+\ldots+\left|x+\frac{1}{2 n \cdot(2 n+1)}\right| \geq \frac{2 n}{2 n+1} +$$ + +4. Fie triunghiul $A B C$ şi punctele $D, E, F$ astfel încât $B \in(A D), C \in(B E), A \in(C F)$ şi $B D=A C, C E=A B, A F=B C$. + +Fie $M, N, P$ respectiv mijloacele segmentelor $[D E],[E F]$ si $[F D]$. + +a) Să se arate că triunghiurile $A B C$ şi $M N P$ au acelaşi centru de greutate dacă şi numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral. + +$2 p \quad$ b) Să se arate că $M N<\frac{1}{2}(A B+B C+A C)$. + +$2 p$ c) Să se arate că ( $A M$ nu este bisectoarea unghiului $B A C$. + +Dana Heuberger + +Timp de lucru 3 ore. Se acordă in plus 30 de minute pentru intrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Erika Darolţi, Colegiul Naţional „Vasile Lucaciu” Baia Mare prof. Dana Heuberger, Colegiul Naţional „Gheorghe Şincai” Baia Mare prof. Nicolae Muşuroia, Colegiul Naţional „Gheorghe Şincai” Baia Mare + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-786-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_iva_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-786-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_iva_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ddf14ce1d65fa5aae07584c40cc81bbb247504d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-786-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_iva_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,128 @@ +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Locală - 22 februarie 2014 - Maramureş + +Clasa a IV-a + +# SUBIECTUL I + +A. Arătaţi că ,,a" este sfertul lui „,", dacă : + +b : $[(921-639): 6-39]=9$ + +B. Se știe că $a-b=873, a: b=12$ rest $15 ; 5 b=3 c$ + +Să se afle $2 \mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}$ + +## SUBIECTUL II + +Într-o ladă era o cantitate de caise de 7 ori mai mare decât în altă ladă. Se transferă $270 \mathrm{~kg}$ de caise din prima ladă în a doua şi atunci în cele 2 lăzi rămân cantităţi egale de caise. + +Câte kg de caise erau la început în fiecare ladă? + +## SUbIECTUL III + +Un autobuz poate transporta 94 de pasageri. La prima staţie, urcă 16 pasageri. La fiecare staţie coboară şi urcă astfel : la a doua staţie coboară 1 şi urcă 2 ; la a treia staţie coboară 3 şi urcă 5 . La a patra staţie, coboară 6 şi urcă $9, \ldots$. . După a câta staţie autobuzul este plin? + +Timp de lucru 2 ore. Se acordă î plus 30 de minute pentru intrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Olimpia Borca, inspector şcolar învăţământ primar ISJMM, prof. Florentina Husti, Școala Gimnazială ,, Nichita Stănescu”, Baia Mare, prof. Paula Chende, Şcoala Gimnazială „George Coşbuc”, Baia Mare prof. Gabriela Ciolpan, Liceul Tehnologic, Vişeu de Sus + +## BAREM DE CORECTARE : + +I. A. + +[36: $(24-a)+29]: 5$ = 7 + +36: $(24-\mathrm{a})+29=35$ + +36: $(24-a)=6$ + +$24-\mathrm{a}=6$ + +$\mathrm{a}=18$ + +b : [(921 - 639 ): $6-39]=9$ + +b : $282: 6-39)=9$ + +b:(47 - 39)=9 + +$\mathrm{b}: 8=9$ + +$\mathbf{b}=72$ + +$\mathrm{a}=\mathrm{b}: 4$ + +$18=72: 4$ + +$18=18$ + +Aflarea valorii lui ,, a " - 1,60p ( 0,40p/ operaţie x 4 ) + +Aflarea valorii lui „, ‘' 1,60 p ( $0,40 \mathrm{p} /$ operaţie x 4 ) + +Demonstraţia : $0,30 \mathrm{p}$ + +Total : $3,5 \mathrm{p}$ + +B. Aflarea valorii lui ,, a '' $-1 p \quad a=951$ + +Aflarea valorii lui „, ' ' $-1 \mathrm{p} \quad \mathrm{b}=78$ + +Aflarea valorii lui ,,c' ${ }^{\prime}-1 \mathrm{p} \quad \mathrm{c}=130$ + +$2 \mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}=1850$, Aflarea valorii relaţiei $0,5 \mathrm{p}$ + +Total : $3,5 \mathrm{p}$ + +Subiectul $\mathrm{I}(\mathrm{A}+\mathrm{B})=3,5 p+3,5 p=7 p$ + +## SUBIECTUL II + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c3b630a045ace58ab3dbg-3.jpg?height=157&width=740&top_left_y=388&top_left_x=302) + +II. $\longleftrightarrow$ + +Aflăm cantitatea de caise din cea de-a doua ladă + +$270: 3=90(\mathrm{~kg})$ + +Aflăm cantitatea de caise din prima ladă + +90 x $7=630(\mathrm{~kg}$ ) + +Punctaj: + +> stabilirea relațiilor sau reprezentarea grafică: 3 p stabilirea valorii fiecărui număr: $2 p x 2=4 p$ + +Se acceptă şi rezolvarea algebrică. + +$\mathrm{a}=\mathrm{b}$ x7 + +$\mathrm{a}-270=\mathrm{b}+270$ + +bx7 - $270=\mathrm{b}+270$ + +$\mathrm{bx} 6=540$ + +$\mathrm{b}=90$ + +$a=630$ + +Total : $7 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL III + +Barem de corectare : + +Observăm că începând cu staţia a II-a diferența dintre călătorii care urcă şi cei care coboară creşte cu 1 , în a doua staţie 2 , în a treia staţie 3 şi tot aşa. ( $3 \mathrm{p}$ ) + +Pentru a se umple, trebuie să urce $16+(1+2+3+\ldots)=94$, de unde rezultă că $1+2+3+\ldots=78$, rezultat obţinut la în sumarea primelor 12 numere naturale consecutive nenule............................................3p + +Autobuzul va fi plin după a 13-a staţie........................................ 1 p + +Total : $7 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-787-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-787-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5133da3d04ace1d95be6be336ff34793d66c32ee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-787-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,73 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a XII-a + +Problema 1. a) Să se determine numărul de elemente inversabile din monoidul ( $\left.Z_{2014}, \cdot\right)$ + +b) Să se demonstreze că mulțimea tuturor elementelor inversabile din monoidul anterior este un grup abelian. + +Problema 2. Să se calculeze $\int \frac{1}{x^{4}-4 x^{3}+x^{2}+16 x-20} d x, x>2$. + +Problema 3. Fie ( $G, \cdot)$ un grup abelian cu 2014 elemente. Să se demonstreze că funcţia $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{3}$, este un automorfism de grupuri. + +Problema 4. Să se demonstreze că funcţia , $f: R \rightarrow R, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{n} \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ a & , x=0\end{array}\right.$, are primitive pe $R$ pentru $n=3$ şi pentru o singură valoare a parametrului real $a$ şi nu are primitive pe $R$ pentru $n=2$ şi valorea lui $a$ găsită anterior. + +Timp de lucru:3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a XII-a + +Problema 1. a) Să se determine numărul de elemente inversabile din monoidul ( $Z_{2014}$, ) + +b) Să se demonstreze că mulţimea tuturor elementelor inversabile din monoidul anterior este un grup abelian. + +BAREM: a) Un element este inversabil dacă şi numai dacă este prim cu 2014. Deci avem 936 elemente inversabile + +b) Produsul a două elemente inversabile, este inversabil şi inversul unui element inversabil, este şi el inversabil.Evident înmulţirea este comutativă şi asociativă $3 p$ + +Problema 2. Să se calculeze $\int \frac{1}{x^{4}-4 x^{3}+x^{2}+16 x-20} d x, x>2$. + +BAREM: Vom descompune astfel : + +$$ +x^{4}-4 x^{3}+x^{2}+16 x-20=(x-2)\left(x^{3}-2 x^{2}-3 x+10\right)=(x-2)(x+2)\left(x^{2}-4 x+5\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . . . . . . . . .3 p +$$ + +Se desface integrala în următoarele trei integrale : + +$$ +\int \frac{a}{x-2} d x+\int \frac{b}{x+2} d x+\int \frac{c x+d}{x^{2}-4 x+5} d x \text {............................................................................ } 2 p +$$ + +$\qquad$ +Problema 3. Fie (G, ) un grup abelian cu 2014 elemente. Să se demonstreze că funcţia $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{3}$, este un automorfism de grupuri. + +## BAREM: Grupul este abelian deci funcţia dată este morfism de grupuri + +Cu ajutorul Teoremei lui LAGRANGE, se arată că avem $\operatorname{Ker}(\mathrm{f})=\{\mathrm{e}\}$, de aici vom avea că funcţia dată este injectivă $3 p$ + +Funcţia este definită de la o mulţime finită în ea însăşi deci este si surjectivă $.2 p$ + +Problema 4. Să se demonstreze că funcţia , $f: R \rightarrow R, f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\sin ^{n} \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ a & , x=0\end{array}\right.$, are primitive pe $R$ pentru $n=3$ şi pentru o singură valoare a parametrului real $a$ şi nu are primitive pe $R$ pentru $n=2$ şi valorea lui $a$ găsită anterior. + +BAREM: Se demonstrează că funcţia $g(x)=\left\{\begin{array}{l}c \sin \frac{d}{x}, x \neq 0 \\ 0 \quad, x=0\end{array}\right.$ are primitive pe R .........................2p + +Se foloseşte formula $\sin ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}$ şi se arată că funcţia din enunţ ( $\mathbf{p t} \mathbf{n}=3$ ) are primitive doar pentru $\mathrm{a}=0$. + +$.3 p$ + +Se foloseşte formula $\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}$ şi se arată că funcţia din enunţ ( $\mathbf{p t} \mathbf{n}=\mathbf{2}$ ) nu are primitive pentru $\mathrm{a}=0$ (ar trebui ca a să fie egal $\mathrm{cu} 1 / 2$ pentru a avea primitive). + +$.2 p$ + +Timp de lucru:3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-788-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-788-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c5f2ca8502cefe2ece13aa03fe594e43d13d8604 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-788-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,131 @@ +MINISTERUL + +# Olimpiada Națională de Matematică + +## Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a XI-a + +Problema 1. + +Să se studieze convergența şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, dacă $x_{1}=a \in \mathbb{R}$ şi $x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_{n}+1$, pentru orice $n \geq 1$. + +Problema 2. + +Fie $A \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det}(A)=1$. Să se arate că : $\operatorname{det}\left(A^{2}+A-I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=5$. + +## Problema 3. + +Fie $G$ mulțimea matricelor pătratice de ordinul 3 care au elementele egale cu -1 sau 1 . + +a) Câte elemente are mulțimea $G$ ? + +b) Determinați mulțimea $\{\operatorname{det}(A) \mid A \in G\}$. + +## Problema 4. + +Să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2^{2}}+\ldots+\frac{1}{n+2^{n}}\right)=0$. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## REZOLVĂRI SI BAREME + +CLASA a XI-a + +## Problema 1. + +Să se studieze convergența şirului $\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}$, dacă $x_{1}=a \in \mathbb{R}$ şi pentru orice $n \geq 1$, $x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_{n}+1$. + +## Rezolvare + +Cum $x_{n+1}-x_{n}=\left(x_{n}-1\right)^{2} \geq 0,\left(x_{n}\right)$ este crescător. + +$1 p$ + +Dacă $a \in(0,1)$ se obține că $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$. + +$2 \mathbf{p}$ + +Dacă $a \in\{0,1\}, x_{n}=1$ oricare ar fi $n \geq 1$. + +$2 \mathbf{p}$ + +Dacă $\mathbf{a}<0$ sau a $>1$ se obține $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$. + +$2 \mathrm{p}$ + +## Problema 2. + +Fie $A \in M_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $\operatorname{det} \mathbf{A}=\mathbf{1}$. Să se arate că: $\operatorname{det}\left(A^{2}+A-I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=5$. + +## Rezolvare + +Dacă $\alpha, \beta$ sunt valorile proprii ale matricei $\mathbf{A}$, atunci $\alpha \beta=1$ + +$\operatorname{det}\left(A^{2}+A-I_{2}\right)=\left(\alpha^{2}+\alpha-1\right)\left(\beta^{2}+\beta-1\right)$ + +$2 p$ + +$\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=\left(\alpha^{2}+1\right)\left(\beta^{2}+1\right)$ $1 p$ + +$\operatorname{det}\left(A^{2}+A-I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=\left(\alpha^{2}+\alpha-1\right)\left(\beta^{2}+\beta-1\right)+\left(\alpha^{2}+1\right)\left(\beta^{2}+1\right)=(\alpha \beta)^{2}+\alpha^{2} \beta-$ $-\alpha^{2}+\alpha \beta^{2}+\alpha \beta-\alpha-\beta^{2}-\beta+1+(\alpha \beta)^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+1=5$. $2 p$ + +## Problema 3. + +Fie G mulțimea matricelor pătratice de ordinul 3 care au elementele egale cu -1 sau 1. + +a) Câte elemente are mulțimea G? + +b) Determinați mulțimea $\{\operatorname{det} A \mid A \in G\}$. + +## Rezolvare + +a) O matrice din G are 9 elemente, fiecare dintre ele putând lua 2 valori (-1 sau 1). Mulțimea G are $2^{9}=512$ elemente. + +b) Fie $A \in G$. Din definiția unui determinant de ordinul 3 obținem că det(A) este o sumă cu 6 termeni de tipul $( \pm 1) \cdot( \pm 1) \cdot( \pm 1), \operatorname{deci}-6 \leq \operatorname{det}(A) \leq 6$. + +Adunând linia 1 la liniile 2 şi 3 obținem $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)$ unde $B$ este o matrice care are pe prima linie -1 sau 1 , iar pe liniile a doua şi a treia are $0,-2$ sau 2 . Scoatem factorul comun 2 de pe liniile a doua şi a treia şi atunci $\operatorname{det}(A)=4 \operatorname{det}(C)$, unde $C$ este o matrice care are pe prima linie -1 sau 1 , iar pe liniile a doua şi a treia are $0,-1$ sau 1 . Cum $\operatorname{det}(C) \in \mathbb{Z}$ deduce că 4 divide $\operatorname{det}(A)$, prin urmare $\operatorname{det}(A) \in\{-4,0,4\}$. 3p + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Fie } A_{1}=\left(\begin{array}{lll} +1 & 1 & 1 \\ +1 & 1 & 1 \\ +1 & 1 & 1 +\end{array}\right) \text { şi } A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} +1 & 1 & 1 \\ +1 & -1 & -1 \\ +1 & 1 & -1 +\end{array}\right) . \text { Evident } A_{1}, A_{2},-A_{2} \in G \quad \text { şi } \operatorname{det}\left(A_{1}\right)=0, \operatorname{det}\left(A_{2}\right)=4 \text {, } \\ +& \operatorname{det}\left(-A_{2}\right)=-4 \text {. În concluzie, }\{\operatorname{det}(\mathbf{A}) \mid \mathbf{A} \in G\}=\{-4, \mathbf{0}, \mathbf{4}\} . +\end{aligned} +$$ + +## Problema 4. + +Să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2^{n}}\right)=0$. + +## Rezolvare + +## $\mathrm{Cu}$ inegalitatea mediilor avem: + +$0<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+2^{n}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}+\frac{1}{2 \sqrt{2 n}}+\ldots+\frac{1}{2 \sqrt{n \cdot 2^{n}}}=\frac{1}{2 \sqrt{n}}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2^{n}}}\right)$. + +Utilizăm teorema Stolz-Cesaro şi $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2^{n}}=0$ şi avem: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2^{n}}}}{2 \sqrt{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{2^{n+1}}}}{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2^{n+1}}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=0 +$$ + +Teorema cleștelui ne asigură că limita cerută este 0 . + +Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare problemă este notată си 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-789-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-789-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3b7b1cb7853a71a1a600bbaeadff285c89db2fa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-789-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală, Iaşi
14.02.2014 + +## CLASA a $\mathrm{X}$-a + +## Problema 1. + +Se consideră funcția: $f: \mathbb{C} \backslash\{-i\} \rightarrow \mathbb{C}, f(z)=\frac{z-i}{z+i}$. + +a) Arătați că $|f(z)|=1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$. + +b) Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ cu $x_{0}=2$ şi $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$. Calculați $x_{0}+x_{1}+\ldots+x_{2014}$. + +## Problema 2. + +Rezolvați sistemul: $2014 \cdot \lg [x]+\{\lg y\}=2014 \cdot \lg [y]+\{\lg z\}=2014 \cdot \lg [z]+\{\lg x\}=0$. + +## Problema 3. + +Fie $m, n, p \in \mathbb{N}^{*}$. Dacă $4^{\frac{m}{n+p}}+4^{\frac{n}{m+p}}+4^{\frac{p}{n+m}}=6$, arătați că $m=n=p$. + +## Problema 4. + +a) Fie $a, b, c, d, \alpha \in \mathbb{C}$ cu $|a|=|b| \neq 0,|c|=|d| \neq 0$. Demonstrați că, pentru $n \geq 1$, rădăcinile ecuației $c(b x+a \alpha)^{n}-d(a x+b \bar{\alpha})^{n}=0$ sunt numere reale. + +b) Fie $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ un poligon regulat înscris într-un cerc de centru $O$ şi rază $R$. Pe semidreapta $\left[O A_{1}\right.$ se ia un punct $P$ astfel încât $A_{1} \in(O P)$. Demonstrați că $\prod_{k=1}^{n} P A_{k}=P O^{n}-R^{n}$. + +Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +14.02.2014 + +## CLASA a X-a + +## BAREM + +## Problema 1. + +a) $|f(z)|=1 \Leftrightarrow|z-i|=|z+i|$................................................................... 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-2.jpg?height=92&width=1352&top_left_y=1052&top_left_x=300) + +$\Leftrightarrow b=0 \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$...........................................................................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-2.jpg?height=95&width=1355&top_left_y=1183&top_left_x=298) + +$x_{n+3}=x_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$.................................................................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-2.jpg?height=63&width=1363&top_left_y=1340&top_left_x=305) + +## Problema 2. + +$[x]>0 \Rightarrow x \geq 1$; analog celelalte ......................................................................... 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-2.jpg?height=120&width=1366&top_left_y=1542&top_left_x=301) + +$\Rightarrow 10^{-\frac{1}{2014}}<[x] \leq 1 \Rightarrow[x]=1 \Rightarrow\{\lg y\}=0 \Rightarrow \lg y \in \mathbb{Z}$; analog celelalte ................... 3p + +Deci $x, y, z \in[1,2)$ ş pentru $\lg x=n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x=10^{n} \in[1,2) \Rightarrow n=0 \Rightarrow x=1$ $\qquad$ + +## Problema 3. + +Din inegalitatea mediilor, $4^{\frac{m}{n+p}}+4^{\frac{n}{m+p}}+4^{\frac{p}{n+m}} \geq 3 \sqrt[3]{4^{\frac{m}{n+p}+\frac{n}{m+p}+\frac{p}{n+m}}} \ldots \ldots . . . . . . . . . . . .2 p$ + +$\frac{m}{n+p}+\frac{n}{m+p}+\frac{p}{n+m} \geq \frac{3}{2}$...................................................................... 2p + +$\Rightarrow 3 \sqrt[3]{\frac{m}{4^{n+p}}+\frac{n}{m+p}+\frac{p}{n+m}} \geq 3 \sqrt[3]{4^{\frac{3}{2}}}=6$............................................................... 1p + +Egalitatea în ambele inegalități pentru $\frac{m}{n+p}=\frac{n}{m+p}=\frac{p}{n+m} \Rightarrow m=n=p$............. 2p + +## Problema 4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-3.jpg?height=116&width=1358&top_left_y=408&top_left_x=297) +$\frac{b x_{k}+a \alpha}{a x_{k}+b \bar{\alpha}}=u_{k}=\cos \frac{t+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{t+2 k \pi}{n} \Rightarrow x_{k}=\frac{b \bar{\alpha} u_{k}-a \alpha}{b-a u_{k}}, k=\overline{0, n-1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \mathbf{1 p}$ $|a|=|b|=r \Rightarrow \overline{x_{k}}=\frac{\bar{b} \alpha \overline{u_{k}}-\overline{a \alpha}}{\bar{b}-\overline{a u_{k}}}=\frac{\frac{r^{2}}{b} \cdot \alpha \cdot \frac{1}{u_{k}}-\frac{r^{2}}{a} \cdot \bar{\alpha}}{\frac{r^{2}}{b}-\frac{r^{2}}{a} \cdot \frac{1}{u_{k}}}=x_{k}$ 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-3.jpg?height=67&width=1366&top_left_y=850&top_left_x=304) + +b) Reper cu originea în centrul cercului circumscris şi axa reală $O P$....................... 1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed169e04a15474689ffg-3.jpg?height=65&width=1350&top_left_y=957&top_left_x=317) + +$$ +\prod_{k=1}^{n} P A_{k}=\prod_{k=1}^{n}\left|R x-R \varepsilon_{k}\right|=R^{n} \prod_{k=1}^{n}\left|x-\varepsilon_{k}\right|=R^{n}\left|\prod_{k=1}^{n}\left(x-\varepsilon_{k}\right)\right|=R^{n}\left(x^{n}-1\right)=P O^{n}-R^{n} \ldots \mathbf{p} +$$ + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-79-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vi.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-79-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vi.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..133b079c3108c9a8226aabb214a1cb7518c758ce --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-79-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vi.md" @@ -0,0 +1,90 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ce7e464d89275c09a03cg-1.jpg?height=140&width=782&top_left_y=130&top_left_x=736) + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa naţională, Hunedoara, 23 aprilie 2019 + +## CLASA a VI-a - subiecte + +Problema 1. Se consideră un număr raţional $r$ şi numerele naturale $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{6}, b_{1}, b_{2}, \ldots b_{6}$ astfel încât $1 \leq b_{1}\widehat{O B P}$, de unde rezultă că $\widehat{O B P}$ este unghi ascuţit. Analog se arată că unghiurile $\widehat{O D B}$ şi $\widehat{O C A}$ sunt ascuţite. Astfel $E$ si $F$ sunt in interiorul segmentelor $A C$, respectiv $B D$, deci $\widehat{O A C}=\widehat{O A E}, \widehat{O C A}=\widehat{O C E}, \widehat{O B D}=\widehat{O B P}$ si $\widehat{O D B}=\widehat{O D P}$. Deducem că unghiurile triunghiurilor $O A C, O B D$ sunt respectiv congruente şi, folosind observaţia iniţială, obţinem concluzia... 2p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-790-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-790-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2032160b8c83c229f6bf30b0b6e1fe8e944cb7b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-790-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,113 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a VIII-a + +## Problema 1. + +a) Fie numărul $A=\frac{1}{\sqrt{4+2 \sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n+2 \sqrt{4 n^{2}-1}}}, n \in N^{\star}$. Determinaţi valoarea lui $n$ pentru care $A=10$. + +b) Să se determine $x, y \in Z$ care verifică relaţia $4 x^{2}(y-1)-4 x-y-1=0$. + +## Problema 2. + +a) Demonstraţi că $a^{2}+2 \leq 3 a \Leftrightarrow a \in[1 ; 2]$. + +b) Dacă $a, b \in[1 ; 2]$, demonstraţi că $8 \leq\left(a+\frac{2}{a}\right)\left(b+\frac{2}{b}\right) \leq 9$. + +## Problema 3. + +Fie $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ o prismă triunghiulară regulată. Demonstraţi că $B C^{\prime} \perp A B^{\prime} \Leftrightarrow \frac{A C}{A A^{\prime}}=\sqrt{2}$. + +## Problema 4. + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, aria triunghiului $A^{\prime} B C^{\prime}$ este egală cu $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$. Fie $\{Q\}=A D^{\prime} \cap A^{\prime} D$. + +a) Demonstraţi că planele $\left(Q A^{\prime} C^{\prime}\right)$ şi (B'AC) sunt paralele. + +b) Calculaţi distanţa de la mijlocul muchiei $D D^{\prime}$ la planul ( $\left.A Q C\right)$. + +Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală, Iaşi + +14.02.2014 + +## CLASA a VIII-a + +## Problema 1. + +a) Fie numărul $A=\frac{1}{\sqrt{4+2 \sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n+2 \sqrt{4 n^{2}-1}}}, n \in N^{\star}$. + +Determinaţi valoarea lui $n$ pentru care $A=10$. + +b) Să se determine $x, y \in Z$ care verifică relaţia $4 x^{2}(y-1)-4 x-y-1=0$. + +Prof. Marius Farcaş + +## BAREM + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b76c6b0acb9238144a7g-2.jpg?height=71&width=1564&top_left_y=1211&top_left_x=276) + +Obţine $\frac{\sqrt{2 n+1}-1}{2}=10$.............................................................................................................................. + +Finalizare: $n=220$................................................................................................................................ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b76c6b0acb9238144a7g-2.jpg?height=80&width=1575&top_left_y=1378&top_left_x=276) + +Deoarece $y \in Z$, obţine $x \in\{0 ; 1\}$.................................................................................................1p + +Finalizare: $(x, y) \in\{(0 ;-1) ;(1 ; 3)\}$............................................................................................ $1 \mathrm{p}$ + +Problema 2. + +a) Demonstraţi că $a^{2}+2 \leq 3 a \Leftrightarrow a \in[1 ; 2]$. + +b) Dacă $a, b \in[1 ; 2]$, demonstraţi că $8 \leq\left(a+\frac{2}{a}\right)\left(b+\frac{2}{b}\right) \leq 9$. + +## BAREM + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8b76c6b0acb9238144a7g-2.jpg?height=48&width=1561&top_left_y=1989&top_left_x=286) +Analizează cazurile: + +Dacă $a \in[1 ; 2]$, atunci $(a-1)(a-2) \leq 0$ $.1 p$ + +Dacă $\left\{\begin{array}{l}a<1 \text {, atunci }(a-1)(a-2)>0, \text { nu convine } \\ a>2 \text {, atunci }(a-1)(a-2)>0, \text { nu convine }\end{array}\right.$ + +b) Pentru $a, b \in[1 ; 2]$, deduce $a+\frac{2}{a} \leq 3$ şi $b+\frac{2}{b} \leq 3$ + +Obţine inegalitatea $\left(a+\frac{2}{a}\right)\left(b+\frac{2}{b}\right) \leq 9$ + +$1 p$ +Din inegalitatea mediilor obţine $a+\frac{2}{a} \geq 2 \sqrt{2}$ şi $b+\frac{2}{b} \geq 2 \sqrt{2}$ ..... $1 p$ +Finalizare: $\left(a+\frac{2}{a}\right)\left(b+\frac{2}{b}\right) \geq 8$ ..... $1 p$ + +## Problema 3. + +Fie $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ o prismă triunghiulară regulată. Demonstraţi că $B C^{\prime} \perp A B^{\prime} \Leftrightarrow \frac{A C}{A A^{\prime}}=\sqrt{2}$. + +## BAREM + +Obţine $\Varangle\left(B C^{\prime}, A B^{\prime}\right)=\Varangle C^{\prime} B M$, unde $M$ este simetricul punctului $A^{\prime}$ faţa de $B^{\prime}$ ..... $1 p$ +${ }^{\prime} \Leftarrow^{\prime \prime}$ Dacă $\frac{A C}{A A^{\prime}}=\sqrt{2}$, obţine că $\Delta C^{\prime} B M$ este dreptunghic isoscel, deci $m\left(\Varangle C^{\prime} B M\right)=90^{\circ}$ ..... $3 p$ +$„ \Rightarrow$ Notând $A B=I, A A^{\prime}=h$, din $\triangle C^{\prime} B M$ obţine $M C^{\prime}=\sqrt{2 l^{2}+2 h^{2}}$ ..... $1 p$ +Din $\triangle M C^{\prime} A^{\prime},\left(m\left(\Varangle M C^{\prime} A^{\prime}\right)=90^{\circ}\right)$, obţine $M C^{\prime}=l \sqrt{3}$ ..... $1 p$ +Finalizare: $l \sqrt{3}=\sqrt{2 l^{2}+2 h^{2}} \Leftrightarrow l=h \sqrt{2}$ ..... $1 p$ +Problema 4 . + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, aria triunghiului $A^{\prime} B C^{\prime}$ este egală cu $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$. Fie $\{Q\}=A D^{\prime} \cap A^{\prime} D$. +a) Demonstraţi că planele $\left(Q A^{\prime} C^{\prime}\right)$ şi $\left(B^{\prime} A C\right)$ sunt paralele. + +b) Calculaţi distanţa de la mijlocul muchiei $D D^{\prime}$ la planul (AQC). +BAREM +a) $A^{\prime} Q \| B^{\prime} C$, deci $A^{\prime} Q \|\left(A C B^{\prime}\right)$ ..... $1 p$ +$A^{\prime} C^{\prime} \| A C$, deci $A^{\prime} C^{\prime} \|\left(A C B^{\prime}\right)$ ..... $1 p$ +Finalizare: $\left(Q A^{\prime} C^{\prime}\right) \|\left(B^{\prime} A C\right)$ ..... $1 p$ +b) Fie $M$ mijlocul muchiei $D D^{\prime}$. Observă că $d(M,(A Q C))=d\left(M,\left(A C D^{\prime}\right)\right)$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Construieşte $M T \perp D^{\prime} O$, unde $\mathrm{O}$ este centrul bazei $A B C D$ ..... $1 p$ +Justifică: $d\left(M,\left(A C D^{\prime}\right)\right)=M T$ ..... $1 p$ +Obţine: $M T=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-791-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-791-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c234e35d7dfacc5af006610cc5f9f98e068ecb75 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-791-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,63 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, Iaşi + +14.02.2014 + +## CLASA a VII-a + +Problema 1. Determinați numerele naturale $\overline{\boldsymbol{a b}}$ cu proprietatea că $\sqrt{\boldsymbol{a}+\sqrt{\overline{a b}}}=\boldsymbol{a}$. + +Problema 2. Determinați numerele întregi $a$ și $b$ știind că: $a^{\mathbf{2}} \boldsymbol{b}^{\mathbf{2}}-\mathbf{1 1} \boldsymbol{a}^{\mathbf{2}}-\mathbf{1 1} b^{\mathbf{2}}=\mathbf{1 8 9 3}$. + +GM nr.10/2013 + +Problema 3. . Se consideră paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ şi punctele $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ situate pe laturile (CD), respectiv (AB). Demonstrați că: $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{A B M}}+\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{C D N}}=\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{A B C D}}$. + +Problema 4. Punctul O este intersecția diagonalelor trapezului ABCD. Paralela prin O la baza mare $[\mathrm{AB}]$ a trapezului intersectează $\mathrm{AD}$ și $\mathrm{BC}$ în punctele $\mathrm{E}$, respectiv F. Paralela prin $\mathrm{O}$ la $\mathrm{AD}$ intersectează $A B$ și $C D$ în punctele $P$, respectiv $Q$. Punctul $R$ este situat pe latura (AD) astfel încât $(\mathrm{AR}) \equiv(\mathrm{DE})$. Demonstrați că: + +a) patrulaterul FQRP este paralelogram; + +b) punctul O este mijlocul segmentului (EF). + +Claudiu-Ștefan Popa + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
Etapa locală, Iaşi + +14.02.2014 + +Clasa a VII-a + +## Barem corectare și notare + +P1. $a+\sqrt{\overline{a b}}=a^{2}$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +$\sqrt{\overline{a b}}=a(a-1)$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\overline{a b}=a^{2}(a-1)^{2}$ (pătrat perfect) ..... $1 \mathrm{p}$ +Observă că pentru $a \geq 4 \Rightarrow a^{2}(a-1)^{2} \geq 144$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Deduce că $a \in\{1,2,3\}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\overline{a b}=36$ ..... 2p +P2. Deduce relația $a^{2}\left(b^{2}-11\right)=11 b^{2}+1893$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Determină $a^{2}=\frac{11 b^{2}+1893}{b^{2}-11}=11+\frac{2014}{b^{2}-11}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$a^{2} \in \mathbb{N} \Rightarrow\left(b^{2}-11\right) \mid 2014$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +Obține: $\quad S=\{(7,8),(7,-8),(-7,8),(-7,-8),(8,7),(8,-7),(-8,7),(-8,-7)\}$ ..... $.3 \mathrm{p}$ +P3 $d(M, A B)=d(N, C D)$ ..... $2 \mathrm{p}$ +Aria paralelogramului ABCD ..... $1 p$ +Arată că $A_{A B M}=A_{C D N}=\frac{1}{2} A_{A B C D}$ ..... $2 \mathrm{p}$ +Finalizează. ..... $2 \mathrm{p}$ +P4. +a) QF|lBD ..... $1 p$ +PRIIBD ..... $1 p$ +RQIIAC ..... $1 p$ +$\mathrm{PF} \|$ AC ..... $1 p$ +Finalizează. ..... $1 \mathrm{p}$ +b) Dacă $\mathrm{RF} \cap \mathrm{PQ}=\{\mathrm{M}\}$, atunci $\mathrm{RM}=\mathrm{MF}$. ..... $1 p$ +Arată că (OM) linie mijlocie în triunghiul FER ..... $1 p$ + +Orice altă rezolvare corectă se notează cu punctaj maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-792-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-792-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57ba81053502c7d60d6d9b5b339d845e018ca165 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-792-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a VI-a + +Problema 1. Se consideră numerele + +$a=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{1006 \cdot 1007}, b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\ldots+\frac{1}{2+4+6+8+\ldots+2012}$ + +și $c=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\ldots+\frac{1}{2014^{2}}$. + +a) Calculați numerele $a$ și $b$. + +b) Demonstrați că $c<\frac{1}{2}$. + +Problema 2. Notăm cu $S(n)$, suma tuturor divizorilor naturali ai numărului natural $n$. Un număr natural $n$ se numește număr perfect dacă $S(n)=2 \cdot n$. + +a) Arătați că 6 și 28 sunt numere perfecte. + +b) Dacă numerele $k$ și $2^{k}-1$ sunt simultan numere prime, demonstrați că numărul $n=2^{k-1} \cdot\left(2^{k}-1\right)$ este număr perfect. + +Problema 3. Două unghiuri suplementare au o latură comună, iar bisectoarele lor formează un unghi cu măsura de $60^{\circ}$. Determinați măsurile unghiurilor. + +Gazeta matematică $n$ r. 10/2013 + +Problema 4. Pe dreapta $d$, se consideră punctele $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$, în această ordine, astfel încât $[\mathrm{OA}] \equiv[\mathrm{AB}]$, B este mijlocul lui $[\mathrm{AC}]$, C este mijlocul lui $[\mathrm{AD}], \mathrm{D}$ este mijlocul lui $[\mathrm{BE}]$ şi E este mijlocul lui $[\mathrm{CF}]$. + +a) Arătați că segmentele $[\mathrm{OE}]$ şi $[\mathrm{CD}]$ au același mijloc. + +b) Demonstrați că $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BE}}+\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}+\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}>\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}$. + +Timp de lucru: 2 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa locală, Iaşi + +14.02.2014 + +CLASA a VI-a + +BAREM + +Problema 1. + +| $\overline{\text { a) }}$ | $1 \quad-1 \quad 1$ | ............................................................ | $1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| | Folosește $\overline{n(n+1)}=\bar{n}-\overline{n+1}$ | | | +| | Obtine $a=\underline{1006}$ | .......................................................... | $1 p$ | +| | Ub̦ine $a=\overline{1007}$ | | | +| | Folosește $2+4+6+\ldots+2 n=n \cdot(n+1)$ | .......... | $1 p$ | +| | Obtine $b=\underline{1006}$ | .......... | $1 p$ | +| | 1007 | | | +| b) | Scrie $c=\frac{1}{n^{2}} \cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}}+\ldots+\frac{1}{2}\right.$ | .................................................................. | $1 p$ | +| | 的 | | | +| | Observă că $1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{\Omega^{2}}+\ldots+\frac{1}{10 n^{2}}<1+a$ | .......................................................... | 1p | +| | Finalizare | | $1 \mathrm{p}$ | +| | | TOTAL PROBLEMA 1 | $7 p$ | + +## Problema 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_085191840032588ce5bdg-2.jpg?height=736&width=1504&top_left_y=1691&top_left_x=330) + +## Problema 3. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_085191840032588ce5bdg-3.jpg?height=487&width=1541&top_left_y=538&top_left_x=314) + +Problema 4. + +| $\overline{\text { a) }}$ | Dacă $\mathrm{OA}=a$, atunci $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=a, \mathrm{CD}=2 a, \mathrm{DE}=3 a, \mathrm{EF}=5 a$
Cum $\mathrm{OC}=\mathrm{DE}=3 \mathrm{a}$, rezultă că $[\mathrm{OE}]$ şi $[\mathrm{CD}]$ au acelaşi mijloc | ........................... | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| b) | Calculeazǎ $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BE}}=\frac{2 a}{6 a}=\frac{1}{3}, \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}=\frac{a}{2 a}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{a}{4 a}=\frac{1}{4}$
$\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}}=\frac{11 a}{12 a}=\frac{11}{12}$
$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BE}}+\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}+\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}>\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{AF}} \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}>\frac{11}{12} \Leftrightarrow \frac{13}{12}>\frac{11}{12}$ adevărat | ..... | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-793-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-793-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2242bfa7cc979af42328b6ad49d1982c5baeb46d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-793-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a V-a + +Problema 1. Aflați ultima cifră a numărului $n=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{2014}$. + +Problema 2. Arătați că numărul $\overline{a b c d e f} \cdot 10^{6}+\overline{\text { fedcba }}$ este divizibil cu 11 . + +Problema 3. Intercalați numărul $\overline{x y}$ între cifrele numărului 111, astfel încât să se obțină un pătrat perfect de cinci cifre. + +Problema 4. Un elev are 144 bile, pe care le distribuie în patru cutii, respectând următoarele reguli: + +a) numărul bilelor din prima cutie diferă prin 4 de numărul bilelor din a doua cutie; + +b) numărul bilelor din a doua cutie diferă prin 3 de numărul bilelor din a treia cutie; + +c) numărul bilelor din a treia cutie diferă prin 2 de numărul bilelor din a patra cutie; + +d) în prima cutie se află cele mai multe bile. + +Care este numărul maxim de bile pe care elevul le poate pune în a doua cutie? + +Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală, Iaşi + +### 14.02.2014 + +## CLASA a V-a + +## Baremul de corectare și notare + +Problema 1. $u c\left(2^{x}\right) \in\{2,4,6,8\}, x \in \mathbb{N}^{*}$ ..... $.1 p$ +$u c\left(2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}\right)=0, x \in \mathbb{N}^{*}$ ..... $.2 p$ +$u c\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}\right)=u c\left(2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}\right)=\ldots=u c\left(2^{2009}+2^{2010}+2^{2011}+2^{2012}\right)=0$ ..... $2 p$ +$u c\left(2^{0}+2^{2013}+2^{2014}\right)=7$ ..... $1 p$ +$u c(n)=7$ ..... $1 p$ +Problema 2. $\overline{a b c d e f} \cdot 10^{6}+\overline{\text { fedcba }}=\overline{\text { abcdeffedcba }}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\overline{a b c d e f f e d c b a}=a \cdot \underbrace{\overline{100 \ldots 01}}_{12 \text { cifre }}+b \cdot \underbrace{\overline{100 \ldots 01}}_{10 c \text { cifre }}+\ldots+e \cdot \underbrace{\overline{1001}}_{\text {4cifre }}+f \cdot 11$ ..... $2 p$ +$\underbrace{\overline{100 \ldots 01}}_{12 \text { cifre }}: 11=\underbrace{\overline{9090 \ldots 91}}_{\text {10cifre }}, \underbrace{\overline{100 \ldots .01}}_{\text {10cifre }}: 11=\underbrace{\overline{9090 \ldots 91}}_{\text {8cifre }}, \ldots, \underbrace{\overline{1001}}_{\text {4cifre }}: 11=\underbrace{\overline{91}}_{\text {2cifre }}, f \cdot 11: 11=f$ ..... $3 p$ +$11 /(a \cdot \underbrace{\overline{100 \ldots 01}}_{12 \text { cifre }}+b \cdot \underbrace{\overline{100 \ldots 01}}_{10 \text { cifre }}+\ldots+e \cdot \underbrace{\overline{1001}}_{4 \text { cifre }}+f \cdot 11)$ ..... $1 p$ +Problema 3. $104^{2}=10816 ; 105^{2}=11025 ; 141^{2}=19881 ; 142^{2}=20164$ ..... $2 p$ +11011,19911 nu sunt pătrate perfecte ..... $.1 p$ +Baza puterii pătratului perfect poate fi unul din numerele: $109,111,119,121,129,131,139,141$ ..... $.2 p$ +Prin încercări, singura posibilitate este $109^{2}=11881$ ..... $.2 p$ + +Problema 4. Avem următoarele cazuri de distribuire a bilelor în cele patru cutii: + +a) $a, a-4, a-1, a-3 \Rightarrow 4 a-8=144 \Rightarrow a-4=34$....................................................................... 2 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_78d9298f1c462f888351g-2.jpg?height=60&width=1551&top_left_y=2190&top_left_x=298) + +c) $a, a-4, a-7, a-9 \Rightarrow 4 a-20=144 \Rightarrow a-4=37$.................................................................. $2 p$ + +În a doua cutie pot fi distribuite maximum 37 bile............................................................. 1 p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-794-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-794-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..951d8bc0c8998ee4e1cf20ab28cb543416be195b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-794-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,143 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa locală, Iaşi
14.02.2014 + +## CLASA a IX-a + +## Problema 1. + +Fie $A B C$ un triunghi şi punctele $M, N, P$ astfel încât $\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M C} ; \overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{N C} ; \overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ şi $Q$ mijlocul segmentului $(P M)$. + +a) Arătaţi că $\overrightarrow{B N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B A}$ şi $\overrightarrow{B Q}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{8} \overrightarrow{B A}$; + +b) Demonstrați că punctele $B, Q, N$ sunt coliniare şi calculați valoarea raportului $\frac{B Q}{Q N}$. + +## Problema 2. + +Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu primul termen $a_{1}$ şi raţia $r$. Calculați: + +a) $S_{1}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}$ + +b) $S_{2}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} a_{k+1}$ + +c) $S_{3}=\sum_{1 \leq k BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## Problema 1. + +Fie $A B C$ un triunghi şi punctele $M, N, P$ astfel încât $\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M C} ; \overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{N C} ; \overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ şi $Q$ mijlocul segmentului $(P M)$. + +a) Arătați că $\overrightarrow{B N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B A}$ şi $\overrightarrow{B Q}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{8} \overrightarrow{B A}$; + +b) Demonstrați că punctele $B, Q, N$ sunt coliniare şi calculați valoarea raportului $\frac{B Q}{Q N}$. + +## Rezolvare: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_def52418c8ae3c361c9fg-2.jpg?height=342&width=594&top_left_y=1214&top_left_x=798) + +a) $\overrightarrow{B N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B A}$ + +$$ +\overrightarrow{B Q}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{8} \overrightarrow{B A} +$$ + +b) $\overrightarrow{B Q}=\frac{3}{8} \overrightarrow{B N} \Rightarrow B-Q-N$ coliniare + +$$ +\frac{B Q}{B N}=\frac{3}{8} \Rightarrow \frac{B Q}{Q N}=\frac{3}{5} +$$ + +## Problema 2. + +Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu primul termen $a_{1}$ şi raţia $r$. Calculați: + +a) $S_{1}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}$ +b) $S_{2}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} a_{k+1}$ + +c) $S_{3}=\sum_{1 \leq k KÖRZETI SZAKASZ + +## 2014. február 23 + +VIII. OSZTÁLY + +1.) a.) Bontsd két tényező szorzatára az $x^{4}+4 y^{4}$ kifejezést, ahol $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{N}^{*}$. + +b.) Mutasd ki, hogy a $2^{118}+13^{4}$ szám összetett szám! + +2.) Határozd meg az $\sqrt{x^{2}-6 x+13}+\sqrt{y^{2}+2 y+10}$ kifejezés minimális értékét, valamint $\mathrm{az} x$ és $y$ értékét, amelyre a kifejezés értéke egyenlő a minimumával! + +3.) Adva vannak az $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ nem koplánáris pontok és $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ az [AC], [BM], [NC], illetve [BP] szakaszok felezöpontjai. Bizonyítsd be, hogy az A, N, Q, D pontok egy síkban vannak és MP \|| (AQD)! + +4.) Az AEDC négyzet és az AEFB téglalap különböző síkokban vannak, a $\mathrm{DE}$ és $\mathrm{AB}$ egyenesek merőlegesek egymásra. Ha $\mathrm{CD}=1 \mathrm{~cm}$ és $\mathrm{EF}=\sqrt{3} \mathrm{~cm}$, akkor számítsd ki a $\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{BD})$ távolságot! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ
23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A VIII-A + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | $x^{4}+4 y^{4}+4 x^{2} y^{2}-4 x^{2} y^{2}=\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}-(2 x y)^{2}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | Descompunerea $\left(x^{2}+2 y^{2}+2 x y\right)\left(\left(x^{2}+2 y^{2}-2 x y\right)\right.$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) | $\left(2^{59}\right)^{2}+\left(13^{2}\right)^{2}+2 \cdot 2^{59} \cdot 13^{2}-2^{60} \cdot 13^{2}=\left(2^{59}+13^{2}\right)^{2}-\left(2^{30} \cdot 13\right)^{2}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Descompunerea $\left(2^{59}+13^{2}+2^{30} \cdot 13\right)\left(2^{59}+13^{2}-2^{30} \cdot 13\right)$. Deci, numărul dat este compus | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | $\sqrt{(x-3)^{2}+4}+\sqrt{(y+1)^{2}+9}$ | $\mathbf{4 p}$ | +| | $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow(x-3)^{2} \geq 0$ de unde avem $(x-3)^{2}+4 \geq 4$ și $\sqrt{(x-3)^{2}+4} \geq 2$ cu egalitate dacă $x=3$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\forall y \in \mathbb{R} \Rightarrow(y+1)^{2} \geq 0$ de unde avem $(y+1)^{2}+9 \geq 9$ și $\sqrt{(y+1)^{2}+9} \geq 3$ cu egalitate dacă $y=-1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Valoarea minimă a expresiei este 5 și expresia are această valoare pentru $x=3$ şi $y=-1$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| În triunghiul ANC, MP este linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{MP} \\|$ AN (1) | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $\mathrm{AB} \mid \\| \mathrm{EF} \Rightarrow \mathrm{DE} \perp \mathrm{EF}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Calculează în $\triangle$-ul FEB: $\mathrm{EB}=2 \mathrm{~cm}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| Calculează în $\Delta$-ul DEB: $\mathrm{DB}=\sqrt{5} \mathrm{~cm}$ | $\mathbf{3 p}$ | | +| $\Delta \mathrm{DAB}: \mathrm{DB}=\sqrt{5} \mathrm{~cm}, \mathrm{AD}=\sqrt{2} \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=\sqrt{3} \mathrm{~cm} \Rightarrow \Delta$-ul drepunghic în $\mathrm{A}$ | $\mathbf{2 p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-796-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-796-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5668ff28b84b0323cb40d944e8da547f36f79151 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-796-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,77 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23 + +## VII. OSZTÁLY + +1.) Oldd meg a valós számok halmazán! +a) $\left|9-x^{2}\right|-|3+x|=0$ +b) $\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{2}$ + +2.) a) Számítsd ki: $\left[(\sqrt{2})^{-3}+3 \sqrt{2}\right] \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}-3 \sqrt{18} \cdot\left(4 \sqrt{32}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. + +b) Határozd meg az $\overline{a b}$ alakú természetes számokat úgy, hogy $\sqrt{a+\sqrt{\overline{a b}}}=a$. + +3.) Adott az $A B C D$ rombusz. Legyen $E$ és $F$ az $A B$, illetve az $A D$ oldal két pontja, úgy hogy $A E=D F$. Ha $B C \cap D E=\{P\}$ és $C D \cap B F=\{Q\}$, akkor igazold, hogy: +a) $\frac{P E}{P D}+\frac{Q F}{Q B}=1$, + +b) a $Q, A$ és $P$ pontok kollineárisak + +4.) Az $A B C$ háromszögben $A D$ magasság, az $M, N$ és $P$ az $A B, B C$ illetve $A C$ oldalak felezőpontjai. Igazold, hogy az MDNP vagy MNDP négyszög egyenlőszárú trapéz! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelező. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A VII-A + +| 1. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\left\|9-x^{2}\right\|=\|(3+x)(3-x)\|=\|(3+x)\| \cdot\|(3-x)\|$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\left\|9-x^{2}\right\|-\|(3+x)\|=\|(3+x)\|(\|(3-x)\|-1)=0$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | De unde avem $\|(3+x)\|=0$ sau $\|(3-x)\|=1$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din $\|(3+x)\|=0 \Rightarrow x=-3$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din $\|(3-x)\|=1 \Rightarrow 3-x= \pm 1 \Rightarrow x=3 \mp 1$ cu soluțiile $x=2$ sau $x=4$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Mulțimea soluților ecuației $S=\{-3,2,4\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | $x \geq 0,(\sqrt{x})^{2}-\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x}-1)=0$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\sqrt{x}=0$ sau $\sqrt{x}=1$ de unde $x=0$ sau $x=1 \Leftrightarrow x \in\{0,1\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\left[\frac{\sqrt{2}}{4}+3 \sqrt{2}\right] \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}-9 \sqrt{2}\left(16 \sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\frac{13 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}-9 \sqrt{2} \frac{31 \sqrt{2}}{2}=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $13-279=-266$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | Prin ridicarea la pătrat a relaţiei, obţinem $\sqrt{a b}=a(a-1)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\overline{a b}$ pătrat perfect $\Rightarrow \overline{a b} \in\{16,25,36,49,64,81\}(1)$ și $\sqrt{a b} \in\{4,5,6,7,8,9\}(2)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Din (1) $\Rightarrow a \in\{1,2,3,4,6,8\}, a-1 \in\{0,1,2,3,5,7\}$ și $a(a-1) \in\{0,2,6,12,30,56\}(3)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din (2) și (3) rezultă $\mathrm{a}=3$ și soluţia: $\overline{a b}=36$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | | | +| | $\triangle P D C: E B \\| D C \Rightarrow \triangle P F A$ | 1p | +| | $\triangle Q B C: F D \\| B C \stackrel{T F A}{\Rightarrow} \triangle Q F D \sim \triangle Q B C \Rightarrow \frac{Q F}{Q B}=\frac{F D}{B C}$ | 1p | +| | $D C=B C=A D=A B$
$E B=A B-A E=A D-F D=A F$ | $1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d023dab5d8b05c397ab4g-3.jpg?height=414&width=1690&top_left_y=127&top_left_x=206) + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Fie $\mathrm{m}(\mathrm{B})>\mathrm{m}(\mathrm{C})$. Deoarece MP este linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{ABC} \Rightarrow \mathrm{MP} \\| \mathrm{DN}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deoarece $\mathrm{DM}$ este mediană în triunghiul dreptunghic $\Rightarrow \mathrm{DM}=\mathrm{AB} / 2$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deoarece NP este linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{ABC} \Rightarrow \mathrm{NP}=\mathrm{AB} / 2$, deci $\Rightarrow \mathrm{DM}=\mathrm{NP}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\Rightarrow$ MDNP este trapez isoscel | $\mathbf{1 p}$ | +| | Analog pentru $m(B) KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23 + +## VI. OSZTÁLY + +1.) Hasonlítsd össze az $a$ és $b$ számokat, ha $a=\frac{2^{2014}}{10^{2017}} \cdot 25^{1007}$ és + +$$ +b=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{2014}\right) +$$ + +2.) Határozd meg az $A=\left\{\frac{1}{2015} ; \frac{2}{2015} ; \frac{3}{2015} ; \ldots ; \frac{2014}{2015}\right\}$ halmaz irreducibilis törteinek a számát! + +3.) Adott egy $130^{\circ}$ mértékü $A O B$ szög. Legyen (OC az (OA ellentétes félegyenese és $O D \perp O A$ úgy, hogy ( $O B$ és ( $O D$ az $A C$-hez képest különböző félsíkokban helyezkedjenek el. Az ( $O D$-vel azonos félsíkban legyen $O E \perp O B$. Számítsd ki: + +a.) $m(\hat{B O C}), m(\hat{D O E})$ és $m(\hat{C O E})$ + +b.) az AOB és $C O E$ szögek szögfelezői által alkotott szög mértékét. + +4.) Legyen az $A B C$. általános háromszögben $A B ETAPA LOCALĂ
23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A VI-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| $a=\frac{2^{2014}}{10^{2017}} \cdot 25^{1007}=\frac{2^{2014}}{2^{2017} \cdot 5^{2017}} \cdot 5^{2014}=\frac{1}{1000}$ | $4 \mathbf{p}$ | | +| | $b=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{2014}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{2013}{2014}=\frac{1}{2014}$ | $4 \mathbf{p}$ | +| | $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p} \quad$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Avem $2015=5 \cdot 13 \cdot 31$ | 1p | +| | Între 1 şi 2014 sunt 402 multipli de 5 | 1p | +| | Între 1 şi 2014 sunt 154 multipli de13 | 1p | +| | Între 1 şi 2014 sunt 64 multipli de 31 | $\mathbf{1 p}$ | +| | Nr. numerelor divizibile şi cu 5 şi cu 13 sunt 30 | 1p | +| | Nr. numerelor divizibile şi cu 5 şi cu 31 sunt 12 | $\mathbf{1 p}$ | +| | Nr. numerelor divizibile şi cu 13 şi cu 31 sunt 4 | $\mathbf{1 p}$ | +| | Vor fi deci $402+154+64-(30+12+4)=620-46=574$ fracţii reductibile | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din cele 2014 fracţii rămân 2014-574=1440 fracţii ireductibile | 1p | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0461f01f31cdedfc365fg-2.jpg?height=1194&width=1596&top_left_y=1616&top_left_x=244) + +| $\mathbf{b})$ | $m(X \hat{O} Y)=\frac{m(A \hat{O} B)}{2}+m(\hat{B O} C)+\frac{m(E \hat{O} C)}{2} \Rightarrow m(X \hat{O} Y)=135^{\circ}$ | 2p | +| :--- | :--- | :--- | + + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0461f01f31cdedfc365fg-3.jpg?height=51&width=56&top_left_y=376&top_left_x=271) | Din oficiu | | 1p | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| a) | Elaborarea desenului | | 1p | +| | $m(D A M \Varangle)=180^{\circ}: 2=90^{\circ}=m(D A N \Varangle)$ | | 1p | +| | Triunghiurile dreptunghice ADM şi ADN au câte două catete congruente | | 1p | +| b) | $M A B \Varangle \equiv N A E \varangle$
$(A M) \equiv(A N)$
$\hat{M} \equiv \hat{N}(a))$ | $\xrightarrow{\text { U.L.U. }}{ }_{\Delta} A B M \equiv{ }_{\Delta} A E N$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0461f01f31cdedfc365fg-3.jpg?height=220&width=55&top_left_y=667&top_left_x=1719) | +| c) | $E A M \nless \equiv B A N \nless$
$(E A) \equiv(B A)(b))$
$(A M) \equiv(A N)$ | $\xrightarrow{\text { L.U.L. }}{ }_{\Delta} A E M \equiv{ }_{\Delta} A B N \Rightarrow E M A \Varangle \equiv B N A \Varangle$ | {ff450ab61-2b33-43f7-b587-6bda415ae405}2 | +| d) | ${ }_{\triangle} A B E$ isoscel, $(A D$ | bisectoare $\Rightarrow(A D$ înălţime $\Leftrightarrow A D \perp B E$ | $2 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-798-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-798-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..241472fea0b06f2617e1eca0eaf7dcf5d4489bef --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-798-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,78 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ + +KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23 + +## V. OSZTÁLY + +1.) Egy négyjegyủ természetes szám utolsó számjegye 7. Ha a 7-es számjegyet az egyes helyi értékről áthelyezzük az ezres helyi értékre, akkor a kapott szám 2826-tal nagyobb, mint az eredeti szám. Mennyivel egyenlő az eredeti szám számjegyek összege? + +2.) Határozd meg az A és B halmazokat, ha tudjuk, hogy egyidőben teljesülnek az alábbi feltételek! + +a.) $A-B=\{0,7\}$ + +b.) $B-A=\{3,9\}$ + +c.) $|A \cap B|=3$ (az $A \cap B$ halmaz elemeinek száma 3) + +d.) $A \cup B$ halmaz elemeinek összege 29 + +3.) A matematika olimpián résztvevő 72 tanulóból 57 tanuló oldotta meg az első feladatot, 50 a másodikat, 60 a harmadik feladatot és 52 tanuló a negyedik feladatot. Mutasd ki, hogy van legkevesebb 3 olyan tanuló, aki mind a négy feladatot megoldotta! + +4.) Két szám összegét, ha elosztjuk a számok különbségével, a hányados 3 a maradék pedig 2. Határozd meg a számokat, ha az egyik 2014-el nagyobb mint a másik! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 2 óra. + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A V-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| Numărul de patru cifre este: $\overline{a b c 7}$ | 1p | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | 2p | | +| | 2p | | +| $9 \cdot \overline{a b c}=4167$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $\overline{a b c}=463$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $a+b+c+7=20$ | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $A-B=\{0,7\} \Rightarrow 0,7 \in A$ și $0,7 \notin B$ (1) | $\mathbf{1 p}$ | +| | $B-A=\{3,9\} \Rightarrow 3,9 \in B$ și $3,9 \notin A$ (2) | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\|A \cap B\|=3 \Rightarrow \exists x, y, z \in A$ și $x, y, z \in B$ (3) | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $A \cup B=\{0,3,7,9, x, y, z\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din d.) avem $0+3+7+9+x+y+z=29 \Rightarrow x+y+z=10$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum din conditiile anterioare avem $\quad x \neq y \neq z$ și $x, y, z \notin\{0,3,7,9\}$
rezultă $x, y, z \in\{1,4,5\}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $A=\{0,1,4,5,7\}$ și $B=\{1,3,4,5,9\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | Au fost rezolvate în total $57+50+60+52=219$ probleme | 2p | +| | Dacă fiecare elev ar fi rezolvat cel mult 3 probleme s-ar fi rezolvat în total cel
mult $72 \cdot 3=216$ probleme. | $\mathbf{3 p}$ | +| | Dar s-au rezolvat cu $219-216=3$ probleme mai mult | $\mathbf{2 p}$ | +| Diferenţa provine din faptul că 3 elevi (cel puţin), au rezolvat toate cele 4
probleme. | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Fie $a>b$ şi $a, b \in N$. Avem $\mathrm{a}+\mathrm{b}=3(\mathrm{a}-\mathrm{b})+2$ şi | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\mathrm{a}=\mathrm{b}+2014$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2 \mathrm{~b}=\mathrm{a}+1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\mathrm{a}=4029, \mathrm{~b}=2015$ | $\mathbf{3 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-799-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-799-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5edaac2c6e8e8285bf10429b6f10c905090f6217 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-799-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23. + +IX. OSZTÁLY + +(4 órás program) + +1.) Határozzuk meg az $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ szigorúan pozitív valós számokat tudva azt, hogy: + +$$ +a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\frac{(n-1) n(n+1)}{3}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +2.) Legyenek $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}$ egy pozitív tagú, növekvő mértani haladvány tagjai. Igazoljuk, hogy: $a_{12}-a_{1}>11\left(a_{7}-a_{6}\right)$ + +3.) Az $a, b$ és $c$ egy háromszög oldalainak a hosszát jelőli. Határozd meg a $c^{2} x^{2}+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) \cdot x+b^{2}=0$ egyenlet valós megoldásainak halmazát! + +4.) Az $A B C D$ konvex négyszögben $M$ és $N$ a (BC) illetve (CD) oldal felezőpontja. Az $A M$ és $B N$ egyenesek metszéspontját $P$-vel jelöljük és tudjuk, hogy $\frac{P A}{P M}=k$ és $\frac{B P}{P N}=\frac{k}{k+2}$. + +a.) Bizonyítsuk be, hogy $A B C D$ trapéz. + +b.) Határozzuk meg a $k$ értékét úgy, hogy $A B C D$ paralelogramma legyen. + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelező. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +OLIMPADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +## 23 februarie 2014 + +## BAREM + +CLASA A IX-A + +## Programa TC+CD (4 ore/săpt) + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| Vom folosi inducţia matematică:
$\mathrm{n}=1 \quad a_{1}^{2}=a_{1} \Rightarrow a_{1}=1$
$\mathrm{n}=2 \quad a_{1}^{2}+a_{2}{ }^{2}=a_{1}+a_{2}+2 \Rightarrow a_{2}{ }^{2}-a_{2}-2=0 \Rightarrow a_{2}=2$ | $\mathbf{3 p}$ | | +| | Presupunem adevărat pentru un $k$-fixat: $a_{k}=k$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2}+a_{k+1}^{2}=1+2+\ldots+k+a_{k+1}+\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ | | +| | $\Rightarrow a_{k+1}^{2}-a_{k+1}-k(k+1)=0 \Rightarrow$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\Rightarrow a_{k+1}=k+1 \Rightarrow a_{n}=n, \forall n \geq 1$ | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Din condiţiile inițiale: $a_{n}=a_{1} r^{n-1}$, unde $a_{1}>0, r>1$ | 3p | +| | $a_{12}-a_{1}>11\left(a_{7}-a_{6}\right) \Leftrightarrow a_{1}\left(r^{11}-1\right)>11 a_{1} r^{5}(r-1) \Leftrightarrow r^{10}+\ldots+r+1>11 r^{5}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | Folosind inegalitatea mediilor și faptul că $r>1$, avem: | | +| | $r^{10}+\ldots+r+1>11 \sqrt[11]{r^{1+2+\ldots+10}}=11 \sqrt[11]{r^{11.5}}=11 r^{5}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $a, b$ şi $c$ fiind laturile unui triunghi avem: $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0, \mathrm{a}+\mathrm{b}>\mathrm{c}, \mathrm{a}+\mathrm{c}>\mathrm{b}$ şi $\mathrm{b}+\mathrm{c}>\mathrm{a}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Calculând discriminantul ecuaţiei, avem: $\Delta=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | Cum din cei patru factori doar primul este negativ avem $\Delta<0$, deci ecuaţia nu are soluţii
reale. | $\mathbf{3 p}$ | +| | $M=\varnothing$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | $\overrightarrow{A P}=\frac{k}{k+1} \overrightarrow{A M}=\frac{k}{k+1}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M})=\frac{k}{k+1}\left(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\overrightarrow{B P}=\frac{k}{2 k+2} \overrightarrow{B N}=\frac{k}{2 k+2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C N})=\frac{k}{2 k+2}\left(\overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C D}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{B P}=\frac{4 k \overrightarrow{A B}-k \overrightarrow{C D}}{4 k+4} \Rightarrow \overrightarrow{A B}=\frac{k}{4} \overrightarrow{D C} \Rightarrow A B C D$ este trapez. | $\mathbf{3 p}$ | +| b.) | Pentru k $=4$ ABCD este paralelogram. | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-8-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. XII-cl12_nationala.md b/Romania_Olympiad/md/ro-8-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. XII-cl12_nationala.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d45660e920b18ea1472f72d0367c20937558109f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-8-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. XII-cl12_nationala.md @@ -0,0 +1,202 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f44929bfdb2232bf5198g-1.jpg?height=271&width=268&top_left_y=130&top_left_x=858) + +# Olimpiada Națională de Matematică
Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a 12-a + +Problema 1. Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că $f(2 x)=f(x)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +a) Determinați toate funcțile $\operatorname{din} \mathcal{F}$ care admit primitive pe $\mathbb{R}$. + +b) Dați un exemplu de funcție $f \in \mathcal{F}$, integrabilă pe orice interval $[a, b] \subset \mathbb{R}$, neconstantă, cu proprietatea că pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$ are loc egalitatea $\int_{a}^{b} f(x) d x=0$. + +Problema 2. Determinați toate inelele $(A,+, \cdot)$ cu proprietatea că $x^{3} \in\{0,1\}$ pentru orice element $x \in A$. + +Problema 3. Fie $f, g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ două funcții crescătoare. + +a) Arătați că pentru orice $a \in \mathbb{R}$ și orice $b \in[f(a-0), f(a+0)]$ are loc inegalitatea + +$$ +\int_{a}^{x} f(t) d t \geq b(x-a), \quad \text { pentru orice } x \in \mathbb{R} +$$ + +b) Dacă $[f(a-0), f(a+0)] \cap[g(a-0), g(a+0)] \neq \emptyset$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$, arătați că + +$$ +\int_{a}^{b} f(t) d t=\int_{a}^{b} g(t) d t, \quad \text { pentru orice } a, b \in \mathbb{R}, a Etapa Naţională, Piatra-Neamţ, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a 12-a - soluții și bareme + +Problema 1. Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că $f(2 x)=f(x)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$. + +a) Determinați toate funcțiile $\operatorname{din} \mathcal{F}$ care admit primitive pe $\mathbb{R}$. + +b) Dați un exemplu de funcție $f \in \mathcal{F}$, integrabilă pe orice interval $[a, b] \subset \mathbb{R}$, neconstantă, cu proprietatea că pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$ are loc egalitatea $\int_{a}^{b} f(x) d x=0$. + +## Solutie. + +a) Vom arăta ca singurele funcții din $\mathcal{F}$ care admit primitive sunt funcțiile constante. + +Orice funcție constantă se găsește în mod evident în mulțimea $\mathcal{F}$ și admite primitive. + +Fie $f \in \mathcal{F}$ functie Funcția $g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definită prin $g(x)=F(2 x)-2 F(x)$ este atunci derivabilă, cu $g^{\prime}(x)=$ $2 f(2 x)-2 f(x)=0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, și este deci o funcție constantă. Cum $g(0)=-F(0)=0$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f44929bfdb2232bf5198g-2.jpg?height=51&width=1589&top_left_y=1384&top_left_x=276) +Prin inducție după $n \in \mathbb{N}^{*}$ avem atunci că $F(x)=2^{n} F\left(\frac{x}{2^{n}}\right)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ și orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, astfel că pentru orice $x \in \mathbb{R}$, + +$$ +F(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x \cdot \frac{F\left(\frac{x}{2^{n}}\right)}{\frac{x}{2^{n}}}=x \cdot f(0) +$$ + +Rezultă că $f(x)=F^{\prime}(x)=f(0)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ și funcția $f$ este constantă + +$2 \mathbf{p}$. + +b) Fie $M=\left\{2^{k} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$ și $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ funcția definită prin + +$$ +f(x)= \begin{cases}1 & , \text { dacă } x \in M \\ 0 & , \text { dacă } x \in \mathbb{R} \backslash M\end{cases} +$$ + +Deoarece mulțimea punctelor sale de discontinuitate este $M \cup\{0\}$, o mulțime numărabilă, $f$ este o funcție integrabilă. + +și cum $f$ este nulă aproape peste tot, rezultă că $\int_{a}^{b} f(x) d x=0$ pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$. + +$1 p$. + +Problema 2. Determinați toate inelele $(A,+, \cdot)$ cu proprietatea că $x^{3} \in\{0,1\}$ pentru orice element $x \in A$. + +Soluție. + +Vom arăta că singurele inele care verifică condiția din enunț sunt corpurile $\mathbb{Z}_{2}$ s, $\mathbb{F}_{4}$. + +Acestea satisfac în mod evident condiția din enunț... + +$1 p$. + +Fie $A$ un inel cu proprietatea din enunț. Orice element $x \in A$ este atunci fie nilpotent, cu +$x^{3}=0$, fie inversabil, cu $x^{3}=1$. Deoarece -1 este inversabil, avem că $(-1)^{3}=1$, deci $-1=1$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f44929bfdb2232bf5198g-3.jpg?height=49&width=1591&top_left_y=450&top_left_x=278) +Fie $x$ un element neinversabil al inelului $A$. Atunci $x^{3}=0$ sii $(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)=x^{3}+1=1$, astfel că $x+1$ este inversabil. Rezultă că $(x+1)^{3}=1$, de unde obținem ca $3 x^{2}+3 x=0$, sau, echivalent, $x^{2}=x$. Atunci $x=x^{2}=x^{3}=0$, astfel că $U(A)=A \backslash\{0\}$ si $A$ este un corp, de caracteristică $\operatorname{char}(A)=2$. $2 p$ + +Dacă $A=\{0,1\}$, atunci $A \simeq \mathbb{Z}_{2}$. + +Fie în continuare $A$ un corp cu $|A| \geq 4$ care verifică proprietatea din enunț. Pentru $x \in A \backslash\{0,1\}$ avem atunci că $x+1 \neq 0$, astfel că $x^{3}=1=(x+1)^{3}$. Obținem atunci că $x^{2}-x=x^{2}+x=1$ și $x^{2}-x \in Z(A)$ pentru orice $x \in A$, de unde rezultă că corpul $A$ este comutativ. 2p. Ecuația $x^{3}=1$ nu poate avea atunci mai mult de 3 soluții în corpul $A$, astfel că $|A| \leq 4$. Prin urmare, $A=\mathbb{F}_{4}$, corpul cu 4 elemente. $1 \mathrm{p}$. + +Problema 3. Fie $f, g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ două funcții crescătoare. + +a) Arătați că pentru orice $a \in \mathbb{R}$ și orice $b \in[f(a-0), f(a+0)]$ are loc inegalitatea + +$$ +\int_{a}^{x} f(t) d t \geq b(x-a), \quad \text { pentru orice } x \in \mathbb{R} +$$ + +b) Dacă $[f(a-0), f(a+0)] \cap[g(a-0), g(a+0)] \neq \emptyset$ pentru orice $a \in \mathbb{R}$, arătați că + +$$ +\int_{a}^{b} f(t) d t=\int_{a}^{b} g(t) d t, \quad \text { pentru orice } a, b \in \mathbb{R}, aa +$$ + +de unde rezultă imediat cerința. + +b) Fie $a, b \in \mathbb{R}$, cu $a Etapa Naţională, Hunedoara, 23 aprilie, 2019 + +## CLASA a V-a, Subiecte + +Problema 1. Determinaţi numerele de trei cifre $\overline{a b c}$ al căror pătrat are cifra sutelor $a$, cifra zecilor $b$ şi cifra unităţilor $c$. + +Problema 2. Fie $n \geq 2$ un număr natural. Care este numărul maxim $m \leq n$ ( $m$ depinde de $n$ ), pentru care putem alege $m$ numere dintre $1,2, \ldots, n$ cu proprietatea că pentru oricare două dintre acestea, $a, b, \mathrm{cu} a>b$, numărul $a-b$ nu divide numărul $a+b$ ? + +Problema 3. Pentru fiecare număr natural $n \geq 2$, notăm cu $s(n)$ numărul de perechi $(x, y)$ de numere naturale, alese dintre $1,2, \ldots, n$, cu $x>y$, astfel încât $x$ şi $y$ să aibă exact $x-y$ divizori comuni. + +a) Există $n$ astfel încât $s(n)=2019$ ? + +b) Există $n$ astfel încât $s(n)=2020$ ? + +Justificaţi răspunsurile. + +Problema 4. Numerele naturale de la 1 la 49 sunt aşezate la întâmplare, câte unul în fiecare căsuţă a unei table de şah $7 \times 7$. Arătaţi că există un pătrat $2 \times 2$ al tablei, format din patru căsuţe vecine, astfel încât suma celor patru numere din interior să fie cel puţin 81 . + +Timp de lucru 2 ore. Se adaugă 60 de minute pentru întrebări. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Hunedoara, 23 aprilie, 2019 + +## CLASA a V-a, Soluţii şi Baremuri + +Problema 1. Determinaţi numerele de trei cifre $\overline{a b c}$ al căror pătrat are cifra sutelor $a$, cifra zecilor $b$ şi cifra unităţilor $c$. + +Soluţie şi barem. Fie $n=\overline{a b c}$. Avem $n^{2}=M \cdot 1000+n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ punct + +Rezultă $n(n-1)=M \cdot 1000$ deci $n(n-1)$ este divizibil cu $2^{3}$ şi cu $5^{3}$. Cum numerele $n$ şi $n-1$ sunt relativ prime, atunci $n$ sau $n-1$ se divide cu $5^{3}$, respectiv $n$ sau $n-1$ se divide cu $2^{3}$ + +.3 puncte + +Din divizibilitatea cu $125, n$ poate fi unul dintre numerele $125,126,250,251,375,376$, $500,501,625,626,750,751,875,876$. În fiecare caz $n$ sau $n-1$ trebuie să se dividă cu 8 . Prin verificare rămân doar soluţile 376 şi $625 \ldots \ldots . . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$. + +Problema 2. Fie $n \geq 2$ un număr natural. Care este numărul maxim $m \leq n$ ( $m$ depinde de $n$ ), pentru care putem alege $m$ numere dintre $1,2, \ldots, n$ cu proprietatea că pentru oricare două dintre acestea, $a, b$, cu $a>b$, numărul $a-b$ nu divide numărul $a+b$ ? + +Soluţie şi barem. Să notăm cu $A$ o astfel de familie de numere, alese dintre $1,2, \ldots, n$. Pentru $a>b$ din $A$, deducem că $a-b$ nu poate fi 1 sau 2. Altfel 1 ar + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1909f0b59479ff8c02aag-2.jpg?height=51&width=1589&top_left_y=1335&top_left_x=230) + +Rezultă că diferenţa minimă dintre două numere consecutive $\operatorname{din} A$ este 3. In plus, dacă $a-b=3 k$ şi $b$ nu se divide cu 3 , atunci $a+b=2 b+3 k$ nu se divide cu $a-b \ldots \mathbf{2}$ p + +În funcţie de restul împărţirii lui $n$ la 3 , vom avea următoarele secvenţe de numere din $1,2, \ldots, n$, cu număr maxim de elemente: + +Dacă $n=3 k, A$ cu număr maxim poate fi $1,4,7, \ldots 3 k-2$ deci $m=k$. ........1p + +Dacă $n=3 k+1$, A poate fi $1,4, \ldots, 3 k-2,3 k+1$ deci $m=k+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathbf{p}$ + +Dacă $n=3 k+2$ o astfel de mulţime este $1,4,7, \ldots, 3 k-2,3 k+1$ deci $m=k+1 \mathbf{p}$ + +Problema 3. Pentru fiecare număr natural $n \geq 2$, notăm cu $s(n)$ numărul de perechi $(x, y)$ de numere naturale, alese dintre $1,2, \ldots, n$, cu $x>y$, astfel încât $x$ şi $y$ să aibă exact $x-y$ divizori comuni. + +a) Există $n$ astfel încât $s(n)=2019$ ? + +b) Există $n$ astfel încât $s(n)=2020$ ? + +Justificaţi răspunsurile. + +Soluţie şi barem. Observăm că dacă $d \mid y$ şi $d \mid x$ atunci $d \mid x-y \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ + +Prin urmare dacă $(x, y), x>y$, este o pereche cu proprietatea din enunt, atunci $x-y$ are exact $x-y$ divizori, deci toate numerele $1,2, \ldots x-y$. Dacă $x-y=1$ atunci $x$ şi $y$ au un singur divizor, adică 1 .... + +Altfel $x-y \geq 2$, deci $x-y-1 \geq 1$, iar $x-y-1 \mid x-y$ implică $x-y-1=1$, adică $x-y=2$. Prin urmare $x$ şi $y$ au aceeaşi paritate. Pentru ca $x$ şi $y$ să aibă în comun 2 divizori, ele nu pot fi impare, deci sunt ambele pare. Aşadar perechile de acest tip sunt de forma $(y+1, y)$ şi $(2 y+2,2 y)$, cu $y$ natural nenul... + +Rezultă că pentru $n=2 k, k$ număr natural, avem $s(n)=(2 k-1)+(k-1)=3 k-2$, iar dacă $n=2 k+1, k \geq 1$ avem $s(n)=2 k+(k-1)=3 k-1$. Cum $s(n)$ nu poate fi multiplu de 3 , răspunsul la a) este nu............................................................ + +Cum $2020=3 \cdot 674-2$ obţinem că $s(1348)=3 \cdot 674-2=2020$, aşadar ,da" pentru b) + +Problema 4. Numerele naturale de la 1 la 49 sunt aşezate la întâmplare, câte unul în fiecare căsuţă a unei table de şah $7 \times 7$. Arătaţi că există un pătrat $2 \times 2$ al tablei, format din patru căsuţe vecine, astfel încât suma celor patru numere din interior să fie cel puţin 81 . + +Soluţie şi barem. Există $6 \times 6$ pătrate de tipul celor din enunţ. .................1p Fie $s_{1} \leq s_{2} \leq \cdots \leq s_{36}$, sumele numerelor scrise în interiorul acestora. Deducem că $s=s_{1}+s_{2}+\cdots+s_{36} \leq 36 s_{36}$ $1 p$ Pe de altă parte, în suma de mai sus, pătrăţelele din colţuri sunt numărate o dată, cele de pe margini, dar nu în colţuri, de două ori, iar celelalte de patru ori. Avem deci $s \geq 49+48+47+46+2(45+\cdots+26)+4(25+24+\cdots+1)$ + +$3 p$ + +Calculând sumele, deducem $s \geq 2910$. Aşadar $36 s_{36} \geq 2910$, deci $s_{36} \geq \frac{2910}{36}>80,8$ şi, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1909f0b59479ff8c02aag-3.jpg?height=52&width=1585&top_left_y=1275&top_left_x=232) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-800-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-800-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a2b2b41d4cd268bc920318fcc5d858458e1e92a1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-800-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23. + +## X. OSZTÁLY + +## (4 órás program) + +1.) a.) Oldd meg a valós számok halmazán a $2^{(x-1)(x-2)}+2^{3 x-x^{2}}=5$ exponenciális egyenletet! + +b.) Az A-ban derékszögü $A B C$ háromszög befogóinak hossza $b$ és $c$, melyekre teljesül a + +$2 \lg \frac{b+c}{\sqrt{6}}=\lg b+\lg c$ egyenlőség. Számítsd ki a $C$ szög mértékét! + +2.) Határozd meg az $f: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], f(x)=\frac{a x+b}{x^{2}+1} ; a, b \in \mathbb{R}$ szürjektív függvényeket! + +3.) a.) Oldd meg a komplex számok halmazán a $z^{8}-77 z^{4}-324=0$ egyenletet! + +b.) Ábrázold a komplex számsíkban az egyenlet gyökeinek megfelelő pontokat! + +c.) Kösd össze az origót körbejárva az előbbi pontokat, majd számítsd ki a keletkezett „csillag” kerületét és területét! + +4.) Adottak az $A=\{z \in C|| z-1-\sqrt{3} \mid \leq 2\}$ és $B=\{z \in C|| z \mid \leq \sqrt{2}\}$ halmazok. Legyen $M_{A}$ illetve $M_{B}$ azon pontok halmaza a komplex számsíkban, amelyek affixumai az $A$ illetve $B$ halmaz elemei. Számítsd ki az $S=M_{A} \cap M_{B}$ síkidom területét! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelező. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +## BAREM + +## CLASA A X-A + +Programa TC+CD (4 ore/săpt) + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| a.) | $2^{(x-1)(x-2)}+2^{3 x-x^{2}}=5 \Leftrightarrow 2^{x^{2}-3 x+2}+\frac{4}{2^{x^{2}-3 x+2}}=5$ | $1 p$ | +| | Cu substituţia $t=2^{x^{2}-3 x+2}$ obţinem ecuaţia $t^{2}-5 t+4=0$ cu rădăcinile 1 şi 4 . | 1p | +| | Ecuaţia $2^{x^{2}-3 x+2}=1$ are soluţiile 1 şi 2
Ecuaţia $2^{x^{2}-3 x+2}=4$ are soluţiile 0 şi 3
Mulţimea soluţiilor $S=\{0,1,2,3\}$ | $2 p$ | +| b.) | $2 \lg \frac{b+c}{\sqrt{6}}=\lg b+\lg c \Leftrightarrow \lg \left(\frac{b+c}{\sqrt{6}}\right)^{2}=\lg b c$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $\Leftrightarrow \frac{b^{2}+2 b c+c^{2}}{6}=b c \Leftrightarrow \frac{2 b c}{a^{2}}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\Leftrightarrow 2 \sin C \cos C=\frac{1}{2}$ | $1 p$ | +| | $\Leftrightarrow \sin 2 C=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 C=\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow C=\frac{\pi}{12}$ | $1 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $f$ este surjectivă dacă $\operatorname{Im} f=[-1,1]$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\operatorname{Im} f=\{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{R}, f(x)=y\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\mathbf{4 p}$ | | +| | Din sistemul $\frac{b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$
$a=-2, b=0${ff01dca52-fda8-43dc-b0f4-52cf81333324} şi {fed6f29d8-df28-4a43-9deb-bd364c894b95} se obţin soluţiile {ffc7facd0-4334-46a4-ad16-396b0396adf5} respectiv | $\mathbf{2 p}$ | +| Funcţiile căutate sunt: $f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}$ şi $f(x)=\frac{-2 x}{x^{2}+1}$. | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | Cu substituţia $z^{4}=t$ obţinem o ecuaţie de gradul doi cu rădăcinile 81 şi -4. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Rezolvând ecuaţiile binome $z^{4}=81$ şi $z^{4}=-4$ obținem mulţimea soluţiilor
$S=\{3,3 i,-3,-3 i, 1+i, 1-i,-1+i,-1-i\}$. | $3 \mathbf{p}$ | + + +| b.) | | 2 | +| :--- | :--- | :---: | :---: | + + +| 4. | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e40776af977e906edce4g-3.jpg?height=70&width=1421&top_left_y=1140&top_left_x=297) | 2p | +| | Suprafaţa $S$ este „smile"-ul haşurat delimitat de câte un arc ale cercurilor $C(O, \sqrt{2})$ şi
$C(Q, 2)$. | $1 \mathbf{p}$ | +| | $A_{S}=A_{\text {sectorCOD }}+A_{\text {sectorCQD }}-A_{\triangle C O D}-A_{\triangle C Q D}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $O C=\sqrt{2}, C Q=2, O Q=1+\sqrt{3} \Rightarrow \mathrm{m}(\angle C O Q)=45^{\circ}, \mathrm{m}(\angle C Q O)=30^{\circ}$ ş $z_{C}=1+i$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $A_{\text {sectorCOD }}=\frac{1}{4} \pi \cdot(\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi}{2}, A_{\text {sectorCQD }}=\frac{1}{6} \pi \cdot 2^{2}=\frac{2 \pi}{3}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $A_{\triangle C O D}+A_{\triangle C Q D}=2 \cdot \frac{O Q \cdot \frac{C D}{2}}{2}=1+\sqrt{3}$ | 1p | +| | $A_{S}=\frac{\pi}{2}+\frac{2 \pi}{3}-1-\sqrt{3}=\frac{7 \pi}{6}-1-\sqrt{3}$ | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-801-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-801-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1d551e789fcf4c69602737278ec6a5397a4a02d2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-801-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,81 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ
KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23. + +## XI. OSZTÁLY + +## M1- es program + +1.) Igazold, hogy $\left|\begin{array}{ccccc}1! & 2! & 3! & \ldots & n! \\ 2! & 2! & 3! & \ldots & n! \\ 3! & 3! & 3! & \ldots & n! \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n! & n! & n! & \ldots & n!\end{array}\right|=(-1)^{n-1}(n-1)!(1!\cdot 2!\cdot 3!\ldots . . n!), \quad n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2.) a.) Adott az $A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ mátrix és $X=A^{4}+5 A^{2}+4 I_{2}$. Számítsd ki az $X$ mátrix determinánsát! + +b.) Igazold, hogy bármely $A \in M_{n}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ esetén az $X=A^{4}+5 A^{2}+4 I_{n}$ mátrix determinánsa egy nemnegatív valós szám! + +3.) Adott az $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=a+n+1-\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{4}+k^{2}+1}{k^{4}+k}, a \in \mathbb{R}$ számsorozat. + +a.) Igazold, hogy ez a sorozat konvergens! + +b.) Határozd meg $n$ rangját amelyre $\left|a_{n}-a\right| \leq 0,01$. + +4.) a.) Létezik olyan $\left(x_{n}\right)_{n \in N}$ számsorozat amely teljesíti az $x_{n+1}-x_{n}+x_{n}^{2}=0, \forall n \in \mathbb{N}, x_{2014}=1$ és $x_{0} \in \mathbb{R}$ követelményeket? + +b.) Számítsd ki a $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(C_{n}^{2} \pi\right)$ határértékeket! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra. + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +## BAREM
CLASA A XI-A + +## Programa M1 + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Scădem linia întâi din celelalte. | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Scriem rezultatul final observând că elementele de o parte a diagonalei principale sunt nule. | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a.) | $A^{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right), A^{4}=\left(\begin{array}{cc}5 & -3 \\ -3 & 2\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{cc}19 & -8 \\ -8 & 11\end{array}\right)$ si $\operatorname{det} X=145$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b.) | $X=A^{4}+5 A^{2}+4 I_{n}=\left(A^{2}+I_{n}\right)\left(A^{2}+4 I_{n}\right) \Rightarrow \operatorname{det} X=\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A^{2}+4 I_{n}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Însă det $\left(A^{2}+I_{n}\right)=\operatorname{det}\left(A+i I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A-i I_{n}\right)=(a+i b)(a-i b)=a^{2}+b^{2} \geq 0$ pentru orice $a, b \in R$. | $\mathbf{2 p}$ | +| | Analog $\operatorname{det}\left(A^{2}+4 I_{n}\right)=\operatorname{det}\left(A+2 i I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A-2 i I_{n}\right)=(c+i d)(c-i d)=c^{2}+d^{2} \geq 0$ pentru orice
$c, d \in R$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deci det $X \geq 0$ pentru orice $A \in M_{n}(R), n \in N, n \geq 2$. | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a.) | Avem $\frac{k^{4}+k^{2}+1}{k^{4}+k}=\frac{k^{4}+k+k^{2}-k+1}{k(k+1)\left(k^{2}-k+1\right)}=1+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. | $\mathbf{3 p}$ | +| Prin urmare $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{4}+k^{2}+1}{k^{4}+k}=n+1-\frac{1}{n+1}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | Astfel $\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n}=a \in \mathbf{R}$, deci șirul este convergent. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deoarece $a_{n}-a=\frac{1}{n+1}$, are loc $\left\|a_{n}-a\right\| \leq 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{100} \Leftrightarrow n \geq 99$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deci termenul cerut în enunț este $a_{99}=a+\frac{1}{100}$. | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | Din $x_{n+1}-x_{n}+x_{n}^{2}=0$ rezultă $x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), \forall n \in \boldsymbol{N}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Dacă $x_{0} \in(-\infty, 0] \cup[1,+\infty)$ atunci evident $x_{n} \leq 0, \forall n \in N$, deci nu este posibil ca $x_{2014}=1$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Dacă $x_{0} \in(0,1)$ atunci evident $x_{n} \in(0,1), \forall n \in N$, deci nu este posibil ca $x_{2014}=1$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Rezultă că nu există șiruri cu proprietatea din enunț. | $\mathbf{1 p}$ | + + +| b.) | Fie $a_{n}=\cos \left(C_{n}^{2} \pi\right)$. Rezultă că | | +| :--- | :--- | :---: | +| $a_{4 n}=\cos \left(C_{4 n}^{2} \pi\right)=\cos (2 n(4 n-1) \pi)=1$ pentru $\forall n \in N^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{4 n}=1$. | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Însă $a_{4 n+2}=\cos \left(C_{4 n+2}^{2} \pi\right)=\cos (2 n+1)(4 n+1) \pi=-1$ pentru $\forall n \in N^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{4 n+2}=-1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deci şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are două subşiruri cu limite diferite, deci şirul respectiv nu are limită. | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-802-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-802-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3b34f6d330d91e939e43b6255af983053ba6108 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-802-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,67 @@ +# MATEMATIKA OLIMPIÁSZ KÖRZETI SZAKASZ + +2014. február 23. + +## XII. OSZTÁLY + +## M 1 - es program + +1.) Határozd meg az egész számok $\mathbb{Z}$ halmazának véges zárt részhalmazait a „o" müveletre nézve, ha $x o y=x y-2014 x-2014 y+2014^{2}+2014, \forall x, y \in \mathbb{Z}$ esetén! + +2.) Adott az $A_{a}=\left(\begin{array}{cc}\cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ mátrix és a $H=\left\{A_{a}^{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ halmaz. + +a.) Határozd meg az $a \in \mathbb{R}$ legkisebb pozitív értékét, amelyre a $H$ halmaznak pontosan 12 eleme van! + +b.) Az előbb meghatározott $a$ érték esetén határozd meg a ( $H, \cdot)$ kommutatív csoport azon elemeit, amelyek egyenlők saját inverzükkel! + +3.) Számítsd ki : + +a.) $\int \arcsin (\sin x) d x, x \in(0, \pi)$. + +b.) $\int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+2} d x, \quad(x>0)$. + +4.) Legyen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ egy olyan függvény amelyre $f^{3}(x)+3^{f(x)}=x, \forall x \in \mathbb{R}$ esetén. Igazold, hogy az $f$ függvénynek van primitív függvénye! + +## Megjegyzés: + +Minden feladat kötelezö. + +Minden feladat 10 pontot ér. + +Munkaidő 3 óra + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ
23 februarie 2014
BAREM
CLASA A XII-A
Programa M1 + +| 1. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Dacă H este o parte stabilă finită a lui $Z$, atunci există $a=\operatorname{minH}$ şi $b=$ maxH. | 2p | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| Prin calcul direct se obţin submulţimile: $\{2014\},\{2015\},\{2013,2015\},\{2014,2015\}$,
$\{2013,2014\},\{2013,2014,2015\}$. | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | Cu metoda inducţiei matematice se poate demonstra egalitatea $A_{a}^{n}=A_{n a}$. | 3p | +| | Datorită periodicităţii funcţiilor sinus şi cosinus rezultă că pentru $a=\frac{\pi}{6}$ avem | 3p | +| | $A_{\frac{\pi}{6}}^{12}=A_{2 \pi}=A_{0}=I_{2}$ şi $A_{\frac{\pi}{6}}^{13}=A_{\frac{\pi}{6}}$. | 3p | +| b.) | Deoarece $\left(A_{\frac{\pi}{6}}^{n}\right)^{-1}=A_{\frac{\pi}{6}}^{12-n}$ în grupul abelian $(H$, sunt două elemete egale cu inversele lor, | | +| | anume $A_{\frac{\pi}{6}}^{12}=A_{2 \pi}=A_{0}=I_{2}$ şi $A_{\frac{\pi}{6}}^{6}=A_{\pi}$. | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_04cb56a7c7b7513d0c4ag-2.jpg?height=557&width=1833&top_left_y=2159&top_left_x=128) + +| | Impunând continuitatea, obţinem în final $\int \arcsin (\sin x) d x=$ | $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{2}+c, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \\ \pi x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi^{2}}{4}+c, x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\end{array}\right.$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| b.) | $x(x+1)(x+2)(x+3)+2=\left(x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}+3 x+2\right)+2=\left(x^{2}+3 x\right)^{2}+2\left(x^{2}+3 x\right)+1+1=\left(x^{2}+3 x+1\right)^{2}+1$ | | $2 p$ | +| | Derivata lui $x^{2}+3 x+1$ este $2 x+3$ | | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+2} d x=\int \frac{\left(x^{2}+3 x+1\right)}{\left(x^{2}+3 x+1\right)^{2}+1} d x=\operatorname{arctg}\left(x^{2}+3 x+1\right)+c$ | | $1 \mathbf{p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Relaţia $f^{3}(x)+3^{f(x)}=x, \forall x \in R$ se transcrie în $g(f(x))=x, \forall x \in R$, unde $g$ este funcţia
continuă definită prin $g(x)=x^{3}+3^{x}, \forall x \in R$. | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Cum $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+3^{x} \ln 3>0, \forall x \in R$, rezultă că g este strict crescătoare, deci injectivă. | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-803-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-803-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a46ba3e0ff03e77a76436ed22bbae3c080e31b3b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-803-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# OLIMPADA DE MATEMATICA + +## ETAPA LOCALĂ + +## 23 februarie 2014 + +## CLASA A XII-A + +## Programa M1 + +1.) Determinaţi părţile stabile finite ale mulţimii numerelor întregi $\mathbb{Z}$ faţă de operaţia „o" definită prin $x o y=x y-2014 x-2014 y+2014^{2}+2014, \forall x, y \in \mathbb{Z}$. + +2.) Se dau matricea $A_{a}=\left(\begin{array}{cc}\cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ şi mulļimea $H=\left\{A_{a}^{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$. + +a.) Determinaţi cea mai mică valoare pozitivă a numărului $a \in \mathbb{R}$ pentru care mulţimea $H$ are exact 12 elemente. + +b.) Pentru $a$ determinat mai înainte aflaţi elementele grupului abelian $(H$,$) care sunt$ egale cu inversele lor. + +3.) Să se calculeze : + +a.) $\int \arcsin (\sin x) d x, x \in(0, \pi)$. + +b.) $\int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+2} d x$, $\quad(x>0)$. + +4.) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie cu proprietatea $f^{3}(x)+3^{f(x)}=x, \forall x \in \mathbb{R}$. Să se arate că $f$ admite primitive. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ
23 februarie 2014
BAREM
CLASA A XII-A
Programa M1 + +| 1. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Dacă H este o parte stabilă finită a lui $Z$, atunci există $a=\operatorname{minH}$ şi $b=$ maxH. | 2p | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| Prin calcul direct se obţin submulţimile: $\{2014\},\{2015\},\{2013,2015\},\{2014,2015\}$,
$\{2013,2014\},\{2013,2014,2015\}$. | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | Cu metoda inducţiei matematice se poate demonstra egalitatea $A_{a}^{n}=A_{n a}$. | 3p | +| | Datorită periodicităţii funcţiilor sinus şi cosinus rezultă că pentru $a=\frac{\pi}{6}$ avem | 3p | +| | $A_{\frac{\pi}{6}}^{12}=A_{2 \pi}=A_{0}=I_{2}$ şi $A_{\frac{\pi}{6}}^{13}=A_{\frac{\pi}{6}}$. | 3p | +| b.) | Deoarece $\left(A_{\frac{\pi}{6}}^{n}\right)^{-1}=A_{\frac{\pi}{6}}^{12-n}$ în grupul abelian $(H$, sunt două elemete egale cu inversele lor, | | +| | anume $A_{\frac{\pi}{6}}^{12}=A_{2 \pi}=A_{0}=I_{2}$ şi $A_{\frac{\pi}{6}}^{6}=A_{\pi}$. | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b0fd549b43208e37d726g-2.jpg?height=557&width=1833&top_left_y=2159&top_left_x=128) + +| | Impunând continuitatea, obţinem în final $\int \arcsin (\sin x) d x=$ | $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{2}+c, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \\ \pi x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi^{2}}{4}+c, x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\end{array}\right.$ | $\mathbf{1 p}$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| b.) | $x(x+1)(x+2)(x+3)+2=\left(x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}+3 x+2\right)+2=\left(x^{2}+3 x\right)^{2}+2\left(x^{2}+3 x\right)+1+1=\left(x^{2}+3 x+1\right)^{2}+1$ | | $2 p$ | +| | Derivata lui $x^{2}+3 x+1$ este $2 x+3$ | | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+2} d x=\int \frac{\left(x^{2}+3 x+1\right)}{\left(x^{2}+3 x+1\right)^{2}+1} d x=\operatorname{arctg}\left(x^{2}+3 x+1\right)+c$ | | $1 \mathbf{p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Relaţia $f^{3}(x)+3^{f(x)}=x, \forall x \in R$ se transcrie în $g(f(x))=x, \forall x \in R$, unde $g$ este funcţia
continuă definită prin $g(x)=x^{3}+3^{x}, \forall x \in R$. | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Cum $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+3^{x} \ln 3>0, \forall x \in R$, rezultă că g este strict crescătoare, deci injectivă. | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-804-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-804-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb35657983f22cf6074e0d6d67307fe39c00a82e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-804-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,81 @@ +# OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +CLASA A XI-A + +Programa M1 + +1.) Să se arate că $\left|\begin{array}{ccccc}1! & 2! & 3! & \ldots & n! \\ 2! & 2! & 3! & \ldots & n! \\ 3! & 3! & 3! & \ldots & n! \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ n! & n! & n! & \ldots & n!\end{array}\right|=(-1)^{n-1}(n-1)!(1!\cdot 2!\cdot 3!\ldots n!), \quad n \in \mathbb{N}^{*}$. + +2.) a.) Se dă matricea $A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$ şi fie $X=A^{4}+5 A^{2}+4 I_{2}$. Calculaţi determinantul matricii $X$. + +b.) Să se demonstreze că pentru orice matrice $A \in M_{n}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ determinantul matricii $X=A^{4}+5 A^{2}+4 I_{n}$ este un număr real nenegativ. + +3.) Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel încât: $a_{n}=a+n+1-\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{4}+k^{2}+1}{k^{4}+k}, a \in \mathbb{R}$. + +a.) Să se arate că acest șir este convergent. + +b.) Să se găsească rangul $n$ de la care avem $\left|a_{n}-a\right| \leq 0,01$. + +4.) a.) Există un șir $\left(x_{n}\right)_{n \in N}$ astfel încât $x_{n+1}-x_{n}+x_{n}^{2}=0, \forall n \in \mathbb{N}$ şi $x_{2014}=1$, cu $x_{0} \in \mathbb{R}$ ? + +b.) Calculaţi următoarea limită: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(C_{n}^{2} \pi\right)$ + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +## BAREM
CLASA A XI-A + +## Programa M1 + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Scădem linia întâi din celelalte. | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Scriem rezultatul final observând că elementele de o parte a diagonalei principale sunt nule. | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a.) | $A^{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right), A^{4}=\left(\begin{array}{cc}5 & -3 \\ -3 & 2\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{cc}19 & -8 \\ -8 & 11\end{array}\right)$ si $\operatorname{det} X=145$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b.) | $X=A^{4}+5 A^{2}+4 I_{n}=\left(A^{2}+I_{n}\right)\left(A^{2}+4 I_{n}\right) \Rightarrow \operatorname{det} X=\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A^{2}+4 I_{n}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Însă det $\left(A^{2}+I_{n}\right)=\operatorname{det}\left(A+i I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A-i I_{n}\right)=(a+i b)(a-i b)=a^{2}+b^{2} \geq 0$ pentru orice $a, b \in R$. | $\mathbf{2 p}$ | +| | Analog $\operatorname{det}\left(A^{2}+4 I_{n}\right)=\operatorname{det}\left(A+2 i I_{n}\right) \cdot \operatorname{det}\left(A-2 i I_{n}\right)=(c+i d)(c-i d)=c^{2}+d^{2} \geq 0$ pentru orice
$c, d \in R$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deci det $X \geq 0$ pentru orice $A \in M_{n}(R), n \in N, n \geq 2$. | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| a.) | Avem $\frac{k^{4}+k^{2}+1}{k^{4}+k}=\frac{k^{4}+k+k^{2}-k+1}{k(k+1)\left(k^{2}-k+1\right)}=1+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. | $\mathbf{3 p}$ | +| Prin urmare $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{4}+k^{2}+1}{k^{4}+k}=n+1-\frac{1}{n+1}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | Astfel $\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n}=a \in \mathbf{R}$, deci șirul este convergent. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deoarece $a_{n}-a=\frac{1}{n+1}$, are loc $\left\|a_{n}-a\right\| \leq 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{100} \Leftrightarrow n \geq 99$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Deci termenul cerut în enunț este $a_{99}=a+\frac{1}{100}$. | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | Din $x_{n+1}-x_{n}+x_{n}^{2}=0$ rezultă $x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), \forall n \in \boldsymbol{N}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Dacă $x_{0} \in(-\infty, 0] \cup[1,+\infty)$ atunci evident $x_{n} \leq 0, \forall n \in N$, deci nu este posibil ca $x_{2014}=1$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Dacă $x_{0} \in(0,1)$ atunci evident $x_{n} \in(0,1), \forall n \in N$, deci nu este posibil ca $x_{2014}=1$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Rezultă că nu există șiruri cu proprietatea din enunț. | $\mathbf{1 p}$ | + + +| b.) | Fie $a_{n}=\cos \left(C_{n}^{2} \pi\right)$. Rezultă că | | +| :--- | :--- | :---: | +| $a_{4 n}=\cos \left(C_{4 n}^{2} \pi\right)=\cos (2 n(4 n-1) \pi)=1$ pentru $\forall n \in N^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{4 n}=1$. | $\mathbf{2 p}$ | | +| | Însă $a_{4 n+2}=\cos \left(C_{4 n+2}^{2} \pi\right)=\cos (2 n+1)(4 n+1) \pi=-1$ pentru $\forall n \in N^{*} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{4 n+2}=-1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deci şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are două subşiruri cu limite diferite, deci şirul respectiv nu are limită. | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-805-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-805-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3a79c3b26e590fde0131095cb5d24c678a328d96 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-805-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +## CLASA A X-A + +Programa TC + CD (4 ore) + +1.) a.) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia exponenţială $2^{(x-1)(x-2)}+2^{3 x-x^{2}}=5$. + +b.) În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ lungimile catetelor $b$ şi $c$ satisfac egalitatea $2 \lg \frac{b+c}{\sqrt{6}}=\lg b+\lg c$. Calculaţi măsura unghiului $C$. + +2.) Să se determine funcţiile surjective $f: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], f(x)=\frac{a x+b}{x^{2}+1} ; a, b \in \mathbb{R}$. + +3.) a.) Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuaţia $z^{8}-77 z^{4}-324=0$. + +b.) Reprezentaţi grafic în planul complex punctele corespunzătoare soluţiilor ecuaţiei. + +c.) Uniţi cu segmente în jurul originii punctele corespunzătoare soluțiilor ecuației şi calculaţi perimetrul şi aria „steluţei” obţinute. + +4.) Se dau mulţimile $A=\{z \in C|| z-1-\sqrt{3} \mid \leq 2\}$ şi $B=\{z \in C|| z \mid \leq \sqrt{2}\}$. Fie $M_{A}$ respectiv $M_{B}$ mulţimea punctelor din planul complex ale căror afixuri sunt elementele mulţimilor $A$ respectiv $B$. Calculaţi aria suprafeţei plane $S=M_{A} \cap M_{B}$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +## BAREM + +## CLASA A X-A + +Programa TC+CD (4 ore/săpt) + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| a.) | $2^{(x-1)(x-2)}+2^{3 x-x^{2}}=5 \Leftrightarrow 2^{x^{2}-3 x+2}+\frac{4}{2^{x^{2}-3 x+2}}=5$ | $1 p$ | +| | Cu substituţia $t=2^{x^{2}-3 x+2}$ obţinem ecuaţia $t^{2}-5 t+4=0$ cu rădăcinile 1 şi 4 . | 1p | +| | Ecuaţia $2^{x^{2}-3 x+2}=1$ are soluţiile 1 şi 2
Ecuaţia $2^{x^{2}-3 x+2}=4$ are soluţiile 0 şi 3
Mulţimea soluţiilor $S=\{0,1,2,3\}$ | $2 p$ | +| b.) | $2 \lg \frac{b+c}{\sqrt{6}}=\lg b+\lg c \Leftrightarrow \lg \left(\frac{b+c}{\sqrt{6}}\right)^{2}=\lg b c$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $\Leftrightarrow \frac{b^{2}+2 b c+c^{2}}{6}=b c \Leftrightarrow \frac{2 b c}{a^{2}}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $\Leftrightarrow 2 \sin C \cos C=\frac{1}{2}$ | $1 p$ | +| | $\Leftrightarrow \sin 2 C=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 C=\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow C=\frac{\pi}{12}$ | $1 p$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $f$ este surjectivă dacă $\operatorname{Im} f=[-1,1]$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\operatorname{Im} f=\{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{R}, f(x)=y\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\mathbf{4 p}$ | | +| | Din sistemul $\frac{b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$
$a=-2, b=0${f27a625ac-dfff-445d-8a37-a077d6fc8895} şi {f95ce03a8-eab1-4e32-80f3-199721c2e8fc} se obţin soluţiile {fc9482020-d759-4a6f-9dce-5d2498433291} respectiv | $\mathbf{2 p}$ | +| Funcţiile căutate sunt: $f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}$ şi $f(x)=\frac{-2 x}{x^{2}+1}$. | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 3.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | Cu substituţia $z^{4}=t$ obţinem o ecuaţie de gradul doi cu rădăcinile 81 şi -4. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Rezolvând ecuaţiile binome $z^{4}=81$ şi $z^{4}=-4$ obținem mulţimea soluţiilor
$S=\{3,3 i,-3,-3 i, 1+i, 1-i,-1+i,-1-i\}$. | $3 \mathbf{p}$ | + + +| b.) | | 2 | +| :--- | :--- | :---: | :---: | + + +| 4. | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41eb30c30e6a8d4a1d96g-3.jpg?height=70&width=1421&top_left_y=1140&top_left_x=297) | 2p | +| | Suprafaţa $S$ este „smile"-ul haşurat delimitat de câte un arc ale cercurilor $C(O, \sqrt{2})$ şi
$C(Q, 2)$. | $1 \mathbf{p}$ | +| | $A_{S}=A_{\text {sectorCOD }}+A_{\text {sectorCQD }}-A_{\triangle C O D}-A_{\triangle C Q D}$ | $1 \mathbf{p}$ | +| | $O C=\sqrt{2}, C Q=2, O Q=1+\sqrt{3} \Rightarrow \mathrm{m}(\angle C O Q)=45^{\circ}, \mathrm{m}(\angle C Q O)=30^{\circ}$ ş $z_{C}=1+i$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $A_{\text {sectorCOD }}=\frac{1}{4} \pi \cdot(\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi}{2}, A_{\text {sectorCQD }}=\frac{1}{6} \pi \cdot 2^{2}=\frac{2 \pi}{3}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $A_{\triangle C O D}+A_{\triangle C Q D}=2 \cdot \frac{O Q \cdot \frac{C D}{2}}{2}=1+\sqrt{3}$ | 1p | +| | $A_{S}=\frac{\pi}{2}+\frac{2 \pi}{3}-1-\sqrt{3}=\frac{7 \pi}{6}-1-\sqrt{3}$ | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-806-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-806-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..739cdbb72cc3c72cef7034d8afdab696aa2d3316 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-806-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALÄ + +23 februarie 2014 + +CLASA A IX-A + +Programa TC+CD (4 ore) + +1.) Determinați numerele reale strict pozitive $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, știind că: + +$$ +a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\frac{(n-1) n(n+1)}{3}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +2.) Fie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}$ termenii unei progresii geometrice crescătoare cu termeni pozitivi. Demonstrați că: $a_{12}-a_{1}>11\left(a_{7}-a_{6}\right)$ + +3.) Ştiind că $a, b$ şi $c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, determinaţi mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei $c^{2} x^{2}+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) \cdot x+b^{2}=0$. + +4.) În patrulaterul convex $A B C D, M$ şi $N$ sunt mijloacele laturilor (BC) respectiv (CD). Notăm cu $P$ intersecția dreptelor $A M$ şi $B N$, știind că $\frac{P A}{P M}=k$ si $\frac{B P}{P N}=\frac{k}{k+2}$ : + +a.) Să se demonstreze că $A B C D$ este trapez. + +b.) Să se determine valoarea lui $k$, astfel încât $A B C D$ să fie paralelogram. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +OLIMPADA DE MATEMATICA + +ETAPA LOCALĂ + +## 23 februarie 2014 + +## BAREM + +CLASA A IX-A + +## Programa TC+CD (4 ore/săpt) + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| Vom folosi inducţia matematică:
$\mathrm{n}=1 \quad a_{1}^{2}=a_{1} \Rightarrow a_{1}=1$
$\mathrm{n}=2 \quad a_{1}^{2}+a_{2}{ }^{2}=a_{1}+a_{2}+2 \Rightarrow a_{2}{ }^{2}-a_{2}-2=0 \Rightarrow a_{2}=2$ | $\mathbf{3 p}$ | | +| | Presupunem adevărat pentru un $k$-fixat: $a_{k}=k$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2}+a_{k+1}^{2}=1+2+\ldots+k+a_{k+1}+\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ | | +| | $\Rightarrow a_{k+1}^{2}-a_{k+1}-k(k+1)=0 \Rightarrow$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\Rightarrow a_{k+1}=k+1 \Rightarrow a_{n}=n, \forall n \geq 1$ | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Din condiţiile inițiale: $a_{n}=a_{1} r^{n-1}$, unde $a_{1}>0, r>1$ | 3p | +| | $a_{12}-a_{1}>11\left(a_{7}-a_{6}\right) \Leftrightarrow a_{1}\left(r^{11}-1\right)>11 a_{1} r^{5}(r-1) \Leftrightarrow r^{10}+\ldots+r+1>11 r^{5}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | Folosind inegalitatea mediilor și faptul că $r>1$, avem: | | +| | $r^{10}+\ldots+r+1>11 \sqrt[11]{r^{1+2+\ldots+10}}=11 \sqrt[11]{r^{11.5}}=11 r^{5}$ | $3 \mathbf{p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $a, b$ şi $c$ fiind laturile unui triunghi avem: $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0, \mathrm{a}+\mathrm{b}>\mathrm{c}, \mathrm{a}+\mathrm{c}>\mathrm{b}$ şi $\mathrm{b}+\mathrm{c}>\mathrm{a}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Calculând discriminantul ecuaţiei, avem: $\Delta=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | Cum din cei patru factori doar primul este negativ avem $\Delta<0$, deci ecuaţia nu are soluţii
reale. | $\mathbf{3 p}$ | +| | $M=\varnothing$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a.) | $\overrightarrow{A P}=\frac{k}{k+1} \overrightarrow{A M}=\frac{k}{k+1}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M})=\frac{k}{k+1}\left(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\overrightarrow{B P}=\frac{k}{2 k+2} \overrightarrow{B N}=\frac{k}{2 k+2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C N})=\frac{k}{2 k+2}\left(\overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C D}\right)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{B P}=\frac{4 k \overrightarrow{A B}-k \overrightarrow{C D}}{4 k+4} \Rightarrow \overrightarrow{A B}=\frac{k}{4} \overrightarrow{D C} \Rightarrow A B C D$ este trapez. | $\mathbf{3 p}$ | +| b.) | Pentru k $=4$ ABCD este paralelogram. | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-807-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-807-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d5e6cdeebb23859ec2af13ef548941bef8f6b52 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-807-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,62 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALÄ + +23 februarie 2014 + +## CLASA A VIII-A + +1.) a.) Descompuneţi în produs de doi factori numărul $x^{4}+4 y^{4}, x, y \in \mathbb{N}^{*}$. + +b.) Arătaţi că numărul $2^{118}+13^{4}$ este număr compus. + +2.) Determinaţi valoarea minimă a expresiei $\sqrt{x^{2}-6 x+13}+\sqrt{y^{2}+2 y+10}$, respectiv valorile lui $x$ și $y$ pentru care valoarea expresiei este egală cu minmul său. + +3.) Se dau punctele ne coplanare $A, B, C, D$ şi $M, N, P, Q$ mijloacele segmentelor $[A C]$, $[B M],[N C]$, respective $[B P]$. Demonstraţi, că punctele $A, N, Q, D$ se află în acelaşi plan şi $M P \|(A Q D)$ ! + +4.) Pătratul AEDC şi dreptunghiul AEFB sunt în plane diferite, iar dreptele DE şi $\mathrm{AB}$ sunt perpendiculare. Dacă $\mathrm{CD}=1 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{EF}=\sqrt{3} \mathrm{~cm}$, calculaţi $\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{BD})$. + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ
23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A VIII-A + +| 1. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| a) | $x^{4}+4 y^{4}+4 x^{2} y^{2}-4 x^{2} y^{2}=\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}-(2 x y)^{2}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | Descompunerea $\left(x^{2}+2 y^{2}+2 x y\right)\left(\left(x^{2}+2 y^{2}-2 x y\right)\right.$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) | $\left(2^{59}\right)^{2}+\left(13^{2}\right)^{2}+2 \cdot 2^{59} \cdot 13^{2}-2^{60} \cdot 13^{2}=\left(2^{59}+13^{2}\right)^{2}-\left(2^{30} \cdot 13\right)^{2}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Descompunerea $\left(2^{59}+13^{2}+2^{30} \cdot 13\right)\left(2^{59}+13^{2}-2^{30} \cdot 13\right)$. Deci, numărul dat este compus | $\mathbf{2 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | $\sqrt{(x-3)^{2}+4}+\sqrt{(y+1)^{2}+9}$ | $\mathbf{4 p}$ | +| | $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow(x-3)^{2} \geq 0$ de unde avem $(x-3)^{2}+4 \geq 4$ și $\sqrt{(x-3)^{2}+4} \geq 2$ cu egalitate dacă $x=3$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\forall y \in \mathbb{R} \Rightarrow(y+1)^{2} \geq 0$ de unde avem $(y+1)^{2}+9 \geq 9$ și $\sqrt{(y+1)^{2}+9} \geq 3$ cu egalitate dacă $y=-1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Valoarea minimă a expresiei este 5 și expresia are această valoare pentru $x=3$ şi $y=-1$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| În triunghiul ANC, MP este linie mijlocie $\Rightarrow \mathrm{MP} \\|$ AN (1) | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{3 p}$ | | +| | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $\mathrm{AB} \mid \\| \mathrm{EF} \Rightarrow \mathrm{DE} \perp \mathrm{EF}$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| Calculează în $\triangle$-ul FEB: $\mathrm{EB}=2 \mathrm{~cm}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| Calculează în $\Delta$-ul DEB: $\mathrm{DB}=\sqrt{5} \mathrm{~cm}$ | $\mathbf{3 p}$ | | +| $\Delta \mathrm{DAB}: \mathrm{DB}=\sqrt{5} \mathrm{~cm}, \mathrm{AD}=\sqrt{2} \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=\sqrt{3} \mathrm{~cm} \Rightarrow \Delta$-ul drepunghic în $\mathrm{A}$ | $\mathbf{2 p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-808-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-808-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1acf92cfefd39bfccd948e9c2d97fca1ca0212b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-808-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICA + +## ETAPA LOCALĂ + +## 23 februarie 2014 + +## CLASA A VII-A + +1.) Rezolvaţi pe mulţimea numerelor reale: + +а.) $\left|9-x^{2}\right|-|3+x|=0$ + +b.) $\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{2}$ + +2.) a.) Calculaţi: $\left[(\sqrt{2})^{-3}+3 \sqrt{2}\right] \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}-3 \sqrt{18} \cdot\left(4 \sqrt{32}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. + +b.) Determinaţi numerele naturale $\overline{a b}$ astfel încât $\sqrt{a+\sqrt{a b}}=a$. + +3.) Fie rombul $A B C D$. Pe laturile $A B$, respectiv $A D$ considerăm punctele $E$ şi $F$ astfel încât $A E=D F$. Dacă $B C \cap D E=\{P\}, C D \cap B F=\{Q\}$, atunci demonstraţi că: + +a.) $\frac{P E}{P D}+\frac{Q F}{Q B}=1$, + +b.) punctele $Q, A$ şi $P$ sunt coliniare. + +4.) În triunghiul $A B C, A D$ este înălţime, iar punctele $M, N$ şi $P$ sunt mijloacele laturilor $A B$, $B C$ respectiv $A C$. Demonstraţi că patrulaterul MDNP sau MNDP este trapez isoscel! + +## Notă: + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 3 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A VII-A + +| 1. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\left\|9-x^{2}\right\|=\|(3+x)(3-x)\|=\|(3+x)\| \cdot\|(3-x)\|$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\left\|9-x^{2}\right\|-\|(3+x)\|=\|(3+x)\|(\|(3-x)\|-1)=0$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | De unde avem $\|(3+x)\|=0$ sau $\|(3-x)\|=1$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din $\|(3+x)\|=0 \Rightarrow x=-3$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din $\|(3-x)\|=1 \Rightarrow 3-x= \pm 1 \Rightarrow x=3 \mp 1$ cu soluțiile $x=2$ sau $x=4$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Mulțimea soluților ecuației $S=\{-3,2,4\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | $x \geq 0,(\sqrt{x})^{2}-\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{x} \cdot(\sqrt{x}-1)=0$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\sqrt{x}=0$ sau $\sqrt{x}=1$ de unde $x=0$ sau $x=1 \Leftrightarrow x \in\{0,1\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2. | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| a) | $\left[\frac{\sqrt{2}}{4}+3 \sqrt{2}\right] \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}-9 \sqrt{2}\left(16 \sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\frac{13 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}}-9 \sqrt{2} \frac{31 \sqrt{2}}{2}=$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $13-279=-266$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b) | Prin ridicarea la pătrat a relaţiei, obţinem $\sqrt{a b}=a(a-1)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\overline{a b}$ pătrat perfect $\Rightarrow \overline{a b} \in\{16,25,36,49,64,81\}(1)$ și $\sqrt{a b} \in\{4,5,6,7,8,9\}(2)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Din (1) $\Rightarrow a \in\{1,2,3,4,6,8\}, a-1 \in\{0,1,2,3,5,7\}$ și $a(a-1) \in\{0,2,6,12,30,56\}(3)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din (2) și (3) rezultă $\mathrm{a}=3$ și soluţia: $\overline{a b}=36$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3. | Din oficiu | $1 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| a) | | | +| | $\triangle P D C: E B \\| D C \Rightarrow \triangle P F A$ | 1p | +| | $\triangle Q B C: F D \\| B C \stackrel{T F A}{\Rightarrow} \triangle Q F D \sim \triangle Q B C \Rightarrow \frac{Q F}{Q B}=\frac{F D}{B C}$ | 1p | +| | $D C=B C=A D=A B$
$E B=A B-A E=A D-F D=A F$ | $1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2bd481e1129245ced4b8g-3.jpg?height=414&width=1690&top_left_y=127&top_left_x=206) + +| 4. | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Fie $\mathrm{m}(\mathrm{B})>\mathrm{m}(\mathrm{C})$. Deoarece MP este linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{ABC} \Rightarrow \mathrm{MP} \\| \mathrm{DN}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deoarece $\mathrm{DM}$ este mediană în triunghiul dreptunghic $\Rightarrow \mathrm{DM}=\mathrm{AB} / 2$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | Deoarece NP este linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{ABC} \Rightarrow \mathrm{NP}=\mathrm{AB} / 2$, deci $\Rightarrow \mathrm{DM}=\mathrm{NP}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\Rightarrow$ MDNP este trapez isoscel | $\mathbf{1 p}$ | +| | Analog pentru $m(B) ETAPA LOCALĂ
23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A VI-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| $a=\frac{2^{2014}}{10^{2017}} \cdot 25^{1007}=\frac{2^{2014}}{2^{2017} \cdot 5^{2017}} \cdot 5^{2014}=\frac{1}{1000}$ | $4 \mathbf{p}$ | | +| | $b=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{2014}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{2013}{2014}=\frac{1}{2014}$ | $4 \mathbf{p}$ | +| | $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p} \quad$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Avem $2015=5 \cdot 13 \cdot 31$ | 1p | +| | Între 1 şi 2014 sunt 402 multipli de 5 | 1p | +| | Între 1 şi 2014 sunt 154 multipli de13 | 1p | +| | Între 1 şi 2014 sunt 64 multipli de 31 | $\mathbf{1 p}$ | +| | Nr. numerelor divizibile şi cu 5 şi cu 13 sunt 30 | 1p | +| | Nr. numerelor divizibile şi cu 5 şi cu 31 sunt 12 | $\mathbf{1 p}$ | +| | Nr. numerelor divizibile şi cu 13 şi cu 31 sunt 4 | $\mathbf{1 p}$ | +| | Vor fi deci $402+154+64-(30+12+4)=620-46=574$ fracţii reductibile | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din cele 2014 fracţii rămân 2014-574=1440 fracţii ireductibile | 1p | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e28b1b4a7fc194501c48g-2.jpg?height=1194&width=1596&top_left_y=1616&top_left_x=244) + +| $\mathbf{b})$ | $m(X \hat{O} Y)=\frac{m(A \hat{O} B)}{2}+m(\hat{B O} C)+\frac{m(E \hat{O} C)}{2} \Rightarrow m(X \hat{O} Y)=135^{\circ}$ | 2p | +| :--- | :--- | :--- | + + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e28b1b4a7fc194501c48g-3.jpg?height=51&width=56&top_left_y=376&top_left_x=271) | Din oficiu | | 1p | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| a) | Elaborarea desenului | | 1p | +| | $m(D A M \Varangle)=180^{\circ}: 2=90^{\circ}=m(D A N \Varangle)$ | | 1p | +| | Triunghiurile dreptunghice ADM şi ADN au câte două catete congruente | | 1p | +| b) | $M A B \Varangle \equiv N A E \varangle$
$(A M) \equiv(A N)$
$\hat{M} \equiv \hat{N}(a))$ | $\xrightarrow{\text { U.L.U. }}{ }_{\Delta} A B M \equiv{ }_{\Delta} A E N$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e28b1b4a7fc194501c48g-3.jpg?height=220&width=55&top_left_y=667&top_left_x=1719) | +| c) | $E A M \nless \equiv B A N \nless$
$(E A) \equiv(B A)(b))$
$(A M) \equiv(A N)$ | $\xrightarrow{\text { L.U.L. }}{ }_{\Delta} A E M \equiv{ }_{\Delta} A B N \Rightarrow E M A \Varangle \equiv B N A \Varangle$ | {f3050eb35-a3d6-4890-80c4-9a9d65fa92cd}2 | +| d) | ${ }_{\triangle} A B E$ isoscel, $(A D$ | bisectoare $\Rightarrow(A D$ înălţime $\Leftrightarrow A D \perp B E$ | $2 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-81-Olimpiada de Matematica 2018 - etapa nationala-mate.info.ro.4294_onm_2018_etapa_nationala_subiecte_si_bareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-81-Olimpiada de Matematica 2018 - etapa nationala-mate.info.ro.4294_onm_2018_etapa_nationala_subiecte_si_bareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b35e523a0fb71a2bab72db7e61cb20195408f1e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-81-Olimpiada de Matematica 2018 - etapa nationala-mate.info.ro.4294_onm_2018_etapa_nationala_subiecte_si_bareme.md @@ -0,0 +1,784 @@ +# Olimpiada Naţională de MATEMATICĂ + +Etapa naţională + +3-7 aprilie 2018 + +SATU MARE + +SUBIECTE ŞI BAREME + +## CUPRINS + +Clasa a V-a ..... pag. 01 +Clasa a VI-a ..... pag. 03 +Clasa a VII-a ..... pag. 05 +Clasa a VIII-a ..... pag. 07 +Clasa a IX-a ..... pag. 10 +Clasa a X-a ..... pag. 12 +Clasa a XI-a ..... pag. 15 +Clasa a XII-a ..... pag. 18 + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Negreşti Oaş, 4 aprilie 2018
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a V-a + +Problema 1. Determinaţi numerele prime $a>b>c$ pentru care $a-b, b-c$ şi $a-c$ sunt numere prime diferite. + +Soluţie. Dacă $a-b, b-c, a-c$ sunt numere prime diferite, atunci $a, b, c$ nu pot fi toate impare. Rezultă $c=2$ şi $a-b=2$. + +2 p + +Avem $a-b=2, b-2=x, a-2=y$, unde $x$ şi $y$ sunt numere prime şi de aici numerele $a=b+2, x=b-2$ şi $y=b$ sunt numere prime. $2 p$ + +Numerele prime $b-2, b, b+2$ sunt numere impare consecutive, deci unul multiplu de 3, de unde $b-2=3$, pentru care $b=5$ si $b+2=7$ sunt prime. $2 p$ + +Deci $a=7, b=5, c=2$ sunt numerele căutate. $1 p$ + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale nenule $a, b, c$ pentru care + +$$ +\frac{a+b}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{7 c+1}{c+1} +$$ + +Soluţie. Fie $M=\frac{a+b}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{a+b+a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{a(1+a)+b(1+b)}{2} \in \mathbb{N}$, întrucât $a(1+a)$ şi $b(1+b)$ sunt produse de numere naturale consecutive, deci pare. + +Pe de altă parte $M=\frac{7 c+1}{c+1}=7-\frac{6}{c+1} \in \mathbb{N}$, deci $\frac{6}{c+1} \in\{1,2,3,6\}$ $1 p$ $2 \mathrm{p}$ + +Dacă $\frac{6}{c+1}=1$, atunci $M=6$, deci $a(1+a)+b(1+b)=12$ cu soluţia $a=b=2$ şi $c=5$. + +Dacă $\frac{6}{c+1}=2$, atunci $M=5$, deci $a(1+a)+b(1+b)=10$ fără soluţie. + +Dacă $\frac{6}{c+1}=3$, atunci $M=4$, deci $a(1+a)+b(1+b)=8$ cu soluţiile $a=1, b=2, c=1$ şi $a=2, b=1, c=1$. + +Dacă $\frac{6}{c+1}=6$, atunci $c=0 \mathrm{nu}$ convine. + +Problema 3. Pe o tablă sunt scrise numerele: $1,2,3, \ldots, 27$. Un pas înseamnă ştergerea a trei numere $a, b, c$ de pe tablă şi scrierea în locul lor a numărului $a+b+c+n$, unde $n$ este un număr natural nenul fixat. Determinaţi numărul natural $n$ ştiind că, după 13 paşi, pe tablă este scris numărul $n^{2}$. + +## Soluţie. + +Remarcăm mai întâi că după fiecare pas, dispar de pe tablă două numere de fapt, aşadar după 13 paşi dispar 26 de numere, deci rămâne un singur număr. + +$1 p$ + +După fiecare pas suma numerelor se măreşte cu n, aşadar după 13 paşi suma de pe tablă (adică numărul rămas pe tablă) este $1+2+\cdots+27+13 n=\frac{27 \cdot 28}{2}+13 n=378+13 n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3$ p + +Din $378+13 n=n^{2}$ rezultă $378=n(n-13)$. Divizorii lui 378 sunt $D_{378}=\{1,2,3,6,7,9,14,18,21,27,42,54,63,126,189,378\}$ dintre care $n=27$ verifică proprietatea din enuntु. + +$3 p$ + +Problema 4. Se consideră un număr natural $n \geq 2$ şi un pătrat $n \times n$ (vezi figura alăturată). Diagonala principală a acestui pătrat este formată din câmpurile haşurate. Completăm câmpurile aflate sub diagonala principală cu zerouri, iar în restul câmpurilor (inclusiv cele haşurate) scriem numere naturale nenule. După completarea tuturor câmpurilor calculăm suma numerelor aflate pe fiecare linie si fiecare coloană, obţinând astfel $2 n$ sume. Pătratul se numeşte norocos dacă valorile celor $2 n$ sume sunt egale, într-o anumită ordine, cu numerele $1,2, \ldots, 2 n$. + +a) Arătaţi că, pentru $n=5$, nu există pătrat norocos. + +b) Dacă $n=4$, determinaţi cel mai mare număr natural care apare în completarea unui pătrat norocos. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-06.jpg?height=500&width=506&top_left_y=635&top_left_x=775) + +Soluţie. a) Presupunem că există un pătrat norocos $5 \times 5$. Suma tuturor sumelor va fi $1+$ $2+\cdots+10=55$. Suma sumelor pe linii este egală cu suma sumelor pe coloane, deci suma tuturor sumelor este pară. Dar 55 este impar, aşadar nu există pătrat norocos $5 \times 5$. $3 p$ + +b) Presupunem că un câmp este ocupat de un număr $m \geq 7$, acesta nu poate fi pe prima sau a doua linie sau coloană, alfel suma ar fi cel puţin egală cu $m+2 \geq 9>8$. Iar în restul câmpurilor se află zerouri, deci $m \leq 6$. $2 p$ + +Un pătrat norocos pentru $m=6$ este în figura alăturată. Deci cel mai mare număr natural care apare în completarea unui pătrat norocos este 6 . + +$2 p$ + +| 1 | 1 | 1 | 3 | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 2 | 1 | 1 | 0 | +| 1 | 6 | 0 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 0 | + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Negreşti Oaş, 4 aprilie 2018
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VI-a + +Problema 1. Arătaţi că există o infinitate de numere naturale $a$ şi $b$ care verifică egalitatea + +$$ +a \cdot(a, b)=b+[a, b] +$$ + +unde cu $(a, b)$ am notat cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ şi $b$ şi cu $[a, b]$ am notat cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ şi $b$. + +Solutie. Dacă $(a, b)=d$ şi $[a, b]=m$, atunci $a=a_{1} \cdot d, b=b_{1} \cdot d$ si $m=a_{1} \cdot b_{1} \cdot d$, unde $\left(a_{1}, b_{1}\right)=1$. $2 p$ + +Deci $a_{1} \cdot d \cdot d=b_{1} \cdot d+a_{1} \cdot b_{1} \cdot d$, adică $a_{1} \cdot d=b_{1}+a_{1} \cdot b_{1}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. . . . . . . . . . + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-07.jpg?height=54&width=1642&top_left_y=847&top_left_x=241) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-07.jpg?height=54&width=1642&top_left_y=895&top_left_x=241) + +Pentru orice număr natural $b_{1}$, obţinem o pereche de numere naturale cu proprietatea din enunţ, deci sunt o infinitate de astfel de numere. $1 p$ + +Problema 2. Se consideră segmentele congruente $A B, B C$ şi $A D$, unde $D \in(B C)$. Arătaţi că mediatoarea segmentului $D C$, bisectoarea unghiului $\widehat{A D C}$ şi dreapta $A C$ sunt concurente. + +## Soluţie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-07.jpg?height=452&width=468&top_left_y=1256&top_left_x=811) + +Fie $F$ mijlocul segmentului $D C$ şi $E$ intersect.ia bisectoarei unghiului $\widehat{A D C}$ şi a mediatoarei segmentului $D C$. + +In triunghiul isoscel $D E C$ avem $\widehat{E D C} \equiv \widehat{D C E}$. Pe de altă parte $\widehat{E D C} \equiv \widehat{A D E}, D E$ fiind bisectoarea unghiului $\widehat{A D C}$. + +$2 p$ + +Astfel în triunghiul isoscel $A B D$ avem $m(\widehat{A B D})=m(\widehat{A D B})=180^{\circ}-2 \cdot m(\widehat{A D E})$. $2 p$ + +Deci în triunghiul isoscel $A B C$ măsurile unghiurilor congruente sunt $m(\widehat{B A C})=m(\widehat{A C B})=$ $\frac{180^{\circ}-m(\widehat{A B C})}{2}=m(\widehat{E C D})$ + +Deci $m(\widehat{A C B})=m(\widehat{E C D})$, de unde punctele $A, E$ şi $C$ sunt coliniare, adică dreptele din cerinţă sunt concurente. + +$1 p$ + +Problema 3. Fie numerele naturale $a \neq 0, b=2 a+1000, c=a+1$ şi $d=2 a+1002$. + +a) Arătaţi că $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$. + +b) Pentru $a=9$, determinaţi cel mai mic număr natural $n$ pentru care $\frac{a+n}{b+n}>\frac{c+n}{d+n}$. + +## Soluţie. + +a) $\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{a+1}{2 a+1002}-\frac{a}{2 a+1000}=\frac{1000}{(2 a+1002)(2 a+1000)}>0$ de unde rezultă concluzia. 3p +b) $\frac{a+n}{b+n}-\frac{c+n}{b+n}=\frac{9+n}{1018+n}-\frac{10+n}{1020+n}=\frac{n-1000}{(1018+n)(1020+n)}>0$, rezultă $n>1000$, iar cel mai mic număr natural cu această proprietate este $n=1001$. + +$4 p$ + +Problema 4. Fie $n$ un număr natural nenul. Vom spune că o mulţime $A$ de numere naturale este completă de mărime $n$ dacă elementele ei sunt nenule, iar mulţimea tuturor resturilor obţinute la împărţirea unui element din $A$ la un element din $A$ este $\{0,1,2, \ldots, n\}$. De exemplu, mulţimea $\{3,4,5\}$ este o mulţime completă de mărime 4. + +Determinaţi numărul minim de elemente ale unei mulţimi complete de mărime 100. + +Soluţie. Răspuns: 27 . + +Un exemplu de mulţime completă de mărime 100 cu 27 de elemente este + +$$ +\{76,77,78, \ldots, 100\} \cup\{51,152\} +$$ + +Într-adevăr, la împărţirile $100: x, 76 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $0,1,2, \ldots, 24$, la împărţirile $x: 51,76 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $25,26, \ldots, 49$, la împărţirile $152: x, 77 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $52,53, \ldots, 75$, la împărţirile $x: 152,76 \leq x \leq 100$, obţinem resturile $76,77, \ldots, 100$, la împărţirea 51 : 152 obţinem restul 51 şi la împărţirea 152 : 51 obţinem restul 50. ............... 4p + +Arătăm acum că orice mulţime completă de mărime 100 are cel puţin 27 de elemente. + +Observăm că dacă $A=\left\{a_{1}100$, reiese că $A$ are cel puţin 27 de elemente. $3 p$ + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE - CLASA a VII-a + +Problema 1. Determinaţi numerele naturale nenule distincte $a, b, c, d$, care au simultan proprietăţile: + +(1) Exact trei din cele patru numere sunt prime; + +(2) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2018$. + +Soluţie. $2018=\mathcal{M} 4+2$, două numere sunt pare şi două impare, un număr este 2 1 punct. + +$2018=\mathcal{M} 3+2$, două numere sunt multipli de 3 şi două $\mathcal{M} 3 \pm 1$, un număr este 3 1 punct. + +Dacă $a Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018
CLASA a VIII-a - Soluţii şi barem + +Problema 1. Demonstraţi că există o infinitate de mulţimi formate din patru numere naturale nenule care au proprietatea că suma oricăror trei elemente ale mulţimii este pătrat perfect. + +## Soluţie: + +Evident, dacă $\{a, b, c, d\}$ este o muļ̧ime cu proprietatea din enunţ, atunci şi mulţimea $\left\{n^{2} a, n^{2} b, n^{2} c, n^{2} d\right\}$ este, pentru orice număr natural nenul $n$, o mulţime cu proprietatea dorită, deci este suficient să găsim o asemenea mulţime. + +$1 p$ + +Cum putem găsi o asemenea mulţime? + +Dacă $a+b+c=x^{2}, a+b+d=y^{2}, a+c+d=z^{2}, b+c+d=t^{2}$, си $x, y, z, t \in \mathbb{N}$, atunci prin adunare obţinem $3(a+b+c+d)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$, de unde $a=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-t^{2}$, $b=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-z^{2}, c=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-y^{2}, d=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}{3}-x^{2} . \ldots \mathbf{p} \mathbf{p}$ Pentru ca aceste numere să fie naturale şi nenule, trebuie să alegem $x, y, z, t$ astfel încât $3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$ si $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}>3 \max \left\{x^{2}, y^{2}, z^{2}, t^{2}\right\}$. Există multe alegeri convenabile pentru $x, y, z, t$. De exemplu $\{x, y, z, t\}=\{8,9,10,11\}$ conduce la $\{a, b, c, d\}=$ $\{1,22,41,58\}$. + +$4 p$ + +Notă: Găsirea unei mulţimi cu proprietatea dorită, chiar şi fără a indica modul de găsire a ei va fi punctată cu 6 p. + +Problema 2. Fie $a, b, c, d$ numere naturale astfel încât $a+b+c+d=2018$. Aflaţi valoarea minimă a expresiei + +$$ +E=(a-b)^{2}+2(a-c)^{2}+3(a-d)^{2}+4(b-c)^{2}+5(b-d)^{2}+6(c-d)^{2} +$$ + +## Soluţie: + +Arătăm că minimul căutat este 14. + +Această valoare într-adevăr atinsă, de exemplu dacă $a=b=505$ şi $c=d=504$. . . 1p Deoarece $2018 \mathrm{nu}$ este divizibil cu 4 , numerele $a, b, c, d$ nu pot fi toate egale. + +Dacă trei dintre ele sunt egale, atunci trei dintre pătrate sunt 0 , iar celelalte trei sunt nenule. În plus, cele patru numere trebuie să aibă aceeaşi paritate, deci celelalte pătrate sunt cel puţin 4 . Astfel $E \geq 4+2 \cdot 4+3 \cdot 4>14$. + +$2 p$ + +Dacă două dintre numere sunt egale, iar celelalte două sunt diferite (de acestea două şi diferite între ele), atunci $E \geq 1+2+3+4+5=15>14$. + +$1 p$ + +Dacă două dintre numere sunt egale, iar celelalte două sunt şi ele egale, atunci: + +$a=b, c=d$ implică $E \geq 2+3+4+5=14, a=c, b=d$ implică $E \geq 1+3+4+6=14$, iar $a=d, b=c$ implică $E \geq 1+2+5+6=14$. + +Problema 3. Fie $a, b, c \geq 0$ astfel încât $a b+b c+c a=3$. Demonstraţi că + +$$ +\frac{a}{a^{2}+7}+\frac{b}{b^{2}+7}+\frac{c}{c^{2}+7} \leq \frac{3}{8} +$$ + +## Soluţie: + +Scriem $\frac{a}{a^{2}+7}=\frac{a}{a^{2}+a b+b c+c a+4}=\frac{a}{(a+b)(a+c)+4}$. . . . . . . . . . + +Din inegalitatea mediilor, $(a+b)(a+c)+4 \geq 2 \sqrt{(a+b)(a+c) \cdot 4}=4 \sqrt{(a+b)(a+c)}$. + +$2 p$ + +Deoarece $a+b>0, a+c>0(a+b=0$ ar implica $a=b=0$ şi ar contrazice $a b+b c+c a=3)$, putem scrie $\frac{a}{a^{2}+7} \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a}{a+c}}$. Aplicând din nou inegalitatea mediilor obținem $\frac{a}{a^{2}+7} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)$. Analog se obţin relaţiile $\frac{b}{b^{2}+7} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}\right)$ şi $\frac{c}{c^{2}+7} \leq \frac{1}{8}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right) \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p}$ Prin adunarea acestor trei inegalităţi se obţine inegalitatea din enunţ. $1 p$ (Egalitatea are loc dacă şi numai dacă $a=b=c=1$.) + +Problema 4. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ notăm cu $M$ centrul feţci $A B B^{\prime} A^{\prime}$. Notăm cu $M_{1}$ şi $M_{2}$ proiecţiile lui $M$ pe dreptele $B^{\prime} C$ şi respectiv $A D^{\prime}$. Demonstraţi că: + +a) $\left[M M_{1}\right] \equiv\left[M M_{2}\right]$; + +b) dacă $\left(M M_{1} M_{2}\right) \cap(A B C)=d$, atunci $d \| A D$; + +c) $m\left(\angle\left(\left(M M_{1} M_{2}\right),(A B C)\right)\right)=45^{\circ} \Leftrightarrow \frac{B C}{A B}=\frac{B B^{\prime}}{B C}+\frac{B C}{B B^{\prime}}$. + +## Soluţie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-12.jpg?height=514&width=663&top_left_y=1785&top_left_x=708) + +a) Triunghiurile $A B^{\prime} C$ si $B^{\prime} A D^{\prime}$ sunt congruente (L.L.L.), deci $\angle A B^{\prime} C \equiv \angle B^{\prime} A D^{\prime}$ Cum $\left[M B^{\prime}\right] \equiv[M A], \angle M B^{\prime} M_{1} \equiv \angle M A M_{2}$ ş $\angle M M_{1} B^{\prime} \equiv \angle M M_{2} A$, triunghiurile $M M_{2} A$ şi $M M_{1} B^{\prime}$ sunt congruente (I.U.) şi de aici $\left[M M_{1}\right] \equiv\left[M M_{2}\right]$. $1 \mathrm{p}$ + +b) Construim $M_{1} J \perp B^{\prime} C^{\prime}, J \in B^{\prime} C^{\prime}$ si $M_{2} T \perp A D, T \in A D$. Atunci $M_{1} J \| M_{2} T$ +(ambele perpendiculare pe $(A B C)$ ). In plus, $B^{\prime} M_{1}=A M_{2}$ şi $\angle M_{1} B^{\prime} J \equiv \angle M_{2} A T$ implică $\Delta M_{1} B^{\prime} J \equiv \Delta M_{2} A T$ (I.U.), deci $M_{1} J=M_{2} T$. Rezultă că $M_{1} J M_{2} T$ este paralelogram. Fie $K$ punctul de intersecţie a diagonalelor sale. Dar $A T=B^{\prime} J$ 'si $A T \| B^{\prime} J$ implică $A T J B^{\prime}$ - paralelogram, deci $M K \| A T$. Cum $M K \subset\left(M M_{1} M_{2}\right)$ şi $A T \subset(A B C)$, rezultă că $d \| A D$. $3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-13.jpg?height=371&width=669&top_left_y=660&top_left_x=702) + +c) Fie $M M_{1} \cap A C=\{L\}$ şi $M M_{2} \cap(A B C)=\{S\}$. Atunci $A S\|B D\| B^{\prime} D^{\prime}$ deoarece $B^{\prime} D^{\prime} \subset\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right), B^{\prime} D^{\prime} \| B D$ sुi $B D \subset(A B C)$. Deci $d=L S$. Fie $A V \perp L M_{1}$. Atunci triunghiurile $A V M$ şi $B^{\prime} M_{1} M$ sunt congruente (I.U.), deci $A V=B^{\prime} M_{1}=A M_{2}$. Din $A V \| B^{\prime} C$ rezultă că $\angle L A V \equiv \angle A C B^{\prime} \equiv \angle A D^{\prime} B^{\prime} \equiv \angle S A M_{2}$ (alterne interne deoarece $A S \| B^{\prime} D^{\prime}$ ). Atunci triunghiurile $A V L$ şi $A M_{2} S$ sunt congruente (C.U.), deci $A L=A S$. Dacă $U$ este mijlocul lui $[L S]$, cum $A U \perp L S$ şi $A B \perp L S$ rezultă $A, B, U$ coliniare. Planul $(M A B)$ este planul mediator al lui $[L S]$, deci $M U \perp L S$ şi $A U \perp$ $L S$. Cum $M U \subset\left(M M_{1} M_{2}\right)$ si $A U \subset(A B C)$, deducem că $m\left(\angle\left(\left(M M_{1} M_{2}\right),(A B C)\right)\right)=$ $m(\angle M U A)$. Atunci $m(\angle M U A)=45^{\circ} \Leftrightarrow \frac{B B^{\prime}}{2}=\frac{A B}{2}+A U \Leftrightarrow B B^{\prime}-A B=2 A U$. Dacă $B I \perp B^{\prime} C, I \in B^{\prime} C$, din teorema celor trei perpendiculare rezultă $A I \perp B^{\prime} C$. In triunghiul $B B^{\prime} C$ avem $B I=\frac{B B^{\prime} \cdot B C}{B^{\prime} C}$, deci $A I^{2}=A B^{2}+\frac{B C^{2} \cdot B^{\prime} B^{2}}{B C^{2}+B^{\prime} B^{2}}, C I^{2}=A B^{2}+$ $B C^{2}-A I^{2}$, adică $C I=\frac{B C^{2}}{\sqrt{B C^{2}+B^{\prime} B^{2}}}$. In triunghiul $L M_{1} C, A I \| L M_{1}, M_{1} I=B^{\prime} M_{1}$, deci $\frac{L A}{A C}=\frac{M_{1} I}{C I}=\frac{B^{\prime} M_{1}}{C I}$. Cum $B^{\prime} M_{1}=\frac{B^{\prime} B^{2}}{2 \sqrt{B C^{2}+B^{\prime} B^{2}}}$, rezultă $L A=\frac{B^{\prime} B^{2}}{2 B C^{2}} \cdot \sqrt{A B^{2}+B C^{2}}$. Deoarece $\triangle A U L \sim \triangle C D A$ deducem că $\frac{A U}{A L}=\frac{A B}{\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}}$, deci $A U=\frac{A B \cdot B^{\prime} B^{2}}{2 B C^{2}}$. Atunci $m(\angle M U A)=45^{\circ} \Leftrightarrow 2 A U=\frac{A B \cdot B^{\prime} B^{2}}{B C^{2}}=B^{\prime} B-A B \Leftrightarrow A B \cdot B^{\prime} B^{2}+A B \cdot B C^{2}=B C^{2} \cdot B^{\prime} B \Leftrightarrow$ $\frac{B C}{A B}=\frac{B B^{\prime}}{B C}+\frac{B C}{B B^{\prime}}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-13.jpg?height=374&width=508&top_left_y=2026&top_left_x=777) + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018 + +## CLASA a IX-a + +Problema 1. Arătaţi că dacă într-un triunghi ortocentrul $H$, centrul de greutate $G$ şi centrul $I$ al cercului înscris sunt coliniare, atunci triunghiul este isoscel. + +Soluţie. Dacă triunghiul este echilateral, concluzia este verificată. + +Dacă triunghiul este dreptunghic, atunci o bisectoare este şi mediană, deci concluzia este valabilă. + +În caz contrar, deoarece $G, H$ şi centrul $O$ al cercului circumscris triunghiului sunt coliniare, deducem că $I$ este pe $O H$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-14.jpg?height=388&width=359&top_left_y=820&top_left_x=857) + +Bisectoarea din $A$ trece prin mijlocul $D$ al arcului $\overparen{B C}$ din cercul circumscris triunghiului, care nu-l conţine pe $A$. Dacă triunghiul nu este isoscel, $O, I$ şi $H$ sunt distincte, iar $O D \| A H$ implică $\frac{A H}{O D}=\frac{H I}{O I}$, de unde $A H=\frac{H I}{O I} R$, unde $R$ este raza cercului circumscris. În mod analog deducem $B H=\frac{H I}{O I} R, C H=\frac{H I}{O I} R$, deci $H$ coincide cu $O$, ceea ce contrazice ipoteza din acest caz + +$4 p$ + +Problema 2. Demonstraţi că, dacă $a, b, c \geq 0$ şi $a+b+c=3$, atunci + +$$ +\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a} \geq \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} +$$ + +Soluţie. Eliminând numitorii obţinem inegalitatea echivalentă $a^{2} c+b^{2} a+c^{2} b+\sum a^{2}+$ $\sum a b+\sum a \geq 3+2 \sum a+\sum a b$, adică $a^{2} c+b^{2} a+c^{2} b+\sum a^{2} \geq 6 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{p}$ + +Avem $a^{2} c \geq 2 a c-c$ şi analoagele ................................................................................ + +Este deci suficient să arătăm că $\sum a^{2}+2 \sum a b-\sum a \geq 6$, adică $\left(\sum a\right)^{2}-\sum a \geq 6$, ceea ce reiese imediat din ipoteză + +Problema 3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ şi $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ două funcţii de gradul 2 cu proprietatea: pentru orice număr real $r$, dacă $f(r)$ este număr întreg, atunci şi $g(r)$ este număr întreg. + +Demonstraţi că există două numere întregi $m$ şi $n$ astfel încât $g(x)=m f(x)+n$, oricare ar fi numărul real $x$. + +Soluţie. Înlocuind, eventual, $f \mathrm{cu}-f$, putem presupune $f(x)=a x^{2}+b x+c, g(x)=$ $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$, cu $a>0$. Pentru $t$ întreg, $t \geq \min f$, fie $r_{t}^{\prime}, r_{t}^{\prime \prime}$ soluţile ecuaţiei $f(x)=t$. Atunci $g\left(r_{t}^{\prime}\right)=\frac{\alpha}{a}\left(t-b r_{t}^{\prime}-c\right)+\beta r_{t}^{\prime}+\gamma=m t+p r_{t}^{\prime}+n$, unde $m=\frac{\alpha}{a}, p=\beta-\frac{\alpha b}{a}, n=\gamma-\frac{\alpha c}{a}$; analog pentru $g\left(r_{t}^{\prime \prime}\right)$ $1 p$ + +Numărul $h(t)=\left|g\left(r_{t}^{\prime}\right)-g\left(r_{t}^{\prime \prime}\right)\right|=|p|\left|r_{t}^{\prime}-r_{t}^{\prime \prime}\right|=\frac{|p|}{a} \sqrt{b^{2}-4 a c+4 a t}$ este intreg pentru orice $t \geq \min f$ şi avem + +$$ +h(t+1)-h(t)=\frac{4|p|}{\sqrt{b^{2}-4 a c+4 a t}+\sqrt{b^{2}-4 a c+4 a(t+1)}} +$$ + +Dacă $p \neq 0$, pentru $t$ ales astfel încât $b^{2}-4 a c+4 a t>4 p^{2}$ obţinem $0 Etapa Naţională, 4 aprilie 2018
Clasa a X-a + +## Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(1, \infty)$. Demonstraţi că funcţia $f:[0, \infty) \rightarrow$ $\mathbb{R}$, definită prin relaţia + +$$ +f(x)=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x} +$$ + +pentru orice $x \in[0, \infty)$, este strict crescătoare. + +Soluţie şi barem: Vom realiza demonstraţia prin inducţie matematică. + +Pentru $n=2$, fie $a_{1}, a_{2} \in(1, \infty)$. Avem + +$$ +f(x)=\left(a_{1} a_{2}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}=\left(a_{1}^{x}-1\right)\left(a_{2}^{x}-1\right)-1 +$$ + +Deoarece funcţiile $f_{1}, f_{2}:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, definite prin relaţiile $f_{1}(x)=a_{1}^{x}-1$ şi $f_{2}(x)=a_{2}^{x}-1$, oricare ar fi $x \in[0, \infty)$, sunt strict crescătoare şi pozitive, rezultă că $f$ este strict crescătoare. + +Presupunem proprietatea este adevărată pentru oricare $n$ numere din $(1, \infty)$ şi o demonstrăm pentru $n+1$ numere $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, a_{n+1} \in(1, \infty)$. Avem + +$$ +\begin{aligned} +f(x) & =\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n+1}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x}-a_{n+1}^{x} \\ +& =\left(\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n+1}\right)^{x}-\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{n+1}^{x}\right)+\left(\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x}\right) +\end{aligned} +$$ + +Funcţia $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n} a_{n+1}\right)^{x}-\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{n+1}^{x}$ este strict crescătoare deoarece $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}>1$ şi $a_{n+1}>1(\operatorname{cazul} n=2$ ). + +Funcţia $h:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)^{x}-a_{1}^{x}-a_{2}^{x}-\ldots-a_{n}^{x}$ este strict crescătoare conform ipotezei de inducţie. Atunci $f=g+h$ este strict crescătoare. + +Rezultă că proprietatea din enunţ este demonstrată. $4 p$ + +Problema 2. Triunghiul $A B C$ este înscris în cercul $\mathcal{C}(O, 1)$. Fie $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $O B C, O A C$ şi respectiv $O A B$. Demonstraţi că triunghiul $A B C$ este echilateral dacă şi numai dacă $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}=4$. + +Soluţie şi barem: Dacă triunghiul $A B C$ este echilateral, avem $A G_{1}=B G_{2}=C G_{3}=\frac{4}{3}$, de unde obţinem $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}=4$. $1 \mathrm{p}$ + +Reciproc, considerăm planul complex $A B C$ cu originea în $O$. Notăm cu $p$ afixul unui punct $P$ din planul complex considerat. Avem $g_{1}=\frac{b+c}{3}, g_{2}=\frac{c+a}{3}$ si $g_{3}=\frac{a+b}{3}$. + +$1 p$ + +Egalitatea $A G_{1}+B G_{2}+C G_{3}=4$ este echivalentă cu $\sum\left|a-\frac{b+c}{3}\right|=4$, sau $\sum|3 a-b-c|=12$. Fie $H$ ortocentrul triunghiului $A B C$. Deoarece $h=a+b+c$, conform teoremei lui Sylvester, egalitatea precedentă este echivalentă cu $\sum|4 a-h|=12$. + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +144 & =\left(\sum|4 a-h|\right)^{2} \leq 3 \sum|4 a-h|^{2}=3 \sum\left(16|a|^{2}-4 a \bar{h}-4 \bar{a} h+|h|^{2}\right) \\ +& =144-12 \bar{h} \sum a-12 h \sum \bar{a}+3|h|^{2}=144-21|h|^{2} +\end{aligned} +$$ + +Obţinem $|h|^{2} \leq 0$, deci $|h|=0$. Rezultă $O=H$, deci triunghiul $A B C$ este echilateral. + +$3 p$ + +Problema 3. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$. Demonstraţi că, pentru orice numere complexe $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ şi $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$, următoarele afirmaţii sunt echivalente: +a) $\sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2}$, pentru orice $z \in \mathbb{C}$; +b) $\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\sum_{k=1}^{n} b_{k}$ şi $\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}$. + +Soluţie şi barem: $b) \Rightarrow a$ ) Avem + +$$ +\begin{aligned} +\sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2} & =n|z|^{2}-z \sum_{k=1}^{n} \bar{a}_{k}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \\ +& \leq n|z|^{2}-z \sum_{k=1}^{n} \bar{b}_{k}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} b_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2} \\ +& =\sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2} +\end{aligned} +$$ + +pentru orice $z \in \mathbb{C}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7dc66ddea7628f72ab56g-17.jpg?height=97&width=1710&top_left_y=1368&top_left_x=207) + +Notăm $a=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ şi $b=\sum_{k=1}^{n} b_{k}$. Presupunem, prin reducere la absurd, că $a \neq b$. Fie $z=(1-t) a+t b$, unde $t \in \mathbb{R}$. Atunci + +$$ +\begin{aligned} +\sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2} & =n|z|^{2}-z \sum_{k=1}^{n} \bar{a}_{k}-\bar{z} \sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2} \\ +& =(n-1)|z|^{2}+|z|^{2}-z \bar{a}-\bar{z} a+|a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right) \\ +& =(n-1)|z|^{2}+|z-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right) \\ +& =(n-1)|z|^{2}+t^{2}|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right) +\end{aligned} +$$ + +Analog avem $\sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2}=(n-1)|z|^{2}+(1-t)^{2}|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}-|b|^{2}\right)$. + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +& \sum_{k=1}^{n}\left|z-a_{k}\right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|z-b_{k}\right|^{2} \\ += & 2 t|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}-|b|^{2}\right)-|b-a|^{2} +\end{aligned} +$$ + +Pentru + +$$ +t>\frac{|b-a|^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_{k}\right|^{2}-|b|^{2}\right)-\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{2}-|a|^{2}\right)}{2|b-a|^{2}} +$$ + +este contrazisă ipoteza. Atunci $a=b$. + +Problema 4. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$. Pentru numerele reale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, notăm $S_{0}=1$ si + +$$ +S_{k}=\sum_{1 \leq i_{1} Etapa Finală, 4 aprilie 2018 + +CLASA a XI-a + +## Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Pentru orice număr natural nenul $n$ şi orice matrice coloană + +$$ +\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c} +x_{1} \\ +x_{2} \\ +\vdots \\ +x_{n} +\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z}) +$$ + +notăm cu $\delta(\mathbf{X})$ cel mai mare divizor comun al numerelor $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, şi $\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$. Arătaţi că următoarele două afirmaţii sunt echivalente: + +(a) $|\operatorname{det} \mathbf{A}|=1$ si + +(b) $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$, oricare ar fi $\mathbf{X} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. + +(Cel mai mare divizor comun al unor numere întregi este număr natural.) + +Soluţie. Arătăm că (a) implică (b). Fie $\mathbf{B}=\left(b_{i j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$, fie $\mathbf{X}=\left(x_{j}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$ si fic $\mathbf{B X}=\left(y_{i}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. Cum $y_{i}=\sum_{j=1}^{n} b_{i j} x_{j}, i=1,2, \ldots, n$, rezultă că $\delta(\mathbf{X})$ divide fiecare $y_{i}$, deci $\delta(\mathbf{X}) \leq \delta(\mathbf{B X})$. + +2p + +Cum $\mathbf{A}$ este inversabilă în $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$, rezultă că $\delta(\mathbf{X}) \leq \delta(\mathbf{A X}) \leq \delta\left(\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A X})\right)=\delta(\mathbf{X})$, oricare ar fi $\mathbf{X} \operatorname{din} \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. ..................................................................... + +Arătăm că (b) implică (a). Fie $d=\operatorname{det} \mathbf{A}$. Dacă $d=0$, atunci sistemul omogen $\mathbf{A X}=\mathbf{O}_{n, 1}$ are soluţii nenule în $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Q})$ şi, prin înmulţirea uneia dintre aceste soluţii cu produsul numitorilor componentelor sale nenule, obţinem un $\mathbf{X} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z}), \mathbf{X} \neq \mathbf{O}_{n, 1}$, astfel încât $\mathbf{A X}=\mathbf{O}_{n, 1}$. Deci $0<\delta(\mathbf{X})=\delta(\mathbf{A X})=\delta\left(\mathbf{O}_{n, 1}\right)=0$, o contradicţie. Prin urmare, $d \neq 0$. + +$1 p$ + +Fie $\mathbf{X}_{i}$ coloana $i$ a matricei $\mathbf{A}^{*}, i=1,2, \ldots, n$. Cum matricea coloană $\mathbf{A} \mathbf{X}_{i}$ are toate componentele nule, cu excepţia componentei $i$, care este egală cu $d$, rezultă că $d=\delta\left(\mathbf{A X}_{i}\right)=\delta\left(\mathbf{X}_{i}\right), i=1,2, \ldots, n$, deci toate elementele lui $\mathbf{A}^{*}$ sunt divizibile cu $d$. Prin urmare, det $\mathbf{A}^{*}$ este divizibil cu $d^{n}$. Cum det $\mathbf{A}^{*}=d^{n-1}$ şi $d \neq 0$, rezultă că $d= \pm 1$. + +Remarcă. O matrice pătrată cu elemente întregi şi determinant $\pm 1$ se numeşte unimodulară. Evident, produsul a două matrice unimodulare este unimodular şi orice matrice unimodulară este inversabilă, iar inversa ei este şi ea unimodulară. Prima parte a soluţiei 1 arată că singura dificultate constă în a deduce unimodularitatea lui $\mathbf{A}$ din condiţia $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$, oricare ar fi $\mathbf{X}$ din $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. + +Conform unei teoreme a lui Frobenius, pentru orice matrice $\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{Z})$, există un număr natural $r \leq \min (m, n)$ şi două matrice unimodulare $\mathbf{P}$ şi $\mathbf{Q}$, astfel încât $\mathbf{P A Q}=$ $\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}, 0, \ldots, 0\right)$, unde toţi $d_{i}$ sunt numere naturale şi fiecare $d_{i}$ îl divide pe $d_{i+1}$. + +Fie $m=n$ şi fie $\delta(\mathbf{A X})=\delta(\mathbf{X})$ oricare ar fi $\mathbf{X}$ în $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. Unimodularitatea lui $\mathbf{Q}$ implică $\delta(\mathbf{X})=\delta(\mathbf{Q X})$; prin ipoteză, $\delta(\mathbf{Q X})=\delta(\mathbf{A Q X})$, iar unimodularitatea lui +$\mathbf{P}$ implică $\delta(\mathbf{A Q X})=\delta(\mathbf{P A Q X})$. Deci $\delta(\mathbf{X})=\delta(\mathbf{P A Q X})$, oricare ar fi $\mathbf{X}$ în $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{Z})$. Întrucât $\mathbf{P A Q}$ are forma diagonală de mai sus, rezultă că $r=n$ şi toţi $d_{i}=1$, deci $\mathbf{A}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{Q}^{-1}$ este unimodulară. + +Problema 2. Arătaţi că $2^{-x}+2^{-1 / x} \leq 1$, oricare ar fi numărul real $x>0$. + +Soluţie. Fie $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2^{-x}+2^{-1 / x}$. Cum $f(x)=f(1 / x)$, este suficient să arătăm că $f(x) \leq 1$, oricare ar fi $x \in(0,1]$. $1 p$ + +Cum $f$ este derivabilă şi $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1=f(1)$, pentru a demonstra inegalitatea din enunţ, este suficient să arătăm că valoarea lui $f$ în orice zero al derivatei $f^{\prime}$ din $(0,1)$ este cel mult 1 . + +Fie $a \in(0,1)$, astfel încât $f^{\prime}(a)=0$. Rezultă că $2^{-1 / a} / a^{2}=2^{-a}$, deci $2^{-1 / a}=2^{-a} a^{2}$. Cum $f(a)=2^{-a}+2^{-1 / a}=2^{-a}\left(1+a^{2}\right)$, incgalitatca $f(a) \leq 1$ este cchivalentă cu $1 \leq 2^{a}-a^{2}$. $2 p$ + +Fie $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=2^{x}-x^{2}$. Cum $g$ este de două ori derivabilă şi $g^{\prime \prime}(x)=$ $2^{x}(\ln 2)^{2}-2 \leq 2\left((\ln 2)^{2}-1\right) \leq 0$, oricare ar fi $x$ în $[0,1]$, rezultă că $g$ este concavă, deci $g(x)=g((1-x) \cdot 0+x \cdot 1) \geq(1-x) g(0)+x g(1)=1$. + +2p + +Problema 3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie care are proprietatea lui Darboux. Arătaţi că, dacă $f$ este injectivă pe mulţimea numerelor iraţionale, atunci este $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. + +Soluţie. Vom arăta că $f$ este injectivă pe $\mathbb{R}$. Atunci, cum $f$ are proprietatea lui Darboux, $f$ este (strict) monotonă şi, prin urmare, continuă. ......................................1p + +Presupunem că $f$ nu este injectivă. Fie $a, b \in \mathbb{R}, af(a)$. + +Fie $A=(a, b) \cap \mathbb{Q}$. Cum $A$ este numărabilă, rezultă că $f(A)$ este cel mult numărabilă, şi cum $(f(a), f(c))$ este nenumărabilă, rezultă că $(f(a), f(c)) \backslash f(A)$ este nevidă. . . 4 p + +Fie $d \in(f(a), f(c)) \backslash f(A)$. Cum $f$ are proprietatea lui Darboux, există $x_{1} \in(a, c)$ şi $x_{2} \in(c, b)$, astfel încât $f\left(x_{1}\right)=d=f\left(x_{2}\right)$. Din alegerea lui $d$, rezultă că $x_{1}$ şi $x_{2}$ sunt iraţionale, ceea ce contrazice injectivitatea lui $f$ pe mulţimea numerelor iraţionale. + +$.2 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Fie $n$ un număr întreg, $n \geq 2$, şi fie $\mathbf{A}$ o matrice din $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $\mathbf{A}$ şi $\mathbf{A}^{2}$ să aibă ranguri diferite. Arătaţi că există o matrice nenulă $\mathbf{B}$ în $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $\mathbf{A B}=\mathbf{B A}=\mathrm{B}^{2}=\mathbf{O}_{n}$. + +Soluţie. Întrucât $\mathbf{A}$ şi $\mathbf{A}^{2}$ au ranguri diferite, $\mathbf{A}$ este o matrice singulară nenulă. + +Dacă $n=2$, atunci $\mathbf{A}^{2}=(\operatorname{tr} \mathbf{A}) \mathbf{A}$, conform teoremei Hamilton-Cayley. Deoarece $\mathbf{A}$ şi $\mathbf{A}^{2}$ au ranguri diferite, rezultă că $\operatorname{tr} \mathbf{A}=0$, deci $\mathbf{A}^{2}=\mathbf{O}_{2}$ si putem lua $\mathbf{B}=\mathbf{A} \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Fie $n \geq 3$. Intrucât $\mathbf{A}$ este singulară, 0 este o valoare proprie a lui $\mathbf{A}$. + +Dacă toate valorile proprii ale lui $\mathbf{A}$ sunt nule, atunci $\mathbf{A}$ este nilpotentă, şi putem lua $\mathbf{B}=\mathbf{A}^{k}$, unde $k$ este cel mai mare număr întreg pentru care $A^{k}$ este nenulă. $1 \mathrm{p}$ + +Dacă $\mathbf{A}$ are şi valori proprii nenule, fie $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$, unde $1 \leq m \leq n-1$, valorile sale proprii nenule (nu neapărat distincte) şi fie + +$$ +f=X \prod_{i=1}^{m}\left(X-\lambda_{i}\right)=X^{m+1}+a_{m} X^{m}+\cdots+a_{1} X +$$ + +unde $a_{1}=(-1)^{m} \lambda_{1} \cdots \lambda_{m} \neq 0$. Atunci $f(\mathbf{A}) \neq \mathbf{O}_{n}$, deoarece, în caz contrar, rang $\mathbf{A}=$ $\operatorname{rang}\left(-a_{1} \mathbf{A}\right)=\operatorname{rang}\left(a_{2} \mathbf{A}^{2}+\cdots+\mathbf{A}^{m+1}\right) \leq \operatorname{rang} \mathbf{A}^{2}<\operatorname{rang} \mathbf{A}$, contradicţie. . . . . $\mathbf{2} \mathbf{p}$ + +Fie $f_{\mathbf{A}}$ polinomul caracteristic al lui $\mathbf{A}$. Conform teoremei Hamilton-Cayley, $f_{\mathbf{A}}(\mathbf{A})=$ $\mathbf{O}_{n}$. Cum $f$ este un factor al lui $f_{\mathbf{A}}$ şi $f(\mathbf{A}) \neq \mathbf{O}_{n}$, rezultă că $n=\operatorname{deg} f_{\mathbf{A}}>\operatorname{deg} f=m+1$. + +Deci $\mathbf{A} \prod_{i=1}^{m}\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}_{n}\right)=f(\mathbf{A}) \neq \mathbf{O}_{n}$ si $\mathbf{A}^{n-m} \prod_{i=1}^{m}\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}_{n}\right)=f_{\mathbf{A}}(\mathbf{A})=\mathbf{O}_{n}$. Prin urmare, există un număr natural nenul $k Etapa Naţională, Satu Mare, 4 aprilie 2018 + +## CLASA a XII-a - Soluţii şi barem + +1. Fie $A$ un inel finit şi $a, b \in A$ cu proprietatea $c a ̆(a b-1) b=0$. Arătaţi $c a ̆ ~ b(a b-1)=0$. + +## Soluţie: + +Egalitatea din ipoteză este echivalentă cu $a b^{2}=b$, iar cea de demonstrat cu $b a b=b$. + +Dacă elementul $b$ este idempotent(i.e., $b^{2}=b$ ), atunci $b a b=b a b^{2}=b \cdot b=b^{2}=b$. + +Dacă $b^{m}=b$, cu $m>2$, atunci $b a b=b a b^{m}=b a b^{2} b^{m-2}=b \cdot b \cdot b^{m-2}=b^{m}=b$. + +$2 p$ + +Este suficient să arătăm că există $m \geq 2$ cu proprietatea că $b^{m}=b \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ Inelul $A$ fiind finit, există $1 \leq k1$, atunci $a b^{k}=a b^{m}=a b^{2} b^{m-2}=b^{m-1}$. $1 p$ + +Dacă $k=2$, rezultă că $b=a b^{2}=b^{m-1}$, contrazicând minimalitatea. $1 p$ + +Dacă $k>2$, atunci $b^{k-1}=b \cdot b^{k-2}=a b^{2} b^{k-2}=a b^{k}=b^{m-1}$, contrazicând de asemenea minimalitatea. $1 p$ + +Observaţie: Nu se acordă puncte pentru discutarea cazului unui inel comutativ. + +2. Fie $\mathcal{F}$ mulţimea funcţiilor continue $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ care satisfac condiţia + +$$ +e^{f(x)}+f(x) \geq x+1 +$$ + +pentru orice $x$ număr real. Determinaţi valoarea minimă pe care o poate lua integrala + +$$ +I(f)=\int_{0}^{e} f(x) d x +$$ + +atunci când $f$ parcurge $\mathcal{F}$. + +## Soluţie: + +Vom arăta că valoarea minimă este $\frac{3}{2}$. + +Considerăm funcţia $g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x)=e^{x}+x-1$. + +Aceasta este strict crescătoare şi continuă, cu $\operatorname{Im}(g)=\mathbb{R}$, deci inversabilă,...........1p + +cu inversa de asemenea continuă şi strict crescătoare..................................... $\mathbf{p}$ + +Inegalitatea din enunts se scrie sub forma $g(f(x)) \geq x, \forall x \in \mathbb{R}$, de unde +$f(x) \geq g^{-1}(x), \forall x \in \mathbb{R}$ + +Cum $g^{-1} \in \mathcal{F}$, si $I(f) \geq I\left(g^{-1}\right), \forall f \in \mathcal{F}$, valoarea minimă este $I\left(g^{-1}\right) \ldots$ + +$\mathrm{Cu}$ substituţia $t=g^{-1}(x)$, avem + +$$ +I\left(g^{-1}\right)=\int_{0}^{e} g^{-1}(x) d x=\int_{0}^{1} t g^{\prime}(t) d t=\left.\left((t-1) e^{t}+\frac{t^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{3}{2} +$$ + +Observaţie: Ultimul calcul reface demonstraţia teoremei lui Young, care se poate de asemenea invoca pentru obţinerea concluziei. + +3. Fie $f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ o funcţie integrabilă, iar $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale strict pozitive cu proprietatea că $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +a) Dacă $A=\left\{m \cdot a_{n} \mid m, n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$, arătaţi că orice interval deschis de numere strict pozitive conţine elemente din $A$. + +b) Dacă pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ şi orice $x, y \in[a, b] c u|x-y|=a_{n}$ are loc inegalitatea $\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq|x-y|$, arătaţi că: + +$$ +\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq|x-y|, \quad \forall x, y \in[a, b] +$$ + +## Soluţie: + +a) Deoarece $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, pentru orice $c, d>0$, cu $c0$, cu $\operatorname{Im}(f) \subseteq[-M, M]$. + +Fie $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ fixate şi $x, y \in[a, b]$ cu $|x-y|=m \cdot a_{n}$. Arătăm că + +$$ +\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq|x-y| +$$ + +Definim, pentru $k=\overline{0, m}$, numerele $z_{k} \in[a, b]$ prin + +$$ +z_{k}=x+\frac{k}{m} \cdot(y-x)=\left(1-\frac{k}{m}\right) \cdot x+\frac{k}{m} \cdot y +$$ + +Rezultă că $\left|z_{k}-z_{k-1}\right|=a_{n}$, pentru orice $k=\overline{1, m}$, si + +$$ +\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right|=\left|\int_{z_{0}}^{z_{m}} f(t) d t\right|=\left|\sum_{k=1}^{m} \int_{z_{k-1}}^{z_{k}} f(t) d t\right| \leq \sum_{k=1}^{m}\left|\int_{z_{k-1}}^{z_{k}} f(t) d t\right| \leq \sum_{k=1}^{m}\left|z_{k}-z_{k-1}\right|=|x-y| +$$ + +Fie acum $x, y \in[a, b]$ oarecare şi $d=|x-y|$. Pentru $d=0$, inegalitatea cerută este evidentă. Presupunem în continuare $d>0$. Cum $A$ este densă în $[0, \infty)$, există un şir $\left(d_{n}\right)_{n \geq 1} \subset A$ cu proprietatea că $d_{n} \nearrow d$. Considerăm + +$$ +y_{n}=x+\frac{d_{n}}{d} \cdot(y-x)=\left(1-\frac{d_{n}}{d}\right) \cdot x+\frac{d_{n}}{d} \cdot y +$$ + +Atunci $y_{n} \in[a, b],\left|y_{n}-x\right| \in A$ şi $y_{n} \rightarrow y$. $2 p$ Rezultă că + +$$ +\left|\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right| \leq M \cdot\left|y-y_{n}\right| \longrightarrow 0 +$$ + +Obţinem atunci că + +$\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right|=\left|\int_{x}^{y_{n}} f(t) d t+\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right| \leq\left|\int_{x}^{y_{n}} f(t) d t\right|+\left|\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right| \leq\left|x-y_{n}\right|+\left|\int_{y_{n}}^{y} f(t) d t\right|$. + +Trecând la limită în ultima inegalitate, obţinem inegalitatea cerută. + +$1 p$ + +4. Pentru $k \in \mathbb{Z}$ definim polinomul $F_{k}=X^{4}+2(1-k) X^{2}+(1+k)^{2}$. Să se determine toate valorile $k \in \mathbb{Z}$, astfel încât $F_{k}$ să fie ireductibil peste $\mathbb{Z}$ şi reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$ pentru orice p prim. + +## Soluţie: + +Vom arăta că numerele care satisfac condiţia cerută sunt toate numerele $k \in \mathbb{Z}$ care nu sunt de forma $\pm l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z}$. + +Arătăm că $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}$ dacă şi numai dacă $F_{k}$ se descompune ca produs de două polinoame monice de grad 2 . + +Într-adevăr, dacă $F_{k}$ are o rădăcină întreagă $m$, atunci + +a) dacă $m=0$, atunci $k=-1$, şi $F_{-1}=X^{2}\left(X^{2}+4\right)$. + +b) dacă $m \neq 0$, atunci $-m$ este de asemenea rădăcină, şi $X^{2}-m^{2}$ divide $F_{k}$. + +Deci $F_{k}$ este reductibil peste $Z$ dacă şi numai dacă $F_{k}=\left(X^{2}+a X+b\right)\left(X^{2}+c X+d\right)$, cu $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$. Prin identificarea coeficienţilor, avem că $a+c=0, a c+b+d=2(1-k)$, $a d+b c=0$ şi $b d=(1+k)^{2}$. + +Dacă $a=0$, atunci $c=0, b+d=2(1-k), b d=(1+k)^{2}$, de unde obţinem $(b-d)^{2}=$ $4(1-k)^{2}-4(1+k)^{2}=-16 k$, astfel că $k=-l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z}$. + +Dacă $a \neq 0$, atunci $c=-a, b=d, b^{2}=(1+k)^{2}, 2 b-a^{2}=2(1-k)$. + +Dacă $b=-1-k$, rezultă $a^{2}=-4$, imposibil. Deci $b=1+k$ şi $a^{2}=4 k$, de unde $k=l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z}$. + +Prin urmare, $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}$ dacă şi numai dacă $k= \pm l^{2}$, cu $l \in \mathbb{Z} \ldots \ldots . \mathbf{2 p}$ Arătăm că $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$ cu $p$ prim, pentru orice $k \in \mathbb{Z}$. + +Pentru $p=2$ avem că $F_{k}=X^{4}$ sau $F_{k}=X^{4}+\hat{1}=(X+\hat{1})^{4}$, deci $F_{k}$ este reductibil. . 1p Fie $p$ număr prim impar. Putem presupune că $k \not \equiv 0(\bmod p)$ şi $k \not \equiv-1(\bmod p)$. + +Ca mai sus, $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$ dacă şi numai dacă $F_{k}=\left(X^{2}+\hat{a} X+\hat{b}\right)\left(X^{2}+\hat{c} X+\hat{d}\right)$, cu $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$, care verifică condiţiile $a+c \equiv 0(\bmod p), a c+b+d \equiv 2(1-k)(\bmod p)$, $a d+b c \equiv 0(\bmod p)$ şi $b d \equiv(1+k)^{2}(\bmod p)$. + +Dacă $a \equiv 0(\bmod p)$, avem că $c \equiv 0(\bmod p)$ şi $(b-d)^{2} \equiv-16 k(\bmod p) \cdot(1)$ + +Dacă $a \not \equiv 0(\bmod p)$, atunci $c \equiv-a(\bmod p), b \equiv d(\bmod p), b^{2} \equiv(1+k)^{2}(\bmod p)$ şi $2 b-a^{2} \equiv 2(1-k)(\bmod p)$. + +Pentru $b \equiv-1-k(\bmod p)$ avem că $\left.a^{2} \equiv-4(\bmod p) \cdot \mathbf{2}\right)$ + +Pentru $b \equiv 1+k(\bmod p)$ avem că $\left.a^{2} \equiv 4 k(\bmod p) \cdot \mathbf{3}\right)$ + +Cum $-16 k=-4 \cdot 4 k$, cel puţin unul dintre elementele $-16 k,-\hat{4}$ si $\widehat{4 k}$ este rest pătratic modulo $p$, astfel că cel puţin una dintre ecuaţiile (1), (2) sau (3) are soluţii...........1p Cum $F_{k}=\left(X^{2}+(1-k)\right)^{2}-(-16 k)=\left(X^{2}-(1+k)\right)^{2}-(-4) X^{2}=\left(X^{2}+(1+k)\right)-(4 k) X^{2}$, rezultă că $F_{k}$ este reductibil peste $\mathbb{Z}_{p}$, pentru orice $k \in \mathbb{Z}$. $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-810-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-810-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c6cd95d679e24b62a91548b40d123d3eea78b97 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-810-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,78 @@ +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ + +# 23 februarie 2014 + +## CLASA A V-A + +1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. Dacă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, obținem un număr cu 2826 mai mare decât numărul inițial. Calculați suma cifrelor numărului initial. + +2.) Determinaţi mulţimile $\mathrm{A}$ şi $\mathrm{B}$ ştiind că sunt îndeplinite simultan condițiile: : + +a.) $A-B=\{0,7\}$ + +b.) $B-A=\{3,9\}$ + +c.) $|A \cap B|=3$ (numărul elementelor mulţimii $A \cap B$ este 3 ) + +d.) suma elementelor mulţimii $A \cup B$ este 29 + +3.) La Olimpiada de matematică din cei 72 de elevi participanţi 57 au rezolvat prima problemă, 50 a doua problemă, 60 a treia problemă şi 52 a patra problemă . Arătaţi că cel puţin 3 elevi au rezolvat toate cele patru probleme. + +4.) Împărțind suma a două numere naturale la diferența lor, se obține câtul 3 și restul 2 . Aflați cele două numere, știind că unul dintre ele este cu 2014 mai mare decât celălalt. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. + +Timp de lucru 2 ore + +## OLIMPADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALĂ + +23 februarie 2014 + +BAREM + +CLASA A V-A + +| 1.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| Numărul de patru cifre este: $\overline{a b c 7}$ | 1p | | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | 2p | | +| | 2p | | +| $9 \cdot \overline{a b c}=4167$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $\overline{a b c}=463$ | $\mathbf{1 p}$ | | +| $a+b+c+7=20$ | $\mathbf{1 p}$ | | + + +| 2.) | Din oficiu | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | $A-B=\{0,7\} \Rightarrow 0,7 \in A$ și $0,7 \notin B$ (1) | $\mathbf{1 p}$ | +| | $B-A=\{3,9\} \Rightarrow 3,9 \in B$ și $3,9 \notin A$ (2) | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\|A \cap B\|=3 \Rightarrow \exists x, y, z \in A$ și $x, y, z \in B$ (3) | $\mathbf{1 p}$ | +| | $\mathbf{1 p}$ | | +| | $A \cup B=\{0,3,7,9, x, y, z\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | Din d.) avem $0+3+7+9+x+y+z=29 \Rightarrow x+y+z=10$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Cum din conditiile anterioare avem $\quad x \neq y \neq z$ și $x, y, z \notin\{0,3,7,9\}$
rezultă $x, y, z \in\{1,4,5\}$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $A=\{0,1,4,5,7\}$ și $B=\{1,3,4,5,9\}$ | $\mathbf{1 p}$ | + + +| 3.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :---: | +| | Au fost rezolvate în total $57+50+60+52=219$ probleme | 2p | +| | Dacă fiecare elev ar fi rezolvat cel mult 3 probleme s-ar fi rezolvat în total cel
mult $72 \cdot 3=216$ probleme. | $\mathbf{3 p}$ | +| | Dar s-au rezolvat cu $219-216=3$ probleme mai mult | $\mathbf{2 p}$ | +| Diferenţa provine din faptul că 3 elevi (cel puţin), au rezolvat toate cele 4
probleme. | $\mathbf{2 p}$ | | + + +| 4.) | Din oficiu | 1p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Fie $a>b$ şi $a, b \in N$. Avem $\mathrm{a}+\mathrm{b}=3(\mathrm{a}-\mathrm{b})+2$ şi | $\mathbf{3 p}$ | +| | $\mathrm{a}=\mathrm{b}+2014$ | $\mathbf{1 p}$ | +| | $2 \mathrm{~b}=\mathrm{a}+1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $\mathrm{a}=4029, \mathrm{~b}=2015$ | $\mathbf{3 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-811-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-811-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6639101981583f8f1f17083ddab03808fc79524e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-811-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,121 @@ +# CLASA a XII-a + +## Problema 1. + +Pe mulţimea $G=(0, \infty)$ definim legea de compoziţie: + +$x \circ y=2 \sqrt[n]{\left(\log _{2} x\right)^{n}+\left(\log _{2} y\right)^{n}-2^{n}},(\forall) x, y \in G$, unde $n \geq 3$ este natural impar. + +a) Arătaţi că $(G, \circ)$ este grup abelian. + +b) Arătaţi că funcţia $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(\log _{2} x\right)^{n}-2^{n}$ este izomorfism de la grupul ( $G, \circ$ ) la grupul $(\mathbb{R},+$ ). + +c) Rezolvaţi ecuaţia $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{2014 \text { ori }}=4$, în grupul $(G, \circ)$. + +## Problema 2. + +Fie ( $G, \cdot$ ) un grup şi $f, g$ două endomorfisme ale grupului $G, g$ injectivă. Arătaţi că grupul $G$ este comutativ în fiecare din următoarele situaţii: +a) $f(x)=g\left(x^{2}\right),(\forall) x \in G$. +b) $f(x)=g\left(x^{-1}\right),(\forall) x \in G$. + +## Problema 3. + +Considerăm funcţiile $f, g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că $\frac{f(x)}{x}$ este o primitivă pentru $g$ ş $\frac{g(x)}{x}$ este o primitivă pentru $f$. + +a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=\left(x+\frac{1}{x}\right) \cdot(f(x)+g(x)),(\forall) x>0$. + +b) Determinaţi funcţiile $f$ şi $g$. + +## Problema 4. + +Determinaţi funcţiile continue $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ şi constanta reală $L$ ştiind că: + +a) există $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot f(x)=L$; +b) $\int_{x}^{2 x} f(t) d t=1,(\forall) x>0$. + +NOTĂ : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, JUDEȚUL ALBA
13.02.2014
BAREM DE CORECTARE
CLASA a XII-a + +## Problema 1. + +Pe mulţimea $G=(0, \infty)$ definim legea de compoziţie: + +$x \circ y=2 \sqrt[n]{\left(\log _{2} x\right)^{n}+\left(\log _{2} y\right)^{n}-2^{n}},(\forall) x, y \in G$, unde $n \geq 3$ este natural impar. + +a) Arătaţi că $(G, \circ)$ este grup abelian. + +b) Arătaţi că funcţia $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(\log _{2} x\right)^{n}-2^{n}$ este izomorfism de la grupul $(G, \circ$ ) la grupul $(\mathbb{R},+$ ). + +c) Rezolvaţi ecuaţia $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{2014 \text { ori }}=4$, în grupul $(G, \circ)$. + +## Soluţie şi barem: + +a) Asociativitate, $(x \circ y) \circ z=2 \sqrt[n]{\left(\log _{2} x\right)^{n}+\left(\log _{2} y\right)^{n}+\left(\log _{2} z\right)^{n}-2 \cdot 2^{n}}$ ..... $1 p$ +Elementul neutru $e=4 \in G$ ..... $1 p$ +Simetricul elementului $x \in G, x^{\prime}=2 \sqrt[n]{2 \cdot 2^{n}-\left(\log _{2} x\right)^{n}} \in G$ ..... $1 p$ +b) $f$ bijectivă ..... $1 p$ +$f(x \circ y)=f(x)+f(y),(\forall) x, y \in G$ ..... $.1 p$ +c) Egalitatea $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{2014 \text { ori }}=4$ este echivalentă cu $2014 \cdot f(x)=f(4)=0$ ..... $1 p$ +$f(x)=0 \Rightarrow\left(\log _{2} x\right)^{n}-2^{n}=0$, de unde $x=4$. ..... $.1 p$ + +## Problema 2. + +Fie ( $G$, ) un grup şi $f, g$ două endomorfisme ale grupului $G, g$ injectivă. Arătaţi că grupul $G$ este comutativ în fiecare din următoarele situaţii: +a) $f(x)=g\left(x^{2}\right),(\forall) x \in G$. +b) $f(x)=g\left(x^{-1}\right),(\forall) x \in G$. + +## Soluţie şi barem: + +a) $g\left((x y)^{2}\right)=f(x y)=f(x) f(y)=g\left(x^{2}\right) g\left(y^{2}\right)=g\left(x^{2} y^{2}\right)$ ..... $.2 p$ +$g$ injectivă $\Rightarrow(x y)^{2}=x^{2} y^{2},(\forall) x, y \in G$ ..... $1 p$ +$x y x y=x x y y \Rightarrow y x=x y,(\forall) x, y \in G \Rightarrow G$ este comutativ. ..... $.1 p$ +b) $g\left((x y)^{-1}\right)=f(x y)=f(x) f(y)=g\left(x^{-1}\right) g\left(y^{-1}\right)=g\left(x^{-1} y^{-1}\right)$ ..... $1 p$ +$g$ injectivă $\Rightarrow(x y)^{-1}=x^{-1} y^{-1},(\forall) x, y \in G$ ..... $1 p$ +$(x y)^{-1}=x^{-1} y^{-1}=y^{-1} x^{-1}=(y x)^{-1} \Rightarrow y x=x y,(\forall) x, y \in G \Rightarrow G$ este +comutativ ..... $1 p$ + +## Problema 3. + +Considerăm funcţiile $f, g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că $\frac{f(x)}{x}$ este o primitivă pentru $g$ ş $\frac{g(x)}{x}$ este o primitivă pentru $f$. + +a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=\left(x+\frac{1}{x}\right) \cdot(f(x)+g(x)),(\forall) x>0$. + +b) Determinaţi funcţiile $f$ şi $g$. + +## Soluţie şi barem: + +a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{f^{\prime}(x) \cdot x-f(x)}{x^{2}}=g(x) \\ \frac{g^{\prime}(x) \cdot x-g(x)}{x^{2}}=f(x)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x) \cdot x=f(x)+x^{2} \cdot g(x) \\ g^{\prime}(x) \cdot x=g(x)+x^{2} \cdot f(x)\end{array}\right.\right.$, ( $) x>0 \ldots \ldots . . . . . . . . .2 \mathbf{p}$ + +Adunând relaţiile de mai sus, obţinem egalitatea cerută + +$1 p$ + +b) Notăm $h=f+g$ şi din punctul a) avem $h^{\prime}(x)-\left(x+\frac{1}{x}\right) \cdot h(x)=0,(\forall) x>0$, ceea ce este echivalent $\mathrm{cu}\left(h(x) \cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}-\ln x}\right)^{\prime}=0,(\forall) x>0$ + +Rezultă $f(x)+g(x)=a \cdot x \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}},(\forall) x>0$, unde $a \in \mathbb{R}$ + +$.1 p$ + +Analog se obţine $f(x)-g(x)=b \cdot x \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}},(\forall) x>0$, unde $b \in \mathbb{R}$ $1 p$ Obţinem $f(x)=\frac{x}{2}\left(a \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}}+b \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right), g(x)=\frac{x}{2}\left(a \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}}-b \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right), a, b \in \mathbb{R} \mathbf{1 p}$ + +## Problema 4. + +Determinaţi funcţiile continue $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ şi constanta reală $L$ ştiind că: + +a) există $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot f(x)=L$; +b) $\int_{x}^{2 x} f(t) d t=1,(\forall) x>0$. + +## Soluţie şi barem: + +Din b) rezultă $F(2 x)-F(x)=1,(\forall) x>0$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$........2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_76895e800db888dc4a4dg-3.jpg?height=86&width=1442&top_left_y=1670&top_left_x=381) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_76895e800db888dc4a4dg-3.jpg?height=82&width=1427&top_left_y=1758&top_left_x=383) +$L=\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{2^{n}} \cdot f\left(\frac{x}{2^{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x \cdot f(x)=x f(x),(\forall) x>0$, de unde $f(x)=\frac{L}{x},(\forall) x>0$. + +Prin înlocuire în b) rezultă $L(\ln 2 x-\ln x)=1,(\forall) x>0$, de unde $L=\frac{1}{\ln 2}$ şi funcţia $f(x)=\frac{1}{x \ln 2},(\forall) x>0$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-812-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-812-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2a53c015b98be7512e05dd483ac7ed03da89a324 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-812-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,137 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +FAZA LOCALĂ, JUDEȚUL ALBA + +13.02.2014 + +## CLASA a XI-a + +## Problema 1. + +Considerăm matricea $A=\left(\begin{array}{cc}5 & 4 \\ -2 & -1\end{array}\right), A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +a) Arătaţi că $A^{2}-4 A+3 I_{2}=O_{2}$. + +b) Arătaţi că există două şiruri de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel încât să avem $A^{n}=x_{n} \cdot A+y_{n} \cdot I_{2},(\forall) n \geq 1$ şi apoi calculaţi limita + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x_{n}}{3^{n}+1}\right)^{3^{n}} +$$ + +## Problema 2. + +Se dă matricea $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}), A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$. Notăm $\operatorname{tr}(A)=a+d$. + +a) Arătaţi că $A^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det}(A) \cdot I_{2}=O_{2}$. + +b) Dacă există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $A^{n}=O_{2}$, arătaţi că $A^{2}=O_{2}$. + +c) Dacă există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $A^{n}=O_{2}$, arătaţi că $\operatorname{det}\left(I_{2}+A X A\right)=1$, pentru orice matrice $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +## Problema 3. + +Considerăm şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $\left\{\begin{array}{c}x_{1} \in(0,1) \\ x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{4},(\forall) n \geq 1\end{array}\right.$. + +a) Arătaţi că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi calculaţi limita sa. + +b) Arătaţi că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[3]{n} \cdot x_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$. + +c) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+x_{n}^{3}\right)^{n}$. + +## Problema 4. + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale cu proprietatea că + +$$ +\sqrt{n \cdot x_{n}+n+1}-\sqrt{n \cdot x_{n}+1} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \sqrt{n \cdot x_{n}+n}-\sqrt{n \cdot x_{n}},(\forall) n \geq 1 +$$ + +Calculaţi limita şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$. + +NOTĂ : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, JUDEṬUL ALBA
13.02.2014
BAREM DE CORECTARE
CLASA a XI-a + +## Problema 1. + +Considerăm matricea $A=\left(\begin{array}{cc}5 & 4 \\ -2 & -1\end{array}\right), A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +a) Arătaţi că $A^{2}-4 A+3 I_{2}=O_{2}$. + +b) Arătaţi că există două şiruri de numere reale $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel încât să avem $A^{n}=x_{n} \cdot A+y_{n} \cdot I_{2},(\forall) n \geq 1$ şi apoi calculaţi limita + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x_{n}}{3^{n}+1}\right)^{3^{n}} +$$ + +## Soluţie şi barem: + +a) $A^{2}=\left(\begin{array}{cc}17 & 16 \\ -8 & -7\end{array}\right)$ + +Finalizare + +$.1 p$ +b) $x_{1}=1, y_{1}=0 ; x_{2}=4, y_{2}=-3$ ..... $1 p$ +$A^{n+1}=A^{n} \cdot A=\left(x_{n} \cdot A+y_{n} \cdot I_{2}\right) \cdot A=x_{n} \cdot A^{2}+y_{n} \cdot A=\left(4 x_{n}+y_{n}\right) \cdot A-3 x_{n} \cdot I_{2}$, +de unde obținem $x_{n+1}=4 x_{n}+y_{n}$ si $y_{n+1}=-3 x_{n}$, $(\forall) n \geq 1$ ..... $.1 p$ +$x_{n+1}-4 x_{n}+3 x_{n-1}=0$, ( $\left.\forall\right) n \geq 2 \Rightarrow x_{n}=\frac{3^{n}-1}{2}$ si $y_{n}=\frac{3-3^{n}}{2},(\forall) n \geq 1$ ..... $2 p$ +$l=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}\right)^{3^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{3^{n}+1}\right)^{3^{n}}=e^{-2}$ ..... $1 p$ + +## Problema 2. + +Se dă matricea $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}), A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$. Notăm $\operatorname{tr}(A)=a+d$. + +a) Arătaţi că $A^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det}(A) \cdot I_{2}=O_{2}$. + +b) Dacă există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $A^{n}=O_{2}$, arătaţi că $A^{2}=O_{2}$. + +c) Dacă există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $A^{n}=O_{2}$, arătaţi că $\operatorname{det}\left(I_{2}+A X A\right)=1$, pentru orice matrice $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +## Soluţie şi barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0026720ce8590832c3dbg-2.jpg?height=108&width=1562&top_left_y=2099&top_left_x=310) + +Finalizare + +$.1 p$ +b) $\operatorname{det}(A)=0 \Rightarrow A^{2}=t A$, unde $t=\operatorname{tr}(A)$ ..... $1 p$ +$A^{n}=t^{n-1} A,(\forall) n \geq 1$ ..... $.1 p$ +$t=0$ sau $A=O_{2}$, de unde rezultă $A^{2}=O_{2}$ ..... 1p +c) $\operatorname{det}\left(I_{2}+A X A\right)=\operatorname{det}\left(I_{2}+X A^{2}\right)=\operatorname{det}\left(I_{2}\right)=1,(\forall) X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ ..... $.2 p$ + +## Problema 3. + +Considerăm şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $\left\{\begin{array}{c}x_{1} \in(0,1) \\ x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{4},(\forall) n \geq 1\end{array}\right.$. + +a) Arătaţi că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi calculaţi limita sa. +b) Arătaţi că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[3]{n} \cdot x_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$. + +c) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+x_{n}^{3}\right)^{n}$. + +## Soluţie şi barem: + +a) $x_{n} \in(0,1)$ şi $x_{n}$ strict descrescător, deci $x_{n}$ este convergent + +Din relaţia de recurenţă, obţinem că $x_{n}$ are limita egală cu 0 +b) $l=\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot x_{n}^{3}=\frac{n+1-n}{1 / x_{n+1}^{3}-1 / x_{n}^{3}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{3} \cdot x_{n+1}^{3}}{x_{n}^{3}-x_{n+1}^{3}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{3} \cdot x_{n+1}^{3}}{x_{n}^{3}-x_{n}^{3}\left(1-x_{n}^{3}\right)^{3}} \ldots \ldots 2 \mathbf{p}$ $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{3}\left(1-x_{n}^{3}\right)^{3}}{1-\left(1-x_{n}^{3}\right)^{3}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1-x_{n}^{3}\right)^{3}}{3-3 x_{n}^{3}+x_{n}^{6}}=\frac{1}{3} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[3]{n} \cdot x_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ +c) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+x_{n}^{3}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+x_{n}^{3}\right)^{1 / x_{n}^{3}}\right]^{n \cdot x_{n}^{3}}=e^{1 / 3}=\sqrt[3]{e}$ + +## Problema 4. + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale cu proprietatea că + +$$ +\sqrt{n \cdot x_{n}+n+1}-\sqrt{n \cdot x_{n}+1} \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \leq \sqrt{n \cdot x_{n}+n}-\sqrt{n \cdot x_{n}},(\forall) n \geq 1 +$$ + +Calculaţi limita şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$. + +## Soluţie şi barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0026720ce8590832c3dbg-3.jpg?height=395&width=1587&top_left_y=1242&top_left_x=297) +$\sqrt{1+x_{n}+\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{2}+\sqrt{x_{n}+\frac{1}{n}} \Rightarrow \frac{9}{16} \leq x_{n}+\frac{1}{n},(\forall) n \geq 1$ ..... $.2 p$ +$\frac{1}{2}+\sqrt{x_{n}} \leq \sqrt{1+x_{n}} \Rightarrow x_{n} \leq \frac{9}{16},(\forall) n \geq 1$ ..... $.2 p$ +$0 \leq \frac{9}{16}-x_{n} \leq \frac{1}{n}$, deci şirul $x_{n}$ este convergent către $\frac{9}{16}$ ..... $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-813-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-813-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bac4ddc2ec1264378b039ecfb8e31ff91b8157a7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-813-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, JUDEȚUL ALBA
13.02.2014 + +## Clasa a X-a + +1. Fie $M \subset \mathbb{C}$ o mulţime care satisface proprietăţile: +i) $0 \in M$; + +ii) $x \in M \Rightarrow(\cos x+i \sin x) \in M$; + +iii) $(\cos 2 x+i \sin 2 x) \in M \Rightarrow x \in M$. + +Să se arate că: +a) $M$ conţine cel puţin 3 numere întregi; +b) $M$ conţine o infinitate de numere iraţionale; +c) $M$ conţine o infinitate de numere complexe nereale; + +2. Să se determine $x, y \in \mathbb{Q}$ care verifică $\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=-11 x+2 y$ şi $\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=2 x+11 y$. +3. Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuaţia: $\log _{a}[x]=\left[\log _{a} x\right], a \in \mathbb{N}, a \geq 2$. +4. Fie $a>0, n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ şi sistemul $\left\{\begin{array}{c}a^{x_{1}}+a^{x_{2}}+\cdots+a^{x_{n-1}}=n-a^{2} \\ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}=n-1\end{array}\right.$. Arătaţi că dacă sistemul are soluţie, atunci $a \leq 1$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul de lucru este de 3 ore. + +## BAREM OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, JUDEȚUL ALBA
13.02.2014
Clasa a X-a + +1. Fie $M \subset \mathbb{C}$ o mulţime care satisface proprietăţile: +i) $0 \in M$; + +ii) $x \in M \Rightarrow(\cos x+i \sin x) \in M$; + +iii) $(\cos 2 x+i \sin 2 x) \in M \Rightarrow x \in M$. + +Să se arate că: +a) $M$ conţine cel puţin 3 numere întregi; +b) $M$ conţine o infinitate de numere iraţionale; +c) $M$ conţine o infinitate de numere complexe nereale; + +Barem: a) $\cos 0+i \sin 0 \in M \Rightarrow 1 \in M$ + +... $1 p$ + +$1=\cos 2 \pi+i \sin 2 \pi \in M \Rightarrow \pi \in M \Rightarrow \cos \pi+i \sin \pi \in M \Rightarrow-1 \in M \quad \ldots 2 p$ +b) $1=\cos 2 k \pi+i \sin 2 k \pi \in M, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \pi \in M, \forall k \in \mathbb{Z}$ +c) $\cos \pi+i \sin \pi \in M \Rightarrow \frac{\pi}{2} \in M \Rightarrow \cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2} \in M$ + +Demonstraţia prin inducţie: $\cos \frac{\pi}{2^{n}}+i \sin \frac{\pi}{2^{n}} \in M, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ + +2. Să se determine $x, y \in \mathbb{Q}$ care verifică $\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=-11 x+2 y$ şi $\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=2 x+11 y$. GM + +## Barem : + +Se consideră $z=x+i y, x, y \in \mathbb{R}$. Observăm că $z^{-1}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} i \quad \ldots 1 p$ $z^{-2}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} i$ + +Se înmulţeşte cu $(-i)$ a doua ecuaţie şi se adună cu prima, după care se rescrie ecuaţia obţinută folosind pe $z$. + +$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} i=-11 x+2 y-2 x i-11 y i$ + +$z^{-1}=-(11+2 i) z \Rightarrow z^{3}=-\frac{1}{11+2 i} \Rightarrow z^{3}=\left(\frac{1-2 i}{5}\right)^{3}$ + +Soluţii raţionale se obţin numai pentru $z=\frac{1-2 i}{5}, \quad x=\frac{1}{s}, y=-\frac{2}{5}$ + +3. Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuaţia: $\log _{a}[x]=\left[\log _{a} x\right], a \in \mathbb{N}, a \geq 2$. + +Barem: Condiţii de existenţă: $\quad x \in[1,+\infty)$ + +$$ +a^{k}+1 \leq a^{k+1} \text { pentru } a \geq 2 \text { şi } k \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in \bigcup_{k \in \mathbb{N}}\left[a^{k}, a^{k}+1\right) +$$ + +4. Fie $a>0, n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ şi sistemul $\left\{\begin{array}{c}a^{x_{1}}+a^{x_{2}}+\cdots+a^{x_{n-1}}=n-a^{2} \\ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}=n-1\end{array}\right.$. Arătaţi că dacă sistemul are soluţie, atunci $a \leq 1$. + +## Barem : + +$a^{x_{1}}+a^{x_{2}}+\cdots+a^{x_{n}} \geq(n-1) \sqrt[n-1]{a^{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}}}=(n-1) \sqrt[n-1]{a^{n-1}}=(n-1) a$ + +$n-a^{2} \geq(n-1) a, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ + +... $2 p$ + +$a \in[0,1)$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-814-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-814-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ca351e14b94a69fc79fe0677618ed599e2af65a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-814-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,135 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, JUDEȚUL ALBA
13.02.2014 + +## CLASA a IX-a + +## Problema 1. + +a) Arătaţi că $x^{3}-3 x+2 \geq 0,(\forall) x>0$. + +b) Arătaţi că pentru orice numere reale $a, b, c \in[0,1]$, este adevărată inegalitatea: + +$$ +\frac{a}{b+c^{3}+7}+\frac{b}{c+a^{3}+7}+\frac{c}{a+b^{3}+7} \leq \frac{1}{3} +$$ + +## Problema 2. + +Să se determine numerele reale strict pozitive $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, cu $a_{1}=1$, pentru care este adevărată egalitatea: + +$$ +\frac{3}{a_{1} \cdot a_{2}}+\frac{5}{a_{2} \cdot a_{3}}+\frac{7}{a_{3} \cdot a_{4}}+\ldots+\frac{2 n+1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=1-\frac{1}{a_{n+1}},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +## Problema 3. + +Fie paralelogramul $A B C D$ şi punctele $M \in(A D), N \in(B C), P \in(M N)$, astfel încât $\frac{B N}{B C}+2 \cdot \frac{A M}{A D}=2$ şi $\frac{P N}{P M}=2$. Arătaţi că punctele $B, P, D$ sunt coliniare. + +## Problema 4. + +În interiorul unui triunghi ascuţitunghic $A B C$ se consideră punctul $M$. Bisectoarele interioare ale unghiurilor $\Varangle B M C, \Varangle A M C, \Varangle A M B$ intersectează laturile $B C, A C$, respectiv $A B$ în punctele $D, E$, respectiv $F$. + +a) Arătaţi că dreptele $A D, B E$ şi $C F$ sunt concurente într-un punct $P$. + +b) Arătaţi că $\frac{F A}{F B}+\frac{E A}{E C}=\frac{P A}{P D}$. + +c) Arătaţi că $\frac{P A}{P D}+\frac{P B}{P E}+\frac{P C}{P F} \geq 6$. Cine este punctul $M$ în cazul în care avem egalitate? + +NOTĂ : Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ, JUDEȚUL ALBA
13.02.2014
BAREM DE CORECTARE
CLASA a IX-a + +## Problema 1. + +a) Arătaţi că $x^{3}-3 x+2 \geq 0,(\forall) x>0$. + +b) Arătaţi că pentru orice numere reale $a, b, c \in[0,1]$, este adevărată inegalitatea: + +$\frac{a}{b+c^{3}+7}+\frac{b}{c+a^{3}+7}+\frac{c}{a+b^{3}+7} \leq \frac{1}{3}$. + +## Soluţie şi barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=63&width=1510&top_left_y=965&top_left_x=336) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=65&width=1462&top_left_y=1024&top_left_x=385) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=72&width=1510&top_left_y=1089&top_left_x=336) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=96&width=1477&top_left_y=1160&top_left_x=375) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=84&width=1456&top_left_y=1248&top_left_x=380) + +## Problema 2. + +Să se determine numerele reale strict pozitive $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, cu $a_{1}=1$, pentru care este adevărată egalitatea: + +$\frac{3}{a_{1} \cdot a_{2}}+\frac{5}{a_{2} \cdot a_{3}}+\frac{7}{a_{3} \cdot a_{4}}+\ldots+\frac{2 n+1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=1-\frac{1}{a_{n+1}},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$ + +## Soluţie şi barem: + +$n=1 \Rightarrow \frac{3}{a_{2}}=1-\frac{1}{a_{2}} \Rightarrow a_{2}=4$................................................................................. + +$n=2 \Rightarrow \frac{3}{4}+\frac{5}{4 a_{3}}=1-\frac{1}{a_{3}} \Rightarrow a_{3}=9$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=62&width=1499&top_left_y=1965&top_left_x=336) + +Din ipoteză avem $1-\frac{1}{a_{k}}+\frac{2 k+1}{a_{k} \cdot a_{k+1}}=1-\frac{1}{a_{k+1}} \Rightarrow \frac{2 k+1}{a_{k} \cdot a_{k+1}}+\frac{1}{a_{k+1}}=\frac{1}{a_{k}}$. .................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-2.jpg?height=60&width=1502&top_left_y=2106&top_left_x=337) + +În concluzie $a_{n}=n^{2}$, pentru orice $n$ număr natural nenul. ..........................................1p + +## Problema 3. + +Fie paralelogramul $A B C D$ şi punctele $M \in(A D), N \in(B C), P \in(M N)$, astfel încât $\frac{B N}{B C}+2 \cdot \frac{A M}{A D}=2$ şi $\frac{N P}{P M}=2$. Arătaţi că punctele $B, P, D$ sunt coliniare. + +## Soluţie şi barem: + +a) Notăm $\frac{B N}{B C}=k$ şi $\frac{A M}{A D}=m$ şi avem $\overrightarrow{B N}=k \overrightarrow{B C}$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-3.jpg?height=303&width=639&top_left_y=251&top_left_x=206) + +$$ +\overrightarrow{A M}=m \overrightarrow{A D}=m \overrightarrow{B C} +$$ + +$\overrightarrow{B P}=k \overrightarrow{B C}+\frac{2}{3} \overrightarrow{N M}$.....................................1p + +$\overrightarrow{B P}=k \overrightarrow{B C}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A M}) \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{1 p}$ + +$\overrightarrow{B P}=k \overrightarrow{B C}+\frac{2}{3}(-k \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}+m \overrightarrow{B C}) \ldots \ldots \ldots . . . .1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{B P}=\frac{k+2 m}{3} \overrightarrow{B C}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B A}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}) \\ +& \text { 1p } +\end{aligned} +$$ + +$\overrightarrow{B P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B D}$, de unde rezultă că punctele $B, P, D$ sunt coliniare .................................1p + +## Problema 4. + +În interiorul unui triunghi ascuţitunghic $A B C$ se consideră punctul $M$. Bisectoarele interioare ale unghiurilor $\Varangle B M C, \Varangle A M C, \Varangle A M B$ intersectează laturile $B C, A C$, respectiv $A B$ în punctele $D, E$, respectiv $F$. + +a) Arătaţi că dreptele $A D, B E$ şi $C F$ sunt concurente într-un punct $P$. + +b) Arătaţi că $\frac{F A}{F B}+\frac{E A}{E C}=\frac{P A}{P D}$. + +c) Arătaţi că $\frac{P A}{P D}+\frac{P B}{P E}+\frac{P C}{P F} \geq 6$. Cine este punctul $M$ în cazul în care avem egalitate? + +## Soluţie şi barem: + +a) Din teorema bisectoarei, rezultă $\frac{D B}{D C}=\frac{M B}{M C}, \frac{E C}{E A}=\frac{M C}{M A}$ si + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-3.jpg?height=394&width=577&top_left_y=1453&top_left_x=157) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_55fac7dbc24b8ba3d98dg-3.jpg?height=223&width=968&top_left_y=1482&top_left_x=881) +b) $\triangle A B D$ şi transversala $F-P-C \Rightarrow \frac{F A}{F B} \cdot \frac{B C}{C D} \cdot \frac{P D}{P A}=1 \Rightarrow$ $\frac{F A}{F B}=\frac{P A}{P D} \cdot \frac{C D}{B C}$. $.1 p$ + +$\triangle A D C$ şi transversala $E-P-B \Rightarrow \frac{E A}{E C} \cdot \frac{B C}{B D} \cdot \frac{P D}{P A}=1 \Rightarrow \frac{E A}{E C}=\frac{P A}{P D} \cdot \frac{B D}{B C}$. Rezultă în continuare: $\frac{F A}{F B}+\frac{E A}{E C}=\frac{P A}{P D}\left(\frac{C D}{B C}+\frac{B D}{B C}\right)=\frac{P A}{P D}$. +c) $\frac{P A}{P D}=\frac{M A}{M B}+\frac{M A}{M C} ; \frac{P B}{P E}=\frac{M B}{M C}+\frac{M B}{M A} ; \frac{P C}{P F}=\frac{M C}{M A}+\frac{M C}{M B}$. + +$\frac{P A}{P D}+\frac{P B}{P E}+\frac{P C}{P F}=\left(\frac{M A}{M B}+\frac{M B}{M A}\right)+\left(\frac{M B}{M C}+\frac{M C}{M B}\right)+\left(\frac{M C}{M A}+\frac{M A}{M C}\right) \geq 2+2+2=6$. Avem egalitate dacă şi numai dacă $M A=M B=M C$, adică $M$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-815-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-815-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..578806377b1319af8781850416e6d3cacb9daad7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-815-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ + +OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ , + +CLASA a XII - a + +22 FEBRUARIE 2014 + +1. Demonstraţi că $\int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{1+x^{2014}}}{2015^{x}+1} d x \leq \sqrt{\frac{2016}{2015}}$. +2. Calculați $\int \frac{\cos 2014 x}{\sin x} d x$. +3. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup cu 2014 elemente și cu proprietatea că $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{4}$ morfism de grupuri. Arătați că $(G, \cdot)$ este grup comutativ. +4. Pe $\mathbb{R}$ definim legea $x * y=5 x y+5(x+y)+4, x, y \in \mathbb{R}$. +a) $(\mathbb{R}, *)$ este grup? + +b) Calculați $(-2014) *(-2013) * \ldots * 2013 * 2014$; + +c) Determinați ultimele 2006 cifre ale numărului $1 * 2 * \ldots * 2014$. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte Timp de lucru 3 ore + +## BAREM XII + +1. Demonstraţi că $\int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{1+x^{2014}}}{2015^{x}+1} d x \leq \sqrt{\frac{2016}{2015}}$. + +Soluție. $I=\int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{1+x^{2014}}}{2015^{x}+1} d x=\int_{-1}^{0} \frac{\sqrt{1+x^{2014}}}{2015^{x}+1} d x+\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1+x^{2014}}}{2015^{x}+1} d x=\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1+(-x)^{2014}}}{2015^{-x}+1} d x+$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_07c9db5797f75030e76ag-2.jpg?height=96&width=1430&top_left_y=689&top_left_x=445) + +Din inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz $\Rightarrow\left(\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2014}} d x\right)^{2} \leq$ $\int_{0}^{1} 1^{2} d x \cdot \int_{0}^{1}\left(1+x^{2014}\right) d x=\frac{2016}{2015} \Rightarrow I \leq \sqrt{\frac{2016}{2015}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .3$ puncte + +2. Calculați $\int \frac{\cos 2014 x}{\sin x} d x$. + +Soluție. Fie $F_{n}=\int \frac{\cos n x}{\sin x} d x, n \in \mathbb{N}, x \in I \subset \mathbb{R}-\{k \pi / k \in \mathbb{Z}\}$ + +$$ +F_{n+2}-F_{n}=\int \frac{\cos (n+2) x-\cos n x}{\sin x} d x=\int 2 \sin (n+1) x d x=\frac{2}{n+1} \cos (n+1) x+C +$$ + +$$ +F_{0}=\ln \left|\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right|+C +$$ + +$$ +F_{2014}=\frac{2}{2013} \cos 2013 x+\frac{2}{2011} \cos 2011 x+\cdots+2 \cos x+\ln \left|\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right|+C +$$ + +.3 puncte + +3. Fie ( $G$, ) un grup cu 2014 elemente și cu proprietatea că $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{4}$ este morfism de grupuri. Arătaţi că $(G, \cdot)$ este grup comutativ. + +Soluție. $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{4}$ este morfism de grupuri $\Rightarrow$ + +$$ +\begin{aligned} +& x^{4} y^{4}=(x y)^{4} \Rightarrow x^{3} y^{3}=(y x)^{3}, \forall x, y \in G \ldots \ldots \ldots \ldots \\ +& y^{4} x^{4}=(y x)^{4}=(y x)(y x)^{3}=y x x^{3} y^{3}=y x^{4} y^{3} \Rightarrow y^{3} x^{4}=x^{4} y^{3} \Rightarrow \\ +& \Rightarrow x^{12} y^{12}=x^{8}\left(x^{4} y^{3}\right) y^{9}=x^{8} y^{3} x^{4} y^{9}=x^{4}\left(x^{4} y^{3}\right) x^{4} y^{9}=\cdots=y^{12} x^{12} +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& (x y)^{12}=\left[(x y)^{4}\right]^{3}=\left(x^{4} y^{4}\right)^{3} \stackrel{x^{3} y^{3}=(y x)^{3}}{ } y^{12} x^{12}=x^{12} y^{12} \\ +& (x y)^{2016}=\left((x y)^{12}\right)^{168}=\left(x^{12} y^{12}\right)^{168}=x^{2016} y^{2016} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \text { puncte } +\end{aligned} +$$ + +Cum $|G|=2014 \Rightarrow a^{2016}=a^{2} \forall a \in G \Rightarrow(x y)^{2}=x^{2} y^{2} \Rightarrow(G$, ) grup + +comutativ. 1 punct + +4. Pe $\mathbb{R}$ definim legea $x * y=5 x y+5(x+y)+4, x, y \in \mathbb{R}$. +a) $(\mathbb{R}, *)$ este grup? + +b) Calculați $(-2014) *(-2013) * \ldots * 2013 * 2014$; + +c) Determinați ultimele 2006 cifre ale numărului $1 * 2 * \ldots * 2014$. + +Solutie. +a) $x * y=5(x+1)(y+1)-1$ asociativă, comutativă, $e=-\frac{4}{5}, U(\mathbb{R})=\mathbb{R}-\{-1\}$. ................................................................................... 2 puncte +b) $x *(-1)=-1 \Rightarrow(-2014) *(-2013) * \ldots * 2013 * 2014=-1$ .2 puncte +c) $1 * 2 * \ldots * 2014=\underbrace{5^{2013} 2015!}_{\vdots 10^{2005}}-1 \Rightarrow 1 * 2 * \ldots * 2014$ se termină în 2005 cifre de 9 precedate de cifra 4 + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-816-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-816-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce3a58557fc85db341e68842259d2bae350a4d0e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-816-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,124 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ + +# OLIMPIADA NATTIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a XI - a + +22 FEBRUARIE 2014 + +## SUBIECTUL I + +Se considera matricea $A \in M_{2}(\square), A=\left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 2\end{array}\right)$. + +a) Sa se calculeze $A^{n}, n \in \square^{*}$. + +b) Sa se rezolve ecuatia $X^{2015}=A, X \in M_{2}(\square)$. + +## SUBIECTUL II + +Sa se calculeze: +a) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}+1}+\sqrt[3]{n^{3}-9 n^{2}+1}-2 n\right)$ +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}+1}+\sqrt[3]{n^{3}-9 n^{2}+1}-2 n\right)$ + +SUBIECTUL III + +a) Sa se gaseasca doua matrice patratice de ordin doi $\mathrm{cu}$ elemente reale $\mathrm{cu}$ proprietatea ca $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$. + +b) Sa se arate ca orice doua matrice patratice de ordin doi cu elemente reale $\mathrm{cu}$ proprietatea $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$ nu comuta. + +(GM 12/2013) + +SUBIECTUL IV + +Se considera sirul: + +$\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere reale definit prin $x_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}}, \quad x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_{n}}{2}}, \quad n \geq 1$. Sa se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots . . x_{n}$ + +## BAREM CLASA XI + +## SUBIECTUL I + +a) $A^{2}=5 A(1 \mathrm{p})$ + +$A^{n}=5^{n-1} \cdot A(0,5 p)$ + +Finalizare prin inductie $(0,5 p)$ +b) $\operatorname{det} X=0(1 \mathrm{p})$ + +$$ +\begin{aligned} +& X^{2}=t \cdot X, t \in \square, t=\operatorname{Tr}(X)(1 \mathrm{p}) \\ +& X^{2015}=t^{2014} \cdot X \Rightarrow X=\frac{1}{t^{2014}} \cdot A(1 \mathrm{p}) \\ +& X^{2015}=\frac{1}{t^{2014 \cdot 2015}} \cdot 5^{2014} \cdot A \Rightarrow t^{2014}=\frac{1}{\sqrt[2015]{5^{2014}}}(1 \mathrm{p}) \\ +& X=\frac{1}{\sqrt[2015]{5^{2014}}} \cdot A(1 \mathrm{p}) +\end{aligned} +$$ + +## SUBIECTUL II + +a) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}+1}-n\right)+\left(\sqrt[3]{n^{3}-9 n^{2}+1}-n\right)\right)(\mathbf{0 , 5 p})$ + +$\left.\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}+1}-n\right)=3 \mathbf{( 0 , 5 p}\right)$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{n^{3}-9 n^{2}+1}-n\right)=-3(\mathbf{0 , 5})$ + +## Finalizare(0,5p) + +b) $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}+1}-(n+3)\right)+\left(\sqrt[3]{n^{3}-9 n^{2}+1}-(n-3)\right)\right)$ (2p) + +$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}+1}-(n+3)\right)=-9(1 p)$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[3]{n^{3}-9 n^{2}+1}-(n-3)\right)=-9(1 \mathrm{p})$ + +Finalizare(1p) + +## SUBIECTUL III + +a) $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 0 & 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 3 & 2\end{array}\right)(1 p)$ + +$$ +\left(\begin{array}{ll} +2 & 3 \\ +0 & 0 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} +\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}} \\ +0 & 0 +\end{array}\right)^{2}(1 p) ;\left(\begin{array}{ll} +0 & 0 \\ +3 & 2 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} +0 & 0 \\ +\frac{3}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} +\end{array}\right)^{2} +$$ + +$$ +A=\left(\begin{array}{cc} +\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}} \\ +0 & 0 +\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} +0 & 0 \\ +\frac{3}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} +\end{array}\right) +$$ + +b) Presupunem, prin reducere la absurd, ca $A B=B A(1 p)$ + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=\operatorname{det}\left((A+i B)(A-i B)=|\operatorname{det}(A+i B)|^{2}(2 p)\right. +$$ + +$$ +\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} +2 & 3 \\ +3 & 2 +\end{array}\right)<0(1 p) +$$ + +## SUBIECTUL IV + +$$ +\begin{aligned} +& x_{1}=\cos \frac{\pi}{4}(1 p) ; x_{2}=\cos \frac{\pi}{8}(1 p) ; x_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}(1 p) ; x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \ldots \cdot x_{n}=\frac{1}{2^{n} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}(2 p) ; \\ +& \lim _{n \rightarrow \infty} x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots . . \cdot x_{n}=\frac{2}{\pi}(2 p) +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-817-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-817-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a094a45e69343dd2b2d2cf851bc5576818781e27 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-817-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,55 @@ +# INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a $\mathrm{X}$ - a
22 FEBRUARIE 2014 + +1. a) Să se demonstreze că $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \geq 6$ pentru orice numere $a, b, c>0$. + +b) Fie numerele $a, b, c>0$ astfel încât $3^{\frac{a+b}{c}}+3^{\frac{b+c}{a}}+3^{\frac{c+a}{b}}=27$. Să se arate că $a=b=c$. + +2. a) Să se arate că numărul $\log _{2} 3$ este iraţional. + +b) Să se determine $a>0$ astfel încât numerele $\log _{2} a$ şi $\log _{3} a$ să fie raţionale. + +c) Există oare două numere iraţionale $a$ şi $b$ astfel încât numărul $a^{b}$ să fie raţional? Justificare. + +3. a) Fie $z$ un număr complex astfel încât $z^{2}$ să fie număr real pozitiv. Atunci $z$ este număr real. + +b) Se consideră numerele complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ astfel încât $\left|z_{1}-z_{2}\right|=1,\left|z_{2}-z_{3}\right|=\sqrt{2}$ şi $\left|z_{3}-z_{1}\right|=\sqrt{3}$. Să se arate că $\left|z_{1}-2 z_{2}+z_{3}\right|=\sqrt{3}$. + +4. Spunem că două funcţii $f, g: \square \rightarrow \square$ au proprietatea $(P)$ dacă $f(n)+g(n)=2 n$ pentru orice număr natural $n$. + +a) Să se arate că dacă două funcţii injective $f, g: \square \rightarrow \square$ au proprietatea (P) atunci $f=g=i d_{\square}$. + +b) Să se dea exemplu de două funcţii surjective $f, g: \square \rightarrow \square$ cu proprietatea (P) astfel încât $f \neq i d_{\square}$ şi $g \neq i d_{\square}$. + +( Prin $i d_{\square}$ se înţelege funcţia $i d_{\square}: \square \rightarrow \square$, id $(n)=n$ pentru orice $n \in \square$ ) + +Subiecte propuse de prof. Constantinescu + +Mircea + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 7 la 0 . + +## BAREM CLASA A X-A + +1 +a) $3 p$ + +b) Folosind inegalitatea mediilor obţinem $3^{\frac{a+b}{c}}+3^{\frac{b+c}{a}}+3^{\frac{c+a}{b}} \geq 3 \sqrt[3]{3^{\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}}} \geq 27$ (3p) + +Egalitatea are loc dacă $a=b=c(1 \mathrm{p})$ + +2 a) Presupunând că $\log _{2} 3=\frac{m}{n}, m, n \in \square^{*}$, se obţine că $2^{m}=3^{n}$, contradicţie (2p) + +b) Dacă $a \neq 1$ se obţine că $\log _{2} 3=\frac{\log _{2} a}{\log _{3} a} \in \square$, fals, deci $a=1$ care verifică (2p) + +c) Există. De exemplu $a=\sqrt{2}, b=\log _{\sqrt{2}} 3 ; a^{b}=3 \in \square$, dar $a, b \notin \square$ + +3 a) Dacă $z=a+b i$ se obţine că $a^{2}-b^{2}+2 a b i>0$, de unde $a b=0(2 p)$ + +Dacă $a=0$ rezultă că $z^{2}=-b^{2} \leq 0$, fals. Deci $b=0$ şi deci $z \in \square$ (1p) + +b) Dacă $A\left(z_{1}\right), B\left(z_{2}\right), C\left(z_{3}\right)$ se obţine că $A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}$, deci triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$. Dacă $M$ este mijlocul lui $[A C]$, atunci $A C=2 B M$, adică $\left|z_{1}-2 z_{2}+z_{3}\right|=\sqrt{3}$. (4p) + +4. a) Prin inducţie după $n$. Din $f(0)+g(0)=0$, se obţine că $f(0)=g(0)=0$. Presupunem că $f(k)=g(k)=k$, pentru orice $k \leq n$, unde $n \in \square$ fixat. Cum $f, g$ sunt injective se obţine că $f(n+1) \geq n+1, g(n+1) \geq n+1$, deci $f(n+1)+g(n+1) \geq 2 n+2$, cu egalitate dacă $f(n+1)=g(n+1)=n+1$ (3p) + +b) De exemplu $f, g: \square \rightarrow \square, f(n)=\frac{n}{2}$ pentru $n$ par şi $f(n)=\frac{3 n-1}{2}$ pentru $n$ impar, iar $g(n)=2 n-f(n), n \in \square$ (4p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-818-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-818-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..15d2bb1b20557dc383514359e8bc0e6a9b86047c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-818-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a VIII - a + +## 22 FEBRUARIE 2014 + +## SUBIECTUL I + +a) Daca $a, b, A, B \in \square$ astfel incat $a=A+1$ si $b=B+1$, atunci demonstrati ca: $a^{2}+b^{2}-a-b-a b=\frac{(A-B)^{2}+A^{2}+B^{2}-2}{2}$ + +b) Determinati toate perechile $(x, y)$ de numere intregi nenule pentru care $x^{2}+y^{2}=x+y+x y$ + +Prelucrare GM/2013 + +SUBIECTUL II + +a) Pentru orice $y \in \square^{*}$, demonstrati ca: + +$y^{2}+\frac{1}{y^{2}}-y-\frac{1}{y}=\frac{(y-1)\left(y^{3}-1\right)}{y^{2}}$ + +b) Fie $a \in \square, b \in \square, 0E\left(\frac{a+b}{2}\right)$;ii) $E\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)>E(\sqrt{a b})$ + +SUBIECTUL III + +Se considera cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ si $M, N, P$ mijloacele segmentelor $[A B],[B C]$ respectiv $\left[C^{\prime} D\right.$ ' $]$. + +a) Demonstrati ca (MNP) $\square\left(A^{\prime} B C^{\prime}\right)$; b) Daca $A B=a$, calculati $d(P, M N)$. + +SUBIECTUL IV + +Pe planul triunghiului $A B C$, cu $A B=A C=a, B C=a \sqrt{2}$, se ridica perpendiculara $D C$, astfel incat $D C=a$ + +a) Calculati $m[\square((D A C),(D B C))]$; b) Daca $M$ si $E$ sunt mijloacele segmentelor $[B C]$ respectiv $[D A]$, demonstrati ca punctul $M$ este egal departat de punctele $A, B, C$ si $E$; c) Determinati $\operatorname{tg}(\square(A C, B D))$. + +## BAREM CLASA A VIII-A + +## SUBIECTUL I + +a) Inlocuire si calcul direct (2p); b) Daca ( $x, y$ ) este o solutie a ecuatiei, atunci exista si sunt unice $X, Y \in \square$, astfel incat $x=X+1, y=Y+1$. Cf. a) avem echivalentele $x^{2}+y^{2}=x+y+x y \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-x-y-x y=0 \Leftrightarrow \frac{(X-Y)^{2}+X^{2}+Y^{2}-2}{2}=0 \Leftrightarrow(X-Y)^{2}+X^{2}+Y^{2}$ $=2$ (2p); ((X-Y) $\left.)^{2}, X^{2}, Y^{2}\right) \in\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\}$ (2p); $(x, y) \in\{(1,2),(2,1),(2,2)\}$ (1p) + +## SUBIECTUL II + +a) $y^{2}+\frac{1}{y^{2}}-y-\frac{1}{y}=\ldots=\frac{(y-1)\left(y^{3}-1\right)}{y^{2}}$ (1p) + +b) i) $E\left(\frac{a+b}{2}\right)=\ldots=2$ (1p); $E\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ (1p); $E\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)-E\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(a-b)^{2}}{a b}>0$ (1p) + +ii) $E(\sqrt{a b})=\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$ (1p); Daca $00$ (2p). + +## SUBIECTUL III + +a) $M N \square A C$ si $A C \square A^{\prime} C^{\prime}\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right.$ paralelogram) $\Rightarrow M N \square A^{\prime} C^{\prime}$ (1p); $M P \square B C^{\prime}$ (1p); $(M N P) \square\left(A^{\prime} B C^{\prime}\right)(1 \mathrm{p}) ;$ + +b) Fie $Q$ mijlocul $[C D] ; P Q \square C C \Rightarrow P Q \perp(A B C)$ (1p); $\square C Q N$ si $\square B N M$ sunt dreptunghice si isoscele deci $m(\square M N Q)=90^{\circ}$ (1p); $d(P, M N)=P N$ (teorema celor trei perpendiculare) (1p); $Q N=\frac{a \sqrt{2}}{2}, P Q=a \Rightarrow P N=\frac{a \sqrt{6}}{2}$ (1p). + +## SUBIECTUL IV + +a) $A C, B C \perp D C \Rightarrow m[\square((D A C),(D B C))]=m(\square B C A)(1 \mathrm{p})$; + +$\square A B C$ este isoscel si dreptunghic in $A \quad m(\square B C A)=45^{\circ}(1 p)$; +b) $[A M]$ este mediana in $\square A B C$, dreptunghic in $A \Rightarrow M A=M B=M C=\frac{a \sqrt{2}}{2}(\mathbf{0}, \mathbf{5 p})$; $A M \perp B C, A M \perp D C \Rightarrow A M \perp(D B C)$ (1p); [ME] este mediana in $\square D M A$, dreptunghic in $M D M=\frac{A D}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}(\mathbf{0}, \mathbf{5 p})$; +c) Fie $P$ mijlocul lui $[A B]$. Se demonstreaza ca: $P M \square A C, P E \square B D \Rightarrow m(\square A C, B D)=m(\square E P M)(1 \mathrm{p}) ;$ $B D=a \sqrt{3}, P E=\frac{a \sqrt{3}}{2}, P M=\frac{a}{2}$ si, cum $M E=\frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow \square M E P$ este dreptunghic in $M$ (1p); $\operatorname{tg} \square E P M=\sqrt{2}$ (1p). + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0736c21030929a24a3b4g-3.jpg?height=688&width=557&top_left_y=684&top_left_x=378) + +$\mathrm{N}$ + +$\mathrm{C}$ + +B + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0736c21030929a24a3b4g-3.jpg?height=639&width=625&top_left_y=797&top_left_x=1087) + +B + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-819-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-819-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2473b70ac32070193470491da844d2c0d8f21c42 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-819-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,77 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a VII - a + +22 FEBRUARIE 2014 + +## SUBIECTUL I + +(4p) a) Calculaţi: $x=\sqrt{\left(\frac{12}{11}+\frac{13}{22}+\frac{14}{33}+\ldots+\frac{110}{1089}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{99}\right)}$; + +(3p)b)Calculaţi: $y=\left(\frac{1}{1 \bullet 4}+\frac{1}{2 \bullet 6}+\frac{1}{3 \bullet 8}+\ldots+\frac{1}{49 \bullet 100}\right)$; + +SUBIECTUL II + +(7p)Arătaţi că dacă numerele raţionale a şi b indeplinesc simultan condiţiile: + +i) $a+b<4$ şi ii) ab-2a $-2 b+4>0$, atunci $a<2$ şi $b<2$. + +SUBIECTUL III + +(7p)Se consideră triunghiul $A B C, A E$ bisectoarea $\angle B A C$, astfel incat [AE] $\equiv[E C]$. Aflaţi măsura $\angle A B C$ dacă $A C=2 A B$. + +SUBIECTUL IV + +In triunghiul $A B C, m(\angle A B C)=2 m(\angle A C B)$ şi $A D \perp B C,(D \in B C)$. Punctele $E$ şi $C$ sunt situate de o parte şi de alta a dreptei $\mathrm{AB}$ astfel incat $\mathrm{BE} \perp \mathrm{AE}$ şi $\angle \mathrm{EAB} \equiv \angle \mathrm{ACB}$. Bisectoarea unghiului AED intersectează dreapta $A C$ in $M$. Dacă $\{H\}=A E \cap B C$, arătaţi că: + +(3p)a) triunghiurile BHA si $\mathrm{AHC}$ sunt isoscele ; + +(2p)b) MCDE este paralelogram ; + +(2p)c) Perimetrul paralelogramului MCDE este egal cu al triunghiului $A B C$. + +## SUBIECTUL I + +a) $11=11 \cdot 1 ; 22=11 \cdot 2, \ldots, 1089=11 \cdot 99 \quad$ (1p); $\frac{12}{11}-1=\frac{1}{11}, \frac{13}{22}-\frac{1}{2}=\frac{1}{11}, \ldots, \frac{110}{1089}-\frac{1}{99}=\frac{1}{11}$ (2p); $\sqrt{\frac{1}{11} \cdot 99}=3$ (1p); +b) $y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{49 \cdot 50}\right)$ (1p); $y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots .+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\right)(1 p) ; y=\frac{49}{100}$ (1p) + +## SUBIECTUL II + +$$ +\begin{gathered} +a b-2 a-2 b+4=a(b-2)-2(b-2)=(a-2)(b-2)(2 p) ; \\ +(a-2)(b-2)>0 \Rightarrow " a-2>0, b-2>0 \text { "sau " } a-2<0, b-2<0 \text { " (2p); } +\end{gathered} +$$ + +i) $\quad a>2, b>2 \Rightarrow a+b>4$, imposibil (1p); + +ii) $a<2, b<2 \Rightarrow a+b<4$ (1p); finalizare (1p). + +## SUBIECTUL III + +Duc $E F \perp A C$ (2p); $\square E A C$ este isoscel (1p); $\Rightarrow[E F] \equiv[F C] \equiv[F A]$ (1p); $A B=\frac{A C}{2} \Rightarrow[E F] \equiv[A B]$ (1p); $\square A B E \equiv \triangle A F E(L . U . L)$ (1p); $m(\square B)=90^{\circ}$ (1p). + +## SUBIECTUL IV + +a) $m(C)=x^{\circ} \Rightarrow m(B A D)=90-2 x^{\circ}$ si $\quad m(C A D)=90-x^{\circ}$ (1p); + +$\square A H C: m(A H C)+m(H C A)+m(C A H)=180^{\circ} \Rightarrow m(A H C)=x^{\circ}(1 \mathbf{p})$; deci $\square B H A$ si $\square A H C$ sunt isoscele (1p); +b) $D E$ mediana in $\square D A H \Rightarrow[D E] \equiv[A E] \Rightarrow \square E A D$ isoscel, $E G$ bisectoare + +$\Rightarrow E G \perp A D$ si $D C \perp A D \Rightarrow E G \square D C$ (1p); + +$[D E] \equiv[H E] \Rightarrow m(E D B)=x^{\circ}=m(C) \Rightarrow D E \square M C(1 p) ;$ + +c) EM linie mijlocie in $\square A H C \Rightarrow[A M] \equiv[M C] ; M C D E$ paralelogram + +$\Rightarrow[M C] \equiv[D E],[M E] \equiv[C D] ;$ + +$P_{\square A B C}=A B+B C+A C=A B+B D+D C+M C+M A=$ + +$B H+B D+D C+M C+M A=$ + +$H D+D C+M C+M C=2 D C+2 M C=P_{D C M E}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1ab0158274dc1267848dg-3.jpg?height=414&width=671&top_left_y=250&top_left_x=401) + diff --git "a/Romania_Olympiad/md/ro-82-OLIMPIADA NA\305\242IONAL\304\202 DE MATEMATIC\304\202, etapa local\304\203 2017-subiect_olm_2017_final_2_1.md" "b/Romania_Olympiad/md/ro-82-OLIMPIADA NA\305\242IONAL\304\202 DE MATEMATIC\304\202, etapa local\304\203 2017-subiect_olm_2017_final_2_1.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..470ce10eef2998382c3c8180e542e48da2e0c6af --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/md/ro-82-OLIMPIADA NA\305\242IONAL\304\202 DE MATEMATIC\304\202, etapa local\304\203 2017-subiect_olm_2017_final_2_1.md" @@ -0,0 +1,306 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 -
CLASA A V-A + +## Subiecte + +1. Arătaţi că numărul $A=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2017+2017+2017^{2}+\ldots+2017^{2017}$ nu este pătrat perfect. + +Prof. Tomescu Ion, Mizil și Lupea Ion, Ploiești + +2. a.Calculați: $44^{2}+9^{2}$; + +b. Scrieți numărul $2017^{2017}$ ca o sumă de două pătrate perfecte. + +Prof. Gheorghe Crăciun, Ploiești + +3. Considerăm mulțimea $A=\left\{3^{m} \cdot 5^{n} \mid m, n \in \mathbb{N}, m \leq 50, n \leq 50\right\}$. + +a. Determinați cardinalul mulțimii $A$. + +b. Demonstrați că orice submulțime $P$ a mulțimii $A$ cu 5 elemente conține cel puțin două elemente distincte, al căror produs este pătrat perfect. + +Prof. Anton Negrilă, Ploiești + +4. Se consideră mulţimile: + +$A=\left\{x \in \mathbb{N} \mid x=9^{2 k+1}+3^{4 k+1}+1, k \in \mathbb{N}\right\}$ şi $B=\left\{y \in \mathbb{N} \mid y=8^{2 p+1}+8^{2 p}, p \in \mathbb{N}\right\}$ + +a. Arătaţi că $973 \in A$ şi $576 \in B$. + +b. Determinați $A \cap B$. + +Prof. Roxana Soare, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 -
CLASA A VI-A + +## Subiecte + +1. Dacă împărțim un număr de trei cifre la răsturnatul său , obținem câtul 6 și restul 47 . Aflați numărul știind că diferența dintre numărul căutat și răsturnatul său este un număr natural cu exact 24 divizori. + +prof Gheorghe Achim, Mizil + +2. a. Fie $p$ număr prim mai mare ca 5 . Arătați că ultima cifră a pătratului său poate fi doar + +1 sau 9 . + +b. Determinați numărul prim $p$, știind că $p^{2}=\overline{x y z t}$ și $x+t=y$ iar $z=2 y$. + +prof Țaga Gabriel, Ploiești + +3. Demonstrați că fracția $F=\frac{5^{n+1} \cdot 11^{n}+8}{5^{n} \cdot 11^{n+1}+16}$ este ireductibilă, pentru orice $n \in \mathbb{N}$. + +prof. Anton Negrilă, Ploiești + +4. Fie $u_{1}, u_{2}, \ldots ., u_{n}$ unghiuri în jurul unui punct $\mathrm{O}$, oricare două consecutive fiind complementare . + +a. Arătați că $n=8$. + +b. Aflați măsurile celor opt unghiuri, știind că printre ele se află un unghi de $20^{\circ} 17^{\prime}$. + +prof. Bilciurescu Ion, Boldești - Scăeni + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 2 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## - ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 -
CLASA A VII-A + +## Subiecte + +1. Se consideră numerele raționale $a, b, c$ pentru care au loc egalitățile: + +$a b(a+b+c)=13, b c(a+b+c)=39, a c(a+b+c)=117$. + +Calculați valoarea produsului $a b c$. + +prof. Anton Negrilă, Ploiești + +2. Determinați mulțimea $A=\left\{n \in \mathbb{N} \left\lvert\, \frac{3 \sqrt{n}-5 \sqrt{2}}{\sqrt{n}+\sqrt{2}} \in \mathbb{Z}\right.\right\}$. + +prof. Petre Năchilă, Ploiești + +3. Se consideră patrulaterul $\mathrm{ABCD} \mathrm{cu} \angle \mathrm{BCD}=90^{\circ}$. Paralela prin $\mathrm{B}$ la $\mathrm{DC}$ este bisectoarea unghiului ABD și intersectează dreapta AD în punctul M. + +Arătați că $\frac{B M}{D C}=\frac{2 A B}{A B+B D}$. + +prof. Gh. Bumbăcea, Bușteni + +4. În $\triangle A B C$, bisectoarea $(A D)$ a unghiului $B A C, D \in(B C)$, are aceeaşi lungime cu latura $[A C]$, $m(C)=2 m(A)$ iar bisectoarea $\Varangle A B C$ intersectează $A D$ în I. + +a. Aflaţi măsurile unghiurilor $\triangle A B C$; + +b. Demonstraţi că $A B=B C+C I$. + +prof. Silvia Brabeceanu şi lonel Brabeceanu, Plopeni + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 - + + +## CLASA A VIII-A + +## Subiecte + +1. Arătaţi că numărul $A=\sqrt{2007 \cdot 2009 \cdot 2015 \cdot 2017+64} \in \mathbb{N}$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +2. a. Fie $a, b, x, y \in(0, \infty) \mathrm{cu} a+b>1$. Demonstrați că $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}>\frac{1}{a x+b y}$. + +b. Fie $x>0, y>0$. Demonstrați că $5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)>\left(\frac{1}{2 x+3 y}+\frac{1}{3 x+2 y}\right)$. + +Prof. Petre Năchilă, Ploiești + +3. Fie pătratul $A B C D$ de latură a și paralelogramul $B C E F, B$ fiind mijlocul segmentului $[A E]$. Construim MF $\perp$ (BEC) , MF $=2 \mathrm{a}$. + +a. Calculați $\mathrm{CQ}$, unde $\mathrm{Q}$ este punctul de intersecție al dreptelor $\mathrm{BC}$ și $\mathrm{AF}$; + +b. Demonstrați că OQ \| ( MCF ) , O fiind centrul pătratului; + +c. Aflați $A_{B C E F}$, dacă d $(\mathrm{M}, \mathrm{AC})=\sqrt{17}$. + +Prof. Bilciurescu Ion, Boldești-Scăeni + +4. Fie rombul $\mathrm{ABCD}$ cu $B D=a \sqrt{3}, A C=a \sqrt{5}$ și $M \notin(A B C)$, astfel încât $M A=M B=M D=a$. Aflați distanța de la punctul C la planul $(M A B)$. + +Prof. Tomescu Ion, Mizil și Lupea Ion, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +## - ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 -
CLASA A IX-A + +## Subiecte + +1. Demonstrați inegalitatea + +$\frac{y z}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2}+z^{2}\right)}}+\frac{z x}{\sqrt{\left(y^{2}+z^{2}\right)\left(y^{2}+x^{2}\right)}}+\frac{x y}{\sqrt{\left(z^{2}+x^{2}\right)\left(z^{2}+y^{2}\right)}} \leq \frac{3}{2}$, oricare ar fi $x, y, z>0$. + +2. Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 3$ și ecuația $\{x\}+\{2 x\}+\ldots+\{n x\}=n-1, x \in \mathbb{R}$, unde $\{x\}$ este partea fracționară a lui $x$. + +a. Demonstrați că ecuația nu are soluții iraționale. + +b. Arătați că ecuația are o infinitate de soluții. + +c. Pentru $n=4$,aflați câte soluții are ecuația dată în intervalul $[0 ; 2017]$. + +prof Emil Vasile, Ploiești + +3. Fie triunghiul $A B C$ și punctele $M \in(A B), N \in(A C)$ astfel încât $B M=C N=x$. Fie $E$ și $F$ mijloacele segmentelor $[M N]$ și $[B C]$ și $[A D$ bisectoarea unghiului $B A C$. + +a. Demonstrați că $E F \| A D$. + +b. Determinați $x$ astfel încât $\overrightarrow{E F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}$. + +prof. Petre Năchilă, Ploiești + +4. Se consideră patrulaterul $A B C D$ şi punctele $E, F, G$ astfel încât $\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{D F}, \overrightarrow{E C}=2 \overrightarrow{D E}$, $\overrightarrow{G A}=3 \overrightarrow{E G}$. Dacă punctele $F, E, B$ și respectiv $D, G, B$ sunt coliniare, arătați că $A B C D$ este paralelogram . + +prof. Militaru Claudiu, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 - + + +## CLASA A X-A + +## Subiecte + +1. a. Demonstrați că $5^{\log _{3} 2}=2^{\log _{3} 5}$. + +b. Rezolvați ecuația $x^{\log _{2017}(x-1)}+2017(x-1)^{\log _{2017} x}=2018 x^{2}, x>1$. + +prof. Vasile Coman, Valenii de Munte + +2. a. Demonstraţi că $\log _{5}\left(4^{x}+3^{x}\right)2$. + +b. Rezolvaţi î $N^{*}$ ecuaţia: $\log _{5}\left(4^{x}+3^{x}\right)=2 \cdot \log _{3}\left(2^{x}-1\right)$. + +prof. Claudiu Militaru, Ploiești + +3. Fie $\quad z \in \mathbb{C}^{*}$ astfel încât $\left|z^{3}+\frac{1}{z^{3}}\right| \leq 2$. Arătați că $\left|z+\frac{1}{z}\right| \leq 2$. +4. Fie $z \in \mathbb{C} / \mathbb{R},|z|=1, \operatorname{Re}(z)<0$ și funcția $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}, f(n)=[1$-nz $\mid]$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$, unde + +$[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$. + +a. Rezolvați ecuația : $x^{2}+x \cdot f(1)+f(2)=0, x \in \mathbb{C}$. + +b. Studiați injectivitatea funcției $g: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R}, g(n)=\left|1+\left(\frac{i}{2}\right)^{f(1)}+\left(\frac{i}{2}\right)^{f(2)}+\ldots+\left(\frac{i}{2}\right)^{f(n)}\right|$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +prof. Emil Vasile, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 - + +CLASA A XI-A + +## Subiecte + +1. Aflați $a, b \in \mathbb{R}$ pentru care $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{a n^{3}+b n^{2}+1}-\log _{5}\left(3^{n}+4^{n}+5^{n}\right)-\sqrt[4]{n^{4}+4}\right)=1$. + +Prof. Claudiu Militaru, Ploiești + +2. Fie șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ astfel încât $a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2}+a_{n}^{3}-a_{n}^{4}+a_{n}^{5}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Știind că $a_{1} \in(0 ; 1)$, demonstraţi că este convergent și calculați limita lui. + +Prof. Vasile Coman, Valenii de Munte + +3. Fie $A$ o matrice de ordinul doi cu elemente reale si ${ }^{t} A$ matricea transpusă. Ştiind că $\operatorname{det}\left(A+{ }^{t} A\right)=8$ si $\operatorname{det}\left(A+2 \cdot{ }^{t} A\right)=27$, calculați det $A$. +4. a. Fie matricea $A \in M_{2}(\mathbb{R}), A \neq 0_{2}$ si rang $A=1$. Rezolvați în $M_{2}(\mathbb{R})$ ecuația $X^{3}=A$. + +b. Determinaţi matricele $X, Y \in M_{2}(\mathbb{R})$ care verifică relațiile : + +$$ +X\left(X^{2}+Y^{2}\right)+Y(X Y+Y X)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} +-3 & 1 \\ +3 & -6 +\end{array}\right) \text { si } X(X Y+Y X)+Y\left(X^{2}+Y^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} +5 & 5 \\ +-9 & -12 +\end{array}\right) +$$ + +Prof. Gabriel Necula, Breaza + +## SUCCES! + +## Notă: + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 26.02.2017 - + +CLASA A XII-A + +## Subiecte + +1. a. Calculaţi: $I_{1}=\int \frac{\cos x}{e^{-x}+\sin x+\cos x} d x$ și $I_{2}=\int \frac{e^{-x}+\sin x}{e^{-x}+\sin x+\cos x} d x$; + +b.Fie funcția $f:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$ și $F:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a sa. Dacă + +$\left(e^{-x}+\sin x+\cos x\right) F(x)=\cos x-x\left(e^{-x}+\sin x+e^{x} \cos x\right) f(x)$, pentru orice $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, determinaţi funcția $f$. + +Prof. Gabriel Necula, Breaza + +2. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup de element neutru $e$ şi cu proprietatea că există $a, b \in G \backslash\{e\}$, astfel încât $a \neq b, a^{2}=b^{2}=e$ și $(a b)^{2}=b a$. + +a.Arătați că: + +(i) $(G$, .) nu este grup abelian; + +(ii) Ordinul lui $G$ este cel puțin egal cu 6 . + +b. Dați exemplu de un grup finit cu proprietatea din enunț și cu ordinul mai mare decat 6 . + +Prof. Cezar Apostolescu, Ploieşti + +3. a. Fie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x^{2017}$. Demonstrați că există o primitivă $G$ a sa, astfel încât $|G(x)-g(x)|>0$ oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$. + +b.Determinați funcția continuă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, astfel încât există $F$ o primitivă a sa, cu proprietatea că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, există un interval mărginit $I_{n}$ cu $0<|F(x)-f(x)|<\frac{1}{n}$, oricare ar fi $x \in I_{n}$. + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + +4. Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos x} d x\right)^{n}$. + +Prof. Ovidiu Avramescu, Ploiești + +## SUCCES! + +## Notă: + +Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 0 la 7 . + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-820-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-820-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..92db732e36d94737bf8dbf3ff6a9e879849f2ea9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-820-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,112 @@ +# INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEṬEAN GORJ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a VI - a
22 FEBRUARIE 2014 + +## SUBIECTUL I + +a) Demonstrați că $\frac{n}{k(k+n)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$, pentru orice $\mathrm{k}$ și $\mathrm{n}$ numere naturale. + +b) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care + +$$ +\frac{1}{56 \cdot 57}+\frac{2}{57 \cdot 59}+\frac{3}{59 \cdot 62}+\cdots+\frac{62}{n(n+62)}=\frac{2015}{115976} +$$ + +Supliment Gazeta Matematică /2013 + +SUBIECTUL II + +a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului $15^{51}$ care sunt multiplii pentru numărul $225^{20}$. + +b) Arătați că numărul $A=\frac{21^{n}+23^{n}-2^{2 n}+2^{n+1} \cdot 3^{2}}{38}$ este număr natural pentru orice $n$ număr natural nenul . + +Supliment Gazeta Matematică $3 / 2013$ + +SUBIECTUL III + +Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă $[A B]$. Pe semidreapta (OA se consideră un punct $\mathrm{E}$ astfel încât $B E=5 \cdot A E$. Aflați lungimea segmentului $A B$ știind că $E O=6 \mathrm{~cm}$. + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră trei puncte $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ astfel încât $B \in(A C)$. Fie $\mathrm{D}$ și $\mathrm{E}$ de o parte și de alta a dreptei AC și (BM , (BN bisectoarele unghiurilor $\Varangle D B C$ și respectiv $\Varangle A B E$. Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse, demonstrați că punctele D, B, E sunt coliniare. + +## Barem de corectare CLS VI + +## SUBIECTUL I + +a) Demonstrați că $\frac{n}{k(k+n)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$, pentru orice $\mathrm{k}$ și $\mathrm{n}$ numere naturale. + +b) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care + +$$ +\frac{1}{56 \cdot 57}+\frac{2}{57 \cdot 59}+\frac{3}{59 \cdot 62}+\cdots+\frac{62}{n(n+62)}=\frac{2015}{115976} +$$ + +| SOLUTYIE | PUNCTAJ | +| :--- | :---: | +| $\frac{n}{k(k+n)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\frac{1}{56 \cdot 57}+\frac{2}{57 \cdot 59}+\frac{3}{59 \cdot 62}+\cdots+\frac{62}{n(n+62)}=\frac{1}{56}-\frac{1}{57}+\frac{1}{57}-\frac{1}{59}+\frac{1}{59}-\frac{1}{62}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+62}=$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\frac{1}{56}-\frac{1}{n+62}=\frac{n+62-56}{56(n+62)}=\frac{n+6}{56(n+62)}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{n+6}{56(n+62)}=\frac{2015}{115975} \Leftrightarrow \frac{n+6}{n+62}=\frac{112840}{115975} \Leftrightarrow \frac{n+6}{n+62}=\frac{2015}{2071} \Leftrightarrow n=2009$ | $2 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL II + +a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului $15^{51}$ care sunt multiplii pentru numărul $225^{20}$. + +b) Arătați că numărul $A=\frac{21^{n}+23^{n}-2^{2 n}+2^{n+1} \cdot 3^{2}}{38}$ este număr natural pentru orice $n$ număr natural nenul . + +| SOLUȚIE | PUNCTAJ | +| :---: | :---: | +| $225^{20}=15^{40}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $15^{51}: 225^{20}=15^{11}=3^{11} \cdot 5^{11}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Multiplii lui $15^{40} \cdot$, divizori ai lui $15^{51}$ sunt de forma „ $15^{40} \cdot$ divizori ai lui $15^{11 ”}$, in numar
de | $1 \mathrm{p}$ | +| $(11+1) \cdot(11+1)=144$ | | +| a) $(21)^{n}=(19+2)^{n}=M_{19}+2^{n}, \quad(23)^{n}=(19+4)^{n}=M_{19}+4^{n}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $2^{2 n}=\left(2^{2}\right)^{n}=4^{n}, 2^{n+1} \cdot 3^{2}=2^{n} \cdot 2 \cdot 9=2^{n} \cdot 18=(19-1) \cdot 2^{n}=M_{19} \cdot 2^{n}-$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| $2^{n}$ | | +| :--- | :--- | +| $A=\frac{M_{19}+2^{n}+M_{19}+4^{n}-4^{n}+M_{19} \cdot 2^{n}-2^{n}}{38}=\frac{2 \cdot M_{19}+2^{n} \cdot M_{19}}{38}=\frac{M_{38}}{38} \in N$ | $2 p$ | + +## SUBIECTUL III + +Fie punctul $O$ mijlocul unui segment de dreaptă $[A B]$. Pe semidreapta (OA se consideră un punct $\mathrm{E}$ astfel încât $B E=5 \cdot A E$. Aflați lungimea segmentului $\mathrm{AB}$ știind că $\mathrm{EO}=6 \mathrm{~cm}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5b01a68e98bf7ed8ee5g-3.jpg?height=366&width=970&top_left_y=884&top_left_x=725) + +Problema are două cazuri : + +$1 p$ + +CAZUL I : $\quad E \in(O A)$ + +| SOLUTIE | PUNCTAJ | +| :--- | :---: | +| Din $B E=5 \cdot A E$ și $A B=A E+B E$ se deduce $A B=6 \cdot A E$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Cum punctul O este mijlocul segmentului $[A B]$ rezultă $O A=3 \cdot A E$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\Rightarrow A E=E O: 2=3 \mathrm{~cm} \Rightarrow A B=18 \mathrm{~cm}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +CAZUL II $: E \in(O A-[O A]$ + +| SOLUTYE | PUNCTAJ | +| :--- | :---: | +| Din $B E=5 \cdot A E$ și $A B=B E-A E \Rightarrow A B=4 \cdot A E \cdot$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Cum punctul O este mijlocul segmentului $[A B] \Rightarrow O A=2 \cdot A E$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\qquad A E=E O: 3=2 \mathrm{~cm} \Rightarrow A B=8 \mathrm{~cm}$ | $1 \mathrm{p}$ | + +## SUBIECTUL IV + +Se consideră trei puncte $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ astfel încât $B \in(A C)$. Fie $\mathrm{D}$ și $\mathrm{E}$ de o parte și de alta a dreptei $\mathrm{AC}$ și (BM , (BN bisectoarele unghiurilor $\Varangle D B C$ și respectiv $\Varangle A B E$. Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse, demonstrați că punctele D, B, E sunt coliniare. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b5b01a68e98bf7ed8ee5g-4.jpg?height=828&width=1142&top_left_y=751&top_left_x=614) + +| SOLUȚIE | PUNCTAJ | +| :---: | :---: | +| (BM bisectoarea $\Varangle D B C \Rightarrow m(\Varangle D B M)=m(\Varangle M B C)=x^{0}$ | | +| $\left(\mathrm{BN}\right.$ bisectoarea $\Varangle A B E \Rightarrow m(\Varangle A B N)=m(\Varangle N B E)=y^{0}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Punctele $A, B, C$ coliniare rezultă că $m(\Varangle A B C)=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle C E B)=180^{\circ}-2$.
$m(\Varangle A B N)=180^{\circ}-2 y^{\circ}$ | 1p | +| (BM și (BN semidrepte opuse deci,$m(\Varangle M B N)=180^{\circ} \Leftrightarrow m(\Varangle M B C)+m(\Varangle C B E)+$
$m(\Varangle E B N)=180^{\circ}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $180^{\circ}+x+y=180^{\circ}+2 y \Rightarrow x=y$ | $2 p$ | +| $m(\Varangle D B E)=m(\Varangle D B M)+m(\Varangle M B C)+m(\Varangle C B E)=y+y+180^{\circ}-2 y=180^{\circ}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare, punctele D, B, E coliniare. | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-821-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-821-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6695ca44e25c8f974321508414dc05ec5372884a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-821-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,151 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a V - a + +## 22 FEBRUARIE 2014 + +## SUBIECTUL I + +a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul minut de la deschiderea stadionului, intră o persoană, în al doilea minut intră dublul numărului de personae din primul minut plus încă o persoană, regula se menţine, adică în minutul $\mathrm{k}+1$ intră dublul numărului de persoane din minutul $\mathrm{k}$ plus încă o persoană, $\mathrm{k} \geq 1$. Câte personae au intrat după şapte minute? + +b). Se dă şirul $1,3,7,15,31,63, \ldots$. Arătaţi că dacă n este termenul de pe locul 201 al şirului atunci numărul $n+1$ este cub perfect. + +## SUBIECTUL II + +a) Împărţind numărul natural a la numărul natural b se obţine câtul 14 şi restul 18. Dacă diferenţa dintre numerele a şi a-3b este egală cu 135 , arătaţi că numărul 2 a este pătrat perfect. + +Gazeta matematica + +b) Câte numere de trei cifre împărţite la un număr natural b dau câtul 14 şi restul 18.. + +Calculaţi suma lor. + +## SUBIECTUL III + +Numărul natural $\overline{\text { abcd }}$ are suma cifrelor egale cu 27. Arătaţi ca numărul $\overline{\mathrm{abcd}}+\overline{\mathrm{dcba}}$ se divide cu 297. + +## SUBIECTUL IV + +a) Scrieţi numărul $13^{2}$ ca o sumă de două pătrate perfecte nenule. + +b) Arătaţi că numărul $13^{2014}$ poate fi scris ca o sumă de două pătrate perfecte. + +c) Dacă $x, y, t$ sunt numere naturale nenule cu proprietatea $x^{2}+y^{2}=t^{2}$ atunci arătaţi că oricare ar fi $k \in \mathrm{N}^{*}$ există $a$ şi $b$ numere naturale nenule, astfel încât $\mathrm{t}^{2 \mathrm{k}+2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}$. + +## BAREM CLASA A V-A + +## SUBIECTUL I + +a) In primul minut o persoana + +In al doilea minut $2 \cdot 1+1=3$ persoane + +In al treilea minut $2 \cdot 3+1=7$ persoane + +In al patrulea minut $2 \cdot 7+1=15$ persoane + +In al cincilea minut $2 \cdot 15+1=31$ persoane + +In al saselea minut $2 \cdot 31+1=63$ persoane + +In al saptelea minut $2 \cdot 63+1=127$ persoane 2 puncte + +Dupa sapte minute intra $1+3+7+15+31+63+127=247$ persoane 1punct +b) $t_{1}=1$ + +$t_{2}=2 \cdot 1+1=3$ + +$t_{3}=2 \cdot(2+1)+1=2^{2}+2+1$ + +$t_{4}=2 \cdot\left(2^{2}+2+1\right)+1=2^{3}+2^{2}+2+1$ + +1punct + +$\left.\mathrm{t}_{201}=2^{200}+2^{199}+\cdots+2+1=\mathrm{n} \quad\right\}$ + +2 puncte + +Deci $n=2^{201}-1=>n+1=2^{201}$ + +$\mathrm{n}+1=\left(2^{3}\right)^{67}=\left(2^{67}\right)^{3}=$ cub perfect $\} \quad 1$ punct + +## SUBIECTUL II + +$a=b \cdot 14+18$ + +$a-3 b=b \cdot 11+18$ + +$a-(a-3 b)=b \cdot 14+18-(b \cdot 11+18)$ + +$$ +\begin{aligned} +& =3 b=135 \\ +& =>b=45 \quad 1 \text { punct } +\end{aligned} +$$ + +$a=b \cdot 14+18$ + +$$ +\begin{array}{rlr} +=45 \cdot 14+18=648=2^{3} \cdot 3^{4} & \} & 1 \text { punct } \\ +2 a=2^{2} \cdot 3^{4}=\left(2^{2}\right)^{2} \cdot\left(3^{2}\right)^{2}=\text { p.p } & \} & 1 \text { punct } +\end{array} +$$ + +## SUBIECTUL III + +a) $a+b+c+d=27$ + +$$ +\begin{array}{ll} +\overline{a b c d}+\overline{d c b a}=1001 \mathrm{a}+110 \mathrm{~b}+110 \mathrm{c}+1001 \mathrm{~d}(1)\} & 2 \text { punct } \\ +b+c=27-(a+d) & 1 \text { punct } +\end{array} +$$ + +si inlocuire in relatia (1) adica + +$$ +\begin{aligned} +\overline{a b c d}+\overline{d c b a} & =1001(\mathrm{a}+\mathrm{d})+110[27-(\mathrm{a}+\mathrm{d})] \\ +& =891(\mathrm{a}+\mathrm{d})+110 \cdot 27 \quad\} \quad 2 \text { puncte } +\end{aligned} +$$ + +$891=297 \cdot 3 \vdots 297$ + +$110 \cdot 27 \vdots 297$ + +$=>\overline{a b c d}+\overline{d c b a} \vdots 297$ + +\} 1 punct + +\} 1 punct + +## SUBIECTUL IV + +a) $13^{2}=169=144+25=12^{2}+5^{2}$ +\} 1 punct +b) $13^{2014}=13^{2} \cdot 13^{2012}=13^{2} \cdot\left(13^{1006}\right)^{2}=\left(12^{2}+5^{2}\right) \cdot\left(13^{1006}\right)^{2}$ + +$$ +\begin{array}{llr} +=12^{2} \cdot\left(13^{1006}\right)^{2}+5^{2} \cdot\left(13^{1006}\right)^{2} & \} & 2 \text { puncte } \\ +=\left(12 \cdot 13^{1006}\right)^{2}+\left(5 \cdot 13^{1006}\right)^{2} & \\ +=a^{2}+b^{2} & \} & 1 \text { punct } +\end{array} +$$ + +c) $t^{2 k+2}=t^{2 k} \cdot t^{2}=t^{2 k} \cdot\left(x^{2}+y^{2}\right)$ + +\} 1 punct + +$=t^{2 k} \cdot x^{2}+t^{2 k} \cdot y^{2}$ + +$\left.=\left(t^{k} \cdot x\right)^{2}+\left(t^{k} \cdot y\right)^{2} \quad\right\} \quad 1$ punct + +$=a^{2}+b^{2}$ unde $\mathrm{a}=t^{k} \cdot x$ + +$\mathrm{b}=t^{k} \cdot y$ + +\} 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-822-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-822-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2057f5db8ff2511088de45d1c80249a3dcde34b7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-822-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,103 @@ +INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ , CLASA a IX - a + +22 FEBRUARIE 2014 + +SUBIECTUL I + +Arătați că $\forall x, y, z>0$ avem: $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z} \geq 4(x-z)$ + +SUBIECTUL II + +În triunghiul $A B C$ se consideră $M, P \in(A B) ; N, Q \in(A C)$ şi $R \in(B C)$ asfel încât $A M \equiv M P \equiv P B ; A N \equiv N Q \equiv Q C$ şi $B R \equiv R C$. + +Fie $D \in(M N)$ asfel încât $\frac{M D}{D N}=\frac{1}{2}$. + +Dacă $\boldsymbol{E} \in(\boldsymbol{P Q})$ arătaţi că ADRE este paralelogram $\Leftrightarrow \frac{E P}{E Q}=\frac{7}{5}$ + +SUBIECTUL III + +Arătaţi că orice poligon convex cu $n$ laturi $n \geq 5$ se poate descompune în pentagoane convexe. + +SUBIECTUL IV + +a) Să se arate că dacă o progresie aritmetică infinită de numere naturale conţine un pătrat perfect, atunci conţine o infinitate de pătrate perfecte. + +b) Demonstrati ca, daca $\left(a_{n}\right)_{n>1}$ este o progresie aritmetica formata din numere naturale nenule, atunci $\left(a_{a_{n}}\right)_{n \geq 1}$ este progresie aritmetica. + +## BAREM CLASA A IX-A + +SUBIECTUL I + +$$ +\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z} \geq \frac{(x+y)^{2}}{y+z} \text { (C.B.S) (2p) } +$$ + +Arătăm că $\frac{(x+y)^{2}}{y+z} \geq 4(x-z)<=>x^{2}+2 x y+y^{2} \geq 4(y+z)(x-z)<=>$ + +$$ +\begin{gathered} +x^{2}+2 x y+y^{2} \geq 4\left(x y-y z+x z-z^{2}\right)<=>x^{2}+2 x y+y^{2} \geq 4 x y-4 y z+ \\ +4 x z-4 z^{2}<=>x^{2}+y^{2}+4 z^{2}-2 x y+4 y z-4 x z \geq 0 \text { (3p) } \\ +(x-y-2 z)^{2} \geq 0 \text { (Adevărat) (2p) } +\end{gathered} +$$ + +SUBIECTUL II + +$$ +\begin{aligned} +& \overrightarrow{A R}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})(1 \mathrm{p}) \\ +& \overrightarrow{A D}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \cdot \overrightarrow{A M}+\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}} \cdot \overrightarrow{A N}=\frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{A M}+\frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{A N}=\frac{2}{9} \cdot \overrightarrow{A B}+\frac{1}{9} \cdot \overrightarrow{A C} \text { (1p) } +\end{aligned} +$$ + +Fie k raportul în care punctul E împarte segmentul PQ. + +Avem $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{1-k} \cdot \overrightarrow{A P}-\frac{k}{1-k} \cdot \overrightarrow{A Q}=\frac{2}{3(1-k)} \cdot \overrightarrow{A B}-\frac{2 k}{3(1-k)} \cdot \overrightarrow{A C}$ (2p) + +ADRE = paralelogram $\Leftrightarrow=>\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A R} \Leftrightarrow=\left(\frac{2}{9}+\frac{2}{3(1-k)}\right) \cdot \overrightarrow{A B}+\left(\frac{1}{9}-\right.$ + +$\left.\frac{2 k}{3(1-k)}\right) \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow>\mathrm{k}=-\frac{7}{5}<=>\overrightarrow{E P}=-\frac{7}{5} \overrightarrow{E Q} \Leftrightarrow=\frac{E P}{E Q}=\frac{7}{5}$ (3p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_140df1adad6edc9abb6eg-3.jpg?height=832&width=935&top_left_y=516&top_left_x=736) + +SUBIECTUL III + +Vom justifica proprietatea prin inducţie matematică (de pas 3) + +$P(5)$ Adevărat (evident) + +$P(6)$ Adevărat + +(1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_140df1adad6edc9abb6eg-3.jpg?height=317&width=374&top_left_y=1679&top_left_x=821) + +$P(7)$ Adevărat + +(1p) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_140df1adad6edc9abb6eg-3.jpg?height=390&width=426&top_left_y=2117&top_left_x=882) + +Presupunem acum că $\boldsymbol{n} \geq 8$ şi că orice poligon convex cu m laturi cu $8 \leq \boldsymbol{m}r=\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1} \in N$,, presupunem $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}=\mathrm{m}^{2}$ atunci + +$a_{k+p}=a_{k}+p r=m^{2}+p r .(2 p)$ + +Cum $r \in N^{*}$ dacă luăm $p=2 m+r$ rezultă $a_{k+p}=m^{2}+r(2 m+r)=(m+r)^{2}$ şi apoi repetăm raţionamentul. (2p) + +b) cunoasterea conditiilor de progresie (1p); demonstratia completa (2p) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-823-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-823-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..789936bddadc1e10b7974ea6e017f4209ee7d2a1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-823-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,365 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1 a) Fie ( $G, \cdot)$ un grup și $e$ elementul său neutru. Elementele $a, b \in G$ satisfac condiția: $a^{2}=b^{2}=(a b)^{2}$. Să se arate că $a^{4}=b^{4}=e$. + +b) Dacă $(A,+, \cdot)$ este un inel necomutativ şi $a, b \in A$ au proprietate $a^{2}+b^{2}=a b$, atunci să se demonstreze că $(a b)^{2}=b^{2} a^{2}$ și $(b a)^{2}=a^{2} b^{2}$. + +$((A,+$,$) este un inel necomutativ dacă pe mulțimea A sunt definite legile de compoziție,,+" si,,," cu$ proprietățile: $(A,+)$ este grup comutativ, $(A, \cdot)$ este monoid necomutativ şi $a(b+c)=a b+a c,(b+c) a=b a+c a ; \forall a, b, c \in A$. + +Problema 2. Fie $p$ un număr prim de forma $4 k+3, k \in \mathbb{N}$. + +a) Să se arate că nu există $x \in \mathbb{Z}_{p}$ astfel încât $x^{2}+\hat{1}=\hat{0}\left(\right.$ î $\left.\mathbb{Z}_{p}\right)$. + +b) Să se arate că dacă $x^{2}+y^{2}=\hat{0}, x, y \in \mathbb{Z}_{p}$, atunci $x=\hat{0}$ și $y=\hat{0}$. + +c) Să se rezolve în $\mathbb{Z}$ ecuația $x^{2}+y^{2}=12005$. + +Problema 3. Dacă $x \in(0, \infty)$ calculați: +a) + +$$ +\int \frac{1}{x\left(x^{2014}+1\right)} d x +$$ + +b) $\int \frac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} d x$. + +Problema 4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție care admite primitive. Să se arate că funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=|x| f(x)$ admite primitive. + +Gazeta matematică + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. a) 2 puncte; b) 2 puncte; c) 3 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 4.7 puncte. + +## ENUNȚURI ȘI SOLUȚII + +## CLASA a IX-A + +P1. IX. Dacă $a, b, c \in \mathbb{R}$ arătați că: +a) $(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1)$; +b) $(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}$ +c) $a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +Demonstrație: Putem presupune $a \leq b \leq c \Rightarrow \max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\}=c-a$ + +$a b+b c+c a-a+c-1=(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=$ + +$(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1) \Rightarrow a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +P2. IX. Fie $x, y \in \mathbb{R}^{*}$, astfel încât $x+y \neq 0$ și $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale. Arătați că: + +a) Dacă $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt progresii aritmetice atunci șirul $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $c_{n}=a_{n} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, este progresie aritmetică dacă și numai dacă una din progresiile aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ sau $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ are rația egală cu 0 . + +b) Dacă $\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1,(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n}$ și $(x+y) b_{n}-x y \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ atunci șirul $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie geometrică. + +Demonstrație: a) $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică $\Leftrightarrow 2 c_{n}=c_{n-1}+c_{n+1} \Leftrightarrow 2 a_{n} b_{n}=\left(a_{n}-x\right)\left(b_{n}-y\right)+$ $+\left(a_{n}+x\right)\left(b_{n}+y\right) \Leftrightarrow x y=0$ + +b) $(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n} \Leftrightarrow a_{n}=\frac{x+y}{(x+y) b_{n}-x y} \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1 \Leftrightarrow b_{n+1}=-\frac{x}{y} b_{n}$ + +P3. IX. Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $a_{1}=\frac{1}{6}$ și $a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(a_{n}+\frac{1}{2}\right), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Determinați $a_{2014}$. + +Demonstrație: + +$n=1: a_{2}=\frac{2}{4}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}=\frac{2}{6}$ + +$n=2: a_{3}=\frac{3}{5}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}=\frac{3}{6}$ + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}): a_{n}=\frac{n}{6}$ + +$\mathrm{P}(1): a_{1}=\frac{1}{6}$ + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}+1): \quad a_{n+1}=\frac{n+1}{6}$ + +$a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{n+1}{n+3} \cdot \frac{n+3}{6}=\frac{n+1}{6}$ + +Deci $a_{2000}=\frac{2000}{6}=\frac{1000}{3}$ + +P4. IX. Dacă $A B C$ este un triunghi oarecare și $E, F, O, M$ sunt puncte cu proprietățile $E \in(A B)$, $F \in(A C), \quad O \in(E F), M \in(B C), \overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{B C}, 5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B}$ și $12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$ demonstrați că $E F \| B C$. + +Demonstraţie: $5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B} \Leftrightarrow \overrightarrow{A E}=\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}$, fie $x \in(0, \infty)$ astfel încât $\overrightarrow{A F}=x \overrightarrow{F C} \Leftrightarrow \overrightarrow{A F}=\frac{x}{x+1} \overrightarrow{A C}$; $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}=-\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}+\frac{x}{x+1} \overrightarrow{A C}(1) ; 12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow$ + +$\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow{O B}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}(2) ; \overrightarrow{E O}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B O}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ (3); + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5ef58ca0764cb2bbc91fg-3.jpg?height=289&width=451&top_left_y=495&top_left_x=1431) + +$\overrightarrow{E F}$ și $\overrightarrow{E O}$ coliniari $\Leftrightarrow \exists \alpha \in \mathbb{R}$ astfel încât $\overrightarrow{E F}=\alpha \overrightarrow{E O} \stackrel{(1),(3)}{\Leftrightarrow} \alpha=\frac{7}{4}$ și $x=\frac{7}{5} \Rightarrow E F \| B C$. + +## CLASA a X-A + +P1. X. a) Arătați că $\log _{a} \sqrt{x}+\log _{a^{2}} \sqrt[3]{x}+\log _{a^{3}} \sqrt[4]{x}+\cdots+\log _{a^{n}} \sqrt[n+1]{x}=\log _{a} \sqrt[n+1]{x^{n}} ; \forall a, x \in(0, \infty), a \neq 1$. + +Solutie : + +a) $\frac{1}{2} \log _{a} x+\frac{1}{2 \cdot 3} \log _{a} x+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)} \log _{a} x$ + +$\log _{a} x \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}\right)=\log _{a} x \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\right)$ + +Finalizare + +1 punct + +b) Determinați partea întreagă a numărulu $N=\log _{2013} 2014+\log _{2014} 2013+2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}$. + +Solutie : +b) $2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}=0$ 1 punct + +$x=\log _{2013} 2014 \in(1,2)$ 1 punct + +$x+\frac{1}{x} \in[2,3)$ 1 punct + +Finalizare $[\mathrm{N}]=2$ .1 punct + +P2. X. a) Arătați că, pentru oricare două numere complexe $z_{1}, z_{2}$, egalitatea $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|$ este adevărată dacă și numai dacă $\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $z_{1}=\alpha z_{2}$. + +Solutie : + +b) Verificarea implicatiei $\leftarrow$ + +1 punct Implicatia $\rightarrow$ + +$z_{k}=a_{k}+b_{k} \cdot i$ si calcul + +1 punct + +Obtinerea relatiei $a_{1} b_{2}=b_{1} a_{2}$ si finalizare 1 punct + +c) Determinați mulțimile $A=\left\{z \in \mathbb{C}|| z^{2}+2 z+2|+| z^{2}+2 z+1 \mid=1\right\}$ și $M=\{\operatorname{Re} z \mid z \in A\}$. + +Solutie : +b) $\left|z^{2}+2 z+2\right|+\left|z^{2}+2 z+1\right|=1 \Leftrightarrow\left|z^{2}+2 z+2\right|+\left|z^{2}+2 z+1\right|=\left|z^{2}+2 z+2+\left(-z^{2}-2 z-1\right)\right| \Leftrightarrow$ + +puncte + +$\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $(\alpha+1) z^{2}+2(\alpha+1) z+\alpha+2=0 \Leftrightarrow z=-1 \pm \frac{\sqrt{\alpha+1}}{\alpha+1} i$ + +.1 punct + +Aflarea elementelor multimilor + +1 punct + +P3. X. a) Arătați că $\left\{\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \subset(0,2)$ + +## Solutie : + +a) Verificare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}>0$ 1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<1+1$ .1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}-1<1-\sqrt[3]{1-a^{x}}$; amplificare cu conjugata + +Finalizare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<2$ 1 punct + +b) Dacă $n, m \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}$ arătați că $\frac{1}{2 \sqrt[m]{1}}+\frac{1}{3 \sqrt[m]{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt[m]{n}}0}} \frac{x F(x)-H(x)+c+H(0+c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\left(F(x)-\frac{H(x)-H(0}{x}\right)=F(0)-H^{\prime}(0)=F(0)-F(0)=0$ + +$G_{s}^{\prime}(0)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}} \frac{-x F(x)+H(x)+c-2 H(0)+H(0)-c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}}\left(-F(x)+\frac{H(x)-H(0)}{x}\right)=-F(0)+H^{\prime}(0)=-F(0)+F(0)=0$ + +$\Rightarrow G$ derivabilă în $x_{0}=0$ și $G^{\prime}(0)=g(0)=0$. În concluzie, $G$ e o primitivă pentru $g$, deci funçia $g$ admite primitive. + +## CLASA a XI-A + +P1. XI. Fie A o matrice pătratică de ordin 3 , cu toate elementele din mulțimea $\{-1,1\}$. + +a) Determinați toate valorile posibile ale determinantului matricei $A$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, are toate elementele nenule. + +Demonstraţie: + +a) Dacă adunăm prima linie la liniile 2 și 3 , pe aceste linii vor fi numai numere pare. Scoatem factor 2 de pe fiecare dintre ele şi obținem că determinantul matricei $A$, care este număr întreg, se divide cu 4. + +Însă $\operatorname{det} A$ este sumă de şase termeni, fiecare egal cu 1 sau cu -1 , prin urmare are valoarea cuprinsă între -6 şi 6 . Rezultă că $\operatorname{det} A \in\{-4,0,4\}$ şi se constată imediat că toate cele trei valori sunt posibile. + +b) Se demonstrează uşor, prin inducție matematică, faptul că matricea $A^{n}$ are toate elementele impare, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. In particular, toate elementele lui $A^{n}$ vor fi nenule. + +P2. XI. Fie $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A+B=I_{3}$ și $A^{2}=A^{3}$. Să se arate că: + +a) $A B=B A$; + +b) $I_{3}+A B$ este o matrice inversabilă. + +Demonstraţie: + +a) Scrie $\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}-\mathrm{A}$ + +Inmulteste la stanga si la dreapta relatia anterioara cu A + +Deduce $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ + +b) Inmulteste $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}$ la stanga $\mathrm{cu} \mathrm{A}, \mathrm{A}^{2}+\mathrm{AB}=\mathrm{A}$ la dreapta cu $\mathrm{A}$ si obtine + +$\mathrm{ABA}=\mathrm{O}_{3}$ + +Scrie $(\mathrm{AB})^{2}=(\mathrm{ABA}) \mathrm{B}$ de unde $(\mathrm{AB})^{2}=\mathrm{O}_{2}$ + +$\operatorname{Din} \mathrm{I}_{3}=\mathrm{I}_{3}-(\mathrm{AB})^{2} \operatorname{deduce} \operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}-\right.$ + +AB) $\operatorname{det}\left(I_{3}+\mathrm{AB}\right)=1$ + +Finalizeaza $\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}+\mathrm{AB}\right)$ + +$\neq 0$ + +P3. XI. Se consideră șirurile de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite prin: $a_{1}>0, \quad \mathrm{~b}_{1}>0$, $a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, \quad b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right|, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$. + +Demonstrație: + +a) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=\left|\frac{a_{n}+2 b_{n}-a_{n} \sqrt{ } 2-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|$ + +b) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1) \frac{v_{n}}{a_{n}+b_{n}}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right| \leq \frac{1}{2}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right|$ + +P4. XI. Fie $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(2 x)-f(x))=0$. Demonstrați că $\forall a \in(0,+\infty)$, există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(a x)-f(x))$ şi valoarea acestei limite este 0 . Demonstrație: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(2 *))=0\left(1 p \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(x))=0\right. +$$ + +Prin inductic $\left.\lim _{* \rightarrow \infty} f\left(2^{n} *\right)-f(x)\right)=0 \quad$ Pentru $* \rightarrow \frac{*}{2^{n}}$, obt $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{*}{2^{n}}\right)-f(*)\right)=0$ + +Tie $k \in \mathbb{Z}$ a. . $2^{k} \leqslant a<2^{k+1}$, forex $\Rightarrow$ + +$$ +\left.f\left(2^{k} x\right)-f(x) \leq f(a x)-f(x)\right) \leq f\left(2^{k+1} x\right)-f(x) +$$ + +finalizare, on $* \rightarrow \infty$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-824-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-824-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8da82ddd479e08cd7798bfaf6c384b9ddcf2e5e2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-824-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,362 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_013bb0bfcb28bcad7167g-1.jpg?height=146&width=241&top_left_y=144&top_left_x=191) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a XI-a + +Problema 1. Fie A o matrice pătratică de ordin 3, cu toate elementele din mulțimea $\{-1,1\}$. + +a) Determinați toate valorile posibile ale determinantului matricei $A$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, are toate elementele nenule. + +Problema 2. Fie $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A+B=I_{3}$ şi $A^{2}=A^{3}$. Să se arate că: + +a) $A B=B A$; + +b) $I_{3}+A B$ este o matrice inversabilă. + +Problema 3. Se consideră șirurile de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite prin: $a_{1}>0, \quad b_{1}>0$, $a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right|, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$. + +Problema 4. Fie $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(2 x)-f(x))=0$. Demonstraţi că $\forall a \in(0,+\infty)$, există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(a x)-f(x))$ și valoarea acestei limite este 0 . + +## SUCCES! + +[^0] +## ENUNȚURI ȘI SOLUȚII + +## CLASA a IX-A + +P1. IX. Dacă $a, b, c \in \mathbb{R}$ arătați că: +a) $(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1)$; +b) $(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}$ +c) $a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +Demonstrație: Putem presupune $a \leq b \leq c \Rightarrow \max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\}=c-a$ + +$a b+b c+c a-a+c-1=(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=$ + +$(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1) \Rightarrow a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +P2. IX. Fie $x, y \in \mathbb{R}^{*}$, astfel încât $x+y \neq 0$ și $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale. Arătați că: + +a) Dacă $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt progresii aritmetice atunci șirul $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $c_{n}=a_{n} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, este progresie aritmetică dacă și numai dacă una din progresiile aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ sau $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ are rația egală cu 0 . + +b) Dacă $\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1,(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n}$ și $(x+y) b_{n}-x y \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ atunci șirul $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie geometrică. + +Demonstrație: a) $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică $\Leftrightarrow 2 c_{n}=c_{n-1}+c_{n+1} \Leftrightarrow 2 a_{n} b_{n}=\left(a_{n}-x\right)\left(b_{n}-y\right)+$ $+\left(a_{n}+x\right)\left(b_{n}+y\right) \Leftrightarrow x y=0$ + +b) $(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n} \Leftrightarrow a_{n}=\frac{x+y}{(x+y) b_{n}-x y} \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1 \Leftrightarrow b_{n+1}=-\frac{x}{y} b_{n}$ + +P3. IX. Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $a_{1}=\frac{1}{6}$ și $a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(a_{n}+\frac{1}{2}\right), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Determinați $a_{2014}$. + +Demonstrație: + +$n=1: a_{2}=\frac{2}{4}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}=\frac{2}{6}$ + +$n=2: a_{3}=\frac{3}{5}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}=\frac{3}{6}$ + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}): a_{n}=\frac{n}{6}$ + +$\mathrm{P}(1): a_{1}=\frac{1}{6}$ + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}+1): \quad a_{n+1}=\frac{n+1}{6}$ + +$a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{n+1}{n+3} \cdot \frac{n+3}{6}=\frac{n+1}{6}$ + +Deci $a_{2000}=\frac{2000}{6}=\frac{1000}{3}$ + +P4. IX. Dacă $A B C$ este un triunghi oarecare și $E, F, O, M$ sunt puncte cu proprietățile $E \in(A B)$, $F \in(A C), \quad O \in(E F), M \in(B C), \overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{B C}, 5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B}$ și $12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$ demonstrați că $E F \| B C$. + +Demonstraţie: $5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B} \Leftrightarrow \overrightarrow{A E}=\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}$, fie $x \in(0, \infty)$ astfel încât $\overrightarrow{A F}=x \overrightarrow{F C} \Leftrightarrow \overrightarrow{A F}=\frac{x}{x+1} \overrightarrow{A C}$; $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}=-\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}+\frac{x}{x+1} \overrightarrow{A C}(1) ; 12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow$ + +$\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow{O B}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}(2) ; \overrightarrow{E O}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B O}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ (3); + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_013bb0bfcb28bcad7167g-3.jpg?height=289&width=451&top_left_y=495&top_left_x=1431) + +$\overrightarrow{E F}$ și $\overrightarrow{E O}$ coliniari $\Leftrightarrow \exists \alpha \in \mathbb{R}$ astfel încât $\overrightarrow{E F}=\alpha \overrightarrow{E O} \stackrel{(1),(3)}{\Leftrightarrow} \alpha=\frac{7}{4}$ și $x=\frac{7}{5} \Rightarrow E F \| B C$. + +## CLASA a X-A + +P1. X. a) Arătați că $\log _{a} \sqrt{x}+\log _{a^{2}} \sqrt[3]{x}+\log _{a^{3}} \sqrt[4]{x}+\cdots+\log _{a^{n}} \sqrt[n+1]{x}=\log _{a} \sqrt[n+1]{x^{n}} ; \forall a, x \in(0, \infty), a \neq 1$. + +Solutie : + +a) $\frac{1}{2} \log _{a} x+\frac{1}{2 \cdot 3} \log _{a} x+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)} \log _{a} x$ + +$\log _{a} x \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}\right)=\log _{a} x \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\right)$ + +Finalizare + +1 punct + +b) Determinați partea întreagă a numărulu $N=\log _{2013} 2014+\log _{2014} 2013+2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}$. + +Solutie : +b) $2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}=0$ 1 punct + +$x=\log _{2013} 2014 \in(1,2)$ 1 punct + +$x+\frac{1}{x} \in[2,3)$ 1 punct + +Finalizare $[\mathrm{N}]=2$ .1 punct + +P2. X. a) Arătați că, pentru oricare două numere complexe $z_{1}, z_{2}$, egalitatea $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|$ este adevărată dacă și numai dacă $\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $z_{1}=\alpha z_{2}$. + +Solutie : + +b) Verificarea implicatiei $\leftarrow$ + +1 punct Implicatia $\rightarrow$ + +$z_{k}=a_{k}+b_{k} \cdot i$ si calcul + +1 punct + +Obtinerea relatiei $a_{1} b_{2}=b_{1} a_{2}$ si finalizare 1 punct + +c) Determinați mulțimile $A=\left\{z \in \mathbb{C}|| z^{2}+2 z+2|+| z^{2}+2 z+1 \mid=1\right\}$ și $M=\{\operatorname{Re} z \mid z \in A\}$. + +Solutie : +b) $\left|z^{2}+2 z+2\right|+\left|z^{2}+2 z+1\right|=1 \Leftrightarrow\left|z^{2}+2 z+2\right|+\left|z^{2}+2 z+1\right|=\left|z^{2}+2 z+2+\left(-z^{2}-2 z-1\right)\right| \Leftrightarrow$ + +puncte + +$\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $(\alpha+1) z^{2}+2(\alpha+1) z+\alpha+2=0 \Leftrightarrow z=-1 \pm \frac{\sqrt{\alpha+1}}{\alpha+1} i$ + +.1 punct + +Aflarea elementelor multimilor + +1 punct + +P3. X. a) Arătați că $\left\{\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \subset(0,2)$ + +## Solutie : + +a) Verificare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}>0$ 1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<1+1$ .1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}-1<1-\sqrt[3]{1-a^{x}}$; amplificare cu conjugata + +Finalizare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<2$ 1 punct + +b) Dacă $n, m \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}$ arătați că $\frac{1}{2 \sqrt[m]{1}}+\frac{1}{3 \sqrt[m]{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt[m]{n}}0}} \frac{x F(x)-H(x)+c+H(0+c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\left(F(x)-\frac{H(x)-H(0}{x}\right)=F(0)-H^{\prime}(0)=F(0)-F(0)=0$ + +$G_{s}^{\prime}(0)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}} \frac{-x F(x)+H(x)+c-2 H(0)+H(0)-c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}}\left(-F(x)+\frac{H(x)-H(0)}{x}\right)=-F(0)+H^{\prime}(0)=-F(0)+F(0)=0$ + +$\Rightarrow G$ derivabilă în $x_{0}=0$ și $G^{\prime}(0)=g(0)=0$. În concluzie, $G$ e o primitivă pentru $g$, deci funçia $g$ admite primitive. + +## CLASA a XI-A + +P1. XI. Fie A o matrice pătratică de ordin 3 , cu toate elementele din mulțimea $\{-1,1\}$. + +a) Determinați toate valorile posibile ale determinantului matricei $A$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, are toate elementele nenule. + +Demonstraţie: + +a) Dacă adunăm prima linie la liniile 2 și 3 , pe aceste linii vor fi numai numere pare. Scoatem factor 2 de pe fiecare dintre ele şi obținem că determinantul matricei $A$, care este număr întreg, se divide cu 4. + +Însă $\operatorname{det} A$ este sumă de şase termeni, fiecare egal cu 1 sau cu -1 , prin urmare are valoarea cuprinsă între -6 şi 6 . Rezultă că $\operatorname{det} A \in\{-4,0,4\}$ şi se constată imediat că toate cele trei valori sunt posibile. + +b) Se demonstrează uşor, prin inducție matematică, faptul că matricea $A^{n}$ are toate elementele impare, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. In particular, toate elementele lui $A^{n}$ vor fi nenule. + +P2. XI. Fie $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A+B=I_{3}$ și $A^{2}=A^{3}$. Să se arate că: + +a) $A B=B A$; + +b) $I_{3}+A B$ este o matrice inversabilă. + +Demonstraţie: + +a) Scrie $\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}-\mathrm{A}$ + +Inmulteste la stanga si la dreapta relatia anterioara cu A + +Deduce $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ + +b) Inmulteste $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}$ la stanga $\mathrm{cu} \mathrm{A}, \mathrm{A}^{2}+\mathrm{AB}=\mathrm{A}$ la dreapta cu $\mathrm{A}$ si obtine + +$\mathrm{ABA}=\mathrm{O}_{3}$ + +Scrie $(\mathrm{AB})^{2}=(\mathrm{ABA}) \mathrm{B}$ de unde $(\mathrm{AB})^{2}=\mathrm{O}_{2}$ + +$\operatorname{Din} \mathrm{I}_{3}=\mathrm{I}_{3}-(\mathrm{AB})^{2} \operatorname{deduce} \operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}-\right.$ + +AB) $\operatorname{det}\left(I_{3}+\mathrm{AB}\right)=1$ + +Finalizeaza $\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}+\mathrm{AB}\right)$ + +$\neq 0$ + +P3. XI. Se consideră șirurile de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite prin: $a_{1}>0, \quad \mathrm{~b}_{1}>0$, $a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, \quad b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right|, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$. + +Demonstrație: + +a) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=\left|\frac{a_{n}+2 b_{n}-a_{n} \sqrt{ } 2-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|$ + +b) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1) \frac{v_{n}}{a_{n}+b_{n}}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right| \leq \frac{1}{2}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right|$ + +P4. XI. Fie $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(2 x)-f(x))=0$. Demonstrați că $\forall a \in(0,+\infty)$, există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(a x)-f(x))$ şi valoarea acestei limite este 0 . Demonstrație: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(2 *))=0\left(1 p \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(x))=0\right. +$$ + +Prin inductic $\left.\lim _{* \rightarrow \infty} f\left(2^{n} *\right)-f(x)\right)=0 \quad$ Pentru $* \rightarrow \frac{*}{2^{n}}$, obt $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{*}{2^{n}}\right)-f(*)\right)=0$ + +Tie $k \in \mathbb{Z}$ a. . $2^{k} \leqslant a<2^{k+1}$, forex $\Rightarrow$ + +$$ +\left.f\left(2^{k} x\right)-f(x) \leq f(a x)-f(x)\right) \leq f\left(2^{k+1} x\right)-f(x) +$$ + +finalizare, on $* \rightarrow \infty$ + + +[^0]: Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. a) 2 puncte; b) 7 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 4 . 7 puncte. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-825-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-825-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a10f04fc8dda503135ddad2fc1047b064a558d2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-825-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,358 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. a) Arătaţi că $\log _{a} \sqrt{x}+\log _{a^{2}} \sqrt[3]{x}+\log _{a^{3}} \sqrt[4]{x}+\cdots+\log _{a^{n}} \sqrt[n+1]{x}=\log _{a} \sqrt[n+1]{x^{n}} ; \forall a, x \in(0, \infty), a \neq 1$. + +b) Determinaţi partea întreagă a numărulu $N=\log _{2013} 2014+\log _{2014} 2013+2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}$. + +Adriana Constantin, Călăraşi + +Problema 2. a) Arătaţi că, pentru oricare două numere complexe $z_{1}, z_{2}$, egalitatea $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|$ este adevărată dacă şi numai dacă $\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $z_{1}=\alpha z_{2}$. + +b) Determinați mulțimile $A=\left\{z \in \mathbb{C}|| z^{2}+2 z+2|+| z^{2}+2 z+1 \mid=1\right\}$ și $M=\{\operatorname{Re} z \mid z \in A\}$. + +Viorica Stoianovici, Călăraşi + +Problema 3. a) Dacă $a \in(0,+\infty)$ arătați că $\left\{\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \subset(0,2)$. + +b) Dacă $n, m \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}$ arătați că $\frac{1}{2 \sqrt[m]{1}}+\frac{1}{3 \sqrt[m]{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt[m]{n}}0$ 1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<1+1$ .1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}-1<1-\sqrt[3]{1-a^{x}}$; amplificare cu conjugata + +Finalizare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<2$ 1 punct + +b) Dacă $n, m \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}$ arătați că $\frac{1}{2 \sqrt[m]{1}}+\frac{1}{3 \sqrt[m]{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt[m]{n}}0}} \frac{x F(x)-H(x)+c+H(0+c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\left(F(x)-\frac{H(x)-H(0}{x}\right)=F(0)-H^{\prime}(0)=F(0)-F(0)=0$ + +$G_{s}^{\prime}(0)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}} \frac{-x F(x)+H(x)+c-2 H(0)+H(0)-c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}}\left(-F(x)+\frac{H(x)-H(0)}{x}\right)=-F(0)+H^{\prime}(0)=-F(0)+F(0)=0$ + +$\Rightarrow G$ derivabilă în $x_{0}=0$ și $G^{\prime}(0)=g(0)=0$. În concluzie, $G$ e o primitivă pentru $g$, deci funçia $g$ admite primitive. + +## CLASA a XI-A + +P1. XI. Fie A o matrice pătratică de ordin 3 , cu toate elementele din mulțimea $\{-1,1\}$. + +a) Determinați toate valorile posibile ale determinantului matricei $A$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, are toate elementele nenule. + +Demonstraţie: + +a) Dacă adunăm prima linie la liniile 2 și 3 , pe aceste linii vor fi numai numere pare. Scoatem factor 2 de pe fiecare dintre ele şi obținem că determinantul matricei $A$, care este număr întreg, se divide cu 4. + +Însă $\operatorname{det} A$ este sumă de şase termeni, fiecare egal cu 1 sau cu -1 , prin urmare are valoarea cuprinsă între -6 şi 6 . Rezultă că $\operatorname{det} A \in\{-4,0,4\}$ şi se constată imediat că toate cele trei valori sunt posibile. + +b) Se demonstrează uşor, prin inducție matematică, faptul că matricea $A^{n}$ are toate elementele impare, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. In particular, toate elementele lui $A^{n}$ vor fi nenule. + +P2. XI. Fie $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A+B=I_{3}$ și $A^{2}=A^{3}$. Să se arate că: + +a) $A B=B A$; + +b) $I_{3}+A B$ este o matrice inversabilă. + +Demonstraţie: + +a) Scrie $\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}-\mathrm{A}$ + +Inmulteste la stanga si la dreapta relatia anterioara cu A + +Deduce $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ + +b) Inmulteste $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}$ la stanga $\mathrm{cu} \mathrm{A}, \mathrm{A}^{2}+\mathrm{AB}=\mathrm{A}$ la dreapta cu $\mathrm{A}$ si obtine + +$\mathrm{ABA}=\mathrm{O}_{3}$ + +Scrie $(\mathrm{AB})^{2}=(\mathrm{ABA}) \mathrm{B}$ de unde $(\mathrm{AB})^{2}=\mathrm{O}_{2}$ + +$\operatorname{Din} \mathrm{I}_{3}=\mathrm{I}_{3}-(\mathrm{AB})^{2} \operatorname{deduce} \operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}-\right.$ + +AB) $\operatorname{det}\left(I_{3}+\mathrm{AB}\right)=1$ + +Finalizeaza $\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}+\mathrm{AB}\right)$ + +$\neq 0$ + +P3. XI. Se consideră șirurile de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite prin: $a_{1}>0, \quad \mathrm{~b}_{1}>0$, $a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, \quad b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right|, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$. + +Demonstrație: + +a) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=\left|\frac{a_{n}+2 b_{n}-a_{n} \sqrt{ } 2-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|$ + +b) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1) \frac{v_{n}}{a_{n}+b_{n}}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right| \leq \frac{1}{2}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right|$ + +P4. XI. Fie $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(2 x)-f(x))=0$. Demonstrați că $\forall a \in(0,+\infty)$, există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(a x)-f(x))$ şi valoarea acestei limite este 0 . Demonstrație: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(2 *))=0\left(1 p \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(x))=0\right. +$$ + +Prin inductic $\left.\lim _{* \rightarrow \infty} f\left(2^{n} *\right)-f(x)\right)=0 \quad$ Pentru $* \rightarrow \frac{*}{2^{n}}$, obt $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{*}{2^{n}}\right)-f(*)\right)=0$ + +Tie $k \in \mathbb{Z}$ a. . $2^{k} \leqslant a<2^{k+1}$, forex $\Rightarrow$ + +$$ +\left.f\left(2^{k} x\right)-f(x) \leq f(a x)-f(x)\right) \leq f\left(2^{k+1} x\right)-f(x) +$$ + +finalizare, on $* \rightarrow \infty$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-826-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-826-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..611f08102db9d046833df72afc1821b8300da345 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-826-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,306 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. Fie $x \in \mathbb{R}, x>0$. Arătaţi că $(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=16$ dacă şi numai dacă $x=1$. + +Viorica Stoianovici, Călăraşi + +Problema 2. Dacă $n=\underbrace{\overline{66 \ldots 67}}_{2013}$, calculaţi $n^{2}$. + +Cristina Bornea, Călărași + +Problema 3. Dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic și $A C \cap B D=\{O\}, \quad A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{M\}$, $B C^{\prime} \cap B^{\prime} C=\{N\}$ atunci: + +a) Demonstrați că planele $(A M N)$ și $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$ sunt paralele. + +b) Determinați lungimea diagonalei paralelipipedului dacă se știe că $M N=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{OM}=\sqrt{41} \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{ON}=\sqrt{34} \mathrm{~cm}$. + +c) Paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub dacă și numai dacă $B^{\prime} O \perp A C$ și $B D^{\prime} \perp(A M N)$. + +Gheorghe Fianu, Perişoru + +Problema 4. Dacă $A B C D E F G H$ este un paralelipiped dreptunghic, $a \in \mathbb{R}, a>0, A B=a \sqrt{2}, B C=a, A E=2 a$, $M \in(A B), A M=B M, B D \cap C M=\{O\}$ atunci: + +a) Arătați că $C M \perp H O$. + +b) Există un punct $T \in(B F)$ cu proprietatea $H O \perp T O$ ? (justificați răspunsul) + +Gabriela Ruse, Călăraşi + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. 7 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3. a) 2 puncte; b) 2 puncte; c) 3 puncte; Problema 4. a) 4 puncte; b) 3 puncte.[^0] + +## ENUNȚURI ȘI SOLUȚII - GIMNAZIU + +## CLASA a V-A + +Problema 1. Un număr natural se numește ,,prețios ”, daca suma cifrelor sale este divizibila cu 17. + +a) Care este cel mai mic număr ,prețios ''? + +b) Care este cel mai mare "prețios" de șase cifre? + +c) Dați un exemplu de doua numere consecutive, ambele,, prețioase". + +Soluţie + +a) 89 + +b) 999996 + +c) 8899 si 8900 + +Problema 2. a) Jocurile Olimpice de iarnă au loc o dată la patru ani. În cursul unei perioade de 37 ani, care este numărul de Jocurile Olimpice de iarnă, care ar putea avea loc? (justificați răspunsul) + +b) În prima ligă a campionatului naţional de fotbal participă 18 echipe. În turul campionatului fiecare echipă joacă cu fiecare din celelalte 17 echipe un meci. La sfârșitul unui meci o echipă primește 3 puncte dacă câștigă meciul, 1 punct la dacă meciul se termină cu un scor egal și 0 puncte dacă este învinsă. Se stie că, în clasamentul final de la sfầrșitul turului de campionat, nu există echipe care au același număr de puncte. Dacă ultima clasată are 17 puncte puteți să aflați câte din cele $9 \cdot 17=153$ de meciuri disputate sau terminat la egalitate? (justificați răspunsul) + +## Soluţie + +a) 9 sau 10 + +b) Numarul maxim total de puncte este de $153 \cdot 3=459$ puncte ( in cazul in care avem numai victorii) + +Daca ultima echipa are 17 puncte, atunci celelalte echipe vor avea, cel puțin 18, 19,..., 34 puncte, $17+18+\ldots+34=459$; rezultă că niun meci nu s-a terminat la egalitate + +Problema 3. Trebuie să găsiți: + +a) Toate cifrele $a, b$ și $c, a \neq 0$ cu proprietate $\overline{a b c c c}+1=\overline{a a b b b}$. + +b) Toate numerele naturale $a$ și $b$ cu proprietate că avem câtul împărțirii lui $a$ la $b 52$ și $a+b=2014$. + +Soluţie + +a) 10999 și 11999 ; + +b) $a=52 b+r, r \in\{0,1,2, \ldots, 51\} ; a+b=2014 \Leftrightarrow r=53(38-b) \Rightarrow r=0 \Rightarrow b=38$ și $a=1976$ + +Problema 4. Pe o tablă de șah (vezi figura 1) se așează numai pioni. Întru-un pătrățel al tablei se poate pune cel mult un pion. Un pion, care nu este așezat pe o latură a tablei de șah, se numește ,,apărat" dacă în cele patru pătrățelele alăturate la est, vest, sud și nord mai este plasat cel mult un pion (vezi figura 2; două pătrățele sunt alăturate dacă au o latură comună). Dacă pionul este așezat pe o latură sau într-un colț el este ,,apărat" dacă în pătrățelele alăturate în cele trei sau două direcții posibile mai este plasat cel mult un pion. Care este numărul maxim de pioni ,apărați" care se pot așeza pe tabla de șah? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Dacă punem câte un pion în fiecare pătrățel alb rezulă că pe tablă se pot așeza cel puțin 32 de pioni ,,apăraţı" . Presupunem că se mai poate așeza un pion ,apărat”. Grupăm pătratele tablei de șah ca în figura alăturată. Conform principiului cutiei o gupare de patru pătrățele de forma: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aabeaabf764227c09d7fg-2.jpg?height=334&width=1086&top_left_y=2163&top_left_x=837) + +conține 3 pioni ,,apărați", ceea ce este imposibil. + +## CLASA a VI-A + +Problema 1. Numărul natural $\overline{a b c d}$ se numește ,interesant" dacă $a \neq 0$ și $4 \overline{a b}=3 \overline{c d}$. + +a) Să se demonstreze că orice număr ,,interesant" este divizibil cu 76 . +b) Să se afle cel mai mic număr,,interesant" . + +Soluție + +а) $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=25 \cdot(4 \overline{a b})+\overline{c d}=25 \cdot(3 \overline{c d})+\overline{c d}=75 \overline{c d}+\overline{c d}=76 \overline{c d} \Rightarrow \overline{a b c d}: 76$ + +b) 1216, ceilalți multipli de 4 cifre ai lui 76,1140 și 1064, nu sunt numere „interesante" + +Problema 2. Dacă $m, m \geq 2, k$ și $n$ sunt numere naturale atunci: + +a) Determinaţi toate numerele numerele $k$ și $n$ cu proprietatea $\frac{k^{2}}{2014}=\frac{2}{n^{2}-17}$. + +b) Dacă $(m-1) m(m+1)=k^{n}$ arătați că $n=1$. + +Solutie + +a) $k^{2}\left(\mathrm{n}^{2}-17\right)=2 \cdot 2014 \Leftrightarrow \mathrm{k}^{2}\left(\mathrm{n}^{2}-17\right)=1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 19 \cdot 53 \Leftrightarrow$ $\mathrm{k}^{2}=1^{2}$ și $\mathrm{n}^{2}-17=4028$ rezultă $\mathrm{k}=1 \quad$ si $\mathrm{n}^{2}=4045$ nu convine $4045 \mathrm{nu}$ este patrat perfect sau + +$\mathrm{k}^{2}=2^{2} \quad$ si $\mathrm{n}^{2}-17=1007$ rezulta $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}^{2}=1024$ rezulta $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}=32$ + +Deci problema are o singura solutie $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}=32$ + +b) c.m.m.d.c. $\left(\left(m^{2}-1\right), m\right)=1 \Rightarrow \exists k_{1}$ şi $k_{2}$ astfel încât $m=k_{1}^{n}$ și $m^{2}-1=k_{2}^{n} \Rightarrow\left(k_{1}^{2}\right)^{n}-1=k_{2}^{n} \Rightarrow n=1$ + +Problema 3. Se considera mulțimea $A=\{1,2,3 \ldots 2014\}$. + +a) Câte dintre elementele mulțimii $A$ sunt numere divizibile cu 3 ? + +b) Care este numărul maxim de elemente pe care îl poate avea o submulțime $S$ a mulțimii A care are proprietatea că suma oricăror două elemente din $S$ nu este divizibilă cu diferența lor. + +c) Arătaţi că oricum am alege 5 numere prime mai mari ca 3 , două dintre acestea au diferenţa divizibilă cu 12 . + +Soluție + +a) $2014=3 \cdot 671+1$, deci sunt 671 numere. + +b) Alegem $S=\{3 k+1 \mid k=\overline{0,671}\}$. Aceasta multime are 672 elemente, iar suma oricaror doua elemente este de forma $3 m+2$, pe cand diferenta este multiplu de 3 , deci diferenta nu poate divide suma. + +Aratam ca aceasta este cea mai mare multime posibila. + +Presupunem că exista o submultime a lui $A$, cu mai mult de 672 elemente, avand proprietatea ceruta, atunci există doua numere vecine a căror diferentă este 1 sau 2. ( altfel daca diferenta ar fi 3 am avea in cazul extrem 1,4,7,...2017,.. absurd) . 89 + +Dar, in acest caz, daca diferenta este 1 divide suma lor, iar daca diferenta este 2 atunci si suma lor este multiplu de 2, iarasi absurd. + +Problema 4. Pe laturile [ $O X$ şi $[O Y$ a $\angle X O Y$ se iau consideră $A$ şi, respectiv, $B$ astfel încât $[O A] \equiv[O B]$. Semidreptele $[O Z$ și $[O T$ sunt situate în interiorul unghiului $\angle X O Y$ astfel încât $[O Z \subset \operatorname{Int}(\nless X O T)$ şi $\angle X O Z \equiv \angle T O Y$. Dacă punctul $M$ aparține bisectoarei unghiului $\angle Z O T, M \notin A B, M A \cap[O Z=\{N\}$, $M B \cap[O T=\{P\}$ și $\{Q\}=A P \cap B N$, arătaţi că: + +a) $[A P] \equiv[B N]$; + +b) $Q \in[M O$. + +Soluție + +a) $\triangle A O M \equiv \triangle B O M(L U L) \Rightarrow[A M] \equiv[B M]$ (1) si $\angle O M A \equiv \angle O M B$ (2) + +$$ +\Delta O M N \equiv \triangle O M P(U L U) \Rightarrow[O N] \equiv[O P] \text { si }[M N] \equiv[M P](3) +$$ + +$\triangle O A P \equiv \triangle O B M(U L U) \Rightarrow[A P] \equiv[B N]$ si $\angle O P A \equiv \angle O N B(4)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aabeaabf764227c09d7fg-3.jpg?height=379&width=491&top_left_y=2426&top_left_x=1436) +b) (1) si (3) $\Rightarrow[A N] \equiv[B P]$; + +$\triangle A M P \equiv \triangle B M N(L U L) \Rightarrow \angle A P M \equiv \angle B N M(6)$ si $\angle M A P \equiv \angle M B N$; (4) si (5) $\Rightarrow \angle A N B \equiv \angle B P A$; + +$\triangle A N Q \equiv \triangle B P Q(U L U) \Rightarrow[N Q] \equiv[P Q] ; \triangle N M Q \equiv \triangle P M Q(L L L) \Rightarrow \angle N M Q \equiv \angle P M Q(6) \Rightarrow(M o Q$ si $(M Q$ + +sunt semidrepte opuse + +## CLASA a VII-A + +Problema 1. Fie $x, y \in \mathbb{R}$ astfel încât $x>0$ și $y>0$. + +a) Calculați $(x-1)(x+1)$; + +b) Arătaţi că dacă $x<1$ atunci $\sqrt{x}<1$. + +c) Arătați că dacă $x^{3}+x \leq y-y^{3}$ atunci $x0 \Rightarrow y<1$ + +Problema 2. Există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$ ? + +(justificați răspunsul) + +Soluție + +i) $\forall m, n, k \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}>\frac{1}{m+n} \\ \frac{1}{n}>\frac{1}{n+k} \\ \frac{1}{k}>\frac{1}{k+m}\end{array} \Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}>\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}\right.$ + +ii) Presupunem că $\exists m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încăt $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$; Dacă $m \leq n \leq k \Rightarrow$ $\left.|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2} \Leftrightarrow 2(k-n)=1007 \Rightarrow 2 \right\rvert\, 1007$, contradicție. Similar se procedează în celelate cazuri posibile $m \leq k \leq n, n \leq k \leq m, n \leq m \leq k, k \leq m \leq n, k \leq n \leq m$ + +Din i) și ii) rezultă că nu există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$. + +Problema 3. Dacă $A B C D$ un paralelogram în care $m(\angle B A D)=60^{\circ}, E$ este un punct în interiorul triunghiului $A B D$ cu proprietatea $m(\angle A E B)=m(\angle B E D)=m(\angle A E D), F \notin A B$ un punct astfel încât triunghiului $A D F$ este echilateral și $G$ punctul din interiorul triunghiului $A D F$ pentru care triunghiului $A E G$ este echilateral, arătați că: + +a) punctele $B, E, F$ și $G$ sunt coliniare; +b) $E A+E B+E D=A C$. + +Soluție + +a) $m(\angle A E B)=120^{\circ} \quad$ si $\quad m(\angle A E G)=60^{\circ} \Rightarrow E \in(B G)$; + +$m(\angle G A F)=m(\angle D A E)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aabeaabf764227c09d7fg-4.jpg?height=343&width=669&top_left_y=2470&top_left_x=1276) +$=60^{\circ}-m(\angle D A G),[A F] \equiv[A D],[A G] \equiv[A E] \Rightarrow \triangle F A G \equiv \triangle D A E \Rightarrow m(\angle A G F)=120^{\circ}$ + +$m(\angle A G E)=60^{\circ} \Rightarrow G \in(E F)$ + +b) $\triangle B A F \equiv \triangle A B C \Rightarrow[A C] \equiv[B F]$ si $[E D] \equiv[G F],[E G] \equiv[E A] \Rightarrow$ $E A+E B+E D=A C$. + +Problema 4. Se considera un paralelogram $A B C D$ şi punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât $B E=E C$ și $C F=F D$. Dacă $A E \cap B F=\{G\}$ și $H \in(A G)$ astfel încât $A H=H G$ determinați valoarea raportului $\frac{H G}{H E}$. + +## Soluție + +Fie $\mathrm{P}$ mijlocul segmentului (AB) ş $\{M\}=\mathrm{CH} \cap B F$ + +În triunghiul $\mathrm{ABG}$, (PH) este linie mijlocie, rezulta $\mathrm{PH} \| \mathrm{BM}(1)$. + +Cum $\mathrm{PB} \| \mathrm{DF}$ si $\mathrm{PB}=\mathrm{DF}$, rezulta ca BFDP este paralelogram,deci PD \|| BF (2) + +Din (1) şi (2) rezultă că punctele $\mathrm{P}, \mathrm{H}, \mathrm{D}$ sunt coliniare. + +Cum MF || HD si ţinând cont că F este mijlocul segmentului (CD) rezultă că (FM) este linie mijlocie în triunghiul CDH. Deducem că M este mijlocul segmentului (CH) si G este centru de greutate in triunghiul $\mathrm{BCH}$,de unde valoarea raportului este $\frac{2}{3}$. + +## CLASA a VIII-A + +Problema 1. Fie $x \in \mathbb{R}, x>0$. Arătați că $(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=16$ dacă şi numai dacă $x=1$. + +Soluție + +$(\leftarrow)$ evident + +$(\rightarrow) x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad \forall x \in \mathbb{R}, x>0$ și $x+\frac{1}{x}=2, x \in \mathbb{R}, x>0 \Leftrightarrow x=1$; Presupunem $x \neq 1 \Rightarrow(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=$ $=2+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)>16$, contrdicție $\Rightarrow x=1$. + +Problema 2. Dacă $n=\underbrace{\overline{66 \ldots 67}}_{2013}$, calculați $n^{2}$. + +Soluție + +Notez 2013 $=k \Rightarrow n^{2}=\left[\frac{20}{3}\left(10^{k}-1\right)+7\right]^{2}=\frac{400}{9}\left(10^{2 k}-1\right)+\frac{40}{9}\left(10^{k}-1\right)+49 \underset{k+1}{44 \ldots 488} \underset{k}{49}$ + +Problema 3. Dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic și $A C \cap B D=\{O\}$, $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{M\}, B C^{\prime} \cap B^{\prime} C=\{N\}$ atunci: + +a) Demonstrați că planele $(A M N)$ și $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$ sunt paralele. + +b) Determinați lungimea diagonalei paralelipipedului dacă se știe că $M N=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{OM}=\sqrt{41} \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{ON}=\sqrt{34} \mathrm{~cm}$. + +c) Paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub dacă și numai dacă $B^{\prime} O \perp A C$ și $B D^{\prime} \perp(A M N)$. + +## Soluție + +a) Se observă că $(\mathrm{OMN})$ coincide cu $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$, iar $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right) \|$ ( DA' C' ) pentru-că $\mathrm{AC} \| \mathrm{A} \mathrm{C}^{\prime}$ si $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}^{\prime}$; + +## C + +B + +b) $\mathrm{AC}=2 . \mathrm{MN}=10 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{AB}^{\prime}=2 . \mathrm{NO}=2 \cdot \sqrt{34} \mathrm{~cm}$; + +$\mathrm{CB}^{\prime}=2 . \mathrm{MO}=2 \cdot \sqrt{41} \mathrm{~cm}$ + +Fie $\mathrm{AB}=\mathrm{a} ; \mathrm{BC}=\mathrm{b} ; \mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{c}$ + +$\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=100$ + +$\left.\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=164\right\} \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=200$ + +$\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}=136$ + +$D B^{\prime}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + +c) Dacă B'O $\perp \mathrm{AC}$, cum $\mathrm{BB}^{\prime} \perp(\mathrm{ABC})$, avem din th.3. $\perp$ (r) că $\mathrm{BO} \perp \mathrm{AC}$ + +deci $\mathrm{ABCD}$ este pătrat $\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$; + +$\mathrm{BD}^{\prime} \perp(\mathrm{OMN})=(\mathrm{ACB}) \Rightarrow \mathrm{BD}^{\prime} \perp \mathrm{OB}$ + +Fie dreptunghiul BDD'B' , + +tr.B’D'B $\sim \operatorname{tr}$ BB'O ( cazul UU) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aabeaabf764227c09d7fg-6.jpg?height=894&width=768&top_left_y=221&top_left_x=1061) + +$$ +\frac{D^{\prime} B^{\prime}}{B B^{\prime}}=\frac{B B^{\prime}}{B O} \Rightarrow \frac{a \sqrt{2}}{c}=\frac{c}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} \Rightarrow c=a +$$ + +Deci paralelipipedul este cub. + +D' + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aabeaabf764227c09d7fg-6.jpg?height=414&width=626&top_left_y=1284&top_left_x=1069) + +Problema 4. Dacă ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic, $a \in \mathbb{R}, a>0, A B=a \sqrt{2}, B C=a, A E=2 a, M \in(A B), A M=B M, B D \cap C M=\{O\}$ atunci: + +a)Arătați că $C M \perp H O$. + +b) Există un punct $T \in(B F)$ cu proprietatea $H O \perp T O$ ? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Se demonstrează că $\triangle B A D \sim \triangle C B M$, deci $B D \perp C M$ şi prin $\mathrm{T} 3 \perp$ rezultă $\mathrm{HO} \perp \mathrm{CM}$. Se demonstrează că + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aabeaabf764227c09d7fg-6.jpg?height=77&width=1311&top_left_y=2252&top_left_x=298) + + +[^0]: Str. Sloboziei, nr. 28, 910001 Mun. Călărași, Jud. Călărași + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-827-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-827-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f6f9c1d1f5cf1f8e1cb6579b9de8bf1216a2b3f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-827-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,301 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +Clasa a VII-a + +Problema 1. Fie $x, y \in \mathbb{R}$ astfel încât $x>0$ şi $y>0$. + +a) Calculați $(x-1)(x+1)$; + +b) Arătați că dacă $x<1$ atunci $\sqrt{x}<1$. + +c) Arătați că dacă $x^{3}+x \leq y-y^{3}$ atunci $x0$ și $y>0$. + +a) Calculați $(x-1)(x+1)$; + +b) Arătaţi că dacă $x<1$ atunci $\sqrt{x}<1$. + +c) Arătați că dacă $x^{3}+x \leq y-y^{3}$ atunci $x0 \Rightarrow y<1$ + +Problema 2. Există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$ ? + +(justificați răspunsul) + +Soluție + +i) $\forall m, n, k \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}>\frac{1}{m+n} \\ \frac{1}{n}>\frac{1}{n+k} \\ \frac{1}{k}>\frac{1}{k+m}\end{array} \Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}>\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}\right.$ + +ii) Presupunem că $\exists m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încăt $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$; Dacă $m \leq n \leq k \Rightarrow$ $\left.|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2} \Leftrightarrow 2(k-n)=1007 \Rightarrow 2 \right\rvert\, 1007$, contradicție. Similar se procedează în celelate cazuri posibile $m \leq k \leq n, n \leq k \leq m, n \leq m \leq k, k \leq m \leq n, k \leq n \leq m$ + +Din i) și ii) rezultă că nu există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$. + +Problema 3. Dacă $A B C D$ un paralelogram în care $m(\angle B A D)=60^{\circ}, E$ este un punct în interiorul triunghiului $A B D$ cu proprietatea $m(\angle A E B)=m(\angle B E D)=m(\angle A E D), F \notin A B$ un punct astfel încât triunghiului $A D F$ este echilateral și $G$ punctul din interiorul triunghiului $A D F$ pentru care triunghiului $A E G$ este echilateral, arătați că: + +a) punctele $B, E, F$ și $G$ sunt coliniare; +b) $E A+E B+E D=A C$. + +Soluție + +a) $m(\angle A E B)=120^{\circ} \quad$ si $\quad m(\angle A E G)=60^{\circ} \Rightarrow E \in(B G)$; + +$m(\angle G A F)=m(\angle D A E)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3c13f3339a455c244bfg-4.jpg?height=343&width=669&top_left_y=2470&top_left_x=1276) +$=60^{\circ}-m(\angle D A G),[A F] \equiv[A D],[A G] \equiv[A E] \Rightarrow \triangle F A G \equiv \triangle D A E \Rightarrow m(\angle A G F)=120^{\circ}$ + +$m(\angle A G E)=60^{\circ} \Rightarrow G \in(E F)$ + +b) $\triangle B A F \equiv \triangle A B C \Rightarrow[A C] \equiv[B F]$ si $[E D] \equiv[G F],[E G] \equiv[E A] \Rightarrow$ $E A+E B+E D=A C$. + +Problema 4. Se considera un paralelogram $A B C D$ şi punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât $B E=E C$ și $C F=F D$. Dacă $A E \cap B F=\{G\}$ și $H \in(A G)$ astfel încât $A H=H G$ determinați valoarea raportului $\frac{H G}{H E}$. + +## Soluție + +Fie $\mathrm{P}$ mijlocul segmentului (AB) ş $\{M\}=\mathrm{CH} \cap B F$ + +În triunghiul $\mathrm{ABG}$, (PH) este linie mijlocie, rezulta $\mathrm{PH} \| \mathrm{BM}(1)$. + +Cum $\mathrm{PB} \| \mathrm{DF}$ si $\mathrm{PB}=\mathrm{DF}$, rezulta ca BFDP este paralelogram,deci PD \|| BF (2) + +Din (1) şi (2) rezultă că punctele $\mathrm{P}, \mathrm{H}, \mathrm{D}$ sunt coliniare. + +Cum MF || HD si ţinând cont că F este mijlocul segmentului (CD) rezultă că (FM) este linie mijlocie în triunghiul CDH. Deducem că M este mijlocul segmentului (CH) si G este centru de greutate in triunghiul $\mathrm{BCH}$,de unde valoarea raportului este $\frac{2}{3}$. + +## CLASA a VIII-A + +Problema 1. Fie $x \in \mathbb{R}, x>0$. Arătați că $(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=16$ dacă şi numai dacă $x=1$. + +Soluție + +$(\leftarrow)$ evident + +$(\rightarrow) x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad \forall x \in \mathbb{R}, x>0$ și $x+\frac{1}{x}=2, x \in \mathbb{R}, x>0 \Leftrightarrow x=1$; Presupunem $x \neq 1 \Rightarrow(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=$ $=2+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)>16$, contrdicție $\Rightarrow x=1$. + +Problema 2. Dacă $n=\underbrace{\overline{66 \ldots 67}}_{2013}$, calculați $n^{2}$. + +Soluție + +Notez 2013 $=k \Rightarrow n^{2}=\left[\frac{20}{3}\left(10^{k}-1\right)+7\right]^{2}=\frac{400}{9}\left(10^{2 k}-1\right)+\frac{40}{9}\left(10^{k}-1\right)+49 \underset{k+1}{44 \ldots 488} \underset{k}{49}$ + +Problema 3. Dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic și $A C \cap B D=\{O\}$, $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{M\}, B C^{\prime} \cap B^{\prime} C=\{N\}$ atunci: + +a) Demonstrați că planele $(A M N)$ și $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$ sunt paralele. + +b) Determinați lungimea diagonalei paralelipipedului dacă se știe că $M N=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{OM}=\sqrt{41} \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{ON}=\sqrt{34} \mathrm{~cm}$. + +c) Paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub dacă și numai dacă $B^{\prime} O \perp A C$ și $B D^{\prime} \perp(A M N)$. + +## Soluție + +a) Se observă că $(\mathrm{OMN})$ coincide cu $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$, iar $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right) \|$ ( DA' C' ) pentru-că $\mathrm{AC} \| \mathrm{A} \mathrm{C}^{\prime}$ si $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}^{\prime}$; + +## C + +B + +b) $\mathrm{AC}=2 . \mathrm{MN}=10 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{AB}^{\prime}=2 . \mathrm{NO}=2 \cdot \sqrt{34} \mathrm{~cm}$; + +$\mathrm{CB}^{\prime}=2 . \mathrm{MO}=2 \cdot \sqrt{41} \mathrm{~cm}$ + +Fie $\mathrm{AB}=\mathrm{a} ; \mathrm{BC}=\mathrm{b} ; \mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{c}$ + +$\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=100$ + +$\left.\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=164\right\} \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=200$ + +$\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}=136$ + +$D B^{\prime}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + +c) Dacă B'O $\perp \mathrm{AC}$, cum $\mathrm{BB}^{\prime} \perp(\mathrm{ABC})$, avem din th.3. $\perp$ (r) că $\mathrm{BO} \perp \mathrm{AC}$ + +deci $\mathrm{ABCD}$ este pătrat $\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$; + +$\mathrm{BD}^{\prime} \perp(\mathrm{OMN})=(\mathrm{ACB}) \Rightarrow \mathrm{BD}^{\prime} \perp \mathrm{OB}$ + +Fie dreptunghiul BDD'B' , + +tr.B’D'B $\sim \operatorname{tr}$ BB'O ( cazul UU) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3c13f3339a455c244bfg-6.jpg?height=894&width=768&top_left_y=221&top_left_x=1061) + +$$ +\frac{D^{\prime} B^{\prime}}{B B^{\prime}}=\frac{B B^{\prime}}{B O} \Rightarrow \frac{a \sqrt{2}}{c}=\frac{c}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} \Rightarrow c=a +$$ + +Deci paralelipipedul este cub. + +D' + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3c13f3339a455c244bfg-6.jpg?height=414&width=626&top_left_y=1284&top_left_x=1069) + +Problema 4. Dacă ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic, $a \in \mathbb{R}, a>0, A B=a \sqrt{2}, B C=a, A E=2 a, M \in(A B), A M=B M, B D \cap C M=\{O\}$ atunci: + +a)Arătați că $C M \perp H O$. + +b) Există un punct $T \in(B F)$ cu proprietatea $H O \perp T O$ ? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Se demonstrează că $\triangle B A D \sim \triangle C B M$, deci $B D \perp C M$ şi prin $\mathrm{T} 3 \perp$ rezultă $\mathrm{HO} \perp \mathrm{CM}$. Se demonstrează că + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d3c13f3339a455c244bfg-6.jpg?height=77&width=1311&top_left_y=2252&top_left_x=298) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-828-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-828-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..46c2d3acc029c4234b8e86869e350ec2705a7f4c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-828-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,311 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a VI-a + +Problema 1. Numărul natural $\overline{a b c d}$ se numește ,,interesant" dacă $a \neq 0$ și $4 \overline{a b}=3 \overline{c d}$. + +a) Să se demonstreze că orice număr ,,interesant" este divizibil cu 76. + +b) Să se afle cel mai mic număr,,interesant". + +Relu Ciupea, Olteniţa + +Problema 2. Dacă $m, m \geq 2, k$ și $n$ sunt numere naturale atunci: + +a) Determinați toate numerele numerele $k$ și $n$ cu proprietatea $\frac{k^{2}}{2014}=\frac{2}{n^{2}-17}$. + +b) Dacă $(m-1) m(m+1)=k^{n}$ arătați că $n=1$. + +Nela Costache, Eugen Predoiu și Marin Neață, Călărași + +Problema 3. Se considera mulțimea $A=\{1,2,3 \ldots 2014\}$. + +a) Câte dintre elementele mulțimii $A$ sunt numere divizibile cu 3 ? + +b) Care este numărul maxim de elemente pe care îl poate avea o submulțime $S$ a mulțimii $A$ care are proprietatea că suma oricăror două elemente din $S$ nu este divizibilă cu diferența lor. + +c) Arătaţi că oricum am alege 5 numere prime mai mari ca 3 , două dintre acestea au diferenţa divizibilă cu 12 . + +Gabriela Ruse și Florin Marcu, Călărași + +Problema 4. Fie $\angle X O Y$ un unghi propriu și punctele $A \in(O X, B \in(O Y$ astfel încât $[O A] \equiv[O B]$. Semidreptele ( $O Z$ și ( $O T$ sunt incluse în interiorul unghiului $\angle X O Y$ astfel încât $(O Z \subset \operatorname{Int}(\angle X O T)$ şi $\angle X O Z \equiv \angle T O Y$. Dacă punctul $M$ aparține bisectoarei unghiului $\angle Z O T, M \notin A B,(M A) \cap(O Z=\{N\}$, $(M B) \cap(O T=\{P\}$ și $(A P) \cap(B N)=\{Q\}$, arătaţi că: + +a) $[A P] \equiv[B N]$; + +b) $Q \in[M O$. + +Sorin Furtună, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 5 puncte; b) 2 puncte; Problema 2. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 4. a) 3 puncte; b) 4 puncte. + +## ENUNȚURI ȘI SOLUȚII - GIMNAZIU + +## CLASA a V-A + +Problema 1. Un număr natural se numește ,,prețios ”, daca suma cifrelor sale este divizibila cu 17. + +a) Care este cel mai mic număr ,prețios ''? + +b) Care este cel mai mare "prețios" de șase cifre? + +c) Dați un exemplu de doua numere consecutive, ambele,, prețioase". + +Soluţie + +a) 89 + +b) 999996 + +c) 8899 si 8900 + +Problema 2. a) Jocurile Olimpice de iarnă au loc o dată la patru ani. În cursul unei perioade de 37 ani, care este numărul de Jocurile Olimpice de iarnă, care ar putea avea loc? (justificați răspunsul) + +b) În prima ligă a campionatului naţional de fotbal participă 18 echipe. În turul campionatului fiecare echipă joacă cu fiecare din celelalte 17 echipe un meci. La sfârșitul unui meci o echipă primește 3 puncte dacă câștigă meciul, 1 punct la dacă meciul se termină cu un scor egal și 0 puncte dacă este învinsă. Se stie că, în clasamentul final de la sfầrșitul turului de campionat, nu există echipe care au același număr de puncte. Dacă ultima clasată are 17 puncte puteți să aflați câte din cele $9 \cdot 17=153$ de meciuri disputate sau terminat la egalitate? (justificați răspunsul) + +## Soluţie + +a) 9 sau 10 + +b) Numarul maxim total de puncte este de $153 \cdot 3=459$ puncte ( in cazul in care avem numai victorii) + +Daca ultima echipa are 17 puncte, atunci celelalte echipe vor avea, cel puțin 18, 19,..., 34 puncte, $17+18+\ldots+34=459$; rezultă că niun meci nu s-a terminat la egalitate + +Problema 3. Trebuie să găsiți: + +a) Toate cifrele $a, b$ și $c, a \neq 0$ cu proprietate $\overline{a b c c c}+1=\overline{a a b b b}$. + +b) Toate numerele naturale $a$ și $b$ cu proprietate că avem câtul împărțirii lui $a$ la $b 52$ și $a+b=2014$. + +Soluţie + +a) 10999 și 11999 ; + +b) $a=52 b+r, r \in\{0,1,2, \ldots, 51\} ; a+b=2014 \Leftrightarrow r=53(38-b) \Rightarrow r=0 \Rightarrow b=38$ și $a=1976$ + +Problema 4. Pe o tablă de șah (vezi figura 1) se așează numai pioni. Întru-un pătrățel al tablei se poate pune cel mult un pion. Un pion, care nu este așezat pe o latură a tablei de șah, se numește ,,apărat" dacă în cele patru pătrățelele alăturate la est, vest, sud și nord mai este plasat cel mult un pion (vezi figura 2; două pătrățele sunt alăturate dacă au o latură comună). Dacă pionul este așezat pe o latură sau într-un colț el este ,,apărat" dacă în pătrățelele alăturate în cele trei sau două direcții posibile mai este plasat cel mult un pion. Care este numărul maxim de pioni ,apărați" care se pot așeza pe tabla de șah? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Dacă punem câte un pion în fiecare pătrățel alb rezulă că pe tablă se pot așeza cel puțin 32 de pioni ,,apăraţı" . Presupunem că se mai poate așeza un pion ,apărat”. Grupăm pătratele tablei de șah ca în figura alăturată. Conform principiului cutiei o gupare de patru pătrățele de forma: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47ca6989f415cbd19114g-2.jpg?height=334&width=1086&top_left_y=2163&top_left_x=837) + +conține 3 pioni ,,apărați", ceea ce este imposibil. + +## CLASA a VI-A + +Problema 1. Numărul natural $\overline{a b c d}$ se numește ,interesant" dacă $a \neq 0$ și $4 \overline{a b}=3 \overline{c d}$. + +a) Să se demonstreze că orice număr ,,interesant" este divizibil cu 76 . +b) Să se afle cel mai mic număr,,interesant" . + +Soluție + +а) $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=25 \cdot(4 \overline{a b})+\overline{c d}=25 \cdot(3 \overline{c d})+\overline{c d}=75 \overline{c d}+\overline{c d}=76 \overline{c d} \Rightarrow \overline{a b c d}: 76$ + +b) 1216, ceilalți multipli de 4 cifre ai lui 76,1140 și 1064, nu sunt numere „interesante" + +Problema 2. Dacă $m, m \geq 2, k$ și $n$ sunt numere naturale atunci: + +a) Determinaţi toate numerele numerele $k$ și $n$ cu proprietatea $\frac{k^{2}}{2014}=\frac{2}{n^{2}-17}$. + +b) Dacă $(m-1) m(m+1)=k^{n}$ arătați că $n=1$. + +Solutie + +a) $k^{2}\left(\mathrm{n}^{2}-17\right)=2 \cdot 2014 \Leftrightarrow \mathrm{k}^{2}\left(\mathrm{n}^{2}-17\right)=1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 19 \cdot 53 \Leftrightarrow$ $\mathrm{k}^{2}=1^{2}$ și $\mathrm{n}^{2}-17=4028$ rezultă $\mathrm{k}=1 \quad$ si $\mathrm{n}^{2}=4045$ nu convine $4045 \mathrm{nu}$ este patrat perfect sau + +$\mathrm{k}^{2}=2^{2} \quad$ si $\mathrm{n}^{2}-17=1007$ rezulta $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}^{2}=1024$ rezulta $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}=32$ + +Deci problema are o singura solutie $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}=32$ + +b) c.m.m.d.c. $\left(\left(m^{2}-1\right), m\right)=1 \Rightarrow \exists k_{1}$ şi $k_{2}$ astfel încât $m=k_{1}^{n}$ și $m^{2}-1=k_{2}^{n} \Rightarrow\left(k_{1}^{2}\right)^{n}-1=k_{2}^{n} \Rightarrow n=1$ + +Problema 3. Se considera mulțimea $A=\{1,2,3 \ldots 2014\}$. + +a) Câte dintre elementele mulțimii $A$ sunt numere divizibile cu 3 ? + +b) Care este numărul maxim de elemente pe care îl poate avea o submulțime $S$ a mulțimii A care are proprietatea că suma oricăror două elemente din $S$ nu este divizibilă cu diferența lor. + +c) Arătaţi că oricum am alege 5 numere prime mai mari ca 3 , două dintre acestea au diferenţa divizibilă cu 12 . + +Soluție + +a) $2014=3 \cdot 671+1$, deci sunt 671 numere. + +b) Alegem $S=\{3 k+1 \mid k=\overline{0,671}\}$. Aceasta multime are 672 elemente, iar suma oricaror doua elemente este de forma $3 m+2$, pe cand diferenta este multiplu de 3 , deci diferenta nu poate divide suma. + +Aratam ca aceasta este cea mai mare multime posibila. + +Presupunem că exista o submultime a lui $A$, cu mai mult de 672 elemente, avand proprietatea ceruta, atunci există doua numere vecine a căror diferentă este 1 sau 2. ( altfel daca diferenta ar fi 3 am avea in cazul extrem 1,4,7,...2017,.. absurd) . 89 + +Dar, in acest caz, daca diferenta este 1 divide suma lor, iar daca diferenta este 2 atunci si suma lor este multiplu de 2, iarasi absurd. + +Problema 4. Pe laturile [ $O X$ şi $[O Y$ a $\angle X O Y$ se iau consideră $A$ şi, respectiv, $B$ astfel încât $[O A] \equiv[O B]$. Semidreptele $[O Z$ și $[O T$ sunt situate în interiorul unghiului $\angle X O Y$ astfel încât $[O Z \subset \operatorname{Int}(\nless X O T)$ şi $\angle X O Z \equiv \angle T O Y$. Dacă punctul $M$ aparține bisectoarei unghiului $\angle Z O T, M \notin A B, M A \cap[O Z=\{N\}$, $M B \cap[O T=\{P\}$ și $\{Q\}=A P \cap B N$, arătaţi că: + +a) $[A P] \equiv[B N]$; + +b) $Q \in[M O$. + +Soluție + +a) $\triangle A O M \equiv \triangle B O M(L U L) \Rightarrow[A M] \equiv[B M]$ (1) si $\angle O M A \equiv \angle O M B$ (2) + +$$ +\Delta O M N \equiv \triangle O M P(U L U) \Rightarrow[O N] \equiv[O P] \text { si }[M N] \equiv[M P](3) +$$ + +$\triangle O A P \equiv \triangle O B M(U L U) \Rightarrow[A P] \equiv[B N]$ si $\angle O P A \equiv \angle O N B(4)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47ca6989f415cbd19114g-3.jpg?height=379&width=491&top_left_y=2426&top_left_x=1436) +b) (1) si (3) $\Rightarrow[A N] \equiv[B P]$; + +$\triangle A M P \equiv \triangle B M N(L U L) \Rightarrow \angle A P M \equiv \angle B N M(6)$ si $\angle M A P \equiv \angle M B N$; (4) si (5) $\Rightarrow \angle A N B \equiv \angle B P A$; + +$\triangle A N Q \equiv \triangle B P Q(U L U) \Rightarrow[N Q] \equiv[P Q] ; \triangle N M Q \equiv \triangle P M Q(L L L) \Rightarrow \angle N M Q \equiv \angle P M Q(6) \Rightarrow(M o Q$ si $(M Q$ + +sunt semidrepte opuse + +## CLASA a VII-A + +Problema 1. Fie $x, y \in \mathbb{R}$ astfel încât $x>0$ și $y>0$. + +a) Calculați $(x-1)(x+1)$; + +b) Arătaţi că dacă $x<1$ atunci $\sqrt{x}<1$. + +c) Arătați că dacă $x^{3}+x \leq y-y^{3}$ atunci $x0 \Rightarrow y<1$ + +Problema 2. Există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$ ? + +(justificați răspunsul) + +Soluție + +i) $\forall m, n, k \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}>\frac{1}{m+n} \\ \frac{1}{n}>\frac{1}{n+k} \\ \frac{1}{k}>\frac{1}{k+m}\end{array} \Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}>\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}\right.$ + +ii) Presupunem că $\exists m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încăt $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$; Dacă $m \leq n \leq k \Rightarrow$ $\left.|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2} \Leftrightarrow 2(k-n)=1007 \Rightarrow 2 \right\rvert\, 1007$, contradicție. Similar se procedează în celelate cazuri posibile $m \leq k \leq n, n \leq k \leq m, n \leq m \leq k, k \leq m \leq n, k \leq n \leq m$ + +Din i) și ii) rezultă că nu există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$. + +Problema 3. Dacă $A B C D$ un paralelogram în care $m(\angle B A D)=60^{\circ}, E$ este un punct în interiorul triunghiului $A B D$ cu proprietatea $m(\angle A E B)=m(\angle B E D)=m(\angle A E D), F \notin A B$ un punct astfel încât triunghiului $A D F$ este echilateral și $G$ punctul din interiorul triunghiului $A D F$ pentru care triunghiului $A E G$ este echilateral, arătați că: + +a) punctele $B, E, F$ și $G$ sunt coliniare; +b) $E A+E B+E D=A C$. + +Soluție + +a) $m(\angle A E B)=120^{\circ} \quad$ si $\quad m(\angle A E G)=60^{\circ} \Rightarrow E \in(B G)$; + +$m(\angle G A F)=m(\angle D A E)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47ca6989f415cbd19114g-4.jpg?height=343&width=669&top_left_y=2470&top_left_x=1276) +$=60^{\circ}-m(\angle D A G),[A F] \equiv[A D],[A G] \equiv[A E] \Rightarrow \triangle F A G \equiv \triangle D A E \Rightarrow m(\angle A G F)=120^{\circ}$ + +$m(\angle A G E)=60^{\circ} \Rightarrow G \in(E F)$ + +b) $\triangle B A F \equiv \triangle A B C \Rightarrow[A C] \equiv[B F]$ si $[E D] \equiv[G F],[E G] \equiv[E A] \Rightarrow$ $E A+E B+E D=A C$. + +Problema 4. Se considera un paralelogram $A B C D$ şi punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât $B E=E C$ și $C F=F D$. Dacă $A E \cap B F=\{G\}$ și $H \in(A G)$ astfel încât $A H=H G$ determinați valoarea raportului $\frac{H G}{H E}$. + +## Soluție + +Fie $\mathrm{P}$ mijlocul segmentului (AB) ş $\{M\}=\mathrm{CH} \cap B F$ + +În triunghiul $\mathrm{ABG}$, (PH) este linie mijlocie, rezulta $\mathrm{PH} \| \mathrm{BM}(1)$. + +Cum $\mathrm{PB} \| \mathrm{DF}$ si $\mathrm{PB}=\mathrm{DF}$, rezulta ca BFDP este paralelogram,deci PD \|| BF (2) + +Din (1) şi (2) rezultă că punctele $\mathrm{P}, \mathrm{H}, \mathrm{D}$ sunt coliniare. + +Cum MF || HD si ţinând cont că F este mijlocul segmentului (CD) rezultă că (FM) este linie mijlocie în triunghiul CDH. Deducem că M este mijlocul segmentului (CH) si G este centru de greutate in triunghiul $\mathrm{BCH}$,de unde valoarea raportului este $\frac{2}{3}$. + +## CLASA a VIII-A + +Problema 1. Fie $x \in \mathbb{R}, x>0$. Arătați că $(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=16$ dacă şi numai dacă $x=1$. + +Soluție + +$(\leftarrow)$ evident + +$(\rightarrow) x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad \forall x \in \mathbb{R}, x>0$ și $x+\frac{1}{x}=2, x \in \mathbb{R}, x>0 \Leftrightarrow x=1$; Presupunem $x \neq 1 \Rightarrow(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=$ $=2+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)>16$, contrdicție $\Rightarrow x=1$. + +Problema 2. Dacă $n=\underbrace{\overline{66 \ldots 67}}_{2013}$, calculați $n^{2}$. + +Soluție + +Notez 2013 $=k \Rightarrow n^{2}=\left[\frac{20}{3}\left(10^{k}-1\right)+7\right]^{2}=\frac{400}{9}\left(10^{2 k}-1\right)+\frac{40}{9}\left(10^{k}-1\right)+49 \underset{k+1}{44 \ldots 488} \underset{k}{49}$ + +Problema 3. Dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic și $A C \cap B D=\{O\}$, $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{M\}, B C^{\prime} \cap B^{\prime} C=\{N\}$ atunci: + +a) Demonstrați că planele $(A M N)$ și $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$ sunt paralele. + +b) Determinați lungimea diagonalei paralelipipedului dacă se știe că $M N=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{OM}=\sqrt{41} \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{ON}=\sqrt{34} \mathrm{~cm}$. + +c) Paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub dacă și numai dacă $B^{\prime} O \perp A C$ și $B D^{\prime} \perp(A M N)$. + +## Soluție + +a) Se observă că $(\mathrm{OMN})$ coincide cu $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$, iar $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right) \|$ ( DA' C' ) pentru-că $\mathrm{AC} \| \mathrm{A} \mathrm{C}^{\prime}$ si $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}^{\prime}$; + +## C + +B + +b) $\mathrm{AC}=2 . \mathrm{MN}=10 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{AB}^{\prime}=2 . \mathrm{NO}=2 \cdot \sqrt{34} \mathrm{~cm}$; + +$\mathrm{CB}^{\prime}=2 . \mathrm{MO}=2 \cdot \sqrt{41} \mathrm{~cm}$ + +Fie $\mathrm{AB}=\mathrm{a} ; \mathrm{BC}=\mathrm{b} ; \mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{c}$ + +$\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=100$ + +$\left.\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=164\right\} \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=200$ + +$\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}=136$ + +$D B^{\prime}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + +c) Dacă B'O $\perp \mathrm{AC}$, cum $\mathrm{BB}^{\prime} \perp(\mathrm{ABC})$, avem din th.3. $\perp$ (r) că $\mathrm{BO} \perp \mathrm{AC}$ + +deci $\mathrm{ABCD}$ este pătrat $\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$; + +$\mathrm{BD}^{\prime} \perp(\mathrm{OMN})=(\mathrm{ACB}) \Rightarrow \mathrm{BD}^{\prime} \perp \mathrm{OB}$ + +Fie dreptunghiul BDD'B' , + +tr.B’D'B $\sim \operatorname{tr}$ BB'O ( cazul UU) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47ca6989f415cbd19114g-6.jpg?height=894&width=768&top_left_y=221&top_left_x=1061) + +$$ +\frac{D^{\prime} B^{\prime}}{B B^{\prime}}=\frac{B B^{\prime}}{B O} \Rightarrow \frac{a \sqrt{2}}{c}=\frac{c}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} \Rightarrow c=a +$$ + +Deci paralelipipedul este cub. + +D' + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47ca6989f415cbd19114g-6.jpg?height=414&width=626&top_left_y=1284&top_left_x=1069) + +Problema 4. Dacă ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic, $a \in \mathbb{R}, a>0, A B=a \sqrt{2}, B C=a, A E=2 a, M \in(A B), A M=B M, B D \cap C M=\{O\}$ atunci: + +a)Arătați că $C M \perp H O$. + +b) Există un punct $T \in(B F)$ cu proprietatea $H O \perp T O$ ? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Se demonstrează că $\triangle B A D \sim \triangle C B M$, deci $B D \perp C M$ şi prin $\mathrm{T} 3 \perp$ rezultă $\mathrm{HO} \perp \mathrm{CM}$. Se demonstrează că + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_47ca6989f415cbd19114g-6.jpg?height=77&width=1311&top_left_y=2252&top_left_x=298) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-829-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-829-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7826fd736bb79199f7c996b733cfcc853ba3d0bc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-829-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,317 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-1.jpg?height=177&width=241&top_left_y=47&top_left_x=194) + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. Un număr natural se numește ,,prețios", daca suma cifrelor sale este divizibilă cu 17. + +a) Care este cel mai mic număr ,,prețios"? + +b) Care este cel mai mare număr ,prețios" de șase cifre? + +c) Arătați că există două numere ,prețioase" consecutive. + +Stelică Pană, Chirnogi + +Problema 2. Dați și justificați răspunsul la următoarele întrebări: + +a) Jocurile Olimpice de iarnă au loc o dată la patru ani. Câte Jocuri Olimpice de iarnă pot avea loc în cursul unei perioade de 37 ani? (justificați răspunsul) + +b) În prima ligă a campionatului național de fotbal participă 18 echipe. În turul campionatului fiecare echipă joacă cu fiecare din celelalte 17 echipe un meci. La sfârșitul unui meci o echipă primește 3 puncte dacă câștigă meciul, 1 punct la dacă meciul se termină cu un scor egal și 0 puncte dacă este învinsă. Se stie că, în clasamentul final de la sfârșitul turului de campionat, nu există echipe care au același număr de puncte. Dacă ultima clasată are 17 puncte puteți să aflați câte din cele $9 \cdot 17=153$ de meciuri disputate sau terminat la egalitate? + +Aurelia Cațaros, Călărași și Florin Marcu, Călărași + +Problema 3. Găsitị: + +a) Toate cifrele $a, b$ și $c, a \neq 0$ cu proprietate $\overline{a b c c c}+1=\overline{a a b b b}$. + +b) Toate numerele naturale $a$ și $b$ pentru care câtul împărțirii lui $a$ la $b$ este 52 și $a+b=2014$. + +Adriana Olaru, Călărași + +Problema 4. Pe o tablă de șah (vezi figura 1) se aşează numai pioni. Într-un pătrăț̣el al tablei se poate pune cel mult un pion. Un pion, care nu este aşezat pe o latură a tablei de șah, se numește „apărat” dacă în cele patru pătrățelele alăturate la est, vest, sud și nord mai este plasat cel mult un pion (vezi figura 2; două pătrățele sunt alăturate dacă au o latură comună). Dacă pionul este așezat pe o latură sau într-un colț el este „apărat” dacă în pătrățelele alăturate în cele trei sau două direcții posibile mai este plasat cel mult un pion. Care este numărul maxim de pioni ,,apărați" care se pot așeza pe + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-1.jpg?height=399&width=456&top_left_y=1641&top_left_x=1027) + +figura 1 tabla de șah? (justificați răspunsul) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-1.jpg?height=369&width=407&top_left_y=1667&top_left_x=1594) + +figura 2 + +Gheorghe Stoianovici, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 2. a) 2 puncte; b) 5 puncte; Problema 3. a) 3 puncte; b) 4 puncte; Problema 4. 7 puncte. + +## ENUNȚURI ȘI SOLUȚII - GIMNAZIU + +## CLASA a V-A + +Problema 1. Un număr natural se numește ,,prețios ”, daca suma cifrelor sale este divizibila cu 17. + +a) Care este cel mai mic număr ,prețios ''? + +b) Care este cel mai mare "prețios" de șase cifre? + +c) Dați un exemplu de doua numere consecutive, ambele,, prețioase". + +Soluţie + +a) 89 + +b) 999996 + +c) 8899 si 8900 + +Problema 2. a) Jocurile Olimpice de iarnă au loc o dată la patru ani. În cursul unei perioade de 37 ani, care este numărul de Jocurile Olimpice de iarnă, care ar putea avea loc? (justificați răspunsul) + +b) În prima ligă a campionatului naţional de fotbal participă 18 echipe. În turul campionatului fiecare echipă joacă cu fiecare din celelalte 17 echipe un meci. La sfârșitul unui meci o echipă primește 3 puncte dacă câștigă meciul, 1 punct la dacă meciul se termină cu un scor egal și 0 puncte dacă este învinsă. Se stie că, în clasamentul final de la sfầrșitul turului de campionat, nu există echipe care au același număr de puncte. Dacă ultima clasată are 17 puncte puteți să aflați câte din cele $9 \cdot 17=153$ de meciuri disputate sau terminat la egalitate? (justificați răspunsul) + +## Soluţie + +a) 9 sau 10 + +b) Numarul maxim total de puncte este de $153 \cdot 3=459$ puncte ( in cazul in care avem numai victorii) + +Daca ultima echipa are 17 puncte, atunci celelalte echipe vor avea, cel puțin 18, 19,..., 34 puncte, $17+18+\ldots+34=459$; rezultă că niun meci nu s-a terminat la egalitate + +Problema 3. Trebuie să găsiți: + +a) Toate cifrele $a, b$ și $c, a \neq 0$ cu proprietate $\overline{a b c c c}+1=\overline{a a b b b}$. + +b) Toate numerele naturale $a$ și $b$ cu proprietate că avem câtul împărțirii lui $a$ la $b 52$ și $a+b=2014$. + +Soluţie + +a) 10999 și 11999 ; + +b) $a=52 b+r, r \in\{0,1,2, \ldots, 51\} ; a+b=2014 \Leftrightarrow r=53(38-b) \Rightarrow r=0 \Rightarrow b=38$ și $a=1976$ + +Problema 4. Pe o tablă de șah (vezi figura 1) se așează numai pioni. Întru-un pătrățel al tablei se poate pune cel mult un pion. Un pion, care nu este așezat pe o latură a tablei de șah, se numește ,,apărat" dacă în cele patru pătrățelele alăturate la est, vest, sud și nord mai este plasat cel mult un pion (vezi figura 2; două pătrățele sunt alăturate dacă au o latură comună). Dacă pionul este așezat pe o latură sau într-un colț el este ,,apărat" dacă în pătrățelele alăturate în cele trei sau două direcții posibile mai este plasat cel mult un pion. Care este numărul maxim de pioni ,apărați" care se pot așeza pe tabla de șah? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Dacă punem câte un pion în fiecare pătrățel alb rezulă că pe tablă se pot așeza cel puțin 32 de pioni ,,apăraţı" . Presupunem că se mai poate așeza un pion ,apărat”. Grupăm pătratele tablei de șah ca în figura alăturată. Conform principiului cutiei o gupare de patru pătrățele de forma: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-2.jpg?height=334&width=1086&top_left_y=2163&top_left_x=837) + +conține 3 pioni ,,apărați", ceea ce este imposibil. + +## CLASA a VI-A + +Problema 1. Numărul natural $\overline{a b c d}$ se numește ,interesant" dacă $a \neq 0$ și $4 \overline{a b}=3 \overline{c d}$. + +a) Să se demonstreze că orice număr ,,interesant" este divizibil cu 76 . +b) Să se afle cel mai mic număr,,interesant" . + +Soluție + +а) $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=25 \cdot(4 \overline{a b})+\overline{c d}=25 \cdot(3 \overline{c d})+\overline{c d}=75 \overline{c d}+\overline{c d}=76 \overline{c d} \Rightarrow \overline{a b c d}: 76$ + +b) 1216, ceilalți multipli de 4 cifre ai lui 76,1140 și 1064, nu sunt numere „interesante" + +Problema 2. Dacă $m, m \geq 2, k$ și $n$ sunt numere naturale atunci: + +a) Determinaţi toate numerele numerele $k$ și $n$ cu proprietatea $\frac{k^{2}}{2014}=\frac{2}{n^{2}-17}$. + +b) Dacă $(m-1) m(m+1)=k^{n}$ arătați că $n=1$. + +Solutie + +a) $k^{2}\left(\mathrm{n}^{2}-17\right)=2 \cdot 2014 \Leftrightarrow \mathrm{k}^{2}\left(\mathrm{n}^{2}-17\right)=1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 19 \cdot 53 \Leftrightarrow$ $\mathrm{k}^{2}=1^{2}$ și $\mathrm{n}^{2}-17=4028$ rezultă $\mathrm{k}=1 \quad$ si $\mathrm{n}^{2}=4045$ nu convine $4045 \mathrm{nu}$ este patrat perfect sau + +$\mathrm{k}^{2}=2^{2} \quad$ si $\mathrm{n}^{2}-17=1007$ rezulta $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}^{2}=1024$ rezulta $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}=32$ + +Deci problema are o singura solutie $\mathrm{k}=2$ si $\mathrm{n}=32$ + +b) c.m.m.d.c. $\left(\left(m^{2}-1\right), m\right)=1 \Rightarrow \exists k_{1}$ şi $k_{2}$ astfel încât $m=k_{1}^{n}$ și $m^{2}-1=k_{2}^{n} \Rightarrow\left(k_{1}^{2}\right)^{n}-1=k_{2}^{n} \Rightarrow n=1$ + +Problema 3. Se considera mulțimea $A=\{1,2,3 \ldots 2014\}$. + +a) Câte dintre elementele mulțimii $A$ sunt numere divizibile cu 3 ? + +b) Care este numărul maxim de elemente pe care îl poate avea o submulțime $S$ a mulțimii A care are proprietatea că suma oricăror două elemente din $S$ nu este divizibilă cu diferența lor. + +c) Arătaţi că oricum am alege 5 numere prime mai mari ca 3 , două dintre acestea au diferenţa divizibilă cu 12 . + +Soluție + +a) $2014=3 \cdot 671+1$, deci sunt 671 numere. + +b) Alegem $S=\{3 k+1 \mid k=\overline{0,671}\}$. Aceasta multime are 672 elemente, iar suma oricaror doua elemente este de forma $3 m+2$, pe cand diferenta este multiplu de 3 , deci diferenta nu poate divide suma. + +Aratam ca aceasta este cea mai mare multime posibila. + +Presupunem că exista o submultime a lui $A$, cu mai mult de 672 elemente, avand proprietatea ceruta, atunci există doua numere vecine a căror diferentă este 1 sau 2. ( altfel daca diferenta ar fi 3 am avea in cazul extrem 1,4,7,...2017,.. absurd) . 89 + +Dar, in acest caz, daca diferenta este 1 divide suma lor, iar daca diferenta este 2 atunci si suma lor este multiplu de 2, iarasi absurd. + +Problema 4. Pe laturile [ $O X$ şi $[O Y$ a $\angle X O Y$ se iau consideră $A$ şi, respectiv, $B$ astfel încât $[O A] \equiv[O B]$. Semidreptele $[O Z$ și $[O T$ sunt situate în interiorul unghiului $\angle X O Y$ astfel încât $[O Z \subset \operatorname{Int}(\nless X O T)$ şi $\angle X O Z \equiv \angle T O Y$. Dacă punctul $M$ aparține bisectoarei unghiului $\angle Z O T, M \notin A B, M A \cap[O Z=\{N\}$, $M B \cap[O T=\{P\}$ și $\{Q\}=A P \cap B N$, arătaţi că: + +a) $[A P] \equiv[B N]$; + +b) $Q \in[M O$. + +Soluție + +a) $\triangle A O M \equiv \triangle B O M(L U L) \Rightarrow[A M] \equiv[B M]$ (1) si $\angle O M A \equiv \angle O M B$ (2) + +$$ +\Delta O M N \equiv \triangle O M P(U L U) \Rightarrow[O N] \equiv[O P] \text { si }[M N] \equiv[M P](3) +$$ + +$\triangle O A P \equiv \triangle O B M(U L U) \Rightarrow[A P] \equiv[B N]$ si $\angle O P A \equiv \angle O N B(4)$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-3.jpg?height=379&width=491&top_left_y=2426&top_left_x=1436) +b) (1) si (3) $\Rightarrow[A N] \equiv[B P]$; + +$\triangle A M P \equiv \triangle B M N(L U L) \Rightarrow \angle A P M \equiv \angle B N M(6)$ si $\angle M A P \equiv \angle M B N$; (4) si (5) $\Rightarrow \angle A N B \equiv \angle B P A$; + +$\triangle A N Q \equiv \triangle B P Q(U L U) \Rightarrow[N Q] \equiv[P Q] ; \triangle N M Q \equiv \triangle P M Q(L L L) \Rightarrow \angle N M Q \equiv \angle P M Q(6) \Rightarrow(M o Q$ si $(M Q$ + +sunt semidrepte opuse + +## CLASA a VII-A + +Problema 1. Fie $x, y \in \mathbb{R}$ astfel încât $x>0$ și $y>0$. + +a) Calculați $(x-1)(x+1)$; + +b) Arătaţi că dacă $x<1$ atunci $\sqrt{x}<1$. + +c) Arătați că dacă $x^{3}+x \leq y-y^{3}$ atunci $x0 \Rightarrow y<1$ + +Problema 2. Există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$ ? + +(justificați răspunsul) + +Soluție + +i) $\forall m, n, k \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}>\frac{1}{m+n} \\ \frac{1}{n}>\frac{1}{n+k} \\ \frac{1}{k}>\frac{1}{k+m}\end{array} \Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}>\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}\right.$ + +ii) Presupunem că $\exists m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încăt $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$; Dacă $m \leq n \leq k \Rightarrow$ $\left.|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2} \Leftrightarrow 2(k-n)=1007 \Rightarrow 2 \right\rvert\, 1007$, contradicție. Similar se procedează în celelate cazuri posibile $m \leq k \leq n, n \leq k \leq m, n \leq m \leq k, k \leq m \leq n, k \leq n \leq m$ + +Din i) și ii) rezultă că nu există $m, n, k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{n+k}+\frac{1}{k+m}$ sau $|k-m|+|m-n|+|n-k|=\frac{2014}{2}$. + +Problema 3. Dacă $A B C D$ un paralelogram în care $m(\angle B A D)=60^{\circ}, E$ este un punct în interiorul triunghiului $A B D$ cu proprietatea $m(\angle A E B)=m(\angle B E D)=m(\angle A E D), F \notin A B$ un punct astfel încât triunghiului $A D F$ este echilateral și $G$ punctul din interiorul triunghiului $A D F$ pentru care triunghiului $A E G$ este echilateral, arătați că: + +a) punctele $B, E, F$ și $G$ sunt coliniare; +b) $E A+E B+E D=A C$. + +Soluție + +a) $m(\angle A E B)=120^{\circ} \quad$ si $\quad m(\angle A E G)=60^{\circ} \Rightarrow E \in(B G)$; + +$m(\angle G A F)=m(\angle D A E)=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-4.jpg?height=343&width=669&top_left_y=2470&top_left_x=1276) +$=60^{\circ}-m(\angle D A G),[A F] \equiv[A D],[A G] \equiv[A E] \Rightarrow \triangle F A G \equiv \triangle D A E \Rightarrow m(\angle A G F)=120^{\circ}$ + +$m(\angle A G E)=60^{\circ} \Rightarrow G \in(E F)$ + +b) $\triangle B A F \equiv \triangle A B C \Rightarrow[A C] \equiv[B F]$ si $[E D] \equiv[G F],[E G] \equiv[E A] \Rightarrow$ $E A+E B+E D=A C$. + +Problema 4. Se considera un paralelogram $A B C D$ şi punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât $B E=E C$ și $C F=F D$. Dacă $A E \cap B F=\{G\}$ și $H \in(A G)$ astfel încât $A H=H G$ determinați valoarea raportului $\frac{H G}{H E}$. + +## Soluție + +Fie $\mathrm{P}$ mijlocul segmentului (AB) ş $\{M\}=\mathrm{CH} \cap B F$ + +În triunghiul $\mathrm{ABG}$, (PH) este linie mijlocie, rezulta $\mathrm{PH} \| \mathrm{BM}(1)$. + +Cum $\mathrm{PB} \| \mathrm{DF}$ si $\mathrm{PB}=\mathrm{DF}$, rezulta ca BFDP este paralelogram,deci PD \|| BF (2) + +Din (1) şi (2) rezultă că punctele $\mathrm{P}, \mathrm{H}, \mathrm{D}$ sunt coliniare. + +Cum MF || HD si ţinând cont că F este mijlocul segmentului (CD) rezultă că (FM) este linie mijlocie în triunghiul CDH. Deducem că M este mijlocul segmentului (CH) si G este centru de greutate in triunghiul $\mathrm{BCH}$,de unde valoarea raportului este $\frac{2}{3}$. + +## CLASA a VIII-A + +Problema 1. Fie $x \in \mathbb{R}, x>0$. Arătați că $(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=16$ dacă şi numai dacă $x=1$. + +Soluție + +$(\leftarrow)$ evident + +$(\rightarrow) x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad \forall x \in \mathbb{R}, x>0$ și $x+\frac{1}{x}=2, x \in \mathbb{R}, x>0 \Leftrightarrow x=1$; Presupunem $x \neq 1 \Rightarrow(1+x)^{3}+\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}=$ $=2+3\left(x+\frac{1}{x}\right)+3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)>16$, contrdicție $\Rightarrow x=1$. + +Problema 2. Dacă $n=\underbrace{\overline{66 \ldots 67}}_{2013}$, calculați $n^{2}$. + +Soluție + +Notez 2013 $=k \Rightarrow n^{2}=\left[\frac{20}{3}\left(10^{k}-1\right)+7\right]^{2}=\frac{400}{9}\left(10^{2 k}-1\right)+\frac{40}{9}\left(10^{k}-1\right)+49 \underset{k+1}{44 \ldots 488} \underset{k}{49}$ + +Problema 3. Dacă $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic și $A C \cap B D=\{O\}$, $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{M\}, B C^{\prime} \cap B^{\prime} C=\{N\}$ atunci: + +a) Demonstrați că planele $(A M N)$ și $\left(A^{\prime} C^{\prime} D\right)$ sunt paralele. + +b) Determinați lungimea diagonalei paralelipipedului dacă se știe că $M N=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{OM}=\sqrt{41} \mathrm{~cm}$ și $\mathrm{ON}=\sqrt{34} \mathrm{~cm}$. + +c) Paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este cub dacă și numai dacă $B^{\prime} O \perp A C$ și $B D^{\prime} \perp(A M N)$. + +## Soluție + +a) Se observă că $(\mathrm{OMN})$ coincide cu $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$, iar $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right) \|$ ( DA' C' ) pentru-că $\mathrm{AC} \| \mathrm{A} \mathrm{C}^{\prime}$ si $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}^{\prime}$; + +## C + +B + +b) $\mathrm{AC}=2 . \mathrm{MN}=10 \mathrm{~cm}$ + +$\mathrm{AB}^{\prime}=2 . \mathrm{NO}=2 \cdot \sqrt{34} \mathrm{~cm}$; + +$\mathrm{CB}^{\prime}=2 . \mathrm{MO}=2 \cdot \sqrt{41} \mathrm{~cm}$ + +Fie $\mathrm{AB}=\mathrm{a} ; \mathrm{BC}=\mathrm{b} ; \mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{c}$ + +$\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=100$ + +$\left.\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=164\right\} \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=200$ + +$\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}=136$ + +$D B^{\prime}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ + +c) Dacă B'O $\perp \mathrm{AC}$, cum $\mathrm{BB}^{\prime} \perp(\mathrm{ABC})$, avem din th.3. $\perp$ (r) că $\mathrm{BO} \perp \mathrm{AC}$ + +deci $\mathrm{ABCD}$ este pătrat $\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$; + +$\mathrm{BD}^{\prime} \perp(\mathrm{OMN})=(\mathrm{ACB}) \Rightarrow \mathrm{BD}^{\prime} \perp \mathrm{OB}$ + +Fie dreptunghiul BDD'B' , + +tr.B’D'B $\sim \operatorname{tr}$ BB'O ( cazul UU) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-6.jpg?height=894&width=768&top_left_y=221&top_left_x=1061) + +$$ +\frac{D^{\prime} B^{\prime}}{B B^{\prime}}=\frac{B B^{\prime}}{B O} \Rightarrow \frac{a \sqrt{2}}{c}=\frac{c}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} \Rightarrow c=a +$$ + +Deci paralelipipedul este cub. + +D' + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-6.jpg?height=414&width=626&top_left_y=1284&top_left_x=1069) + +Problema 4. Dacă ABCDEFGH este un paralelipiped dreptunghic, $a \in \mathbb{R}, a>0, A B=a \sqrt{2}, B C=a, A E=2 a, M \in(A B), A M=B M, B D \cap C M=\{O\}$ atunci: + +a)Arătați că $C M \perp H O$. + +b) Există un punct $T \in(B F)$ cu proprietatea $H O \perp T O$ ? (justificați răspunsul) + +Soluţie + +Se demonstrează că $\triangle B A D \sim \triangle C B M$, deci $B D \perp C M$ şi prin $\mathrm{T} 3 \perp$ rezultă $\mathrm{HO} \perp \mathrm{CM}$. Se demonstrează că + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e1f46d51f0712874f2eg-6.jpg?height=77&width=1311&top_left_y=2252&top_left_x=298) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-83-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-83-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..68fa4b7957987b7a49a064c2982b58aa4b219472 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-83-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,128 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cddc53f15c85fb14e2dg-1.jpg?height=246&width=250&top_left_y=300&top_left_x=512) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE \$̦ CERCETÃRII \$TIINȚIFICE + +Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Finală, Sovata, 20 aprilie 2016 + +# CLASA a V-a + +## Enunţuri + +Problema 1. Două numere naturale $x$ şi $y$ au proprietatea că $\frac{2010}{2011}<\frac{x}{y}<\frac{2011}{2012}$. Determinaţi cea mai mică valoare a sumei $x+y$. + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale $a, b, c$ care au proprietatea că $a+b+c=a b c$. + +Problema 3. O mulţime $X \subset \mathbb{N}^{*}$ are proprietatea $(\mathcal{P})$ dacă oricare submulţime nevidă a sa are suma elementelor număr compus. Arătaţi că mulţimea $Y=\{113!+2,113!+3, \ldots, 113!+15\}$ are proprietatea $(\mathcal{P})$. (Dacă $n$ este număr natural nenul, notaţia $n$ ! reprezintă produsul $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ ) + +Problema 4. Pe un cerc se scriu la întâmplare elementele mulţimii $\{1,2, \ldots, 21\}$ în ordinea $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{21}$ (vezi figura alăturată). Se consideră sumele + +$$ +\begin{aligned} +& S_{1}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \\ +& S_{2}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6} \\ +& \ldots \\ +& S_{17}=a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20}+a_{21} \\ +& S_{18}=a_{18}+a_{19}+a_{20}+a_{21}+a_{1} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9cddc53f15c85fb14e2dg-1.jpg?height=372&width=372&top_left_y=1603&top_left_x=1256) + +Arătaţi că cel puţin două dintre cele 18 sume dau resturi diferite la împărţirea cu 5. + +Timp de lucru 2 ore şi 30 de minute. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +Soluţii şi bareme, clasa a V-a + +Problema 1.5 Două numere naturale $x$ şi $y$ au proprietatea că $\frac{2010}{2011}<\frac{x}{y}<\frac{2011}{2012}$. Determinaţi cea mai mică valoare a sumei $x+y$. + +Soluţie Fracţia $\frac{x}{y}$ este subunitară, prin urmare $x\frac{d}{y}>\frac{1}{2012}$ sau $\frac{d}{2011 d}>\frac{d}{y}>\frac{d}{2012 d}$ (1) + +Din (1) deducem 2011d2011 d$ obţinem $2 y-d>4021 d \geq 12063$. + +Prin urmare valoarea minimă a sumei se obţine când $d=2$ şi $x+y=$ 8044 . + +Problema 2.5 Determinaţi numerele naturale $a, b, c$ cu proprietatea că $a+b+c=a b c$. + +Soluţie Observăm că dacă unul dintre numere este 0, atunci toate numerele sunt egale cu 0 . + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $a b c \neq 0$, atunci relaţia se scrie $\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c}+\frac{1}{a b}=1$. Cum relaţia este simetrică în $a, b, c$ putem presupune $a \leq b \leq c$ de unde $a b \leq a c \leq b c$. + +Dacă $a b>3$, atunci $\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c}+\frac{1}{a b}<1 . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 p$ + +Dacă $a b=2$, atunci $a=1$ şi $b=2$, de unde obţinem $\frac{1}{2 c}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$ şi atunci $c=3$. + +Dacă $a b=3$, atunci $a=1$ şi $b=3$, de unde obţinem $\frac{1}{3 c}+\frac{1}{c}=\frac{2}{3}$ şi atunci $c=2$, care nu convine pentru că am presupus $b ETAPA LOCALA - 25 IANUARIE 2014 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Dacă $a, b, c \in \mathbb{R}$ arătaţi că: + +a) $(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1)$; + +b) $(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}$ + +c) $a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +Adriana Constantin, Călărași + +Problema 2. Fie $x, y \in \mathbb{R}^{*}$, astfel încât $x+y \neq 0$ și $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale. Arătați că: + +a) Dacă $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt progresii aritmetice atunci şirul $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $c_{n}=a_{n} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, este progresie aritmetică dacă și numai dacă una din progresiile aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ sau $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ are rația egală cu 0 . + +b) Dacă $\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1,(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n}$ și $(x+y) b_{n}-x y \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ atunci șirul $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie geometrică. + +Cristina Bornea, Călărași + +Problema 3. Fie şirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $a_{1}=\frac{1}{6}$ și $a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(a_{n}+\frac{1}{2}\right), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Determinați $a_{2014}$. Gazeta Matematică + +Problema 4. Dacă $A B C$ este un triunghi oarecare și $E, F, O, M$ sunt puncte cu proprietăţile $E \in(A B)$, $F \in(A C), O \in(E F), M \in(B C), 2 \overrightarrow{B M}=\overrightarrow{B C}, 5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B}$ și $12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$ demonstrați că $E F \| B C$. + +Gheorghe Stoianovici, Călărași + +## SUCCES! + +Baremul de notare este: Problema 1. a) 1 puncte; b) 2 puncte; c) 4 puncte; Problema 2. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 3. 7 puncte; Problema 4. 7 puncte. + +## ENUNȚURI ȘI SOLUȚII + +## CLASA a IX-A + +P1. IX. Dacă $a, b, c \in \mathbb{R}$ arătați că: +a) $(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1)$; +b) $(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}$ +c) $a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +Demonstrație: Putem presupune $a \leq b \leq c \Rightarrow \max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\}=c-a$ + +$a b+b c+c a-a+c-1=(a+1) b+(c-1) b+(a+1)(c-1) \leq(a+1)^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=$ + +$(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a+c-a-1) \Rightarrow a b+b c+c a+\max \{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} \leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$. + +P2. IX. Fie $x, y \in \mathbb{R}^{*}$, astfel încât $x+y \neq 0$ și $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale. Arătați că: + +a) Dacă $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt progresii aritmetice atunci șirul $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $c_{n}=a_{n} b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, este progresie aritmetică dacă și numai dacă una din progresiile aritmetice $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ sau $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ are rația egală cu 0 . + +b) Dacă $\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1,(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n}$ și $(x+y) b_{n}-x y \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ atunci șirul $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie geometrică. + +Demonstrație: a) $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică $\Leftrightarrow 2 c_{n}=c_{n-1}+c_{n+1} \Leftrightarrow 2 a_{n} b_{n}=\left(a_{n}-x\right)\left(b_{n}-y\right)+$ $+\left(a_{n}+x\right)\left(b_{n}+y\right) \Leftrightarrow x y=0$ + +b) $(x+y)\left(a_{n} b_{n}-1\right)=x y a_{n} \Leftrightarrow a_{n}=\frac{x+y}{(x+y) b_{n}-x y} \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(1+x a_{n+1}\right)\left(1+y a_{n}\right)=1 \Leftrightarrow b_{n+1}=-\frac{x}{y} b_{n}$ + +P3. IX. Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $a_{1}=\frac{1}{6}$ și $a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(a_{n}+\frac{1}{2}\right), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Determinați $a_{2014}$. + +Demonstrație: + +$n=1: a_{2}=\frac{2}{4}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}=\frac{2}{6}$ + +$n=2: a_{3}=\frac{3}{5}\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}=\frac{3}{6}$ + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}): a_{n}=\frac{n}{6}$ + +$\mathrm{P}(1): a_{1}=\frac{1}{6}$ + +$\mathrm{P}(\mathrm{n}+1): \quad a_{n+1}=\frac{n+1}{6}$ + +$a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right)=\frac{n+1}{n+3} \cdot \frac{n+3}{6}=\frac{n+1}{6}$ + +Deci $a_{2000}=\frac{2000}{6}=\frac{1000}{3}$ + +P4. IX. Dacă $A B C$ este un triunghi oarecare și $E, F, O, M$ sunt puncte cu proprietățile $E \in(A B)$, $F \in(A C), \quad O \in(E F), M \in(B C), \overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{B C}, 5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B}$ și $12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$ demonstrați că $E F \| B C$. + +Demonstraţie: $5 \overrightarrow{A E}=7 \overrightarrow{E B} \Leftrightarrow \overrightarrow{A E}=\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}$, fie $x \in(0, \infty)$ astfel încât $\overrightarrow{A F}=x \overrightarrow{F C} \Leftrightarrow \overrightarrow{A F}=\frac{x}{x+1} \overrightarrow{A C}$; $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}=-\frac{7}{12} \overrightarrow{A B}+\frac{x}{x+1} \overrightarrow{A C}(1) ; 12 \overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow$ + +$\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow{O B}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}(2) ; \overrightarrow{E O}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B O}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ (3); + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_38d382cc4256e94829a6g-3.jpg?height=289&width=451&top_left_y=495&top_left_x=1431) + +$\overrightarrow{E F}$ și $\overrightarrow{E O}$ coliniari $\Leftrightarrow \exists \alpha \in \mathbb{R}$ astfel încât $\overrightarrow{E F}=\alpha \overrightarrow{E O} \stackrel{(1),(3)}{\Leftrightarrow} \alpha=\frac{7}{4}$ și $x=\frac{7}{5} \Rightarrow E F \| B C$. + +## CLASA a X-A + +P1. X. a) Arătați că $\log _{a} \sqrt{x}+\log _{a^{2}} \sqrt[3]{x}+\log _{a^{3}} \sqrt[4]{x}+\cdots+\log _{a^{n}} \sqrt[n+1]{x}=\log _{a} \sqrt[n+1]{x^{n}} ; \forall a, x \in(0, \infty), a \neq 1$. + +Solutie : + +a) $\frac{1}{2} \log _{a} x+\frac{1}{2 \cdot 3} \log _{a} x+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)} \log _{a} x$ + +$\log _{a} x \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}\right)=\log _{a} x \cdot\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\right)$ + +Finalizare + +1 punct + +b) Determinați partea întreagă a numărulu $N=\log _{2013} 2014+\log _{2014} 2013+2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}$. + +Solutie : +b) $2013^{\log _{2014} 2015}-2015^{\log _{2014} 2013}=0$ 1 punct + +$x=\log _{2013} 2014 \in(1,2)$ 1 punct + +$x+\frac{1}{x} \in[2,3)$ 1 punct + +Finalizare $[\mathrm{N}]=2$ .1 punct + +P2. X. a) Arătați că, pentru oricare două numere complexe $z_{1}, z_{2}$, egalitatea $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|$ este adevărată dacă și numai dacă $\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $z_{1}=\alpha z_{2}$. + +Solutie : + +b) Verificarea implicatiei $\leftarrow$ + +1 punct Implicatia $\rightarrow$ + +$z_{k}=a_{k}+b_{k} \cdot i$ si calcul + +1 punct + +Obtinerea relatiei $a_{1} b_{2}=b_{1} a_{2}$ si finalizare 1 punct + +c) Determinați mulțimile $A=\left\{z \in \mathbb{C}|| z^{2}+2 z+2|+| z^{2}+2 z+1 \mid=1\right\}$ și $M=\{\operatorname{Re} z \mid z \in A\}$. + +Solutie : +b) $\left|z^{2}+2 z+2\right|+\left|z^{2}+2 z+1\right|=1 \Leftrightarrow\left|z^{2}+2 z+2\right|+\left|z^{2}+2 z+1\right|=\left|z^{2}+2 z+2+\left(-z^{2}-2 z-1\right)\right| \Leftrightarrow$ + +puncte + +$\exists \alpha \in(0, \infty)$ astfel încât $(\alpha+1) z^{2}+2(\alpha+1) z+\alpha+2=0 \Leftrightarrow z=-1 \pm \frac{\sqrt{\alpha+1}}{\alpha+1} i$ + +.1 punct + +Aflarea elementelor multimilor + +1 punct + +P3. X. a) Arătați că $\left\{\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \subset(0,2)$ + +## Solutie : + +a) Verificare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}>0$ 1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<1+1$ .1 punct + +$\sqrt[3]{1+a^{x}}-1<1-\sqrt[3]{1-a^{x}}$; amplificare cu conjugata + +Finalizare $\sqrt[3]{1+a^{x}}+\sqrt[3]{1-a^{x}}<2$ 1 punct + +b) Dacă $n, m \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}$ arătați că $\frac{1}{2 \sqrt[m]{1}}+\frac{1}{3 \sqrt[m]{2}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt[m]{n}}0}} \frac{x F(x)-H(x)+c+H(0+c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\left(F(x)-\frac{H(x)-H(0}{x}\right)=F(0)-H^{\prime}(0)=F(0)-F(0)=0$ + +$G_{s}^{\prime}(0)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}} \frac{-x F(x)+H(x)+c-2 H(0)+H(0)-c}{x-0}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x<0}}\left(-F(x)+\frac{H(x)-H(0)}{x}\right)=-F(0)+H^{\prime}(0)=-F(0)+F(0)=0$ + +$\Rightarrow G$ derivabilă în $x_{0}=0$ și $G^{\prime}(0)=g(0)=0$. În concluzie, $G$ e o primitivă pentru $g$, deci funçia $g$ admite primitive. + +## CLASA a XI-A + +P1. XI. Fie A o matrice pătratică de ordin 3 , cu toate elementele din mulțimea $\{-1,1\}$. + +a) Determinați toate valorile posibile ale determinantului matricei $A$. + +b) Demonstrați că matricea $A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, are toate elementele nenule. + +Demonstraţie: + +a) Dacă adunăm prima linie la liniile 2 și 3 , pe aceste linii vor fi numai numere pare. Scoatem factor 2 de pe fiecare dintre ele şi obținem că determinantul matricei $A$, care este număr întreg, se divide cu 4. + +Însă $\operatorname{det} A$ este sumă de şase termeni, fiecare egal cu 1 sau cu -1 , prin urmare are valoarea cuprinsă între -6 şi 6 . Rezultă că $\operatorname{det} A \in\{-4,0,4\}$ şi se constată imediat că toate cele trei valori sunt posibile. + +b) Se demonstrează uşor, prin inducție matematică, faptul că matricea $A^{n}$ are toate elementele impare, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. In particular, toate elementele lui $A^{n}$ vor fi nenule. + +P2. XI. Fie $A, B \in M_{3}(\mathbb{R})$ astfel încât $A+B=I_{3}$ și $A^{2}=A^{3}$. Să se arate că: + +a) $A B=B A$; + +b) $I_{3}+A B$ este o matrice inversabilă. + +Demonstraţie: + +a) Scrie $\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}-\mathrm{A}$ + +Inmulteste la stanga si la dreapta relatia anterioara cu A + +Deduce $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ + +b) Inmulteste $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{3}$ la stanga $\mathrm{cu} \mathrm{A}, \mathrm{A}^{2}+\mathrm{AB}=\mathrm{A}$ la dreapta cu $\mathrm{A}$ si obtine + +$\mathrm{ABA}=\mathrm{O}_{3}$ + +Scrie $(\mathrm{AB})^{2}=(\mathrm{ABA}) \mathrm{B}$ de unde $(\mathrm{AB})^{2}=\mathrm{O}_{2}$ + +$\operatorname{Din} \mathrm{I}_{3}=\mathrm{I}_{3}-(\mathrm{AB})^{2} \operatorname{deduce} \operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}-\right.$ + +AB) $\operatorname{det}\left(I_{3}+\mathrm{AB}\right)=1$ + +Finalizeaza $\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{3}+\mathrm{AB}\right)$ + +$\neq 0$ + +P3. XI. Se consideră șirurile de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1},\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ definite prin: $a_{1}>0, \quad \mathrm{~b}_{1}>0$, $a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, \quad b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se arate că $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{2}}{a_{n}+b_{n}}\right|, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$. + +Demonstrație: + +a) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=\left|\frac{a_{n}+2 b_{n}-a_{n} \sqrt{ } 2-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|=(\sqrt{2}-1)\left|\frac{a_{n}-b_{n} \sqrt{ } 2}{a_{n}+b_{n}}\right|$ + +b) $\left|c_{n+1}-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1) \frac{v_{n}}{a_{n}+b_{n}}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right| \leq \frac{1}{2}\left|c_{n}-\sqrt{2}\right|$ + +P4. XI. Fie $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(2 x)-f(x))=0$. Demonstrați că $\forall a \in(0,+\infty)$, există $\lim _{x \rightarrow \infty}(f(a x)-f(x))$ şi valoarea acestei limite este 0 . Demonstrație: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(2 *))=0\left(1 p \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty}(f(4 x)-f(x))=0\right. +$$ + +Prin inductic $\left.\lim _{* \rightarrow \infty} f\left(2^{n} *\right)-f(x)\right)=0 \quad$ Pentru $* \rightarrow \frac{*}{2^{n}}$, obt $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{*}{2^{n}}\right)-f(*)\right)=0$ + +Tie $k \in \mathbb{Z}$ a. . $2^{k} \leqslant a<2^{k+1}$, forex $\Rightarrow$ + +$$ +\left.f\left(2^{k} x\right)-f(x) \leq f(a x)-f(x)\right) \leq f\left(2^{k+1} x\right)-f(x) +$$ + +finalizare, on $* \rightarrow \infty$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-831-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-831-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b020ada4de35c0782bad6ab9c5913fe4d3e621b8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-831-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,73 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - JUDETTUL ALBA + +## 14.II. 2014 + +CLASA a VIII-a + +I. a) Să se calculeze: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ + +b) Dacă $x=\sqrt{10-\sqrt{19}}-\sqrt{10+\sqrt{19}}$, să se calculeze $x^{2}$ şi $(x+\sqrt{2})^{2002}$. + +II. Dacă $x \in[-3,5]$ şi $y \in[-1,6]$ arătaţi că: + +$a=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x y-22 x-22 y+121}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x y+8 x+8 y+16}$ este număr natural. + +III. Fie $A B C A^{1} B^{1} C^{1}$ o prismă triunghiulară regulată dreaptă, cu $A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, A A^{1}=12 \mathrm{~cm}$ şi $P$ un punct pe $C C^{1}$. + +a) Determinaţi poziţia punctului $P$ pe $C C^{1}$ ştiind că aria triunghiului $P A B$ este $12 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}$. + +b) Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta $P M$ şi planul $\left(A B B^{1}\right)$, unde $M$ este mijlocul laturii $A B$.] + +IV. Fie VABC o piramidă regulată dreaptă de vârf $V$, în care $A B=6 \mathrm{~cm}$, $m(\angle V A B)=72^{\circ}$. O furnică aflată în $A$ se plimbă pe toate fețele laterale pe drumul cel mai scurt şi revine în $A$, tăind muchiile laterale (VB) şi (VC) în punctele $M$, respectiv $N$. + +a) Arătaţi că $B C \|$ (AMN) + +b) Arătaţi că raportul dintre lungimea înălţimii piramidei (duse din $V$ ) şi lungimea drumului parcurs de furnică este egal cu $\operatorname{tg} 30^{\circ}$. + +Notă: + +- Timp de lucru 3 ore +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Fiecare subiect valorează 7 puncte + + +## CL. a VIII-a + +I. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{2}-(2+\sqrt{2})}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2^{2}-2}=2 \quad$ 3p +b) $x^{2}=10-\sqrt{19}-2 \sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}+10+\sqrt{19} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$x^{2}=2 \Rightarrow x_{1,2}= \pm \sqrt{2}$ + +$1,5 p$ + +$\Rightarrow(x+\sqrt{2})^{2002}=\left\{\begin{array}{c}0 \\ 2^{2003}\end{array}\right.$ + +$1,5 \mathrm{p}$ + +II. $a=\sqrt{(x+y-11)^{2}}+\sqrt{(x+y+4)^{2}}=|x+y-11|+|x+y+4| \quad$ 3p $x+y+4 \geq 0, x+y-11 \leq 0 \Rightarrow a=-x-y+11+x+y+4=15 \in \mathrm{N} \quad 4 \mathrm{p}$ + +III. Desen 1p +a) $\left.\begin{array}{l}P C \perp(A B C) \\ C M \perp A B\end{array}\right\} \Rightarrow P M \perp A B \quad 1 \mathrm{p}$ + +$$ +A_{P A B}=\frac{P M \cdot A B}{2} \Rightarrow P M=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} +$$ + +$$ +C M=6 \mathrm{~cm} \Rightarrow P C=6 \mathrm{~cm} +$$ + +b) $M N \| C^{1} C ; P E=p r_{\left(A B B^{1}\right)} P M \Rightarrow P E \perp\left(A B B^{1}\right) \quad 1 \mathrm{p}$ + +$$ +m\left(\angle\left(P M ;\left(A B B^{1}\right)\right)\right)=m(\angle P M E)=45^{\circ} \quad 2 \mathrm{p} +$$ + +IV. Figură spațiu+desfăşurare 2p +a) $\left.\begin{array}{l}B C \| M N \\ B C \not \subset(A M N)\end{array}\right\} \Rightarrow B C \|(A M N) \quad 1 \mathrm{p}$ +b) $\triangle V A B \approx \triangle A B M(U . U.) \Rightarrow \frac{V A}{A B}=\frac{A B}{B M}=\frac{V B}{A M} \Rightarrow V A=3+3 \sqrt{5} \quad 2 \mathrm{p}$ $A O=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, O$ centrul bazei $A B C, V O=\sqrt{3}(3+\sqrt{5}) \mathrm{cm}$ + +$$ +L_{\text {drum }}=A M+M N+N A^{1}=3(3+\sqrt{5}) \Rightarrow \frac{V O}{L_{\text {drum }}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\operatorname{tg} 30^{\circ} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-832-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-832-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..71868ec3c77ae560e36a248a8f00291a85527b01 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-832-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - JUDET,UL ALBA + +## 14.II. 2014 + +CLASA a VII-a + +I. Rezolvaţi în $\mathrm{Q}$ ecuaţiile: +a) || $2 x-3|-4|=5$ +b) $x \cdot 3^{2014}=\left(3^{2014}-1\right):\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{3^{2013}}\right)$ + +II. a) Arătaţi că $\sqrt{2001+2+4+6+\ldots+4000} \in$ N + +b) Determinaţi $n \geq 2, n \in \mathrm{N}$ ştiind că: + +$$ +\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=99 +$$ + +III. În paralelogramul $A B C D$ alegem $M \in[D C]$ astfel încât $C M=2 D M$ şi $N \in[B C]$, astfel încât $B N=2 N C$. Ştiind că aria triunghiului $C M N$ este egală cu $16 \mathrm{~cm}^{2}$, aflaţi aria paralelogramului $A B C D$. + +IV. Fie triunghiul $A B C, D, E \in(B C)$ astfel încât $A B^{2}=B D \cdot B C$ şi $\angle C A E \equiv \angle A B C$. Arătaţi că: +a) $A C^{2}=C E \cdot C B$ + +b) triunghiul $A D E$ este isoscel. + +Notă: + +- Timp de lucru 3 ore +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Fiecare subiect valorează 7 puncte + + +## CL. a VII-a + +I. a) $|2 x-3|=9 \Rightarrow x \in\{-3,6\}$ + +$2 p$ + +$|2 x-3|=-9$ nu are soluţie + +$1 p$ +b) $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{3^{2013}}=\frac{3^{2014}-1}{2 \cdot 3^{2013}} \Rightarrow x \cdot 3^{2014}=2 \cdot 3^{2013} \Rightarrow x=\frac{2}{3}$ + +$4 p$ + +II. a) $\sqrt{2001+2 \cdot \frac{2000 \cdot 2001}{2}}=\sqrt{2001^{2}}=2001$ + +3p +b) $\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=99 \Rightarrow n=10000$ + +$4 p$ + +III. Desen + +$1 p$ + +Fie $Q$ mij. $[B N] ; B N=2 N C \Rightarrow B Q=Q N=N C$ $1 p$ + +$M N$ mediană în $\triangle C M Q \Rightarrow A_{M N C}=A_{M N Q}=16 \mathrm{~cm}^{2} \Rightarrow A_{C M Q}=32 \mathrm{~cm}^{2}$ 2p $M Q \| D B \Rightarrow \frac{C M}{C D}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{A_{C M Q}}{A_{C D B}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9} \Rightarrow A_{C D B}=72 \mathrm{~cm}^{2} \Rightarrow A_{A B C D}=144 \mathrm{~cm}^{2} 3 \mathrm{p}$ + +IV. a) Desen + +$1 p$ + +$$ +\triangle A B C \approx \triangle E A C(U . U) \Rightarrow \frac{A C}{C E}=\frac{B C}{A C} \Rightarrow A C^{2}=C E \cdot B C +$$ + +b) $\triangle A B C \approx \triangle E A C \Rightarrow \angle B A C \equiv \angle A E C$ + +$$ +\triangle A B C \approx \triangle D B A(U . U .) \Rightarrow \angle B A C \equiv \angle B D A +$$ + +$$ +\Rightarrow \angle A E C \equiv \angle B D A \Rightarrow \angle A D E \equiv \angle A E D \Rightarrow \triangle A D E \text { este isoscel } +$$ + +2p + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-833-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-833-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3e0691b68bee31c1cd634ae8701200f370ccce5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-833-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,110 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - JUDET,UL ALBA + +## 14.II. 2014 + +## CLASA a VI-a + +I. a) Rezolvaţi în $\mathrm{N}$ ecuaţia: + +$$ +\overline{0,(1 x)}+\overline{0,(2 x)}+\overline{0,(3 x)}+\ldots+\overline{0,(9 x)}=\frac{53}{11} +$$ + +b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor raţionale positive ecuaţia: + +$$ +\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}+\frac{x+3}{4}+\frac{x+4}{5}+\frac{x+5}{6}+\frac{x+6}{7}=6 +$$ + +II. a) Determinaţi mulţimea: + +$$ +A=\{2 a+3 b \mid a, b \in \mathrm{N},[a, b]=96 \text { si } a \cdot b=768\} +$$ + +b) Fie numărul $N=\overline{a b c d a b}$. Arătaţi că dacă $7 \cdot \overline{a b}=\overline{c d}$ atunci $N$ :1189. + +III. Se consideră punctele $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{\mathrm{n}}$ coliniare, în această ordine, astfel încât $A_{1} A_{2}=1 \mathrm{~cm}, A_{2} A_{3}=2 \mathrm{~cm}, \ldots, A_{n-1} A_{n}=n-1 \mathrm{~cm}, n$ fiind un nr. natural, $n>1$. + +a) Calculaţi lungimea segmentului $\left[A_{1} A_{24}\right]$. + +b) Să se determine $\mathrm{nr}$. natural $\mathrm{n}$ astfel încât lungimea segmentului $\left[A_{7} A_{n}\right]$ să fie $279 \mathrm{~cm}$. + +c) Determinaţi distanţa dintre mijloacele segmentelor $\left[A_{1} A_{4}\right]$ şi $\left[A_{21} A_{24}\right]$. + +IV. Fie punctele coliniare $A, O, D$, unde $O \in(A D)$ şi unghiurile $\angle A O B$ şi $\angle B O C$ adiacente, iar semidreapta $(O C$ este interioară $\angle B O D$. Dacă $m(\angle B O C)=5 \cdot m(\angle A O B), m(\angle B O C)=\frac{5}{3} \cdot m(\angle C O D)$ şi [OM este bisectoarea $\angle A O C$ iar $Q$ punct interior $\angle B O D$ astfel încât $m(\angle M O Q)=90^{\circ}$, se cere: +a) $m(\angle A O B), m(\angle B O C), m(\angle C O D)$. + +b) să se arate că $[O Q$ este bisectoarea $\angle C O D$. + +Notă: + +- Timp de lucru 3 ore +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Fiecare subiect valorează 7 puncte + + +## CL. a VI-a + +I. a) $\frac{\overline{1 x}}{99}+\frac{\overline{2 x}}{99}+\frac{\overline{3 x}}{99}+\ldots+\frac{\overline{9 x}}{99}=\frac{53}{11}$ + +$$ +\frac{9 x+450}{99}=\frac{53}{11} +$$ + +$$ +x=3 +$$ + +b) $\frac{x}{2}+\frac{1}{2}+\frac{x}{3}+\frac{2}{3}+\ldots+\frac{x}{7}+\frac{6}{7}=6$ + +$$ +x \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{7} \quad 2 p +$$ + +$x=1$ + +$0,5 p$ + +II. a) $(a, b) \cdot[a, b]=a \cdot b ;(a, b)=8$ + +$1 p$ + +$a=8 x, b=8 y,(x, y)=1 \Rightarrow x y=12$ + +$1 p$ + +$(x, y) \in\{(1,12),(3,4),(4,3),(12,1)\} \Rightarrow(a, b) \in\{(8,96),(24,32),(32,24),(96,8)\} \quad 1 \mathrm{p}$ + +$A=\{136,144,216,304\}$ + +$1 p$ +b) $N=\overline{a b 0000}+\overline{c d 00}+\overline{a b}=10001 \cdot \overline{a b}+100 \cdot \overline{c d} \Rightarrow N=10701 \cdot \overline{a b}$ 2p $N=9 \cdot 1189 \cdot \overline{a b} \Rightarrow N \vdots 1189$ + +$1 p$ + +III. +a) $A_{1} A_{24}=A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+\ldots+A_{23} A_{24}=1+2+3+\ldots+23=276$ $2 p$ +b) $A_{7} A_{8}+A_{8} A_{9}+\ldots+A_{n-1} A_{n}=279 \Rightarrow 7+8+\ldots+n-1=279$ + +$$ +\frac{(n-1) n}{2}=300 \Rightarrow(n-1) n=600 \Rightarrow n=25 +$$ + +c) Fie $M$ mij. $\left[A_{1} A_{4}\right], N$ mij. $\left[A_{21} A_{24}\right] \Rightarrow M A_{4}=3, A_{21} N=33$ + +$$ +M N=M A_{4}+A_{4} A_{21}+A_{21} N=240 \mathrm{~cm} +$$ + +IV. desen + +a) A,O,D coliniare $\Rightarrow m(\angle A O D)=180^{\circ} ; m(\angle C O D)=3 \cdot m(\angle A O B)$ + +$$ +\left.\begin{array}{l} +m(\angle C O Q)=m(\angle M O Q)-m(\angle M O C)=30^{\circ} \\ +m(\angle Q O D)=m(\angle C O D)-m(\angle C O Q)=30^{\circ} +\end{array}\right\} \Rightarrow[O Q \text { bisect. } \angle C O D +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-834-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-834-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c221959e7f19441de64939ffb5f25717815befc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-834-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,65 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
FAZA LOCALĂ - JUDEȚUL ALBA + +## 14.II. 2014 + +## CLASA a V-a + +I. Calculaţi: +a) $3 \cdot\left\lfloor 5^{3^{2}}: 5^{2^{3}}+\left(3^{4}-2^{4} \cdot 5\right)^{2015}+8^{7}: 16^{5}\right]$. + +b) Câtul dintre pătratul lui $2^{5}$ şi dublul lui $2^{5}$. +c) $2^{8} \cdot 2^{9} \cdot 2^{10} \cdot \ldots \cdot 2^{31}-\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{467}\right)$. + +II. Împărţind numărul natural $a$ la numărul natural $b$ se obţine câtul 14 şi restul 18 . Dacă diferenţa dintre numerele $a$ şi $a$ - $3 b$ este egală cu 135 , arătaţi că numărul $2 a$ este pătrat perfect. + +III. Să se determine numerele naturale $x$ astfel încât mulţimile $A=\{2 x, 6 x+4\}$ şi $B=\{2 x-1,2 x+1,5 x+6\}$ să aibă un singur element comun. + +IV. Pe o tablă de şah sunt scrise toate numerele de la 1 la 100. Andrei şi Bogdan şterg pe rând, începând cu Andrei, câte un număr la întâmplare, cu condiţia ca numărul şters să nu fie multiplu al lui 2 sau 5 . Pierde copilul care este obligat să şteargă primul un astfel de număr. Cine câştigă? + +Notă: + +- Timp de lucru 3 ore +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Fiecare subiect valorează 7 puncte + + +## BAREM DE EVALUARE SI NOTARE + +## CL. a V-a + +I. +a) $3 \cdot\left[5+(81-80)^{2015}+2^{21}: 2^{20}\right]=$ $1 \mathrm{p}$ + +12 +b) $\left(2^{5}\right)^{2}:\left(2 \cdot 2^{5}\right)=$ $1 p$ + +16 +c) $\mathrm{S}_{1}=2^{8} \cdot 2^{9} \cdot 2^{10} \cdot \ldots \cdot 2^{31}=2^{\frac{31 \cdot 32}{2}-\frac{7 \cdot 8}{2}}=2^{468}$ $1 p$ + +$\mathrm{S}_{2}=2^{468}-1$ $1 p$ + +$$ +\mathrm{S}=\mathrm{S}_{1}-\mathrm{S}_{2}=1 +$$ + +II. $a: b=14$ rest $18 \Rightarrow a=14 \cdot b+18 \quad$ 2p + +$a-(a-3 b)=135 \quad 1 \mathrm{p}$ + +$b=135, a=648 \quad 2 \mathrm{p}$ + +$2 a=1296=36^{2} \quad 2 \mathrm{p}$ + +III. $\begin{aligned} & 2 x=2 x-1 \Rightarrow x \notin \mathrm{N} \\ & 2 x=2 x+1 \Rightarrow x \notin \mathrm{N}\end{aligned}$ + +$\cdots$ +$6 x+4=5 x+6 \Rightarrow x=2$ + +IV. de la 1 la 100 există 50 nr. :2, 20 nr. :5, 10 nr. :10 3p + +Numere care nu trebuie şterse sunt: $50+20-10=60 \quad 1 p$ + +Numere care pot fi şterse: $100-60=40 \quad 1 p$ + +Dacă Andrei începe, al 40-lea nr. va fi şters de Bogdan şi al 41-lea de Andrei. Deci Andrei pierde şi Bogdan câştigă. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-835-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-835-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..171c1d59761446ab333414f979a6bdaa2380887d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-835-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,72 @@ +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA TIMIŞ + +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a XII-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7110ea634463e9c694a7g-1.jpg?height=1397&width=1602&top_left_y=635&top_left_x=204) + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +$$ +\text { sincegs } +$$ + +Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ - 21.02.2014
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA a XII-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +## Subiectul 1: + +Scrie $f(x \cdot y)=f(x) \cdot f(y)$ pentru orice $x, y \in G$......................................................... $2 p$ + +Obţine $(x y)^{2}=x^{2} y^{2}$ pentru orice $x, y \in G$................................................................. $2 p$ + +Scrie $\quad x y x y=x x y y$ pentru orice $x, y \in G$....................................................................1p + +Finalizează $\mathrm{yx}=\mathrm{xy}$ pentru orice $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{G}$..................................................................... $2 p$ + +Subiectul 2: + +Verifică axiomele grupului........................................................................................ $4 p$ + +Găseşe funcţia $\mathrm{f}: \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{H}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}$........................................................................ + +f bijectivă........................................................................................................... $1 p$ + +Verifică $f(x * y)=f(x) \circ f(y),(\forall) x, y \in G$..................................................................... $1 p$ + +Subiectul 3: + +$$ +\text { Scrie } \mathrm{I}=\mathrm{I}_{1}+\mathrm{I}_{2} \text {, unde } \mathrm{I}_{1}=\int \frac{e^{\mathrm{x}}}{1+\cos \mathrm{X}} d \mathrm{x}, \mathrm{I}_{2}=\int \frac{\sin \mathrm{x}}{1+\cos \mathrm{X}} e^{\mathrm{x}} d x \text {, } +$$ + +$$ +\text { Calculează } I_{2}=\int \frac{\sin x}{1+\cos x}\left(e^{x}\right)^{\prime} d x=\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}-\int\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)^{\prime} e^{x} d x \text {. } +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Obţine } \mathrm{I}=\mathrm{I}_{1}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \sin \mathrm{x}}{1+\cos \mathrm{x}}-\mathrm{I}_{1} \\ +& \text {..2p } \\ +& \text { Finalizează } I=\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}+C +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul 4: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7110ea634463e9c694a7g-2.jpg?height=74&width=1470&top_left_y=2162&top_left_x=356) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7110ea634463e9c694a7g-2.jpg?height=74&width=1459&top_left_y=2273&top_left_x=367) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7110ea634463e9c694a7g-2.jpg?height=125&width=1459&top_left_y=2376&top_left_x=367) + +Finalizeaza $\int_{0}^{1} \mathrm{f}^{2}(\mathrm{x}) \mathrm{dx} \leq-\mathrm{ab}$........................................................................................... + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-836-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-836-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbb8704eed75c712cc7c3caa82d52295036cba9b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-836-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,90 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ - 21.02.2014 + +SUBIECTE clasa a XI-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +| 1. | Se consideră matricea $A_{(a, b)}=\left(\begin{array}{ccc}a+b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ a & 0 & a+b\end{array}\right), a, b \in R^{*}$.
a) Dacă $M=A_{(a,-a)}$ şi $\|a\| \neq 1$ calculaţi determinantul $\left\|I_{3}+M+M^{2}+\ldots+M^{2013}\right\|$.
b) Calculaţi $A_{(a, b)}^{n}, n \in N^{*}$. | +| :---: | :---: | +| 2. | Se consideră mulţimea $M=\left\{A \in M_{3}(Z) \mid a_{i j} \in\{+1,-1\}\right\}$
a) Dacă $A \in M$ arătaţi că $4 \mid \operatorname{det} A$.
b) Determinaţi mulţimea $D=\{\operatorname{det} A \mid A \in M\}$. | +| 3. | Studiaţi convergenţa şirului $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}$ definit prin $a_{0}=a \in[-1,1]$ şi $2 a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 a_{n}-1$
$\forall n \geq 0$. | +| 4. | Se consideră şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $x_{1}=1$ şi $x_{n+1}=\frac{x_{n}}{n}+\frac{n+1}{n^{2}}$ pentru orice $n \geq 1$.
a) Demonstraţi că şirul este convergent.
b) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}$. | + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +$$ +3 \operatorname{seces} +$$ + +Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLASA A XI-a
MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +## Subiectul 1: + +a) Calculează $M^{2}, M^{3}, \ldots, M^{2013}$............................................................................ $1 \mathrm{p}$ + +Determină matricea $I_{3}+M+M^{2}+\ldots+M^{2013}$............................................... $1 \mathrm{p}$ + +Calculează determinantul $\left|I_{3}+M+M^{2}+\ldots+M^{2013}\right|=\frac{\left(a^{2014}-1\right)^{3}}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}(a-1) \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{p}$ + +b) Scrie $A_{(a, b)}=a\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=a B+b I$ + +Calculează $B^{2}=2 B, B^{3}=2^{2} B$, şi demonstrează că $B^{n}=2^{n-1} B$ $1 \mathrm{p}$ + +Calculează $A_{(a, b)}^{n}=\left(a B+b I_{3}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} B^{n-k} b^{k} I_{3}=\sum_{k=0}^{n-1} C_{n}^{k} a^{n-k} 2^{n-k-1} b^{k} B+b^{n} I_{3}=$ + +$=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} C_{n}^{k}(2 a)^{n-k} b^{k} B+b^{n} I_{3}=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}(2 a)^{n-k} b^{k} B-b^{n} B\right)+b^{n} I_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{(2 a+b)^{n}-b^{n}}{2}\right) B+b^{n} I_{3}$ + +sau $A_{(a, b)}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{(2 a+b)^{n}+b^{n}}{2} & 0 & \frac{(2 a+b)^{n}-b^{n}}{2} \\ 0 & b^{n} & 0 \\ \frac{(2 a+b)^{n}-b^{n}}{2} & 0 & \frac{(2 a+b)^{n}+b^{n}}{2}\end{array}\right)$ + +## Subiectul 2: + +a) În determinantul matricei $A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \overline{3}}$ se scade din linia 2 linia 1 şi din linia 3 linia 1 şi se obţine det $A=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33}\end{array}\right| ; d_{i j}=a_{i j}-a_{1 j} \in\{-2 ; 0 ; 2\} ; i=2,3 ; j=1,2,3$ + +Deoarece $d_{i j}$ se divide cu 2 , notăm $d_{i j}=2 k_{i j} ; k_{i j} \in\{-1 ; 0 ; 1\} ; i=2,3 ; j=1,2,3$ şi obţinem $\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 2 k_{21} & 2 k_{22} & 2 k_{23} \\ 2 k_{31} & 2 k_{32} & 2 k_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 4 k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33}\end{array}\right|$ deci 4|det $A$............................................ $2 \mathrm{p}$ + +b) $\quad \mathrm{Cu}$ inegalitatea modulului obţine că $|\operatorname{det}(A)| \leq 6$..................................................... $1 \mathrm{p}$ + +$4 \mid$ det $A$, deci $D \subseteq\{-4,0,+4\}$.................................................................................... 1 p + +Arată că există câte o matrice $A \in M$ pentru fiecare dintre valorile $-4,0,4$ posibile ale determinantului, astfel că $D=\{-4,0,+4\}$........... + +## Subiectul 3: + +Consideră şirul $\left(b_{n}\right)_{n \geq 0}, b_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+1\right)$ $1 \mathrm{p}$ + +Arată că $b_{n+1}=b_{n}^{2}$ şi $b_{n} \in[0,1], \forall n \geq 0$ 2p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d902cadf4e4811844074g-3.jpg?height=52&width=1582&top_left_y=545&top_left_x=228) + +Dacă $a=1$, atunci $b_{n}=1, \forall n \geq 0$ şi $a_{n}=1, \forall n \geq 0$. $.1 \mathrm{p}$ + +Dacă $a \in(-1,1)$, atunci $b_{n} \in(0,1), \forall n \geq 0$ şi $\left(b_{n}\right)_{n \geq 0}$ este strict descrescător. $1 \mathrm{p}$ + +Trecând la limită, deduce că $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$ şi atunci $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-1$ + +## Subiectul 4: + +a) Arată că $0 ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a X-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +1. Fie $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}, \mathrm{z}_{3} \in \mathbf{C}$ astfel încât $\mathrm{z}_{1}{ }^{2}+\mathrm{z}_{2}{ }^{2}+\mathrm{z}_{3}{ }^{2}=0$ și $\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2+} \mathrm{z}_{3} \neq 0$, iar $\left|\mathrm{z}_{1}\right|=\left|\mathrm{z}_{2}\right|=\left|\mathrm{z}_{3}\right|=1$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-1.jpg?height=60&width=476&top_left_y=858&top_left_x=296) + +2. Fie $A$ o mulțime nevidă și funcțiile $f, g: A \rightarrow A$. + +a) Să se arate că dacă funcția $g \circ f$ este injectivă, atunci $f$ este injectivă. + +b) Să se arate că dacă funcția $g \circ f$ este surjectivă, atunci $g$ este surjectivă. + +c) Să arate că funcția $f \circ g \circ f$ este bijectivă dacă și numai dacă funcțiile $f$ și $g$ sunt bijective. + +3. Să se demonstreze că: +a) $\log _{2} 6>\frac{625}{256}$; +b) $\log _{2} 3+\log _{3} 4+\log _{4} 5+\log _{5} 6>5$. +4. Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$ înscris în cercul de centru $\mathrm{O}$ şi rază 1, D mijlocul lui $\mathrm{AB}$ şi E centrul de greutate al triunghiului $A C D$. Să se demonstreze că dreptele $\mathrm{CD}$ şi $\mathrm{OE}$ sunt perpendiculare dacă şi numai dacă $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$. + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +$$ +\text { sلleg. } +$$ + +Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ - 21.02.2014
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLASA A 10-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +## Subiectul 1: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=60&width=1520&top_left_y=655&top_left_x=228) + +$\left|\mathrm{z}_{1}+\mathrm{Z}_{2}+\mathrm{Z}_{3}\right|=\left|\overline{\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2}+\mathrm{z}_{3}}\right|=\left|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}\right|=\left|\frac{\mathrm{z} 1 \mathrm{z2}+\mathrm{z2} \mathbf{z 3}+\mathrm{z3z1}}{z 1 \cdot z 2 \cdot z 3}\right| \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . .,, \ldots, \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . .3 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=51&width=1522&top_left_y=794&top_left_x=238) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=92&width=1550&top_left_y=842&top_left_x=230) + +de unde $\mathrm{Z}_{1+} \mathrm{Z}_{2+} \mathrm{Z}_{3} \mid=2$, deoarece $\quad \mathrm{Z}_{1+} \mathrm{Z}_{2+} \mathrm{Z}_{3} \neq 0 \quad$.............................................................. $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul 2: + +a) Se demonstrează cu definiția că funcția f este injectivă ................................................................ 1p + +b) Se demonstrează cu definiția că funcția $g$ este surjectivă .......................................................... 1p + +c) Se demonstrează implicația inversă afirmând că prin compunerea de funcții bijective se obține o funcție bijectivă $.1 p$ + +Pentru implicația directă se scrie $h:=f \circ g \circ f=(f \circ g) \circ f=f \circ(g \circ f)$ și aplicând punctele a) și b) se deduce că funcția $f$ este injectivă, respectiv surjectivă, deci bijectivă și inversabilă ...........2p Scriind $f \circ g=h \circ f^{-1}$ bijectivă (deci injectivă) se deduce din a) că $g$ este injectivă; scriind $g \circ f=f^{-1}$ $\circ h$ bijectivă (deci surjectivă) se deduce din b) că $g$ este și surjectivă + +## Subiectul 3: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=77&width=1577&top_left_y=1526&top_left_x=228) + +b) din ineg. mediilor avem: $\log _{2} 3+\log _{3} 4+\log _{4} 5+\log _{5} 6>\sqrt[4]{\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 4 \cdot \log _{4} 5 \cdot \log _{5} 6} \ldots \ldots . . . . .2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=66&width=1577&top_left_y=1646&top_left_x=228) +ceea ce din punctul a) ne conduce la rezultat...................................................................... 1 p + +Subiectul 4: + +Notăm afixele punctelor $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} . . . \mathrm{cu} \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \ldots . .$, undelal=|b|=|c|=1 ...................................................... $1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=75&width=1577&top_left_y=1890&top_left_x=228) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=49&width=1585&top_left_y=1963&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd3e9b9813e0d6898f6g-2.jpg?height=80&width=1571&top_left_y=2010&top_left_x=231) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-838-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-838-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..565b9e967bdda0ca357d27fb058819d5e4f2a414 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-838-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,153 @@ +# MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA TIMIŞ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a VIII-a + +1. a) Arătaţi că dacă $a, b>0$ atunci $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}} \geq \frac{a+b}{2}$. + +RMT + +b) Demonstraţi că dacă $a, b, c>0$, atunci + +$$ +\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} \geq a+b+c +$$ + +Când are loc egalitatea în cele două inegalităţi de mai sus? + +2. Calculaţi suma $\frac{1}{2[\sqrt{1}]+1}+\frac{1}{2[\sqrt{2}]+1}+\cdots+\frac{1}{2[\sqrt{99}]+1}$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. +3. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un cub de muchie $A B=1 \mathrm{~cm}, M, N$ centrele feţelor $A B B^{\prime} A^{\prime}$, respectiv $B C C^{\prime} B^{\prime}$. + +a) Arătaţi că dreptele $M N$ şi $B D$ sunt perpendiculare. + +b) Calculaţi aria patrulaterului $A N C^{\prime} D^{\prime}$. + +c) Dacă planul (CMD) intersectează dreapta $B C^{\prime}$ în punctul $P$, iar $Q$ este mijlocul lui $[B C]$, arătaţi că punctele $P, Q$ şi $B^{\prime}$ sunt coliniare. + +4. Pe o dreaptă se consideră, în ordine, punctele $A, B, C, D$ astfel încât $A B=B C$. Perpendiculara în punctul $B$ pe dreapta $A D$ intersectează cercul de diametru $[A D]$ în punctele $P$ şi $Q$, iar perpendiculara în punctul $C$ pe dreapta $A D$ intersectează cercul de diametru $[B D]$ în punctele $K$ şi $L$. Demonstraţi că punctele $P, K, L$ şi $Q$ se află pe un cerc al cărui centru este punctul $B$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv: 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + +$$ +\text { syecos! } +$$ + +- Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş +- Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + + +## Inspectoratul Şcolar Judeţean Timiş + +Ministerul + +Educaţiei + +Naţionale + +Societatea de
Ştiinţe Matematice
din România + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa locală - 21.02.2014 + +## Clasa a VIII-a + +1. a) Arătaţi că dacă $a, b>0$ atunci $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}} \geqslant \frac{a+b}{2}$. + +RMT + +b) Demonstraţi că dacă $a, b, c>0$, atunci + +$$ +\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} \geqslant a+b+c +$$ + +2. Calculaţi suma $\frac{1}{2[\sqrt{1}]+1}+\frac{1}{2[\sqrt{2}]+1}+\cdots+\frac{1}{2[\sqrt{99}]+1}$, + +unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +3. Fie $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ un cub de muchie $A B=1 \mathrm{~cm}, M, N$ centrele feţelor $A B B^{\prime} A^{\prime}$, respectiv $B C C^{\prime} B^{\prime}$. + +a) Arătaţi că dreptele $M N$ şi $B D$ sunt perpendiculare. + +b) Calculaţi aria patrulaterului $A N C^{\prime} D^{\prime}$. + +c) Dacă planul $(C M D)$ intersectează dreapta $B C^{\prime}$ in punctul $P$, iar $Q$ este mijlocul lui $[B C]$, arătaţi că punctele $P, Q$ şi $B^{\prime}$ sunt coliniare. + +4. Pe o dreaptă se consideră, în ordine, punctele $A, B, C, D$ astfel încât $A B=B C$. Perpendiculara în punctul $B$ pe dreapta $A D$ intersectează cercul de diametru $[A D]$ în punctele $P$ şi $Q$, iar perpendiculara în punctul $C$ pe dreapta $A D$ intersectează cercul de diametru $[B D]$ în punctele $K$ şi $L$. Demonstraţi că punctele $P, K, L$ şi $Q$ se află pe un cerc al cărui centru este punctul $B$. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv: 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + +1. a) Arătaţi că dacă $a, b>0$ atunci $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}} \geqslant \frac{a+b}{2}$. + +RMT + +b) Demonstraţi că dacă $a, b, c>0$, atunci + +$$ +\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} \geqslant a+b+c +$$ + +Când are loc egalitatea în cele două inegalităţi de mai sus? + +## Soluţie şi barem: + +a) Numitorii fiind pozitivi, inegalitatea se scrie echivalent $2\left(a^{3}+b^{3}\right) \geqslant(a+b)\left(a^{2}+\right.$ $\left.a b+b^{2}\right)$, adică $a^{3}-a^{2} b-a b^{2}+b^{3} \geqslant 0$, sau încă $\left(a^{2}-b^{2}\right)(a-b) \geqslant 0$, adică $(a-b)^{2}(a+b) \geqslant 0$, inegalitate evident adevărată. .......................... $\mathbf{p}$ b) Scriind inegalitatea de la punctul a) pentru $a, b$, pentru $b, c$ şi pentru $c, a$ si adunând relaţiile obţinute, se obţine inegalitatea de la b). + +În inegalitatea de la a) se vede că avem egalitate dacă $a=b$. + +Pentru a avea egalitate la inegalitatea de la b), trebuie să avem celitate în fiecare din cele trei inegalităţi din a căror adunare a rezultat aceasta, deci trebuie ca $a=b=c$ $1 p$ + +2. Calculaţi suma $\frac{1}{2[\sqrt{1}]+1}+\frac{1}{2[\sqrt{2}]+1}+\cdots+\frac{1}{2[\sqrt{99}]+1}$, unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +Soluţie şi barem: + +Observăm că primele 3 fracţii sunt egale cu $\frac{1}{3}$, următoarele 5 fracţii sunt egale cu $\frac{1}{5}$. În general, putem observa că $\frac{1}{2[\sqrt{k}]+1}=\frac{1}{2 n+1}$ pentru orice $k$ pentru care $[\sqrt{k}]=n$, adică $n \leqslant \sqrt{k} ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a VII-a + +| 1. | a) Arătaţi că există o infinitate de numere naturale $\mathrm{m}$ şi $\mathrm{n}$ astfel încât $\sqrt{3^{\mathrm{m}}+3^{\mathrm{n}}}$ să fie
număr raţional.
b) Există numere naturale $\mathrm{m}$ şi $\mathrm{n}$ astfel încât $\sqrt{6^{\mathrm{m}}+6^{\mathrm{n}}}$ să fie număr raţional? | +| :--- | :--- | +| 2.Triunghiul $A B C$ este isoscel $\mathrm{cu} A B=A C$, iar $\mathrm{m}(\Varangle A)=36^{\circ}$. Bisectoarea unghiului $B$
intersectează $A C$ în $D$. Demonstraţi că:
a) $A D=B D=B C$.
b) $B C^{2}=D C \cdot A C$. | | +| 3. | Aflaţi numerele întregi $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}$ ştiind că abcde $=1$ şi
$\|\mathrm{a}-\mathrm{b}\|=\|\mathrm{b}-\mathrm{c}\|=\|\mathrm{d}-\mathrm{e}\|=\|\mathrm{e}-\mathrm{a}\|$. | +| 4.Un triunghi $A B C$ are lungimile laturilor $A B=20 \mathrm{~cm}, B C=22 \mathrm{~cm}, A C=24 \mathrm{~cm}$. Dacă $G$
§i $I$ sunt, respectiv, centrul de greutate şi punctul de intersecţie al bisectoarelor
triunghiului, arătaţi că $G I$ este paralelă cu $B C$. | | + +## NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +$$ +\text { sydegs ! } +$$ + +Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE
CLASA a-VII-a + +## Subiectul 1: (7 puncte) + +a) Pentru $\mathrm{m}=2 \mathrm{k}$ şi $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1(\mathrm{k} \in \mathbb{N}), 3^{\mathrm{m}}+3^{\mathrm{n}}=3^{2 \mathrm{k}} \cdot 4$ este pătrat perfect.............................. $4 \mathbf{p}$ + +b) Nu există numere cu proprietatea cerută, întrucât ultima cifră a lui $6^{\mathrm{m}}+6^{\mathrm{n}}$ poate fi doar 2 sau $7 . .3 \mathbf{p}$ + +## Subiectul 2: (7 puncte) + +a) Unghiurile de la baza triunghiului $A B C$ au măsura de $72^{\circ}$, deci triunghiurile $B C D$ şi $A D B$ sunt isoscele (cu bazele $[D C]$ şi $[A B]$ ). + +..3p + +b) Din teorema bisectoarei în triunghiul $A B C$ rezultă că $\frac{D C}{A D}=\frac{B C}{A B}$, deci $A D \cdot B C=D C \cdot A B$. Ţinând seama de egalităţile $A D=B C$ şi $A B=A C$, obţinem $B C^{2}=D C \cdot A C$. + +. $4 p$ + +## Subiectul 3: (7 puncte) + +Din $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} \in \mathbb{Z}$ şi abcde $=1$ rezultă $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} \in\{-1,1\}$ $.2 p$ + +Dacă $\mathrm{a}=\mathrm{b}$, atunci $|\mathrm{b}-\mathrm{c}|=|\mathrm{d}-\mathrm{e}|=|\mathrm{e}-\mathrm{a}|=0$, deci $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=\mathrm{d}=\mathrm{e}$. $1 p$ + +Cum abcde $=1$, rezultă că fiecare din numerele $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$, e este 1 $1 p$ + +Dacă $a \neq b$, atunci $|a-b|=|b-c|=|d-e|=|e-a|=2$. + +Pentru $a=1$ obţinem $\mathrm{b}=-1, \mathrm{c}=1, \mathrm{~d}=1, \mathrm{e}=-1$ + +$1.5 p$ + +Pentru $a=-1$ obţinem $b=1, c=-1, d=-1, e=1$, care nu verifică abcde $=1$ + +.1.5p + +## Subiectul 4: (7 puncte) + +Dacă $[A M]$ este mediana din $A$, atunci $\frac{G A}{G M}=2$. $2 p$ + +Dacă $\left(A D, D \in(B C)\right.$, este bisectoarea din $A$, atunci din teorema bisectoarei rezultă $\frac{B D}{D C}=\frac{A B}{A C}$ si se obţine $B D=10$. + +. $.2 p$ + +Apoi, din teorema bisectoarei aplicată în triunghiul $A B D$, rezultă $\frac{I A}{I D}=2$. + +. $.2 p$ + +Din teorema reciprocă a lui Thales aplicată în triunghiul $A M D$ rezultă că $G I$ este paralelă cu $B C$ $.1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-84-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.md b/Romania_Olympiad/md/ro-84-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4971ec24e5a2941f138d0816edf9d3056dd02c1c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-84-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.md @@ -0,0 +1,112 @@ +Societatea de Stiințe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c4b76618145c39aaf716g-1.jpg?height=244&width=250&top_left_y=301&top_left_x=512) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALE \$̦I CERCETÃRII \$TIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Finală, Sovata, 20 aprilie 2016 + +CLASA a VI-a + +## Enunţuri + +Problema 1. Un număr natural se numeşte superb dacă este multiplul numărului divizorilor săi (spre exemplu 12 este superb deoarece are 6 divizori şi 12 este multiplu al lui 6). + +a) Determinaţi cel mai mare număr superb de două cifre. + +b) Demonstraţi că nu există numere superbe care să aibă ultima cifră 3 . + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale nenule $a$ şi $b$ pentru care $\frac{a+1}{b}$ şi $\frac{b+2}{a}$ sunt simultan numere naturale. + +Problema 3. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$. Bisectoarea unghiului $A C B$ intersectează latura $A B$ în punctul $D$ şi perpendiculara în $B$ pe $B C$ în punctul $E$. Notăm cu $F$ simetricul lui $E$ faţă de $B$ şi cu $P$ intersecţia dreptelor $D F$ şi $B C$. Demonstraţi că $E P \perp C F$. + +Problema 4. Fie $a, b$ numere naturale nenule pentru care există $p$ număr prim cu proprietatea că $[a, a+p]=[b, b+p]$. Arătaţi că $a=b$. + +Am notat $[x, y]$ cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale $x$ şi $y$. + +Problema 1.6 Un număr natural se numeşte superb dacă este multiplul numărului divizorilor săi (spre exemplu 12 este superb deoarece are 6 divizori şi 12 este multiplu al lui 6 ). + +a) Determinaţi cel mai mare număr superb de două cifre. + +b) Demonstraţi că nu există numere superbe care să aibă ultima cifră 3 . + +Solutie a) $99=3^{2} \cdot 11$. 99 are 6 divizori şi $6 \nmid 99$. + +$98=2 \cdot 7^{2} .98$ are 6 divizori şi $6 \nmid 98$. + +$97=97.97$ are 2 divizori şi $2 \nmid 97$. + +$96=2^{5} \cdot 3$. 96 are 12 divizori şi $12 \mid 96$. + +Cel mai mare număr superb de două cifre este 96 . $.2 \mathrm{p}$ + +b) Fie $X$ un număr natural cu $u(X)=3(u(X)$ - ultima cifră a lui $X)$. + +Dacă $u(X)=3$, atunci $X$ este impar. + +Pe de altă parte $u(X)=3$ implică $X$ nu este pătrat perfect, iar un număr care nu este pătrat perfect are un număr par de divizori. + +Cum un număr impar nu poate fi multiplul unui număr par deducem că $X$ nu este superb. . . 1p + +Problema 2.6 Determinaţi numerele naturale nenule $a$ şi $b$ pentru care $\frac{a+1}{b}$ şi $\frac{b+2}{a}$ sunt simultan numere naturale. + +Soluţie $\frac{a+1}{b}$ număr natural nenul implică $b \mid a+1$, de unde $b \leq a+1$ şi de aici $b+2 \leq a+3$. + +Acum $\frac{b+2}{a} \leq \frac{a+3}{a}=1+\frac{3}{a} \leq 4$. Cum $\frac{b+2}{a}$ este număr natural nenul rezultă $\frac{b+2}{a} \in\{1,2,3,4\}$. $3 \mathrm{p}$ + +Dacă $\frac{b+2}{a}=1$, atunci din $b+2=a$ rezultă $b=a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ număr natural nenul implică $\frac{a+1}{a-2}=1+\frac{3}{a-2}$ număr natural nenul, de unde $a \in\{3,5\}$. Obţinem soluţiile $a=3, b=1$ şi $a=5, b=3$. + +Dacă $\frac{b+2}{a}=2$, atunci din $b+2=2 a$ rezultă $b=2 a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ este număr natural nenul, sau $\frac{2 a+2}{2 a-2}=1+\frac{4}{2 a-2}$ este număr natural par, de unde $a \in\{2,3\}$. Obţinem soluţia $a=3, b=4$; varianta $a=2, b=2$ nu verifică condiţiile iniţiale. + +Dacă $\frac{b+2}{a}=3$, atunci din $b+2=3 a$ rezultă $b=3 a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ este număr natural nenul, sau $\frac{3 a+3}{3 a-2}=1+\frac{5}{3 a-2}$ este număr natural, de unde $a \in\{1\}$. Obţinem soluţia $a=1, b=1$. + +Dacă $\frac{b+2}{a}=4$, atunci $b+2=4 a$ rezultă $b=4 a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ este număr natural nenul, sau $\frac{4 a+4}{3 a-2}=1+\frac{6}{4 a-2}$ este număr natural par, de unde $a \in\{1,2\}$. Obţinem soluţia $a=1, b=2$; varianta $a=2, b=6 \mathrm{nu}$ verifică condiţiile iniţiale. + +Problema 3.6. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$. Bisectoarea unghiului $A C B$ intersectează latura $A B$ în punctul $D$ şi perpendiculara în $B$ pe $B C$ în punctul $E$. Notăm cu $F$ simetricul lui $E$ faţă de $B$ şi cu $P$ intersecţia dreptelor $D F$ şi $B C$. Demonstraţi că $E P \perp C F$. + +## Solutie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c4b76618145c39aaf716g-3.jpg?height=639&width=725&top_left_y=343&top_left_x=494) + +În $\triangle B E C, m(\varangle C E B)=180^{\circ}-m(\varangle E B C)-m(\varangle E C B)=90^{\circ}-m(\varangle E C B)$ + +În $\triangle A D C, m(\varangle A D C)=180^{\circ}-m(\varangle D A C)-m(\varangle A C D)=90^{\circ}-m(\varangle A C D)$ + +Cum $m(\varangle A C D)=m(\varangle E C B)$, rezultă $\varangle A D C \equiv \varangle C E B$ (1) + +Dar $\varangle A D C \equiv \varangle E D B$. De aici şi din (1) rezultă $[B D] \equiv[B E]$. Cum $[B E] \equiv[B F]$ deducem că $[B D] \equiv[B E] \equiv[B F]$ şi atunci $\triangle D E F$ este dreptunghic în $D$. + +În $\triangle C E F, C B$ şi $F D$ înălţimi implică $P$ ortocentrul. În concluzie, $E P$ este înălţime, adică $E P \perp C F$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Problema 4.6 Fie $a, b$ numere naturale nenule pentru care există $p$ număr prim cu proprietatea că $[a, a+p]=[b, b+p]$. Arătaţi că $a=b$. + +Am notat $[x, y]$ cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale $x$ şi $y$. + +Soluţie Din $(x, y) \cdot[x, y]=x y$ deducem $[x y]=\frac{x y}{(x y)}$. Am notat $(x, y)$ cel mai mare divizor comun pentru $x$ şi $y$. Cu aceasta egalitatea din enunt devine $\frac{a(a+p)}{(a, a+p)}=\frac{b(b+p)}{(b, b+p)}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Notăm $d_{1}=(a, a+p) \in\{1, p\}$ şi $d_{2}=(b, b+p) \in\{1, p\}$. + +Dacă $d_{1}=d_{2}$ relaţia (1) conduce la $a(a+p)=b(b+p)$, de unde $a=b$. + +Presupunând $a \neq b$ putem avea $ab$, atunci $a+p>b+p$, de unde deducem $a(a+p)>b(b+p)$; contradicţie. $2 \mathrm{p}$ + +Dacă $d_{1}=1$ şi $d_{2}=p$ relaţia (1) devine $a(a+p)=\frac{b(b+p)}{p}$ sau $p a(a+p)=b(b+p)$. + +Din $d_{1}=1$ deducem că $p \nmid a$ şi $p \nmid a+p$, iar din $d_{2}=p$ deducem că $p \mid b$ sau $b=p x$, cu $x$ număr natural. + +$\mathrm{Cu}$ aceasta, relaţia (2) devine $p a(a+p)=p^{2} x(x+1)$ sau $a(a+p)=p x(x+1)$, de unde deducem că $p \mid a(a+p)$ şi cum $p$ este număr prim rezultă $p \mid a$; contradicţie. + +Aceasta arată că situaţia $d_{1}=1$ şi $d_{2}=p$ nu este posibilă. + +Analog se tratează cazul $d_{1}=p$ şi $d_{2}=1$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-840-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-840-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d32178d6eec0eadca7a8541e2fa08a04ed147074 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-840-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,162 @@ +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA-FILIALA TIMIŞ + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a VI-a + +1. Un număr natural se numeşte alternant dacă are 2014 cifre şi oricare două cifre vecine ale sale au parităţi diferite. Care este cel mai mic număr alternant care este divizibil cu 9 ? Dar cel mai mare? + +RMT + +2. Calculaţi + +$$ +\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}} \cdot \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} \cdot \ldots \cdot \frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99}}{\frac{1}{99}-\frac{1}{100}} +$$ + +3. Fie punctele coliniare $A, B, C$, în această ordine, iar semidreptele ( $B D$ şi ( $B E$ incluse în acelaşi semiplan determinat de dreapta $A C$ astfel încât ( $B D$ şi ( $B E$ sunt perpendiculare. Ce valori poate lua măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\Varangle A B E$ şi $\Varangle D B C$ ? +4. Alina, Bogdan, Claudia, Denisa şi Eugen joacă partide de dublu la ping-pong. În fiecare joc, unul dintre copii stă pe margine, în timp ce ceilalţi patru joacă doi contra celorlalţi doi. Fiecare pereche joacă împotriva fiecăreia din perechile formate din jucătorii rămaşi exact o dată. + +a) Câte partide s-au disputat în total? + +b) Dacă Alina a câştigat 12 partide, iar Bogdan a câştigat 6 partide, câte partide a câştigat Claudia? Aflaţi toate posibilităţile şi justificaţi răspunsul. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv: 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + +$$ +\text { sidecos! } +$$ + +- Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş +- Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + + +## Inspectoratul Şcolar Judeţean Timiş + +## Ministerul + +Educaţiei + +Naţionale +Societatea de + +Ştiinţe Matematice din România + +## Olimpiada Naţională de Matematică + +## Etapa locală - 21.02.2014 + +Clasa a VI-a + +1. Un număr natural se numeşte alternant dacă are 2014 cifre şi oricare două cifre vecine ale sale au parităţi diferite. Care este cel mai mic număr alternant care este divizibil cu 9 ? Dar cel mai mare? + +RMT + +2. Calculaţi + +$$ +\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}} \cdot \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} \cdot \ldots \cdot \frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99}}{\frac{1}{99}-\frac{1}{100}} +$$ + +3. Fie punctele coliniare $A, B, C$, în această ordine, iar semidreptele $(B D$ şi ( $B E$ incluse în acelaşi semiplan determinat de dreapta $A C$ astfel încât ( $B D$ şi ( $B E$ sunt perpendiculare. Ce valori poate lua măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\varangle A B E$ şi $\varangle D B C$ ? +4. Alina, Bogdan, Claudia, Denisa si Eugen joacă partide de dublu la ping-pong. În fiecare joc, unul dintre copii stă pe margine, în timp ce ceilalţi patru joacă doi contra celorlalţi doi. Fiecare pereche joacă împotriva fiecăreia din perechile formate din jucătorii rămaşi exact o dată. + +a) Câte partide s-au disputat în total? + +b) Dacă Alina a câştigat 12 partide, iar Bogdan a câştigat 6 partide, câte partide a câştigat Claudia? Aflaţi toate posibilităţile şi justificaţi răspunsul. + +## Notă + +- Timp de lucru efectiv: 2 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte. + +1. Un număr natural se numeşte alternant dacă are 2014 cifre şi oricare două cifre vecine ale sale au parităţi diferite. Care este cel mai mic număr alternant care este divizibil cu 9 ? Dar cel mai mare? + +RMT + +## Soluţie: + +Cel mai mic număr alternant trebuie să înceapă cu 1. Urmează cea mai mică cifră pară posibilă, 0 , cea mai mică cifră impară, 1 , cea mai mică pară, 0 , şi aşa mai departe, cea de-a 2012-a cifră o putem alege 0. Însă dacă alegem penultima cifră să fie 1 , suma cifrelor alese până acum este 1007. Nu putem alege nicio cifră pară astfel încât suma cifrelor numărului format (deci numărul format) să fie divizibil cu 9. Vom alege atunci penultima cifră să fie 3. Putem atunci alege ultima cifră 8, iar numărul format, 1010...1038 va fi alternant şi divizibil cu 9. El este cel mai mic cu aceste proprietăţi. + +Cel mai mare număr alternant care este multiplu de 9 va începe cu $\underbrace{9898 \ldots 98}_{2012 \text { cifre }}$. Suma cifrelor alese până aici este $(9+8) \cdot 1006=M 9+2$. Nu putem alege penultima cifră să fie 9 (nu vom găsi nicio cifră pară pentru care numărul format să fie divizibil cu 9), însă, alegându-l să fie 7 , putem lua ultima cifră 0 si obtine că cel mai mare număr alternant divizibil cu 9 este 989898...9870. + +## Barem: + +Cel mai mic număr alternant divizibil cu 9 + +- are primele 2012 cifre egale cu $1010 \ldots 10$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41190f5fd3784decad28g-3.jpg?height=54&width=1465&top_left_y=1561&top_left_x=301) + +$\cdot$ este 1010... 1038 ........................................................................... 2p + +Cel mai mare număr alternant divizibil cu 9 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41190f5fd3784decad28g-3.jpg?height=49&width=1457&top_left_y=1709&top_left_x=308) + +$\cdot$ are penultima cifră egală cu 7 ........................................................................................................................ + +$\cdot$ este 9898... 9870 ........................................................................1p + +Observaţii: (punctaje parţiale) + +- pentru enunţarea/folosirea criteriului de divizibilitate cu $9 \ldots . . . . . . . . . . .1 p$ +- pentru ghicirea (fără nicio justificare) a unuia dintre numere ..................... 2p +- pentru ghicirea (fără nicio justificare) a ambelor numere ................................. + +2. Calculaţi + +$$ +\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}} \cdot \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} \cdot \ldots \cdot \frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99}}{\frac{1}{99}-\frac{1}{100}} +$$ + +Solutie ş barem: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}} \cdot \frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} \cdot \ldots \cdot \frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99}}{\frac{1}{99}-\frac{1}{100}}=\frac{\frac{1}{2 \cdot 3}}{\frac{1}{3 \cdot 4}} \cdot \frac{\frac{1}{4 \cdot 5}}{\frac{1}{5 \cdot 6}} \cdot \ldots \cdot \frac{\frac{1}{98 \cdot 99}}{\frac{1}{99 \cdot 100}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .3 p \\ +& =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{100}}=50 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +Observaţii: (punctaje parţiale) + +- pentru a fi observat că ,,aproape toţi factorii se simplifică" dar identificarea greşită a factorilor care rămân 1 p (din cele 4 p) +- pentru a fi ajuns la $\frac{1 / 2}{1 / 100} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$........................... $4 p$ ) + +3. Fie punctele coliniare $A, B, C$, în această ordine, iar semidreptele $(B D$ şi ( $B E$ incluse în acelaşi semiplan determinat de dreapta $A C$ astfel încât ( $B D$ şi ( $B E$ sunt perpendiculare. Ce valori poate lua măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $\varangle A B E$ şi $\varangle D B C$ ? + +## Soluţie şi barem: + +Fie ( $B M$ şi ( $B N$ bisectoarele unghiurilor $\varangle A B E$, respectiv $\varangle D B C$. + +Distingem două cazuri: I. $(B E \in \operatorname{Int}(\varangle A B D)$ sau II. $(B D \in \operatorname{Int}(\varangle A B E) \ldots . \mathbf{2 p}$ Cazul I. Dacă notăm $m(\varangle A B E)=a$ şi $m(\varangle C B D)=b$, avem $a+90^{\circ}+b=180^{\circ}$, deci $a+b=90^{\circ}$. Atunci $m(\varangle M B N)=m(\varangle M B E)+m(\varangle E B D)+m(\varangle D B N)=$ $\frac{a}{2}+90^{\circ}+\frac{b}{2}=135^{\circ}$. + +Cazul II. Cu notaţile de mai sus, avem $a+b-90^{\circ}=180^{\circ}$, deci $a+b=270^{\circ}$. Avem că $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=m(\varangle D B N)+m(\varangle M B E)=m(\varangle D B E)+m(\varangle M B N)$, de unde $m(\varangle M B N)=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-90^{\circ}=45^{\circ}$. + +$3 p$ + +4. Alina, Bogdan, Claudia, Denisa şi Eugen joacă partide de dublu la ping-pong. În fiecare joc, unul dintre copii stă pe margine, în timp ce ceilalţi patru joacă doi contra celorlalţi doi. Fiecare pereche joacă împotriva fiecăreia din perechile formate din jucătorii rămaşi exact o dată. + +a) Câte partide s-au disputat în total? + +b) Dacă Alina a câştigat 12 partide, iar Bogdan a câştigat 6 partide, câte partide a câştigat Claudia? Aflaţi toate posibilităţile şi justificaţi răspunsul. + +## Soluţie: + +a) Fiecare jucător stă 3 partide pe margine: de exemplu, când Alina stă pe margine, Bogdan joacă, pe rând, în pereche cu Claudia, Denisa şi Eugen, adică 3 partide. + +Prin urmare, fiind 5 copiii dintre care fiecare stă pe margine 3 partide, în total se + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41190f5fd3784decad28g-5.jpg?height=49&width=1471&top_left_y=455&top_left_x=298) +b) Alina a jucat 12 partide, deci ea le-a câstigat pe toate. ....................... Bogdan a jucat 3 partide în pereche cu Alina (Claudia, Denisa şi Eugen au stat, pe rând, pe margine). Doarece Alina a câştigat toate partidele, rezultă că Bogdan a câştigat aceste 3 partide. În plus, când a jucat contra Alinei el a pierdut, deci celelalte 3 partide câştigate de Bogdan au fost câştigate atunci când Alina a stat pe margine. Aşadar Bogdan a câştigat toate cele 3 partide în care Alina a stat pe margine. + +Claudia a câştigat cele 3 partide în care a avut-o pe Alina drept parteneră şi a pierdut toate partidele în care a jucat contra Alinei. În cele trei partide în care Alina a stat pe margine, Claudia a câştigat când a jucat în pereche cu Bogdan şi a pierdut când a jucat împotriva acestuia. Aşadar Claudia a obţinut 4 victorii (singura posibilitate) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-841-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-841-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90a5e2c5ed80204688a9658160b95e2dc0772330 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-841-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,51 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a V-a + +| 1. | Oana şi Sorin numără alternativ de la 1 până la cu 1 mai mult decât ultimul număr spus de
către celălalt: Oana începe prin a spune "1", urmează Sorin care spune "1, 2", apoi Oana
spune "1, 2, 3" şi aşa mai departe. Care este cel de-al 53-lea număr spus şi cine a spus
acest număr? | +| :--- | :--- | +| 2. | Suma a două numere naturale este 71100 . Primul număr are ultima cifră 7, iar dacă
ştergem această cifră se obţine cel de-al doilea număr. Aflaţi cele două numere. | +| 3. | Fie şirul de numere naturale $3,5,9,17,33,65 \ldots$
a) Aflaţi al 10-lea termen al şirului.
b) Al câtelea termen al şirului este numărul 4097 ? | +| 4. | Numerele naturale $\mathrm{m}$ şi n au proprietatea că $2^{\mathrm{m}}+3^{\mathrm{n}}$ se divide cu 5. Arătaţi că şi $2^{\mathrm{n}}+3^{\mathrm{m}}$
se divide cu 5. | + +## NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de două ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +$$ +\text { sydeg! } +$$ + +Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE
CLASA a-V-a + +Subiectul 1: (7 puncte) +Observă că Oana spune de fiecare dată un număr impar de numere, iar Sorin un număr par ..... $1 p$ +Calculează $1+2+\cdots+9=45<53$ şi $1+2+\cdots+10=55>53$ ..... $.3 p$ +Concluzionează că cel de-al 53-lea număr este cel de-al 8-lea (53-45) spus de Sorin, adică 8 ..... $3 \mathbf{p}$ +Altfel: +Numerele spuse sunt, în ordine, 1; 1, 2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 4, 5, 6; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; +$1,2,3,4,5,6,7,8 ; 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$; etc. Prin urmare, al 53-lea număr +spus este 8 şi l-a spus Sorin ..... $.7 \mathbf{p}$ +Subiectul 2: (7 puncte) +Scrierea numerelor sub forma $A, 10 A+7$ ..... $.3 \mathbf{p}$ +Ecuaţia $11 A+7=71100$ ..... $.2 p$ +Rezultatul. . . ..... $.2 p$ +Subiectul 3: (7 puncte) +a) Deduce $a_{1}=2^{1}+1, a_{2}=2^{2}+1, a_{3}=2^{3}+1, a_{4}=2^{4}+1, a_{5}=2^{5}+1, a_{6}=2^{6}+1$. Deci +$a_{n}=2^{n}+1$ + +.3 p +Al 10-lea termen va fi $a_{10}=2^{10}+1=1025$.... ..... $2 p$ +b) $2^{\mathrm{n}}+1=4097$, deci $n=12$ ..... $.2 p$ +Subiectul 4: (7 puncte) +Consideră ultima cifră a puterilor lui 2 , respectiv 3 . ..... $.2 p$ +Convin doar variantele $\left(m=M_{4}+1, n=M_{4}+1\right)$, $\left(m=M_{4}+2, n=M_{4}\right),\left(m=M_{4}, n=M_{4}+2\right)$, +$\left(m=M_{4}+3, n=M_{4}+3\right)$ + +$3 \mathbf{p}$ +În fiecare din aceste cazuri, ultima cifră a lui $2^{\mathrm{n}}+3^{\mathrm{m}}$ este 5 ..... $3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-842-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-842-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a4db083e79def39dc8b498fe2971d8206c882cf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-842-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
SUBIECTE clasa a IX-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +| 1 | Fie $x \in R \backslash\{1\}$. Demonstraţi cǎ pentru orice $n \in N \backslash\{0\}$ are loc egalitatea
$x+2 x^{2}+3 x^{3}+\ldots+n x^{n}=\frac{n x^{n+2}-(n+1) x^{n+1}+x}{(x-1)^{2}}$ | +| :---: | :---: | +| 2. | Se considerǎ numerele $a, b>0$ cu proprietatea cǎ $a b=1$. Demonstraţi inegalitatea
$\frac{a^{2}}{a^{3}+b}+\frac{b^{2}}{b^{3}+a} \geq \frac{2}{a^{2}+b^{2}}$. | +| 3. | Fie triunghiul $A B C$ şi punctele $M \in(A B), N \in(A C)$ astfel încât
$\frac{A M}{M B}=2$ respectiv $\frac{A N}{N C}=\frac{2}{3}$.
(a) Exprimaţi vectorul $\overrightarrow{C M}$ in funcţie de vectorii $\overrightarrow{C A}$ şi $\overrightarrow{C B}$;
(b) Exprimaţi vectorul $\overrightarrow{A R}$ în funcţie de vectorii $\overrightarrow{A B}$ şi $\overrightarrow{A C}$, unde $B N \cap C M=\{R\}$;
(c) Arǎtaţi cǎ punctele $A, P, R$ sunt coliniare, unde $P \in(B C)$ cu proprietatea cǎ
$3 \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{C P}$ | +| 4. | Se considerǎ mulţimea $M=\left\{\left.\frac{x-[x]}{x} \right\rvert\, x \geq 1\right\}$, unde prin $[x]$ se înţelege partea întreagǎ a
numărului $x$. Arătaţi cǎ $M=\left[0 ; \frac{1}{2}\right)$. | + +NOTĂ: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. +2. Timpul de lucru este de trei ore. +3. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +$$ +\text { syceses! } +$$ + +Prof. Zeno Blajovan, inspector şcolar pentru matematică - I.Ş.J. Timiş + +Lector.dr. Mihai Chiş-preşedinte S.S.M.R. - Filiala Timiş + +## MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TIMIŞ + +## OLIMPIADA NATTIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ - 21.02.2014
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLASA a-IX-a MATEMATICĂ-INFORMATICĂ + +## Subiectul 1: (7 puncte) + +Se demonstrează prin inducţie matematică. + +## Etapa de verificare. + +Demonstrarea implicaţiei $p(k) \rightarrow p(k+1)$ + +Finalizare. + +## Subiectul 2: (7 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=117&width=1522&top_left_y=987&top_left_x=244) + +Foloseşte condiţia din ipoteză $a b=1$.................................................................................... $\mathbf{1 p}$ + +Obţine $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+a^{2}}$............................................................................................... $1 \mathbf{p}$ + +Foloseşte inegalitatea mediilor ...................................................................................................... $2 \mathbf{p}$ + +Finalizare................................................................................................................................1p + +## Subiectul 3: (7 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=100&width=1539&top_left_y=1435&top_left_x=241) + +(b) Obţine $\overrightarrow{A R}=\frac{6}{11} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{11} \overrightarrow{A C}$....................................................................................... $2 \mathbf{p}$ + +(c) Demonstrează coliniaritatea .............................................................................................. $3 \mathbf{p}$ + +## Subiectul 4: (7 puncte) + +Se demonstrează prin dublă incluziune + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=51&width=1550&top_left_y=1825&top_left_x=230) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=115&width=1551&top_left_y=1870&top_left_x=227) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=111&width=1542&top_left_y=1983&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=114&width=1536&top_left_y=2096&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a6006ebaa3b0a4a8bddfg-2.jpg?height=214&width=1536&top_left_y=2212&top_left_x=243) + +Notează $x=\frac{1}{1-z}$ şi arată că $z \in M$..................................................................................1p + +Finalizare....................................................................................................................... $1 \mathbf{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-843-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-843-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e823e74aa93bef0c1f9fe7928bb8fc4f8578e96 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-843-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,123 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +## 22 februarie 2014 + +## CLASA a XII-a + +1. a) (3p) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ și $(G, \cdot)$ un grup cu $3 n+1$ elemente. Să se demonstreze că pentru orice $a \in G$, există un unic $x \in G$ astfel încât $x^{3}=a^{2}$. + +b) (4p) Fie $n$ un număr natural, $n \geq 2$ și $(G, \cdot)$ un grup cu $n^{2}-n-1$ elemente. Știind că funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{n}$ este endomorfism al grupului, să se demonstreze că $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +2. Fie $x \in \mathbb{Z}_{2014}$ astfel încât $x^{2014}=\hat{1}$. Arătaţi că $x^{2}=\hat{1}$. +3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție care admite o primitivă neinjectivă. Să se arate că pentru orice $\lambda>0$, există $c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R}, c_{1} \neq c_{2}$ astfel încât $f\left(c_{1}\right)+\lambda f\left(c_{2}\right)=0$. +4. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie integrabilă cu $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$. Dacă $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ este o funcție derivabilă cu derivata integrabilă, demonstraţi că are loc inegalitatea: + +$$ +2 \int_{0}^{1} f(x) g(x) d x \leq \int_{0}^{1}|f(x)| d x \cdot \int_{0}^{1}\left|g^{\prime}(x)\right| d x +$$ + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 22 februarie 2014
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
CLASA a XII-a + +1. a) (3p) Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$ și $(G, \cdot)$ un grup cu $3 n+1$ elemente. Să se demonstreze că pentru orice $a \in G$, există un unic $x \in G$ astfel încât $x^{3}=a^{2}$. + +b) (4p) Fie $n$ un număr natural, $n \geq 2$ și $(G, \cdot)$ un grup cu $n^{2}-n-1$ elemente. Știind că funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{n}$ este endomorfism al grupului, să se demonstreze că $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +Gazeta Matematică + +## Solutie. + +a) $\operatorname{ord}(G)=3 n+1 \Rightarrow a^{3 n+1}=e \Rightarrow a \cdot a^{3 n}=e \Rightarrow a=\left(a^{3 n}\right)^{-1} \Rightarrow a^{2}=\left(a^{-1}\right)^{6 n}$. + +Pentu $x=\left(a^{-1}\right)^{2 n}$ avem $x^{3}=a^{2}$. + +Dacă $x^{3}=a^{2}$ și $y^{3}=a^{2}$, atunci $x^{3 n}=y^{3 n} \Rightarrow x^{-1}=y^{-1} \Rightarrow x=y$ +b) $\operatorname{ord}(G)=n^{2}-n-1 \Rightarrow x^{n^{2}-n-1}=e \Rightarrow x^{n^{2}-n}=x, \forall x \in G$ + +$f$ endomorfism de grupuri $\Rightarrow(x y)^{n}=x^{n} y^{n}, \forall x, y \in G$. Simplificând la stânga prin $x$ și la dreapta prin $y$ obținem $(y x)^{n-1}=x^{n-1} y^{n-1} \Rightarrow\left((y x)^{n-1}\right)^{n}=\left(x^{n-1} y^{n-1}\right)^{n} \Rightarrow(y x)^{n^{2}-n}=x^{n^{2}-n} y^{n^{2}-n} \Rightarrow y x=x y$ + +## Barem. + +| a) Existența | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Unicitatea | $1 \mathrm{p}$ | +| b) $x^{n^{2}-n}=x, \forall x \in G$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $f$ endomorfism de grupuri $\Rightarrow(x y)^{n}=x^{n} y^{n}, \forall x, y \in G$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $2 \mathrm{p}$ | + +2. Fie $x \in \mathbb{Z}_{2014}$ astfel încât $x^{2014}=\hat{1}$. Arătaţi că $x^{2}=\hat{1}$. + +## Solutie. + +$\overline{x^{2014}=\hat{1}} \Rightarrow x \in U\left(\mathbb{Z}_{2014}\right)$, adică $x$ este element inversabil în $\mathbb{Z}_{2014} \cdot\left(U\left(\mathbb{Z}_{2014}\right), \cdot\right)$ este grup cu $\varphi(2014)$ elemente. Cum $2014=2 \cdot 19 \cdot 53$ rezultă că $\varphi(2014)=2014\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{19}\right)\left(1-\frac{1}{53}\right)=936$ și atunci $x^{936}=\hat{1}$. Dar $(2014,936)=2$, deci există $a, b \in \mathbb{Z}$ astfel încât $936 p+2014 q=2$ și atunci $x^{2}=x^{936 p+2014 q}=\left(x^{936}\right)^{p} \cdot\left(x^{2014}\right)^{q}=\hat{1}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_65729d9e66bfe740f3e1g-2.jpg?height=325&width=1699&top_left_y=2315&top_left_x=145) + +| Barem. | | +| :--- | :--- | +| $x$ este element inversabil in $\mathbb{Z}_{2014}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\left(U\left(\mathbb{Z}_{2014}\right), \cdot\right)$ este grup cu $\varphi(2014)=936$ elemente | $2 \mathrm{p}$ | +| $x^{936}=\hat{1}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $3 \mathrm{p}$ | + +3. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție care admite o primitivă neinjectivă. Să se arate că pentru orice $\lambda>0$, există $c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R}, c_{1} \neq c_{2}$ astfel încât $f\left(c_{1}\right)+\lambda f\left(c_{2}\right)=0$. + +Ion Bursuc + +## Solutie. + +Fie $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă neinjectivă a lui $f$. Atunci există $a, b \in \mathbb{R}, a0$. Vom determina $c$ astfel încât $b-c=\lambda(c-a) \Leftrightarrow c=\frac{\lambda a+b}{1+\lambda} \in(a, b)$ + +Relaţia (1) devine: $(c-a) f\left(c_{1}\right)+\lambda(c-a) f\left(c_{2}\right)=0 \Leftrightarrow f\left(c_{1}\right)+\lambda f\left(c_{2}\right)=0$. + +## Barem. + +| $F$ neinjectivă $\Leftrightarrow$ există $a, b \in \mathbb{R}, a ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +22 februarie 2014 + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $n, k \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$ şi $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ astfel încât $A^{k+1}=B^{k+1}$ şi $A^{k} B=B^{k} A$. + +Demonstraţi că dacă matricea $A^{k}+B^{k}$ este inversabilă atunci matricea $A$ este inversabilă. + +2. Dacă $A \in M_{2}(\mathbb{C})$ este matrice nesingulară, să se demonstreze că $A B-B A \neq A^{2}, \forall B \in M_{2}(\mathbb{C})$. +3. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale. + +a) (4p) Să se arate că dacă şirul $\left(x_{n}^{2}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, atunci şirul $\left(\cos x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +b) (3p) Să se arate că dacă $x_{n} \in(-1,1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, iar şirurile $\left(x_{n}^{2}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(\sin x_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente, atunci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +4. Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ astfel încât $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\infty$. Să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+f(k)}=0$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA, 22 februarie 2014 + +BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +## CLASA a XI-a + +1. Fie $n, k \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$ şi $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ astfel încât $A^{k+1}=B^{k+1}$ şi $A^{k} B=B^{k} A$. + +Demonstraţi că dacă matricea $A^{k}+B^{k}$ este inversabilă atunci matricea $A$ este inversabilă. + +Ion Bursuc şi Daniela Macovei + +## Solutie. + +Dacă $A^{k}+B^{k}$ este inversabilă, notând $C=A^{k}+B^{k}$, atunci avem + +$A-B=I_{n}(A-B)=C^{-1}\left(A^{k}+B^{k}\right)(A-B)=C^{-1}\left(A^{k+1}-A^{k} B+B^{k} A-B^{k+1}\right)=O_{n} \Rightarrow A=B$ + +Rezultă că $C=2 A^{k}$, deci $\operatorname{det}(C)=\operatorname{det}\left(2 A^{k}\right)=2^{n}(\operatorname{det}(A))^{k}$ și cum $\operatorname{det}(C) \neq 0$, deducem că $\operatorname{det}(A) \neq 0$, adică $A$ este inversabilă. + +Barem. + +| $\left(A^{k}+B^{k}\right)(A-B)=A^{k+1}-A^{k} B+B^{k} A-B^{k+1}=O_{n}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Deduce $A=B$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $\operatorname{det}(C)=\operatorname{det}\left(2 A^{k}\right)=2^{n}(\operatorname{det}(A))^{k}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +2. Dacă $A \in M_{2}(\mathbb{C})$ este matrice nesingulară, să se demonstreze că $A B-B A \neq A^{2}, \forall B \in M_{2}(\mathbb{C})$. + +Dan Popescu + +## Solutie. + +Dacă există $B \in M_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât $A B-B A=A^{2}$, atunci $B-A^{-1} B A=A$ şi + +$\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(B-A^{-1} B A\right)=\operatorname{Tr}(B)-\operatorname{Tr}\left(A^{-1} B A\right)=\operatorname{Tr}(B)-\operatorname{Tr}(B)=0$. + +Cum $A^{2}-\operatorname{Tr}(A) A+\operatorname{det}(A) I_{2}=O_{2}$, obținem $A^{2}=-d I_{2}$, unde $d=\operatorname{det}(A) \neq 0$. + +Atunci $A B-B A=-d I_{2}$, deci $\operatorname{Tr}(A B-B A)=-2 d$. Dar $\operatorname{Tr}(A B-B A)=\operatorname{Tr}(A B)-\operatorname{Tr}(B A)=0$, adică $d=0$, contradicţie! + +Barem. + +| $d=\operatorname{det}(A) \neq 0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\operatorname{Tr}(A)=0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $A^{2}=-d I_{2} \Rightarrow \operatorname{Tr}\left(A^{2}\right)=-2 d$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\operatorname{Tr}(A B-B A)=0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + +3. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale. + +a) (4p) Să se arate că dacă şirul $\left(x_{n}^{2}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, atunci şirul $\left(\cos x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +b) (3p) Să se arate că dacă $x_{n} \in(-1,1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$, iar şirurile $\left(x_{n}^{2}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(\sin x_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente, atunci şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +Mihai Piticari și Vladimir Cerbu + +## Solutie. + +a) Dacă $x_{n}^{2} \rightarrow l$, atunci $l \in \mathbb{R}, l \geq 0$ şi $\left|x_{n}\right| \rightarrow \sqrt{l}$. Sunt posibile două situaţii: + +i) Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ are limită şi atunci $x_{n} \rightarrow \sqrt{l} \Rightarrow \cos x_{n} \rightarrow \cos \sqrt{l}$ sau $x_{n} \rightarrow-\sqrt{l} \Rightarrow \cos x_{n} \rightarrow \cos (-\sqrt{l})$, deci șirul $\left(\cos x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +ii) Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ nu are limită. Atunci $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ conţine două subşiruri complementare $\left(x_{k_{n}}\right)_{n \geq 1}$ si $\left(x_{p_{n}}\right)_{n \geq 1}$ aşa încât $x_{k_{n}} \rightarrow \sqrt{l}, x_{p_{n}} \rightarrow-\sqrt{l}, l>0$. Obţinem $\cos \left(x_{k_{n}}\right) \rightarrow \cos \sqrt{l}$ și $\cos \left(x_{p_{n}}\right) \rightarrow \cos (-\sqrt{l})=\cos \sqrt{l} \quad$ (funcţia cosinus este pară), adică şirul $\left(\cos x_{n}\right)_{n \geq 1}$ conţine două subşiruri complementare cu aceeaşi limită deci este convergent. + +b) Dacă $x_{n} \in(-1,1), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ şi $x_{n}^{2} \rightarrow l$, atunci $l \in[0,1]$ şi sunt posibile două situaţii: + +i) Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ are limită şi atunci $x_{n} \rightarrow \sqrt{l}$ sau $x_{n} \rightarrow-\sqrt{l}$, deci $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent. + +ii) Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ nu are limită. Atunci $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ conţine două subşiruri complementare $\left(x_{k_{n}}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(x_{p_{n}}\right)_{n \geq 1}$ aşa încât $x_{k_{n}} \rightarrow \sqrt{l}, x_{p_{n}} \rightarrow-\sqrt{l}, l \in(0,1]$. Obţinem $\sin \left(x_{k_{n}}\right) \rightarrow \sin \sqrt{l}$ și $\sin \left(x_{p_{n}}\right) \rightarrow \sin (-\sqrt{l})$. + +Cum şirul $\left(\sin x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent, orice două subşiruri ale sale vor avea aceeaşi limită $\Rightarrow \sin \sqrt{l}=\sin (-\sqrt{l}) \Rightarrow \sin \sqrt{l}=-\sin \sqrt{l} \Rightarrow \sin \sqrt{l}=0 \Rightarrow \sqrt{l}=k \pi, k \in \mathbb{N}$ şi cum $l \in(0,1] \Rightarrow l=0$, absurd! + +## Barem. + +| a) $\left\|x_{n}\right\| \rightarrow \sqrt{l}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Tratează situația i) | $1 \mathrm{p}$ | +| Tratează situația ii) | $2 \mathrm{p}$ | +| b) Tratează situația i) | $1 \mathrm{p}$ | +| Tratează situația ii) | $2 \mathrm{p}$ | + +4. Fie funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ astfel încât $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\infty$. Să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+f(k)}=0$. + +Dan Popescu + +## Solutie. + +Din inegalitatea mediilor avem $\frac{n+f(k)}{2} \geq \sqrt{n \cdot f(k)}$, deci $\frac{1}{n+f(k)} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(k)}}, k=\overline{1, n}$. + +Sumând aceste inegalități obținem $0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+f(k)} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}} \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{f(k)}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ + +Cum $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\infty$, rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n+1}{f(n+1)}}=0$ și aplicând criteriul Stolz-Cesaro avem: + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{f(k)}}}{2 \sqrt{n}}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{f(n+1)}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\frac{n+1}{f(n+1)}}+\sqrt{\frac{n}{n+1}} \sqrt{\frac{n+1}{f(n+1)}}\right)=0$. + +Din relația (1), conform teoremei cleștelui, deducem că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+f(k)}=0$. + +Barem. + +| $0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+f(k)} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}} \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{f(k)}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n+1}{f(n+1)}}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{f(k)}}=0$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-845-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-845-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..545f4a4c154712f4cc1796b2ee0fc6b0a2771f06 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-845-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,128 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALÄ + +SUCEAVA + +22 februarie 2014 + +## CLASA a X-a + +1. Să se determine funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică relaţia $f(f(x) y)+x y=2 f(x) f(y)$, oricare ar fi $x, y \in \mathbb{R}$. +2. Să se demonstreze că $\frac{\log _{2}^{2} a}{1+\log _{2} b^{2}}+\frac{\log _{2}^{2} b}{1+\log _{2} c^{2}}+\frac{\log _{2}^{2} c}{1+\log _{2} a^{2}} \geq 1, \forall a, b, c \in[2, \infty)$. +3. Să se determine numerele complexe $x, y, z$, dacă $\left(\begin{array}{l}x y=z^{2}+2 z-x-y \\ x z=y^{2}+2 y-x-z \\ y z=x^{2}+2 x-y-z\end{array}\right.$. +4. Fie $a, b, c$ trei numere complexe distincte cu proprietatea: $|a|=|b|=|c|=|a+b+c|$. Să se arate că triunghiul cu vârfurile de afixe $a, b$, respectiv $c$ este dreptunghic. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 22 februarie 2014
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE-CLASA a X-a + +1. Să se determine funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care verifică relaţia $f(f(x) y)+x y=2 f(x) f(y)$, oricare ar fi $x, y \in \mathbb{R}$. + +G.M. 9/2013, enunț modificat + +Solutie. $y=0 \Rightarrow f(0)=2 f(x) f(0), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(0)=0$ sau $f(x)=\frac{1}{2}, \forall x \in \mathbb{R}$. Cum funcția constantă nu verifică relația din enunț, în mod obligatoriu avem $f(0)=0$. Considerăm $y=1$ în relația dată și obținem + +$$ +f(f(x))+x=2 f(x) f(1), \forall x \in \mathbb{R} +$$ + +Arătăm că $f$ este funcție injectivă. Fie $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $f(a)=f(b) \Rightarrow f(f(a))=f(f(b))$. Folosind relația (1) pentru $x=a$ și $x=b$ se obține imediat că $a=b$. + +Schimbând $x$ cu $y$ în relația din ipoteză obținem: + +$$ +\begin{gathered} +f(f(y) x)+x y=2 f(x) f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}, \text { deci } \\ +f(f(x) y)=f(f(y) x), \forall x, y \in \mathbb{R} +\end{gathered} +$$ + +de unde , folosind injectivitatea funcției deducem: $f(x) y=x f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}$. + +Pentru $\mathrm{y}=1$ obținem $f(x)=x f(1)$ și înlocuind în relaţia inițială rezultă + +$$ +x y \cdot f^{2}(1)+x y=2 x y \cdot f^{2}(1), \forall x, y \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x y=x y \cdot f^{2}(1), \forall x, y \in \mathbb{R} \Rightarrow f^{2}(1)=1 \Rightarrow f(1)= \pm 1 +$$ + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aa15727edf4b5156a708g-2.jpg?height=67&width=1453&top_left_y=1288&top_left_x=175) | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $f$ este funcție injectivă | $2 \mathrm{p}$ | +| Deduce $f(x) y=x f(y), \forall x, y \in \mathbb{R} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ | $2 \mathrm{p}$ | +| Finalizare-găsește funcțiile. | $2 \mathrm{p}$ | + +În concluzie, funcțiile cerute sunt $f_{1}, f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=-x, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Barem. + +2. Să se demonstreze că $\frac{\log _{2}^{2} a}{1+\log _{2} b^{2}}+\frac{\log _{2}^{2} b}{1+\log _{2} c^{2}}+\frac{\log _{2}^{2} c}{1+\log _{2} a^{2}} \geq 1, \forall a, b, c \in[2, \infty)$. + +Soluție. Aplicăm inegalitatea CBS și obținem: + +$$ +\frac{\log _{2}^{2} a}{1+\log _{2} b^{2}}+\frac{\log _{2}^{2} b}{1+\log _{2} c^{2}}+\frac{\log _{2}^{2} c}{1+\log _{2} a^{2}} \geq \frac{\left(\log _{2} a+\log _{2} b+\log _{2} c\right)^{2}}{3+2\left(\log _{2} a+\log _{2} b+\log _{2} c\right)}=\frac{\log _{2}^{2}(a b c)}{3+2 \log _{2}(a b c)} \geq 1 +$$ + +Ultima inegalitate este echivalentă cu $\left(\log _{2}(a b c)-1\right)^{2} \geq 4$, adevărat, deoarece $\log _{2}(a b c) \geq \log _{2} 8=3$. + +Barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aa15727edf4b5156a708g-2.jpg?height=260&width=1688&top_left_y=2000&top_left_x=161) + +3. Să se determine numerele complexe $x, y, z$, dacă $\left(\begin{array}{l}x y=z^{2}+2 z-x-y \\ x z=y^{2}+2 y-x-z \\ y z=x^{2}+2 x-y-z\end{array}\right.$. + +Mariana-Liliana Popescu, Suceava + +Soluție. Relaţia $x y=z^{2}+2 z+1-1-x-y \Leftrightarrow(x+1)(y+1)=(z+1)^{2}$ sugerează substituţiile $x+1=a$, $y+1=b, z+1=c$ şi sistemul devine: $\left(\begin{array}{l}a b=c^{2} \\ a c=b^{2} \\ b c=a^{2}\end{array}, a, b, c \in \mathbb{C}\right.$. Considerăm cazurile: +I. $a=0 \Rightarrow b=c=0$. + +II. $a \neq 0 \Rightarrow b, c \neq 0$. În acest caz, sistemul este echivalent $\mathrm{cu} a^{3}=b^{3}=c^{3}=a b c$. + +Observăm că tripletul $(a, a, a), a \in \mathbb{C}^{*}$ este soluție a sistemului. + +Dacă cel puțin două dintre numerele $a, b, c$ sunt distincte, atunci deducem că toate cele trei numere sunt distincte. În acest caz, $\left(\frac{b}{a}\right)^{3}=\left(\frac{c}{a}\right)^{3}=1 \Rightarrow \frac{b}{a}, \frac{c}{a}$ sunt rădăcinile complexe nereale de ordin trei ale unității. Astfel, $(a, b, c)=\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$, unde $z_{1} \neq z_{2} \neq z_{3} \neq z_{1}$ sunt numere complexe în mulţimea $\left\{t, \omega t, \omega^{2} t\right\}, t \in \mathbb{C}^{*}$, şi $\omega=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}$. Astfel, soluţiile sunt $(x, y, z) \in\left\{(z, z, z),\left(z_{1}-1, z_{2}-1, z_{3}-1\right)\right\}, z \in \mathbb{C}$, $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ precizate mai sus. + +## Barem. + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aa15727edf4b5156a708g-3.jpg?height=56&width=1358&top_left_y=716&top_left_x=182) | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $(z, z, z)$ este soluție a sistemului..... | $1 \mathrm{p}$ | +| Determină forma soluțiilor $(x, y, z)$, cu componente distinct | $4 \mathrm{p}$ | + +4. Fie $a, b, c$ trei numere complexe distincte cu proprietatea: $|a|=|b|=|c|=|a+b+c|$. Să se arate că triunghiul cu vârfurile de afixe $a, b$, respectiv $c$ este dreptunghic. + +Solutie 1. Fie $a=r\left(\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}\right), b=r\left(\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2}\right), c=r\left(\cos \varphi_{3}+i \sin \varphi_{3}\right), r>0, \varphi_{i} \in[0,2 \pi), i=\overline{1,3}$. Avem $|a+c+b|=r \Leftrightarrow\left(\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}+\cos \varphi_{3}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}+\sin \varphi_{3}\right)^{2}=1 \Leftrightarrow$ + +$$ +\begin{gathered} +3+2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+2 \cos \left(\varphi_{2}-\varphi_{3}\right)+2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{3}\right)=1 \Leftrightarrow \\ +1+\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+\cos \left(\varphi_{2}-\varphi_{3}\right)+\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{3}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{2}\right) \cos \left(\frac{\varphi_{1}-\varphi_{3}}{2}\right)=0 +\end{gathered} +$$ + +Dacă, de exemplu, presupunem $\cos \left(\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{2}\right)=0$, atunci + +$a+b=r\left(\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1}+i \sin \varphi_{2}\right)=2 r \cos \left(\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{2}\right)\left(\cos \left(\frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{2}\right)\right)=0$. Analog, + +în celelalte cazuri, vom obține $b+c=0$, respectiv $a+c=0$. + +Deoarece afixele vârfurilor triunghiului au același modul, centrul cercului circumscris triunghiului coincide cu originea $\mathrm{O}$ a sistemului de coordonate. Din relațiile găsite deducem că $\mathrm{O}$ coincide cu mijlocul unei laturi, deci triunghiul este dreptunghic. + +Soluție 2. Folosim produsul real a două numere complexe $u \bullet v=\frac{1}{2}(\bar{u} v+u \bar{v})$. + +$|a|=|b|=|c|=|a+b+c| \Rightarrow|a|^{2}=|b|^{2}=|c|^{2}=|a+b+c|^{2} \Leftrightarrow a \bullet a=b \cdot b=c \cdot c=(a+b+c) \cdot(a+b+c)$. + +Prin efectuarea calculelor se obțin relațiile $(a+b) \cdot(b+c)=0,(a+b) \cdot(a+c)=0,(a+c) \cdot(b+c)=0$. Dacă notăm $a+b+c=h$ afixul ortocentrului $\mathrm{H}$, obținem $(h-a) \cdot(h-b)=0$ şi analoagele. Dacă $\mathrm{H}$ nu coincide cu niciun vârf al triunghiului, atunci deducem că $A H \perp B H \perp C H \perp A H$, absurd. În concluzie, ortocentrul triunghiului coincide cu unul dintre vârfurile triunghiului și triunghiul este dreptunghic. + +| Scrie numerele sub formă trigonometrică................................................................. | | | | | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aa15727edf4b5156a708g-3.jpg?height=164&width=56&top_left_y=2230&top_left_x=1699) | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Deduce cos | $\left(\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{2}\right) \cos$ | $\left(\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{2}\right) \cos$ | $\overline{\frac{\varphi_{1}-\varphi_{3}}{2}}$ | $=0$ | | +| Deduce că cel puțin unul dintre numerele $a+b, a+c, b+c$ este egal cu $0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ | | | | | $\angle \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_aa15727edf4b5156a708g-3.jpg?height=53&width=1361&top_left_y=2446&top_left_x=166) | | | | | $1 \mathrm{p}$ | + +## Barem. (pentru soluția l) + +Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-846-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-846-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..30d59dfab249de4648271802c18593f71a16e74e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-846-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,114 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +22 februarie 2014 + +CLASA a VIII - a + +1. Determinați numerele reale $a, b, c$ din egalitatea: + +$$ +\sqrt{a-2012}+\sqrt{6+2013}+\sqrt{c-2014}=\frac{a+b+c-1963}{8} . +$$ + +2. a) (2p) Demonstrați inegalitatea: $\frac{1}{\sqrt{a b}} \geq \frac{2}{a+b}$, pentru orice numere reale strict pozitive $a, b$. + +b) (5p) Arătaţi că: $\sqrt{\frac{x}{y+z+t}}+\sqrt{\frac{y}{z+t+x}}+\sqrt{\frac{z}{t+x+y}}+\sqrt{\frac{t}{x+y+z}} \geq 2$, oricare ar fi numerele reale strict pozitive $x, y, z, t$. + +3. Fie $A B C^{\prime} A^{\prime} B^{r} \mathcal{E}^{r}$ o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral cu latura de $4 a \mathrm{~cm}$ și înălțimea $A A^{\prime}=3 a \mathrm{~cm}$. Se notează cu $D$ și $E$ mijloacele muchiilor $\left[A^{*} C^{r}\right]$, respectiv $\left[A^{r} B^{x}\right]$. Să se determine măsura unghiului format de dreapta $A A^{\prime}$ cu planul ( $\boldsymbol{C} C D E$ ). +4. Pătratele $\mathrm{ABCD}$ și $\mathrm{ABMN}$ sunt situate în plane perpendiculare. Calculați măsura unghiului diedru format de planele (MAD) și $(M N D)$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE
CLASA a VIII-a + +1. Determinați numerele reale $a, b, c$ din egalitatea: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cdf02e9d992df69e1c83g-2.jpg?height=160&width=1397&top_left_y=368&top_left_x=537) + +Solutie: Notăm: $x=\sqrt{a-2012}, y=\sqrt{5+2013}, z=\sqrt{\epsilon-2014}$, de unde obținem: $a=x^{2}+2012$, $\delta=y^{2}-2018, \varepsilon=z^{2}+\mathbf{2 0 1 4}$. Egalitatea devine: $x+y+z=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2013-1961}{8}$, de unde $x^{2}+y^{2}+z^{2}+48=8 x+8 y+8 z$. Avem: $(x-4)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=0$, deci $x=y=z=4$, iar $a=2028, b=-1997_{r} \varepsilon=2030$. + +## Barem: + +| Notăm: $x=\sqrt{a-2012}, y=\sqrt{b+2013}, z=\sqrt{6-2014}$, de unde obținem: $a=x^{2}+2012, b=y^{2}-2018,2 \mathrm{p}$ | | +| :--- | :---: | +| $\epsilon-z^{2}+2014$. | | +| Egalitatea devine: $x+y+z=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2013-1965}{8}$, de unde $x^{2}+y^{2}+z^{2}+48=8 x+8 y+8 z$ | $2 \mathrm{p}$ | +| $(x-4)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $x=y=z=4$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $a=2028, L=-1997, c=2030$ | $1 \mathrm{p}$ | + +1. a) (2p) Demonstrați inegalitatea: $\frac{1}{\sqrt{a b}} \geq \frac{2}{a+b}$, pentru orice numere reale strict pozitive $a, b$. + +b) (5p) Arătaţi că: $\sqrt{\frac{x}{y+z+t}}+\sqrt{\frac{y}{z+t+x}}+\sqrt{\frac{z}{t+x+y}}+\sqrt{\frac{t}{x+y+z}} \geq 2$, oricare ar fi numerele reale strict pozitive $x, y, z, t$. + +Gazeta Matematica Nr.5/2010 + +Solutie: a) Inegalitatea este echivalentă cu $a+b \geq 2 \sqrt{a \cdot b}$, ceea ce este adevărat, deoarece este echivalentă cu: $(\sqrt{\alpha}-\sqrt{b})^{2} \geq 0$. + +b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru $a=\frac{\gamma+z+t}{x}$ și $\delta=1$, avem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cdf02e9d992df69e1c83g-2.jpg?height=285&width=1800&top_left_y=1863&top_left_x=130) +patru inegalități obținem: $\sqrt{\frac{x}{y+z+t}}+\sqrt{\frac{y}{z+t+x}}+\sqrt{\frac{z}{t+x+y}}+\sqrt{\frac{t}{x+y+z}} \geq \frac{2(x+y+z+t)}{x+y+z+t}$, de unde inegalitatea cerută. + +## Barem: + +a) Inegalitatea este echivalentă cu $a+b \geq 2 \sqrt{a \cdot b}$, ceea ce este adevărat, deoarece este echivalentă cu: $(\sqrt{\bar{a}}-\sqrt{5})^{2} \geq 0$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cdf02e9d992df69e1c83g-3.jpg?height=794&width=1933&top_left_y=145&top_left_x=123) + +3. Fie $A B C A^{t} B^{t} C^{-E}$ o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral cu latura de $4 a$ cm și înălțimea $A A^{t}=3 a$ cm. Se notează cu $D$ și $E$ mijloacele muchiilor $\left[A^{\prime} C^{r}\right]$, respectiv $\left[A^{\prime} B^{r}\right]$. Să se determine măsura unghiului format de dreapta $A A^{i}$ cu planul (BCDE). + +Prof. Stela Boghian, Suceava + +## Solutie; Fie $E E \cap A A^{4}=\{$ \{s. + +$\triangle B^{\prime} 5 \equiv \triangle E A^{*} E(C . U$.$) de unde rezultă: \left[A^{\prime} E\right] ■\left[E^{\prime} B^{\prime}\right]\left(\square\left[A A^{\prime}\right] ■\left[C C^{\prime}\right]\right)$ + +$A F A^{c} R \equiv \Lambda C C^{c} D(C . C$.$) de unde rezultă \pi F^{\prime} D A^{\prime} \square \AA C^{s} D C$, de unde $C D \cap A A^{\prime}=\{P]$. + +Planul (SCDE) coincide cu planul ( $B C \bar{C}$ ). Fie M mijlocul lui $[B C]$. + +Cum $\vec{R} A \perp(A \vec{B} C), A M \perp B C, A M, B C=(A B C)$, conform th. celor 3 perpendiculare, avem: $E M \perp B C$. + +Cum $F M \perp E C, A M \perp E C$, avem: $E C \perp(A F M)$. + +Fie $A N \perp F M$, cum $A N \subset(A F M)$ și $B C \perp(A F M)$., avem: $B C \perp A N$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cdf02e9d992df69e1c83g-3.jpg?height=60&width=1892&top_left_y=1569&top_left_x=144) +$m(\triangle A F M)$. În $\triangle A F M$, dreptunghic în A, avem: $\operatorname{tg}(\triangle A P M)=\frac{A M}{A F^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $m:(\triangle A F M)=30^{\circ}$. + +## Barem: + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cdf02e9d992df69e1c83g-3.jpg?height=174&width=1764&top_left_y=1775&top_left_x=143) | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| Planul $(B C D E)$ coincide cu planul $(B C F)$. Fie M mijlocul lui $[B C]$.
Cum $E A \perp(A E C), A M \perp B C, A M, B C \subset(A B C)$, conform th. celor 3 perpendiculare, avem: $F M \perp B C$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Cum $E M \perp B C, A M \perp B^{\prime}$, avem: $B C \perp\left(A E^{\circ}\right)$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Fie $A N \perp E M$, cum $A N \subseteq(A F M)$ și $B C \perp(A F M)$., avem: $B C \perp A N$ | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cdf02e9d992df69e1c83g-3.jpg?height=122&width=1764&top_left_y=2155&top_left_x=143) | $1 \mathrm{p}$ | +| Calculează $A F^{\prime}=d \aleph_{1} A M=\frac{4 \Omega \sqrt{8}}{2}=2 \Omega \sqrt{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| În $\triangle A F M_{*}$ dreptunghic in $\mathrm{A}$, avem: $\operatorname{tg}\left(\triangle A E^{\prime} M\right)=\frac{A M}{A F}=\frac{\sqrt{4}}{3}$, deci $m(A A F M)=30^{\circ}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +4. Pătratele $\mathrm{ABCD}$ și $\mathrm{ABMN}$ sunt situate în plane perpendiculare. Calculați măsura unghiului diedru format de planele (MAD) și (MND) . + +Prof. Șlincu Gabriela, Suceava + +Solutie: Cum $A E \perp A D$ și $A E \perp A N$ avem $A B \perp(N A D), \operatorname{dar} A E \backslash M N$, deci $M N \perp(N A D)$. + +Fie E mijlocul lui $[N D]$. Cum $A E \simeq\left(N A D\right.$ ) rezultă $M N \perp A E_{\iota}$ dar și $N D \perp A E$ (mediană în triunghi isoscel), deci $A E \perp(M N D)$. Fie $E E \perp M D$, cum $E F, M D \subseteq(M N D 2$, conform teoremei celor trei perpendiculare, avem: $A F \perp M D$. Muchia unghiului diedru este $M D$, deci măsura unghiului diedru este $m(G R E A)$. În $\triangle A E F$ dreptunghic în E: $\sin (\pi E F A)=\frac{A E}{A F}$. În $\triangle A N D$ dreptnghic în $\mathrm{A}: A E=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$, unde a este latura pătratului. Cum $A D \perp(N A B)$, iar $A M=(N A B)$, triunghiul $\triangle M A D$ este dreptunghic în A şi $A F=\frac{M A \cdot A D}{M D}=\frac{\omega \sqrt{6}}{8}$. Deci, $\sin (A B E A)=\frac{A E}{A E^{2}}=\frac{\sqrt{8}}{2}$, rezultă $m\left(\int E E A\right)=60^{\circ}$. + +## Barem: + +Cum $A E \perp A D$ și $A E \perp A N$ avem $A E \perp(N A D)$, dar $A E \backslash M N$, deci $M N \perp(N A D)$. Fie E mijlocul lui $[N D]$. Cum $A E \subseteq(N A D)$ rezultă $M N \perp A E$, dar și $N D \perp A E$ (mediană în triunghi isoscel), deci $A E \perp(M N D)$ + +Fie $E F \perp M D$, cum $E E_{r} M D=(M N D)$, conform teoremei celor trei perpendiculare, avem: $A \vec{F} \perp M D$. Muchia unghiului diedru este $M D$, iar $B E \perp M D, A F \perp M D$, deci măsura unghiului diedru este $\pi m(G E E A)$. + +În $\triangle A E F$ dreptunghic în E: $\sin (-1 E E A)=\frac{A E}{A F}$. + +În $\triangle A N D$ dreptnghic în $A: A E=\frac{a \sqrt{2}}{2}$, unde a este latura pătratului. +Cum $A D \perp(N A B)$ iar $A M \simeq(N A B)$, triunghiul $\triangle M A D$ este dreptunghic în A și $A F=\frac{M A \cdot A D}{M D}=\frac{a \sqrt{6}}{8}$. + +$\sin \left(f E E^{2}\right)=\frac{A E}{A F^{5}}=\frac{\sqrt{8}}{2}$, rezultă $m(A E E A)=60^{\circ}$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-847-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-847-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..204c5a3819c652519e3976bbcc2c957661e5a36a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-847-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,106 @@ +# OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +## 22 februarie 2014 + +## CLASA a VII-a + +1. a) (4p) Arătaţi că $\sqrt{\frac{1 \cdot 2}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{5^{2}}}+\sqrt{\frac{3 \cdot 4}{7^{2}}}+\ldots . .+\sqrt{\frac{4028 \cdot 4029}{8057^{2}}} \leq 2014$. + +b) Fie (3p) $x=\sqrt{\left[\frac{7}{6}+\frac{8}{12}+\frac{9}{18}+\ldots+\frac{506}{3000}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{500}\right)\right] \cdot 6}$. Arătaţi că $x \notin \mathbb{Q}$. + +2. a) (4p) Arătați că, dacă $\frac{a_{1}}{b_{1}}<\frac{a_{2}}{b_{2}}<\frac{a_{3}}{b_{3}}$, unde $b_{1}, b_{2}, b_{3}>0$, atunci $\frac{a_{1}}{b_{1}}<\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}}<\frac{a_{3}}{b_{3}}$. + +b) (3p) Câte numere de forma $\frac{\sqrt{a b a b}}{\overline{a b}}$ verifică relaţia $2<\frac{\sqrt{a b a b}}{\overline{a b}}<3$ ? + +3. Fie triunghiul $P Q N$ şi $M$ un punct oarecare pe latura $[P N]$ astfel încât $\frac{M N}{M P}=\frac{m}{n}$. Bisectoarea unghiului $Q M N$ intersectează latura $[N Q]$ în punctul $C$, bisectoarea unghiului $Q M P$ intersectează latura $[P Q]$ î punctul $D, M C \cap P Q=\{A\}$ și $M D \cap N Q=\{B\}$. + +a) (2p) Arătaţi că $\frac{B N}{B Q}: \frac{A P}{A Q}=\frac{m}{n}$; + +b) (5p) Aflați poziția punctului $M$ pe latura $[P N]$ astfel încât $C D$ să fie paralelă cu $N P$; apoi arătați că în acest caz patrulaterul $A B C D$ este trapez. + +4. Fie $A B C D$ un patrulater convex şi $O$ intersecţia diagonalelor sale. O dreaptă variabilă ce trece prin punctul $O$ intersectează laturile $(A B)$ şi $(C D)$ în punctele $M$ şi respectiv $N$. Să se arate că $\frac{M A}{M B} \cdot \frac{N D}{N C}=$ constant . + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +## 2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. + +## 3. Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +## CLASA a VII-a + +1. a) (4p) Arătaţi că $\sqrt{\frac{1 \cdot 2}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{5^{2}}}+\sqrt{\frac{3 \cdot 4}{7^{2}}}+\ldots . .+\sqrt{\frac{4028 \cdot 4029}{8057^{2}}} \leq 2014$. + +Prof. Sascău Gabriela + +b) (3p) Fie $x=\sqrt{\left[\frac{7}{6}+\frac{8}{12}+\frac{9}{18}+\ldots+\frac{506}{3000}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{500}\right)\right] \cdot 6}$. Arătaţi că $x \notin \mathbb{Q}$. + +Prof. Stratulat Ana + +Solutie: a) Folosind inegalitatea mediilor avem: $\sqrt{\frac{1 \cdot 2}{3^{2}}}=\frac{\sqrt{1 \cdot 2}}{3} \leq \frac{1+2}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2}, \sqrt{\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}} \leq \frac{1}{2}, \ldots, \sqrt{\frac{4028}{8057} \cdot \frac{4029}{8057}} \leq \frac{1}{2}$. Adunând inegalitățile obținem $\sqrt{\frac{1 \cdot 2}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{5^{2}}}+\sqrt{\frac{3 \cdot 4}{7^{2}}}+\ldots . .+\sqrt{\frac{4028 \cdot 4029}{8057^{2}}} \leq 4028 \cdot \frac{1}{2}=2014$. +b) $x=\sqrt{\frac{7}{1}+\frac{8}{2}+\frac{9}{3}+\ldots+\frac{506}{500}-\left(\frac{6}{2}+\frac{6}{3}+\frac{6}{4}+\ldots+\frac{6}{500}\right)}=\sqrt{7+\left(\frac{8}{2}-\frac{6}{2}\right)+\left(\frac{9}{3}-\frac{6}{3}\right)+\ldots+\left(\frac{506}{500}-\frac{6}{500}\right)}$ $x=\sqrt{7+\underbrace{1+1+\ldots+1}_{499}}=\sqrt{506}=\sqrt{2 \cdot 11 \cdot 23} \Rightarrow x \notin \mathbb{Q}$. + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e5f9ab9cb0a0012d6303g-2.jpg?height=542&width=1748&top_left_y=1094&top_left_x=157) + +2. a) (4p) Arătați că, dacă $\frac{a_{1}}{b_{1}}<\frac{a_{2}}{b_{2}}<\frac{a_{3}}{b_{3}}$, unde $b_{1}, b_{2}, b_{3}>0$, atunci $\frac{a_{1}}{b_{1}}<\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}}<\frac{a_{3}}{b_{3}}$. + +Prof. Şlincu Gabriela + +b) (3p) Câte numere de forma $\frac{\sqrt{\overline{a b a b}}}{\overline{a b}}$ verifică relaţia $2<\frac{\sqrt{a b a b}}{\overline{a b}}<3$ ? + +Soluție: a) Notăm: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=k ; \frac{a_{3}}{b_{3}}=h \Rightarrow k0$, rezultă: $k<\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}}0$, rezultă: $k<\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{b_{1}+b_{2}+b_{3}} ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +22 februarie 2014 + +CLASA a VI-a + +1. Comparaţi fracţiile $f_{1}=\frac{a+125^{725}}{a+625^{544}}$ şi $f_{2}=\frac{b+121^{1007}}{b+343^{671}}$, unde $a$ şi $b$ sunt numere naturale. +2. Fie $\mathrm{a}=\frac{7}{2 x+3 y}, \mathrm{~b}=\frac{2 x+3 y}{3 x+1}, \mathrm{c}=\frac{3 x+1}{7}, \mathrm{~d}=\frac{25}{(x+2)^{2}+(2 y+1)^{2}}$, unde $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbf{N}^{*}$. + +Să se arate că $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ sunt simultan naturale dacă şi numai dacă d este număr natural. + +3. Pe laturile ( $\mathrm{OX}$ şi ( $\mathrm{OY}$ ale unghiului ascuţit $\Varangle \mathrm{XOY}$ se consideră punctele $\mathrm{B}$, respectiv $\mathrm{D}$, astfel încât $(\mathrm{OB}) \equiv(\mathrm{OD})$. Fie $\mathrm{A} \in(\mathrm{OB})$ astfel încât $\mathrm{AB}$ este un sfert din $\mathrm{OB}$ şi $\mathrm{C} \in(\mathrm{OD})$ astfel încât $\mathrm{OC}$ reprezintă $75 \%$ din $\mathrm{OD}$. Dacă $\mathrm{BC} \cap \mathrm{AD}=\{\mathrm{E}\}$, arătaţi că: + +a) (3p) $(\mathrm{BC}) \equiv(\mathrm{AD})$; + +b) (2p) $\triangle \mathrm{BCD} \equiv \triangle \mathrm{DAB}$; + +c) (2p) semidreapta (OE este bisectoarea unghiului $\Varangle \mathrm{XOY}$. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 2 ore. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE CLASA a VI-a + +1. Comparaţi fracţiile $f_{1}=\frac{a+125^{725}}{a+625^{544}}$ ş $f_{2}=\frac{b+121^{1007}}{b+343^{671}}$, unde $a$ şi $b$ sunt numere naturale. + +Solutie: $f_{1}=\frac{a+125^{725}}{a+625^{544}}=\frac{a+\left(5^{3}\right)^{725}}{a+\left(5^{4}\right)^{544}}=\frac{a+5^{2175}}{a+5^{2176}}$ + +- deoarece $5^{2175}<5^{2176}$, obţinem că $a+5^{2175}7^{2013}$, obţinem că $b+11^{2014}>b+7^{2013}$, deci $f_{2}>1$. + +Din $f_{1}<1$ şi deci $f_{2}>1$ deducem că $f_{1}7^{2013}$, obţinem că $b+11^{2014}>b+7^{2013}$, deci $f_{2}>1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Finalizare: $f_{1} ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +22 februarie 2014 + +## CLASA a V-a + +1. i). (3p) Să se arate că oricare ar fi 5 numere prime distincte mai mari decât 5 , există cel puțin două a căror diferenţă este divizibilă cu 10. + +ii). Un număr natural de forma $\overline{a b c d}$ se numește deosebit dacă $5 \cdot \overline{a b}=\overline{c d}$. + +a) (2p) Câte numere deosebite există? + +b) (2p) Arătați că orice număr deosebit se divide cu 7 . + +2. Un apicultor dispune de o cantitate de miere exprimată printr-un număr natural de trei cifre, numere prime distincte, notat cu $\overline{a b c}$, astfel încât una din cifre reprezintă media aritmetică a celorlalte două. Ştiind că în prima zi vinde o cantitate în kg, egală cu suma cifrelor numărului $\overline{a b c}$, a doua zi vinde a treia parte din cantitatea rămasă, iar în următoarea zi restul de $240 \mathrm{~kg}$, să se afle cantitatea initi̦ială de miere. +3. Fie multimea $\mathrm{A}=\left\{2^{0}+2^{1} ; 2^{0}+2^{2} ; 2^{0}+2^{3} ; \ldots ; 2^{0}+2^{2013} ; 2^{1}+2^{2} ; 2^{1}+2^{3} ; \ldots ; 2^{1}+2^{2013} ; 2^{2}+2^{3} ;\right.$ $\left.2^{2}+2^{4} ; \ldots 2^{2}+2^{2013} ; \ldots ; 2^{2012}+2^{2013}\right\}$. + +a) (1p) Determinaţi mulţimea $B=\{x / x \in A, x$ impar $\}$. + +b) (3p) Să se determine cardinalul mulţimii A. + +c) (3p) Calculaţi suma elementelor mulţimii A. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 2 ore. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA + +## 22 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE + +Clasa a V-a + +1. i). (3p) Să se arate că oricare ar fi 5 numere prime distincte mai mari decât 5 , există cel puţin două a căror diferenţă este divizibilă cu 10. + +Prof. Sascău Gabriela + +ii). Un număr natural de forma $\overline{a b c d}$ se numește deosebit dacă $5 \cdot \overline{a b}=\overline{c d}$. + +a) (2p) Câte numere deosebite există? + +b) (2p) Arătați că orice număr deosebit se divide cu 7 . + +Prof. Andronic Aurica Mihaela + +## Solutie: + +i). Varianta $\mathrm{I}$ Dacă $p$ este număr prim, $p>5$, atunci $p$ poate fi de forma $5 \mathrm{k}+1,5 \mathrm{k}+2,5 \mathrm{k}+3,5 \mathrm{k}+4$, cu $\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}$. Dintre 5 numere prime distincte vor exista două care au aceeaşi formă, deci diferența lor va fi multiplu de 5. Cum $p$ este număr impar, avem că diferența a două numere impare este număr par. Deci diferența celor două numere va fi multiplu de 10 . + +Varianta II Dacă $p$ este număr prim, $p>5$ atunci ultima cifră a lui $\mathrm{p}, \mathrm{U}(\mathrm{p}) \in\{1,3,7,9\}$. Fiind cinci numere, + +conform principiului cutiei, două vor avea aceeași ultima cifră iar diferența lor va fi un număr cu ultima cifră 0 . Deci diferența celor două numere va fi multiplu de 10 . + +ii). a) Se observă că $50 \leq 5 \cdot \overline{a b} \leq 99$, de unde obținem $10 \leq \overline{a b} \leq 19 . \overline{a b}$ are 10 valori $\Rightarrow \overline{a b c d}$ ia 10 valori +b) $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=\overline{a b} \cdot 100+5 \cdot \overline{a b}=105 \cdot \overline{a b}=15 \cdot 7 \cdot \overline{a b}$, deci orice număr $\overline{a b c d}: 7$ + +## $\underline{\text { Barem }}$ + +| i) | | $1 p$ | +| :--- | :--- | :---: | +| | Dacă $p$ este număr prim, $p>5$ atunci ultima cifră a lui $\mathrm{p}, \mathrm{U}(\mathrm{p}) \in\{1,3,7,9\}$ | | +| | | | +| Două numere vor avea ultima cifră aceeași iar diferența lor va fi un număr cu ultima cifră 0.
Deci diferența celor două numere va fi multiplu de 10. | $2 p$ | | +| a) Arată că $5 \cdot 10 \leq 5 \cdot \overline{a b} \leq 99$ și $10 \leq \overline{a b} \leq 19$ | $1 p$ | | +| | | | +| $\overline{a b}$ are 10 valori. $\Rightarrow \overline{a b c d}$ ia 10 valori | $1 p$ | | + + +| b) $\overline{a b c d}=\overline{a b} \cdot 100+\overline{c d}=\overline{a b} \cdot 100+5 \cdot \overline{a b}$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | +| $\overline{a b c d}=105 \cdot \overline{a b}=15 \cdot 7 \cdot \overline{a b}: 7$ | $1 p$ | + +2. Un apicultor dispune de o cantitate de miere exprimată printr-un număr natural de trei cifre, numere prime distincte, notat cu $\overline{a b c}$, astfel încât una din cifre reprezintă media aritmetică a celorlalte două. Ştiind că în prima zi vinde o cantitate în kg, egală cu suma cifrelor numărului $\overline{a b c}$, a doua zi vinde a treia parte din cantitatea rămasă, iar în următoarea zi restul de $240 \mathrm{~kg}$, să se afle cantitatea initială de miere. + +Prof. Petrasciuc Veronica + +## Solutie + +I zi vinde: $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}) \mathrm{kg}$. Rămân:(100a+10b+c)-(a+b+c)=(99a+9b) kg + +II zi vinde: $(99 a+9 b): 3=(33 a+3 b) \mathrm{kg}$. Rămân: $(99 a+9 b)-(33 a+3 b)=(66 a+6 b) \mathrm{kg}$ + +III zi vinde restul de $240 \mathrm{~kg}$ adică $66 \mathrm{a}+6 \mathrm{~b}=240 \mathrm{~kg} \Rightarrow 11 \mathrm{a}+\mathrm{b}=40 \mathrm{~kg}$ și cum $\mathrm{b}$ este cifră $\Rightarrow 31 \leq 11 \mathrm{a} \leq 40 \Rightarrow \mathrm{a}=3$ + +și $33+\mathrm{b}=40$, adică $\mathrm{b}=7$ + +Cum una din cifrele numărului dat este medie aritmetică a celorlate două şi în acelaşi timp este şi număr prim, rezultă că $\mathrm{c}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}): 2=5$. + +Se exclud celelalte două cazuri întrucât: + +1)dacă $a=(b+c): 2$ rezultă că $3=(7+c): 2$,imposibil deoarece c este număr natural. + +2)dacă $b=(a+c): 2$ rezultă că $7=(3+c): 2$,adică $c=11$ care nu e cifră. + +( Se poate rezolva și prin metoda grafică, sau, din conditiiile problemei, a,b,c pot fi doar 3,5,7 și se analizează toate cazurile posibile.) + +Barem + +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_5b454192bc3191487278g-3.jpg?height=56&width=1239&top_left_y=1818&top_left_x=251) | $1 p$ | +| :---: | :---: | +| II zi vinde: $(99 a+9 b): 3=(33 a+3 b)$ kg. Rămân: $(99 a+9 b)-(33 a+3 b)=(66 a+6 b) \mathrm{kg}$ | $1 p$ | +| III zi vinde restul de $240 \mathrm{~kg}$ adică $66 \mathrm{a}+6 \mathrm{~b}=240 \mathrm{~kg} \Rightarrow 11 \mathrm{a}+\mathrm{b}=40 \mathrm{~kg}$ | $1 p$ | +| b este cifră $\Rightarrow 31 \leq 11 a \leq 40 \Rightarrow a=3$ și $33+b=40$, adică $b=7$ | $1 p$ | +| $\mathrm{c}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}): 2=5$. | $1 p$ | +| Dacă $a=(b+c): 2$ rezultă că:3=(7+c):2, imposibil deoarece c este număr natural.
Dacă $b=(a+c): 2$ rezultă că $7=(3+c): 2$, adică $c=11$ care nu e cifră. | $1 p$ | +| $\Rightarrow \overline{a b c}=375$ | $1 p$ | + +3. Fie mulțimea $\mathrm{A}=\left\{2^{0}+2^{1} ; 2^{0}+2^{2} ; 2^{0}+2^{3} ; \ldots ; 2^{0}+2^{2013} ; 2^{1}+2^{2} ; 2^{1}+2^{3} ; \ldots ; 2^{1}+2^{2013} ; 2^{2}+2^{3} ; 2^{2}+2^{4} ; \ldots\right.$ $\left.2^{2}+2^{2013} ; \ldots ; 2^{2012}+2^{2013}\right\}$. + +a) (1p) Determinaţi mulţimea $B=\{x / x \in A, x$ impar $\}$. + +b) (3p) Să se determine cardinalul mulţimii A. + +c) (3p) Calculaţi suma elementelor mulţimii A. + +Prof. Ispăsoiu Dorel + +## Solutie + +a) Elementele mulțimii B sunt: $2^{0}+2^{1} ; 2^{0}+2^{2} ; 2^{0}+2^{3} ; \ldots ; 2^{0}+2^{2013}$; + +b) Demonstrăm că oricare două elemente ale mulțimii A sunt distincte. Presupunem că există $2^{\mathrm{m}}+2^{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{p}}+2^{\mathrm{q}}$ si împărtim la cel mai mic dintre termeni. Se obține un membru par și unul impar și deci egalitatea este falsă. + +Numărul elementelor: $2^{0}+2^{1} ; 2^{0}+2^{2} ; 2^{0}+2^{3} ; \ldots ; 2^{0}+2^{2013}$ este 2013 + +Numărul elementelor : $2^{1}+2^{2} ; 2^{1}+2^{3} ; \ldots ; 2^{1}+2^{2013}$ este $2013-2+1=2012$ + +Numărul elementelor : $2^{2}+2^{3} ; 2^{2}+2^{4} ; \ldots 2^{2}+2^{2013}$ este $2013-3+1=2011$ $\qquad$ +Cardinalul mulțimii A este $2013+2012+2011+\ldots+3+2+1=2013 \cdot 2014: 2=2027091$ + +c) $\mathrm{S}=2013 \cdot 2^{0}+2013 \cdot 2^{1}+2013 \cdot 2^{2}+\ldots+2013 \cdot 2^{2013}=2013 \cdot\left(2^{2014}-1\right)$ + +## Barem + +| a) | $\mathrm{B}=\left\{2^{0}+2^{1} ; 2^{0}+2^{2} ; 2^{0}+2^{3} ; \ldots ; 2^{0}+2^{2013}\right\}$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| b) | Demonstrează că oricare două elemente ale mulțimii A sunt distincte | $1 p$ | +| | | $2 p$ | +| | Cardinalul mulțimii A este $2013+2012+2011+\ldots+3+2+1=2013 \cdot 2014: 2=2027091$ | | +| c) | | $1 p$ | +| | $\mathrm{~S}=2013 \cdot 2^{0}+2013 \cdot 2^{1}+2013 \cdot 2^{2}+\ldots+2013 \cdot 2^{2013}=2013 \cdot\left(2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots .+2^{2013}\right)$ | $2 p$ | +| | $\mathrm{S}=2013 \cdot\left(2^{2014}-1\right)$ | | + +Notă: Orice altă soluție corectă se va puncta corespunzător + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-85-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md b/Romania_Olympiad/md/ro-85-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d8758a6fd5d47ebf5e5a19027b1915c9445ed5eb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-85-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.md @@ -0,0 +1,104 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_536111c0f0d8ab2f67f4g-1.jpg?height=241&width=252&top_left_y=324&top_left_x=511) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +# Matematika tantárgyverseny + +## Országos szakasz, Szováta, 2016. április 20. + +## VI. OSZTÁLY + +1. feladat Egy természetes számot nevezzünk szuper számnak, ha többszöröse az osztói számának. (Például 12 szuper, mert 6 osztója van és 12 többszöröse 6-nak). + +a) Határozd meg a legnagyobb kétjegyű szuper számot! + +b) Bizonyítsd be, hogy egy szuper szám utolsó számjegye nem lehet 3 . + +2. feladat. Határozd meg azokat az $a$ és $b$ nullától különböző természetes számokat, amelyekre az $\frac{a+1}{b}$ és $\frac{b+2}{a}$ számok is természetes számok! +3. feladat. Az $A B C$ háromszög $A$-ban derékszögủ. Az $A C B$ szög szögfelezője az $A B$ oldalt a $D$ pontban metszi és a $B$ pontban a $B C$ egyenesre állított merőlegest az $E$ pontban metszi. Az $F$ pont az $E$ pont szimmetrikusa a $B$ pontra nézve és a $P$ pont a $D F$ és $B C$ egyenesek metszéspontja. Bizonyítsd be, hogy $E P \perp C F$. +4. feladat. Az $a$ és $b$ olyan nullától különböző természetes számok, amelyekre létezik $p$ prímszám úgy, hogy $[a, a+p]=[b, b+p]$. Bizonyítsd be, hogy $a=b$. + +Megjegyzés: $[x, y]$ az $x$ és $y$ természetes számok legkisebb közös többszörösét jelöli. + +Problema 1.6 Un număr natural se numeşte superb dacă este multiplul numărului divizorilor săi (spre exemplu 12 este superb deoarece are 6 divizori şi 12 este multiplu al lui 6 ). + +a) Determinaţi cel mai mare număr superb de două cifre. + +b) Demonstraţi că nu există numere superbe care să aibă ultima cifră 3 . + +Solutie a) $99=3^{2} \cdot 11$. 99 are 6 divizori şi $6 \nmid 99$. + +$98=2 \cdot 7^{2} .98$ are 6 divizori şi $6 \nmid 98$. + +$97=97.97$ are 2 divizori şi $2 \nmid 97$. + +$96=2^{5} \cdot 3$. 96 are 12 divizori şi $12 \mid 96$. + +Cel mai mare număr superb de două cifre este 96 . $.2 \mathrm{p}$ + +b) Fie $X$ un număr natural cu $u(X)=3(u(X)$ - ultima cifră a lui $X)$. + +Dacă $u(X)=3$, atunci $X$ este impar. + +Pe de altă parte $u(X)=3$ implică $X$ nu este pătrat perfect, iar un număr care nu este pătrat perfect are un număr par de divizori. + +Cum un număr impar nu poate fi multiplul unui număr par deducem că $X$ nu este superb. . . 1p + +Problema 2.6 Determinaţi numerele naturale nenule $a$ şi $b$ pentru care $\frac{a+1}{b}$ şi $\frac{b+2}{a}$ sunt simultan numere naturale. + +Soluţie $\frac{a+1}{b}$ număr natural nenul implică $b \mid a+1$, de unde $b \leq a+1$ şi de aici $b+2 \leq a+3$. + +Acum $\frac{b+2}{a} \leq \frac{a+3}{a}=1+\frac{3}{a} \leq 4$. Cum $\frac{b+2}{a}$ este număr natural nenul rezultă $\frac{b+2}{a} \in\{1,2,3,4\}$. $3 \mathrm{p}$ + +Dacă $\frac{b+2}{a}=1$, atunci din $b+2=a$ rezultă $b=a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ număr natural nenul implică $\frac{a+1}{a-2}=1+\frac{3}{a-2}$ număr natural nenul, de unde $a \in\{3,5\}$. Obţinem soluţiile $a=3, b=1$ şi $a=5, b=3$. + +Dacă $\frac{b+2}{a}=2$, atunci din $b+2=2 a$ rezultă $b=2 a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ este număr natural nenul, sau $\frac{2 a+2}{2 a-2}=1+\frac{4}{2 a-2}$ este număr natural par, de unde $a \in\{2,3\}$. Obţinem soluţia $a=3, b=4$; varianta $a=2, b=2$ nu verifică condiţiile iniţiale. + +Dacă $\frac{b+2}{a}=3$, atunci din $b+2=3 a$ rezultă $b=3 a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ este număr natural nenul, sau $\frac{3 a+3}{3 a-2}=1+\frac{5}{3 a-2}$ este număr natural, de unde $a \in\{1\}$. Obţinem soluţia $a=1, b=1$. + +Dacă $\frac{b+2}{a}=4$, atunci $b+2=4 a$ rezultă $b=4 a-2$. Atunci $\frac{a+1}{b}$ este număr natural nenul, sau $\frac{4 a+4}{3 a-2}=1+\frac{6}{4 a-2}$ este număr natural par, de unde $a \in\{1,2\}$. Obţinem soluţia $a=1, b=2$; varianta $a=2, b=6 \mathrm{nu}$ verifică condiţiile iniţiale. + +Problema 3.6. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$. Bisectoarea unghiului $A C B$ intersectează latura $A B$ în punctul $D$ şi perpendiculara în $B$ pe $B C$ în punctul $E$. Notăm cu $F$ simetricul lui $E$ faţă de $B$ şi cu $P$ intersecţia dreptelor $D F$ şi $B C$. Demonstraţi că $E P \perp C F$. + +## Solutie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_536111c0f0d8ab2f67f4g-3.jpg?height=639&width=725&top_left_y=343&top_left_x=494) + +În $\triangle B E C, m(\varangle C E B)=180^{\circ}-m(\varangle E B C)-m(\varangle E C B)=90^{\circ}-m(\varangle E C B)$ + +În $\triangle A D C, m(\varangle A D C)=180^{\circ}-m(\varangle D A C)-m(\varangle A C D)=90^{\circ}-m(\varangle A C D)$ + +Cum $m(\varangle A C D)=m(\varangle E C B)$, rezultă $\varangle A D C \equiv \varangle C E B$ (1) + +Dar $\varangle A D C \equiv \varangle E D B$. De aici şi din (1) rezultă $[B D] \equiv[B E]$. Cum $[B E] \equiv[B F]$ deducem că $[B D] \equiv[B E] \equiv[B F]$ şi atunci $\triangle D E F$ este dreptunghic în $D$. + +În $\triangle C E F, C B$ şi $F D$ înălţimi implică $P$ ortocentrul. În concluzie, $E P$ este înălţime, adică $E P \perp C F$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Problema 4.6 Fie $a, b$ numere naturale nenule pentru care există $p$ număr prim cu proprietatea că $[a, a+p]=[b, b+p]$. Arătaţi că $a=b$. + +Am notat $[x, y]$ cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale $x$ şi $y$. + +Soluţie Din $(x, y) \cdot[x, y]=x y$ deducem $[x y]=\frac{x y}{(x y)}$. Am notat $(x, y)$ cel mai mare divizor comun pentru $x$ şi $y$. Cu aceasta egalitatea din enunt devine $\frac{a(a+p)}{(a, a+p)}=\frac{b(b+p)}{(b, b+p)}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Notăm $d_{1}=(a, a+p) \in\{1, p\}$ şi $d_{2}=(b, b+p) \in\{1, p\}$. + +Dacă $d_{1}=d_{2}$ relaţia (1) conduce la $a(a+p)=b(b+p)$, de unde $a=b$. + +Presupunând $a \neq b$ putem avea $ab$, atunci $a+p>b+p$, de unde deducem $a(a+p)>b(b+p)$; contradicţie. $2 \mathrm{p}$ + +Dacă $d_{1}=1$ şi $d_{2}=p$ relaţia (1) devine $a(a+p)=\frac{b(b+p)}{p}$ sau $p a(a+p)=b(b+p)$. + +Din $d_{1}=1$ deducem că $p \nmid a$ şi $p \nmid a+p$, iar din $d_{2}=p$ deducem că $p \mid b$ sau $b=p x$, cu $x$ număr natural. + +$\mathrm{Cu}$ aceasta, relaţia (2) devine $p a(a+p)=p^{2} x(x+1)$ sau $a(a+p)=p x(x+1)$, de unde deducem că $p \mid a(a+p)$ şi cum $p$ este număr prim rezultă $p \mid a$; contradicţie. + +Aceasta arată că situaţia $d_{1}=1$ şi $d_{2}=p$ nu este posibilă. + +Analog se tratează cazul $d_{1}=p$ şi $d_{2}=1$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-850-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-850-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1b1225c6fa0f34ba395e50648240870fd6ae1761 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-850-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +SUCEAVA + +## 22 februarie 2014 + +## CLASA a IX-a + +1. Să se determine funcțiile $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ care satisfac relația $\frac{f^{2}(n)}{n+f(n)}+\frac{n}{f(n)}=\frac{1+f(n+1)}{2}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. +2. Se dă şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $a_{n}=\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{x^{n}+y^{n}}+\frac{y^{n+1}+z^{n+1}}{y^{n}+z^{n}}+\frac{z^{n+1}+x^{n+1}}{z^{n}+x^{n}}$, unde $x, y, z$ sunt numere reale strict pozitive. Demonstraţi că: $a_{n+1}+a_{n-1} \leq 2 a_{n}, \forall n \geq 2$. +3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un patrulater și punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ astfel incât $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=3 \overrightarrow{\mathrm{NC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}, \overrightarrow{\mathrm{DQ}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$. Să se arate că dreapta MP trece prin mijlocul segmentului [NQ]. +4. In dreptunghiul $\mathrm{ABCD}$ punctul $\mathrm{E}$ este mijlocul laturii $\mathrm{BC}$, iar punctele diferite $\mathrm{F}$ și $\mathrm{G}$ aparțin segmentului $[\mathrm{AB}]$, astfel că $\mathrm{AF}=\mathrm{FG}$. Dreptele $\mathrm{EF}$ și $\mathrm{CG}$ intersectează dreptele $\mathrm{AC}$, respectiv $A D$ în punctele $\mathrm{M}$ și respectiv $N$. Să se demonstreze că dreptele $\mathrm{MN}$ și $\mathrm{BD}$ sunt paralele. + +## Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. + +2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. +3. Timp de lucru 3 ore. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
SUCEAVA, 22 februarie 2014
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE-CLASA a IX-a + +1. Să se determine funcțiile $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ care satisfac relația $\frac{f^{2}(n)}{n+f(n)}+\frac{n}{f(n)}=\frac{1+f(n+1)}{2}$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +G.M. $9 / 2013$ + +Soluție. Notăm $f(1)=k \in \mathbb{N}^{*}$ și pentru $n=1$ relația din enunț devine $\frac{k^{2}}{k+1}+\frac{1}{k}=\frac{1+f(2)}{2} \Leftrightarrow$ $\frac{2 k^{3}+2 k+2}{k^{2}+k}=1+f(2) \Leftrightarrow 2 k-2+\frac{4 k+2}{k^{2}+k}=1+f(2) \Rightarrow k^{2}+k / 4 k+2 \Rightarrow k^{2}+k / 4 k^{2}+2 k$ și $k^{2}+k / 4 k^{2}+4 k$, de unde rezultă $k^{2}+k / 2 k$ și în mod necesar $k=1$. Deci $f(1)=1$. + +Presupunem inductiv că $f(n)=n$ și folosind relația din ipoteză obținem $f(n+1)=n+1$. + +În concluzie, singura funcție cu proprietatea dată este $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}, f(n)=n, \forall n \geq 1$. + +Barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-2.jpg?height=111&width=1679&top_left_y=1007&top_left_x=226) + +2. Se dă şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $a_{n}=\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{x^{n}+y^{n}}+\frac{y^{n+1}+z^{n+1}}{y^{n}+z^{n}}+\frac{z^{n+1}+x^{n+1}}{z^{n}+x^{n}}$, unde $x, y, z$ sunt numere reale strict pozitive. Demonstraţi că: $a_{n+1}+a_{n-1} \leq 2 a_{n}, \forall n \geq 2$. + +Ion Bursuc, Suceava + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-2.jpg?height=112&width=1331&top_left_y=1326&top_left_x=228) + +Fie $t=\frac{x}{y}$. Inegalitatea de demonstrat devine: + +$$ +\frac{t^{n+2}+1}{t^{n+1}+1}+\frac{t^{n}+1}{t^{n-1}+1} \leq \frac{2\left(t^{n+1}+1\right)}{t^{n}+1} \Leftrightarrow \frac{t^{n+2}+1}{t^{n+1}+1}-\frac{\left(t^{n+1}+1\right)}{t^{n}+1} \leq \frac{\left(t^{n+1}+1\right)}{t^{n}+1}-\frac{t^{n}+1}{t^{n-1}+1} +$$ + +Aducând la același numitor și efectuând calculele obținem: + +$$ +\frac{(t-1)^{2}}{t^{n}+1}\left(\frac{t^{n-1}}{t^{n-1}+1}-\frac{t^{n}}{t^{n+1}+1}\right) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^{n-1}(t-1)^{2}}{\left(t^{n-1}+1\right)\left(t^{n}+1\right)\left(t^{n+1}+1\right)} \cdot\left(t^{n+1}+1-t^{n}-t\right) \geq 0 \Leftrightarrow +$$ + +$\frac{t^{n-1}(t-1)^{2}}{\left(t^{n-1}+1\right)\left(t^{n}+1\right)\left(t^{n+1}+1\right)} \cdot\left(t^{n}-1\right)(t-1) \geq 0$, inegalitate adevărată ținând cont de faptul că expresiile $t^{n}-1$ și $t-1$ au acelaşi semn, pentru orice $n \geq 2, t>0$. + +În mod analog obținem inegalitățile: + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{y^{n+2}+z^{n+2}}{y^{n+1}+z^{n+1}}+\frac{y^{n}+z^{n}}{y^{n-1}+z^{n-1}} \leq \frac{2\left(y^{n+1}+z^{n+1}\right)}{y^{n}+z^{n}} \\ +& \frac{x^{n+2}+z^{n+2}}{x^{n+1}+z^{n+1}}+\frac{x^{n}+z^{n}}{x^{n-1}+z^{n-1}} \leq \frac{2\left(x^{n+1}+z^{n+1}\right)}{x^{n}+z^{n}} +\end{aligned} +$$ + +| Demonstrează inegalitatea | $\frac{x^{n+2}+y^{n+2}}{x^{n+1}+y^{n+1}}+\frac{x^{n}+y^{n}}{x^{n-1}+y^{n-1}} \leq \frac{2\left(x^{n+1}+y^{n+1}\right)}{x^{n}+y^{n}}, \forall n \geq 2$ | $6 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| Finalizare............................... | $\ldots \ldots .$. | $1 \mathrm{p}$ | + +Adunând inegalităţile (1), (2) şi (3) obţinem inegalitatea din enunţ. Egalitatea are loc când numerele $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ sunt egale. + +## Barem. + +3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un patrulater și punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ astfel încât $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=3 \overrightarrow{\mathrm{NC}}, \overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}, \overrightarrow{\mathrm{DQ}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$. Să se arate că dreapta MP trece prin mijlocul segmentului [NQ]. + +Solutie. a) Din relațiile vectoriale deducem că punctele $\mathrm{M}$ și $\mathrm{P}$ sunt mijloacele segmentelor $[\mathrm{AB}]$, respectiv $[\mathrm{CD}]$, iar $\overrightarrow{B N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A Q}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$. + +Considerăm S mijlocul segmentului $[\mathrm{NQ}]$ și avem $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M Q}=2 \overrightarrow{M S}$ + +$\operatorname{Dar} \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M Q}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{A Q}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D})$ + +Mai putem scrie: $2 \overrightarrow{M P}=(\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C P})+(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D P})=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}$ + +Din relațiile (1), (2) și (3) deducem $\overrightarrow{M S} \| \overrightarrow{M P}$, deci punctul S aparține segmentului [MP]. + +Barem. + +| a) Figura | $1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M Q}=2 \overrightarrow{M S}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Deduce relatia $(2)$. | $2 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-3.jpg?height=53&width=1424&top_left_y=1023&top_left_x=239) | $2 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-3.jpg?height=45&width=1424&top_left_y=1075&top_left_x=239) | $1 \mathrm{p}$ | + +4. În dreptunghiul $A B C D$ punctul $E$ este mijlocul laturii $B C$, iar punctele diferite $F$ și $G$ aparțin segmentului $[\mathrm{AB}]$, astfel că $\mathrm{AF}=\mathrm{FG}$. Dreptele $\mathrm{EF}$ și $\mathrm{CG}$ intersectează dreptele $\mathrm{AC}$, respectiv AD în punctele M și respectiv N. Să se demonstreze că dreptele MN și BD sunt paralele. + +Solutie. Fie K mijlocul segmentului $[\mathrm{CD}]$ și $\mathrm{O}$ centrul dreptunghiului. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-3.jpg?height=315&width=542&top_left_y=1373&top_left_x=243) + +Din $\triangle N A G \sim \triangle N D C$ rezultă $\frac{A G}{D C}=\frac{N A}{N D} \Leftrightarrow \frac{A F}{D K}=\frac{N A}{N D}$. Deducem că $\triangle N A F \sim \triangle N D K$ și atunci punctele $\mathrm{N}, \mathrm{F}, \mathrm{K}$ sunt coliniare și $\frac{N F}{N K}=\frac{A G}{C D} \quad(1)$ + +$O E \| A B \Rightarrow \triangle M F A \sim \triangle M E O \Rightarrow \frac{M F}{M E}=\frac{A F}{O E} \Rightarrow \frac{M F}{M E}=\frac{A G}{C D}$ + +Din relațiile (1) și (2) rezultă $\frac{N F}{N K}=\frac{M F}{M E} \Leftrightarrow \frac{N F}{F K}=\frac{M F}{F E}$, de unde $\triangle M F N \sim \triangle E F K$, deci $K E \| M N$ (3) + +Cum [KE] este linie mijlocie în triunghiul $\mathrm{CDB}$ avem $K E \| B D$ (4) + +Din relațiile (3) și (4) obținem concluzia. + +Barem. + +| Demonstrează că punctele N, F, K sunt coliniare .............................................. | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-3.jpg?height=104&width=1189&top_left_y=2105&top_left_x=239) | $1 p$ | +| Determină relația $(2)$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-3.jpg?height=56&width=1189&top_left_y=2255&top_left_x=239) | $2 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ec0f15256ae1aef0cfb5g-3.jpg?height=56&width=1189&top_left_y=2307&top_left_x=239) | $1 \mathrm{p}$ | + +Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-851-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-851-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c1c7eba7ad48f5c9599dc5e114142889c3a18a1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-851-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÃ ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +## CLASA a VIII-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL I }(7 p)}$ + +(3p) a) Se consideră numărul $A=n^{2}-n-12, n \in N$. Să se arate că, dacă A este divizibil cu 7, atunci A este divizibil cu 98. + +(4p) b) Să se arate că numărul $B=n^{2}+10 n-3$ nu este divizibil cu 196, pentru orice valoare naturală a numărului $\mathrm{n}$. + +## SUBIECTUL II (7p) + +(1p) a) Stabiliţi dacă $\frac{1}{\sqrt{2014}}<\frac{2}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}<\frac{1}{\sqrt{2013}}$. + +(3p) b) Arătaţi că $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2 \sqrt{n+1}-2 \sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}$, pentru orice valoare naturală nenulă a numărului $\mathrm{n}$. + +(3p) c) Demonstraţi că $\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{120}}>\frac{1}{\sqrt{145}}+\frac{1}{\sqrt{146}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{169}}$. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL III ( } 7 p \text { ) }}$ + +Se consideră cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Punctele $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ şi $\mathrm{R}$ sunt proiecţile punctului A pe dreptele $A^{\prime} D, A^{\prime} B$ şi respectiv $A^{\prime} C$. + +(4p) a) Să se arate că dreapta $A^{\prime} C$ este perpendiculară pe planul $(P Q R)$; + +(3p) b) Să se calculeze aria triunghiului $\mathrm{PQR}$, pentru $A B=a \quad \mathrm{~cm}, a>0$. + +## $\underline{\text { SUBIECTUL IV ( } 7 \mathbf{p} \text { ) }}$ + +Fie A, B, C şi D patru puncte necoplanare aşa încât $A B=6 \mathrm{~cm}, A C=A D=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ şi $m \angle(D A B)=m \angle(B A C)=m \angle(C A D)=90^{\circ}$. + +(2p) a) Să se calculeze aria triunghiului $B C D$; + +(5p) b) Să se afle lungimea segmentului $\mathrm{AE}$, unde $\mathrm{E}$ este proiecţia punctului A pe planul (BCD). + +## Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Timp de lucru: 3 ore + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICÃ
ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +## CLASA a VIII-a + +## Bareme de corectare + +## SUBIECTUL I + +(3p) a) Se consideră numărul $A=n^{2}-n-12, n \in \mathbf{N}$. Să se arate că, dacă A este divizibil cu 7, atunci $A$ este divizibil cu 98 . + +(4p) b) Să se arate că numărul $B=n^{2}+10 n-3$ nu este divizibil cu 196 , pentru orice valoare naturală $\mathrm{a}$ numărului $n$. + +Soluţie + +a) $A=(n+3)(n-4),(1 p) ; 7 /(n+3) \Leftrightarrow 7 /(n-4)$ şi $2 /(n+3)(n-4),(\forall) n \in N$ (1p); finalizare (1p). +b) $B=(n+5)^{2}-28$, (1p); Presupunem 196/ $B \Rightarrow B=196 k, k \in N$. Deci + +$(n+5)^{2}-28=196 k \Leftrightarrow(n+5)^{2}=28(7 k+1),(1 p) ;$ + +$7 /(n+5)$ şi avem $(7 p)^{2}=28(7 k+1) \Leftrightarrow 7 p^{2}=4(7 k+1), p \in N$ (1p). Finalizare (1p) + +## SUBIECTUL II + +(1p) a) Stabiliţi dacă $\frac{1}{\sqrt{2014}}<\frac{2}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}<\frac{1}{\sqrt{2013}}$. + +(3p) b) Arătaţi că $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2 \sqrt{n+1}-2 \sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}$, pentru orice valoare naturală nenulă a numărului n. + +(3p) c) Demonstraţi că $\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{120}}>\frac{1}{\sqrt{145}}+\frac{1}{\sqrt{146}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{169}}$. + +Soluţie + +a) Avem + +$\frac{2}{2 \sqrt{2014}}<\frac{2}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}<\frac{2}{2 \sqrt{2013}} \Leftrightarrow \sqrt{2014}+\sqrt{2014}>\sqrt{2014}+\sqrt{2013}>\sqrt{2013}+\sqrt{2013}$.(1p) + +b) Avem $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$ (1p); $\frac{2}{2 \sqrt{n+1}}<\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{2 \sqrt{n}}$ (1p) $\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>\sqrt{n}+\sqrt{n}$, finalizare (1p) + +c) Fie $x=\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{120}}>2(\sqrt{101}-\sqrt{100})+2(\sqrt{102}-\sqrt{101})+\ldots+2(\sqrt{121}-\sqrt{120})=2$, (1p) şi + +$$ +y=\frac{1}{\sqrt{145}}+\frac{1}{\sqrt{146}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{169}}<2(\sqrt{145}-\sqrt{144})+2(\sqrt{146}-\sqrt{145})+\ldots+2(\sqrt{169}-\sqrt{168})=2 +$$ + +Finalizare (1p) + +## SUBIECTUL III + +Se consideră cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Punctele $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ şi $\mathrm{R}$ sunt proiecţiile punctului $\mathrm{A}$ pe dreptele $A^{\prime} D, A^{\prime} B$ şi respectiv $A^{\prime} C$. + +(4p) a) Să se arate că dreapta $A^{\prime} C$ este perpendiculară pe planul $(P Q R)$; + +(3p) b) Să se calculeze aria triunghiului $\mathrm{PQR}$, pentru $A B=a \quad \mathrm{~cm}, a>0$. + +Soluţie + +a) $A P \perp A^{\prime} D, A P \perp D C \Rightarrow A P \perp\left(A^{\prime} D C\right)$ (1p) + +$$ +A P \perp A^{\prime} C, \quad A R \perp A^{\prime} C \Rightarrow A^{\prime} C \perp(A P R) \Rightarrow A^{\prime} C \perp P R \text { (1p) } +$$ + +Analog $A^{\prime} C \perp(A R Q) \Rightarrow A^{\prime} C \perp Q R$ sau $P Q / / B D$ şi $B D \perp A^{\prime} C \Rightarrow P Q \perp A^{\prime} C \quad$ (1p) + +Finalizare ( 1 p) +b) $P Q=\frac{a \sqrt{2}}{2},\left(\triangle A^{\prime} B D\right)(1 p)$ +$R Q=\frac{a \sqrt{6}}{6},\left(\Delta A^{\prime} B C\right) ; \quad R P=\frac{a \sqrt{6}}{6},\left(\Delta A^{\prime} D C\right)(1 \mathrm{p})$ + +$A_{\triangle P Q R}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{24}(1 \mathrm{p})$ + +## SUBIECTUL I V + +Fie $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ şi $\mathrm{D}$ patru puncte necoplanare aşa încât $A B=6 \mathrm{~cm}, A C=A D=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ şi $m \angle(D A B)=m \angle(B A C)=m \angle(C A D)=90^{\circ}$. + +(2p) a) Să se calculeze aria triunghiului $B C D$; + +(5p) b) Să se afle lungimea segmentului $A E$, unde $E$ este proiecţia punctului $A$ pe planul $(B C D)$. + +Soluţ̧ie +a) $B C=B D=6 \sqrt{3}, C D=12$ (1p) + +$$ +A_{\triangle B C D}=36 \sqrt{2} \quad(1 p) +$$ + +b) Demonstrează că punctul E este ortocentrul triunghiului BCD. (2p) + +Fie $B M \perp C D, \quad D N \perp B C, M \in C D, N \in B C$, avem: + +$$ +B M=6 \sqrt{2}, \quad D N=4 \sqrt{6}, \quad B N=2 \sqrt{3} \quad(1 \mathrm{p}) +$$ + +$\triangle B N E \sim \triangle B M C, B E=3 \sqrt{2}$ (1p). Finalizare $A E=3 \sqrt{2}, \quad(1 \mathrm{p})$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-852-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-852-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..07f2a49d29da2efe9c03fe3426fe1151746d9298 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-852-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,169 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÃ
ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +## CLASA a VII-a + +## Subiectul I + +Se consideră numerele reale: + +$$ +\begin{aligned} +& x=\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2014}} \\ +& y=2+2^{2}+2^{3}+\ldots .+2^{2014} +\end{aligned} +$$ + +a) Să se arate că $\quad x=(2+\sqrt{2})\left(2^{1007}-1\right)$ + +b) Să se arate că numărul $n=2\left(\frac{y}{x} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}-1\right)$ este pătrat perfect. + +## Subiectul II + +Demonstraţi că nu există $x, y, z \in Z$ astfel încât + +$$ +x y(x-y)+y z(y-z)+z x(z-x)=-1 +$$ + +## Subiectul III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{D}$ este mijlocul segmentului (AC) iar (CE este bisectoarea interioară a unghiului $\square B C A, E \in(A B)$. Dacă $B D \cap C E=\{P\}$, să se arate că + +$$ +\frac{P C}{P E}-2 \cdot \frac{P D}{P B}=1 +$$ + +## Subiectul IV + +Se consideră pătratul $\mathrm{ABCD}$ în care punctele $\mathrm{G}$ şi $\mathrm{H}$ sunt mijloacele laturilor $\mathrm{DC}$ şi respectiv $\mathrm{BC}$. Dreptele $\mathrm{AG}$ şi $\mathrm{AH}$ intersectează diagonala $\mathrm{BD}$ în punctele $\mathrm{E}$ respectiv $\mathrm{F}$. + +a) Arătaţi că patrulaterul EFHG este trapez isoscel. + +b) Determinaţi raportul dintre aria trapezului EFHG şi aria pătratului $\mathrm{ABCD}$. + +## Nota: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timpul efectiv de lucru este 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICÃ
ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +## CLASA a VII-a + +## Bareme de corectare + +## Subiectul I + +Se consideră numerele reale: + +$$ +\begin{aligned} +& x=\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2014}} \\ +& y=2+2^{2}+2^{3}+\ldots .+2^{2014} +\end{aligned} +$$ + +c) Să se arate că $\quad x=(2+\sqrt{2})\left(2^{1007}-1\right)$ + +d) Să se arate că numărul $n=2\left(\frac{y}{x} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}-1\right)$ este pătrat perfect. + +## Rezolvare + +a) $\quad x=\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2014}}$ + +$\sqrt{2} x=\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\ldots .+\sqrt{2^{2014}}+\sqrt{2^{2015}}$ + +$(\sqrt{2}-1) x=\sqrt{2^{2015}}-\sqrt{2} \Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\left(\sqrt{2^{2014}}-1\right) \Rightarrow x=(2+\sqrt{2})\left(2^{1007}-1\right)$ +b) $y=2\left(2^{2014}-1\right)$ + +$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}\left(2^{1007}+1\right)}{\sqrt{2}+1} \Rightarrow n=2\left(2^{1007}+1-1\right) \Rightarrow n=\left(2^{504}\right)^{2}$ + +## Subiectul II + +Demonstraţi că nu există $x, y, z \in Z$ astfel încât + +$$ +x y(x-y)+y z(y-z)+z x(z-x)=-1 +$$ + +## Rezolvare + +Pentru orice discutie bazata pe paritatea numerelor. $1 p$ + +Caz I : daca x, y si z au aceeasi paritate atunci x-y, y-z, z-x sunt pare si deci suma este numar par . Contradictie!. + +Caz II: daca doua dintre numerele $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ sunt pare atunci toti cei trei termeni ai sumei contin cel putin un factor par si deci suma este numar par. Contradictie!. $.2 p$ + +Caz III: daca un singur numar este par atunci celelalte doua sunt impare si diferenta lor este para deci toti termenii sumei sunt pari si intreaga suma este para. Contradictie! $.2 p$ + +## Subiectul III + +În triunghiul $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{D}$ este mijlocul segmentului (AC) iar (CE este bisectoarea interioară a unghiului $\square B C A, E \in(A B)$. Dacă $B D \cap C E=\{P\}$, să se arate că + +$$ +\frac{P C}{P E}-2 \cdot \frac{P D}{P B}=1 +$$ + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fd661b6cfab779cb1e90g-3.jpg?height=360&width=502&top_left_y=1202&top_left_x=363) + +$$ +\square B C D \stackrel{\text { teorema.bisectarere }}{\Rightarrow} \frac{P D}{P B}=\frac{C D}{C B} \Rightarrow 2 \cdot \frac{P D}{P B}=2 \cdot \frac{C D}{C B}=\frac{A C}{B C} \Rightarrow 1+2 \cdot \frac{P D}{P B}=1+\frac{A C}{B C} +$$ + +Construim $E F \square B D, F \in A C$ + +$$ +\begin{aligned} +& \square C E F, E F \square P D \stackrel{\text { teorema.Thales }}{\Rightarrow} \frac{P C}{P E}=\frac{D C}{D F} \\ +& A D=D C \Rightarrow \frac{P C}{P E}=\frac{A D}{D F} \\ +& \square A B D \stackrel{\text { t.Thales }}{\Rightarrow} \frac{A D}{D F}=\frac{A B}{E B} \\ +& 1 p \\ +& \square A B C \stackrel{\text { t.bisectoarei }}{\Rightarrow} \frac{A E}{E B}=\frac{A C}{B C} \Rightarrow \frac{A E+E B}{E B}=\frac{A C+B C}{B C} \Rightarrow \frac{A B}{E B}=\frac{A C}{B C}+1 +\end{aligned} +$$ + +$2 p$ + +## Subiectul IV + +Se consideră pătratul $\mathrm{ABCD}$ în care punctele $\mathrm{G}$ și $\mathrm{H}$ sunt mijloacele laturilor $\mathrm{DC}$ şi respectiv $\mathrm{BC}$. Dreptele $\mathrm{AG}$ şi $\mathrm{AH}$ intersectează diagonala $\mathrm{BD}$ în punctele $\mathrm{E}$ respectiv $\mathrm{F}$. + +c) Arătaţi că patrulaterul EFHG este trapez isoscel. + +d) Determinaţi raportul dintre aria trapezului EFHG şi aria pătratului ABCD. + +## Rezolvare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fd661b6cfab779cb1e90g-4.jpg?height=485&width=480&top_left_y=917&top_left_x=385) +a) $G H$ linie mijlocie in $\square B C D \Rightarrow G H \square D B \Rightarrow G H \square E F$ + +$\square A H B \equiv \square A G D \Rightarrow A H=A G \Rightarrow \square A H G$ este isoscel $\Rightarrow \square A H G \equiv \square A G H$ $1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow E F H G$ trapez isoscel + +b) Fie + +$$ +A C \cap B D=\{O\} +$$ + +$O C \cap G H=\{P\}$ + +Notez lungimea segmentului OC cu $\boldsymbol{a}$ + +$C O \perp B D, G H \square B D \Rightarrow C O \perp G H \Rightarrow \mathrm{OP}$ este inaltimea trapezului + +$G H$ linie mijlocie in $\square B C D \Rightarrow P$ este mijlocul segmentului $\mathrm{OC} \Rightarrow \mathrm{OP}=\frac{a}{2}$ + +$G H=\frac{D B}{2} \Rightarrow G H=a$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_fd661b6cfab779cb1e90g-4.jpg?height=112&width=1148&top_left_y=2160&top_left_x=311) + +$$ +\begin{aligned} +& A_{E F H G}=\frac{\left(a+\frac{2 a}{3}\right) \frac{a}{2}}{2} \Rightarrow A_{E F H G}=\frac{5 a^{2}}{12}, \quad A_{A B C D}=4 \cdot A_{A O B}=4 \cdot \frac{a^{2}}{2}=2 a^{2} \\ +& \frac{A_{E F H G}}{A_{A B C D}}=\frac{5}{24} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-853-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-853-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c11112ef2918b3a7345655fd4a1ef45aeab60ecf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-853-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,117 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÃ ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +## CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL I (7p) + +Să se determine numerele naturale nenule a şi b cu proprietăţile: $a+b=2014$ şi $[a, b]=(a, b) \cdot 682$, unde [a,b] este cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b, iar ( $a, b$ ) este cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b. + +## SUBIECTUL II (7p) + +Numerele naturale a,b,m verifică relaţia $2 a+6 b-5 m=0$. Arătaţi că $a^{2}+b^{2}$ se divide $c u 5$. + +G.M. nr. 9/2013 + +## SUBIECTUL III (7p) + +Fie $\mathrm{A}$ şi $\mathrm{B}$ două puncte în plan astfel încât $\mathrm{AB}=1 \mathrm{~m}, \mathrm{M}_{1}$ este mijlocul segmentului $[\mathrm{AB}], \mathrm{M}_{2}$ este mijlocul segmentului [AM $M_{1}$ ], $M_{3}$ este mijlocul segmentului $\left[A M_{2}\right.$ ] şi aşa mai departe, $M_{n}$ este mijlocul segmentului $\left[A M_{n-1}\right]$ pentru orice număr natural nenul $n$. + +a) Calculaţi lungimea segmentului $\left[\mathbf{M}_{5} \mathbf{M}_{4}\right]$. + +b) Determinaţi numărul $\mathbf{n}$ cel mai mic pentru care lungimea segmentului $\left[A M_{n}\right]$ să fie mai mică de $1 \mathrm{~mm}$. + +## SUBIECTUL IV (7p) + +Se dau punctele coliniare $A, O, B$, în această ordine, şi punctele $C$ şi $D$ de o parte şi alta a dreptei $\mathrm{AB}$, astfel încât $m(\overrightarrow{C O D})=90^{\circ}$ şi $m(\overrightarrow{A O C})=4 m(\overrightarrow{A O D})$. Dacă $[O M$ este bisectoarea unghiului $\overparen{B O C}$ şi [ON este bisectoarea unghiului $\overparen{B O D}$, se cere: + +a) Determinaţi măsura unghiului $\widetilde{D O M}$; + +b) Determinaţi măsura unghiului $\widehat{M O N}$. + +Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Timp de lucru: 2 ore + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICÃ
ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +## CLASA a VI-a + +## Bareme de corectare + +## Subiectul I + +Notăm $d=(a, b)$; atunci există numerele naturale nenule $p$ şi $q$ astfel încât $a=p d, b=q d$ şi $(p, q)=1$. + +Se obţine $[a, b]=$ pqd şi proprietăţile din ipoteză devin: + +$p d+q d=2014$ şi $p q d=682 d \Rightarrow p q=682$ şi $(p+q)$ divide $2014,2014=2 \cdot 19 \cdot 53 . \quad 1 p$ + +$\operatorname{Dar} 682=2 \cdot 11 \cdot 31=\mathrm{pq},(\mathrm{p}, \mathrm{q})=1$. + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $\mathrm{p}=2 \Rightarrow \mathrm{q}=341 \Rightarrow \mathrm{p}+\mathrm{q}=343=7^{3}$, nu divide 2014 . + +Dacă $\mathrm{p}=11 \Rightarrow \mathrm{q}=62 \Rightarrow \mathrm{p}+\mathrm{q}=73$, nu divide 2014 . + +Dacă $p=31 \Rightarrow q=22 \Rightarrow p+q=53$, care divide 2014 . + +Cum celelalte cazuri posibile revin tot la acestea, schimbând a cu b, singura situaţie convenabilă este $p=31, q=22$, de unde $d=2014:(p+q)=2014: 53=38$. + +Se obţine $a=31 \cdot 38=1178$ şi $b=22 \cdot 38=836$. + +## Subiectul II + +$2 a+6 b-5 m=0 \Leftrightarrow 2 a+b=5(m-b)$ se divide cu 5 + +$\Rightarrow 2 \mathrm{a}(2 \mathrm{a}+\mathrm{b})=4 \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ab}$ se divide cu 5 + +$b(2 a+b)=2 a b+b^{2}$ se divide cu $5 \quad \Rightarrow\left(4 a^{2}+2 a b\right)-\left(2 a b+b^{2}\right)=4 a^{2}-b^{2}$ se divide cu 5 ; + +cum $5 b^{2}$ se divide cu $5 \Rightarrow 4 a^{2}-b^{2}+5 b^{2}=4\left(a^{2}+b^{2}\right)$ se divide cu 5 . + +$5 p$ + +$\operatorname{Dar}(4,5)=1$, de unde $a^{2}+b^{2}$ se divide cu 5 . + +## Subiectul III + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3c25989a4f125ee3747ag-3.jpg?height=143&width=1941&top_left_y=471&top_left_x=66) +a) $A B=1 \mathrm{~m}=1000 \mathrm{~mm}$ + +$A M_{1}=A B: 2=500 \mathrm{~mm}$ + +$A M_{2}=A M_{1}: 2=A B: 2^{2}=250 \mathrm{~mm}, A M_{3}=A M_{2}: 2=A B: 2^{3}=125 \mathrm{~mm}$ + +$A M_{4}=A M_{3}: 2=A B: 2^{4}=62,5 \mathrm{~mm}, A M_{5}=A M_{4}: 2=A B: 2^{5}=31,25 \mathrm{~mm}$ + +$\mathrm{M}_{5} \mathrm{M}_{4}=A M_{5}=31,25 \mathrm{~mm}$ + +$2 p$ + +b) Se observă că $A M_{n}=A B: 2^{n}$ $2 p$ + +$\Rightarrow A M_{n}<1 \mathrm{~mm} \Leftrightarrow 2^{n}>A B, A B=1000 \mathrm{~mm}$ $1 p$ + +$2^{10}=1024$ + +$2^{9}=512 \quad \Rightarrow n=10$ este cea mai mică valoare. + +## Subiectul IV + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3c25989a4f125ee3747ag-3.jpg?height=540&width=884&top_left_y=1392&top_left_x=172) + +$$ +\begin{aligned} +& m(\widetilde{A O C})=4 m(\widehat{A O D}) \\ +& m(\widetilde{C O D})=90^{\circ} \quad \Rightarrow m(\widetilde{A O D})=90^{\circ}: 5=18^{\circ}, m(\widetilde{A O C})=4 m(\widetilde{A O D})=72^{\circ} \quad 3 \mathrm{p} \\ +& m(\widetilde{B O C})=180^{\circ}-m(\widetilde{A O C})=108^{\circ} \Rightarrow m(\widetilde{C O M})=54^{\circ} \Rightarrow m(\widetilde{D O M})=90^{\circ}+54^{\circ}=144^{\circ} +\end{aligned} +$$ + +$$ +m(\widetilde{B O D})=180^{\circ}-m(\widetilde{A O D})=162^{\circ} \Rightarrow m(\widetilde{B O N})=81^{\circ} \Rightarrow m(\widetilde{M O N})=54^{\circ}+81^{\circ}=135^{\circ} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-854-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-854-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..df23f3e917cf03c9d16f3995d7daf97680918f41 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-854-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,148 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÃ ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +CLASA A V-A + +## Subiectul I (7p) + +a). Aflati numerele naturale a si $b$ astfel incat $(a+b)(a-b-1)=2014$. + +b). Exista a si b numere naturale astfel incat $\left(a^{2}+b^{2}+a+b\right)^{2}+\left(a^{2}+b^{2}-a-b\right)^{2}=2014$ ? + +Argumentati. + +## $\underline{\text { Subiectul II (7p) }}$ + +a). Sa se scrie $a=10^{2014}$ ca suma de doua patrate perfecte. + +b). Sa se scrie $b=6^{2015}$ ca suma de trei cuburi perfecte. + +## Subiectul III (7p) + +Fie $M=\{2014,2015,2016, \ldots 2113\}$. + +a). Sa se arate ca oricum am alege 51 numere din multimea $M$, exista doua a caror suma este un numar prim. + +b). Sa se arate ca exista doua multimi $X$ si $Y$ disjuncte cu proprietatea ca + +$\mathrm{X} \cup \mathrm{Y}=\mathbf{M}$ si suma elementelor multimii $\mathrm{X}$ este egala cu suma elementelor multimii $Y$. + +c). Sa se arate ca nu exista doua multimi $X$ si $Y$ disjuncte cu proprietatea ca + +$\mathrm{X} \cup \mathrm{Y}=\mathrm{M}$ si produsul elementelor multimii $\mathrm{X}$ este egal cu produsul elementelor multimii $Y$. + +## Subiectul IV (7p) + +Se considera 100 puncte pe un cerc. In fiecare punct se inscrie aleator cate un numar natural de la 1 la 100. Este posibil ca suma oricaror patru numere inscrise in patru puncte consecutive sa fie mai mica decat 203 ? + +(GM. nr.5-2011) + +Notă: + +- Toate subiectele sunt obligatorii +- Timp de lucru: 2 ore + + +## OLIMPIADA DE MATEMATICÃ
ETAPA LOCALÃ
22 februarie 2014 + +Clasa a V-a + +Bareme de corectare + +## Subiectul I + +a). Aflati numerele naturale a si b astfel incat $(a+b)(a-b-1)=2014$. + +b). Exista a si $b$ numere naturale astfel incat $\left(a^{2}+b^{2}+a+b\right)^{2}+\left(a^{2}+b^{2}-a-b\right)^{2}=2014$ ? + +## Argumentati. + +Barem: + +a). $2014=2 \cdot 19 \cdot 53, \quad \mathrm{D}_{2014}=\{1,2,19,38,53,106,1007,2014\}$ $.2 \mathrm{p}$ + +$a+b>a-b-1$, rezulta ca avem urmatoarele patru cazuri: + +i). $a+b=2014$ si $a-b-1=1$ cu solutia $a=1008, b=1006$. + +ii). $a+b=1007$ si $a-b-1=2$ cu solutia $a=505, b=502$. + +iii). $a+b=106$ si $a-b-1=19$ cu solutia $a=63, b=43$. + +iv) $\mathrm{a}+\mathrm{b}=53$ si $\mathrm{a}-\mathrm{b}-1=38$ cu solutia $\mathrm{a}=46, \mathrm{~b}=7$. + +$.2 \mathrm{p}$ + +b). $x=a^{2}+b^{2}+a+b=a(a+1)+b(b+1)=2 k$, k numar natural (produsul a doua nr. consecutive este numar par). + +$\mathrm{y}==\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)+\mathrm{b}(\mathrm{b}-1)=2 \mathrm{p}$, $\mathrm{p}$ numar natural $.2 \mathrm{p}$ + +Deci $x^{2}+y^{2}=(2 k)^{2}+(2 p)^{2}=4 k^{2}+4 p^{2}=M_{4}$. Dar $2014=M_{4}+2$, rezulta ca nu exista a si $b$ numere naturale care sa verifice conditiile problemei $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul II + +a). Sa se scrie $a=10^{2014}$ ca suma de doua patrate perfecte. + +b). Sa se scrie $b=6^{2015}$ ca suma de trei cuburi perfecte. + +Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd5d78cae7fbc24459eg-3.jpg?height=86&width=1496&top_left_y=731&top_left_x=174) + +$10^{2014}=10^{2} \cdot 10^{2012}=\left(6^{2}+8^{2}\right) \cdot\left(10^{1006}\right)^{2}=\left(6 \cdot 10^{1006}\right)^{2}+\left(8 \cdot 10^{1006}\right)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd5d78cae7fbc24459eg-3.jpg?height=83&width=1499&top_left_y=941&top_left_x=176) + +$6^{2015}=6^{2} \cdot 6^{2013}=\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}\right) \cdot\left(6^{671}\right)^{3}=\left(1 \cdot 6^{671}\right)^{3}+\left(2 \cdot 6^{671}\right)^{3}+\left(3 \cdot 6^{671}\right)^{3} \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 p$ + +## Subiectul III + +Fie $M=\{2014,2015,2016, \ldots 2113\}$. + +a). Sa se arate ca oricum am alege 51 numere din multimea $M$, exista doua a caror suma este un numar prim. + +b). Sa se arate ca exista doua multimi $X$ si $Y$ disjuncte cu proprietatea ca $\mathbf{X} \cup \mathbf{Y}=\mathbf{M}$ si suma elementelor multimii $\mathbf{X}$ este egala cu suma elementelor multimii Y. + +c). Sa se arate ca nu exista doua multimi $\mathrm{X}$ si $\mathrm{Y}$ disjuncte cu proprietatea ca $\mathbf{X} \cup \mathrm{Y}=\mathbf{M}$ si produsul elementelor multimii $\mathrm{X}$ este egal cu produsul elementelor multimii Y. + +Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8cd5d78cae7fbc24459eg-3.jpg?height=63&width=1442&top_left_y=2167&top_left_x=176) + +Consideram urmatoarele multimi: $\mathrm{M}_{1}=\{2014,2113\}, \mathrm{M}_{2=}\{2015,2112\}$, $\mathrm{M}_{3}=\{2016,2111\}, \ldots \mathrm{M}_{50}=\{2063,2064\}$. + +Suma elementelor fiecarei multimi este 4127 $1 \mathrm{p}$ + +Avem 51 numere si 50 multimi, rezulta cu principiul cutiei ca exista doua numere in aceeasi multime deci exista doua numere cu suma 4127 care este nr. prim(se demonstreaza) + +b). Consideram $X=M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup \ldots M_{25}$ si $Y=M_{26} \cup M_{27} \cup M_{28} \cup \ldots M_{50}$ + +$\mathrm{X}$ si $\mathrm{Y}$ sunt disjuncte. Suma elementelor multimii $\mathrm{X}$ este egala cu suma elementelor multimii Y si este $4127 \cdot 25$. Deci exista multimile cu proprietatea din enunt $.2 \mathrm{p}$ + +c). Presupunem ca exista doua multimi $\mathrm{X}$ si $\mathrm{Y}$ cu proprietatea din enunt. Daca produsul elementelor multimii $\mathrm{X}$ este egal cu produsul elementelor multimii $\mathrm{Y}$ atunci produsul tuturor elementelor multimii $\mathrm{M}$ trebuie sa fie patrat perfect. + +$1 \mathrm{p}$ + +Dar 2014-2015 $\ldots 2113$ este divizibil cu 2113 si nu este divizibil cu $2113^{2}$ deci nu este patrat perfect(se arata ca 2113 e prim)...................................1p + +Deci nu exista doua multimi cu proprietatea din enunt. + +## Subiectul IV + +Se considera 100 puncte pe un cerc. In fiecare punct se inscrie aleator cate un numar natural de la 1 la 100 . Este posibil ca suma oricaror patru numere inscrise in patru puncte consecutive sa fie mai mica decat 203? + +Barem: + +Notam $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots \mathrm{a}_{100}$ numerele corespunzatoare celor 100 de puncte de pe cerc. + +Presupunem ca suma oricaror patru nr. inscrise in patru puncte consecutive este mai mica decat 203. + +$\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{4} \leq 202, \mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{5} \leq 202, \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{6} \leq 202, \ldots . \mathrm{a}_{97}+\mathrm{a}_{98}+\mathrm{a}_{99}+\mathrm{a}_{100} \leq 202$, $\mathrm{a}_{98}+\mathrm{a}_{99}+\mathrm{a}_{100}+\mathrm{a}_{1} \leq 202, \mathrm{a}_{99}+\mathrm{a}_{100}+\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2} \leq 202, \mathrm{a}_{100}+\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3} \leq 202$. Adunand cele 100 relatii obtinem $4\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3} \ldots+\mathrm{a}_{100}\right) \leq 20200$, de unde $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3} \ldots+\mathrm{a}_{100} \leq 5050$. + +$2 \mathrm{p}$ + +Dar $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3} \ldots+\mathrm{a}_{100}=1+2+3+\ldots+100=5050$. Egalitatea se obtine numai daca in toate cele 100 relatii scrise anterior avem egalitate. $3 \mathrm{p}$ + +Deci , de exemplu : $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=202, a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=202$ de unde rezulta $a_{1}=a_{5}$. Dar $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots \mathrm{a}_{100}$ sunt distincte de unde rezulta contradictia. Presupunerea facuta este falsa. $.2 \mathrm{p}$ + +Conluzia:nu este posibil ca suma oricaror patru numere inscrise in patru puncte consecutive sa fie mai mica decat 203. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-855-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-855-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcd8e4cdaecf5fd93fa146fe92c23ee69798093b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-855-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a XII-a + +## Subiecte: + +1. Pe $\mathbb{R}^{*}$ se consideră legea de compoziţie definită prin: + +$$ +a \circ b=\left\{\begin{array}{l} +\frac{a}{b}, \text { dacă } a<0 \\ +a b, \text { daca } a>0 +\end{array} \quad a, b \in \mathbb{R}^{*} .\right. +$$ + +a) Să se precizeze dacă $\left(\mathbb{R}^{*}, 0\right.$ ) este grup. + +b) Să se rezolve ecuaţia $a \circ x \circ a=b, a, b \in \mathbb{R}^{*}$. + +2. Fie $a \in[0, \infty), f_{a}:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), f_{a}(x)=\frac{x+a}{a x+1}$ şi mulţimea $M=\left\{f_{a} \mid a \in[0, \infty)\right\}$. + +a) Să se arate că $M$ este parte stabilă faţă de operaţia de compunere a funcţiilor. + +b) Să se arate că $M$ este monoid comutativ împreună cu operaţia de compunere a funcţilor şi să se determine elementele simetrizabile ale monoidului. + +3. Să se determine funcțiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, cu proprietatea că admit o primitivă $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, astfel încât : + +$$ +F(x)+F([x])+F(\{x\})=f(x)+f([x])+f(\{x\})+2 x, \quad \forall x \in \mathbb{R}, \text { unde }[a] \text { și }\{a\} +$$ + +reprezintă partea întreagă, respectiv partea fracționară a numărului $a$. + +Prof. Burtea Marius, Alexandria + +4. Să se determine $x>0$ care verifică relația $\int_{x}^{\ln 4} \frac{1}{\sqrt{e^{t}-1}} d t=\frac{\pi}{3}$. + +## Barem clasa a XII-a + +## 1. a) Asociativitate + +Dacă $a>0, b>0,(a \circ b) \circ c=a b c=a \circ(b \circ c)$ + +Dacă $a<0, b>0,(a \circ b) \circ c=\frac{a}{b} \circ c=\frac{a}{b c} \operatorname{iar} a \circ(b \circ c)=a \circ(b c)=\frac{a}{b c}=(a \circ b) \circ c$ Dacă $a>0, b<0,(a \circ b) \circ c=a b \circ c=\frac{a b}{c}, \operatorname{iar} a \circ(b \circ c)=a \circ\left(\frac{b}{c}\right)=\frac{a b}{c}=$ $(a \circ b) \circ c$ + +Dacă $a<0, b<0, a \circ(b \circ c)=a \circ \frac{b}{c}=\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a c}{b}$ iar + +$(a \circ b) \circ c=\frac{a}{b} \circ c=\frac{a c}{b}=a \circ(b \circ c)$ deci legea este asociativă + +$2 \mathrm{p}$ + +Element neutru: $a \circ e=a$, dacă $a>0 \Rightarrow a e=a$, deci $e=1$, dacă $a<0, \frac{a}{e}=a$ + +și $e=1$. Se verifică $1 \circ a=a$, deci $a \circ 1=1 \circ a=a$ și $e=1$ element neutru ..1p Element simetrizabil + +Se verifică $a^{\prime}= \begin{cases}a & a<0 \\ \frac{1}{a} & a>0\end{cases}$ + +Deci $\left(R^{*}, \mathrm{o}\right)$ este grup. + +b) $a \circ x \circ a=b \Rightarrow x=a^{\prime} \circ b \circ a^{\prime}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_24c3afba9bfa04f10b2dg-2.jpg?height=166&width=1148&top_left_y=1616&top_left_x=154) + +Dacă $a<0$ atunci $x=a \circ b \circ a=\frac{a}{b} \circ a= \begin{cases}\frac{a^{2}}{b} & \text { dacă } b<0 \\ \frac{1}{b} & \text { dacă } b>0\end{cases}$ + +2.a) + +$$ +\begin{aligned} +& \left(f_{a} \circ f_{b}\right)(x)=f_{a}\left(\frac{x+b}{b x+1}\right)=\frac{(1+a b) x+a+b}{(a+b) x+1+a b}=\frac{x+\frac{a+b}{1+a b}}{\frac{a+b}{1+a b} x+1}=f_{\frac{a+b}{1+a b}}(x), a, b \geq 0 \Rightarrow \frac{a+b}{1+a b} \geq 0 \\ +& \operatorname{deci} f_{\frac{a+b}{1+a b}} \in M +\end{aligned} +$$ + +b) Din calculul de la a) rezultă comutativitatea , iar compunerea funcțiilor este asociativă, elementul neutru este $f_{0}$, deci ( $M, \circ$ ) monoid comutativ ......... $2 p$ Dacă $f_{a} \circ f_{a^{\prime}}=f_{0} \Rightarrow \frac{a+a \prime}{1+a a^{\prime}}=0, a+a^{\prime}=0$. Dar $a, a^{\prime} \geq 0$, deci $a=a^{\prime}=0$ și $f_{0}$ este singurul element simetrizabil. $2 p$ + +3, Pentru $x=0$ se obține că $F(0)=f(0)$ + +Pentru $x \rightarrow[x]$ se obține că $F([x])=f([x])+[x], \quad \forall x \in \mathbb{R}$ $1 p$ + +Pentru $x \rightarrow\{x\}$ se obține că $F(\{x\})=f(\{x\})+\{x\}, \forall x \in \mathbb{R}$.... + +$.1 \mathrm{p}$ + +Înlocuind în relația dată în enunț se obține că $F(x)=f(x)+x, \forall x \in \mathbb{R} .1 \mathrm{p}$ Prin înmulțire cu $e^{-x}$ această relație se aduce la forma: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_24c3afba9bfa04f10b2dg-3.jpg?height=95&width=1625&top_left_y=832&top_left_x=258) + +Integrând prin părți funcția $h(x)=-x e^{-x}$, se obține că $e^{-x} F(x)=(x+1) e^{-x}+C, \forall x \in \mathbb{R}$ + +Așadar $F(x)=(x+1)+C e^{x}, \forall x \in R$ și $f(x)=1+C e^{x}, \forall x \in \mathbb{R}$ + +$.1 p$ + +4. Cu notația $\sqrt{e^{t}-1}=y$ va rezulta $\int_{\sqrt{e^{x}-1}}^{\sqrt{3}} \frac{2}{y^{2}+1} d y=\frac{\pi}{3}$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { apoi } 2 \operatorname{arctg} \sqrt{e^{x}-1}=\frac{\pi}{3} \text { și } \quad \sqrt{e^{x}-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}, e^{x}=\frac{4}{3} \\ +& x=\ln \frac{4}{3} . +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-856-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-856-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f2c52ae577069ff9f73383123ed291ab69643d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-856-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a XI-a + +## Subiecte: + +1. Fie $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$. Să se determine mulțimea de matrice : + +$$ +M=\left\{X \in M_{2}(\mathbb{Z}) \mid A X=X^{2} A\right\} +$$ + +Prof.Burtea Marius, Alexandria + +2. Aflaţi numerele reale $a, b, c>0$ dacă + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{a^{2} n^{2}+2014 n+1}-b n+c\right)=\sqrt{\frac{2 c}{a}} \cdot \sqrt{2014} \text { şi } a+c=72 \text {. } +$$ + +Prof.Voiculeț Septimius, Videle + +3. Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{n}=\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$. + +Să se calculeze : + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_{n}}{\ln n} +$$ + +4. Fie $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 0 \\ a & 0 & a\end{array}\right), a \in \mathbb{R}$. + +a) Să se determine valorile lui $a$ pentru care matricea $A$ este inversabilă. + +b) Să se arate că $A^{2014} \neq O_{3}, \forall a \in \mathbb{R}$. + +## Barem clasa a XI-a + +1. Prin trecere la determinanți, din relația dată, se obține că $\operatorname{det}(X)=\operatorname{det}\left(X^{2}\right)$ de unde $\operatorname{det}(X) \in\{0,1\}$ $.2 \mathrm{p}$ + +Fie $X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ și $u=\operatorname{Tr}(X)=a+d$. + +Din relația Cayley-Hamilton se obține că $X^{2}-u X+\operatorname{det}(X) I_{2}=O_{2}$. + +Deosebim cazurile: + +1) $\operatorname{det}(X)=0 \operatorname{deci} X^{2}=u X$. + +Avem că $A X=u X A$ sau $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ și se obține că $\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a & b\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{ll}b & a \\ d & c\end{array}\right)$. Rezultă egalităț̆ile $\left\{\begin{array}{l}c=b u \\ d=a u \\ a=d u \\ b=c u\end{array}\right.$. Adunând ecuațiile 2 și 3 se obține că $u=u^{2}$ cu soluțiile $u \in\{0,1\}$. + +- Pentru $u=0$ se obține că $a=b=c=d=0$ și $X=O_{2}$. +- Pentru $u=1$ se obține că $\quad a=d=\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ + +2) $\operatorname{det}(X)=1$ deci $X^{2}=u X-I_{2}=\left(\begin{array}{cc}u a-1 & u b \\ u c & u d-1\end{array}\right)$. + +Avem că $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}u a-1 & u b \\ u c & u d-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$. Rezultă egalitățile $\left\{\begin{array}{l}c=b u \\ d=a u-1 \\ a=d u-1 \\ b=c u\end{array}\right.$. + +Adunând ecuattiile 2 și 3 se obține că $u^{2}-u-2=0$ cu soluțiile $u \in\{-1,2\}$ + +- Pentru $u=2$ se obține că $b=c=0, a=d=1$ și $X=I_{2}$. +- Pentru $u=-1$ se obține că $c=-b, d=-a-1$ și $X=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & -a-1\end{array}\right)$. Din condiția $\operatorname{det} X=1$ rezultă că $b^{2}=a^{2}+a+1$. Prin înmulțirea cu 4 rezultă că + +$$ +\begin{aligned} +& 4 b^{2}-(2 a+1)^{2}=3 \text { sau }(2 b-2 a-1)(2 b+2 a+1)=3 \text { cu solutuiile } \\ +& (a, b) \in\{(0,1),(-1,1),(-1,-1),(0,-1)\} \text {. Se obțin matricele din } M_{2}(\mathbb{Z}) \\ +& x \in\left\{\left(\begin{array}{cc} +0 & 1 \\ +-1 & -1 +\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} +-1 & 1 \\ +-1 & 0 +\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} +-1 & -1 \\ +1 & 0 +\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} +0 & -1 \\ +1 & -1 +\end{array}\right)\right\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +Așadar $M=\left\{O_{2}, I_{2},\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)\right\}$ + +2. $\mathrm{Caz} 1) \mathrm{a}<\mathrm{b} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{a^{2}+\frac{2014}{n}+\frac{1}{n^{2}}}-b+\frac{c}{n}\right)=\infty(a-b)=-\infty \mathrm{nu}$ convine $1 p$ + +Caz 2) $\mathrm{a}>\mathrm{b} \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{a^{2}+\frac{2014}{n}+\frac{1}{n^{2}}}-b+\frac{c}{n}\right)=\infty(a-b)=\infty$ nu convine..........1p + +Caz 3) $a=b$ + +$\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{2} n^{2}+2014 n+1-a^{2} n^{2}+2 a c n-c^{2}}{\sqrt{a^{2} n^{2}+2014 n+1}+a n-c}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n\left(2014+2 a c+\frac{1-c^{2}}{n}\right)}{n\left(\sqrt{a^{2}+\frac{2014}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+a-\frac{c}{n}\right)}=\frac{2014+2 a c}{2 a}$ $2 p$ + +$\frac{2014+2 a c}{2 a}=\sqrt{\frac{2 c}{a}} \cdot \sqrt{2014} \Leftrightarrow \frac{1007}{a}+c=2 \sqrt{\frac{1007}{a}} \cdot c \Leftrightarrow \frac{1007}{a}=c \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +$a c=1007$ şi $a+c=72 \Leftrightarrow(a=53, c=19)$ sau $(a=19, c=53) \ldots \ldots \ldots .1 \mathrm{~m}$ + +Rezultă două soluții $(a=53, b=53, c=19),(a=19, b=19, c=53) \ldots \ldots . .1 p$ + +3.Pentru $n=1$ se obține $a_{1}=1$.Pentru $n \geq 2$ rezultă + +$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\left(2^{x}-1\right)+\cdots+\left(n^{x}-1\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^{x}-1\right)+\cdots+\left(n^{x}-1\right)}{n x}}=e^{\frac{\ln 2+\cdots+\ln n}{n}}=$ $=e^{\ln \sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{n!}$ deci $a_{n}=\sqrt[n]{n!}$ + +$.4 p$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_{n}}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \sqrt[n]{n!}}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln 1+\ln 2+\cdots+\ln n}{n \ln n}$. Aplicând lema Stolz-Cesaro va + +rezulta $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_{n}}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln 1+\ln 2+\cdots+\ln n}{n \ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{(n+1) \ln (n+1)-n \ln n}=$ + +$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{n[\ln (n+1)-\ln n]+\ln (n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}+\ln (n+1)}=1$ + +4. a) $\operatorname{det} A=-a^{2} \neq 0$, deci $a \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ +b) Dacă $A^{2014}=O_{3}$, ar rezulta $\operatorname{det}\left(A^{2014}\right)=0$, adică $(\operatorname{det} A)^{2014}=0$, deci $\operatorname{det} A=0$ + +2p + +Atunci $-a^{2}=0$ deci $a=0$ și $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ + +Calculând puterile lui $A$ ar rezulta: + +$A^{2}=A, A^{3}=A, \ldots, A^{n}=A, \forall n \in N^{*}$, deci $A^{2014}=A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \neq O_{3}$, contradicție cu presupunerea făcută. $.1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-857-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-857-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3295cbb0a2a927ce5881724584a4d7e3f1baf8aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-857-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a X-a + +## Subiecte: + +1. Se consideră funcția $f:(0, \infty) \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\log _{x} 2 \cdot \log _{x} 4}+\frac{1}{\log _{x} 4 \cdot \log _{x} 8}+\ldots .+\frac{1}{\log _{x}\left(2^{2013}\right) \cdot \log _{x}\left(2^{2014}\right)}$ + +a) Să se calculeze $f\left(\frac{1}{2}\right)$. + +b) Să se arate că $f$ nu este injectivă. + +c) Să se rezolve ecuattia $f(x)=\frac{4026}{1007}$. + +2. Să se rezolve ecuația $5^{x}=3^{x+\{x\}}$, unde $\{a\}$ reprezintă partea fracționară a numărului $a$. + +Prof.Burtea Marius, Alexandria + +3. Se consideră în mulţimea numerelor complexe ecuaţiile $x^{19}=-i$ şi $y^{53}=i$ + +a) Calculaţi $(a \cdot b)^{2014}$ unde $a$ este o soluție a uneia dintre ecuații iar $b$ o soluție a celeilalte ecuații. + +b) Aflaţi soluțiile comune ale celor două ecuații. + +Prof. Voiculeț Septimius, Videle + +4. Să se arate că $2^{x}+3^{-x}+4^{-x}+6^{x} \geq 4, \forall x \in \mathbb{R}$. + +Pentru ce valori ale lui $x$ se realizează egalitatea? + +## Barem clasa a X-a + +1. a) $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{(-1)(-2)}+\frac{1}{(-2)(-3)} \quad+\ldots \ldots .+\frac{1}{(-2013)(-2014)}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots \ldots+$ $\frac{1}{2013 \cdot 2014}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}=1-\frac{1}{2014}=\frac{2013}{2014}$ +b) $f(2)=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{2013 \cdot 2014}=f\left(\frac{1}{2}\right), f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)$, deci nu este injectivă $2 p$ +c) $f(x)=\frac{1}{1 \cdot 2\left(\log _{x} 2\right)^{2}}+\frac{1}{2 \cdot 3\left(\log _{x} 2\right)^{2}}+\ldots+\frac{1}{2013 \cdot 2014\left(\log _{x} 2\right)^{2}}=$ + +$=\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots++\frac{1}{2013 \cdot 2014}\right) \cdot \frac{1}{\left(\log _{x} 2\right)^{2}}=\frac{2013}{2014} \cdot\left(\log _{2} x\right)^{2}$ + +Rezultă $\frac{2013}{2014} \cdot\left(\log _{2} x\right)^{2}=\frac{4026}{1007}$, deci $\left(\log _{2} x\right)^{2}=4, \log _{2} x= \pm 2, x \in\left\{\frac{1}{4}, 4\right\}$ + +2. Avem că $\left(\frac{5}{3}\right)^{x}=3^{\{x\}} \in[1,3)$. Rezultă că $1 \leq\left(\frac{5}{3}\right)^{x}<3$ sau $0 \leq x<\log _{\frac{5}{3}} 3<3$. + +Se obține că $[x] \in\{0,1,2\}$ + +Pentru $[x]=0$ se obține ecuația $5^{\{x\}}=3^{\{x\}+\{x\}}$ care se scrie $\left(\frac{5}{9}\right)^{\{x\}}=1$ cu soluția $\{x\}=0$, deci $x=0$ + +$.2 p$ + +Pentru $[x]=1$ se obține ecuația $5^{1+\{x\}}=3^{1+\{x\}+\{x\}}$ care se scrie $\left(\frac{5}{9}\right)^{\{x\}}=\frac{3}{5} \mathrm{cu}$ solutia $\{x\}=\log _{\frac{5}{9}}\left(\frac{3}{5}\right) \in[0,1)$, deci $x=1+\log _{\frac{5}{9}}\left(\frac{3}{5}\right)$ + +Pentru $[x]=2$ se obține ecuația $5^{2+\{x\}}=3^{2+\{x\}+\{x\}}$ care se scrie $\left(\frac{5}{9}\right)^{\{x\}}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2} \mathrm{cu}$ soluția $\{x\}=\log _{\frac{5}{9}}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}>1$, deci nu există soluție + +Mulțimea soluțiilor ecuației date este $S=\left\{0,1+\log _{\frac{5}{9}}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}$ + +3. a) Putem considera a soluție a primei ecuații. + +$(a \cdot b)^{2014}=a^{2014} \cdot b^{2014}=\left(a^{19}\right)^{106} \cdot\left(b^{53}\right)^{38}=(-i)^{106} \cdot i^{38}=(-1)(-1)=1$ + +b) Dacă $z$ este soluție comună, $z^{19}=-i, z^{53}=i,\left(z^{19}\right)^{3}=(-i)^{3}=i$ + +$3 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { deci } z^{57}=i \text { și } z^{53}=i, \text { rezultă } z^{4}=1 \text {, adică } z \in\{1,-1, i,-i\} \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 2 \\ +& z=1, z=-1 \text { și } z=-i \text { nu verifică ambele ecuattii, iar } i \text { le verifică. } \\ +& \text { Deci } z=i \text { este singura soluție comună...................................... } +\end{aligned} +$$ + +4. Folosind inegalitatea $a+b \geq 2 \sqrt{a b}$ rezultă $\left(2^{x}+6^{x}\right)+\left(3^{-x}+4^{-x}\right) \geq$ $2 \sqrt{2^{x} \cdot 6^{x}}+2 \sqrt{3^{-x} \cdot 4^{-x}}=2\left(\sqrt{12^{x}}+\sqrt{12^{-x}}\right)=2\left(12^{\frac{x}{2}}+12^{\frac{-x}{2}}\right) \geq$ + +$\geq 2 \cdot 2 \sqrt{12^{\frac{x}{2}} \cdot 12^{\frac{-x}{2}}}=4$ + +Egalitatea se realizează pentru $2^{x}=6^{x}, 3^{-x}=4^{-x}, 12^{x}=12^{-x}$, adică pentru $x=0$ $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-858-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-858-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e94133c2802d2ecf0d124eae7c8ae75f0a01f1d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-858-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,85 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a VIII-a + +## Subiecte: + +1. Fie $a$ și $b$ numere strict pozitive care verifică relația: $a^{2}+b^{2}=1$. + +a) Să se arate că $a b \leq \frac{1}{2}$. + +b) Să se arate că $\sqrt{a^{4}+4 b^{2}}+\sqrt{b^{4}+4 a^{2}}=3$. + +c) Să se determine intersecția și reuniunea intervalelor + +$$ +I_{1}=\left(-\infty, \frac{a+b}{2}\right] \text { si } I_{2}=\left[\sqrt{a b}, \sqrt{\frac{1}{2}}\right] +$$ + +2. a) Să se determine valoarea maximă a expresiei + +$$ +E(x)=\frac{5 x^{2}+10 \sqrt{3} x+23}{x^{2}+2 \sqrt{3} x+4}, \quad x \in \mathbb{R} +$$ + +b) Să se determine $x, y \in \mathbb{R}$ care verifică relația : + +$$ +\begin{array}{r} +5 x^{2}+10 \sqrt{3} x+23=\left(x^{2}+2 \sqrt{3} x+4\right)\left(2 y^{2}+4 \sqrt{6} y+20\right) . \\ +\text { Prof. Negreanu Pantelimon, Alexandria } +\end{array} +$$ + +3. Pe perpendicularele duse în vârfurile $A, B, C, D$ pe planul paralelogramului $A B C D$, de aceeași parte a lui, se iau punctele coplanare $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ respectiv $D^{\prime}$. Se cunosc $m(\widehat{B A D})=60^{\circ}, A B=A A^{\prime}=2 a, A D=B B^{\prime}=a$ și $C C^{\prime}=\frac{a}{2}$. + +a) Să se arate că $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este paralelogram. + +b) Să se determine distanța de la $D^{\prime}$ la $B C$. + +Prof. Negreanu Pantelimon, Alexandria + +4. Fie $A B C D$ un dreptunghi cu $A B>B C$. În punctul $A$ se ridică perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se consideră punctul $M$. Dacă $P$ este proiecţia lui $D$ pe $M C$, iar $N$ proiecţia lui $B$ pe $M C$, să se arate că $N P \cdot M C=A B^{2}-A D^{2}$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Pentru fiecare subiect se acordă de la 0 la 7 puncte. + +## Barem clasa a VIII-a + +1. a) Din $2 a b \leq a^{2}+b^{2}$ rezultă relația + +$2 p$ +b) $\sqrt{a^{4}+4 b^{2}}+\sqrt{b^{4}+4 a^{2}}=\sqrt{a^{4}+4\left(1-a^{2}\right)}+\sqrt{b^{4}+4\left(1-b^{2}\right)}=$ $=\sqrt{a^{4}-4 a^{2}+4}+\sqrt{b^{4}-4 b^{2}+4}=\sqrt{\left(a^{2}-2\right)^{2}}+\sqrt{\left(b^{2}-2\right)^{2}}=$ $=\left|a^{2}-2\right|+\left|b^{2}-2\right|=2-a^{2}+2-b^{2}=4-\left(a^{2}+b^{2}\right)=3$ (am folosit $a^{2} Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a VII-a + +## Subiecte: + +1. Fie $A=\left\{\frac{\sqrt{4}-\sqrt{2}}{\sqrt{8}}, \frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{24}}, \frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{\sqrt{48}}, \ldots, \frac{\sqrt{2014}-\sqrt{2012}}{\sqrt{2014 \cdot 2012}}\right\}$. + +a) Calculați suma elementelor mulțimii A . + +b) Să se arate că pentru orice submulțime B a mulțimii $A$, suma elementelor lui B nu poate fi număr natural. + +2. a) Să se determine numerele întregi $a, b, c$ care verifică relația: $a^{2}-a+|b-3|+|c-9|=0$. + +b) Să se determine numerele raționale $x, y, z$ care verifică relațiile: $|x-y|=2|y-z|=3|z-x|$ și $x+y+z=2014$. + +3. În paralelogramul $A B C D, A C=2 A D, E$ este mijlocul lui $[D C]$, iar bisectoarea unghiului $\widehat{D A C}$ intersectează $D C$ în punctul $F$. Dacă $G$ este punctul de intersecție al dreptelor $B E$ și $A C$, să se arate că $G F \| B D$. +4. Fie $A B C D$ un pătrat și punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât + +$[B E] \equiv[C F]$. Dacă $A C \cap B F=\{G\}, A E \cap B D=\{H\}$ să se arate că: +a) $A E \perp B F$. +b) $G H \perp A B$. + +## Barem clasa a VII-a + +1. a) $S=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{8}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2014}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2014}}$ + +b) Deoarece $A$ are toate elementele strict pozitive, suma elementelor lui $B$ va fi strict pozitivă și mai mică decât suma elementelor lui $A$. Dacă $x$ este suma elementelor lui $B$, va rezulta $0\frac{d}{y}>\frac{1}{2012}$ sau $\frac{d}{2011 d}>\frac{d}{y}>\frac{d}{2012 d}$ (1) + +Din (1) deducem 2011d2011 d$ obţinem $2 y-d>4021 d \geq 12063$. + +Prin urmare valoarea minimă a sumei se obţine când $d=2$ şi $x+y=$ 8044 . + +Problema 2.5 Determinaţi numerele naturale $a, b, c$ cu proprietatea că $a+b+c=a b c$. + +Soluţie Observăm că dacă unul dintre numere este 0, atunci toate numerele sunt egale cu 0 . + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $a b c \neq 0$, atunci relaţia se scrie $\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c}+\frac{1}{a b}=1$. Cum relaţia este simetrică în $a, b, c$ putem presupune $a \leq b \leq c$ de unde $a b \leq a c \leq b c$. + +Dacă $a b>3$, atunci $\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c}+\frac{1}{a b}<1 . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 p$ + +Dacă $a b=2$, atunci $a=1$ şi $b=2$, de unde obţinem $\frac{1}{2 c}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$ şi atunci $c=3$. + +Dacă $a b=3$, atunci $a=1$ şi $b=3$, de unde obţinem $\frac{1}{3 c}+\frac{1}{c}=\frac{2}{3}$ şi atunci $c=2$, care nu convine pentru că am presupus $b Etapa locală, 16.02.2014 + +Clasa a VI-a + +## Subiecte: + +1. Fie $a=\left(\frac{2013}{1}+1\right)\left(\frac{2013}{2}+1\right)\left(\frac{2013}{3}+1\right) \ldots \ldots\left(\frac{2013}{2014}+1\right)$ + +$$ +\begin{aligned} +& b=\left(\frac{2014}{1}+1\right)\left(\frac{2014}{2}+1\right)\left(\frac{2014}{3}+1\right) \ldots \cdots\left(\frac{2014}{2013}+1\right) \\ +& c=\frac{5+1}{5 \cdot 1}+\frac{5+2}{5 \cdot 2}+\frac{5+3}{5 \cdot 3}+\cdots+\frac{5+20}{5 \cdot 20}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{20}\right) +\end{aligned} +$$ + +a) Să se compare numerele $a$ și $b$. + +b) Arătați că $4 a=b c$. + +2. Să se afle numerele $a$ și $n$ știind că $a$ este număr prim, $n \in \mathbb{N}^{*}$ și $a^{2 n}-5=4\left(5+5^{2}+\cdots+5^{2015}\right)$. + +Prof.Vlad Emil, Zimnicea + +3. Să se arate că fracția $\frac{4^{n} \cdot 5^{2 n+4}-1}{4^{n+4} \cdot 5^{2 n}-1}$ este reductibilă pentru orice $n \in \mathbb{N}$. +4. Fie $\overline{A O B}$ un unghi cu măsura de $120^{\circ}, M$ şi $N$ două puncte în interiorul său astfel încât $M$ se află în interiorul unghiului $\overline{A O N}$, iar bisectoarele unghiurilor $\overline{A O M}$ şi $\overline{B O N}$ sunt perpendiculare. + +a) Să se determine măsura unghiului $\overline{M O N}$. + +b) Dacă $P$ este un punct astfel încât $O \in(M P)$, să se arate că $\widehat{B O P} \equiv \widehat{A O N}$ + +## Barem clasa a VI-a + +1. a) $a=\frac{2014 \cdot 2015 \cdot 2016 \cdot \ldots \cdot 4027}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2014}=\frac{2015 \cdot 2016 \cdot \ldots . \cdot 4027}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots . .2013}$ + +$$ +b=\frac{2015 \cdot 2016 \cdot \ldots .4027}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2013} \quad \text { Deci } a=b +$$ + +b) $c=\left(\frac{5}{5 \cdot 1}+\frac{1}{5 \cdot 1}\right)+\left(\frac{5}{5 \cdot 2}+\frac{2}{5 \cdot 2}\right)+\cdots+\left(\frac{5}{5 \cdot 20}+\frac{20}{5 \cdot 20}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{20}\right)=$ $\left(1+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{5}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{20}\right)=\frac{1}{5} \cdot 20=4$ $2 p$ + +Deci $a=b, c=4$ și $4 a=b c$ $1 p$ +2. $a^{2 n}=5+4 \cdot 5+4 \cdot 5^{2}+\cdots+4 \cdot 5^{2015}=5(1+4)+4 \cdot 5^{2}+\cdots+4 \cdot 5^{2015}=$ $=5^{2}(1+4)+4 \cdot 5^{3}+\cdots+4 \cdot 5^{2015}=\cdots=5^{2015}+4 \cdot 5^{2015}=5^{2016}$. $4 p$ Deci $a^{2 n}=5^{2016}, a$ prim $\Rightarrow a=5, n=1008$ $3 p$ + +3. Fracția se scrie: $\frac{4^{n} \cdot 25^{n} \cdot 5^{4}-1}{4^{n} \cdot 25^{n} \cdot 4^{4}-1}=\frac{100^{n} \cdot 625-1}{100^{n} \cdot 256-1}=\frac{6250 \ldots 0-1}{2560 \ldots . .0-1}=\frac{62499 \ldots 9}{25599 \ldots 9}$ $4 p$ + +Fracția se simplifică prin 3 , numărătorul și numitorul având suma cifrelor divizibilă cu 3 $3 p$ + +( se poate observa mai întâi proprietatea pentru $n=0$, apoi în cazul general). + +4. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_9449e85eb4ec58d4f57cg-2.jpg?height=968&width=1151&top_left_y=1669&top_left_x=567) +a) Dacă $[O Q$ este bisectoarea lui $\widehat{A O M},[O S$ bisectoarea lui $\widehat{B O N}$, rezultă $m(\widehat{A O Q})+m(\widehat{B O S})=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$, deci $\quad m(\widehat{A O M})+m(\widehat{B O N})=60^{\circ} \quad$ şi $m(\widehat{M O N})=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$ $4 p$ + +b) Va rezulta $m(\widehat{N O P})=180^{\circ}-m(\widehat{M O N})=120^{\circ}$ şi $\widehat{N O P} \equiv \widehat{A O B}$ adică $\widehat{B O P}+\widehat{B O N}=\widehat{A O N}+\widehat{B O N}$, deci $\widehat{B O P} \equiv \widehat{A O N}$ $3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-861-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-861-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..54909223fec60c1b5f4380e3ac1c58eae5bf33ac --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-861-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,50 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a V-a + +## Subiecte: + +1. Fie $a=\left(3^{1}+3^{0}\right)\left(3^{20} \cdot 3^{31}\right)^{2}+3^{103}$ și $b=2\left(9^{50}+9^{51}\right)$ + +a) Să se arate că $a>b$. + +b) Să se arate că numărul $c=35 a b$ este pătrat perfect. + +c) Să se determine restul împărțirii lui $a$ la $b$. + +2. Dintr-un număr $A$ de patru cifre, scris în baza zece, ștergem ultima cifră, iar numărul obținut îl adunăm la $A$ și obținem 2014 .Care este numărul $A$ ? +3. Fie $M$ mulțimea numerelor naturale impare care, împărțite la 100 , dau câtul egal cu restul. + +a) Să se găsească trei elemente ale mulțimii $M$. + +b) Să se determine numărul elementelor lui $M$. + +c) Dacă $P=\{5 k \mid k \in \mathbb{N}\}$,să se găsească numărul elementelor mulțimii $M \cap P$. + +4. Se consideră mulțimea $A=\left\{10,10^{2}, 10^{2013}, 10^{2014}\right\}$. Să se arate că fiecare element al lui $A$ se poate scrie ca suma a două pătrate perfecte. + +## Barem clasa a V-a + +1. a) Se obține $a=3^{102}(4+3)=7 \cdot 3^{102}$ și $b=2 \cdot 9^{50}(1+9)=20 \cdot 9^{50}=20 \cdot 3^{100}$ $a=7 \cdot 3^{2} \cdot 3^{100}=63 \cdot 3^{100}>20 \cdot 3^{100}$, deci $a>b$ +b) $a b=140 \cdot 3^{202}$ iar $c=35 \cdot 140 \cdot 3^{202}=35 \cdot 4 \cdot 35 \cdot 3^{202}=2^{2} \cdot 35^{2} \cdot\left(3^{101}\right)^{2}=\left(2 \cdot 35 \cdot 3^{101}\right)^{2}$ $\qquad$ +c) $a=63 \cdot 3^{100}=60 \cdot 3^{100}+3 \cdot 3^{100}=3 \cdot 20 \cdot 3^{100}+3 \cdot 3^{100}=3 b+3^{101}$. Deoarece $3^{101}=3 \cdot 3^{100} Etapa locală, 16.02.2014
Clasa a IX-a + +## Subiecte: + +1. Numerele reale $a, b, c, d$ verifică relația $a+b+c+d=2$. Să se arate că: a) $\frac{(a+b)^{2}}{2} \leq a^{2}+b^{2}$. +b) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq 1$. +2. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică de numere naturale nenule și mulțimea + +$$ +A=\left\{p \in \mathbf{N}^{*} \mid a_{a_{p}}=a_{p}+a_{p+1}\right\} +$$ + +Să se arate că dacă 2014 este termen al progresiei și $A \neq \varnothing$, atunci $A=\mathrm{N}^{*}$. + +Prof.Burtea Marius, Alexandria + +3. Se consideră patrulaterul convex $A B C D$, punctele $M$ și $N$ mijloacele laturilor $[A B]$, respectiv $[A D]$, iar punctele $P, Q$ simetricele punctului $C$ în raport cu punctele $M$, respectiv $N$. + +a). Să se arate că $\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{D Q}$. + +b). Dacă $\overrightarrow{C P}+\overrightarrow{C Q}=3 \overrightarrow{C A}$, să se arate că patrulaterul $A B C D$ este paralelogram. + +c). Dacă $E, F$ sunt mijloacele segmentelor $[B D]$, respectiv $[P Q]$ să se arate că punctele $C, A, E, F$ sunt coliniare sau sunt vârfurile unui paralelogram. + +Prof.Burtea Marius, Alexandria + +4. Fie $A B C$ un triunghi, $k \in \mathbb{R} \backslash\{-1,0\}$ și punctele $D$ și $E$ astfel încât $\overrightarrow{A D}=k \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B E}=\frac{1}{1+k} \overrightarrow{B C}$. Să se arate că punctele $A, D, E$ sunt coliniare. + +## Barem clasa a IX-a + +1. a) Se obține $0 \leq(a-b)^{2}$ $3 p$ + +b) Folosind inegalitatea precedentă, rezultă: + +$$ +\begin{aligned} +& \left(a^{2}+b^{2}\right)+\left(c^{2}+d^{2}\right) \geq \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{(c+d)^{2}}{2}=\frac{1}{2}\left[(a+b)^{2}+(c+d)^{2}\right] \geq \frac{1}{2} \\ +& \frac{(a+b+c+d)^{2}}{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +2. Fie $p \in N^{*}$ cu proprietatea că $a_{a_{p}}=a_{p}+a_{p+1}$. Se obține că $a_{1}+\left(a_{p}-1\right) r=a_{1}+(p-1) r+a_{1}+p r$ sau $a_{1}=\left(a_{p}-2 p\right) r$, deci $a_{1}$ se divide cu $r$. Fie $a_{1}=m r, m \in N^{*}$. Rezultă că $m r=\left(a_{1}+(p-1) r-2 p\right) r$ sau , după simplificare $m=m r+(p-1) r-2 p$ care se poate scrie $r(m+p-1)=m+2 p$, de unde $r=\frac{2 p+m}{p+m-1}=1+\frac{p+1}{m+p-1} \in N^{*}$. Din această relație este necesar ca $m \in\{1,2\}$ $.4 p$ + +- Pentru $m=1$ se obține că $r=2+\frac{1}{p} \in N^{*}$ pentru $p=1$. Așadar $r=3, a_{1}=3$ și $a_{n}=3 n$. În acest caz $a_{n} \neq 2014$ $1 p$ +- Pentru $m=2$ se obține că $r=2, a_{1}=4$ pentru oricare $p \in N^{*}$, deci $a_{n}=2 n+2$. Cum $2 n+2=2014$ are soluție rezultă că 2014 este termen al progresiei. Egalitatea este verificată pentru oricare $p \in N^{*}$, și, astfel, $A=N^{*}\left(a_{n}=2 n+2\right.$ verifică relația $a_{2 p+2}=a_{p}+a_{p+1}$ pentru orice $\left.p \in N^{*}\right)$. + +3. a) $[M N]$ este linie mijlocie în triunghiul $C P Q$ și în triunghiul $A D B$. Se obține că $P Q=2 M N=B D$ și $P Q\|M N\| B D$, deci patrulaterul $B D Q P$ este paralelogram și astfel vectorii $\overrightarrow{B P}$ și $\overrightarrow{D Q}$ sunt egali $3 p$ + +b) $\overrightarrow{C P}+\overrightarrow{C Q}=3 \overrightarrow{C A} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{C N}+2 \overrightarrow{C M}=3 \overrightarrow{C A} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{C A}+2 \overrightarrow{A N}+2 \overrightarrow{C A}+2 \overrightarrow{A M}=3 \overrightarrow{C A}$ + +$\Leftrightarrow \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A N}+2 \overrightarrow{A M} \Leftrightarrow \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}$ deci $\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A B}$ și $\quad A B C D$ este paralelogram + +$2 p$ + +c) Notăm cu G mijlocul lui $[M N]$.Dacă $A B C D$ este paralelogram, $A, G, E, C$ coliniare, $C, G, F$ coliniare, deci $E, A, F \in C G$ și $C, A, E, F$ coliniare (aliniate pe mediana triunghiului $C P Q$ ) + +Dacă $A B C D$ nu este paralelogram, se observă ușor că $A, G, E$ sunt pe mediana din $A$ în triunghiul $A D B$ și deci $[A G] \equiv[G E]$. De asemenea $[G F] \equiv[G C],[M N]$ fiind linie mijlocie și $[C F]$ mediană în $C P Q$. + +Se obține că patrulaterul $C A F E$ este paralelogram + +$1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_48a950017c7fa5e97599g-3.jpg?height=380&width=417&top_left_y=1363&top_left_x=203) +4. $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{1+k} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{1+k}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C})=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{1+k}(-\overrightarrow{A B}+$ $\overrightarrow{A C})=\left(1-\frac{1}{1+k}\right) \overrightarrow{A B}+\frac{1}{1+k} \overrightarrow{A C}=\frac{k}{1+k} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{1+k} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{1+k}(k \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) . .4 \mathrm{p}$ Deci $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{1+k} \overrightarrow{A D}, \frac{1}{1+k} \neq 1$, de unde rezultă $A, D, E$ coliniare $3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-863-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-863-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7659848ee830df82f7636fa85cb9f2143c6bd133 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-863-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,110 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A XII-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Pentru fiecare $p \in \mathbb{N}^{*}$ considerăm mulţimea $U_{p}=\left\{z \in \mathbb{C} \mid z^{p}=1\right\}$. + +a) Să se arate că există $\omega \in U_{p}$ astfel încât $U_{p}=\left\{1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{p-1}\right\}$. + +b) Să se arate că, dacă $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ şi mulţimea $U_{m} \cup U_{n}$ este parte stabilă în raport cu înmulţirea numerelor complexe, atunci $m$ divide $n$ sau $n$ divide $m$. + +2. Fie ( $G$, ) un grup şi un subgrup $H$ al lui $G$, cu $H \neq G$. + +a) Să se arate că dacă $x \in H$ şi $y \in G \backslash H$, atunci $x y \in G \backslash H$. + +b) Să se arate că dacă orice două elemente din $G \backslash H$ comută, atunci grupul $(G, \cdot)$ este comutativ. + +3. Fie $0 SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunţ subiect 1, autor*** + +Pentru fiecare $p \in \mathbb{N}^{*}$ considerăm mulţimea $U_{p}=\left\{z \in \mathbb{C} \mid z^{p}=1\right\}$. + +a) Să se arate că există $\omega \in U_{p}$ astfel încât $U_{p}=\left\{1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{p-1}\right\}$. + +b) Să se arate că, dacă $m, n \in \mathbb{N}^{*}$ şi mulţimea $U_{m} \cup U_{n}$ este parte stabilă în raport cu înmulţirea numerelor complexe, atunci $m$ divide $n$ sau $n$ divide $m$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $U_{p}=\left\{\left.\cos \frac{2 k \pi}{p}+i \sin \frac{2 k \pi}{p} \right\rvert\, k=0,1,2, \ldots, p-1\right\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Cerinţa se realizează, de exemplu, pentru $\omega_{p}=\cos \frac{2 \pi}{p}+i \sin \frac{2 \pi}{p}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Dacă $U_{m} \cup U_{n}$ este parte stabilă, atunci $U_{m} \cup U_{n}$ conţine elementul $\omega_{m} \omega_{n}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| În acest caz avem, de exemplu, $\omega_{m} \omega_{n} \in U_{m}$, deci $\omega_{m} \omega_{n}=\omega_{m}^{s}, s \in\{1,2, \ldots, m\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Rezultă $\omega_{n}=\omega_{m}^{s-1}$, de unde $2 \pi / n=2(s-1) \pi / m$, adică $m=(s-1) n$, deci $n \mid m$ | $\mathbf{2 p}$ | + +Enunţ subiect 2, autor*** + +Fie ( $G, \cdot$ ) un grup şi un subgrup $H$ al lui $G$, cu $H \neq G$. + +a) Să se arate că dacă $x \in H$ şi $y \in G \backslash H$, atunci $x y \in G \backslash H$. + +b) Să se arate că dacă orice două elemente din $G \backslash H$ comută, atunci grupul $(G, \cdot)$ este comutativ. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Dacă $x y=z \in H$ atunci, deoarece $x^{-1} \in H$ şi $H$ este parte stabilă, $y=x^{-1} z \in H-$
contradicţie, deci $x y \notin H$ | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Dacă $x \in H$ şi $y \in G \backslash H$, atunci $y(x y)=(x y) y$ şi, prin simplificare cu $y, x y=y x$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $x \in H$ şi $y \in H$, atunci luăm $z \in G \backslash H ~$i obţinem $(x z)(y z)=(y z)(x z)$, deci
$x y z^{2}=y x z^{2}$, de unde $x y=y x$ | 3p | + +## Enunţ subiect 3, autor Florin Rotaru + +Fie $0 asociat | +| :--- | :---: | +| a) Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci cerinţa este $(n+1) F\left(x_{n}\right)=F(b)+n F(a)$ | 2p | +| Funcţia $F$ este continuă şi strict crescătoare, iar $(n+1) F(a) deci există şi este unic $x_{n} \in(a, b)$ astfel încât $(n+1) F\left(x_{n}\right)=F(b)+n F(a)$. | $\mathbf{2 p}$ | +| b) $\lim _{n \rightarrow \infty} F\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F(b)}{n+1}+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n F(a)}{n+1}=F(a)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Deoarece $F$ este strict crescătoare, relaţia precedentă implică $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$. | $\mathbf{2 p}$ | + +Enunţ subiect 4, autor *** + +a) Să se arate că $\sin x \geq x-\frac{x^{3}}{3}$, pentru orice $x \geq 0$. + +b) Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow[0, \infty)$ o funcţie continuă. Să se arate că $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right)=\int_{0}^{1} f(x) d x$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Considerăm funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin x-x+\frac{x^{3}}{3}$. Atunci $f^{\prime}(x)=\cos x-1+x^{2} / 2$,
$f^{\prime \prime}(x)=x-\sin x \geq 0$ pentru $x \geq 0$, $f^{\prime}$ este crescătoare şi $f^{\prime}(0)=0$, deci $f^{\prime}(x) \geq 0$ pentru
$x \geq 0$, de unde $f$ este crescătoare pe $[0, \infty)$, iar $f(0)=0$ conduce la concluzie | $2 p$ | +| b) Din $\sin x \leq x$ pentru $x \geq 0$ obţinem $s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=t_{n}$ | 1p | +| Cum $f$ este integrabilă, $\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}=\int_{0}^{1} f(x) d x$ | 1p | +| Din a), $s_{n} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)-\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{3}} f^{3}\left(\frac{k}{n}\right)=t_{n}-\frac{1}{3 n^{2}} u_{n}$, cu $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\int_{0}^{1} f^{3}(x) d x$ | $2 p$ | +| Din criteriul cleştelui rezultă concluzia | 1p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-864-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-864-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..203f1b2b102d0a4beb3cf78555a46b88d78a1927 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-864-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,84 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c3d3e7aa6cbfbbf5ce45g-1.jpg?height=306&width=1674&top_left_y=241&top_left_x=248) + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A XI - A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. a) Este adevărată afirmaţia : „dacă un şir de numere naturale este nemărginit atunci el are limita $+\infty$ " ? Justificaţi răspunsul ! + +b) Determinaţi toate funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care au proprietatea + +$$ +f^{2}(x)-2 f(x)=x^{2}-2 x \text {, oricare ar fi } x \in \mathbb{R} \text {. } +$$ + +2. Determinaţi numerele reale $a \geq 0$ şi $b$ pentru care + +$$ +\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-x\right)^{\frac{b x^{2}+x}{x+1}}=e +$$ + +3. Determinaţi matricele $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ care au proprietatea $A^{3}=\left(\begin{array}{cc}5 & 8 \\ 8 & 13\end{array}\right)$. +4. Fie $A$ şi $B$ matrice $2 \times 2$ cu elemente întregi, astfel încât matricele $A+B, A+2 B$, $A+3 B, A+4 B$ şi $A+5 B$ să fie inversabile, iar inversele lor să aibă elemente întregi. Să se arate că matricea $A+6 B$ este inversabilă, iar inversa ei are elemente întregi. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + + +## CLASA A XI-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Enunţ subiect 1, autor*** + +a) Este adevărată afirmaţia : „dacă un şir de numere naturale este nemărginit atunci el are limita $+\infty$ " ? Justificaţi răspunsul ! + +b) Determinaţi toate funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ care au proprietatea + +$$ +f^{2}(x)-2 f(x)=x^{2}-2 x \text {, oricare ar fi } x \in \mathbb{R} +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Nu, de exemplu $x_{n}=n\left(1+(-1)^{n}\right)$. | 3p | +| b) Avem $f(x)=1 \pm(x-1)$, deci $f(x) \in\{x, 2-x\}$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Dacă există $x_{1}, x_{2}>1$ astfel încât $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$ şi $f\left(x_{2}\right)=2-x_{2}$, atunci $f\left(x_{1}\right)>1, f\left(x_{2}\right)<1$
şi nu există $x$ între $x_{1}$ şi $x_{2}$ astfel încât $f(x)=1$, ceea ce contrazice faptul că funcţia are
proprietatea lui Darboux | $\mathbf{1 p}$ | +| Astfel $f(x)=x$ pentru orice $x \geq 1$, sau $f(x)=2-x$ pentru orice $x \geq 1$; are loc un rezultat
analog pentru $x<1$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Obţinem patru funcţii: $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=2-x, \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=1-\|x-1\|, \forall x \in \mathbb{R}$ şi
$f(x)=1+\|x-1\|, \forall x \in \mathbb{R}$ | $\mathbf{1 p}$ | + +Enunţ subiect 2, autor*** + +Determinaţi numerele reale $a \geq 1$ şi $b$ pentru care $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-x\right)^{\frac{b x^{2}+x}{x+1}}=e$. + +| Detalii rezolvare | | Barem
asociat | +| :---: | :---: | :---: | +| $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-x\right)=\frac{a}{2}, \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{b x^{2}+x}{x+1}=\left\{\begin{array}{cr}1, & b=0 \\ \pm \infty, & b \neq 0\end{array}\right.$ | | 4p | +| Dacă $a \neq 2$, limita cerută este $e$ pentru $b=0$ şi $a=2 e$ | | $1 \mathbf{p}$ | +| Dacă $a=2, \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-x\right)^{\frac{b x^{2}+x}{x+1}}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\sqrt{x^{2}+2 x}-x-1\right)^{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x}-x-1}}\right]$
este $e$ Dentru $b=-2$ | $\frac{b x^{2}+x}{(x+1)\left(\sqrt{x^{2}+2 x}+x+1\right)}$ | $2 p$ | + +Enunţ subiect 3, autor Daniela Haret + +Determinaţi matricele $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ care au proprietatea $A^{3}=\left(\begin{array}{cc}5 & 8 \\ 8 & 13\end{array}\right)$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $(\operatorname{det}(A))^{3}=\operatorname{det}\left(A^{3}\right)=1$, deci det $A=1$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $t$ este urma lui $A$, atunci $A^{2}=t A-I_{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Rezultă $A^{3}=t A^{2}-A=\left(t^{2}-1\right) A-t I_{2}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Deoarece $A$ are elemente întregi, deducem $t^{2}-1 \mid 8$ şi $t \in \mathbb{Z}$, deci $t=0$ sau $t= \pm 3$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Pentru $t \in\{-3,0\}$ nu obţinem soluţii, iar pentru $t=3$ obţinem $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$, care convine | $\mathbf{2 p}$ | + +Enunţ subiect 4, autor *** + +Fie $A$ şi $B$ matrice $2 \times 2$ cu elemente întregi, astfel încât matricele $A+B, A+2 B, A+3 B$, $A+4 B$ şi $A+5 B$ să fie inversabile, iar inversele lor să aibă elemente întregi. Să se arate că matricea $A+6 B$ este inversabilă, iar inversa ei are elemente întregi. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Dacă o matrice $M$ şi inversa ei au elemente întregi, atunci $(\operatorname{det} M)\left(\operatorname{det} M^{-1}\right)=1$ implică
det $M= \pm 1$ | $2 \mathbf{p}$ | +| Astfel, ipoteza spune că pentru funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\operatorname{det}(A+B x)$, una din ecuaţiile
$f(x)=1$ sau $f(x)=-1$ are cel puţin trei soluţii; cum aceste funcţii sunt polinomiale de
grad cel mult doi, rezultă că una dintre funcţii este constantă | 3p | +| Folosind această funcţie, deducem că $\operatorname{det}(A+6 B)= \pm 1$, de unde concluzia | 2p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-865-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-865-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..daf021312a3b03b3e86eb2ceba6aa02d37e4a2da --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-865-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 -
CLASA A X-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Fie un număr real $a>0$. Să se arate că funcţia $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dată de $f(n)=n+[a \sqrt{n}]$ este injectivă şi nesurjectivă. (Notaţia $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$.) +2. Fie $z$ un număr complex. Să se arate că $\sqrt{2}|z+1|=|z+i|+|z-i|$ dacă şi numai dacă $|z|=1$ şi $\operatorname{Re}(z) \geq 0$. +3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +2^{\sin 3 x}-8^{\sin x}=\sin ^{3} x +$$ + +4. Să se rezolve ecuaţia + +$$ +\sqrt[3]{x^{6}+7 x^{3}}=\sqrt{x^{4}+8 x}-x^{2} +$$ + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + + +## CLASA A X-A
SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. + +Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1, autor $* * *$ + +Fie un număr real $a>0$. Să se arate că funcţia $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dată de $f(n)=n+[a \sqrt{n}]$ este injectivă şi nesurjectivă. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Funcţia $f$ este suma funcţiilor $n \mapsto n$ (strict crescătoare) şi $n \mapsto[a \sqrt{n}]$ (crescătoare) | $\mathbf{2 p}$ | +| Deoarece este strict crescătoare, funcţia este injectivă | $\mathbf{2 p}$ | +| Deoarece şirul $(a \sqrt{n})_{n \in \mathbb{N}}$ este nemărginit, există $m$ astfel încât $[a \sqrt{m}]<[a \sqrt{m+1}]$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Atunci $f(m+1) \geq f(m)+2$, deci funcţia nu ia valoarea $f(m)+1$ | $\mathbf{2 p}$ | + +Subiect 2, prelucrare *** + +Fie $z$ un număr complex. Să se arate că $\sqrt{2}|z+1|=|z+i|+|z-i|$ dacă şi numai dacă $|z|=1$ şi $\operatorname{Re}(z) \geq 0$. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Pentru $z=a+b i, a, b \in \mathbb{R}$ avem $\|z+1\|=\sqrt{(a+1)^{2}+b^{2}},\|z+i\|=\sqrt{a^{2}+(b+1)^{2}}$,
$\|z-i\|=\sqrt{a^{2}+(b-1)^{2}}$ | $2 p$ | +| Egalitatea iniţială este echivalentă cu $2(a+1)^{2}+2 b^{2}=a^{2}+(b+1)^{2}+a^{2}+(b-1)^{2}+$
$+2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+1\right)^{2}-4 b^{2}}$, adică $2 a=\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+1\right)^{2}-4 b^{2}}$ | $2 p$ | +| Aceasta este echivalent cu $a \geq 0$ şi $4 a^{2}+4 b^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+1\right)^{2}$ | 1p | +| Ultima egalitate revine la $\left(a^{2}+b^{2}-1\right)^{2}=0$, adică $a^{2}+b^{2}=1$, q.e.d. | $2 p$ | + +Subiect 3, autor Traian Tămâian - GM 2/2013 + +Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia + +$$ +2^{\sin 3 x}-8^{\sin x}=\sin ^{3} x +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Ecuaţia se scrie echivalent $2^{\sin 3 x}+\frac{\sin 3 x}{4}=2^{3 \sin x}+\frac{3 \sin x}{4}$ | $2 p$ | +| Dacă definim $f(t)=2^{t}+\frac{t}{4}, t \in \mathbb{R}$, atunci funcţia $t \mapsto f(t)$ este strict crescătoare, deci
ecuaţia, care se scrie $f(\sin 3 x)=f(3 \sin x)$, este echivalentă cu $\sin 3 x=3 \sin x$ | $2 p$ | +| Obţinem $\sin ^{3} x=0$, cu soluţiile $x=k \pi, k \in \mathbb{Z}$ | $2 \mathbf{p}$ | + +Subiect 4, autor Eugen Radu + +Să se rezolve ecuaţia + +$$ +\sqrt[3]{x^{6}+7 x^{3}}=\sqrt{x^{4}+8 x}-x^{2} +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Expresiile sunt definite pentru $x \in(-\infty,-2] \cup[0,+\infty)$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Observăm că o soluţie este 0 | $\mathbf{1 p}$ | +| Pentru $x \neq 0$, ecuaţia se scrie $x \sqrt[3]{x^{3}+7}=\frac{8 x}{\sqrt{x^{4}+8 x}+x^{2}}$, sau $\sqrt[3]{x^{3}+7}\left(\sqrt{x^{4}+8 x}+x^{2}\right)=8$ | $\mathbf{3 p}$ | +| Pentru $x>0$ expresia din membrul stâng defineşe o funcţie strict crescătoare, deci în
acest caz soluţia evidentă $x=1$ este unică | $\mathbf{1 p}$ | +| Pentru $x \leq-2$ expresia din membrul stâng este negativă, deci soluţiile ecuaţiei sunt 0 şi 1 | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-866-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-866-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..494881adce8beef1c784aaee79d960720a009891 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-866-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A IX-A + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. a) O progresie aritmetică de raţie pozitivă conține numerele $14,26,42$. Să se arate că numărul 2014 este termen al progresiei. + +b) Fie $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie geometrică având termenii pozitivi. Să se arate că + +$$ +\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots+b_{2014}\right)\left(b_{1}+b_{2014}\right) \geq 4028 b_{1} b_{2014} +$$ + +2. În triunghiul $A B C$ se notează cu $M, N$, respectiv $P$ punctele de tangență ale cercului înscris în acesta cu laturile $(B C),(C A)$, respectiv $(A B)$. + +a) Să se arate că $2 a \overrightarrow{A M}=(a+b-c) \overrightarrow{A B}+(a+c-b) \overrightarrow{A C}$. + +b) Să se arate că $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{0}$ dacă și numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral. + +3. a) Să se arate că, dacă $\alpha>0$, atunci valoarea maximă a funcției $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dată de $f(x)=\frac{x}{x^{2}+\alpha}$ este $\frac{1}{2 \sqrt{\alpha}}$. + +b) Să se arate că, dacă $a, b, c$ sunt numere reale pozitive, atunci + +$$ +\frac{a}{a^{2}+b c}+\frac{b}{b^{2}+a c}+\frac{c}{c^{2}+a b} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) +$$ + +4. Se numerotează vârfurile unui cub $A B C D E F G H$ cu câte un număr natural de la 1 la 8 , astfel încât oricăror două vârfuri distincte să li se atribuie numere diferite. + +a) Se atribuie fiecărei fețe numărul egal cu suma numerelor atribuite vârfurilor care o determină. Să se arate că există patru fețe cu suma numerelor atribuite egală cu 72 . + +b) Se atribuie fiecărei muchii numărul egal cu suma numerelor atribuite vârfurilor care o determină. Există o numerotare a vârfurilor pentru care numerele atribuite muchiilor sunt distincte două câte două ? Justificaţi răspunsul! + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + + +## CLASA A IX-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiect 1, prelucrare Ovidiu Şontea + +a) O progresie aritmetică de rație pozitivă conține numerele $14,26,42$. Să se arate că numărul 2014 este termen al progresiei. + +b) Fie $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie geometrică având termenii pozitivi. Să se arate că + +$$ +\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots+b_{2014}\right)\left(b_{1}+b_{2014}\right) \geq 4028 b_{1} b_{2014} +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $26-14=12=m r, 42-26=16=n r$, deci $4=(n-m) r, \mathrm{cu} n-m=p$ natural | $\mathbf{2 p}$ | +| $2014=14+500 \cdot 4=14+500 p r$ aparţine progresiei | $\mathbf{2 p}$ | +| b) După împărţire cu $b_{1}^{2}$, inegalitatea devine $\left(1+q+\ldots+q^{2013}\right)\left(1+q^{2013}\right) \geq 4028 q^{2013}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Ea rezultă prin adunarea inegalităţilor $1+q^{4026} \geq 2 q^{2013}, q+q^{4025} \geq 2 q^{2013}$, etc | $\mathbf{2 p}$ | + +Subiect 2, autor $* * *$ + +În triunghiul $A B C$ se notează cu $M, N$, respectiv $P$ punctele de tangență ale cercului înscris în acesta cu laturile $(B C),(C A)$, respectiv $(A B)$. + +a) Să se arate că $2 a \overrightarrow{A M}=(a+b-c) \overrightarrow{A B}+(a+c-b) \overrightarrow{A C}$. + +b) Să se arate că $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{0}$ dacă și numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral. + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $\overrightarrow{A M}=(M C / B C) \overrightarrow{A B}+(M B / B C) \overrightarrow{A C}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| $M B=p-b, M C=p-c$, de unde concluzia | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Dacă $a=b=c$, atunci $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C P}=1 / 2(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})=\overrightarrow{0}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Din a), $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C P}=\frac{1}{2}((b-c) / a+(b-a) / c) \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}((c-b) / a+(c-a) / b) \overrightarrow{A C}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C P}=\overrightarrow{0}$ implică $a b+b c=a^{2}+c^{2}$ şi $a c+b c=a^{2}+b^{2}$, de unde $a=b=c$ | $\mathbf{1 p}$ | + +Subiect 3, autor Marian Cucoaneş - Supliment GM 11/2013 + +a) Să se arate că, dacă $\alpha>0$, atunci valoarea maximă a funcției $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dată de $f(x)=\frac{x}{x^{2}+\alpha}$ este $\frac{1}{2 \sqrt{\alpha}}$. + +b) Să se arate că, dacă $a, b, c$ sunt numere reale pozitive, atunci + +$$ +\frac{a}{a^{2}+b c}+\frac{b}{b^{2}+a c}+\frac{c}{c^{2}+a b} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) +$$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $f(x) \leq 1 /(2 \sqrt{\alpha}) \Leftrightarrow(x-\sqrt{\alpha})^{2} \geq 0$, cu egalitate pentru $x=\sqrt{\alpha}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| b) Conform a), este suficient să arăăm că $\sum 1 / \sqrt{a b} \leq \sum 1 / a$ | $2 \mathbf{p}$ | +| Notând $x=1 / \sqrt{a}$ şi analoagele, aceasta se reduce la $\sum x y \leq \sum x^{2}-$ inegalitate cunoscută | $2 \mathbf{p}$ | + +## Subiect 4, autori Ovidiu Şontea şi Mihail Bălună + +Se numerotează vârfurile unui cub $A B C D E F G H$ cu câte un număr natural de la 1 la 8 , astfel încât oricăror două vârfuri distincte să li se atribuie numere diferite. + +a) Se atribuie fiecărei fețe numărul egal cu suma numerelor atribuite vârfurilor care o determină. Să se arate că există patru fețe cu suma numerelor atribuite egală cu 72 . + +b) Se atribuie fiecărei muchii numărul egal cu suma numerelor atribuite vârfurilor care o determină. Există o numerotare a vârfurilor pentru care numerele atribuite muchiilor sunt distincte două câte două ? Justificaţi răspunsul! + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Suma numerelor de pe două fețe opuse este suma tuturor numerelor folosite, adică 36 | $\mathbf{2 p}$ | +| Cu două perechi de fețe opuse obţinem patru fețe cu suma numerelor atribuite egală cu 72 | $\mathbf{1 p}$ | +| b) Suma numerelor atribuite muchiilor este $3(1+2+\ldots+8)=108$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Dacă muchiile au numere diferite, atunci ele trebuie să fie 12 numere dintre $3,4, \ldots, 15$.
Cum $3+4+\ldots+15=117$, trebuie ca numerele muchiilor să fie $3,4, \ldots, 8,10,11, \ldots, 15$ | $\mathbf{1 p}$ | +| In acest caz, trebuie să existe simultan muchiile $87,86,(85$ sau 76$)$ şi $(75$ sau 84$)$, ceea ce
este imposibil | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-867-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-867-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5ba8d72664a1f4c22c1a6e41380329b9de7cd770 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-867-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,35 @@ +Inspectoratul Școlar Judeţean + +Harghita +Inspectoratul Școlar Judeţean + +Harghita +Olimpiada de matematică - clasa a XII-a + +etapa zonală - 15 februarie 2014 +Olimpiada de matematică - clasa a XII-a + +etapa zonală - 15 februarie 2014 + +1. Fie mulţimea $G=(0, \pi)$ şi legea de compoziţie + +$x o y=\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x+\operatorname{ctg} y), \forall x, y \in G$ + +a) Arătaţi că $(G, o)$ este grup abelian. + +b) Arătaţi că grupul $(G, o)$ este izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale. + +2. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup si $e$ elementul său neutru. Elementele $a, b \in G$ satisfac condiţiile: $b^{6}=e$ şi $a b=b^{4} a$. Arătaţi că: $b^{3}=e$ şi $a b=b a$. +3. Fie ( $G, \circ$ ) un grup cu 625 elemente, în care ordinea fiecărui element este $p$. Determinaţi valoarea lui $p$. +4. Fie integrala $I_{n}=\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{x \sqrt{x \ldots \sqrt{x}}}}_{n \text { radicali }}} d x$, unde $n \in \mathbf{N}^{*}$. + +a) Calculaţi: $I_{1}, I_{2}$ + +b) Aflaţi $I_{n}$ unde $n \geq 3$. + +5. Să se calculeze: $\int \frac{2-\sin x}{2+\cos x} d x$ + +## Kovács Lajos + +Poplauschi Francisc, György Éva + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-868-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-868-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b75cde53d9b6e651c73f5b33dc5c1029940642d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-868-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,57 @@ +Inspectoratul Scolar Județean + +Harghita +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita + +## Varianta 1 + +Olimpiada de matematică - clasa a XI-a + +etapa zonală - 15 februarie 2014 + +1. Se dau punctele $A(3,2)$ şi $B(2,4)$. Să se determine punctele $M$, de pe dreapta $x-y=3$ pentru care $A_{\triangle O A M}=A_{\triangle O B M}$ +2. Fie matricea $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right), a, b, c \in \square$. Să se calculeze $A^{n}$. +3. Fie $a_{n}=\ln \sqrt{\frac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}}$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ dacă $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. +4. Se consideră şirul $\left(a_{n}\right)$ definit prin $a_{1}=\frac{1}{3}$ şi $a_{n+1}=2 a_{n}+(-1)^{n+1}$ + +Să se studieze convergenţa şirului cu termenul general $b_{n}=\frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}$. + +5. Fie $\Delta_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}a+b & a b & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & a b & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & a+b\end{array}\right|, a, b \in \square$, + +$a \neq b$ un determinant de ordinul $n$. + +a) Să se stabilească o relaţie de recurenţă între + +$$ +\Delta_{n}, \Delta_{n-1}, \Delta_{n-2}, n \geq 3, n \in \square +$$ + +b) Să se determine $\Delta_{n}$. + +Dávid Géza +Olimpiada de matematică - clasa a XI-a + +etapa zonală - 15 februarie 2014 + +1. Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}5 & 8 \\ 8 & 13\end{array}\right)$. + +a) Să se arate că, dacă $X^{n}=A$, atunci $A X=X A$ + +b) Să se determine matricele $X \in M_{2}(\square)$ pentru care $A X=X A$ + +c) Să se rezolve pe $M_{2}(\square)$ ecuaţia $X^{2}=A$. + +2. Matricea $A \in M_{n}(\square)$ satisface relaţia $A^{3}=A+I_{n}$. Să se arate că $\operatorname{det}(A)>0$. +3. Să se demonstreze că şirul cu termenul general $a_{n}=\log _{n}(n+1)$, $n \geq 2$, este monoton şi mărginit, apoi să se calculeze limita şirului cu termenul general $b_{n}=\left(\log _{n}(n+1)\right)^{n \ln n}, n \geq 2$ ! +4. Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ este definit prin $x_{n+1}=\frac{\sqrt{x_{n}}}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{1-x_{n}}}, x_{0} \in(0,1)$. + +a) Să se studieze convergenţa şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ ! + +b) Să se scrie termenul general al şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$, în funcţie de $x_{0}$ ! + +5. Se consideră matricea de ordinul $n \quad A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0\end{array}\right)$. + +Să se determine matricea inversă a lui $A$ ! + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-869-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-869-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..edcb9dbfc4867312dc0c6811ff283d87183715f1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-869-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,72 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Harghita + +$$ +\text { etapa zonală - } 15 \text { februarie } 2014 +$$ + +1. Să se rezolve pe mulţimea numerelor reale ecuaţia: + +$$ +\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+4}=2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} +$$ + +2. Să se determine numerele reale $x$ şi $y$ care satisfac egalitatea + +$3^{y} \cdot 5^{x}-2 \cdot 5^{2 x}+3^{y+1}=\sqrt{3^{y}\left(2 \cdot 5^{x}-3^{y}\right)-25^{x}}+3^{y+2}-2 \cdot 5^{x+1}+4$ + +3. Să se determine valoarea parametrului $\alpha \in[0,2 \pi]$, astfel încât numerele A, B şi C să fie termenii consecutivi ai unei progresii geometrice + +$$ +\begin{aligned} +& A=12^{\log _{4}\left(\sin \frac{99 \pi}{4}\right)}, \quad B=-6^{-\log _{25} 5} \cdot \cos \left(\frac{99 \pi}{4}\right) \\ +& C=\frac{(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-1}{\sqrt[4]{108}} +\end{aligned} +$$ + +4. Se consideră numerele complexe $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, pentru care avem $z_{1}+z_{2}+z_{3} \neq 0, \quad z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=0 \quad$ ş $\quad\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1$. Să se calculeze valoarea $T=\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|$ +5. Se consideră funcţia $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ pentru care $2^{f(x)}+f(x)=2^{x}, \quad \forall x \in(0, \infty)$ + +a) Să se demonstreze că funcţia $f$ este bijectivă + +b) Să se demonstreze că ecuaţia $f(f(x))=x$ nu are soluţie pe mulţimea $\square_{+}^{*}$ + +András Ibolya + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Olimpiada de matematică - clasa a X-a } \\ +& \text { etapa zonală - } 15 \text { februarie } 2014 +\end{aligned} +$$ + +1. Dacă numerele nenule $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ sunt termenii unei progresii geometrice şi $S_{1}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}$, iar $S_{2}=\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{2}}+\cdots+\frac{1}{b_{n}}$ să se calculeze în funcţie de $S_{1}$ şi $S_{2}$ produsul $P=b_{1} \cdot b_{2} \cdot \ldots \cdot b_{n}$ +2. Să se rezolve în mulţimea $\square_{+}^{*}$ ecuaţia + +$$ +\sum_{k=1}^{n} \log _{\sqrt[k+1]{a}} x^{k}=n(n+1)(n+2) +$$ + +3. Se consideră numerele reale $x, y, z$, cu proprietăţile: + +$$ +\cos x+\cos y+\cos z=0 \text { şi } \sin x+\sin y+\sin z=0 +$$ + +Să se arate că: + +$$ +\cos 2 x+\cos 2 y+\cos 2 z=0 \text { şi } \sin 2 x+\sin 2 y+\sin 2 z=0 +$$ + +4. Să se calculeze $S=\cos \frac{2 \pi}{9}+\cos \frac{4 \pi}{9}+\cos \frac{6 \pi}{9}+\cos \frac{8 \pi}{9}$ +5. Să se determine funcţiile $f$ şi $g$ ştiind că verifică următoarele relaţii: + +$2 f(x+6)+4 g(2 x+15)=x+2$ şi $f\left(\frac{x+2}{2}\right)+g(x+5)=x+4$, pentru orice $x \in \square$. + +Popa Ionela, Popa Cristian, L.T. Salamon Ernő Gheorgheni + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-87-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-87-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ecd6e8d912efde6db7b5ea1ddf6fbfd3255680d8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-87-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,150 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6fe085316dc8718eed18g-1.jpg?height=246&width=252&top_left_y=316&top_left_x=514) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE ȘI CERCETÄRII ȘTIINȚTIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Finală, Târgu Mureş şi Sovata, 20 aprilie 2016
CLASA a 12-a + +## Soluţii şi barem orientativ + +Problema 1. Arătaţi că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ există un unic $c_{n} \in(0,1)$, astfel încât + +$$ +\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{1+\left(c_{n}\right)^{n}} +$$ + +şi calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(c_{n}\right)^{n}$. + +Radu Pop + +Soluţie. Existenţa lui $c_{n}$ este asigurată de teorema de medie aplicată funcţiei continue $f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x)=\left(1+x^{n}\right)^{-1}, n \in \mathbb{N}^{*}$. Din injectivitatea lui $f_{n}$ rezultă unicitatea lui $c_{n}$. ........................................ 1 punct + +Fie $I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1+x^{n}\right)^{-1} \mathrm{~d} x$. Cum $n\left(c_{n}\right)^{n}=n\left(1 / I_{n}-1\right)$, iar $\left|I_{n}-1\right|=$ $\left|\int_{0}^{1} \frac{-x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x\right| \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x=1 /(n+1)$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}=1$, este suficient să calculăm $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-I_{n}\right)$. ................................... 2 puncte + +Avem $n\left(1-I_{n}\right)=n \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} d x=\int_{0}^{1} x \cdot\left(\ln \left(1+x^{n}\right)\right)^{\prime} d x=\ln 2-$ $\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) d x$. + +Din $0 \leq \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) d x \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x=\frac{1}{n+1}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ punct rezultă $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) d x=0$, deci $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(c_{n}\right)^{n}=\ln 2$. . 1 punct + +Problema 2. Fie $A$ un inel şi fie $D$ mulţimea elementelor sale neinversabile. Ştiind că $a^{2}=0$ oricare ar fi $a \in D$, să se arate că: + +(a) $a x a=0$ oricare ar fi $a \in D$ şi $x \in A$; + +(b) dacă $D$ este mulţime finită cu cel puţin două elemente, atunci există $a \in D, a \neq 0$, astfel încât $a b=b a=0$, oricare ar fi $b \in D$. + +Ioan Băetu + +Soluţie. (a) Fie $a \in D$ şi $x \in U(A)$. Cum ax $\in D$ rezultă că $\operatorname{axax}=0$, deci $a x a=0$. + +1 punct + +Dcă $x \in D$, atunci $1+x \in U(A)$, deci $a+a x=a(1+x) \in D$. Obţinem $0=(a+a x)^{2}=a^{2}+a^{2} x+a x a+\operatorname{axax}=a x a(1+x)$, deci $a x a=0$. + +1 punct + +(b) Fie $P$ mulţimea produselor finite şi nenule de elemente din $D$. Cum $|D| \geq 2, P$ este nevidă. + +2 puncte + +Dacă $x=a_{1} a_{2} \cdots a_{k} \in P$, atunci $a_{i} \neq a_{j}$ pentru $i \neq j$. Intr-adevăr, dacă există $i0$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, astfel încât + +$$ +\int_{a}^{a+a_{n}} f(x) d x+\int_{a}^{a-a_{n}} f(x) d x \leq \frac{a_{n}}{n} +$$ + +oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Dan Marinescu + +Soluţie. Fie $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t$. Cum $f$ este continuă în $a$, atunci $F$ este derivabilă în $a$ şi $F^{\prime}(a)=f(a)$. Rezultă că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$, există $\delta_{n}>0$ astfel încât $|F(x) /(x-a)-f(a)| \leq 1 /(2 n)$, oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$ cu $|x-a|<\delta_{n}$. Fie $a_{n}=\delta_{n} / 2, n \geq 1$. + +Pentru $x=a+a_{n}$ obţinem $F\left(a+a_{n}\right) / a_{n}-f(a) \leq 1 /(2 n)$, iar pentru $x=a-a_{n}$ obţinem $f(a)-F\left(a-a_{n}\right) /\left(-a_{n}\right) \leq 1 /(2 n)$. Prin adunarea celor două inegalităţi obţinem $F\left(a+a_{n}\right)+F\left(a-a_{n}\right) \leq a_{n} / n$, deci inegalitatea cerută. + +Reciproc, deoarece $f$ este crescătoare, rezultă că $g: \mathbb{R} \backslash\{a\} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=$ $F(x) /(x-a)$, este crescătoare pe $\mathbb{R} \backslash\{a\}$. Intr-adevăr, fie $x, y \in \mathbb{R} \backslash\{a\}$, $a-f(2)$ si $f\left(1+\frac{1}{f(1)}\right) \leq 2 \sqrt{f(1)-f(0)}$, determinaţi funcţia $f$ ! + +3. Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ satisface relaţia $\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1} a_{n}}=\frac{n-1}{n}$ oricare ar fi numărul natural $n \geq 1$. Determinaţi termenii şirului! +4. În pătratul $A B C D \overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}, M$ este mijlocul laturii $B C, N$ un punct pe $D C$ astfel încât $D N=\frac{1}{3} D C, P$ este intersecţia dreptelor $D M$ şi $A N$, iar $Q$ intersecţia dreptelor $A C$ şi $D M$. + +a) Determinaţi vectorii $\overrightarrow{A P}$ şi $\overrightarrow{A Q}$ în funcţie de vectorii $\vec{a}$ şi $\vec{b}$ ! + +b) A câta parte este aria triunghiului $A P Q$ din aria pătratului? + +5. Împărţim un pătrat în dreptunghiuri, prin drepte paralele cu laturile pătratului. Colorăm dreptunghiurile în alb şi negru, asemenea unei table de şah. Constatăm, că suma ariilor dreptunghiurilor negre este egală cu suma ariilor dreptunghiurilor albe. Să se demonstreze că dreptunghiurile negre se pot aranja astfel încât să formeze un dreptunghi! + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8198c1754071939216ceg-2.jpg?height=485&width=465&top_left_y=1962&top_left_x=750) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-875-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-875-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d155b38e3a2d7270f0aa86b7911339d8c85a2adc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-875-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,115 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice + +Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică 2014 + +faza locală + +## Clasa a XII-a + +1. Fie $(G, \cdot)$ un grup sii $H$ o submulţime proprie a sa. Să se arate că dacă pentru orice $x \in H$ şi orice $y \in G-H$ rezultă $x \cdot y \in G-H$, atunci $H$ este subgrup al lui $G$. +2. Fie $A$ un inel în care $x^{6}=x$, pentru orice $x \in A$. Să se arate că $x^{2}=x$, pentru orice $x \in A$. +3. Să se calculeze + +$$ +\int \frac{3 \sin x+2 \cos x}{3 \cos x+2 \sin x} d x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) +$$ + +4. Să se calculeze + +$$ +\int\left(5 x^{5}+3 x^{3}\right) \sqrt{x^{3}+x} d x, \quad x>0 +$$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada de matematică 2014 + + faza locală +## Clasa a XII-a + +Soluţii şi bareme + +1. Fie ( $G, \cdot)$ un grup şi $H$ o submulţime proprie a sa. Să se arate că dacă pentru orice $x \in H$ şi orice $y \in G-H$ rezultă $x \cdot y \in G-H$, atunci $H$ este subgrup al lui $G$. + +Soluţie. Arătăm că $e \in H$. Dacă $e \in G-H$, luând un $x \in H$, ar rezulta $e x=x \in G-H$, absurd. + +Fie acum $x \in H$. Arătăm că $x^{-1} \in H$. Dacă $x^{-1} \in G-H$, atunci $x x^{-1}=e \in G-H$, absurd. + +Fie $x, y \in H$. Arătăm că $x y \in H$. Să presupunem $x y \in G-H$. Conform celor precedente $x^{-1} \in H$. Dar atunci $x^{-1}(x y)=y \in G-H$, absurd.. + +2. Fie $A$ un inel in care $x^{6}=x$, pentru orice $x \in A$. Să se arate că $x^{2}=x$, pentru orice $x \in A$. + +Soluţie. Pentru $x=-1$, obţinem $1=-1$, deci $1+1=0$, de unde $x+x=0$, pentru orice $\qquad$ +Apoi, pentru $x \in A$, + +$$ +\begin{aligned} +1+x & =(1+x)^{6}=1+6 x+15 x^{2}+20 x^{3}+15 x^{4}+6 x^{5}+x^{6} \\ +& =1+x^{2}+x^{4}+x^{6} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ +deci + +$$ +0=x^{2}+x^{4} +$$ + +Deducem + +$$ +x=x^{6}=x^{4} x^{2}=-x^{2} x^{2}=-x^{4}=x^{2} +$$ + +ceea ce doream + +3. Să se calculeze + +$$ +\int \frac{3 \sin x+2 \cos x}{3 \cos x+2 \sin x} d x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) +$$ + +Soluţie. Aflăm $a, b$ astfel ca + +$$ +3 \sin x+2 \cos x=a(3 \cos x+2 \sin x)+b(3 \cos x+2 \sin x)^{\prime} +$$ + +## Obţinem + +$$ +\int \frac{3 \sin x+2 \cos x}{3 \cos x+2 \sin x} d x=\frac{1}{13}(12 x-\ln (2 \sin x+3 \cos x))+\mathcal{C} +$$ + +4. Să se calculeze + +$$ +\int\left(5 x^{5}+3 x^{3}\right) \sqrt{x^{3}+x} d x, \quad x>0 +$$ + +Solutie. Avem + +$$ +\int\left(5 x^{5}+3 x^{3}\right) \sqrt{x^{3}+x} d x=\int\left(5 x^{4}+3 x^{2}\right) \sqrt{x^{5}+x^{3}} d x +$$ + +$\mathrm{Cu}$ substituţia $x^{5}+x^{3}=t$, avem $\left(5 x^{4}+3 x^{2}\right) d x=d t, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ şi integrala devine + +$$ +\int \sqrt{t} d t +$$ + +de unde + +$$ +\int\left(5 x^{5}+3 x^{3}\right) \sqrt{x^{3}+x} d x=\frac{2}{3}\left(x^{6}+x^{4}\right) \sqrt{x^{3}+x}+\mathcal{C} +$$ + +$.3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-876-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-876-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ca997d7c37c4f51282d60db3a2e5a6155fdcd8bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-876-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,129 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean + +Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice + +Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică 2014
faza locală + +## Clasa a XI-a + +1. Fie $A \in M_{2}(\mathbb{C})$ o matrice cu proprietatea + +$$ +I_{2}+A+A^{2}+\ldots+A^{2014}=0_{2} +$$ + +Să se arate că $A$ este inversabilă şi să se dea un exemplu de astfel de matrice. + +2. Să se determine $k \in \mathbb{R}$ astfel încât limita + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} n^{k}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2 \sqrt{n}) +$$ + +să existe, să fie finită şi nenulă. + +3. Fie $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ o matrice astfel încât toţi minorii de ordinul $n-1$ sunt egali între ei. Să se arate că $\operatorname{det} A=0$. +4. Să se studieze convergenţa şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{1}=\sqrt{6}$, şi pentru $n \geq 1$ + +$$ +x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}} +$$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada de matematică 2014 + +faza locală + +Clasa a 11-a + +Soluţii şi bareme + +1. Fie $A \in M_{2}(\mathbb{C})$ o matrice cu proprietatea + +$$ +I_{2}+A+A^{2}+\ldots+A^{2014}=0_{2} +$$ + +Să se arate că $A$ este inversabilă şi să se dea un exemplu de astfel de matrice. + +Solutie. Avem + +$$ +A+A^{2}+\ldots+A^{2014}=-I_{2} +$$ + +sau + +$$ +A\left(-A-A^{2}-\ldots-A^{2013}\right)=I_{2} +$$ + +Deducem că $A$ este inversabilă si că + +$$ +A^{-1}=-A-A^{2}-\ldots-A^{2013} +$$ + +Un exemplu posibil este + +$$ +A=\left(\begin{array}{ll} +a & 0 \\ +0 & a +\end{array}\right) +$$ + +unde $a \neq 1$ este o rădăcină complexă de ordinul 2015 a unităţii + +2. Să se determine $k \in \mathbb{R}$ astfel încât limita + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} n^{k}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2 \sqrt{n}) +$$ + +să existe, să fie finită şi nenulă. + +Soluţie. Avem + +$$ +\begin{aligned} +\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2 \sqrt{n} & =\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) \\ +& =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \\ +& =\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})} \\ +& =\frac{-2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})} +\end{aligned} +$$ + +3. Fie $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ o matrice astfel încât toţi minorii de ordinul $n-1$ sunt egali între ei. Să se arate că $\operatorname{det} A=0$. + +Soluţie. Fie $d$ valoarea comună a minorilor de ordin $n-1$. Atunci + +$$ +A^{*}=\left(\begin{array}{cccc} +d & -d & d & \cdots \\ +-d & d & -d & \cdots \\ +d & -d & d & \cdots \\ +\vdots & & & +\end{array}\right) +$$ + +Înmulţind liniile de ordin par cu -1 , obţinem uşor că $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)=0 \ldots \ldots . .4 \mathrm{p}$ $\operatorname{Dar} A A^{*}=\operatorname{det} A \cdot I_{n}$, $\operatorname{de}$ unde $\operatorname{det} A=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +4. Să se studieze convergenţa şirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, definit prin $x_{1}=\sqrt{6}$, si pentru $n \geq 1$ + +$$ +x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}} +$$ + +Soluţie. Se arată inductiv că şirul este crescător $2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6a8932e6a7b27bb15fag-3.jpg?height=51&width=1106&top_left_y=1470&top_left_x=492) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e6a8932e6a7b27bb15fag-3.jpg?height=46&width=1101&top_left_y=1510&top_left_x=495) + +Trecând la limită în relaţia de recurenţă obţinem $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=3 \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-877-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-877-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..baeb89998c270e5a2f1dda01ad77e8792a21b59a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-877-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,194 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean Buzău +Societatea de Ştiinţe Matematice Filiala Buzău + +# Olimpiada de matematică 2014 faza locală + +## Clasa a X-a + +1. Fie $a$ şi $b$ numere pozitive distincte. Să se rezolve ecuatio + +$$ +\sqrt{x-b^{2}}-\sqrt{x-a^{2}}=a-b +$$ + +2. Fie $A, B, C$ puncte distincte in plan, de afixe $a, b, c$. Să se arate că dacă + +$$ +|2 a-b-c|=|b-c| +$$ + +atunci triunghiul $A B C$ este dreptunghic. + +3. Să se arate că +a) + +$$ +\log _{a+1} a<\log _{a+2}(a+1) +$$ + +pentru orice $a>0$. +b) + +$$ +\log _{5} 4 \cdot \log _{7} 6 \cdot \ldots \cdot \log _{81} 80>\frac{1}{2} +$$ + +4. Fie $x>y>0$ numere reale care verifică egalitatea + +$$ +x^{y}=y^{x} +$$ + +Să se arate că există $s>0$ astfel încât + +$$ +x=\left(1+\frac{1}{s}\right)^{s+1}, y=\left(1+\frac{1}{s}\right)^{s} +$$ + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## Olimpiada de matematică 2014 + +faza locală + +Clasa a X-a + +Soluţii şi bareme + +1. Fie $a$ şi $b$ numere pozitive distincte. Să se rezolve ecuatiia + +$$ +\sqrt{x-b^{2}}-\sqrt{x-a^{2}}=a-b +$$ + +Solutie. Trebuie să avem $x \geq a^{2}, x \geq b^{2}$ + +Ecuaţia se scrie echivalent + +$$ +\frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{x-b^{2}}+\sqrt{x-a^{2}}}=a-b +$$ + +de unde + +$$ +\sqrt{x-b^{2}}+\sqrt{x-a^{2}}=a+b +$$ + +Adunând cu ecuaţia iniţială, obţinem + +$$ +\sqrt{x-b^{2}}=a +$$ + +$\qquad$ +de unde $x=a^{2}+b^{2}$, care evident este solutie. + +2. Fie $A, B, C$ puncte distincte în plan, de afixe $a, b, c$. Să se arate că dacă + +$$ +|2 a-b-c|=|b-c| +$$ + +atunci triunghiul $A B C$ este dreptunghic. + +Solutie. Avem, echivalent, + +$$ +\left|a-\frac{b+c}{2}\right|=\frac{|b-c|}{2} +$$ + +................................................................................................... + +deci, dacă $M$ e mijlocul laturii $B C$, egalitatea precedentă se scrie + +$$ +A M=\frac{1}{2} B C +$$ + +Deducem că $A$ se află pe cercul de diametru $B C$, deci $\angle A=90^{\circ} \ldots$ + +3. Să se arate că +a) + +$$ +\log _{a+1} a<\log _{a+2}(a+1) +$$ + +pentru orice $a>0$. +b) + +$$ +\log _{5} 4 \cdot \log _{7} 6 \cdot \ldots \cdot \log _{81} 80>\frac{1}{2} +$$ + +Soluţie. a) Inegalitatea e echivalentă $\mathrm{cu}$ + +$$ +\log _{a+1} a \cdot \log _{a+1}(a+2)<1 +$$ + +Să observăm că + +$$ +\log _{a+1} a+\log _{a+1}(a+2)=\log _{a+1}\left(a^{2}+2 a\right)<\log _{a+1}\left(a^{2}+2 a+1\right)=2 +$$ + +şi atunci (*) se obţine din inegalitatea mediilor ... + +b) Fie + +$$ +A=\log _{5} 4 \cdot \log _{7} 6 \cdot \ldots \cdot \log _{81} 80 +$$ + +şi + +$$ +B=\log _{4} 3 \cdot \log _{6} 5 \cdot \ldots \cdot \log _{80} 79 +$$ + +Atunci din a) avem $A>B$ iar $A B=\frac{1}{4}$. Deducem $A>\frac{1}{2}$. + +4. Fie $x>y>0$ numere reale care verifică egalitatea + +$$ +x^{y}=y^{x} \text {. } +$$ + +Să se arate că există $s>0$ astfel încât + +$$ +x=\left(1+\frac{1}{s}\right)^{s+1}, y=\left(1+\frac{1}{s}\right)^{s} +$$ + +Soluţie. Observăm că $x, y \neq 1$. + +Fie $y=t x$. + +Atunci avem + +$$ +x^{y}=y^{x} \Leftrightarrow x^{t x}=(t x)^{x} \Leftrightarrow\left(x^{t}\right)^{x}=(t x)^{x} \Leftrightarrow x^{t}=t x \Leftrightarrow x=t^{\frac{1}{t-1}} . +$$ + +## De aic + +$$ +y=t x=t^{\frac{t}{t-1}} +$$ + +Fie + +$$ +s=\frac{1}{t-1} +$$ + +Atunci + +$$ +t=1+\frac{1}{s} +$$ + +şi obţinem imediat concluzia dorită. $2 \mathrm{p}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-878-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-878-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..673a824c0198ec9c2f3fcf63cfcf33adfcf0fd5a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-878-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,125 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - 23 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +## SUBIECTUL 1 ( 7 puncte) + +a) Fie $x, y \in \mathbb{R}$, îcât $x^{2}+4 y(y+1)=4(x-1)$. Demonstrați că $|x+2 y-1| \leq 2$. + +b) Aflați valoarea maximă a fracției $\frac{-2 a^{2}+6 a-8}{a^{2}-2 a+4} \in \mathbb{R}$. + +## SUBIECTUL II (7 puncte) + +Fie $E(x)=\left[\frac{81}{(x-3)(x+3)\left(x^{2}+9\right)+81}-\frac{1}{16-(4+x)(4-x)}\right]: 2 \cdot\left(\frac{x+9}{x^{4}}\right)^{-1}, x \in \mathbb{R} \backslash\{-9,0\}$ + +a) Arătați că $E(x)=\frac{9-x}{2}$ + +b) Calculați $E(1) \cdot E(2) \cdot E(3)$. $\qquad$ $E(2014)$ + +c) Aflați suma primelor 30 de zecimale ale numărului $\left(E\left(\frac{19}{2}\right)\right)^{50}$. + +## SUBIECTUL III (7 puncte) + +Punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ şi D sunt necoplanare iar $\mathrm{M}$ este mijlocul segmentului $[\mathrm{BC}]$, $\mathrm{T}$ este mijlocul segmentului $[\mathrm{AC}], \mathrm{N} \in[\mathrm{AC}]$ încât $\mathrm{AN}=2 \mathrm{NC}, \mathrm{P} \in[\mathrm{AB}]$ încât $\mathrm{AP}=3 \mathrm{~PB}, \mathrm{E} \in[\mathrm{AC}]$ astfel încât $\mathrm{CE}=\frac{A C}{6}$ și $R$ este simetricul punctului $M$ faţă de punctul N. Demonstrați că punctele D, P, T şi R sunt coplanare. + +## SUBIECTUL IV (7 puncte) + +$A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic iar $A C \cap B D=\{0\}$. Ducem $A M \perp A^{\prime} B, M \in A^{\prime} B$, $C N \perp C^{\prime} B, N \in C^{\prime} B$ şi $D P \perp D^{\prime} B, P \in D^{\prime} B$. + +a) Arătați că $\mathrm{PC} \perp$ (AMP). + +b) Dacă, în plus, $M N \|(A B C)$, demonstrați că $\mathrm{ABCD}$ este pătrat. + +Notă. Timp de lucru efectiv 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa ứmătoare a olimpiadei de matematică este de 14 puncte. + +## BAREM DE EVALUARE Ş NOTARE + +## Clasa a VIII a + +## SUBIECTUL 1 ( 7 puncte) + +a) Fie $x, y \in \mathbb{R}$, încât $x^{2}+4 y(y+1)=4(x-1)$. Demonstraţi că $|x+2 y-1| \leq 2$. + +b) Aflați valoarea maximă a fracției $\frac{-2 a^{2}+6 a-8}{a^{2}-2 a+4}, a \in \mathbb{R}$. + +## Solutie: + +a) Aducerea relației la forma $(x-2)^{2}+(2 y+1)^{2}=1$ .2 puncte + +$(x-2)^{2} \leq 1 \rightarrow|x-2| \leq 1 \Rightarrow$ și analog pentru $2 y+1$ 1 punct + +Se adună membru'cu membru relațiile $-1 \leq x-2 \leq 1$ și $-1 \leq 2 y+1 \leq 1$ și finalizarea .1 punct +b) $\frac{-2 a^{2}+6 a-8}{a^{2}-2 a+4}=\frac{-a^{2}+2 a-4-a^{2}+4 a-4}{a^{2}-2 a+4}=-1-\frac{(a-2)^{2}}{(a-1)^{2}+3}$ 2 puncte + +$\operatorname{Cum} \frac{(a-2)^{2}}{(a-1)^{2}+3} \geq 0: \Rightarrow-1-\frac{(a-2)^{2}}{(a-1)^{2}+3} \leq-1$ deci valoarea maximă este -1 , valoare care se atinge pentru $a=2$, pentru care fractia are sens 1 punct + +## SUBIECTUL 2 (7 puncte) + +Fie $E(x)=\left[\frac{81}{(x-3)(x+3)\left(x^{2}+9\right)+81}-\frac{1}{16-(4+x)(4-x)}\right]: 2 \cdot\left(\frac{x+9}{x^{4}}\right)^{-1}, x \in \mathbb{R} \backslash\{-9,0\}$ + +a) Arătați că $E(x)=\frac{9-x}{2}$ + +b) Calculați $E(1) \cdot E(2) \cdot E(3) \cdot \ldots \ldots \cdot E(2014)$ + +c) Aflaţi suma primelor 30 de zecimale ale numărului $\left(E\left(\frac{19}{2}\right)\right)^{50}$. + +## Solutie: + +a) Efectuarea calculelor şi aducerea la forma $E(x)=\frac{9-x}{2}$...................................... 2 puncte + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_34c727a58bfb5a5e128bg-2.jpg?height=63&width=1565&top_left_y=2073&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_34c727a58bfb5a5e128bg-2.jpg?height=111&width=1563&top_left_y=2123&top_left_x=245) +$\frac{1}{2^{100}}=\frac{1}{\left(2^{10}\right)^{10}}=\frac{1}{(1024)^{10}}<\frac{1}{(1000)^{10}}=\frac{1}{10^{30}}=0,000 \ldots 01$ această fracție având 30 zecimale ........................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_34c727a58bfb5a5e128bg-2.jpg?height=77&width=1526&top_left_y=2380&top_left_x=298) + +## SUBIECTUL 3 ( 7 puncte) + +Punctele A,B,C şi D sunt necoplanare iar $\mathrm{M}$ este mijlocul segmentului [BC], T este mijlocul segmentului $[A C], \mathrm{N} \in[\mathrm{AC}]$ încât $\mathrm{AN}=2 \mathrm{NC}, \mathrm{P} \in[\mathrm{AB}]$ încât $\mathrm{AP}=3 \mathrm{~PB}$ şi $\mathrm{R}$ este simetricul punctului $\mathrm{M}$ față de punctul N. Demonstrați că punctele D, P, T şi R sunt coplanare. + +Solutie: + +Patrulaterul MERT este paralelogram (diagonalele se înjumătățesc) $\Rightarrow$ ME || RT (1).............. 2 punct + +[ME] este linie mijlocie in $\triangle \mathrm{CBN} \Rightarrow \mathrm{ME} \| \mathrm{BN}(2)$............................................................................ + +$\frac{A P}{A B}=\frac{A T}{A N}=\frac{3}{4} \Rightarrow \mathrm{BN} \| \mathrm{PT}$ (3) (Reciproca teoremei lui Thales) şi ME \|PT............................. 1 punct + +Din relațiile (2) şi (3) rezultă că ME \| PT ceea ce împreună cu relația (1) implică faptul că punctele $R, T$ şi $P$ sunt coliniare. + +2 punct + +Finalizare + +1 punct + +## SUBIECTUL 4 (7 puncte) + +$A_{C C D A}^{\prime} B^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ este un paralelipiped dreptunghic iar $\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\{0\}$. Ducem $\mathrm{AM} \perp \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}, \mathrm{M} \in \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$, $\mathrm{CN} \perp \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}, \mathrm{N} \in \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}$ şi $\mathrm{DP} \perp \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}, \mathrm{P} \in \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B}$. + +a) Arătați că $\mathrm{PC} \perp(\mathrm{AMP})$. + +b) Dacă, în plus, $M N \|(A B C)$, demonstraţi că $A B C D$ este pătrat. + +## Solutie: + +a) Justificare că $A M \perp\left(A^{\prime} B C\right)(1)$ 1 punct + +$\mathrm{PC} \subset\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}\right.$ ) şi împreună cu (1) $\Rightarrow \mathrm{AM} 1 \mathrm{PC}$ (2) ............................................................ 1 punct $\mathrm{DP} \perp \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{B} \Rightarrow[\mathrm{PO}]$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $\mathrm{DPB} \Rightarrow$ $\Rightarrow P O=\frac{B D}{2}=\frac{A C}{2} \Rightarrow \mathrm{AP} \perp \mathrm{PC}$ (3) 1 punct + +Din relațiile (2) şi (3) rezultă că $\mathrm{PC} \perp(\mathrm{AMP}$ ) 1 punct +b) $\mathrm{MN}\|(\mathrm{ABC}) \Rightarrow \mathrm{MN}\|\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}\right)$ şi cum $(\mathrm{BMN}) \cap\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}\right)=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \Rightarrow M N \| \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. + +$\Rightarrow \frac{B N}{C^{\prime} N}=\frac{B M}{A^{\prime} M}$ (4) (conform teoremei lui Thales) 1 punct În $\triangle A A^{\prime} B$ aplicam de doua ori teorema catetei: $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ si $\mathrm{AA}^{\prime 2}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{M} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ Împărțim aceste două relații şi obținem $\frac{B M}{A^{\prime} M}=\frac{A B^{2}}{A A^{\prime 2}}$ (5) 1 punct + +Se procedează analog în $\triangle C C^{\prime} B$ şi obținem $\frac{B N}{C^{\prime} N}=\frac{C B^{2}}{C C^{\prime 2}}$ (6) iar din relaţiile (4),(5) şi (6) rezultă cerința 1 punct + +Notă: Orice soluție corectă diferită de cea a autorului se punctează corespunzător. + +Comisia de evaluare poate modifica în mod unitar distribuția punctelor. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-879-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-879-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d3a06040da3d53b518da07fc9bd23f74dda9ba3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-879-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICÄ + +## Etapa locală - 23 februarie 2014 + +## Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL I (7 puncte) + +Fie numărul $\mathrm{n}=\frac{1+a \sqrt{3}}{1+b \sqrt{3}}$ unde $\mathrm{a}$ și $\mathrm{b}$ sunt numere raționale. + +a) Dacă $a=1$ și $b=\frac{1}{3}$ arătați că $n=\sqrt{3}$. + +b) Dacă și $\mathrm{n}$ este rațional atunci arătați că $\mathrm{n}=1$. + +## SUBIECTUL II (7 puncte) + +a) Scrieți numărul 100 ca sumă de patru cuburi perfecte. + +b)Arătați că numărul $a_{n}=10^{n^{3}-n+2}$ se scrie ca sumă de patru cuburi perfecte. + +## SUBIECTUL III (7 puncte) + +Fie triunghiul $\mathrm{ABC}$, ascuțitunghic $\mathrm{cu} \mathrm{BD}$ și $\mathrm{CE}$ înălțimile din $\mathrm{B}$ respectiv $\mathrm{C}(\mathrm{D} \in[\mathrm{AC}]$; $E \in[A B])$, iar + +$\mathrm{M}$ și $\mathrm{N}$ respectiv mijloacele segmentelor $\mathrm{BC}$ și $\mathrm{DE}$. + +a)Dacă punctele $\mathrm{A}, \mathrm{N}, \mathrm{M}$ sunt coliniare demonstrați că triunghiul $\mathrm{ABC}$ este isoscel. + +b)Dacă $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{A})=60^{\circ}$ demonstrați ca $\triangle$ EMD este echilateral. + +## SUBIECTUL IV (7 puncte) + +Fie $\triangle \mathrm{ABC}$ iar punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ respectiv mijloacele segmentelor [BC], [AM], [BN], [PM]. + +a)Demonstrați ca dreptele $\mathrm{AM}, \mathrm{BQ}$ și $\mathrm{CP}$ sunt concurente. + +b)Aflați valoarea raportului $\frac{A D}{D C}$ unde $\mathrm{D}$ este intersecția dreptei $\mathrm{BQ}$ cu $[\mathrm{AC}]$. + +Notă. Timp de lucru efectiv 3 ore. + +Punctajul minim de calificare la etapa următoare a olimpiadei de matematică - 14 puncte. + +## BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE + +Clasa a VII-a + +## SUBIECTUL I (7 puncte) + +a) $n=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}=\frac{3(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}=\frac{3+3 \sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+3)}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ + +1p-înlocuire si aducere la forma de a da factor comun; + +1p-factor comun sau raționalizare; + +1p-finalizare +b) $n=\frac{1+a \sqrt{3}}{1+b \sqrt{3}} \Leftrightarrow n(1+b \sqrt{3})=1+a \sqrt{3} \Leftrightarrow n+n b \sqrt{3}=1+a \sqrt{3} \Leftrightarrow n-1=\sqrt{3}(n b-a)$. + +Cum $n-1 \in Q \Rightarrow \sqrt{3}(n b-a) \in Q \Rightarrow n b-a=0 \Rightarrow n-1=0 \Rightarrow n=1$ + +2p-aducerea la forma $n-1=\sqrt{3}(n b-a)$; + +2p-finalizare) + +## SUBIECTUL II (7 puncte) + +a) $100=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3} \ldots \ldots .2 p$ +b) $a_{n}=10^{n^{3}-n+2}=10^{n^{3}-n} \cdot 10^{2}(1 p)=10^{n(n-1)(n+1)} \cdot 10^{2}(1 p)=10^{3 k} \cdot 100(2 p)=\left(10^{k}\right)^{3} \cdot 100=$ $=\left(10^{k}\right)^{3} \cdot\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}\right)=\left(10^{k} \cdot 1\right)^{3}+\left(10^{k} \cdot 2\right)^{3}+\left(10^{k} \cdot 3\right)^{3}+\left(10^{k} \cdot 4\right)^{3}(1 \mathrm{p})$ + +## SUBIECTUL III (7 puncte) + +a) $[\mathrm{ME}] \equiv[M D]$ (mediane în triunghiuri dreptunghice cu aceiași + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_72857d1acc120185de46g-2.jpg?height=696&width=1714&top_left_y=2042&top_left_x=192) + +SUBIECTUL III (7 puncte) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_72857d1acc120185de46g-3.jpg?height=1021&width=1833&top_left_y=322&top_left_x=127) + +Notă: Orice soluție corectă diferită de cea a autorului se punctează corespunzător. + +Comisia de evaluare poate modifica în mod unitar distribuția punctelor. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-88-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-88-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..065a5d7296568431bf5e050d9e27370894ba4afe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-88-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,135 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8800c4e1780fd3bf13efg-1.jpg?height=246&width=254&top_left_y=300&top_left_x=510) + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NAȚIONALE \$̦ CERCETÃRII \$TIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică + +Etapa Finală, Târgu Mureş, 20 aprilie 2016 + +## CLASA a 11-a + +## Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ o matrice care satisface următoarele condiţii: $\operatorname{det}\left(A^{2014}-I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A^{2014}+I_{2}\right)$ si $\operatorname{det}\left(A^{2016}-I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A^{2016}+I_{2}\right)$. Demonstraţi că $\operatorname{det}\left(A^{n}-I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A^{n}+I_{2}\right)$, pentru orice număr natural nenul $n$. + +Soluţie. Pentru $M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ are loc relaţia + +$$ +\operatorname{det}\left(M-x I_{2}\right)=x^{2}-\operatorname{tr}(M) x+\operatorname{det}(M), \forall x \in \mathbb{R} +$$ + +Fie $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ o matrice care satisface condiţile din enunţ. Din (1) obţinem + +$$ +\operatorname{tr}\left(A^{2014}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{2016}\right)=0 +$$ + +1 punct + +Conform teoremei Cayley-Hamilton, avem + +$$ +A^{2}-\operatorname{tr}(A) A+\operatorname{det}(A) I_{2}=O_{2} +$$ + +1 punct + +1) Dacă $\operatorname{tr}(A)=0$, atunci din (3) obţinem $A^{2}=-\operatorname{det}(A) I_{2}$, de unde $A^{2014}=-\operatorname{det}^{1007}(A) I_{2}$. Din (2) rezultă $\operatorname{det}(A)=0 . \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ punct 2) Dacă $\operatorname{det}(A)=0$, atunci din (3) obţinem $A^{2}=\operatorname{tr}(A) A$. Prin inducţie, $A^{n+1}=\operatorname{tr}^{n}(A) A, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Rezultă $\operatorname{tr}\left(A^{n}\right)=\operatorname{tr}^{n}(A), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. În particular, conform (2), $0=\operatorname{tr}\left(A^{2014}\right)=\operatorname{tr}^{2014}(A)$, deci $\operatorname{tr}(A)=0$. ...... 1 punct Presupunem, prin reducere la absurd, $\operatorname{tr}(A) \neq 0$ şi $\operatorname{det}(A) \neq 0$. Din (3), $A^{2016}-\operatorname{tr}(A) A^{2015}+\operatorname{det}(A) A^{2014}=O_{2}$. Atunci $\operatorname{tr}\left(A^{2016}\right)-\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}\left(A^{2015}\right)+$ $\operatorname{det}(A) \operatorname{tr}\left(A^{2014}\right)=0$. Conform (2) şi presupunerii, obţinem $\operatorname{tr}\left(A^{2015}\right)=0$. Din (3), deducem $\operatorname{tr}\left(A^{n}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\left[\operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}\left(A^{n+1}\right)-\operatorname{tr}\left(A^{n+2}\right)\right], n \in \mathbb{N}^{*}$. Astfel, pornind de la $\operatorname{tr}\left(A^{2014}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{2015}\right)=0$, obţinem, în mod recurent, $\operatorname{tr}\left(A^{2013}\right)=0, \operatorname{tr}\left(A^{2012}\right)=0, \cdots, \operatorname{tr}(A)=0$. Contradicţie. + +In concluzie $\operatorname{tr}(A)=0$ şi $\operatorname{det}(A)=0$. + +2 puncte + +Din (3) rezultă $A^{2}=O_{2}$, de unde obţinem $A^{n}=O_{2}, \forall n \geq 2$. Atunci, pen$\operatorname{tru} n \geq 2$, avem $\operatorname{det}\left(A^{n}-I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(-I_{2}\right)=1=\operatorname{det}\left(I_{2}\right)=\operatorname{det}\left(A^{n}+I_{2}\right)$. Pentru $n=1$, conform (1), $\operatorname{det}\left(A-I_{2}\right)=1=\operatorname{det}\left(A+I_{2}\right)$. . . . 1 punct + +Problema 2. Pornind de la o matrice inversabilă $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ având liniile $L_{1}, L_{2}, \cdots, L_{n}$, construim matricele $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ cu liniile $O, L_{2}, \cdots, L_{n}$ şi $C \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ cu liniile $L_{2}, \cdots, L_{n}, O$, unde $O$ desemnează o linie cu toate elementele nule. Fie matricele $D=A^{-1} \cdot B$ şi $E=A^{-1} \cdot C$. Arătaţi că: +a) $\operatorname{rang}(D)=\operatorname{rang}\left(D^{2}\right)=\cdots=\operatorname{rang}\left(D^{n}\right)$; +b) $\operatorname{rang}(E)>\operatorname{rang}\left(E^{2}\right)>\cdots>\operatorname{rang}\left(E^{n}\right)$. + +Soluţie. a) Considerăm matricea $P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, + +$$ +P=\left(\begin{array}{ccccc} +0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ +0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ +0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ +\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ +0 & 0 & 0 & \cdots & 1 +\end{array}\right) +$$ + +Avem $D=A^{-1} P A$ 1 punct + +Cum $P^{2}=P$, obţinem $P^{k}=P, k \in \mathbb{N}^{*}$ (inducţie). $\operatorname{rang}\left(D^{k}\right)=\operatorname{rang}(D)=\operatorname{rang}(P)=n-1, k=\overline{1, n}$. b) Fie matricea $Q \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, + +$$ +\mathbb{Q}=\left(\begin{array}{ccccc} +0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ +0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ +\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ +0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ +0 & 0 & 0 & \cdots & 0 +\end{array}\right) +$$ + +Avem $E=A^{-1} Q A$. + +1 punct + +Se verifică inductiv că matricea $Q^{k}$ se reprezintă în blocuri $\left(\frac{O_{n-k, k} \mid I_{n-k}}{O_{k, n}}\right)$ (unde $I_{p} \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$ este matricea unitate, iar $O_{p, q} \in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{C})$ este matricea nulă), pentru $k=\overline{1, n-1}$. Apoi, $Q^{n}=O_{n}$. + +2 puncte $\operatorname{Din} E^{k}=\left(A^{-1} Q A\right)^{k}=A^{-1} Q^{k} A, k \in \mathbb{N}^{*}$, rezultă + +$$ +\operatorname{rang}\left(E^{k}\right)=\operatorname{rang}\left(Q^{k}\right)=n-k, k=\overline{1, n} +$$ + +de unde concluzia. + +1 punct + +Problema 3. Fie $a \in \mathbb{R}$. Considerăm o funcţie $f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$. Arătaţi că următoarele două afirmaţii sunt echivalente: + +(i) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^{a+\varepsilon}}=0$ şi $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^{a-\varepsilon}}=\infty$, pentru orice $\varepsilon>0$; +(ii) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=a$. + +## Soluţie. + +$(i) \Rightarrow(i i)$. Fie $\varepsilon>0$. Conform $(i)$, există $m_{1}>0$ astfel ca $\frac{f(x)}{x^{a+\varepsilon}}<1, \forall x>m_{1}$ şi există $m_{2}>0$ astfel ca $\frac{f(x)}{x^{a-\varepsilon}}>1, \forall x>m_{2}$. Notăm $m=\max \left\{m_{1}, m_{2}, 1\right\}$. Atunci $x^{a-\varepsilon}m$. Prin logaritmare, obţinem inegalitatea $a-\varepsilon<\frac{\ln f(x)}{\ln x}m$. Cum $\varepsilon>0$ este arbitrar, rezultă $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=a$. $($ ii) $\Rightarrow(i)$. Fie $\varepsilon>0$. Conform (ii), există $m>1$ astfel ca + +$$ +a-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\ln f(x)}{\ln x}m +$$ + +Obţinem $x^{a-\varepsilon / 2}m$. Ca urmare, $\frac{f(x)}{x^{a+\varepsilon}}<\frac{1}{x^{\varepsilon / 2}}, \forall x>m$ şi $\frac{f(x)}{x^{a-\varepsilon}}>x^{\varepsilon / 2}, \forall x>m$. Dar $\lim _{x \rightarrow \infty} x^{\varepsilon / 2}=\infty$ ş $f(x)>0, \forall x>0$. Conform criteriilor cleşte şi al majorării se obţin limitele de la (i). ........ 4 puncte + +Problema 4. Determinaţi funcţiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că $f^{2}$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ şi $\left(f^{2}\right)^{\prime}=f$. + +Soluţie. + +Funcţia identic nulă verifică cerinţele. + +1 punct + +Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie neidentic nulă care verifică condiţiile din enunţ. Există deci $x_{0} \in \mathbb{R}$ astfel ca $f\left(x_{0}\right) \neq 0$. Cum $f^{2}$ este derivabilă, deci continuă, $f^{2}>0$ pe o vecinătate a lui $x_{0}$. Notăm + +$$ +\begin{gathered} +a=\inf \left\{t \in\left(-\infty, x_{0}\right) \mid f^{2}(x)>0, \forall x \in\left[t, x_{0}\right]\right\} \\ +b=\sup \left\{t \in\left(x_{0}, \infty\right) \mid f^{2}(x)>0, \forall x \in\left[x_{0}, t\right]\right\} +\end{gathered} +$$ + +Avem $-\infty \leq a0, \forall x \in(a, b)$. Atunci $f=\sqrt{f^{2}}$ pe $(a, b)$, deci $f$ este derivabilă pe $(a, b)$. Conform ipotezei, avem $2 f(x) f^{\prime}(x)=f(x), \forall x \in$ $(a, b)$. Rezultă $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}, \forall x \in(a, b)$. Deducem că există $c \in \mathbb{R}$ astfel ca $f(x)=\frac{x}{2}+c, x \in(a, b)$. Cum $f(x)>0, \forall x \in(a, b)$, obţinem $a \geq-2 c$ (deci $a$ este finit), În acest caz, din definiţia lui $a$ şi continuitatea lui $f^{2}$ rezultă $f^{2}(a)=0$. Atunci $c=-\frac{a}{2}$, deci $f(x)=\frac{x-a}{2}, x \in[a, b)$. Dacă $b$ ar fi finit, +am obţine $0=f^{2}(b)=\lim _{x \uparrow b}\left(\frac{x-a}{2}\right)^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{4}$; contradicţie. Deci $b=\infty$ si prin urmare $f(x)=\frac{x-a}{2}, x \in[a, \infty)$. + +Mai mult, $f(x) \leq 0, \forall x \in(-\infty, a)$. Astfel, dacă ar exista $x_{1}0$, atunci $f(a)>0$; contradicţie. ........................... 2 puncte 2) Presupunem $f(x)<0, \forall x \in(a, b)$. Raţionând analog, obţinem $b$ finit, $f(x)=\frac{x-b}{2}, x \in(-\infty, b]$ §ु $f(x) \geq 0, \forall x \in(b, \infty)$. .......... 1 punct Din cele de mai sus deducem că, pe lângă funcţia nulă, următoarele tipuri de functुii $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfac condiţiile din enunţ: + +1. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & xb\end{array}, b \in \mathbb{R}\right.$; +3. $f(x)= \begin{cases}\frac{x-b}{2}, & x \leq b \\ 0, & x \in(b, a) \quad, a, b \in \mathbb{R}, b1, b>1$ şi $a0$ avem $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +SUBIECTUL II (7 puncte) +Daca vom lua cele mai mici 61 numere care nu conțin şi cuburi perfecte avem suma +$1+2+3+\ldots .+65-(1+8+27+64)$ ..... $2 p$ +$1+2+3+\ldots+65=2145$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +$1+8+27+64=100$ : ..... $1 \mathrm{p}$ +$1+2+3+\ldots .+65-(1+8+27+64)=2045$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +Obținem o contradicție, deci in suma se afla cel puțin un cub perfect... ..... $.1 p$ +SUBIECTUL III (7 puncte) +$n=2^{2009} \cdot 25=2^{2007} \cdot 100$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +ultima cifră a lui $2^{2007}$ este 8 ..... $2 \mathrm{p}$ +$\overline{a b c}=800$ ..... $1 p$ +Card $\mathrm{A}=2014-800=1214$ ..... $.2 \mathrm{p}$ +SUBIECTUL IV (7 puncte) +.Vom presupune elementele mulțimii ordonate crescător, +$a+b+c+d+e=10065, b+c+d+e=8056$, deci $a=2009$ ..... $1 p$ +$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=8048$, deci $\mathrm{e}=2017$ ..... $1 p$ +$b+c+d=6039$ si $2009 ETAPA LOCALĂ-GIURGIU-22.02.2014
CLASA a XII-a + +1) Pe mulțimea R , considerăm legea de compoziție + +$x \circ y=x y-2013 x-2013 y+2013 \cdot 2014, \forall x, y \in \mathbf{R}$ + +a) Să se arate că $x \circ x \geq 2013, \forall x \in \mathbf{R}$ + +b) Calculați $x \circ x^{\circ} x^{\circ} \ldots \odot x$, unde $x$ apare de $n$ ori, $n \in \mathbf{N}^{*}$ + +c) Să se rezolve în $\mathbf{R}$ ecuația $x \circ x \circ x=2014$. + +Monica Coadă , Giurgiu + +2) Fie ( $M_{s^{*}}$ ) un monoid cu elementul neutru e și $U(M)$ mulțimea elementelor inversabilev ale lui $M$. + +Se consideră $a, b \in M$ astfel încât $a^{2}=e \operatorname{și}(a b)^{2}=b^{4}, b \in U(M)$. + +a) Determinați cel mai mic număr $k \in \boldsymbol{N}^{*}$, astfel încât $b^{k}=e$. + +b) Calculați $b^{2014}$. + +George Ionescu, Bolintin Vale + +3) Să se calculeze : + +$$ +\int \frac{x^{10069}+x^{2013}}{x^{12084}+1} d x, x \in \mathbf{R} +$$ + +Paul Băiatu , Giurgiu + +4) Fie funcția $f:[1, e] \rightarrow R, f(x)=\frac{2}{x^{2}+x} \cdot \ln \frac{x}{x+1}$ și F o primitivă a lui $f$ astfel încât $F(1)=n^{2} 2$. Dacă G este o primitivă a primitivei lui $\mathrm{f}$, arătati că + +$\int_{1}^{e} G(x) d x \geq \int_{1}^{e} x F(x) d x$. + +Stelian Piscan , Giurgiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-885-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-885-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d93cdbd522b2340ba890ce2996ba501115313c12 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-885-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,41 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ-GIURGIU-22.02.2014
CLASA a XI-a + +1) Se consideră șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $x_{1}=\frac{3}{2}$ si $x_{n+1}=x_{n}^{2}-3 x_{n}+4$, $\forall n \geq 1$. + +Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{n}\left(x_{k}-1\right)$. + +Ṣerban Olteanu , Giurgiu + +2) Fie șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$, î care $x_{1}=\frac{7}{2}, x_{2}=\frac{13}{4}$ si $x_{n+2}=\frac{3 x_{n+1}-x_{n}}{2}, \forall n \geq 1$. + +a) Arătați că șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent și aflați limita lui. + +b) Precizați câți termeni ai șirului nu se află în intervalul ( 2,$96875 ; 3,03125)$ + +## Gazeta Matematică + +3) Fie determinantul + +$$ +d_{4}=\left|\begin{array}{cccc} +5 & 8 & 16 & 32 \\ +8 & 17 & 32 & 64 \\ +16 & 32 & 65 & 128 \\ +32 & 64 & 128 & 257 +\end{array}\right| +$$ + +Să se determine $n \in N^{*}$, dacă $d_{4}=p_{n} p_{n+6}$, unde $p_{n}$ este al n-lea număr prim. + +## Paul Băiatu , Giurgiu + +4) Se consideră matricea + +$M(x)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}} & 0 \\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, unde $x \in(-1,1)$. + +a) Arătați că $M(x) M(y)=M\left(\frac{x+y}{1+x y}\right), \forall x \in(-1,1)$ + +b) Calculați $M^{2014}\left(\arccos \left[\frac{\pi}{2}\right]\right)$, unde [a] este partea întreagă a numărului a. + +c) Calculați $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\operatorname{det} M\left(\frac{1}{2014}\right)+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2014}}\right)^{2014 n}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-886-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-886-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5ff76cf8f4e74164fce4efc53859b9271af4a79 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-886-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - GIURGIU-22.02.2014 + +CLASA a X-a + +1) a) Să se arate că $\log _{2014} \frac{2015}{2}>\frac{1}{2014}$ + +b) Rezolvați în R ecuația: $2014^{2014 x}+2014^{-2014 x}=2 \cos \frac{x}{2014}$. + +George Ionescu , Bolintin + +Vale + +2) Fie mulțimea $A=\left\{x \in\left(\frac{1}{2014 \sqrt{2014}}, \infty\right)\left[\frac{4 \log _{2014} x+5}{2 \log _{2014} x+3}\right]+\left[\frac{1}{2 \log _{2014} x+3}\right]=2\right\}$, unde [a] reprezintă partea întreagă a numărului real a. Să se calculeze $\sum_{x \in A} x$. + +Petronela Toma, Giurgiu + +3) Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbf{C}$ cu proprietățile $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|$ și + +$$ +\left|z_{1}+z_{2}-z_{3}\right|=\left|z_{1}-z_{2}+z_{3}\right|=\left|-z_{1}+z_{2}+z_{3}\right| +$$ + +Arătați că $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$. + +Ṣerban Olteanu, Giurgiu + +4) Arătați că numărul + +$A=16 \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{8 \pi}{7} \quad$ este întreg. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-887-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-887-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9063659e04e9b2ac8d2e06b55fc41b03dbeb9081 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-887-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# Olimpiada de matematică + +Etapa locală, 22 februarie 2014 + +Clasa a VIII-a + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect se punctează cu note de la 10 la 1. + +1) Fie mulţimile: + +$A=\{3 x+1$, unde $x \in \mathbf{R}$ şi $|2 x-1| \leq 3\}$ + +$B=\{1-2 x$, unde $x \in \mathbf{R}$ şi $|x+2| \leq 1\}$. + +Arătaţi că suma elementelor numere întregi ale mulţimilor A şi B nu este număr prim. + +Păun Ion, Ogrezeni + +2) Pe planul rombului $\mathrm{ABCD}, \mathrm{m}(<\mathrm{A})=60^{\circ}$, se ridică perpendiculara $\mathrm{BM} \mathrm{cu}$ $\mathrm{BM}=a \sqrt{2}$. Ştiind că triunghiul MAC este echilateral, să se calculeze în funcţie de $a$ : + +a) latura rombului $\mathrm{ABCD}$; + +b) lungimea segmentului MD; + +c) distanţa de la punctual D la planul (MAC). + +Radu Stănică, Frăteşti + +3) Se consideră numerele reale pozitive $m, n, p$ cu $m2 \sqrt{x y(n+p)(m+n)}$. + +## Dumitru Preoteasa, Giurgiu + +4) Fie ABCD un dreptunghi. Pe planul acestuia, de aceeaşi parte, se duc perpendicularele $\mathrm{AM}, \mathrm{BN}, \mathrm{CP}$ şi $\mathrm{DQ}$ astfel încât punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ să fie coplanare. Demonstraţi că patrulaterul MNPQ este dreptunghi dacă şi numai dacă una din laturile sale este paralelă cu planul (ABC). + +Gazeta Matematică + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-888-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-888-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c836ea3eefda138ed933bf3a3b88db114de58a8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-888-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,30 @@ +# Olimpiada de matematică + +Etapa locală, 22 februarie 2014 + +Clasa a VII-a + +Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 3 ore + +Fiecare subiect se punctează cu note de la 10 la 1 . + +1) Să se determine $x \in \mathbf{N}^{*}$ ştiind că + +$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+\ldots+x}=\frac{4028}{2015}$. + +## Radu Stănică, Frăteşti + +2) În paralelogramul MNPQ, O este punctul de intersecţie al diagonalelor. Demonstraţi că aria triunghiului MON este un sfert din aria lui MNPQ. + +## Marin Verona, Bolintin Vale + +3) Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi ale cărui laturi $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ verifică relaţiile: + +$\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}=2$ şi $2 \mathrm{ab}-\mathrm{c}^{2}=4$. Arătaţi că triunghiul $\mathrm{ABC}$ este echilateral. + +Păun Ion, Ogrezeni + +4) Fie triunghiul $A B C$ cu $A B=9 \mathrm{~cm}$ şi un punct $M \in[A B]$ astfel încât $A M=6$ cm. Se duc $M N \| B C(N \in[A C])$ şi MP $\| A C(P \in[B C])$. Să se afle valoarea raportului dintre aria patrulaterului MPCN şi aria triunghiului $\mathrm{ABC}$. + +Dumitru Preoteasa, Giurgiu + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-889-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-889-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2c6d6e1a6f4ebe00de5ae9d75c67468fd261de3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-889-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,37 @@ +# Olimpiada de matematică
Etapa locală, 22 februarie 2014
Clasa a VI-a + +[^0]1) Fie numerele raţionale $A$ şi $B$ : + +$\mathrm{A}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2015}$ şi $\mathrm{B}=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+\ldots+\frac{4028}{4030}$. + +a) Comparaţi numerele A şi B. + +b) Calculaţi media aritmetică a numerelor A şi B. + +## Marin Verona, Bolintin Vale + +2) + +a) Să se determine $x$ din relaţia: $\quad 6+6 \cdot 7+6 \cdot 7^{2}+6 \cdot 7^{3}+\ldots+6 \cdot 7^{2013}=7^{x}-1$. + +b) Să se determine numărul $\overline{a b c}$ ştiind că $2^{a} \cdot\left(2^{b}+3\right) \cdot\left(2^{c}-11\right)=2014$ + +Radu Stănică, Frăteşti + +3) În triunghiul $\mathrm{ABC}, \mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=8 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{m}(\angle \mathrm{ABC})=60^{\circ}$. Dacă $\mathrm{AM}$ este mediană în triunhiul $\mathrm{ABC}$, arătaţi că $\mathrm{AM}=\mathrm{AC}$. + +Păun Ion, Ogrezeni + +4) Se consideră unghiurile adiacente $\mathrm{AOB}, \mathrm{BOC}, \mathrm{COD}$ şi $\mathrm{DOE}$ astfel încât punctele A, O, E sunt coliniare. Se ştie că: + +$\frac{m(\angle A O B)}{3}=\frac{m(\angle B O C)}{4}, \mathrm{~m}(\angle \mathrm{BOC})=2 \cdot \mathrm{m}(\angle \mathrm{DOE})$ ş $\frac{m(\angle C O D)}{5}=\frac{m(\angle D O E)}{6}$. + +Determinaţi măsurile unghurilor $\mathrm{AOB}, \mathrm{BOC}, \mathrm{COD}, \mathrm{DOE}$. + +Gazeta Matematică + + +[^0]: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 2 ore + + Fiecare subiect se punctează cu note de la 10 la 1. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-89-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-89-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..857b451c57946128a5b0a601a0ac4e65208c3fdb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-89-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa Finală, Târgu Mureş, 20 aprilie 2016
CLASA a X-a + +## Enunţuri şi bareme + +## Problema 1. + +Fie $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi numerele reale $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in(0, \infty)$ astfel încât $a_{1} \cdot a_{2}$. $\ldots \cdot a_{n}=1$. Demonstraţi că funcţia + +$$ +f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(1+a_{1}^{x}\right) \cdot\left(1+a_{2}^{x}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+a_{n}^{x}\right) +$$ + +este crescătoare. + +## Soluţie şi barem. + +După înmulţiri obţinem + +$f(x)=\left(1+a_{1}^{x}\right) \cdot\left(1+a_{2}^{x}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+a_{n}^{x}\right)=1+\sum_{1 \leq i \leq n} a_{i}^{x}+\sum_{1 \leq i0$, considerăm funcţia $g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=a^{x}+a^{-x}$. Fie $t>0$. Atunci $g(x+t)-g(x)=\frac{a^{2 x+2 t}+1}{a^{x+t}}-\frac{a^{2 x}+1}{a^{x}}=\frac{a^{2 x+2 t}-a^{2 x+t}-a^{t}+1}{a^{x+t}}=$ $\frac{\left(a^{2 x+t}-1\right)\left(a^{t}-1\right)}{a^{x+t}} \geq 0$, deci funç̧ia $g$ este crescătoare + +Atunci funcţia $f$ este crescătoare ca o sumă de funcţii crescătoare. $1 p$ + +## Problema 2. + +Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie cu proprietăţile + +$$ +\begin{aligned} +(P 1) f(x+y) & \leq f(x)+f(y) \\ +(P 2) f(t x+(1-t) y) & \leq t f(x)+(1-t) f(y) +\end{aligned} +$$ + +pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$ şi $t \in[0,1]$. + +a) Demonstraţi că oricare ar fi $a \leq b \leq c \leq d$, astfel încât $d-c=b-a$, are loc inegalitatea + +$$ +f(b)+f(c) \leq f(a)+f(d) +$$ + +b) Demonstraţi că + +$f\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)+(n-2)\left(f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right)\right) \geq \sum_{1 \leq i Etapa locală, 22 februarie 2014
Clasa a V-a + +## Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 2 ore
Fiecare subiect se punctează cu note de la 10 la 1. + +1) Fie numărul $a=2^{2014}+2^{2013}+2^{2010}$. + +a) Să se arate că $25 \mid$ a. + +b) Să se determine ultimele trei cifre ale numărului $\mathrm{a}$. + +Florica Bogdan, Victor Bogdan, Mihăileşti + +2) a) Calculaţi: $(2+4+6+\ldots+4026-2013 \cdot 2014): 2$ + +Marin Verona, Bolintin Vale + +b) Să se scrie numărul $3^{2015}$ ca o sumă de cuburi. + +Florica Bogdan, Victor Bogdan, Mihăileşti + +3) Comparaţi numerele: + +$a=2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}$ şi + +$b=3^{1343}-3^{1342}$ + +Radu Stănică, Frăteşti + +4) Într-o livadă, pe un rând, sunt14 meri. Numărul merelor, din oricare doi meri vecini, diferă cu 3 . Este posibil ca în toţi cei 14 meri să existe 2014 mere? diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-891-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-891-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..16ad958a415e0084785968a693f6526a7b367777 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-891-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,66 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928 + +FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro + +MINISTERUL + +website : http://isj.vs.edu.ro EDUCAȚIEI + +NAȚIONALE + +din + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014-CLASA a XII-a + +1.Să se arate că $\int_{0}^{\pi / 2} e^{\sin x} \sin ^{2} x d x=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{e^{\sin x}}{2}\left(1+\sin x \cos ^{2} x\right) d x$. + +2. a) Demonstraţi că funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, pentru care $\underbrace{(f \circ f \circ \ldots f)}_{2014 \text { de } f}(x)=2014^{-x}$, nu admite primitive. + +b) Fie şirul cu termenul general $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x}\left(\operatorname{tg}^{n-1} x+\operatorname{tg}^{n} x+\operatorname{tg}^{n+1} x\right) d x, n \geq 1$. + +Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[n^{2}]{n I_{n}}-1\right)$. + +3. Pe mulţimea $\mathrm{G}=(0,1)$ se defineşte operaţia $x * y=\frac{x y}{2 x y-x-y+1}$. + +a) Verificaţi dacă $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ este element neutru. + +b) Să se arate că (G, *) este grup. + +c) Să se arate că funcţia $\mathrm{f}: \mathrm{G} \rightarrow R_{+}^{*}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul ( $\mathrm{G}, *$ ) la grupul ( $\mathrm{R}_{+}^{*}$, ). + +(Gazeta Matematica, nr 12/2013) + +4. Fie $A$ un inel cu proprietatea că ecuaţia $x^{2}=0$ are în $A$ numai soluţia $x=0$. Arătaţi că: + +a) Dacă $a b=0$, unde $a, b \in A$, atunci $b a=0$ şi axb $=0$ pentru orice $x \in A$. + +b) Dacă $a b c=0$, unde $a, b, c \in A$, atunci $b c a=c a b=0$. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte + +BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE - clasa a XII-a + +| Subiectul | Rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1(7p) | Notăm cu I, J respectiv integralele din membrul stâng ṣi din
membrul drept
$I-J=\int_{0}^{\pi / 2} e^{\sin x}\left(\sin ^{2} x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sin x \cos ^{2} x\right) d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi / 2} e^{\sin x}\left(2 \sin ^{2} x-\right.$
$\left.-1-\sin x \cos ^{2}\right) d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi / 2} e^{\sin x}\left(-\cos 2 x-\frac{1}{2} \cos x \sin 2 x\right) d x=$
$=-\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi / 2}\left(2 e^{\sin x} \cos 2 x+e^{\sin x} \sin 2 x\right) d x=$
$=-\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi / 2} e^{\sin x}(\sin 2 x)^{\prime}+\left(e^{\sin x}\right)^{\prime} \sin 2 x d x=$
$=-\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi / 2}\left(e^{\sin x} \sin 2 x\right)^{\prime} d x=-\left.\frac{1}{4} e^{\sin x} \sin 2 x\right\|_{0} ^{\pi / 2}=0$
Deci I= J | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| $\frac{2}{2} \quad$ | a) Presupunem că $f$ are primitive $\Rightarrow f$ are P.D.
Fie $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \underbrace{\mathrm{g}(\mathrm{x})=(f \circ f \circ \ldots f)}_{2014}(x)$
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{y}) \Rightarrow \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{y}) \Rightarrow 2014^{-x}=2014^{-y} \Rightarrow x=y \Rightarrow f$
injectivă.
$f$ are P.D. şi $f$ injectivă $\Rightarrow f$ strict monotonă $\Rightarrow$
$\Rightarrow f \circ f$ strict crescătoare $\Rightarrow g$ strict crescătoare (fals). | $1 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$ | +| | b) $\left.\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{n x} \operatorname{tg}^{n} x\right) d x=\left.\frac{e^{n x}}{n} \operatorname{tg}^{n} x\right\|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{n x}{n} n \operatorname{tg}^{n-1} x(1+$
$\left.\operatorname{tg}^{2} x\right) d x \Rightarrow$
$\Rightarrow I_{n}=\frac{e^{\frac{n \pi}{4}}}{n} \Rightarrow$
$\quad \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \infty} n\left(\sqrt[n^{2}]{n I_{n}}-1\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} n\left(e^{\frac{\pi}{4 n}}-1\right)=\frac{\pi}{4}$ | 1p | +| 3a | a) Definitia elementului neutru
Verificare | $0,5 p$
$0,5 p$ | +| $3 \mathrm{~b}$ | b) Parte stabilă | $1 \mathrm{p}$ | + + +| | Asociativitate
Comutativitate
Element neutru
Elemente simetrizabile | $1 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3c | c) Definitie
Bijectivitate
Morfism | $0,5 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$ | +| 4 | a) Fie $x=b a \rightarrow x^{2}=(b a)(b a)=b(a b) a=0$. Dar $x^{2}=0 \rightarrow$
x=0, adică ba $=0$.
Fie $x \in$ A arbirar;notând $y=a x b \rightarrow y^{2}=(a x b)(a x b)=$
$\quad(a x)(b a)(x b)=0$, deci $y=0, a d i c a ̆ a x b=0$.
b) Fie $x=b c a \rightarrow x^{2}=(b c a)(b c a)=(b c)(a b c) a=0 \rightarrow x=$
0, deci $b c a=0$.
Din $b(c a)=0+(p c t . a) \rightarrow(c a) b=0$, adică $b a c=0$ | $2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-892-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-892-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3ea75412354eb080ea8043faeb214dcb4788a9e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-892-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ
16 februarie 2014-CLASA a XI-a + +1. Fie $A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) a$. î. $A^{2} B=A^{2}-B$. + +a) Să se arate că matricea $I_{n}-B$ este inversabilă. + +b) Să se demonstreze că $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$. + +2. a) Să se găsească două matrice pătratice de ordin 2 cu elemente reale cu proprietatea că + +$$ +\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}=\left(\begin{array}{ll} +2 & 3 \\ +3 & 2 +\end{array}\right) +$$ + +b) Să se arate că orice două matrice pătratice de ordin doi cu elemente reale cu proprietatea că $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$ nu comută. + +G.M.12/2013 + +3. Fie $L n=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x) \cdot \ln (e+z x) \cdot \ldots \cdot \ln (e+n x)-1}{x}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Să se calculeze $L_{1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x)^{-1}}{x}, L_{2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x) \cdot \ln (e+z x)-1}{x}$ + +b) Să se demonstreze că $L n=\frac{n(n+1)}{2 e}$, $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +4. Dacă $\mathrm{a} \in(1, \infty)$, b $\in \mathbf{R}$ să se determine funcţiile continue f: $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ cu proprietatea că $\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})=\mathrm{f}(\mathrm{x}),(\forall) \mathrm{x} \in \mathbf{R}$ şif $\left(\frac{b}{1-a}\right)=2014$. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte + +## Barem de notare - clasa a XI-a + +| Proble
ma | Soluţie | Pun
ctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | a) Relaţia din ipoteză se mai scrie:
$A^{2}\left(B-I_{n}\right)+B-I_{n}=-I_{n} \Leftrightarrow\left(A^{2}+I_{n}\right)\left(I_{n}-B\right)=I_{n} \Rightarrow$
$\Rightarrow \operatorname{det}\left(I_{n}-B\right) \neq 0 \Rightarrow$
$\Rightarrow I_{n}-B$ este inversabilă
b) Din a) $\Rightarrow\left(\begin{array}{l}\left.A^{2}+I_{n}\right)\left(I_{n}-B\right)=I_{n} \Rightarrow\left(A+i I_{n}\right)\left(A-i I_{n}\right)\left(I_{n}-B\right)=I_{n} \Rightarrow \\ \Rightarrow\left(A-i I_{n}\right)\left(I_{n}-B\right) \text { inversabilă, având inversa }\left(A+i I_{n}\right) \Rightarrow \\ \quad \Rightarrow\left(A-i I_{n}\right)\left(I_{n}-B\right)\left(A+i I_{n}\right)=I_{n} \Rightarrow \\ \Rightarrow-I A B+I B A=0_{n} \Rightarrow A B=B A\end{array}\right.$ | {f0f5d346c-124f-48dd-b2a3-4b6a350ac7b9}$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$\right. | +| 2 | a) Se punctează orice exemplu care îndeplineşte condiţia din enunţ. Ex $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$,
$\mathrm{B}=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$
b) Prin reducere la absurd se presupune că există $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbf{R})$, astfel încât $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ şi $\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}=$
$\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$.
$\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}\right)=\operatorname{det}((\mathrm{A}+\mathrm{iB})(\mathrm{A}-\mathrm{iB}))=\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{iB}) \operatorname{det}(\mathrm{A}-\mathrm{iB})=$
$\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{iB}) \operatorname{det}\left(\overline{\mathrm{A}+1 \mathrm{~B})}=\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{iB}) \operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{\imath B})=\|(\operatorname{det}(\mathrm{A}+\mathrm{iB}))\|^{2} \geq 0\right.$
$\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}\right)=-5$
Concluzia | $0.5 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$0.5 \mathrm{p}$ | +| 3 | a) $L_{1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x)-1}{x} \stackrel{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{x}{e}\right)}{\frac{x}{e}} \cdot \frac{1}{e}=\frac{1}{e}$ (1p)
$L_{2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x) \cdot \ln (e+2 x)-1}{x} \stackrel{\left.\frac{0}{0}\right)}{=}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x) \cdot \ln (e+2 x)-\ln (e+2 x)+\ln (e+2 x)-1}{x}$
$=\lim _{x \rightarrow 0} \ln (e+2 x) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x)-1}{x}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{2 x}{e}\right)}{\frac{2 x}{e}} \cdot \frac{2}{e}=\frac{1}{e}+\frac{2}{e}=\frac{3}{e} \quad$ (2p)
b) Se poate utiliza metoda inducţiei matematice
Pentru $\mathrm{n}=1$ afirmaţia este adevărată (conform a)) (1p) | 1p | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_20efc4984b16f2694bc9g-3.jpg?height=1468&width=1922&top_left_y=248&top_left_x=90) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-893-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-893-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f692db6face6a7386b2b13270a04e2cb11afa3d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-893-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,35 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +## 16 februarie 2014-CLASA a X-a + +1) a) Determinaţi funcţia $f: R \rightarrow R$ pentru care $7 f(-x)+4 f(x-1)=-6 x-19$, oricare ar fi $x \in R$. + +b) Demonstraţi că $f$ este bijectivă. + +c) Calculaţi suma modulelor soluţiilor ecuaţiei $(f(x))^{3}+8\left(f^{-1}(x)\right)^{3}=x^{2}-x+1$, unde $f^{-1}$ este inversa funcţiei $f$. + +2) Sa se rezolve ecuatia : $\quad 5^{2 x^{2}-10 x+7}=\frac{x}{x^{2}+4}$ +3) Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C^{*}$ astfel încât $z_{1}+z_{3} \neq 0$ şi $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{2}+z_{3}\right|=\left|z_{1}\right|$. + +Să se calculeze $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}$. + +4) Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ astfel încât $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=r>0$ şi $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$. Demonstraţi că $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +BAREM DE NOTARE - clasa a X-a + +| $\frac{\text { Problema }}{1}$ | a) Soluţie | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1 | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_401349929aaeb05f9d6ag-2.jpg?height=165&width=1348&top_left_y=466&top_left_x=432) | $1,5 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{~s}$ | +| | $f$ injectivă + surjectivă | $1 \mathrm{p}$ | +| | c) $f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$
$(f(x))^{3}+8\left(f^{-1}(x)\right)^{3}=x^{2}-x+1$
$\Leftrightarrow 9 x^{3}-9 x^{2}+9 x=x^{2}-x+1 \Leftrightarrow(9 x-1)\left(x^{2}-x+1\right)=0$
$x_{1}=\frac{1}{9}, x_{2}=\frac{1+i \sqrt{3}}{2}, x_{3}=\frac{1-i \sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left\|x_{1}\right\|+\left\|x_{2}\right\|+\left\|x_{3}\right\|=\frac{1}{9}+2=\frac{19}{9}$. | $1 \mathrm{p}$
$1,5 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | Pentru $\mathrm{x} \leq 0$ ecuatia nu are solutii: $5^{2 x^{2}-10 x+7}>0$ iar $\frac{x}{x^{2}+4} \leq 0$
Pentru $\mathrm{x}>0$ logaritmand in baza 5 egalitatea, se obtine:
$2 x^{2}-10 x+7=\log _{5} x-\log _{5}\left(x^{2}+4\right)$
$\log _{5}\left(x^{2}+4\right)+2\left(x^{2}+4\right)=\log _{5} x+10 x+1$
$\log _{5}\left(x^{2}+4\right)+2\left(x^{2}+4\right)=\log _{5}(5 x)+2 \cdot 5 x \quad$ (1)
Functia f: $(0, \infty) \rightarrow R, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{5} x+2 x$ este suma a doua functii strict
crescatoare,deci este injectiva.
Ecuatia (1) este echivalenta cu:
$\mathrm{f}\left(x^{2}+4\right)=\mathrm{f}(5 \mathrm{x})$ si $\mathrm{f}$ injectiva se obtine: $x^{2}+4=5 \mathrm{x}$
ecuatia are solutiile $\mathrm{x}_{1}=1$ si $\mathrm{x}_{2}=4$ | $1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | +| 3 | Fie $\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}=a+i b, \quad a, b \in R$.
Egalitatea
$\left\|\left(z_{2}+z_{3}\right)\left(\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right)\right\|=\left\|z_{2}+z_{2}+z_{3}\right\|=\left\|z_{2}+z_{3}\right\|$
şi cum $\left\|z_{2}+z_{3}\right\| \neq 0$, rezultă $\left\|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}+1\right\|=1 \Leftrightarrow\|a+1+b i\|=1$
de unde $(a+1)^{2}+b^{2}=1$. (1)
Avem $\left\|z_{2}+z_{3}\right\|=\left\|z_{1}\right\| \Leftrightarrow\left\|\frac{z_{1}+z_{3}}{z_{1}}\right\|=1 \Leftrightarrow\|a+b i\|=1$
adică $a^{2}+b^{2}=1$. (2) | $1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_401349929aaeb05f9d6ag-3.jpg?height=914&width=1785&top_left_y=248&top_left_x=204) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-894-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-894-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..365361f2997bac9c5f5b97a8c9cecdefc488a39f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-894-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,88 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_89555e3512eb18005bc8g-1.jpg?height=206&width=165&top_left_y=391&top_left_x=1348) + +MINISTERUL + +FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro EDUCATTIEI + +website : http://isj.vs.edu.ro + +NAȚIONALE + +$\mathrm{Nr}$. din + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014-CLASA a VIII-a + +1. a) Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ ecuaţ̧ia: + +$$ +\sqrt{6^{2}+8^{2}}+\sqrt{(1+3)^{2}}-|x-2014|=\sqrt{3}^{20}-3^{10} +$$ + +b) Fie a şi b două numere reale pozitive pentru care avem $a+b=1$. Dovediţi că: $a^{a} b^{b}+a^{b} b^{a} \leq 1$ + +2. Fie a,b,c numere reale pozitive astfel încât $a b c=2013$. Arătaţi că + +$$ +\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c+a}{c^{2}+a^{2}} \leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2013}} +$$ + +3. Se dau punctele necoplanare A, B, C, D. Fie M, N, P, Q mijloacele segmentelor (AB), (BC), (CD) şi (DA). Să se arate că: + +a) patrulaterul MNPQ este paralelogram; + +b) planele (APB), (CDM), (BCQ), (DAN) au un punct comun. + +4. Fie $\mathrm{ABCD}$ un tetraedru pentru care avem $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{AD}$ şi ariile triunghiurilor ABC, ACD, ADB sunt egale cu x, y, z. Dovediţi că: + +a) dreapta $\mathrm{AD}$ este perpendiculară pe planul (ABC) + +b) Dacă $\mathrm{AB}=\mathrm{b}, \mathrm{AC}=\mathrm{c}$ şi $\mathrm{AD}=\mathrm{d}$, atunci $b^{2} c^{2} d^{2}=8 x y z$. + +c) Determinaţi în funcţie de $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ aria triunghiului BCD. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +BAREM DE NOTARE - clasa a VIII-a + +| Sub. | | Puncte | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1. | a) | $2 \mathbf{p}$ | Calculează şi obţine $10+4-x-2014\|=0\| x-2014 \mid,=14$ | +| | | 1p | Finalizează şi obţine $x \in\{2000,2028\}$ | +| $7 \mathbf{p}$ | b) | 1p | Scrie $1=a+b=a^{a+b}+b^{a+b}=a^{a} a^{b}+b^{a} b^{b}$ | +| | | $2 \mathbf{p}$ | Descompune diferenţa $1-a^{a} b^{b}-a^{b} b^{a}=\left(a^{b}-b^{b}\right)\left(a^{a}-b^{a}\right)$ unde
înlocuieşte pe $1=a^{a} a^{b}+b^{a} b^{b}$ | +| | | $1 \mathbf{p}$ | Dacă $a \leq b$ ambele paranteze sunt $\leq 0$ deci produsul lor este
nenegativ.
Dacă $a \geq b$ ambele paranteze sunt $\geq 0$ deci produsul lor este
nenegativ. Rezultă ceea ce trebuia dovedit. | +| 2. | | $1 \mathbf{p}$ | $\sqrt{2013}=\sqrt{a b c}$ | +| | | $2 \mathbf{p}$ | Avem de arătat
$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c+a}{c^{2}+a^{2}} \leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2013}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a b c}}$
$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a b c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a b c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a b c}}=\frac{1}{\sqrt{b c}}+\frac{1}{\sqrt{a c}}+\frac{1}{\sqrt{a b}}$ | +| 7 p | | $3 \mathbf{p}$ | Arăăm că
$\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}} \leq \frac{1}{\sqrt{b c}} \leftrightarrow b \sqrt{b c}+c \sqrt{b c} \leq b^{2}+c^{2}$ şi încă 2 relaţii similare
Avem $b \sqrt{b c}=\sqrt{b^{2} \cdot b c} \leq \frac{b^{2}+b c}{2}$ (inegalitatea mediilor) şi
$c \sqrt{b c}=\sqrt{c^{2} \cdot b c} \leq \frac{c^{2}+b c}{2}$ pe care le adunăm şi avem
$b \sqrt{b c}+c \sqrt{b c} \leq \frac{b^{2}+c^{2}+2 b c}{2} \leq b^{2}+c^{2}$ ultima parte fiind adevărată | +| | | $1 \mathbf{p}$ | Adună relaţiile şi finalizează | +| $7 \mathbf{p} \quad$ | a)
3p | 1p | MQ linie mijlocie, paralelă cu BD și jumătate din BD | +| | | $1 \mathrm{p}$ | NP linie mijlocie, paralelă cu BD şi jumătate din BD | +| | | $1 \mathbf{p}$ | Finalizează | +| | 4p | 1p | $(A P B) \cap(C D M)=M P$ | +| | | $1 \mathbf{p}$ | $(B C Q) \cap(D A N)=N Q$ | +| | | $2 \mathbf{p}$ | Cele două drepte au un punct comun, punctul de intersecţie al
diagonalelor paralelogramului MNPQ.
Finalizează. | + + +| 4. | a)
1p | 1p | $A D \perp A B, A D \perp A C \rightarrow A D \perp(A B C)$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $7 \mathbf{p}$ | b)
$2 p$ | $\mathbf{1 p}$ | Exprimă ariile celor 3 triunghiuri $x=\frac{b c}{2}, y=\frac{c d}{2}, z=\frac{b d}{2}$ | +| | | 1p | Dovedeşte relaţia | +| | c)
$4 p$ | $1 \mathbf{p}$ | Aplică teorema celor 3 perpendiculare pentru înălţimea BP a
triunghiului BCD | +| | | 1p | Calculează $B P=\frac{\sqrt{b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+c^{2} d^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}$ | +| | | $\mathbf{1 p}$ | Află aria triunghiului $\mathrm{BCD} A=\frac{\sqrt{b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+c^{2} d^{2}}}{2}$ | +| | | $\mathbf{1 p}$ | Exprimă funcţie de $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ aria triunghiului $\mathrm{BCD} A=\sqrt{x^{2}+y^{2}+\mathrm{z}^{2}}$ | + +Orice altă metodă care conduce la soluţie primeşte punctaj maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-895-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-895-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..029ecca8eec09c213551a9ba69593262bb752835 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-895-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,64 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_255ead2902dcc93a5787g-1.jpg?height=206&width=165&top_left_y=388&top_left_x=1348) + +MINISTERUL + +FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro EDUCATTIEI + +website : http://isj.vs.edu.ro + +NAȚIONALE + +Nr. din + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +## 16 februarie 2014-CLASA a VII-a + +1. a) Arătaţi că pentru orice $\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$ este adevarată relaţia: $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x \cdot y}$ + +b) Arătaţi că: $12 \leq \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}}+\frac{11}{\sqrt{30}}+\frac{13}{\sqrt{42}}<13$ + +2. a) Fie numărul $a=\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\sqrt{2^{4}}+\cdots+\sqrt{2^{2014}}$ şi $b=2^{1007}-1$. Calculaţi $\frac{b}{a}$. + +b) Să se arate că dacă n este număr natural de trei cifre, numărul $\sqrt{n+\sqrt{n-1}}$ nu este natural. + +3. În triunghiul echilateral $\mathrm{ABC}$ notăm cu $\mathrm{G}$ punctul de intersecţie al medianelor $\mathrm{AM}$, $M \in(B C)$ şi BN, $N \in(A C)$. Perpendiculara din $\mathrm{N}$ pe $\mathrm{AB}$ intersectează perpendiculara în C pe BC în punctul P. Demonstraţi că: + +a) patrulaterul GNPM este trapez isoscel; + +b) patrulaterul GPCM este dreptunghi; + +c) patrulaterul GPMB este paralelogram. + +4. Se consideră triunghiul echilateral $\mathrm{ABC}$ şi punctele $D, E \in(B C)$ astfel încât $m(\Varangle B A D)=$ $m(\Varangle C A E)=20^{\circ}, F \in(A D)$ şi $G \in(A E)$ astfel încât $m(\Varangle A B F)=m(\Varangle C B G)=20^{\circ}$, iar $I \in(A E)$ astfel încât $\Varangle A B I \equiv \Varangle C B I$. + +a) Demonstraţi că $F I \| B C$. + +b) Dacă $A D \cap B G=\{H\}$, determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului FGH. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte + +BAREM DE NOTARE -16 februarie 2014-CLASA a VII-a + +| Sub. | | Puncte | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $7 p$ | a) | $2 p$ | $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x \cdot y} \Rightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0$ | +| | b) | $1 \mathbf{p}$ | Din $\frac{x+y}{\sqrt{x+y}} \geq 2, \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{1+2}{\sqrt{1 \cdot 2}} \geq 2$
obtinem : $12 \leq \frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}}+\frac{11}{\sqrt{30}}+\frac{13}{\sqrt{42}}$
Pentru orice n numar natural are loc $n(n+1) \geq n$
$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}<\frac{1}{n}, \quad \frac{3}{\sqrt{1 \cdot 2}}<\frac{3}{1}$ obţinem
$\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}}+\frac{11}{\sqrt{30}}+\frac{13}{\sqrt{42}}<13$ | +| 2. | a) | $1 \mathbf{p}$
$1 \mathbf{p}$
$1 \mathrm{p}$ | Înmultim $a=\sqrt{2}+\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\sqrt{2^{4}}+\cdots+\sqrt{2^{2014}} \mathrm{cu} \sqrt{2}$
$a \sqrt{2}=\sqrt{2^{2}}+\sqrt{2^{3}}+\sqrt{2^{4}}+\cdots+\sqrt{2^{2015}}$ şi scădem
Obţinem $a=\frac{\sqrt{2}\left(2^{1007}-1\right)}{\sqrt{2}-1}$ de unde $\frac{b}{a}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | +| $7 p$ | b) | $1 \mathbf{p}$
$1 \mathbf{p}$
$2 \mathbf{p}$ | n-1 pătrat perfect, $n-1 \in\{100,121,144, \cdots 961\}$
$n \in\{101,122,145, \cdots 962\}$
Numerele 111, 133,157, 183, $211, \ldots 931,993$ nu sunt pătrate perfecte | +| 3. | a) | $1 \mathbf{p}$ | Dacă $P N \cap A B=\{E\}, m(\Varangle A N E)=m(\Varangle P N C)-m(\Varangle N C P)=30^{\circ}$ şi atunci
$\triangle P N C$ este isoscel, de unde $\mathrm{NP}=\mathrm{PC}$
$[M N]$ linie mijlocie în $\triangle A B C \rightarrow M N=M C$
Folosind (1) şi (2) se demonstrează că $M P \perp N C$
Din (3) şi $G N \perp A C \rightarrow M P N G$ trapez
Se arată că $m(\Varangle G M P)=m(\Varangle N P M)=60^{\circ}$
Din (4) şi (5) $\rightarrow$ GNPM trapez isoscel. | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_255ead2902dcc93a5787g-3.jpg?height=1445&width=1873&top_left_y=357&top_left_x=69) + +Orice altă metodă care conduce la soluţie primeşte punctaj maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-896-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-896-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..590b2567a0feae69cab865a480d8c4b5c6c14a2d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-896-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,63 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7558ddd9a34d78951742g-1.jpg?height=206&width=165&top_left_y=388&top_left_x=1348) + +MINISTERUL + +FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro EDUCATTIEI + +website : http://isj.vs.edu.ro + +NAȚIONALE + +Nr. din + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014-CLASA a VI-a + +1. Suma a trei numere prime distincte este egală cu 20. + +a) Demonstraţi că produsul celor trei numere este un număr par. + +b) Calculaţi cele trei numere ştiind că dublul produsului lor este divizibil cu suma lor. + +c) Demonstraţi că diferenţa dintre cel mai mare număr prim şi cel mai mic număr prim (din cele trei numere date) este tot un număr prim. + +2. Fie un număr natural p, prim cu $p>3$. Demonstraţi că: + +a) Restul împărţirii lui p la 4 este 1 sau 3. +b) $(p-1)(p+1)$ este divizibil cu 24 + +3. Rezolvaţi ecuaţia: + +$$ +\frac{x+1}{2}+\frac{x+5}{3}+\frac{x+11}{4}+\frac{x+19}{5}+\frac{x+29}{6}+\frac{x+41}{7}+\frac{x+55}{8}+\frac{x+71}{9}+\frac{x+89}{10}=45 +$$ + +(G.M. $\mathrm{nr} 10 / 2013$ ) + +4. a) Fie triunghiul oarecare $\mathrm{ABC}$ cu măsura unghiului $\mathrm{BAC}$ de $30^{\circ}$. In exteriorul triunghiului se construiesc segmentele $[\mathrm{AD}]$ şi $[\mathrm{AE}]$ astfel încât $[A D] \equiv[A B]$ şi $[\boldsymbol{A C}] \equiv[A E]$ iar $m(\triangle B A D)=m(\triangle C A E)=60^{\circ}$. Demonstraţi că segmentele [DC] şi [BE] sunt congruente. b) Două unghiuri complementare au o latura comună. Unghiul format de bisectoarele celor două unghiuri are măsura de $5^{0}$. Calculaţi măsurile celor două unghiuri complementare. + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +## BAREM DE NOTARE -16 februarie 2014-CLASA a VI-a + +| Sub. | | Puncte | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 . | a) | $1 \mathbf{p}$ | Notăm cu a, b, şi c cele trei numere prime.
Deoarece suma celor trei numere este 20, atunci unul din ele este 2 , deci
produsul lor este un număr par | +| $7 p$ | b) | $1 \mathbf{p}$
$2 p$ | Presupunem $a=2 \rightarrow b+c=18$
Dacă $b+c=18$ există două cazuri:
Cazul $1 . a=2, b=5$ şic $c=13$
$S=a+b+c=20, \quad P=a \cdot b \cdot c=2 \cdot 5 \cdot 13=130$,
$\quad 2 P=260 \rightarrow 2 P: S$ | +| | c) | 1p | $13-2=11 ; 11$ este număr prim | +| 2. | a) | $1 p$
$1 p$ | Deoarece $\mathrm{p}$ prim cu $p>3$, avem că $\mathrm{p}$ impar, de forma $\mathrm{p}=2 \mathrm{q}+1, q \in N, q \geq 2$
Dacă $\mathrm{q}=2 \mathrm{k}, k \in N^{*}$ atunci $\mathrm{p}=4 \mathrm{k}+1$, deci restul împărţirii lui $\mathrm{p}$ la 4 este 1
Dacă $\mathrm{q}=2 \mathrm{k}+1, k \in N^{*}$ atunci $\mathrm{p}=4 \mathrm{k}+3$, deci restul împărţirii lui $\mathrm{p}$ la 4 este 3 . | +| $7 \mathbf{p}$ | b) | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7558ddd9a34d78951742g-2.jpg?height=647&width=147&top_left_y=1619&top_left_x=434) | Dacă $\mathrm{q}=2 \mathrm{k}, k \in N^{*}$ atunci $(p-1)(p+1)=4 k \cdot(4 k+2)=8 k(2 k+1) \vdots 8$
Dacă $\mathrm{q}=2 \mathrm{k}+1, k \in N^{*}$ atunci $(p-1)(p+1)=(4 k+2) \cdot(4 k+4)=8(k+$
$1)(2 k+1) \vdots 8$
Deoarece $\mathrm{p}$ este prim, $\mathrm{p}$ nu este divizibil cu 3 , deci $\mathrm{p}=3 \mathrm{r}+1$ sau $\mathrm{p}=3 \mathrm{r}+2$
Dacă $\mathrm{p}=3 \mathrm{r}+1$, atunci $(p-1)(p+1)=3 r(3 r+2) \vdots 3$
$\left.\begin{array}{c}\text { Dacă } \mathrm{p}=3 \mathrm{r}+2 \text {, atunci }(p-1)(p+1)=3(3 r+1)(r+1) \vdots 3 \\ (p-1)(p+1) \vdots 3 \\ (p-1)(p+1) \vdots 8 \\ (3,8)=1\end{array}\right\} \rightarrow(p-1)(p+1) \vdots 24$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7558ddd9a34d78951742g-3.jpg?height=2105&width=1859&top_left_y=358&top_left_x=70) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-897-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-897-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8395f8cea49c9e73d21d0c7af3cc3bb74c3d9d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-897-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,59 @@ +INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN V A S L U I + +TELEFON: 0235/311928 + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_227444edf76e62213f74g-1.jpg?height=203&width=163&top_left_y=390&top_left_x=1346) + +MINISTERUL + +FAX: 0235/311715 + +e-mail: isjvaslui@isj.vs.edu.ro EDUCATTIEI + +website : http://isj.vs.edu.ro + +NAȚIONALE Nr. din + +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014-CLASA a V-a + +1. a) Calculați: + +$\left(11^{57}+11^{56}-11^{55}\right):\left(11^{55}+11^{54}-11^{53}\right)+169:\left[13^{6} \cdot 13^{5}:\left(13^{2}\right)^{5}\right]=$ + +b) Comparați numerele: + +$\mathrm{x}=2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot \ldots \cdot 2^{2013}$ și $\mathrm{y}=\left(2^{1007}\right)^{2013}$. + +2. Fie mulțimile $\mathrm{A}=\{a \mid a=25 k+7, k \in N\}$ și $\mathrm{B}=\{b \mid b=2015 p+3, p \in N\}$. + +Determinați AnB. + +3. Ana, Barbu si Cristi au împreuna o suma de bani mai mica de 100 de lei, iar fiecare în parte are mai mult de 5 lei. Ana si Barbu au împreuna de trei ori mai mult decât Cristi, iar Barbu si Cristi au împreuna de trei ori mai mult decât Ana. Aflati care sunt cele mai mari si cele mai mici sume pe care le pot avea cei trei copii. +4. Determinați numerele naturale de forma $\overline{a b c}$ care verifică relația $\overline{a b} \cdot\left(b^{2}+c^{2}\right)=2014$. + +G.M. $12 / 2013$ + +## Toate subiectele sunt obligatorii. + +## Timp de lucru 2 ore. + +Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte. + +BAREM DE NOTARE + +| Sub. | | Puncte | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| $7 p$ | a) | $1 \mathbf{p}$
$1 \mathbf{p}$ | a) $\left(11^{57}+11^{56}-11^{55}\right):\left(11^{55}+11^{54}-11^{53}\right)+169:\left[13^{6} \cdot 13^{5}:\left(13^{2}\right)^{5}\right]=$
$=\left[11^{55} \cdot\left(11^{2}+11^{1}-11^{0}\right)\right]:\left[11^{53} \cdot\left(11^{2}+11^{1}-11^{0}\right)\right]+169:\left(13^{11}: 13^{10}\right)$
$=\left(11^{55}: 11^{53}\right) \cdot\left[\left(11^{2}+11^{1}-11^{0}\right):\left(11^{2}+11^{1}-11^{0}\right)\right]+169: 13$
$=11^{2} \cdot 1+13$
$=121+13$
$=134$ | +| | b) | $1 \mathbf{p}$ | b)Calculând $x=2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot \ldots \cdot 2^{2013}=2^{1+2+3+\ldots+2013}=2^{2013 \cdot 2014: 2}=2^{2013 \cdot 1007}$
și
$y=\left(2^{1007}\right)^{2013}=2^{1007 \cdot 2013}$,
obținem $x=y$. | +| $7 p$ | | $3 p$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_227444edf76e62213f74g-2.jpg?height=456&width=1266&top_left_y=1528&top_left_x=606) | +| 3.
$7 p$ | | $1 p$
$1 p$ | Notă cu a,b,c sumele de bani pe care le au Ana, Barbu şi Cristi
a.î. $5 Din datele problemei rezultă relaţiile:
$\mathrm{a}+\mathrm{b}=3 \mathrm{c}$ şi $\mathrm{b}+\mathrm{c}=3 \mathrm{a}$
Dacă scădem cele două egalităţi obţinem
$\qquad a-c=3(c-a) \rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{c}$
Sumele pe care le au cei trei copii Ana, Barbu şi Cristi sunt: | + + +| | $2 p$ | a, $2 a$, $a$; cum5 $ $\qquad \frac{5}{4} Aşadar, cea mai mică sumă pe care o pot primi copii, în ordine,
6,12 şi 6 şi cea mai mare 24,48 şi 24 . | +| :---: | :---: | :---: | +| $7 \mathbf{p}$ | $1 p$
$1 p$
$1 p$
$1 p$ | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_227444edf76e62213f74g-3.jpg?height=510&width=1257&top_left_y=676&top_left_x=607) | + +Orice altă metodă care conduce la soluţie primeşte punctaj maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-898-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-898-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e917a304a92263eec7c5df97b75eeb719005e793 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-898-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,43 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA LOCALĂ + +## 16 februarie 2014-CLASA a IX-a + +1. Dacă $a, b, c$ sunt numere strict pozitive atunci: +a) $\left(1+\frac{a}{b}\right)^{2}+\left(1+\frac{b}{a}\right)^{2} \geq 8$. +b) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{2 a b}{b^{2}+c a}+\frac{2 b c}{c^{2}+a b}+\frac{2 a c}{a^{2}+b c}$. +2. Dacă $[x]$ reprezintă partea întreagă a lui $\mathrm{x}$ atunci: + +a) Rezolvaţi ecuaţia: $\left[\frac{2 x+1}{3}\right]+\left[\frac{4 x+5}{6}\right]=\frac{5 x+1}{3}$. + +b) Arătaţi că: $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]+\left[2 x+\frac{1}{2}\right]+\cdots+\left[2^{2013} x+\frac{1}{2}\right]=\left[2^{2014} x\right]$. + +3. a)Şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ verifică egalitatea: $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a n^{2}+b n, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, a, b \in \mathbb{R}$. + +Să se demonstreze că acest şir este o progresie aritmetică. + +b) Dacă $n$ numere prime formează o progresie aritmetică, atunci raţia progresiei se divide prin fiecare număr prim $p $\left(1+\frac{a}{b}\right)^{2}+\left(1+\frac{b}{a}\right)^{2} \geq 4\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) \geq 4.2=8$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| | b) Aplicand inegalitatea mediilor vom avea :
{f28c059d0-ae67-42b9-8c3d-3a9484f50959}$\frac{2 a b}{b^{2}+c a}=\frac{2}{\frac{b}{a}+\frac{c}{b}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)$
$\frac{2 b c}{c^{2}+a b}=\frac{2}{\frac{b}{a}+\frac{c}{b}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)$
$\frac{2 c a}{a^{2}+b c}=\frac{2}{\frac{a}{c}+\frac{b}{a}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)$
De unde prin sumare rezulta inegalitatea ceruta. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| 2 | a) Pentru că membrul întâi este număr îtreg deducem că $\frac{5 x+1}{3} \in \mathbb{Z} \rightarrow \exists n \in \mathbb{Z} a$. î.
$\qquad \frac{5 x+1}{3}=n$.
Ecuaţia devine : $\left[\frac{2 n+1}{5}\right]+\left[\frac{4 n+7}{10}\right]=n$ (1)
Din definiţia părţii întregi avem: $\frac{2 n+1}{5}-1<\left[\frac{2 n+1}{5}\right] \leq \frac{2 n+1}{5}$ şi
$\frac{4 n+7}{10}-1<\left[\frac{4 n+7}{10}\right] \leq \frac{4 n+7}{10}$.
prin adunarea şi cu relaţia (1) avem
$\frac{8 n-11}{10} b)Se aplică identitatea lui Hermite: $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2 x]$.
$[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]+\left[2 x+\frac{1}{2}\right]+\ldots+\left[2^{2013} x+\frac{1}{2}\right]=[2 x]+\left[2 x+\frac{1}{2}\right]+\ldots+\left[2^{2013} x+\frac{1}{2}\right]=$
$\left[2^{2} x\right]+\left[2^{2} x+\frac{1}{2}\right]+\ldots+\left[2^{2012} x+\frac{1}{2}\right]+\left[2^{2013} x+\frac{1}{2}\right]=\left[2^{2013} x\right]+\left[2^{2013} x+\frac{1}{2}\right]=\left[2 \cdot 2^{2013} x\right]=\left[2^{2014} x\right]$ (3p) | $1 p$
$1 p$ | +| 3 | a) În relaţia din enunţ facem $n=1 \rightarrow x_{1}=a+\mathrm{b}$; ptr. $n=2 \rightarrow x_{1}+x_{2}=4 a+2 \mathrm{~b} \rightarrow$
$x_{2}=3 a+b, a$.î. $x_{2}-x_{1}=2 a=r ;$
prin metoda inducţiei pp. $x_{n}=x_{1}+(n-1) r=a+b+(n-1) .2 a$
Să dem. că $x_{n+1}=x_{1}+n r=a+b+n .2 a ;$ în relația din enunţ trecem pe
$n \rightarrow n+1 ; x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}=a(n+1)^{2}+b(n+1) \rightarrow$
$a n^{2}+b n+x_{n+1}=a(n+1)^{2}+b(n+1)$ etc.
b)Fie a, a+r, a+2r, $\ldots, \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{r}, \mathrm{n}$ numere in progresie aritmetica si p prim, $\mathrm{p} \angle \mathrm{n}$.
Prin impartirea la p a acestor numere prime, vom obtine intr-o anumita ordine
resturile $1,2, \ldots \ldots . ., \mathrm{p}-1$, daca $a \neq p$, sau resturile $0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; \mathrm{p}-1$ daca $\mathrm{a}=\mathrm{p}$. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + + +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8fd551c25ad1781e3372g-3.jpg?height=274&width=1385&top_left_y=253&top_left_x=420) | 1p | +| :---: | :---: | :---: | +| 4 | Fie M,N,P mijloacele laturilor (BC),(AC),(AB) si O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC.Au loc relaţiile :
Au loc relaţile:
$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O H}+\overrightarrow{O D}) \rightarrow \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O H}$
Dar $\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} \rightarrow \overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O A}$ şi relaţii analoage $\overrightarrow{O H}=-\overrightarrow{O B}$
Fie $\mathrm{Q}$ centrul de greutate al triunghiului $D E F$; şi G centrul de greutate al triunghiului
Au loc relaţiile: $\overrightarrow{O Q}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F})=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=-\overrightarrow{O G}$;
Dacă cele două triunghiuri au acelaşi centru de greutate vom avea $\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O Q} \rightarrow$
$\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O Q}=-\overrightarrow{O G}$ de unde $O=G$ a.î. triunghiul ABC este echilateral. | 2p | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-899-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-899-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b4844269905e22a7662d64dbea9380dc279dec96 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-899-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,33 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEȚULUI TULCEA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- faza locală 22 februarie 2014 - + +Clasa a VII-a + +Subiectul 1. Fie numărul natural $A=\sqrt{0, a(b 2)}+\overline{0, b(2 a)}+\overline{0,2(a b)}$, determinaţi perechile de cifre (a, b) cu a $<\mathrm{b}$ (Sub radical sunt fracţii zecimale periodice mixte). + +Subiectul 2. Fie $n$ număr natural nenul, $p$ număr prim şi mulţimea: + +$$ +\mathrm{Ap}=\left\{\frac{p+2}{2}, \frac{p+3}{3}, \frac{p+4}{4}, \ldots, \frac{p+n}{n}, \ldots\right\} +$$ + +a) care este ordinea elemenelor mulţimii în mulţimea Ap? + +b) arătaţi că mulţimea Ap are un singur element număr natural. + +c) Determinţi + +Subiectul 3. Fie $\mathrm{ABCD}$ un paralelogram. Bisectoarea unghiului $\mathrm{A}$ intersectează diagonala $\mathrm{BD}$ în $\mathrm{M}$, iar bisectoarea unghiului $\mathrm{D}$ intersectează diagonala $\mathrm{AC}$ în $\mathrm{N}$. Demonstraţi că MN este paralelă cu $\mathrm{AD}$. + +## Timp de lucru 2 ore + +Fiecare subiect se notează cu 7 puncte + +| | BAREM CLASA a VII-a | | +| :--- | :--- | :--- | +| Sub. 1 | Transformarea fracţilor zecimale în fracţii ordinare
Scrierea numerelor în baza 10
$A=\sqrt{\frac{a+b+2}{9}}$ este număr natural
$\mathrm{a}+\mathrm{b}+2<=20, \mathrm{a}+\mathrm{b}+2$ se divide cu 9
scrierea soluţilor pentru $\mathrm{a}+\mathrm{b}=7$, respectiv $\mathrm{a}+\mathrm{b}=16$ (mulţimea vidă), | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$\mathrm{p}$ | +| Sub. 2 | a) Comparăm 2 fracţii consecutive: $\frac{p+k}{k}$ şi $\frac{p+k+1}{k+1}, \mathrm{p}, \mathrm{k}>=2$ deducem
că fracţile sunt în ordine descrescătoare | $3 \mathrm{p}$ | +| Sub. 3 | In $\Delta \mathrm{ABD}$ avem: $\frac{M B}{M D}=\frac{A B}{A D}$, iar în $\Delta \mathrm{DCA}$ avem: $\frac{N C}{N A}=\frac{D C}{A D}$ (teorema
bisectoarei).
Deci: $\frac{M B}{M D}=\frac{N C}{N A}$,
notand: $\mathrm{BD}=2 \mathrm{a}, \mathrm{AC}=2 \mathrm{~b}, \mathrm{OM}=\mathrm{x}$ si $\mathrm{ON}=\mathrm{y}, \mathrm{O}$ intersectia diagonalelor, lui $\mathrm{A}$ se pot scrie $1+\frac{p}{k}$,
relatia devine: $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+y}{b-y}$, de unde: $\frac{2 x}{a-x}=\frac{2 y}{b-y}$, sau $\frac{O M}{M D}=\frac{O N}{N A}, \mathrm{cf}$. | $2 \mathrm{p}$ | +| beciprocei th. Thales rezulta MN\\|AD. | $1 \mathrm{p}$ | | + +## Se puncteaza corespunzator orice solutie alternativa + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-9-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. X-cl10_nationala.md b/Romania_Olympiad/md/ro-9-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. X-cl10_nationala.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff2d24d131c1b5f9e386cbfb8dd810b13655ba68 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-9-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. X-cl10_nationala.md @@ -0,0 +1,120 @@ +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81dd5b62ce12325a5903g-1.jpg?height=271&width=271&top_left_y=130&top_left_x=857) + +# Olimpiada Națională de Matematică + +Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a X-a + +Problema 1. Pentru $a \in(0, \infty) \backslash\{1\}$, aflați soluțiile reale ale ecuației + +$$ +a^{x}=x^{x}+\log _{a}\left(\log _{a} x\right) +$$ + +Problema 2. Arătați că, oricare ar fi numerele complexe $z_{1}$ și $z_{2}$, are loc inegalitatea + +$$ +\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\max \left\{\left|z_{1}\right|,\left|z_{2}\right|\right\} +$$ + +Problema 3. Fie $Z \subset \mathbb{C}$ o mulțime de $n$ numere complexe, $n \geq 2$. Arătați că pentru orice număr natural nenul $m \leq \frac{n}{2}$ există o submulțime $U$ cu $m$ elemente a mulțimii $Z$ astfel ca + +$$ +\left|\sum_{z \in U} z\right| \leq\left|\sum_{z \in Z \backslash U} z\right| +$$ + +Problema 4. Fie $M=\{1,2, \ldots, n\}$, unde $n \geq 2$ și $\mathcal{P}(M)=\{P \mid P \subseteq M\}$ mulțimea părților lui $M$. Determinați numărul funcțiilor $f: \mathcal{P}(M) \rightarrow \mathcal{P}(M)$ care au proprietatea: + +$$ +|f(A) \cap f(B)|=|A \cap B| \text {, pentru orice } A, B \in \mathcal{P}(M) +$$ + +(Am notat cu $|X|$ numărul de elemente ale mulțimii $X$.) + +Timp de lucru 4 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81dd5b62ce12325a5903g-2.jpg?height=269&width=274&top_left_y=142&top_left_x=904) + +## Olimpiada Națională de Matematică
Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022 + +## CLASA a X-a - soluții și bareme + +Problema 1. Pentru $a \in(0, \infty) \backslash\{1\}$, aflaţi soluțile reale ale ecuaţiei + +$$ +a^{x}=x^{x}+\log _{a}\left(\log _{a} x\right) +$$ + +Soluție. Fie $t=\log _{a} x$. Din condițile de existență avem $x>0$ și $t>0$. Ecuația se rescrie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81dd5b62ce12325a5903g-2.jpg?height=68&width=1594&top_left_y=985&top_left_x=276) + +Adunând $\log _{a} x$ obținem $a^{x}+\log _{a} x=a^{x t}+\log _{a}(x t) . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. . . . . . . . . + +Funcția $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a^{x}+\log _{a} x$ este strict monotonă, deci injectivă, prin urmare obținem $x=x t$, deci $t=1$ și $x=a$. + +$.3 p$ + +Problema 2. Arătați că, oricare ar fi numerele complexe $z_{1}$ și $z_{2}$, are loc inegalitatea + +$$ +\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\max \left\{\left|z_{1}\right|,\left|z_{2}\right|\right\} +$$ + +Solutie. Dacă $z_{1}=0$ sau $z_{2}=0$ avem egalitate. În continuare considerăm $z_{1}, z_{2} \in$ $\mathbb{C}^{*}$. Fără a restrânge generalitatea putem presupune $\left|z_{1}\right| \leq\left|z_{2}\right|$. Astfel, inegalitatea devine $\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+2\left|z_{2}\right|$. (1) + +Împărțind cu $\left|z_{2}\right|$ și notând $z=\frac{z_{1}}{z_{2}}$, inegalitatea (1) se scrie $|z+1|+|z-1| \leq|z|+2$, unde $z \in \mathbb{C}^{*}$ cu $|z| \leq 1$. (2) + +Ridicând la pătrat și folosind identitatea paralelogramului, $|z+1|^{2}+|z-1|^{2}=2\left(|z|^{2}+1\right)$, inegalitatea (2) devine echivalentă cu $|z|^{2}+2\left|z^{2}-1\right| \leq 4|z|+2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. 2 p + +Cum $\left|z^{2}-1\right| \leq|z|^{2}+1$, este suficient să demonstrăm că $|z|^{2}+2\left(|z|^{2}+1\right) \leq 4|z|+2$, care conduce la $|z|(3|z|-4) \leq 0$, inegalitate adevărată deoarece $|z| \in(0,1]$. + +$.2 p$ + +Problema 3. Fie $Z \subset \mathbb{C}$ o mulțime de $n$ numere complexe, $n \geq 2$. Arătați că pentru orice număr natural nenul $m \leq \frac{n}{2}$ există o submulțime $U$ cu $m$ elemente a mulțimii $Z$ astfel ca + +$$ +\left|\sum_{z \in U} z\right| \leq\left|\sum_{z \in Z \backslash U} z\right| +$$ + +Soluție. Dacă $m=\frac{n}{2}$, deci $n=2 m$ este număr par, partiționăm arbitrar mulțimea $Z$ în două submulțimi $Z_{1}$ și $Z_{2}$ cu câte $m$ elemente şi dacă $\left|\sum_{z_{1} \in Z_{1}} z_{1}\right| \leq\left|\sum_{z_{2} \in Z_{2}} z_{2}\right|$ alegem $U=Z_{1}$ iar în caz contrar alegem $U=Z_{2}$. + +$1 p$ + +Dacă $m<\frac{n}{2}$, deci $2 m\left|\sum_{v \in V} v\right|$, adică $\sum_{u \in U}|u|^{2}+\sum_{\substack{u_{1} \neq u_{2} \\ u_{1,2} \in U}} u_{1} \cdot \overline{u_{2}}>\sum_{v \in V}|v|^{2}+\sum_{\substack{v_{1} \neq v_{2} \\ v_{1,2} \in V}} v_{1} \cdot \overline{v_{2}}$ + +Adunând aceste relații pentru toate cele $C_{n}^{m}$ submulțimi $U$ și notând $S_{1}=\sum_{z \in Z}|z|^{2}$, $S_{2}=\sum_{\substack{z_{1} \neq z_{2} \\ z_{1,2} \in Z}} z_{1} \cdot \overline{z_{2}}$, obținem: + +$$ +\frac{C_{n}^{m} \cdot m}{n} \cdot S_{1}+\frac{C_{n}^{m} \cdot A_{m}^{2}}{A_{n}^{2}} \cdot S_{2}>\frac{C_{n}^{m} \cdot(n-m)}{n} \cdot S_{1}+\frac{C_{n}^{m} \cdot A_{n-m}^{2}}{A_{n}^{2}} \cdot S_{2} +$$ + +Deducem că $\frac{n-2 m}{n} \cdot S_{1}+\frac{A_{n-m}^{2}-A_{m}^{2}}{A_{n}^{2}} \cdot S_{2}<0$, adică $\frac{n-2 m}{n} \cdot\left(S_{1}+S_{2}\right)<0$, deci $S_{1}+S_{2}<0$, prin urmare $\left|\sum_{z \in Z} z\right|^{2}<0$, ceea ce este fals. + +$2 \mathbf{p}$ + +Problema 4. Fie $M=\{1,2, \ldots, n\}$, unde $n \geq 2$ s,i $\mathcal{P}(M)=\{P \mid P \subseteq M\}$ multimea părților lui $M$. Determinați numărul funcților $f: \mathcal{P}(M) \rightarrow \mathcal{P}(M)$ care au proprietatea: + +$$ +|f(A) \cap f(B)|=|A \cap B| \text {, pentru orice } A, B \in \mathcal{P}(M) +$$ + +(Am notat cu $|X|$ numărul de elemente ale mulțimii $X$.) + +Soluție. Pentru $A=B$ în relația din ipoteză avem $|f(A)|=|f(A) \cap f(A)|=|A \cap A|=|A|$, $\operatorname{deci}|f(A)|=|A|$, pentru orice $A \in \mathcal{P}(M)$. In particular, observăm că $f(\emptyset)=\emptyset$. + +Pentru orice $i, j \in\{1,2, \ldots, n\}, i \neq j$ avem $|f(\{i\}) \cap f(\{j\})|=|\{i\} \cap\{j\}|=0$, deci $f(\{i\}) \neq$ $f(\{j\})$. Cum $f(\{i\})$ are un element, pentru orice $i \in\{1,2, \ldots, n\}$, vom avea $f(\{i\})=\left\{a_{i}\right\}$, pentru orice $i \in\{1,2, \ldots, n\}$, unde $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ este o permutare a numerelor $1,2, \ldots, n$. + +Arătăm mai departe că orice funcție cu proprietatea din ipoteză este complet definită de valorile ei pe mulțimile de un element și că pentru orice permutare $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ a numerelor $1,2, \ldots, n$ o astfel de functie verifică. + +Dacă $B \subset A$, atunci $A \cap B=B$, deci $|A \cap B|=|B|$ și atunci $|f(B)|=|B|=|A \cap B|=$ $|f(A) \cap f(B)|$. Cum însă $f(A) \cap f(B) \subset f(B)$, avem $f(B)=f(A) \cap f(B)$, deci $f(B) \subset f(A)$. Fie $A=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right\} \in \mathcal{P}(M)$ o submultime oarecare. Atunci, pentru orice $i \in\{1,2, \ldots, k\}$ avem $\left\{b_{i}\right\} \subset A$, deci $\left\{a_{b_{i}}\right\}=f\left(\left\{b_{i}\right\}\right) \subset f(A)$. Atunci $\bigcup_{1 \leqslant i \leqslant k}\left\{a_{b_{i}}\right\} \subset f(A)$. Dar $k=|f(A)|=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81dd5b62ce12325a5903g-3.jpg?height=57&width=1580&top_left_y=2294&top_left_x=283) + +Reciproc, pentru orice astfel de functie, dată de o permutare oarecare $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ a numerelor $1,2, \ldots, n$, și pentru orice mulțimi $A=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right\}$ și $B=\left\{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}\right\}$, numărul de elemente comune ale mulțimilor $f(A)=\left\{a_{b_{1}}, a_{b_{2}}, \ldots, a_{b_{k}}\right\}$ și $f(B)=\left\{a_{c_{1}}, a_{c_{2}}, \ldots, a_{c_{p}}\right\}$ este egal cu numărul de indici comuni dintre $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}$ și $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}$, adică $|A \cap B| . \ldots \ldots 2 \mathbf{2 p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_81dd5b62ce12325a5903g-3.jpg?height=44&width=1523&top_left_y=2534&top_left_x=342) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-90-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-90-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a46936ea4d3e881623cd87878f03aabafa22d5ae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-90-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,137 @@ +Societatea de Stiinţe Matematice din România + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_41bbd12c12b3314ff62bg-1.jpg?height=246&width=250&top_left_y=300&top_left_x=512) + +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării + +Ştiinţifice + +MINISTERUL EDUCATIEI NATIONALE ȘI CERCETÃRII \$TIINȚIFICE + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Finală, Târgu Mureş, 20 aprilie 2016 CLASA a VIII-a + +Problema 1. Vârfurile unei prisme se colorează cu două culori astfel încât capetele fiecărei muchii laterale să fie colorate diferit. Se consideră toate segmentele care unesc câte două vârfuri ale prismei, altele decât muchiile laterale. Arătaţi că numărul segmentelor cu capetele colorate diferit coincide cu numărul segmentelor cu capetele colorate la fel. + +Problema 2. Într-un cub $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ se consideră două puncte $M \in\left(C D^{\prime}\right)$ şi $N \in\left(D A^{\prime}\right)$. Arătaţi că $M N$ este perpendiculara comună a dreptelor $C D^{\prime}$ şi $D A^{\prime}$ dacă şi numai dacă $\frac{D^{\prime} M}{D^{\prime} C}=\frac{D N}{D A^{\prime}}=\frac{1}{3}$. + +Problema 3. Dacă $a, b$ şi $c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătaţi că + +$$ +\frac{3}{2} \leq \frac{b+c}{b+c+2 a}+\frac{a+c}{a+c+2 b}+\frac{a+b}{a+b+2 c}<\frac{5}{3} +$$ + +Problema 4. Pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$ spunem că numerele naturale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ au proprietatea $(\mathcal{P})$, dacă + +$$ +x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n} +$$ + +a) Arătaţi că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ există $n$ numere naturale nenule cu proprietatea $(\mathcal{P})$. + +b) Determinaţi numerele naturale $n \geq 2$ pentru care există $n$ numere naturale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, cu $x_{1}a \Leftrightarrow 3 a+3 b+3 c>4 a+2 b+2 c \Leftrightarrow \frac{2}{3(a+b+c)}<\frac{1}{2 a+b+c} \Leftrightarrow \frac{4 a}{3(a+b+c)}<\frac{2 a}{2 a+b+c} \Leftrightarrow +$$ + +$$ +\frac{4 a}{3(a+b+c)}<1-\frac{b+c}{2 a+b+c} +$$ + +Analog se arată că $\frac{4 b}{3(a+b+c)}<1-\frac{a+c}{2 b+a+c}$ si $\frac{4 c}{3(a+b+c)}<1-\frac{a+b}{2 c+a+b}$. Adunând ultimele trei inegalităţi obţinem $\frac{4}{3}<3-\left(\frac{b+c}{b+c+2 a}+\frac{a+c}{a+c+2 b}+\frac{a+b}{a+b+2 c}\right)$ echivalentă cu inegalitatea de demonstrat. + +Problema 4. Pentru $n \in \mathbb{N}^{*}$ spunem că numerele naturale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ au proprietatea $(P)$, dacă + +$$ +x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n} +$$ + +a) Arătaţi că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ există $n$ numere naturale nenule cu proprietatea $(P)$. + +b) Determinaţi numerele naturale $n \geq 2$ pentru care există $n$ numere naturale $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, cu $x_{1}x_{1} x_{3} \ldots x_{n}>\cdots>x_{1} x_{2} \ldots x_{n-1} \geq(n-1)$ !, rezultă că + +$$ +1<\frac{1+2+\cdots+n}{(n-1)!}=\frac{n(n+1)}{2(n-1)!} +$$ + +Pentru $2 \leq n \leq 4$, inegalitatea de mai sus are loc. + +Pentru $n \geq 5$, scriind $n(n+1)=(n-1)(n-2)+4(n-1)+2$, aceasta devine + +$$ +\begin{gathered} +1<\frac{n(n+1)}{2(n-1)!}=\frac{(n-1)(n-2)+4(n-1)+2}{2(n-1)!}=\frac{1}{2(n-3)!}+\frac{2}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!} \leq \\ +\leq \frac{1}{2 \cdot 2!}+\frac{2}{3!}+\frac{1}{4!}=\frac{1}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{24}=\frac{5}{8}<1 +\end{gathered} +$$ + +Rezultă că $n \in\{2,3,4\}$. + +Pentru $n=2$ am văzut că perechile $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ de numere naturale nenule care au proprietatea $(P)$ sunt $(3,3)$ şi $(4,2)$. Prin urmare nu există perechi care să satisfacă şi inegalitatea $x_{1} OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- faza locală 22 februarie 2014 - + +## Clasa a VIII-a + +## Subiectul 1. + +In cubul ABCDEFGH, se notează cu M mijlocul muchiei [AB] + +a) Demonstraţi că secţiunea determinată în cub de planul (HCM) este un trapez isoscel. + +b) Arătaţi că aria acestui trapez este mai mare decât aria unei feţe a cubului + +## Subiectul 2. + +a) Aflaţi valoarea minimă a numărului natural $a$ pentru care expresia: + +$E(x)=(x-1)(x+3)\left(x^{2}+2 x+3\right)+a$, este srtict pozitivă pentru orice număr real $x$. + +b) Dacă $a, b \in R^{*}$ diferite şi $a^{2}+b^{2}=10 a b$, calculaţi: $\frac{a+b}{a-b}$ + +## Subiectul 3. + +a) Arătaţi că: $\frac{1}{2}<\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\ldots+\frac{1}{24}<\frac{3}{2}$ + +b) Arătaţi că: $\frac{1}{3}<\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{29 \cdot 30}<\frac{1}{2}$ + +## Timp de lucru 2 ore + +Fiecare subiect se notează cu 7 puncte + +| | BAREM CLASA a VIII-a | | +| :---: | :---: | :---: | +| Sub. 1 | a) Fie $\{\mathrm{P}\}=\mathrm{CM} \cap \mathrm{AD}$ şi $\{\mathrm{N}\}=\mathrm{PH} \cap \mathrm{AE}$.
Planul $(\mathrm{PCH})$ intersectează feţele $\mathrm{ABFE}$ şi DCGH ale cubului după
dreptele $\mathrm{MN}$ şi $\mathrm{CH}$ paralele deci MNHC este trapez.
Demonstraţia MC=NH
b) Calculul ariei trapezului(in funcţie de a latura cubului)
Aria unei feţe şi finalizarea | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$1+1$
$\mathrm{p}$ | +| Sub. 2 | a) $\left.\mathrm{E}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}-3\right)\right)\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+3\right)+\mathrm{a}=\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}\right)^{2}-9+\mathrm{a}$
Din condiţa $\mathrm{E}(\mathrm{x})>0$ rezultă $\mathrm{a}-9>0$
A număr natural, minim $\mathrm{a}=10$
b) Din relaţia dată obţinem $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}=12 \mathrm{ab}$ şi $(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}=8 \mathrm{ab}$,
şi $\mathrm{ab}>0$
deci $a+b=\sqrt{12 a b}, a-b=\sqrt{8 a b}$
finalizare | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| Sub. 3 | a) $\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\ldots+\frac{1}{24}<\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\ldots+\frac{1}{10}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\ldots+\frac{1}{24}>\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\ldots+\frac{1}{24}=\frac{15}{24}>\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
b)
$\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{29 \cdot 30}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{29}-\frac{1}{30}=\frac{1}{2}-\frac{1}{30}$
demonstrarea celor două inegalităţi | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## Se puncteaza corespunzator orice solutie alternativa + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-901-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-901-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..68e72ec0ccfd7ebfbb534b985b804b4f67930dde --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-901-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,31 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI TULCEA
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
- faza locală 22 februarie 2014 -
Clasa a VI-a + +Subiectul 1. Fie numerele naturale a, b, c. Ştiind că: $\frac{a}{4}=\frac{b}{6}=\frac{c}{8}$ + +a) Aflaţi numărul natural nenul $n$ astfel încât $\frac{a+c}{n b}$ este număr prim + +b) Dacă: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{13}{144}$ determinaţi numerele $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi c. + +Subiectul 2. Considerăm punctele $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ şi B coliniare, în această ordine. De o parte şi de alta a dreptei $\mathrm{AB}$ se duc semidreptele ( $\mathrm{OC}$ şi (OD astfel încât $\mathrm{OC} \perp \mathrm{OD}$, semidreapta (OA interioară unghiului COD şi $m(\angle A O M)=\frac{4}{7} m(\angle A O D)$, unde (OM este bisectoarea $\angle A O C$. + +a) Determinaţi $m(\angle A O C)$. + +b) Dacă (ON este semidreapta opusă semidreptei (OM şi (OT $\perp(\mathrm{ON}$, unde (OT şi (OC sunt în acelaşi semiplan determinat de dreapta $\mathrm{AB}$, arătaţi că (OT este bisectoarea $\angle B O C$ + +Subiectul 3. a) Aflaţi numărele naturale n pentru care: $\frac{1}{101}<\frac{6}{n}<\frac{1}{100}$. + +b) Câte fracţii cu numărătorul cel mult egal cu 200 sunt cuprinse între $\frac{1}{101}$ şi $\frac{1}{100}$. + +Timp de lucru 2 ore + +Fiecare subiect se notează cu 7 puncte + +| | BAREM CLASA a VI-a | | +| :---: | :---: | :---: | +| Sub. 1 | a) $\mathrm{a}=4 \mathrm{k}, \mathrm{b}=6 \mathrm{k}, \mathrm{c}=8 \mathrm{k}$
$\frac{a+c}{n b}=\frac{12 \mathrm{k}}{6 \mathrm{kn}}=\frac{2}{n}$ este, număr prim dacă $\mathrm{n}=1$
b) Inlocuirea numerelor $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ si calculul sumei fractiilor
Determinarea lui $\mathrm{k}=6$
Aflarea numerelor $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ | $2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| Sub. 2
pct a | $\left(\mathrm{OM}=\right.$ bisectoarea $\angle \mathrm{AOC} \Rightarrow m(\angle A O M)=m(\angle M O C)=x \Rightarrow m(\angle A O D)=90^{\circ}$
$x=\frac{4}{7} \cdot\left(90^{\circ}-2 x\right) \Rightarrow x=24^{\circ} \Rightarrow m(\angle A O C)=48^{\circ}$ | $2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| Sub. 2
pct b | $m(\angle A O M)=m(<$ NOB $)=24^{\circ}$ (unghiuri opuse la varf $) \Rightarrow m(\angle B O T)=66^{\circ}$
$m( $ $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| Sub. 3 | a) $\frac{6}{606}<\frac{6}{n}<\frac{6}{600}$ rezultă pentru $\mathrm{n}$ valorile $605,604,603,602,601$
b) Fie $\mathrm{k}$ şi $\mathrm{n}$ numere naturale astfel încât $\frac{1}{101}<\frac{p}{n}<\frac{1}{100}$, deci
$\frac{p}{101 p}<\frac{p}{n}<\frac{p}{100 p}$ penru fiecare $\mathrm{p}>2$ avem $101 \mathrm{p}>\mathrm{n}>100 \mathrm{p}$, deci $\mathrm{n}$ ia $\mathrm{p}-1$
valori
Pentru $\mathrm{p}$ cel mult egal cu 200 avem $1+2+3+\ldots+199=199 \cdot 200: 2=19900$ | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | + +Se puncteaza corespunzator orice solutie alternativa + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-902-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-902-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..098410197fc05c3b4650123f5fb52483bb70ad09 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-902-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,35 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN TULCEA + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- faza locală 22 februarie 2014 - + +Clasa a V-a + +Subiectul 1. Să se determine cel mai mic şi cel mai mare număr natural $n$ de patru cifre, pentru care numărul $\mathrm{a}=2010^{2014}+2011^{2013}+2012^{2012}+2013^{2011}+2014^{2010}+n$ se divide $\mathrm{cu} 10$. + +Subiectul 2. Elevii din două clase 5A şi 5B au obţinut la teza de matematică suma notelor 415 . Numarul total de elevi este 55, la clasa 5A sunt cu 5 elevi mai puţin decât la 5B, iar media notelor la clasa $5 \mathrm{~A}$ este cu un punct mai mică decât media notelor obţinute de elevii de la $5 \mathrm{~B}$. + +Să se afle : + +a) numarul elevilor din fiecare clasă. + +b) suma notelor la fiecare clasă + +Subiectul 3. Arătaţi că oricum am alege două elemente ale mulţimii $A=\{1,3,5,7, \ldots 2013\}$, fie suma, fie diferenţa acestora este multiplu de 4. + +Timp de lucru 2 ore + +Fiecare subiect se notează cu 7 puncte + +OLIMPIADA DE MATEMATICA + +FAZA LOCALA TULCEA - 22 FEB. 2014 + +| Sub. 1 | BAREM CLASA a V-a
UC(2010 $\left.0^{2014}+2011^{2013}+2012^{2012}+2013^{2011}+2014^{2010}\right)=0+1+6+7+6=(20) 0$
Cel mai mic număr de patru cifre este $\quad 1000$
cel mai mare număr de patru cifre este 9990 | $4 p$
$1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| Sub. 2 | a) Prima clasă are $n$ elevi şi a doua $n+5$,
Solutie $n=25$
Finalizare 25 şi 30 elevi
b) Daca $m$ este media notelor la 5 A suma notelor este $25 \mathrm{~m}$
Suma notelor la 5 B este $30(m+1)=30 m+30$
$25 m+30 m+30=415$ rezulta $m=385: 55=7$
Finalizare $25 \cdot 7=175$ si $30.8=240$ | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| Sub. 3 | Două elemente din A sunt de forma $2 k+1$ şi $2 \mid+1, k, I$, numere naturale,
$k<1$
Suma $S=2(k+l+1)$ iar diferenţa este $D=2(l-k)$
Pentru k par şi I impar sau invers $S$ este multiplu de 4
Pentru k şi I de aceeaşi paritate d este multiplu de 4 | $1 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$
$2 \mathrm{p}$ | + +Se puncteaza corespunzator orice solutie alternativa + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-903-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-903-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bcc35f9e92de363b5f3fcfb53244da0254a9299e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-903-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,46 @@ +OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 - + +CLASA A XII-A + +# Subiecte + +1. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o functie derivabilă cu derivata continuă pe $\mathbb{R}$ care verifică simultan relațiile: + +$$ +\text { i) } \quad f^{\prime}(x)-2 f(x)=2 x+1 \text { oricare ar fi } x \in \mathbb{R} \text {; ii) } f(0)=1 +$$ + +a) Calculați primitivele funcției $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\frac{2 x+1}{e^{2 x}}$. + +b) Determinați funcția $f$. + +Prof. Vasile Coman, Vălenii de Munte + +2. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție continuă cu proprietatea $f(x) \cdot f(-x)=1$, oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$. + +Calculați $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+2 \sin ^{2} x\right)(1+f(x))}$ + +Gazeta Matematică + +3. Rezolvați în $\mathbb{Z}_{5}$ sistemul $\left\{\begin{array}{l}x+y+\hat{2} z=\hat{1} \\ x+\hat{2} y+\hat{3} z=\hat{4}\end{array}\right.$ +4. Fie $G=\{f \mid f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ bijectiv $\breve{a}\}$ + +a) Demonstrați că ( $G, \circ$ ) este grup (unde "○"este operația de compunere a funcțiilor) + +$\begin{cases}x, & x \in(0,1) \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\} \\ 1 & x=0\end{cases}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ed88fb17855854f62ca6g-1.jpg?height=125&width=1570&top_left_y=2062&top_left_x=360) + +$$ +\begin{aligned} +& 1, \quad x=\frac{1}{2} \\ +& 0, \quad x=1 +\end{aligned} +$$ + +c) Determinați $g \in G$ continuă de ordin 2 si demonstrați că orice funcție $h \in G$, $h$ continuă, nu poate avea ordinul 3 . + +Prof.Emil Vasile, Ploiești + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-904-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-904-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..087352a0afb72f0ea92d3c3430e84f97fcee8eee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-904-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.md @@ -0,0 +1,40 @@ +OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 - + +CLASA A XI-A + +# Subiecte + +1. Determinați $a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{8 x^{3}+x^{2}-2}-\sqrt{9 x^{2}-3 x+1}-a x+b\right)=-\frac{5}{12} +$$ + +2. Fie matricele $A, X \in M_{3}(\mathbb{R})$ care verifică egalitatea : $(A-X)(A+X)=A$ + +a) Pentru $A=I_{3}$ arătați că există o infinitate de matrice $X$ care verifică egalitatea $(*)$. + +b) Arătați că $X A=A X$. + +c) Pentru $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ deterninați matricele $X$ care verifică egalitatea (*). + +Prof. Gabriel Necula, Breaza + +3. Se consideră șirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}, x_{n}=\frac{x_{n+1}+x_{n-1}}{2}-\alpha, \forall n \geq 1, \quad x_{0}=1, x_{1}=\beta \in \mathbb{R}$, $\alpha>0$. + +a) Demonstrați că $\left(x_{n}\right)_{n \geq 0}$ are limită ; + +b) Determinați $\alpha$ și $\beta$ pentru care $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n-\sqrt{x_{n}+n-1}\right)=1$. + +Prof. Claudiu Militaru, Ploiești + +4. Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ b & -1\end{array}\right), a, b \in \mathbb{R}^{*}, a>1$. + +Demonstrați că mulţimea $M=\left\{A^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ are o infinitate de elemente. + +Prof. Şcheau Constantin, Ploieşti + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte.Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-905-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-905-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37841cb7a258d7f305aeab21f16fed9e5ff7ec94 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-905-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.md @@ -0,0 +1,28 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 -
CLASA A X-A
Subiecte + +1.Arătaţi că dacă $x, y, z \in(1 ; \infty)$ sau $x, y, z \in(0 ; 1)$, atunci $\frac{\log _{x} z}{x+z}+\frac{\log _{y} x}{y+x}+\frac{\log _{z} y}{z+y} \geq \frac{9}{2(x+y+z)}$ + +2. Determinaţi numerele reale strict pozitive $x, y$ pentru care au loc egalităţile : + +$$ +2\left(x \cdot 2^{x}-y\right)=x-y \cdot 2^{y}+3 \text { şi } x^{2} \cdot 4^{x}-x \cdot y \cdot 2^{x+1}+y \cdot 2^{y}=x-y^{2}+2 +$$ + +Prof. Gabriel Necula, Breaza + +3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale sistemul: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +2^{[x]}+2^{\{y\}}=4^{z} \\ +2^{[y]}+2^{\{z\}}=4^{x} \\ +2^{[z]}+2^{\{x\}}=4^{y} +\end{array}\right. +$$ + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + +4 I În planul complex se consideră punctele necoliniare $A(a), B(b), C(c)$. Ştiind că $a+b+c=0,|a| \leq|b| \leq|c|$ şi $|c-b| \leq|a-b|$, rezolvaţi ecuaţia $|b+c|^{x}+|b-c|^{x}=(|b|+|c|)^{x}$. + +Prof. Emil Vasile, Ploieşti + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-906-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-906-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c6a7d505252884f098d688d738fc45419f9a50a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-906-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 -
CLASA A VIII-A
Subiecte + +1. a. Arătaţi că $2 \sqrt{a+b} \geq \sqrt{2 a}+\sqrt{2 b}$, pentru orice două numere reale strict pozitive $a, b$. + +b. Arătaţi că dacă $x, y$ sunt numere reale strict pozitive astfel încât $x \cdot y=16$, atunci + +$$ +\sqrt{2 x+32 y}+\sqrt{2 y+32 x} \geq 20 +$$ + +Prof Maria şi Anton Negrilă, Ploieşti + +2. Ştiind că $a, b, c \in(0 ; \infty)$ şi $b^{2}+b c-a c=c^{2}$, respectiv $a+b=2 c$, calculaţi $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +3. În tetraedrul $A B C D$ cu $A C=A D$, punctele $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ sunt picioarele bisectoarelor unghiurilor $\Varangle B A C$ şi $\Varangle B A D$ în triunghiurile BAC, respectiv BAD. Demonstraţi că $M N \| C D$. +4. În vârfurile pătratului $\mathrm{ABCD}$ de latură $a$, se ridică perpendiculare pe planul ( ABC ) pe care se fixează, de aceeaşi parte a planului, punctele $A^{\prime}, B^{\prime}$, respectiv $C^{\prime}$ astfel încât $A A^{\prime}=B B^{\prime}=C C^{\prime}$. Punctele $R$ şi $Q$ sunt mijloacele segmentelor $\left[A A^{\prime}\right]$ şi $\left[B B^{\prime}\right]$ iar unghiul dintre dreptele $A^{\prime} Q$ şi $R D$ este de $60^{\circ}$. + +a. Calculaţi distanţa de la $R$ la $B D$. + +b. Arătaţi că distanțele de la $C^{\prime}$ la planele (BRD) şi $(B C R)$ sunt direct proporţionale cu $\sqrt{3}$ şi $\sqrt{2}$. + +Prof. Bilciurescu Ion , Boldeşti Scăeni + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-907-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-907-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3e45f8eec16661e57ed1e178ba87787c062368ed --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-907-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 -
CLASA A VII-A
Subiecte + +1. Rezolvați ecuația: + +$$ +\frac{x-1}{2013}+\frac{x-4}{2010}+\frac{x-7}{2007}=\frac{x-2007}{7}+\frac{x-2004}{10}+\frac{x-2001}{13} +$$ + +Prof. Petre și Cătălin Năchilă + +2. Fie numerele reale $a, b, c$ astfel încât $a \geq 16, b \geq 25, c \geq 36$. Demonstrați că: + +$$ +4 \sqrt{a-16}+5 \sqrt{b-25}+6 \sqrt{c-36} \leq \frac{a+b+c}{2} +$$ + +Prof. Maria și Anton Negrilă + +3. Pe diagonala $\mathrm{AC}$ a pătratului $\mathrm{ABCD}$ se ia punctul $\mathrm{E}$ astfel încât $\frac{E A}{E C}=\frac{1}{2}$. Dacă $A E=\frac{10 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}$, determinați aria și perimetrul pătratului $A B C D$, precum și aria triunghiului $A B E$. + +Prof. Gheorghe Achim, Mizil + +4. În triunghiul echilateral $A B C$ punctele $D$ și $M$ sunt situate pe laturile (BC) și respectiv (AC) astfel ca $\mathrm{m}(\angle B A D)=m(\angle M D C)$. Arătați că $A D^{2}=A B \cdot A M$. + +Prof. Gheorghe Bumbăcea , Bușteni + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-908-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-908-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37e3a1e45279fc1f0e8331da04aa44600d65178e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-908-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 - + +CLASA A VI-A + +## Subiecte + +1. O telecabină pleacă de la Bușteni la ora $11: 59$ spre o cabană, parcurgând 2 m în fiecare secundă. Sus se opreste 3 minute și apoi coboară făcând $6 m$ în fiecare secundă. Dacă a ajuns înapoi la ora 14:02, câti km sunt de la Busteni la cabană? + +Prof. Gabriel Țaga, Ploiesti + +2. Pentru fiecare număr natural $k$ considerăm numerele : + +$$ +a=2 k+1, b=3 k+2, c=4 k+3, d=5 k+4 +$$ + +Arătați că $\frac{[c, d]}{c}-\frac{[a, b]}{b}-\frac{[a, b]}{a}=1$ (notația $[a, b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b). + +Prof. loana și Gheorghe Crăciun , Ploiesti + +3. Fie numărul : + +$x=\left(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots .+\frac{1}{1+2+. .+2013}\right)^{n} \cdot \frac{2014^{n}}{2^{n}}, n \in \mathbb{N}$. + +a) Arătați că $x \in \mathbb{N}$; + +b) Determinați numărul natural $n$, știind că numărul natural $x$ are 125 divizori naturali. + +Prof. Anda Marcu, Ploiesti + +4. Un unghi alungit se împarte în $n$ unghiuri $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}$, fiecare având cu un grad mai mult decât precedentul. Știind că bisectoarele unghiurilor $u_{7}$ și $U_{14}$ formează un unghi cu măsura de $101^{\circ} 30^{\prime}$, aflați măsurile unghiurilor $U_{1}$ și $U_{n}$. + +Prof. Ion Bilciurescu, Boldești-Scăeni + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte.Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-909-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-909-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d52d950bf8baa4a00adb608fc3f817305380de1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-909-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
- ETAPA LOCALĂ, 23.02.2014 -
CLASA A V-A
Subiecte + +1. a. Aflaţi numărul natural nenul $n$ ştiind că sfertul sfertului cubului său este egal cu jumătatea jumătăţii pătratului său. + +Prof . Tomescu Ion, prof. Lupea Ion + +b. Determinaţi numărul natural de patru cifre , în baza 10, ştiind că punându-i la stânga cifra 4 se obţine un număr de trei ori mai mare decât dacă îi punem la dreapta cifra 3. + +2. Un număr natural este ,,prieten" cu 2014 dacă restul şi câtul împărţirii lui 2014 la acesta sunt egale. Câţi ,,prieteni" are 2014? + +Prof Gheorghe Crăciun, Ploieşti + +3. Comparaţi numerele $a=5^{14}+5^{214}+5^{2014}, b=3^{21}+3^{321}+3^{3021}$ şi $c=2^{35}+2^{535}+2^{5035}$. + +Prof .Gheorghe Achim, Mizil + +4. Demonstraţi că numărul $24^{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, poate fi scris ca sumă de trei pătrate perfecte. + +Prof. Maria şi Anton Negrilă, Ploieşti + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: $\mathbf{2}$ ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-91-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-91-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e8b9ecb0b1215c6d647a4958667d8c9567fe815d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-91-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,75 @@ +Societatea de Ştiinţe Matematice din România +Ministerul Educaţiei Naţionale şi Cercetării Ştiinţifice + +# Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Finală, Târgu Mureş, 20 aprilie 2016 + +## CLASA a VII-a - Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Determinaţi numerele naturale $n$ pentru care numărul + +$$ +\sqrt{n+3}+\sqrt{n+\sqrt{n+3}} +$$ + +este natural. + +Soluţie. Notând $m=\sqrt{n+3}+\sqrt{n+\sqrt{n+3}}$, rezultă $n+\sqrt{n+3}=(m-\sqrt{n+3})^{2}$, de unde $(2 m+1) \sqrt{n+3}=m^{2}+3$. Atunci există $p \in \mathbb{N}$ astfel încât $n+3=p^{2}$, şi, întrucât $p+\sqrt{n+p} \in \mathbb{N}$, există $q \in \mathbb{N}$ astfel încât: $n+p=q^{2}$ $3 p$ + +Eliminând pe $n$, rezultă $p^{2}-3=q^{2}-p$, adică $4 p^{2}+4 p-12=4 q^{2}$, sau $(2 p+1)^{2}-(2 q)^{2}=13$, + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ffe972f04c1975f5675g-1.jpg?height=60&width=1691&top_left_y=978&top_left_x=214) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ffe972f04c1975f5675g-1.jpg?height=52&width=1629&top_left_y=1058&top_left_x=275) + +Problema 2. Se consideră triunghiul $A B C$, în care $m(\Varangle B)=30^{\circ}, m(\Varangle C)=15^{\circ}$, iar $M$ este mijlocul laturii $[B C]$. Fie punctul $N \in(B C)$ astfel încât $[N C] \equiv[A B]$. Arătaţi că $[A N$ este bisectoarea unghiului $M A C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ffe972f04c1975f5675g-1.jpg?height=252&width=631&top_left_y=1359&top_left_x=736) + +Soluţie. Fie $P$ punctul de intersecţie al mediatoarei segmentului $[B C]$ cu $A B$. Atunci $m(\Varangle P C B)=30^{\circ}, m(\Varangle P C A)=15^{\circ}$ si $m(\Varangle M P C)=60^{\circ}$. + +$\mathrm{Cu}$ teorema bisectoarei, aplicată în triunghiul $C P B$, avem $\frac{A P}{A B}=\frac{C P}{C B}$. + +Cum $P C=P B$ şi $N C=A B$, rezultă $\frac{A P}{N C}=\frac{B P}{B C}$, adică $\frac{P A}{P B}=\frac{C N}{C B}$, de unde, conform reciprocei teoremei lui Thales, $A N \| P C$ + +$3 p$ + +Deoarece $P C=2 P M$ (triunghiul $M P C$ este dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ}$ ), avem $\frac{P A}{A B}=$ $\frac{P C}{B C}=\frac{2 P M}{2 B M}=\frac{P M}{B M}$, deci, conform reciprocei teoremei bisectoarei, rezultă că $[M A$ este bisectoarea unghiului $B M P$ + +$2 p$ + +Atunci $45^{\circ}=m(\Varangle A M B)=m(\Varangle A N B)+m(\Varangle M A N)$, şi, cum din $A N \| P C$ rezultă $m(\Varangle A N B)=30^{\circ}$, obţinem $m(\Varangle M A N)=15^{\circ}$. Dar $m(\Varangle B A N)=m(\Varangle B P C)=120^{\circ}$ şi, cum $m(\Varangle B A C)=135^{\circ}$, conchidem că $m(\Varangle C A N)=15^{\circ}=m(\Varangle M A N)$, adică $[A N$ este bisectoarea unghiului $M A C$ + +Problema 3. Determinaţi numerele naturale $p$ cu proprietatea că suma primelor $p$ numere naturale nenule este un număr natural de patru cifre având descompunerea în factori primi $2^{m} \cdot 3^{n} \cdot(m+n)$, unde $m, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Soluţie. Evident, $m+n \geq 5$. Dacă $m+n=5$, cea mai mare valoare pe care o poate lua numărul $N=2^{m} \cdot 3^{n} \cdot(m+n)$ este $2^{1} \cdot 3^{4} \cdot 5=810$, care nu are patru cifre, contradicţie $\ldots \mathbf{2 p}$ + +Presupunând că $m+n \geq 11$, atunci $N \geq 2^{10} \cdot 3 \cdot 11>10000$, deci $N$ nu poate avea patru cifre, contradicţie $2 p$ + +Prin urmare, $m+n=7$. În acest caz, numere de patru cifre sunt : + +$2^{6} \cdot 3^{1} \cdot 7=1344,2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7=2016,2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7=3024,2^{3} \cdot 3^{4} \cdot 7=4536$ şi $2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 7=6804$. + +Ţinând cont că $N=\frac{p(p+1)}{2}$, analizând cazurile, convine doar $N=2016$, pentru care se obţine $p=63$ + +$3 \mathrm{p}$ + +Problema 4. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel $A B C$, cu $m(\Varangle A)=90^{\circ}$ şi punctul $M \in(B C)$ astfel încât $m(\Varangle A M B)=75^{\circ}$. Pe bisectoarea interioară a unghiului $M A C$ se ia un punct $F$ astfel încât $B F=A B$. Arătaţi că: + +a) dreptele $A M$ şi $B F$ sunt perpendiculare; + +b) triunghiul $C F M$ este isoscel. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ffe972f04c1975f5675g-2.jpg?height=571&width=567&top_left_y=1189&top_left_x=779) + +Soluţie. a) Deoarece $A M B$ este unghi exterior triunghiului $A M C$, rezultă $m(\Varangle M A C)=$ $30^{\circ}$, de unde $m(\Varangle B A M)=60^{\circ}$ şi $m(\Varangle M A F)=15^{\circ} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{1 p}$ + +Triunghiul $B A F$ este isoscel, cu $m(\Varangle A F B)=m(\Varangle B A F)=75^{\circ}$, deci $m(\Varangle A B F)=30^{\circ}$, de unde, ţinând cont că $m(\Varangle B A M)=60^{\circ}$, rezultă că $A M \perp B F$ + +b) Fie punctul $D$ în semiplanul determinat de $B C$ care nu conţine pe $A$ astfel încât $B D=$ $B F$ şi $m(\Varangle M B D)=15^{\circ}$. Atunci triunghiul $A B D$ este echilateral, iar punctele $A, M$ şi $D$ sunt coliniare + +Triunghiul $A D C$ este isoscel, cu $m(\Varangle D A C)=30^{\circ}$, de unde $m(\Varangle A D C)=75^{\circ}=m(\Varangle C M D)$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0ffe972f04c1975f5675g-2.jpg?height=51&width=1691&top_left_y=2273&top_left_x=217) + +In triunghiul isoscel $B D F$, bisectoarea $B C$ este mediatoarea segmentului $[D F]$, deci triunghiul $C F D$ este şi el isoscel, de unde $[C F] \equiv[C D] \equiv[C M]$, adică triunghiul $C F M$ este isoscel + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-910-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md b/Romania_Olympiad/md/ro-910-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9359ca26ee55489f185e7480dbfcad74ac5bf9e8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-910-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.md @@ -0,0 +1,29 @@ +1. Determinaţi numerele $a, b$ reale distincte care verifică sistemul + +$$ +\left\{\begin{aligned} +{[a]+[b] } & =\frac{2 a+2 b}{3} \\ +{[a] \cdot b+[b] \cdot a } & =a \cdot b+\frac{3}{4}[a] \cdot[b] +\end{aligned}\right. +$$ + +Prof. Claudiu Militaru, Ploiești + +2. Determinaţi $x, y \in \mathbb{R}$ ştiind că $x \sqrt{a^{2}-x^{2}}-y \sqrt{a^{2}-y^{2}}=a^{2}$, unde $a$ este număr real pozitiv . + +Prof Petre şi Cătălin Năchilă, Ploieşti + +3. Se consideră hexagonul convex oarecare FLORIN şi $G_{1}, G_{2}, G_{\mathbf{3}}, \ldots, G_{10}$ centrele de greutate ale triunghiurilor FLO, LOR, ORI, RIN, INF, NFL, $G_{1} G_{3} G_{5}, G_{2} G_{4} G_{6}$, FOI respectiv $L R N$. Demonstraţi că: + +a. dacă punctele $G_{9}, G_{7}, G_{8}, G_{10}$ sunt distincte, atunci ele sunt coliniare şi echidistante; + +b. dacă două dintre punctele $G_{7}, G_{9}, G_{9}, G_{10}$ coincid, atunci cele patru puncte coincid. + +4. Fie paralelogramul $A B C D$ de centru $\mathrm{O}$ şi $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ şi punctele $X \in(A B), Y \in(B C), Z \in(C D), T \in(D A)$ astfel încât rapoartele $\frac{(n+1) A X}{A B}, \frac{(n+2) B Y}{B C}, \frac{(n+3) C Z}{C D}$, respectiv $\frac{(n+4) D T}{D A}$ sunt numere naturale. + +Arătaţi că vectorul $\overrightarrow{O X}+\overrightarrow{O Y}+\overrightarrow{O Z}+\overrightarrow{O T}$ nu poate fi nul. + +Prof Emil Vasile , Ploieşti + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte.Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-911-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-911-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a743ef1edbc921149ddedf1bc22c2d47d99361d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-911-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,146 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a VIII-a + +## Subiectul I + +1. a) Arătaţi că $\sqrt{\frac{7 \cdot 36^{n}+9 \cdot 6^{n}+2}{7 \cdot 6^{n}+2}} \in R / Q$, oricare ar fi $n \in \mathrm{N}$. + +b) Aflați numerele naturale $a$ și $b$ astfel încât : + +$$ +A=\frac{6}{\sqrt{a+11-\sqrt{8 a}}+\sqrt{b+12-\sqrt{12 b}}} \text { ă fie număr natural } +$$ + +## Subiectul II + +Demonstraţi inegalităţile +a) $\frac{x+y}{2}>\sqrt{x y}$, oricare ar fi $x$ și $y$ numere reale pozitive distincte +b) $\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{5}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1009}{\sqrt{1008}}>2014$ + +## Subiectul III + +În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ punctul $M \in\left(D D^{\prime}\right.$ astfel încât $\left[D D^{\prime}\right] \equiv\left[D^{\prime} M\right], M A^{\prime} \cap(A B C)=\{S\}$ şi $M C^{\prime} \cap(A B C)=\{P\}$. + +a) Demonstraţi că punctele $S, B$ şi $P$ sunt coliniare. + +b) Dacă $(M A ' B) \cap\left(A D C^{\prime}\right)=d$, calculaţi măsura unghiului dreptelor $A D^{\prime}$ şi $d$. + +## Subiectul IV + +Fie $S A B C D$ o piramidă patrulateră regulată, $A M \perp S B, M \in S B, B N \perp S C, N \in S C, C P \perp S D, P \in S D$, $D Q \perp S A, Q \in S A$ şi $R$ simetricul punctului $N$ faţă de dreapta $A C$. + +a) Demonstraţi că punctele $B, R, Q$ şi $D$ sunt coplanare. + +b) Calculaţi măsura unghiului dintre dreptele $M P$ şi $R Q$. + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a VIII-a + +## Barem de corectare si notare + +Subiect I a) Arătați că $\sqrt{\frac{7 \cdot 36^{n}+9 \cdot 6^{n}+2}{7 \cdot 6^{n}+2}} \in R / Q$, oricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$. + +b) Aflați numerele naturale $a$ și $b$ astfel încât : + +$$ +A=\frac{6}{\sqrt{a+11-\sqrt{8 a}}+\sqrt{b+12-\sqrt{12 b}}} \text { ă fie număr natural. } +$$ + +## Solutie + +a) Descompunerea numărătorului $\left(7 \cdot 6^{n}+2\right)\left(6^{n}+1\right)$ + +$1 p$ +Se obține $\sqrt{6^{n}+1}$ ..... $1 p$ +$u\left(6^{n}+1\right)=7$, pentru n>0 și $u\left(6^{n}+1\right)=2$, pentru $n=0$ ..... $1 \mathrm{1p}$ +$6^{n}+1$ nu este pătrat perfect, finalizare ..... $.1 p$ + +b) A este număr natural dacă numitorul divide pe 6 + +$$ +a+11-\sqrt{8 a}=(\sqrt{a}-\sqrt{2})^{2}+3^{2} +$$ + +$$ +b+12-\sqrt{12 b}=(\sqrt{b}-\sqrt{3})^{2}+3^{2} +$$ + +$(\sqrt{a}-\sqrt{2})^{2}+3^{2} \geq 3^{2} \Rightarrow \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{2})^{2}+3^{2}} \geq 3$ + +$(\sqrt{b}-\sqrt{3})^{2}+3^{2} \geq 3^{2} \Rightarrow \sqrt{(\sqrt{b}-\sqrt{3})^{2}+3^{2}} \geq 3$ + +Numitorul este mai mare sau egal cu 6 și (din prima condiție ) divizor al lui 6 . + +Singura soluție este ca numitorul să fie $6 \Rightarrow a=2$ și $b=3$ $1 p$ + +Subiect II Demonstraţi inegalităţile +a) $\frac{x+y}{2}>\sqrt{x y}$, oricare ar fi $x$ și $y$ numere reale pozitive distincte +b) $\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{5}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1009}{\sqrt{1008}}>2014$ + +## Solutie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-2.jpg?height=89&width=1188&top_left_y=2354&top_left_x=274) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-2.jpg?height=91&width=1207&top_left_y=2507&top_left_x=276) + +$$ +\frac{1008+1}{\sqrt{1008}}>2 \Rightarrow S>2 \cdot 1007=2014 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \ldots p +$$ + +Subiect III În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ punctul $M \in\left(D D^{\prime}\right.$ astfel încât $\left[D D^{\prime}\right] \equiv\left[D^{\prime} M\right], M A^{\prime} \cap(A B C)=\{S\}$ şi $M C^{\prime} \cap(A B C)=\{P\}$. + +a) Demonstraţi că punctele $S, B$ şi $P$ sunt coliniare. + +b) Dacă $\left(M A^{\prime} B\right) \cap\left(A D C^{\prime}\right)=d$, calculaţi măsura unghiului dreptelor $A D^{\prime}$ şi $d$. + +Vasile Angheloni, profesor, Medgidia + +## Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-3.jpg?height=71&width=1596&top_left_y=516&top_left_x=241) +$\triangle M D P \stackrel{\text { rec.1t.l.m. }}{\Rightarrow} C C^{\prime}$ este linie mijlocie $\Rightarrow C P=C D \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle C B P)=45^{\circ}(2)$; analog $\mathrm{m}(\Varangle A B S)=45^{\circ}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{m}(\Varangle S B P)=\mathrm{m}(\Varangle A B S)+\mathrm{m}(\Varangle C B P)+\mathrm{m}(\Varangle A B C)=180^{\circ} \Rightarrow B \in S P$ ..... $1 p$ +b)Fie $A B^{\prime} \cap A^{\prime} B=\{O\}$; punctele $S$, O şi $C^{\prime}$ sunt coliniare $\Rightarrow\left(M A^{\prime} B\right) \cap\left(A D C^{\prime} B^{\prime}\right)=S C^{\prime}=d$. ..... $.2 p$ +$A D^{\prime} \| B C^{\prime} \Rightarrow \mathrm{m}\left[\Varangle\left(A D^{\prime}, S C^{\prime}\right)\right]=\mathrm{m}\left(\Varangle S C^{\prime} B\right)$ ..... $1 p$ +$\triangle B C^{\prime} P$ este echilateral $\Rightarrow \mathrm{m}\left(\Varangle \mathrm{SC} C^{\prime} B\right)=30^{\circ}$ ..... $1 p$ + +Subiect IV Fie $S A B C D$ o piramidă patrulateră regulată, $A M \perp S B, M \in S B, B N \perp S C, N \in S C, C P \perp S D, P \in$ $S D, D Q \perp S A, Q \in S A$ şi $R$ simetricul punctului $N$ faţă de dreapta $A C$. + +a) Demonstraţi că punctele $B, R, Q$ şi $D$ sunt coplanare. + +b) Calculaţi măsura unghiului dintre dreptele $M P$ şi $R Q$. + +Gazeta Matematică, E. 14350 + +## Soluție + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-3.jpg?height=80&width=1636&top_left_y=1428&top_left_x=244) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-3.jpg?height=57&width=1694&top_left_y=1519&top_left_x=198) + +$Q E, N F \subset(S A C), Q E \perp A C$ şi $N F \perp A C \Rightarrow Q E \| N F$, dar $E Q=N F=F R$, deci $E Q F R$ este paralelogram ....1p + +din $\{O\}=A C \cap B D$ şi $\{O\}=R Q \cap B D \Rightarrow B, D, R$ şi $Q$ sunt coplanare, .....................................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-3.jpg?height=54&width=1619&top_left_y=1732&top_left_x=276) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-3.jpg?height=51&width=1690&top_left_y=1802&top_left_x=206) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_92262ee4c1cd0af15b0bg-3.jpg?height=60&width=1693&top_left_y=1866&top_left_x=204) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-912-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-912-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b07878857f61bdf7125481b346afe8fa75906434 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-912-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,128 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a VII-a + +## Subiectul I + +Determinați cardinalul mulțimii $\mathrm{A}=\{\mathrm{n} / \mathrm{n} \in \mathrm{N}, 44<\sqrt{2014+\sqrt{\mathrm{n}}}<45\}$ + +## Subiectul II + +Calculaţi valorile numerelor naturale $a$, $b$ şi $p$, unde $p$ este număr prim, ştiind că $a^{2}+a=p^{2^{b}}+2$. + +Gazeta Matematică, E:14569 + +## Subiectul III + +Fie un triunghi isoscel $\mathrm{ABC}$ în care $[A B] \equiv[A C]$ şi fie $D \in(A C)$. Construim punctul $E \in A B$ astfel încât $[C D] \equiv[B E]$ şi $B \in(A E)$. Demonstrați că dacă $\{F\}=E D \cap B C$, atunci $F$ este mijlocul segmentului $(D E)$. + +## Subiectul IV + +Fie $A B C D$ un trapez isoscel cu $A B \| C D, A B=2 \cdot C D, A C \cap B D=\{T\}, \mathrm{m}(\Varangle B T C)=120^{\circ}$, punctul $E$ este mijlocul segmentului $B T$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $\triangle D A T$ şi punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $\triangle T A B$. Demonstraţi că patrulaterul TGOE este dreptunghi. + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a VII-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul I + +Determinați cardinalul mulțimii $A=\{n / n \in N, 44<\sqrt{2014+\sqrt{n}}<45\}$ + +## Soluție + +$\mathrm{n} \in \mathrm{N} \Rightarrow \sqrt{\mathrm{n}} \in \mathrm{R}_{+} \Rightarrow 2014+\sqrt{\mathrm{n}} \geq 2014 \Rightarrow \sqrt{2014+\sqrt{\mathrm{n}}} \in \mathrm{R}$ ..... $1 p$ +$44<\sqrt{2014+\sqrt{\mathrm{n}}}<45 \Leftrightarrow 1936<2014+\sqrt{\mathrm{n}}<2025 \Leftrightarrow$ ..... $1 p$ +$\Leftrightarrow-78<\sqrt{\mathrm{n}}<13 \Leftrightarrow$ ..... $1 p$ +$\Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{\mathrm{n}}<13 \Leftrightarrow$ ..... $.1 \mathrm{p}$ +$\Leftrightarrow 0 \leq \mathrm{n} \leq 169, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ ..... $1 p$ +$\mathrm{A}=\{0,1$, +, 168 ..... $1 p$ +Card $A=169$ ..... $1 p$ + +## Subiectul II + +Calculaţi valorile numerelor naturale $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ şi $\mathrm{p}$, unde $\mathrm{p}$ este număr prim, ştiind că $a^{2}+a=p^{2^{b}}+2$. + +Gazeta Matematică, E:14569 + +Soluție. Egalitatea din enunţ este echivalentă cu $a(a+1)=p^{2^{b}}+2(1)$, dar $a(a+1)$ este număr par, deci $p^{2^{b}}$ este număr par şi cum $p$ este număr prim deducem că $p=2$; înlocuim în relaţia (1) şi scoatem pe 2 factor comun: $a(a+1)=2\left(2^{2^{b}-1}+1\right)(2)$; dacă $a=1 \Rightarrow 2=2\left(2^{2^{b}-1}+1\right) \Leftrightarrow 2^{2^{b}-1}+1=1 \Leftrightarrow 2^{2^{b}-1}=0$ imposibil (3); numerele a şi a +1 fiind consecutive sunt prime între ele (4); numerele 2 şi $2^{2^{b}-1}+1$ sunt prime între ele (5); din (3), (4) şi (5) rezultă că $\mathrm{a}=2$ rămâne singura situaţie ce este posibilă şi înlocuind în (1) obţinem $2^{2^{b}}+2=6$, $\Leftrightarrow$ $2^{b}=2^{1} \Leftrightarrow b=1$. + +## Barem de corectare: + +``` +- scrie (1) + (1p) + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1933c58db8eb232513deg-2.jpg?height=45&width=645&top_left_y=1685&top_left_x=186) + +``` +- analizează \(\mathrm{a}=1\) şi deduce (3) ..... (1p) +- constată (4) şi (5) ................... (2p) +- \(\mathrm{a}=2\) este singura posibilitate ..... (1p) + +``` + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1933c58db8eb232513deg-2.jpg?height=43&width=643&top_left_y=1869&top_left_x=187) + +``` + Total \(7 \mathbf{p}\) +``` + + +## Subiectul III + +Fie un triunghi isoscel $A B C$ în care $[A B] \equiv[A C]$ și fie $D \in(A C)$. Construim punctul $E \in A B$ astfel încăt $[C D] \equiv[B E]$ și $B \in(A E)$. Demonstrați că dacă $\{F\}=E D \cap B C$, atunci F este mijlocul segmentului $(D E)$. + +## Soluție: + +Fie $\mathrm{H}$ punctul de intersecție al paralelei din $\mathrm{D}$ la $\mathrm{AB}$ cu dreapta BC. $.2 \mathrm{p}$ + +Cum $\angle A B C \equiv \angle D H C$ rezultă $\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1933c58db8eb232513deg-2.jpg?height=60&width=917&top_left_y=2443&top_left_x=187) + +Atunci BEHD este paralelogram și deci $[F D] \equiv[F E] \ldots \ldots . . . .2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1933c58db8eb232513deg-2.jpg?height=394&width=323&top_left_y=2233&top_left_x=1506) + +## Subiectul IV + +Fie $\mathrm{ABCD}$ un trapez isoscel cu $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}=2 \cdot \mathrm{CD}, \mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\{\mathrm{T}\}, \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BTC})=120^{\circ}$, punctul $\mathrm{E}$ este mijlocul segmentului $B T$, punctul G este centrul de greutate al triunghiului $\triangle \mathrm{DAT}$ şi punctul $\mathrm{O}$ este centrul cercului circumscris triunghiului $\triangle \mathrm{TAB}$. Demonstraţi că patrulaterul TGOE este dreptunghi. + +Nicolae Jurubiţă, profesor, Medgidia + +Soluție. Notând cu M, F şi N mijloacele segmentelor [AD], [AT] respectiv [AB], avem: + +$\{\mathrm{G}\}=\mathrm{TM} \cap \mathrm{DF}$ şi $\{\mathrm{O}\}=\mathrm{TN} \cap \mathrm{AE}$; trapezul ABCD este isoscel, deci $\Delta \mathrm{TAB}$ este isoscel cu $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{T})=60^{\circ} \Rightarrow$ $\Delta \mathrm{TAB}$ este echilateral $\Rightarrow \mathrm{AE} \perp \mathrm{BT}$ (1); în $\triangle \mathrm{TAB}$ punctul $\mathrm{O}$ este şi centru de greutate, deci $\frac{T O}{T N}=\frac{2}{3}$ (2); în + +$\Delta \mathrm{TAD}$ avem $\frac{T G}{T M}=\frac{2}{3}(3) ; \operatorname{din}(2)$ şi (3) $\stackrel{\text { tranz. }}{\Rightarrow} \frac{T O}{T N}=\frac{T G}{T M} \stackrel{\text { rec.t.Th. }}{\Rightarrow}$ + +$\mathrm{GO} \| \mathrm{MN}$, dar $\mathrm{MN} \| \mathrm{DB}$ (ca linie mijlocie în $\triangle \mathrm{ABD}) \stackrel{\text { tranz. }}{\Rightarrow} \mathrm{GO} \| \mathrm{ET} \Rightarrow \mathrm{GO} \perp \mathrm{AE}$ (4); MT este linie mijlocie în $\triangle \mathrm{DAE} \Rightarrow \mathrm{MT} \| \mathrm{AE} \Rightarrow \mathrm{MT} \perp \mathrm{DB}(5) ; \operatorname{din}(1),(4)$ ş (5) $\Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{OET})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{GOE})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{GTE})=90^{\circ} \Rightarrow$ patrulaterul TGOE este dreptunghi, q. e. d. + +## Barem de corectare: + +- deduce AE $\perp$ BT +- deduce $\frac{T O}{T N}=\frac{2}{3}$ +- deduce $\frac{T G}{T M}=\frac{2}{3}$ +- deduce GO $\| \mathrm{ET} \Rightarrow \mathrm{GO} \perp \mathrm{AE}$ +- deduce MT $\| \mathrm{AE} \Rightarrow \mathrm{MT} \perp \mathrm{DB}$ +- finalizează $\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{OET})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{GOE})=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{GTE})=90^{\circ}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-913-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-913-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d36eae2e80e3fd29a85d6c57460969f0b5cd272 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-913-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,170 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a VI-a + +## Subiectul I. + +a) Arătați că numărul $\mathrm{N}=2^{111}+3^{222}+4^{333}+\ldots+9^{888}$ se divide cu 5 . + +b) Să se determine numerele naturale $a$ și $b$ știind că: $\frac{a^{2}+a}{2}+b=\frac{b+3}{b+1}$ + +## Subiectul II. + +a) Scrieți numărul $a=7^{2014}-7^{2013}+7^{2012}-7^{2011}$ ca sumă de trei pătrate perfecte. + +b) Determinați numerele prime $\mathrm{p}$ pentru care $\mathrm{p}+2, \mathrm{p}^{2}+4, \mathrm{p}^{3}+2$ şi $\mathrm{p}^{4}-2$ sunt simultan numere prime. + +## Subiectul III. + +Unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle A O C$ sunt suplementare, iar bisectoarele lor (OM respectiv (ON formează un unghi cu măsura egală cu $60^{\circ}$. Calculaţi măsurile celor două unghiuri. + +## Subiectul IV. + +Se consideră triunghiul $A B C$ având $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AC}]$ si $\angle \mathrm{B} \equiv \angle \mathrm{C}$. Fie $M$ și $N$ două puncte pe dreapta $B C$ atfel încât $B$ între $M$ și $C$, iar $C$ între $B$ și $N$. Știind că $[\mathrm{BM}] \equiv[\mathrm{CN}]$ să se demonstreze că; + +a) $[\mathrm{AM}] \equiv[\mathrm{AN}]$; + +b) $[P N] \equiv[Q M]$, unde $P$ şi $Q$ sunt respectiv mijloacele laturilor $[A B]$ şi $[A C]$; + +c) $[P M] \equiv[Q N]$. + +## Notă: + +Timp de lucru: 2 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a VI-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul I + +a) Arătați că numărul $\mathrm{N}=2^{111}+3^{222}+4^{333}+\ldots+9^{888}$ se divide cu 5 . + +b) Să se determine numerele naturale $a$ și $b$ știind că: $\frac{a^{2}+a}{2}+b=\frac{b+3}{b+1}$ + +## Solutie + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-2.jpg?height=71&width=843&top_left_y=730&top_left_x=184) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-2.jpg?height=68&width=711&top_left_y=800&top_left_x=250) + +$\mathrm{N}: 5$ + +$.1 p$ + +b) $\frac{\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)}{2} \in \mathrm{N}$ $.0,5 p$ + +$\frac{\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)}{2}+\mathrm{b} \in \mathrm{N}$ $0,5 p$ + +$\frac{\mathrm{b}+3}{\mathrm{~b}+1} \in \mathrm{N}$ + +$.0,5 p$ + +$1+\frac{2}{b+1} \in \mathrm{N}$ $.0,5 p$ + +$b+1=1 \Rightarrow b=0 ; b+1=2 \Rightarrow b=1$ $.0,5 p$ + +$\mathrm{b}=0 \Rightarrow \mathrm{a}=2 ; \mathrm{b}=1 \Rightarrow \mathrm{a}=1$. + +$0,5 \mathrm{p}$ + +## Subiectul II + +a) Scrieți numărul $\mathrm{a}=7^{2014}-7^{2013}+7^{2012}-7^{2011}$ ca sumă de trei pătrate perfecte. + +b) Determinați numerele prime $\mathrm{p}$ pentru care $\mathrm{p}+2, \mathrm{p}^{2}+4, \mathrm{p}^{3}+2$ și $\mathrm{p}^{4}-2$ sunt simultan numere prime. + +## Soluție + +a) $\quad a=7^{2011}\left(7^{3}-7^{2}+7-1\right)$ + +$1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-2.jpg?height=57&width=940&top_left_y=1853&top_left_x=318) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-2.jpg?height=48&width=936&top_left_y=1912&top_left_x=320) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-2.jpg?height=52&width=965&top_left_y=1967&top_left_x=320) + +$\mathrm{a}=7^{2010} \cdot 10^{2} \cdot\left(1+2^{2}+4^{2}\right)=7^{2010} \cdot 10^{2}+7^{2010} \cdot 2^{2} \cdot 10^{2}+7^{2010} \cdot 4^{2} \cdot 10^{2}=$ + +$\left(7^{1005} \cdot 10\right)^{2}+\left(7^{1005} \cdot 10 \cdot 2\right)^{2}+\left(7^{1005} \cdot 10 \cdot 4\right)^{2}$ $.0,5 p$ + +b) $\mathrm{p}=2 \Rightarrow \mathrm{p}+2=4$ (F), $\mathrm{p}=3 \Rightarrow 5,13,29,79$ (A)............1p + +$\mathrm{p}=5 \Rightarrow \mathrm{p}^{4}-2=623(\mathrm{~F}), \mathrm{p}=5 \mathrm{k}+1 \Rightarrow \mathrm{p}^{4}+4 \vdots 5(\mathrm{~F}), \mathrm{p}=5 \mathrm{k}+2 \Rightarrow \mathrm{p}^{3}+2 \vdots 5(\mathrm{~F}), \mathrm{p}=5 \mathrm{k}+3 \Rightarrow \mathrm{p}+2 \vdots 5(\mathrm{~F})$, + +$p=5 k+4 \Rightarrow p^{2}+4: 5(F)$. Finalizare $p=3$. + +.2p + +## Subiectul III + +Unghiurile $\Varangle A O B$ şi $\Varangle A O C$ sunt suplementare, iar bisectoarele lor (OM respectiv (ON formează un unghi cu măsura egală cu $60^{\circ}$. Calculaţi măsurile celor două unghiuri. + +## Solutie + +Dacă $\left(O B\right.$ şi $\left(O C\right.$ ar fi situate de o parte şi de alta a laturii $\left(O A\right.$, atunci $\mathrm{m}(\Varangle B O C)=180^{\circ}$, deci $\mathrm{m}(\Varangle M O N)=90^{\circ}$, contradicţie cu enunţul (1); fie $\left(O B \subset \operatorname{Int}(\Varangle A O C) ; \mathrm{m}(\Varangle A O M)=\mathrm{m}(\Varangle M O B)==\frac{1}{2} \cdot \mathrm{m}(\Varangle A O B)=x\right.$, şi $\mathrm{m}(\Varangle A O N)$ $=\mathrm{m}(\Varangle N O C)=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{m}(\Varangle A O C)=y(2) ;$ din (2) şi enunţ rezultă că + +$2 x+2 y=180^{\circ} \Leftrightarrow x+y=90^{\circ}(3) ; \mathrm{m}(\Varangle M O N)=\mathrm{m}(\Varangle A O C)-\mathrm{m}(\Varangle N O C)-\mathrm{m}(\Varangle A O M) \Rightarrow$ + +$2 y-y-x=60^{\circ} \Leftrightarrow y-x=60^{\circ}$ (4); adunând membru cu membru relaţile (3) şi (4) obţinem $y=$ $=75^{\circ}$, deci $x=15^{\circ}, \mathrm{m}(\Varangle A O B)=30^{\circ}$ şi $\mathrm{m}(\Varangle A O C)=150^{\circ}$. + +## Barem de corectare: + +``` +- analizează (1) ............ (1p) +- scrie (2) ................... (1p) +- deduce (3) .................. (1p) +- deduce (4) .................. (2p) +- finalizează ................... (2p) +Total \(7 \mathbf{p}\) +``` + + +## Subiectul IV + +Se consideră triunghiul $A B C$ având $[\mathrm{AB}] \equiv[\mathrm{AC}]$ și $\angle \mathrm{B} \equiv \angle \mathrm{C}$. Fie $M$ și $N$ două puncte pe dreapta $B C$ atfel încât $B$ între $M$ și $C$, iar $C$ între $B$ și $N$. Știind că $[\mathrm{BM}] \equiv[\mathrm{CN}]$ să se demonstreze că; + +a) $[\mathrm{AM}] \equiv[\mathrm{AN}]$; + +b) $[P N] \equiv[Q M]$, unde $P$ și $Q$ sunt respectiv mijloacele laturilor $[A B]$ și $[A C]$; + +c) $[P M] \equiv[Q N]$. + +## Soluție + +a) figura ................................ 1p + +$\angle \mathrm{ABM} \equiv \angle \mathrm{ACM}$...............................5p + +$\triangle \mathrm{ABM} \equiv \triangle \mathrm{ACM}(\mathrm{LUL}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-3.jpg?height=63&width=648&top_left_y=2124&top_left_x=196) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-3.jpg?height=63&width=645&top_left_y=2190&top_left_x=183) + +$[\mathrm{BN}] \equiv[\mathrm{CM}] \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 p$ + +$\triangle \mathrm{MQC} \equiv \triangle \mathrm{NPB}$ (LUL).................... $0,5 \mathrm{p}$ + +$[\mathrm{PM}] \equiv[\mathrm{QM}] \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,5 \mathrm{p}$ + +c) $\triangle \mathrm{MBP} \equiv \triangle \mathrm{NCQ}$............................1p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-3.jpg?height=308&width=579&top_left_y=2156&top_left_x=1201) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e0d007dd42da6ac12506g-3.jpg?height=66&width=599&top_left_y=2491&top_left_x=243) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-914-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-914-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..432886c03dc26185aec377b710b1417d133c0a4a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-914-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,127 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a V-a + +## Subiectul I + +Determinaţi cifrele distincte $a, b$ şi $c$, ştiind că numărul + +$$ +n=\overline{a b c}+\overline{b c a}+\overline{c a b}+a+b+c \text { este pătrat perfect. } +$$ + +## Subiectul II + +a) Demonstraţi că $1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{2015}=2^{2016}-1$ + +b) Demonstraţi că numărul natural $a=14+2^{2016}$ este multiplu al numărului 15 . + +(GM 9/2013-prelucrare) + +## Subiectul III + +a) Aflaţi restul împărțirii numărului $\mathrm{a}=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots .2015+4051$ la numărul $\mathrm{b}=4 \cdot\left(5^{3}+3 \cdot 5^{3}\right)+3^{2}+5$. + +b) Dacă împărțim numărul natural n la 8 , obținem restul 6, iar dacă îl împărțim la 10, obținem restul 4. Calculați restul împărțirii lui $n$ la 40. + +## Subiectul IV + +Determinaţi toate perechile de numere naturale $\overline{a b}$ şi $\overline{x y z}$, cu $x0$ + +b) $f(x) f^{\prime}(x)=x+\cos x$ si $f(x)=\sqrt{x^{2}+2 \sin x+1}$ + +Adrian Boțan , Botoșani (GMB 10/2013) + +4. Se consideră funcția continuă $f:[0,1] \rightarrow[a, b], a>0$ astfel încât $\int_{0}^{1} f(x) d x \geq k>0$. + +Demonstrați că $\int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} d x \leq \frac{a+b-k}{a b}$. + +O.L.Sibiu, 2013 + +Toate subiectele sunt obligatorii . + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte . + +Timp de lucru 3 ore . + +## Barem de corectare OML Clasa a XII-a, 2014 + +1. Injectivitate: $\mathrm{f}\left(\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{k}_{1}\right)\right)=\mathrm{f}\left(\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{k}_{1}\right)\right) \Rightarrow \mathrm{q}_{1} 2^{\mathrm{k}_{1}}=\mathrm{q}_{2} 2^{\mathrm{k}_{2}}$ + +$$ +\frac{\mathrm{q}_{1}}{\mathrm{q}_{2}}=2^{\mathrm{k}_{2}-\mathrm{k}_{1}} \Rightarrow \mathrm{k}_{2}-\mathrm{k}_{1}=0 \Rightarrow \mathrm{k}_{1}=\mathrm{k}_{2} \text { şi } \mathrm{q}_{1}=\mathrm{q}_{2} +$$ + +Surjectivitate + +$.2 \mathrm{p}$ + +Morfism: + +$$ +f\left(\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{k}_{1}\right) *\left(\mathrm{q}_{2}, \mathrm{k}_{2}\right)\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{q}_{1} \cdot \mathrm{q}_{2} ; \mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}\right)=\mathrm{q}_{1} \mathrm{q}_{2} 2^{\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}}= +$$ + +$$ +\mathrm{q}_{1} \cdot 2^{\mathrm{k}_{1}} \cdot \mathrm{q}_{2} \cdot 2^{\mathrm{k}_{2}}=\mathrm{f}\left(\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{k}_{1}\right)\right) \cdot \mathrm{f}\left(\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{k}_{1}\right)\right) +$$ + +2. Parte stabilă: $\forall x, y \in H \Rightarrow x \cdot y \in H$ + +$S_{1}$ ) $x \in H \Leftrightarrow x^{2}=e, y \in H \Leftrightarrow y^{2}=e$ + +Dacă $(x y)^{2}=\mathrm{e} \Rightarrow \mathrm{xyxy}=\mathrm{e} \cdot \mathrm{e} \Rightarrow \mathrm{yx}=\mathrm{xy}$ este adevărată dacă şi numai dacă $\mathrm{G}$ este grup comutativ + +S $) \forall x \in H \Rightarrow x^{\prime} \in H$ + +Analog dacă G este grup comutativ + +Deci H nu este subgrup $3 p$ + +3) + +a) Fie $g(x)=x^{2}+2 \sin x+1, g^{\prime}(x)=2 x+2 \cos x, g^{\prime \prime}(x)=2-2 \sin x \geq 0 \Rightarrow g^{\prime}$ crescătoare .. $2 p$ $\forall \mathrm{x} \geq 0 \Rightarrow \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x}) \geq \mathrm{g}^{\prime}(0)=2 \Rightarrow \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})>0 ; \forall \mathrm{x} \geq 0 \mathrm{~g}(\mathrm{x}) \geq \mathrm{g}(0)=1>0$ Analog pentru $x<0$. $1 \mathrm{p}$ + +b) $\left(f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right)^{\prime}=1-\sin x$ + +$$ +\begin{aligned} +& \int\left(f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right)^{\prime} d x=x+\cos x+C, f(x) \cdot f^{\prime}(x)=x+\cos x+C \xlongequal{x \rightarrow 0} f(0) \cdot f^{\prime}(0)=\cos 0+C \\ +& 1=1+c \Rightarrow c=0 \Rightarrow f(x) \cdot f^{\prime}(x)=x+\cos x \\ +& .3 p \\ +& \int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\sin \mathrm{x}+\mathrm{C}, \frac{\mathrm{f}^{2}(\mathrm{x})}{2}=\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\sin \mathrm{x}+\mathrm{C} \\ +& x \rightarrow 0 \Rightarrow c=\frac{1}{2}, f^{2}(x)=x^{2}+2 \sin x+1 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x^{2}+2 \sin x+1} +\end{aligned} +$$ + +4) + +$$ +\begin{aligned} +& f(x)-a \geq 0, f(x)-b \leq 0 \Rightarrow(f(x)-a) \cdot(f(x)-b) \leq 0 \\ +& \text { 2p } \\ +& \mathrm{f}^{2}(\mathrm{x})-(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{ab} \leq 0, \mathrm{f}(\mathrm{x})-(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{f}(\mathrm{x})} \leq 0 \\ +& \int_{0}^{1} f(x) d x-\int_{0}^{1}(a+b) d x+a b \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} d x \leq 0 \\ +& \mathrm{ab} \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})} \mathrm{dx}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \int_{0}^{1} d x+\int_{0}^{1} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx} \leq 0 +\end{aligned} +$$ + +Finalizare + +$.2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-916-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-916-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8928ff05df6e34b0efaafbd7af8efe1d25e35211 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-916-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +22 februarie 2014 + +CLASA a XI-a + +1.Să se calculeze: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{4 n^{2}+2 n+3}\right)$ + +O.L.Giurgiu, 2013 + +2. a) Să se găsească două matrice $A, B \in M_{2}(R)$ cu proprietatea că $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$ + +b) Să se arate că orice două matrice $A, B \in M_{2}(R)$ cu proprietatea că $A^{2}+B^{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)$ nu comută. + +Vladimir Cerbu , Mihai Piticari (G.M. nr.12/2013) + +3. Fie $n \in N, n \geq 2$ și $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in R$ astfel încât $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}>0$. + +a) Să se calculeze : $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\operatorname{tg}\left(a_{1} x\right)+\cdots+\operatorname{tg}\left(a_{n} x\right)\right)^{2}}{x\left(\operatorname{tg}\left(a_{1}^{2} x\right)+\cdots+\operatorname{tg}\left(a_{n}^{2} x\right)\right)}$; + +b) Să se arate că dacă $b_{n}$ este rezultatul limitei de la punctul a) și $b_{n} \geq n$, atunci $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$. + +O.L.Teleorman , 2013 + +4. Se consideră matricea $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right), a, b \in R, b \neq 0$. + +i) Să se arate că dacă matricea $X \in M_{2}(R)$ verifică relația $A X=X A$, atunci există $u, v \in R$, astfel încât $X=\left(\begin{array}{ll}u & v \\ v & u\end{array}\right)$; + +ii) Să se rezolve ecuația $X^{3}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ în $M_{2}(R)$. + +Toate subiectele sunt obligatorii . + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte . + +Timp de lucru 3 ore . + +Barem de corectare OML Clasa a XI- a, 2014 + +1. $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{4 n^{2}+2 n+3}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{4 n^{2}+2 n+3}-2 n \pi\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . .2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_40ffc40968c0fc1efcf5g-2.jpg?height=106&width=1451&top_left_y=444&top_left_x=357) + +Finalizare............................................................................................................... $3 p$ + +2. a) Dă exemplu de matrici cu proprietatea cerută.......................................................3p + +b) Dacă $A, B \in M_{2}(R)$ cu $A B=B A$ at $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}\right)=\operatorname{det}(A+i B)(A-i B) \ldots . . . . . . . . . .1 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_40ffc40968c0fc1efcf5g-2.jpg?height=60&width=1454&top_left_y=764&top_left_x=358) +$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right)=-5$............................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare............................................................................................................... $1 p$ + +3 a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\operatorname{tg}\left(a_{1} x\right)+\cdots+\operatorname{tg}\left(a_{n} x\right)\right)^{2}}{x\left(\operatorname{tg}\left(a_{1}^{2} x\right)+\cdots \operatorname{tg}\left(a_{n}^{2} x\right)\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}\left(\frac{\operatorname{tg}\left(a_{1} x\right)}{a_{1} x} a_{1}+\cdots+\frac{\operatorname{tg}\left(a_{n} x\right)}{a_{n} x}\right)^{2}}{x^{2}\left(\frac{\operatorname{tga}_{1}^{2} x}{a_{1}^{2}} a_{1}^{2}+\cdots+\frac{\operatorname{tg}\left(a_{n}^{2} x\right)}{a_{n}^{2}} a_{n}^{2}\right)} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 p$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_40ffc40968c0fc1efcf5g-2.jpg?height=117&width=1465&top_left_y=1255&top_left_x=361) +b) $b_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} \geq n$ deci $n\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right) \leq\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)^{2} \ldots \ldots . . .1 p$ + +$\operatorname{Dar}\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)^{2} \leq\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)^{2} n$............................................................... $1 p$ + +Finalizare............................................................................................................ 1p + +4. Fie $X=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right)$ + +i) Calculează AX ............................................................................................1p + +Calculează X...................................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Finalizare ..................................................................................................1p + +ii) $\quad \mathrm{X}^{3}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ Atunci $\mathrm{X}^{4}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \mathrm{X}$ și $\mathrm{X}^{4}=\mathrm{X}\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ + +$\operatorname{Deci}\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) X=X\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ şi $X=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{u} & \mathrm{v} \\ \mathrm{v} & \mathrm{u}\end{array}\right)$............................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Calculează $\mathrm{X}^{3}$.......................................................................................................... + +Finalizare .............................................................................................................. $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-917-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-917-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc389d20cd5322f1608353e87007435edef313ae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-917-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală
22 februarie 2014
CLASA a X-a + +1. Dacă $a>1$ și $b>0$ demonstrați că $\log _{a}\left(a^{b}-1\right) \cdot \log _{a}\left(a^{b}+1\right)0, b>0$, atunci $\frac{a+b}{\sqrt{a b}} \geq 2$. + +b) Arătați că $\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{6}}+\frac{7}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{20}}+\cdots+\frac{49}{\sqrt{600}}>48$. + +Manual clasa a VIII-a + +2. Arătați că numărul $a=3^{2013}+4^{2013}+5^{2013}$ este divizibil cu 72 . + +G.M. + +3. Arătați că dacă $3 a^{2}+3 b^{2}-2 a-14 b+\frac{46}{3}=0$, unde a, b $€ \underset{\text { R }}{\mathrm{R}}$, atunci $\frac{4}{3} \leq a+b \leq 4$. Locală Dolj +4. În rombul $A B C D$ sunt date $A B=10 \mathrm{~cm}, m(\measuredangle B A D)=60^{\circ}, A C \cap B D=\{\mathrm{O}\}, M$ şi $N$ mijloacele laturilor $A B$ respectiv $A D$. Deasupra planului rombului construim piramidele triunghiulare regulate $P A M N$ și $R B C D$ cu vârfurile $P$ și $R$, astfel încât $[P A] \equiv[A M]$ și $[R B] \equiv[B C]$. + +a) Să se calculeze lungimea segmentului $[P R]$. + +b) Dacă $A P \cap C R=\{S\}$, să se demonstreze că $S O \perp(A B C)$. + +Locală Harghita + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore . + +## Barem de corectare OLM clasa a VIII-a, 2014 + +1. a) $\frac{a+b}{\sqrt{a b}} \geq 2 \Leftrightarrow a+b \geq 2 \sqrt{a b} \Leftrightarrow(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \geq 0$................................................................................ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73f42b8a9efd6c09b7aeg-2.jpg?height=117&width=1536&top_left_y=358&top_left_x=311) + +aplic inegalitatea de la punctul a) pentru + +$$ +a=1, b=2 \quad \frac{3}{\sqrt{2}} \geq 2 +$$ + +$$ +a=24, b=25 \quad \frac{49}{\sqrt{600}} \geq 2 +$$ + +insumand inegalitatile de mai sus, obtinem inegalitatea cerita .......................................... 1 p + +2. scrie $72=8.9$, si stabileste ca cmmdc $(8 ; 9)=1$.................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +stabileste ca: $72 \mid$ a e necesar ca 8 a si $9 \mid$ a.......................................................................................................................................... + +cunoaste formula $x^{2 k+1}+y^{2 k+1}=(x+y)\left(x^{2 k}-x^{2 k-1} y+x^{2 k-2} y^{2}-\ldots+y^{2 k}\right) \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . .1 \mathrm{p}$ + +aplica identitatea de mai sus si obtine + +$3^{2013}+5^{2013}=(3+5) \cdot\left(3^{2012}-3^{2011} \cdot 5+\ldots+5^{2012}\right): 8$ + +cum $4^{2013}: 8$ obtinem ca a $\vdots$ 8......................................................................................... $2 p$ + +$4^{2013}+5^{2013}=(4+5) \cdot\left(4^{2012}-4^{2011} \cdot 5+\ldots+5^{2012}\right): 9$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73f42b8a9efd6c09b7aeg-2.jpg?height=66&width=1576&top_left_y=1275&top_left_x=291) + +3. Relatia din enunt poate fi scisa sub forma $(3 a-1)^{2}+(3 b-7)^{2}=4 \quad$................................... 3 p e necesar ca $(3 a-1)^{2} \leq 4 \Leftrightarrow-2 \leq 3 a-1 \leq 2 \Leftrightarrow-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73f42b8a9efd6c09b7aeg-2.jpg?height=123&width=1382&top_left_y=1546&top_left_x=497) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_73f42b8a9efd6c09b7aeg-2.jpg?height=108&width=1599&top_left_y=1665&top_left_x=274) + +4. constructia unei figuri conforme cu datele problemei ...........................................................1p + +a) demonstreaza ca PAMN si RBCD sunt tetraedre regulate si determina lungimile +segmentelor necesare ................................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +demonstreaza ca patrulaterul determinat de P,R si centrele bazelor tetraedrelor e trapez +dreptunghic. .............................................................................................................. + +determina lungimea segmentului [PR]............................................................................. 1p + +b) demonstreza ca triunghiul SAC este isoscel ........................................................... 1p + +demonstreaza ca $S O \perp(\mathrm{ABC})$................................................................................. $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-919-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-919-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6648a549e72c60d6a79a3dbe7e10a655703bddea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-919-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,80 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală + +22 februarie 2014 + +## CLASA a VII-a + +1. Fie numărul $\mathrm{E}=\frac{(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{3}+\ldots+(-1)^{n}}{(-1)^{n}+(-1)^{n^{2}}+(-1)^{n^{3}}+\ldots+(-1)^{n^{n}}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$. Arătaţi că $\mathrm{E}=0$ sau $\mathrm{E}=\frac{1}{n}$. + +Manual clasa a VII-a + +2. Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: + +$$ +3 x^{2}-2 x y-y-1=0 +$$ + +G.M. + +3. Se consideră pătratul $A B C D$ de centru $O$. Pe dreapta $A B$ se consideră un punct $E$, astfel încât $B \in(A E)$ și $\mathrm{m}\left(\lfloor\angle O B)=30^{\circ}\right.$. Perpendiculara în $O$ pe $O E$ intersectează dreapta $B C$ în $F$. Arătați că: +a) $\triangle E O F$ este isoscel. +b) $[O E] \equiv[A B]$ + +Locală Maramureş + +4. Un trapez $A B C D \mathrm{cu} \mathrm{m}(\measuredangle A)=90^{\circ}, A B \| C D$ și $C D Etapa Finală, Târgu Mureş, 20 aprilie 2016
CLASA a 9-a + +## Soluţii şi bareme orientative + +Problema 1. Un triunghi $A B C$ are ortocentrul $H$ diferit de vârfuri şi de centrul $O$ al cercului circumscris. Notăm $M, N, P$ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $H B C, H C A$, respectiv $H A B$. Demonstraţi că dreptele $A M, B N, C P$ şi $O H$ sunt concurente. + +Soluţie. Cercul HBC este simetricul cercului + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e47e367dce9293719fabg-1.jpg?height=334&width=418&top_left_y=1145&top_left_x=428) +$\mathcal{C}$ circumscris triunghiului, deci $M$ este simetricul lui $O$ faţă de $B C$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +Dacă $D$ este mijlocul lui $[B C]$, atunci $\overrightarrow{O D}=$ $\left.\xrightarrow{\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}}+\overrightarrow{O C}\right)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O H}-\overrightarrow{O A})=\frac{1}{2} \overrightarrow{A H}$, deci $\overrightarrow{O M}=$ $A H$ + +Rezultă că $A H M O$ este paralelogram, deci $A M$ trece prin mijlocul segmentului $[O H]$, ana- + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e47e367dce9293719fabg-1.jpg?height=49&width=830&top_left_y=1515&top_left_x=859) + +Problema 2. Fie $n \geq 2$ un număr natural şi $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ numere reale strict pozitive astfel încât $a_{1} \leq a_{2}, a_{1}+a_{2} \leq a_{3}, a_{1}+a_{2}+a_{3} \leq a_{4}, \ldots$, $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n-1} \leq a_{n}$. Arătaţi că + +$$ +\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{3}}{a_{4}}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \leq \frac{n}{2} +$$ + +Când are loc egalitatea ? + +Soluţie. Notăm $x_{1}=a_{1}, x_{k}=a_{k}-\left(a_{k-1}+\ldots+a_{1}\right), k=\overline{2, n} \ldots \ldots \mathbf{2 p}$ + +Observăm că $x_{k+1}-x_{k}=a_{k+1}-2 a_{k}, k=\overline{1, n-1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 p$ + +Rezultă $2\left(\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{3}}{a_{4}}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right)=\sum_{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{x_{i+1}-x_{i}}{a_{i+1}}\right) \ldots \mathbf{1} \mathbf{p}$ + +Ultima sumă este $n-\frac{x_{1}}{a_{1}}-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{x_{i+1}-x_{i}}{a_{i+1}}=n-\frac{x_{n}}{a_{n}}-\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}\left(\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{a_{i+1}}\right) \leq$ $n$, deoarece $x_{i} \geq 0, \forall i=\overline{1, n}$ şi $a_{i} \leq a_{i+1}, \forall i=\overline{1, n-1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{m}$ + +Egalitatea are loc dacă şi numai dacă $x_{2}=x_{3}=\ldots=x_{n}=0$, adică + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_e47e367dce9293719fabg-1.jpg?height=57&width=1260&top_left_y=2427&top_left_x=427) + +Problema 3. a) Demonstraţi că 7 nu poate fi scris ca sumă de trei pătrate de numere raţionale. +b) Fie $a$ un număr raţional care poate fi scris ca sumă de trei pătrate de numere raţionale. Arătaţi că $a^{m}$ poate fi scris ca sumă de trei pătrate de numere raţionale, oricare ar fi numărul natural nenul $m$. + +Soluţie. a) Să presupunem că există numerele raţionale $x, y, z$ astfel ca $7=x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Scriind $x, y, z$ ca fracţii şi eliminând numitorii, obţinem o egalitate de tipul + +$$ +7 n^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} +$$ + +unde $n, a, b, c$ sunt numere naturale, nu toate nule. + +Dacă $n$ este par, atunci $a, b, c$ sunt toate pare (nu pot fi toate trei impare, iar dacă exact două sunt impare, suma pătratelor dă restul 2 la împărţirea cu 4 , în timp ce $7 n^{2}$ se divide cu 4 ). Împărţind cu 4 , obţinem + +$$ +7 n_{1}^{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2} +$$ + +şi evident, $0 Etapa locală
22 februarie 2014
CLASA a IX-a + +1.Să se determine funcțiile $f: N^{*} \rightarrow N^{*}$ ce satisfac relaţia $\frac{f^{2}(n)}{n+f(n)}+\frac{n}{f(n)}=\frac{1+f(n+1)}{2},(\forall) n \geq 1$. Cătălin Cristea,Craiova (GMB 9/2013) + +2.Să se arate că $\sqrt{\frac{a b}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\frac{b c}{(b+a)(c+a)}}+\sqrt{\frac{c a}{(c+b)(b+a)}} \leq \frac{3}{2}, a, b, c>0$ + +3. Se dă triunghiul $\mathrm{ABC}$ şi punctele $E \in(A B), F \in(A C)$ a.i. $\frac{A E}{E B}=\frac{F C}{A F}=\frac{1}{4}$. Dacă $\mathrm{M}$ este mijlocul laturii $\mathrm{AB}, \mathrm{N}$ mijlocul laturii $\mathrm{AC}$ iar $\mathrm{R}$ mijlocul segmentului $\mathrm{EF}$, arătați că punctele M,R,N sunt coliniare. + +O.L. Buzău,2013 + +4. Numerele $a, b, c, d$ sunt în progresie aritmetică, iar numerele $a+1, b-1, c-1, d+3$ sunt în progresie geometrică. Să se afle numerele . + +Manual clasa a-IX-a + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte . + +Timp de lucru 3ore . + +## Barem de corectare OML Clasa a IX- a, 2014 + +1. Notăm $f(1)=a \in N^{*} \Rightarrow f(2)=\frac{2\left(a^{3}+a+1\right)}{a^{2}+a}-1$......................................................... $1 p$ + +Se obține $\frac{4 a+2}{a^{2}+a} \in \mathrm{N}^{*}$.............................................................................................. $1 \mathrm{~s}$ + +Se obține $\frac{2}{\mathrm{a}+1} \in \mathrm{N}^{*}$, deci $\mathrm{a}=1$................................................................................. + +$f(2)=2$............................................................................................................ $1 p$ + +Presupunem $\mathrm{f}(\mathrm{k})=\mathrm{k}, \forall 1 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}$........................................................................... $1 \mathrm{p}$ + +Obține din relația din enunț $f(n+1)=\frac{n^{3}+2 n^{2}}{2 n^{2}} \cdot 2-1=n+1$ deci, cf. inducției matematice $\mathrm{f}(\mathrm{n})=\mathrm{n}, \forall \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +2. Din inegalitatea mediilor $\sqrt{\frac{a b}{(a+c)(b+c)}}=\sqrt{\frac{a}{a+c} \cdot \frac{b}{b+c}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)$ si analoagele. + +Se adună cele 3 inegalități și obține în membrul drept + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_38c712b15da21ca2a6d4g-2.jpg?height=108&width=1456&top_left_y=1094&top_left_x=360) + +Avem egalitate dacă și numai dacă avem egalitate în fiecare din cele 3 inegalități, adică pentru $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$. + +$1 \mathrm{p}$ + +3. Notăm $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{u}}$ și $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{v}}$ + +$\overline{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{v}}-\overline{\mathrm{u}})$ $.1 \mathrm{p}$ + +Din teorema medianei î $\Delta \mathrm{EFM} \Rightarrow \overline{\mathrm{MR}}=\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{ME}}+\overline{\mathrm{MF}})$ $.1 \mathrm{p}$ + +$\overline{\mathrm{ME}}=-\frac{3}{5} \overline{\mathrm{u}}, \overline{\mathrm{MF}}=\frac{4}{5} \overline{\mathrm{v}}-\frac{1}{2} \overline{\mathrm{u}}$ $1 \mathrm{p}$ + +Se obține $\overline{\mathrm{MR}}=\frac{2}{5}(\overline{\mathrm{v}}-\overline{\mathrm{u}})$ $1 \mathrm{p}$ + +Se obține $\overline{\mathrm{MR}}=\frac{4}{5} \overline{\mathrm{MN}}$, deci $\overline{\mathrm{MR}}, \overline{\mathrm{MN}}$ vectori coliniari + +$.2 \mathrm{p}$ + +4. Fie $r=$ rația progresiei aritmetice, $q=$ rația progresiei geometrice $\Rightarrow b=a+r$, + +$c=a+2 r, d=a+3 r$ + +$b-1=(a+1) q, c-1=(a+1) q^{2}, d+3=(a+1) q^{3} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+r-1=(a+1) q \\ a+2 r-1=(a+1) q^{2} \ldots .1 p \\ a+3 r+3=(a+1) q^{3}\end{array}\right.$ + +Din ecuațiile 1 și $2 \Rightarrow \mathrm{r}=\mathrm{q}(\mathrm{q}-1)(\mathrm{a}+1)$ $1 p$ + +Din ecuațiile 2 și $3 \Rightarrow r+4=(a+1) q^{2}(q-1)=r q \Rightarrow q=\frac{r+4}{r}$ + +Se înlocuiesc în sistem $\mathrm{r}, \mathrm{q} \Rightarrow \mathrm{r}=4$ $.1 \mathrm{p}$ + +$\Rightarrow \mathrm{q}=2 \Rightarrow \mathrm{a}=1$.................................................................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Numerele sunt $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=5, \mathrm{c}=9, \mathrm{~d}=13$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-923-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-923-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9d7bfc0d50a25862e0f2c08f5cf6ddfe35bd9878 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-923-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_barem.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# Clasa a VIII-a + +1. a) Determinaţi numerele reale $x$, $y$ şi $z$ din relaţia $3 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}-2 x y \sqrt{6}-2 y z \sqrt{15}=0$ pentru care $x \cdot y \cdot z=15 \sqrt{6}$. + +b) Arătaţi că dacă $a, b, c$ sunt numere reale pozitive şi $a+b+c=2$ atunci $\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+$ $\sqrt{1+\mathrm{c}}<4$. + +## Barem: + +$1 \mathrm{p}$ + +a) Avem: $\left(3 x^{2}-2 x y \sqrt{6}+2 y^{2}\right)+\left(3 y^{2}-2 y z \sqrt{15}+5 z^{2}\right)=0$ $(x \sqrt{3}-y \sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3} y-\sqrt{5} z)^{2}=0$ + +1 p $x \sqrt{3}-y \sqrt{2}=0$ şi $y \sqrt{3}-z \sqrt{5}=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} y$ şi $z=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} y$ + +Relaţia $x \cdot y \cdot z=15 \sqrt{6}$ devine: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} y \cdot y \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} y=15 \sqrt{6} \Rightarrow$ + +1 p + +$\frac{y^{3} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{15}}=15 \sqrt{6} \Rightarrow y^{3}=15 \sqrt{15} \Rightarrow y=\sqrt{15}$ + +$x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{15}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{10} ; y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{15}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=3$ + +b) Folosind inegalitatea $\mathrm{m}_{\mathrm{g}} \leq \mathrm{m}_{\mathrm{a}}$ (în cazul nostru $\mathrm{m}_{\mathrm{g}}<\mathrm{m}_{\mathrm{a}}$ ) avem: + +$1 \neq 1+\mathrm{a} \Rightarrow \sqrt{1+a}=\sqrt{1 \cdot(1+a)}<\frac{1+1+a}{2} \Rightarrow \sqrt{1+a}<\frac{2+a}{2}$ + +$1 \neq 1+\mathrm{b} \Rightarrow \sqrt{1+b}=\sqrt{1 \cdot(1+b)}<\frac{1+1+b}{2} \Rightarrow \sqrt{1+b}<\frac{2+b}{2}$ + +$1 \neq 1+\mathrm{c} \Rightarrow \sqrt{1+c}=\sqrt{1 \cdot(1+c)}<\frac{1+1+c}{2} \Rightarrow \sqrt{1+c}<\frac{2+c}{2}$ + +$1 \mathbf{p}$ + +Prin adunare obţinem: $\sqrt{1+\mathrm{a}}+\sqrt{1+\mathrm{b}}+\sqrt{1+\mathrm{c}}<\frac{6+a+b+c}{2}$ + +cum $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \Rightarrow \sqrt{1+\mathrm{a}}+\sqrt{1+\mathrm{b}}+\sqrt{1+\mathrm{c}}<4$ + +7 p $\quad$ TOTAL + +2. Fie a, b numere reale astfel încât $|\mathrm{a}| \leq 1$ şi $|\mathrm{b}| \leq 1$. Arătaţi că $|a| \sqrt{1-b^{2}}+|b| \sqrt{1-a^{2}} \leq 1$. + +G.M. $4 / 2013$ + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4f6ceacf224e69d415b3g-2.jpg?height=683&width=1631&top_left_y=632&top_left_x=255) + +3. Punctele $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ şi $\mathrm{C}$ în această ordine, sunt situate pe un cerc de centru $\mathrm{O}$ şi de rază $\mathrm{R}=12 \mathrm{~cm}$. Măsurile arcelor $\widehat{A B}, \widehat{B C}$ şi $\widehat{C A}$ sunt invers proporţionale cu numerele $0,1(6) ; 0,(1)$ şi respectiv $0,(3)$. În punctul A se ridică perpendiculara $A M$ pe planul cercului, cu $A M=6 \mathrm{~cm}$. Calculaţi: + +a) măsurile arcelor $\widehat{A B}, \widehat{B C}$ şi $\widehat{C A}$; + +b) perimetrul şi aria triunghiului $\mathrm{ABC}$; + +c) distanţa de la punctul A la planul (MBC). + +## Barem: + +``` +\(\mathbf{0 , 5} \mathbf{p} \mid\) a) Avem \(0,(3)=\frac{1}{3} ; 0,1(6)=\frac{1}{6} ; 0,(1)=\frac{1}{9}\) şi + \(\frac{m(\widehat{A B})}{6}=\frac{m(\widehat{B C})}{9}=\frac{m(\widehat{C A})}{3}=\frac{m(\widehat{A B})+m(\widehat{B C})+m(\widehat{C A})}{6+9+3}=\frac{360^{\circ}}{18}=20^{\circ}\) +\(m(\widehat{A B})=120^{\circ}\) +\(m(\widehat{B C})=180^{\circ}\) +\(m(\widehat{A C})=60^{\circ}\) + b) \(m(\widehat{A B})=120^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{ACB})=60^{\circ}\) + \(m(\widehat{B C})=180^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BAC})=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{BC}\) este diametru \(\Rightarrow \mathrm{BC}=24 \mathrm{~cm}\) + 1 p \(\quad m(\widehat{A C})=60^{\circ} \Rightarrow \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{ABC})=30^{\circ}\) + \(\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{ABC})=30^{\circ} \Rightarrow \mathrm{AC}=\frac{B C}{2}=12 \mathrm{~cm}\) + \(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=24^{2}-12^{2}=12^{2} \cdot 3 \Rightarrow \mathrm{AB}=12 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) + \(P_{\triangle A B C}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=12 \sqrt{3}+12+24=36+12 \sqrt{3}=12(\sqrt{3}+3)(\mathrm{cm})\) + \(A_{\triangle A B C}=\frac{A B \cdot A C}{2}=\frac{12 \cdot 12 \sqrt{3}}{2}=72 \sqrt{3}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)\) + c) Fie \(\mathrm{D} \in(\mathrm{BC}), \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}\) şi \(\mathrm{P} \in(\mathrm{MD}), \mathrm{AP} \perp \mathrm{MD}\) + \(1 \mathbf{p} \quad \mathrm{MA} \perp(\mathrm{ABC}){ }_{T .3 P}\) + Avem \(B C \subset(A B C)\} \stackrel{T .3 P}{\Longrightarrow} \mathrm{MD} \perp \mathrm{BC}\) (1) + \(\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}\) + Avem: + \(\mathrm{BC} \subset(\mathrm{MBC})\) +\(\left.\begin{array}{l}\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC} \\ \mathrm{MD} \perp \mathrm{BC} \\ \mathrm{AP} \perp \mathrm{MD}\end{array}\right\} \stackrel{R I I}{\Rightarrow} \mathrm{AP} \perp(\mathrm{MBC}) \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{A},(\mathrm{MBC}))=\mathrm{AP}\) + Din \(\triangle \mathrm{ABC}\) avem: \(\mathrm{AD}=\frac{A B \cdot A C}{B C}=\frac{12 \sqrt{3} \cdot 12}{24}=6 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) + În \(\triangle M A D, m(\Varangle M A D)=90^{\circ} \Rightarrow M D^{2}=M A^{2}+A D^{2} \Rightarrow M D^{2}=6^{2}+(6 \sqrt{3})^{2}=36+108=144\) + \(1 \mathbf{p} \Rightarrow \mathrm{MD}=12(\mathrm{~cm})\) + Din \(\triangle \mathrm{MAD}\) cu \(\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{MAD})=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{AP}=\frac{M A \cdot A D}{M D}=\frac{6 \cdot 6 \sqrt{3}}{12}=3 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) + \(\mathrm{d}(\mathrm{A},(\mathrm{MBC}))=3 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) + 7 p \(\quad\) TOTAL +``` + +4. Pe planul dreptunghiului $\mathrm{ABCD} \mathrm{cu} \mathrm{AB}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{AD}=6 \mathrm{~cm}$ se ridică, de aceeaşi parte a planului dreptunghiului, perpendicularele $\mathrm{AM}, \mathrm{BQ}$ şi $\mathrm{CP} \mathrm{cu} \mathrm{AM}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{BQ}=2 \mathrm{~cm}$ şi $\mathrm{CP}=3 \mathrm{~cm}$. + +Determinaţi dreapta d de intersecţie a planelor (ABC) şi (MPQ) şi calculaţi distanţa de la punctul M la această dreaptă. + +## Barem: + +``` +Fie \(\mathrm{AC} \cap \mathrm{MP}=\{\mathrm{R}\}\) şi \(\mathrm{AB} \cap \mathrm{MQ}=\{\mathrm{S}\}\) + \((\mathrm{ABC}) \cap(\mathrm{MPQ})=\mathrm{d}\) + Avem: + \(\mathrm{R} \in \mathrm{AC} \subset(\mathrm{ABC})\} \Rightarrow \mathrm{R} \in \mathrm{d}\) + \(2 \mathbf{p} \quad \mathrm{R} \in \mathrm{MP} \subset(\mathrm{MPQ})\) + \(\left.\begin{array}{l}\mathrm{S} \in \mathrm{AB} \subset(\mathrm{ABC}) \\ \mathrm{S} \in \mathrm{MQ} \subset(\mathrm{MPQ})\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{S} \in \mathrm{d}\) + \(\Rightarrow \mathrm{d}=\mathrm{RS}\) + \(\Rightarrow(\mathrm{ABC}) \cap(\mathrm{MPQ})=\mathrm{RS}\) + Fie \(\mathrm{F} \in(\mathrm{RS}), \mathrm{AF} \perp \mathrm{RS}\) + Avem: +\(1 \mathbf{p} \quad M A \perp(\mathrm{ABC}))_{T .3 P}\) + \(R S \subset(A B C)\} \stackrel{T .3 P}{\Longrightarrow} \mathrm{MF} \perp \mathrm{RS} \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{RS})=\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{d})=\mathrm{MF}\) + \(\mathrm{AF} \perp \mathrm{RS}\) + Lungimea segmentului \([\mathrm{RS}]\) : + Din \(\triangle A B C\) avem: \(\mathrm{AC}=6 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) §i \(\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\) unde \(\alpha=\mathrm{m}(\Varangle \mathrm{BAC})\) + În \(\triangle\) MAR: \([\mathrm{PC}]\) linie mijlocie \(\Rightarrow \mathrm{CR}=6 \sqrt{3} \Rightarrow \mathrm{AR}=12 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) + În \(\triangle M A S: \mathrm{BQ} \| M A \Rightarrow \mathrm{BS}=3 \sqrt{2}(\mathrm{~cm}) \Rightarrow \mathrm{AS}=9 \sqrt{2}(\mathrm{~cm})\) +\(2 \mathbf{p}\) + Fie \(E \in A R, S E \perp A R\) + În \(\triangle A S E, \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{AES})=90^{\circ} \Rightarrow \sin \alpha \frac{S E}{A S} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{S E}{9 \sqrt{2}} \Rightarrow \mathrm{SE}=\frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3 \sqrt{6}(\mathrm{~cm})\) + \(\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{SA}^{2}-\mathrm{SE}^{2}=(9 \sqrt{2})^{2}-(3 \sqrt{6})^{2}=162-54=108 \Rightarrow \mathrm{AE}=6 \sqrt{3}(\mathrm{~cm}) \Rightarrow \mathrm{ER}=6 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})\) + \(\triangle S E R: \mathrm{SR}^{2}=\mathrm{ES}^{2}+\mathrm{ER}^{2}=(3 \sqrt{6})^{2}+(6 \sqrt{3})^{2}=54+108=162 \Rightarrow \mathrm{RS}=9 \sqrt{2}(\mathrm{~cm})\) + Calculul lui MF din \(\triangle M A F\) : + În \(\triangle A R S\) avem: \(\mathrm{AR} \cdot \mathrm{SE}=\mathrm{RS} \cdot \mathrm{AF} \Rightarrow \mathrm{AF}=\frac{A R \cdot S E}{R S}=\frac{12 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{6}}{9 \sqrt{2}}=12(\mathrm{~cm})\) + În \(\triangle M A F, \mathrm{~m}(\Varangle \mathrm{MAF})=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{MF}^{2}=\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{AF}^{2}=36+144=180\) + \(\mathrm{MF}=\sqrt{180}=6 \sqrt{5}(\mathrm{~cm}) \Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{RS})=6 \sqrt{5}(\mathrm{~cm})\) +TOTAL +``` + +Notă: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-924-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-924-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b878778b45cfcaf39352a9a2fd827c19967cc418 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-924-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_barem.md @@ -0,0 +1,96 @@ +# Clasa a VII-a + +1. Fie numărul $x=\left(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2010}\right)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{2011^{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}$. Determinaţi $\mathrm{n} \in \mathbf{N}$ astfel încât numărul x să aibă 256 de divizori în $\mathbf{N}$. + +## Barem: + +| 1p | Fie $\mathrm{a}=1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+3+\cdots+2010}$
Folosind $1+2+3+\ldots+\mathrm{n}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ si $\frac{1}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}=\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ avem:
$\mathrm{a}=\frac{2}{1 \cdot 2}+\frac{2}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{2}{2010 \cdot 2011}$
$=2 \cdot\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\right)$
$=2 \cdot\left(1-\frac{1}{2011}\right)$ | +| :--- | :--- | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $=2 \cdot \frac{2010}{2011}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\mathrm{x}=\left(2 \cdot \frac{2010}{2011}\right)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{2011^{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}=2^{\mathrm{n}} \cdot \frac{2010^{\mathrm{n}}}{2011^{\mathrm{n}}} \cdot \frac{2011^{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}=2010^{\mathrm{n}}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $256=4^{4} ; 2010=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67 \Rightarrow 2010^{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}} \cdot 3^{\mathrm{n}} \cdot 5^{\mathrm{n}} \cdot 67^{\mathrm{n}}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | Numărul de divizori naturali ai lui $\mathrm{x}$ este egal cu $(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+1)=(\mathrm{n}+$
$1)^{4}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | Finalizare: $(\mathrm{n}+1)^{4}=4^{4} \Rightarrow \mathrm{n}+1=4 \Rightarrow \mathrm{n}=3$ | +| $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | TOTAL | +| TOT | | + +2. Arătaţi că numărul $\mathrm{A}=\left[(8+3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+3}+\frac{7}{(8-3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+3}}\right] \cdot \frac{(16-6 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+2}}{2^{2 \mathrm{n}+3}}-4\left(\sqrt{63}+5 \frac{3}{4}\right)$ este pătrat perfect, oricare ar fi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$. + +## Barem: + +| $2 p$ | Avem $(8+3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+3}+\frac{7}{(8-3 \sqrt{7})^{2 n+3}}=\frac{[(8+3 \sqrt{7})(8-3 \sqrt{7})]^{2 \mathrm{n}+3}+7}{(8-3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+3}}=\frac{8}{(8-3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+3}}$ | +| :---: | :---: | +| 1 p | $(16-6 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+2}=[2(8-3 \sqrt{7})]^{2 \mathrm{n}+2}=2^{2 \mathrm{n}+2} \cdot(8-3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+2}$ | +| $2 p$ | Înlocuind obţinem:
$\mathrm{A}=\frac{8}{(8-3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+3}} \cdot \frac{2^{2 \mathrm{n}+2} \cdot(8-3 \sqrt{7})^{2 \mathrm{n}+2}}{2^{2 \mathrm{n}+3}}-4\left(3 \sqrt{7}+\frac{23}{4}\right)$
$=\frac{8}{(8-3 \sqrt{7})} \cdot \frac{1}{2}-12 \sqrt{7}-23$ | +| $1 \mathrm{p}$ | $=4(8+3 \sqrt{7})-12 \sqrt{7}-23$ | +| $1 \mathrm{p}$ | $=9$
$\mathrm{~A}=3^{2} \Rightarrow \mathrm{A}$ este pătrat perfect | +| 7 | TOTAL | + +3. În triunghiul isoscel $\mathrm{ABC}, \mathrm{m}(\Varangle \mathrm{A})=120^{\circ}$, fie $\mathrm{M}$ mijlocul laturii $[\mathrm{AB}]$. Perpendiculara din $\mathrm{M}$ pe $\mathrm{BC}$ intersectează $\mathrm{AC}$ în $\mathrm{D}$ şi fie $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}, E \in(B C)$. + +Arătaţi că: +a) $\triangle D A M$ este echilateral + +b) DAEM este romb +c) $\mathrm{CD}=3 \cdot \mathrm{AD}$ + +prof. Hotca Ana + +Şcoala Gimnazială Certeze + +## Barem: + +a) punctele $\mathrm{D}, \mathrm{A}, \mathrm{C}$ sunt coliniare + +$$ +\begin{aligned} +& m(\triangleleft D A M)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ} ;\{\mathrm{N}\}=\text { MD } \cap \mathrm{BC} \\ +& D N \| A E \Rightarrow m(\triangleleft M A E)=m(\triangleleft B M N)=60^{\circ} \text { (unghiuri corespondente) } \\ +& m(\triangleleft B M N)=m(\triangleleft D M A)=60^{\circ} \text { (unghiuri opuse la varf) } \\ +& m(\triangleleft A D M)=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ} \\ +& m(\triangleleft D A M)=m(\triangleleft A M D)=m(\triangleleft M D A)=60^{\circ} \Rightarrow \triangle D A M=\text { Dechilateral } +\end{aligned} +$$ + +b) în patrulaterul DAEM avem : + +$[M A] \equiv[A D] \equiv[D M]$ + +$\Delta B M N=\Delta$ dreptunghic + +$m(\triangleleft M B N)=30^{\circ}$ + +( $\triangle A B C=\Delta$ isoscel cu $m(\triangleleft A)=120^{\circ} \Rightarrow M N=\frac{B M}{2}$ + +$[\mathrm{MN}]=$ linie mijlocie în $\triangle A B E \Rightarrow A E=2 \cdot M N=B M$ + +$[A D] \equiv[D M] \equiv[A E]$ + +$-\operatorname{din}[A M] \equiv[A E]$ şi $m(\triangleleft M A E)=60^{\circ} \Rightarrow \triangle A M E=$ sechilateral + +$\operatorname{deci}[A E] \equiv[M E]$ + +-avem: $[A D] \equiv[D M] \equiv[A E] \equiv[M E]$ + +$2 \mathbf{p}$ +c) $\mathrm{CD}=\mathrm{AC}+\mathrm{AD}=\mathrm{AB}+\mathrm{AD}=2 \cdot \mathrm{BM}+\mathrm{AD}=2 \cdot \mathrm{AD}+\mathrm{AD}=3 \cdot \mathrm{AD}$ + +$7 \mathbf{p}$ + +TOTAL + +4. Fie $\mathrm{O}$ punctul de intersecţie a diagonalelor $[\mathrm{AC}]$ şi $[\mathrm{BD}]$ ale trapezului $\mathrm{ABCD}$ cu $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$. Paralela prin O la baze intersectează laturile $[\mathrm{AD}]$ §̧ $[\mathrm{BC}]$ în $\mathrm{E}$ şi respective $\mathrm{F}$. + +Demonstraţi că: +a) $[\mathrm{OE}] \equiv[\mathrm{OF}]$; +b) $\frac{1}{\mathrm{OE}}=\frac{1}{\mathrm{AB}}+\frac{1}{\mathrm{DC}}$; + +c) Dacă $\mathrm{AD} \cap \mathrm{BC}=\{\mathrm{M}\}$, arătaţi că punctele $\mathrm{M}, \mathrm{O}$ şi mijloacele bazelor sunt coliniare. + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6f13a7b052ed84ba1904g-4.jpg?height=1629&width=1654&top_left_y=758&top_left_x=257)[^0] + + +[^0]: Notă: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-925-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-925-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6df473fbd9796c0a852cb1fc2c1643c72465757e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-925-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_barem.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# Clasa a VI-a + +1. Se consideră fracţia $\mathrm{F}=\frac{108}{252}$. Aflaţi câte numere naturale sunt în mulţimea + +$$ +\mathrm{M}=\{\mathrm{F} ; 2 \cdot \mathrm{F} ; 3 \cdot \mathrm{F} ; \ldots ; 2014 \cdot \mathrm{F}\} +$$ + +## Barem: + +| $2 \mathbf{p}$ | Avem F $=\frac{108}{252}=\frac{3}{7}$ | +| :---: | :---: | +| $2 \mathbf{p}$ | Numărul de numere naturale din $\mathrm{M}$ este egal cu numărul multiplilor de 7 din
mulţimea $\{1,2,3, \ldots, 2014\}$ | +| $2 \mathbf{p}$ | $1<7 \mathrm{k} \leq 2014, \mathrm{k} \in \mathrm{N}$
$\frac{1}{7}<\mathrm{k} \leq \frac{2014}{7}$
$\left.\frac{1}{7}<\mathrm{k} \leq 287 \frac{5}{7}\right\} \Rightarrow \mathrm{k} \in\{1,2,3, \ldots, 287\}$
$\quad \mathrm{k} \in \mathrm{N}$ | +| 11 | $\mathrm{M}$ are 287 de numere naturale | +| 7 p | TOTAL | + +2. Se consideră şirul de numere $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ cu proprietatea că $a_{1}=0$ şi $a_{n}$ este media aritmetică a numerelor $a_{n-1}$ şi 2014. Notăm cu $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ suma primilor $\mathrm{n}$ termeni ai şirului. + +a) Calculaţi $a_{2}$ şi $a_{3}$; + +b) Arătaţi că $\mathrm{S}_{2014}+\mathrm{a}_{2014}$ se poate scrie ca produsul a două numere naturale consecutive. + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bbb19d1df3ce553abed3g-2.jpg?height=1209&width=1513&top_left_y=786&top_left_x=336) + +3. a) Raportul dintre măsura complementului unui unghi şi măsura suplementului său este $\frac{1}{4}$. Aflaţi măsura unghiului. + +b) Fie unghiul ascuţit $\overline{A O B}$ şi unghiurile $\widehat{B O C}$ şi $\widehat{B O D}$ astfel încât $\overline{A O B}$ și $\widehat{B O C}$ sunt adiacente complementare iar $\widehat{A O B}$ și $\widehat{B O D}$ sunt adiacente suplementare, [OP semidreapta opusă semidreptei $[\mathrm{OB},[\mathrm{OM}$ - bisectoarea unghiului $\widehat{B O C},[\mathrm{ON}-$ bisectoarea unghiului $\widehat{A O P}$. Arătaţi că măsura unghiului $\widehat{M O N}$ este de $135^{\circ}$. + +prof. Pop Ionela Şcoala Gimnazială Culciu Mare + +## Barem: + +a) Fie $x$ măsura unghiului $\widehat{M O N}$. + +1p + +Complementul: $90-\mathrm{x}$, suplementul $180-\mathrm{x}$. + +$1 \mathbf{p}$ + +$2 \mathbf{p}$ +b) +b) + +Notăm măsurile unghiurilor ca în figură: + +$\mathrm{a}+\mathrm{b}=90^{\circ}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{m}(\overline{A O P})=180^{\circ}-\mathrm{a}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bbb19d1df3ce553abed3g-3.jpg?height=599&width=776&top_left_y=1403&top_left_x=1100) + +$\mathrm{m}(\widehat{M O N})=\frac{b}{2}+a+90^{\circ}-\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}+90^{\circ}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$ + +TOTAL + +4. Pe segmentul $(\mathrm{AB})$ se consideră punctele $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{2014}$ astfel încât $A M_{1}=\frac{A B}{2} ; A M_{2}=$ $\frac{A M_{1}}{2} ; A M_{3}=\frac{A M_{2}}{2} ; \ldots ; A M_{2014}=\frac{A M_{2013}}{2}$. + +a) Exprimaţi $\mathrm{AM}_{1}, \mathrm{AM}_{2}, \mathrm{AM}_{3}, \ldots, \mathrm{AM}_{2014}$ cu ajutorul lui $\mathrm{AB}$; + +b) Calculaţi suma $\mathrm{S}=\left(\mathrm{AM}_{1}+\mathrm{AM}_{2}+\mathrm{AM}_{3}+\ldots+\mathrm{AM}_{2014}\right)+1$ ştiind că $\mathrm{AB}=2^{2014}$. + +## Barem: + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-926-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-926-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3789bcd05cd420df124cff840f3012208e6b7a97 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-926-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_barem.md @@ -0,0 +1,52 @@ +# Clasa a V-a + +1. Determinaţi numerele naturale nenule care împăŗ̧ite la 71 dau restul egal cu cubul câtului şi arătaţi că suma lor se divide cu 81 . + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3a8a70a2447b6aafa654g-1.jpg?height=886&width=1613&top_left_y=766&top_left_x=278) + +2. a) Determinaţi valoarea lui $x$ din: $[200-(64+x \cdot 12+2 \cdot 11)] \cdot(50-24 \cdot 2+13 \cdot 5-9 \cdot 5)=1980$ b) Calculaţi: $1+2+3+\ldots+50-5 \cdot\left\{\left[\left(12^{2}+5^{2}\right): 13\right]^{2}-2^{7}-2^{0}\right\}: 2^{3}$. + +## Barem: + +| $\mathbf{0 , 5} \mathbf{p}$ | $[200-(64+\mathrm{x} \cdot 12+22)] \cdot 22=1980$ | +| :--- | :--- | +| $\mathbf{0 , 5} \mathbf{p}$ | $200-(64+\mathrm{x} \cdot 12+22)=90$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $64+\mathrm{x} \cdot 12+22=110$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\mathrm{x}=2$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\mathrm{b}) 1+2+3+\ldots+50=50 \cdot 51: 2=25 \cdot 51$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\left\{[(144+25): 13]^{2}-2^{7}-2^{0}\right\}: 2^{3}=\left(13^{2}-2^{7}-2^{0}\right): 2^{3}=$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $(169-128-1): 8=40: 8=5$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $25 \cdot 51-5 \cdot 5=$
$25 \cdot(51-1)=25 \cdot 50=1250$ | +| $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | TOTAL | + +3. a) Determinaţi mulţimea $\mathrm{D}$ a divizorilor de trei cifre ai numărului $10^{4}$. + +b) Determinaţi cifrele a, b, c, d în sistemul de numeraţie zecimal, care verifică relaţia: $\overline{\mathrm{abc}} \cdot(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d})=10^{4}$. + +## Barem: + +| $0,5 p$ | a) Avem $10^{4}=2^{4} \cdot 5^{4}$ | +| :---: | :---: | +| $1,75 p$ | Divizorii de trei cifre sunt:
$5^{4}=625 ; 5^{3}=125 ; 5^{3} \cdot 2^{2}=500 ; 5^{3} \cdot 2=250 ; 5^{2} \cdot 2^{2}=100 ; 5^{2} \cdot 2^{3}=200 ; 5^{2} \cdot 2^{4}=400$ | +| $0,25 p$ | $D=\{100 ; 125 ; 200 ; 250 ; 400 ; 500 ; 625\}$ | +| $0,5 \mathbf{p}$ | b) $\overline{\mathrm{abc}} \cdot(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d})=10^{4}$ deci $\overline{\mathrm{abc}}$ divide $10^{4}$
adică $\overline{\mathrm{abc}} \in \mathrm{D}$ sau $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}) \mid 10^{4}$ | +| $0,5 p$ | Dacă $\overline{\mathrm{abc}}=100 ; 100 \cdot(1+0+0+\mathrm{d})=10^{4}$
$1+\mathrm{d}=10^{2}$ - imposibil | +| $2 \mathbf{p}$ | Dacă $\overline{\mathrm{abc}} \in\{125 ; 200 ; 250 ; 400 ; 500\}$ relaţia din enunţ este imposibilă
Dacă $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}) \in\{5,10,20,25\}$ relaţia din enunţ este imposibilă | +| $0,5 \mathrm{p}$ | Dacă $\overline{\mathrm{abc}}=625$ avem:
$625 \cdot(6+2+5+\mathrm{d})=10^{4} \mid: 625$
$13+\mathrm{d}=16 \Rightarrow \mathrm{d}=3$ | +| $1 \mathrm{p}$ | Cifrele sunt: $a=6 ; b=2 ; \mathrm{c}=5 ; d=3$ | +| 7 p | TOTAL | + +4. a) Arătaţi că $3^{2015}-3^{2013}$ este cub perfect; + +b) Scrieţi numărul $6^{2}$ ca sumă de trei cuburi perfecte nenule; + +c) Arătaţi că numărul $\mathrm{A}=6 \cdot 5^{3 \mathrm{n}}+5^{3 \mathrm{n}+1}+5^{3 \mathrm{n}+2}$ se poate scrie ca sumă de trei cuburi, oricare ar fi $n \in \mathrm{N}$. + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_3a8a70a2447b6aafa654g-4.jpg?height=1125&width=1634&top_left_y=782&top_left_x=251) + +Notă: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-927-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_iva_barem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-927-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_iva_barem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3fe12c6dd6ebb07532113112b74dee70e77e4522 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-927-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_iva_barem.md @@ -0,0 +1,27 @@ +# BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE + +| Nr.crt. | Soluţii | Punctaje | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.a) | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_de00cfe21ffeef6222cbg-1.jpg?height=1084&width=666&top_left_y=726&top_left_x=304) | $0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
$0,5 \mathrm{p}$
Total 5p | +| b) | $a(b+5)=336$
$a \times b+a \times 5=336$
$a=301: b ; a \times b=301$
$301+a \times 5=336$
$a \times 5=336-301$
$a \times 5=35 ; a=35: 5 ; a=7$
$7 \times b=301 ; b=301: 7 ; b=43$ | $1 \mathrm{p}$
$0,25 \mathrm{p}$
$0,25 \mathrm{p}$
$0,25 \mathrm{p}$
$0,25 \mathrm{p}$ | + +Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 +Str. General Berthelot nr. 28-30, Sector 1, 010168, Bucuresti Tel: $\quad+40(0) 214055706$ Fax: +40(0)21 3103205 www.edu.ro + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_de00cfe21ffeef6222cbg-2.jpg?height=245&width=280&top_left_y=146&top_left_x=183) + +| | | Total 2 p | +| :---: | :---: | :---: | +| 2. | Egalăm mărimile
$227-14=213$
Justificare răspuns
Un număr impar nu se împarte exact la 2, deci afirmaţia Alinei este
falsă, nu este adevărată. | $1 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$
Total $7 p$ | +| 3.a) | $2,9,16,23, \mathbf{3 0}, \mathbf{3 7 , 4 4 , 5 1 \ldots .} 4 \mathrm{nr} . \mathrm{x} 0,5 \mathrm{p} \rightarrow 2 \mathrm{p}$
Precizarea regulii de formare a şirului:
$2+7 \mathrm{x} \mathrm{n}$, unde $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$
$a_{0}=2+0 \times 7 ; \quad a_{1}=2+1 \times 7 ; \quad a_{2}=2+2 \times 7 \ldots \ldots . . a_{n}=2+\mathrm{nx} 7$
sau şirul este crescător $(\operatorname{din} 7$ în 7$)$ | $2 \mathrm{p}$
$1 \mathrm{p}$ | +| b) | Precizarea corectă a numărului 142 ( aflarea acestuia prin numărare sau
prin
Formula $2+7 \times 20$ ) | $2 \mathrm{p}$ | +| c) | $2+9+16+23+\ldots \ldots \ldots . . . .+100=765 \quad 1,5$ p dacă adună numerele
fără formule de calcul sau
$2+7 \mathrm{x} 0+2+7 \mathrm{x} 1+2+7 \mathrm{x} 2+\ldots \ldots . .+2+7 \mathrm{x} 14=$
$2 \times 15+7 \mathrm{x}(0+1+2+\ldots \ldots \ldots \ldots . .14)=765 \quad 2 \mathrm{p}$ dacă se folosesc
formule de calcul | Total 7 p | +| | | | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_de00cfe21ffeef6222cbg-3.jpg?height=254&width=283&top_left_y=147&top_left_x=178) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_de00cfe21ffeef6222cbg-3.jpg?height=1002&width=1670&top_left_y=544&top_left_x=113) + +* Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +* Se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvările parţiale, în limitele punctajului indicat. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-928-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-928-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9462862fa8bf4ab6fb81ea47aa0e9bd896d92851 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-928-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,85 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală + +16.02.2014 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie (G,*) un grup cu 124 de elemente. Dacă există trei elemente a,b,c, al grupului astfel încât $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}=\mathrm{e}$, e fiind elementul neutru al operaţiei, demonstraţi că grupul nu este comutativ. + +Cziprok Andrei, Satu Mare + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_dbfd5cc052e89300f0d3g-1.jpg?height=691&width=1608&top_left_y=1288&top_left_x=264) + +2. Pe $R$ se defineşte legea ,"*" dată prin $x * y=\sqrt[2 n+1]{x^{2 n+1}+y^{2 n+1}}, n \in N^{*}, \forall x, y \in R$. + +a) Arătaţi că $(R, *)$ este grup comutativ izomorf cu grupul $(R,+)$. + +b) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii $\left\{\begin{array}{c}x * y *(-2)=1 \\ x^{3}-y^{3}=7\end{array}\right.$ + +Muntean Doina, Satu Mare + +## Barem: + +| $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | $\mathbf{a})(\mathrm{R}, *)$ - grup comutativ | +| :--- | :--- | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $x * y=f^{-1}(f(x)+f(y)), \mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} ; \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{2 n+1}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\mathrm{f}-$ bijectivă $(1)$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $f(x * y)=f(x)+f(y)(2)$
Din $(1) \operatorname{si}(2) \Rightarrow(\mathrm{R}, *) \cong(\mathrm{R},+)$ | +| $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | $\mathbf{b}) \mathrm{x}=2 ; \mathrm{y}=1$ | +| $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | TOTAL | + +3. Să se calculeze integralele nedefinite: +a) $\int \frac{2 x^{4}+1}{x\left(x^{4}+1\right)\left(x^{8}+x^{4}+1\right)} d x, \quad x \in(0, \infty)$ +b) $\int \frac{\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{e^{x}+\cos x} d x, \quad x \in(0, \infty)$ + +Traian Tămâian, Carei + +## Barem: + +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | a) $\quad I=\int \frac{x^{3}\left(2 x^{4}+1\right)}{x^{4}\left(x^{4}+1\right)\left(x^{8}+x^{4}+1\right)} d x=\frac{1}{4} \int \frac{8 x^{7}+4 x^{3}}{\left(x^{8}+x^{4}\right)\left(x^{8}+x^{4}+1\right)} d x$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | Cu schimbarea de variabilă $x^{8}+x^{4}=t,\left(8 x^{7}+4 x^{3}\right) d x=d t, 3$ ntegral se scrie | +| $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | $I=\frac{1}{4} \int \frac{1}{t(t+1)} d t=\frac{1}{4} \int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right) d t=\frac{1}{4}[\ln t-\ln (t+1)]+C$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | Rezultă $\quad I=\frac{1}{4}\left[\ln \left(x^{8}+x^{4}\right)-\ln \left(x^{8}+x^{4}+1\right)\right]+C$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | b) $\quad I=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{e^{x}+\cos x} d x=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{\left(e^{x}+\cos x\right)-\left(e^{x}+\cos x\right)^{\prime}}{e^{x}+\cos x} d x=$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $=\frac{\sqrt{2}}{2} \int\left[1-\frac{\left(e^{x}+\cos x\right)^{\prime}}{e^{x}+\cos x}\right] d x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\int d x-\int \frac{\left(e^{x}+\cos x\right)^{\prime}}{e^{x}+\cos x} d x\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[x-\ln \left(e^{x}+\cos x\right)\right]+C, \quad C \in R$. | +| $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | TOTAL | + +4. Fie şirul cu termenul general $I_{n}=\int_{0}^{1} e^{n x}\left(x^{2}+1\right)^{n-1}(x+1)^{2} d x, \quad n \in N^{*}$. + +a) Demonstraţi că există $k \in R$ astfel încât $\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{\prime}=e^{x}(x+k)^{2}, \forall x \in R$ + +b) Să se calculeze $I_{n}, n \in N^{*}$ şi $\lim _{n \rightarrow \infty} n(2 e)^{n}\left(2 e-\sqrt[n]{n I_{n}}\right)$. + +Traian Tămâian, Carei + +## Barem: + +a) Deoarece $\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{\prime}=e^{x}(x+1)^{2}$, rezultă că există $k=1 \in R$ astfel încât + +$\mathbf{2} \mathbf{p}$ + +$\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{\prime}=e^{x}(x+k)^{2}, \forall x \in R$. + +b) Cum $\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{\prime}=e^{x}(x+1)^{2}$, integrala se scrie $I_{n}=\int_{0}^{1}\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{n-1} e^{x}(x+1)^{2} d x=$ + +$\mathbf{1} \mathbf{p}=\int_{0}^{1}\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{n-1}\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{\prime} d x=\left.\frac{\left[e^{x}\left(x^{2}+1\right)\right]^{n}}{n}\right|_{0} ^{1}=\frac{(2 e)^{n}-1}{n}$. + +$\mathrm{Cu}$ acestea limita cerută se scrie + +$L=\lim _{n \rightarrow \infty} n(2 e)^{n}\left(2 e-\sqrt[n]{(2 e)^{n}-1}\right)=2 e \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} n(2 e)^{n}\left(1-\sqrt[n]{1-\frac{1}{(2 e)^{n}}}\right) \quad$ sau + +$L=2 e \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\left.\sqrt[n]{1-\frac{1}{(2 e)^{n}}}-1\right)}{-\frac{1}{(2 e)^{n}}}\right.$ + +Considerând şirul $x_{n}=-\frac{1}{(2 e)^{n}}, n \geq 1$, cu $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$, + +$\mathbf{1} \mathbf{p} \operatorname{din}(*)$ rezultă $L=2 e \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sqrt[n]{1+x_{n}}-1}{x_{n}}\right)=2 e \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\left(1+x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1}{x_{n}}\right)=2 e \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{e^{\frac{\ln \left(1+x_{n}\right)}{n}}-1}{x_{n}}\right)=$ + +$\mathbf{1} \mathbf{p}=2 e \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{e^{\frac{\ln \left(1+x_{n}\right)}{n}}-1}{\frac{\ln \left(1+x_{n}\right)}{n}}\right) \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+x_{n}\right)}{x_{n}}=2 e \cdot 1 \cdot 1=2 e$. + +7 p TOTAL + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-929-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-929-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9d1351deb69a0908374a1571bc867c21e5cd22a5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-929-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,69 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală + +16.02 .2014 + +## Clasa a XI-a + +1. Fie $A, B \in M_{n}(C)$. Să se arate că egalitatea $A B-B A=I_{n}$ este imposibilă. + +Muntean Doina, Satu Mare + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed10c95fde11e0dafabg-1.jpg?height=791&width=1602&top_left_y=1255&top_left_x=273) + +2. a) Fie $A \in M_{2}(C)$. Arătaţi că $\operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A$, pentru orice $x \in C$. + +b) Dacă $A \in M_{2}(C)$ cu $\operatorname{Tr} A=2$ şi det $A=3$ demonstraţi că: + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=20 +$$ + +Traian Tămûian, Carei + +## Barem: + +| $2 \mathbf{p}$ | a) Fie $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(C)$. Avem $\operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=$
$\left\|\begin{array}{cc}a-x & b \\ c & d-x\end{array}\right\|=x^{2}-(a+d) x+a d-b c=$ | +| :---: | :---: | +| $1 \mathrm{p}$ | $=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A$ | +| $1 \mathbf{p}$ | b) Fie $f_{A}(x)=\operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=x^{2}-(\operatorname{Tr} A) x+\operatorname{det} A=x^{2}-2 x+3$ polinomul
caracteristic al matricei A.
Din teorema Hamilton-Cayley rezultă: $A^{2}-2 A+3 I_{2}=O_{2} \Leftrightarrow A^{2}+3 I_{2}=2 A$
(1) | +| $1 \mathrm{p}$ | Din (1) rezultă $\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=\operatorname{det}(2 A)=2^{2} \cdot \operatorname{det} A=4 \cdot 3=12$. | +| $1 \mathbf{p}$ | Am arătat că $\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=12$
Tot din (1) obţinem: $A^{2}+I_{2}=2\left(A-I_{2}\right)$ de unde rezultă
$\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=2^{2} \cdot \operatorname{det}\left(A-I_{2}\right)=2^{2} \cdot f_{A}(1)$ şi cum $f_{A}(1)=2$ obţinem
$\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)=8$ | +| $1 \mathbf{p}$ | $\operatorname{Din}(2)$ şi (3) obţinem: $\operatorname{det}\left(A^{2}+I_{2}\right)+\operatorname{det}\left(A^{2}+3 I_{2}\right)=12+8=20$. | +| | TOTAL | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed10c95fde11e0dafabg-3.jpg?height=317&width=217&top_left_y=93&top_left_x=1345) + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir definit prin: $a_{1}=\sqrt{2013}$ şi $a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}+2013}{2014}, \forall n \in N^{*}$. + +a) Arătaţi că şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este monoton şi $1 \leq a_{n} \leq 2013, \forall n \in N^{*}$. + +b) Calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ si $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a_{n}-1\right)$ + +Traian Tămâian , Carei + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7ed10c95fde11e0dafabg-3.jpg?height=1625&width=1656&top_left_y=884&top_left_x=177) + +4. a) Calculaţi $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{n}+1}\right)$. + +b) Să se calculeze: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}+\ln ^{4}(1+\sqrt{x})-\sqrt[201]{1+\sin ^{2} x}}{x^{2}}$ + +Traian Tămîian, Carei + +## Barem: + +| 1 p | a) Notăm $\quad a_{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots+\frac{1}{n+1}\right), a_{n}<$
$\frac{2 n+1}{n^{2}+1}$ | +| :---: | :---: | +| 1 p | $a_{n}>\frac{2 n+1}{n+1}$ | +| $1 p$ | Cele două şiruri au limita 2 . Deci $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2$. | +| $2 p$ | b) Limita se scrie $L=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}+\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right]^{4}-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{2014}}-1}{x^{2}}=$ | +| $2 p$ | $=\ln e+1-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{2014}}-1}{\sin ^{2} x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=2-\frac{1}{2014}=\frac{4027}{2014}$ | +| | TOTAL | + +Notă: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-93-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-93-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..85461266989ec0bc9cd23cc1938315ffe34cc749 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-93-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,62 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016 + +## CLASA a VIII-a + +Subiectul 1. Determinaţi mulţimea $I=(-\infty ; a] \cap\left[a^{-1} ; \infty\right), a \in \mathbb{R}^{*}$. Discuţie. + +Subiectul 2. Aflați numerele reale $\mathrm{x}$ și $\mathrm{y}$ pentru care avem + +$$ +\sqrt{4 x^{2}-12 x+25}+\sqrt{4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}+64} \leq 12 +$$ + +Subiectul 3. Pe planul triunghiului echilateral $\mathrm{ABC} \mathrm{cu} \mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$ se ridică, de aceeași parte a planului (ABC), perpendicularele $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A} \perp(\mathrm{ABC}), \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{B} \perp(\mathrm{ABC})$, astfel încât $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{BB}^{\prime}=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. + +a) Aflaţi distanța de la A la planul (A'BC). + +b) Aflaţi sinusul unghiului dintre A'B și B'C. + +Subiectul 4. Prin mijlocul $\mathrm{M}$ al muchiei (AB) a tetraedrului ABCD se duce un plan paralel cu AC şi BD , care intersectează muchiile (BC) , (CD) §̧i (DA) în N, $\mathrm{P}$ şi respectiv $\mathrm{Q}$. Determinaţi măsura unghiului dreptelor $\mathrm{AC}$ şi $\mathrm{BD}$, ştiind că aria patrulaterului MNPQ este $\frac{A C \cdot B D}{8}$. + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016
CLASA a VIII-a + +## Bareme + +## Subiectul 1. + +| $a \in(-\infty ;-1) \Rightarrow I=\varnothing$ | $7 \mathbf{p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $a=-1 \Rightarrow I=\{-1\}$ | | +| $a \in(-1 ; 0) \Rightarrow I=\left[a^{-1} ; a\right]$ | | +| $a \in(0 ; 1) \Rightarrow I=\varnothing$ | | +| $a=1 \Rightarrow I=\{1\}$ | | +| $a \in(1 ; \infty) \Rightarrow I=\left[a^{-1} ; a\right]$ | | + +## Subiectul 2. + +| | $\sqrt{4 x^{2}-12 x+25}=\sqrt{(2 x-3)^{2}+16} \geq 4$ | 2p | +| :--- | :--- | :---: | +| | $\sqrt{4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}+64}=\sqrt{(2 x+3 y)^{2}+64} \geq 8$ | 2p | +| | $\sqrt{4 x^{2}-12 x+25}+\sqrt{4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}+64} \geq 12$ şi ipoteza $\Rightarrow$ | 2p | +| $\sqrt{4 x^{2}-12 x+25}+\sqrt{4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}+64}=12$ | $1 p$ | | +| Finalizare $x=\frac{3}{2}, y=-1$ | $\mathbf{1 p}$ | | + +## Subiectul 3. + +| a. | Construcţia perpendicularei din A pe (A'BC) | | +| :--- | :--- | :---: | +| | Calculul distanţei $: \frac{6 \sqrt{15}}{5}$ | $\mathbf{3 p}$ | +| b. | Prelungim $[\mathrm{AB}] \mathrm{cu}[\mathrm{BE}], \mathrm{AB}=\mathrm{BE} \Rightarrow \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B} \\| \mathrm{B}{ }^{\prime} \mathrm{E} \Rightarrow \varangle\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)=\varangle C B^{\prime} E$ | | +| | Aria in doua moduri a triunghiului $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{CE}$ si finalizarea $\sin \left(E B^{\prime} C\right)=\frac{\sqrt{39}}{8}$ | $\mathbf{4 p}$ | + +## Subiectul 4. + +| | Demonstrarea faptului că MNPQ paralelogram | 3p | +| :--- | :--- | :--- | +| | Demonstrarea faptului că $m(\varangle(A C, B D))=m(\varangle(M N, N P))$ | $\mathbf{2 p}$ | +| | $A_{M N P Q}=M N \cdot N P \cdot \sin (M N, N P)=\frac{A C}{2} \cdot \frac{B D}{2} \cdot \sin (A C, B D)$ şi finalizare | $\mathbf{2 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-930-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-930-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5646a64c5052abb35e8a4671ed794d073c89a13e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-930-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,81 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală + +16.02.2014 + +## Clasa a X-a + +1. Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ sistemul $\left\{\begin{array}{c}10^{x}-y=6 \\ \sqrt[3]{x+7}+\log _{3}(y-1)=3\end{array}\right.$. + +## Barem: + +| $1 \mathbf{p}$ | $\left\{\begin{array}{c}y=10^{x}-6 \\ \sqrt[3]{x+7}+\log _{3}\left(10^{x}-7\right)=3\end{array}\right.$ | +| :---: | :---: | +| $\mathbf{2} \mathbf{p} \quad$ | Funcţia $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt[3]{x+7}+\log _{3}\left(10^{x}-7\right)$ este strict crescătoare, deci injectivă pe
$(\lg 7, \infty)$ | +| | Cum $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(1) \Rightarrow x=1$ soluţie unică a ecuaţiei $\sqrt[3]{x+7}+\log _{3}\left(10^{x}-7\right)=3$ | +| | Soluţia sistemului este $x=1, y=4$ | +| | TOTAL | + +2. Fie $a, b, c \in(1, \infty)$. Arătaţi că $\sqrt{2\left(\ln ^{2} a+\ln ^{2} b\right)+5 \ln a \cdot \ln b}+\sqrt{2\left(\ln ^{2} b+\ln ^{2} c\right)+5 \ln b \cdot \ln c}+$ $\sqrt{2\left(\ln ^{2} c+\ln ^{2} a\right)+5 \ln c \cdot \ln a} \leq 3 \ln a b c$. + +Bud Adrian, Negreşti Oaş + +## Barem: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f9c09de03f24522e6c65g-2.jpg?height=842&width=1633&top_left_y=944&top_left_x=200) + +3. a) Arătaţi că există $a, b \in R$ astfel încât $\sin ^{3} x=a \sin x+b \sin 3 x, \forall x \in R$. + +b) Să se rezolve î R ecuaţia: $2^{\sin 3 x}-8^{\sin x}=\sin ^{3} x$. + +Traian Tămî̀an , GM.2/2013 + +## Barem: + +``` +\(\mathbf{1} \mathbf{p} \left\lvert\,\)\begin{tabular}{l} +a)Din formula \(\sin 3 x=\sin x\left(3-4 \sin ^{2} x\right) \Rightarrow \sin ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4} \Leftrightarrow\) \\ +\hdashline \(\begin{array}{c}\sin ^{3} x=\frac{3}{4} \sin x-\frac{1}{4} \sin 3 x, \text { de unde rezultă că există } a=\frac{3}{4} \text { şi } b=-\frac{1}{4} \text { astfel încât } \\ +\sin ^{3} x=a \sin x+b \sin 3 x\end{array}\) \\ +\hline +\end{tabular}\right. +``` + +b) Din a) rezultă formula $\sin ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}$ (1), valabilă $\forall x \in R$. Folosind (1) ecuaţia + +se scrie $2^{\sin 3 x}-2^{3 \sin x}=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4} \Leftrightarrow 2^{\sin 3 x}+\frac{\sin 3 x}{4}=2^{3 \sin x}+\frac{3 \sin x}{4}$ + +Funcţia $f: R \rightarrow R, f(t)=2^{t}+\frac{t}{4}$ este strict crescătoare şi deci este şi injectivă. + +$\mathbf{1} \mathbf{p}$ Ecuaţia (2) se scrie $f(\sin 3 x)=f(3 \sin x)$ şi cum $\mathrm{f}$ este injectivă rezultă că $\sin 3 x=3 \sin x$ + +Folosind formula (1), ecuaţia (2) se scrie $\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}=0 \Leftrightarrow \sin ^{3} x=0 \Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow$ $x=k \pi, k \in Z$. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei date este $S=\{k \pi \mid k \in Z\}$. + +7 p + +TOTAL + +4. Fie M,N,P,Q,R,S respectiv mijloacele laturilor $[\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{AF}],[\mathrm{DE}],[\mathrm{CD}],[\mathrm{EF}]$ ale hexagonului convex ABCDEF. Dacă $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ sunt respectiv centrele de greutate ale triunghiurilor MNP, BCD, $\mathrm{QRS}, \mathrm{AEF}$, arătaţi că patrulaterul $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ este paralelogram. + +Traian Tămûian, Carei + +## Barem: + +Considerăm originea sistemului în $\mathrm{O}$ şi notăm cu litere nici corespunzătoare afixele punctelor considerate. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f9c09de03f24522e6c65g-4.jpg?height=494&width=794&top_left_y=1244&top_left_x=380) + +A + +Avem $g_{1}+g_{3}=\frac{m+n+p}{3}+\frac{q+r+s}{3}=\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+f}{2}}{3}+\frac{\frac{d+e}{2}+\frac{d+c}{2}+\frac{e+f}{2}}{3}=$ $=\frac{2 a+2 b+2 c+2 d+2 e+2 f}{6}$, + +de unde $g_{1}+g_{3}=\frac{a+b+c+d+e+f}{3}$ (1) + +$g_{2}+g_{4}=\frac{b+c+d}{3}+\frac{a+e+f}{3}=\frac{a+b+c+d+e+f}{3}$ + +Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că $g_{1}+g_{3}=g_{2}+g_{4}$ şi deci $G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}$ este paralelogram. + +## TOTAL + +Notă: Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-931-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-931-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa75967a81ee39132835e1c0679636ccb2027e13 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-931-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,79 @@ +# Olimpiada de matematică + +etapa locală + +16.02.2014 + +## Clasa a IX-a + +1. a) Arătaţi că $[a]+\left[a+\frac{1}{2}\right]=[2 a]$ unde $[a]$ reprezintă partea întreagă a numărului real a. + +b) Rezolvaţi în R ecuaţ̧ia $\left[\frac{2 x-1}{12}\right]+\left[\frac{2 x+5}{12}\right]+\left[\frac{x+1}{3}\right]=\frac{3 x+1}{2}$ + +Bud Adrian, Negresti Oaş + +## Barem: + +``` +\(\mathbf{2 p} \quad\) relaţia lui Hermite + 1p Observăm că \(\frac{2 x+5}{12}=\frac{2 x-1}{12}+\frac{1}{2} \Rightarrow\left[\frac{2 x-1}{12}\right]+\left[\frac{2 x+5}{12}\right]=\left[\frac{2 x-1}{12}\right]+\left[\frac{2 x-1}{12}+\frac{1}{2}\right]=\left[2 \cdot \frac{2 x-1}{12}\right]=\left[\frac{2 x-1}{6}\right]\) + 1p Astfel ecuaţia devine \(\left[\frac{2 x-1}{6}\right]+\left[\frac{x+1}{3}\right]=\frac{3 x+1}{2}\) + În acelaşi mod avem + \(1 p \quad \frac{x+1}{3}=\frac{2 x-1}{6}+\frac{1}{2} \Rightarrow\left[\frac{2 x-1}{6}\right]+\left[\frac{x+1}{3}\right]=\left[\frac{2 x-1}{6}\right]+\left[\frac{2 x-1}{6}+\frac{1}{2}\right]=\left[2 \cdot \frac{2 x-1}{6}\right]=\left[\frac{2 x-1}{3}\right]\) + Astfel ecuaţia devine \(\left[\frac{2 x-1}{3}\right]=\frac{3 x+1}{2}\) + Notăm \(\frac{3 x+1}{2}=k \in Z \Rightarrow x=\frac{2 k-1}{3}\). Înlocuind în ecuaţie rezultă \(\left[\frac{4 k-5}{9}\right]=k\) de unde \(k \in\) + \(\{-2,-1\}\) + Trecând în necunoscuta \(\mathrm{x}\) se obţin soluţiile \(x \in\left\{-\frac{5}{3} ;-1\right\}\) + \begin{tabular}{l|l} +\(\mathbf{7} \mathbf{p}\) & TOTAL +\end{tabular} +``` + +2. Arătaţi că numărul $\mathrm{m}=\sqrt{\left(n^{2}-n-6\right)\left(n^{2}+3 n-4\right)+25}$ este natural, $\forall n \in N$. + +RMT, nr.1/2014, Vasile Peiţa + +## Barem + +| $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | $\mathrm{m}=\sqrt{\left(n^{2}-n-6\right)\left(n^{2}+3 n-4\right)+25}=\sqrt{(n-3)(n+2)(n-1)(n+4)+25}$ | +| :--- | :--- | +| $\mathbf{2} \mathbf{p}$ | $=\sqrt{(n-1)(n+2)(n-3)(n+4)+25}=\sqrt{\left(n^{2}+n-2\right)\left(n^{2}+n-12\right)+25}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $=\sqrt{\left(n^{2}+n\right)^{2}-14\left(n^{2}+n\right)+49}=$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $=\sqrt{\left(n^{2}+n-7\right)^{2}}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $=\left\|n^{2}+n-7\right\| \in \mathbb{N}, \forall n \in N$. | +| $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | TOTAL | + +3. a) Arătaţi că $(a+b)^{4} \geq 8 a b\left(a^{2}+b^{2}\right), \quad \forall a, b \in(0, \infty)$ + +b) Demonstraţi că pentru orice $a, b, c \in(0, \infty)$ cu $a+b+c \leq 8$ are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{4}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{4}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{4}} \leq \frac{1}{a b c} +$$ + +Tămîian Traian, Carei + +## Barem: + +| $\mathbf{1 p}$ | a) Au loc echivalenţele: $(a+b)^{4} \geq 8 a b\left(a^{2}+b^{2}\right) \Leftrightarrow$
$\left(a^{2}+b^{2}+2 a b\right)^{2} \geq 8 a b\left(a^{2}+b^{2}\right) \Leftrightarrow$ | +| :---: | :---: | +| $\mathbf{1 p}$ | $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+4 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)+(2 a b)^{2} \geq 8 a b\left(a^{2}+b^{2}\right) \Leftrightarrow$
$\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-4 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)+(2 a b)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow$ | +| $1 p$ | $\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\right)^{2} \geq 0$, relaţie adevărată. | +| $\mathbf{1 p}$ | b) Din a) rezultă că $\forall a, b \in(0, \infty)$ are loc inegalitatea $\frac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{4}} \leq \frac{1}{8 a b}$ | +| $\mathbf{1 p}$ | Analoagele pentru relaţia (1) sunt:
$\frac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{4}} \leq \frac{1}{8 b c}$ si $\frac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{4}} \leq \frac{1}{8 c a}$ | +| $\mathbf{1 p}$ | Adunând relaţiile de mai sus rezultă $\frac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{4}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{4}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{4}} \leq \frac{a+b+c}{8 a b c}$ | +| 1p | Cum $a+b+c \leq 8$ rezultă $\frac{a+b+c}{8 a b c} \leq \frac{1}{a b c}$ | + +4. Fie $\triangle \mathrm{ABC}$ iar $\mathrm{M} \in[\mathrm{AB}] ; \mathrm{N} \in[\mathrm{AC}] ; \mathrm{C} \in[\mathrm{BP}]$ astfel încât $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MB}}=\frac{1}{3} ; \frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{NA}}=\frac{2}{3} ; \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{9}$. Să se arate că punctele $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ sunt coliniare. + +## Barem: + +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\hat{\mathrm{In}} \Delta \mathrm{AMN} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}} \quad \overrightarrow{\mathrm{MA}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\overrightarrow{\mathrm{AN}}=\frac{3}{5} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \quad \overrightarrow{\mathrm{MN}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{5} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\hat{\mathrm{In}} \Delta \mathrm{NCP} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\overrightarrow{\mathrm{NC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \overrightarrow{\mathrm{NC}}=\frac{2}{5} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=-\frac{2}{7} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{7} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \overrightarrow{\mathrm{NP}}=-\frac{2}{7} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{24}{35} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{NP}} \alpha=\frac{7}{8}$ | +| $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | | +| $\mathbf{7} \mathbf{p}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-932-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-932-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89cac2bfe71374e9f795c54a36aa3e154df59026 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-932-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,143 @@ +R OMÂNIA + +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +Clasa a XII-a + +## PROBLEMA 1 + +Fie $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ m & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \in M_{3}(\mathrm{R})$ şi $G=\{A(m) \mid m \in \mathrm{Z}\}$. + +a) Arătaţi că (G,) este grup + +b) Arătaţi că ( $G$,) este izomorf cu grupul $(Z,+)$ + +c) Rezolvaţi ecuaţia $(A(m))^{n}=A(5), m \in \mathrm{Z}, n \in \mathrm{N}^{*}$. + +## PROBLEMA 2 + +Arătaţi că funcţia $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$, definită prin $f(x)= \begin{cases}\sin \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right), & \text { dacă } x \neq 0 \\ 0 \quad & \text {, dacă } x=0\end{cases}$ are primitive pe $\boldsymbol{R}$, pentru orice $a, b \in \mathrm{R}$. + +## PROBLEMA 3 + +Determinaţi primitivele funcţiei $f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{x(x-1)(x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{4}+4}$ + +## PROBLEMA 4 + +Fie ( $G_{s^{*}}$ ) un grup și $f: G \rightarrow G$ o funcție injectivă astfel incât $f\left(x^{2} \cdot f(y)\right)=x^{-1} \cdot f(x y), \forall x, y \in G$. Să se arate că $x^{2}=e, \forall x \in G$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +R O M Â N I A
MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE \$̧TIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +Clasa a XII-a + +Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Fie $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ m & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \in M_{3}(\mathrm{R})$ şi $G=\{A(m) \mid m \in \mathrm{Z}\}$. + +a) Arătaţi că ( $G$, ) este grup + +b) Arătaţi că ( $G$, ) este izomorf cu grupul $(Z,+)$ + +c) Rezolvaţi ecuaţia $(A(m))^{n}=A(5), m \in \mathrm{Z}, n \in \mathrm{N}^{*}$. + +## Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a4f09379d0be992cd7e1g-2.jpg?height=80&width=1596&top_left_y=1439&top_left_x=230) + +Înmulţirea matricelor este asociativă ................................................................................. + +Elementul neutru este $e=A(-1)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \in G$.................................................... + +Simetricul lui $A(m)$ este $A(-m-2)$........................................................................... + +b) Aplicaţia $f: G \rightarrow Z$, definită prin $f(A(m))=m+1$ este + +1) bijectivă lpunct +2) morfism +lpunct + +c) Avem $f\left(A\left(m_{1}\right) A\left(m_{2}\right) \ldots A\left(m_{k}\right)\right)=f\left(A\left(m_{1}\right)\right)+f\left(A\left(m_{1}\right)\right)+\quad+f\left(A\left(m_{1}\right)\right)$, pentru orice $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k} \in \mathrm{Z}$; în particular $f\left(A^{k}(m)\right)=k f(A(m))$ + +Deci $n f(A(m))=f(A(5))$ sau $n(m+1)=6$, de unde soluţiile $(1,5),(2,2),(3,1),(6,0)$ ( $n$ este prima componentă) + +## PROBLEMA 2 + +Arătaţi că funcţia $f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$, definită prin $f(x)= \begin{cases}\sin \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right) & \text { dacă } x \neq 0 \\ 0 \quad & \text {, dacă } x=0\end{cases}$ are primitive pe $\boldsymbol{R}$, pentru orice $a, b \in \mathrm{R}$. + +## Soluție: + +Fie $g: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, g(x)= \begin{cases}x^{3} \cos \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right), & x \neq 0 \\ 0 \quad, x=0\end{cases}$ + +$\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \cos \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right)=0$, deci $g$ este continuă în 0 , deci continuă pe $\mathrm{R}$..... lpunct $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right)=0$, deci $g$ este derivabilă î 0 , deci pe $\mathrm{R}$.....lpunct + +Pentru $x \neq 0, g^{\prime}(x)=3 x^{2} \cos \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right)-a x^{3} \sin \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right)+2 b \sin \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right)$ + +Deci $g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x^{2} \cos \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right), x \neq 0 \\ 0 \quad, x=0\end{array}-a\left\{\begin{array}{ll}x^{3} \sin \left(a x+\frac{b}{x^{2}}\right), & x \neq 0 \\ 0 \quad, x=0\end{array}+2 b f(x)\right.\right.$ + +Dacă $b=0$, atunci $f$ este continuă pe $\mathrm{R}$, deci are primitive, iar dacă $b \neq 0$, din egalitatea $g^{\prime}=u-a v+2 b f$ rezultă că $f$ are primitive. + +.1 punct + +## PROBLEMA 3 + +Determinaţi primitivele funcţiei $f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{x(x-1)(x-2)}{\left(x^{2}-2 x\right)^{4}+4}$ + +Soluție: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a4f09379d0be992cd7e1g-3.jpg?height=122&width=1559&top_left_y=2049&top_left_x=244) + +Notăm $x^{2}-2 x=t \Rightarrow 2(x-1) d x=d t \Rightarrow(x-1) d x=\frac{d t}{2}$ + +Aşadar $F(x)=\int f(x) d x=\int \frac{t}{t^{4}+4} \cdot \frac{1}{2} d t$ + +Notăm $t^{2}=u \Rightarrow 2 t d t=d u \Rightarrow t d t=\frac{d u}{2}$ + +1 punct + +$$ +\begin{aligned} +& F(u)=\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}+4} d u=\frac{1}{8} \operatorname{arctg} \frac{u}{2}+C \\ +& 1 \text { punct } \\ +& F(x)=\frac{1}{8} \operatorname{arctg} \frac{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}{2}+C +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 4 + +Fie ( $G_{s^{*}}$ ) un grup și $f: G \rightarrow G$ o funcție injectivă astfel incât $f\left(x^{2} \cdot f(y)\right)=x^{-1} \cdot f(x y), \forall x, y \in G$. Să se arate că $x^{2}=e, \forall x \in G$. + +$\underline{\text { Solutie: }}$ + +Dacă în relaţia din enunț luăm $x=e$ (elementul neutru) avem $f(f(y))=f(y)$ .2puncte + +Cum $\mathrm{f}$ este injectivă rezultă $f(y)=y, \forall y \in G$ deci $f=1_{G}$ (funcția identică a mulțimii $G)$. lpunct +Avem $f\left(x^{2} \cdot f(y)\right)=x^{2} \cdot f(y)=x^{2} \cdot y$. lpunct + +și $x^{-1} \times f(x y)=x^{-1} \cdot x y$.... lpunct iar de aici $x^{2} \cdot y=x^{-1} \cdot x y \Rightarrow x^{2} \cdot y=y \Rightarrow x^{2}=e$. .2puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-933-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-933-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..df62966222f4ec6e86dea2ba4b60839df6be134e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-933-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,174 @@ +R OMÂNIA + +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +# OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +## PROBLEMA 1 + +Fie $X \in M_{3}(C), \quad X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$. Să se calculeze $X^{n}, n \in N$. + +## PROBLEMA 2 + +Notăm cu $M=\left\{X \in M_{2}(R) \mid X^{2}-X-6 I_{2}=O_{2}\right\}$. Demonstraţi că: + +a) Dacă $A \in M \Rightarrow$ A este inversabilă şi $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(A-I_{2}\right)$ + +b) Dacă $\mathrm{A}, \mathrm{B} \in M \Rightarrow A^{n}-B^{n}=\frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{n}+3^{n}}{5} \cdot(A-B)$ + +## PROBLEMA 3 + +a) Să se determine $m \in R$, astel încât $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{(m-1)^{2} \cdot x^{2}+1}}{3 x+2}=-1$. + +b) calculaţi limita: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x^{n}+x^{n-1}+\ldots+x+1\right)}{n x}, n \in N^{*}$. + +## PROBLEMA 4 + +Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ şi $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n a_{n}}, n \geq 1$. Să se calculeze + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right) +$$ + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +R OMÂNIA + +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Fie $X \in M_{3}(C), \quad X=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$. Să se calculeze $X^{n}, n \in N$. + +Soluție: + +$X$ se descompune $X=A+B$, unde $A=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)=a I_{3}$ şi $B=\left(\begin{array}{lll}0 & b & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ Se observă că + +$A \cdot B=a I_{3} \cdot B=B \cdot a I_{3}=B \cdot A$ + +1 punct + +$X^{n}=(A+B)^{n}=C_{n}^{0} A^{n}+C_{n}^{1} A^{n-1} B+\ldots \ldots .+C_{n}^{n} B^{n}$ 1 punct + +$A=a I_{3}, A^{2}=a^{2} I_{3}, \ldots \ldots ., A^{n}=a^{n} I_{3}, \forall n \in N$ 1 punct + +$B^{2}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), B^{3}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)=O_{3} \Rightarrow B^{n}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), \forall n \in N \quad n \geq 3$ + +Deci $X^{n}=C_{n}^{0} A^{n}+C_{n}^{1} A^{n-1} B+C_{n}^{2} A^{n-2} B^{2}+O_{3}, X^{n}=a^{n} I_{3}+n \cdot a^{n-1} \cdot B+\frac{n(n-1)}{2} a^{n-2} B^{2}$ 1 punct + +După înlocuire se obţine $X^{n}=\left(\begin{array}{ccc}a^{n} & n a^{n-1} b & n a^{n-1} c+\frac{n(n-1)}{2} a^{n-2} b \\ 0 & a^{n} & n a^{n-1} \\ 0 & 0 & a^{n}\end{array}\right) \ldots \ldots .2$ puncte + +## PROBLEMA 2 + +Notăm сu $M=\left\{X \in M_{2}(R) \mid X^{2}-X-6 I_{2}=O_{2}\right\}$. Demonstraţi că: + +a) Dacă $A \in M \Rightarrow A$ este inversabilă şi $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(A-I_{2}\right)$ + +b) Dacă $A, B \in M \Rightarrow A^{n}-B^{n}=\frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{n}+3^{n}}{5} \cdot(A-B)$ + +Soluție: +a) $A \in M \Rightarrow \mathrm{A}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=6 \mathrm{I}_{2} \Rightarrow \operatorname{det} \mathrm{A} \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=6 \Rightarrow \operatorname{det} \mathrm{A} \neq 0 \Rightarrow \mathrm{A}$ este inversabilă 2 puncte +b) $\mathrm{A}^{2}-\mathrm{A}-6 \mathrm{I}_{2}=\mathrm{O}_{2} \quad \mathrm{I} \mathrm{A}^{-1} \Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}-6 \mathrm{~A}^{-1}=\mathrm{O}_{2} A^{-1}=\frac{1}{6}\left(A-\mathrm{I}_{2}\right) \ldots \ldots . .2$ puncte + +b) Dacă $A, B \in M \Rightarrow \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}+6 \cdot \mathrm{I}_{2}$ + +$$ +\mathrm{B}^{2}=\mathrm{B}+6 \cdot \mathrm{I}_{2} +$$ + +Procedăm prin inductie : + +- Se verifică uşor $\mathrm{P}(1)$ şi $\mathrm{P}(2)$........................ 1 punct +- $\mathrm{P}(\mathrm{n}) \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{n}+1)$ + +$\mathrm{A}^{\mathrm{n}+1}=\mathrm{A}^{\mathrm{n}-1} \cdot \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{~A}+6 \cdot \mathrm{I}_{2}\right)=\mathrm{A}^{\mathrm{n}}+6 \cdot \mathrm{A}^{\mathrm{n}-1} \cdot$ Analog + +$B^{\mathrm{n}+1}=\mathrm{B}^{\mathrm{n}}+6 \cdot \mathrm{B}^{\mathrm{n}-1}$ + +Deci $\mathrm{A}^{\mathrm{n}+1}-\mathrm{B}^{\mathrm{n}+1}=\left(\mathrm{A}^{\mathrm{n}}-\mathrm{B}^{\mathrm{n}}\right)+6 \cdot\left(\mathrm{A}^{\mathrm{n}-1}-\mathrm{B}^{\mathrm{n}-1}\right)=\quad \ldots \ldots \ldots \ldots . .2$ puncte + +$=\frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{n}+3^{n}}{5} \cdot(A-B)+6 \cdot \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{n-1}+3^{n-1}}{5} \cdot(A-B)=\frac{(-1)^{n+2} \cdot 2^{n+1}+3^{n+1}}{5} \cdot(A-B)$ + +## PROBLEMA 3 + +a) Să se determine $m \in R$, astel încât $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{(m-1)^{2} \cdot x^{2}+1}}{3 x+2}=-1$. + +b) calculaţi limita: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x^{n}+x^{n-1}+\ldots+x+1\right)}{n x}, n \in N^{*}$. + +Solutie: +a) + +$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{(m-1)^{2} \cdot x^{2}+1}}{3 x+2}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{|x| \cdot \sqrt{(m-1)^{2}+\frac{1}{x^{2}}}}{3 x+2}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x \cdot \sqrt{(m-1)^{2}+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left(3+\frac{2}{x}\right)}=\frac{-|m-1|}{3}$ + +2 puncte + +Obţinem: $\frac{-|m-1|}{3}=-1 \Rightarrow|m-1|=3$, de unde $m \in\{-2,4\}$ +b) Limita se poate scrie sub forma: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[1+\left(x+x^{2}+\ldots+x^{n}\right)\right]}{x+x^{2}+\ldots+x^{n}} \cdot \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}}{n x}=1 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}}{n x}= \\ +& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(1+x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}\right)}{n x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}}{n}=\frac{1}{n} +\end{aligned} +$$ + +4 puncte + +Observaţie: s-a folosit $\lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln [1+u(x)]}{u(x)}=1$, pentru $u(x) \rightarrow 0$. + +## PROBLEMA 4 + +Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ şi $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n a_{n}}, n \geq 1$. Să se calculeze + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right) +$$ + +Solutie: + +Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ are termenii strict pozitivi. $a_{n}>0 \Rightarrow\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ şir mărginit inferior $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{1+n a_{n}}<1 \Rightarrow$ şirul este strict descrescător. Aşadar $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \quad$ este şir convergent .2 puncte + +Fie $l=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +Dacă $l>0$, atunci $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+n a_{n}\right)=\infty \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}=0 \quad \Rightarrow l=0$, fals. + +Prin urmare $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$. + +Aplicăm succesiv lema Stolz-Cesaro: + +$$ +\begin{aligned} +& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n+1}{a_{n+1}}}{(n+1)^{4}-n^{4}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) \frac{1+n a_{n}}{a_{n}}}{(n+1)^{2}-n^{2}\left\lceil(n+1)^{2}+n^{2}\right]}= \\ +& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2 n+1} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n}}+n}{2 n^{2}+2 n+1}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2 n^{2}+2 n+1} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n}}+n}{n^{2}}=\quad \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \text { puncte } \\ +& \stackrel{c-s}{=} \frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}+1}{(n+1)^{2}-n^{2}}=\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1+n a_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n}}+1}{2 n+1}=\frac{1}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2 n+1}=\frac{1}{8} . \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \text { puncte } +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-934-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-934-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..039d56bb327024f6c05d7e309024c2bd5824cfdc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-934-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +## PROBLEMA 1 + +Rezolvaţi ecuaţia $2^{2^{x}-1}-1=\log _{2}(1+x)$. + +## PROBLEMA 2 + +Fie funcţia $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=2 \sin 2 x+8(\sin x+\cos x)+3$. + +Determinaţi imaginea funcţiei $f$. + +## PROBLEMA 3 + +Fie $n \geq 2$ număr natural şi $a, b$ două numere reale pozitive. Să se arate că $n(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}) \leq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+n-2)$. + +## PROBLEMA 4 + +Notăm cu $M, N, P, Q, R$ şi $S$ mijloacele segmentele $(B C),(C D),(D E),(E A),(M P)$ respectiv $(N Q)$ dintr-un pentagon convex $A B C D E$. Arătaţi că $R S \| A B$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +## SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +## PROBLEMA 1 + +Rezolvaţi ecuaţia $2^{2^{x}-1}-1=\log _{2}(1+x)$. + +## $\underline{\text { Solutie: }}$ + +Fie $f: \mathbf{R} \rightarrow(-1, \infty), f(x)=2^{x}-1$. + +Ecuaţia se scrie: $\quad f(f(x))=f^{-1}(x)$, de unde $f(f(f(x)))=x$. .2 puncte + +Dacă $f(x)x \Rightarrow f(f(x))>f(x)>x$, de unde $f(f(x))>x$ şi de aici + +$f(f(f(x)))>f(x)>x$, deci $f(f(f(x)))>x$, imposibil. + +Rezultă deci că $f(x)=x, \forall x \in \mathbf{R}$, deci ecuaţ̧ia din enunţ este echivalentă cu $2^{x}-1=x$. + +.2 puncte + +Funcţia $f: \mathbf{R} \rightarrow(-1, \infty), f(x)=2^{x}-1$ este convexă, iar funcţia $g(x)=x$ este liniară. Rezultă că ecuaţia $f(x)=g(x)$ are cel mult 2 soluţii. + +Numerele 0 şi 1 verifică ecuaţia, deci $S=\{0,1\}$ 1 punct. + +## PROBLEMA 2 + +Fie funcţia $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=2 \sin 2 x+8(\sin x+\cos x)+3$. + +Determinaţi imaginea funcţiei $f$. + +## Soluție: + +Notăm $\sin x+\cos x=t \in\lfloor-\sqrt{2}, \sqrt{2}\rfloor$ şi prin ridicare la pătrat: + +$1+\sin 2 x=t^{2}$, de unde $\sin 2 x=t^{2}-1$. + +Rezultă că $f(x)=g(t)=2\left(t^{2}-1\right)+8 t+3=2 t^{2}+8 t+1, t \in\lfloor-\sqrt{2}, \sqrt{2}\rfloor$ + +Avem: $g(-\sqrt{2})=4-8 \sqrt{2}+1=5-8 \sqrt{2}$ + +$$ +g(\sqrt{2})=4+8 \sqrt{2}+1=5+8 \sqrt{2} +$$ + +Funcţia $h: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, h(x)=2 x^{2}+8 x+1$ are minimul $m=h\left(-\frac{8}{4}\right)=h(-2)=-7 \ldots 3$ puncte + +dar $-2 \notin\lfloor-\sqrt{2}, \sqrt{2}\rfloor$. Deci $\operatorname{Im} f=\lfloor 5-8 \sqrt{2}, 5+8 \sqrt{2}\rfloor$ + +## PROBLEMA 3 + +Fie $n \geq 2$ număr natural şi $a, b$ două numere reale pozitive. Să se arate că $n(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}) \leq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+n-2)$ + +## Solutie: + +Scriem $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}$ de $(n-2)$ ori 1 1 punct + +Din inegalitatea mediilor $\left(m_{g} \leq m_{a}\right)$ avem + +$\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots . .1} \leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}+1+1+\ldots+1}{n} \ldots \ldots \ldots \ldots . .3$ puncte + +$\operatorname{deci} \sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots . .1} \leq \frac{2 \sqrt{a}+(n-2)}{n}$ 1 punct + +Aşadar $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b} \leq \frac{2 \sqrt{a}+2 \sqrt{b}+2(n-2)}{n}$ 1 punct de unde obţinem + +$$ +n(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}) \leq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+n-2) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .1 \text { punct } +$$ + +## PROBLEMA 4 + +Notăm cu $M, N, P, Q, R$ şi $S$ mijloacele segmentele $(B C),(C D),(D E),(E A),(M P)$ respectiv $(N Q)$ dintr-un pentagon convex $A B C D E$. Arătaţi că $R S \| A B$. + +Soluție: + +Fie $A(a), B(b), C(c), D(d)$ şi $E(e)$ afixele vârfurilor pentagonului $\qquad$ 1 punct + +Cum $M, N, P, Q, R$ şi $S$ mijloacele segmentele $(B C),(C D),(D E),(E A),(M P)$ respectiv $(N Q) \quad$ atunci $\quad M\left(\frac{c+b}{2}\right), N\left(\frac{d+c}{2}\right), P\left(\frac{e+d}{2}\right), Q\left(\frac{e+a}{2}\right)$ 1,5 puncte şi $R\left(\frac{e+d+c+b}{4}\right), \mathrm{S}\left(\frac{\mathrm{e}+\mathrm{a}+\mathrm{d}+\mathrm{c}}{4}\right)$ + +Pentru a demonstra că $R S \| A B$ verificăm dacă $\frac{b-a}{s-r} \in R^{*}$ unde $s=\frac{e+a+d+c}{4}$ şi $r=\frac{e+d+c+b}{4}$.............................. 1 punct + +Prin calcul obţinem $\frac{b-a}{s-r}=\frac{b-a}{\frac{a-b}{4}}=-4 \in R^{*}$.................... 2 puncte deci $R S \| A B$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-935-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-935-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ab77de41da8d7a33cecca3f5c434daec6232bf7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-935-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,166 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +Clasa a VIII-a + +## PROBLEMA 1 + +Fie $a, b \in$ Rastfel încât $a=b-1$ şi $b \in[1 ; 3]$. Să se arate că: + +$$ +\sqrt{a^{2}+b^{2}-2 b+1}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-4 a-6 b+13}=2 \sqrt{2} +$$ + +## PROBLEMA 2 + +a) Pătratul ABCD şi dreptunghiul ABEF sunt situate in plane perpendiculare. Dacă $A B=40 \mathrm{~cm}, B E=30 \mathrm{~cm}$, aflaţi $d(D, E F)$ şi $d(E, A C)$. + +b) Cubul OLEMPICS are lungimea muchiei $O P=6 \mathrm{~cm}$. + +Calculaţi: i) lungimea diagonalei paralelipipedului dreptunghic format alăturând două astfel de cuburi; + +ii) $d(M,(P L C))$; + +iii) $m(<(O C,(O L E)))$. + +## PROBLEMA 3 + +Fie $E(x, y)=2013 x-2014 y-1$ + +a) Dacă $x \in[-1 ; 1]$ si $y \in[-2 ;-1]$ arătaţi că $E(x ; y) \geq 0$; + +b) Determinaţi numărul divizorilor maximului lui $E(x, y)$. + +## PROBLEMA 4 + +Fie $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare şi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale $\triangle B C D, \triangle A C D$ respectiv $\triangle A B D$. + +a) Arătaţi că planul $\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right)$ este paralel cu planul (ABC); + +b) Demonstraţi că dreptele $A G_{1}, B G_{2}$ şi $C G_{3}$ sunt concurente. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +R OMÂNIA
MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ
OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +Clasa a VIII-a + +Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Fie $a, b \in$ Rastfel încât $a=b-1$ şi $b \in[1 ; 3]$. Să se arate că: + +$$ +\sqrt{a^{2}+b^{2}-2 b+1}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-4 a-6 b+13}=2 \sqrt{2} +$$ + +Solutie: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Avem: } \\ +& \sqrt{a^{2}+b^{2}-2 b+1}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-4 a-6 b+13}= \\ +& \sqrt{a^{2}+(b-1)^{2}}+\sqrt{(a-2)^{2}+(b-3)^{2}}= \\ +& 2 \text { puncte } \\ +& \sqrt{a^{2}+a^{2}}+\sqrt{(a-2)^{2}+(a-2)^{2}}=\sqrt{2 a^{2}}+\sqrt{2(a-2)^{2}}= \\ +& 1 \text { punct } \\ +& |a| \sqrt{2}+|a-2| \sqrt{2}= +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_525364f87c94fe0698dcg-2.jpg?height=74&width=1374&top_left_y=1502&top_left_x=364) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_525364f87c94fe0698dcg-2.jpg?height=71&width=1376&top_left_y=1575&top_left_x=366) + +## PROBLEMA 2 + +a) Pătratul ABCD şi dreptunghiul ABEF sunt situate in plane perpendiculare. Dacă $A B=40 \mathrm{~cm}, B E=30 \mathrm{~cm}$, aflaţi $d(D, E F)$ şi $d(E, A C)$. + +b) Cubul OLEMPICS are lungimea muchiei $O P=6 \mathrm{~cm}$. + +Calculaţi: i) lungimea diagonalei paralelipipedului dreptunghic format alăturând două astfel de cuburi; + +ii) $d(M,(P L C))$; + +iii) $m(<(O C,(O L E)))$. + +(Gazeta Matematică nr.1/2011-Suplimentul cu exercitii) + +Soluție: +a) Figura: +0,50 puncte +$D A \perp(A B E)$ +$\left.\begin{array}{c}\text { Din } E F \subset(A B E) \\ A F \perp F E\end{array}\right\} \underset{\pi_{3} P}{\Rightarrow} D F \perp F E \Rightarrow d(D, E F)=D F=50 \mathrm{~cm}$ $.1,50$ puncte + +## Din + +$$ +\left.\begin{array}{l} +E B \perp(A B C) \\ +A C \subset(A B C) \\ +d u c B O \perp A C +\end{array}\right\} \Rightarrow E O \perp A C \Rightarrow d(E, A C)=E O=10 \sqrt{17} \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots . .1,50 \text { puncte } +$$ + +b) Figura: $.0,50$ puncte + +i) $\mathrm{d}=6 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ 1 punct + +ii) d(M, (PLC)) este înălţimea tetraedrului MPLC ... $.0,50$ puncte, + +$\mathrm{d}(\mathrm{M},(\mathrm{PLC}))=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ $.0,50$ puncte + +iii) În $\triangle O E C \mathrm{dr}, \mathrm{m}(<\mathrm{E})=90^{\circ},(0,50 \mathrm{p}), \sin (<(\mathrm{OC},(\mathrm{OLE})))=\frac{\sqrt{3}}{3}$.... .. 1 punct + +## PROBLEMA 3 + +Fie $E(x, y)=2013 x-2014 y-1$ + +a) Dacă $x \in[-1 ; 1]$ si $y \in[-2 ;-1]$ arătaţi că $E(x ; y) \geq 0$; + +b) Determinaţi numărul divizorilor maximului lui $E(x, y)$. + +Soluție: +a) $-1 \leq x \leq 1=>-2013 \leq 2013 x \leq 2013$ +lpunct +$-2 \leq y \leq-1=>2014 \leq-2014 y \leq 4028$ .1 punct +Adunând aceste relaţii obţinem $1 \leq 2014 x-2015 y \leq 6041$ 1 punct +Iar scăzând din fiecare membru -1 şi obţinem : $0 \leq \mathrm{E}(\mathrm{x} ; \mathrm{y}) \leq 6040$ .. 1 punct +b) $\max . E(x ; y)=6040=2^{3} \cdot 5 \cdot 151$ 1 punct +Demonstraţia că 151 este număr prim 1 punct +Numărul divizorilor este $(3+1) \cdot(1+1) \cdot(1+1)=4 \cdot 2 \cdot 2=16$ divizori +1 punct + +## PROBLEMA 4 + +Fie $A, B, C, D$ patru puncte necoplanare şi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale $\triangle B C D, \triangle A C D$ respectiv $\triangle A B D$. + +a) Arătaţi că planul $\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right)$ este paralel cu planul (ABC); + +b) Demonstraţi că dreptele $A G_{1}, B G_{2}$ şi CG $G_{3}$ sunt concurente. + +Solutie: +a) Fie (BM),(AM) si (BN) mediane in $\triangle B C D, \triangle A C D$ respectiv $\triangle A B D$ iar $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ centrele de greutate ale $\triangle B C D, \triangle A C D$ respectiv $\triangle A B D$. Atunci $\mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2}, \mathrm{G}_{3}$ apartin segmentelor (BM),(AM) si (BN) 1 punct + +Cum $\mathrm{BG}_{1} / \mathrm{BM}=2 / 3, \mathrm{AG}_{2} / \mathrm{AM}=2 / 3 \Rightarrow \mathrm{BG}_{1} / \mathrm{BM}=\mathrm{AG}_{2} / \mathrm{AM} \Rightarrow($ r.t. Thales in $\triangle \mathrm{AMB}) \mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}$ $G_{1} G_{2} \| A B$. Dar $\mathrm{AB} \subset(\mathrm{ABC}) \Rightarrow G_{1} G_{2} \|(A B C)$ (1) ......................... 1 punct + +$\mathrm{BG}_{1} / \mathrm{BM}=\mathrm{BG}_{3} / \mathrm{BN}(=2 / 3) \Rightarrow($ r.t. Thales in $\Delta \mathrm{BMN}) G_{1} G_{3} \| M N$ dar $(\mathrm{MN})$ linie mijlocie in $\Delta \mathrm{ACD} \Rightarrow M N\left\|A C \Rightarrow G_{1} G_{3}\right\| A C$ dar $\mathrm{AC} \subset(\mathrm{ABC}) \Rightarrow G_{1} G_{3} \|(A B C)$ 1 punct + +dar $\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{3}, \mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}$ sunt drepte concurente din planul $\left(\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2} \mathrm{G}_{3}\right) \Rightarrow\left(G_{1} G_{2} G_{3}\right) \|(A B C)$...1 punct + +b) In $\triangle \mathrm{AMB}, \mathrm{AG}_{1} \cap \mathrm{BG}_{2}=\{\mathrm{P}\}, \mathrm{G}_{2} \mathrm{P} / \mathrm{PB}=1 / 3$. Presupunem ca, $\mathrm{CG}_{3} \cap \mathrm{BG}_{2}=\{\mathrm{P} '\}$ 1 punct In $\triangle \mathrm{CNB} \quad \mathrm{G}_{2} \mathrm{P}^{\prime} / \mathrm{P}$ ' $\mathrm{B}=1 / 3 \Rightarrow$ exista doua puncte in interiorul $\left(\mathrm{BG}_{2}\right)$ care il impart in raportul $1 / 3$ absurd. .1 punct + +Deci presupunerea facuta este falsa $\Rightarrow \mathrm{AG}_{1}, \mathrm{BG}_{2}$ si $\mathrm{CG}_{3}$ concurente in $\mathrm{P}$ astfel incat $\mathrm{G}_{2} \mathrm{P} / \mathrm{PB}=1 / 3$. 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-936-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-936-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..693dfa985cdc33eafd8d4d45d8722fea0ce5fa0b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-936-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,131 @@ +R OMÂNIA + +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +Clasa a VII-a + +## PROBLEMA 1 + +Să se determine valorile intregi ale lui $x$, pentru care valoarea expresiei $E(x)=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}+\sqrt{6-4 \sqrt{2}}}{x-7}$ este număr intreg. + +## PROBLEMA 2 + +Determinaţi numărul raţional a, ştiind că $\left(\frac{1}{\sqrt{9+4 \sqrt{5}}}+\frac{1}{\sqrt{9-4 \sqrt{5}}}\right) \cdot a+\sqrt{5}$ este număr raţional. + +## PROBLEMA 3 + +a) Demonstraţi că $\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}, \forall n, k \in N$ + +b) Se dau numerele: + +$$ +a=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{3}{5 \cdot 8}+\frac{4}{8 \cdot 12}+\frac{5}{12 \cdot 17}+\frac{6}{17 \cdot 23}+\frac{7}{23 \cdot 30} \quad \text { si } \quad b=3+8+13+\ldots+10018 +$$ + +Arătaţi că numărul $I=\sqrt{15 a+\frac{b}{1002}} \in R-Q$. + +## PROBLEMA 4 + +Fie ABC un triunghi oarecare. Poate fi împărţit acest triunghi in 16384 de triunghiuri congruente? Justificaţi. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +## SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a VII-a + +## Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Să se determine valorile intregi ale lui $x$, pentru care valoarea expresiei $E(x)=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}+\sqrt{6-4 \sqrt{2}}}{x-7}$ este număr intreg. + +## Solutie: + +$$ +\begin{aligned} +& E(x)=\frac{|1-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-\sqrt{5}|+|1-\sqrt{2}|+|3-\sqrt{5}|+|2-\sqrt{2}|}{x-7}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . .2 \text { puncte } \\ +& =\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-1+3-\sqrt{5}+2-\sqrt{2}}{x-7} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ +& E(x)=\frac{3}{x-7} \in Z \text { dacă }(x-7) \mid 3 \text {, de unde } x-7 \in\{-3 ;-1 ; 1 ; 3\} \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . .2 \text { puncte } \\ +& \text { rezultă că } x \in\{4 ; 6 ; 8 ; 10\} +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 2 + +Determinaţi numărul raţional $a$, ştiind că $\left(\frac{1}{\sqrt{9+4 \sqrt{5}}}+\frac{1}{\sqrt{9-4 \sqrt{5}}}\right) \cdot a+\sqrt{5}$ este număr raţional. + +## Solutie: + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\frac{1}{\sqrt{9+4 \sqrt{5}}}+\frac{1}{\sqrt{9-4 \sqrt{5}}}\right) \cdot a+\sqrt{5}=\frac{a}{\sqrt{(\sqrt{5}+2)^{2}}}+\frac{a}{\sqrt{(\sqrt{5}-2)^{2}}}+\sqrt{5}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2 \text { puncte } \\ +& =\frac{a}{|\sqrt{5}+2|}+\frac{a}{|\sqrt{5}-2|}+\sqrt{5}=\frac{a}{\sqrt{5}+2}+\frac{a}{\sqrt{5}-2}+\sqrt{5}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +atunci $\mathrm{a}=-\frac{1}{2}$ număr raţional. + +## PROBLEMA 3 + +a) Demonstraţi că $\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}, \forall n, k \in N$ + +b) Se dau numerele: + +$a=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{3}{5 \cdot 8}+\frac{4}{8 \cdot 12}+\frac{5}{12 \cdot 17}+\frac{6}{17 \cdot 23}+\frac{7}{23 \cdot 30}$ si $b=3+8+13+\ldots+10018$. + +Arătaţi că numărul $I=\sqrt{15 a+\frac{b}{1002}} \in R-Q$. + +## Solutie: + +a) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}=\frac{n+k-n}{n(n+k)}=\frac{k}{n \cdot(n+k)}, \forall n, k \in N$ + +b) $a=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{3}{5 \cdot 8}+\frac{4}{8 \cdot 12}+\frac{5}{12 \cdot 17}+\frac{6}{17 \cdot 23}+\frac{7}{23 \cdot 30}=$ + +$$ +\begin{aligned} +& =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{17}+\frac{1}{17}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{30}= \\ +& =\frac{1}{2}-\frac{1}{30}=\frac{7}{15} +\end{aligned} +$$ + +$b=3+8+13+\ldots+10018=3+(5 \cdot 1+3)+(5 \cdot 2+3)+\ldots+(5 \cdot 2003+3) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . .1 p u n c t$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7526994b0dcc2f040d6ag-3.jpg?height=54&width=1537&top_left_y=1618&top_left_x=248) + +$15 a+\frac{b}{1002}=10028$ care nu este pătrat perfect..................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7526994b0dcc2f040d6ag-3.jpg?height=125&width=1559&top_left_y=1828&top_left_x=243) + +## PROBLEMA 4 + +Fie ABC un triunghi oarecare. Poate fi împărţit acest triunghi în 16384 de triunghiuri congruente? Justificaţi. + +## Solutie: + +Fie $M, N, P$ mijloacele laturilor $B C, C A$, respectiv $A B \operatorname{din} \triangle A B C$ lpunct + +Obţinem $\Delta \boldsymbol{A P N} \equiv \Delta \boldsymbol{B P} \equiv \Delta \boldsymbol{C M N} \equiv \Delta \boldsymbol{P} \boldsymbol{M} \boldsymbol{N}$, conform cazului L.L.L. 2 puncte + +Prin acelaşi procedeu fiecare din cele 4 triunghiuri se vor împărţi fiecare în câte alte 4 triunghiuri congruente, se obţin $4^{2}$ triunghiuri congruente 1 punct În continuare fiecare din cele $4^{2}$ triunghiuri congruente se va împărţi în câte 4 triunghiuri congruente, rezultă $4^{3}$ triunghiuri congruente 1 punct + +Procedeul se continuă, până obţinem $4^{7}=16384$ triunghiuri congruente... + +2 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-937-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-937-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4b6e81fe9fc03a7e9d58a8f1572d4dce8b7e377e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-937-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +## PROBLEMA 1 + +Aflaţi numerele naturale a şi b ştiind că $[a, b]$ este de 15 ori mai mare decât (a,b) şi $5 a+3 b=150$. Am notat cu $[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi cu $(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor a şi $b$. + +## PROBLEMA 2 + +a)Fie numerele $a=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots+\frac{2013}{2014}$ si $b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2014}$. Arătaţi că $\frac{a+b}{3} \in N$. + +b)Calculaţi $S=7+14+21+\ldots+364$ şi arătaţi că $53 / S$. + +## PROBLEMA 3 + +Cu 6 ani în urmă vârsta fiicei era egală cu 0,2 din vârsta mamei, iar peste 9 ani vârsta fiicei va fi 0,5 din vârsta pe care o va avea mama. Câţi ani are fiecare in prezent? + +## PROBLEMA 4 + +Dreptele $A B$ şi CD sunt concurente în $O$. Ştiind că semidreptele [OM, [OT, [OR sunt bisectoarele unghiurilor BOD, DOM si respectiv $\quad C O B$, iar $m(A O M)=130^{\circ}$, calculaţi: +a) $m(\quad R O M)$ şi $m(\quad A O D)$; + +b)măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOC şi BOR. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +## SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +## Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Aflaţi numerele naturale a şi $b$ ştiind că $[a, b]$ este de 15 orimai mare decât $(a, b)$ şi $5 a$ $+3 b=150$. Am notat cu $[a, b]$ cel mai mic multiplu comun şi cu $(a, b)$ cel mai mare divizor comun al numerelor a şi $b$. + +Gazeta Matematică + +## Solutie: + +Fie $(a, b)=d$, atunci $\mathrm{a}=\mathrm{d} \cdot \mathrm{x}, \mathrm{b}=\mathrm{d} \cdot \mathrm{y}$, unde $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{N}$ şi $(x, y)=1$........................... lpunct + +Din $a \cdot b=(a, b) \cdot[a, b]$ şi $[a, b]=15 \cdot \mathrm{d}$, obţinem $\mathrm{d} \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{d} \cdot \mathrm{y}=15 \cdot \mathrm{d}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . . .2$ puncte + +$\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}=15 \Rightarrow(x, y) \in\{(1 ; 15) ;(15 ; 1) ;(3 ; 5) ;(5 ; 3)\}$............................................. 2 puncte + +Prin înlocuire în relaţia $5 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}=150$ obţinem $\mathrm{d} \in\{3 ; 5\}$......................................... lpunct + +Finalizare: $(a, b) \in\{(3 ; 45) ;(15 ; 45)\}$...................................................... 1 punct + +## PROBLEMA 2 + +a) Fie numerele $a=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\ldots .+\frac{2013}{2014}$ şi $a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots .+\frac{1}{2014}$. Arătaţi că $\frac{a+b}{3} \in N$ + +b) Calculaţi $S=7+14+21+\ldots .+364$ şi arătaţi că $53 \mid S$. + +## Solutie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6a3c6f667f5f63465e11g-2.jpg?height=125&width=1533&top_left_y=2256&top_left_x=227) +$\frac{a+b}{3}=671 \in N$ 1 punct + +b) $S=7+14+21+\ldots .+364=7 \cdot \frac{52 \cdot 53}{2}$ 2 puncte finalizare $S=9636 \mathrm{M} 3$ 1 punct + +## PROBLEMA 3 + +Cu 6 ani în urmă vârsta fiicei era egală cu 0,2 din vârsta mamei, iar peste 9 ani vârsta fiicei va fi 0,5 din vârsta pe care o va avea mama. Câţi ani are fiecare in prezent? + +## Solutie: + +Stabilirea necunoscutelor: $f$ - vârsta fiicei în prezent şi $m$ - vârsta mamei în prezent şi formarea relaţiilor + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_6a3c6f667f5f63465e11g-3.jpg?height=74&width=1408&top_left_y=637&top_left_x=241) + +Exprimăm necunoscuta $f$ din ambele relaţii $f=\frac{m-6}{5}+6$ respectiv $f=\frac{m+9}{2}-9 \ldots . . .2$ puncte + +Egalând obţinem $\frac{m-6}{5}+6=\frac{m+9}{2}-9 \Rightarrow m=31$ ani 2 puncte + +Deci $f=\frac{m-6}{5}+6=11$ ani + +1 punct + +## PROBLEMA 4 + +Dreptele $A B$ şi CD sunt concurente in O. Şiind că semidreptele [OM, [OT, [OR sunt bisectoarele unghiurilor $\angle B O D, \angle D O M$ şi respectiv $\angle C O B$, iar $m(\angle A O M)=130^{\circ}$, calculaţi: +a) $m(\angle R O M)$ şi $m(\angle A O D)$; + +b)măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor $\angle A O C$ şi $\angle B O R$. + +## Solutie: + +a) +Desen. lpunct +$m(\angle R O M)=90^{\circ}$ ..... lpunct +$m(\angle A O D)=30^{\circ}$ ..... lpunct +b) Notarea bisectoarelor şi explicare ..... 2 puncte +$\angle A O C \equiv \angle D O B$ (opuse la vârf). ..... lpunct +Finalizare lpunct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-938-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-938-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06d9fd668c63ef1ba0472cfee8fbe014124d5abf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-938-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,168 @@ +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a V-a + +## PROBLEMA 1 + +Se dau numerele + +$x=\left\lfloor 3^{121}: 9^{60}+\left(5^{3}\right)^{2}:\left(5^{2}\right)^{2}\right\rfloor: 2^{2} \cdot 3-3$ si $y=100:\left\{23+34:\left\lfloor\left(2 \cdot 3^{2}\right)^{2}: 18-34^{0} \cdot 1^{2013}\right\}\right\}$ + +a)Comparaţi numerele $3^{x}$ şi $5^{y}$ + +b)Demonstraţi că $x^{2013}+y^{2014}$ nu este pătrat perfect. + +## PROBLEMA 2 + +Se consideră numerele naturale nenule $x, y$, z. Impărţind pe $x$ la $y$ obţinem câtul 4 şi restul 3. Împărţind pe y la $z$ obţinem câtul 5 şi restul 4 . + +a) Arătaţi că $x \geq 100$. + +b) Determinaţi numerele $x, z, y$ ştiind că $x+y+z=153$. + +## PROBLEMA 3 + +a) Arătaţi că $\frac{\overline{x x 9}+\overline{8 x}+7}{\overline{x 9 x}+\overline{x 6}} \in N$, unde $x$ este cifră în baza 10 . + +b) Calculaţi $2014-(2013 \cdot 2012+2013): 2013^{2}$. + +## PROBLEMA 4 + +Se dau mulţimile : $A=\left\{x \in N^{*} \mid 2^{*} x \leq 8\right\}$, + +$$ +\begin{aligned} +& B=\left\{x \in N^{*} \mid x=2^{n-1}, n \in A\right\}, \\ +& C=\{x \in N \mid x=m-n, m \in B, n \in A, m>n\} . +\end{aligned} +$$ + +a) Determină elementele mulţimilor $A, B$ şi $C$; + +b) Determină elementele mulţimii $A \cap B \cap C$; + +c) Stabileşte valoarea de adevăr a propoziţiei: "Mulţimea $(A \cup B \cup C) \backslash(A \cap B \cap C)$ conţine numai numere consecutive." + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +R O M Â N I A
MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ
Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190
E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE \$̧TIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a V-a + +Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Se dau numerele + +$x=\left\lfloor 3^{121}: 9^{60}+\left(5^{3}\right)^{2}:\left(5^{2}\right)^{2}\right\rfloor: 2^{2} \cdot 3-3$ si $y=100:\left\{23+34:\left\lfloor\left(2 \cdot 3^{2}\right)^{2}: 18-34^{0} \cdot 1^{2013}\right\}\right\}$ + +a)Comparaţi numerele $3^{x}$ şi $5^{y}$ + +b)Demonstraţi că $x^{2013}+y^{2014}$ nu este pătrat perfect. + +Soluție: +a) $x=18$ + +2 puncte + +$y=4$ + +2 puncte + +$3^{x}=27^{6}, 5^{y}=625$ 1 puncte + +Deci $3^{x}>5^{y}$ + +$.0,5$ puncte +b) $x^{2013}+y^{2014}=18^{2013}+4^{2014}=(16+2)^{2013}+4^{2014}=$ $\qquad$ $=4 p+2$ 1 punct + +Deci $x^{2013}+y^{2014}$ nu este pătrat perfect $\qquad$ $.0,5$ puncte + +## PROBLEMA 2 + +Se consideră numerele naturale nenule $x, y$, z.Împărţind pe $x$ la $y$ obţinem câtul 4 şi restul 3 . Împărţind pe y la $z$ obţinem câtul 5 şi restul 4. + +a) Arătaţi că $x \geq 100$. + +b) Determinaţi numerele $x, z, y$ ştiind că $x+y+z=153$. + +G.M.nr. 4 E: 14479 + +Solutie: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_68bbee96daead035d7c1g-2.jpg?height=57&width=1031&top_left_y=2290&top_left_x=244) + +$$ +\begin{aligned} +& y=5 z+4 ; z>4 \text {.................................................. } 5 \text {, puncte } \\ +& y>24 \Rightarrow 4 y>96 \Rightarrow 4 y+3>99 \Leftrightarrow x>99 \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . . . .1 \text { punct } \\ +& \mathrm{x}>99, \mathrm{x} \in \mathbb{N} \Rightarrow \mathrm{x} \geq 100 \text {................................................. punct } \\ +& \text { b) } \quad(4 \mathrm{y}+3)+\mathrm{y}+\mathrm{z}=153 \text {........................................................ } 1 \text { punct } \\ +& \begin{array}{c} +5 \mathrm{y}+\mathrm{z}=150 \Rightarrow 5 \cdot(5 \mathrm{z}+4)+\mathrm{z}=150 \Rightarrow \mathrm{z}=5 \text {................... } 1 \text { punct } \\ +\mathrm{y}=29 ; \mathrm{x}=119 \quad \text {......................................... } +\end{array} +\end{aligned} +$$ + +## PROBLEMA 3 + +a) Arătaţi că $\frac{\overline{x x 9}+\overline{8 x}+7}{\overline{x 9 x}+\overline{x 6}} \in N$, unde $x$ este cifră în baza 10 . + +b) Calculaţi $2014-(2013 \cdot 2012+2013): 2013^{2}$. + +Soluție: + +a) + +Calculează numărătorul şi obţine $100 x+10 x+9+8 \cdot 10+x+7=111 x+96 \ldots . . . . .1$ punct + +Calculează numitorul şi obţine $100 x+9 \cdot 10+x+10 x+6=111 x+96$ 1 punct + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_68bbee96daead035d7c1g-3.jpg?height=131&width=1199&top_left_y=757&top_left_x=243) + +b) + +Scoaterea factorului comun din paranteză 2014 - 2013(2012+1): $2013^{2}$ 1 punct + +2014-2013.2013:2013 ${ }^{2}$ $\qquad$ 1 punct + +Finalizare $2014-1=2013$ $\qquad$ 1 punct + +## PROBLEMA 4 + +Se dau mulţimile : $A=\left\{x \in N^{*} \mid 2^{*} x \leq 8\right\}$, + +$$ +\begin{aligned} +& B=\left\{x \in N^{*} \mid x=2^{n-1}, n \in A\right\}, \\ +& C=\{x \in N \mid x=m-n, m \in B, n \in A, m>n\} . +\end{aligned} +$$ + +a) Determină elementele mulţimilor $A, B$ şi $C$; + +b) Determină elementele mulţimii $A \cap B \cap C$; + +c) Stabileşte valoarea de adevăr a propoziţiei: "Mulţimea $(A \cup B \cup C) \backslash(A \cap B \cap C)$ conţine numai numere consecutive." + +## Soluție: + +$2 \cdot \mathrm{x} \leq 8$ si $\mathrm{x} \in \mathrm{N}^{*} \Rightarrow \mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$ $\qquad$ 1 punct +$\mathrm{x}=2^{\mathrm{n}-1}, \mathrm{n} \in \mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}=\{1,2,4,8\}$ $\qquad$ 1 punct +$x=m-n, m \in B, n \in A, m>n \Rightarrow C=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ $\qquad$ 1 punct +$\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\{1,2,4\}$ $\qquad$ 1 punct +$\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 1 punct +$(\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}) \backslash(\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\{3,5,6,7,8\}$ $\qquad$ 1 punct + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-939-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-939-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2f6cbbb1b87c91a69e48fc6ea6a9ad96e5ab9ece --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-939-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,140 @@ +# R O M Â N I A + +MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE + +INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ + +Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190 + +E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +## SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +Clasa a IX-a + +## PROBLEMA 1 + +Demonstraţi că sirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă: + +$$ +a_{1}+2 a_{2}+2 a_{3}+\quad+2 a_{n-1}+a_{n}=(n-1)\left(a_{1}+a_{n}\right), \forall n \in N, n \geq 3 +$$ + +## PROBLEMA 2 + +Rezolvaţi in mulţimea numerelor reale ecuaţia $\{x\}-\{2014 \mathrm{x}\}=x$. + +## PROBLEMA 3 + +Arătaţi că: + +a) $x^{3}-3 x+2 \geq 0, \forall x \in[0, \infty)$ + +b) Dacă $a, b, c \in(0, \infty)$ şi $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq 3$, atunci $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$. + +## PROBLEMA 4 + +Pe cercul $\mathcal{C}$ de centru $O$ se consideră punctele distincte $A, B, C$. Demonstraţi că dacă $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=|\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}|$ atunci $A B=B C=C A$. + +Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. Punctajul maxim acordat pentru fiecare problemă este de 7 puncte. + +R O M Â N I A
MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI SĂLAJ
Loc. Zalău, str. Unirii, nr. 2, Tel: 0260-661391, Fax.: 0260-619190
E-mail: isjsalaj@isj.sj.edu.ro + +# SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE - filiala SĂLAJ + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ + +Etapa locală, 14 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +Barem de evaluare şi notare + +## PROBLEMA 1 + +Demonstraţi că sirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă: + +$$ +a_{1}+2 a_{2}+2 a_{3}+\quad+2 a_{n-1}+a_{n}=(n-1)\left(a_{1}+a_{n}\right), \forall n \in N, n \geq 3 +$$ + +$\underline{\text { Solutie: }}$ + +Demonstraţi că sirul $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este o progresie aritmetică dacă ̧̧i numai dacă: + +$$ +a_{1}+2 a_{2}+2 a_{3}+\quad+2 a_{n-1}+a_{n}=(n-1)\left(a_{1}+a_{n}\right), \forall n \in N, n \geq 3 +$$ + +$" \Rightarrow "\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ progresie aritmetică, $a_{1}+2 a_{2}+2 a_{3}+\ldots+2 a_{n-1}+a_{n}=$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_187c8bed98ab9a597fc6g-2.jpg?height=66&width=1490&top_left_y=1572&top_left_x=246)$\qquad$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_187c8bed98ab9a597fc6g-2.jpg?height=54&width=1471&top_left_y=1749&top_left_x=247) + +$\mathrm{a}_{1}+2 \mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{3}=2\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3}\right) \Leftrightarrow a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}=r \Rightarrow \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}$ sunt in progresie aritmetică de rație, deci $\mathrm{P}(3)$ este adevarată. + +Fie $\mathrm{n} \geq 3$. Presupunem $P(n)$ adevarată, deci $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{r}$. Scădem egalitatea din ipoteza pentru $n$ termeni din cea pentru $n+1$ termeni și obținem + +$a_{n}+a_{n+1}=a_{1}+n a_{n+1}-(n-1) a_{n} \Leftrightarrow a_{n}+a_{n+1}=a_{n}-(n-1) r+n a_{n+1}-(n-1) a_{n}$ + +$\Leftrightarrow \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\mathrm{r}$, deci $P(n+1)$ este adevarată................................... 2 punct + +$P(n)$ este adevarată $\forall n \in N, n \geq 3$, deci $\left(a_{n}\right)_{n \in N^{*}}$ este progresie aritmetică. + +## PROBLEMA 2 + +Rezolvaţi î mulţimea numerelor reale ecuaţia $\{x\}-\{2014 \mathrm{x}\}=x$. + +$\underline{\text { Solutie: }}$ + +Ecuaţia se scrie sub forma $\{2014 x\}=-[x] \quad$....................... 1 punct + +Deoarece $\{2014 \mathrm{x}\} \in[0,1)$, rezultă că $[x] \in(-1,0]$ + +Atunci $[x]=0$, de unde $x \in[0,1)$ + +Astfel $\{2014 x\}=0$, deci $2014 x=k \in Z$, de unde $x=\frac{k}{2014} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2$ puncte + +Soluţiile ecuaţiei sunt de forma $x=\frac{k}{2014}$, unde $k \in\{0,1, \ldots, 2013\} \ldots \ldots \ldots . .2$ puncte + +## PROBLEMA 3 + +Arătaţi că: + +a) $x^{3}-3 x+2 \geq 0, \forall x \in[0, \infty)$ + +b) Dacă $a, b, c \in(0, \infty)$ şi $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq 3$, atunci $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$. + +Soluție: + +a) $x^{3}-3 x+2=(x-1)\left(x^{2}-x-2\right)=(x-1)^{2}(x+2) \geq 0, \forall x \geq 0$ cu egalitate pentru $x=1$ 3 puncte + +b) $x^{3}-3 x+2 \geq 0$ rezultă $x^{3} \geq 3-\frac{2}{x}, \forall x \in(0,+\infty) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ puncte + +$\operatorname{deci}\left\{\begin{array}{l}a^{2} \geq 3-\frac{2}{a} \\ b^{2} \geq 3-\frac{2}{b} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ c^{2} \geq 3-\frac{2}{c}\end{array}\right.$ + +de unde prin adunare $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 9-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 9-2 \cdot 3=3 \ldots \ldots \ldots .1$ punct + +## PROBLEMA 4 + +Pe cercul $\mathcal{C}$ de centru $O$ se consideră punctele distincte $A, B, C$. Demonstraţi că dacă $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}|=|\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}|$ atunci $A B=B C=C A$. + +Solutie: + +Avem $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O E} ; \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$ (se construiesc paralelogramele OAEB şi OBFC + +(sunt romburi)) $\Rightarrow O E=O F$.... + +3 puncte + +$\Rightarrow \triangle O B F \equiv \triangle O B E(L . L . L) \Rightarrow \Varangle E O B \equiv \Varangle F O B \Rightarrow \Varangle A O B \equiv \Varangle B O C \Rightarrow A B=B C$ + +Analog se arată că $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ deci rezultă concluzia. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_187c8bed98ab9a597fc6g-4.jpg?height=480&width=554&top_left_y=271&top_left_x=337) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-94-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-94-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6198f136d2c6f29043feb04efd66f048b2212bb2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-94-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,54 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016 + +## CLASA a VII-a + +Subiectul 1. Determinaţi numerele naturale $\overline{a b}$ care verifică relaţia $\sqrt{a+\sqrt{\overline{a b}}}=a$. + +Subiectul 2. Se dau numerele $a=\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{3}{5 \cdot 8}+\ldots+\frac{20}{192 \cdot 212} \quad$ şi $b=1+6+11+16+\ldots+2016$. Arătaţi că $\sqrt{212 \cdot a+\frac{b}{2017}-1} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$. + +Subiectul 3. În triunghiul $\mathrm{ABC}$, dreptunghic în $\mathrm{A}, \mathrm{AD}$ este înălţime cu $\mathrm{D} \in \mathrm{BC}$, iar $E \in(D C)$ astfel încât $\varangle C A E \equiv \varangle D A E$. Perpendiculara în $E$ pe BC intersectează (AC) în F, iar paralela prin $E$ la $A C$ intersectează $A D$ în G. Să se arate că: + +a. AGEF este romb; +b. $D G \cdot A C=A D \cdot A G$. + +Subiectul 4. Fie $A B C D$ un pătrat și punctele $E \in(B C), F \in(C D)$ astfel încât $[B E] \equiv[C F]$. Dacă $A C \cap B F=\{G\}$ şi $A E \cap B D=\{H\}$ să se arate că: +a. $A E \perp B F$ +b. $G H \perp A B$ + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016 + +CLASA a VII-a + +Bareme + +## Subiectul 1. + +| | $\sqrt{a+\sqrt{a b}}=a \Leftrightarrow \sqrt{\overline{a b}}=a^{2}-a$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $a^{2}-a$ este număr natural $\Rightarrow \overline{a b}$ este pătrat perfect | 1p | +| Se studiază cazurile posibile si se obţine $\overline{a b}=36$ | 2p | + +## Subiectul 2. + +| | $a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{192}-\frac{1}{212}=\frac{1}{2}-\frac{1}{212}=\frac{105}{212}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| $b=1+(1+5)+(1+2 \cdot 5)+(1+3 \cdot 5)+\ldots+(1+403 \cdot 5)$
$b=404+5 \cdot \frac{403 \cdot 404}{2}=202 \cdot 2017$ | $\mathbf{2 p}$ | | +| | $212 \cdot a+\frac{b}{2017}-1=306$ nu este pătrat perfect (justificare) şi finalizarea | $3 p$ | + +## Subiectul 3. + +| a. | AGEF paralelogram
AGEF romb | $\mathbf{3 p}$ | +| :--- | :--- | :---: | +| b. | $\left(\right.$ AE bisectoare $\Rightarrow \frac{D E}{E C}=\frac{A D}{A C}$ | $\mathbf{4 p}$ | +| | $G E \\| A C \Rightarrow \frac{D G}{G A}=\frac{D E}{E C}$ şi concluzia | | + +## Subiectul 4. + +| a. | $\triangle A B E \equiv \triangle B C F \Rightarrow \varangle B A E \equiv \varangle C B F$
$m(\varangle E B M)+m(\varangle M E B)=m(\varangle E A B)+m(\varangle A E B)=90^{\circ} \Rightarrow m(\varangle E M B)=90^{\circ}$
Am notat cu M intersectia dreptelor AE şi BF | $3 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b. | În triunghiul $\mathrm{ABG}$, $\mathrm{AM}$ şi $\mathrm{BO}$ sunt înălţimi, deci $\mathrm{H}$ este ortocentru, rezultă $G H \perp A B$ | $4 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-940-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-940-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..21c8c4602c2a6a4707c42db31f96a6a564258178 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-940-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,124 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2014 + +## Clasa a XII-a + +Problema 1. Calculaţi $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin 2 x} d x$. + +Problema 3. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup cu $2 n$ elemente şi $H$ un subgrup al său cu $n$ elemente, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$. Arătaţi că $x^{2} \in H$, pentru orice $x \in G$. + +$$ +[* * *] +$$ + +Problema 3. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup finit şi $H$ un subgrup propriu, necomutativ, al său. Arătaţi că există două elemente distincte din $G \backslash H$ care comută. + +Gazeta Matematică $n r .9 / 2013$ + +Problema 4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă şi strict crescătoare şi $\left(c_{n}\right)_{n>1}$ un şir mărginit de numere reale. + +Arătaţi că $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=0$ dacă şi numai dacă $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x+c_{n}\right) d x=\int_{0}^{1} f(x) d x$. + +Florian Dumitrel, Slatina + +NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT + +## Etapa locală - 16 februarie 2014 + +CLASA A XII-A + +Problema 1. Calculaţi $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin 2 x} d x$. + +Florian Dumitrel + +Soluţie. Cu schimbarea de variabilă + +$$ +\varphi:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad x=\varphi(t)=\frac{\pi}{2}-t +$$ + +obţinem + +$$ +\begin{aligned} +I & =\int_{\varphi\left(\frac{\pi}{2}\right)}^{\varphi(0)} \frac{x}{1+\sin 2 x} d x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\frac{\pi}{2}-t}{1+\sin (\pi-2 t)}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)^{\prime} d t= \\ +& =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-t}{1+\sin 2 t} d t=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin 2 t} d x-I +\end{aligned} +$$ + +Prin urmare, $I=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin 2 t} d t$. + +Notăm $J(a)=\int_{0}^{a} \frac{1}{1+\sin 2 t} d x, a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$; avem: + +$$ +\begin{aligned} +J(a) & =\int_{0}^{a} \frac{1}{1+\sin 2 t} d t=\int_{0}^{a} \frac{1+\operatorname{tg}^{2} t}{(1+\operatorname{tg} t)^{2}} d t=\int_{0}^{a} \frac{(1+\operatorname{tg} t)^{\prime}}{(1+\operatorname{tg} t)^{2}} d t= \\ +& =-\left.\frac{1}{1+\operatorname{tg} t}\right|_{0} ^{a}=1-\frac{1}{1+\operatorname{tg} a} +\end{aligned} +$$ + +$\operatorname{Cum} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin 2 t} d t=\lim _{a \uparrow \frac{\pi}{2}} J(a)=1$, deducem că $I=\frac{\pi}{4}$. + +Problema 2. Fie $(G, \cdot)$ un grup cu $2 n$ elemente şi $H$ un subgrup al său cu $n$ elemente. Să se arate că $x^{2} \in H$ pentru orice $x \in G$. + +Soluţie. Presupunem că există $a \in G$ cu $a^{2} \in G \backslash H$ (este clar că $a \in G \backslash H$ ). Funcţia + +$$ +f: H \rightarrow G \backslash H, f(x)=a x +$$ + +este injectivă şi, cum $|H|=|G \backslash H|=n$, rezultă că este şi surjectivă. Atunci există $x_{0} \in H$ astfel încât $f\left(x_{0}\right)=a^{2}$, adică $a x_{0}=a^{2}$, de unde $a=x_{0} \in H$, contradicţie. Aşadar, $x^{2} \in H$ pentru orice $x \in G$. + +Problema 3. Fie $(G, \cdot)$ un grup finit şi $H$ un subgrup propriu, necomutativ, al său. Arătaţi că există două elemente distincte $\operatorname{din} G \backslash H$ care comută. + +Gazeta Matematică $n$. 9/2013 + +Soluţie. Deoarece $H$ este subgrup propriu al lui $G$, avem $|H| \geq 2$ şi $G \backslash H \neq \varnothing$, deci există $a \in G \backslash H$. + +Aplicaţia $\varphi: H \rightarrow G \backslash H, \varphi(x)=a x$ este injectivă şi atunci $|G \backslash H| \geq|H| \geq 2$, adică $G \backslash H$ are cel puţin două elemente distincte. + +Presupunem prin absurd că oricare elemente distincte $\operatorname{din} G \backslash H$ nu comută între ele. Pentru orice $b \in G \backslash H$ avem $b^{-1} \in G \backslash H$. Dacă am avea $b \neq b^{-1}$ ar rezulta că $b b^{-1} \neq b^{-1} b$, adică $e \neq e$, contradicţie. Deci $b=b^{-1}$, ceea ce înseamnă că $b^{2}=e$ (e este elementul neutru al grupului $G$ ). + +Fie $b \in G \backslash H$ şi $h \in H$. Atunci $b h \in G \backslash H$; obţinem $b h=(b h)^{-1}=h^{-1} b^{-1}=h^{-1} b$, de unde + +$$ +b h b=h^{-1} +$$ + +Fie acum $x, y \in H$ şi $b \in G \backslash H$. Folosind relaţia $(*)$, avem + +$$ +b x y=b x b \cdot b y b \cdot b=x^{-1} y^{-1} b=(b y x)^{-1}=b y x +$$ + +de unde obţinem $x y=y x$, în contradicţie cu faptul că $H$ este grup necomutativ. + +Problema 4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie continuă şi strict crescătoare şi $\left(c_{n}\right)_{n>1}$ un şir mărginit de numere reale. + +Arătaţi că $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=0$ dacă şi numai dacă $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x+c_{n}\right) d x=\int_{0}^{1} f(x) d x$. + +Soluţie. $(\Rightarrow)$ Vom arăta că $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x+c_{n}\right) d x=\int_{0}^{1} f(x) d x$. + +Florian Dumitrel + +Funcţia $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$ este primitivă a lui $f$. Deoarece $F$ este continuă şi + +$$ +\int_{0}^{1} f\left(x+c_{n}\right) d x=\int_{c_{n}}^{c_{n}+1} f(t) d t=F\left(c_{n}+1\right)-F\left(c_{n}\right) +$$ + +rezultă că $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x+c_{n}\right) d x=F(1)-F(0)=\int_{0}^{1} f(x) d x$. + +$(\Leftarrow)$ Vom demonstra acum că orice subşir convergent al şirului mărginit $\left(c_{n}\right)_{n>1}$ are limita 0 , de unde va rezulta că $c_{n} \rightarrow 0$. Fie $\left(c_{k_{n}}\right)_{n \geq 1}$ un subşir convergent al şirului $\left(c_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $c=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{k_{n}}$. Să presupunem că $c \neq 0$, de exemplu $c>0$. Din faptul că $f$ este strict crescătoare rezultă că $f(x+c)>f(x)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$; obţinem + +$$ +\int_{0}^{1} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x+c_{k_{n}}\right) d x=\int_{0}^{1} f(x+c) d x>\int_{0}^{1} f(x) d x +$$ + +contradicţie. Deci $c=0$. + +Observaţie. Este suficient ca $f$ să fie doar strict crescătoare, caz în care pentru a demonstra implicaţia $(\Leftarrow)$ se foloseşte criteriul lui Lebesgue de integrabilitate. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-941-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-941-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76f851286b22ccc100c039a20188d014a0d27adf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-941-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,150 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2014 + +## Clasa a XI-a + +Problema 1. Calculaţi $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x)^{\cos x}-\cos 2 x}{x^{2}}$. + +Florian Dumitrel, Slatina + +Problema 2. Matricele $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ verifică relaţia $I_{2}+3 A B=2 B A$. + +Arătaţi că $\operatorname{det}(A B-B A)=0$. + +Florin Nicolaescu, Bals + +Problema 3. Se consideră şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ şi + +$$ +a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+\frac{n}{n+1}}, \text { pentru orice } n \geq 1 +$$ + +Arătaţi că $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent şi determinaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +Florian Dumitrel, Slatina + +Problema 4. Fie $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ cu det $A=1$. Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: +a) $\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{3}\right)=0$; +b) $\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=6$ şi $\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)=0$. + +Gazeta Matematică $n r$. 6-7-8/2013 + +NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT + +## Etapa locală - 16 februarie 2014 + +CLASA A XI-A + +Problema 1. Calculaţi $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x)^{\cos x}-\cos 2 x}{x^{2}}$. + +Soluţie. Pentru orice $x$ cu $0<|x|<\frac{\pi}{2}$, avem: + +Florian Dumitrel + +$$ +\begin{aligned} +\frac{(\cos x)^{\cos x}-\cos 2 x}{x^{2}} & =\frac{e^{\cos x \cdot \ln (\cos x)}-1}{x^{2}}+\frac{1-\cos 2 x}{x^{2}}= \\ +& =\cos x \cdot \frac{e^{\cos x \cdot \ln (\cos x)}-1}{\cos x \cdot \ln (\cos x)} \cdot \ln (\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1-\cos 2 x}{x^{2}} +\end{aligned} +$$ + +Întrucât + +$$ +\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x^{2}}=2 \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=2, \quad \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{-\frac{1}{2}} +$$ + +şi + +$$ +\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\cos x \cdot \ln (\cos x)}-1}{\cos x \cdot \ln (\cos x)}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{e^{y}-1}{y}=1 +$$ + +rezultă că $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x)^{\cos x}-\cos x}{x^{2}}=\frac{3}{2}$. + +Problema 2. Matricele $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ verifică relaţia $I_{2}+3 A B=2 B A$. Arătaţi că $\operatorname{det}(A B-B A)=0$. Florin Nicolaescu + +Soluţie. Din ipoteză rezultă că $I_{2}+A B=2(B A-A B)$ şi $I_{2}+B A=3(B A-A B)$. Prin urmare, + +$$ +\operatorname{det}\left(I_{2}+A B\right)=4 \operatorname{det}(B A-A B) \text { şi } \operatorname{det}\left(I_{2}+B A\right)=9 \operatorname{det}(B A-A B) +$$ + +Vom arăta că $\operatorname{det}\left(I_{2}+A B\right)=\operatorname{det}\left(I_{2}+B A\right)$. Pentru orice matrice $M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ si orice $x \in \mathbb{R}$, avem + +$$ +f_{M}(x):=\operatorname{det}\left(x I_{2}+M\right)=\operatorname{det} M+\operatorname{Tr} M \cdot x+x^{2} +$$ + +Cum $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A)$ şi $\operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A)$, deducem că $f_{A B}(x)=f_{B A}(x)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$. În consecinţă, avem $f_{A B}(1)=f_{B A}(1)$, adică $\operatorname{det}\left(I_{2}+A B\right)=\operatorname{det}\left(I_{2}+B A\right)$. + +Din relaţia $(*)$ rezultă că $\operatorname{det}(B A-A B)=0$, $\operatorname{deci} \operatorname{det}(A B-B A)=0$. + +Problema 3. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin + +$$ +a_{1}=1 \text { şi } a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+\frac{n}{n+1}},(\forall) n \geq 1 +$$ + +Arătaţi că şirul este convergent şi calculaţi $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$. + +Florian Dumitrel + +Soluţie. Prin inducţie se arată că + +$$ +1 \leq a_{n}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +sau, de exemplu, + +$$ +1 \leq a_{n}<2, \quad(\forall) n \in \mathbb{N}^{*} +$$ + +Avem $a_{1}=1$ şi $a_{2}=\sqrt{1+\frac{1}{2}}$, deci $a_{1}$ 1), de unde obţinem $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. + +Problema 4. Fie $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ cu det $(A)=1$. Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) $\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{3}\right)=0$; +b) $\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=6$ şi $\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)=0$. + +Gazeta Matematică nr. 6-7-8/2013 + +Soluţie. Polinomul caracteristic al matricei $A$ are forma + +$$ +f_{A}(x)=\operatorname{det}\left(x I_{3}-A\right)=x^{3}+a x^{2}+b x-1 +$$ + +Deoarece $A^{2}-A+I_{3}=\left(A-\omega I_{3}\right)\left(A-\bar{\omega} I_{3}\right)$, unde $\omega \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ astfel încât $\omega^{3}=-1$, rezultă că + +$$ +\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{3}\right)=\left|\operatorname{det}\left(A-\omega I_{3}\right)\right|^{2}=\left|f_{A}(\omega)\right|^{2} +$$ + +$(\Rightarrow)$ Dacă $\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{3}\right)=0$, atunci $f_{A}(\omega)=0$, de unde obţinem $a=-2$ şi $b=2$, deci + +$$ +f_{A}(x)=x^{3}-2 x^{2}+2 x-1 +$$ + +Prin urmare, $\operatorname{det}\left(A+I_{3}\right)=-f_{A}(-1)=6$ şi $\operatorname{det}\left(A-I_{3}\right)=-f_{A}(1)=0$. + +$(\Leftarrow)$ Conform ipotezei, avem $f_{A}(-1)=-6$ şi $f_{A}(1)=0$, deci + +$$ +f_{A}(x)=x^{3}-2 x^{2}+2 x-1 +$$ + +$\operatorname{Cum} f_{A}(\omega)=0$, din relaţia $(*)$ deducem că $\operatorname{det}\left(A^{2}-A+I_{3}\right)=0$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-942-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-942-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad6617d477e4fca9cf49b67ff447eba7f45c3355 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-942-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2014 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. Se consideră funcţia $f: \mathbb{C} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{C}, f(z)=\frac{z^{2}-z-2}{z-1}$. + +Arătaţi că, dacă $z \neq 1$, atunci $f(z) \in \mathbb{R}$ dacă şi numai dacă $z \in \mathbb{R}$. + +Problema 2. Rezolvaţi sistemul $\left\{\begin{array}{l}\sqrt[4]{x \sqrt{x}}-\sqrt[4]{y \sqrt{y}}=7 \\ \sqrt[14]{x \sqrt{x \sqrt{x}}}+\sqrt[14]{y \sqrt{y \sqrt{y}}}=3\end{array}\right.$. + +Gazeta Matematică $n$. 9/2013 + +Problema 3. Determinaţi funcţiile $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ care satisfac condiţiile + +$$ +x y \lg (x y) \leq y f(x)+x f(y) \leq f(x y) \text {, pentru orice } x, y>0 +$$ + +Problema 4. Se consideră funcţia injectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că există $p \in \mathbb{R}$ astfel încât + +$$ +f(x y)=f(x) f(y)+p \text {, pentru orice } x, y \in \mathbb{R} +$$ + +a) Arătaţi că $p=0$. + +b) Demonstraţi că $f$ este impară. + +NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ OLT
Etapa locală - 16 februarie 2014
CLASA A X-A + +Problema 1. Se consideră funcţia $f: \mathbb{C} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{C}, f(z)=\frac{z^{2}-z-2}{z-1}$. Arătaţi că, dacă $z \neq 1$, atunci $f(z) \in \mathbb{R}$ dacă şi numai dacă $z \in \mathbb{R}$. + +Soluţie. Fie $z \neq 1$. Deoarece $f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f(z)=\overline{f(z)}$, scriind $f(z)=z-\frac{2}{z-1}$, avem succesiv: + +$f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z-\frac{2}{z-1}=\bar{z}-\frac{2}{\bar{z}-1} \Leftrightarrow z-\bar{z}+\frac{2(z-\bar{z})}{(z-1)(\bar{z}-1)}=0 \Leftrightarrow(z-\bar{z})\left(1+\frac{2}{(z-1)(\bar{z}-1)}\right)=0$. + +Presupunând $1+\frac{2}{(z-1)(\bar{z}-1)}=0$, de unde $(z-1)(\bar{z}-1)+2=0$, adică $|z-1|^{2}+2=0$, imposibil. + +Ca urmare, $f(z) \in \mathbb{R}$ dacă şi numai dacă $z-\bar{z}=0$, adică $z \in \mathbb{R}$. + +Problema 2. Rezolvaţi sistemul $\left\{\begin{array}{l}\sqrt[4]{x \sqrt{x}}-\sqrt[4]{y \sqrt{y}}=7 \\ \sqrt[14]{x \sqrt{x \sqrt{x}}}+\sqrt[14]{y \sqrt{y \sqrt{y}}}=3\end{array}\right.$. + +Gazeta Matematică $n$ r. 9/2013 + +Soluţie. Evident, $x, y \geq 0$. Sistemul se rescrie sub forma + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\sqrt[8]{x^{3}}-\sqrt[8]{y^{3}}=7 \\ +\sqrt[8]{x}+\sqrt[8]{y}=3 +\end{array}\right. +$$ + +Notând $\sqrt[8]{x}=a, \sqrt[8]{y}=b$, unde $a, b \geq 0$, rezultă $a+b=3$ şi $a^{3}-b^{3}=7$, ceea ce conduce la ecuaţia + +$$ +a^{3}-(3-a)^{3}=7 \Leftrightarrow 2 a^{3}-9 a^{2}+27 a-34=0 \Leftrightarrow(a-2)\left(2 a^{2}-5 a+17\right)=0 +$$ + +Unica soluţie reală a ecuaţiei este $a=2$, pentru care se obţine $b=1, x=256$ şi $y=1$. + +Problema 3. Determinaţi funcţiile care satisfac condiţiile + +$$ +x y \lg (x y) \leq y f(x)+x f(y) \leq f(x y) \text {, pentru orice } x, y>0 \text {. } +$$ + +Soluţie. Pentru $x=y=1$, din enunţ rezultă $0 \leq 2 f(1) \leq f(1)$, de unde $f(1)=0$. + +Pentru $y=1$, relaţia din enunţ conduce la $x \lg x \leq f(x)$, pentru orice $x>0$. + +Pentru $y=\frac{1}{x}$, din enunţ se obţine $0 \leq \frac{f(x)}{x}+x f\left(\frac{1}{x}\right) \leq 0$, deci $f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{f(x)}{x^{2}}$, pentru orice $x>0$. + +Pentru $y=\frac{1}{x}$, din (1) rezultă $\frac{1}{x} \lg \left(\frac{1}{x}\right) \leq f\left(\frac{1}{x}\right)$, deci $f\left(\frac{1}{x}\right) \geq-\frac{\lg x}{x}$ şi, ţinând cont de (2), obţinem + +$$ +-\frac{f(x)}{x^{2}} \geq-\frac{\lg x}{x} \Leftrightarrow f(x) \leq x \lg x, \text { pentru orice } x>0 +$$ + +Din (1) şi (3) rezultă că $f(x)=x \lg x$, pentru orice $x>0$, funcţie care satisface condiţia din enunţ. + +Problema 4. Se consideră funcţia injectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ cu proprietatea că există $p \in \mathbb{R}$ astfel încât + +$$ +f(x y)=f(x) f(y)+p, \text { pentru orice } x, y \in \mathbb{R} +$$ + +a) Arătaţi că $p=0$. + +b) Demonstraţi că $f$ este impară. + +Soluţie. a) Pentru $y=0$, rezultă $f(0)=f(x) f(0)+p$, de unde, presupunând $f(0) \neq 0$, ar rezulta că $f(x)=\frac{p-f(0)}{f(0)}$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, adică $f$ ar fi constantă, contradicţie cu $f$ injectivă. + +Ca urmare, $f(0)=0$. Luând acum $x=y=0$, din enunţ rezultă $p=0$. + +b) Conform punctului anterior, avem $f(x y)=f(x) f(y)$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. + +Pentru $x=y=1$, avem $f(1)=f^{2}(1)$, de unde rezultă că $f(1) \in\{0,1\}$. Cum $f$ este injectivă şi $f(0)=0$, rezultă $f(1)=1$. + +Pentru $x=y=-1$, rezultă $1=f(1)=f^{2}(-1)$, deci $f(-1) \in\{-1,1\}$. Cum $f$ este injectivă şi $f(1)=1$, rezultă $f(-1)=-1$. + +Pentru $y=-1$, din relaţia $(*)$ rezultă $f(-x)=f(x) f(-1)=-f(x)$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci este $f$ este impară. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-943-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-943-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e8d0b7fc9f46bc34529c6a94931acd48c8482d62 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-943-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,116 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2014 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. Arătaţi că pentru orice numere reale $a, b, c$ are loc inegalitatea: + +$$ +\sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}+(c+1)^{2}}+\sqrt{(c+1)^{2}+(a+1)^{2}} \geq \sqrt{2} \cdot(a+b+c+3) +$$ + +Gazeta Matematică nr. 11/2013 + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale $x, y$ care verifică relaţia: + +$$ +x^{3}+28 x^{2}+96 x=5^{y} +$$ + +Luigi Catană, Potcoava + +Problema 3. Se consideră numerele reale $x, y \in(2012,2014)$ şi numărul + +$$ +a=x y-2013 x-2013 y+2013 \cdot 2014 +$$ + +Arătaţi că $a \in(2012,2014)$. + +Problema 4. Fie patrulaterul inscriptibil $A B C D$, în care lungimile $A B=a, B D=b, D A=d$, ale laturilor triunghiului $A B D$, sunt în relaţia $a^{2}+b^{2}+d^{2}=a b+b d+d a$, iar $A C=\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$. În punctul $C$ se ridică perpendiculara $C M$ pe planul $(A B C)$ astfel încât $C M=\frac{1}{2} A C$. + +a) Arătaţi că $A C \neq B D$. + +b) Calculaţi distanţa de la punctul $C$ la planul (MAB). + +c) Determinaţi sinusul unghiului diedru format de planele (MAC) şi (MAB). + +Nicolae Bivol,Corabia + +NOTĂ. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 3 ore. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +## ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2014
Clasa a VIII-a + +Soluţii şi bareme de corectare + +Barem de corectare: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { 1. } \sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}} \geq \sqrt{2} \cdot \frac{a+1+b+1}{2}=\sqrt{2} \cdot \frac{a+b+2}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p} \\ +& \sqrt{(b+1)^{2}+(c+1)^{2}} \geq \sqrt{2} \cdot \frac{b+1+c+1}{2}=\sqrt{2} \cdot \frac{c+b+2}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathrm{p} \\ +& \sqrt{(a+1)^{2}+(c+1)^{2}} \geq \sqrt{2} \cdot \frac{a+1+c+1}{2}=\sqrt{2} \cdot \frac{c+a+2}{2} \\ +& \sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}+(c+1)^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+(c+1)^{2}} \geq \\ +& \sqrt{2}\left(\cdot \frac{a+b+2}{2}+\cdot \frac{c+b+2}{2}+\cdot \frac{c+a+2}{2}\right)=\sqrt{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+3) +\end{aligned} +$$ + +2. $x^{3}+28 x^{2}+96 x=x\left(x^{2}+28 x+96\right)=x(x+4)(x+24)$. ..... $3 p$ +Notam: $x=5^{u}, x+4=5^{v}, x+24=5^{t}$ si $u+v+t=y$..... ..... $1 p$ +Din $x+4-x=5^{\mathrm{v}}-5^{\mathrm{u}}$ avem $5^{\mathrm{u}}\left(5^{\mathrm{u}-\mathrm{v}}-1\right)=4$ ..... $1 p$ +Cum $5^{u}$ impar, avem $5^{u}=1$, de unde $u=0$ si $x=1$ ..... $1 p$ +Din $5^{y}=5^{3}$ avem $y=3$, deci solutie $x=1, y=3$ ..... $1 p$ +3. Din $x \in(2012 ; 2014) \Leftrightarrow 2012 Clasa a VII-a
Soluţii şi bareme de corectare + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_40babf0bba5bfd20afe8g-2.jpg?height=608&width=1562&top_left_y=707&top_left_x=310) + +2. Sa se determine numarul real $x$ pentru care: $[x+2013]+3\{x\}=2014$ + +$$ +\begin{aligned} +& {[x+2013]+3\{x\}=2014 \Leftrightarrow[x]+2013+3\{x\}=2014 \Leftrightarrow[x]+3\{x\}=1 \Rightarrow 3\{x\} \in \mathbf{Z} \Leftrightarrow\{x\} \in} \\ +& \left\{0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right\} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\end{aligned} +$$ + +$\{x\}=0 \leftrightarrow[\mathrm{x}]=1 \leftrightarrow \mathrm{x}=1$ ..... $1 p$ +$\{x\}=\frac{1}{3} \leftrightarrow[\mathrm{x}]=0 \leftrightarrow \mathrm{x}=\frac{1}{3}$ ..... $1 p$ +$\{x\}=\frac{2}{3} \leftrightarrow[\mathrm{x}]=-1 \leftrightarrow \mathrm{x}=-\frac{1}{3}$ ..... $2 p$ +3. AEFD patrat $\Rightarrow F M \| A D \underset{\text { tfa }}{\Rightarrow} \Delta F D M \sim \triangle C D B \Rightarrow \frac{D F}{D C}=\frac{D M}{D B}=\frac{1}{3}$ ..... $2 p$ +$\mathrm{ABCD}$ dreptunghi $\Rightarrow \mathrm{DB}=2 \mathrm{DO} \Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{D M}{2 D O} \Rightarrow \frac{D M}{D O}=\frac{2}{3}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +In $\triangle D A C$ avem DO mediana si $\frac{D M}{D O}=\frac{2}{3} \Rightarrow M$ centru de greutate al $\triangle D A C$ ..... $2 p$ +Atunci CM este mediana a $\triangle D A C$ si intalneste $A D$ in mijlocul ei. ..... $2 p$ +4. Din $A E|| B D$ si $A B|| E D \Rightarrow A E D B$ paralelogram $\Rightarrow A E=B D, A B=E D$ ..... $1 p$ +Fie $\mathrm{BD} \cap C E=\{N\} \Rightarrow A E|| D N$ si $A D \| E N \Rightarrow$ AENDparalelogram $\Rightarrow$ +$A E=D N$ ..... $3 p$ +Din $A E=B D$ si $A E=D N \Rightarrow D$ mijlocul $[B N]$ ..... $1 p$ +Din D mijlocul $[B N]$ si $D M \| C N \Rightarrow$ +$[D M]$ linie mijlocie in $\triangle \mathrm{BCN} \Rightarrow M$ mijlocul $[B C]$ ..... $2 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-945-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-945-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b26d4d4392fbde90160c9048e4bd214a0ab1b0aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-945-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,88 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ - 16 FEBRUARIE 2014 + +## Clasa a VI-a + +Problema 1. Arătaţi că $0,(03)<\frac{1}{1953}+\frac{1}{1954}+\ldots+\frac{1}{2013}<0$,(3) . + +Carmen Firicescu, Corabia + +Problema 2. Rezolvaţi î mulţimea numerelor raţionale pozitive ecuaţia: + +$$ +\begin{array}{r} +\frac{x+1}{2}+\frac{x+5}{3}+\frac{x+11}{4}+\frac{x+19}{5}+\frac{x+29}{6}+\frac{x+41}{7}+\frac{x+55}{8}+\frac{x+71}{9}+\frac{x+89}{10}=45 . \\ +\text { Gazeta Matematică nr. 10/2013 } +\end{array} +$$ + +Problema 3. Determinaţi numerele prime $a Clasa a VI-a + +Soluţii şi bareme de corectare + +## Problema 1. + +Avem $\frac{1}{2013}<\frac{1}{1953}=\frac{1}{1953}, \frac{1}{2013}<\frac{1}{1954}<\frac{1}{1953}, \ldots \ldots \ldots \frac{1}{2013}=\frac{1}{2013}<\frac{1}{1953}$ + +Adunand relatiile obtinem: + +$\frac{61}{2013} Clasa a V-a + +Soluţii şi bareme de corectare + +## Problema 1. + +Din teorema impartirii cu rest avem: $a=14 b+18,14<18 \quad(2 p)$ + +Cum $a=a-3 b+135$, rezulta $b=45(2 p)$ + +$a=14 \cdot 45+18$, de unde $a=648(2 p)$ + +$2 a=1296=36^{2}$ rezulta 2 a este patrat perfect. (1p) + +## Problema 2. + +$2014=1 \cdot 2 \cdot 19 \cdot 53 \quad(1 p)$ + +Cum $a1}$ un şir de numere reale pozitive astfel încât $a_{1}=1$ şi + +$$ +\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_{n}}=a_{n}-1 \text {, pentru orice } n \geq 2 +$$ + +Determinaţi partea întreagă a numărului $A_{n}=a_{n} a_{n+1}+a_{n} a_{n+2}+a_{n+1} a_{n+2}$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Etapa locală - 16 februarie 2014
CLASA A IX-A + +Problema 1. Rezolvaţi ecuaţia + +$$ +\left[\frac{3 x^{2}+1}{3}\right]-\left[\frac{2 x^{2}+1}{2}\right]+\left[\frac{3 x^{2}+2}{3}\right]=0 +$$ + +unde $[x]$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$. + +Luigi Catană, Potcoava + +Soluţie. Ecuaţia din enunţ se scrie sub forma $\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\left[x^{2}+\frac{2}{3}\right]=\left[x^{2}+\frac{1}{2}\right]$, de unde, adunând în ambii membri $\left[x^{2}\right]$ şi folosind identitatea lui Hermite, rezultă $\left[3 x^{2}\right]=\left[2 x^{2}\right]$. + +Notând $x^{2}=y$, cu $y \geq 0$, rezultă $[3 y]=[2 y] \stackrel{\text { not }}{=} p$, unde $p \in \mathbb{N}$, de unde $y \in\left[\frac{p}{3}, \frac{p+1}{3}\right) \cap\left[\frac{p}{2}, \frac{p+1}{2}\right)$. + +Pentru $p \geq 2$ avem $\frac{p+1}{3} \leq \frac{p}{2}$, adică $\left[\frac{p}{3}, \frac{p+1}{3}\right) \cap\left[\frac{p}{2}, \frac{p+1}{2}\right)=\varnothing$. + +Pentru $p=0$ rezultă $y \in\left[0, \frac{1}{3}\right) \Leftrightarrow x^{2} \in\left[0, \frac{1}{3}\right) \Leftrightarrow x \in\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. + +Pentru $p=1$ rezultă $y \in\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow x^{2} \in\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow x \in\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$. + +În concluzie, $x \in\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$. + +Problema 2. Demonstraţi că pentru orice numere reale $x, y, z \geq 1$ are loc inegalitatea: + +$$ +x(\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})+y(\sqrt{z-1}+\sqrt{x-1})+z(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}) \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} +$$ + +Florin Nicolaescu, Bals + +Soluţie. Pentru orice $x, y \geq 1$ vom arăta că $x \sqrt{y-1}+y \sqrt{x-1} \leq x y$. Într-adevăr, împărţind prin $x y$, inegalitatea se rescrie $\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y} \leq 1$, care se obţine din echivalenţa + +$$ +\frac{\sqrt{a-1}}{a} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \sqrt{a-1} \leq a \Leftrightarrow(a-2)^{2} \geq 0 +$$ + +valabilă pentru orice $a \geq 1$. + +Adunând inegalitatea $(*)$ cu analoagele obţinute prin permutări circulare, obţinem: + +$$ +x(\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})+y(\sqrt{z-1}+\sqrt{x-1})+z(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}) \leq x y+y z+x z \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} +$$ + +Egalitatea are loc pentru $x=y=z=2$. + +Problema 3. Fie $A B C$ un triunghi. Medianele $A M, B N, C P$ taie cercul circumscris triunghiului $A B C$ în punctele $D, E$, respectiv $F$. Ştiind că $\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{N E}+\overrightarrow{P F}=\overrightarrow{0}$, arătaţi că triunghiul $A B C$ este echilateral. + +Gazeta Matematică $n r$. 12/2013 + +Soluţie. Fie $G$ centrul de greutate al triunghiului $A B C$. Deoarece vectorii $\overrightarrow{M D}$ şi $\overrightarrow{G M}$ sunt coliniari, rezultă că există $\alpha \in \mathbb{R}$ astfel încât $\overrightarrow{M D}=\alpha \overrightarrow{G M}$. Analog, există $\beta, \gamma \in \mathbb{R}$ astfel încât $\overrightarrow{N E}=\beta \overrightarrow{G N}$ şi $\overrightarrow{P F}=\gamma \overrightarrow{G P}$. Tinând cont că $\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G N}+\overrightarrow{G P}=\overrightarrow{0}$, rezultă: + +$$ +\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{N E}+\overrightarrow{P F}=\alpha \overrightarrow{G M}+\beta \overrightarrow{G N}+\gamma \overrightarrow{G P}=\alpha \overrightarrow{G M}+\beta \overrightarrow{G N}-\gamma(\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G N})=(\alpha-\beta) \overrightarrow{G M}+(\beta-\gamma) \overrightarrow{G N} +$$ + +Deorece $\overrightarrow{G M}$ şi $\overrightarrow{G N}$ sunt vectori necoliniari, rezultă $\alpha-\beta=\beta-\gamma=0$, de unde $\alpha=\beta=\gamma$. + +Din $\overrightarrow{M D}=\alpha \overrightarrow{G M}$ şi $\overrightarrow{N E}=\alpha \overrightarrow{G N}$, obţinem + +$$ +\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{G E}-\overrightarrow{G D}=(\overrightarrow{G N}+\overrightarrow{N E})-(\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{M D})=(\alpha+1)(\overrightarrow{G N}-\overrightarrow{G M})=(\alpha+1) \overrightarrow{M N} +$$ + +deci $D E\|M N\| A B$. Analog, se obţin relaţiile $E F\|P N\| B C$ şi $D F\|M P\| A C$. + +Ca urmare, arcele $A E$ şi $B D$ sunt congruente, arcele $C E$ şi $B F$ sunt congruente şi arcele $A F$ şi $C D$ sunt congruente. De aici rezultă că $[A D],[B E],[C F]$ sunt diametri, adică $G$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$. în concluzie, triunghiul $A B C$ este echilateral. + +Problema 4. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale pozitive astfel încât $a_{1}=1$ şi + +$$ +\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_{n}}=a_{n}-1, \text { pentru orice } n \geq 2 +$$ + +Determinaţi partea întreagă a numărului $A_{n}=a_{n} a_{n+1}+a_{n} a_{n+2}+a_{n+1} a_{n+2}$, unde $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Nelu Gerg, Slatina + +Soluţie. Pentru $n=2$, din relaţia din enunţ se obţine $a_{2}=\sqrt{2}$. + +Scriind relaţia din enunţ pentru $n \rightarrow n+1$, rezultă + +$$ +\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_{n}}+\frac{1}{a_{n}+a_{n+1}}=a_{n+1}-1 +$$ + +de unde, folosind din nou enunţul, rezultă că pentru orice $n \geq 2$ avem + +$$ +a_{n}-1+\frac{1}{a_{n}+a_{n+1}}=a_{n+1}-1 \Leftrightarrow\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\left(a_{n+1}+a_{n}\right)=1 \Leftrightarrow a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}+1} +$$ + +Prin inducţie, se demonstrează că $a_{n}=\sqrt{n}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Avem $A_{n}=\sqrt{n(n+1)}+\sqrt{n(n+2)}+\sqrt{(n+1)(n+2)}$. Deoarece pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ au loc relaţiile + +$$ +n+\frac{1}{3}<\sqrt{n(n+1)} nroblemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | a) $x \circ y=3 \cdot x \cdot y+6 \cdot x+6 \cdot y+10 \Leftrightarrow x \circ y=3 \cdot(x+2) \cdot(y+2)-2$.
Legea "o" este asociativă şi comutativǎ( se verificǎ efectiv).
Element neutru:
$x \circ e=x \Leftrightarrow 3 x e+6 x+6 e+10=x \Leftrightarrow 3 x e+5 x+6 e+10=0 \Leftrightarrow$
$x \cdot(3 e+5)+2 \cdot(3 e+5)=0 \Rightarrow e=\frac{-5}{3}$.
Elemente simetrizabile:
$3 \cdot(x+2) \cdot\left(x^{\prime}+2\right)-2=-\frac{5}{3} \Leftrightarrow(x+2) \cdot\left(x^{\prime}+2\right)=\frac{1}{9}$
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq-2$
Atunci $x^{\prime}=-2+\frac{1}{9 \cdot(x+2)}$
Rezultă $a=-2$ | $2 p$ | +| | b) $x \circ x=3 \cdot(x+2)^{2}-2$
$x \circ x \circ x=3^{2} \cdot(x+2)^{3}-2$
.
$x^{(n)}=3^{n-1} \cdot(x+2)^{n}-2, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$
Se demonstrează prin inducţie matematică
$x^{(n)}=3^{n-1} \cdot(x+2)^{n}-2, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ | $\underset{1 p}{1 p}$ | +| | c) Fie $\mathrm{A}=(m, \infty)$ parte stabila în raport cu legea "○";
Din $x, y>\mathrm{m} \Rightarrow x \circ y>\mathrm{m}$. | $1 \mathbf{p}$ | + + +| | Fie şirurile de numere reale
$\left(x_{n}\right)_{n \geq 1},\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}, x_{n}>m, y_{n}>m, x_{n} \rightarrow m, y_{n} \rightarrow m ;$
$3 \cdot \mathrm{x}_{n} \cdot \mathrm{y}_{n}+6 \cdot \mathrm{x}_{n}+6 \cdot \mathrm{y}_{n}+10>m$.
Trecând la limită $\Rightarrow 3 m^{2}+11 m+10 \geq 0 \Rightarrow m \in(-\infty,-2] \cup\left[-\frac{5}{3}, \infty\right) ;$
I. $m<-2$. Fie $\mathrm{y}=0, x=-2+\frac{m+2}{2}>m ;$
$x \circ y=6 \cdot \frac{m+2}{2}-2=3 m+4>m \Rightarrow m>-2($ fals $)$.
II. $m=-2$, atunci $x>-2, y>-2 \Rightarrow$
$x \circ \mathrm{y}=3 \cdot(x+2) \cdot(y+2)-2>-2($ adevărat $) \Rightarrow m=-2$ convine.
III. $m \geq-\frac{5}{3}$, atunci fie $x, y>m \Rightarrow x+2>m+2 \geq \frac{1}{3} ; y+2>m+2 \geq \frac{1}{3}$
$3(x+2)(y+2)-2>3(m+2)^{2}-2 ;$
Să demonstrăm că $3(m+2)^{2}-2 \geq m \Leftrightarrow 3 m^{2}+11 m+10 \geq 0(A)$
pentru că $m \in\left[-\frac{5}{3}, \infty\right)$.
Deci $m \in\left[-\frac{5}{3}, \infty\right)$ convine.
Soluţia este $\mathrm{m} \in\{-2\} \cup\left[-\frac{5}{3}, \infty\right)$. | +| :--- | :--- | :--- | + + +| 2. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f49ad7efc430d239ec6cg-4.jpg?height=1021&width=1237&top_left_y=112&top_left_x=405) | $4 \mathbf{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | $\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(\sqrt[n^{2}]{n \cdot I_{n}}-1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{\pi}{4 n}}-1}{\frac{\pi}{4 n}} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $\operatorname{Din}(m, n)=1 \Rightarrow(\exists) p, q \in \mathbb{N}$ astfel încât $\mathrm{m} \cdot \mathrm{p}-\mathrm{n} \cdot \mathrm{q}=1$ | $3 \mathbf{p}$ | +| 3. | $\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}=(x y)^{\mathrm{m} \cdot \mathrm{p}-\mathrm{n} \cdot \mathrm{q}}=(x y)^{\mathrm{m} \cdot \mathrm{p}} \cdot(x y)^{-\mathrm{n} \cdot \mathrm{q}}=\left((x y)^{m}\right)^{p} \cdot\left((x y)^{n}\right)^{-p}=$
$\left((y x)^{m}\right)^{p} \cdot\left((y x)^{n}\right)^{-p}$
$=(y x)^{m \cdot p} \cdot(y x)^{-n p}=(y x)^{m \cdot p-n \cdot q}=y x$
$x \cdot y=y \cdot x \Rightarrow(G, \circ)$ este grup abelian. | $4 p$ | +| 4. | Funcţia $\mathrm{f}(x)=\frac{1}{2+\sin x}, x \in[0,2 \pi]$ este continuă pe $[0,2 \pi] \Rightarrow$
$f$ admite primitive pe $[0,2 \pi]$. | $\mathbf{1 p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_f49ad7efc430d239ec6cg-5.jpg?height=2136&width=1764&top_left_y=114&top_left_x=175) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-949-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-949-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e1af07f668ac2ecf31992269692a432847e5a6bd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-949-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +Problema 1. Sǎ se determine matricea $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $A^{3}=\left(\begin{array}{cc}471 & 600 \\ 75 & 96\end{array}\right)$ şi $\operatorname{tr}(A)=9$. + +(S-a notat cu $\operatorname{tr}(X)$ suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $X, X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}$ ). + +G.M. nr.12/2013 + +Problemǎ selectatǎ de Alina Țepeş, profesor, Galați + +Problema 2. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. + +a) Sǎ se demonstreze cǎ $1<\log _{n^{2}+3 n+1}(n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3))<2$. + +b) Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{n^{2}+3 n+1} n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)\right\}$. + +(s-a notat cu $\{a\}$ partea fracţionară a numărului real a). + +Problemǎ selectată de Viorica Bujor, profesor, Galați + +Problema 3. Fie şirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1}=1$ şi $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n \cdot a_{n}}, n \geq 1$. + +Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{4}} \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\frac{3}{a_{3}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}\right)$. + +G.M. nr. 5/2013 + +Problemǎ selecatǎ de Viorica Bujor, profesor, Galați + +## Problema 4. + +a) Dacă există $k \geq 2, k \in \mathbb{N}$ şi $A^{k}=O_{2}$, atunci $A^{2}=O_{2}$, unde $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$. + +b) Să se determine $n \in \mathbb{N}$ astfel încât $f: \mathscr{M}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}), f(x)=x^{n}$ să fie o funcţie surjectivă. + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 23 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | $\operatorname{det}\left(A^{3}\right)=216$
$\operatorname{det}\left(A^{3}\right)=(\operatorname{det} A)^{3}=6^{3} \Rightarrow \operatorname{det} A=6$ | $2 p$ | +| | Teorema Hamilton-Cayley: $\mathrm{A}^{2}-\operatorname{tr}(A) \cdot A+\operatorname{det} A \cdot I_{2}=O_{2},(\forall) A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) ;$
$A^{2}-9 \cdot A+6 \cdot I_{2}=O_{2} \Rightarrow A^{3}=9 \cdot A^{2}-6 \cdot A=75 \cdot A-54 \cdot I_{2} \Rightarrow 75 \cdot A=A^{3}+54 \cdot I_{2} \Rightarrow$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $75 \cdot A=\left(\begin{array}{cc}471 & 600 \\ 75 & 96\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}54 & 0 \\ 0 & 54\end{array}\right) \Rightarrow 75 \cdot A=\left(\begin{array}{cc}525 & 600 \\ 75 & 150\end{array}\right) \Rightarrow A=\left(\begin{array}{ll}7 & 8 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ | $2 p$ | +| 2. | $1<\log _{n^{2}+3 n+1}(n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3))<2 \Leftrightarrow$
$n^{2}+3 n+1 Observând că $n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)=\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}-1 \Rightarrow$
inegalitatea (1) este adevarată. | $3 \mathbf{p}$ | +| | Din a) rezultǎ cǎ
$\left\{\log _{n^{2}+3 n+1} n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)\right\}=\log _{n^{2}+3 n+1} n \cdot(n+1) \cdot(n+2) \cdot(n+3)-1=$
$\log _{n^{2}+3 n+1}\left[\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}-1\right]-1$ | $2 p$ | +| | Notând $n^{2}+3 n+1=m \rightarrow \infty$, obţinem:
$\lim _{m \rightarrow \infty}\left[\log _{m}\left(m^{2}-1\right)-1\right]=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{m^{2}-1}{m}}{\ln m}=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\ln m+\ln \left(1-\frac{1}{m^{2}}\right)}{\ln m}=1$ | $2 p$ | +| 3. | $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+n \cdot a_{n}} \Leftrightarrow \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=n, n \geq 1$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_02d2452f5e6e7aa19a14g-3.jpg?height=2128&width=1699&top_left_y=188&top_left_x=213) + +| b) $f(x)=x, f: \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ este surjectivă. | | +| :--- | :--- | :--- | +| Presupunem prin reducere la absurd că: | 3p | +| $f: \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}), f(x)=x^{n}$, cu $n \geq 2$ ar fi surjectivă. Deci | | +| pentru $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ cu $A=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ există $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ astfel încât | | +| $X^{n}=A \Rightarrow X^{2 n}=A^{2}=O_{2}$. | | +| Dacă $X^{2 n}=O_{2}$ rezultă că $X^{2}=O_{2}$. Dacă | | +| $X^{2}=O_{2} \Rightarrow X^{n}=O_{2} \Rightarrow A=O_{2}$, contradicţie. Deci răspunsul este $n=1$. | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-95-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-95-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d03f5da3fe2af175fd0033b85361d134bdf353f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-95-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016 + +## CLASA a VI-a + +Subiectul 1. Determinaţi numerele prime $a ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016
CLASA a VI-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +| Numerele $a, b, c$ nu pot fi toate impare deoarece 6622 este par. Deci ori sunt toate pare | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| ori doar unul dintre ele este par. | $\mathbf{1 p}$ | +| $a=b=c=2$ nu verifică relaţia | $\mathbf{1 p}$ | +| cum $a pară posibilă, 0, cea mai mică cifră impară, 1, cea mai mică cifră pară, 0, şi aşa mai
departe, cea de-a 2012-a cifră o putem alege 0. Ĭ Ia dacă alegem penultima cifră
să fie 1, suma cifrelor alese până acum este 1007. Nu putem alege nicio cifră pară
astfel încât suma cifrelor numărului format să die divizibilă cu 9. Vom alege atunci
penultima cifră 3. Putem atunci alege ultima cifră 8, iar numărul format este 1010...1038. | $\mathbf{3 p}$ | +| | Cel mai mare număr alternant care este multiplu de 9 va începe cu 9898...98 - 2012
cifre. Suma cifrelor alese până aici este (9+8)$\cdot$1006 = M9+2. Nu putem alege penultima
cifră să fie 9 (nu vom găsi nicio cifră pară pentru care numărul format să fie divizibil cu
9), aşa că alegem 7 şi putem lua ultima cifră 0. Se obţine numărul 989898...9870. | 3p | + +## Subiectul 4. + +| a. | Notez $m(\Varangle A O B)=x$ și $m(\Varangle B O C)=y \Rightarrow 2 x+y=360^{\circ}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| | A doua condiţie: $90^{\circ}-y=180^{\circ}-x \Leftrightarrow x=y+90^{\circ}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| | Înlocuind în prima relație, avem $2\left(y+90^{\circ}\right)+y=360^{\circ} \Leftrightarrow 3 y=180^{\circ} \Leftrightarrow$ | | +| | $m(\Varangle B O C)=60^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O B)=150^{\circ}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| b. | $\varangle M O P \equiv \varangle N O P-$ suplemente de unghiuri congruente | $\mathbf{1 p}$ | +| | Congruenţa triunghiurilor $\triangle M O P \equiv \triangle N O P$ (LUL) | $\mathbf{2 p}$ | +| | Concluzia $[M P] \equiv[N P]$ | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-950-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-950-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72f18eabdb8bb22bfa15937a963d5b5b0e456223 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-950-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,58 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +Problema 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia $(3+2 \sqrt{2})^{x} \leq 6(\sqrt{2}+1)^{x}-1$ + +## Veronica Grigore, profesor, Galaţi + +Problema 2. Pe laturile patrulaterului convex $A B C D$ se consideră punctele $M \in(A B), N \in(B C), P \in(C D), Q \in(D A)$, astfel încât $\frac{A M}{M B}=\frac{B N}{N C}=\frac{C P}{P D}=\frac{D Q}{Q A}=k$, iar pe segmentele $(M N),(N P),(P Q),(Q M)$ se aleg punctele $R, S, T, U$ astfel încât $\frac{M R}{R N}=\frac{N S}{S P}=\frac{P T}{T Q}=\frac{Q U}{U M}=l$, unde $k, l \in(0 ;+\infty) \backslash\{1\}$. + +Dacă patrulaterul RSTU este paralelogram, să se demonstreze că $A B C D$ este paralelogram. + +Mihai Totolici, profesor, Galaţi + +Problema 3. Sǎ se rezolve ecuaţia: + +$\log _{\{x-1\}}|1-x|+\log _{|x-1|}\{x-1\}+[x]^{2}+2 \cdot\{x\}=1+2 x$, unde $x \in(0,1) \cup(1,2)$. + +( s-a notat : $\{a\}=$ partea fracţionară a numărului real $a,[a]=$ partea întreagă a numărului real a, $|a|=$ modulul numărului real $a$ ). + +Vasile Duma, profesor, Galați + +## Problema 4. + +Fie $z \in \mathbb{C}-\mathbb{R}$ astfel încât $\left|z^{2}+4\right|=|4 z+1|$. Să se determine cea mai mare şi cea mai mică valoare posibilă pentru $|z|$ şi numerele complexe z pentru care se ating aceste valori. + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
probleme | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | Inecuaţia este echivalentă cu
$(\sqrt{2}+1)^{2 x}-6(\sqrt{2}+1)^{x}+1 \leq 0$ | $2 p$ | +| | Notăm cu $t=(\sqrt{2}+1)^{x}>0 \Rightarrow t^{2}-6 t+1 \leq 0$, care are ca soluţii
$t \in[3-2 \sqrt{2}, 3+2 \sqrt{2}] \Rightarrow(\sqrt{2}+1)^{-2} \leq(\sqrt{2}+1)^{x} \leq(\sqrt{2}+1)^{2}$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Cum funcţia exponenţială $f(x)=(\sqrt{2}+1)^{x}$ este strict crescătoare
$\Rightarrow x \in[-2,2]$. | $2 p$ | +| 2. | Fie $a, b, c, d, m, n, p, q, r, s, t, u$ afixele punctelor de mai sus. Avem
succesiv relaţiile: $m=\frac{a+k \cdot b}{k+1}, n=\frac{b+k \cdot c}{k+1}, p=\frac{c+k \cdot d}{k+1}, q=\frac{d+k \cdot a}{k+1}$,
respectiv
$r=\frac{m+l \cdot n}{l+1}, s=\frac{n+l \cdot p}{l+1}, t=\frac{p+l \cdot q}{l+1}, u=\frac{q+l \cdot m}{l+1}$ | $2 p$ | +| | iar din condiţia ca $R S T U$ să fie paralelogram rezultă că $r+t=u+s$, de unde
$\frac{m+l \cdot n}{l+1}+\frac{p+l \cdot q}{l+1}=\frac{q+l \cdot m}{l+1}+\frac{n+l \cdot p}{l+1}$ | $2 p$ | + + +| | deci $m+p+l \cdot(n+q)=n+q+l \cdot(m+p)$, adică
$(m+p) \cdot(1-l)=(n+q) \cdot(1-l)$, de unde, prin împărţire cu $1-l \neq 0$, rezultă că
$m+p=n+q$, deci $M N P Q$ este paralelogram, iar din
$\frac{a+k \cdot b}{k+1}+\frac{c+k \cdot d}{k+1}=\frac{d+k \cdot a}{k+1}+\frac{b+k \cdot c}{k+1}$, rezultă
$(1-k) \cdot(a+c)=(1-k) \cdot(b+d)$, de unde $a+c=b+d$, adică $A B C D$ este
paralelogram. | 3p | +| :---: | :---: | :---: | +| 3. | $\log _{\{x-1\}}\|1-x\|+\log _{\|x-1\|}\{x-1\}=-[x]^{2}+2 \cdot[x]+1,\{x-1\} \in(0,1)$
$(\forall) x \in(0,1) \cup(1,2)$ | $2 p$ | +| | $\log _{\{x-1\}}\|1-x\|>0=\log _{\{x-1\}} 1 \Leftrightarrow\|x-1\|<1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0 $\log _{\{x-1\}}\|1-x\|+\log _{x-1 \mid}\{x-1\}=\log _{\{x-1\}}\|1-x\|+\frac{1}{\log _{\{x-1\}}\|1-x\|} \geq 2$, (conforminegalitătii mediilor) (1)
$-[x]^{2}+2 \cdot[x]+1=2-([x]-1)^{2} \leq 2,(\forall) x \in(0,1) \cup(1,2)$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Din $(1)$ şi $(2) \Rightarrow \log _{\{x-1\}}\|1-x\|+\frac{1}{\log _{\{x-1\}}\|1-x\|}=2=-[x]^{2}+2 \cdot[x]+1 \Rightarrow$
$\left\{\begin{array}{l}\log _{\{x-1\}}\|1-x\|=1 \\ {[x]=1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\|1-x\|=\{x-1\} \\ x \in[1,2), x \neq 1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \in(0,1) \cup(1,2) \\ x \in[1,2), x \neq 1\end{array} \Rightarrow x \in(1,2)\right.\right.\right.$ | $2 p$ | +| 4. | Prin ridicare la pătrat, relaţia devine:
$\left(z^{2}+4\right) \cdot\left(\overline{z^{2}}+4\right)=(4 \cdot z+1) \cdot(4 \cdot \bar{z}+1) \Leftrightarrow\|z\|^{4}+4 \cdot\left(z^{2}+\overline{z^{2}}\right)+16=$
$16 \cdot\|z\|^{2}+4 \cdot(z+\bar{z})+1 \Leftrightarrow$
$\|z\|^{4}+4 \cdot(z+\bar{z})^{2}-8\|z\|^{2}+16=16 \cdot\|z\|^{2}+4 \cdot(z+\bar{z})+1$
$\operatorname{Dar} z+\bar{z}=2 \cdot \operatorname{Re}(\mathrm{z}) \in \mathbb{R}$
$\|z\|^{4}-24\|z\|^{2}=-15+4 \cdot(z+\bar{z})-4 \cdot(z+\bar{z})^{2}$ | 3p | +| | Dar $-15+4 \cdot(z+\bar{z})-4 \cdot(z+\bar{z})^{2}=-14-[2 \cdot(z+\bar{z})-1]^{2} \leq-14$
Egalitatea se obţine pentru $\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{4}$
$\|z\|^{4}-24\|z\|^{2}+14 \leq 0 \Leftrightarrow 12-\sqrt{130} \leq\|z\|^{2} \leq 12+\sqrt{130} \Leftrightarrow$
$\sqrt{12-\sqrt{130}} \leq\|z\| \leq \sqrt{12+\sqrt{130}} \Rightarrow$ | $2 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_1d9252c5e284bd9af2a6g-4.jpg?height=640&width=1699&top_left_y=111&top_left_x=213) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-951-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-951-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2eb68c3348c0d8e6b8a1423e2802180777ad56de --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-951-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,68 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +Problema 1. Să se determine intervalul $[a, b] \subset \mathbb{R}$, ştiind cǎ este îndeplinită condiţia $|a-b-2|-a^{2}=\left(b-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{8}{3}$. + +Problemǎ selectatǎ de Viorica Bujor, profesor, Galați + +Problema 2. Tetraedrul VABC are baza triunghiul echilateral $\mathrm{ABC}$, iar vârful V se proiectează în interiorul triunghiului $\mathrm{ABC}$. Se notează cu $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ariile fețelor laterale VBC, VAC, respectiv VAB. Sǎ se demonstreze cǎ dacǎ are loc egalitatea + +$\left|a^{2} \cdot(b-c)+b^{2} \cdot(c-a)+c^{2} \cdot(a-b)\right|=\frac{2014}{2013} \cdot|(a-b) \cdot(b-c) \cdot(c-a)|$, atunci proiecţia punctului $\mathrm{V}$ pe planul bazei aparţine unei bisectoare a triunghiului $A B C$. + +Tătaru Radu-Marius, profesor, Galaţi + +Problema 3. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât $a \cdot b \cdot c=1$. Sǎ se demonstreze cǎ + +$$ +\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} +$$ + +G.M. nr. $9 / 2013$ + +Problemǎ selectatǎ de Vasile Popa, profesor, Galați + +Problema 4. Fie romburile $A B C D, A B E F, A D G F$ astfel încât $m(\Varangle B A D)=60^{\circ}, m(\Varangle B A F)=60^{\circ}, m(\Varangle F A D)=60^{\circ}$ şi $A B=a$. Fie punctul $M \in(F G E)$. Să se calculeze: + +a) distanţa de la punctul $\mathrm{M}$ la planul (BCD). +b) $\frac{E N+P F}{N P}$ ştiind că $N \in(A B), P \in(A D)$ astfel încât suma $E N+N P+P F$ să fie minimă. + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +## 23 februarie-2014 + +## Clasa a VIII-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | Din existenţa $[a, b] \subset \mathbb{R} \Rightarrow a \leq b \Rightarrow a-b \leq 0 \Rightarrow$
$a-b-2<0 \Rightarrow\|a-b-2\|=b-a+2$ | $2 p$ | +| | $\|a-b-2\|-a^{2}=\left(b-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{8}{3} \Rightarrow b-a+2-a^{2}=\left(b-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{8}{3} \Leftrightarrow$
$a^{2}+a+b^{2}-\frac{4}{3} b+\frac{25}{36}=0 \Leftrightarrow$ | $2 p$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb67655d30a9b2be5333g-2.jpg?height=399&width=1202&top_left_y=1212&top_left_x=433) | $3 \mathbf{p}$ | +| 2. | $\left\|a^{2} \cdot(b-c)+b^{2} \cdot(c-a)+c^{2} \cdot(a-b)\right\|=\frac{2014}{2013} \cdot\|(a-b) \cdot(b-c) \cdot(c-a)\| \Leftrightarrow$
$\|(a-b) \cdot(b-c) \cdot(a-c)\|=\frac{2014}{2013} \cdot\|(a-b) \cdot(b-c) \cdot(c-a)\| \Rightarrow$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | $a=b$ sau $b=c$ sau $a=c ;$
Dacă $a=b \Rightarrow A_{\Delta V B C}=A_{\Delta V A C}$
$\left\{\begin{array}{l}{[B C] \equiv[A C]} \\ A_{\Delta V B C}=A_{\Delta V A C}\end{array} \Rightarrow d(V, B C)=d(V, A C)\right.$
Fie VM $\perp \mathrm{BC}, \mathrm{M} \in(B C) ;$
$\mathrm{VN} \perp A C, N \in(A C) ;$
Asadar $[V M] \equiv[V N]$ | $2 p$ | + + +| | Fie $\operatorname{pr}_{(A B C)} V=O \Rightarrow V O \perp(A B C)$
$V O \perp(A B C)$
$V M \perp B C$
$\left.\begin{array}{l}B C \subset(A B C)\end{array}\right\} \stackrel{R_{1} T .3 \perp}{\Rightarrow} O M \perp B C ;$
Analog $\mathrm{ON} \perp \mathrm{AC}$
$d(V, B C)=d(V, A C)$
$\operatorname{pr}_{(A B C)} V=O$
Analog se demonstrează în cazul b=c sau a=c. | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| 3. | Folosim inegalitatea mediilor:
$\frac{a+b}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \Leftrightarrow \frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right),(\forall) a, b \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ | $2 p$ | +| | Analog $\frac{1}{c+b} \leq \frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right) ; \frac{1}{a+c} \leq \frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$
Adunând cele trei inegalităţi, obţinem:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \leq \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$
Dar $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a b+a c+b c}{a b c}=a b+a c+c b$ | $2 p$ | +| | Să demonstrăm că $a b+a c+c b \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Demonstraţie: $a b+a c+c b \leq a^{2}+b^{2}+c^{2} \Leftrightarrow 2 \cdot(a b+a c+c b) \leq 2 \cdot\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \Leftrightarrow$
$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \geq 0(A),\left(\forall a, b, c \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right)$ | $2 p$ | +| | Atunci $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} \leq \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \leq \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$
ceea ce trebuia demonstrat. | $1 p$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_cb67655d30a9b2be5333g-4.jpg?height=2063&width=1719&top_left_y=145&top_left_x=195) + +| Pentru ca suma să fie minimă trebuie ca punctele $E, N, P, F$ să fie | +| :--- | :--- | :--- | +| coliniare. Ducem $N Q \\| B D, Q \in[A B]$. Avem | +| $\triangle B N E \equiv \triangle A N F \stackrel{U . L . U}{\Rightarrow}[A N] \equiv[N B]$ şi $[N Q]$ linie mijlocie în $\triangle A B D$. | +| $\triangle P N Q \sim \triangle P F A \Rightarrow \frac{P N}{P F}=\frac{N Q}{A F}=\frac{1}{2} \Rightarrow P F=2 \cdot N P$ | +| De asemenea, $\triangle P Q N \sim \triangle P D E \stackrel{\text { T.F.A }}{\Rightarrow} \frac{P N}{P E}=\frac{Q N}{D E}=\frac{1}{4} \Rightarrow E N=3 \cdot N P$. | +| Deci $\frac{E N+P F}{N P}=\frac{3 \cdot N P+2 \cdot N P}{N P}=\frac{5 \cdot N P}{N P}=5$. | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-952-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-952-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea7eee9fbf8533208607527670baa61e51b7f86d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-952-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,51 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a VII-a + +Problema 1. Sǎ se determine numerele întregi $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ care verificǎ egalitatea $|a b+5-c|+|b c+1-a|+|a c+1-b|=0$. + +## Maricel Manea, profesor, Munteni + +Problema 2. Se considerǎ paralelogramul $\mathrm{ABCD}$ şi $E \in(C D)$. + +Dacă $A E \cap B C=\{F\}$ şi $\mathrm{BE} \cap \mathrm{AD}=\{G\}$, să se demonstreze că $\mathrm{AD} \leq \frac{D G+C F}{2}$. + +G.M. nr. 11/2013 + +Problemǎ selectatǎ de Dorina Andrei Nicoarǎ, profesor, Galați + +## Problema 3. + +In paralelogramul $A B C D, A C \cap B D=\{O\}, M \in[B C],[B M] \equiv[M C], O N \| D M, N \in[A D]$. + +Să se calculeze raportul $\frac{A N}{N D}$. + +Problemǎ selectatǎ de Constantina Mihăilă, profesor, Galați + +## Problema 4. + +a) Sǎ se calculeze $\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}-\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1) \cdot(2 n+1)}, n \in \mathbb{N}^{*}$. + +b) Sǎ se determine numǎrul natural nenul $\mathrm{n}$ din egalitatea + +$2 \cdot\left(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{2}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\frac{3}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}+\ldots+\frac{n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 \cdot n+1)}\right)=1-\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2013}$. + +Problemǎ selectatǎ de Carmen Necula, profesor, Galați + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +Clasa a VII-a + +Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c6fd00a4de2bf0be0235g-2.jpg?height=1539&width=1702&top_left_y=835&top_left_x=209) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c6fd00a4de2bf0be0235g-3.jpg?height=2255&width=1702&top_left_y=146&top_left_x=209) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-953-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-953-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b111c2d269ddbdb0e97cff787bfb4412b48d8fcc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-953-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,94 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi
23 februarie 2014
Clasa a VI-a + +## Problema 1.. + +a) Să se calculeze: + +$$ +\left[2,1(6)+1 \frac{1}{2}: 0,(3)\right] \cdot\left(2-\frac{4}{5}\right)^{2}-9 \cdot 2014^{0} +$$ + +b) Să se determine numerele naturale a şi b, pentru care sunt satisfăcute relaţiile: + +$$ +(a, b)=15 \text { şi } a+b=240 +$$ + +## Mirela Grigore, profesor, Galaţi + +## Problema 2. + +Se consideră triunghiul isoscel $\mathrm{ABC}$ cu $A B=A C$, iar $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{N}$ două puncte pe dreapta $\mathrm{BC}$ astfel încât B să fie între $\mathrm{M}$ şi $\mathrm{C}$, iar $\mathrm{C}$ între $\mathrm{B}$ şi $\mathrm{N}$. Ştiind că $A M=A N$, să se demonstreze că: +a) $B M=C N$ +b) $P N=Q M$, unde $\mathrm{P}$ şi $\mathrm{Q}$ sunt respectiv mijloacele laturilor $[A B],[A C]$ +c) $P M=Q N$ + +d) Dacă $M Q \cap N P=\{O\}$, să se arate că punctul $O$ aparţine bisectoarei unghiului $M A N$. + +Maricel Manea, profesor, Munteni + +## Problema 3 + +Fie numerele raţionale: + +$$ +\begin{aligned} +A & =\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{2013}}+\frac{1}{2^{2014}}\right) \cdot\left(1+1+2+2^{2}+\ldots+2^{2013}\right) \\ +B & =\frac{2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2+1}{1+2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}}-2 +\end{aligned} +$$ + +Să se calculeze $B+A-2^{2015}$. + +Veronica Grigore, profesor, Galaţi + +## Problema 4 + +Determinaţi numerele prime $p$ pentru care $p+2, p^{2}+4, p^{3}+2$ şi $p^{4}-2$ sunt simultan numere prime. + +Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
proble
mei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1.a | Transformările fracţiilor zecimale în fracţii ordinare: $2,1(6)=2 \frac{15}{90}=2 \frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
si $0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $2,1(6)+1 \frac{1}{2}: 0,(3)=\frac{13}{6}+\frac{3}{2}: \frac{1}{3}=\frac{40}{6}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $\left(2-\frac{4}{5}\right)^{2}=\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Finalizare: $\frac{40}{6} \cdot \frac{36}{25}-9 \cdot 1=\frac{3}{5}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| 1.b | $(a, b)=15 \Rightarrow$ există $x, y \in \mathbb{N}$ astfel încât $a=15 \cdot x, b=15 \cdot y,(x, y)=1$
Din $a+b=240$ obţinem $15 \cdot x+15 \cdot y=240$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $x+y=16,(x, y)=1 \Rightarrow$
$(x, y) \in\{(1,15),(15,1),(3,13),(13,3),(5,11),(11,5),(7,9),(9,7)\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | $(a, b) \in\{(15,225),(225,15),(45,195),(195,45),(75,165),(165,75)\} \cup$
$\cup\{(105,135),(135,105)\}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | a) Din $\triangle A B C$ isoscel $\Rightarrow \Varangle A B C \equiv \Varangle A C B \Rightarrow \Varangle A B M \equiv \Varangle A C N$
$\triangle A M N$ isoscel $\Rightarrow \Varangle A M B \equiv \Varangle A N C$
Conform cazului LUU $\Rightarrow \triangle A M B \equiv \triangle A N C \Rightarrow M B=N C ; \Varangle M A B \equiv \Varangle N A C$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | b) Conform cazului LUL $\Rightarrow \triangle P N B \equiv \triangle Q M C \Rightarrow P N=Q M ; \Varangle P N B \equiv \Varangle Q M C$ | $2 \mathrm{p}$ | + + +| 2 | c) Conform cazului $\mathrm{LUL} \Rightarrow \triangle M B P \equiv \triangle N C Q \Rightarrow M P=N Q$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | d) $\Varangle P N B \equiv \Varangle Q M C \Rightarrow \triangle M O N$ isoscel $\Rightarrow M O=N O$
Dar $O P=P N-O N ; O Q=M Q-O M \Rightarrow O P=O Q$
Conform cazului LLL $\Rightarrow \triangle A O P \equiv \triangle A O Q \Rightarrow \Varangle P A O \equiv \Varangle Q A O$
Dar şi $\Varangle M A B \equiv \Varangle N A C \Rightarrow \Varangle M A O \equiv \Varangle N A O$ | $1 \mathrm{p}$ | + + +| Nr.
proble
mei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 3 | Calculăm a doua paranteză din $\mathrm{A}$ :
$1+1+2+2^{2}+\ldots+2^{2013}=(2+2)+2^{2}+\ldots+2^{2013}=\left(2^{2}+2^{2}\right)+2^{3}+\ldots+2^{2013}=$
$=\ldots=2^{2013}+2^{2013}=2^{2014}$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_8e868498570ac7408973g-3.jpg?height=278&width=1315&top_left_y=1136&top_left_x=544) | $2 \mathrm{p}$ | +| | $B=\frac{2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2+1}{1+2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}}-2$
Fie $S=2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2+1$
Atunci $2 \cdot S=2^{2016}+2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+\ldots+2^{3}+2^{2}+2 \Rightarrow$
$2 \cdot S=2^{2016}+S+1 \Rightarrow S=2^{2016}-1$
Fie $T=1+2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}$
Atunci $4 T=2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2014}+2^{2016} \Rightarrow$
$4 T=2^{2016}+T-1 \Rightarrow 3 T=2^{2016}-1 \Rightarrow T=\frac{2^{2016}-1}{3}$ (2)
$B=\frac{2^{2016}-1}{\frac{2^{2016}-1}{3}}-2=3-2=1$ | $2 \mathrm{p}$ | +| | Finalizare: $B+A-2^{2015}=0$ | $1 \mathrm{p}$ | +| | Pentru $p=2$ avem $p+2=4$, care nu este număr prim. | | + + +| 4 | Pentru $p=3$ avem numerele $5,13,29$ şi 79 , care sunt, toate, numere prime. | $2 \mathrm{p}$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Pentru $p=5$ avem numărul $p^{4}-2=623$, care se divide cu 7. | $1 \mathrm{p}$ | +| | Demonstrăm că pentru $p>5$, număr prim, nu toate cele patru numere sunt
prime. Dacă $p>5$, atunci $p=5 \cdot k+1, p=5 \cdot k+2, p=5 \cdot k+3$ sau
$p=5 \cdot k+4, k \geq 1 \quad(p=5 \cdot k, k>1$, nu sunt numere prime $)$.
Dacă $p=5 \cdot k+1$, atunci $p^{2}+4=(5 \cdot k+1)^{2}+4=\mathrm{M}_{5}+1+4=\mathrm{M}_{5}$ care nu este
număr prim. | $1 \mathrm{p}$ | +| | Dacă $p=5 \cdot k+2$, atunci $p^{3}+2=(5 \cdot k+2)^{3}+2=\mathrm{M}_{5}+2^{3}+2=\mathrm{M}_{5}+10=\mathrm{M}_{5}$
care nu este număr prim. | $1 \mathrm{p}$ | +| | Dacă $p=5 \cdot k+3$, atunci $p+2=5 \cdot k+3+2=\mathrm{M}_{5}+5=\mathrm{M}_{5}$ care nu este
număr prim. | $1 \mathrm{p}$ | +| | Dacă $p=5 \cdot k+4$, atunci $p^{2}+4=(5 \cdot k+4)^{2}+4=\mathrm{M}_{5}+4^{2}+4=\mathrm{M}_{5}+20=\mathrm{M}_{5}$
care nu este număr prim.
Singura soluție este $p=3$. | $1 \mathrm{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-954-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-954-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45c1483813d1782c781643901c87246bb021ed3d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-954-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a V-a + +Problema 1. Elena are de citit o carte. După ce citeşte trei optimi din numărul paginilor cărţii, constată că a citit cu 10 pagini mai mult decât o treime din numărul total de pagini ale cărţii. + +a) Câte pagini are cartea? + +b) Câte pagini a citit Elena? + +Viorica Bujor, profesor, Galaţi + +Problema 2. Fie $p$ un număr natural impar care nu se divide cu 5. Să se demonstreze că numărul $p^{2 \cdot n \cdot(n+1)}-1$ este divizibil cu 10 , oricare ar fi $n \in \mathbb{N}$. + +## Manea Maricel, profesor, Munteni + +Problema 3. Se dǎ numărul $a=2^{2014}-2^{2008}-2^{2007}$. + +a) Sǎ se determine ultimele patru cifre ale numărului a. + +b) Sǎ se determine cel mai mic număr natural nenul b astfel încât numărul $a \cdot b$ să fie, în acelaşi timp, pătrat perfect şi cub perfect. + +Milu Cârmaciu, profesor, Galați + +Problema 4. Numărul natural $\overline{a b c d}$ are suma cifrelor egală cu 27. Să se demonstreze că numărul $\overline{a b c d}+\overline{d c b a}$ se divide cu 297 . + +G.M. nr. 11/ 2013 + +Problemǎ selectatǎ de Vasile Popa, profesor, Galați + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +Clasa a V-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| Nr.
problemei | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7fab5016e869b444043bg-2.jpg?height=952&width=191&top_left_y=725&top_left_x=228) | a) Metoda figurativǎ:
$\quad$ Numǎrul paginilor îl reprezentǎm printr-un segment de dreaptǎ pe
care îl împǎrţim în 8 pǎr̦i egale. Trei optimi din numǎrul total de pagini
mai puțin 10 pagini reprezintǎ o treime din numǎrul total de pagini.
Urmǎtoarele trei optimi din numǎrul total de pagini mai puțin 10 pagini
reprezintǎ tot o treime din numǎrul total de pagini. | $1 p$ | +| | Ultimele douǎ optimi din numǎrul total de pagini plus cele 20 pagini
reprezintǎ a treia treime din numărul total de pagini. | 1p | +| | Atunci trei optimi din numǎrul total de pagini mai puţin 10 pagini, sunt
egale cu douǎ optimi din numǎrul total de pagini plus cele 20 pagini. | 1p | +| | Aşadar, o optime din numǎrul total de pagini reprezintǎ 30 pagini. Cartea
are 240 pagini. | $2 \mathbf{p}$ | +| | Elena a citit 90 pagini. | $2 \mathbf{p}$ | +| 2. | $n \cdot(n+1) \vdots 2,(\forall) n \in \mathbb{N}$, (produs de numere naturale consecutive) $\Rightarrow$
$2 \cdot n \cdot(n+1) \vdots 4$ | $2 p$
$1 p$ | +| | $p$ număr impar, $p$ nu se divide cu $5 \Rightarrow u(p) \in\{1,3,7,9\} \Rightarrow$ | $2 \mathbf{p}$ | +| | $u\left(p^{2 \cdot n \cdot(n+1)}\right)=1 \Rightarrow u\left(p^{2 \cdot n \cdot(n+1)}-1\right)=0 \Rightarrow\left(p^{2 \cdot n \cdot(n+1)}-1\right) \vdots 10$ | $2 \mathbf{2 p}$ | +| 3. | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7fab5016e869b444043bg-2.jpg?height=286&width=1245&top_left_y=1978&top_left_x=436) | $2 p$ | + + +| | Cea de-a patra cifră de la sfârşit este ultima cifră a numărului
$2^{2004}$ care este 6 .
Deci ultimele patru cifre ale numărului a sunt $6,0,0,0$. | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Numărul $a \cdot b$ este pătrat perfect dacă se scrie ca o putere cu exponentul
multiplul lui 2 , iar a $\cdot$ b este cub perfect dacă se scrie ca o putere cu
exponentul multiplul lui 3 ;
$a=2^{2007} \cdot 5^{3}$; | $2 p$ | +| | Exponenţii puterilor din numărul $a$ sunt divizibili cu 3 , dar nu se divid cu 2 .
Atunci, pentru ca numărul $b$ să fie cel mai mic număr astfel încât $a \cdot b$ să fie atât
pătrat perfect cât şi cub perfect $\Rightarrow$
$\mathrm{b}=2^{3} \cdot 5^{3}$;
$a \cdot b=2^{2007} \cdot 5^{3} \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}=2^{2010} \cdot 5^{6}=\left(2^{335}\right)^{6} \cdot 5^{6}=\left(2^{1005} \cdot 5^{3}\right)^{2}=\left(2^{60} \cdot 5^{2}\right)^{3}$. | 1p | +| 4. | $A=\overline{a b c d}+\overline{d c b a}=1001 \cdot(a+d)+110 \cdot(b+c)=$
$11 \cdot 91(a+d)+11 \cdot 10(b+c) \Rightarrow A \vdots 11$ | 3p | +| | $\operatorname{Dar} A=891 \cdot(a+d)+110 \cdot(a+b+c+d)=27 \cdot 33 \cdot(a+d)+110 \cdot(a+b+c+d)=$
$27 \cdot 33 \cdot(a+d)+110 \cdot 27=27 \cdot[33 \cdot(a+d)+110] \Rightarrow A \vdots 27$ | 3p | +| | $\left.\begin{array}{l}(11,27)=1 \\ A \vdots 11 \\ A \vdots 27\end{array}\right\} \Rightarrow A \vdots 297$ | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-955-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-955-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..00f16d686530582689d1c9f3fd2e34fc435f97cf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-955-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,60 @@ +# Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +## Problema 1. + +Fie $\left(\mathrm{b}_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie geometrică crescătoare cu termeni pozitivi. Să se demonstreze că $\mathrm{b}_{2 n+2}-b_{1} \geq(2 n+1) \cdot\left(b_{n+2}-b_{n+1}\right),(\forall) n \in \mathbb{N}, n \geq 1$. + +## Problemǎ selectatǎ de Carmen Necula, profesor, Galați + +## Problema 2. + +Se consideră triunghiul $\mathrm{ABC}$ neisoscel şi $\mathrm{M} \in(A B), \mathrm{N} \in(A C)$ astfel încât $[\mathrm{BM}] \equiv[C N]$. Să se demonstreze că dreapta determinată de mijloacele segmentelor $[M N]$ şi $[B C]$ este paralelă cu bisectoarea interioară a triunghiului $\mathrm{ABC}$. + +## Problemǎ selectată deViorica Bujor, profesor, Galați + +Problema 3. Sǎ se rezolve în mulţimea numerelor naturale inecuaţia + +$\left\{\sqrt{\left[\frac{n^{2}}{2}\right]+\left[\frac{(n+1)^{2}}{2}\right]}\right] \geq \frac{1}{2}$, unde cu $\{a\},[a]$ s-a notat partea fracţionară, respectiv partea întreagă a numărului real a. + +Tătaru Radu-Marius, profesor, Galați + +Problema 4. Fie numerele reale $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} \in[0,1], n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Să se demonstreze că : $\frac{n-1}{2}+\frac{1}{1+x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{n}} \leq \frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\frac{1}{1+x_{3}}+\ldots+\frac{1}{1+x_{n}} \leq n-1+\frac{1}{1+x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{n}}$. + +G.M. nr. 11/2013 + +Problemǎ selecatǎ de Vasile Popa, profesor, Galați + +## Olimpiada de Matematică -etapa locală- Galaţi + +23 februarie-2014 + +## Clasa a IX-a + +## Barem de evaluare + +- Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. +- Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. + +| r. | Soluţie, rezolvare | Punctaj | +| :---: | :---: | :---: | +| 1. | $\left.\begin{array}{l}\text { Fie } q \text { raţia progresiei geometrice } \\ \text { Şirul }\left(b_{n}\right)_{n \geq 1} \text { este o progresie geometrică crescătoare }\end{array}\right\} \Rightarrow q \geq 1$ | 2p | +| | $\mathrm{b}_{2 n+2}-b_{1} \geq(2 n+1) \cdot\left(b_{n+2}-b_{n+1}\right) \Leftrightarrow b_{1} \cdot q^{2 n+1}-b_{1} \geq(2 n+1) \cdot\left(b_{1} \cdot q^{n+1}-b_{1} \cdot q^{n}\right)$
Şirul este crescător, deci $\mathrm{q} \geq 1$.
Dacă $q=1$, inegalitatea este adevarată.
În cazul $\mathrm{q}>1$, inegalitatea devine:
$q^{2 n+1}-1 \geq(2 n+1) \cdot q^{n} \cdot(q-1) \Leftrightarrow 1+q+q^{2}+\ldots+q^{2 n} \geq(2 n+1) \cdot q^{n}, n \geq 1$. | $3 \mathbf{3 p}$ | +| | ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c4220534ef3b96181b79g-2.jpg?height=666&width=1297&top_left_y=1414&top_left_x=438) | 2p | +| | Metoda II:
Aplicând inegalitatea mediilor $\Rightarrow 1+q+q^{2}+\ldots+q^{2 n} \geq(2 n+1) \cdot \sqrt[2 n+1]{1 \cdot q \cdot q^{2} \cdot q^{3} \cdot \ldots \cdot q^{2 n}} \Leftrightarrow$
$1+q+q^{2}+\ldots+q^{2 n} \geq(2 n+1) \sqrt[2 n+1]{\frac{2 n(2 n+1)}{2}} \Leftrightarrow 1+q+q^{2}+\ldots+q^{2 n} \geq(2 n+1) \cdot q^{n}$. | | + + +| 2. | Fie punctul P mijlocul segmentului $[M N]$ şi $\mathrm{Q}$ mijlocul segmentului $[B C]$
$\overrightarrow{Q P}=\frac{1}{2} \cdot(\overrightarrow{Q M}+\overrightarrow{Q N})=\frac{1}{2} \cdot(\overrightarrow{Q B}+\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{Q C}+\overrightarrow{C N})=\frac{1}{2} \cdot(\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{C N})$ | $2 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| | Fie $\mathrm{E} \in(A B)$, astfel încât $\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{E A}$
Fie $\mathrm{F} \in(C A)$, astfel încât $\overrightarrow{C N}=\overrightarrow{F A}$
Atunci $\overrightarrow{Q P}=\frac{1}{2} \cdot(\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{F A})$ | $3 \mathbf{p}$ | +| | Dar $\|\overrightarrow{B M}\|=\|\overrightarrow{C N}\| \Rightarrow\|\overrightarrow{E A}\|=\|\overrightarrow{F A}\| \Rightarrow \triangle A E F$ este isoscel ;
Fie $[A T]$ mediana în $\triangle A E F$ isoscel $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A T}=\frac{1}{2} \cdot(\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F})=\overrightarrow{P Q} \\ {[A T-\text { bisectoarea } \measuredangle E A F}\end{array} \Rightarrow P Q \\| A T\right.$ | $2 p$ | +| 3. | Fie $E(n)=\left[\frac{n^{2}}{2}\right]+\left[\frac{(n+1)^{2}}{2}\right]$
1. $n=2 k, k \in \mathbb{N} \Rightarrow E(2 k)=\left[2 k^{2}\right]+\left[\frac{(2 k+1)^{2}}{2}\right]=\left[2 k^{2}\right]+\left[2 k^{2}+2 k+\frac{1}{2}\right]=$
$=4 k^{2}+2 k=2 k \cdot(2 k+1) \Rightarrow E(n)=n \cdot(n+1)$ | 3p | +| | 2. $n=2 k+1, k \in \mathbb{N} \Rightarrow E(2 k+1)=\left[\frac{(2 k+1)^{2}}{2}\right]+\left[2 k^{2}+4 k+2\right]=$
$\left[2 k^{2}+2 k+\frac{1}{2}\right]+\left[2 k^{2}+4 k+2\right]=$
$4 k^{2}+6 k+2=(2 k+1) \cdot(2 k+2) \Rightarrow E(n)=n \cdot(n+1) \quad$ (2)
Din (1) şi $(2) \Rightarrow E(n)=n \cdot(n+1),(\forall) \mathrm{n} \in \mathbb{N}$ | $2 p$ | +| | $n<\sqrt{n \cdot(n+1)}<\frac{2 n+1}{2} inecuaţia nu are soluţii. | $2 p$ | +| 4. | Demonstrǎm prin metoda inducţiei matematice relaţia din stânga:
I. Verificare pentru $n=2$ :
$\frac{1}{2}+\frac{1}{1+x_{1} \cdot x_{2}} \leq \frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}} \Leftrightarrow$
$\left(1+x_{1}\right) \cdot\left(1+x_{2}\right)\left(1+x_{1} \cdot x_{2}\right)+2\left(1+x_{1}\right) \cdot\left(1+x_{2}\right) \leq 2 \cdot\left(1+x_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot\left(2+x_{1}+x_{2}\right) \Leftrightarrow$
$1-x_{1}-x_{2}+x_{1}^{2} \cdot x_{2}+x_{2}^{2} \cdot x_{1}-x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow$
$\left(1-x_{1}\right) \cdot\left(1-x_{2}\right)\left(1-x_{1} \cdot x_{2}\right) \geq 0(A),(\forall) x_{1}, x_{2} \in[0,1]$ | $2 \mathbf{p}$ | + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c4220534ef3b96181b79g-4.jpg?height=1822&width=1702&top_left_y=81&top_left_x=209) + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-956-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-956-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e478e4a52b65df13c1bcd0bf5df7d36e7d3c110 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-956-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,138 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, 16 Februarie 2014 + +ClaSA A XII-A + +Problema 1. Fie $f:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ o funcţie continuă, neconstantă şi $F$ o primitivă a lui $f$ ce satisface $F(0)=F(1)=0$. Fie $m=\min _{x \in[0,1]} f(x)$ si $M=\max _{x \in[0,1]} f(x)$. Definim functia $g:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ prin $g(x)=x f(x)$, pentru orice $x \in[0,1]$ şi fie $G$ o primitivă a lui $g$ care satisface $G(0)=0$. Arătaţi că + +$$ +|G(1)| \leq \frac{-m M}{2(M-m)} +$$ + +Duong Viet Thong, AMM 11581 + +Problema 2. Fie * o lege de compoziţie asociativă şi comutativă pe o mulţime $S$. Presupunem că pentru orice $x, y \in S$ există $z \in S$ astfel încât $x \star z=y$ ( $z$ poate depinde de $x$ şi $y$ ). Arătaţi că dacă $a$, $b, c \in S$ satisfac $a \star c=b \star c$ atunci $a=b$. + +Problema 3. Se consideră numerele reale $a$ şi $b$ şi operaţia $\star$ pe $\mathbf{R}$ definită prin + +$$ +x \star y=x y-a(x+y)+b +$$ + +Să se arate că intervalul $(a, \infty)$ este o parte stabilă a lui $\mathbf{R}$ faţă de operaţia $\star$ dacă şi numai dacă $b \geq a(a+1)$. + +Problema 4. Determinaţi familia de primitive + +$$ +I=\int \frac{x \ln \left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}} d x +$$ + +## NOTĂ: + +Timp de lucru 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare problemă se va nota cu puncte de la 1 la 7 (un punct din oficiu). + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, 16 Februarie 2014 + +## Soluţii
Clasa a XII-a + +Problema 1: Oficiu 1 p. +a) $1 \mathrm{p}$. + +Deoarece $f$ este o functie neconstanta deducem ca $f \not \equiv 0$ in $[0,1]$. Cum $F(0)=F(1)=0$ rezultă că $f$ schimbă semnul in $[0,1]$ (altfel, cum $f=F^{\prime}$ ar rezulta ca $F$ ar fi fie crescatoare, fie descrescatoare pe $[0,1]$ si cum $F(0)=F(1)=0$ asta ar insemna $F \equiv 0$ in [0,1] fapt ce ar implica $f=0$ in [0,1], contradictie cu presupunerea $f \not \equiv 0$ in $[0,1]$.) Astfel, $m<00$ (daca $G(1)<0$ inmultim $f$ cu (-1) si avem in noua situatie $G(1)>0$ iar rolurile lui $m$ si $M$ se inverseaza). +c) 1 p. + +Definim functia $H:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ prin + +$$ +H(x)= \begin{cases}m, & 0 \leq x \leq M \\ M, & M0$ avem $x_{\epsilon}:=a+\epsilon \in(a, \infty)$ si $y_{\epsilon}:=a+\epsilon \in(a, \infty)$. Deci $x_{\epsilon} \star y_{\epsilon} \in(a, \infty)$ pentru orice $\epsilon>0$, sau echivalent $\epsilon^{2}+b-a^{2}>a$ pentru orice $\epsilon>0$. Lasand $\epsilon \rightarrow 0$ in ultima inegalitate deducem $b \geq a^{2}+a$, si demonstratia este completa. + +Problema 4: Oficiu $1 \mathrm{p}$. +a) $2 \mathrm{p}$. + +Facem schimbarea de variabila $\sqrt{1+x^{2}}=y$ si deci $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=d y$ si + +$$ +I=\int \ln (1+y) d y +$$ + +b) $4 \mathrm{p}$. + +Folosind formula de integrare prin parti gasim + +$$ +\begin{aligned} +I & =y \ln (1+y)-\int \frac{y}{1+y} d y=y \ln (1+y)-y+\ln (1+y)+\mathcal{C}=(y+1) \ln (1+y)-y+\mathcal{C} \\ +& =\left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right) \ln \left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}+\mathcal{C} +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-957-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-957-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..093f8f4c6e3469d58dccfc1131c3de5a572073de --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-957-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a XI-a + +Problema 1. Fie $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}(k \geq 1)$ numere reale astfel încât $a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{k}=0$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{0} \sqrt[3]{n}+a_{1} \sqrt[3]{n+1}+\ldots+a_{k} \sqrt[3]{n+k}\right)$. + +Problema 2. Fie $a$ şi $b$ două numere reale pozitive, cu $a0}} f(x)$ există şi este finită. Să se arate că dacă $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(\sqrt{x y})$ pentru orice $x, y>0$, atunci $\mathrm{f}$ este o funcţie constantă. + +Problema 4. Să se arate că oricare ar fi $a, b, c \in \mathbb{Z}$, sistemul + +$\frac{1}{2} x=a x+b y+c z$ + +$\frac{1}{2} y=c x+a y+b z$ + +$\frac{1}{2} z=b x+c y+a z$ admite numai soluţia $x=y=z=0$. + +## Notă : + +1. Timp de lucru: 3 ore +2. Toate subiectele sunt obligatorii +3. Fiecare problemă se va nota cu puncte de la 1 la 7 (un punct din oficiu) + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a XI-a
Soluţii + +Problema 1. Fie $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}(k \geq 1)$ numere reale astfel încât $a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{k}=0$. Să se calculeze $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{0} \sqrt[3]{n}+a_{1} \sqrt[3]{n+1}+\ldots+a_{k} \sqrt[3]{n+k}\right)$. + +Soluţie. Înlocuim $a_{0}=-a_{1}-a_{2}-\ldots-a_{k}$ şi astfel $a_{0} \sqrt[3]{n}+a_{1} \sqrt[3]{n+1}+\ldots+a_{k} \sqrt[3]{n+k}=$ $a_{1}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})+\ldots+a_{k}(\sqrt[3]{n+k}-\sqrt[3]{n})$. + +Însă pentru orice $p=1,2, \ldots, k, \sqrt[3]{n+p}-\sqrt[3]{n}=\frac{n+p-n}{\sqrt[3]{(n+p)^{2}}+\sqrt[3]{(n+p) n}+\sqrt[3]{n^{2}}}=$ $=\frac{p}{\sqrt[3]{(n+p)^{2}}+\sqrt[3]{(n+p) n}+\sqrt[3]{n^{2}}} \longrightarrow 0$ când $n \rightarrow \infty$. + +Deci limita căutată este 0 . + +Problema 2. Fie $a$ şi $b$ două numere reale pozitive, cu $a0}} f(x)$ există şi este finită. + +Să se arate că dacă $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(\sqrt{x y})$ pentru orice $x, y>0$, atunci $\mathrm{f}$ este o functie constantă. + +Soluţie. Vom demonstra că $f(x)=c$, unde $c=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} f(x)$. + +Fie $\lambda>0, x>0$ sुi $y=\lambda x$. Atunci $\operatorname{din} f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(\sqrt{x y}) \Rightarrow f\left(\frac{1+\lambda}{2} \cdot x\right)=f(\sqrt{\lambda} \cdot x)$ $\Rightarrow f(x)=f\left(\frac{2 \sqrt{\lambda}}{1+\lambda} \cdot x\right), \forall x>0$. + +Dacă $a=\frac{2 \sqrt{\lambda}}{1+\lambda}$, atunci $00$. + +Deducem inductiv că $f(x)=f\left(a^{n} x\right), \forall n \geq 1$. Cum $a^{n} x \rightarrow 0$ când $n \rightarrow \infty \Rightarrow$ $\Rightarrow f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a^{n} x\right)=c$. + +Problema 4. Să se arate că oricare ar fi $a, b, c \in \mathbb{Z}$, sistemul + +$\frac{1}{2} x=a x+b y+c z$ +$\frac{1}{2} y=c x+a y+b z$ +$\frac{1}{2} z=b x+c y+a z$ admite numai soluţia $x=y=z=0$. + +Soluţie. Scriem sistemul sub formă matricială $A\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ $\operatorname{cu} A=\left(\begin{array}{ccc}a-\frac{1}{2} & b & c \\ c & a-\frac{1}{2} & b \\ b & c & a-\frac{1}{2}\end{array}\right)$ şi arătăm că $A$ este inversabilă (adică $\operatorname{det}(A) \neq 0$ ) şi atunci va rezulta că $\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$, de unde $x=y=z=0$. + +Adunând ultimele două linii la prima deducem că + +$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c-\frac{1}{2} & a+b+c-\frac{1}{2} & a+b+c-\frac{1}{2} \\ c & a-\frac{1}{2} & b \\ b & c & a-\frac{1}{2}\end{array}\right|=\left(a+b+c-\frac{1}{2}\right)\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ c & a-\frac{1}{2} & b \\ b & c & a-\frac{1}{2}\end{array}\right|$. + +Scădem prima coloană din următoarele două şi obţinem + +$\operatorname{det}(A)=\left(a+b+c-\frac{1}{2}\right)\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ c & a-c-\frac{1}{2} & b-c \\ b & c-b & a-b-\frac{1}{2}\end{array}\right|=\left(a+b+c-\frac{1}{2}\right)\left|\begin{array}{cc}a-c-\frac{1}{2} & b-c \\ c-b & a-b-\frac{1}{2}\end{array}\right|=$ $=\left(a+b+c-\frac{1}{2}\right)\left[\left(a-c-\frac{1}{2}\right)\left(a-b-\frac{1}{2}\right)+(c-b)^{2}\right]=$ + +$=\left(a+b+c-\frac{1}{2}\right)\left[(a-c)(a-b)-a+(c-b)^{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{1}{4}\right]$. + +Cum $a, b, c \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+b+c-\frac{1}{2} \neq 0$. + +Dacă $b+c=2 k$ cu $k \in \mathbb{Z}$ atunci $(a-c)(a-b)-a+(c-b)^{2}+k+\frac{1}{4} \neq 0$, iar dacă $b+c=2 k+1$, atunci $(a-c)(a-b)-a+(c-b)^{2}+k+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \neq 0$. + +Deci $\operatorname{det}(A) \neq 0$, de unde $x=y=z=0$. + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a XI-a + +## Barem de corectare + +## Problema 1. + +1. Oficiu ..... $1 p$ +2. $a_{0}=-a_{1}-a_{2}-\ldots-a_{k}$ ..... $1 p$ +3. $\sqrt[3]{n+p}-\sqrt[3]{n}=\frac{p}{\sqrt[3]{(n+p)^{2}}+\sqrt[3]{(n+p) n}+\sqrt[3]{n^{2}}}$ pentru $p=1,2, \ldots, k$ ..... $2 p$ +4. $\sqrt[3]{n+p}-\sqrt[3]{n} \longrightarrow 0$ când $n \rightarrow \infty$ pentru orice $p=1,2, \ldots, k$ ..... $2 p$ +5. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{0} \sqrt[3]{n}+a_{1} \sqrt[3]{n+1}+\ldots+a_{k} \sqrt[3]{n+k}\right)=0$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 2. +6. Oficiu ..... $1 p$ +7. $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=b$ ..... $1 p$ +8. $b<[b]+1$ ..... $1 p$ +9. $\exists n_{0} \in \mathbb{N}$ astfel încât $\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}<[b]+1, \forall n \geq n_{0}$ ..... $1 p$ +10. $\forall n \geq n_{0},\left[\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}\right]=[b]$ ..... $1 p$ +11. $\left\{\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}\right\}=\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}-[b]$ ..... $1 p$ +12. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}\right\}=b-[b]=\{b\}$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ + +## Problema 3. + +1. Oficiu ..... $1 p$ +2. $y=\lambda x$, cu $\lambda>0, x>0$ ..... $2 p$ +3. $f(x)=f(a x)$ cu $a=\frac{2 \sqrt{\lambda}}{1+\lambda}<1$ ..... $1 p$ +4. $f(x)=f\left(a^{n} x\right), \forall x>0$ şi $n \geq 1$ ..... $1 p$ +5. $a^{n} x \rightarrow 0$ când $n \rightarrow \infty$ ..... $1 p$ +6. Concluzia $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a^{n} x\right)=c, \forall x>0$, cu $c=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} f(x)$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 4. +7. Oficin ..... $1 p$ +8. Scrierea matricială $A\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ..... $2 p$ +9. $\operatorname{det}(A)=\left(a+b+c-\frac{1}{2}\right)\left[(a-c)(a-b)-a+(c-b)^{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{1}{4}\right]$ ..... $1 p$ +10. $\operatorname{det}(A) \neq 0$ ..... $2 p$ +11. Concluzia $x=y=z=0$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-958-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-958-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa9d8756a54aaa85ecaad6a50cebfd39710e8d30 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-958-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,193 @@ +Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +# Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Clasa a X-a
Craiova, 16 februarie 2014 + +## Problema 1. + +Fie $f: A \rightarrow B$ şi $A_{0}, B_{0}$ două mulţimi astfel încât $A_{0} \subset A, B_{0} \subset B$. Definind $f^{-1}\left(B_{0}\right)=\left\{x \in A \mid f(x) \in B_{0}\right\}$, arătaţi că au loc următoarele: +i) $A_{0} \subseteq f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)$, cu egalitate atunci când $f$ este injectivă. + +ii) $f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right) \subseteq B_{0}$, cu egalitate atunci când $f$ este surjectivă. + +## Problema 2. + +Fie $x, y, z$ numere reale astfel încât $\frac{x y z}{x+y}=-1, \frac{x y z}{y+z}=1$ şi $\frac{x y z}{x+z}=a$, unde $a>\frac{1}{2}$ este un număr real. Determinaţi produsul $x y z$. + +G. M. 26736 + +## Problema 3. + +Să se găsească $a \in \mathbb{R}$ astfel încât identitatea de mai jos să aibă loc pentru orice $x \in \mathbb{R}$ : + +$$ +(2-\cos a-\sqrt{3} \sin a)^{\frac{x}{2}}+(2-\cos a+\sqrt{3} \sin a)^{\frac{x}{2}}=2|1-2 \cos a|^{\frac{x}{2}} +$$ + +## Problema 4. + +Fie $z$ un număr complex cu proprietatea că $|z+1| \geq 2$. Demonstraţi că $\left|z^{3}+1\right| \geq 1$. + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 1 la 7; + +Timp de lucru: 3 ore. + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică + +Clasa a X-a + +Craiova, 16 februarie 2014 + +Soluţii + +## Problema 1. + +i) Fie $x \in A_{0}$. Atunci $f(x) \in f\left(A_{0}\right)$. Din faptul că + +$$ +f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)=\left\{a \in A \mid f(a) \in f\left(A_{0}\right)\right\} +$$ + +obţinem că $x \in f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)$, deci $A_{0} \subseteq f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)$. + +Dacă $f$ este injectivă atunci pentru $x \in f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)$, avem că $f(x) \in f\left(A_{0}\right)$, de unde deducem că există $a_{0} \in A_{0}$ astfel incât $f(x)=f\left(a_{0}\right)$, deci $x=a_{0} \in A_{0}$. Aşadar $f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right) \subseteq A_{0}$. Aşadar dacă $f$ este injectivă atunci $f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)=$ $A_{0}$ + +ii) Dacă $x \in f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right)$ rezultă că $x \in f\left(\left\{a \mid f(a) \in B_{0}\right\}\right)$, deci $x \in B_{0}$ si am demonstrat că $f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right) \subseteq B_{0}$. Dacă $f$ este surjectivă, din faptul că $x \in B_{0}$ rezultă că există $a \in A$ astfel incât $f(a)=x$. Obţinem astfel că $a \in f^{-1}\left(B_{0}\right)$, deci $x \in f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right)$ şi $B_{0} \subseteq f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right)$. Aşadar dacă $f$ este surjectivă atunci $f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right)=B_{0}$. + +## Problema 2. + +Relaţiile din ipoteza se pot rescrie astfel + +$$ +\frac{1}{y z}+\frac{1}{x z}=-1, \frac{1}{x z}+\frac{1}{x y}=1, \frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}=\frac{1}{a} +$$ + +Putem găsi astfel că $\frac{1}{x y}=\frac{1+2 a}{2 a}, \frac{1}{y z}=\frac{1-2 a}{2 a}$ si $\frac{1}{z x}=-\frac{1}{2 a}$. Inmulţind cele trei relaţii obţinem că + +$$ +x y z= \pm \sqrt{\frac{8 a^{3}}{4 a^{2}-1}} +$$ + +## Problema 3. + +$\cos a \pm \sqrt{3} \sin a=2\left(\frac{1}{2} \cos a \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3} \cos a \pm \sin \frac{\pi}{3} \sin a\right)=2 \cos \left(a \mp \frac{\pi}{3}\right)$ + +Mai departe + +$$ +2-(\cos a \pm \sqrt{3} \sin a)=2-2 \cos \left(a \mp \frac{\pi}{3}\right)=4 \sin ^{2} \frac{a \mp \frac{\pi}{3}}{2} +$$ + +Partea stângă a identitătii iniţiale devine + +$$ +2^{x}\left|\sin \frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}\right|^{x}+2^{x}\left|\sin \frac{a+\frac{\pi}{3}}{2}\right|^{x} +$$ + +Partea dreaptă a identităţii devine + +$$ +2^{\frac{x}{2}+1}\left|\frac{1}{2}-\cos a\right|^{\frac{x}{2}}=2^{\frac{x}{2}+1}\left|\cos \frac{\pi}{3}-\cos a\right|^{\frac{x}{2}}=2^{x+1}\left|\sin \left(\frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}\right)\right|^{\frac{x}{2}}\left|\sin \left(\frac{a+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\right|^{\frac{x}{2}} +$$ + +Introducând ultimele relaţii in prima obţinem + +$$ +\left[\left|\sin \frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}\right|^{\frac{x}{2}}-\left|\sin \frac{a+\frac{\pi}{3}}{2}\right|^{\frac{\pi}{2}}\right]^{2}=0 +$$ + +adică + +$$ +\sin \frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}= \pm \sin \frac{a+\frac{\pi}{3}}{2} +$$ + +şi + +$$ +a=k \pi, k \in \mathbb{Z} +$$ + +## Problema 4. + +Pentru că $z^{3}+1=(z+1)\left(z^{2}-z+1\right)$ ţinând cont că $|z+1| \geq 2$ este suficient să demonstrăm că $\left|z^{2}-z+1\right| \geq \frac{1}{2}$. Dacă vom nota prin $r=|z+1| \geq 2$ vom avea avea că $z+1=r(\cos t+i \sin t)$, unde $t=\arg (z+1)$. Atunci avem că + +$$ +\begin{gathered} +z^{2}-z+1=r^{2}(\cos 2 t+i \sin 2 t)-3 r(\cos t+i \sin t)+3 \\ +\left|z^{2}+z+1\right|^{2}=r^{4}+9 r^{2}+9-\left(6 r^{3}+18 r\right) \cos t+6 r^{2}\left(2 \cos ^{2} t-1\right)= \\ +=\frac{1}{4}\left(r^{2}-3\right)^{2}+12\left(r \cos t-\frac{r^{2}+3}{4}\right)^{2} \geq \frac{1}{4} +\end{gathered} +$$ + +Deci $\left|z^{2}-z+1\right| \geq \frac{1}{2}$. + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Clasa a X-a
Craiova, 16 februarie 2014
Barem de corectare + +## Problema 1. + +## Problema 1. + +Oficiu $1 \mathrm{p}$ + +Demonstrarea fapului că $A_{0} \subseteq f^{-1}\left(f\left(A_{0}\right)\right)$. + +Demonstrarea cazului de egalitate atunci când $f$ este surjectivă ___ 1.5p + +Demonstrarea fapului că $f\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)\right) \subseteq B_{0} ـ 1.5 \mathrm{p}$ + +Demonstrarea cazului de egalitate atunci când $g$ este surjectivă ___ 1.5p + +Total + +## Problema 2. + + $7 p$Oficiu 1 1p + +Rescrierea relaţiilor sub forma $\frac{1}{y z}+\frac{1}{x z}=-1, \frac{1}{x z}+\frac{1}{x y}=1, \frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}=\frac{1}{a} \cdot 3 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0b7c24f2913aca9885deg-4.jpg?height=71&width=1272&top_left_y=1283&top_left_x=329) + +Găsirea concluziei $x y z= \pm \sqrt{\frac{8 a^{3}}{4 a^{2}-1}}$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Total + +## Problema 3. + +Oficiu $1 \mathrm{p}$ + +Aducerea membrului stâng la forma $2^{x}\left|\sin \frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}\right|^{x}+2^{x}\left|\sin \frac{a+\frac{\pi}{3}}{2}\right|^{x}-2 p$ + +Aducerea membrului drept la forma $2^{x+1}\left|\sin \left(\frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}\right)\right|^{\frac{\pi}{2}}\left|\sin \left(\frac{a+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\right|^{\frac{x}{2}}-1.5 \mathrm{p}$ + +Obţinerea ecuaţiei $\sin \frac{a-\frac{\pi}{3}}{2}= \pm \sin \frac{a+\frac{\pi}{3}}{2}$ $1.5 \mathrm{p}$ + +Obţinerea soluţiilor + +$1 \mathrm{p}$ + +Total $7 \mathrm{p}$ + +## Problema 4. + +Oficiu $1 p$ + +Reducerea concluziei la a demonstra că $\left|z^{2}-z+1\right| \geq \frac{1}{2} \_1 p$ + +Obţinerea faptului că $\left|z^{2}-z+1\right|^{2}=\frac{1}{4}\left(r^{2}-3\right)^{2}+12\left(r \cos t-\frac{r^{2}+3}{4}\right)^{2}-3 \mathrm{p}$ + +Deducerea concluziei $\left|z^{2}-z+1\right| \geq \frac{1}{2}$ + +$\_2 \mathrm{p}$ + +Total + +$7 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-959-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-959-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2c0ededa059f101be551282906ada05309ba860 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-959-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,146 @@ +# Olimpiada de matematică-Etapa locală
Clasa a VIII-a
Craiova, 16 februarie 2014 + +Problema 1. Să se demonstreze că pentru orice numere reale $a$ şi $b$ avem inegalitatea + +$$ +a^{2}+b^{2}-a b-a-b+1 \geq 0 +$$ + +Să se găsească $a$ şi $b$ astfel încât în relaţia de mai sus să avem egalitate. + +Problema 2. In paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ notăm cu $M$, $N$, respectiv $P$ proiecţiile punctului $C$ pe dreptele $A B^{\prime}, A D^{\prime}$, respectiv $B^{\prime} D^{\prime}$. Demonstraţi că dreptele $A P, B^{\prime} N$ şi $D^{\prime} M$ sunt concurente. + +GM $3 / 2012$ + +Problema 3. Să se afle numărul natural $n$ ce verifică relaţia + +$$ +\left[\frac{2 n^{2}}{n+1}\right]=n +$$ + +unde, pentru orice $x \in \mathbb{R},[x]$ reprezintă partea întregă a lui $x$. + +Problema 4. Considerăm tetraedrul $A B C D$ cu $B C \perp C D$ şi $\|B C\|=\|C D\|$. Fie $M$ mijlocul segmentului $[B D]$. Să se arate că dacă $A M \perp B C$, atunci $\|A B\|=\|A C\|$. + +## Notă: + +1. Timp de lucru: 3 ore +2. Toate subiectele sunt obligatorii +3. Fiecare problemă se va nota cu puncte de la 1 la 7 (un punct din oficiu) + +## Olimpiada de matematică-Etapa locală
Clasa a VIII-a
Craiova, 16 februarie 2014 + +Solutii + +Problema 1. Avem + +$$ +\begin{aligned} +a^{2}+b^{2}-a b-a-b+1 & \geq 0 \\ +\Longleftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}-2 a b-2 a-2 b+2 & \geq 0 \\ +\Longleftrightarrow(a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2} & \geq 0 +\end{aligned} +$$ + +aşadar inegalitatea se verifică. + +Pentru a avea egalitate în relatia de mai sus va trebui să avem $a-b=$ $a-1=b-1=0$, deci $a=b=1$. + +Problema 2. Cum $C B \perp\left(A B B^{\prime}\right), C M \perp A B^{\prime}$ si $A B^{\prime} \subset\left(A B B^{\prime}\right)$, din reciproca teoremei celor trei perpendiculare se obţine $B M \perp A B^{\prime}$. Analog obtinem $D N \perp A D^{\prime}, C^{\prime} P \perp B^{\prime} D^{\prime}$. Dreptele $A P, B^{\prime} N$ si $D^{\prime} M$ sunt incluse in planul $\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right)$. Cum $\triangle A B B^{\prime}$ este dreptunghic si $B M \perp A B^{\prime}$, se obtine $\triangle B^{\prime} M B \simeq \triangle B M A$. De aici avem + +$$ +\frac{\left\|M B^{\prime}\right\|}{\|M B\|}=\frac{\|M B\|}{\|M A\|}=\frac{\left\|B B^{\prime}\right\|}{\|A B\|} +$$ + +si deci $\frac{\left\|M B^{\prime}\right\|}{\|M A\|}=\frac{\left\|B B^{\prime}\right\|^{2}}{\|A B\|^{2}}$. Analog $\frac{\left\|P D^{\prime}\right\|}{\left\|P B^{\prime}\right\|}=\frac{\left\|D^{\prime} C^{\prime}\right\|^{2}}{\left\|B^{\prime} C^{\prime}\right\|^{2}}$ si $\frac{\|N A\|}{\left\|N D^{\prime}\right\|}=\frac{\|A D\|^{2}}{\left\|D D^{\prime}\right\|^{2}}$. Va rezulta + +$$ +\begin{aligned} +\frac{\left\|M B^{\prime}\right\|}{\left\|M B^{\prime}\right\|} \cdot \frac{\left\|P D^{\prime}\right\|}{\left\|P B^{\prime}\right\|} \cdot \frac{\|N A\|}{\left\|N D^{\prime}\right\|} & =\frac{\left\|B B^{\prime}\right\|^{2}}{\|A B\|^{2}} \cdot \frac{\left\|D^{\prime} C^{\prime}\right\|^{2}}{\left\|B^{\prime} C^{\prime}\right\|^{2}} \cdot \frac{\|A D\|^{2}}{\left\|D D^{\prime}\right\|^{2}} \\ +& =1 +\end{aligned} +$$ + +deoarece $\|A B\|=\left\|D^{\prime} C^{\prime}\right\|,\left\|B B^{\prime}\right\|=\left\|D D^{\prime}\right\|$ si $\|A D\|=\left\|B^{\prime} C^{\prime}\right\|$. Din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele $A P, B^{\prime} N$ sुi $D^{\prime} N$ sunt concurente. + +Problema 3. Avem + +$$ +\begin{aligned} +\frac{2 n^{2}}{n+1} & \geq n+1 \\ +2 n^{2} & \geq n^{2}+2 n+1 \\ +\Longleftrightarrow \quad n^{2}-2 n+1 & \geq 2 \\ +\Longleftrightarrow \quad(n-1)^{2} & \geq 2 +\end{aligned} +$$ + +Este evident că pentru $n \geq 3$ ultima inegalitate se verifică, deci $\left[\frac{2 n^{2}}{n+1}\right] \geq$ $n+1>n$ şi egalitatea din problemă nu mai poate avea loc. Pentru $n=2$ obținem $\left[\frac{8}{3}\right]=2$, pentru $n=1$ obţinem $[1]=1$ iar pentru $n=0$ obţinem $[0]=0$, deci soluţiile problemei sunt $n=0,1$ şi 2 . + +Problema 4. Fie $N$ mijlocul lui $[B C]$. Cum $M N$ este linie mijlocie în $\triangle B C D$, deci $M N \| C D$ si $C D \perp B C$, vom avea $M N \perp B C$. Deoarece şi $A M \perp B C$, vom avea $B C \perp(A M N)$, prin urmare $A N \perp B C$. In consecinţă, in $\triangle A B C$ segmentul $[A N]$ este şi inălţime şi mediană, aşadar $\triangle A B C$ este isoscel, deci $\|A B\|=\|A C\|$. + +Inspectoratul Scolar Judetean Dolj + +Filiala Craiova a SSMR + +Olimpiada de matematică-Etapa locală + +Clasa a VIII-a + +Craiova, 16 februarie 2014 + +## Barem de corectare + +## Problema 1. + +Oficiu $1 \mathrm{1}$. + +$a^{2}+b^{2}-a b-a-b+1 \geq 0 \Leftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}-2 a b-2 a-2 b+2 \geq 0$ 3p. + +$2 a^{2}+2 b^{2}-2 a b-2 a-2 b+2 \geq 0 \Leftrightarrow(a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2} \geq 0-2 \mathrm{p}$. + +$a^{2}+b^{2}-a b-a-b+1=0$ rezultă $a=b=1$ + +Total 7 p. + +## Problema 2. + +Oficiu $1 p$. + +$B M \perp A B^{\prime}, D N \perp A D^{\prime}, C^{\prime \prime} P \perp B^{\prime} D^{\prime} \longrightarrow$ 1p. + +$\frac{\left\|M B^{\prime}\right\|}{\|M A\|}=\frac{\left\|B B^{\prime}\right\|^{2}}{\|A B\|^{2}}$ si relatiile analoage $\quad 2 \mathrm{p}$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4aff5b0e2e902ceb402dg-4.jpg?height=75&width=1401&top_left_y=1485&top_left_x=338) + +Dreptele $A P, B^{\prime} N$ şi $D^{\prime} N$ sunt concurente $1 p$. + +Total 7 . + +## Problema 3. + +Oficiu 1p. + +$\frac{2 n^{2}}{n+1} \geq n+1 \Longleftrightarrow(n-1)^{2} \geq 2 \longrightarrow$ 2p. + +Pentru $n \geq 3$ avem $\left[\frac{2 n^{2}}{n+1}\right] \geq n+1>n \longrightarrow$ 2p. + +Soluţiile problemei sunt $n=0,1$ şi $2 \ldots 2 p$. + +Total $7 p$. + +Problema 4 . + +Oficiu $1 p$. + +$N$ mijlocul lui $[B C], M N \perp B C \longrightarrow 1 p$. + +$B C \perp(A M N) \longrightarrow 2 p$. + +$A N \perp B C \longrightarrow 1 p$. + +$[A N]$ este şi ingălţime şi mediană in $\triangle A B C$ 1p + +$\triangle A B C$ este isoscel $\Longrightarrow\|A B\|=\|A C\| \longrightarrow$ 1p. + +Total 7p. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-96-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-96-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2fc9198463fb881aa71c334553753d12605300a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-96-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,55 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016 + +CLASA a V-a + +## Subiectul 1. + +a. Determinați numărul natural $n$ ştiind că suma cifrelor numărului $a=10^{2 n}+10^{n}-2$ este egală cu 2016. + +b. Demonstraţi că $2^{2016}-2^{2010}$ se divide cu 2016 . + +Subiectul 2. Numere naturale $a, b, c(0 ETAPA LOCALĂ
30 IANUARIE 2016
CLASA a V-a
Bareme + +## Subiectul 1. + +| a. | $a=1 \underbrace{00 \ldots 00}_{n-1 \text { zerouri }} 1 \underbrace{00 \ldots 00}_{\text {nerouri }}-2=1 \underbrace{00 \ldots 00}_{\text {zerouri }} \underbrace{99 \ldots 99}_{n-1 \text { cifre de } 9} 8$
Suma cifrelor: $9(\mathrm{n}-1)+8+1=2016$
Finalizare $\mathrm{n}=224$ | $\mathbf{2 p}$
$1 p$
$1 p$ | +| :---: | :---: | :---: | +| b. | $a=2^{2000}\left(2^{6}-1\right)=2^{2000} \cdot 63$
$2016=63 \cdot 32$
$a=2^{1995} \cdot 2^{5} \cdot 63=2^{1995} \cdot 2016$, deci este divizibil cu 2016 | $1 \mathrm{p}$
$\mathbf{1 p}$
$1 \mathrm{p}$ | + +## Subiectul 2. + +| $b+c=2 a+15,15 $C=\{100,200,300, \ldots, 2000\}$, deci card $(C)=20$ | $2 \mathbf{p}$ | +| $1+2+3+\ldots+2016=2033136$
Submulţimile sunt:
$\quad A_{1}=\{3,4,5, \ldots, 2016\}=A-\{1,2\}$
$\quad A_{2}=\{1,2,4,5, \ldots, 2016\}=A-\{3\}$ | $1 p$
$1 p$
$1 p$ | + +## Subiectul 4. + +| Turiştii merg 4 ore până la plecarea curierului, parcurgând o distanţă de $24 \mathrm{~km}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| :--- | :--- | :--- | +| Curierul se apropie de turişi în fiecare oră cu distanţa de $8 \mathrm{~km}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| În 3 ore curierul recuperează distanţa dintre el si turişi deci îi va ajunge din urmă. | $\mathbf{2 p}$ | +| Mergând cu o viteză de $14 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, timp de 3 ore curierul parcurge $42 \mathrm{~km}$ (sau $6 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \cdot 7 \mathrm{~h}$ | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-960-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-960-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02e45c0f85ae83be13964ccc59db3511d2cb4ace --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-960-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,159 @@ +# Etapa locală a Olimpiadei Naţionale de Matematică Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a VII-a + +## Problema 1. + +Fie $a, b, c \in \mathbb{Z}$ numere impare. Să se arate că + +$$ +\left\{x \in \mathbb{Q} \mid a x^{2}+b x+c=0\right\}=\emptyset +$$ + +## Problema 2. + +Fie $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ numere reale astfel încât + +$$ +a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}=s +$$ + +Să se demonstreze că + +$$ +\left(a_{1} b_{1}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2} \geq\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}-n s^{2}\right) +$$ + +## Problema 3 . + +Fie $\mathrm{ABC}$ un triunghi ascuţitunghic, iar $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ mijloacele segmentelor $[B C]$, $[C A],[A B]$. Paralela dusă prin $C^{\prime}$ la $B B^{\prime}$ intersectează paralela dusă prin $A$ la $B C$ in $A^{\prime \prime}$. + +a) Să se arate că $\left[C^{\prime} A^{\prime \prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right]$, iar $\left[A^{\prime \prime} C\right] \equiv\left[A A^{\prime}\right]$. + +b) Să se deducă faptul că medianele $\left[A A^{\prime}\right],\left[B B^{\prime}\right],\left[C C^{\prime}\right]$ pot fi laturile unui triunghi. + +## Problema 4. + +Fie $A B C D$ un patrulater şi $\{O\}=A C \cap B D$. Arătaţi că dacă + +$$ +\frac{A_{A O B}}{A_{B O C}}+\frac{A_{B O C}}{A_{C O D}}+\frac{A_{C O D}}{A_{A O D}}+\frac{A_{A O D}}{A_{A O B}}=4 +$$ + +atunci $A B C D$ este paralelogram. + +(G. M. 6-7-8/2013) + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore. + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare problemă se notează cu puncte de la 1 la 7; + +## Etapa locală a Olimpiadei Naţionale de Matematică
Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a VII-a
Soluţii + +## Problema 1. + +Fie $x=\frac{p}{q}$, cu $p, q \in \mathbb{Z},(p, q)=1, q \neq 0$ (putem presupune că p şi q nu sunt simultan pare). + +Atunci $a x^{2}+b x+c=\frac{a p^{2}+b p q+c q^{2}}{q^{2}}$. Cum în fiecare din cazurile ( $\mathrm{p}$, q impare), ( $\mathrm{p}$ par şi q impar) şi (p impar şi q par) numărul $a p^{2}+b p q+c q^{2}$ este impar, deoarece din ipoteză a, b şi c sunt impare, deducem că $a x^{2}+b x+c \neq 0, \forall x \in \mathbb{Q}$, de unde concluzia. + +## Problema 2. + +Înlocuim $b_{i}=s-a_{i}, i=\overline{1, n}$ şi inegalitatea este echivalentă cu + +$$ +\left[a_{1}\left(s-a_{1}\right)+\cdots+a_{n}\left(s-a_{n}\right)\right]^{2} \geq\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left[\left(s-a_{1}\right)^{2}+\cdots+\left(s-a_{n}\right)^{2}-n s^{2}\right] +$$ + +$$ +\left[\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right) s-\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\right]^{2} \geq\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left[n s^{2}-2 s\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)+\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)-n s^{2}\right] +$$ + +Notăm $x=a_{1}+\cdots+a_{n}, y=a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}$. Inegalitatea este echivalentă cu + +$$ +(s x-y)^{2} \geq y(y-2 s x) \Leftrightarrow s^{2} x^{2}-2 s x y+y^{2} \geq y^{2}-2 s x y +$$ + +$\Leftrightarrow s^{2} x^{2} \geq 0$ ceea ce este adevărat. + +## Problema 3. + +a) $\triangle A C^{\prime} A^{\prime \prime} \equiv \triangle C^{\prime} B B^{\prime}(U L U) \Rightarrow\left[C^{\prime} A^{\prime \prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right]$. + +Deducem $A A^{\prime \prime} C A^{\prime}$ paralelogram $\Rightarrow\left[A^{\prime \prime} C\right] \equiv\left[A A^{\prime}\right]$. + +b) Triunghiul căutat este $\triangle C^{\prime} A^{\prime \prime} C$ in care $\left[C^{\prime} A^{\prime \prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right]$, iar $\left[A^{\prime \prime} C\right] \equiv\left[A A^{\prime}\right]$. + +## Problema 4. + +Avem $\frac{A_{A O B}}{A_{B O C}}=\frac{A O}{O C}, \frac{A_{B O C}}{A_{C O D}}=\frac{B O}{O D}, \frac{A_{C O D}}{A_{A O D}}=\frac{C O}{A O}, \frac{A_{A O D}}{A_{A O B}}=\frac{D O}{O B}$. + +Relaţia din enunţ devine $\frac{A O}{O C}+\frac{B O}{O D}+\frac{C O}{A O}+\frac{D O}{O B}=4\left(^{*}\right)$ + +Se ştie ca pentru orice numere reale $x, y>0$ este adevărată relaţia $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$, cu egalitate pentru $x=y$. + +Astfel, deducem că relaţia (*) este adevărată pentru $A O=O C$ şi $B O=O D$, ceea ce implică $A B C D$ este paralelogram. + +## Etapa locală a Olimpiadei Naţionale de Matematică Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a VII-a
Barem de corectare + +## Problema 1. + +Oficiu $1 p$ + +Alegerea lui $x=\frac{p}{q}$, cu $p, q \in \mathbb{Z},(p, q)=1, q \neq 0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$. . . . . . $a x^{2}+b x+c=\frac{a p^{2}+b p q+c q^{2}}{q^{2}}$ $1 p$ + +$a p^{2}+b p q+c q^{2}$ este număr impar $3 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=65&width=1330&top_left_y=932&top_left_x=359) + +Total ................................................................................ 7 . + +## Problema 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=54&width=1327&top_left_y=1097&top_left_x=363) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=62&width=1327&top_left_y=1136&top_left_x=361) + +Notaţile $x=a_{1}+\cdots+a_{n}, y=a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. . . . . . . + +Obţinerea formei echivalente a inegalităţii $(s x-y)^{2} \geq y(y-2 s x) \ldots \ldots . . .2 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=57&width=1327&top_left_y=1279&top_left_x=363) + +Total............................................................................................. + +Problema 3. +Oficiu ...................................................................................................... + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=59&width=1346&top_left_y=1516&top_left_x=343) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=63&width=1299&top_left_y=1579&top_left_x=388) + +A $A^{\prime \prime} C A^{\prime}$ paralelogram ....................................................... 2 p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=60&width=1297&top_left_y=1705&top_left_x=389) + +b) Triunghiul căutat este $\triangle C^{\prime} A^{\prime \prime} C$..................................................... + +Total............................................................................................... + +Problema 4. + +Oficiu ............................................................................................... + +$\frac{A_{A O B}}{A_{B O C}}=\frac{A O}{O C}, \frac{A_{B O C}}{A_{C O D}}=\frac{B O}{O D}, \frac{A_{C O D}}{A_{A O D}}=\frac{C O}{A O}, \frac{A_{A O D}}{A_{A O B}}=\frac{D O}{O B} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{p}$ + +Relaţia din enunţ devine $\frac{A O}{O C}+\frac{B O}{O D}+\frac{C O}{A O}+\frac{D O}{O B}=4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +Pentru orice numere reale $x, y>0$ este adevărată relaţia $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$, cu egalitate + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=46&width=1378&top_left_y=2182&top_left_x=305) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_37be1ade83a81c72cd3cg-3.jpg?height=59&width=1324&top_left_y=2216&top_left_x=359) + +$A B C D$ este paralelogram .......................................................................... + +Total....................................................................................... + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-961-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-961-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c0a62dc0c0e8ec8f728f84e38e27e61489c40e1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-961-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Craiova, 16 februarie 2014 Clasa a VI-a + +Problema 1. Se consideră numărul natural $n$ care împărţit la 10 dă restul 4 şi împărţit la 7 dă restul 5 . + +a) Arătaţi că $n+2$ se divide cu 14 ; + +b) Arătaţi că numărul $2013^{n}-1$ este divizibil cu 2014. + +G.M $9 / 2013$ + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale prime $p$ şi $q$ ştiind că există $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $p=x^{2}+y^{2}$ si $q=x+y+1$. + +Problema 3. Considerăm numerele naturale nenule $a, b$ şi $c$. + +a) Dacă $(a, c)=(b, c)$ şi $[a, c]=[b, c]$, atunci $a=b$, + +b) Să se arate că $(a, b)+[a, b] \geq a+b$, unde $(a, b)=\operatorname{cmmdc}(a, b)$ şi $[a, b]=\operatorname{cmmmc}(a, b)$. + +Problema 4. Pe laturile unui unghi ascuţit $\widehat{X O Y}$ considerăm punctele distincte $A, A^{\prime} \in\left(O X\right.$, respectiv $B, B^{\prime} \in(O Y$, astfel încât $[O A] \equiv[O B]$ şi $\left[O A^{\prime}\right] \equiv\left[O B^{\prime}\right]$. Dreptele $A B^{\prime}$ şi $B A^{\prime}$ se intersectează în punctul I. Să se arate că (OI este bisectoarea unghiului $\widehat{X O Y}$. + +## Notă: + +Timp de lucru: 2 ore; + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect va fi notat cu puncte între 1 şi 7 . + +## Etapa locală a Olimpiadei naţionale de matematică Clasa a VI-a
Craiova, 16 februarie 2014 + +Problema 1. Se consideră numărul natural $n$ care împărţit la 10 dă restul 4 şi împărţit la 7 dă restul 5 . + +a) Arătaţi că $n+2$ se divide cu 14 ; + +b) Arătaţi că numărul $2013^{n}-1$ este divizibil cu 2014 . + +G.M $9 / 2013$ + +Soluţie. Din teorema împărţirii cu rest avem $n=10 c_{1}+4=7 c_{2}+5$. De aici deducem că $n$ este par(deci $n+2$ este par) şi $n+2=7\left(c_{2}+1\right)$. Cum $(2,7)=1$ rezultă că $14 \mid n+2$, ceea ce se cerea la punctul a). + +b) Scriem $2013^{n}-1=(2014-1)^{n}-1=M_{2014}+1-1=M_{2014}$ deoarece $n$ este număr par. + +Problema 2. Determinaţi numerele naturale prime $p$ şi $q$ ştiind că există $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $p=x^{2}+y^{2}$ şi $q=x+y+1$. + +Soluţie. Din $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ rezultă că $q \geq 3$, deci $q$ este un număr prim impar. Deducem astfel că $x, y$ sunt simultan pare sau impare, ceea ce face ca $p$ să fie număr par, adică $p=2$. Ecuaţia $2=x^{2}+y^{2}$ nu are decât soluţia $x=y=1$, astfel că $q=3$. + +Problema 3. Considerăm numerele naturale nenule $a, b$ şi $c$. + +a) Dacă $(a, c)=(b, c)$ sुi $[a, c]=[b, c]$, atunci $a=b$, + +b) Să se arate că $(a, b)+[a, b] \geq a+b$, + +unde $(a, b)=\operatorname{cmmdc}(a, b)$ si $[a, b]=\operatorname{cmmmc}(a, b)$. + +Soluţie. a) Ştim că $a c=(a, c) \cdot[a, c]$ şi analog $b c=(b, c) \cdot[b, c]$. Atunci, conform ipotezei, rezultă $a c=b c$, adică $a=b$. + +b) Fără a restrânge generalitatea, putem considera $a \leq b$ şi distingem două cazuri: $a \mid b$ şi $a \nmid b$. Dacă $a \mid b$ atunci $(a, b)=a,[a, b]=b$, deci vom avea egalitate. Pentru cazul doi, scriem $[a, b]=b m$ cu $m \in \mathbb{N}^{*}$. Din $a \nmid b$ deducem că $m \neq 1$, deci $m \geq 2$. Atunci $(a, b)+[a, b] \geq(a, b)+2 b>a+b($ deoarece $(a, b) \geq 1)$. + +Problema 4. Pe laturile unui unghi ascuţit $\widehat{X O Y}$ considerăm punctele distincte $A, A^{\prime} \in\left(O X\right.$, respectiv $B, B^{\prime} \in(O Y$, astfel încât $[O A] \equiv[O B]$ şi $\left[O A^{\prime}\right] \equiv\left[O B^{\prime}\right]$. Dreptele $A B^{\prime}$ şi $B A^{\prime}$ se intersectează în punctul I. Să se arate că (OI este bisectoarea unghiului $\overline{X O Y}$. + +Soluţie. Se disting două cazuri: $A \in\left(O A^{\prime}\right), B \in\left(O B^{\prime}\right)$, respectiv $A^{\prime} \in$ $(O A), B^{\prime} \in(O B)$. + +În primul caz avem $\triangle A O B^{\prime} \equiv \triangle B O A^{\prime}(\mathrm{LUL})$ de unde deducem că $\widehat{A^{\prime} I} \equiv$ $\widehat{B B^{\prime} I}(1)$. Din $[O A] \equiv[O B]$ şi $\left[O A^{\prime}\right] \equiv\left[O B^{\prime}\right]$ rezultă că $\left[A A^{\prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right](2)$. Din (1), (2) şi faptul că $\widehat{A I A^{\prime}} \equiv \widehat{B I B^{\prime}}$ (fiind opuse la vârf) deducem că $\triangle A I A^{\prime} \equiv$ $\triangle B I B^{\prime}(\mathrm{UUL})$. De aici rezultă că $[A I] \equiv[B I]$ şi astfel $\triangle A O I \equiv \triangle B O I$ (LLL), ceea ce arată că (OI este bisectoarea unghiului $\widehat{X O Y}$. Cazul al doilea se tratează analog. + +## BAREM clasa a VI a + +Problema 1. +Oficiu ..... $1 p$ +$n=10 c_{1}+4=7 c_{2}+5$ ..... $1 p$ +$n$ este par ..... $0.5 p$ +a) $n+2$ este par ..... $0.5 p$ +$n+2=7\left(c_{2}+1\right) \Rightarrow 7 \mid n+2$ ..... $0.5 p$ +$(2,7)=1 \Rightarrow 14 \mid n+2$ ..... $1 p$ +b) $2013^{n}-1=(2014-1)^{n}-1$ ..... $1 p$ +$n$ par $\Rightarrow 2013^{n}-1=M_{2014}$ ..... $1.5 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 2. +Oficiu ..... $1 p$ +$x, y \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow q \geq 3$ ..... $1 p$ +$q$ este un număr prim impar ..... $0.5 p$ +$x, y$ sunt simultan pare sau impare ..... $1 p$ +$p=2$ ..... $1 p$ +$2=x^{2}+y^{2} \Rightarrow x=y=1$ ..... $1.5 p$ +$q=3$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 3. +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +a) $a c=(a, c) \cdot[a, c], b c=(b, c) \cdot[b, c]$ ..... $1 p$ +$a c=b c \Rightarrow a=b$ ..... $0.5 \mathrm{p}$ +b) Considerăm $a \leq b$ ..... $0.5 \mathrm{p}$ +$a \mid b \Rightarrow(a, b)=a,[a, b]=b \Rightarrow$ egalitate ..... $1.5 \mathrm{p}$ +$a \nmid b \Rightarrow[a, b]=b m$ cu $m \in \mathbb{N}^{*}$ ..... $0.5 \mathrm{p}$ +$m \geq 2$... ..... $1 p$ +$(a, b)+[a, b] \geq(a, b)+2 b>a+b$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 4. +Oficiu ..... $1 p$ +a)Cazul $A \in\left(O A^{\prime}\right), B \in\left(O B^{\prime}\right)$ +$\triangle A O B^{\prime} \equiv \triangle B O A^{\prime}(\mathrm{LUL})$ ..... $1 p$ +$\widehat{A A^{\prime} I} \equiv \widehat{B B^{\prime} I}$ ..... $0.5 p$ +$\left[A A^{\prime}\right] \equiv\left[B B^{\prime}\right]$ ..... $1 p$ +$\triangle A I A^{\prime} \equiv \triangle B I B^{\prime}(\mathrm{UUL})$ ..... $1 p$ +$[A I] \equiv[B I]$ ..... $0.5 \mathrm{p}$ +$\triangle A O I \equiv \triangle B O I$ (LLL) ..... $1 p$ +(OI este bisectoarea unghiului $\widehat{X O Y}$ ..... $0.5 \mathrm{p}$ +b)Cazul $A^{\prime} \in(O A), B^{\prime} \in(O B)$-analog ..... $0.5 \mathrm{p}$ +Total ..... $7 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-962-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-962-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b317cefd645a6fe7a9bfd2770241ab8196ba352a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-962-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,131 @@ +# Etapa locală a Olimpiadei Naţionale de Matematică Craiova, 16 februarie 2014
Clasa a V-a + +Problema 1. Aflaţi care dintre numerele $a=2^{19} \cdot 5^{29}$ şi $b=3^{18} \cdot 7^{20}$ este mai mare. + +G. M. nr. $1 / 2013$ + +Problema 2. Să se arate că oricare ar fi cifra nenulă $a$, numărul + +$$ +b=21^{\overline{31 a}}+32^{\overline{a 13}}+43^{\overline{a 31}} +$$ + +se divide la 10 . + +Problema 3. Precizaţi câte numere nenule $A$, de cel mult şase cifre, verifică, in acelaşi timp, conditiile: + +1) $A$ este par +2) $A$ este cub perfect +3) jumătatea lui $A$ este pătrat perfect. + +Problema 4. Determinaţi cele mai mici numere naturale consecutive $a, b, c, d$ stiind că $a$ este divizibil cu $8, b$ cu $7, c$ cu 6 şi $d$ cu 5 . + +## Notă: + +Timp de lucru: 2 ore; + +Toate subiectele sunt obligatorii; + +Fiecare subiect va fi notat cu puncte între 1 şi 7 . + +## SOLUŢII + +- clasa a V-a - + +Problema 1. Aflaţi care dintre numerele $a=2^{19} \cdot 5^{29}$ şi $b=3^{18} \cdot 7^{20}$ este mai mare. + +G. M. nr. $1 / 2013$ + +Soluţie. Avem $a=2^{19} \cdot 5^{29}=2^{9} \cdot 2^{10} \cdot 5^{9} \cdot 5^{20}=(2 \cdot 5)^{9} \cdot(2 \cdot 25)^{10}=10^{9} \cdot 50^{10}$ şi $b=3^{18} \cdot 7^{20}=\left(3^{2}\right)^{9} \cdot\left(7^{2}\right)^{10}=9^{9} \cdot 49^{10}$. Deoarece $9^{9}<10^{9}$ şi $49^{10}<50^{10}$, rezultă că $a>b$. + +Problema 2. Să se arate că oricare ar fi cifra nenulă $a$ numărul + +$$ +b=21^{\overline{31 a}}+32^{\overline{a 13}}+43^{\overline{a 31}} +$$ + +se divide la 10 . + +Soluţie. Avem + +$$ +\begin{aligned} +& \overline{a 13}=100 a+13=100 a+12+1=M 4+1 \\ +& \overline{a 31}=100 a+31=100 a+28+3=M 4+3 +\end{aligned} +$$ + +Rezultă că: + +$$ +u\left(21^{\overline{31 a}}\right)=1, u\left(32^{\overline{a 13}}\right)=2, u\left(43^{\overline{a 31}}\right)=7 +$$ + +§i deci $u(b)=0$, de unde $b$ este divizibil cu 10 . + +Problema 3. Precizaţi câte numere nenule $A$, de cel mult şase cifre, verifică, în acelaşi timp, condiţiile: + +1) $A$ este par +2) $A$ este cub perfect +3) jumătatea lui $A$ este pătrat perfect. + +Soluţie. Deoarece $A$ este nenul şi cub perfect, $A=b^{3}$ cu $b \in N^{*}$. Deoarece $A<(100)^{3}$, rezultă $b<100$. $A$ este par, deci $b$ este număr par. Din $b=2 c$, obţinem $A=8 \cdot c^{3}$, cu $1 \leq c \leq 49 . A: 2=4 \cdot c^{3}=(2 \cdot c)^{2} \cdot c$ fiind pătrat perfect, conduce la concluzia că $c$ este pătrat perfect. Obţinem $c \in\{1,4,9,16,25,36,49\}$ şi astfel, există 7 numere care verifică condiţile impuse. + +Problema 4. Determinaţi cele mai mici numere naturale consecutive $a, b, c, d$ ştiind că $a$ este divizibil cu $8, b$ сu $7, c$ cu 6 şi $d$ cu 5 . + +Soluţie. Fie $a, b=a+1, c=a+2, d=a+3$ cele patru numere consecutive. Obţinem: + +$$ +\begin{aligned} +& 8 \mid a \Longrightarrow a=8 m \\ +& 7|a+1=8 m+1=7 m+(m+1) \Longrightarrow 7| m+1 \\ +& 6|a+2=8 m+2=6 m+2(m+1) \Longrightarrow 6| 2(m+1) \Longrightarrow 3 \mid m+1 \\ +& 5|a+3=8 m+3=5 m+3(m+1) \Longrightarrow 5| 3(m+1) \Longrightarrow 5 \mid m+1 +\end{aligned} +$$ + +Din (4), (5) şi (6) rezultă că $3 \cdot 5 \cdot 7=105 \mid m+1 \Longrightarrow m+1=105 k, k \in N^{*}$. Cum $a$ trebuie să fie cel mai mic luăm $k=1$ deci $m=104$. + +Se obţine $a=832, b=833, c=834, d=835$. + +## BAREM + +- clasa a V-a - +Problema 1. +oficiu ..... $1 p$ +$a=(2 \cdot 5)^{9} \cdot(2 \cdot 25)^{10}=10^{9} \cdot 50^{10}$ ..... $2 p$ +$b=\left(3^{2}\right)^{9} \cdot\left(7^{2}\right)^{10}=9^{9} \cdot 49^{10}$ ..... $2 p$ +$9^{9}<10^{9}, 49^{10}<50^{10}$ ..... $1 p$ +$a>b$ ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 2. +oficiu . ..... $1 p$ +$\overline{a 13}=100 a+13=M 4+1$ ..... $1 p$ +$\overline{a 31}=100 a+31=M 4+3$ ..... $1 p$ +$u\left(21^{\overline{31 a}}\right)=1$ ..... $1 p$ +$u\left(32^{\overline{113}}\right)=2$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$u\left(43^{\overline{a 31}}\right)=7$ ..... $1 p$ +$u(b)=0 \Rightarrow b$ este divizibil cu 10 ..... $1 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 3. +oficiu ..... $1 p$ +$A \neq 0$, cub perfect $\Rightarrow A=b^{3}$, cu $b \in N^{*}$ ..... $.1 p$ +$A<(100)^{3} \Longrightarrow b<100$ ..... $1 p$ +$A$ par $\Longrightarrow b=2 \cdot c$ ..... $0.5 p$ +$A=8 \cdot c^{3}, 1 \leq c \leq 49$ ..... $1 p$ +$A: 2=(2 \cdot c)^{2} \cdot c$ pătrat perfect $\Rightarrow c$ pătrat perfect ..... $1 p$ +$c \in\{1,4,9,16,25,36,49\}$ ..... $1 p$ +Sunt 7 numere ..... $0.5 p$ +Total ..... $7 p$ +Problema 4. +oficiu ..... $1 p$ +$a, b=a+1, c=a+2, d=a+3$ ..... $0.5 p$ +$8 \mid a \Longrightarrow a=8 m$ ..... $0.5 p$ +$7|a+1 \Longrightarrow 7| m+1$ ..... $1 p$ +$6|a+2 \Longrightarrow 3| m+1$ ..... $1 p$ +$5|a+3 \Longrightarrow 5| m+1$ ..... $.1 p$ +$105 \mid m+1 \Longrightarrow m+1=105 k, k \in N^{*}$ ..... 1 p +$a$ cel mai mic $\Rightarrow k=1$ ..... $0.5 p$ +$m=104 \Longrightarrow a=832, b=833, c=834, d=835$ ..... $0.5 p$ +Total ..... $7 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-963-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-963-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50015fa7b0c17453e1207326f412e6dfa429db71 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-963-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.md @@ -0,0 +1,99 @@ +# Etapa locală a Olimpiadei Naţionale de Matematică
Craiova, 16 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +Problema 1. Să se nege următoarea propoziţie : Plouă, deci îmi iau umbrela! + +Problema 2. Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ un şir de numere reale nenule. Să se arate că acest şir este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru orice $n \geq 2$ este verificată relaţia + +$$ +\frac{1}{x_{1} x_{2}}+\frac{1}{x_{2} x_{3}}+\ldots+\frac{1}{x_{n-1} x_{n}}=\frac{n-1}{x_{1} x_{n}} +$$ + +Problema 3. Pe laturile $A B, B C, C A$ ale unui triunghi $A B C$ se consideră punctele $C^{\prime}$, $A^{\prime}$ şi respectiv $B^{\prime}$ astfel încât $\frac{A C^{\prime}}{C^{\prime} B}=\frac{B A^{\prime}}{A^{\prime} C}=\frac{C B^{\prime}}{B^{\prime} A}$. Să se arate că segmentele $A A^{\prime}, B B^{\prime}$, $C C^{\prime}$ pot forma un triunghi. + +Problema 4. Pe laturile $A B, B C, C A$ ale unui triunghi $A B C$ se consideră punctele $C^{\prime}$, $A^{\prime}$ şi respectiv $B^{\prime}$ astfel încât $\frac{A C^{\prime}}{C^{\prime} B}=\frac{B A^{\prime}}{A^{\prime} C}=\frac{C B^{\prime}}{B^{\prime} A}=k$. Să se determine valorile raportului $k$ pentru care triunghiurile $A B C$ şi $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ au acelaşi centru de greutate. + +## Notă: + +- Timp de lucru: 3 ore. +- Toate subiectele sunt obligatorii. +- Fiecare subiect va fi notat cu puncte între 1 şi 7 . + +Clasa a IX-a Solutii + +Problema 1. Dacă notăm prin $p$ propoziţia "plouă" iar prin $q$ propoziţia "Imi iau umbrela", suntem în situaţia de a nega propoziţia $p \Rightarrow q$. Cum $p \Rightarrow q$ este echivalentă cu $p^{\prime} \vee q$ (unde prin $p^{\prime}$ desemnăm propoziţia non $p$ ), atunci $(p \Rightarrow q)^{\prime}=\left(p^{\prime} \vee q\right)^{\prime}=p^{\prime \prime} \wedge q^{\prime}$ (conform regulilor de negare ale lui De Morgan) $=p \wedge q^{\prime}$. + +Răspunsul este deci "Plouă şi nu îmi iau umbrela". + +Problema 2. Dacă şirul este o progesie aritmetică cu raţia atunci pentru $n \geq 2$ avem $\frac{1}{x_{1} x_{2}}+\frac{1}{x_{2} x_{3}}+$ $\ldots+\frac{1}{x_{n-1} x_{n}}=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right)+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{3}}\right)+\ldots+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{x_{n-1}}-\frac{1}{x_{n}}\right)=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{n}}\right)=\frac{n-1}{x_{1} x_{n}}$. + +Reciproc, dacă relaţia dată este verificată pentru orice $n$, demonstrăm că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică prin inducţie matematică. + +Pentru $n=3$, din relaţia dată rezultă $x_{1}+x_{3}=2 x_{2}$, adică primii trei termeni din şir formează o progresie aritmetică. + +Să presupunem că primii $n$ termeni din termeni din şir ( $n \geq 3$ ) formează o progresie aritmetică cu raţia $r$. Relaţia din enunţ fiind verificată pentru $n$ şi $n+1$, deducem $(n-1) x_{n+1}+x_{1}=n x_{n}$. + +Cum $x_{n}=x_{1}+(n-1) r$, se obţine $x_{n+1}=x_{1}+n r$, adică primii $n+1$ termeni din termeni din şir formează o progresie aritmetică cu raţia $r$. + +Conform principiului inducţiei matematice rezultă concluzia. + +Problema 3. (Soluţie vectorială). Segmentele $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ nefiind coliniare, este suficient să arătăm că $\overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overline{0}$. + +Dacă notăm prin $k>0$ valoarea comună a rapoartelor din enunţ, atunci avem egalităţile vectoriale $\overline{A A^{\prime}}=\frac{1}{1+k} \overline{A B}+\frac{k}{1+k} \overline{A C}$, şi analoagele $\overline{B B^{\prime}}=\frac{1}{1+k} \overline{B C}+\frac{k}{1+k} \overline{B A}, \overline{C C^{\prime}}=\frac{1}{1+k} \overline{C A}+\frac{k}{1+k} \overline{C B}$. Cum $\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}=\overline{0}$, deducem că $\overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overline{0}$, de unde concluzia problemei. + +Problema 4. (Soluţie vectorială). Notăm cu $G$ şi $G^{\prime}$, respectiv, centrele de greutate al triunghiurilor $A B C$ sुi $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Atunci $\overline{G A}+\overline{G B}+\overline{G C}=\overline{0}$ şi $\overline{G^{\prime} A^{\prime}}+\overline{G^{\prime} B^{\prime}}+\overline{G^{\prime} C^{\prime}}=\overline{0}$. + +Folosind regula triunghiului de adunare a vectorilor deducem + +$\overline{0}=\overline{G^{\prime} A^{\prime}}+\overline{G^{\prime} B^{\prime}}+\overline{G^{\prime} C^{\prime}}=\left(\overline{G^{\prime} A}+\overline{A A^{\prime}}\right)+\left(\overline{G^{\prime} B}+\overline{B B^{\prime}}\right)+\left(\overline{G^{\prime} C}+\overline{C C^{\prime}}\right) . \operatorname{Cum} \overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overline{0}$, rezultă că $\overline{G^{\prime} A}+\overline{G^{\prime} B}+\overline{G^{\prime} C}=\overline{0}$, adică $G^{\prime}$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$. + +Prin urmare, centrele de greutate ale triunghiurilor $A B C$ si $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ coincid pentru orice valoare a parametrului $k$. + +## Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală, 16 Februarie 2014
Clasa a IX-a
Barem de notare + +Problema 1. Să se nege următoarea propoziţie : Plouă, deci îmi iau umbrela! +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +Dacă notăm prin $p$ propoziţia "plouă" iar prin $q$ propoziţia "îmi iau umbrela", suntem în situaţia +de a nega propoziţia $p \Rightarrow q$. ..... $.1 \mathrm{p}$ +$(p \Rightarrow q)=\left(p^{\prime} \vee q\right)$ (unde prin $p^{\prime}$ desemnăm propoziţia non $p$ ), ..... $1 \mathrm{p}$ +$\left(p^{\prime} \vee q\right)^{\prime}=p^{\prime \prime} \wedge q^{\prime}$ (conform regulilor de negare ale lui De Morgan) ..... $.2 \mathrm{p}$ +Concluzie $(p \Rightarrow q)^{\prime}=p \wedge q^{\prime}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Răspunsul este deci "Plouă şi nu îmi iau umbrela". ..... $1 \mathrm{p}$ +Total ..... $7 \mathrm{p}$ +Problema 2. +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +Dacă şirul este o progesie aritmetică cu raţia $r$ atunci avem $\frac{1}{x_{1} x_{2}}+\frac{1}{x_{2} x_{3}}+$ ..... $-\ldots+\frac{1}{x_{n-1} x_{n}}=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right)+$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7e23e1a9b702ab5d6bbdg-3.jpg?height=100&width=1714&top_left_y=959&top_left_x=152) +Reciproc, dacă relaţia dată este verificată pentru orice $n$, demonstrăm că şirul este o progresie +aritmetică prin inducţie matematică. +Pentru $n=3$, din relaţia dată rezultă $x_{1}+x_{3}=2 x_{2}$, adică primii trei termeni din şir formează o +progresie aritmetică ..... $1 \mathrm{p}$ +Să presupunem că primii $n$ termeni din şir $(n \geq 3)$ formează o progresie aritmetică cu raţia $r$. +Relaţia din enunţ find verificată pentru $n$ şi $n+1$, deducem $(n-1) x_{n+1}+x_{1}=n x_{n}$. ......... $1 \mathrm{p}$ +Cum $x_{n}=x_{1}+(n-1) r$, se obţine $x_{n+1}=x_{1}+n r$, adică primii $n+1$ termeni din termeni din şir +formează o progresie aritmetică cu raţia $r$. . . ..... $.1 \mathrm{p}$ +Concluzia ..... $1 \mathrm{p}$ +Total ..... $7 \mathrm{p}$ +Problema 3. +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +Segmentele $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ nefiind coliniare, este suficient să arătăm că $\overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overline{0}$. ..... $1 \mathrm{p}$ +Dacă notăm prin $k>0$ valoarea comună a rapoartelor din enunţ, atunci avem egalităţile vectoriale +$\overline{A A^{\prime}}=\frac{1}{1+k} \overline{A B}+\frac{k}{1+k} \overline{A C}$, si analoagele $\overline{B B^{\prime}}=\frac{1}{1+k} \overline{B C}+\frac{k}{1+k} \overline{B A}, \overline{C C^{\prime}}=\frac{1}{1+k} \overline{C A}+\frac{k}{1+k} \overline{C B}$. ..... $.3 \mathrm{p}$ +$\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}=\overline{0}$ ..... $1 \mathrm{p}$ +$\overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\frac{1-k}{1+k}(\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A})=\overline{0}$, de unde concluzia problemei ..... $1 \mathrm{p}$ +Total ..... $7 \mathrm{p}$ +Problema 4. +Oficiu ..... $1 \mathrm{p}$ +Notăm cu $G$ şi $G^{\prime}$, respectiv, centrele de greutate al triunghiurilor $A B C$ sुi $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Atunci $\overline{G A}+$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7e23e1a9b702ab5d6bbdg-3.jpg?height=73&width=1709&top_left_y=2060&top_left_x=153) +$\overline{0}=\overline{G^{\prime} A^{\prime}}+\overline{G^{\prime} B^{\prime}}+\overline{G^{\prime} C^{\prime}}=\left(\overline{G^{\prime} A}+\overline{A A^{\prime}}\right)+\left(\overline{G^{\prime} B}+\overline{B B^{\prime}}\right)+\left(\overline{G^{\prime} C}+\overline{C C^{\prime}}\right)$. Cum $\overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overline{0}$, +rezultă că $\overline{G^{\prime} A}+\overline{G^{\prime} B}+\overline{G^{\prime} C}=\overline{0}$, adică $G^{\prime}$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C \ldots \ldots \ldots 3 \mathrm{p}$ +Prin urmare, centrele de greutate ale triunghiurilor $A B C$ şi $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ coincid pentru orice valoare a +parametrului $k$ ..... $1 \mathrm{p}$ +Total ..... $7 \mathrm{p}$ + +Notă: Orice rezolvare corectă, completă sau parţială, va fi notată cu punctajul corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-964-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-964-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6895047027fb40f360b50ae501fb7f21e57644a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-964-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,48 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Faza Locală Dâmboviţa - 23 Februarie 2014 + +## CLASA A XII-A + +Subiectul 1. Fie ( $G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$ și $H$ un subgrup propriu al lui $G$. + +i) Dacă $a \in G \backslash H$, notăm $a H=\{a h \mid h \in H\}$. Demonstrați că $H \cap a H=\emptyset$. + +ii) Dacă $G$ e comutativ și $a \in G \backslash H$ satisface $a^{2}=e$, atunci $K=H \cup a H$ este subgrup al lui $G$. + +Gazeta Matematică 1986 + +Subiectul 2. Fiind dată funcția $f(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$ cu coeficienți $a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$, să se arate că o primitivă a funcției $\frac{f(x)-f(k)}{x-k}$, unde $k$ este o constantă reală, este + +$$ +F(x)=\frac{1}{2}\left(f(x)+a_{1} x+a_{0}\right)+k\left(f^{\prime}(x)-a_{2} x-a_{1}\right) +$$ + +Gazeta Matematică 1956 + +Subiectul 3. Să se arate că + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{n^{2}-k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\frac{\pi}{4} +$$ + +Gazeta Matematică 1966 + +Subiectul 4. Calculaţi + +$$ +I=\int_{0}^{1}\left(\{2 x\}-\frac{1}{2}\right)\left(\{3 x\}-\frac{1}{2}\right) d x +$$ + +Gazeta Matematică 2013 + +## BAREM + +CLASA A XII-A + +Subiectul 1. $H \cap a H=\emptyset(3 \mathbf{p}) ; K$ parte stabila (2p); existenta simetricului (2p). + +Subiectul 2. $\frac{f(x)-f(k)}{x-k}=a_{2} x+a_{1}+k a_{2}(3 \mathbf{p}) ; F(x)=\frac{1}{2} a_{2} x^{2}+\left(a_{1}+k a_{2}\right) x+$ $a_{0}(3 \mathbf{p})$; finalizare $(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + +Subiectul 3. $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}(1 \mathbf{p}) ; \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x(1 \mathbf{p}) ;=\pi / 4$ (2p); $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;=\pi / 4(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +Subiectul 4. $\int_{0}^{1}=\int_{0}^{1 / 3}+\int_{1 / 3}^{1 / 2}+\int_{1 / 2}^{2 / 3}+\int_{2 / 3}^{1}(3 \mathbf{p})$; pentru calculul corect al acestor integrale se acorda cate (1p). + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-965-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-965-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..228940c0647fd416225bc5e90820888fdd138547 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-965-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,54 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică
Faza Locală Dâmboviţa - 23 Februarie 2014 + +## CLASA A XI-A + +Subiectul 1. Se dă şirul: + +$$ +a_{n}=\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}, n=1,2,3, \ldots +$$ + +a) Demonstrați că șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict descrescător, mărginit și aflați limita sa. + +b) Să se afle limita şirului $b_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$. + +Gazeta Matematică 1965 + +Subiectul 2. Cum trebuie să fie numerele reale $\alpha, \beta, \gamma$ pentru ca raportul + +$$ +\frac{\alpha(\sqrt{x}-1)+\beta(\sqrt[3]{x}-1)+\gamma(\sqrt[4]{x}-1)}{(x-1)^{3}} +$$ + +să tindă către o limită finită și diferită de zero, când $x$ tinde către 1 ? + +Gazeta Matematică 1901 + +Subiectul 3. Fie matricele $B, C, X_{1}, X_{2} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ astfel ca $X_{1} X_{2}=X_{2} X_{1}$, $\operatorname{det}\left(X_{1}-X_{2}\right) \neq 0$, $X_{1}^{2}-B X_{1}+C=0_{2}$ şi $X_{2}^{2}-B X_{2}+C=0_{2}$. Demonstraţi că $X_{1}+X_{2}=B$ și $X_{1} X_{2}=C$. + +Gazeta Matematică 1977 + +Subiectul 4. Fie $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ două matrice astfel încât $A B=\left(\begin{array}{ll}2013 & 1 \\ 2014 & 1\end{array}\right)$. + +Demonstraţi că matricea $B A$ este inversabilă şi $B A-(B A)^{-1}=2014 \cdot I_{2}$. + +Gazeta Matematică 2013 + +## BAREM + +## CLASA A XI-A + +Subiectul 1. $a_{n}$ descrescator (2p); $a_{n}$ marginit (1p); $\lim a_{n}=1(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;$ $b_{n}=\frac{2(n+1)}{n+2}(2 \mathbf{p}) ; \lim b_{n}=2(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + +Subiectul 2. $x=t^{12}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; \lim _{t-1} \frac{\alpha\left(t^{6}-1\right)+\beta\left(t^{4}-1\right)+\gamma\left(t^{3}-1\right)}{(t-1)^{3}\left(t^{11}+\ldots+t+1\right)^{3}}(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +$\frac{1}{12^{3}} \lim _{t \rightarrow 1} \frac{a\left(t^{6}-1\right)+\beta\left(t^{4}-1\right)+\gamma\left(t^{3}-1\right)}{(t-1)^{3}}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; \lim _{t-1} \frac{\frac{t^{6}-1}{t-1}+3 \frac{t^{4}-1}{t-1}+\int^{\frac{t^{3}-1}{t-1}}}{(t-1)^{2}}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;$ Tre buie ca $6 \alpha+4 \beta+3 \gamma=0(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; \lim _{t-1} \frac{a\left[t^{5}+\ldots+1\right]+8\left[t^{3}+\ldots+1\right]+\gamma\left[t^{2}+t+1\right]}{(t-1)^{2}}$ + +$=\lim _{t \rightarrow 1} \frac{\left[\left[\left(t^{3}-1\right)+\ldots+(t-1)\right]+3\left[\left(t^{3}-1\right)+\ldots+(t-1)\right]+\gamma\left[\left(t^{2}-1\right)+(t-1)\right]\right.}{(t-1)^{2}}(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +$\lim _{t \rightarrow 1} \frac{1}{t-1}\left\{\alpha\left[\frac{t^{5}-1}{t-1}+\ldots+1\right]+\beta\left[\frac{t^{3}-1}{t-1}+\ldots+1\right]+\gamma\left[\frac{t^{2}-1}{t-1}+1\right]\right\}$, deci trebuie si $(5+4+3+2+1) \alpha+(3+2+1) \beta+(2+1) \gamma=15 \alpha+6 \beta+3 \gamma=0(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + +Subiectul 3. $X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=B\left(X_{1}-X_{2}\right)(1 \mathbf{p}) ;\left(X_{1}+X_{2}\right)\left(X_{1}-X_{2}\right)=$ $B\left(X_{1}-X_{2}\right)(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; X_{1}+X_{2}=B(\mathbf{p}) ; C=B X_{1}-X_{1}^{2}=\left(X_{1}+X_{2}\right) X_{1}-$ $X_{1}^{2}=X_{1} X_{2}(3 \mathbf{p})$. + +Subiectul 4. $\operatorname{tr}(A B)=2014(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; \operatorname{det}(A B)=-1$ (1p); $\operatorname{det}(B A)=$ $\operatorname{det}(A B)=-1 \neq 0$, deci $A, B, B A$ inversabile $(\mathbf{1} \mathbf{p})$; Cayley: $(A B)^{2}-$ $2014(A B)-I_{2}=0_{2}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; A^{-1}\left[(A B)^{2}-2014(A B)-I_{2}\right] B^{-1}=0_{2}$ (1p); $B A-2014 I_{2}-A^{-1} B^{-1}=0_{2}(\mathbf{1} \mathbf{p})$ si $A^{-1} B^{-1}=(B A)^{-1}(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-966-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-966-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..243a689a046ced82b1fa3084b7ed9e344c3db497 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-966-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,50 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Faza Locală Dâmboviţa - 23 Februarie 2014 + +## CLASA A X-A + +Subiectul 1. Determinați funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de forma $f(x)=a x+b$, cu $a, b \in \mathbb{R}$, astfel ca + +$$ +(f \circ f \circ \ldots \circ f)(-x)+(f \circ f \circ \ldots \circ f)(x)=0 +$$ + +oricare ar fi $x \in \mathbb{R}$ (funcția $f$ se compune cu ea însăşi de $n$ ori în ambii termeni). + +Gazeta Matematică 1981 + +Subiectul 2. Rezolvați în numere întregi ecuația: $2^{x+1}=x^{2}+x+1$. + +Gazeta Matematică 1987 + +Subiectul 3. Fie $a, b \in \mathbb{C}$ și funcția $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, definită prin $f(z)=z^{2}+a|z|+b$. + +i) Determinaţi $a, b \in \mathbb{C}$ astfel ca $f(1)=f(2)=0$. + +ii) Pentru $a, b$ determinați la punctul anterior, aflaţi toate numerele complexe $z$ cu $f(z)=0$. + +Gazeta Matematică 1980 + +Subiectul 4. Fie $a, b, c, d \geq 2$ numere naturale astfel încât + +$$ +\log _{a} b=\frac{3}{2}, \quad \log _{c} d=\frac{5}{4} +$$ + +şi $a-c=9$. Calculaţi $b-d$. + +Gazeta Matematică 2013 + +## BAREM + +CLASA A X-A + +Subiectul 1. $f(f \ldots f(x))+f(f \ldots f(-x))=2 b\left(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+1\right)(2 \mathbf{p})$; $b=0$ este solutie ( $\mathbf{1} \mathbf{p}) ; a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+1=0 \Rightarrow a^{n}=1$ (2p); daca $n$ impar, nu sunt solutii pentru $a(\mathbf{1} \mathbf{p})$; daca $n$ par, $a=-1(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + +Subiectul 2. $x \leq-2 \Rightarrow 2^{x+1} \leq \frac{1}{2}x^{2}+x+1$ (1p); verificare $x=1 \mathbf{( 1 p}$ ); demonstratia corecta a pasului de inductie (2p). + +Subiectul 3. i) $1+a+b=0$ (1p); $4+2 a+b=0$ (1p); $a=-3, b=2$ (1p). ii) pune $z=x+i y$ in $z^{2}-3|z|+2=0$ : $(x+i y)^{2}-3 \sqrt{x^{2}+y^{2}}+2=0$ (1p); + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_a049303b8b5804c00308g-2.jpg?height=136&width=1404&top_left_y=905&top_left_x=339) + +Subiectul 4. $a^{3 / 2}=b, c^{5 / 4}=d(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; a^{3}=b^{2}, c^{5}=d^{4}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; a=x^{2}, b=x^{3}$ $(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; c=y^{4}, d=y^{5}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; a-c=x^{2}-y^{4}=9(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;\left(x-y^{2}\right)\left(x+y^{2}\right)=$ $9 \Rightarrow x=5, y=2(\mathbf{1} \mathbf{p}) ; b-d=x^{3}-y^{5}=93(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-967-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-967-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1b9c752a19eef689087121ddf8f434bc5c27d79f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-967-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,101 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ 23.02.2014 + +## CLASA a VIII-a + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ + +Aflaţi numerele raţionale $a$ şi $b$, astfel încât $\frac{a}{\sqrt{3-2 \sqrt{2}}}-\frac{b}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}}=\sqrt{2}$. + +RMT $2 / 2010$ + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 2}$ + +Fie $A_{i}=a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n} \mathrm{i}$, unde $i \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ şi $n$ un număr natural nenul. + +Arătaţi că $\mathrm{p}=\sqrt{\left(\mathrm{A}_{1}^{2}+\mathrm{A}_{4}^{2}+\mathrm{A}_{6}^{2}+\mathrm{A}_{7}^{2}\right)\left(\mathrm{A}_{2}^{2}+\mathrm{A}_{3}^{2}+\mathrm{A}_{5}^{2}+\mathrm{A}_{8}^{2}\right)}$ este număr natural. + +GM 5/2013(SUPLIMENT) + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 3}$ + +În cubul ABCDA'B'C'D' punctele M, N, P sunt mijloacele muchiilor $C C^{\prime}, A^{\prime} D^{\prime}, C^{\prime} D^{\prime}$. + +a) Aflaţi o funcţie trigonometrică a unghiului format de dreptele BM şi NP. + +b) Dacă muchia cubului este de $6 \mathrm{~cm}$, aflaţi aria triunghiului A'BM. + +GM 11/2013(SUPLIMENT) + +## SUBIECTUL 4 + +În prisma triunghiulară regulată $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, A B=A A^{\prime}=12 \mathrm{~cm}$. + +a) Determinaţi poziţia punctului $\mathrm{M}$ pe muchia $\mathrm{AA}^{\prime}$, ştiind că distanţa de la punctul A la planul (MBC) este $3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. + +b) Dacă N şi P sunt mijloacele muchiilor BB', respectiv CC', determinaţi sinusul unghiului dintre AP şi A'N. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## CLASA a VIII-a + +SUBIECTUL 1 Aflaţi numerele raţionale a şi b, astfel încât $\frac{a}{\sqrt{3-2 \sqrt{2}}}-\frac{b}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}}=\sqrt{2}$. + +| Deoarece $(\sqrt{2}-1)^{2}=3-2 \sqrt{2}$ şi $(\sqrt{2}+1)^{2}=3+2 \sqrt{2}$, ecuaţ̧ia din enunţ se scrie: $\frac{a}{\sqrt{2}-1}-\frac{b}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}$. | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| Sau $a(\sqrt{2}+1)-b(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}$. | $2 p$ | +| Apoi $a+b=(b-a+1) \cdot \sqrt{2}$, dar a şi b sunt numere raţionale şi $\sqrt{2}$ este iraţional, | $1 p$ | +| rezultă $b-a+1=a+b=0$. | $1 p$ | +| Se obţine $a=\frac{1}{2}$ şi $b=-\frac{1}{2}$. | $1 p$ | + +SUBIECTUL 2 Fie $A_{i}=\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n} \mathrm{i}}$, unde $i \in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ şi $n$ un număr natural nenul. Arătaţi că $p=\sqrt{\left(A_{1}^{2}+A_{4}^{2}+A_{6}^{2}+A_{7}^{2}\right)\left(A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{5}^{2}+A_{8}^{2}\right)}$ este număr natural. + +| Se notează cu $a=\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n}}, p_{1}=A_{1}^{2}+A_{4}^{2}+A_{6}^{2}+A_{7}^{2}$ şi $p_{2}=A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{5}^{2}+A_{8}^{2}, p_{1}, p_{2}>0$ naturale. | $2 p$ | +| :--- | :---: | +| Demonstrăm că $p_{1}=p_{2}$ Avem $(10 a+1)^{2}+(10 a+4)^{2}+(10 a+6)^{2}+(10 a+7)^{2}=(10 a+2)^{2}+(10 a+3)^{2}+(10 a+5)^{2}+(10 a+8)^{2}$. | $2 p$ | +| Se calculează: $(10 a+4)^{2}-(10 a+3)^{2}+(10 a+6)^{2}-(10 a+5)^{2}(10 a+2)^{2}-(10 a+1)^{2}+(10 a+8)^{2}-(10 a+7)^{2}$ sau | $1 p$ | +| 20a+7+20a+11= 20a+3+20a+15(A). | $1 p$ | +| Şi atunci $p_{1}=p_{2}$, de unde $p=\sqrt{p_{1} \cdot p_{2}}=\sqrt{p_{1}^{2}}=p_{1}$, este număr natural. | $1 p$ | + +SUBIECTUL 3 În cubul ABCDA'B'C'D' punctele M, N, P sunt mijloacele muchiilor CC', A'D', C'D'. + +a) Aflaţi o funcţie trigonometrică a unghiului format de dreptele BM şi NP. + +b) Dacă muchia cubului este de $6 \mathrm{~cm}$, aflaţi aria triunghiului $A^{\prime} B M$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bb0735edc9bbbeef5514g-2.jpg?height=573&width=583&top_left_y=1284&top_left_x=157) + +a) Fie Q mijlocul lui $A A^{\prime}, N P \| Q Q M$, rezultă $m[\varangle(B M, N P)]=m[\varangle(B M, M Q)]$. 1 1p + +| Dacă a este muchia cubului, $\cos (\varangle B M Q)=\frac{a \sqrt{2}}{2}: \frac{a \sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$. | $2 p$ | +| :--- | :--- | + +b) Fie $B^{\prime} R \perp B M$. În $\triangle B^{\prime} B M: B M \cdot B^{\prime} R=6 \cdot 6$, de unde $B^{\prime} R=\frac{12 \sqrt{5}}{5} . \quad$ 1p + +| $A^{\prime} R=\sqrt{A^{\prime} B^{\prime 2}+B^{\prime} R^{2}}=\sqrt{36+\frac{144 \cdot 5}{25}}=\frac{6}{5} \sqrt{25+20}=\frac{18 \sqrt{5}}{5}$. | $1 p$ | +| :--- | :--- | +| $\mathcal{A}^{\prime} B M=\frac{B M \cdot A^{\prime} R}{2}=3 \sqrt{5} \cdot \frac{18 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2}=27$. | $2 p$ | + +SUBIECTUL 4 În prisma triunghiulară regulată $A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, A B=A A^{\prime}=12 \mathrm{~cm}$. + +a) Determinaţil poziţia punctului $M$ pe muchia $A A^{\prime}$, ştiind că distanţa de la punctul $A$ la planul (MBC) este $3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. + +b) Dacă $\mathrm{N}$ şi $\mathrm{P}$ sunt mijloacele muchiilor $\mathrm{BB}$ ', respectiv $\mathrm{CC}^{\prime}$, determinaţi sinusul unghiului dintre $\mathrm{AP}$ şi $\mathrm{A}^{\prime} N$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_bb0735edc9bbbeef5514g-2.jpg?height=651&width=554&top_left_y=2073&top_left_x=157) + +| a) Dacă D este mijlocul muchiei $B C$, atunci (AMD) $\perp$ (MBC) şi distanţa de la $A$
la (MBC) este $A E$, unde $A E \perp M D, E \in(M D)$. | $1 p$ | +| :---: | :---: | +| $A E=3 \sqrt{3}$ şi $A D=6 \sqrt{3}$, rezultă $m(\varangle A D M)=30^{\circ}$.
Dacă $A M=x, M D=2 x$, se obţine î $\triangle A M D$ ecuaţia $4 x^{2}-x^{2}=108$, de unde $x=6$.
Sau $x$ se poate obţine din relaţia $A M \cdot A D=M D \cdot A E$.
Deci $M$ este mijlocul muchiei $A A^{\prime}$. | $2 p$ | +| b) Din MC' \\|AP, MB \|A A'N, rezultă că avem de calculat sinusul unghiului
dintre MC' si MB. | $1 p$ | +| $M C^{\prime}=M B=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=6 \sqrt{5}$ şi $C^{\prime} B=12 \sqrt{2}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| $6 \sqrt{5} \cdot 6 \sqrt{5} \cdot \sin \left(\measuredangle C^{\prime} M B\right)=12 \sqrt{2} \cdot 6 \sqrt{3}$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\sin \left(\varangle C^{\prime} M B\right)=\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-968-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-968-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65481b4f18ee464ebc94ab6bac2c49a6b810603b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-968-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,72 @@ +# CLASA a VII-a + +## $\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ + +a) Calculaţi $\frac{1}{6 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{16 \cdot 18}$. + +b) Fie şirul $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \ldots, \frac{1}{(2 n-2) \cdot 2 n}, \ldots$. Determinaţi grupul de termeni consecutivi a căror sumă este $\frac{3}{28}$. + +RMT 3/2011 + +SUBIECTUL 2 + +Se consideră numerele $B=\overline{b \underbrace{00 \ldots 0 b}_{2 n+1 c \text { ifre }}}$. Demonstraţi că $\sqrt{B}$ este număr iraţional. + +GM 6-7-8/2012 + +SUBIECTUL 3 + +a) Fie $P$ un punct situat în interiorul unui unghi propriu $X O Y$. Prin punctul $P$ se duce $o$ dreaptă $d$, astfel încât $d \cap O X=\{A\}, d \cap O Y=\{B\}$ şi $P N\|O X, N \in O Y, P M\| O Y$, $M \in O X$. Arătaţi că: $O A=\frac{O M \cdot A B}{B P}$ şi $O B=\frac{O N \cdot A B}{A P}$. + +b) Fie $P$ un punct situat în interiorul unui unghi propriu $X O Y$. Prin punctul $P$ se duc două drepte $\mathrm{d}_{1}$ şi $\mathrm{d}_{2}$, astfel încât $\mathrm{d}_{1} \cap O X=\left\{A_{1}\right\}, d_{1} \cap O Y=\left\{B_{1}\right\} d_{2} \cap O X=\left\{A_{2}\right\}$, $\mathrm{d}_{2} \cap O Y=\left\{B_{2}\right\}$. Demonstraţi că dacă $\frac{1}{O A_{1}}+\frac{1}{O B_{1}}=\frac{1}{O A_{2}}+\frac{1}{O B_{2}}$, atunci [OP este bisectoarea unghiului XOY. + +GM 1/2013 + +## SUBIECTUL 4 + +Fie trapezul $A B C D, A B \| C D, A C \cap B D=\{O\}$ şi $M \in(O A$, astfel încât $O M=O D$ şi $M \neq A$. Dacă CN || BM, $N \in B D$, demonstraţi că AMDN este trapez isoscel. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 3 ore. + +## CLASA a VII-a + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 1}$ a) Calculaţi $\frac{1}{6 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{16 \cdot 18}$. b) Fie şirul $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \ldots, \frac{1}{(2 \mathrm{n}-2) \cdot 2 \mathrm{n}}, \ldots$ + +Determinaţi grupul de termeni consecutivi a căror sumă este $\frac{3}{28}$. + +| a) $\frac{1}{6 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{16 \cdot 18}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{8 \cdot 9}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5} \ldots+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{18} \cdot$ | $3 \mathrm{p}$ | +| :--- | :---: | +| b) Exceptând factorul $\frac{1}{4}$ putem lua suma la grupul căutat: $\mathrm{S}=\frac{1}{\mathrm{k} \cdot(\mathrm{k}+1)}+\frac{1}{(\mathrm{k}+1) \cdot(\mathrm{k}+2)}+\ldots+\frac{1}{(\mathrm{~m}-1) \cdot \mathrm{m}} \cdot$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $\mathrm{S}=\frac{1}{\mathrm{k}}-\frac{1}{\mathrm{~m}}$. Avem $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\mathrm{k}}-\frac{1}{\mathrm{~m}}\right)=\frac{3}{28}$ sau $\frac{1}{\mathrm{k}}-\frac{1}{\mathrm{~m}}=\frac{3}{7} \cdot$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Obţinem $\mathrm{k}=\frac{7 \mathrm{~m}}{3 \mathrm{~m}+7}$. Avem $3 \mathrm{~m}+7 \mid 7 \mathrm{~m}$, de unde $3 \mathrm{~m}+7 \mid(21 \mathrm{~m}+49-21 \mathrm{~m})=49$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Cum $3 \mathrm{~m}+7>10$, rezultă $3 \mathrm{~m}+7=49 ; \mathrm{m}=14$ şi apoi $\mathrm{k}=2$. Grupul este: $\frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \ldots, \frac{1}{26 \cdot 28}$. | $1 \mathrm{p}$ | + +$\underline{\text { SUBIECTUL } 2}$ Se consideră numerele $B=\overline{\mathrm{b} 00 \ldots \mathrm{b}}$. Demonstraţi că $\sqrt{B}$ este număr iraţional. $2 \mathrm{2n+1}$ ci fre + +| Dacă $b \in\{2,3,7,8\}$, evident $\sqrt{B}$ este iraţional, deoarece $B$ nu este pătrat perfect. | $2 p$ | +| :---: | :---: | +| Dacă $b=5$, atunci $B$ este divizibil cu 5 , dar nu cu 25 , de unde $\sqrt{8}$ este iraţional. | $1 \mathrm{p}$ | +| Dacă $b=6$, atunci B este divizibil cu 2, dar nu cu 4, de unde $\sqrt{8}$ este iraţional. (Sau 3\|B şi $9 \nmid B$ ). | $1 \mathrm{p}$ | +| Pentru $b \in\{1,4,9\}$, atunci $B=b \cdot \overline{\underbrace{1000 \ldots 01}_{2 n+1 \text { cifre }}}$. | $1 \mathrm{p}$ | +| ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_b81f464867b38a92f44dg-2.jpg?height=102&width=1703&top_left_y=1162&top_left_x=166) | 2r | + +SUBIECTUL 3 a) Fie $\mathrm{P}$ un punct situat în interiorul unui unghi propriu $X O Y$. Prin punctul $\mathrm{P}$ se duce 0 dreaptă $d$, astfel încât $d \cap O X=\{A\}, d \cap O Y=\{B\}, P N \| O X, N \in O Y, P M|| O Y, M \in O X$. Arătaţi că: $O A=\frac{O M \cdot A B}{B P}$ şi $O B=\frac{O N \cdot A B}{A P}$. b) Fie $P$ un punct situat î interiorul unui unghi propriu $X O Y$. Prin punctul $P$ se duc două drepte $d_{1}$ şi $d_{2}$, astfel încât $d_{1} \cap O X=\left\{A_{1}\right\}, d_{1} \cap O Y=\left\{B_{1}\right\} d_{2} \cap O X=\left\{A_{2}\right\}, d_{2} \cap O Y=\left\{B_{2}\right\}$. Demonstraţi că dacă $\frac{1}{O A_{1}}+\frac{1}{O B_{1}}=\frac{1}{O A_{2}}+\frac{1}{O B_{2}}$, atunci [OP este bisectoarea unghiului XOY. + +| a) $P M\left\\|O B \Rightarrow \frac{O M}{O A}=\frac{B P}{A B} \Rightarrow O A=\frac{O M \cdot A B}{B P}, P N\right\\| O A \Rightarrow \frac{O N}{O B}=\frac{A P}{A B} \Rightarrow O B=\frac{O N \cdot A B}{A P} \cdot$ | $2 p$ | | +| :--- | :--- | :--- | +| | b) Din $a)_{O A_{1}}=\frac{O M \cdot A_{1} B_{1}}{B_{1} P}, O A_{2}=\frac{O M \cdot A_{2} B_{2}}{B_{2} P}, O B_{1}=\frac{O N \cdot A_{1} B_{1}}{A_{1} P}, O B_{2}=\frac{O N \cdot A_{2} B_{2}}{A_{2} P}$. | $1 p$ | + +SUBIECTUL 4 Fie trapezul $A B C D, A B \| C D, A C \cap B D=\{O\}$ şi $M \in(O A$, astfel încât $O M=O D$ şi $M \neq A$. Dacă $\mathrm{CN} \| \mathrm{BM}, \mathrm{N} \in \mathrm{BD}$, demonstraţi că AMDN este trapez isoscel. + +| | $D C \\| A B \Rightarrow \frac{O C}{O A}=\frac{O D}{O B}$ | $2 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $B M \\| C N \Rightarrow \frac{O M}{O C}=\frac{O B}{O N}$ | $1 p$ | | +| Din cele două relaţii rezultă $\frac{O M}{O A}=\frac{O D}{O N}$, de unde $D M \\| A N$. | $2 p$ | | +| | Cum $\triangle O D M$ este isoscel de vârf $O$, rezultă AMDN este trapez isoscel. | $2 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-969-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-969-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a47d973a0113acd537435c6392cb315b9fbdc06e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-969-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ 23.02.2014 + +## CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Verificaţi dacă 13 divide 222222. + +b) Un număr natural A are 2001 cifre dintre care una este 1 , iar toate celelalte sunt egale cu 2 . Arătaţi că $A$ nu este număr prim. + +GM 11/2013(SUPLIMENT) + +$\underline{S U B I E C T U L ~} 2$ + +Determinaţi numerele prime distincte $a, b, c$, pentru care $a b+b c+c a+67 a b c=2041$. + +GM 1/2013 + +## SUBIECTUL 3 + +Unghiurile $A O B$ şi COD sunt neadiacente şi au interioarele disjuncte, iar [OB este bisectoarea unghiului $A O C$. Ştiind că $\mathrm{m}(\varangle C O D)$ este cu $12^{\circ}$ mai mică decât $\mathrm{m}(\varangle C O B)$ şi că unghiul format de bisectoarele [OX şi [OY ale unghiurilor AOB şi COD are măsura de $78^{\circ}$, aflaţi câte grade are unghiul YOA. + +RMT 4/2009 + +## SUBIECTUL 4 + +Se consideră triunghiul $A B C$, cu $A B=A C$. $O$ dreaptă d ce conţine vârful $A$ formează cu cele două laturi $A B$ şi $A C$, în exteriorul triunghiului, două unghiuri congruente. Dacă $D$ este un punct pe bisectoarea unghiului $A$, din interiorul triunghiului şi $C D \cap d=\{M\}, B D \cap d=\{N\}$, demonstraţi că $A M=A N$ şi $\varangle B M C \equiv \varangle B N C$. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## CLASA a VI-a + +## SUBIECTUL 1 + +a) Verificaţi dacă 13 divide 222222. + +b) Un număr natural A are 2001 cifre dintre care una este 1, iar toate celelalte sunt egale cu 2. Arătaţi că A nu este număr prim. + +| a) $222222=13 \cdot 17094$, rezultă că $13 \mid 222222$. | $1 p$ | +| :---: | :---: | +| b) Singurul număr care trebuie arătat că nu este prim este cel cu ultima cifră 1 , celelalte care au cifra 1 pe altă
poziţie nu sunt prime având ultima cifră 2 . | $2 p$ | +| Fie numărul $A=\underbrace{22 \ldots}_{2001 \text { cifre }}=\underbrace{22 \ldots 21}_{1998 \text { cifre }} \cdot 1000+221$ | $1 p$ | +| Deoarece $1998=\boldsymbol{M}_{6}$, rezultă din a) că $\underbrace{22 \ldots 2}_{1998 \text { cifre }}=\boldsymbol{M}_{13}$. | $2 p$ | +| Cum $221=\boldsymbol{M}_{13}$, rezultă A este divizibil cu 13 , deci $\mathbf{r}$ | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 2 + +Determinaţi numerele prime distincte $a, b, c$, pentru care $a b+b c+c a+67 a b c=2041$. + +| Putem presupune $a3$ şi $c>5$ avem $2(b+c)+135 b c>2 \cdot 8+135 \cdot 15=2041$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Rezultă $b=3$ şi c $=5$. Cele trei numere sunt: $2,3,5($ cu permutările lor $)$. | $1 p$ | +| Sau $(a, b, c) \in\{(2,3,5),(2,5,3),(3,2,5),(3,5,2),(5,2,3),(5,3,2)\}$. | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 3 + +Unghiurile $A O B$ şi COD sunt neadiacente şi au interioarele disjuncte, iar [OB este bisectoarea unghiului AOC. Ştiind că $\mathrm{m}(\varangle C O D)$ este cu $12^{\circ}$ mai mică decât $\mathrm{m}(\varangle C O B)$ şi că unghiul format de bisectoarele $[O X$ şi [OY ale unghiurilor AOB şi COD are măsura de $78^{\circ}$, aflaţi câte grade are unghiul YOA. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_4dcc833633a21fcd76b7g-2.jpg?height=688&width=1885&top_left_y=1495&top_left_x=137) + +OBS. Pentru rezolvarea completă a unui singur caz se acordă $4 p$. + +## SUBIECTUL 4 + +Se consideră triunghiul $A B C, c u A B=A C$. $O$ dreaptă d ce conţine vârful $A$ formează cu cele două laturi $A B$ şi $A C$, în exteriorul triunghiului, două unghiuri congruente. Dacă $D$ este un punct pe bisectoarea unghiului $A$, din interiorul triunghiului şi $C D \cap d=\{M\}, B D \cap d=\{N\}$, demonstraţi că $A M=A N$ şi $\varangle B M C \equiv \varangle B N C$. + +| $\triangle A B D \equiv \triangle A C D(L U L) \Rightarrow \varangle A B D \equiv \varangle A C D$. | $1 p$ | +| :--- | :--- | :--- | +| $\triangle A B N \equiv \triangle A C M(U L U) \Rightarrow A M=A N$. | $2 p$ | +| Din congruenţa anterioară, rezultă $\varangle A M C \equiv \varangle A N B(1)$, | $1 p$ | +| $\triangle A B M \equiv \triangle A C N(L U L) \Rightarrow \varangle A M B \equiv \varangle A N C(2)$. | $2 p$ | +| Din (1) şi (2), rezultă $\varangle B M C \equiv \varangle B N C$. | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-97-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-97-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06be4c82c7ff196170850c7eb40ea1d633baee17 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-97-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,111 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2016 Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A XII-A + +## Problema 1. + +Calculați $\int_{0}^{1}\left(e^{\sqrt{x}}+e^{\sqrt[3]{x}}+e^{\sqrt[4]{x}}\right) \mathrm{d} x$. + +## Problema 2. + +Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ şi mulțimea $\mathrm{M}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{det} X=\operatorname{det}(A+X)=0\right\}$. + +a) Determinați două mulțimi $\mathrm{K}$ şi $\mathrm{L}$, părți stabile ale monoidului $\left(\mathbb{m}_{2}(\mathbb{R}), \cdot\right)$, astfel încât $\mathrm{K} \cup \mathrm{L}=\mathrm{M}$. + +b) Este M stabilă în raport cu înmulțirea matricelor? + +## Problema 3. + +Considerăm o funcție $f:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ continuă, descrescătoare, astfel încât $f(\pi)=0$ şi fie $F$ o primitivă a sa. Demonstrați că + +$$ +\int_{0}^{2 \pi} F(x) \cos x \mathrm{~d} x \leq 0 +$$ + +## Problema 4. + +Spunem că un grup finit ( $\mathrm{G}, \cdot$ ) cu $n$ elemente este bun dacă îndeplinește condițiile: (i) $n$ nu este divizibil cu 4 şi (ii) există două elemente distincte $a$ şi $b$ ale lui G, diferite de elementul neutru $e$ al grupului, astfel încât $a^{2}=b^{2}=e$. + +a) Dați un exemplu de grup bun. + +b) Dacă există un grup bun cu $n$ elemente, arătaţi că $n=4 k+2$, unde $k \in \mathbb{N}^{*}$. + +c) Demonstrați că un grup bun nu poate fi abelian. + +Gazeta Matematică 11/2015 (Supliment) + +Timp de lucru: 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Națională de Matematică 2016 Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A XII-A + +## Problema 1. + +Calculați $\int_{0}^{1}\left(e^{\sqrt{x}}+e^{\sqrt[3]{x}}+e^{\sqrt[4]{x}}\right) \mathrm{d} x$. + +## Soluție şi barem + +Notăm $I_{n}=\int_{0}^{1} e^{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x, n \in \mathbb{N}^{*}$ (facem convenția $\sqrt[1]{x}=x$ ). Cu schimbarea de variabilă $t=e^{\sqrt[n]{x}}$ obținem că $I_{n}=\int_{1}^{e} n \ln ^{n-1} t \mathrm{~d} t$. (2p) + +Integrând prin părți, deducem că $I_{n}=n\left(\left.t \ln ^{n-1} t\right|_{1} ^{e}-\int_{1}^{e} t(n-1) \ln ^{n-2} t \cdot \frac{1}{t} \mathrm{~d} t\right)=n\left(e-I_{n-1}\right), \forall n \geq 2$. În plus, $I_{1}=\int_{0}^{1} e^{x} \mathrm{~d} x=e-1$. (3p) + +Folosind relația găsită, $I_{2}+I_{3}+I_{4}=4 e+I_{2}-3 I_{3}=-5 e+10 I_{2}=15 e-20 I_{1}=5(4-e) \cdot(2 p)$ + +## Problema 2. + +Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ şi mulțimea $\mathrm{M}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{det} X=\operatorname{det}(A+X)=0\right\}$. + +a) Determinaţi două mulțimi $\mathrm{K}$ şi $\mathrm{L}$, părţi stabile ale monoidului $\left(\mathbb{m}_{2}(\mathbb{R}), \cdot\right)$, astfel încât $\mathrm{K} \cup \mathrm{L}=\mathrm{M}$. + +b) Este M stabilă în raport cu înmulțirea matricelor? + +## Soluție şi barem + +a) Condiția det $X=0$ arată că o matrice din $\mathrm{M}$ are forma $X=\left(\begin{array}{ll}a x & x \\ a y & y\end{array}\right)$, unde $a, x, y \in \mathbb{R}$. Atunci $\operatorname{det}(A+X)=(a x+6)(y+1)-(a y+3)(x+2)=(a-3)(x-2 y)$ şi, $\operatorname{din} \operatorname{det}(A+X)=0$, deducem că $a=3$ sau $x=2 y$. (3p) + +Mulțimile $\mathrm{K}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}3 x & x \\ 3 y & y\end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}\right\}$ şi $\mathrm{L}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}2 a y & 2 y \\ a y & y\end{array}\right) \right\rvert\, a, y \in \mathbb{R}\right\}$ îndeplinesc cerințele problemei. (2p) +b) $\mathrm{M}$ nu este stabilă în raport cu înmulțirea matricelor: de exemplu, $X=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 6 & 2\end{array}\right) \in \mathrm{K} \subset \mathrm{M}$, $Y=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right) \in \mathrm{L} \subset \mathrm{M}$, însă $X Y=\left(\begin{array}{cc}14 & 7 \\ 28 & 14\end{array}\right) \notin \mathrm{M} .(2 \mathrm{p})$ + +Problema 3. + +Considerăm o funcție $f:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ continuă, descrescătoare, astfel încât $f(\pi)=0$ şi fie $F$ o primitivă a sa. Demonstrați că + +$$ +\int_{0}^{2 \pi} F(x) \cos x \mathrm{~d} x \leq 0 +$$ + +## Soluție şi barem + +Observăm că $I=\int_{0}^{2 \pi} F(x) \cos x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2 \pi} F(x)(\sin x)^{\prime} \mathrm{d} x=\left.F(x) \sin x\right|_{0} ^{2 \pi}-\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=$ $=-\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x \cdot(3 \mathrm{p})$ + +Dacă $x \in[0, \pi]$, atunci $f(x) \geq f(\pi)=0$, iar dacă $x \in[\pi, 2 \pi]$, atunci $f(x) \leq f(\pi)=0$. (2p) + +Rezultă că $I=-\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x-\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x \leq 0$, unde am ținut seama de semnul comun al funcților $f$ şi sin pe fiecare dintre intervalele $[0, \pi]$ şi $[\pi, 2 \pi]$. (2p) + +## Problema 4. + +Spunem că un grup finit (G,.) cu $n$ elemente este bun dacă îndeplineşte condițile: (i) $n$ nu este divizibil cu 4 şi (ii) există două elemente distincte $a$ şi $b$ ale lui G, diferite de elementul neutru $e$ al grupului, astfel încât $a^{2}=b^{2}=e$. + +a) Dați un exemplu de grup bun. + +b) Dacă există un grup bun cu $n$ elemente, arătați că $n=4 k+2$, unde $k \in \mathbb{N}^{*}$. + +c) Demonstrați că un grup bun nu poate fi abelian. + +Gazeta Matematică 11/2015 (Supliment) + +## Soluție şi barem + +a) De exemplu, grupul $\left(S_{3}\right.$, ) al permutărilor de ordin 3 este grup bun: $\left|S_{3}\right|=6 \%$, iar transpozitiile (în număr de trei) sunt elemente de ordin 2 ale acestui grup. (2p) + +b) Cum G conține elemente de ordin 2, din teorema lui Lagrange rezultă că G este de ordin par. Pe de altă parte, $n$ nu este divizibil cu 4 şi atunci există $k \in \mathbb{N}^{*}$ astfel încât $n=4 k+2$. (1p) + +c) Dacă, prin absurd, $a b=b a$, ar rezulta că $\mathrm{H}=\{e, a, b, a b\}$ este subgrup al lui G. (3p) + +Cum H este subgrup de ordin 4 al lui $G$, este contrazisă teorema lui Lagrange. (1p) + +Notă: Orice altă solutie corectă sau demers de rezolvare corect se vor puncta corespunzător. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-970-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-970-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9617b23cb6d4d6ecc7c21e64bfa2c47f0ba04179 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-970-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,98 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ 23.02 .2014 + +## CLASA a V-a + +## SUBIECTUL 1 + +Fie $n$ un număr natural. Dacă în faţa lui $n$ punem cifra 7 obţinem un număr de cinci ori mai mare decât atunci când punem la sfârşitul lui $n$ cifra 7. Aflaţi cea mai mică valoare a lui $n$. + +GM 11/2013(SUPLIMENT) + +## SUBIECTUL 2 + +Numărul natural $\overline{a b c d}$ are suma cifrelor egală cu 27. Arătaţi că numărul $\overline{a b c d}+\overline{d c b a}$ se divide cu 297. + +GM 11/2013 + +## SUBIECTUL 3 + +Câtul împărţirii a două numere naturale este 3, iar restul este 7. Dacă triplăm deîmpărţitul, atunci restul este 6. Determinaţi numerele. + +RMT 2/2009 + +SUBIECTUL 4 + +a) Arătaţi că numărul $2^{221}+2^{22} \cdot 2^{199}$ este pătrat perfect. + +b) Dacă $x+2^{22} \cdot y=2^{222}$, arătaţi că $2^{245} \cdot y+\left(x-2^{22} \cdot y\right) \cdot\left(x+2^{22} \cdot y\right)$ este cub perfect. + +Prof. Damian Marinescu + +NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. + +Fiecare subiect este notat cu 7 puncte. + +Timp de lucru: 2 ore. + +## CLASA a V-a + +SUBIECTUL 1 + +Fie $n$ un număr natural. Dacă în faţa lui $n$ punem cifra 7 obţinem un număr de cinci ori mai mare decât atunci când punem la sfârşitul lui $n$ cifra 7. Aflaţi cea mai mică valoare a lui $n$. + +| Din relaţia $\overline{7 \mathrm{n}}=5 \cdot \overline{\mathrm{n} 7} \Rightarrow u(\mathrm{n})=5$ | $2 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| Se obţine relaţia $\overline{7 \mathrm{a} 5}=5 \cdot \overline{\mathrm{a} 57} \Rightarrow u(\mathrm{a})=8$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Avem: $\overline{7 \mathrm{~b} 85}=5 \cdot \overline{\mathrm{b} 857} \Rightarrow u(\mathrm{~b})=2$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Apoi: $\overline{7 c 285}=5 \cdot \overline{\mathrm{c} 2857} \Rightarrow \mathrm{u}(\mathrm{c})=4$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Şi atunci: $\overline{7 \mathrm{~d} 4285}=5 \cdot \overline{\mathrm{d} 42857}$, obținând $d=1$ | $1 \mathrm{p}$ | +| Se obţine cea mai mică valoare a lui $n=14285$. | $1 \mathrm{p}$ | + +OBS. Dacă analizează corect, $n$ de o cifră, $n$ de două cifre,.. , se acordă câte 1 p pentru fiecare caz şi maxim după ce ajunge la ecuaţia finală $\overline{7 \mathrm{abcde}}=5 \cdot \overline{\mathrm{abcde7}}$ şi o rezolvă obţinând $\overline{\mathrm{abcde}}=14285$. + +## SUBIECTUL 2 + +Numărul natural $a b c d$ are suma cifrelor egală cu 27. Arătaţi că numărul $a b c d+d c b a$ se divide cu 297. + +| $\overline{a b c d}+\overline{d c b a}=1001 a+110 b+110 c+1001 d=$ | $2 p$ | +| :--- | :--- | +| $=11(91 a+10 b+10 c+91 d)=$ | $1 p$ | +| $=11(81 a+81 d+10 a+10 b+10 c+10 d)=$ | $1 p$ | +| $=11[81 a+81 d+10(a+b+c+d)]$. | $1 p$ | +| $81 a+81 d+10(a+b+c+d)$ se divide cu 27, | $1 p$ | +| Rezultă $\overline{a b c d}+\overline{\text { dcba }}$ se divide cu $11 \cdot 27=297$ | $1 p$ | + +## SUBIECTUL 3 + +Câtul împărţirii a două numere naturale este 3, iar restul este 7. Dacă triplăm deîmpărţitul, atunci restul este 6. Determinaţi numerele. + +| Fie a şi b cele două numere. Atunci $a=3 b+7$, cu $b>7$. | $2 p$ | +| :--- | :--- | +| Înmulţind cu 3 egalitatea anterioară, avem $3 a=9 b+21$, sau $3 a=(9 b+15)+6$. | $1 p$ | +| $(9 b+15)$ se împarte exact la b, | $1 p$ | +| $9 b$ se împarte exact la b, rezultă că 15 se împarte exact la b. | $1 p$ | +| Dar $b>7$, rezultă b $=15$. | $1 p$ | +| Şi atunci $a=3 \cdot 15+7=52$. | $1 p$ | + +SUBIECTUL 4 + +a) Arătaţi că numărul $2^{221}+2^{22}$. $2^{199}$ este pătrat perfect. + +b) Dacă $x+2^{22} \cdot y=2^{222}$, arătaţi că $2^{245} \cdot y+\left(x-2^{22} \cdot y\right) \cdot\left(x+2^{22} \cdot y\right)$ este cub perfect. +a) + +| $2^{221}+2^{22 \cdot} 2^{199}=2^{221}+2^{221}=$ | $1 \mathrm{p}$ | +| :--- | :--- | +| $=2^{222}=$ | $1 \mathrm{p}$ | +| $=\left(2^{111}\right)^{2}$, pătrat perfect. | $1 \mathrm{p}$ | + +b) + +| $2^{245} \cdot y+\left(x-2^{22} \cdot y\right) \cdot\left(x+2^{22} \cdot y\right)=2^{245} \cdot y+\left(x-2^{22} \cdot y\right) \cdot 2^{222}=$ | $1 p$ | +| :--- | :--- | +| $=2^{245} \cdot y+2^{222} \cdot x-2^{244} \cdot y=$ | $1 p$ | +| $=2^{222} \cdot x+2^{244} \cdot y=$ | $1 p$ | +| $=2^{222}\left(x+2^{22 \cdot} y\right)=2^{222 \cdot} \cdot 2^{222}=2^{444}=\left(2^{148}\right)^{3}$, cub perfect. | $1 p$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-971-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-971-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..93435eb2642f0fe15a3de30a89a258b242bf9b7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-971-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică Faza Locală Dâmboviţa - 23 Februarie 2014 + +## CLASA A IX-A + +Subiectul 1. Rezolvaţi în numere reale sistemul: $\left\{\begin{array}{c}{[x]+y=4,2} \\ 2 x+[y]=5,3\end{array}\right.$. + +Gazeta Matematică 2013 + +Subiectul 2. Demonstrați că pentru orice număr natural $n>1$, are loc inegalitatea: + +$$ +\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}>\frac{1}{2} +$$ + +Gazeta Matematică 1961 + +Subiectul 3. Determinați o progresie aritmetică din șase termeni $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{6}$ astfel ca suma pătratelor termenilor $t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}$ să fie egală atât cu produsul $t_{1} t_{2} t_{3}$ cât și cu produsul $t_{5} t_{6}$. + +Gazeta Matematică 1964 + +Subiectul 4. Fie triunghiul $A B C$ și punctele $M \in(B C), D \in(A B), E \in(A C)$ astfel încât $B M=M C, A B=m \cdot A D$ și $A C=n \cdot A E$. Notăm $\{F\}=A M \cap D E$. Demonstrați că: + +a) $m \cdot \overrightarrow{D F}=n \cdot \overrightarrow{F E}$. + +b) $(m+n) \cdot \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$. + +## BAREM + +## CLASA A IX-A + +Subiectul 1. $\{y\}=0,2(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;[x]+[y]=4(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;[2 x]+[y]=5(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;$ $\left.\left[x+\frac{1}{2}\right]=1 \mathbf{( 1 p}\right)$, deci $\frac{1}{2} \leq x<\frac{3}{2}(\mathbf{1} \mathbf{p})$. Cazul 1. $[x]=0 \Rightarrow[y]=4 \Rightarrow$ $y=4,2$, apoi $x=0,65(\mathbf{1 p})$; Cazul 2. $[x]=1 \Rightarrow[y]=3 \Rightarrow y=3,2$, apoi $x=1,15(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + +Subiectul 2. Verificare $n=2(\mathbf{2 p})$; scrie $P(n+1)(2 \mathbf{p})$; Finalizare (3p). + +Subiectul 3. $\left.a^{2}+(a+r)^{2}+(a+2 r)^{2}+(a+3 r)^{2}=(a+4 r)(a+5 r) \mathbf{( 1 p}\right)$ $\Rightarrow(a-r)(a+2 r)=0(\mathbf{2 p})$. Cazul $a=r$, numerele sunt $r, 2 r, 3 r, 4 r, 5 r, 6 r$ (1p); $r^{2}+(2 r)^{2}+(3 r)^{2}+(4 r)^{2}=r \cdot 2 r \cdot 3 r \Rightarrow r=0$ sau $r=5$ (1p). Cazul $a=-2 r$, numerele sunt $-2 r,-r, 0, r, 2 r, 3 r(\mathbf{1} \mathbf{p}) \cdot(-2 r)^{2}+(-r)^{2}+0^{2}+r^{2}=$ $(-2 r)(-r) 0 \Rightarrow r=0(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +Subiectul 4. a) $\frac{D F}{F E}=\frac{B M}{M C} \cdot \frac{A C}{A B} \cdot \frac{A D}{A E}(2 \mathbf{p}) ; \frac{D F}{F E}=\frac{n}{m}(\mathbf{1} \mathbf{p}) ;$ b) Exprima $\overrightarrow{A F}$ in functie de $\overrightarrow{A D}$ si $\overrightarrow{A E}$ (2p); Finalizare (2p). + +Nota: pentru rezolvarea punctului b), folosind a) (nedemonstrat) se vor acorda (3p). + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-972-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-972-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86f742956eaae1fb3eda0ba11df527fe46069579 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-972-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,91 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +## Clasa a XII-a + +## Subiectul I + +Determinaţi primitivele funcției $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{\ln x-1} \cdot \ln ^{3} x$. + +## Subiectul II + +Determinați $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f$ derivabilă, știind că $f$ admite o primitivă $F: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, cu proprietatea că $F(x)=\frac{x f(x)}{2}$, oricare ar fi $x \in \mathbf{R}$. + +## Subiectul III + +Fie ( $G, \cdot)$ un grup și $f, g: G \rightarrow G, f(x)=x^{3}, g(x)=x^{6}$. Să se arate că dacă $f$ și $g$ sunt morfisme și cel puțin unul este surjectiv, atunci $(G, \cdot)$ este grup abelian. + +Cătălin Zîrnă + +## Subiectul IV + +Fie ( $G, \cdot$ ) un grup care are exact 3 elemente de ordin 2. Demonstrați că ( $G, \cdot$ ) conține un subgrup izomorf cu grupul lui Klein sau cu grupul $S_{3}$ al permutărilor de ordin 3 . + +Nelu Chichirim + +## Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## Clasa a XII-a + +Barem + +## Subiectul I + +Fie $I=\int x^{\ln x-1} \cdot \ln ^{3} x d x, x \in(0, \infty)$. Cu schimbarea de variabilă $x=e^{t}$ + +se obţine $I_{1}=\int\left(e^{t}\right)^{t-1} \cdot t^{3} \cdot e^{t} d t=\int e^{t^{2}} \cdot t^{3} d t=\frac{1}{2} \int\left(e^{t^{2}} \cdot 2 t\right) \cdot t^{2} d t=\frac{1}{2} \int\left(e^{t^{2}}\right)^{\prime} \cdot t^{2} d t \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . . . . .2 \mathbf{p}$ Integrând prin părţi, $I_{1}=\frac{1}{2} e^{t^{2}} \cdot t^{2}-\frac{1}{2} \int e^{t^{2}} \cdot 2 t d t=\frac{1}{2} e^{t^{2}} \cdot t^{2}-\frac{1}{2} \int\left(e^{t^{2}}\right) d t=\frac{1}{2} e^{t^{2}} \cdot t^{2}-\frac{1}{2} e^{t^{2}}+\zeta .2 \mathbf{p}$ Rezultă $I=\frac{1}{2} e^{\ln ^{2} x} \cdot \ln ^{2} x-\frac{1}{2} e^{\ln ^{2} x}+\zeta=\frac{1}{2} x^{\ln x} \cdot \ln ^{2} x-\frac{1}{2} x^{\ln x}+\zeta, x \in(0, \infty)$. + +## Subiectul II + +Deoarece $F$ este primitiva lui $f, f(x)=F^{\prime}(x)=\frac{f(x)+x f^{\prime}(x)}{2}, \forall x \in \mathbf{R}$. + +Rezultă că $2 f(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)$, de unde $f(x)-x f^{\prime}(x)=0, \forall x \in \mathbf{R}$ + +Dacă $x \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, \frac{f(x)-x f^{\prime}(x)}{x^{2}}=0$, adică $\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{\prime}=0 \forall x \in \mathbf{R} \backslash\{0\}$. + +Rezultă că există $c_{1}, c_{2} \in \mathbf{R}$, astfel încât $\frac{f(x)}{x}=c_{1}, \forall x<0$ şi $\frac{f(x)}{x}=c_{2}, \forall x>0$. + +Atunci $f(x)= \begin{cases}c_{1} x, & x<0 \\ a, & x=0 \\ c_{2} x, & x>0\end{cases}$ + +Din condițiile ca $f$ să fie continuă şi derivabilă pe $\mathbf{R}$, rezultă $c_{1}=c_{2}=c \in \mathbf{R}$ şi $a=0$. + +Atunci $f(x)=c x, \forall x \in \mathbf{R}$ $1 \mathrm{p}$ + +## Subiectul III + +$f, g: G \rightarrow G, f, g$ morfisme, rezultă $f(x y)=f(x) \cdot f(y), g(x y)=g(x) \cdot g(y) \forall x, y \in G$, de unde $(x y)^{3}=x^{3} y^{3},(x y)^{6}=x^{6} y^{6}, \forall x, y \in G$. + +$(x y)^{6}=\left[(x y)^{3}\right]^{2}=\left(x^{3} y^{3}\right)^{2}$, rezultă $x^{6} y^{6}=x^{3} y^{3} x^{3} y^{3}, \forall x, y \in G$ de unde $x^{3} y^{3}=y^{3} x^{3}, \forall x, y \in G$ + +$2 p$ + +Pe de altă parte, $x^{6} y^{6}=x^{3} x^{3} y^{3} y^{3}=x^{3} y^{3} x^{3} y^{3}=y^{3} x^{3} y^{3} x^{3}=y^{3} y^{3} x^{3} x^{3}=y^{6} x^{6}$. Rezultă de aici că $x^{6} y^{6}=y^{6} x^{6} \forall x, y \in G$ (2). $.2 p$ + +Să presupunem acum că $f$ este o aplicaţie surjectivă. Atunci, pentru orice $a, b \in G$, există $x, y \in G$, astfel încât $a=x^{3}$ şi $b=y^{3}$. Folosind relaţia (1), se obţine că $a b=x^{3} y^{3}=y^{3} x^{3}=b a$, de unde rezultă că ( $G, \cdot$ ) este grup abelian $2 p$ + +Analog, dacă $g$ este surjectivă, folosind relaţia (2), se arată că ( $G, \cdot$ ) este grup abelian. $.1 p$ + +## Subiectul IV + +Notăm cu $a, b, c$ cele 3 elemente de ordin 2 ale grupului şi cu e elementul neutru. + +Distingem 2 cazuri: $a b=b a$ şi $a b \neq b a$. + +I) $a b=b a \Rightarrow$ ordinul lui $a b$ este 2 + +II) $a b \neq b a \Rightarrow a b a$ nu aparţine mulţimii $\{e, a, b\}$ şi ordinul lui $a b a$ este $2 \Rightarrow a b a=c \ldots \ldots .1 \mathbf{1 p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_7a16bff8cf184875ed4ag-3.jpg?height=51&width=1551&top_left_y=340&top_left_x=184) +de unde printr-un calcul simplu deducem că ordinul lui ab este 3 ............................1p Considerand multimea $\mathrm{H}=\left\{e, a, b, a b a, a b,(a b)^{2}\right\}$ şi ţinând cont de proprietăţiile lui $a$ şi $b$ ( $a^{2}=b^{2}=e$ şi $a b a=b a b$ ) deducem că $\mathrm{H}$ este un subgrup a lui G izomorf cu $S_{3}$. + +$S_{3}=\left\{e, \sigma, \tau, \sigma \tau \sigma, \sigma \tau,(\sigma \tau)^{2}\right\}$ unde $e$ este permutarea identică, $\sigma$ este transpoziţia (1,2) §̧ $\tau$ este transpoziţia $(2,3)$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-973-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-973-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f66184483be76b3f3fc37bbf99a97abe593b5ce9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-973-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,172 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a XI-a + +## Subiectul I + +Fie $A, B \in M_{2}(\mathbf{Q})$ astfel încât $A B=B A$, $\operatorname{det} A=-3$ și $\operatorname{det}(A+\sqrt{3} \cdot B)=0$. + +Calculați $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)$. + +Gazeta Matematică + +## Subiectul II + +Fie $A, B \in M_{2}(\mathbf{C})$. Demonstrați echivalența: + +$$ +\operatorname{det}(A+B) \cdot \operatorname{det}(A-B)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right) \Leftrightarrow(A B-B A)^{2}=O_{2} +$$ + +Nelu Chichirim + +## Subiectul III + +a) Fie $a>0$ și șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1},\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $x_{n}, y_{n} \in[0, a], \forall n \in \mathbf{N}^{*}$. Se știe că $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=a^{2}$. Arătați că șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n>1}$ sunt convergente. + +b) Dacă $x_{n}, y_{n} \in(-1,1), \forall n \in \mathbf{N}^{*}$ și $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=1$, rezultă că șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente? + +Dorin Arventiev + +## Subiectul IV + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ două șiruri de numere reale definite astfel: + +$$ +\begin{aligned} +& x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}}{\left(1+x_{n}\right)^{2}}, \forall n \geq 1 \\ +& y_{n}>0, y_{n+1} \leq \frac{y_{n}}{\left(1+y_{n}\right)^{2}}, \forall n \geq 1 +\end{aligned} +$$ + +a) Arătați că șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente și determinați limitele lor. + +b) Arătați că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+x_{n}\right)^{n}=\sqrt{e}$. + +c) Arătați că șirul $\left(n y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit. + +Cătălin Zîrnă + +Notă: + +Timp de lucru: 3 ore + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 + +$\mathrm{Nu}$ se acordă puncte din oficiu + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +Etapa locală - Constanța, 23.02.2014 + +Clasa a XI-a + +## Barem de corectare si notare + +## Subiectul I + +Fie $A, B \in M_{2}(\mathbf{Q})$ astfel încât $A B=B A$, $\operatorname{det} A=-3$ și $\operatorname{det}(A+\sqrt{3} \cdot B)=0$. + +Calculați $\operatorname{det}\left(A^{2}+B^{2}-A B\right)$. + +Gazeta Matematică + +## Soluție + +$P(x)=\operatorname{det}(A+x B) \Rightarrow P(x)=x^{2}-3$ $4 p$ + +Fie $\varepsilon \in \mathbf{C} \backslash \mathbf{R}, \varepsilon^{2}+\varepsilon+1=0 \Rightarrow \varepsilon^{3}=1$ $1 p$ + +$$ +\begin{aligned} +& A B=B A \Rightarrow A^{2}+B^{2}-A B=(A+\varepsilon B)\left(A+\varepsilon^{2} B\right)=P(\varepsilon) P\left(\varepsilon^{2}\right) \\ +& \ldots 1 p +\end{aligned} +$$ + +## Subiectul II + +Fie $A, B \in M_{2}(\mathbf{C})$. Demonstrați echivalența: + +$$ +\operatorname{det}(A+B) \cdot \operatorname{det}(A-B)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right) \Leftrightarrow(A B-B A)^{2}=O_{2} +$$ + +Nelu Chichirim + +## Solutie + +$$ +\begin{aligned} +& \operatorname{det}(A+B) \operatorname{det}(A-B)=\operatorname{det}((A+B)(A-B))=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}-A B+B A\right) \\ +& \operatorname{det}(A-B) \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}((A-B)(A+B))=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}+A B-B A\right) \ldots \ldots \ldots \ldots .2 \mathbf{p} +\end{aligned} +$$ + +Prin adunare şi folosind $\operatorname{det}(X+Y)+\operatorname{det}(X-Y)=2(\operatorname{det} X+\operatorname{det} Y)$ obţinem + +$2 \operatorname{det}(A+B) \operatorname{det}(A-B)=2\left(\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det}(A B-B A)\right)$ + +adică $\operatorname{det}(A+B) \operatorname{det}(A-B)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right)+\operatorname{det}(A B-B A)$ + +$2 p$ + +Cum $\operatorname{Tr}(A B-B A)=0$ şi $(A B-B A)^{2}-\operatorname{Tr}(A B-B A) \cdot(A B-B A)+\operatorname{det}(A B-B A) \cdot I_{2}=O_{2}$, avem $\operatorname{det}(A+B) \cdot \operatorname{det}(A-B)=\operatorname{det}\left(A^{2}-B^{2}\right) \Leftrightarrow \operatorname{det}(A B-B A)=0 \Leftrightarrow(A B-B A)^{2}=O_{2}$ $3 \mathbf{p}$ + +## Subiectul III + +a) Fie $a>0$ și șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1},\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $x_{n}, y_{n} \in[0, a], \forall n \in \mathbf{N}^{*}$. Se știe că $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=a^{2}$. Arătați că șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente. + +b) Dacă $x_{n}, y_{n} \in(-1,1), \forall n \in \mathbf{N}^{*}$ și $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=1$, rezultă că șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente? + +Dorin Arventiev + +## Solutie + +a) Din $\frac{x_{n} y_{n}}{a} \leq x_{n} \leq a, \forall n \geq 1 \Rightarrow x_{n} \rightarrow a$. Analog pentru $\left(y_{n}\right)$ + +$4 p$ + +b) Fie $x_{n}=y_{n}=(-1)^{n}+(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n}=(-1)^{n-1} \cdot\left(\frac{1}{n}-1\right)$, evident divergente dar $x_{n} y_{n} \rightarrow 1$ $3 p$ + +## Subiectul IV + +Fie $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ şi $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ două şiruri de numere reale definite astfel: + +$$ +\begin{aligned} +& x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}}{\left(1+x_{n}\right)^{2}}, \forall n \geq 1 \\ +& y_{n}>0, y_{n+1} \leq \frac{y_{n}}{\left(1+y_{n}\right)^{2}}, \forall n \geq 1 +\end{aligned} +$$ + +a) Arătați că șirurile $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}$ și $\left(y_{n}\right)_{n \geq 1}$ sunt convergente și determinați limitele lor. + +b) Arătați că $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+x_{n}\right)^{n}=\sqrt{e}$. + +c) Arătați că şirul $\left(n y_{n}\right)_{n \geq 1}$ este mărginit. + +Cătălin Zîrnă + +## Soluție + +a) Prin inducţie, $x_{n}>0, \forall n \geq 1$. Din $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}<1 \forall n \geq 1$, avem că şirul este strict descrescător. Trecând la limită, obţinem $x_{n} \rightarrow 0$. Analog $\left(y_{n}\right)$ $3 \mathbf{p}$ + +b) $n x_{n}=\frac{n}{\frac{1}{x_{n}}}$. Cum $\frac{1}{x_{n}} \rightarrow+\infty$, strict crescător, aplicăm Lema Stolz-Cesaro $\Rightarrow n x_{n} \rightarrow \frac{1}{2}$ + +$\left(1+x_{n}\right)^{x_{n}{ }^{1 \infty}}=\left[\left(1+x_{n}\right)^{\frac{1}{x_{n}}}\right]^{n x_{n}} \rightarrow e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$ $2 p$ + +c) $y_{n}>0, y_{n} \rightarrow 0 \Rightarrow(\exists) k \in \mathbf{N}$ ầ $y_{k} \in(0,1)$ + +Alegem șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq k}$ astfel: $a_{k} \in\left(y_{k}, 1\right), a_{n+1}=\frac{a_{n}}{\left(1+a_{n}\right)^{2}}, \forall n \geq k$. Cu demonstrație analoagă pentru șirul $\left(x_{n}\right)$, se arată că $a_{n} \rightarrow 0$ strict descrescător și $n a_{n} \rightarrow \frac{1}{2}$. + +Demonstrăm, prin inducție, că $y_{n} - ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A VIII-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. + +Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Demonstrați că dacă $a, b$ şi $n$ sunt numere naturale nenule astfel încât $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=n$, atunci numărul $A=\underbrace{\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+2}}}}}}_{2014 \text { radicali }}$ este natural. +2. Se consideră expresia $E(a, b)=\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{16 a b}{a^{2}+b^{2}}$, unde $a$ şi $b$ sunt numere reale strict pozitive. + +a) Arătați că numărul $E(\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1)$ este rațional; + +b) Determinați cel mai mare număr real $n$ pentru care inegalitatea $E(a, b) \geq n$ are loc, oricare ar fi numerele reale strict pozitive $a$ şi $b$. + +3. Se consideră triunghiul echilateral $A B C$ şi triunghiul $B C D$ situate în plane perpendiculare. Fie $M$ mijlocul segmentului $[A D]$ şi $G$ centrul de greutate al triunghiului $A B C$. + +Dacă $D G \perp(M B C)$, demonstrați că triunghiul $B C D$ este dreptunghic isoscel. + +4. Arătați că, dacă $a, b$ şi $c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$, atunci +a) $\frac{a}{\sqrt{b c}} \geq \sqrt{2}$; +b) $\frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)} \leq 17-12 \sqrt{2}$. + +Problema 4 a fost selectată din Suplimentul Gazetei Matematice- Seria B nr. 10 /2013,publicație lunară pentru tineret, fondată în anul 1895, editată de Societatea de Ştiințe Matematice din România + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 -
CLASA A VIII-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Demonstraţi că dacă $a, b$ şi $n$ sunt numere naturale nenule astfel încât $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=n$, atunci numărul $A=\underbrace{\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+2}}}}}}_{2014 \text { radicali }}$ este natural. + +Prof. Lucian Petrescu, Tulcea + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Ridicând la pătrat relația din ipoteză obținem $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}=n^{2}-2 \in \mathbb{N}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Putem considera $(a, b)=1$. Fracția $\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}$ este ireductibilă, deci $a=b=1$. | $\mathbf{3 p}$ | +| Obținem $n=2$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Finalizare, $A=2 \in \mathbb{N}$ | $\mathbf{1 p}$ | + +Subiectul 2. Se consideră expresia $E(a, b)=\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{16 a b}{a^{2}+b^{2}}$, unde $a$ şi $b$ sunt numere reale strict pozitive. + +a) Arătați că numărul $E(\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1)$ este rațional; + +b) Determinați cel mai mare a număr real $n$ pentru care inegalitatea $E(a, b) \geq n$ are loc, oricare ar fi numerele reale strict pozitive $a$ şi $b$. + +Prof. Traian Preda, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) $E(\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1)=36 \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Inegalitatea din enunț este echivalentă cu $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^{2}-8 \cdot \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}} \geq n-10$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Adică $(a-b)^{2} \cdot \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)^{2}-8 a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)} \geq n-10$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Deoarece $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$ şi $(a+b)^{2} \geq 4 a b$, obținem, prin înmulțire
$\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)^{2} \geq 8 a^{2} b^{2}$. Deci $E(a, b)-10 \geq 0$, oricare ar fi numerele reale strict | | + +pozitive $a$ şi $b .$. Deducem că $n \geq 10$. + +Cum $E(a, a)=10, a>0$, rezultă că $n=10$. + +$1 p$ + +Subiectul 3. Se consideră triunghiul echilateral $A B C$ şi triunghiul $B C D$ situate în plane perpendiculare. Fie $M$ mijlocul segmentului $[A D]$ şi $G$ centrul de greutate al triunghiului $A B C$. + +Dacă $D G \perp(M B C)$, demonstrați că triunghiul $B C D$ este dreptunghic isoscel. + +Prof. Mircea Fianu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Fie $N$ mijlocul segmentului $[B C]$. Punctele $A, G$ şi $N$ sunt coliniare şi $A N \perp B C(1)$ | | +| Cum $D G \perp(M B C)$, rezultă că $D G \perp B C(2)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Din (1) şi (2) deducem că $B C \perp(A N D)$, deci dreapta $D N$ este mediatoare a segmentului | | +| $[B C]$, prin urmare, triunghiul $B D C$ este isoscel cu $D B=D C$. | | +| În triunghiul dreptunghic $A N D$ avem $N M=\frac{A D}{2}(3)$. Dacă $P$ este mijlocul segmentului | | +| $[A G]$ şi $\{R\}=D G \cap M N$, atunci $[P M]$ este linie mijlocie în triunghiul $A D G$, de unde | | +| deducem că $[G R]$ este linie mijlocie în triunghiul $N P M$, deci $R$ este mijlocul segmentului | $\mathbf{3 p}$ | +| $[M N]$. Cum $D R \perp M N$, rezultă că triunghiul $D M N$ este isoscel cu $D N=D M=\frac{A D}{2}(4)$ | | +| Din (3) şi (4) obținem că triunghiul $M D N$ este echilateral. | $\mathbf{2 p}$ | +| Triunghiurile $A N C$ şi $A N D$ sunt congruente (C. U.), deci $N D=N C=\frac{B C}{2}$, adică | | +| triunghiul $D B C$ este dreptunghic în $D$. | | + +Subiectul 4. Arătați că, dacă $a, b$ şi $c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$, atunci +a) $\frac{a}{\sqrt{b c}} \geq \sqrt{2}$; +b) $\frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)} \leq 17-12 \sqrt{2}$. + +Prof. Valerian Vlăescu, Dorohoi + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | +| a) Prin ridicare la pătrat, inegalitatea devine $\frac{a^{2}}{b c} \geq 2$, sau $a^{2} \geq 2 b c$, adică $b^{2}+c^{2} \geq 2 b c$. | 2p | +| Ultima inegalitate este adevărată deoarece este echivalentă cu $(b-c)^{2} \geq 0$. | 2p | +| b) $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, obținem $a-b=\frac{c^{2}}{a+b}$ şi $a-c=\frac{b^{2}}{a+b}$. Inegalitatea din enunț devine | | +| $\frac{b^{2} c^{2}}{(a+b)^{2}(a+c)^{2}} \leq(3-2 \sqrt{2})^{2}$, adică $\frac{b c}{(a+b)(a+c)} \leq 3-2 \sqrt{2}=\frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$. | | +| Inegalitate echivalentă cu $\frac{1}{\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{a}{c}+1\right)} \leq \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{2}} \operatorname{sau}\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{a}{c}+1\right) \geq(\sqrt{2}+1)^{2}$. | 3p | +| Avem $\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{a}{c}+1\right)=\frac{a^{2}}{b c}+\frac{a}{b c}(b+c)+1 \geq \frac{a^{2}}{b c}+\frac{2 a}{\sqrt{b c}}+1=\left(\frac{a}{\sqrt{b c}}+1\right)^{2} \geq(\sqrt{2}+1)^{2}$ | | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-977-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-977-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..268b88e23f5b39d4e88078d1e911c13723ff9c72 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-977-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ Bucuresti
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A VII-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. + +1. Determinați toate perechile de numere naturale $(a, b)$ care verifică egalitatea $a^{2} b^{2}-11 a^{2}-11 b^{2}=1893$. +2. Se consideră trapezul $A B C D(A B \| C D)$ în care $\{O\}=A C \cap B D$. Punctele $M$ şi $N$ sunt situate pe segmentele $(A O)$ şi respectiv $(B O)$, iar punctele $P$ şi $Q$ sunt situate pe segmentele $(A D)$ şi respectiv $(B C)$, astfel încât $M P \perp A D$, iar $N Q \perp B C$. + +a) Demonstrați că $S_{O A D}=S_{O B C}$; + +b) Demonstrați că $M N \| A B$ dacă şi numai dacă $\frac{A D}{B C}=\frac{N Q}{P M}$. + +3. Se consideră numerele întregi nenule $a, b$ şi $c$ care verifică egalitatea $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. + +a) Arătați că $|a+b+c| \leq 3$; + +b) Arătați că cel puțin unul dintre numerele $a, b$ sau $c$ are modulul egal cu 1 . + +4. Pe ipotenuza triunghiului dreptunghic $A B C, m(\widehat{B A C})=90^{\circ}$, se consideră punctele $D$ şi $E$ astfel încât $B D=A B$ şi $C E=A C$. Punctele $F$ şi $G$ sunt situate pe laturile $(A B)$, respectiv $(A C)$ astfel încât $B F=B E$ şi $C G=C D$. Dacă $I$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$, demonstrați că punctele $F, I$ şi $G$ sunt coliniare. + +Problema 1 a fost selectată din nr. 10/2013 al Gazetei Matematice- Seria B, publicație lunară pentru tineret, fondată în anul 1895, editată de Societatea de Ştiințe Matematice din România + +OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + + +## CLASA A VII-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Determinați toate perechile de numere naturale $(a, b)$ care verifică egalitatea + +$$ +a^{2} b^{2}-11 a^{2}-11 b^{2}=1893 +$$ + +Prof. Eugen Predoiu, Călăraşi + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Egalitatea din enunț este echivalentă cu $\left(a^{2}-11\right)\left(b^{2}-11\right)=2014=2 \cdot 19 \cdot 53$ | $\mathbf{3 p}$ | +| Deci $a^{2}-11 \in\{1,2,19,53,38,106,1007,2014\}$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Convin numai $a^{2}-11=38$ şi $b^{2}-11=53$ sau $b^{2}-11=38$ şi $a^{2}-11=53$, de unde
obținem $(a, b) \in\{(7,8),(8,7)\}$. | $\mathbf{2 p}$ | + +Subiectul 2. Se consideră trapezul $A B C D(A B \| C D)$ în care $\{O\}=A C \cap B D$. Punctele $M$ şi $N$ sunt situate pe segmentele $(A O)$ şi respectiv $(B O)$, iar punctele $P$ şi $Q$ sunt situate pe segmentele $(A D)$ şi respectiv $(B C)$, astfel încât $M P \perp A D$, iar $N Q \perp B C$. + +a) Demonstrați că $S_{O A D}=S_{O B C}$; + +b) Demonstrați că $M N \| A B$ dacă şi numai dacă $\frac{A D}{B C}=\frac{N Q}{P M}$. + +Prof. Traian Preda, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Avem $S_{D A B}=S_{C A B}$. Scădem din ambii membri ai egalităţii $S_{A O B}$ şi obținem
$S_{O A D}=S_{O B C}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| b) $M N \\| A B$ este echivalent, conform teoremei lui Thales, cu $\frac{O M}{M A}=\frac{O N}{N B}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Echivalent cu $\frac{S_{D M O}}{S_{D M A}}=\frac{S_{C N O}}{S_{C N B}}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Echivalent cu $\frac{S_{D M O}+S_{D M A}}{S_{D M A}}=\frac{S_{C N O}+S_{C N B}}{S_{C N B}}$, adică $\frac{S_{D O A}}{S_{D M A}}=\frac{S_{C O B}}{S_{C N B}}$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Echivalent cu $S_{D M A}=S_{C N B}$. | | +| Echivalent cu $\frac{A D \cdot M P}{2}=\frac{B C \cdot N Q}{2}$, echivalent cu $\frac{A D}{B C}=\frac{N Q}{P M}$ | | + +Subiectul 3. Se consideră numerele întregi nenule $a, b$ şi $c$ care verifică egalitatea + +$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. + +a) Arătați că $|a+b+c| \leq 3$; + +b) Arătați că cel puțin unul dintre numerele $a, b$ sau $c$ are modulul egal cu 1 . + +Prof. Lucian Petrescu, Tulcea, Cristian Mangra, Bucuresti + +$\left.\begin{array}{|l|c|}\hline \text { Detalii rezolvare } & \begin{array}{l}\text { Barem } \\ \text { asociat }\end{array} \\ \hline \text { a) Din ipoteză, rezultă }|a+b+c|=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right| \leq\left|\frac{1}{a}\right|+\left|\frac{1}{b}\right|+\left|\frac{1}{c}\right| \leq 1+1+1=3 . & \mathbf{2 p} \\ \text { Egalitatea se obține pentru }(a, b, c) \in\{(1,1,1),(-1,-1,-1)\}\end{array}\right]$ + +Subiectul 4. Pe ipotenuza triunghiului dreptunghic $A B C, m(\widehat{B A C})=90^{\circ}$, se consideră punctele $D$ şi $E$ astfel încât $B D=A B$ şi $C E=A C$. Punctele $F$ şi $G$ sunt situate pe laturile $(A B)$, respectiv $(A C)$ astfel încât $B F=B E$ şi $C G=C D$. Dacă $I$ este centrul cercului înscris în triunghiul $A B C$, demonstrați că punctele $F, I$ şi $G$ sunt coliniare. + +Prof. Gabriel Vrînceanu, Mircea Fianu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| Deoarece triunghiul $B F E$ este isoscel şi $(B I$ este bisectoarea unghiului $\widehat{E B F}$, rezultă că
dreapta $B I$ este mediatoarea segmentului $[E F](1)$. | | +| Cum triunghiul $C A E$ este isoscel, iar $(C I$ este bisectoarea unghiului $\widehat{A C E}$, rezultă că
dreapta $C I$ este mediatoarea segmentului $[E A](2)$.
Din (1) şi (2), rezultă că I este centrul cercului circumscris triunghiului $A F E$, deci $I$ este
situat pe mediatoarea segmentului $[F A](3)$. | $2 \mathbf{p}$ | +| Analog, obținem că $I$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A G D$, deci $I$ este situat
pe mediatoarea segmentului $[G A]$ (4). | $2 \mathbf{2}$ | +| Din (3) şi (4) deducem că $I$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A G F$. | $1 \mathrm{p}$ | +| Cum triunghiul $A F G$ este dreptunghic în $A$, rezultă că $I$ este mijlocul ipotenuzei $[F G]$,
deci punctele $F, I$ şi $G$ sunt coliniare. | $2 \mathbf{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-978-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-978-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9e476b17451551d1babe720d00cdabbfd2b5d1bc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-978-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,90 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ BuCuresti
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A VI-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Arătați că există un singur număr prim de trei cifre cu produsul cifrelor egal cu 70 . +2. Se consideră unghiurile proprii $\Varangle A O B, \Varangle B O C, \Varangle C O D, \Varangle D O A$ cu interioarele disjuncte, formate în jurul punctului $O$. Unghiul $\Varangle A O B$ este suplementul unghiului $\Varangle A O C$ precum şi al unghiului $\Varangle B O D$. Măsurile unghiurilor $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$ sunt exprimate, în grade, prin două numere naturale care au cel mai mare divizor comun egal cu 30 . + +Determinați măsurile unghiurilor $\Varangle A O B, \Varangle B O C, \Varangle C O D, \Varangle D O A$. + +3. Dacă numerele naturale $x, y, z$ verifică egalitatea $67 x+52 y=15 z$, arătați că numărul $(x+y)(y+z)(z+x)$ se divide cu 2010 . +4. Notăm cu $S$ mulțimea numerelor de cinci cifre distincte formate cu elementele mulțimii $\{1,2,3,7,8\}$. + +a) Dacă $p$ este un element oarecare al mulțimii $S$, arătați că numerele $5 p, 3 p$ şi $7 p$ nu sunt elemente ale mulțimii $S$. + +b) Determinați toate elementele $m \in S$ care au proprietatea că $4 m \in S$. + +Problema 4 a fost selectată din nr. 1/2014 al Gazetei Matematice- Seria B, publicație lunară pentru tineret, fondată în anul 1895, editată de Societatea de Științe Matematice din România + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + + +## CLASA A VI-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +## Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Arătați că există un singur număr prim de trei cifre cu produsul cifrelor egal cu 70. + +$* * *$ + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Descompunerea în factori a lui 70 este $2 \cdot 5 \cdot 7$ şi putem forma numerele
$725,752,527,572,275,257$ | $\mathbf{2}$ p | +| Numerele care au ultima cifră 5 nu sunt prime; se divid cu 5, iar numerele care au ultima
cifră 2 nu sunt prime pentru că se divid cu 2. | $\mathbf{2}$ p | +| $527=17 \cdot 31$, aşadar nu este număr prim | $\mathbf{2}$ p | +| 257 este număr prim, se verifică prin împărțiri succesive la $7,11,13$ şi 17. | $\mathbf{1}$ p | + +Subiectul 2. Se consideră unghiurile proprii $\Varangle A O B, \Varangle B O C, \Varangle C O D, \Varangle D O A$ cu interioarele disjuncte, formate în jurul punctului $O$. Măsura suplementului unghiului $\Varangle A O B$ este egală cu măsura unghiului $\Varangle A O C$ precum şi cu măsura unghiului $\Varangle B O D$. Măsurile unghiurilor $\Varangle A O B$ şi $\Varangle B O C$ sunt exprimate, în grade, prin două numere naturale care au cel mai mare divizor comun egal cu 30 . + +Determinați măsurile unghiurilor $\Varangle A O B, \Varangle B O C, \Varangle C O D, \Varangle D O A$. + +Prof. Victor Nicolae, Petre Simion, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :--- | :--- | | Notăm $m(\Varangle A O B)=a$ şi $m(\Varangle B O C)=b$. Cum | +| :--- | +| $(a, b)=30$, rezultă că $a=30 x, b=30 y x, y \in \mathbb{N}^{*}$, | +| $(x, y)=1$. | + + +| Cum $y$ este număr par nenul, implică $y \in\{2,4\}$. | | +| :--- | :--- | +| Dacă $y=2$, atunci $x=2$ şi numerele nu sunt prime între ele. | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $y=4$, atunci $x=1$. Rezultă $a=30^{\circ}, b=120^{\circ}$. | | +| Avem $m(\Varangle A O B)=30^{\circ}, m(\Varangle B O C)=120^{\circ}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Din $m(\Varangle B O D)+a=180^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle B O D)=150^{\circ} \Rightarrow m(\Varangle A O D)=120^{\circ}$. | | +| Din suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct rezultă $m(\Varangle C O D)=90^{\circ}$. | | + +Subiectul 3. Dacă numerele naturale $x, y, z$ verifică egalitatea $67 x+52 y=15 z$, arătați că numărul $(x+y)(y+z)(z+x)$ se divide cu 2010. + +Nicolae Ivăşchescu, Craiova + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| $2010=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67 ~$.
Vom arăta că numărul $(x+y)(y+z)(z+x)$ se divide cu 2, cu 15 şi cu 67. | $\mathbf{1}$ p | +| Relația dată se mai scrie $67 x+67 y=15 y+15 z$ sau $67(x+y)=15(y+z)$ | $\mathbf{2}$ p | +| Cum 15 este relativ prim cu 67, rezultă 15 divide pe $x+y$, aşadar
$15 \mid(x+y)(y+z)(z+x)(1)$
Cum 67 este relativ prim cu 15 rezultă 67 divide pe $y+z$, aşadar $67 \mid(x+y)(y+z)(z+x)$
$(2)$ | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $\quad x, y, z$ sunt numere naturale atunci cel puțin două au aceeaşi paritate şi prin urmare,
cel puțin una din sumele $x+y, y+z, z+x$ se divide cu 2 , de unde
$2 \mid(x+y)(y+z)(z+x) \quad(3)$ | $\mathbf{1 ~ p}$ | +| Din (1), (2) şi (3) rezultă $2 \cdot 15 \cdot 67 \mid(x+y)(y+z)(z+x)$, adică $2010 \mid(x+y)(y+z)(z+x)$ | $\mathbf{1 ~ p}$ | + +Subiectul 4. Notăm cu $S$ mulțimea numerelor de cinci cifre distincte formate cu elementele mulțimii $\{1,2,3,7,8\}$. + +a) Dacă $p$ este un element oarecare al mulțimii $S$, arătați că numerele $5 p, 3 p$ şi $7 p$ nu sunt elemente ale mulțimii $S$. + +b) Determinați toate elementele $m \in S$ care au proprietatea că $4 m \in S$. + +Prof.Gheorghe Rotariu, Dorohoi, Botoşani + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Dacă $p \in S$, atunci $U(5 p) \in\{0,5\}$. Deci $5 p \notin S$ | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Dacă $p \in S, p=9 k+3, k \in \mathbb{N}$. Dar $3 p$ este multiplu de 9 , deci $3 p \notin S$. | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| Dacă $p \in S, p=\overline{a b c d e}$ şi $7 p \in S$, atunci $a=1$ şi $b=2$. Se obține că $7 \cdot \overline{12 c d e} \notin S$. | $\mathbf{1} \mathbf{p}$ | +| b) Dacă $m \in S, m=\overline{a b c d e}$ şi $4 m \in S$, atunci $a \in\{1,2\}$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Dacă $a=1$, atunci $b \in\{7,8\}$ şi se obține $m=17832$. | $\mathbf{1 p}$ | +| Dacă $a=2$, atunci $b=1$ şi se obține $m=21783$. | $\mathbf{1 p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-979-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-979-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86eb344f072a16e391147e56a2b58e06d8c1a741 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-979-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,109 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ BuCuresti
- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + +## CLASA A V-A + +## Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore. + +1. Determinați numerele $\overline{a b}$ ştiind că împărțind numărul $\overline{a b 5}$ la numărul $\overline{b a}$ obținem câtul 5 şi restul 25 . +2. a) Determinați toate perechile de numere naturale $(n, p)$ care verifică egalitatea + +$$ +(n+1)(n+2 p)=1+2+3+4 +$$ + +b) Determinați câte perechi de numere naturale $(n, p)$ care verifică egalitatea + +$$ +(n+1)(n+2 p)=1+2+3+\ldots+2014 +$$ + +3. Se consideră numărul $n=9+99+999+\ldots+\underbrace{99 \ldots 99}_{2014 \text { cifre }}+2014$. + +a) Arătați că numărul $n$ este divizibil cu 10 ; + +b) Determinați câtul şi restul împărțirii numărului $n$ la 111 . + +4. Se consideră mulțimea $A$ care are ca elemente numere naturale scrise cu cinci cifre diferite care aparțin mulțimii $\{1,3,5,7,9\}$. + +a) Determinați câte numere din mulțimea $A$ au prima cifră 1 şi ultima cifră 3 ; + +b) Determinați câte elemente conține mulțimea $A$; + +c) Calculați suma tuturor elementelor din mulțimea $A$. + +Problema 3 a fost selectată din Suplimentul Gazetei Matematice- Seria B, nr. 10/2013, publicație lunară pentru tineret, fondată în anul 1895, editată de Societatea de Ştiințe Matematice din România + +## OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +- ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 - + + +## CLASA A V-A
SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE + +Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Se acordă numai punctaje întregi. Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului. + +Subiectul 1. Determinați numerele $\overline{a b}$ ştiind că împărțind numărul $\overline{a b 5}$ la numărul $\overline{b a}$ obținem câtul 5 şi restul 25 . + +Prof. Cristian Mangra, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| Din teorema împărțirii cu rest avem $\overline{a b 5}=5 \cdot \overline{b a}+25$, cu $\overline{b a}>25$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Folosind scrierea în baza 10 obținem $19 \cdot a=8 \cdot b+4$. | $\mathbf{2 p}$ | +| Deoarece numărul din membrul drept se divide cu 4 deducem că $a \in\{4,8\}$. | $\mathbf{2 ~ p}$ | +| Pentru $a=4$, obținem $b=9$ si numărul căutat este 49.
Pentru $a=8$ nu avem soluție. | $\mathbf{1 p}$ | + +## Subiectul 2. + +a) Determinați toate perechile de numere naturale $(n, p)$ care verifică egalitatea + +$$ +(n+1)(n+2 p)=1+2+3+4 +$$ + +b) Determinați câte perechi de numere naturale $(n, p)$ care verifică egalitatea + +$$ +(n+1)(n+2 p)=1+2+3+\ldots+2014 +$$ + +Prof. Ion Cicu, Bucureşti + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :--- | :---: | +| a) Avem $(n+1)(n+2 p)=10$, deci $n+1$ este divizor al lui 10, adică $n+1 \in\{1,2,5,10\}$ | $\mathbf{1 p}$ | +| Obținem $n \in\{0,1,4,9\}$. Convin perechile $n=0, p=5$ şi $n=1, p=2$. | $\mathbf{2 p}$ | +| b) Răspuns: 0 perechi | $\mathbf{1 p}$ | +| Avem $1+2+3+\ldots+2014=1007 \cdot 2015$ care este număr impar. | $\mathbf{2 p}$ | +| Numerele $n+1$ şi $n+2 p$ au parităti diferite deoarece 1 este impar, iar $2 p$ este par.
Prin urmare, numărul $(n+1)(n+2 p)$ este par. | $\mathbf{1 p}$ | +| În concluzie $(n+1)(n+2 p) \neq 1+2+3+\ldots+2014$, oricare ar fi numerele naturale $n$ şi $p$. | | + +Subiectul 3. Se consideră numărul $n=9+99+999+\ldots+\underbrace{99 \ldots 99}_{2014 \text { cifre }}+2014$. + +a) Arătați că numărul $n$ este divizibil cu 10 ; + +b) Determinați câtul şi restul împărțirii numărului $n$ la 111 . + +Prof. Aurica P̂̂rvescu, Botoşani + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Numărul $n$ are 2014 termeni formaţi numai cu cifra 9. Vom scrie termenul 2014 ca
o sumă formată din 2014 de 1 .
Avem
$n=9+99+999+\ldots+\underbrace{99 \ldots 99}_{2014 \text { cifre }}+\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{2014 \text { termeni }}=(9+1)+(99+1)+(999+1)+\ldots+(99 \ldots 99+1)$
sau
$n=10+100+1000+\ldots+1 \underbrace{00 \ldots 00}_{\text {2014cifre }}=\underbrace{11 \ldots .11}_{\text {2014 cifre }}$.
Cum ultima cifră este 0 , numărul este divizibil cu 10 | $3 \mathbf{p}$ | +| b) Vom scrie $n=111 \cdot 10^{2012}+111 \cdot 10^{2009}+\ldots+111 \cdot 10^{2}+10=$
$=111 \cdot\left(1 \cdot 10^{2012}+1 \cdot 10^{2009}+\ldots+1 \cdot 10^{2}\right)+10$
Câtul este $\underbrace{100}_{671 \text { grupe }} \underbrace{100 \ldots}$, iar restul este 10. | $2 \mathbf{p}$ | + +Subiectul 4. Se consideră mulțimea $A$ care are ca elemente numere naturale scrise cu cinci cifre diferite care aparțin mulțimii $\{1,3,5,7,9\}$. + +a) Determinați câte numere din mulțimea $A$ au prima cifră 1 şi ultima cifră 3 ; + +b) Determinați câte elemente conține mulțimea $A$; + +c) Calculați suma tuturor elementelor din mulțimea $A$. + +Prof.Marius Perianu, Slatina + +| Detalii rezolvare | Barem
asociat | +| :---: | :---: | +| a) Numerele au forma $\overline{1 a b c 3}$. Cifra $a$ poate lua 3 valori, cifra $b$ poate lua 2 valori, iar
cifra $c$ o valoare. Sunt $3 \cdot 2 \cdot 1=6$ numere | $2 \mathbf{p}$ | +| b) Numerele au forma $\overline{a b c d e}$. Cifra a poate lua 5 valori, cifra $b$ poate lua 4 valori,
cifra $c$ poate lua 3 valori, cifra $d$ poate lua 2 valori, iar cifra $e$ o valoare. Sunt
$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$ de numere. | $3 \mathbf{p}$ | +| c) Fiecare cifră apare, pe fiecare pozitie, de 24 de ori şi atunci suma numerelor are forma
$S=24 \cdot(1+3+5+7+9) \cdot 10^{4}+24 \cdot(1+3+5+7+9) \cdot 10^{3}+24 \cdot(1+3+5+7+9) \cdot 10^{2}+$
$+24 \cdot(1+3+5+7+9) \cdot 10+24 \cdot(1+3+5+7+9)=24 \cdot 25 \cdot 11111=6666600$ | $2 \mathbf{p}$ | + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-98-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-98-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..32f9ed4ced7680833b5d1e37a7500bdbcce61e91 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-98-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,115 @@ +# Olimpiada Națională de Matematică 2016 + +## Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A XI-A + +Problema 1. Pentru fiecare număr natural $n$ se consideră funcția + +$$ +f_{n}:(-1,1) \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x)=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{n}} +$$ + +a) Să se arate că $\lim _{x \rightarrow 0} f_{2}(x)=-\frac{1}{4}$. + +b) Să se arate că nu există $\lim _{x \rightarrow 0} f_{3}(x)$. + +c) Să se determine $n$ pentru care există $\lim _{x \rightarrow 0} f_{n}(x)$. + +Problema 2. Se consideră șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit astfel: $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{2 a_{n}^{2}+1}{2 a_{n}}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se arate că: + +a) șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător; +b) $n \leq a_{n}^{2}0} f_{3}(x)=\lim _{x>0} \frac{f_{2}(x)}{x}=+\infty$ și $\lim _{x \geq 0} f_{3}(x)=\lim _{x \geq 0} \frac{f_{2}(x)}{x}=-\infty$, rezultă că nu există $\lim _{x \rightarrow 0} f_{3}(x) \ldots \mathbf{p}$ c) $\lim _{x \rightarrow 0} f_{0}(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f_{1}(x)=0, \lim _{x \rightarrow 0} f_{2}(x)=-\frac{1}{4}$. Pentru $n \geq 3$, avem $\lim _{x \rightarrow 0} f_{n}(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_{2}(x)}{x^{n-2}}$. Această limită este $-\infty$ dacă $n$ este număr par și nu există dacă $n$ este număr impar. Așadar limita $\lim _{x \rightarrow 0} f_{n}(x)$ există dacă și numai dacă $n$ este număr par sau $n=1$ $.2 p$ + +Problema 2. Se consideră şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ definit astfel: $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{2 a_{n}^{2}+1}{2 a_{n}}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Să se arate că: + +a) șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător; +b) $n \leq a_{n}^{2}0$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$. De aici rezultă că $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2 a_{n}}>0$ oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$, deci șirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ este strict crescător. + +$.3 p$ + +b) $a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+1+\frac{1}{4 a_{n}^{2}}>a_{n}^{2}+1$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$, de unde rezultă că $a_{n}^{2} \geq n$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{*}$ (inducție) + +$1 p$ + +Se arată, tot prin inducție, că $a_{n}^{2} Faza locală + +Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a XII-a + +1. Considerăm mulţimea de matrice: + +$$ +\mathcal{M}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} +a+b & b \\ +c & a+c +\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\} +$$ + +Să se determine mulţimea $G$ formată din matricele ortogonale $\operatorname{din} \mathcal{M}$ şi să se demonstreze că ( $G, \cdot \cdot$ este un grup izomorf cu grupul lui Klein. + +(Reamintim ca o matrice se numeşte ortogonală dacă este inversabilă, iar inversa sa este matricea transpusă). + +G.M.B. Nr. $3 / 2013$ + +2. Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, + +$$ +f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}{x^{4}+x^{2}+1}} +$$ + +Prof. univ. dr. Marin Marin + +3. Fie $a$ şi $b$ două numere reale strict pozitive. Să se demonstreze inegalităţile: +a) + +$$ +\int_{0}^{1} \frac{x^{a}}{1+x^{b}} d x \geq \frac{b}{(a+1)(a+b+1)} +$$ + +b) + +$$ +\int_{0}^{1} \frac{x^{a}}{1+x^{b}} d x-\frac{b}{(a+1)(a+b+1)} \leq \frac{\ln 2}{a+2 b+1} +$$ + +Conf. univ. dr. Eugen Păltănea + +4. Fie ( $G, \cdot$ ) un grup cu $n$ elemente şi $a \in G$ cu proprietatea că $a b=b a \Leftrightarrow$ $b \in\left\{a^{k} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$. Un element $c \in G$ se numeşte conjugat cu $a$ dacă există $x \in G$ astfel încât $c=x a x^{-1}$. Fie $m$ ordinul lui $a$ în grupul $G$. Să se arate că: + +a) orice element $c \in G$ conjugat cu $a$ are ordinul $m$; +b) $G$ are cel puţin $\frac{n}{m}$ elemente de ordin $m$. + +G.M.B. Nr. 12/2012, enunţ modificat + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Olimpiada de matematică, Faza locală, Braşov, 21 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a XII-a + +XII 1. Fie $A \in \mathcal{M}$, inversabilă, cu $A^{-1}={ }^{t} A$. + +$A \cdot{ }^{t} A=I_{2} \Rightarrow \operatorname{det}(A) \operatorname{det}\left({ }^{t} A\right)=1 \Rightarrow(\operatorname{det}(A))^{2}=1 \Rightarrow \operatorname{det}(A) \in\{-1,1\}$. + +$2 p$ + +Cazul I. $\operatorname{det}(A)=1$. + +$$ +\left\{\begin{array} { l } +{ t A = A ^ { * } } \\ +{ \operatorname { d e t } ( A ) = 1 } +\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} +a \in\{-1,1\} \\ +b=c=0 +\end{array} \Leftrightarrow A=I_{2} \text { sau } A=-I_{2}\right.\right. +$$ + +$2 p$ + +Cazul II. $\operatorname{det}(A)=-1$. + +$$ +\left\{\begin{array} { l } +{ t A = - A ^ { * } } \\ +{ \operatorname { d e t } ( A ) = - 1 } +\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} +a+b=0 \\ +b=c \\ +a^{2}=1 +\end{array} \Leftrightarrow A=\left(\begin{array}{ll} +0 & 1 \\ +1 & 0 +\end{array}\right) \text { sau } A=-\left(\begin{array}{ll} +0 & 1 \\ +1 & 0 +\end{array}\right)\right.\right. +$$ + +$\qquad$ +$1 p$ + +Fie + +$$ +J_{2}=\left(\begin{array}{ll} +0 & 1 \\ +1 & 0 +\end{array}\right) +$$ + +$J_{2}^{2}=I_{2}$. $\qquad$ +$G=\left\{I_{2},-I_{2}, J_{2},-J_{2}\right\}$. Stabilirea izomorfismului grupului $(G, \cdot)$ cu grupul lui Klein. + +XII 2. $x^{4}+x^{2}+1=\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)$; $\qquad$ +$\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}=\left(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}\right) / \sqrt{2} ;$ + +$1 p$ + +$$ +f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}}\right), x \in \mathbb{R} +$$ + +$\qquad$ + +$$ +\int f(x) d x=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left[\left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^{2}-x+1}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^{2}+x+1}\right)\right]+\mathcal{C}, x \in \mathbb{R} +$$ + +XII 3. a) + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{1}{1+x^{b}} \geq 1-x^{b}, \forall x \in[0,1] \\ +& \text {............................................................ } 2 \\ +& \frac{x^{a}}{1+x^{b}} \geq x^{a}-x^{a+b}, \forall x \in[0,1] \\ +& \int_{0}^{1} \frac{x^{a}}{1+x^{b}} d x \geq \int_{0}^{1} x^{a} d x-\int_{0}^{1} x^{a+b} d x=\frac{b}{(a+1)(a+b+1)} +\end{aligned} +$$ + +$\qquad$ +b) + +$$ +d:=\int_{0}^{1} \frac{x^{a}}{1+x^{b}} d x-\frac{b}{(a+1)(a+b+1)}=\int_{0}^{1}\left(\frac{x^{a}}{1+x^{b}}-x^{a}+x^{a+b}\right) d x=\int_{0}^{1} \frac{x^{a+2 b}}{1+x^{b}} d x +$$ + +$1 p$ + +$\mathrm{Cu}$ schimbarea de variabilă $x^{b}=y$, + +$$ +d=\frac{1}{b} \int_{0}^{1} \frac{y^{(a+b+1) / b}}{1+y} d y +$$ + +Funcţia $f(y)=y^{(a+b+1) / b}$ este crescătoare pe $[0,1]$, iar funcţia $g(y)=(1+y)^{-1}$ este descrescătoare pe $[0,1]$. Conform versiunii integrale a inegalităţii sumă a lui Cebîşev, + +$$ +d \leq \frac{1}{b} \int_{0}^{1} f(y) d y \cdot \int_{0}^{1} g(y) d y=\frac{\ln 2}{a+2 b+1} +$$ + +XII 4. a) Fie $e$ elementul unitate al grupului $G$ şi $c=x a x^{-1}, \mathrm{cu} x \in G$, un element conjugat cu $a$. $c^{k}=e \Leftrightarrow x a^{k} x^{-1}=e \Leftrightarrow a^{k}=e$, de unde ord $(c)=\operatorname{ord}(a)=m$. + +b) Fie $C_{a}=\{x \in G \mid a x=x a\}$. + +$C_{a}=\langle a\rangle=\left\{e, a, a^{2}, \cdots, a^{m-1}\right\}$ este un subgrup al grupului $G$, deci $m$ divide $n$. + +$1 p$ + +Notăm $\hat{a}=\left\{x a x^{-1} \mid x \in G\right\}$ (clasa elementelor grupului conjugate cu elementul $a$ ); + +$|\hat{a}|=\left|\left\{x C_{a} \mid x \in G\right\}\right|=\frac{|G|}{\left|C_{a}\right|}=\frac{n}{m}$, deoarece: + +$x a x^{-1}=y a y^{-1} \Leftrightarrow\left(y^{-1} x\right) a=a\left(y^{-1} x\right) \Leftrightarrow y^{-1} x \in C_{a} \Leftrightarrow x \in y C_{a} \Leftrightarrow x C_{a}=y C_{a}$. + +Deci $|\{x \in G \mid \operatorname{ord}(x)=m\}| \geq|\hat{a}|=\frac{n}{m}$. + +$1 p$ + +Notă: Pentru orice rezolvare corectă se va acorda punctajul maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-981-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-981-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..71a1ec208381e3f8c771cff513d0bfdb4df5b94a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-981-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,204 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a XI-a + +1. Să se rezolve ecuaţia + +$$ +X^{3}-4 X^{2}+5 X=\left(\begin{array}{cc} +10 & 20 \\ +5 & 10 +\end{array}\right) +$$ + +în mulţimea matricelor singulare $\operatorname{din} \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$. + +Prof. Sorina Stoian + +2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale sistemul + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\ +x_{2}-x_{3}+x_{4}=1 \\ +x_{3}-x_{4}+x_{5}=1 \\ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ +x_{2012}-x_{2013}+x_{2014}=1 \\ +x_{2013}-x_{2014}+x_{1}=1 \\ +x_{2014}-x_{1}+x_{2}=1 +\end{array}\right. +$$ + +Prof. univ. dr. Marin Marin + +3. Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ definit prin $x_{0}=1$ şi relaţia de recurenţă + +$$ +x_{n+1}=\frac{x_{n}+2}{x_{n}+1}, n \in \mathbb{N} +$$ + +Să se arate că: + +a) şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, + +$$ +a_{n}=\frac{x_{n}-\sqrt{2}}{x_{n}+\sqrt{2}}, n \in \mathbb{N} +$$ + +este o progresie geometrică; + +b) şirul $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, definit prin $y_{0}=1$ şi $2 y_{n} y_{n+1}=y_{n}^{2}+2$, este un subşir al şirului $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. + +Prof. dr. Ioana Maşca + +4. Să se determine funcţiile continue $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, cu proprietatea + +$$ +f(x-y)+f(x+y)=2(f(x)+f(y)) +$$ + +oricare ar fi numerele reale $x$ sुi $y$. + +G.M.B. Nr. $4 / 2013$ + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a XI-a + +XI 1. $\operatorname{det}(X)=0$ + +Notăm $u=\operatorname{tr}(X) \in \mathbb{R} . X^{2}=u X$ (cf. relaţiei Cayley-Hamilton). $\qquad$ +$X^{3}-4 X^{2}+5 X=\left(u^{2}-4 u+5\right) X$. $\qquad$ + +$$ +X=\frac{1}{u^{2}-4 u+5}\left(\begin{array}{cc} +10 & 20 \\ +5 & 10 +\end{array}\right) +$$ + +$\qquad$ + +$$ +u=\frac{10}{u^{2}-4 u+5}+\frac{10}{u^{2}-4 u+5} \Leftrightarrow u^{3}-4 u^{2}+5 u-20=0 \stackrel{u \in \mathbb{R}}{\Longleftrightarrow} u=4 . X=\left(\begin{array}{ll} +2 & 4 \\ +1 & 2 +\end{array}\right) . +$$ + +$2 p$ + +XI 2. Prin sumarea ecuaţiilor obţinem: $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2014}=2014$. $\qquad$ +$1 p$ + +Notaţie $x_{2014+k}=x_{k}, k \geq 1$. + +Prin sumarea perechilor de ecuaţii consecutive obţinem: $x_{k}+x_{k+3}=2, k=\overline{1,2014}$. $\qquad$ +$2 p$ + +Rezultă $x_{k}=x_{k+6}, k=\overline{1,2014}$. $\qquad$ +$1 p$ + +$x_{1}=x_{2011}=x_{3}=x_{2013}=x_{5} \Rightarrow x_{2 k-1}=a, 1 \leq k \leq 1007$ + +$x_{2}=x_{2012}=x_{4}=x_{2014}=x_{6} \Rightarrow x_{2 k}=b, 1 \leq k \leq 1007$ + +$2 a-b=1,2 b-a=1 \Rightarrow a=b=1$. $\qquad$ +$2 p$ + +Sistemul are soluţia $x_{n}=1, n=\overline{1,2014}$. $\qquad$ +$1 p$ + +## Demonstraţie bazată pe rezolvarea recurenței liniare de ordinul 2 . + +Substituţie: $y_{n}=x_{n}-1$. Şirul $\left(y_{n}\right)$ verifică $y_{n+2}-y_{n+1}+y_{n}=0,1 \leq n \leq 2012(\mathbf{2 p})$; + +$y_{n}=a \varepsilon^{n}+b \bar{\varepsilon}^{n}, \quad 1 \leq n \leq 2014$, unde $\varepsilon^{2}-\varepsilon+1=0, \varepsilon^{3}=-1(\mathbf{2 p})$; + +$\left\{\begin{array}{l}y_{1}-y_{2014}+y_{2013}=0 \\ y_{2}-y_{1}+y_{2014}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\varepsilon a+(\bar{\varepsilon}-1) b=0 \\ -(1+\varepsilon) a+(1-\bar{\varepsilon}) b=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=0\end{array} ; y_{n}=0, n=\overline{1,2014}(\mathbf{2 p})\right.\right.\right.$ + +Sistemul are soluţia $x_{n}=1, n=\overline{1,2014}(\mathbf{1} \mathbf{p})$. + +XI 3. a) Notăm $q=a_{0}=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$; + +$$ +a_{n+1}=\frac{x_{n+1}-\sqrt{2}}{x_{n+1}+\sqrt{2}}=\frac{\frac{x_{n}+2}{x_{n}+1}-\sqrt{2}}{\frac{x_{n}+2}{x_{n}+1}+\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2})\left(x_{n}-\sqrt{2}\right)}{(1+\sqrt{2})\left(x_{n}+\sqrt{2}\right)}=q a_{n}, n \in \mathbb{N} +$$ + +Şirul $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, este o progresie geometrică cu raţia $q$ şi termenul general $a_{n}=q^{n+1}, n \in \mathbb{N}$. + +$3 \mathbf{p}$ + +b) Fie şirul $b_{n}=\frac{y_{n}-\sqrt{2}}{y_{n}+\sqrt{2}}, n \in \mathbb{N}$. Avem $b_{0}=q$ şi + +$$ +b_{n+1}=\frac{y_{n+1}-\sqrt{2}}{y_{n+1}+\sqrt{2}}=\frac{\frac{y_{n}^{2}+2}{2 y_{n}}-\sqrt{2}}{\frac{y_{n}^{2}+2}{2 y_{n}}+\sqrt{2}}=\frac{\left(y_{n}-\sqrt{2}\right)^{2}}{\left(y_{n}+\sqrt{2}\right)^{2}}=b_{n}^{2}, n \in \mathbb{N} +$$ + +Obţinem $b_{n}=q^{2^{n}}, n \in \mathbb{N}$ (inducţie). $\qquad$ + +$$ +b_{n}=q^{2^{n}}=a_{2^{n}-1} \Rightarrow \frac{y_{n}-\sqrt{2}}{y_{n}+\sqrt{2}}=\frac{x_{2^{n}-1}-\sqrt{2}}{x_{2^{n}-1}+\sqrt{2}} \Rightarrow y_{n}=x_{2^{n}-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N} +$$ + +deci şirul $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ este un subşir al şirului $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. $\qquad$ +$2 p$ + +Demonstraţie bazată pe rezolvarea recurenţei liniare de ordinul 2 +a) + +$$ +x_{n}=p_{n} / q_{n}, n \in \mathbb{N} ;\left\{\begin{array}{l} +p_{n+1}=p_{n}+2 q_{n} \\ +q_{n+1}=p_{n}+q_{n} +\end{array} \quad, n \in \mathbb{N}(\mathbf{1} \mathbf{p})\right. +$$ + +$p_{n+2}-2 p_{n+1}-p_{n}=0, n \in \mathbb{N} ; p_{0}=1, p_{1}=3 .(\mathbf{1} \mathbf{p})$ + +ecuaţia caracteristică $x^{2}-2 x-1=0$ are rădăcinile $x_{1,2}=1 \pm \sqrt{2}$; + +$$ +\begin{gathered} +p_{n}=\left[(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}\right] / 2, q_{n}=\left[(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}\right] /(2 \sqrt{2}) \\ +x_{n}=\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}}{(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}} \sqrt{2}, n \in \mathbb{N}(\mathbf{1} \mathbf{p}) \\ +a_{n}=\frac{x_{n}-\sqrt{2}}{x_{n}+\sqrt{2}}=\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^{n+1}, n \in \mathbb{N}(\mathbf{1} \mathbf{p}) +\end{gathered} +$$ + +b) $y_{n}=x_{k} \Rightarrow y_{n+1}=\left(x_{k}^{2}+2\right) /\left(2 x_{k}\right)=x_{2 k+1}(\mathbf{2 p})$; finalizare (1p). + +XI 4. Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie cu proprietăţile din enunţ. $f(0)=0$ (se consideră $x=y=0$ ). + +$f(-y)=f(y), \forall y \in \mathbb{R}$ (se consideră $x=0$ ), deci $f$ este funcţie pară. + +$1 p$ + +$f(n x)=n^{2} f(x), \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}$ (demonstraţie prin inducţie după $n \in \mathbb{N}^{*}$ ). + +$f\left(\frac{m}{n}\right)=a\left(\frac{m}{n}\right)^{2}, \forall m, n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $a:=f(1) \in \mathbb{R}$ $\qquad$ +$1 p$ + +$f(r)=a r^{2}, \forall r \in \mathbb{Q}$ (conform parităţii lui $\left.f\right)$ + +$0.5 p$ + +Pentru $\lambda \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, există un $\operatorname{şir}\left(r_{n}\right)_{n \geq 1}$ de numere raţionale astfel ca $r_{n} \rightarrow \lambda$. + +$$ +\left.f(\lambda)=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(r_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a\left(r_{n}\right)^{2}=a \lambda^{2} \text { (conform continuităţii lui } f\right) +$$ + +Deci $f(x)=a x^{2}, \forall x \in \mathbb{R}$. $\qquad$ +$1 p$ + +Reciproc, pentru $a \in \mathbb{R}$ arbitrar, funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^{2}, \forall x \in \mathbb{R}$, satisface ipoteza. + +$0.5 p$ + +Notă: Pentru orice rezolvare corectă se va acorda punctajul maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-982-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-982-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da5c034725c244918286611662a8aebf753efe2d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-982-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,115 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a X-a + +1. Să se rezolve sistemul + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +\sqrt[4]{x \sqrt{x}}-\sqrt[4]{y \sqrt{y}}=7 \\ +\sqrt[14]{x \sqrt{x \sqrt{x}}}+\sqrt[14]{y \sqrt{y \sqrt{y}}}=3 +\end{array}\right. +$$ + +G.M.B. Nr. $9 / 2013$ + +2. Să se rezolve ecuaţia + +$$ +x(3+\sqrt{5})^{\lg x}+20=10(5+\sqrt{5})^{\lg x} +$$ + +Prof. Gabriela Boeriu + +3. Se consideră numerele naturale $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$, astfel încât $1-1 +$$ + +Prof. univ. dr. Marin Marin + +4. Fie $a$ şi $b$ două numere reale diferite de zero. Să se arate că funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=a \sin x+b \sin (x \sqrt{5})$, nu este periodică. + +Prof. dr. Ioana Maşca + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Olimpiada de matematică, Faza locală, Braşov, 21 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a X-a + +X 1. Sistemul este definit pentru $x, y \geq 0$. + +$1 p$ + +$\sqrt[4]{x \sqrt{x}}=x^{\frac{3}{8}}, \sqrt[4]{y \sqrt{y}}=y^{\frac{3}{8}}$ + +$1 p$ + +$\sqrt[14]{x \sqrt{x \sqrt{x}}}=x^{\frac{1}{8}}, \quad \sqrt[14]{y \sqrt{y \sqrt{y}}}=y^{\frac{1}{8}}$ + +$1 p$ + +$\mathrm{Cu}$ substituţiile $a=x^{\frac{1}{8}}$ şi $b=y^{\frac{1}{8}}$, sistemul devine + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +a^{3}-b^{3}=7 \\ +a+b=3 +\end{array}, a, b \geq 0\right. +$$ + +$1 p$ + +$a=3-b,(b-1)\left(2 b^{2}-7 b+20\right)=0$; soluţii reale (pozitive): $a=2, b=1$. $\qquad$ +$2 p$ + +Soluţia sistemului: $x=2^{8}, y=1$. $\qquad$ +$1 p$ + +X 2. Ecuaţia este definită pentru $x \in(0, \infty)$; $\qquad$ +$1 p$ + +$x=10^{\lg x} ;$ $\qquad$ +$1 p$ + +ecuaţia devine $(30+10 \sqrt{5})^{\lg x}+20=10(5+\sqrt{5})^{\lg x}$. $\qquad$ +$1 p$ + +$30+10 \sqrt{5}=(5+\sqrt{5})^{2}$. $\qquad$ +$1 p$ + +$\mathrm{Cu}$ substituţia $y=(5+\sqrt{5})^{\lg x}$, ecuaţia devine $y^{2}-10 y+20=0$, cu soluţiile $y_{1,2}=5 \pm \sqrt{5}$. $\qquad$ +$2 p$ + +Soluţiile ecuaţiei date: $x_{1}=10$ şi $x_{2}=10^{\frac{l g(5-\sqrt{5})}{\lg (5+\sqrt{5})}}$. $\qquad$ +$1 p$ + +X 3. $p_{1} \geq 2, p_{2} \geq 3, \cdots, p_{n} \geq n+1$; + +$$ +\begin{aligned} +& 1-\frac{1}{p_{k}^{2}} \geq 1-\frac{1}{(k+1)^{2}}, k=1,2, \cdots, n \\ +& 1-\frac{1}{(k+1)^{2}}=\frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}} ; \\ +& \sum_{k=1}^{n} \log _{2}\left(1-\frac{1}{p_{k}^{2}}\right) \geq \sum_{k=1}^{n} \log _{2} \frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}}=\log _{2}\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}}\right)=\log _{2} \frac{n+2}{2(n+1)}>\log _{2} \frac{1}{2}=-1 +\end{aligned} +$$ + +$3 p$ + +X 4. Presupunem prin absurd că $f$ este periodică, cu o perioadă $T>0: f(x+T)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$. + +pentru $x=0$ obţinem $a \sin T+b \sin (T \sqrt{5})=0$. + +$f(x+T)=f(x), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2 a \sin \frac{T}{2} \cos \frac{2 x+T}{2}+2 b \sin \frac{T \sqrt{5}}{2} \cos \frac{(2 x+T) \sqrt{5}}{2}=0, \forall x \in \mathbb{R} ;$ + +pentru $x=\frac{\pi-T}{2}$ avem $\cos \frac{2 x+T}{2}=0$ şi $\cos \frac{(2 x+T) \sqrt{5}}{2} \neq 0$ (deoarece $\sqrt{5} \notin \mathbb{Z}$ ); rezultă $\sin \frac{T \sqrt{5}}{2}=0$. Obţinem $\sin (T \sqrt{5})=0$ şi $\sin T=0$. $\qquad$ +$\sin (T \sqrt{5})=0 \Rightarrow\left(\exists m \in \mathbb{N}^{*}\right)(T \sqrt{5}=m \pi) ; \sin T=0 \Rightarrow\left(\exists n \in \mathbb{N}^{*}\right)(T=n \pi) ;$ rezultă $\sqrt{5}=\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$; contradicţie. Deci $f$ nu este periodică. + +Notă: Pentru orice rezolvare corectă se va acorda punctajul maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-983-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-983-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08443e755c2ace07c2345ce67657998392e83658 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-983-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,108 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a VIII-a + +1. Fie $n \in \mathbb{N}^{*}$. Considerăm numerele reale: + +$$ +a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}+\sqrt{2 n}} +$$ + +şi + +$$ +b=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n}+\sqrt{2 n+1}} +$$ + +a) Arătaţi că $(a+b+1)^{2} \in \mathbb{N}$. + +b) Aflaţi $n$ pentru care $a+b=\sqrt{2014-\sqrt{8052}}$. + +c) Demonstraţi că numărul $\sqrt{n+\sqrt{n+1}}$ este iraţional, pentru oricare număr natural nenul $n$. + +Prof. Dorina Bocu + +2. Fie $a, b, c$ lungimile laturilor unui triunghi. Arătaţi că + +$$ +\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2 . +$$ + +Prof. dr. Ioana Maşca + +3. Arătaţi că ecuaţia $m^{2}-2013=2^{n}$ nu are soluţii în mulţimea numerelor naturale. + +G.M.B. Nr. $4 / 2013$ + +4. În prisma triunghiulară regulată $A B C D E F, D A \perp(A B C), D A=A B=6 \mathrm{~cm}$, $G$ este centrul de greutate al triunghiului $D E F, O$ este centrul feţei $B C F E$, iar $P$ este mijlocul muchiei $[E F]$. + +a) Arătaţi că $A F \|(D B P)$; + +b) Calculaţi măsura unghiului format de dreptele $O G$ şi $F C$; + +c) Calculaţi distanţa de la $B C$ la planul $(A F E)$. + +Prof. Dorina Bocu + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Olimpiada de matematică, Faza locală, Braşov, 21 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a VIII-a + +VIII 1. a) + +$$ +a+b=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sum_{k=1}^{2 n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{2 n+1}-1 +$$ + +$2 p$ + +$(a+b+1)^{2}=2 n+1 \in \mathbb{N}$. $\qquad$ +b) $\sqrt{2014-\sqrt{8052}}=\sqrt{2013}-1$. $\qquad$ +$1 p$ + +$n=1006$. $\qquad$ +$1 p$ + +c) Presupunem prin absurd că există $n \in \mathbb{N}^{*}$ astfel ca $\sqrt{n+\sqrt{n+1}}=q, q \in \mathbb{Q}$. + +$\sqrt{n+1}=q^{2}-n \in \mathbb{Q}$, deci $n+1=p^{2}, p \in \mathbb{N}, p>1$. $\qquad$ +$1 p$ + +$n+\sqrt{n+1}=p^{2}-1+p$ şi $p^{2}a$. $\qquad$ +$b+c>(a+b+c) / 2$. $\qquad$ +$2 \mathrm{p}$ + +$a /(b+c)<2 a /(a+b+c)$. $\qquad$ +Finalizare $\qquad$ + +VIII 3. Dacă $n \in\{0,1,2\}$ atunci $2^{n}+2013$ nu este pătrat perfect (verificare). + +Dacă $n \in \mathbb{N}, n \geq 3$, atunci $2^{n}+2013=2^{3}\left(2^{n-3}+251\right)+5$ nu este pătrat perfect. + +$3 p$ + +Deci ecuaţia dată nu are soluţii naturale. + +$1 p$ + +VIII 4. Fie $Q$ mijlocul lui $B D$. + +Dreapta $A F$ neinclusă în planul $(D B Q) ; A F\|P Q, P Q \subset(D B P) \Rightarrow A F\|(D B Q)$ + +$m(\widehat{O G, F C})=m(\widehat{G O P}) ; \operatorname{tg}(\widehat{G O P})=\frac{G P}{O P}=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow m(\widehat{G O P})=30^{\circ}$. + +$B C\|E F \Rightarrow B C\|(A E F)$. Fie $M$ mijlocul lui $B C, M H \perp A P(H \in A P)$. $M H \perp(A F E)$ (cf. reciprocei teoremei celor trei perpendiculare); $d(B C,(A F E))=d(M,(A F E))=M H=\frac{A M \cdot M P}{A P}=\frac{6 \sqrt{21}}{7}(\mathrm{~cm})$. + +Notă: Pentru orice rezolvare corectă se va acorda punctajul maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-984-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-984-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..467e206ef3e189352e839392ad83fb11d566f38b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-984-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a VII-a + +1. Să se demonstreze că pentru orice numere pozitive $a, b$ şi $c$ este satisfăcută inegalitatea + +$$ +1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2 +$$ + +Prof. Marilena Canu + +2. a) Dacă fracţia $\frac{5 n-1}{4 n+9}$ şi inversul său sunt simultan numere întregi, aflaţi numărul întreg $n$. + +b) Fie fracţiile + +$$ +\frac{2014}{14}, \frac{2015}{15}, \frac{2016}{16}, \cdots, \frac{2999}{999} +$$ + +Câte dintre aceste fracţii sunt numere naturale? + +Prof. Camelia Postolache + +3. Considerăm numerele naturale de forma $\overline{x y z}$, cu proprietatea + +$$ +\sqrt{11-x}+\sqrt{10-y}+\sqrt{9-z}+\sqrt{x+y+z} \in \mathbb{N} +$$ + +Să se arate că suma tuturor acestor numere $\overline{x y z}$ este divizibilă cu 7 . + +Prof. Sorina Stoian + +4. Se consideră triunghiul dreptunghic $A B C$ cu $m(\widehat{B A C})=90^{\circ}$ şi înălţimea $A D$ $(D \in B C)$. Notăm cu $S$ intersecţia dintre bisectoarele unghiurilor $\widehat{C A D}$ şi $\widehat{A B C}$, iar cu $T$ intersecţia bisectoarelor unghiurilor $\widehat{B A D}$ şi $\widehat{A C B}$. Dacă $M$ şi $N$ sunt mijloacele laturilor $A C$, respectiv $A B$, arătaţi că punctele $M, S, T$ şi $N$ sunt coliniare. + +G.M.B. Nr. 5/2013 + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 3 ore. + +Olimpiada de matematică, Faza locală, Braşov, 21 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a VII-a + +VII 1. + +$$ +\begin{aligned} +& \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1 \\ +& \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)<3-1=2 . +\end{aligned} +$$ + +VII 2. a) Pentru $a \neq 0, a, a^{-1} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a \in\{-1,1\}$. + +$\frac{5 n-1}{4 n+9}=1 \Leftrightarrow n=10$. + +$\frac{5 n-1}{4 n+9}=-1 \Leftrightarrow n=-\frac{8}{9} \notin \mathbb{Z}$. + +b) Fracţiile date sunt de tipul $\frac{2000+k}{k}, k \in \mathbb{N}, 14 \leq k \leq 999 ; \left.\frac{2000+k}{k} \in \mathbb{N} \Leftrightarrow k \right\rvert\, 2000$. + +$1 p$ + +2000 are 12 divizori cuprinşi între 14 şi 999; fracţiile sunt distincte, deci există 12 numere naturale în şirul de fracţii date. + +VII 3. Numerele $11-x, 10-y, 9-z$ sunt pătrate perfecte pentru $x \in\{2,7\}, y \in\{1,6,9\}, z \in\{0,5,8,9\}$. + +$3 p$ + +Condiţia ca $x+y+z$ să fie pătrat perfect este îndeplinită pentru $\overline{x y z} \in\{268,295,718,790,799\}$. + +$3 p$ + +Suma numerelor este 2870, multiplu de 7 . + +$1 p$ + +VII 4. Realizarea desenului $\qquad$ +$1 p$ + +Notăm $A T \cap B C=\{E\}, A S \cap B C=\{F\}$. + +Demonstrarea faptului că triunghiurile $\triangle A B F$ şi $\triangle A C E$ sunt isoscele. $\qquad$ +$A S=S F$ şi $A T=T E$. $\qquad$ +$S, T \in M N$ $\qquad$ +$1 p$ + +Notă: Pentru orice rezolvare corectă se va acorda punctajul maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-985-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-985-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8889cbdaa7b9da8e981178748526dd0346c3910d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-985-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,81 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală
Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a VI-a + +1. Determinaţi toate perechile de cifre nenule $(x, y)$ cu proprietatea că + +$$ +\frac{\overline{x y x y x y}}{\overline{y x y x y x}}=\frac{4}{7} +$$ + +G.M.B. Nr. 11/2013 + +2. Considerăm mulţimile: $A=\{2 m \mid m \in \mathbb{N}\}$ şi $B=\left\{3 n-2 \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$. Să se arate că $A \cap B \neq \emptyset$. Să se determine numărul de elemente ale mulţimii + +$$ +A \cap B \cap\{p \in \mathbb{N} \mid p \leq 2014\} +$$ + +Prof. Emanuel Munteanu + +3. Fie punctele $B, C$ şi $D$ sunt situate pe o semidreaptă cu originea în $A$, astfel încât $A B=2^{2012} \mathrm{~cm}, A C=2^{2013} \mathrm{~cm}$ şi $A D=2^{2014} \mathrm{~cm}$. + +a) Arătaţi că $B$ este mijlocul segmentului $[A C]$. + +b) Calculaţi lungimea segmentului $[M N]$, unde $M$ este mijlocul $\operatorname{lui}[A B]$, iar $N$ este mijlocul lui $[C D]$. + +c) Determinaţi numărul de triunghiuri neisoscele sau echilaterale (necongruente două câte două) care au lungimile laturilor egale cu lungimile unor segmente determinate de puncte ale mulţimii $\{A, B, C, D, N\}$. + +Prof. Dorina Bocu + +4. Două unghiuri suplementare au o latură comună, iar bisectoarele lor formează un unghi de $60^{\circ}$. Determinaţi măsurile unghiurilor. + +G.M.B. Nr. 10/2013 + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Olimpiada de matematică, Faza locală, Braşov, 21 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a VI-a + +VI 1. + +$$ +\begin{gathered} +\frac{\overline{x y x y x y}}{\overline{y x y x y x}}=\frac{\overline{x y}}{\overline{y x}} \\ +\frac{\overline{x y}}{\overline{y x}}=\frac{4}{7} \Leftrightarrow 2 x=y . +\end{gathered} +$$ + +$2 p$ + +Se obţin perechile: $(1,2),(2,4),(3,6)$ şi $(4,8)$. + +2p + +VI 2. $4 \in A \cap B$. $\qquad$ +$2 p$ + +Determinăm $m, n \in \mathbb{N}, n>0$, a. î. $2 m=3 n-2$; atunci $n=2 k$ şi $m=3 k-1$, cu $k \in \mathbb{N}^{*}$. Rezultă $A \cap B=\left\{6 k-2 \mid k \in \mathbb{N}^{*}\right\}$. $\qquad$ +$6 k-2 \leq 2014 \Leftrightarrow k \leq 336$. Intersecţia are 336 elemente. $\qquad$ +$2 p$ + +VI 3. a) $B C=A C-A B=2^{2012} \mathrm{~cm}=A B$, deci $B$ este mijlocul lui $[A C]$. $\qquad$ +$2 p$ +b) $A M=2^{2011} \mathrm{~cm}, A N=3 \cdot 2^{2012} \mathrm{~cm}, M N=5 \cdot 2^{2011} \mathrm{~cm}$. $\qquad$ +$3 p$ + +Notăm $a=2^{2012}(\mathrm{~cm})$. Lungimile segmentelor determinate de punctele (echidistante) $A, B, C, D, N$ aparţin mulţimii $\{a, 2 a, 3 a, 4 a\}$. Putem forma un singur triunghi, cu lungimile laturilor $2 a, 3 a, 4 a$. + +VI 4. Unghiurile nu pot fi adiacente suplementare. $\qquad$ +O latură a unui unghi este în interiorul celuilalt unghi. $\qquad$ +Notăm cu $x$ şi $y$ măsurile unghiurilor (în grade), $x Faza locală
Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a V-a + +1. a) Să se demonstreze că numărul $a=5^{2 n+1} \cdot 4^{3 n+2}+10^{2 n+1} \cdot 2^{4 n+1}$ este pătrat perfect. + +b) Să se demonstreze că numărul $b=1+2+2^{2}+\cdots+2^{2014}-5$ nu este pătrat perfect. + +Prof. Sorina Stoian + +2. Fie mulţimile: $A=\left\{p^{2} \mid p \in \mathbb{N}\right\}, B=\{5 n+2 \mid n \in \mathbb{N}\}, C=\{7 m+3 \mid m \in \mathbb{N}\}$ şi $D=\left\{9^{k} \mid k \in \mathbb{N}^{*}, k \leq 2012\right\}$. Arătaţi că: + +a) multimile $A$ şi $B$ sunt disjuncte; + +b) numărul 2012 este element comun al mulţimilor $B$ şi $C$; + +c) mulţimea $D$ este o submulţime a mulţimii $A$; + +d) numărul $9^{2011}$ se poate scrie ca o sumă de două cuburi perfecte, iar numărul $9^{2012}$ se poate scrie ca o sumă de trei pătrate perfecte. + +Prof. Dorina Bocu + +3. Doi copii iau pe rând bomboane dintr-un pachet. Primul ia o bomboană, al doilea două, apoi primul trei, al doilea patru şi aşa mai departe. Când numărul bomboanelor rămase în pachet este mai mic decât cel necesar, atunci cel căruia îi vine rândul ia toate bomboanele. Câte bomboane au fost la început dacă primul copil a luat în total 101 bomboane? + +Prof. Marinela Canu + +4. Să se determine numărul $\overline{a b c}$ care verifică relaţia: + +$$ +\overline{a b}\left(b^{2}+c^{2}\right)=2014 +$$ + +G.M.B. Nr. 12/2013 + +Notă. Toate subiectele sunt obligatorii şi sunt cotate cu câte 7 puncte. + +Timp de lucru 2 ore. + +Olimpiada de matematică, Faza locală, Braşov, 21 februarie 2014 + +## BAREM DE CORECTARE SI NOTARE + +## CLASA a V-a + +V 1. a) $a=5^{2 n+1} \cdot 2^{6 n+4}+5^{2 n+1} \cdot 2^{6 n+2}$; + +$2 p$ + +$a=2^{6 n+2} \cdot 5^{2 n+2}$ + +$1 p$ + +$a=\left(2^{3 n+1} \cdot 5^{n+1}\right)^{2}$ - pătrat perfect. + +$1 p$ +b) $b=2^{2015}-6$; + +$2 p$ + +$b=2\left(2^{2014}-3\right) ; 2^{2014}-3$ este impar; $b$ nu este pătrat perfect. + +$1 p$ + +V 2. a) Ultima cifră a unui element arbitrar din $B$ este 5 sau 7 , deci nici un element al mulţimii $B$ nu este pătrat perfect. Rezultă $A \cap B=\emptyset$. $\qquad$ +b) $2012=5 \cdot 402+2 \in B, 2012=7 \cdot 287+3 \in C$; deci $2012 \in B \cap C$. $\qquad$ +c) $D=\left\{\left(3^{k}\right)^{2} \mid k \in \mathbb{N}^{*}, k \leq 2012\right\} \subset A$. $\qquad$ +$1 p$ +d) + +$$ +9^{2011}=\left(9^{670}\right)^{3}+\left(2 \cdot 9^{670}\right)^{3} ; 9^{2012}=\left(9^{1005}\right)^{2}+\left(8 \cdot 9^{1005}\right)^{2}+\left(4 \cdot 9^{1005}\right)^{2} +$$ + +$2 \mathbf{p}$ + +V 3. Primul copil ia câte $1,3,5, \cdots$ bomboane, iar al doilea câte $2,4, \cdots$ bomboane. + +$2 p$ + +Din faptul că $1+3+5+\cdots+19=100<101<121=1+3+5+\cdots+19+21$, rezultă că primul copil ia ultima bomboană (dupa ce a extras anterior bomboane de 10 ori). $\qquad$ +In pachet au fost iniţial $1+2+3+\cdots+18+19+20+1=211$ bomboane. + +V 4. $2014=2 \cdot 53 \cdot 19$ - descompunere în factori primi. + +$$ +\overline{a b}=19 \Rightarrow b^{2}+c^{2}=106 \Rightarrow c=5 ; \text { deci } \overline{a b c}=195 +$$ + +$$ +\overline{a b}=53 \Rightarrow b^{2}+c^{2}=38 \Rightarrow c^{2}=29 \text {; imposibil } +$$ + +Notă: Pentru orice rezolvare corectă se va acorda punctajul maxim. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-987-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebareme.md b/Romania_Olympiad/md/ro-987-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebareme.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a14bde6c9a25d25f72fd6214d1c7fec98d556f6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-987-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebareme.md @@ -0,0 +1,145 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
Faza locală + +Braşov, 21 februarie 2014 + +## Clasa a IX-a + +1. Să se arate că pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ numărul: + +$$ +N=\left(20^{2 n}-13^{2 n}\right)\left(13^{2^{n}}+13^{2^{n-1}}+1\right) +$$ + +este divizibil prin 2013 . + +G.M.B. Nr. $1 / 2013$ + +2. a) Să se demonstreze că, pentru oricare $a, b, c>0$, are loc inegalitatea + +$$ +\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)} \leq(a+b+c) \sqrt{2} +$$ + +iar egalitatea se obţine dacă şi numai dacă $a=b=c$. + +b) Fie numerele reale $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ în progresie geometrică, cu $a_{1}>0$ şi raţia egală cu 2. Notăm $s_{n}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+n a_{n}$. Să se demonstreze inegalitatea + +$$ +\sqrt{a_{1}\left(s_{n}-a_{1}\right)}+\sqrt{2 a_{2}\left(s_{n}-2 a_{2}\right)}+\sqrt{n a_{n}\left(s_{n}-n a_{n}\right)} ETAPA LOCALÄ, 16.02.2014 + +## CLASA a XII a + +1. Se consideră $k>0$ şi mulțimea $G=(-k, k)$ pe care se defineşte legea de compoziție $x * y=\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}$, $\forall x, y \in G$. Admitem cunoscut că $(G, *)$ este grup comutativ cu elementul neutru 0 . + +a) Să se calculeze $x^{n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, unde $x^{n}=\underbrace{x * x * *}_{\text {de } n \text { ori } x}$. + +b) Să se arate că ord $(x)=+\infty, \forall x \in G, x \neq 0$. + +c) Să se arate că grupurile $(G, *)$ si $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ nu sunt izomorfe. + +Gheorghe Alexe, profesor, Brăila + +2. Grupul ( $G, \cdot)$ are 2014 elemente, iar funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{9}$ este endomorfism al grupului $G$. Demonstraţi că $G$ este comutativ. + +Marius Damian, profesor, Brăila + +3. a) Să se calculeze $\int\left[\frac{x}{(x+1)^{2}} \sin x+\frac{x+2}{(x+1)^{2}} \cos x\right] \mathrm{d} x, x \in(-1, \infty)$. + +b) Să se calculeze $\int\left[\frac{x}{(x+1)^{2}} f(x)+\frac{x+2}{(x+1)^{2}} g(x)\right] \mathrm{d} x, x \in(-1, \infty)$, unde $f, g:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ sunt două funcții derivabile cu $f^{\prime}(x)=g(x)$ şi $g^{\prime}(x)=-f(x), \forall x \in(-1, \infty)$. + +Adela Dimov, profesor, Brăila + +4. Fie $a \in \mathbb{R}$ şi $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{a} \sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{23} \frac{1}{x}, & x>0 \\ a, & x=0 .\end{array}\right.$ + +a) Să se determine $a \in[0,+\infty)$ astfel încât $f$ să admită primitive. + +b) Să se determine $a \in(-\infty, 0)$ astfel încât $f$ să fie integrabilă pe $[0,2 \pi]$. + +Gabriel Daniilescu, profesor, Brăila + +Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN BRĂILA OLIMPIADA DE MATEMÁTICÄ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014
CLASA a XIII-a + +## SOLUTุII + +1. Se consideră $k>0$ şi mulțimea $G=(-k, k)$ pe care se defineşte legea de compoziție $x * y=\frac{k^{2}(x+y)}{k^{2}+x y}, \forall x, y \in G$. Admitem cunoscut că $(G, *)$ este grup comutativ cu elementul neutru 0 . + +a) Să se calculeze $x^{n}, n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, unde $x^{n}=\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } n \text { or } x}$. + +b) Să se arate că $\operatorname{ord}(x)=+\infty, \forall x \in G, x \neq 0$. + +c) Să se arate că grupurile $(G, *)$ §i $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ nu sunt izomorfe. + +Gheorghe Alexe, profesor, Brăila + +Soluție. a) Se demonstrează uşor că $f:(-k, k) \rightarrow(0,+\infty), f(x)=\frac{k-x}{k+x}$ este izomorfism de la $(G, *)$ la $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}, \cdot\right)$ cu $f^{-1}(x)=\frac{k(1-x)}{1+x}$ şi $f(0)=1$. + +Atunci + +$$ +\begin{aligned} +& f(\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } n \text { ori } x})=\underbrace{f(x) \cdot f(x) \cdot \ldots \cdot f(x)}_{\text {den ori } f(x)}=\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n} \Rightarrow \\ +& \Rightarrow \underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de } n \text { ori } x}=f^{-1}\left(\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n}\right)=\frac{k\left[1-\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n}\right]}{1+\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n}} . \\ +& \text { b) } x^{n}=0 \Leftrightarrow \frac{k\left[1-\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n}\right]}{1+\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n}}=0 \Leftrightarrow\left(\frac{k-x}{k+x}\right)^{n}=1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} +\frac{k-x}{k+x}= \pm 1, n \text { par } \\ +\frac{k-x}{k+x}=1, n \text { impar. } +\end{array}\right. +\end{aligned} +$$ + +$\frac{k-x}{k+x}=-1 \Rightarrow k-x=-k-x \Rightarrow k=0$, fals; + +$\frac{k-x}{k+x}=1 \Rightarrow k-x=k+x \Rightarrow x=0$, fals. + +c) Presupunem, prin absurd, că $(G, *) \simeq\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$. Atunci există funcția bijectivă $f: G \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ astfel încât $f(x * y)=f(x) \cdot f(y), \forall x, y \in G$. + +Avem $f(0)=1$ şi pentru $-1 \in \mathbb{R}^{*}$, folosind bijectivitatea lui $f$, există şi este unic $a \in G$, $a \neq 0$ astfel încât $f(a)=-1$. + +Urmează $f\left(a^{*} a\right)=f(a) \cdot f(a)=(-1) \cdot(-1)=1=f(0) \stackrel{f \text { injectivă }}{\Rightarrow} a * a=0 \Rightarrow$ $\Rightarrow \frac{2 k^{2} a}{k^{2}+a^{2}}=0 \Rightarrow 2 k^{2} a=0 \Rightarrow k=0$ sau $a=0$, fals. În concluzie, grupurile $(G, *)$ şi $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ nu sunt izomorfe. + +2. Grupul $(G, \cdot)$ are 2014 elemente, iar funcția $f: G \rightarrow G, f(x)=x^{9}$ este endomorfism al grupului $G$. Demonstrați că $G$ este comutativ. + +Marius Damian, profesor, Brăila + +Soluție. Din faptul că $f$ este endomorfism al lui $G$ rezultă că $\forall x, y \in G$ are loc: + +$$ +f(x y)=f(x) f(y) \Rightarrow(x y)^{9}=x^{9} y^{9} \Rightarrow x(y x)^{8} y=x^{9} y^{9} \Rightarrow(y x)^{8}=x^{8} y^{8} +$$ + +Atunci + +$$ +y^{9} x^{9}=(y x)^{9}=y x(y x)^{8} \stackrel{(1)}{=} y x x^{8} y^{8} \Rightarrow y^{8} x^{9}=x^{9} y^{8} +$$ + +Prin urmare, + +$x^{72} y^{72}=\left(x^{8}\right)^{9}\left(y^{9}\right)^{8} \stackrel{(2)}{=} y^{72} x^{72}$ + +şi + +$$ +(x y)^{72}=\left((x y)^{9}\right)^{8}=\left(x^{9} y^{9}\right)^{8} \stackrel{(1)}{=}\left(y^{9}\right)^{8}\left(x^{9}\right)^{8}=y^{72} x^{72} \stackrel{(3)}{=} x^{72} y^{72} +$$ + +Astfel, + +$(x y)^{2016}=\left((x y)^{72}\right)^{28(4)}=\left(x^{72} y^{72}\right)^{28}=\underbrace{\left(x^{72} y^{72}\right)\left(x^{72} y^{72}\right) \ldots\left(x^{72} y^{72}\right)}_{\text {de } 28 \text { de or }\left(x^{2} y^{72}\right)}=$ + +$\stackrel{(3)}{=} \underbrace{x^{72} x^{72} \ldots x^{72}}_{\text {de } 28 \text { de ori } x^{72}} \underbrace{y^{72} y^{72} \ldots y^{72}}_{\text {de } 28 \text { de ori } y^{72}}=\left(x^{72}\right)^{28}\left(y^{72}\right)^{28}=x^{2016} y^{2016}$. (5) + +Cum $G$ are 2014 elemente, rezultă că $a^{2014}=e, \forall a \in G$ şi (5) devine $(x y)^{2}=x^{2} y^{2} \Rightarrow x y x y=x x y y \Rightarrow y x=x y$. + +Cum $x$ şi $y$ au fost alese în mod arbitrar, din (6) deducem că $G$ este comutativ. + +3. a) Să se calculeze $\int\left[\frac{x}{(x+1)^{2}} \sin x+\frac{x+2}{(x+1)^{2}} \cos x\right] \mathrm{d} x, x \in(-1, \infty)$. + +b) Să se calculeze $\int\left[\frac{x}{(x+1)^{2}} f(x)+\frac{x+2}{(x+1)^{2}} g(x)\right] \mathrm{d} x, x \in(-1, \infty)$, unde $f, g:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ sunt două funcții derivabile cu $f^{\prime}(x)=g(x)$ şi $g^{\prime}(x)=-f(x), \forall x \in(-1, \infty)$. + +Adela Dimov, profesor, Brăila + +Soluție. Dăm soluția cerinței corespunzătoare punctului b). Cealaltă cerință rezultă ca o consecință directă a acesteia. Avem: +$\int\left[\frac{x}{(x+1)^{2}} f(x)+\frac{x+2}{(x+1)^{2}} g(x)\right] \mathrm{d} x=\int\left(-\frac{1}{x+1}\right)^{\prime}[x f(x)+(x+2) g(x)] \mathrm{d} x=$ + +$=-\frac{1}{x+1}[x f(x)+(x+2) g(x)]+\int \frac{1}{x+1}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)+g(x)+(x+2) g^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=$ + +$=-\frac{x f(x)+(x+2) g(x)}{x+1}+\int \frac{1}{x+1}[f(x)+x g(x)+g(x)-(x+2) f(x)] \mathrm{d} x=$ + +$=-\frac{x f(x)+(x+2) g(x)}{x+1}+\int \frac{1}{x+1}[-(x+1) f(x)+(x+1) g(x)] \mathrm{d} x=$ + +$=-\frac{x f(x)+(x+2) g(x)}{x+1}+\int[-f(x)+g(x)] \mathrm{d} x=$ + +$=-\frac{x f(x)+(x+2) g(x)}{x+1}+g(x)+f(x)+\mathcal{C}=$ + +$=\frac{-x f(x)-(x+2) g(x)+(x+1) g(x)+(x+1) f(x)}{x+1}+\mathcal{C}=\frac{f(x)-g(x)}{x+1}+\mathcal{C}$. + +a) În cele de mai sus luăm $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$ şi obținem: + +$\int\left[\frac{x}{(x+1)^{2}} \sin x+\frac{x+2}{(x+1)^{2}} \cos x\right] \mathrm{d} x=\frac{\sin x-\cos x}{x+1}+\mathcal{C}$. + +4. Fie $a \in \mathbb{R}$ şi $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{a} \sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{23} \frac{1}{x}, & x>0 \\ a, & x=0 .\end{array}\right.$ + +a) Să se determine $a \in[0,+\infty)$ astfel încât $f$ să admită primitive. + +b) Să se determine $a \in(-\infty, 0)$ astfel încât $f$ să fie integrabilă pe $[0,2 \pi]$. + +Gabriel Daniilescu, profesor, Brăila + +Soluție. a) I. Dacă $a \in(0,+\infty)$, din $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} x^{a}=0$ şi $\sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{23} \frac{1}{x} \in[-1,1], \forall x>0$, rezultă că $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} f(x)=0$. Dar $f(0)=a \neq 0 \Rightarrow f$ are discontinuitate de speța $\mathrm{I} \Rightarrow f$ nu are proprietatea lui Darboux $\Rightarrow f$ nu admite primitive. + +II. Dacă $a=0 \Rightarrow f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{23} \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ + +Pentru $x>0$, + +$f(x)=\sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{23} \frac{1}{x}=\sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{22} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}=\sin ^{32} \frac{1}{x}\left(1-\sin ^{2} \frac{1}{x}\right)^{11} \cos \frac{1}{x}=$ +$=\sin ^{32} \frac{1}{x}\left(C_{11}^{0}-C_{11}^{1} \sin ^{2} \frac{1}{x}+C_{11}^{2} \sin ^{4} \frac{1}{x}-\ldots-C_{11}^{11} \sin ^{22} \frac{1}{x}\right) \cos \frac{1}{x}=$ + +$=\left(C_{11}^{0} \sin ^{32} \frac{1}{x}-C_{11}^{1} \sin ^{34} \frac{1}{x}+C_{11}^{36} \sin ^{4} \frac{1}{x}-\ldots-C_{11}^{11} \sin ^{54} \frac{1}{x}\right) \cos \frac{1}{x}$. + +Vom demonstra că $\left\{\begin{array}{cl}\sin ^{2 k} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ admite primitive, $\forall k \in \mathbb{N}^{*}$. + +Pentru $x>0$, + +$\left(\frac{1}{2 k+1} \cdot x^{2} \cdot \sin ^{2 k+1} \frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{2 k+1} \cdot 2 x \cdot \sin ^{2 k+1} \frac{1}{x}+\frac{1}{2 k+1} \cdot x^{2} \cdot(2 k+1) \cdot \sin ^{2 k} \frac{1}{x} \cdot \cos \frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=$ $=\frac{1}{2 k+1} \cdot 2 x \cdot \sin ^{2 k+1} \frac{1}{x}-\sin ^{2 k} \frac{1}{x} \cdot \cos \frac{1}{x} \Rightarrow$ + +$\Rightarrow\left\{\begin{array}{cl}\sin ^{2 k} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2 k+1} \cdot 2 x \cdot \sin ^{2 k+1} \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}-\left\{\begin{array}{cl}\left(\frac{1}{2 k+1} \cdot x^{2} \cdot \sin ^{2 k+1} \frac{1}{x}\right)^{\prime}, & x>0 \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.\right.\right.$ + +Prima funcție este continuă, deci admite primitive, iar a doua admite ca primitivă funcția $\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2 k+1} \cdot x^{2} \cdot \sin ^{2 k+1} \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ şi prin sumare obținem că şi $\left\{\begin{array}{cl}\sin ^{32} \frac{1}{x} \cos ^{23} \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ admite primitive. + +Aşadar, singurul $a \in[0,+\infty)$ pentru care $f$ admite primitive este $a=0$. + +b) Fie şirul $\left(x_{n}\right)_{n \geq 1}, x_{n}=\frac{1}{\frac{\pi}{4}+2 n \pi} \rightarrow 0$. + +$f\left(x_{n}\right)=x_{n}^{a} \sin ^{32} \frac{1}{x_{n}} \cos ^{23} \frac{1}{x_{n}}=x_{n}^{a} \sin ^{32}\left(\frac{\pi}{4}+2 n \pi\right) \cos ^{23}\left(\frac{\pi}{4}+2 n \pi\right)=$ + +$=x_{n}^{a}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{32}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{23}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{55} \cdot\left(\frac{1}{\frac{\pi}{4}+2 n \pi}\right)^{a}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{55} \cdot\left(\frac{\pi}{4}+2 n \pi\right)^{-a} \rightarrow \infty \Rightarrow$ + +$\Rightarrow f$ nu este mărginită pe $[0,2 \pi] \Rightarrow f$ nu este integrabilă pe $[0,2 \pi]$ pentru niciun $a \in(-\infty, 0)$. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-989-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.md b/Romania_Olympiad/md/ro-989-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9a119c7619d69026cc8e805fa466c4a0c7be626 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-989-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.md @@ -0,0 +1,236 @@ +# INSPECTORATUL SSCOLAR JUDETTEAN
BRĂILA + +## OLIMPIADA NAȚONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a XI a + +1. Fie $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $A B=B A$ şi $A^{7}=I_{n}, B^{5}=I_{n}$. Să se calculeze $\operatorname{rang}(A+B)$. +2. Fie $A \in M_{3}(\mathbb{R})$. + +a) Să se arate că $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)^{*}=(\operatorname{det} A)^{4}$, unde $A^{*}$ este adjuncta lui A. + +b) Dacă $A$ este o matrice simetrică, det $A=0$ şi fiecare element al lui $A$ are pătratul egal cu complementul său algebric atunci $A=\mathrm{O}_{3}$. + +Gheorghe Alexe, profesor, Brăila + +3. Calculați limita șirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$, dat prin + +$$ +x_{n}=\sqrt[n]{n!} \cdot\left(\operatorname{arctg} \sqrt[n]{2014}-\frac{\pi}{4}\right), \forall n \geq 2 +$$ + +Marius Damian, profesor, Brăila + +4.Să se arate că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ dat prin relația de recurență $x_{n+1}=x_{n}^{2}-4 x_{n}+6,(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $x_{1} \in[2,3]$, este convergent şi să i se precizeze limita . + +Narcis Gabriel Turcu, profesor, Brăila + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETฺEAN BRĂILA
OLIMPIADA DE MATEMATICÄ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +CLASA a XI a + +1.Fie $A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$, astfel încât $A B=B A$ şi $A^{7}=I_{n}, B^{5}=I_{n}$. Să se calculeze $\operatorname{rang}(A+B)$. + +## Solutie + +$$ +\begin{aligned} +& A^{7}=I_{n}, B^{5}=I_{n} \Rightarrow A^{35}=B^{35}=I_{n} \Rightarrow A^{35}+B^{35}=2 I_{n} \\ +& A B=B A \Rightarrow A^{35}+B^{35}=(A+B)\left(A^{34}-A^{33} B+A^{32} B-\ldots-A B^{33}+B^{34}\right) \\ +& (A+B)\left[\frac{1}{2}\left(A^{34}-A^{33} B+A^{32} B-\ldots-A B^{33}+B^{34}\right)\right]=I_{n} \Rightarrow A+B \text { este inversabilă, deci } \\ +& \operatorname{det}(A+B) \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A+B)=n +\end{aligned} +$$ + +2.Fie $A \in M_{3}(\mathbb{R})$. + +a) Să se arate că $\operatorname{det}\left(A^{*}\right)^{*}=(\operatorname{det} A)^{4}$. + +b) Dacă $A$ este o matrice simetrică, $\operatorname{det} A=0$ şi fiecare element al lui $A$ are pătratul egal cu complementul său algebric atunci $\mathrm{A}=\mathrm{O}_{3}$. + +Gheorghe Alexe, profesor, Brăila + +## Solutie + +a) $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \quad, \quad A^{t}=\left(\begin{array}{lll}a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i\end{array}\right)$ + +$A^{*}=\left(\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\right), A_{11}=\left|\begin{array}{ll}e & h \\ f & i\end{array}\right|, A_{12}=-\left|\begin{array}{ll}b & h \\ c & i\end{array}\right|, A_{13}=\left|\begin{array}{ll}b & e \\ c & f\end{array}\right|$ + +$$ +A_{21}=-\left|\begin{array}{ll} +d & g \\ +f & i +\end{array}\right|, \quad A_{22}=\left|\begin{array}{ll} +a & g \\ +c & i +\end{array}\right|, A_{23}=-\left|\begin{array}{ll} +a & d \\ +c & f +\end{array}\right| +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& A_{31}=\left|\begin{array}{ll} +d & g \\ +e & h +\end{array}\right|, \quad A_{32}=-\left|\begin{array}{ll} +a & g \\ +b & h +\end{array}\right|, \quad A_{33}=\left|\begin{array}{ll} +a & d \\ +b & e +\end{array}\right| \\ +& \left(A^{*}\right)^{t}=\left(\begin{array}{lll} +A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ +A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ +A_{31} & A_{32} & A_{33} +\end{array}\right), \quad A_{11}^{\prime}=\left|\begin{array}{ll} +A_{22} & A_{32} \\ +A_{23} & A_{33} +\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} +a i-g c & -a h+b g \\ +-a f+c d & a e-b d +\end{array}\right|= \\ +& =a \cdot \operatorname{det} A=>A_{11}^{\prime}=a \operatorname{det} A \\ +& A_{12}^{\prime}=-\left|\begin{array}{ll} +A_{12} & A_{32} \\ +A_{13} & A_{33} +\end{array}\right|=b \cdot \operatorname{det} A, A_{13}^{\prime}=\left|\begin{array}{ll} +A_{12} & A_{22} \\ +A_{13} & A_{23} +\end{array}\right|=c \cdot \operatorname{det} A +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \text { Analog: } A_{21}^{\prime}=d \cdot \operatorname{det} A, A_{22}^{\prime}=e \cdot \operatorname{det} A, A_{23}^{\prime}=f \cdot \operatorname{det} A \\ +& A_{31}^{\prime}=g \cdot \operatorname{det} A, A_{32}^{\prime}=h \cdot \operatorname{det} A, \quad A_{33}^{\prime}=i \cdot \operatorname{det} A +\end{aligned} +$$ + +$\left(A^{*}\right)^{*}=\left(\begin{array}{lll}a \operatorname{det} A & b \operatorname{det} A & c \operatorname{det} A \\ \operatorname{d} \operatorname{det} A & e \operatorname{det} A & f \operatorname{det} A \\ g \operatorname{det} A & h \operatorname{det} A & i \operatorname{det} A\end{array}\right)$ + +$\left(A^{*}\right)^{*}=(\operatorname{det} A) \cdot\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right)=>\left(A^{*}\right)^{*}=(\operatorname{det} A) \cdot A$ + +$=>\operatorname{det}\left(A^{*}\right)^{*}=(\operatorname{det} A)^{4}$ + +b) $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f\end{array}\right)$, Asimetrica $\left(A=A^{t}\right)$ + +$$ +\operatorname{det} A=0=>\left\{\begin{array}{c} +\text { 1) } a\left(d f-e^{2}\right)+b(c e-b f)+c(b e-c d)=0 \\ +2) b(c e-b f)+d\left(a f-c^{2}\right)+e(b c-a e)=0 \\ +3) c(b e-c d)+e(b c-a e)+f\left(a d-b^{2}\right)=0 \\ +a, b, c, d, e, f \in R +\end{array}\right. +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& \begin{array}{lll} +& a^{2}=d f-e^{2} & d^{2}=a f-c^{2} \\ +s i & b^{2}=c e-f b & e^{2}=b c-a e \\ +& c^{2}=b e-c d & f^{2}=a d-b^{2} +\end{array} \\ +& =>\begin{array}{l} +1)=> \\ +2)=> \\ +3)=>\begin{array}{l} +a^{3}+b^{3}+c^{3}=0 \\ +b^{3}+d^{3}+e^{3}=0 \\ +c^{3}+e^{3}+f^{3}=0 +\end{array} \text { si } +\end{array}\left\{\begin{array}{l} +a^{2}+e^{2}=d f \\ +c^{2}+d^{2}=a f \\ +f^{2}+b^{2}=a d +\end{array}\right. +\end{aligned} +$$ + +$=>a^{2}+d^{2}+f^{2}-a d-d f-a f+e^{2}+c^{2}+b^{2}=0 \mid \cdot 2$ + +$=>2 a^{2}+2 d^{2}+2 f^{2}-2 a d-2 d f-2 a f+2 e^{2}+2 c^{2}+2 b^{2}=0$ + +$=>(a-d)^{2}+(d-f)^{2}+(a-f)^{2}+2\left(e^{2}+c^{2}+b^{2}\right)=0$ + +$a, b, c, d, e, f \in R$ + +$=>(a-d)^{2}=0,(d-f)^{2}=0,(a-f)^{2}=0 \quad, e^{2}+c^{2}+b^{2}=0$ + +$=>a=d \quad, d=f \quad, a=f \quad, e=c=b=0$ + +$=>a=d=f \quad$ si $\quad e=c=b=0=>$ + +$=>a=d=f=e=c=b=0=>$ + +$A=O_{3}$ + +3.Calculați limita șirului $\left(x_{n}\right)_{n \geq 2}$, dat prin + +$x_{n}=\sqrt[n]{n!} \cdot\left(\operatorname{arctg} \sqrt[n]{2014}-\frac{\pi}{4}\right), \forall n \geq 2$. + +## Solutie + +$\operatorname{arctg} a-\operatorname{arctg} b=\operatorname{arctg} \frac{a-b}{1+a \cdot b}, \quad \forall a, b \in \mathbb{R}, a \cdot b>-1$, + +rezultă + +$x_{n}=\sqrt[n]{n!} \cdot(\operatorname{arctg} \sqrt[n]{2014}-\operatorname{arctg} 1)=\sqrt[n]{n!} \cdot \operatorname{arctg} \frac{\sqrt[n]{2014}-1}{\sqrt[n]{2014}+1}$. + +Utilizând criteriul Cauchy-D'Alembert și limitele remarcabile: + +$\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e, \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{arctg} u_{n}}{u_{n}}=1$, + +$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\alpha}=1, \forall \alpha>0, \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\alpha^{u_{n}}-1}{u_{n}}=\ln \alpha, \forall \alpha>0$ + +avem + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_0f661b55fc849241de9eg-4.jpg?height=470&width=1284&top_left_y=1044&top_left_x=223) + +$\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\frac{1}{e} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1+1} \cdot \ln 2014=\frac{\ln 2014}{2 e}$. + +4.Să se arate că şirul $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ dat prin relația de recurență $x_{n+1}=x_{n}^{2}-4 x_{n}+6,(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$, unde $x_{1} \in[2,3]$ este dat , este convergent şi să i se precizeze limita . + +Narcis Gabriel Turcu, profesor, Brăila + +## Solutie + +Dacă şirul ar fi convergent, notând $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=l$, atunci, din relația de recurență , obținem ecuația $l=l^{2}-4 l+6$ cu soluțiile $l_{1}=2$ şi $l_{2}=3$. Având mai mult de o soluție cu atât mai mult nu ne putem opri aici . Dacă şirul nu este convergent atunci niciuna nu este limita şirului , iar dacă este convergent atunci poate fi ori o valoare ori cealaltă valoare în funcție de monotonia şi mărginirea şirului . În cazul considerat nu se pot calcula efectiv termenii $x_{2}, x_{3}, \ldots$, dar îi putem compara. Avem $x_{2}-x_{1}=x_{1}^{2}-5 x_{1}+6=\left(x_{1}-2\right)\left(x_{1}-3\right) \leq 0$, adică $x_{2} \leq x_{1}$. Mai mult, din $x_{2}=x_{1}^{2}-4 x_{1}+6=\left(x_{1}-2\right)^{2}+2 \geq 0 \Rightarrow x_{2} \geq 2$, deci şi $x_{2} \in[2,3]$. În mod analog se obține şi $x_{3} \in[2,3]$ şi în general $2 \leq \ldots \leq x_{n} \leq \ldots \leq x_{3} \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 3$. De +aici, prin inducție matematică, putem demonstra riguros că şirul este monoton şi mărginit : + +Mărginirea şirului . Formulăm propoziția $P(n): x_{n} \in[2,3],(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +I.Verificarea propoziției $P(1): x_{1} \in[2,3]$ : evident din ipoteză . + +II.Demonstrarea implicației $P(k) \Rightarrow P(k+1),(\forall) k \in \mathbb{N}^{*}$. + +Avem + +$x_{k+1} \in[2,3] \Leftrightarrow x_{k}^{2}-4 x_{k}+6 \in[2,3] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{k}^{2}-4 x_{k}+6 \geq 2 \\ x_{k}^{2}-4 x_{k}+6 \leq 3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(x_{k}-2\right)^{2} \geq 0 \\ \left(x_{k}-1\right)\left(x_{k}-3\right) \leq 0\end{array}\right.\right.$ + +ceea ce este evident având în vedere că $x_{k} \in[2,3]$. + +Deci $P(n)$ este adevărată $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +Mărginirea şirului. Formulăm propoziția $Q(n): x_{n} \geq x_{n+1},(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. + +I.Verificarea propoziției $Q(1): x_{1} \geq x_{2}$ : am demonstrat mai sus. + +II.Demonstrarea implicației $Q(k) \Rightarrow Q(k+1),(\forall) k \in \mathbb{N}^{*}$. + +$x_{k+1} \geq x_{k+2} \Leftrightarrow x_{k+1} \geq x_{k+1}^{2}-4 x_{k+1}+6 \Leftrightarrow\left(x_{k+1}-2\right)\left(x_{k+1}-3\right) \leq 0$ care este adevărată deoarece am văzut că $x_{n} \in[2,3],(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$. Deci , $Q(n)$ este adevărată $(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$ . Prin urmare, şirul este descrescător şi mărginit inferior, de unde rezultă că este convergent. Am văzut că limita poate fi 2 sau 3 . Observăm că , dacă $x_{1}=2$ atunci $x_{n}=2,(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$, deci limita este + +$l=2$, dacă $x_{1}=3$ atunci $x_{n}=3,(\forall) n \in \mathbb{N}^{*}$, deci limita este $l=3$, iar dacă $x_{1} \in(2,3)$ şirul este chiar strict descrescător şi atunci limita este $l=2$. + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-99-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-99-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56a819ad425c501b99cb5541db64e9674d1059b9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-99-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +# Olimpiada Naţională de Matematică 2016 + +Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016 + +## CLASA A A X-A + +Problema 1. + +Determinaţi numerele complexe $z$, de modul 1 , pentru care $z^{3}+z^{2}+z+1 \in \mathbb{R}$ şi apoi calculaţi suma acestora şi aria poligonului convex având ca vârfuri imaginile în plan ale acestora. + +Gazeta Matematică, nr.11/2015 + +## Problema 2. + +Să se arate că oricare ar fi $x, y \in(0,1), x+y=1$ avem: + +a) $\frac{\ln x+\ln y}{2} \leq \ln \frac{1}{2}$ + +b) $x \ln x+y \ln y \geq \frac{\ln x+\ln y}{2}$ + +## Problema 3. + +Se consideră $\mathrm{n} \in \mathbb{N}, \mathrm{n} \geq 2, \mathrm{a} \in \mathbb{R}, \mathrm{a} \neq 0$ şi ecuaţia $\mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\mathrm{ax}+1=0$. Să se arate că orice soluție $\mathrm{z} \in \mathbb{C}-\mathbb{R}$ a + +$$ +\text { ecuaţiei, satisface: } \quad|z| \geq \sqrt[n]{\frac{1}{n-1}} +$$ + +## Problema 4. + +a) Demonstraţi că: $\sqrt[k]{k!} \leq \frac{k}{2},(\forall) k \in N, k \geq 6$. + +b) Demonstraţi că, dacă $n \in N, n \geq 6$, atunci: $1 \cdot \sqrt{2!} \cdot \sqrt[3]{3!} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{n!} \leq \frac{6 \cdot n!}{2^{n}}$. + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Naţională de Matematică 2016
Etapa locală - Iaşi, 1 februarie 2016
CLASA A X-A + +## Problema 1. + +## Soluţie şi barem + +$\bar{z}=\frac{1}{z}$ $1 \mathrm{p}$ + +$\mathrm{z}^{3}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{z}+1 \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z^{3}+z^{2}+z+1=\overline{z^{3}+z^{2}+z+1} \Leftrightarrow \quad\left(z^{2}+1\right)(z+1)=\left(\overline{z^{2}+1}\right)(\overline{z+1})$ + +$\Leftrightarrow\left(z^{2}+1\right)(z+1)=\left(\frac{1}{z}+1\right)\left(\frac{1}{z^{2}}+1\right) \Leftrightarrow(z+1)\left(z^{2}+1\right)\left(1-\frac{1}{z^{3}}\right)=0$ + +$z_{1}=-1, z_{2,3}= \pm i, z_{4}=1, z_{5,6}=\cos \frac{2 \pi}{3} \pm i \sin \frac{2 \pi}{3}$, de unde suma este -1 + +Se reprezintă în planul complex punctele de afixe $z_{1}, \ldots \ldots, z_{6}$, după care se obţine aria + +$S=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ + +$.2 \mathrm{p}$ + +## Problema 2. + +## Soluţie şi barem + +a) Din $\sqrt{x y} \leq \frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$ rezultă $\frac{\ln x+\ln y}{2} \leq \ln \frac{1}{2}$ + +b) Inegalitatea se mai scrie + +$$ +\left(x-\frac{1}{2}\right) \ln x+\left(y-\frac{1}{2}\right) \ln y \geq 0 +$$ + +Dar din $x+y=1$ rezultă $x-\frac{1}{2}=-\left(y-\frac{1}{2}\right)$ și inegalitatea de mai sus devine + +$\left(x-\frac{1}{2}\right) \ln \frac{x}{y} \geq 0(*)$ + +$1 \mathrm{p}$ + +Dacă $\frac{1}{2} \leq x<1 \rightarrow 0 BRĂILA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +CLASA a $\mathrm{X}$ a + +1. Comparați numerele: + +$$ +a=\left[\log _{2}(\sqrt{5}+1)\right]^{3} \text { şi } b=1+\log _{2}(\sqrt{5}+2) +$$ + +Marius Damian, profesor, Brăila + +2. Rezolvați ecuația $\log _{a}(1+\sqrt{x})=\log _{b} x$, unde $a>1, \quad b>1, a^{2}=b+1$. +3. Arătați că dacă $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in(0,1)$ atunci: + +$$ +\log _{\frac{a+b}{2}} c+\log _{\frac{b+c}{2}} a+\log _{\frac{c+a}{2}} b \geq 3 +$$ + +R.M.T. - 2012 + +4. Fie $\triangle A B C, A\left(z_{A}\right), B\left(z_{B}\right), C\left(z_{C}\right) \in C(O, R)$. Dacă : + +$z_{A} \cdot \overline{z_{B}}+\overline{z_{A}} \cdot z_{B}=z_{B} \cdot \overline{z_{C}}+\overline{z_{B}} \cdot z_{C}=z_{A} \cdot \overline{z_{C}}+\overline{z_{A}} \cdot z_{C}$, atunci $\triangle A B C$ este echilateral. + +Gheorghe Alexe, profesor, Brăila + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +## INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETุEAN BRĂILA
OLIMPIADA DE MATEMATICÄ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +CLASA a X a + +1. Comparați numerele + +$$ +a=\left[\log _{2}(\sqrt{5}+1)\right]^{3} \text { si } b=1+\log _{2}(\sqrt{5}+2) +$$ + +Marius Damian, profesor, Brăila + +Soluție. Pentru orice $x \geq 0$ are loc inegalitatea $x^{3} \geq 3 x-2$. + +Într-adevăr, folosind inegalitatea dintre media aritmetică şi media geometrică, avem $x^{3}+2=x^{3}+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{x^{3} \cdot 1 \cdot 1}=3 x \Rightarrow x^{3} \geq 3 x-2$. + +Egalitatea are $\operatorname{loc} \Leftrightarrow x=1$. + +Folosind inegalitatea demonstrată şi faptul că $\log _{2}(\sqrt{5}+1)>1$, avem + +$$ +\begin{gathered} +a=\left[\log _{2}(\sqrt{5}+1)\right]^{3}>3 \log _{2}(\sqrt{5}+1)-2=\log _{2}(\sqrt{5}+1)^{3}-2= \\ +=\log _{2}(8 \sqrt{5}+16)-\log _{2} 4=\log _{2} \frac{8 \sqrt{5}+16}{4}=\log _{2}[2(\sqrt{5}+2)]=1+\log _{2}(\sqrt{5}+2)=b +\end{gathered} +$$ + +În concluzie, $a>b$. + +2.Rezolvaţi ecuaţia $\log _{a}(1+\sqrt{x})=\log _{b} x$, unde $a>1, b>1, a^{2}=b+1$. + +Soluție. Notăm $\log _{a}(1+\sqrt{x})=\log _{b} x=t$. Avem $1+\sqrt{x}=a^{t}$ şi $x=b^{t}$ + +$\Rightarrow 1+\sqrt{b^{t}}=a^{t} \Leftrightarrow 1+b^{t / 2}=\left(a^{2}\right)^{1 / 2}$. Dacă notăm $t / 2=u$, ecuația se mai scrie $1+b^{u}=\left(a^{2}\right)^{u}$, adică $1+b^{u}=(1+b)^{u} \Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+b}\right)^{u}+\left(\frac{b}{1+b}\right)^{u}=1$. + +Funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(u)=\left(\frac{1}{1+b}\right)^{u}+\left(\frac{b}{1+b}\right)^{u}$ este descrescătoare şi cum $f(u)=f(1)=1$, rezultă $u=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow x=b^{2}$, soluție unică. + +3.Arătați că dacă $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \in(0,1)$ atunci + +$$ +\log _{\frac{a+b}{2}} c+\log _{\frac{b+c}{2}} a+\log _{\frac{c+a}{2}} b \geq 3 +$$ + +R.M.T. - 2012 + +## Soluție: + +$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}, c \in(0,1) \Rightarrow 0 \prec \log _{c} \frac{a+b}{2} \leq \log _{c} \sqrt{a \cdot b}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\log _{1 / 2} a+\log _{1 / 2} b}{\log _{1 / 2} c}$ + +În mod analog pentru celelalte $\Rightarrow$ + +$$ +\begin{aligned} +& \log _{\frac{a+b}{2}} c+\log _{\frac{b+c}{2}} a+\log _{\frac{c+a}{2}} b=\frac{1}{\log _{c} \frac{a+b}{2}}+\frac{1}{\log _{a} \frac{b+c}{2}}+\frac{1}{\log _{b} \frac{c+a}{2}} \geq \frac{2 \log _{\frac{1}{2}} c}{\log _{\frac{1}{2}} a+\log _{\frac{1}{2}} b}+\frac{2 \log _{\frac{1}{2}} a}{\log _{\frac{1}{2}} b+\log _{\frac{1}{2}} c}+ \\ +& +\frac{2 \log _{\frac{1}{2}} b}{\log _{\frac{1}{2}} c+\log _{\frac{1}{2}} a} +\end{aligned} +$$ + +Dar $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}, \forall x, y, z \succ 0 \Rightarrow S \geq 2 \cdot \frac{3}{2} \Rightarrow S \geq 3$ + +4. Fie $\triangleleft A B C, A\left(z_{A}\right), B\left(z_{B}\right), C\left(z_{C}\right) \in C(O, R)$.Dacă : + +$$ +z_{A} \cdot \overline{z_{B}}+\overline{z_{A}} \cdot z_{B}=z_{B} \cdot \overline{z_{C}}+\overline{z_{B}} \cdot z_{C}=z_{A} \cdot \overline{z_{C}}+\overline{z_{A}} \cdot z_{C} \text { atunci } \triangleleft A B C \text { este echilateral. } +$$ + +Dem: + +## Solutia 1 Avem : + +$$ +\begin{aligned} +& \left(\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right)\left(\overline{\mathrm{ZA}}-\overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}}\right)=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}-\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{A}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}}+\overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}} \cdot \mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right)+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2} \\ +& =>\left\{\begin{array}{l} +\mathrm{Z}_{\mathrm{A}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}}+\overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}} \cdot \mathrm{Z}_{\mathrm{B}}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}-\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2} \\ +\mathrm{Z}_{\mathrm{B}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}}+\overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}} \cdot \mathrm{Z}_{\mathrm{C}}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}-\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2} \\ +\mathrm{Z}_{\mathrm{C}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}}+\overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}} \cdot \mathrm{Z}_{\mathrm{A}}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}-\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2} +\end{array}\right. \\ +& <=>\quad \\ +& \left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}-\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}\right|^{2}+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}-\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}+\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}-\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2} \\ +& <=>\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}<=> \\ +& \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}<=>\triangle A B C \text { echilateral } \\ +& \mathrm{Z}_{\mathrm{A}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}}=\mathrm{Z}_{\mathrm{B}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}}=\mathrm{Z}_{\mathrm{C}} \cdot \overline{\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{B}}\right|^{2}=\left|\mathrm{Z}_{\mathrm{C}}\right|^{2}=\mathrm{R}^{2} +\end{aligned} +$$ + +## Notă. + +Toate subiectele sunt obligatorii. + +Se acordă 7 puncte pentru fiecare subiect. + +Timp de lucru 3 ore. + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-991-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-991-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5bfe53f6a0116f2fbf867b0c2179211a05120f1f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-991-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,111 @@ +# INSPECTORATUL SSCOLAR JUDETTEAN + +BRĂILA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014
CLASA a VIII-a + +1. Demonstrați că numărul $A=2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014+1$ este pătrat perfect. + +Supliment, G.M., decembrie 2013 + +2. În tetraedrul $A B C D$ cu toate muchiile congruente, fie $D O \perp(A B C), O \in(A B C)$. Punctul $M$ este proiecția punctului $O$ pe muchia $[D B]$ şi $M C=2 \sqrt{7} \mathrm{~cm}$. Calculaţi valoarea sinusului unghiului dintre dreapta $M C$ şi planul $(B O D)$. + +Testarea Națională, 2007 + +3. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, punctul $M$ este mijlocul $\left[C C^{\prime}\right], S$ mijlocul $[B M], T$ mijlocul $[A S]$ şi $\{P\}=A^{\prime} T \cap(A B C)$. Dacă $A B=4 \mathrm{~cm}$, atunci determinați lungimea segmentului $[P T]$. + +## Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila + +4. Arătați că nu există două numere prime astfel încât suma cuburilor lor să fie egală cu cubul mediei lor aritmetice. + +Ionuț Mazalu, Brăila + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +## OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014
CLASA a VIII-a + +1. Demonstraţi că numărul $A=2011 \cdot 2012 \cdot 2013 \cdot 2014+1$ este pătrat perfect. + +Supliment, G.M., decembrie 2013 + +## Soluţie: + +Fie $2012=x \quad$ 1p + +Avem $A=(x-1) x(x+1)(x+2)+1 \quad$ 2p + +$$ +A=\left(x^{2}+x-2\right)\left(x^{2}+x\right)+1=\left(x^{2}+x+1\right)^{2} +$$ + +2. În tetraedrul $A B C D$ cu toate muchiile congruente, fie $D O \perp(A B C), O \in(A B C)$. Punctul $M$ este proiecţia punctului $O$ pe muchia $[D B]$ şi $M C=2 \sqrt{7} \mathrm{~cm}$. Calculaţi valoarea sinusului unghiului dintre dreapta $M C$ şi planul (BOD). + +Testarea Naţională, 2007 + +## Soluţie: + +Fie $A B=l$. + +$B O=\frac{l \sqrt{3}}{3}$ şi din teorema catetei în triunghiul $D O B$ obţinem $B M=\frac{l}{3}$ + +Fie $C S \perp B D, S \in(B D)$. Obţinem $C S=\frac{l \sqrt{3}}{2}$ şi $S M=\frac{l}{2}-\frac{l}{3}=\frac{l}{6}$ + +Cu teorema lui Pitagora în triunghiul $S M C$, aflăm $l=6$ + +$1 \mathbf{p}$ + +$B O \cap A C=\{T\} \Rightarrow m(\Varangle C M ;(B O D))=m(\Varangle C M T)$ + +$2 p$ + +În triunghiul dreptunghic $C M T, \sin (\Varangle C M T)=\frac{T C}{C M}=\frac{3}{2 \sqrt{7}}=\frac{3 \sqrt{7}}{14}$ + +$1 p$ + +3. În cubul $A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, punctul $M$ este mijlocul [CC'], $S$ mijlocul [BM], $T$ mijlocul $[A S]$ şi $\{P\}=A^{\prime} T \cap(A B C)$. Dacă $A B=4 \mathrm{~cm}$, atunci determinaţi lungimea segmentului $[P T]$. + +Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila + +## Soluție: + +$E$ mijlocul $[B ' C ']$ şi $F$ mijlocul segmentului $[B C] \Rightarrow A P \cap B C=\{F\}$ + +Dacă $A^{\prime} T \cap E F=\{G\} \Rightarrow \frac{A^{\prime} P}{P G}=\frac{A P}{F P}=\frac{A A^{\prime}}{F G}$ şi $\frac{A A^{\prime}}{S G}=\frac{A^{\prime} T}{T G}=\frac{A T}{T S}=1$ + +$2 \mathbf{p}$ + +Deci $A^{\prime} T=T G,[S F]$ linie mijlocie în $\triangle B C M$ şi $A^{\prime} A=S G=4 \mathrm{~cm}$ + +$2 p$ + +$\Rightarrow F G=3 \mathrm{~cm}$ + +Din teorema lui Pitagora în triunghiul $A^{\prime} E G$ obţinem $A^{\prime} G=\sqrt{69} \mathrm{~cm}$. + +$1 \mathbf{1 p}$ + +$\operatorname{Din} \frac{A^{\prime} P}{P G}=\frac{A A^{\prime}}{F G}=\frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{69}}{P G}=\frac{7}{3} \Rightarrow P G=\frac{3 \sqrt{69}}{7} \mathrm{~cm}$. + +$2 \mathbf{p}$ + +Obţinem $P T=\frac{\sqrt{69}}{14} \mathrm{~cm}$ + +4. Arătaţi că nu există două numere prime astfel încât suma cuburilor lor să fie egală cu cubul mediei lor aritmetice. + +Ionuţ Mazalu, Brăila + +## Soluție: + +Presupunem că există $a, b$ numere prime astfel încât: + +$$ +\begin{aligned} +& a^{3}+b^{3}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{3} \\ +& 7 \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)=10 a b \Rightarrow a=7 \text { sau } b=7 \\ +& a=7 \Rightarrow(b-5)^{2}+24=0(\text { fals }) ; b=7 \Rightarrow(a-5)^{2}+24=0(\text { fals }) +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-992-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-992-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f713bdbf5b42fe4391d812f48587293fa1851db --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-992-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,113 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDETTEAN
BRĂILA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a VII-a + +1. Fie paralelogramul $A B C D$ cu $m(\nless A)<90^{\circ}$. Dacă $A M \perp B C, M \in B C$, $A Q \perp C D, Q \in C D, C N \perp A B, N \in A B$ şi $C P \perp A D, P \in A D$, atunci demonstrați că patrulaterul $M N P Q$ este dreptunghi. + +Daniela Tilincă şi Adriana Mihăilă, Brăila + +2. Determinați numerele de forma $\overline{a b}$ astfel încât $\sqrt{a+\sqrt{\overline{a b}}}=a$. + +Supliment, G.M., noiembrie 2013 + +3. Fie dreptunghiul $A B C D$ şi punctele $M$ pe $(A B), P, Q$ pe $(A D)$ şi $R, T$ pe $(B C)$. Demonstrați că centrele de greutate ale triunghiurilor MPR, MPT, MQR şi MQT sunt coliniare. + +Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila + +4. Determinaţi numerele întregi $x$ şi $y$ pentru care: + +$$ +|| x-3|+| y-2 x \mid=3 +$$ + +Supliment, G.M., noiembrie 2013 + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a VII-a + +1. Fie paralelogramul $A B C D$ cu $m(\nless A)<90^{\circ}$. Dacă $A M \perp B C, M \in B C$, $A Q \perp C D, Q \in C D, \quad C N \perp A B, N \in A B \quad$ şi $\quad C P \perp A D, P \in A D, \quad$ atunci demonstraţi că patrulaterul $M N P Q$ este dreptunghi. + +Daniela Tilincă şi Adriana Mihăilă, Brăila + +## Soluţie: + +$\triangle D P C \equiv \triangle A M B(I . U.) \Rightarrow P C=A M ; \Varangle P C D \equiv \Varangle B A M ; D P=B M \quad \mathbf{1 p}$ + +$\triangle Q A D \equiv \triangle B C N(I . U.) \Rightarrow C N=Q A ; \Varangle Q A D \equiv \Varangle B C N ; Q D=B N \quad 1 p$ + +$\triangle P C N \equiv \triangle Q A M$ (L.U.L.) $\Rightarrow Q M=P N(1) \quad$ 2p + +$\triangle Q D P \equiv \triangle M B N \Rightarrow Q P=M N(2) ; \operatorname{din}(1)+(2) \Rightarrow M N P Q$ paralelogram + +AQCN dreptunghi $\Rightarrow Q N=A C$ (3) + +$1 p$ + +$A M C P$ dreptunghi $\Rightarrow P M=A C$ (4) + +$1 p$ + +din relaţiile (3)+(4) $\Rightarrow Q N=P M \Rightarrow M N P Q$ dreptunghi + +$1 p$ + +2. Determinaţi numerele de forma $\overline{a b}$ astfel încât $\sqrt{a+\sqrt{\overline{a b}}}=a$. + +Supliment, G.M., noiembrie 2013 + +## Soluție: + +$\sqrt{\overline{a b}}=a^{2}-a=a(a-1)$ + +$\overline{a b}: 2$ şi $\overline{a b}$ pătrat perfect + +Finalizare: $\overline{a b}=36$ + +3. Fie dreptunghiul $A B C D$ şi punctele $M$ pe $(A B), P, Q$ pe $(A D)$ şi $R, T$ pe $(B C)$. Demonstraţi că centrele de greutate ale triunghiurilor $M P R, M P T, M Q R$ şi $M Q T$ sunt coliniare. + +Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila + +## Soluție: + +$E$ şi $F$ mijloacele segmentelor $[M R]$ şi $[M T]$ şi $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ centrele de greutate ale triunghiurilor $M P R, M P T, M Q R, M Q T$ + +$G_{1} G_{2} \| E F$ (R.T. Thales) şi $B C \| E F$ (linie mijlocie) $\Rightarrow G_{1} G_{2} \| B C$ + +$G_{1} G_{3} \| P Q$ (R.T. Thales) şi $B C \| P Q$ (linie mijlocie) $\Rightarrow G_{1} G_{3} \| B C$ $2 p$ + +$G_{2} G_{4} \| P Q$ (R.T. Thales) şi $B C \| P Q$ (linie mijlocie) $\Rightarrow G_{2} G_{4} \| B C$ $2 p$ + +Finalizare: $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ coliniare + +$1 p$ + +4. Determinaţi numerele întregi $x$ şi $y$ pentru care: + +$$ +\|x-3|+| y-2 x\|=3 +$$ + +Supliment, G.M., noiembrie 2013 + +## Soluţie: + +$$ +\begin{aligned} +& |x-3|+|y-2 x|=3 \\ +& |x-3|,|y-2 x| \in \mathbb{N} \\ +& |x-3| \in\{0,1,2,3\} +\end{aligned} +$$ + +Finalizare: + +$(3,9) ;(3,3) ;(4,10) ;(4,6) ;(2,6) ;(2,2) ;(5,11) ;(5,9) ;(1,3) ;(1,1) ;(0,0) ;(6,12)$ $3 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-993-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-993-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59434b1e4e36cc03e1aaade73a2f1e569c3b18a6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-993-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,113 @@ +# OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ + +ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a VI-a + +1. a) Arătaţi că $\frac{1}{4 \cdot 10}=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\right)$. + +b) Arătați că $\frac{1}{4 \cdot 10}+\frac{1}{10 \cdot 16}+\frac{1}{16 \cdot 22}+\ldots+\frac{1}{2008 \cdot 2014}<0,5$. + +2. Se dă unghiul alungit $\Varangle A O B$ şi punctele $C$ şi $D$ situate în semiplane opuse față de dreapta $A B$ astfel încât, $m(\Varangle C O D)=80^{\circ}$. Dacă $[O N$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A O C,\left[O M\right.$ este bisectoarea unghiului $\Varangle B O D$ şi $m(\Varangle B O C)=150^{\circ}$, atunci calculați măsura unghiului $\Varangle M O N$. + +Supliment, G.M. , noiembrie 2013 + +3. Se consideră ecuația $x^{5}+y^{2}=z^{3}$, unde $x, y$ şi $z$ sunt numere naturale nenule. $\mathrm{O}$ soluție a acestei ecuații este un triplet de numere natural nenule $(a, b, c)$ cu proprietatea că $a^{5}+b^{2}=c^{3}$. + +a) Arătați că tripletul $(3,10,7)$ este soluție a ecuației date. + +b) Determinaţi o soluție a ecuaţiei date de forma $\left(2^{m}, 2^{n}, 2^{p}\right)$, unde $m, n$ şi $p$ sunt numere naturale. + +G.M., $n$. 12, 2013 + +4. Fie $C \in(A B)$ şi punctele $P, M, T$ mijloacele segmentelor $(A B),(A C)$ şi $(M P)$. Dacă $2 \cdot A C-B C=40 \mathrm{~cm}$, atunci determinați lungimea segmentului $[T C]$. + +Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila + +## Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de două ore. + +## INSPECTORATUL SSCOLAR JUDETTEAN + +BRĂILA + +## OLIMPIADA NATIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a VI-a + +1. a) Arătaţi că $\frac{1}{4 \cdot 10}=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\right)$. + +b) Arătaţi că $\frac{1}{4 \cdot 10}+\frac{1}{10 \cdot 16}+\frac{1}{16 \cdot 22}+\ldots+\frac{1}{2008 \cdot 2014}<0,5$. + +## Soluţie: + +a) $\frac{1}{4 \cdot 10}=\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{4 \cdot 10}=\frac{1}{6} \cdot \frac{10-4}{4 \cdot 10}=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\right)$ + +$3 \mathbf{p}$ + +b) Utilizând $\boldsymbol{a})$ obţinem: + +$S=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2014}\right)=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2014}\right)$ + +$3 \mathbf{p}$ + +$\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2014}\right)<\frac{1}{2}$ + +$1 p$ + +2. Se dă unghiul alungit $\Varangle A O B$ şi punctele $C$ şi $D$ situate în semiplane opuse faţă de dreapta $A B$ astfel încât, $m(\Varangle C O D)=80^{\circ}$. Dacă $[O N$ este bisectoarea unghiului $\Varangle A O C,[O M$ este bisectoarea unghiului $\Varangle B O D$ şi $m(\Varangle B O C)=150^{\circ}$, atunci calculaţi măsura unghiului $\Varangle M O N$. + +Supliment, G.M. , noiembrie 2013 + +## Soluție: + +$$ +\begin{array}{ll} +m(\Varangle N O A)=\left(180^{\circ}-150^{\circ}\right): 2=15^{\circ} \\ +m(\Varangle A O D)=80^{\circ}-30^{\circ}=50^{\circ} & \text { 2p } \\ +m(\Varangle B O D)=\left(180^{\circ}-50^{\circ}\right): 2=65^{\circ} & 2 p +\end{array} +$$ + +Finalizare $m(\Varangle M O N)=130^{\circ}$ + +3. Se consideră ecuaţia $x^{5}+y^{2}=z^{3}$, unde $x, y$ şi $z$ sunt numere naturale nenule. O soluţie a acestei ecuaţii este un triplet de numere natural nenule $(a, b, c)$ cu proprietatea că $a^{5}+b^{2}=c^{3}$. + +a) Arătaţi că tripletul $(3,10,7)$ este soluţie a ecuaţiei date. + +b) Determinaţi o soluţie a ecuaţiei date de forma ( $2^{m}, 2^{n}, 2^{p}$ ), unde $m, n$ şi $p$ sunt numere naturale. + +G.M., nr. 12, 2013 + +## Soluție: + +a) Verificare directă $3^{5}+10^{2}=7^{3}$ + +b) $2^{5 m}+2^{2 n}=2^{3 p}$ + +Pentru $2^{5 m}=2^{2 n} \Rightarrow 2^{5 m+1}=2^{2 n+1}=2^{3 p}$ + +Alegem $m=4, n=10$ şi $p=7$. + +1p + +4. Fie $C \in(A B)$ şi punctele $P, M$, $T$ mijloacele segmentelor $(A B),(A C)$ şi $(M P)$. Dacă $2 \cdot A C-B C=40 \mathrm{~cm}$, atunci determinaţi lungimea segmentului $[T C]$. + +Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila + +## Soluţie: + +Cazul I: $P \in(B C), T \in(M C)$ + +$$ +\begin{aligned} +& A C=2 x, C B=2 y \Rightarrow 2 x-y=20 \\ +& P C=y-x \text { şi } M P=y \\ +& M T=\frac{y}{2} \Rightarrow T C=x-\frac{y}{2}=\frac{2 x-y}{2}=10 \mathrm{~cm} +\end{aligned} +$$ + +Cazurile II: $P \in(B C), T \in(C P)$ şi III: $P \in(A C)$ se studiază 1p asemănător şi se obţine $T C=10 \mathrm{~cm}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-994-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-994-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c76e3618adab5e597f1ab734ebbaf41afde148f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-994-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,118 @@ +# INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEȚEAN + +BRĂILA + +## OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a V-a + +1. Determinați mulțimile $A$ şi $B$ pentru care sunt îndeplinite simultan condițiile: +i) $A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$; + +ii) $A \backslash B=\{1,3,5\}$; + +iii) $B \backslash A=\{2,6\}$. + +Supliment, G.M., decembrie 2013 + +2. Se consideră şirul de numere naturale $3,10,17,24,31, \ldots$. + +a) Determinați al 2014-lea termen al şirului. + +b) Determinaţi numerele $x$ şi $y$ ştiind că sunt termeni consecutivi ai şirului şi $x<608 ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a V-a + +1. Determinaţi mulţimile $A$ şi $B$ pentru care sunt îndeplinite simultan condiţiile: +i) $A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$; + +ii) $A \backslash B=\{1,3,5\}$; + +iii) $B \backslash A=\{2,6\}$. + +Supliment, G.M., decembrie 2013 + +## Soluție: + +$\operatorname{Din} A \backslash B=\{1,3,5\} \Rightarrow 1,3,5 \in A$ s,i $1,3,5 \notin B$ $2 p$ + +Din $B \backslash A=\{2,6\} \Rightarrow 2,6 \in B$ și $2,6 \notin A$ $2 p$ + +$A=\{1,3,5,4\}, B=\{2,6,4\}$ $3 p$ + +2. Se consideră şirul de numere naturale $3,10,17,24,31, \ldots$. + +a) Determinaţi al 2014-lea termen al şirului. + +b) Determinaţi numerele $x$ şi $y$ ştiind că sunt termeni consecutivi ai şirului şi $x<608 BRĂILA
OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +CLASA a IX a + +1. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n+1}=a_{n}^{2}-a_{n}+\frac{3}{4}$, oricare ar fi $n \geq 1, a_{1}=\frac{2013}{2014}$. + +a) Determinați formula termenului general $a_{n}, n \geq 1$. + +b) Demonstrați că $\left(a_{1}-\frac{1}{2}\right)\left(a_{2}-\frac{1}{2}\right) \ldots\left(a_{n}-\frac{1}{2}\right) \leq\left(\frac{503}{1007}\right)^{n}$, oricare ar fi $n \geq 1$. + +Carmen şi Viorel Botea, Brăila + +2 În $\triangle A B C$ ascuțitunghic, $H$ este ortocentrul, iar $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ simetricele lui $H$ faţă de mijloacele laturilor $[B C],[A C]$, respectiv $[A B]$. Arătaţi că dacă triunghiurile $A_{1} B_{1} C_{1}$ şi $A B C$ au acelaşi centru de greutate, atunci $\triangle A B C$ este echilateral. + +Carmen şi Viorel Botea, Brăila, S.G.M.12/2013 + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu raţia pozitivă, $a_{1} \geq \frac{1}{2}$ şi suma : + +$S_{n}=\sqrt{1+\frac{r}{a_{1} \cdot a_{2}}}+\sqrt{1+\frac{r}{a_{2} \cdot a_{3}}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{r}{a_{n} \cdot a_{n+1}}}, n \in N, \mathrm{n} \geq 2$. Calculați partea întreagă a lui $S_{2014}$. + +4. Se consideră trapezul $A B C D$ cu $A B \| C D$ şi punctele $H_{1}, H_{2}$ ortocentrele triunghiurilor $A B C$ şi $A D C$. + +Demonstraţi că $H_{1} H_{2} \| B D$ dacă şi numai dacă $A D=B C$. + +Marius Damian, profesor, Brăila + +Notă: + +1. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect valorează 7 puncte. +2. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. + +## INSPECTORATUL SCCOLAR JUDETุEAN BRĂILA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ, 16.02.2014 + +## CLASA a IX a + +1. Fie şirul $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n+1}=a_{n}^{2}-a_{n}+\frac{3}{4}$, oricare ar fi $n \geq 1, a_{1}=\frac{2013}{2014}$. + +a) Determinați formula termenului general $a_{n}, n \geq 1$. + +b) Demonstrați că $\left(a_{1}-\frac{1}{2}\right)\left(a_{2}-\frac{1}{2}\right) \ldots\left(a_{n}-\frac{1}{2}\right) \leq\left(\frac{503}{1007}\right)^{n}$, oricare ar fi $n \geq 1$. + +(1) + +$$ +\begin{aligned} +& \text { a) } a_{n+1}=\left(a_{n}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} \\ +& a_{n+1}-\frac{1}{2}=\left(a_{n}-\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(a_{n-1}-\frac{1}{2}\right)^{2^{2}}=\cdots=\left(a_{1}-\frac{1}{2}\right)^{2^{n}}= \\ +& =\left(\frac{2013}{2014}-\frac{1007}{\frac{1}{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1006}{2014}\right)^{2}=\left(\frac{503}{1007}\right)^{2^{n}} \\ +& a_{n}=\frac{1}{2}+\left(\frac{503}{1007}\right)^{2} +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ae0fc1f8ee9bd94a7cbag-3.jpg?height=391&width=1868&top_left_y=865&top_left_x=93) + +$$ +\begin{aligned} +& =\left(\frac{503}{1007}\right)^{2^{n}-1} \quad \operatorname{Anc} \bar{a}^{2} 2^{n}-1 \geqslant n \quad \forall n \geqslant 1 \\ +& \operatorname{Pp} P(n) \rightarrow \text { or } P(n+1) A \\ +& P(n+1): 2^{n+1} \geqslant n+2 +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +& 2^{n} \cdot 2 \geqslant n+2 \\ +& \geqslant n+1 +\end{aligned} \operatorname{sen} +$$ + +$$ +\Rightarrow\left(\frac{503}{1007}\right)^{2^{n}-1} \leq\left(\frac{503}{1007}\right)^{n}, \quad \forall n \geqslant 1 +$$ + +2. Se consideră trapezul $A B C D$ cu $A B \| C D$ şi punctele $H_{1}, H_{2}$ ortocentrele triunghiurilor $A B C$ şi respectiv $A D C$. + +Demonstrați că $H_{1} H_{2} \| B D$ dacă şi numai dacă $A D=B C$. + +## Marius Damian, profesor, Brăila + +Soluție. Notăm cu $O_{1}$ centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$ şi cu $O_{2}$ centrul cercului circumscris triunghiului $A D C$. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_ae0fc1f8ee9bd94a7cbag-4.jpg?height=454&width=556&top_left_y=1046&top_left_x=721) + +Atunci + +$$ +\overrightarrow{O_{1} H_{1}}=\overrightarrow{O_{1} A}+\overrightarrow{O_{1} B}+\overrightarrow{O_{1} C} +$$ + +şi + +$$ +\overrightarrow{O_{2} \mathrm{H}_{2}}=\overrightarrow{O_{2} A}+\overrightarrow{O_{2} \mathrm{D}}+\overrightarrow{O_{2} C} +$$ + +Prin scăderea membru cu membru a egalităților de mai sus, obținem + +$$ +\overrightarrow{O_{1} H_{1}}-\overrightarrow{O_{2} H_{2}}=\overrightarrow{O_{1} A}-\overrightarrow{O_{2} A}+\overrightarrow{O_{1} B}-\overrightarrow{O_{2} D}+\overrightarrow{O_{1} C}-\overrightarrow{O_{2} C} +$$ + +care conduce la + +$$ +\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{H_{1} H_{2}}+2 \overrightarrow{O_{1} O_{2}} +$$ + +Din $B H_{1} \perp A C$ şi $D H_{2} \perp A C$ avem $B H_{1} \| D H_{2}$ şi, ținând cont de (1) şi de faptul că un trapez este inscriptibil dacă şi numai dacă este isoscel, avem + +$$ +\begin{aligned} +H_{1} H_{2} \| B D & \Leftrightarrow H_{1} H_{2} D B \text { este paralelogram } \Leftrightarrow \overrightarrow{H_{1} H_{2}}=\overrightarrow{B D} \stackrel{(1)}{O_{1} O_{2}}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \\ +& \Leftrightarrow O_{1}=O_{2} \Leftrightarrow A B C D \text { este inscriptibil } \Leftrightarrow A D=B C +\end{aligned} +$$ + +3. Fie $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ o progresie aritmetică cu rația pozitivă şi $a_{1} \geq \frac{1}{2}$ şi suma + +$S_{n}=\sqrt{1+\frac{r}{a_{1} \cdot a_{2}}}+\sqrt{1+\frac{r}{a_{2} \cdot a_{3}}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{r}{a_{n} \cdot a_{n+1}}}, n \in N, \mathrm{n} \geq 2$. Calculați partea întreagă a lui $S_{2014}$. + +$$ +\begin{aligned} +& \sqrt{1+\mathrm{x}} \leq 1+\frac{x}{2} \text { pt. } \mathrm{x} \geq-1 \\ +& S_{n} \leq n+\frac{1}{2}\left(\frac{r}{a_{1} \cdot a_{2}}+\frac{r}{a_{2} \cdot a_{3}}+\ldots+\frac{r}{a_{n} \cdot a_{n+1}}\right)=n+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)= \\ +& n+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right) ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014 + +## Clasa a XII-a + +1. Fie $a \in(0, \infty)$ si $f: R \rightarrow R$ o funcție pară, derivabilă cu derivata continuă. Să se calculeze : + +$$ +\int_{-a}^{a}\left[\frac{f(x)}{1+e^{x}}+f^{\prime}(x) \cdot \ln \left(1+e^{x}\right)\right] d x +$$ + +2. Se consideră funcția : $R \rightarrow R$. Să se determine $c \in R$ astfel încât $f$ să admită primitive pe $R$, cu $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin ^{2} \frac{1}{x} \cdot \cos ^{3} \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ c \quad, x=0\end{array}\right.$ +3. Fie ( $G$, ) un grup comutativ si $H=\left\{x \in G / x^{2}=e\right\}$. + +a) Arătați că $H$ este subgrup al lui $G$. + +b) Dacă $G$ este finit și 2 ordH $>$ ordG atunci $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{G}$. + +4. Fie $(A,+\cdot)$ un inel cu proprietatea $\left(x^{2}-x\right) y=y\left(x^{2}-x\right)$, oricare $x, y \in A$. Demonstrați că $(A,+\cdot)$ este un inel comutativ. + +## Nota: + +Timp de lucru 3 ore. + +Fiecare problemă este notată cu 7 puncte. + +## Olimpiada Nationala de Matematica + +## Etapa locala, 16 februarie 2014, Botosani + +## Clasa a XII-a + +## Barem : + +1. + +$$ +\begin{aligned} +& >f \text { derivabila para } \rightarrow f^{\prime} \text { impara } \\ +& 1 p \\ +& I=\int_{-a}^{a}\left[\frac{f(-t)}{1+e^{-t}}+f^{\prime}(-t) \cdot \ln \left(1+e^{-t}\right)\right] d t= \\ +& =\int_{-a}^{a}\left[\frac{f(t) \cdot e^{t}}{1+e^{t}}-f^{\prime}(t) \cdot \ln \left(1+e^{t}\right)+t \cdot f^{\prime}(t)\right] +\end{aligned} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c1c4231d0a36671b3ca8g-2.jpg?height=100&width=1066&top_left_y=1235&top_left_x=318) + +$$ +\begin{aligned} +& =\frac{1}{16} \cdot\left(2 \cdot \cos \frac{1}{x}-\cos \frac{3}{x}-\cos \frac{5}{x}\right) \\ +& 2 p \\ +& f(x)=\frac{1}{8} \cdot\left\{\begin{array}{c} +\cos \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ +0, x=0 +\end{array}-\frac{1}{16} \cdot\left\{\begin{array}{c} +\cos \frac{3}{x}, x \neq 0 \\ +0, x=0 +\end{array}-\frac{1}{16} \cdot\left\{\begin{array}{c} +\cos \frac{5}{x}, x \neq 0 \\ +0, x=0 +\end{array}+\quad+\left\{\begin{array}{l} +0, x \neq 0 \\ +c, x=0 +\end{array}\right.\right.\right.\right. +\end{aligned} +$$ + +$$ +2 p +$$ + +Functiile de forma $g(x)=\left\{\begin{array}{c}\cos \frac{k}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}(k \neq 0)\right.$ admit primitive pe $R \ldots 2 p$ + +Functia f admite primitive daca si numai daca $c=0$ $1 p$ + +3. a) $\forall x, y \in H \rightarrow(x y)^{2}=x y x y=x^{2} y^{2}=e \cdot e=e$, deci $x y \in H$ $\qquad$ +$\forall x \in H \rightarrow x^{2}=e \rightarrow x^{-1}=x \in H$ $.1 p$ + +Deci Hsubgrup al lui G. $1 p$ + +b) Din teorema lui Lagrange avem ordG $:$ ordH $\rightarrow$ ordG $=k \cdot$ ordH, $k \in N^{*} \ldots . .1 p$ 2ordH $>$ ordG $\rightarrow \mathbf{2 o r d H}>k \cdot$ ordH $\rightarrow 2>k \rightarrow k=1$ $.1 p$ Deci ordG $=$ ordH $\rightarrow G=H$. $1 p$ + +4. $(x+y)^{2}-(x+y)=\left(x^{2}-x\right)+\left(y^{2}-y\right)+(x y+y x) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .2 p$ + +$x y+y x=(x+y)^{2}-(x+y)-\left(x^{2}-x\right)-\left(y^{2}-y\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c1c4231d0a36671b3ca8g-3.jpg?height=62&width=1358&top_left_y=435&top_left_x=318) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_c1c4231d0a36671b3ca8g-3.jpg?height=68&width=1372&top_left_y=519&top_left_x=317) + +$\left(x^{2}-x\right) y=y\left(x^{2}-x\right) \rightarrow x y=y x$ oricare $x, y \in A \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{~m}$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-997-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-997-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e5fc38f2ae6f27e164c02b46f82527ec07960c70 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-997-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,123 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014 + +Clasa a XI-a + +## SUBIECTUL I + +Fie matricea $A=\left(\begin{array}{cc}\cos ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x\end{array}\right), x \in R$ + +a) Arataţi că $A^{n}=\left(\begin{array}{ll}\frac{1+\cos ^{n} 2 x}{2} & \frac{1-\cos ^{n} 2 x}{2} \\ \frac{1-\cos ^{n} 2 x}{2} & \frac{1+\cos ^{n} 2 x}{2}\end{array}\right)$, pentru n natural nenul. + +b) Să se calculeze $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \operatorname{det} A^{k}}{\operatorname{det}\left(\sum_{k=1}^{n} A^{k}\right)}$. + +## SUBIECTUL II + +Un determinant de ordinul al treilea cu elemente reale are elementele egale $\mathrm{cu} \frac{1}{2}$ pe diagonala principală, iar pe fiecare linie şi coloană suma elementelor este 1. + +a) Să se arate că determinantul este un număr pozitiv. + +b) Să se gasească valoarea minimă pe care o poate lua determinantul. + +## SUBIECTUL III + +Fie progresia aritmetică a1, a2, ..., an , ... cu raţia şi primul termen strict pozitive. + +a) Să se calculeze limita şirului (an ) . + +b) Să se calculeze: + +$$ +\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}\left(\frac{a_{1}}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\cdots+\frac{a_{n}}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\cdots+\sqrt{a_{n}}}\right) +$$ + +## SUBIECTUL IV + +Să se calculeze: + +$$ +\lim _{x \rightarrow \infty}(a \sqrt{x+1}+b \sqrt{4 x+1}+c \sqrt{9 x+1}), a, b, c \in R +$$ + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se noteaza cu 7 puncte. + +$>$ Timp de lucru: 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE + +etapa locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a XI- a + +## SUBIECTUL 1 -7p. + +3 a)Demonstrăm prin inducție matematică. + +Etapa I-verificăm relația pentru $n=1$, folosind relațiile: $\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} \sin ^{2} \sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2} \ldots \ldots .1 p$ + +Etapa a-II-a presupunem că $\mathrm{A}^{\mathrm{k}}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{k}} & b_{k} \\ b_{k} & a_{k}\end{array}\right)$, unde $a_{\mathrm{k}}=\left(1+\cos ^{\mathrm{k}} 2 \mathrm{x}\right) / 2$ și $\mathrm{b}_{\mathrm{k}}=\left(1-\cos ^{\mathrm{k}} 2 \mathrm{x}\right) / 2$ și arătăm că + +$A^{k+1}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{a}_{k+1} & b_{k+1} \\ b_{k+1} & a_{k+1}\end{array}\right)$, unde $a_{k+1}=\left(1+\cos ^{k+1} 2 x\right) / 2$ și $b_{k+1}=\left(1-\cos ^{k+1} 2 x\right) / 2$, calculând $A^{k+1}=A^{k} \cdot A$, pentru orice $k$ natural nenul + +$2 p$ + +$4 \mathbf{p}$ b) $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{k}}\right)=\cos ^{\mathrm{k}} 2 \mathrm{x}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{k=1}^{n} \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=\cos 2 \mathrm{x}+\cos ^{2} 2 \mathrm{x}+\ldots .+\cos ^{\mathrm{n}} 2 \mathrm{x}$ $1 p$ + +Fie matricea $\mathrm{B}=\sum_{k=1}^{n} A^{k}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right)$, unde $\mathrm{a}=\left(\mathrm{n}+\cos 2 \mathrm{x}+\cos ^{2} 2 \mathrm{x}+\ldots .+\cos ^{\mathrm{n}} 2 \mathrm{x}\right) / 2$ ș + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_67a5faed1d056830fca0g-2.jpg?height=60&width=1570&top_left_y=1306&top_left_x=243) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_67a5faed1d056830fca0g-2.jpg?height=66&width=1594&top_left_y=1395&top_left_x=231) + +Limita cerută este $1 / n \quad$............................................................................................................. + +## SUBIECTUL 2 -7p + +4p a) Determinantul poate avea una din formele $D_{1}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & a & \frac{1}{2}-a \\ \frac{1}{2}-a & \frac{1}{2} & a \\ a & \frac{1}{2}-a & \frac{1}{2}\end{array}\right|$ sau $\mathrm{D}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}-a & a \\ a & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}-a \\ \frac{1}{2}-a & a & \frac{1}{2}\end{array}\right|$ + +$\mathrm{D}_{1}=\mathrm{D}_{2}=3 \mathrm{a}^{2}-\frac{3 a}{2}+\frac{1}{4}$ + +$3 a^{2}-\frac{3 a}{2}+\frac{1}{4}>0, \forall a \in \mathbb{R}$ + +$1 p$ + +$3 p$ b) $\min D_{1}=\min D_{2}=\min \left(3 a^{2}-\frac{3 a}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{16}$,justificare + +$3 p$ + +## SUBIECTUL 3 -7p + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_67a5faed1d056830fca0g-3.jpg?height=57&width=1577&top_left_y=243&top_left_x=228)$\qquad$ +5p b) Folosim Cesaro-Stolz și limita cerută este egală cu $L=\lim \left(\frac{a_{n+1}}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\cdots \cdot \sqrt{a_{n+1}}}\right) /\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ + +$=\frac{1}{r} \lim \frac{a_{n+1}}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\cdots .+\sqrt{a_{n+1}}}$ + +$2 p$ + +Pentru noua limită aplicăm din nou Cesaro-Stolz și obținem $L=\frac{1}{r} \lim \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{\sqrt{a_{n+2}}}$ $2 p$ + +$\mathrm{L}=\lim \frac{1}{\sqrt{a_{n+2}}}=0$ + +## SUBIECTUL 4 -7p + +Fie $\mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}\left(\mathrm{a} \sqrt{1+\frac{1}{x}}+\mathrm{b} \sqrt{4+\frac{1}{x}}+\mathrm{c} \sqrt{9+\frac{1}{x}}\right)$ + +$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(a \sqrt{1+\frac{1}{x}}+b \sqrt{4+\frac{1}{x}}+c \sqrt{9+\frac{1}{x}}\right)=a+2 b+3 c$ + +Dacă $a+2 b+3 c>0$, atunci $L=+\infty$ $1 p$ + +Dacă $a+2 b+3 c<0$, atunci $L=-\infty$ $1 p$ + +Dacă $a+2 b+3 c=0$, atunci $a=-2 b-3 c$ și + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{b}(\sqrt{4 x+1}-2 \sqrt{x+1})+\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{c}(\sqrt{9 x+1}-3 \sqrt{x+1}) \\ +& \mathrm{L}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-3 b}{\sqrt{4 x+1}+2 \sqrt{x+1}}+\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-8 c}{\sqrt{9 x+1}+3 \sqrt{x+1}} \text {, de unde } \mathrm{L}=0 \\ +& 4 p +\end{aligned} +$$ + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-998-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-998-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a086c24ca6f302abe6a09b5cc54919061320cd44 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-998-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ
ETAPA LOCALĂ + +16 februarie 2014 + +Clasa a X- a + +## SUBIECTUL I + +Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care: $\left\{\begin{array}{l}3^{x+2 y}+2=5^{x+2 y} \\ 2^{x-2 y}=2 y-x+11\end{array}\right.$. + +## SUBIECTUL II + +Determinați $x>0, x \neq 1$ din relația + +$$ +\sum_{k=1}^{n}\left(\log _{x} 3^{k}\right)\left(\log _{x} 3^{k!}\right)+\frac{1}{\log _{3}^{2} x}=(n+1)! +$$ + +## SUBIECTUL III + +Să se determine $z \in C$ care satisface $\left\{\begin{array}{l}|z-(3+i)|=\sqrt{2} \\ |z-(1+3 i)| \leq \sqrt{2}\end{array}\right.$. + +## SUBIECTUL IV + +Fie b un număr real strict pozitiv și $n$ un număr natural nenul. Să se arate că ecuația $z^{n+1}=b z^{n}-z-b$ are o rădăcină complex de modul 1 , dacă și numai dacă $b=1$ și $n \equiv 1(\bmod 4)$. + +G.M. 10/2013, + +Băetu loan, profesor Botoṣani + +NOTĂ: Fiecare subiect este notat cu un punctaj de la 0 la 7 puncte. + +Timp de lucru - 3 ore. + +## BAREM DE CORECTARE + +etapa locală - 16 februarie 2014 + +## Clasa a X- a + +## Problema 1. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d88bc64870ab13ad2790g-2.jpg?height=62&width=1582&top_left_y=457&top_left_x=239) + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d88bc64870ab13ad2790g-2.jpg?height=57&width=1586&top_left_y=524&top_left_x=237) + +Finalizare .................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Problema 2. + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_d88bc64870ab13ad2790g-2.jpg?height=111&width=1629&top_left_y=703&top_left_x=237) + +Calculul sumei $\sum_{k=1}^{n} k(k!)+1=(n+1)$ ! + +Finalizare $.2 p$ + +Problema 3. + +Recunoaste prima ecuatie ca ecuatia cercului cu centrul in $M(3+2 i)$ si de raza $\sqrt{2} \ldots \ldots . . .2 p$ + +Recunoaste a doua ecuatie ca ecutia discului inchis cu centrul in $N(1+3 i)$ si de raza $\sqrt{2} \ldots . . .2 p$ + +Finalizare + +Problema 4. + +Necesitatea + +Scrierea ecuatiei in forma $z^{n}(z-b)=-(z+b) \quad$................................................... $1 p$ + +$|z|=1 \Rightarrow|z-b|=|z+b| \Rightarrow z \in i R$............................................................................... + +$|z|=1 \Rightarrow z= \pm i \quad$................................................................................ + +Finalizare .................................................................. $1 \mathrm{p}$ + +Suficienta + +Observa ca $i$ este solutie........................................ $2 p$ + +Orice solutie corecta se noteaza cu 7 puncte + diff --git a/Romania_Olympiad/md/ro-999-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md b/Romania_Olympiad/md/ro-999-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ccb1245e353b1db4d502c76b91e64954d8aaf9e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/md/ro-999-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.md @@ -0,0 +1,157 @@ +# OLIMPIADA DE MATEMATICĂ + +etapa locală + +Clasa a VIII- a + +16 februarie 2014 + +## SUBIECTUL I + +1. Dacă $a, b, c$ sunt numere reale, calculaţi valoarea minimă a + +3p expresiei: + +$\mathrm{E}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a$. + +4p + +2. Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi şi + +$\frac{a+b+c}{3}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}$, arătaţi că triunghiul este echilateral. + +## SUBIECTUL II + +1. Determinaţi valorile întregi ale lui $x$ pentru care: + +2p + +a) numărul $\sqrt{x^{2}-13}$ este raţional; + +2p + +b) numărul $\sqrt{x^{2}-13 x}$ este raţional; + +2. Numerele reale $a$ şi $b$ verifică egalităţile $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2014$. + +3p + +Calculaţi $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}$ şi $\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}$. + +## SUBIECTUL III + +1. Arătaţi că, oricare ar fi numerele reale $a, b, c$, are loc inegalitatea: + +$7 p$ + +$\sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}+(c+1)^{2}}+\sqrt{(c+1)^{2}+(a+1)^{2}} \geq \sqrt{2}(a+b+c+3)$. + +Gazeta Matematică, Nr. 11/2013 + +## SUBIECTUL IV + +$A B C D E F G H$ este prismă patrulateră regulată $\mathrm{cu} A B=8 \mathrm{~cm}$ şi $A E=4 \mathrm{~cm}$, iar $M$ este mijlocul muchiei ( $E H$ ). + +3p a) Demonstraţi că dreapta $A M$ este perpendiculară pe dreapta $M C$. + +2p b) Aflaţi lungimea segmentului ( $F M$ ) ştiind că $(A C M) \cap F G=\{N\}$. + +2p c) Aflaţi tangenta unghiului dintre planele $(A B D)$ şi (ACM). + +## Notă: + +Toate subiectele sunt obligatorii + +Timp de lucru: 3 ore + +## BAREM DE CORECTARE CLASA a VIII-a + +## SUBIECTUL I + +1. Dacă $a, b, c$ sunt numere reale, calculaţi valoarea minimă a expresiei: + +$\mathrm{E}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a$. + +2. Dacă $a, b, c$ sunt lungimile laturilor unui triunghi şi $\frac{a+b+c}{3}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}$, arătaţi că triunghiul este echilateral. + +## Soluţie: + +1. $2 \mathrm{E}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$ + +$(a-b)^{2} \geq 0,(b-c)^{2} \geq 0,(c-a)^{2} \geq 0$ pentru orice $a, b$ şi $c$ + +Valoarea minimă este 0 +2. $(a+b+c)^{2}=3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ ..... $1 p$ +Obţinerea formei $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$ ..... 2p +Finalizare ..... $1 \mathrm{p}$ + +## SUBIECTUL II + +1. Determinaţi valorile întregi ale lui $x$ pentru care: + +a) numărul $\sqrt{x^{2}-13}$ este raţional; + +b) numărul $\sqrt{x^{2}-13 x}$ este raţional; + +2. Numerele reale $a$ şi $b$ verifică egalităţile $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2014$. + +Calculaţi $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}$ şi $\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}$. + +## Soluţie: + +a) $\sqrt{x^{2}-13} \in \mathbf{Q} \Leftrightarrow x^{2}-13=a^{2}, a \in \mathbf{Z}$, de unde $(x-a)(x+a)=13 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \mathrm{p}$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_06_07_2f22d70db9580ca52849g-2.jpg?height=60&width=1685&top_left_y=2026&top_left_x=231) + +b) $\sqrt{x^{2}-13 x} \in \mathbf{Q} \Leftrightarrow x^{2}-13 x=a^{2}, a \in \mathbf{Z} \Leftrightarrow 4 x^{2}-4 \cdot 13 x=4 a^{2} \Leftrightarrow(2 a-13)^{2}=$ $=4 a^{2}+169 \Leftrightarrow(2 x-13-2 a)(2 x-13+2 a)=169$ $1 p$ + +Obţinem $x \in\{-36 ; 0 ; 13 ; 49\}$ $1 p$ + +c) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{a b}=\frac{2014}{a b}=2014 \Rightarrow a b=1$ + +$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}=\sqrt{\frac{(a+b)^{2}}{a b}}=2014$ + +$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\sqrt{\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{(a b)^{2}}}=a^{2}+b^{2}=2014^{2}-2$ + +## SUBIECTUL III + +1. Arătaţi că, oricare ar fi numerele reale $a, b, c$, are loc inegalitatea: + +$$ +\sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}}+\sqrt{(b+1)^{2}+(c+1)^{2}}+\sqrt{(c+1)^{2}+(a+1)^{2}} \geq \sqrt{2}(a+b+c+3) +$$ + +## Soluţie: + +a) Utilizăm inegalitatea $\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \geq \frac{x+y}{2} \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)$ + +Pentru $x$ şi $y$ pozitive inegalitatea arată că media pătratică a celor două numere este cel puțin egală cu media lor aritmetică. + +Dacă $x+y$ este negativ inegalitatea este evidentă + +Pentru $x+y \geq 0$, prin ridicare la pătrat şi efectuarea calculelor se obţine forma +echivalentă $(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2} \geq 0$................................................................................................................. + +Aplicarea inegalităţii pentru fiecare termen al membrului stâng .............................. 2 p + +Însumarea relaţiilor şi finalizarea ................................................................................. 2p + +## SUBIECTUL IV + +$A B C D E F G H$ este prismă patrulateră regulată cu $A B=8 \mathrm{~cm}$ şi $A E=4 \mathrm{~cm}$, iar $M$ este mijlocul muchiei $(E H)$. + +a) Demonstraţi că dreapta $A M$ este perpendiculară pe dreapta $M C$. + +b) Aflaţi lungimea segmentului $(F N)$ ştiind că $(A C M) \cap F G=\{N\}$. + +c) Aflaţi tangenta unghiului dintre planele $(A B D)$ şi $(A C M)$. + +## Soluţie: + +a) Din teorema lui Pitagora obţinem: $A M=4 \sqrt{2}, A C=8 \sqrt{2}$ şi $M C=4 \sqrt{6}$ iar din teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora obţinem că triunghiul $A M C$ este dreptunghic în $M$ +b) Notăm $(A M C) \cap(E F H)=d$. Se obţine $d\|A C\| E G$ şi cum $E M \| G N$ rezultă +MNGE este paralelogram. $\mathrm{FN}=12 \mathrm{~cm}$ ..... 2p +c) Fie $M P \| E A$ şi cum $E A \perp(A B D)$, se obţine $M P \perp(A B D)$ şi $M P=4 \mathrm{~cm}$ ..... $1 p$ +Dacă $P Q \perp A C$ se deduce că unghiul plan corespunzător unghiului diedru este $M Q P$. +Tangenta unghiului dintre planele $(A B D)$ şi $(A C M)$ are valoarea $\sqrt{2}$ ..... $1 p$ + diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-0-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XII-cls_12_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-0-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XII-cls_12_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd273f2468fc7b109fa66d055606c2c7fd5775cb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-0-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XII-cls_12_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:618e5e3a0018f04e1f36de6879c62df920cbfe7e8739670b98f906d28566ab15 +size 1568634 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XI-cls_11_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XI-cls_11_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ecb6b988f7331eceffa5d58ffd77b707acfb99f9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. XI-cls_11_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5595763353bc8a3103e6a5b032eb1fce085b4740d1a8ef69b86dd1b59de0c651 +size 1561273 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23af6a2a6f6f1dbf96f8f65349aee266fca83ac3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a74a94a50127c7952d22346549c2e65051c7608b2adbad03d5f76ee37c1ec5e6 +size 452007 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-100-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-100-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1dbe934089ef171ac330071898b0cbedf1d6683f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-100-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:05e75be091672037aad1a2c589375169fb541dc2f3dd4f0b902fda8f2b0e34aa +size 1482479 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1000-Matematica, 2014, Bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1000-Matematica, 2014, Bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9a049037d37e961d785127a59ba2879acf59a444 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1000-Matematica, 2014, Bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9e16914761cfeb5291628a740d2f7af551849866730e9189e97d788858a3d1d2 +size 443862 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1001-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1001-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..635a394355768a158d968066092f80ceb5c4a418 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1001-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a2c073781809a6093ea5a5f9fbd360b561f95adb0d74b4a741c1480562a03c8 +size 745320 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1002-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1002-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..31cc5b34628dec088ef5be204a0d168334a888c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1002-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f836ca5ae4cfce5a83e09ee27057960b22223d6b5dd84b415d5792d47aea677d +size 402007 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1003-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1003-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cfe22a49aa5df662725b724a39a959df225e6835 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1003-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:66b44eea1fe80ac25e0de8c200f97d07aee6b08f5d42d863226732a5be6c298a +size 454091 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1004-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1004-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3e3977a91e6ff608bf0ef8b5181d60aa4bb98002 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1004-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2aeb04cfc4b237fdae9025e3012a0629073a05247f446a704a1a75c305b661df +size 637166 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1005-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1005-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c4518e9d3893a3d0315ed78d6b4db39e2359f38b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1005-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b5985c8080bb5531e5aee520d218cfd9bbe4719ea85db5379e880a5facdf55cf +size 947391 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1006-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1006-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd6374cce507969ba7839d56aa044f4b7807ef21 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1006-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:858aa7dd9292d01026e02273e6a4b6312b5130ab3d81396da61a1cff32710fae +size 1189117 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1007-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1007-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..95d89166860177f0f913854857f16475884018ca --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1007-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:438fb8a50939efcd01f6ac6baabbe6dcf5e6f427a5e87abd5bbde42ff4a41e79 +size 753202 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1008-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1008-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..440cb0231d2bbf2e9be2d4987d12f47185de04e8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1008-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2014_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f4f13763e210a9c09abc556b0460e7f81e438cf1fed93987f5c471310db92d2b +size 415758 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1009-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1009-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..afbd6a568444a72eee17a7298ff32fe87bddc895 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1009-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c105d03181d9f2c0f10a5e874489869db670e6f01adde1a3234381b5b3e8e4f2 +size 971695 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-101-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-101-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c26775c2a19a961dbaa07c8bc9c8abb73c013b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-101-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68830c34fcaa37887bcdd7d672a11838653170d5619b2efd72b634d52b8b9512 +size 2324848 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1010-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1010-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7aeb3741adb756dae40ff82fdd962d16541fb8fd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1010-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b149d160465170d6162e7a9ec90fc03a0058a67dc6561223c252db6168370df3 +size 992168 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1011-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1011-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25097fe3d3c11c787f2fc89c7a7c40dc1ed5a7da --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1011-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b0bfba8b5a47629df2f8daf8155a1e183ce81740d16b8c46bd6ea5c6d31af80b +size 700198 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1012-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1012-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ccb348b8d8bd179c209dfabbbc170b14da62851 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1012-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bacau-2014_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:83d2c83a84d89189830c54f00511ebd78d2e8ec77935cee64743eb3ef51dc172 +size 250127 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1013-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1013-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..31e4c73eac740c98eec50a3fe567d829a806989a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1013-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:930aed46d2c12e8b020f35ec435800b520883aa9e2473abf28b376f87afd67c0 +size 164821 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1014-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1014-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a99316cc178f220f010aeaa69f326ae7e6140fd5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1014-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:37db1dff803761a754f616b255cfac7be81edb46b9f35de944e0987a12242fb3 +size 120042 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1015-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1015-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b9fcb3a287ad4928577de6d64a405dd49943ab0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1015-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8772ca4c387c768432434041797762e0a1c80ae77b0cf58bb46c323bc975ed6f +size 115306 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1016-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1016-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ecb6de133a66a085002779f89b03e7ff19c9ab3a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1016-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:619f3e329a274b8f3f2c35d488c4baf66e7fb99bb5e2db576c8674d1b68588b3 +size 153671 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1017-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1017-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9f46c5627f68863bc84507fc775a63c336616a35 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1017-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:332ccf7edd8197b6f31ad02017318339463f9cb753e825be355741649a5efafd +size 111550 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1018-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1018-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ba7b697b029e8d9895fcaee4b047ed9ff11195d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1018-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6fccdcb2bc8b8420fb0ed295d304e8bd54604a5280345e9ecf4bb6ed24c34c1d +size 181590 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1019-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1019-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..698e8e12b454aca41d86f450eff4aa20c4404da3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1019-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4799fda81d450d56ca50011c236b9201206b5b67989bb847139dd37c1cfb3f95 +size 177819 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-102-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-102-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bdf5d441d6eb526adcd645ca0117a8941dae84f9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-102-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a59e4af6db06ac41790052732f908123778a8d3493979243154c7a9febee5b3c +size 1662285 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1020-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1020-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b609edecb3907973ccd32edcd93890b165f3b11 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1020-Matematica, 2014, Subiecte_Mehedinti-2014_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b9e2029df5b6237bb465d91ea6add68bc4f812028a12b37e6706acf6d1555e70 +size 120748 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1021-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1021-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd3146b294649324c5d1807397ca6c89eea75442 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1021-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fcbe630e63453cf6a8bdc7b7da1d7dfc1ca695656a6b5cf087754448fd7131f0 +size 71827 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1022-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1022-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e7afbcb7d0976b8b7a28c05c41b741f8ddf6618c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1022-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1930c9ccc291ed9a673644f73605bdd8ed934bea7eb3f9d8c7218be29594511e +size 65325 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1023-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1023-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c06b0478bd572b14ba06e7401f3905543444cb70 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1023-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8f770f36a6a12ae4a75900ac45ac40900cd5b63e3f9a9bdd1b1e2cf89f2c8cfa +size 67885 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1024-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1024-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbe11a23f582e32592730325932e8a7a8baa0d13 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1024-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e65af03340a93f47aa9a4c29c8feaabb8c27f773b14fd942dc2f7593e2b23648 +size 232386 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1025-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1025-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cac46df0b64bc50ec354ac9fb74a2a4c580d5c6d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1025-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1f98f210828df8c159899a3f822285494d8475d28eed5baccf50cd25732f1ff5 +size 256639 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1026-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1026-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..20f5636f77577eca5eb83b19b861779b1c1f0a12 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1026-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0d924ef19b900121ccaaf1eb8fbdf1be7931ebec053a82b922f887d785744358 +size 253853 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1027-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1027-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..15b1232bd4ad67ae3a7671bc2ea774338b6bcaf4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1027-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68d95b6784c638b5cb84ae5e1c73e5678e49de8e54516677ac36e954526a2da0 +size 258460 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1028-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1028-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d6c541e2b7cbb519b7fe7632964dee4d3d2052d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1028-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2014_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dd007f702d58d0d4c0391b9b97d88817bfdbb15f0a24bed272165f5d4b8c0df9 +size 76491 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1029-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1029-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..235e9616ba61a3b1b28da631a05f1b9cf95e3774 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1029-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d16edc6bcbbeb872ceae15fe6664b556f5ae8922f1a9730288eaeef1f2f6f41a +size 506641 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-103-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-103-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bedcaa9e6e92e4981e45099d287a7bbb8192267f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-103-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d9735650d97c4c563ae60c768092188ef4809ea279d30f91d5e45227be106c22 +size 1054133 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1030-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1030-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76bd3be8a699c33ca0aedec655e441717e117573 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1030-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c613b3c47dad4b0185340d3c06bab20be8bd6c124c67e7d5c13675146951f890 +size 987410 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1031-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1031-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d97975e0d56e06ac2dd084b4d16d2bc519178f82 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1031-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:97aa0bc14da650dc31e3ca470b0e5f8eea100891307449df58eadf962e4768e6 +size 852903 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1032-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1032-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f3bec738ccfa3d7d9391da4a8de1592ed0b9a9b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1032-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a9ebbde9478ba4772192db76d3e42843e2d802f6360f1db828e1d7556dd13eb0 +size 866515 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1033-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1033-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..230087dc6c50f31b5d390d9e463f5bea9d815386 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1033-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:08624686d9d4cbeb5443617cfc78bb7635355df972c9951347e43a3a53fe351f +size 538213 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1034-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1034-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8f4b061103c20bbb4a29798bd2bceb9b583c58e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1034-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:741602c82ab980ed3bba2322aba0fd4f55a7be6593c37ff7272dc1a63b3468ae +size 691669 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1035-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1035-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..560c65928bdfb2cccdbbdf313cf89bba198dfc91 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1035-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e604f922dbe82fe81b4707b84da58a20b0ddfe6999a058bbefcb3adccbe813fd +size 410673 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1036-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_suibiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1036-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_suibiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fafdfb93c7980663549f92de742aea59d3cfc81d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1036-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arges-2014_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_suibiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:809cf39db34e5d4c28b816e05a3dad1f6acb22ce785665c3248e7ebd26b63075 +size 1022716 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1037-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1037-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9654326c907b33cc470d7e9de087ae6db09e0222 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1037-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c63b92631bddddfb9a6bc8d0c62c19a5a49750b82cfdca52d9540b314db58957 +size 364765 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1038-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1038-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d846c16680ebad21b0044d9136249514ffb44f8e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1038-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:42985d2c6c827504be5027c2042339c8a7947fe2c7fe0393fcd2b59c8a40be83 +size 323735 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1039-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1039-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..613643bf5744250886c8d14b7af2ad8e34676c21 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1039-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bf4edd67703a7da399c9ce72c706292506ca31b7c58b9e5f8bbfe03a8f742b7e +size 331771 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-104-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-104-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2cf3a8b8066d4a7c2a68cfdfa858e7fc3b3365a7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-104-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:52a370e5554691c08fe049dfcafa28ecf414145df311419f1580c38c48e78693 +size 1160146 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1040-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1040-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e00b7beb2b0725ccb671187c7dfe453e27dbf03 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1040-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:949295f08b51c577cad29c3ce142c683a7bc8d9d76e6107aad6e8769cd70adb7 +size 574543 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1041-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1041-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f5412cadc6b545bb74dbef8def50afd346e355e2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1041-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:498b17bcb8123480f11d369da957f6987b5e270b93a273cf77ba4161c64b02b6 +size 496821 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1042-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1042-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..178c3e519e437ed6bc7cddc1d8b230838180a178 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1042-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:171756e2a1089ccc162672916dd526ddf679d973f93445bbda0bf68f14dfed53 +size 560639 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1043-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1043-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a268e960524748e9ddc89d017eaef6de3fee6a5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1043-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e7383efe75197b4139863f8f04425261709d63d8801ecf66c36ec48796b1fdc1 +size 436051 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1044-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1044-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11e6b527c656fecee60858824de0846c4e9121c1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1044-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Valcea-2014_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1fe1add56b45f033215bdf14009ce9129d72b0cfb80ac9abc5b67a9ef6b45e0a +size 413865 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1045-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1045-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a03c77947f21f974e94dd626cf2e6e1823869d00 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1045-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3a92211e2af7b26b43ec5ab0219abfda16343ce716b3df8e1b6d00c15a60d730 +size 300833 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1046-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1046-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3f33c2bb0e84980e13d2cf2fa7a5214b7b0bdcc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1046-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cfe2b386a10c06790aba9fa51ea74dec5d88eaeb0b4dd694f241b236bbd4e26a +size 285434 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1047-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1047-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a56c91d3a707ef8a056662e212332f0eeb57958 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1047-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8f1031d9781cec6bba1d90091476d8b86087eb77a7453411641cc2ca76997b90 +size 285818 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1048-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1048-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b3a24971c5f3df309b25e01e8aeddd9acf2eccb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1048-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1cfae27c11b9e14d5f69eb6f6aacc698e1a252fff19b0a917b895fe2bbe3970d +size 1007645 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1049-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1049-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f128a359ddc5f159e3333c6ab1fd36730ddae936 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1049-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a03f66ac39af2910655c9c8e0bf7ae09acec10e5e60b087d9817de03a30c1a59 +size 765682 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-105-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-105-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..051bc6a021ece88d6c441b42364e894beb062e7b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-105-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:19b9178ed07123db9a071f3c8d2f26708abd46e0004c607d9be2767e406b5174 +size 896450 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1050-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1050-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7444149bc9b0364003941ab78938aba8db5917f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1050-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:81805ad1351978906de444ff3b64037ba68b8f6c9160fe0fe4b39329591e6621 +size 1065883 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1051-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1051-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..528af49111efec24e2be202bdbeb9573a304651c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1051-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e76a9a941f3fa4337f0d00eeca73a6f64f698d6ebf05044f77f0682f77be760d +size 786779 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1052-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1052-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5265666a9b40c0f3208b7088d948e53aea334c71 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1052-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4b5f5fc3f701ad18e4eb40e214ba9f9a75dfba2aff0fd7b97d191312350a0e53 +size 313750 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1053-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1053-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3fe3098abf898a2e677f076cd8449758fa8324eb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1053-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ilfov-2014_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fa76c5ef8bbc3325b8ab91afbb064a16146f35d21cdce01188cf47b70068baf3 +size 350872 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1054-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xii_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1054-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xii_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5775845ad9ba43fc2c0f98bedf4183658782faf3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1054-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xii_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:abf22b488f051236c9b26c9899e62a0b8b9440de68479d22eb0593ed4d1f6132 +size 596405 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1055-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xi_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1055-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xi_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8cc2f15db7f375f85697f9b61ca4e1b22de7b763 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1055-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_xi_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f3a128a378dce407fb4221f58ac7c84c9001a58ec2ca054c72ae48cd367c6dbf +size 593430 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1056-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_x_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1056-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_x_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f2dde0289adc99cdeee16d42f377932e139f200 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1056-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_x_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7efc1e3741f0159c2cf1b50ccfb74a6d2dcd4465d075307468fca24ddcdf82a8 +size 590379 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1057-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_viii_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1057-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_viii_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..704e6de867e5d660e3ec751c031f98f04c94a949 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1057-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_viii_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e63e0f23640feadc00d3acb0d35e104b0fe072e67cb21482f67e6c93c2675c46 +size 563900 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1058-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vii_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1058-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vii_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8a58da0c9a891db3ba75c68b3a922022a95921ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1058-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vii_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7344bdc983bdfb490baf96305a7e3bdd9a80bb3d0ed7f126cbaf0d2e99fb9e39 +size 539530 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1059-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vi_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1059-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vi_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1cc1d733760e9b60046c355a6845c0826448e96 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1059-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_vi_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b9c1a7a41cb133f9678a8fdd1324a37df57eed3f7cde89a5468599547dc6a112 +size 547602 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-106-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-106-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3ea209672afa309669fda8a9df83dedfe4b50701 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-106-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5b4f04bc0f9474e0e36c086070a7a2f34cc08f5a1aaa9e7a6d36072bef6a202f +size 975722 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1060-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_v_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1060-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_v_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..667deee8232905e7c6b04360719981eeb16f3c37 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1060-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_v_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:565b6233e1d4bf32cd6ab4844ef4594bd0cd9b1a120531d980e2025b4ee5498b +size 552942 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1061-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_ix_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1061-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_ix_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09565a4933fd19152dc682d9d043a89b68733be9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1061-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Hunedoara-2014_matematica_locala_hunedoara_clasa_ix_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f3557312ede0cd83d1d5820d4597a99908bb336503cab3ae6b72351546b38d2a +size 585595 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1062-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1062-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a485b020fb2d89d2a253f05af35d688a80b9b33 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1062-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8defaa0631f084b7247d17b3b9514ee67edf4234c252e02a880dd4ae95b30289 +size 464438 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1063-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1063-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d89cf81a4b3428788979750f4ab9d8bf3f005099 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1063-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2b9e2389d14d182b1ef376185710daf20f4991ac0a7315f04c4637d7b3294f07 +size 342683 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1064-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1064-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e884637aa7c8455783782f53d4e9a7bf45ae3176 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1064-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:acb341a37f605e5f43b009ee52e5138a658db064717522013029826b3a20b441 +size 239484 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1065-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1065-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5fc318497afcfdef885df2a06a3514944eca5eb6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1065-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ccd71f94e87f758008899ddf972168a7a2ecbf6ca725a02cc883f5e6eb642a9a +size 326138 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1066-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1066-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..869a52578f3b276b94b39762981491dc95554139 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1066-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5c75302fea9b7be9b1cfb7647676c4f2117bc4e1e9ddcb042b30d19cb793990c +size 248304 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1067-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1067-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa3701b6daaca393479fa0edc59276bc9e6885e1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1067-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1ab212706397a94583ea6b0b1a6a136834862279fa6f0b27803dbcfc6ee8bf9c +size 247850 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1068-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1068-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..13374cb277b0a9b247b60237d488fc50d13ce45f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1068-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4e6426f3de8cf342c047fa2e29d001fc3a02ce0bc830ef71bdfb1f4f909be913 +size 354411 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1069-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1069-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..829fc89a64ef8831c12060fda6301562ad59bb67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1069-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Cluj-2014_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:de2e89db6fb2e901e0b2fb4b6048ed8f99813010a86f2b14af98b9032959f58a +size 474632 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-107-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-107-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb8d4288a79d477b303ed77b1f3d8b67d10d0987 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-107-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a53e5d288c64adedb90002dd708dca9bd8bb176c983af659035ddbecc485a6bf +size 893242 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1070-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xii_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1070-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xii_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d854ee5ee6d203fce24c05ccfb69e1994b0c783c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1070-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xii_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68dbe852ce96293b377e13a00d7860a94b307768870d8288195ba1d992980887 +size 437480 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1071-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xi_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1071-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xi_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6ffc525ea4bb47ac8399b42494ad1e239df53c10 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1071-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_xi_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0efaeaa76dbaa179a019baea6639068be10f6e3ca11f93198a3632547ec47c54 +size 428644 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1072-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_x_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1072-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_x_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4cdfedc8081fa8b3d1b2746b1d044f3ad73b7c25 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1072-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_x_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b3150499a7a6674aa8bc67484fb8d08117144824c9e495f7a7773b8ad190561a +size 481446 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1073-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_viii_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1073-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_viii_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7010d0eec209104df534d07cfa23936569d11e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1073-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_viii_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e96646e852833a5ed83074cd17bd469f098f47a63442f1e3582ebf4030942a83 +size 428347 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1074-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vii_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1074-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vii_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f7e1119dfdf7016cebdb2a1f5503dfa41841461 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1074-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vii_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:60d0bd1b251e109f7d5de5a43f5f91489b1acc01eddbe7afe534d868c095b913 +size 420341 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1075-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vi_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1075-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vi_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..834f64493a0ba2d5cd26d811f82786bc8fc25ba3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1075-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_vi_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3e13fdfc4d2579937ead05314691e21868b68bda809138dc28a5824a7acc0eb3 +size 433758 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1076-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_v_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1076-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_v_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c32f08c65ae6f63f90f0e3fefb1774a20e0d4e5d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1076-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_v_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b9b48b3f758fadc1fcf29659b2164ffe592775c89a1c662232a0eaa2172c4115 +size 389632 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1077-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_ix_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1077-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_ix_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..649a8c05cf2bd8205281e6f4cd63ab1301eed44a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1077-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vrancea-2014_matematica_locala_vrancea_clasa_ix_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1060f0bf34294727ff3cbd584486130793d92c754605af16803f2ad8fc3a25ff +size 415452 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1078-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xii_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1078-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xii_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9e6656ec7e1db31bc1166db068e26294b03e2a1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1078-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xii_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:54516587fee971ae5627d903061b76a39ea7769e6f4a4205e03adc11b0210b4f +size 679761 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1079-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xi_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1079-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xi_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c603028b28de164b63d3756e0f919a9ef211bdd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1079-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_xi_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6af0f196acc16f861dbfc4180df6a707d0bc050923c9b66513c767d2f41adc5b +size 761306 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-108-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-108-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c97a3f18a869b8965481982e67ba0c91cfe0a13 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-108-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2bfeb7d30f2f492727288e34e6491f0fea52e8d0650f5250af041bdd22c4d8b5 +size 1505067 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1080-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_x_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1080-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_x_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62dda1a08e1e88b622b4c1023783468027fea5c5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1080-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_x_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e541ac5cac40b5cb42145b0cf5f554ddd07091d606bc4fc0a06cadd6d5faf541 +size 626075 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1081-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_ix_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1081-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_ix_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..46889d979276ec469f38ea651fef2021bbf5aa62 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1081-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_ix_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f4b52acc6d08c4a10c6d54c4d04470e7479beed3cec5f4d075d1574a2e70cc6c +size 633131 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1082-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_viii_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1082-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_viii_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a4ce7d6fc48b28da467a9cec79ea40bc5d9e6f1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1082-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_viii_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ee2690e110bb82921ff4ab6d80e9947472b2665efcc2bf8c210c140f7ea2f15 +size 346083 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1083-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vii_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1083-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vii_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6d909b8b568102d96ec54e999b331b05149788d7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1083-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vii_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d22809a2f4694612084d256a622aab3aa54ea77e03e4a9de24ad4aa769071c19 +size 326617 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1084-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vi_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1084-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vi_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cde6d7a3d8f7c974fca69ed1c21b7e36173e4a49 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1084-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_vi_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:96504771e9dd87740de605c218c658c7b194d52654ac75e62874a224266c7e72 +size 328686 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1085-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_v_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1085-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_v_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7eeb2225a34d38b3aa1f5aa39d58ab36925de5c3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1085-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Mures-2014_matematica_locala_mures_clasa_v_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d1c60492ee39265974aca953809135b21762763120d3aa6926ec2ddaa9da2f89 +size 301071 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1086-Matematica, 2014, Barem_Sibiu-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1086-Matematica, 2014, Barem_Sibiu-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4df75f20b0b904d82603b64e33a66dcc3b5f0c4e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1086-Matematica, 2014, Barem_Sibiu-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:02cb684a87842fa50aa27d6c77470280802f4c6c4892526b32ce703c33e00c71 +size 562331 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1087-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1087-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53000860642b737088e166681a0ef7c22d9458e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1087-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5d1412865a04f3c492a6efa9e2cd1488400061f9587b90cf6a1be2589ea49437 +size 937053 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1088-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1088-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb7de4e11361f1d06b4b314e79e2914cd6ffe85f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1088-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9c836919bb8d4fd2529ca729d15a4a998c1792d90b354a65ced99f2f91d7d127 +size 1096050 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1089-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1089-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82334a1b7aa76e3fb672351ff8ed297fc75c7f18 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1089-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:035efa345301f0c8240c1040d206315c4cff0d4ef6eca4d637fb7c32163554a4 +size 945567 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-109-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-109-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..233fb6f4d2c5d8dc89ad623fa415bbace10c5f1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-109-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b0caa6b68f172860f03232c2d89605b0b8394fb976925dbe6dc5214d84a1de9 +size 1355437 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1090-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1090-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b4e90e200d4b3254fd3776c862c743ba1264f9ea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1090-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fefbc3f93a9d0a50089b353e920ec0fba2d09a556efd890b4d4cda0984e26c2f +size 1318614 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1091-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1091-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9e846c04f7cbeaaac15da4d74d4979a6f1a6b92d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1091-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3e4920304a1d9b092ff6ad830954bdce6a7e53f54d45dcecf7d5c079bf83610f +size 752725 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1092-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1092-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..404535a248f0c9b198c4272acf6d564bebd524d7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1092-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:444db709264314a01555a14f1d1a70ddb0309893adc712d94e6100349725c51b +size 807139 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1093-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1093-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d38398224bbd9e6f4972713b990f4b5299d29208 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1093-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ec14e35e70d7bb6fee8098127e2f15042a5b2707424f24dacef1a26bcb436ea9 +size 273086 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1094-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1094-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c83c6181ac0472b13a840fca4cd6091e35017c0e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1094-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e12e7d9ce5f6bbc46d0dc10780c9fe75c65d7c5cb2540c3815a0028b5cbfc004 +size 117370 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1095-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1095-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..732f1fad7eb2895c292d52319f7043ff34b6c3cc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1095-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5a48cf883ebdf6b49417688d763271986384f47f7130e5ee10073e12b5f484ae +size 186234 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1096-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1096-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9c1104728274ac0c0a8ad7cea1b66916394b50d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1096-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9145f4d2b357c6a6d702b494020672fb061ae3d43003f76ad0a80e394c04a671 +size 154231 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1097-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1097-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6a15ead549be970bb67e42c26070fabc9cd4b17 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1097-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:26c81030435fc062da0c5be0597f28bb9050430d76046973316d32f9eec6588d +size 183764 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1098-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1098-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c9218a040e15a3df170c40a3656f0d951608c5c8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1098-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0b425c149e0ea86240602d11807f8e694011cc3c9f2ae5314a2dea32c3c02d82 +size 138776 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1099-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1099-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c61f419b91e2c110ab641979bda9aea1e0bb0b3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1099-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:90ec733deff914c5390d336b0dcdf285622c9885d1e459376805aa4cce6c61bd +size 263608 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-11-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VIII-cl8_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-11-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VIII-cl8_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8058c5fed60b20432d904b1ec64952d67e20a3be --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-11-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VIII-cl8_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:341d38e8308d3a2cb41194fe66ee986a27dd41be80fb1e6cf5fcb134bcb7657f +size 1862052 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-110-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-110-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6467a0e98e46191a4a8d74eb2deb2b72251b25c1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-110-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4278d8d6e31f62479439cc6b148c6c139fe2143ed5927933983b74769a8d4640 +size 1335435 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1100-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1100-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09a660f52a7a618951aa435a75941601e8899ba5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1100-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Sibiu-2014_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:12f80d83faa7b2a0ccf86acaa8a629fc47e502ab4367368367d7798c7e939260 +size 171256 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1101-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_internationala_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1101-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_internationala_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2a97002199d1f20c0a2eb06855a6d97ec4c49fba --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1101-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_internationala_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d81cb4f56944823c452dd6b76134cbb77a9e62ce002f25bf9cf28aebfaa17bfd +size 191197 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1102-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Cipru-0_2013_matematica_olimpiada_balcanica_bmo2013_cipru_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1102-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Cipru-0_2013_matematica_olimpiada_balcanica_bmo2013_cipru_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..00b3aad76a2d4e5844b2d1ab568b829eba899d15 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1102-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Cipru-0_2013_matematica_olimpiada_balcanica_bmo2013_cipru_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b370c75b5bb342e9321b3caf6c030bea50fb173994b395f6cc60b66947a20025 +size 398773 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1103-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1103-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7373e462e001cee8853978694bf0e417074986c2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1103-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:efa62ddab6de48d1061f2755dea317d7a5227ed33d72ac4fba899e6ff759d1b1 +size 719899 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1104-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1104-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5eacda76009f111d5ee315e2b8bf7c8e6e9f43ca --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1104-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fc4f4764bf4e4d36e50232a603fa924d15679ba5add27e484e695fe0926c4219 +size 375328 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1105-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1105-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3b7b5b7205f81b84aa581fa24a92dce92d48dd6e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1105-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ce84ad5103b51d1073d5ccdd480bb25fc39ec8ab70d0dc497d32591993b7d5f +size 484718 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1106-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1106-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..581b3aa8f5e8fa46caf92bac86694ab6954de7df --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1106-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e9a542821df162b71724f12c2afda999611e247fba8b9fec4730a743fc3801d6 +size 510509 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1107-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1107-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a2cbd74e9c19721f388fc43b53f35a1db09131fa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1107-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:935c1f94ff23760c663701fd381774e6d91116f239a683d5847a3515743c38c1 +size 441576 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1108-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1108-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ddb5d4c47f054db3ffa34cc7599a194cc7d253b2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1108-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6a819e67f4b65c35dff68fec3db3300343e0e3d602c5942257554ed9b500a91f +size 480918 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1109-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1109-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7421fd7f6c8ad48223bf5f138fa96c095bbcf52b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1109-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57df5e3d093465eeb2c9c90db809f69837511b3325e57750a757657b354d00c7 +size 421167 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-111-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-111-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..644c39c60cdbb4430ad5b2b7f19f6eaedc50dcbf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-111-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3ff9173bfd40580d8f2220b651d0e581477554c301b884eaaa1e96c44b586dff +size 908070 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1110-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1110-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2f4510b74746f6be72b54ece5ee23b16cc9cd09c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1110-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme-2013_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bcf0f317093eafefad7991ea472ed6217a92b47e82401e8bf0602b8a0d5bea91 +size 464749 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1111-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1111-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a2934b84cce1790e5c494efd63606d167fad616c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1111-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a888cdc3b53e027ebca02d49054639c47f5fd311ca5de4784e12bb6ec0f7af3e +size 94306 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1112-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1112-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d191b04740e33ce74ddf1fd169cc879c1f6245c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1112-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:02d99b98ea8cff2a426226354e45a024c1f430a7e0f36a0e228aff68bf86301b +size 476192 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1113-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1113-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7eadb12ac1f1a1b6c0e04f6029b158dc1799cc57 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1113-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:728e8e61b90a677394f36be9bc3e0aa095d90aa5eb057ed60c8c225095394a5a +size 268928 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1114-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1114-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e822617e3499056006e5dba6ac6b1b5e84c6b3dd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1114-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:11268c6c5f3a70ad8287b1c3271afcfaf52495377f5b9c993a8ea2e417a5e2f4 +size 250335 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1115-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1115-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2fce7709fb4ed942276b48b1c5126b61e0c6fcc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1115-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fb1607567ff1138806b62d771675b1c3e0b83032bb9bf6f4ef8027799074bfb9 +size 248682 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1116-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1116-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6e0185bb73e23b53c2556be45317ab273008a27 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1116-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:409db1f7ce955a4465dbbb5e7b51537c0da89d8fced5eaf7624af908e6737fc6 +size 243812 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1117-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1117-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..05f7a579fc3ab9cf1203a6c390da385e053de9e2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1117-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ceb4b54233de91668d12350a60a138bdcf003ebf1eb998ab679f48f2ada08f2 +size 239760 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1118-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1118-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..220cc931811971e7a71469bc2d44c85760d27dd7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1118-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0cba9d3e8654b471a678c3def643d925f38fc7c18c22e2f78c93b99465b0e423 +size 242086 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1119-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1119-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..731076fc305e781d774b21bbacfceb8f23f03083 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1119-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a5caa88370921fb9d665dca38cd10c36b28a8dc05a04625177f80aa8e45eed49 +size 239887 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-112-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-112-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a069cbb380a3f1b03a00cb2113ce23f12d331bee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-112-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Caras-Severin-2016_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a6d52b7439c4200d69df5c07669ea1a0fb802eaccc5adb9c80a2b266641c5638 +size 1721100 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1120-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiecteee.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1120-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiecteee.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d074e717ae6b9763a00f7ad155ad34b4249a6c00 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1120-Matematic\304\203, 2013, Subiecte-2013_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiecteee.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:acf4453ab77fac7ecde781a2498ff02803880ba4d557b9a5823da00f9bfa96e9 +size 251860 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1121-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1121-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c4b2651689b30d35db533ee6104eafb2d0d5204 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1121-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a78d1acdea47819e7bbf8ec39d461587b038092eaa3145b56f047335944456e5 +size 368492 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1122-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1122-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3daff5d9dd96e8d0e6e6b9008faa168f26a892c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1122-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:859bb986dd8fcab15a44a71426c07297d093ca1efd2d1be4d86c86835b2bd963 +size 489778 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1123-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1123-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3330a17852629d64e98891db71c34c104800c6e5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1123-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:38a26a38b53497a070bad1ef7011aa27ca29474d37be0a795763c9b4ff65d0e0 +size 530142 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1124-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1124-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0186f94c78526d8aaba0aa0bc67449d208c16ffc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1124-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2b3d5ab6f744ed9890f7843a9e5c99cb6ef7713a9a3efa281d4a26b28ac3dcd0 +size 918521 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1125-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1125-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff4dc30e2b79f47e1f931cc03ebf21399ba53331 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1125-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3fa9053bdfa2fbf3b87e4913ff85b7c59e71f67e27c77e322196c430146ce2e3 +size 780827 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1126-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1126-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ebc5ce8173fe3e85558e36dfe22eaffc0b7ad10 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1126-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2e2ee531f87d73442fb1a8f977b0ca474126c04bfe29960121eb51f93e554272 +size 801612 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1127-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1127-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..54d670d9076b43f62f1162dfd8595ca5a24847e6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1127-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:da50c3527f36659b11d74c923861f39f092d38e58329b32d5b4a9e3c7337cb00 +size 877946 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1128-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1128-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fcd7fc55242243daa5d5783db170b64b8f75957e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1128-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vrancea-2013_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:56597fe829d61dfffc69c89881936f3ec199d22ba53e0c5f7b26b0d1cf8b77c6 +size 324983 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1129-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1129-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..067ced9d9301de6d071855cf8cb3eef49d564412 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1129-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b0890fcbf6450dba453f58f11d393ca4453133aa149f72c17f371475ce16275 +size 176676 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-113-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-113-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d630409806a070ca5049c79012849ae02f936562 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-113-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:17f58519b458c98e1dba96344944ac994ef40262fdcd254fd22a15413d26a566 +size 4219407 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1130-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1130-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f66237ce752a26feb7d7d15d436c635a00fa1f57 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1130-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:04be16d8d76ca3f9ead4226d807283390b9fa10924b52602cda8c8b98337c21d +size 300118 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1131-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1131-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b6f409475ad84fe4e83a8aada64db2af7071c5e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1131-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5ab34081e08738dc557a4f10ee27c9b0652893f8bad40ebaaed8b63e77c46222 +size 276129 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1132-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1132-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..778ce9665977125f9337908454c2a1ed30b06a21 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1132-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:25c4c41cb76a3c703beaec044644f9efba59d8d01e941161e51033ef1deaadec +size 186567 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1133-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1133-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1197241fab7879e3fc07a712a25b9765cfabaac2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1133-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b88fb99f565edbb8ba445494a619247aa1493cf98e2a54cf25a334a3b39191dd +size 316544 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1134-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1134-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed546dc6e2f61f4c61afa3e42c12335c469a2ff7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1134-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:21a4d6fd9abfd96f6a6e2c2ce405964982dbb6b087106e0e49a95db96a3a3fb5 +size 208369 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1135-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1135-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..67e305ab98ca270cb2b4e17543df910878ea17ac --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1135-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dd393d0dff43f086ca86da74ec687203ae60cf8e72329b8151cbe321ff4f038a +size 226151 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1136-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1136-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c4beb9ec63d041f7f82035601d39bfd9c88a46f3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1136-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Vaslui-2013_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4b438537c393134a692da9bf4f9a8d8cc030659bb0df188cfff8ae9c5d65f82d +size 186411 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1137-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xii_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1137-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xii_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..85484297adac87315c7a8eb0233c8d37b8927390 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1137-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xii_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a92d3d1ef21ea81d62b566572f379299dcf99c2278050c1421e09a9ef1ec124b +size 154338 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1138-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xi_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1138-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xi_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b275afc3e27bcece253b18b5be49b67c6d620578 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1138-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_xi_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:25c99173f9c4f072f9e214d947af1e602097c5b12bb4e9a044b554d6f1bb3894 +size 146624 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1139-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_x_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1139-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_x_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6e7ff2cb1a6f7769522299f0c75d3496fd54ec2a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1139-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_x_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7da24d8dce829dd6ffb23439681e5ff4ea3eea5c420a616d1c6ccb1c4e059c06 +size 154212 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-114-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-114-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c3554f604de54ee8fd9706df668e2beaa98fbb8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-114-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57f2cfc44c81d096d4e141fef3a2fe08826b2543e7509754fa62041b645351c1 +size 695655 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1140-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_viii_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1140-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_viii_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ddc69b1d13dd6c1cd12bcee319ddceb40393373e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1140-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_viii_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f803e5013743982b7de5d9a97352d084e4a5933d8bf94257a3278b026b017ca5 +size 151955 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1141-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vii_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1141-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vii_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73343d12ac00c85e434f1604bdb2ed45b95da562 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1141-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vii_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a8295e5182c961a559f85d940898aef068740f783cc133bd55f09ed695913c5 +size 243308 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1142-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vi_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1142-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vi_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb11fb8f57c3a8d2eaf8597d259c559e898e7c8d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1142-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_vi_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1dc8cbfe20d816f2f3fdb5d5b1a36292cdc9b16b0ddbed24125242c2daab7790 +size 238612 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1143-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_v_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1143-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_v_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b0db8a6176b55c254a8bc11e11732c63a16065a9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1143-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_v_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8c370af523818ad1f8de6d42f3082e055b150b0d743fd17297b5ad0834371944 +size 243072 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1144-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_ix_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1144-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_ix_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc79877bdaf67c2b385d757f3a3ab87315bbaa19 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1144-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Arad-2013_matematica_locala_arad_clasa_ix_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:439608c67f0a52a2e4269cdc0a1df6e7970617558db631f9c07f9e1cdaf8b753 +size 155780 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1145-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.8.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1145-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.8.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3a9d06cedeb526a7751f135a2f626c83fcb3d104 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1145-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.8.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e05238a77e1eb26c04bc225edb7f0a31bdfd0bd524076b72e90545289ee9a611 +size 447292 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1146-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.7.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1146-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.7.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9604dbb5de2793153c0af58f3e750edca3b6e5cd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1146-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.7.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:101b46d06cf55c777043498fdaf6a22709a6b1a2dae481e16c3e2f8fac59f640 +size 346562 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1147-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.6.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1147-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.6.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..95b6b47ff18c7bd2484b86b658930873f9f573a9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1147-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.6.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f975a8955ee7741fcde077800f991682c0afc9d14c6eda0f2f214964645adaa6 +size 448604 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1148-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.5.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1148-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.5.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37a8c690a5adc59d2542c8f53b10ebe0c05b544b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1148-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Tulcea-mate_locala_2013_subiecte_tulcea_cls.5.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c6af3fa35b4f6868645714843f6a4be9caac875cf56518ccd602a6d46a628aee +size 444742 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1149-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_12_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1149-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_12_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..32698b495d2fcf18079a7188cbf7cf3b0bb887c4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1149-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_12_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:043037a2e76c1a19f38f8e700b0959b1334df370831707e5392f773fad751ad4 +size 127538 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-115-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-115-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75c5a33a984125ed386e5a353826a4f4c6128cce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-115-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:34285864abdd1cc5d08bad458177adfcc23bada552d99eaa3e2e0ea457047293 +size 452230 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1150-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_11_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1150-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_11_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbf6fd0d4a6e88c2e95fa6d738054d8bc5f76776 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1150-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_11_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1750719511ee847b269e4e4e9702b710611ec17db822fb313838a124c4d57eeb +size 117077 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1151-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_10_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1151-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_10_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..996be453e2a1b98fb704f118480308a27ee7c5d7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1151-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_10_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bfa34322a9182d212abe0a0a30e3bdf5e165f518c95a2d0f3a5641d7b54e2928 +size 95966 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1152-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_9_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1152-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_9_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d782f28be90310db4b9de0a90ae8258fe2654dc0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1152-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_9_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c5c8fd622d2e91f8a62b39b11cb055c167ad9d4a8d5ae7af230c0df4b9679b9b +size 132492 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1153-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_8_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1153-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_8_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c628cc0b82d3665e93973f51fd2495f2c1744083 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1153-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_8_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:273934ce63bb4c60028f93bab8f70504b212f95dcdace6a6aa38dc260ff11750 +size 42097 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1154-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_7_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1154-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_7_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a05e6b2c3340a2ac122b9ac081e5c9882c28eb5a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1154-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_7_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d9042f4507f55d675d525733634b615804d62501e27c0ffa5d147ad8dd0c66ef +size 47248 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1155-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_6_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1155-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_6_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50017483a7b8a354f0946136d49671afd1f1d253 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1155-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_6_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bf2ac9b201f927ed79b74eeb676e366d03bd39e566570fc3da9d9350b0d8150e +size 39130 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1156-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_5_braila.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1156-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_5_braila.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7bb0ea3f9d4e096e643bc136809fb626ec11ca8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1156-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Br\304\203ila-mate_locala_subiecte_cls_5_braila.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ad1805424c8dc72b6c14404b2a55d3e747927ed144c5eef1f9a21f9ac837fa82 +size 38469 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1157-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1157-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..146c7bde0b3d016122e65eddb1464ba6632b788b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1157-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5ec8665b31b3dd6b7536ca5dbc7957ce757eb1949b1e6185d8e8071bf7e6995a +size 665429 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1158-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1158-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8060866e4dd43ae0ce1c45a554e9c09b4ee45fbf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1158-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4aad05c4e135f88a93c8e880eeab26b611a5266eb95af5544ccecc23f67c3119 +size 670046 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1159-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1159-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8a40253301205ebd9594bf187eee8a01b39b34c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1159-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b91e201cf2c978bc6923d43c47269da4a9d4ee937c386d88235946bb55fd015 +size 305779 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-116-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-116-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3b2094456fe0f183c3b01145309409e92c471fa9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-116-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:86c97a59cad7068c179adfce0e90212be6017017071c75c87e5ec6c597d86e06 +size 458030 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1160-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1160-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..680d47e77201b99bea0a8d8564ea493664220b62 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1160-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_C\304\203l\304\203ra\305\237i-2013_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fd597c9a94b85842948e2f59e85d72fc138cc3794dbba592affd20a7e9bfc005 +size 340017 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1161-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1161-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0412b76a163465dd176a80474c01d0f2c74e3a20 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1161-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d0f175988e08e503ed6ae49d4aaa71454c8c5d7064f6225c37d478e30a80637c +size 251555 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1162-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1162-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6b69db3a09f9160e88013ec8aa190d90f9079d6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1162-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b0c65fafffa3573abc433c6b2f5e910865d43bba783f85f0287ba6947fc14e45 +size 144474 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1163-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1163-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce2441172db5ff1a97841b1e0172b870ea3b8330 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1163-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:29171629f59ca1cd2a9a7e5aad7c4ede72735048be6d52c34e5819684d015f38 +size 241608 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1164-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1164-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25cb2f34e818fa7bec70bede5ac390cd7a43e42a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1164-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d5eb5f7f57383d8ff2f2457a810ccd76eef71f003a639971cd6e94e5c52ab6c1 +size 221454 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1165-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1165-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a679d13528c2677db09afadbb00c493756abf15 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1165-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:85dd251934cb5a5fd3c6fa3709c428cc32b11191a221b89eb945a8550e58f695 +size 210341 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1166-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1166-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dfc0801ff0443b4bf3cf43940797087e41ec371f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1166-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e9ae3ec83fec2f185f924e85cc85b9231ce769b53690112309b3dc9808b34e75 +size 142842 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1167-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1167-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7454b53e3e1c671de96de57d34561c25c999af4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1167-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bddbb608be4db5ce66977ea9a6e8eafcc6fbba3fab6680f33d91a540cfac764e +size 234865 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1168-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1168-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3cfa609f920533c5bf5624bf674568dc526c8da5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1168-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Suceava-2013_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:82df9dddf4dbfb0e258d982398bd371ee394a883c142637a146d86fc7e753eba +size 626485 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1169-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1169-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7778c9932f9901c24df03de55cd6e0144d5ddab6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1169-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:be75fc058b1262ccada0de90cac986bd65dfee4ff6bc1f012750eb29b37ac12d +size 698613 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-117-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-117-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..523178b5dff55b08f389e3cdc3fd39672e707bcb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-117-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b6ca1922a79c7e02353615f41210c7ab6828164f987b1aa94cab7e3146445955 +size 348930 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1170-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1170-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf357f396e70f9bde3e08b7fcec0a4f68aa8fdf2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1170-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9123dc4ecee957ea93c1636e7b4074a1e7798d3801fb649a28a0ac9983b4ee48 +size 688142 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1171-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1171-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bbf215f23039f4f22a2560361f766bd3e1973af8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1171-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0209c458d3e26e8170b7e8a1b4153b5d860a19dc44f673fad714e7efe40299ee +size 709906 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1172-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1172-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b82819d195b6d2b8c401cab8a7459bafb951d0d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1172-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32221b799e4a6f3bb0d8e9975d9b731643a84331d2c5373fd1fa2601849959df +size 705274 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1173-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1173-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ec8b4ec39a917b44542c8cb4fb8f78c69e8d3d1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1173-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c88078038c1246a68b1291f8fa345a7396aca36bbcea98e0cdad4087a72a5549 +size 684853 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1174-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1174-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..125b7ea73814f9f7af3f660ae2dd40a2d64d9d4f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1174-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b18d1dcf10b3a288f181386c02639ba2e72847694e24b360dc25a59bf615d1cb +size 723597 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1175-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1175-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25dd54119ca24ea03b48ef95d439a6bb34214c6b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1175-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7cbbaf110280e2284e22b1210d95e5bcb6a1b9edb9efa00e4051139a64183c2d +size 648995 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1176-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1176-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4045f0f12625a001a9275cbb3788bc5ae927fcdc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1176-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Teleorman-2013_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:781e682d9cb83b33e5c735923501dfd5efdac891eb5547f3ca66129897e68cae +size 623714 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1177-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Alba (cls.V-VIII)-subiecte_bareme_olimpiada_locala_de_matematica_alba_cls.58.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1177-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Alba (cls.V-VIII)-subiecte_bareme_olimpiada_locala_de_matematica_alba_cls.58.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..79cfb5505d888e08ba5395fe48c5520c8c8475bf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1177-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Alba (cls.V-VIII)-subiecte_bareme_olimpiada_locala_de_matematica_alba_cls.58.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bc66a131f88d149b29d7e3ac5e8e4ddc76901f978f497d9b88878f8109d82c7f +size 7342527 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1178-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1178-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..606adb2794d80c994a6534e80be0d197135739d4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1178-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:84cef38668d63d48d9350310dc12f79664d0926c028455b5313086c139b8185a +size 312008 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1179-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1179-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ba5b8e271d85183614664aa91c9236098de27d3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1179-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:97367d853684a8005bb9591a907b83ec3804ef1bd4f1188bef6275fe90b8713d +size 311263 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-118-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-118-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bff66dc7021c7597c99731675d4f60847de6fe5a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-118-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9b45d69f4412b40a710c04b687cf7caa590b58d3cac6244f628498e48c92007e +size 510951 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1180-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1180-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dac6b4d22b4c008813e75e4a7d32b2709a4f02bd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1180-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ffde049913fe248756351af5b862116e518cd38fe05ccd64aa41486d9bde9a66 +size 311943 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1181-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1181-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ba6ad781498f18771dbe765271913a86365119dc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1181-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c68177c2fc77494ae30b94451c64774b15885c73697191269c47796808a08007 +size 388839 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1182-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1182-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6975c5322eeec37fa32ab7a5ffca62edfc2017d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1182-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bd3d9e244d05db96046d71aec05540717685cb5c88df8b9d4630034ebe9c2359 +size 506008 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1183-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1183-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f6f553e0783d641cbc42abf23d93778aa028fd8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1183-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4a34277b8f901abc4e34324f3ca3cc88f41f00982d743d46a9be182bbc4ef1d4 +size 435212 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1184-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1184-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1883f727b821eccf92313bbb8a01eac4cf71dd61 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1184-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:645494c3e7d75e070b560aa8d8b5805c40fe80a5acc2256183f551e7ea833533 +size 409146 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1185-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1185-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8967a5cdbee46968700d95b337c9d8026c0cf871 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1185-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Harghita-2013_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b528487e96f348da87e8c3c01fc8a0e600447422860b40db12cbd8d5c3cbbce7 +size 318673 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1186-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1186-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..521d83d29994ebfbe902c2279401fb9aa224b7fe --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1186-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e217bd3c1c86845d42bc7485c7a9b247428dab863dddcfc7a0d7219a26c775f7 +size 136677 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1187-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1187-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bdb8c188fa154fa5ae6299536566ac9d3ef5f680 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1187-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:62dbd311f926ff1b0ea83f1f3aa76e3106e601ce2daad98785c3cce9cc5441e3 +size 142789 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1188-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1188-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82100ac5826392b9bd72dbaaa6c7b1648567c3f6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1188-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e0a8dc48723c061d3403b895d7186abafa6711bd1adb82ea31b5f9b49520a6a4 +size 221468 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1189-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1189-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b7d7b310ad63fd68d10e2e70a62e1696fcb2926 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1189-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f49ac88e477f3f2ecd0a9790cef78455c4e51c29fb36b108627db979fac441ac +size 211708 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-119-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-119-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a459f311c79407a5ac9408cfee76e9cee576c313 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-119-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:782273486dc42138c54f1edc1215af2952392bc636cb57e503df95cfddecb256 +size 516009 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1190-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1190-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99012f8edd357a19d3dea1b0b953c4bfea41ade7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1190-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b94986ce2f0ae2807d39c4737590ab834cbb0898996432395ad51911fe7ace95 +size 341960 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1191-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1191-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..392b8be6756dd1aaad1cf9fdce6244f2b450a84e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1191-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:528dfebabc600d472d5e681512576a9e2181b9446b933640aec4ff8dca7455f1 +size 134341 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1192-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1192-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..22dabb9efbc6b7bbb6497099af6ace61694711bc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1192-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c7a202a69597b3e14ec21e8fdec752ee9f4f19bd607c50882af38a4bd9365914 +size 132543 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1193-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1193-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..670de0239e91b737567e6ec2b49e4be196fbcb3e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1193-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Constan\305\243a-2013_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:61e5deaf0d3d60c05f4fea5add138bff67890e579fd883159fb489a2e64c041e +size 184756 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1194-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1194-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..20ea24ef9401047fefa4457fbe58bedb6553df04 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1194-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:37d13007feee2bff23da0f0e18ca660814a9f7e7d88c51d8c83864a2faf7670d +size 551264 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1195-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1195-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d31c3efb160ac31b8a61d5b5e2705ab7eeed6b9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1195-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9bd51925926779c8d3329994458a051f728e83801cc5af12951969d3470dc795 +size 628199 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1196-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1196-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad0c45c35cd9497b46a3b06a4046dcb8a436670b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1196-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4ede415f5d3d4aa3f49ecee0d6188594c165849b6d7d5b9c3a60b0502489add7 +size 549537 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1197-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1197-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1758f2ff5a87f6a9465d0895eb94b977bed1b8fc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1197-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5e8ebd4e7a869ea89afab458abdd3a54aea3168d70690d846d29abc2a7b8ee51 +size 526116 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1198-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1198-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..995ee23528fc6a6c6559bccc5aac70abff790c7d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1198-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fc4971d5c3035a1d0d08a5bbe84f2f3f84c33040c19b5727625750d166e0b6a7 +size 458063 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1199-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1199-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9645d38decedcde90c30a5a3bba70ce3712c3d3e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1199-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:54db6171b6e07cbc4188086e12613afaf37c6de5cb48b3d70d569e9d3008dcf6 +size 537543 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-12-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VII-cl7_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-12-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VII-cl7_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8ace29dfc151a110642da929206be2e22bdb5570 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-12-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. VII-cl7_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c07a514748b9ff4efa0ee8152d83615a6a2e4618323f2afe35d35b3ea260f168 +size 459031 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-120-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-120-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd992dac2ff2e49ec62640a94c15327ac6c69531 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-120-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:783a6abafee7fd42621e13c1d79b85d5240c3d60396131e907832db63ccf1601 +size 557234 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1200-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1200-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87b7531fc43bb4811618d172fe37849658a83686 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1200-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bc9ce9d7eabe76334330d4e73cab1752aa46f38b154bedc4518baa0e62dcc78b +size 493989 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1201-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1201-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7106b1f8c15a5be82e2ba329d367ae2895f002fe --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1201-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_S\304\203laj-2013_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5db36795f0961c4fc7c31f28ebfa7ef8b73b68b2b6143414d0c0b2d1d26ebed8 +size 545394 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1202-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1202-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7588e15fda399a42797917bea80e2277f00447be --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1202-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:59444ed08a0cf391785dc2400ef13edbe5580e1750d4ede2a12e818f24298a8d +size 345465 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1203-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1203-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c013db24b9f51bec636292c4d693cc10c5c25e99 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1203-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a8dcbcb7e855a02f2ef7c5ad73e36754c5e00cd56b487ee2ff48d5a10b72bfc8 +size 383758 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1204-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1204-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37302283429915e3bf0e45496f54c8de76fbe81a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1204-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3f7c81a1a1809cf86de172c93a5074aa45a7dd5785874df23a84d5cf272450e9 +size 355520 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1205-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1205-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17bc95e53d8a7b1d8de9a918b288b71e9929516f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1205-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bac\304\203u-2013_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7a5c48353ff26203ce9968071c1e3673f1b542f29bebb6a6fac54c702ad16622 +size 332408 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1206-Rom\303\242n\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme (Diamantul negru)_Hunedoara-2013_romana_diamantul_negru_locala_hunedoara_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1206-Rom\303\242n\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme (Diamantul negru)_Hunedoara-2013_romana_diamantul_negru_locala_hunedoara_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..155d7805508c8248306425a63371390bcfc29323 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1206-Rom\303\242n\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme (Diamantul negru)_Hunedoara-2013_romana_diamantul_negru_locala_hunedoara_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a16692811755ae66e6aaa74aa50df5339da307b76a9e9ce79ea8c8bc2178b82a +size 146955 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1207-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1207-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..66a397afe85f88bf94b1efed89376fb2cfee5264 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1207-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b0b60aeb2a414a53460e72e8e9425658d69622b4ce61fb805efca6aa3b54cffd +size 365847 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1208-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1208-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3429652a331ad1aee43f1af7f294121889055d72 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1208-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Boto\305\237ani-0_2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:99b15f9f5bd9d0571f3b86ceb0ab7ce788814f6edc1f1f9b265bd677f0783ca2 +size 455866 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1209-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1209-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad2807a1a29d9cfb7d10984ea0e049c30954daab --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1209-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:00d3d66378c280e95d751803e394ed619ce899ff20f912cdf24de7a5488fd8a6 +size 2066307 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-121-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-121-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8a447c9f3f15118260bcb461753a5cb147d43b47 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-121-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1f40841b3a22adf85327d67b588ff392146be172e2a2e9ca8de008860060dcb6 +size 1148281 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1210-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1210-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..701a711ffc9d7c53294e4554466f351d5be339a6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1210-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b280adb75c68bb8fe17e9f3c55a92f4b3c130bd94db58ceb5df4f61d2036e520 +size 632428 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1211-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1211-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da2a6d7b0d543fabbf5d844dcb1c3025e92bc49f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1211-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3ef031b834c1061ba198fb97040efc66b985251fdab862598010fb6ec7fc3e44 +size 882855 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1212-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1212-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f97ca4c2b113e82ac503f0e28e968a46ab997640 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1212-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a5b6e8c4504e400ebe26e357348573f0951636395540d9e674ca623af20061a4 +size 838104 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1213-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1213-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c3fca002269a5889b0be5e1814c98f1458c020e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1213-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5ce993e10eb4ab0f3caee5fff75bc8536d47d0f1275c862987d9503307dd1432 +size 693860 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1214-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1214-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09a9293fb8c709814507b8bcc0a67003673bd2b1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1214-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9c0642fe10f0935ed5e9e77638c3ae972c7b98f3915f4b93bec79c71c185efa4 +size 706585 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1215-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1215-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6596312be3ce9cd118b2963bce06c60a39bd18b2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1215-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c4da190068d0044e024b1efe43c2f3638347513938f3dbcda27efc2d92928ad4 +size 609648 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1216-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1216-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..67c8323c864e7206d2b0541233ae424db158fc7b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1216-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4493c2c30359e5d6e0f0e3e54003f8df6bea2fb35baf306d3b5571de3b231a3e +size 619290 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1217-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1217-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8cc5e7edd1f87c1c66edabea54d822117ac6b49f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1217-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1bff18d8ee886eea41cc0a951951ca9be2f69d112793b170bf5a88c85d4e3489 +size 573210 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1218-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1218-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c5ceefb331ad1f9d26698b2a7aa7b6cbb503a7b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1218-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Olt-2013_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:18c09af54de536d78eb9ce732a05f6e5791466bbba467cb7a3a9afe1d7cfeb76 +size 684785 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1219-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1219-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..85efb7566aaba1af0c351ca62159d0406f05b086 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1219-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e485a3642aabdafd5de3fa6ac4147045508dcf30b51be08873a5eaef39392214 +size 153278 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-122-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-122-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b0918f23123c527c7e513d59c803cb74191f715b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-122-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3ccc7ed5e463d16b800067eea540797fb49e548bd5c99f83b90850982cb7b206 +size 1149615 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1220-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1220-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0486d27ed63a976378551964bfc7863166be3c55 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1220-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:72bea574b99e2bc502cfb4b2efd5b99ae3d71fe3df7921134d28bfe7fb833c94 +size 277087 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1221-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1221-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6d6a3afbdab8f0b12ba076f9ce203b0be9944be9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1221-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:db9ac5434514d7b2eab8b795903b7785112d419ae366b5d665f765da19ffad44 +size 149703 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1222-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1222-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..afb3ba844b951710d94dde12a82e982b34dfe9ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1222-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:22d81f0718be6560ded3f97b00cedb78fac01a0ecbb620d3afce8c37e0acaefe +size 168479 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1223-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1223-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09aa32adab4d06ca7500f6c3d6ba89aaa740b00b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1223-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:910dd2cd8f4ea57f79012296f4cf018484154b9174f146298b91d0a02781aaa1 +size 138079 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1224-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1224-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d7f860c37209a2fe9c707369e16a68e403920279 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1224-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2d753d44861bb46dcb112621a5df2dfc03b2ebd39c5b524f76ff1d9503254526 +size 292511 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1225-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1225-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..231169c19b90d06d954157d8e81401fe688eda79 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1225-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ee04240bc186cf9b9c0c1a38c1067dec7d03f4355df62003d6c38ad9d3a79afe +size 94750 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1226-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1226-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a57002e78c60d61da6a53f12eeae0bec92db655 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1226-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mehedin\305\243i-2013_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ee69bd4ebeff016153802d21891b5225910e4ec65cb182252ed4e8551a909377 +size 151288 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1227-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_12.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1227-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_12.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90532fac91513a9725c67698a3e5fd5cf5af35b5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1227-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_12.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fff169ae247326ac44dcc21d0cca44220f4c775d837990fc448813c689d78e80 +size 703457 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1228-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_11.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1228-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_11.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6351b87b931174bd4622e3a0608224b5e6f0152 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1228-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_11.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:310761a20935d76b4d52df08666a0e70c77dac3f040d2eca166fe2188e330eae +size 693708 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1229-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_10.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1229-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_10.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..35ed63df118d663c9aa980e9e0e05c831412354c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1229-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_10.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2d6f3c94c62a4ea32999aaac8509e9d7843f2362d8742a17e58c6b033727b9a8 +size 764838 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-123-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-123-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51424553ab6dd126410cf749ec6da56d5c7e9d82 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-123-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c9e47b1855d56787ba1a2fe38b8f18a3e1520fa2168c5b9786c9f17c0d5b24de +size 1134968 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1230-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_9.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1230-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_9.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0040215159f8e7a9685b52611fbf0a7b9d053c98 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1230-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Mure\305\237-mate_locala_mures_subiecte_si_bareme_cls_9.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f51056fc443f4f4b476814785f784263e11c2d053de358f4d6b6a0fb572773bb +size 1255254 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1231-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1231-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3375da5812eea62f6f7079d80640766461993fe9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1231-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:de83f0616554cf95b4ce50a9171b66bfd54020885183887b2c9f41f9491751ee +size 435004 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1232-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1232-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91ebe2c5c9b1a2efbcd13aa0bd8bce596c9cc67b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1232-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7fa5c2691d986c1877c963ab0c45965bed4213fec8c116965366a626351644fc +size 708320 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1233-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1233-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12b6d45db5406c441b03b1113413de4f92fc2a2d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1233-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ced8af3c360aa6cc6ff5aa949f932e84e32b290741ed18f1dbf6c999b43ba8cd +size 670210 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1234-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1234-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c89b5859c65ee207f28918378fd44144c7750e3e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1234-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Boto\305\237ani-2013_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b05276a25fc830756108619927b4272876e8f002512f48871a48c33875100fe +size 493255 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1235-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1235-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c5fdf06222cc901453cd6e250c0379eacc859f9d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1235-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cb586db297873686d4de95094904074369b1b1828167efd5b953df7f6de353fa +size 595874 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1236-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1236-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d782d09eb036a48c5c21a72d970b98eda878d219 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1236-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:37c30e74f335c6547fda788ce3fd0c8548fdf62727196ec8ea538771b5c6b30a +size 812934 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1237-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1237-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06d988c2f4175cfcc40252e9720043547a1606c6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1237-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c5682d1f2f932958239e7e888b433af31fa9d1f2b7124f587bef38f02659a7fe +size 587208 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1238-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1238-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c9c049f013b5d25250a4b15c09ba9631a228b8f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1238-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:610fe6183f974ae1ca18b892be848e1c06b098288b6d13b1238e85a00350e555 +size 651639 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1239-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1239-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc0aca2f69bffee810e60caf7c02e20bd50591f4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1239-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bistri\305\243a N\304\203s\304\203ud-2013_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:58d301fa8809e6815ca9fe02fac584b41c1fcf231a2a14d594d857d0364d667f +size 1252724 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-124-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-124-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73823d4385b111a4c8404ed80c9f6c7d36d5dd3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-124-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:155ea2fb6497652be1f2b6ee0f7102a4bc9a5e4cb095a60ee49cb8627bc317d8 +size 1134684 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1240-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1240-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..46c1744fba6ee8b7d0da3f45cb56a2b34ca647dd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1240-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1943eb7977b7a19d914f1d86e57936f6d93bf44443c5b2829b4d143a8dfcc62f +size 322961 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1241-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1241-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..92d35d28037c24d8e7ea6345da9d3223c225950e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1241-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ed3c1efae39dd536380c7e42a61dfe10862dabeb789569eb84a40c1dce10a9d4 +size 322590 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1242-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1242-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e53b335458a7130af26427bf1986193b846a78e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1242-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:30ae90c7c35e20ecc5085f7f0d6f142e6b584840454d10804e3e2b641bde0ebf +size 363993 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1243-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1243-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3546be69500060eb17d16b9ad05efd025c4c0f1a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1243-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3130b30d202b74eb98e3dffb594050d17be12cfdc3af69e3efe7da1f2680296e +size 262029 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1244-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._germana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1244-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._germana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33e93996ae54683144e561855c7a27146a9d845f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1244-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.german\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._germana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bf0cf5890d61b715e189fbecd31b5b1ceaf636a56cfe967c4bf8bc7ff05ea2a8 +size 412064 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1245-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1245-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0abc07e587484e3aa27723818c62fa9cbc306e7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1245-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aaf4b2096b83970ed364675620e3750b2951ad8bf9bb343e3b717ef92bd5163b +size 273999 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1246-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1246-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8f0bd374e96b3bf9ae27f0ca217571cff5194be --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1246-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:35f7b03d604b0791303a9b4de0b5e57ad1c0b4baea76f4ce4f89b63e83d74182 +size 315865 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1247-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1247-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4bff1e8fc0adbe17177a67ba7c9cb87a2071b017 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1247-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2ae9788fcd7d28efd212d3e24b459ba975054dcbee24cc2eda634bf8f8cd4369 +size 289641 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1248-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1248-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..35f72dfcc932dd59774c87f2c711be7f302bff67 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1248-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3da52ab52508e2977274307250196c45a9cd9712a18ccdcd66cc938a949a9d55 +size 322443 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1249-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1249-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..341fe830ef868fd3eb448da397b83c704e6cd5c2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1249-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:210ed30f1ea033973b4ffeb43b5c7ee1373390df8e75432d746e8473d189c665 +size 319142 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-125-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-125-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d5071262da7ab34ac689c9adf3d2added5682f8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-125-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a1eb6e4bd5bea98c8d37e46a742a6a97f7a845c8245301a6d484bc140abb14f2 +size 1148103 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1250-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1250-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2bcee6853878ca1a7c0814191143255cad7c19c2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1250-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:957072afb0e9f592abd956bea89723c93f17852bfda2ddfafff6b2262fde9fa7 +size 358992 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1251-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1251-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03d9e76fb18418ed0f75e71a1c424759aa56169e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1251-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:65e6782f6480fd82f223a04197687ce6d5a91fa7f610ae0977116625361c3b89 +size 247126 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1252-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1252-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bbd9e652e0145d0ab5ea7bbb3ec53dda4c3f1e76 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1252-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.maghiar\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0488102c2362dae75dbb2fccc3734ea0098f406b4ffb5f340944c22930eaec5a +size 409900 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1253-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1253-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62ee148199918e62200463601eeac4c81ee810c2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1253-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3c84e3e9ffafde6b9fa92a15e469203d2a9978ad7c4057481ac31ba1cb5f7bf1 +size 274094 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1254-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1254-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..550f621ed146e22f17af99d97fb1fbd92a0ee75d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1254-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4c2111629c4f7feb6a17afa25e57ae2e04fc1a513efb6331aa57e4ef33d9526c +size 341035 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1255-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1255-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2e5b912a0d1887e5abf33a96f1418f426adc74b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1255-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:54911a464e963ac3f9288ccb918b874495cc8fb6b3db42a09887abf1441d6ead +size 290974 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1256-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1256-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..add6e0b90068bd294ea8f75555abd262f9663448 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1256-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63dbfc2551c9e026eb13fcf7d47f85ed6b23157f15459683f49bc402921bc3bf +size 322612 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1257-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1257-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..96207a7135eee99a17f58922c4fc3b5fc80c4e6d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1257-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0eb8ba85c1d28626125289f43956d750a2b4348c9a99a721664368d161a4d9f8 +size 318310 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1258-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1258-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcb181a7704253242443d7d2479f432cfaf99883 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1258-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8297113f5c836d4b01313b1d3768c9d9f441a366fba8b625dec4d2ae104df842 +size 371067 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1259-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1259-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3b3e2d9a22f1ae1499ee12f8de393c7b22d3201 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1259-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4591b8f8901a9848c89dd5e1d09cd38a4a402b3228ff75f5aeb9bffe2c3bdd10 +size 247721 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-126-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-126-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e743e1ab3b832b27e155bb3e116a974d575d95cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-126-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4f047f6c794ea3c4bae85dd5db768ac4c4bd9a27cf7b014f124c8b3be5fdf957 +size 1147877 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1260-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._romana.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1260-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._romana.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..331860ce60a098fcdacd59ab89a41e3695286bde --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1260-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Satu Mare (lb.rom\303\242n\304\203)-2013_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._romana.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9622fa0a218ea4cf87690051321c96dd2ee07ce4291bf4946e4cbfe9a20b6161 +size 416320 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1261-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1261-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4af4358357964d1051bb5fab4f5efa3605a15929 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1261-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a2a0ac223f93b6ae1539d57d1272120f74035fd164a3133cdfe95f1fad98d1ff +size 90049 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1262-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1262-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3db68719f86c1eeff10f4d7361b040e7f92790d4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1262-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4c1520a5db20f46eb137e8190219097132a1172c4791da19d7f063455f0f3b5c +size 89217 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1263-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1263-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..95e5b854420f937a1cbeba423534843ee0e069a4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1263-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:46b372336da66c82de1f077c39119ae3af39f1132a6483b6499c64743a01ef3d +size 79749 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1264-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1264-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59aa6bf2ff0cd7c9de74ae7a88bf89e1bd28e48b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1264-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:86f38badabd1199b24582cdf8432a1beeab50fff322054f33528abf2e2ad99ca +size 94736 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1265-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1265-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec57551cd901b35d6905f05c7b4a543532ffdaaa --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1265-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c8ca8504faf148fa771daf4729973ef32278023f58683ebe365cf5806d4c45c8 +size 84106 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1266-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1266-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d030de4a4aea927b4c52d8250240c602fa09bd9a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1266-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2d95f3cfdb4ab624f2d36db1121c7832b48b18fbe1beb3c21fa8b6e89f77652e +size 88705 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1267-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1267-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1dd9688eef206d1b8ded723538efb8b7e0d458a7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1267-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d98ea2b10fd935c7ef7f97d834c8f51a83b2b912e789c7dcd1dcbb322cd7a134 +size 81946 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1268-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1268-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a88a9000e6f1da38e068890360ea42f2b458d110 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1268-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Prahova-2013_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c40accd91e0c68d755da42efcb154094f5faf575e208c1ef1d0c4dcd3dc9a2b1 +size 90389 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1269-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1269-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf64636e566fca0d29a238788d53fd09e14fe9d2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1269-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0c6c6ec26ea005a2b42c597a46f1754d2059b5e17974b7fabd4fd2cdf552852 +size 514964 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-127-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-127-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5729615ca6c237fd1a16edd2606132f9be79ed15 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-127-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a4ed00a03d8dd796b4c4d500f46fb377e1cf820daf065bfa312b72314a3eb9d0 +size 1115907 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1270-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1270-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b906821c8bebb3f99d7892d5c918d3396838eef0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1270-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:54faaf99eda6b31b97a0ec561d2477d2c1b0149c4d08cbe5a13d1f069cac3dc5 +size 315367 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1271-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1271-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c91f6c3a24acb177a5a116605a79998f67d0b91 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1271-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:933b45d06e845fa7256c7e7d2e758c93fb0365aab6193e6cefa6ed320dd9be2b +size 290260 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1272-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1272-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c63eafaeb090db14d70818d7addff1b7f518da7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1272-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f205d61bbd7475fd3ee3b57dcfa29502b00780ff135ec2cc1c45bf2f823f0ea +size 278804 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1273-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1273-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4ac89e53f3ed1f1586948abbf13e49463ac00c6d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1273-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ca704f6b4057a7f9510470d24ebc63951c2b7052e106a69469ec767142750998 +size 771252 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1274-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1274-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11cf12522f23bdc730d35b4e1e8e0ccb63cb33d7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1274-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5f14fa5adc06bca20385d295904ba3ee755c2c1f33f0ca79867d83129b10361c +size 717884 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1275-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1275-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..814316b1afc80e1f42c4889a4920169727db4f2f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1275-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:02358a4cc25ab14b1d2cce91b4f83a3f4be14ef3e4fec8af6401b8a7704daee5 +size 647150 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1276-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1276-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee6347d6cad9fdde60b45c7737d6280eea77e840 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1276-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_V\303\242lcea-2013_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f3e6286470c154f13b87a11559d4298cfd03a091da66af48a80757baa8c4783d +size 623180 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1277-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1277-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c97e7c491353769910fa9d017be17fc358c67ecf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1277-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:21a81f666985690c5324d712027f7f01b13afc73bac89ceade7c780d0510f0da +size 233082 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1278-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1278-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..78a1506df34d3aa2a91d3d6c81e683adb4ad8fb8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1278-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:413b61c7ddfed1c2a97cf2a7c47564c6b6ae17082797fc9630fb74554616eb6c +size 188939 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1279-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1279-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0bf3e98fc912a6fd6188e649944e24bf243141ab --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1279-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:73640e08cc61f0ac7d2cdc4974e0ac5398bccb2c5fbc610d184b2a6810652c3c +size 183094 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-128-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-128-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9a9c93d1111086497e768ecc5d2f4506d25bd2a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-128-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bihor-2016_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b253a146756664b2c59b2614ca29912feb92409e3c58985bd04fb5377c395c1 +size 1150940 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1280-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1280-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73e4ab2dcb0f78d6bb80b091269ebf2f58ef4deb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1280-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:132b12613972cec52d02d0e0ee6f3a7e8a499fd718135fae72b274bae5734ef4 +size 164658 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1281-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1281-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..556b39b1e79a9d0740924a660d38ffc5277bfb2f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1281-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d302d053f84a682f21a60fca41ff267e31311a2b084486bf07ab88a05b9c66e2 +size 164966 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1282-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1282-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa4d08293af4c9aab036613507b5df305dd6712d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1282-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:161188a4b5c0f07a495724fb2271d50117fde3a758b0bb94519cc3061289bc50 +size 184369 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1283-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1283-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..549d39db70edb3225137e8c8c8647efce48e86a9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1283-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:67d17f8cfa8d3a26cb23c6e22af0ba0220a6db904efd3beae311586f29d3db05 +size 150804 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1284-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1284-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac2502f328fdc8816798c764e70fe35a5bb03ab1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1284-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i solu\305\243ii_Ia\305\237i-2013_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4f4f51461ebd0ebfbf6129a5be81ec85e5990f592b87796289d34702692a1381 +size 321294 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1285-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1285-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99f5ea224bb477620b9cc9d22dfd22faf8b672d5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1285-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ae3f4424fe7dc7373e98355933c2d5f984f17a5adac2d15cbaf66718f3854874 +size 462982 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1286-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1286-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3fbae93053b478eccf1982f7aba783e602caa46 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1286-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4c3d264e0f9cffa45ee97e0fefd522682d153bf143767bc22881b327cb795734 +size 461355 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1287-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1287-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ea5ef3df01f2e7b473ba93b519773bacaa891fd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1287-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:62f624ce62c2dd264f6df121e71118ccc65bb792abb4694f7ced35e89438bf5c +size 456064 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1288-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1288-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c65ef7faac37cb6d03af70922f4a8354746cdcee --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1288-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:547153d062a2e336e965a2a521ea7b85e7630fd02b3794c1e65b9c4504abf677 +size 440598 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1289-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1289-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7fba4de262b254e9c66f0d36db4fe96bbc2accfc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1289-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9a9183c32dbe48204dc642ccab62ad08a908e881bbc76877b634e6fabdc81226 +size 450838 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-129-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-129-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99c99e79521c47f8e3714621137d7f378f295613 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-129-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57bea0d3e7594179acf220117a1e8140c119a01368e5f6ac416a6cd1abc1af35 +size 104033 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1290-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1290-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14809012313ad59c862ab0e0958ad202d0cd6750 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1290-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9b9445a34baa1c8b8518f28cd9313d6d31c2ce236342307dc9d651cdd5e1c722 +size 446760 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1291-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1291-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..05b6758b43511aa3d504e0bc0aa82a2765895a1d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1291-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ab0ccb53f113c3451d3cfea587551949d7f60c2d6ed517e7e0fa1fffe2da4f2c +size 410821 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1292-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1292-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..100705e1ad31aeb1bfb21fa67f993ff3b33ab61b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1292-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Hunedoara-2013_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c185069a28d5c696450d7ab0d14e2951544dbf1f4f88874284429bdc2ef847cb +size 462619 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1293-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1293-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5069e749347803f9eb9582a59416763498f626db --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1293-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:443594aee7a6423000dfe846b0a7a197c1768e33acaf5399c5c49101351acf80 +size 263728 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1294-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1294-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c7962be4cd97ba92126447cfc1b22387c9ddfe8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1294-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dde0d1ed7cf2c41d764d6422ffc708fa834698bb4dfe1bac124a7a36f3659257 +size 229642 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1295-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1295-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6368ee46d3287c5e289e67f9c0c7c1ac416dd664 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1295-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:193d52cd1662fcb0d86625f07a61238ea94601f918e1cdafef07c390424ebbc9 +size 257502 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1296-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1296-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..970af0c34efc79fcc624f7034c3f7d7d04f2ee4a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1296-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:815cb075ba23a9617fea3a1d2864f20071ed0b66c236792eb116aaf4970c58e2 +size 205493 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1297-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1297-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f158c4952f33c08bbad25c8fa6b306b2f4c61d66 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1297-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d9da09495e361637bb0c74b0cc7baaa09c3db0f66f10ba890e95579ac99bf876 +size 237887 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1298-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1298-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1da63ef22feb108d197ebfc3f7a11254dac824cb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1298-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0d38493b95eb298a59a7f36d0ebe1b88ec8ca3627fa0b6736d9d99ea7950f8bc +size 206148 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1299-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1299-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f5b7b13def4fccc3cc1414d4e48955dd58eecdef --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1299-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5957badb0249ef20f85871dddc9256105d33c4a80d109f847a52c0cf18e8116e +size 207438 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-13-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl VI-cl6_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-13-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl VI-cl6_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be4e3a8b08149e68334582a389f113a4bd789f7a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-13-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl VI-cl6_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:76d720348b0f792583954097aa458e77eb70a4c6f4c1b857473fdf1ac0eea76a +size 421120 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-130-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-130-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9701e875a6b94a62f47da4f6d41cbb64ff9fc2cb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-130-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f9b8fc1c4ff42cda0892a0532689becf36604dccfe7a4d276a5d6012c3a190e +size 94147 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1300-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1300-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eaa1f1e4d4475433ba911316a78baa24828eb7c0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1300-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Giurgiu-2013_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32d1573af593138f4fe4d4c1d550ed1703fda005a8ab626f2633777e7feead4e +size 228697 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1301-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1301-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8a3889c0d389a60a64982c28095559bdb092db4d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1301-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:397f72b89ce1c851953e854217faf5843a1223651aa20e66780f345be65f9c85 +size 161532 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1302-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1302-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2aef11a68283d0eb00b2d48791817e306f0bfdce --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1302-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a7df4830fddfe918d8b72b959a276d958ff249360aba3364d1451cd26aea65f2 +size 158207 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1303-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1303-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4558e2b2c9d98b99d7f47583b639ba9d1596136 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1303-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1e87d06ca295f974d96e706e37d20158dd51f2835d22073d5ec3a61d3106affc +size 170095 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1304-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1304-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..638caf16880d7f712fb73ca1adb6fbebb51e8c6a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1304-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2f253cc815cc017355bb5934069c91e263602303e0413084b7751c6d24822b96 +size 167198 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1305-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1305-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c6a6f18b35b752a8feae11d0aca62c27e30df661 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1305-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:147159635eb6b7630ca7cf939a824edb7f08a74d81a7bb88f25565f4de769bb5 +size 156393 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1306-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1306-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7fd90a4f8a2851ac0eced701e92b91760363c322 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1306-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7f0967eea17aa0ec3c23273f043aa972dfb8636c373bd0dc1a48cfefa96fc1b8 +size 144155 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1307-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1307-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c94c9d655dc859e64127b4845f748c972b4a80c8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1307-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bd13fd0110e89a87bef60d7a4bad4990434c1a66806a7a1353e32d293bb88675 +size 117690 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1308-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1308-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8811e316721eb2a0031254c60775183f1ef59af --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1308-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gala\305\243i-2013_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:87477c553817a30f75eac71a875ed1758c015bb1d10322d68f36dc077a528612 +size 148545 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1309-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1309-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d7a43c25b6c07c8a805aeeb2783326587ccde11 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1309-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:280b209ea39343c4c89fb2c746c0e3f6042ceef5bd4cf4696037df879169b632 +size 308666 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-131-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-131-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cdd97c4cd83478d58f7a8cda9b19487ac7386176 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-131-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68ec599c57cbe1c58e31d6771df06e5bd547e439abfd2381e476507935eb8571 +size 87149 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1310-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1310-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14b1396b8b846813f6fb65755f9818ae4c2e4968 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1310-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:403aa8e248f67821c9cb522b29e5ba55624ff83f023dcb2aafdd31f63de6b584 +size 341587 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1311-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1311-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed4a8877ae4dd419d50ddd2503a660a6d983ad7d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1311-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6129770626f0db642b510f931f351709d2959af68b8f043975aa682e520d07c8 +size 265169 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1312-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1312-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcb8250ff5a90399f0e3d107951ac2d8c0c11980 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1312-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc611ade48cb3e394883b8eb23b1e5801ea61eb75072f9b4706019f91d2aff56 +size 369936 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1313-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1313-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..70ca6c5200098bdb0188dcf7f97e5d61de8dec99 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1313-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e8d9f48a80d4ad213b77b0754d6d0bdf2d9635384edf3b60c2abaed8820a5e10 +size 234177 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1314-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1314-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d1354c04df9adb7f8bd665c59fe78e344e7ca7ca --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1314-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:416d223d6cf9d0bbf9539ce33a9e509d62adde7dfee40b4e94f54f0fc676430f +size 282256 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1315-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1315-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..007079f0452902e47d4af55733d13c06309663e9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1315-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:099d8bef3d0337d6a0144d014b46d0f69f736fbb99d82f39145e587e92171297 +size 258774 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1316-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1316-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6205ab9c804e164a828c1d9363a6643ee81742d7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1316-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cluj-2013_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3120e98a721b55b4f851d9e22c7d4ac86a93429a04162a1b94c70d618bb0228d +size 384804 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1317-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1317-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f50f023aaf10dc6d5eabbc6df8f54be05262f55 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1317-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d2894c0851c40edce6e20084bafec1e6968b3276d5a13643b5820c8755c8b370 +size 219690 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1318-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1318-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce2817828b5b4d659fb63bba769416af44261eb6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1318-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:74796e3ccd70b2f28f90ff2869d93d4ef19d93f4dd2ab4a65b17c474f870787b +size 272464 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1319-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1319-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dcf934628c6c6e6dfcb0a15d94bcddf9212b14dd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1319-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:307eb9b7bc2bcd3cf273560541f21b649d0d6b9ff7c4126dd4b49fa53cad3ce7 +size 243736 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-132-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-132-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f2de76e5c3c9e2d8cfac243af4417ccce1344760 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-132-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:17cbe63bebe235a687192786f9394053c3804afd4f68f2667343042b46ac2ed2 +size 831276 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1320-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1320-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b263fb700649591885dd026f34c2f754c6b77338 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1320-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:99d361fd66da68adae508017f77a694a0f7c1bcaa1c9ddc5a7d2825acd3cbc09 +size 207686 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1321-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1321-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d4b3ba8dd6d69074283031bd38f581b91e14c3d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1321-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e667dad3f2bfda8e91a62f5c95cb4daba4cb71626c8702812432e75c7d0e324b +size 206020 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1322-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1322-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57958a3c182611c3a56ca99583e9fd48862df5bd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1322-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c53c798ebc08b30117e90fd99cf30b7fdfbfa94691076a2448838171d3954060 +size 197529 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1323-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1323-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65f9a7b50972b5401a15bfc2fdab81dc62c21788 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1323-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b06b31da5619b9f3d86d915db3d1aa51761a4f546b6e8fde1f1b77f02781bbee +size 185810 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1324-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1324-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa99966cfc8853a9e6668fc8ce632bbc5b801014 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1324-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Arge\305\237-2013_matematica_locala_arges_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:49994cbb0c49ac6908f1a7c44e9f5b8828d89754416651eeb4085cd24fb3b0cc +size 225418 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1325-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1325-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72a3c754a2ac4b1984f5ed488dce5f096df307e8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1325-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c3a72c8433e528b8e57901144fed860b65dec3a3234c073c06382e90c1a76f52 +size 180951 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1326-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1326-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb484d91df431c363a101506d12488146dab5599 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1326-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c1c325f4cd20825162a61634cb8bef6c93731b02ec6ed4247a079e89cf9dccef +size 180925 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1327-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1327-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4d12674feded578a3454835dbaf30f30a5331d10 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1327-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d7ecddb01cd4d3a387b42a529faca9da36094a72c190b1fed1562457a0fe6d5 +size 181595 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1328-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1328-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..28bd8b55b2341b9f251b49f38e49eecfdae32876 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1328-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a339cb6cc718e2cf9196e337f260eb18ec384f01b2fc916d3f4de87a3ab126f6 +size 219212 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1329-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1329-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12ad6e508faf6b4bd7fe4efbf6920e8e7ffaf637 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1329-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9fd55a72c9acde76ba15a625d1f1e5c2d98d5c98635572daebe1d81fae6cfc3c +size 90686 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-133-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-133-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26d91fa1258fb1a302c26e13ce134e9b4a618d07 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-133-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0536f115856d45dc02379bce5671b031e604c189d54647d145d9917954e8b756 +size 121513 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1330-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1330-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..438e6bdb384cefbaa661d03cd6d16488b338d805 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1330-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_via_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4e5e282e30003c1bcc3c9885de30310bd94a5ddd5fc300b57b8e020776ae1295 +size 60797 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1331-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1331-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4f959ee245e57e1ffb9d6795afe42c3aeffdcc6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1331-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_va_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cf8fe990c8913eecc6e7d0b953b91bfb4c469cd844e6143c0b6ff434802c9fa5 +size 164398 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1332-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1332-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eabfd391e256f5a5845f39b026b3abc36c1f50cd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1332-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Cara\305\237 Severin-2013_matematica_locala_caras_severin_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3644e08c477beb023b5b24688b78ac9b695d360db83b1ab296d67317d3c3421b +size 177314 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1333-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Gorj (cls.V-VIII)-gorj_subiecte_matematica_faza_locala_vviii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1333-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Gorj (cls.V-VIII)-gorj_subiecte_matematica_faza_locala_vviii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ce34e54ce9f432594f5f692fd37ad52ef6de741 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1333-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Gorj (cls.V-VIII)-gorj_subiecte_matematica_faza_locala_vviii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b7206b7265fda8445f4523d7733b6750c64dbe003c196f0e498d9c3bd9ab4061 +size 1346702 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1334-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.IX-XII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_ixxii_subiectebareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1334-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.IX-XII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_ixxii_subiectebareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b3d5a3e2db3763efaec2c22e35f6df39f29647f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1334-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.IX-XII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_ixxii_subiectebareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:75d6a9b1731eec505fbe13a7ea9d440b831a92f1f7266a37bc8124563e326aa0 +size 1134434 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1335-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.V-VIII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_vviii_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1335-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.V-VIII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_vviii_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..952c60426769876b099ba16a4e05e3343a87c6ce --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1335-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_D\303\242mbovi\305\243a (cls.V-VIII)-2013_matematica_locala_dambovita_clasele_vviii_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aa98d845df919bc4d266b47f679e3d6ecd0f34f181ea1302ee7cce04b1b981f5 +size 569542 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1336-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1336-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57f476cccd8febcabcf583b468ee3948d3f8d363 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1336-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:909a7d2c98a609f3e68a494f8c85482b19bce8ae209bbd08850f9eba334c7924 +size 185474 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1337-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1337-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e95784e8865f33288eec7241267ef2536d522cc8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1337-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:db9074e080637e93201b7a1578077f4e4afe8f8e9da750703c86eeb4cc60b8c7 +size 145556 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1338-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1338-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce11f132a01b6fdd76eafd5e8d49e998145c747e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1338-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b8c3e4766bdea666164af2df8dec873e07dd16b11453b5cd55f33852487103b8 +size 180674 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1339-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1339-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae46ea82ec38de253dc2003302f5225dcd637e36 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1339-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Ialomi\305\243a-2013_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0c245e7ce62e54d54d4e9f2e2cf7c1e1de9c85942d75b1ab8a51fbe49c30f6bd +size 98427 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-134-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-134-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..238af650844b0ed4d63863253310a55119d1c24b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-134-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a06517145f2fdffdf408fa9d1b444d25987d6c07a7b33246d2858ded7c173b2d +size 96280 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1340-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1340-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa644953aa133d7cbdc18a130b1eda3ac1cf91ab --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1340-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:61d45928c33b18380ba4ead462092804372c08aedc6b178653563b031e3fdb7c +size 335785 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1341-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1341-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b8e7d1bcfb8716fdae9f69d09ede31deb495250 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1341-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:78bfe85842323990caf047276c965d31ac5e980fe476c675f243186a47ddeb02 +size 321029 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1342-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1342-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee049e244d225b0cab41152da054c8b1c1a896bf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1342-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:16b6fe98a0e172831c8f831e071402c4714f313f079a5c2c291251a72dc20c53 +size 314597 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1343-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1343-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bbfab6af36f19c8e488286582727cfc06e9492c1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1343-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d47e213016bb7e1fe57d5b44f3537b290f326f64388605d2135fe9ac83198642 +size 428392 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1344-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1344-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ae96bba6d91d7b638da544c584344ef1ce44deb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1344-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b56c80f1589294777d2c356d279f3a72d17d861f002dd3aba4d1239bf5da188 +size 41800 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1345-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1345-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e18e428dea2bab75f6e03da21dfc561b18769456 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1345-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Timi\305\237-2013_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:849924237ba6d5c964c06a88fcde71f894393938abcb06103641ea0140fda382 +size 357575 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1346-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1346-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1789bca44f5a15cabd36dd35eb4f85e8ee7276de --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1346-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:47d895eb238c02cc7aa6df05769529b7c9f78623419d1a19c55dfc2aaf6d6428 +size 499547 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1347-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1347-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d6d0fedd92bc8854efa8886cc845eeede0e0131 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1347-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aded0bfdb1ff63fc47f386bbf45d7eb958ce18a810dba0fa4378a6a84627a413 +size 688514 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1348-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1348-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d019ed899ec2cee85da1df3e6e0c39a626b6131a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1348-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1100d02fd20ca3cdc34cd90113087b434ca900556c15f90e861a3d3588fd898a +size 559181 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1349-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1349-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4080bd93e2db0387fb42477776a0a8408b32d783 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1349-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Neam\305\243-2013_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c8c4fdd702327c931a65d619fd55776cbbcb3220c0b049fc7cca455b8b73b614 +size 422078 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-135-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-135-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1d0a3af75318b8688d6c3cb20663ef77b4f04c1d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-135-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e26926e54868114033afbcfe31e9b9cf29f02cf0a59ac44b9329fa1dbca45dc4 +size 72305 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1350-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1350-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5fa9600e6bdc78ad9d4505a2959adf2eea88ecec --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1350-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:369f8b3b422d057b9cd5f6529ee92d5b7f34f2fbb5c97655be9e9a64db561d76 +size 340136 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1351-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1351-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb18b0b2caa7694b4c1d05e7c3a18df2ef07478e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1351-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd56a6ac04209a95cd3f03bc078b79eb7dc9167302213ca9c9a4a67a2e7dc9f0 +size 822739 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1352-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1352-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55dd3576aec710713cf965ff76347d64c88bc0e1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1352-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:674385d0cce8d7289fb06a7cdf826476fba45ebfd62a9ff3a1a937902e1acadf +size 605534 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1353-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1353-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f099d599419d368b7d0767304cd3f151d117236 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1353-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8a351675660c4c5861052daa6868b0e4d38b0e95b1121856446fc23433e52b84 +size 832701 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1354-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1354-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..68f0e1329a0e63848a22f7ce1c26f51f52f434be --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1354-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7afbe46ed8bee57aa66a93724c0dc229222a1f5ca8fae74f1746185a7114c346 +size 629380 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1355-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1355-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..10f919343314edb2d4aedec37f7fd684efc99586 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1355-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:46c06a13a664b8263e323a34412bfc022ad52b71f99f76dd5542dedb751af856 +size 1062491 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1356-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1356-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eefe909af7d98472f8a07f41c67d8e45dc92747c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1356-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f02807ae1495c4bb6e781c86300db0f72cd1a6ead555b17a85855f5f9ad2cdc2 +size 738116 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1357-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_solutii_solutiibarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1357-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_solutii_solutiibarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a687c44ee4e0c502d04281602dc55305ed33a4b1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1357-Matematic\304\203, 2013, Subiecte, bareme \305\237i solu\305\243ii_Dolj-2013_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_solutii_solutiibarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0472fc9d35e1c65c2ce483844259419da04e366ab11dc8a19fe24d218d67fc8c +size 696941 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1358-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1358-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c82497d136fa76c9d4dcc16196f17330b1a24d9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1358-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:65465735bd629db3c30b6445030f5cf9a95fb83782e54969f644750499ecc9fd +size 96026 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1359-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1359-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17e6a7396a1b4aa3af8915f07989dfd24aa7d58c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1359-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9591563a2780d58c16bf3b880a83ad366ef36a36877e65633f23b92a98574655 +size 107307 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-136-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-136-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..117ffc71f842a52d89980aa39c75473c58305ca7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-136-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Suceava-2016_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:357ecefcbee9788b77596d77a21c393ab7a99688f08af0f497ea0eb4f65dc714 +size 291021 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1360-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1360-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e964c90af788acc8e7c3d59d93b59911d76f1d89 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1360-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a864a02b8afa76ec741027089a116f139f7f89e6b95b117d0125235ba5f099a2 +size 93856 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1361-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1361-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e09bb96bf1a71880d4f91121d0c7eca062197e9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1361-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Mure\305\237-2013_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:52052a524b0ffbf82881c697a6752909d4ceb8f6d0044069b58e392da5ffbab9 +size 99799 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1362-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1362-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fe2242bae57e2925cd32a771e76990d1db29bf9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1362-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a36d1f36a970015ce87eb619b6b42576090c984584dfd60821458ad4decb07f6 +size 160983 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1363-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1363-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd249067dba7209eb6376334fc5f51c86fac7144 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1363-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e9c0ebbcd128ef2eaf5d48a2b45910fc8c510e765133a8424652fcdd3bef1b07 +size 156638 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1364-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1364-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b891dc08843467aab666513615e682a4d142d191 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1364-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c3471f19bd88db150f59673153f8ad49b9dea8cecf50446bd270fc4bd2e03d7a +size 150657 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1365-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1365-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2de770d19b4827d633109551d6982f6ecfca5ff4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1365-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:08c2ec9c5d9a87d0a654f881522d5d05d073db862f70e72e1886a385dbe5c247 +size 150215 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1366-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1366-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82e6d23a803e9f10a15387bb7ee81c995f8a85e2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1366-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:87dcd89f625a60c59756108ec97309bd93ea25064a32dea13d34a4ce7eec6167 +size 146690 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1367-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1367-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c16af6202b186cf7aa66e51afbd087cd9425669a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1367-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:56f91c159c501e9ef93791ff786cebfe37ff920233940bf693f74f454e8ccf8c +size 145735 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1368-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1368-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..98257a228faa4fedaf2a906501cc583d70731bcd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1368-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8b0661737ca9a7ad0c03e81ca8c58f1ba70d2243fb5857d070c728667ff403a7 +size 144722 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1369-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1369-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..63b68eafbec5400ff7373818f465e223f1cd9ea1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1369-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bucure\305\237ti-2013_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a52595308d30a47edb0c973abc4388083c0173804794dc0f036bad27b8a7893 +size 152787 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-137-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-137-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae5ab68c8a73736cb8109e1d13a2fb4af4fe86f9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-137-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b090318ae24101478ad834ee044eb864bb35cfcebfc5f8a37dd2f4bbdf485f34 +size 340817 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1370-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1370-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8d5293e3200dd13fe9e6ddcfbc76e252c3c4c06 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1370-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2ee50c56046fcadfcc77b9cd5e3f0817810724bbcb0fde78c20596b5520fae98 +size 101316 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1371-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1371-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53a63adfcd9abfdb89c93261bf456e868ace7ad8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1371-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b073c5fecfe9cc8885b24f5e73a1e5931824c06828ff021b582d919ffa36b367 +size 90191 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1372-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1372-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b4fa7c6e63e4acd2663def9edb81209c7a8ff5f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1372-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5f44cb0125bbfe39a70420df85c0bc41237f6d86c3d0324374ca0bdc1365b69b +size 97733 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1373-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1373-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..868454e603158221331305e2393c5ba2a750b12f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1373-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bebb798a44d929bdb65b79af2dd91d0d6d9e979d0ad68e004e35a2f75fd4e315 +size 90029 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1374-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1374-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..afd795a9868628f6a2b14da5de9d4855071b45c2 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1374-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4ac4c7f80b57e63fe98f33dbeba9258daf36e0221d2817519c52e30e6359f659 +size 82919 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1375-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1375-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c8e5102121f34a62cd44ca700ad3f1a19bad7bb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1375-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bf6e5d6dbb4e10f170739f93315981855cc6a2c5b7cf8679a19ba9561e2a1614 +size 77094 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1376-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1376-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e19e4bb1b881dc0bb4b1837490e8c60e3608241 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1376-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3fb68fa2e9d6eb46cb56cc42d11ccda89ed120ce07b017840a9b7337b08ddef8 +size 82171 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1377-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1377-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8331cab8bea42b5e2539d12bcbcbaa2a1add8c5 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1377-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Buz\304\203u-2013_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5d7a435daf3d959dde30dda86de07fc7d8ff1e9eff6250cbec0b5b0f549cb748 +size 95310 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1378-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1378-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3da03217790a45a7bd45d4198709fffa926bd465 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1378-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:92847eff398f401f970cce6a243f0c694c9de6715a7bfe6c37520b745d6641c5 +size 155336 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1379-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1379-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e671330a3fcf3783a07e3793fa63db04d161d3f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1379-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fdbda59d14caa828bc6f2fefc1a47867d3fdd393e8b355927941461cce92de19 +size 136055 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-138-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-138-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d72dda8cf31b9a348f69d81fd21f0081b71fac57 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-138-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6cb649f2ffc00ed6560f2520cbda75049829f5cea24d44da18f4dabae6854620 +size 400420 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1380-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1380-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5fe27de4d1d3c0c509beccce4037bc40012c4e0b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1380-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6fc484cdacc36132df0f3bf57d9f802693df980cb981d35a070c080d89c446c7 +size 156335 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1381-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1381-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b46d54c3a294d9378e7caaebebda846c84ec2334 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1381-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9d051d3b02fc14485307b76518b8f58b7c0b591a6ffd85b536d416572b030d83 +size 148162 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1382-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia__subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1382-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia__subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bef89105526ccecc670414ca37033b044e0d2fd1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1382-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia__subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6bd7268529c586b735d6b15a48186376ffa933a188ef4b6d8656c7eef6495761 +size 1106518 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1383-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia__subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1383-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia__subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..907a1a5bd128f801cc927de9f797b3314fd3f8eb --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1383-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia__subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63e8f0064fd568563ab352f676a53416f8c28e42fde70aa4dcee90742a65d0fa +size 911603 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1384-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa__subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1384-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa__subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c17ff407f6ad4406af56cd918acf29870a8ebd7 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1384-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa__subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c16344e2303e86d55446e3e5719e8c6d9aaa11620f33bcca8d2d9a54b7ef0b21 +size 920390 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1385-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa__subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1385-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa__subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3b628815a0618a0180f7638c46d1c0ccb75b53c6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1385-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Covasna-2013_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa__subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d507e277f0e10bec92f31840966dc426d3cc15c9188c977be5ff440ad5fc2046 +size 950143 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1386-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1386-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06d51cb385e09b684f4bae7d12ca33d6881e1b2c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1386-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1521ccec2db0e045df38173b8d119144474f9f2f694677a2ed7688dca5ee810d +size 439810 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1387-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1387-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae407b24113f983e725d3d8753f1bba4eac5ec3f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1387-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:594a4e35d99fd18972e7a7464b8b5b5b84d88c4c2bcdd907c49c8549debe399b +size 418900 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1388-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1388-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c2bef58a566bb4d493d530771537c150a9c3d9e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1388-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:31fac280691105ef4d0551b44f2b6af1df6c0f7faaee4107d851760a5fa4f13d +size 376444 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1389-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1389-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94744926e0f411c0f674a2d5699ba142af73ec73 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1389-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e3e583eb81c92e0d086e3365c8cc4d4f75040bdd80e2c5a2ac32c1fc6a31327f +size 347238 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-139-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-139-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc29449d59d06800e16f7fb01e0e21d3c8117c53 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-139-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:24ced0bea08d20e713cefde9c6a6174325b88ea4cac8ebd187764c7604d80fcf +size 259679 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1390-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1390-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff453be39c8528431cbab42545fe969952a1f169 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1390-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7d2d41acc627a87113910be97ede50f3fe41a86108a08d60abcf69f3d2eb7a07 +size 409224 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1391-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1391-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..708fd2e2c7a4c1c00e56c7eba4cd56dfe85e1406 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1391-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:037889ebd6cc84b4c88e1a82a781cedd90e54e0edc65be554eec421160674ba7 +size 430598 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1392-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1392-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..517cd56f2c60975ebdb3c787e995ed636637c21e --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1392-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:080c49e66222d9de5fac4ecb1d120ec6f1517ae63c27134a6f94f9bc4bed51bc +size 336196 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1393-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1393-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb790a275ead86ef8747b533cbabfa342efd9bf0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1393-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Bihor-2013_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:941fd3300196f090f4f05df7cafebee478c55cd54d1980c663d3facbab450cf5 +size 398862 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1394-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1394-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e617570ca6bd11b3f8dc8e0af01f4068bb3e7ae --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1394-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b7c97bec44989b8b8094baee0bd71b60ab4d527d369daa211f11cd872cdfb8d7 +size 155097 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1395-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1395-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..091f9b77a55b058f2fe2b19979d8ed3b04c496d6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1395-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:80b70c0f2d354df9eac6dd2e0a1814e09387d6bf221e331bdf569fc00bc81ffc +size 171496 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1396-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1396-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8bc9a323e09f0dc280751f1c85f7dab79a3b9723 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1396-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:88db829827d00f528119a4e73c75dc808cdbfcc992c3fbdc5dd8e23cab485ba3 +size 170059 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1397-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1397-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4bed612e3a2c5499147bd65574877478e3e0108c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1397-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd63c489402eac38bee3488ae975bb8767cdfd17aaff34da027deee7d1174ea6 +size 142080 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1398-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1398-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..068b5a8394339329a9a7917b741759cd5df26ff0 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1398-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ab3f3d0e6ef6e6e5e5f17820a10c6c431829986084d85c20c80c2d70d050c520 +size 188766 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1399-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1399-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c405f5654b6d334661e77ab5cf5e4ee291d0d5a --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1399-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c33b0783e62ae84c8e457d8027935e0a57abc6d65c5ddaaad4ab2777e23df1d0 +size 164518 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-14-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. V-cl5_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-14-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. V-cl5_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..903d0ee1647e08e701d21776fac42b537898f177 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-14-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. V-cl5_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7f108b24cf5fdc776cad044598fa8975ad15a3bcfc70ecee0265c814328c94e7 +size 375748 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-140-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-140-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e9b0a0a91a027f77dd34e319ddbdb2cfb30e1f04 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-140-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d88de4c4ca6cbae91a18d84dad320ba082b45f0795a09a90018005dd9ee988b3 +size 986992 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1400-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1400-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9ed8104d8c1f195e8c1277f78005d97e7e518bf6 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1400-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cdf5f823b1a25b609ebdc0ea080d53611423cbedff608f1b1d094e822eaf1668 +size 170394 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1401-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1401-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c9c98b4b0571e0ca5770c4e73cc12777275d915 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1401-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Sibiu-2013_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4a99e60ed0fbf78775ed50c6b70c036b6d9481b00bb95ebcb4f961bb88fc1ce6 +size 140261 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1402-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1402-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77c23c10ff9d08e0d1ad6b626fcc28b7a51d25db --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1402-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1e23b96d2832c1b200a903a1f2569ff93c15091077395b3cb994e993b9b53055 +size 231118 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1403-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1403-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1eba557be8ba8b841212c6f8c8379592b9995c75 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1403-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3fe33bb5aa95e6f59bfe29f8f4cf7698fcf0ab2f1be4e468c5c227b40bb4e5ef +size 288457 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1404-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-0_2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1404-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-0_2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6a593a4aa166ee9eed0e7aeb22af98fb34b895f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1404-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-0_2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:77ad5c9ff63f8c74fa6a27415dc3e3b926b0fcad0e983373af0094874c99ee11 +size 253281 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1405-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1405-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..74084788714314204602e492763e6cffa2fe6170 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1405-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:84d9c38c0a96fd14453aa8dccf0f0340e8f46fa524eb1974590f64f798c3824a +size 224366 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1406-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1406-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..54323236d876d95df6bb542b9ad61e4621803be4 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1406-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9c9a03b97d0a23b0e4c8f3bdf69723880d07c200081a5674853e139cab891689 +size 1739925 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1407-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1407-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..310de28c28f8793fd2e337c89a26e7e3c2094001 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1407-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0c485ace11585e3e0ae19392ebfa8b947bbff062031d2dfb1718f608c5e3bfa2 +size 1664582 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1408-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1408-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5fc6bb9cf062eb43ea8c6510a070b1292be708c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1408-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc9cbc5c715449d0db3c09c358413389e815b07c9f0e5ea357c7becbbafbcc22 +size 270479 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1409-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1409-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..492765b1f93951f5da020b8c6b52dd1a2fb2293b --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1409-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Maramure\305\237-2013_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_si_bareme.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:64f1ae75b0d39a403e4ab31944826048f0d6e9e8573db9fec5e00049c1fb6805 +size 252063 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-141-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-141-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72d23eb5cf799ba2a7be68a614455a750c6e0959 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-141-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0bb9afc34cc09e3cb18fddfa858e521634efb9fa03b14ccbb9f4baa26e41ea93 +size 599364 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1410-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1410-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..113dad79d49194fac0315aa3da14f6413968d0d9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1410-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7df04e8419f09706f5cee2b60e8696c404a6517e35100bce72a5dd8200b5fc6c +size 105195 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1411-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1411-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..74f74fed667092c3bc2a8df5290d1e7b7b3bbe81 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1411-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f6fab2d5496b91344bf0790d0346153616e8800ad82f35469e1ee06c23fa5a50 +size 90938 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1412-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1412-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..316d9863a3666e7044bd0fd50c688d35e654cbc3 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1412-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:48b31a3b9ccc36e18aca5f84132c314e50e79b671d3ab28e03b1821b30f2014b +size 85231 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1413-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1413-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..913b608a64e3a8430ddc3a261b64bb4beb0e33ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1413-Matematic\304\203, 2013, Subiecte \305\237i bareme_Gorj-2013_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2278bec8d6c51dc463be5577cdd6987969327066c26f9b8e6208cbaa6aaa9c53 +size 234962 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1414-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1414-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87571becfa70154503fbc0def0266884d77b6afd --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1414-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ada02b90d2317e48f9b9a34167b0ecffa0a01528b66d6d9ebb1319575346894b +size 156331 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1415-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1415-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b26aa967d03860338f92feba26d9b12c1ad83615 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1415-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1f14bbd451383d3a706f4512869831b5abb895d4ce325556a609757738a6a1cb +size 172471 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1416-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1416-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57dfaa3914f576fb70842fad8b48ddd08517137c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1416-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ab26aa61791dec7bfb1bff8a6ffe159fa8c26b41f9e0451fcc4fc653477f8700 +size 151472 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1417-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1417-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..38356c996764b2867dcb47a9609e9a29247527ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1417-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b326f338d67c0db0a30a2e39162caa2d54fa58896d0e101437188413042308aa +size 153244 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1418-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1418-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e0749aa742bd0b2e1a962521ac03e062b3a2cf8d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1418-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fcc60df363278df35f9f45696d46e4b8f241b15bd06da56ab0adb0aee50a9222 +size 149131 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1419-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1419-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..07f91aaf1b9cb2b032faea7cc21de1f534c22949 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1419-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4d15af74a64cb1a1210e3579824d397f58054f2e32d6737e1959b3018cba4480 +size 151413 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-142-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-142-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c6df3c4f9a2f1382dd7457e2b31300a44211223 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-142-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:11a03747c52e02d00550f1ccf2b6e09374bc8278d8fac74794483207c91d2976 +size 786507 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1420-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1420-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6d78640c7c0f465f91b926926a3b723852421930 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1420-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:66470652b3b5f8de62376261c2b14a4db3f12b303d44ad9ff42487220ce4be99 +size 149263 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1421-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1421-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59a23cef099f739180d55fee7f1aa7360ebef320 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1421-Matematic\304\203, 2013, Subiecte_Bra\305\237ov-2013_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiecte.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:10b2523ece59cc4c8b60327fd0ea71716de11ef2689caf5d488fdb01765d8a09 +size 152700 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1422-Olimpiada europeana de matematica a fetelor 2012-2012_internationala_subiecte_olimpiada_fetelor.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1422-Olimpiada europeana de matematica a fetelor 2012-2012_internationala_subiecte_olimpiada_fetelor.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6da2fb9368cbbde6eb6ab427cfa294543d6701ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1422-Olimpiada europeana de matematica a fetelor 2012-2012_internationala_subiecte_olimpiada_fetelor.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8c4399b8e173f4bf3cea92d16733abc9e3e0e61ea195688070a0de7506a2708c +size 132273 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1423-Matematica, 2010, OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA 2010 JUD MURES-2010_Matematic\304\203_Etapa locala_Subiecte_Clasa a VII-a_0.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1423-Matematica, 2010, OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA 2010 JUD MURES-2010_Matematic\304\203_Etapa locala_Subiecte_Clasa a VII-a_0.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8add04c0e8cbf542d2ea096e83c4d76c02f0b395 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1423-Matematica, 2010, OLIMPIADA LOCALA DE MATEMATICA 2010 JUD MURES-2010_Matematic\304\203_Etapa locala_Subiecte_Clasa a VII-a_0.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2072df1969deff39e9a114165d98316d842c29a8420a3fb6ced820628548d6a9 +size 212437 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1424-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (liceu)-2010_Matematic\304\203__Programa__2.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1424-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (liceu)-2010_Matematic\304\203__Programa__2.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65ef0295f248fede46c8d8014f1ad3d62217838c --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1424-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (liceu)-2010_Matematic\304\203__Programa__2.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ad04feab9fe13fbfa9684c447b490eb9e0f6472b0bfbb4e224bee97c67eb3803 +size 97317 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1425-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (gimnaziu)-2010_Matematic\304\203__Programa__1.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1425-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (gimnaziu)-2010_Matematic\304\203__Programa__1.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f6092def951458788b586d01bb31d50f9a4e421 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1425-Matematic\304\203, 2010, Programa olimpiad\304\203 (gimnaziu)-2010_Matematic\304\203__Programa__1.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:879f71912bd4dc82db0f47225c9ae73b79e16d3ea241ff5ecf575e74f7312c9f +size 105181 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1426-Matematic\304\203, 2010, Preciz\304\203ri olimpiad\304\203-2010_Matematic\304\203__Programa__0.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1426-Matematic\304\203, 2010, Preciz\304\203ri olimpiad\304\203-2010_Matematic\304\203__Programa__0.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3cecd078681f338a347af684bd01e192f72eb43f --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1426-Matematic\304\203, 2010, Preciz\304\203ri olimpiad\304\203-2010_Matematic\304\203__Programa__0.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68a0056dcfc5eda477a5895ef6602e364e628127a7ba04fae42d37791369b717 +size 536578 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1427-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaiva_microsoftwordolimpiadadematematicacls.a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1427-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaiva_microsoftwordolimpiadadematematicacls.a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7b36ebb0e4fb6e1a166b841e967658e9ffe42fef --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1427-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaiva_microsoftwordolimpiadadematematicacls.a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:75e3899607c548795d23141b1967f613fda08b451d88dc164abf83eeff799186 +size 54560 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1428-Olimpiada de matematica Teleorman-0matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1428-Olimpiada de matematica Teleorman-0matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c992316c60e510f8d700d49cde9878c9bff5200d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1428-Olimpiada de matematica Teleorman-0matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9fbcf9912ac560ec3b3f2f7f848a74688ac5b0917ce0b11ca5cbd662b8550c1d +size 59641 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-1429-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-1429-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c992316c60e510f8d700d49cde9878c9bff5200d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-1429-Olimpiada de matematica Teleorman-matematic259_etapalocal259_clasaaviiia_a8a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9fbcf9912ac560ec3b3f2f7f848a74688ac5b0917ce0b11ca5cbd662b8550c1d +size 59641 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-143-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-143-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bea8d0378282a9b1171034dca6be082af5e663a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-143-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:410675b61f2c5ad7cc7ead10499198c76f69a4fc1c01d74c60a0a3fb2b09ec71 +size 685722 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1430-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 2-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_1.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1430-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 2-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_1.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d502f9ef9fd6621159a87920a90766a436c64e5d --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1430-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 2-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_1.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:01d34771902af33ec1cfa57e9bc3d860bfdb51a12fabdaba18cfc0dc68ab0a98 +size 102507 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1431-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 1-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_0.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1431-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 1-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_0.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45785f0cb9d3aa21c26b5edda68f8a8dc1b46f75 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1431-Subiecte date la Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 din Bulgaria, Ziua 1-2004_Matematica_Alte concursuri_Subiecte_Clasa a XII-a_0.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b715854b2735050f2f62f11e3b714e76d1762c194a01852776465be28c8bde40 +size 101802 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-1432-Subiecte date la Olimpiada Balcanic\304\203 de Matematic\304\203, Bulgaria 2004-2004_Matematica_Balcanica_Subiecte_Clasa a XII-a_0.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1432-Subiecte date la Olimpiada Balcanic\304\203 de Matematic\304\203, Bulgaria 2004-2004_Matematica_Balcanica_Subiecte_Clasa a XII-a_0.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cd46cfc71ddf8fa65fc06bd7a1d493bc06eed5dc --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-1432-Subiecte date la Olimpiada Balcanic\304\203 de Matematic\304\203, Bulgaria 2004-2004_Matematica_Balcanica_Subiecte_Clasa a XII-a_0.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:79f293e7bb3f6dd1d063c6b4a0e3f7063e8f09c883fb1fc16e35e67e91fdaba0 +size 27985 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-144-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-144-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b5d0f70f0ed27ff24777b1322b13356f84800d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-144-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Maramures-2016_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:25779eee28e4de423ba8df988636040a9ed2826ad24a0ac11f32f5dcb43503ee +size 197110 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-145-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-145-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4f7fa1a4a522e55bb419da5345cbb8f2944a670 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-145-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8df8b80bec5a28ceba389e6cf3e0ceff7f9b477eb81af4982deb2e3caeb62fb6 +size 80726 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-146-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-146-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f56716ac1f688c4108612c2b21db26aa12ed2bd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-146-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8264f596b96c903be7d998380440a5ce80348449e54b46dc6f3aea5ba2a72066 +size 87586 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-147-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-147-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6962213cbf89435bd39d9187b7dd7cce76a60278 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-147-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5153bddee623bdae841085deb050dd26f3fcbf3fde3ecb01b06ef56f8b8b9951 +size 86315 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-148-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-148-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ffc7dc5bda6123ec07126f4165f0e2ebf5abc0aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-148-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1bf9e2f581b560b5be24ac2289933e48c1d3309933d7b9ded4fb0ca8faff7de5 +size 221691 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-149-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-149-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a89774b0d24cf108e6d35291b5c6b9bcc0288493 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-149-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ccc71fe4b69193a1f16c9da5b32f3a109519456fc8af5166a4e0b81d6639c5e5 +size 204076 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-15-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 2 de selectie seniori-baraj2_seniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-15-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 2 de selectie seniori-baraj2_seniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b540b004b450798d222683ca01899990d66478d2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-15-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 2 de selectie seniori-baraj2_seniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:db7bbd6c4bbcc1a3eafcdfb3a827e7771d0c817b59db91451ef5be1c85342d33 +size 98108 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-150-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-150-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2aa7c37c66a280699c492dff61d95f7487176b2d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-150-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7d0862c44cf2e84f2a35aa9d97be3d79a936dcbfa3c240a348f0e34de9fe380e +size 839972 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-151-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-151-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2a3e597cb57bbf3556265f1c616f0316dde4ec20 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-151-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:81199525b6288e31d8e1367bddea07d4c527ff39218f07608b209876fb4a862f +size 207061 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-152-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-152-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..93b8db5e87fbec3ee4e9c565a403464d5bffc580 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-152-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Brasov-2016_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:efebd3b128cfab4c0e55887ab2dad7d638a6b5e89ffa926ec16c0d855661d68d +size 77548 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-153-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-153-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9a10710df163be1b8a618ddf564385b347d04d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-153-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aa6f078ef27371e0faa9f47530be8e3c88fd33d8967e5421291d4538f145b72f +size 690982 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-154-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-154-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7f7e6bd1ab7dd64074e2be6d583dc0cb8b2d6707 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-154-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bf9eafc7c8c9f31f2d37fddd5386732f61e113e35f1df20998282a6d788710ac +size 710689 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-155-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-155-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f76c213856f15d77b3fa6fc80042f6882557fe1d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-155-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c60f5ad74457cb680754a24b3cf53708b8f2de76b82504ff46bd1474f720cf1f +size 555200 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-156-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-156-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c1b72b8daf8f9d898cc5476109b06f7a90df29e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-156-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mehedinti-2016_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b90ca8701d9c5e50877eb389508a1a72d372e6ed5e67a46fe95dcf07551afbe9 +size 681144 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-157-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-157-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..261dc2e8768b18c0bafbee3a53f33561433c9a14 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-157-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:179b1899bed2688db6fcc9e886cb238369957c545a979569411f5e5f5a7ae924 +size 763760 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-158-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-158-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc7477c671a756acf560226122251d8fd1877548 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-158-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:be35fb8011da7d526ddda770644f1cf563cd83bf989b3a45ca8f495672f262bb +size 748142 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-159-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-159-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..98d7ade5de8e8023a645c4f1a31eab0b3f279b8e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-159-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e776dc93b8c130d0f58360a6a03a7a59bc29370d6765adb09fe14ce78fb25501 +size 717242 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-16-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 1 de selectie seniori-baraj1_seniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-16-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 1 de selectie seniori-baraj1_seniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a791d7548d2db93521d7408ec963a10634a217eb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-16-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 baraj 1 de selectie seniori-baraj1_seniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f144f7a6b7972cb058b3a7547cd378b05ea811a9e97c7363aed4c8e985592aa2 +size 86246 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-160-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-160-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e5a341d11b779f1b68d74d5515f34949b359ea19 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-160-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Braila-2016_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b39a80227d926321172422831984839ee1e074ab8b2061aeaf619af8ca1b08d3 +size 697112 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-161-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-161-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bf17917f398841f9ec03ed30312cca7f34f34ca4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-161-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:01c4d15f3d501157e6ac1bb8e64160de5df7e741ee91d4934609327feec76139 +size 713613 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-162-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-162-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8801e9d57b391f90355543b02c5742ff7834578f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-162-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:24c452dedc8ad557dfe32e39d7867891a76834f19311198c3a27936cc76b947b +size 711230 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-163-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-163-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c826811db6faea98100810c2cf3d476aa3819584 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-163-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b87dcf9db28a31b3971ef1bbb61289adb359a8b5888c37cc80478925e3f0a41b +size 769856 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-164-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-164-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d098902a4a59fd0b65e5b5f10ac09aac3088d8bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-164-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Satu Mare-2016_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b092ac6e4baca93e8f1da8770c288be16a1c77d8f8a3766d3c3c8d46c4e6e0b7 +size 1214864 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-165-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-165-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de36981466ac3d7dadb3a67d9ae083da5d681db0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-165-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2b9a444d6f113ea8b41e5069b462485b1f9c8ce8022347bd48544b320b2ca5a2 +size 164260 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-166-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-166-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12f48a5f7beda2788b285c78f59e969a1de31fe7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-166-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ad8d617d6609178bf71aeef1fed9c255f3468a4c01105768da2460314b8b12e6 +size 411053 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-167-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-167-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..96553d1885f9973ee0160c2494dc062df42b0356 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-167-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d4d65bb57cce0d8450cdbca5a76799c020cc8efa419a0b3f67d124ee4dacf2d7 +size 168476 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-168-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-168-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56d9586541af3527a31e7cda4d44f72d1a3fe916 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-168-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e229f1ed15fd664d55b6d5f470e7831f89604434dfe7bae4a23a734ff871670e +size 240373 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-169-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-169-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e8d0cf99ae7aa7651ba54e93d9246ac9ab3b6e3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-169-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:944d0892d64842053139fa8c1ac1448d105d100bbca6f876347d59a596310560 +size 416451 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-17-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al patrulea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj4_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-17-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al patrulea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj4_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae6cc7a28c8dbcd6a0961474a047431ee0b56d1b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-17-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al patrulea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj4_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:05576bcef0e5eea4c6726ce3d8135fa080c9e329adec44147964e4713b466c98 +size 315329 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-170-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-170-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..441bf69a562e55e9479034f7e6304bf102c78e0a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-170-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b810043b82276b403843c0a29ba986c3df23f5a84e7c915b5582707958e8681a +size 432821 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-171-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-171-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b720ef9f5b8fd13fe30a0f83507bf8d06de15002 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-171-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3f2c3c3f087b32a2403c6b7c3433cc087359c6d621d2cae1ffa4ef5dcb0d1a4d +size 336926 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-172-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-172-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6ac81e852843569b392d5a1aaabea49319f95b44 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-172-Matematica, 2016, Subiecte_Giurgiu-2016_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4aa91193208bc5c00662b4c723bf22882eda24a5b1c4aff31615f81716cb4b4e +size 323845 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-173-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-173-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0fe75b9cff3f3a489e38a1924a595f988d2808da --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-173-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ba2a87657fbc3e555aa584dabb727b49df71e8fce82767c36bd876b8a04033d6 +size 1752867 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-174-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-174-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb6493f94513111e1743132cb930a7482c4fb4c5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-174-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0d073bf0e28a115914a3719578ef25c3845cf021c7fbbc1033d096787f4d7d8 +size 148534 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-175-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-175-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c51be78b461fa40a56996858cfb9e02290bad21f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-175-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5c7e64c89ff8e859dc3dac13d5b9911cdc07ca4fdb5dc9c62f22445f22968bb9 +size 132150 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-176-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-176-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..922ef6794010442067ba91f685bf6d9f1d24b426 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-176-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Tulcea-2016_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fd9ceb5eba53aa14e02ba866e903b8bac73ac80dfba99253e7603d8bae867bcf +size 396152 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-177-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-177-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d20d7352fd275dc5f8184b477052521f43909f45 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-177-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:05e4943904c5f69e052bdc51a7959fed8988f6eadeb17648d043839d34a753ce +size 401149 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-178-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-178-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a0f08390cf958473455d4f2a1e6da22b44f47800 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-178-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ee6b608dd95c852c472dbe66e18215e5b7e885186e1f62c391906a5ba25d8d53 +size 401165 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-179-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-179-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2cd70ec74a60a3c501e47bcb7fa05a66b2b7c1af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-179-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a1ec8e63f64efa05e46be2e3988874bebf9a818be29ff4bf9740b20d85bcc1ad +size 374147 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-18-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al treilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj3_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-18-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al treilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj3_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e81c4d5af9515fc2a2652c80b23cf31cee1b55ec --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-18-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al treilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj3_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d955c3ba0ca7a60e888c3dff59ab4c03f4c3d99ba166c1cf20b30c8ed84cf824 +size 321411 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-180-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-180-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9f0c9435d4d2beb8caa6ade7c99fc7bb63b57ba2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-180-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ialomita-2016_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fed6222146ad3fa0fb5ffe36df5ee976bfe4f1bb1f2e0b4656e852ab0809fb12 +size 370373 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-181-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-181-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9e47411095a26dada62e6a0bdf0111695699bc93 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-181-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f6651ab73b308bfa688f9c3f1603edc672840fd8af3a9eb33fab8688c429a8b6 +size 129920 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-182-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-182-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f881f3946871d96868a6987d22170eebbea8d6a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-182-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5e8af2fcbe7a256352e842fe0d9dbe6231d7599413c1d3af12ec1e0f71d48acc +size 157845 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-183-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-183-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f16bc821e8afc61a4e3d164593b5e2fc7942beb2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-183-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63104ebfbf3646d047aadd5e62fd44607e52245a9dc2d538ae4dc782a0db99a7 +size 121642 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-184-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-184-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6e3fda096f58be57ee694229fe3512194c7d02a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-184-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5254144a563ca9ebd810287e23fc67990ec90ca2b4a32637bdd55b7f3ddb5e33 +size 428430 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-185-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-185-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..15a94833f3d654a483aad5cfb130583a9d964e00 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-185-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:77a78b0957d5fa17f60e2661c6dd037302da660a610a882ca84ece523054f86b +size 378130 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-186-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-186-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a384d682c1b4f01d2983a2ba058ef4bc71d16aea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-186-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8eeab5aee0bd85aed928d829f7bc7a5b97f30f01a09885e9a31460329980e3c0 +size 436550 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-187-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-187-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2f58e845c0289ea2b9e0f7d6ecfff4531c265bf5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-187-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7fd364204d4167a207886d7c80ac812a8fd401c141edff4bcb159820915885f5 +size 312075 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-188-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-188-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73ff3c77c5df9f79b44d2c2071cfcc508c1fe783 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-188-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vaslui-2016_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c4562f084f466b2ea335d970a28c6c00168117d12d3f8a9389f60a6421e3ceb0 +size 127187 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-189-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-189-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..907acfb995c7d6f80382239a16354f07e46dbec7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-189-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:df7c6e773c58f79efaedbd1e8b62444d0b2ea7d1d90924317fc2b3c61b66d91d +size 537647 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-19-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al doilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj2_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-19-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al doilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj2_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d54cd6db647592c91851996ea1fbcb003d0fb6d2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-19-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Al doilea baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj2_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ecb50b6793fcf9fc31811fd6c37f2a66356ff4f109ff014b0981dc96c66feb84 +size 1040357 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-190-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-190-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b0a22a06953f3f03fa3769b1390190b86007e7bc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-190-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6ce0cc75f015de48f14cf36c397747df5b90df8cf514ab4bded286dfd5a4b064 +size 414354 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-191-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-191-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a01d86c55613ef584ab429158a9079511a74f93b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-191-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ff953a39886f8e4cb2177caf898ed405f731753fbf9835ebe51ae6e12f71a5a0 +size 399944 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-192-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-192-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9699332174dcd05751c1dcf84d0a7176bd0f620b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-192-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:234d3d8ebbf8f769fcea62941ad1fcc62b02654054e619f2121d54e3c10a3060 +size 375734 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-193-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-193-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33fb0b3e35a2fe3a2fe2b625c9faf30e0558551e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-193-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:94915fce6e81f517c832a2fc7672897b5608665cdad3175ad57e8271c615202b +size 366307 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-194-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-194-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bac463405a7ab942936bfe288f31601bd252098e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-194-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cf53890d281d83eda80a1f5b7660f6a8629b0f46db3353179e5752e770ee9798 +size 437969 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-195-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-195-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3bdf28fcf6f3586564884dceceb1811ef3df7b40 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-195-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7b02e2b9f452815f6151ca3ec2d621960f3a393831c8bffea20d8ac534553573 +size 545431 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-196-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-196-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..509a77f8c4a4e0585db6ccfc9f0f03bfe865b7a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-196-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Harghita-2016_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2df0c0a85e7555c86b1d5acf6d2cc07b540729770850eb58b658c17e7239ee7b +size 372296 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-197-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-197-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..01988bab7d1d0bbd16fb593d9fed7e718e8a5d23 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-197-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fc969aa8e093a2c1622925370eb30f7485745f9811ba4923bf27fe7e33bfe4a0 +size 387282 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-198-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-198-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08160ad02f8ecf3fb033093b875f05a7cedb4708 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-198-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9314abf14369a64a044bee90228d137f92ee7ee53be7cc85f4a633e99aa461c6 +size 390370 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-199-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-199-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7f365bbe215adf5bc67d99150c7b5806dbf964f5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-199-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:74ba7869fa997490277f7984db454bd9963672916bb7a2c7eacbb162f757e68e +size 391751 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-2-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. X-cls_10_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-2-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. X-cls_10_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b87c8e57ebb504187e1c19ecf12dbfc42e572b7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-2-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. X-cls_10_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:36e99194657b6dce5e3563f796d92f2ebcf4aea6e7f4e47b9118daeb4777bb16 +size 1568015 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-20-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Primul baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj1_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-20-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Primul baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj1_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..13ac532682d081ad985a213ed487e2a5f7d26ef9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-20-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Primul baraj de selectie juniori pentru OBMJ-baraj1_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f192d7aba7f03506bba9afafcef0a61352ce6c72c7880bd7a0a1e5aa4ebe8d00 +size 494411 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-200-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-200-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6d81a7dedefebba1ffc2cc3fcb77bba464cfa5ed --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-200-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bfff1d3e5a7da04b051ed7b002872a3da939e83f59b5e84b941ee179b934e47a +size 547500 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-201-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-201-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee29fe5ae6ebec3690d0ae6f3d93a7f10c8f5b46 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-201-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f1455cc3a577929bd6e9b26fc0c93314e26aae5e86104148ef9b6f34b590176d +size 556744 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-202-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-202-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1c4f1a4aa9b7dc4ad84742b093054d1830845ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-202-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:adef48666b042240c85f254ec1df80e2e90809459b5f9e76056d9322cb28ef6a +size 556949 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-203-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-203-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b97fbaf964bf37168984f2131d3ae98763b0b6e4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-203-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:42042de35f2d34e155b4fc8b6bb97ef57f36fcdc909634a48557bfd771c004e9 +size 457422 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-204-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-204-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3fd16e8bcfb6e6fd139f1b1770225c1756da17a6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-204-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Calarasi-2016_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5991d52d884d9f0a719d1fadf85b71992c3459ed0045ff3f89d5dffe71882e2f +size 396828 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-205-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-205-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..796e68bc207f7fcbb0e8d3b437ca950565a8bb12 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-205-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3e5a4816cd8da57b3b40c8bb677f2469583f9ca2ed9c75829f14f5239c982056 +size 377123 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-206-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-206-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9422e3797f915c7fae7acb891649e686493bca0f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-206-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2893fb04cc5607e1fd17d1bc2bd3a727e62c0f59d45b44889c837e05d64db455 +size 298451 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-207-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-207-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49986966a8401e4131f41722ba87f26daaa52622 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-207-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b89d8f726e8f48f977d111c7ea5d2e3fb3d8c94decdae8251c829b9501306dfc +size 222093 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-208-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-208-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56d0655b361aa8827e7c7847e718dd81cc37049d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-208-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:59aa9d79f7fff0cef93f37296c1115bd99b7c23e6ab12228aec026fc67f108e6 +size 415523 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-209-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-209-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea570233aba8df47fbcf81b5ee60988faa96eb22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-209-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b22aeb5a55912d40f2c95efe78a0155c0ea25020cec7821ac2e15aae87d07ef4 +size 422122 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-21-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl VI-subiectclasa_a_via_ongm_et_iii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-21-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl VI-subiectclasa_a_via_ongm_et_iii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f73ecdb8ea333f7d98b25f6a6992d6a8afe887ea --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-21-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl VI-subiectclasa_a_via_ongm_et_iii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fb64a4bc65ea6b6ae62851331918959626e2cf25f02e4a5e7034a280b7d5991b +size 239038 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-210-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-210-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc247cd4540ae210448462a31f0cfe0954da379e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-210-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4c6d6bbc62ada53a26566bd14b2216e8d0964342ccaa48de108b1ebe8742552b +size 414310 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-211-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-211-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..096a6c19191db07d264346ec5109180e7f02ed55 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-211-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:eccd33a540869ae0158f2be62529b08671555d69b0677acecc14132b59cb025c +size 184289 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-212-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-212-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51af7bb571c4389c887bd86ea76e2524fe978ee4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-212-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Mures-2016_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:77b386c7664e560976fed2dea93f795157d4af697de3bbc2e3bca45a4fca5a85 +size 230293 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-213-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-213-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6737c7a10e4220acff53d0ef05b309fcbf8d8444 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-213-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1230d315fd443115f882d4918271c37f64c8b1c2b8addbc2c589acbd0d7b613a +size 393039 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-214-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-214-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87fe383bf68abfe9e50dd534af2cee051f969384 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-214-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5b3615f8b706b1a351ad13ab29e6c80530ef04f7fa0096f141ca67eb8701c566 +size 287834 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-215-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-215-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..786c292d626350a6900482fa5882ef6e9be68ed6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-215-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ff3ec7fa6a649548206fc28390c311dcfc50f8516c21e8aad48afcc64834ca93 +size 289847 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-216-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-216-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2051a2dd0c693ad3a249d1672ffc72a7e8fdf750 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-216-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:929595b0c39ab150b7f5e1f7fe2dd82a00ac2b1f8b7cb3f0d8e60b7f9bfa5b26 +size 410333 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-217-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-217-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe984fcf1629126cbdeedf51dc44e454b6d31eeb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-217-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57c4d84429b89194955bc0f7ca306ebb75e3245fec42592960efd0a06d9a2cc8 +size 381584 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-218-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-218-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49ba16586bfa1521212453328d4eda883f58f34f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-218-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7f2627d9accbf867895da39b000b5e7f4fbe77dcc2b17319af650ac4099b43cb +size 288305 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-219-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-219-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26b4fdf0856bf6a3781d45f2fbaaa29589bacdcd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-219-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20dc2d28f9d494cf0aadf8d88c0d5de3029fab456a51b553a30fa9e47448cec4 +size 374063 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-22-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl V-subiectclasa_a_va_ongm_et._iii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-22-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl V-subiectclasa_a_va_ongm_et._iii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc59661bc519f71c6fb2ffe69d831c94000126ed --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-22-Olimpiada Na\310\233ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 Subiect Etapa III Satu Mare cl V-subiectclasa_a_va_ongm_et._iii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:34222f4345e6dd10cfd90be4a709297b4715308dda391ffdc611b8e857687322 +size 243905 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-220-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-220-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fe80c0c9e73d460b7e510053426e69ae2a7ed1a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-220-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Salaj-2016_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:45a90431609693d981068f995e332d99b4c589d9c358d9fa8d42989ad86015c9 +size 290083 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-221-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-221-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27821cd85ac40f8484e5eb93a98bdfe69ece47f4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-221-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:755a1c97fc039f1a08e457a983a9345933a71e5569fbfbf45cb0147431af1fce +size 1384574 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-222-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-222-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8b171befa1954d2b138438a809698e4f4a0dfc73 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-222-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:24242e5c3055f13ea4508a6a8c72670bbac3c00b9b331760782ce61f3a20e23a +size 914614 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-223-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-223-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f09432905c48cca4445f44917144f03c93c8ae5d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-223-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4622ae155db047ac28e9eb12ed425095cf34743eb50b0e8f4cf8d277841b7c94 +size 765282 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-224-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-224-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..47f4dc20c3489b0a4df2fd5cb832cd999717beb7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-224-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8c8d02937300f9a99cf5716561043a62bf04f3959f9b1e956116fb5363d8af59 +size 1033571 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-225-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-225-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9c46d39b207e024366aa8b59666309b790a0cc40 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-225-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:44809db88266557672b6017fd298bb9c39e65bee0b126ffd69ea5753a0404bb6 +size 1404923 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-226-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-226-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11c0cb4668b6d49d94455b2df4c78976cc7a32ac --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-226-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:697327eefb3785495c65e7416b5bf55beb5fe0c7b2d62ea69da08b7cf4cef230 +size 1053397 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-227-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-227-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d450623f9a521859b6a71067cf1d48da624b0b2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-227-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:276590d3680365541be97720d5b174e7f92452ced49d4f46c326a6b58785c760 +size 901751 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-228-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-228-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8927432e07d96b99a9c85e438f94c59f76d7050 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-228-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Vrancea-2016_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0eff9d3c7d9de49f69891b4e1e5aa837b9c85f1186f5406cb608c37875fadc38 +size 951311 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-229-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-229-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55b55b2978d37ed6bbeba94f6c9ff0b57bd88d68 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-229-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:73d8f02f454f590dfada402fafede18d876870e9868c0e5194f4af7e1d49c323 +size 374945 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-23-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. VI Etapa_III-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_6enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-23-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. VI Etapa_III-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_6enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..518851578f99be588d91d0c68131d1e14a23a548 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-23-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. VI Etapa_III-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_6enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ebeae8cec253b8721b937594bbce115c5cea956509e46350bbdb0830cdbf8c6 +size 158389 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-230-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-230-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0dbedf1f9acf48a6454ce83afea86b117e5a28dd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-230-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:647e958c184c12f1234df96404c307bc454228c89512fb05c862823b3beab664 +size 230752 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-231-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-231-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce3d8fa31812294eea560c00e1b609ce8066d40d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-231-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:943f5f78c9c637158b287fc206417d98d4153dbb770af82e8429310c16448f1f +size 433881 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-232-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-232-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf9de93427f19e0b429610c687fe75fc87777758 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-232-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c11bcd1c3afaff68d551f7f49d545a78f5a923bbdb18daae30aaac5719aad17c +size 238046 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-233-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-233-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f4fc69b1408629d7b6cce2466cea5dce5ec51af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-233-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b1077c73a2c71ededc499e98a420a3d2a2af7b9d14b830bdfdab134e1febe001 +size 330819 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-234-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-234-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c5e5ab715d7fba72e0c27c9398f0926605335b3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-234-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:926268b8f7da9ba365187685a86cc71adbee3a2c19173c3e056d10f55ebc3f3f +size 252373 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-235-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-235-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..446a31585c913f0fa7922206efcb9a30403333e2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-235-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:264c13551924c9609099b51a989154ee6166fd7f765e757443e74330b9616ac9 +size 326793 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-236-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-236-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e687dcc712e80aedd1aea4509de29437305eadaf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-236-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Sibiu-2016_matematica_locala_sibiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:067a344ce6d0a4355cf0b43afd84a1b4cc11943fa1dd41bd8e1112faf7098ddd +size 239394 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-237-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-237-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..039cc70dc050100f157cd826254df39c7bcab99b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-237-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5dd822d701ef60307e9fc2c20f66da88e0df6253e270fa92f157fb37fe8d96f4 +size 346166 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-238-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-238-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8503ef817caebbf2964de6c3d2154105175b8e06 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-238-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5a6cc5f1134085904ea5bcb701d8b7f5d453abfd7776baf5594e2b317369b236 +size 243526 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-239-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-239-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d0dc8e676e761f65b2135f329302ba959d4708f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-239-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd373ee1b623b4f24e349ffd2ab0594fa3a734d5745b264dcf3c2f9268c97cac +size 152929 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-24-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. V Etapa_III_Clasa_5-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_5enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-24-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. V Etapa_III_Clasa_5-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_5enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3975b34f10548fbeaa91cc2d3e52b288596ec758 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-24-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 cl. V Etapa_III_Clasa_5-enunturi_indicatii_AR_CS_HD_TM-etapa_iii_clasa_5enunturi_indicatii_ar_cs_hd_tm.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ef2087db91c55cc89120ce0a071f1fe3e7735eedb6b9955118ce11a266e0e8d4 +size 162284 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-240-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-240-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8c0147c6322df313e0d0386bdff79078b48ebc49 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-240-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:41255be20c03d118e5f40995f530832b58942ac22636f7e3f1c6bf378fefde46 +size 252879 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-241-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-241-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11b88f78c4867adff9a590a4a4652cdd3f200444 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-241-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c844fe928b7b2ae312539d99c5e7de8abac334763f20f6a939c5640840333176 +size 237683 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-242-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-242-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1182b42f276d4a1a20d9673f9699474547762a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-242-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:049290804916d51392b647ceb316e4756882d581a36a38ff932f95198214da99 +size 240260 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-243-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-243-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..477cce2ef7ade293b7ca59a34096beef781ed0fc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-243-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a455fc7c225ac0fcfc24feab91ccc7f68ae6223ee25e8fbe2251cede9f30431d +size 233159 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-244-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-244-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3182c641c35a5ec69ffea6466c5be4702cb14c58 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-244-Matematica, 2016, Subiecte_Timis-2016_matematica_locaa_timis_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:14cac36d5402a739ded04c74f4921c11261266069953a4e0d84984749153e5bc +size 147021 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-245-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-245-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..057c8ff75835799f4133be6f7f19bdc7b3ad1543 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-245-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3ddd53e7daede1abbb34ee2b989636b6aa212a03c5c6432df6d62f308e67ac50 +size 496027 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-246-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-246-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0a4ab17b82610fdcfbbea7c31790e77c34989a67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-246-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d48985fc69e7ff42e4cce8a3bd91ab3e535ec167522f4e0ec0664b30df21c77 +size 430426 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-247-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-247-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2feea9e2ba47630f8286e1f018d8dcc412b21ac --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-247-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:82d5c6c2cfcc82bb65d908cd300eb754a89fd12c1e0f118bb1820af092745348 +size 461202 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-248-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-248-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c870d51d59764d7bf457965c011e92b9a4aabb3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-248-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fe15bfb695f0bff1123008f755a8d7c61646844e800786d9d9ffa0c3123b93aa +size 434473 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-249-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-249-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee9261634785545eaa61a4c7b5d1fa14f9141c67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-249-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:94d79f2e7df2e6ef318cb55c2e80006810560472a1843ecf6497a06f31bc05bc +size 428879 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-25-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. VI-baremclasaa6aetapa_iii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-25-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. VI-baremclasaa6aetapa_iii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c2fda2c2149a73d0fe6cf0bf28378cf799f8e5bf --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-25-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. VI-baremclasaa6aetapa_iii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9eadc5610c2cecf0a769c1aceed5755514861c64486935600b06b7f12be3ca60 +size 307505 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-250-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-250-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa90307933eb11205bdded2c59b5ec92a766588f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-250-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8a2aaebafb8002051674bffac88db092dbbfc1c3891a63d411749bdc7ea4d86b +size 407777 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-251-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-251-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bded0287ee8bdc1866b6a45c3435ea125b8e5e24 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-251-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:af37c1dd01b78db3e9c7746a7314aa264aa443aa10184ec107c5c812edddbf75 +size 413364 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-252-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-252-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2992f8881dc67574fa1cf518931cf673fc6a251c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-252-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Galati-2016_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ea774c31368b5c36b1d114b77ba7f099b91a714732b7ff3c96ebd8a3851d1235 +size 418696 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-253-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-253-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..00a676c20a1bd4365863acb20bb9ba7e17c575a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-253-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d3e73dc408a862255cec3d8df61c948727c1b929bb41d5479972157f8039d93a +size 499756 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-254-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-254-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a2a8b5efcba829e0ec864d92b65972596b43c50f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-254-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e559b5d6cceab06f0aaa6c7678f6895aad6a393c59442cddec47ca9929974db7 +size 833925 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-255-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-255-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e89b81d6b1df95a6a648b889b6685d832ee86519 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-255-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3639f9992dd00ac4a077bb08d31b282438c40aa959383105dd7d10a70a8b26f6 +size 774100 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-256-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-256-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6be29c80281a75fbfcf2119b52a07c9296d4a49a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-256-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2016_matematica_locala_bistrita_nasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5f2c4982389ed2b833f920a652e06f699f42bae13006da4e937b952fddda1756 +size 824892 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-257-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-257-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9f70b87dedf08e1d6f573959dd126c8d483723e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-257-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9f421431e6006d5e359ed5b86ae829f2e19ee0d8e4fbdfb51998f59479f52351 +size 105645 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-258-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-258-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..779fdf720cd2af8895a58a11835761f050782d63 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-258-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9fbf5531b40e5c0952cf5493e5b0528d5b38f182f5865300773028d4f1d14b77 +size 103806 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-259-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-259-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0c2ce40b4318257a11996e43a5ec92d7d61af6e8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-259-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fbad782d9dbffc23b84656077071422430330d000807751fcc9754c0795f7ecf +size 98818 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-26-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. V-baremclasaa5aetapa_iii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-26-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. V-baremclasaa5aetapa_iii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd2e9734bc488f46f360525676fa84568fed2cd1 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-26-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Bareme cl. V-baremclasaa5aetapa_iii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32a2a161dbe9023234aa601f3e5da31920c699a5c271acbc080f216b64e6621d +size 311381 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-260-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-260-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c2643f5e3f22732f75a71ff8464e84428714a19 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-260-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Buzau-2016_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:34b4a660d7c5e19a1ae778c612e10003d3c5c4910aec38d11da7ddd1fcc1e14b +size 106804 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-261-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-261-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0282b4a89b00b789c73fd275f0449b8a5266ddf9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-261-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f60594075fbfbce13260de20da4c5f0b1fb7ddaa1bae6ff1e115975fc9d7d4cc +size 582968 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-262-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-262-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d348adfe529812f9e0fee6185e689459cbec9af9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-262-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.xi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e66fb90cc4fb7a7b0fb99b74ffdcbb8f8502ce5ddb1b3343f57d46fa024e3bcd +size 587255 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-263-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.x.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-263-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.x.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc8d5d7599f8eedb9199a0d9565fc8bec3482a32 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-263-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.x.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:17eed0f921fe0a7a996c2c0a4b7647ad64c19983317fdc81d77009b4dee1163e +size 569718 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-264-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.viii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-264-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.viii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d405068ecb9bfda31d14ba1dccbcad2d49f83e3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-264-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.viii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cc031065db9c85cfa35500dcb32b324825e9f73aad135f8f07c18047e73ca243 +size 587545 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-265-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.vii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-265-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.vii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6ced4090f206202aef188d84a418ee4d70f9d547 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-265-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.vii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d463836ce0681ba5eb54550a526c6be660c367fecff60c80f3980d83b3776a81 +size 581156 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-266-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.vi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-266-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.vi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c105454dba815b5d53a4a25c67d00ccc2d38e631 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-266-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.vi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7fa2c539f084349c3fe0f24ed2bc362249e22ffd2fd9ca1fe6535e9ddf693b0e +size 583684 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-267-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.v.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-267-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.v.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d6422e06efd1453977a22cc70c40f5eac9b1ad65 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-267-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.v.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d6d0d141de66efd17df3dc7d10b44a63b82e5e39ed2bcc3be4554b6313c0c86 +size 556791 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-268-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.ix.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-268-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.ix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49eefba1c7ff73be57a4568dbe5eb6d179339028 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-268-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Teleorman-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_teleorman_cls.ix.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6456abc4e610ae6e1f52afd2fe50f404ef96658697f02d58b244ce0e495d1be1 +size 590376 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-269-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-269-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..37dd1f5614251d112f3be9a0926a526397338acb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-269-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:06d300c2da49f4a3cfa0c8a29e75a0f83b5ba0539dba6a70f0a093ef9ad91ac0 +size 1044752 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-27-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. VI-subiecte_clasa_a_6aetapa_iii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-27-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. VI-subiecte_clasa_a_6aetapa_iii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8223db9fc4052a6d69e643abddfcc5821d6ec879 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-27-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. VI-subiecte_clasa_a_6aetapa_iii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:77b114daf8dec276af88eaf470e7ead1cd3cfc8efe66f480e5787d0e926993b6 +size 205839 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-270-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-270-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..867d02f1b96b9b8d3de5b7c900d854eb87dca73e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-270-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.xi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:26c25bde0331dc31e4eb39afb4e6504361de9b09f656dfac27ca8a2329234a0d +size 832260 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-271-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.x.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-271-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.x.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1bea66477cf1c4fa122fef043ee171aab13a954c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-271-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.x.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9379903d83706ded4ca47200697502f8d1fc7fa10d17814a6ecbb318e5287941 +size 884059 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-272-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.viii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-272-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.viii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77c1bacc7cc8197b12ec507871bb7deede621799 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-272-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.viii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d71d5430fd18e67631db1cc0ee18647d3ad15b6216a85e53a27a4c85f8ff6ba3 +size 1210610 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-273-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-273-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1278c14dfe27ab27054293691cd94b782486d79f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-273-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e9017ea77681e6ca4c335fe9e80f7bcfcbec9c792fd336aab2e213cb559e89ad +size 1170933 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-274-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-274-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86d6b2710e2ab59d896e95e9812a3aaa921501f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-274-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.vi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:505a36e2094766570afb181294cbb1d6575aead09fa4d102ebfd0b474d3a0593 +size 1457642 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-275-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.v.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-275-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.v.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6afd4fc58b575e83eb4187d69c299e5a76298847 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-275-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.v.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5b8b3dc27fa2415072fd3915df991191cff536baddd3eea30442122ed8652ee8 +size 1268522 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-276-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.ix.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-276-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.ix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a67e68ee017dcae8cdc7c7647fe3749a3558af0c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-276-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Botosani-matematica_2016_locala_subiecte_si_bareme_botosani_cls.ix.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ed521f8e73cb3499eda1af905ce943a3c00b23e8cd53b7bdc785ab496eb0dbbd +size 1044923 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-277-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.xii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-277-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.xii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f62a698cc55f66b254cd33c52fede62d42201713 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-277-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.xii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4eb498fdacc5c70fbe76b5639f8b38bb11430072fc9f582f793966b7aad33769 +size 492287 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-278-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.xi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-278-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.xi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02279f3b766c490ca6a197c9c2525d8834c7e46b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-278-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.xi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d5feed2c43ec17a9a9f565ac23c4f15dbcd37546bcfbc4687fde373bf1c12373 +size 169170 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-279-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.x.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-279-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.x.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a38d88ac74c27598b72bf954d157dc1abf29ec5a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-279-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.x.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e49c9c27252f27e39d6cb44c23b2957c741f900beb494f3dec3b86d1b8c52bec +size 196323 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-28-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. V-subiecte_clasa_a_5aetapa_iii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-28-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. V-subiecte_clasa_a_5aetapa_iii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af5aca12d092582689ac8678c33779419a859590 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-28-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 GAZETA MATEMATIC\304\202 2021 Etapa a III-a Subiecte cl. V-subiecte_clasa_a_5aetapa_iii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6301a250486159be3bbe2eb2fc49f851f81f68583e56ff2bf1d0bf21e97bd70e +size 162595 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-280-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.viii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-280-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.viii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e292eb84eab5c6f8411f361cef0d07a8e57f8006 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-280-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.viii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:45d14e239a6bce6ebae4deab9e96c1ac3de5f20fd78efa783b000f99961133ed +size 490784 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-281-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-281-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a48e06534ff73a446653c7f8ad2dea865485a546 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-281-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1487c2104a2d2f7543e3281c14dd948697c610d7e5be52a87cb13bafcb91e1e0 +size 558417 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-282-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-282-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac2440e652c8105882a9dfd44fd98970f431eea4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-282-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.vi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f5eb9253380d8685fc698931a38cfc1f9804fb7a0edb74b61fcbc953f9f561e1 +size 539030 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-283-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.v.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-283-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.v.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b791669b376ed72dda78fd90ce2f009fd6373854 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-283-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.v.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a1d153c088fe1e702c36210a04dee34fb3774e6649e7d5e8d18d553ae5285d78 +size 194877 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-284-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.ix.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-284-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.ix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4d60b04697cf1f746233dfebff889616a26959f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-284-Matematica, 2016, Subiecte_Olt-mate_locala_subiecte_olt_cls.ix.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:02fa5776dc22e52e0260d83f1cf10f4e65265b76fb44926f19cccac393fff958 +size 179090 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-285-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_4.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-285-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_4.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..16f0476c3d38c71b57be8d08d6c7ec7133e866d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-285-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_4.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:71ef7105eb95a31fc355207149bf8f0c369ba381adfedcc2b64383383c8fa7ee +size 503692 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-286-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_3.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-286-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c856ab69ee92bedc1f8ab199cfa5cf2168c57e9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-286-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:651f6624355025568c382a88de405249af312dc86134dbff5a4ff3c4bb973a22 +size 528968 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-287-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-287-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9ae488209d534f28d18f7d6de924c6ede490e288 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-287-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:61391cf893677145f641c85eea67f96535256dc8904bc446a0c06d6c141971bf +size 499467 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-288-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-288-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6eeb8e5075e20883dfabca361a332a6ab740e4f6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-288-Matematica, 2016, Bareme_Arad-olm_gimnaziu_barem_arad_2016_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d27180b7db9637627b35754ad9867272b1de3970d82f921978056b5517cba43d +size 553505 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-289-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_4.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-289-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_4.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc8d249983eedae1fcdf0d401a0238e25c62dad3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-289-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_4.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d5e994f2ef8a2ba5bf6f6bfee8e1e4e841cf1cf85d654311d99ac13d51030c74 +size 341317 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-29-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XII subiecte-subiecte_cl_12.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-29-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XII subiecte-subiecte_cl_12.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a338a1e6b35929cbe4e5f4574f848a273d8b8272 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-29-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XII subiecte-subiecte_cl_12.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7b6356b544b994d5310f31a80461c0aa568d774089687c98a497c3e8641dbd1e +size 149737 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-290-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_3.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-290-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..588140537680e7d830855940ab8a1015e8036351 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-290-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cc2d2119f1465b058d25316a44ef32b22af47151f5313c33cd0a4180ed9000ad +size 345703 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-291-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-291-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..35051e7d3a5ad805edb930288d992bfd526044b9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-291-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bcd0339fe302abe08dceb28abed1e2cdc95a32628fd27c320439f5cc169526c4 +size 335292 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-292-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-292-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aacebe02afa80b144f0312a8e59d3a827af1c885 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-292-Matematica, 2016, Subiecte_Arad-olm_gimnaziu_subiecte_arad_2016_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:848a8383a02fdf2e8827f9664afe6a21cb502066a2bfe736272fbd1e8f9ef2d7 +size 335073 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-293-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_viiia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-293-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_viiia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26506a3b35d1eb742dc2567bd0a57d88a277cd47 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-293-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_viiia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:40a2d82f3ee28cbf9f7e40a9b041aae5f21207f9b374183a7b50cc9145a8f567 +size 436011 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-294-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_vii_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-294-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_vii_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..24883238d75435b865fc774dfae39f6a4a409e6a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-294-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_vii_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8fdbf3d2fbcb386754aa657a8fb8a397beb3424a613fa17946efef5062f51144 +size 442005 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-295-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_via_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-295-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_via_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8cf1383988cd60026d844b382d9e34e59e2e8081 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-295-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_a_via_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:548744bcad78afe675224bb90a8fc6b5976f6ac730e7aa33efe619d115a4f3ad +size 289616 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-296-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_v_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-296-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_v_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..adb1f0b84214144e83a9a53054a7fa8a8008f20f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-296-Matematica, 2016, Bareme_Bacau-clasa_v_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ec653228a6d898dc3ff529b2ece43c2e89bd16bfb2845c65a83f7888d5a4dc9 +size 289050 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-297-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_viii_enunturi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-297-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_viii_enunturi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1818ebb84b5c420809784014b25d298c724aa967 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-297-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_viii_enunturi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f8d08991c23af1b3e0fdf2094df4016b4b362a8cd6049644eb1bc4e7ca1fffb2 +size 429128 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-298-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vii_enunturi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-298-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vii_enunturi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c717e26a352898cb63d8ee41d348b7e8608bfb3d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-298-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vii_enunturi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bacaaf0925b90328f054f71358d5a2c848e00e9dd632739211d24c507ed5e589 +size 400613 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-299-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vi_enunturi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-299-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vi_enunturi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7413482dd25b7c82f0db415906ad4677022baae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-299-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_vi_enunturi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc18ec462a083077f6ecd99a9146b2eb4c824b88486379e95703a5d61e43528e +size 198979 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-3-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. IX-cls_9_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-3-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. IX-cls_9_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c80a0b2cc7297430d44726b68f7f9190989023b5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-3-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. IX-cls_9_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3128efffc11baa66744ba236c25f38cea46bfb1c225d23a7188559476234dde7 +size 1545190 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-30-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XI subiecte-subiecte_cl_11.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-30-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XI subiecte-subiecte_cl_11.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ccf90f01c20d00cc04d87ed21dc030c9ebd6dea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-30-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. XI subiecte-subiecte_cl_11.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:546f4f2490cf8ed5e7f1dae8b9a8831e4c37e338f61884d7d13b9a449f428df3 +size 166058 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-300-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_v_enunturi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-300-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_v_enunturi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f93bc40f5cb5073ae943e7668a39db67a187ac7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-300-Matematica, 2016, Subiecte_Bacau-clasa_v_enunturi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:87bfef6e47ad6b564f87f9a546b0bcbb85b5161953c21224673d2f863285861b +size 598689 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-301-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu8.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-301-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu8.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..392bc2e2b2e722197a1fd5b2edb3bb686565802c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-301-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu8.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b29a96bce30bbb2ea3f75c808c9f2f36a0363659fe76a3ee07260b24d1aa1e3d +size 634448 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-302-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu7.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-302-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu7.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f718f749776736a326c400b563d135560f091a8e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-302-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu7.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:26630fd43cdaffeb77cb07e5212747b6654b5c1420d88389dbef9a055b715ca8 +size 736455 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-303-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu6.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-303-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu6.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e6e728268e7a7de06cf4b22bc721697587c73d63 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-303-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu6.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d53a7fc091d45f43409d51f9dfc2aa0958611e4a0af16b8ffc18e45ae44b4029 +size 732333 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-304-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu5.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-304-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu5.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55c84796d8b69dc3f6e51d407e3f6044e99de92b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-304-Matematica, 2016, Bareme_Ilfov-gimnaziu5.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1443191ce68219ec11e07c616860f0c501025579b522f28b7ac7835ba85001dd +size 743833 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-305-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-305-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..481a85b47a1d71717a82c429b97ae13e5d2157c9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-305-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:51e27e40e7ac16e0cea69e3c0df98e81b756d1851bfdfae1c8988d2653b4e291 +size 239032 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-306-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-306-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4405093263815d99f196e8df1b53764b6f89323e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-306-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_xi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:eb6cd5de352373aca6b8ad81d9673559e63e69f587a1f80f31bbfbef5b3357a3 +size 325559 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-307-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_x.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-307-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_x.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad4f9135dc77fffd7e1d4242cd8d75362ec5f245 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-307-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_x.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:28ae98b33f6866110ce631b35347bcc3a9f2f802a5eb91885dfc33459b05a74c +size 230503 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-308-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_ix.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-308-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_ix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f794f6dc9e30eaa9697590b739c0e4b80ecfda4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-308-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_olm_2016_clasa_ix.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:477edb82d6a60e3ba2e5c33ad0a1792254a35535b17098103a6ed0a1c33dea72 +size 1696069 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-309-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-12_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-309-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-12_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed085d7de4f2fe7baed06b2caa7bb931eadba52f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-309-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-12_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8e98fa977be8a1449c69151f07002dc538d6666a83c0c4bf64ee565a5f8fb37d +size 228108 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-31-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. X subiecte-subiecte_cl_10.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-31-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. X subiecte-subiecte_cl_10.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d137527dac032b0a037ff82b39639a10d373cfbc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-31-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. X subiecte-subiecte_cl_10.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f35ca3b60c545ea0c24bfb7f60ffc533a7ff6775c7b6cf5c6eecd00ec8f48467 +size 147967 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-310-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-11_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-310-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-11_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc0e789abf2d0e63e579d951c096db3abc1f6219 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-310-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-11_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4e86d59ce817678157bbdbe99d2aea398646e29794985c98aa0181302557610f +size 359825 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-311-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-10_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-311-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-10_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f7a848b5158fb3cfa7c6fd269f95669351f81892 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-311-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-10_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e512bf1be0af01745637418a91e2f24d26289123b8587a66a6e077ea9ccbb190 +size 406755 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-312-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-9_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-312-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-9_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b0fe1628339acc84a94adc08cdd13de4b73d235 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-312-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-9_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:099a00d302ac17550fb11c42dab45c7e59c83d62ee0165033b243ae53a0515e7 +size 356128 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-313-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-viii_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-313-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-viii_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae5a9cd158cb07bdc867cb3dede4567f3b774f72 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-313-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-viii_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7cfbb2b7084a953cfd1b830cd48c90966158fdb8d4850c73cdfe1295dfe1f758 +size 367226 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-314-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vii_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-314-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vii_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0955b557c0b036d0d510fca36ce4f9a3a92df70a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-314-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vii_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8b4a96ef1834687e847530dfca3e333a03e7468614c566ca07246660027a257d +size 226981 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-315-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vi_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-315-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vi_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26588aa31a74d4f87e7af52b7c7c2091862a1754 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-315-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-vi_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:be01d59d6caaeb52b4290b9393acabb84ad6debf3a9d5159187275bd9d43fc6c +size 243981 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-316-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-v_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-316-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-v_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0a18285aa409c4c76fdd298e4856862b1df83619 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-316-Matematica, 2016, Bareme_Gorj-v_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5db49d5dffcc08f0a34331019f60db520e5a6cb24c055d7469b4273ea37b0a7d +size 252427 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-317-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-bareme_clasa_a_ix_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-317-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-bareme_clasa_a_ix_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02b3d0d708db142aea2a58b95f247282ea7a00b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-317-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-bareme_clasa_a_ix_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7c8d110111171ba7cc746ab1cb5aee98c81371d48375ca1578baa07d4bd2c967 +size 429636 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-318-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_xia.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-318-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_xia.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9ceeef7239e316d461449ebf57f788a73c9425f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-318-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_xia.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:72f5d2797911281363d1f75a1558f7faf45406bffe482014156e29c4043d0dab +size 305960 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-319-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_x_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-319-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_x_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..86d7adbb6be53245d7670226459f0c7fe0d54a66 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-319-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_x_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:71641ed964d9e436eaf29ec8207e3372fb5c4a9d54a4167622494439ffbf2063 +size 770141 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-32-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. IX subiecte-subiecte_cl_9.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-32-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. IX subiecte-subiecte_cl_9.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5483ec4427a91ec7e8fe108d61df530b85576680 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-32-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. IX subiecte-subiecte_cl_9.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57f860e6a114dcc25fce71fe4b252b6c0137f448aa69d0a87471298db0e1d182 +size 148246 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-320-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_viiia.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-320-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_viiia.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa10f255b4a95ab5547f3605a9f5bb825cf966fa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-320-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_viiia.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:914cb5ecd790221027ddd2e8d1f7991c7161e541067d6f5444916f0c728b8165 +size 433549 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-321-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_vii_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-321-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_vii_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd012683bcfb9e9296abc31d5cd93cce0ec0ee23 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-321-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_vii_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d7038235e2c0a1968a09bda603199f65ec40b6e3b4ea4109d1623a91082a4a12 +size 474507 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-322-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_via.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-322-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_via.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d1486ea559e3df9c98f444be6ff5898f17b13a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-322-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_via.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:000b8a0838f9dadf24e63766e6c7e184e7eabc9c9cd3ac4a2ba08f02709d3878 +size 447902 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-323-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_va.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-323-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_va.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..549688ded4d87e1533f7d30c67fa0142e06f56d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-323-Matematica, 2016, Bareme_Valcea-barem_clasa_a_va.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a1ab05ba8381769ddb107300a6d633fc5046409d4b8196f02510d715ba7d258 +size 317873 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-324-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xia.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-324-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xia.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3fea0029cc63b9d4dc69d32e14cc8c4e895b92e5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-324-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xia.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:99dffe7b13fcd616d2633f55a20876d6ad3e2b8b2ab34c1d5674e746c52a833b +size 371144 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-325-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xa.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-325-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xa.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..afafbc49a1ccb369493e9e0b749d905a2824e3db --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-325-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_xa.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:02671705611e22c3a95291fd238ee92ced6452a79898c788caf23a5148ccb97f +size 499518 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-326-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_vi_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-326-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_vi_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48bff9e89182f9adf7bd0e8b6157e376ed0457dc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-326-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_vi_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:58eb1a0fa4c87cce73131748327da89f7ae1f0ace892b6f83a918f30ad6d17b0 +size 354535 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-327-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_v_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-327-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_v_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..734b7faa452eff168944a2e52ccbbf845ac57f8b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-327-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiecte_clasa_a_v_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:182a541bbb8a37efe0cbf7b22e2b4c57a4b5d8fc26bb22218421874520fc26bf +size 365959 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-328-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_xii_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-328-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_xii_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8247954132beea053ba4f71c333297f07d52d62c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-328-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_xii_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:515c65d63c50ba2f2d24f94c0f09574e7ac39d6bbcd074261ba229cab62835d5 +size 456233 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-329-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viii_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-329-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viii_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c554186bd5f80ca7d582abada81fe51e2fc98a41 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-329-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viii_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:714c5fdc6ad7ccfcedd874845cf85c74907954830fcabfbcd1e1bc46aa1ce35d +size 421606 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-33-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VIII subiecte-subiecte_cl_8.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-33-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VIII subiecte-subiecte_cl_8.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d08af106a13049ca6ff7454b6a8bf80a71b70d3b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-33-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VIII subiecte-subiecte_cl_8.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7aa5085be9d799d67044ccef527847d33ea0fb0cf8a513a800fda2e5a91238cd +size 147088 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-330-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viia.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-330-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viia.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac4c4cb2e7b2412f300bf392f0a999976df39ace --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-330-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_viia.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:108e8227d2dd0f42c864fc939b07d282db3438d1de9ab0da73cf5b6d182cdda0 +size 504554 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-331-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_ix_a.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-331-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_ix_a.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..18d7a03e85d3d46b5ac82f27a197f0f81d200ee8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-331-Matematica, 2016, Subiecte_Valcea-subiect_clasa_a_ix_a.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b95d8068bca14da80fe14d2c45acb47c84c4263bf1412b2e64f0ecca14be595 +size 370152 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-332-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-332-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cff256f7a521178ce723a7354bb129d2689e4f84 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-332-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4201f3395cf810a2577a21673af6f6541522bdab849ed42d58547a3d71b4334d +size 422591 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-333-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-333-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5635e721894c7cecb3d5c7af9388a51b8980c08 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-333-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:39c5f298d1fb10fc076e6db4c3060f1a6df4f511e3030946dce5a0220da848e3 +size 651365 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-334-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-334-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7da77902b8b8dbf881ef5b37e529a404d542bbea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-334-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a53b03adf819f58f58cb01fe83194e949246b9420aff2156393918b94b3fb66f +size 651134 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-335-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-335-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..103f0e01ac85d19eba4c7e26022704df1c59db51 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-335-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c46f36278fd05101af9bb1e5b1916a5c6e73e53710fa64322bbe188f6ef3c2b4 +size 649522 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-336-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-336-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26a3d06e333b63966b3e700213cb0cd9ba37918f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-336-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d1f78d61ebb991c00fabfd230bbd97e1b01fcb8e3d7da1ed6e8b6967b6d39809 +size 717704 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-337-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-337-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82ef25336fb41bdd2b9cfb6210c8e7ac549ba506 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-337-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:da0e025d1062e8c3548f5b3d9bc1384f68449db25acf869284cefc41253c4c92 +size 794912 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-338-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-338-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a51b09d8547cf6e5053209865c44f6c6c29f71f4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-338-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e6cef6057c98b2d6dc32a397ce70b7f38f39c9f1965a67437b9cffd2ebd8f1e3 +size 714719 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-339-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-339-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eddf9376f53a2b1e600c27b1ddafe865e33d2e54 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-339-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32107e6f2dc2eee41c598eddb1be95587a11afd7df5a36630147fe6b81aff40f +size 717469 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-34-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VII subiecte-subiecte_cl_7.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-34-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VII subiecte-subiecte_cl_7.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4fb28667c0ed96cdd6217fcc7c9078ef24e3a3be --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-34-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa III - cl. VII subiecte-subiecte_cl_7.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4d74a711a1297b1142245087488cb8efa82511916254681bf9eeae2a038bbe40 +size 143260 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-340-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-340-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..13947b76d5d36bb31f5fb7a7c27f42bc51693b2d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-340-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2856dab8bca57a8a0d05bf9fc6e351f18e61267e46888c1b0befca40e56dc137 +size 717780 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-341-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-341-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fcb1795a226b40791c6ddf4e9c2283173f83de6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-341-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:80c29138da19d253264092b5f9ccc3fc7566c62ba72ce70780f4a3a22e8ea7ff +size 717034 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-342-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-342-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9f68c9ffdf9ab47e308911f7b0ac35686ab991cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-342-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M2)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c70047e96e6a39cb74320d955f60188bdbaf08b1df971d0dd0551acae46be360 +size 787320 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-343-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-343-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a051c7865b94e18d16e22b46b4d976a72ad25e2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-343-Matematica, 2016, Subiecte_Ilfov (M1)-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fda4cbb351dd56d2aab6f7dce78e4a9c744a69945fa56f77906b27e9a4071c3f +size 753530 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-344-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-344-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac02d0332a76aa7ea339006260aa50697133a35d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-344-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Ilfov-2016_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:04c0eccb11d8a2c1752de8195e8d0312a1dc92f0956f2a2c8b1ec9248d193147 +size 1088902 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-345-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-345-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6bb6f3a937f2878172c97014cbbedd42eee4795e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-345-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e3db098522aebe7d42177b127047874ada04d61dba0ce85a9f766a3f17051297 +size 2290615 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-346-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-346-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..635130bf3aeb5c5167b50be071dcd9fa201e03f9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-346-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f8ecdc82489c454a5af461761de3a8c99e3eaad90561de75514cc6cb824f34cc +size 2158822 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-347-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-347-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c015b4b439010866d6be250df8e29cb0efe4c276 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-347-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6846ff62f303413ab07bf076075c046ec21d2784776a67d5d885e12ce327c6b0 +size 2232656 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-348-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-348-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fec0e04fa48fe8f6e3fa03f33f232fc2ec14b5c6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-348-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:65b8e4d22fe99ccd559d6f4b32e88dcbab77ac87fc0a5b93eefea9e2ee1e1694 +size 456997 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-349-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-349-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..421028f5a0e23a2b656190984fb7e8cc18d02e6b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-349-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b5d4b489f09da8ae6a17af308cc7f19c63ae1490e2680642b2fb44a77cd1dbec +size 375728 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-35-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VIII enunturi si raspunsuri-cl_8_enunturiraspunsuri2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-35-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VIII enunturi si raspunsuri-cl_8_enunturiraspunsuri2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d75c0a05a9dce153bd25d9641a85dea8e0a36d73 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-35-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VIII enunturi si raspunsuri-cl_8_enunturiraspunsuri2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0e1fc0ec8619f238110776d01f2a6bdc531de913444dd98e2a5c34407608ecd7 +size 164298 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-350-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-350-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7be6f1c33599904d3b36c579d8e771f5b671c975 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-350-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3786bf2dfd1ce26b7a967e868b0d6c387cf962768d29fb03edef2c97a17b6ed2 +size 338665 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-351-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-351-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9675b0c944ef7a6eac8ea238b07d41561bda6a75 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-351-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c4b8c977d2c13104d6fa639f79a02a71e9671624a778f4656edd9ec5e52fb8cd +size 280109 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-352-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-352-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c17b18d72299e5ad0d9187bdebf55b41aaf3f6b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-352-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Dambovita-2016_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a5751ba4b49f3bcf02624f909d51a8544d30244bb3ccb33ede608c6164fd6674 +size 2154009 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-353-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-353-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8593ca0699d8562393c7b5e772c88f113247fca3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-353-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5a75dc369fb0c6ad42a7e8d8db6bb0186e5917d3abcc738e8e9929b49074eb27 +size 41913 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-354-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-354-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0383dc351528b6f79551f74757791c84180005ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-354-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:098b24836bb1f2538f9242883b8918179d40b8ae1fa46ded06a64b96a03ff040 +size 41299 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-355-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-355-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9245c74eeeb92b0de343392c9da81e7e843f07cb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-355-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c9f5267833d3f8b23bb0e30b594341559e1571b6e7fb11909c69106b29aea0cc +size 38221 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-356-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-356-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45f7f11f6a1cccbadc1321ff089999e35c080cfa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-356-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:192e6f71d471aad76741a1c2cda6aaf92eaefdc8684dd5b83ed45c851f9006f3 +size 31154 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-357-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-357-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..837de46644b234ff4826cb15ef7857015fb41303 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-357-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:17fc1d2e56e6828d789ce7d0d28fba099f7d7f1fa19b521566a7b52e8981499d +size 33833 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-358-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-358-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b120bc1f5dd58585ece0cde299026264450f8a7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-358-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e82bf7e93baa01b16c5c8cbcf52b49d51eaf95f39de37a667fe110076482ba8a +size 31168 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-359-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-359-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea82995ff571d73cea842bcced5af12bae378638 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-359-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d4189c07f3f4814a4c44b0d24c945f372f758e888aa97c52e92b2ee727d7f34 +size 29153 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-36-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VII enunturi si raspunsuri-cl_7_enunturiraspunsuri3.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-36-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VII enunturi si raspunsuri-cl_7_enunturiraspunsuri3.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ece882c7478b385e5b97f33b90865f3f58e86bc7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-36-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VII enunturi si raspunsuri-cl_7_enunturiraspunsuri3.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d8ff75ad4b32bd5582a80ca8c6a2020882342d6b8ea529d02ff35bb3575962ca +size 164134 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-360-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-360-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4cf4d847c063e5fca04f61afccb5c7a5a73dc545 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-360-Matematica, 2016, Subiecte_Hunedoara-2016_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:24c20d7be60135078c50c8675cb396ed6c4333893402ae80be4f335d5b1bf34a +size 37909 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-361-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-361-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..762ca509cfd6d92c4167280c67dcf57c32f4ea58 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-361-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b08de6df16047fbfacbc3af62d21619ba440c92496d8ca9242cca14ae4ba8d50 +size 421969 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-362-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-362-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9fcb99d61cbe5e963506892f1b34d80601c3154b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-362-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3fe662f8f718444d32938f137f6e393cf59a7371aab625723f0107536054612b +size 450999 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-363-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-363-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dd2915ca3d52bcb10d2f98f3ed1ce0d4d2c4a272 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-363-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8ee57a7255bc79d469c8015d5c39ad5b965acd5d8aad004e07fbe9afac1d36c2 +size 390835 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-364-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-364-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..695de6c3dc320b266bf58ef4701bf86c0c649265 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-364-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:97b8dcfb30de8524067d3c023a442f772d0f9369328972abbf1949f53faf9fdc +size 649067 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-365-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-365-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b0706a011c42f561912d89bf35c11ee01aa0e474 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-365-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b8e65b78bfe339033de94a76076a174da556dc1d4be24dc33644c7172cf76b8a +size 425601 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-366-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-366-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..04514001871af8f21aa4998401fee9e6c7b3e4d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-366-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1da4e882d292f24e6725b451e3dbe02e342b6fc6cfdd9767809b340c9ebc33a2 +size 414550 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-367-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-367-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9abb0821f0e33d79a2d2c4b341eac80faa3db20 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-367-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b434ec06dfe31d4aeb96260f0690f6c22e3cf72ce13e4f2f2fad80896bfbfd06 +size 389630 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-368-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-368-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..559da8284a8e8b3d3efbac20f25dd82669c0941f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-368-Matematica, 2016, Subiecte_Dolj-2016_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d17113ba26bd4d8b9cc09405df5e02b1abe062a4a9d55565076fa47b10a4c17 +size 416966 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-369-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-369-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9db0e5c2d66d5edf7be89f82487741ba83d022a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-369-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5113370057e0d993dfe63ff326309af0ca649ba90bf3e63b077ee233ac9b1edb +size 333987 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-37-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VI enunturi si raspunsuri-cl_6_enunturiraspunsuri2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-37-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VI enunturi si raspunsuri-cl_6_enunturiraspunsuri2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b4fb96aa53ad7d440554df6dd0c864a9d3d400b2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-37-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. VI enunturi si raspunsuri-cl_6_enunturiraspunsuri2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b008af19fcd516db8f6aa035e345827581c62169fdc6bc03e3456b67db3b3ef +size 173658 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-370-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-370-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8a0d05b604ac536a3f3c7aa42330699f21d2b1af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-370-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:29cb29e547a7d20050a6e748a3bcdca33e8961746cb4dc6b82009e2a64c3cf25 +size 413544 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-371-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-371-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c44393461bafe494650354cae8358414b6818fd6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-371-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:da3197452b43f665c874aa36a5ffe8f080a3bb63d64a0b214e37cb590a82c7cd +size 444397 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-372-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-372-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc2d3651407f666121497b77803e50fec6924a46 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-372-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:140689511ddf182bc8e9bf310d67c4e520465028e776d1c09fc6c14d914dafab +size 361115 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-373-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-373-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..faf7b14a506f04be48581330dcfdd1c5fa7da957 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-373-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:73223fbf8489a323542874c22fe51718e8c7b00338d4343eb9537b7ca64517ec +size 336404 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-374-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-374-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf950a3749ff5ba254df5ca92800a83bd7fd175b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-374-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b8c1c848c84ba8964021973d0c53bb82b6ac2115cf8d0adca0d92f67f4469e33 +size 342239 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-375-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-375-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b462b9fcb760041cecedbdb0c00790ff959ccbb8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-375-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:72ff118e0808717ce2cb88e5bc2553ad5e7de1c24d10e815b4301a0240617958 +size 304418 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-376-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-376-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..507234307d2265154136dd6335b6109e5b53f261 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-376-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Covasna-2016_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d9d8a07f3fc6a69c1ff2f148e4d0dc3adc6663aa802046880acf71c784d59263 +size 873834 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-377-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-377-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bcdd13f3d41fa8bb16fd1cbcd87323634722c66e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-377-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:04d1994f6a09eab9d1a1c823069b66bc3e892973bdd9905f6b52f06b754551db +size 388009 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-378-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-378-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2bf463e67f9a52ddc965cdaef19bb44afe983b8a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-378-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0f17faa74734ad891ec2f7edc07b28a7da2088cce2483e4426de6014dca9d72f +size 259242 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-379-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-379-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6982e9c4b18e0a5545853bcb6fab66c37b481dba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-379-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8ad46538eb7530b7985ec9b29a2605bbd0baf68190ed17aaf45ad72e82dae258 +size 359524 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-38-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. V enunturi si raspunsuri-cl_5_enunturiraspunsuri2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-38-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. V enunturi si raspunsuri-cl_5_enunturiraspunsuri2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0fb97d75ebc24b0835705f1d44c70e5a2e9d7654 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-38-Olimpiada Nationala GAZETA MATEMATICA 2021 Etapa II - cl. V enunturi si raspunsuri-cl_5_enunturiraspunsuri2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f09250738d4b7f0d7b16066dac8177991ad227fb06adc12b2f594c11a3c57499 +size 149815 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-380-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-380-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a39b743250100ccd5c6cb73186914dbb8ec68e7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-380-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a42db32f0db16662b25a1c973e0e9fa19d62b2eaf71512da3a57dbe37e0b7d56 +size 427686 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-381-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-381-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e2ab0250afb2f60bdd9c78efe109a07860b1e475 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-381-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f4f89fac29f2568f44052f77a8b706546382504779631e274174faadcc916fd +size 354692 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-382-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-382-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26db4ee803e146f0be23ff71b38dbadb28fc9328 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-382-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20b4d5c10a7bb3ee552d263debf96cbc7d234bb0b726d8e08eecdb19d130067c +size 312680 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-383-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-383-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e3dd221fd667d5fe0494bd983693be2a65f073e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-383-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3025a5ce8ba77dc8d45d636e9629f224489f1f7fc2dca5f6a09ad677787e4196 +size 427090 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-384-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-384-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4fa4badcd6cc7a34863038c5c3afecb33183def5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-384-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Constanta-2016_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a7ee09d601135079d1e528d3d814cc722f33e78de0c847e760f71f298c7cfcb +size 434524 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-385-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-385-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d3d60caf99dfde6c8fd5de179a1b3970c14a7ad --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-385-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:80a87da2225f0b2162519eb93afc711bc29685c60de6b6f1f81020c71e657248 +size 300473 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-386-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-386-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a0e9a039525b8852c3e50e7a7a85feb1e7df516 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-386-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fafe8a47c2f73caa027c0d392916f78fa077fc74979553119441e6f9ae8789d2 +size 247220 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-387-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-387-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e1534a3bc970aa5c767da4098c0548eff05e8649 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-387-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9b8ed107eb44a763a6dd122d8bcde40dcdc6a39a8a5ea90251c8cf6b0fb1e2b8 +size 253326 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-388-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-388-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..701d9330891eeb8b5687627f23fefd2a5fbab0cc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-388-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6103ce0fcfff69b2255f74e5de6d37602107f78aa37d8b15f03aa8329663ca87 +size 531166 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-389-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-389-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c25d15e20364dc4d5aa6bd8e5e9d581c2edf31c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-389-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fe19d5a9e152b66ec809900e537c5708b2f6addf205b22d543a3f777697dc035 +size 800909 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-39-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 3 pentru SENIORI 13 iunie 2021-b3_seniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-39-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 3 pentru SENIORI 13 iunie 2021-b3_seniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1668e076d4e099dade053a1fa782e518e28ca083 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-39-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 3 pentru SENIORI 13 iunie 2021-b3_seniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:676b879ed04cbacfeeced68d8d1247091ab52fb8f3a76a1f8405d8bedf8a699c +size 143975 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-390-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-390-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87c0cb9eb1a901bbffa9b2e477ba0e70526ab663 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-390-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e847ae0511f45dc34849acf6cefc53a74f662a4ac292cb30aef32bb76a1c8f80 +size 778192 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-391-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-391-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe3456c3622e7a7a2bb83fbd38256aa3309e4f29 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-391-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:979ae9e0b177c8ed4694ee970d95bb3eff4b2cf79009b60fda291bfa29a7a812 +size 610417 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-392-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-392-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4222f3a2439d80a23a2e8649fd20a074a9aa663b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-392-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Bucuresti-2016_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:97504458891c927c954dc8e284175d206616c61cd44b37f1a2046dbed98142cd +size 259277 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-393-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-393-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..534f56368dd7991e5da638d46bfc8b49ddc64154 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-393-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bd51a0bd308ecbddc52a0c04325d2bbe410c9be9fcaac7f53dd9928a19452e1c +size 137340 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-394-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-394-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..91a788fd99d6c7764cb615b07e2a93889a835cac --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-394-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:905753b3cb95e0ddb9bafe2a05be813a7aa79209439d01897030010b7d153b08 +size 123755 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-395-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-395-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14fb8d2a4b460067b7893bcda2ed90728f65cdb0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-395-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:91ba9bd5c65377b6855573f624c4087e6e13b4657387c62edabd4aed8b5716c2 +size 125014 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-396-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-396-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eaadb268f16250b0e663517e06f4ec7c83c11da5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-396-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Alba-2016_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:811d3343daac20c6ef84f36cd34b582b58ab3c0406c3cba4650697257fff0607 +size 93252 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-397-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_viii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-397-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_viii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cab01cdeae19c397575008c8ff559b0c0ed61ef1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-397-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_viii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a61a6a282b22509659c2cb3f449873d90b2d364a9f4f922a0ac8354f7b30352b +size 223119 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-398-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-398-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..039636977df182197b954d9cb61a67c8023cf24c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-398-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e287f71056d62fd729984035d175ae195cfca662917c6c6bc245bfc389be16de +size 211473 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-399-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-399-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8457ee362577393468d7f8d87b7893759eb29895 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-399-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_vi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:403b78c630c2a14153dc136bb09e677a841cba3fd2f1c355c0b6499ff090ef5a +size 228698 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-4-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VIII-cls_8_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-4-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VIII-cls_8_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bcbcb26bb4f448c161fcc26eb30ff6732e6e186d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-4-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VIII-cls_8_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ba6b8de2eee85f6aa00a1a3c853162e21f5b2bec5ffeca2b6955b533b33f2d21 +size 1548297 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-40-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al treilea test de selectie pentru juniori-b3_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-40-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al treilea test de selectie pentru juniori-b3_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d29a01daeda4cbfb2f15b95eaab952e8b1a6426 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-40-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al treilea test de selectie pentru juniori-b3_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4a3bc441be970439fbdc485bd0435e676b8dbe34ad704c8bf16bcd7030a791b8 +size 423469 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-400-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_v.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-400-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_v.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9841f69ced6e19bc29ec009c86874821e318b63 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-400-Matematica, 2016, Subiecte_Gorj-subiecte_gimnaziu_olm_2016_clasa_v.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c52841ceb0c60594d34b0841755ebff7f02ae356f1752d6a1db83e2b96a624b3 +size 323639 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-401-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_12_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-401-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_12_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7efab1c9bad3865f1178cd5fb8b51b7a4a41bb3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-401-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_12_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8044fe49541102d259b69af554a2fa26367a8909ba8040fcdba8fd68ec6582fc +size 202933 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-402-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_11_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-402-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_11_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0a5a0627fc3405585f355765eea7ae5c3052593 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-402-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_11_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f65f7e0729a63c26c72cf769bc7ca1ce58e4ef9bb90145f353ddeb87449eb148 +size 355427 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-403-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_10_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-403-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_10_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bde05682cb66391a343f33ed450399b9298d0a3c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-403-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_10_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0c10ab8d93a352be6ad5532b39c5af8e0cf1ba7cf7e182487872b5fb6cb2ef2c +size 199014 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-404-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_9_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-404-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_9_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4d632d98314f18d76eca2ccacf62329ffd9692f1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-404-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_9_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1272f2e46e4e4b73bc761059b40ffe6b0a184b67717bb6af880b3aa98174bb52 +size 214561 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-405-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_8_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-405-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_8_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d42d98db618c40ed7f7a4f362f2a67a48c2d9d6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-405-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_8_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ef703011e9b79a536a080587ff93bdb7e08d19a951a7af2b2196680b5e0a13c +size 286176 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-406-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_7_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-406-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_7_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..262817b9d677ca337407f6d2868082fcdcdd986b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-406-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_7_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a50e6746f4686ba5c18a2898483aad9e0b017343fdf1e9bc21020c5f967f5d57 +size 156292 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-407-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_6_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-407-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_6_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb0fcddb1ae110ac80dd8da06b1ff5d6b407d2bf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-407-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_6_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:273e3389cf4148ee7b77f73e6de716ef1e4005b215fc3fb61dc6f9d660a1dcca +size 318377 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-408-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_5_etapa_locala_2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-408-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_5_etapa_locala_2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..264f3d901b9e8e51932114e2a4026519b83e5a21 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-408-Matematica, 2016, Barem_Cluj-barem_clasa_5_etapa_locala_2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a7e227f3981a1b30003f7f514f7d5aff327dab33abe7f7031053c771cd5d3beb +size 251362 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-409-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_12_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-409-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_12_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4c617d2a2acdd6ed91e0fc1b1c37c753562826f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-409-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_12_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6a83c57efb12e6710b9c584cd518f2955df7f8442e2ec48e8503c71219b6bf27 +size 397798 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-41-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 2 pentru SENIORI 12 iunie 2021-b2_seniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-41-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 2 pentru SENIORI 12 iunie 2021-b2_seniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f644921d2e45cfb1a7b10f651e227978d443556c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-41-OLIMPIADA NATIONALA GAZETA MATEMATICA 2021 - Barajul 2 pentru SENIORI 12 iunie 2021-b2_seniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b7820f7b4dfe05c692294c81d6d4566ccc76b701e02dbd398b542b510127b966 +size 120991 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-410-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_11_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-410-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_11_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17b174124d38a85f9d174c678183de4f341e5575 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-410-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_11_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20557e02fbfe3fbaccb9bc7d2b33ec09a5e702dc0ec817deb82a9507351ff6a3 +size 399838 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-411-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_10_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-411-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_10_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6b05512da3d30dec82edd050972e8989cef8cb7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-411-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_10_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bb5169e6b0104fdb6513b6a522ff866fa9b6dab6084de4b7bbbe34240e1b7089 +size 394584 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-412-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_9_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-412-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_9_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6fb59801f6c03d201857d9c0c79c2a9cb6e50e1a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-412-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_9_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aed6cba1ed6fcfdffada90911eb0f8c8879b448ee3bb9839b1a14927dcece986 +size 287583 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-413-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_8_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-413-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_8_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aacb55223fcf0714cc079e4471713bf41ae6fa82 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-413-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_8_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e5150374f6eda2815b66aa1b322b81a87c418cda48ff7468464c117e6bccb166 +size 463684 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-414-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_7_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-414-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_7_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7beecb014f4a034d09d2235831b641f0b4069c0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-414-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_7_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6ac5c0d75f65c0aa2416d85b5c42f23722d6061e984f5492d89dc7aafd3ba371 +size 401954 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-415-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_6_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-415-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_6_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce44ef7d3292b71ec8be5a86310101caf6653b9a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-415-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_6_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ef650931f87cd2f5dbaec4b7198c4ec1b8bf57331ab2e5ffdd577de2a2667bde +size 383086 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-416-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_5_olm2016.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-416-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_5_olm2016.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed8555cc77cff8b0ebf179f00be2bf85622f80d5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-416-Matematica, 2016, Subiecte_Cluj-subiect_clasa_5_olm2016.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:30e298524870d5afa7f93c7ee76b994159f9bd5864541d7a6977ed369adc629f +size 424160 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-417-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-417-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..63e26f645799ce82d64811728f393ead6b02fbe6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-417-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c3404a69ced899e94ea16d2ddd3166ebffad3b1558c3b61dd1e89ebeb63c1ab6 +size 509769 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-418-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-418-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..160f80211efdd52b15394051c6a6e910b39965ec --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-418-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:16a44abcef5e953268b02c8b6c3b142d2c0c4b984de707ef21e72cf473bc7002 +size 379817 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-419-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-419-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0e293a5752ad7fec6ca915c809faa094abc44e67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-419-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f7255f37d892269b778f54c5a6c106a26cc969fc68c4408c0ee484e828e19df8 +size 393056 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-42-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al doilea test de selectie pentru juniori-b2_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-42-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al doilea test de selectie pentru juniori-b2_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be748a6c79bfb8ed401f8bfb9bb7525b251777b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-42-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - Al doilea test de selectie pentru juniori-b2_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:78a6cd67f1797582778ac0db1aebf7af1e866f71c58b129518f82f4c01b618de +size 416857 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-420-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-420-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6e6d1af522c3d65a21044730fd5e7838df4302e9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-420-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fae6b8d7daf3fcf656f8762913518659fafb4cef8686eb378427bd669a770a63 +size 389745 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-421-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-421-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e406eaaa6f2eb9c5115ebfdfe5c3246a991d8ef2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-421-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f975d610010004dedf8808643b0fbca9b1e1729ac7816250d285cf034a79f18e +size 392990 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-422-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-422-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee32b511b95585fc8925e73e0f3ab8f700f74988 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-422-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5e49deaf8b90dd2be272369abb9628820b96fa9375a9d296d1172b0fdbe9f129 +size 385472 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-423-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-423-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0dfcf69ed5caa3d8e34ddda4c5abe6a51cc30ff7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-423-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3bf4874f1fc928facfebddaf6ea5beb286bc2e61abf35526565d159103797a03 +size 492398 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-424-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-424-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..44d99c11205d5a5a984edc2ed7ff6b1ff24e52da --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-424-Matematica, 2016, Subiecte_Prahova-2016_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9bdd319f6d725dfa3fc40abfe268c01520e53e246fadf98555880efc5f700b2f +size 392837 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-425-Matematica, 2015, Subiecte-2015_matematica_internationala_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-425-Matematica, 2015, Subiecte-2015_matematica_internationala_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9f086e7b1bcd1e6f54bde0946e776f983b9cb89c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-425-Matematica, 2015, Subiecte-2015_matematica_internationala_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5ebc0b9ca0072932e088f6fd22fa19625544e3616086da2aa1280d3a791dbeb2 +size 1061357 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-426-Matematica, 2015, Subiecte_Belgrad (Juniori)-2015_matematica_balcaniada_de_juniori_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-426-Matematica, 2015, Subiecte_Belgrad (Juniori)-2015_matematica_balcaniada_de_juniori_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ac86ea3d44bd9f35f079f3eccd0b740ad57bbc7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-426-Matematica, 2015, Subiecte_Belgrad (Juniori)-2015_matematica_balcaniada_de_juniori_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9b31007c76a1ff47c3647d7081536f5d570426546726d81e393a43adc66b13de +size 581812 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-427-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Atena-2015_matematica_balcaniada_atena_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-427-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Atena-2015_matematica_balcaniada_atena_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8f71dce786a48c061d2c9032f88979d505c2163 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-427-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Atena-2015_matematica_balcaniada_atena_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:70ff712fc3b78854ae4aa483a643edc59da0c38ad10e46978bc3b82ef61cbdd1 +size 628006 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-428-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Seniori-2015_matematica_nationala_seniori_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-428-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Seniori-2015_matematica_nationala_seniori_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1f078a5aeaf1b71cc69e89a4fae1f03b2d7db0c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-428-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Seniori-2015_matematica_nationala_seniori_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:de1afdf1e8e1e3a2c683480a7c0dca8e966cbadab5ed37d53d19824c0b419691 +size 157416 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-429-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Juniori-2015_matematica_nationala_juniori_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-429-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Juniori-2015_matematica_nationala_juniori_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0662f7d34dd7d3ba348f94e4fc83edcbb9a20b22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-429-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Juniori-2015_matematica_nationala_juniori_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dcf9c8b2142712424a3fe39b98fb64f4244854041a96938be9431d275f32e25a +size 111733 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-43-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - primul test de selectie pentru juniori-b1_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-43-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - primul test de selectie pentru juniori-b1_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..370b2085d487670db2c8f10e6785d119b15e3ddb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-43-OLIMPIADA NATIONALA DE MATEMATICA 2021 - primul test de selectie pentru juniori-b1_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f5c76fc88288766c8cc9e6b3411f23b1f19d2d77f71a8c93ff0d93675d926314 +size 414173 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-430-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-430-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7bf21d54df9aeae96b51bff6f4ddff8dda30c4ee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-430-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d2281b77057522211e18d8282c0152b3764ecf39a785be2dc76083be6138165 +size 247604 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-431-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-0_2015_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-431-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-0_2015_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e941568e5b33861f852085042dfa6f29dd90b43d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-431-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-0_2015_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:79d4f090c688b302814d2fd38e3e78d906a0ef0e435101e85978cb4365b92826 +size 261696 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-432-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-432-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e941568e5b33861f852085042dfa6f29dd90b43d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-432-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:79d4f090c688b302814d2fd38e3e78d906a0ef0e435101e85978cb4365b92826 +size 261696 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-433-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-433-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c8e10337f2f570d520e1243fe55159b21b4c4ca --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-433-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8592c28618b9d9eef1b33fc9132a83d241adf5c9f9f4c146b39c0da0149eabdb +size 231584 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-434-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-434-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89a7260e83e23aee5a8a454a42e7861bb119aff8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-434-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:643ce535fa41e5a664b383bcc2b994faf233ce65250827b4386b5eae9a7d8410 +size 176406 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-435-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-435-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..badaae69c9d2a354a940751b13e2deb7771f57b9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-435-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:09698391d13fa9c40fbe6619bdb94d42f348e1f1734b4cba57fce678950ac977 +size 226340 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-436-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-436-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..855d7d495b4e30dc2cf9ddd796f35c61d43910b6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-436-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fba0926646c4b073823c444ad8b44c40247b136f4d83a30677c92d05af8cb05f +size 231475 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-437-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-437-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..224b3dcd400cced106e3e012ae2b2a01c4662205 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-437-Matematica, 2015, Subiecte si solutii-2015_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:43cbe5e157b7c66edb950f2e71667fc52cc519a3e65b78132547e1efc4bdd3e0 +size 239418 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-438-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-438-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34a232d5e44da93264759e870c2d3be39ba915f6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-438-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3b8e46b33a9b40145c319bf83c450e64daf0397274445392f8c87447e1c13d1c +size 478819 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-439-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-439-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..065a86e3e44192a13b7788dc7f15c408d4cf720d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-439-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:73816ffc624b8cceff5a4c3126dabaf137c883d6c6c5f401ba5e83642268e9da +size 387723 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-44-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL CINCILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bv.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-44-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL CINCILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bv.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4a8b98230859b2dda9aeb821a24df5ce2768060 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-44-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL CINCILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bv.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:badebc05e39b608028cb775d9c80f7c2469900f179297c0467bf9d481976daef +size 128350 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-440-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-440-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8540a4829fc5c5b1d2381f5f0298ab97d4d28f8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-440-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c11d1ef67b508458cfa384f975fcff132cd41eb783d70e50c8563baa1ed91eca +size 532488 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-441-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-441-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c4b379ceb5b378ac1f4271bce494d83860634f53 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-441-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:92a23986c58722019b079b8a868bebda63ccb856b55eebf0ce5b566697e8385a +size 341842 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-442-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-442-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..228a2de65fbb27ead0bd706967e75e02b0f9fc43 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-442-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a490439bc599a3fab551a934b1a6daa3a8a57f18fa790f12c8e5998f8a897e66 +size 522469 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-443-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-443-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1dc9afb8eccc2db2b343623efe8a85b3730ddde --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-443-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dcd097e51fcc718f3e6ea0aad6fd583eea1aec6cb6ee9a550525bddae72cd782 +size 560740 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-444-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-444-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65d0cdd84be9d1152487125a0cb7e14e279bd57b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-444-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:35bf4205609d851a2b35b87d998808de8c0383f71f5343c101cd4a38c044907a +size 472442 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-445-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-445-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02c31b4d136f4f5909e5da9427145bc8e8f47743 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-445-Matematica, 2015, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2015_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d83cf213b8b5858fe058cc8bbe8870b9182f65e6bf6062d531eb2b979c78c3c4 +size 541264 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-446-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-446-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0fbbdddbd959f9b40120972b54a571255330431 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-446-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:602a262d8001cd7c462acc9592281077da55128cd2a06b40e1bb4f58149cb715 +size 483161 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-447-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-447-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bde9edfd85c1231b6cbe0a65c8a04004494ec231 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-447-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:869ec8135131c863024dff85221d91aef24d2b41315cb1d3d5b2b2b643a2110e +size 386603 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-448-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-448-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e53fa7513869a3b753538c60618042411e82796d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-448-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:66cad8a93966f8b62f3178ba22414508a0e1939e61d579cb75c10aba9bbb1358 +size 533575 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-449-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-449-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89b7f2e2db3cae527efbb66dd0499d78a34e76f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-449-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f6045ce25e08f464ab16e5b20107c005037eab2e09f274409ca512b905a5e067 +size 340162 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-45-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL PATRULEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biv.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-45-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL PATRULEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biv.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe15e7705f949b60e5eb8eaac474b81ac798efb7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-45-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL PATRULEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biv.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1a9a22326ffc93981ca5dbae0f07da52e238cbe8e552c10d39875236a7866914 +size 146196 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-450-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-450-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36fb0fc39778275e26e0d21817a8e3d293219927 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-450-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e5e80af0d310ca00edfbc13c8cbcc70a543f1f13ef21b8c77f8f0f865b35dae1 +size 522047 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-451-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-451-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8a3e080599fbb58bb6cb027684e7fcdfad5cce5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-451-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f106ff86663e7ad8d2b66d4045ab206251f215ed47ad4da8e5b9f570abb6bb21 +size 559395 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-452-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-452-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9091daa7a3084f885bbd07f659eab070850e8290 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-452-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a8dccea8e2016258714da1ead079b70944dfdfab0b1faf5a97c6ec6d4c13a250 +size 471978 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-453-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-453-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a3cbc8aa45abc0a32f6762be4afca222523e37e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-453-Matematica, 2015, Subiecte si bareme-2015_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6870678291388db835f1e831f95bf2cdcc212acfcdc77039cceebce9bfc761ec +size 424635 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-454-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-454-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5880dc356199fdd94b117eb4496f9013d9d21935 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-454-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m2_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:27d863f7bcaed49862fd82dc79dda49fcb83b3d30981f9517d8d4ec31d088eed +size 1205745 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-455-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-455-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27d9d3c41d04945ca70189dc7e2918549d353601 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-455-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m2_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5eb14b47f131277ff0ac5fa3340779931f5cea9b00ab474f3a62666780dfce8f +size 1285604 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-456-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-456-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dbc803160b3e16f8e66ee101de041d926746c55d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-456-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m2_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8ba92305c7a5202d2ba44929d43a02106ff63be050cece9b3a4c41f373823752 +size 1124715 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-457-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-457-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..00643e0079126d298782f56a36e9d85df51edd1f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-457-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M2)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m2_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1335b2d8269d3b089af3c32dc98669c033414fa039d14e742c339d987a9f6b67 +size 307508 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-458-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-458-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1b7d5582c0d70d59e9a1aacd27c386f22097327 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-458-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d15940e07c43b5049a6731c810411c0c459aa0173fc6166f4c8eb50fd9518b1 +size 247336 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-459-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-459-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33f727c81c288579abed50aeaf66c505020c98f5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-459-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xia_m1_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cc82f693fb171a3ffea48dd1c17eb83a694e32805e3a1579b391804edbd38cd2 +size 284200 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-46-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL TREILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-46-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL TREILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e0ee014d55ff7f9d7106217cc4fa039f1dc18e3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-46-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL TREILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_biii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3937db392a069c6b94a2ab052cee449e3e1dff2b04026ca687ee5a5d610378d0 +size 136467 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-460-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-460-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c2cea20a736cfd25a370cc018dce0ef305229a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-460-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_xa_m1_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc998d54f42a61e79592c67e83f390488a1dbe823d8061cf07ed51ae0273a74d +size 242718 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-461-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-461-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c583c129ab9f576d3a2ad7a755d3f444b62ebc67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-461-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov (M1)-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_ixa_m1_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6399bf0652ee15601058886945d70b4c3646ace5329ebb63f89da2388d968927 +size 246005 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-462-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-462-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa1b6233352bd36cb637a75472f0cd5700fef5d0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-462-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4676415d6621a8437f258e10442822cfe4daea9c87e4f02097c687e1cce15396 +size 1341544 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-463-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-463-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4fbac12d0f76749fcecdb5c8495ea2113968092f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-463-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:52bf0cb0b8ed62b77fbe8cea5b48fe676aa4f0bcc221a5a2ad6d3ab1fb610024 +size 1239185 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-464-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-464-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7828eaa17ca2d18147de5af1cf1410146dd33af6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-464-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:586aacc761c575d00801b97ba35ce977bcd9e90402de3b6837a73422c4c68b59 +size 1370473 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-465-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-465-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6f9f209681a0d7de5ea22485f43c0ef1135d22b0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-465-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1cdcf40137021652597ebad7a8da6dccfdd0b9fe322bac2ab00feec17281f917 +size 1173684 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-466-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-466-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..20561b257c5f6a4f63304e02b060dbce017c43e5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-466-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Ilfov-2015_matematica_locala_ilfov_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:76cbcd120b6316dafb717fdc3aa22a059e396f2c9646fa80f3e7417dbe13886b +size 1247171 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-467-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-467-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..116353086402413a208e4ab20505f1b493c176d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-467-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b97dd15ca16ad09927055c81008a986f5e3ca254eb215c686e2281261f6022f0 +size 712640 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-468-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-468-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..747e2d6abf5aa159e8f9a8b4baded467265236c4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-468-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:67f9acdd5778eb43352011ecbd5b7f492cd94cecef1cdbff8cd8f28b22dcdcd7 +size 1265864 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-469-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-469-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2f0498acb1b36cb24c8e42c136217371a3aec54a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-469-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:abecd03ef779d9da67c6540d8a0502f2c081f97af5a19f69e1aa3114d2c32ac6 +size 576697 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-47-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL DOILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-47-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL DOILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b0d7f507ed1daa610a99e21dc67cc636811839c8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-47-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 AL DOILEA BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori_bii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ecfdeefdea8279b7de1bb4a959ef78194f464ef0e94f270bfc401c29587f8a3b +size 331843 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-470-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-470-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bc575f14dcd15dee8c4a086ebc75ff6445607be2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-470-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:97c66527f8019c8f71a83253afc5fcb227f26d0a9b4bab14446b0541687187ab +size 1011580 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-471-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-471-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4561cc71ed21a98932ba40cf8979d6b6d495654f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-471-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7749b9654b87562e2cfdf25a31463fee3a62d70c40ad447f3c39fc444b41a896 +size 564285 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-472-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-472-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a06938489392d2c1e390564b0fc751ca306c522 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-472-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:424c6b7b7ad32983e532b5ae499eb7e17e0ce861b32339d7de2bcad5b2246f8e +size 557593 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-473-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-473-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c0e159bdd04211d8dd2ef4d8656c0170b1043cf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-473-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0fed1620415e8ed0dbd38f089f524cbfee1689006df8595e27841581def4522e +size 549513 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-474-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-474-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6bfd4497e9d18d0c9c6ffbb78bd4bfe60e118d42 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-474-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Teleorman-2015_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c1dd63e451a631ab2399ab0895270af3784afe5861ec48dec93f67bb6654c0d5 +size 660233 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-475-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-475-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..950a26eef026fd30305dd67f1fba06d94093854e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-475-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8ffa4def5e7ebdfa9373106b93762ef6c629739c08940f26888342cfa908db2b +size 498031 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-476-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-476-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e6abae3a41becbc3d4487e7570340a98cd7d4dd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-476-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:578fcfb3bb705b202af052bec292de90c4f7b85c45e9cd34bb80ca9c61fc5256 +size 223255 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-477-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-477-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f29307d4aaab2234bcf5b34c371a5da37e952934 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-477-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:321b6df84e1efd85ee09be643d4687987ec9d1fcccd57067e9ac2d6e8ea64c93 +size 1107373 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-478-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-478-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3ef63e58cdd0fd80e1ca1b20251c57a522e7445d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-478-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b6b2971ed2f10f4e3fdd5582aefe57b94fdaf38a810432828c6a05bf791461e8 +size 1535487 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-479-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-479-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cfc0a80413a1178cee9ddab69817d271d2a43caf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-479-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d7809f9c295ab3ce23fe44f6596d088ba6317a40c0fc33859902940e4149c04 +size 785263 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-48-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Primul BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-48-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Primul BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2499d6009c6901841f775d67dd48dc3f95c45288 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-48-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Primul BARAJ pentru Olimp Balcanica de Matem pentru Juniori-onm_2018_juniori.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fcbe6082800f37fb67faff96d92be23aca22b5e22500536bf154a1a602fbde66 +size 174707 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-480-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-480-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6151d208203de8de9b01cbeba2ce5b90f4ae0ec5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-480-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1c69354163c2f0bc912ba0dd376a501f88e73ae95634e6b9a3d9560dbfca1b38 +size 660827 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-481-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-481-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..803d9367dff4b8e2461c64b3fd9dc9d46430223d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-481-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ab889fe36d53a6c3615d38b7add21014d02a35529e5e421726647a399d0445e0 +size 677647 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-482-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-482-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72ce185f6dc49e8485f615cc7095467996d751c2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-482-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Satu Mare-2015_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:36dcdb93d5a3a8ac680490746a9e3d461d7a243ece6fdb1ae4c9be0527d31447 +size 1066230 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-483-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-483-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1bc5eaf57fa925671fdbc2a69b30d0c3c963a935 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-483-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:24b8557df2c7719d4504158ccbe76286dbf57eaf6d83a27e9e579c09180ec4a2 +size 498522 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-484-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-484-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0dd6f994c0a065b4f7ab859e2c6629c02cc972f4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-484-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1f9f92295aee88e003c7142739fc614697c93d0744f4123969221b313e41dd33 +size 395557 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-485-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-485-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d35c269f7b246f20a13763c18b970b182ddf1d8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-485-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0350272a125d4598fe8e911ecae8d157cd97fa6f9ff345e553abcc4e86eb496 +size 465021 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-486-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-486-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c090030c1f1f48b845395476778abc42b054057b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-486-Matematica, 2015, Subiecte_Harghita-2015_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7073f2f759cfd47d5783b9cb951cca87fa9e7afcdd46f7b43743e8be4957d7bc +size 496271 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-487-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-487-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4fa099398b93b78cddb60fa1aa258cd2caa0f92d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-487-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:94bb8633656a621e9e1db8ea1efab5221ce842baf524d485be9fab0c5fa76321 +size 79983 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-488-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-488-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c763ff130b062832018372a523b6730e7b3cd4ff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-488-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fd4f65a97e68ebc3bfbd1bd85a22d16a62e899bc52cfc08cbfce942859fb754e +size 82103 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-489-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-489-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59d67ba1197f10af551830dd81039d39fa19a174 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-489-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ed261f4c7e611d0a58a1a688a5d3fc23a90742a96381b3b4c97a47650ddf559a +size 78365 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-49-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XII-onm_2018_clasa_xii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-49-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XII-onm_2018_clasa_xii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4b8d04094374d194039e490644d2334bee35e5c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-49-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XII-onm_2018_clasa_xii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a48b0c5e0fa780d8d0317603ddf4a9d25c8399a4c7b212c513e989af017dc0e5 +size 150193 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-490-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-490-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2fff2664d2a9eebad8e59405b9a939afb7fa4a1d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-490-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6c58e7652ea8caf320b137e3cf5b3607f475a8cd7d3437b8c8704476c8b77765 +size 88942 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-491-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-491-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad7c30b945b7df840b5c9aa9dbc70ec39d3f34c4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-491-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d29b85b80b426195af2bdef5bac3b5bbf38c74cb4542aab1d7c64f7711710cff +size 88641 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-492-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-492-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b7e72e1e8279ff3cafa8563f67641878307be5a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-492-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9bab4621a21affb80ade05babd2bf78dbfa9405844714496c6cba36b8d2a6517 +size 88507 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-493-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-493-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..271f240b6844cb6ba7d0fb0e80465dc9e5518c07 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-493-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:521773027c361734b4b844f28f0b7d0f97d5f5be530f57ab88abe519da8caf58 +size 87761 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-494-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-494-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cfeda527b9518607136558ec48c4159cc9bb581c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-494-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Buzau-2015_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d70b3964e6d2277856bfd20e46903a4384a78c7a3c777410dea662557fcda084 +size 78372 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-495-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-495-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8317883d8295b2f1a8d8bc680621bf848ba9d76 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-495-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd9a3cc03657816007452ae6dd87d6ae689b0123b5ada6b8f57546dc958bfe2b +size 150332 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-496-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-496-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2101589dd42cd0051531df237f62cc3f0baee0a3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-496-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a71b8592a7ccaef5539cd1c7426bf3c98ca9586ca83034ff55f1e293971c2196 +size 178602 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-497-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-497-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..708e8c7da325e121f8818f84d90c41d8135b621f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-497-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:65c3e8b6662eb57e040a08d3f061161403dbb63badb4ee367edd14acfca26ba8 +size 210074 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-498-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-498-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d3912ff2a9a42fe6bc5a98d0fccad8ba05ddeb70 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-498-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Tulcea-2015_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e24e37124734fb9e67856ccb5da9baff4829e35b06754ec6854881a9bf6ee760 +size 205906 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-499-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-499-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f5fba6006faea218b9708f47470c933f912b85e9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-499-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0b06d9e40037c57663bfb61b31cc914dd0869af16c639d71710150f6644a1002 +size 193839 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-5-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VII-cls_7_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-5-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VII-cls_7_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a0da7159745aeacfe35c05fcf1e447edccca1ed9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-5-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VII-cls_7_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b7f721ca40f50623efc9b11b27389fd540e1bca095acfa08efc8a298ee986e5 +size 1540504 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-50-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XI-onm_2018_clasa_xi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-50-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XI-onm_2018_clasa_xi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..729e80cd7c9e1e1a6023af25a74a421f0c046c2e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-50-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl XI-onm_2018_clasa_xi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7719cb1bc5b3968913afbaace29cd46741872dee3fd91285b6e1d3f4ec76864d +size 129333 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-500-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-500-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8872a1f7ba687dc0da47d45a0f43f63ae473f1ee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-500-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5dfc0ff48aaafe8aedb4577b6ec55137054b5e9b13e89c1ae7405a8f30473526 +size 201134 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-501-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-501-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9a1aad91105303493bfa54aa0c5eb8903d8ec5c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-501-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6bc3be4b5596d353b41fb7a99f11fd6cae3c47803451d3a5899fa98f4067aed3 +size 186348 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-502-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-502-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3820ba0e11d1d54698f80d0607bf6918c44fc359 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-502-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:456c677688ba2edb54318dfe6f5da98e18354dde454d142dbd6631734d5f144f +size 203746 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-503-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-503-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62bf44c202db2e08dd75cac738aef62742e872df --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-503-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63deeb40300a9a14e8c9d21bd442a8b68b8f126bef7e1aa6c714bf2447616d80 +size 210815 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-504-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-504-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..69f427e65207962ea34818b8d780adcb918721a2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-504-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5bd757e8aa8f93c261ba6a80f9fe851212952cd2354c813579da045ea21d7bab +size 207133 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-505-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-505-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a525435a3c990f69c01dedeff337c29e3ca2aeff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-505-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a0efc42471e86160b6ce9f3fc0bdb2103612a5cf01cfffa85b6acf2396d5a034 +size 193417 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-506-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-506-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..beba696005f79068314ee6a8e7beb6e5fabde7ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-506-Matematica, 2015, Barem_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:35a0268a6fb55c3d6815dc6564561db7259262fa54484d0a7009c18d431c2efc +size 188365 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-507-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-507-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..00aab589850c88c419f08c77bcfd3ffd1dc543eb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-507-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d693e449eb943ac1b632ae88b82ca8d86940b3e4d1396b9f42eebd2b8bc4980b +size 85477 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-508-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-508-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9e3c31cede014c64f267cb73a9562ef2359f6ad4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-508-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0e68618d7d81b4aaeb06de48d6e131306b865b7f42ae9c0c2a8a3e2876a34551 +size 98598 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-509-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-509-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d33ee8ea9d51476613ee6ee556d4b9a5b93e8146 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-509-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aee65de1922b65769503c7b5c6516c3e22b830e6d01219e910eb00f50d0afcb0 +size 109652 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-51-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl X-onm_2018_clasa_x.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-51-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl X-onm_2018_clasa_x.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62f4f576cda7bcf656afdd9e9040df72c0cb042b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-51-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl X-onm_2018_clasa_x.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2a2a37874d7123c8bf677b090ea69b9015a08c3a3a724ac81c28875fb3e62c6c +size 121326 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-510-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-510-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..173109a23e3bdc92ee27a0313a4747b963aef5c6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-510-Matematica, 2015, Subiecte_Caras-Severin-2015_matematica_locala_carasseverin_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:364eecfb2ca494d5a65d207e2e2b23daaafbff8ff098a21eee62772f4e20d4aa +size 80434 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-511-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-511-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6efab775d73f6376effc771a049d8d109c8d9f4a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-511-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8d1279bc0266834fec2564c701d612e8bfcf1e67844f9144335e7476530af28d +size 335745 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-512-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-512-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a84311fe9269103e6627cbd20d6714ff2d0a698d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-512-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:632b8109301759c840df02913b1250f5f3224baa799fa655b42744d6971209fc +size 334396 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-513-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-513-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7641b1e86ac9d6c907e60364b2544e3622e7228c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-513-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:562b9c2ea117f17e9c85f3c2d3638916e7827d49ff48cd18b9b2d6c89c04d43d +size 384388 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-514-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-514-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ced253a6fd897f396cafb925481c312a35591151 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-514-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:22b513272abf67dac396abfc0999915db58e03f7187cfe44d6bdca8b32ba8b61 +size 347116 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-515-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-515-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65df437ff5813243ba40c1b6ca2b83979a03f38c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-515-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc34d91a507c8366f630b0c75cc46a831364895cb154ed7952e724c2c6fd6704 +size 337011 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-516-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-516-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2040b3a9a10499f2b1707e6f0678576eedddfe8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-516-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8566fb0f4738f0e445bb36ac0d5febb4c9ff894a6ce3f9c17a558194dfa85f5f +size 342487 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-517-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-517-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..84eed50686ac45444b3655bb8872d21a941e57a2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-517-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1fb42b88157c33e7cadb584ab3c4be8aceb72799779fd87862f0a437052f42f8 +size 338634 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-518-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-518-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1fa0271a66af59be2ed4fda35b273697aeab3068 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-518-Matematica, 2015, Subiecte_Prahova-2015_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a4578a0d3eff84b2c8ff77fed3039a5631e10ed63e3b5681882cd6fcec99f912 +size 341809 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-519-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-519-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aca7074524bdec71f3b64acfde6da809f91f4d94 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-519-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3afb76be770078e52d36d2f072b3b73dc7bcd197970b772a3181e87e856de79c +size 539253 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-52-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl IX-onm_2018_clasa_ix.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-52-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl IX-onm_2018_clasa_ix.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a945147823c3907c26e316d00e978b85a26ab620 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-52-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl IX-onm_2018_clasa_ix.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1c4ab48e7e3be9b71d9f8c848ff395bbcc7fe40274ad9c643154c4fe387be3ed +size 115205 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-520-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-520-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e5a6773314d4faf7bbfa39a6561cb96d63e9579 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-520-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:121fc4fd9919da5182e05531b163d43a3c25b7c9568e4504159ae634e39b23b4 +size 538539 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-521-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-521-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..61ae22de39a7faba1f48aa21b49611a58424a98f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-521-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1e0de00354f7dac47240fd4695b4c52434d4a5f178682334d3b5b4150ca5c780 +size 456781 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-522-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-522-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db4310bdbd3c6c60a9eb24f921af3ad3c2937657 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-522-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3ff3d26b982de1ac341d73e54da6b7beb6f9230d797ff6f2a7313e7cd660dd2c +size 482838 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-523-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-523-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77c6c4f2a62720065c6199654b62376c3a211f4b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-523-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c3236d463a5237502ce6d8ba1ee64f2a5db2a2a6949fbe4e1bc0b3a53e3c0979 +size 570998 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-524-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-524-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da12b2b483a1d21c0b478bc544c4c031593c84c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-524-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f5fae6d603453b7a5364396ab292a80e5730d26e589ab51355cd2a9b6813ec0 +size 478481 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-525-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-525-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..16ea3b5da10f9ebf67e2e1475f572795510f7b26 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-525-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:eccbfa6f5b41315ffa94a63612c28c76d75a9b678dcfd2a7f154c4cc9cb3133c +size 447897 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-526-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-526-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..867ed3df45beecac19d64d738546f6f5cbc9df26 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-526-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Cluj-2015_matematica_locala_cluj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:49cf3a6c937fc3a854bc64602d80e6a25f140a42dd7d25b253bde0af2c266820 +size 670427 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-527-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-527-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3d2d56fb811b1a9eb6432d05d67f2c6cd42e28d3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-527-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:032a7ec287f2271e6eeac221aa62f3de2f03a09771a90174da371fe0acbff448 +size 348687 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-528-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-528-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7163c912df5d0d440f657263fecfb6c645c6358f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-528-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b3b254676bcc700713ccdaafb799a2f696935793dd3da70eb20550f4fad57b10 +size 397479 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-529-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-529-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e77b8155586d3ef76ed1f1c0cc270c12f7949337 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-529-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:941475382ecd1da83e7088fb13bb648ca23f300e4cdbda53dab0eacc107978ec +size 395497 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-53-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VIII-onm_2018_clasa_viii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-53-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VIII-onm_2018_clasa_viii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe3e5f70cd4454de0e7c35a61c5f3514557d9ec1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-53-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VIII-onm_2018_clasa_viii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:afa55e657b642343aa5fca0ca38a75b41cd01aa2b9c3f0258e5a25f774db0bfd +size 155813 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-530-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-530-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7057bdc2bb3f9ec9afd1095edb0af0c3734c6582 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-530-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:57b640b2ae63677721cf1827da1d0550b6461eec460c3a09c5fdc14d396c6416 +size 348388 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-531-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-531-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec21c95c08c3f0a991a900c9e1497084d5fd7740 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-531-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d48b1191fc457c94b77f8a68fa2114340d09ef4189c07a49f5a3bc49551944e5 +size 353884 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-532-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-532-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e58acb48087b63702a6b96274d9c0cc1bc335e90 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-532-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6b11ceefdc8ecf748271ec901ccb49486d05736f69b8475d650193e7a502eb28 +size 396616 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-533-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-533-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02702f0445e7952187553036ec60a11dce725e7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-533-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a9533ed37f0b1cda71c1bdc44aa8d05b344db2a108d5c686c591b2e2f1d38b64 +size 416964 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-534-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-534-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d5c5bdab332304432c9a1a3e79b81471cb0f8537 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-534-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Calarasi-2015_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8f6ec255899bd642e61ef74ebfe8e45a26bdee7099749a482a8149184210e93c +size 349777 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-535-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-535-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bf8f3f578f98400e2ce000d0b9fb4bbc504d0664 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-535-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e710ae63b027d58cd261361c08e3973d258b93be0f8f57e8ec8fde49684dc38e +size 120526 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-536-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-536-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a895bd0d1884ae0e40f59ba34de66cf0b9d426f8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-536-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2989889acb574e51c8fe08edd8a29ecc3c31fc4e2cfadd047b138d3576ace700 +size 137485 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-537-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-537-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ca1a9f98de185ddf44978d035a5c57ebc39f84ce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-537-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3dbd9252ad80c63d3a9b16cf29d1baebfd0ea36d2a6cae7f170dea7571096df5 +size 132237 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-538-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-538-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..899e406f001498ca07596573e3b46afecd516c46 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-538-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:eac9320aa0e4a930f2454c94c103ef92c358b5eaf6d5b51490227ece4d70b4a4 +size 83424 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-539-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-539-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3282246f0249e6014e15fd279d71d36c6b47b8e6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-539-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c6ec1af204819485ee552b3b1acf6a72cf7e6041abc1b62caf12a0dd61497a51 +size 81900 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-54-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VII-onm_2018_clasa_vii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-54-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VII-onm_2018_clasa_vii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..767efb363546526e411e232b68d406909501073b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-54-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VII-onm_2018_clasa_vii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c9b55b7f5f4e7301b3c53789407b088a814497a746ae758c0d90f520128bd8ec +size 108094 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-540-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-540-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50c989736d8178d1bab4333060869cb14fc2600a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-540-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e6ba4d9fb8a429052c48acfc2c90c3031c3d4dd4372a46279778062cdf980bf3 +size 78737 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-541-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-541-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7f7a9e5c4dddf687404a1b7c4511b029adcd73b1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-541-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:711b0930b425379a00ed27e6f547e145637051b84d39b3d1fc9bd9f25ab035ce +size 79295 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-542-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-542-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e6218b89467e32dd62ffb4baf81087e809d4d932 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-542-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Brasov-2015_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2921bdd3cb5d62bec36bb1544711261c74171602c4cfe3c691f4ab489aaf5ff3 +size 122770 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-543-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-543-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a224507aeebca6f2bfd08ead9e719b7c7e4ce08d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-543-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fda95f6d4bbe719059fc2152bd4004603adff3b70869bbbaacdea949a6069058 +size 808803 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-544-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-544-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3e20dfd5eacda46f1a4619702642e732179b93c2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-544-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:576c52225d749fbf1b37d518c317c1d8ee20f01b43cca5d071e526aa41b34c5c +size 926168 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-545-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-545-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f2581f20c11fc4810087a2aab740fd297eb3fe3f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-545-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2f4ce3896502fa41c7de766760415e021794c26c4cef9a9a92fdd0b727bc6caf +size 717418 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-546-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-546-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..413b05393ba46b4e8ecc879c30a61be4c8fe0362 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-546-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d12cf5d4c3a01a0dde48a2b8c31fdf810ed2499c743a5a9007a5965a80d981b6 +size 647819 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-547-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-547-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c6552966be8523c06816856119dfd602e219f19b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-547-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bistrita-Nasaud-2015_matematica_locala_bistritanasaud_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f84a0b2a1630e638554b688bf46216243467eb81a4b25c1e42565e98e0f97c41 +size 585122 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-548-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-548-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9f739cf5daaa2124c51c94e4d00779ce210b2929 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-548-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9226e18ef93c5622851665e94bbe50d6e3fccad8439a15b28040c2caf6fa6db3 +size 765820 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-549-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-549-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b44443c4883147f549e4444af11d9b8ffb33c3b8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-549-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3574d29f660f69876cebae9fb647340fbd3aa398ce0cae1a8f13fc296bb406d8 +size 785794 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-55-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VI-onm_2018_clasa_vi.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-55-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VI-onm_2018_clasa_vi.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33fc25f824a5aaf9678c10449b7794140de06ca4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-55-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl VI-onm_2018_clasa_vi.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1874e2a0320abff3e848a0a15538bb0d0fc01c9b5b0c54a764e680dcfed7a0ed +size 118230 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-550-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-550-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2147d5dcd268b2af8dca63bb83a38a0e88455275 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-550-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:349d615fc7a5506c939b5cd9c41ea43a7de222de94739ed3de86f358a9821898 +size 800069 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-551-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-551-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55d388741f011ef08ee7f0e6bef1f3343255101c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-551-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5cf474692a1047a30540c151212f4e74e2b1332207a08196b90bf3269e5a772e +size 760754 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-552-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-552-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a4113e8911fc0304b0d610d737d3541afb48635 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-552-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bcf5107c2d16edb5d759e37a7d481768031874e7caf760b6e9b71a191f87c2ba +size 640801 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-553-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-553-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..66465124bbe8a59c699f93d0f95c3c569f5c47c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-553-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20df5dc46e0caee1308626dd2dc9bf7d20e5f5c33e89a5f4cf775e4016301adc +size 752982 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-554-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-554-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87ee1109f102961c038f7d2d0fe6fb72cc3eceec --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-554-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b079011471327dc4a298d45e6ad5938abbdd4aecca08cf63c97b448f3c9c54e +size 893395 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-555-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-555-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87cf0a0ef0aa15576047b703d22ea2bf5d529c87 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-555-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Arad-2015_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3f0cc15c1e9b413430f20e66e98b2cab686358a021a304f9412e6a53caf460d5 +size 889373 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-556-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-556-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d82dac73e011b8283cd9a8637e36957d002cec6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-556-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2f4c2cd5bbfabf42c7ac5b096844dfcb3947544625cf8b5db2cccafca598c3a5 +size 473337 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-557-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-557-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..16d321d4c72a53a5beb70f39ce9e6441c2d9bda8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-557-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2bbd9f3791a94930f079f7cb956d13f4fcb36adfa77aa1219a6c967a3d91cee6 +size 343988 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-558-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-558-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..51cfb455883cb51e5edd57545e8628a796cf7325 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-558-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd9c4a0c32658dced216af2c0c8124299e7303132016b9d51e7fc0567f7439bf +size 413735 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-559-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-559-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..95bfaacf74663f594dfd1fd1e5a80bc8f8eedb60 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-559-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:210f46f30ff0c5a3cbd7a2402b217a41e2fd779619b0b5fbc4dc4bc66cb3459d +size 341481 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-56-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl V-onm_2018_clasa_v.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-56-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl V-onm_2018_clasa_v.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48df73c7eba7d6a221905378bba9e1240bfe87f5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-56-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Nationala, SUBIECTE cl V-onm_2018_clasa_v.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f5d32e49dfaa3d5d3ac2cc198fea4269cf6d7e43c9b1fe87a6143230b1a19104 +size 90841 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-560-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-560-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d29c608f279b0a29b2b12e801696aef79e6505af --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-560-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4016596892d975c0191aaca6d189eb8a8b97b00593f0e96f8815b6ec7bf3694d +size 420586 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-561-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-561-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..235c9b3e76f113fa817b31db2f3c16ea01e8cc1b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-561-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a2c96a64cfcc290951a3b53ae8c27886e33aa3ad29dfd1a217477dc33a02af2 +size 397377 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-562-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-562-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ddb40970cf8cd133762b21e9a4bf3d25ca068b29 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-562-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c128d6d8cad9d1b4554b0899eb7eddc09a23e3d10c1be3e2371fde0b3de8f019 +size 417696 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-563-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb.maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-563-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb.maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9542f32d4882246410bacf79a1200eb653222c86 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-563-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem_lb.maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:498fe5acdd7acfafcb75087eef1318554f36e5153f2f834328caadd9f0503f38 +size 427317 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-564-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-564-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..39aaa5f58b6b03294a11c30fd76e94d2565b445a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-564-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:09193626b1bd992746e53bee69ff6f50ee2abe0ff54a53ff48d028d3b96c2c04 +size 577028 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-565-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-565-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8d0f2145ca53e785e408141886edb654dd8b8d52 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-565-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6e2bc41ced05deb3bc665f154c0f0bd84de19550dc71202d754c1bf1b8c13516 +size 338580 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-566-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-566-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a0af884f8caa8f4a513507b1bb1dfe89b1bd7d1b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-566-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20ede2dda5c7eae6ee0d0537292e7070aba05a182faa50812d1c4a9ae885f81e +size 516972 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-567-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-567-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2b425d22f33267cadb85f93774d47ab5470d1540 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-567-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8995f2fa418bc31fe922eb7e24dc9e228cff924f360df9984954fc2795b6074c +size 338749 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-568-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-568-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..420bf01ce57ec7d633235a0dfc6c48ec4ea8f949 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-568-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d817e551d43a6db5fb07ceb13530aac63a58efd65eb2dbb3a9eb52e41ad57185 +size 443694 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-569-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-569-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3bf8b9adce2fa7ae0366a2926eeef37391415ee3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-569-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9fd55064044cb886e0186d77b89cda02924426cff27a2ce8a6b9b3457dce7cfd +size 316343 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-57-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XII-0_barem_clasa12.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-57-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XII-0_barem_clasa12.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e56dc0eb3ed0bab7a0f59b292eda8b60bd90316e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-57-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XII-0_barem_clasa12.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bca2352e73a038356221ee37fa3ab16623492c42b5ef411d29914611995bb1e6 +size 1537784 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-570-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-570-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1105c0d6677866fd8f8e5b16208b2e02d1d80ab4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-570-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1375d10eba9529cb154ed34bc84a27d759c941c2b989e389eab1e796a6c05fe5 +size 412657 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-571-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-571-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..78cbf62a829556716b36f0f1510f9bcb5204fada --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-571-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Covasna-2015_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:006f117ba5ea6774067b523bb6c0c313bb8526468472daf93a6f9d12a017e2f4 +size 529108 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-572-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-572-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50f2342f95b6a25aba88b5a68d7e27d539d15d44 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-572-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a556a9bfa3ec176904254698ba484ad719b8c32a1274bf11a98edc781a0b0f8d +size 853200 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-573-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-573-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75df7870b919b5601951db4d6d76242043079503 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-573-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:941f7a3b1c428cb33e3bfb67c70a9fbfd134b9d8b58a7a8645217459dd7b67be +size 654343 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-574-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-574-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..46ad1acb0b4bbb9f19474e991275b6fc6354d4d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-574-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e99dd9e524e87d9796a0f9613dd0c5cd506f1490abfda417e9848887ac7562ed +size 1246972 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-575-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-575-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..44a264ecf17c7feb976aac70790508e20d227fea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-575-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a48ef6b6c6247be2fd4f68bccf537b9b5d31a1b72ea0f3196d4ed984f952e3f0 +size 529896 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-576-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-576-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a65c27c585fb0edb07d57ababac7bff60328a34 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-576-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:883c674e93a82e52acbee583b0362e69bd83391a13bbba7b6a4052c7ae34b60b +size 605302 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-577-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-577-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b50a598f8e7b480b9179936858bd1b92cd67703 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-577-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:de013962c0c1399a7c7942abbd33876bc8a8c50ff293dc73385da2d6db641a23 +size 445031 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-578-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-578-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27d7ef41d287124d6945f0c88b2ca95483720019 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-578-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f265a1f05d7566ccb38c597eb2a09a93c33d62333a261c935ab2e8340ccbae7 +size 219041 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-579-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-579-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..991304b4a70f133197a385d52a5e461fe04c0232 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-579-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Dambovita-2015_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0bb6010199de3d422cb19beac83267d63bf10b66c699612ad19c174a5a914686 +size 572742 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-58-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XI-0_barem_clasa11.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-58-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XI-0_barem_clasa11.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af7900b9fbbb9184474845c23c4b4bce57e80973 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-58-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl XI-0_barem_clasa11.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1a5ce3e5475ffb884e10b5131dff11e8d55dfc7a87d13d0387eb90620164af72 +size 125947 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-580-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-580-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d8bca4258720d7b69a97b02985e01de903a4bf22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-580-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fee42285b4d18494d7799b6dd59b1eab8500dc942bf53e4da893eeb4fdca0d8f +size 460657 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-581-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-581-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34639a0e457902cf0b9f28849a2940b4e12d5275 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-581-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:23fe58ff12625878043926a828c58ef99ca890d3fd3ffbc25be8fb0c6236d012 +size 195154 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-582-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-582-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9ac4fdcef9976b6624d70153ea3d65db82393b9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-582-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:393f88f299779e34ec6de58f66b64ba7cb1964a1b5da3470816b5998330d03e7 +size 377928 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-583-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-583-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1c06625ecc98d16f89c146184030bd5ac42fd60 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-583-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b98b3841414232ad24ffa4d925964bda42f647b39dcf2198c3c822714b96686 +size 176606 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-584-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-584-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0a36fffa469bf7713f1a92fc72922ba1e026cf38 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-584-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:236ddb7c789a5bc6c81db8ec32ee50f7e198fa8f7b3ff49cc7f9b0c7e228364a +size 177287 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-585-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-585-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90c09aab43c5e5e25f3a9b59e7c18a103334a270 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-585-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:71f18a8dffa613514698e5f6089932aea53a11ec68864d3f430d278c9ca1c187 +size 326401 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-586-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-586-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3323f7e8dd33256c75250750b34a8e5208849003 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-586-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1870d3e528bc6972ffe5805b1db4fe5a456cd35a4bb81d3a5462763c5b0023ab +size 365974 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-587-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-587-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d60f171b5acce77c647194375975c5b31c4e3ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-587-Matematica, 2015, Subiecte_Mehedinti-2015_matematica_locala_mehedinti_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b1e586c52b0c0b9bf67849b8b624ec1ed668908ac333f2d9690124d0edd02093 +size 459519 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-588-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-588-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56104a7e15eae6b413bea76fa12f90b7c0fd50ac --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-588-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c4f4ad43eef19dfda6abcd48df2d65a6c087ebcaf1f822288ebcb66e2336d32a +size 832080 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-589-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-589-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9ff0d9ef564387583360cb8daa1c659c44d3b628 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-589-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:587c1033223b5762c8d3584ef338c29788576ea1066690e8c12e6ea0aeae43ea +size 627819 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-59-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl X-0_barem_clasa10.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-59-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl X-0_barem_clasa10.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cde8430ddaa5e4787c3fb358a15c95dd06b5bce0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-59-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl X-0_barem_clasa10.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:beea82472a04ae0470b63928c1a1f71113f79e05b7f109ad9fdbcf32910d7fbb +size 118348 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-590-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-590-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..499e9139047e96ea3273466eb19a57d520d6d6bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-590-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d91b1cc2aa6f813713ef55bf4f71c06f30e4b04a022dadb88338c3c6932ecebd +size 878390 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-591-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-591-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a1dfa1821ec5922656b4066bde070d390efb9e8d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-591-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2114a2f766b14c3a13f268b5ec3be3253ad27f388b1e880f2a779b38f7412c50 +size 623130 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-592-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-592-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..36919888855fe87f6f61d28928872a2b54c02913 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-592-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7099dcb9bb6d2e999dd1971e4e9e3928df090e3fc0872c69d52d7d80e82104da +size 640048 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-593-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-593-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..72c17ceda8d4860c95843210f8292ad896f9b22f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-593-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:94aea8804b7ef141b507c64f1c64895e57bbd14e86ade79f4252b314054fcc97 +size 757317 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-594-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-594-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..68c5fdcb130324d82ea99932c90333ec37e1beb1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-594-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7ff5d20a32a78f0ec6f39e6243adf5243d3bbc9c9852eb10d47fee9d7ffb2736 +size 571083 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-595-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-595-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f018b99149679e2afbb582b5439cb7ca83f4bfc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-595-Matematica, 2015, Subiecte si solutii_Braila-0_2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:18c442938977b6317df7cb02860117957317449e35bbcdbd9e3b8a917a4ea98a +size 1099278 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-596-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-596-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1f4080b29e350591c52b7195bb280bea03a636f2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-596-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:22031c8b85d33e7dae7500d51211cdeab2e5c57e562deeaf67bad51f08cf3eda +size 1201077 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-597-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-597-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7be12993f1acf479fdb6a7eb01a4fe55cd95a9b2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-597-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:acdb9b9c344be07f1d3cb8402a64a84437a89c1619f57b0394594199cf4fb230 +size 1202159 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-598-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-598-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..177c38c358211841e183604f4be573133eed0f16 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-598-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6d58749ae3c3eaf4fc2d25e61a0f5eaa814065210e471f7c84b52dfefaa688ee +size 1199220 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-599-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-599-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a35c65f6036ce204e6a950e84ce9cf3b494850e1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-599-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:44a2ac6ce01dc82d18aaceec4116f8f78171c39e880e0462f04f9c7b9aa47ebb +size 1184894 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-6-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VI-cls_6_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-6-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VI-cls_6_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..216d582482060f9326e98bf343e899d4964de044 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-6-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. VI-cls_6_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:078e3e768f2f1ae2a4bf899f95a70597af5784eea7728b721b762f73469e30e6 +size 1498397 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-60-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VIII-0_barem_clasa8.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-60-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VIII-0_barem_clasa8.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa58b69801d88e41c44e36d8e082040e106ad5e8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-60-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VIII-0_barem_clasa8.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68fbade1b2432a4f2080b12ea515b19035e4717704c310d637cc6717f0e75216 +size 120265 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-600-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-600-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76b52c8c49d13cbffc7d631cbe4fa99d88d9254e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-600-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1eb8aae5b26fb15a2baefb13780a95d903862adfac05046db79c7365574ca1f0 +size 1210934 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-601-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-601-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..797f055e6c4e2e2b50f27b35903e9dfd10f30c05 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-601-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c89b2f0aa66d324503273882ac10275470e32e093fa49eede6a0d3e0d6a3c02d +size 1184757 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-602-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-602-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..672316de2d693c02d3e25a482a84d3bada314c0b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-602-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b622d3ca2f7829610ef75f4390463ea87c3f971d5de6f2c992c2a6d3fc383951 +size 1173521 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-603-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-603-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99148ee633e5893c5aaaba63025a854fac6c19ea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-603-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bihor-2014_matematica_locala_bihor_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7f73f09156065354242d40a2cb16726197fa1cf7e6b150758d2689efa2ea4f2c +size 1205933 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-604-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-604-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..201fca07ebf17df4ce8238f2b7b12c9d77fc4c05 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-604-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a021f48339163f5a0af138751d380502ee1c9752dd78cbfe2a671596251faaaa +size 60027 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-605-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-605-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed4624d5acf9b8fc7bf0946ac8ed6234d3455e38 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-605-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Timis-2015_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:81f13d7c838419ac74f098495d83d8fd18d0ad6908a55cb57974b859ff4a559c +size 58061 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-606-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-0_2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-606-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-0_2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d121fcb1f07937f883dcb304c2e81b385c628799 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-606-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-0_2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9bfe6eb4ed6e368a1adb86f3e4ac75dd56341845380dfa7a4b32a9a2dbe78f8a +size 403278 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-607-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-607-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02cfb5159c1df375eef33b85be2ba81de540f311 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-607-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cdae870dea209fd41694943fefe0c18d81b1d92211a01b06492693955bad703d +size 321867 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-608-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-608-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03312418659f027ef267c94dcb2c2ae46848a675 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-608-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c95a8d88d53027c70b11b1de3f3ff5695ee235bc6e605e58f0d05376c6a35c32 +size 448147 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-609-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-609-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5997b1a8afbe44acab0795b09720c9b754c0f2a0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-609-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:552ff423d222c1748ba0096eaa4cf30562e7d9d6c3aa1dd4754428a26917ec0b +size 554703 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-61-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VII-0_barem_clasa7.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-61-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VII-0_barem_clasa7.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..233adc5d2f7525d3db37bd784babbc19ee3e5db2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-61-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VII-0_barem_clasa7.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:67f4b8c614db726f87fcf774e22fe87d797ced35de7f099b275de9b9d4c2883e +size 123500 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-610-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-610-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af6d8aa94e5b6efbb6a026095fe798ece71de94c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-610-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:294b11b959c7e0f7dddfce9c864b818181f7c4b7917482b35c088a77cf69b985 +size 549671 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-611-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-611-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..31a05e021f3568ca2430e2a9db5b6f8de413b735 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-611-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:542ceb8569f9613d34aabad92d43a10a4f4dd45fa45fc9550972b606bb797828 +size 439403 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-612-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-612-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ad14f20d48c0219bd464df1b7385925f1c4e607 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-612-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:35ba9819963059593fe6f056f25f61c62f851fb6c006b487435d4a71c2dc461e +size 565074 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-613-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-613-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..394e18094cc6f5496d33b2bd21968135b74826ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-613-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b383bc055a9d1be41e25a8fcda61cec3f45753e8e1c9ca246b3acb696a66f671 +size 532507 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-614-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-614-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94a10a8fd95f34450a958234ec0134ca08fe2c1f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-614-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ffdee7c7871b349574effe6bf596de8d5be8fa3239d94d4573e5ce5564ccc35 +size 539095 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-615-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-615-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1cc8a3685e86ca7e28d9cc445e80fc06d8b63e81 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-615-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Salaj-2015_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5e3cc67a068039c54ae1299c9a86b7df61c35e97e76191e77bf816b59b56cd56 +size 456721 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-616-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-616-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a19a774364c4d1ec517e5fe72307fa3186192a09 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-616-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:97cbf01667467a048ea53b8ac30865dc13441fef6de4fb93ae249e5b2c5bf033 +size 1059369 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-617-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-617-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5e73d4ae514ccd8eabb40f8e6b6eae82c168a1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-617-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:579bbbb5cea9fa4f6b83c3fef3fee4f9e5c31a251d4d537d2a7fc781a742509d +size 974324 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-618-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-618-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3cf542edcb72929b21df99c9cff9027b3679a67 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-618-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32dca7fa6548dbd2e3d1b4fb0c3392a117fd7a1df171c6383fa4955223428e98 +size 1201031 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-619-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-619-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f02c529f9e5e8c00011dd0631717ca91b1c2900 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-619-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bfcb5c58e020a2d29a8cda03f5a06ee10a0da30e46e13502556d38c1d72e2c2b +size 933178 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-62-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VI-1_barem_clasa6.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-62-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VI-1_barem_clasa6.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c4d9ff47142b926eeeeb8ef62976aad221903f38 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-62-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl VI-1_barem_clasa6.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4d107f332bdfa0e67820b56ff25d2a7a37cafa4d641abdb2c9f8b9fa24d92b30 +size 82940 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-620-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-620-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5840397c3e870e8bc38b44ec461accd20734c21f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-620-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:64253bd552d62928932b1196ca742d62669e240790345716777f855b5d069316 +size 1254346 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-621-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-621-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f1196adc980a243d26180a92c5ce5606e7fd20fb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-621-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e8910011d211320dd6a4464053da0a63134750128e76d470173b50914a2916e2 +size 1190153 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-622-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-622-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa37821080dab2886e593e84ecc3d95f681bcfa4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-622-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9aa0b5e762d8a013f7af8c76ef7801269edf276944db83f30f982c9e55d2790b +size 1143533 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-623-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-623-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6a0679ae7c26ea935546900d41d6650cae16d09 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-623-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Botosani-2015_matematica_locala_botosani_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e6b3e659a5bc341f5872c35bd81c03eb90e788f92fffff97a8a9c922519dfb02 +size 860693 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-624-Matematica, 2015, Subiecte_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-624-Matematica, 2015, Subiecte_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8964dd94f0db2976d96f3785336a6b206a213c42 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-624-Matematica, 2015, Subiecte_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8a628f493201a3258177260721785cfec432e9bb18c185e9885746e8368dbd4d +size 137969 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-625-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-625-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4618a97ba1f32dedc996830daf5db2d32caeb3ed --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-625-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ff8e41f2bba30fb0d19d65d2190c82f47cfa9b14da02cd4b109b2a9bd249edc8 +size 286490 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-626-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-626-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9460a742f1d89e46bc52069a0a0bb668dc471cc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-626-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:37e94df6cc4dbbab2a22c577ec4e471c91bb4c1d4cb016956bf8c87db655d6a7 +size 352654 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-627-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-627-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5559de9d8757bb634d2851bcd9e48be345422f5e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-627-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:962fea23054e95394e04598aa71e0ae759d94130ba7a169f3128f9cb69aa58f8 +size 291212 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-628-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-628-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1608c3cc2f911fa7e7632c8f7d359954c01e3e9e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-628-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a6e4106ad3353897c1ab1cff551ba3733cf4e90ddf101905157b7ef8de28cfd4 +size 282519 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-629-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-629-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f5a3141d61b5393b9ef423894c4d4120210c5ffe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-629-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e2595d0bde7dfb771d97e57362a098788541ea35e0dc0087cc7dc34e0f3cfe88 +size 312694 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-63-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl V-0_barem_clasa5.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-63-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl V-0_barem_clasa5.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a461318f37b8689aa21af15cf460da53f0d8f2d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-63-Olimpiada Nationala de Matematica 2018 Etapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, BAREME cl V-0_barem_clasa5.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f324c4ed4cd19ef7728f2c2f3c727b1c2610a29f410b5539dc809f660bef1f1b +size 85599 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-630-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-630-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8cb680efdd1920d28d1d394ffb4cad5856a491c5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-630-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Galati-2015_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:375ddf2e60cc8262b68ac2692b9495ef3eaa7d630327b0f03b78de9cc4fc45b9 +size 306459 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-631-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-631-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..73acc61b5c633dc3cccf5eb8abc3a1a8496bdf6d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-631-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3e005d4bb4b3b477fc20b85a1c11da5aa72af620bd9ecfbdc0b937afeb30facb +size 725703 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-632-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-632-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb2b5ecf57d901918b1ed06de73d09ba9be70822 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-632-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9a9585438f3d2984a443ac1fc5f3e9573b5ae3f0b68d99a933986bb37699aa27 +size 745651 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-633-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-633-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3047a37241406fe6c5a7b97a72d6a2362c2c8291 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-633-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:42d60c736a9cc896a87d48d69dcac7c4af8dad9c49db925293ebd2f67f7ebbae +size 713745 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-634-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-634-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..acca1f0d66a42b94b771012074a465c218ce67f0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-634-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b8620c9b982d74c7451fbc496e0048688392d1ae09711a5d63ddd083fa6439dd +size 672372 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-635-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-635-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d1c24dbfade82ee1e55cfd8b0d78db9f1ae23d71 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-635-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4e65bc82adc7f9d5a12b6b2f20e9f33a349ecdc111e4f606f892b09196b4d1db +size 716705 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-636-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-636-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be56fd4edd65523d9a39944d82f633ea95284980 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-636-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d70d5a8a59fcc5b149bff9f37612ff19f9c83c1ae23194f5fdca384d0ccce0fb +size 569114 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-637-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-637-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9ac83c4d7be373d22ef1480bae5a45bd8d7a2faf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-637-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9726dc0eda58a4bc4cabf2eaade6075b85e39dfd2fa3099326dd31d5774214f4 +size 578178 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-638-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-638-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f8e52123799b1eea8696ecd6ac40d625bd64feb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-638-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Hunedoara-2015_matematica_locala_hunedoara_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c2c59c68abb158e5779fb88440165427a1c55ca7bbd709b71f59c1556da489dc +size 696861 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-639-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-639-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..095c852accdeb01b52c76dadbb0dec6fa5769afd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-639-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._germana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7ff720a020986192443fd0e10ff9abf4beb81f6c0f094d5bc7c48ae9c983fcbb +size 1158267 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-64-OLIMPIADA DE MATEMATIC\304\202 2020 ETAPA LOCAL\304\202 Bucuresti-subiectebaremeolm2020bucuresticlasele912.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-64-OLIMPIADA DE MATEMATIC\304\202 2020 ETAPA LOCAL\304\202 Bucuresti-subiectebaremeolm2020bucuresticlasele912.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25bc60d7bf1adc36c7191f61275a39fe6ae7e278 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-64-OLIMPIADA DE MATEMATIC\304\202 2020 ETAPA LOCAL\304\202 Bucuresti-subiectebaremeolm2020bucuresticlasele912.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4740d1affca8a1cedbd54e0b986870c03c232d3d5b0e00bf7be0ced0fb200a77 +size 573621 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-640-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-640-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7fa10c65aed4bb18dcff9cc2309a21293f64fa84 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-640-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._germana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32c9a2ed5c57b11d2ab97baa2558c76275b31cb6c3e4a6444d19e04bc34cfe6d +size 1127614 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-641-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-641-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6dc570db0ccba0cb5a181b976f531708972aba7f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-641-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._germana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2af712b45e62d2d36c98dfc18318a017a0b9d8844c43c3f71034347ade9aed6a +size 753276 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-642-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-642-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..96c0456564f9cca8d6b5d6fd4ff2ee8ef8399fa4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-642-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.germana)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._germana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a2c01df63e262ce5baf2d6f5de1176279791c31f507b7ade5f6bb90ebd7f5beb +size 1087234 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-643-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-643-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8709b59a8b35d6b16b7bd5d7908986a7ae750bbb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-643-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5b425d079c2ae5cdc842fd31384f42a0f449166c39771c717abfb88cf1b29637 +size 1175236 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-644-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-644-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..add89d767bea9aacc6ad82ed2aef560d24c89ff1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-644-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:83d0ecb47e5884e05d40017a2981e011f9cdc3589b2941ac78c42c491f2eb83e +size 1242971 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-645-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-645-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26ea81dac32197f423326b021db04e0efa087d86 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-645-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:32e6c6a0239d63da1eb16f4ef619ddf69ccde279cdc171d42f69dba547aaad47 +size 758026 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-646-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-646-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50c9d69f0165439761f372c53c3a94e8d5f61de0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-646-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures (lb.maghiara)-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8f5c9b687b020c07aad4a5bb2043b24b5db1e7bc12334da4c4c86a6541c6b0d3 +size 1089611 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-647-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-647-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3c36cb63a391e71b1923f1cb7c24a76e9968e25 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-647-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:35dcde54fdd4499a4c82253232fa210583c05a4a14fca83254c65a8cc38322ac +size 1050122 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-648-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-648-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9222c5c361479d999c48a1b3f5da7c71faf7051f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-648-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3431fc8e809987a7b7b315d03dfe83b324bd67eff6ba133c4193e1a3c5f92705 +size 1089014 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-649-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-649-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8c0cf5af19155df91f374e27f81b2859f41faf5c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-649-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:07ac5c0d317914f4a54feeb42ebc70570cd72b41001466056a3ef7335e99e254 +size 939208 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-65-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa12.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-65-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa12.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..189ad891e9c1dfafe2e42c1ae98a483890f044c3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-65-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa12.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc8990bca777ad77b6428ccfd6131c4434ab30badee4e584f3414e1ae7a0082b +size 1817889 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-650-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-650-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..28e593436bdb88129938c1db118001ccf58538ae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-650-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cfeecbf961774687f2a4865ae373f2c63587445db8d0067d01ac66a8df2e800e +size 756240 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-651-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-651-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9dfdc4018e79ce80f075624461133084eee0e94 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-651-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:634efd34880f762fd4229617ae0ade12c253a084813f0707c3bdb414c5e389e3 +size 1097118 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-652-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-652-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c3b31108ffa325197f69eb70948918c3e84021e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-652-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:93827a54908aa01164495df44e94dc9fdcd3e0a5e7d7d63838f2a9dd7e59aa4a +size 1181317 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-653-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-653-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb7c936135ad4456c39d12a59f94108664ec73ea --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-653-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:089ca18b343c93ec208b2b8e64105a67ab87fa56fa6ef44fcca843b28b66ee3c +size 1128963 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-654-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-654-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..973a6e3b4ec207ae38d8deee53c0637f88dd2fd9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-654-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Mures-2015_matematica_locala_mures_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:38f5a5507dcbe0b3b430ffadf954858cc292c020dfd604a930c7a75a78154060 +size 1202145 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-655-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-655-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2a084346869bf2c341032e35b9d516bec46d9a89 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-655-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:52acc90ee685f83ddadf89d22e0df6a52a598909f19993f7c1c6c88761ac219c +size 1671951 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-656-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-656-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee986997c7e8422afaf677c9d6d83c7cfd9b7d50 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-656-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:099bffd8f87b79d3219d71213267a6820317767518d736bd8a63b305434a192c +size 1029409 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-657-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-657-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d673b3314d6572b42ec69a7a03b45bcc91e949da --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-657-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:02a42d19d66f3e14b94192d538704ad9cc069a683bf8d79c98818f13bd148e8f +size 714603 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-658-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-658-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..18ee5c2a7248f56ceb69d403692bed280e72b35a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-658-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c2da31f6ab5baa563978f87bd7d9564b3b57425d19ff150afb99a1f6dc8dd387 +size 1060728 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-659-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-659-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed9fc3b7137f5af548c5242bfeea59e9e0fd7576 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-659-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9855f1a6aaf08d13836c0f5896e480e9f2240b46b3ef49fabdd6d6573bb20afc +size 371058 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-66-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa11.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-66-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa11.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8533d1de907a1a9efc3389edd7509d64c2314e42 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-66-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa11.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:56eb06865cc93c9638ddc33952f570bdde2f5d30bff1d9179e93680511ff1d5a +size 145952 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-660-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-660-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d1d013d3735cdae30b5fbc9d46a1b3c55405f3bf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-660-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8d084887dd6643015cac8370647dda7835ffdff9276a5e2deadf46d244bef864 +size 401777 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-661-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-661-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9fa3ac52fc70f32bcfd3b63551a8af51751d3bb4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-661-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:964abf2ee9692dc87df81a4a44fde46c1eee304fc693fc25e652267a8584b160 +size 586690 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-662-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-662-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a39869a0aef59a94784bd08114872ada5823e0d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-662-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Neamt-2015_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ddcc8351962d4e54d26b6b5694264af13c47ea230e72affbd80d21760bdd0e99 +size 366795 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-663-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-663-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e37128e5476ee706b11e3ef80f70f1163e14b774 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-663-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:101f987edfac7f82b6951bfdd8914c9640de6e0b437a17bea6a9f3b06538d193 +size 280737 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-664-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-664-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbcd12585e24e6ae54f1c60d7117b5b3383cecf1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-664-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:03bfdde8e0c1429689a2b5cbe12914739810fef543c27f7c871045efaaaf7562 +size 209050 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-665-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-665-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..80cad041fe73229c85543c12b57b54e608e741f2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-665-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:414b96889b0f3e8d1fba0b6431e4adba6ccb53db0c02fe655e78efdd0deee081 +size 300563 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-666-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-666-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9943ec115825acbc908b2a46a834e2c062f4e84 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-666-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:683a9b33314fd0c09c87220824ff64b6ebfceb625be1cadb73071ad9002a5923 +size 247246 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-667-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-667-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bce04508f94eb22e12f2ab6e1d75e7af18cba7f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-667-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:491952d29ee97779a74d07359eec38921cdc3b0d6a84f4f8b5c8991491bd51ec +size 140924 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-668-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-668-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..33287c1378ab373ab23e1a8cd9b05af7371af88e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-668-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0eae8f9a571ffce82198b65472fa2b019b734a970b0929ea302147c2a46dcf84 +size 178323 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-669-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-669-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f184a2d12632b5d69436828c316b65fca1dd648 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-669-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1b66b78e4f9ceaa389b192445fef18f20f5aed1335ab854798262c340d161f8d +size 222091 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-67-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa10.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-67-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa10.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6eaa694b0ecb106578a688907d60ecb84ce21c0e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-67-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa10.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cca670bbdfeb02f1440179976eda62064ebb7ad841b56e0e479b2b93c58c3b43 +size 1823751 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-670-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-670-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..99748db94ff4ee711b6c67415fc19cf4aee7fa60 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-670-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Gorj-2015_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1982c1496fb04da14cfcedc3190773b679a365fd920c7a70725b28965fc91a2d +size 245086 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-671-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-671-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9f25e4ac7260f5d3859345cf34d2d5dbea1b372 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-671-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:920056a85d5bd5c6d0dd80f3689f2928155b9ad4389fced2bcff2c9a224f46f6 +size 205581 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-672-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-672-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fbf52282ae740972d3ce0bf888b85fc670566994 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-672-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ec6d18f34c0483ce190882d428a96cab6e8655907d38f2ef3f3050477faf4ce6 +size 231621 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-673-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-673-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d5b8bc49fea681826e3097e468d0cf1357d1aff3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-673-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:38c6f1c790fd37a388c04fba90d55a5a05d9600ce226529cde31c86ad2f07b91 +size 230485 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-674-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-674-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26f3a341005ac763f811cfd6cbd3f48749b76b1e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-674-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3364137bd24280f91191e972ff6c549541e4895108bfbe86a2abb1061c78cc69 +size 228906 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-675-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-675-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c3ce3d1fd31c37ded256b9a0324b138495decf29 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-675-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c7c0e29e4b3a8017cbdc38f17bb17782b7a58f844f16913bba55edbc2a2b6467 +size 230003 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-676-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-676-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3db42a64fe6b54608649ae154275cc1acf0f801e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-676-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:27b25a0537c120877a749a0b0eef4ccbe4ef64274e6acc1357d5b2899ac47f1b +size 183426 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-677-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-677-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8df3512afb6a13514c5f71ab79ef77f6a5d07a02 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-677-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:90ce7129a8e64236e7f685bf1c06315cb2b025b483f7ec07235183b69e45a443 +size 237460 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-678-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-678-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..68beea77a75e26cdbb74dd693d60a1e519e8af2b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-678-Matematica, 2015, Subiecte_Vrancea-2015_matematica_locala_vrancea_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:001f2d7552ba670540a86f2173198fc3b6314ccb43686198951a4227fa835053 +size 195042 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-679-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (liceu)-comentariilocala2015liceu.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-679-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (liceu)-comentariilocala2015liceu.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c6eade9e4db7372fac60a080d7963b9aa5ea468 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-679-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (liceu)-comentariilocala2015liceu.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0814cb5dde4f76358a40f1e831c5cc39410ab37ae6708763b34799a9dcf4027b +size 351195 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-68-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa9.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-68-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa9.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..374d84209c5f3c661e38914a0331b412fcde1572 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-68-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa9.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0e6ac682f343e44f7495d571c5e9568cb720cf29a5277fee995faa70f7b5b88 +size 153412 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-680-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (gimnaziu)-comentariilocala2015gimnaziu.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-680-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (gimnaziu)-comentariilocala2015gimnaziu.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..240341f25554109cfdee6d07b68d4b3041d622f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-680-Matematica, 2015, Comentarii_Bucuresti (gimnaziu)-comentariilocala2015gimnaziu.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7e04f94b69e1de8c50486c7a156318eb7d031b7a0332a3ce8270e214083f1353 +size 265517 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-681-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-681-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03b27f8dd24dc3adbc6ffc69095d6dbf60ddbfb8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-681-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fa984134221334817aa7b1bd89fe9ac570114630addecce601300308ec2af42b +size 573053 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-682-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-682-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..463594065734620a547f33809cccca2a2a4e44c3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-682-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e778e1df5fe5d426878db3a1bf7c45ddc894245bc39050152832c97cb608bf79 +size 561768 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-683-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-683-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ba655a921993254c9f08bbdf7be0022501ed8f66 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-683-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f5b98c87a9544ec314c48fa378abe15a84bd4784b20a6c6197f4b64b4edbf7a7 +size 558178 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-684-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-684-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..53e454c18f639512198b614bb224fdcadd4b13f6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-684-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ca2efa03ac1af61aa26b945163c623af9bd90f30d0cb86e59beee06ed2763084 +size 648144 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-685-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-685-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff23c12ef74342087ad37a0ee75b1d60b110bcae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-685-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:21fecd8ee89ae75959fc0e5d524e1c73e2b950d4250adbb61dc15e3ee7652fbd +size 556133 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-686-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-686-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c9c51d5b835e1c016a92207a3aa889b7c3b6ac8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-686-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4b3fbd21281ede9817f6549974811b67c40825e705edd2e49f0a0a4de1a2e412 +size 562014 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-687-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-687-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..31c512326bd08e1a5dc75581a00ea99450750101 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-687-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d58e1ae8ca3dd140c2cd7fbffada5aa51861566df68d71780efbff703b7a9dca +size 548811 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-688-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-688-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12af74b3b8facd08e7855e8f49662c2f7b5d3fb5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-688-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2015_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:03edb4d229316f81ab3dac3721be62efdceb88c7be549230729bbb8bd1bda265 +size 522757 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-689-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-689-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2221526090747e355b7976230d4e8072811b86f1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-689-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d53e5ed997296289968acfbfb6557a3b89085893a9918aa5bb2d151add2ec924 +size 57102 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-69-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa8.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-69-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa8.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cfd0529ec590abd1bbc9ab21daabdb91570987d0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-69-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa8.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a1ec7ffa3e5708ca21f6ef3dcbc34c6b0a8918aa695815252a29f3921b8ebfff +size 280988 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-690-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-690-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..07fab2c2a8418b024206c01903f7ceff6e14d8a5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-690-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:981c24596e8837f38312f271c3a05f99af6479877a48663f8863b2c7726e41a4 +size 57678 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-691-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-691-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..58ed700a34342b6e647f2fb3958c74397c7fc353 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-691-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:471d4240afaa371f90b95eeead49726dae892080a0cafbc08842eeab38ba79bb +size 801077 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-692-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-692-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..016ebc5370fdffb4557d575a0c464aa15bc4d232 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-692-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:805579d983a158d38f38eeffd6f13d5808fab078eb30968715a22aa167ae679c +size 427129 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-693-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-693-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03fac5cafabf656c71399aee0a1549da835025d0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-693-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1f8a77a252eb7ba65f9db6582b21a0dfc3c1ca8ad0afb7d35348ccd54d8d1c83 +size 422693 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-694-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-694-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09516571df14b4d56629130fd4c454db32bf8650 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-694-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cebc1507ec1d6f31f8ce1b4622066606cba29d0124ed9c4c89376abf6f2b391d +size 431881 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-695-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-695-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac60960dc26957f5ab248251dec1352ac419dc1c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-695-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:feaf27fdaba55cd348e16251337b4b66572205789b644defa14abf3dfa638cc7 +size 417423 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-696-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-696-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..69e5dff58ca40d1646b7c3dcc86105ead3d51881 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-696-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2015_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3376713109eadbeaba4beca15a0bded6f1160aa4675530c0fa2a60f98077bd56 +size 807764 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-697-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-697-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..283b8becb134dc4cb59268795e416a1a44052f23 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-697-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c4a3ed64456a6372025810e90315e3296200380679394a9ee3d46a9ff9c3dead +size 410978 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-698-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-698-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..624b97c2726e950f505bccc24f4fa55adeefb39b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-698-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63c6a2b10057824e582027e4fbababf3dd5365af55b435c225e43b3dc0feb9e6 +size 375187 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-699-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-699-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..87eaff6063a01e2c4c16d0dd9788d882d2f4d641 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-699-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:58bf71b39b9ec4a36c3fccb18eca1d9ce312342fd96b7b77f9e661f5144f61eb +size 303717 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-7-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. V-cls_5_loc.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-7-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. V-cls_5_loc.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..97e531ff2c75dbebf582b64a863948786f2890c2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-7-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa locala, subiecte si solutii cl. V-cls_5_loc.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bc83966bf59c1f69dd702ad8c534599dfcd83a3bab927e828637fc0ee0a64745 +size 1504937 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-70-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa7.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-70-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa7.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09a1278c6f2c7f1b70abdb026e7dc4b64ba57a14 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-70-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa7.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d435acb7ac0b05b07f93f1defec7057875ce9c6715137496979da54878a9476b +size 1834352 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-700-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-700-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d13298de80d8b9315b66d2353af9432392ec77e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-700-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ba36bdf8eef6d283156aa3f4c932f2a3918577789f2ff958814debc1d4c93f2 +size 354656 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-701-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-701-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7cd90bca2d1e197bbde70e0fabce52e7bcf68b3e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-701-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0dcfb1124eccee8bb5c7587d960d8676be824dbaa6339dd6e737675486155230 +size 294856 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-702-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-702-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c3d6a0e97f8cb23f9bf6a995f39d20bcca56d48 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-702-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e81c55585934f8e23bfcc4edc4942159a33c50587b38e9ea41e7b97663b1f1d1 +size 254789 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-703-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-703-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..19219397d151b777aa233e1ea411c62db9759a60 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-703-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3a81c83faa7df87d89e7de4fc9081af5c3377d574ecd92bce7dd736676ddce69 +size 211940 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-704-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-704-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b27a7fea8fa599d0100e2cec7a86a7ddb24f6061 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-704-Matematica, 2015, Subiecte, bareme si solutii_Constanta-2015_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebaremsolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fb42874cac26f5b955c37d268b68d433ad7140299861e1346e1aa853ede48c53 +size 267625 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-705-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-705-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0adbd4e5c88fb0a8c9c5da6738e97ef4ae747bda --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-705-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5074fe01a881f16a9b99e0e404f156a52211104ccbe67f393b191943033dc2fc +size 105197 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-706-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-706-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..768197cfecd6dd98823cf923563ee783f8848361 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-706-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cccaa0adda98bd8f4c445a96aebccf6acd8d6b125cf12fd97db51a770d268dd1 +size 127378 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-707-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-707-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bfc070694081b6862a4176779e6f52fd20a45464 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-707-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c043730552c894a03a68ab6281719863085ddea8fd2a701ae66cbaf14f7e96f3 +size 107655 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-708-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-708-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b9f9e5771a29033b4cfa4b6475f9736d4b5a5a3b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-708-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9e9f40d1636d264d2602d988bd1488770d2e15ff93337163bb93ac942f22c6cf +size 110731 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-709-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-709-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e9db3895c615545439fd3c0d2719e86e31af8c30 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-709-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd4fcb595310f3f7d7d396513fca63bb13f8b709c1302b2984d8b82a45c17494 +size 104481 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-71-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-0_barem_clasa6.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-71-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-0_barem_clasa6.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0614a9bb5336343403e3d5afe8a2cfb51ae070bb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-71-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-0_barem_clasa6.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1ea994e71153306d34fdfb77159fd3e536dff3792c88ea4bc6f5ed85e83757ae +size 1798921 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-710-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-710-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4b4189b45e6761f329bb2a9b36ab17f07a0c01be --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-710-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:34f60f675076cb4a051fc0cabc9b84707687a67943acb1c37182b7740ba8a54d +size 105828 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-711-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-711-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6b0be3343c9150d61651fe1b6f545be020610dee --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-711-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d7df3368c3a1e9a2d4f6df0152d60030bc595bd142b1177e0df5d9b719aaf970 +size 108181 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-712-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-712-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ebc5dec7425c1972c52b06507bc3b3d17350cb4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-712-Matematica, 2015, Subiecte_Suceava-2015_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d385f92a613e256d6fd2706312ea1a417facf9afc1c072792fb3c400135003b +size 110074 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-713-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-713-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad8e6d71097bd0930c1d1ce2e27c9eee54750235 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-713-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c798f48180f66ae81a82793d8c35c4ce5cf87b5d26600c7d1e93b48a1ca7d819 +size 587333 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-714-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-714-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..659c72219de8ac3882739f7a7a9b2ff3056ddbf7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-714-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:78f41cd1f45807991d1a052d84a2c4c43f5a2d6d1ef46432b03bce9edbf61b03 +size 874517 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-715-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-715-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3931053d8cd562e8d41a7ba49b9bc4ea0c06a275 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-715-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6819721d35dd3bc01aad7c5820af7e4d6105dc74be121e44c6c594677f627db7 +size 591703 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-716-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-716-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6362ab350770a76fb12a271276b6a28dd9101f94 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-716-Matematica, 2015, Subiecte_Bucuresti-2015_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:18176327ba7cc2b2984dceacc31bfce218f04a19e32a591d39e1524fd20d731b +size 502857 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-717-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-717-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5148e8e3ea0da5b87318e03fffeebb52912178f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-717-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:90817137941ae8fe0df6300a3d49bdcc240ea462d55201046d9bb4e207ef98b5 +size 267023 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-718-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-718-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49db86d330f539c4d178a35ffdc4fe72d76d0a94 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-718-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:09c22f314962ac83e7b41cd82641147c9fbf572cce44792f172e071fc383daf0 +size 314064 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-719-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-719-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..29cf582bdc32e50c5db6e0c712d345746647d263 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-719-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5f64f2298f16cc4f1d1854d42c2e5fda7138e9b4e484496228d0d03612f89734 +size 664597 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-72-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa5.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-72-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa5.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5727a3f30d47cc55788070216916bc894876e248 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-72-Olimpiada de Matematica 2019 - etapa judeteanasectoarelor municipiului Bucuresti-barem_clasa5.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:37f03a2f190857b922ee29c8068aa823cfb8b8e6df4bc9f725d70c8b84f75390 +size 257535 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-720-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-720-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c4a0c8171c2efed892f2cbedb523eccd35cc1904 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-720-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:51a0d6b30519f1c06ab920c91b9be19723d016b15988e21da5bf3fe481228fae +size 358906 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-721-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-721-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b91757bbff335d6025d591901ee226a231240cfd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-721-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b1f8db1a1a7f69c1e10b96e560b1fe18e93b76995cc08b6e14cb6eb9a4303932 +size 292570 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-722-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-722-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..179e88b02565fb8a54d1f56191bc781bb279101f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-722-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bfa01a32bc41bdcfd0e321c721c1a902bcb82f03cc5b36a3f8ec582033a9a882 +size 315357 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-723-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-723-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c0b9c9999e4155d2ec9449251b3fc37d70b164d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-723-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f90eb8fcd28b76cc0dc404d181086fdda0664c3755652c6e2f1849e29e7702fd +size 581746 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-724-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-724-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..650c235b35ea4a2d5d607ea368ff7d75ac6aa955 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-724-Matematica, 2015, Subiecte_Valcea-2015_matematica_locala_valcea_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8b14c03d52e2617d3d32a5bec6807ca20de3e4f9659ebea866b859b04b17d72f +size 583639 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-725-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-725-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5950e235f0e9948e791645ce0c8e754d8af91359 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-725-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f476642a40e3d6312f1a434e3cfb3263efefec51150b606761f7fdf67d2e839c +size 204772 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-726-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-726-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..29d908b361238761ecf810adb39b8efe64ac3c18 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-726-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63c6d67915528d3ccaae4966e613b63286fb17f3b5f93e41e861bd4ad748c796 +size 212249 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-727-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-727-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..55d565039eaece134a0e01463e848cfa2af8b7e2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-727-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cb4a34b4742e3ada879ff00fe104ae0feac238c3602d2985db2474529bd6334b +size 199119 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-728-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-728-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c334731d2966dc9d774fa097fc76586f558d36ba --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-728-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c1190d8311594010b6259388a1a4b9755f2d53297a8b123e7826b9f590ccbc3f +size 255023 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-729-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-729-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f0837550f572fc6495724eef253b15171f9dc92 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-729-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ab96e35f7e69c2d70f0e7d6d9e3a3a8dc85da64f7280ad65ebc09830d0432e7 +size 242504 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-73-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-73-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..feb49691a0208d8b085502f577279d4514ecb977 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-73-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc86f0c949cdbaea8355bce100b2a9aff081925d377e5f1d3bc8f2af2999df51 +size 1706361 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-730-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-730-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..13bf49cd3df2ba6c639b48644a28589fd399c0aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-730-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c29d1f97af10c01c456724789c04b8a19673cd922f0b2eb525883ab0ea67ad83 +size 264066 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-731-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-731-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6acf1419cc29a2abeceb98f68d255a7d2ef5a4c8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-731-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:89fdb3bbdbd0fc17654558d5e6e13a2bab93d5899db20d0969c3b0457cf39ad3 +size 252629 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-732-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-732-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6495cf12bba51524d3ca8dd4b0de4cc74fec9515 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-732-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Vaslui-2015_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3588aa4e4412c7769d10800881dbd9cd0abe0d878fdbef1f822743e91031f608 +size 202304 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-733-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-733-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..541ecb40db23b4bd71e647179256c93b2877dbf0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-733-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ad42d172259c3eb1d42fd8340871f1fe4c03a26d71c7da2bfbea3b18779ec5fa +size 820997 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-734-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-734-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17ce06f754c0fd20ba635c0097bd66e20da2f3aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-734-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc5d95711d6fa2361b76523e4150c607f9dc1a2a4bb5746a2434c445fe65a76b +size 603875 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-735-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-735-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..afc0fda16824b69af1d7a5b7e750d6b899db9bbf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-735-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9657dd95d1aaf607f60297c8682dd9784238baabff70398d7feab482570bd400 +size 787775 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-736-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-736-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5df80f711c63d9a1ae9c9c2d6a31646140cb7855 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-736-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Bacau-2015_matematica_locala_bacau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8da22447fe453180133bce011c9dead2c53646355e41349e3f58c9a705a18399 +size 776148 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-737-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-737-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6d0b77a6068663a258a71eeb05fd3c2cccf1809 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-737-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8040215aa93d628fbb2a2d7cccc3e5591a935e6a80acc844051ffc5746af8b8a +size 1267731 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-738-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-738-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dd9aa455eedb9bfe7060acc88794bb1209f80711 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-738-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4fd5baef8f7f343c3ed10c7ea2635aaf64ccdb3416ad009a119daf98aa660592 +size 1664326 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-739-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-739-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..47f422a33d6fb2372a909e0650d98232cb50f933 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-739-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1c4604c4181fc77a8f83e3ed317db07a6c2fa93020490afd86b5c7653bac3824 +size 1283041 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-74-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xi.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-74-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xi.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbcda6845df41e9c3c0a30b1c806b414404d4e66 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-74-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_xi.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a28952f59a704741b49c812e4f9290828e8d77e1ce43f8ff9f6b660537e7edba +size 140080 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-740-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-740-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed683d61f8c5d9b29b1bbc06c513674810596a90 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-740-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:355b5e1fdca2a8d79b1f82d11668dbc4ee2a68315a400b4374da7c23312aff98 +size 1297884 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-741-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-741-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50b5b4293073a8fcb3307b81f88863f44fcaf50b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-741-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a844f08f9d18c38f5d7fc4146eb143e09e59c7285c36ef1e2490bc70ef4550fe +size 1882793 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-742-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-742-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ecb585a1b2d4c7692101be2cb5c03674c1b7c33 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-742-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0ca68edc614e8e2191c3628aeac4d08095eb9ef2a41b7f79faa7600ffc97e93 +size 1452742 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-743-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-743-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..05c846c3e774bf123408fb14d03159f540dcd083 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-743-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1ddadcc3f176006df565e9c04c13767e53efed205327a3fcd361dd23526c06e6 +size 1445575 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-744-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-744-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..247e3053998f2fedaf19a51b3f0cc2f1cb448e05 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-744-Matematica, 2015, Subiecte si bareme_Iasi-2015_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:294c64465665f580e180a4deac9308343abf17259d4daf7df539930d704568f1 +size 1959736 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-745-Matematica, 2014, Subiecte (cls.IX-XII)-2014_matematica_internationala_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-745-Matematica, 2014, Subiecte (cls.IX-XII)-2014_matematica_internationala_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..26b685f5ac6c280b237a4e161fa1d163f7f94a4d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-745-Matematica, 2014, Subiecte (cls.IX-XII)-2014_matematica_internationala_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d101e5ba7ed52bab986d475d7287445cb07c7ff7eafd7fc4d6be979dbd3b6e9 +size 158549 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-746-Matematica, 2014, Baraj (seniori)_Subiecte si solutii-2014_matematica_nationala_baraj_seniori_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-746-Matematica, 2014, Baraj (seniori)_Subiecte si solutii-2014_matematica_nationala_baraj_seniori_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..813869898b9304de0bee3b9f313fac25c9143a2c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-746-Matematica, 2014, Baraj (seniori)_Subiecte si solutii-2014_matematica_nationala_baraj_seniori_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:49082b2e5a575c8d56c7a4546e91b245d60a578ea7da33aa13a9cbfc39007358 +size 182748 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-747-Matematica, 2014, Baraj (juniori)_Subiecte si solutii-2014_matematica_nationala_baraj_juniori_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-747-Matematica, 2014, Baraj (juniori)_Subiecte si solutii-2014_matematica_nationala_baraj_juniori_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..35ee760b1582417457b59d2c879d98c898ff72be --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-747-Matematica, 2014, Baraj (juniori)_Subiecte si solutii-2014_matematica_nationala_baraj_juniori_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aede174a6704087051b3bf4b57bdbc20346e793d9198c1cc61aa747f87fa84e8 +size 375306 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-748-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-748-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b64bd254185c8abc43da836516c7ff21cf99d23 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-748-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bf7c61be781b643ae0fbbfb63f940361863786041816b33992a1a2a6eecdabaf +size 678456 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-749-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-749-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb0813644d7ab29abe6c474fbff6cb5ffa7a8a31 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-749-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:08c7c582cffae972bd4f14e99e79fa9038685d3f7e33a0dbea5685ff3963f24c +size 428431 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-75-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_x.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-75-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_x.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e3fd2d984b012907ba023d4ed6aa5c3828e30989 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-75-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_x.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:21ebf3c255f7257bf5488d9405fca3d390374b3dcffc5cf1c1af7933e3d073f6 +size 1656646 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-750-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-750-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..683b37f485e0ff349c68f6e12c47129db72c0b96 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-750-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c6c65fab5da955c5475a8b380bd7904d552b8c2f9c10f56b76dec5dc154db5d7 +size 499200 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-751-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-751-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e629e503c4074e42b9f491f124d80eff9d7f493 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-751-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:059c02b842fc65177a42c0c7950a04830261d1e0f82ae4bcecfac5a52ce4579c +size 628116 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-752-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-752-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ede517280d68cf94131c2f3bd79296a1e1d3b485 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-752-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cc082cf2e4f5b8c105fcbc731cd692d0d0a3ba91fb65a828d09a2900aac71e3e +size 703436 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-753-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-753-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82f9222deae6c2a89a7838fa9a1168964e2ae0fd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-753-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c5b7b0232d988fbbc9eac22df318ca7e31b9660eb624e39cae5b2b136eba3a41 +size 463626 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-754-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-754-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e5588cf5995dfdf1505724ac88d6c1bccdaffff --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-754-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a510a722caab22f49d99f1791f05e1a14335324e03d5e5fa067de78abe65fc90 +size 380537 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-755-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-755-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f03ec916590e243321170aecbdffa82f974e0f03 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-755-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6c1537504a8a2c49f0ec953c92407059dbd45c4fbf7e3f62cfe0be60eae156d8 +size 415793 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-756-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-756-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ea07f5905254648b7c5a5c4073a8ebb5de14562 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-756-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:24b6c7edf6aa760069c81ca4cdfa6a8aa523d4fa4cd35ea806ae91706d4d6c6e +size 349506 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-757-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-757-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c807ab756940b8ead2b45d6deaccc2471da2dc0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-757-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:40bcd3ecde9941bbf13b2968ab98407cef6e2a14bcca345afe6164f066fedb08 +size 359557 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-758-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-758-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c20fc97d4f67da30267abbdc710a689b77bca51 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-758-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:deb856af10409251b6fde6e12eab64891e426ade133c8f038896d226c1ee1499 +size 339421 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-759-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-759-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..715b857881a7a318165ad8179c96f30af2c9eb7b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-759-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:256a3b2472065567d6efb969bc86a0ffa658af9c5bdf75dbdbf6799a4589fd0d +size 358625 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-76-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_ix.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-76-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_ix.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..17fe691ddbfd3fe3d39d178830922e2db10f4d79 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-76-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_ix.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9afee8541d45c38a55c90fc00b783c685a4180dcbbb2ac8b4e86cc6771be6762 +size 1698551 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-760-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-760-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac5bf50849229103b6aa07c59c3cb84713d38c64 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-760-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2c5e1deb8b05121135aed7f5f81025d4670c1aedc5575cfd1ad9bdf29fb8a0c3 +size 330155 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-761-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-761-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1018e00e3656ba1ddb4a908339987bd4e7839937 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-761-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:98f2e3475bb915901fda682345bd1ebe57af31d40296fc926fc38454d0fbc672 +size 363963 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-762-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-762-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ee14fd4fb45eb1979cf6f49a585ca174248ccf0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-762-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:27d2aaa0ee96b18add49c5952bc5741cff4d344455a61d31b1529cfe27bcceeb +size 326446 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-763-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-763-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..03179efd0e5480bd5be061df2c05f23bcff7724a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-763-Matematica, 2014, Subiecte si bareme-2014_matematica_judeteana_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c69d3dfe24173d78f4f0a1e7f767d2cc8b48bcd664f03c1446f024af216f64c3 +size 280188 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-764-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-764-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..daa4ad3a0a5812a33ff419afa7591b4e090d45fe --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-764-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:39261f57fb79a3e3ff035d5ac9a987c149319f3cbf24573380f8babdc5d6ba65 +size 307303 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-765-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-765-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbe8468152c376c099611479abad4ccea30cb601 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-765-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bc71d389853d3ce4e78c674070ca7fc0f46f7ec1a10ef5ed24db0787a331a39d +size 270174 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-766-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-766-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e572e295a249dbffc1c03aeaa6d9c63536f56b6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-766-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d798507c975453f734ef6a60c2f04e462a11f50285b07ee0cc0897a949c686b2 +size 1197676 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-767-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-767-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0708c7ada5f152686a881ae5df26e8aa17714c14 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-767-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:099e68f0efb373ea3d7dc83d554db7c7b7834352f0a3f155c3b56d4bea855417 +size 586191 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-768-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-768-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..63f5166f7ad2ad7743e9bd3a61f11ff892e0f5de --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-768-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6446ad19df88de9f5b9ffebd9353d488dd5da00c9c752389bb40dcf44f60e5a0 +size 645494 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-769-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-769-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a491b7d856db95a242dadac9b27cc8f3f5c784fa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-769-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:71067da9b72491e2d363710df8dcfc2eeea781924e529bca6d055d758266c417 +size 716978 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-77-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_viii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-77-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_viii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a621fbcaa7f47cccf89caef4e3a7da24862cc8f8 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-77-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_viii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0aabfe7f32f3242c10e9d5e76a12e1f57edb37090f7f51c9b8eab75407e6f74 +size 142758 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-770-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-770-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..207f492575ed518e3574e16ad6ef3abb399811c0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-770-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4208aff88c800f33ac31bec0d646e5dd59c29853861ee989a06fd3b744ab453d +size 526717 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-771-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-771-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a946a825ee013eadd2840d65286a257454c8985c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-771-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Neamt-2014_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c0ad5a689a87a2f88da46e804f0e3d550bc19934be135f9906ae6ed1cf13d353 +size 394941 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-772-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem_varianta_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-772-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem_varianta_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..22b805743a683280c7e4f9bad4aa606ee126350a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-772-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiectebarem_varianta_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3d4cbb2089f6e66c7ff4b6bfec7f60490a1c7db9931c5c60a88b566e8b718156 +size 229085 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-773-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-773-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09875b9399508e2747754418c3a06058da8a8c1b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-773-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4abbcf764ece2ff4b817a72398e561a96c78b3249946ab19c4030b0d058095d3 +size 758780 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-774-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-774-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb10fa3f24bb5e737d36d703c8e0e8e8ccff0797 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-774-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b8fd6bddc35a3ab193225476813a4eb7edbcd0297b326db9ae1481341baa9116 +size 486352 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-775-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-775-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ca850639f458aaed2c7e9aedcd60d93680c17ff7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-775-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:700c26fa4c3f6ab8c6d1a146d3ca4e18038821f66354e63708f7b41f6016e487 +size 1074556 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-776-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-776-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e9e5aee237537b3bafffd37c96caa4e1e554583 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-776-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6a5487136e4a2765749c708eee218469e298cc04815e3644d88dd371fa3259fc +size 266450 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-777-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem_varianta_2.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-777-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem_varianta_2.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e60b62c1d1787d149383e70b3e60f9a5334308b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-777-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 2)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiectebarem_varianta_2.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:efea8a2b055cba65211aee4c2af081c763860b0f321cb4eb7a50895f69d23cbc +size 68450 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-778-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-778-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c84a213f9177949f4e35b705ef820b304ab5246a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-778-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viiia_subiectebarem_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c22bce8e0a1e08d2df40d6dbcd51ce9df49ee328014ec309c09e4fedd99073c7 +size 872727 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-779-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-779-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e71789625f9eff3963752a73c57ca75ae59b586 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-779-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_viia_subiectebarem_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:599d9b3a2d5f2e506f27ef216081291f26d35aa629e501f4e7574597c8566fd6 +size 781241 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-78-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vii.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-78-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vii.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9482faf2958020fa2d71161cef8542aeb19708be --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-78-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vii.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d4cf93b72a013a6f9581fe1adf2d6a1ca17b1bc9712b65741cf554626492e86a +size 1709609 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-780-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-780-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3979c7471835c01741da946470d84ee5b06b05f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-780-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_via_subiectebarem_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ea8b4427a467119d587a71b4511fd770f9a14eaaff66d5fc1fe364328e4f3dec +size 800074 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-781-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-781-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d1ec1868f4bab99403a6570ad43f85ebf27b679 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-781-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_va_subiectebarem_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:521483a51532e1efaf73612bd2bfb85d868d4dd52a03654b30f78b36baac6efa +size 352148 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-782-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-782-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7c4770706b1e8ca0363a304c35c55ac4472068b7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-782-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xiia_subiecte_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f477cba1d675e1dd651a055d9afb6bbf58b3c0fe49c34c2797826dee7ebac546 +size 257158 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-783-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-783-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..703b43d4cb3a86e68e2dd80cbdef6ee7bf7441d4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-783-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xia_subiecte_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2c6373e01fa2c537ea798c31fb4a01e59c74248dc5cd35476790011553768f40 +size 377664 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-784-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-784-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3958dc449f205a0b0a3bc7df4b56070872eeab90 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-784-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_xa_subiecte_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0281d76f2b73cfabb68123e6548ab640e7db81c5262d18310ca16ca4d577969b +size 256918 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-785-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_varianta_1.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-785-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_varianta_1.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee72ae8179dacca99e9a79b7a3fccbe8d981857a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-785-Matematica, 2014, Subiecte_Maramures (Varianta 1)-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_ixa_subiecte_varianta_1.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:63983ef1509bc1dcaef45e3d3f3bc363fa8483949db638a835b8b8a19b08ac86 +size 599141 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-786-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-786-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8ec34c075a46029b3b54fe1e8614a6dccd5be36 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-786-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Maramures-2014_matematica_locala_maramures_clasa_a_iva_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0cf11700009e46c186bae8741ac85077dc30a1ad1f4bea3a2204c1c7e45181fc +size 378181 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-787-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-787-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..473dbbcb071bec79c38dc48890220507fc3fef06 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-787-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d0aa4537727adf91a45ddd4230628238fcdb8313dc48c2acc6b7445c41872485 +size 1227380 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-788-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-788-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..218e2fc21b97b4e42ab9f69afd0d2ca8bfefd2fc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-788-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0edf7b045c2b1af398853c78032082bc15cf317e9abda1f444f126d27359ec3c +size 1433654 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-789-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-789-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..47bb553a997cb1f42c48c81631b93b9691064be0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-789-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e775cdc82be9e81a3cb888317c13a9afabe1cf14a49b80f1fee5d0a5f0f0f02c +size 374861 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-79-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vi.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-79-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vi.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5248375719594c2e09e0fd803d57e52b09ffbea9 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-79-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-onm_2019_clasa_vi.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0884eaf16081d6def021f475f95d8c2ffafa2585ef9edf1c28a4605426dfcab0 +size 1707468 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-790-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-790-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..78b951cb73f9a4d5ed5c90a646ed203e15827957 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-790-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:270d93c1341f454c1da8a9a294917f130454b02d46fabf8076c2522aba653cce +size 1544840 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-791-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-791-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..08599bb9c259eb5ebea9c5edbe554656dab6cd91 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-791-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:edbc5d94e8b1453f6bb5a8ed909281898a7c957a885be09048142303e45c9447 +size 557968 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-792-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-792-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ae3a72d7c424d740b5acc4d78b9c0cd35ede85f7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-792-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7cb27f7280f949919e9332dba84001f9de1621fda092e9adb89a9ea211f20e91 +size 1478887 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-793-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-793-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de41bb0477b7ffc050ccedb3caeb76f02c45e01f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-793-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dee5e48e1caeef8a1c250a1e89bb8542ea1154d983ecc26fd67130f718d03635 +size 383944 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-794-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-794-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3ffa70bc7adc7a31a84e2ee6f88af78e7cfc9495 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-794-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Iasi-2014_matematica_locala_iasi_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7b89aac40f65212796e79c88a5f76a192936969a2f5cf4afaa3d8cc71cd16170 +size 386367 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-795-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-795-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..89b3b1d7bf5a9bc61ec73d3a82650cba285d0677 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-795-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:77975de8f73c285d2b35373b1816598832c599c40099ba291a31fa3862435a6c +size 518122 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-796-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-796-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e7bd857589d746e4c5227b533611822579d22ca7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-796-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:210e332bafb62e7d83020f53cf6418d249e5bdb4d296746aadc9e31640c674d9 +size 515988 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-797-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-797-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8b5841273de49bd8825169c97e7089316251f174 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-797-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c70dc4daedcc2568ef2e51a8e801d431169d54c72c2ec405a396985542b26f68 +size 490565 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-798-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-798-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5297dd70a84dec7cb3043d19ae8e9d50a2ebfba1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-798-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bfbb3b5e3c90fa53bf151ad4d8dc1d58beb46404f406e9903be74e1656420048 +size 303395 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-799-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-799-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aff16209ab61d175a1f2fab80eadc98d4adf8a09 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-799-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:faff25014c0d9aa8eedbc179aaed744bb95298f5011cdfddf6572d07b691006b +size 493259 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-8-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. XII-cl12_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-8-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. XII-cl12_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a7976e12ae8422a8e264537c5e68173234dec1d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-8-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. XII-cl12_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d4a6e2fcbfc47537ef9ad320202bbcf65f304a00f331b42a25c0f8b27783e52b +size 448759 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-80-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-0_onm_2019_clasa_v.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-80-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-0_onm_2019_clasa_v.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc75a184d4d1bb6d22edd279b6a59e777101ed13 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-80-Olimpiada Na\305\243ional\304\203 de Matematic\304\203 2019 Etapa Na\305\243ional\304\203-0_onm_2019_clasa_v.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:992e0c051613cd00e511af89daa469bfa0eaeb5537c3ca9e955d728dd7efbc29 +size 1660814 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-800-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-800-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fce62a1e23bfc7128ac4202a3c4fafeca41c10be --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-800-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e7a149c38e7eb85f552f7266e62ffc8eb4c2af541a61da33d0255eadc3a8ae92 +size 338401 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-801-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-801-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9c107111f2a80e50f76f2576ffc3f5eeb57a52d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-801-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e2fee95ceb5de8c52f120af0a79b2a0dd9919a8e49c22c775768ce0a0a0085bd +size 404059 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-802-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-802-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b1727e39589dfbc20423c141a109be72d3eb6c5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-802-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. maghiara)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:382887c51afbfea1e989129f05b4d82f7d866ba14968ce1e55d387d63e72e32b +size 594345 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-803-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-803-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f59e78f7e4b115c600f2c77afc13b163ac779457 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-803-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xiia_m1_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fc6364dae9a49cf260e04238a43f78845346b118649a3e23bdb4ba654c1a83ba +size 588331 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-804-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-804-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf35853876dd4faa2241bd94b60835d65b848315 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-804-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (M1) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xia_m1_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0a4b3dedfbc9097a9586596b8815b43eb522a12d295cdf9725cfa9397d7b39d1 +size 400092 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-805-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-805-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..77d894ef3317d2e479bb83948eaa73eac1789e70 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-805-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_xa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9ded4833de5982143670c7cad4e822b2d0964c9395d933034b974cd44a63073e +size 332114 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-806-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-806-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..09daf4183f7fb02fdaf2a81068bdbbcd2d65c11f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-806-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (4 ore) (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_ixa_4_ore_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0ea86ecf3bd8274dbd9f0622075f691930c1e67d8576f50555578029bea7cdbd +size 596451 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-807-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-807-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8c826989c1c50076288c219f06976442cf769e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-807-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viiia_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3efed0cbb9e6ca6ce5eaca071f42d68fdc69a4ad0899828368bbf5b36496c43d +size 515452 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-808-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-808-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc4a74edce1d51b4e391ded6e036b934ef8448d6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-808-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_viia_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8a1f19ed57afb45ce01e065127bc679eec2e1fb0c99ebcafd469e95fcfe3e1fe +size 710829 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-809-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-809-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..10a1cb0dfe42ca47cd3a4ad1fb0a0cf436276f9d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-809-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0df9e0227e91e150be92917784c9357e55baffe8f0d176e3781c3a8b123d7fd8 +size 485142 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-81-Olimpiada de Matematica 2018 - etapa nationala-mate.info.ro.4294_onm_2018_etapa_nationala_subiecte_si_bareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-81-Olimpiada de Matematica 2018 - etapa nationala-mate.info.ro.4294_onm_2018_etapa_nationala_subiecte_si_bareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49f4f55903768e21e0f5913eef2a7706d16f9bf4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-81-Olimpiada de Matematica 2018 - etapa nationala-mate.info.ro.4294_onm_2018_etapa_nationala_subiecte_si_bareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:21b62ac4577a7604cd3ee9bcf8cace432942bb35c59b7fa2ff87deaae5b3456a +size 4727250 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-810-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-810-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f07ed1872da7def9c5f1f20bc320ff51db17388 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-810-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Covasna (lb. romana)-2014_matematica_locala_covasna_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:566305614eb54edc34da1b4411e0de834880e7dc1bfa7c254cc78c4f5e0d9a22 +size 406028 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-811-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-811-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5daa3af2cf6ff2e74864e902fbead5399f75b62 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-811-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:18f4377332df8aaa060ad242aaf668addaaf7d817a7cbe5bfa0e48b16e1602f7 +size 920829 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-812-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-812-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f6b88c4dacae54e25890a191f55941a53ccc4ad --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-812-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1ab6e4bc7717acb4175d51e74930dd259b6d7be4f2c400a690ffeb5b963bb340 +size 846022 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-813-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-813-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..941f2d13a440cb9240618edcef099d2819a01976 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-813-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d38907732870880c45e62fba5b8abd7a3a290a9b540f00db3438a0fd49b092da +size 744665 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-814-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-814-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ff7956b2ee39d69f10ea8080e989873ec422939 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-814-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-Sebes-2014_matematica_locala_albasebes_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e8b47a7d91a60bdf39ff3e0efb22ba85d27425210484c87727d380c654cf13dd +size 1007517 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-815-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-815-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f40b8cce6842fc29e91d83e64168cce40a7c3a69 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-815-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9cb9119a32442ca082a2e19d3e6c514e8a446ca51cbe905f40748d7af53619fd +size 589808 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-816-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-816-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed8040e6eef4ee2defaacfcf6be919b44ab4e44e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-816-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f1b8471df299f7b8458bfd118aac66c2597e39d34c6cba04c7be9f7c4dedbebd +size 513368 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-817-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-817-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e1c2fc97b84c1095957dad8a685ca0388ee99d18 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-817-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bcc96add97f83c15f46e163534f59425c35395944715a3d89089a92d5fc78aa4 +size 494836 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-818-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-818-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..30997592b31ea3710f263567e202e90cec2d9f7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-818-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ec6a805e29bb237a0a87de7518278d17f1efc252c156504a722ec7948761d468 +size 469538 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-819-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-819-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..570cc79afe04e874415f2f9d3ad7c56c109b0d45 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-819-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c03148ef0c73bc7926369eddbe7e187db8754377d3fe99139c58c0f2ce437d23 +size 626352 diff --git "a/Romania_Olympiad/raw/ro-82-OLIMPIADA NA\305\242IONAL\304\202 DE MATEMATIC\304\202, etapa local\304\203 2017-subiect_olm_2017_final_2_1.pdf" "b/Romania_Olympiad/raw/ro-82-OLIMPIADA NA\305\242IONAL\304\202 DE MATEMATIC\304\202, etapa local\304\203 2017-subiect_olm_2017_final_2_1.pdf" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0be87c574b73127909f68f1d8010b606efeb9914 --- /dev/null +++ "b/Romania_Olympiad/raw/ro-82-OLIMPIADA NA\305\242IONAL\304\202 DE MATEMATIC\304\202, etapa local\304\203 2017-subiect_olm_2017_final_2_1.pdf" @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ed22d4044107aa7c2861da80aeaa334931f7942e0c3d25b838959dc6ab5d7ff2 +size 864529 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-820-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-820-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3bcaf5b251bb443c0e12063743c8bcbe7c76ba81 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-820-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b674fef2cea5f2bbaa0644e81d284d8add6ed1170083c248ff3f3f4f9e681849 +size 1280498 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-821-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-821-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5f14a3151a57dd6d9955f4ab274e41313c92799f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-821-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fbed3b4e120fec5813ba24df828148ffc5eb64cf05e5a4304e7d52dadd3c2810 +size 826002 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-822-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-822-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc424847484a37a7f2e3e7b2067940268b54fb76 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-822-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Gorj-2014_matematica_locala_gorj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8192f2205c57908f51b90f0c549438131f7e95c8f9d346d7b835872ff260695e +size 904140 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-823-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-823-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7723e88fbbee30489e224c48ebac6c48841fe03 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-823-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:92a0510177ba6fa23d938b02df8f3511c5945195bda704560f09c17a825fc52f +size 1078043 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-824-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-824-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5f0ae4ff25ff9ed52ef7f3c93b41261309a9ca2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-824-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:808336f3f069f7fcce45af07248a5a4cf9414f8f27f3d8c0c94f7e8740a83191 +size 946103 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-825-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-825-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9789a186632fbf6990aae47c9bcb20a8a836396e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-825-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cb3b33032b3f4b2454b7512c09b01dc2e6991a1f985eafccdebe0c5bffc17ef4 +size 947678 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-826-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-826-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e39187aa50e949c6b7efe347c843e2546259814 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-826-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a129cb3c379965927b2582df74871fb437515c7473b21d5eed4163c02b42d00e +size 776903 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-827-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-827-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d72f158e063052cb7ff77852dbb689daa45abdf3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-827-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_viia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ef7d88699dae32b0014ecd8740fdcabc10101442d78bd82db91734b4ce13f33c +size 779477 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-828-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-828-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4e305dba04509eb19da3a89f3b528c92e5c2f227 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-828-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_via_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:504714b87d92fe2a09d1a2c5b7a5e1838875a1364447e2038567bf4080335dfd +size 779199 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-829-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-829-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62d66f28b5b13d63b2541c462fa0e9c1e624fbbb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-829-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_va_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:696a626d7c266d18d4a3463353cf92e9561fbeeead60d50fad663454646a7ff0 +size 818953 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-83-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-83-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc479fcc6adba82d4d8fa96ebb0d6d04a26a2c40 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-83-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c651b7f50a02e8d83d5d2dad00ba89f9c935a306283a2920ac1d3bd557bd71e5 +size 4914534 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-830-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-830-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a74509309c6ca328784cde8e4e7c8e88463bd4c7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-830-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Calarasi-2014_matematica_locala_calarasi_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a967ecf3262a13debe47004de4a7d89ee297605defd6486ce7b8197731a8aa62 +size 957773 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-831-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-831-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..452990704024f23d5b30f950319d3a255918cab4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-831-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:cd80e93491bead70141957094ce3e65a0d9e60f53c981458f329c71b606f597d +size 204005 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-832-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-832-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b81c24587a30eb3ef3efcfb41bd925807715f48f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-832-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:69279b5c28d07f487c4e43ea770d1e36a6e60c995ecbfd71be940d2d9a97dc39 +size 197800 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-833-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-833-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7255f4072b1a1673859bfd1287547f67af19cf82 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-833-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:12b219552bf7d5da39dadf46d2761fc14e034251e6c5c978f24dffaaf424d554 +size 208830 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-834-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-834-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76063ad0aeb411d8f74b21cbfe4f16913ac57e5f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-834-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Alba-2014_matematica_locala_alba_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0ca36999b6e72b263412b3b63def0b094fbb5b866968d8f2b00d87b7bd3ec74d +size 195823 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-835-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-835-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6df7abf1c1990046e5b7c9c875c7af76a0d39961 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-835-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6f92cfc070fcb854d0b2914dba7f111a5c787d124bf5193bea5c20ef1fda579c +size 441792 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-836-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-836-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..203a14abb346e1d802110edace10f426d57ed73b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-836-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d5da2d9a46a1150c82e399046244de518a4f8fdffeca9941192cf43fa5c5c45c +size 673416 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-837-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-837-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..97d6709b6cc9ed6aa4cd51cdab4dea0ad79aebb5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-837-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ec773e4ce260808673f198773a9e6670f22baced47334e694ed235b0926aa030 +size 1109648 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-838-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-838-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b31729443ea41535826f9e9b2336777d76743ef --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-838-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ce277e802677ee2df98d3592b5c171ca542217cb70e0167baa5fcd86402c9085 +size 448526 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-839-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-839-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c180c17cf7316b0f1ea210a8c6447f4f7b3f171d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-839-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0afb6ef796d8b96ce629b1fa9bd55bb3f21b2181c992fe1b9cb65c36a4f29215 +size 473563 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-84-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-84-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..44cc03f807738b125d2221d6c1b52d4a33b67db8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-84-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.romana)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._romana.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5129c903188579ee6fad5a191859f4fcfc713b170c51cc0cf892e4894f8d25b0 +size 252810 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-840-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-840-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..305cd21f9637688cc7d51a053f03ed307d1a8011 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-840-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9bcb654416d5ba4b743ef263d0201290683ae2fe57496957df06dfa53dca2df0 +size 441719 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-841-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-841-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ba7500fae3c6c448ee27ac6702aef736e3911108 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-841-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:999679ad1390a46a988a74b31184874fe1beb03d8c9ef5425cbe47e25c7d7008 +size 466449 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-842-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-842-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b34257e5dbfe27e655e3d723d0e820b6432b8a8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-842-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Timis-2014_matematica_locala_timis_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5ce8b34da2f13d874b6cf688b3e3c43d6d3e292b0f41d014c8adf8bf6f9cc446 +size 370385 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-843-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-843-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1fe4d85ef18e6d8f97f487b9e13d178b60b25ae6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-843-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:89ad594a24c49537e32cd927184647adf572910a57f11c783cb6030befb89b79 +size 283934 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-844-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-844-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..65eb20ba23a94c843a58489b2bc46733fca49967 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-844-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:59307f6f9e2d7746aede4f404876f1e75da0206932c952df3771fe1097f21734 +size 279692 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-845-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-845-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a569c7c2d54e9194dcadbc20da12729487f1fab6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-845-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a43eac48ab8fc10397b0a3b031c22895736ea06395dc441216975967cc52b04e +size 290469 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-846-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-846-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90ab798ed846b3a8822f4c8da3d975197614f43b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-846-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bff25e99326002d9631f5e83b074e0a9c12e4dd45ce2f78af1d7c7c180ef36a5 +size 473789 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-847-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-847-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c81a27c28d0baf76445c76e1cc321bf8e27af528 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-847-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c41e4356cc6d5ad97d68ec056dc97df2031a4119eaf85b991218faca8c8611f5 +size 270398 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-848-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-848-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6c13751b01bcd485894720161447b0f05c08e3d8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-848-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2536381190e194936fcd0801af633a700382d2b0473f8ea06853002dda10227a +size 247939 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-849-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-849-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3f1648cdb1c4b45e7d1a8cbd259972b38979820c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-849-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e229bb9edec02c3e591247d7eb70150b1b9cedec5423e75b0d7c5a15ecc5e431 +size 299448 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-85-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-85-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2889f2b4e931b0142e010d228988725c6efe4653 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-85-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_via_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:efde02bec877cd9c12b8441dde684e5eb366f7d3ff25a7deede16b32d0d97c18 +size 264728 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-850-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-850-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab9ee86d765ca6d871ef470ec3b9bb30ec7e7253 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-850-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Suceava-2014_matematica_locala_suceava_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d6c350d2ac696b4a17fc3d8e00c3913684ae6b3ff77cc21b8820d2d04810857e +size 298407 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-851-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-851-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc8135f818779c2347fa7615454e9cc358810d58 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-851-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fc6fdf6336a43af39036d82b867dff4f4de6a20b406ee7a62b7578bf8ba0566c +size 877399 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-852-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-852-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8e4714c786dcfb7ed4b7cc208b4286e07f9d2c8f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-852-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:451849ea4421fd8c278738876cc8f7bf40cb2318bf14169344564626eea0c2eb +size 656991 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-853-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-853-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3696d14d0a1c2b7ee8c1f501710f70748076ae75 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-853-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9037cbe1461898390c694e543c4123a70073f639913b95e5592c3c857d170489 +size 704174 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-854-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-854-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db9fdd1fc4ccfbf07ed4ce0dee00224b4f613961 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-854-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Ialomita-2014_matematica_locala_ialomita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:50c8cdbec815f0d3f5591b93c6e65290c4ef99dd2596722d36eda7681f066f58 +size 666506 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-855-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-855-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c42f784cfd4a727577a17ea0c9a4dfc2c0143eae --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-855-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bd92e6b7d78b953cce339ce559a02fbad9d3206907fdba488d47e3f1e88f53ba +size 697930 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-856-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-856-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4870e71e256d3f021a24aafdf1fbbfa3646f7dc3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-856-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:040f0f881318eefd7004f9903da7fad35c9c9bd1a730be4da1fa3b66d31bb1de +size 721641 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-857-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-857-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f9021aef0235d7fe272a9b80443587e32f6fd5b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-857-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1d77c7aff550b595bb21f6d4b6ca2020b0df74e7123ae422288ee58fceb459b3 +size 835169 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-858-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-858-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..52bce7c6b07292fd4f14658acfcb5f5ffcae7038 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-858-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:738575d8a8af2f2a4f9770042f228c95f022a472690fa9497f330bedd7c893a3 +size 717230 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-859-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-859-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..875f147635116a802dff927ff685807b63d55369 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-859-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ce16d292c230a94d2b5b0a1e4e2eea7e480b58f1256fff3debbc271c287f71f8 +size 734537 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-86-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-86-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..324eff42bd0725e92d93801087d3644c8265b66f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-86-Matematica, 2016, Subiecte si bareme (lb.maghiara)-2016_matematica_nationala_clasa_a_va_subiectebarem_lb._maghiara.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1392426fb5818a840a074be7aa6dc72ecf29a0236446a17a149e123cc0cb21e9 +size 4916792 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-860-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-860-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..371d86f5b03b3fca8a737df42751c13d735589f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-860-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4d16e85e765121592f62ec391a9d9f8d3477d508ad84888e92a2bc217dc6daac +size 655772 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-861-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-861-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..82f774797e57294a7e3ee31f861ed0530cd78392 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-861-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9bd1df73ffeec7de98c607a42bf6c06745d2b4effc1077ad94f7a0f5857bde3b +size 700274 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-862-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-862-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8fa0566918ccc8a3b52d8351d58275a8ffc8bfc7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-862-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Teleorman-2014_matematica_locala_teleorman_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:385ccba1bf91c753e792bf562d23d4e5672acdbb4e49b3c87c15910b52a930cc +size 732661 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-863-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-863-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c8d341d1e24eedfa53b90e1608a24cbd4782b99f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-863-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:93128bcebd46a28238cbb4cba69f155273271fb1892d002b94031b6ea2249f91 +size 442533 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-864-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-864-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b50014a65f4d982257dc083e23eb58b018fed31c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-864-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c459c991a39724f476b8110d34a38c8a403c949ce95ea99c1e63499cf5df417e +size 675530 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-865-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-865-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a2d118855a3392eae968ec26bdeca11258938a08 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-865-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:43ab6c33ab1aa08e739d21fd62181dd5136d64a8152f2ecfa635ad700e879dde +size 458762 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-866-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-866-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..559c7a0161004bda1e05bdd001f66e336734c294 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-866-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-0_2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:347c4408b6f0094d2c7033563199fc9727929a1f1a877dc9950e94a8b7b45c2c +size 470795 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-867-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-867-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2abb80fcee7301e2fdda99cbf5e723c96e4b27e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-867-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9e5970c76b5a3aee69d1d49edfb79f03dce7bbd4e6c4f1dca20df0110d1a5a26 +size 244375 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-868-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-868-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a23b095445f2e4f3a85e622f0c69d0f87564fd2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-868-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:616c3c3cb2f44e31bfbc70ad0b01a9cd96d5b326ba508b544b79152a7dab8d99 +size 112187 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-869-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-869-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fcbfe67079c99dd0f9ffb23c95bef33097e23877 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-869-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:483dbf3781a118e0fede5a208ae2cb51fe7dd09dea09dea68c6ba38fe7cf694a +size 195415 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-87-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-87-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e6f8608cfe7b8ee2df6ffe4198effa4d02254faa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-87-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:597095e7b294356c2de6e5a1f3077ddd910df24988d3989cfee1cc9b27b19cd3 +size 278292 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-870-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-870-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e4639a90fec502f1b135283aabce893abd663848 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-870-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:65c79e64c5b16a37cf1d9d6f4ceac158758e96aa8d55e07a2ae2c2861eb0b908 +size 118030 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-871-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-871-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..463247eefbcc054c81e7f64ff5b96a10025baf51 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-871-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a8bcb483980e5f6a3a50f69e786a0553b857b05b3e891c2c7defb899e225ee76 +size 167522 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-872-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-872-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48c05fbaf7f4772707fd383e20d88f6118f3389c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-872-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8b79a4c1e0c3e6be392004dad667145c8e5a2ad706593416df6ed240ff0fb6b4 +size 115176 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-873-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-873-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..34746ceb9193bb728193026680ac46f757fe0557 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-873-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b35f59c271c42635ec1ea86538341e51a368ad50d360ef61a5289e5ea71ee3f8 +size 107081 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-874-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-874-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c8cb7ca2e0ac38f875098761ab55107e327d0187 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-874-Matematica, 2014, Subiecte_Harghita-2014_matematica_locala_harghita_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:fdfe2d0f767e741e844e0e516dafe52026d2ca7b69d2af98196f78b4ee8ffd45 +size 119754 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-875-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-875-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9fa6e62aa5f91f554f2230346198b7f8a8d3d7aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-875-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:40fbb4a13045e5c3254fb11de6661961edc6ee4266eaa4d54db0772052f3da2e +size 890413 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-876-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-876-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe44f2e8b8cbd70a093c1fb92b4df99f138c3d04 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-876-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:463faf9f0dbd8a7417ecfc5de60a2ea54038ebedc26c0d178a7406017d91e263 +size 894003 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-877-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-877-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..102fdb43d89791280f152e64fe40de1524f9e769 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-877-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:eb0b9bb62c533914a46e0457a31aa03493026d91d946da418e3e27a2f041d298 +size 910912 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-878-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-878-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb09f97b5a19b8858528319c3d1c70bfa7cd61e1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-878-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:22c364dfd57c4d45f0fb26fb7b9db456852e8dcf950210aede3950ba93a302ec +size 1481510 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-879-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-879-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..113b0ca14349ff2c0f1e93e27234059006a20280 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-879-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d9715a05898afc9e018d531909d3a9a9fa12c7a1a89a34d933c66091547e4d8c +size 970152 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-88-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-88-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d531d55d52f33a70f6f008da43d04cd1a705ea6a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-88-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1087d520fb227767ef3bb8eaa27fdc00f037da0a3807a89aa402aa16acc81995 +size 2123742 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-880-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-880-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f358c3e3b0876d51796f5ea57a80b821186a04ab --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-880-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9a031704318768acc2df4ecb41061dcdb940c3bdbb46b17b73f736189c382efe +size 1213200 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-881-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-881-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a72bb2a38f76af158a82dbbc39f29eb46e1f27aa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-881-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:09b1f1a94ec12d8dfe4a56c78baba960f2ae8977e9121b768641fd6279ecddb1 +size 795606 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-882-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-882-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5d4081f9b8cd7d83852b8da424bec75515cf49f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-882-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Buzau-2014_matematica_locala_buzau_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:29fc211dc2320fb94c8160d38a16fd5f0ab857b6d66074378e8bdeaf3db3d897 +size 1085140 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-883-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-883-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..184dfd4336a0cb90ccbaf5886f4bf4228fde27e8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-883-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dc79b653cd8c6a1251d0fab013e22b901bca7e70cba109cb49ff0b78949189f0 +size 198392 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-884-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-884-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bd289bebc467b2b17af0c22f709b69740b093a8a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-884-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:de73e915f226db581b18d13e3d1e8d118101f345992f870e263681439a2a23ec +size 318397 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-885-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-885-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..da7ae957e85a9696444ec272c084f3bff1bc734c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-885-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ee169738c82ff0fd38b1b84b6e767f23ecc7596219bd599436217b3b5b004ce7 +size 206571 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-886-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-886-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..aa39996743269658e0a829929e43b64e7295398f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-886-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:446e275cd810480c3a84f2d0af34ac42f95ef5d3328920e5ebba1b9cddb49720 +size 196815 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-887-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-887-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..674d05dcb3006e66224f0e6cd0bde8c2e8e81eeb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-887-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a46f7dda3a582c379e75232986c2b51abb55f9076dcc1b80862fff285ac4568e +size 149208 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-888-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-888-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bc1921500d4ce15b2089f61c6cf4da2a0c46e533 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-888-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7fbfad79dc889943624fd95a0a78e1ead045400a694238b7ec484a3dc8b5d986 +size 147341 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-889-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-889-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fdfb2a7d3e8d2bd6a72e23d5e18955cf694c2ea9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-889-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e5680f277f099b4265c091aa04a9f3610d39d1104f471047e3d947b9bb103888 +size 241203 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-89-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-89-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4f44e3d39f73bb09159ec5f200a581eabcb66ad3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-89-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:83ba27c74a8bf73c03d9b1134c66ffaa3d72537113df63d0af2896d3ec021ae0 +size 57544 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-890-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-890-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b48e55d393eac0cf96f0c876a7ff51ecfc3ef4f3 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-890-Matematica, 2014, Subiecte_Giurgiu-2014_matematica_locala_giurgiu_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:18fc0d18e0782365ef005ec1f98ae6386fa374983c95a70b8865d18312e46cdc +size 281375 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-891-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-891-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..74b2bc48d0306d6d4cbd02f9d78c82bcca83ba7f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-891-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:84be98ded9d175ccf04d89b27131c32ffaf04716cb64304b4fe1c066abb52b4c +size 94391 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-892-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-892-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce65f6254ebf2e0425bac60bf957f8a1f4521a0b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-892-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8a62c49d72f912bc004eb8604b42ff3c824763406bd304d3aceadcbc7385b514 +size 95554 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-893-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-893-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b0a9f9efedf1dbca0ba504a7ccf90b8a13894796 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-893-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e867243de2bf26b68c74281a32a749c2362f7b1a33b7811784b2903cfb5b34b1 +size 82770 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-894-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-894-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec50c806d6cd47287b9a7b3dbabb84d959cab1cd --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-894-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:152e373ae4e22843a18a1160357a0c03ec454f5dfee4bcf84c925a56d18f5de1 +size 74981 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-895-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-895-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9b5f9f809faa43bf4fda18e4335141f7d01790a8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-895-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:270b74275eaf4af0cec6b199e76851bccb20dc9dea97ef45b5b5467a4b336fc1 +size 99691 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-896-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-896-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56e5bc2db6da50f9dd7b0e44d5d01bfa3fd79b04 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-896-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:454425b0a4af00e1243f66d8b100808485594cfb6c47a907dfd56bed5a7fb91c +size 104793 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-897-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-897-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2252bb6a0e251036942b33bad35dbff4a8e1d163 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-897-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:674d624ec88e6be7cc32bca2d89715b7ea084b40554ed64164aee69b2e1fc1e8 +size 76233 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-898-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-898-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f31e2517be9c99d90089a5b519f8bbf3db486566 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-898-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Vaslui-2014_matematica_locala_vaslui_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:540ba566d0e424365ba58ed58246e248cb19cefbde4fb2b95c1ceacacf1bf490 +size 95166 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-899-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-899-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bdcd8e23669be9058605c1581cfa2f5e71235fe5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-899-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9fa1ebc9b3fd5481f7a5f9f0b2c5fd4b94cb8247821190acf534073f6023c4a6 +size 259007 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-9-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. X-cl10_nationala.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-9-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. X-cl10_nationala.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c631c7c3f519a2957cd553ce5d5bb8ce1930b9c2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-9-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, subiecte, solutii si bareme cl. X-cl10_nationala.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:6ef09be546c5d2675287f0d913d7136b5e91b843533374051b6b6b0cd47b8edd +size 482196 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-90-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-90-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf1411862a4a9a09a2431a820d25f1f877d0047f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-90-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7d2c7e93473160a9e359596fcae05634440a2e2119332a9687f4947efa34dc58 +size 321103 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-900-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-900-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..27f48ebe722805e9e5431f4b297d955586c07065 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-900-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ff1617909bf849708fbbc1009a6e55879ad4b859af3a90d52d7cb07fb3771731 +size 313441 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-901-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-901-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b65fb3a976e15df2737831c12dce838b98fef014 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-901-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:88fddc4f7e255aae79c72a8ace7b710a4fdfa9cce898cf7bf0dc34a26b574716 +size 349201 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-902-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-902-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..13da4aa1f96b0125bca098fd4e6ea63a6bdc2294 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-902-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Tulcea-2014_matematica_locala_tulcea_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1cd06649c978048e3ca5625b7e8f3d3919573c80db08216858432a8f2b9ea88c +size 236463 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-903-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-903-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..10ce7516d9800eec382891e91eb5a572000601e6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-903-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:835f694a6eec502ab1175d25d528201989788d691f598d999a882f7cebe029d0 +size 359447 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-904-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-904-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e77c1b85d6a2ac531f7953d4cf0f25305754626 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-904-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:df8cbf3e7acfd338c363f5df61189a9fd91f7eb3e493787e0bbca4a298ff3259 +size 374417 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-905-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-905-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c5e59d30e85fc8a9cd46dd774a9e68270988de8f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-905-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_xa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c38ab1c7d2f6810bd8820646eb2fff8a02a8a0ad3f985e0ed0ca6e8e9114b775 +size 256789 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-906-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-906-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57ab8d7bd4d140501fcb86fdad680aeee8e2c514 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-906-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viiia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:535b8707c9963abc2e6f8489ee6f0e7166317eefbdb14ad655badd03a75f9b01 +size 266155 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-907-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-907-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0355dcd09ddc4ec602c6850b29cd08997745a91 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-907-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_viia_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e47833133b9e6347c7eb6dda2d3945e99b3b5172a8dedcb5a8d11e6bc3f55e4b +size 254555 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-908-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-908-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..341d2fe8d56a805234a7d9cb5abb8055985cfd99 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-908-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_via_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:27b22c36d495ce586630bfbca632e66680b3e07051b29f71b9521f80f43656c1 +size 367903 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-909-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-909-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b91252f652b3d00947234b08446a6baffd43ab22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-909-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_va_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:29ed1e882026b659f7d41d0d43d51632f2606e514f822a9f3ef6338a316fdf34 +size 254620 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-91-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-91-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c21aea65756199e5fbf2f215f66e67bb4d78787a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-91-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:04ff7e54651271ab5f185dd7586246ce05e2467bec9b2d6cb895bbd98f44b24e +size 153043 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-910-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-910-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8abdc23424ee043071833cd8a86daf3a0d3e3703 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-910-Matematica, 2014, Subiecte_Prahova-2014_matematica_locala_prahova_clasa_a_ixa_subiecte.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a0a0696d9c8abf089f8b0521c617a006fce8264fd90bbcdbe7827b5f2c4e840e +size 267008 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-911-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-911-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fde38402f133ff733dbc1070d772b3c224f207cb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-911-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7af8a0bd481501a631fc43ea0f7480a48d03fc546c28cb56beb9fc4d7c6b2ede +size 298623 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-912-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-912-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0cef32e2f447ef6e4dbafff3de58e96a993dc00c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-912-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:301a87cd530d3308687dfea7ade4055e11bcd617e8bcc62e0f1833d0b1270a04 +size 298081 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-913-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-913-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbc7ca25f0d5115bcd495f1fed7a34b708cbba22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-913-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e892f0dafee72dbc6e3546fe0d3017b4cd3e686de23b72dcbcb15fc8af2640d6 +size 284416 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-914-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-914-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12e7a433e598edf9958e9c13d2e3a4d3ba359917 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-914-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a8354e5598fd671f6852e671ca166a2ea1a38128f6956aedd53f278b2cf518ad +size 279152 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-915-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-915-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..107ccfe9cc72e93d39fc73a5162f79ab59020a73 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-915-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8309a06a3bdba9ecd48d6bca02d654cd583f2ab68129940696178fbc1e91d1b2 +size 430710 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-916-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-916-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14efb3e25ad86a8a2d923200144907a001300594 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-916-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1c906c3640a80c9d48614b6b95f2aad5c48b9f61610a14edb2bd30df183cfce0 +size 419320 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-917-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-917-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4da5ef6856dfd59897cd1b44a3f550e81a4408a9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-917-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bae974578fb683da20439379d3effe0ca51c7e203fca9471b70fc90312dc7896 +size 417751 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-918-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-918-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..39ee5a701adf01d1c7807dd14d37e21ca3f8ac1d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-918-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:aa460d788bf89a4ede5cd8ad78b0295eab80ea8824bf5f67f9baccd12642f6de +size 494720 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-919-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-919-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eccad4335e518ed28fb403cbabd32759b28d612b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-919-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4163eb8a6fede0cc455e9eb6bb45d1b070d91385712128cc5b945db130864919 +size 616918 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-92-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-92-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e00d3d3a9fff233607b49179d32aa35a8fd2eaf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-92-Matematica, 2016, Subiecte si bareme-2016_matematica_nationala_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3c48102af8a8fcfc4d4747f30195be14a4ee0cfb85119a00030385bafa04a362 +size 3484844 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-920-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-920-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b3d94f95d95c04a81ee10e2e320a161387e4dbc9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-920-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4d9c743f59245fd796958c9a6d56ff39bb07f80f563355bfa4b04cd5c505b98c +size 470693 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-921-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-921-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..315b82e6511199be03c78819cc8c45bb9f9f8198 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-921-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b19702e0dd373e1769cc56e24122bcc83a0dbd9251949d7785a3addca9c8babf +size 637230 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-922-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-922-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d12d8ede9a54c8a10ef7a2f8de6702282e786442 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-922-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Arad-2014_matematica_locala_arad_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:98f2d8e30abc4f4916d0a39ba9d36c5ca0419df2a29c2aa0c6e5859627c6eb4a +size 422992 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-923-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-923-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d06976bb85e28fb3815a8a61c9b3058204591ed0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-923-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viiia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dbe49829778ad766e6f6ad58e07fb1d6bf227e98c927a1f15414dbf95020e4be +size 471108 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-924-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-924-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..876b9a7b19884189defedb23f4ba9a244e2ee22a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-924-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_viia_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:868f6036ca6b19aea246fae784c8a1f50c21c0042d065284a3fb6d8a1935e320 +size 535317 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-925-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-925-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..49cb2d28d912e3699c171b36c1e5fd825643e400 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-925-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_via_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:811a2ec5e526cc611f24ba189a10d1d0f5c6f739dd2e02186d95e5ac333a9c33 +size 468857 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-926-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-926-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..881b20926ea45aa304a068ba78412f684fa54c40 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-926-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_va_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:904c2a4532fc9d5689a6c6cea1958c39e94a204b744acf973d78ddd142849a00 +size 819598 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-927-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_iva_barem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-927-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_iva_barem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bc222777ec630462902f224202d5d24115d32057 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-927-Matematica, 2014, Barem_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_iva_barem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9acaeba5b2da2721453ecbcda301511582dca3765c337cc1fc547d384e911041 +size 472702 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-928-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-928-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8253ac76d67d087feb40f86c4fe4ab1d5ef36f0b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-928-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bce06915bc00528fbfc1a1c1684c903a99cb4eecdc4492773fc7dbf2c5ba87a9 +size 605022 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-929-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-929-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cd891b2c861c8a856c0ba92786688d5aa2e5db79 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-929-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1cb12b1ab60a92a6c3ccab2c7e5fe6736fa22a3d8d7704f227f4ccc4e1f0ecd4 +size 1275618 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-93-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-93-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5e968619d5b29ff83978802c5ed55b99eebf3e83 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-93-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:451fc7f03c1464623d20cab4baeb2900747d15fcd1b6fa8238aec61cf433e87e +size 362550 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-930-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-930-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e36e1d3d9028a153e19a8b087346f96f1d245b55 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-930-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5a641e8097c051c9abae4e90573cbd53a85e899b89d82636bd8d89e4216f2f50 +size 758437 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-931-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-931-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f5bb401b3400f667528ac7bf7cf15c87633f99d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-931-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Satu Mare-2014_matematica_locala_satu_mare_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3cf9e928d47f4ecfcbad99436e1a1af88430274813525bf39da6bc190779fc2e +size 654097 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-932-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-932-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..feab65c4fcd0ac450706bfaf67e4af5c7bef5b33 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-932-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:84eabd383c40b4f6be00fc8f9868b17a0922a1de93438ed6ecf2697e68eef60a +size 930444 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-933-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-933-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f0a77c7b8a444f9576cf0a8c49e1a10125bb037 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-933-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9f5f0a0c76a84b6b82cfc298a85a17d53cecc42916e5f381d2f462625c145523 +size 930441 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-934-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-934-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9901aebe678c6ccdeea820385ab79c61fec86929 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-934-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c083e3058416263f033c52ce88a882baf91308676b06dd53a4420bd1a69e3296 +size 930441 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-935-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-935-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb618661f4c8ef69e16d53600b8939aeae98ffbf --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-935-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:20e85e6148ccfb8cad1bb5b38bbf604e9a231364933adcdbff194ace2f496fde +size 969674 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-936-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-936-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..497bcd8f94274f9081df741a5aa68c50da7a22a4 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-936-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3e781a2fb9e4309f1aa34f8b1b34d8d368a4251a7600a3704c19bd28d84779ce +size 969283 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-937-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-937-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d4d3164f85a792948eb1d0f58c145da6c69bf82e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-937-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f832ae79d4d12249a608bbe7d001073017d6caa95e2d66265e0789655a1a8a89 +size 969283 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-938-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-938-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0f18c5a78ba55c677f66eff8a29a7a3d59552365 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-938-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8c9503f8ce2378f819c694bb2994f1b2fd25f5d4e50175b5151c9ebba404493d +size 969279 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-939-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-939-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4b86e1ab6614fcd87736220eaacaa00f31717bab --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-939-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Salaj-2014_matematica_locala_salaj_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2f824486b0087977974a5e60d60b0482aecd147e83928933115999682c8de9e4 +size 930437 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-94-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-94-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..393fe70604508e2817c615c2af417c21fd037905 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-94-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:27bb8747015be96792a091b35b3697b3c233e5c5230242046cc34cbd60113638 +size 363293 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-940-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-940-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8bb575c88c7c717ee81dfce6693c1f46b48ffc12 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-940-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:12f3ffd736d43162f262e5d1685182f9679aadfea0cd00a1ed45ea6e4a02b19c +size 518598 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-941-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-941-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9482749e7a125a9399ec5917064a02ea24419722 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-941-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b9ff9aaeb1ff21801da22ce8105abc1f2b699efbb6e9995ce54147e545b5dc13 +size 516163 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-942-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-942-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8dea2d39d3de2aba1ff412a25f4af07d8cb5103e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-942-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:de98cfe752bb2279f2e0a201cfa31ed1f281b58ce3c660a7396dace43de096c7 +size 509777 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-943-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-943-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f961e9d76a85c2b2795bc35e2acefd5ae210a4a8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-943-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:7d7698bb201ebf18ea478662ce26ab4f0ff183ca2beb220ca72325e06aed0659 +size 660682 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-944-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-944-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3c47f8f18ad9f36d571c9006ba2c6e223e2d2f5b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-944-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:86e7a2443c554612dd7a21854fc0684ada218a08ce7533eb4255d518ded98b45 +size 645715 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-945-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-945-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9241e56400bfb0efc59aea1bef170fdd12f288b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-945-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ad69bd07592fa3e759a31718a017638632732d1ec90e57eeebf78ae826d4c5a7 +size 642138 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-946-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-946-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02a9e6f6127aeabf53175532a4b14143421cc552 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-946-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:04a2536dd00e60bd31bcc14b495b76c41b424d89775a1911b12400aa5fc30f75 +size 584748 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-947-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-947-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9978e0b060b77ce0195697e3b3bcc41ebaf74958 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-947-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Olt-2014_matematica_locala_olt_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:8c3eac1ba55b4abc5a65d1069e4afa0667734139585645b29ef48b73deaada79 +size 514269 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-948-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-948-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db063b3cc470a20e9d4b1cfd33e81c1699fae7d6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-948-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bc9dc2cb6cc1b4d50eeeff93bcd77b193c4030a9243c3136b444b36d609e371f +size 210752 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-949-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-949-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4a7d8eadc2bd109634451e18f1d9f80f0ea52bdc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-949-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:e96da2e79cd350e56999938eae4fa835eb8bda997955eecb2362781d52144616 +size 220103 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-95-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-95-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50352afbd844d71bb3ec3a1bc0b5f82a31927b7e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-95-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9c0a042fb68347fd8eda638fbf52d5b99b56e091b59f66deacba1c3bab57e6b0 +size 584071 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-950-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-950-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..84eb1f8d56f13a772f1f7434b528353e9c60ad05 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-950-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5f6ab333c38f9328022b941b4a66d9d5d7aa14ace9a75cc36b7783758c3eacb6 +size 239719 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-951-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-951-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45c59fdbc81671d0a2dc95d0d48343405cf9133d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-951-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:12bcebd4ea612836ceb8ef0032718a89b47638023df4e9ee1103580d14a089cb +size 209275 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-952-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-952-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..803159656e50d510d7ba512a2852e42c04bc8ee5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-952-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a40aca312bcad6276bf74a5bcc33a1afeeac0e67bdcca7bcefe629ce86f3507a +size 191291 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-953-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-953-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4806e115b29e4a3606e769e4486f6777a4f1bbca --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-953-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:83c7912d71cec4208fe8948eb5c8b7dd0eb7d1a808b4fc2203e112fbb3f7978c +size 277945 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-954-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-954-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4a2b1bf4854caad804481acea5dd0cc2c2c4f1e0 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-954-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f6fbe205db329adc01beed6c40179f7f837639d84b82d5458ee7cac3b911df56 +size 185449 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-955-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-955-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..213e881b6eec795c893b57b2ec88145c6499ffce --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-955-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Galati-2014_matematica_locala_galati_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9b6c2f10d32da9956f1ad88d1554d5b204aad68b3ad1e57e8129a4ba68e5209f +size 204577 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-956-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-956-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..02554d8d9a8e505f17f6093d7f5548353c7aa268 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-956-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xiia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:afc393f5493af0729fbd39969f27ee6636d20b59d7470053d1b19ff8ebf3fb74 +size 3304709 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-957-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-957-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..44a70253524ed119e3648e7aef9fc9413ed889de --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-957-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:30cf6394c0596e530e902e68c53f8267659eae7fc381659121fd701688ee8384 +size 4575375 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-958-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-958-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1fa3a8fdd3ed3fb9acfbb234fc49b7fde20e43c8 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-958-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_xa_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d90e6aaa94ef02dd6b576e0745bea27d20dc53951cc7a27e4514f3c85c4c765c +size 3888226 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-959-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-959-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5b3cc0c74ebbd86411b017eb2aa19d53a486fa87 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-959-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viiia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4afeee5bb0581781ad752faab80f7c55a897ee4db8b1a69538b8822a45f889e5 +size 4001894 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-96-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-96-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2337fcac828d0672c2162128f67bc21879cd6d6e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-96-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Neamt-2016_matematica_locala_neamt_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ee590787778fe97a11fd2fe51c9c3daf186e2e9b698df5206f68537e00abeabc +size 573262 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-960-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-960-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cad1c6d3aafc9b000803913f842735865c371d5d --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-960-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_viia_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d42e9617a7cfe79b2c2e905b1c6be7014addbdad15862704dc0b398e1e6581cd +size 3663184 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-961-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-961-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9656015f1e1f5eea814f16cd329ee7066782395 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-961-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_via_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bae266c4b77f29f9281515100612807e225a8997642391f9ff266d91dd03c517 +size 5091316 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-962-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-962-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3255a9b27f2d5318cc5af39526d25629213d62a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-962-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_va_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4183f87114f3d5ce4ee196c4ea00c34083aabe2f33aaa68fb0a8c8df5ad616b1 +size 3549200 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-963-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-963-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..584b9ecd547d2456bc25e9ea99586beb6ce4d726 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-963-Matematica, 2014, Subiecte, bareme si solutii_Dolj-2014_matematica_locala_dolj_clasa_a_ixa_subiectebaremesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:1c94a7a944d71d6187d612afc951fe2f4a4796ea46499a34466da4674aba23fa +size 4921722 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-964-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-964-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d7f6c72be07d1bf895bdfd25c63751bc3b24ffa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-964-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:afaa498e5379d7295c15edd3c6294cba9585712100fdfc22775b4d54c05f6841 +size 473991 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-965-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-965-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e00cccde1a6c198d55f80466aa752c2fd334a2ed --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-965-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:715fb0dee325d2fba09fa33630234328f7e6f133253592189e2eb58db5a782f0 +size 513634 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-966-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-966-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8877e2c7c19c7596e6712aec617e2127cbfa1517 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-966-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:51cd1e0cf4dec3b5192dac83ebea09c222d48b9e7813b4a3ca46e6da30ecddb8 +size 574147 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-967-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-967-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e9d5252039dde214cb484ac5e49c345bb79c9e15 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-967-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:30ede377bd94c6340d8dc4e8ea00fb83b037463b5e23ef6201cc2ed72131580b +size 368331 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-968-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-968-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5925085a4568aeb32f35d6702638300c75f63b0f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-968-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f9ccac4794cd923d21c5ebd33ef761179113b6dfd79bb8909e2a7c42782307cf +size 382464 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-969-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-969-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea33e74b2ea3ab70b1be5b4ca492312a35c5ffd5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-969-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a522bbcb1e5bb9d728de09e1a5c5451998a0c5178510e625243102039a2c194f +size 304615 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-97-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-97-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0bcb1236c3ccccd6b0c0725aa4b1fd5fb4e87af1 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-97-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f31db1142d4d9e4dea62760d790b9cd35940c489b98f3ad13246592f9a85997f +size 1345928 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-970-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-970-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db212e03d29be9061dc290233fd099c2113170b6 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-970-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f243569d8e5d62763904a0efcecb4f471942cff838cb4bc4c4fe93d5d347850d +size 285248 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-971-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-971-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..40c75c46e747b6bd4e24981a3f75deaa0637d8b2 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-971-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Dambovita-2014_matematica_locala_dambovita_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:dfe964265d1e1d14f78eada9d46e500578bad7e2cda9ba77c6fb63ebe9868b6f +size 500488 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-972-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-972-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0e2dbaa2d64c1a23706d6174ddf2347ea5cf1753 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-972-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a239e9fa3fd038b7fb20274e89dedca1dc9a16f5a7e953904734ebbbe4607ee5 +size 532751 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-973-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-973-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..43ef6e83af5b7e5104f3eb356eb8bad83964fa2a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-973-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:68e462a4e12ec4618e245e2d6c56adbba2ba910ef97a7d9582a5920fdcb41fb2 +size 281752 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-974-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-974-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa39da1c8d8cb63724fbe3763af435e4cbefda87 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-974-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b036ec64150e497b6947a2ebae3046329d965b7011a58845cc670ac944d1ef1e +size 253373 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-975-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-975-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9bb2e72a3a97fa15bc6105928d3c72bc0541ff5c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-975-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Constanta-2014_matematica_locala_constanta_clasa_a_ixa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:086217587532d618edaa0068dcd9d09f311285ca5d8f54e82cc8e9701c3b8288 +size 251402 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-976-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-976-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7da3c708021dfd652c048625ac7e7048699a390 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-976-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:93612e6bb020e630c2eef041f87ec32c370ee19061b8f58e2a665218f93b8a72 +size 184366 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-977-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-977-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..486031f01f9b4fcd4b32ea82902ef6bb95737bdc --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-977-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:9d1474da53161fdbb86238b92f4f619cfaca34753ecd3833241f5615cd30a4cf +size 176582 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-978-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-978-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e6f563d381502f4dbc693bfc3dbb549a0652e14a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-978-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2f64b2d1ac2e33c779f01ad225228edf08303d7919bad01bbc7f3a4ebcb88d6a +size 189210 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-979-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-979-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..84923d3900fdf114efa832f6e327e2b780039c56 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-979-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Bucuresti-2014_matematica_locala_bucuresti_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:98aa679d746256a5174580cb5b489d1893c4480352122f97a24fc5ed92fb3242 +size 172061 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-98-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-98-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3569a58089d8b3af0b64b2b4015d81460c183a2f --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-98-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:c6f46b715a13601777a3d82963f52b94b2b4056c39fce49b400cdc38d9d299a2 +size 1467741 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-980-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-980-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..81a5cdec8984a1d0418160ea0b9de70c36077353 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-980-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xiia_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b8990a80cac2d007b5862c685bf4e2b3435a2a3def833609dc94b61aba345426 +size 130510 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-981-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-981-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1342ca20d4d664e3ff4a5cd7ee0c81c525c339e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-981-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xia_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:62c08e57ca5d7e73393c26a70e6f71853b5f7b203605ddfb507cdd76ca858d8d +size 141828 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-982-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-982-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94c2e878760b1198ce0c8e8dc2541898f1cb2585 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-982-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_xa_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5330f84584e86a50160c0c9a5469888e370b2d388f8e0e91e2a4fc25763c50c4 +size 135528 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-983-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-983-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5bf54d255ba23ca9ee42bf30746bce734486c36e --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-983-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viiia_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5196aff055031daefe068ea5dcfcab1b9d181236ebce07ed488b8be26aa0c688 +size 109870 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-984-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-984-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7d77e493cc904a26b6f169ae40ea40c9cad0435b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-984-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_viia_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:5940e072e29e5f3549cfef59b9536ed08bbabf1898cc238e2ad365b8aa0411ba +size 108974 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-985-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-985-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..23c735eef707177a330c76dbcc34d1b1c74b93b9 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-985-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_via_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ea6625c1fceae98dfb13b85fa001793a0d43e320e3eedd96ab1d079780040217 +size 95047 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-986-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-986-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2e37ef3c0eff68badcf450429973cae31e0c95b7 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-986-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_va_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:674df3edcf024a2317c61211d218a2f2026a7e8ac7c6bb5c30e56d9851a4a9f0 +size 110298 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-987-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebareme.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-987-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebareme.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..de8af3f2aa8516c31e5fcccee72186e7fff569de --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-987-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Brasov-2014_matematica_locala_brasov_clasa_a_ixa_subiectebareme.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:3aaab933031c18fa64cd1900cfce595a3d6294f09ea568327676bf9245f54b94 +size 149862 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-988-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-988-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c6b63a5b0a985222ae2d221c132e29c045de7c54 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-988-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xiia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:906566cac096554b86170e0fa3040a6eedc5b9f19a9e0dba88bc9b82fd62c7a3 +size 1223768 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-989-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-989-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..befbcd0521d6c6b87c0e39803c69f2e55e91193a --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-989-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xia_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:b5d7105116eec81be032100717457bb84f49643482392031a5470ffb46559afd +size 1195235 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-99-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-99-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..269c97504c98b4741d5ed2a0629ee0c47c3e1ccb --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-99-Matematica, 2016, Subiecte si bareme_Iasi-2016_matematica_locala_iasi_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:d83d501994ff4f5131808469c9d6818ff508a3ffc78736495a0e23da30f04bf2 +size 1027614 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-990-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-990-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c7bac023ee60e08b14f2f81ac76f1e3dac46ec1b --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-990-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_xa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:911fe915f60cbe62e607350e457351777fff0084892146aa50be6916acc67e88 +size 640162 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-991-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-991-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d9e5386fc987d24c9d991c1a1c231b38f575bd22 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-991-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:ab28ac4ab52bb0bc1df1e5a5439297ac2e48248478daf0cd8206dfcbfe80ad2c +size 265323 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-992-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-992-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..62b4d4a442d242f1e234f3ddb22bddd93da7bdfa --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-992-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_viia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:271f35a6a9fbca63a21d9d447fa5707e8e0573bb2f31095a08a6b7bebaca5d75 +size 250001 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-993-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-993-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..19851d7f00aa2ce54c4417de6dc9efd948ea0329 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-993-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_via_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:4305b16d0f5d9206bc23a58bd84947c0d7ef34fd2c5b22c757216744eb3e5d01 +size 295945 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-994-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-994-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06c9f1e19140af5b7f03b5e31f0c37fdc39e6b99 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-994-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_va_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:f67b5323f77d4144f5badb0ac030a1a0eef3735384fe7b1c8b73cf068b90e02b +size 254929 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-995-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-995-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9345c397a7a285c224dd7ada3326e4815da3636c --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-995-Matematica, 2014, Subiecte si solutii_Braila-2014_matematica_locala_braila_clasa_a_ixa_subiectesolutii.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:2d83b51423c317c6951abdd4a16ff3840cf319d2332b087200247cc8d1d974c2 +size 1243764 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-996-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-996-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4bf11b479bdf5aef39f35242e253a050bdc3c9b5 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-996-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:bff47827e0c3c75c960f244acf34b96926ece9a25bab6a656e1cb98d679b523f +size 841566 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-997-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-997-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9faab304b80282eb55effa3314d88de725800432 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-997-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:0b236934c7eba6df0998a91d2ddaa30105814430c5b16fbcabfc6675814b4fac +size 886225 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-998-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-998-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f87803135ded9c7332e686025d5a5c43b4b19290 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-998-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_xa_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:806fb20805b4c103ad901b49e9c34c422fcf49303a77059274976b521412ebff +size 645175 diff --git a/Romania_Olympiad/raw/ro-999-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf b/Romania_Olympiad/raw/ro-999-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..186912c65170c435a2e64b9d770a6f1e40c58334 --- /dev/null +++ b/Romania_Olympiad/raw/ro-999-Matematica, 2014, Subiecte si bareme_Botosani-2014_matematica_locala_botosani_clasa_a_viiia_subiectebarem.pdf @@ -0,0 +1,3 @@ +version https://git-lfs.github.com/spec/v1 +oid sha256:a43cfe3e2d3a7626b80a0fcc81a9c2bd85aa3c83df3574a530a06ae3290305a8 +size 369504